+ All Categories
Home > Documents > Utilizarea Calculatoarelor-Introducere in Mathcad Partea1

Utilizarea Calculatoarelor-Introducere in Mathcad Partea1

Date post: 06-Jan-2016
Category:
Upload: petre1989
View: 214 times
Download: 7 times
Share this document with a friend
Description:
Manual de invatare Mathcad pentru incepatori cu exemple.

of 81

Transcript
  • UNIVERSITATEA TEHNIC DE CONSTRUCIIBUCURETI

    Departamentul de Matematic i Informatic

    Nicolae Dne

    Dan Caragheorgheopol Daniel Tudor

    UTILIZAREA CALCULATOARELORIntroducere n Mathcad

    Bucureti 2014

  • Prefa

    De ce acest titlu?Titlul crii, Utilizarea calculatoarelor, preia denumirea cursului existent nplanul de nvmnt al anului nti de la facultatea "Ci Ferate, Drumuri i Poduri"din Universitatea Tehnic de Construcii Bucureti. Cum un calculator se poatefolosi n foarte multe domenii de activitate, acest titlul general impune o precizare:cartea este o introducere n utilizarea programului Mathcad 1. Ea reflectexperiena dobndit de autori n iniierea studenilor din anul nti n utilizareaacestui program.

    Cui se adreseaz aceast carte?Cartea nu este o prezentare complet a tot ceea ce poate face programul Mathcad.Ea se adreseaz studenilor din primul an de facultate din nvmntul superiortehnic, pe care i iniiaz n folosirea programului Mathcad pentru efectuareacalculelor numerice sau simbolice i rezolvarea problemelor matematice pe care lentlnesc la celelalte discipline de studiu.

    Ce conine cartea?Dup o scurt prezentare a interfeei Mathcad fcut n capitolul 1, cititorul esteiniiat n capitolele 2 i 3 asupra modului n care se poate folosi programulMathcad pentru rezolvare problemelor de "Algebr liniar" sau "Analizmatematic". Capitolul 4 este consacrat graficii n Mathcad. n capitolul 5 suntprezentate posibilitile de calcul simbolic ale acestui program. Capitolele 6 i 7sunt dedicate rezolvrii numerice sau simbolice a ecuaiilor i sistemelor de ecuaiineliniare folosind Mathcad. O scurt introducere n posibilitile de programare nMathcad este fcut n capitolul 8. n final, n capitolele 9 i 10, sunt propusesubiecte pentru aplicaiile practice i teste de verificare.

    Ce versiune de Mathcad este recomandat?Toate programele Mathcad care au stat la baza scrierii acestei crii au fostrealizate n Mathcad, versiunea 14. Cu mici excepii, ele pot funciona i nMathcad 11, dac sunt scrise n aceast versiune. De fapt, majoritatea programelor1 Mathcad este marc nregistrat a firmei PTC (Parametric Technology Corporation), 140 Kendrick Street,Needham, MA 02494 USA, http://www.ptc.com/product/mathcad/.

    i

  • au fost scrise iniial n Mathcad 11.2a, una dintre cele mai bune i stabile versiunide Mathcad, i apoi transformate n versiunea 14. Diferenele ntre cele douversiuni pot s apar la programele care folosesc calculul simbolic, deoareceMathcad pn la versiunea 11 a folosit procesorul de calculul simbolic de laMaple iar ncepnd cu versiunea 12 a trecut la MuPad. Pentru scriereaprogramelor n Mathcad autorii recomand versiunile 14, mai precis 14.03, sau 15.

    Bucureti, februarie 2014 Autorii

    ii

  • CUPRINS

    Capitolul 1. Mathcad Ghid de utilizare .1

    Capitolul 2. Algebr liniar cu Mathcad ....15

    Capitolul 3. Analiz matematic cu Mathcad 78

    Capitolul 4. Grafic n Mathcad ...109

    Capitolul 5. Calcul simbolic n Mathcad ..135

    Capitolul 6. Rezolvarea ecuatiilor i inecuaiilor n Mathcad ..162Capitolul 7. Rezolvarea sistemelor de ecuatii neliniare n Mathcad 181

    Capitolul 8. Programare n Mathcad 207

    Capitolul 9. Probleme pentru seminar ..220

    Capitolul 10. Teste de verificare ..241

    Bibliografie ..248

    iii

  • 1. MATHCAD Ghid de utilizare

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    MATHCAD Ghid de utilizare

    Ecranul Mathcad

    Pentru a lucra comod in Mathcad se recomanda ca barele Standard,Formatting, Math, Status si Ruler sa fie afisate. Pentru aparitia acestora sedeschide meniul View si se selecteaza afisarea acestora, asa cum se vede infigura de mai jos.

    Afisarea barei Math in momentele redactarii unui document Mathcad esteobligatorie.

    Cu ajutorul ei se introduc cu usurinta in document operatorii si simbolurileMathcad.

    Apasarea butoanelor acestei bare duce la aparitia unor submeniuri (toolbars) carecontin operatori sau simboluri grupate pe domenii de utilizare.

    In continuare vom prezenta, pe scurt, aceste submeniuri ale barei Math.

    2

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Bara Calculator

    Apasarea butonului duce la aparitia barei Calculator

    Bara Graph

    Apasarea butonului duce la aparitia barei

    Butoanele care apar pe aceasta bara folosesc pentru crearea graficelor 2-D sau3-D in Mathcad.

    3

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Bara Matrix

    Apasarea butonului duce la aparitia barei

    Cu ajutorul acestei bare se introduc intr-o foaie de calcul Mathcad: matrice,elemente de matice, indici de elemente etc.

    Pictogramele barei se folosec pentru a calcula inversa si determinantul uneimatrice, podusul scalar si vectorial a doi vectori etc.

    Bara Evaluation

    Apasarea butonului duce la aparitia barei

    Evaluate numerically = Comanda de evaluare numerica

    0

    1xx

    d 0.5

    Evaluate Simbolically CTRL + . Comanda de evaluare simbolica

    xx d

    x2

    2

    0

    1xx

    d12

    4

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Definition : Comanda folosita pentru definirea uneifunctii, atribuirea unei valori numerice unrivariabile etc

    f x( ) x2 x 1 z 3

    Global Definition ~ Definitie globala valabila in intregul fisier.

    De exemplu ORIGIN 1

    Bara Calculus

    Apasarea butonului duce la aparitia barei:

    Folosind butoanele acestei bare se introduc in documentele Mathcad operatoriipentru calculul derivatelor, integralelor, sumelor, produselor, limitelor sisimbolul plus infinit.

    Bara Boolean

    Apasarea butonului duce la aparitia barei

    5

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Folosind butoanele acestei bare se introduc in documentele Mathcad operatoriilogici relationali.

    Bara Programming

    Apasarea butonului duce la aparitia barei

    Butoanele acestei bare se folosesc pentru a introduce in documente cuvintelecheie ale limbajului de programare de care dispune Mathcad-ul.

    Bara Greek

    Apasarea butonului duce la aparitia barei

    Cu ajutorul acestei bare se introduc in documentele Mathcad literelealfabetului grec.Pentru a simplifica introducerea literelor grecesti Mathcad-ul dispune deurmatoarea facilitate: se scrie litera latina corespunzatoare si apoi se tasteazaCRTL + G.

    6

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Bara Symbolic Keyword

    Apasarea butonului duce la aparitia barei:

    Folosind butoanele acestei bare se introduc in documentele Mathcad cuvintelecheie pentru calculul simbolic.

    Structura unui document Mathcad

    Un document Mathcad este o combinatie de regiuni de:1) text2) formule 3) calcule numerice4) calcule simbolice5) grafice.

    Pentru ca regiunile sa fie vizibile se deschide meniul View si se selecteazaoptiunea Regions.

    7

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Exemplul 1. Combinatii de diverse tipuri de regiuni intr-undocument MathcadAcest exemplu ne permite sa ilustram cum se pot combina diferitele tipuri deregiuni intr-un document Mathcad.Regiune de text Se considera functia de gradul al doilea

    Regiune de formule f x( ) x2 3 x 2Regiune de text Se cere:

    a) Valorile functiei date in punctele x1 = -3.5 six2 = 4.123 b) Determinati solutiile ecuatiei atasate f(x) = 0.c) Reprezentati grafic pe intervalul [-0, 3] functiadata.

    Regiune de calculenumerice

    f 3.5( ) 24.75x2 4.123 f x2( ) 6.63

    Regiune de formule x2 3 x 2 0=

    Regiuni de calculesimbolice

    has solution(s)

    1

    2

    8

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    0 1 2 3

    1

    1

    2

    f x( )

    x

    Regiune de reprezentare grafica

    Lucrul cu regiuni de text

    Regiunile de text sunt folosite pentru a introduce in documentele Mathcad texteexplicatie asupra calculelor si reprezentarilor grafice care se fac in documentulrespectiv.

    Crearea unei regiuni de text

    1) Se da clic intr-o zona libera a documentului in care se doreste aparitiazonei de text.2) Se deschide meniul Insert si se da comanda Text Region sau se tasteazaghilimele ("). Mathcad deschide o zona de text in care cursorul se transformain reper de inserare de culoare rosie.

    3) Se scrie textul dorit. Mathcad marcheza zona de text inconjurand-o cu unchenar. Pe masura ce textul este scris, reperul de inserare se deplaseaza spredrepta si zona de text creste.

    4) Pentru parasirea zonei de text se da clic in afara acesteia. Chenarul caremarca zona dispare.

    Observatie. Parasirea zonei de text nu se poate face tastand Enter.Se poate parasi, totusi, o zona de text folosind tastatura in doua moduri:1) Tastand combinatia Ctrl + Shift + Enter.2) Apasand in mod repetat una dintre tastele sageti.

    9

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    MATHCAD - Ghid de utilizare

    Folosirea unitatilor de masura

    Exemplul 1

    Un paralelipiped dreptunghic are urmatoarele dimensiuni:

    L 20m:= l 15m:= h 80cm:=

    Perimbaza 2 L l+( ):= Perimbaza 70 m=

    Ariabazei L l:= Ariabazei 300 m2=

    Volumul L l h:= Volumul 2.4 105 L=

    Ldiagpara L2 l2+ h2+:= Ldiagpara 25.013 m=

    Ldiagbaza L2 l2+:= Ldiagbaza 25 m=

    Exemplul 2

    Un cerc are raza egala cu 50 cm. Determinati lungimea si aria cercului siexprimati rezultatul in metri, respectiv metri patrati.

    R 50cm:=

    L 2 R:= L 3.142 m=A R2:= A 0.785 m2=

    Programul face automat transformare in m, respectiv mp, deoarece estesetat sa folosesca Sistemul International de unitati de masura.

    10

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Acesta setare se face in fereastra Worksheet Options, in tab-ulUnit System.

    11

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Calcul matriceal

    Trasformarea masurii unui unghi din radiani in grade sexazecimale

    In Mathcad masura unui unghi se obtine in radiani. De multe ori avem nevoie de a exprima acesta masura in grade, minute si secunde sexazecimale. In continuarevom arata cum se poate face aceasta transformare si transformarea inversa.

    Notatii folosite:mung - masura unghiului (cand unitatea de masura este specificata dupa masuraunghiului)mrad - masura unghiului in radianimdeg - numarul de grade din mausura unghiului in grade, minute si secundemmin - numarul de minute din masura unghiului in grade, minute si secundemsec - numarul secundelor din masura unghiului in grade, minute si secunde

    Fie dat un unghi a carei masura este

    mung 1rad

    Transformarea in grade se poate face prin doua metode:a) folosind facilitatile pe care le ofera Mathcad pentru transformarea unitatilor demasura.b) direct, scriind formula de calcul pentru transformare.

    a) Pentru a utiliza prima metoda se da click pe rezultatul obtinut si in loculmarcat care apare in partea dreapta a rezultatului se completeaza noua unitatede masura deg (degree = gradul sexazecimal).

    mung 57.296 deg

    b) Se scrie firmula de transformare din radiani in grade sexazecimale

    mrad 1mdeg mrad

    180

    mdeg 57.296

    Se trunchiaza numarul de grade la partea intreaga.

    mdeg_int trunc mdeg( ) mdeg_int 57In continuare partea fractionara a numarului de grade este transformata inminute.

    12

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    mmin mdeg mdeg_int( ) 60 mmin 17.747Se trunchiaza numarul de minute la partea intreaga.

    mmin_int trunc mmin( ) mmin_int 17In final, partea fractionara a numarului de minute este trasformata in secunde

    msec mmin mmin_int( ) 60 msec 44.806Se rotunjeste numarul de secunde la un numar intreg prin lipsa (daca parteafractionara este strict mai mica decat 0.5) sau prin adaos (daca partea fractionaraeste mai mare sau egala cu 0.5).

    msec_int round msec( ) msec_int 45

    In concluzie,unghi de

    mrad 1 aremdeg_int 57 grademmin_int 17 minutemsec_int 45 secunde

    Transformarea masurii unui unghi din grade sexazecimale in radiani

    Fie un unghi care are mdeg 57 grade

    mmin 17 minutemsec 45 sec

    Petru a transforma masura unghiului in radiani se transforma maiintai totul in grade

    msecdegmsec60 60 msecdeg 0.013

    mmindegmmin

    60 mmindeg 0.283

    mdeg_total mdeg msecdeg mmindeg mdeg_total 57.296

    13

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Se face apoi transformarea din grade in radiani.

    mrad mdeg_total

    180 mrad 1.000000939340584

    Observatie. Valoarea obtinuta nu este exact un radian deoarece in calculele demai sus numarul de secunde a fost aproximat prin adaos.

    14

  • 2. ALGEBR LINIAR CU MATHCAD

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Calcul matriceal

    Introducerea matricelor

    Mathcad are predefinite functiile uzuale pentru calculul matriceal. Matricelecare au n linii si o singura coloana se numesc vectori.

    Pentru introducerea unei matrice intr-un document Mathcad se parcurg etapele:

    1. Se da clic cu mouse-ul sau, cu ajutorul tastelor sageti, se face deplasareacursorului in forma de cruce in locul din document in care se doreste sa fieintrodusa matricea.

    2. Se tasteaza numele matricei urmat de operatorul de definire (atribuire).

    A 3. Se deschide meniul Insert si se da comanda Matrix sau se apasa butonulcorespunzator de pe bara Matrix.

    16

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Deoarece operatia de introducere a unei matrice se va face foarte frecvent, serecomanda retinerea comenzii de introducere a unei matrice folosind tastatura:Ctrl+M.

    Ca urmare, pe ecran apare fereastra de dialog Insert Matrix in care secompleteaza campurile care solicita numarul de linii (Rows) si de coloane(Columns) ale matricei ce urmeaza a fi introdusa. Valorile implicite ale acestorasunt 3 si 3.

    Dupa complerare se tasteaza Enter sau se da clic cu mouse-ul pe unul dintrebutoanele Insert sau OK ale ferestrei Insert Matrix. In document esteinserata macheta matricei.

    A

    4. Se completeaza pozitiile marcate cu valori numerice. Trecerea de la o pozitie laalta se face cu ajutorul tastei Tab sau folosind mouse-ul si dand clic pe fiecarepozitie.

    A

    3

    510

    6

    7

    12

    82

    9

    17

  • Dan Caragheorghepol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Operatii cu matrice

    Elementele unei matrice. Indici

    Fie matricea

    A

    1

    4

    7

    2

    5

    8

    3

    6

    9

    Elementele matricei sunt variabile indexate de forma Ai,j. Indicii se scriu despartide virgula si au valoarea initiala implicita zero.

    Scrierea la nivel de indice se face tastand [ (paranteza dreapta deschisa)sau folosind butonul xn aflat pe bara Matrix. De exemplu, elementeleprimei linii sunt

    A0 0 1 A0 1 2 A0 2 3iar elementele primei coloane au indicii

    A0 0 1 A1 0 4 A2 0 7

    Scrierea elementelor unei matrice cu litera mica corespunzatoarenumelui acesteia

    Pentru ca elementele matricei A sa poata fi scrise cu litera mica a se defineste

    a AAtunci avem

    a0 0 1 a0 1 2 a0 2 3

    Schimbarea originii indicilor

    Schimbarea originii indicilor de la zero la unu se face in ferestra WorksheetOptions... Pentru aparitia acesteia se da comanda Worksheet Options din meniul Tools.

    De regula, la aparitia acestei ferestre functia Built-In Variables este activa sirubrica Array Origin (ORIGIN) este vizibila. Aici se face schimbareainlocuind pe 0 cu 1.

    18

  • Dan Caragheorghepol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Acest mod de schimbare a indicilor se face fara ca in pagina documentului saapara o mentiune expresa despre modificarea facuta. Uneori este preferabil caaceasta modificare sa fie vizibila in document. Pentru acesta se recomanda ca lainceputul documentului sa se faca schimbarea valorii parametrului ORIGIN de la 0la 1 scriind explicit instructiunea de atribuire a valorii 1.

    ORIGIN 1Pentru ca efectul acestei instructiuni sa se manifeste in intreg documentul eatrebuie plasata ca prima instructiune in document.

    O alta posibilitate este folosirea instructiunii de definire globala, care poate fiamplasata oriunde in document.

    ORIGIN 1Observatie. Locul marcat (patratul negru) de langa numarul 1 arata ca in acestcaz instructiunea nu functioneaza fiind selectata optiunea "Disable Evaluation" .Pentru a schimba acesta optiune in "Enable Evaluation" se selecteaza regiunea sise da click cu butonul drept al mouse-ului pentru aparitia meniului contextualunde apare aceasta.

    19

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Calcul matriceal

    Operatii cu matrice

    Mathcad permite efectuarea tuturor operatiilor posibile cu matrice.Pentru exemplificare consideram matricele A, B si C definite mai jos.

    A

    1

    6

    8

    3

    5

    9

    2

    4

    7

    B

    9

    6

    3

    8

    5

    2

    7

    4

    1

    C

    2

    4

    6

    1

    3

    5

    Adunarea, scaderea si inmultirea matricelor folosescoperatorii uzuali

    A B10

    12

    11

    11

    10

    11

    9

    8

    8

    A B

    80

    5

    50

    7

    50

    6

    A C

    26

    56

    94

    20

    41

    70

    La inmultirea a doua matrice A(m,n) cu B(n,p) trebuie se tina seama canumarul de coloane din prima matrice sa fie egal cu numarul de linii dinmatricea a doua. Rezultatul, matricea C, este o matricea de tipul (m,p).Simbolic scriem A(m,n)*B(n,p) = C(m,p)

    La ridicarea la puterea m (m numar intreg) a unei matrice patratice A se va tinesema de urmatoarele reguli:Daca m = 0, se obtine matrice unitate.Daca m = 1, se obtine matricea A.Daca m = -1, se obtine inversa matricei A.Daca m 2 , se obtine puterea m a matricei A. Daca m 2 , se obtine puterea |m| a inversei matricei A. Pentru obtinerea operatorului de ridicare la putere a unei matrice (la fel ca lanumere) se tasteaza Shift+6. Ca efect se obtine plasarea pozitiei marcate la nivel

    de indice superior: A

    A01

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    A1

    1

    6

    8

    3

    5

    9

    2

    4

    7

    A 1

    0.333

    3.333

    4.667

    1

    3

    5

    0.6672.667

    4.333

    20

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    A235

    68

    118

    36

    79

    132

    28

    60

    101

    A 2

    6.556

    23.556

    38.444

    6.667

    25.667

    41.333

    5.77821.778

    35.222

    Pentru calculul determinantului unei matrice patratice se apasa butonul |x| aflatpe bara Matrix (in cazul determinantului unei matrice se poate folosi si butonul|x| din meniul Calculator) sau se tasteaza Shift+\. Pe ecran apare simboluldeterminantului in Mathcad, care are in interior o pozitie marcata ce trebuiecompletata cu numele matricei.

    A 3Pentru determinarea transpusei unei matrice se scrie numele matricei si setasteaza Ctrl+1 sau se apasa butonul MT aflat pe bara Matrix.

    C

    2

    4

    6

    1

    3

    5

    CT 2

    1

    4

    3

    6

    5

    Daca elementele matricei date sunt numere compleze se poate determinamatricea conjugata, adica matricea care are toate elementele egale cuconjugatele numerelor complexe din matricea data. Matricea conjugata seobtine tastand dupa numele ei ". De exemplu, fie

    D1 2 i

    4

    i

    3 i1 2 i

    1

    Atunci D 1 2i

    4

    i3 i

    1 2i1

    Inmultirea unei matrice cu un numar real r foloseste simbolul obisnuit deinmultire. De exemplu

    3 A3

    18

    24

    9

    15

    27

    6

    12

    21

    Pentru a aduna un numar real r la toate elementele unei matrice se scrie A+ r si nu A +rU, unde U este matricea care are toate elementele egale cu 1.

    21

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    De exemplu

    A

    1

    6

    8

    3

    5

    9

    2

    4

    7

    A 2

    3

    8

    10

    5

    7

    11

    4

    6

    9

    in loc de

    U

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    A 2 U

    3

    8

    10

    5

    7

    11

    4

    6

    9

    22

  • Dan Caragheorghepol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Calcul matriceal

    Operatii cu vectori

    Vectorii n dimensionali sunt matrice cu n linii si o singura coloana. Prin urmare,toate operatiile prezentate pentru matrice se pot utiliza si pentru vectori. In plus, pentru vectori se adauga unele operatii specifice acestora:

    produsul scalarcalculul normei euclidieneprodusul vectorial (numai pentru vectorii cu trei componente).

    Fie x si y doi vectori din R4.

    ORIGIN 1x

    x1

    x2

    x3

    x4

    x

    y

    y1

    y2

    y3

    y4

    y

    Produsul scalar al celor doi vectori este definit prin formula

    x y xPentru a calcula produsul scalar al celor doi vectori in Mathcad se dacomanda obisnuita de inmultire de la tastatura: SHIFT + *.

    Nu este neaparat nevoie sa se dea acesta comanda existenta pebara Matrix.

    Norma euclidiana a vectorului x este egala cu radical din produsul scalar:

    x x x=Pentru un vector x, real sau complex, norma euclidiana este egala cu radical dinsuma patratelor modulelor componentelor vectorului x. Daca vectorul x este real,atunci nu mai este nevoie de a modul elementelor deoarece patratul unui numarreal este egal cu patratul modulului sau.

    x x

    23

  • Dan Caragheorghepol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Pentru calculul normei euclidiene Mathcad foloseste operatorul care are aceeasiforma grafica cu cel folosit pentru calculul valorii absolute a unui numar real saucomplex sau pentru calculul determinantului unei matrice patratice. Trebuieprecizat ca nu trebuie folosit operatorul din meniul Matrix (acesta fiind folositexclusiv de Mathcad pentru calculul determinantului unei matrice), ci doar celdin meniul Calculator. De la tastatura combinatia de taste SHIFT+\ estefunctionala atat pentru calculul normei euclidiene a unui vector, cat si pentrudeterminantul unei matrici.

    Observatie.1. Daca pozitia marcata este completata cu o matrice patratica se calculeazadeterminantul acesteia. 2. Daca in pozitia marcata se scrie numele unui vector atunci se calculeaza normaeuclidiana a acestuia (cu conditia ca operatorul cu forma grafica anterioara sa fiedin meniul Calculator sau de la tastatura). 3. Daca pozitia marcata se completeaza cu un numar real sau complex atunci seva calcula modulul acelui numar(cu conditia ca operatorul cu forma graficaanterioara sa fie din meniul Calculator sau de la tastatura).

    De exemplu

    A

    1

    5

    0

    23

    6

    7

    1

    9

    A 267 este valoarea determinantului matricei A

    w

    2

    4

    5

    w 5 este valoarea normei euclidiane a vectorului x

    Pentru numere reale sau complexe cu acelasi operator se calculeaza modulul,dupa cum se poate vedea mai jos:a 21.345 a 21.345 z 4 3 i z 5

    24

  • Dan Caragheorghepol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Produsul vectorial se poate calcula numai pentru vectorii din R3. Rezultatuleste tot un vector din R3. Dati vectorii din R3

    x

    x1

    x2

    x3

    x

    y

    y1

    y2

    y3

    y

    produsul lor vectorial este un vector din R3, notat

    x y care are componentele

    x y x

    Pentru calculul produsului vectorial Mathcad are un operatorspecific

    al carui buton se afla pe bara Matrix.

    Acest operator se poate introduce si de la tastatura tastand Ctrl+8.

    Exemplul 1.

    Se dau vectorii

    a

    1

    2

    3

    b

    4

    5

    6

    c

    12

    5

    Calculati:1) Produsul scalar si produsul vectorial dintre vectorii a si b.2) Masura unghiului dintre vectrorii a si b.3) Aria paralelogramului si aria triunghiului determinat de vectorii a si b.4) Volumul paralelipipedului determinat de vectorii a,b si c.

    Solutie.

    1) Produsul scalar a b 32

    25

  • Dan Caragheorghepol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    2) Produsul vectorial a b3

    6

    3

    3) Cosinusul unghiului dintre vectorii a si b

    cosaba b

    a b cosab 0.975

    Masura unghiului dintre vectorii a si b acos cosab( ) 0.226Masura unghiului se determina implicit in radiani. Pentru transformarea in grade sexazecimale se foloseste posibilitateaMathcad-ului de a face transformari de unitati de masura. In acest scop, seda click pe rezultatul obtinut si in locul marcat care apare in partea dreapta arezultatului se completeaza noua unitate de masura deg (degree = gradulhexazecimal).

    12.933 deg

    3) Aria paralelogramului determinat de vectorii a si b este egala cu normaprodusului vectorial dintre cei doi vectori. Deci

    APab a b APab 7.348Aria triunghiului determinat de vectorii a si b este jumatate din ariaparalelogramului, deci

    ATaba b

    2 ATab 3.674

    4) Volumul paralelipiledului determinat de vectorii a, b si c este egal cu valoareaabsoluta a produsului mixt dintre cei trei vectori.

    Vabc a b c( ) Vabc 30

    26

  • Dan Caragheorghepol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Cazul vectorilor cu componente complexe

    Daca vectorii u si v au componente complexe

    u

    u1

    u2

    u3

    = v

    v1

    v2

    v3

    =

    atunci produsul scalar este definit prin formula

    u v u1 v1 u2 v2 u3 v3=

    iar norma este data de relatia

    u u u=De exemplu, fie vectorii

    u

    1 2 i3

    2 i

    v

    i

    2 3 i1

    Atunci produsul scalar este u v 2 11iu1 v1 u2 v2 u3 v3 2 11i

    Produsul scalar complex este anticomutativ. Aceasta inseamna ca daca inprodusul scalar se schimba ordinea factorilor atunci se obtine numarul complexconjugat.

    v u 2 11iv1 u1 v2 u2 v3 u3 2 11i

    Norma vectorului u are valoarea

    u 4.359u1 u1 u2 u2 u3 u3 4.359

    ORIGIN 1

    27

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Calcul matriceal

    Extragerea coloanelor, liniilor si a submatricelor dintr-o matrice

    Pentru a extrage o coloana dintr-o matrice data se foloseste butonul

    de pe bara Matrix.

    Coloanele unei matrice sunt indexate cu indici superiori incadrati deparanteze unghiulare. Pentru a scrie un astfel de indice cu ajutorul tastaturii se tasteaza Ctrl+6. De exemplu, coloanele matricei

    A

    1

    4

    7

    2

    5

    8

    3

    6

    9

    sunt

    ORIGIN 1

    A 1 1

    4

    7

    A 2

    2

    5

    8

    A 3

    3

    6

    9

    Pentru extragerea liniilor se transpune matricea data, se extrag coloanelematricei transpuse AT care se transpun din nou. Pentru transpunerea uneimatrice folosind tastatura se foloseste comanda CTRL+1.

    AT 1 T 1 2 3( ) AT 2 T 4 5 6( ) AT 3 T 7 8 9( )Reciproc, daca se dau mai multi vectori cu ajutorul lor se poate obtine omatrice, care are drept coloane vectorii dati. Pentru aceasta operatie se folosestefunctia din Mathcad numita augment.De exemplu, fie vectorii

    a

    1

    2

    3

    b

    4

    5

    6

    c

    7

    8

    9

    d

    10

    11

    12

    28

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Cu acestia se poate forma matricea

    M augment a b c d( )

    M

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    M 1 1

    2

    3

    M 2

    4

    5

    6

    M 3

    7

    8

    9

    M 4

    10

    11

    12

    O alta metoda de a obtine o matrice din mai multi vectori este aceea de a davectorilor acelasi nume si de a folosi indicii superiori.

    z 1 1

    2

    3

    z 2

    4

    5

    6

    z 3

    7

    8

    9

    z 4

    10

    11

    12

    Matricea obtinuta are numele z.

    z

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    Extragerea unei submatrice dintr-o matrice

    Functia submatrix(M,ir,jr,ic,jc) extrage din matrice M o submatrice carecontine liniile de la ir la jr si coloanele de la ic la jc.

    De exemplu, fie matricea

    M

    1

    6

    11

    16

    2

    7

    12

    17

    3

    8

    13

    18

    4

    9

    14

    19

    5

    10

    15

    20

    29

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Atunci

    submatrix M 2 4 3 5( )8

    13

    18

    9

    14

    19

    10

    15

    20

    Daca se inverseaza indicii ir cu jr sau ic cu jr se schimba ordinea liniilor sau acoloanelor.

    submatrix M 4 2 3 5( )18

    13

    8

    19

    14

    9

    20

    15

    10

    submatrix M 2 4 5 3( )10

    15

    20

    9

    14

    19

    8

    13

    18

    Exemplu

    Fie matricea

    ORIGIN 1 A5

    4

    3

    2

    4

    5

    4

    3

    3

    3

    5

    4

    2

    2

    2

    5

    a A

    Calculati valorile minorilor principali ai matricei A.

    1 a1 1 1 5

    2 submatrix A 1 2 1 2( ) 2 9

    3 submatrix A 1 3 1 3( ) 3 24

    4 A 4 84

    30

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Calcul matriceal - Exercitii

    Operatii cu matrice

    1. Se dau matricele

    A

    13

    6

    2

    4

    9

    5

    7

    8

    B

    2

    3

    4

    7

    2

    6

    51

    9

    C

    8

    3

    1

    25

    4

    D3 i

    2

    i

    4 3 i2 3 i

    7

    Determinati valorile expresiilor matriceale

    3 A3 2 B2 A B( ) C A 1 B 2 A C

    CT B D D T A 2 B 2Solutie.

    3 A3 2 B2996

    1082

    2369

    359409

    2453

    1566

    1610

    2335

    A B( ) C

    35

    58

    36

    43

    50

    99

    A 1 B 20.2690.065

    0.173

    0.179

    0.155

    0.025

    0.0050.068

    0.018

    A C

    729

    13

    32

    42

    25

    CT B 295

    56

    20

    4651

    D D

    T 245 27i

    5 27i78

    A 2 B 2 202925

    31

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    2. Se dau vectorii din R3

    x

    23

    7

    y

    5

    3

    1

    z

    2

    1

    2

    Calculati:a) Produsul scalar dintre vectorii x si y.b) Produsul vectorial al vectorilor y si z (in aceasta ordine)c) Norma euclidiana a vectorului x.

    Solutie.

    x y 8 y z7

    121

    x 7.874

    3. Se dau vectorii din C3

    v

    2 ii

    3 i

    w

    1 i2

    2 3 i

    Calcalati produsul scalar dintre vectorii v si w si normeleacestor vectori. Solutie. v w

    12 8i v 4 w 4.359

    32

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Rezolvarea sistemelor liniare

    Forma matriceala a unui sistem liniar

    Fie sistemul de n ecuatii liniare cu n necunoscute

    a1 1 x1 a1 2 x2 .... a1 n xn b1=a2 1 x1 a2 2 x2 .... a2 n xn b2=...........................................................an 1 x1 an 2 x2 .... an n xn bn=

    Pentru rezolvarea sistemului in Mathcad acesta trebuie scris sub forma matriceala

    a1 1a2 1....

    an 1

    a1 2a2 2....

    an 2

    ....

    ....

    ....

    ....

    a1 na2 n....

    an n

    x1

    x2

    ....

    xn

    b1

    b2

    ....

    bn

    =

    sauA x b=

    undeA este matricea sistemului;x este vectorul necunoscutelor;b este vectorul termenilor liberi.

    A

    a1 1a2 1....

    an 1

    a1 2a2 2....

    an 2

    ....

    ....

    ....

    ....

    a1 na2 n....

    an n

    1 x

    x1

    x2

    ....

    xn

    2 b

    b1

    b2

    ....

    bn

    2

    Rezolvarea sistemelor liniare nesingulare

    1. Utilizarea functiei lsolve

    Determinarea solutiei unui sistem de n ecuatii liniare cu n necunoscute

    Ax = b,

    33

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    unde A este o matrice patratica nesingulara se poate face in Mathcad folosindfunctia lsolve(A,b)

    Exemplul 1. Fie sistemul de ecuatiiliniare

    5 x1 3 x2 6 x3 15=2 x1 8 x2 7 x3 17=

    4 x1 x2 9x3 19=

    Pentru rezolarea sa scriem matricea sistemului A si vectorultermenilor liberi b.

    A

    5

    24

    3

    8

    1

    67

    9

    b

    15

    17

    19

    Calculam determinantul matricei A pentru a vedea daca matriceaeste nesingulara.

    A 713Deoarece determinantul matricei A este nenul, sistemul are solutie unica.

    Se defineste solutia: x lsolve A b( )

    Se calculeaza solutia: x

    3

    2

    1

    Verificarea solutiei: A x b0.000000000000000

    0.000000000000000

    0.000000000000000

    2. Utilizarea matricei inverse. Calcul numeric

    Daca matricea A este nesingulara, atunci exista matricea inversa A-1 si solutiasistemului este data de formula

    x A 1 b=

    34

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Exemplul 2. Fie sistemul de ecuatii liniare

    5 x1 3 x2 6 x3 15=2 x1 8 x2 7 x3 17=

    4 x1 x2 9x3 19=

    Pentru rezolarea sa scriem matricea sistemului A si vectorul termenilor liberi b.

    A

    5

    24

    3

    8

    1

    67

    9

    b

    15

    17

    19

    Calculam determinantul matricei A pentru a vedea daca matricea este inversabila.

    A 713Deoarece determinantul matricei A este nenul, matricea A este inversabila sisolutia sistemului este data de formula

    x A 1 bDeci

    x

    3

    2

    1

    Verificare

    A x b0.000

    0.000

    0.000

    Observatii. 10-15 inseamna "practic zero" sau "zero Mathcad". Deoarece in calculul matricei inverse se fac mai multe erorii de rotujire decatcele care se fac in metoda de rezolvare folosita de functia lsolve, se recomandaca sistemele liniare sa fie rezolvate cu lsolve si nu prin inversarea maticei.

    35

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    3. Utilizarea matricei inverse. Calcul simbolic

    Exemplul 3. Fie sistemul de ecuatii liniare in care termenii liberi sunt variabilereale si nu numere.

    5 x1 3 x2 6 x3 =2 x1 8 x2 7 x3 =

    4 x1 x2 9x3 =Pentru rezolvare se procedeaza ca mai sus, dar in locul comenzii de calculnumeric se da comanda de calcul simbolic.

    A

    5

    24

    3

    8

    1

    67

    9

    b

    Calculam determinantul matricei A pentru a vedea daca matriceaeste inversabila.

    A 713Deoarece determinantul matricei A este nenul, matricea A este inversabila sisolutia sistemului este data de formula

    s A 1 b bPentru determinarea solutiei se da comanda de calcul simbolic (CRTL + . )

    s

    3 31

    21 713

    79 713

    3 31

    31 2

    31

    2 31

    17 713

    30 713

    Verificarea solutiei.

    A s b0

    0

    0

    36

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Observatie. Deoarece procesorul numeric si cel simbolic al Mathcad-uluifolosesc methode diferite de calcul se recomanda ca in acelasi documentMathcad sa nu se amestece cele doua tipuri de calcul.

    37

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Rezolvarea sistemelor liniare

    Rezolvarea unui sistem patratic liniar si omogen

    Orice sistem liniar si omogen de n ecuatii cu n necunoscute

    a1 1 x1 a1 2 x2 .... a1 n xn 0=a2 1 x1 a2 2 x2 .... a2 n xn 0=...........................................................an 1 x1 an 2 x2 .... an n xn 0=

    sau, scris matriceal,

    a1 1a2 1....

    an 1

    a1 2a2 2....

    an 2

    ....

    ....

    ....

    ....

    a1 na2 n....

    an n

    x1

    x2

    ....

    xn

    0

    0

    ....

    0

    =

    A x 0=admite intotdeauna solutia nula x = 0.

    Daca determinantul sistemului este nenul, sigura solutie a sistemului estesolutia nula. Daca determinatul sistemului este nul, sistemul admite si solutii diferite desolutia nula. Solutia admisa va depinde de un numar de parametrii egal cu diferentadintre dimensiunea matricei sistemului si rangul ei.Determinarea solutiilor diferite de solutia banala se poate face in Mathcadfolosind functia rref.

    Exemplul 1

    Fie sistemul liniar si omogen

    x 2y 3z 0=2x 6y 11z 0=x 2y 7z 0=

    38

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Matricea sistemului este A

    1

    2

    1

    2

    6

    2

    3117

    Calculam determinntul ei A 0

    Deoarece matricea este singulara (i.e., determinantul ei este egal cu zero)sistemul admite si solutii diferite de solutia nula: x = 0, y = 0, z = 0.Pentru a vedea numarul de parametri de care depinde solutia se calculeazarangul matricei A

    rank A( ) 2si se scade din dimensiunea matricei

    nr_par cols A( ) rank A( ) nr_par 1In concluzie, solutia sistemului depinde de un parametru real. Notam cu Rforma redusa a matricei A obtinute cu ajutorul functiei rref din Mathcad.

    R rref A( ) R1

    0

    0

    0

    1

    0

    2

    2.50

    Forma matricei reduse arata ca primele doua coloane sunt liniar independeneteiar necunoscutele x si y sunt necunoscute principale. Notam necunoscutasecundara z cu si trecem termenii care o contin in membrul drept. Atuncisolutia sistemului este functie de parametrul si este data de formulaORIGIN 1

    S ( ) R 3 0

    0

    S ( )

    2 5 2

    39

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Verificare A S ( )0

    0

    0

    Exemplul 2

    In acest exemplu dorim sa rezolvam sistemul liniar si omogen

    x y z 0=2 x 2 y 2 z 0=3 x 3 y 3 z 0=

    Matricea sistemului A

    1

    2

    3

    1

    2

    3

    123

    are determinantul nul A 0

    Numarul de parametri de care va depinde solutia nenula a sistemului este

    nr_par cols A( ) rank A( ) nr_par 2Determinarea solutiei se face folosind rref. Forma redusa a matricei Adeterminata cu rref este:

    R rref A( ) R1

    0

    0

    1

    0

    0

    10

    0

    Forma matricii reduse R arata ca necunoscuta x este necunoscuta principala, iarnecunoscutele y si z sunt necunoscute secundare. Notand necunoscuta y cu sinecunoscuta z cu , se obtine solutia sistemului ca functie de si de formaurmatoare:

    sol ( ) R 2 R 3 0

    40

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    sol ( )

    Verificare A sol ( )0

    0

    0

    41

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Rezolvarea sistemelor liniare

    Rezolarea sistemelor dreptunghiulare de m ecuatii cu n necunoscute

    Fie sistemul de m ecuatii liniare cu n necunoscute

    a1 1 x1 a1 2 x2 .... a1 n xn b1=a2 1 x1 a2 2 x2 .... a2 n xn b2=...........................................................am 1 x1 am 2 x2 .... am n xn bm=

    scris sub forma matriceala

    a1 1a2 1....

    am 1

    a1 2a2 2....

    am 2

    ....

    ....

    ....

    ....

    a1 na2 n....

    am n

    x1

    x2

    ....

    xn

    b1

    b2

    ....

    bm

    =

    sauA x b=

    unde

    A

    a1 1a2 1....

    am 1

    a1 2a2 2....

    am 2

    ....

    ....

    ....

    ....

    a1 na2 n....

    am n

    1 b

    b1

    b2

    ....

    bm

    2 x

    x1

    x2

    ....

    xn

    2

    Daca matricea sistemului este dreptunghiulara, pentru a decide daca sistemuleste compatibil sau nu folosim urmatorul rezultat:

    Teorema Kronecker-Capelli. Unsistem de m ecuatii liniare cu n necunoscuteeste compatibil daca si numai daca rangul matricei sistemului este egal cu rangulmatricei extinse.

    Reamintim ca matricea extinsa se obtine adaugand la matricea sistemului inca ocoloana, a n+1-a, formata cu termenii liberi ai sistemului.

    42

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    AE

    a1 1a2 1....

    am 1

    a1 2a2 2....

    am 2

    ....

    ....

    ....

    ....

    a1 na2 n....

    am n

    b1

    b1

    ....

    bm

    1

    Discutie asupra naturii unui sistem de m ecuatii liniare cu n necunoscute

    Prezentam mai jos discutia asupra naturii unui sistem de m ecuatii liniare cu nnecunoscute in functie de rangul matricei sistemului si rangul matricei extinse.

    1. Daca rank(A) < rank(AE), atunci sistemul nu are solutii, deci este unsistem incompatibil.2. Daca rank(A) = rank(AE), atunci sistemul are solutii, deci este un sistemcompatibil.

    Mai precis:

    2.1. Daca rank(A) = cols(A), atunci sistemul are solutie unica, decieste un sistem compatibil determinat.

    2.2. Daca rank(A)

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    A1

    2

    3

    41

    35

    1

    6

    4

    639

    b1

    4

    13

    130

    Matricea extinsa a sistemului este A1E augment A1 b1( )

    A1E

    2

    3

    41

    35

    1

    6

    4

    639

    4

    13

    130

    Calculam rank A1( ) 3 rank A1E( ) 3 cols A1( ) 3

    Deoarece rank A1( ) rank A1E( )=

    sistemul are solutie, iar egalitatea

    rank A1( ) cols A1( )=

    arata ca solutia este unica.

    Pentru determinarea solutiei sistemului folosim blocul Given si functia Findin modul simbolic.

    x 2 y 3 z 4Given

    2 x 3 y 4 z 4=3 x 5 y 6 z 13=

    4 x y 3 z 13=x 6 y 9 z 0=

    s1 Find x y z( )

    s1

    3

    2

    1

    44

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Verificare

    A1 s1 b10

    0

    0

    0

    2. Sistem compatibil nedeterminat

    Exemplul 2. Folosirea functiei rref

    Fie sistemul de ecuatii liniare

    x 2 y 4 z 0=7 x 4 y 8=

    3 x y 2 z 4=

    Notam matricea sistemului cu A2 si vectorul termenilor liberi cu b2. Acestea sunt:

    A2

    1

    7

    3

    24

    1

    4

    0

    2

    b2

    0

    84

    Matricea extinsa a acestui sistem este

    A2E augment A2 b2( ) A2E1

    7

    3

    24

    1

    4

    0

    2

    0

    84

    Calculam valorile necesare pentru a testa compatibilitatea sistemului.

    rank A2( ) 2 rank A2E( ) 2 cols A2( ) 3

    rank A2( ) rank A2E( )=

    sistemul este compatibil, iar inegalitatea

    rank A2( ) cols A2( )

    45

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    arata ca sistemul este nedeterminat (solutia sa depinde de cols(A2) - rank(A2) =1 parametru).

    Notam cu R forma redusa a matricei extinse obtinute cu ajutorul functieirref din Mathcad.

    R rref A2E( ) R1

    0

    0

    0

    1

    0

    85

    145

    0

    85

    45

    0

    Forma matricei reduse arata ca primele doua coloane sunt liniar independeneteiar necunoscutele x si y sunt necunoscute principale. Notam necunoscutasecundara z cu si trecem termenii care o contin in membrul drept. Atuncisolutia sistemului este functie de parametrul si este data de formulaORIGIN 1

    S2 ( ) R 4

    R 3

    0

    0

    S2 ( )

    8 5

    85

    14

    545

    Verificare A2 S2 ( ) b20

    0

    0

    Pentru orice valoare reala data parametrului se obtine o solutie a sistemului. Deexemplu, pentru = 0.5 solutia sistemului este

    S2 0.5( )

    0.80.6

    0.5

    46

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    3. Sistem incompatibil.

    Exemplul 3.

    Fie sistemul de 5 ecuatii cu 3 necunoscute

    x 2 y z 1=3 x 7 y 4 z 1=2 x 4 y 3 z 3=4 x 11 y 9 z 9=5 y 2 z 1=

    Notam matricea sistemului cu A3 si vectorul termenilor liberi cu b3. Avem deci

    A3

    1

    3

    2

    4

    0

    27

    4

    11

    5

    1

    4392

    b3

    1

    1391

    Matricea extinsa a sistemului este:

    A3E augment A3 b3( ) A3E

    1

    3

    2

    4

    0

    27

    4

    11

    5

    1

    4392

    1

    1391

    Calculam rank A3( ) 3 si rank A3E( ) 4Deoarece rank A3( ) rank A3E( )conform teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este incompatibil.

    47

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Rezolvarea sistemelor liniare - Exercitii

    Stabiliti natura sistemelor de mai jos si in caz de compatibilitate determinatisolutia lor:

    1. 5 x 3 y 6 z 15= 2. x y 2 z 1=2 x 8 y 7 z 17= 2 x y 4 z 4=

    4 x y 9z 19= 4x y 4 z 2=

    3. 2 x 3 y 10 z 5= 4. x 5 y 4 z 13 t 3=x 7 y 14 z 1= 3 x y 2 z 5 t 2=3 x 8 y 9 z 3= 2 x 2 y 3 z 4 t 1=

    5. 2 x y z 1= 6. x 2 y z 1=3 x 3 y z 2= 3 x 7 y 4 z 1=2 x 4 y 3= 2 x 4 y 3 z 3=

    4 x 11 y 9 z 9=5 y 2 z 1=

    7. 2 x y 3 z 4= 8. x 2 y 4 z 0=3 x 4 y z 5= 7 x 4 y 8=x 5 y 4 z 9= 3 x y 2 z 4=

    48

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Solutie. ORIGIN 1

    1. Fie sistemul

    5 x 3 y 6 z 15=2 x 8 y 7 z 17=

    4 x y 9z 19=

    Notam cu A1 matricea sistemului, cu b1 vectorul termenilor liberi si cu A1Ematricea extinsa.

    A1

    5

    24

    3

    8

    1

    67

    9

    b1

    15

    17

    19

    A1E augment A1 b1( ) A1E5

    24

    3

    8

    1

    67

    9

    15

    17

    19

    Calculam rangul matricei A1, rangul matricei extinse A1E si determinam numarulde coloane ale matricei A1.

    rank A1( ) 3 rank A1E( ) 3 cols A1( ) 3Deoarece cele doua matrice au acelasi rang, conform teoremeiKronecker-Capelli, sistemul este compatibil. Pentru ca rangul matricei A1 esteegal cu numarul de coloane ale acestei matrice sistemul este compatibildeterminat. Pentru calcularea solutiei folosim functia lsolve.

    s1 lsolve A1 b1( ) s13

    2

    1

    Verificare

    A1 s115

    17

    19

    b1

    15

    17

    19

    49

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    4. Fie sistemulx 5 y 4 z 13 t 3=3 x y 2 z 5 t 2=2 x 2 y 3 z 4 t 1=

    Procedam ca mai sus notand folosind notatiile A4, b4, A4E.

    A4

    1

    3

    2

    5

    12

    4

    2

    3

    135

    4

    b4

    3

    2

    1

    A4E augment A4 b4( ) A4E1

    3

    2

    5

    12

    4

    2

    3

    135

    4

    3

    2

    1

    rank A4( ) 2 rank A4E( ) 3

    Deoerece rangul matricei sistemului este strict mai mic decat rangul matriceiextinse sistemul este incompatibil.

    7. Fie sistemul2 x y 3 z 4=3 x 4 y z 5=x 5 y 4 z 9=

    Notam

    A7

    2

    3

    1

    14

    5

    3

    14

    b7

    4

    59

    50

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    A7E augment A7 b7( ) A7E2

    3

    1

    14

    5

    3

    14

    4

    59

    Calculam

    rank A7( ) 2 rank A7E( ) 2 cols A7( ) 3

    Deoerece rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse sistemuleste compatibil, dar nedeterminat pentru ca rangul matricei este strict mai micdecat numarul de coloane al matricei sistemului.

    Numarul de parametrii de care depinde solutia sistemului este

    cols A7( ) rank A7( ) 1Determinam solutia sistemului folosind functia rref aplicata matricii extinse A7E.

    R rref A7E( ) R1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    10

    1

    20

    Solutia depinzand de parametrul este S7 ( ) R 4 R 3 0

    0

    S7 ( )

    1 2

    Verificarea solutiei A7 S7 ( ) b70

    0

    0

    51

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Baze in spatiul vectorial Rn

    Scrierea unui vector intr-o baza

    In spatiul vectorial R4 se considera vectorii

    a 1

    1

    0

    0

    1

    a 2

    0

    0

    0

    1

    a 3

    1

    11

    1

    a 4

    1

    11

    1

    Demonstrati ca multimea B = [a, a, a, a] este o baza a spatiuluivectrial R4 si determinati scrierea vectorului

    v

    1

    0

    1

    1

    in aceasta baza,

    Solutie.

    Multimea B = [a, a, a, a] este o baza pentru R4 dacadeterminantul matricei formate cu componentele celor patru vectori estenenul. Daca notam matricea respectiva cu A, atunci

    A augment a 1

    a 2 a 3 a 4 A

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    11

    1

    1

    11

    1

    are determinatul A 2

    Vectorul se scrie in baza B = [a, a, a, a] sub forma

    ORIGIN 1 v 1 a1 2 a

    2 3 a3 4 a

    4 =

    52

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Notam cu

    1

    2

    3

    4

    =

    vectorul componentelor lui v in baza B = [a, a, a, a]

    Acest vector se determina rezolvand sistemul

    A v=

    Solutia acestuia este lsolve A v( ) 1

    1

    0.5

    0.5

    Prin urmare, vectorul v are in baza B = [a, a, a, a] scrierea

    v a 1

    a 2 1

    2a 3 1

    2a 4 =

    53

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Baze in spatiul vectorial Rn

    Matricea de trecere de la o baza la altaSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare a bazei

    In spatiul vectorial R3 se considera vectoriiORIGIN 1

    x 1 1

    0

    1

    x 2

    0

    1

    1

    x 3

    1

    1

    1

    y 1 1

    1

    0

    y 2

    10

    0

    y 3

    0

    0

    1

    1) Demonstrati ca multimile B = [x, x, x] si B' = [y, y, y] suntbaze pentru R3 si determinati matricea de trecere de la baza B la baza B'.

    2) Daca vectorul v din R3 are in baza B scrierea v = 3x - x +2x, careeste scrierea lui v in baza B'?

    Solutie.

    1) Multimea B = [x, x, x] este o baza pentru R3 daca determinantulmatricei formate cu componentele celor trei vectori este nenul. Daca notammatricea respectiva cu B, atunci

    B augment x 1

    x 2 x 3 B 10

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    are determinatul B 1Analog avem

    B' augment y 1

    y 2 y 3 B' 11

    0

    10

    0

    0

    0

    1

    B' 1

    54

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Pentru a determina matricea de trecere de la baza B la baza B' se scriu vectoriinoi baze in raport cu veche baza.

    y 1

    c1 1 x 1 c2 1 x 2 c3 1 x 3 =

    Aceasta scriere este echivalenta cu forma matriceala

    y 1

    x 1

    x 2

    x 3

    c1 1c2 1c3 1

    =

    Daca notam

    c 1

    c1 1c2 1c3 1

    =

    atunci forma matriceala de mai sus se poate scrie

    y 1

    B c 1 =

    Rezolvam acest sistem sub forma matriceala

    c 1

    B 1 y 1 c 1 11

    2

    Analog obtinem

    c 2

    B 1 y 2 c 2 0

    1

    1

    c 3

    B 1 y 3 c 3 1

    1

    1

    55

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Matricea de trecere de la baza B la baza B' este

    C c 1

    c 2

    c 3 =

    Conform formulelor de mai sus obtinem pentru matricea de trecere forma

    C B 1 B'

    Prin urmare

    C

    11

    2

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    2) Daca vectorul v se scrie in baza B sub forma v = 3x - x +2x, atunciscrierea matriceala a lui v in baza B este

    v

    3

    12

    Scrierea lui v in noua baza B' este

    v' C 1 v v'1

    44

    Prin urmare, v se scrie in baza B' sub forma v = y - 4y + 4y.

    56

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Baze in spatiul vectorial Rn

    Matricea de trecere de la o baza la altaSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare a bazei

    In spatiul vectorial R4 se considera vectorii

    a 1

    1

    1

    1

    1

    a 2

    1

    2

    1

    1

    a 3

    1

    1

    2

    1

    a 4

    1

    3

    2

    3

    b 1

    1

    0

    3

    3

    b 2

    2354

    b 3

    2

    2

    5

    4

    b 4

    2344

    1) Demonstrati ca multimile B1 = [a, a, a, a ] si B2= [b, b, b, b ] sunt baze pentru R4 si determinati matricea de trecere de la baza B1 la baza B2.

    2) Daca vectorul v din R4 are in baza B1 scrierea v = 4a +3a +2a-6a,care este scrierea lui v in baza B2?

    Solutie.

    1) Multimea B1 = [a, a, a, a ] este o baza pentru R4 dacadeterminantul matricei formate cu componentele celor patru vectori este nenul.Daca notam matricea respectiva cu A, atunci

    A augment a 1

    a 2 a 3 a 4 A

    1

    1

    1

    1

    1

    2

    1

    1

    1

    1

    2

    1

    1

    3

    2

    3

    are determinantul A 2

    57

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Analog avem

    B augment b 1

    b 2 b 3 b 4 B

    1

    0

    3

    3

    2354

    2

    2

    5

    4

    2344

    B 2

    Matricea de trecere de la baza B1 la baza B2 este

    C A 1 B C2

    31

    1

    0

    1

    21

    1

    22

    1

    11

    11

    2) Daca vectorul v se scrie in baza B1 sub forma v = 4a +3a +2a-6a,atunci scrierea matriceala a lui v in baza B1 este

    4

    3

    2

    6

    Scrierea lui v in baza B2 este data de formula

    C 1 15

    25

    33

    1

    Prin urmare, vectorul v se scrie in baza B2 sub forma v = -15 b + 25b +33b - b

    58

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Valori si vectori proprii

    DefinitiiFie A o matrice patratica cu n linii si n coloane cu elemente reale.

    A

    a1 1a2 1....

    an 1

    a1 2a2 1....

    an 2

    ....

    ....

    ....

    ....

    a1 na2 n....

    an n

    =

    Se numeste vector propriu al matricei A un vector nenul x din Rn

    x

    x1

    x2

    ...

    xn

    =

    pentru care exista un numar real astfel incat are loc egalitatea

    A x x=Numarul real pentru care are loc egalitatea de mai sus se numestevaloarea proprie corespunzatoare vectorului propriu x.

    Determinarea valorilor proprii ale unei matrice. Functia eigenvals(A)

    Se considera matricea

    ORIGIN 1 A3

    44

    1

    18

    0

    0

    2

    Pentru determinarea valorilor proprii ale matricei patratice A se folosestefunctia Mathcad

    eigenvals A( )

    59

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Rezultatul executiei este un vector de acelasi ordin cu matricea A care are dreptcomponente valorile proprii ale matricei.

    eigenvals A( )

    21

    1

    Pentru a putea folosi in calculele ulterioare aceste valori proprii, notam cu vectorul care contine valorile proprii ale matricei A.

    eigenvals A( ) 2

    1

    1

    Valorile proprii sunt 1 2 2 1 3 1

    Determinarea vectorilor proprii corespunzatori. Functia eigenvec(A,z)

    Functia Mathcadeigenvec A z( )

    determina vectorul propriu normalizat al matricei patratice A care corespundevalorii proprii z. In cazul nostru obtinem

    x1 eigenvec A 1 x10

    0

    1

    x2 eigenvec A 2 x20.218

    0.436

    0.873

    x3 eigenvec A 3 x30.218

    0.436

    0.873

    Verificarea rezultatelor se face aratand ca Ax = x, unde x este un vectorpropriu al matricei A, iar este valoarea proprie corespunzatoare.

    60

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    A x1 1 x10

    0

    0

    A x2 2 x23.057 10 13

    6.114 10 131.223 10 12

    A x3 3 x37.423 10 131.485 10 122.969 10 12

    Determinarea vectorilor proprii ai unei matrice. Functia eigenvecs(A)

    Vectorii proprii se determina cu functia Mathcad

    eigenvecs A( )

    Rezultatul este o matrice patrata de acelasi ordin cu matricea data ale careicoloane sunt vectorii proprii normalizati ai matricei A. Coloana n a matricei estevectorul propriu corespunzator valorii proprii n data de functia eigenvals.

    eigenvecs A( )

    0

    0

    1

    0.2180.436

    0.873

    0.218

    0.4360.873

    Observatie.Functia eigenvals se poate folosi in calculul simbolic atat pentru matricereale cat si complexe.Functia eigenvals se poate folosi in evaluarea numerica numai pentrumatrice reale.

    61

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Diagonalizarea matricelor

    Definitie. O matricea patrata A se numeste diagonalizabila daca exista o altamatrice de acelasi tip cu matricea A si nesingulara astfel incat produsul C-1AC esteo matrice de forma diagonala. Matricea C se numeste matrice diagonalizatoarepentru A.

    Teorema. Matricea patratica reala (complexa) A este diagonalizabila daca sinumai daca exista o baza a spatiului Rn (Cn) formata din vectori proprii aimatricei A.

    Exemplul 1. Sa se cerceteze daca matricea reala data mai jos este diagonalizabilasi in caz afirmativ sa se aduca la forma diagonala punandu-se in evidentamatricea diagonalizatoare.

    A

    1

    3

    3

    353

    1

    1

    1

    Pentru a cereceta daca matricea A este diagonalizabila determinam vectoriiproprii ai maticei A si stabilim daca ei formeaza sau nu o baza a spatiuluivectorial Rn. Notam cu C matricea care are drept coloane vectorii proprii aimatricei A si calculam determinantul acesteia.

    ORIGIN 1

    C eigenvecs A( ) C0.577

    0.577

    0.577

    0.4260.640.64

    0.2360.086

    0.968

    C 0.108

    Deoarece determinatul matricei C este nenul coloanele acestei matrice, care suntvectorii proprii ai matricei A, formeaza o baza a spatiului vectorial Rn. Prinurmare matricea A este diagonalizabila. Forma diagonala a matricei A este

    C 1 A C1

    1.554 10 150

    1.332 10 152

    0

    0

    0

    2

    62

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Se observa ca pe diagonala principala a matricei diagonale obtinute se aflavalorile proprii ale matricei A.

    eigenvals A( )

    122

    Evident, matricea diagonalizatoare pentru matricea A este matricea C formata cuvectorii proprii ai matricei A.

    Exemplul 2. Sa se cerceteze daca matricea reala data mai jos este diagonalizabilasi in caz afirmativ sa se aduca la forma diagonala punandu-se in evidentamatricea diagonalizatoare.

    A

    4

    5

    6

    579

    2

    3

    4

    Procedam ca mai sus si determinam matricea vectorilor proprii ai matricei A.

    C eigenvecs A( )

    C

    0.5770.5770.577

    0.267 3.147i 10 80.535 3.147i 10 8

    0.802

    0.267 3.147i 10 80.535 3.147i 10 8

    0.802

    C 9.711i 10 9Dupa cum se observa matricea C (in care elementele sunt afisate cu trei zecimale)are doua coloane egale. Prin urmare, nu exista o baza a lui R3 formate cu vectoriproprii ai matricei A. Deci A nu este diagonalizabila.

    63

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Valori si vectori proprii

    Valori si vectori proprii - Exemplu

    Fie matricea A

    13

    3

    0

    2

    0

    33

    1

    1) Determinati valorile si vectorii ai matricei A.2) Cercetati daca matricea A este diagonalizabila. In caz afirmativ aducetimatricea A la forma diagonala.

    Solutie folosind calculul numeric.

    1. Determinarea valorilor proprii

    ORIGIN 1Determinarea valorilor proprii ale unei matrice se face in Mathcad folosindfunctia eigenvals

    eigenvals A( )

    2

    2

    4

    2. Determinarea vectorilor proprii

    Pentru determinarea vectorilor proprii ai matricei A se foloseste functiaeigenvecs.

    C eigenvecs A( ) C0

    1

    0

    0.5

    0.707

    0.5

    0.577

    0.5770.577

    In continuare determinam vectorii proprii care corespund fiecarei valori propriisi verificam acest lucru pornind de la definitie.

    64

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    1 2 C 1 0

    1

    0

    A C 1 1 C 1

    0

    0

    0

    2 2 C 2 0.5

    0.707

    0.5

    A C 2 2 C 2

    0

    0

    0

    3 4 C 3 0.577

    0.5770.577

    A C 3 3 C 3

    0

    0

    0

    Observatie O eventuala evaluare simbolica a verificarii faptului ca fiecaruivector propriu aflat ii corespunde valoarea proprie respectiva poate produce eroriin Mathcad 14. De exemplu in cazul nostru:

    A C 1 1 C 1

    66

    6

    Din aceasta cauza se recomanda doar folosirea calculului numeric pentruverificarea respectiva.

    3. Diagonalizarea matricei A

    Teorema. Matricea A este diagonalizabila daca si numai daca exista o baza aspatiului R3 formata din vectori proprii ai lui A. Acesata afirmatie este echivalenta cu: A este diagonalizabila daca si numia dacamatricea C are determinantul nenul.

    Se calculeaza determinantul matricei C.

    C 0.577Deoarece determinantul lui C este nenul, matricea A este diagonalizabila.

    65

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Forma diagonala a matricei A este

    C 1 A C2

    0

    0

    0

    2

    0

    0

    0

    4

    66

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Baze ortonormate in spatiul euclidian Rn

    Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt

    In spatiul euclidian R3 se dau vectorii

    x 1 1

    0

    1

    x 2

    2

    1

    0

    x 3

    1

    3

    1

    1) Demonstrati ca multimea B = [x, x, x] este o baza a spatiului R3.2) Construiti o baza ortonormata B' pornind de la baza B.3) Care este scrierea vectorului

    v

    2

    1

    3

    in baza B'?

    Solutie.

    1) Multimea B = [x, x, x] este o baza a spatiului R3 daca determinantulmatricei formate cu componentele celor trei vectori este nenul. Daca notammatricea respectiva cu B, avem

    B augment x 1

    x 2 x 3 B 10

    1

    2

    1

    0

    1

    3

    1

    ORIGIN 1

    B are determinantul B 6

    2) Construim mai intai o baza ortogonala [y, y, y] folosind procedeulde ortogonalizare Gram-Schmidt.

    y 1

    x 1 y 1

    1

    0

    1

    67

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    y 2

    x 2 x 2 y 1

    y 1

    y 1

    y 1 y 2

    1

    1

    1

    y 3

    x 3 x 3 y 1

    y 1

    y 1

    y 1 x

    3 y 2 y 2

    y 2

    y 2 y 3

    12

    1

    Baza ortonormata B' = [z, z, z] se obtine impartind fiecare vector y,y, y la norma sa.

    z 1 y 1

    y 1 z 1

    0.7070

    0.707

    z 2 y 2

    y 2 z 2

    0.5770.577

    0.577

    z 3 y 3

    y 3 z 3

    0.4080.816

    0.408

    3) Vectorul v are in baza B' scrierea v 1 z1 2 z 2 3 z 3 = unde

    1 v z1 1 3.536

    2 v z2 2 0

    3 v z3 3 1.225

    68

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Forme patratice

    Reducerea la expresia analitica canonica a unei forme patratice.Metoda lui Jacobi

    In spatiul euclidian R3 notam

    x

    x1

    x2

    x3

    =

    si consideram forma patratica

    Q x1 x2 x3 xT A x=unde A este matricea acestei forme in raport cu baza canonica a spatiului

    A

    5

    22

    26

    0

    20

    4

    Mai precis, forma patratica are expresia analitica generala

    Q x1 x2 x3( )x1

    x2

    x3

    T

    Ax1

    x2

    x3

    Q x1 x2 x3( ) simplify 5 x12 4 x1 x2 4 x1 x3 6 x22 4 x32

    Problema

    1) Determinati expresia canonica a formei patratice Q folosind metoda luiJacobi.2) Precizati care este natura formei patratice: pozitiv definita, negativ definitasau nedefinita ca semn.3) Determinati baza in raport cu care forma patratica Q are expresia analiticacanonica determinata la punctul 1).

    69

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Solutie. Expresia analitica canonica

    Notam a AMinorii principali ai matricei A au valorile

    1 a1 1 1 5

    2a1 1a2 1

    a1 2a2 2

    2 26

    3 A 3 80

    Deoarece toti minorii principali sunt nenuli, conform teoremei lui Jacobi, existao baza B' a spatiului R3 formata din vectorii

    f1 f2 f3astfel incat, daca vectorul x are in baza B' scrierea

    x x'1 f1 x'2 f2 x'3 f3=

    forma patratica Q are expresia analitica canonica data de formula

    Q x'1 x'2 x'3( ) 11

    x'1( )2 12

    x'2( )2 23

    x'3( )2=

    In noua baza B' matricea formei patratice Q este

    B

    11

    0

    0

    0

    12

    0

    0

    0

    23

    B

    15

    0

    0

    0

    526

    0

    0

    0

    1340

    B0.2

    0

    0

    0

    0.192

    0

    0

    0

    0.325

    70

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Notam cu x'

    x'1

    x'2

    x'3

    =

    scrierea unui vector oarecare in raport cu noua baza. Atunci forma patratica areexpresia analitica

    Q x'1 x'2 x'3( )x'1

    x'2

    x'3

    T

    Bx'1

    x'2

    x'3

    Q x'1 x'2 x'3( ) simplify x'12

    55 x'22

    26 13 x'3

    240

    Deoarece toti coeficientii expresiei analitice canonice sunt pozitivi, formapatratica Q este pozitiv definita.

    2) Determinarea bazei B' in care Q are expresia analitica canonica.

    Baza B' se cauta de forma

    f1 c1 1 e1=

    f1 c1 2 e1 c2 2 e2=

    f3 c1 3 e1 c2 3 e2 c3 3 e3=unde

    e1

    1

    0

    0

    e2

    0

    1

    0

    e3

    0

    0

    1

    sunt vectorii bazei canonice a spatiului R3.

    71

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Coeficientii ci,j se determina din relatiile de mai jos

    c1 11

    a1 1 c1 1 15 c1 1 0.2

    c1 2c2 2

    a1 1a2 1

    a1 2a2 2

    10

    1

    c1 2c2 2

    113

    526

    c1 2c2 2

    0.077

    0.192

    c1 3c2 3c3 3

    a1 1a2 1a3 1

    a1 2a2 2a3 2

    a1 3a2 3a3 3

    10

    0

    1

    c1 3c2 3c3 3

    320

    120

    1340

    c1 3c2 3c3 3

    0.15

    0.05

    0.325

    Atunci vectorii noii baze sunt

    f1 c1 1 e1f2 c1 2 e1 c2 2 e2f3 c1 3 e1 c2 3 e2 c3 3 e3

    72

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    f1

    15

    0

    0

    0.2

    0

    0

    f2

    113

    526

    0

    0.077

    0.192

    0

    f3

    320

    120

    1340

    0.15

    0.05

    0.325

    Matricea de trecere de la baza canonica la baza B' este matricea formata cuvectorii determinati mai sus.

    C augment f1 f2 f3 C15

    0

    0

    113

    526

    0

    320

    120

    1340

    C0.2

    0

    0

    0.077

    0.192

    0

    0.15

    0.05

    0.325

    Verificarea calculelor

    CT A C

    15

    0

    0

    0

    526

    0

    0

    0

    1340

    B

    15

    0

    0

    0

    526

    0

    0

    0

    1340

    73

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

    Forme patratice

    Reducerea la expresia analitica canonica a unei forme patratice.Metoda valorilor proprii

    In spatiul euclidian R3 notam

    x

    x1

    x2

    x3

    =

    si consideram forma patratica

    Q x1 x2 x3 xT A x=unde A este matricea acestei forme in raport cu baza canonica a spatiului

    A

    5

    22

    26

    0

    20

    4

    Mai precis, forma patratica are expresia analitica generala

    Q x1 x2 x3( )x1

    x2

    x3

    T

    Ax1

    x2

    x3

    Q x1 x2 x3( ) simplify 5 x12 4 x1 x2 4 x1 x3 6 x22 4 x32

    Problema1) Determinati expresia canonica a formei patratice Q folosind metoda valorilorproprii.2) Precizati care este natura formei patratice: pozitiv definita, negativ definitasau nedefinita ca semn.3) Determinati baza ortonormata in raport cu care forma patratica Q areexpresia analitica canonica determinata la punctul 1.

    74

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Solutie. Expresia analitica canonica

    Expresia analitica canonica a formei patratice Q este

    Q x'1 x'2 x'3( ) 1 x'1( )2 2 x'2( )2 3 x'3( )2=unde 1, 2, 3 sunt valorile proprii ale matricei A. Valorile proprii ale matricei A sunt

    eigenvals A( )

    8

    5

    2

    Vectorii proprii corespunzatori sunt coloanele matricei

    C eigenvecs A( ) C1

    12

    1

    12

    11

    2

    2

    1

    1

    0.5

    1

    0.51

    1

    22

    1

    In continuare determinam vectorii proprii care corespund fiecarei valori proprii siverificam acest lucru pornind de la definitie.

    1 8 C 1 1

    12

    1

    1

    0.5

    1

    A C 1 1 C 1

    0

    0

    0

    2 5 C 2 12

    1

    1

    0.51

    1

    A C 2 2 C 2

    0

    00

    75

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    3 2 C 3 2

    2

    1

    22

    1

    A C 3 3 C 3

    00

    0

    Matricea C este o matrice ortogonala, adica are proprietatile

    C CT1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    CT C

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    CT C 1

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    In consecinta, acesti vectori proprii formeaza o baza ortonormata a spatiuluieuclidian R3 in raport cu care forma patratica are matricea

    diag ( )

    8

    0

    0

    0

    5

    0

    0

    0

    2

    Notam cu

    x'

    x'1

    x'2

    x'3

    =

    scrierea unui vector oarecare in raport cu baza formata cu vectorii proprii.Atunci forma patratica are expresia analitica

    Q x'1 x'2 x'3( )x'1

    x'2

    x'3

    T

    diag ( )x'1

    x'2

    x'3

    Q x'1 x'2 x'3( ) simplify 8 x'12 5 x'22 2 x'32

    76

  • Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

    Daniel Tudor

    Deoarece matricea A are toate valorile proprii pozitive, forma patratica Q estepozitiv definita.

    Verificarea calculelor.

    CT A C2

    0

    0

    0

    8

    0

    0

    0

    5

    77

    Prefata.pdfCuprins.pdfCap1.pdf_01Ghid de Utilizare.pdf01-Ghid de utilizare.pdf02-Unitati_masura.pdf03-Transformare_rad_deg.pdf

    Cap2.pdf_02AlgebraLiniaracuMathcad.pdfMathcad - AL_010_Matrice.pdfMathcad - AL_011_Elemente_matrice.pdfMathcad - AL_012_Operatii_cu_matrice.pdfMathcad - AL_013_Produse_de_vectori.pdfMathcad - AL_014_Submatrice.pdfMathcad - AL_015_Exercitii_matrice.pdfMathcad - AL_020_Sisteme_liniare_patratice_nesingulare.pdfMathcad - AL_021_Sisteme_liniare_patratice_omogene.pdfMathcad - AL_025_Sisteme_liniare_dreptunghiulare.pdfMathcad - AL_027_Exercitii_Sisteme_liniare.pdfMathcad - AL_028_Baza_R4.pdfMathcad - AL_029_Matrice_de_trecere_R3.pdfMathcad - AL_029_Matrice_de_trecere_R4.pdfMathcad - AL_030_1vechi_Vectori_proprii.pdfMathcad - AL_030_Diagonalizarea_matricelor.pdfMathcad - AL_030_Vectori_proprii_numeric.pdfMathcad - AL_050_Gram_Schmidt.pdfMathcad - AL_060_FP_Metoda_Jacobi_simbolicportrait.pdfMathcad - AL_060_FP_Metoda_valpr_simbolicportrait.pdf

    Cap3.pdf_03AnalizacuMathcad.pdf01-Calculul_limitelor.pdf02-Calculul_derivatelor.pdf03-Calculul_integralelor.pdf04-serii_termeni_pozitivi_ex.pdf05-serii_de_puteri.pdf06-puncte_extrem_local_functii_2var.pdf07-puncte_extrem_local_functii_2var-ex2.pdf08-puncte_extrem_local_functii_3var.pdf09-puncte_extrem_conditionat.pdf

    Cap4.pdf_04GraficainMathcad.pdfMathcad - G_011_XY_Plot.pdfMathcad - G_012_prin puncte.pdfMathcad - G_013_asimptote_o.pdfMathcad - G_013_asimptote_v.pdfMathcad - G_014_asimptote.pdfMathcad - G_015_grid.pdfMathcad - G_21_curbe_spatiu.pdfMathcad - G_22_curbe_spatiu.pdfMathcad - G_31_suprafete.pdfMathcad - G_32_suprafete.pdf

    Cap5.pdf_05CalculSimbolic.pdf01-02.pdf02-123-CS_01_bis.pdf03-CS_simplify.pdf04-CS_05_expand.pdf05-CS_06_factor.pdf06-CS_07_collect.pdf07-CS_08_coeffs.pdf08-CS-variable.pdf09-CS_dezv_Taylor.pdf11-CS_02_sume_serii.pdf120-CS_03_produse.pdf

    Cap6.pdf_06Ecuatii si inecuatii.pdf01-Rez_ec_1_solve.pdf02-Rez_ec_3_polyroot.pdf03-Rez_ec_2_root.pdf04-Rez_inec.pdf

    Cap7.pdf_07SistemeNeliniare.pdfMathcad - Sisteme_neliniare.pdfMathcad - Sisteme_neliniare_1.pdfMathcad - Sisteme_neliniare_2.pdfMathcad - Sisteme_neliniare_3.pdfMathcad - Sisteme_neliniare_4.pdfMathcad - Sisteme_neliniare_5.pdfMathcad - Sisteme_neliniare_6.pdfMathcad - Sisteme_neliniare_7_3ecuatii.pdf

    Cap8.pdf_08Programare.pdf00-Prog_intro.pdf01-Prog_if.pdf02-Prog_for.pdf03-Prog_while.pdf04-Prog_return.pdf

    Cap9.pdf_09ProblemeSeminar.pdf01-Probleme_Calcul_matriceal_sisteme_liniare.pdf02-Probleme_Analiza_mat.pdf03-Probleme_Grafica_2D.pdf04-Probleme_Ecuatii_inecuatii.pdf05-Probleme_Sisteme_neliniare.pdf06-Probleme_Algebra_liniara.pdf

    Cap10.pdf_10Teste.pdfTest_Mathcad_1_var1.pdfTest_Mathcad_1_var2.pdfTest_Mathcad_2_var1.pdfTest_Mathcad_2_var2.pdf

    Bibliografie.pdf


Recommended