Utilizarea Anomaliilor Bouger Locale Pentru Determinarea Str

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI FACULTATEA DE GEODEZIE

TEZĂ DE DOCTORAT

UTILIZAREA ANOMALIILOR BOUGUER LOCALE PENTRU DETERMINAREA STRUCTURII PĂRŢII

SUPERIOARE A CRUSTEI TERESTRE

CONDUCĂTOR ŞTIINŢIFIC: Prof. dr. ing. GHIŢĂU Dumitru

ing. MARINESCU Mirel George

2 0 0 2

Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti (UTCB)

iii

MULŢUMIRI

Această lucrare reprezintă rezultatul a şase ani dedicaţi studiului geodeziei fizice, de-a lungul cărora s-au succedat alternativ momente interesante sub aspect profesional şi ştiinţific cu momente mai dificile... Peste toate acestea am trecut cu bine cu sprijinul mai multor oameni faţă de care voi rămâne profund îndatorat şi cărora le adresez cele mai calde şi sincere mulţumiri. În mod deosebit doresc să mulţumesc conducătorului meu ştiinţific, domnul prof. dr. ing. Dumitru Ghiţău, pentru numeroasele sfaturi şi indicaţii oferite şi pentru răbdarea, căldura şi amabilitatea pe care le-a manifestat faţă de mine în tot acest timp. De asemenea, îi sunt recunoscător domnului prof. dr. ing. Marian Ivan de la Facultatea de Geofizică din Universitatea Bucureşti pentru bibliografia şi ajutorul acordat în aprofundarea analizei spectrale. Calde mulţumiri aduc membrilor Comisiei de Doctorat formată din:

• prof. dr. ing. Johan Neuner, preşedinte; • prof. dr. ing. Dumitru Ghiţău, conducător ştiinţific; • prof. dr. ing. Lucian Turdeanu, membru; • col. dr. ing. Ştefan Cantaragiu, membru; • col. dr. ing. Corneliu Serediuc, membru,

care au avut bunăvoinţa să citească şi să aprecieze această lucrare, făcând observaţii utile şi pertinente. Cu respect mulţumesc domnului prof. dr. ing. Petre Pătruţ – rectorul Universităţii Tehnice de Construcţii Bucureşti şi domnului cdor. ing. Pavel Mîţiu – şeful Centrului de Testare-Evaluare şi Cercetare Ştiinţifică Armamente din Agenţia de Cercetare pentru Tehnică şi Tehnologii Militare, pentru sprijinul acordat pe toată perioada pregătirii şi elaborării tezei de doctorat. În acelaşi cadru al recunoaşterii ajutorului primit, autorul mulţumeşte colegilor care prin prietenia şi preocupările lor individuale au contribuit la crearea unui climat benefic activităţii de studiu şi cercetare ştiinţifică în Colectivul de Geodezie din care face parte. Exprim sincere mulţumiri fratelui meu, absolvent de Master în Statistică al Universităţii Statului Ohio, pentru indicaţiile privind elaborarea capitolului 4, precum şi pentru întreaga bibliografie de geostatistică pusă la dispoziţie. În încheiere doresc să-i mulţumesc mamei mele care m-a sprijinit în permanenţă pe tot parcursul lung şi dificil al elaborării prezentei lucrări.

iv

v

REZUMAT

În lucrare se prezintă unele posibilităţi de poziţionare a unei falii tectonice seismic-

active folosind anomalii gravimetrice locale, anomalii ale gradientului vertical al gravităţii şi

anomalii ale derivatelor verticale de ordinul II ale gravităţii determinate din măsurători

gravimetrice de precizie. Falia avută în vedere a fost pusă evidenţă, de asemenea, de către

specialişti din Institutul Naţional pentru Fizica Pământului (Bucureşti) în cadrul unor

prospecţiuni seismometrice efectuate în urmă cu mai mulţi ani.

ABSTRACT

The thesis presents some possibilities of positioning a seismic-active tectonic fault using

local gravity anomalies, vertical gradient anomalies of the gravity field, and second order

derivative anomalies of the gravity field computed from accurate gravity measurements.

Specialists from the National Institute for Earth’s Physics (Bucharest) have also exposed the

fault taken into consideration while carrying out seismic shooting years ago.

RESUME

La thèse présente des possibilités de positionnement d’une faille tectonique sismique-

active en utilisant des anomalies résiduelles, des anomalies du gradient vertical de la pesanteur

et des anomalies de dérivées secondes de la pesanteur déterminées à partir de mesures

gravimétriques très précises. Des spécialistes de L’Institut National pour la Physique du Globe

(de Bucarest) ont mis également en évidence la même faille lors des prospections sismiques

faites il y a quelques années.

Cuvinte cheie: geodezie fizică, falie tectonică, anomalie gravimetrică, filtrare

vi

Dedic această lucrare memoriei tatălui meu (1939 – 1997)...

... pentru că a avut întotdeauna încredere în mine

şi m-a încurajat să mă înscriu la doctorat.

vii

CUPRINS 1. INTRODUCERE .................................................................................................................................................. 1 2. UTILIZAREA ANOMALIILOR BOUGUER PENTRU DETERMINAREA STRUCTURII PĂRŢII

SUPERIOARE A CRUSTEI TERESTRE......................................................................................................... 5 2.1 Geomorfologia planetară ...................................................................................................................................... 5 2.2 Geomorfologia tectono-structurală ..................................................................................................................... 11 2.3 Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre .................... 20 3. ANOMALIILE GRAVITĂŢII .......................................................................................................................... 25 3.1 Anomalia Faye.................................................................................................................................................... 26 3.2 Anomaliile Bouguer............................................................................................................................................ 32

3.2.1 Anomalia Bouguer incompletă .................................................................................................................. 32 3.2.2 Anomalia Bouguer completă ..................................................................................................................... 34 3.2.3 Anomalia Bouguer perfecţionată (simplă) ................................................................................................. 35

4. METODE DE INTERPOLARE FOLOSITE ÎN GEODEZIA FIZICĂ ........................................................ 41 4.1 Interpolarea în contextul geodeziei fizice ........................................................................................................... 41 4.2 Metode de construire a gridului anomaliilor Bouguer ........................................................................................ 63

4.2.1 Realizarea gridului elastic.......................................................................................................................... 65 4.2.1.1 Interpretarea condiţiei de minim a funcţiei E )g( g∆ ..................................................................... 65 4.2.1.2 Expresia matriceală a funcţiilor K )g( g∆ şi )g( g∆G ................................................................... 67 4.2.1.3 Minimizarea funcţionalei pătratice )g()g()g( ggg ∆∆∆ GKE += ................................................... 68 4.2.1.4 Rezolvarea sistemului FΑ∆gg = .................................................................................................. 70 4.2.1.5 Stabilirea vectorului soluţiilor – g

0∆g pentru prima iteraţie ......................................................... 71

4.2.1.6 Netezire versus ajustare ................................................................................................................. 72 4.2.2 Realizarea gridului de tip spline ''placă subţire'' şi a gridului spline pseudo-cubic .................................... 73

4.2.2.1 Gridul spline de tip ''placă subţire'' de interpolare ......................................................................... 73 4.2.2.2 Gridul spline de tip "placă subţire" de ajustare.............................................................................. 74 4.2.2.3 Gridul elastic – aproximare discretă a gridului spline ''placă subţire'' de ajustare ......................... 75

4.2.3 Realizarea gridului prin kriging ................................................................................................................. 75 4.2.3.1 Krigingul universal ........................................................................................................................ 77 4.2.3.2 Gridul spline de tip ''placă subţire'' – caz particular al krigingului universal ................................. 80

4.3 Metode de îndesire a gridului anomaliilor Bouguer ........................................................................................... 81 4.3.1 Folosirea funcţiei spline bicubice complete de tipul I (Algoritmul Kubic-Botman).................................. 84 4.3.2 Folosirea funcţiei spline bicubice incomplete de tipul I............................................................................. 88

4.4 Metode de interpolare într-un element finit rectangular al gridului.................................................................... 89 4.4.1 Cazul în care se consideră o fereastră de interpolare cu dimensiunile egale cu cele ale elementului

finit rectangular al gridului......................................................................................................................... 90 4.4.1.1 Interpolarea biliniară...................................................................................................................... 90

4.4.2 Cazul în care se consideră o fereastră de interpolare cu dimensiunile mai mari decât cele ale elementului finit rectangular al gridului ..................................................................................................... 91 4.4.2.1 Interpolarea folosind o funcţie spline cubică naturală (Algoritmul lamei flexibile) ...................... 91 4.4.2.2 Interpolarea folosind metoda celor mai mici pătrate...................................................................... 96

viii

5. CONTRIBUŢII ALE GEODEZIEI FIZICE LA DELIMITAREA ZONELOR DE STRUCTURĂ DIN INTERIORUL PĂMÂNTULUI........................................................................................................................ 97

5.1 Anomalia Bouguer regională şi anomalia Bouguer locală .................................................................................. 98 5.2 Anomaliile continuate analitic ale gravităţii ..................................................................................................... 100 5.3 Anomaliile derivatelor verticale ale gravităţii................................................................................................... 104

5.3.1 Anomalia gradientului vertical (anomalia derivatei verticale de ordinul I) ............................................. 104 5.3.2 Anomalia derivatei verticale de ordinul II ............................................................................................... 116

6. STUDIU DE CAZ ............................................................................................................................................. 119 6.1 Poligonul Geodinamic Gruiu – Căldăruşani ..................................................................................................... 119

6.1.1 Consideraţii geonomice privind amplasarea ............................................................................................ 120 6.1.2 Reţeaua geodezică.................................................................................................................................... 121 6.1.3 Măsurători geodezice efectuate în poligon............................................................................................... 122 6.1.4 Rezultate obţinute din măsurătorile geodezice de poziţie ........................................................................ 123

6.2 Măsurători efectuate şi rezultatele obţinute ...................................................................................................... 124 6.2.1 Măsurători efectuate................................................................................................................................. 124 6.2.2 Rezultatele obţinute.................................................................................................................................. 124

6.3 Comentarii ........................................................................................................................................................ 193 7. CONCLUZII ..................................................................................................................................................... 199 ANEXA 1 – ATRIBUTELE PRINCIPALE ALE PUNCTELOR REŢELEI GRAVIMETRICE DIN

POLIGONUL GEODINAMIC GRUIU – CĂLDĂRUŞANI LA EPOCA 1993.8...................... 203 ANEXA 2 – ATRIBUTELE PRINCIPALE ALE PUNCTELOR REŢELEI GRAVIMETRICE DIN

POLIGONUL GEODINAMIC GRUIU – CĂLDĂRUŞANI LA EPOCA 1995.8...................... 219 ANEXA 3 – MODALITATEA DE OBŢINERE A ECUAŢIILOR SISTEMULUI (5.47) ............................. 235 BIBLIOGRAFIE................................................................................................................................................... 247 INDEX ................................................................................................................................................................... 259 ACRONIME.......................................................................................................................................................... 261

ix

LISTA FIGURILOR Fig. 2.1 Greutatea (după GHIŢĂU 1983). ................................................................................................................ 6 Fig. 2.2 Geoidul terestru (după MARTY 2000)........................................................................................................ 7 Fig. 2.3 Structura radială a Pământului (după CAZENAVE 1994). ......................................................................... 8 Fig. 2.4 Diferite tipuri de crustă (după GRASU 1997). ............................................................................................ 8 Fig. 2.5 Raportul manta-crustă-litosferă. .................................................................................................................. 9 Fig. 2.6 Structura părţii superioare a Pământului şi consecinţa fenomenelor din manta asupra dinamicii

litosferei (după DIETZ 1972 – din GRASU 1997).................................................................................... 10 Fig. 2.7 Coordonatele cinematice ale plăcilor tectonice (după DEWEY 1976 – din GRASU 1997). .................... 12 Fig. 2.8 Răspunsurile crustei terestre supusă la compresiuni şi distensiuni pure

(după ANDERSON 1971 – din GRASU 1997): 1 – cutare; 2 – încălecare; 3 – subducţie; 4 – îngroşare; 5 – riftogeneză; 6 – structuri de afundare; 7 – subţiere. ................................................. 12

Fig. 2.9 Câteva tipuri de deformări ale crustei terestre supusă la tensiuni combinate (după MATTAUER 1980 – din GRASU 1997): 1 – compresiune şi culisare; 2 – compresiune oblică; 3 – distensiune şi culisare; 4 – distensiune oblică............................................... 13

Fig. 2.10 Plăcile tectonice utilizate de modelele NUVEL. ....................................................................................... 17 Fig. 2.11 Segmentele de microplăci litosferice pe teritoriul României (după AIRINEI 1977)................................. 18 Fig. 2.12 Harta anomaliilor gravimetrice (în mgal) determinate din măsurători altimetrice efectuate de satelitul

Geosat la sud de paralela de 30°S (după MORGAN şi SANDWELL 1994 – din CAZENAVE 1994). ... 21 Fig. 2.13 Porţiune din dorsala medio-atlantică şi din zona de subducţie a insulelor Sandwich

(după SANDWELL şi SMITH 1992 – din CAZENAVE 1994)................................................................ 21 Fig. 2.14 Schema structurală interpretativă a regiunii L’Adrar des Inforas (după SAÏDOU 1979).......................... 23 Fig. 3.1 Anomalie gravimetrică. ............................................................................................................................. 25 Fig. 3.2 Reducerea Faye.......................................................................................................................................... 27 Fig. 3.3 Schiţele pilaştrilor geodezici din Poligonul Geodinamic Gruiu – Căldăruşani.......................................... 28 Fig. 3.4 Reducerea de strat intermediar. ................................................................................................................. 32 Fig. 3.5 Atracţia maselor topografice asupra punctului P situat pe suprafaţa fizică a Pământului.......................... 33 Fig. 3.6 Corecţia de relief........................................................................................................................................ 36 Fig. 3.7 Justificarea semnului corecţiei de relief..................................................................................................... 36 Fig. 3.8 Geometrizarea terenului în jurul punctului P pentru calculul corecţiei de relief. ...................................... 38 Fig. 3.9 Atracţia prismei curbilinii αβγδ asupra punctului de staţie P situat pe suprafaţa fizică a Pământului. ..... 38 Fig. 3.10 Atracţia unei calote sferice calculate prin cumul din tabelele lui Cassinis pentru ρ = 1

(după FAVRE 1958).................................................................................................................................. 39 Fig. 4.1 Aproximarea unidimesională a unei funcţii de o variabilă. ....................................................................... 41 Fig. 4.2 Semnificaţia corespondenţei )p(gp ∆→ în cazul unui sistem tridimensional de coordonate. .................. 45 Fig. 4.3 Interpolarea biliniară.................................................................................................................................. 47 Fig. 4.4 Exemplu de suprafaţă rectangulară biliniară.............................................................................................. 47 Fig. 4.5 Graficul funcţiei U(t). ................................................................................................................................ 48 Fig. 4.6 Interpolarea bicubică. ................................................................................................................................ 49 Fig. 4.7 Interpretarea fizică a proprietăţii de derivabilitate a funcţiei U. ................................................................ 49 Fig. 4.8 Suprafaţa rectangulară bicubică. ................................................................................................................ 51 Fig. 4.9 Importanţa analizei continuităţii spaţiale a datelor. ................................................................................... 52 Fig. 4.10 Convenţia început – sfârşit (după DEUTSCH 1998). ............................................................................... 53 Fig. 4.11 Modul de realizare al unui s-grafic............................................................................................................ 53 Fig. 4.12 Modul de obţinere al semi-variogramei experimentale. ............................................................................ 54 Fig. 4.13 Parametrii semi-variogramei. .................................................................................................................... 55

x

Fig. 4.14 Modelul exponenţial. .............................................................................................................................. ... 57 Fig. 4.15 Modelul gaussian. ..................................................................................................................................... 57 Fig. 4.16 Modelul pătratic. ........................................................................................................................................ 57 Fig. 4.17 Modelul pătratic raţional. .......................................................................................................................... 57 Fig. 4.18 Modelele putere. ........................................................................................................................................ 58 Fig. 4.19 Modelul liniar. ....................................................................................................................................... .... 58 Fig. 4.20 Modelul undă. ........................................................................................................................................... 58 Fig. 4.21 Modelul sferic. ........................................................................................................................................... 58 Fig. 4.22 Modelul logaritmic. .................................................................................................................................. 58 Fig. 4.23 Profiluri ipotetice de valori care ilustrează relaţiile dintre media locală şi abaterea standard locală.

În fig. (a), media locală, reprezentată printr-o linie dreaptă/curbă şi abaterea standard sunt constante. În fig. (b), media este caracterizată de o anumită tendinţă, în timp ce abaterea standard rămâne cons- tantă. În fig. (c), media este constantă, în timp ce abaterea standard este caracterizată de o anumită tendinţă, iar în fig. (d), atât media cât şi abaterea standard sunt caracterizate de o anumită tendinţă (după ISAAKS 1989)................................................................................................................................. 59

Fig. 4.24 Reprezentarea grafică a funcţiei de covarianţă. ......................................................................................... 61 Fig. 4.25 Lungimea de undă. .................................................................................................................................... 63 Fig. 4.26 Interpretarea geometrică a condiţiei de minim a funcţiei )g(K g∆ ........................................................... 66 Fig. 4.27 Interpretarea fizică a condiţiei de minim a funcţiei )g(E g∆ . ................................................................... 66 Fig. 4.28 Aspectul grafic al funcţiei g∆ corespunzător unor diverse criterii de minimizare. .................................. 66 Fig. 4.29 Stabilirea vectorului soluţiilor g∆g 0 pentru prima iteraţie. ........................................................................ 71 Fig. 4.30 Elementele finite rectangulare Ω m,n din jurul punctului l,cp . ................................................................. 83 Fig. 4.31 Îndesirea gridului anomaliilor Bouguer. .................................................................................................... 84 Fig. 4.32 Element finit pătratic de latură l = 1. ......................................................................................................... 85 Fig. 4.33 Ferestre de interpolare cu diferite dimensiuni. .......................................................................................... 90 Fig. 4.34 Interpolarea biliniară într-un element finit rectangular.............................................................................. 91 Fig. 4.35 Fereastră de interpolare de dimensiuni 3 x 3. ............................................................................................ 91 Fig. 4.36 Subintervalele de definire ale funcţiei spline............................................................................................. 93 Fig. 4.37 Fereastră de interpolare de dimensiuni (2k – 1) x (2k – 1). ....................................................................... 96 Fig. 5.1 Amplasarea simetrică a punctelor 0M şi *

0M faţă de planul (xOy). ...................................................... 101 Fig. 5.2 Configuraţia de puncte pentru reţeaua de pătrate..................................................................................... 103 Fig. 5.3 Schema generală de filtrare în domeniul spectral (după IVAN 1994). .................................................... 106 Fig. 5.4 Reprezentarea caracteristicii teoretice a filtrului pentru gradientul vertical............................................. 109 Fig. 5.5 Caracteristica de transfer a filtrului pentru calculul anomaliilor gradientului vertical............................. 115 Fig. 6.1 Microplăcile tectonice pe teritoriul României (după AIRINEI 1977)...................................................... 119 Fig. 6.2 Consideraţii privind amplasarea Poligonului Geodinamic Gruiu – Căldăruşani

(după CORNEA 1980)............................................................................................................................. 120 Fig. 6.3 Reţeaua gravimetrică din Poligonul Geodinamic Gruiu – Căldăruşani. .................................................. 122 Fig. 6.4 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru:

(a) anomaliile Faye. Epoca 1993.8; (b) anomaliile Bouguer incomplete. Epoca 1993.8.................................................................................. 125

Fig. 6.5 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru: (a) anomaliile Bouguer complete. Epoca 1993.8; (b) anomaliile Bouguer perfecţionate (simple). Epoca 1993.8 ................................................................ 126

Fig. 6.6 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru: (a) anomaliile Bouguer regionale. Epoca 1993.8; (b) anomaliile Bouguer locale. Epoca 1993.8.......................................................................................... 126

Fig. 6.7 Anomalia Faye (reprezentare 2D). Epoca 1993.8 .................................................................................... 127 Fig. 6.8 Anomalia Faye (reprezentare 3D). Epoca 1993.8 .................................................................................... 129 Fig. 6.9 Anomalia Bouguer incompletă (reprezentare 2D). Epoca 1993.8 ........................................................... 131 Fig. 6.10 Anomalia Bouguer incompletă (reprezentare 3D). Epoca 1993.8 ........................................................... 133 Fig. 6.11 Anomalia Bouguer completă (reprezentare 2D). Epoca 1993.8 .............................................................. 135 Fig. 6.12 Anomalia Bouguer completă (reprezentare 3D). Epoca 1993.8 .............................................................. 137 Fig. 6.13 Anomalia Bouguer perfecţionată (reprezentare 2D). Epoca 1993.8 ........................................................ 139 Fig. 6.14 Anomalia Bouguer perfecţionată (reprezentare 3D). Epoca 1993.8 ........................................................ 141

xi

Fig. 6.15 Anomalia Bouguer regională (reprezentare 2D). Epoca 1993.8.............................................................. 143 Fig. 6.16 Anomalia Bouguer regională (reprezentare 3D). Epoca 1993.8.............................................................. 145 Fig. 6.17 Anomalia Bouguer locală (reprezentare 2D). Epoca 1993.8 ................................................................... 147 Fig. 6.18 Anomalia Bouguer locală (reprezentare 3D). Epoca 1993.8 ................................................................... 149 Fig. 6.19 Anomalia gradientului vertical al gravităţii (reprezentare 2D). Epoca 1993.8 ........................................ 151 Fig. 6.20 Anomalia gradientului vertical al gravităţii (reprezentare 3D). Epoca 1993.8 ........................................ 153 Fig. 6.21 Anomalia derivatei verticale de ordinul II a gravităţii (reprezentare 2D). Epoca 1993.8........................ 155 Fig. 6.22 Anomalia derivatei verticale de ordinul II a gravităţii (reprezentare 3D). Epoca 1993.8........................ 157 Fig. 6.23 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru:

(a) anomaliile Faye. Epoca 1995.8; (b) anomaliile Bouguer incomplete. Epoca 1995.8.................................................................................. 159

Fig. 6.24 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru: (a) anomaliile Bouguer complete. Epoca 1995.8; (b) anomaliile Bouguer perfecţionate (simple). Epoca 1995.8 ................................................................ 159

Fig. 6.25 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru: (a) anomaliile Bouguer regionale. Epoca 1995.8; (b) anomaliile Bouguer locale. Epoca 1995.8.......................................................................................... 160

Fig. 6.26 Anomalia Faye (reprezentare 2D). Epoca 1995.8.................................................................................... 161 Fig. 6.27 Anomalia Faye (reprezentare 3D). Epoca 1995.8.................................................................................... 163 Fig. 6.28 Anomalia Bouguer incompletă (reprezentare 2D). Epoca 1995.8 ........................................................... 165 Fig. 6.29 Anomalia Bouguer incompletă (reprezentare 3D). Epoca 1995.8 ........................................................... 167 Fig. 6.30 Anomalia Bouguer completă (reprezentare 2D). Epoca 1995.8 .............................................................. 169 Fig. 6.31 Anomalia Bouguer completă (reprezentare 3D). Epoca 1995.8 .............................................................. 171 Fig. 6.32 Anomalia Bouguer perfecţionată (reprezentare 2D). Epoca 1995.8........................................................ 173 Fig. 6.33 Anomalia Bouguer perfecţionată (reprezentare 3D). Epoca 1995.8........................................................ 175 Fig. 6.34 Anomalia Bouguer regională (reprezentare 2D). Epoca 1995.8.............................................................. 177 Fig. 6.35 Anomalia Bouguer regională (reprezentare 3D). Epoca 1995.8.............................................................. 179 Fig. 6.36 Anomalia Bouguer locală (reprezentare 2D). Epoca 1995.8 ................................................................... 181 Fig. 6.37 Anomalia Bouguer locală (reprezentare 3D). Epoca 1995.8 ................................................................... 183 Fig. 6.38 Anomalia gradientului vertical al gravităţii (reprezentare 2D). Epoca 1995.8 ........................................ 185 Fig. 6.39 Anomalia gradientului vertical al gravităţii (reprezentare 3D). Epoca 1995.8 ........................................ 187 Fig. 6.40 Anomalia derivatei verticale de ordinul II a gravităţii (reprezentare 2D). Epoca 1995.8........................ 189 Fig. 6.41 Anomalia derivatei verticale de ordinul II a gravităţii (reprezentare 3D). Epoca 1995.8........................ 191 Fig. 6.42 Profilul anomaliilor gravităţii pe direcţia NV-SE.................................................................................... 193 Fig. 6.43 Împărţirea fictivă a gridului anomaliilor gradientului vertical în ferestre de dimensiuni 5 x 5

cu suprapunere pe o distanţă egală cu de două ori mărimea pasului gridului. ......................................... 194 Fig. 6.44 Indicele V (reprezentare 2D). Epoca 1993.8 ........................................................................................... 195 Fig. 6.45 Indicele V (reprezentare 2D). Epoca 1995.8 ........................................................................................... 197 Fig. A1.1 Schiţa reţelei gravimetrice din Poligonul Geodinamic Gruiu – Căldăruşani. Epoca 1993.5 .................. 205 Fig. A2.1 Schiţa reţelei gravimetrice din Poligonul Geodinamic Gruiu – Căldăruşani. Epoca 1995.5 .................. 221

xii

LISTA TABELELOR Tabelul 2.1 Elementele caracteristice ale modelului cinematic NUVEL-1 (1990) – Pacific Plate Fixed. ................ 14 Tabelul 2.2 Elementele caracteristice ale modelului cinematic NNR-NUVEL-1 (1991) – No Net Rotation. .......... 15 Tabelul 2.3 Elementele caracteristice ale modelului cinematic NUVEL-1A (1994) – Pacific Plate Fixed. ............. 15 Tabelul 2.4 Elementele caracteristice ale modelului cinematic NNR-NUVEL-1A (1991) – No Net Rotation. ....... 16 Tabelul 2.5 Elementele caracteristice ale modelului cinematic APKiM................................................................... 16 Tabelul 3.1 Calculul gradientului normal al gravităţii pentru elipsoidul Krasovski (B = 45°). ................................ 30 Tabelul 3.2 Calculul constantei k pentru o paletă circulară cu razele de 50, 100, 200 şi 400 m şi cu ∆A = 25G. ..... 40 Tabelul 4.1 Explicitarea coeficientului Q )s'(Q)r'cc( +−+− ll din relaţia (3.5). ...................................................... 46 Tabelul 4.2 Explicitarea coeficientului )s'(U)r'cc(U +−+− ll din relaţia (3.19)..................................................... 48 Tabelul 5.1 Valorile coeficienţilor care intervin în relaţia (5.12). .......................................................................... 103 Tabelul 5.2 Soluţiile sistemului generat de condiţia (3.28)..................................................................................... 112 Tabelul 5.3 Soluţiile sistemului generat de condiţiile (3.4) şi (3.42). ..................................................................... 114

Capitolul 1

INTRODUCERE

Necesitatea vitală a cunoaşterii mediului în care omul îşi desfăşoară activitatea socială şi

economică a determinat apariţia din cele mai vechi timpuri a preocupărilor pentru aflarea

formei şi dimensiunii Pământului, precum şi pentru descrierea sau reprezentarea suprafeţei

acestuia. Concepţiile şi cunoştinţele privind forma Pământului şi poziţia lui printre celelalte

corpuri cereşti au evoluat şi s-au aprofundat odată cu progresul general al ştiinţelor, în special al

matematicii şi astronomiei.

Deşi volumul de date privind Pământul acumulate în decursul timpului prin aportul

conjugat al tuturor geo-ştiinţelor este imens şi continuă să crească zi de zi, oamenii cunosc prea

puţin despre planeta pe care trăiesc.

Studiul Pământului ca planetă a sistemului solar, cu implicaţii profunde pe plan

ştiinţific, economic şi social-politic, s-a putut extinde pe măsura dezvoltării ştiinţelor

geonomice, fiecare cu metode şi tehnologii proprii de investigare. Astfel, din punct de vedere

fizic, Pământul, considerat la un moment dat un corp solid nedeformabil, este studiat în prezent

şi în ipoteza unui corp elastic, deformabil sub acţiunea unor influenţe complexe ce provin atât

din exteriorul, cât şi din interiorul său.

Prin efectele pe care le produc sau le-ar putea produce, deformaţiile crustei terestre

influenţează în mod puternic activitatea umană, fapt ce explică preocuparea manifestată pentru

studierea, poziţionarea şi monitorizarea faliilor tectonice.

Se pot da numeroase exemple de studii desfăşurate în acest scop care au antrenat

importante resurse umane, tehnice şi financiare:

• lansarea seriei de sateliţi altimetrici – Geos3 (1975), Seasat (1978), Geosat (1985),

ERS-1 (1991) şi TOPEX/Poseidon (1992) – care permit printre altele şi obţinerea de

informaţii cu privire la dinamica crustei terestre;

• monitorizarea faliei californiene San Andreas – care separă placa Americii de Nord

de placa Pacificului şi care a provocat numeroase cutremure, cele mai puternice

fiind înregistrate în San Francisco în anul 1906 şi Los Angeles în anul 1997;

Capitolul 1 – Introducere 2

• supravegherea proceselor tectonice din Japonia, ţară care se află la intersecţia a trei

plăci tectonice: placa Asiei, placa Filipinelor şi placa Pacificului;

• studiul evoluţiei în timp al deplasărilor crustale din Islanda, unde placa Euroasiatică

se distanţează de placa Americii de Nord.

Lucrarea de faţă se înscrie în tematica acestor preocupări, abordând mai multe aspecte

teoretice şi practice privind utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii

superioare a crustei terestre.

Teza este structurată pe capitole, subcapitole şi secţiuni, pentru individualizarea cărora

s-a folosit modalitatea uzuală de numerotare ierarhică, prin care identificatorul unei

subdiviziuni este precedat de codul structurii superioare – sistem ce asigură facilitatea de

regăsire a trimiterilor din text.

Relaţiile, figurile şi tabelele s-au numerotat la nivelul fiecărui capitol.

Introducerea conţine descrierea sumară a tuturor capitolelor.

În capitolul 2 se prezintă importanţa determinării structurii părţii superioare a crustei

terestre şi raporturile în care se află aceasta cu celelalte învelişuri ale Pământului. Explicaţiile

sunt însoţite de prezentarea unor aspecte generale de geomorfologie planetară şi geomorfologie

tectono-structurală.

Capitolul 3 conţine descrierea metodelor de calcul al anomaliilor gravimetrice: Faye,

Bouguer incomplete, complete şi perfecţionate (simple) şi ale reducerilor / corecţiilor aferente

care stau la baza determinării acestora: reducerea Faye (în aer liber), reducerea de strat

intermediar (reducerea Bouguer incompletă sau reducerea Bouguer de placă), reducerea

Bouguer completă (reducerea topografică sau reducerea de elevaţie), corecţia de relief.

Capitolul 4 este structurat în patru subcapitole:

• aspecte generale privind interpolarea în contextul geodeziei fizice;

• metode de construire a gridului anomaliilor Bouguer;

• metode de îndesire a gridului anomaliilor Bouguer;

• metode de interpolare într-un element finit rectangular al gridului.

În primul subcapitol se specifică care sunt mărimile gravimetrice folosite pentru

interpolare şi modul de determinare a acestora, se prezintă două posibilităţi de reprezentare a

câmpului anomaliilor Bouguer folosind metoda elementelor finite, se dau exemple de suprafeţe

cu ajutorul cărora se poate aproxima forma câmpului anomaliilor Bouguer şi se analizează

aspecte privind corelaţia spaţială a anomaliilor Bouguer.

În cel de-al doilea subcapitol se prezintă în detaliu trei metode de construire a gridului

anomaliilor Bouguer utilizând valorile cunoscute ale anomaliilor Bouguer în punctele unei


reţele gravimetrice: realizarea gridului elastic, realizarea gridului de tip spline ''placă subţire'' şi

a gridului spline pseudo-cubic şi realizarea gridului prin kriging.

În subcapitolul 3 se descriu două metode de îndesire a gridului anomaliilor Bouguer,

element cu element, folosind funcţii spline bicubice complete de tipul I şi funcţii spline

bicubice incomplete.

În cel de-al patrulea subcapitol se propun trei metode de interpolare punctuală într-un

element finit rectangular al gridului: interpolarea biliniară, interpolarea folosind o funcţie spline

cubică naturală şi interpolarea folosind metoda celor mai mici pătrate. Aplicarea acestor metode

este condiţionată de dimensiunile ferestrei de interpolare.

În capitolul 5 se prezintă principalele metode de obţinere ale:

• anomaliilor Bouguer regionale şi anomaliilor Bouguer locale ale gravităţii;

• anomaliilor continuate analitic ale gravităţii (metoda bazată pe formula flux-

divergenţă şi pe funcţia Green pentru un semispaţiu şi metoda Constantinescu-

Botezatu);

• anomaliilor derivatelor verticale ale gravităţii: anomaliile gradientului vertical,

respectiv anomaliile derivatelor verticale de ordinul II (metoda filtrării, metoda

Baranov şi metoda Constantinescu-Eldaiem).

De asemenea, sunt prezentate şi aspecte privind interpretarea fizică a acestor anomalii.

În capitolul 6 se prezintă un studiu de caz efectuat în PGGC*).

Pentru început se face o descriere generală a poligonului şi anume: consideraţiile

geonomice privind amplasarea (care au condiţionat decisiv proiectarea şi realizarea poligo-

nului), reţeaua geodezică, măsurătorile geodezice de poziţie efectuate în perioada 1979-1994 şi

rezultatele obţinute din prelucrarea acestora.

În continuare se prezintă campaniile gravimetrice şi de nivelment efectuate la epocile

1993-toamnă (1993.8) şi 1995-toamnă (1995.8) şi comentarea rezultatelor obţinute din prelu-

crarea măsurătorilor gravimetrice corespunzătoare acestor două epoci.

Datele numerice necesare au fost obţinute prin bunăvoinţa CGUTCB care a permis

accesul autorului la baza de date în care sunt stocate informaţiile respective.

În ultimul capitol se prezintă succint concluziile şi contribuţiile originale ale autorului

în domeniul abordat.

Anexele conţin atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice pentru epocile

1993.8 şi 1995.8.

*) Toate prescurtările din lucrare sunt explicate la sfârşitul acesteia, în pagina de ACRONIME.


Bibliografia studiată a fost redactată conform Standardelor Internaţionale ISO 690-1

din anul 1980 completat cu ISO 690-2 din anul 1997, referitoare la redactarea conţinutului,

formei şi structurii referinţelor bibliografice. Citarea referinţelor bibliografice în text a fost

realizată folosind metoda primului autor şi a anului apariţiei respectivei publicaţii.

La finalul lucrării se găseşte indexul termenilor principali precum şi lista acronimelor

utilizate.

Capitolul 2

UTILIZAREA ANOMALIILOR BOUGUER PENTRU DETERMINAREA STRUCTURII PĂRŢII SUPERIOARE

A CRUSTEI TERESTRE

Determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre reprezintă unul dintre

obiectivele de studiu pentru mai multe discipline, cum ar fi: geodezia fizică, geofizica,

geologia, geomorfologia şi oceanografia, fapt care a determinat, în special în ultimele decenii,

iniţierea unor ample programe de studii, prelucrări şi interpretări interdisciplinare.

Pentru o mai bună înţelegere a importanţei determinării structurii părţii superioare a

crustei terestre şi a raporturilor în care se află aceasta cu celelalte învelişuri ale Pământului, în

cadrul acestui capitol se prezintă unele aspecte generale de geomorfologie.

Geomorfologia este ştiinţa care se ocupă cu studiul reliefului crustei terestre şi cu

evoluţia lui în timp (POSEA 1976).

2.1 GEOMORFOLOGIA PLANETARĂ

Geomorfologia planetară studiază influenţele reciproce care se exercită între formele de

relief de ordinul I (continente şi bazine oceanice) (POSEA 1976).

Interacţiunile dintre diferitele forme de relief ale scoarţei terestre nu pot fi explicate fără

cunoaşterea structurii Pământului şi a anumitor procese planetare, cum ar fi: mişcarea de rotaţie

şi variaţia sa, deplasarea polilor etc. De aceea, pe lângă metodele de studiu şi cercetare proprii,

geomorfologia planetară foloseşte ipotezele, teoriile şi rezultatele altor discipline dintre care se

menţionează: astronomia, geofizica şi geodezia fizică.

Capitolul 2 – Utilizarea anomaliilor Bouguer pentru determinarea structurii părţii superioare a crustei terestre

6

Forma Pământului

Un punct material situat pe suprafaţa fizică a Pământului este supus acţiunii mai multor

forţe dintre care cele mai importante sunt: forţa atracţiei universale – Fr

(îndreptată spre

centrul de masă al Pământului), forţa centrifugă – qr (Fig. 2.1) şi forţele de atracţie ale Soa-

relui – , datorită masei sale şi respectiv ale Lunii – Sfr

Lfr

, datorită apropierii sale de Pământ.

Rezultanta tuturor forţelor mai sus menţionate este gravitatea (greutatea) – gr :

. (2.1) Krrrrr

++++= LS ffqFg

Regiunea din spaţiu în care se extinde influenţa complexă a atracţiei gravitaţionale şi a

rotaţiei Pământului constituie câmpul gravităţii sau câmpul gravific (CONSTANTINESCU

1964).

Fig. 2.1 Greutatea (după GHIŢĂU 1983).

Datorită rotaţiei în jurul axei sale forma de echilibru a Pământului este aceea de sferoid.

Deoarece formula sferoidului terestru este greu de utilizat în calculele geodezice, pentru

rezolvări practice, s-a recurs la adoptarea unei forme geometrice apropiată dar mai simplă, şi

anume aceea de elipsoid (elipsoid de rotaţie).

Calculând gradul de turtire al sferoidului în funcţie de viteza de rotaţie a Pământului,

rezultă că acesta nu corespunde formei Pământului. Asemenea necorespondenţe se întâlnesc şi

pentru celelalte planete. Cauza este legată de distribuirea diferită a maselor în interiorul

planetei, fenomen care se manifestă printr-o repartizare neuniformă a forţei gravitaţionale

interioare. De aceea, suprafaţa de echilibru reală către care tinde Pământul, nu este aceea de

sferoid, ci o formă particulară, denumită de către Listing în anul 1870 – geoid (Fig. 2.2).

Calculele arată că suprafaţa geoidului este mai ridicată în regiunea oceanelor (decât în

cazul sferoidului) şi în general mai coborâtă în zona continentelor (ajungându-se chiar până la

140 m sub suprafaţa sferoidului). În felul acesta, s-a ajuns la concluzia că regiunile continentale

şi în special zonele muntoase au o densitate mai mică în comparaţie cu fundul oceanelor.


7

Fig. 2.2 Geoidul terestru (după MARTY 2000).

Atât sferoidul cât şi geoidul suferă modificări în timp. Sferoidul se modifică din cauza

variaţiei vitezei de rotaţie şi a deplasării axei în jurul căreia se face rotirea, iar geoidul datorită

deplasărilor efectuate de masele din interiorul său precum şi datorită influenţelor variabile,

exercitate de planetele din univers.

Structura internă a Globului terestru

Materia din care este constituit Globul terestru este organizată diferenţiat pe măsură ce

se coboară de la suprafaţă către centrul planetei. Construit iniţial pe date seismologice, modelul

structurii interne a Pământului a fost completat ulterior prin contribuţia tuturor geo-ştiinţelor.

Cu ajutorul prospecţiunilor geologice, al analizei propagării undelor seismice şi al altor

metode specifice de investigare, geofizicienii au formulat ipoteza conform căreia Pământul este

constituit din mai multe învelişuri (straturi) concentrice de formă aproximativ sferică, având

proprietăţi fizice şi chimice distincte. Doi factori principali par a fi cauzat această structură în

pături concentrice şi anume mişcarea de rotaţie şi forţa de atracţie. Aceste învelişuri sunt

separate prin aşa numitele suprafeţe de discontinuitate.

Într-o primă abordare, masa Pământului a fost împărţită în trei geosfere majore, pornind

de la suprafaţă către centru: scoarţa terestră sau crusta, manta şi nucleul, numite şi învelişuri

de ordinul I (Fig. 2.3). Acestea sunt separate prin discontinuităţi de ordinul I.

Acumularea de noi date obţinute prin studii interdisciplinare complexe şi aprofundate,

au condus ulterior la o subîmpărţire a acestor geosfere în mai multe straturi numite învelişuri de

ordinul II. Acestea sunt separate prin discontinuităţi de ordinul II, pentru care însă nu există

deocamdată un acord unanim privind adâncimea şi densitatea acestora.


8

Fig. 2.3 Structura radială a Pământului (după CAZENAVE 1994).

Crusta terestră, reprezintă pătura subţire a părţii superioare a Pământului, rece, cu

densitatea cuprinsă între 2.7 şi 2.9 g/cm3, în care viteza undelor seismice (P) este sub 7 km/s. Ea

este separată de manta prin discontinuitatea Mohorovičič (sau pe scurt Moho). Din constatările

de până acum reiese că crusta are grosimi variabile: 6-10 km sub oceane, 30-40 km sub

platformele continentale, ajungând la 70-80 km sub catenele montane alpine (Fig. 2.4).

Fig. 2.4 Diferite tipuri de crustă (după GRASU 1997).


9

a. Crusta oceanică. Se caracterizează prin absenţa stratului granitic. De sus în jos

comportă: un strat de roci sedimentare (care este cu atât mai gros şi vechi cu cât ne

deplasăm din zona de rifturi spre fosele oceanice) şi un strat bazaltic de câţiva

kilometri sub care se află mantaua.

b. Crusta continentală. Compoziţia sa este diferită, după cum se situează sau nu în

scuturile şi platformele continentale sau în catenele montane tinere. În ambele

cazuri, crusta continentală comportă de sus în jos următoarele subdiviziuni: un strat

de roci sedimentare (cutate sau necutate), un strat granitic şi unul bazaltic; la limita

dintre stratul granitic şi cel bazaltic se situează discontinuitatea Conrad.

c. Crusta intermediară. În cazul acestui tip de scoarţă, stratul granitic este în mod

evident redus ca grosime, discontinuitatea Moho aflându-se la o profunzime medie

de ordinul a 20 km.

Pentru stratul granitic se acceptă densitatea , iar pentru calcule mai precise

.

3g/cm 2.7 =ρ

3g/cm 2.67

Mantaua, delimitată la o adâncime de circa 2900 km prin discontinuitatea Gutemberg-

Wiechert – dincolo de care s-a constatat că nu pot trece undele seismice transversale – este

alcătuită din mantaua superioară, zona de tranziţie şi mantaua inferioară (sau mezosfera).

La partea inferioară a crustei se evidenţiază litosfera, care are grosimea de aproximativ

125 km – determinată de cauze termice, şi care înglobează atât crusta cât şi o parte din mantaua

superioară (Fig. 2.5a).

Mantaua superioară este compusă din partea inferioară a litosferei şi astenosferă, care se

extinde din baza litosferei până la adâncimea de 400 km (Fig. 2.5b).

(a). (b).

Fig. 2.5 Raportul manta-crustă-litosferă.


10

Zona de tranziţie se extinde de la 400 km la 700 km (discontinuitatea Repetti), iar viteza

undelor seismice creşte progresiv de la 8.2 km/s până la 11 km/s la limita cu mantaua

inferioară.

După cum se ştie, litosfera este rigidă şi se compune din plăci de mari dimensiuni, care

cuprind pe lângă zonele continentale şi pe cele oceanice, şi care se formează în urma aportului

de material astenolitic din zonele de acreţie, prin răcire şi îngroşare progresivă. Astenosfera

furnizează pentru baza litosferei un flux de căldură, compensând fenomenul de răcire, exact în

momentul în care grosimea acesteia atinge circa 125 km.

Plăcile litosferice se deplasează orizontal. În mişcarea lor, ele se freacă, se ating sau se

ciocnesc cu forţe şi viteze variabile, dând naştere, în aceste locuri, la cutremure, vulcanism şi

chiar la spargerea plăcilor sau la cutări de munţi.

În timp ce în mezosferă materialul rămâne rigid, astenosfera corespunde unui material

vâscos, pe care plăcile litosferice alunecă, susceptibil de a se deforma uşor şi care este sediul

curenţilor de convecţie răspunzători de deplasarea litosferei în cadrul dinamicii plăcilor.

După unii autori, curenţii de convecţie nu ar fi singurii răspunzători de mişcarea plăcilor

litosferice. Acestora li se adaugă atât împingerea plăcilor în zonele de acreţie, cât şi afundarea

lor în zona foselor sub propria greutate, ca urmare a răcirii şi apariţiei unui dezechilibru

gravitaţional în raport cu astenosfera (Fig. 2.6).

Fig. 2.6 Structura părţii superioare a Pământului şi consecinţa fenomenelor din manta asupra dinamicii litosferei (după DIETZ 1972 – din GRASU 1997).

Nucleul reprezintă zona centrală a planetei, caracterizată printr-o densitate foarte mare,

şi este compus din nucleul extern şi nucleul intern (sau sâmburele / grăuntele). În timp ce

nucleul extern se află în stare lichidă şi este alcătuit dintr-un aliaj de fier şi nichel, nucleul intern

se găseşte în stare solidă şi este alcătuit din fier aproape pur.


11

2.2 GEOMORFOLOGIA TECTONO-STRUCTURALĂ

Geomorfologia tectono-structurală studiază formele de relief de ordinul II (munţi,

podişuri, câmpii), atât sub aspect structural cât şi morfologic (POSEA 1976).

Din punct de vedere structural se deosebesc, de obicei, două tipuri principale: zonele de

orogen (denumite şi geosinclinale) şi platformele precum şi unul de tranziţie: depresiunile

marginale (denumite şi avantfose).

Din punct de vedere morfologic, continentele sunt formate din: lanţuri de munţi,

podişuri, piemonturi şi câmpii.

Forma acestor unităţi, evoluţia şi repartiţia lor se află în strânsă legătură cu principalele

perioade de mişcări tectonice, care au afectat diferitele porţiuni ale crustei.

În continuare se va trata doar evoluţia tectonicii generale, ca bază de plecare şi

înţelegere a evoluţiei geomorfologice.

Tectonica globală

Tectonica plăcilor în derivă, numită şi tectonica globală, este o variantă nouă a teoriei

derivei continentelor emisă de A. Wegener în anul 1912. Ea reuneşte o serie de ipoteze, între

care cea a curenţilor subcrustali formulată de O. Ampferer (1906) şi cea a lui J. Joli (1924).

Prima ipoteză presupune existenţa unor curenţi în interiorul mantalei, care duc la deplasări ale

scoarţei, inclusiv la cutarea acesteia şi formarea de munţi – în timp ce a doua ipoteză admite

dezintegrări radioactive interioare ce provoacă acumulări de căldură cu urmări geotectonice.

Noua ipoteză integrează, în mod global, toate fenomenele geologice principale care au loc la

suprafaţa globului: formarea continentelor, oceanelor şi munţilor, vulcanismul, cutremurele şi

chiar localizarea petrolului sau a mineralelor.

În această nouă concepţie, crusta solidă a Pământului (continentele şi fundul oceanelor)

este compusă din plăci rigide – denumite plăci tectonice, care se mişcă în permanenţă unele în

raport cu altele, se reînnoiesc pe linia unor mari despicături prin lavă venită din interior, şi se

consumă, în părţile opuse, prin coborâre şi retopire în zona unor gropi abisale.

Pământul având forma unui Glob, aceste plăci au forma unor calote sferice a căror

deplasare ia aspect de rotire a uneia în raport cu alta. Ca urmare, fiecare placă are un pol de

rotaţie, denumit şi pol eulerian, iar punctele sale vor parcurge, în mişcare, distanţe diferite în

raport cu depărtarea faţă de acest pol (Fig. 2.7).


12

Fig. 2.7 Coordonatele cinematice ale plăcilor tectonice (după DEWEY 1976 – din GRASU 1997).

Între plăci vor apărea, astfel, tensiuni tectonice (compresiuni sau distensiuni) răspun-

zătoare de deformările crustei în zonele de contact dintre acestea (GRASU 1997).

Compresiunile – se realizează în cazul apropierii a două plăci, prin subducţia uneia din

ele finalizată cu coliziune. Crusta suferă o reducere dimensională (scurtare) care poate

determina: cutări, încălecări, subducţii sau îngroşări (Fig. 2.8).

Fig. 2.8 Răspunsurile crustei terestre supusă la compresiuni şi distensiuni pure (după ANDERSON 1971 – din GRASU 1997): 1 – cutare; 2 – încălecare; 3 – subducţie; 4 – îngroşare; 5 – riftogeneză; 6 – structuri de afundare; 7 – subţiere.

Distensiunile – se produc în cazul în care plăcile suferă o mişcare divergentă; contrar

situaţiei precedente, crusta suferă de data aceasta o întindere. În raport de mărimea distensiunii

se pot genera: depresiuni de afundare (grabene), rifturi cu neoformare de scoarţă sau subţieri

(Fig. 2.8).

În afara deformărilor introduse de mişcările de apropiere sau îndepărtare a plăcilor,

există mişcări verticale şi mişcări de alunecare laterală (culisare) pe direcţiile faliilor

transformante; toate acestea corespund unor deformări sub acţiunea unor compresiuni şi


13

distensiuni pure. Limitele dintre plăci nefiind de cele mai multe ori rectilinii, rezultă că nu vom

avea niciodată compresiuni şi distensiuni pure, ci diverse combinaţii (Fig. 2.9).

Fig. 2.9 Câteva tipuri de deformări ale crustei terestre supusă la tensiuni combinate (după MATTAUER 1980 – din GRASU 1997): 1 – compresiune şi culisare; 2 – compresiune oblică; 3 – distensiune şi culisare; 4 – disten-siune oblică.

Monitorizarea deplasărilor plăcilor tectonice reprezintă una din preocupările majore ale

geofizicienilor şi geodezilor. Aceştia au elaborat o serie de modele cinematice ale plăcilor

tectonice cu ajutorul cărora se pot determina vitezele de deplasare ale punctelor situate pe

suprafaţa fizică a Pământului datorită mişcărilor plăcilor tectonice. Acestea se bazează pe

anumite ipoteze, cum ar fi:

• se presupune că punctele situate pe suprafaţa fizică a Pământului aparţin unui număr

limitat de plăci, definite drept calote rigide pe suprafaţa unei sfere (ipoteza de

rigiditate semnifică faptul că nu există nici un fel de deformaţie în interiorul unei

plăci);

• se presupune că se poate descrie traiectoria oricărui punct al unei plăci printr-o

simplă rotaţie.

Modelele cinematice de natură geofizică au fost realizate pe baza înregistrărilor

continue a variaţiilor temporale ale nivelului mărilor, pe urmărirea comportamentului faliilor

transformante şi pe determinarea azimutelor de alunecare ale cutremurelor, în timp ce modelele

cinematice determinate prin metode geodezice sunt rezultatul procesării măsurătorilor efectuate

cu ajutorul tehnicilor de poziţionare moderne specifice geodeziei spaţiale: VLBI, SLR şi GPS.


14

Mişcările unei plăci tectonice pot fi descrise cu ajutorul vectorilor de rotaţie geocentrici

definiţi fie prin:

• coordonatele geografice ΛΦ, [°] ale polului de rotaţie şi viteza unghiulară

[° / Ma] a acestuia; Ω

• componentele vitezelor unghiulare de rotaţie în jurul axelor carteziene: şi

[rad / Ma], unde 1Ma

YX , ωω

Zω ani. 106=

Dintre modelele cinematice de natură geofizică cele mai semnificative amintim seria

NUVEL care a evoluat de-a lungul timpului astfel:

• NUVEL-1 (1990);

• NNR-NUVEL-1 (1991);

• NUVEL-1A (1994);

• NNR-NUVEL-1A (1994).

Elementele caracteristice acestor modele sunt prezentate în Tabelele 2.1, 2.2, 2.3 şi 2.4.

Tabelul 2.1 Elementele caracteristice ale modelului cinematic NUVEL-1 (1990) – Pacific Plate Fixed.

Nr. crt.

Denumirea plăcii

Φ [°]

Λ [°]

Ω [°/Ma]

ωX [rad/Ma]

ωY [rad/Ma]

ωZ [rad/Ma]

1 Placa Africii 59.16 286.83 0.96950 0.00251 -0.00831 0.01452

2 Placa Antarcticii 64.32 276.02 0.90930 0.00072 -0.00684 0.01431

3 Placa Arabiei 59.66 326.81 1.16160 0.00857 -0.00560 0.01749

4 Placa Australiei 60.08 1.74 1.12360 0.00977 0.00030 0.01700

5 Placa Caraibelor 54.20 279.20 0.85340 0.00140 -0.00860 0.01208

6 Placa Cocos 36.82 251.37 2.08900 -0.00932 -0.02766 0.02185

7 Placa Euroasiatică 61.07 274.18 0.89850 0.00056 -0.00757 0.01372

8 Placa Indiei 60.49 329.60 1.15390 0.00855 -0.00503 0.01752

9 Placa Nazca 55.58 269.90 1.42220 -0.00002 -0.01403 0.02047

10 Placa Americii de Nord 48.71 281.83 0.78290 0.00185 -0.00883 0.01026

11 Placa Pacificului 0.00 0.00 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

12 Placa Americii de Sud 55.00 274.25 0.66570 0.00049 -0.00665 0.00951

13 Placa Juan de Fuca 35.00 26.00 0.53000 0.00681 0.00332 0.00531

14 Placa Filipinelor 0.00 313.00 1.00000 0.01190 -0.01276 0.00000


15

Tabelul 2.2 Elementele caracteristice ale modelului cinematic NNR-NUVEL-1 (1991) – No Net Rotation.

Nr. crt.

Denumirea plăcii

Φ [°]

Λ [°]

Ω [°/Ma]

ωX [rad/Ma]

ωY [rad/Ma]

ωZ [rad/Ma]

1 Placa Africii 50.60 286.00 0.30000 0.00091 -0.00319 0.00405

2 Placa Antarcticii 63.00 244.10 0.25000 -0.00087 -0.00178 0.00389

3 Placa Arabiei 45.20 355.60 0.57000 0.00698 -0.00054 0.00705


5 Placa Caraibelor 25.00 266.90 0.22000 -0.00019 -0.00347 0.00162

6 Placa Cocos 24.50 244.20 1.58000 -0.01093 -0.02258 0.01143

7 Placa Euroasiatică 50.60 247.60 0.24000 -0.00101 -0.00246 0.00325

8 Placa Indiei 45.50 0.40 0.57000 0.00698 0.00005 0.00710

9 Placa Juan de Fuca -27.40 58.10 0.64000 0.00524 0.00841 -0.00513

10 Placa Nazca 47.80 259.80 0.78000 -0.00162 -0.00901 0.01009

11 Placa Americii de Nord -2.50 274.00 0.22000 0.00026 -0.00382 -0.00017

12 Placa Pacificului -63.00 107.40 0.67000 -0.00159 0.00506 -0.01042

13 Placa Filipinelor -39.00 323.30 0.95000 0.01033 -0.00770 -0.01044

14 Placa Americii de Sud -25.40 235.40 0.12000 -0.00108 -0.00155 -0.00091

Tabelul 2.3 Elementele caracteristice ale modelului cinematic NUVEL-1A (1994) – Pacific Plate Fixed.

Nr. crt.

Denumirea plăcii

Φ [°]

Λ [°]

Ω [°/Ma]

ωX [rad/Ma]

ωY [rad/Ma]

ωZ [rad/Ma]

1 Placa Africii 59.16 -73.17 0.92700 0.00240 -0.00794 0.01389

2 Placa Antarcticii 64.32 -83.98 0.86950 0.00069 -0.00654 0.01368

3 Placa Arabiei 59.66 -33.19 1.11070 0.00820 -0.00536 0.01673


5 Placa Caraibelor 54.20 -80.80 0.81600 0.00133 -0.00823 0.01155

6 Placa Cocos 36.82 251.37 1.99750 -0.00892 -0.02645 0.02090

7 Placa Euroasiatică 61.07 -85.82 0.85910 0.00053 -0.00724 0.01312

8 Placa Indiei 60.49 -30.40 1.10340 0.00818 -0.00480 0.01676

9 Placa Americii de Nord 48.71 -78.17 0.74860 0.00177 -0.00844 0.00982

10 Placa Nazca 55.58 -90.10 1.35990 -0.00002 -0.01342 0.01958

11 Placa Americii de Sud 55.00 -85.75 0.63650 0.00047 -0.00636 0.00910


16

Tabelul 2.4 Elementele caracteristice ale modelului cinematic NNR-NUVEL-1A (1991) – No Net Rotation.

Nr. crt.

Denumirea plăcii

Φ [°]

Λ [°]

Ω [°/Ma]

ωX [rad/Ma]

ωY [rad/Ma]

ωZ [rad/Ma]

1 Placa Africii 50.57 -73.98 0.29090 0.00089 -0.00310 0.00392


3 Placa Arabiei 45.23 -4.46 0.54550 0.00669 -0.00052 0.00676


5 Placa Caraibelor 25.01 266.99 0.21430 -0.00018 -0.00339 0.00158

6 Placa Cocos 24.49 244.24 1.51030 -0.01043 -0.02161 0.01093


8 Placa Indiei 45.51 0.35 0.54530 0.00667 0.00004 0.00679

9 Placa Americii de Nord -2.44 -85.90 0.20690 0.00026 -0.00360 -0.00015

10 Placa Nazca 47.80 259.87 0.74320 -0.00153 -0.00858 0.00961



13 Placa Juan de Fuca -30.05 58.87 0.66580 0.00520 0.00861 -0.00582

14 Placa Filipinelor -38.01 -35.36 0.89970 0.01009 -0.00716 -0.00967

15 Placa Rivera 20.43 253.13 1.97810 -0.00939 -0.03096 0.01205

16 Placa Scoţiei -25.27 261.23 0.17050 -0.00041 -0.00266 -0.00127

Cel mai cunoscut model cinematic determinat prin metode geodezice este APKiM.

Elementele caracteristice ale acestuia sunt prezentate în Tabelul 2.5.

Tabelul 2.5 Elementele caracteristice ale modelului cinematic APKiM.

Nr. crt.

Denumirea plăcii

Φ [°]

Λ [°]

Ω [°/Ma]

ωX [rad/Ma]

ωY [rad/Ma]

ωZ [rad/Ma]

1 Placa Africii 53.10 269.60 0.28300 -0.00007 -0.00297 0.00394


3 Placa Arabiei 55.50 359.50 0.50500 0.00413 -0.00075 0.00668


5 Placa Caraibelor 30.00 274.70 0.42600 0.00071 -0.00725 0.00381


7 Placa Asiei de Est 11.90 285.20 0.52200 0.00266 -0.00963 0.00126

8 Placa Indiei 43.50 43.20 0.70200 0.00598 0.00528 0.00844

9 Placa Nazca 28.70 255.30 0.73600 -0.00287 -0.01162 0.00575

10 Placa Americii de Nord -2.60 273.70 0.18700 0.00021 -0.00338 -0.00006




17

Cele 16 plăci care intervin în modelele cinematice prezentate anterior se pot observa în

Fig. 2.10. Liniile de separare dintre plăcile tectonice se numesc falii.

Fig. 2.10 Plăcile tectonice utilizate de modelele NUVEL.

Viteza de deplasare a unui punct care are coordonatele geografice B, L [°] sau

coordonatele carteziene X, Y, Z [exprimate în mii de km] situat pe o placă litosferică proiectată

pe elipsoidul de referinţă se poate calcula cu relaţiile:

)Lsin(cosdtdB

Λ−ΦΩ= ;

]costgB)Lcos([sindtdL

ΦΛ−−ΦΩ= ;

YZdtdX

ZY ω−ω= ;

ZXdtdY

XZ ω−ω= ;

XYdtdZ

YX ω−ω= , (2.2)

unde dtdL,

dtdB se obţin în [°/Ma], iar

dtdZşi,

dtdY,

dtdX în [mm/a].

Modificările pe care le provoacă formei geoidului precum şi poziţiei spaţiale a unor

porţiuni din suprafaţa fizică, constituie argumentele principale pentru care cercetarea

deplasărilor scoarţei terestre este inclusă, în ultimul timp, în categoria preocupărilor geodezice

din domeniul studierii figurii Pământului.


18

Teritoriul românesc şi tectonica plăcilor

Ipoteza tectonicii globale admite posibilitatea existenţei microplăcilor tectonice ca

diviziuni (fragmente) ale plăcilor descrise anterior. Existenţa microplăcilor poate explica unele

fenomene dinamice care afectează crusta terestră pe suprafeţe mai mici decât cele ale

principalelor plăci tectonice specificate în Fig. 2.10.

Efortul reunit al mai multor generaţii de geologi a făcut ca în momentul de faţă să se

dispună de suficiente date pentru reconstituirea evoluţiei geologico-structurale a teritoriului

României şi, mai ales, să se încerce încadrarea acesteia în conceptul tectonicii plăcilor.

Astfel, în anul 1977, prof. Airinei a emis ipoteza existenţei pe teritoriul României a

patru microplăci tectonice. La baza modelului său au stat anomaliile gravimetrice regionale de

maxim şi minim, de talie continentală sau subcontinentală. În lucrările sale sunt conturate: o

anomalie de talie continentală (A) şi trei anomalii subcontinentale (B, C, D).

Anomaliile de minim se interpun între cele de maxim şi se suprapun, în principal, pe

aria de orogen – în timp ce anomaliile de maxim corespund cu ariile rigide, cratonizate,

aparţinând unor plăci şi subplăci identificate astfel: segmentul sud-vestic al plăcii Est-Europene

(A), subplaca Intra-Alpină (B), subplaca Moesică (C) şi subplaca Mării Negre (D) – Fig. 2.11

(AIRINEI 1977).

Fig. 2.11 Segmentele de microplăci litosferice pe teritoriul României (după AIRINEI 1977).


19

Potrivit ipotezelor din lucrările prof. Airinei, raporturile geodinamice dintre aceste plăci

şi subplăci răspunzătoare în fapt de edificarea orogenului carpatic, sunt următoarele:

• placa Est-Europeană se află în raport de subducţie faţă de subplaca Intra-Alpină,

generând compresiunile care au dat naştere Carpaţilor Orientali;

• subplăcile Intra-Alpină şi Moesică se află în raport de subducţie – coliziune

răspunzătoare de ridicarea Meridionalilor şi a curburii acestora în zona de legătură

cu Balcanii;

• subplaca Mării Negre suferă o afundare în astenosferă în raport cu subplaca Intra-

Alpină;

• între placa Est-Europeană şi subplaca Mării Negre şi între aceasta din urmă şi

subplaca Moesică, ar exista după Airinei o alunecare (culisare) cu frecare, datorită

mişcării mai mari a subplăcii Mării Negre, împinsă, la rândul ei, de subplaca Asiei

Mici.

În concuzie, stările tensionale care conduc la deformări ale crustei terestre se localizează

în lungul zonelor de adiacenţă ale plăcilor.

Drept urmare, deplasările relative ale microplăcilor tectonice sunt însoţite de apariţia

unor forţe de frecare pe suprafeţele de contact, fenomen care conduce la acumulări uriaşe de

energie. În momentul în care echilibrul instabil dintre plăcile în mişcare relativă dispare, se

produce o deplasare prin salt a maselor, simultan cu declanşarea bruscă a energiei acumulate.

Această eliberare de energie produce unde seismice care se propagă cu amplitudini, viteze şi

trasee diferite prin toată masa Pământului producând vibraţii ale scoarţei terestre care dau

naştere cutremurelor de pământ. Pe măsura îndepărtării de epicentru, energia undelor seismice

scade până la dispariţie. Efectele vizibile ale fenomenului depind de foarte mulţi factori:

adâncimea epicentrului, natura straturilor străbătute de undele seismice, modul în care se

combină undele directe cu cele reflectate etc.

Un cutremur este precedat, însoţit şi urmat de variaţii ale tendinţei generale de deplasare

a plăcilor tectonice. Aceste variaţii de natură geometrică (modificarea poziţiilor relative) sau

fizică (modificarea câmpului gravific), pot fi evaluate folosind metode diferite printre care şi

metode geodezice.


20

2.3 UTILIZAREA ANOMALIILOR BOUGUER PENTRU

DETERMINAREA STRUCTURII PĂRŢII SUPERIOARE A

CRUSTEI TERESTRE

Geodezia fizică este direct interesată de studiul transformărilor care se produc în

interiorul crustei terestre, deoarece acestea conduc la modificări ale câmpului gravific, care la

rândul lor generează schimbări ale formei geoidului. Astfel, contribuţia sa la determinarea

structurii părţii superioare a crustei terestre este considerată de către specialiştii din domeniul

geo-ştiinţelor ca fiind întotdeauna oportună.

Pentru sublinierea aspectelor mai sus menţionate, în cele ce urmează se vor prezenta

două exemple în care interpretarea anomaliilor Bouguer a avut un rol esenţial pentru punerea în

evidenţă a structurilor geologice.

Exemplul 1

În anul 1985, fosta DMA, actuala NIMA a lansat satelitul altimetric Geosat.

Harta anomaliilor gravimetrice determinate din măsurătorile altimetrice efectuate de

către acest satelit timp de 18 luni, a permis specialiştilor americani să obţină informaţii

strategice fundamentale cu privire la topografia fundului oceanelor, deosebit de utile pentru

ghidarea submarinelor.

Acesta a constituit principalul motiv pentru care marina militară a Statelor Unite a

clasificat drept secrete măsurătorile provenite de la Geosat. Totuşi, în faţa presiunii exercitate

de comunitatea ştiinţifică internaţională, în anul 1992 acestea au fost parţial desecretizate fiind

puse la dispoziţia cercetătorilor din întreaga lume datele culese sub paralela de 30°S. Una dintre

hărţile realizate cu aceste date este cea din Fig. 2.12.

Relieful submarin este dominat de patru mari clase de structură:

• munţii şi vulcanii submarini;

• dorsalele oceanice – care brăzdează fundul oceanelor pe mai bine de 60.000 km, şi

care reprezintă zonele unde plăcile litosferice se creează prin cristalizarea magmei

bazaltice provenită din manta;

• zonele de subducţie – care reflectă dezechilibrul gravitaţional al scoarţei oceanice

în raport cu astenosfera;

• faliile transformante şi zonele de fractură.

Primele trei dintre acestea corespund cu frontierele principalelor plăci litosferice.


21

Fig. 2.12 Harta anomaliilor gravimetrice (în mgal) determinate din măsurători altimetrice efectuate de satelitul Geosat la sud de paralela de 30°S (după MORGAN şi SANDWELL 1994 – din CAZENAVE 1994).

Iată de pildă cum arată o porţiune din dorsala medio-atlantică şi din zona de subducţie a

insulelor Sandwich (situate în partea de sud-est a Americii de Sud), dedusă din interpretarea

anomaliilor Bouguer provenite tot din misiunea satelitului Geosat (Fig. 2.13).

Fig. 2.13 Porţiune din dorsala medio-atlantică şi din zona de subducţie a insulelor Sandwich (după SANDWELL şi SMITH 1992 – din CAZENAVE 1994).


22

În prezent, în centrul atenţiei specialiştilor din întreaga lume se află rezultatele provenite

de la satelitul franco-american TOPEX/Poseidon lansat în august 1992, care este dotat cu un

altimetru a cărui precizie este de 2.5 cm (de 5 ori mai mare decât cea a celui îmbarcat pe

Geosat).

Exemplul 2

Acest exemplu constituie practic o scurtă descriere a tezei de doctorat intitulată "Studiul

gravimetric al regiunii L’Adrar des Inforas (Nord-Est de Mali)" susţinută de L. Y. Saïdou în

anul 1979 la Universitatea de Ştiinţe şi Tehnică din Languedoc.

În zona de studiu, cuprinsă între 16°N – 22°N şi 1°W – 3°E, au fost executate 200

măsurători/grad pătrat (300 în zonele de detaliu) ţinând seama de orientarea structurilor

geologice. Măsurătorile au fost executate pe profile est-vest, distanţate la aproximativ 20 km,

pasul de măsurare pe un profil fiind de 3 km.

Interpretarea anomaliilor Bouguer din zona de studiu a permis identificarea structurilor

geologice prezentate în Fig. 2.14.

Explicarea legendei

1 – Roci dense de Gourma;

2 – Cratogen Vest African;

3 – Intruziune densă de cratogen;

4 – Intruziuni dense profunde asociate magne-

tismului tardi-panafrican;

5 – Structuri dense asociate unităţilor granuli-

tice;

6 – Mase bazice ale zonelor de sutură;

7 – Graben nigriţian;

8 – Anomalii liniare negative din zona de su-

tură (sedimente de margine mai mult sau mai

puţin metamorfizate);

9 – Anomalii locale negative asociate intru-

ziunilor granitice alcaline tardive;

10 – Anomalii liniare negative din ramura oc-

cidentală (granit tardi-tectonic);

11 – Anomalii liniare pozitive din ramura ori-

entală (granulite);

12 – "Accident" geologic;

13 – "Accident" magnetic;

14 – "Accident" gravimetric;

15 – "Accident" gravimetric şi magnetic;

16 – Contact de bază de întindere şi încăle-

care.


23

Fig. 2.14 Schema structurală interpretativă a regiunii L’Adrar des Inforas (după SAÏDOU 1979).


24

Capitolul 3

ANOMALIILE GRAVITĂŢII

Pentru diverse scopuri geodezice şi geofizice, este necesară compararea valorii gravităţii

măsurată într-un punct P situat pe suprafaţa fizică a Pământului – , cu gravitatea normală –

, care se referă la suprafaţa elipsoidului de referinţă (Fig. 3.1). Pentru aceasta se impune

reducerea mărimii la nivelul geoidului, situat în apropierea elipsoidului, fapt ce conduce la

introducerea noţiunii de anomalie gravimetrică.

Pg'0Pγ

Pg

Fig. 3.1 Anomalie gravimetrică.

În figura de mai sus H – reprezintă altitudinea ortometrică (segmentul de linie de forţă

cuprins între poziţia punctului pe suprafaţa terestră şi respectiv pe geoid), iar – altitudinea

elipsoidală (altitudinea punctului P deasupra elipsoidului de referinţă).

Por

PeH

Aşa cum am precizat anterior, măsurătorile gravimetrice se efectuează pe suprafaţa

fizică a Pământului, între această suprafaţă şi geoid existând mase de atracţie, numite mase

topografice, a căror densitate ρ este cunoscută doar aproximativ.

Pentru aducerea valorii gravităţii de pe suprafaţa fizică a Pământului pe geoid şi pentru a

evalua influenţa maselor topografice asupra acesteia, valorii măsurate – g trebuie să i se aplice

o serie de corecţii denumite reduceri gravimetrice. Aceste reduceri, care sunt de natură

geofizică, se determină prin acceptarea unor ipoteze simplificatoare, care corespund doar parţial

realităţii. În funcţie de modul în care este luată în calcul atracţia maselor topografice, se

deosebesc mai multe tipuri de reduceri gravimetrice.

P

Capitolul 3 – Anomaliile gravităţii 26

Anomalia gravităţii în punctul P – , este dată de relaţia: Pr∆g

, (3.1) '00 PP

rPr gg γ−=∆

unde indicele r indică reducerea geofizică care s-a aplicat la calculul gravităţii reduse g , iar

– gravitatea normală la nivelul elipsoidului. Recomandările AIG din anul 1980 includ

următoarea relaţie de calcul a gravităţii normale:

Pr

'0Pγ

++++= B2sin 126 000 0.000B8sin 271 023 0.000B041sin 279 0.005032.7(1 978 γ 642P'0

, (3.2) B)7sin 000 000 0.000 8+

care asigură o aproximaţie de 10-4 miligali.

În studiul de caz prezentat în detaliu în capitolul 6 se vor face exemplificări numerice

avându-se în vedere măsurătorile efectuate în PGGC. De aceea s-a considerat util ca în acest

capitol, pe lângă modalitatea teoretică de calcul a anomaliilor gravităţii şi a reducerilor aferente

acestora, să se prezinte şi particularizările cu privire la determinarea lor ţinându-se seama de

specificul constructiv al pilaştrilor din poligonul menţionat.

De asemenea, trebuie specificat că:

• determinarea anomaliilor gravităţii s-a făcut în conformitate cu instrucţiunile BGI

(FRANŢA, BGI 1996);

• punctele din reţeaua PGGC au altitudinile determinate în sistemul de altitudini

dinamice (GHIŢĂU 1983).

3.1 ANOMALIA FAYE

Anomalia gravimetrică cea mai utilizată în geodezia fizică este anomalia Faye (în aer

liber) – . Motivul utilizării frecvente a acestei anomalii în aplicaţiile geodezice se explică

prin efectul indirect mic prezentat de aceasta.

F∆g

Într-un punct P, situat pe suprafaţa fizică a Pământului, anomalia Faye se calculează cu

relaţia:

, (3.3) '00 PP

FPF gg γ−=∆

unde reprezintă gravitatea în punctul redusă în aer liber care se poate determina cu

relaţia (3.5) – în cazul general sau (3.9) – în cazul PGGC, iar – gravitatea normală

calculată în P , care se determină cu relaţia (3.2).

0PFg 0P

'0Pγ

'0


Dependenţa pronunţată faţă de relief a anomaliei Faye creează variaţii mari chiar pe

zone mici, conducând la dificultăţi de reprezentare şi interpolare a acestora.

Reducerea Faye (reducerea în aer liber)

Prin aplicarea acestei reduceri se urmăreşte eliminarea efectului introdus de diferenţa de

nivel existentă între poziţia reală a punctului de observaţie şi proiecţia lui pe suprafaţa

geoidului.

Principiile care stau la baza reducerii Faye sunt următoarele:

• geoidul este aproximat, ca suprafaţă, cu elipsoidul de referinţă sau cu o sferă de rază

medie km (pentru latitudinea B = 45°); 378 6R m ≈

• masa Pământului este concentrată în interiorul geoidului, ca şi cum între punctele P

şi P ar fi "aer liber" (Fig. 3.2). '00 P≈

Fig. 3.2 Reducerea Faye.

În aceste condiţii, reducerea Faye – în punctul P se poate calcula folosind

gradientul normal al gravităţii –

PF∆F

eH∂γ∂ dat de relaţia (3.19), astfel:

PPP

e

PF H3086.0H

HF −≈

∂

γ∂=∆ . (3.4)

Dacă altitudinea folosită este cunoscută din determinările geodezice, adică se referă

la geoid şi este exprimată în metri, termenul corectiv rezultă în miligali. Gravitatea redusă în aer

liber (în reducerea Faye) se calculează în mod curent cu relaţia:

PH

. (3.5) PPPF

PPF H3086.0gFgg 0 +≈∆−=

În cazul PGGC, la determinarea reducerii Faye s-a avut în vedere că, prin construcţie,

pilaştrii geodezici au prevăzute în structura lor diferite puncte necesare efectuării diferitelor

tipuri de măsurători (Fig. 3.3), după cum urmează:


• sistem de centrare forţată pentru poziţionarea instrumentelor şi dispozitivelor de

măsurători unghiulare (direcţii orizontale şi / sau verticale, determinări astronomice)

şi liniare (distanţe);

• reper de nivelment geometric (RN), dispus excentric faţă de reperul de centrare

forţată;

• centură metalică pentru susţinerea platformei pe care staţionează gravimetrul.

De aceea, pentru calculul reducerii în aer liber, pe lângă gradientul normal al gravităţii –

eH∂γ∂ trebuie să se cunoască şi gradientul gravităţii deasupra solului – pHg ∂∂ , pentru

fiecare punct în care s-au efectuat măsurători.

Fig. 3.3 Schiţele pilaştrilor geodezici din Poligonul Geodinamic Gruiu – Căldăruşani.

În acest context, reducerea Faye se calculează la nivelul platformei gravimetrice

folosind relaţia:

),HH(HgH

HF P

tPp

P

p

Pt

P

e

PF −

∂∂

+

∂

γ∂=∆ (3.6)

în care:

; (3.7) Pt

Pd

Pt HHH δ−=

, (3.8) Pp

Pd

Pp HHH δ−=

în timp ce valoarea gravităţii reduse în aer liber se poate determina astfel:

)HH(HgH

HgFgg P

tPp

P

p

Pt

P

e

PPF

PPF

0 −

∂∂

+

∂

γ∂+=∆+= . (3.9)

În relaţiile de mai sus reprezintă altitudinea la nivelul terenului, – altitudinea

platformei pe care s-a staţionat cu gravimetrul, iar – altitudinea dinamică în punctul P

determinată la nivelul reperului de nivelment.

ptH P

pH

PdH


A. Gradientul normal al gravităţii

Dacă într-un punct situat la altitudinea deasupra elipsoidului de referinţă se aplică

formula Bruns (GHIŢĂU 1983):

eH

2

e

2gJ2G4Hg

ω−−ρπ=∂∂ (3.10)

sub condiţia ρ = 0, se obţine o primă expresie pentru gradientul vertical al gravităţii normale:

20

e

2gJ2H

ω−−=∂

γ∂ , (3.11)

unde reprezintă viteza unghiulară de rotaţie a Pământului ( ), iar

G – constanta gravitaţională geocentrică ( G ) (GROTEN 2000).

ω -111 s rad 10*115 292 7=ω12kgs −−3-14 m 10*672.59 6=

Curbura medie a elipsoidului de rotaţie – J exprimată în funcţie de razele de curbură

principale ( şi ) are expresia:

0

MR1 = NR 2 =

+=

N1

M1

21J0 , (3.12)

unde M este raza de curbură a elipsei meridiane, iar N – raza de curbură a primului vertical

(marea normală).

Pentru calculul valorii gradientului gravităţii normale în limita neglijării termenilor de

ordinul II şi superiori pentru turtirea f, se folosesc următoarele formule:

++≈+= KBcos'e

231

ac)Bcos'e1(

ac

M1 22

22322

2 ; (3.13)

++≈+= KBcos'e

211

ac)Bcos'e1(

ac

N1 22

22122

2 . (3.14)

Aşa cum se cunoaşte, în formulele de mai sus a, b – reprezintă semiaxa mare, respectiv

semiaxa mică a elipsoidului de rotaţie, – este raza de curbură polară, iar

– reprezintă cea de a doua excentricitate numerică.

b/ac 2=2222 b/)ba('e −=

Însumând relaţiile (3.13) şi (3.14), rezultă:

)Bcosf21(a

c2)Bcos'e1(a

c2N1

M1 2

222

2 K++≈+=+ , (3.15)

unde este turtirea geometrică. 2/'ea/)ba(f 2≈−=

În acest mod, expresia (3.12) devine:

)Bsinf2f21(a

f1J 20 −+

−= . (3.16)


Considerând cunoscute relaţiile dintre ω – viteza unghiulară medie de rotaţie a Pămân-

tului, e , γγ – gravitatea normală, respectiv gravitatea normală la ecuator şi turtirea geometrică f:

)Bsinf1( 2e

2 −γ≈γ;a

m eγ=ω , rezultă:

)Bsinf1(am 22 +γ≈ω . (3.17)

Cu aceasta, expresia gradientului vertical al gravităţii normale – eHγ ∂∂ va fi:

)Bsinf1(am2)Bsinf2f21(

af12

H22

e

+γ−−+−

γ−=∂

γ∂ , (3.18)

sau în limita aproximaţiei menţionate:

)Bsinf2mf1(a

2H

2

e

−++γ

−=∂

γ∂ . (3.19)

În cazul elipsoidului Krasovski, pentru B = 45°, modul de calcul al acestuia este

prezentat în tabelul de mai jos:

Tabelul 3.1 Calculul gradientului normal al gravităţii pentru elipsoidul Krasovski (B = 45°).

a [m] 6 378 180.000

γ [mgal] 980 619.942 5

f 0.003 352 811

m 0.003 449 786

eH∂

γ∂≈ -0.3 086 mgal/m

B. Gradientul vertical al gravităţii deasupra solului

Pentru reducerea observaţiilor gravimetrice efectuate pe o platformă gravimetrică la

nivelul terenului, este necesară cunoaşterea gradientului vertical al gravităţii – ( )

deasupra solului pentru fiecare punct în care s-au efectuat măsurători.

pHg/∂∂pHg

iP

În cazul în care zona studiată se caracterizează prin variaţii mici ale gravităţii, se poate

accepta o dezvoltare în serie, limitată la termeni de ordinul I, a diferenţei de gravitate dintre

– punctul pentru care se calculează valoarea gradientului vertical al gravităţii deasupra

solului şi – celelalte puncte ale reţelei gravimetrice, astfel:

iP

jP

, (3.20) ijPpiHijiyijixijij )H()g(y)g(x)g(vg

p++=+

unde:

. (3.21) Pp

Pd

Ppi

Ppj

Ppij

Ppijijijijijij HHH ; )H()H()H( ; yyy ; xxx ; ggg δ+=−=−=−=−=


Variaţia gravităţii în plan orizontal (xy) este mult mai mică decât cea produsă pe

verticală. Din acest motiv, componentele orizontale ale gradientului gravităţii: x/gg x ∂∂=

p

şi

se vor exprima în mgal*kmy/gg y ∂∂= -1, iar componenta verticală, în mgal*mH H/ggp

∂∂= -1.

Modelul funcţional cuprinde 3 necunoscute, acestea fiind componentele gradientului

gravităţii: x/gg x ∂∂= , şi y/gg y ∂∂= pH H/ggp

∂∂= . Forma generală a ecuaţiei corecţiilor

rezultă din relaţia (3.20):

. (3.22) ijijPpiHijiyijixij g)H()g(y)g(x)g(v

p−++=

În ecuaţia de mai sus, în timp ce variabila i ia o singură valoare, j ia pe rând toate

celelalte valori, în acest mod formându-se i sisteme cu i – 1 ecuaţii şi 3 necunoscute, a căror

rezolvare conduce la determinarea gradientului vertical al gravităţii deasupra solului pentru

toate punctele reţelei gravimetrice.

Modelul stochastic. Mărimile introduse în această prelucrare sunt obţinute dintr-o

prelucrare anterioară (compensarea reţelei gravimetrice), fiind deci mărimi corelate. Matricea

de corelaţie respectivă este obţinută în cadrul acelui proces de prelucrare. Pentru a simplifica

procesul de calcul au fost neglijaţi coeficienţii de corelaţie ( ji ,0rij ≠∀= ), utilizându-se astfel

pentru ponderi o matrice diagonală ale cărei elemente de pe diagonala principală s-au calculat

cu regula lui Tienstra. Conform acestei reguli, pentru diferenţa de gravitate dintre punctele şi

se atribuie ponderea dată de relaţia:

iP

jP ijp

ijg

20ij qscp = , (3.23)

în care reprezintă varianţa unităţii de pondere rezultată în urma compensării reţelei

gravimetrice, iar – coeficienţii de pondere ai diferenţelor de gravitate calculaţi cu relaţia:

20s

ijgq

ijjiijg q2qqqij

−+= . (3.24)

Coeficienţii de pondere din partea dreaptă a relaţiei de mai sus se extrag din matricea

cofactorilor determinată în cadrul prelucrării menţionate anterior.

Metoda de calcul descrisă a fost preluată din (GHIŢĂU 1996) şi implementată într-un

program de calcul propriu elaborat în mediul de programare Delphi 6.0 – mod consolă.


3.2 ANOMALIILE BOUGUER

3.2.1 Anomalia Bouguer incompletă

Într-un punct P, situat pe suprafaţa fizică a Pământului, anomalia Bouguer incompletă –

se calculează cu relaţia: PBI∆g

, (3.25) '00 PP

BIPBI gg γ−=∆

unde reprezintă gravitatea în punctul căreia i s-a aplicat reducerea de strat intermediar

(reducerea Bouguer incompletă sau reducerea Bouguer de placă) şi care se poate determina cu

relaţia (3.36), iar – gravitatea normală calculată în , care se determină cu relaţia (3.2).

0PBIg 0P

'0Pγ '

0P

Reducerea de strat intermediar (reducerea Bouguer incompletă sau

reducerea Bouguer de placă)

Prin aplicarea acestei reduceri se urmăreşte eliminarea influenţei de atracţie exercitată

de stratul intermediar (placa Bouguer) de grosime , delimitat(ă) de două plane paralele care

trec prin punctele P şi (Fig.3.3). Se presupune, prin urmare, că terenul din jurul staţiei P

este complet plan.

PH'00 PP ≈

Fig. 3.4 Reducerea de strat intermediar.

Masele situate între suprafaţa fizică a Pământului şi geoid, comprimate în cadrul

reducerii Faye în interiorul geoidului, sunt readuse în apropierea poziţiei iniţiale, considerându-

se că formează stratul intermediar menţionat. Rezultă că, semnul reducerii de strat intermediar

va fi negativ.

Întinderea stratului intermediar poate fi, în principiu, foarte mare, în acest caz putându-

se imagina şi o compensaţie între masele situate deasupra planului care trece prin punctul P şi


cele aflate sub acest plan. Extinderea la infinit a stratului intermediar, deşi exagerată, este

motivată prin faptul că efectul maselor dispuse pe orizontală asupra gravităţii într-un punct

scade foarte repede cu distanţa. S-a constatat că, efectul maselor situate la distanţe de peste zece

ori grosimea stratului intermediar (10 ), reprezintă aproximativ 10% din efectul total. De

aceea, în mod obişnuit, întinderea stratului este o mărime finită, stabilită în funcţie de

altitudinea a punctului de staţie. (CONSTANTINESCU 1964).

PH

PH

În aceste condiţii, stratul intermediar poate fi înlocuit cu un cilindru vertical, cu

dimensiunile indicate în Fig. 3.5, al cărui potenţial de atracţie va fi:

dvl

Gl

dmGVc ∫∫∫ ∫∫∫ρ

== , (3.26)

unde: 22 zsl += , (3.27)

iar: . (3.28) dzdydxdv =

Semnificaţia fizică a mărimilor care intervin în relaţia (3.26) este următoarea:

ρ – densitatea medie locală a crustei terestre;

G – constanta gravitaţională geocentrică, a cărei valoare este prezentată în 3.1.A.

Fig. 3.5 Atracţia maselor topografice asupra punctului P situat pe suprafaţa fizică a Pământului.

Dacă se introduc coordonatele polare s, α în planul xy: α= cossx , , atunci se

poate scrie:

α= sinsy

α=ααα−α

=α= ddsscosssinsinscos

ddsJdydx , (3.29)

unde J – reprezintă jacobianul transformării.

Folosind relaţia anterioară, relaţia (3.28) devine:

dzddssdzdydxdv α== , (3.30)

iar:


dz)zza(G2zs

sdsdzG2zs

sdsdzdGVPP P H

0

222

0

H

0

a

0

H

0

a

02222c ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −+ρπ=

+ρπ=

+αρ=

π

. (3.31)

Considerând că distanţa z este măsurată în sensul crescător al diferenţelor de nivel, forţa

de atracţie a întregului cilindru (reducerea de strat intermediar – în punctul P) se poate

determina astfel:

Pp∆F

=+−+ρπ=+−ρπ=−=∆ ])H(aaH[G2])zaz([G2dzdVF 2P2P

H

0

22Pp

P

])aH(11[aH G2 2PP +−+ρπ= . (3.32)

Dacă se aplică o dezvoltare în serie şi se opresc doar termenii de ordinul I, rezultă:

)a2H1(HG2F PPPP −ρπ≈∆ . (3.33)

În cazul în care , ultimul termen din paranteză se poate neglija. Astfel, corecţia

datorată influenţelor maselor topografice devine:

PH 10a >

. (3.34) PPP HG2F ρπ≈∆

Densitatea medie locală a stratului intermediar ρ poate fi determinată direct sau poate fi

interpolată de pe hărţile geologice ale zonei în care s-au efectuat observaţiile gravimetrice. Dacă

se ia în consideraţie pentru aceasta valoarea medie ρ = 2.67 g/cm3, se obţine:

. (3.35) PPP H1119.0F ≈∆

În aceste condiţii, gravitatea în punctul căreia i s-a aplicat reducerea de strat

intermediar se calculează cu relaţia:

0P

. (3.36) PPPP

PPBI H1119.0gFgg 0 −≈∆−=

În mod riguros, în cazul PGGC relaţia de mai sus trebuie scrisă astfel:

. (3.37) Pt

PPP

PPBI H1119.0gFgg 0 −≈∆−=

3.2.2 Anomalia Bouguer completă

Într-un punct P, situat pe suprafaţa fizică a Pământului, anomalia Bouguer completă –

se calculează cu relaţia: PBC∆g

, (3.38) '00 PP

BCPBC gg γ−=∆

unde reprezintă gravitatea în punctul P căreia i s-a aplicat reducerea Bouguer completă

(reducerea topografică sau reducerea de elevaţie) şi care se poate determina cu relaţia (3.40) –

0PBCg 0


în cazul general sau (3.42) – în cazul PGGC, iar γP – gravitatea normală calculată în , care se

determină cu relaţia (3.2).

'0P

Reducerea Bouguer completă (reducerea topografică sau reducerea

de elevaţie)

Reducerea Bouguer completă, care mai poartă şi denumirea de reducere topografică sau

reducere de elevaţie, reprezintă o grupare a celor două reduceri anterioare şi anume reducerea în

aer liber determinată cu relaţia (3.4) – în cazul general sau (3.6) – în cazul PGGC şi reducerea

de strat intermediar determinată cu relaţia (3.36) – în cazul general respectiv (3.37) – în cazul

PGGC.

În cazul general, reducerea Bouguer completă – în punctul P se calculează astfel: PBC∆F

. (3.39) PPPP

PF

PBC H1967.0H)1119.03086.0(FFF ≈−≈∆−∆=∆

Gravitatea redusă în acest mod va fi:

. (3.40) PPPP

PF

PPBC

PPBC H1967.0gFFgFgg 0 +≈∆−∆+=∆+=

În cazul PGGC, vom avea:

Pt

Pt

Pp

P

p

Pt

P

e

PP

PF

PBC H1119.0)HH(

HgH

HFFF −−

∂∂

+

∂

γ∂≈∆−∆=∆ . (3.41)

Gravitatea Bouguer completă în acest caz va fi:

=∆−∆+=∆+= PP

PF

PPBC

PPBC FFgFgg 0

Pt

Pt

Pp

P

p

Pt

P

e

P H1119.0)HH(HgH

Hg −−

∂∂

+

∂

γ∂+= . (3.42)

3.2.3 Anomalia Bouguer perfecţionată (simplă)

Într-un punct P, situat pe suprafaţa fizică a Pământului, anomalia Bouguer perfecţionată

(simplă) – ( ) se calculează cu relaţia: PBP∆g

, (3.43) '00 PP

BPPBP gg γ−=∆

unde reprezintă gravitatea în punctul P căreia i s-a aplicat reducerea Bouguer completă

coroborată cu corecţia de relief şi care se poate determina cu relaţia (3.51), iar – gravitatea

normală calculată în , care se determină cu relaţia (3.2).

0PBPg

'0Pγ

'0P


Această anomalie prezintă un efect indirect mare, de aceea nu este recomandată pentru

scopuri geodezice, în schimb are variaţii mici şi uniforme pe zone întinse, pretându-se astfel

foarte bine pentru interpolare.

Corecţia de relief

Scopul acestei corecţii este de a elimina principala aproximaţie introdusă în calculul

reducerii de strat intermediar, unde s-a considerat că terenul din jurul punctului de staţie P este

plan. În realitate, suprafaţa fizică a Pământului prezintă excedente şi deficite de mase în raport

cu stratul intermediar (Fig. 3.6), care exercită o influenţă de atracţie cuprinsă în valoarea

gravităţii măsurată în punctul de staţie P.

Fig. 3.6 Corecţia de relief.

Semnul corecţiei de relief va fi întotdeauna pozitiv deoarece:

• în cazul unui deficit de masă, înseamnă că la reducerea de strat intermediar s-a

scăzut în mod nejustificat o anumită cantitate, ce urmează să fie compensată prin

aplicarea corecţiei de relief;

• în cazul unui excedent de mase, valoarea gravităţii măsurate în punctul de staţie P a

fost micşorată cu o cantitate egală cu proiecţia forţei fr

de atracţie exercitată de

excedentul de mase (Fig. 3.7) pe direcţia gravităţii. Prin urmare, pentru a se înlătura

efectul de atracţie al excedentului de mase va trebui să se aplice corecţia de relief

tot cu semn pozitiv.

Fig. 3.7 Justificarea semnului corecţiei de relief.


Abia după aplicarea acestei corecţii, suprafaţa exterioară a stratului intermediar poate fi

considerată aproximativ plană.

Într-un punct P de altitudine , corecţia de relief – c se calculează cu relaţia: PH Pr

Q3PQ

2PQPr d

s]HH[G

21c

Q

σ−

ρ= ∫∫σ

, (3.44)

în care G – reprezintă constanta gravitaţională geocentrică, ρ – densitatea medie a maselor

topografice, – zona din jurul punctului P în care se calculează influenţa corecţiei de relief,

iar s – distanţa dintre punctul P şi punctul Q, corespunzător elementului de suprafaţă d

Qσ

Qσ .

În (MORITZ 1989) se recomandă ca pentru calculul distanţei s să se utilizeze relaţia:

)2/sin(R2s PQPQ ψ= , (3.45)

unde este distanţa sferică între P şi Q – în timp ce (SIDERIS 1995) recomandă folosirea

distanţei plane dintre cele două puncte:

PQψ

2PQ

2PQPQ )yy()xx(s −+−= , (3.46)

unde respectiv ( reprezintă coordonatele carteziene plane ale punctelor P şi Q. )y,x( PP )y,x QQ

Distanţa s până la care se recomandă evaluarea influenţei corecţiei de relief este funcţie

de altitudinea medie a punctelor din reţeaua gravimetrică (Fig. 3.10). Din aceeaşi figură se

observă că influenţa corecţiei de relief asupra punctului de staţie este cu atât mai mare cu cât

distanţa s este mai mică.

Este evident că efectuarea calculelor din relaţia (3.44) nu este posibilă fără existenţa

unui model numeric al terenului de o bună calitate.

În cazul punctelor reţelei gravimetrice din PGGC, din lipsa unui model numeric al

terenului, corecţiile de relief nu au putut fi calculate folosind relaţia (3.44).

Din acest motiv s-a apelat la o altă modalitate de calcul a corecţiei de relief care constă

în geometrizarea terenului în jurul punctului de staţie, acesta reprezentându-se sub forma unor

sectoare de inel cilindrice (Fig. 3.8).

Pentru fiecare sector S se determină o diferenţă de nivel medie – , între cota medie

a sectorului – H şi cota punctului P –

medPSH∆

medS

PH :

, i = 1, ..., ns (3.47) Pi

medSi

medPS H)H()H( −=∆

unde ns reprezintă numărul de sectoare.

Deoarece semnul corecţiei de relief este întotdeauna pozitiv, semnul diferenţei de nivel

medii – nu are nici o importanţă. medPSH∆


Fig. 3.8 Geometrizarea terenului în jurul punctului P pentru calculul corecţiei de relief.

Pentru a calcula această influenţă se consideră prisma curbilinie αβγδ, determinată de

razele , şi planele de azimute A şi (Fig. 3.9), în interiorul căreia se ia un element de

masă dm. Acesta este determinat polar prin unghiul A şi distanţa s şi are înălţimea dh, astfel

încât, asemănător relaţiei (3.30), se poate scrie:

iR jR 1 2A

, (3.48) dhsdAdsdvdm ρ=ρ=

unde ρ reprezintă densitatea rocii în elementul de masă dm.

Fig. 3.9 Atracţia prismei curbilinii αβγδ asupra punctului de staţie P situat pe suprafaţa fizică a Pământului.

Fig. 3.10 Atracţia unei calote sferice calculate prin cumul din tabelele lui Cassinis pentru ρ = 1 (după FAVRE 1958).


Atracţia prismei considerate, care se presupune că are altitudinea medie , va fi: medSH

medPS

i

jG

G12med

PS

H

H

R

R

A

Ai Hk

RR

lnAHGdhdAsdsGFF

medS

P

j

i

2

1

∆=ρ

∆∆ρ=ρ== ∫∫ ∫αβγδ , (3.49)

unde k este o mărime constantă, care depinde – aşa cum se observă din relaţia de mai sus – de

valorile azimutelor şi ale razelor, iar ∆A reprezintă diferenţa dintre azimutele utilizate în

calcule.

În aceste condiţii, corecţia de relief în punctul P – care este egală cu forţa de atracţie

exercitată de deficitul şi excedentul de mase, în raport cu generalizarea din Fig. 3.5 – se poate

determina cu relaţia:

. (3.50) ∑=

=ns

1ii

Pr Fc

În aceste condiţii, gravitatea perfecţionată în punctul se calculează cu relaţia: 0P

. (3.51) Pr

PP

PF

PPr

PBC

PPBP cFFgcFgg 0 +∆−∆+=+∆+=

Pentru calculul corecţiilor de relief s-a utilizat o paletă circulară cu razele de 50, 100,

200 şi 400 m şi cu ∆A = 25G. Cu aceste valori, constanta k ce intervine în relaţia (3.49) va fi:

Tabelul 3.2 Calculul constantei k pentru o paletă circulară cu razele de 50, 100, 200 şi 400 m şi cu ∆A = 25G.

G

Gij

G

Gij )A(AA

ρρ

∆ −= 6990.392

63.6619825

=

)RRln(ij

1470.693ln2 =

ρ [gcm-3] 2.67

G [cm3s-2g-1] 6.673*10-8

k ≈ 4.849 730*10-8 s-2

În aceste condiţii, dacă ∆ se exprimă în metri, c se obţine în microgali. medPSH P

r

Capitolul 4

METODE DE INTERPOLARE FOLOSITE ÎN GEODEZIA FIZICĂ

4.1 INTERPOLAREA ÎN CONTEXTUL GEODEZIEI FIZICE

Aproximarea unei funcţii

Problema aproximării unidimensionale a unei funcţii de o variabilă se poate formula în

diverse moduri. Dintre acestea, cele mai frecvente sunt următoarele:

a. funcţia este cunoscută, dar are o formă complicată, dificil de manipulat în calcule;

b. funcţia este incomplet cunoscută (se cunosc doar valorile sale pentru o mulţime

discretă şi finită de puncte).

În primul caz, aproximarea se poate face în principiu mai exact, numărul de restricţii

fiind dependente de complexitatea funcţiei.

În al doilea caz, informaţiile sunt mai reduse şi trebuie completate cu ipoteze

suplimentare, referitoare de exemplu, la gradul de regularitate al funcţiei (continuitatea sa şi a

derivatelor sale).

Pentru aproximarea unei funcţii , definită prin valorile R→]b,a[:f ii y)x(f = în

punctele unei diviziuni ]bi(,x]b,a[D i ,a[)n,,0 ⊂==

)x(f)x(F ii =

K

A]b,a[D ⊂

, se foloseşte o funcţie

care satisface condiţiile pe (Fig. 4.1). Punctele diviziunii se mai

numesc şi noduri.

R→A:F

Fig. 4.1 Aproximarea unidimesională a unei funcţii de o variabilă.

Capitolul 4 – Metode de interpolare folosite în geodezia fizică 42

În general, când se urmăreşte obţinerea unei formule de aproximare valabilă pentru o

clasă largă de funcţii, eroarea ce rezultă din aproximarea funcţiei f prin funcţia F este diferită de

zero.

Funcţia F trebuie să aibă o formă simplă, adică să fie uşor de evaluat, de diferenţiat şi de

integrat. În multe aplicaţii, această funcţie se alege sub forma unui polinom algebric. Există însă

şi posibilitatea utilizării polinoamelor generalizate de forma:

, (4.1) ∑=

ϕ=n

1iiin )x(c)x(F

unde ϕ reprezintă funcţii liniar independente (coeficienţii )x(i n10 ccc === K din ecuaţia:

(4.2) ∑=

=ϕn

1iii 0)x(c

pot fi unic determinaţi pentru orice valoare a lui n).

Cele mai utilizate funcţii liniar independente folosite pentru aproximare sunt

polinoamele Legendre, Laguere, Cebâşev, Newton, Taylor, polinoamele ortogonale Hermite,

polinoamele trigonometrice (seriile Fourier) şi polinoamele spline cubice.

În cazurile enunţate mai sus, alegerea unui criteriu de aproximare este foarte

importantă. Dintre acestea, cele mai utilizate sunt:

a. Interpolarea. În acest caz, condiţia principală este ca funcţia F(x) să capete în

noduri aceleaşi valori ca funcţia f(x):

. (4.3) ii y)x(F =

Acest criteriu presupune că poziţiile nodurilor ( sunt cunoscute fără eroare. )y,x ii

b. Minimizarea sumei pătratelor în noduri. În acest caz se impune ca suma

pătratelor diferenţelor dintre cele două funcţii, pentru nodurile avute în vedere, să fie minimă:

minim. (4.4) ∑=

→−n

1i

2iii )]x(Fy[

Aşa cum este cunoscut, metoda menţionată poartă denumirea de metoda celor mai mici

pătrate sau metoda pătratelor minime.

Problema aproximării multidimensionale a unei funcţii de mai multe variabile se poate

formula de o manieră asemănătoare.

Trebuie subliniat că, metodele de aproximare au cunoscut un salt calitativ semnificativ

odată cu definirea şi implementarea noţiunii de model numeric al unui obiect, implementare la

care o contribuţie însemnată a fost adusă de perfecţionarea aparatului matematic în general şi al

analizei numerice în special.


Scopul interpolării şi definirea conceptului de interpolare

Cele mai importante probleme ale geodeziei fizice se rezolvă cu ajutorul calculului

integral în care domeniul de definiţie este extins la întreaga suprafaţă a Pământului, în fapt,

necunoscută.

Strict riguros, rezolvarea acestor integrale ar implica cunoaşterea valorilor gravităţii g în

fiecare punct P de pe suprafaţa fizică a Pământului, ceea ce practic este imposibil. Chiar şi în

cele mai dense reţele gravimetrice gravitatea g se măsoară doar într-un număr limitat de puncte

(i = 1,..., n). iP

Suplimentarea acestor valori se poate realiza pentru un număr oarecare de puncte cu

ajutorul unui procedeu de calcul estimativ care poartă denumirea de predicţie (prin care se

înţelege aplicarea concomitentă sau separată a operaţiunilor de interpolare şi extrapolare). În

cazul în care punctul P pentru care se realizează predicţia se află în interiorul reţelei

gravimetrice, acest procedeu se numeşte interpolare, iar atunci când punctul se află în

exteriorul reţelei gravimetrice, procedeul poartă denumirea de extrapolare.

kP

k

Mărimile gravimetrice folosite pentru interpolare

Anomaliile gravimetrice cele mai utilizate în geodezia fizică sunt anomaliile Faye

deoarece au efect indirect mic – însă dependenţa lor pronunţată în raport de relief creează

variaţii mari chiar pe zone mici, conducând la dificultăţi de reprezentare şi interpolare a

acestora.

De aceea, pentru interpolare se apelează la anomaliile Bouguer perfecţionate (simple),

care au efect indirect mare, astfel că nu sunt recomandate pentru scopuri geodezice, în schimb

au variaţii mici şi uniforme pe zone întinse, pretându-se foarte bine pentru interpolare.

În consecinţă, pentru obţinerea anomaliei Faye într-unul din punctele , de care am

vorbit în prealabil, se procedează astfel:

kP

• se calculează anomalia Bouguer perfecţionată în toate punctele ale reţelei

gravimetrice – folosind relaţia (3.43);

iP

iPBPg∆

• pentru punctul de interpolat se determină valorile:

− anomaliei Bouguer perfecţionate – ∆ prin interpolare, folosind una din

metodele prezentate în cadrul acestui capitol;

kPBPg

− reducerii de strat intermediar – ; kPHG2 ρπ

− corecţiei de relief , folosind una din relaţiile (3.44) sau (3.50); KPrc


• se procedează la calculul anomaliei Faye cu relaţia:

. (4.5) kkkk Pr

PPBP

PF cHG2gg −ρπ+∆=∆

Observaţii

a. Nu este recomandabil ca interpolarea să se efectueze asupra anomaliilor Bouguer

perfecţionate propriu-zise (GHIŢĂU 1989), ci asupra valorilor reduse (centrate) ale acestora

(din valorile individuale se scade valoarea medie kPBPg∆ BPg∆ a acestora). Aceste valori vor fi

numite anomalii Bouguer perfecţionate reduse şi vor fi notate ; kPrg∆

b. Analog se procedează şi cu coordonatele planimetrice , care se reduc în

raport de centrul de greutate al punctelor folosite în procesul de interpolare, notate

kk PP y,x

kk Pr

Pr y,x ;

c. După obţinerea valorilor interpolate se adaugă valoarea mediekPrg∆ BPg∆ , rezultând

anomaliile Bouguer perfecţionate interpolate în punctele respective:

BPPr

PBP ggg kk ∆+∆=∆ . (4.6)

Pentru simplificarea scrierii, pe parcursul acestui capitol anomaliile Bouguer perfec-

ţionate reduse vor fi denumite simplu anomalii Bouguer şi vor fi notate – în loc de .

Din acelaşi motiv se va proceda la fel şi cu coordonatele reduse care vor fi denumite

generic coordonate ale unui punct şi vor fi notate simplu x, y.

∆g r∆g

rr y,x

Posibilităţi de reprezentare a câmpului anomaliilor Bouguer folosind metoda elementelor finite

În practică, câmpul anomaliilor Bouguer poate fi asimilat cu o suprafaţă parametrică de

forma:

) , (4.7) p(gp ∆→

p fiind un punct care variază pe o suprafaţă, iar ∆g(p) o funcţie oarecare. Semnificaţia acestei

corespondenţe depinde de sistemul de referinţă. Astfel:

• în cazul unui sistem tridimensional de coordonate – Oxyz, ale cărui axe formează

un triedru rectangular drept de dispunere pozitivă în spaţiul euclidian (Fig. 4.2), p

este un punct care aparţine planului Oxy, iar ∆g(p) reprezintă valoarea anomaliei

Bouguer a punctului situat pe suprafaţa fizică a Pământului care se proiectează pe

planul Oxy în p; referitor la punctul P se poate scrie:

k)p(gOpOP ∆+= , (4.8)

unde kj , ,i sunt versorii corespunzători axelor de coordonate x, y respectiv z;


Fig. 4.2 Semnificaţia corespondenţei )p(gp ∆→ în cazul unui sistem tridimensional de coordonate.

• în cazul unei reprezentări cartografice, p reprezintă imaginea punctului P în planul

de proiecţie, iar ∆g(p) valoarea anomaliei Bouguer în punctul respectiv.

Modalităţi de definire a funcţiei ∆g

Funcţia ∆g se poate defini cu ajutorul unei combinaţii de funcţii liniar independente

astfel: t1 u,,u K

. (4.9) ∑ ≤≤∆=∆

tj1 jj )p(ug)p(g

Un caz particular de alegere al acestei funcţii este următorul:

∑ ≤≤−∆=∆

tj1 jj )pp(ug)p(g , (4.10)

unde jpp − reprezintă distanţa dintre punctele p şi p . j

Exemple de suprafeţe cu ajutorul cărora se poate aproxima forma câmpului anomaliilor Bouguer

Metoda elementelor finite constă în partiţionarea (discretizarea) unui domeniu dat în

subdomenii disjuncte (de dimensiuni finite), numite elemente finite şi în specificarea funcţiei de

interpolare nu pentru întreg domeniul, ci pentru fiecare element în parte.

Punctele de interconectare ale elementelor finite se numesc noduri.

Dispunerea punctelor p sub forma unei reţele compusă din elemente finite rectangulare

(dreptunghiuri sau pătrate) de mărimi egale poartă denumirea de grid.

Dimensiunile unui astfel de element finit rectangular pe direcţiile x respectiv y se

numesc paşi ai gridului pe cele două direcţii ale sale (x respectiv y).

Aşa cum s-a arătat anterior, câmpul anomaliilor Bouguer poate fi asimilat cu o suprafaţă

parametrică care, funcţie de forma funcţiei ∆g, poate avea proprietăţi diferite.


Exemplul 1. Suprafaţa rectangulară biliniară

Fie pc,l o familie de puncte ce formează un grid într-un sistem de referinţă (c, l reprezintă

coloana respectiv linia pe care se găseşte punctul p, iar h, k – paşii gridului pe cele două direcţii

ale sale):

) , (4.11) k,ch(p ,c ll =

unde c = 1,…, N şi l = 1,…, M.

Pentru un punct p(x, y) situat în interiorul gridului, funcţia ∆g este dată de relaţia:

) (4.12) k/y(Q)ch/x(Qg)p(g,c

g,c l

l l −−∆=∆ ∑unde reprezintă valoarea anomaliei Bouguer corespunzătoare fiecărui punct din grid, iar

Q(t) o funcţie de forma următoare:

g,cg l∆

. (4.13) ≤≤−−

=altfel0

1t1dacă|t|1)t(Q

Din analiza relaţiei (3.2), rezultă că există două numere întregi c, l astfel încât:

şi , (4.14) rch/x += sh/y += l

unde r, s∈ [0, 1).

Acest lucru conduce la afirmaţia că funcţia ∆g scrisă sub forma:

) (4.15) s'(Q)r'cc(Qg)p(g1 , '1c,c'c

','cg

','c +−+−∆=∆ ∑+∈+∈

lll l

lll

are cel mult patru termeni nenuli.

Factorul Q − din relaţia de mai sus este explicitat în Tabelul 4.1. )s'(Q)r'cc( +−+ ll

Tabelul 4.1 Explicitarea coeficientului )s'(Q)r'cc(Q +−+− ll din relaţia (3.5).

)s'(Q)r'cc(Q +−+− ll c' = c c' = c + 1

ll =' Q(r)Q(s) Q(r – 1)Q(s)

1+= ll ' Q(r)Q(s – 1) Q(r – 1)Q(s – 1)

Astfel, relaţia (3.5) devine:

. (4.16) rsgs)r1(g)s1(rg)s1)(r1(g)p(g g1,1c

g1,c

g,1c

g,c ++++ ∆+−∆+−∆+−−∆=∆ llll

Relaţia de mai sus reprezintă formula de calcul pentru interpolarea biliniară. Această

formulă poate fi scrisă şi altfel:

)p(gr)p(g)r1()p(gs)p(g)s1()p(g 4321 ∆+∆−=∆+∆−=∆ , (4.17)


unde: , rg)r1(g)p(g g,1c

g,c1 ll +∆+−∆=∆ rg)r1(g)p(g g

1,1cg

1,c2 +++ ∆+−∆=∆ ll ,

, , sg)s1(g)p(g g1,c

g,c3 +∆+−∆=∆ ll sg)s1(g)p(g g

1,1cg

,1c4 +++ ∆+−∆=∆ ll

sunt valorile funcţiei ∆g în punctele:

)y,h)1c((pşi)y,ch(p),k)1(,x(p),k,x(p 4321 +==+== ll .

Cu alte cuvinte, ∆g(p) se poate calcula şi prin interpolare liniară între p şi sau între

şi (Fig. 4.3).

1 2p

3p 4p

În particular, pentru ( rezultă ∆)k,ch()y,x l= g,c,c g)k,ch(g)p(g l∆=∆= ll .

Fig. 4.3 Interpolarea biliniară.

Proprietate. Suprafaţa generată de o funcţie de interpolare biliniară, cum este Q, este

continuă şi nederivabilă (Fig. 4.4).

Fig. 4.4 Exemplu de suprafaţă rectangulară biliniară.


Exemplul 2. Suprafaţa rectangulară bicubică

Pentru ilustrarea acestui exemplu se pleacă de la aceeaşi ipoteză folosită la exemplul

precedent.

Prin similitudine cu (3.2), pentru un punct p(x, y), funcţia ∆g este dată de relaţia:

) , (4.18) k/y(U)ch/x(Ug)p(g,c

g,c l

l l −−∆=∆ ∑unde reprezintă valoarea anomaliei Bouguer corespunzătoare fiecărui punct din grid, iar

U(t) o funcţie pară (U(– t) = U(t)) definită pentru astfel:

g,cg l∆

0t ≥

. (4.19)

≥≤≤+−+−≤≤+−

=2tdacă0

2t1dacă2t4t2/5t2/11t0dacă1t2/5t2/3

)t(U 23

23

Grafic, funcţia U(t) se reprezintă astfel:

Fig. 4.5 Graficul funcţiei U(t).

Din analiza relaţiei (3.13), asemănătoare ca formă cu (3.2), rezultă că şi în acest caz

există două numere întregi c, l astfel încât:

şi , (4.14) rch/x += sh/y += l

unde r, s∈ [0, 1).

Acest lucru conduce la afirmaţia că funcţia ∆g scrisă sub forma:

) (4.20) s'(U)r'cc(Ug)p(g2 ,1 ,,1 '2c,1c,c,1c'c

','cg

','c +−+−∆=∆ ∑++−∈++−∈

lll l

lllll

are cel mult şaisprezece coeficienţi nenuli.

Factorul cU − din relaţia de mai sus este explicitat în Tabelul 4.2. )s'(U)r'c( +−+ ll

Tabelul 4.2 Explicitarea coeficientului )s'(U)r'cc(U +−+− ll din relaţia (3.19).

)s'(U)r'cc(U +−+− ll c' = c – 1 c' = c c' = c + 1 c' = c + 2

1−= ll ' U(r + 1)U(s + 1) U(r)U(s + 1) U(r – 1)U(s + 1) U(r – 2)U(s + 1)

ll =' U(r + 1)U(s) U(r)U(s) U(r – 1)U(s) U(r – 2)U(s)

1+= ll ' U(r + 1)U(s – 1) U(r)U(s – 1) U(r – 1)U(s – 1) U(r – 2)U(s – 1)

2+= ll ' U(r + 1)U(s – 2) U(r)U(s – 2) U(r – 1)U(s – 2) U(r – 2)U(s – 2)


Ca şi în exemplul anterior, şi această formulă de interpolare bicubică poate fi scrisă

altfel: ∆g(p) = U(r + 1) + U(r))p(g 1∆ )p(g 2∆ + U(r – 1) )p(g 3∆ + U(r – 2) = )p(g 4∆

= U(s + 1) + U(s))p(g 5∆ )p(g 6∆ + U(s – 1) )p(g 7∆ + U(s – 2) , (4.21) )p(g 8∆

Fig. 4.6 Interpolarea bicubică.

unde: … ∆ se pot calcula prin interpolare folosind o funcţie spline cubică scrisă

pe coloane, iar … folosind o funcţie spline cubică scrisă pe linii.

)p(g 1∆ )p(g 4

)p(g 5∆ )p(g 8∆

În particular, pentru ( rezultă ∆ (U(0) = 1). )k,ch()y,x l= g,cc g)k,ch(g)p( l∆=∆= ll

A. Proprietăţile funcţiei U

Proprietatea 1. Funcţia U este derivabilă şi are derivata continuă. Aceasta este o funcţie

impară (U'(– t) = – U'(t)). Pentru se defineşte astfel: 0t ≥

. (4.22)

≥≤≤−+−≤≤−

=2tdacă0

2t1dacă4t5t2/31t0dacăt5t2/9

)t('U 2

2

În particular: U'(0) = 0, U'(–1) = 1/2, U'(1) = –1/2, U'(–2) = U(2) = 0.

Proprietatea 2. Dacă f este o funcţie de forma: f(x) = ∑ −∆c

gc )cx(Ug , iar c un număr

întreg, atunci:

)gg(21)c(f g

1cg

1c'

−+ ∆−∆= (4.23)

pentru orice abscisă întreagă c (Fig. 4.7).

Fig. 4.7 Interpretarea fizică a proprietăţii de derivabilitate a funcţiei U.


Proprietatea 3. Formula de interpolare (sau reconstruire) a unei funcţii f pornind de la

un eşantion f(c) cu c - număr întreg:

(sumă finită) (4.24) ∑ −=∆cf )cx(U)c(fg

este exactă pentru polinoame de grad mai mic sau egal cu doi; asta înseamnă că dacă

, atunci: rqxpx)x(P 2 ++=

. )x(P)cx(U)c(P)x(gcp =−=∆ ∑

Această proprietate se poate proba uşor. Deoarece fg∆ depinde liniar de f, este suficient

ca ea să se verifice pentru polinoamele 1, x şi 2x .

Dacă notăm t = x – c (c ≤ x ≤ c + 1) şi considerăm o funcţie oarecare f, rezultă:

f(c – 1)(– 1/2 – 1/2t) + f(c)(3/2 – 5/2 + 1) + =∆ )x(gf3t + 2t 3t 2t

+ f(c + 1)(– 3/2 + 2 + 1/2t) + f(c + 2)(1/2 – 1/2 ). 3t 2t 3t 2t

Relaţia de mai sus se poate scrie şi astfel:

1/2 [– f(c – 1) + 3f(c) – 3f(c + 1) + f(c + 2)] + =∆ )x(gf3)cx( −

+ 1/2 [2f(c – 1) – 5f(c) + 4f(c + 1) – f(c + 2)] + 2)cx( −

+ 1/2 [– f(c – 1) + f(c + 1)](x – c) + f(c).

În această ultimă relaţie se verifică că fg f =∆ numai când f = 1, x sau 2x .

Observaţii

a. Egalitatea ∆ nu este valabilă pentru polinoame de grad mai mare ca doi. De

exemplu, pentru funcţia , se obţine . Eroarea e(x) =

este cuprinsă între – 0.096 şi + 0.096.

fgf =

)x(f =

x3 23 +−

)1x0(x 3 ≤≤

x

xx3x3)x(g 23f =−=∆

x2)x(f)x(gf =−∆=

b. Prin construcţie, funcţia U îndeplineşte următoarele condiţii:

• este de forma unui polinom de gradul trei pe intervalele [0, 1] şi [1, 2];

• este pară;

• este nulă în afara intervalului [–2, 2];

• are derivata continuă;

• U(0) = 1 şi U(1) = 0.

Prin urmare, se poate arăta că U este de forma:

= (a+2)xaV 3 – (a+3)x2 + 1 pe intervalul [0, 1]

= axaV 3 – 5ax2 + 8ax – 4a pe intervalul [1, 2].

Dacă în particular se pune şi condiţia ca fgf =∆ să fie adevărată pentru f(x) = x

, se obţine: )1x0( ≤≤


x = ∑ = = – V≤≤−

−2c1

)cx(cU ∑ ≤≤−−

2c1 a )cx(cV a(x + 1) + Va(x – 1) + 2Va(x – 2).

Derivând relaţia de mai sus, pentru x = 0 avem:

1 = – V (1) + V (–1) + 2 (–2). 'a

'a

'aV

Înlocuind – (1) = (–1) = – a şi (–2) = 0 rezultă a = – 1/2. 'aV '

aV 'aV

c. Funcţiile V de mai sus (în particular a 2/1VU −= ) verifică relaţia: . ∫ = 1dx)x(Va

B. Proprietăţile suprafeţei rectangulare bicubice

Aceste proprietăţi decurg din proprietăţile funcţiei U.

Proprietatea 1. Suprafaţa generată de o funcţie de interpolare bicubică este continuă şi

derivabilă (asemănător funcţiei U – Fig. 4.8).

Fig. 4.8 Suprafaţa rectangulară bicubică.

Proprietatea 2.

, (4.25) ∫ ∑ ∆=l l,c

g,cgkhdxdy)y,x(∆g

unde h, k reprezintă paşii gridului pe cele două direcţii ale sale.

Proprietatea 3. Derivatele funcţiei ∆g în nodurile ale gridului se pot calcula relativ

simplu, cu ajutorul relaţiilor:

l,cp

)gg(h21)p(∆g g

,1cg

,1cc'x lll −+ ∆−∆= , )gg(

k21)p(∆g g

1,cg

1,cc'y −+ ∆−∆= lll . (4.26)

Proprietatea 4. Dacă P şi Q sunt două polinoame de grad mai mic sau egal cu doi,

atunci:

; (4.27) ∑ =−−l,c

)y(Q)x(P)y(U)cx(U)(Q)c(P ll

altfel spus, o funcţie de forma ∆g(x, y) = P(x)Q(y) se poate reconstitui exact plecând de la un

eşantion . gcg l∆


Consideraţii privind corelaţia spaţială a anomaliilor Bouguer

Pentru a interpola anomalia Bouguer într-un punct P nu trebuie să cunoaştem doar

forma funcţiei ∆g ci şi informaţii statistice cu privire la continuitatea spaţială a anomaliilor

Bouguer (modul de distribuţie al acestora).

Simpla analiză a elementelor a două eşantioane oarecare folosind doar indicatori

statistici care exprimă tendinţa centrală de grupare a datelor (cum ar fi media), împrăştierea

datelor (cum ar fi dispersia), sau forma distribuţiei (cum ar fi coeficientul de variaţie) poate

genera confuzii privind reprezentarea spaţială a acestora. Spre exemplificare, în figura de mai

jos se prezintă două eşantioane care au acelaşi număr de elemente – 252, aceeaşi medie – 28.54,

aceeaşi dispersie – 58.04 şi acelaşi coeficient de variaţie – 2.03.

Fig. 4.9 Importanţa analizei continuităţii spaţiale a datelor. Pentru evitarea unor astfel de situaţii se apelează la geostatistică.

În cele ce urmează se vor face referiri la două modalităţi de corelaţie statistică:

autocorelaţia – corelaţia dintre anomalia gravimetrică într-un punct cu cea existentă în fiecare

din celelalte puncte şi corelaţia anomaliilor gravimetrice cu înălţimea.

A. Autocorelaţia – poate fi analizată folosind metode grafice sau numerice (indicatori

statistici).

Metode grafice

s-graficul

Pentru înţelegerea modului de realizare al unui s-grafic se introduce convenţia de notaţie

început – sfârşit (DEUTSCH 1998). Această convenţie este prezentată sugestiv în figura

următoare:


Fig. 4.10 Convenţia început – sfârşit (după DEUTSCH 1998).

În Fig. 4.10, reprezintă valoarea anomaliei Bouguer în punctul de început, –

valoarea anomaliei Bouguer în punctul de sfârşit sau în punctul pereche, iar s – distanţa dintre

cele două puncte.

tg∆ hg∆

Un s-grafic se realizează prin raportarea în abscisă a valorilor şi în ordonată a

valorilor , unde i reprezintă numărul perechii de puncte separate prin distanţa s.

tig∆

hig∆

Fig. 4.11 Modul de realizare al unui s-grafic.

Cu cât anomaliile Bouguer sunt mai corelate, cu atât ele se vor situa, în s-grafic, mai

aproape de dreapta de 45° ce trece prin origine. În general, se poate afirma că, cu cât distanţa s

este mai mică cu atât anomaliile Bouguer corespondente sunt mai corelate.

Cu ajutorul unui s-grafic se pot detecta şi pune în evidenţă:

• posibilele puncte cere nu aparţin populaţiei considerate (care vor apare ca puncte

total izolate);

• existenţa unor posibile populaţii distincte (ce vor apare sub forma unor nori de

puncte) (ROSSI 1992);

• tendinţele mediilor şi abaterilor standard locale.

Dezavantajul unui s-grafic este că nu poate să prezinte de o manieră precisă şi succintă

dependenţa spaţială a datelor de analiză. Pentru aceasta se apelează la semi-variograma

experimentală care, aşa cum vom vedea în continuare (Fig. 4.12), este o reprezentare sumară a

informaţiei oferite de mai multe s-grafice.


Metode numerice (indicatori statistici)

Cei mai utilizaţi indicatori statistici pentru descrierea corelaţiei spaţiale sunt următoarele

funcţii: variograma (semi-variograma), covarianţa (care se mai numeşte şi covariogramă), şi

corelograma.

1. Variograma (semi-variograma) – 2γ (γ)

Pentru un câmp de anomalii Bouguer, semi-variograma se calculează cu relaţia:

2hi

)s(n

1i

ti )gg(

)s(n21)s( ∆−∆=γ ∑

=

, (4.28)

în care , şi s sunt definite conform convenţiei început – sfârşit prezentată anterior, iar

n(s) reprezintă numărul de perechi de puncte care se formează pe baza aceleiaşi convenţii.

tig∆ h

ig∆

Schematic, modalitatea de calcul a semi-variogramei experimentale este prezentată în

figura de mai jos:

Fig. 4.12 Modul de obţinere al semi-variogramei experimentale.

Observaţii

a. În cazul unui câmp de anomalii Bouguer cu o spaţiere neregulată ca cel din

Fig. 4.11, există puţine perechi de puncte ale căror valori se găsesc la distanţa s una de cealaltă.

De aceea, pentru calculul semi-variogramei, se defineşte un interval de toleranţă a cărui

mărime poate ajunge până la 0.5s, care se adaugă distanţei s;

b. În practică, s-a constatat că pentru obţinerea unor semi-variograme corecte este

indicat să se respecte două reguli:

• fiecare interval s să fie reprezentat de cel puţin 30-50 de perechi de puncte;

• să se folosească punctele situate pe o distanţă egală cu aproximativ jumătate din

lăţimea regiunii din care a fost selectat eşantionul (nu contează direcţia).


Parametrii care caracterizează o semi-variogramă sunt:

• – efectul de discontinuitate în origine (nugget effect, în engleză) – reprezintă

valoarea din semi-variogramă la care semi-variograma model intersectează

ordonata. Acesta provine din două surse, şi anume:

0C

– neconsiderarea tuturor perechilor de puncte mai mici decât distanţa s;

– eroarea experimentală, adesea numită şi discontinuitate umană (human nugget,

în engleză);

• – pragul semi-variogramei (sill, în engleză) – reprezintă scara verticală

totală a semi-variogramei. Acesta se obţine prin însumarea discontinuităţii la

origine cu scara componentei structurate a semi-variogramei, care se mai notează

cu C. Unele dintre modele, cum ar fi: modelele putere – Fig. 4.18, modelul liniar –

Fig. 4.19 şi modelul logaritmic – Fig. 4.22 nu au prag;

CC0 +

• A – distanţa maximă de corelaţie (lungimea semi-variogramei) (range sau length, în

engleză) – reprezintă distanţa dincolo de care oricare două perechi de valori pot fi

considerate independente una în raport cu cealaltă.

Aceşti parametri sunt prezentaţi în figura următoare:

Fig. 4.13 Parametrii semi-variogramei.

Tipuri de semi-variograme

a. Semi-variograma izotropică (omnidirecţională) – este acea semi-variogramă creată

pe baza perechilor de puncte selectate doar pe criteriul distanţei plane dintre acestea (fără

componentă direcţională). Distanţa plană s se calculează cu relaţia bine cunoscută:

2th

2th )yy()xx(s −+−= , (4.29)


unde , reprezintă coordonatele carteziene ale punctului de început respectiv

ale punctului de sfârşit;

)y,x( tt )y,x( hh

b. Semi-variograma standardizată – se obţine prin împărţirea tuturor valorilor

semi-variogramei la abaterea standard totală a eşantionului cu scopul de a permite compararea a

diferite seturi de date care aparţin aceleiaşi populaţii. Matematic, acest lucru se exprimă cu

relaţia:

(s)γs

ss

s)s()s(+− σσ

γ=γ , (4.30)

unde γ(s) reprezintă semi-variograma, s−σ – abaterea standard a anomaliilor Bouguer în

punctele de început, iar s+σ – abaterea standard a anomaliilor Bouguer în punctele de sfârşit.

Dispersiile corespunzătoare abaterilor standard anterioare se calculează cu relaţiile:

∑=

−− −∆=σ)s(n

1i

2s

2ti

2s m)g(

)s(n1 , (4.31)

∑=

++ −∆=σ)s(n

1i

2s

2hi

2s m)g(

)s(n1 , (4.32)

în care reprezintă media valorilor anomaliilor Bouguer în punctele de început, –

media valorilor anomaliilor Bouguer în punctele de sfârşit, iar n(s) – numărul de perechi de

puncte. Cele două medii se calculează cu relaţiile:

sm− sm+

∑=

− ∆=)s(n

1i

tis g

)s(n1m , (4.33)

∑=

+ ∆=)s(n

1i

his g

)s(n1m . (4.34)

c. Semi-variograma anizotropică – este acea semi-variogramă în care perechile de

puncte sunt selectate pe criteriul direcţiei (unghiului de anizotropie) şi distanţei. Unghiul de

anizotropie se calculează cu relaţia:

th

th

xxyy

arctg−−

=θ . (4.35)

d. Semi-variograma indicator – se calculează după ce datele au fost transformate într-o

formă binară (0 sau 1), cu scopul de a indica prezenţa sau absenţa anumitor variabile sau valori

care au depăşit o anumită valoare de prag.


Pentru ca sistemele (3.6) şi (3.35) să aibă soluţii unice şi stabile, trebuie ca matricele C

respectiv D să fie pozitiv definite. Această condiţie poate fi satisfăcută dacă pentru covarianţă,

respectiv semi-variogramă se utilizează doar modele de funcţii pozitiv definite. Chiar dacă acest

lucru pare restrictiv la prima vedere, prin compunerea de funcţii pozitive elementare se pot

forma funcţii pozitive complexe.

Cel mai simplu model de funcţie elementară pozitiv definită este modelul efectului de

discontinuitate în origine (ISAAKS 1989), care se exprimă prin ecuaţia:

. (4.36) =

=γaltfel 1

0s dacă 0)s(

Alte modele de funcţii pozitive elementare sunt prezentate în figurile următoare:

Fig. 4.14 Modelul exponenţial Fig. 4.15 Modelul gaussian

(după CRESSIE 1991) (după PANNATIER 1996)

)e1(C)s( s−−=γ )e1(C)s(2s−−=γ

Fig. 4.16 Modelul pătratic Fig. 4.17 Modelul pătratic raţional

(după ALFARO 1980) (după CRESSIE 1991)

=γ≥

<−

1sC

1s)ss 2(C 2

)s(

+

=γ2

2

s1

sC)s(


0 < s < 1 1 < s < 2

Fig. 4.18 Modelele putere

(după PANNATIER 1996) 2n0s C)s( n <<=γ

Fig. 4.19 Modelul liniar Fig. 4.20 Modelul undă

(după KITANIDIS 1997) (după CRESSIE 1991)

s C)s( =γ

−=γs

s sin1C)s(

Fig. 4.21 Modelul sferic Fig. 4.22 Modelul logaritmic

(după PANNATIER 1996) (după KITANIDIS 1997)

≥

<−=γ

1sC

1s)s 5.0s 5.1(C)s(

3

0ssln C)s( >=γ


După determinarea gradului de autocorelaţie al anomaliilor Bouguer pentru punctele din

eşentionul considerat, semi-variograma experimentală se utilizează pentru determinarea

vectorului ponderilor w din sistemele (3.6) şi (3.35). Cu alte cuvinte, aceasta se foloseşte pentru

a aloca fiecărui punct din eşantion o pondere în funcţie de poziţia ocupată de acesta în spaţiu

faţă de punctul de interpolat. Prin urmare, prima etapă în kriging constă din găsirea unei ecuaţii,

semi-variograma model, cu ajutorul căreia să se modeleze semi-variograma experimentală.

Semi-variograma este un indicator statistic ergodic deoarece acordă ponderi egale

tuturor perechilor de puncte. Dacă generalizăm pentru cazul unei populaţii formată din mai

multe eşantioane de puncte, înseamnă că tuturor eşantioanelor li se acordă ponderi egale, ceea

ce ar duce la concluzia că un eşantion oarecare este reprezentativ pentru întreaga populaţie. În

realitate însă nu se întâmplă aşa ceva, deoarece mediile şi abaterile standard locale ale

eşantioanelor sunt diferite. Acest aspect este sugestiv reprezentat în figura următoare:

Fig. 4.23 Profiluri ipotetice de valori care ilustrează relaţiile dintre media locală şi abaterea standard locală. În fig. (a), media locală, reprezentată printr-o linie dreaptă/curbă şi abaterea standard sunt constante. În fig. (b), media este caracterizată de o anumită tendinţă, în timp ce abaterea standard rămâne constantă. În fig. (c), media este constantă, în timp ce abaterea standard este caracterizată de o anumită tendinţă, iar în fig. (d), atât media cât şi abaterea standard sunt caracterizate de o anumită tendinţă (după ISAAKS 1989).

Datorită acestui fapt, s-au dezvoltat indicatori statistici non-ergodici cum ar fi

covarianţa (care ia în calcul mediile eşantioanelor) şi corelograma (care ia în calcul atât

mediile cât şi abaterile standard ale eşantioanelor).

Observaţie

O altă modalitate de definire a variogramei este următoarea: fiind date două puncte p şi

q în care se cunosc valorile anomaliilor Bouguer ∆g(p) respectiv ∆g(q), se poate defini

variograma ca fiind σ2[∆g(p) – ∆g(q)].


2. Covarianţa – C(s)

Pentru un câmp de anomalii Bouguer, funcţia de covarianţă se calculează cu relaţia:

sshi

)s(n

1i

ti mmgg

)s(n1)s(C +−

=

−∆∆= ∑ . (4.37)

Mărimile care intervin în relaţia de mai sus au fost definite anterior de relaţiile (4.33) şi

(4.34).

Pentru anumite scopuri, printre care şi acela de interpolare locală, este necesară

cunoaşterea locală a funcţiei de covarianţă.

Fiind date două puncte p şi q în care se cunosc valorile anomaliilor Bouguer ∆g(p)

respectiv ∆g(q), covarianţa caracterizează corelaţia statistică a acestor anomalii (covarianţa

pozitivă semnifică faptul că ∆g(p) şi ∆g(q) tind să aibă aceeaşi mărime şi acelaşi semn;

covarianţa negativă semnifică că ∆g(p) şi ∆g(q) tind să aibă aceeaşi mărime dar semne opuse;

covarianţa zero arată că ∆g(p) şi ∆g(q) sunt independente).

Dacă se consideră că funcţia de covarianţă depinde de distanţa s dintre p şi q, se poate

scrie:

cov[∆g(p), ∆g(q)] = C( qp − ) = C(s). (4.38)

Dacă s = 0, avem:

cov[∆g(p), ∆g(q)] = var[∆g(p)]2 = C(0). (4.39)

Determinarea practică a funcţiei de covarianţă reprezintă o problemă dificil de rezolvat

riguros, deoarece pentru determinarea ei ar trebui cunoscută valoarea gravitaţiei în fiecare punct

de pe suprafaţa fizică a Pământului.

Conform (MORITZ 1989), cea mai cunoscută funcţie de covarianţă utilizată în plan este

funcţia lui Gauss (funcţia densitate de probabilitate), definită astfel:

, (4.40) 2ij

2sc0ijji eC)s(C)pp(C

−==

unde C şi c sunt două constante. 0 0≥

Această funcţie este pozitiv definită şi este singura care se bucură de proprietatea că

transformata sa Hankel este tot o funcţie Gauss.

Din păcate, funcţia Gauss nu are o extensie armonică simplă în semispaţiul superior

(z > 0), motiv pentru care nu este indicat să fie folosită ca funcţie de covarianţă spaţială.

Specialiştii şi-au îndreptat atenţia şi către alte modele analitice ale funcţiei de

covarianţă, cum ar fi:

m22ij

0ijji )d/s1(

C)s(C)pp(C

+== , (4.41)


unde este o constantă , iar 0C ))0(CC( 0 = 2ji

2jiij )yy()xx( −+−=s .

Relaţia (4.41) este valabilă pentru s km100ij < , caz în care distanţa d – distanţa maximă

de corelaţie (Fig. 4.24) se consideră egală cu 40 km, iar C . 20 mgal337=

Pentru cazul reţelei gravimetrice din PGGC unde s km1ij < , am considerat d = 400 m.

Se observă că pentru m = 1, C este identică cu funcţia de covarianţă a lui

Hirvonen (HEISKANEN 1967).

)pp( ji

Moritz demonstrează că funcţia dată de (4.41) admite o extensie armonică simplă în

semispaţiul superior doar pentru m = 1/2 şi m = 3/2:

2/12ji

2ij

0ijji ])dzz(s[

dC)s(C)pp(C

+++== , (4.42)

2/32ji

2ij

30

ijji ])dzz(s[dC

)s(C)pp(C+++

== . (4.43)

Deoarece nu se va lua în calcul corelaţia cu înălţimea (vezi "Consideraţii privind

corelaţia spaţială a anomaliilor Bouguer" punctul B), în cazul 0zz ji == relaţiile de mai sus

devin:

2/122ij

0ijji )d/s1(

C)s(C)pp(C

+== , (4.44)

2/322ij

0ijji )d/s1(

C)s(C)pp(C

+== . (4.45)

Datorită faptului că spectrul transformării Hankel al celor două funcţii de mai sus este

pozitiv, rezultă că funcţiile sunt pozitiv definite.

Grafic, forma tipică a funcţiei C(s) se poate reprezenta astfel:

Fig. 4.24 Reprezentarea grafică a funcţiei de covarianţă.

Conform (MORITZ 1978) se pot folosi şi alte funcţii de covarianţă, cum ar fi funcţiile

de covarianţă de ordin superior derivate din modelul Markov, date de relaţiile:


, (4.46) d/s

ij0ijije)]d/s(1[C)s(C

−+=

. (4.47) d/s22

ijij0ijije)]d3/s()d/s(1[C)s(C

−++=

Observaţie

Legătura dintre semi-variogramă şi covarianţă se exprimă prin relaţia:

γ(s) = C(0) – C(s). (4.48)

Din relaţia de mai sus se observă că semi-variograma se poate deduce din covarianţă, în

timp ce operaţia inversă nu este posibilă.

3. Corelograma – ρ(s)

Pentru un câmp de anomalii Bouguer, corelograma se calculează cu relaţia:

ss

)s(C)s(+− σσ

=ρ . (4.49)

Mărimile care intervin în relaţia de mai sus au fost definite anterior de relaţiile (4.31),

(4.32) şi (4.37).

Observaţie

Între corelogramă şi covarianţă există relaţia:

ρ(s) = C(s)/C(0). (4.50)

O bună cunoaştere a autocorelaţiei spaţiale a anomaliilor Bouguer reprezintă un pas

important în analiza heteroscedasticităţii acestora. Acest fapt implică definirea unor regiuni în

care anomaliile Bouguer să aibă un comportament statistic omogen. În acest caz, pentru studiul

continuităţii spaţiale al anomaliilor Bouguer se recomandă folosirea cu caracter local a

indicatorilor statistici menţionaţi anterior: variograma, covarianţa şi covariograma.

B. Corelaţia anomaliilor gravimetrice cu înălţimea – nu se ia în calcul în cazul

anomaliilor Bouguer, deoarece se consideră că reducerile aplicate acestora (vezi 4.1 –

"Mărimile gravimetrice folosite pentru interpolare") le determină la nivelul geoidului. Mai

multe detalii pot fi găsite în (HEISKANEN 1967).


4.2 METODE DE CONSTRUIRE A GRIDULUI ANOMALIILOR

BOUGUER

Importanţă. Scop. Utilitate

Substituirea valorilor anomaliilor Bouguer cunoscute în punctele unei reţele

gravimetrice cu un grid de paşi cunoscuţi a devenit o practică curentă în geodezia fizică,

practică ce a fost impusă în special de procedurile de automatizare a calculelor. Această

substituire oferă următoarele avantaje:

• memorarea unei singure date: ; gg∆

• posibilitatea filtrării erorilor accidentale;

• diminuarea timpului de calcul;

• posibilitatea impunerii cu uşurinţă a condiţiilor ce asigură continuitatea suprafeţei

care descrie câmpul anomaliilor Bouguer;

• rezolvarea fără dificultate a problemelor de racordare între suprafeţe diferite.

Stabilirea dimensiunilor paşilor gridului

Mărimile paşilor gridului pe direcţiile x respectiv y pot diferi sau pot fi egale. Stabilirea

dimensiunilor paşilor gridului este o operaţiune foarte importantă şi foarte delicată, deoarece

trebuie făcută astfel încât să nu se producă pierderi semnificative de informaţie.

Pentru determinarea valorilor paşilor gridului se ţine în principal seama de legea lui

Shanon, conform căreia, frecvenţa optimă de eşantionare a unui semnal (care se mai numeşte şi

frecvenţa lui Nyquest) este direct proporţională cu cea mai înaltă frecvenţă conţinută de

semnalul respectiv, adică:

. (4.51) maxN f2f =

Dacă se trece din domeniul frecvenţelor în cel al lungimilor de undă, se poate scrie:

2min

Nλ

=λ . (4.52)

Valoarea lungimii de undă este ilustrată în Fig. 4.25:

Fig. 4.25 Lungimea de undă.


Din păcate, este dificil de determinat din punct de vedere practic. De aceea, cei mai

mulţi dintre autori consideră că relaţia (3.14) nu constituie decât un indiciu cu privire la

stabilirea paşilor gridului şi recomandă ca pe lângă folosirea acesteia să se ţină seama atât de

natura fenomenului de modelat cât şi de sfatul unor specialişti cu experienţă în domeniu.

minλ

Formularea problemei

Pentru un eşantion de puncte Pi de pe suprafaţa fizică a Pământului care aparţin unei

reţele gravimetrice se cunosc coordonatele plane p )y,x( iii = şi anomaliile Bouguer

.

iPig∆

)n ,...,1i( =

Se caută o funcţie ∆g(p) care să descrie cel mai bine forma câmpului generat de

anomaliile Bouguer – formă asimilată cu o suprafaţă parametrică, a cărei imagine în planul de

proiecţie să fie un grid de M linii şi N coloane.

Chiar din enunţul problemei se vede că aceasta nu are o singură soluţie, deoarece:

• există mai multe moduri de alegere a formei funcţiei ∆g (cum ar fi de pildă cele

prezentate în exemplele 1 şi 2 din acest capitol);

• pentru o anumită formă dată a funcţiei ∆g, aceasta se poate ajusta în moduri diferite

folosind acelaşi eşantion de puncte;

• pentru un grad de ajustare dat, pot exista mai multe soluţii pentru ∆g.

În cazul în care funcţia ∆g este asemănătoare cu funcţia propusă prin relaţia (3.12):

∑ ≤≤−∆=∆

tj1 jgj )rp(ug)p(g , (4.53)

valorile ale celor t parametri se vor determina prin ajustarea funcţiei ∆g pentru eşantionul

de puncte considerat folosind metoda celor mai mici pătrate ( reprezintă punctele câmpului

anomaliilor Bouguer care participă la scrierea formulei de interpolare pentru punctul p). Cu alte

cuvinte, se caută astfel încât:

gjg∆

jr

)

0

g,,g( gt

g1 ∆∆= Kg∆g

→ minim, (4.54) ∑ ≤≤∆−=∆

ni12P

ii2i

g ]g)p(∆g[w)g(G i

în care coeficienţii de pondere redau gradul de netezire al funcţiei . iw )gG( g∆

Se demonstrează că dacă t > n (numărul de parametri este mai mare decât numărul de

puncte care aparţin eşantionului), există

astfel încât v

v

p

1

≠

= Mv 0v

v

)rp(u)rp(u

)rp(u)rp(u

p

1

nn1n

p111

==

−−

−−AvM

L

MOM

L

,


ceea ce implică că funcţia verifică (i = 1,…, n). Deci orice

funcţie de forma poate fi soluţie, deoarece:

∑ ≤≤−=

tj1 jj )rp(uv)p(V 0)p(V i =

V∆ggw α+

(4.55) gG(gG( gw

gw ∆=∆−=α+∆ ∑ ≤≤ ni1

2Piiw

2i ]g)p(∆g[w)V i )

este minimă.

În astfel de cazuri, pentru a obţine o soluţie unică, funcţiei ∆g trebuie să i se impună

condiţii suplimentare. Exemple de astfel de condiţii sunt prezentate în 4.2.1, 4.2.2 şi 4.2.3.

4.2.1 Realizarea gridului elastic

Se caută o suprafaţă rectangulară biliniară (V = Q în exemplul 1 prezentat anterior) sau

bicubică (V = U în exemplul 2 prezentat anterior) definită de funcţia:

, (4.56) ∑ ∑≤≤ ≤≤−−∆=∆

Nc1 M1g,c )k/y(V)ch/x(Vg)y,x(g l

l l

în care pentru simplificarea calculelor se consideră k = h.

Se revine astfel la situaţia prezentată în "Formularea problemei" cu notaţiile: ,

şi .

)y ,x(p =

)k ,ch(r l= )h/t(V)h/s(V) t,s(u)rp(u j ==−

Se ştie, de asemenea, că nu există un singur set de valori ∆ care să

minimizeze funcţia:

)g( cgl∆=gg

. (4.57) ∑ <≤∆−=∆

ni12P

ii2i

g ]g)p(∆g[w)g(G i

Pentru asigurarea unei soluţii unice de realizare a gridului elastic, oricare ar fi eşantionul

de puncte considerat, trebuie introdusă condiţia suplimentară:

g(G)g(K)g(E ggg ∆+∆= )∆ → minim, (4.58)

unde: ∑ ∑ ∑ ∑−

= = =

−

= +−+− ∆+∆−∆+∆+∆−∆=∆1N

2c

M

1

N

1c

1M

22g

1,cg,c

g1,c

2g,1c

g,c

g,1c

g )gg2g()gg2g()g(Kl llllll l

.

(4.59)

4.2.1.1 Interpretarea condiţiei de minim a funcţiei E )g( g∆

Interpretarea geometrică

) exprimă curbura medie pătratică a întregii suprafeţe. De fapt, suprafaţa care

aproximează forma câmpului anomaliilor Bouguer este cu atât mai curbată în punctul , adică

se depărtează mai mult de un plan, cu cât valorile şi

sunt mai mari.

g(K g∆

g,cg2∆− l

lcp

g,1c l+

2g,c

g,1c )gg2g( ll− ∆+∆−∆

2g1,c

g1,c )gg( +− ∆+∆ ll


Fig. 4.26 Interpretarea geometrică a condiţiei de minim a funcţiei . )g(K g∆

Interpretarea fizică

Suprafaţa modelată poate fi asemănată cu un grid format din segmente (tije) dispuse cap

la cap, două câte două legate prin articulaţii elastice care tind să le menţină aliniate;

aproximează energia de flexiune a întregului asamblaj. În acelaşi timp însă, gridul este legat

elastic de punctele reţelei gravimetrice pentru care se cunosc valorile anomaliilor Bouguer

(punctele eşantionului considerat); aproximează energia acestor legături. Suprafaţa

căutată este definită prin poziţia de echilibru a gridului.

)g(K g∆

)g(G g∆

Această interpretare este sugestiv ilustrată în figura următoare: :

Fig. 4.27 Interpretarea fizică a condiţiei de minim a funcţiei . )g(E g∆

Observaţie

Funcţia nu se poate înlocui cu o funcţie de o formă mai simplă deoarece se pot

induce erori mari în reprezentarea câmpului anomaliilor Bouguer. Figura 4.28 sugerează, în

cazul unei singure variabile, aspectul grafic al funcţiei ∆g corespunzător unor diferite criterii:

)g(K g∆

2∆g → minim 2'g∆ → minim )g(Kg g2'' ∆≅∆ → minim

Fig. 4.28 Aspectul grafic al funcţiei g∆ corespunzător unor diverse criterii de minimizare.


Se observă că criteriul 2∆g → minim conduce la obţinerea unei forme de câmp anomal

Bouguer care nu se aseamănă deloc cu realitatea în timp ce criteriul 2'g∆ → minim conduce la

obţinerea unei forme de câmp anomal ceva mai apropiată de forma reală.

4.2.1.2 Expresia matriceală a funcţiilor K şi G )g( g∆ )g( g∆

Expresia matriceală a funcţiei K(∆gg)

Dacă se notează:

unde =∆ , ........, , (4.60)

=

g

g

g

∆g

∆g∆g

M

2

1

M

gg∆

∆

∆

g1N

g11

1

g

gMgg

∆

∆=

gNM

gM1

M

g

gMg∆g

relaţia (3.20) se poate scrie sub formă matriceală astfel:

, (4.61) ggggg gDDggCCggK ∆∆∆∆∆ TT)( TT +=

unde: (M blocuri), (N-2, N)

=

J

JJ

OC

−

−−

=

121

121121

OJ

[(M-2), N blocuri], I = matricea unitate (N, N).

−

−−

=

III

IIIIII

2

22

OD

Observaţie

Matricele C , precum şi suma acestora (necesară ulterior) pot fi calculate

separat, într-o etapă anterioară. Astfel:

CT DDT

cu şi

=JJ

JJ

T

T

T OCC

−−−

−−

−−−−

−

=

121254114641

146411452

121

T OOOOJJ


.

−−−

−−

−−−−

−

=

IIIIIIIIIIII

IIIIIIIII

III

2254

464

464452

2

T OOOODD

Expresia matriceală a funcţiei G(∆gg)

Relaţia (3.36) se poate scrie de asemenea sub formă matriceală:

) , (4.62) ()()( PgPgg gWgWBgWgWBgG ∆∆∆∆∆ −−= T

unde: , ,

=

n

1

w

wOW

∆

∆=

n

1

Pn

P1

g

gMPg∆

−−−−−−

−−−−−−=

)rp(u)rp(u)rp(u)rp(u)rp(u)rp(u

)rp(u)rp(u)rp(u)rp(u)rp(u)rp(u

NMnM1n2Nn12n1Nn11n

NM1M112N11211N1111

KLKK

MOMM

KLKK

B

(4.63)

şi . )h/t(V)h/s(V)t,s(u =

Observaţie

Linia i din matricea B corespunzătoare punctului ),y,x(p iii = este:

))Mh/y(V)Nh/x(V)Mh/y(V)1h/x(V)1h/y(V)Nh/x(V)1h/y(V)1h/x(V( iiiiiiii −−−−−−−− KLK

rch/x isau considerând += rh/yişi += l , (c, l – întregi şi 0 ≤ r, s < 1) rezultă:

)sM(V)rNc(V)sM(V)r1c(V)s1(V)rNc(V)s1(V)r1c(V +−+−+−+−+−+−+−+− llll KLK .

În cazul în care forma câmpului anomaliilor Bouguer este descrisă cu ajutorul unei

funcţii biliniare, linia i comportă 4 elemente. În cazul folosirii unei funcţii bicubice, linia i va

avea 16 elemente.

4.2.1.3 Minimizarea funcţionalei pătratice E )g()g()g( ggg ∆∆∆ GK +=

Definiţie. Fie A o matrice pătrată, simetrică şi pozitiv definită şi x, b, c trei vectori ale

căror elemente aparţin mulţimii nR . Se numeşte funcţională pătratică funcţia J(x) care

respectă egalitatea:

. c2 TT +−= xbAxxJ(x)


Observaţie

J verifică relaţia oricare ar fi elementele vectoru-

lui h care aparţin mulţimii

b)(AxhAhhJ(x)h)J(x −+=−+ TT 2nR .

Se observă că ) poate fi scrisă sub forma: ( ggE ∆

, (4.64) P2Pgggg gPggFgAg)gE( ∆∆∆∆∆∆ TTT 2 +−=

unde este o matrice simetrică şi . BPBDDCCA 2TTT ++= P∆gPBF 2T=

Se demonstrează că dacă există patru puncte p )y,x( iii = (i = 1,…, 4) în eşantionul

considerat care îndeplinesc condiţia:

0

1yxyx1yxyx1yxyx1yxyx

4444

3333

2222

1111

≠ , (4.65)

atunci matricea A este pozitiv definită. Ca atare, există un singur vector care minimizează

funcţia , dat de soluţia sistemului .

gg∆

)( ggE ∆ Fgg =Α∆

Dacă matricea A este pozitiv definită, înseamnă că 0 pentru orice şi

când ∆ .

T ≥gg gA∆g ∆ gg∆

0T >gg gA∆g ∆ 0≠gg

Pentru a arăta că matricea A este pozitiv definită, se va presupune că şi

se va arăta că în acest caz .

0T =gg gA∆g ∆

0=gg∆

Dacă ∑ <≤=+=

ni12

i2i

T 0)]p(∆g[p)gK(gA∆g ggg ∆∆ , atunci K şi 0)( =gg∆ 0)p(g i =∆

. )n ,,1i( K=

semnifică şi pentru

orice c, l de unde

0=)gK( g∆ 0gg2g g,1c

g,c

g,1c =∆+∆−∆ +− lll

)gg)(1c( ,1,2 ll

0gg2g g1,c

g,c

g1,c =∆+∆−∆ +− lll

gg ,1,c l ∆−∆−+ g ,c∆=l∆ şi )gg)(1(g 1,c2,c1,c ∆−∆−+∆=∆ ll pentru

orice c, l. După efectuarea calculelor, rezultă:

= ∆ + (c – 1)(l,cg∆ 11g 1121 gg ∆−∆ ) + (l – 1)( 1112 gg ∆−∆ ) +

+ (c – 1)(l – 1)( 22211211 gggg ∆+∆−∆−∆ ),

ceea ce este echivalent cu

. lll caacaag 3210,c +++=∆

În aceste condiţii:

)k/y(V)ch/x(V)ca a ca a()k/y(V)ch/x(Vg)p(g,c 3210,c

g,c llll

ll l −−+++=−−∆=∆ ∑∑ .


Dacă se aplică "Proprietatea 3" a funcţiei U, 1)ch/x(Vc

=−∑ şi h/x)ch/x(cVc

=−∑

pentru V = Q şi V = U, de unde:

. xybybxbb xy/ha y/h a x/h a ay)g(x, 32102

3210 +++=+++=∆

Relaţia de mai sus reprezintă ecuaţia paraboloidului hiperbolic.

Pentru toate punctele eşantionului:

0)p(gyxbybxbb iii3i2i10 =∆=+++

şi în particular pentru cele patru puncte amintite mai sus, se poate scrie:

, 0

bbbb

yxyx1yxyx1yxyx1yxyx1

3

2

1

0

4444

3333

2222

1111

=

ceea ce nu este posibil decât dacă 0)b ,b ,b ,b( 3210 = , adică dacă ∆g (p) = 0, deci ∆g = 0.

Rezultă deci, că matricea A este pozitiv definită.

Observaţie

Condiţia:

0

yxyx1yxyx1yxyx1yxyx1

1144

1133

1122

1111

= (4.66)

semnifică că există astfel încât b0)b ,b ,b ,b( 3210 ≠ 0yxbybxb ii3i2i10 =+++ (i = 1,…, 4),

adică se găsesc fie pe o dreaptă (dacă 0b4321 p ,p ,p ,p 3 = ) fie pe o hiperbolă.

Gridul elastic are deci o singură soluţie şi numai una dacă şi numai dacă există patru

puncte ale eşantionului care nu se află pe o dreaptă sau pe o hiperbolă.

4.2.1.4 Rezolvarea sistemului FΑ∆gg =

Vectorul necunoscutelor – este o matrice-coloană cu dimensiunea MN, iar matricea

aferentă A este pătratică de ordin MN. În cazul în care M = 100 şi N = 100, ceea ce semnifică

un grid relativ mic, se observă că matricea A va avea dimensiunile (10 000, 10 000).

gg∆

Pentru rezolvarea acestui sistem este indicat să se utilizeze o metodă iterativă. O astfel

de metodă este metoda gradientului conjugat prezentată în (POSTOLACHE 1994).

Folosind această metodă, soluţia sistemului (adică vectorul necunoscutelor – ) este

dată de limita şirului definit de astfel:

gg∆

g∆g k


oarecare g∆g 0

F∆ −== ggAdr 000

0T

00T

001 / dAddr−= gg ∆g∆g

şi pentru k ≥ 1:

F∆ −= ggAr kk

1k2

1k2

kkk / −−+= drrrd

kT

kkT

kk1k / dAddr−=+gg ∆g∆g .

Se demonstrează că soluţia sistemului se poate găsi în cel mult M x N iteraţii. Ea poate

fi găsită cu atât mai repede cu cât vectorul soluţiilor pentru prima iteraţie – este mai

apropiat de cel al soluţiilor finale – .

g∆g 0

gg∆

4.2.1.5 Stabilirea vectorului soluţiilor – pentru prima iteraţie g0∆g

Experienţa demonstrează că şirul converge lent când există zone mari pe care nu se

găsesc puncte din eşantion. Practic, în aceste zone gridul elastic nu este supus unor constrângeri

exterioare şi de aceea necesită timp pentru a se stabiliza.

g∆g k

În continuare se prezintă două cazuri de iniţializare a vectorului . g∆g 0

a. Punctele eşantionului (i = 1,…, n) au dispunere uniformă şi sunt situate în

vecinătatea punctelor ale gridului

ip

lc,p

În acest caz, pentru alegerea lui este indicat să se folosească o metodă simplă cum

ar fi de pildă:

g∆g 0

• = media ; dg∆g 0Pig∆ r)p,p( ci ≤l (Fig. 4.29a), sau

• = , unde p – este punctul cel mai apropiat de (Fig. 4.29b), g∆g 0Pig∆ i l,cp

deoarece metodele perfecţionate de alegere a soluţiilor iniţiale nu îmbunătăţesc semnificativ

numărul iteraţiilor.

Fig. 4.29 Stabilirea vectorului soluţiilor ∆ pentru prima iteraţie. gg 0


b. Numărul de puncte ale eşantionului este mult mai mic decât numărul e

noduri ale gridului (cel puţin 1 pentru 4)

ip lc,p d

În acest caz este indicat să se calculeze gridul elastic cu pas 2h asociat eşantionului

: )g,p( iPii ∆

(4.66) ∑ ∑≤≤ ≤≤−−∆=∆

2/Nc1 2/M1 22 ))h2/(y(V)c)h2/(x(V),c(g)y,x(g lll

şi să se ia:

) . (4.67) h,ch(g)p(g),c(g 2,c20 ll l ∆=∆=∆

Pentru a se iniţializa calculul gridului elastic , se poate utiliza de o manieră

asemănătoare gridul elastic etc.

2∆g

4∆g

Trebuie menţionat faptul că determinarea gridului presupune de patru ori mai

puţine necunoscute decât gridul ∆g iar determinarea gridului de 16 ori mai puţine

necunoscute decât acelaşi grid.

2∆g

4∆g

4.2.1.6 Netezire versus ajustare

Oricare ar fi matricea ponderilor W, să notăm cu ∆ vectorul care minimizează: Wg

) , (4.68) ()()( gW

ggW gGgKgE ∆∆∆ +=

unde: . (4.69) )()()( PgPggW gWgWBgWgWBgG ∆∆∆∆∆ −−= T

Fie a un scalar strict mai mare ca zero.

Ne propunem să comparăm regularitatea, mai precis curburile K şi

ale suprafeţelor definite de vectorii ∆ şi ∆ .

)( gW g∆ )( g

W gK ∆a

Wg Wg a

Se demonstrează (JULIEN 1994) că:

• dacă a > 1 atunci K , adică suprafaţa generată de este

mai puţin netedă decât cea generată de ∆ ;

)()( gW

gW gKg ∆∆ a≥

g

W∆g a

W

• dacă a < 1 atunci K , adică suprafaţa generată de este

mai netedă decât cea generată de .

)()( gW

gW gKg ∆∆ a≤

W∆g

W∆g a


4.2.2 Realizarea gridului de tip spline ''placă subţire'' şi a gridului

spline pseudo-cubic

Funcţiile spline, atât cele de tip ''placă subţire'' cât şi cele pseudo-cubice, generalizează

în plan funcţiile spline unidimensionale, care sunt funcţii de interpolare S ce minimizează E(S),

unde:

(4.70) ∫= .dt)]t(''S[)S(E 2

Pentru o funcţie S(p) definită în plan care este continuu derivabilă şi cu derivatele de

ordinul doi de pătrat integrabil, E(S) este dată de relaţia:

. (4.71) dp)]p(S[)]p(S[2)]p(S[)S(E 2''y

2''xyR

2''x 22 2 ++= ∫

S-a demonstrat că funcţia de interpolare a punctelor p (i = 1,…, n) care minimizează

E(S) este unică şi are forma:

i

(p = (x, y)) cu dycxb)pp(Ka)p(Si iii +++=∑ 0p,0pa

i ii ii == ∑∑ . (4.72)

Funcţiile K se numesc funcţii nucleu. )pp( ii

Dacă i2

iii pplnpp)pp( −−=K , funcţiile spline obţinute sunt de tip ''placă subţire''.

Dacă 3iii pp)pp( −=K , funcţiile spline obţinute sunt de tip pseudo-cubic.

S poartă denumirea de spline ''placă subţire'' pentru că E(S) reprezintă aproximativ

energia de flexiune a unei plăci infinit subţire de ecuaţie z = S(x, y).

Observaţie

În continuare se va trata doar modalitatea de obţinere a gridului spline de tip ''placă

subţire''. Gridul de tip pseudo-cubic se obţine în mod asemănător, folosindu-se funcţia nucleu

corespunzătoare.

4.2.2.1 Gridul spline de tip ''placă subţire'' de interpolare

Dacă funcţia ∆g(p) care generează gridul spline de tip ''placă subţire'':

dycxbpplnppa)p(g i2

i ii +++−−=∆ ∑ (p = (x, y)) cu 0p,0pai ii ii == ∑∑ (4.73)

respectă condiţia suplimentară:

(i = 1,…, n) (4.74) iPii g)p(g ∆=∆

atunci gridul spline rezultat este de tip ''placă subţire'' de interpolare.


Altfel spus, cei n + 3 coeficienţi care definesc ∆g reprezintă soluţia

sistemului:

210n1 b,b,b,a,,a K

, (4.75)

∆

∆∆

=

000g

gg

bbba

aa

000yyy000xxx000111

yx10kk

yx1k0kyx1kk0

n

2

1

Pn

P2

P1

2

1

0

n

2

1

n21

n21

nn2n1n

22n221

11n112

MM

L

L

L

L

MMMMOMM

L

L

unde coeficienţii funcţiilor nucleu – k sunt de forma:ij ji

2

jiij pplnppk −−= , . )y,x(p iii =

Sistemul (4.75) se poate scrie şi astfel:

, (4.76)

=

0

∆gba

0FFK P

T

unde:

, , , şi .

=

0kk

k0kkk0

2n1n

n221

n112

L

MOMM

L

L

K

=

nn

22

11

yx1

yx1yx1

MMMF

=

n

2

1

a

aa

Ma

=

2

1

0

bbb

b

∆

∆∆

=

n

2

1

Pn

P2

P1

g

gg

M

P∆g

4.2.2.2 Gridul spline de tip "placă subţire" de ajustare

Dacă funcţia ∆g(p) care generează gridul spline de tip "placă subţire":

dycxbpplnppa)p(g i2

i ii +++−−=∆ ∑ (p = (x, y)) cu 0p,0pai ii ii == ∑∑

(4.77)

respectă condiţia suplimentară:

→ minim (w > 0 şi i = 1,…, n), (4.78) ∑ ∆−+∆i

Pii ]g)p(∆g[)g(wE i

atunci gridul spline rezultat este de tip ''placă subţire'' de ajustare.

Coeficientul de pondere w fixează gradul de netezire şi ajustare pe puncte al funcţiei ∆g.

Se demonstrează că soluţia condiţiei de minim este următoarea:

(i = 1,…, n), (4.79) iPiii g)p(gwa8 ∆=∆+π

altfel spus este soluţia sistemului: )b,b,b,a,,a( 210n1 K


. (4.80)

∆

∆∆

=

π

ππ

000g

gg

bbba

aa

000yyy000xxx000111yx1w8kk

yx1kw8kyx1kkw8

n

2

1

Pn

P2

P1

2

1

0

n

2

1

n21

n21

nn2n1n

22n221

11n112

MM

L

L

L

L

MMMMOMM

L

L

4.2.2.3 Gridul elastic – aproximare discretă a gridului spline ''placă subţire'' de ajustare

Se demonstrează că dacă se dezvoltă în serie Taylor funcţiile ∆g(x ± h, y), ∆g(x, y ± h)

şi ∆g(x ± h, y ± h) şi se calculează termenii care intră în componenţa relaţiei:

, (4.81) dp)]p(g[)]p(g[2)]p(g[)g(E 2''y

2''xyR

2''x 22 2 ∆+∆+∆=∆ ∫

atunci:

∑∑ +∆+∆−∆+∆+∆−∆≅∆ +−+− ll cg

1,cg,c

g1,c

2c

g,1c

g,c

g,1c

2 )gg2g(h/1)gg2g(h/1)g(E llllll

KK+∆+∆−∆−∆+ ∑ ++−++−−− 8/)gggg(h/1 2

cg

1,1cg

1,1cg

1,1cg

1,1c2

l llll (4.82)

Se observă astfel că funcţia K( definită pentru gridul elastic de relaţia (3.20) este o

aproximare discretă a funcţiei de mai sus.

)gg∆

4.2.3 Realizarea gridului prin kriging

Krigingul este una din metodele generale de estimare care foloseşte drept criteriu de

aproximare metoda pătratelor minime pentru semnale ale căror proprietăţi statistice sunt

cunoscute. Această metodă se mai întâlneşte sub denumirile:

• colocaţia prin cele mai mici pătrate;

• interpolarea optimă prin cele mai mici pătrate;

• predicţia inversă;

• filtrarea optimă a lui Wiener.


Definiţie. Clasificare

Se presupune că anomaliile Bouguer )p(g∆ şi )q(g∆ a două puncte vecine p şi q

verifică următoarele proprietăţi statistice:

• sunt corelate, corelaţia fiind cu atât mai mare cu cât p şi q sunt mai apropiate;

• corelaţia este omogenă (nu depinde de poziţia cuplului (p, q));

• în fiecare punct corelaţia este izotropă (nu depinde decât de distanţa la punctul

vecin).

Aceste proprietăţi pot fi formulate şi astfel: într-un câmp de probabilitate Ω în care

anomaliile Bouguer sunt descrise de variabile aleatoare de forma )p(g∆ ))(p(g ω∆ , oricare ar fi

p şi q, covarianţa:

)]q(g[E)q(g)]q(g[E)p(gE)]q(g),p(gcov[ ∆−∆∆−∆=∆∆ (4.83)

nu depinde decât de qp− şi creşte când qp− scade:

)s(C)qp(C)]q(g),p(gcov[ =−=∆∆ , (4.84)

unde funcţia C(s) ( s ) este descrescătoare pe un interval [0, r] (0≥ rs ≤ ).

Definirea acestui cadru dă sens noţiunii de cea mai bună estimare liniară fără eroare

sistematică a anomaliei Bouguer – a lui )p(g∆ )p(g∆ în funcţie de valorile anomaliilor

Bouguer în punctele ale unei reţele gravimetrice. n1 p,,p K )p(g∆ este o variabilă aleatoare care

îndeplineşte următoarele condiţii:

(este o combinaţie liniară de valori ∑ ∆=∆i ii )p(g)p(w)p(g )p(g i∆ );

(estimare fără erori sistematice); )]p(g[E)]p(g[E ∆=∆

)]p(g[E)H(E,)p(ghH;)]p(gH[Einf)]p(g)p(g[Ei ii

22 ∆=∆=∆−=∆−∆ ∑

(estimare cu abatere pătratică minimă a erorilor). (4.85)

Observaţie

Funcţia C(s) nu poate fi aleasă arbitrar. Trebuie îndeplinită condiţia ca orice variabilă

aleatoare să satisfacă relaţia: ∑ ∆=i ii )p(ghH

∑ ∑ ≥=∆∆==σij ij jijiiiji

2 0)pp(Chh)]p(g),p(gcov[hh)H,Hcov()H( , (4.86)

oricare ar fi , . n1 p ,,p K n1 h ,,h K

Rezultă că funcţia ∆g care descrie forma câmpului anomaliilor Bouguer asociată prin

kriging pentru un eşantion de puncte ale unei reţele gravimetrice, se poate

defini ca fiind:

n ,1,i ;g ,p iPii K=∆


, (4.87) ∑ ∆=∆i

Pii

ig)p(wg

unde coeficienţii reprezintă ponderile furnizate de cea mai bună estimare liniară fără

eroare sistematică (dacă aceasta este unică):

)p(w i

)p(g∆

. (4.88) ∑ ∆=∆i ii )p(g)p(w)p(g

Proprietate. Funcţia ∆g interpolează punctele ( . )g,p iPii ∆

Pentru a defini complet , trebuie făcute ipoteze cu privire la funcţia . În

raport de condiţiile stabilite prin aceste ipoteze, krigingul poate fi simplu (ordinar) sau

universal.

)p(g∆ )]p(g[E ∆

a. Krigingul simplu – corespunde condiţiei )p(f)]p(g[E =∆ . Un exemplu de aplicare

în practică se găseşte în (ISAAKS 1989).

b. Krigingul universal – constă în impunerea condiţiilor ca:

• funcţia să fie o combinaţie liniară de funcţii date cu coefici-

enţi necunoscuţi :

)]p(g[E ∆

a

k21 f ,,f,f K

k21 a,a, K

)p(fa)p(fa)p(fa)]p(g[E kk2211 +++=∆ K ; (4.89)

• )]p(g[E)]p(g[E ∆=∆ să fie adevărată oricare ar fi coeficienţii a . k1 a,,K

În cel de-al doilea caz, calificativul "universal" se explică prin faptul că valoarea

estimată a anomaliei Bouguer – este independentă de coeficienţii . )p(g∆ ia

În cele ce urmează se va trata doar acest caz.

4.2.3.1 Krigingul universal

Cazul în care nu se iau în consideraţie erorile întâmplătoare care afectează anomaliile Bouguer corespunzătoare punctelor eşantionului

Valoarea estimată prin kriging universal a funcţiei este o variabilă

aleatoare care respectă condiţiile:

)p(g∆ )p(g∆

∑ ∆=∆i ii )p(g)p(w)p(g

)p(f)p(fh ji iji =∑ )p(f)p(fh),p(ghH;)]p(gH[Einf)]p(g)p(g[E ji i ijiii

22 =∆=∆−=∆−∆ ∑ ∑

(j = 1,…, k). (4.90)


Pentru formularea matriceală a krigingului universal se definesc următoarele matrice:

, , , ,

=

)0(C)pp(C)pp(C

)pp(C)0(C)pp(C)pp(C)pp(C)0(C

2n1n

n212

n121

L

MOMM

L

L

C

=

)pp(C

)pp(C

n

1

Mc(p)

∆

∆=

n

1

Pn

P1

g

gMPg∆

=

n

1

h

hMh

, , , şi .

=

)p(f)p(f

)p(f)p(f

nkn1

1k11

L

MOM

L

F

=

)p(f

)p(f

k

1

Mf(p)

=

)p(w

)p(w

n

1

Mw(p)

=

k

1

a

aMa

=

n

1

b

bMb

Se demonstrează că cea mai bună estimare liniară fără eroare sistematică –

, conduce la respectarea a două condiţii: ∑ ∆=∆i ii )p(g)p(w)p(g

şi (4.91) f(p)w(p)F =T

(4.92)

,

;2inf2 f(p)hFhc(p)Chhw(p)c(p)Cw(p)w(p) =−=− TTTTT

Funcţia ∆g(p) se poate defini prin kriging universal cu una din relaţiile:

• (4.93) P∆gw(p)T=∆ )p(g

• . (4.94) f(p)ac(p)b TT +=∆ )p(g

Dacă se foloseşte prima relaţie trebuie să se calculeze vectorul w(p), ceea ce implică

rezolvarea următorului sistem de ecuaţii:

(4.95)

=

f(p)c(p)

(p)w(p)

0FFC

T µ

pentru fiecare punct nou.

Se demonstrează că dacă matricea C este pozitiv definită şi matricea F are rang maxim,

soluţia w(p) este unică şi se determină cu relaţia:

(p)]F[c(p)Cw(p) 1 µ−= −

unde: şi . Gf(p)c(p)CGF(p) 1 −= −Tµ 11F)C(FG −−= T

Dacă se foloseşte cea de-a doua relaţie, trebuie să se rezolve doar un singur sistem de

ecuaţii pentru a se calcula coeficienţii a, b:

.

−=

=

−

−−−−

P

PP

gCGFgCFGFCC

0∆g

0FFC

ab

∆∆

1T

1T111

T

)(

Observaţii

a. Funcţiile f sunt în general monoame de forma: 1 . k1 f ,,K qp yx ,,xy ,y ,x , K

b. Dacă se doreşte utilizarea variogramei ca funcţie statistică, este necesară înlocuirea

matricelor C şi c(p) cu D şi d(p) de forma:


, .

γγ

γγγγ

=

0)pp()pp(

)pp(0)pp()pp()pp(0

2n1n

n212

n121

L

MOMM

L

L

D

γ

γ=

)pp(

)pp(

n

1

Md(p)

c. În (JULIEN 1994) se demonstrează că dacă una din funcţiile este 1, atunci

w(p) se determină prin rezolvarea sistemului:

k1 f,,f K

(4.96)

=

f(p)b(p)

(p)w(p)

0FFD

νT

în care . (p)(p) µν −=

Cazul în care se iau în consideraţie erorile întâmplătoare care afectează anomaliile Bouguer corespunzătoare punctelor eşantionului

Se presupune că anomaliile Bouguer calculate în punctele sunt de forma ip )p(g i∆ +

, unde reprezintă o eroare întâmplătoare survenită în timpul efectuării măsurăto-

rilor gravimetrice, care trebuie luată în consideraţie.

)p(e i+ )p(e i

Într-un câmp de probabilitate Ω, erorile întâmplătoare e(p) se pot descrie printr-o familie

de variabile aleatoare e(p)(ω), astfel încât:

0 (eroare nesistematică); )]p(e[E =

0 cu (erorile în p şi q sunt independente); )]q(e)p(e[E = qp ≠

0)]q(g)p(e[E =∆ (eroarea în p este independentă de valoarea anomaliei

Bouguer în punctul q). (4.97)

În acest caz se determină ∆g(p) cu ajutorul unei variabile aleatoare H de forma:

(4.98) ∑ +∆=i iii )]p(e)p(g[hH

(4.99) )]p(g[E)H(E ∆=

oricare ar fi coeficienţii utilizaţi: k1 a,,a K

)p(fa)p(fa)p(fa)]p(g[E kk2211 +++=∆ K . (4.100)

Deoarece E[e(pi)] = 0, variabila aleatoare H va avea forma:

şi ∑ +∆=i iii )]p(e)p(g[hH ∑ =

i jiji )p(f)p(fh (j = 1,…, k). (4.101)


Cea mai bună estimare liniară (p) a valorii ∆g(p) este definită prin condiţia: g∆

∑ +∆=∆i iii )]p(e)p(g)[p(w)p(g

)p(f)p(fh,)p(ghH;)]p(gH[Einf)]p(g)p(g[Ei jijii ii

22 ∑∑ =∆=∆−=∆−∆

(j = 1,…, k). (4.102)

După înlocuirea matricei C cu Ce:

, (4.103)

σ

σσ

=

)]p(e[)pp(C)pp(C

)pp(C)]p(e[)pp(C)pp(C)pp(C)]p(e[

n2

2n1n

n222

12

n12112

L

MOMM

L

L

eC

se procedează în acelaşi mod ca în cazul prezentat anterior.

4.2.3.2 Gridul spline de tip ''placă subţire'' – caz particular al krigingului universal

Dacă se aplică krigingul universal cu următoarele condiţii:

, , 1)y,x(f1 = x)y,x(f2 = y)y,x(f3 = şi

) sln(s)s( 2−=γ 0)s( ≥γ , pe intervalul [ (4.104) ]e,0 2/1−

se obţine:

i2

iijij pplnpp)s(D −−−=γ= şi , (4.105)

=

nn

22

11

yx1

yx1yx1

MMMF

iar rezolvarea sistemului:

, (4.106)

=

−

−

0∆g

ba

0FFD P

T

asemănător ca formă cu (3.37), conduce la găsirea funcţiei ∆g(p) care generează gridul spline

de tip "placă subţire":

ybxbbpplnppa)p(g 321i2

i ii +++−−−=∆ ∑ , (p = (x, y)). (4.107)


4.3 METODE DE ÎNDESIRE A GRIDULUI ANOMALIILOR

BOUGUER

În practică se pot întâlni cazuri în care, din motive obiective, este necesară îndesirea

unui grid de anomalii Bouguer deja existent.

Pentru a păstra precizia şi fidelitatea reprezentării câmpului anomaliilor Bouguer şi

pentru ca elementele finite rectangulare să poată descrie cât mai bine forma reală a acestui

câmp, este necesar ca funcţiile de interpolare să satisfacă anumite condiţii de conexiune în

structura modelului matematic de aproximare, condiţii date de continuitatea derivatelor parţiale

în raport cu fiecare variabilă.

În cele ce urmează vor fi prezentate două metode de îndesire a unui grid care prezintă

avantajul de a fi rapide în privinţa efectuării calculelor şi ale căror algoritmi sunt relativ uşor de

programat.

Înainte de aceasta însă, este necesară prezentarea unor definiţii suplimentare referitoare

la funcţiile spline bicubice.

Definiţia 1. Fie 2R⊂Ω

)y,x

un domeniu mărginit. Se notează cu mulţimea funcţiilor

, , ale căror derivate parţiale până la ordinul n, în raport cu fiecare

variabilă, nu mai mult de r ori, există şi sunt continue pe Ω.

)(Cnr Ω

R→Ω:f (f)y,x( →

Definiţia 2. Orice funcţie poate fi aproximată uniform printr-o funcţie

spline de grad m. De o manieră asemănătoare, derivatele acestei funcţii până la ordinul m pot fi

aproximate prin derivatele funcţiei spline până la ordinul m.

]b,a[f mC∈

Fie Ω un domeniu rectangular:

2R∈=Ω )y,x( dyc;bxa ≤≤≤≤

în care diviziunile ∆x şi ∆y unidimensionale sunt determinate de punctele

bxxxxa: N210x =<<<<=∆ K , dyyyyc: N210y =<<<<=∆ K ,

care generează o diviziune bidimensională a lui Ω notată yx ∆×∆=Π şi care este formată din

punctele

ijp=Π Mj0 ,Ni0 ),y,x(p iiij ≤≤≤≤= .

Diviziunea Π împarte pe Ω într-o familie de dreptunghiuri ijΩ definite astfel:

Ω∈=Ω )y,x(ij ;yyy,xxx i1ii1i ≤≤≤≤ −− i = 1, 2,…, N; j = 1, 2,…, M.


Definiţia 3. O funcţie se numeşte funcţie spline cubică de două variabile

sau funcţie spline bicubică în raport cu diviziunea Π, dacă:

R→ΩΠ :S

a. Ω este un polinom de grad cel mult trei în variabilele x şi y; ΠS ij

b. . )(CS 42 Ω∈Π

Prin analogie cu definiţia funcţiei spline cubice se definesc şi funcţiile spline

polinomiale de grad oarecare m ∈ N.

Se notează cu ∞+<<<<−∞∆ N21 xxx: K , ∞−=0x( , )x 1N ∞+=+ .

Fie Ny , un vector dat. R∈ )y,,y,y( N21 K=y

Definiţia 4. Funcţia se numeşte funcţie spline polinomială de gradul m, cu

nodurile , dacă satisface următoarele două condiţii:

RR →:s

N21 xxx K<<

a. s i = 0, 1, 2,…, N, ),x,x(I),I(PI 1iiiimi +=∈ ,x( 0 ∞−= )x 1N ∞+=+ ;

b. . )(Cs 1m R−∈

Definiţia 5. Funcţia spline bicubică se numeşte de interpolare pe punctele diviziunii

Π pentru mulţimea de numere reale , i = 0, 1, 2,…, N; j = 0, 1, 2,…, M (care pot fi şi valorile

unei funcţii de două variabile pe nodurile ( date), dacă au loc egalităţile:

ΠS

y,x i

ijz

)i

, Ni0 ≤z)y,x(S ijii =Π ≤ ; 0 Mj ≤≤ .

Definiţia 6. Funcţia spline bicubică S se numeşte de tipul I dacă satisface următoarele

condiţii la frontiera lui Ω:

Π

)1(,c

'x,c t)y,x(g)p(

xS

ll =∆=∂

∂ Π ;

)2(,c

'y,c t)y,x(g)p(

yS

ll =∆=∂

∂ Π ;

)3(,c

''xy,c

2

t)y,x(g)p(yx

Sll =∆=

∂∂∂ Π ,

unde sunt date, iar c = 1,…, N şi l = 1,…, M. )3(,c

)2(,c

)1(,c t,t,t lll

Funcţia spline bicubică se numeşte de tipul II dacă satisface următoarele condiţii la

frontiera lui Ω:

ΠS

)4(,c

''xx,c2

2

t)y,x(g)p(xS

ll =∆=∂

∂ Π ;

)5(,c

''yy,c2

2

t)y,x(g)p(yS

ll =∆=∂

∂ Π ;


)6(,c

)4(xxyy,c22

4

t)y,x(g)p(yx

Sll =∆=

∂∂∂ Π ,

unde sunt date, iar c = 1,…, N şi l = 1,…, M. )6(c

)5(c

)4(c t,t,t lll

Condiţiile prezentate anterior se utilizează la constrângerea funcţiilor de aproximare

pentru ca acestea să coincidă pe limitele definite de marginile elementelor finite rectangulare

(Fig. 4.30). m,nΩ

Fig. 4.30 Elementele finite rectangulare din jurul punctului . m,nΩ l,cp

Semnificaţia fizică a acestor condiţii în punctul este următoarea: l,cp

• continuitatea anomaliei Bouguer:

; 1m,n,c

1m,1n,c

m,1n,c

m,n,c )g()g()g()g( ++++ ∆=∆=∆=∆ llll

• continuitatea planului tangent la suprafaţa câmpului de anomalii generat de funcţie

pe direcţiile x şi y:

; 1m,n,c

'x

1m,1n,c

'x

m,1n,c

'x

m,n,c

'x )g()g()g()g( ++++ ∆=∆=∆=∆ llll

; 1m,n,c

'y

1m,1n,c

'y

m,1n,c

'y

m,n,c

'y )g()g()g()g( ++++ ∆=∆=∆=∆ llll

• continuitatea curburii pe direcţiile x şi y:

; 1m,n,c

''xx

1m,1n,c

''xx

m,1n,c

''xx

m,n,c

''xx )g()g()g()g( ++++ ∆=∆=∆=∆ llll

; 1m,n,c

''yy

1m,1n,c

''yy

m,1n,c

''yy

m,n,c

''yy )g()g()g()g( ++++ ∆=∆=∆=∆ llll

• netezimea suprafeţei:

; 1m,n,c

''xy

1m,1n,c

''xy

m,1n,c

''xy

m,n,c

''xy )g()g()g()g( ++++ ∆=∆=∆=∆ llll

. 1m,n,c

)4(xxyy

1m,1n,c

)4(xxyy

m,1n,c

)4(xxyy

m,n,c

)4(xxyy )g()g()g()g( ++++ ∆=∆=∆=∆ llll


4.3.1 Folosirea funcţiei spline bicubice complete de tipul I

(Algoritmul Kubic-Botman)

Se consideră un sistem cartezian de coordonate plane în interiorul căruia se defineşte un

grid (Fig. 4.31a):

, , 0c Xx = Nc1c Xx ,Xx == K N10 X XX <<< K

şi

, , 0Yy =l M1 Yy ,Yy == ll K M10 Y YY <<< K . (4.108)

Gridul astfel definit acoperă dreptunghiul:

, Nc0 XxX ≤≤ N0 YyY ≤≤ l (4.109)

şi este compus din elemente finite rectangulare în nodurile căruia se cunosc valorile anomaliei

Bouguer – . l,cg )y,x(g∆

Se doreşte îndesirea tuturor elementelor finite ale acestui grid cu 5 puncte, aşa cum se

arată în Fig. 4.31b.

Fig. 4.31 Îndesirea gridului anomaliilor Bouguer.

Observaţie

În Fig. 4.31b s-a reprezentat un caz particular de îndesire (nodurile noului grid se găsesc

la jumătatea laturilor elementelor finite rectangulare), însă algoritmul ce urmează a fi descris

este prezentat pentru cazul general (nodurile interpolate pot ocupa orice poziţie în cadrul

elementului finit).


Pentru rezolvarea acestei probleme se consideră un element finit rectangular oarecare:

, (4.110) 1cc xxx +≤≤ 1yyy +≤≤ ll

şi o funcţie spline bicubică de tipul I de forma:

. (4.111) ∑ ∑= =−−=∆

3

0n

3

0mmn

cnm,cg )yy()xx(a)]y,x(g[ ll

Se observă că funcţia de mai sus este parametrizată cu ajutorul a şaisprezece coeficienţi

(n, m = 0,…, 3). nma

În continuare se doreşte:

• transformarea elementului finit arbitrar ales, cu dimensiunile )yy,xx( 1c1c ll −− ++ ,

într-un element finit pătratic cu latura egală cu unitatea (l = 1) – (Fig. 4.32):

, (4.112) 1r0 ≤≤ 1s0 ≤≤

ale cărui colţuri să fie identificate prin intermediul indicilor c + i, l + j, i, j∈ 0, 1;

• încadrarea elementului finit arbitrar ales într-un sistem local de coordonate cu

originea în colţul inferior din partea stângă, ale cărui axe (R, S) să aibă aceeaşi

direcţie cu cele ale sistemului cartezian de coordonate plane (X, Y) în care este

definit gridul (Fig. 4.32).

Fig. 4.32 Element finit pătratic de latură l = 1.

Pentru aceasta se fac următoarele schimbări de variabile:

c1c

c

xxxx

r−

−=

+

;

ll

l

yyyy

s1 −−

=+

.

(4.113)

Cu aceste notaţii, relaţia (3.26) devine:

. (4.114) ∑ ∑= =++ =∆3

0n

3

0mmn

nmj,icg srA)]s,r(g[ l


Legătura între elementele relaţiilor (3.26) şi (3.28) se poate face după cum urmează:

; j,icj,ic )]y,x(g[)]s,r(g[ ++++ ∆=∆ ll

; j,ic'xj,ic

'xc1cj,ic

'r ])y,x(g[h])y,x(g)[xx(])s,r(g[ +++++++ ∆=∆−=∆ lll

; j,ic'yj,ic

'y1j,ic

's ])y,x(g[k])y,x(g)[yy(])s,r(g[ +++++++ ∆=∆−=∆ lll ll

, j,ic''xyj,ic

''xy1c1cj,ic

''rs ])y,x(g[hk])y,x(g)[yy)(xx(])s,r(g[ ++++++++ ∆=∆−−=∆ lll ll

, m1

nc1cnmnm )yy()xx(aA ll −−= ++

(4.115)

unde h, k reprezintă paşii gridului pe direcţiile X, respectiv Y.

Matriceal, relaţia (3.28) se poate scrie astfel:

. (4.116)

==∆ ++

3

2

34333231

24232221

13121110

03020100

32j,ic

g

sss1

AAAAAAAAAAAAAAAA

)rrr1()]s,r(g[ TrAsl

Pentru determinarea coeficienţilor se folosesc derivatele funcţie de r şi s (pe

direcţiile X, Y) ale funcţiei spline [ scrise pentru fiecare nod al elementului finit

pătratic de latură l = 1.

nmA

,ic)] ++ l jg s,r(g∆

La scrierea acestor derivate se va ţine seama de derivatele vectorilor r şi s:

)

)

r3r210()'rrr1()'( 232 ==r

. s3s210()'sss1()'( 232 ==s

(4.117)

În contextul definit, (HOTTIER 1977 şi MEISSL 1982) arată că se poate scrie:

=

∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆

l,c11''rs

g11

's

g10

''rs

g10

's

g11

'r

g11

g10

'r

g10

g01

''rs

g01

's

g00

''rs

g00

's

g01

'r

g01

g00

'r

g00

g

])s,r(g[])s,r(g[])s,r(g[])s,r(g[])s,r(g[)]s,r(g[])s,r(g[)]s,r(g[])s,r(g[])s,r(g[])s,r(g[])s,r(g[])s,r(g[)]s,r(g[])s,r(g[)]s,r(g[

. (4.118)

=

3100210011100101

AAAAAAAAAAAAAAAA

3210111100100001

33323130

23222120

13121110

03020100

În sistemul de mai sus, a doua matrice din membrul drept poartă denumirea de matricea

coeficienţilor geometrici sau matricea condiţiilor pe frontieră.


Prescurtat, relaţia (3.40) poate fi scrisă astfel:

, (4.119) AUUH T=

unde: , iar H .

=

1110

0100

HHHH

Hij

''rs

g's

g

'r

gg

)s,r(g)s,r(g)s,r(g)s,r(g

∆∆∆∆

=ij

Derivatele funcţiei în punctele nodale pot fi calculate prin diverse

metode, dintre care se menţionează:

j,icg )]s,r(g[ ++∆ l

• metoda diferenţelor finite;

• metoda diferenţelor divizate;

• metoda dezvoltărilor în serie;

• metoda funcţiilor spline;

• metoda parabolelor de interpolare.

Coeficienţii A se determină cu relaţia: nm

, (4.120) 1T1 )( −−= HUUA

unde: .

−−

−−

=

=

−

−

1100230012102301

3100210011100101 1

1U

Coordonatele carteziene finale ale punctelor gridului îndesit se determină cu relaţiile:

; rhh)1c(XX 0 +−+=

, skk)1(YY 0 +−+= l

(4.121)

în timp ce pentru determinarea anomaliei Bouguer se foloseşte relaţia:

. (4.122) ∑ ∑= ==∆=∆

3

0n

3

0mmn

nm srA)]s,r(g[g

Observaţie

Dacă în locul funcţiei spline bicubice complete de tipul I se consideră o funcţie spline

polinomială, aceasta poate fi reparametrizată folosind ca parametri nodali şi alte valori, cum ar

fi de exemplu: [ , [ , [ (care reprezintă condiţiile

specifice funcţiilor spline bicubice de tipul II).

j,ic''rr

g ])s,r(g ++∆ l j,ic''ss

g ])s,r(g ++∆ l j,ic)4(

rrssg ])s,r(g ++∆ l

Rezultă că, matricea coeficienţilor geometrici poate fi adaptată astfel încât suprafaţa

căutată să satisfacă şi alte condiţii.


4.3.2 Folosirea funcţiei spline bicubice incomplete de tipul I

Rezolvarea sistemului (3.40) se poate simplifica prin neglijarea coeficienţilor ,

ai funcţiei spline bicubice complete de tipul I. Acest fapt conduce la posibilita-tea

eliminării derivatelor de ordinul al doilea [ . Astfel, funcţia spline bicubică

completă devine incompletă.

22A 23A ,

32A , 33A

j,ic''rs

g ])s,r(g ++∆ l

Dacă derivatele funcţiei se calculează prin metoda parabolelor de

interpolare (IONESCU 1994), coeficienţii funcţiei spline – vor avea următoarele expresii:

j++∆ l,icg )]s,r(g[

nmA

= [ ; 00A l,cg )]s,r(g∆

= [ ; 10A l,c'r

g ])s,r(g∆

= [ ; 01A l,c's

g ])s,r(g∆

= ; 20A l,l,ll 1c'r

gc

'r

g,c

g,1c

g ])s,r(g[])s,r(g[2)]s,r(g[)]s,r(g[3 ++ ∆−∆−∆−∆

= ; 30A l,l,ll 1c'r

gc

'r

g,1c

g,c

g ])s,r(g[])s,r(g[)]s,r(g[)]s,r(g[2 ++ ∆+∆+∆−∆

= ; 02A 1c's

gc

's

g,c

g1,c

g ])s,r(g[])s,r(g[2)]s,r(g[)]s,r(g[3 ++ ∆−∆−∆−∆ l,l,ll

= ; 03A l,l,ll c's

g1c

's

g1,c

g,c

g ])s,r(g[])s,r(g[)]s,r(g[)]s,r(g[2 ∆+∆+∆−∆ ++

= ; 13A 0311c's

g1c

's

g1,1c

g,1c

g A])s,r(g[])s,r(g[)]s,r(g[)]s,r(g[2 −∆+∆+∆−∆ ++++++ l,l,ll

= ; 12A 0211c's

g1c

's

g,1c

g1,1c

g A])s,r(g[])s,r(g[2)]s,r(g[)]s,r(g[3 −∆−∆−∆−∆ ++++++ l,l,ll

= [ ; 11A 1312101,c'r

g AAA])s,r(g −−−∆ +l

= 21A −∆+∆−−∆−∆ ++++ l,l,ll 1c's

g11c

's

g11,c

's

g,1c

's ])s,r(g[])s,r(g[A])s,r(g[])s,r(g[3

– [ ; 1,c'r

g,c

'r

g ])s,r(g[])s,r(g +∆+∆ ll

= 31A +∆−∆++∆−∆ ++++ l,l,ll 1c's

g11c

's

g11,1c

's

g,c

's

g ])s,r(g[])s,r(g[A])s,r(g[])s,r(g[2

+ [ . 1,c'r

g,c

'r

g ])s,r(g[])s,r(g +∆−∆ ll

(4.123)

În relaţiile de mai sus, [ , [ reprezintă valorile de pantă ale

câmpului anomaliilor Bouguer pe direcţiile R (adică X) şi respectiv S (adică Y).

j,ic'r

g ])s,r(g ++∆ l j,ic's

g ])s,r(g ++∆ l


Corespunzător metodei parabolelor de interpolare, aceste pante se determină cu relaţiile:

a. )]s,r(g[)]s,r(g[21])s,r(g[ ,1c

g,1c

g,c

'r

glll −+ ∆−∆=∆ ;

– pentru c = 1 şi 1 se aplică relaţia: M≤≤ l

)]s,r(g[)]s,r(g[3)]s,r(g[421])s,r(g[ ,2c

g,c

g,1c

g,c

'r

gllll ++ ∆−∆−∆=∆ ;

– pentru c = N şi 1 se aplică relaţia: M≤≤ l

)s,r(g[)]s,r(g[4)]s,r(g[321])s,r(g[ ,2c

g,1c

g,c

g,c

'r

gllll −− ∆+∆−∆=∆ ;

(4.124)

b. )]s,r(g[)]s,r(g[21])s,r(g 1,c

g1,c

g,c

's

g−+ ∆−∆=∆ lll[ ;

– pentru l = 1 şi 1 se aplică relaţia: Nc ≤≤

)]s,r(g[)]s,r(g[3)]s,r(g[421])s,r(g[ 2,c

g,c

g1,c

g,c

's

g++ ∆−∆−∆=∆ llll ;

– pentru l = 1 şi 1 se aplică relaţia: Nc ≤≤

)]s,r(g[)]s,r(g[4)]s,r(g[321])s,r(g[ 2,c

g1,c

g,c

g,c

's

g−− ∆+∆−∆=∆ llll .

(4.125)

Coordonatele carteziene finale ale punctelor gridului îndesit se calculează cu relaţiile

(3.42), în timp ce pentru determinarea anomaliei Bouguer se foloseşte relaţia (3.4).

4.4 METODE DE INTERPOLARE ÎNTR-UN ELEMENT FINIT

RECTANGULAR AL GRIDULUI

Alegerea metodei de interpolare care se aplică pentru determinarea anomaliei Bouguer

într-un punct p situat în interiorul unui element finit rectangular al unui grid se face astfel încât

să se realizeze cel mai bun compromis posibil între precizia cu care se doreşte să se determine

valoarea anomaliei în punctul respectiv – pe de o parte şi viteza de efectuare a calculelor

aferente – pe de altă parte.

Un factor important care concură la îndeplinirea acestui obiectiv îl reprezintă stabilirea

dimensiunilor ferestrei de interpolare care pot fi:


a. egale cu dimensiunile elementului finit rectangular al gridului – caz în care se mai

spune că dimensiunea ferestrei de interpolare este 1;

b. mai mari decât dimensiunile elementului finit rectangular al gridului – caz în care

aceasta poate avea diverse dimensiuni, dintre care cele mai utilizate sunt: 3 x 3, 5 x 5, 7 x 7 şi

9 x 9 (Fig. 4.33).

Fereastră de interpolare Fereastră de interpolare

3 x 3 5 x 5 etc.

Fig. 4.33 Ferestre de interpolare cu diferite dimensiuni.

Observaţie

Polinoamele de interpolare Legendre, Laguere, Cebâşev, Newton, Taylor, polinoamele

ortogonale Hermite, sau polinoamele trigonometrice (seriile Fourier) prezintă dezavantajul de a

reţine "zgomotul" din datele măsurate şi deci nu pot fi utilizate pentru realizarea unei bune

aproximări.

4.4.1 Cazul în care se consideră o fereastră de interpolare cu

dimensiunile egale cu cele ale elementului finit rectangular al

gridului

4.4.1.1 Interpolarea biliniară

Problema se enunţă astfel: se consideră un element finit rectangular al unui grid

(Fig. 4.34) în ale cărui noduri se cunosc valorile anomaliilor Bouguer: g,cg l∆ , ,

g,1cg l+∆ g

1,cg +∆ l şi

şi un punct p de coordonate x, y situat în interiorul său. g1,1cg ++∆ l

Se cere să se determine valoarea anomaliei Bouguer în punctul p prin interpolare

biliniară.


Fig. 4.34 Interpolarea biliniară într-un element finit rectangular.

Formula interpolării biliniare care rezolvă problema a fost prezentată în 4.1 – "Exem-

plul 1. Suprafaţa rectangulară biliniară" şi este dată de relaţia:

, (4.16) rsgs)r1(g)s1(rg)s1)(r1(g)p(g g1,1c

g1,c

g,1c

g,c ++++ ∆+−∆+−∆+−−∆=∆ llll

unde: şi s . ch/xr −= l−= k/y

4.4.2 Cazul în care se consideră o fereastră de interpolare cu

dimensiunile mai mari decât cele ale elementului finit

rectangular al gridului

4.4.2.1 Interpolarea folosind o funcţie spline cubică naturală (Algoritmul lamei flexibile)

Problema poate fi formulată astfel: se consideră o fereastră de interpolare de dimensiuni

3 x 3 (compusă din 9 elemente finite rectangulare), similară cu cea din figura de mai jos, în ale

căror noduri se cunosc valorile anomaliei Bouguer: şi un punct p situat în

interiorul elementului finit central al acestei ferestre de interpolare.

gl

gl 2,2c1,1c g,,g ++−− ∆∆ K

Fig. 4.35 Fereastră de interpolare de dimensiuni 3 x 3.


folosind o funcţie spline cubică naturală.


Rezolvarea se poate face în două moduri:

a. fie se calculează )p(g,),p(g 41 ∆∆ K utilizând o funcţie spline scrisă pe coloane şi

apoi ∆g(p) folosind o funcţie spline scrisă pe linie;

b. fie se calculează )p(g,),p(g 85 ∆∆ K utilizând o funcţie spline scrisă pe linii şi apoi

∆g(p) folosind o funcţie spline scrisă pe coloană.

Observaţie

Problema se pune în mod asemănător şi în cazul unor ferestre de interpolare de alte

dimensiuni.

Definiţia 1. Fiind dată o funcţie f definită pe [a, b] şi o mulţime de puncte, sau noduri,

bxxxxa n210 =<<<= K , un interpolant spline cubic pentru f este o funcţie S, care

satisface următoarele condiţii:

a. [ este un polinom cubic pentru fiecare j = 0, 1,…, n – 1; SS j = ]x,x 1jj +

b. pentru fiecare j = 0, 1,…, n; )x(f)x(S jj =

c. pentru fiecare j = 0, 1,…, n – 2; )x(S)x(S 1jj1j1j +++ =

d. pentru fiecare j = 0, 1,…, n – 2; )x(S)x(S 1j'j1j

'1j +++ =

e. pentru fiecare j = 0, 1,…, n – 2; )x(S)x(S 1j''j1j

''1j +++ =

f. una din următoarele două condiţii pe frontieră este îndeplinită:

• (frontieră liberă); 0)x(S)x(S n"

0" ==

• şi S (frontieră impusă), )x(f)x(S 0'

0' = )x(f)x( n

'n

' =

unde cu S şi respectiv şi am s-au notat derivatele de ordinul I şi II ale funcţiei S şi

respectiv f.

' "S 'f "f

În cazul geodeziei fizice nu poate fi luată în calcul decât condiţia de frontieră liberă,

deoarece valorile derivatelor de ordinul I ale funcţiei f nu se pot determina.

Pentru a construi interpolantul spline cubic al unei funcţii date f într-un punct x

(Fig. 4.36), se utilizează condiţiile de definiţie pentru fiecare polinom cubic S care poate fi

scris astfel:

)x(j

, (4.126) 3j

2jjjj )xx(d)xx(c)xx(ba)x(S −+−+−+=

pentru j = 0, 1,…, n – 1.


Fig. 4.36 Subintervalele de definire ale funcţiei spline.

Din analiza "condiţiei b" se observă că:

,a)x(f)x(S jjj == j = 0, 1,…, n – 1. (4.127)

Dacă se utilizează "condiţia c" din definiţia de mai sus:

(4.128) ,)xx(d)xx(c)xx(ba)x(S)x(Sa 3j1jj

2j1jjj1jjj1jj1j1j1j −+−+−+=== +++++++

pentru fiecare şi se defineşte 2-n ,1, ,0j K= )x(fa nn = , atunci folosind notaţia j1jj xxh −= + ,

se poate scrie: 1-n ,1, ,0j K=

(4.129) 3j

2jjj1j dhchbhaa +++=+

pentru fiecare . 1-n ,1, ,0j K=

Dacă în mod similar se defineşte şi se observă că: ),x(Sb n'

n =

, (4.130) 2jjjjj

'j )xx(d3)xx(c2b)x(S −+−+=

ceea ce implică pentru fiecare jj'j b)x(S = 1-n ,1, ,0j K= . Considerând şi "condiţia d" din defi-

niţia 1, rezultă:

(4.131) ,hd3hc2bb 2jjjjj1j ++=+

unde . 1-n ,1, ,0j K=

O altă relaţie între coeficienţii interpolantului S se obţine definind j 2)x(Sc n

''

n = şi

aplicând "condiţia e" din aceeaşi definiţie. În acest caz:

(4.132) jjj1j hd3cc +=+


Înlocuind d dedus din relaţia (3.51) în relaţiile (4.129) şi (4.131), obţinem: j

)cc2(3

hhbaa 1jj

2j

jjj1j ++ +++= , (4.133)

) , (4.134) cc(hbb 1jjjj1j ++ ++=



Dacă din ecuaţiile de mai sus se elimină , rezultă sistemul: jb

)aa(h

3)aa(h3chc)hh(2ch 1jj

1jj1j

j1jjjj1j1j1j −

−++−−− −−−=+++ , 1-n ,2, ,1j K= (4.135)

cu necunoscutele c ( ). j n ,1, ,0j K=

Valorile jh 1j( = şi )-n ,1, ,0 K ja n) ,1, ,0j( K= sunt date de distanţele dintre punctele

şi de valorile funcţiei f în aceste puncte. Se observă că, odată cunoscute

valorile , este simplu să se determine celelalte constante:

din (4.133) şi din (3.51) şi să se construiască polinoamele cubice

.

j

j( =

x n ,1, ,0j( K=

j j( =

1)-n ,1, ,0 K

)

c n1, ,0

j

) ,K

d 1)-n ,1, ,0j( K=

jb 1)-n ,1, ,0j( K=

jS

La construirea acestor polinoame cubice apare o problemă legată de sistemul (4.135) şi

anume dacă acesta e compatibil şi unic determinat. În (UDRIŞTE 1996) se demonstrează că

răspunsul este afirmativ.

Definiţia 2. Dacă f este o funcţie definită pe [a, b], atunci f are un interpolant spline unic

care satisface condiţiile de frontieră liberă 0S . El poartă denumirea de interpolant

natural.

)b(S)a( "" ==

Determinarea coeficienţilor interpolantului spline cubic natural se poate face cu

următorul algoritm (UDRIŞTE 1966):

Pasul 1. Fie:

)xx)(xx(

)]xx)(x(f)xx)(x(f)xx)(x(f[3

1iii1i

1i1i1i1i1ii1ii1ii

−+

−+−−+−+

−−−+−−−

=α ,

pentru fiecare i = 1, 2,…, n – 1.

Pasul 2. Fie l ,10 = ,00 =µ .0z0 =

Pasul 3. Fie i = 1.

Pasul 4. Fie 1i1ii1i1ii )xx()xx(2 −−−+ µ−−−=l

)xx(1i1i

ii −=µ +l

]z)xx([1z 1i1iiii

i −−−−α=l

.

Pasul 5. Se incrementează i.

Pasul 6. Dacă i < n, se sare la pasul 4, iar dacă i = n, se trece la pasul următor.

Pasul 7. Fie l ,1n = ,0zn = .zc nn =


Pasul 8. Fie j = n – 1.

Pasul 9. Fie 1jjjj czc +µ−=

3

)c2c)(xx(xx

)x(f)x(fb j1jj1j

j1j

j1jj

−−−

−

−= ++

+

+

)xx(3

ccd

j1j

j1jj −

−=

+

+ .

Pasul 10. Se decrementează j.

Pasul 11. Dacă 0 se sare la pasul 9, iar dacă j < 0 se trece la pasul următor. j ≥

Pasul 12. Interpolantul spline cubic natural pentru fiecare interval [ este: ],x,x 1jj +

, (4.136) 3jj

2jjjjjj )xx(d)xx(c)xx(b)x(f)x(S −+−+−+=

unde . 1-n ,1, ,0j K=

În (MORITZ 1978) se demonstrează că funcţia spline cubică se bucură de două

proprietăţi remarcabile: proprietatea de normă minimă şi proprietatea de cea mai bună

aproximare.

Înainte de prezentarea acestor proprietăţi, se reaminteşte noţiunea de normă a unei

funcţii f.

Definiţie. Norma unei funcţii este dată de relaţia: ]b,a[:f

2/1b

a

2'' dx)x(ff

= ∫ ,

unde reprezintă derivata de ordinul II a funcţiei f(x). )x(f ''

Proprietatea de normă minimă. Dintre toate funcţiile f(x) ale căror derivate de ordinul

doi sunt de pătrat integrabile şi pentru care jj x)x(f = , j = 0, 1,…, n, funcţia spline cubică S(x)

cu S minimizează norma 0)b(S)a( "" == f dată de relaţia de mai sus.

Cu alte cuvinte s-ar putea spune că dintre toate funcţiile de interpolare posibile, funcţiile

spline cubice sunt cele mai netede.

Proprietatea de cea mai bună aproximare. Dintre toate funcţiile spline, doar

interpolantul spline cubic îndeplineşte condiţia: =− Sf minim.


4.4.2.2 Interpolarea folosind metoda celor mai mici pătrate

Problema se poate formula astfel: se consideră o fereastră de interpolare de dimensiuni

( k ) – (Fig. 4.37), în ale căror noduri se cunosc valorile

anomaliei Bouguer: şi un punct p situat în interiorul elementului finit central al

acestei ferestre de interpolare. De asemenea, se pot calcula covarianţele dintre punctul p şi

nodurile , precum şi matricea de varianţă-covarianţă corespunzătoare celor r

noduri.

)1k2( )1k2( −×−

1 pp K

5 4, 3, ,2∈

g1 g ,,g ∆∆ K

rk pK

2)k2(r =

gr

2

Fig. 4.37 Fereastră de interpolare de dimensiuni (2k – 1) x (2k – 1).


folosind metoda celor mai mici pătrate.

Valoarea anomaliei Bouguer în punctul p se poate calcula cu relaţia (HEISKANEN

1967 şi MORITZ 1962):

. ( )

∆

∆∆

=∆

−

)p(g

)p(g)p(g

)pp(C)pp(C)pp(C

)pp(C)pp(C)pp(C)pp(C)pp(C)pp(C

)pp(C)pp(C)pp(C)p(g

r

2

11

rr1r1r

r22212

r12111

r21M

L

MOMM

L

L

L

(4.137)

Toate funcţiile de covarianţă se calculează folosind unul din modelele prezentate în 4.1

"Consideraţii privind corelaţia spaţială a anomaliilor Bouguer (2. Covarianţa)".

În (MORITZ 1978) se demonstrează că interpolarea folosind metoda celor mai mici

pătrate se bucură de aceleaşi proprietăţi remarcabile ca şi funcţia spline cubică.

Proprietatea de normă minimă. Dintre toate funcţiile de interpolare posibile, funcţia

de interpolare care foloseşte metoda celor mai mici pătrate posedă cea mai mică normă

( g∆ = minim).

Proprietatea de cea mai bună aproximare. Dintre toate combinaţiile liniare posibile

care se referă la aceeaşi configuraţie de puncte , combinaţia folosită pentru

interpolare are norma

n21 p,,p,p K

===∆− − 2/1)(vgf vCv 1T minim, f fiind funcţia de aproximat.

Capitolul 5

CONTRIBUŢII ALE GEODEZIEI LA DELIMITAREA ZONELOR DE STRUCTURĂ DIN INTERIORUL

PĂMÂNTULUI

Reprezentarea cartografică a anomaliilor Bouguer perfecţionate (simple) dintr-o regiune

de studiu poartă denumirea de harta anomaliilor Bouguer numită pe scurt de geofizicieni şi

geologi – harta Bouguer sau harta gravimetrică. Această hartă oferă o imagine de ansamblu a

câmpului gravităţii din regiunea de studiu şi constituie materialul primar pe baza căruia

urmează să se descifreze atât structura solului cât şi delimitarea zonelor de structură din

interiorul acestuia.

Curbele de egală anomalie de pe harta Bouguer furnizează o imagine complexă, în care

se pot reflecta cauze diferite ca situare şi extindere spaţială. Ele pot reprezenta efectul cumulat –

fie al unor corpuri sursă (formaţiuni perturbante) situate la adâncimi şi dimensiuni diverse ca

ordine de mărime (efecte regionale şi locale) – fie al unor corpuri sursă de adâncimi şi

dimensiuni de acelaşi ordin de mărime (efecte locale cumulate).

Deşi în multe cazuri hărţile Bouguer pot sugera soluţii geologice, de multe ori formele

curbelor de egală anomalie nu corespund particularităţilor structurale ale unor formaţiuni de

acest tip.

În astfel de cazuri se apelează la date de observaţie seismice. Acestea conduc la

informaţii asupra poziţiei elementelor reflectatoare, spre deosebire de datele gravimetrice care –

prelucrate şi sintetizate în hărţi Bouguer – nu lasă să se recunoască imediat semnificaţia lor

geologică, deoarece anomaliile gravimetrice au relaţii mai subtile cu structura geologică.

Pentru stabilirea acestor relaţii şi pentru caracterizarea lor cantitativă, datele de

observaţie gravimetrice trebuie de cele mai multe ori supuse – înainte de interpretarea lor finală,

în termeni geologici – unei analize care să pună în evidenţă elementele determinante pentru

identificarea condiţiilor de reflectare a structurii geologice în distribuţia câmpului gravităţii,

adică pentru efectuarea corelării imagine geometrică – imagine structurală. O asemenea analiză

comportă printre altele, determinarea unor imagini suplimentare ale anomaliilor – imagini ce

reprezintă materialul gravimetric secundar.

Capitolul 5 – Contribuţii ale geodeziei la delimitarea zonelor de structură din interiorul Pământului 98

Prin analiza cantitativă a datelor gravimetrice se urmăreşte transformarea materialului

gravimetric primar astfel încât să se obţină imagini ale anomaliilor în care să se poată distinge

unele sau altele din elementele ce determină efectele complexe. Rolul materialului gravimetric

secundar, la care se ajunge prin asemenea transformări, este acela de a realiza – în măsura în

care este posibil – o separare a efectelor cu grad diferit de regionalitate şi o rezolvare a

efectelor cumulate în elementele componente.

De asemenea, analiza cantitativă a datelor gravimetrice urmăreşte ca soluţia geologică

cea mai probabilă, compatibilă cu distribuţia observată a câmpului, să poată fi caracterizată şi

cantitativ, prin informaţii asupra amplasării geografice, adâncimii, formei, dimensiunilor şi

contrastului de masă al corpului sursă (formaţiunii perturbante) care produce anomalia

gravimetrică.

Procedeele care conduc la atingerea acestor obiective sunt variate. În cadrul acestui

capitol se prezintă sintetic principiile pe care se bazează cele mai cunoscute procedee,

posibilităţile, limitele şi descrierile lor, cu indicarea modalităţilor de aplicare practică.

5.1 ANOMALIA BOUGUER REGIONALĂ ŞI ANOMALIA BOUGUER

LOCALĂ

Ţinând seama de caracterul relativ al noţiunilor de ''regional'' şi ''local'', de ambiguitatea

legată de separarea anomaliilor corespunzătoare şi de modalitatea de obţinere a acestora, se pot

utiliza preferenţial termenii de anomalie nivelată / majoră pentru anomalia regională şi

anomalie reziduală / minoră pentru cea locală.

Cunoscând substratul fizico-geologic al componentelor regionale şi locale ale

anomaliilor Bouguer – notate pe tot parcursul acestui capitol cu ∆g – şi caracteristicile lor

morfologice, toate încercările de separare comportă două etape:

a. stabilirea câmpului nivelat căruia i se atribuie semnificaţia de câmp regional ; Rg∆

b. determinarea câmpului rezidual, adoptat convenţional drept câmp local . Lg∆

Principiul care stă la baza procedeului avut în vedere (CONSTANTINESCU 1964 şi

WOLF 1992) constă din eliminarea influenţelor regionale din anomaliile Bouguer perfecţi-

onate, operaţie care poate fi descrisă analitic de ecuaţia:

, i = 1, ..., n (5.1) Rii

Li ggg ∆−∆=∆

unde n reprezintă numărul de puncte din reţeaua gravimetrică considerată.


Având în vedere extinderea limitată a zonei acoperită de PGGC, pentru s-a folosit

următoarea expresie:

Rig∆

+∆+∆+∆∆+∆+∆+∆+∆+=∆ 3i03

3i30ii11

2i02

2i20i01i1000

Ri yaxayxayaxayaxaag

, (5.2) 2ii12i

2i21 yxayxa ∆∆+∆∆+

unde )y(My;)x(Mx;yyy;xxx i0i00ii0ii ==−=∆−=∆ .

Valorile ∆ şi respectiv ix iy∆ sunt cunoscute, iar M reprezintă operatorul mediei

aritmetice.

Prelucrarea se desfăşoară ţinând seama că:

• necunoscutele modelului funcţional sunt coeficienţii: a ,a,a,a,a,a,a, 30110220011000

122103 a,a,a ;

• termenii liberi ai ecuaţiilor de corecţii sunt reprezentaţi de anomaliile Bouguer

perfecţionate calculate cu relaţia (3.51);

• numărul ecuaţiilor este egal cu numărul punctelor din reţeaua gravimetrică – n;

• funcţia scop a prelucrării este: [ → minim. ]gg Li

Li ∆∆

Rezultatul prelucrării conduce la determinarea valorilor anomaliilor Bouguer locale în

punctele reţelei gravimetrice.

Interpretarea fizică a anomaliei Bouguer regionale şi a anomaliei Bouguer locale

Anomalia regională are cauze situate foarte adânc în interiorul crustei, care prezintă

variaţii regulate în spaţiu pe suprafeţe mari. Astfel de cauze pot fi determinate de:

eterogenitatea de compoziţie sau variaţia nivelului suprafeţei fundamentului cristalin sub un

strat gros de sedimente, efilarea foarte lentă a unei formaţiuni sedimentare care prezintă un

contrast de densitate faţă de celelalte sedimente, variaţia regulată de densitate ş.a.

Prin opoziţie, anomalia locală se datorează unor cauze superficiale, care prezintă variaţii

neregulate în spaţiu (ca geometrie sau contrast de densitate) pe suprafeţe relativ mici, cum ar fi:

existenţa unei falii, a unui dom de sare care se ridică până aproape de suprafaţă, a unui

zăcământ de magnetită, existenţa unei cutări a formaţiunilor superficiale, în general o structură

de dimensiuni reduse.


5.2 ANOMALIILE CONTINUATE ANALITIC ALE GRAVITĂŢII

Pentru un punct P situat pe suprafaţa fizică a Pământului, potenţialul câmpului gravific

W(P) poate fi descompus într-o o sumă de trei componente:

, (5.3) )P(T)P(T)P(U)P(W B++=

în care: U – reprezintă potenţialul normal al câmpului gravităţii datorat elipsoidului de

referinţă;

T – potenţialul perturbator datorat reliefului omogen dintre elipsoid şi suprafaţa

fizică a Pământului;

BT

– potenţialul perturbator datorat corpurilor sursă (neomogenităţii maselor din

interiorul Pământului).

Neomogenitatea maselor se referă la:

• densitatea folosită pentru obţinerea anomaliei Bouguer;

• densitatea din interiorul elipsoidului de referinţă.

Deoarece potenţialul este o funcţie armonică, care verifică ecuaţia lui Laplace, se poate

scrie:

, (5.4) 0TB =∆

unde 2

2

2

2

2

2

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆ (5.5)

poartă denumirea de operatorul lui Laplace sau laplacian.

Presupunând că altitudinea folosită pentru obţinerea anomaliei Bouguer în punctul P

este cea elipsoidală şi că atracţia maselor topografice este luată în calcul pentru întreg

Pământul, rezultă că potenţialului perturbator datorat corpurilor sursă – T i se poate asocia

anomalia Bouguer:

B

z

Tg B

∂∂

=∆ . (5.6)

Aplicând celor doi membri ai relaţiei de mai sus operatorul lui Laplace, schimbând

ordinea operaţiilor indicate de ∆ şi z∂∂ şi ţinând seama de (3.2), se constată că şi mărimea ∆g

satisface ecuaţia lui Laplace:

0z

gy

gx

g2

2

2

2

2

2

=∂

∆∂+

∂∆∂

+∂

∆∂ . (5.7)

Din relaţia de mai sus se observă că variaţia lui ∆g pe verticală (derivata 22 zg ∂∆∂ )

depinde de variaţia în plan orizontal (derivatele de ordin doi după x şi y).


Acest aspect sugerează posibilitatea găsirii câmpului anomaliilor gravimetrice la o

anumită altitudine / adâncime funcţie de valorile observate la cote inferioare / superioare.

Acest procedeu, numit continuare analitică în semispaţiul superior / inferior, se poate

aplica atât pentru date de observaţie repartizate pe un plan orizontal, cât şi în pentru măsurători

efectuate pe o suprafaţă topografică accidentată.

Mijloacele puse la dispoziţie de teoria potenţialului au fost utilizate pentru elaborarea

mai multor metode de determinare a anomaliilor continuate analitic ale gravităţii, dintre care, în

cele ce urmează, se vor prezenta două.

1. Metoda bazată pe formula flux-divergenţă şi pe funcţia Green pentru un semispaţiu

Plecând de la formula flux-divergenţă (Gauss-Ostrogradski):

∫∫ ∫∫∫=S V

dVvdivdSnv , (5.8)

în care S reprezintă o suprafaţă închisă care mărgineşte volumul V, n este normala la S, iar v

un câmp vectorial suficient de neted în (IVAN 1994) se demonstrează că în cazul unor date de

observaţie situate pe un plan orizontal, pentru un câmp ∆g oarecare, formula de continuare

analitică în semispaţiul superior – numită şi integrala Dirichlet este:

[ ] dxdy)zz()yy()xx(

z)0,y,x(g

21)z,y,x(g 23 2

02

02

0

0000 ∫∫

+

−

∞

∞ −+−+−∆

π=−∆ , (5.9)

unde – reprezintă coordonatele a două puncte amplasate simetric faţă de un

plan (xOy), aşa cum rezultă din figura următoare:

)z,y,x(),z,y,x( 000 −

Fig. 5.1 Amplasarea simetrică a punctelor şi faţă de planul (xOy). 0M *

0M

Metoda are o importanţă practică deosebită, conducând la o atenuare a erorilor

(zgomotului) şi a efectelor geometrice de relief date de poziţii particulare ale corpurilor sursă în

raport cu suprafaţa de observaţie.


2. Metoda Constantinescu – Botezatu

2.A Continuarea analitică în semispaţiul inferior

Demonstraţia completă a acestei metode se găseşte în (CONSTANTINESCU 1961) şi

se bazează pe următoarea formulă generală:

∑ ∑µ=−∆N

0

K

1k

nk

n

A!n

m)md(g , (5.10)

în care m este un multiplu al laturii reţelei – notată cu d (Fig. 5.2), – poartă denumirea de

coeficienţi de generalizare, şi se determină pe baza distribuţiei câmpului în planul z = 0, iar

– se numesc parametri de desfăşurare şi se determină punând condiţia la limită:

kA

kµ

0 , (5.11) )L(J k0 =µ

unde constanta L este o valoare mare a lui l (Fig. 5.2) pentru care mărimea ∆g din planul de

observaţie devine neglijabilă în comparaţie cu valoarea câmpului din punctul pentru care se

face calculul.

Relaţia (3.9) se obţine prin înlocuirea expresiilor derivatelor de diverse ordine ale

gravităţii, luate în raport cu verticala, în desfăşurarea în serie MacLaurin a acestei mărimi –

considerată ca o funcţie continuă şi derivabilă. Expresiile derivatelor se deduc din soluţia

ecuaţiei lui Laplace (în aproximaţia Fourier-Bessel) scrisă pentru ∆g în coordonate cilindrice.

Din motive de simplificare a calculelor numerice, respectând însă necesităţile de

satisfacere a exigenţelor de ordine de mărime, în lucrarea menţionată însumările din (3.9) s-au

limitat la N = 11 şi K = 3.

Formula finală de calcul este următoarea:

∑∑ ∆+∆+∆=−∆4

1im

4

1imm )d2(gc)d(gb)0(ga)md(g , (5.12)

în care şi sunt coeficienţi ai căror valori numerice depind atât de m cât şi de razele

cercurilor pe care sunt realizate valorile medii ale anomaliei ∆g.

mm b,a mc

Pentru cazul în care ∆g este cunoscută într-o reţea de pătrate de latură d, ca cea din

Fig. 5.2, valorile coeficienţilor numerici din relaţia (3.13) se găsesc în Tabelul 5.1.

Pentru m = 1, relaţia (3.13), devine:

∑ ∑= =

∆−∆+∆−=−∆4

1i

4

1iii )d2(g517417.4)d(g904104.6)0(g395745.8)d(g . (5.13)


Fig. 5.2 Configuraţia de puncte pentru reţeaua de pătrate.

Tabelul 5.1 Valorile coeficienţilor care intervin în relaţia (5.12).

m ma mb mc

1.0 -8.395745 6.904104 -4.517417

1.5 4.925253 1.813734 -2.738953

2.0 48.025922 -17.848485 6.166283

2.5 146.360253 -64.878762 28.632006

3.0 342.401945 -160.706552 75.471680

Prin încercări, autorii metodei au constatat că formula (3.13) conduce la aproximaţii

satisfăcătoare doar pentru valori ale lui d mai mici de 1000 m. De asemenea ei au ajuns la

concluzia că din punct de vedere practic este indicat să se facă continuarea la diverse adâncimi

pe baza aceleiaşi reţele, coeficienţii formulei de lucru fiind calculaţi pentru adâncimi exprimate

ca multipli ai laturii reţelei.

2.B Continuarea analitică în semispaţiul superior

Continuarea analitică în semispaţiul superior se bazează pe o formulă generală similară

cu cea dată de relaţia (3.9), şi anume:

∑ ∑µ−=+∆N

0

K

1k

nk

nn A

!nm)1()md(g . (5.14)

Pornind de la aceasta, prin calcule asemănătoare, aceiaşi autori au determinat şi formula

practică de calcul a continuării analitice în semispaţiul superior:

∑ ∑= =

∆+∆−∆=+∆4

1i

4

1iii )d2(g809928.5)d(g482929.10)0(g543508.19)d(g . (5.15)


Interpretarea fizică a anomaliilor continuate analitic ale gravităţii

Un material gravimetric secundar care se dovedeşte util la interpretarea fizică a

anomaliilor gravimetrice, este reprezentat de imaginile acestora în alte plane decât cel în care

s-a efectuat reducerea datelor de observaţie.

Imaginile continuate analitic ale anomaliilor gravimetrice pot fi folosite calitativ pentru

rezolvarea anomaliilor cumulate şi deci pentru o mai bună conturare şi localizare a surselor lor

şi cantitativ pentru estimări de adâncimi şi pentru calcule structurale.

Continuarea analitică în sus a anomaliilor gravimetrice se utilizează în urma realizării de

măsurători gradiometrice / aerogravimetrice, pentru a căror corelare cu anomaliile terestre este

necesară o continuare în sus a celor din urmă. Acest procedeu de continuare, destul de rar

utilizat până în anii 80 în geodezia fizică, a devenit din ce în ce mai întrebuinţat datorită

necesităţii calibrării măsurătorilor gravimetrice satelitale.

Continuarea analitică în jos prezintă o importanţă deosebită în gravimetrie. Rolul

acesteia este legat de faptul că reflectarea unui corp sursă în anomalia gravimetrică

corespunzătoare se face cu atât mai bine, cu cât planul în care este surprinsă imaginea este

situat mai aproape de sursa anomaliei. Deoarece în cazul unor corpuri sursă adânci planul de

observaţie este departe de sursă, rămâne ca obţinerea imaginii anomaliei într-un plan apropiat să

se realizeze prin calcul, adică prin continuare analitică în jos.

5.3 ANOMALIILE DERIVATELOR VERTICALE ALE GRAVITĂŢII

5.3.1 Anomalia gradientului vertical (anomalia derivatei verticale de

ordinul I)

Utilizarea în practică a gradientului vertical ca instrument de punere în evidenţă a

anomaliilor locale şi de rezolvare a anomaliilor cumulate a condus la elaborarea unor metode de

calcul pentru acest element gravimetric. În continuare se prezintă trei dintre aceste metode.

1. Metoda filtrării

Prin filtrarea unei anomalii gravimetrice se înţelege efectuarea unei succesiuni de

operaţii numerice (de filtrare) prin care anomalia dată (de intrare) se transformă într-una sau

mai multe anomalii (de ieşire) legate ''genetic'' de prima (IVAN 1994).


Filtrarea poate fi realizată:

a. în domeniul spaţial – când operaţiile numerice se aplică direct asupra anomaliei de

intrare;

b. în domeniul spectral – când operaţiile numerice se aplică asupra transformatei

Fourier a anomaliei date, iar rezultatului obţinut i se aplică transformata Fourier inversă.

A. Filtrarea în domeniul spaţial

Să considerăm anomalia ∆g cunoscută în nodurile unei reţele pătratice sub forma unei

matrice , – cu elementele , c = 1,..., N, l = 1,..., M – unde N reprezintă numărul de

coloane iar M numărul de linii.

∆g lc,∆g

Să considerăm o submatrice h , – cu elementele , i, j = 1,..., F – numită matricea

coeficienţilor filtrului sau matricea caracteristică de transfer a filtrului, unde F este un număr

impar mic (F = 3, 5, 7,... şi F < min N, M).

j,ih

Filtrarea în domeniul spaţial, cunoscută şi sub denumirea de metoda mediilor mobile sau

metoda ferestrei mobile, constă în:

• suprapunerea repetată, în toate poziţiile posibile, a matricei coeficienţilor filtrului h

peste matricea ∆g;

• înmulţirea valorilor cu coeficienţii suprapuşi; l,cg∆ j,ih

• adunarea rezultatelor înmulţirilor şi atribuirea valorii (ca poziţie în spaţiu) punctului

central al matricei h.

Iniţial, matricea h se suprapune peste colţul din stânga sus al matricei ∆g apoi se

coboară succesiv cu câte o linie, până când ultima linie a lui h se suprapune peste ultima linie a

lui ∆g. Apoi, matricea h se deplasează cu o coloană spre dreapta, revine cu prima linie pe prima

linie a lui ∆g şi reîncepe coborârea succesivă cu câte o linie. Procedând în acest mod, ultima

poziţie a lui h va fi în colţul din dreapta jos a lui ∆g.

Dacă notăm cu ∆ matricea de ieşire, se poate scrie: zg

. (5.16) gh∆g z ∆ =

În general, pentru un F impar oarecare, elementele matricei ∆ se calculează cu relaţia: zg

, (5.17) qp,z∆g = ∑ ∑−+

=

−+

=+−+−∆

1Fp

pc

1Fq

q1q,1pcc hg

lll

unde p = 1,..., N – F + 1, q = 1,..., M – F + 1, iar valoarea ∆ are aceeaşi poziţie în spaţiu ca

şi

qp,zg

2/)1F(q,2/)1F(p −+−+∆g .


Principala problemă a filtrării în domeniul spaţial o reprezintă determinarea expresiei

caracteristicii de transfer a filtrului astfel încât funcţia obţinută în final să reprezinte anomalia

filtrată dorită.

B. Filtrarea în domeniul spectral

Schema generală de filtrare în domeniul spectral este următoarea:

Fig. 5.3 Schema generală de filtrare în domeniul spectral (după IVAN 1994).

Pentru înţelegerea schemei generale de filtrare în domeniul spectral din figura de mai

sus, sunt necesare câteva informaţii suplimentare cu privire la transformata Fourier şi

proprietăţile acesteia, precum şi explicarea unor noţiuni cu care se operează curent: produs de

convoluţie, formulă de deplasare, funcţie de transfer a filtrului de continuare analitică şi funcţie

de transfer a filtrului pentru gradientul vertical.

B.1 Transformata Fourier. Proprietăţi

Fie funcţia:

f = f(x, y) (5.18)

care, în situaţia avută în vedere, reprezintă anomalia gravimetrică ∆g obţinută pe o suprafaţă

plană şi orizontală.

Se numeşte transformata Fourier (continuă) directă (TFD) a lui f, funcţia:

F(u, v) = , (5.19) ∫ ∫+

−

∞

∞

+− dxdy)]vyux(iexp[)y,x(f

unde i = 1− .

În practică, integrala (3.5) se evaluează pe un domeniu finit (domeniu de măsură).

Studiul condiţiilor matematice pe care trebuie să le îndeplinească funcţia f pentru ca această

integrală să existe nu este în general necesar, dar condiţionează stabilitatea numerică a

procedeelor ce utilizează acest tip de transformări integrale.


Dacă se cunoaşte transformata Fourier directă, funcţia iniţială f se poate reconstitui prin

transformata Fourier (continuă) inversă (TFI):

f(x, y) = . (5.20) ∫ ∫+

−

∞

∞

++ dudv)]vyux(iexp[)v,u(F

Deoarece, în practică, valorile funcţiei (3.51) se cunosc numai în anumite puncte,

integralele (3.5) şi (3.19) se aproximează prin sume, obţinându-se perechea de transformate

Fourier discrete (directă şi inversă). Evaluarea unei transformate Fourier discrete este o

operaţie laborioasă, deoarece necesită apelarea repetată a funcţiilor sinus şi cosinus. Dacă

numărul de puncte în care se cunoaşte funcţia f este o matrice cu 2N coloane şi 2M linii,

calculul transformatelor discrete se face folosind o subrutină specială numită transformata

Fourier rapidă (FFT) – Fast Fourier Transform, a cărei viteză de calcul este mult mai mare.

B.2 Produs de convoluţie

Fie

)y,x(f = ∫∫+

−

∞

∞

−− dxdy)yy,xx(h)y,x(g . (5.21)

Funcţia )y,x(f poartă denumirea de produsul de convoluţie al funcţiilor g şi h.

Transformata Fourier a acestei funcţii este:

F(u, v) = =+−∫∫+

−

∞

∞

dxdy)]yvxu(iexp[)y,x(f

= dxdyydxd)]yvxu(i[exp)yy,xx(h)y,x(g +−−−∫∫+

−

∞

∞

+

−

∞

∞∫∫ . (5.22)

Efectuând substituţia: ,Yyy,Xxx =−=− rezultă:

F(u, v) = G(u, v)*H(u, v), (5.23)

unde G şi H sunt transformatele Fourier ale funcţiilor g şi h din formula (3.14).

Aşadar, transformata Fourier a produsului de convoluţie este produsul transformatelor

Fourier ale factorilor componenţi.

B.3 Formula de deplasare

Fie funcţia f(x, y) cu transformata Fourier F(u, v) şi funcţia

g(x, y) = )y,xx( −f . (5.24)


Transformata Fourier a lui g este:

G(u, v) = =+−−∫∫+

−

∞

∞

dxdy)]vyux(iexp[)y,xx(f

= dXdy)]vyuX(i[exp)y,Xf)xiu +−− ∫∫+

−

∞

∞

(exp( . (5.25)

Deci transformata Fourier a funcţiei deplasate se obţine cu ajutorul transformatei

funcţiei nedeplasate, prin formula:

G(u, v) = )v,u(F)xiu−exp( . (5.26)

B.4 Funcţia de transfer a filtrului de continuare analitică

În [Ivan, 1994] se arată că expresia câmpului continuat analitic este dată de produsul de

convoluţie dintre câmpul observat pe planul de referinţă şi funcţia:

232220

)zyx(2z

)y,x(h++π

= . (5.27)

Utilizând produsul de convoluţie şi formula de deplasare, se poate obţine funcţia de

transfer a filtrului de continuare analitică în sus:

),vuzexp()v,u(H 220 +−=∧ 0 (5.28)z0 >

Prin simetrie, se admite că filtrul de continuare analitică în jos are caracteristica:

),vuzexp()v,u(H 220 +=∨ 0 (5.29) z0 >

cu rezerva existenţei transformatei Fourier inverse din schema generală de filtrare (Fig. 5.3).

B.5 Funcţia de transfer a filtrului pentru gradientul vertical

S-a stabilit că între transformata Fourier a câmpului anomaliilor de pe planul z şi

transformata câmpului anomaliilor de pe planul

0z−=

0z = există legătura:

)v,u(g)vuzexp()v,u(g 022

z ∆+=∆ . (5.30)

Derivând relaţia de mai sus în raport cu z, se obţine:

)v,u(g)vuzexp(vuz

)v,u(g0

2222z ∆++=∂

∆∂ , (5.31)

adică )v,u(gvuz

)v,u(gz

22z ∆+=∂

∆∂ . (5.32)


Planul z −= fiind arbitrar, filtrul pentru gradientul vertical (derivata de ordinul I

verticală) are caracteristica teoretică dată de relaţia:

0z

22 vu)v,u(H += . (5.33)

Datorită simetriei circulare, în figura de mai jos s-a reprezentat un singur cadran:

Fig. 5.4 Reprezentarea caracteristicii teoretice a filtrului pentru gradientul vertical.

Datorită aproximaţiilor pe care le implică, filtrarea în domeniul spectral nu furnizează

întotdeauna rezultate optime, dar prezintă totuşi avantajul vitezei de calcul.

Cea mai importantă aplicaţie practică a analizei spectrale este proiectarea unor filtre în

domeniul spaţial.

C. Proiectarea filtrului pentru calculul anomaliei gradientului vertical folosind analiza spectrală

Se consideră un filtru din domeniul spaţial caracterizat de matricea:

h =

2252522

52125

21012

52125

2252522

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

, (5.34)

Pentru simplificarea calculelor se admite că pasul de eşantionare este unitar (ceea ce

înseamnă că, în prealabil, valorile anomaliilor s-au normat cu valoarea pasului).

Indicii din (3.36) reprezintă distanţele faţă de punctul central.


Folosind relaţia (3.12), funcţia de transfer a acestui filtru este:

H*(u, v) = a +++++++++ −−−− )eeee(a)eeee(a iv2iv2iu2iu22

iviviuiu10

+++++++++ +−−−+−+−−−+− ]eeee[a]eeee[a )vu(i2)vu(i2)vu(i2)vu(i222

)vu(i)vu(i)vu(i)vu(i2

]eeeeeeee[a )v2u(i)v2u(i)v2u(i)v2u(i)vu2(i)vu2(i)vu2(i)vu2(i5

+−−−+−+−−−+− ++++++++ .

(5.35)

Dacă în relaţia de mai sus se efectuează substituţiile: respectiv

, aceasta devine:

iuiu eeucos2 += −

iviv eevcos2 += −

H*(u, v) = +++++ )v2cosu2(cosa2)vcosu(cosa2 210a

+−+++++−+ )]vu(2cos)vu(2[cosa2)]vucos()vu[cos(a2 222

)]v2ucos()v2ucos()vu2cos()vu2[cos(a2 5 −+++−+++ . (5.36)

Ţinând seama de grupul de relaţii de mai jos,

)4tcos(r2)tsint(cosrvu π+=−=−

)4tcos(r2)tsint(cosrvu π−=+=+

)21tanatcos(r5)tsintcos2(rvu2 −=+=+

)21tanatcos(r5)tsintcos2(rvu2 +=−=− (5.37)

)2tanatcos(r5)tsin2t(cosrv2u −=+=+

)2tanatcos(r5)tsin2t(cosrv2u +=−=−

)rrtanatcos(rrtsinrtcosr 1222

2121 −+=+

relaţia (3.20) se poate scrie în coordonate polare )tsinrv,tcosru( == , astfel:

H*(r, t) = +++++ )]tsinr2cos()tcosr2[cos(a2)]tsinrcos()tcosr[cos(a2a 210

+ +π−+π+ )]4tcos(r2cos()4tcos(r2[cos(a2 2

+ +π++π− )]4tcos(r22cos()4tcos(r22[cos(a2 22

+ +++− ))21tanatcos(5rcos())21tanatcos(5r[cos(a2 5

+ ))]2tanatcos(5rcos())2tanatcos(5rcos( ++− . (5.38)

S-a menţionat că funcţia de transfer pentru gradientul vertical este:

H(u, v) = rvu 22 =+ , π≤v,u pentru ∆ = pasul de eşantionare = 1. (5.33)


Determinarea celor 6 elemente necunoscute ale matricei (3.36) se realizează punând

condiţia ca abaterea, în sensul celor mai mici pătrate, dintre caracteristica (3.37) şi funcţia

(3.44) să fie minimă pe discul de rază unitară centrat în origine, adică:

. (5.39) ∫ ∫π

=

π

=

=

−

0r

2

0t

2* minrdrdt]r)t,r(H[

Dacă se utilizează coordonate polare (u = rcost, v = rsint) şi se consideră integrala pe un

cerc, condiţia de minim (3.26) devine:

∫ ∫π

=

π

=

=

∂∂

−π0r

2

0t p

** 0rdrdt

aH]r)t,r(H[

21 , (5.40)

pentru p = 0, 1, 2, 2 , 22 , 5 , unde:

1 aH

0

*

=∂∂

)]tsinrcos()tcosr[cos(2 aH

1

*

+=∂∂

)]tsinr2cos()tcosr2[cos(2 aH

2

*

+=∂∂

))]4tcos(r2cos())4tcos(r2[cos(2 aH

2

*

π−+π+=∂∂ (5.41)

))]4tcos(r22cos())4tcos(r22[cos(2 aH

22

*

π++π−=∂∂

+++−=∂∂ ))21tanatcos(r5cos())21tanatcos(r5[cos(2 aH

5

*

+ ))]2tanatcos(r5cos())2tanatcos(r5 ++−cos( .

Relaţia (3.28) generează un sistem de 6 ecuaţii cu 6 necunoscute – (3.40), ai căror

coeficienţi şi termeni liberi depind de funcţiile Bessel de ordin 0 şi 1:

∫π

+π

=2

000 ,dt)]ttcos(rcos[

21)r(J Rt 0 ∈ , iar J 1)0(0 = (5.42)

şi ∫π

π=π

001 dr)pr(rJp)p(J . (5.43)


Calculul coeficienţilor sistemului (3.40) se face prin recurenţă, aplicând relaţiile:

∑ ∑∞

=

∞

=

=

+−

=0n 0n

n

n2n1 T

21

2x

)!1n(!n)1(

21

x)x(J

, ( )n

2

1n1 T)2n)(1n(

2xT,1T++

−== + (5.44)

în timp ce pentru determinarea termenilor liberi, se va ţine seama de faptul că:

∑ ∫∫∫∫∞

=

ππππ

=

−

π=

π=

π=

π 0n

p

0

2n2

2

n

230

02

23

p

002

2

20

02

2 dtt2t

)!n()1(

p1dt)t(Jt

p1

pdt)t(J

pt1dr)pr(Jr1

∑∞

=

∞

=

π+

→

π

+−

π=+

−π 0n

n2

2

n

0n

p

0

3n2

n22

n

23 2p

3n21

)!n()1(

3n22)!n()1

p ∑=t1(1

∑∞

=

+−

0n2

n

23n2)!n()1(

π→

x1 , 31T0 = ,

n

2

2nn2

2n2

n

1n

1n T2x

)1n(1

5n23n2T

2x

2x

3n21

5n21

)!n()!n()1(

)!1n()!1n()1(

T

+++

−=

+

+−

++−

=

++

+ (5.45)

unde pr = t iar ∑∞

=

−

=0n

n2

2

n

0 2x

)!n()1()x(J .

În Anexa 3 sunt prezentate calculele care au condus la obţinerea ecuaţiilor acestui

sistem.

Soluţiile sistemului sunt prezentate în Tabelul 5.2:

Tabelul 5.2 Soluţiile sistemului generat de condiţia (3.28).

0a 1a 2a 2a 22a 5a

2.3460100 -0.3923450 0.0268937 -0.1067570 -0.0059066 0.0016794

(5.46)

12

a5

)5(J2a

22)22(J

a2

)2(Ja

2)2(J

a)(J

8a

51

221

21

21

110 π

=π

π+

π

π+

π

π+

ππ

+ππ

+

+

π

π+

π

π+

ππ

+π

π+

ππ

+π

π+

ππ

+

+

π

π+

ππ

+ππ

2211

211

2111

111

01 a

5)5(J

13)13(J

2a)(J

5)5(J

2a)(J

5)5(J

23

)3(Ja

21

2)2(J

22

)2(Ja

)(J

∫π

π=

ππ

+π

π+

π

π+

π

π+

00

225

1111 dr)r(Jr1a2

)2(J22

)22(J2

)2(J10

)10(J2

+

ππ

+π

π+

π

π+

π

π+

+

π

π+

ππ

+

ππ

+π

π+

ππ

+ππ

2211

211

211

1111

01 a

2)2(J

52)52(J

2a2

)2(J10

)10(J2a

21

22)22(J

24

)4(Ja

)(J5

)5(J2

3)3(J

a2

)2(J

∫π

π=

ππ

+π

π+

π

π+

π

π+

00

225

1111 dr)r2(Jr1a)(J

5)5(J

13)13(J

17)17(J

2

+

π

π+

π

π+

π

π+

+

ππ

+π

π+

π

π+

π

π+

ππ

+π

π+

π

π22

1112

112

111

110

1 a10

)10(J2

2)2(J

23)23(J

2a21

2)2(J

22)22(J

a2

)2(J2

10)10(J

2a)(J

5)5(J

2a2

)2(J

∫π

π=

ππ

+π

π+

π

π+

ππ

+0

02

251111 dr)r2(Jr1a

)(J13

)13(J5

)5(J3

)3(J2

+

π

π+

π

π+

π

π+

ππ

+π

π+

π

π+

π

π+

π

π2

1112

111

110

1 a10

)10(J2

2)2(J

23)23(J

a2

)2(J52

)52(J2a

5)5(J

13)13(J

2a22

)22(J

∫π

π=

ππ

+π

π+

ππ

+ππ

+

+

ππ

+π

π+

00

225

111122

11 dr)r22(Jr1a3

)3(J17

)17(J)(J5

)5(J2a

21

4)4(J

224

)24(J2

+

ππ

+π

π+

π

π+

ππ

+

ππ

+π

π+

π

π+

π

π+

ππ

+π

π+

π

π+

π

π+

π

π2

11112

11111

11110

1 a)(J

13)13(J

5)5(J

3)3(J

a)(J

5)5(J

13)13(J

17)17(J

a2

)2(J22

)22(J2

)2(J10

)10(Ja

5)5(J

∫π

π=

π

π+

π

π+

π

π+

ππ

+ππ

++π

π+

ππ

+π

π+

ππ

+ππ

+0

02

25111111

221111 dr)r5(Jr1a

10)10(J

22

)2(J23

)23(J2

)2(J4

)4(J21

52)52(J

a3

)3(J17

)17(J)(J5

)5(J

(5.47)


O altă posibilitate de determinare a celor 6 elemente ale matricei (3.36) este aceea ca pe

lângă condiţia (3.26) să fie satisfăcută condiţia suplimentară:

H*(0,0) = 0, (5.48)

care permite folosirea metodei multiplicatorilor Lagrange şi deci introducerea unei necunoscute

suplimentare – multiplicatorul Lagrange, notat cu λ.

În acest nou caz, prin trecerea în coordonate polare (u = rcost, v = rsint) şi integrând pe

cerc, rezultă o altă condiţie de minim:

∫ ∫π

=

π

=

=λ+

∂∂

−π0r

p

2

0t p

** 0krdrdt

aH]r)t,r(H[

21 , (5.49)

pentru p = 0, 1, 2, 2 , 22 , 5 , şi 8k,4kkkk,1k 5222210 ====== .

Coeficienţii 50 k,,k KK s-au calculat cu relaţia:

)]0,0(H[a

)]0,0(H)0,0(H[a

k *

p

*

pp ∂

∂=−

∂∂

= . (5.50)

Condiţia (3.42) generează 6 ecuaţii:

+ππ

+ 110 a)(J

8a

....................... 12π

=λ+

+ππ

01 a)(J .............................. =λ+4 ..........

+ππ

01 a2

)2(J ............................ =λ+ .......... 4

+π

π0

1 a2

)2(J.......................... =λ+4 ..........

+π

π0

1 a22

)22(J........................ =λ+4 ..........

+π

π0

1 a5

)5(J.......................... =λ+ .......... (5.51) 8

în timp ce condiţia (3.4) o furnizează pe cea de a 7-a:

4a8a4a4a4a4a 5222210 =+++++ . (5.52)

Se ajunge astfel la un sistem de 7 ecuaţii cu 7 necunoscute cu următoarele soluţii:

Tabelul 5.3 Soluţiile sistemului generat de condiţiile (3.4) şi (3.42).

0a 1a 2a 2a 22a 5a

2.3347600 -0.4151090 0.0107081 -0.1206720 -0.0251652 -0.0167253

(5.53)


Caracteristica de transfer a filtrului pentru calculul anomaliei gradientului vertical

folosind soluţiile din Tabelul 5.3 se poate reprezenta grafic astfel:

Fig. 5.5 Caracteristica de transfer a filtrului pentru calculul anomaliilor gradientului vertical.

Deoarece matricea filtrului are ordinul 5, pe fiecare latură a matricei anomaliilor

Bouguer se pierd câte 2 linii / coloane.

Presupunând că fiecare valoare a anomaliei Bouguer din matricea este afectată de o

eroare ± E, aceeaşi pentru toate valorile, eroarea cu care se obţine anomalia gradientului vertical

folosind soluţiile din Tabelul 5.1 este e = ± 2.484 E. Dacă se folosesc soluţiile din Tabelul 5.2,

aceeaşi eroare are valoarea e = ± 2.491 E.

∆g

2. Metoda Baranov

O altă posibilitate de determinare pe cale simplă a anomaliei gradientului vertical al

gravităţii o constituie formula Baranov (CONSTANTINESCU 1964):

−∆−∆−∆−∆=∆ ∑∑∑

===

)d5(g401.17)d2(g248.5)d(g975.170)0(g518.230d

100g8

1ii

4

1ii

4

1iiz

−∆−∆−∆− ∑∑∑===

)d5(g174.4)d17(g249.5)d10(g577.912

1ii

8

1ii

8

1ii

∆−∆+∆− ∑∑∑

===

)d10(g160.34)d68(g340.20)d40(g038.412

1ii

8

1ii

8

1ii . (5.54)

Ca mod de aplicare, relaţia de calcul de mai sus este similară unui filtru cu o matrice de

ordinul 21 care conduce la pierderea a 9 linii / coloane pe fiecare latură a matricei anomaliilor

Bouguer. De aceea ea se poate aplica doar pentru zone de studiu ale căror suprafaţe depăşesc ca

ordin de mărime zecile de kilometri pătraţi.

Această formulă exprimă valoarea gradientului vertical în Eötvösi [E] dacă ∆g este

exprimată în miligali [mgal] iar latura d a reţelei de pătrate în metri [m].


3. Metoda Constantinescu – Eldaiem

Datorită restricţiilor de utilizare a formulei Baranov, în (CONSTANTINESCU 1963) se

recomandă evaluarea gradientului vertical folosind o formulă aproximativă.

Principiul care stă la baza acestei metode este următorul: cunoscute fiind valorile

continuate analitic ale gravităţii, la distanţe egale în jos şi în sus, se poate aproxima gradientul

vertical, în planul de reducere a gravităţii observate, prin raportul dintre diferenţa celor două

valori continuate şi distanţa verticală ce separă planele de continuare:

d2

)d(g)d(gg z+∆−−∆

=∆ . (5.55)

Introducând (3.6) şi (3.35) în relaţia de mai sus, se deduce formula practică de calcul a

anomaliei gradientului vertical:

∆−∆+∆−=∆ ∑ ∑

= =

4

1i

4

1iiiz )d2(g163673.5)d(g693517.8)0(g969627.13

d1g . (5.56)

Interpretarea fizică a anomaliei gradientului vertical

Anomaliile gradientului vertical al gravităţii sunt utile pentru punerea în evidenţă a

particularităţilor unor structuri locale şi pentru definirea unor caracteristici majore ale bazinelor

sedimentare. Eficienţa lor se manifestă de asemenea şi la localizarea faliilor tectonice.

5.3.2 Anomalia derivatei verticale de ordinul II

Posibilităţile gradientului vertical al gravităţii de a pune în evidenţă particularităţile

locale ale anomaliilor gravimetrice, apar în principiu mai promiţătoare în cazul celui de-al

doilea gradient vertical al acestei mărimi, numit uzual derivata a doua.

Procedeele practice propuse pentru deducerea derivatei a doua din distribuţia în plan a

valorilor anomaliilor gravimetrice sunt numeroase şi, în aparenţă, variate. Ele se bazează însă

pe proprietatea anomaliei gravităţii de a avea laplacianul nul:

gyxz

gg 2

2

2

2

2

2

zz ∆

∂∂

+∂∂

−=∂

∆∂=∆ , (5.57)

de unde se vede că variaţia în plan a anomaliei gravimetrice determină rapiditatea variaţiei ei pe

verticală.

Atât obţinerea cât şi aplicarea acestor procedee, prezintă unele similarităţi cu gradientul

vertical. În continuare sunt prezentate două metode de calcul ale acestuia.


1. Metoda filtrării

Metoda filtrării constă în:

• suprapunerea repetată, în toate poziţiile posibile, a matricei coeficienţilor filtrului h

dat de relaţia (3.36) peste matricea ∆ ; zg

• înmulţirea valorilor cu coeficienţii suprapuşi; qp,z∆g j,ih

• adunarea rezultatelor înmulţirilor şi atribuirea valorii (ca poziţie în spaţiu) punctului

central al matricei h.

Dacă se notează cu ∆ matricea de ieşire, se poate scrie: zzg

. (5.58) zzz ∆gh∆g =

2. Metoda Baranov

Pentru determinarea anomaliei derivatei verticale de ordinul II, Baranov recomandă

următoarea formulă practică de calcul (CONSTANTINESCU 1964):

∆+∆+∆−∆=∆ ∑ ∑ ∑

= = =

4

1i

4

1i

8

1iiii2zz )d5(g)d2(g40)d(g185)0(g144

d251g . (5.59)

2.3.2 Interpretarea fizică a anomaliei derivatelor verticale de ordinul II

Importanţa derivatelor verticale de ordinul II pentru interpretarea fizică a datelor

gravimetrice este legată de faptul că dubla derivare în raport cu verticala tinde să scoată în

evidenţă anomaliile mici – provocate de cauze superficiale, în dauna caracteristicilor mari – de

ordin regional ale distribuţiei câmpului gravităţii.


Capitolul 6

STUDIU DE CAZ

Lucrările prezentate în continuare au fost efectuate în PGGC, situat la aproximativ

55 km NE de Bucureşti între localităţile Gruiu şi Lipia.

6.1 POLIGONUL GEODINAMIC GRUIU – CĂLDĂRUŞANI

Poligonul a fost proiectat şi realizat în cadrul unei colaborări între INFP şi CGUTCB,

la doi ani după devastatorul cutremur din 4 martie 1977 cu epicentrul în regiunea Vrancea, cu

scopul de a se pune în evidenţă structurile geologice locale şi eventualele deplasări relative ale

acestora (mişcări orizontale sau verticale).

În acelaşi cadru se putea verifica şi ipoteza emisă de către prof. Airinei în anul 1977,

conform căreia în lungul faliei Intramoesice (denumită şi falia Ploieşti (Tinosu)-Fierbinţi-

Călăraşi sau falia Belciugatele) au loc deplasări relative ale microplăcilor Moesică şi respectiv

a Mării Negre (Fig. 6.1).

Fig. 6.1 Microplăcile tectonice pe teritoriul României (după AIRINEI 1977).

Capitolul 6 – Studiu de caz 120

Potrivit concluziilor prof. Airinei, mişcarea spre NV a acestor microplăci, în opoziţie cu

microplaca Intra-Alpină, constituie principala cauză de producere a cutremurelor vrâncene.

6.1.1 Consideraţii geonomice privind amplasarea

Alegerea efectivă a zonei Gruiu-Căldăruşani (Bm = 44°43'; Lm = 26°15'; Hm = 90m)

pentru amplasarea poligonului geodinamic a aparţinut INFP şi s-a bazat pe considerente de

natură geologică, geofizică şi seismologică, câteva dintre acestea fiind prezentate în continuare.

Localităţile Gruiu şi Lipia sunt situate pe zona marginală a Platformei Moesice şi sunt

traversate de aliniamentul corespunzător poziţiei extrapolate la suprafaţă a faliei Intramoesice.

Caracterul profund al acestei fracturi puternic înclinate, este atestat de amploarea mare a

saltului în cuvertura sedimentară anteterţiară între straturile din Cretacic şi Sarmaţian (datele de

foraj indică o cădere de aproximativ 700 de metri a compartimentului sud-vestic) precum şi de

dezvoltarea regională pe direcţie (peste 150 km pusă clar în evidenţă pe teritoriul României,

fiind posibilă chiar o extindere spre sud până zona Sabla din Bulgaria) (Fig. 6.2) (CORNEA

1980). După datele privind focarele cutremurelor intracrustale minore din zonă, extinderea în

adâncime a faliei atinge 25-28 km, dar deocamdată nu există indicaţii care să ateste clar

conservarea unui salt semnificativ al faliei până la baza crustei terestre.

Fig. 6.2 Consideraţii privind amplasarea Poligonului Geodinamic Gruiu – Căldăruşani (după CORNEA 1980).


O altă premisă importantă care a dus la amplasarea poligonului în această zonă a fost

aceea că, în timpul prospectării unor zăcăminte de gaze în anul 1962, aici s-au produs mai multe

erupţii de gaze şi noroi prin cratere cu dimensiuni cuprinse între 50 şi 100 de metri, aflate în

aliniament cu sonda. Acest fenomen, soldat cu pagube materiale importante (distrugerea mai

multor case şi a unei porţiuni de şosea) a fost apreciat de către specialişti ca manifestarea la

suprafaţă a faliei Intramoesice.

De asemenea, analiza distribuţiei cutremurelor în această parte a Platformei Moesice

indică faptul că activitatea seismică (cutremure cu magnitudinea cuprinsă între 2.5 şi 5.0 grade

pe scara Mercalli) este situată în lungul acestei falii crustale de adâncime.

Având în vedere posibilitatea existenţei mai multor ramificaţii ale faliei principale, s-a

hotărât ca reţeaua geodezică să fie proiectată astfel încât să acopere cât mai complet teritoriul

respectiv, depăşind zona craterelor.

6.1.2 Reţeaua geodezică

Din motive organizatorice şi financiare, reţeaua propriu-zisă (Fig. 6.3) a fost realizată în

mai multe etape, pe parcursul a 17 ani (1978 – 1995), după cum urmează:

• punctele 1, ..., 12 – între anii 1978 – 1979;

• punctele 13, ..., 22 – între 1981 – 1982;

• punctele 34, 35 şi 36 – în 1984;

• punctele 50, ..., 56 – între 1986 – 1987;

• punctele 60, ..., 71 – în 1995.

Pentru materializarea punctelor reţelei geodezice s-au folosit repere de adâncime

(punctele 1, ..., 22) – forate la peste 30 m, repere de greutate (punctele 34, ..., 56) – blocuri de

beton de peste 3 tone şi borne de beton (punctele 60, ..., 71) aşa cum s-a arătat în Fig. 3.2.

Din motive financiare, reperele realizate în anul 1995 au fost prevăzute numai pentru

scopuri gravimetrice. Ele constau din borne de beton cu centru metalic care au următoarele

dimensiuni: 0.30 x 0.30 m la partea superioară, 0.40 x 0.40 m la partea inferioară şi 0.90 m

înălţime.


Fig. 6.3 Reţeaua gravimetrică din Poligonul Geodinamic Gruiu – Căldăruşani.

6.1.3 Măsurători geodezice efectuate în poligon

Măsurătorile geodezice s-au efectuat, într-o mare parte, cu aparatura pusă la dispoziţie

de către FAvH într-o strânsă colaborare cu IGTUB precum şi cu IGUTK. Acestea au fost

analizate şi prezentate în cadrul mai multor manifestări ştiinţifice interne şi internaţionale

(BONATZ 1994; GHIŢĂU 1996b şi RĂDULESCU 1992).

Concepţia actuală de prelucrare a observaţiilor geodezice, în particular a celor repetate,

porneşte de la ideea tratării simultane a tuturor surselor de informaţii care contribuie la

determinarea parametrilor necunoscuţi, spre deosebire de abordarea mai veche, în care fiecare

sursă (categorie de măsurători, epocă de măsurare) era prelucrată separat. Totuşi, complexitatea

fenomenelor care concură la producerea deplasărilor crustei terestre, pe de o parte, şi

diversitatea factorilor care influenţează şi caracterizează diferitele tipuri de măsurători, pe de

altă parte, impun o anumită separare a componentelor sau o anumită etapizare a tratării, astfel

că de regulă, prelucrarea capătă un caracter iterativ prin care se asigură ''rafinarea'' treptată a

datelor şi a procedeelor utilizate. Acest mod de abordare este determinat şi de unele dificultăţi

practice de rezolvare, cum ar fi de exemplu, separarea deplasărilor locale (relative) de cele

globale (absolute), acestea din urmă fiind afectate de influenţa mişcărilor proprii ale stelelor,

modificarea câmpului gravific, modificarea mişcării de rotaţie a Pământului etc.


6.1.4 Rezultate obţinute din măsurătorile geodezice de poziţie

În (BONATZ 1994 şi GHIŢĂU 1996), cercetători din INFP şi CGUTCB au prezentat

în amănunt PGGC şi anume: amplasamentul şi destinaţia acestuia, cauzele care au generat

realizarea sa, modalităţile de marcare a punctelor geodezice, măsurătorile efectuate în perioada

1979-1994, precum şi modelele de prelucrare folosite şi principalele rezultate obţinute.

Prelucrarea acestor măsurători s-a făcut în sisteme tridimensionale în două versiuni:

modelul static (reţea liberă în care toate măsurătorile s-au prelucrat simultan) şi modelul relativ

(punctele reţelei au fost separate în două blocuri: blocul stabil – compus din punctele 1, 5, 6 şi

blocul mobil – alcătuit din celelalte puncte: 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11 şi 12).

Astfel s-a constatat că punctele geodezice au suferit deplasări orizontale dinspre SE

către NV, valorile vitezelor vectorilor de mişcare orizontali fiind cuprinse între 0.85 mm/an

(punctul 3) şi 1.84 mm/an (punctul 12); viteza de deplasare a punctului 9 nu a fost luată în

calcul datorită valorii ei mari (4.24 mm/an), aceasta datorându-se probabil unor cauze locale

legate de amplasarea pilastrului. De asemenea, s-a constatat că vectorii deplasărilor orizontale

indică valori ale vitezelor mai mari pentru punctele situate în partea de NE a reţelei (7, 8, 9, 10,

11 şi 12) şi mai mici pentru punctele situate în partea de SV (2, 3 şi 4). O altă observaţie

importantă priveşte sectorul de NE al reţelei geodezice care indică o rotaţie unitară în sens

trigonometric a punctelor geodezice cu un unghi de 3cc.05, în comparaţie cu sectorul de SV care

indică o mişcare de translaţie către NV. Rotaţia s-a confirmat şi prin rezultatele obţinute din

măsurători foarte precise de azimute astronomice realizate în colaborare cu astronomii geodezi

militari.

În ceea ce priveşte deplasările verticale, se remarcă atât mişcări pozitive cât şi negative.

Cele mai mici mişcări pozitive apar în cazul punctelor 3 şi 4 (+ 0.43 mm/an, respectiv

+ 0.54 mm/an), iar cele mai mari mişcări (+ 1.81 mm/an) caracterizează punctul 8. Cele mai

mici mişcări negative apar în cazul punctelor 2 şi 12 (– 0.64 mm/an, respectiv – 0.47 mm/an),

iar cele mai mari mişcări (– 6.55 mm/an) caracterizează punctul 7; punctul 9 nu a fost luat în

calcul datorită valorii de deplasare negative mult prea mari (– 21.11 mm/an).

Este important de menţionat că cele două sectoare aparţin unor unităţi diferite din punct

de vedere geomorfologic şi anume: sectorul de NE, poziţionat pe terasa inferioară a râului

Ialomiţa (cu înălţimi de 91-94 m) şi sectorul de SV cu înălţimi mai mari (98-100 m); tranziţia

între cele două sectoare este făcută de o terasă depresionară de aproximativ 4 m înălţime.

Studiile geodezice realizate au indicat prezenţa deplasărilor orizontale şi verticale în

conformitate cu modelul geodinamic al prof. Airinei, însă dimensiunile reduse ale poligonului

conferă un caracter local măsurătorilor geodezice. Trebuie de asemenea subliniat faptul că a


fost pentru prima dată când deplasările puse în evidenţă prin măsurători geodezice au avut

aceeaşi direcţie cu informaţiile preliminare puse la dispoziţie de specialiştii din INFP, adică din

direcţia SE spre direcţia NV.

6.2 MĂSURĂTORI EFECTUATE ŞI REZULTATELE OBŢINUTE

6.2.1 Măsurători efectuate

În prezenta teză de doctorat s-au folosit măsurătorile gravimetrice şi de nivelment

efectuate la epocile: 1993-toamnă (1993.8) şi 1995-toamnă (1995.8).

Autorul tezei de doctorat a participat la ambele campanii gravimetrice.

Aparatura şi metodele folosite în operaţiunile de teren precum şi metodele de prelucrare

ale măsurătorilor au fost prezentate detaliat în mai multe lucrări (BONATZ 1995; GHIŢĂU

1996a şi KORDI 1992).

6.2.2 Rezultatele obţinute

Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC necesare efectuării

calculelor pentru determinarea anomaliilor Faye şi Bouguer au fost organizate în două

documente EXCEL corespunzătoare epocilor de realizare a măsurătorilor (1993.8 respectiv

1995.8), în cadrul cărora au fost grupate în şase foi de lucru cu următoarele denumiri generice:

DESCRIERE POLIGON, DATE COMPLETE, DATE REDUSE, ALTITUDINI, CORECŢII DE RELIEF şi ANOMALII. Extrase din acestea se găsesc în Anexele 1 şi 2.

Programe de calcul

Pentru rezolvarea următoarelor probleme din cuprinsul tezei de doctorat, s-au realizat

programe de calcul folosind mediul de programare Delphi 6.0 – mod consolă:

• determinarea valorilor gradientului vertical al gravităţii în toate punctele reţelei

gravimetrice;

• implementarea procedeului de separare a anomaliilor Bouguer perfecţionate în

anomalii Bouguer regionale şi anomalii Bouguer locale;

• calculul anomaliilor gradientului vertical al gravităţii;

• calculul derivatelor verticale de ordinul II ale gravităţii.


Reprezentări grafice

În continuare se prezintă separat, pentru fiecare epocă de măsurare în parte,

reprezentările plane şi tridimensionale ale:

• anomaliilor Faye;

• anomaliilor Bouguer (incomplete, complete şi perfecţionate);

• anomaliilor Bouger regionale şi locale;

• anomaliilor gradientului vertical (derivatelor verticale de ordinul I) al(e) gravităţii;

• anomaliilor derivatelor verticale de ordinul II ale gravităţii.

Acestea sunt precedate de variogramele experimentale şi model care au condus la obţinerea

gridurilor pentru anomaliile enumerate mai sus.

EPOCA 1993.8

Fig. 6.4 Semi-variogramele experimentală (negru) şi model (albastru) pentru:

(a) anomaliile Faye. Epoca 1993.8; (b) anomaliile Bouguer incomplete. Epoca 1993.8



(a) anomaliile Bouguer complete. Epoca 1993.8; (b) anomaliile Bouguer perfecţionate (simple). Epoca 1993.8


(a) anomaliile Bouguer regionale. Epoca 1993.8; (b) anomaliile Bouguer locale. Epoca 1993.8


7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

-42.49

-42.69

-42.94

-42.58

-42.79

-42.95 -43.44

-43.12-43.47

-43.83

-43.59

-44.00

-42.06

-45.03

-41.68

-42.45

-44.01

-42.07

-42.36

-43.36-43.02

-43.97

-44.17

-42.071

2

3

4

5

6 7

89

10

11

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

Fig. 6.7 Anomalia Faye (reprezentare 2D). Epoca 1993.8


-44.60 mgal

-44.10 mgal

-43.60 mgal

-43.10 mgal

-42.60 mgal

-42.10 mgal




7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

-78.80

-79.24

-79.53

-78.95

-78.97

-79.39 -77.66

-79.41-78.02

-78.44

-78.01

-78.45

-78.68

-79.46

-78.42

-79.16

-78.12

-78.25

-78.52

-77.31-79.66

-78.41

-79.08

-78.701

2

3

4

5

6 7

89

10

11

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

Fig. 6.9 Anomalia Bouguer incompletă (reprezentare 2D). Epoca 1993.8


-79.60 mgal

-79.10 mgal

-78.60 mgal

-78.10 mgal

-77.60 mgal




7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

-52.22

-52.49

-52.76

-52.32

-52.48

-52.71 -52.63

-52.83-52.74

-53.11

-52.82

-53.24

-51.88

-54.28

-51.52

-52.28

-53.15

-51.76

-52.03

-52.44-52.82

-53.21

-53.51

-51.871

2

3

4

5

6 7

89

10

11

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

Fig. 6.11 Anomalia Bouguer completă (reprezentare 2D). Epoca 1993.8


-54.00 mgal

-53.50 mgal

-53.00 mgal

-52.50 mgal

-52.00 mgal




7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

-51.95

-52.15

-52.43

-51.75

-52.09

-52.28 -52.58

-51.92-52.55

-52.98

-52.75

-53.19

-51.66

-54.16

-51.20

-52.12

-53.13

-51.70

-51.16

-52.33-52.27

-53.16

-53.10

-51.491

2

3

4

5

6 7

89

10

11

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

Fig. 6.13 Anomalia Bouguer perfecţionată (reprezentare 2D). Epoca 1993.8


-53.80 mgal

-53.30 mgal

-52.80 mgal

-52.30 mgal

-51.80 mgal




7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

-51.89

-52.00

-52.18

-51.93

-52.01

-52.12 -52.27

-52.19-52.51

-52.81

-52.84

-53.32

-51.75

-54.13

-51.21

-52.16

-53.13

-51.53

-51.48

-52.20-52.41

-52.71

-53.47

-51.831

2

3

4

5

6 7

89

10

11

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

Fig. 6.15 Anomalia Bouguer regională (reprezentare 2D). Epoca 1993.8


-53.80 mgal

-53.30 mgal

-52.80 mgal

-52.30 mgal

-51.80 mgal




7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

-0.06

-0.14

-0.25

0.18

-0.08

-0.16 -0.31

0.27-0.04

-0.17

0.09

0.13

0.10

-0.03

0.00

0.04

-0.00

-0.17

0.32

-0.130.15

-0.45

0.37

0.341

2

3

4

5

6 7

89

10

11

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

Fig. 6.17 Anomalia Bouguer locală (reprezentare 2D). Epoca 1993.8


-0.40 mgal

-0.20 mgal

0.00 mgal

0.20 mgal




1

2

3

4

5

6 7

89

10

11

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

1

2

3

4

5

6 7

89

10

11

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

7000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 11000

Fig. 6.19 Anomalia gradientului vertical al gravităţii (reprezentare 2D). Epoca 1993.8


-30.00 E

-10.00 E

10.00 E

30.00 E




7000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 11000

1

2

3

4

5

6 7

89

1011

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

1

2

3

4

5

6 7

89

1011

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

Fig. 6.21 Anomalia derivatei verticale de ordinul II a gravităţii (reprezentare 2D). Epoca 1993.8


-0.35 E/m

-0.15 E/m

0.05 E/m

0.25 E/m




EPOCA 1995.8


(a) anomaliile Faye. Epoca 1995.8; (b) anomaliile Bouguer incomplete. Epoca 1995.8


(a) anomaliile Bouguer complete. Epoca 1995.8; (b) anomaliile Bouguer perfecţionate (simple). Epoca 1995.8



(a) anomaliile Bouguer regionale. Epoca 1995.8; (b) anomaliile Bouguer locale. Epoca 1995.8


7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

-42.48

-42.67

-42.92

-42.57

-42.78

-42.95 -43.43

-43.12-43.44

-43.82

-43.57

-43.97

-42.04

-44.94

-41.65

-42.42

-43.96

-42.05

-42.35

-43.46-43.04

-43.93

-44.14

-42.07

-42.79

-43.18-43.23

-42.74

-43.69

-44.05-44.03

-42.30

-41.37

-40.89-41.06

-41.64

1

2

3

4

5

6 7

89

10

11

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

60

6162

63

64

6566

67

68

6970

71



-45.00 mgal

-44.00 mgal

-43.00 mgal

-42.00 mgal




7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

-78.79

-79.22

-79.51

-78.94

-78.97

-79.38 -77.65

-79.41-78.00

-78.43

-77.98

-78.43

-78.65

-79.38

-78.41

-79.13

-78.07

-78.23

-78.51

-77.43-79.67

-78.36

-79.06

-78.70

-79.07

-80.01-78.87

-79.58

-78.40

-79.42-79.45

-76.26

-77.82

-77.56-77.26

-78.22

1

2

3

4

5

6 7

89

10

11

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

60

6162

63

64

6566

67

68

6970

71



-79.80 mgal

-78.80 mgal

-77.80 mgal

-76.80 mgal




7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

-52.21

-52.46

-52.74

-52.31

-52.47

-52.71 -52.62

-52.83-52.72

-53.10

-52.79

-53.21

-51.85

-54.19

-51.50

-52.25

-53.10

-51.74

-52.02

-52.54-52.83

-53.17

-53.48

-51.86

-52.48

-53.01-52.74

-52.57

-52.95

-53.49-53.48

-51.37

-51.10

-50.67-50.72

-51.41

1

2

3

4

5

6 7

89

10

11

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

60

6162

63

64

6566

67

68

6970

71



-54.20 mgal

-53.20 mgal

-52.20 mgal

-51.20 mgal




7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

-51.94

-52.12

-52.41

-51.74

-52.08

-52.28 -52.57

-51.92-52.52

-52.97

-52.72

-53.16

-51.63

-54.07

-51.18

-52.09

-53.08

-51.68

-51.15

-52.43-52.28

-53.12

-53.07

-51.48

-52.46

-52.47-52.67

-52.15

-52.89

-53.24-52.94

-50.98

-50.84

-50.66-50.69

-51.07

1

2

3

4

5

6 7

89

10

11

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

60

6162

63

64

6566

67

68

6970

71



-53.80 mgal

-53.30 mgal

-52.80 mgal

-52.30 mgal

-51.80 mgal

-51.30 mgal




7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

-51.85

-52.03

-52.19

-51.89

-52.08

-52.23 -52.16

-52.45-52.39

-52.74

-52.63

-53.04

-51.77

-54.09

-51.25

-52.15

-53.07

-51.26

-51.68

-52.46-52.42

-52.76

-53.39

-51.65

-52.48

-52.59-52.53

-52.33

-52.67

-52.88-53.10

-51.47

-50.73

-50.64-51.11

-50.60

1

2

3

4

5

6 7

89

10

11

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

60

6162

63

64

6566

67

68

6970

71



-54.00 mgal

-53.00 mgal

-52.00 mgal

-51.00 mgal




7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

-0.08

-0.09

-0.22

0.15

-0.00

-0.05 -0.41

0.53-0.14

-0.22

-0.09

-0.12

0.14

0.02

0.07

0.06

-0.01

-0.42

0.53

0.020.14

-0.35

0.33

0.17

0.02

0.12-0.14

0.19

-0.22

-0.360.16

0.49

-0.12

-0.010.42

-0.47

1

2

3

4

5

6 7

89

10

11

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

60

6162

63

64

6566

67

68

6970

71



-0.40 mgal

-0.20 mgal

0.00 mgal

0.20 mgal

0.40 mgal




1

2

3

4

5

6 7

89

10

11

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

60

61 62

63

64

6566

67

68

6970

71

1

2

3

4

5

6 7

89

10

11

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

60

61 62

63

64

6566

67

68

6970

71

7000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 11000



-30.00 E

-10.00 E

10.00 E

30.00 E




7000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 11000

1

2

3

4

5

6 7

89

10

11

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

60

61 62

63

64

6566

67

68

6970

71

1

2

3

4

5

6 7

89

10

11

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

60

61 62

63

64

6566

67

68

6970

71



-0.30 E/m

-0.10 E/m

0.10 E/m

0.30 E/m




6.3 COMENTARII

Reprezentarea anomaliilor Bouguer locale (Fig. 6.17 şi 6.36) sugerează existenţa unei

falii orientată pe direcţia NV-SE care trece prin apropierea punctelor geodezice 65, 8, 7 şi 51. În

aceste puncte, anomaliile Bouguer locale se disting prin valori pronunţate – aproximativ duble

faţă de cele ale punctelor din jur – atât pozitive cât şi negative, aspect care se poate observa şi

din Fig. 6.42.

Fig. 6.42 Profilul anomaliilor gravităţii pe direcţia NV-SE.

Pe schiţa derivatelor de ordinul I ale anomaliilor Bouguer (Fig. 6.19 şi 6.38) se regăsesc

zonele de anomalie punctuale puse în evidenţă pe schiţa anomaliilor Bouguer locale; chiar şi

alternanţa lor se păstrează: o valoare negativă în punctul 65, urmată de una pozitivă în punctul

8, şi aşa mai departe (Fig. 6.42).

Schiţa derivatelor de ordinul II ale anomaliilor Bouguer (Fig. 6.21 şi 6.40) indică practic

acelaşi lucru, cu singura deosebire că zonele de anomalie din jurul punctelor situate central (8

şi 7) sunt mai bine conturate comparativ cu cele din punctele extreme (65 şi 51).

Falia în cauză a fost pusă în evidenţă şi cu ajutorul metodei ferestrei mobile, astfel:

• gridurile anomaliilor gradientului vertical corespunzătoare celor două epoci de

măsurare s-au împărţit fictiv în ferestre de dimensiuni 5 x 5. Datorită ariei restrânse

a zonei de studiu, s-a luat în calcul suprapunerea acestor ferestre pe o distanţă egală

cu de două ori mărimea pasului gridului, ca în figura următoare:


Fig. 6.43 Împărţirea fictivă a gridului anomaliilor gradientului vertical în ferestre de dimensiuni 5 x 5 cu suprapu-nere pe o distanţă egală cu de două ori mărimea pasului gridului.

• pentru fiecare din ferestrele considerate s-a calculat un indice V cu relaţia:

10/)]1ln(*m[V 2 +σ= , (6.1)

în care media – m, respectiv dispersia – s-au determinat astfel: 2σ

∑=

∆=25

1iiz )g(

251m ; (6.2)

∑=

−∆=σ25

1i

2iz

2 ]m)g[(251 ; (6.3)

• în final s-a procedat la reprezentarea plană a indicelui V, reprezentare ce conturează

zonele de anomalie existente (Fig. 6.44 şi 6.45).

Punerea în evidenţă a acestei falii prin metode gravimetrice confirmă ipotezele şi

determinările specialiştilor geologi şi respectiv seismologi, potrivit cărora PGGC este traversat

de falia Intramoesică, care separă subplaca Moesică de cea a Mării Negre (CORNEA 1980).


7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

1

2

3

4

5

6 7

89

1011

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

1

2

3

4

5

6 7

89

1011

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

Fig. 6.44 Indicele V (reprezentare 2D). Epoca 1993.8



7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

1

2

3

4

5

6 7

89

1011

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

60

61 62

63

64

6566

67

68

6970

71

1

2

3

4

5

6 7

89

1011

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

60

61 62

63

64

6566

67

68

6970

71

Fig. 6.45 Indicele V (reprezentare 2D). Epoca 1995.8


Capitolul 7

CONCLUZII

Lucrarea reprezintă o modestă contribuţie a autorului la problematica complexă a

determinării structurii părţii superioare a crustei terestre.

În capitolul 2 al tezei de doctorat se prezintă aspecte cu privire la structura internă a

Globului terestru. Un rol important în definirea acestui cadru îl reprezintă evidenţierea

dinamicii părţii superioare a planetei (crusta terestră şi litosfera).

După cum se ştie, litosfera este rigidă şi se compune din plăci de mari dimensiuni, care

cuprind pe lângă zonele continentale şi pe cele oceanice. Aceste plăci se deplasează. În

mişcarea lor, ele se freacă, se ating sau se ciocnesc cu forţe şi viteze variabile, dând naştere

unor fenomene naturale nedorite cum ar fi cutremurele de pământ sau erupţiile vulcanice.

Monitorizarea deplasărilor plăcilor tectonice reprezintă una din preocupările majore ale

geofizicienilor şi geodezilor. Aceştia au elaborat o serie de modele cinematice ale plăcilor

tectonice cu ajutorul cărora se pot determina vitezele de deplasare ale punctelor situate pe

suprafaţa fizică a Pământului datorită mişcărilor plăcilor tectonice. Aceste modele sunt

prezentate în detaliu în cadrul acestui capitol.

În continuare se prezintă ipoteza emisă de prof. Airinei în anul 1977 cu privire la

delimitarea pe teritoriul ţării noastre a plăcilor litosferice precum şi raporturile geodinamice

dintre acestea.

Capitolul se încheie cu o expunere privind importanţa deosebită a utilizării anomaliilor

Bouguer în cadrul problematicii abordate. Prin cele două exemple descrise se subliniază rolul

esenţial pe care îl au acestea pentru punerea în evidenţă a structurilor geologice.

În capitolul 3 se prezintă modul de calcul al anomaliilor gravităţii în conformitate cu

prevederile BGI, punându-se accent pe particularizările care intervin în determinarea acestora

în cazul punctelor reţelei gravimetrice din PGGC – locul de efectuare a măsurătorilor

gravimetrice care fac obiectul studiului de caz. În cadrul acestui capitol, o contribuţie personală

o reprezintă elaborarea unui program de calcul folosind mediul de programare Delphi 6.0 –

mod consolă pentru implementarea metodei de calcul a gradientului vertical al gravităţii

deasupra solului pentru fiecare punct din reţeaua gravimetrică.

Capitolul 7 – Concluzii 200

Contribuţii personale sunt conţinute în mod deosebit în capitolele 4, 5 şi 6.

Astfel, în cadrul capitolului 4 un loc aparte îl ocupă abordarea problematicii deosebit de

complexe a continuităţii spaţiale a datelor gravimetrice, cu referiri concrete la două modalităţi

de corelaţie statistică a anomaliilor: autocorelaţia şi corelaţia cu înălţimea.

În literatura de specialitate de la noi din ţară nu există o descriere a modului de calcul al

unor indicatori statistici care pun în evidenţă corelaţia spaţială a datelor geografice, cum ar fi

semi-variograma γ(s) sau corelograma ρ(s).

În acest capitol se prezintă în detaliu atât modul de calcul cât şi cel de interpretare al

celor două funcţii mai sus menţionate. În plus, se aduc o serie de precizări privind modalitatea

de folosire cu caracter local a covarianţei C(s).

O scurtă concluzie a celor arătate anterior este că nu se poate vorbi de realizarea unei

interpolări corecte fără folosirea unor indicatori statistici adecvaţi.

O notă distinctă a acestui capitol constă în prezentarea în detaliu a trei metode de

construire a gridului anomaliilor Bouguer utilizând valorile cunoscute ale acestora în punctele

unei reţele gravimetrice şi anume:

• realizarea gridului elastic;

• realizarea gridului de tip spline ''placă subţire'' şi a gridului spline pseudo-cubic;

• realizarea gridului prin kriging.

Primele două metode nu au mai fost prezentate în literatura de specialitate de la noi din

ţară, cea de-a treia fiind descrisă doar principial.

Elaborarea acestui capitol a necesitat un volum foarte mare de muncă din partea

autorului care a constat în consultarea unui număr însemnat de lucrări de geostatistică şi analiză

numerică – majoritatea în limbile engleză şi franceză.

În capitolul 5 se descrie procedeul de separare a anomaliilor Bouguer perfecţionate în

anomalii Bouguer locale şi anomalii Bouguer regionale pentru implementarea căruia am

conceput şi realizat, de asemenea, un program în Delphi 6.0 – mod consolă.

Utilizarea gradientului vertical şi a derivatelor verticale de ordinul II ca elemente de

evidenţiere al anomaliilor locale a condus la elaborarea mai multor metode de calcul pentru

aceste mărimi gravimetrice. Dintre acestea, în cuprinsul acestui capitol, am acordat o atenţie

deosebită metodei filtrării, în special proiectării filtrului pentru calculul anomaliei gradientului

vertical folosind analiza spectrală. Proiectarea unui astfel de filtru reprezintă o operaţiune

deosebit de laborioasă care necesită o bună cunoaştere a analizei Fourier.

Toate metodele prezentate în acest capitol sunt rezolvate prin intermediul unui program

propriu scris folosind tot mediul de programare Delphi 6.0.


În capitolul 6 se prezintă un studiu de caz care a constat din:

• prelucrarea măsurătorilor gravimetrice şi de nivelment efectuate la epocile: 1993-

toamnă (1993.8) şi 1995-toamnă (1995.8) în PGGC (autorul tezei de doctorat a

participat la ambele campanii gravimetrice);

• aplicarea tuturor procedeelor şi metodelor prezentate în capitolele 3, 4 şi 5 în scopul

punerii în evidenţă, prin metode gravimetrice, a faliei Intramoesice care traversează

poligonul menţionat.

Suplimentar, în acest capitol se prezintă şi o metodă statistică care se bazează pe

principiul metodei ferestrei mobile şi care, după ştiinţa autorului, este aplicată pentru prima dată

pe un grid cu anomalii ale gradientului vertical pentru determinarea poziţiei extrapolate la

suprafaţă a unei falii tectonice.

Punerea în evidenţă a acestei falii prin metode gravimetrice confirmă ipotezele şi

determinările specialiştilor geologi şi respectiv seismologi, potrivit cărora PGGC este traversat

pe direcţia NV-SE de falia Intramoesică, care separă subplaca Moesică de cea a Mării Negre

(CORNEA 1980).

Autorul îşi exprimă convingerea că nu peste foarte mult timp, când se va dispune de

măsurători gravimetrice cu o densitate asemănătoare celei din PGGC pentru toată ţara, se va

putea determina structura părţii superioare a crustei terestre pentru întreg teritoriul României

prin metode gravimetrice.

Bibliografia conţine un număr de peste 90 de referinţe citate o singură dată. Acestea au

fost organizate în ordine alfabetică, pe capitole.

Un rol foarte important în documentarea privind elaborarea acestei lucrări au avut-o:

• stagiul de pregătire CETEL din perioada 5 octombrie 1996 – 10 iulie 1997 desfăşu-

rat la Toulouse, Franţa, pe parcursul căruia am avut acces la Biblioteca BGI;

• vizita la fratele meu în Columbus, S.U.A. din perioada august – septembrie 1999,

ocazie de care am profitat pentru a studia o serie de lucrări la Biblioteca de Ştiinţe şi

Inginerie (Science and Engineering Library) a Universităţii Statului Ohio.


Anexa 1

ATRIBUTELE PRINCIPALE ALE PUNCTELOR REŢELEI GRAVIMETRICE DIN

POLIGONUL GEODINAMIC GRUIU-CĂLDĂRUŞANI LA EPOCA 1993.8

Anexa 1 – Atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice din PGGC la Epoca 1993.8 204


7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

1

2

3

4

5

6 7

89

1011

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

1

2

3

4

5

6 7

89

1011

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

LEGENDA - Reper de adâncime (construit între anii 1978-1979)

- Reper de adâncime (construit între anii 1981-1982)

- Reper de greutate (construit în anul 1984) - Reper de greutate (construit între anii 1986-1987)

Fig. A1.1 Schiţa reţelei gravimetrice din Poligonul Geodinamic Gruiu – Căldăruşani la Epoca 1993.8


Anexa 1 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1993.8) – DESCRIERE POLIGON

Nr. crt. Den. punct Tip reper Cod reper Cod simbol/an Explicaţii 1 1 Reper de adâncime A 1 1 = 1,…, 12 = 1978-1979 2 2 Reper de adâncime A 1 2 = 13, 18 = 1981-1982 3 3 Reper de adâncime A 1 3 = 34, 35, 36 = 1984 4 4 Reper de adâncime A 1 4 =

50,…, 56 = 1986-1987

5 5 Reper de adâncime A 1 6 6 Reper de adâncime A 1 7 7 Reper de adâncime A 1 8 8 Reper de adâncime A 1 9 9 Reper de adâncime A 1 10 10 Reper de adâncime A 1 11 11 Reper de adâncime A 1 12 12 Reper de adâncime A 1 13 13 Reper de adâncime A 2 14 18 Reper de adâncime A 2 15 34 Reper de greutate G 3 16 35 Reper de greutate G 3 17 36 Reper de greutate G 3 18 50 Reper de greutate G 4 19 51 Reper de greutate G 4 20 52 Reper de greutate G 4 21 53 Reper de greutate G 4 22 54 Reper de greutate G 4 23 55 Reper de greutate G 4 24 56 Reper de greutate G 4


Anexa 1 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1993.8) – DATE COMPLETE

Nr. crt. Den. punct Cod BWGS-84 [°.fr] LWGS-84 [°.fr] Xstereo [m] Ystereo [m] Hd (RN) [m] g [mgal] 1 1 1 44.718156 26.244556 358356.17 598714.93 88.6986 980525.38202 2 1 44.719562 26.243486 358511.06 598627.59 89.3528 980525.14003 3 1 44.720939 26.242448 358622.69 598542.82 89.7813 980524.96604 4 1 44.719447 26.247916 358504.09 598978.70 88.7745 980525.36705 5 1 44.720851 26.246800 358658.54 598887.76 88.2769 980525.41506 6 1 44.722124 26.245625 358798.49 598792.30 89.0572 980525.19007 7 1 44.722253 26.250399 358819.02 599170.29 84.1648 980526.35608 8 1 44.724349 26.248597 359049.62 599023.66 88.2729 980525.31209 9 1 44.723701 26.254069 358984.78 599458.26 84.7902 980526.211010 10 1 44.726253 26.252790 359266.56 599352.26 84.7763 980526.032011 11 1 44.725216 26.257947 359158.21 599762.68 84.2096 980526.315012 12 1 44.728191 26.257059 359487.53 599686.84 84.4367 980526.150013 13 2 44.714150 26.237597 357902.13 598170.95 89.4867 980525.224014 18 2 44.734603 26.263350 360208.20 600173.22 84.8148 980525.737015 34 3 44.711988 26.242515 357668.27 598564.45 89.4174 980525.315016 35 3 44.717252 26.236750 358245.62 598098.22 89.6574 980525.055017 36 3 44.729244 26.266833 359617.47 600459.05 83.1391 980526.477018 50 4 44.715309 26.241609 358036.04 598486.66 88.1217 980525.639019 51 4 44.718843 26.252495 358442.91 599342.55 87.7718 980525.666020 52 4 44.723718 26.261508 358996.48 600047.52 82.5370 980526.728021 53 4 44.723701 26.243701 358971.19 598637.07 88.8794 980525.091022 54 4 44.726489 26.250941 359290.45 599205.40 84.4899 980526.038023 55 4 44.731039 26.256208 359802.83 599614.16 84.9201 980525.882024 56 4 44.717070 26.247103 358238.89 598918.67 88.9113 980525.4490


Anexa 1 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1993.8) – DATE REDUSE

Nr. crt. Den. punct Cod rBWGS-84 [°.fr] rLWGS-84 [°.fr] Xstereo [m] Ystereo [m] Hd (RN) [m] rg [mgal]1 1 1 0.718156 0.244556 8356.17 8714.93 88.6986 25.38202 2 1 0.719562 0.243486 8511.06 8627.59 89.3528 25.14003 1 3 0.720939 0.242448 8622.69 8542.82 89.7813 24.96604 4 1 0.719447 0.247916 8504.09 8978.70 88.7745 25.36705 5 1 0.720851 0.246800 8658.54 8887.76 88.2769 25.41506 6 1 0.722124 0.245625 8798.49 8792.30 89.0572 25.19007 7 1 0.722253 0.250399 8819.02 9170.29 84.1648 26.3560 8 8 1 0.724349 0.248597 9049.62 9023.66 88.2729 25.31209 8984.78 9458.26 9 1 0.723701 0.254069 84.7902 26.2110 10 10 1 0.726253 0.252790 9266.56 9352.26 84.7763 26.032011 11 1 0.725216 0.257947 9158.21 9762.68 84.2096 26.315012 12 1 0.728191 0.257059 9487.53 9686.84 84.4367 26.150013 13 2 0.714150 0.237597 7902.13 8170.95 89.4867 25.224014 18 2 0.734603 0.263350 10208.20 10173.22 84.8148 25.737015 34 3 0.711988 0.242515 7668.27 8564.45 89.4174 25.315016 35 3 0.717252 0.236750 8245.62 8098.22 89.6574 25.055017 36 3 0.729244 0.266833 9617.47 10459.05 83.1391 26.477018 50 4 0.715309 0.241609 8036.04 8486.66 88.1217 25.639019 51 4 0.718843 0.252495 8442.91 9342.55 87.7718 25.666020 52 4 0.723718 0.261508 8996.48 10047.52 82.5370 26.728021 53 4 0.723701 0.243701 8971.19 8637.07 88.8794 25.091022 54 4 0.726489 0.250941 9290.45 9205.40 84.4899 26.038023 55 4 0.731039 0.256208 9802.83 9614.16 84.9201 25.882024 56 4 0.717070 0.247103 8238.89 8918.67 88.9113 25.4490


Anexa 1 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1993.8) – ALTITUDINI

Nr. crt. Den. punct Hd (RN) [m] δHp = Hd – Hp [m] δHp = Hd – Ht [m] Hp [m] Ht [m] 1 1 88.6986 -0.6743 -1.76 88.0243 86.93862 2 89.3528 -0.7065 -1.82 88.6463 87.53283 3 89.7813 -0.7039 -2.01 89.0774 87.77134 4 88.7745 -0.7144 -1.74 88.0601 87.03455 5 88.2769 -0.6719 -1.69 87.6050 86.58696 6 89.0572 -0.7323 -1.83 88.3249 87.22727 7 84.1648 -0.7032 -2.04 83.4616 82.12488 8 88.2729 -0.6547 -1.53 87.6182 86.74299 9 84.7902 -0.6826 -1.91 84.1076 82.880210 10 84.7763 -0.6594 -1.84 84.1169 82.936311 11 84.2096 -0.7053 -1.78 83.5043 82.429612 12 84.4367 -0.7397 -1.87 83.6970 82.566713 13 89.4867 -0.6421 -1.79 88.8446 87.696714 18 84.8148 -0.7619 -2.13 84.0529 82.684815 34 89.4174 -0.4797 -1.47 88.9377 87.947416 35 89.6574 -0.6050 -1.74 89.0524 87.917417 36 83.1391 -0.4828 -1.48 82.6563 81.659118 50 88.1217 -0.6135 -1.55 87.5082 86.571719 51 87.7718 -0.5489 -1.35 87.2229 86.421820 52 82.5370 -0.6168 -1.39 81.9202 81.147021 53 88.8794 -0.5920 -1.34 88.2874 87.539422 54 84.4899 -0.6725 -1.93 83.8174 82.559923 55 84.9201 -0.5757 -1.42 84.3444 83.500124 56 88.9113 -0.5937 -1.39 88.3176 87.5213


Anexa 1 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1993.8) – CORECŢII DE RELIEF

Nr. crt. Den. punct BWGS-84 [°.fr] LWGS-84 [°.fr] Hd (RN) [m] Ht [m] Nr. de sect. Suma cr [mgal]1 1 44.718156 26.244556 88.6986 86.9386 48 4116.85 0.2726 2 2 44.719562 26.243486 89.3528 87.5328 48 4130.86 0.34293 3 44.720939 26.242448 89.7813 87.7713 48 4144.77 0.33104 4 44.719447 26.247916 88.7745 87.0345 48 4060.34 0.56905 5 44.720851 26.246800 88.2769 86.5869 48 4075.06 0.39346 6 44.722124 26.245625 89.0572 87.2272 48 4098.91 0.42687 7 44.722253 26.250399 84.1648 82.1248 48 3952.90 0.05298 8 44.724349 26.248597 88.2729 86.7429 48 3975.61 0.91209 9 44.723701 26.254069 84.7902 82.8802 48 3938.03 0.1951

10 10 44.726253 26.252790 84.7763 82.9363 48 3953.36 0.133811 11 44.725216 26.257947 84.2096 82.4296 48 3941.87 0.071512 12 44.728191 26.257059 84.4367 82.5667 48 3952.52 0.051813 48 13 44.714150 26.237597 89.4867 87.6967 4164.21 0.219414 18 44.734603 26.263350 84.8148 82.6848 48 3944.44 0.118515 34 44.711988 26.242515 89.4174 87.9474 48 4157.11 0.3122 16 35 44.717252 26.236750 89.6574 87.9174 48 4186.68 0.161817 36 44.729244 26.266833 83.1391 81.6591 48 3915.84 0.018418 50 44.715309 26.241609 88.1217 86.5717 48 4143.25 0.059119 51 44.718843 26.252495 87.7718 86.4218 48 3968.19 0.873220 52 44.723718 26.261508 82.5370 81.1470 48 3872.29 0.110421 53 44.723701 26.243701 88.8794 87.5394 48 4087.96 0.552522 54 44.726489 26.250941 84.4899 82.5599 48 3952.80 0.048923 55 44.731039 26.256208 84.9201 83.5001 48 3922.94 0.412524 56 44.717070 26.247103 88.9113 87.5213 48 4123.37 0.3766


Anexa 1 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1993.8) – ANOMALII

Nr. crt. Den. punct B [rad] g [mgal] γ AIG [mgal] δg/δh Hp [m] Ht [m] ∆gF [mgal] ∆g BI ∆gBC cr anBP ∆gL [mgal] ∆gR 1 1 0.78048340 980525.3820 980594.4566 -0.2298 88.0243 86.9386 -42.4948 -78.8030 -52.2232 0.2726 -51.9507 -0.0572 -51.8934 2 2 0.78050794 980525.1400 980594.5838 -0.2358 88.6463 87.5328 -42.6937 -79.2387 -52.4887 0.3429 -52.1457 -0.1410 -52.0048 3 3 0.78052568 980524.9660 980594.6758 -0.2390 89.0774 87.7713 -42.9357 -79.5314 -52.7573 0.3310 -52.4263 -0.2466 -52.1797 4 4 0.78050599 980525.3670 980594.5737 -0.2286 88.0601 87.0345 -42.5823 -78.9458 -52.3214 0.5690 -51.7525 0.1775 -51.9300 5 5 0.78053047 980525.4150 980594.7006 -0.2233 87.6050 86.5869 -42.7922 -78.9747 -52.4813 0.3934 -52.0879 -0.0808 -52.0071 6 6 0.78055268 980525.1900 980594.8158 -0.2197 88.3249 87.2272 -42.9486 -79.3865 -52.7094 0.4268 -52.2826 -0.1591 -52.1235 7 7 0.78055498 980526.3560 980594.8277 -0.2366 83.4616 82.1248 -43.4443 -77.6615 -52.6341 0.0529 -52.5812 -0.3119 -52.2693 8 8 0.78059156 980525.3120 980595.0174 -0.2151 87.6182 86.7429 -43.1248 -79.4119 -52.8313 0.9120 -51.9193 0.2731 -52.1925 9 -0.2427 9 0.78058031 980526.2110 980594.9591 84.1076 82.8802 -43.4691 -78.0224 -52.7434 0.1951 -52.5484 -0.0376 -52.5107 10 10 0.78062482 980526.0320 980595.1899 -0.2251 84.1169 82.9363 -43.8295 -78.4385 -53.1101 0.1338 -52.9763 -0.1686 -52.8077 11 -52.745511 0.78060680 980526.3150 980595.0964 -0.2322 83.5043 82.4296 -43.5932 -78.0053 -52.8171 0.0715 0.0900 -52.8356 12 -53.188612 0.78065871 980526.1500 980595.3656 -0.2351 83.6970 82.5667 -44.0012 -78.4548 -53.2404 0.0518 0.1316 -53.3202 13 13 0.78041342 980525.2240 980594.0936 -0.2237 88.8446 87.6967 -42.0632 -78.6829 -51.8765 0.2194 -51.6571 0.0963 -51.7534 14 -45.0302 -79.461718 0.78077069 980525.7370 980595.9463 -0.2467 84.0529 82.6848 -54.2827 0.1185 -54.1642 -0.0346 -54.1296 15 34 0.78037574 980525.3150 980593.8982 -0.2353 87.9474 -78.4246 -51.204988.9377 -41.6757 -51.5170 0.3122 0.0017 -51.2066 16 -52.122635 0.78046754 980525.0550 980594.3743 -0.2277 89.0524 87.9174 -42.4464 -79.1572 -52.2844 0.1618 0.0408 -52.1634 17 36 0.78067721 980526.4770 980595.4615 -0.2271 82.6563 81.6591 -44.0110 -78.1222 -53.1486 0.0184 -53.1302 -0.0036 -53.1266 18 50 0.78043368 980525.6390 980594.1987 -0.2434 87.5082 86.5717 -42.0716 -78.2471 -51.7590 0.0591 -51.6999 -0.1654 -51.5345 19 51 0.78049550 980525.6660 980594.5193 -0.2253 87.2229 86.4218 -42.3640 -78.5239 -52.0346 0.8732 -51.1613 0.3218 -51.4831 20 52 0.78058070 980526.7280 980594.9611 -0.2227 81.9202 81.1470 -43.3633 -77.3134 -52.4437 0.1104 -52.3333 -0.1295 -52.2038 21 -43.0233 -79.663053 0.78058018 980525.0910 980594.9584 -0.2280 88.2874 87.5394 -52.8189 0.5525 -52.2664 0.1474 -52.4138 22 54 0.78062894 980526.0380 980595.2112 -0.2180 83.8174 82.5599 -43.9693 -78.4116 -53.2078 0.0489 -53.1589 -0.4513 -52.7077 23 55 0.78070840 980525.8820 980595.6233 -0.2299 84.3444 83.5001 -44.1672 -79.0849 -53.5109 0.4125 -53.0984 0.3669 -53.4653 24 980594.3585 -51.8296 56 0.78046449 980525.4490 -0.2162 88.3176 87.5213 -42.0726 -78.7031 -51.8662 0.3766 -51.4896 0.3400


Anexa 2

ATRIBUTELE PRINCIPALE ALE PUNCTELOR REŢELEI GRAVIMETRICE DIN

LA EPOCA 1995.8

POLIGONUL GEODINAMIC GRUIU-CĂLDĂRUŞANI



7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 110007000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

1

2

3

4

5

6 7

89

1011

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

60

61 62

63

64

6566

67

68

6970

71

1

2

3

4

5

6 7

89

1011

12

13

18

34

35

36

50

51

5253

54

55

56

60

61 62

63

64

6566

67

68

6970

71

LEGENDA - Reper de adâncime (construit între anii 1978-1979)

- Reper de adâncime (construit între anii 1981-1982)

- Reper de greutate (construit în anul 1984) - Reper de greutate (construit între anii 1986-1987)

- Reper de nivelment (construit în anul 1995)

Fig. A2.1 Schiţa reţelei gravimetrice din Poligonul Geodinamic Gruiu – Căldăruşani la Epoca 1995.8


Anexa 2 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1995.8) – DESCRIERE POLIGON

Nr. crt. Den. punct Explicaţii Tip reper Cod reper Cod simbol/an1 Reper de adâncime A 1 1 = 1,…, 12 = 1978-1979

2 2 Reper de adâncime A 1 2 = 13,…, 18 = 1981-1982 3 3 Reper de adâncime A 1 3 = 34, 35, 36 = 1984 4 4 Reper de adâncime A 1 4 =

50,…, 56 = 1986-1987 5 5 Reper de adâncime A 1 5 = 60,..., 71 = 1995 6 6 Reper de adâncime A 1 7 7 Reper de adâncime A 1 8 8 Reper de adâncime A 1 9 9 Reper de adâncime A 1 10 10 Reper de adâncime A 1 11 11 Reper de adâncime A 1 12 12 Reper de adâncime A 1 13 13 Reper de adâncime A 2 14 18 Reper de adâncime A 2 15 34 Reper de greutate G 3 16 35 Reper de greutate G 3 17 36 Reper de greutate G 3 18 50 Reper de greutate G 4 19 51 Reper de greutate G 4 20 52 Reper de greutate G 4 21 53 Reper de greutate G 4 22 54 Reper de greutate G 4 23 55 Reper de greutate G 4 24 56 Reper de greutate G 4 25 60 Bornă de beton B 5 26 61 Bornă de beton B 5 27 62 Bornă de beton B 5 28 63 Bornă de beton B 5 29 64 Bornă de beton B 5 30 65 Bornă de beton B 5 31 66 Bornă de beton B 5 32 67 Bornă de beton B 5 33 68 Bornă de beton B 5 34 69 Bornă de beton B 5 35 70 Bornă de beton B 5 36 71 Bornă de beton B 5

1


Anexa 2 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1995.8) – DATE COMPLETE

Nr. crt. Den. punct Cod B [°.fr]WGS-84 LWGS-84 [°.fr] Xstereo [m] g [mgal] Y [m]stereo H (RN) [m] d1 1 1 44.718156 26.244556 358356.17 598714.93 88.6986 980525.39112 26.243486 2 1 44.719562 358511.06 598627.59 89.3528 980525.16083 3 1 44.720939 26.242448 358622.69 598542.82 89.7813 980524.98274 4 1 44.719447 26.247916 358504.09 598978.70 88.7745 980525.37555 5 1 44.720851 26.246800 358658.54 598887.76 88.2769 980525.42316 6 1 44.722124 26.245625 358798.49 598792.30 89.0572 980525.19237 7 1 44.722253 26.250399 358819.02 599170.29 84.1648 980526.37038 8 1 44.724349 26.248597 359049.62 599023.66 88.2729 980525.31789 9 44.723701 1 26.254069 358984.78 599458.26 84.7902 980526.230910 10 44.7262531 26.252790 359266.56 599352.26 84.7763 980526.040811 11 1 44.725216 26.257947 359158.21 599762.68 84.2096 980526.337112 12 1 44.728191 26.257059 359487.53 599686.84 84.4367 980526.175613 13 2 44.714150 26.237597 357902.13 598170.95 89.4867 980525.256214 18 2 44.734603 26.263350 360208.20 600173.22 84.8148 980525.814615 34 3 44.711988 26.242515 357668.27 598564.45 89.4174 980525.330816 598098.22 35 3 44.717252 26.236750 358245.62 89.6574 980525.084717 36 3 44.729244 26.266833 359617.47 600459.05 83.1391 980526.524518 50 4 44.715309 26.241609 358036.04 598486.66 88.1217 980525.652519 51 4 44.718843 26.252495 358442.91 599342.55 87.7718 980525.676820 52 4 44.723718 26.261508 358996.48 600047.52 82.5370 980526.610121 53 4 44.723701 26.243701 358971.19 598637.07 88.8794 980525.080022 54 4 44.726489 26.250941 359290.45 599205.40 84.4899 980526.086523 55 4 44.731039 26.256208 359802.83 599614.16 84.9201 980525.908224 56 4 44.717070 26.247103 358238.89 598918.67 88.9113 980525.452325 60 5 44.721356 26.234165 358698.27 597885.98 86.9792 980525.363626 61 5 44.725062 26.236020 359112.38 598026.15 88.2432 980524.905927 62 5 44.724646 26.240130 359071.52 598352.47 85.3473 980525.683828 63 5 44.722251 26.241109 358806.65 598434.38 88.3279 980525.079529 64 5 44.726612 26.242510 359293.04 598537.39 83.1909 980526.088930 65 5 44.730021 26.241754 359670.85 598471.30 84.7363 980525.556731 66 5 44.730798 26.248872 359766.40 599033.64 84.8962 980525.606932 67 5 44.716920 26.257180 358235.44 599717.26 81.4182 980527.154033 68 5 44.713951 26.261674 357911.44 600078.72 87.3465 980525.987834 69 5 44.708468 26.255096 357293.67 599567.73 87.8050 980525.808635 70 5 44.708517 26.246147 357287.37 598858.61 86.6870 980525.990436 71 5 44.714553 26.249594 357962.54 599120.59 87.5750 980525.6699


Anexa 2 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1995.8) – DATE REDUSE

Nr. crt. Den. punct Cod rBWGS-84 [°.fr] rLWGS-84 [°.fr] Xstereo [m] rg [mgal]Ystereo [m] Hd (RN) [m] 1 1 1 0.718156 0.244556 8356.17 8714.93 88.6986 25.39112 2 1 0.719562 0.243486 8511.06 8627.59 89.3528 25.16083 3 1 0.720939 0.242448 8622.69 8542.82 89.7813 24.98274 4 1 0.719447 0.247916 8504.09 8978.70 88.7745 25.37555 5 1 0.720851 0.246800 8658.54 8887.76 88.2769 25.42316 6 1 0.722124 0.245625 8798.49 8792.30 89.0572 25.19237 7 1 0.722253 0.250399 8819.02 9170.29 84.1648 26.37038 8 1 0.724349 0.248597 9049.62 9023.66 88.2729 25.31789 9 1 0.723701 0.254069 8984.78 9458.26 84.7902 26.230910 10 1 0.726253 0.252790 9266.56 9352.26 84.7763 26.040811 11 1 0.725216 0.257947 9158.21 9762.68 84.2096 26.337112 12 1 0.728191 0.257059 9487.53 9686.84 84.4367 26.175613 13 2 0.714150 0.237597 7902.13 8170.95 89.4867 25.256214 18 2 0.734603 0.263350 10208.20 10173.22 84.8148 25.814615 34 3 0.711988 0.242515 7668.27 8564.45 89.4174 25.330816 35 3 0.717252 0.236750 8245.62 8098.22 89.6574 25.084717 36 3 0.729244 0.266833 9617.47 10459.05 83.1391 26.524518 50 4 0.715309 0.241609 8036.04 8486.66 88.1217 25.652519 51 4 0.718843 0.252495 8442.91 9342.55 87.7718 25.676820 52 4 0.723718 0.261508 8996.48 10047.52 82.5370 26.610121 53 4 0.723701 0.243701 8971.19 8637.07 88.8794 25.080022 54 4 0.726489 0.250941 9290.45 9205.40 84.4899 26.086523 55 4 0.731039 0.256208 9802.83 9614.16 84.9201 25.908224 56 4 0.717070 0.247103 8238.89 8918.67 88.9113 25.452325 60 5 0.721356 0.234165 8698.27 7885.98 86.9792 25.363626 61 5 0.725062 0.236020 9112.38 8026.15 88.2432 24.905927 62 5 0.724646 0.240130 9071.52 8352.47 85.3473 25.683828 63 5 0.722251 0.241109 8806.65 8434.38 88.3279 25.079529 64 5 0.726612 0.242510 9293.04 8537.39 83.1909 26.088930 65 5 0.730021 0.241754 9670.85 8471.30 84.7363 25.556731 66 5 0.730798 0.248872 9766.40 9033.64 84.8962 25.606932 67 5 0.716920 0.257180 8235.44 9717.26 81.4182 27.154033 68 5 0.713951 0.261674 7911.44 10078.72 87.3465 25.987834 69 5 0.708468 0.255096 7293.67 9567.73 87.8050 25.808635 70 5 0.708517 0.246147 7287.37 8858.61 86.6870 25.990436 71 5 0.714553 0.249594 7962.54 9120.59 87.5750 25.6699


Anexa 2 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1995.8) – ALTITUDINI

Nr. crt. Den. punct Hd (RN) [m] δHp = Hd – Hp [m] δH = H – H [m]p d t Hp [m] Ht [m] 1 1 88.6986 -0.6743 -1.76 88.0243 86.93862 2 89.3528 -0.7065 -1.82 88.6463 87.53283 3 89.7813 -0.7039 -2.01 89.0774 87.77134 4 88.7745 -0.7144 -1.74 88.0601 87.03455 5 88.2769 -0.6719 -1.69 87.6050 86.58696 6 89.0572 -0.7323 -1.83 88.3249 87.22727 -0.7032 7 84.1648 -2.04 83.4616 82.12488 8 88.2729 -0.6547 -1.53 87.6182 86.74299 9 84.7902 -0.6826 -1.91 84.1076 82.880210 10 84.7763 -0.6594 -1.84 84.1169 82.936311 11 84.2096 -0.7053 -1.78 83.5043 82.429612 12 84.4367 -0.7397 -1.87 83.6970 82.566713 13 89.4867 -0.6421 -1.79 88.8446 87.696714 18 84.8148 -0.7619 -2.13 84.0529 82.684815 34 89.4174 -0.4797 -1.47 88.9377 87.947416 35 89.6574 -0.6050 -1.74 89.0524 87.917417 36 83.1391 -0.4828 -1.48 82.6563 81.659118 50 88.1217 -0.6135 -1.55 87.5082 86.571719 51 87.7718 -0.5489 -1.35 87.2229 86.421820 52 82.5370 -0.6168 -1.39 81.9202 81.147021 53 88.8794 -0.5920 -1.34 88.2874 87.539422 54 84.4899 -0.6725 -1.93 83.8174 82.559923 55 84.9201 -0.5757 -1.42 84.3444 83.500124 56 88.9113 -0.5937 -1.39 88.3176 87.521325 60 86.9792 0.1100 -0.42 87.0892 86.559226 61 88.2432 0.1000 -0.39 88.3432 87.853227 62 85.3473 0.0650 -0.35 85.4123 84.997328 63 88.3279 0.0850 -0.42 88.4129 87.907929 64 83.1909 0.1450 -0.36 83.3359 82.830930 65 84.7363 0.1350 -0.36 84.8713 84.376331 66 84.8962 0.0900 -0.39 84.9862 84.506232 67 81.4182 0.1550 -0.35 81.5732 81.068233 68 87.3465 0.1250 -0.39 87.4715 86.956534 69 87.8050 0.0600 -0.37 87.8650 87.435035 70 86.6870 0.1300 -0.35 86.8170 86.337036 71 87.5750 0.1700 -0.32 87.7450 87.2550


Anexa 2 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1995.8) – CORECŢII DE RELIEF

Nr. crt. Den. punct BWGS-84 [°.fr] LWGS-84 [°.fr] Hd (RN) [m] Ht [m] Nr. de sect. Suma cr [mgal]1 1 44.718156 26.244556 88.6986 86.9386 48 4116.85 0.27262 2 44.719562 26.243486 89.3528 87.5328 48 4130.86 0.34293 3 44.720939 26.242448 89.7813 87.7713 48 4144.77 0.33104 4 44.719447 26.247916 88.7745 87.0345 48 4060.34 0.56905 5 44.720851 26.246800 88.2769 86.5869 48 4075.06 0.39346 6 44.722124 26.245625 89.0572 87.2272 48 4098.91 0.42687 7 44.722253 26.250399 84.1648 82.1248 48 3952.90 0.05298 8 44.724349 26.248597 88.2729 86.7429 48 3975.61 0.91209 9 44.723701 26.254069 84.7902 82.8802 48 3938.03 0.1951

10 10 44.726253 26.252790 84.7763 82.9363 48 3953.36 0.133811 11 44.725216 26.257947 84.2096 82.4296 48 3941.87 0.071512 12 44.728191 26.257059 84.4367 82.5667 48 3952.52 0.051813 13 44.714150 26.237597 89.4867 87.6967 48 4164.21 0.219414 26.263350 84.8148 18 44.734603 82.6848 48 3944.44 0.118515 34 44.711988 26.242515 89.4174 87.9474 48 4157.11 0.312216 35 44.717252 26.236750 89.6574 87.9174 48 4186.68 0.161817 36 44.729244 26.266833 83.1391 81.6591 48 3915.84 0.018418 50 44.715309 26.241609 88.1217 86.5717 48 4143.25 0.059119 51 44.718843 26.252495 87.7718 86.4218 48 3968.19 0.873220 52 44.723718 26.261508 82.5370 81.1470 48 3872.29 0.110421 53 44.723701 26.243701 88.8794 87.5394 48 4087.96 0.552522 54 44.726489 26.250941 84.4899 82.5599 48 3952.80 0.048923 55 44.731039 26.256208 84.9201 83.5001 48 3922.94 0.412524 56 44.717070 26.247103 88.9113 87.5213 48 4123.37 0.376625 60 44.721356 26.234165 86.9792 86.5592 48 4158.55 0.018026 48 61 44.725062 26.236020 88.2432 87.8532 4106.75 0.5345 27 62 44.724646 26.240130 85.3473 84.9973 48 4066.80 0.063428 63 44.722251 26.241109 88.3279 87.9079 48 4131.95 0.425029 64 44.726612 26.242510 83.1909 82.8309 48 3989.55 0.0663 30 65 44.730021 26.241754 84.7363 84.3763 48 3998.85 0.248431 48 66 44.730798 26.248872 84.8962 84.5062 3943.85 0.545332 67 44.716920 26.257180 81.4182 81.0682 48 3970.65 0.385033 68 44.713951 26.261674 87.3465 86.9565 38 3252.30 0.252434 69 44.708468 26.255096 87.8050 87.4350 4 346.30 0.016735 70 44.708517 26.246147 86.6870 86.3370 18 1548.30 0.028036 71 44.714553 26.249594 87.5750 87.2550 48 4117.90 0.3411


Anexa 2 – Tabel cu atributele principale ale punctelor reţelei gravimetrice (Epoca 1995.8) – ANOMALII

Nr. crt. Den. punct B [rad] g [mgal] γ AIG [mgal] δg/δh H [m] Hp [m] t ∆gF [mgal] ∆gBI ∆gBC cr anBP ∆gL [mgal] ∆gR 1 1 0. 07804834 980525.3911 980594.4566 -0.2263 88.0243 86.9386 -42.4819 -78.7939 -52.2103 0.2726 -51.9378 -0.0832 -51.85452 2 0.78050794 980525.1608 980594.5838 -0.2308 88.6463 87.5328 -42.6674 -79.2179 -52.4623 0.3429 -52.1194 -0.0919 -52.02743 3 0.78052568 980524.9827 980594.6758 -0.2378 89.0774 87.7713 -42.9174 -79.5147 -52.7391 0.3310 -52.4080 -0.2219 -52.18614 4 0.78050599 980525.3755 980594.5737 -0.2257 88.0601 87.0345 -42.5708 -78.9373 -52.3100 0.5690 -51.7410 0.1536 -51.89465 5 0.78053047 980525.4231 980594.7006 -0.2218 87.6050 86.5869 -42.7826 -78.9666 -52.4717 0.3934 -52.0783 -0.0021 -52.07636 6 0.78055268 980525.1923 980594.8158 -0.2220 88.3249 87.2272 -42.9489 -79.3842 -52.7096 0.4268 -52.2829 -0.0484 -52.23457 7 0.78055498 980526.3703 980594.8277 -0.2367 83.4616 82.1248 -43.4302 -77.6472 -52.6200 0.0529 -52.5671 -0.4086 -52.15848 8 0.78059156 980525.3178 980595.0174 -0.2185 87.6182 86.7429 -43.1220 -79.4061 -52.8285 0.9120 -51.9165 0.5323 -52.44889 9 0.78058031 980526.2309 980594.9591 -0.2382 84.1076 82.8802 -43.4437 -78.0025 -52.7180 0.1951 -52.5229 -0.1351 -52.387810 980595.1899 10 0.78062482 980526.0408 -0.2233 84.1169 82.9363 -43.8186 -78.4297 -53.0991 0.1338 -52.9654 -0.2215 -52.743911 11 0.78060680 980526.3371 980595.0964 -0.2306 83.5043 82.4296 -43.5693 -77.9832 -52.7932 0.0715 -52.7217 -0.0889 -52.632812 0.0518 12 0.78065871 980526.1756 980595.3656 -0.2290 83.6970 82.5667 -43.9687 -78.4292 -53.2079 -53.1561 -0.1196 -53.036513 13 0.78041342 980525.2562 980594.0936 -0.2276 88.8446 87.6967 -42.0355 0.2194-78.6507 -51.8487 -51.6294 0.1390 -51.768414 18 0.78077069 980525.8146 980595.9463 -0.2357 84.0529 82.6848 -44.9376 -79.3841 -54.1900 0.1185 -54.0716 0.0207 -54.092215 34 0.78037574 980525.3308 980593.8982 -0.2297 88.9377 87.9474 -41.6544 -78.4088 -51.4957 0.3122 -51.1835 0.0682 -51.251716 35 0.78046754 980525.0847 980594.3743 89.0524 -42.4165 0.1618 -0.2275 87.9174 -79.1275 -52.2544 -52.0927 0.0617 -52.154417 0.0184 - 36 0.78067721 980526.5245 980595.4615 -0.2264 82.6563 81.6591 -43.9628 -78.0747 -53.1004 -53.0820 0.0099 -53.072118 50 0.78043368 980525.6525 980594.1987 -0.2378 87.5082 86.5717 -42.0529 -78.2336 -51.7403 0.0591 -51.6812 -0.4196 -51.261619 51 0.78049550 980525.6768 980594.5193 -0.2200 87.2229 86.4218 -42.3489 -78.5131 -52.0195 0.8732 -51.1463 0.5339 -51.680220 52 0.78058070 980526.6101 980594.9611 -0.1993 81.9202 81.1470 -43.4631 -77.4313 -52.5435 0.1104 -52.4330 0.0236 -52.456621 53 0.78058018 980525.0800 980594.9584 -0.2317 88.2874 87.5394 -43.0371 -79.6740 -52.8327 0.5525 -52.2802 0.1366 -52.416822 - 54 0.78062894 980526.0865 980595.2112 -0.2243 83.8174 82.5599 -43.9288 -78.3631 -53.1672 0.0489 -53.1184 0.3536 -52.764723 55 0.78070840 980525.9082 980595.6233 -0.2248 84.3444 83.5001 -44.1367 -79.0587 -53.4804 0.4125 -53.0678 0.3269 -53.394724 56 0.78046449 980525.4523 980594.3585 -0.2133 88.3176 87.5213 -42.0670 -78.6998 -51.8606 0.3766 -51.4840 0.1705 -51.654525 980525.3636 0.0245 60 0.78053914 980594.7455 -0.2312 87.0892 86.5592 -42.7923 -79.0679 -52.4783 0.0180 -52.4603 -52.484826 61 0.78060383 980524.9059 980595.0810 -0.2293 88.3432 87.8532 -43.1760 -80.0059 -53.0068 0.5345 -52.4723 0.1212 -52.593527 - 62 0.78059663 980525.6838 980595.0437 -0.2310 85.4123 84.9973 -43.2256 -78.8711 -52.7368 0.0634 -52.6734 0.1429 -52.530528 63 0.78055483 980525.0795 980594.8269 -0.2296 88.4129 87.9079 -42.7350 -79.5843 -52.5719 0.4250 -52.1469 0.1850 -52.332029 -52.9545 64 0.78063097 980526.0889 980595.2217 -0.2267 83.3359 82.8309 -43.6857 -78.4016 0.0663 -52.8882 -0.2196 -52.668630 65 0.78069046 980525.5567 980595.5302 -0.2233 84.8713 84.3763 -44.0456 -79.4153 -53.4873 0.2484 -53.2389 -0.3613 -52.877631 66 0.78070410 980525.6069 980595.6010 -0.2286 84.9862 84.5062 -44.0252 -79.4503 -53.4814 0.5453 -52.9361 0.1613 -53.097432 67 0.78046200 980527.1540 980594.3455 -0.2423 81.5732 81.0682 -42.2963 -76.2631 -51.3678 0.3850 -50.9829 0.4900 -51.472833 -51.0974 -50.728368 0.78041022 980525.9878 980594.0771 -0.2183 87.4715 86.9565 -41.3669 -77.8197 0.2524 -50.8450 -0.116634 69 0.78031446 980525.8086 980593.5805 -0.2318 87.8650 87.4350 -40.8891 -77.5559 -50.6731 0.0167 -50.6564 -0.0140 -50.642535 70 0.78031520 980525.9904 980593.5844 -0.2202 86.8170 86.3370 -41.0560 -77.2551 -50.7172 0.0280 -50.6892 0.4194 -51.108636 - 71 0.78042060 980525.6699 980594.1309 -0.2262 87.7450 87.2550 -41.6449 -78.2248 -51.4088 0.3411 -51.0676 0.4720 -50.5956


Anexa 3

MODALITATEA DE OBŢINERE A ECUAŢIILOR SISTEMULUI (5.47)

Anexa 3 – Modalitatea de obţinere a ecuaţiilor sistemului (5.47) 236

Ecuaţia 1 ( a )0

)t,r(H* = +π−+π++++++π∫∫ππ

=

)]4tcos(r2cos()4tcos(r2[cos(a2)]tsinr2cos()tcosr2[cos(a2)]tsinrcos()tcosr[cos(a2a21[ 221

2

00

0r

+++−+π++π−+ ))21tanatcos(r5cos())21tanatcos(r5[cos(a2)]4tcos(r22cos()4tcos(r22[cos(a2 522

0rdr]dtr))]2tanatcos(r5cos())2tanatcos(r5cos( =−++−+

0rdr]r)r5(J2a2)r22(J2a2)r2(J2a2)r2(J2a2)r(J2a2a[ 0502202020r

010 =−+++++∫π

=

03

)5(5

Ja8)22(22

Ja4)2(2

Ja4)2(J2

a4)(Ja4a2

3

151221212110

2

=π

−ππ

+ππ

+ππ

+ππ

+ππ+π

32)5(Ja

516)22(Ja22)2(Ja24)2(Ja4)(Ja8a

2

151221212110π

=π+π+π+π+π+π

Ecuaţia 2 ( ) 1a

)t,r(H* = +π−+π++++++π∫∫ππ

=


2

00

0r


0rdr]dt)]tsinrcos()tcosr[cos(*r))]2tanatcos(r5cos())2tanatcos(r5cos( =+−++−+

+++++++++−∫π

=

)]r(J)r5(J2)r3(J[a2]21)r2(J21)r2(J221)r2(J21[a2)r(J2)ra( 00020r

000100

0rdr)]r2(J)r22(J)r2(J)r10(J[a4)]r5(J)r13(J[a4)]r(J21)r5(J21)r(J21)r5(J21[a2 00005002200002 =++++++++++

+++++++++++−∫π

=

)]r5(J)r13(J[a2)]r(J)r5(J[a2)]r(J)r5(J2)r3(J[a]1)r2(J2)r2(J[a)r(J)ra( 002200200020r

00100

0rdr)]r2(J)r22(J)r2(J)r10(J[a2 00005 =++++

+++++++++ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫ππππππ πππ

]dr)r(Jrdr)r5(Jr[a2]dr)r(Jrdr)r5(Jr2dr)r3(Jr[a]rdrdr)r2(Jr2dr)r2(Jr[adr)r(rJa 00

00

200

00

00

20 0

00

00

100

∫∫∫∫∫∫∫πππππππ

=++++++0

02

00

00

00

00

500

00

22 dr)r(Jr]dr)r2(Jrdr)r22(Jrdr)r2(Jrdr)r10(Jr[a2]dr)r5(Jrdr)r13(Jr[a2

+

ππ+π

π+

ππ+π

π+π

π+

π+π

π+π

π+ππ )(J)5(J

5a2)(J)5(J

52)3(J

3a

2)2(J

22)2(J

2a)(Ja 1121112

2

11110

∫π

=

π

π+π

π+π

π+π

π+

π

π+π

π+

00

2111151122 dr)r(Jr)2(J

2)22(J

22)2(J

2)10(J

10a2)5(J

5)13(J

13a2

+

π

π+

π

π+

ππ

+π

π+

ππ

+π

π+

ππ

+

+

π

π+

ππ

+ππ

5)5(J

13)13(J

a2)(J

5)5(J

a2)(J

5)5(J

23

)3(Ja

21

2)2(J

22

)2(Ja

)(Ja 11

2211

2111

211

11

0

∫π

π=

ππ

+π

π+

π

π+

π

π+

00

22

11115 dr)r(Jr1

2)2(J

22)22(J

2)2(J

10)10(J

a2

Ecuaţia 3 ( ) 2a

)t,r(H* = +π−+π++++++π∫∫ππ

=


2

00

0r


0rdr]dt)]tsinr2cos()tcosr2[cos(*r))]2tanatcos(r5cos())2tanatcos(r5cos( =+−++−+

+++++++++−+−∫π

=

)]r2(J)r52(J[a4)]r2(J)r10(J[a4)]r22(J2)r4(J[a2)]r5(J2)r(J)r3(J[a2)r2(J2)ra( 00220020020r

000100

0rdr)]r5(J)r13(J)r(J)r17(J[a4 00005 =++++

+

π

π+π

π+

π

π+

π+π

π+

π

π+ππ+π

π+π

π )2(J2

)10(J10

a2)22(J22

22

)4(J4

a)5(J5

2)(J)3(J3

a)2(J2

a 1121

2

12111110

∫π

=

π

π+π

π+ππ+π

π+

π

π+π

π+

00

2111151122 dr)r2(Jr)5(J

5)13(J

13)(J)17(J

17a2)2(J

2)52(J

52a2

+

ππ

+π

π+

π

π+

π

π+

+

π

π+

ππ

+

ππ

+π

π+

ππ

+ππ

2)2(J

52)52(J

a22

)2(J10

)10(Ja2

21

22)22(J

24

)4(Ja

)(J5

)5(J2

3)3(J

a2

)2(Ja 11

2211

211

2111

11

0

∫π

π=

ππ

+π

π+

π

π+

π

π+

00

22

11115 dr)r2(Jr1)(J

5)5(J

13)13(J

17)17(J

a2

Ecuaţia 4 2a ) (

)t,r(H* = +π−+π++++++π∫∫ππ

=


2

00

0r


0rdr]dt))]4tcos(r2cos())4tcos(r2[cos(*r))]2tanatcos(r5cos())2tanatcos(r5cos( =π−+π+−++−+

+++++++++++−∫π

=

]r10J2)r2(J)r23(J[a2]1)r2(J2)r22(J[a4)]r2(J)r10(J[a4)]r(J)r5(J[a4)r2(J2)ra( 000220020020r

00100

0rdr)]r(J)r13(J)r5(J)r3(J[a4 00005 =++++

++++++++ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫ππππππ ππ

]drrdr)r2(Jr2dr)r22(Jr[a]dr)r2(Jrdr)r10(Jr[a]dr)r(Jrdr)r5(Jr[a2dr)2r(rJa0

00

00

200

00

20

00

00

100

∫∫∫∫∫∫∫∫ππππππππ

=+++++++0

02

00

00

00

00

500

00

00

22 dr)r2(Jr]dr)r(Jrdr)r13(Jrdr)r5(Jrdr)r3(Jr[a2]dr)r10(Jr2dr)r2(Jrdr)r23(Jr[a

+

π+π

π+π

π+

π

π+π

π+

ππ+π

π+π

π2

)2(J2

2)22(J22

a)2(J2

)10(J10

a2)(J)5(J5

a2)2(J2

a2

11211211110

∫π

=

ππ+π

π+π

π+π

π+

π

π+π

π+π

π+

00

21111511122 dr)r2(Jr)(J)13(J

13)5(J

5)3(J

3a2)10(J

102)2(J

2)23(J

23a2

+

π

π+

π

π+

π

π+

+

ππ

+π

π+

π

π+

π

π+

ππ

+π

π+

π

π

10)10(J

22

)2(J23

)23(Ja2

21

2)2(J

22)22(J

a2

)2(J2

10)10(J

a2)(J

5)5(J

a22

)2(Ja 111

2211

211

211

11

0

∫π

π=

ππ

+π

π+

π

π+

ππ

+0

02

21111

5 dr)r2(Jr1)(J13

)13(J5

)5(J3

)3(Ja2

Ecuaţia 5 ( 22a )

)t,r(H* = +π−+π++++++π∫∫ππ

=


2

00

0r


0rdr]dt))]4tcos(r22cos())4tcos(r22[cos(*r))]2tanatcos(r5cos())2tanatcos(r5cos( =π++π−−++−+

++++++++−∫π

=

]r10J2)r2(J)r23(J[a2)]r2(J)r52(J[a4)]r5(J)r13(J[a4)r22(J2)ra( 00020020r

00100

0rdr)]r3(J)r17(J)r(J)r5(J[a4)]r4(J21)r24(J[a2 000050022 =+++++++

+

π

π+π

π+π

π+

π

π+π

π+

π

π+π

π+π

π )10(J10

2)2(J2

)23(J23

a)2(J2

)5(J52

a2)5(J5

)13(J13

a2)22(J22

a 111211211110

∫π

=

π

π+π

π+ππ++π

π+

π+π

π+π

π+

00

211115

2

1122 dr)r22(Jr)3(J3

)17(J17

)(J)5(J5

a2)2

)4(J4

2)24(J24

a

+

π

π+

π

π+

π

π+

ππ

+π

π+

π

π+

π

π+

π

π

10)10(J

22

)2(J23

)23(Ja

2)2(J

52)52(J

a25

)5(J13

)13(Ja2

22)22(J

a 1112

112

111

10

∫π

π=

ππ

+π

π+

ππ

+ππ

+

+

ππ

+π

π+

00

22

11115

1122 dr)r22(Jr1

3)3(J

17)17(J)(J

5)5(J

a221

4)4(J

224

)24(Ja2

Ecuaţia 6 ( 5a )

)t,r(H* = +π−+π++++++π∫∫ππ

=


2

00

0r

+++−+π++π−+ ))21tanatcos(5rcos())21tanatcos(5r[cos(a2)]4tcos(r22cos()4tcos(r22[cos(a2 522

+++−−++−+ ))21tanatcos(r5cos())21tanatcos(r5[cos(*r))]2tanatcos(r5cos())2tanatcos(r5cos( 0rdr]dt]))2tanatcos(r5cos())2tanatcos(r5cos( =+++−+

+++++++++−∫π

=

))]r5(Jr13(J)r(J)r17(J[a4)]r2(J)r22(J)r2(J)r10(J[a4)r5(J4)ra( 000020r

0000100

+++++++++ )]r3(Jr17J)r(J)r5(J[a4)]r(J)r13(J)r5(J)r3(J[a4 00002200002

0dr)]r10(J2)r2(J)r23(J)r2(J)r4(J1)r52(J[a4 0000005 =+++++++

+

ππ+π

π+π

π+π

π+

π

π+π

π+π

π+π

π+π

π )(J)5(J5

)13(J13

)17(J17

a)2(J2

)22(J22

)2(J2

)10(J10

a)5(J5

a 111121111110

+

π

π+π

π+ππ+π

π+

ππ+π

π+π

π+π

π+ )3(J

3)17(J

17)(J)5(J

5a)(J)13(J

13)5(J

5)3(J

3a 11112211112

∫π

=

π

π+π

π+π

π+π

π+π

π+

π+π

π+

00

211111

2

15 dr)r5(Jr)10(J10

2)2(J2

)23(J23

)2(J2

)4(J42

)52(J52

a

+

ππ

+π

π+

π

π+

ππ

+

ππ

+π

π+

π

π+

π

π+

ππ

+π

π+

π

π+

π

π+

π

π )(J13

)13(J5

)5(J3

)3(Ja

)(J5

)5(J13

)13(J17

)17(Ja

2)2(J

22)22(J

2)2(J

10)10(J

aa5

)5(J 11112

11112

111110

1

∫π

π=

π

π+

π

π+

π

π+

ππ

+ππ

++π

π+

ππ

+π

π+

ππ

+ππ

+0

02

2111111

51111

22 dr)r5(Jr110

)10(J2

2)2(J

23)23(J

2)2(J

4)4(J

21

52)52(J

a3

)3(J17

)17(J)(J5

)5(Ja

Integralele de tipul ∫π

++π

2

02211 dt))ttcos(rcos())ttcos(rcos(

21 care intervin în ecuaţiile anterioare se evaluează astfel:

=+−+++++π

=++π ∫∫

ππ

dt)]ttcos(rcos()ttcos(rcos[dt)]ttcos(rcos()ttcos(r[cos21

21dt))ttcos(rcos())ttcos(rcos(

21

2211

2

02211

2

02211

dttcosrtcosrtsinrtsinr

tanatcos)ttcos(rr2rrcos21

21dt

tcosrtcosrtsinrtsinr

tanatcos)ttcos(rr2rrcos21

21

2211

22111221

21

21

2

0

2

0 2211

22111221

21

21

−−

+−−+π

+

++

+−++π

= ∫∫ππ

.

În calculele de mai sus s-a ţinut seama că:

[ ])BAcos()BAcos(21BcosAcos −++=

=+−+=−+−=+++ tsin)tsinrtsinr(tcos)tcosrtcosr()tsintsintcost(cosr)tsintsintcost(cosr)ttcos(r)ttcos(r 221122112221112211

++

+−++=2211

22111221

21

21 tcosrtcosr

tsinrtsinrtanatcos)ttcos(rr2rr

=+++=−−−=+−+ tsin)tsinrtsinr(tcos)tcosrtcosr()tsintsintcost(cosr)tsintsintcost(cosr)ttcos(r)ttcos(r 221122112221112211

−−

+−−+=2211

22111221

21

21 tcosrtcosr

tsinrtsinrtanatcos)ttcos(rr2rr .

Folosind funcţia Bessel de ordin 0, se poate scrie: 2π

)ttcos(rr2rrJ21)ttcos(rr2rrJ

21dt))ttcos(rcos())ttcos(rcos(

21

12212

12

1012212

12

100

2211 −−++−++=++π ∫ .

Calculată pentru toate cazurile posibile din ecuaţiile 1 – 6, relaţia de mai sus devine: π π2 2

∫ ∫ +=π

=π 0 0

0 21)r2(J

21dt)tsinrcos()tsinrcos(

21dt)tcosrcos()tcosrcos(

21

∫π

=π

2

00 )r2(Jdt)tsinrcos()tcosrcos(

21

∫ ∫π π

+=

π

±π

=

π

±π

2

00

2

00 )r(J

21)r5(J

21dt

4tcosr2cos)tsinrcos(

21dt

4tcosr2cos)tcosrcos(

21

∫ ∫π π

+=π

=π

2

00

2

00 )r(J

21)r3(J

21dt)tsinr2cos()tsinrcos(

21dt)tcosr2cos()tcosrcos(

21

∫ ∫π π

=π

=π

2

0

2

00 )r5(Jdt)tcosr2cos()tsinrcos(

21dt)tsinr2cos()tcosrcos(

21

∫ ∫π π

+=±π

=

±

π

2

00

2

00 )r2(J

21)r10(J

21dt))2tanatcos(r5cos()tsinrcos(

21dt

21tanatcosr5cos)tcosrcos(

21

∫ ∫π π

+=±π

=

±

π

2

00

2

00 )r2(J

21)r22(J

21dt))2tanatcos(r5cos()tcosrcos(

21dt

21tanatcosr5cos)tsinrcos(

21

∫ ∫π π

+=

π

±π

=

π

±π

2

00

2

00 )r5(J

21)r13(J

21dt

4tcosr22cos)tsinrcos(

21dt

4tcosr22cos)tcosrcos(

21

∫π

+=

π

±

π

±π

2

00 2

1)r22(J21dt

4tcosr2cos

4tcosr2cos

21

∫π

=

π

+

π

−π

2

00 )r2(Jdt

4tcosr2cos

4tcosr2cos

21

∫ ∫π π

+=

π

±π

=

π

±π

2

00

2

00 )r2(J

21)r10(J

21dt

4tcosr2cos)tsinr2cos(

21dt

4tcosr2cos)tcosr2cos(

21

∫ ∫π π

+=

π

±±π

=

π

±

±

π

2

0

2

000 )r(J

21)r13(J

21dt

4tcosr2cos))2tanatcos(r5cos(

21dt

4tcosr2cos

21tanatcosr5cos

21

∫ ∫π π

+=

π

±π

=

π

±

π

2

0

2

000 )r5(J

21)r3(J

21dt

4tcosr2cos))2tanatcos(r5cos(

21dt

4tcosr2cos

21tanatcosr5cos

21

mm

)r2(J21)r23(J

21dt

4tcosr2cos

4tcosr22cos

21

0

2

00 +=

π

±

π

±π ∫

π

∫π

=

π

±

π

π

2

00 )r10(Jdt

4tcosr2cos

4tcosr22cos

21

m

∫ ∫π π

+=π

=π

2

0

2

00 2

1)r4(J21dt)tsinr2cos()tsinr2cos(

21dt)tcosr2cos()tcosr2cos(

21

∫π

=π

2

00 )r22(Jdt)tsinr2cos()tcosr2cos(

21

∫ ∫π π

+=±π

=

±

π

2

00

2

00 )r(J

21)r17(J

21dt))2tanatcos(r5cos()tsinr2cos(

21dt

21tanatcosr5cos)tcosr2cos(

21

∫ ∫π π

+=±π

=

±

π

2

00

2

00 )r5(J

21)r13(J

21dt))2tanatcos(r5cos()tcosr2cos(

21dt

21tanatcosr5cos)tsinr2cos(

21

∫ ∫π π

+=

π

±π

=

π

±π

2

00

2

00 )r2(J

21)r52(J

21dt

4tcosr22cos)tsinr2cos(

21dt

4tcosr22cos)tcosr2cos(

21

)r(J21)r5(J

21dt))2tanatcos(r5cos(

4tcosr22cos

21dt

21tanatcosr5cos

4tcosr22cos

21

0

2

0

2

00∫ ∫

π π

+=±

π

±π

=

±

π

±π

)r3(J21)r17(J

21dt))2tanatcos(r5cos(

4tcosr22cos

21dt

21tanatcosr5cos

4tcosr22cos

21

0

2

0

2

00∫ ∫

π π

+=

π

±π

=

π

±π

mm

∫π

+=

π

±

π

±π

2

00 2

1)r24(J21dt

4tcosr22cos

4tcosr22cos

21

∫π

=

π

±

π

π

2

00 )r4(Jdt

4tcosr22cos

4tcosr22cos

21

m

Anexa 3 – Modalitatea de obţinere a ecuaţiilor sistemului (5.47) 246

Bibliografie

CAPITOLUL 2

AIRINEI, ŞT., 1977:

Microplăci litosferice pe teritoriul României, reflectate în anomalii gravimetrice

regionale. Studii şi Cercetări de Geologie, Geofizică, Geografie, seria Geofizică, tom

15, p. 19 – 30

BURCEA, C., CORNEA, I. şi al.:

Contribuţii seismice la crearea unei imagini tectonice asupra marginii nordice a

Platformei Moesice între Olt şi Buzău. Studii şi Cercetări de Geologie, Geofizică,

Geografie, seria Geofizică, tom 3, nr.1, 1965, p. 129 – 139

CAZENAVE, A. şi FEIGL, K., 1994:

Formes et mouvements de la terre. Satellites et géodésie. Paris: CNRS Editions.

Capitolul 2, La Terre: une dynamique complexe en évolution permanente, Capitolul 3,

Le champ de gravité terrestre, p. 21 – 62 şi Capitolul 6, Déformations dans les régions

actives, p. 97 – 116

CONSTANTINESCU, L., BOTEZATU, R. şi al., 1964:

Prospecţiuni geofizice. Volumul 1: Metodele câmpurilor naturale. Bucureşti: Editura

Tehnică. Partea întâi, Prospecţiunea gravimetrică, p. 51 – 286

DRAGOMIR, V., GHIŢĂU, D., MIHĂILESCU, M. şi ROTARU, M.:

GHIŢĂU, D., 1983:

Teoria figurii Pământului. Bucureşti: Editura Tehnică, 1977. Partea întâi, Capitolul 1,

Originea, structura şi forma Pământului, p. 21 – 29

Geodezie şi gravimetrie geodezică. Bucureşti: Editura Didactică şi Pedagogică. Partea

întâi, Capitolul 1, subcapitolul 1.1, Câmpul gravităţii, p. 11 – 16

GRASU, C., 1997:

Geologie structurală. Bucureşti: Editura Tehnică. Capitolul 2, Consideraţii privind

scoarţa Pământului, p. 16 – 24 şi Capitolul 12, Teritoriul românesc şi tectonica plăcilor,

p. 214 – 225

Bibliografie 248

KORDI, M. A.:

Utilizarea măsurătorilor gravimetrice şi de nivelment pentru determinarea deplasărilor

crustale verticale recente. Teză de doctorat. Bucureşti: Universitatea Tehnică de

Construcţii Bucureşti, 1992. Capitolul 2, subcapitolul 2.1, Noţiuni privind structura

globului terestru, p. 10 – 18

RĂDULESCU, F.:

RĂDULESCU, F.:

Geological Structure and Seismicity of Romania. In The Gruiu-Căldăruşani Test

Polygon Romania, nr. 82, Bonn: Mitteilungen aus den Geodätischen Instituten der

Rheinischen Friedrich – Wilhelms – Universität Bonn, 1994, p. 10 – 19

MARTY, J.-C., 2000:

Space Geodesy. In Space Cartography Course [CD-ROM]. Version 1.0. Toulouse:

GDTA, 2 May – 16 June.

PETRESCU, G. şi RADU, C.:

Seismicitatea teritoriului R. P. Române în perioada anterioară anului 1900. In Probleme

de geofizică. Volumul 2. Bucureşti: Editura Academiei Republicii Populare Române,

1963, p. 79 – 85

PETRESCU, G. şi RADU, C.:

Structura scoarţei terestre în România. Studii şi Cercetări de Geologie, Geofizică,

Geografie, seria Geofizică, tom 3, nr. 1, 1965, p. 49 – 53

POSEA, GR. şi al., 1976:

Geomorfologie. Bucureşti: Editura Didactică şi Pedagogică. Partea a doua, Capitolul 1,

Structura Pământului, Capitolul 2, Forma Pământului, p. 30 – 36 şi Partea a treia,

Capitolul 2, Elementele structurale şi morfologice ale continentelor, p. 51 – 69 şi

Capitolul 4, Tectonica plăcilor şi relieful, p. 71 – 85

Crustal Seismic Studies in Romania. Revue Roumaine de Géologie, Géophysique et

Géographie – Série de Géophysique, tome 25, 1981, p. 57 – 74

Seismic Models of Crustal Structure in Romania. Revue Roumaine de Géologie,

Géophysique et Géographie – Série de Géophysique, tome 32, 1988, p. 13 – 17

RĂDULESCU, F., BITER, M., DIACONESCU, C. şi NACU, V.:

RĂDULESCU, F., NACU, V. şi DIACONESCU, C.:

Geodetic Contributions to the Geodinamic Studies. In The Gruiu-Căldăruşani Test

Polygon Romania, nr. 82, Bonn: Mitteilungen aus den Geodätischen Instituten der

Rheinischen Friedrich – Wilhelms – Universität Bonn, 1994, p. 4 – 9

Bibliografie 249

SAÏDOU, L. Y., 1979:

Etude gravimétrique de l’Ardar Des Inforas (Nord-Est Mali). Teză de doctorat.

Montpellier: Université des Sciences et Techniques du Languedoc, p. 97 – 100

SOCOLESCU, M., POPOVICI, D. şi VISARION, M.:


Tehnică. Partea întâi, Prospecţiunea gravimetrică, p. 51 – 286

Mohorovičič Surface in the Eastern Carpathians and the Transylvanian Bassin Inferred

from Gravimetric Data. Studii şi Cercetări de Geologie, Geofizică, Geografie, seria

Geofizică, anul 1, nr.1, 1963, p. 35 – 49

CAPITOLUL 3

BALMINO, G. şi al.:

Cours de géodésie dynamique et spatiale. [Paris]: Ecole Nationale Supérieure des

Techniques Avancées, 1982. Capitolul 10, Utilisation des mesures de pesanteur.

Déviation de la verticale. Utilisation des mesures d'altimétrie par satellite, p. 205 – 256

BONATZ, M., DANCHIV, D., GHIŢĂU, D. şi al.:

Hypotheses on the Earth Crust Structure in the Gruiu-Căldăruşani Polygon Zone.

In The Gruiu-Căldăruşani Test Polygon Romania, nr. 82, Bonn: Mitteilungen aus den

Geodätischen Instituten der Rheinischen Friedrich – Wilhelms – Universität Bonn,

1994, p. 10 – 19

CHANET, A.:

Apport de la gravimétrie à la télédétection dans le cadre de l’étude structurale du

Languedoc à partir d’une image Landsat Thematic Mapper. Curs DEA, Institut

Français du Pétrole. [Paris]: Université de Paris VI, 1985. 59 p.


COULOMB, J. şi JOBERT, G.:

Traité de géophysique interne. Volumul 1: Sismologie et pesanteur. Paris: Masson &

Cie, 1973. Capitolul 10, Champ de pesanteur et la forme de la Terre, p. 421 – 471

DRAGOMIR, V., GHIŢĂU, D., MIHĂILESCU, M. şi ROTARU, M.:

Teoria figurii Pământului. Bucureşti: Editura Tehnică, 1977. Capitolul 5, Determinarea

geoidului prin metode gravimetrice, p. 116 – 144

FAVRE, B., 1958:

Cours de géophysique. Volumul 1. Paris: Société des Edition Technip. Capitolul 2,

Gravimétrie, p. 30 – 171

Bibliografie 250

FORSBERG, R.:

A Study of Terrain Reductions, Density Anomalies and Geophisycal Inversion Methods

in Gravity Field Modelling. Report nr. 355. Ohio, Columbus: The Ohio State

University, 1984. 129 p.

FRANŢA, BUREAU GRAVIMETRIQUE INTERNATIONAL, 1996:

Gravimetrie geodezică. Îndrumător pentru lucrări practice. Bucureşti: Universitatea

Tehnică de Construcţii, 1989. Lucrarea nr. 5: Calculul anomaliilor gravităţii, p. 46 – 53

LEVALOIS, J.-J.:

Formulas Used In Computing Free-Air and Bouguer Anomalies. Bulletin d’information,

iunie, nr. 78, p. 11 – 14

GHIŢĂU, D., 1983:

Geodezie şi gravimetrie geodezică. Bucureşti: Editura Didactică şi Pedagogică.

Capitolul 3, Anomaliile câmpului gravităţii, p. 56 – 66

GHIŢĂU, D., 1996:

Prelucrarea măsurătorilor geodezice (GPS, de nivelment şi gravimetrice) efectuate în

anul 1995 în Poligonul Geodinamic Gruiu-Căldăruşani. Contract de lucrări nr. 146,

Bucureşti: Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti. Capitolul 3, subcapitolul 3.3,

Prelucrarea măsurătorilor gravimetrice, p. 12 – 20

GHIŢĂU, D. şi ŞOMÂRDOLEA, I.:

GROTEN, E., 2000:

Die Fundamentalkonstanten in der Geodäsie. Zeitschrift für Vermessungswesen, nr. 1,

p. 1 – 8

HEISKANEN, W. şi MORITZ, H.:

Physical Geodesy. Paris şi Londra: W. H. Freeman and Company, 1967. Capitolul 3,

Gravimetric Methods, p. 126 – 159

KORDI, M. A.:



Construcţii Bucureşti, 1992. Capitolul 5, subcapitolul 5.1, Determinarea gradientului

mediu al gravităţii în zona Poligonului Geodinamic Gruiu-Căldăruşani, p. 87 – 95

Géodésie générale. Volumul 1: Le champ de la pesanteur. Paris: Editions Eyrolles,

1970. Capitolul 10, Le champ potentiel de la Terre réelle, p. 126 – 159

LEWI, E.:

Modelling and Inversion of High Precision Gravity Data. Dizertaţie. München: Verlag

der Bazerischen Akademie der Wissenschaften, 1997. 146 p.

Bibliografie 251

MARINESCU, M.:

Proiect de diplomă. Bucureşti: Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti,

Facultatea de Geodezie, 1994. 95 p.

MORITZ, H., 1989:

Advanced Physical Geodesy. Second Edition. Karlsruhe: Wichmann. Partea D,

subcapitolul 48, Use of the Terrain Correction, p. 414 – 419

RUS, T., SCHWIEGER, V. şi NEUNER, J.:

Local Geoid in Vrancea Region – Comparative Study Between Gravimetric Geoid and

GPS Geoid. In GPS Technology Applications – Proceedings, International Symposium

and Exhibition. Bucureşti, 26 – 29 septembrie, 1995, vol. 20, nr. 2, p. 97 – 105

SAÏDOU, L. Y.:

Etude gravimétrique de l’Ardar Des Inforas (Nord-Est Mali). Teză de doctorat.

Montpellier: Université des Sciences et Techniques du Languedoc, 1979. 107 p.

SIDERIS, M. G. şi SHE, B. B., 1995:

A New, High-Resolution Geoid for Canada and Part of the U.S. by the 1D-FFT Method.

Bulletin Géodesique, vol. 69, nr. 2, p. 92 – 108

U.S.A., NATIONAL IMAGERY AND MAPPING AGENCY:

World Geodetic System 1984. Its Definition and Relationships with Local Geodetic

Systems. Technical Report nr. TR8350.2, Third Edition, iulie, 1997. 170 p.

CAPITOLUL 4

ALFARO, M., 1980:

The Random Coin Method: Solution of the Problem of the Simulation of a Random

Function in the Plane. Mathematical Geology, vol. 12, nr. 1, p. 25 – 32

ATKINSON, K.:

An Introduction to Numerical Analysis. Second Edition. New York: John Wiley & Sons,

1989. Capitolul 3, subcapitolul 3.7, Piecewise Polynomial Interpolation, p. 163 – 176

BERBENTE, C., MITRAN, S. şi ZANCU, S.:

Metode numerice. Bucureşti: Editura Tehnică, 1997. Capitolul 1, Aproximarea funcţiilor

de o variabilă, p. 1 – 48

CHILES, J.-P. şi DELFINER P.:

Reconstitution par krigeage de la surface topographique à partir de divers schémas

d'échantillonnage photogrammétrique. Bulletin de la Société Française de

Photogrammétrie et de Télédétection, ianuarie 1975, nr. 57, p. 42 – 50

Bibliografie 252

CRESSIE, N., 1993:

Statistics for Spatial Data. Revised Edition. New York: Wiley-Interscience. Capitolul 2,

Stationary Processes.

DEUTSCH, C. şi JOURNEL, A., 1998:

Geostatistical Software Library and User’s Guide. Second Edition. New York: Oxford

University Press. Capitolul 2, Getting Started, p. 9 – 41 şi Capitolul 3, Variograms,

p. 43 – 62

Programare numerică. Bucureşti: Teora, 1996. Capitolul 4, subcapitolul 4.8, Interpolare

cu funcţii spline în clasă C1, p. 86 – 87 şi subcapitolul 4.9, Funcţii spline în clasă C2,

p. 87 – 89

GHIŢĂU, D.:

Geodezie şi gravimetrie geodezică. Bucureşti: Editura Didactică şi Pedagogică, 1983.

Capitolul 3, subcapitolul 3.9, Interpolarea numerică a anomaliilor câmpului gravităţii,

p. 64 – 66

GHIŢĂU, D. şi ŞOMÂRDOLEA, I., 1989:

Gravimetrie geodezică. Îndrumător pentru lucrări practice. Bucureşti: Universitatea

Tehnică de Construcţii Bucureşti. Lucrarea nr. 6, Interpolarea anomaliilor gravităţii,

p. 54 – 62

HEISKANEN, W. şi MORITZ, H., 1967:

Physical Geodesy. Paris şi Londra: W. H. Freeman and Company. Capitolul 3,

Gravimetric Methods, p. 126 – 133, Capitolul 7, subcapitolul 7.1, Introduction,

p. 251 – 255 şi subcapitolul 7.5, Interpolation and Extrapolation of Gravity Anomalies,

p. 264 – 270

IORGA, V., JORA, B. şi al.:

HOTTIER, PH., 1977:

Etude mathématique des Modèles Numériques du Terrain. Conséquences pratiques.

Bulletin de la Société Française de Photogrammétrie et de Télédétection, nr. 66,

p. 9 – 28

IONESCU, I., 1994:

Fotogrammetrie inginerească. Note de curs. Bucureşti: Universitatea Tehnică de

Construcţii Bucureşti. Cursurile 8 – 19, Modelul digital al terenului.

Bibliografie 253

ISAAKS, E. şi SRIVASTAVA, M., 1989:

An Introduction to Applied Geostatistics. New York: Oxford University Press.

Capitolul 4, Spatial Description, p. 40 – 66, Capitolul 7, The Sample Data Set: Spatial

Continuity, p. 140 – 183, Capitolul 12, Ordinary Kriging, 279 – 322, Capitolul 13,

Block Kriging, p. 323 – 327 şi Capitolul 16, Modeling the Sample Variogram,

p. 369 – 399

JULIEN, P., 1994:

KITANIDIS, P., 1997:

Introduction to Geostatistics - Applications in Hydrogeology. New York: Cambridge

University Press, New York, 249 p.

MARI, J. – L.:

Interpolation et transformation de cartes. Teză de doctorat. [Paris]: Universitatea Paris

VI, 1982. Partea a doua, Interpolation, p. 7 – 102

MASSON D'AUTUME de, G.:

L'interpolation par une règle flexible (spline) et ses applications en photogrammétrie

numérique. In Lucrările Congresului al XIII – lea al Societăţii Internaţionale de

Fotogrammetrie. Comisia a treia. Helsinki, 1976. 16 p.

MICULA, GH.:

Funcţii spline şi aplicaţii. Bucureşti: Editura Tehnică, 1978. Introducere, Capitolul 1,

Funcţii spline cubice, Capitolul2, Funcţii spline polinomiale, p. 13 – 78, Capitolul 5,

Funcţii spline de două variabile şi Capitolul 6, Aproximarea optimală a funcţionalelor

liniare, p. 123 – 163

MASSON D'AUTUME de, G.:

Construction du modèle numérique d'une surface par approximations successives.

Application aux Modèles Numériques de Terrain (M.N.T.). Bulletin de la Société

Française de Photogrammétrie et de Télédétection, nr. 71 – 72, 1978, p. 33 – 41

MEISSL, P., 1982:

Traitements altimétriques (Modèles Numériques de Terrain). Curs DEA SIG. [Paris]:

IGN, Laboratoire Matis. Capitolul 1, Définition d'un Modèle Numérique de Terrain et

exemples şi Capitolul 2, Constitution d'un MNT à partir d'un échantillon, p. 2 – 41

Least Squares Adjustment. A Modern Approach. Graz: Institute der Technischen

Universität Graz. Subcapitolele: One dimentional Cubic Spline Interpolation şi Two-

dimentional Spline Interpolation, p. D.4.1 – D.5.5

Bibliografie 254

MOLDOVEANU, F. şi al.:

Grafica pe calculator. Bucureşti: Teora, 1996. Capitolul 7, subcapitolul 7.3, Suprafeţe

de interpolare – aproximare, p. 309 – 329

MORITZ, H., 1962:

Interpolation and Prediction of Gravity and Their Accuracy. Report nr. 24. Ohio,

Columbus: The Ohio State University – Research Foundation. 69 p.

MORITZ, H.:

MORITZ, H., 1978:

Least-Squares Collocation. Reviews of Geophysics and Space Physics, august 1978,

vol. 16, nr. 3, p. 421 – 430

MORITZ, H., 1989:

Advanced Physical Geodesy. Second Edition. Karlsruhe: Wichmann. Partea B,

subcapitolul 9, Least-Square Prediction, p. 76 – 81 şi subcapitolul 22, Local Structure

of Covariance Function, p. 169 – 181

PANNATIER, Y., 1996:

VarioWin - Software for Spatial Data Analysis in 2D. New York: Springer-Verlag. 91 p.

Validation de Modeles Numeriques de Terrain. (Application à la cartographie des

risques géologiques). Teză de doctorat. [Paris]: Universitatea Paris 7, 1991. Capitolul 3,

Grilles régulières et irrégulières pour les Modèles Numériques de Terrain: une étude

comparative orientée vers le contrôle de qualité, p. 35 – 46

POSTOLACHE, M., 1994:

Metode numerice. Ediţia a doua. Bucureşti: Sirius. Capitolul 3, subcapitolul 2, Metoda

celei mai rapide coborâri (a gradientului), p. 83 – 92

PRESS, W. şi al.:

Numerical Recipes in C. Second Edition. Cambridge: Cambridge University Press.

Capitolul 3, Interpolation and Extrapolation, p. 105 – 128

RAPP, R.:

Correlation Coefficients and Their Use in the Prediction of Mean Anomalies. Report

nr. 20. Ohio, Columbus: The Ohio State University – Research Foundation, 1962. 38 p.

MORITZ, H.:

Approximation Methods in Geodesy. Karlsruhe: Wichmann, 1978. 45 p.

Integral Formulas and Collocation. Report nr. 234. Ohio, Columbus: The Ohio State

University – Research Foundation, 1975. Capitolul 1, Some Simple Configurations in

Least-Squares Interpolation, p. 3 – 18

POLIDORI, L.:

Bibliografie 255

ROSSI, R. E. şi al. 1994:

Kriging in the Shadows: Geostatistical Intepolation for Remote Sensing. Remote

Sensing of Environment, p. 32 – 40.

Analiză numerică. Bucureşti: Editura Universităţii din Bucureşti, 1999. Capitolul 2,

subcapitolul 4, Metode de interpolare, p. 309 – 328

RUSU, I.:

Metode numerice în electronică. Aplicaţii în limbaj C. Bucureşti: Editura Tehnică, 1997.

Capitolul 6, Interpolarea, p. 123 – 147

SEREDIUC, C.:

Determinarea înălţimii geoidului utilizând metoda elementelor finite (MEF). Revista de

Geodezie, Cartografie şi Cadastru, septembrie 1993, vol. 4, nr. 2, p. 34 – 42

SEREDIUC, C.:

Teoria erorilor de măsurare. Bucureşti: Editura Academiei Tehnice Militare, 1997.

Capitolul 5, subcapitolul 5.6 Introducere în interpolarea, filtrarea şi colocaţia prin cele

mai mici pătrate, p. 277 – 313

SIMIONESCU, I., DRANGA, M. şi MOISE, V.:

Metode numerice în tehnică. Bucureşti: Editura Tehnică, 1995. Capitolul 7,

Aproximarea şi interpolarea funcţiilor, p. 97 – 130

Cardinal Interpolation. Report nr. 312. Ohio, Columbus: The Ohio State University –

Research Foundation, 1981. 95 p.

ŞABAC, I. GH., COCÂRLAN, P., STĂNĂŞILĂ, O. şi TOPALĂ, A.:

Matematici speciale. Volumul 2. Bucureşti: Editura Didactică şi Pedagogică, 1983.

Capitolul 3, subcapitolul 2, Interpolarea, p. 197 – 216

UDRIŞTE, C., IFTODE, V. şi POSTOLACHE, M., 1996:

Metode numerice de calcul. Algoritmi şi programe Turbo Pascal. Bucureşti: Editura

Tehnică. Capitolul 1, Interpolare şi polinoame de aproximare, şi Capitolul 2, Teoria

aproximării prin cele mai mici pătrate, p. 31 – 49

VLADISLAV, T. şi RAŞA, I.:

Analiză numerică. Elemente introductive. Bucureşti: Editura Tehnică, 1997.

Capitolul 7, Funcţii spline şi curbe Bézier, p. 160 – 190

ROŞCA, I.:

SÜNKEL, H.:

Bibliografie 256

CAPITOLUL 5

A Generalized Method of Computing Second Derivative of Gravity Field.

Geophysical Prospecting, iunie, 1972, vol. 20, nr. 2, p. 385 – 394

Contribuţii la interpretarea fizică a anomaliilor câmpurilor potenţiale. I. Continuarea

analitică în semispaţiul inferior. In Probleme de geofizică. Volumul 1. Bucureşti:

Editura Academiei Republicii Populare Române, p. 97 – 138


Tehnică, 1964. Partea întâi, Prospecţiunea gravimetrică, p. 51 – 286

AGARWAL, B. N. P. şi LAL, T.:

AGARWAL, B. N. P. şi LAL, T.:

Calculation of the Vertical Gradient of the Gravity Field Using the Fourier Transform.

Geophysical Prospecting, iunie, 1972, vol. 20, nr. 2, p. 448 – 459

BONATZ, M., DANCHIV, D., GHIŢĂU, D. şi al.:

Hypotheses on the Earth Crust Structure in the Gruiu-Căldăruşani Polygon Zone.

In The Gruiu-Căldăruşani Test Polygon Romania, nr. 82, Bonn: Mitteilungen aus den

Geodätischen Instituten der Rheinischen Friedrich – Wilhelms – Universität Bonn,

1994, p. 10 – 19

CONSTANTINESCU, L. şi BOTEZATU, R.:

CONSTANTINESCU, L. şi BOTEZATU, R., 1961:


CONSTANTINESCU, L. şi ELDAIEM, M. M., 1963:

O formulă practică de aproximare a gradientului vertical. In Probleme de geofizică.

Volumul 2. Bucureşti: Editura Academiei Republicii Populare Române, p. 27 – 44

COULOMB, J. şi JOBERT, G.:

Traité de géophysique interne. Volumul 1: Sismologie et pesanteur. Paris: Masson &

Cie, 1973. Capitolul 24, Prospection gravimétrique, p. 613 – 621

Introduction to Geophysical Prospecting. Third Edition. USA: McGraw-Hill, 1976.

Capitolul 13, The Interpretation of Gravity Data, p. 435 – 475

Contribuţii la interpretarea fizică a anomaliilor câmpurilor potenţiale. II. Condiţii de

aplicare a continuităţii analitice. In Probleme de geofizică. Volumul 1. Bucureşti:

Editura Academiei Republicii Populare Române, 1961, p. 139 – 162

DOBRIN, B. M.:

Bibliografie 257

FAVRE, B.:

GHIŢĂU, D.:

Prelucrarea măsurătorilor geodezice (GPS, de nivelment şi gravimetrice) efectuate în

anul 1995 în Poligonul Geodinamic Gruiu-Căldăruşani. Bucureşti: Universitatea

Tehnică de Construcţii Bucureşti – Facultatea de Geodezie – Colectivul de Geodezie,

1996. 65 p.

GRASU, C.:

Geologie structurală. Bucureşti: Editura Tehnică, 1997. Capitolul 12, Teritoriul

românesc şi tectonica plăcilor, p. 214 – 225

IVAN, M., 1994:

Prospecţiuni magnetice. Bucureşti: Editura Universităţii Bucureşti. Capitolul 6,

Filtrarea datelor magnetice, p. 92 – 127

Local Quasi-geoid and Downward Continuation by Integrated Harmonic Series.

Application to Dobrudja Area - Romania. In Second Continental Workshop on the

Geoid in Europe, Budapest, 10 – 14 martie, 1998, p. 129 – 136



Construcţii Bucureşti, 1992. Capitolul 2, subcapitolul 2.3, Poligonul Geodinamic

Gruiu-Căldăruşani, p. 30 – 37

WOLF, H., 1992:

Cours de géophysique. Volumul 1. Paris: Société des Edition Technip, 1958.

Capitolul 2, Gravimétrie, p. 30 – 171

IVAN, M. şi SEVILLA, M. J.:

KORDI, M. A.:

LEWI, E.:

Modelling and Inversion of High Precision Gravity Data. Dizertaţie. München: Verlag

der Bazerischen Akademie der Wissenschaften, 1997. 146 p.

MECHLER, P.:

Les métodes de la géophysique. Paris: Bordas, 1982. Capitolul 1, Gravimétrie, p. 1 – 52

Gravimetria. Udine: Del Bianco Editore, 1968. Capitolul 4, Riduzione delle misure di

gravità, p. 169 – 315

Separarea anomaliilor gravimetrice. Scrisoare către: GHIŢĂU, D., Comunicare

personală.

MORELLI, C.:

Bibliografie 258

CAPITOLUL 6

AIRINEI, ŞT., 1977: Microplăci litosferice pe teritoriul României, reflectate în anomalii gravimetrice regionale. Studii şi Cercetări de Geologie, Geofizică, Geografie, seria Geofizică, tom 15, p. 19 – 30

BONATZ, M., DANCHIV, D.,GHIŢĂU, D. şi al., 1995:

BONATZ, M., GHIŢĂU, D. şi RĂDULESCU, F., 1994: The Gruiu-Căldăruşani Test Polygon Romania. Bonn: Mitteilungen aus den Geodätischen Instituten der Rheinischen Friedrich – Wilhelms – Universität Bonn. 83 p.

Prelucrarea măsurătorilor geodezice (GPS, de nivelment şi gravimetrice) efectuate în anul 1995 în Poligonul Geodinamic Gruiu-Căldăruşani. Contract de lucrări nr. 146, Bucureşti: Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti. Capitolul 3, subcapitolul 3.3, Prelucrarea măsurătorilor gravimetrice, p. 12 – 20

Contribuţii ale geodeziei la programele de geodinamică. Unele realizări obţinute în ţara noastră. In Lucrările simpozionului cu tema “Lucrări de interes planetar integrate sinergetic de geodezie şi geofizică”, octombrie, p. 8 – 18

CORNEA, I., ZUGRĂVESCU, D., GHIŢĂU, D., POPESCU, M. şi RĂDULESCU, F., 1980: The Căldăruşani-Gruiu Geodinamic Polygon. Revue Roumaine de Géologie, Géophysique et Géographie – Série de Géophysique, tome 24, nr. 2, p. 171 – 191

GHIŢĂU, D., 1996a:

GHIŢĂU, D., MARCU, C. şi PĂUNESCU, C., 1996b:

GRIGORE, M., BITER, M., RĂDULESCU, F. şi NACU, V.:

KORDI, M. A., 1992: Utilizarea măsurătorilor gravimetrice şi de nivelment pentru determinarea deplasărilor crustale verticale recente. Teză de doctorat. Bucureşti: Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti. Capitolul 2, subcapitolul 2.3, Poligonul Geodinamic Gruiu-Căldăruşani, p. 30 – 37

RĂDULESCU, F., GHIŢĂU, D., NACU, V. şi STIOPOL, D., 1992: Study of Recent Crustal Movements in Romania (Gruiu-Caldarusani Polygon). Tectonophysics, nr. 202, p. 141 – 144

Caracteristici ale crustei terestre în zona Poligonului Gruiu-Căldăruşani estimate din măsurători gravimetrice geodezice. Revista de Geodezie, Cartografie şi Cadastru, volumul 4, nr. 1, p. 3 – 16

Mişcări crustale recente în platforma Moesică. In Lucrările simpozionului cu tema “Lucrări de interes planetar integrate sinergetic de geodezie şi geofizică”, octombrie, 1996, p. 60 – 69

Index

A

Anomalie a derivatei verticale de ordinul II a gravităţii, 116 a gradientului vertical al gravităţii, 104 Bouguer completă, 34 Bouguer incompletă, 32

Bouguer perfecţionată redusă, 44

Autocorelaţie, 52

gravităţii, 6

Corecţie de relief, 36

Covarianţa, 60

Bouguer perfecţionată, 35

continuată analitic a gravităţii, 100 Faye, 26 gravimetrică, 25 locală, 98 nivelată / majoră, 98 regională, 98 reziduală / minoră, 98

C

Câmpul gravific, 6

Compresiune, 12 Continuare analitică, 101

Corelaţie spaţială, 52 Corelograma, 62 Corp sursă, 97

Crusta terestră, 7, 8 Cutremur de pământ, 19

D

Discontinuitate de ordinul I, 7 de ordinul II, 7

Distanţa maximă de corelaţie, 55 Distensiune, 12

E

Efect de discontinuitate în origine, 55, 57 Element finit, 45 Extrapolare, 43

F

Falie tectonică, 17 Fereastră de interpolare, 89 Filtrare, 104

în domeniul spaţial, 105 în domeniul spectral, 106

Formaţiune perturbantă, 97 Funcţie spline

bicubică, 82 bicubică de interpolare, 82 bicubică de tipul I, 82 bicubică de tipul II, 82 cubică naturală, 94 polinomială, 82

Funcţională pătratică, 68

G

Geomorfologie planetară, 5 tectono-structurală, 11

Gradient normal al gravităţii, 29 vertical al gravităţii deasupra solului, 30

Gravitate, 6 Grid, 45

elastic, 65 spline "placă subţire", 73 spline "placă subţire" de ajustare, 74 spline "placă subţire" de interpolare, 73 spline "pseudo-cubic", 73

H

Harta anomaliilor Bouguer, 97 Bouguer, 97 gravimetrică, 97

I

Indicator statistic, 54 ergodic, 59 non-ergodic, 59

Interpolant spline cubic, 92

Index 260

Interpolant spline cubic natural, 94 Interpolare, 43

Î

de elevaţie, 35

Înveliş de ordinul I, 7 de ordinul II, 7

K

Kriging, 75 simplu, 77 universal, 77

L

Legea lui Shanon, 63

M

Manta, 7, 9 Mase topografice, 25 Material gravimetric

primar, 97 secundar, 97

Matricea caracteristică de transfer a filtrului, 105 coeficienţilor filtrului, 105 coeficienţilor geometrici, 86 condiţiilor pe frontieră, 86

Metoda ferestrei mobile, 105 mediilor mobile, 105

Microplacă tectonică, 18

N

Nucleu, 7, 10

P

Placă tectonică, 11 Pol eulerian, 11 Pragul semi-variogramei, 55 Predicţie, 43

R

Reducere Bouguer completă, 35 Bouguer de placă, 32 Bouguer incompletă, 32

de strat intermediar, 32 Faye, 27 gravimetrică, 25 în aer liber, 27 topografică, 35

S

Scara componentei structurate a semi-variogramei, 55 Scoarţa terestră, 7 Semi-variograma, 54

anizotropică, 56 experimentală, 54 indicator, 56 izotropică, 55 model, 55 standardizată, 56

Suprafaţă parametrică, 44 rectangulară bicubică, 48 rectangulară biliniară, 46

T

Tectonica globală, 11 Tensiune tectonică, 12

Acronime

APKiM – Modelul cinematic de deplasare a plăcilor tectonice APKiM (în engleză,

Actual Plate Kinematic Model);

FAvH – Fundaţia Alexander von Humboldt;

CETEL – Curs de perfecţionare în teledetecţie (în franceză, Cycle d’Enseignement

de la Télédétection);

CGUTCB – Colectivul de Geodezie din Universitatea Tehnică de Construcţii

Bucureşti;

GPS – Sistem Global de Poziţionare (în engleză, Global Positioning System);

IGTUB – Institutul de Geodezie Teoretică al Universităţii din Bonn;

IGUTK – Institutul de Geodezie al Universităţii Tehnice din Karlsruhe;

INFP – Institutul Naţional pentru Fizica Pământului;

NUVEL – Modelul cinematic de deplasare a plăcilor tectonice NUVEL (în engleză,

Northwerstern University Velocity);

PGGC – Poligonul Geodinamic Gruiu Căldăruşani;

SLR – Telemetrie laser cu sateliţi (în engleză, Satellite Laser Ranging);

VLBI – Interferometrie cu baze foarte lungi (în engleză, Very Long Base

Interferometry);

Date post:	19-Jan-2016
Category:	Documents
Upload:	gigi-marga
View:	43 times
Download:	5 times

Utilizarea Anomaliilor Bouger Locale Pentru Determinarea Str

Documents