V. ELEMENTE DE FIZICĂ MODERNĂfizica.utm.md/documents_pdf/5.Curs_de_fizica_V.pdf · elemente de...

Alexandru RUSU

Spiridon RUSU

CURS DE FIZICĂ

V. ELEMENTE DE FIZICĂ MODERNĂ

Ciclu de prelegeri

Chişinău

2019

UNIVERSITATEA TEHNICĂ A MOLDOVEI

FACULTATEA ELECTRONICĂ ŞI TELECOMUNICAŢII

DEPARTAMENTUL FIZICĂ

CURS DE FIZICĂ

V. ELEMENTE DE FIZICĂ MODERNĂ

Ciclu de prelegeri

Chişinău

Editura „Tehnica–UTM”

2019

CZU 53(075.8) R 96

Prezentul ciclul de prelegeri conține elemente de fizică modernă și reprezintă ultima parte a cursului de Fizică elaborat în conformitate cu programa de studii la Fizică pentru Universitatea Tehnică. În acest volum sunt tratate temele: proprietățile cuantice ale radiației, elemente de mecanică cuantică, structura și proprietățile optice ale atomilor, elemente de statistici cuantice, precum și elemente de fizică a nucleului atomic și a particulelor elementare.

Ciclul de prelegeri la fizică este destinat studenților tuturor specialităților, secțiilor cu studii la zi și cu frecvență redusă din cadrul universității.

Autori: conf. univ., dr. A.Rusu conf. univ., dr. S.Rusu

Recenzent: conf. univ., dr. hab. fiz.-matem. V.Tronciu

Bun de tipar: 26.06.19 Formatul 60x84 1/16 Hârtie ofset. Tipar RISO Comanda nr. 80

UTM. Bd. Ştefan cel Mare și Sfânt, 168, MD-2004 Editura „Tehnica-UTM”str. Studenților, 9/9, MD-2045

Chișinău, Republica Moldova

ISBN 978-9975-45-597-8 Alexandru Rusu, Spiridon Rusu, 2019 UTM, 2019

DESCRIEREA CIP A CAMEREI NAŢIONALE A CĂRȚII

Rusu, Alexandru

Curs de fizică: Ciclu de prelegeri: [în vol.] / Alexandru Rusu, Spiridon Rusu; Univ. Tehn. a Moldovei, Fac. Electronică şi Telecomunicaţii, Dep. Fizică. – Chişinău: Tehnica-UTM, 2019 – . – ISBN 978-9975-45-323-3.

[Vol.] 5: Elemente de fizică modernă. – 2019. – 164 p.: fig., tab. – 400 ex. ISBN 978-9975-45-597-8 53(075.8) R 96

3

CUPRINS

Elemente de fizică modernă

Capitolul 26. Proprietăţile cuantice ale radiaţiei …… 5

26.1. Radiaţia termică şi caracteristicele ei.

Legea lui Kirchhoff …………………………… 5

26.2. Legile radiaţiei termice …………….…................... 16

26.3. Ipoteza şi formula lui Planck .......………………….. 22

26.4. Efectul fotoelectric. Impulsul fotonului.

Presiunea luminii .................................................... 26

26.5. Efectul Compton. Dualismul undă-corpuscul

al proprietăţilor radiaţiei ......................................... 31

Capitolul 27. Elemente de mecanică cuantică .…….. 38

27.1. Ipoteza şi formula lui Louis de Broglie .......………. 38

27.2. Relaţiile de incertitudine (nedeterminare)

ale lui Heisenberg......................…………………… 45

27.3. Ecuaţia fundamentală a mecanicii

cuantice nerelativiste …......……......………………. 51

27.4. Mişcarea particulei libere. Particula în ”groapa”

de potenţial. Cuantificarea energiei ....................... ..56

27.5. Oscilatorul liniar armonic …………………………... ..67

27.6. Efectul tunel .......................................................... 71

4

Capitolul 28. Structura şi proprietăţile optice

ale atomilor ………..................………… 74

28.1. Modelul cuantic al atomului de hidrogen. Numere cuantice ………............................………. 74

28.2. Spinul electronului. Principiul Pauli. Distribuţia electronilor pe nivelurile energetice ale atomilor .....…………........………….………….. 88

Capitolul 29. Elemente de statistici cuantice ..……… 95

29.1. Distribuţia electronilor în metale …………………… 95 29.2. Funcţiile de distribuţie Fermi-Dirac şi

Bose-Einstein. Degenerarea sistemelor descrise de statisticile cuantice ..................….........……… 98

29.3. Distribuţia Fermi-Dirac pentru gazul electronic din metale .….......……….……………… 107

29.4 Distribuţia Bose-Einstein pentru gazul fotonic dintr-o cavitate închisă .......................................... 112

29.5 Capacitatea termică a corpurilor solide ................. 114

Capitolul 30. Structura şi proprietăţile principale ale nucleelor atomice. Particule elementare ...…...…….......................… 122

30.1. Proprietățile principale și structura nucleului atomic .....…............................………… 122

30.2. Forțele nucleare. Energia de legătură a nucleonului în nucleu. Defectul de masă.…...… 128

30.3. Radioactivitatea. Legea dezintegrării radioactive ….......……...............................……… 132

30.4. Reacții nucleare .................................…………… 142 30.5. Noțiune despre particule elementare ................... 153

5

Capitolul 26. Proprietăţile cuantice ale

radiaţiei

26.1. Radiaţia termică şi caracteristicele acesteia.

Legea lui Kirchhoff

După cum am menţionat în capitolul 22 orice sarcină electrică ce

efectuează o mişcare accelerată emite unde electromagnetice. Toate

corpurile din natură sunt compuse din atomi şi molecule, care la

rândul lor sunt compuse din nuclee încărcate cu sarcină pozitivă şi

electroni negativi. Deoarece atomii şi moleculele oricărui corp la

orice temperatură 0T efectuează mişcări dezordonate, rezultă că

aceștia în urma interacţiunilor se mişcă accelerat. Deci, orice corp

aflat la o temperatură arbitrară 0T trebuie să radieze unde

electromagnetice. Această radiaţie se realizează pe seama energiei

interne a corpurilor, adică pe seama energiei mişcărilor de translaţie,

rotaţie şi oscilaţie a particulelor încărcate ce constituie corpurile.

Întrucât intensitatea mişcării dezordonate este cu atât mai mare cu

cât temperatura este mai înaltă, rezultă că şi radiaţia corpurilor

trebuie să fie cu atât mai intensă cu cât temperatura lor este mai

mare.

Radiaţia electromagnetică emisă de corpuri pe seama energiei

lor interne şi care depinde numai de temperatura acestor

corpuri şi de proprietăţile lor optice se numeşte radiaţie

termică.

Proprietăţile cuantice ale radiaţiei

6

Din experimente este cunoscut că dacă un sistem de corpuri cu

temperaturi diferite se izolează adiabatic, atunci corpurile vor

schimba între ele energie prin radiaţie termică până când ajung la o

stare de echilibru termodinamic cu aceeaşi temperatură. În starea de

echilibru termodinamic energia absorbită în unitatea de timp de

fiecare dintre corpuri este egală cu energia radiată de corpul

respectiv în unitatea de timp. Se obţine un echilibru dintre radiaţia

termică şi substanţa corpurilor. O astfel de radiaţie termică ce se

stabileşte la o anumită temperatură se numeşte radiaţie termică

echilibrată.

Energia electromagnetică radiată de un corp în unitatea de

timp se numeşte flux de energie sau flux radiant.

Astfel, dacă în intervalul de timp dt corpul radiază energia dW ,

atunci fluxul radiant este

dW

dt . (26.1)

Astfel, fluxul radiant are semnificaţia unei puteri, din care cauză se

mai numeşte şi putere de radiaţie. Deci, fluxul radiant se măsoară

în J/s = W. Trebuie să observăm că radiaţia termică a oricărui corp

întotdeauna constituie unde electromagnetice de diferite lungimi de

undă sau frecvenţe, întrucât particulele lui încărcate pot avea

diferite acceleraţii în procesul mişcării lor termice. Pentru a

caracteriza puterea de radiaţie a corpului la diferite frecvenţe

(lungimi de undă) se utilizează fluxul spectral radiant. Acesta

reprezintă raportul dintre fluxul radiant ce corespunde unui interval

infinit mic de frecvenţe (ν, ν + dν) sau de lungimi de undă (λ, λ + dλ)

şi mărimea acestui interval:

7

d

d

, sau

d

d

. (26.2)

Din aceste relaţii rezultă că fluxul spectral radiant se măsoară în

W·s, iar - în W/m. Dacă se cunoaşte fluxul spectral radiant

sau , atunci se poate determina şi fluxul radiant :

0

d

, sau 0

d

. (26.3)

După cum s-a menţionat în capitolul 22, densitatea volumică de

energie a undelor electromagnetice este egală cu suma densităţilor

volumice de energie ale câmpurilor electric şi magnetic ale undei:

2 2

0 0

2 2

E Hw

, (26.4)

unde E şi H sunt intensităţile câmpurilor electric şi, respectiv,

magnetic ale undei electromagnetice. Pentru a caracteriza distribuţia

energiei unei unităţi de volum a radiaţiei termice w după frecvenţe

sau lungimi de undă se utilizează densitatea spectrală a densităţii

volumice de energie ρ(ν, T) sau ρ(λ, T), care reprezintă densitatea

volumică de energie a radiaţiei termice ce revine unui interval

infinit mic de frecvenţe d sau de lungimi de undă d :

, ,dw

Td

sau ,dw

Td

. (26.5)

Dacă se cunosc ρ(ν, T) şi/sau ρ(λ, T) se poate determina densitatea

volumică de energie w :

0

,w T d

, sau 0

,w T d

. (26.6)


8

Fluxul radiant de energie este emis de întreaga suprafaţă a

corpului.

Fluxul radiant emis de unitatea de arie a suprafeţei corpului

sau, cu alte cuvinte, energia emisă de unitatea de arie în

unitatea de timp, se numeşte radianţă energetică:

d

RdS

. (26.7)

Însă radiaţia emisă conţine diferite frecvenţe sau lungimi de undă.

Acest fapt se caracterizează cu ajutorul densităţii spectrale a

radianţei energetice r sau r , care reprezintă energia emisă în

unitatea de timp de pe unitatea de arie a corpului într-un interval

infinit mic de frecvenţe dν sau lungimi de undă dλ:

dR

rd

, sau dR

rd

. (26.8)

Dacă se cunoaşte r şi/sau r , atunci se poate determina radianţa

energetică:

0

R r d

, sau 0

R r d

. (26.9)

Mărimea r este mai comodă în analizele teoretice, pe când

mărimea r se utilizează mai frecvent în cercetările experimentale.

Aceste mărimi, însă, se exprimă între ele printr-o relaţie de legătură.

Pentru a o obţine vom observa că intervalele dν şi dλ care determină

aceeaşi regiune a spectrului sunt legate între ele printr-o relaţie

simplă ce rezultă din formula de legătură dintre lungimea de undă a

radiaţiei electromagnetice λ şi frecvenţa acesteia ν: λ = c/ν.

9

Diferenţiind această expresie, obţinem

2

cd d

. (26.10)

Semnul "minus" în această expresie arată că, dacă una din mărimile

ν sau λ creşte, cealaltă scade. Întrucât acest aspect în cazul nostru nu

este de interes, în continuare vom considera modulul expresiei

(26.10):

2

d c

d

. (26.10,a)

Fracţiunea radianţei energetice ce corespunde intervalului (λ, λ + dλ),

conform primei formule din (26.8) este dR r d . Dacă intervalul

(ν, ν + dν) reprezintă aceeaşi regiune a spectrului, atunci conform

formulei a doua din (26.8) dR r d . Aceasta înseamnă că

2

2

d cr d r d r r r r r r

d c

. (26.11)

Această relaţie ne permite să trecem de la r la r şi invers.

Trebuie să menţionăm că orice corp nu numai emite radiaţie

termică, ci mai şi absoarbe astfel de radiaţie emisă de alte corpuri.

Capacitatea corpurilor de a absorbi radiaţia incidentă pe ele se

caracterizează cu ajutorul coeficientului de absorbţie a numit şi

putere de absorbţie, care arată ce parte din fluxul de energie

incident ind se absoarbe de către aceasta:

abs

in

da

d

. (26.12)

Însă corpurile absorb selectiv radiaţia, adică undele electromagnetice


10

de anumite frecvenţe (lungimi de undă) se absorb, iar de alte

frecvenţe (lungimi de undă) se reflectă. Acest aspect al absorbţiei

radiaţiei se descrie cu ajutorul puterii spectrale de absorbţie:

abs

in

da

d

, sau

abs

in

da

d

. (26.13)

Ea arată ce parte din energia incidentă pe suprafaţa corpului în

unitatea de timp cu frecvenţele sau lungimile de undă din intervalele

infinit mici (ν, ν + dν) sau (λ, λ + dλ) este absorbită de acesta.

Corpul care absoarbe toată radiaţia incidentă pe el la orice

temperatură, independent de frecvenţă, polarizare şi direcţia

de propagare se numeşte corp absolut negru.

Din definiţia (26.13) rezultă că pentru un

corp absolut negru (vom nota caracteristicile

radiaţiei corpului absolut negru cu

simbolul ) puterea spectrală de absorbţie

este 1a . Noţiunea de corp absolut negru

este o idealizare. În realitate corpuri

absolut negre nu există, dar se pot imagina

şi construi diferite modele foarte apropiate de acestea. În calitate de

exemplu de corp absolut negru poate servi un orificiu îngust în

peretele unei cavităţi închise (fig.26.1). Radiaţia incidentă pe

orificiu, pătrunzând în cavitate, se reflectă în interiorul ei de un

număr mare de ori înainte de a nimeri din nou în orificiu ca să iasă

din cavitate. Dar, să iasă nu mai are ce, deoarece la fiecare reflexie

pe peretele interior al cavităţii, o parte din energia radiaţiei este

absorbită de către aceasta. Întrucât numărul de reflexii este foarte

mare, rezultă că absorbţia radiaţiei de către orificiu este practic

Fig. 26.1

11

totală, orificiul comportându-se ca un corp negru. Trebuie însă să

menţionăm, că datorită proceselor care ar putea avea loc în

interiorul cavităţii, cum ar fi, de exemplu, procesele chimice de

ardere a unui combustibil, aceasta poate să radieze prin orificiu

radiaţie termică. Această radiaţie se numeşte radiaţie a corpului

absolut negru. Ea, însă, nu este o radiaţie reflectată de orificiu,

coeficientul de absorbţie al orificiului cavităţii rămânând 1a . Un

alt exemplu de corp absolut negru este Soarele, care absoarbe în

totalitate radiaţia termică de orice frecvenţă incidentă pe suprafaţa

lui. Radiaţia Soarelui se comportă asemănător radiaţiei unui corp

absolut negru. Ea se produce pe seama energiei rezultate în urma

reacţiilor nucleare ce au loc în interiorul Soarelui. Aproximativ

absolut neagră este suprafaţa unei ferestre deschise pe timp de vară,

care fiind privită de afară pare neagră cu toate că în interiorul odăii

este suficientă lumină, care reflectându-se de la pereţi se absoarbe

parţial la fiecare reflexie de către aceştia şi la ieşire nu mai are o

intensitate comparabilă cu cea a radiaţiei incidente pe suprafaţa

ferestrei. Alt exemplu asemănător este intrarea într-o peşteră.

Să analizăm mai detaliat procesele de emisie şi absorbţie a

radiaţiei de către corpuri. Emiţând şi absorbind radiaţie, corpurile

fac schimb reciproc de energie internă.

Procesul de transmitere spontană a energiei interne prin

radiaţie de la un corp mai cald la altul mai rece se numeşte

schimb termic prin radiaţie.

Spre deosebire de schimbul termic prin convecţie şi prin

conductivitate termică, care pot avea loc numai într-un mediu

anumit, procesul de schimb termic prin radiaţie poate avea loc atât

într-un mediu anumit, cât şi în vid. Să analizăm schimbul termic


12

prin radiaţie ce se produce într-un sistem izolat termic, în care deja

s-a stabilit un echilibru termodinamic, toate corpurile sistemului

având aceeaşi temperatură. Deci, radiaţia din acest sistem este

echilibrată. În această situaţie energia emisă de un corp în unitatea

de timp (puterea de radiaţie) trebuie să fie egală cu energia

absorbită de acest corp în unitatea de timp abs :

abs . (26.14)

Pentru a demonstra această egalitate vom presupune contrariul,

adică abs . Fie, de exemplu, abs , adică corpul mai mult

radiază decât absoarbe. În consecinţă, corpul respectiv se răceşte,

iar alte corpuri se încălzesc, adică temperatura corpului de la care se

transmite energie sub formă de căldură este mai mică decât

temperatura corpurilor ce primesc căldură. Cu alte cuvinte, ar trebui

să se realizeze un proces spontan de transmitere a căldurii de la un

corp mai rece la altele mai calde. Însă, conform postulatului

principiului al doilea al termodinamicii (vezi formularea lui

Clausius din § 9.1) un astfel de proces este imposibil. Dacă am

presupune că abs , atunci prin raţionamente analogice am

ajunge la aceeaşi concluzie. Deci, rămâne unica posibilitate

abs , ceea ce şi trebuia să demonstrăm.

Relaţia (26.14) se referă la întreg domeniul de frecvenţe (lungimi

de undă) ale undelor electromagnetice de la 0 la , dar totodată

este valabilă şi pentru intervale infinit mici ale frecvenţelor (ν, ν + dν)

sau ale lungimilor de undă (λ, λ + dλ):

abs

d d , abs

d d . (26.15)

Într-adevăr, acoperind corpul analizat cu un filtru absolut transparent

pentru frecvenţele din intervalul (ν, ν + dν) sau pentru lungimile de

13

undă din intervalul (λ, λ + dλ), dar absolut netransparent pentru

celelalte frecvenţe sau lungimi de undă, care sunt reflectate în

întregime de filtru şi aplicând aceleaşi raţionamente bazate pe

principiul al doilea al termodinamicii ca şi în cazul puterilor integrale

de radiaţie şi de absorbţie, obţinem relaţiile

(26.15).

Între densitatea spectrală a radianţei

energetice a unui corp şi coeficientul lui de

absorbţie, după cum a observat pentru prima

dată Kirchhoff în 1895, există o anumită

legătură. Pentru a o obţine considerăm o

cavitate izolată termic, pereţii căreia sunt

absolut negri şi în interiorul căreia se află un singur corp (fig. 26.2).

Datorită schimbului termic prin radiaţie dintre corp şi pereţii

cavităţii, sistemul atinge starea de echilibru termodinamic, stare în

care este satisfăcută relaţia (26.15) atât pentru corpul din cavitate,

cât şi pentru pereţii cavităţii:

,

.

abs

abs

d d

d d

(26.16)

Dar fluxul spectral radiant absorbit de corpul din cavitate, conform

(26.13) este abs in

d a d . La rândul său fluxul spectral

radiant incident pe suprafaţa corpului din cavitate trebuie să fie egal

cu fluxul spectral radiant al cavităţii negre, întrucât fluxul radiant al

corpului din cavitate înapoi nu se mai întoarce, suprafaţa neagră

absorbindu-l în totalitate: in

d d

. Substituind ultimele

relaţii în prima ecuaţie (26.16) şi împărţind-o la produsul dintre aria

unui element dS şi intervalul de frecvenţe d , adică la dSd , în

Fig. 26.2


14

conformitate cu definiţia densităţii spectrale a radianţei energetice

(26.8) obţinem:

d d

a r a rdSd dSd

.

De aici rezultă legea lui Kirchhoff în formă diferenţială:

,r

r f Ta

, (26.17)

care poate fi formulată astfel:

Raportul dintre densitatea spectrală a radianţei energetice r

şi puterea de absorbţie a este acelaşi pentru toate corpurile

din natură şi este egal cu densitatea spectrală a radianţei

energetice a corpului absolut negru r care este o funcţie

universală ce depinde numai de frecvenţă şi de temperatura

corpului T.

Din legea lui Kirchhoff sub formă diferenţială (26.17) pot fi trase

următoarele concluzii generale:

1. Întrucât coeficientul de absorbţie a nu poate fi mai mare decât

unitatea, densitatea spectrală a radianţei energetice r a oricărui corp

nu poate întrece densitatea spectrală a radianţei energetice a

corpului absolut negru r.

2. Dacă un corp aflat la temperatura T nu absoarbe radiaţia cu

frecvenţele din intervalul ; d , adică dacă 0a , atunci

acesta nici nu radiază în acest domeniu de frecvenţe, întrucât

0r a r

.

15

3. Dacă puterea de absorbţie a corpului a este mare, adică

apropiată de unitate, atunci aceasta încă nu înseamnă că şi

densitatea spectrală a radianţei energetice r , de asemenea, este

mare. Ea poate fi şi foarte mică. De exemplu, un corp cafeniu aflat

la temperatură obişnuită absoarbe puternic lumina albastră, ne

radiind deloc astfel de lumină. Explicaţia este că la temperaturi

obişnuite 0r , adică corpul absolut negru practic nu radiază şi

0r a r

.

După cum s-a mai menţionat, nici o suprafaţă reală nu este

absolut neagră. Pentru a caracteriza gradul de înnegrire a suprafeţei

corpului se utilizează mărimea fizică numită emisivitate sau

coeficient de înnegrire :

R

R

. (26.18)

Coeficientul de înnegrire sau emisivitatea unei suprafeţe negre este

egal cu unitatea, pe când toate suprafeţele reale au emisivităţi mai

mici ca unitatea, aceasta depinzând de temperatură, proprietăţile

materialului şi de starea suprafeţei corpului. Substituim expresia

pentru densitatea spectrală a radianţei energetice r obţinută din

(26.17), în (26.9):

0 0

R r d a r d

.

Atunci, pentru emisivitatea unei suprafeţe reale, obţinem

0

0

a r dR

Rr d

, (26.19)


16

unde

0

R r d

(26.20)

este radianţa energetică a corpului absolut negru care depinde numai

de temperatura lui absolută T . Întrucât 0 1a , rezultă că şi

emisivitatea (coeficientul de înnegrire) variază în aceleaşi limite:

0 1 fiind egal cu unitatea numai pentru corpul absolut negru.

Suprafeţele netransparente, pentru care 0 , reflectă complet

radiaţia incidentă ne absorbind şi, prin urmare, ne radiind unde

electromagnetice. Astfel de suprafeţe se numesc suprafeţe de

oglindă. Relaţia (26.19) poate fi scrisă sub forma

R R . (26.21)

Aceasta este legea lui Kirchhoff sub formă integrală, care arată că

la o temperatură dată corpurile care au un coeficient de

înnegrire (emisivitate) α mai mare radiază mai intens.

26.2. Legile radiaţiei termice

Una dintre primele investigaţii ale radiaţiei termice a fost

cercetarea experimentală realizată de fizicianul austriac Jožef Stefan

(1835–1893) în 1879 a dependenţei radianţei energetice R a unui

corp de temperatură. Stefan a stabilit că radianţa energetică este

proporţională cu temperatura absolută la puterea a patra.

Cercetările ulterioare, inclusiv teoretice, realizate de către

Boltzmann în 1884 cu utilizarea metodelor termodinamice, au arătat

că această dependenţă este valabilă numai pentru radiaţia

echilibrată a corpului absolut negru. Acest rezultat constituie

17

legea lui Stefan-Boltzmann, care se scrie în forma:

4R T , (26.22)

unde 8 2 45,7 10 W m K este constanta lui Stefan-

Boltzmann care se determină experimental, dar, după cum vom

vedea ulterior, poate fi şi calculată. Legea lui Stefan-Boltzmann

arată o dependenţă foarte puternică a radianţei energetice de

temperatură. La creşterea temperaturii corpului radiator, de

exemplu, de două ori, radianţa energetică a corpului absolut negru

R , adică energia emisă de pe unitatea de arie a suprafeţei corpului

în unitatea de timp, va creşte de 24 = 16 ori. Ţinând seama de legea

lui Kirchhoff sub formă integrală (26.21), pentru radianţa energetică

R a unui corp real aflat în stare de echilibru termodinamic,

obţinem:

4R T , (26.23)

unde este coeficientul de înnegrire (emisivitatea) a corpului.

În anul 1893 fizicianul german Wilhelm Wien (1864 – 1928) a

întreprins cercetări ale structurii spectrale a radiaţiei echilibrate a

corpului absolut negru, utilizând metode termodinamice şi teoria

electromagnetică a radiaţiei. El a cercetat comprimarea adiabatică a

radiaţiei echilibrate a unui corp absolut negru într-un cilindru cu

pereţi de oglindă cu ajutorul unui piston care, de asemenea, avea o

suprafaţă de oglindă. În urma investigaţiilor Wien a ajuns la

concluzia că densitatea spectrală a radianţei energetice trebuie să

aibă forma unui produs dintre 3 şi o funcţie care depinde de

raportul dintre frecvenţa radiaţiei şi temperatura absolută T :


18

3r f

T

. (26.24)

Acest rezultat reprezintă formula lui Wien. Cu ajutorul (26.11) se

poate stabili şi expresia pentru r:

2

3

2 2

c cr r r r f

c T

4

5

c cr f

T

. (26.25)

Metodele de cercetare utilizate de Wien

nu au permis aflarea formei explicite a

funcţiei f T . Cu toate acestea, însă,

formula (26.25) i-a permis lui Wien să

stabilească o lege importantă numită

legea deplasării lui Wien. Datele

experimentale privind dependenţa

mărimii r de lungimea de undă a

radiaţiei emise de corpul absolut negru şi

de temperatura T a acestuia (fig. 26.3)

arată că funcţia r are un maxim, care

depinde de temperatură. Poziţia acestui maxim poate fi determinată

din condiţia că derivata funcţiei r în raport cu lungimea de undă

să fie egală cu zero:

4

4

10 5 2

5 1 10

m

dr c c cc f f

d T T T

,

sau

Fig. 26.3

19

6

15 0

m m m m

c c cf f

T T T

.

De aici rezultă că

5m

mm

cf

T

ccf

TT

. (26.26)

După cum arată rezultatele experimentale (fig.26.3) funcţia m

cf

T

este finită, continuă şi univocă. Nici derivata acestei funcţii nu poate

avea alte particularităţi. De aceea, la o valoare fixă a argumentului

ei (valoare fixă a produsului mT ), raportul din partea stângă a

ecuaţiei (26.26) trebuie să posede, de asemenea, o valoare fixă.

Notând prin b valoarea acestei constante, se poate scrie:

m m

bT b

T . (26.27)

Astfel,

densitatea spectrală a radianţei energetice r a radiaţiei

echilibrate a corpului absolut negru atinge valoarea maximă la

o lungime de undă m invers proporţională cu

temperatura absolută T, la care a fost atins echilibrul.

Această afirmaţie reprezintă legea deplasării lui Wien, întrucât la

variaţia temperaturii corpului absolut negru valoarea lungimii de

undă m la care revine maximul densităţii spectrale r se

deplasează spre domeniul infraroşu, dacă temperatura corpului

scade, sau spre cel ultraviolet, dacă temperatura lui creşte (fig.26.3).


20

Atâta timp cât nu se cunoaşte expresia explicită a funcţiei r, nici

valoarea constantei lui Wien b nu poate fi calculată. Dar, ea a fost

determinată din experiment şi are valoarea 32,90 10 m Kb .

Substituind (26.27) în (26.25), pentru valoarea maximă a

densităţii spectrale a radianţei energetice a radiaţiei echilibrate a

corpului absolut negru max

r , obţinem

4

5 5

5max

c cr f T b T

b b

. (26.28)

Astfel, valoarea maximă a densităţii spectrale a radianţei energetice a

radiaţiei corpului absolut negru max

r

este proporţională cu tempera-

tura absolută la puterea a cincea. Acest rezultat este numit uneori legea

a doua a lui Wien. Constanta b din această lege a fost determinată

din experiment şi are valoarea 5 3 51,30 10 W m Kb .

Au fost întreprinse şi alte încercări de obţinere a formei explicite

a funcţiei lui Kirchhoff ,r f T – funcţie universală de

frecvenţă (lungime de undă) şi temperatura absolută. În una din

aceste încercări Rayleigh şi Jeans au aplicat legile fizicii clasice la

radiaţia echilibrată din cavitate. Ei au considerat această radiaţie

drept un ansamblu de unde electromagnetice staţionare. Aplicând

teorema despre echipartiţia energiei după gradele de libertate,

Rayleigh şi Jeans au obţinut următoarea expresie pentru funcţia lui

Kirchhoff:

2

2

2r kT

c

, (26.28)

unde c este viteza luminii în vid. Analiza arată că acest rezultat:

21

1. este confirmat experimental numai

pentru frecvenţe mici (lungimi de undă

mari) ale radiaţiei echilibrate ale corpului

absolut negru. În figura 26.4 este

reprezentat graficul acestei dependenţe

(curba 1) şi graficul obţinut din datele

experimentale (curba 2);

2. contrazice legii lui Stefan-Boltzmann. Într-adevăr, calculând

radianţa energetică cu ajutorul formulei (26.20), obţinem:

2

2

0 0

2 kTR r d d

c

.

Rezultă că energia emisă de unitatea de arie a unui corp absolut

negru în unitatea de timp la orice temperatură ar trebui să tindă la

infinit, fapt ce contrazice legii conservării energiei. Se observă că

orice corp ar trebui să emită cu atât mai multă energie, cu cât

frecvenţa este mai mare. Acest rezultat absurd a căpătat denumirea

de "catastrofă ultravioletă";

3. contrazice formulei şi legii deplasării lui Wien, întrucât funcţia

(26.28) nici măcar nu are maxim la vreo frecvenţă de emisie.

În pofida neajunsurilor menţionate ale formulei lui Rayleigh şi

Jeans, aceasta a demonstrat clar că legile fizicii clasice nu sunt

aplicabile la radiaţia termică echilibrată a corpului absolut negru şi,

prin urmare, la radiaţia echilibrată a corpurilor obişnuite. Ea a

indicat necesitatea unei noi abordări a fenomenului radiaţiei

termice, străină abordării clasice.

Fig. 26.4


22

26.3. Ipoteza şi formula lui Planck

Primul care a aplicat o abordare nouă în tratarea radiaţiei

echilibrate a corpului absolut negru a fost fizicianul german Max

Karl Ernst Ludwig Planck (1858 – 1947), care în anul 1900 a reuşit

să explice distribuţia radiaţiei termice după frecvenţe. La acea

vreme se cunoştea, că densitatea volumică a energiei radiaţiei

echilibrate într-o cavitate şi distribuţia acesteia după frecvenţe

depinde numai de temperatura pereţilor cavităţii şi nu depinde de

proprietăţile concrete ale materialului pereţilor. De aceea, Planck a

considerat pereţii cavităţii fiind constituiţi dintr-un sistem de

oscilatori liniari armonici (atomi) ce posedă frecvenţe proprii de

toate valorile posibile. Ţinând seama că în starea de echilibru

energia consumată de către oscilatori la radiaţia undelor

electromagnetice trebuie să fie compensată de energia radiaţiei

incidente absorbită de către aceștia, Planck obţine următoarea

expresie pentru densitatea spectrală a radianţei energetice a corpului

absolut negru

2

2

2r

c

, (26.29)

unde este energia medie a oscilatorului cu frecvenţa proprie .

În conformitate cu teorema despre echipartiţia energiei după gradele

de libertate energia medie a unui oscilator trebuie să fie

2 2oscn kT kT , întrucât numărul gradelor oscilatorii 1oscn

(vezi (6.22)). Substituind acest rezultat în (26.29), obţinem formula

lui Rayleigh şi Jeans (26.28), care contrazice datelor experimentale.

23

Încă o dată se observă că legile fizicii clasice nu sunt aplicabile la

radiaţia termică. De aceea pentru calcularea Planck a utilizat

metodele statistice elaborate de către Boltzmann şi s-a bazat pe

ipoteza cuantică, conform căreia:

1. energia atomului oscilator poate să varieze numai discret,

adică numai cu mărimi multiple unei porţiuni elementare

numită cuantă de energie ε;

2. la trecerea atomului-oscilator din starea cu energia nε în

starea cu energia (n – 1)ε acesta emite o cuantă de energie

ε, astfel încât această emisie a energiei electromagnetice nu

se poate realiza în mod continuu, ci numai în mod discret.

Planck a admis că oscilatorii se situează în stările energetice

discrete posibile conform distribuţiei lui Boltzmann (vezi § 6.4).

Aceasta înseamnă că probabilitatea nP a aflării oscilatorului în

starea cu energia n este

n

kTn Ce

P ,

unde C este o constantă ce se determină din condiţia de normare a

probabilităţilor:

1

1 1

1n

kTn

n n

C e

P .

Energia medie a unui oscilator poate fi calculată împărţind

energia tuturor oscilatorilor la numărul lor N . Admitem că

numărul oscilatorilor cu energia n este dN . Atunci, energia

acestora va fi n dN . Energia tuturor oscilatorilor va fi 1n

n dN

,


24

iar energia medie a unui oscilator

1

1

n

n

n dNdN

nN N

.

Însă mărimea dN N , conform definiţiei (vezi § 6.3) este probabi-

litatea aflării oscilatorului în starea cu energia n . Astfel,

1

1 1

1

n

kTn

nkTn n

n n kT

n

ne

n nCe

e

P .

Notăm kT . Atunci,

11

1

1 1

ln

nn

n nn

n n n

n n

dene

d de

de e

.

Suma progresiei geometrice infinit descrescătoare

1

1

1

n

n

ee

şi

1

ln ln 11

d de

d e d

1 1

1kT

e

e ee

.

Substituind această expresie în (26.29), obţinem

25

2

2

2

1kT

rc

e

.

Comparând această expresie cu formula lui Wien (26.24), observăm

că mărimea kT trebuie să fie proporţională cu raportul T .

Aceasta înseamnă că energia cuantei trebuie să fie proporţională cu

frecvenţa ei ν:

h , (26.30)

unde coeficientul de proporţionalitate h este o constantă universală

numită constanta lui Planck. Valoarea determinată din experiment

a acestei constante universale este: 346,62 10 J sh . Caracterul

universal al constantei lui Planck rezultă din faptul că formula lui

Wien nu depinde de materialul din care este confecţionat corpul

absolut negru, fiind aceeaşi pentru toate corpurile din natură. Astfel,

expresia pentru densitatea spectrală a radianţei energetice a radiaţiei

echilibrate a unui corp absolut negru este

2

2

2

1h

kT

hr

ce

;

2

2 5

2 1

1hc

kT

c hcr r

e

. (26.31)

Această expresie constituie formula lui Planck. Ea este în

corespundere totală cu datele experimentale. Corespunderea

rezultatelor teoretice cu cele experimentale reprezintă o dovadă

indirectă a certitudinii ipotezei lui Planck. Astfel a fost demonstrat că

radiaţia termică se emite discret, adică sub formă de cuante cu

energia hν.

Formula lui Planck permite deducerea tuturor legilor radiaţiei

termice. În calitate de exemplu vom deduce legea lui Stefan-

Boltzmann:


26

43 3

2 2

0 0 0

2 2

11

h x

kT

h d h kT x dxR r d

c c h ee

,

unde a fost aplicată substituţia h

xkT

. Ţinând seama că

3 4

01 15x

x dx

e

, pentru radianţa energetică a corpului absolut negru

obţinem:

5 4

4

2 3

2

15

kR T

c h

.

De aici rezultă următoarea valoare a constantei lui Stefan-

Boltzmann

5 4

8

2 3 2 4

2 W5,6696 10

15 m K

k

c h

,

valoare foarte apropiată de cea experimentală σ = 5,7·10–8 W/(m2·K4).

26.4. Efectul fotoelectric. Impulsul fotonului.

Presiunea luminii

După cum s-a menţionat, Planck a demonstrat că radiaţia

electromagnetică este emisă de către corpuri sub formă de cuante cu

energia h . Însă teoria cuantelor de energie nu s-a limitat

numai la explicarea naturii radiaţiei corpului absolut negru, ci s-a

impus şi în optică, evidenţiind aspecte noi ale propagării şi

absorbţiei undelor electromagnetice. În anul 1905, Einstein a

observat că există multe date experimentale şi raţionamente

teoretice, care conduc la ideea că radiaţia electromagnetică de rând

cu caracterul ondulatoriu, are şi un caracter corpuscular, adică este

formată din cuante de energie numite de către fizicianul american

27

Gilbert Lewis (1875 – 1946) în anul 1926 şi fotoni. Einstein a

verificat teoria sa fotonică a radiaţiei, explicând efectul fotoelectric.

Acest efect a fost descoperit de către Hertz în 1890 şi constă în

emisia electronilor de către unele suprafeţe metalice, când acestea

sunt supuse acţiunii unor radiaţii electromagnetice. Efectul

fotoelectric se observă la incidenţa radiaţiilor luminoase pentru

metalele alcaline, pentru celelalte metale fiind necesare radiaţii de

frecvenţă mai înaltă, din domeniul radiaţiilor ultraviolete, radiaţiilor

Roentgen, sau radiaţiilor γ. Efectul fotoelectric a fost cercetat

experimental de către Hertz, Halwachs, Lenard, Stoletov ş.a.,

stabilindu-se un şir de legi empirice ce n-au putut fi explicate în

cadrul teoriei electromagnetice a radiaţiei. Folosind concepţia

fotonică a radiaţiei, Einstein dă următoarea explicaţie a efectului

fotoelectric. Fiecare foton incident pe suprafaţa metalului este

absorbit de un electron din interiorul metalului, căruia îi cedează

întreaga sa energie h . Dacă energia absorbită de la fotonul

radiaţiei incidente depăşeşte ca valoare lucrul mecanic de extracţie a

electronului din metal, acesta părăseşte metalul producându-se

efectul fotoelectric. În baza acestei concepţii pot fi formulate şi

interpretate corect următoarele legi ale efectului fotoelectric:

1. Emisia electronilor de către suprafeţele metalice sub acţiunea

radiaţiilor electromagnetice are loc numai începând cu o anumită

frecvenţă (lungime de undă) a radiaţiei incidente, caracteristică

fiecărui metal, numită frecvenţă (lungime de undă) de prag, care

corespunde unei energii a fotonului incident egală cu lucrul mecanic

de extracţie a electronului din acest metal:

0 extr

0

hch L

. (26.32)

2. Emisia electronilor se produce practic instantaneu, întrucât

electronul absoarbe fotonul cu mult mai rapid decât ar absorbi


28

energia necesară pentru ieşirea din metal de la o undă

electromagnetică. Astfel lipsa inerţiei efectului fotoelectric

reprezintă o dovadă a naturii cuantice a interacţiunii luminii cu

substanţa;

3. Intensitatea curentului fotoelectric este proporţională cu fluxul

radiaţiei incidente. Într-adevăr, fiecare electron emis obţine energie

de la un singur foton şi deci numărul de electroni emişi este

proporţional cu numărul fotonilor incidenţi;

4. Energia cinetică maximă a electronilor emişi depinde numai de

frecvenţa radiaţiei incidente. Într-adevăr, conform legii conservării

energiei

2 2

max max0

2 2extr

m mh L h h

v v

2

max0

2

mh

v. (26.33)

Scriind această ecuaţie, Einstein a demonstrat că dependenţa

energiei cinetice maxime a electronilor

emişi în funcţie de frecvenţa radiaţiei

incidente trebuie să reprezinte o linie

dreaptă cu panta egală ca valoare cu

valoarea constantei lui Planck. După cum a

arătat Millikan, care a construit mai multe

drepte experimentale pentru diferite metale

(fig. 26.5), această pantă într-adevăr coincide exact cu valoarea

constantei lui Planck 346,62 10 J sh . Rezultatele obţinute

constituie o confirmare evidentă a justeţei concepţiei lui Einstein

Fig. 26.5

29

privind natura cuantică a luminii, conform căreia

radiaţia electromagnetică este compusă dintr-un ansamblu de

cuante de energie numite fotoni.

În afară de energia h , fotonul trebuie să posede atât masă,

cât şi impuls. Masa fotonului poate fi determinată utilizând relaţia

lui Einstein dintre masă şi energie (vezi (5.43)):

2

2f f

h hE m c h m

c c

. (26.34)

Aceasta este masa fotonului în mişcare. Masa de repaus a fotonului,

însă, este egală cu zero. Într-adevăr, conform dependenţei masei de

viteză (5.34):

2 200

2 21 0

1f f

mm m m c c

c

v,

întrucât cv . Impulsul fotonului poate fi determinat din relaţia

dintre impuls şi energie (5.45):

2 2

0

1 f

f

E h hp E E p

c c c c

, (26.35)

deoarece 2

0 0 0f fE m c , iar c . Dacă se utilizează numărul

de undă 2k , atunci formula pentru impulsul fotonului poate

fi scrisă astfel:

2

f

h hp k k

, (26.36)

unde 342 1,05 10 J sh . Direcţia vectorului fp coincide

cu direcţia de propagare a luminii, care este determinată de vectorul


30

de undă k . De aceea, impulsul fotonului

fp k . (26.36,a)

Faptul că fotonii posedă impuls

trebuie să conducă la existenţa presiunii

luminii care, prin analogie cu presiunea

gazului, este egală cu impulsul transmis

în unitatea de timp de către fluxul de

fotoni unei suprafeţe de arie unitară.

Admitem că sub unghiul i în raport cu

normala n la o suprafaţă de arie dS

cade un fascicul de fotoni (fig. 26.6). În

timpul dt pe suprafaţa dS vor cădea cosdN ndV ndScdt i

fotoni, unde n este concentraţia lor, iar cosdV dScdt i este

volumul cilindrului oblic, fotonii din interiorul căruia în timpul dt

vor ajunge la suprafaţa dS , c fiind viteza luminii în vid. Fiecare

foton absorbit transmite suprafeţei impulsul cosfp i , iar fiecare

foton reflectat – impulsul 2 cosfp i . Admitem, de asemenea, că

suprafaţa considerată are un coeficient de reflexie ρ. Atunci ρdN

fotoni se vor reflecta, iar 1 dN fotoni se vor absorbi. Impulsul

dP transmis de toţi fotonii absorbiţi şi reflectaţi de suprafaţa dS în

timpul dt este

2

2 2

2 cos 1 cos 1 cos

1 cos cos 1 cos

1 cos 1 cos .

f f f

f f

d dN p i dN p i dN p i

p i ndScdt i p nc i dSdt

hn c i dSdt nh i dSdt

c

P

Fig. 26.6

31

Pentru presiunea luminii, adică pentru impulsul transmis de către

fasciculul de fotoni unităţii de arie a suprafeţei în unitatea de timp,

se obţine

2 21 cos 1 cosd

p nh i w idSdt

P

, (26.37)

unde w este densitatea volumică a energiei radiaţiei incidente.

Această formulă se confirmă experimental.

26.5. Efectul Compton. Dualismul undă-corpuscul

al proprietăţilor radiaţiei

Explicând efectul fotoelectric, Einstein a arătat că la

interacţiunea unui foton cu un electron din structura metalului se

respectă legea conservării energiei. În acest caz energia fotonului

incident este de acelaşi ordin cu energia de interacţiune a

electronului cu nucleul – de câţiva electronvolţi. Atunci când

fotonul interacţionează cu electronul, acesta posedă şi cedează exact

energia necesară extracţiei electronului din structura metalică.

Fizicianul american Arthur Holly Compton (1892 – 1962) şi-a pus

întrebarea: ce s-ar putea întâmpla atunci când energia fotonului

ar fi cu mult mai mare?, de exemplu, de câţiva kiloelectronvolţi,

energie pe care o au fotonii din diapazonul razelor Roentgen. Pentru

a răspunde la această întrebare Compton a studiat în 1922

împrăştierea razelor Roentgen de către substanţele uşoare. Schema

experimentului lui Compton este prezentată în figura 26.7. Un

fascicul de raze Roentgen cu

lungimea de undă 0 produs de

sursa S după ce trecea prin

colimatorul C cădea pe o probă P

de grafit. Razele împrăştiate erau

Fig. 26.7


32

studiate cu ajutorul unui detector D sub diferite unghiuri de

împrăştiere . În acest mod Compton a detectat în razele

împrăştiate pe lângă razele de lungime de undă 0 şi raze cu

lungimi de undă 0 . Acest fenomen a căpătat denumirea de

efect Compton. Conform teoriei clasice unda electromagnetică

incidentă pe un material fiind absorbită, impune electronii

materialului să efectueze oscilaţii forţate cu frecvenţa acestei unde.

Datorită acestor oscilaţii electronii emit o undă electromagnetică de

o frecvenţă (lungime de undă) coincidentă cu frecvenţa (lungimea

de undă) a undei incidente. Astfel, teoria clasică nu poate explica

apariţia în efectul Compton a undelor secundare cu lungimea de

undă 0 . Pentru explicarea fenomenului, Compton a pornit de

la ideea că radiaţia incidentă are natură corpusculară, adică

reprezintă un flux de fotoni. La interacţiunea fotonului cu electronul

slab legat în blocul de grafit trebuie să se respecte legile de

conservare a impulsului şi energiei. Electronul slab legat (energia

fotonului incident este cu mult mai mare decât energia de legătură a

electronului din materialul studiat) înainte de interacţiune avea doar

energie de repaus 2

0 0E m c , unde 0m este masa de repaus a

electronului, şi nu avea impuls, iar după interacţiune posedă energia 2E mc şi impulsul ep m v . Înainte

de interacţiune fotonul avea energia

0 0h şi impulsul 0 0p h c , iar

după interacţiune – energia h şi

impulsul p h c . Schema efectului

Compton este reprezentată în figura

26.8. În conformitate cu legile de

conservare a impulsului (fig. 26.9) şi

a energiei avem:

Fig. 26.8

33

0

0 0 extr

,

,

ep p p

E E L

(26.38)

unde extrL este lucrul de extracţie a electronului din materialul

împrăştietor. Însă, în experienţa lui Compton, energia fotonului

incident 0 0 extrh L şi anume 0 extr1550L . Din această cauză

termenul extrL din ecuaţia a doua (26.38) poate

fi neglijat, ca şi cum am presupune că

electronul este liber. În acest caz pot fi

consideraţi liberi chiar şi electronii păturilor

periferice ale atomilor grei. Substituind în

ecuaţia a doua (26.38) expresiile pentru ε0, E

0,

ε şi E, scriem această ecuaţie sub forma:

2 2

0 0mc h m c . (26.39)

Reprezentăm prima ecuaţie (26.38) sub forma 0ep p p şi o

ridicăm la pătrat, ţinând seama de triunghiul impulsurilor din figura

26.9:

2 2 2

0 02 cosep p p p p . (26.40)

Substituim în (26.40) expresiile pentru ep , 0p şi p , obţinem

2 2 22 2

2 2 0 0

2 2 2

2cos

h hhm

c c c

v ,

sau

2 2 2 2 2 2 2 2

0 02 cosm c h h h v . (26.41)

Ridicăm la pătrat (26.39):

Fig. 26.9


34

2 4 2 2 2 2 2 2 2 4

0 0 0 0 02 2m c h h h h m c m c . (26.42)

Scădem ecuaţia (26.41) din ecuaţia (26.42):

2 4 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0

2 2 4

0 0 0

2 2 2 2 2

0 0

2

2

2 cos .

m c m c h h h

h m c m c

h h h

v

Reducând termenii asemenea, obţinem:

2

2 4 2 2 2 4

0 0 0 021 2 1 cos 2m c h h m c m c

c

v. (26.43)

Observăm că 2 2 2 2

01m c m v . De aceea:

2 4 2 2 2 4

0 0 0 0 02 1 cos 2m c h h m c m c ,

sau

2 2

0 0 02 2 1 cosh m c h . (26.44)

Împărţind (26.44) la 0 02h m c , obţinem

0 2

0 0 0 0

1 cos 2sin2

c h c c h

m c m c

2

0

0

2 sin2

h

m c

,

sau

2

0 2 sin2

C

, (26.45)

unde 0 2,426pmC h m c se numeşte lungimea de undă

Compton a electronului.

Analiza relaţiei (26.45), care exprimă creşterea lungimii de undă

a unui foton la interacţiunea sa cu un electron aproape liber aflat în

repaus l-a condus pe Compton la următoarele interpretări:

35

a) Relaţia (26.45) se respectă independent de materialul folosit,

ceea ce arată că efectul observat reprezintă o proprietate a

constituenţilor fundamentali ai materiei, şi nu una a vreunei

substanţe concrete;

b) Creşterea lungimii de undă se modifică odată cu variaţia

unghiului de împrăştiere, luând valorile extreme 0 pentru

0 şi 2 C pentru 180 .

Aceste proprietăţi au fost mai întâi stabilite experimental, iar

explicarea lor cu ajutorul relaţiei (26.45), dedusă cu ajutorul

ipotezei fotonice a luminii, reprezintă o dovadă în plus a valabilităţii

acestei ipoteze.

În urma efectului Compton apare nu numai radiaţia

electromagnetică împrăştiată cu lungime de undă mărită, ci şi

electronul relativist de recul, care după împrăştierea radiaţiei

incidente capătă un impuls ep şi o energie cinetică cE , care poate fi

determinată după cum urmează:

2 2

0 0

0

0

0 0 0

1 1

.

cE mc m c h h hc

hc hc

Substituind aici relaţia (26.45), pentru energia cinetică a

electronului de recul obţinem definitiv:

2

2

0 0

2 sin 2

2 sin 2

C

c

C

hcE

. (26.46)

Este de remarcat că atât efectul Compton, cât şi efectul

fotoelectric se produc la interacţiunea radiaţiei electromagnetice cu

electronii. Aceste efecte, totuşi, sunt diferite, întrucât în cazul

undelor electromagnetice din diapazonul spectrului vizibil fotonul


36

îşi transferă întreaga energie electronului, iar în cazul razelor

Roentgen radiaţia incidentă este împrăştiată la interacţiunea cu

electronul, fenomen însoţit de creşterea lungimii de undă a fotonului

difuzat. Energia iniţială a fotonului incident este transformată în

energie cinetică a electronului de recul şi energie electromagnetică

asociată fotonului rezultat în urma împrăştierii, care are o energie

mai mică (lungime de undă mai mare). O cuantă de energie mare

este înlocuită cu alta de energie mai mică, diferenţa de energii fiind

responsabilă de reculul electronului slab legat. În cadrul ambelor

fenomene (efectul fotoelectric şi Compton) radiaţia

electromagnetică manifestă proprietăţi care pot fi explicate numai

dacă se admite că aceasta este formată din particule energetice –

fotoni, care reprezintă corpusculi cu energie şi impuls proprii ce se

supun legilor de conservare a acestor mărimi.

La final observăm că, deşi teoria fotonică a radiaţiei

electromagnetice permite explicarea completă a efectelor

fotoelectric şi Compton, ea nu poate explica fenomenele de

interferenţă, difracţie şi polarizare a luminii. De aceea nu s-a

renunţat la teoria ondulatorie a radiaţiei electromagnetice, care

explică, de asemenea, complet fenomenele menţionate. Mai mult

decât atât, lumina are simultan proprietăţi caracteristice atât

undelor, cât şi particulelor. Într-adevăr, realizând experienţa lui

Young (vezi § 23.1, fig. 23.1), cu fanta 2S acoperită, pe ecran se

observă o anumită distribuţie a intensităţii luminii. Dacă acoperim

fanta 1S , atunci se obţine aceeaşi distribuţie puţin deplasată pe

ecran. Dar dacă lăsăm deschise ambele fante, atunci pe ecran se

observă o distribuţie a intensităţii luminii, care nici pe aproape nu

reprezintă suma distribuţiilor de la cele două fante aparte. Pe ecran

se obţine cunoscutul tablou de interferenţă al lui Young de la două

fante (fig. 23.1). Apare întrebarea: ce este lumina - undă sau

37

corpuscul? Einstein a dat următorul răspuns la această întrebare:

"este mult mai probabil să spunem că lumina are atât un

caracter ondulatoriu cât şi corpuscular". Existenţa simultană

pentru undele luminoase a proprietăţilor caracteristice atât undelor,

cât şi particulelor ridică problema îmbinării raţionale a acestor

proprietăţi contradictorii. Deja am obţinut o latură a acestei

îmbinări, atunci când cu ajutorul relaţiilor relativiste am obţinut

relaţia de legătură dintre caracteristica de particulă a radiaţiei

electromagnetice – impulsul fotonului fp şi caracteristica de undă a

acestei radiaţii – lungimea de undă (vezi (26.35)):

f

hp

şi h . (26.47)

Cât priveşte alte laturi ale acestei îmbinări, raţionamentele sunt

următoarele. Interacţiunea luminii cu substanţa la trecerea ei printr-

un sistem optic conduce la o anumită distribuţie a fotonilor pe

ecranul situat în calea luminii după trecerea ei prin sistem.

Luminozitatea în diferite puncte ale ecranului este proporţională cu

numărul de fotoni incidenţi în punctele respective ale ecranului,

număr la rândul lui proporţional cu probabilitatea căderii fotonului

în punctul dat al ecranului. Pe de altă parte, conform teoriei

ondulatorii a luminii, luminozitatea punctului considerat al

ecranului este proporţională cu intensitatea luminii, mărime, după

cum se ştie, proporţională cu pătratul amplitudinii undei de lumină

ce a trecut prin sistemul optic şi a ajuns în punctul dat al ecranului.

În concluzie:

pătratul amplitudinii undei luminoase într-un punct oarecare

al spaţiului la un anumit moment de timp reprezintă măsura

probabilităţii aflării fotonilor ce constituie această undă în

acest punct la acelaşi moment de timp.

Elemente de mecanică cuantică

38

Capitolul 27. Elemente de mecanică

cuantică

27.1. Ipoteza şi formula lui Louis de Broglie

În anul 1924 savantul francez Luis de Broglie (1892 – 1987),

analizând relaţia de legătură dintre caracteristica de particulă a

radiaţiei electromagnetice – impulsul fotonului fp şi caracteristica

de undă a acestei radiaţii – lungimea de undă (26.47)

f

hp

, (27.1)

ajunge la concluzia că dacă în teoria clasică a structurii radiaţiei

electromagnetice nu a fost luată în seamă latura corpusculară a

acesteia, atunci în teoria substanţei, probabil, a fost comisă o

greşeală inversă, şi anume, nu a fost luată în seamă latura

ondulatorie. Cu alte cuvinte, particulele de substanţă, ca şi radiaţia

electromagnetică trebuie să posede proprietăţi ondulatorii.

Lungimea de undă a unei particule de substanţă trebuie să se afle

în aceeaşi legătură cu impulsul ei p ca şi în cazul fotonilor radiaţiei

electromagnetice (27.1). Astfel, de Broglie a extins formula (27.1) şi

asupra particulelor de substanţă, obţinând următoarea formulă

pentru lungimea de undă a unei particule de substanţă:

h

p . (27.2)

Această relaţie se numeşte formula lui de Broglie, iar unda

asociată particulei de substanţă – undă de Broglie. Ea reprezintă

una dintre relaţiile fundamentale ce se află la baza fizicii moderne.

39

De rând cu această relaţie şi independent de ea se utilizează şi

formula de legătură dintre energia E a particulei libere, adică

nesupuse acţiunilor externe, şi frecvenţa a undelor de Broglie:

E h , (27.3)

formulă împrumutată, de asemenea, din teoria radiaţiei. Conform

ipotezei lui de Broglie, un fascicul constituit din orice particule de

substanţă, după trecerea prin două fante, va crea un tablou de

interferenţă caracteristic experienţei lui Young realizată cu fascicule

luminoase (fig. 23.1). Luis de Broglie şi-a expus ipoteza la

susţinerea tezei de doctor în filozofie în anul 1924. Pe atunci această

ipoteză părea absurdă şi ne la locul ei. De aceea la început ea nu a

fost luată în serios. Dar, peste trei ani, în 1927, a venit şi şocul –

formula lui de Broglie a fost confirmată experimental. Şocul a fost

datorat unui paradox legat de această ipoteză. Pentru a clarifica în

ce constă paradoxul şi modul de înlăturare a acestuia vom considera

următoarele experienţe. Admitem un fascicul de electroni ce cade

pe două fante S1 şi S2 ca și în experienţa lui Young, iar în punctul P1

de pe ecranul E situat după fante se află un contor Geiger care

înregistrează numărul de electroni ajunşi în acest punct în fiecare

secundă (fig. 27.1). Dacă fanta S2 este acoperită, atunci pe ecranul

situat după fante se va observa o anumită distribuţie a electronilor

(fig. 27.1,a), care poate fi stabilită cu ajutorul contorului Geiger

situat în diferite puncte ale ecranului. Dacă este acoperită fanta S1,

atunci distribuţia electronilor pe ecran va fi aceeaşi, dar puţin

deplasată faţă de poziţia primei distribuţii (fig.27.1,b). Dacă vor fi

descoperite ambele fante, atunci bunul simţ ne îndeamnă să credem

că distribuţia electronilor pe ecran va fi o distribuţie rezultată în

urma sumării primelor două (fig. 27.1,c). Această concluzie rezultă


40

din faptul că un electron nu poate să se divizeze asemeni unei unde

luminoase şi să treacă simultan prin ambele fante. Indivizibilitatea

electronului este confirmată prin faptul că nimeni niciodată nu a

observat, de exemplu, o jumătate de electron. Şi totuşi, în realitate

se observă distribuţia din figura 27.1,d, care nici pe departe nu

reprezintă suma primelor două. Acesta şi este paradoxul amintit.

Admitem că în punctul P1 contorul Geiger înregistrează câte 50 de

electroni pe secundă, când este descoperită una din fante. La

descoperirea lentă şi a celei de-a doua fante ar trebui să aşteptăm

creşterea numărului de înregistrări pe secundă de la 50 la 100. În

realitate, însă, numărul de înregistrări pe secundă scade, iar atunci

când a doua fantă este descoperită complet acesta devine egal cu

zero. Ar trebui să înţelegem că 50 + 50 = 0? Admitem că şi în

punctul 2P contorul Geiger înregistrează câte 50 de electroni pe

secundă când este descoperită una din fante. La descoperirea lentă a

fantei a doua, numărul înregistrat este în creştere până la valoarea

de 200 de înregistrări pe secundă, ceea ce ar trebui să însemne că 50

+ 50 = 200!

Pentru explicarea acestor rezultate paradoxale se procedează ca

şi în cazul teoriei radiaţiei. Fiecărei particule de substanţă i se pune

Fig.27.1

41

în corespundere o funcţie de coordonate şi timp, numită

amplitudine a probabilităţii Ψ(x, y, z, t).

Probabilitatea înregistrării particulei într-un moment arbitrar

de timp t într-un punct arbitrar (x, y, z) al spaţiului este

proporţională pătratului modulului acestei funcţii |Ψ(x, y, z, t)|2,

adică intensităţii undei asociate.

Probabilitatea înregistrării particulei într-un volum infinit mic dV

este dP = |Ψ(x, y, z, t)|2dV. Aceasta înseamnă că |Ψ(x, y, z, t)|2 are

sensul de densitate a probabilităţii de a înregistra particula într-un

anumit loc în spaţiu. Funcţia Ψ(x, y, z, t formal posedă proprietăţi

ale undelor clasice. De aceea ea este numită funcţie de undă. Dacă

evenimentul se poate realiza prin intermediul câtorva variante ce se

exclud reciproc (de exemplu, trecerea electronului prin fantele S1

sau S2) (vezi (6.25)), atunci amplitudinea probabilităţii acestui

eveniment este egală cu suma amplitudinilor probabilităţii fiecăruia

din evenimente: Ψ = Ψ1 + Ψ2 (principiul superpozi-

ţiei). Această regulă coincide cu regula compunerii

amplitudinilor undelor din optică. În exemplul

nostru Ψ1 descrie unda electronică ce trece prin

fanta S1, iar Ψ2 – prin fanta S2. Pe ecran ambele

unde se suprapun şi dau naştere tabloului clasic de

interferenţă de la două fante. Direcţia spre maximul

de ordinul n este determinată de relaţia (vezi (24.18)).

sin n n d (27.4)

Să analizăm aplicarea acestui formalism în următorul exemplu. Fie

Fig. 27.2


42

că amplitudinea undei ajunse în punctul P de pe ecran (fig.27.2)

când este deschisă numai fanta S1 în unităţi convenţionale constituie

Ψ1 = 3, iar când este deschisă numai fanta S2 – constituie Ψ2 = 9.

Admitem că dacă este deschisă numai fanta S1, atunci contorul

Geiger înregistrează în punctul P numărul N1 = 30 de electroni pe

secundă. Să aflăm câţi electroni pe secundă N2 va înregistra contorul

Geiger în punctul P , dacă va fi deschisă numai fanta S2, precum şi

numerele de electroni pe secundă înregistraţi de contor în acelaşi

punct dacă vor fi deschise ambele fante, în cazurile când undele

electronice se vor amplifica Ψ+ şi când acestea se vor atenua N–.

Observăm că raportul intensităţilor undelor electronice în punctul

P este 2 2

2 1 81 9 9 . Prin urmare, prin fanta S2 trec de 9 ori

mai mulţi electroni pe secundă decât prin fanta S1, adică N2 = 9N1 =

= 270 de electroni pe secundă. Dacă în punctul P are loc

amplificarea undelor electronice (maxim de interferenţă), atunci

amplitudinea undei rezultante trebuie să fie Ψ+ = Ψ1 + Ψ2 = Ψ1 +

3Ψ1 = 4Ψ1. Întrucât 2 2

116 , rezultă că N+ = 16N1 = 480

electroni pe secundă. În cazul atenuării undelor electronice

(minim de interferenţă) Ψ– = Ψ1 – Ψ2 = Ψ1 – 3Ψ1 = –2Ψ1. Întrucât

2 2

14 , rezultă că N– = 4N1 = 120 electroni pe secundă.

Prima verificare experimentală a for-

mulei lui de Broglie le aparţine fizicienilor

americani C. J. Davisson (1881 – 1958) şi

L. H. Germer (1896 – 1971). Ei au studiat

împrăştierea electronilor lenţi de către

suprafeţele monocristalelor diferitor

metale. Schema experienţelor este

reprezentată în figura 27.3. Atomii

Fig. 27.3

43

ordonaţi în lanţuri pe suprafaţa monocristalului acţionau analogic

fantelor unei reţele de difracţie. Conform relaţiei (27.4), primul

maxim al intensităţii undelor electronice trebuie să se observe sub

unghiul 1 ce satisface relaţiei

1sind , (27.5)

unde este lungimea de undă a electronilor lenţi, determinată de

formula lui de Broglie (27.2). Rezultă, deci, că

1 1sin sin

hd h pd

p . (27.6)

Cunoscând impulsul electronilor p, distanţa dintre atomii reţelei

cristaline d şi măsurând unghiul φ1 sub care se observa primul

maxim de difracţie, Davisson şi Germer au obţinut valoarea

constantei lui Planck h. Deosebirea acesteia de valoarea determinată

pe alte căi nu întrecea 1%. Acest rezultat demonstrează veridicitatea

ipotezei şi formulei lui de Broglie.

Ulterior ipoteza şi formula lui de Broglie au fost confirmate

experimental nu numai pentru electroni, ci şi pentru protoni,

neutroni, ioni şi chiar atomi. Natura ondulatorie a substanţei în

prezent este verificată sub diferite aspecte şi n-a fost observată nici

o abatere de la teorie.

Să analizăm unele proprietăţi ale undelor asociate

microparticulelor, adică a undelor de Broglie. Pentru aceasta vom

exprima, mai întâi, impulsul microparticulei p prin numărul de

undă al undei asociate 2k :

2

2

h hp k

, (27.7)


44

unde 342 1,05 10 J sh . Astfel, formula lui de Broglie

poate fi scrisă şi sub forma (27.7). Analogic poate fi modificată şi

formula pentru energia particulei libere

22

hE h

, (27.8)

unde 2 este frecvenţa ciclică a undei asociate. Pe de altă

parte, energia particulei libere de masă m ce se mişcă cu viteza v ,

având impulsul p m v , este

2 2

2 2

m pE

m

v. (27.9)

Cu ajutorul relaţiilor (27.7) şi (27.8) se poate determina viteza de

fază a undei asociate (vezi (21.11)):

2 2

f

E p

k k p m

vv . (27.10)

Substituind (27.7) şi (27.8) în (27.9), obţinem:

2

2

k

m .

Derivăm această expresie în raport cu numărul de undă k :

2d k

dk m

.

De aici obţinem viteza de grup

2

2

dd dE p p mu

dk d k dp m m m

vv . (27.11)

45

Din compararea rezultatelor (27.10) şi (27.11) se observă că vitezele

de fază şi de grup nu coincid. Însă, după cum se ştie, acestea coincid

numai în cazul undei sinusoidale. Astfel,

unda asociată particulei libere nu reprezintă o undă monocro-

matică, ci un pachet de unde. Viteza acestui pachet coincide cu

viteza particulei v.

27.2. Relaţiile de incertitudine (nedeterminare) ale lui

Heisenberg

După cum am văzut, proprietăţile

ondulatorii ale microparticulelor de

substanţă conduc la necesitatea descrierii

stării lor cu ajutorul funcţiei de undă

, , ,x y z t . Apare întrebarea: Dar

metoda clasică de descriere a stării microparticulei, indicând

coordonatele ei x, y, z şi componentele vitezei , ,x y zv v v sau a

impulsurilor , ,x y zp p p , rămâne valabilă, sau nu? Pentru a răspunde

la această întrebare considerăm o particulă împreună cu unda de

Broglie asociată ei, care în esenţă reprezintă un pachet de unde (fig.

27.4) ce se mişcă de-a lungul axei Ox cu viteza de grup

2

2

2

dd du

dk d d

.

Însă, conform (27.2)

2

.h hdp

dp p

Aşadar, viteza de grup

Fig. 27.4


46

2 2 2

2 2

2

d d p h d p hdu

d hdp p hdp dp

. (27.12)

Din această relaţie şi figura 27.4 rezultă că viteza de grup

x

xu h

t p

,

sau

xp x h t . (27.13)

Dacă am dori să măsurăm variaţia frecvenţei undei asociate ,

atunci am avea nevoie de un interval de timp t , în care măcar o

lungime de undă să treacă un punct fix de pe axa Ox . Acest interval

de timp este legat cu frecvenţa prin expresia

1

1t t

. (27.14)

Substituind (27.14) în (27.13), obţinem

xp x h , (27.15)

unde Δx şi Δpx sunt impreciziile coordonatei x a particulei şi,

respectiv, a proiecţiei impulsului pe axa Ox, atunci când acestea se

măsoară simultan. Din figura 27.4 se observă că Δx este extensiunea

pachetului de unde asociat particulei, aceasta având posibilitatea să

se afle oriunde în interiorul lui. Rezultă că imprecizia Δx este legată

de natura ondulatorie a particulei. Dacă avem, de exemplu, o

particulă liberă, atunci aceasta se mişcă cu viteză constantă vx,

având şi o valoare determinată a impulsului px = mvx. În acest caz

Δpx = 0 şi Δx → ∞, adică nu putem spune nimic despre poziţia

particulei. Dacă, însă, dorim să măsurăm coordonata x a particulei,

47

atunci acţiunea aparatului de măsură va modifica viteza, deci, şi

impulsul acesteia, astfel încât imprecizia va deveni Δpx ≠ 0.

Utilizăm un aparat de măsură care ne permite localizarea exactă a

particulei. Această localizare poate fi realizată cu preţul unei astfel

de modificări a impulsului particulei, încât Δpx → ∞, adică nu

putem spune nimic despre valoarea impulsului ei. În general, dacă

printr-o măsurare se determină impulsul unui obiect cuantic cu o

imprecizie Δpx, atunci poziţia respectivului obiect cuantic nu poate

fi cunoscută decât cu o imprecizie Δx ≥ h/Δpx. Relaţia (27.15) este

una din relaţiile de incertitudine (nedeterminare) descoperite de

fizicianul german Heisenberg. Întrucât raţionamentele ce au condus

la obţinerea relaţiei (27.15) sunt valabile şi pentru axele de

coordonate Oy şi Oz, trebuie să aibă loc şi relaţiile analogice:

,

.

y

z

p y h

p z h

(27.16)

Relaţiile de incertitudine ale lui Heisenberg (27.15) şi (27.16) ne

permit să răspundem la întrebarea apărută la început. Metoda

clasică de descriere a stării unei microparticule prin indicarea

coordonatelor ei x, y, z şi componentelor vitezei vx, vy, vz sau a

componentelor impulsului px, py, pz nu poate fi aplicată în mecanica

cuantică, întrucât acestea nu pot fi cunoscute simultan absolut

precis. De aceea în mecanica cuantică starea microparticulei se

descrie cu ajutorul funcţiei de undă Ψ(x, y, z, t), pătratul modulului

căreia |Ψ(x, y, z, t)|2 are sensul densităţii probabilităţii de aflare a

microparticulei într-un anumit punct al spaţiului la un moment de

timp t.

Întrucât px = mvx, relaţia (27.15) poate fi scrisă şi sub forma


48

x

hx

m v . (27.17)

De aici se observă că incertitudinea vitezei microparticulei xv

pentru o incertitudine dată a coordonatei x este cu atât mai mică,

cu cât mai mare este masa m a acestei microparticule. Rezultă, deci,

că descrierea mişcării microparticulei cu ajutorul mecanicii clasice a

lui Newton este cu atât mai justificată cu cât masa ei este mai mare.

Dacă se cunoaşte că particula se află în repaus, atunci

nedeterminarea impulsului ei este Δpx = 0. S-ar putea crede că

poziţia particulei poate fi determinată cu ajutorul microscopului şi

astfel se poate demonstra invaliditatea relaţiilor de incertitudine.

Poziţia microparticulei cu ajutorul microscopului poate fi

determinată în cel mai bun caz cu precizia unei lungimi de undă a

luminii utilizate, adică Δx ≈ λ. Întrucât Δpx = 0, produsul Δpx·Δx, de

asemenea, trebuie să fie egal cu zero şi relaţiile de incertitudine nu

se respectă. Dar, aşa este oare? Să analizăm procesul de măsurare a

poziţiei microparticulei de pe poziţiile mecanicii cuantice. Conform

teoriei cuantice, lumina utilizată în microscop constă din fotoni cu

impulsul p = h /λ . Pentru a observa particula este nevoie ca măcar

un foton din fluxul luminos ce trece prin lentila convergentă a

microscopului să fie împrăştiat sau absorbit de particulă. Aceasta

înseamnă că particulei i se transmite cel puţin impulsul h /λ . Astfel,

în momentul determinării poziţiei particulei cu precizia Δx ≈ λ,

nedeterminarea impulsului acesteia este Δpx ≥ h/λ. Înmulţind aceste

nedeterminări, obţinem

x

hp x h

,

ceea ce coincide cu (27.15). Acest exemplu arată lipsa contradic-

ţiilor interne în teoria cuantică.

49

Cu ajutorul relaţiilor de incertitudine, care sunt nişte consecinţe

ale proprietăţilor ondulatorii ale microparticulelor, se poate realiza o

evaluare a comportamentului pachetului de unde ce descrie o

particulă liberă. Pentru aceasta considerăm o particulă ce se mişcă

cu viteza de grup u = v. Fie că la momentul iniţial de timp 0t ,

pachetul de unde are lărgimea 0x (fig. 27.5,a). Pachetului de unde

îi este caracteristică o împrăştiere a valorilor vitezei de grup u ,

care trebuie să conducă la creşterea în intervalul de timp t a

lărgimii pachetului cu mărimea

x u t . (27.18)

Să evaluăm mărimea u . Pentru aceasta observăm că

du

u pdp

.

Însă, conform (27.11), u v şi întrucât p mv , obţinem

1d

u p pdp m

v

. (27.19)

Valoarea iniţială a nedeterminării p este mărginită, conform

relaţiilor de incertitudine, de mărimea 0h x , unde

0x este

Fig. 27.5


50

nedeterminarea poziţiei iniţiale a particulei sau lărgimea pachetului

iniţial de unde. Substituind această valoare în (27.19), obţinem

0u h m x . Deci, lărgimea pachetului de unde (27.18) după

intervalul de timp t (fig. 27.5,b):

0

hx t

m x

. (27.20)

Astfel, lărgimea pachetului creşte proporţional cu intervalul de

timp t . Pentru a ne crea o impresie despre viteza lărgirii pachetului

în cazul particulei libere, considerăm un electron liber localizat la

momentul iniţial de timp într-un domeniu de dimensiuni atomare 10

0 10 mx . După un timp 1st , avem

34

6

31 10

0

6,62 107,27 10 m 7270km

9,11 10 10

hx t

m x

.

Rezultă că după o secundă, norul electronic va fi după dimensiuni

mai mare decât întregul continent european. Această lărgire a

pachetului de unde se referă numai la particula liberă. După cum

vom vedea ulterior, teoria cuantică permite stabilirea exactă a

comportamentului funcţiei de undă, dacă aceasta este cunoscută la

momentul iniţial de timp. Acest aspect, însă, în cazul particulei

libere nu ajută la nimic, întrucât funcţia de undă se împrăştie extrem

de rapid în tot spaţiul. Pentru a evita lărgirea pachetului, particula

trebuie plasată într-o groapă de potenţial (vezi §27.4).

Înmulţind relaţia (27.14) cu h , obţinem

t h h h t h E t h . (27.21)

Aceasta este relaţia de incertitudine dintre energie şi timp. Aici t

nu are semnificaţia unei erori de măsurare a timpului, ci reprezintă

51

durata de timp în care se măsoară energia unei microparticule,

energie ce nu poate fi cunoscută cu o eroare mai mică decât

E h t . Astfel, cu cât mai mult timp t utilizăm pentru măsura-

rea energiei microparticulei, cu atât mai exact determinăm această

energie, însă nu vom cunoaşte la ce moment de timp ea are această

valoare.

27.3. Ecuaţia fundamentală a mecanicii cuantice

nerelativiste

După cum am menţionat mai devreme, proprietăţile ondulatorii

ale microparticulelor fac imposibilă aplicarea la aceste obiecte a

legilor fizicii clasice inclusiv a legii fundamentale, care este legea a

doua a lui Newton. Această lege permite rezolvarea problemei

fundamentale a mecanicii clasice şi anume determinarea stării unui

sistem mecanic, adică a coordonatelor şi componentelor

impulsurilor tuturor corpurilor sistemului, dacă se cunosc

coordonatele şi componentele iniţiale ale impulsurilor, precum şi

acţiunile externe la care este supus sistemul. Starea unei

microparticule în mecanica cuantică nu poate fi descrisă cu ajutorul

coordonatelor şi componentelor impulsurilor, întrucât acestea nu

por fi măsurate exact la acelaşi moment de timp (vezi relaţiile de

incertitudine). De aceea, această stare se descrie cu ajutorul funcţiei

de undă , , ,x y z t , pătratul modulului căreia 2

, , ,x y z t

reprezintă măsura probabilităţii de a înregistra particula în punctul

cu coordonatele , ,x y z la momentul de timp t . Rezultă că ecuaţia

fundamentală a mecanicii cuantice trebuie să fie o ecuaţie în raport

cu funcţia de undă , , ,x y z t . Această ecuaţie trebuie să fie o


52

ecuaţie de undă, întrucât soluţiile ei trebuie să explice proprietăţile

ondulatorii ale microparticulelor. În cazul nerelativist, când

microparticulele se mişcă cu viteze mult mai mici decât viteza

luminii în vid (v << c), ecuaţia fundamentală a mecanicii cuantice a

fost stabilită în 1926 de către fizicianul austriac Erwin Rudolf

Josef Alexander Schrödinger (1887 – 1961), laureat al premiului

Nobel pentru fizică în 1933. Ea are forma unei ecuaţii diferenţiale

de ordinul II în derivate parţiale:

2

2 , , ,2

i U x y z tt m

, (27.22)

unde m este masa microparticulei, , , ,x y z t este funcţia ei

de undă, , , ,U x y z t este energia potenţială a microparticulei în

câmpul de forţe studiat, 1i este unitatea imaginară, iar 2

este operatorul Laplace:

2 2 2

2

2 2 2x y z

.

Soluţia , , ,x y z t a ecuaţiei lui Schrödinger trebuie să

satisfacă următoarele condiţii standard impuse soluţiilor ecuaţiilor

diferenţiale de acest tip:

1. Soluţia , , ,x y z t trebuie să fie finită, continuă şi univocă;

2. Derivatele parţiale ale acestei funcţii x

,

y

,

z

şi

t

trebuie să fie continue.

În afară de aceste condiţii, soluţia ecuaţiei lui Schrödinger trebuie să

corespundă interpretării statistice, adică funcţia de undă trebuie să

satisfacă condiţia de normare a probabilităţilor:

53

2

1V

dV , (27.23)

unde V este volumul accesibil pentru microparticulă. Relaţia

(27.23) arată că aflarea microparticulei undeva în interiorul

volumului accesibil reprezintă un eveniment cert, adică

probabilitatea lui trebuie să fie egală cu 1.

Ecuaţia lui Schrödinger (27.22) conţine derivata parţială de

ordinul I în raport cu timpul. De aceea deseori ea se numeşte

ecuaţia nestaţionară sau temporală a lui Schrödinger. Soluţia

acestei ecuaţii descrie, deci, nu numai dependenţa de coordonate, ci

şi dependenţa de timp a stării microparticulei. În practică, însă,

deseori se întâlnesc probleme, în care stările microparticulelor sunt

aceleaşi pe parcursul timpului, adică sunt staţionare, nu depind de

timp. Asemenea stări ale microparticulelor se descriu de ecuaţia

staţionară a lui Schrödinger. Pentru a obţine această ecuaţie vom

observa că într-o stare staţionară energia potenţială a

microparticulei nu depinde de timp, adică , ,U U x y z . În acest

caz funcţia de undă poate fi reprezentată sub forma unui produs al

unei funcţii de coordonate şi alteia de timp:

, , , , ,x y z t x y z t . (27.24)

Substituind (27.24) în (27.22), obţinem

2

2

2i U

t m

.

Pentru a separa variabilele, împărţim ambele părţi ale acestei ecuaţii

la şi obţinem:


54

2 21

, ,2

i U x y zt m

. (27.25)

Observăm că partea stângă a acestei ecuaţii este o funcţie numai de

timp, iar partea dreaptă a acesteia este o funcţie numai de

coordonate. Aceasta înseamnă că ecuaţia (27.25) poate fi satisfăcută

numai într-un singur caz, şi anume, când ambele părţi sunt egale cu

o constantă. Notând-o prin E , obţinem următoarele două ecuaţii:

1

i Et

; (27.26)

2 2

, ,2

U x y z Em

. (27.27)

Ecuaţia (27.26) se rezolvă simplu după cum urmează:

0 0ln lniEt

d E iEtdt e

i

, (27.28)

unde 0 este valoarea funcţiei t la momentul iniţial de timp

0t .

Înmulţind ecuaţia (27.27) la 2m şi împărţind-o la 2

, se

obţine

2

2 2

2 2m mU E ,

sau

2

2

2, , 0

mE U x y z . (27.29)

Ecuaţia (27.29) se numeşte ecuaţia staţionară a lui Schrödinger.

55

Ea este ecuaţia fundamentală a mecanicii cuantice nerelativiste

ce are cele mai multe aplicaţii în fizica atomică şi nucleară, precum

şi în fizica corpului solid. Soluţiile acestei ecuaţii se numesc funcţii

proprii, iar valorile constantei E, care satisfac ecuaţia (27.29), se

numesc valori proprii.

Să stabilim acum sensul fizic al constantei E , care după cum se

vede din ecuaţia (28.29), are dimensiunea unei energii. Pentru

aceasta, urmând raţionamentele lui Schrödinger, vom considera că

undele de Broglie asociate microparticulelor trebuie să satisfacă

ecuaţia de undă (21.9)

2

2

2 2

10

f t

v, (27.30)

unde fv este viteza de fază a undei de Broglie asociată

microparticulei. Considerăm un caz particular când funcţia de undă

reprezintă o undă plană sinusoidală:

0, , , sinx y z t A t k r

şi observăm că 2 2 2t . Substituim în (27.30) şi ţinând

seama că 2f k v , unde k este numărul de undă al undei

de Broglie asociată microparticulei, avem:

2 2

2 2 2 2

2 2

40 0 0

f

k

v.

Calculăm coeficientul de pe lângă , ţinând seama de formula lui

de Broglie h p h m v :

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

4 4 2 2 2

2c

m m m m mk E E U

h

v v, (27.31)


56

unde energia cinetică a fost reprezentată ca diferenţa dintre energia

totală E şi cea potenţială U :2 2cE m E U v . Substituind în

ecuaţia precedentă, obţinem

2

2

20

mE U ,

ceea ce coincide cu ecuaţia staţionară a lui Schrödinger (27.29).

Astfel, constanta E reprezintă energia totală a microparticulei în

câmpul dat de forţe.

27.4. Mişcarea particulei libere. Particula în ”groapa”

de potenţial. Cuantificarea energiei

Să analizăm mişcarea particulei libere din punctul de vedere al

mecanicii cuantice. Pentru aceasta orientăm axa Ox în sensul

vitezei particulei v şi observăm că energia totală a particulei

coincide cu energia ei cinetică 2 2cE E m v , întrucât 0U x .

Mai observăm că 2 2 2d dx , deoarece particula se mişcă în

sensul axei Ox . Rezultă că în cazul unei microparticule libere

ecuaţia staţionară a lui Schrödinger (27.29) capătă aspectul:

2

2 2

20c

d mE

dx

. (27.32)

Însă, conform (27.31)

2

2

2

2 2c

mE k

,

unde k este numărul de undă al undei asociate microparticulei (vezi

(27.7)). De aceea ecuaţia (27.32) poate fi transcrisă sub forma

57

2

2

20

dk

dx

. (27.33)

Vom observa că nu orice soluţie a acestei ecuaţii descrie mişcarea

particulei libere. De exemplu, soluţia

sinx A kx ,

unde A este amplitudinea undei asociate, în pofida faptului că

satisface ecuaţia (27.33) ( 2x k ), nu descrie corect

mişcarea microparticulei libere. Într-adevăr, distribuţia probabilităţii

de a înregistra microparticula în punctele axei Ox este

2 2 2sinA kx , ceea ce arată că la orice moment de timp t pe

axa Ox se găsesc puncte în care ar fi imposibilă înregistrarea ei

(2

0 ), pe când în realitate microparticula poate fi înregistrată cu

aceeaşi probabilitate în orice punct al acestei axe. Aceste

raţionamente arată că soluţia corectă trebuie să satisfacă ecuaţia

(27.33) şi totodată condiţia 2

const . O astfel de soluţie este

funcţia de undă

ikxx Ae .

Dacă se ţine seama de (27.28), pentru funcţia de undă dependentă

de timp se obţine

( ), i kx tx t Ae , (27.34)

unde E . Astfel, în mecanica cuantică microparticula liberă

este reprezentată de o undă monocromatică plană. Acum observăm

că probabilitatea de a înregistra microparticula la momentul de timp

t în orice punct al axei Ox este


58

2 ( ) ( ) 2, i kx t i kx tx t Ae Ae A .

care este o constantă, după cum şi trebuie să fie.

După cum am menţionat mai devreme, pachetul de unde asociat

unei microparticule libere se împrăştie

foarte rapid, iar pentru a evita această

împrăştiere microparticula trebuie plasată

într-o groapă de potenţial. Vom considera

mai întâi comportamentul unei

microparticule într-o groapă rectangulară

de potenţial de lăţimea L cu pereţi

absolut reflectanţi şi având înălţime

infinită (fig.27.6):

0, dacă 0 ,

,dacă 0; .

x LU x

x x L

(27.35)

Întrucât groapa este unidimensională, 2 2 2d dx . De aceea

ecuaţia staţionară a lui Schrödinger are aspectul

2

2 2

20

d mE U x

dx

. (27.36)

Ecuaţia (27.36) ce conţine energia potenţială (27.35) poate să aibă

soluţii ce satisfac condiţiile menţionate mai devreme de finitudine,

continuitate şi univocitate numai dacă la pereţii gropii aceste soluţii

se anulează:

0 0L , (27.37)

întrucât în caz contrar al doilea termen din ecuaţia (27.36) ar tinde

la infinit, ceea ce ar încălca condiţiile amintite. Din aceleaşi

considerente aceste condiţii trebuie să fie satisfăcute şi în afara

Fig. 27.6

59

gropii, adică în afara domeniului 0 x L . Aceasta înseamnă că

probabilitatea de a înregistra particula în afara gropii trebuie să se

anuleze: 2

0 . În interiorul gropii ecuaţia (27.36) devine:

2 2

2

2 2 2

20 0

d m dE k

dx dx

, (27.38)

întrucât conform (27.31) 2 22mE k , unde 2k este

numărul de undă al undei de Broglie asociată microparticulei.

Ţinând seama că la graniţa din stânga a gropii trebuie să fie

satisfăcută condiţia 0 0 , reprezentăm soluţia ecuaţiei (27.38)

sub forma

ikx ikx ikx ikxx Be Be B e e .

Însă,

cos sin cos sin 2 sinikx ikxe e kx i kx kx i kx i kx . Atunci,

2 s in s inx iB kx A kx , (27.39)

unde am notat 2iB A . Funcţia (27.39) trebuie să se anuleze şi la

graniţa din dreapta, adică pentru x L : 0 sin kL . Această

egalitate are loc atunci când kL n , unde n este un număr întreg:

1, 2, 3, 4,n . Astfel, sunt permise numai valorile discrete ale

numărului de undă ale undei asociate ce satisfac condiţia

n

nk

L

. (27.40)

Întrucât 2n nk , rezultă


60

2

2

nn

n

n nk L n

L L

, (27.41)

adică sunt posibile numai astfel de valori ale lungimii de undă de

Broglie ale microparticulei, încât pe lăţimea gropii să încapă un

număr întreg de semiunde. Din (27.7) rezultă că şi impulsul

microparticulei, de asemenea, poate să aibă numai anumite valori

discrete:

n np k n

L

. (27.42)

La fel şi energia microparticulei poate avea numai anumite valori

proprii discrete:

2 2 2

2

22 2

nn

pE n

m mL

. (27.43)

Mărimile fizice care posedă numai anumite valori discrete se

numesc mărimi fizice cuantificate. În cazul nostru se cuantifică

numărul de undă, lungimea de undă, impulsul şi energia

microparticulei. Cuantificarea energiei a mai fost întâlnită în teoria

lui Planck a radiaţiei termice, dar acolo ea a fost o consecinţă a

ipotezei cuantice, pe când cuantificarea energiei microparticulei

aflate în groapa de potenţial rezultă direct din ecuaţia lui

Schrödinger (27.38), fiind o consecinţă a caracterului ondulatoriu al

microparticulei. Valorile cuantificate ale energiei microparticulei se

numesc niveluri de energie, iar numărul întreg n se numeşte

număr cuantic. Din (27.43) se observă că, spre deosebire de

mecanica clasică unde valoarea minimă a energiei microparticulei

este egală cu zero, valoarea minimă a energiei microparticulei în

mecanica cuantică este diferită de zero. Ea corespunde valorii

minime a numărului cuantic 1n şi pentru un electron aflat într-o

61

groapă de potenţial de dimensiunile atomului L = 10– 10 m este

22 342 2

18

min 1 2 31 20

1,05 105,97 10 J 37,3eV

2 2 9,11 10 10E E

mL

,

valoare comparabilă cu energia cinetică a electronului în atomul de

hidrogen. Starea electronului, în care 1n se numeşte stare

fundamentală. Acestei stări îi corespunde funcţia de undă (27.39)

ce reprezintă exact o jumătate de sinusoidă. Valorile cuantificate ale

energiei electronului în groapa considerată sunt

237,3 eVnE n .

În figura 27.7 sunt reprezentate primele patru niveluri energetice ale

electronului în groapa de potenţial cu pereţi

infinit de înalţi şi lăţimea L = 10 – 10 m. La

trecerea electronului dintr-o state excitată cu

1n în starea fundamentală cu 1n , conform

legii conservării energiei, se va emite un foton

cu energia hν = E2 – E1. Dacă n = 2, atunci

tranziţia se va realiza de pe cel de-al doilea

nivel energetic pe primul nivel (fig. 27.7):

hν = E2 – E1 = 4E1 – E1 = 3E1 = 1,79·10–17 J

emiţându-se un foton cu frecvenţa ν = 3E2/h = 2,7·1016 s–1 şi lungimea

de undă λ = c/ν = 3·108/2,7·1016 = 1,11·10–8 m. Acest foton aparţine

domeniului ultraviolet al spectrului de radiaţie electromagnetică,

domeniu în care se află cele mai intense linii ale spectrului

hidrogenului. Întrucât energia electronului în groapă posedă numai

anumite valori discrete, lungimile de undă ale fotonilor emişi, de

Fig. 27.7


62

asemenea, trebuie să alcătuiască un asemenea şir, adică spectrul

radiaţiei emise trebuie să fie un spectru liniar, ca şi spectrele

atomilor. Trebuie însă să menţionăm că modelul electronului închis

într-o groapă rectangulară de potenţial este un model foarte

aproximativ al atomului de hidrogen, atom în care electronul se

mişcă în câmpul coulombian al nucleului (fig. 27.8). Dar în ambele

cazuri comportamentul calitativ al electronului este acelaşi. Întrucât

electronul trebuie să se descrie cu

ajutorul unei unde staţionare, există

numai un anumit şir de funcţii de undă

ψn, cărora le corespunde un şir

determinat de valori discrete En ale

energiei electronului (fig. 27.8).

Revenind la funcţiile de undă (27.39)

ce descriu starea electronului în groapa rectangulară

unidimensională de potenţial, substituim (27.40) în (27.39) şi

obţinem funcţiile proprii ale ecuaţiei lui Schrödinger:

sinn

n xx A

L

, (27.44)

unde constanta A poate fi determinată din condiţia de normare a

probabilităţilor (vezi (27.23)) după cum urmează:

2 2 2

0 0

1 sin 1

L L

n

n xx dx A dx

L

2

0

21 cos 1

2

LA n x

dxL

Fig. 27.8

63

2

0 0

2 2cos 1

2 2

L LA L n x n x

dx dn L L

2

0

0

2sin 1

2 2

L

LA L n xx

n L

2

2 2 21

2

AL A A

L L .

Astfel, funcţiile de undă (funcţiile proprii) ale electronului în

groapa unidimensională rectangulară de potenţial au aspectul:

2

sin , 1, 2, 3,n

n xx n

L L

(27.45)

În figura 27.9 sunt reprezentate primele 4 unde staţionare ce

corespund primelor 4 niveluri energetice ale electronului cu valorile

numărului cuantic n = 1, 2, 3, 4.

Densitatea de probabilitate a aflării microparticulei în starea cu

numărul cuantic n este

2 22

sin , 1, 2, 3,n

n xx n

L L

(27.46)

Fig. 27.9


64

În figura 27.10 este reprezentată

dependenţa densităţii de probabilitate

|Ψ4(x)|2 pentru starea cu n = 4. Din

figură se observă, că în starea menţi-

onată probabilitatea de a înregistra

microparticula în punctele cu

coordonatele x = 0, L/4, L/2, 3L/4, L

este egală cu zero.

Analogic poate fi cercetat comportamentul microparticulei aflată

în gropi rectangulare bidimensionale şi tridimensionale de potenţial

cu pereţi absolut reflectanţi şi având înălţimi infinite. În cazul gropii

bidimensionale 2 2 2 2 2x y şi ecuaţia staţionară a lui

Schrödinger are aspectul

2 2

2 2 2

20

mE

x y

. (27.47)

Condiţiile de frontieră sunt 10 0L şi 20 0L ,

unde 1L şi 2L sunt lungimea şi, respectiv, lăţimea gropii de

potenţial. Soluţia ecuaţiei (27.47) are aspectul

1 2sin sinA k x k y . (27.48)

Substituind (27.48) în (27.47), obţinem:

2

2 2

1 22

E k km

. (27.49)

Din condiţiile de frontieră pentru funcţia de undă rezultă:

1 1 1

2 2 2

,

,

k L n

k L n

(27.50)

Fig. 27.10

65

unde 1n şi 2n sunt numere întregi. Substituind (27.50) în (27.48) şi

(27.49), obţinem următoarele expresii pentru funcţiile şi valorile

proprii ale ecuaţiei lui Schrödinger (27.47):

1 2

1 2

1 2

1 2

2 22 2

1 2

2 2

1 2

sin sin ;

.2

n n

n n

n x n yA

L L

n nE

m L L

(27.51)

Valorile cuantificate ale proiecţiilor impulsului microparticulei pe

axele de coordonate sunt:

1 1

1

2 2

2

;

.

x

y

p k nL

p k nL

(27.52)

Constanta A din funcţia de undă se determină din condiţia de

normare:

2 1

1 2

2

0 0 1 2

21

L L

n ndy dx AL L

. (27.53)

În cazul gropii tridimensionale 2 2 2 2 2x y

2 2z şi ecuaţia staţionară a lui Schrödinger capătă aspectul:

2 2 2

2 2 2 2

20

mE

x y z

. (27.54)

Condiţiile de frontieră sunt 10 0L , 20 0L şi

30 0L , unde 1L , 2L şi 3L sunt lungimea, lăţimea şi,

respectiv, înălţimea gropii de potenţial. Soluţia ecuaţiei (27.54) are


66

aspectul

1 2 3sin sin sinA k x k y k z . (27.55)

Substituind (27.55) în (27.54), obţinem:

2

2 2 2

1 2 32

E k k km

. (27.56)

Din condiţiile de frontieră pentru funcţia de undă rezultă:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

,

,

,

k L n

k L n

k L n

(27.57)

unde 1n , 2n şi 3n sunt numere întregi. Substituind (27.57) în

(27.55) şi (27.56), obţinem următoarele expresii pentru funcţiile şi

valorile proprii ale ecuaţiei lui Schrödinger (27.54):

1 2 3

1 2 3

31 2

1 2 3

22 22 2

31 2

2 2 2

1 2 3

sin sin sin ;

.2

n n n

n n n

n zn x n yA

L L L

nn nE

m L L L

(27.58)

Valorile cuantificate ale proiecţiilor impulsului microparticulei pe

axele de coordonate sunt:

1 1

1

2 2

2

3 3

3

;

;

.

x

y

z

p k nL

p k nL

p k nL

(27.59)

67

Constanta A din funcţia de undă se determină din condiţia de

normare:

3 2 1

1 2 3

2

0 0 0 1 2 3

2 21

L L L

n n ndz dy dx AL L L

. (27.60)

27.5. Oscilatorul liniar armonic

Modelul oscilatorului liniar armonic este un model des utilizat

pentru explicarea fenomenelor fizice. De exemplu, la stabilirea

legilor radiaţiei termice a corpului absolut negru, Planck, cunoscând

că densitatea spectrală a radianţei energetice nu depinde de

materialul pereţilor cavităţii, a considerat că aceştia sunt compuşi

din oscilatori armonici. În capitolul 19 am stabilit că un punct

material de masă m ce efectuează oscilaţii sub acţiunea forţei

elastice F kx , unde k este constanta de elasticitate (pendulul

elastic sau oscilatorul liniar armonic), posedă energia potenţială

(vezi (19.12)) 2 2 2

02 2U x kx m x . În fizica clasică punctul

material efectuează oscilaţii cu frecvenţa ciclică 0 k m , iar

energia lui poate lua orice valori, inclusiv valoarea nulă. După cum

vom vedea, în mecanica cuantică, datorită proprietăţilor ondulatorii

ale microparticulelor, sunt permise doar un şir de valori ale energiei

oscilatorului

0

1, 1, 2, 3,

2nE n n

(27.61)

Însă, înainte de aplicarea ecuaţiei lui Schrödinger, vom efectua

unele calcule aproximative bazate pe analogia cu particula plasată

într-o groapă de potenţial rectangulară. În cazul nostru particula se


68

află într-o groapă parabolică de potenţial

(fig. 27.11) cu lăţimea L = 2x0, unde x0 este

abaterea maximă a punctului material de la

poziţia de echilibru, adică amplitudinea

oscilaţiilor. Pentru unda staţionară ce

corespunde stării cu numărul cuantic n pe

lăţimea gropii L trebuie să încapă un număr n de semiunde:

02 2nn x . De aici obţinem următoarele valori medii ale:

lungimii de undă de Broglie a microparticulei

04n

x

n ,

impulsului

04n

h hp n

x

şi energiei cinetice

2 2 2

2

02 32c

p n hE

m mx .

Întrucât valorile medii ale energiilor cinetică şi potenţială ale

oscilatorului sunt egale între ele, energia totală este

2 2

2

0

216

c

n hE E

mx ,

care trebuie să coincidă cu valoarea maximă a energiei potenţiale,

adică

2 2

0 0

1

2E m x .

Fig. 27.11

69

Înmulțim ultimele două ecuații și obținem

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 200 0

32 8

n hE n n

,

întrucât în cazul unor astfel de calcule aproximative 2 8 1 . Din

relaţia precedentă se obţin următoarele valori cuantificate ale

energiei oscilatorului liniar armonic:

0, 1, 2, 3,nE n n (27.62)

Anume astfel de valori rezultă din ipoteza cuantică utilizată de

Planck în teoria radiaţiei termice.

Valorile exacte ale energiei oscilatorului liniar armonic se obţin

cu ajutorul ecuaţiei lui Schrödinger:

2 22

0

2 2

2

2

m xd mE

dx

. (27.63)

Soluţia ecuaţiei (27.63) este mai simplu a fi intuită, decât obţinută

riguros. Să probăm funcţia lui Gauss în calitate de funcţie de undă a

stării fundamentale a oscilatorului

2

1

axx e , (27.64)

unde a este o constantă. Pentru aceasta calculăm derivata a doua

2 2 2

22 21 1

22 ; 2 4ax ax axd daxe ae a x e

dx dx

şi o substituim în (27.63):

2 2

2 22 2 0

12

22 4

2

ax axm xma a x e E e


70

2 2 2

2 2 01

2 2

22 4

m xmEa a x

.

Egalând coeficienţii de pe lângă 2x , obţinem:

2 2

2 0 0

24

2

m ma a

.

Din egalitatea termenilor liberi se obţine valoarea energiei

oscilatorului aflat în starea fundamentală

2 2

0 0112

22

2 2

mmE aa E

m m

Astfel, funcţia lui Gauss

20

21

mx

x e

(27.65)

este soluţie a ecuaţiei lui Schrödinger (27.63), dar numai cu condiţia

că energia oscilatorului în această stare este

01

2E

. (27.66)

Analogic se poate demonstra că funcţia de undă a oscilatorului în

starea a doua (prima stare excitată) este

20

22

mx

x xe

cu condiţia că energia oscilatorului în această stare este

02

3

2E

ş.a.m.d. Energia oscilatorului în starea cu numărul cuantic n se

exprimă prin formula (27.61).

71

27.6. Efectul tunel

Studiind în mecanica clasică comportamentul unui punct

material aflat într-o groapă de potenţial, separată de o barieră de

potenţial (vezi §3.3), am stabilit că pentru ca punctul material să

poată trece bariera de potenţial, acestuia trebuie să i se comunice o

energie suplimentară mai mare sau egală cu înălţimea barierei. În

caz contrar punctul material va rămâne pentru totdeauna în

interiorul gropii.

În mecanica cuantică, însă, datorită

proprietăţilor ondulatorii ale micro-

particulelor situaţia se schimbă radical.

Ca şi undele de lumină, care la reflexia

de la un mediu mai dens, parţial, se

refractă trecând prin mediul al doilea,

undele de Broglie asociate microparti-

culelor pot să treacă prin bariera de potenţial (fig. 27.12). Acest

fenomen străin fizicii clasice se numeşte efect tunel. Efectul tunel

se caracterizează cu ajutorul raportului dintre densitatea de

probabilitate de a înregistra microparticula dincolo de barieră, adică

în domeniul III şi densitatea de probabilitate de a o înregistra în faţa

barierei, adică în domeniul I ("probabilitatea relativă" ca particula

să treacă în domeniul III). Această mărime fizică se notează prin T

şi se numeşte transparenţă a barierei de potenţial:

2

III III III

I I I

T

, (27.67)

unde III este funcţia de undă a particulei în domeniul III, iar

I

este funcţia de undă a acesteia în domeniul I. Se mai defineşte şi

mărimea 1R T care se numeşte coeficient de reflexie al barierei

Fig. 27.12


72

de potenţial. Transparenţa T depinde de lărgimea, înălţimea şi

forma barierei. De exemplu, după cum arată calculele bazate pe

soluţionarea ecuaţiei lui Schrödinger, transparenţa unei bariere

rectangulare de potenţial de lărgimea L şi înălţimea 0U (fig. 27.12)

pentru o microparticulă de masa m este

0 0

2exp 2

LT T m U E

, (27.68)

unde E este energia totală a microparticulei, iar 0T este un

coeficient numeric apropiat de unitate. Din relaţia (27.68) se

observă că transparenţa barierei creşte când lărgimea ei L şi

diferenţa 0U E se micşorează. Totodată, transparenţa este mai

mică pentru particulele cu masă mai mare. Trecerea particulei în

domeniul III prin domeniul II, adică prin barieră, se realizează cu

aceeaşi energie E , întrucât bariera nu modifică această energie. Se

spune că "particula trece prin barieră ca printr-un tunel". Efectul

tunel a fost descoperit de fizicianul american originar din Chişinău

George Gamow (1904 – 1968) în anul 1928, care a explicat

dezintegrarea alfa a nucleelor atomice radioactive. Din punct de

vedere al mecanicii clasice particula alfa (nucleul de heliu) nu poate

părăsi nucleul atomic, întrucât aceasta este îngrădită de o barieră

înaltă de potenţial. Particulei alfa i-ar trebui o cantitate foarte mare

de energie pentru a învinge potenţialul electric existent în jurul

nucleului. Conform mecanicii cuantice, însă, există o anumită

probabilitate ca particula alfa să depăşească bariera de potenţial şi

să apară în afara nucleului radioactiv.

În calitate de exemplu calculăm transparenţa barierei nucleare de

potenţial pentru un nucleon, considerând masa lui 2710 kgm

,

lărgimea barierei egală cu dimensiunile nucleului 1510 mL , iar

73

înălţimea barierei 0 10MeVU E . Substituind aceste mărimi în

(27.68) se obţine 0,32T . Această valoare arată că există o

probabilitate destul de mare a ieşirii nucleonului din nucleul atomic.

Efectul tunel explică şi fenomenul fuziunii nucleare în interiorul

Soarelui. Fuziunea nucleară constă în formarea unui nou nucleu mai

greu la ciocnirea a două nuclee uşoare. În rezultatul fuziunii se

eliberează o mare cantitate de energie sub formă de radiaţii

electromagnetice. Drept exemplu serveşte sinteza nucleului de heliu

la ciocnirea a două nuclee de deuteriu. Nucleele uşoare pot să se

unească într-un singur nucleu mai greu numai în cazul, când acestea

sunt apropiate la distanţe atât de mici încât încep să se

manifeste forţele nucleare de atracţie. Până atunci ele se resping

puternic, întrucât sunt încărcate cu sarcini pozitive. Cu alte cuvinte,

înainte să se unească nucleele trebuie să învingă o barieră înaltă de

potenţial. Dar, apropierea sau învingerea barierei poate să se

realizeze numai dacă nucleele uşoare au energii cinetice foarte mari,

ceea ce presupune o temperatură foarte înaltă a plasmei ce conţine

aceste nuclee. Un simplu calcul arată, însă, că temperatura din

interiorul Soarelui (aceasta este de aproximativ 15 milioane de

grade) nu este suficientă pentru ca nucleele uşoare să capete energia

necesară pentru a se apropia la distanţe atât de mici încât forţele

nucleare să le unească într-un nou nucleu mai greu. Totuşi, Soarele

străluceşte, emiţând în jur o cantitate enormă de energie. Acest fapt

se datorează efectului cuantic de tunel. În pofida faptului că bariera

de potenţial pe care nucleul uşor trebuie s-o învingă este destul de

înaltă, există o anumită probabilitate ca nucleul uşor s-o depăşească

şi astfel să facă posibilă fuziunea, în rezultatul căreia ia naştere

lumina şi energia emisă de Soare.

Structura şi proprietăţile optice ale atomilor

74

Capitolul 28. Structura şi proprietăţile optice ale atomilor

28.1. Modelul cuantic al atomului de hidrogen. Numere cuantice

În § 27.5 am stabilit stările cuantice ale oscilatorului liniar

armonic, care reprezintă o particulă aflată într-o groapă de potenţial

de formă parabolică 2 2 2

02 2U x kx m x . Acum vom cerceta

comportamentul unei particule aflate într-o groapă, în care energia

potenţială variază invers proporţional cu distanţa. O astfel de

energie potenţială corespunde forţelor de interacţiune gravitaţională

şi electrostatică dintre particule. În cazul atomului de hidrogen

energia potenţială de interacţiune a electronului şi protonului are

aspectul

2

0

eU k

r , (28.1)

unde e este sarcina elementară, r este distanţa dintre particule, iar

0 01 4k .

Mai întâi vom obţine o soluţie aproximativă, înlocuind groapa

hiperbolică reală cu o groapă de potenţial rectangulară (fig. 28.1),

tot aşa cum am procedat la cercetarea oscilatorului armonic (vezi

§ 27.5 ). O astfel de tratare a problemei ne va permite să obţinem o

reprezentare intuitivă despre atomul de hidrogen şi să evităm

detaliile matematice neimportante pentru acest scop. Totodată, vom

clarifica caracterul undelor electronice staţionare în cazul atomului

de hidrogen şi vom stabili dependenţa lor de constantele

fundamentale 0, ,h m e , unde 0m este masa electronului, iar e este

75

sarcina lui electrică. În aceste

calcule aproximative vom

utiliza groapa de potenţial

reprezentată în figura 28.1.

După cum se observă din

figură, electronul aflat pe

nivelul cu energia E , în

conformitate cu legile fizicii

clasice, poate să se îndepăr-

teze de nucleu la distanţa maximă 0R . În calitate de valoare

aproximativă a valorii medii a distanţei dintre particule vom lua

mărimea 0 2R . În calitate de adâncime a gropii rectangulare

echivalente 0U se va lua valoarea mărimii U pentru r R , adică

2

0 0U k e R . În cazul undei staţionare de ordinul n, pe lărgimea

gropii (linia punctată din figura 28.1) trebuie să încapă exact n

semiunde:

00

42

2

nn

Rn R

n

.

Presupunem că impulsul mediu al electronului este egal cu impulsul

de Broglie, adică 04n np h hn R . Atunci energia cinetică

medie

2 2 2

2

0 0 02 32

nc

p h nE

m m R .

Din figura 28.1 rezultă că

2

0

0

c

eE E k

R . (28.2)

Comparând această expresie cu cea precedentă, obţinem

Fig. 28.1


76

2 2 2 2 2 2 2

2002 2 2

0 0 0 0 0 0 0

4

32 32 32

k e h n h nR n

R m R k m e k m e

. (28.3)

După cum vom vedea ulterior, „dimensiunea” armonicii cu numărul

n a funcţiei de undă se deosebeşte puţin de cea reală:

2

2

2

0 0

nR nk m e

.

Substituind (28.3) în (28.2), obţinem valorile aproximative ale

nivelurilor energetice:

4

2 002 2 2

16 1

2n

m eE k

n ,

iar rezultatul exact, după cum se va constata ulterior, este

4

2 00 2 2

1

2n

m eE k

n .

Astfel, în pofida aplicării unei aproximaţii destul de grosolane,

am obţinut o soluţie ce indică dependenţa corectă de constantele

fundamentale 0 , ,m e şi de numărul cuantic n , creându-ne totodată

şi o impresie iniţială despre comportamentul electronului în atomul

de hidrogen.

Soluţiile corecte pentru nivelurile energetice ale electronului în

atomul de hidrogen se obţin la rezolvarea riguroasă a ecuaţiei

staţionare a lui Schrödinger pentru cazul tridimensional:

2 2 2

0

2 2 2 2

2mE U

x y z

. (28.4)

Întrucât în multe probleme aplicative, energia potenţială depinde

numai de distanţa 2 2 2r x y z până la originea de coordonate,

77

este mai comod să se scrie această ecuaţie

în coordonate sferice, care, după cum se

observă din figura 28.2, se exprimă prin

cele carteziene cu ajutorul relaţiilor

sin cos ,

sin sin ,

cos .

x r

y r

z r

Se poate demonstra că ecuaţia staţionară a lui Schrödinger în

coordonate sferice are aspectul:

2

2 2

1 1sin

sinr

r r r r

2

0

2 2 2 2

21

sin

mE U

r

. (28.5)

Ecuaţia lui Schrödinger pentru atomul de hidrogen se obţine

substituind (28.1) în (28.5):

2

2 2

1 1sin

sinr

r r r r

22

0 0

2 2 2 2

21

sin

m k eE

r r

. (28.6)

Una dintre soluţiile acestei ecuaţii este funcţia 1

r aC e , unde 1C

este o constantă ce se poate determina din condiţia de normare. Într-

adevăr, substituind această funcţie în (28.6) şi observând că

derivatele parţiale şi se anulează, obţinem

Fig. 28.2


78

1 22 0 0

12 2

22

0 01 12 2

22

0 0

2 2 2

2

0 0 0

2 2 2

21

21

21 2

2 21 2 1 1.

r

a

r

a

r r

a a

C em k e

r E C er r r r

m k erC e E C e

r r a r

m k er rE

r a a r

m E m k e

a a r r

Egalând termenii de pe lângă 1 r , obţinem valoarea constantei a :

2 2

0 0

2 2

0 0

22 m k ea

a k m e , (28.7)

iar egalând termenii liberi, obţinem valoarea energiei electronului în

starea considerată:

2

0

2 2 2

0

21.

2

m EE

a m a

Substituind aici expresia (28.7) pentru a , obţinem definitiv

4

2 00 22

m eE k . (28.8)

Astfel, dacă mărimile a şi E au valorile determinate de relaţiile

(28.7) şi (28.8), funcţia exponenţială 1

r aC e este soluţia

ecuaţiei lui Schrödinger pentru atomul de hidrogen. Observăm că

funcţia 1

r aC e nu are noduri, adică reprezintă unda staţionară

79

de ordinul cel mai mic. Aceasta înseamnă că şi energia (28.8)

corespunde nivelului cel mai inferior. Această stare a electronului se

numeşte stare fundamentală. Substituind în (28.8) valorile

constantelor 0 0, ,m k e şi , obţinem valoarea minimă a energiei

necesare pentru înlăturarea electronului din atomul de hidrogen,

numită şi energie de ionizare a acestui atom:

19

1 21,8 10 J 13,6eVE .

Să stabilim care este sensul fizic al constantei a . Pentru aceasta

calculăm probabilitatea aflării electronului într-un strat sferic de

grosime dr şi volum 24dV r dr , aflat la distanţa r de la nucleu:

2

2 2 2

14r

ad r dV C e r dr

P .

Derivând funcţia d drP în raport cu r şi egalând rezultatul cu zero,

determinăm valoarea distanţei mr , pentru care probabilitatea aflării

electronului este maximă:

2 2

2 2 2

1

2 2

4 0 0

22 0 .

r r

a a

r

am

d dC e r e r

dr dr

re r r a

a

Astfel, la distanţa mr a de la nucleu probabilitatea aflării

electronului este maximă. De aceea distanţa respectivă se ia în

calitate de rază a atomului de hidrogen:

2

11

2

0 0

5,3 10 mR ak m e

. (28.9)

Această mărime coincide cu raza primei orbite a electronului în


80

teoria lui Bohr.

Constanta 1C se determină din condiţia de normare. Integrând

prin părţi, obţinem:

22

2 2

1

0

2 222

1

00

2 2

2

1

00

22 32 2

1 1

0

1 4 1

4 2 12 2

4 12 2

4 1 4 1,2 2 4

r

a

V

r r

a a

r r

a a

r

a

dV C e r dr

ar aC e re dr

ar aC a e e dr

a a aC e C

de unde

1

3

1C

a .

Astfel, funcţia de undă a electronului în starea fundamentală a

atomului de hidrogen are aspectul:

13

1r

ar ea

. (28.10)

Se poate demonstra că funcţiile de undă ale acestui electron în

următoarele stări au aspectele:

22 2 1

2

r

ar

r C ea

şi

81

2

33 3 2

2 21

3 27

r

ar r

r C ea a

.

Acestea satisfac ecuaţia (28.6) cu condiţia ca 2 1 4E E şi 3 1 9E E .

Analogic se poate demonstra că nivelurile energetice ale atomului

de hidrogen se exprimă prin formula

4

2 0102 2 2

1

2n

m eEE k

n n , (28.11)

unde n este un număr întreg pozitiv numit număr cuantic

principal: 1,2,3,4,n . Acestor valori cuantificate ale energiei

electronului le corespund soluţii ale ecuaţiei staţionare ale lui

Schrödinger de forma unor unde staţionare tridimensionale. Dar,

pentru descrierea completă a undei staţionare tridimensionale mai

sunt necesare două numere cuantice. Acestea caracterizează

momentul cinetic al particulei.

În mecanica cuantică se demonstrează că valorile vectorului

momentului cinetic orbital al electronului L se cuantifică în

conformitate cu relaţia:

1L l l , 0, 1, 2, 3, , 1l n , (28.12)

unde l se numeşte număr cuantic orbital. Stările electronului

caracterizate de diferite valori ale numărului cuantic orbital l se

notează şi se numesc după cum urmează: l = 0 – starea s; l = 1 –

starea p; l = 2 – starea d; l = 3 – starea f, iar mai departe în

ordinea succesiunii literelor alfabetului latin.

S-a constatat că nu numai valorile vectorului momentului

impulsului sunt cuantificate, dar şi orientarea acestuia în spaţiu, de


82

asemenea, este doar în anumite direcţii.

Într-adevăr, presupunem că pachetul de

unde cu numărul de undă k, care

reprezintă electronul, se mişcă pe un cerc

de raza R , după cum este indicat în figura

28.3. Acest pachet posedă un moment al

impulsului în raport cu axa Oz :

zL Rp R k . Pe arcul de lungime s R (fig. 28.3) funcţia de

undă a electronului poate fi reprezentată sub aspectul

iks ikRe e

Întrucât 0 şi 2 se măsoară în acelaşi punct al

spaţiului, valorile lor coincid, adică

0 2 21ikR ikR i kRe e e .

Această egalitate are loc numai dacă produsul kR este un număr

întreg, care de regulă se notează prin litera m : kR m . Înmulţind

ambele părţi ale acestei egalităţi cu , obţinem

zkR m L m .

Funcţia de undă corespunzătoare are aspectul

ikR ime e .

Astfel s-a demonstrat că dacă funcţia de undă a electronului din

atom conţine factorul ime , atunci direcţiile momentului orbital al

impulsului electronului se cuantifică, adică momentul orbital al

impulsului L poate avea numai astfel de direcţii în spaţiu, încât

proiecţia lui pe o direcţie aleasă să fie egală cu un număr întreg de .

Fig. 28.3

83

Cu alte cuvinte zL poate lua numai valorile 0, , 2 , 3 ,

ş.a.m.d. Dar, ce direcţie aleasă se are în vedere? În mecanica clasică

direcţia vectorului L se indică în raport cu direcţia perpendiculară

planului orbitei electronului. În mecanica cuantică, după cum

rezultă din relaţiile de incertitudine, noţiunea de orbită îşi pierde

sensul. De aceea în calitate de o astfel de direcţie se ia direcţia

câmpului magnetic exterior sau a celui interior creat de nucleul

atomului şi de toţi electronii lui cu excepţia celui analizat. În

mecanica clasică momentul orbital al impulsului electronului L

poate avea orice direcţie în raport cu direcţia câmpului magnetic

exterior, pe când în mecanica cuantică situaţia este alta: se observă

fenomenul cuantificării spaţiale.

Momentul orbital al impulsului electronului L poate avea

numai astfel de direcţii în spaţiu, încât proiecţia zL a

acestui vector pe direcţia câmpului magnetic exterior ia

valori cuantificate multiple constantei :

, 0, 1, 2, 3, ,zL m m l , (28.13)

unde numărul m se numeşte număr

cuantic magnetic. Se observă că

vectorul L poate avea 2l + 1 orientări

în spaţiu. În figura 28.4 sunt

reprezentate orientările posibile ale

vectorului momentului cinetic orbital

pentru electronii din stările p (l = 1)

şi d (l = 2).

Aceste rezultate despre cuanti-

ficarea energiei şi a momentului

Fig. 28.4


84

orbital al impulsului electronului se obţin prin rezolvarea riguroasă

a ecuaţiei lui Schrödinger (28.6), căutând soluţia ecuaţiei sub forma

, , , ,, , im

n l m n l l mr R r e . (28.14)

Unele expresii pentru funcţiile Rn,l (ρ), unde ρ = r/a şi Θl,m (θ) ce

satisfac ecuaţia lui Schrödinger (28.6), sunt prezentate în tabelul

28.1:

Constanta C care se conţine în fiecare funcţie se determină din

condiţia de normare ca şi în cazul funcţiei (28.10). Observăm că

pentru 2n , numărul cuantic orbital l poate lua două valori: 0 şi 1.

Valorii 1l îi corespund trei valori ale numărului cuantic

magnetic: –1, 0 şi 1. În conformitate cu relaţia (28.11), acestor 4

funcţii le corespunde unul şi acelaşi nivel energetic 2 1 4E E .

Tabelul 28.1

,n lR , r a ,l m

1,0R Ce 0,0 1

2

2,0 1 2R C e 1,0 cos

2

2,1R C e 1,1 sin

2 3

3,0 1 2 3 2 27R C e 2

2,0 3cos 1

3

3,1 1 6R C e 2,1 sin cos

2 3

3,2R C e 2

2,2 sin

1

, 1

n n

n nR C e

, sin i

i i

85

Dacă 3n , atunci numărul

cuantic orbital l poate lua trei

valori: 0, 1 şi 2, iar numărul

cuantic magnetic – 9 valori (vezi

tabelul 28.2).

Astfel, în acest caz există 9 funcţii

de undă diferite ce depind de ,r

şi , dar tuturor le corespunde

una şi aceeaşi energie 3 1 9E E .

Generalizând aceste exemple,

tragem concluzia că

tuturor funcţiilor proprii cu aceeaşi valoare a numărului

cuantic principal n le corespunde una şi aceeaşi valoare

proprie a energiei.

După cum s-a stabilit în capitolul 16 (vezi §16.1), mişcarea

electronului pe orbită în jurul nucleului generează un curent orbital,

care dă naştere unui moment magnetic orbital al electronului mp

orientat exact în sens opus vectorului momentului cinetic orbital al

electronului L şi legat cu acesta prin relaţia (vezi (16.5))

02

m

ep L L

m , (28.15)

unde mărimea 02e m este raportul giromagnetic, e fiind

sarcina electronului, iar 0m – masa lui. Întrucât valoarea

momentului cinetic orbital al electronului L este o mărime

cuantificată după legea (28.13), trebuie să se cuantifice şi valoarea

Tabelul 28.2

n l m

3 0 0

3 1 1

3 1 0

3 1 –1

3 2 2

3 2 1

3 2 0

3 2 –1

3 2 –2


86

momentului magnetic orbital al electronului:

0 0

( 1) ( 1)2 2

m m B P

e ep p L l l l l

m m , (28.16)

unde mărimea 02B P e m se numeşte magnetonul Bohr-

Procopiu, având valoarea 24 29,27 10 A mB P

. Astfel,

valoarea momentului magnetic orbital de asemenea este

cuantificată, deci poate lua numai anumite valori, determinate de

numărul cuantic l . Se observă că în mecanica cuantică mărimea

reprezintă unitatea naturală pentru momentele cinetice, iar

magnetonul Bohr-Procopiu B P este unitatea naturală pentru

momentele magnetice. Relaţiile (28.15) şi (28.16) demonstrează că

pentru vectorul mp , de asemenea, trebuie să se realizeze

cuantificarea spaţială, întrucât proiecţia momentului magnetic

orbital mp pe axa Oz ce determină direcţia câmpului magnetic

exterior, poate lua valorile:

0 02 2

mz z B P

e ep L m m

m m , (28.17)

unde numărul cuantic magnetic m poate lua 2 1l valori, adică

vectorul mp poate avea numai 2 1l direcţii în spaţiu.

Să analizăm acum comportamentul unui atom de hidrogen plasat

într-un câmp magnetic omogen de inducţie B , în sensul căreia este

orientată axa Oz . Se poate demonstra că energia potenţială de

interacţiune a curentului orbital cu acest câmp magnetic este

cosmagn m mU p B p B , (28.18)

unde α este unghiul dintre momentul magnetic orbital al

87

electronului şi inducţia câmpului magnetic exterior. Atunci, energia

totală a electronului din atomul de hidrogen, este:

4

2 002 2

1cos

2n magn m

m eE E U k p B

n .

Însă, cosm mz B Pp p m . Deci,

4

2 002 2

1

2B P

m eE k m B

n . (28.19)

Din relaţia (28.19) se pot

determina nivelurile energetice

posibile ale electronului din

atomul de hidrogen situat

într-un câmp magnetic

omogen de inducţie B .

Întrucât unei valori concrete a

numărului cuantic orbital l îi

corespund 2l + 1 valori posibile ale numărului cuantic magnetic m,

fiecare nivel energetic al electronului se va despica în 2l + 1

subniveluri. În figura 28.5 sunt reprezentate tranziţiile electronului

între stările p şi s. Pentru starea s (l = 0) momentul cinetic orbital

este nul şi momentul magnetic orbital, de asemenea, va fi nul. Prin

urmare, starea s nu va fi influenţată de prezența câmpului magnetic

exterior. Nivelul corespunzător stării p (l = 1) în câmpul magnetic

exterior va fi despicat în 3 subniveluri energetice egal distanţate, ce

corespund valorilor –1, 0, +1 ale numărului cuantic magnetic m.

Distanţa dintre nivelurile energetice apărute prin despicarea în câmp

magnetic exterior are valoare constantă şi este

Fig. 28.5


88

04

ehE B

m . (28.20)

Astfel, la introducerea atomului de hidrogen în câmp magnetic

omogen, de rând cu linia de frecvenţă 0 , prezentă şi în absenţa

câmpului magnetic, în spectru mai apar două linii spectrale egal

deplasate faţă de 0 , cele trei frecvenţe fiind:

1 0 0 1 0

0 0

; ;4 4

eB eB

m m

. (28.21)

Fenomenul despicării liniilor spectrale la situarea sursei în câmp

magnetic a fost observat pentru prima dată în anul 1896 de către

fizicianul olandez Pieter Zeeman (1865 – 1943), primind în cinstea

acestuia denumirea de efect Zeeman.

28.2. Spinul electronului. Principiul Pauli. Distribuţia

electronilor pe nivelurile energetice ale atomilor

În scopul măsurării momentelor magnetice ale atomilor diferitor

elemente chimice, fizicienii germani Otto Stern (1888–1969) şi

Walther Gerlach (1899–1979) au realizat experienţe cu fascicule de

atomi ce treceau printr-un câmp magnetic neomogen chiar pe

distanţe comparabile cu dimensiunile atomice. La trecerea unui

atom printr-un astfel de câmp orientat perpendicular direcţiei de

mişcare a atomului, asupra acestuia acţionează o forţă de deviere

mz

dBF p

dz , (28.22)

unde mzp este proiecţia vectorului momentului magnetic pe direcţia

câmpului magnetic neomogen numai în această direcţie. Forţa F

89

era determinată după devierea atomului în câmp magnetic, iar

mărimea dB dz se cunoştea din construcţia electromagnetului cu

poli de formă specială (fig. 28.6). Astfel s-a reuşit determinarea

proiecţiei momentului magnetic al atomului mzp . Primele experienţe

au fost efectuate cu atomi ai elementelor primei grupe, pentru care

momentele magnetice orbitale ale tuturor electronilor în afară de cel

de valenţă (de pe învelişul exterior) se compensează reciproc. Prin

urmare, momentul magnetic al acestor atomi coincide cu momentul

magnetic orbital al electronului de valenţă. Conform relaţiei (28.17)

acest moment magnetic trebuie să aibă 2 1l orientări în spaţiu, iar

proiecţia acestuia pe direcţia câmpului magnetic exterior trebuie să

fie un multiplu întreg al magnetonului Bohr-Procopiu B P . Dacă

cuantificarea spaţială a momentului magnetic orbital mp şi a

momentului cinetic orbital L nu s-ar realiza, atunci pe placa

fotografică situată în calea fasciculului de atomi după trecerea lor

prin câmpul magnetic ar trebui să se observe o distribuţie continuă a

punctelor de impact, mai pronunţată în centrul imaginii şi mai puţin

pronunţată la marginile ei. Experienţele lui Stern şi Gerlach au

arătat două franje pe placa fotografică, care indicau două direcţii

Fig. 28.6


90

posibile ale vectorului mp faţă de direcţia câmpului magnetic

exterior (fig. 28.6). Valorile proiecţiilor momentelor magnetice pe

direcţia câmpului magnetic exterior mzp după modul s-au obţinut

egale cu magnetonul Bohr-Procopiu B P . Astfel experienţele lui

Stern şi Gerlach au confirmat natura cuantică a momentelor

magnetice ale atomilor şi electronilor, precum şi cuantificarea

spaţială a acestora, iar prin intermediul lor şi cuantificarea spaţială a

momentelor cinetice. În pofida acestor rezultate remarcabile,

interpretarea rezultatelor experienţelor lui Stern şi Gerlach au

întâlnit la început mari dificultăţi. Problema care a apărut consta în

faptul că electronii de valenţă din atomii primei grupe se află în

starea fundamentală s cu numărul cuantic orbital 0l . Rezultă că

în această stare 0L şi 0mp . Apare întrebarea: cuantificarea

spaţială a cărui moment al impulsului şi a cărui moment magnetic a

fost observată în aceste experienţe?

Pentru explicarea rezultatelor experienţelor lui Stern şi Gerlach,

dar şi a altor rezultate experimentale acumulate la acea vreme,

fizicienii americani George Eugene Uhlenbek (1900 – 1988) şi

Samuel Abraham Gaudsmit (1902 – 1978) au înaintat în anul 1925

ipoteza, că electronul posedă nu numai moment cinetic orbital (al

impulsului) L şi moment magnetic orbital mp , dar şi moment

cinetic (al impulsului) propriu sL numit şi spin al electronului şi

moment magnetic propriu msp .

Momentul cinetic propriu al electronului sL , ca şi orice moment

cinetic al unei microparticule, trebuie să se cuantifice ca mărime

conform relaţiei (28.13):

91

1sL s s , (28.23)

unde s este numărul cuantic de spin, dar şi ca direcţie conform

relaţiei (28.12), având 2 1s direcţii în spaţiu în raport cu direcţia

câmpului magnetic exterior. Întrucât experienţele lui Stern şi

Gerlach au arătat numai două orientări ale spinului faţă de câmpul

magnetic exterior, rezultă că 2 1 2s şi deci 1 2s . Substituind

această valoare în (28.23), pentru valoarea spinului electronului

obţinem

1 1 3

12 2 2

sL

. (28.24)

Conform relaţiei (28.13)

sz sL m , (28.25)

unde numărul cuantic 1 2sm . Prin analogie el ar putea fi numit

număr magnetic de spin, dar de obicei se numeşte număr cuantic

de spin. Cuantificării spaţiale a spinului electronului îi corespunde

şi cuantificarea spaţială a momentului magnetic propriu (vezi

(28.17)):

0 0

2mzs s zs zs s s B P B P

e ep L L m m

m m , (28.26)

unde 0s e m este raportul giromagnetic de spin.

Din cele menţionate până acum rezultă că starea unui electron

din atom poate fi descrisă cu ajutorul a 4 numere cuantice: principal

n = 1, 2, 3, 4,…, orbital l = 0, 1, 2, 3, 4,…, (n – 1), magnetic

0, 1, 2, 3, ,m l şi de spin 1 2sm . Pentru a explica

distribuţia electronilor în atomi după stările descrise de aceste


92

numere cuantice, încă înainte de descoperirea spinului electronului,

fizicianul austriac Wolfgang Ernst Pauli (1900 – 1958) a emis

ipoteza că o undă electronică staţionară poate fi formată de nu mai

mult de doi electroni. Acest postulat a căpătat denumirea de

principiul de excluziune sau principiul Pauli. Astfel, în starea cu

numărul cuantic principal n = 1 se pot afla 2 electroni. Stării cu n =

2 îi corespund 4 unde staţionare (funcţii de undă), întrucât se pot

construi următoarele 4 combinaţii din numerele cuantice (n, l, m):

(2,0,0), (2,1,1), (2,1,0) şi (2,1,–1). Aceasta înseamnă că în stările cu

n = 2 se pot afla 8 electroni. Astfel, cu ajutorul principiului de

excluziune se poate explica distribuţia electronilor în atomii tuturor

elementelor din tabelul periodic. La acea vreme principiul de

excluziune nu putea fi demonstrat, însă, peste un an a fost

descoperit spinul electronului, adică faptul că electronul posedă un

moment cinetic propriu, proiecţia căruia pe direcţia câmpului

magnetic exterior este 2 . Spinul nu poate fi nici mărit şi nici

micşorat. El este o caracteristică a electronului ca, de exemplu,

masa sau sarcina. După descoperirea spinului Pauli şi Dirac au

elaborat teoria relativistă a particulelor cu spin semiîntreg şi au

observat că condiţia invarianţei relativiste conduce la funcţii de

undă a electronilor, care automat satisfac principiul de excluziune.

Astfel starea electronului în atom se descrie cu ajutorul a 4 numere

cuantice: , , , sn l m m . În acest caz principiul de excluziune se

formulează altfel:

În orice atom nu pot exista doi electroni în aceeaşi stare

staţionară determinată de cele patru numere cuantice

, , ,s

n l m m .

93

Matematic principiul Pauli poate fi reprezentat astfel

, , , 0 sau 1sN n l m m , (28.27)

unde , , , sN n l m m este numărul de electroni care se află în starea

staţionară descrisă de numerele cuantice , , , sn l m m . Principiul Pauli

permite calcularea pentru orice atom a numerelor maxime de

electroni cu valorile concrete a trei numere cuantice , ,N n l m , cu

valorile concrete a două numere cuantice ,N n l şi cu valoarea

dată a unui număr cuantic N n , dacă se ţine seama de limitele de

variaţie ale acestor numere. Întrucât numărul cuantic sm poate lua

numai 2 valori 1 2 şi 1 2 , rezultă că

, , 2N n l m . (28.27,a)

La o valoare dată a momentului cinetic orbital, acesta poate avea

2 1l orientări în spaţiu, rezultă că

, 2 2 1N n l l . (28.27,b)

Deoarece la valoarea dată a numărului cuantic n, numărul cuantic

orbital poate lua valorile de la 0 până la n – 1, rezultă că trebuie să

sumăm toate numerele N (n, l) obţinute pentru fiecare valoare a

numărului cuantic l:

1 1

2

0 0

1 2 1, 2 2 1 2 2

2

n n

l l

nN n N n l l n n

. (28.27,c)

Totalitatea electronilor dintr-un atom, caracterizaţi de unul şi acelaşi


94

număr cuantic principal n, constituie un strat electronic. În funcţie

de valorile numărului cuantic principal se deosebesc următoarele

straturi electronice, notate cu literele mari ale alfabetului latin: K

pentru n = 1; L pentru n = 2; M pentru n = 3; N pentru n = 4

ş.a.m.d. după alfabet. Numărul maxim de electroni ce se pot conţine

într-un anumit strat se determină din relaţia (28.27,c). De exemplu,

în stratul N (n = 4) se pot afla 2·42 = 32 electroni (vezi Tabelul

28.3). În fiecare strat electronii se distribuie după învelişuri

(pături). Fiecare înveliş este caracterizat de o anumită valoare a

numărului cuantic orbital l. Numărul maxim de electroni dintr-un

anumit înveliş se determină din relaţia (28.27,b) (vezi Tabelul 28.3)

Tabelul 28.3

Numărul

cuantic

principal, n

1 2 3 4

Simbolul

stratului K L M N

Nr. maxim

de electroni

în strat

2 8 18 32

Numărul

cuantic

orbital, l

0 0 1 0 1 2 0 1 2 3

Simbolul

învelişului 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f

Nr. maxim

de electroni

în înveliş

2 2 6 2 6 10 2 6 10 14

.

95

Capitolul 29. Elemente de statistici cuantice

29.1. Distribuţia electronilor în metale

În prima aproximaţie energiile potenţiale de interacţiune ale

electronilor exteriori ai atomilor cu nucleele lor în metale poate fi

reprezentată cu ajutorul unei energii medii care este o mărime

constantă negativă. Vom nota-o prin –U0. În figura 29.1 este

reprezentată dependenţa energiei potenţiale a electronului de valenţă

U ( x) în cazul unidimensional.

Aceasta reprezintă o groapă de

potenţial. În această figură

energia potenţială a electronului

liber aflat în afara metalului a fost

luată egală cu zero. Fiecare

electron exterior se descrie cu

ajutorul unei unde staţionare de

Broglie limitată ca dimensiune de

această groapă. În această aproximaţie metalul de volum V poate fi

considerat fiind o groapă tridimensională de potenţial, având acelaşi

volum V şi conţinând N electroni liberi. Conform principiului Pauli

în fiecare stare descrisă de expresia (27.55) se pot afla nu mai mult

de doi electroni. Cei N electroni tind să ocupe nivelurile energetice

inferioare formând astfel un gaz electronic numit gaz Fermi în

cinstea lui Enrico Fermi care pentru prima dată a atras atenţia

asupra proprietăţilor specifice ale acestuia. Aceşti N electroni liberi

ocupă toate stările energetice de la cea cu energie mai mică până la

Fig. 29.1

Elemente de statistici cuantice

96

cea cu energia F numită nivelul Fermi. Energia Fermi

F trebuie

să depindă de numărul electronilor liberi N şi de volumul metalului

V. În continuare vom demonstra că aceasta depinde de raportul

n N V ce determină numărul electronilor de conducţie în unitatea

de volum (concentraţia electronilor).

Calculele se simplifică, dacă groapa de potenţial se ia de forma

unui cub cu muchia L şi volumul L3. Dacă în groapă se află un

singur electron, atunci acesta va radia energia în exces şi va ocupa

nivelul cu cea mai mică energie. Acelaşi nivel va fi ocupat de cel de

al doilea electron. Conform principiului Pauli, al treilea electron va

fi nevoit să ocupe următorul, adică cel de-al doilea nivel energetic.

Pe acest nivel se va situa şi cel de-al patrulea electron. Al cincilea

electron va ocupa nivelul energetic cu numărul 3 ş.a.m.d. Dacă în

groapă se află N electroni, atunci nivelului Fermi îi va corespunde

energia nivelului cu numărul 2N . Conform (27.59) nivelurile

energetice ale electronilor în groapa tridimensională de potenţial

depind de trei numere cuantice 1 2 3, , :n n n

1 2 3

22 2, ,

yx zLpLp Lp

n n nh h h

, (29.1)

iar impulsul electronului

2

2 2 2 2 2 2 2

1 2 32( )

4x y z

hp p p p n n n

L . (29.2)

Notăm cu pF impulsul electronului aflat pe nivelul Fermi. Această

valoare pF a impulsului electronului este valoarea maximă a fiecărei

componente a impulsului px, p

y, p

z pentru oricare dintre cei N

97

electroni aflaţi în groapă. Rezultă că valorile maxime ale numerelor

cuantice n1, n

2, n

3 vor fi

1 2 3

2 F

F F F

Lpn n n

h . (29.3)

Pentru a obţine numărul total de

stări ocupate trebuie să calculăm

toate combinaţiile posibile din

cele trei numere cuantice n1, n

2, n

3,

fiecare număr fiind limitat de

valoarea (29.3). Pentru calcularea

acestui număr vom considera

spaţiul numerelor cuantice n1, n

2, n

3

(fig. 29.2). În acest spaţiu orice

stare posibilă, adică orice

combinaţie a numerelor întregi pozitive n1, n

2, n

3 este reprezentată

printr-un punct. Punctele formează o reţea cubică cu muchia celulei

egală cu unitatea, întrucât variaţia minimă a oricăruia din numerele

n1, n

2, n

3 este egală cu unitatea. Numărul celulelor reţelei este egal

cu numărul punctelor. Este evident că stările ocupate se află în

interiorul părţii de sferă cu raza

2 FLp

Rh

(29.4)

aflate în primul octant. De aceea numărul total g de stări cuantice

ocupate de electronii de conducţie este egal cu numărul de celule

cubice aflate în interiorul suprafeţei sferice din primul octant (fig.

29.2):

Fig. 29.2


98

3 3 33

3

2 41 4

8 3 6 3

F FLp L pg R

h h

. (29.5)

Întrucât în fiecare stare se află câte doi electroni, numărul total de

electroni

3

3

82

3

FVpN g

h

, (29.6)

unde 3V L este volumul gropii de potenţial, adică a metalului. Din

(29.6) obţinem următoarea expresie pentru impulsul electronului

aflat pe nivelul Fermi, numit şi impulsul Fermi:

1 3 1 333 3

8 2F

h N h np

V

, (29.7)

unde n N V este concentraţia electronilor de conducţie din metal.

Energia Fermi F poate fi determinată după cum urmează:

2 32 2 3

2 8

FF

p h n

m m

, (29.8)

unde m este masa electronului. Această energie nu depinde nici de

forma metalului, nici de volumul lui. Ea depinde numai de

concentraţia electronilor, adică de cât de dens sunt "împachetaţi"

electronii în metal.

29.2. Funcţiile de distribuţie Fermi-Dirac şi Bose-

Einstein. Degenerarea sistemelor descrise de

statisticile cuantice

Teoria consecventă a comportamentului electronilor liberi în

metale este posibilă numai în mecanica cuantică, unde poate să se

ţină seama de caracterul dual undă-corpuscul al proprietăţilor

99

particulelor de substanţă. Caracterul dual conduce la principiul

indiscernabilităţii particulelor identice:

orice sistem fizic cuantic de particule identice este descris

numai de funcţii de undă complet simetrice sau complet

antisimetrice în raport cu toate variabilele particulelor.

Funcţia de undă completă este compusă din funcţia de undă de

coordonate, care depinde de coordonatele particulelor, şi funcţia de

undă de spin, care depinde de orientarea spinilor acestora. Funcţia

de undă simetrică se deosebeşte de cea antisimetrică prin faptul că

prima nu-şi schimbă semnul la permutarea oricărei perechi a şi b de

particule ale sistemului, pe când a doua îşi schimbă semnul în opus

la o astfel de permutare. Permutarea particulelor a şi b înseamnă

trecerea sistemului în starea în care particula a ocupă starea în care

se afla mai devreme particula b, iar particula b ocupă starea în care

se afla particula a. Tipul funcţiei de undă complete (simetrică sau

antisimetrică) depinde de proiecţia szL a spinilor particulelor

sistemului pe direcţia câmpului magnetic exterior.

Particulele pentru care proiecţia szL este egală cu un număr

impar de 2 se numesc fermioni sau particule cu spin

semiîntreg. În calitate de exemple servesc electronii, protonii,

neutronii etc.

Funcţia de undă completă a unui sistem de fermioni identici este

antisimetrică. Comportamentul unui sistem de fermioni identici

este determinat nu numai de această funcţie de undă, ci şi de

principiul lui Pauli:

oricare doi fermioni aparţinând unui sistem de fermioni

identici nu se pot afla simultan în aceeaşi stare cuantică.


100

Particulele, pentru care proiecţia szL este egală cu zero sau cu un

număr par de 2 se numesc bosoni sau particule cu spin întreg.

În calitate de exemple servesc fotonii, bozonii vectoriali W și Z etc.

Funcţia de undă completă a unui sistem de bosoni identici este

simetrică.

Să considerăm un sistem din N particule identice, care

interacţionează slab între ele. Această interacţiune va conduce la

stabilirea unei distribuţii ale acestora după diferiţi parametri cum ar

fi energia, impulsurile ş. a. Dacă particulele sunt clasice, adică

acestea se consideră puncte materiale, atunci starea dinamică a

sistemului se descrie prin indicarea coordonatelor x, y, z şi

proiecţiilor impulsurilor corespunzătoare , ,x y zp p p ale fiecărei

particule. Pentru simplificarea raţionamentelor se introduce un

spaţiu ipotetic cu 6 dimensiuni, în care fiecare punct se

caracterizează cu ajutorul a 6 coordonate , , , , ,x y zx y z p p p . Acest

spaţiu se numeşte spaţiul fazelor. Astfel starea momentană a unei

particule se descrie complet prin indicarea în spaţiul fazelor a

poziţiei punctului corespunzător acestei particule. Starea tuturor

celor N particule ale sistemului se descrie prin indicarea poziţiilor

punctelor corespunzătoare acestor particule. Deoarece particulele

sistemului posedă proprietăţi ondulatorii, adică se supun legilor

mecanicii cuantice, atunci starea oricăreia din ele nu mai poate fi

descrisă indicând punctul corespunzător în spaţiul fazelor, întrucât

conform relaţiilor de incertitudine ale lui Heisenberg xx p h ,

yy p h , zz p h . Astfel starea unei particule în mecanica

cuantică poate fi descrisă nu cu ajutorul unui punct în spaţiul

fazelor, ci cu ajutorul unei celule în acest spaţiu. Dacă celula este

paralelipipedică, atunci volumul ei

3

x y zx y z p p p h . (29.9)

101

Rezultă că orice volum din spaţiul fazelor nu poate fi mai mic decât 3h . Numărul de celule g i dintr-un oarecare volum ΔΓi din spaţiul

fazelor, este egal cu numărul de stări cuantice posibile ale

particulelor cu energiile din intervalul (ε i; ε i + dε i) :

3

iig

h

. (29.10)

Problema fundamentală a statisticilor cuantice constă în

stabilirea celei mai probabile distribuţii a particulelor sistemului de

fermioni sau bosoni identici după celulele spaţiului fazelor, precum

şi determinarea în acest caz a numărului mediu de particule ce revin

unei stări cuantice cu energia ε i. Calculele arată că numărul Ni de

particule aflate în g i stări cuantice în cazul fermionilor

exp 1

ii

i

gN

kT

, (29.11)

iar în cazul bosonilor

exp 1

ii

i

gN

kT

. (29.12)

Relaţiile (29.11) şi (29.12) se numesc distribuţia Fermi-Dirac şi,

respectiv, Bose-Einstein. Numărul mediu de particule f aflate într-o

stare cuantică cu energia ε i, adică densitatea medie de populaţie a

stărilor cu energia ε i:

1

exp 1

i

ii

Nf

g

kT

, (29.13)


102

unde semnul "+" se referă la fermioni, iar semnul " " la bosoni.

Expresiile (29.13) se mai numesc funcţii de distribuţie Fermi-

Dirac şi, respectiv, Bose-Einstein.

În relaţiile (29.11) – (29.13) intră o mărime fizică notată cu litera

μ. Această mărime se numeşte potenţial chimic. Ea a fost introdusă

în fizică de către inginerul, chimistul și fizicianul matematician

american Josiah Willard Gibbs (1839-1903) prin analogie cu

potenţialul electric (vezi, de exemplu, (11.9)1) şi reprezintă energia

sistemului ce revine unei particule a acestuia într-un proces ce se

desfăşoară la volum constant ( const.V ) şi entropie constantă

( const.S ). De exemplu, potenţialul chimic al unui sistem de

electroni identici la temperatura de zero absolut (T = 0) care se află

într-o groapă de potenţial coincide cu energia Fermi F . Potenţialul

chimic μ se determină din condiţia de normare, şi anume, că

numărul de particule cuantice în procesul amintit ( const.V ,

const.S ) nu se modifică, păstrându-se egal cu N, după cum a fost

considerat iniţial. Această condiţie poate fi obţinută în modul

următor. Conform definiţiei funcţia de distribuţie (densitatea de

populaţie)

dN dN d

fdg d dg

, (29.14)

unde dN este numărul de particule cu energiile din intervalul

, d situate în dg celule ale spaţiului fazelor. Din (29.14)

rezultă că

dN dg

fd d

. (29.15)

1 A. Rusu, S. Rusu. Curs de fizică. Ciclu de prelegeri. Vol.3.

Electromagnetismul. Chișinău, Tehnica-UTM, 2015, 233p.

https://ro.wikipedia.org/wiki/Josiah_Willard_Gibbs

103

Această expresie reprezintă distribuţia particulelor după energii. De

aici, prin integrare, se obţine

0

dgf d N

d

. (29.16)

Pentru calcularea acestei integrale trebuie să cunoaştem mărimea

dg/dε. Vom calcula-o determinând aparte dε şi dg în lipsa

câmpurilor exterioare. Întrucât în lipsa vreunui câmp exterior de

forţe energia particulei ε se reduce la energia cinetică ε = p2/(2m),

unde p şi m sunt impulsul şi, respectiv, masa particulei, rezultă că

dε = pdp/m. Numărul de stări cuantice dg caracterizate de energia

din intervalul (ε, ε + dε) poate fi determinat împărţind volumul

elementar dτ al spaţiului fazelor la volumul dτ* al unei celule

elementare al acestui spaţiu:

3

3

în cazulstatisticii Bose-Einstein,

2 în cazulstatisticii Fermi-Dirac.

hd

h

(29.17)

Pentru determinarea volumului elementar

d al spaţiului fazelor înmulţim volumul V al

spaţiului de coordonate cu volumul unui strat

sferic cu raza p şi grosimea dp din spaţiul

impulsurilor egal cu 4πp2dp (figura 29.3).

Astfel, dτ = 4πp2Vdp şi

24d p Vdp

dgd d

. (29.18)

Ţinând seama că 2p m , obţinem

34 2dg V m

d d

. (29.19)

Fig. 29.3


104

Graficul calitativ al acestei dependenţe

este reprezentat în figura 29.4. Acum

condiţia (29.16) pentru determinarea

potenţialului chimic capătă aspectul:

3

0

4 2V mf d N

d

. (29.20)

După cum rezultă din această expresie, valoarea potenţialului

chimic depinde de volumul V, de temperatura gazului T, precum şi

de numărul de particule N. Trebuie remarcat că din definiţia funcţiei

de distribuţie (densitatea de populaţie) rezultă că 0f . Acest

aspect impune anumite restricţii asupra semnului potențialului

chimic în cazul gazelor Bose. Într-adevăr, din condiţia

1

exp 1 0kT

, rezultă că pentru gazul Bose 0 . În

cazul gazului Fermi o astfel de restricţie pentru potenţialul chimic

nu există. Există, însă, o restricţie pentru densitatea de populaţie f.

Într-adevăr, în conformitate cu principiul lui Pauli, căruia i se supun

fermionii: 0 1f . În cazul când 1f , unitatea din numitorul

expresiei (29.13) poate fi neglijată, obţinându-se funcţia de

distribuţie Boltzmann-Maxwell

expf AkT

, (29.21)

unde mărimea

expAkT

(29.22)

Fig. 29.4

105

se numeşte parametru de degenerare. Astfel, distribuţia clasică

Boltzmann-Maxwell se conţine în distribuţiile cuantice, după cum şi

trebuie să fie, întrucât orice teorie mai generală trebuie să conţină şi

teoriile mai simple în calitate de cazuri particulare.

Dacă gazul constituit din particule identice manifestă proprietăţi

deosebite de cele ale gazului ideal clasic, atunci acesta se numeşte

gaz degenerat. Gradul de degenerare al gazului se caracterizează cu

ajutorul parametrului de degenerare (29.22). Dacă acesta este mic

( 1A ), atunci degenerarea este slabă şi (29.13) trece în (29.21).

Astfel, la parametrii de degenerare mici gazul este clasic şi se

supune statisticii Boltzmann-Maxwell, în caz contrar – este cuantic

şi se supune statisticii Fermi-Dirac sau Bose-Einstein.

Degenerarea gazelor clasice se manifestă la temperaturi mai mici

decât o temperatură, numită temperatură de degenerare dT .

Pentru evaluarea acesteia vom observa că la această temperatură,

calculul energiei medii a particulei gazului poate fi efectuat atât

utilizând teoria clasică, cât şi cea cuantică. Din teoria clasică, în

conformitate cu teorema despre echipartiţia energiei după gradele

de libertate, energia medie a unei particule de gaz monoatomic

3

2dkT . (29.23)

Pe de altă parte, folosind relațiile (29.16) şi (29.19), în cazul

particulei care se supune statisticilor cuatice pentru energia ei medie

obținem

0 0 0

0 0

dgdN f d f d

d

N dgf d f d

d

. (29.24)


106

Din (29.24) se observă că energia medie a unei particule depinde de

funcţia de distribuţie f, căreia i se supun particulele sistemului dat

de particule identice. Din această cauză cu ajutorul (29.24) nu poate

fi obţinută o formulă pentru valabilă atât pentru gazul Bose, cât

şi pentru gazul Fermi, întrucât funcţiile de distribuţie ale acestor

gaze sunt diferite. O astfel de formulă poate fi obţinută doar

aproximativ, evaluând impulsul particulei gazului reieşind din

valoarea volumului celulei elementare din spaţiul fazelor, care nu

poate fi mai mic decât 3h (vezi (29.9)). Considerând celula

elementară de forma unui cub, în calitate de incertitudini ale

coordonatelor considerăm muchia a a acestuia, adică Δx = Δy = Δz ≈

≈ a, iar incertitudinile proiecţiilor impulsului le considerăm

aproximativ egale cu proiecţiile corespunzătoare ale impulsului

particulei, adică Δpx ≈ p

x, Δp

y ≈ p

y, Δp

z ≈ p

z. În afară de aceasta mai

considerăm că px = p

y = p

z. Atunci din (29.9) obţinem

3 3 3

xp a h și,

deci, px = h/a. Însă,

2 2 2 2

x y zp p p p , adică 2 23 xp p . Astfel,

pentru valoarea energiei medii a particulei obținem:

2 2 22 3 2p m h ma , m fiind masa particulei. Muchia

celulei elementare de formă cubică poate fi exprimată prin

concentraţia particulelor. Într-adevăr, 3 31n N V N Na a .

De aici, 1 31a n şi pentru energia medie, obţinem:

2 2 33

2

h n

m . (29.25)

Comparând (29.25) cu (29.23), obţinem expresia aproximativă

pentru temperatura de degenerare a sistemelor de particule identice

ce se supun statisticilor cuantice

2

2 3

d

hT n

mk . (29.26)

107

Să aplicăm această formulă pentru evaluarea temperaturii de

degenerare a gazului electronic din conductoare şi semiconductoare,

ţinând seama că masa electronului m = 9,11·10–31 kg, constanta lui

Planck h = 6,63·10–34 J·s, constanta lui Boltzmann k = 1,38·10–23

J/K. În cazul conductoarelor concentraţia electronilor n ≈ 1029 m–3,

obţinându-se Td ≈ 7,5·103 K ≈ 104 K. Astfel, gazul electronic din

metale practic este degenerat întotdeauna, întrucât, la temperaturi

mai mari de 104 K, existenţa metalelor în stare condensată este

imposibilă. În cazul semiconductoarelor, concentraţia electronilor

variază de la un semiconductor la altul. Pentru evaluarea

temperaturii de degenerare considerăm n ≈ 1019 m–3. În acest caz Td

≈ 0,16 K, adică gazul electronic din semiconductoare degenerează

la temperaturi foarte mici. Se poate spune că gazul electronic în

semiconductoare este clasic practic întotdeauna, acesta supunându-

se statisticii clasice Boltzmann-Maxwell. Pentru gazul fotonic Td =

∞, întrucât masa de repaus a fotonului m = 0. Astfel gazul fotonic

este degenerat întotdeauna. Gazele constituite din atomi sau

molecule au temperaturi de degenerare foarte mici. De exemplu,

pentru gazul constituit din atomi de hidrogen cu concentraţia n ≈

1025 m–3, Td ≈ 1 K. Pentru gaze constituite din atomi sau molecule

mai grele această temperatură este şi mai mică, deci ele aproape

întotdeauna se supun statisticii clasice.

29.3. Distribuţia Fermi-Dirac pentru gazul electronic

din metale

În conformitate cu (29.13) densitatea medie de populaţie a

stărilor electronilor cu energia , adică numărul mediu de electroni

f aflaţi într-o stare cuantică cu energia

1

exp 1

f

kT

. (29.27)


108

Să analizăm această distribuţie, mai întâi, atunci când metalul se

află la temperatura de zero absolut T = 0 K. Întrucât potenţialul

chimic depinde de temperatură, notăm valoarea acestuia la T = 0 K

cu 0 . Dacă ε < μ(0), adică ε – μ(0) < 0, atunci

0

0lim exp 0T

ekT

şi f → 1. Dacă ε > μ(0), adică ε –

– μ(0) > 0, atunci

0

0lim expT

ekT

şi f → 0. Astfel,

la T = 0 K, funcţia de distribuţie Fermi-Dirac pentru electronii din

metale are aspectul

1, dacă 0 ,

1, dacă 0 ,

2

0, dacă 0 .

f

(29.28)

Această expresie arată că la T = 0 K

toate stările cu energiile de la 0 până la

ε = εF = μ(0) sunt ocupate cu câte un

electron, stările cu energia ε = εF sunt

ocupate pe jumătate, iar stările cu

energiile de la ε = εF până la ∞ sunt

libere (Fig. 29.5).

Distribuţia electronilor după energii, conform (29.15), (29.17),

(29.19) şi (29.27), are aspectul

3

3

8 2

1kT

dN dg V mf

d d he

, (29.29)

care la T = 0 K trece în expresia

Fig. 29.5

109

3

3

3

3

8 2, dacă 0 ,

4 2, dacă 0 ,

0, dacă 0 .

V m

h

dN V m

d h

(29.30)

reprezentată calitativ în figura 29.6.

Relaţiile (29.20) şi (29.28) permit

calcularea energiei Fermi:

3

3

0

8 2 FV md N

h

3

3 2

3

16 2

3F

mn

h

,

de unde

2 233 2 3

3

3 3

816 2F

h n h n

mm

, (29.31)

ceea ce coincide cu relația (29.8), obținută anterior. Dacă se

cunoaşte energia Fermi, atunci folosind relația de definiție

2 2F Fp m se poate determina şi impulsul Fermi:

12 12

3 33 32

2 2F F

h n h np m

(29.32)

care coincide cu (29.7).

Fig. 29.6


110

Pentru a clarifica comportamentul gazului electronic din metale

la T ≠ 0 K, vom calcula εF considerând concentraţia electronilor

n ≈ 1029 m–3. Se obţine εF ≈ 7,88 eV. Observăm, că numitorul

argumentului funcției exponențiale din (29.27), care este

aproximativ, şi energia medie a unei particule clasice la temperatura

T are valoarea kT ≈ 0,02 eV la temperaturi obişnuite şi kT ≈ 0,09 eV

la T = 1000 K. În ambele cazuri, însă, kT/εF << 1. Aceasta

înseamnă că distribuţiile (29.28) şi (29.30)

se vor modifica foarte puţin la T ≠ 0 K

(vezi Fig. 29.7 şi, respectiv, Fig. 29.8),

întrucât o parte foarte mică din electronii

metalului aflaţi în apropierea nivelului

Fermi la T = 0 K vor putea trece pe niveluri

cu energii mai mari decât εF. Aceasta la

rândul său înseamnă că potenţialul chimic

va depinde foarte slab de temperatură.

Pentru determinarea lui la temperaturi

diferite de zero este necesară calcularea

integralei din (29.20). Această integrală

poate fi calculată doar aproximativ,

obţinându-se pentru μ expresia:

22

112

F

F

kT

. (29.33)

Aceleaşi raţionamente pot fi aplicate şi la calcularea energiei medii

a unui electron cu ajutorul (29.24). La T ≠ 0 K integralele, de

asemenea, pot fi calculate doar aproximativ. Ca rezultat se obţine

Fig. 29.7

Fig. 29.8

111

22

0

0

3 51

5 12F

F

f fdkT

f d

, (29.34)

care la T = 0 K trece în

3

5F . (29.35)

Într-adevăr, la T = 0 K, f se determină de expresia (29.28) şi

5 2

0

3 2

0

2

35

2 5

3

F

F

F

F

F

fd

d

.

Întrucât, chiar şi la temperaturi înalte, de exemplu, T = 1000 K

termenul 22 45 12 5 10 1FkT , dependenţa energiei

medii de temperatura T, în anumite cazuri, poate fi neglijată şi

se poate considera că este valabilă relaţia (29.35). Cu ajutorul

acestei relaţii poate fi evaluată mai exact temperatura de degenerare

a gazului electronic în metale:

3 3 2

2 5 5

Fd F dkT T

k

(29.36)

Luând energia Fermi εF ≈ 7,88 eV, obţinem Td ≈ 3,6·104 K, adică

aproximativ aceeaşi valoare ca şi în cazul evaluării acesteia cu

ajutorul relaţiilor de incertitudine după formula (29.26).

Faptul că la T ≠ 0 K numai o parte foarte mică din electronii

metalului aflaţi în apropierea nivelului Fermi la T = 0 K vor putea


112

trece pe niveluri cu energii mai mari decât εF, conduce la o valoare

foarte mică a căldurii molare a gazului electronic degenerat în

comparaţie cu căldura molară a unui gaz ideal clasic. Într-adevăr, în

conformitate cu (29.34), energia internă mU a unui mol de gaz

electronic în metale

223 5

15 12

m A A F

F

kTU N N

, (29.36)

iar căldura molară a acestuia

2 23 5

25 12 2

mV A F

V F F F

U kT k R kTC N

T

. (29.37)

Comparând această expresie cu expresia pentru căldura molară a

unui gaz monoatomic clasic 3

2

cl

VC R , pentru 300KT obţinem

2

0,013

cl cl

V V V

F

kTC C C

, (29.38)

ceea ce confirmă afirmaţia de sus.

29.4. Distribuţia Bose-Einstein pentru gazul fotonic

dintr-o cavitate închisă

Din punctul de vedere al mecanicii cuantice radiaţia termică

echilibrată a unui corp absolut negru reprezintă un gaz fotonic ideal

închis într-o cavitate. Întrucât spinul fotonului este egal cu , gazul

fotonic se supune statisticii Bose-Einstein, adică numărul mediu f de

fotoni aflaţi în starea cu energia ε este

1

exp 1

f

kT

. (29.39)

113

Deoarece gazul de fotoni este degenerat la orice temperatură

(Td = ∞), rezultă că parametrul de degenerare exp 1kT . La

temperaturi finite această egalitate poate fi satisfăcută numai dacă

potenţialul chimic al gazului fotonic μ = 0. Astfel, numărul mediu f

de fotoni aflaţi în starea cu energia ε este

1

exp 1

f

kT

, (29.40)

iar energia medie a unui foton aflat în această stare va fi valoarea

acesteia ε înmulţită cu numărul mediu de fotoni în această stare,

adică

exp 1

f

kT

. (29.41)

Această expresie coincide cu formula obţinută de către Planck cu

ajutorul ipotezei cuantice (vezi paragraful 26.3) pentru energia

medie a oscilatorului cu frecvenţa proprie ν. Aici, însă, nu a fost

nevoie de presupuneri suplimentare. Ţinând seama că densitatea

spectrală a radianţei energetice (vezi (26.29)) pentru un corp absolut

negru

2

2

2r

c

(29.42)

şi că ε = hν, obţinem din nou formula lui Planck (26.31):

2

2

2

exp 1

hr

hc

kT

. (29.43)


114

29.5. Capacitatea termică a corpurilor solide

Din punctul de vedere al fizicii clasice, atomii şi ionii aflaţi în

nodurile reţelei cristaline ale corpului solid nu efectuează mişcări de

translaţie şi rotaţie, ci numai mişcări oscilatorii. Întrucât aceste

oscilaţii pot avea loc de-a lungul a trei direcţii reciproc

perpendiculare, se poate considera că fiecare atom din nodurile

reţelei cristaline posedă trei grade oscilatorii de libertate. Conform

teoremei fizicii clasice despre echipartiţia energiei după gradele de

libertate, fiecărui grad oscilatoriu de libertate îi revine energia kT,

unde k este constanta lui Boltzmann. Atomii dintr-un mol de

substanţă solidă posedă 3NA grade oscilatorii de libertate (NA este

numărul lui Avogadro). Prin urmare un mol de substanță solidă are

energia:

3 3m AU N kT RT , (29.44)

unde 8,31 J mol KAR k N este constanta universală a

gazelor. La calcularea energiei mU ar fi trebuit să luăm în seamă,

cel puţin pentru metale, şi energia gazului electronic. Nu am luat-o

în seamă, întrucât aceasta aduce un aport neesenţial la căldura

molară (vezi (29.38)). De aceea, căldura molară la volum constant

3 24,93 J mol KmV

V

UC R

T

, (29.45)

și este în concordanţă cu valoarea experimentală de 25 J/(mol·K)

determinată de către Dulong şi Petit pentru un număr mare de

metale. Această concordanţă, însă, este valabilă numai la

temperaturi obişnuite, deoarece după cum se constată experimental

la micșorarea temperaturii căldura molară tinde rapid spre zero.

115

Faptul că teoria clasică nu poate explica dependenţa căldurii

molare de temperatură l-a determinat pe Einstein să aplice teoria

cuantică a lui Planck pentru explicarea acestei dependenţe. Conform

teoriei lui Planck un oscilator liniar armonic posedă un spectru

discret de energii ε = nhν, unde numărul cuantic n = 1, 2, 3,..., iar

energia medie a oscilatorului

exp 1 exp 1

h

h

kT kT

. (29.46)

Întrucât, în modelul lui Einstein, fiecare atom reprezintă 3

oscilatori liniari independenţi, energia unui mol de substanță solidă

poate fi obţinută prin înmulţirea energiei medii cu 3NA:

3 3

3

exp 1 exp 1

A Em A

E

N h RU N

h

kT T

, (29.47)

unde

E

h

k

(29.48)

şi se numeşte temperatura Einstein.

Cu ajutorul (29.47), pentru căldura molară se obţine:

2

2

3 exp

exp 1

E E

mV

V E

RU T T

CT

T

. (29.49)


116

Să analizăm cazul temperaturilor înalte când 1E T . În acest caz

exp 1E E

T T

şi pentru

VC se obţine

2

2

3 1

3

E E

V

E

RT T

C R

T

,

ceea ce coincide cu (29.45), după cum şi trebuie să fie. În cazul

temperaturilor joase, când 1E T , unitatea din numitorul (29.49)

poate fi neglijată, obţinându-se expresia

2

3 expE EVC R

T T

, (29.50)

care prezice o descreștere exponenţială a căldurii molare a

corpurilor solide odată cu micșorarea temperaturii.

Rezultatele experimentale arată, însă, că la temperaturi scăzute

CV se micșorează mai încet decât prezice dependenţa teoretică

(29.50). Neconcordanţa dintre rezultatele experimentale şi cele

teoretice, obţinute în baza modelului Einstein, este determinată de

faptul că atomii în procesul oscilaţiilor termice acţionează asupra

atomilor învecinaţi, obligându-i pe aceştia, de asemenea, să

oscileze. Astfel, în loc de oscilaţiile de aceeaşi frecvenţă a atomilor

independenţi, trebuie să se considere oscilaţiile colective ale tuturor

atomilor cristalului, ceea ce conduce la existenţa unui spectru larg

de frecvenţe ale reţelei cristaline. Pentru determinarea acestui

spectru de frecvenţe se foloseşte modelul Debye, conform căruia

reţeaua cristalină a solidului se consideră ca o unitate, în care se

117

propagă undele proprii staţionare, numite şi moduri normale, fiecare

mod propriu fiind independent de celelalte moduri. Numărul

modurilor independente este 3N, unde N este numărul atomilor

solidului. Modurile normale, corespunzând unor oscilatori cuantici

independenţi, posedă o energie termică, care, ca şi energia undelor

electromagnetice, se cuantifică. Cuanta de energie, corespunzătoare

undelor termice, a fost denumită fonon, prin analogie cu fotonul,

care este cuanta de energie a undelor electromagnetice. Astfel,

fononul reprezintă undele termice ale solidului.

Pentru determinarea numărului

modurilor normale dNν din intervalul

de frecvenţe (ν, ν + dν) vom lua în

seamă faptul că undele staţionare apar

numai în anumite condiţii. Pentru un

paralelipiped drept cu laturile a, b şi c

(Fig. 29.9), condiţia apariţiei undei

staţionare de-a lungul axei x este ca pe

lungimea a să încapă un număr întreg de semiunde, adică

1 12 xa m m k , sau 1xk m a , unde m1 = 1, 2, 3,...,

iar kx este proiecţia vectorului de undă pe axa x. Această undă

staţionară este formată prin suprapunerea a două unde, una

progresivă cu vectorul de undă kx şi a doua regresivă cu vectorul de

undă –kx. Dacă vectorul de undă k nu coincide cu direcţia vreunei

axe de coordonate, condiţii analogice trebuie să aibă loc simultan

pentru toate cele trei proiecţii ale vectorului de undă k :

Fig. 29.9


118

1 2 3, , ,x y zk m k m k ma b c

(29.51)

unde m1, m2, m3 = 1, 2, 3,...,. În acest caz, unda staţionară cu o

valoare dată a lungimii de undă k reprezintă o superpoziţie a

opt unde progresive de aceeaşi lungime de undă, pentru care

proiecţiile vectorului de undă sunt: 1) +kx, +ky, +kz; 2) –kx, +ky, +kz;

3) +kx, –ky, +kz; 4) +kx, +ky, –kz; 5) –kx, –ky, +kz; 6) –kx, +ky, –kz;

7) +kx, –ky, –kz; 8) –kx, –ky, –kz. Vectorii de undă k egali în modul,

care corespund celor 8 combinaţii ale numerelor kx, ky, şi kz sunt

situaţi în octante diferite. Vectorii din octantele 1 şi 8, 2 şi 7, 3 şi 6,

4 şi 5 au sensuri opuse. Fiecare triadă de numere m1, m2, m3

determină o valoare posibilă a numărului de undă 2k v v ,

unde v este viteza de fază a undei. Prin urmare, fiecărei triade de

numere m1, m2, m3 îi corespunde o valoare

posibilă a frecvenţei ν a undei staţionare.

Aceasta permite determinarea numărului

undelor posibile dNν cu frecvenţele din

intervalul (ν, ν + dν). Pentru aceasta

considerăm sistemul de coordonate kx, ky, kz

(Fig. 29.10) în spaţiul vectorului de undă

k . În acest spaţiu fiecărei unde staţionare,

căreia îi corespunde o valoare dată a lui k, îi vor corespunde 8

puncte, sau un punct în octantul cu kx, ky, kz pozitivi. Volumul

paralelipipedului drept cu vârfurile în puncte învecinate este

Fig. 29.10

119

x y zk k ka b c

. De aceea densitatea punctelor din spaţiul

vectorului de undă va fi mărimea inversă acestui volum, adică

3abc . Astfel, numărul de unde dNk cu vectorul de undă din

intervalul (k, k + dk), va fi egal cu numărul de puncte din 1/8 a

volumului stratului sferic de grosimea dk (Fig. 29.10):

2

2

3 2

14

8 2k

abc k dkdN k dk V

, (29.52)

unde V = abc este volumul paralelipipedului considerat iniţial.

Substituind în (29.52) k = ω/v = 2πν/v şi dk = 2πdν/v, obţinem numă-

rul de unde dNν, a căror frecvenţe se află în intervalul (ν, ν + dν):

2

34

ddN V

v. (29.53)

Însă într-un corp solid de-a lungul unei direcţii arbitrare se pot

propaga trei unde de aceeaşi frecvenţă, dar cu direcţii de polarizare

diferite: una longitudinală şi două transversale, cu direcţii de

oscilaţie reciproc perpendiculare. Dacă vitezele undelor

longitudinale şi transversale sunt egale, relația (29.53) capătă forma

2

312

ddN V

v. (29.54)

În cazul când vitezele sunt diferite

2

3 3

1 24dN V d

v v, (29.55)


120

unde v şi v sunt vitezele undelor longitudinale şi, respectiv,

transversale. Cu ajutorul relației (29.54) se poate determina şi

densitatea de moduri pentru toate tipurile de polarizare:

2

312

dND V

d

v. (29.56)

În modelul lui Debye numărul oscilaţiilor normale este egal cu

numărul gradelor de libertate ale reţelei cristaline, adică cu 3N. Din

această cauză, frecvenţele undelor vor fi cuprinse într-un interval de

la zero până la o frecvenţă maximă max . Frecvenţa maximă poate fi

determinată integrând (29.54) de la zero până la max şi egalând

expresia obţinută cu 3N:

max 3

2 max

3 3

0

123 4

VN d V

v v.

De aici, obţinem

3max

3

4

N

V

v . (29.57)

Determinând v din (29.57) şi substituind această valoare în (29.54),

obţinem:

2

3

max

9d

dN N D d

. (29.58)

Ţinând seama de faptul că energia medie a unei oscilaţii

normale de frecvenţa se exprimă ca şi în cazul modelului lui

Einstein prin expresia (29.46), putem calcula energia internă a

solidului după cum urmează:

121

max

33

0 0

91

D T

x

D

T x dxU dN NkT

e

, (29.59)

unde

maxD

h

k

(29.60)

se numeşte temperatura Debye.

Căldura molară se obţine prin derivarea expresiei (29.59) în

raport cu T pentru AN N (pentru 1 mol de substanţă):

33

0

9 41 exp 1

D T

m DV x

D D

U TT x dxC R

T e T

. (29.61)

Temperatura Debye indică pentru fiecare substanţă valoarea

temperaturii, mai jos de care începe să devină esenţială

cuantificarea energiei oscilaţiilor (existenţa fononilor). Pentru

DT limita superioară a integralei din (29.61) tinde la infinit,

obţinându-se

3 4

01 15x

x dx

e

şi

3

412,

5V D

D

TC R T

. (29.62)

Aceasta este legea cuburilor lui Debye, lege care se confirmă în

experiment.

Nucleul atomic. Particule elementare

122

Capitolul 30. Structura și proprietățile

nucleelor atomice. Particule

elementare

30.1. Proprietățile principale și structura nucleului atomic

În anul 1911, fizicianul englez Ernest Rutherford (1871 – 1937)

a publicat rezultatele sale experimentale referitor la împrăștierea

particulelor α (nuclee de heliu), la trecerea lor printr-o foiță foarte

subțire de aur. În urma acestor experimente el a ajuns la concluzia

despre existența în interiorul atomului a unui nucleu de dimensiuni

foarte mici încărcat cu sarcină pozitivă și în care este concentrată

cea mai mare parte a masei acestuia. Să analizăm caracteristicile

fizice ale nucleului atomic: sarcina electrică, masa și raza lui.

Deoarece atomul este neutru din punct de vedere electric, sarcina

nucleului este numeric egală cu sarcina totală a electronilor din

atom

nuclQ Ze , (30.1)

unde Z este numit număr atomic sau număr de sarcină și

reprezintă numărul de ordine al elementului în tabelul periodic al

elementelor chimice, iar e este sarcina electrică elementară.

Relația (30.1) a fost confirmată experimental de către fizicianul

englez Henry G.J. Moseley (1887 – 1915) în baza relației dintre

frecvența liniilor spectrale ale radiațiilor Roentgen caracteristice

atomului unui element chimic cu numărul său de ordine Z,

cunoscută ca legea lui Moseley. S-a constatat că sensul fizic al

numărului de ordine Z al elementului în sistemul periodic al

elementelor este numărul de sarcini elementare ce formează nucleul.

123

Dimensiunile nucleului atomic au fost estimate de către

Rutherford din aceleași experimente referitor la împrăștierea

particulelor α. Raza nucleului poate fi considerată egală cu

distanța minimă de la centrul atomului, la care se oprește particula

α fiind frânată de forța de respingere din partea sarcinii pozitive a

nucleului. Cunoscând energia cinetică a particulei α la distanțe

mari de nucleu se determină aproximativ razele nucleelor care sunt

de ordinul 10–15 - 10–14 m.

Existența învelișurilor electronice în jurul nucleelor nu permite

determinarea directă a maselor nucleelor. Din această cauză, mai

întâi se stabilesc experimental masele ionilor (cu ajutorul

spectrografului de masă), după care se calculează masele nucleelor

luând în considerare numărul de electroni din ionii respectivi.

Masele nucleelor, ca și cele ale atomilor și moleculelor, fiind foarte

mici se exprimă în unități atomice de masă (u). Această unitate

este acceptată pentru utilizare de rând cu unitățile SI și este definită

ca 1/12 din masa izotopului de carbon-12 și are valoarea

271 u 1,66005656 10 kg . (30.2)

Numărul întreg adimensional obținut la aproximarea valorii

numerice a masei nucleului exprimată în unități atomice de

masă este numit număr de masă (notat cu A).

În conformitate cu această definiție masa atomului este egală cu

A (u).

Raza nucleului R depinde de numărul de masă A. Într-adevăr,

considerând nucleul de formă sferică cu volumul Vnucl = Error!

πR3, mnucl = = A (u), iar densitatea materiei nucleare constantă,

rezultă R3 ⁓ A. Așadar,


124

1 3

0R R A , (30.3)

unde parametrul R0 are valori în intervalul (1,2 – 1,4)·10–15 m.

Întrucât dimensiunile nucleului sunt de 10 000 ori mai mici decât

cele ale atomului, iar masa atomului aproape în întregime este

concentrată în nucleu, este de așteptat că densitatea materiei

nucleare să fie foarte mare. Într-adevăr,

27

17

3 3 3 45 3

0

3 u 3 u 3 1,66 10 kg2 10

4 4 4 3,14 1,2 10 m

nuclnucl

nucl

m A

V R R

.

Aceasta este o densitate incredibil de mare. Dacă am avea un 1 cm3

de materie nucleară, masa acesteia ar fi m = 2·1017 kg/m3×10–6 m3 =

= 2·1011 kg = 2·108 tone!

Măsurările maselor atomilor elementelor chimice efectuate cu

ajutorul spectrografului de masă au demonstrat că nu toți atomii

elementului chimic dat au aceeași masă. Ulterior ei au primit

denumirea de izotopi (gr. isos „egal, la fel” + topos „loc”).

Izotopii sunt atomii aceluiași element chimic, caracterizați cu

același număr atomic Z, însă au numere de masă A diferite,

adică nucleele lor au mase diferite.

Deoarece numărul atomic este același, toți izotopii unui element

ocupă unul și același loc în tabelul elementelor chimice. Pentru a

distinge izotopii între ei, simbolul elementului chimic X este

înzestrat în partea stângă cu doi indici: jos – numărul atomic Z, sus

– numărul de masă A, adică simbolul izotopului este XA

Z. S-a

constatat că majoritatea elementelor în stare naturală reprezintă un

amestec de doi izotopi, însă există și elemente cu mulți izotopi

(uraniu, mercur, stronțiu, carbon ș.a.). De exemplu, izotopii

carbonului sunt: 9

6 C , 10

6C , 11

6C , 12

6C , 13

6C , 14

6C , 15

6C , 16

6C . Dintre izotopii

125

carbonului cei mai răspândiți în natură sunt 12

6C și 13

6C . 12

6C constituie

98,9%, 13

6C – 1,1%, iar ceilalți constituie un procent nesemnificativ.

Este de menționat că în definiția unității atomice de masă se

consideră anume cel mai răspândit izotop – 12

6C .

Masa atomică indicată în tabelul elementelor chimice reprezintă

valoarea medie ponderată a maselor atomice ale izotopilor. De

exemplu, clorul are masa atomică 35,45 și reprezintă un amestec de 2

izotopi: 35

17 Cl în proporție de 75,76% și 37

17 Cl în proporție de 24,23%.

Într-adevăr, valoarea medie ponderată a masei atomice relative este

34,97·0,7577 + 36,95·0,2423 ≈ 35,45. Iată de ce majoritatea maselor

atomice în tabelul elementelor chimice nu sunt numere întregi.

Izotopii diferitor elemente au o largă aplicare practică în diferite

domenii: industrie, agricultură, medicină, arheologie, paleontologie și

multe altele. De exemplu, izotopul uraniului 235

92 U este folosit la

centralele atomoelectrice, în care energia nucleară este transformată în

energie electrică. În industrie izotopii sunt folosiți pentru controlul

uzurii diferitor dispozitive metalice, pentru cercetarea mecanismelor

diferitor procese tehnologice. În agricultură aceștia sunt utilizați la

tratarea semințelor. Aplicațiile izotopilor în medicină sunt foarte

numeroase. A fost dezvoltată chiar și o ramură nouă a medicinei –

medicina nucleară. Izotopii sunt utilizați pentru diagnosticarea diferitor

maladii, pentru tratamentul multiplelor cazuri de cancer, pentru

efectuarea diferitor analize biochimice a pacienților, ș.a. În

paleontologie și arheologie izotopii diferitor elemente sunt utilizați la

stabilirea vârstei unor fosile de animale care au existat cu milioane de

ani în urmă, sau la datarea anumitor evenimente geologice. De

exemplu, izotopii carbonului sunt folosiți la datarea materialelor

organice care au de la 250 până la 45 000 ani, izotopii de beriliu,

aluminiu, rubidiu și stronțiu – la datarea rocilor și materialelor care au


126

mai mult de 10 milioane de ani.

Descoperirea izotopilor a demonstrat clar că nucleele nu sunt

indivizibile, ci au o anumită structură interioară. Prima particulă din

componența nucleului a fost descoperită de către Rutherford în

experimentele sale efectuate în anul 1917 și raportate în anul 1919. La

interacțiunea particulelor α (particulele α sunt nuclee ale izotopului

de heliu 4

2He ) cu nucleele de azot, pe un ecran acoperit cu un strat

fluorescent uneori apăreau spoturi luminoase. Rutherford a ajuns la

concluzia că spoturile luminoase sunt rezultatul acțiunii asupra

stratului fluorescent a unor particule masive dezbătute din azot. Studiul

mișcării acestor particule în câmpurile electric și magnetic a

demonstrat că masa lor este egală cu masa celui mai ușor izotop al

hidrogenului 1

1H , iar sarcina electrică este pozitivă și egală cu cea

elementară, adică +e. Particulele respective au fost numite protoni (gr.

πρϖτος – primul). Repetând experiența de interacțiune a particulelor α

și cu alte substanțe Rutherford a obținut aceleași rezultate: în toate

cazurile particulele α dezbăteau din nucleele respective protoni.

Așadar,

protonii sunt particule ce fac parte din componența nucleului.

În urma măsurărilor de înaltă precizie s-a stabilit că masa și sarcina

protonului sunt

27 11,6726231 10 k 0 80 36g 1,0 727647 u epm m ,

191,60217733 10 Cpq e .

Protonul este nucleul cu Z = 1 și A = 1 și, în conformitate cu regula

acceptată pentru izotopi, se notează cu simbolul 1

1 p . Masa protonului

este mult mai mare decât masa electronului mp = 1836 me, de aceea

numărul de masă al electronului A = 0, iar întrucât sarcina lui este

127

negativă, numărul de sarcină Z = –1. Folosind aceeași regulă de repre-

zentare schematică, pentru electron deseori este utilizată notația 0

1e.

Existența numai a protonilor în componența nucleului nu poate însă

explica diversitatea izotopilor. Deoarece sarcina pozitivă a tuturor

protonilor compensează în totalitate sarcina negativă a electronilor din

atom, Rutherford a presupus în anul 1920 că din componența nucleului

trebuie să mai facă parte încă o particulă, dar fără sarcină electrică.

Descoperirea acestei particule a fost făcută abia în anul 1932.

Primele experimente legate de descoperirea acestei particule au fost

realizare în anul 1930 de către fizicianul german Walter Bothe (1891 –

1957). El a observat că la bombardarea cu particule α a unor elemente

ușoare, cum ar fi beriliul, borul sau litiul, apare o radiație de natură

necunoscută cu o putere de penetrare neobișnuit de mare.

În anul 1932, fizicianul englez James Chadwick (1891 – 1974) a

realizat un șir de experimente, în care a fost cercetată radiația

necunoscută. El a confirmat ipoteza conform căreia această radiație

este compusă din particule neutre din punct de vedere electric, având

masa aproximativ egală cu masa protonului. Aceste particule neutre au

fost numite neutroni.

În rezultatul măsurărilor de înaltă precizie s-a constatat că masa

neutronului mn = 1,6749286·10–27 kg = 1,008664902 u ≈ 1838 me și

este doar cu 0,14 % mai mare decât masa protonului. Numerele de

masă și de sarcină ale neutronului sunt A = 1 și Z = 0, respectiv, de

aceea neutronul are simbolul 1

0n . Așadar,

particulele constituente ale nucleului atomic, numite și nucleoni,

sunt protonul 1

1p și neutronul 1

0n .

În decurs de câteva luni după descoperirea neutronului în anul 1932,

fizicianul german Werner Carl Heisenberg (1901 – 1976) și cel rus


128

Dmitri Ivanenko (1904 – 1994), independent unul de altul, au propus

modelul proton-neutronic al nucleului. În conformitate cu acest

model nucleul atomic este compus din protoni și neutroni. Numărul

total al protonilor și neutronilor, adică numărul nucleonilor este egal cu

numărul de masă A, numărul protonilor este egal cu numărul atomic Z

de sarcini elementare din nucleu, iar numărul neutronilor reprezintă

restul nucleonilor N = A – Z. În concluzie:

nucleul elementului chimic XA

Z este compus din A nucleoni, dintre

care Z sunt protoni și N = A – Z sunt neutroni.

Cu ajutorul modelului proton-neutronic se explică ușor și

existența izotopilor, care au același număr atomic Z, adică ocupă

același loc în tabelul elementelor chimice, dar posedă numere de

masă A diferite. Conform acestui model nucleele izotopilor unui

anumit element conțin numere egale de protoni, însă numărul

neutronilor este diferit.

30.2. Forțele nucleare. Energia de legătură a

nucleonului în nucleu. Defectul de masă

Să analizăm nucleul din punctul de vedere al forțelor care îl

mențin în stare stabilă. Protonii, având sarcină pozitivă, se resping

între ei, iar forța de atracție gravitațională Fgr ar trebui să

echilibreze forța de respingere electrică Fel. Raportul acestor forțe

este

22

2

gr p p p

el

F m m mr KK

F r k e e k e

211 27

36

9 19

6,67 10 1,67 1010

9 10 1,6 10

.

129

Acest raport arată că forța de atracție gravitațională nici pe departe

nu este suficientă pentru a depăși forța enormă de respingere

Coulomb dintre protoni. Mai mult ca atât, nu este clar cum

interacționează neutronii (care nu posedă sarcină electrică) între ei

sau cu protonii. Devine evident că trebuie să existe o forță de

atracție foarte puternică care ar ține protonii și neutronii împreună

în componența nucleului. Această forță se numește forță puternică

sau forță nucleară. Forța puternică acționează nu numai între doi

protoni, dar și între doi neutroni și între un proton și un neutron.

Chiar dacă au fost realizate cercetări considerabile, natura

complicată a forței puternice dintre doi nucleoni nu este încă pe

deplin înțeleasă. În baza multiplelor experimente s-a constatat că

forța nucleară are următoarele proprietăți:

1. La distanțe dintre nucleoni mai mici decât aproximativ 0,7 fm

(1 fm = 10–15 m) forțele nucleare sunt forțe de respingere. Ele

împiedică colapsul nucleului până la un punct.

2. Pentru distanțe mai mari de 0,7 fm, forțele nucleare sunt forțe

de atracție. Ele au valoare maximă la o distanță dintre nucleoni

de aproximativ 1,2 fm, iar acțiunea acestora determină

menținerea nucleonilor împreună.

3. La distanțe mai mari de 1,2 fm, valoarea forțelor nucleare se

micșorează exponențial și devin neglijabile la distanțe mai mari

de 2 – 3 femtometri. Astfel, forțele nucleare au rază de acțiune

mică, din care cauză ele au un caracter de saturație: fiecare

nucleon din nucleu interacționează doar cu un număr finit de

nucleoni cei mai apropiați.

4. Forțele nucleare există doar între nucleoni. Nu există

interacțiune puternică între un electron și un nucleon sau între

doi electroni.

Datorită forțelor nucleare și a interacțiunii puternice de atracție


130

majoritatea nucleelor sunt stabile, chiar dacă între protoni există

forța de respingere Coulomb. Este evident că, pentru a descompune

nucleul în nucleoni este necesar să efectuăm un anumit lucru pentru

învingerea forțelor nucleare care mențin protonii și neutronii

împreună. O situație asemănătoare se realizează la descompunerea

unei picături de apă (aflată la temperatura de fierbere) în molecule.

Picăturii i se transmite o cantitate de energie egală cu căldura de

vaporizare, pe seama căreia se efectuează lucrul de descompunere a

picăturii în molecule. Ca rezultat, energia sistemului de molecule (a

sistemului de nucleoni) se mărește.

Mărimea fizică egală cu lucrul minim efectuat pentru

descompunerea nucleului în protoni și neutroni individuali se

numește energie de legătură a nucleului.

Din legea conservării energiei rezultă că la formarea nucleului

trebuie să se elimine aceeași cantitate de energie care trebuie

consumată la descompunerea nucleului în nucleoni individuali.

Astfel, pentru energia de legătură Eleg avem

leg nucleoni nucleuE E E , (30.4)

unde Enucleoni este energia de repaus a nucleonilor din nucleu, iar

Enucleu este energia de repaus a nucleului.

Luând în considerare legea corelației dintre masă și energie

(5.43) din (30.4) obținem

2

leg p n nucleuE Zm A Z m m c . (30.5)

unde mp, mn și mnucleu sunt masele protonului, neutronului și

nucleului, corespunzător.

Experimental este mult mai convenabil să se determine masele

atomilor, nu ale nucleelor. Din acest motiv vom trece în expresia

131

(30.5) la masele atomilor, care sunt mai mari decât masele nucleelor

corespunzătoare cu masele electronilor Zme din jurul lor. Pentru

aceasta vom lua în considerare că masa atomului mat = mnucleu +

Zme, iar mp + me = mH este masa atomului de hidrogen. Așadar,

pentru energia de legătură avem

2

Hleg n atE Zm A Z m m c . (30.6)

Masa Δm, care corespunde energiei de legătură

H2

leg

n at

Em Zm A Z m m

c (30.7)

este numită defect de masă. Cu această mărime se micșorează masa

nucleonilor din care se formează un nucleu. Măsurările cu un grad

înalt de precizie au demonstrat că această proprietate este

caracteristică tuturor nucleelor.

Defectul de masă se exprimă, de obicei, ca și masele atomilor, în

unități atomice de masă (u). Dacă se iau valorile cât mai exacte ale

unității atomice de masă, vitezei luminii în vid și electron-voltului

exprimat în Jouli, atunci energia echivalentă acestei unități este:

227 16

2

19

1,6601 10 2,9979 101u eV 931,5 MeV

1,6022 10c

.

Astfel, dacă se cunoaște defectul de masă în unități atomice de

masă, atunci pentru determinarea energiei de legătură a nucleului se

ia produsul valorii acestuia cu 931,5 MeV. De exemplu, defectul de

masă al izotopului hidrogenului 2

1H , numit și deuteriu, este de

0,00239 u. Atunci energia de legătură a deuteriului este egală cu

2,226 MeV. Aceasta este o energie foarte mare în comparație cu

energiile din domeniul fizicii atomului. Pentru a ioniza hidrogenul


132

(a „rupe” electronul din legătura sa cu nucleul) este necesară o

energie de 13,5 eV, care este de circa 165 mii ori mai mică decât

energia de legătură a nucleului de hidrogen.

Din (30.6) se observă că energia de legătură Eleg este mai mare la

nucleele cu un număr de masă A mai mare. Pentru caracterizarea

stabilității nucleelor se introduce mărimea fizică numită energie de

legătură pe nucleon

legE

A . (30.8)

Cu cât energia de

legătură pe nucleon este

mai mare cu atât nucleul

este mai stabil. Din

figura 30.1, în care este

reprezentată dependența

energiei de legătură pe

nucleon ε în funcție de

numărul de nucleoni A,

se observă că cele mai

stabile sunt nucleele care

au numărul de nucleoni

în jurul valorii A = 60,

adică din partea centrală

a tabelului periodic al

elementelor chimice.

30.3. Radioactivitatea. Legea dezintegrării radioactive

În anul 1896, fizicianul francez Henri Antoine Becquerel (1852-

1908) a observat că sărurile de uraniu emit continuu niște radiații

invizibile. Aceste radiații puteau pătrunde ușor printr-o foaie de

hârtie neagră, acționând instantaneu asupra plăcii fotografice

Fig. 30.1

133

învelită cu aceasta. În anii următori mai mulți fizicieni, printre care

Maria Sklodowska-Curie (1867-1934), Pierre Curie (1859-1906) și

Ernest Rutherford (1871-1937), au demonstrat experimental că

radiațiile invizibile observate de către Becquerel sunt emise și de

alte elemente cum ar fi toriul, poloniul, radiul, radonul și altele.

Substanțele care emit aceste radiații invizibile au fost numite

radioactive, iar fenomenul de emisie a radiațiilor respective –

radioactivitate.

În anul 1899 Rutherford împreună cu discipolii săi, studiind

experimental natura razelor emise, au clasificat razele după puterea

lor penetrantă în trei tipuri distincte. Primul tip de radiații abia de

putea trece printr-o bucată de hârtie. Cel de-al doilea avea o putere

mai mare și putea trece printr-o folie de aluminiu cu grosimea de

până la 3 mm, iar cel de-al treilea tip de radiații era extrem de

penetrant: el putea fi detectat și după trecerea prin mai mulți

centimetri de plumb. Ei au numit aceste trei tipuri de radiații după

primele trei litere ale alfabetului grecesc: alfa (α), beta (β) și,

respectiv, gamma (γ). A fost studiat, de asemenea, și

comportamentul radiațiilor α, β și γ în

câmp magnetic, observând abaterea lor

diferită după cum este arătat schematic

în figura 30.2: particulele ce formează

razele α sunt încărcate pozitiv, cele ce

constituie razele β sunt încărcate

negativ, iar particulele din razele γ

sunt neutre. S-a constatat că razele α

reprezintă un flux de nuclee de heliu

cu sarcina +2e și masa egală cu masa

nucleului izotopului 4

2 He , razele β

constituie un flux de electroni rapizi, iar razele γ sunt fotoni cu energie

foarte mare, mai mare chiar și decât cea a razelor X.

În anul 1903 Rutherford și Frederick Soddy (1877 – 1956) au

Fig. 30.2


134

demonstrat experimental că fenomenul radioactivității este însoțit de

transformarea unor elemente chimice în altele. Astfel,

radioactivitatea este transformarea nucleelor unor elemente

chimice în nuclee ale altor elemente cu emisia simultană a

unor particule.

Radioactivitatea însoțită de emisia particulelor α mai este numită

și dezintegrare α, iar cea însoțită de emisia particulelor β – și

dezintegrare β.

Se deosebesc două tipuri de radioactivitate: naturală și

artificială. Radioactivitatea izotopilor instabili existenți în natură

este numită radioactivitate naturală, iar radioactivitatea izotopilor

obținuți pe cale artificială în urma unor reacții nucleare –

radioactivitate artificială.

Dezintegrările radioactive se realizează întotdeauna cu

respectarea legilor de conservare a sarcinii electrice și a numărului

de masă:

;n i n i

i i

Z e Z e A A , (30.9)

unde nZ e și n

A sunt sarcina și, respectiv, numărul de masă ale

nucleului inițial, care se dezintegrează, iar iZ e și i

A sunt sarcinile

și, respectiv, numerele de masă ale componentelor obținute în urma

dezintegrării.

Ca urmare a acestor legi în anul 1913 Frederick Soddy și

Kasimir Fajans (1887 – 1975) au stabilit următoarele reguli de

deplasare, care permit a determina nucleul care se obține în

rezultatul unei dezintegrări concrete:

4 4

2 2X Y He, dezintegrareaA A

Z Z

, (30.10)

0

1 1X Y , dezintegrareaA A

Z Ze

, (30.11)

135

unde XA

Z este nucleul inițial care se dezintegrează (numit și nucleu

părinte), iar Y este simbolul nucleului obținut după dezintegrare

(numit și nucleu fiică).

În rezultatul dezintegrării α nucleul fiică are sarcina cu 2

unități și numărul de masă cu 4 unități mai mici decât cele ale

nucleului părinte.

În rezultatul dezintegrării β– nucleul fiică are numărul de

sarcină cu o unitate mai mare decât a nucleului părinte și

același număr de masă cu acesta.

Nucleele care apar în urma dezintegrării radioactive pot fi

instabile, adică radioactive. Aceasta va conduce la apariția unui șir

de transformări radioactive care se va termina cu un element stabil.

Totalitatea izotopilor care se dezintegrează până la obținerea

izotopului stabil se numește serie sau familie radioactivă.

Izotopii radioactivi naturali formează trei familii radioactive:

familia uraniului 238

92U , familia toriului

232

90Th și familia actiniului

235

89Ac , care după o serie de dezintegrări α și β se termină cu izotopii

stabili ai plumbului 206

82Pb ,

208

82Pb și

207

82Pb , corespunzător. A patra

familie radioactivă cunoscută este familia neptuniului, care începe

de la elementul 237

93Np , obținut pe cale artificială, și se termină cu

bismutul 209

83Bi .

Să analizăm dezintegrările α și β din punct de vedere energetic.

Dezintegrarea α este caracteristică pentru nucleele grele (A > 200 și

Z > 82). De exemplu, pentru dezintegrarea α a radiului, în

conformitate cu (30.10), avem


136

226 222 4

88 86 2Ra Rn He . (30.12)

Energia cinetică a produselor dezintegrării este

226 222 488 86 2

2 2

Ra Rn HecE m c m m m c . (30.13)

Luând în considerare că 22688 Ra

226,0254um ,

22286 Rn

222,0176um și 42 He

4,0026um , iar unei unități atomice

de masă îi corespunde energia de 931,5 MeV, din (30.13) obținem

Ec ≈ 4,8 MeV. Cea mai mare parte a acestei energii îi revine compo-

nentei mai ușoare a produselor dezintegrării, adică particulei α. S-a

constatat că particulele α în acest caz posedă energii din șirul de

valori 4,8 MeV, 4,6 MeV și 4,3 MeV.

Aceasta demonstrează că energia

nucleului de radon obținut în acest caz

poate lua doar anumite valori discrete,

adică este cuantificată. Dacă energia

particulei α emisă la dezintegrare are

valoare maximă, atunci nucleul radonului

se află în starea fundamentală, iar dacă

energia particulei α ia una dintre valorile

mai mici, radonul se va afla într-o stare

excitată, având energia mai mare decât în starea fundamentală cu

0,2 MeV sau cu 0,5 MeV (vezi figura 30.3). Astfel, dezintegrarea α

a radiului se poate realiza în două etape: mai întâi se formează

nucleul fiică al radonului în una din stările excitate, după care acesta

trece în starea fundamentală cu emisia unei cuante de radiație γ cu

energia de 0,2 MeV sau de 0,5 MeV.

Analizând regula de transformare (30.11), observăm că numărul

de masă A este același atât la nucleul părinte, cât și la nucleul fiică,

Fig. 30.3

137

obținut după dezintegrare. Cu alte cuvinte, ambele nuclee conțin

același număr de nucleoni, însă în nucleul fiică numărul de protoni

este cu unul mai mare decât în nucleul părinte, în timp ce numărul

de neutroni a devenit cu unu mai mic. Rezultă că în interiorul

nucleului are loc transformarea unui neutron într-un proton și un

electron, care este expulzat din nucleu, adică

1 1 0

0 1 1n p e . (30.14)

Energia degajată în rezultatul acestei transformări poate fi calculată

cu ajutorul relației

2

c n p eE m m m c .

Luând valorile maselor neutronului, protonului și electronului

mn = 1,008665 u, mp = 1,007276 u și me = 0,000549 u, obținem

Ec = 0,782 MeV. Această energie ar trebui să fie transmisă în

întregime electronului și rezultă că toți electronii care se obțin în

dezintegrarea β trebuie să posede una și aceeași energie, egală cu

0,782 MeV. Cercetările experimentale,

însă, au demonstrat că spectrul energiilor

acestor electroni este continuu (vezi figura

30.4) și energia lor poate lua orice valori

de la 0 până la 0,782 MeV. Pentru a

explica aceste rezultate, fizicianul austriac

Wolfgang Pauli (1900 – 1958) a presupus

că în dezintegrarea β nucleul radioactiv

emite simultan un electron și o particulă

neutră de masă neglijabilă și spinul 1/2

numită neutrin electronic (se notează 0

0 e ), care preia o parte din

energia procesului de dezintegrare. Ulterior această particulă, care

apare întotdeauna împreună cu electronul, a fost numită antineutrin

Fig. 30.4


138

electronic (se notează 0

0 e și este o antiparticulă în raport cu

neutrinul). Cu această precizare ecuația (30.14) capătă forma

1 1 0 0

0 1 1 0 , dezintegrareaen p e

. (30.14,a)

Izotopii instabili care se dezintegrează prin emisia electronilor

întotdeauna au mai mulți neutroni decât protoni. Există, însă, și

izotopi instabili, în care numărul protonilor este mai mare decât cel

al neutronilor. La dezintegrarea acestor izotopi în interiorul

nucleului are loc transformarea protonului în neutron cu emisia unui

pozitron (o antiparticulă ce are masa egală cu cea a electronului și

sarcina electrică +e) și a unui neutrin electronic

1 1 0 0

1 0 1 0 , dezintegrareaep n e

. (30.15)

Această dezintegrare a fost numită β+. Regula de deplasare în acest

caz are aspectul

0

1 1X Y , dezintegrareaA A

Z Ze

. (30.11,a)

Trebuie să menționăm că transformarea protonului în neutron se

poate realiza doar dacă protonul se află în interiorul nucleului, când

are loc interacțiunea nucleară dintre particule. În cazul unui proton

liber, procesul (30.15) nu este posibil din punct de vedere energetic,

deoarece neutronul are o masă mai mare decât protonul.

Un alt mecanism al dezintegrării β+ constă în captura unui

electron din stratul K aflat cel mai aproape de nucleu. Din acest

motiv dezintegrarea respectivă mai este numită captură K și se

realizează conform următoarei scheme:

1 0 1 0

1 1 0 0 , captură ep e n K . (30.16)

Particularitatea acestei dezintegrări constă în faptul că nucleul emite

139

doar neutrini 0

0 e . Totodată dispariția electronului din stratul K al

atomului conduce la diverse tranziții electronice între învelișurile lui

și la apariția unei radiații Roentgen caracteristice. Trebuie să

remarcăm că:

în rezultatul dezintegrării β+ şi/sau a capturii K nucleul fiică

are numărul de sarcină cu o unitate mai mic decât al nucleului

părinte și același număr de masă cu acesta.

Este evident că la dezintegrarea nucleelor unui material

radioactiv numărul lor se micșorează. Procesul de dezintegrare a

nucleelor nu se produce instantaneu, ci într-un anumit interval de

timp și este unul aleatoriu. Cu alte cuvinte, este imposibil de prezis

care nucleu anume și când se va dezintegra. Dar putem determina

aproximativ numărul de nuclee din materialul radioactiv care se vor

dezintegra într-un anumit interval de timp. Acest număr este cu atât

mai precis cu cât este mai mare numărul de nuclee radioactive.

Notăm cu N0 numărul de nuclee radioactive la momentul inițial

de timp t0 = 0. Pentru determinarea numărului de nuclee radioactive

N la un moment arbitrar de timp t, vom analiza variația numărului

de nuclee dN într-un interval de timp infinit mic dt. În urma

dezintegrării, numărul de nuclee rămase radioactive se micșorează,

deci dN < 0. Numărul de nuclee dezintegrate |dN| în intervalul de

timp dt este cu atât mai mare, cu cât este mai mare numărul de

nuclee radioactive N și intervalul de timp dt, adică

dN Ndt , (30.17)

unde semnul „minus” arată că numărul de nuclee nedezintegrate se


140

micșorează, iar coeficientul de proporționalitate λ este numit

constantă radioactivă sau constantă de dezintegrare.

Separând variabilele în (30.17) și integrând după timp în limitele

de la 0 până la t și după numărul de nuclee în limitele de la N0 până

la N, avem

000

ln

N t

N

dN dN Ndt dt t

N N N ,

de unde rezultă legea dezintegrării radioactive

0

tN N e . (30.18)

Numărul de nuclee radioactive se micșorează exponențial cu

timpul.

Pentru descrierea radioactivității izotopilor deseori se folosește o

altă constantă, numită timp sau perioadă de înjumătățire T1/2,

egală cu intervalul de timp în care numărul de nuclee radioactive se

micșorează de două ori. Astfel, la momentul de timp t = T1/2

numărul de nuclee radioactive este N = N0/2. Substituind aceste

valori în (30.18) obținem relația dintre constanta de dezintegrare și

timpul de înjumătățire

1 2 1 200

1 2

ln 22

2

T TNN e e

T

. (30.19)

Cu ajutorul relației (30.19), din (30.18), pentru legea

dezintegrării radioactive obținem o expresie echivalentă

1 2

0 2

t

TN N

. (30.20)

Dependența exponențială a numărului nucleelor radioactive de

141

timp exprimată prin legea

(30.18) sau (30.20) este

reprezentată în figura 30.5.

Se observă că micșorarea

numărului de nuclee radio-

active în funcție de timpul de

înjumătățire este destul de

rapidă, însă diferă foarte

mult de la un element la

altul. De exemplu, numărul

nucleelor de 215

84 Po se

înjumătățește în timpul t =

= T1/2 = 1,8 μs, iar nucleele

de 238

92 U – în timpul t = T1/2 = 4,5·109 ani!

Radioactivitatea mai poate fi caracterizată, de asemenea, și cu

timpul mediu de viață al nucleului radioactiv:

0 0

0 0

t

tt

tN t dt te dt

N t

N t dt e dt

. (30.21)

Calculând integralele din (30.21), pentru timpul mediu de viață al

nucleului radioactiv obținem

1

. (30.22)

O caracteristică importantă a materialelor radioactive este

activitatea lor, care reprezintă viteza de dezintegrare sau numărul

de nuclee dezintegrate într-o unitate de timp:

Fig. 30.5


142

0 0

t tdN dA N e N e N

dt dt

. (30.23)

Din (30.23) rezultă că activitatea inițială

0 0A N (30.24)

și

0

tA A e . (30.25)

Activitatea unui material radioactiv se micșorează exponențial în

timp.

Unitatea activității în Sistemul Internațional este Becquerel (Bq)

și reprezintă numărul de dezintegrări într-o secundă

dezint.

1 Bq 1s

,

dar se mai utilizează și unitatea extra sistem numită Curie (Ci):

1 Ci = 3,7·1010 Bq. Activitatea de 1 Ci este foarte mare. De

exemplu, materialele radioactive utilizate în laboratoare au

activitatea de ~ 1 µCi.

30.4. Reacții nucleare

La interacțiunea diferitor nuclee și particule rapide cu alte nuclee

au loc transformări, în urma cărora se produce rearanjarea

nucleonilor și formarea de nuclee noi. Aceste transformări

constituie reacțiile nucleare. O reacție nucleară poate fi

reprezentată cu ecuația următoare

a X Y b , (30.26)

unde cu X este notat nucleul primar, numit și nucleu-țintă, iar cu a

– particula–proiectil. Produsele reacției sunt nucleul rezidual Y și

143

particula sau particulele rezultate din reacție b.

Partea stângă a ecuației (30.26) este numită stare inițială, iar

partea dreaptă – stare finală a reacției. Este necesar să menționăm că

în starea finală pot exista și mai mult de două produse. Totodată,

dacă particula–proiectil a este un nucleu sau o particulă încărcată

pozitiv, atunci pentru a pătrunde în raza de acțiune a nucleului–țintă

(la o distanță de aproximativ 10–15 m) ea trebuie să posede

suficientă energie cinetică pentru a depăși forțele de respingere

electrică din partea sarcinii pozitive a acestuia. Dacă, însă,

particula–proiectil este neutră, atunci forțele electrice de respingere

nu acționează și ea poate pătrunde în raza de acțiune a nucleului-

țintă chiar și având viteză mică.

Prima reacție nucleară a fost realizată în condiții de laborator în

anul 1919 de către Rutherford folosind în calitate de particulă-

proiectil nucleele de heliu 4

2 He (particule α)

14 4 17 1

7 2 8 1N He O p . (30.27, a)

Tot cu ajutorul reacțiilor nucleare în anul 1932 James Chadwick a

descoperit neutronul în rezultatul reacției

9 4 12 1

4 2 6 0Be He C n , (30.27, b)

iar în anul 1934 soții Irene și Frederick Joliot-Curie au descoperit

radioactivitatea artificială, bombardând o folie de aluminiu cu

particule α

27 4 30 1

13 2 15 0Al He P n . (30.27, c)

O reacție nucleară se realizează numai dacă se respectă legile de

conservare: a numărului de nucleoni (numărului de masă), a sarcinii

electrice, a impulsului, a energiei și a momentului impulsului. Din

reacțiile (30.27, a - c) se observă că respectarea legilor de


144

conservare a numărului de nucleoni și a sarcinii electrice este

evidentă: suma numerelor de masă (sarcinilor) ale nucleului-țintă și

particulei-proiectil este egală cu suma numerelor de masă

(sarcinilor) ale nucleului rezidual și particulelor rezultate din reacție.

O caracteristică importantă a reacțiilor nucleare este energia de

reacție. Aceasta se exprimă prin diferența dintre masa totală a

particulelor care intră în reacție (X și a) și masa totală a particulelor

ce rezultă din reacție (Y și b). Astfel, pentru energia de reacție,

notată cu Q, în corespundere cu relația dintre masă și energie

E = mc2, se obține

2

X a Y bQ m m m m c . (30.28)

Din (30.28) rezultă că energia de reacție poate lua valori atât

pozitive, cât și negative. Dacă Q > 0, în reacția nucleară se degajă

energie și ea este numită exoenergetică, iar dacă Q < 0 energia este

absorbită și reacția este numită endoenergetică.

Din figura 30.1, se observă că energia de legătură pe nucleon

pentru nucleele cu numărul de masă A ≥ 200 este de aproximativ

7,5 MeV/nucleon, iar pentru cele cu A ≈ 100 este de aproximativ

8,5 MeV/nucleon. Rezultă că dacă un nucleu greu (A ≥ 200) cu o

energie de legătură pe nucleon de aproximativ 7,5 MeV/nucleon

s-ar diviza în două nuclee de aproximativ aceeași mărime, atunci

energia de legătură pe nucleon a fiecăruia ar crește până la

aproximativ 8,5 MeV/nucleon. Astfel, fiecare dintre nucleele finale

are o energie de legătură pe nucleon cu 1 MeV/nucleon mai mare

decât cea a nucleului inițial și la descompunerea unui nucleu greu

(A ≥ 200) energia totală eliberată va fi de aproximativ 200 MeV.

Procesul în care un nucleu greu se împarte în două nuclee mai

ușoare a fost numit fisiune nucleară. Nucleele finale sunt numite

145

produse ale fisiunii. Orice proces de fisiune nucleară, de obicei,

este însoțit de emisia câtorva neutroni. Procesele de fisiune se pot

realiza spontan sau pot fi induse de neutroni.

Procesul de fisiune spontană se realizează în cazul unor nuclee

grele (Fig. 30.6) și poate fi reprezentat prin ecuația

1 2

1 2

1

1 2 0X Y YA AA

Z Z ZN n , (30.29)

unde Y1 și Y2 sunt produse ale fisiunii, iar N

este numărul de neutroni emiși (de obicei

cuprins între 0 și 3). Un nucleu greu se poate

descompune în diferite combinații ale

produselor de fisiune, dar întotdeauna cu

respectarea legilor de conservare ale numărului

de masă și de sarcină, A = A1 + A2 + N și,

respectiv, Z = Z1 + Z2. De exemplu, pentru

izotopul de uraniu–238 două dintre

posibilitățile de fisiune spontană sunt:

238 134 102 1

92 52 40 0U Te Zr 2 n ,

238 134 102 1

92 50 42 0U Sn Mo 2 n .

Procesul de fisiune a nucleelor grele se poate realiza și prin

bombardarea lor cu ajutorul neutronilor lenți. Acest proces este

numit fisiune nucleară indusă de neutroni și poate fi reprezentat

prin ecuația

1 2

1 2

1 1

0 1 2 0X Y YA AA

Z Z Zn N n (30.30)

asemănătoare cu (30.29). Nucleul obținut în urma captării

neutronului lent se află în stare excitată și posedă un surplus de

Fig. 30.6


146

energie. Datorită loviturii neutronului și a mișcării nucleonilor,

nucleul capătă o formă alungită (Fig. 30.7). Întrucât forțele nucleare

au raza de acțiune mică, rezultanta lor la interacțiunea nucleonilor

aflați la extremitățile alungirii se micșorează. În același timp forțele

de interacțiune electrică, având raza de acțiune mare, se măresc. Ca

rezultat, nucleul se deformează până la fisiunea lui în două nuclee

noi cu emisia a doi sau trei neutroni (Fig. 30.7). Procesul de fisiune

indusă de neutroni, ca și cel de fisiune spontană, se realizează prin

diferite reacții nucleare. De exemplu, trei dintre reacțiile de fisiune a

nucleului de uraniu-235 au aspectul

235 1 144 89 1

92 0 56 36 0U Ba Kr 3n n ,

235 1 93 141 1

92 0 37 55 0U Rb Cs 2n n ,

235 1 131 104 1

92 0 53 39 0U I Yn n .

Să considerăm un număr mare de nuclee de uraniu-235 și un

singur neutron lent care declanșează reacția de fisiune descrisă cu

ecuația (30.30). Presupunem că în această reacție de fisiune sunt

emiși doi neutroni. Aceștia pot fi absorbiți de alte două nuclee de

uraniu, determinând fisiunea lor și emisia deja a patru neutroni. La

rândul lor, acești patru neutroni vor induce apoi fisiunea altor patru

Fig. 30.7

147

Fig. 30.8

nuclee, generând opt neutroni, și așa mai departe (Fig. 30.8). Dacă

fiecare neutron induce fisiunea unui alt nucleu de uraniu, atunci la

fiecare etapă numărul de nuclee care fisionează se dublează.

Reacția în care neutronii rezultați din fisiunea nucleelor

stimulează fisiunea altor nuclee este numită reacție în lanț.

Energia eliberată într-o reacție nucleară în lanț este enormă,

mult mai mare decât energia din orice reacție chimică. Pentru a

estima valoarea acestei energii vom lua în considerare că un

neutron este emis de un nucleu și apoi absorbit de altul într-un

timp de aproximativ 10–4 s. Astfel, în decurs de o sutime de

secundă se vor realiza 100 de etape ale fisiunii, adică se vor

descompune 1 + 2 + 22 + 23 + ··· + 2100 = 2101 – 1 ≈ 2,5·1030 nuclee.


148

Întrucât la descompunerea unui nucleu de uraniu-235 se degajă o

energie de 185 MeV, în primele 0,01 s ale reacției de fisiune în lanț

a uraniului-235 se va degaja o energie de aproximativ 2,5·1030 ç

185·106 ç 1,6·10–19 J ≈ 7,4·1019 J. Această cantitate de energie este

echivalentă cu detonarea a aproximativ 18·109 tone de trotil!

Pentru realizarea reacției nucleare în lanț este necesară o

cantitate suficientă de 235

92 U . Uraniul natural, însă, conține doar

0,7% de izotop 235

92 U , restul de 99,3% constituind izotopul 238

92 U ,

care nu prezintă fisiune indusă când este bombardat cu neutroni

lenți. Din această cauză, folosind diverse metode de separare a

izotopilor se obține uraniu bogat în izotopul 235

92 U , numit uraniu

îmbogățit.

Masa minimă de uraniu îmbogățit la care se produce reacția

nucleară în lanț se numește masă critică.

Forma geometrică optimă a materialului radioactiv destinat

pentru realizarea procesului de fisiune este sfera. S-a constatat că

masa critică a sferei din uraniu îmbogățit constituie aproximativ 50

kg, iar raza ei este de numai 8,6 cm. Este evident, că izotopul 235

92 U

poate fi păstrat doar în cantități mai mici decât masa critică.

Cea mai simplă modalitate de realizare a reacției de fisiune în

lanț este reacția nedirijată, care se produce în cazul bombei atomice

(mai corect a armei nucleare). În acest caz două fragmente de

uraniu-235 cu masele mai mici decât cea critică, dar suma lor fiind

mai mare decât aceasta, se află separat în interiorul unui înveliș

metalic. La momentul declanșării reacției de fisiune fragmentele de

uraniu se contopesc, formându-se un corp cu masa mai mare decât

cea critică și se produce explozia nucleară.

149

Pentru utilizarea energiei nucleare în scopuri pașnice este necesar

ca ea să fie eliberată nu instantaneu ca în cazul armei nucleare, dar

dozat, în funcție de necesități. Pentru aceasta reacția nucleară în lanț

trebuie dirijată, adică procesul de fisiune trebuie să se producă în

mod controlat. Acest control al fisiunii nucleelor este posibil de

realizat în reactorul nuclear, a

cărui schemă este prezentată

în figura 30.9.

Elementele de bază ale

unui reactor nuclear sunt: I –

zona activă (1) și (2); II –

elementele de dirijare și

protecție (3); III – carcasa

(4), (5), (6). Zona activă a

reactorului constă dintr-un

sistem de bare (1) de uraniu

îmbogățit, plasate într-un

mediu (2) constituit din apă,

apă grea, grafit sau un

amestec al acestora. Mediul respectiv a fost numit moderator și are

rolul de a micșora vitezele neutronilor emiși la diferite etape ale

fisiunii. La mișcarea prin moderator neutronii pierd o parte din

energia lor și devin lenți, iar ca rezultat, procesul de fisiune devine

mai eficient. Funcționarea reactorului este dirijată cu ajutorul

barelor de control (3) confecționate dintr-un material care

absoarbe puternic neutronii lenți. Dacă barele sunt introduse

complet în zona activă, neutronii sunt absorbiți într-un număr atât

de mare, încât reacția în lanț nu se produce. Pentru inițierea

acesteia, barele de control sunt scoase până când reacția se produce

în regim staționar. Pentru protecție în caz de urgență (de exemplu,

când accidental intensitatea reacției în lanț brusc se mărește) barele

de control sunt introduse în zona activă în mod automat și reacția se

Fig. 30.9


150

întrerupe. Carcasa reactorului este alcătuită din mai multe învelișuri.

Învelișul reflector (4) este confecționat dintr-un material care

reflectă neutronii și îi împiedică să părăsească zona activă. Învelișul

(5) în care se află zona activă și prin interiorul căruia circulă agentul

termic preia energia degajată în urma fisiunii nucleelor. Învelișul

protector de radiație (6) este confecționat din beton armat care

previne scurgerea în mediul exterior a radiațiilor care însoțesc

reacția în lanț a materialului fisionabil.

Revenind la figura 30.1, observăm că energia de legătură pe

nucleon crește odată cu mărirea numărului de masă A până la

aproximativ A = 60. Astfel, la fuziunea (contopirea) a aproape

oricare două nuclee ușoare se va forma un nucleu cu A < 60 și se va

degaja o anumită cantitate de energie, adică are loc o reacție

exoenergetică.

Într-o reacție de fuziune nucleară, două sau mai multe nuclee

ușoare se contopesc pentru a forma un nucleu mai mare.

În reacțiile de fuziune energia se degajă din același motiv ca și

reacțiile de fisiune: energia de

legătură pe nucleon după

reacție este mai mare decât

înainte de producerea acesteia.

Să analizăm în calitate de

exemplu reacția de fuziune a

nucleelor de deuteriu 2

1H și

de tritiu 3

1H (fig. 30.10):

2 3 4 1

1 1 2 0H H He n . (30.31)

Folosind relația (30.28) și ținând seama de faptul că 1 u·c2 ≈ 931,5 MeV,

calculăm energia degajată în această reacție

Fig. 30.10

151

2 3 4 11 1 2 0

2

H H He nQ m m m m c

2,01355 3,01550 4,00150 1,00866 931,5 MeV 17,6 MeV.

Această energie revine la 5 nucleoni și, deci, în reacția de fuziune

(30.31) energia de legătură pe nucleon variază cu 17,6 MeV:5

nucleoni ≈ 3,5 MeV/nucleon. Comparând această valoare a energiei

degajate pe nucleon în reacția de fuziune cu energia degajată pe

nucleon în reacția de fisiune a uraniului (185 MeV:235 nucleoni) de

aproximativ 0,8 MeV/nucleon, constatăm că în reacția de fuziune

energia degajată pe nucleon este de aproximativ 4 ori mai mare

decât în cazul reacției de fisiune a uraniului. Această comparație

demonstrează cât de eficiente sunt reacțiile de fuziune nucleară din

punct de vedere energetic, cu atât mai mult că rezervele de deuteriu

din apele mărilor și oceanelor sunt practic inepuizabile. Tritiul nu

există în natură, însă poate fi obținut prin intermediul reacției

nucleare

6 1 4 3

3 0 2 1Li He Hn . (30.32)

Totodată, trebuie menționat avantajul ecologic al reacțiilor de

fuziune nucleară, care se realizează fără formarea deșeurilor

radioactive.

Realizarea practică a reacțiilor de fuziune este pe atât de dificilă

pe cât de avantajoase și efective sunt acestea. Pentru fuziunea

nucleelor este necesar ca ele să se apropie unul de altul la distanțe,

la care se manifestă forțele de atracție nucleară, adică mai mici de

10–14 m. Însă până la atingerea acestei distanțe între nucleele

încărcate cu sarcini pozitive acționează forțele de respingere

electrostatică, pentru învingerea cărora este necesară energia:

29 192

13

14

9 10 1,6 10J 0,23 10 J

10

ee

k eW

r

.


152

Nucleele vor avea o astfel de energie la temperaturi foarte înalte.

Într-adevăr, energia cinetică medie a mișcării de translație este

proporțională cu temperatura 3

2E kT și vor învinge forța de

respingere electrostatică doar nucleele ce vor avea energia cinetică

medie eE W sau temperatura

13

9

23

2 2 0,23 1010 K

3 3 1,38 10

eWT

k

.

Reacțiile de fuziune sunt posibile și la temperaturi relativ puțin mai

mici, de ordinul 107 K, deoarece după cum rezultă din funcția de

distribuție Maxwell1 există o fracțiune mică de protoni cu energii

cinetice mult mai mari decât valoarea medie, care declanșează

reacția de fuziune. Totodată trebuie de luat în considerație şi efectul

tunel, care, de asemenea, conduce la posibilitatea realizării fuziunii

şi la temperaturi mai mici (vezi capitolul 27.). Datorită temperaturilor

foarte înalte la care au loc aceste reacții, ele au fost numite reacții

de fuziune termonucleară sau sinteză termonucleară. În natură

asemenea reacții se produc doar în stele, unde există temperaturi

foarte înalte (de exemplu, în centrul Soarelui temperatura este

aproximativ de 15 milioane de grade). Întrucât masele nucleelor

rezultate din reacție sunt mai mici decât ale celor care fuzionează,

masa stelelor se micșorează. De exemplu, masa Soarelui se

micșorează în fiecare secundă cu aproximativ 4 milioane de tone! Cu

toate acestea activitatea proceselor de fuziune este posibilă încă timp

de 100 de miliarde de ani!

În condiții terestre reacția de fuziune termonucleară nedirijată are

loc în bomba cu hidrogen sau bomba termonucleară. Substanța

1 A. Rusu, S. Rusu. Curs de fizică. Ciclu de prelegeri. Vol.2. Bazele fizicii

moleculare și ale termodinamicii. Chișinău, Tehnica-UTM, 2014, 117p.

153

explozivă a acesteia este deuteridul de litiu (LiD), iar în calitate de

focos este folosită bomba atomică (nucleară). După explozia ei se

obține un flux de neutroni rapizi cu energii foarte mari care

declanșează reacția de fisiune a litiului (30.32), în urma căreia se

formează nucleele de tritiu. Astfel, existența deuteriului și a tritiului

la temperaturi foarte înalte declanșează reacția de fuziune

termonucleară (30.31), adică explozia bombei termonucleare cu

degajarea unor energii enorme.

Problema realizării sintezei termonucleare dirijate este mult mai

dificilă și până în prezent încă nu este rezolvată. Însă importanța ei

pentru omenire ca mijloc de producere a energiei utile ar putea fi

soluția problemelor energetice globale. Din acest motiv sunt

necesare eforturi masive atât științifice, cât și financiare. În anul

2005, Uniunea Europeană, SUA, China, Rusia, Japonia, India și

Coreea de Sud au convenit să finanțeze și să construiască împreună

un reactor termonuclear experimental la Cadarache, în sudul

Franței. În prezent lucrările de construcție a reactorului continuă, iar

primele experimente privind fuziunea termonucleară reglabilă sunt

preconizate pentru anul 2025.

30.5. Noțiune despre particule elementare

Problema identificării constituenților primari ai materiei a

preocupat filosofii și savanții tuturor timpurilor.

Partea constitutivă a materiei care nu mai poate fi descompusă

în unități mai simple se numește particulă elementară.

Cu aproximativ 400 de ani î. Hr. filosofii greci Democrit și

Leucip au ajuns la concluzia că materia este compusă din particule

indivizibile pe care le-au numit atomi. Un timp îndelungat, mai

exact până spre sfârșitul secolului 19, atomul era considerat cel mai


154

mic constituent indivizibil al materiei, adică o particulă elementară.

Însă descoperirile electronului de către J.J. Thomson (1897), apoi a

protonului de către E. Rutherford (1919) și a neutronului de către

J. Chadwick (1932) au demonstrat că atomul prezintă o structură

complicată. Se considera că aceste particule împreună cu fotonul ca

purtător al interacțiunii electromagnetice reprezintă constituenții

primari din care poate fi construită întreaga lume materială. Protonii

și neutronii legați în nuclee împreună cu electronii formează atomii.

Aceștia, la rândul lor, asociindu-se în molecule, formează substanța.

Foarte curând însă s-a constatat că există și alte particule

elementare.

Stabilitatea nucleelor atomice sugerează că trebuie să existe o

forță puternică de atracție între nucleoni cu o rază de acțiune foarte

mică, de ordinul dimensiunilor nucleului. În anul 1934, fizicianul

nipon Hideki Yukawa (1907–1981) a prezis existența unei noi

particule elementare care trebuia să joace rolul de purtător al

interacțiunii tari de atracție dintre nucleoni tot așa cum fotonul era

un purtător al interacțiunii electromagnetice între particulele

încărcate. Calculele teoretice efectuate de Yukawa, indicau pentru

masa noii particule o valoare intermediară între masa electronului și

cea a protonului, de aproximativ 250 de mase ale electronului. Din

această cauză particula prezisă a căpătat denumirea de mezon (din

gr. mesos „mijlociu, intermediar”).

Ipoteza despre existența mezonului a condus la descoperirea

experimentală a noi particule elementare. În anul 1936, fizicianul

american Carl David Anderson (1905–1991) a descoperit în razele

cosmice o particulă cu masa de aproximativ 207 ori mai mare decât

masa electronului me. Însă această particulă, numită miuon sau

mezon µ, nu era mezonul lui Yukawa, deoarece, după cum s-a

constatat, ea nu participa la interacțiunea dintre nucleoni. Miuonul

poate avea atât sarcină negativă (µ–), cât și pozitivă (µ+). După

155

proprietățile sale, miuonul este un electron foarte greu, instabil, cu

timpul mediu de viață de aproximativ 2,2·10–6 s.

Mezonul lui Yukawa a fost descoperit mai târziu, în anul 1947,

de către fizicianul englez Cecil Franck Powell (1903–1969)

împreună cu colaboratorii săi César Lattes și Giuseppe Occhialini

tot în razele cosmice. El a fost numit mezon π sau pion și există în

trei stări: cu sarcina pozitivă (π+), negativă (π–) și nulă (π0). Pionii

π+ și π– au masa de ≈ 273me, iar π0 – de ≈ 264me. Tot sub

conducerea lui Powell a fost descoperit și mezonul K, numit și

kaon, care, de asemenea, este implicat în interacțiunea dintre

nucleoni. S-a constatat că toți mezonii sunt particule elementare

instabile, care se dezintegrează și se transformă în alte particule.

În anul 1956 fizicienii americani de origine chineză Tsung-Dao

Lee și Chen Ning Yang au confirmat experimental ipoteza lui W.

Pauli (vezi p. 30.3) despre existența neutrinului – particulă

elementară neutră din punct de vedere electric, cu o putere de

penetrare extrem de mare datorită masei sale foarte mici. Sunt

cunoscute trei tipuri de neutrin: neutrinul electronic νe; neutrinul

miuonic νμ și neutrinul taonic ντ.

Un rol deosebit în studiul particulelor elementare îl au

acceleratoarele. Fasciculele de particule din acceleratoarele

contemporane pot fi dirijate după necesități și posedă o gamă largă

de energii. La ciocnirea particulelor de energie înaltă se obțin

particule noi, tot așa cum la ciocnirea unui electron cu un pozitron

iau naștere doi fotoni. Dezvoltarea tehnicii de construcție a

acceleratoarelor de particule în care se produc fluxuri de diverse

particule cu energii mari, au avansat și posibilităţile experimentale

de studiu ale particulelor elementare. Au fost descoperite particule,

masa cărora este mai mare decât cea a protonilor și neutronilor. De

exemplu, masa hiperonului Ω– este de 3273me ≈ 1,78mp, iar masa


156

taonului τ este de 3478me ≈ 1,89mp.

Majoritatea particulelor elementare sunt instabile, particule

stabile existând doar câteva: fotonul, electronul, neutrinul și

protonul. Neutronul liber are durata medie de viață de aproximativ

103 s.

În anul 1928, fizicianul englez Paul Dirac a elaborat teoria

cuantică relativistă a mișcării electronului în atom. Această teorie

nu numai că a confirmat rezultatele experimentale cunoscute, dar și

a demonstrat că trebuie să existe o particulă elementară, care posedă

caracteristici identice cu cele ale electronului, însă cu sarcină opusă,

adică pozitivă. Generalizând raționamentele, Dirac a ajuns la

concluzia că trebuie să existe nu numai electroni pozitivi, dar și

protoni cu sarcină negativă. Aceste particule au fost numite

antiparticule. În teoria fizicii particulelor elementare se consideră

că pentru toate particulele există și antiparticule corespunzătoare,

chiar dacă în unele cazuri (de exemplu, fotonul) particulele și

antiparticulele coincid.

Prima antiparticulă – electronul pozitiv, numit pozitron (de la lat.

pozitivus „pozitiv”) și notat cu simbolul e+ – a fost observată pentru

prima dată în anul 1932 de către fizicianul american C. Anderson,

studiind traiectoriile particulelor din razele cosmice înregistrate în

camera Wilson. Ulterior au fost descoperite și alte antiparticule:

antimiuonul µ+ (1936), antipionul π– (1947) și antineutrinul

electronic e (1953), antiprotonul p (1955) și antineutronul n

(1956). Deseori antiparticula se notează cu același simbol ca și

particula, dar cu tildă.

Reieșind din teoria sa, Paul Dirac a prezis existența a două

procese noi: anihilarea și formarea de perechi, care ulterior au

fost detectate și experimental.

157

Procesul, în urma căruia interacțiunea unei particule

elementare cu antiparticula sa se transformă în fotoni sau în

alte particule elementare se numește anihilare.

Reacția de anihilare electron–pozitron însoțită de apariția a doi

fotoni (a două cuante γ) are aspectul

– e e , (30.33)

iar cea de formare a perechii electron-pozitron –

–1nucleu 1nucleue e . (30.34)

Atât energia minimă a fotonilor creați în urma anihilării, cât și

energia minimă necesară pentru formarea perechii electron–pozitron

este aceeași: Emin = 2mec2 ≈ 2·0,51 MeV = 1,02 MeV. Este de

menționat că formarea perechii electron–pozitron necesită prezența

unui nucleu sau a unei alte particule încărcate pentru a asigura

conservarea nu numai a energiei dar și a impulsului.

Din relațiile (30.33) și (30.34) rezultă că procesul de formare a

perechilor este invers celui de anihilare. Evident că pentru formarea

altor perechi de particule este necesară o energie minimă mai mare,

egală cu dublul energiei de repaus a particulei respective. În

procesul de anihilare, aceeași energie va fi eliberată sub formă de

radiație γ. De exemplu, în cazul perechii proton–antiproton această

energie este de 1867 MeV, adică de aproximativ 1830 de ori mai

mare decât în cazul perechii electron–pozitron.

Proprietățile și comportamentul particulelor elementare pot fi

cercetate mult mai eficient în procesele de interacțiune. În natură

există patru tipuri de interacțiuni care nu se reduc la altele mai

simple. Acestea sunt interacțiunile tari (nucleare), electromagne-

tice, slabe și gravitaționale. Ele au fost numite interacțiuni

fundamentale.


158

Interacțiunile electromagnetice și gravitaționale sunt cunoscute

din fizica clasică. Ambele se caracterizează printr-o dependență

invers proporțională cu pătratul distanței dintre particule și direct

proporțională cu produsul dintre sarcinile electrice într-un caz și

masele lor în alt caz. De aceea în lumea particulelor elementare de

mase extrem de mici, forțele de interacțiune gravitațională sunt

neglijabile. De exemplu, forța de respingere electrică dintre doi

protoni este de aproximativ 1036 ori mai mare decât forța de atracție

gravitațională dintre aceștia.

Interacțiunile tari sunt cele mai puternice dintre toate cele

cunoscute. Ele sunt responsabile de legătura dintre protoni și

neutroni în nucleele atomice. Toate procesele în care sunt antrenate

interacțiunile tari se realizează cu viteze foarte mari, adică se produc

într-un interval de timp foarte mic, de ordinul 10–22 s. Se manifestă

la distanțe de ordinul 10–15 m și mai mici, de aceea mai sunt numite

forte cu rază mică de acțiune. La asemenea distanțe interacțiunile

tari sunt de sute de ori mai puternice decât cele electromagnetice.

Interacțiunile slabe sunt cele mai lente dintre toate

interacțiunile care au loc în lumea particulelor elementare și se

realizează în intervale de timp de ordinul 10–10 s și mai mari. Raza

de acțiune a forțelor din domeniul interacțiunilor slabe este foarte

mică, de ordinul 10–18 m. Prin intermediul acestei interacțiuni are

loc dezintegrarea beta, precum și dezintegrarea multor particule

instabile.

S-a constatat că cele patru interacțiuni fundamentale se

realizează în conformitate cu unul și același mecanism – prin

schimbul de anumite particule purtătoare ale interacțiunii

respective. Din această cauză ele au fost numite interacțiuni de

schimb. Interacțiunea electromagnetică dintre particulele încărcate

electric are loc prin intermediul schimbului de fotoni – cuante ale

câmpului electromagnetic.

159

Teoria interacțiunii de schimb a fost confirmată și pentru

celelalte interacțiuni. Interacțiunile tari sunt intermediate de niște

particule fără masă de repaus numite gluoni (din eng. glue - clei).

Descrierea teoretică a interacțiunilor tari și a gluonilor care le

mediază este dată de cromodinamica cuantică. S-a constatat că

există 8 tipuri (sau culori) de gluoni.

În anii 60 ai secolului trecut a fost demonstrată teoretic existența

a trei particule grele, numite bosoni vectoriali, care aveau rolul de

purtători ai interacțiunilor slabe. Acești trei bosoni mediatori, doi

dintre care W și –W au sarcini electrice opuse, iar al treilea Z este

neutru au fost descoperiți experimental în anul 1983, astfel

confirmându-se caracterul interacțiunii de schimb și pentru aceștia.

În teoria contemporană a gravitației se demonstrează că și

interacțiunea gravitațională se manifestă ca o interacțiune de

schimb, purtătorul acesteia fiind gravitonul – cuantă a câmpului

gravitațional, care, asemenea fotonului, este o particulă fără masă de

repaus. Din cauza intensității foarte mici a interacțiunii

gravitaționale, până în prezent gravitonul încă nu a fost detectat

experimental. Totodată nici teoria cuantică a gravitației încă nu este

finalizată.

În funcție de interacțiunea fundamentală realizată, în procesele

ce se realizează cu participarea particulelor elementare, ele se

împart în trei clase: fotoni, leptoni și hadroni.

Din clasa fotonilor face parte o singură particulă elementară –

fotonul. El nu are sarcină electrică, dar este purtătorul forțelor de

interacțiune electromagnetică. Fotonul este stabil, are timpul de

viață infinit de mare până la interacțiunea cu alte particule

elementare. Prin intermediul fotonilor se obține cea mai mare parte

din informația despre natură: de la stările energetice ale atomilor și

moleculelor până la radiația emisă de obiectele din spațiul cosmic.

În stare liberă fotonul poate fi considerat cea mai răspândită


160

particulă elementară din Univers.

Particulele care nu participă la procesele de interacțiune tare se

numesc leptoni.

Clasa leptonilor conține 12 particule elementare (6 particule și 6

antiparticule), care constituie 3 generații – electronul e– cu neutrinul

electronic e , miuonul µ– cu neutrinul miuonic și taonul τ– cu

neutrinul taonic . Atât miuonul, cât și taonul sunt particule

instabile.

Cercetările experimentale și teoretice efectuate până în prezent

demonstrează că leptonii nu au structură internă. De aceea cei 12

leptoni, 6 particule (electronul, miuonul și taonul cu neutrinii lor) și

6 antiparticule respective, mai sunt numite particule fundamentale.

Cea mai numeroasă clasă a particulelor elementare (peste 300) o

constituie hadronii (de la gr. hadros „tare, puternic”). Procesele de

transformare a hadronilor se realizează prin intermediul tuturor

interacțiunilor fundamentale, însă la distanțe mici predomină

interacțiunile tari. Cu excepția protonului, care este o particulă

stabilă, toți hadronii sunt instabili. Dacă dezintegrarea hadronilor se

produce datorită interacțiunilor electromagnetice sau slabe, timpul

mediu de viață este mai mare de 10–20 s, iar dacă pe seama celor

tari, atunci în urma dezintegrării apar particulele numite rezonanțe

cu timpul mediu de viață de ordinul 10–23 s.

Hadronii se împart în mezoni (de la gr. mesos „mediu”) și

barioni (de la gr. barys „greu”). La rândul lor, barionii se împart în

nucleoni (protonul și neutronul) și hiperoni (particule mai grele

decât nucleonii).

În anul 1964, fizicienii americani Murray Gell-Mann (1929 –

2019) și George Zweig (n. 1937) au emis ipoteza că hadronii sunt

particule compuse. Conform acesteia, nucleonii, de exemplu, sunt

compuși din trei particule mai mici încărcate electric, numite

161

quarkuri. Existența lor a fost confirmată în anul 1969 în urma

experimentului similar celui al lui Rutherford, care prin împrăștierea

particulelor α a demonstrat existența nucleului. La bombardarea

protonilor și a neutronilor cu electroni accelerați până la energii de

50 GeV, s-a constatat existența a trei sarcini punctiforme ce se

deplasează liber în interiorul lor. Aceste sarcini punctiforme

(particule) sunt quarkurile.

Una dintre particularitățile caracteristice ale quarkurilor este

sarcina electrică fracționară. S-a constatat că quarkurile pot avea

doar două valori pozitive sau negative ale sarcinii. Într-adevăr, dacă

notăm cu q1 și q

2 valorile posibile ale sarcinilor electrice ale

quarkurilor, atunci luând în considerare că protonul are sarcina

electrică +e, iar neutronul este particulă neutră, avem:

1 2

1 2

2 ,

2 0.

q q e

q q

Soluțiile acestui sistem de ecuații sunt:

1 2

2 1,

3 3q e q e .

Quarkul cu sarcina +2e/3 a

fost numit up (sus) și notat cu

u, iar cel cu sarcina –e/3 –

down (jos) și notat cu d.

Evident, antiquarkul u are

sarcina –2e/3, iar antiquarkul

d – sarcina +e/3. Astfel, structura protonului poate fi prezentată sub

forma uud, iar a neutronului - udd (fig. 30.11). În ambele cazuri

quarkurile se află sub influenţa interacțiunii tari care se realizează

prin intermediul gluonilor g.

Teoria quarkurilor permite reprezentarea tuturor hadronilor prin

Fig. 30.11


162

diferite combinații de quarkuri și antiquarkuri. De exemplu, pionul

constă dintr-un quark u și un antiquark d , iar antipionul are

structura ud . Pentru reprezentarea altor particule elementare a fost

necesară introducerea a încă două generații de quarkuri (prin

analogie cu generațiile de leptoni). Quarkurile din aceste generații

au fost numite charm (farmec) notat cu c, strange (ciudat) notat cu

s, top (vârf) notat cu t și bottom (bază) notat cu b. Mai mult ca atât,

s-a constatat că pentru explicarea structurii hadronilor, quarkurile

trebuie să existe sub trei forme, fiecăreia dintre ele atribuindu-i-se

un număr cuantic de sarcină de culoare, sau mai simplu culoare.

Sarcinile de culoare determină o anumită interacțiune a quarkurilor

fiind numite: red (roșu), green (verde) și blue (albastru). Evident,

antiquarkurile sunt caracterizate de anticulori. Menționăm că aceste

denumiri nu au nimic în comun cu spectrul de culori din domeniul

vizibil.

Deși teoria quarkurilor a fost confirmată experimental, până în

prezent încă nu s-a observat nici un quark în stare liberă. Cercetările

experimentale referitor la interacțiunea dintre quarkuri au evidențiat

proprietăți excepționale ale acestora. S-a constatat că interacțiunea

de atracție dintre „culorile” quarkurilor (la distanțe de ordinul 10–15

m) este cu atât mai puternică, cu cât distanța dintre ei se mărește.

Rezultă că energia necesară pentru descompunerea unui hadron în

quarkuri separate este foarte mare, tinde la infinit. Din acest motiv,

observarea quarkurilor în stare liberă este practic imposibilă.

Particularitățile de interacțiune ale quarkurilor, precum și

proprietățile lor ne permit să atribuim aceste particule la clasa celor

fundamentale.

În prezent rezultatele obținute în domeniul fizicii particulelor

elementare referitor la constituenții de bază ai materiei și la forțele

fundamentale care descriu interacțiunile dintre aceștia sunt

163

concentrate în Modelul Standard general acceptat al particulelor

fundamentale (Fig. 30.12). Se consideră că există 61 de particule

fundamentale care reprezintă constituenții primari ai materiei: 36

quarkuri și antiquarkuri, 12 leptoni, 12 mediatori și bosonul Higgs.

Fiecare căsuță din figura 30.12 conține pentru particula respectivă:

în partea de sus stânga – sarcina și sarcina de culoare (dacă există);

în partea de sus dreapta – spinul particulei și existența antiparticulei

(cu litera a); în centru – simbolul; în partea de jos – denumirea.

Quarkurile sunt fermioni cu spinul s = 1/2 și sarcină electrică

fracționară. Există șase tipuri de quarkuri grupate în trei

generații: I – (u, d); II – (c, s) și III – (t, b). Fiecare tip există în trei

subtipuri, denumite convențional culori (red, green, blue).

Quarkurile nu există în stare liberă, ele sunt menținute în interiorul

hadronilor de forța tare.

Fig. 30.12


164

Leptonii de asemenea sunt fermioni cu spinul s = 1/2, dar nu

participă la interacțiunile tari. Ca și quarkurile, ei sunt grupați în trei

generații: I – electronul și neutrinul electronic II – miuonul și

neutrinul miuonic; III – taonul și neutrinul taonic.

Mediatorii sunt bosoni vectoriali cu spinul s = 1 care

intermediază interacțiunile fundamentale. Gluonii și fotonul au

masa de repaus egală cu zero și mediază interacțiunea tare și,

respectiv, interacțiunea electromagnetică. Există 8 tipuri (sau culori)

de gluoni. Interacțiunea slabă este mediată de către bosonii masivi

W , –W și Z.

Bosonul Higgs este un boson scalar ce are spinul s = 0 și dintre

toți bosonii posedă cea mai mare masă. Existența acestuia a fost

prezisă în anii 60 ai secolului XX de către fizicianul britanic Peter

Ware Higgs (n. 1929) pentru a explica masele diferite de zero ale

bosonilor W și Z. Pentru aceasta el a propus mecanismul ruperii

spontane a simetriei interacțiunii electroslabe care explică originea

masei particulelor elementare. Organizația Europeană pentru

Cercetare Nucleară CERN a declarat oficial despre descoperirea

noii particule în martie 2013, iar în iulie 2017 a confirmat că toate

măsurările legate de aceasta corespund Modelului Standard și a

numit-o bosonul Higgs.

Deși explică foarte multe rezultate ale cercetărilor, Modelul

Standard nu este o teorie completă. De exemplu, una dintre cele mai

cunoscute interacțiuni fundamentale, și anume interacțiunea

gravitațională până în prezent încă nu este integrată în Modelul

Standard. Particula elementară care reprezintă cuanta de câmp

gravitațional numită graviton rămâne a fi o particulă ipotetică. Mai

mult ca atât, particulele care stau la baza Modelului Standard

explică comportamentul doar a circa 5% din materia întregului

Univers, restul fiind materie întunecată (23%) și energie întunecată

(72%).

Date post:	26-Dec-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

V. ELEMENTE DE FIZICĂ MODERNĂfizica.utm.md/documents_pdf/5.Curs_de_fizica_V.pdf · elemente de...

Documents