7/26/2019 variante_2011_2014

1/24

Subier:tul

III

2

puncr"

,_,

Fie

I(p):

IJ,.(*'*r'),

.r-J*'*t'dxdy,unde

D={(r,.v)e

n2

l"=o,y>o}

*

D

a)

I

(z);

al

t

(p); c)

L

=u-

[1('11)-1'

a+*f

z.(nt)

)

Subiectul

II

2

pirncte

Fie

f

:R3

->)R,

f

(x,y,r)=-*+2'y-2'z.Sdsedeterminepuncteledeextremlocalalefunctiei

f

condifionate

de relalia

x2 +

y2

+

z2

=25

.

p

>-I

.

Sd

se

calculeze:

Subicctul

IV

3 puncte

(0,3p)

1)

Orioe

qir

convergent

de

numere

reale

este:

a)

(monoton);

b)

(monoton

gi

mdrginit);

c) (descrescdtor);

d)

(marginit);

e) (crescltor).

(0,3p)

2)Fie

l?>0

tazade

convergen\d'aseriei

de puteri

\o^r"

.

Care

afirmafie

este

o concluzie

a

tqorerr.ei

lui

Abi:l:

a) seria

datd

este

uniform

convergentd

pe

[-R,

ft];

b)

seria datd

este

absolut

convergenti

pe

[-R,

ft];

c)

seria

datd

este

convergentd

pe

[-R,

R];

d)

seria dertl

este

divergentd

pe

[R,

co);

e)

seria

da.t[ este

uniform

convergentd,pe

l-r,

r], pentru

orice

r e

(0,

R).

,0,3p)

3)

Fie

j':R'

-+ R

gi

^.rcal

pentru

f

a)

f

(ro)>

f

(r)

pentru

orice x

e

R';

b)

pentruoricevecindtate

V

alui

xo qiorice

xeV

ayem

f(r)>_"f(r);

c)

exist5ovecindtate

v

alui

-ro

astfelinc6t

f(*)>f(x)

pentru

orice

xev;

d)

pentru

orice

xeR"

exist[

o

vecindtate

v

arui

x

astfel

incdt

f(x)>

f(r):

e)

pentruoricevecindtate

v

alui

xo

existI

xev

astfelinc6t

.f(r)>f(r).

(0,3p)

4)

Ipotezele

din

criteriul

lui

Schwarz

pentru

funclia

/:

R2

-+

R

gi

punctul

(a,

6) sunt:

a)

f

are

de,rivate parliale

mixte

de

ordinul

doi

egare

in

punctul

(a,

b);

b)

/este

diferenfiablll'in

(a,

b)

9i

diferenfiala

funcliei

/

in

punctul

(a,

b) este

nuld;

c)

f

are

derivate

parfiale

mixte

de

ordinul

doi

intr-o

vecinitite

a

punctului

(a,

b)

gi

acestea

sunt

,continue

in

(a,

b);

d)

f

are

de,dv21s

parliale

mixte

de

ordinul

doi

gi

acestea

sunt

diferenfiabile

in

(a,

b);

e)

f

are

derivate

parliale

de

ordinul

intAi,

diferenfiabile

in

(a,

b).

xo e

R'

.

care

dintre

urmdtoarele

propozilii

defineqte

xo

ca

punct

de

maxim

7/26/2019 variante_2011_2014

2/24

(0,3p)

5)

Itie

2q,,

o serie

cu

termenii

pozitivi

$i

Z

=

1in

Qr+t

Atunci:

n>0

n*

Qn

\

a)

dacd

L

0,x-y>,

y}

si

r>2.sd

secalcureze:

D

a)

t(+);

b)

I(r);

c) L=h^(J-e'-i-)"

"+-l4.I12.n+2)

)

Subiecl;ul

IV

i|

puncte

(0,3p)

1)

Se consider[ girul

numeric

(o,,),,.*,

convergent

la

numd.rul

z.

Atunci:

u),9_a,,=0,

b)

iTdn=@;

")

Ho,= igo,;

d)

]s*o,.1\o,,;

"),*o,,*,t$du=ft.

(0,3p)

2) Restul

de

ordinul

p

arunei

serii

numerice

convergente

este:

a)

divergent

cdnd

p

--+

oo;

b)

convergent

la

suma

seriei

cAnd p

-->

@;

c)

convergentla

p

c6nd

numdrul

termenilor

din

suma

parliald

de

ordinul

p

aseriei

tincle

la

co;

d) convergent

la

zero

cdnd

p

---+

@;

e)

diferit

de suma

seriei c6nd

p

:

0.

(0,3p)

3) Fiefurrcfiile

.f,:R-)R,

neN.

Dacd xeR

estepunctde

convergenfdal

serieidefunclii

),t

Si

o

==

I:l-f

(x)

,atunci:

a)

(o

:

-1);

b) (a

:

0);

c)

(a

:

1);

d)

(a

:

e);

e)

(a

:

"o).

n>0

3p)

a)

Fre A

c

R'

mulfime

deschisl,

f

:

A-+ R, (a,

b)

e

A,

/

diferentiabila

in

(a,b).

Atunci:

a) nu

existd

f

n@,b);

b)

nu

existd

f,(a,b);

c)

/

nu

es1.e

continud"in

(a,b);

|

^.

r

d)

u,,]t{",r

rLf

{r,y)

-

f

(a,b)

-

f;@,b)(x-

a)

-

f

n@,b)(v

- 6)l:0;

e)

dacd

b=.2a,atunci

,,.]r\".rrlf

(x,y)

- f

(a,2a)

-

.f,(o,2a)(x-2o)

-

f

,(a,Za)(l-o)]=

0.

(0,.3p)

5)

Se

consideri

funclitle

f

:R2

+

R diferenfiabilf,,

cu

derivate parfiale

continue,

g

:

[0,

1]

-+

R

derivabil[

gi

F :

[0,1]

+

R, F(t)

='j76,tya*.

Atunci:

8u)

(

z'

)dx-s(t).f(g(t

) r

"'

)

(

zn

,"''l,

[o'

ur:

r ,{;(x,t)dx-s

(t)

rG@l))

o,

[o'(r):

, ,{iu,t)0.),

.,[o

tr--

,,{{,(x,t),

)

(0,)(,,

o,

[t

'(r):

,,,,],{;r*,,)0,)'

o

["'u):: ,{;(x,t)dx+s(r)

r(e

('),')]

7/26/2019 variante_2011_2014

4/24

(0,3p)

6)

F'ie

-f

:R'

-+

Il

gi

cr

R",

care

dintre

urmdtoarele

propriet[fi

defilegte

a

local

pentru

f

a)

f

(a)

0;

y

7/26/2019 variante_2011_2014

8/24

Varianta

A

ETt

w

Subiectul

I

(2 puncte)

2

(-2\"

Ser

consider[

seria

de

puten

I

7

'x"

,

pentru

x e

R .

(1.pct

)

a)

Sl

se

detennine

mullrmea de

convergenfd

a sener-

(l.pct.)

b)

Caiculali

suma

seriei

^S(r)

pentru

valonle

x

aparlindnd

mullrmii

de convergen [.

SubiLectul

II

(2 ptrncte)

(l.p

7/26/2019 variante_2011_2014

9/24

Varianta B

Subiectul

I

(2

puncte)

Se

considerd

seria de

puteri

>

+';r'

,

pentru

r

e

R

.

n=l

J

(l.pct)

a)

Si

se

detsrmire

mullimea

de

convergenli

a

seriei.

(l.pct.) b) Calculafi

suma

seriei

S(r)

pentru

valorile

x

aparlindnd

mulpmii

de convergen 6.

Subir:ctul

II

(2 puncte)

(l.pcf.)a)Determinalipuncteledeextremlocaialefi.rncgiei

f

,R'

-+R,

f

(*,y)=x2

-y2

+3

condi,tionate

de

legdtura:

x*2y

=

-1.

(l.pct)

b)

Volumul

v6nzirilor

launmagazinin

ultimele

3

luni

consecutive

afost:

7;

10

qi

respectiv

16.

Apro>rimali

datele

prinh-un polinom

de

gradul

intdi

prin

metoda celor

mai mici

patrate

gi

pe

baza sa

estimali

volunrul

vAnzdrilor

in

urmdtoarea

lund.

Subiectul

III

(2 puncte)

@

(O,S.prct

)

a)

Calculali

7

=

f

8;r4 'e-o'dx

.

0

(l,S.pcf.)

b)

Desenali

domeniul

O

={

Q,y).

Rt

|

4(r-

l)'

=

y

0 .

(r,y)

+

(o,

o)

(r,v):

(o,o)

Studiati

continuitatea

funclieilin

origine

9i

calculali

derivatele

parliale

de

ordinul

int6i

ale

funcfiei/?n

punctul

(0,

O)

(hdicafie:

se

recomandd

pentru

calculul

derivatelor

pa4iale

:ui'lizarea

definiliei).

7/26/2019 variante_2011_2014

12/24

fti]

Varianta A

Subiec.tul

I

(2

punde;

Seconsiderdseriadeputeri

;

+

x',

pentru

xeR.

n=l

J

(l.pct.)

a)

Sa se determine

mu$m9q

de

convergenfi

a

seriei.

(l.pct

)

b)

t)alculafl

suma

seriei S(x)

pentru

valorile x

aparfindnd

mullirnii

de convergen [.

Subiectul

II

(2

puncte)

(l.pct

)

a)

Determinati

punctele de extrem

local

ale

firncfiei

f

.R'

-)

R,

f

(*,y)--

x'

-

y'

+

6

condifionate

de

legdtura:

x

+2y

-

4

.

(l.pct.)

b)

Volumul v6nzdrilor

la

un

magazin

in ultimele

3

luni

consecutive a

fosl

7;

10.8

qi

respecliv

14.9

Aproximaqi

datele

prinn-un

polinom

de

gradul

int6i

prin

metoda celor

mai mici

pdfrate gi pe

baza

sa

estirnafi votrutnul

v6nzdrilor

in

unndtoarea

lund.

Subiectul

ro

(2 puncte)

(0,5.pct.)

a)

Calculafi

,

=i+'r-

o'i6x

.

'6

16x"

(1,S.pcrr.)

b)

Desenali

domeniul

O

={

G,il.

Rt

l-ls

y 0 .

(r,y)

+

(o,

o)

o

('.

"v)

-

(c,

o1

Studiafi

continuitatea

funcfiei/in

origine

qi

calculali

derivatele

parliate

de

ordinul intAi

ale

funcfiei/in

punctul

(0,

O)

(hcticalie:

se

recomandd

pentru

calculul

derivatelor

parJiale utilizarea

definifiei).

7/26/2019 variante_2011_2014

19/24

Vari"anta

A

liubiectul I

(2

puncte)

Se conrsiderd.

seria

de

puteri

T

a,"

24'"

pentru

xeR.

(l.pct.)

a') Si se determine

mullimea

de

convergenfd a seriei.

(1.pct.)

b')Daca

S(x) e

suma seriei de

puteri

iar

fn:

[O,t]

-

R,

e

un

sir

de

func1ii

definit

prin

f"(x)=(4-xn)z.S(x")

atunci sa se studieze

convergen{a

uniforma

a sirului

{f"

(x)

}rr=1

pe

[0,1-].

fiubiecttrl

lI

(2"5

puncte)

(1,5.pct.)

a)

Determinali

punctele

de extrem

local

ale

funcfiei

/:

fi13

-+

R

,

f

(x,y,z)

:

xyz

+T nT *T

(l.pct.)

b)

Fie

f

:R2

-+

R

,

f

(x, )

=

ez*+v, calculali d2f

(2,L).

liubiectul III

(2 puncte)

(0,5.pct.)

a)

Calculafi

-,1

f'

(x

+

I)3

x+1

.

|

^

e3dx

-a

(1,5.pcf.)

b)Desenafi

domeniu.l

p

=

{(x,D

e

R2l0

(

x

(

y,1.

t

xz +

yz