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Clasa a XI-a - 1

Elemente de analiza matematica – Limite de functii

Limite de functiii

Definitie vveecciinnaattaattee aa uunnuuii ppuunncctt :

- Fixam un punct R a ;

- Se numeste vecinatate a punctului a orice multime RV care contine un interval deschis

centrat in a , adica : in acest caz exista 0r astfel incat Vrara , .

Definitie ppuunncctt ddee aaccuummuullaarree (( ppuunncctt lliimmiittaa )) :

-- Fie A o submultime nevida din R : RA ;

-- Un punct Ra se numeste punct de acumulare (sau punct limita) pentru multimea A daca

VV a (= multimea vecinatatilor punctului a ) sa rezulte AaV .

-- aceasta definitie spune ca un punct Ra este punct de acumulare pntru multimea A daca

orice vecinatate V a punctului a mai contine si alte puncte din A , diferite de a , adica exista :

axAVx cu

Definitie ppuunncctt iizzoollaatt :

-- Fie A o submultime nevida din R : RA ;

- Un punct Ax 0 se numeste punct izolat al multimii A daca exista cel putin o vecinatate

V a punctului xAVx 00 incat astfel .

Observatie :

Orice punct al unei multimi A este fie punct de acumulare , fie punct izolat .

Clasa a XI-a - 2


Limite de functiii

Fixam o functie RDf : , RD si un punct x0 punct de acumulare a lui

D , Rx 0 .

Definitie ccrriitteerriiuull ccuu vveecciinnaattaattii :

- Functia f are limita in punctul x0 , egala cu si scriem :

xfxx

lim0

daca pentru orice vecinatate V a lui exista o vecinatate U a lui x0 astfel incat pentru orice :

VxfxUDx \ 0

Toreme de caracterizare a lliimmiitteeii uunneeii ffuunnccttiiii iinnttrr--uunn ppuunncctt :

Criteriul : - .

- Fie RDf : , RD , o functie si x0 punct de acumulare a lui D , Rx 0 ;

- Functia f are limita in punctul xx 0 , egala cu R si scriem :

xfxx

lim0

daca

si numai daca 0 exista numarul real 0 , depinzand de , astfel incat pentru

orice \ 0xDx , cu proprietatea 0xx sa rezulte : xf .

Criteriul : cu siruri .

- Fie RDf : , RD , o functie si x0 punct de acumulare a lui D , Rx 0 ;

- Functia f are limita in punctul xx 0 , egala cu R , finit sau infinit , si scriem :

xfxx

lim0

daca pentru orice sir xaxDaa nnnn 000 , \ ,

avem : af n .

Observatie :

DDaaccaa eexxiissttaa ,, lliimmiittaa uunneeii ffuunnccttiiii iinnttrr--uunn ppuunncctt eessttee uunniiccaa ..

Clasa a XI-a - 3


Limite de functiii

DDeeffiinniittiiee :: LLiimmiittaa llaa ssttaannggaa ::

- Fie RDf : , RD , x0 punct de acumulare pentru multimea :

RxxDxxDD s si , 00

'

- Functia f are limita la stanga in punctul x0 egala cu s daca oricare ar fi vecinatatea V

a lui s , exista o vecinatate U a lui x0 , astfel incat pentru orice :

xx 0 , VxfxDUx \ 0

- Vom folosi notatiile : xfxfl

xxxx

s lim0

0

0

0

.

DDeeffiinniittiiee :: LLiimmiittaa llaa ddrreeaappttaa ::

-- Fie RDf : , RD , x0 punct de acumulare pentru multimea :

RxxDxxDD d si , 00

'

- Functia f are limita la dreapta in punctul x0 egala cu d daca oricare ar fi vecinatatea V

a lui d , exista o vecinatate U a lui x0 , astfel incat pentru orice :

xx 0 , VxfxDUx \ 0

- Vom folosi notatiile : xfxfl

xxxx

d lim0

0

0

0

.

Clasa a XI-a - 4


Limite de functiii

TTEEOORREEMMAA :: ddee ccaarraacctteerriizzaarree aa lliimmiitteeii uunneeii ffuunnccttiiii iinnttrr--uunn ppuunncctt

ccuu aajjuuttoorruull lliimmiitteelloorr llaatteerraallee

- Fie RDf : , RD , x0 punct de acumulare pentru multimea D astfel incat sa

existe limitele laterale in x0 ( deci exista 00 xf , 00 xf ) ;

- Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente :

1). f are limita in punctul x0 ;

2). 00 xf = 00 xf

In aceste conditii :

xfxx

lim0

= 00 xf = 00 xf

- Aceasta teorema spune ca o functie are limita intr-un punct daca si numai daca exista limitele

laterale cu proprietatea ca sunt si egale .

OObbsseerrvvaattiiii ::

1). Daca Rbaf ,: si are limite in punctele a ,b in punctul a vorbim de limita laterala la

dreapta , iar in punctul b de limita laterala la stanga .

2). Limitele laterale se folosesc in urmatoarele situatii :

- in punctele in care o functie definita pe ramuri isi schimba expresia ;

- daca trecand la limita obtinem : 0

a ;

- daca domeniul de definitie este restrictiv , de exemplu : xxf 1ln 2 .

Clasa a XI-a - 5


Limite de functiii

Fie RDgf :, si x0 un punct de acumulare pentru D ;

Daca : 1lim0

xfxx

si 2lim0

xgxx

, RcR , , 21 atunci functia :

11)) gf are limita in x0 si xgxfxgfxxxxxx

limlimlim000

21

.

( Limita sumei este egala cu suma limitelor )

Caz execeptat : daca 2121 , sau ,

22)) fc are limita in x0 si xfccxfcxxxx

limlim00

1

.

( O constanta iasa in afara limitei )

33)) gf are limita in x0 si xgxfxgfxxxxxx

limlimlim000

21

.

( Limita produsului este egala cu produsul limitelor )

Caz execeptat : 0 daca 0 , sau , 0 2121

44))

g

f are limita in x0 si

xg

xf

xg

f

xx

xx

xx lim

lim

lim

0

0

0 2

1

., daca 02

( Limita catului este egala cu catul limitelor )

Cazuri execeptate :

daca 2121 , sau ,

55)) fg

are limita in x0 si

xfxfxxxx

xg

gxx

limlim0

lim

1

0

2

0

, daca 0xf .

Cazuri exceptate : 00 , 0 , 1

66)) f are limita in x0 si 1limlim00

xfxfxxxx

.

( Limita modulului este egala cu modulul limitei )

Clasa a XI-a - 6


Limite de functiii

CCrriitteerriiuull :: MMAAJJOORRAARRIIII ..

- Fie RDgf :, doua functii si x0 un punct de acumulare pentru D si V o vecinatate

a lui x0 .

- Daca xgxf , xxDVx 0 , si daca 0lim0

xgxx

atunci :

xfxx

lim0

CCoonnsseecciinnttee ::

1) Daca xgxf si

xgxx

lim0

atunci

xfxx

lim0

.

2) Daca xgxf si

xgxx

lim0

atunci

xfxx

lim0

.

TTrreecceerreeaa llaa LLiimmiittaa iinn IInneeggaalliittaattii ..

- Fie RDgf :, doua functii si x0 un punct de acumulare pentru D si V o vecinatate

a lui x0 .

- Daca xgxf , xxDVx 0 , si daca gf si au limite in punctul Rx 0

atunci :

xgxfxxxx

limlim00

CCoorroollaarr ::

Fie RDf : , Va a , ( V a = multimea vecinatatilor punctului a ) , f are limita in a

si VV a .

Daca 0xf , axDVx , atunci 0lim

xfax

.

Daca 0xf , axDVx , atunci 0lim

xfax

.

Daca xf , axDVx , atunci

xfax

lim .

Clasa a XI-a - 7


Limite de functiii

TTEEOORREEMMAA :: CCLLEESSTTEELLUUII ..

Fie trei functii RDhgf :,, , a un punct de acumulare pentru D , Va a si V o

vecinatate a lui a .

Daca :

1). xhxgxf , axDVx , .

2).

xhxfaxax

limlim

atunci g are limita in a si mai mult :

xgax

lim .

Schematic :

xhxgxf

.

TTEEOORREEMMAA :: (( ccrriitteerriiuu)) ..

Aceasta teorema este un alt rezultat important care permite calculul limitei unui produs de

functii :

Fie RDgf :, , doua functii si Va a , ( V a = multimea vecinatatilor punctului a ),

a punct de acumulare , si VV a .cu proprietatile :

1). Mxf , 0 , MDVx ( f marginita pe o vecinatate a lui a ) ;

2). 0lim

xgax

.

Atunci : 0lim

xgxfax

.

Limita produsului dintre o functie marginita si o functie de limita zero este zero !!!

Clasa a XI-a - 8


Limite de functiii

IInn cceellee eennuunnttaattee ssii ddiissccuuttaattee aanntteerriioorr aacceessttuuii ccaappiittooll ,, aamm vvaazzuutt ccaatteevvaa ooppeerraattiiii ccuu

lliimmiittee ddee ffuunnccttiiii ..PPeennttrruu ccaa eellee ssaa ddeevviinnaa ooppeerraabbiillee eessttee nneevvooiiee ddee ccuunnooaasstteerreeaa pprroocceedduurriiii ddee

ccaallccuull aa lliimmiitteelloorr pprriinncciippaalleelloorr ffuunnccttiiii..

VVoomm ddiissccuuttaa ssii ccaallccuullaa lliimmiittaa ffuunnccttiieeii ,, iinn ggeenneerraall ,, iinn ddoouuaa ccaazzuurrii ::

11)).. CCaanndd a eessttee ppuunncctt ddee aaccuummuullaarree ffiinniitt ;;

22)).. CCaanndd a eessttee ppuunncctt ddee aaccuummuullaarree iinnffiinniitt (( ddaaccaa eexxiissttaa )) ..

11 LLiimmiittaa :: ..

- Fie RRf : , cxf , Rc ;

- Atunci :

cxfax

lim , Ra

Clasa a XI-a - 9


Limite de functiii


- Fie functia polinomiala : RRf :

axaxaxaxaxaxf k

k

k

k

n

n

n

n 01

1

1

1

1 ..........

unde : 0 , ,0 , ankRa nk .

- Avem cazurile :

1). Daca a este un punct de acumulare finit atunci :

afxfax

lim

Deci limita unei functii polinomiale intr-un punct de acumulare finit a , se obtine inlocuind x cu a .

2). Daca a este un punct de acumulare infinit atunci :

n

n

n

naxax

axaxf limlim

Deci limita unei functii polinomiale la este aceeasi cu limita termenului de grad maxim .

1).

32lim2

1xx

x

......................................................................................................................

2).

xxx

75lim2

2

...........................................................................................................................

3).

722lim3

7xx

x

...................................................................................................................

4).

363lim22

0xx

x

...................................................................................................................

5).

xxxx

325lim336

0

.................................................................................................................

6).

622lim2

3xx

x

................................................................................................................

Clasa a XI-a - 10


Limite de functiii

7).

xxx

6lim4

1

.............................................................................................................................

8).

52lim23

3xex

x

x

.................................................................................................................

9).

xxxx

23lim .......................................................................................................................

10).

832lim23

xxxx

...........................................................................................................

11).

xxx

727lim2

...................................................................................................................

12).

xxxx

5lim24

.....................................................................................................................

13).

75lim23

xxxx

.............................................................................................................

14).

163lim4

xxx

.................................................................................................................

15).

2005lim3

xx

.........................................................................................................................

16).

xxxx

103lim23

..............................................................................................................

17).

36lim23

xxx

..................................................................................................................

18).

143lim25

xxxx

.........................................................................................................

Clasa a XI-a - 11


Limite de functiii


- Fie functia rationala : xQ

xPxf , RxQxRf 0)(:

unde P si Q sunt functii polinomiale :

axaxaxaxaxaxP i

i

i

i

k

k

k

k 01

1

1

1

1 ..........

bxbxbxbxbxbxQ j

j

j

j

l

l

l

l 01

1

1

1

1 ..........

unde : 0, , 0, , ,0 , , baljkiRba lkji .

- Distingem cazurile :

1). Subcazul 1 :

Daca a este un punct de acumulare finit cu proprietaea ca 0aQ ( deci a nu

este radacina pentru numitor ) atunci :

afaQ

aP

xQ

xPxf

axax

limlim

Subcazul 2 :

Daca a este un punct de acumulare finit cu proprietaea ca 0aQ ( deci a este

radacina pentru numitor ) atunci :

0

limlimaP

aQ

aP

xQ

xPxf

axax

caz de nedeterminare !!!

Discutia pt. acest subcaz 2 este mai complexa . Eliminarea acestiu caz de nedeterminare o vom

discuta in capitolele ce vor urma( cazurile de nedeterminare ale limitelor de functii ) .

O modalitate de a scapa de nedeterminare este ca sa descompunem polinoamele in factori primi si

prin reducerea termenilor asemenea sa ajungem la rezultatul final , dar aceasta numai in conditiile in

care si 0aP .

2). Daca a este un punct de acumulare infinit atunci :

inumitorulu gradul luinumaratoru gradul pentru , 0

pentru ,

inumitorulu gradul luinumaratoru gradul pentru ,

lim

lk

lkb

a

lkb

a

xfl

k

lk

l

k

x

Clasa a XI-a - 12


Limite de functiii

1).

12

1lim 2

2

1 xx

xx

........................................................................................................................

2).

1

1lim 2

1 x

x

x

...................................................................................................................................

3).

18

12lim 2

2

1 xx

xxx

........................................................................................................................

4).

3

1lim

1 x

x

x

..................................................................................................................................

5).

123

52lim 2

2

xx

xx

x

......................................................................................................................

6).

14

5lim 23

3

xx

x

x

........................................................................................................................

7).

3

52lim

2

x

xx

x

........................................................................................................................

8).

13

7536lim 2

4

xx

xx

x

..................................................................................................................

9).

8

2lim 2

45

x

xxx

...............................................................................................................................

10).

1

2lim 2

1 xx

xx

...........................................................................................................................

11).

23

41lim 3

2

x

xx

x

..................................................................................................................

12).

1

12lim

2

1 x

xxx

........................................................................................................................

13).

1

1lim 3

2

1 x

xxx

...........................................................................................................................

14).

158

152lim 2

2

3 xx

xx

x

......................................................................................................................

Clasa a XI-a - 13


Limite de functiii

15).

4

1lim

2 2

2

2 x

x

x

...............................................................................................................................

16).

12

1lim 2

2

1

2

xx

xx

........................................................................................................................

17).

2

3

2

4

15

lim2

2

2

3 xx

xx

x

.......................................................................................................................

18).

20

25lim 2

2

1 xx

x

x

.......................................................................................................................

19).

xx

xx

x4

4

0lim ..................................................................................................................................

20).

x

xx

x4

34

0lim ..................................................................................................................................

21).

85

42lim 2

2

x

xxx

.............................................................................................................................

22).

xx

xx

x 7

4lim 2

43

...............................................................................................................................

23).

1

2lim

2

x

xxx

...............................................................................................................................

24).

2315

52lim 3

23

x

xx

x

........................................................................................................................

25).

1

153lim

2

x

xx

x

......................................................................................................................

26).

xx

xxx 3

2lim 2

2

...............................................................................................................................

27).

xx

x

x2

1lim .................................................................................................................................

28).

4lim 2

23

x

xx

x

.................................................................................................................................

29).

xx

xx

x 3

122lim 2

....................................................................................................................

Clasa a XI-a - 14


Limite de functiii


- Distingem urmatoarele cazuri :

I. Cazul radicalilor de ordin par ( kn 2 ) : avem functia radical , unde se impune

conditia de existenta a radicalului de ordin par ,

Nkxxff k *2 , , ,0,0:

cu subcazurile :

Subcazul 1 : Daca ,0a , a punct de acumulare finit , atunci :

k

ax

k

ax

ax 22limlim

Subcazul 2 : Daca a punct de acumulare infinit , a , atunci :

k

x

k

x

x 22limlim


existanux k

x

k

x

limlim22

deoarece nu putem calcula radical de ordin par dintr-un numar negativ !!!

II. Cazul determinantilor de ordin impar ( 12 kn ) : avem functia radical , caz in care

nu avem de pus nici o conditie de existenta a radicalului ,

NkxxfRRf k *12 , , :

cu subcazurile :

Subcazul 1 : Daca a punct de acumulare finit , atunci :

1212limlim

k

ax

k

ax

ax


1212limlim

k

x

k

x

x


1212limlim

k

x

k

x

x

Clasa a XI-a - 15


Limite de functiii

1).

xxx

3

3lim ...............................................................................................................................

2).

1lim2

xx

...........................................................................................................................

3).

x

x

xx 3

4lim

2

22

..............................................................................................................................

4). 4

lim2

x

x

x

..............................................................................................................................

5).

1

1lim

4

2

x

xx

x

...........................................................................................................................

6).

1lim2

2xx

x

........................................................................................................................

7).

3

2lim xx

........................................................................................................................................

8).

5

32lim xx

.......................................................................................................................................

9).

5lim xx

........................................................................................................................................

10).

xxlim

0

........................................................................................................................................

11).

xxx

42

25lim .....................................................................................................................

12).

16lim0

xxx

..........................................................................................................................

13).

xxxxlim ...................................................................................................................

14).

3 3 3lim xxxx

...................................................................................................................

15). 1

limx

xx

x

...............................................................................................................................

16).

3 35

322lim xxx

x

.................................................................................................................

Clasa a XI-a - 16


Limite de functiii


- Fie functia exponentiala : 1 , 0 , , ,0: bbbxfRf x .


I. Daca 1b atunci distingem urmatoarele subcazuri :


bbax

ax

lim


bbb

x

x

x

axlimlim

Distingem la acest subcaz urmatoarea situatie :

Znb

xx

n

x

, 0lim functia exponentiala este mai mare decat functia polinomiala !!!


0limlim

bbb

x

x

x

ax

II. Daca 10 b atunci distingem urmatoarele subcazuri :


bbax

ax

lim


0limlim

bbb

x

x

x

ax


bbb

x

x

x

axlimlim

Clasa a XI-a - 17


Limite de functiii

1).

2

1lim

2

x

x

......................................................................................................................................

2).

5

1lim

x

x

......................................................................................................................................

3).

6lim3

x

x

...........................................................................................................................................

4).

5limx

x

..........................................................................................................................................

5).

7

5lim

x

x

.....................................................................................................................................

6).

10limx

x

...................................................................................................................................

7).

3

1lim

x

x

..................................................................................................................................

8).

e

xx

x

152

lim2

.................................................................................................................................

9).

e xx

x

152

lim .................................................................................................................................

10).

e

xx

x

23

lim ..................................................................................................................................

11).

3

1lim

924

xxx

x

...........................................................................................................................

12).

04.0lim2

3xx

x

.........................................................................................................................

13).

e x

x

x

6

1

0lim ........................................................................................................................................

14).

10lim 1

52

2

5

x

x

x

....................................................................................................................................

15).

a

xxx

x

1324

lim stiinnd ca : 10 a ? ...................................................................................

16).

e

x

x

2

lim ........................................................................................................................................

Clasa a XI-a - 18


Limite de functiii


- Fie functia logaritmica : 1 , 0cu , log , ,0: bbxxfRfb

conditiile

de existenta ale logaritmilor .


I. Daca 10 b atunci distingem urmatoarele subcazuri :

Subcazul 1 : Daca 0a punct de acumulare finit , atunci :

xxfb

xx

xx

loglimlim00

00

Subcazul 2 : Daca ,0a punct de acumulare finit , atunci :

axxfbb

axax

logloglimlim


xxfb

xx

loglimlim

II. Daca 1b atunci distingem urmatoarele subcazuri :

Subcazul 1 : Daca 0a punct de acumulare finit , atunci :

xxfb

xx

xx

loglimlim00

00

Subcazul 2 : Daca ,0a punct de acumulare finit , atunci :

axxfbb

axax

logloglimlim


xxfb

xx

loglimlim

Limita logaritmului este egala cu logaritmul limitei .

Clasa a XI-a - 19


Limite de functiii

1).

xx

loglim2

1

4

1 ....................................................................................................................................

2).

xx

loglim3

1

3

....................................................................................................................................

3).

xx

loglim2

1 ....................................................................................................................................

4).

x

xx

lglim00

.......................................................................................................................................

5).

x

xx

loglim5

2

00

....................................................................................................................................

6).

xx

3lnlim ....................................................................................................................................

7).

xex

lnlim2

.......................................................................................................................................

8).

x

xx

loglim 7

00

....................................................................................................................................

Clasa a XI-a - 20


Limite de functiii


LLiimmiittaa ffuunnccttiieeii sssiiinnnuuusss :

- Fie functia : 1,1:sin R .


I. Daca a este un punct de acumulare finit , Ra , atunci :

axax

sinsinlim

Deci limita functiei sin intr-un punct de acumulare finit Ra se obtine inlocuind pe ax cu

II. Daca a este un punct de acumulare infinit , a , atunci functia sinus nu are limita !!!

LLiimmiittaa ffuunnccttiieeii cccooosssiiinnnuuusss :

- Fie functia : 1,1:cos R .


I. Daca a este un punct de acumulare finit , Ra , atunci :

axax

coscoslim

Deci limita functiei cos intr-un punct de acumulare finit Ra se obtine inlocuind pe ax cu

II. Daca a este un punct de acumulare infinit , a , atunci functia cosinus nu are limita !!

Clasa a XI-a - 21


Limite de functiii

LLiimmiittaa ffuunnccttiieeii tttaaannngggeeennntttaaa :

- Fie functia : RZkkR

2

12:

tg .


I. Daca a apartine domeniului de definitie atunci :

axax

tgtg

lim

Se poate lua : aa

a

x

x

x

xx

ax

ax

axax

tgtg

cos

sin

coslim

sinlim

cos

sinlimlim

Deci limita functiei tg intr-un punct de acumulare din domeniul de definitie se obtine inlocuind pe

ax cu

II. Daca 2

a , atunci :

x

x

x

tglim

2

2

,

x

x

x

tglim

2

2

Clasa a XI-a - 22


Limite de functiii

LLiimmiittaa ffuunnccttiieeii cccoootttaaannngggeeennntttaaa :

- Fie functia : RZkkR :ctg .


I. Daca a apartine domeniului de definitie atunci :

axax

ctgctg

lim

Se poate lua : aa

a

x

x

x

xx

ax

ax

axax

ctgctg

sin

cos

sinlim

coslim

sin

coslimlim

Deci limita functiei ctg intr-un punct de acumulare din domeniul de definitie se obtine inlocuind pe

ax cu

II. Daca 0a , atunci :

xxx

ctglim00

,

xxx

ctglim00

Clasa a XI-a - 23


Limite de functiii


LLiimmiittaa ffuunnccttiieeii aaarrrcccsssiiinnnuuusss :

- Fie functia :

2,

21,1:arcsin

.

- Daca 1,1a , atunci :

axax

arcsinarcsinlim

LLiimmiittaa ffuunnccttiieeii aaarrrccccccooosssiiinnnuuusss :

- Fie functia : ,01,1:arccos .

- Daca 1,1a , atunci :

axax

arccosarccoslim

LLiimmiittaa ffuunnccttiieeii aaarrrccctttaaannngggeeennntttaaa :

- Fie functia :

2,

2:

Rarctg .


I. Daca a apartine domeniului de definitie , Ra , atunci :

axax

arctgarctg

lim

Clasa a XI-a - 24


Limite de functiii

II. Daca a , atunci :

2 lim

xx

arctg , 2

lim-

xx

arctg

LLiimmiittaa ffuunnccttiieeii aaarrrccccccoootttaaannngggeeennntttaaa :

- Fie functia : ,0: Rarcctg .


I. Daca a apartine domeniului de definitie , Ra , atunci :

axax

lim arcctgarcctg

II. Daca a , atunci :

0 lim

xx

arcctg ,

xx

lim-

arcctg

Clasa a XI-a - 25


Limite de functiii

99 LLiimmiittee :: ..

(( ccuu ffuunnccttiiii ttrriiggoonnoommeettrriiccee ))

I. 1sin

lim0

x

x

x

Generalizand :

1

sinlim xu

xu

ax

daca 0lim

xuax

II. 1arcsin

lim0

x

x

x

Generalizand :

1

arcsinlim xu

xu

ax

daca 0lim

xuax

III. 1

lim0

x

x

x

tg

Generalizand :

1

lim xu

xu

ax

tg daca 0lim

xuax

IV. 1

lim0

x

x

x

arctg

Generalizand :

1

lim xu

xu

ax

arctg daca 0lim

xuax

Clasa a XI-a - 26


Limite de functiii

EExxeerrcciittiiuull nnrr.. 11 :: Calculati limitele urmatoare :

1).

xx

sinlim0

......................................................................................................................................

2).

xx

sinlim2

......................................................................................................................................

3).

xx

sinlim

6

......................................................................................................................................

4).

xx

sinlim .....................................................................................................................................

5).

153lim2

3xx

x

....................................................................................................................

6).

13lim2

xx

x

......................................................................................................................

7).

xx

coslim2

......................................................................................................................................

8).

xx

coslim

4

.....................................................................................................................................

9).

3coslim2

xx

............................................................................................................................

10).

xx

coslim

....................................................................................................................................

11).

32coslim23

xx

x

..............................................................................................................

12).

xx

lim

3

tg

.......................................................................................................................................

13).

xx

lim0

tg .......................................................................................................................................

14).

x

x

x

lim

2

32

3

tg

......................................................................................................................................

15).

x

x

x

lim

2

52

5

tg

.....................................................................................................................................

Clasa a XI-a - 27


Limite de functiii

16).

xx

3 lim5

ctg ...................................................................................................................................

17).

xx

3 lim

6

ctg

...................................................................................................................................

18).

x

x

x

6 lim

3

3

ctg

...................................................................................................................................

19).

xxxx

23 lim2

00

ctg .....................................................................................................................

20).

xxx

75 lim2

1

ctg ....................................................................................................................

21).

xx

arcsinlim1

................................................................................................................................

22).

xxx

32 arcsinlim2

0

...............................................................................................................

23).

xx

arcsinlim

2

2

..............................................................................................................................

24).

xx

arcsinlim1-

................................................................................................................................

25).

xx

arccoslim1

...............................................................................................................................

26).

xx

arccoslim

2

1

...............................................................................................................................

27).

xx

arccoslim0

...............................................................................................................................

28).

xx

arccoslim

2

2

.............................................................................................................................

29).

xx

lim

2

2

arcctg .............................................................................................................................

30).

xx

lim1

arcctg ..............................................................................................................................

31).

xx

lim3

arcctg ...............................................................................................................................

32).

2 lim

xx

arcctg ....................................................................................................................

33).

235 lim3

x

x

arcctg ..............................................................................................................

Clasa a XI-a - 28


Limite de functiii

34).

xx

lim

2

3

arctg ...............................................................................................................................

35).

xx

lim1

arctg .................................................................................................................................

36).

2 lim5

xx

arctg .......................................................................................................................

37).

33 lim

xx

arctg ....................................................................................................................

38).

xxx

23 lim3

arctg ...............................................................................................................

EExxeerrcciittiiuull nnrr.. 22 ::

Calculati limitele urmatoare :

1). x

x

x

5sinlim

0

……………………………………………………………………………………...

2). x

x

x sin

5sinlim

0

……………………………………………………………………………………...

3).

1

55sinlim 2

1 x

x

x

………………………………………………………………………………..

4). x

x

x 2sin

4sinlim

2

……………………………………………………………………………………...

5).

x

xx

x

sin5sinlim

0

……………………………………………………………………………..

6).

x

xx

x cos

sin1sin1lim 4

2

0

…………………………………………………………………….

7). x

x

x 10sin

5sinlim

0

…………………………………………………………………………………….

8). nx

mx

x sin

sinlim

0

……………………………………………………………………………………..

9). x

xx

1sinlim ……………………………………………………………………………………..

Clasa a XI-a - 29


Limite de functiii

10).

23

23sinlim 2

3

2 xx

x

x

………………………………………………………………………………

11). x

x

x2

3

0 sin

sinlim ………………………………………………………………………………………

12).

1

1sinlim

31 x

x

x

……………………………………………………………………………….

13).

x

xx

x2

22

0

2sinsinlim …………………………………………………………………………...

14).

23sin

2sinlim 2

2

2 xx

xxx

………………………………………………………………………...

15).

x

xxx

x3

0

3sin2sinsinlim ……………………………………………………………………..

16). x

x

x

4sin

sinlim

1

…………………………………………………………………………………….

17). x

x

x

3 lim

0

tg ………………………………………………………………………………………

18). x

x

x 10

5 lim

0 tg

tg ……………………………………………………………………………………..

19.).

1

1 lim 2

1 x

x

x

tg ………………………………………………………………………………….

20). x

x

x

2arcsinlim

0

………………………………………………………………………………….

21).

9

3arcsinlim 2

3 x

x

x

……………………………………………………………………………...

22).

4

103arcsinlim 2

2

2 x

xx

x

……………………………………………………………………

23). x

x

x arcsin

2sinlim

0

…………………………………………………………………………………...

Clasa a XI-a - 30


Limite de functiii

24).

2arcsin

1sinlim 2

2

1 xx

xx

………………………………………………………………………

25). x

xx

2

3

0 arcsin

lim

tg …………………………………………………………………………………..

26). xx 7

3x lim

0 arctg

arctg …………………………………………………………………………………..

27). x

x

x 9

3 lim

0 tg

tg ………………………………………………………………………………………

28).

1

1 lim 2

1 x

x

x

tg …………………………………………………………………………………..

29).

x

x

x 3arcsin

2sinlim

0 tg

tg

………………………………………………………………………………..

30).

23sin

1xarcsin lim 2

2

1 xxarctgx

tg ………………………………………………………………..

31). x

x

x 4

5sinlim

0

……………………………………………………………………………………...

32).

x

xx

x

sin 2lim

0

tg ……………………………………………………………………………...

33). x

x

x 2

sinlim 2

2

0 tg ……………………………………………………………………………………...

34).

xx

x

x cossin

1 lim

4

tg

………………………………………………………………………………

35).

x

xx

x

1cos lim

0

tg …………………………………………………………………………...

36).

x

x

x 6

sin21lim

6

…………………………………………………………………………………

37). x

x

x 5sin

4arcsinlim

0

………………………………………………………………………………….

38).

xarctg

tgx

x sin

arcsinlim

0

………………………………………………………………………………

39).

xx

xx

x 3sin

2sinlim

0

…………………………………………………………………………………

Clasa a XI-a - 31


Limite de functiii

40).

xx

xx

x 7sin

5 lim

0

tg …………………………………………………………………………………

41). x

x

x2

2

0

5sinlim ……………………………………………………………………………………..

42). x

x

x cos1lim

2

0

………………………………………………………………………………...

43).

1

1 lim

4x

x

x ctg

tg

…………………………………………………………………………………..

44).

1 3

3 lim

3x

x

x ctg

tg

……………………………………………………………………………….

45).

x

x

xx

sin

arcsin2lim

11

…………………………………………………………………………….

46).

2

2 lim

2 tgtg

arctgarctg

x

x

x

………………………………………………………………………..

47).

x

xx

x 2cos

2sinlim

4

tg

……………………………………………………………………………...

48).

xx

x

x 2sin

cos1lim

3

0

………………………………………………………………………………….

Clasa a XI-a - 32


Limite de functiii


- Fie functiile : FEf : , RFg : , RFE , , a punct de acumulare pentru E .

- Putem vorbi de compunerea functiei g cu f : REfgh : .

- Ne intereseaza in ce conditii functia compusa are limita in punctul a .

Aceasta problema este rezolvata de urmatoarea Teorema :

TTEEOORREEMMAA ..

Daca :

1). bxfax

lim ;

2). bxf , pentru orice ax , Ex ;

3).

ygby

lim

atunci :

ygxfgbyax

limlim

1).

2sinlim

2

xx

..........................................................................................................................

2).

4lim

4

xtgx

...........................................................................................................................

3).

e xx

12

1

1lim .....................................................................................................................................

Clasa a XI-a - 33


Limite de functiii


- Fie functiile : REgf :, , RE , iar a punct de acumulare pentru E ;

- Presupunem ca 0xf , Ex ;

- In acest caz puterea : xfxg

este definita .

- Are loc urmatoarea Teorema :

TTEEOORREEMMAA ..

Daca :

1). 1lim

xfax

;

2). 2lim

xgax

;

3).

12 are sens

atunci : functia xfxg

are limita in a si mai mult

xfxfax

xgxg

ax

ax

limlimlim

( Limita se distribuie in baza si in exponent )

CCaazzuurrii eeexxxccceeeppptttaaattteee :

1). 00

, cand : 0 , 0 21 ;

2). 0

, cand : 0 , 21 ;

3). 1

, cand : 21 , 1 ;

Clasa a XI-a - 34


Limite de functiii

CCaazzuurrii pppaaarrrtttiiicccuuulllaaarrreee :

I. Daca :

1). cxg

xfxfax

cc

axlimlim

exceptand cazul cand :

01 si 0c

2). Pentru n

c1

, Nn* , 2n avem :

n

ax

n

ax

xfxf limlim

( Limita radicalului este egala cu radicalul limitei )

II. Daca 0 bxf , atunci :

bb

xgxg

ax

axlim

lim

III. Daca 0 xxf , Rrxg ,

atunci :

exxrr ln

si limita , cand exista :

eexxrxr

ax

r

ax

ax

lnln limlimlim

Clasa a XI-a - 35


Limite de functiii

1).

5lim

2x

x

........................................................................................................................................

2).

3lim 52

2

x

x

x

.......................................................................................................................................

3).

12

5lim

23

2 x

xxx

x

........................................................................................................................

4).

x

xx

x2

2

4

32lim

3

0

..........................................................................................................................

5).

56

23lim 2

2 5

223

3

x

x xx

xx

x

.....................................................................................................................

6).

12

15lim 2

2

x

x

x

.............................................................................................................................

7).

13

3lim 2

21

x

x x

x

x

.........................................................................................................................

8).

5

24lim

2

0 x

xxx

....................................................................................................................

9).

x

x x

x 31

4lim 2

21

............................................................................................................................

10).

3

1lim

23

3

5

54

xx

xx

x

............................................................................................................................

11).

32lim 2

21

3

3

x

xx

x

x

.....................................................................................................................

12).

53

12lim

2

2

42

x

x x

x

x

.........................................................................................................................

13).

2

6lim

2

2 x

xxex

x

...................................................................................................................

Clasa a XI-a - 36


Limite de functiii

14).

exx

x1

001

1lim .................................................................................................................................

15).

x

ex

x

1lim

3

0

................................................................................................................................

Clasa a XI-a - 37


Limite de functiii

1122 LLiimmiittee :: ..

A Limita remarcabila :

ex

x

x

11lim .

- Trecand la limita in baza si exponent se obtine nedeterminarea : 1

care cu ajutorul

acestei formule poate fi eliminate .

- Daca punem : x

y1

, atunci cand x rezulta 0y si avem :

ey y

y

1lim1

0

- Mai general avem , folosind si teorema de la limite de functii compuse :

e

xu

xu

ax

11lim daca :

xuax

lim

sau

exu xu

ax

1lim1

daca : 0lim

xuax

Clasa a XI-a - 38


Limite de functiii

1).

1

1lim

x

xx

x

…………………………………………………………………………………….

2).

x

x

x 5

21lim ...............................................................................................................................

3).

x xx

sin1lim 32

2

..........................................................................................................................

4).

13

13lim

12

x

xx

x

...........................................................................................................................

5).

1lim

x

xx

x

.................................................................................................................................

6).

23

4lim

1

1

1 x

x x

x

x

.........................................................................................................................

7).

x

xx

x2

21

lim

4

.............................................................................................................................

8).

13

32lim 2

2

xx

xxx

x

....................................................................................................................

9).

x x

x

sinlim 2

1

2

..........................................................................................................................

10).

x x

x

413lim 3

1

3

...........................................................................................................................

11).

2

1lim

x

xx

x

................................................................................................................................

12).

2

1lim

2x

xx

x

...........................................................................................................................

13).

13lim 2

2

xx

xxx

x

.................................................................................................................

Clasa a XI-a - 39


Limite de functiii

B Limita remarcabila :

11ln

lim0

x

x

x

.

- Folosind relatia de mai sus si teorema de la limite functii compuse avem :

1

1lnlim

xu

xu

ax

. daca : 0lim

xuax

1).

5ln13lnlim xxx

.......................................................................................................

2).

x

ex

x

1lnlim

0

.............................................................................................................................

3).

x

x

x

101lnlim

0

..........................................................................................................................

4).

x

x

x 2sin1ln

sin1lnlim

0

......................................................................................................................

5).

1ln2lnlim xxxx

......................................................................................................

6).

x

x

x 3sin

arcsin1lnlim

0

...................................................................................................................

7).

x

xtg

x 6

31lnlim

0

.........................................................................................................................

8).

x

x

x 3

coslnlim 2

0

..............................................................................................................................

9).

1

12ln

1lim

2

0 x

x

xx

......................................................................................................................

Clasa a XI-a - 40


Limite de functiii

10).

ex

exx

x

x5

23

ln

lnlim ........................................................................................................................

11).

x exex

ex

lnlim 3

1

......................................................................................................................

12).

12arcsin1ln

1sin1lnlim

0 x

x

x

......................................................................................................

13).

x

x

x 41ln

21lnlim

0

..........................................................................................................................

14).

xtg

xarctg

x 41ln

21lnlim

0

................................................................................................................

15).

x

x

x cos

cos21lnlim

2

...................................................................................................................

16).

13arcsin1ln

11lnlim

1 x

xtg

x

......................................................................................................

17).

x

tgx

x 21lnlim

0

..........................................................................................................................

18).

x

x

x ln

11lim

ln2

........................................................................................................................

19).

xx

x

x 1ln32lim

0

.............................................................................................................

20).

xx

xx

x 51ln41ln

31ln21lnlim

0

....................................................................................................

21).

x xx

coslim 2

1

0

..............................................................................................................................

22).

xtgx

xxlim

00

.......................................................................................................................................

23).

xx

xx

1lnlim00

...........................................................................................................................

24).

xx xx

sincoslim arcsin2

1

0

...........................................................................................................

25).

xx

x

x

1sin

1coslim .................................................................................................................

Clasa a XI-a - 41


Limite de functiii

C Limita remarcabila :

0 , ln1

lim0

aax

ax

x

.

- Folosind relatia de mai sus si teorema de la limite functii compuse avem :

0 , ln

1lim

aaxu

axu

ax

. daca : 0lim

xuax

- Daca ea avem :

1ln1

lim0

ex

ex

x

.

sau :

1ln

1lim

exu

exu

ax

. daca : 0lim

xuax

1).

x

ex

x 6

1lim

3

0

..................................................................................................................................

2).

1

1lim 2

3

0 e

ex

x

x

..................................................................................................................................

3).

ee

eexx

xx

x2

43

0lim ................................................................................................................................

4).

3

82lim

3

3 xx

..................................................................................................................................

Clasa a XI-a - 42


Limite de functiii

5).

x

ex

x

1lim

2

0

...................................................................................................................................

6).

x

ex

x 3

1lim

2sin

0

................................................................................................................................

7).

xx

eexx

x sin2sinlim

sin2sin

0

......................................................................................................................

8).

33

1lim

12

1 x

extg

x

.............................................................................................................................

9).

2

1lim

24arcsin

2 x

ex

x

........................................................................................................................

10).

1

1lim 2

22

0 e

exarctg

xarctg

x

........................................................................................................................

11).

x

ex

x

1lim

3

0

...................................................................................................................................

12).

1

1lim

3

2

5

3

0e

ex

x

x

.................................................................................................................................

13).

x

eexx

x 5lim

0

.................................................................................................................................

14).

x

extg

x 2

1lim

3

0

................................................................................................................................

15).

xx

eexx

x 3arcsin2arcsinlim

arcsin2arcsin

0

........................................................................................................

16).

12

1lim

13arcsin

1 x

ex

x

........................................................................................................................

17).

1lim

2

0 e

eex

xtgtgx

x

.............................................................................................................................

Clasa a XI-a - 43


Limite de functiii

D Limita remarcabila :

Rrrx

xr

x

, 11

lim0

.

Raax

xa

x

*

1

, 1

1lim

.

1).

x

x

x 3

121lim

5

0

.........................................................................................................................

2).

x

x

x

2

3

11lim

5

0

............................................................................................................................

3).

11

121lim

2 2

5

0 xx

x

x

..................................................................................................................

E Alte limite remarcabile :

1limlim1

00

xx x

x

x

xx

. 0lnlim00

xx

xx

.

x

en

x

xlim . 0

lnlim

x

xn

x

Clasa a XI-a - 44


Limite de functiii

VVoomm pprreezzeennttaa iinn cceellee ccee uurrmmeeaazzaa ccaatteevvaa tteehhnniiccii ddee ccaallccuull aa

lliimmiitteelloorr ddee ffuunnccttiiii ppeennttrruu aa uussuurraa rreezzoollvvaarreeaa aacceessttoorraa ..

I.

xfxaxfxaxa

n

x

nn

x0

1

10 lim.....lim

.

II.

xfx

n

axfxax

x

n nn

x

lim.....lim

11

1

III.

xfxxfxax

x

n nn

x

lim.....lim

1

1

IV.

xfxnxfxax

x

nn

x

lnlim.....lnlim1

1

V.

... xfxxfx

xx

limsinlim00

VI.

xfxxfx

xx

limlim00

tg

VII.

xfxxfx

xx

limarcsinlim00

VIII.

xfxxfx

xx

limlim00

arctg

Clasa a XI-a - 45


Limite de functiii

IX.

xfxxfx

xx

1limlnlim11

X.

xfxaxfa

x

x

x

limln1lim00

XI.

xfxaxfa

x

x

x

lim1lim11

XII.

0lnlim

0

xfxx daca exista o vecinatate U a lui x0 ca functia xf

x

1

sa fie marginita pe EU , unde REf : .

Clasa a XI-a - 46


Limite de functiii

AAssaa ccuumm aamm vvaazzuutt iinn ccaappiittoolleellee pprreecceeddeennttee llaa ccaallccuulluull lliimmiitteelloorr ddee

ffuunnccttiiii aappaarr ssii ccaazzuurrii ddee nneeddeetteerrmmiinnaarree ccaarree nnee oobblliiggaa ssaa ggaassiimm oo aallttaa

mmeettooddaa ddee rreezzoollvvaarree ddeeccaatt cceellee ccllaassiiccee ppeennttrruu aaffllaarreeaa lliimmiitteeii aacceessttoorr

ffuunnccttiiii ,, ddaaccaa eexxiissttaa ..

IInn ccoonnttiinnuuaarree vvoomm pprreezzeennttaa ccaazzuurriillee ddee nneeddeetteerrmmiinnaarree iinnttaallnniittee

pprreeccuumm ssii tteehhnniiccaa ddee lluuccrruu ppeennttrruu eelliimmiinnaarreeaa aacceessttoorr nneeddeetteerrmmiinnaarrii ..

11 LLiimmiittee :: :: 0

0 ..

a). Limite de functii rationale in puncte finite a :

Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin simplificarea cu axk

, Nk* .

1).

214

3lim 2

3 xx

x

x

.....................................................................................................................

2).

6

4lim 2

2

2 xx

x

x

..........................................................................................................................

3).

34

23lim 4

3

1 xx

xx

x

........................................................................................................................

Clasa a XI-a - 47


Limite de functiii

4).

23

22lim 2

24

1 xx

xx

x

.......................................................................................................................

5).

22

43lim 2

23

1 x

xxx

........................................................................................................................

6).

1

1lim

1 x

xn

m

x

..................................................................................................................................

b). Limite de functii rationale in compunere cu functia modul :

In acest caz se va explicita modulul :

1). x

x

xlim

0

..........................................................................................................................................

2).

1

1lim

1 x

x

x

....................................................................................................................................

3).

x

xx

x

2

0lim ................................................................................................................................

4).

x

xxx

2lim

2

0

............................................................................................................................

5).

2

2lim

2

2 x

x

x

...................................................................................................................................

Clasa a XI-a - 48


Limite de functiii

c). Limite de functii definite prin cat de expresii irationale :

- Distingem cazurile :

I. Sub radicali de ordine diferite figureaza aceeasi expresie .

Se scimba variabila , notandu-se radicalul de ordin egal cu cel mai mic multiplu comun al

ordinelor radicalilor cu alta variabila , cand se ajunge la limita unei functii rationale .

1).

1

1lim

1 x

x

x

..................................................................................................................................

2).

4

8lim

364 x

x

x

.................................................................................................................................

3).

1

1lim

4

1 x

x

x

..................................................................................................................................

4).

12

1lim

3 2

2

1 xx

x

x

...................................................................................................................

5).

11

11lim

4

0 x

x

x

............................................................................................................................

II. Sub radicali figureaza expresii diferite.

Se amplifica numitorul si (sau) numaratoru; cu expresia conjugata.

1).

x

xx

x

11lim

0

.................................................................................................................

Clasa a XI-a - 49


Limite de functiii

2).

312

5lim

5 x

x

x

.........................................................................................................................

3).

x

x

x

11lim

3

0

............................................................................................................................

4).

x

xxx

11lim

2

0

......................................................................................................................

5).

xxxx

2lim ........................................................................................................................

6).

xxxx

3lim ......................................................................................................................

7).

xxxx

2lim2

......................................................................................................................

8).

xxxx

2lim2

.....................................................................................................................

9).

49

32lim 2

7 x

x

x

..........................................................................................................................

10).

65

47lim 2

2

3 xx

xx

........................................................................................................................

11).

34

6262lim 2

22

3 xx

xxxxx

......................................................................................

12).

3

62122lim

3 23 2

3 x

xxxxx

....................................................................................

13).

35

2lim

4 x

x

x

..........................................................................................................................

14).

21

63lim

3 23 x

x

x

..........................................................................................................................

15).

x

x

x 51

53lim

4

..........................................................................................................................

16).

39

24lim

2

2

0 x

xx

.......................................................................................................................

17).

xx

xx

x 2

6lim

2

..........................................................................................................................

Clasa a XI-a - 50


Limite de functiii

18).

11

11lim

2

0 x

xx

x

...............................................................................................................

19)

112

11lim

3

3

0 x

x

x

........................................................................................................................

20).

1

2312lim

3

1 x

xx

x

..........................................................................................................

21).

6

9335lim 2

23 3

2 xx

xxxxx

...........................................................................................

22).

211

224lim

4

3

5 x

xx

x

............................................................................................................

23).

xx

xxx

2

43 2

0

211lim ..............................................................................................................

d). Limite de functii trigonometrice :

- Pentru a elimina nedeterminarea se utilizeaza limitele :

1 arctg

lim arcsin

lim tg

lim sin

lim0000

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xuxuxuxu

1). x

x

x

sinlim

0

...................................................................................................................................

unde : 0,, R .

2). x

xx 5

3sinlim 2

2

0

.................................................................................................................................

Clasa a XI-a - 51


Limite de functiii

3).

x

x

x2

0

cos1lim ...............................................................................................................................

4).

xx

tgx

x cossin

1lim 22

4

...................................................................................................................

5).

x

tgx

x 3

33lim

3

............................................................................................................................

6).

x

xx

x 2cos

cossinlim

4

........................................................................................................................

7). x

x

x cos1

sinlim

2

..............................................................................................................................

8).

xx

x

x cos

cos1lim 2

...............................................................................................................................

9).

x

x

x sin

1coslim 2

0

...........................................................................................................................

10). 11

2sinlim

0 x

x

x

............................................................................................................................

11).

11

cos1lim

0 xx

x

x

.......................................................................................................................

12).

xx

xx

x 3sin

2sinlim

0

............................................................................................................................

13).

xx

xx

x cossin1

cossin1lim

0

.................................................................................................................

14).

xx

xx

x 2sin2cos2

sincoslim

4

............................................................................................................

15).

1sin5cos2

8sin7cos6lim 2

2

6xx

xx

x

......................................................................................................

16).

x

x

x 3sin1

sin1lim

2

.............................................................................................................................

17).

x

xx

x

sin1sin1lim

0

.....................................................................................................

Clasa a XI-a - 52


Limite de functiii

e). Limite de functii trigonometrice :

- Pentru a elimina nedeterminarea se utilizeaza limitele :

11ln

lim0

xu

xu

xu ,

a

xu

axu

xu

ln1

lim0

, 0a .

1).

x

x

xx 4

21lnlim 2

00

............................................................................................................................

2).

x

x

xx

41lnlim

00

............................................................................................................................

3).

4

32lnlim 2

2 x

x

x

............................................................................................................................

4).

x

xx

x

2

0

31lnlim ..................................................................................................................

5).

x

arctgx

x

1lnlim

0

.....................................................................................................................

6).

x

arctgx

x 1lnlim

0

...............................................................................................................................

7).

x

xx

xx cosln

1lnlim

2

00

..................................................................................................................

8).

x

eexx

x

sin2sin

0lim ...........................................................................................................................

9).

x

ee xx

x

3

1lim

2

1

11

...............................................................................................................................

10).

xarctgxarctg

xx

x 11

1ln1lnlim

0

..............................................................................................

Clasa a XI-a - 53


Limite de functiii

22 LLiimmiittee :: ::

..

a). Limite de functii rationale :

Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin raportul termenilor de grad maxim .

1).

532

365lim 2

23

xx

xx

x

...................................................................................................................

2).

1

54lim

3

x

xx

x

.............................................................................................................................

3).

xx

xx

x25

23

3

325lim .....................................................................................................................

4).

554

122lim 4

24

xx

xx

x

..................................................................................................................

5).

xx

x

x 63

16lim 23

.............................................................................................................................

6).

128

36lim 5

2

xx

x

x

......................................................................................................................

Clasa a XI-a - 54


Limite de functiii

b). Limite de functii irationale , exponentiale , logaritmice :

Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin raportul termenilor de grad maxim .

1).

52

13lim

2

x

xxx

.....................................................................................................................

2).

13

2lim

2

x

xxx

...........................................................................................................................

3).

x

ex

x

1lnlim

3

..............................................................................................................................

4).

x

x

x

1lnlim ...............................................................................................................................

5).

66ln

35lnlim 25

3

xx

xxx

.................................................................................................................

6).

ee

eexx

xx

x32

2

lim ................................................................................................................................

Clasa a XI-a - 55


Limite de functiii

33 LLiimmiittee :: :: - ..

a). Limite de functii rationale :

Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin aducerea la acelasi numitor .

1).

xxx 1

3

1

1lim 3

1

....................................................................................................................

2).

4

2

2

1lim 2

2 xxx

...............................................................................................................

3).

27

2

9

1lim 32

3 xxx

..........................................................................................................

4).

1

11lim

0 xxxx

....................................................................................................................

5).

9

6

3

1lim 2

33 xx

xx

...............................................................................................................

6).

x

xxx

x

xx 4

2312

12

3lim 2

22

......................................................................................

7).

233

4

45

2lim 22

1 xx

x

xx

x

x

..................................................................................

Clasa a XI-a - 56


Limite de functiii

b). Limite de functii irationale :

Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin amplificare cu conjugata .

1).

1lim2

xxx

......................................................................................................................

2).

11lim22

xxxx

...................................................................................................

3).

11lim22

xxxx

..................................................................................................

4).

42lim22

xxxx

......................................................................................................

5).

42lim22

xxxx

......................................................................................................

6).

12lim2

xxx

..................................................................................................................

7).

xxxx

1lim2

...................................................................................................................

8).

3 31lim xx

x

........................................................................................................................

9).

xxxx

274lim2

.............................................................................................................

10).

x

xx

x

49lim

2

.....................................................................................................................

11).

xxxxxlim .........................................................................................................

12).

xxxxxx

211lim ..........................................................................................

13).

3121lim 2

3

xxxxx

.......................................................................................

14).

xxxxxxlim .................................................................................................

Clasa a XI-a - 57


Limite de functiii

c). Limite de functii exponentiale , logaritmice :

1).

2ln12lnlim xxx

.....................................................................................................

2).

2ln1lnlim xxxx

.....................................................................................................

3).

ee

eexx

xx

x 3

2lim 32

3

..............................................................................................................................

44 LLiimmiittee :: :: 0 ..

1).

xctgxxlim

0

....................................................................................................................................

2). x

xx

sinlim ..................................................................................................................................

3).

xxx

cosln1

lim 20

..........................................................................................................................

4).

tgxxx 2lim

2

.........................................................................................................................

5). 2

1lim1

xtgx

x

..........................................................................................................................

Clasa a XI-a - 58


Limite de functiii

6).

eex xx

x

1

112

lim ..........................................................................................................................

7). x

xxxx

1sin1lim

234 ....................................................................................................

8). 2

limsinsin

1

xtgee

axa

x

................................................................................................................

9).

14lim

x

xarctgx

x

...........................................................................................................

10).

22

1lim

x

xarctg

x

xarctgx

x

..........................................................................................

55 LLiimmiittee :: :: 1

..

Explicitarea nedeterminarii se va realiza utilizand :

exu xu

xu

1lim1

0

1).

x x

x

6lim 5

1

5

................................................................................................................................

2).

x

x

x

31lim .................................................................................................................................

3).

1lim

x

xx

x

.................................................................................................................................

4).

3

1lim

2

x

xx

x

..............................................................................................................................

Clasa a XI-a - 59


Limite de functiii

5).

2

1lim 2

22

x

xx

x

............................................................................................................................

6).

35

1lim 23

23

xx

xxxx

x

.................................................................................................................

7).

x

xx

x

111lim

2

1

0

.................................................................................................................

8).

2lim

1

0

baxx x

x

.............................................................................................................................

unde : 0, ba

9).

ba

baxx x

ex

lnln 1ln

1

lim ...................................................................................................................

unde : 0, ba

10).

x exexex

lnlim 2322

1

.......................................................................................................................

11).

x x

x

sin1lim1

0

.............................................................................................................................

12).

x x

x

coslim1

0

.................................................................................................................................

13).

x

x xx

x

x

sinlim

sin

sin

0

.........................................................................................................................

14).

xx

tg

x

2

1lim

....................................................................................................................................

15).

xtgxctg

x31lim

22

0

....................................................................................................................

16).

xtgx

x 4lim

sin

1

0

....................................................................................................................

17).

tgxxtg

x

3lim3

6

............................................................................................................................

18).

xx

xxxctg

x 85

12lim 2

263

0

...............................................................................................................

Clasa a XI-a - 60


Limite de functiii

66 LLiimmiittee :: :: 0 0

..

Explicitarea nedeterminarii se va realiza utilizand :

0lnlim00

xx

xx

si scrierea ef fgg ln

1).

xx

xxlim

00

...........................................................................................................................................

2).

xx

xx

sinlim00

..................................................................................................................................

3).

xx

xx

sin

00

lim .......................................................................................................................................

4).

1lim1

11

xxtg

xx

.............................................................................................................................

5).

xx

xx

arcsinlimsin

00

.........................................................................................................................

Clasa a XI-a - 61


Limite de functiii

77 LLiimmiittee :: :: 0 ..

1).

x x

x

1

lim ........................................................................................................................................

2).

x x

x

1sin

lim .......................................................................................................................................

3).

xtgx

x

2lim

0

.....................................................................................................................................

4).

1lim1

x x

x

...................................................................................................................................

Clasa a XI-a - 62


Limite de functiii

Sa se calculeze urmatoarele limite , discutand dupa valorile parametrilor reali

corespunzatori :

1).

mxxxx

1lim2

..........................................................................................................

unde : Rm .

2).

mxxxx

1lim2

..........................................................................................................

unde : Rm .

3).

321lim xcxbxax

………………………………………………………..

unde : Rcba ,, .

Sa se determine Rcba ,, astfel incat sa fie indeplinite egalitatile :

1). 0lim2

baxxx

x

2). 02lim234

cbxaxxx

x

3). 2

3coslim 2

0

2

x

xeax

x

4). exx

axxx

x

23

1lim 2

2

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