Universitatea ,,Constantin Brâncuşi” Tg Jiurefkol.ro/matek/mathbooks/ro.math.wikia.com wiki...

Universitatea Constantin Bracircncuşirdquo Tg-Jiu Facultatea de Inginerie

Prof univ dr MIODRAG IOVANOV

Tg Jiu - 2006 -

C U P R I N S CAPITOLUL I ECUAŢII DIFERENŢIALE 1 Ecuaţii diferenţiale Soluţia generalăSoluţii particulare Interpretarea geometrică Exemple Problema Cauchyhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip8 2 Ecuaţii diferenţiale de ordinul icircntacirci rezolvate icircn raport cu y integrabile prin metode elementarehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9 21 Ecuaţii cu variabile separate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9 22 Ecuaţii omogene helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip9 23 Ecuaţii reductibile la ecuaţii omogene 9 2 4 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul icircntacircihelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip11

25 Ecuaţia lui Bernoullihelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 26 Ecuaţia lui Riccatihelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 27 Ecuaţia lui Lagrange şi Clairauthelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip12 3 Ecuaţii diferenţiale de ordin superiorhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 4 Ecuaţii diferenţiale de ordinul n liniareDependenţa liniară Wronskian Soluţia generalăa unei ecuaţii diferenţiale liniarehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip14 5 Ecuaţii diferenţiale de ordinul n liniare şi neomogeneSoluţia generală Metoda variaţiei constantelor pentrudeterminarea unei soluţii particulare a ecuaţiei neomogene Exempluhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 16 6 Ecuaţii diferenţiale de ordinul n liniarecu coeficienţi constanţihelliphelliphelliphelliphellip 20 7 Ecuaţii neomogene Determinarea soluţiei particularehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip21 8 Ecuaţia lui Euler Exempluhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23 9 Sisteme de ecuaţii diferenţiale Exempluhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25 10 Sisteme simetrice Definiţie Integrale primeCombinaţii integrabile Exemplehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip27 11 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul icircntacirci liniare şi omogene Sistem caracteristicSoluţie generală Exempluhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29 12 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul icircntacirci cvasiliniare Exempluhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 30 13 Probleme propusehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

CAPITOLUL II FUNCŢII COMPLEXE 1 Corpul numerelor complexeConstrucţia şi reprezentarea numerelor complexe helliphellip 34 2 Elemente de topologie icircn corpul numerelor complexe Proiecţia stereografică helliphelliphellip 37 3 Şiruri şi serii de numere complexe helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 42

4 Funcţii complexe de variabilă reală Limita icircntr-un punctContinuitate Derivata şi diferenţialaIntegrala RiemannPrimitivă helliphelliphelliphelliphelliphellip 45 5 Funcţii monogeneDerivata unei funcţii complexeCondiţiile de monogeneitate Cauchy-RiemannProprietăţi helliphellip47 6 Determinarea unei funcţii olomorfe pe un domeniu cacircnd se cunoaşte partea reală sau partea imaginarăExemplu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip49 7 Interpretarea geometrică a derivateiTransformarea conformă Exemplu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 52 8 Integrala curbilinie icircn planul complexDefiniţiePrincipiul de calcul Proprietăţi helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55 9 Teorema lui Cauchy helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 58 10Formula integrală a lui Cauchy helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 61 11Serii de puteriTeorema lui AbelDezvoltări icircn serie Taylor helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 62 12Seria lui LaurentPuncte singulare helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 65 13ReziduuTeorema reziduurilorExemplu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68 14Aplicaţii ale teoremei reziduurilorTeorema semireziduurilorExemple helliphellip 72 15Funcţii elementare helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 76 16Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 80 CAPITOLUL III FUNCŢII SPECIALE 1 Sisteme de funcţii ortogonalePolinoamele lui Laguerre Polinoamele lui Cebicircşev helliphelliphelliphelliphellip 46 2 Funcţiile lui Euler helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 48 3 Funcţiile lui Bessel helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 51 4 Polinoame HermiteRelaţia de recurenţăEcuaţia diferenţială Proprietăţi Funcţia generatoare helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 54 5 Polinoame LegendreRelaţia de recurenţăEcuaţia diferenţială Proprietăţi Funcţia generatoare helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55 6 Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57 CAPITOLUL IV SERII FOURIER 1 Serii Fourier pentru funcţii Funcţii periodice Transformata periodică Dezvoltarea icircn serie Fourier a unei funcţii periodice cu perioada 2πExemplu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59 2 Seria Fourier a funcţiilor pare sau impare helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 61 3 Dezvoltarea icircn serie Fourier a funcţiilor definite pe (-ll) Exemplu helliphelliphellip 62 4 Dezvoltarea icircn serie Fourier după cosinusuri sau sinusuri a unei funcţii definite pe intervalul (0l)Exemplu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 63 5 Forma complexă a seriilor Fourier helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 66 6 Dezvoltarea unei funcţii icircn serie de funcţii ortogonaleAproximarea funcţiilor icircn medie pătratică Relaţia de icircnchidere a lui Parseval helliphellip 67

7 Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 70 CAPITOLUL V TRANSFORMĂRI INTEGRALE

1 Integrala FourierForma complexă şi forma reală a integralei Fourier Cazul funcţiilor pare sau impare helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 72 2 Transformata Fourier helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 74 3 Transformata Laplace Proprietăţi helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 77 4 Transformarea inversă Formula Mellin-Fourier helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82 5 Teoreme de dezvoltareExemple helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 83 6 Aplicaţii ale transformatei LaplaceRezolvarea operaţională a ecuaţiilor diferenţiale şi a sistemelor de ecuaţii diferenţiale sau cu coeficienţi constanţi Exemple helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 86 7 Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88 CAPITOLUL VI ECUAŢIILE FIZICII MATEMATICE

1 Observaţii generale asupra ecuaţiilor cu derivate parţialehelliphelliphelliphelliphelliphellip 90

11Definiţii şi exemplehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 90 12Clasificarea ecuaşiilor liniare de ordinul al doileahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 91 13Forma canonică a ecuaţiilor liniare de ordinul al doileahelliphelliphelliphelliphelliphellip 93 14Probleme de bază ale teoriei ecuaţiilor cu derivate parţiale

Condiţii la limită şi condiţii Cauchyhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 95 15Probleme de fizică ce conduc la ecuaţii cu derivate parţiale

de ordinul al doileahelliphellip 98 2 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul doiClasificare Reducerea la forma canonică hellip 104 3 Ecuaţii liniare şi omogene icircn raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 110 4 Coarda infinităMetoda schimbării variabilelor (metoda lui DrsquoAlambert şi Euler) Formula lui DrsquoAlambert helliphelliphelliphelliphelliphellip 113 5 Coarda finită Metoda separării variabilelor (DBernoulli şi Fourier) hellip 117 6 Ecuaţii de tip elipticFormularea problemelor la limităSoluţii particulare ale ecuaţiei lui Laplace helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 121 7 Problema lui Dirichlet pentru cerc Formula lui Poisson helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 125 8 Problema lui Neumann pentru interiorul cerculuiFormula lui Dini helliphelliphellip 131 9 Ecuaţia căldurii helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 132 10Proprietăti ale funcţiilor armonicePrima formulă a lui Green A doua formulă a lui Green helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 135 11Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 140

CAPITOLUL VII ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL

1 Probleme geometrice şi mecanice de calcul variaţional Funcţională Funcţii admisibileClasificarea extremurilor funcţionalelor (extreme absolute extreme relative) Lemele fundamentale ale calculului variaţional helliphelliphelliphelliphelliphellip 144

2 Condiţii necesare de extrem Ecuaţia lui Euler Condiţia lui Legendre hellip 151 3 Funcţionale conţinacircnd derivate de ordin superiorEcuaţia Euler-Poisson Condiţia lui Legendre Exemplu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 154 4 Funcţionale depinzacircnd de mai multe funcţiiSistemul Euler-Lagrange

Condiţia Legendre Exemplu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 156 5 Funcţionale determinate prin integrale multipleEcuaţiile lui Euler-Ostrogradski Exemplu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 159 6 Probleme izoperimetriceExtreme condiţionate ale funcţionalelor Teorema lui Euler Problema lui Lagrange Exemplu helliphelliphelliphelliphelliphellip 161 7 Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 165 CAPITOLUL VIII DISTRIBUŢII

1 Spaţiile de funcţii Lp KSC helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 167 2 Spaţiul distribuţiilor Operaţii cu distribuţii Exemple helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 169 3 Derivarea distribuţiilor Produsul direct şi produsul de convoluţie Proprietăţi helliphelliphellip 172 4 Aplicaţii ale teoriei distribuţiilor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 173 5 Reprezentarea unui cuplu concentrat helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 175 6 Calculul variaţional icircn distribuţiiProbleme discontinue helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 177 7 Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 180 CAPITOLUL IX ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR

1Cacircmp de evenimenteCicircmp de probabilităţiDefiniţia axiomatică a

probabilităţii (ANKolmogorov) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 182 2 Probabilităţi condiţionate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 188 3 Probabilitatea evenimentelor rezultate din operaţii cu evenimente helliphelliphellip 189 31 Reuniunea evenimentelor compatibile 189 32 Intersecţia evenimentelor dependente şi independente 189 33 Inegalitatea lui Boole Exemplu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 190 34 Formula probabilităţii totale Formula lui Bayes Exemplu 191 4 Scheme probabilistice clasice 193 41 Schema urnei cu bile nerevenite Exemplu 193 42 Schema urnei cu bile revenite Exemplu 194

43 Schema urnelor Poisson Exemplu 196 5 Variabile aleatoare helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 196 51 Introducere Variabile aleatoare Distribuţia unei variabile aleatoare 196 52 Operaţii cu variabile aleatoare 198 53 Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare 199 6 Caracteristici ale variabilei aleatoare 201 61 Tendinţa centrală de grupare a distribuţiei 202 62 Icircmprăştierea distribuţiei variabilei aleatoare 205 7 Funcţia caracteristică ataşată unei variabile aleatoare 209 8 Inegalitatea Bienayme ndash Cebacircşev 211 9 Distribuţii clasice 212 91 Legea binomială helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 212 92 Distributia normală (Laplace şi Gauss) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 213 93 Distributia Gama helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 217 94 Distributia Beta helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 218 95 Distribuţia χ 2 (hi -pătrat) 218 96 Repartiţia Poisson (legea evenimentelor rare) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 220 97 Repartiţia ldquotrdquo ( Student ) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 221 10 Convergenţa icircn repartiţie sau icircn sens Bernoulli helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 223 11Variabile aleatoare bidimensionale (discrete şi continue) Repartiţii marginale 225 12 Convarianţa şi corelaţia a două variabile aleatoare 227 13 Aplicaţii ale teoriei probabilităţilor icircn teoria fiabilităţii 228 14 Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 232 CAPITOLUL X

PROBLEME DATE LA CONCURSUL DE MATEMATICĂ ldquoTRAIAN LALESCUrdquo anul II (politehnică) (fazele naţionale)-1980rarr1996- (selectiv) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 234

BIBLIOGRAFIE helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 239

CAPITOLUL I

ECUAŢII DIFERENŢIALE

1 Ecuaţii diferenţiale Soluţia generală Soluţii particulare Interpretarea geometrică Exemple

Problema Cauchy

Definiţie Fie F(xyyhellipy(n)) o funcţie reală definită pe [ab]

YY R avacircnd argumente variabila reală times sub 1+n ][ baxisin şi funcţia reală y icircmpreună cu derivatele ei Relaţia )(nyyy

(1) F(xyyhellipy(n))=0 se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n dacă se cere să se determine funcţiile y=f(x) definite pe intervalul [ab] avacircnd derivate pacircnă la ordinul n inclusiv icircn orice punct al intervalului [ab] astfel icircncacirct să avem

F(xf(x)f (x)hellipf(n)(x))=0 pentru orice ][ baxisin Funcţiile reale f(x) care icircndeplinesc condiţiile de mai sus se numesc

soluţii ale ecuaţiei diferenţiale (1) Dacă (1) poate fi scrisă (2) y(n)=f(xyyhellipy(n-1))

atunci (2) se numeşte forma normală a ecuaţiei (1)

Dacă n=1 din (1) avem F(xyy)=0 care este o ecuaţie diferenţială de ordinul icircntacirci (sau y=f(xy) forma explicită) Soluţiile ecuaţiei F(xyy)=0 se pot pune sub forma y=φ(xC) C constantă şi se numesc soluţii generale Dacă dăm lui C o valoare particulară obţinem o soluţie particulară

Ecuaţia y=xy+y 2 are soluţia generală y=Cx+C2şi

4

2xy minus= numită

soluţiesingulară Din punct de vedere geometric ecuaţia

Dyxyxfdxdy

isin= )( )( reprezintă un cacircmp de direcţii graficul unei soluţii

y= φ(x) este o curbă situată icircn D cu proprietatea că icircn fiecare punct (xy) al său tangenta la curbă reprezentată printr-un vector face cu axa Ox un unghi α astfel că tgα=f(xy)

8

2 Ecuaţii diferenţiale de ordinul icircntacirci rezolvate icircn raport cu y integrabile prin metode elementare

21 Ecuaţii cu variabile separate

Ecuaţia diferenţială (1) P(x)dx+Q(y)dy=0

se numeşte ecuaţie cu variabile separate Soluţia generală se obţine astfel

CdyyQdxxPx

x

y

=+int int0 0

)()(

22 Ecuaţii omogene Ecuaţiile diferenţiale omogene sunt de forma

(2) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xyf

dxdy

Dacă se face schimbarea de funcţie y=tx ecuaţia (2) se transformă icircntr-o ecuaţie cu variabile separate

Icircntr-adevăr avem

tdxdtx

dxdy

+=

şi ecuaţia (2) devine )(tftdxdtx =+ sau

xdx

ttfdt

=minus)(

care este o ecuaţie cu

variabile separate

Exemplu Să se rezolve ecuaţia 1

1

+

minus=

xyxy

dxdy

Efectuacircnd substituţia

y=tx ecuaţia devine x

dxdttt

minus=++

11

2 de unde integracircnd şi revenind la xyt =

obţinem integrala generală Cxyarctgyx =++ 22ln

23 Ecuaţii reductibile la ecuaţii omogene Ecuaţia de forma

9

(3) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=222

111cybxacybxafy

unde )(kcbadxdyy kkk 21 R =isin= este reductibilă la o ecuaţie omogenă

1)Dacă c1=c2=0 ecuaţia este omogenă de tipul anterior 2) Dacă dreptele 0 şi 0 2221

22

21 neminusne+ babacc

0 şi 0 222111 =++=++ cybxacybxa nu sunt paralele şi se intersectează icircn

punctul (x0y0) Icircn acest caz facem substituţia ⎩⎨⎧

+=+=

vyyuxx

0

şi ecuaţia (3) devine 22

11⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=vbuavbuaf

dudv Cu ajutorul substituţiei v=ut se

obţine o ecuaţie cu variabile separate

3) Dacă dreptele sunt paralele deoarece 0 0 122122

21 =minusne+ babacc

1

2

1

2

1

kbb

aa

== Icircn acest caz ecuaţia (3) se poate scrie sub forma

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

++=

211

111

)(

cybxakcybxafy şi dacă facem substituţia z=a1x+b1y

ecuaţia devine

1

2

11

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

ckzczfa

dxdz

b care se poate transforma icircntr-o ecuaţie cu variabile

separate Exemplu Să se integreze ecuaţia

13

+minusminus+

=yxyxy

Dreptele x+y+3=0 x-y+1=1 se intersectează icircn punctul (12) cu ajutorul schimbării x=u+1 y=v+2 obţinem ecuaţia

vuvu

dudv

minus+

= (omogenă)

Efectuacircnd substituţia v=tu obţinem o ecuaţie cu variabile separate

ududt

tt

=+minus

211

care după integrare dă soluţia Cutarctgt +=+minus ln)1ln(21 2 sau

cu ajutorul variabilelor x şi y găsim

)2()1(ln12 22 Cyx

xyarctg +minus+minus=minusminus

10

24 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul icircntacirci

O ecuaţie de forma

(4) y+P(x)y=Q(x) unde P(x) şi Q(x) sunt funcţii continue pe [ab] se numeşte ecuaţie diferenţială liniară de ordinul icircntacirci

Pentru rezolvarea ecuaţiei (4) vom rezolva mai icircntacirci ecuaţia yrsquo+P(x)y=0 numită ecuaţia liniară omogenă

Aceasta este cu variabile separate dxxPy

dy )(minus= cu soluţia generală

Căutăm pentru ecuaţia neomogenă (4) o soluţie de forma

)(int=

minus dxxPCey

)()(int=

minus dxxPexCy

Icircnlocuind această soluţie icircn (4) rezultă )()()())(()()(

)()()(xQexCxPxPexCexC

dxxPdxxPdxxP=int+minussdotint+int minusminusminus

sau )()()(int=dxxP

exQxC Integracircnd obţinem funcţia C(x)

(5) C)()( 1))(

CdxexQxCdxxP

+intsdot= int 1 constantă Rezultă soluţia generală a ecuaţiei (4) sub forma

(6) )()(

1)(

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ intsdot+int= int

minusdxexQCey

dxxPdxxP

Metoda folosită pentru determinarea soluţiei generale (6) se numeşte metoda variaţiei constantei

25 Ecuaţia lui Bernoulli Ecuaţia lui Bernoulli este de forma

(7) yrsquo+P(x)y= Q(x) αyunde P(x) Q(x) sunt continue pe [ab] α este o constantă α ne 0 şi α ne 1 (altfel avem o ecuaţie liniară)

Dacă se efectuează schimbarea de variabilă z=y1-α ecuaţia (7) a lui Bernoulli se reduce la o ecuaţie liniară

Icircntr-adevăr dacă se icircmparte cu yα icircn (7) obţinem

11

(8) )(1)(11 xQ

yxPy

y=sdot+sdot minusαα

Observăm că de unde )1( yyz sdotminus= minusαα )1(αα minus

=z

yy

şi ecuaţia (8)

devine (9) )()1()()1( xQzxPz αα minus=sdotminus+

care este o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul I icircn z Apoi se obţine y din relaţia z=y1-α

26 Ecuaţia Riccati

O ecuaţie diferenţială de forma (10) 0)()()( 2 =+++ xRyxQyxPycu P(x) Q(x) R(x) funcţii continue pe un interval [ab] se numeşte ecuaţia Riccati Dacă se cunoaşte o soluţie particulară a ecuaţiei (10) yp prin

schimbarea de variabilă z

yy p1

+= ecuaţia se transformă icircntr-o ecuaţie

liniară Avem 2

zzyy p minus= şi ecuaţia (10) devine

0)(1)(1)(2

2 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +sdot+minus xR

zyxQ

zyxP

zzy ppp

sau [ ] 0)())()(2(1)()()( 2 =minus+minusminus+++ xPzxQxPyz

zxRyxQyxPy pppp

şi pentru că yp este soluţie a ecuaţiei (10) obţinem ecuaţia z- (2ypP(x)+Q(x))z-P(x)=0

care este o ecuaţie liniară icircn z

27 Ecuaţia lui Lagrange şi Clairaut Ecuaţia lui Lagrange este de forma

(11) )()( yyxy ψϕ += Integrarea ecuaţiei lui Lagrange se reduce la integrarea unei ecuaţii

liniare icircn modul următor Icircn (11) icircnlocuim yrsquo=p şi obţinem )()( ppxy ψϕ += Derivăm icircn raport cu x şi obţinem

)()()( ppppxpp sdot+sdot+= ψϕϕ

12

sau )())()(( ppppxp ϕψϕ minus=+

Dacă dxdpppp =neminus 0)(ϕ obţinem ecuaţia liniară

(12) ( ) ( )( ) ( )

dx p pxdp p p p p

ϕ ψϕ ϕ

+ =minus minus

Rezolvacircnd ecuaţia liniară (12) obţinem soluţia ecuaţiei (11) sub formă parametrică

(13) ( )( ) ( ) ( )

x f C py p f C pϕ ψ=⎧

⎨ = +⎩ pparametrul fiind p iar C o constantă arbitrară

Dacă icircn (11) considerăm ( ) y yϕ = obţinem ecuaţia (14) ( y xy y )ψ= + numită ecuaţia lui Clairaut

Notăm cu y=p şi avem )( pxpy ψ+= Derivăm icircn raport cu x şi obţinem )( ppxppp sdot++= ψ sau 0))(( =+ pxp ψ Sunt două posibilităţi

1) p= 0 deci p=C şi icircnlocuind icircn (14) obţinem (15) )(CxCy ψ+sdot= care este o familie de drepte şi este soluţie generală a ecuaţiei Clairaut

2) 0)( =+ px ψ pe care dacă o icircnlocuim icircn (14) obţinem soluţia

(16) ][p )()(

)(ab

pppypx

isin⎩⎨⎧

+minus=minus=

ψψψ

numită integrala singulară Observaţie Se poate arăta că integrala singulară este icircnfăşurătoarea

familiei de curbe pe care o reprezintă soluţia generală

3 Ecuaţii diferenţiale de ordin superior

O ecuaţie diferenţială de forma (1) 0)( )( =nyyyyxFeste de ordin superior daca 2 isinge nn N

Funcţia )( 21 nCCCxy ϕ= este soluţie generală a ecuaţiei (1) Problema Cauchy este problema determinării soluţiei ][ )( baxxy isin= ϕ care icircndeplineşte condiţiile iniţiale

13

(2) )1(00

)1(0000 )()()( minusminus === nn yxyyxyyxy

valorile fiind date )1(000 minusnyyy

Ecuaţii diferenţiale integrabile prin cuadraturi

Ecuaţia y(n)=0 are ca soluţie generală un polinom arbitrar de gradul n-1

Ecuaţia se transformă prin substituţia y0)( )()1()( =+ nkk yyyxF (k)=u icircntr-o ecuaţie diferenţială de ordinul 0)( )( =minus minusknuuuuxFkn

Ecuaţia omogenă icircn y y rsquohellipy0)( )( =nyyyxF (n) i se reduce

ordinul cu o unitate prin schimbarea de funcţie uyy= Icircntr-adevăr

etc )( 2 uuyyuuyyyuy +=+== Exemplu Să se integreze ecuaţia diferenţială 0 )2( 22 ne+= xxyyyyx

Cu calculaţi mai sus ecuaţia devine şi yy 2222 )2()( xyuyuuyx +=+

sau 2

44x

ux

u =minus care este o ecuaţie liniară icircn cu soluţia uu

x

xCu544

1 minus=

Icircnlocuind yyu

= rezultă ecuaţia x

xCyy

54 4

1 minus= care este o ecuaţie cu

variabile separate şi care are soluţia generală 0554

2

5

1ne=

minusxexCy

xC

4 Ecuaţii diferenţiale de ordinul n liniare Dependenţa liniară Wronskian Soluţia generală

a unei ecuaţii diferenţiale liniare

O ecuaţie diferenţială de forma (1) )()()()()( 1

)1(1

)(0 xfyxayxayxayxa nn

nn =++++ minusminus

se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n liniară şi neomogenă o ecuaţie diferenţială de forma

14

(2) 0)()()()( 1)1(

1)(

0 =++++ minusminus yxayxayxayxa nn

nn

se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n liniară şi omogenă Dacă y1 y2 hellipyn sunt soluţii ale ecuaţiei (2) atunci şi (3) nn yCyCyCy +++= 2211 unde C1 C2 hellipCn sunt constante arbitrare este de asemenea soluţie a ecuaţiei (2)

Definiţie Fie y1(x) y2(x)hellipyn(x) n funcţii pe un interval [ab] Se spune că aceste funcţii sunt liniar independente pe [ab] dacă nu există n numere nλλλ 21 nu toate nule astfel icircncacirct să avem

0)()()( 2211 =+++ xyxyxy nnλλλ pentru orice ][ baxisin

Exemplu Funcţiile 1 x ex sunt liniar independente pe R deoarece condiţia pentru orice 0321 =++ xex λλλ Risinx implică 0321 === λλλ

Fie y1(x) y2(x)hellipyn(x) n funcţii derivabile continue pacircnă la ordinul

n-1 inclusiv pe intervalul [ab] determinatul următor

(4) )1()1(

2)1(

1

21

)(

minusminusminus

=

nn

n

yyy

yyyW

se numeşte wronskianul funcţiilor y1 y2hellipyn Dacă funcţiile y1(x) y2(x)hellipyn(x) derivabile continue pacircnă la ordinul

n-1 inclusiv pe [ab] sunt liniar dependente pe [ab] atunci wronskianul lor este nul icircn orice punct din [ab]

Are loc Teorema Dacă y1 y2hellipyn sunt liniar independente pe [ab] şi dacă

wronskianul W(y1 y2hellipyn y)=0 pentru orice ][ baxisin atunci y este o combinaţie liniară de funcţiile y1 y2hellipyn adică

(5) y=C1y1+C2y2+hellip+Cnyn

unde C1 C2hellipCn sunt constante

Să considerăm ecuaţia diferenţială de ordinul n omogenă

(6) 0)()( 1)1(

1)( =+++ minus

minus yxayxay nnn

cu a1(x) a2(x)hellipan(x) funcţii continue pe [ab]

15

Fie y1 y2hellipyn n soluţii ale ecuaţiei date definite pe [ab] atunci orice soluţie a ecuaţiei (6) pe [ab] este de forma

(7) y=C1y1+C2y2+hellip+Cnyn ][ baxisin unde C1 C2hellip Cn sunt constante Funcţia y din (7) se numeşte soluţie generală a ecuaţiei (6) pe [ab]

Un sistem de soluţii y1 y2hellipyn ale ecuaţiei (6) definit pe [ab] cu

W(y1 y2hellipyn )ne0 pe [ab] se numeşte sistem fundamental de soluţii al ecuaţiei (6)

Astfel dacă y1 y2hellipyn formează un sistem fundamental de soluţii pe [ab] atunci y=C1y1+C2y2+hellip+Cnyn ][ baxisin se numeşte soluţie generală a ecuaţiei (6) pe [ab]

Dacă y1 y2hellipyn formează un sistem fundamental pe [ab] atunci ele sunt liniar independente pe [ab] şi reciproc Fie ecuaţia diferenţială liniară de ordinul n omogenă (8) 0)()()( 1

)1(1

)(0 =++++ minus

minus yxayxayxaya nnnn

Dacă cunoaştem o soluţie particulară y1 a ecuaţiei date prin schimbarea de variabilă y=y1middotz icirci putem micşora ordinul cu o unitate Obţinem succesiv

2 )(

1)1(

11)(

1)(

111111nn

nn

nnn zyCzyCzyyzyzyzyyzyzyyzyy +++=++=+== minus

Icircnlocuind icircn (8) avem

0)(])()([])()()([ 10)()1(

10111)1(

1)(

10 =++++++++ minusminus yxazyxaCyxazyxayxayxaz nnnn

nn

Coeficientul lui z este nul pentru că y1 este soluţie a ecuaţiei date Cu o

nouă schimbare de variabilă z=u obţinem o ecuaţie diferenţială liniară şi omogenă de ordinul n-1

0)()()( 1)2(

1)1(

0 =+++ minusminusminus uxAuxAuxA n

nn

5 Ecuaţii diferenţiale de ordinul n liniare şi neomogene Soluţia generală Metoda variaţiei constantelor pentru

determinarea unei soluţii particulare a ecuaţiei neomogene Exemplu

Fie ecuaţia diferenţială de ordinul n liniară şi neomogenă

16

(1) )()()()()()( 1)1(

1)(

0 xfyxayxayxayxayL nnnn

n =++++= minusminus

cu coeficienţii continuie iar [ab] Soluţia generală a ecuaţiei (1) se obţine adăugacircnd la soluţia generală a ecuaţiei omogene

)( şi 1 0 )( xfnkxak = 0)(0 nexa

(2) 0)()()()()( 1

)1(1

)(0 =++++= minus

minus yxayxayxayxayL nnnn

n

o soluţie particulară (oarecare) a ecuaţiei neomogene (1) Icircntr-adevăr fie yp(x) o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene pe

[ab] Facem schimbarea y(x)=yp+z Avem (Ln este liniar) )()()()( xfzLyLzyL npnpn =+=+ cum

rezultă L)()( xfyL pn = n(z)=0 prin urmare dacă y1 y2hellipyn este un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei omogene pe [ab] rezultă că soluţia generală a ecuaţiei neomogene este

(3) ][ 2211 baxyyCyCyCy pnn isin++++=

Are loc următoarea teoremă Teoremă Fie ecuaţia (1) şi y1 y2hellipyn un sistem fundamental de

soluţii pe [ab] al ecuaţiei (2) O soluţie particulară yp(x) a ecuaţiei neomogene (1) pe [ab] este dată de (4) int intint +++= dxxCydxxCydxxCyy nnp )()()( 2211 unde C1(x) C2(x)hellipCn(x) este soluţia sistemului

(5)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++=+++

minusminusminus

)()()()()(

0)()()(

0)()()(0)()()(

0

)1(2

)1(21

)1(1

)2(2

)2(21

)2(1

2211

xaxfxCyxCyxCy

xCyxCyxCy

xCyxCyxCyxCyxCyxCy

nn

nnn

nn

nnn

nn

Dacă efectuăm cuadraturile

nkxAdxxC kkk 21 )()( isin+=int ϕ

şi le icircnlocuim icircn (4) obţinem soluţia generală a ecuaţiei neomogene (6) 22112211 nnnn yyyyAyAyAy ϕϕϕ +++++++=

17

Demonstraţie Fie y1 y2hellipyn un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei omogene (2) Soluţia generală a ecuaţiei omogene va fi aşadar (7) 2211 nnH yCyCyCy +++= unde C1 C2 hellipCn sunt constante arbitrare Dacă reuşim să arătăm că funcţia

nnp yyyy ϕϕϕ +++= 2211 cu kϕϕϕ 21 determinate pe [ab] după cum este precizat icircn enunţul teoremei este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene atunci conform celor spuse la alineatul precedent funcţia (8) y=yH+ypeste soluţia generală a ecuaţiei neomogene pe [ab] Ne rămacircne aşadar să verificăm că y0 este o soluţie a ecuaţiei neomogene

Icircn acest scop să considerăm funcţia (9) ][ )()()( 2211 baxyxCyxCyxCy nn isin+++= care se obţine din soluţia generală a ecuaţiei omogene icircnlocuind constantele C1 C2hellipCn cu funcţiile necunoscute C1(x)C2(x)hellipCn(x) şi să arătăm că funcţia y dată de (9) cu C1(x) C2(x)hellipCn(x) verificacircnd sistemul (5) Dacă derivăm pe y din (9) obţinem

22112211 nnnn yCyCyCyCyCyCy +++++++= icircnsă conform primei ecuaţii din (5) anume 0 2211 =+++ nn yCyCyC ne mai rămacircne (10) 2211 nn yCyCyCy +++=

Icircn continuare dacă derivăm pe (10) obţinem 22112211 nnnn yCyCyCyCyCyCy +++++++=

icircnsă conform ecuaţiei a doua din (5) anume 0)()( 2211 =+++ nn CyxCyxCy ne mai rămacircne

(11) nn yCyCyCy 2211 +++=

Icircn mod asemănător obţinem

)1()1(22

)1(1

)1(

)3()3(22

311

)3(

minusminusminusminus +++=

+++=

nnn

nn

yCyCyCy

Icircn ceea ce priveşte derivata de ordinul n obţinută prin derivare din ultima relaţie avem

)1()1(22

)1(11

)()(22

)(11

)( minusminusminus +++++++= nnn

nnnnn

nnn yCyCyCyCyCyCy sau ţinacircnd seama de ultima relaţie din (5) (12)

)()(

0

)()(22

)(11

)(

xaxfyCyCyCy n

nnnnn ++++=

18

Dacă icircnmulţim acum pe y dat de (9) cu an(x) pe y dat de (10) cu an-

1(x) şamd pe y(n) dat de (12) cu a0(x) obţinem prin icircnsumare )(][][][][ 2111 xfyLCyLCyLCyL nnnnnn ++++=

icircnsă Ln[yk]=0 k=12hellipn astfel icircncacirct ne mai rămacircne Ln[y]=f(x) prin urmare y date de (9) cu C1C2hellipCn verificacircnd sistemul (5) este soluţie a ecuaţiei (1) Să observăm că determinantul sistemului (5) este W(y1y2hellipyn) ne 0 pe [ab] Fie C1C2hellipCn soluţia sistemului (5) cu

)()(

)(

)1()(021

)1()1(1

)1(1

)1(2

)1(1

1121

xaxf

yyyWyyyyyyyyyyyyyyy

xCn

nn

nk

nnnkk

nkk

knk sdotsdotminus=

minusminus+

minusminus

minusminus+minus

+minus

+

Prin n cuadraturi obţinem

21 )()()( nkAxdxxCxC kkkk isin+== int ϕ unde A1A2hellipAn sunt constante arbitrare

Icircnlocuind pe Ck(x) icircn (9) obţinem (13) nnnn yyyAyAyAyy ϕϕϕ +++++++= 22112211 care este soluţia generală a ecuaţiei neomogene

Funcţia nnp yyyy ϕϕϕ +++= 2211 este o soluţie a ecuaţiei liniare neomogene şi este prin urmare soluţia particulară căutată Teorema este demonstrată

Metoda folosită pentru a determina o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (1) se numeşte metoda variaţiei constantelor şi se datorează lui Lagrange

Exemplu Să se găsească soluţia generală a ecuaţiei Două soluţii ale ecuaţiei omogene sunt y852 xyxyyx =+minus 1=x2 y2=x4 cu

W(y1y2)=2x5ne0 pe R0 soluţia generală a ecuaţiei este y=C1x2+C2x4 Determinăm o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene prin metoda variaţiei constantelor Avem

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

xxCxC

xCxC142

0

321

42

21

cu soluţiile

2

1 21 xC minus= 42 2

1x

C = şi apoi 21

11 xCC +=

61

322 x

CC minus=

Soluţia generală a ecuaţiei este aşadar

19

3

42

21

xxCxCy ++= isinx R0

(am renotat ) 221

1 CCCC ==

6 Ecuaţii diferenţiale de ordinul n liniarecu coeficienţi constanţi

O ecuaţie diferenţială liniară

(1) 0 0 01)1(

1)(

0 ne=++++ minusminus ayayayaya nn

nn

unde R isinka 0 nk = este o ecuaţie de ordinul n cu coeficienţi constanţi omogenă Pentru această clasă putem determina totdeauna un sistem fundamental de soluţii V(r1r2helliprn)ne0 dacă rinerj inej icircntrucacirct este determinatul lui Vandermonde

Soluţia generală a ecuaţiei (1) este (3) R isin+++= xeCeCeCy xr

nxrxr n 21

21

Exemplu Să se găsească soluţia ecuaţiei y(3)+3yPrime-y-3y=0 Ecuaţia caracteristică r3+3r2-r-3=0 are

rădăcinile r1=-1r2=1r=-3 deci soluţia generală este y=C1e-x+C2ex+C3e-3x Dacă căutăm soluţii de forma y=Aerx ane0 obţinem succesiv y=Arerx y=Ar2erxhellip y(n)=Arnerx dacă le icircnlocuim icircn (1) avem

0)( 11

10 =++++ minusminus

nnnnrx arararaAe

deoarece Ane0 erx nu se anulează pentru isinx R va trebui să avem (2) a0rn+a1rn-1+hellip+an-1r+an=0

Prin urmare numărul (real sau complex) r trebuie să fie rădăcină a

ecuaţiei (2) care se numeşte ecuaţia caracteristică a ecuaţiei diferenţiale (1) Să observăm de la icircnceput că dacă ecuaţia caracteristică (2) are toate

rădăcinile simple r1ner2nehellipnern atunci soluţiile particulare formează un sistem fundamental de soluţii ale

ecuaţiei (1) Icircntr-adevăr calculacircnd wronskianul lui y

xrn

xrxr neyeyey === 2121

1y2hellipyn obţinem

20

)(

)( 21)(

112

11

212121

21

nxrrr

xrnn

xrnxrn

xrn

xrxr

xrxrxr

n rrrVe

ererer

eee

yyyW n

n

sdot== +++

minusminusminus

şi se observă că este diferit de zero pentru orice isinx R deoarece exponenţiala nu se anulează pe R iar V( 0) 21 nenrrr dacă jirr ji nene ( este determinantul lui Vandermonde) )( 21 nrrrV Soluţia generală a ecuaţiei (1) este (3) xr

nxrxr neCeCeCy +++= 21

21

Dacă ecuaţia caracteristică (1) are rădăcinile complexe simple

mniriririririr

mmm

mmm 2

222111

222111 =minus=+=minus=+=+=+=βαβαβαβαβαβα

atunci funcţiile 21 sin cos mkxeyxey k

xkk

xk

kk isin== ββ αα formează un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei (1)

Icircn acest caz soluţia generală a ecuaţiei (1) este

(4) sum=

+=m

kkkkk

x xCxCey k

1

)sincos( ββα

Observaţie Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcini reale şi complexe atunci soluţia generală a ecuaţiei (1) este formată dintr-o combinaţie de tipul (3) şi (4)

Să considerăm cazul cacircnd ecuaţia (1) are rădăcini multiple Dacă r=a este o rădăcină reală multipla de ordinul p atunci (5) y=eax(C1+C2x+hellip+Cpxp-1) este o soluţie a ecuaţiei (1) Dacă r=α+iβ isinC este multiplă de ordinul p atunci (6) [ ]xxCxCCxxCxCCey p

pp

px ββα sin)(cos)( 1

21

121

minusminus +++++++= este o soluţie a ecuaţiei (1)

7 Ecuaţii neomogene Determinarea soluţiei particulare

Să considerăm ecuaţia neomogenă (1) a0y(n)+a1y(n-1)+hellip+an-1yrsquo+any=f(x)

Soluţia generală a ecuaţiei este (2) ph yyy +=

21

unde este soluţiei omogene ataşate ecuaţiei (1) iar yhy p este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene

Pentru determinarea lui yp putem folosi metoda variaţiei constantelor care ne permite cunoscacircnd soluţia generală a ecuaţiei omogene să găsim o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene prin n cuadraturi

Icircn aplicaţii sunt cazuri frecvente cacircnd icircn funcţie de forma lui f(x) putem găsi prin identificare pe yp Enumerăm mai jos aceste cazuri

a) Funcţia f(x) este un polinom Pm(x) Soluţia yp va fi tot un polinom de acelaşi grad Qm(x) daca r=0 nu

este rădăcină a ecuaţiei caracteristice a0rn+hellip+an=0 Vom icircnlocui yp=Qm(x) icircn (1) şi prin identificare vom găsi soluţia particulară yp Dacă r=0 este rădăcină a ecuaţiei caracteristice multiplă de ordinul k (kisinN) atunci vom alege yp=xkmiddotQm(x) şi prin icircnlocuire icircn (1) şi identificare vom găsi yp

b) Funcţia f(x) este un ldquopolinomrdquo de forma de forma eαxPm(x) (Pm(x) polinom de grad m) Dacă r=α nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice atunci alegem yp=eαxQm(x) şi prin identificare vom afla pe yp Dacă r=α este rădăcină multiplă de ordinul k (kisinN) a ecuaţiei caracteristice atunci o soluţie particulară a ecuaţiei (1) o vom căuta sub forma yp=xkeexQm(x) şi vom proceda apoi ca icircnainte

c) Dacă f(x) este de forma xxQxxP mm αα sin)(cos)(21

+ atunci dacă αiplusmn nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice atunci vom alege

unde m=max(msin)(cos)( xxQxxPy mmp αα += 1m2) iar şi sunt polinoame arbitrare care se determină apoi prin identificare Dacă

)( xPm )( xQm

αiplusmn este rădăcină multiplă de ordinul k atunci vom alege ]sin)(cos)([ xxQxxPxy mm

kp αα +=

d) Funcţia f(x) are forma Soluţia particulară y

]sin)(cos)([21

xxQxxPe mmx ββα +

p va avea expresia ]sin)(cos)([ xxQxxPey mm

xp ββα +=

(m=max(m1m2)) dacă βα iplusmn nu sunt rădăcini ale ecuaţiei caracteristice sau va avea expresia

]sin)(cos)([ xxQxxPexy mmxk

p ββα += dacă βα iplusmn sunt rădăcini multiple de ordinul k ale ecuaţiei caracteristice Polinoamele şi vor fi determinate prin identificare )( xPm )( xQm

Exemplu Să se găsească soluţia generală a ecuaţiei 40cos4852 )3()4( xexyyyyy minus+=++++

22

Ecuaţia caracteristică r4+2r3+5r2+8r+4=0 se scrie (r+1)2(r2+4)=0 cu rădăcina dublă r1=-1 şi rădăcinile simple r2=2i r3=-2i Soluţia generală a ecuaţiei omogene este R isin+++= minus xxCxCexCCy x

h 2cos2sin)( 4321

O soluţie particulară a ecuaţiei neomogene o căutăm de forma Icircnlocuind-o icircn ecuaţie şi identificacircnd obţinem sincos2 xCxBeAxy x

p ++= minus

61 0 4 === CBA deci soluţia generală a ecuaţiei date este

isin+++++= minusminus xexxxCxCexCCy xx 4sin612cos2sin)( 2

4321 R

8 Ecuaţia lui Euler Exemplu

O ecuaţie diferenţială liniară de ordinul n de forma (1) )( 1

)1()1(1

)(0 xfyaxyayxayxa nn

nnnn =++++ minusminusminus

cu a0 a1hellip an constante reale iar f(x) continuă pe un interval [ab] se numeşte ecuaţia lui Euler

Teoremă O ecuaţie diferenţială Euler (1) se transformă prin substituţia |x|=et icircn ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi

Demonstraţie Pentru xgt0 punem x=et şi avem

dtdye

dxdt

dtdy

dxdy t sdot=sdot= minus sau

dtdy

dxdyx =

2

22

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= minusminusminus

dtdy

dtyde

dtdye

dtde

dxdy

dxd

dxyd ttt deci 2

2

22

dtdy

dtyd

dxydx minus=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= minusminus

dtdy

dtyde

dtde

dxyd

dxd

dxyd tt

2

22

2

3

sau 23 2

2

3

33

dtdy

dtyd

dxydx +minus=

Se observă că toate produsele k

kk

dxydx sdot se exprimă liniar cu ajutorul

derivatelor 2121 nkkpdt

ydp

p

isinisin icircnmulţite cu factori numerici

deci dacă icirci icircnlocuim icircn ecuaţia (1) ea se va transforma icircntr-o ecuaţie cu coeficienţi constanţi

(2) )( 11

1

10t

nnn

n

efybdtdyb

dtydb

dtydb =++++ minusminus

minus

unde b0 b1hellipbn sunt constante reale Ecuaţia omogenă

23

(3) 0 11

1

0 =++++ minusminus

minus

ybdtdyb

dtydb

dtydb nnn

n

admite soluţii de forma unde rtrke k este o rădăcină a ecuaţiei caracteristice

Revenind la ecuaţia (1) şi observacircnd că kkkrrttr xee == )( deducem că

ecuaţia Euler omogenă admite soluţii de forma |x|r Acest rezultat simplifică mult determinarea soluţiei generale a unei ecuaţii Euler

Fie ecuaţia Euler omogenă (4) 0 1

)1(11

)(0 =++++ minus

minusminus yaxyayxayxa nnnnnn

Vom căuta soluţii de forma rxAy sdot= A este constantă avem

succesiv )1)(1()1( )(21 nrnrr xnrrAryxrAryxAry minusminusminus +minusminus=minus== derivate pe care dacă le icircnlocuim icircn (1) şi observăm că se dă factor comun A|x|r obţinem 0)( =sdot rKxA n

r unde Kn(r) este ecuaţia caracteristică a ecuaţiEuler (5)

0)2)(1()1)(1()( 110 =++++minusminus++minusminusequiv minus nnn aranrrranrrrarK Fie r1r2helliprn rădăcinile ecuaţiei caracteristice După natura lor şi

ordinul lor de multiplicitate determinăm la fel ca şi la ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi sistemul fundamental de soluţii al ecuaţiei Euler considerate

Exemplu x2yPrime+2xyrsquo+y=0 Ecuaţia caracteristică

r(r-1)+3r+1=r2+r+1=0 are rădăcinile complexe 23

21

21 ir plusmnminus= Ecuaţia

diferenţială va avea soluţiile particulare ln23cos1

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= x

xy

ln23sin1

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= x

xy xne0 şi deci soluţia generală

0 ln23sinln

23cos1

21 ne⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= xxCxC

xu

Observaţie Pentru determinarea unei soluţii particulare a unei ecuaţii

Euler neomogene se foloseşte metoda variaţiei constantelor sau determinarea lui yp după forma membrului drept al ecuaţiei

24

9 Sisteme de ecuaţii diferenţiale Exemplu

Definiţia 1 Relaţiile

(1) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

0)(

)()()(3

)()()(2

)()()(1

pnm

zzzyyyxxxtF

unde funcţiile F1F2F3 sunt definite pe [ab]timesXtimesYtimesZ cu X Rsub m+1 Y Rsub n+1 Z Rsub p+1 formează un sistem de trei ecuaţii diferenţiale cu trei funcţii necunoscute xyz dacă se cere să se determine funcţiile x(t) y(t) z(t) derivabile respectiv pacircnă la ordinul mnp pentru ][ batisin funcţii care icircmpreună cu derivatele lor verifică (1) pentru orice ][ batisin

Definiţia 2 Un sistem de trei funcţii reale x(t) y(t) z(t) care verifică

condiţiile de mai sus se numeşte o soluţie a sistemului (1) Observaţii 1) Dacă m=n=p=1 sistemul (1) se numeşte sistem de ordinul icircntacirci

dacă cel puţin unul dintre numerele mnp este mai mare decacirct unu sistemul (1) se numeşte sistem de ordin superior

2) Un sistem rezolvat icircn raport cu derivatele de ordinul cel mai icircnalt se numeşte sistem canonic (sau explicit) Dacă sistemul (1) poate fi rezolvat icircn raport cu derivatele x(m)y(n)z(p) adică

(2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

minusminusminus

)()()(

)1()1()1()(

pnmp

pnmn

pnmm

zzzyyyxxxthzzzzyyyxxxtgyzzzyyyxxxtfx

se obţine sistemul canonic respectiv Definiţia 3 Un sistem de n ecuaţii diferenţiale de ordinul icircntacirci cu n

necunoscute este de forma

(3)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

)(

21

2122

2111

nnn

n

yyytfdt

dy

yyytfdt

dy

yyytfdtdy

25

şi se numeşte sistem sub forma normală a lui Cauchy Un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordin superior este echivalent cu

un sistem de ordinul icircntacirci Aceasta se observă uşor din (2) dacă introducem funcţiile

necunoscute

12

32

21

1 minusminus ==== m

m xdt

dxx

dtdxx

dtdx

şi la fel icircn y şi z obţinem

) ( 1111111

minusminusminusminus = pnm

n zzzyyyxxxtfdt

dx

şi la fel icircn y şi z Un sistem de n ecuaţii diferenţiale de ordinul icircntacirci este icircn general

echivalent cu o singură ecuaţie diferenţială de ordinul n Observaţie Un sistem de ordin superior este echivalent cu un sistem

de ordinul icircntacirci iar rezolvarea acestuia se reduce icircn general la rezolvarea unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n

Exemplul 1 Să se rezolve sistemul

isin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

minus=t

xydtdy

xydtdx

42

R

Din prima ecuaţie avem dtdxxy += derivacircnd se obţine 2

2

dtxd

dtdx

dtdy

+=

şi icircnlocuind icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului rezultă

xdtdxx

dtxd

dtdx 422

2

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ sau 062

2

=minusminus xdtdx

dtxd

Aceasta este o ecuaţie de ordinul doi cu coeficienţi constanţi Ecuaţia caracteristică corespunzătoare r2-r-6=0 are rădăcinile r1=3 r2=-2

Soluţia generală a ecuaţiei este 2

23

1tt eCeCx minus+=

şi tt eCeCy 2

23

14 minusminus= Soluţia generală a sistemului dat este

R isin⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=

+=minus

minus

teCeCy

eCeCxtt

tt

4 2

23

1

22

31

26

şi reprezintă o familie de curbe ce depinde de două constante arbitrare reale Pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale din punct de

vedere practic este mai indicată metoda eliminării care conduce la o ecuaţie diferenţială de ordinul n cu coeficienţi constanţi

Dacă sistemul de ecuaţii este neomogen aceeaşi metodă este preferabilă

R isin⎩⎨⎧

=minus=minus

ttyx

txy

sin4

Din prima ecuaţie x=y-t şi x=yPrime-1 Icircnlocuind icircn a doua ecuaţie obţinem (4) yPrime-4y=1+sint

Soluţia ecuaţiei este y=yh+yp unde yh este soluţia ecuaţiei yPrime-4y=0 Ecuaţia caracteristică este r2-4=0 cu r1=2 r2=-2 deci y2

22

1tt

H eCeCy minus+= p icircl alegem de forma yp=A+Bsint+Ccost Prin icircnlocuirea lui yp icircn (4) şi

identificacircnd obţinem typ sin51

41minusminus= Deci

teCeCy tt sin51

412

22

1 minusminus+= minus

şi din egalitatea x=y-t obţinem

tteCeCx tt minusminusminus= minus cos5122 2

22

1

Soluţia generală a sistemului dat este deci

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

minusminus+=

minusminusminus=

minus

teCeCy

tteCeCx

tt

sin51

41

cos5122

22

21

22

21

10 Sisteme simetrice Definiţie Integrale prime Combinaţii integrabile Exemple

Definiţia 1 Un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul icircntacirci se numeşte sistem simetric dacă are forma

27

(1) )(

)()( 21212

2

211

1

nn

n

nn xxxPdx

xxxPdx

===

unde funcţiile nu se anulează simultan pentru R

)( 21 nk xxxPsubisinDxxx n )( 21

n Soluţia generală a sistemului (1) este de forma

(2)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==

minusminus 1211

2212

1211

)(

)()(

nnn

n

CxxxF

CxxxFCxxxF

unde F1F2hellipFn-1 sunt continue cu derivatele parţiale de ordinul icircntacirci continue icircn subD Rn Orice relaţie Fk(x1hellipxn)=Ck 11 minus= nk se numeşte integrală primă Din cele de mai sus rezultă că dacă se cunosc n-1 integrale prime ale sistemului (1) se cunoaşte soluţia generală a sistemului (1)

Din (1) avem egalitatea

(3) nn

nn

n

PPPdxdxdx

Pdx

λλλλλλ

++++++

====

2211

2

1

unde )( 1 nk xxλ sunt funcţii arbitrare continue icircn D Definiţia 2 Un sistem de n funcţii )()( 21211 nnn xxxxxx λλ

continue pe icircn D care icircndeplinesc condiţiile

0

2211

=+++Φ=+++

nn

PPPddxdxdx

λλλλλλ

pentru orice Dxxx n isin)( 21 se numeşte o combinaţie integrabilă a sistemului (1) icircn D

Funcţia Cxxx n =Φ )( 21 a cărei diferenţială totală icircn D este nndxdxdx λλλ +++ 2211 este o integrală primă a sistemului (1) Dacă se

determină n-1 combinaţii integrabile distincte se obţin n-1 integrale prime care dau soluţia generală a sistemului (1) sub forma (2)

Exemplu Folosind metoda combinaţiile integrabile să se determine soluţia sistemului

12

3

31

2

23

1

xxdx

minus=

minus determine soluţia sistemului

Sistemul dat poate fi scris sub forma

00332211321

12

3

31

2

23

1 dxxdxxdxxdxdxdxxx

dxxx

dx ++=

++=

minus=

minus

28

De aici rezultă că d(x1+x2+x3) = 0 şi x1dx1+ x2dx2 + x3dx3= 0 Soluţia

generală va fi formată din două integrale prime x1+x2+x3 = C1 şi

Cxxx 223

22

21 =++

11 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul icircntacirci liniare şi omogene Sistem caracteristic

Soluţie generală Exemplu

Definiţia 1 O relaţie de forma

0)()()( 212

2121

211 =partpart

++partpart

+partpart

nnnnn x

uxxxPxuxxxP

xuxxxP (1)

cu nkxxxP nk 1 )( 21 = continue şi neanulacircndu-se simultan icircntr-un domeniu subD Rn se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul icircntacirci liniară şi omogenă dacă se cere să se determine funcţia u=f(x1x2hellipxn) avacircnd derivatele parţiale de ordinul icircntacirci continue care verifică (1)

Definiţia 2 Sistemul simetric

)(

)()( 21212

2

211

1

nn

n

nn xxxPdx

xxxPdx

=== (2)

definit icircn D se numeşte sistem caracteristic al ecuaţiei cu derivate parţiale (1)

Problema integrării ecuaţiei diferenţiale (1) se reduce la problema integrării sistemului caracteristic (2) aşa după cum reiese din următoarea

Teoremă Fie Cxxx n =)( 21ϕ o integrală primă a sistemului caracteristic (2) funcţia )( 21 nxxxu ϕ= este o soluţie a ecuaţiei cu derivate parţiale (1)

Demonstraţie Integrala primă Cxxx n =)( 21ϕ are diferenţiala nulă de-a lungul unei curbe integrale a sistemului (2)

(3) 022

11

=partpart

++partpart

+partpart

nn

dxx

ϕϕϕ

Icircnsă de-a lungul unei curbe integrale diferenţialele dx1dx2hellipdxn sunt proporţionale cu P1P2hellipPn conform relaţiilor (2) deci egalitatea (3) mai poate fi scrisă şi sub forma

(4) 022

11

=partpart

++partpart

+partpart

nn

Px

ϕϕϕ

29

valabilă pentru orice situat pe o curbă integrală a sistemului (2) Egalitatea (4) fiind adevărată pentru orice constantă C este adevărată pentru orice curbă integrală a sistemului (2) situată icircn D prin urmare

)( 21 nxxx

)( 21 nxxxu ϕ= este o soluţie a ecuaţiei (1) icircn D Teorema este demonstrată Are loc urmatoarea

Teoremă Fie ecuaţia cu derivate parţiale (1) Fie n-1 integrale prime

(independente) ale sistemului caracteristic (2) 11)( 21 minus== nkCxxx knkϕ Funcţia dată de )( 21 nxxxu

[ ])()()()( 21121221121 nnnnn xxxxxxxxxxxxu minusΦ= ϕϕϕ este o soluţie a ecuaţiei cu derivate parţiale (1)

Exemplu Să se determine soluţia generală a ecuaţiei

022 =partpart

+partpart

minuspartpart

zuy

yuxy

xux

Sistemul caracteristic corespunzător este 22 y

dzxy

dyxdx

=minus

=

Din xy

dyxdx

minus=2 rezultă integrala primă xy= 1C iar din egalitatea

2ydz

xydy

=minus

obţinem ţinacircnd seama de prima integrală y3+3xyz=C2 Astfel

sistemul caracteristic are integralele prime

⎩⎨⎧

=+

=

23

1

3 Cxyzy

Cxy

Soluţia generală a ecuaţiei este )3( 3 xyzyxyu += ϕ unde ϕ este o funcţie arbitrară derivabilă

12 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul icircntacirci cvasiliniare Exemplu

O ecuaţie diferenţială cu derivate parţiale de ordinul icircntacirci cvasiliniare

este de forma

(1) )()()()( 211212

2121

211 uxxxPxuuxxxP

xuuxxxP

xuuxxxP nn

nnnnn +=

partpart

++partpart

+partpart

30

Pentru determinarea soluţiilor unei ecuaţii cu derivate parţiale cvasiliniare (1) se procedează astfel

a) Se scrie sistemul caracteristic corespunzător ecuaţiei (1) adică

(2) 12

2

1

1 +

====nn

n

Pdu

Pdx

b) Folosind metoda combinaţiilor integrale se determină n integrale prime

(3) nkCxxxuF knk 1 )( 21 == c) Soluţia generală a ecuaţiei cvasiliniare (1) este dată sub forma

implicită de relaţia (4) 0)( 21 =Φ nFFF

Exemplu Să se determine soluţia generală a ecuaţiei cu derivate parţiale

222 yxuuyuy

xux ++minus=

partpart

+partpart

Ataşăm sistemul caracteristic

222 yxuudu

ydy

xdx

++minus==

Avem

222222222 yxuudu

yxuuuyxuduydyxdx

++minus=

++minus++

++

sau

( ) 222222222 yxuudu

uyxuuyxuduydyxdx

++minus=

minus++++

++

de unde du

uyxuduydyxdx

minus=++

++222

Avem astfel o integrală primă 1222 Cuuyx =+++

Din egalitate primelor două rapoarte ale sistemului caracteristic avem şi a doua integrală primă 2C

yx= Soluţia generală este

0 222 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++Φ uuyx

yx sau ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+++

yxfuuyx 222

13 Probleme propuse

31

1 Să de integreze ecuaţia diferenţială de ordinul icircntacirci liniară

00cos

1==minus ) y(

xy tgxy

2 Să se integreze ecuaţia diferenţială omogenă generalizată

0737373 y-x- )y y-x-( =+ 3 Să se integreze ec

4 Să

uaţia diferenţială a lui Bernoulli

se integreze ecuaţia diferenţială a lui Riccati

) y(xy-yx

y- 1121 2 ==

x

y ax

yx

yya p ==+++prime 0) 22 ( )0gta 24

cos

1cos

sin2sin) 22

xy

xxxyyb p ==+prime

e integreze ecuaţia diferenţială lui Clairaut şi Lagrange 5 Să s a

)y

yxyaprime

+prime= 1

primeprime+=

6 Să se integreze ecuaţiile diferenţiale liniare de ordin superior cu

coeficien ţi omogene

35

4

)3(

=+

=minus

=minus+minus

=minus+

b + 2)1() yxyy

ţi constan

04500200

)4( =+minus

===minus

yyb) y)( y) y(ya) y

040

03306116

)()(

)(

yf) yye) y

yyyd) yyyy-c) y

coeficienţi constanţi neomogene

32

210665)3()4(

2

xeyyyb) yxxyya) y

=+minusminus

+minus=+minus

2)4( 2cos53) xxeyyc x +minus=minus

8 Să se integreze ecuaţia de tip Euler xyxyyx =+minus 222

9Folosind metoda variaţiei constantelorsă se integreze ecuaţia

x

yycos

1=minusprimeprime

10Să se rezolve sistemele de ecuaţii diferenţiale 044 =++prime yxx a) )()(15)0(3)0( tyytxxyx ==== 062 =++prime yxy

zyxx ++minus=prime b) x(0)=0y(0)=1z(0)=1zyxy +minus=prime )()()( tzztyytxx ===

zyxz minus+=prime

11Folosind metoda combinaţiilor integrabile să se determine soluţia sistemelor simetrice

)a )()()( 213

3

132

2

321

1

xxxdx

minus=

minus

)b2

32

22

13

3

2

1

xxxx

dxx

dx

++minus==

)c31

3

21

22

32

22

1

22 xxdx

xxdx

xxxdx

==minusminus

12Să se integreze sistemul de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale cvasiliniare

221

222 xuyxuyuyu

xuxu

y=minusminus=

partpart

+partpart

=

33

CAPITOLUL II

FUNCŢII COMPLEXE

1 Corpul numerelor complexe Construcţia şi reprezentarea

numerelor complexe

Imposibilitatea rezolvării unor ecuaţii algebrice icircn corpul numerelor reale R a condus pe algebriştii italieni icircn secolul XVI să introducă noi expresii de forma 1minus+ ba isinba R numite numere imaginare Numerele imaginare apar pentru prima oară icircn lucrările lui Cardan (sec XVI) Denumirea de numere imaginare a fost atribuită datorită faptului că icircn epoca respectivă nu s-a putut da o reprezentare intuitivă a acestor numere Icircn 1763 Euler icircntreprinde pentru prima oară un studiu sistematic al acestor numere introducacircnd şi simbolul i Icircn 1797 Gauss dă interpretarea geometrică a numerelor complexe ca puncte ale unui plan Fie R2 produsul cartezian al perechilor ordonate (xy) de numere reale Definim pe R2 operaţiile de adunare şi icircnmulţire prin (1) (xy) + (xy) = (x+x y+y) (2) (xy) (xy) = (xx- yy xy+xy) Prin definiţie mulţimea numerelor complexe C este mulţimea R2 dotată cu operaţiile de adunare şi icircnmulţire (R2+) mulţimea C icircnzestrată cu cele două operaţii are o structură de corp comutativ Elementele corpului C se numesc numere complexe Fie A mulţimea numerelor complexe de forma (x 0) deci A=( isinxx )0 R A C şi A este un subcorp al lui C deoarece

sub

(x 0) + (y 0) = (x + y 0) isin A şi (x 0)(y 0) = (xy 0) isin A Să definim aplicaţia f R A prin f(x) = (x 0) xisinR Această aplicaţie este o bijecţie şi conservă operaţiile de adunare şi icircnmulţire

rarr

f(x+y) = f(x) + f(y) şi f(xy)=f(x)f(y) Rezultă că f este un izomorfism de corpuri de la R pe A Acest lucru permite identificarea mulţimii A cu R Astfel vom nota numărul complex (x0) cu x deci (x 0) = x Icircn particular zeroul (00) şi unitatea (10) din corpul numerelor complexe se identifică cu numărul real 0 şi unitatea reală 1 Icircn consecinţă putem scrie (00) = 0 şi (10) = 1

34

Fie B = R C Observăm că B se poate identifica cu punctele din R2 situate pe axa Oy Observăm că

isinyy)0( sub

(0 y) + (0y) = (0 y+y) isin B şi (0y) (0y) = (-yy 0) notin B Aceasta arată că B nu este un subcorp al corpului numerelor complexe C Icircn particular (01) (01) = (-10) = -1 Vom nota i = (01) şi astfel i2 = -1 xi = (0 x) x R Numărul complex i se mai numeşte şi unitate imaginară iar numerele complexe de forma xi (xisinR) numere pur imaginare Dacă z = (xy) este un număr complex oarecare atunci z = (xy) = (x0) + (0y) = x + iy care reprezintă expresia algebrică a numerelor complexe Icircn această scriere x = Re z şi y = Im z reprezintă respectiv partea reală şi partea imaginară a numărului complex z Prin modulul numărului complex z = x + iy se icircnţelege numărul nenegativ definit prin relaţia

22 yxz += Prin conjugatul unui număr complex z = x + iy se icircnţelege numărul z = x - iy Icircn afară de această reprezentare geometrică punctuală mai este cunoscută şi reprezentarea vectorială a numerelor complexe Astfel numărului complex z = x + iy i se ataşează vectorul liber ale cărui componente pe axele de coordonate sunt x şi y Icircn acest fel se realizează o bijecţie icircntre corpul C şi mulţimea vectorilor liberi Scrierea numerelor complexe sub formă trigonometrică Operaţii cu numere complexe Icircn calculul cu numere complexe este foarte utilă scrierea acestora sub formă trigonometrică Numărul complex z = x + iy se poate scrie sub formă trigonometrică

(1) z = )sin(cos θθρ i+ unde xytgz == θρ =x θρθρ sincos =y

Unghiul făcut de vectorul corespunzător lui z cu sensul pozitiv al axei Ox se numeşte argument şi se notează θ = zarg

35

y M(xy) y z

ρ

θ

0 x x

Aceluiaşi număr complex z zne 0 icirci corespund o infinitate de determinări ale argumentului care diferă icircntre ele printr-un multiplu de 2π Vom numi determinare principală a argumentului lui z zne 0 notată arg z acea determinare care verifică inegalităţile - π lt arg z le π Adunarea (respectiv scăderea) numerelor complexe şi

se definesc prin 111 iyxz +=

222 iyxz += (2) )()( 212121 yyixxzz plusmn+plusmn=plusmn Aceste operaţii au ca semnificaţie geometrică adunarea respectiv scăderea vectorilor corespunzători y y 2z 1z 21 zz +

1z 0 2z x 0 x 2zminus 21 zz minus Se observă că 21 zz minus reprezintă distanţa dintre punctele şi 1z 2z

Fie =1z )sin(cos 111 θθρ i+ şi =2z )sin(cos 222 θθρ i+ Icircnmulţirea numerelor complexe şi se defineşte astfel 1z 2z

36

(3) =21zz )]sin()[cos( 212121 θθθθρρ +++ i Observăm că 2121 zzzz = şi argarg)arg( 2121 zzzz += Dacă C =kz isin kz )sin(cos kkk i θθρ + )21 nk isin atunci (4) =nzzz 21 )]sin()[cos( 212121 nnn i θθθθθθρρρ +++++++ Dacă = =nzzz === 21 z )sin(cos θθρ i+ atunci (5) = nz )sin(cos θθρ ninn + Dacă luăm pe 1=ρ se obţine formula lui Moivre (6) =+ ni )sin(cos θθ θθ nin sincos + Icircmpărţirea numerelor complexe se efectuează după regula 1z 2z

(7) )]sin()[cos( 21212

1

2

1 θθθθρρ

minus+minus= izz

Observăm că 2

1

2z1z

z

z= şi arg

2

1

zz = 21 argarg zz minus

Rădăcina de ordinul n se defineşte astfel (8) )sin(cos 22

nk

nknn iz πθπθρ ++ += 1210 minusisin nk

Din punct de vedere geometric cele n rădăcini ale lui z sunt vacircrfurile unui poligon regulat cu n laturi icircnscris icircn cercul cu centrul icircn origine şi de rază n ρ O formă importantă de reprezentare a numerelor complexe se datorează lui Euler Notacircnd ( formula lui Euler ) numărul complex z se poate scrie sub forma

θθθ iei =+ sincoszzez i arg === θρρ θ numită forma

exponenţială a numerelor complexe

2 Elemente de topologie icircn corpul numerelor complexeProiecţia stereografică

Fie C mulţimea numerelor complexe Aplicaţia d CXC R definită prin

rarr

(1) =)( 21 zzd 21 zz minus isinforall 21 zz C se numeşte metrică sau distanţă pe mulţimea C Icircn continuare nu vom face deosebire icircntre numărul complex z şi punctul M(z) imaginea lui geometrică din planul Gauss Definiţia 1 Vom numi disc deschis cu centrul icircn punctul aisinC şi de rază r gt0 mulţimea (2) isin=∆ zra )( C az minus ltr

37

Prin disc icircnchis cu centrul icircn aisinC şi de rază r gt 0 vom icircnţelege mulţimea (3) isin=∆ zra )( C az minus ler Definiţia 2 Numim cerc cu centrul icircn a şi de rază r gt0 mulţimea (4) S(ar) = isinz C az minus =r Mai jos sunt reprezentate cele trei mulţimi y y z z a a r r 0 x 0 x )( ra∆ )( ra∆ y z a r 0 x )( raS

38

Mulţimea C pe care s-a definit metrica d este un spaţiu metric Pe mulţimea C relativ la distanţa d vom introduce topologia dτ numită topologia asociată distanţei d Mulţimea de părţi dτ a spaţiului metric (C d) definită prin

(5) )(0)( UrzrUzCUd sub∆gtexistisinforallΡisin=τ unde (C) reprezintă mulţimea tuturor părţilor mulţimii C este o topologie pe (Cd) numită topologia asociată distanţei d

Ρ

y )( 0 rz∆

0z r

V 0 x

Definiţia 3 Submulţimea V se numeşte vecinătate a unui punct Cz isin0 dacă există discul ( figura de mai sus)` Vrz sub∆ )( 0

Dacă este o vecinătate a lui CV sub Cz isin0 atunci punctul se numeşte punct interior lui V Mulţimea punctelor interioare ale unei mulţimi V se numeşte interiorul lui V şi se notează cu sau

0z

0V IntV

Punctul este un punct de acumulare pentru mulţimea V dacă orice disc conţine un punct

0z)( 0 rz∆ 0zz ne astfel icircncacirct emptyne∆cap ))(( 00 zrzV

Mulţimea punctelor de acumulare o vom nota cu V şi o vom numi mulţimea derivată a lui V Dacă şi există Vz isin0 )( 0 rz∆ astfel icircncacirct )( 00 zVrz =cap∆ atunci punctul este un punct izolat al mulţimi V 0z

Icircnchiderea mulţimi V reprezintă mulţimea O mulţime V este deschisă dacă V=

___

VVV cup=0

V Mulţimea V este icircnchisă dacă Se poate arăta că V este icircnchisă

VV sup___

VV =hArr

39

Mulţimea este o mulţime mărginită dacă există discul astfel icircncacirct

CV sub )0( r∆

)0( rV ∆sub O mulţime mărginită şi icircnchisă se numeşte compactă Un punct se numeşte punct frontieră pentru mulţimea dacă orice vecinătate V a punctului conţine puncte atacirct din mulţimea A cacirct şi din complementara sa C(A) Mulţimea punctelor frontieră a mulţimii A se notează Fr A şi se numeşte frontiera lui A

Cz isin0 CA sub

0z

Dacă cel puţin unul din numerele x =Re z y =Im z este infinit vom scrie şi vom spune că reprezintă punctul de la infinit al planului complex

infin=z

Definiţia 4 Numim vecinătate a punctului infin=z exteriorul unui cerc cu centrul icircn origine adică mulţimea (6) rzCzV gtisin=infin Pentru a obţine imaginea geometrică a punctului al planului complex vom defini proiecţia stereografică care stabileşte o corespondenţă biunivocă icircntre punctele unei sfere şi punctele planului complex al lui Gauss Această corespondenţă a fost indicată de B Riemann

infin=z

Să considerăm o sferă S de diametru 1 tangentă icircn punctul O la planul euclidian raportat la sistemul de axe rectangulare Oxy icircn care am reprezentat numerele complexe Fie N punctul de pe sfera S diametral opus lui O Vom considera spaţiul euclidian tridimensional raportat la sistemul de axe rectangulare unde şi coincid cu Ox respectiv cu Oy iar axa

se suprapune peste diametrul ON N (001) ξηςO ξO ηO

ςO

Fie M un punct oarecare din planul Oxy de afix z = x + iy şi să notăm cu P = P( ςηξ ) punctul diferit de N unde dreapta MN taie sfera S z N P y O x M

40

Icircn acest fel fiecărui punct M din plan (sau fiecărui număr complex ) icirci va corespunde un punct unic P al sferei S PCz isin ne N Invers dacircndu-se

un punct P PisinS P N dreapta care trece prin N şi P va intersecta planul Oxy icircntr-un punct unic M

ne

Vom spune că punctul M este proiecţia stereografică (din N) al punctului P Relaţiile dintre coordonatele punctului P( ςηξ ) şi coordonatele punctului M(x y) sunt

(7) 22

22

2222 1

1

1 yxyx

yxy

yxx

+++

=++

= ςηξ

Cacircnd infinrarrz atunci P N deci proiecţia stereografică a polului nord N este punctul de la infinit

rarr

infin=z al planului complex 0=ξ Mulţimea numerelor complexe C icircmpreună cu punctul infin=z reprezintă icircnchiderea lui C deci

__infincup= CC

Definiţia 5 Mulţimea E C este convexă dacă pentru orice descompunere icircn două mulţimi disjuncte şi nevide A şi B cel puţin una din aceste mulţimi are un punct de acumulare icircn cealaltă mulţime deci

sub

sau emptynecapempty=cap=cup BABAEBA emptynecap BA

Dacă o mulţime este deschisă şi convexă vom spune că acea mulţime este un domeniu O mulţime deschisă este convexă dacă şi numai dacă oricare două puncte ale sale pot fi unite printr-o linie poligonală conţinută icircn acea mulţime Definiţia 6 Un domeniu este simplu conexdacă orice curbă simplă icircnchisă conţinută icircn D delimitează un domeniu mărginit avacircnd frontiera este inclus icircn Dadică

CD subΓ ∆

Γ Dsub∆ y D Γ ∆ ∆

0 x

41

Un domeniu care nu este simplu conex vom spune că este multiplu conex Prin introducerea unor tăieturi adică noi frontiere domeniul poate deveni

simplu conex Ordinul de conexiune se obţine adăugacircnd o unitate la numărul minim de tăieturi pentru ca domeniul respectiv să devină simplu conex

Exemplu Domeniul D din figura de mai jos este triplu conex D ( ) 3C ( )

2T

1B 1C 2B 2A ( ) 2C 1T 1A

Prin tăieturile şi el devine un domeniu simplu conex avacircnd ca frontieră mulţimea

1T 2T

)()()()()()()( 22221111321

capcapcapcap

cupcupcupcupcupcup=Γ ABBAABBACCC 3 Şiruri şi serii de numere complexe A Şiruri de numere complexe Definiţia1 Numim şir de numere complexe aplicaţia

R isin+=rarr nnn xiyxnfCNf )( isinny R Vom nota sau simplu ( ) )( Nnnzisin nz

Spunem că şirul ( ) este mărginit dacă nz +isinexist Rc astfel icircncacirct isinforallle nczn N

Definiţia 2 (cu vecinătăţi) Spunem că şirul ( ) este convergent dacă există un astfel icircncacirct icircn afara oricărei vecinătăţi V a lui z se află un număr finit de termeni ai şirului Notăm

nzCzisin

zznn=

infinrarrlim sau infinrarrrarr nzzn

Definiţia 3 (cu ε ) Spunem că ( ) este convergent dacă există un astfel icircncacirct pentru orice

nzCzisin 0gtε există un rang isinεn N cu proprietatea că

pentru orice nisinN să avem εnn ge

42

εltminus zzn Geometric definiţia 3 are următoarea interpretare toţi termenii cu

se află icircn interiorul cercului cu centrul icircn z şi de raza nz

εnn ge ε Teorema 1 Un şir nnn iyxz += este convergent dacă şi numai dacă ( ) şi ( ) sunt convergente icircn plus nx ny nnnnnn

yixzinfinrarrinfinrarrinfinrarr

+= limlimlim

Demonstraţie Dacă este convergent atunci nz Ciyxz isin+=exist astfel icircncacirct pentru forall Nn isinexistgt εε 0 astfel icircncacirct εnn geforall să avem εltminus zzn Dar

εltminusleminus zzxx nn şi εltminusleminus zzyy nn de unde urmează că şi sunt convergente către x şi respectiv y şi deci

nx ny

iyxzn +rarr Reciproc dacă şi obţinem xxn rarr yyn rarr zzn rarr

Definiţia 4 Şirul ( ) de numere complexe se numeşte şir Cauchy (fundamental) dacă pentru orice

nz0gtε există un număr natural )(εn astfel

icircncacirct pentru orice )(εnn gt şi orice Npisin să avem (1) εltminus+ npn zz Are loc Teorema 2 Condiţia necesară şi suficientă ca un şir ( ) să fie şir Cauchy este ca şirurile ( ) şi ( ) să fie şiruri Cauchy

nz

nx ny Necesitatea condiţiei rezultă din inegalităţile npnnpn zzxx minusleminus ++ şi npnnpn zzyy minusleminus ++ iar suficienţa din inegalitatea npnnpnnpn yyxxzz minus+minusleminus +++ B Serii de numere complexe Prin serie de numere complexe icircnţelegem suma termenilor unui şir ( ) de numere complexe şi se notează nw

211

++++=suminfin

=n

nn wwww

Seriei de numere complexe i se asociază şirul sumelor parţiale

( ) definit astfel

suminfin

=1nnw

nS 32121 isin+++= nwwwS nn

43

Dacă şirul sumelor parţiale ( ) este convergent şi are limita S

spunem că seria este convergentă şi are suma S adică Dacă

şirul ( ) este divergent spunem că seria este divergentă

nS

suminfin

=1nnw Sw

nn =sum

infin

=1

nS suminfin

=1nnw

O serie de numere complexe poate fi scrisă

unde sum sumsuminfin

=

infin

=

infin

=

+=1 11 n n

nnn

n viuw Rvu nn isin

Are loc

Teorema 1 O serie de numere complexe este convergentă dacă

şi numai dacă şi sunt convergente

sum nw

sum nu sum nv

Demonstraţie Notăm nnnn uuuswwwS +++=+++= 2121 şi

nn vvv 21 ++=τ Avem nnn isS τ+= Dar este convergentă dacă şi

numai dacă şirul ( ) este convergent ceea ce are loc dacă şi numai dacă

şirurile ( ) şi (

sum nw

nS

ns nτ ) sunt convergente adică dacă şi numai dacă seriile sum

şi sunt convergente

nu

sum nv

Definiţia 1 Seria se numeşte absolut convergentă dacă seria sum nw

sum nw este convergentă

Definiţia 2 Dacă seria sum este convergentă iar nw sum nw este

divergentă seria se numeşte semi-convergentă sum nw

Observaţie O serie absolut convergentă este convergentă dar reciproca nu este icircn general valabilă O serie de numere complexe este absolut convergentă dacă şi numai dacă atacirct seria părţilor reale cacirct şi seria părţilor imaginare sunt absolut convergente

44

Observaţie Pentru studiul convergenţei absolute a seriilor de numere complexe se utilizează criteriile de convergenţă pentru serii cu termenii pozitivi Pentru studiul naturii seriilor de numere complexe pot fi utilizate criteriile de convergenţă pentru seriile de numere reale 4 Funcţii complexe de o variabilă reală Limita icircntr-un punct Continuitate Derivata şi diferenţiala Integrala Riemann Primitivă Fie subE R Definiţia 1 Numim funcţie complexă de variabilă reală aplicaţia (1) f subE R C sau rarr (2) f(t) = x(t) + i y(t) isint R unde x(t)= Re f(t) şi y(t) = Im f(t) Rezultă că o funcţie complexă de variabilă reală este determinată de o pereche ordonată x = x(t) şi y = y(t) isint E de funcţii reale de variabilă reală Definiţia 2 Spunem că un număr complex isinl C este limita funcţiei f(t) icircn punctul E dacă pentru orice isin0t 0gtε există un număr 0)( gtεη astfel icircncacirct oricare ar fi E dacă isint 0tt ne )(0 εηltminus tt atunci εltminus ltf )( Se scrie

ltftt

=rarr

)(lim0

Are loc Propoziţia 1 ltxltf

ttttRe)(lim)(lim

00

=hArr=rarrrarr

şi ltytt

Im)(lim0

=rarr

Definiţia 3 Spunem că funcţia complexă f(t) este continuă icircn punctul R dacă pentru orice subisin Et0 0gtε există 0)( gtεη astfel icircncacirct pentru

Ettt isinltminus )(0 εη să avem εltminus )()( 0tftf Dacă atunci funcţia complexă f(t) este continuă icircn punctul

0 EEt capisin

)()(lim 000

tftfttt

=hArrrarr

Propoziţia 2 Condiţia necesară şi suficientă pentru ca funcţia complexă f(t) = x(t) + i y(t) să fie continuă icircn punctul subisin Et0 R este ca funcţiile reale x(t)şi y(t) să fie continue icircn 0tt

Fie şi CREf rarrsub 0 EEt capisin

Definiţia 4 Spunem că funcţia complexă f este derivabilă icircn punctul dacă există şi este finită limita 0t

(3) 0

0 )()(lim

0 tttftf

tt minusminus

rarr

45

Valoarea acestei limite se notează sau )( 0 tf

dttdf )( 0 şi se numeşte

derivata funcţiei f icircn punctul Et isin0 Propoziţia 3 Condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie complexă f să fie derivabilă icircntr-un punct este ca funcţiile reale x(t) şi y(t) să fie derivabile icircn acel punct Se poate scrie

)()()()()()(

00

0

0 tEttt

tytyi

tttxtx

tttftf

isinminusminus

+minusminus

=minusminus de unde

trecacircnd la limită cacircnd obţinem egalitatea 0tt rarr (4) )()()( 00

0

tyitxtf prime+=

Menţionăm că regulile de derivare pentru funcţiile reale se păstrează şi icircn cazul funcţiilor complexe de variabilă reală Fie f o funcţie complexă derivabilă pe subE R Prin diferenţiala lui f icircn punctul Et isin0 vom icircnţelege numărul complex (5) 00

0 )()( ttdtdttftdf minus=sdot=

Explicitacircnd relaţia (5) poate fi scrisă şi astfel (6) )()()( tidytdxtdf += unde şi dttxtdx )()( = dttytdy )()( = Regulile de diferenţiere cunoscute pentru sumă produs şi cacirct se păstrează şi pentru funcţiile complexe Definiţia integralei Riemann pentru funcţiile complexe de variabilă reală este analoagă cu cea dată pentru funcţiile reale Fie funcţia complexă subisin ][)( battf R Să considerăm o diviziune d a lui prin punctele ][ ba btttttatd nkk =ltltltltltltlt= minus 1210 Notăm ][ 1 kkk tt minus=δ unde 321 nk isin Prin norma diviziunii d notată )(dγ se icircnţelege numărul real (7) )(max)( 11 minuslele

minus= kknkttdγ

Funcţiei complexe f şi diviziunii d a compactului [a b] li se asociază numărul complex dτ numit sumă integrală Riemann avacircnd expresia

(8) unde punctele sum=

minusminus=n

kkkkd ttff

11 ))(()( ξτ ][ 1 kkk tt minusisinξ

se numesc puncte intermediare ale diviziunii d a lui [a b] 321 nk isin Definiţia 5 Funcţia complexă f(t) ][ bat isin este integrabilă pe [a b] dacă există un număr complex I cu proprietatea următoare pentru orice

46

0gtε există un număr 0)( gtεη astfel icircncacirct oricare ar fi diviziunea d cu )()( εηυ ltd şi oricare ar fi alegerea punctelor intermediare kξ să avem

(9) ετ ltminus )( fI d

Numărul I se notează şi se numeşte integrala funcţiei f(t) pe

intervalul [a b] Icircn cazul cacircnd integrala există vom scrie

intb

a

dttf )(

(10) )(lim)(0)(

fdttfI dd

b

a

τυ rarr

== int Propoziţia 4 Funcţia complexă f(t) este integrabilă pe [a b] dacă şi numai dacă funcţiile reale x(t) şi y(t) sunt integrabile pe [a b]Aceasta rezultă imediat din inegalităţile

))((Im))((Re)())((Im

))((RetyItxIfI

tyI

txIddd

d

d ττττ

τminus+minusleminusle

⎪⎭

⎪⎬⎫

minus

minus deoarece

))(())(()( tyitxf ddd τττ += Din egalitatea de mai sus găsim formula

(11) int intint +=b

a

b

a

b

a

dttyidttxdttf )()()(

Proprietăţile integralei Riemann au loc şi pentru funcţiile complexe Definiţia 6 Spunem că funcţia complexă F(t) tisin[a b] este primitiva lui f(t) tisin[a b] dacă F(t) este derivabilă pe [a b] şi (t)=f(t) tisin[a b] F Dacă o funcţie f are o primitivă F atunci are o infinitate de primitive anume mulţimea F(t)+C tisin [a b] CisinC Această mulţime a primitivelor lui f se numeşte integrala nedefinită a funcţiei f care se notează (9) CtFdttf +=int )()(

Icircn particular dacă funcţia f este continuă pe [a b] atunci funcţia

complexă este primitivă pentru funcţia f pe [a b] şi (t) = f(t)

tisin[a b] Ca şi icircn cazul funcţiilor reale se arată că

intt

a

df ττ )( F

(10) ba

b

a

tFaFbFdttfint =minus= )()()()(

care constituie formula Leibniz-Newton pentru integrala definită a unei funcţii complexe

5 Funcţii monogene Derivata unei funcţii complexe Condiţiile de monogeneitate a lui Cauchy-Riemann Proprietăţi

47

Definiţia 1 Spunem că funcţia complexă definită icircn domeniul D C este derivabilă icircn punctul

subDz isin0 dacă există şi este unică

(1) 0

0 )()(lim

0 zzzfzf

zz minusminus

rarr

Valoarea acestei limite se notează şi se numeşte derivata funcţiei f(z) icircn punctul O funcţie derivabilă icircntr-un punct se numeşte monogenă icircn acel punct O funcţie monogenă icircn fiecare punct al domeniului D se numeşte olomorfă pe domeniul D sau monogenă (monos = unul genos = a da naştere) pe domeniul D

)( 0 zf

Dz isin0

Propoziţia 1 (Condiţiile de monogeneitate a lui Cauchy-Riemann) Pentru ca funcţia complexă f(z) = u(xy) + iv(xy) definită icircn domeniul D să fie monogenă icircn punctul Diyxz isin+= 000 este necesar ca funcţiile u şi v să admită derivate parţiale de ordinul icircntacirci icircn punctul şi să satisfacă relaţiile

)( 00 yx

(2) )()()()( 00000000 yxxvyx

yuyx

yvyx

xu

partpart

minus=partpart

partpart

=partpart

numite condiţiile de monogeneitate ale lui Cauchy-Riemann Demonstraţie Pentru 0 zzDiyxz neisin+= putem scrie

)()()]()([)]()([)()(

00

0000

0

yyixxyxvyxviyxuyxu

zzzfzf

minus+minusminus+minus

=minusminus(3)

y z z

z 0y 0z 0 x 0x

Să presupunem că pe un drum paralel cu Ox şi

0zz rarr 0xx ⎯rarr⎯ 0yy=

Din (3) obţinem

(4) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminus

+minusminus

=rarr

0

000

0

0000

)()()()(lim)(

0 xxyxvyxv

ixx

yxuyxuzf

xx

Dar existenţa derivatei f( implică existenţa limitelor )0z

48

(5) )()()(

lim 000

000

0

yxxu

xxyxuyxu

xx partpart

=minusminus

rarr

şi

(6) )()()(

lim 000

000

0

yxxv

xxyxvyxv

xx partpart

=minusminus

rarr

Din relaţiile (4) (5) şi (6) obţinem (7) )()()( 00000

yxxviyx

xuzf

partpart

+partpart

=

Presupunacircnd că pe un drum paralel cu axa imaginară Oy atunci 0zz rarr

0xx = şi 0

yy ⎯rarr⎯

Din (3) obţinem

(8) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus+

minus

minus=

rarr0

000

0

0000

)()()()(1lim)(0 yy

yxvyxvyy

yxuyxui

zfyy

care implică existenţa limitelor

(9) )()()(

lim 000

000

0

yxyu

yyyxuyxu

yy partpart

=minus

minusrarr

şi

(10) )()()(

lim 000

000

0

yxyv

yyyxvyxv

yy partpart

=minus

minusrarr

Din (8) (9) şi (10) găsim (11) )()(1)( 00000

yxyvyx

yu

izf

partpart

+partpartsdot=

Comparacircnd relaţiile(7) şi (11) rezultă necesitatea condiţiilor (2) şi astfel propoziţia este demonstrată Propoziţia 2 Fie f(z)=u(xy)+iv(xy) olomorfă icircn domeniul D (se notează H(D) Dacă u şi v admit derivate parţiale de ordinul doi continue icircn D atunci funcţiile u(xy) şi v(xy) sunt armonice adică

unde

isinf

00 =∆=∆ vu 2

2

yx partpart

+partpart

=∆ reprezintă operatorul lui Laplace

6 Determinarea unei funcţii olomorfe pe un domeniu cacircnd se cunoaşte partea reală sau partea imaginară Exemplu

Să presupunem că f(z)=u(xy)+iv(xy) este o funcţie monogenă pe un domeniu D Funcţiile u(xy) şi v(xy) verifică condiţiile lui Cauchy-Riemann

49

yv

xu

partpart

=partpart şi

xv

yu

partpart

minus=partpart

Să presupunem că se cunoaşte funcţia u(xy) Funcţia u(xy) fiind partea reală a funcţiei monogene f(z) este o funcţie armonică icircn D Cunoscacircnd funcţia u(xy) vom calcula derivatele funcţiei v(xy)

yu

xv

partpart

minus=partpart

xu

yv

partpart

=partpart

şi diferenţiala sa

dyxudx

yudv

partpart

+partpart

minus=

Icircn partea dreaptă a egalităţii avem o diferenţială totală exactă deoarece

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

yu

yxu

x u fiind funcţie armonică 02

2

=partpart

+partpart

yu

xu Funcţia

v(xy) se poate exprima printr-o integrală curbilinie independentă de drum

(1) dyxudx

yuyxv

AMint part

part+

partpart

minus=)(

)( 00 yxA fiind un punct fix iar M(xy) un punct arbitrar din D Drumul de la A la M se parcurge de obicei pe două segmente de dreaptă paralele cu axele de coordonate (figura) dacă acestea sunt cuprinse icircn domeniul D y )( 0 yxC )( yxM

D

)( 00 yxA )( 0yxB

0 x Calculacircnd integrala pe drumul ABM se obţine

int int partpart

+partpart

minus=x

x

y

dttxxudtyt

yuyxv

0 0

)()()( 0

iar dacă se alege drumul ACM

50

int int partpart

minuspartpart

=y

y

x

dtytyudttx

xuyxv

0 0

)()()( 0

Integrala (1) determină funcţia v(xy) icircn afara unei constante aditive deci funcţia f(z)=u(xy)+iv(xy) va fi determinată icircn afara unei constante aditive Se observă uşor că f(z) astfel determinată este monogenă Icircntr-adevăr deoarece sub semnul de integrală este o diferenţială exactă avem

dyxudx

yudv

partpart

+partpart

minus= de unde rezultă yu

xv

partpart

minus=partpart

xu

yv

partpart

=partpart

Icircn mod analog se arată că dată fiind o funcţie v(xy) armonică icircn D există o funcţie f(z)=u(xy)+iv(xy) monogenă pe D Funcţia u(xy) este determinată icircn afara unei constante aditive prin integrala curbilinie independentă de drum

(2) dyxvdx

yvyxu

AMint part

partminus

partpart

=)(

şi cu aceasta f(z) este determinată icircn afara unei constante aditive Exemplu Se dă Să se determine funcţia monogenă f(z)=u(xy)+iv(xy) ştiind că f(0)=1

yeyzv x sin)( =

Se verifică uşor că v(xy) este armonică Din condiţiile de monogeneitate obţinem

yexv

yuye

yv

xu xx sincos minus=

partpart

minus=partpart

=partpart

Deci dyyedxyedu xx sdotminussdot= sincosşi dyyedxyeyxu x

AM

x sdotminussdot= int sincos)(

Integracircnd pe drumul ABM din figura de mai sus obţinem

int int minus+minus=sdotminussdot=x

x

y

xxxoxxx yeyeyeyedyyedxyeyxu0 0

0000 coscoscoscossincos)(

şi deci C - constantă arbitrară Cyeyxu x += cos)(

)cos( 00 yeC xminus=

Rezultă că Din condiţia f(0)=1 găsim C=0 yieCyezf xx sincos)( ++= Obţinem funcţia monogenă yieyezf xx sincos)( +=

51

sau iyxiyxx eeeyiyezf +=sdot=+= )sin(cos)(şi deci zezf =)(

7 Interpretarea geometrică a derivatei Transformarea conformă Exemplu

Fie f(z)=u+iv o funcţie definită icircn domeniul D Presupunem că f(z) este monogenă icircn punctul Diyxz isin+= 000 şi Vom nota w=f(z) şi

Funcţia f determină transformarea 0)( 0

nezf)( 00 zfw =

(1) u = u(xy) v = v(xy) icircntre planele (z) şi (w) Icircn planul (z) al variabilei se consideră un arc de curbă (C) care are o extremitate icircn (figura) )( 00 zM )(Γ (w) y (C) (z) v N(w) U M(z) T

α α β β )( 00 zM )( 00 wN 0 x u

0

Vom nota cu imaginea curbei (C) prin transformarea punctuală (1)

icircntre planele complexe (z) şi (w) Deoarece putem scrie )(Γ

0)( 0 nezf

(2) sauzf

zzww

zfzzww

zf

zz

zzzz

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minusminus

minusminus

=minusminus

=

rarr

rarrrarr

)(argarglim

lim)(lim)(

0

00

0

00

0

00

52

Transformatele punctelor 0M şi M de pe curba (C) sunt respectiv punctele şi N de pe curba 0N )(Γ Fie α şi α unghiurile formate de secanta şi tangenta icircn

la curba (C) cu axa Ox MM 0 TM 0

0M Imaginile acestora prin transformarea (1) vor fi unghiurile şi β β ale secantei şi ale tangentei icircn la curba imagine NN0 UN 0 0N )(Γ din planul (w) cu axa Ou Observăm că

(3) _______

00

00 βα ii eNNwweMNzz sdot=minussdot=minus

şi notacircnd cu arcul de curbă pe (C) şi s∆_______

0 MM S∆ arcul de pe curba obţinem

_______

0 NN)(Γ

(4) )()(

0

0)(

0

00

0

limlimlim)( αβαβαβ minus

rarr

minus

rarr

minus

rarrsdot

∆∆

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

∆∆sdot

∆sdot

∆== i

zz

i

zz

i

zze

sSe

sS

MMs

SMN

eMMMN

zf

deoarece 1lim 0

)( 00

=∆

rarrrarr s

NM

zzMM

şi 1lim 0

)( 00

=∆

rarrrarr S

MN

zzNN

Din relaţiile (2) şi (4) obţinem (5)

sSzf

zz ∆∆

=rarr 0

lim)( 0

şi (6) αβ minus=)(arg 0

zfAm obţinut

Propoziţia 1 O funcţie monogenă icircntr-un punct avacircnd derivata diferită de zero transformă elementele de arc din vecinătatea punctului icircn elemente de arc proporţionale cu modulul derivatei icircn punctul Argumentul derivatei funcţiei icircn este unghiul cu care trebuie rotită icircn sens direct tangenta pentru a deveni paralelă cu tangenta la curba [Se admite că axele de coordonate din planele (z) şi (w) sunt paralele]

0z)0)(( 0

nezf)( 00 zM

0z 0zTM 0 UN 0

)(Γ

Definiţia 1 Transformarea punctuală (1) icircntre planele (z) şi (w) se numeşte transformarea conformă dacă păstrează unghiurile Propoziţia 2 O funcţie f(z) olomorfă icircntr-un domeniu D avacircnd derivata diferită de zero icircn D defineşte o transformare conformă Demonstraţie Fie două curbe din planul (z) ce trec prin punctul şi Imaginile acestor curbe icircn planul (w) vor fi şi

)()( 21 CCDzzM isin000 )( 0)( 0

nezf)( 1Γ )( 2Γ

53

Curbele imagine )( 1Γ )( 2Γ trec prin punctul (figura) )()( 0000 zfwwN =

y (z) v (w) 2U 2T 1T 1U ω )( 2C ω )( 2Γ )( 1C )( 1Γ

2α 1α 2β 1β

)( 00 zM )( 00 wN

0 x 0 u Fie 1α 2α unghiurile pe care le formează tangentele şi icircn punctul la curbele şi cu axa Ox şi

10TM 20TM

0M )( 1C )( 2C 1β 2β unghiurile pe care le formează tangentele imagine icircn punctul la curbele 10UN 20UN 0N )( 1Γ )( 2Γ cu axa Ou Unghiurile 12 ααω minus= şi reprezintă unghiurile sub care se taie respectiv perechile de curbe şi

12 ββω minus=

)( 21 CC )( 21 ΓΓ Obţinem (7) de unde 11220

)(arg αβαβ minus=minus=zf(8) ωααββω =minus=minus=prime 1212

sau ωω prime= deci curbele şi se taie sub acelaşi unghi ca şi curbele imagine şi Cu aceasta propoziţia este demonstrată

)( 1C )( 2C)( 1Γ )( 2Γ

Exemplu Considerăm funcţia Deoarece dacă rezultă că f(z) realizează o transformare conformă icircn tot planul complex cu excepţia originii Observăm că şi că f este olomorfă icircn Imaginile dreptelor x = 1 şi y = 1 din planul (z) vor fi parabolele şi (

Czzzfw isin== )( 2 0)( nezf0nez

xyyxvyxyxu 2)()( 22 =minus=)2)(( zzfC =

)( 1Γ Ryyvyu isin=minus= 21 2 )2Γ 212 Rxxvxu isin=minus= )( 1Γ v 0 90=ω )( 2Γ y )( 1C )20(0N x=1 u (-10) (10) 090=ω 0 y=1 )( 2C 0 x (0-2) )11(0M

54

Imaginea dreptei x = 1 este parabola )( 1C )( 1Γ avacircnd ecuaţia

iar imaginea dreptei y = 1 este parabola de ecuaţie Aceste două parabole sunt ortogonale şi trec prin din

planul (w) imaginea punctului din planul (z) Observăm că se păstrează unghiurile prin transformarea conformă

)1(42 minusminus= uv )( 2C )( 2Γ)1(42 += uv )20(0N

)11(0M2)( zzf = )90( 0=prime= ωω

8 Integrala curbilinie icircn planul complex Exemplu

Definiţie Principiul de calcul Proprietăţi Fie

_____

AB un arc de curbă icircn planul complex (z) definit parametric prin ecuaţiile

(1) x = x(t) y = y(t) ][ bat isin Vom presupune că funcţiile x(t) şi y(t) sunt continue icircmpreună cu derivatele de ordinul icircntacirci pe [ab] y nn MzB =)( D 2

M

1M kP kM

00 )( MzA = 0 x

Să considerăm o diviziune (d) a intervalului [ab] prin punctele de diviziune

(2) btttttta nkk =ltltltltltlt= minus 1210

Deoarece ecuaţia icircn complex a arcului de curbă este diviziunea (d) induce pe arcul o diviziune (d) prin

punctele de diviziune

_____

AB

][)()( battiytxz isin+=_____

AB

BzMzMzMzMA nnkk == minusminus )()()()( 111100

55

unde Norma diviziunii (d) a intervalului [ab] este numărul Icircn fiecare subinterval alegem un punct

arbitrar

210)( nktzz kk isin=

)(max)( 11 minusleleminus= kknk

ttdv ][ 1 kk tt minus

kυ Acestui punct icirci corespunde prin z = z(t) ][ bat isin pe arcul

un punct intermediar ___________

1 kk MM minus )( kkP α corespunzător numărului complex )( kk z υα =

Arcului _____

AB şi corespunzător diviziunii (d) a intervalului [ab] icirci asociem cu ajutorul funcţiei f(z) numărul complex

(2) sum=

minusminus=n

kkkkd zzaff

11 ))(()(σ

Definiţia 1 Funcţia f(z) Dzisin este integrabilă pe arcul dacă există un număr complex I cu proprietatea că pentru orice

DAB sub_____

0gtε există un număr 0)( gtεη astfel icircncacirct oricare ar fi diviziunea d cu )()( εηltdv şi oricare ar fi alegerea punctelor intermediare kυ să avem

(3) εσ ltminus Ifd )( Icircn acest caz vom scrie int==

rarr____

)()(lim0)(

AB

ddvdzzffI σ

şi vom spune că I este integrala curbilinie pe arcul C a funcţiei f(z) Propoziţia 1 Dacă funcţia complexă f(z)=u(xy)+iv(xy) este continuă pe arcul de curbă

DzisinAB neted pe porţiuni atunci integrala

curbilinie a funcţiei f(z) pe arcul AB există şi are expresia (4) intint int ++minus=

__________

)()()()()()

ABABAB

dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf

Demonstraţie Notăm )()( kkkkk tiytxiyxz +=+= şi Deoarece 21)()( nkiyxia kkkkk isin+=+= υυηξ

)()()()()( 111 minusminusminus minus+minus=minus+= kkkkkkkkkkk yyixxzzivuf ηξηξα obţinem pentru suma )( fdσ expresia

(5) )()()( fiff ddd σσσ +=

unde

sum=

minusminus minussdotminusminussdot=n

kkkkkkkkkd yyvxxuf

111

)]()()()([)( ηξηξσ

şi

sum=

minusminus minussdot+minussdot=n

kkkkkkkkkd yyuxxvf

111

)]()()()([)( ηξηξσ

56

Ţinacircnd seama de definiţia integralei curbilinii şi de faptul că funcţiile u(xy) şi v(xy) sunt continue pe iar x(t) y(t) au derivate continue cu excepţia unui număr finit de puncte rezultă

_____

AB

intint minus=minus=rarr

b

aABddv

dttytytxvtxtytxudyyxvdxyxuf )()]()([)()]()([)()()(lim

0)(σ

şi

intint +=+=rarr

b

aAB

ddvdttytytxutxtytxvdyyxudxyxvf )()]()([)()]()([)()()(lim

0)(_____

σ

Proprietăţi ale integralei curbilinii 1 int intminus=

_____ _____

)()(AB BA

dzzfdzzf

2 CdzzgdzzfdzzgzfAB AB

AB

isin+=+int int int βαβαβα )()()]()([_____

3 int int int isin+=_____ _____ _____

_____)()()(

AB AC CB

ABCdzzfdzzfdzzf

4 LMdzzfAB

sdotleint_____

)( unde )(sup_____

zfMABzisin

= şi L este lungimea arcului _____

AB

Observaţie Integralele curbilinii pe contururi icircnchise luate icircn sens direct se notează int Exemplu Să se calculeze integrala int minus

=C az

dzI

unde (C) este un cerc cu centrul icircn punctul şi de rază r (figura) care este parcurs icircn sens direct

a

y M(z) r θ a

(C) 0 x

57

Punacircnd obţinem ]20[ πθθ isin+= ireaz

θθθ diredzeraz

ii ==minus

minus 11

şi

int int === minusπ π

θθ πθθ2

0

2

0

21 ididireer

I ii

9 Teorema lui Cauchy Pentru a defini integrala curbilinie a unei funcţii f(z) pe o curbă (C) am presupus că f(z) este continuă pe (C) fără alte ipoteze referitoare la existenţa sau comportarea funcţiei icircn puncte care nu aparţin curbei (C) Icircn cele ce urmează vom presupune că f(z) este olomorfă icircntr-un domeniu D şi că (C) este conţinută icircn D Integralele curbilinii au proprietăţi care depind de ordinul de conexiune al domeniului Vom considera mai icircntacirci cazul domeniului simplu conex Teorema lui Cauchy Dacă f(z) este olomorfă icircntr-un domeniu simplu conex D atunci

(1) int =C

dzzf 0)(

oricare ar fi curba icircnchisă C conţinută icircn D Demonstraţie Vom presupune icircn plus că este continuă pe D )( zf (deşi această ipoteză nu este necesară fapt dovedit de EGoursat) Fie )()()( yxivyxuzfiyxz +=+= avem

(2) int intint ++minus=C CC

udyvdxivdyudxdzzf )(

Să presupunem că (C) este o curbă simplă şi să notăm cu ∆ domeniul care are frontiera ( (figura) ))( DC sub∆ y D

∆ (C) 0 x

58

Integralelor din membrul drept al relaţiei (2) li se poate aplica formula lui Green

dxdyyP

xQdyyxQdxyxP

Cintintint∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

=+ )()(

icircn ipoteza că xQpartpart şi

yPpartpart sunt continue pe ∆ Continuitatea lui )( zf

implică continuitatea derivatelor yv

xv

yu

xu

partpart

partpart şi aplicacircnd formula lui

Green obţinem

intintint∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

minus=minus dxdyyu

xvvdyudx

C

(3) şi

intintint∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

=+ dxdyyv

xuudyvdx

C

Dar f(z) este olomorfă icircn D Deoarece Dsub∆ icircn toate punctele domeniului sunt satisfăcute condiţiile de monogeneitate Cauchy-Riemann

∆

yv

xu

partpart

=partpart şi

xv

yu

partpart

minus=partpart deci cele două integrale din (3) sunt nule şi

pe baza relaţiei (2) găsim şi teorema este demonstrată int =C

dzzf 0)(

Teorema lui Cauchy poate fi extinsă şi icircn cazul cacircnd domeniul este multiplu conex Astfel fie f(z) o funcţie olomorfă icircn domeniul dublu conex delimitat de curbele icircnchise şi conform figurii

∆)( 1C )( 2C

y D ∆ B Abull bull )( 2C x 0 )( 1C

59

Efectuacircnd tăietura obţinem domeniul simplu conex

avacircnd ca frontieră curba unde este parcurs icircn sens direct iar icircn sens invers Aplicacircnd teorema lui Cauchy pentrudomeniul simplu conex D delimitat de curba

_____

AB ____

ABD ∆=

)()()()(__________

21 BAABCC cupcupcup=Γ )( 1C)( 2C

)(Γ obţinem (4) int intintintint =+++=

minus+CBA

CAB

C

dzzfdzzfdzzfdzzfdzzf 0)()()()()(_____

2_____

1

Cum intint =+BAAB

dzzfdzzf 0)()( şi int intminus +

minus=2 2

)()(C C

dzzfdzzf

formula (4) ne dă (5) int int

minus +

=1 2

)()(C C

dzzfdzzf

Prin am notat faptul că şi se parcurg icircn sens direct ++21 CC )( 1C )( 2C

Icircn cazul unui domeniu ∆ multiplu conex delimitat de curbele hellip unde hellip sunt exterioare icircntre ele şi interioare

unei curbe (C) (figura) avem dacă f(z) este olomorfă icircn domeniul

)( 1C)( 2C )( nC )( 1C )( 2C )( nC

∆subC ∆ icircn mod analog prin practicarea unor tăieturi icircntre C şi curbele

hellip obţinem formula lui Cauchy pentru domenii multiple conexe )( 1C

)( 2C )( nC y )( 1C

)( 2C )( nC )( 3c )( kC

∆ 0 (C) x

(6) sum intint=

=n

k CC k

dzzfdzzf1

)()(

60

(curbele hellip sunt parcurse icircn sens direct) )( 1C )( 2C )( nC

10 Formula integrală a lui Cauchy Fie f(z) o funcţie olomorfă icircntr-un domeniu simplu conex D şi C o curbă simplă icircnchisă conţinută icircn D Notăm cu ∆ domeniul mărginit care are frontiera C (figura) )( Dsub∆ y D (C) γ ∆ a r z 0 x

Teorema 1 Dacă se dau valorile funcţiei f(z) pe curba (C) atunci funcţia este complet determinată icircn ∆ şi anume

(1) int minus=

C

dzaz

zfi

af )(21)(π

Demonstraţie Fie (γ ) un cerc cu centrul icircn punctul a şi de rază r

interior lui (C) (figura) Funcţia az

zfminus

)( este olomorfă icircn domeniul dublu

conex delimitat de curba (C) şi cercul (∆ γ ) Conform teoremei lui Cauchy pentru domeniile dublu conexe avem

(2) intint int int minus+

minusminus

=minus

=minus γγ γ

dzaz

afdzaz

afzfdzaz

zfdzaz

zf

C

)()()()()(

Observăm că int =minusγ

πiaz

zf 2)(

Funcţia f(z) fiind monogenă icircn punctul a este continuă icircn acest punct şi astfel putem scrie evaluarea

(3) εltminus )()( afzf pentru Dzaz isinltminus )(εη Consideracircnd )(εηltr pentru )(γisinz avem )(εηltminus az şi pe baza proprietăţii modulului integralei putem scrie

61

int intint =leminus

minusle

minusminus

γ γγ

πεε 2)()()()( ds

rdz

azafzf

dzaz

afzf

unde dzds = reprezintă elementul diferenţial de curbă pe arcul (γ ) Cum

0gtε este arbitrar făcacircnd 0rarrε obţinem 0)()(=

minusminus

int dzaz

afzf

γ

Ţinacircnd seama de relaţiile (2) şi de cele de mai sus obţinem formula (1) numită formula integrală a lui Cauchy Formula integrală a lui Cauchy poate fi scrisă şi pentru un domeniu multiplu conex Astfel icircn baza formulei lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe dacă a este un punct din domeniul de olomorfie al funcţiei f(z) avem formula integrală a lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe

(4) int sum int= minus

minusminus

=C

n

k C

dzaz

zfi

dzaz

zfi

afK1

)(21)(

21)(

ππ

Are loc şi Teorema 2 Fie f(z) o funcţie olomorfă icircn domeniul simplu conex D delimitat de curba icircnchisă (C) netedă pe porţiuni Atunci funcţia f(z) este indefinit derivabilă icircn D şi

(5) int +minus=

Cn

n dzazzf

inaf 1

)(

)()(

2)(π

unde a este un punct oarecare situat icircn interiorul lui (C) Formula (5) se obţine uşor prin inducţie derivacircnd icircn raport cu a sub semnul integralei egalitatea int minus

=C

dzaz

zfi

af )(21)(π

Aceasta justifică faptul că o funcţie

olomorfă este indefinit derivabilă şi este olomorfă )()( zf k 21isink 11 Serii de puteri Teorema lui Abel

Dezvoltări icircn serie Taylor Fie şirul de funcţii CDDzzfn subisin ))(( Spunem că şirul de funcţii considerat este convergent icircn punctul Dz isin0 dacă şirul de numere complexe

este convergent ))(( 0zfn

Definiţia 1 Şirul de funcţii Dzzfn isin))(( este uniform convergent pe mulţimea DA sub către funcţia Azzf isin)( dacă pentru orice număr 0gtε există un număr natural )(0 εn astfel icircncacirct pentru )(0 εnn gt să avem Azzfzfn isinforallltminus )()( ε

62

Fie seria de funcţii Spunem că seria este convergentă icircn suminfin

=1

)(n

n zf Dz isin0

dacă seria sum este convergentă Mulţimea punctelor de convergenţă

ale seriei le numim mulţimea de convergenţă

infin

=10 )(

nn zf

Definiţia 2 Seria de funcţii este uniform convergentă pe

mulţimea

suminfin

=1)(

nn zf

DA sub şi are suma funcţia AzzS isin)( dacă şirul sumelor parţiale

al seriei unde ))(( zSn suminfin

1

)(zf n

DzzfzfzfzS nn isin+++= )()()()( 21 converge uniform pe mulţimea A către S(z) Are loc

Propoziţia 1 Fie o serie de funcţii şi o

serie convergentă Dacă pentru orice

Dzzfn

n isinsuminfin

=

)(1

00

gtsuminfin

=n

nn uu

DAz subisin şi nn uzfNn leisinforall )( atunci

seria de funcţii este uniform convergentă pe mulţimea suminfin

=1

)(n

n zf DA sub

Dacă sau obţinem seriile de puteri sum sau

şi

nnn zczf =)( n

n azc )( minusinfin

=1n

nn zc

nn

nn cazc )(

1suminfin

=

minus Caisin

Are loc

Teorema lui Abel Pentru orice serie de puteri există un număr

R numit rază de convergenţă căruia icirci corespunde icircn planul complex cercul ΙzΙ=R numit cerc de convergenţă avacircnd următoarele proprietăţi

suminfin

=1n

nn zc

0ge

1 Icircn interiorul cercului de convergenţă Rz lt seria de puteri este absolut convergentă 2 Icircn exteriorul cercului de convergenţă Rz gt seria este divergentă 3 Icircn orice disc interior cercului de convergenţă Rrz ltle seria este uniform convergentă Ca şi icircn cazul seriilor de puteri reale raza de convergenţă se determină conform teoremei Cauchy - Hadamard

63

nnc

nR lim

___1

infinrarr== ω

ω

(1) sau

n

cc

nR 1lim

___1 +

infinrarr== ω

ω

Dezvoltări icircn serie Taylor Fie f(z) o funcţie olomorfă icircntr-un domeniu D şi a un punct interior lui D Considerăm un cerc (C) cu centrul icircn punctul a şi de rază r situat icircn domeniul de olomorfie (figura) y D r u z a ρ C x 0 Vom nota cu z un punct interior cercului (C) şi şi cu u un punct oarecare de pe (C) rau =minus Conform formulei lui Cauchy putem scrie

(2) int minus=

C

duzu

ufi

zf )(21)(π

Observăm că

(3) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

minusminus

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

minusminus

++minusminus

+minus

=minus

sdotminus

=minus minus

minus

+

minusminus

auaz

nn

auaz au

azauaz

auaz

auauzu 1111

1111 1

Icircnlocuind relaţia (3) icircn (2) vom obţine (4)

int int int +minus

minus++

minusminus

+minus

= +C C

nC

n

Rduauuf

iazdu

auuf

iazdu

auuf

izf 12 )(

)(2

)()()(

2)(

21)(

πππ

unde

(5) int minusminusminusminusminus

= +

+

Cn

n

n azauauduuf

iazR

)]()[()()(

2)(

1

π

64

Ţinacircnd seama de expresia derivatelor unei funcţii olomorfe

int +minus=

Cn

n

auduuf

inaf 1

)(

)()(

2)(π

egalitatea (4) devine

(6) nn

n

Razn

afazafafzf +minus++minus+= )(

)()(1

)()()()(

Notacircnd )(sup zfMCzisin

= obţinem pentru termenul complementar nR

intint sdotminus

sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛le

minussdotminus

minusle

+

C

n

Cn

n

n udrr

Mrau

udufazR

ρρ

πρπ1

2)(

2

1

adică 1+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdot

minusle

n

n rrMrR ρρ

Cum 1ltrρ rezultă 0lim =

infinrarrn

nR şi din (6) obţinem

(7) suminfin

=

minus=0

)(

)()(n

nn

azn

afzf

care reprezintă dezvoltarea icircn serie Taylor a funcţiei olomorfe f(z) 12 Seria lui Laurent Puncte singulare

12 razrD leminusle= Fie f(z) o funcţie olomorfă icircntr-o coroană circulară y )( 1γ

D 1r u z a 2r )( 2γ 0 v x

Vom nota cu 1γ şi 2γ cercurile ce delimitează coroana circulară D

Ne propunem să găsim pentru funcţia f(z) o reprezentare sub formă de serie după puterile lui z-a Dezvoltarea găsită se va numi dezvoltarea funcţiei f(z) icircn serie Laurent icircn coroana circulară D Aceasta ne va conduce la o generalizare a seriilor de puteri ajungacircndu-se la serii bilaterale cu ocazia cărora se va introduce şi noţiunea de reziduu Fie z un punct interior coroanei D Atunci conform formulei integrale a lui Cauchy pentru domeniile dublu conexe pentru valoarea funcţiei f(z) avem expresia (1) intint minus

minusminus

=21

)(21)(

21)(

γγ ππ zuduuf

izvdvvf

izf

65

Punctul z fiind interior cercului )( 1γ procedacircnd ca şi icircn cazul seriei Taylor prima integrală din (1) se poate scrie sub forma unei serii Taylor

(2) n

nn azc

zvdvvf

i sumintinfin

=

minus=minus 0

)()(21

1γπ

unde (3) 210

)()(

21

1

1 isinminus

= int + nav

dvvfi

c nnγπ

A doua integrală din (1) se poate scrie sub forma

( ) ( )int intint ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

sdot++++minus

=minusminusminus

=minus

minusminusminus

+minusminus

minusminus

2 221

11)(21

)()()(

21)(

21 1

γ γγ πππdu

azuf

iauazduuf

izuduuf

i azau

nazaun

azau

Notacircnd cu u un punct oarecare de pe cercul ( 2γ ) şi az minus=ρ avem

12 lt=minusminus

ρr

azau

Deci (4) intsumint +minussdot

minus=

minusminus minus

+

= 22

11

1))((

21

)(1)(

21

γγ ππ nk

n

kk Rduauuf

iazzuduuf

i unde

(5) duufi

R azn

azau

n minus+

minusminus sdot= int 11))((

21

2γπ

Aplicacircnd proprietatea modulului integralei icircn complex şi notacircnd )(sup

2

zfMz γisin

= obţinem

2

21

2

rrr

MRn

n minus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotle

+

ρρ

Deoarece 12 ltρr rezultă 0lim =

infinrarr nnR şi astfel relaţia (4) devine

sumintinfin

=

minusminus minus=

minus 1)()(

21

2 n

nn azc

uzduuf

i γπ unde

(6) duauufi

c nn

1))((21

2

minusminus int minus=

γπ

Icircnlocuind expresiile (2) şi (6) icircn (1) obţinem pentru funcţia f(z) icircn coroana

66

circulară D următoarea dezvoltare (7) sum sum sum

infin

minusinfin=

minus

minusinfin=

infin

=

minus+minus=minus=n n n

nn

nn azcazcazczf

1

0)()()()(

unde (8) ))((

21 Znduauuf

ic n

n isinminus= intγπ

iar (γ ) este un cerc oarecare cu centrul icircn punctul a şi de rază r )( 12 rrr ltlt

Seriile se numesc respectiv partea principală şi

partea tayloriană a seriei Laurent

n

nn

n

nn azcazc )()(

0

1

minusminus sumsuminfin

=

minus

minusinfin=

Puncte singulare Definiţia 1 Fie f(z) o funcţie definită icircn domeniul D şi a un punct aparţinacircnd domeniului D Spunem că punctul a Disin este un punct ordinar al funcţiei f(z) dacă există o vecinătate V a punctului a inclusă icircn D unde f(z) se poate dezvolta icircn serie Taylor deci putem scrie

(9) suminfin

=

subisinminus=0

)()(n

nn DVzazczf

Un punct care nu este punct ordinar pentru funcţia f(z) se numeşte punct singular Un punct a este un zero multiplu de ordinul m al funcţiei f(z) dacă există un cerc cu centrul icircn punctul a inclus icircn D astfel icircncacirct

Disin

(10) 0])([)()( 1 ne+minus+minus= + mmmm cazccazzf

Propoziţia 1 Zerourile unei funcţii olomorfe icircntr-un domeniu sunt puncte izolate Definiţia 2 Un punct a Disin este un pol al funcţiei f(z) dacă există un cerc cu centrul icircn punctul a inclus icircn domeniul D icircn care funcţia f(z) poate fi scrisă sub forma unei serii Laurent cu un număr finit de puteri negative a lui z-a adică

(11) suminfin

=

minusminus minus+minus

++minus

=0

1 )()(

)(n

nnm

m azcaz

caz

czf

Numărul m reprezintă ordinul polului z = a al funcţiei f(z) Un punct singular care nu este pol pentru o funcţie se numeşte un

punct singular esenţial Observăm că dacă a este un punct singular izolat pentru funcţia f(z)

atunci există coroana circulară ∆=0ltΙz- aΙ rle icircn care f(z) are o dezvoltare icircn serie Laurent cu o infinitate de termeni cu puteri negative ale lui z-a Deci icircn acest caz putem scrie seria Laurent

67

n

nn azczf )()( minus= sum

infin

minusinfin=

partea principală a seriei Laurent avacircnd un număr infint de termeni O funcţie f(z) care icircntr-un domeniu D nu are decacirct puncte ordinare sau poli se numeşte funcţie meromorfă icircn D Propoziţia 2 Dacă f(z) este o funcţie raţională ireductibilă )(

)()( zQzPzf =

atunci zerourile de ordinul m a lui Q(z) sunt poli de ordinul m pentru funcţia f(z) 13 Reziduu Teorema reziduurilor Exemplu Fie z = a un pol sau un punct singular esenţial izolat al funcţiei f(z) Icircn coroana circulară Raz ltminusltε cu 0gtε arbitrar de mic funcţia f(z) este olomorfă Fie Γ un cerc cu centrul icircn a şi de rază ρ conţinut icircn această coroană circulară Rltlt ρε (figura) R ρ a ε )(Γ (C)

O curbă icircnchisă simplă (C) conţinută icircn coroana circulară poate icircnconjura sau nu punctul a Icircn primul caz C este echivalentă cu şi avem Γ intint

Γ

= dzzfdzzfC

)()(

Icircn al doilea caz integrala pe C este nulă Definiţie Prin reziduul funcţiei f(z) relativ la polul sau punctul singular esenţial izolat z = a notat rez f(a) icircnţelegem (1) int

Γ

= dzzfi

arezf )(21)(π

Reziduul unei funcţii f(z) relativ la a se poate obţine icircntotdeauna din dezvoltarea icircn seria Laurent icircn jurul punctului a Obţinem

68

(2) 1)( minus= carezf

unde este coeficientul lui 1minuscaz minus

1 din dezvoltarea icircn serie Laurent a

funcţiei f(z) icircn jurul punctului a Metode de calcul a reziduului unei funcţii Fie a un pol al funcţiei f(z) şi p ordinul său de multiplicitate Atunci funcţia

are icircn z = a un punct ordinar şi )()()( zfazz pminus=ϕ 0)( neaϕ Ţinacircnd seama de aceasta (1) devine int

Γ minus= dz

azz

iarezf p)(

)(21)( ϕπ

sau ţinacircnd seama de modul de calcul a derivatelor 1)(

)1(1)( )1( gtminus

= minus pap

arezf pϕ

Icircnlocuind pe )(zϕ cu expresia sa obţinem următoarele formule de calcul a reziduului 1) dacă z = a este un pol multiplu de ordinul p al funcţiei f(z) atunci (3) )1()]()[(

)1(1)( minus

=sdotminusminus

= paz

p zfazp

arezf

2) dacă z = a este un pol simplu (4) azzfazarezf =minus= )]()[()( Dacă

)()()(

zhzgzf = şi dacă f(z) are pe a un pol simplu atunci h(a) = 0 Icircn acest

caz (5)

)()()( ah

agarezf =

Teorema reziduurilor Exemplu Fie f(z) o funcţie olomorfă icircntr-un domeniu D şi C o curbă icircnchisă simplă conţinută icircn D Să notăm cu ∆ domeniul mărginit care are frontiera C

69

Dacă adică dacă icircn Dsub∆ ∆ nu există singularităţi ale funcţiei f(z) icircn virtutea teoremei lui Cauchy int =

C

dzzf 0)(

Să presupunem acum că icircn ∆ se află un număr finit de singularităţi ale funcţiei f(z) poli sau puncte singulare esenţiale (figura) naaa 21

y D )( kΓ ka ( nΓ ) ∆ ( 2Γ ) C (na 1a 1Γ ) 2a O x Aceste singularităţi sunt evident izolate Pentru fiecare punct vom considera un cerc cu centrul icircn şi cu raza

ka KΓ

ka kρ suficient de mică astfel ca icircn interiorul lui să nu mai existe o altă singularitate a funcţiei f(z) diferită de ka Dacă nρρρ 21 sunt suficient de mici cercurile nΓΓΓ 21 nu au puncte comune şi sunt conţinute icircn ∆ Aplicacircnd teorema lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe int int intint

Γ Γ Γ

+++=1 2

)()()()(n

dzzfdzzfdzzfdzzfC

Ţinacircnd seama că obţinem o teoremă

importantă prin aplicaţiile sale

21)(2)( nkafirezdzzf k

k

isin=intΓ

π

Teorema reziduurilor (Cauchy) Dacă icircn interiorul domeniului mărginit de curba C funcţia f(z) are un număr finit de singularităţi

poli sau puncte singulare esenţiale atunci naaa 21

(6) )(2)(1

kC

n

k

afrezidzzfint sum=

= π

70

Observăm că icircn fond teorema reziduurilor este o traducere convenabilă a teoremei lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe folosind noţiunea de reziduu Utilitatea sa constă icircn faptul că pentru calculul reziduurilor avem mijloace relativ simple Exemplu Să se calculeze integrala

dzz

IC

zint ++

=1

sin1 π

unde C este elipsa 194

22

=+yx

Icircn interiorul domeniului mărginit de (C) sunt două singularităţi ale

funcţiei z

zf z

++

=1

sin1)(

π

şi anume 1minus=z pol simplu şi z=0 punct singular

esenţial izolat Folosind teorema reziduurilor avem )]0()1([2 rezfrezfiI +minus= π Observăm că 1)sin1()]()1[()1( 11 =+=+=minus minus=minus= zzzzfzrezf π Pentru a calcula reziduul relativ la punctul singular esenţial z=0 vom dezvolta pe f(z) icircn serie Laurent icircn jurul acestui punct ( )1)1()sin1(

11)( 3

3

31

1132 +sdotminussdot+sdot+minus+minus=+

+=

zzz zzzz

zf πππ

valabilă pentru 10 ltlt z Din produsul celor două serii reţinem numai coeficientul lui z

1

0sin53

)0(53

1 ==minus+minus== minus ππππcrezf

Rezultă iI π2= Reziduul unei funcţii relativ la punctul de la infinit Să presupunem că punctul de la infinit infin=z este un pol sau punct singular esenţial al funcţiei f(z) Notacircnd cu

uz 1= rezultă că u = 0 este un

pol icircn vecinătatea originii putem scrie seria Laurent

1 2210

1 +++++++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus ucucc

uc

uf m

m

adică

(7) )( 221

01 ++++++= minusminus zc

zc

czcczf m

valabilă icircn coroana circulară infinltle=∆ zR Prin definiţie coeficientul din (7) se numeşte reziduul funcţiei f(z) relativ la punctul de la

1cinfin

+infin== zzfrezc )]([1

71

Notacircnd cu (C) o curbă icircnchisă ce conţine originea şi parcursă icircn sens indirect obţinem ţinacircnd seama de noţiunea de reziduu (8) dzzf

izfrez

Cz int=infin= )(

21)]([π

Din (6) şi (8) deducem uşor egalitatea

(9) 0)]([)(1

=+suminfin

=infin=

kzk zfrezarezf

14 Aplicaţii ale teoremei reziduurilor Teorema semireziduurilor Exemple Icircn cele ce urmează vom da cacircteva clase de integrale ce pot fi calculate folosind teorema reziduurilor Icircn cazul cacircnd integrala care trebuie calculată nu este o integrală pe o curbă icircnchisă arcul de curbă pe care se integrează trebuie completat printr-un alt arc de curbă convenabil ales De obicei această completare se face prin arce de cerc sau drepte Integralele care apar se calculează folosind următoarea

Lemă (Jordan)

1 Dacă 0)()(lim =minus

rarr

zfazaz

şi (C) este un arc de cerc de pe cercul

Raz =minus astfel icircncacirct βα leminusle )arg( az atunci 0)(lim

0=int

rarr

dzzfCR

2 Dacă ( ) 0)(lim =minus

infinrarr

zfazR

atunci

0)(lim =intinfinrarr CR

dzzf

I Calculul integralelor de forma

dxxQxP

int+infin

infinminus )()( unde

)()(

xQxP este ireductibilă

Pentru ca integrala să existe şi să fie convergentă vom presupune că polinomul Q(x) are numai rădăcini complexe şi că gradul polinomului Q(x) este mai mare decacirct gradul lui P(x) cu cel puţin două unităţi Considerăm

72

funcţia complexă )()()(

zQzPzf = unde rădăcinile ale polinomului

Q(z) situate icircn planul complex deasupra axei reale vor fi poli pentru funcţia f(z) Ducem un semicerc de rază R şi cu centrul icircn origine situat deasupra axei reale (figura) care cuprinde toţi polii funcţiei f(z)

nzzz 21

)(Γ

y )(Γ 2z nz R 2 z 1 z x -R 0 R

Notăm cu ][)()( RRC minuscupΓ= parcursă icircn sens direct Aplicacircnd teorema reziduurilor obţinem

(1) int sumintΓ =

=

+

minus

=+n

kzz

R

RK

zrezfidxxQxPdz

zQzP

1

)(2)()(

)()( π

Deoarece 0)(lim =sdotinfinrarr

zfzz

avem intΓinfinrarr

= 0)()(lim dz

zQzP

R Cu acestea trecacircnd la

limită cacircnd infinrarrR icircn (1) obţinem

(2) int suminfin

infinminus ===

n

kzz k

zrezfidxxQxP

1

)(2)()( π

unde membrul drept reprezintă suma reziduurilor funcţiei P(z)Q(z) relativ la polii situaţi deasupra axei reale

II Calculul integralelor de forma unde R este intπ

θθθ2

0

)cos(sin dR

raţională Dacă se face schimbarea de variabilă cacircnd θiez = θ parcurge intervalul ]20[ π z descrie cercul 1=z o dată şi numai o dată icircn sens direct Folosim formulele lui Euler

73

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus=

zz

i1

21cos1

21sin θθ

Din relaţia rezultă θθ diedz i= dziz

d 1=θ Integrala devine dzzRI

zint=

=1

1 )(

după care aplicăm teorema reziduurilor pentru calculul integralei pe 1=z

Exemplu Să se calculeze int +=

π

θθ

0 sin45dI

Cu substituţia integrala devine θiez =

intint== minus+

=sdotminus+

=1

21

12 252

)(51

zz zi izzdzI

izdz

zI

Funcţia de sub semnul integrală are polii simplii iziz 22 21 minus=minus= dintre care

numai primul este interiorul cercului 1=z Reziduul relativ la acest punct

estei

zrezfiz 3

1)(31 =

minus= şi deci

32π

=I

Teorema semireziduurilor Exemplu Fie (C) o curbă icircnchisă netedă pe porţiuni ce cuprinde icircn interior un număr finit de puncte singulare izolate ale funcţiei f(z) nzzz 21

y D nz Q 2z β B α A 0z )(Γ P 1z (C) 0 x

Dacă pe curba (C) se află punctul pol al funcţiei f(z) şi icircn curba

(C) are tangentă unică atunci 0z 0z

(3) int sum ==

sdot+=C

zzk

n

k

zfrezizfrezidzzf0

)]([)(2)(1

ππ

Demonstraţie Fie un cerc cu centrul icircn punctul şi de rază R Conform teoremei reziduurilor putem scrie relaţiile

)(Γ 0z

74

(4) int int sum

===+

____ ______

1

)(2)()(QPC PAQ

n

kzzk k

zrezfidzzfdzzf π

0

____ ______ 1

1)(2)(2)()( zz

n

kk

QPC PBQ

n

kzzk zrezfizrezfidzzfdzzf

k ===

= sumint int sum +=+ ππ

)()()( 00100

1 +minus++minus++minus

= minus nn zzczzcc

zzc

zf

Observăm că

(5) 0)()(lim0

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+ intint

rarr PBQPAQRdzzfdzzf ( intint minusminus

rarr

=minus=PBQPAQR

cdzzfcdzzf ππ 110

)()(lim )

Pentru 0rarrR integralele din seria Tayloriană sunt nule Adunacircnd relaţiile (4) şi trecacircnd la limită ( ) icircn baza relaţiei (5) obţinem formula (3)

0rarrR

Observaţie Icircn general teorema semireziduurilor poate fi scrisă sub forma

int sumsum ==

==

+=C

az

m

jzz

p

kjK

zrezfizfrezidzzf11

)()(2)( ππ

unde şi reprezintă respectiv punctele singulare din interiorul lui (C) şi de pe curba (C) ale funcţiei f(z)

_____1 pkzk =

_____1 mjj =α

Exemplu Să se calculeze integrala int= minus

=1 )1(z zz

dzI

Funcţia are polii simplii z = 0 şi z = 1 Cercul )(Γ de ecuaţie 1=z trece prin polul z = 1 y 0 1 x Aplicacircnd teorema semireziduurilor obţinem 10 )()(2 == sdot+sdot= zz zrezfizrezfiI ππ Avem 1)()( lim

00 minus==

rarr= zzfzrezf

zz şi 1)]()1[()( lim

11 =minus=

rarr= zfzzrezf

zz

75

Deci iI πminus= 15 Funcţii elementare a) Funcţia radical zzf =)( Fie 2

θ

ρ iez sdot= obţinem pentru f(z) două valori (1) 22 )()( 21

θθ

ρρ ii ezfezf sdotminus=sdot= Deci funcţia radical este o funcţie multiformă Funcţiile şi se numesc ramurile funcţiei f(z)

1f 2f

Fie şi două puncte din planul complex (w) (figura) avacircnd respectiv argumentele

)( 00 zM )(zM

0θ şi θ

Dacă punctul z descrie arcul fără să icircnconjoare originea atunci argumentul lui variază de la

________

0MM

0θ la θ iar valorile funcţiilor şi icircn punctul M(z) vor fi

22

21 )(

θθ

ρρii

efezf sdotminus=sdot= y M(z) D )( 00 zM θ 0θ 0 x Dacă punctul z descrie un arc ce uneşte pe cu M icircnconjuracircnd originea atunci argumentul lui variază de la

0M

0θ la πθ 20 + Valorile funcţiilor şi icircn punctul M(z) vor fi

1f 2f

76

(2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=sdot=sdotminus=

=sdotminus=sdot=

+

)()(

122)2(

2

222)2(

1

zfeezf

zfeezfii

ii

θπθ

ρρ

Deci valorile funcţiilor şi se schimbă cacircnd punctul z descrie un

arc ce icircnconjoară originea Din acest motiv punctul z = 0 se numeşte punct de ramificaţie sau punct critic al funcţiei multiforme

1f 2f

zzf =)( Dacă icircn planul complex efectuăm o tăietură după o semidreaptă ce pleacă din origine atunci argumentul punctului poate lua valori numai icircntre 0 şi π2 deoarece z nu mai poate descrie arcul care să icircnconjoare originea Prin tăietura făcută funcţiile multiforme şi devin funcţii uniforme

)(1 zf )(2 zf

Funcţia n zzf =)( este o funcţie multiformă avacircnd n ramuri nkin

k ezf )2(1 )( πθρ ++ sdot= 1210 minusisin nk

Punctul z = 0 este punctul de ramificaţie sau punct critic al funcţiei f(z) Prin efectuarea unei tăieturi icircn planul complex printr-o semidreaptă ce pleacă din origine funcţiile devin uniforme )(1 zf k+

b) Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică Definim funcţia exponenţială prin ze

(3) )sin(cos1lim yiyenze x

n

z +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

infinrarr

Aceasta este o funcţie olomorfă icircn tot planul C Funcţia ia orice valoare din planul complex icircn afară de 0 Fie

Să determinăm pe z astfel icircncacirct Scriind z = x + iy obţinem de unde

ze0 nesdot= ρρ θiew θρ iz ewe sdot==

θρ iiyx eee == (4) ρln=x şi Zkky isin+= 2 πθ Soluţia generală a ecuaţiei se numeşte logaritmul lui w se notează Ln w şi are expresia

we z =

(5) Ln )2(ln πθρ kiw ++= sau (6) Ln )2(argln πkwiww ++= unde arg w este argumentul principal al lui w Pentru k = 0 obţinem

wiwLnw argln += care se numeşte valoarea principală a lui Ln w şi se notează ln w Deci (7) ln wiww argln +=

Consideracircnd pe w variabil punacircnd icircn (6) icircn locul lui w pe z obţinem funcţia logaritmică

77

(8) Ln )2(argln πkzizz ++= iar pentru k = 0 valoarea principală (9) ln zizz argln += Funcţia logaritmică este o funcţie multiformă avacircnd o infinitate de ramuri Aceste ramuri devin funcţii uniforme dacă efectuăm o tăietură după o semidreaptă ce pleacă din origine c) Funcţia Dacă αzzf =)( 0nez atunci (10) kizLnz eeez απααα sdotsdot== 2ln

Icircn raport cu α distingem trei cazuri 1 Zisinα deducem şi din (10) este o funcţie uniformă icircn tot planul complex

12 =sdot kie απ zez lnαα =

2 Qisinα qp=α pq icircntregi prime icircntre ele 0neq Obţinem funcţia

multiformă q pzz =α care are q ramuri şi z = 0 punct de ramificaţie 3 Cisinα funcţia este o funcţie multiformă cu o infinitate de ramuri

αzzf =)(

d) Funcţii circulare şi inversele lor Funcţii hiperbolice Funcţiile circulare sin z cos z prin definiţie sunt date de relaţiile

(11) 2

cos2

siniziziziz eez

ieez

minusminus +=

minus=

Deoarece are perioada ize π2 sin z şi cos z au perioada π2 Dezvoltarea icircn serie de puteri este

(12)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+minus++minus=

+minus

minus++minus=minus

+

)2(

)1(2

1cos

)12(

)1(3

sin

22

121

3

nzzz

sinzzzz

nn

Funcţia tg z se defineşte astfel

(13) 111

cossin

2

+minus

== iz

iz

ee

izztgz

şi are perioada π Funcţia w = f(z) definită de (14) cosw=z se numeşte arccos şi se noteazăw =Arccos z Din (11) şi (14) obţinem

21 zizeiw minusplusmn= şi deci (15) )1(1cos 2zizLn

izArc minusplusmn=

78

Funcţia (16) )1ln(1arccos 2ziz

iz minusplusmn=

se numeşte determinarea principală a funcţiei multiforme Arccos z Funcţia (15) are o infinitate de ramuri şi două puncte critice 1plusmn=z Aceste ramuri devin funcţii uniforme dacă efectuăm icircn planul complex două tăieturi de forma y -1 0 1 x Funcţia w = Arcsin z este definită de ecuaţia sin w = z Obţinem (17) )1(1sin 2zizLn

izArc minusplusmn=

Funcţia (18) )1ln(1sin 2ziz

izArc minusplusmn=

se numeşte determinarea principală a lui Arcsin z Putem scrie

(19) ⎩⎨⎧

minus++

=zk

zkzArc

arcsin)12(arcsin2

sinππ

Funcţia w = Arctg z se defineşte prin ecuaţia tg w = z de unde

izzizie iw plusmnne

+minus

= 2 deci ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+minus

=zizi

iArctgz ln

21 care este o funcţie multiformă

avacircnd o infinitate de ramuri şi ca puncte critice pe iplusmn Determinarea principală a lui Arctg z este

79

(20) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+minus

=zizi

iarctgz ln

21

Funcţiile hiperbolice sh z şi ch z se definesc prin formulele

(21) sh z 2

zz ee minusminus= ch z

2

zz ee minus+=

De aici observăm că cos iz=ch z sin iz=i sh zch z-sh z=1 Aceste funcţii hiperbolice ca şi sunt funcţii periodice de perioadă

2 2

ze π2 i 16 Probleme propuse 1 Să se studieze seriile următoare

a) suminfin

=1 )2(nni

n b) suminfin

=1 2cos

nn

in c) suminfin

=13

2

n

in

ne

2 Să se calculeze

int minus+1

0 123 dtitit

3 Să se determine funcţia olomorfă f(z) = u(xy) + iv(xy) cacircnd a) )ln2)((0)1()ln()( 22 zzfRfyxyxu ==+=

b) ))((14

22cos

2)( tgzzfRfychx

yshyxv ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

π

c)

21)1(0)0()()( 22 ==++= ffyxxyxu ϕ ϕ derivabilă

))(( zzfR =

80

4 Să se studieze transformarea conformă

2

11⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

minus+

=zzw şi să se afle imaginea cercului 1=z din planul (z)

5 Să se dezvolte icircn serie Laurent funcţia

2332)( 2 +minus

+=

zzzzf icircn domeniile a) 1ltz b) 21 ltlt z c) 2gtz

6 Să se calculeze 44)(1

222 =++int yxCundedz

ze

C

ziπ

7 Folosind teorema reziduurilor să se calculeze

a) dzzz

e

z

int= minus1

1

)1(

b) 22

)1)(1(22

2 yxyxundeCzz

dz

C

+=++minusint

c) 3

)4)(1( 2 =+minusint zundeC

zzzdz

C

81

8 Să se calculeze integralele

a) intinfin

infinminus +dx

xx

16

2

b) (integrala lui Poisson) Rbabxdxe ax isingtintinfin

minus 0cos0

2

c) intinfin

infinminus +minus= dx

xxxxI

136sin

21 şi intinfin

xxxxI

136cos

22

d) int +

π

θθ2

02)cos45(

d

e) int isingt+minus

π

θθθ2

02 1

cos21cos nad

aan N

9 Să se calculeze a) iiz = b) =z sh )1( iminus 10 Să se rezolve ecuaţiile a) 2sin =z b)

531 itgz minus

= c) ch z ndashsh z=1

82

CAPITOLUL III

FUNCŢII SPECIALE

1 Sisteme de funcţii ortogonale Polinoamele lui Laguerre

Polinoamele lui Cebicircşev Fie ( ) un sistem de funcţii (reale sau complexe) de pătrat integrabil pe Ώ

)(xfn NnisinpRL subΩΩisin )(2

Definiţie Sistemul de funcţii este un sistem ortogonal pe Nnnf isin pRsubΩ dacă

(fmfn)= ⎩⎨⎧

=gtne

=intΩ nmC

nmdxxfxf

nnm 0

0)()(

Dacă pentru orice avem Nnisin 1=nC atunci sistemul de funcţii ( ) se numeşte ortonormat

)(xfn Nnisin

Propoziţia 1 Fie un sistem ortogonal de funcţii din

Atunci sistemul de funcţii

)(xfn Nkisin )(2 ΩL

Nkk

k

fxf

isin⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ )( este un sistem ortonormat de funcţii din

)(2 ΩL Propoziţia 2 Sistemul trigonometric (1)

2

2 sincossincossincos1 l

xnlxn

lx

lx ππππππ este un sistem ortogonal pe

intervalul (-ll) şi (fn(x)fm(x))= unde este un element

oarecare al şirului (1) ⎩⎨⎧

=ne

=intminus nml

nmdxxfxf m

l

ln

0)()( )(xfk

Nk isin Demonstraţie Pentru orice avem Nnisin

( ) 0sincos 1 == minusminusint l

llxn

n

l

llxn dx π

ππ

( ) 0cossin 1 == minusminusint l

llxn

n

l

llxn dx π

ππ

83

( ) ldx lll

xnl

llxn =+= minus

minusint ππ 2

212 cos1cos

( ) cos1sin 2212 ldx l

llxn

l

llxn =minus= minus

minusint ππ

De asemenea pentru orice mn icircntregi mne n avem

0])cos()[cos(coscos 21 =minus++= intintminusminus

dxmnmndx lx

l

llx

lxm

l

llxn ππππ etc

Formulele de mai sus arată că sistemul (1) este un sistem ortogonal pe intervalul (-ll) Normalizacircnd (1) obţinem şirul fundamental ortonormat

(2) 2

2

sin1cos1sin1cos1sin1cos121

lxn

lx

lllllllππππππ

Efectuacircnd schimbarea de variabilă tlx=

π sistemul (1) devine

(3) 1cos tsin t cos 2t sin 2t cos nt sin nt Normalizacircnd sistemul trigonometric (3) obţinem sistemul ortonormat

(4) 1

1

2cos1

2sin1

1

sincossincos121 ntnttt tt

πππππππ

Definiţie Fie un sistem de funcţii de pătrat integrabil pe )(xf k Nkisin Ω şi

p(x) o funcţie reală de pătrat integrabil pe Ω Sistemul de funcţii este ortogonal cu ponderea p(x) pe dacă

)(xf k Nkisin

Ω

))()()(( xfxpxf nm =⎩⎨⎧

=gtne

=intΩ nmC

nmdxxfxfxp

nnm 0

0)()()(

Exemplu

Polinoamele lui Laguerre Numim polinom Laguerre polinomul definit prin relaţia

(5) L n(x)= 210)( isinminus nexdxde xn

n

nx

unde x 0ge Polinoamele lui Laguerre reprezintă un sistem ortogonal de funcţii cu ponderea p(x)=e-x pe intervalul )0( infin şi

84

)(0)()())()(( 2

0

mnpentrunmnpentrudxxLxLexLexL mnx

mx

n =ne== intinfin

minusminus

Polinoamele lui Laguerre verifică ecuaţia diferenţială şi 0)1( =+minus+ nyyxxy

xn e

nxL

1)( = )( xn

n

exdxd minus formează un şir ortonormat cu ponderea e-x pe

intervalul )0( infin Icircn mod analog se arată că polinoamele lui Cebacircşev

210)arccoscos(2)( isin= nxnxTn πsunt polinoame ortogonale cu ponderea

211)( xxp minus= pe intervalul (-11) ele verifică ecuaţia precum şi relaţia de recurenţă

0)1( 22 =+minusminus ynxyyx

210)()(2)( 11 isin=+minus minus+ nxTxxTxT nnn

2 Funcţiile lui Euler Numim funcţia lui Euler de speţa II sau funcţia gama funcţia complexă )(zΓ definită de integrala

(1) intinfin

minusminus=Γ0

1)( dtetz tz iyxz += x 0gt

Observăm că putem scrie

intintinfin

minusminusminusminus +=Γ1

11

0

1)( dtetdtetz tztz

Pentru a arăta convergenţa integralei improprii observăm că

01

11

1 gt==le intintintint minusminusminusminusminusminusminusminus adttedtttedttedttea

xt

a

iyxt

a

zt

a

zt

)1( =iyi Pentru 0lttlt1e-tlt1 şi obţinem

00111

11 gtgt

minus=le intint minusminusminus xa

xadttdtte

a

xx

a

zt

Pentrua membrul al doilea devine 0rarrx1 ceea ce arată că integrala improprie

este convergentă pentru xgt0 int minusminus1

0

1 dtet tz

85

Pentru a doua integrală improprie observăm că intinfin

minusminus

1

1 dtet tz

11

1 gtle minusminusminusminus intint bdttedtte xb

tb

zt care este convergentă (criteriul integral a lui Cauchy)

deoarece seria sum nu n

x

n enu

1minus

= şi integrala au aceeaşi natură dtte xt 1

1

minusinfin

minusint

( convergentă seria este convergentă ) intinfin

1

)( dxxf hArr suminfin

1)(nf 1)( minusminus= xt texf

( este convergentă(criteriul raportului)) Deci sum nu )(zΓ este convergentă Propoziţie Funcţia verifică ecuaţia funcţională )(zΓ

(2) =z )1( +Γ z )(zΓ Icircntr-adevăr integracircnd prin părţi obţinem

)1( +Γ z = )()( 1

00

0

zzdttezetedt zttztz Γ=+minus=minus minusinfin

minusinfinminusminusinfin

intint

deci ecuaţia (2) Scriind formula (2) pentru 21 nzzzzz +++isin şi apoi icircnmulţind relaţiile astfel obţinute găsim

(3) )())(1()1( znzzznz Γ++=++Γ Pentru z =1 avem şi deoarece )1()1()2( Γ+=+Γ nn 1)1( =Γ obţinem

(4) )1( nn =+Γ Datorită proprietăţilor(3) şi (4) funcţia Γ se mai numeşte funcţie factorial Dacă graficul funcţiei +isinRx )(xΓ este y 1 0 1 x0 2 x

86

( deci intinfin

minusminus gt=Γ0

21 0)(ln)( dtttex xt )(xΓ este o funcţie convexă) Funcţia )(zΓ are

proprietatea (5) =)(zΓ )1( zminusΓsdot

zππ

sin

numită ecuaţia complementelor Icircntre valorile importante ale funcţiei avem )(zΓ

intintinfin

minusinfin minus

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

00

2

221 πduedt

te u

t

Icircnlocuind variabila de integrare t cu t2 icircn formula (1) obţinem

(6) intinfin

minusminus=Γ0

122)( dttez zt

Numim funcţia lui Euler de speţa I funcţia definită prin relaţia

(7) Repgt0 Reqgt0 =)( qpB )1( 11

0

1 dttt qp minusminus minusintFuncţia este simetrică icircn raport cu p şi q adică Are loc următoarea

)( qpB )()( pqBqpB =

Teoremă Funcţia lui Euler de speţa I verifică relaţia )( qpB

(8) =)( qpB )()()(

qpqp

+ΓΓΓ Repgt0 Reqgt0

DemonstraţieFolosind formula (6) pentru funcţia )(zΓ putem scrie

int intinfin infin

minusminus+minus=ΓΓ0 0

1212)( 22

4)()( dudvvueqp qpvu

Trecacircnd de la coordonatele polare θρθρ sincos == vu obţinem

)( pΓ θθθθρθθρπ

ρ dqpddeq qpqpqpintint int minusminusminusminusminus+minus +Γ==Γ2

0

121212121)(2 sincos)(2sincos4)(2

2

00 πθρ lelege

Pe de altă parte făcacircnd substituţia observăm că θ2cos=t

B(pq)= θθθπ

dqpint minusminus2

0

1212 sincos2 Cu aceasta relaţia de mai sus dă formula (8)

87

3 Funcţiile Bessel

Fie ν un număr real sau complex Ecuaţia diferenţială

(1) 0)( 222 =minus+prime+primeprime yxyxyx ν se numeşte ecuaţia lui Bessel Definiţia 1 Numim funcţii Bessel sau funcţii cilindrice soluţiilor ecuaţiei lui Bessel Aceste funcţii apar la rezolvarea ecuaţiilor fizicii matematice teoria potenţialului precum şi la studiul vibraţiilor proprii ale membranelor circulare Vom căuta soluţia ecuaţiei lui Bessel sub forma unei serii de forma

(2) y(x)=xrsuminfin

=0k

kk xa

unde r şi trebuie astfel determinate icircncacirct seria (2) să verifice ecuaţia lui Bessel (1)

ka

Din (2) obţinem

(3)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

minus++=

+=

sum

suminfin

=

minus+

infin

=

minus+

0

2

0

1

)1)((

)(

k

rkk

k

rkk

xrkrkay

xrkay

Icircnlocuind icircn ecuaţia lui Bessel şi simplificacircnd cu obţinem rx

(4) sumsuminfin

=

infin

=

minus=minus+00

22 ])[(k

kk

k

kk xaxvrka

Prin identificare obţinem relaţiile

(5)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

isinminus=minus+

=minus+

=minus

minus 432])[(0])1[(

0)(

222

221

220

kavkra

vra

kk

88

Presupunacircnd (fapt posibil icircntotdeauna prin schimbarea indicelui de sumare) obţinem de unde

00 nea022 =minus vr vr = şi vr minus=

Cazul 1 Considerăm vr = Din a doua relaţie din (5) obţinem 0)12(1 =+va Cum coeficientul intervine icircn ecuaţia lui Bessel la pătrat atunci dacă v este real putem considera deci 0gev 012 ne+v de unde 01 =a Dacă este complex atunci evident şi

v012 ne+v 01 =a Icircn concluzie putem considera 01 =a

icircntotdeauna Din relaţia de recurenţă ( ) obţinem 2

22 ])[( minusminus=minus+ kk avka ν k 3ge

(6) 32100 12531 isin====== + kaaaa k

Deci toţi coeficienţii de indici impari ai seriei (2) sunt 0 Pentru coeficienţii de ordin par consideracircnd k=2n avem

(7) 321)44( 222

2 isinminus=+ minus nanvna nn

sau (8) ) = - +nn(4 v na2 22 minusna 321isinn

Făcacircnd pe n din (8) 12n şi icircnmulţind termen cu termen aceste egalităţi obţinem

(9) ))(2)(1(2

)1(2

02 nvvvn

aa n

n

n +++minus

=

Deoarece )())(1()1( znzzznz Γ++=++Γ şi )()1( zzz Γ=+Γ observăm că

(10) 210)1(2

)1()1(2

02 isin

++Γ+Γminus

= nnvnva

a n

n

Deoarece este arbitrar considerăm că şi astfel pentru soluţia ecuaţiei lui Bessel găsim

0a vva minus=+Γ 2)1(0

(11) n

n

nv xnvn

xy2

0 2)1()1(

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

Cu ajutorul criteriului lui D`Alembert se verifică imediat că seria de puteri (11) are raza de convergenţă infinită Definiţia 2 Funcţia definită de (11) se numeşte funcţia lui Bessel de speţa I şi de ordin (indice) şi se notează Deci v )(xIν

(12) n

n

nv

vx

nvnxxI

2

0 2)1()1(

2)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

Cazul 2 Considerăm r=- Dacă v nv ne 321isinn deci nu este număr icircntreg şi pozitiv atunci toţi coeficienţii de ordin impar sunt nuli iar cei de ordin par

v

89

se obţin din (9) icircnlocuind pe cu ndashv Luacircnd pentru valoarea obţinem pentru ecuaţia (1) a lui Bessel soluţia

v νν 2)1(0 =+minusΓa

(13) n

n

nv

vx

nv1+

minusn

xxI2

0 2)1()(

2)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+minusΓ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

minus

minus nv ne

Ca şi icircn cazul precedent se arată că seria (13) este convergentă pentru orice x Cele două soluţii sunt liniar independente Icircn consecinţă soluţia generală a ecuaţiei lui Bessel va fi

(14) )()()( 21 xICxICxy υυ minus+= nv ne Funcţii Bessel de indice icircntreg pozitiv Pentru pv = număr icircntreg ( ) obţinem

1gep

(15) n

pn

np

px

npnxxI

2

2)1()1(

2)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++minusΓminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

minus

şi )()1()( xIxI pp

p minus=minus

Definiţia 3 Numim funcţia lui Bessel de speţa II sau funcţia lui Neumann de

ordinul ν funcţia definită prin relaţia

(16) nvv

xIxIvxN vv

v neminus

= minus sin

)()(cos)(

ππ

fiind număr icircntreg Funcţia este soluţie a ecuaţiei lui Bessel )(xNv

4 Polinoame Hermite Relaţia de recurenţă Ecuaţia diferenţială Proprietăţi

Funcţia generatoare Aceste polinoame apar la studiul oscilatorului armonic liniar icircn mecanica cuantică Definiţie Numim polinom Hermite polinomul definit prin relaţia

(1) )(xH n ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus=22

)1( xdxdxn ee n

n 3210isinn

Pentru găsim 3210isinn 2)(1)( 10 xxHxH == 128)(24)( 3

32

2 xxxHxxH minus=minus=

90

Observăm că grad Dacă n este impar atunci polinomul )(xH n H n conţine numai termeni cu puteri impare ale lui x iar pentru n par H n(x) conţine numai termeni cu puteri pare ale lui x

Notăm Avem şi aplicacircnd formula lui Leibniz de derivare obţinem

2

)( xexu minus=2

2 xxeu minusminus=

( ) [ ])()()1(22)( )1()()1()2( 2

xxuxunxexu nnnxn ++minus+ ++minus=minus= de unde (2) 0)()1(2)(2)( )()1()2( =+++ ++ xunxxuxu nnn

Icircnmulţind relaţia (2) cu se obţine formula de recurenţă 22)1( xn e+minus(3) H n+2(x)-2x H n+1(x)+2(n+1) H n(x)=0

Observăm că H

2

)1()()( xnn exu minusminus= n(x) Icircnlocuind aceasta icircn (2) obţinem ecuaţia diferenţială a polinoamelor lui Hermite

(4) 022 =+primeminusprimeprime nyyxy

Propoziţie Polinoamele Hermite sunt funcţii ortogonale cu ponderea p(x)=e pe intervalul şi 2xminus )( infinminusinfin

(5) intinfin

infinminus

minus

⎩⎨⎧

=

ne=

nmn

nmdxxHxHe

nnmx

2

0)()(

2

π

Demonstraţie Integracircnd prin părţi obţinem I=0 pentru nm ne si pentru nm =

I= intinfin

infinminus

minus = π222

ndxen nxn

Polinoamele lui Hermite se pot obţine din funcţia generatoare (6) f(xt)= 222 )(2 xtxttx eee minusminusminus =

Dezvoltacircnd icircn serie Taylor icircn raport cu t obţinem

(7) f(xt)=

)(0 n

txHn

nnsum

infin

=

unde coeficienţii ai seriei de puteri (7) reprezintă polinoamele lui Hermite abstracţie făcacircnd de un factor de proporţionalitate

)(xH n

Avem 0)(22 =minus+partpart

=partpart fxt

tftf

xf de unde găsim relaţia de recurenţă (3)

5 Polinoame Legendre Relaţia de recurenţă

Ecuaţia diferenţială ProprietăţiFuncţia generatoare

Polinoamele lui Legendre intervin icircn studiul ecuaţiei lui Laplace icircn teoria potenţialului etc

91

Definiţie Numim polinom Legendre polinomul definit prin relaţia

(1) [ nn

n

nn xdxd

nxL )1(

21)( 2 minus= ] 210isinn

Această formulă se mai numeşte formula lui Rodrigues Pentru deducerea proprietăţilor acestor polinoame vom nota u(x)=(x2-1)n Derivacircnd avem ursquo(x)=2nx(x2-1)n-1 de unde

(2) (x2-1)ursquo(x)-2nxu(x)=0 Derivacircnd relaţia (2) de (n+1) ori după formula lui Leibniz obţinem

(x2-1)u(n+2)(x)+2xu(n+1)(x)-n(n+1)u(n)(x)=0

Icircnmulţind această ecuaţie cu (21 nn) şi ţinacircnd seama că =)()( xu n [ ]nn

n

xdxd )1( 2 minus

relaţia de mai sus devine (3) 0)()1()(2)()1( 2 =+minus+minus xLnnxxLxLx nnn

Deci polinoamele lui Legendre verifică ecuaţia diferenţială (4) 0)1(2)1( 2 =+minus+minus ynnxyyx

Polinomele lui Legendre se pot obţine din funcţia generatoare (5) f( ]11[)10(

21

1)2

minusisinisinminus+

= xx

x ρρρ

ρ

Pentru a vedea semnificaţia acestei funcţii vom presupune că icircn

punctul M0 din spaţiu există o sarcină electrică pozitivă egală cu unitatea Această sarcină creează un cacircmp electrostatic a cărui valoare icircntr-un punct M Mne 0 este

E(M)= RR

12 =M0M

Potenţialul cacircmpului electrostatic se notează cu V(M)=1R Notacircnd cu O originea reperului şi cu ang== θθ cosx (OM0OM) obţinem din triunghiul OMM0 R= rxrrr 0

20

2 2minus+ unde r=OM r0=OM0 Icircn consecinţă potenţialul corespunzător punctului M va fi

V(M)=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

lt=minus+

=1

21

11

121

11

10

2

02

0

rr

xr

rr

xr

R ρρρ

ρρρ

92

Icircn ambele cazuri apare funcţia generatoare )( xf ρ a polinoamelor lui Legendre cu restricţiile şi]11[minusisinx ]10[isinρ Consideracircnd pe ρ suficient de mic putem dezvolta icircn serie după puterile lui ρ obţinacircnd

(6) [ ] ( ) ( )( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

suminfin

==+minus++=

=+minus+minus+=minus+=

+minus

minusminusminus

minus

0)(1

)2()2(1)2(1)(

233

253

212

232

222

23

21

2122

12

nxLxx

xxxxf

nnxx ρρρρ

ρρρρρρρ

Polinoamele sunt polinoamele lui Legendre )(xLn

Luacircnd de exemplu x=1 obţinem 1)1( 2 +++= ρρρf

adică Ln(1)=1 210isinnPolinoamele lui Legendre verifică relaţia de recurenţă (7) 0)()()12()()1( 11 =++minus+ minus+ xnLxxLnxLn nnn

Pentru a obţine relaţia de recurenţă (7) derivăm expresia (5) şi obţinem

(8) 0)()21( 2 =minusminus

partpart

+minus fxfx ρρ

ρρ

Substituind icircn (8) expresia (6) a lui f obţinem

0)()()()21(01

12 =minus++minus sumsuminfin

=

infin

=

minus n

nn

n

nn xLxxnLx ρρρρρ

Egalacircnd cu zero coeficientul lui obţinem (7) nρ Propoziţie Polinoamele lui Legendre sunt funcţii ortogonale pe [-11] şi

⎩⎨⎧

=+ne

=intminus nmn

nmdxxLxL mn )12(2

0)()(

1

`

93

6 Probleme propuse

1 Să se calculeze integrala

int= 20

46 cossinπ

xdxxI

intinfin

+=

0 36

2

)1( xdxxI

intinfin

+=

0 8 1 x

dxI

4 Să se dezvolte icircn serie de polinoame Legendre funcţiile

a) xxf =)(

b) 2

1)( xxf minus=

5 Să se integreze ecuaţia lui Bessel

( ) 09 4122 =sdotminus+sdot+sdot yxyxyx

94

CAPITOLUL IV

SERII FOURIER 1 Serii Fourier pentru funcţii Funcţii periodice Transformata periodică Dezvoltarea icircn serie Fourier a unei funcţii periodice cu perioada 2π Exemplu Funcţiile periodice constituie una din clasele de funcţii care datorită proprietăţilor lor intervin frecvent icircn diverse probleme teoretice şi practice Un mijloc de reprezentare şi studiu al acestor funcţii icircl constituie dezvoltarea icircn serie Fourier Icircn multe cazuri dezvoltarea icircn serie Fourier este mai convenabilă decacirct dezvoltarea icircn serie Taylor

Termenii unei serii Fourier sunt funcţii periodice cu care putem descrie fenomene oscilatorii O altă calitate a seriilor Fourier este şi aceea că termenii săi au proprietatea de ortogonalitate Spunem că funcţia ( )CR or=ΓΓrarrRf este o funcţie periodică de perioadă T gt 0 dacă ( ) ( ) Rx isinforall=+ xfTxf Dacă T este perioada funcţiei f(x) atunci şi kT este perioadă Fie supp f =[ab] Numim transformata periodică a funcţiei f funcţia

Zk isinΓrarrRfT ω definită prin relaţia

Transformata periodică este o

funcţie periodică de perioadă T

suminfin

minusinfin=

isin+==k

TT RxkTxfxfxf )()()(~

ω )(~

xff Tω=

Definiţia 1Prin polinom trigonometric de ordinul n icircnţelegem funcţia

sum=

++=n

kkkn kxbkxa

ax

1

0 )sincos(2

)(T (1)

unde coeficienţii sunt numere reale )21(0 nkbaa kk isin

Observăm că polinomul din (1) este o funcţie periodică de perioadă )(xTn

π2=T Definiţia 2 Numim serie trigonometrică seria de forma

)sincos(2 1

0 kxbkxaa

kk

k ++ suminfin

=

(2)

Dacă seria trigonometrică (2) este convergentă atunci suma ei f(x) va fi o funcţie periodică de perioadă T= π2 Seria trigonometrică s-a obţinut cu ajutorul sistemului trigonometric fundamental (3) sincos2sin2cossincos1 nxnxxxxxAcest sistem este un sistem de funcţii ortogonal şi

int intminus minus

==π

π

πkxdxkxdx 22 cossin

95

Fiind dată o funcţie f(x) periodică cu perioada 2RRf rarr π se cere să se determine condiţiile pe care trebuie să le icircndeplinească funcţia periodică f(x) astfel icircncacirct să putem construi seria trigonometrică (2) uniform convergentă pe [ ]ππ minus deci şi pe R Icircn aceste ipoteze putem scrie egalitatea

(4) suminfin

=

++=1

0 )sincos(2

)(k

kk kxbkxaa

xf

Seria fiind uniform convergentă putem integra termen cu termen şi icircn baza ortogonalităţii sistemului (3) găsim

(5) intminus

=π

ππdxxfao )(1

Icircnmulţind seria (4) cu şi integracircnd obţinem kxcos

int intminus minus

==π

π

π kk akxdxakxdxxf coscos)( de unde

(6) intminus

=π

ππkxdxxfak cos)(1

Procedacircnd analog prin icircnmulţire cu obţinem kxsin

(7) intminus

=π

ππkxdxxfbk sin)(1

Coeficienţii determinaţi după formulele (6) şi (7) se numesc coeficienţii Fourier pentru funcţia f(x) iar seria trigonometrică (2) cu aceşti coeficienţi se numeşte seria Fourier a funcţiei periodice f(x)

kk ba 321isink

Fiind dată o funcţie periodică f cu perioada 2π şi integrabilă putem determina coeficienţii Fourier corespunzători funcţiei date precum şi seria Fourier ataşată lui f (x) Nu putem icircnsă să scriem egalitatea (4) deoarece nu ştim dacă seria este convergentă şi chiar icircn caz de convergenţă nu ştim dacă suma ei este tocmai funcţia f Din acest motiv vom scrie

(8) suminfin

=

++asymp1

0 )sincos(2

)(k

kk kxbkxaa

xf

Condiţiile suficiente pentru ca o funcţie periodică cu perioada 2π să poată fi reprezentată prin seria Fourier asociată ei au fost găsite de Dirichlet Are loc Teorema (Condiţiile lui Dirichlet) Dacă funcţia f(x) cu perioada 2π este monotonă pe porţiuni şi mărginită pe intervalul [ ]ππ minus atunci seria Fourier asociată acestei funcţii este convergentă icircn toate punctele Suma S(x) a seriei Fourier icircn fiecare punct de continuitate este egală cu valoarea funcţiei f icircn acel punct Icircn punctele de discontinuitate valoarea sumei S(x) este egală cu media aritmetică a limitelor laterale corespunzătoare punctului de discontinuitate adică

96

(9) 2

)0()0()( ++minus=

cfcfcS unde

)(lim)0()(lim)0( xfcfxfcfcxcx

cxcx

ltrarr

=+=minus

Exemplu Considerăm funcţia [ ππ 4

)(2

minusisin= xxxf ] Funcţia periodică

generată de funcţia f(x) va fi transformata periodică cu perioadaf π2 al cărei grafic este y π3minus π2minus πminus 0 π π2 π3 x

Funcţia f(x) reprezintă restricţia funcţiei la intervalul ~f [ ]ππ minus

Condiţiile teoremei lui Dirichlet sunt icircndeplinite deoarece funcţia f pe intervalul ][ ππminus este monotonă şi este mărginită Aplicacircnd de două ori integrarea prin părţi

obţinem pentru coeficienţii Fourier expresiile

6

0)1(02

02

π=ne

minus== ak

kab

k

kk

Deci seria Fourier corespunzătoare funcţiei 4

)(2xxf = icircn intervalul [ ]ππ minus

este

2

2cos1

cos12

cos)1(124 22

2

12

22

++minus=minus

+= suminfin

=

xxkxk

xk

k ππ

Consideracircnd π=x obţinem suma

6

121

11 2

222

π=++++

n

97

2Seria Fourier a funcţiilor pare sau impare Dacă funcţia f(x) este pară sau impară pe [ ]ππ minus atunci dezvoltarea icircn serie Fourier a ei se simplifică Astfel dacă funcţia f(x) este pară pe [ ]ππ minus atunci f(-x) = f(x) şi icircn consecinţă funcţia este pară iar funcţia

este impară Ţinacircnd seama de aceasta vom obţine kxxf cos)(

kxxf sin)(

(1)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

====

intint

intintint

minus

minusminus

ππ

π

ππ

π

ππ

πππ

0

00

cos)(2cos)(1

)(2)(10sin)(1

kxdxxfkxdxxfa

dxxfdxxfakxdxxfb

k

Pentru funcţiile pare pe [ ]ππ minus seria Fourier va conţine numai termeni icircn

cosinusuri adică termenii pari Deci seria Fourier va avea expresia

(2) kxaa

xfk

k cos2

)(1

0 suminfin

=

+=

valabilă icircn punctele de continuitate ale funcţiei f(x) pe ( )ππ minus Acest caz a fost

ilustrat prin exempulul din paragraful anterior 4

)(2xxf = care este o funcţie

pară pe [ ]ππ minus (axa Oy axă de simetrie) Dacă funcţia f(x) este impară pe intervalul [ ]ππ minus atunci funcţia

este impară iar este o funcţie pară Icircn consecinţă coeficienţii seriei Fourier vor fi

kxxf cos)( kxxf sin)(

(3) 00 == ko aa şi int=π

π 0

sin)(2 kxdxxfbk

Seria Fourier pentru funcţiile impare va conţine numai termenii icircn sinusuri deci

(4) suminfin

=

=1

sin)(k

k kxbxf

3 Dezvoltarea icircn serie Fourier a funcţiilor definite pe (-l l) Exemplu Vom considera cazul general al dezvoltării icircn serie Fourier a unei funcţii periodice cu perioada T = 2l (l gt0) Şirul trigonometric fundamental va fi (1) sincossincos1

lxn

lx

lx ππππ

98

Fie f(x) restricţia funcţiei periodice f cu perioada T = 2l pe intervalul (-l l)

Efectuacircnd schimbarea de variabilă πltx = funcţia ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

πltf va fi o funcţie periodică

cu perioada π2 Restricţia ei la intervalul ( )ππ minus va fi funcţia ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πltf Scriind

dezvoltarea icircn serie a funcţiei ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πltf avem

(2) )sincos(2 1

0 ktbktaaltf k

kk ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sum

infin

=π

valabilă icircn orice punct de continuitate Rt isin Datorită substituţiei πltx = coeficienţii Fourier vor avea expresiile

(3)

dxlxkxf

lb

dxlxkxf

la

dxxfl

dxl

xfdtltfa

l

lk

l

lk

l

int

intintint

minus

minusminusminus

=

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

π

ππππ

π

sin)(1

cos)(1

)(1)(110

Deci seria Fourier pentru funcţia f(x) pe intervalul ( )llminus va fi

(4) )sincos(2

)(1

0

lxkb

lxka

axf k

kk

ππ++= sum

infin

=

unde coeficienţii sunt daţi de formula (3) Exemplu Să scriem seria Fourier corespunzătoare funcţiei f(x) = x pe intervalul (-l l) Funcţia f este impară pe (-l l) deci seria Fourier va conţine numai termeni icircn sinus Avem

π

ππk

xdxkxxdxkxba kkk

2)1(sin2sin0 11

0

1

+

minus

minus==== intint

Prin urmare seria Fourier corespunzătoare funcţiei f(x) va fi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minus= sum

infin

=

+

1

sin)1(2k

k

xkk

x ππ

Pentru 21

=x obţinem suma

4

71

51

311 π

=+minus+minus

4 Dezvoltarea icircn serie Fourier după cosinusuri sau sinusuri a unei funcţi definite pe intervalul (0 l) Exemplu Fie f(x) o funcţie definită pe [ Deseori este util ca funcţia f(x) să se dezvolte icircn serie Fourier după cosinusuri sau sinusuri Icircn acest scop funcţia se

]l0

99

prelungeşte pe intervalul [ astfel icirccacirct noua funcţie F(x) să fie funcţie pară sau impară pe intervalul după cum dezvoltarea icircn serie Fourier trebuie să fie după cosinusuri sau sinusuri Să presupunem că dorim să dezvoltăm funcţia f(x) icircn serie Fourier după cosinusuri (figura)

]0lminus][ llminus

y f(-x) f(x) -l -x 0 x l x

Efectuăm prelungirea pară pe intervalul [ ]0lminus deci luăm simetricul graficului funcţiei f icircn raport cu axa ordonatelor Obţinem astfel o nouă funcţie F(x) pară pe [ ] llminus

⎩⎨⎧

isinminusisinminus

=]0[)(

]0[)()(

lxxflxxf

xF

Dacă funcţia dată f(x) icircndeplineşte condiţiile lui Dirichlet pe intervalul [0 l ] atunci noua funcţie F(x) va icircndeplini aceste condiţii pe intervalul [-l l] Prin urmare seria Fourier corespunzătoare funcţiei F(x) va fi

(1) lxka

axF

kk

πcos2

)(1

0 suminfin

=

+=

unde

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

intint

intintminus

dxlxkxf

ldx

lxkxF

la

dxxfl

dxxFl

a

ll

lk

ll

l

0

00

cos)(2cos)(1

)(2)(1

ππ 0=kb

Dezvoltarea (1) are loc icircn toate punctele de continuitate de pe intervalul (-l l) Icircn particular pe intervalul (0 l) obţinem dezvoltarea căutată după cosinusuri

100

(3) suminfin

=

+=1

0 cos2

)(k

k lxka

axf π

valabilă icircn punctele de continuitate din intervalul (0 l) Analog pentru a obţine dezvoltarea icircn serie Fourier după sinusuri a funcţiei f(x) definită pe [0 l) efectuăm o prelungire impară a funcţiei f pe intervalul [-l 0) (figura) y f(x) -l -x 0 x l x -f(-x) şi obţinem astfel o nouă funcţie

⎩⎨⎧

isinminusisinminusminus

=]0[)(

]0[)()(

lxxflxxf

xF

Această funcţie este impară pe intervalul [-l l] graficul ei fiind simetric icircn raport cu originea sistemului de referinţă Scriind dezvoltarea icircn serie Fourier pentru funcţia impară vom obţine

(4) F(x)=lxkb

kk

πsin1

suminfin

=

unde

(5)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

==

int

intminus

dxlxkxf

lb

saudxlxkxF

lba

l

k

l

lkk

0

sin)(2

sin)(10

π

101

Icircn particular icircn orice punct de continuitate din intervalul (0 l) avem dezvoltarea după sinusuri a funcţiei date f(x) anume

(6) lxkbxf

kk

πsin)(1

suminfin

=

Exemplu Să dezvoltăm icircn serie Fourier după sinusuri funcţia f(x)=1-x xisin[0 1) Efectuacircnd o prelungire impară pe intervalul (-1 0) (l=1) a funcţiei date vom obţine funcţia

⎩⎨⎧

isinminusminusisinminusminus

=]10[1

)01[1)(

xxxx

xF

Prin periodicizarea funcţiei F(x) se obţine graficul y 1 0 2 3 4 -2 -1 1 x -1

Icircn consecinţă seria Fourier a funcţiei considerate va fi 1-x =

unde

xkbk

k πsin1

suminfin

=

int =minus=1

0

2sin)1(2π

πk

xkxbk

Deci

1-x = sin21

suminfin

=k kxkπ

π

5 Forma complexă a seriilor Fourier O formă unitară a seriilor Fourier este forma complexă Fie f(x) o funcţie care pe intervalul (-l l) satisface condiţiile teoremei lui Dirichlet Atunci putem scrie dezvoltarea icircn serie Fourier

102

(1) ( )lxkb

lxka

axf k

kk

ππ sincos2

)(1

0 ++= suminfin

=

unde coeficienţii seriei au expresiile

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

==

int

intint

minus

minusminus

dxlxkxf

lb

dxlxkxf

ladxxf

la

l

lk

l

lk

π

sin)(1

cos)(1)(10

Utilizacircnd formulele lui Euler

(3) )(21sin)(

21cos l

xki

lxk

i

l

xklxk

ilxk

i

l

xk eei

eeππ

πππ

π minusminusminus=+=

seria (1) devine

(4) f(x)= )(2 22

1

0 lxki

kibkalxki

kibka

kee

a ππminusminusminus

infin

=

++ sum

Ţinacircnd seama de expresiile (2) ale coeficienţilor avem

(5) ck= intminus

minusl

l

lxkidxexf

l

π

)(21

şi

(6) c-k = 2kibka minus = int

minus

l

lxkidxexf

l

π

)(21

Remarcăm că icircn (5) şi (6) kisinN Primul termen al dezvoltării (1) are expresia

(7) 00 )(

21

2cdxxf

la l

l

== intminus

care se obţine din (5) pentru k=0

Prin urmare seria (4) se poate scrie sub forma

(8) f(x)= sumsuminfin

=

minus

infin

=

+00 k

lxki

kk

lxki

k ececππ

sau

(9) f(x)= suminfin

minusinfin=k

lxki

k ecπ

unde

(10) ck = intminus

minusl

l

lxkidxexf

l

π

)(21 kisinZ

Expresia (9) de reprezentare a funcţiei f(x) se numeşte forma complexă a seriei Fourier 6 Dezvoltarea unei funcţii icircn serie de funcţii ortogonale Aproximarea funcţiilor icircn medie pătratică Relaţia de icircnchidere a lui Parseval Analizicircnd modul de determinare a coeficienţilor seriei Fourier observăm că raţionamentele folosite nu s-au bazat pe proprietăţile concrete ale funcţiilor

103

trigonometrice din sistemul trigonometric fundamental ci numai pe proprietatea de ortogonalitate Din acest motiv este natural ca icircn locul sistemului trigonometric de funcţii ortogonale să luăm un sistem oarecare de funcţii ortogonale Icircn acest fel o funcţie poate fi reprezentată icircn serie cu un sistem de funcţii ortogonale obţinacircnd o serie Fourier generalizată Fie şirul de funcţii ortogonale (de pătrat integrabil pe (ab) R ) Pentru simplificarea calculelor vom presupune că şirul a fost normalizat şi vom nota cu şirul ortonormat din L2(ab) Să presupunem că fisinL2(ab) şi că ea se poate reprezenta sub forma unei serii uniform convergente pe (ab) icircn raport cu sistemul de funcţii ortonormate Conform ipotezelor făcute avem

)())(( 2 baLxn isinϕsub

))(( xnΨ

(1) f(x)= )(1

xc kk

k Ψsuminfin

=

Pentru determinarea coeficienţilor (kkc isinN) icircnmulţim egalitatea (1) cu conjugatul kΨ al funcţiei şi integracircnd termen cu termen pe intervalul (ab) obţinem

kΨ

(2) kk

b

akkk

b

akk ccdxcdxxf =Ψ=ΨΨ=Ψ intint

2)(

şi deoarece sistemul este ortonormat avem )( kΨ

(3) ⎩⎨⎧

=ne

=ΨΨnmnm

mm 10

)(

Coeficienţii determinaţi prin relaţia (2) se numesc coeficienţii Fourier generalizaţi ai funcţiei fisin L2(ab) relativ la sistemul ortonormat de funcţii

pe (a b) Seria (1) se va numi seria Fourier generalizată a funcţiei relativ la sistemul ortonormat

kc

)( kΨ

Teorema lui Dirichlet rămacircne valabilă şi pentru seriile Fourier generalizate Astfel relaţia (1) are loc icircn fiecare punct de continuitate a funcţiei f din intervalul (a b) dacă partea reală şi partea imaginară ale funcţiei complexe fisin L2(ab) satisfac condiţiile teoremei lui Dirichlet Exemplu Să dezvoltăm icircn serie după polinoamele lui Hermite funcţia f(x)= xisinR Polinoamele lui Hermite definite prin relaţia xe

(4) = )(xH n )()1(22 x

ndx

ndxn ee minusminus RxNn isinisin formează un sistem

ortogonal cu ponderea p(x)= pe R 2xeminus

Funcţia f(x) şi satisface condiţiile teoremei lui Dirichlet deci

2xeminus )(2 RLisin

(5) sum xinfin

=

=0

)(k

kkx xHce isinR

104

Icircnmulţind această egalitate cu şi integracircnd pe baza proprietăţii de ortogonalitate obţinem

)(2

xHex

π2)()( 222

kcdxxHecdxxHe kkk

xkk

xx intintinfin

infinminus

minusinfin

infinminus

+minus == de unde

intinfin

infinminus

+minus= dxxHek

c kxx

kk )(21 2

π

Integricircnd prin părţi şi ţinacircnd seama de (4) obţinem

int int intinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

+minusminus

+minus+minus ==== 41

1

222

)()( edxedxxHedxxHe xxk

xxk

xx π

Prin urmare seria Fourier generalizată corespunzătoare funcţiei f(x)=ex este

suminfin

=

=0

41

2)(

kkkx

kxH

ee

valabilă pentru orice Rx isin Definiţie Fie fg Numim eroare pătratică medie a funcţiei f faţă de g numărul

)(2 baLisin

(6) )()(1)()(21

21 xgxfab

dxxgxfb

aab

minusminus

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡minus= intminus

δ

Numărul δ reprezintă o măsură a erorii ce o facem dacă aproximăm funcţia f prin g sau funcţia g prin f Această măsură a erorii numită eroare pătratică medie este deosebit de utilă icircn studiul seriilor Fourier deoarece este legată direct de norma funcţiilor de pătrat integrabil Fie funcţia f şi sistemul ortonormat de funcţii complexe ( de pătrat integrabil pe intervalul (ab)

)(2 baLisin))(( xkΨ

Funcţia

(7) sum=

Ψ=n

kkkn xxS

1

)()( λ

se numeşte polinom ortogonal pe intervalul (a b) Să determinăm coeficienţii kλ ai polinomului (7) astfel icircncacirct eroarea pătratică medie faţă de funcţia f să fie minimă Avem

dxxfdxxSxfabb

a

b

a

n

kkknn

2

1

22 )()()()( int int sum=

Ψminus=minus=minus λδ

Ţinicircnd seama că funcţiile f kΨ sunt funcţii complexe iar kλ numere complexe pentru dezvoltarea expresiei de sub semnul integrală de mai sus vom folosi formula βαβαβαβαβαβα minusminus+=minussdotminus=minus 222 )()( Obţinem

105

( 8) dxdxfdxfdxfab j

b

ai

n

i

n

jjik

b

a

n

k

b

a

n

k

b

akxkn ΨΨ+Ψ

⎩⎨⎧

minusΨminus=minus intsumsumint sum int sum int= == = 1 11 1

22 )( λλλλδ

Sistemul de funcţii ( fiind ortonormat şi ţinacircnd seama că coeficienţii Fourier corespunzători funcţiei f relativ la sistemul ortonormat ( sunt

kΨ

)kΨ

int Ψ=b

akk dxxfc )( egalitatea (8) devine

(9)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

minus+minus=minusminus+

+minus=+minusminus=minus

sumsum sum

sum sum sum sum

== =

= = = =

n

kkk

n

k

n

kkkkkk

n

k

n

k

n

k

n

kkkkkkkkn

ccfcc

cfccfab

1

2

1 1

22

1 1 1 1

2222

))((

)(

λλλ

λλλλδ

Din relaţia (9) rezultă că nδ va fi minimă dacă kkc λ= Am obţinut astfel Teorema 1 Dintre toate polinoamele ortogonale cel pentru care eroarea pătratică medie faţă de funcţia f este minimă este acela ai cărui coeficienţi sunt coeficienţii Fourier generalizaţi relativ la funcţia f

)(2 baLisin

Aceasta icircnseamnă că funcţia realizează cea mai bună aproximaţie

icircn medie pătratică a funcţiei de pătrat integrabil f Putem scrie

sum=

Ψn

kkkc

1

(10) sum=

minus=minusn

kkn cfab

1

222 )(δ

Deoarece 0genδ rezultă inegalitatea

(11) 2

1

2 fcn

kksum

=

le

(unde dxffb

aint= 22 ) numită inegalitatea lui Bessel Putem astfel enunţa

Teorema 2 Suma pătratelor modulelor a n coeficienţi Fourier ai unei funcţii de pătrat integrabil relativ la un sistem de n funcţii ortonormate este cel mult egală cu pătratul normei funcţiei f

Dacă considerăm seria cu termeni pozitivi suminfin

=1

2

nnc atunci din inegalitatea

lui Bessel deducem că sumele parţiale ale seriei sunt mărginite de 2f prin

urmare seriasuminfin

=1

2

nnc este o serie convergentă Din acest motiv icircn inegalitatea lui

Bessel putem considera n şi se obţine infinrarr

(12) 2

1

2 fcn

nnsum

=

le

numită inegalitatea lui Parseval

106

Definiţie Un şir ortogonal de funcţii (Ψk) de pătrat integrabil este un sistem icircnchis dacă pentru orice f are loc relaţia )(2 baLisin

(13) 2

1

2 fcn

nnsum

=

numită relaţia de icircnchidere a lui Parseval Fie f Sistemul trigonometric normat 0)(2 gtminusisin lllL

(14) sin

cos

sin

cos

21 1111

lllll

xkxkxx ππππ

este un sistem icircnchis Icircn raport cu sistemul ortogonal (14) coeficienţii Fourier sunt

cos)(cos

)( 1|k

l

xkl

lk aldx

lxkxf

lldx

lxfc sdot=== intint

minusminus ππ

lbc kk = si 00 2)(1

22)( alxf

lldx

lxfc

l

sdot=== intintminusminus

Icircnlocuind obţinuţi mai sus icircn (13) obţinem relaţia de icircnchidere a lui Parseval

0 kk ccc

(15) intsumminus

infin

=

=++l

lnnn dxxf

lba

a)(1)(

22

1

222

0

Dacă π=l (15) devine

(16) intsumminus

infin

=

=++π

ππdxxfba

an

nn )(1)(2

2

1

222

0

Exemplu Să se scrie seria Fourier trigonometrică şi apoi egalitatea lui

Parseval pentru funcţia

⎪⎩

⎪⎨⎧

ltle

lt=

πx

xxf

1pentru 0

1pentru 1)(

Să se deducă apoi sumele seriilor suminfin

=12

2sinn n

n şi suminfin

=12

2cosn n

n

Seria Fourier este

(1) suminfin

=

++=1

0 )sincos(2

)(n

nn nxbnxaa

xf

unde

(2) int intint minus minusminus===

π

π πππnxdxxfbnxdxxfadxxfa nn sin)(1 şi cos)(1 )(1

0

107

Graficul lui este )(xf

x

y

0 -π -1 1 π

1

Avem intminus=

1

101 dxaπ

de unde rezultă

(3) π2

0 =a

Apoi n

nnxn

nxdxan πππsin2sin1cos1 1

1

1=== int

minusminus

adică

(4) n

nan πsin2

=

şi 0cos1sin1 11

1

=minus== minusminusint nx

nnxdxbn ππ

adică

(5) (f(x) pară) 0=nb

Deci seria Fourier ataşată funcţiei f(z) este

(6) suminfin

=

+=1

cossin21)(n

nxn

nxfππ

Egalitatea lui Parseval este

(7) dxxfbaa

nn

n )(1)(2

22

1

220 intsum

minus

infin

=

=++π

ππ

sau

(8) intsumminus

infin

=

=+1

112

2

22

1sin42 dxn

nn πππ

de unde

(9) 1sin211

2

=+ suminfin

=n nn

ππ

Rezultă suma cerută

108

(10) 2

1sin1

2

2 minus=sum

infin

=

πn n

n

Pentru calcul suminfin

=12

2cosn n

n scriem

sumsumsumsuminfin

=

infin

=

infin

=

infin

=

minus=minus

=1

2

12

2

12

2 sin1sin1cosnnnn n

nnn

nn

n

Ştim că 6

1 2

12

π=sum

infin

=n ndeci

21

6cos

1

2

2 minusminus=sum

infin

=

ππn n

n

7 Probleme propuse 1) Să se dezvolte icircn serie Fourier funcţia

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

isin

minusisin=

]0(3

]0(1)(

π

x

xxf

b)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

isinminus

isin

=

]32[3

)21(1

]10[

)(

xx

x

xx

xf

c) Rx

xxxf isin

+=

cos45cos)(

2) Să se dezvolte icircn serie Fourier de sin şi respectiv cos funcţia a) )0(

24)( ππ

isinminus= xxxf

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

isinminus

isin=

]21(

]10[)(

xx

xxxf

109

3) Să se determine seria Fourier trigonometrică a funcţiei periodice

)(2

)( πππ

πminusisin= xe

shxf x de perioadă π2 Din dezvoltarea obţinută şi din

relaţia de icircnchidere a lui Parseval să se calculeze sumele

suminfin

= +minus

12 1

)1(n

n

n şi sum

infin

= +12 11

n n

4) Să se scrie seria Fourier trigonometrică şi apoi egalitatea lui Parseval pentru funcţia

⎪⎩

⎪⎨

⎧

lele

lt=

πxa

axxf

0

1)( a gt0

Să se calculeze apoi sumele seriilor

suminfin

=12

2sinn n

na şi suminfin

=12

2cosn n

na

110

CAPITOLUL V

TRANSFORMARI INTEGRALE 1 Integrala Fourier Forma complexă şi forma reală a integralei Fourier Cazul funcţiilor pare sau impare Să considerăm o funcţie f(t) reală sau complexă definită pe R şi neperiodică Funcţia f(t) nu mai poate fi dezvoltată icircn serie Fourier Icircn schimb icircn anumite condiţii f(t) poate fi reprezentată printr-o integrală dublă improprie care prezintă o oarecare analogie cu seria Fourier Are loc Teorema 1 Fie f(t) o funcţie reală sau complexă cu următoarele proprietăţi 1 Satisface condiţiile lui Dirichlet icircn orice interval de lungime finită 2 Icircn fiecare punct c de discontinuitate valoarea funcţiei este egală cu media aritmetică a limitelor laterale icircn acel punct )]0()0([

21)( ++minus= cfcfcf

3 Este absolut integrabilă pe ( )infininfinminus Cu alte cuvinte

integrala dttfint+infin

infinminus

)( este convergentă Icircn aceste condiţii există egalitatea

(1) )(21)( )( ττπ

τ defdutf tiu minus+infin

infinminus

+infin

infinminusint int=

Integrala dublă improprie prin care este reprezentată funcţia f(t) se numeşte integrala Fourier iar egalitatea (1) se numeşte formula integrală a lui Fourier forma exponenţială (icircn (1) se poate lua şi ) sau forma complexă )( τminusminus tine Fie F(t) o funcţie periodică de perioadă 2l definită prin egalitatea (2) F(t) = f(t) ][ llt minusisin Această funcţie icircndeplineşte condiţiile lui Dirichlet deci poate fi dezvoltată icircn serie Fourier

l

etFl

tFn

l

tin πωτω == sum int+infin

minusinfin= minus

minus )(21)( )( sau ţinicircnd seama de (2)

(3) sum int+infin

minusinfin= minus

minus=n

l

tin defl

tF ττ τ )()(21)(

Din (3) vom obţine o reprezentare a funcţiei f(t) trecicircnd la limită pentru infinrarrl

111

Să considerăm o nouă variabilă reală u şi să notăm nun =ω Pentru un l dat

putem nota intminus

minus=l

l

tinn deftu ττϕ τ )()()(

Observăm că 1 minusminus== nn uulωπω şi (3) devine

sum+infin

minusinfin=minusminus=

nnnn uututF ))((

21)( 1ϕπ

Această serie este asemănătoare cu sumele ce definesc integrala Riemann Trecicircnd la limită pentru ultima egalitate devine infinrarrl

int+infin

infinminus

= dututf )(21)( ϕπ

unde

int+infin

infinminus

minus= ττϕ τ deftu tin )()()(

adică tocmai formula (1)

Forma reală (trigonometrică)a integralei Fourier Cazul funcţiilor pare sau impare Dacă icircn (1) se face icircnlocuirea această egalitate se mai scrie )(sin)(cos)( τττ minus+minus=minus tuitue tin

(4) ⎩⎨⎧

minus+minus= int int int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

+infin

infinminus

+infin

infinminus

τττπ

dtufduidtufdutf )(sin)(2

)(cos)(21)(

Observăm că funcţiile

au

proprietăţile

intint+infin

infinminus

+infin

infinminus

minus=minus= ττττττ dtuftuhdtuftug )(sin)()()(cos)()(

)()()()( tuhtuhtugtug minus=minus=minus deci

int int int+infin

infinminus

+infin +infin

infinminus

==0

0)()(2)( dutuhdutugdutug

şi (4) se va reduce la

(5) int int+infin +infin

infinminus

minus=0

)(cos)(1)( τττπ

dtufdutf

Egalitatea (5) se numeşte forma reală sau trigonometrică a formulei lui Fourier Denumirile forma reală respectiv forma complexă a integralei Fourier sunt justificate numai icircn cazul cacircnd f(t) este o funcţie reală totuşi acestea se folosesc şi icircn cazul cacircnd f(t) este o funcţie complexă

112

Observaţie Să considerăm forma reală (5) a integralei Fourier şi să facem icircnlocuirea sinsincoscos)(cos τττ uutuuttu +=minus Egalitatea (5) se mai poate scrie

(5) int intint intinfin +infin

infinminus

+infin +infin

infinminus

+sdotsdot⎩⎨⎧ =

00

sin)(sin1cos)(cos1)( τττπ

τττπ

dufutdudufduuttf

Dacă notăm

int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

sdot=sdot= τττπ

τττπ

dufuBdufuA sin)(1)(cos)(1)(

avem

intinfin

+=0

]sin)(cos)([)( duutuButuAtf

Analogia cu seria Fourier este evidentă Are loc Teorema 2 Dacă f(t) este o funcţie pară formula lui Fourier se reduce la

(6) intint+infin

infinminus

+infin

sdotsdot= cos)(cos2)0

τττπ

dufduutt(f

Dacă f(t) este impară atunci

sdotsdot=0 0

sin)(sin2)( τττπ

dufduuttf

Icircntr-adevăr dacă f(t) este o funcţie pară atunci τττ duf sdotcos)( este pară icircn raport cu τ iar ττ uf sin)( este impară şi avem

int int+infin

infinminus

+infin

sdot=sdot0

cos)(2cos)( ττττττ dufduf

şi

int +infin

infinminus

=sdot 0sin)( τττ duf

Egalitatea (5) se reduce la (6) Analog se justifică (7)

2 Transformata Fourier Integrala Fourier are aplicaţii foarte variate Unele din acestea sunt legate direct de noţiunea de transformată Fourier Fie f(t) o funcţie care poate fi reprezentată prin integrala Fourier (1) Egalitatea (1) se mai poate scrie

int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

minus= ττπ

τ defduetf iuiut )(21)(

113

Dacă notăm

int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

minusminus == dtetfdefug iutiu )(21)(

21)(

πττ

πτ

avem

int+infin

infinminus

= dueugtf iut)(21)(π

Definiţia 1 Funcţiile

(8)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

int

intinfin+

infinminus

minus

+infin

infinminus

minus

dteugtf

dtetfug

iut

)(21)(

π

se numesc una transformata Fourier a celeilalte Din (8) observăm că putem scrie şi

(8)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

int

intinfin+

infinminus

minus

+infin

infinminus

dteugtf

dtetfug

iut

)(21)(

π

care arată că f şi g au roluri simetrice Analog dacă icircn (6) se notează

int int+infin +infin

sdot==0 0

cos)(2cos)(2)( dtuttfdufugπ

τττπ

această egalitate devine

int+infin

sdot=0

cos)(2)( duutugtfπ

iar dacă icircn (7) se notează

sdot==0 0

sin)(2cos)(2)( dtuttfdufugπ

τττπ

egalitatea (7) se scrie

int+infin

sdot=0

sin)(2)( duutugtfπ

114

(9)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

sdot=

int

intinfin+

+infin

0

cos)(2)(

duutugtf

dtuttfug

π

se numesc una transformata Fourier prin cosinus a celeilalte

Exemplu Să se afle transformata Fourier prin cosinus a

funcţiei 22 )1(1)(t

tf+

= Din rezultatul obţinut să se găsească intinfin

+022

)1(sin dt

tutt

Transformata Fourier prin cosinus a funcţiei f(t) este

(1) intinfin

=0

cos)(2)( utdttfugπ

sau )1(

cos221

)1(cos2)( 22

022 dt

tutdt

tutug intint

infin

infinminus

infin

+=

ππ

Pentru calculul integralei intinfin

infinminus += dt

tutI 22 )1(

cos să considerăm funcţia 22 )1(cos)(+

=z

uzzh

şi conturul de mai jos

y

x 0

(Γ)

-R R

)(][)( Γcupminus= RRC

D i iz =1

Observăm că

(2) int int intminus Γ

+=C

R

dzzhdtthdzzh )()()(

Trecacircnd la icircn relaţia (2) obţinem infinrarrR

lim

(2) intint intΓ

infinrarr

infin

infinminus

++

= )(lim)1(

cos)( 22 dzzhdttutdzzh

RC

115

Pe baza teoremei reziduurilor pol dublu

şi (din lema lui Jordan

int =C

iirezhdzzh )(2)( π Diz isin=1(

)2 Diz notinminus= intΓ

infinrarr= 0)(lim dzzh

R intΓ

infinrarrrarrrArr=

infinrarr

0)(0)(lim dzzhzzhz

R

(cacircnd )) infinrarrR

Din (2) obţinem

(3) )(2 iirezhI π=

Observăm că

iuiuiuiirezh

izuzizizuzu

izizuzizirezh

iziz

4cossin)(

)(cos)(2)(sinlim

)()(cos)(lim)( 4

2

222

+=rArr

rArr+

+minus+minus=

prime

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus

minus=rarrrarr

sau ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

minus=

minusminus

2cos

2sin

iwiwiwiw eewieew

(4) i

chuushuirezh4

)( +minus=

Din (3) şi (4) obţinem

(5) )(2

ushuchuI minus=π

de unde

(6) )(22

1)( ushuchuug minus=π

Pentru calculul integralei dttutt

intinfin

+022 )1(

sin derivăm relaţia

intinfin

+=

022 )1(

cos2)( dttutug

π icircn raport cu variabila ldquourdquoşi obţinem

116

dttuttug int

infin

+minus=prime

022 )1(

sin2)(π

sau folosind (6) dttuttuchushushu int

infin

+minus=minusminus

022 )1(

sin2)(22

1π

π de unde

(7) uchudttutt

4)1(sin

022

π=

+intinfin

(10)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

sdot=

int

intinfin+

+infin

0

sin)(2)(

duutugtf

dtuttfug

π

se numesc una transformata Fourier prin sinus a celeilalte Să considerăm egalitatea a doua din (8)

int+infin

infinminus

Această egalitate este o ecuaţie icircn care funcţia necunoscută g(u) figurează sub semnul de integrare Soluţia acestei ecuaţii este dată de prima egalitate din (8) Icircn general dacă icircntr-o ecuaţie funcţia necunoscută figurează sub semnul de integrare se spune că acea egalitate este o ecuaţie integrală Icircn cazul de faţă avem o ecuaţie integrală de o formă specială care uneori se numeşte ecuaţie integrală de tip Fourier Tot ecuaţii integrale de tip Fourier sunt considerate şi ecuaţiile

int+infin

infinminus

sdot= duutugtf cos)(2)(π

şi int+infin

infinminus

sdot= duutugtf sin)(2)(π

cu f(t) definită pentru t gt0 şi icircndeplinind condiţiile teoremei 1 Exemplu Să se rezolve ecuaţia integrală de tip Fourier

unde int+infin

infinminus

=sdot )(cos)( tduutug ϕ

pentru ⎩⎨⎧ minus

=01

)(t

tϕ⎩⎨⎧gt

lelt1

10t

t

Ecuaţia dată se mai poate scrie

117

)(cos)(2

0

tfduutug =sdotint+infin

π unde

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus

==0

)1(2)(2)( tttf πϕ

π pentru

110

gtlelt

tt

Soluţia ecuaţiei este

int int+infin

sdot+sdot=1

0 1

cos)(2cos)(2)( dtuttfdtuttfugππ

Deoarece f(t) =0 pentru t gt1 a doua integrală este nulă Ramacircne

intminus

sdot=sdotminus=1

02

cos12cos)1(2)(u

udtuttugππ

3 Transformata Laplace

OriginalTransformata LaplaceProprietăţi Calculul operaţional se bazează pe realizarea unei corespondenţe icircntre două mulţimi de funcţii mulţimea funcţiilor numite original şi imaginile lor obţinute printr-o anume transformare Interesul pe care icircl prezintă această corespondenţă se datorează faptului că operaţiilor de derivare şi de integrare aplicate funcţiilor original le corespund anumite operaţii algebrice care se aplică imaginile lor

Definiţie Se numeşte original o funcţie f(t) reală sau complexă definită pe mulţimea numerelor reale şi care satisface următoarele condiţii 1 f(t) = 0 pentru t lt 0 2 f(t) este derivabilă pe porţiuni 3 există două numere M gt0 şi astfel icircncacirct 00 ges (1) )( 0tseMtf sdotle Numărul se numeşte indice de creştere 0s

118

S-ar părea că prima condiţie este artificială Dar metodele operaţionale se referă la rezolvarea unor probleme icircn care mărimea fizică reprezentată prin f(t) are proprietatea că sau este nulă icircnainte de momentul iniţial t = 0 sau valorile sale pentru t lt 0 nu prezintă interes Se spune că funcţia f(t) definită pe un interval I mărginit sau nemărginit este derivabilă pe porţiuni dacă pentru orice interval există o diviziune d = (a x1 x2 xn-1 b) astfel icircncacirct f(t) să fie derivabilă pe fiecare interval (xi-1 xi) şi să existe limitele laterale 21)0()0()0()0(

1

1 nixfxfxfxf iiii isinminus+minus+ minusminus

A treia condiţie arată că valorile modulului funcţiei pot fi majorate prin valorile unei exponenţiale Cea mai simplă funcţie original este funcţia unitate

(2)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

gt

=

lt

=

01

021

00

)(

t

tη

Fie f(t) o funcţie original(notăm isinf O ) Definiţie Funcţia

(3) intinfin

minussdot=0

)()( dtetfpF pt σisp +=

se numeşte imaginea după Laplace a funcţiei f(t) sau transformata Laplace a funcţiei f(t) Domeniul icircn care funcţia F(p)(notată şi F(p)=L[f](p) ) este definită este precizat de următoarea Teoremă Fie indicele de creştere al funcţiei f(t) Imaginea F(p) a funcţiei f(t) este determinată icircn semiplanul şi este o funcţie olomorfă icircn acest semiplan icircn plus

0s

0ss gt

f(t) 0 t

(4) intinfin

minussdotminus=0

))(()( dtettfpF pt

119

Transformata Laplace este o transformare liniară adică

(5) k o constantă ⎩⎨⎧

sdotsdot=sdot+sdot=+

)]([)]([)]([)]([)]()([

tfLktfkLtgLtfLtgtfL

Proprietăţi ale transformatei Laplace

1 Teorema asemănării Fie f(t) o funcţie original şiα o constantă 0gtα Funcţia )()( tft αϕ = este de asemenea o funcţie original Dacă F(p) este imaginea funcţiei f(t) atunci 0gtforallα avem (6) )(1))((

ααα pFtfL =

Vom nota L[f] = Lf Din (6) obţinem

)(1)(1)())((00intintinfin minusinfin

minus =sdot=sdot=αα

ττα

βϕτ

α pFdefdtetfpLp

pt

Exemplu Să presupunem cunoscută imaginea funcţiei 1

1sinsin 2 +=

ptLt

Atunci 0

1)(

11sin 222

gt+

=+

sdot= ωω

ω

ωω

ωpp

tL

2 Teorema icircntacircrzierii Dacă icircn funcţia original f(t) icircnlocuim pe t cu τminust unde τ este o constantă obţinem o nouă funcţie original f( τminust ) care este nulă pentru τminust lt0 şi ia aceleaşi valori ca f(t) icircnsă cu icircntacircrzierea τ

(figura) Dacă τ gt0 aceasta reprezintă efectiv o icircntacircrzie

Icircntacircrzierea τ se traduce prin icircnmulţirea imaginii cu τpeminus

(7) )()( tLfetLf pττ minus=minus

120

f(t) f(t-τ ) τ O t O t

Demonstraţie Ţinacircnd seama că f( τminust )=0 pentru τltt avem

int intinfin infin

minusminus sdotminus=sdotminus0

)()(τ

ττ dtetfdtetf ptpt

Cu schimbarea de variabilă θτ =minust ultima integrală devine

int intinfin infin

minus+minusminus =sdot=sdotminus0

)( )()()(τ

τθ θθτ tLfedefdtetf ptppt

şi egalitatea (7) este dovedită 3 Teorema deplasării Fie f(t) o funcţie original avicircnd indicele de creştere şi F(p) imaginea sa Icircnlocuirea lui p icircn F(p) cu p-q unde q este o constantă poate

fi interpretată ca o deplasare care aduce originea icircn punctul q 0s

Deplasarea originii din planul variabilei p icircn punctul q se traduce prin icircnmulţirea originalului cu qte (8) )]([))(( tfeLtqpLf qt=minus Icircntr-adevăr

121

])([])([)())((00

)( qtptqtqp etfLdteetfdtetftqpLft

===minus intintinfin

minusinfin

minusminus

Funcţia F(p-q) este olomorfă icircn semiplanul s gt +Re(q) 0s

Exemplu 22)()sin(

ωλωωλ

+minus=sdot

pteL t

4 Derivarea originalului Vom presupune că f(t) şi derivatele sale pacircnă la ordinul care apar sunt funcţii original Fie F(p) = Lf(t) Imaginea derivatei este (9) )0()()( fppFtLf minus= Icircn general (10) unde )]0()0()0([)()( )1(21)( minusminusminus +++minus= nnnnn ffpfppFptLf k)()0()()0( )(

00

)(

0

limlim tfftff k

tt

k

tt

gtrarr

gtinfinrarr

== isin123 hellip n-1

Icircn unele probleme f(0)=f(0)==f(n-1)(0)=0 Icircn acest caz egalităţile(9) şi (10) devin

(11) şi derivarea originalului se traduce prin icircnmulţirea imaginii sale cu p

)()()()( )( pFptLfppFtLf nn ==

Să demonstrăm mai icircntacirci egalitatea (9) Avem

intinfin

minus=0

)()( dtetftLf pt

Integracircnd prin părţi obţinem

intinfin

minusinfinminus +=0

0 )(])([)( dtetfpetftLf ptpt

Primul termen din membrul drept se reduce la -f(0) deoarece 0

)( )()( 0 ssMeetfetf tssptpt gtle= minusminusminusminus şi deci 0)(lim =minus

infinrarr

pt

tetf

Ramacircne şi egalitatea (9) este demonstrată intinfin

minus+minus=0

)()0()( dtetfpftLf pt

Pentru a obţine egalitatea (10) vom icircnlocui icircn (9) pe f(t) succesiv cu f(t) f(n)(t) Avem

)0()()(

)0()()()0()()(

)0()()0()()(

)1()1()(

minusminus minus=

minusprimeprime=

minus=

minus=minus=

nnn ftpLftLf

ftfpLtLfftpLftLf

ftpLffppFtLf

122

Icircnmulţim prima egalitate cu pn-1 a doua cu pn-2 a treia cu pn-3 etc ultima rămacircnacircnd neschimbată adunacircnd apoi obţinem egalitatea (10) Exemplu Cunoscicircnd imaginea funcţiei tωcos 22cos

ωω

+=

pptL

să deducem imaginea funcţiei folosind teorema de derivare a originalului

1)sin( 22

2

22 ωω

ωωω

+minus=minus

+sdot=minus

pppptL

Datorită proprietăţii de liniaritate -ω poate fi scos icircn stacircnga operatorului L şi simplificicircnd cu -ω obţinem 22sin

ωωω+

=p

tL

5Derivarea imaginii Egalitatea (4) se mai poate scrie (4) )]([)( ttfLpF minus= Funcţia F(p) fiind olomorfă icircn semiplanul din aproape icircn aproape se obţine

0ss gt

(12) )]()[()()( tftLpF nn minus= Realţia (12) exprimă faptul că derivarea imaginii se traduce prin icircnmulţirea originalului cu -t 6 Integrarea originaluluiPrin integrarea funcţiei original f(t) se icircnţelege operaţia

ττ dft

int0

)(

Se obţine o nouă funcţie original pe care o notăm cu g(t)

ττ dftgt

int=0

)()(

Integrarea originalului se traduce prin icircmpărţirea imaginii sale cu p

(13) )(1)(0

pFp

dfLt

=int ττ

Pentru demonstraţie observăm că g(t) = f(t) g(0) =0 Avem Lg(t) = Lf(t) Aplicacircnd teorema referitoare la derivarea originalului cu notaţiile de mai sus obţinem pLg(t)=Lf(t) din care rezultă (13)

123

7 Integrarea imaginii Fie f(t) o funcţie original şi F(p)=Lf(t) Integrarea imaginii se traduce prin icircmpărţirea originalului corespunzător cu t

(14) ttfLdqqf

p

)()( =intinfin

8 Produsul a două imagini Produsul a două originale Fie f(t) şi g(t) două funcţii original şi fie imaginile lor )()()()( tLgpGtLfpF == Atunci 1 Produsul este tot o imagine şi anume

(15) int minus=sdott

dtgfLpGpF0

)()()()( τττ

Integrala din membrul drept se notează

int minus=lowastt

dtgfgf0

)()( τττ

şi se numeşte produsul de convoluţie al funcţiilor f şi g 2 Imaginea produsului )()( tgtf sdot este

(16) intinfin+

infinminus

gtminus=ia

ia

sadqqpGqFi

tgtfL 0)()(21)]()([π

4Transformarea inversă Formula Mellin-Fourier

Am văzut că dată fiind o funcţie original f(t) imaginea sa F(p) prin transformarea Laplace este complet determinată Se pune problema inversă să se determine originalul f(t) cacircnd se cunoaşte imaginea sa F(p) Răspunsul este dat de următoarea Teoremă Dacă f(t) este o funcţie original avicircnd indicele de creştere iar F(p) este imaginea sa egalitatea

0s

(1) intinfin+

infinminus

gt=ia

ia

pt sadpepFi

tf 0)(21)(π

are loc icircn toate punctele icircn care f(t) este continuă Icircn fiecare punct c de discontinuitate valoarea funcţiei din membrul drept este egală cu

124

)]0()0([21

++minus cfcf

Egalitatea (1) se numeşte formula lui Mellin-Fourier şi reprezintă inversa transformării

intinfin

minus=0

)()( dtetfpF pt

Notăm ))(()( 1 pFLtf minus= Demonstraţie Să considerăm funcţia

)]0()0([21)( ++minus= minus cfcfet atϕ (2)

egală cu pe mulţimea punctelor icircn care f(t) este continuă Icircn orice interval mărginit

)(tfateminus

)(tϕ nu poate decacirct puncte de discontinuitate de speţa icircntacirci icircn număr finit acestea fiind punctele icircn care f(t) este discontinuă Valoarea funcţiei )(tϕ icircntr-un punct de discontinuitate este egală cu media limitelor sale laterale icircn acel punct Observăm că funcţia )(tϕ are următoarele proprietăţi 1 Este derivabilă pe porţiuni 2 Icircn fiecare punct de discontinuitate )]0(0([

21)( ++minus= ccc ϕϕϕ

3 Este absolut integrabilă pe intervalul )( +infinminusinfin Primele două proprietăţi sunt evidente A treia se dovedeşte imediat Deoarece f(t) este o funcţie original

)(tϕ =0 pentru t lt 0 şi rămacircne să arătăm că )(tϕ este absolut integrabilă pe )0( infin Pe acest interval avem icircn toate punctele icircn care )(tϕ este continuă

tsaeMtfatet )()()( 0minusminussdotleminus=ϕ

şi pentru integrala funcţiei pe intervalul 0sa gt tsaeM )( 0minusminussdot )0( infin este convergentă De aici rezultă că )(tϕ este absolut integrabilă pe )0( infin Datorită celor trei proprietăţi de mai sus )(tϕ poate fi reprezentată printr-o integrală Fourier

Avem intinfin+

infinminus

minussdotminusintinfin

= )(

0)(

21)( ττσττσπ

ϕ dteaefdt

deoarece 0)( =tϕ pentru t lt 0 De aici rezultă

intinfin+

infinminus

+minusintinfin+=sdot )(

0)()(

21)( ττστσσπ

ϕ diaefdtiaetate

Cu schimbarea de variabilă σiap += deducem

125

)]0()0([21)(

0)(

21

++minus=intinfin+

infinminus=int

infin+sdotminus tftf

ia

iatatedpefdppte

iϕτττ

π

Ţinicircnd seama că această egalitate se reduce la (1) şi

teorema este demonstrată

int+infin

minus sdot=0

)()( ττ defpF pt

5 Teoreme de dezvoltare Exemple Pentru determinarea originalului f(t) cacircnd se cunoaşte imaginea sa F(p) se folosesc deseori teoremele următoare (numite teoreme de dezvoltare) Teorema Dacă F(p) este o funcţie raţională

)()()(

pBpApF =

icircn care gradul numărătorului este mai mic cu cel puţin două unităţi decacirct gradul numitorului iar numitorul B(p) are rădăcini simple fie acestea atunci F(p) este imaginea funcţiei

npppp 210

(1) sum=

sdot=n

k

tp

k

k kepBpA

tf0

)()(

)(

Demonstraţie Icircn ipotezele de mai sus funcţia F(p) admite o descompunere de forma

n

ppa

pFminus

++minus

+minus

= )(2

2

1

0

Coeficientul aj se poate calcula integricircnd funcţia F(p) pe un cerc jΓ cu centrul icircn pj şi de rază suficient de mică astfel ca icircn interiorul său să nu mai conţină alt pol al funcţiei F(p) Avem

int sum intΓ = Γ minus

=j j

n

k jk pp

dpadppF0

)(

Icircn virtutea teoremei lui Cauchy 0=

minusintΓ kpp

dp pentru jk ne

Pe de altă parte i

ppdp

k

π2=minusint

Γ

deci

2)( jiadppFj

π=intΓ

126

Folosind teorema reziduurilor şi formula de calcul pentru reziduu relativ la un pol simplu avem

)()(

2)(2)( j

jj pB

pAiprezFidppF

j

ππ =sdot=intΓ

Comparăm cu egalitatea precedentă şi deducem

)()(

j

jj pB

pAa =

Cu aceasta dezvoltarea funcţiei F(p) devine

sum= minus

sdot=n

k kk

k

pppBpA

pF0

1)()(

)(

iar originalul său are evident expresia (1) Consecinţa 1 Un caz important icircn aplicaţii este acela icircn care una din rădăcini este nulă Fie 0 Notăm B(p) = pR(p) şi avem 0 =p )()()( pRppRpB += Deoarece R( )=0 k isin1 2 3 n vom avea kp )()()0()0()(

0

kkk pRppBRBpB sdot===

Descompunerea lui F(p) va lua forma

sum= minus

sdotsdot

+sdot=n

k kkk

k

pppRppA

pRApF

1

1)(

)(1)0()0()( şi (1) devine

(2) kp

tpen

k kpRkpA

RAtf

ksdotsum

=+=

1 )(

)(

)0()0()(

Această egalitate se numeşte formula lui Heaviside Consecinţa 2 Icircn cazul icircn care

)()()(

pBpApF = fracţie raţională cu grad

iar ecuaţia B(p) = 0 are de exemplu rădăcini multiple avicircnd ordinul de multiplicitate

2)()( minusle pgradBpA kpkλ atunci

(3) )(Re)(21)( k

k

ia

pt pzGdpepFi

tf sumint ==infin+

infinminusπ unde

127

(4) )1(

])()[()1(

1)(minus

=sdotminusminus

= kkpp

ptepFkkpp

kkprezG

λλ

λ cu a gt max (Re ) şi

a gt 0 Formula de mai sus se obţine aplicicircnd teorema reziduurilor funcţiei

kp

G(p)= F(p)ept pe curba icircnchisă ( )Γ din figură trecicircnd la limtă pentru infinrarrR şi ţinacircnd cont de formula lui Mellin-Fourier y A(a+iR)

0 a x (C) B(a-iR)

BAC cup=Γ )( Exemplu Se cere originalul funcţiei

)4()1()( 22 +sdot+=

ppppF

Utilizăm prima teoremă de dezvoltare icircn care A(p)= p B(p) = (p2+1)(p2+4) Polinomul B(p) are numai rădăcini simple ii 2plusmnplusmn Cu

)52(21

)()(

2 +=

ppBpA obţinem

)()(61)( 22

61 itititit eeeetf minusminus +minus+=

sau cu oaltă scriere )2cos(cos

31)( tttf minus=

128

6Aplicaţii ale transformatei Laplace Rezolvarea operaţională a ecuaţiilor diferenţiale şi a sistemelor de ecuaţii diferenţiale cu coeficienţi constanţiExemple Datorită faptului că prin transformata Laplace operaţiilor de derivare şi integrare le corespund operaţia de icircnmulţire respectiv de icircmpărţire cu p este posibilă simplificarea rezolvării unor probleme şi tehnicizarea calculelor Ansamblul acestor procedee bazate pe utilizarea proprietăţilor transformatei Laplace constituie calculul simbolic sau calculul operaţional Icircn general prin aplicarea transformatei Laplace ecuaţiile diferenţiale devin ecuaţii algebrice a căror rezolvare este mult mai simplă Să considerăm problema determinării funcţiei y(x) x gt0 care verifică ecuaţia diferenţială liniară cu coeficianţi constanţi (1) 0)( 0

1

)1(1

)(0 gt=++++ minus

minus xxfyayayaya nnn

şi condiţiile iniţiale unde f(x)

)2( 1)1(

1

0 )0()0()0( minusminus === n

n yyyyyy

nkyk 1 = sunt date Vom presupune că f(x) este un original şi că funcţia y(x) care satisface (1) şi (2) icircndeplineşte condiţiile impuse originalelor ( astfel icircnmulţim cu )(xθ ( funcţia lui Heaviside) şi obţinem condiţiile Icircn aceste condiţii aplicacircnd transformata Laplace eciaţiei (1) şi ţinacircnd seama de proprietăţile de liniaritate a transformatatei Laplace vom obţine (3) )( 0

1

)1(1

)(0 xLfLyaLyaLyaLya n

nn =++++ minusminus

Notăm Ly = Y(p) Lf(x) = F(p) şi ţinacircnd seama de condiţiile iniţiale (2) precum şi de regula de derivare a unui original avem egalităţile

(4)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

minus=

+minus=

+++minus=

++++minus=

minusminusminusminusminus

minusminusminusminus

0

102

23

12

01)1(

122

11

0(n)

)(

)()(

)()(Ly

yppYLy

ypypYpLy

ypypypYpLy

ypypypypYp

nnnnn

Icircnlocuind relaţiile (4) icircn (3) şi ţinacircnd seama de notaţiile făcute obţinem o ecuaţie de forma

(5) P(p) Y(p) - G(p) = F(p)

129

unde G(p) un polinom icircn p Ecuaţia (5) se numeşte ecuaţia operaţională corespunzătoare ecuaţiei (1) cu condiţiile iniţiale (2) (sau problemei Cauchy corespunzătoare ) Din ecuaţia operaţională (5) găsim

)( 011

10 apapapapP nnn ++++= minusminus

(6)

)()()()(

pPpGpFpY +

=

Soluţia ecuaţiei (1) care satisface condiţiile (2) este (7) y(x) = L-1(Y(p)) şi se determină fie folosind formulele lui Mellin-Fourier fie prin descompuneri convenabile ale funcţiei Y(p) Observaţie Icircn general pentru determinarea unor funcţii original cacircnd se cunosc imaginile lor se utilizează tabele cu transformata Laplace Exemplul 1 Să se determine soluţia ecuaţiei y-7y + 10y = 3ex x gt0 y(0) = 1 y(0) = -3 Notăm Ly = Y(p) Aplicacircnd transformata Laplace obţinem (p2-7p + 10)Y(p)-p + 10 = 3(p-1) de unde

521)5)(2)(1(

1311)(2

minus+

minus=

minusminusminus+minus

=p

Cp

Bp

Appp

pppY

Găsim

1217

35

43

minus=== CBA

Deci 0

1217

35

43))(()( 521 gtminus+== minus xeeepYLxy xxx

Exemplul 2 Să se determine funcţiile x(t) şi y(t) care verifică sistemul

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++

=+++++

tyyxxyyyxxx

222212

şi condiţiile iniţiale x(0) = 0 y(0) = 1 y(0) = -2 2)0( =x Sistemul operaţional corespunzător este

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=+++

++=+++++

pp

pYpppXp

pp

pppXpp

22

2)()2()()22(

11)1()()12(

Soluţia acestui sistem este

130

1)1(

11)(1)1(

11)( 2222 +++

+minus=++

+=p

pp

pYpp

pX

Originalele acestor funcţii vor fi tocmai soluţia sistemului x(t) = t + e-tsin t y(t) = -t + e-tcos t 7 Probleme propuse 1) Să se afle transformata Fourier prin cosinus a funcţiei

21)(

tchtfRRf =rarr+

2) Să se afle transformata Fourier prin sinus a funcţiei

41)( 2 +

=rarr+ ttfRRf

3) Să se afle transformata Fourier prin cosinus a funcţiei

)4(1)( 22t

tf+

= Din

rezultatul obţinut să se găsească )4(

sin

022 dt

tutt

intinfin

+

4) Să se rezolve ecuaţia integrală de tip Fourier

intinfin

+=

02 11cos)(

uutdttf u gt0

5) Să se determine funcţia f(t) care satisface ecuaţia integrală detip Fourier

intinfin

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=minus

gt

isin

=0

4

0

)0(2

cos)(

πππ

ππ

t

utduuf

131

6) Flosind metoda operaţională să se determine soluţia ecuaţiei diferenţiale cu condiţiile iniţiale specificate a)

41)0(0)0(2sin4 minus===minus yyxyy

b) 1)0(

31)0(1)0(cos 2 minus====minus yyyxyy

7) Flosind metoda operaţională să se integreze sistemul de ecuaţii diferenţiale cu condiţiile iniţiale specificate

15)0(3)0(062044

)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===++

=++

yxyxyyxx

a

1)0(1)0(0)0(

)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

===++=

+minus=

++minus=

zyxzyxzzyxy

zyxx

b

unde )()( tyytxx == )()()( tzztyytxx ===

132

CAPITOLUL VI

ECUAŢIILE FIZICII MATEMATICE

1 Observaţii generale asupra ecuaţiilor cu derivate parţiale

11 Definiţii şi exemple

Se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale orice ecuaţie de forma

(11) 0mnxum

21x

u2

nxu

2xu

1xuuxF =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpart

part

partpartpart

partpart

unde FΩxRxRnx hellipxRsrarrR este o funcţie dată Ω sub Rn este un domeniu dat care

se numeşte domeniu de definiţie al ecuaţiei considerate x=(x1 x2 hellip xn )isinΩ

Funcţia uΩrarrR este necunoscuta ecuaţiei

Iată cacircteva exemple de ecuaţii cu derivate parţiale

1 0 Ecuaţia lui Laplace

(12) 0n

1i 2ix

u2∆u =sum

= part

part=

sau ecuaţia lui Poisson

(13) -∆u = f (x) unde fΩ sub RnrarrR este o funcţie dată 2 Ecuaţia undelor 0

(14) ( )uxf∆u2a2t

u2=minus

part

unde a2 este un număr pozitiv dat f o funcţie cunoscută definită pe un domeniu

D=ΩXRt Ω sub Rn Primele n variabile x=(x1 x2 hellip xn ) se numesc variabile

spaţiale Ultima variabilă se notează cu t şi se numeşte temporală (reprezintă

timpul)

30) Ecuaţia căldurii

133

(15) ( )uxf∆u2atu

=minuspartpart

icircn care notaţiile sunt aceleaşi ca şi la ecuaţia undelor

Aceste ecuaţii sunt des icircntacirclnite icircn aplicaţii Ecuaţia (11) se numeşte liniară

dacă funcţia F este liniară icircn raport cu variabila u şi icircn raport cu toate derivatele

parţiale ale lui u care intervin icircn ecuaţie Astfel ecuaţia

(16) sum=

=+partpartn

1if(x)u0a

ixu(x)ia

este liniară cu derivatele parţiale de ordinul icircntacirci

Icircn cele ce urmează vom studia numai ecuaţia diferenţială liniară de ordinul

al doilea Forma generală este

(17) sum=

=sum=

+partpart

partn

1jif

n

1i(x)u0a

ixu(x)ia

jxixu2

(x)ija

unde vom presupune că funcţiile aij=aji sunt date şi aij ai a0 f Ω sub Rnrarr R

Noţiunea centrală legată de ecuaţii este cea de soluţie O funcţie u Ω rarr R se

numeşte soluţie a ecuaţiei (1) dacă icircnlocuită icircn această ecuaţie ne conduce la o

egalitate icircn fiecare punct al domeniului Ω

De exemplu u(x1 x2)=sin x1+cos x2 este soluţie pe R2ecuaţiei

(18) 02x1x

u2=

partpartpart

iar funcţia u(x1 x2)= este o soluţie pe R22x2

1x minus 2 a ecuaţiei lui Laplace Ecuaţia

0n

1i1

2

ixu

=sum=

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

partpart nu are nici o soluţie

12 Clasificarea ecuaţiilor liniare de ordinul al doilea

Fie Ωx isin un punct oarecare fixat Ataşăm ecuaţiei (17) polinomul

(21) ( ) ( )sum=

=n

1ji jξiξxijaξxP

unde ( ) nnξ2ξ1ξξ Risin= P se numeşte polinomul caracteristic icircn punctul x al

ecuaţiei (16) Acest polinom este chiar o formă pătrată

134

Definiţia 1 Ecuaţia (17) se numeşte eliptică icircn punctul x dacă P( x ξ)gt0

sau P( x ξ)lt0 forallξisinRn0

Definiţia 2 Ecuaţia (17) se numeşte hiperbolică icircn punctul x dacă

polinomul caracteristic (21) icircşi schimbă semnul adică există cel puţin un vector

ξne0 şi ηne0 astfel icircncacirct să avem P( x ξ)gt0 sau P( x η)lt0

Definiţia 3 Ecuaţia (17) se numeşte parabolică icircn punctul x dacă

P( x ξ)gt0 forallξisinRn sau dacă P( x ξ)le0forallξisinRn şi există cel puţin un vector ξ0ne0

astfel icircncacirct P( x ξ0)=0

Spunem că ecuaţia (17) este eliptică icircn domeniul Ω dacă ea este eliptică icircn

fiecare punct al domeniului Ω Icircntr-un sens analog utilizăm noţiunile de ecuaţie

hiperbolică icircn domeniul Ω sau de ecuaţie parabolică icircn domeniul Ω

Exemple

10) Polinomul caracteristic al ecuaţiei lui Laplace (12) este

deci P(ξ)gt0 forallξisinR( ) 2n2

22

1ξP ξ++ξ+ξ= n0 şi ecuaţia lui Laplace este de tip

eliptic pe Rn Pentru ecuaţia lui Poisson forallξisinR( ) 02nξ2

2ξ21ξξP lt⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +++minus= n0 şi

deci ecuaţia este tot de tip eliptic pe Rn

20) Polinomul caracteristic al ecuaţiei undelor se poate scrie icircn felul următor

Pentru ξ=(11hellip1) şi ( ) 2nξ2

2ξ21ξ

22ξP ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++minus= aδδ δ=0 avem P(ξδ )=-a2nlt0

iar pentru ξ=0 şi =1 P(ξ δ )=1gt0 ceea ce icircnseamnă că ecuaţia undelor este de tip

hiperbolic icircn fiecare punct al domeniului său de definiţie

δ

30) Icircn cazul ecuaţiei căldurii avem Observăm că

P(ξ )le0 forallξisinR

( ) 2nξ2

2ξ21ξ

2aξP ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++=δ

δ n iar pentru ξ=0 şi δ =1P(01)=0 Deci ecuaţia este de tip

parabolic icircn fiecare punct al domeniului de definiţie

Un caz particular important al ecuaţiei (17) este ecuaţia cu două variabile

independente Vom nota x1=x y1=y ecuaţia (17) se mai poate scrie şi astfel

(22) ( ) ( ) ( ) 0yu

xuuyxd2y

u2yxc

yxu2

yx2b2x

u2yxa =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

135

Ecuaţia (22) se numeşte cvasiliniară (aproape liniară) dacă dne0 dacă d=0

ecuaţia (22) se numeşte liniară Polinomul caracteristic al ecuaţiei (22) este

(23) ( ) ( ) ( ) ( ) 2ηyxcξηyx2b2ξyxaηξyxP ++=

Notăm

(24) ( ) ( ) ( ) ( yxcyxayx2byx minus=δ )

Atunci

10) Dacă (xy)lt0 atunci δ ( ) 0ηξyxP gt sau lt 0 forall(ξ η)isinR200 Icircn acest

caz ecuaţia (22) este eliptică icircn punctul (xy)

20) Dacă (xy)=0 atunci δ ( ) 0ηξyxP ge sau le0 forall(ξ η)isinR2 şi P(xy01)=0

Prin urmare icircn acest caz ecuaţia (22) este parabolică icircn punctul (xy)

30) Dacă (xy)gt0 atunci polinomul (23) icircşi schimbă semnul deci ecuaţia

(22) este hiperbolică icircn punctul (xy)

δ

13 Forma canonică a ecuaţiilor liniare de ordinul al doilea

Orice ecuaţie de forma

(31) fn

1iu(x)0a

ixu(x)

n

1i ia2ix

u2iλ =sum

=sdot+

partpart

sum=

+part

part

se numeşte ecuaţie de formă canonică dacă λiisin-1 0 1 pentru fiecare

iisin12hellipnPolinomul caracteristic al ecuaţiei (31) este Deoarece ( ) sum=

=n

1i2iξiλξP

iλ pot fi egali numai cu ndash1 0 sau 1 această formă pătratică este de formă canonică

icircn sensul icircntacirclnit icircn algebra liniară Este evident că P(ξ)gt0 forallξne0hArrλ1=λ2= hellip

=λn=1 iar P(ξ)lt0 forallξne0hArrλ1=λ2= hellip =λn=-1 Prin urmare forma canonică a

ecuaţiilor eliptice este

fun

1i(x)0a

ixu(x)ia∆u =sum

=+

partpart

+plusmn

Dacă λ1=λ2= hellip =λk=1 sau λ1=λ2= hellip =λk=-1 şi λk+1= hellip =λn=0 unde kltn

vom avea P(ξ) 0 forallξisinRge n respectiv P(ξ)le0 forallξisinRn ceea ce icircnseamnă că forma

canonică a ecuaţiilor parabolice este

136

fn

1iu(x)0a

ixu(x)ia

k

1i 2ix

u2=sum

=sdot+

partpart

sum=

+part

part

Dacă există cel puţin un coeficient λi egal cu +1 şi cel puţin unul egal cu ndash1

atunci şi doar atunci ecuaţia (31) va fi forma canonică a ecuaţiilor hiperbolice

Prezintă interes să transformăm o ecuaţie dată icircn forma canonică

Vom prezenta acest lucru pentru ecuaţia (17) cu coeficienţi constanţi Notăm cu

matricea polinomului caracteristic Din

algebra liniară se cunoaşte că există o matrice nesingulară astfel

că după icircnlocuirea variabilelor ξ

n12jiijaAisin

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

n12jiijbBisin

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

( ) sum=

=n

1ji jξiξijaξP

1 ξ2hellip ξn cu variabile noi η1 η2hellip ηn date de

egalităţile

(32) n1ijξn

1j ijbiη =sum=

=

polinomul caracteristic se transformă icircn forma canonică Icircntre

matricile A şi B şi icircntre numerele λ

( ) sum=

=ηn

1i2iηiλQ

1 λ2hellip λn există următoarea relaţie

(33) unde B⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nλ00

02λ0

001λ

ABB este adjuncta lui B

Are loc următoarea teoremă

Teorema 31 Dacă coeficinţii aij sunt constanţi atunci după icircnlocuirea

variabilelor x1 x2hellip xn cu variabilele y1 y2hellip yn date de egalităţile

(34) n1ijxn

1j ijbiy =sum=

=

ecuaţia (17) se transformă icircn

(35) sum=

=+partpart

+sum= part

part n

1ig(y)0b

iyu(y)ib

n

1i 2iy

u2iλ

unde λiisin-1 0 1

Demonstraţie Din (34) rezultă egalităţile

137

sum= part

part=sum

= part

partsdot

partpart

=partpart n

1k ikbkyun

1k ixky

kyu

iλix

u

şi

sum= partpart

part=sum

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

partpart

sdotpartpart

=partpart

part n

1lk lykyu2

jlbikbn

1k kyu

jxikbjyix

u2

După icircnlocuirea acestor egalităţi icircn ecuaţia (17) obţinem

(36) sum=

=+partpart

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sum=

+partpart

partsum= ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sum=

n

1kg(x)u0a

kyun

1i ik(x)bialyky

u2n

1lk

n

1ji jlbijaikb

Icircnsă este elementul de pe linia k şi coloana l a matricei Bsum=

n

1ji jlbijaikb AB

Deci conform egalităţii (33) avem

⎪⎩

⎪⎨⎧

ne

==sum

= lkdaca0

lkdacakλn

1ji jlbijaikb

Egalităţile (34) le scriem sub formă matricială y=Bx Rezolvacircnd acest

sistem icircn raport cu x obţinem x=(B)-1y Icircn sfacircrşit notacircnd

( ) ( ) ( ) ( )sum=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus=

n

1iy1Bfg(y)siy1B0ay0bikby1Bia(y)kb din (36) obţinem

forma canonică (35)

14 Probleme de bază ale teoriei ecuaţiilor cu derivate parţiale Condiţii la limită

şi condiţia Cauchy

Problemele cele mai importante ale acestei teorii se formează icircn mod diferit

prin cele trei tipuri de ecuaţii Formulăm prezentarea problemelor Dirichlet şi

Neumann pentru ecuaţiile eliptice şi a problemelor Cauchy pentru ecuaţiile de tip

parabolic şi hiperbolic Considerăm ecuaţia

(41) D(xD)u=f unde ( ) sum=

+partpart

+sumpartpart

part=

n

1i(x)a0a

ixu(x)ia

n

ji jxixu2

(x)ijauDxD

definită pe un domeniu mărginit ΩsubRnPresupunem că ecuaţia (41) este eliptică icircn

fiecare punct al domeniului Ω(partΩ frontiera domeniului Ω)

138

PROBLEMA Dirichlet Fiind date două funcţii f şi h f ΩrarrR hpartΩrarrR

să se găsească o funcţie uΩrarrR care să satisfacă următoarele două condiţii

(42) D(xD)u(x)=f(x) forallxisinΩ

şi

(43) Ω0x)0h(xu(x)0x

lim partisinforall=rarr

Condiţia (42) icircnseamnă că funcţia căutată u trebuie să fie o soluţie a ecuaţiei

(41) icircn domeniul Ω Egalitatea (43) se numeşte condiţia la limită a problemei

Dirichlet şi se va nota pe scurt cu fΩu =part

PROBLEMA Neumann Fiind date două funcţii f ΩrarrR h ΩrarrR să se

găsească o funcţie uΩrarrR care să satisfacă următoarele condiţii

part

şi

(45) Ω0x)0h(xd

du(x)0x

lim partisinforall=υrarr

unde

(46) (sum= part

part=

n

1ji ix0Ncosjx

u(x)ijadυ

du(x) )

iar N0 este normala exterioară la partΩ faţă de Ω icircn punctul x0

Condiţia (45) se numeşte condiţie la limită şi se va nota pe scurt hΩdυ

du=

part

Observăm că icircn cazul ecuaţiei lui Laplace condiţia la limită a problemei lui

Neumann devine deosebit de simplă

( )sum= part

part=

partpart

=n

1i 0Nu

ix0Ncosix

udυ

du(x)

adică tocmai derivata funcţiei u icircn direcţia normalei N0

Pe lacircngă cele două probleme icircn practică se mai icircntacirclnesc şi combinaţii ale

lor Să considerăm mai departe numai ecuaţii parabolice de forma particulară

(47) ( ) fuDxDtu

=partpart

şi ecuaţii hiperbolice de forma particulară 139

(48) ( ) fuDxD2t

u2=minus

part

unde D este dat icircn (1) Presupunem că expresia D(xD) este eliptică pe tot

domeniul de variaţie al variabilei spaţiale x

PROBLEMA Cauchy pentru ecuaţia parabolică (47) Fiind date două

funcţii fRnxR+rarrR şi αRnrarrR să se găsească o funcţie uRnxR+rarrR care satisface

următoarele condiţii

(49) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +isinforall=minuspart

part xRnRtxtxftxuDxDt

txu

şi

(410) ( )

( ) nRxxαt)u(x0xtx

lim isinforall=rarr ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

unde (xt)isinRntimesR+

condiţia (410) se numeşte condiţia iniţială a problemei Cauchy Pe viitor condiţia

(410) se va nota pe scurt ut=0=α

PROBLEMA Cauchy pentru ecuaţia hiperbolică (48)

Articol I Fiind date trei funcţii fRnx R+rarrR şi α βRnrarrR să se găsească o

funcţie uRnx R+rarrR care satisface următoarele condiţii

(411) ( ) ( ) ( ) ( ) +isinforall=minuspart

part xRnRtxtxftxuDxD2t

u2

(412) ( )

( ) nRxxαt)u(x0xtx

⎠⎞⎜

⎝⎛

şi

(413) ( )

( ) nRxxβt

t)u(x0xtx

lim isinforall=part

partrarr ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

Condiţiile iniţiale (412) şi (413) le vom nota β0tusiα0tu ====

Facem o importantă observaţie relativă la toate problemele de mai sus

Pentru ca enunţurile acestor probleme să fie complete trebuie să mai indicăm şi

clasele de funcţii din care fac parte coeficienţii aij ai şi a0 funcţiile f α β şi g

140

respectiv clasele de funcţii icircn care se caută soluţia u a problemei Toate aceste

precizări se vor face icircn capitolele ce urmează cacircnd se vor studia efectiv aceste

probleme

Mai subliniem că la studierea acestor probleme se urmăresc trei aspecte

principale Existenţa soluţiei unicitatea soluţiei şi găsirea unor metode care să ne

permită determinarea efectivă a soluţiei sau a unei aproximaţii a soluţiei

15 Probleme de fizică ce conduc la ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al

doilea

Ecuaţiile cu derivate parţiale modelează fenomene din fizică chimie tehnică

etc Astfel ecuaţiile hiperbolice se icircntacirclnesc la descrierea fenomenelor ondulatorii

Ecuaţiile parabolice descriu fenomene de transfer cum ar fi transferul de substanţe

icircn procesele de difuzie Ecuaţiile eliptice se icircntacirclnesc la fenomenele statice deci la

fenomene care nu variază icircn timp Vom prezenta cacircteva exemple de descriere

matematică a unor probleme de fizică

Să considerăm o coardă flexibilă de lungime l fixată la capete care icircn poziţia

de echilibru şi momentul t=0 coarda este scoasă din echilibru şi icircncepe să vibreze

Ne propunem să determinăm poziţiile coardei pentru t gt 0 presupunacircnd că se

cunoaşte poziţia iniţială a ei şi vitezele punctelor ei la momentul t=0 Facem

următoarele ipoteze simplificatoare asupra coardei acţionează numai tensiunea şi

forţele de inerţie Coarda vibrează icircntr-un plan fix şi deplasarea coardei de la

poziţia de echilibru este mică O astfel de situaţie se realizează dacă scoteam

coarda din poziţia de echilibru şi o lăsăm să vibreze Transcriem icircn limbaj

matematic problema de mai sus Alegem axele de coordonate x O u icircn planul

vibraţiei astfel ca intervalul lx0 lele să coincidă cu poziţia de repaus a coardei

Funcţia u va reprezenta deplasarea coardei de la poziţia de repaus Pentru

determinarea poziţiei coardei va trebui să găsim tocmai funcţia u=u(xt)

141

Alegem arbitrar un arc de pe coardă Fie x2M1Mand

i abscisa punctului Mi

i=12 Alegerea arcului considerat acţionează tensiunea reprezentată de vectorii

i=12 situaţi pe tangenta icircn M)( txF i

rarr

i la curba u=u(xt)

Forţele de inerţie care acţionează asupra lui sunt paralele cu axa Ox şi

valoarea lor absolută este

2M1Mand

x

u

0 2x1x

1α

2α2M1M

Frarr

2 t )(x

1 t )(rarr F x

intpart

partminus

2x

1xdx2t

u2ρ(x)

unde ρ(x) reprezintă densitatea coardei

Din fizică se ştie că suma forţelor care acţionează asupra arcului M1M2 este

egală cu zero Deci proiecţiile acestei sume pe cele două axe este egală cu zero

(51) F(x2t)cos α2- F(x1t)cosα1=0

(52) F(x2t)sin α2- F(x1t)sinα1 intpart

partminus

2x

1xdx2t

u2ρ(x) =0

(aici am notat cu F(x2t) modulul forţei t)i(xFr

şi au αi unghiul format de tangenta

la M1M2 cu axa Ox) Avem

142

1

ixx

2

xu1

1

iα2tg1

12cosα asymp

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+

=+

=

şi

ixxxu

ixx

2

xu1

xu

iα2tg1itgα

iαsin=part

partasymp

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+

partpart

=+

=

unde am ţinut cont de faptul că deplasarea coardei de la poziţia de echilibru este

foarte mică deci xupartpart ia valori mici şi atunci

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

xu se poate neglija Astfel din (51)

obţinem egalitatea F(x1t)= F(x2t) Arcul M1M2 fiind ales arbitrar această

egalitate ne arată că F nu depinde de x Uşor ne putem convinge că funcţia F nu

depinde nici de timp Icircntr-adevăr legea lui Hooke ne arată că tensiunea variază icircn

timp numai dacă variază lungimea coardei

Icircnsă lungimea coardei este dată de integrala

dxl

0

2

xu1int ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+

Avacircnd icircn vedere că vibraţiile sunt mici găsim că

ll

0dxdx

l

0

2

xu1 =intasympint ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+

Deci lungimea coardei se poate considera neschimbată icircn timpul vibraţiei

Prin urmare F nu depinde de t Cu aceste observaţii din (2) rezultă că

int =part

partminus

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=partpart

minus=part

part 2x

1x0dx2t

u2ρ(x)

1xxxu

2xxxuF

143

a) Ţinacircnd seama de relaţia

intpart

part=

=partpart

minus=part

part 2x

1xdx2x

u2

1xxxu

2xxxu

obţinem egalitatea

0dx2x

1x 2t

u2ρ(x)2x

u2F =int

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partminus

part

valabilă pentru orice pereche de puncte x1 şi x2 de pe intervalul (0l) ceea ce este

posibil numai atunci cacircnd

02t

u2ρ(x)2x

u2F =

part

partminus

part

Presupunacircnd că densitatea ρ este constantă şi notacircnd ρF2a = ajungem la

ecuaţia coardei vibrante

(53) 2x

u22a2t

u2

part

part=

part

Problema de fizică formată iniţial se poate enunţa matematic icircn felul

următor Să se găsească funcţia u=u(xt) definită pentru 0ltxltl şi tgt0 care satisface

10 +timesisinforall=part

partminus

part

part Rl)(0t)(x02x

t)u(x22a2t

t)u(x2

20 ( ) l)(0x(x)0tt

t)u(x(x)0ttxu isinforallψ==part

partϕ==

30 u(0t)=u(lt)=0 foralltgt0

unde ϕ şi ψ sunt funcţii date Funcţia ϕ reprezintă profilul iniţial al coardei iar

funcţia ψ - viteza punctelor coardei icircn momentul iniţial Deci am ajuns la o

problemă Cauchy ndash Dirichlet pentru ecuaţia coardei vibrante

Trecem la prezentarea unei probleme de fizică care ne va conduce la ecuaţia

căldurii

Considerăm o bară subţire de lungime l aşezată de-a lungul intervalului

de pe axa ox a sistemului de coordonate x O u Presupunacircnd că suprafaţa lx0 lele

144

laterală a barei este termic izolată deci schimb de căldură icircntre bară şi mediul

ambiant se produce numai prin cele două capete ale barei şi icircn orice moment

admiţacircnd că se cunoaşte temperatura fiecăruia punct al barei la momentul t=0 şi

temperatura ambelor capete icircn orice moment

Presupunem că temperatura barei icircn secţiunile perpendiculare pe axa ei este

constantă Adică temperatura u depinde numai de abscisa x a barei şi de timpul t

Considerăm o porţiune oarecare M1M2 din bară delimitată de abscisele x1 şi x2

Conform legii lui Fourier cantitatea de căldură care icircntră icircn porţiunea M1M2 din

capătul x1 este dată de egalitatea

( )1xxx

ukτt1xq=part

partminus=

iar prin capătul x2 de egalitatea

( )2xxx

ukτt2xq=part

partminus=

aici k este o costantă numită coeficientul de conductibilitate termică iar constanta τ

este aria secţiunii perpendiculare a barei Creşterea cantităţii de căldură icircn

porţiunea M1M2 şi icircn intervalul de timp (t1t2) este dată de egalitatea

( ) ( )[ ]int int⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=partpart

minus=part

part=+= 2t

1tdt2t

1t 1xxxu

2xxxukτdtt1xqt2xqQ

sau

int intpart

part=

2x

1x

2t

1tdxdt2x

u2kτQ

Pe de altă parte această creştere a cantităţii de căldură se mai poate exprima

şi cu creşterea temperaturii

( ) ( ) int minusσ=2x

1xdx1txu2txucρQ

sau cu

int intpartpart

=2x

1x

2t

1tdxdt

tucρQ σ

145

unde ρ este densitatea barei iar c este o constantă numită căldura specifică a barei

Egalacircnd cele două integrale care exprimă pe Q găsim

02x

1x

2t

1tdxdt2x

u2kρ-

tucρ =int int

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partpartpartσ

Ţinacircnd seama de faptul că această egalitate este adevărată pentru orice t1gt0

t2gt0 şi orice x1 x2 isin (0l) găsim că

02x

u2kρ

tucρ =

part

partminus

partpartσ

sau

(54) 2x

u22atu

part

part=

partpart

unde cρk2a = Deci temperatura barei satisface ecuaţia (54) numită ecuaţia

căldurii

Problema fizică pe care ne-am propus-o o putem transcrie prin următoarea

formulare matematică Să se găsească funcţia u=u(xt) definită pentru 0ltxltl şi tgt0

care satisface următoarele condiţii

partminus

part

part Rl)(0t)(x02x

t)u(x22at

t)u(x

20 l)(0x(x)0u0tu isinforall==

30 0β(t)lxuα(t)0xu gtforall==== t

unde u0 α şi β sunt funcţii date Funcţia u0 reprezintă temperatura barei la

momentul t=0 α ne dă temperatura barei la capătul x=0 iar β temperatura barei la

capătul x=l icircn orice moment tgt0 Astfel problema considerată ne-a condus la o

problemă Cauchy ndash Dirichlet pentru ecuaţia căldurii

Ultimul exemplu din fizică pe care icircl considerăm ne va conduce la ecuaţia

lui Laplace Să studiem ecuaţia unui fluid icircntr-un domeniu Ω din planul xOy

Formulăm următoarea problemă cunoscacircnd vitezele fluidului pe frontiera lui Ω să

se determine aceste viteze icircn punctele domeniului Ω Facem aici nişte ipoteze

146

simplificatoare Presupunem că mişcarea este staţionară adică viteza de mişcare nu

depinde de timp deci ea depinde numai de poziţia punctelor din Ω Notăm cu

( yxv ) această viteză Presupunem că există potenţial u=u(xt) al vitezei adică

( ) Ωy)(xy)u(xgradyxv isinforallminus=

Mai presupunem că icircn domeniul Ω nu există nici o sursă deci punctele prin

care să apară sau să dispară fluid Această ipoteză se exprimă prin egalitatea

( ) Ωy)(x0yxvdiv isinforall=

Consideracircnd ultimele egalităţi obţinem

( ) Ωy)(x0yxugraddiv isinforall=

sau

(55) ( ) Ωyx02yu2

2xu2

isinforall=part

part+

part

Prin urmare potenţialul vitezelor satisface ecuaţia lui Laplace (55) Dacă

mai ţinem seamă şi de egalitatea

( ) ( ) ( )1NvyNcosyuxNcos

xu

dNdu

=partpart

+partpart

=

unde N este normala la Ω exterioară faţă de Ω iar Npart 1 este vectorul unitar icircn

direcţia lui N atunci problema fizică considerată se transpune astfel să se găsească

funcţia u=u(xy) definită icircn domeniul Ω care satisface următoarele condiţii

10 ( ) Ωyx02y

y)u(x2

2x

y)u(x2isinforall=

part

part+

part

20 fΩdN

du=

part

unde fpartΩrarrR este o funcţie dată Problema fizică considerată ne-a condus la o

problemă Neumann pentru ecuaţia lui Laplace

147

2Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul doi Clasificare Reducerea la forma

canonică

Studiul unor fenomene fizice ca vibraţiile firelor şi membranelor propagarea

căldurii propagarea undelor electromagnetice şa conduc la ecuaţii diferenţiale cu

derivate parţiale de ordinul doi Deducerea acestor ecuaţii ce descriu icircn timp şi

spaţiu evoluţia fenomenului studiat se realizează prin aplicarea unor legi specifice

fenomenului respectiv ţinacircndu-se seama de condiţiile concrete de apariţia şi

evoluţia fenomenului respectiv Din acest motiv pe lacircngă ecuaţia diferenţială ce

reprezintă rezultatul modelării matematice a fenomenului studiat trebuie date

condiţiile suplimentare concrete icircn care s-a realizat fenomenul fapt ce asigură icircn

general unicitatea şi existenţa soluţiei problemei cercetate

Rezolvarea diferitelor probleme care conduc la ecuaţii diferenţiale cu

derivate parţiale de ordinul doi este stracircns legată de reducerea acestor ecuaţii la

forme mai simple printr-o schimbare a variabilelor independente Aceste forme

ireductibile la altele mai simple le vom numi forme canonice

Fie ecuaţia cu două variabile independente x şi y

(1) ( ) 0)yu

xuuyd(x2y

u2y)c(x

yxu2

y)2b(x2x

u2yxa =

partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

unde coeficienţii a b c şi funcţia necunoscută u sunt de clasă C2(D) Dsub R2iar

abc nenuli simultan icircn D

Observăm că ecuaţia (1) este liniară icircn general numai cu derivatele de

ordinul doi Din acest motiv (1) se numeşte ecuaţie cvasiliniară (aproape liniară)

Ecuaţiei (1) icirci ataşăm ecuaţia

(2) 02y)dxc(xy)dydx2b(x2y)dya(x =+minus

numită ecuaţia caracteristică a ecuaţiei (1)

Să considerăm schimbarea de variabile

(3) ⎩⎨⎧

==

y)η(xηy)ξ(xξ

148

cu proprietatea ( )( ) 0

yxDηξD

ne ceea ce asigură posibilitatea determinării lui xy din (3)

( ) ( )( )ηξ2Ψyηξ1Ψx ==

Pentru derivatele funcţiei u vom obţine

(4) yη

ηu

yξ

ξu

yu

xη

ηu

xξ

ξu

xu

partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

(5) 2x

η2

ηu

2x

ξ2

ξu2

xη

2η

u2

xη

xξ

ξu2

22

xξ

2ξ

u2

2x

u2

part

partsdot

partpart

+⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partsdot

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

part

part+

partpartsdot

partpartpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

sdotpart

part=

part

partη

(6) 2y

η2

ηu

2y

ξ2

ξu

2

yη

2η

u2

yη

yξ

ξu2

22

yξ

2ξ

u2

2y

u2

part

partsdot

partpart

+⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partsdot

partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

part

part+

partpartsdot

partpartpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

sdotpart

part=

part

partη

(7)

yxη2

ηu

yxξ2

ξu

yη

xη

2η

u2

xη

yξ

xη

xξ

ηξu2

yξ

xξ

2ξ

u2

yxu2

partpartpart

sdotpartpart

+

+partpart

partsdot

partpart

+⎪⎩

⎪⎨⎧

partpartsdot

part

part+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

sdotpartpart

part+

partpartsdot

part

part=

partpartpart

Icircnlocuind aceste expresii icircn (1) aceasta devine tot o ecuaţia cvasiliniară

(1rsquo) ( ) ( ) ( ) 0)ηu

ξuuD(ξ2η

u2ηξC

ηξu2

ηξ2B2ξ

u2ηξA =

partpart

η+part

part+

partpartpart

+part

part

unde noii coeficienţi au expresiile

(8)

( )

yη

yξ

2

yηc

yη

xη2b

2

xηaηξC

cxη

yξ

yη

xξb

yη

xξaηξB

2

yξc

yξ

xξ2b

2

xξaηξA

partpart

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+partpart

partpart

+partpartsdot

partpart

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

Vom determina schimbarea de variabile (3) astfel ca ecuaţia (1rsquo) să ia o

formă cacirct mai simplă

Deoarece ecuaţia caracteristică (2) se descompune icircn două ecuaţii

diferenţiale ordinare de ordinul icircntacirci rezultă că cele două familii de curbe integrale

pot fi reale distincte reale şi confundate sau complex conjugate icircn funcţie de

149

semnul expresiei Ecuaţiile diferenţiale de tipul (1)

pot fi clasificate icircn

( ) ( ) ( ) ( yxcyxayx2byxδ sdotminus= )

I) Ecuaţii de tip hiperbolic dacă δ(xy)gt0 forall(xy)isin∆subeD

II) Ecuaţii de tip parabolic dacă δ(xy)=0 forall(xy)isin∆subeD

III) Ecuaţii de tip eliptic dacă δ(xy)lt0 forall(xy)isin∆subeD

I) Reducerea la forma canonică a ecuaţiilor de tip hiperbolic (δgt0)

Dacă a şi c nu sunt simultan nuli de exemplu ane0 ecuaţia (2) se descompune

icircn

(9) ( ) ( )yx2microdxdyyx1micro

dxdy

==

unde micro1 şi micro2 sunt rădăcinile ecuaţiei

(2rsquo) amicro2-2bmicro+c=0

b) Prin integrarea ecuaţiei (9) se obţine

(10) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

2Cyx2

1Cyx1ϕ

ϕ

Printr-o deplasare pe una din curbele (10) avem respectiv

0dyy2dx

x20dy

y1dx

x1 =

part

part+

part

part=

part

part+

part

part ϕϕϕϕ

Ţinacircnd seama că (10) s-au obţinut prin integrarea ecuaţiilor (9) rezultă

y2

x2

2micro

y1

x1

1micro

part

ϕpartpart

ϕpart

minus=

part

ϕpartpart

ϕpart

minus=

Inlocuind icircn (2rsquo) avem

(2``)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

part+

part

part+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

part

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

part

part+

part

part+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

part

02

y2c

y2

x22b

2

x2a

02

y1c

y1

x12b

2

x1a

ϕϕϕϕ

150

Comparacircnd (2rsquorsquo) cu (8) observăm că este indicată următoarea schimbare de

variabile

(11) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

yx2η

yx1ξ

ϕ

pentru care avem Aequiv0 Cequiv0 Coeficientul B nu poate fi nul Icircntr-adevăr cu

schimbarea (11) B are expresia

( )[ ]c21b21ay2

y1B ++minus

part

partsdot

part

part= ϕϕϕϕ

ϕϕ

şi ţinacircnd seama de relaţiile icircntre rădăcinile şi coeficienţii ecuaţiei (2rsquo) rezultă

a

2bacy2

y12B minus

sdotpart

partsdot

part

part=

ϕϕ

Deoarece prin ipoteză ane0 (ϕ1 şi ϕ2 depind de y) b2-acgt0 rezultă Bne0

Ecuaţia (1rsquo) poate fi scrisă (2B1) sub forma

(12) 0ηu

ξuuηξH

ηξu2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+partpart

part

Ecuaţia (12) este forma canonică a ecuaţiei de tip hiperbolic

II) Reducerea la forma canonică a ecuaţiilor de tip parabolic (δ=0)

Cele două ecuaţii diferenţiale (9) se reduc la una singură y)micro(xdxdy

= unde

micro verifică

(14) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=minus=+minus

0bamicro0c2bmicro2amicro

Fie ϕ(xy)=C integrala generală a ecuaţiei y)micro(xdxdy

=

Pentru o deplasare pe una din aceste curbe avem

0dyy

dxx

=partpart

+partpart ϕϕ

151

Deducem uşor că

y

xmicro

partϕpartpartϕpart

minus= Icircnlocuind icircn (14) obţinem

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=partpart

+partpart

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

0yx

a

02

yc

yx2b

2

xa

ϕϕ

ϕϕϕϕ

b

Observăm din (8) că dacă facem schimbarea de variabile ξ=ϕ(xy) η=x (sau

η=y) găsim A=0 B=0 C=a Cum ane0 din (1) obţinem

(15) 0ηu

ξuuηξP2η

u2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

part

Ecuaţia (15) este forma canonică a ecuaţiei de tip parabolic

Am presupus ane0 Dacă a=0 din condiţia b2-ac=0 rezultă b=0 şi ecuaţia (1)

ar fi avut de la icircnceput forma canonică

III) Reducerea la forma canonică a ecuaţiilor de tip eliptic (δlt0)

Funcţiile micro1 şi micro2 din (9) sunt imaginar conjugate Aceeaşi proprietate vor

avea şi funcţiile ϕ1 şi ϕ2 din (10)

Cu schimbarea (11) ecuaţia (1) s-a redus la (12) Pentru a reveni la funcţiile

reale vom face o nouă schimbare de variabile Din egalităţile ξ=α+iβ

η=αminusiβ deducem ( ) ( )ηξ2i1βηξ

21α +=+=

Avem

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

part

partminus

part

part=

partpartpart

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

=partpart

2βu2

2αu2

41

ηξu2

şiβui

αu

21

ξu

Se obţine astfel forma canonică a ecuaţiei de tip eliptic

(16) 0βu

αuuβαE2β

u22αu2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

partminus

part

Observaţie Deoarece δlt0 ecuaţia caracteristică (2) are curbele caracteristice

complex conjugate

152

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=minus=ψ

=+=ϕ

2Cyxiβyxαyx1Cyxiβyxαyx

Efectuacircnd schimbarea de variabile

( )( ) ( ) ( ) 0ΩδcuΩyx

yxβηyxαξ

ltisin⎩⎨⎧

==

obţinem B(ξ η)equiv0 A(ξ η)= C(ξ η) şi ecuaţia (1) primeşte forma canonică

(17) 0ηu

ξuuηξE2η

u2

2ξ

u2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

partminus

part

3 Ecuaţii liniare şi omogene icircn raport cu derivatele de ordinul al doilea cu

coeficienţi constanţi

Să considerăm ecuaţia

(1) 02y

u2c

yxu2

2b2x

u2=

part

part+

partpartpart

+part

parta

unde a b c sunt constante

Ecuaţia caracteristică ataşată ecuaţiei (1) este

(2) 0cxdyd2b

2

xdyda =+minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Rădăcinile micro1 şi micro2 ale ecuaţiei (2) sunt constante Ecuaţia (2) se icircnlocuieşte

prin ecuaţiile

dy - micro1dx = 0 dy - micro2dx = 0 care prin integrare dau

⎪⎩

⎪⎨⎧

=minus

2Cx2microy1Cx1microy

unde C1 şi C2 sunt constante

Vom aduce ecuaţia (1) la forma canonică

Cazul I Dacă δ=b2-ac gt 0 ecuaţia (1) este de tip hiperbolic micro1nemicro2 (reale) Cu

schimbarea de variabile

(3) ⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=

x2microyη

x1microyξ

153

obţinem

2η

u222micro

ηξu2

2micro12micro2ξ

u221micro2x

u2

part

part+

partpartpart

+part

part=

part

( ) 2η

u2

2microηξu2

2micro1micro2ξ

u2

1microyxu2

part

partminus

partpartpart

+minuspart

partminus=

partpartpart

2η

u2

ηξu2

22ξ

u2

yu2

part

part+

partpartpart

+part

part=

partpart

Icircnlocuind icircn (1) şi ţinacircnd seama că micro1 şi micro2 sunt rădăcinile ecuaţiei

amicro2-2bmicro+c=0 obţinem ecuaţia

0ηξu2

a

2bac4 =partpart

partsdot

minussdot

de unde obţinem forma canonică

(4) 0ηξu2=

partpartpart

Ecuaţia (4) se integrează imediat Icircntr-adevăr scrisă sub forma

(4rsquo) 0ηu

ξ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

se obţine ( )ηϕ=partpartηu Integracircnd această ultimă ecuaţie obţinem ( ) ( )int += ξfdηηu ϕ sau

(5) u=f(ξ)+g(η)

Revenind la vechile variabile soluţia generală a ecuaţiei (1) este

(5rsquo) u(xy)=f(y-micro1x)+g(y-micro2x)

Cazul II Dacă δ=0 ecuaţia este de tip parabolic icircn ipoteza că ane0 micro1=micro2= ab

şi ecuaţia diferenţială (2) se reduce la ady-bdx=0 Integrala generală a acestei

ecuaţii este ay-bx=C

Schimbarea de variabile

⎩⎨⎧

=minus=

xηbxayξ

154

aduce ecuaţia (1) la forma canonică

(6) 02η

u2=

part

Icircntr-adevăr icircn acest caz obţinem

2η

u2

ηξu2

2b2ξ

u22b2x

u2

part

part+

partpartpart

minuspart

part=

part

ηξu2

a2ξ

u2ab

yxu2

partpartpart

+part

partminus=

partpartpart

2ξ

u22a2y

u2

part

part=

part

şi icircnlocuind icircn (1) obţinem ecuaţia

02η

u2a2ξ

u22baca =part

part+

part

part⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

care se reduce (δ=0) la (6)

Am presupus ane0 Icircn caz contrar din b2-ac=0 ar rezulta b=0 şi ecuaţia ar fi

avut de la icircnceput forma canonică Pentru integrarea ecuaţiei (6) observăm că

putem scrie

( )ξfηuundede0

ηu

η=

partpart

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

Integracircnd icircncă o dată obţinem u = η f(ξ)+g(η) Soluţia generală a ecuaţiei

(1) se obţine din aceasta revenind la vechile variabile

(7) u (x y)= x f (ay - bx)+g (ay - bx)

Cazul III Icircn cazul δlt0 ecuaţia (1) este de tip eliptic forma sa canonică este

ecuaţia lui Laplace

(8) 02u2

2u2

=part

part+

part

βα

155

4 Coarda infinită Metoda schimbării variabilelor (metoda lui DrsquoAlembert şi

Euler) Formula lui DrsquoAlembert

(1) 02u2

21

2u2

=part

partminus

part

tcx

care se numeşte ecuaţia coardei vibrante sau ecuaţia undelor plane omogene Prin

coardă se icircnţelege un corp perfect elastic la care două din dimensiunile sale sunt

neglijabile icircn raport cu a treia Dacă lungimea coardei este mare şi ne interesează

numai vibraţiile unei porţiuni suficient de depărtate de capetele coardei astfel icircncacirct

aceasta să nu influenţeze porţiunea care nu interesează coarda se consideră

infinită

Icircn studiul vibraţiilor libere ale coardei parametrii care intervin icircn această

ecuaţie au următoarele semnificaţii

Să considerăm o coardă de lungime l care icircn repaus ocupă poziţia AB pe

axa Ox A şi B avacircnd abscisele 0 şi l

Fig1

Fie M un punct al coardei şi M0(x) poziţia de repaus a acestui punct Se

presupune că orice punct M al coardei icircn vibraţie se mişcă icircntr-un plan

perpendicular pe Ox

xM0(x)

M

u

A(0) B(l)

Distanţa M0M o notăm cu u şi este funcţie de x şi de timpul t u=u(xt)

Mişcarea coardei se consideră cunoscută dacă se cunoaşte această funcţie Se arată

că icircn absenţa unor forţe exterioare funcţia u(xt) verifică ecuaţia (1) (care se mai

numeşte ecuaţia oscilaţiilor libere ale coardei)

156

Constanta c2 are expresia 0

2

Tc ρ

= de unde ρ este densitatea specifică liniară

a coardei iar T0 tensiunea la care este supusă coarda icircn poziţia de repaus

Ecuaţia (1) se icircntacirclneşte şi icircn probleme de propagarea undelor cacircnd c2 are

altă semnificaţie

Problema pentru coarda infinită constă icircn următoarele să se determine

funcţia u(xt)isinC2(Ω) Ω=[0l]timesR+ care să verifice ecuaţia (1) şi care satisface

condiţiile iniţiale

(2) ( ) ( ) [ ]0lxg(x)0tt

uxfx0u isin==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

unde f admite derivată de ordinul al doilea iar g admite derivată de ordinul icircntacirci pe

[0l]

Egalitatea u(x0)=f(x) ne dă poziţia iniţială a fiecărui punct M de pe coardă

iar [0lxg(x)0

]tt

uisin=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart viteza iniţială pentru fiecare punct al coardei

Ecuaţia (1) este de tip hiperbolic ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛gt= 02c

1δ Ecuaţia caracteristică

02c

12

xt

=minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dd

se descompune icircn două ecuaţii diferenţiale

dx-cdt=0 şi dx+cdt=0

Soluţiile generale (două familii de curbe caracteristice)

x-ct=C1 şi x+ct=C2

Cu ajutorul schimbării de variabile

⎩⎨⎧

+=minus=

ctxηctxξ

obţinem pentru (1) forma canonică 0ηξu2=

partpartpart

Soluţia generală a acestei ecuaţii este

u = ϕ(ξ)+ψ(η)

sau prin icircnlocuirea luiξ şi η obtinem soluţia generală a ecuaţiei (1) de forma

157

(3) u(xt)=ϕ(x-ct)+ψ(x+ct)

Vom determina aceste funcţii astfel ca u(xt) să satisfacă condiţiile (2)

Avem

( ) ( ctxcΨctxc )tu

++minusϕminus=partpart

şi cele două condiţii din (2) dau

⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=+

=+

g(x)c1(x)Ψ(x)

f(x)Ψ(x)(x)

ϕ

sau integracircnd icircn a doua egalitate

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

int ττminus=minusϕ

=+ϕx

0xd)(g

c1Ψ(x)(x)

f(x)Ψ(x)(x)

unde x0 este o constantă arbitrară x0isin[0l] De aici rezultă

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡intminus=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡intminus=

x

0x)dg(

c1f(x)

21xΨ şi

x

0x)dg(

c1f(x)

21x ττττϕ

de unde deducem

(4)

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

int+

minus+=+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

intminus=

ctx

0x)dg(

c1ct)f(x

21ctxΨ

ct-x

0x)dg(

c1ct)-f(x

21ct-x

ττ

ττϕ

Icircnlocuind (4) icircn (3) obţinem

(5) ( ) [ ] int+

minusττ+++minus=

ctx

ctxd)(g

c21)ctx(f)ctx(f

21txu

Observăm că u(xt) din (5) verifică condiţiile (2)

158

Icircn ipotezele admise pentru f şi g funcţia (5) verifică şi ecuaţia (1) Se poate

arăta că soluţia este unică

Metoda prin care am obţinut această soluţie se numeşte metoda schimbării

variabilelor sau metoda DrsquoAlembert şi Euler

Formula (5) este formula lui drsquoAlembert

Exemplu Să presupunem coarda infinită icircn ambele sensuri şi că icircn

momentul iniţial are poziţia dată de

( ) [ ][ ]⎩

⎨⎧

isinisin

=l0Rx0

l0xf(x)x0u

iar viteza iniţială este nulă pentru orice punct al coardei 00tt

u=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart Mişcarea

coardei este caracterizată de ( ) [ ]ct)f(xct)-f(x21txu ++=

Observăm că f(x-ct)ne0 numai pentru lctx0 leminusle adică pentru ctlxct +lele

Graficul acestei funcţii se obţine din graficul funcţiei f(x) prin translaţia de modul

ct icircn direcţia şi sensul axei Ox De asemenea graficul funcţiei f(x+ct) se obţine din

graficul funcţiei f(x) prin translaţia ndashct care se face icircn sens opus

Acest rezultat are următoarea interpretare perturbarea iniţială a coardei pe

un interval [0l] se propagă de-a lungul coardei icircn ambele sensuri prin două unde

una directă cu viteza c alta inversă cu viteza ndashc

0 l

0

Fig2

Iniţial cele două unde sunt suprapuse apoi se despart şi se icircndepărtează una

de alta mergacircnd icircn sensuri opuse (fig2)

159

5 Coarda finită Metoda separării variabilelor (D Bernoulli şi Fourier)

Icircn exemplul studiat anterior al coardei infinite au fost date numai condiţii

iniţiale Vom considera o coardă finită de lungime l care icircn poziţia de echilibru este

situată pe axa Ox avacircnd un capăt icircn origine şi celălalt capăt icircn punctul A(l)(fig1)

Fig1

Asupra coardei nu acţionează forţe exterioare Coarda icircn acest caz execută

vibraţii libere avacircnd astfel ecuaţia

(1) [ ] 0tl0x02tu2

2c1

2xu2

geisin=part

partminus

part

cu condiţiile iniţiale

(2) ( ) [ ]l0xg(x)0tt

uf(x)x0u isin==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

precum şi condiţiile la limită

(3) u(0t)=0 u(lt)=0 t 0 ge

Problema pentru coarda finită constă icircn următoarele să se determine funcţia

u(xt)isinC2(∆) ∆=[0l]timesR+ care să verifice condiţiile (2) şi (3) Pentru

compatibilitatea condiţiilor (2) şi (3) trebuie să avem f(0)=f(l)=0 şi g(0)=g(l)=0

160

Pentru rezolvarea problemei puse vom folosi metoda Fourier sau metoda

separării variabilelor

Aceasta constă icircn a căuta pentru ecuaţia (1) soluţii de forma

(1) u(xt)=X(x)T(t)

care verifică (2) şi (3)

Derivăm şi introducem icircn (1)

(t)TX(x)2c

1T(t)(x)X sdot=sdot

Eliminacircnd soluţia banală u(xt)=0 putem icircmpărţi cu X(x) T(t) şi variabilele

se separă

kT(t)

(t)T2c

1X(x)

(x)X==

Valoarea comună a acestor două rapoarte este constantă Icircn caz contrar icircntre

cele două variabile x şi t am avea o relaţie (x şi t nu ar mai fi independente)

Avem de integrat ecuaţiile

(5) 0kX(x)(x)X =minus

şi

(6) 0T(t)2kc(t)T =sdotminus

Valorile constantei k vor fi precizate prin condiţiile la limită

Funcţia (4) verifică relaţiile (2) şi (3) dacă şi numai dacă

(7) X(0)=0 X(l)=0

(astfel T(t)=0 care conduce la soluţia banală)

Se pune problema de a detrermina valorile lui k astfel ca ecuaţia (5) să

admită soluţii nebanale care verifică (7) (problema Sturm-Liouville)

Cazul 10 kgt0 Ecuaţia caracteristică a ecuaţiei (5) este r2-k=0 care are

rădăcini reale şi distincte r12=plusmn k Soluţia generală a ecuaţiei (5) este

xke2Cxke1CX(x) minus+=

Condiţiile (7) dau

C1+C2=0 0lke2Clke1C =minus+

161

cu soluţia C1=C2=0 Obţinem soluţia banală care nu convine

Cazul 20 k=0 Soluţia generală a ecuaţiei (5) este X(x)=C1x+C2 Icircn acest caz

condiţiile la limită (7) dau C2=0 C1l+C2=0 Rezultă C1=C2=0 şi obţinem din nou

soluţia banală

Cazul 30 klt0 Notăm k=-λ2 λgt0 Rădăcinile ecuaţiei carcacteristice sunt

r12=plusmniλ iar soluţia generală a ecuaţiei (5) este de forma xsin2Cxcosλ1CX(x) λ+=

Condiţiile la limită dauC1=0 C2sinλl=0

Pentru a nu obţine din nou soluţia banală vom lua C1=0 C2ne0 sin λl=0

Rezultă

12nlπnλ isin=

Valorile proprii ale problemei sunt (cele care dau valori nebanale)

12n2

lnπ

nk isin⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus=

iar funcţiile proprii icircn afara unui factor lipsit de importanţă au expresiile

lxnsin(x)nX π

=

Deoarece valorile constantei k sunt precizate ecuaţia (6) devine

0T(t)2

lcn(t)T =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+π

lctnsinnB

lctncosnA(t)nT ππ+= 21isinn

Funcţiile de forma (4) care verifică ecuaţia (1) şi condiţiile la limită (3) sunt

(t)nT(x)nXt)(xnu sdot=

adică

(8) 12nlxnsin

lctnsinnB

lctncosnAt)(xnu isinsdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

πππ

Conform principiului suprapunerii efectelor căutăm o soluţie u(xt) de

forma

162

(9) suminfin

==

1nt)(xnut)u(x

despre care presupunem că este convergentă şi că poate fi derivată termen cu

termen de două ori icircn raport cu x şi de două ori icircn rapot cu t

suminfin

= part

part=

part

partsuminfin

= part

part=

part

1n 2tnu2

2t

u2

1n2x

nu2

2x

u2

Se observă uşor că funcţiile u(xt) din (8) verifică ecuaţia (1) deoarece un(xt)

este soluţie a acestei ecuaţii Funcţia u(xt) din (8) verifică şi condiţiile la limită

Constantele An şi Bn le determinăm impunacircnd ca u(xt) din (8) să verifice şi

Avem

suminfin

==sum

infin

==

1n lxnπsinnA

1n(x0)nuu(x0)

suminfin

=suminfin

==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

1n lxnπsinnB

lcnπ

1n 0ttu

0ttu

Folosind condiţiile (2) obţinem

suminfin

==

1nf(x)

lxnsinnA π

suminfin

==

1ng(x)

lxnsinnB

lcnπ π

Vom presupune că funcţiile f(x) şi g(x) icircndeplinesc condiţiile lui Dirichlet

deci pot fi dezvoltate icircn serie numai de sinusuri pe intervalul (0l) Perioada

prelungirilor acestor funcţii este T=2l Avem

(10) int=int=l

0dx

lxng(x)sin

cnπ2

nBl

0dx

lxnf(x)sin

l2

nA ππ

Soluţia problemei (2) este (9) cu coeficienţii (10)

Observaţie Funcţia un(xt) verificacircnd ecuaţia (1) cu condiţiile la limită (3)

caracterizează o oscilaţie proprie a coardei Această oscilaţie are perioada

nc2l

nω2π

nτ == şi amplitudinea lxnsin2

nB2nA π

sdot+

Icircnălţimea sunetului datorit unei oscilaţii este cu atacirct mai mare cu cacirct

perioada este mai mică iar intensitatea sunetului este cu atacirct mai mare cu cacirct

163

amplitudinea vibraţiei este mai mare Fiecare oscilaţie proprie a coardei

corespunde unui ton simplu al coardei Egalitatea (8) arată că sunetul emis de

coardă icircn vibraţie este o suprapunere de tonuri simple

Ştim că An şi Bn formează un şir strict descrescător Amplitudinea oscilaţiei

caracterizată prin un(xt) descreşte cacircnd n creşte Tonul fundamental care are

intensitatea cea mai mare deci va corespunde oscilaţiei u1(xt) Celelalte tonuri

simple care au intensitatea mai mică şi icircnălţimea mai mare prin suprapunerea lor

peste tonul fundamental dau timbrul sunetului

6 Ecuaţii de tip elipticFormularea problemelor la limităSoluţii particulare

ale ecuaţiei lui Laplace

Dintre ecuaţiile de tip eliptic cele mai des icircntacirclnite sunt

(1) 0 22

22

=partpart+

partpart+

partpart

zu

yu

xu

((∆u = 0) ndash ecuaţia lui Laplace (1749-1827))

şi

(2) z)yf(x 22

22

=partpart+

partpart+

partpart

zu

yu

xu

(ecuaţia lui Poisson (1781-1840))

Ecuaţiile de tip eliptic intervin icircn studiul problemelor de teoria potenţialului

şi icircn studiul fenomenelor staţionare (fenomene ce nu depind de timpul t) Astfel

temperatura u(xyz) a unui cacircmp termic staţionar verifică ecuaţia (1) iar dacă

există surse de căldură ea verifică ecuaţia lui Poisson (2) unde kFf minus= F

densitatea surselor de căldură şi k coeficient de conductibilitate termică

Icircntrucacirct cu ajutorul ecuaţiilor de tip eliptic se studiază fenomene ce nu

depind de variabila t la aceste ecuaţii nu se impun condiţii iniţiale ci doar condiţii

de limită

Pentru a afla funcţia u(xyz) a unui cacircmp termic staţionar ecuaţiei (1)

respectiv (2) i se impun una din următoarele condiţii la limită

164

1) Se dau valorile temperaturii u(xyz) icircn punctele unei suprafeţe S care

este frontiera domeniului D sub R3 icircn care se studiază fenomenul adică se impune

condiţia p1) u(xyz)S = f1 ( f 1 continuă dată )

2) Se dă fluxul de căldură prin suprafaţa S care este frontiera domeniului D

sub R3 icircn care se studiază fenomenul dat prin p2) 2fdndu

S

= (f2 continuă dată) unde

dndu este derivata funcţiei scalare u(xyz) după direcţia vectorului

cu rarrrarrrarrrarr

sdot+sdot+sdot= kjin γβα coscoscos 1 =rarr

n ( ) ( ) ( )OznOynOxn rlt

rlt

rlt === γβα

coscoscos γβαdzdu

dydu

dxdu

dndu

++=

3) Se dă schimbul de căldură prin suprafaţa S icircntre corpul delimitat de

suprafaţa S icircn care se studiază fenomenul şi mediul icircnconjurător a cărui

temperatură se cunoaste prin

p3) 3coscos fdnduu =+sdot βα (funcţie continuă dată)

Condiţia p1) se mai numeşte prima condiţie la limită sau prima problemă la

limită pentru ecuaţia (1) sau (2) sau problema Dirichlet

Condiţia p2) se mai numeşte a doua condiţie la limită pentru ecuaţia (1) sau

(2) şi se numeşte problema lui Neumann(1903-1957minusmatematician de origine

maghiară)

Condiţia p3) se numeşte a treia condiţie la limită pentru ecuaţia (1) sau (2) şi

se vede că este o combiaţie dintre p1) şi p2)

Dacă se cere funcţia u(xyz) care verifică ecuţia (1) sau (2) cu una din cele

trei condiţii la limită icircn interirorul domeniului Ω (se cere u icircn int Ω ) avem de a

face cu problema exterioară corespunzătoare

Să enunţăm primele două probleme interioare şi

exterioare

I) Problema lui Dirichlet interioară relativă la

domeniul Ω şi ecuaţia (1) Să se afle funcţia u(xyz)

165

ce verifică condiţiile a) uisinC(Ω ) b) uisinC2(Ω) c) ∆u=0 d) uS=f

II) Problema lui Dirichlet exterioară relativă la domeniul Ω şi ecuaţia (1)

Să se afle funcţia u(xyz) ce verifică condiţiile a) uisinC( Ω ) b) uisinC2(Ω) c)

∆u=0 d) uS=f

III) Problema lui Neumann interioară relativă la domeniul Ω şi ecuaţia (1)

Să se afle funcţia u(xyz) ce verifică condiţiile a) b) c) din I) şi d) fdndu

s

=

IV) Problema lui Neumann exterioară relativă la domeniul Ω_ şi ecuaţia

(1) Să se afle funcţia u(xyz) ce verifică condiţiile a) b) c) din II) şi d) fdndu

s

=

( f icircn toate cele patru probleme funcţie continuă dată )

Soluţii particulare ale ecuaţiei lui Laplace

Prezintă interes soluţiile cu simetrie sferică respectiv cu simetrie cilindrică

1) O soluţie a ecuaţiei lui Laplace se numeşte simetrie sferică dacă este o

soluţie a ecuaţiei lui Laplace care depinde numai de distanţa de la un punct

oarecare din spaţiu la un punct fix Astfel se ştie că potenţialul cacircmpului creat de o

sarcină electrică punctiformă depinde numai de distanţa de la un punct oarecare icircn

spaţiu icircn care se măsoară cacircmpul la punctul icircn care este aşezată sarcina electrică

punctiformă

Fie O(000) şi M(xyz) d(MO)= 222 rzyx =++

Vom căuta pentru ecuaţia lui Laplace ∆u=0 soluţii de forma u=f(r)

Observăm că trebuie să avem

02

2

=partpart

+partpart

zf

yf

xf

Dar

)()( 3

22

2

rfr

xrrfrx

xf

sdotminus

+sdot=partpart

166

şi )()( 3

22

2

rfr

yrrfry

yf

sdotminus

+sdot=partpart

)()( 3

22

2

rfr

zrrfrz

zf

sdotminus

+sdot=partpart

Prin icircnlocuirea şi efectuarea calculelor obţinem ecuaţia

diferenţială 0)(2)( =sdot+ rfr

rf sau 2)()(

rrfrf

minus= de unde prin integrare

ln frsquo(r)=minus2ln r+ln c1 şi )( 21

rc

rf = Rezultă )( 21 crc

rf +minus= Luacircnd c1= -1 şi c2=0

obţinem u=f(r)=r1 care este o soluţie cu simetrie sferică a ecuaţiei lui Laplace

prezintă interes practic icircntrucacirct cu aproximaţia unui factor constant ea ne dă

potenţialul cacircmpului creat de o sarcină electrică punctiormă

2) O soluţie a ecuaţiei lui Laplace se zice cu simetrie cilindrică dacă depinde

numai de distanţa de la un punct oarecare din spaţiu la o axă din spaţiu Cacircmpul

electric creat de o linie electrică icircncărcată depinde numai de distanţa de la un

punct din spaţiu icircn care se măsoară cacircmpul pacircnă la linia icircncărcată respectivă Să

presupunem că axa fixă din spaţiu este axa Oz

Atunci d(MOz)= 22 yx +

Ne propunem să aflăm soluţii de forma u=f(ρ) pentru ∆u=0

∆u=0 rArr∆f(ρ)=0 hArr 02

2

=partpart

+partpart

yf

xf

Dar

)(f)(

3

22

2

3

22

2

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

sdotminus

+sdot=partpart

sdotminus

+sdot=partpart

ρρ

ρρρ

ρρ

ρρρ

yfyy

fşi

xfxx

f

Icircnlocuind obţinem 0)(1)( =sdot+ ρρ

ρ ff cu soluţia f(ρ)=c1ln ρ+c2 Luacircnd c1=

-1c2= 0 obţinem u=f(ρ)=lnρ1 care prezintă interes teoretic deoarece cu ajutorul ei

se pot obţine alte ecuaţii Laplace şi prezintă interes practic deoarece cu

167

aproximaţia unui factor constant ea ne dă mărimea cacircmpului creat de o linie

electrică icircncărcată

7 Problema lui Dirichlet pentru cerc Formula lui Poisson

Trebuie să aflăm funcţia u(xy)

care verifică ecuaţia lui Laplace

x

y

θ ρ y

x O

C Ω

Ω M(xy)

(1) 02

2

=partpart

+partpart

yu

xu

cu condiţia

(2) uc=f ( f continuă dată )

Pentru problema interioară soluţia u trebuie să fie mărginită icircn origine iar

pentru problema exterioară soluţia u trebuie să fie mărginită la infinit Pentru a

impune mai uşor condiţia la limită (2) vom trece la coordonate polare

(3) rArr (3rsquo)⎩⎨⎧

sdot=sdot=

θρθρ

sincos

yx

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

πθ

ρ

kxyarctg

yx 22

unde k=0 dacă MisinI k=1 dacă

MisinII sau III k=2 dacă MisinIV Observăm că ρ

ρ xx=

partpart

ρρ yy=

partpart 2

ρθ yx

minus=partpart

2ρθ xy=

partpart

Obţinem

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

partpart

sdot+partpart

sdot=partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

partpart

sdotminuspartpart

sdot=partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

θρρρθ

θρ

ρ

θρρρθ

θρ

ρ

uxuyy

uy

uyu

uyuxx

ux

uxu

2

lowast Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)-matematician german

168

Calculăm apoi

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

sdotminuspartpartsdotsdot

partpart

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

sdotpartpart

=partpart

θρρρuyux

xxu

22

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partsdotpartpart

sdotminuspartpart

sdotpartpartsdot

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

xsdot

partsdotpartpart

+partpartsdot

partpart

sdot+partpartsdotpart

partsdotminus

=x

ux

uyuxyu

xuxux

x θθ

ρθρρθρ

ρρ

θρρ

ρρρρθ

ρρ2

2

24

2

de unde după icircnlocuirea xpart

partθ şi xpart

partρ şi efectuarea calculelor obţinem

(4) ⎩⎨⎧

partpart

sdot+partpartsdot

minus+

partpart

sdot+partsdotpart

partsdotminus

partpart

sdot=partpart

θρρρρ

θρθρρρρuxyuxuyuxyux

xu

43

22

2

4

22

32

2

2 22

Icircn mod analog găsim

(5) ⎩⎨⎧

partpart

sdotminuspartpartsdot

minus+

partpart

sdot+partsdotpart

partsdot+

partpart

sdot=partpart

θρρρρ

θρθρρρρuxyuyuxuxyuy

yu

43

22

2

4

22

32

2

2 22

Icircnlocuim (4) şi (5) icircn ecuaţia (1) obţinem

0)(23

222

2

4

22

2

22

2

=partpart

sdot+minus

+partpart

sdot+

+partpart

sdot+

=partpart

+partpart

=∆ρρ

ρθρρρ

uyxuyxuyxyu

xuu

sau

22

2

22

2

011 ρρρθρρ

sdot=partpartsdot+

partpart

sdot+partpart uuu rArr

(6) 02

2

22 =

partpart

+partpartsdot+

partpart

sdotθρ

ρρ

ρ uuu

cu condiţia la limită

(7) uρ=a=f

Pentru rezolvarea problemei (6)(7) vom folosi metoda separării variabilelor

Căutăm o soluţie de forma

(8) )()()( θρθρ TRu sdot=

Obsevăm că

)()( θρρ

TRusdotprime=

partpart şi )()(2

2

θρρ

TRusdotprimeprime=

partpart iar )()( θρ

θTRu primesdot=

partpart şi

)()(2

2

θρθ

TRu

primeprimesdot=part

part

Icircnlocuind icircn (6) obţinem

0)()()()()()(2 =primeprimesdot+sdotprimesdot+sdotprimeprimesdot θρθρρθρρ TRTRTR

169

de unde prin icircmpărţire la 0)()( nesdot θρ TR obţinem

(9) )()(

)()(

)()(2

θθ

ρρρ

TT

RR

RR primeprime

minus=prime

sdot+primeprime

sdot

Membrul stacircng al ecuaţiei (9) fiind o funcţie numai de ρ iar membrul drept

fiind o funcţie numai de θ egalitatea lor este posibilă pentru orice ρ şi orice

θ numai dacă cei doi membrii au aceaşii valoare constantă pe care o notăm cu λ

obţinem din (9) următoarele ecuaţii

(10) 0)()( =sdot+primeprime θλθ TT

şi

(11) 0)()()(2 =sdotminusprimesdot+primeprimesdot ρλρρρρ RRR

Funcţia căutată ca soluţie )( θρu trebuie să fie periodică icircn raport cu θ cu

perioada 2π adică să avem )(u)2(u θρ=π+θρ deoarece u trebuie să aibă aceeaşi

valoare icircn acelaşi punct Pentru aceasta )(θT trebuie să fie periodică cu perioada

2π Avem deci de găsit valorile parametrului real λ pentru care ecuaţia (10) are

soluţii nebanale periodice cu perioada 2π Ecuaţia (10) este o ecuaţie diferenţială

liniară omogenă cu coeficienţi constanţi cu ecuaţia caracteristică

λλ minusplusmn=rArr=+ 212 0 rr

Cazul I λ=0 Avem r1=r2=0 şi θθ sdot+sdot= BAT 1)( Vom determina A şi B

astfel icircncacirct )(θT să fie periodică cu perioada 2π

adică ATBBABATT =rArr=rArrsdot+=+sdot+rArr=+ )(0)2()()2( θθπθθπθ minusconstant o

soluţie banală inacceptabilă

Cazul II λlt0 Găsim λθλθθ minussdotminusminussdot sdot+sdot= eBeAT )( care este o soluţie

exponenţială reală şi ca atare nu este periodică

Cazul III λgt0 Ecuaţia caracteristică are rădăcinile complexe conjugate

λλ ir plusmn=minusplusmn=21 deci )sin()cos( λθλθ este un sistem fundamental de soluţii

pentru ecuaţia (10) iar soluţia generală este

)sin()cos()( λθλθθ sdot+sdot= BAT

Determinăm A şi B astfel icircncacirct )()2( θπθ TT =+

170

Dar λπθλπθπθ )2sin()2cos()2( +sdot++sdot=+ BAT Ţinacircnd seama de faptul că

perioada este 2π rezultă că πλθλπθ n2)2( =minus+ sau πλπ n22 = de unde

(12) 2 1 0 2 == nnnλ

Deci soluţia generală a ecuaţiei (10) este

(13) 2 1 0 sincos)( =sdot+sdot= nnBnAT nnn θθθ

Cu valorile proprii (12) găsite ecuaţia (11) devine

(11prime) 0)()()( 22 =sdotminusprimesdot+primeprimesdot ρρρρρ RnRR

care este o ecuaţie de tip Euler

Pentru integrarea ecuaţiei (11prime) vom folosi schimbarea de varibilă

Obţinem succesiv

te=ρ

dtdRe

ddt

dtdR

ddRRe

ddtt tt sdot=sdot==prime=== minusminus

ρρρ

ρρρ )(1ln şi

tttt edt

RdedtdRe

ddt

dtdRe

dtd

ddR

dd

dRdR minusminusminusminus sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdotminus=sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdot=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot==primeprime

2

)(ρρρρ

ρ de unde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot=primeprime minus

dtdR

dtRdeR t2

22)(ρ Icircnlocuind )(ρR prime şi )(ρR primeprime ecuaţia (11prime) devine

022

2

=minus Rndt

Rd care este o ecuaţie diferenţială liniară omogenă cu coeficienţi

constanţi avacircnd ecuaţia caracteristică r2- n2=0 cu rădăcinile şi deci soluţia

generală sau

nr plusmn=21

ntn

ntnn eDeCR minus+=

(14) nn

nnn DCR minussdot+sdot= ρρρ )(

Pentru problema lui Dirichlet interioară trebuie să luăm Dn=0 deoarece icircn

caz contrar infinrarr=minusn

n

ρρ 1 pentru ρrarr0 şi soluţia u nu ar fi mărginită icircn origine

Pentru problema lui Dirichlet exterioară trebuie să luăm Cn=0 icircn caz contrar

ρnrarrinfin pentru ρrarrinfin şi soluţia n-ar fi mărginită la infin Deci am găsit

(14i) (i-interioară) adacăCR nnn lesdot= ρρρ )(

şi

(14e) (e-exterioară) adacăDR nnn gesdot= minus ρρρ )(

171

Am găsit astfel pentru ecuaţia (6) soluţiile

(15i) ( )θθρθρθρ nBnATRu nnn

nnn sincos)()()( sdot+sdotsdot=sdot= pentru ρle a unde

nnn CAA sdot= şi nnn CBA sdot= şi

(15e) ( )θθρθρθρ nBnATRu nnn

nnn sincos)()()( sdot+sdotsdot=sdot= lowastlowastminus pentru ρge a unde

şi nnn DAA sdot=lowastnnn DBB sdot=lowast

Conform principiului suprapunerii efectelor căutăm o soluţie de forma

(16i) ( )suminfin

=

lesdot+sdotsdot=0

sincos)(n

nnn adacănBnAu ρθθρθρ şi

(16e) ( )suminfin

=

lowastlowastminus gesdot+sdotsdot=0

sincos)(n

nnn adacănBnAu ρθθρθρ

Vom determina coeficinţii ⎯A n⎯Bn astfel icircncacirct soluţia (16lowastnA lowast

nB i)

respectiv(16e) să verifice condiţia uρ=a=f

Făcacircnd icircn (16i) şi (16e) pe ρ=a şi ţinacircnd seama că uρ=a=f obţinem

(17i) ( )suminfin

=

le=sdot+sdotsdot=0

fsincos)(n

nnn adacănBnAaau ρθθθ

şi

(17e) ( )suminfin

=

lowastlowastminus ge=sdot+sdotsdot=0

fsincos)(n

Icircn (17i) şi (17e) avem dezvoltările icircn serie ale funcţiei f icircn serie Fourier

trigonometrică periodică de perioadă 2π coeficienţii acestor dezvoltări icirci obţinem

astfel

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sdotsdotsdot=sdot

int

intπ

π

π2

0

2

0

sin)(1

cos)(1

dtnttfBa

dtnttfAa

nn

de unde

(18i) 3 2 1n sin)(1

cos)(1

2

0

2

0 isin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sdotsdotsdotsdot

=

sdotsdotsdotsdot

=

int

intπ

π

dtnttfa

B

dtnttfa

A

nn

şi int sdotsdot=π

π

2

00 )(

21 dttfA

Dacă icircnlocuim (18i) icircn (16i) obţinem

172

01

2

0

2

0

sinsin)(coscos)(1)( Adtnnttfdtnnttfa

un

n

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot= sum intint

infin

=

ππ

θθρπ

θρ

sau

sum intinfin

=

sdotminussdotsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+=

1

2

00 )(cos)(1)(

n

dttntfa

Auπ

θρπ

θρ

care mai poate fi scrisă şi astfel

(19) int sum sdot⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡minussdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+sdotsdot=

infin

=

π

θρπ

θρ2

0 1

)(cos21)(21)( dttn

atfu

n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ltlt 10

aρ

Suma seriei care figurează sub semnul de integrare din relaţia (19) poate fi

calculată pornind de la identitatea

sum sumsuminfin

=

infin

=

minusinfin

=

sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minussdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+minussdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

1 1

)(

1

)(sin)(cosn n

tinnn

n

ea

tna

itna

θρθρθρ

Seria suminfin

=

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1

)(

n

tinn

ea

θρ este o serie geometrică convergentă pentru 1ltaρ

(condiţie icircndeplinită) şi avacircnd suma

[ ]22)(

)(

)cos(2)sin()cos(

1 ρθρθρθρ

ρρ

ρ

θθ

θ

+minussdotminusminussdotsdot+minusminussdot

=minussdot

=sdotminus

sdot=

minusminusminus

minus

taataita

eaea

eaS ti

ti

deci

[ ]22

1 )cos(2))cos()(cosρθρ

ρθρθρ+minussdotminus

minusminussdot=minussdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sum

infin

= taatatn

an

n

Cu aceasta relaţia (19) devine

[ ]int sdot

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+minussdotminusminusminussdot

+sdotsdot=π

ρθρρθρ

πθρ

2

022 )cos(2

))cos(21)(21)( dt

taatatfu

sau după efectuarea calculelor din paranteza hellipobţinem

(20) int +minussdotminussdot

sdotminus

=π

ρθρπρθρ

2

022

22

)cos(2)(

2)(

taadttfau

Formula (20) se numeşte formula lui Poisson

Funcţia )( θρu din (20) verifică ecuaţia (1) a lui Laplace şi condiţia la limită

(2) Se poate arăta că icircndeplineşte şi condiţia de a fi continuă pe ΩcupC dacă f(t) este

173

continuă Funcţia )( θρu din (20) este soluţia problemei lui Dirichlet pentru

interiorul cercului cu centrul icircn origine şi de rază a

Din (17e) obţinem icircn mod analog

(21e) 3 2 1 sin)(

cos)(

2

0

2

0 isin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sdotsdotsdot=

int

intlowast

lowast

ndtnttfaB

dtnttfaA

n

π

π şi int sdotsdot=lowastπ

π

2

0

)(21 dttfAn

Procedacircnd ca icircn problema Dirichlet interioară din relaţiile (16e) (17e) şi

(21e) obţinem icircn cele din urmă

sdotminus

=π

ρθρπρθρ

2

022

22

)cos(2)(

2)(

taadttfau

(2) Se poate arăta că icircndeplineşte şi condiţia de a fi continuă pe ΩcupC dacă f(t)

este continuă Funcţia )( θρu din (22) este soluţia soluţia problemei lui Dirichlet

pentru exteriorul cercului cu centrul icircn origine şi de rază a

8 Problema lui Neumann pentru interiorul cercului

Să se determine funcţia u astfel icircncacirct ∆u=0 ( x2+y2=a2) şi )(θfdndu

C

=

Procedacircnd ca icircn cazul problemei Dirichlet se obţine soluţia (i)

( )suminfin

=

sdot+sdotsdot+=1

0 sincos)(n

nnn nBnAAu θθρθρ

unde

int sdotsdotsdot=sdotsdot minusπ

π

2

0

1 cos)(1 dtnttfAan nn şi int sdotsdotsdot=sdotsdot minus

π

2

0

1 sin)(1 dtnttfBan nn

după care icircnsumarea se face imediat dacă ţinem seama de agalitatea

suminfin

=

+sdotminus=sdotsdotminus1

2 )cos21ln(cos2n

n qqnnq αα

174

(A0 ramacircne nedeterminat) Soluţia problemei Neumann pentru interiorul cercului

x2+y2lta2 şi condiţia la limită )(θρ

fdndu

a

==

este

dta

taatfaAu sdot+minussdotminus

sdotsdotminus= intπ ρθρ

πθρ

2

02

22

0)cos(2ln)(

2)(

Formula de mai sus se numeşte formula lui Dini

9 Ecuaţia căldurii

Să considerăm o bară rectilinie situată pe axa Ox şi să notăm cu u(xt)

temperatura icircn punctul M(x) al barei la momentul t

Icircn ipoteza că icircntre suprafaţa barei şi mediul icircnconjurător nu există schimb de

căldură se arată că u(xt) verifică ecuaţia

(1) tu

axu

partpartsdot=

partpart

22

2 1

unde a2 este o constantă pozitivă care depinde de natura materialului din care este

făcută baraρsdot

=c

ka 2 k-coeficientul de conductibilitate termică c-este căldura

specifică şi ρ-densitatea Bara este presupusă omogenă şi izotropă

Ecuaţia (1) se numeşte ecuaţia căldurii Icircn R2 şi R3 (1) are forma

(1prime) tu

ayu

xu

partpartsdot=

partpart

+partpart

22

2

2 1

şi respectiv

(1primeprime) tu

azu

yu

xu

partpartsdot=

partpart

+partpart

22

2

2 1

175

Ne vom ocupa de ecuaţia (1) la care adăugăm condiţia iniţială

(2) Rxxfxu isin= )()0(

care precizează distribuţia temperaturilor la momentul t=0

Vom căuta soluţii particulare ale ecuaţiei (1) de forma

(3) )()()( tTxXtxu sdot=

Derivăm şi icircnlocuind icircn (1) obţinem )()(1)()( 2 tTxXa

tTxX primesdotsdot=sdotprimeprime

Vom elimina soluţia banală 0)( equivtxu şi prin icircmpărţire la X(x)sdotT(t) obţinem

ktTtT

axXxX

=prime

sdot=primeprime

)()(1

)()(

2

(k-constantă deorece x şi t sunt independente)

Obţinem ecuaţiile

(4) 0)()( 2 =sdotminusprime tTkatT

şi

(5) 0)()( =sdotminusprimeprime xXkxX

Din ecuaţia (4) obţinem soluţia generală tkaeCtT

2

)( sdot= C-constantă

Se pot prezenta trei cazuri

1) kgt0 Cacircnd timpul t creşte )(tT creşte putacircnd să depăşască orice valoare

Aceeaşi proprietate o va avea şi )( txu oricare ar fi punctul M(x) al barei Acest

caz este inacceptabil din punct de vedere fizic

2) k=0Avem T(t)=C temperatura icircn fiecare punct al barei nu depinde de

timp Şi acest caz este inacceptabil

3) klt0 Notăm k=minusλ2 λgt0 Soluţiile generale ale ecuaţiilor (4) şi (5) sunt

)(sincos)(22

21taeCtTşixCxCxX λλλ minussdot=sdot+sdot=

unde C1 C2 C sunt constante arbitrare

Soluţiile (3) ale ecuaţiei (1) sunt

(6) [ ] taexBxAtxu22

sin)(cos)()( λλλλλλ minussdotsdot+sdot=

unde A(λ)=CsdotC1 şi B(λ)=CsdotC2

176

Deoarece condiţiile la limită lipsesc toate valorile strict pozitive ale lui λ

sunt icircndreptăţite

Vom icircncerca să determinăm soluţia problemei sub forma

(7) intinfin

sdot=0

)()( λλ dtxutxu

care icircnlocuieşte seria din cazul cacircnd avem valori proprii şi funcţii proprii

Condiţia iniţială (2) dă

intinfin

=sdot0

)()0( xfdxu λλ

sau ţinacircnd seama de (6)

(8) [ ] )(sin)(cos)(0

xfdxBxA =sdotsdot+sdotintinfin

λλλλλ

Icircn relaţia de mai sus să considerăm pentru funcţia f(x) reprezentarea ei

printr-o integrală Fourier intintinfin

infinminus

infin

sdotminussdotsdotsdot= ττλτλπ

dxfdxf )(cos)(1)(0

Această egalitate se mai scrie

int intintinfin infin

infinminus

infin

infinminus

sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡sdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

0

sin)(sincos)(cos1)( λτλττλτλττλπ

ddfxdfxxf

Comparacircnd cu (8) observăm că

sin)(1)(cos)(1)( intintinfin

infinminus

infin

infinminus

sdotsdotsdot=sdotsdotsdot= τλττπ

λτλττπ

λ dfBdfA

Cu aceasta (6) devine

(9) intinfin

infinminus

minus sdotminussdotsdotsdot= ττλτπ

λ λ dxeftxu ta )(cos)(1)(22

Icircnlocuind relaţia (9) icircn relaţia (7) obţinem

int intinfin infin

infinminus

minus sdotminussdotsdotsdot=0

)(cos)(1)(22

ττλτλπ

λ dxefdtxu ta

sau schimbacircnd ordinea de integrare

intintinfin

minusinfin

infinminus

sdotminussdotsdotsdotsdot=0

)(cos)(1)(22

λτλττπ

λ dxedftxu ta

177

Integrala 021)(cos 2

2

224

)(

0

gtsdotsdot=sdotminussdotminus

minusinfinminusint te

tadxe ta

xta

τλ πλτλ (integrala Poisson) şi

soluţia problemei se mai scrie

(10) ττπ

τ

defta

txu tax

sdotsdotsdot=minus

minusinfin

infinminusint

2

4)(

)(2

1)(

Această formulă se generalizează pentru R2 şi R3 Astfel pentru R3

tu

au

partpartsdot=∆ 2

1 cu u(xyz0)=f(xyz) M(xyz)isinR3 soluţia este

(11) ( ) int int int

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

minus+minus+minusminus

sdotsdotsdotsdotsdot= ζηξζηξπ

ζηξ

dddefta

tzyxu tazyx

2

222

4)()()(

3 )(2

1)(

icircn ipoteza că f(xyz) este continuă mărginită şi absolut integrabilă

10 Proprietăţii ale funcţiilor armonice Prima formulă a lui Green A doua

formulă a lui Green

Prima formulă a lui Green

Fie u şi v două funcţii cu derivate parţiale pacircnă la ordinul doi continue icircntr-

un domeniu DsubR3 Notăm S=Fr(D) Icircn aceste condiţii avem

(1) [ ]intint intintint sdotsdot+∆sdot=sdotpartpartsdot

S D

dvgradugradvudsnvu ω

unde n este normala la suprafaţa S

((1) este prima formulă a lui Green)

Pentru a justifica formula (1) vom scrie formula lui Gauss-Ostrogradschi

pentru vectorul vgradua sdot=r

intint intintint sdot=sdotsdotS D

dadivdsna ωrrr

Icircn acest caz nvunapartpartsdot=sdot

rr deoarece nvnvgradpartpart

=r nr fiind considerat un versor

Pe de altă parte vgradugradvuadiv sdot+∆sdot=r ceea ce rezultă prin calcul direct asupra

178

lui kzvuj

yvui

xvua

rrrrsdot

partpartsdot+sdot

partpartsdot= (sau prin calcul cu nabla) Formula (1) se obţine

apoi prin simplă icircnlocuire icircn formula Gauss-Ostrogradschi

A doua formulă a lui Green

Icircn aceleaşi condiţii asupra lui u şi v avem

(2) ( )intint intintint sdot∆sdotminus∆sdot=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpartsdotminus

partpartsdot

S D

duvvudsnuv

nvu ω

Demostraţie Schimbacircnd rolurile lui u şi v icircn (1) obţinem

( )intint intintint sdotsdot+∆sdot=sdotpartpartsdot

S D

dvgradugraduvdsnuv ω

Scăzacircnd această relaţie din (1) obţinem formula (2)

Consecinţă Dacă u şi v sunt funcţii armonice icircn domeniul mărginit de

suprafaţa S avem

(3) intintintint sdotpartpartsdot=sdot

partpartsdot

SS

dsnuvds

nvu

şi

(4) 0=sdotpartpart

intintS

dsnu

Demonstraţie Aceste proprietăţii ale funcţiilor armonice rezultă direct din

formula (2) deoarece ∆u=0 şi ∆v=0 Icircn particular proprietatea a doua rezultă din

prima dacă luăm v=1

Are loc şi

Teorema (de reprezentare a funcţiilor armonice icircn formă integrală)

Fie u o funcţie armonică icircn domeniul DsubR3 şi S frontiera acestui domeniu

Atunci pentru orice punct M0isinD avem

(5) dsnru

nu

rMu

S

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdotminuspartpartsdotsdot= intint

11

41)( 0 π

unde r este distanţa de la M0 la punctul curent MisinS

179

Demonstraţie Pornim de la a doua formulă a lui Green (2) icircn care

considerăm r

v 1= adică soluţia cu simetrie sferică icircn raport cu M0 a ecuţiei lui

Laplace Deoarece icircn punctul M0 funcţia v nu este definită folosind faptul că

acesta este interior mulţimii D vom izola acest punct cu o vecinătate sferică

V(M0ε) cu cetrul icircn M0 de rază ε suficient de mică pentru ca V(M0ε)subD Vom

nota cu Sε suprafaţa (frontiera) sferei V(M0ε) Icircn domeniul D1= D V(M0ε) atacirct u

cacirct şi v sunt armonice deci putem aplica formula(2)

( ) dsnu

rnruds

nu

rnruduvvu

SSD

sdot⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdotminussdot⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdot=sdot∆sdotminus∆sdot intintintintintintintε

ω 11

11

1

Semnul minus apare din cauză că normala n icircn integrala pe Sε se consideră pe

exteriorul sferei icircn timp ce icircn formula (2) ar trebui să se considere spre interior

Se observă că deoarece u=r1 şi v=

r1 sunt armonice pe D1 avem

intintintintintint sdotpartpartsdotminussdot

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdot=sdot⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdotkSSS

dsnu

rds

nruds

nu

rnru 1

11

1

ε

Prin calcul direct al derivatei după normală găsim

2

111

εminus=

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

=part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

rr

nr

deci prima integrală pe Sε devine

lowastlowast sdotminus=sdotsdotsdotminus=sdotpart

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdotintint uudsnru

S

πεπε

ε

4411

22

unde u este o valoare medie a lui u pe Sε

Icircn mod analog pentru a doua integrală pe Sε găsim lowastlowast

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

sdotsdot=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

sdotsdotsdot=sdotpartpartsdotintint n

unuds

nu

rS

επεπε

ε

4411 2

180

unde lowast

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

nu este o valoare medie a lui

nupartpart pe Sε

Icircn concluzie putem scrie că

lowastlowast ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

sdotsdot+sdotminus=sdot⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdotintint nuuds

nu

rnru

S

εππ 4411

Icircn această egalitate ε este arbitrar atunci cacircnd εrarr0 icircn baza continuităţi

funcţiei u u tinde la u(M0) iar lowast

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

nu are de asemenea o limită finită astfel că

ultimul termen tinde la zero Se vede că prin această tercere la limtă se obţine

tocmai formula (5)

Obsevaţii

1Teorema precedentă rămacircne valabilă dacă D este un subdomeniu al

domeniului de armonicitate al funcţiei u

2Formula (5) arată că valorile funcţiei armonice u icircn punctele M0

interioare lui D sunt determinate de valorile pe frontiera S şi de valorile derivatei

după normală pe S Aşa cum am văzut deja icircn problema lui Dirichlet pentru cerc

icircn general determinarea lui u nu necesită cunoaşterea ambelor grupuri de valori

cunoaşterea valorilor lui u pe S conduce la o problemă Dirichlet iar cunoaşterea

lui nupartpart pe S conduce la o problemă Neumann

3O formulă analoagă cu (5) se poate obţine pentru funcţiile armonice icircn

domenii din plan Pentru aceasta folosim soluţia cu simetrie cilindrică r

v 1ln= şi

gasim icircn mod analog

dsn

runu

rMu

C

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdotminuspartpartsdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot= int

1ln1ln

21)( 0 π

unde C este o curbă icircnchisă astfel icircncacirct M0isin(C)subeD

181

Icircn cele ce urmează vom prezenta două consecinţe importante ale formulei

(5) teorema de medie şi principiul extremului

Teoremă (de medie pentru funcţiile armonice)

Dacă u este o funcţie armonică pe domeniul D M0isinD şi S este o sferă cu

centrul icircn M0 de rază a inclusă cu interiorul icircn D avem

(6) intint sdotsdot=S

dsua

Mu 20 41)(π

Demonstraţie Icircn formula (5) cosiderăm pe r =a şi observacircnd că

2

111

arr

nr

ar

minus=part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

=part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

=

obţinem

intintintintintint sdotsdot=sdotsdot+sdotpartpart

sdot=SSS

dsua

dsnu

aMu 220 4

14

141)(

πππ

(deoarece prima integrală este nulă (relaţia (4)))

Deoarece 4πa2 este tocmai aria suprafeţei S se spune că u(M0) este media

valorilor lui u pe S

Teoremă (principiul extremului pentru funcţii armonice)

Valorile extreme ale unei funcţii armonice pe un domeniu D se ating pe

frontiera acestui domeniu (cu excepţia constantelor)

Demonstraţie Să presupunem prin reducere la absurd că funcţia u armonică

pe D icircşi atinge maximul icircntr-un punct M0 interior lui D Fie V(M0ε) o vecinătate

sferică a lui M0 de rază ε suficient de mică astfel icircncacirct V(M0ε)subeD şi fie S

frontiera acestei sfere

Dacă u nu este constantă valoarea medie u pe S este strict mai mică decacirct

u(M0) Pe de altă parte aplicacircnd teorema de medie integralei duble din formula (6)

obţinemu(M0)=u

Contradicţia obţinută arată că nu este posibil ca M0 să fie interior domeniului D

Observaţie Cu toate că icircn formula (5) sunt exprimate valorile funcţiei

armonice u icircn funcţie de valorile ei pe frontieră şi de valorile derivatei sale după

182

normală pe frontieră această formulă nu este de prea mare folos icircn practică O

metodă eficientă icircn rezolvarea problemelor Dirichlet şi Neumann este aceea a

funcţiilor lui Green care constă icircn reducerea problemei Dirichlet la o problemă

particulară aceasta depinzacircnd numai de formula domeniului D

10 Probleme propuse

1 Să se reducă la forma canonică ecuaţiile cu derivate parţiale de ordinul doi

10) 02y

u22

yxu2

32x

u2=

part

part+

partpartpart

+part

part

20) 02y

u2

yxu2

22x

u2=

part

part+

partpartpart

+part

part

30) 0yuy

xux2y

u22yyxu2

2xy2x

u22x =partpart

+partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

40) 0yuy

xux2y

u22y2x

u22x =partpart

minuspartpart

+part

partminus

part

50) 02y

u22x2x

u22y =part

part+

part

60) 02y

u2

yxu2

52x

u26 =

part

part+

partpartpart

minuspart

part

70) 0yuy2y

u222xyxu2

2xy2x

u22y =partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

80) 0yucosx2y

u2x2cos

yxu2

2sinx2x

u2=

partpart

minuspart

partminus

partpartpart

minuspart

part

90) 0xu2x2y

u22y-2x

u224x =partpart

+part

part

183

2 Să se integreze ecuaţia coardei

012

2

22

2

=partpart

minuspartpart

tu

cxu

cu condiţiile

u(0t)=0 u(lt)=0

( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

leleminussdot

lelesdot=

llxllh

lxlh

oxux

2 2

2x0 2

)(

şi 0)0( =partpart x

tu

( )( )

( ) ( )l

ctnl

xnn

htxuRn

n πππ

12cos12sin12

18)(0

22

+sdot

+minus

sdot= suminfin

=

012

2

22

2

=partpart

minuspartpart

tu

cxu

cu condiţiile

u(0t)=0 u(lt)=0

( ) [ ]loxlxxlhoxu 4)( 2 isinminussdotminus=

şi 00

=partpart

=ttu

( )

( ) ( )l

ctnl

xnn

htxuRn

πππ

12cos12sin12

132)(0

33

+sdot

+sdot= sum

infin

=

4 Să se determine u(xt) care satisface ecuaţia

[ ] ( )infininfinminusisinisin=partpart

+partpart

+partpart 0 02

22

2

tlxxux

xux

tu

cu condiţiile

u(xt+2π)=u(xt) xisin[0l] tisin(-infininfin)

184

u(0t)=0 u(lt)=f(t) tisin(-infininfin)

unde f(t) este o funcţie de perioadă 2π definită astfel

t

ttfcos45

sin)(minus

=

ntl

xtxuRn

n

sin22

1)(1

sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdot= sum

infin

=

5 Să se determine funcţia u(xt) care verifică ecuaţia

xu

xtu

partpartsdot=

partpart 1

2

cu condiţiile

u(xt+2π)=u(xt)

u(0t)=f(t)

t

tfcos45

1)(minus

= xisin[0l] tisin(-infininfin)

ntetxuRxn

nn cos

21

32

31)(

22

21

1sdotsdotsdot+=

minusinfin

=sum

6 Să se reducă la forma canonică şi să se integreze ecuaţia

a) 022 2

22

2

22 =

partpart

+partpart

partminus

partpart

yuy

yxuxy

xux

)()( yxyxfxu sdot+sdotsdot= ψ

b) 023 2

22

2

=partpart

+partpart

part+

partpart

yu

yxu

xu

yxyxxyxyu

yyoxuyyu

minus+minus+minus+minus=

=partpart

=

2)2()(2)(

3)( )0(

23

2

185

c) 065 2

22

2

=partpart

+partpart

part+

partpart

yu

yxu

xu

1

)3( )2(23 minus+=

==minusminus

minus

xyxy

xx

eeuexxuexxu

d) 056 2

22

2

=partpart

+partpart

partminus

partpart

yu

yxu

xu

)2cos()3sin()(

sin2cos3)( cossin)0(

yxyxyxu

xxoxyuxxxu

+++=

minus=partpart

+=

e) 02

22

2

22 =

partpartsdotminus

partpartsdot+

partpartsdotminus

partpartsdot

yuy

xux

yuy

xux

yxchxyshyxu

exyuexu x

y

x

+=

sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

= minus

=

)(

)1(1

f) 02 2

22

2

22 =

partpartsdotminus

partpartsdot+

partsdotpartpart

yuy

xux

yuy

yxuxy

xux

186

CAPITOLUL VII

ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL

1 Probleme geometrice şi mecanice de calcul variaţional Funcţională Funcţii

admisibile Clasificarea extremelor funcţionalelor (extreme absolute extreme

relative) Lemele fundamentale ale calculului variaţional

Vom defini noţiunile de bază ale calculului variaţional pornind de la ideile

sugerate de cacircteva probleme de extremum clasice

1) Problema brachistocronei

Prima problemă de calcul variaţional a fost problema brachistocronei

Un punct material M porneşte din A

fără viteză iniţială şi se mişcă sub acţiunea

gravitaţiei pe arcul de curba AB cuprinsă

icircntr-un plan vertical (fig1) Problema

brachistocronei constă icircn următoarele

dintre toate curbele netede ce unesc

punctele A şi B să se determine aceea pe

care punctul M ajunge din A icircn B icircn

timpul cel mai scurt

Viteza lui M icircn fiecare punct al arcului AB este

gy2dtdsV ==

Timpul icircn care punctul material M descrie arcul AB va fi dat

de dxgyy

VdsT

b

a

sdotprime+

== int int 21 2

y=y(x)xisin[ab]

187

Deci timpul T necesar ca punctul material (mobilul) să ajungă din A icircn B pe

arcul y=y(x) xisin[ab] are expresia (T[y])

[ ] [ ]baCydxgyy

yTb

a

2

1 12

isinsdotprime+

= int

Spunem că timpul este o funcţională de tip integrală care depinde de y şi

care verifică condiţiile y(a)=0 y(b)=y1

Funcţionala (1) are ca domeniu de definiţie funcţiile de clasă C1[ab] care

trec prin punctele date A şi BAceste funcţii se numesc linii admisibile icircn cazul

problemei brachistocronei sau traiectoriei optimale Problema revine deci la a

determina curba y(x)isinC1[ab] care trece prin punctele A şi B pentru care

funcţionala (1) ia valoarea minimă

2) Problema geodezicelor

Fie (S) o porţiune netedă de

suprafaţă a cărei ecuaţie sub formă

implicită este F(xyz)=0 iar un arc

de curbă aparţinacircnd suprafeţei (S) şi care

trece prin punctele A şi B de pe suprafaţa

(S) (fig2) Numim curbă geodezică a

suprafeţei orice arc de curbă de pe

suprafaţa (S) ce realizează minimul

distanţei dintre două puncte de pe

suprafaţă

Fig 2

B (S)

A

Dacă y=y(x) z=z(x) xisin[ab] yzisinC1[ab] sunt ecuaţiile parametrice ale

unui arc de curbă de pe suprafaţa (S) ce trece prin A şi B atunci lungimea arcului

este dată de

(2) [ ] int sdotprime+prime+=b

a

22 dx)x(z)x(y1)x(z)x(yI

188

Icircn acest fel problema geodezicelor constă icircn determinarea funcţiilor y(x) şi

z(x) de clasă C1[ab] care să treacă prin A B şi să satisfacă ecuaţia suprafeţei deci

F(xy(x)z(x))=0 şi să realizeze minimul funcţionalei (2) care depinde de două

funcţii necunoscute y(x) şi z(x) Mulţimea liniilor admisibile pentru funcţionala (2)

reprezintă totalitatea arcelor de curbă de pe suprafaţa (S) cu tangenta continuă şi

care trece prin punctele date A şi B Icircn plan geodezicele sunt segmente de dreaptă

3) Problema suprafeţelor minime(Plateau)

Dată fiind o curbă simplă icircnchisă

C situată icircn spaţiul cu trei dimensiuni

se cere să se determine suprafaţa

deschisă (S) mărginită de această curbă

şi care are aria minimă

∆

Fie Γ=prxOyC ∆=prxOyS şi

z=z(xy) (xy)isin∆ ecuaţia suprafeţei (S)

(fig3)

Aria suprafeţei (S) este dată de

egalitatea

(3) [ ] intint∆

sdotsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+== dydxyz

xzAzI S

22

1

Avem de determinat funcţia z=z(xy) care face minimă integrala (3) şi ia

valorile z=ϕ(xy) pe curba Γ frontiera domeniului ∆

4) Probleme de extremum codiţionat

Cele trei exemple considerate reprezintă probleme tipice de calcul

variaţional (extremum necondiţionat) O altă clasă de probleme de calcul

variaţional o constituie problemele de extremum condiţionat

a Problema formei de echilibru unui fir greu flexibil şi inextensibil de

lungime dată fixat la capete (fig4)

189

Poziţia de echilibru corespunde cazului cacircnd ordonata centrului de greutate

yG are valoarea minimă Fie y=y(x) ecuaţia de echilibru Atunci

(4) dxyyl

yb

aG sdotprime+sdotsdot= int 211

b2

mă

cur

scr

iar

car

exe

(l - lungimea AB ) dxyla

sdotprime+= int 1

Problema formei de echilibru a

lănţişorului constă icircn determinarea

funcţiei y=y(x)isinC1[ab] care să treacă

prin punctele A şi B să verifice condiţia

` dxylb

a

sdotprime+= int 21 şi să realizeze minimul

funcţionalei (4)

b Problema izoperimetrică

Se cere curba plană icircnchisă de lungime l care delimitează un domeniu

rginit de arie maximă Fie x=x (t)y=y(t) tisin[ab] ecuaţiile parametrice ale unei

be C Avem x(a)= x(b)y(a)= y(b) Condiţia ca lungimea curbei C să fie l se

ie

(5) ldtyxb

a

=sdotprime+primeint 22

aria mărginită de această curbă este dată de integrala

(6) ( ) dtyxxy21A

b

a

sdotprimeminusprimesdot= int

Avem de determinat x= x(t)y=y(t) supuse la codiţiile x(a)= x(b) y(a)= y(b)

e verifică (5) şi fac integrala (6) maximă

Icircn exemplele prezentate mai sus s-a pus problema extremelor unor integrale

e depind de funcţiile care intervin sub semnul de integrare Astfel icircn primul

mplu avem o integrală de forma

(7) [ ] dxyyxFyIb

a

sdotprime= int )(

190

icircn al doilea o integrală

(8) [ ] dxzyzyxFzyIb

a

sdotprimeprime= int )(

iar icircn al treilea

(9) [ ] intint sdotsdotpartpart

partpart

=D

dydxyu

xuuyxFuI )(

Definiţie Fie F o mulţime de funcţii Dacă fiecărei funcţii fisinF facem să-i

corespundă un număr real vom spune că avem o funcţională I[f] definită pe F cu

valori icircn R

Definiţie Se numeşte vecinătate de ordinul n al funcţiei f0isinF mulţimea

funcţiilor fisinF care pentru orice xisin[ab] verifică inegalităţile

(10) ( ) ( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

ltminus

ltprimeminusprimeltminus

ε

εε

)()()()()()(

0

xfxf

xfxfxfxf

nn

unde ε este un număr strict pozitiv dat (n=0-vecinătate de ordinul zero)

Definiţie Diferenţa δf0(x)=f(x)-f0(x) xisin[ab] se numeşte variaţia

argumentului funcţionalei I[f] cacircnd se trece de la funcţia f0isinF la funcţia fisinF

Icircn exemplele expuse de mai sus am văzut că nu toate funcţiile mulţimii F pe

care este definită o funcţională I[f] sunt luate icircn considerare icircn problema respectivă

(de minim sau maxim)

Definiţie Se numesc funcţii admisibile icircntr-o problemă de extremum a unei

funcţionale I[f] fisinF acele funcţii din F care satisfac condiţiile suplimentare

impuse de problema respectivă

Să precizăm ce se icircnţelege prin maximul sau minimul unei funcţionale

Fie I[f] o funcţională definită pe mulţimea F şi G mulţimea funcţiilor

admisibile icircntr-o problemă de extremum a funcţionalei I[f] Evident GsubF

Definiţie Se spune că I[f] admite un maxim absolut pentru f0isinG dacă

pentru orice funcţie fisinG avem

I[f0] ge I[f]

191

Dacă pentru orice funcţie fisinG avem

I[f0] le I[f]

atunci se spune că f0 realezează un minim absolut al funcţionalei I[f]

Ca şi petru extremele unei funcţii uneori ne interesează nu extremele

absolute ale unei funcţionale ci extremele relative icircn care noţiunea de vecinătate

joacă un rol important

Definiţie Se spune că funcţionala I [f] admite un maxim relativ tare pentru

f0isinG dacă există o vecinătate de ordinul zero a funcţiei f0 astfel icircncacirct pentru orice

funcţie fisinG conţinută icircn această vecinătate

I[f0] ge I[f]

Dacă această inegalitate are loc numai pentru funcţiile fisinG situate icircntr-o

vecinătate de ordinul icircntacirci a funcţiei f0 se spune că I[f] admite pentru f0 un maxim

relativ slab

Analog se definesc minimele relative tari şi slabe ale funcţiei I[f]

Maximele şi minimele unei funcţionale se numesc extremele acelei

funcţionale

Evident orice extrem absolut al unei funcţionale este şi extremum relativ

tare De asemenea orice extremum relativ tare icircndeplineşte şi condiţiile unui

extremum relativ slab

Icircn cele ce urmează vom determina condiţii necesare de extremum ralativ

slab acestea fiind condiţii necesare şi pentru un extremum relativ tare sau pentru

un extremum absolut Pentru stabilirea unor astfel de condiţii vom utiliza două

teoreme ajutătoare care se numesc lemele fundamentale ale calculului variaţional

LEMA 1 (Lagrange) Fie funcţia fisinC[ab] Dacă

(11) int =sdotsdotb

a

dxxxf 0)()( η

pentru orice funcţie continuă cu derivata continuă ηisinC1[ab] şi care verifică

condiţiile η(a) = η(b) = 0 atunci f(x)equiv0 pe [ab]

192

Demonstraţie Să presupunem că icircntr-un punct cisin[ab] am avea f(c)ne0 Dacă

c=a atunci pe baza continuităţii rezultă f(a)ne0 Analog pentru c=b De aceea vom

admite că f(c)ne0 cisin(ab) Putem considera f(c)gt0 (astfel icircnmulţim cu(-1) relaţia

(11) Deoarece fisinC[ab] şi f(c)gt0 rezultă că există intervalul (αβ) α lt c lt β

conţinut icircn [ab]

astfel icircncacirct să avem

Considerăm

Observăm că

Inegalitatea obţinu

demonstrată

int int=sdotsdotb

a

fdxxxfβ

α

η )()(

LEMA 2 (D

(12) intb

a

g

pentru orice funcţi

este constantă icircn in

Prin combin

cele două leme şi c

LEMA FU

funcţiile continue f

(13)

f(x)gt0forallxisin(αβ)

funcţia

( )( )⎩

⎨⎧

notinisinminussdotminus

= 0)()(

)(22

βαβαβα

ηxxxx

x

η(x) satisface condiţiile lemei (ϕ(a) = η(b) = 0 şi ηisinC1[ab]) şi

deoarece f(x)gt0 pentru xisin(αβ)

tă cotrazice egalitatea (11) din lemă şi lema este astfel

gtsdotminussdotminussdot dxxxx βα 0)()()( 22

u Bois Raymond) Fie funcţia continuă gisinC[ab] Dacă

=sdotprimesdot dxxx 0)()( η

e ηisinC1[ab] care verifică condiţiile η(a) = η(b) = 0 atunci g(x)

tervalul [ab] deci g(x)= constant

area celor două leme obţinem o propoziţie de bază conţinacircnd

are se aplică la deducerea condiţiilor necesare de extremum

NDAMENTALĂ A CALCULULUI VARIAŢIONAL Fie

gisinC[ab] Dacă

[ ]int =sdotprimesdot+sdotb

a

dxxxgxxf 0)()()()( ηη

193

pentru orice funcţie ηisinC1[ab] care verifică condiţiile η(a) = η(b) = 0 atunci

funcţia g este derivabilă pe [ab] şi gprime(x) = f(x)

Demonstraţie Considerăm funcţia Observăm că Fprime(x)=f(x) şi

deci

int sdot=x

a

dttfxF )()(

intintintint sdotprimesdotminus=sdotprimesdotminussdot=sdot=sdotsdotb

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxxFdxxxFxFxxdFxdxxxf )()()()()()()()()()( ηηηηη

[ ]int =sdotprimesdotminusx

a

dxxxFxg 0)()()( η

Pe baza lemei 2 rezultă g(x)minusF(x)= constant de unde gprime(x)=f(x) Cu aceasta

lema fundamentală este demonstrată

2Funcţionale de forma [ ] dxyyxFyIb

a

sdotprime= int )( Condiţii necesare de extrem

Ecuaţia lui Euler Condiţia lui Legendre

Să considerăm funcţionala

(1) [ ] dxyyxFyIb

a

sdotprime= int )(

definită pe o mulţime F de funcţii y(x) xisin[ab] Vom determina o condiţie

necesară de extremum relativ consideracircnd ca funcţii admisibile funcţiile yisinF de

clasă C2[ab] şi care verifică icircn plus condiţiile la limită

(1) y(a)=y1 y(b)=y2

Fie y(x) funcţia care realizează un extremum relativ pentru (1) şi η(x)

arbitrară de clasă C2[ab] cu η(a)=0 şi η(b)=0

Funcţia

(3) Y(x) = y(x) + αη(x)

unde α este un parametru mic icircn modul este evident că o funcţie admisibilă şi

aparţine unei vecinătăţi de ordinul icircntacirci date a funcţiei y(x) pentru |α| suficient de

194

mic Icircnlocuind icircn (1) pe y(x) cuY(x) şi presupunacircnd η(x) fixă obţinem o integrală

icircn funcţie de parametrul α

[ ] [ ] dxxxyxxyxFb

a

sdotprime+prime+=image int )()()()( ηααηα

Dacă y(x) realizează un extremum relativ al integralei icircn mulţimea tuturor

funcţiilor admisibile acesta va trebui să fie un extremum relativ şi icircn mulţimea

Y(x) obţinute din (3) pentru diferite valori ale lui α Condiţia necesară de

extremum este prime(0)=0 image

Observăm că

[ ] [ ] [ ] dxxxyxyxFxxyxyxFb

ayy sdotprimesdotprime+sdotprime=image int prime )()()()()()(0 ηη

unde yFFy partpart

= şi yFFy primepartpart

=prime Ultimul termen poate fi integrat prin părţi

[ ] intint sdotprimesdotminusprimesdot=sdotprimesdotprime primeprimeprime

b

ay

b

a

b

ayy dxyyxFdxdxyyxFxdxxyyxF )()()()()()( ηηη

Datorită faptului că η(a) = η(b) = 0 primul termen din membrul drept al

egalităţi de mai sus este nul Deci condiţia image (0)=0 devine

(4) int =sdotsdot⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ primeminusprime=image prime

b

ayy dxxyyxF

dxdyyxF 0)()()()0( η

icircn care funcţia y=y(x) realizează un extremum al integralei (1) iar yprime=yprime(x) este

derivata sa Egalitatea (4) are loc pentru orice η(x)isinC2[ab] supusă condiţiilor

η(a)=0 η(b)=0 Cu ajutorul lemei 1 deducem că funcţia y(x) verifică ecuaţia

(5) 0)()( =primeminusprime prime yyxFdxdyyxF yy

Ecuaţia (5) se numeşte ecuaţia lui Euler corespunzătoare funcţionalei (1) şi

se mai poate scrie şi sub forma

(5prime) Fyprimeyprime yprimeprime+Fyyyprime+Fxyprime minusFy=0

unde yx

FFyy

FFy

FF yxyyyy primepartsdotpartpart

=primepartsdotpart

part=

primepartpart

= primeprimeprimeprime

22

2

Am obţinut astfel următorul rezultat

195

Teoremă (Euler) Dacă F(xyyprime)isinC2[ab] şi dacă y(x) realiuează un

extremum relativ la integralei icircn mulţimea funcţiilor din clasa

C

[ ] int sdotprime=b

a

dxyyxFyI )(

2 [ab] care satisfac condiţiile la limită y(a)=y1 y(b)=y2 atunci y(x) verifică

ecuaţia lui Euler (5)

Observaţie Ecuaţia lui Euler este o condiţie necesară dar nu suficientă

pentru funcţia y(x) care realizează un extremum al funcţionalei (1)

Definiţie Orice curbă integrală a ecuaţiei lui Euler (5) se numeşte extremală

a funcţionalei (1) chiar dacă aceasta nu realizează un extremum al funcţionalei

Condiţia lui Legendre

Pentru determinarea naturi extremului unei funcţionale un rol important icircl

joacă variaţia de ordinul doi

[ ] [ ] dxxQxPyIb

a

sdotprimesdot+sdot=sdot int 222 )()( ηηηδ

unde

yyyyyy FxQFdxdFxP primeprimeprime =minus= )()(

Observăm că variaţia de ordinul doi este formă pătratică icircn raport cu η şi ηprime

Are loc

Teorema (Legendre) [ ] 002 gehArrgesdot primeprimeyyFyI ηδ

De aici avem

Teorema (Legendre) Fie funcţionala definită pe

mulţimea liniilor admisibile D=⎨yisinC

[ ] int sdotprime=b

a

dxyyxFyI )(

2[ab]y(a)=y1y(b)=y2⎬ Condiţia necesară ca

linia extremală ⎯y=y(x) xisin[ab] să realizeze minimul funcţionalei I[y] este ca de-a

lungul extremalei să fie icircndeplinită inegalitatea

(6) Fyprimeyprime(⎯y)ge0

Analog pentru ca linia extremală y=y(x) xisin[ab] să realizeze maximul

funcţionalei I[y] este ca de-a lungul ei să fie icircndeplinită inegalitatea

(7) Fyprimeyprime(⎯y)le0

196

Observaţie Relaţiile (6) şi (7) se obţin din [ ] 02 gesdot ηδ yI sau [ ] 02 lesdot ηδ yI

3 Funcţionale conţinacircnd derivate de ordin superior Ecuaţia Euler ndash Poisson

Condiţia lui Legendre Exemplu

Fie funcţionala

(1) ( )int=b

a

)n( dxyyyxF]y[I

definită pe mulţimea liniilor admisibile

[ ] 110 )()( 2)(

1)( minusisin==isin= nkybyyaybaCyD kkkkn unde

Icircn mulţimea liniilor admisibile D se cere să

se determine funcţia care verifică la capetele intervalului [ab]

condiţiile

( ) ]ba[x R ]ba[CF 1n1n1n

2 isinsub∆∆timesisin +++

]ba[Cy nisin

(2) 1-n 01k )( )( )(2

)()(1

)( isin== kkkk ybyyay

şi realizează extremul funcţionalei (1)

Funcţia y cu proprietăţile de mai sus verifică ecuaţia

(3) 0Fdxd)1(F

dxdF

dxdF )n(yn

nn

y2

2

yy =sdotminus+minus+minus

numită ecuaţia lui Euler-Poisson

Demonstraţia celor de mai sus se face astfel dacă y(x) este o funcţie care

realizează un extremum relativ icircn mulţimea D care satisface (2) atunci y(x)

realizează un extremum relativ şi icircn mulţimea funcţiilor Y(x)=y(x)+αη(x) unde

η(x) este o funcţie fixă din clasa C2n[ab] anulacircndu-se icircn punctele a şi b icircmpreună

cu derivatele sale pacircnă la ordinul n-1 inclusiv iar α este un parametru care ia

valori suficient de mici icircn modul Icircnlocuind icircn (1) pe y(x) cu Y(x) se obţine o

integrală funcţie de α

dx)αηy αηy αηyx(F)( (n))n(b

a

+++=αimage int

care va trebui să aibă un extremum pentru α=0 Pentru aceasta este necesar ca

0)0( =image

197

Avem

[ ]dx FηFηFη)0(b

ay

(n)yy

)n(int +++=image

[ ] intintint minusminusminus ηminus=ηminusη=ηb

ay

)1k(b

ay

)1k(b

a

bay

)1k(y

)k( dxFdxddxF

dxd FdxF )k()k()k()k(

de unde

(4) )10k 0(b)η(a)(η n 12k

)()1(

(k)(k)

)()()(

minus===isin

minus=int intn

dxFdxdxdxF

b

a

b

ayk

kk

yk

kk ηη

Deci

(5) dx η(x)Fdxd)1(F

dxdF

dxdF)0(

b

ayn

nn

y2

2

yy )n( sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus+minus+minus=image int

Datorită acestei egalităţi şi a lemei 1 condiţia 0)0( =image se reduce la (3) şi

deci y este determinat

Calculacircnd variaţia de ordinul doi se poate arăta că pentru ca linia

extremală

η]y[Iδ2

][ )( baxxyy isin= să realizeze minimul funcţionalei (1) este necesar ca de-

a lungul ei să avem

(6) 0)()()( geyF nn yy

iar pentru ca linia extremală y = ]ba[x )x(y isin să realizeze maximul funcţionalei

(1) este necesar ca de-a lungul ei să avem

(7) 0)()()( leyF nn yy

Inegalităţile (6) şi (7) reprezintă condiţiile lui Legendre corespunzătoare

funcţionalei (1) de-a lungul extremalei y =y(x)

Exemplu Fie funcţionala definită pe mulţimea liniilor

admisibile

(int +=1

0

2 dxyy2]y[I )

0(1)y(0)y 0)1()0( ]10[2 ====isin= yyCyD Să se determine linia

admisibilă care realizează extremul funcţionalei şi să se specifice natura acestuia

198

Avem şi ecuaţia Euler-Poisson va fi 2yy2F +=

0FdxdF

dxdF y2

2

yy =+minus

de unde obţinem y(4) +1=0 cu soluţia generală

432

23

1

4

AxAxAxA24xy ++++minus=

Constantele se determină din condiţiile y(0)=y(1)=0 yrsquo(0)=yrsquo(1)=0 ceea ce

asigură ca linia extremală să fie o linie admisibilă Obţinem

[01] x241224

234

isinminus+minus=xxxy

Deoarece 02)( gt=yF yy condiţia lui Legendre arată că linia extremală

realizează minimul funcţionalei Se obţine 7201][min minus=yI

4Funcţionale depinzacircnd de mai multe funcţii Sistemul Euler-Lagrange

Condiţia Legendre Exemplu

Să considerăm funcţionala RDI rarr

(1) [ ] ( )dxyyyyyyxFyyyI n21n21

b

an21 int=

21k )()( n1k ][ 211 nybyyaybaCyD kkkkk isin===forallisin=

şi [ ]( ) [ ]ba xR baCF n2n2n2

2 isinsub∆∆timesisin

Icircn mulţimea liniilor admisibile D se cere să se determine funcţiile

şi care verifică la capete condiţiile la limită [ baCyyy 1n21 isin ]

(2) 21k )( )( 21 nybyyay kkkk isin==

şi se realizează extremul funcţionalei (1)

Are loc următoarea

Teoremă Dacă [ ]( )n22 baCF ∆timesisin şi funcţiile realizează

extremul funcţionalei (1) atunci ele verifică ecuaţiile

Dyyy n21 isin

199

(3) 21k 0

ndxd

kykyFF isin=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

((3) ndash sistemul lui Euler-Lagrange corespunzător funcţionalei (1))

Demonstraţie Considerăm o mulţime particulară de funcţii admisibile de

forma

[ ] n12k ba x)(ηα)()( kk isinisin+= xxyxY kk unde n21 yyy este sistemul de

funcţii pentru care funcţionala (1) admite un extremum relativ sunt n funcţii

fixate arbitrare din clasa care se anulează icircn extremităţile a şi b iar α

)x(ηk

[ baC2 ] k

n1k = sunt n parametri cu valori mici icircn modul

Icircnlocuind Yk(x) icircn (1) obţinem

( ) ( dxηαyηαyηαyηαyηαyxFαααb

a nnn111nnn222111121 int +++++=image )

Funcţia de mai sus de n variabile va trebui să admită un extremum relativ

pentru α1=α2=hellip=αn=0 Pentru aceasta este necesar ca

0αααpentru 00 0 n21n21

=====αpartpartimage

=αpartpartimage

Deci

int isin=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot+sdot

b

a kkdxyFyF n12k 0ηη kk

Integracircnd prin părţi şi ţinacircnd seama că 0)b(η)a(η kk == obţinem

21k 0)(η

ndxxdxd

k

b

a kykyFF isin=sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusint

Folosind Lema 1 se obţine sistemul (3)

Observaţie Orice soluţie a sistemului (3) se numeşte extremală a

funcţionalei (1) O extremală particulară este complet determinată prin condiţiile la

limită (2)

Fie ( ) Dyyy y n21 isin= o extremală a funcţionalei (1) şi fie

( ) n12ji yyy

FAji

2

ji isinpartpart

part=

200

Are loc

Teorema (Condiţia Legendre) Notăm prin

(4) nnnn

n

AAA

AAAAAA

AAAA

AD

D D

21

22221

11211

n2221

12112111 ===

şi

(5) n12k )1( isinsdotminus= kk

k DD

Dacă

(a) 000 21 gtgtgt nDDD

atunci y realizează minim pentru funcţionala (1) iar dacă

(b) 00 0 2

1 gtgtgt nDDD

atunci y realizează maxim pentru funcţionala (1)

Valoarea extremă a funcţionalei icircn cazurile (a) sau (b) de mai sus va fi I[ y ]

Exemplu

Să se determine extremul funcţionalei şi natura lui dacă RDI rarr

( ) ( )[ ] dxyz2zy]zy[I2

0

22intπ

++=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

isin= 12

z12

y 0z(0)y(0) 2

0C)zy(D 1

Ecuaţiile Euler-Lagrange sunt 0yz0zy =minus=minus Cu soluţiile isinD

⎩⎨⎧

minusminus+=+++=

minus

xsinCxcosCeCeCzxsinCxcosCeCeCy

43x

2x

1

43x

2x

1

şi din (yz) isinD obţinem C1=C2=C3=0 C4=1 deci linia extremală ce realizează

extremul este dat de

y =sin x z =-sin x Condiţiile lui Legendre sunt

201

42002

FFFF

D 2FDzzyz

zyyy2yy1 ===== şi din (a) rezultă că extremala

(sin x -sin x) realizează un minim pentru funcţională Valoarea minimă se obţine

uşor

Imin(sin x-sin x)=2π

5 Funcţionale determinate prin integrale multiple Ecuaţiile lui Euler ndash

Ostrogradschi Exemplu

Pentru uşurinţa expunerii vom considera funcţionala definită

printr-o integrală dublă

RRDI 2 rarrsub

(1) intint ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

=D

dxdyyu

xuuyxF]u[I

Se pune problema extremelor acestei funcţionale icircn mulţimea funcţiilor

ce iau valori date pe frontiera C a domeniului D )D(C)yx(u 2isin

(2) ( ) ( )yxfyxu C=

Are loc următoarea

Teoremă (Ostrogradschi) Dacă şi DyxRDCF isinsub∆∆timesisin )( )( 333

2

yu

xuu

partpart

luacircnd valori arbitrare iar u(xy) realizează un extremum relativ al funcţionalei (1)

icircn mulţimea funcţiilor din clasa care verifică egalitatea )D(C2 )yx(f)yx(u C =

atunci u(xy) este soluţie a ecuaţiei cu derivate parţiale

(3) ( ) ( ) 0FFy

Fx uyuxu =minus

partpart

+partpart unde

yuu

xuu yx part

part=

partpart

=

Demonstraţie Vom considera mulţimea funcţiilor

(4) )yx(αη)yx(u)yx(U +=

unde u(xy) este funcţia pentru care (1) admite un extremum arbitrară şi )D(C2isinη

0y)η(x C= iar α este un parametru care ia valori mici icircn modul Dacă u(xy) are un

202

extremum icircn mulţimea funcţiilor admisibile aceeaşi proprietate o va avea şi icircn

mulţimea (4) Pentru aceasta este necesar ca integrala

( ) ( )intint +++=αimageD

yyxx dxdyαηuαηuαηuyxF

să admită un extremum pentru α=0 Condiţia 0)0( =imageprime se scrie dezvoltat

0dxdyD yuFyηxuFxηuηF)0( =intint ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=imageprime

Integrala referitoare la ultimii doi termeni se mai poate scrie

dxdyyxD D

dxdyyxD

dxdy⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

+part

part

intint intintminus⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

partpart

intint =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

yuFxuF

ηyuηF

xuηFyuFyηxuFxη

Folosind formula lui Green prima integrală din membrul drept se poate

transforma icircntr-o integrală pe frontiera C a domeniului D şi avem

dxdyyxD

dxFdyFD

dxdyC

uu yX

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

+part

part

intintminusminusintint =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+ int

yuFxuF

)(yuFyηxuFxη η

Deoarece ( ) 0yx c =η integrala curbilinie este nulă şi condiţia ( ) 00 =imageprime

devine

( ) ( )intint =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

minuspart

part

minus=imageprimeD

dxdyyxyyuF

xxuF

uF 0η0

Această condiţie are loc icircn ipotezele lemei 1 (icircn R2) De aici rezultă ecuaţia

(3) şi teorema este demonstrată

Observaţie Ecuaţia (3) se numeşte ecuaţia lui EulerndashOstrogradschi

corespunzătoare funcţionalei (1) Orice soluţie a ecuaţiei (3) se numeşte extremală

a funcţionalei (1) chiar dacă acea funcţie nu realizează efectiv un extremum al

funcţionalei Adăugacircnd la ecuaţia (3) o condiţie la limită de forma ( ) ( )yxfyxu c=

se obţine o extremală particulară

Teorema lui Ostrogradschi poate fi extinsă pentru o funţională de forma

203

[ ] intint intΩ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

= dxdxdxxu

xu

xuuxxxFuI n21

n21n21 unde nRsubΩ

Ecuaţia lui Euler-Ostrogradschi va avea forma

n12k u unde 0 k1

isinpartpart

==partpart

minus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpartsum

= k

n

k kk xu

uF

x

Exemplu Să se găsească extremul funcţionalei

[ ] intintΩ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

= dxdyyxyu

xuuI 22

22

unde ( ) 43 442

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ minus+=isin=Ω

partyxuDCu

D ( ) 1 222 le+isin= yxRyxD

Soluţie

Ecuaţia lui Euler ndash Ostrogradski corespunzătoare funcţiei

2222

yxyu

xu

yu

xuuyxF +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart este

(1) 0=minus⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

partpart

uFyuF

yxuFx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=partpart

=yuu

xuu yx sau

(1) 02

2

=partpart

+partpart

yu

xu

care este ecuaţia lui Laplace S-a obţinut problema interioară Dirichlet pentru cerc

Pentru a impune mai uşor condiţia la limită D

upart

vom trece la coordonate polare

(2) ⎩⎨⎧

==

θρθρ

sincos

yx

de unde rezultă

(2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

+=

xyarctg

yx

θ

ρ 22

Observăm că ρ

ρ xx=

partpart

ρρ yy=

partpart 2ρ

θ yx

minus=partpart şi 2ρ

θ xy=

partpart

204

Obţinem

(3)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

partpart

+partpart

=partpart

partpart

+partpart

partpart

=partpart

partpart

minuspartpart

=partpart

partpart

+partpart

partpart

=partpart

θρρρθ

θρ

ρ

θρρρθ

θρ

ρ

uyuyy

uy

uyuşi

uyuxx

ux

uxu

2

şi

(4)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

partpart

minuspartpartminus

+partpart

part+

partpart

=partpart

partpart

+partpartminus

+partpart

partminus

partpart

=partpart

θρρρρ

θρθρρρρ

θρρρρ

θρθρρρρ

uxyuyuxuxyuyyu

şi

uxyuxuyuxyuxxu

43

22

2

4

22

32

2

43

22

2

4

22

32

2

22

Icircnlocuind (4) icircn (1) acesta devine

(5) 02

2

22 =

partpart

+partpart

θρρ

ρρ uuu

(6) θθθ

4cos41

43

sincos

44 =minus+===part

yxD

yxu

Pentru rezolvarea problemei (5) şi (6) vom folosi metoda separării

variabilelor căutăm o soluţie de forma

(7) ( ) ( ) ( ) θρθρ TRu =

Observăm că ( ) ( ) ( ) ( )θρρ

θρρ

TRuTRu 2

2 =

partpart

=partpart şi ( ) ( )θρ

θ

2

TRu=

partpart

(8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02 =++ θρθρρθρρ TRTRTR

de unde prin icircmpărţire la ( ) ( ) 0neθρ TR obţinem

(9) ( )( )

( )( )

( )( )θθ

ρρρ

TT

RR

2 minus=+

fiind o funcţie numai de θ egalitatea lor este posibilă pentru orice ρ şi orice θ

numai dacă cei doi membri au aceeaşi valoare constantă pe care o notăm cu λ din

relaţia (9) obţinem următoarele ecuaţii

205

(10) ( ) ( ) 0 =+ θλθ TT

şi

(11) ( ) ( ) ( ) 02 =minus+ ρλρρρρ RRR

Funcţia căutată ( )θρu trebuie să fie periodică icircn raport cu θ cu perioada

π2 adică să avem ( ) ( )θρπθρ 2 uu =+

Pentru aceasta ( )θT trebuie să fie periodică cu perioada π2 Avem deci de

găsit valorile parametrului real λ pentru care ecuaţia (10) are soluţii nebanale

(problema Sturm - Liouville) periodice cu perioada π2 Ecuaţia (10) este o ecuaţie

diferenţială liniară omogenă cu coeficienţii constanţi cu ecuaţia caracteristică

şi rădăcinile 02 =+ λr λminusplusmn=21r

Cazul 10 0ltλ Găsim ( ) θλθλθ minusminusminus += eCeCT 21 care este o soluţie

Cazul 20 0=λ Avem 021 == rr şi ( ) θθ BAT += Vom determina şi

astfel icircncacirct

1A 2B

( )θT să fie periodică cu perioadă π2 adică ( ) ( ) =+hArr+= θπθθ BATT 2

( ) 02 =hArr++= BBA πθ şi deci ( ) AT =θ (o constantă) soluţie banală inacceptabilă

Cazul 30 0gtλ Ecuaţia caracteristică are rădăcinile complexe conjugate

λir plusmn=21 şi deci soluţia generală este ( ) sincos θλθλθ BAT += Din condiţia

( ) ( )θπθ TT =+ 2 şi din faptul că funcţiile şi sunt periodice cu perioada sin cos π2

rezultă că ( ) πλθλπθ n22 =minus+ sau πλπ n22 = de unde

(12) 321 2 isin= nnnλ

(13) ( ) 321 sincos isin+= nnBnAT nnn θθθ

Cu valorile proprii (12) astfel obţinute ecuaţia (11) devine

(11) ( ) ( ) ( ) 022 =minus+ ρρρρρ RnRR

Ecuaţia (11) este de tip Euler pentru integrarea ei vom face schimbarea de

variabilă Obţinem te=ρ

206

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

=

minus

dtdR

dtRdeR

şidtdReR

t

2

22

ρ

Icircnlocuind şi ecuaţia (11( )ρR ( )ρR ) devine

(11) 022

2

=minus Rndt

Rd

care este o ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi avacircnd ecuaţia

caracteristică cu rădăcinile 022 =minus nr nr plusmn=21 şi deci soluţia generală

(14) nn

nnn DCR minus+= ρρρ)(

Pentru problema lui Dirichlet interioară trebuie să luăm deoarece icircn

caz contrar

0=nD

infinrarr=minusn

n

ρρ 1 pentru 0rarrρ şi deci soluţia nu ar fi mărginită icircn

origine Deci

u

(15) nnn CR ρρ =)(

(16) 321 )()()( isin= nTRu nnn θρθρ

sau

(16) ( ) 321 sincosA)( n isin+= nnBnu nn

n θθρθρ

unde nnn CAA = şi nnn CBB =

Conform principiului suprapunerii efectelor căutăm o soluţie ( )θρu de

forma

(17) ( ) 321 sincosA)(1

n isin+= suminfin

=

nnBnun

nn

n θθρθρ

Vom determina coeficienţii nA şi nB astfel icircncacirct ecuaţia (17) să verifice

condiţia la limită (6) ( ) 4cos411 θθ ==

partDuu

Observăm că 4 040

41 NkBNkAA kk isinforall=minusisinforall== Deci soluţia ( )θρu

primeşte forma

207

(18) ( ) θρθρ 4cos4

=u

Funcţionala admite un minim [ ]uI [ ]uI deoarece ( ) 021 gt== uxuxuFD şi

( ) ( )

( )04

2002

)(2 _ gt===u

yuFyuFu

xuyuF

uyuxuFu

xuxuF

D

Observăm că

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

= θθρθρ

θρ

θθρ

θρ

θ 22422

cossincossinsincos uuuuFu

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

233233

cos4sin4

44cossin4

4sin4sin4

44coscos4

4 θθρθθρθθρθθρ

24cos1

43sin3cos2sin

4

426262

4 θρθρθρθρ minus++=+ sau θρρρ 4cos

88

446 minus+=UF

Deci

(19) [ ] intint ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+==

4cos88

446

minD

dduII θρρθρρρ

unde şi ⎩⎨⎧

lelelele

πθρ

2010

D θρρ dddxdy =

Relaţia (19) se mai scrie

intint intint int int minus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1

0

2

0

57

557

min 84cos

88D D

ddddddIπθρρρθρθρθρρρ

int int minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=minus

1

0

2

0

2

0

1

0

62

0

1

0

685 02

481

814sin

41

681

4884cos

81 π

ππ

πθρθρρθθρρ dd

de unde

247

minπ

=I

208

6 Probleme izoperimetrice Extreme condiţionate ale funcţionalelor Teorema

lui Euler Problema lui Lagrange

Se numeşte problemă izoperimetrică problema determinării extremalelor

unei funcţionale de forma

(1) [ ] ( )dxyyyyyyxFyyyIb

an21n21n21 int=

(2) ( ) ( ) 21 y 2k1 nkybyay kkk isin==

şi condiţiile suplimentare

(3) ( ) m12i 2121 isin=int i

b

anni adxyyyyyyxG

unde ( )m1i a i = sunt m constante date

Vom examina cazul cacircnd funcţionala este de forma

(4) [ ] ( )int=b

a

dxyyxFyI

şi este dată o singură condiţie suplimentară

(5) ( )int =b

a

mdxyyxG

Funcţiile F G şi constanta m sunt date

Are loc următoarea

Teoremă (Euler) Dacă funcţia [ ]baCy 2isin şi verifică condiţiile la limită

(6) ( ) ( ) 21 yby yay ==

este o extremală a funcţionalei (4) şi verifică icircn plus condiţia (5) şi dacă y(x) nu

este o extremală a integralei (5) atunci există o constantă λ astfel icircncacirct y(x) să fie o

extremală a funcţionalei

(7) [ ] ( ) ( )[ ]dx yyxGyyxFyKb

aint λ+=

Demonstraţie Să considerăm familia de funcţii

(8) ( ) ( ) ( ) ( )xηαxηαxyxY 221121 ++=αα

209

unde y(x) este extremala căutată η1(x) şi η2(x) sunt două funcţii fixe arbitrare din

C2[ab] nule la capetele intervalului

(9) η1(a) = η1(b) = 0 η2(a) = η2(b) = 0

iar α1 şi α2 doi parametri suficient de mici icircn modul

Icircnlocuind icircn integrala (5) icircn locul funcţiei y(x) funcţia Y(x α1α2) din (8)

obţinem o integrală depinzacircnd de α1 şi α2

( ) ( )int ++++=αimageb

a22112211211 dxηαηαyηαηαyxGα

şi condiţia (5) devine

(10) ( ) mαα 211 =image

Să aratăm că din această egaliatate putem scoate pe α2 icircn funcţie de α1

Calculăm derivatele parţiale ale funcţiei ( )211 ααimage pentru α1=α2=0 Avem

( )int =+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage b

ayiyi

0i

1 12i dxGηGηα

Integrăm prin părţi ultimul termen şi ţinacircnd seama de (9) obţinem

(11) ( ) 12i ηGGα iyy

0i

1 int isin⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage b

a

dxxdxd

Dacă y(x) nu este o extremală a integralei (5) atunci 0GG yy neminusdxd şi

putem alege funcţia η2(x) astfel ca 0α

02

1 ne⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage Ecuaţia (10) este verificată de

valorile particulare α1=α2=0 ( ) m001 =image deoarece Y(x00)=y satisface (5)

Datorită condiţiei 0α

02

1 ne⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage conform teoremei referitoare la funcţiile implicite

există o vecinătate a punctului α1=0 icircn care ecuaţia (10) defineşte pe α2 ca funcţie

de α1 iar derivata 1

2

dαdα icircn punctul α1=0 este

(12)

02

1

01

1

01

2

α

αdαdα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

210

Reluacircnd familia de funcţii (8) care depinde acum de un singur parametru α1

(deoarece α2 este funcţie de α1 definită prin (10)) şi icircnlocuind icircn (4) obţinem o

funcţie de α1

( ) ( )int ++++=imageb

a221122111 dxηαηαyηαηαyxFα

care trebuie să admită un extremum pentru α1=0 deci ( ) 00 =imageprime Avem

( ) int ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=imageprime

b

ay2

01

21y2

01

21 dxFη

dαdαηFη

dαdαη0

sau integracircnd prin părţi ultimul termen şi ţinacircnd seama de (9)obţinem

( ) int int ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus=imageprime

b

a

b

a 2yy01

21yy dxηF

dxdF

dαdαdxηF

dxdF0

Dacă icircnlocuim 01

2

dαdα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ cu valoarea sa din (12) icircn care facem icircnlocuirile date

de (11) deducem

( ) dxηGdxdGλdxηF

dxdF0

b

a

b

a 2yy1yyint int ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus+⎟

⎠⎞

unde

int

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

minus= b

a2yy

b

a2yy

dxηGdxdG

dxηFdxdF

λ

Această egalitate se mai poate scrie

( ) ( )int ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +minus+=image

b

adxxyGyF

dxd

yGyF 1ηλλ0

Condiţia datorită lemei 1 se reduce la ( ) 00 =imageprime

( ) 0GλFdxdGF yyyy =+minusλ+

care este chiar ecuaţia lui Euler corespunzătoare funcţionalei (7) Teorema este

demonstrată

Problema lui Lagrange Să considerăm funcţionala

211

(13) [ ] ( )int=b

a

dxzzyyxFzyI

Problema lui Lagrange constă icircn determinarea unui arc de curbă

(14) ( ) ( ) [ ]ba xxzz xyy isin==

care este situat pe suprafaţa

(15) ( ) 0zyxG =

şi extremează integrala (13) Punctele A(x1 y1 z1) (x1=a x2=b) şi B(x2 y2 z2)

aparţin suprafeţei deci G(x1 y1 z1)=0 G(x2 y2 z2)=0 Faptul că A şi B aparţin

curbei se traduce prin condiţiile la limită

(16) ( ) ( ) ( ) ( ) 2121 z zbzazybyyay ====

Are loc următoarea

Teoremă (Lagrange) Dacă sistemul de funcţii (14) este un sistem extremal

al funcţionalei (13) cu condiţiile (15) şi (16) atunci există o funcţie λ(x) astfel

icircncacirct sistemul (14) este un sistem extremal al funcţionalei

(17) [ ] ( )[ ]dx GxλFzyKb

aint +=

7 Probleme propuse

1 Să se determine extremalele şi natura lor pentru funcţionala RDI rarr

a) [ ] [ ]

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡isin=

++minus= int

04

10 4

0

384

1

4

0

22

ππ

π

yyCyD

undedxyyyyI

b) [ ] [ ]

[ ] ( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==isin=

++= int

21

1

0

222

311

310 10

2

eyyCyD

undedxyeyyyI x

212

a) [ ] ( )

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

====isin=

primeprime+minus= int010010 10

2

1

0

2

yyyyCyD

undedxyyyI

b) [ ] [ ]

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

minus====isin=

primeprime++= int

1 110010 10

2

1

0

222

shyyyyCyD

undedxyyyyI

3 Să se determine extremalele şi natura lor pentru funcţionala

[ ] RDzyI rarr

a) [ ] [ ]

( ) ( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡isin=

+minus+= int

122

000 2

0

52

1

2

0

22

πππ

π

zyzyCzyD

undedxyzzyzyI

b) [ ] [ ]

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 0100 10

2

1

0

22

⎪⎩

⎪⎨

⎧

====isin=

++= intyzzyCzyD

undedxyzyyI

213

4 Să se determine extremul funcţionalei ID R rarr

[ ]

( ) ( ) ( ) ⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

le+isin=Ω⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=partpart

=Ωisin=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

Ωintint

420

232

2220

21

22

yxRyxşixyuxxuCuD

undedxdyyu

yu

xu

xuuI

y

5 Să se determine extremalele funcţionalei ID R rarr

a) [ ]

[ ] ( ) ( ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==isin=

== intint6110 10

3 legaturacu

1

0

1

0

2

yyCyD

undedxydxyyI

b) [ ]

[ ] ( ) ( )

00 0

unde1 sin legaturacu

100

2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==isin=

== intintππ

ππ

yyCyD

dxxydxyyI

214

CAPITOLUL VIII

DISTRIBUŢII

1 Spaţii de funcţii LPKSξ

Fie şi ( ) nn21 Rxxxx isin= ( ) n

n21 R isinααα=α avacircnd coordonatele

Nk isinα 21 nk isin

Fie o funcţie complexă de variabilă reală Derivata

parţială a funcţiei f se va nota

C)sau R( Rf n =ΓΓrarr

fxxx

fDn21

n21

x ααα

α++α+αα

partpartpartpart

=

unde n21 α++α+α=α reprezintă ordinul de derivare al funcţiei f Icircn particular

ffD0x =

Definiţia 1 Numim suport al funcţiei f şi notăm supp mulţimea

(1) ( ) 0xf supp neisin= xfRn

adică icircnchiderea mulţimii punctelor din Rn unde funcţia f ia valori diferite de zero

Dacă supp f este mărginită rezultă că supp f este o mulţime compactă

Au loc următoarele proprietăţi

(2) ⎩⎨⎧

cap=sdotcup=+

g supp f supp g)(f suppg supp f suppg)(f supp

Definiţia 2 Spunem că funcţia este absolut integrabilă pe Rn dacă este finită

integrala

(3) ( )int nRdxxf

Spaţiul LP Fie pge1 un număr real şi f o funcţie complexă definită pe

mulţimea nRsubΩ

Definiţia 3 Funcţia ΓrarrΩf este p integrabilă pe nRsubΩ dacă integrala

215

(4) ( ) prop+ltintΩ

dxxf p

Mulţimea funcţiilor p integrabile pe Ω se va nota cu LP(Ω) şi se va numi

spaţiul LP (Ω) LP(Ω) este un spaţiu vectorial peste Γ

Spaţiul K

Definiţia 4 Numim spaţiu K mulţimea funcţiilor complexe

indefinit derivabile

Γrarrϕ nR

( )( )nRCpropisinϕ şi cu suport compact

Acesta este un spaţiu vectorial peste corpul Γ elementul nul fiind funcţia

R x 0 nisinforall=ϕ

Exemplu Icircn spaţiul R funcţia

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

ge

lt=

minusminus

a

aexxa

a

xpentru 0

xpentru 22

2

ϕ de grafic şi supp ( ) [ ]aax a minus=ϕ

e-1

y

xa-a

Spaţiul K se icircnzestrează cu o structură de convergenţă

Definiţia 5 Şirul ( )( ) ( )nNii RKx isinϕ isin converge icircn spaţiul K către funcţia

( ) ( ) RKx nisinϕ şi vom scrie ϕrarrϕi dacă există o mulţime compactă astfel

icircncacirct şi şirul

nRsubΩ

Ωsubϕi supp Ωsubϕ supp ( ) ϕ⎯rarr⎯ϕ ui icircmpreună cu ϕ⎯rarr⎯ϕ αα

xu

ix DD

Spaţiul S

Definiţia 6 Numim spaţiul S al funcţiilor temperate mulţimea funcţiilor

complexe indefinit derivabile care pentru Γrarrϕ nR rarrpropx tind la zero mai

repede decacirct orice putere a lui 1x minus

216

Icircn particular S(R) avem de exemplu funcţia ( ) Rxex2x isin=ϕ minus cu supp ϕ=R

Spaţiul ξ

Definiţia 7 Numim spaţiu ξ mulţimea funcţiilor complexe

indefinit derivabile şi cu suport oarecare

Γrarrϕ nR

Exemplu Funcţiile ϕ=1 ϕ=x2 ϕ=0 isinξ(R)

Există relaţiile K sub S sub ξ sub LP

Spaţiile vectoriale KS ξ icircnzestrate cu o structură de convergenţă se vor

numi spaţii fundamentale iar funcţiile dintr-un asemenea spaţiu funcţii

fundamentale Un spaţiu fundamental se notează cu Φ

2 Spaţiul distribuţiilor Operaţii cu distribuţii Exemple

Fie ( ) ( )ΓΓ YE două spaţii vectoriale peste acelaşi corp de scalari Γ iar XsubE

un subspaţiu al lui E Aplicaţia se va numi operator Operatorul T este

un operator liniar dacă

YXT rarr

( ) ( ) ( ) Xyx şi ba ybTxaTbyaxT isinforallΓisinforall+=+

O clasă particulară de operatori o formează funcţionalele Astfel dacă Y=Γ

atunci operatorul se va numi funcţională Valoarea unei funcţionale icircn

punctul xisinX se va nota T(x)=(Tx) (xisinR sau xisinC) Spunem că funcţionala T este

liniară dacă satisface condiţia de liniaritate a unui operator

ΓrarrXT

Definiţia 1 Numim distribuţie o funcţională liniară şi continuă definită pe

un spaţiu fundamental Φ( KS ξ)

Icircn felul acesta fiecărei funcţii ϕisinΦ i se asociază după o anumită lege un

număr complex (f ϕ) care satisface condiţiile

1) ( ) ( ) ( ) ΦisinϕϕforallΓisinααforallϕα+ϕα=ϕα+ϕα 212122112211 şi fff

2) ( ) ( ) Φisinϕϕϕ=ϕrArrφ⎯rarr⎯ϕ Φ fflim iii

217

Condiţia 1) exprimă liniaritatea funcţionalei ΓrarrΦf iar condiţia 2

continuitatea funcţionalei Convergenţa şirului ϕ i către ϕ se face icircn sensul

convergenţei din spaţiul fundamental Φ

Mulţimea distribuţiilor pe Φ se notează cu Φ` Astfel distribuţiile definite pe

K se notează K` şi se numesc distribuţii de ordin infinit iar distribuţiile definite pe

S se notează S` şi se numesc distribuţii temperate Icircn mulţimea distribuţiilor se

defineşte operaţia de adunare şi icircnmulţire cu scalari astfel

A) ( ) ( ) ( ) şi ff ffff 212121 ΦisinϕforallΦprimeisinforallφ+φ=φ+

B) ( ) ( ) ΦisinforallΦprimeisinforallΓisinforall= ϕαφαφα şifff

Definiţia 2 Fie distribuţia f isin Φ` şi şirul de distribuţii fi isin Φ` iisinN Spunem că

şirul (fi) converge către distribuţia f şi vom scrie fflim ii=

infinrarrdacă şi numai dacă

( ) ( )ϕϕ lim ffii=

infinrarrΦprimeisinforall ϕ

Aceasta icircnseamnă că şirul de distribuţii (fi) converge către distribuţia f dacă

şirul de numere complexe (fi ϕ) converge către numărul complex (f ϕ) Mulţimea

distribuţiilor Φ` icircn care este definită adunarea icircnmulţirea cu scalari şi o structură

de convergenţă este un spaţiu vectorial cu o convergenţă numit spaţiul

distribuţiilor Φ`

O clasă importantă de distribuţii sunt distribuţiile de tip funcţie sau

distribuţiile regulate Aceste distribuţii sunt generate de funcţii local integrabile

( )intΩ

Ωforallinfinlt dxxf mărginit

Astfel dacă este o funcţie local integrabilă pe ΓrarrnRf nR atunci

funcţionala ΓrarrKTf dată prin relaţia

(1) ( ) ( ) ( )int isinϕϕ=ϕnR

f K dxxxfT

este o distribuţie pe spaţiul K numită distribuţie de tip funcţie Pentru simplitate icircn

loc de distribuţia vom scrie f fT

Exemplul 1 Distribuţia ( ) nR xx isinδ definită prin relaţia

( ) ( )( ) ( ) 0xx Φisinϕϕ=ϕδ se numeşte distribuţia lui Dirac Funcţionala ce o defineşte

218

este liniară şi continuă Se mai spune că distribuţia lui Dirac este concentrată icircn

originea reperului

Exemplul 2 Funcţia dată prin RR rarrθ

( )⎩⎨⎧

gelt

=θ0 x10 x0

x

se numeşte funcţia lui Heavyside Această funcţie este local integrabilă deoarece

există Ea generează o distribuţie de tip funcţie avem ( )intθb

a

dxx θT

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) dxxdxxxxxTb

aint int+infin

infinminusθ ϕ=ϕθ=ϕθ=ϕ

unde [ab] reprezintă suportul funcţiei fundametale Kisinϕ Distribuţia generată de

funcţia lui Heavyside se numeşte distribuţia lui Heavyside

Asupra distribuţiilor avem proprietăţiile

( ) ( ) ( ) 2

-x2

-xsinx xxcosx 0xx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ πδ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ πδδ=δ=δ

( ) ( )( ) ( ) ( )( )00 xxxfxxxf +ϕ=ϕminus (translaţia) şi

( ) ( )( ) ( ) ( )( )xxfxxf minusϕ=ϕminus (simetria)

dacă f(x) este de o variabilă omotetia se defineşte prin

( ) ( )( ) ( ) ( )Rf R x0a axxf

a1xaxf Φprimeisinisinne⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ϕ=ϕ

Icircn particular pentru distribuţia lui Dirac ( ) ( ) 0 1ne= ax

aax δδ

Definiţia 3 Numim suport al unei distribuţii complementara reuniunii

mulţimilor deschise pe care se anulează această distribuţie

Exemplu distribuţia lui Heavyside are suportul [0infin) iar distribuţia lui Dirac

are ca suport punctul x=0

Icircntre K`S` ξ` avem ξ` sub S` sub K`

Definiţia 4 Un şir de funcţii local integrabile ( ) Niif isin defineşte pe nR este un

şir reprezentativ Dirac dacă icircn spaţiul distribuţiilor K` ( ) (xfxflim ii=

infinrarr)

219

3 Derivarea distribuţiilor Produsul direct şi produsul de convoluţie

Proprietăţi

Derivata unei distribuţii constituie o generalizare a derivatei unei funcţii

Dacă pentru orice funcţie fundamentală ( )RCf 1isin ( )RKisinϕ putem scrie

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

infin+ ϕminusϕ=+=ϕinfinminus

dxxfxxxf dxxfxfxxf

cum supp ϕ este compact rezultă că 0 =ϕinfinplusmn

şi astfel relaţia precedentă devine

(1) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )xxfxxf ϕminus=ϕ

care este formla de derivare a distribuţiilor Analog derivata de ordin α

(2) ( ) ( ) ( ) ( )RK Df1fD nisinϕϕminus=ϕ ααα

Dacă ( )3RKf primeisin atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partϕpart

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

partpart

yzxzyxzyxf1zyx

yzxzyxf

2

33

2

3

Pentru derivata distribuţiei lui Heavyside avem ( ) ( )x

dxxd

δ=θ

ceea ce arată legătura dintre distribuţia lui Heavyside şi distribuţia lui Dirac

concentrată icircn origine Icircntr-adevăr

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )xx0xdxxxxxdx

xd00

ϕδ=ϕ=ϕminus=ϕminus=ϕθminus=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕθ infininfin

int

Fie f şi g două funcţii complexe definite respectiv pe nR şi mR

Definiţia 1 Funcţia complexă definită prin relaţia

se numeşte produsul direct sau tensorial al funcţie f prin g şi

se notează

Γrarrtimestimes mn RRgf

( )( ) ( ) (ygxfyxgf sdot=times )

(3) ( ) ( ) ( ) ( )ygxfygxf otimes=times

Definiţia 2 Fie f şi g funcţii complexe local integrabile pe nR Funcţia

unde Γrarrsublowast nRXgf

(4) ( )( ) ( ) ( ) n

R

RX xdttxgtfxgfn

subisinminus=lowast int

220

se numeşte produsul de convoluţie al funcţiilor f şi g Se poate arăta ca produsul de

convoluţie este asociativ şi ditributiv

( ) ( ) hgfhgf fggf lowastlowast=lowastlowastlowast=lowast

şi

( ) ( ) ( )hfgfhgf lowastβ+lowastα=β+αlowast

Exemplu Să calculăm θ(x)lowastθ(x)sin x unde θ(x) reprezintă funcţia lui

Heavyside Putem scrie

( ) ( )⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

gelt

=θgelt

=θ0 xsin x0 x 0

xsinx 0 x10 x0

x

deci

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

geθ

lt=θlowastθ int

x

0

0 xdtt-x sint

0 x0 xsinxx

Pentru x ge 0 obţinem

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )xcos1x0 xxcos1

0x 0xsinxx

Deci xcos1txcosdttxsindttxsintx

0

x

0

x

0

minusθ=⎩⎨⎧

geminuslt

=θlowastθ

minus=minus=minus=minusθ intint

Are loc proprietatea

Teorema (Titchmarsh) Fie ( )+isin RCgf Dacă fg=0 atunci f=0 sau g=0

Produsul de convoluţie definit pentru funcţiile local integrabile se poate

generaliza pentru distribuţii

Definiţia 3 Fie distribuţiile ( )RKgf nprimeisin Numim produs de convoluţie al

distribuţiei f şi g distribuţia fg definită pe ( )nRK prin relaţia

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) R yxygxfyxygxfxxgxf nisinϕforall+ϕ=+ϕtimes=ϕlowast

Distribuţia lui Dirac δ(x) reprezintă elementul unitate icircn raport cu produsul

de convoluţie al distribuţiilor ( )nRKprimeisinf ( ) ( ) ( )xfxxf =δlowast

4 Aplicaţii ale teoriei distribuţiilor Reprezentarea unei forţe concentrate

221

Fie intensitatea forţei pe unitatea de lungime ce acţionează icircn punctul

M(x) perpendicular pe bara AB (fig1)

( )xfn

A

y

x ⎟⎠⎞

⎝n1⎜⎛ O B

M(x)

2n

fn

xo

yo

⎟⎠⎞

⎝minus

n1

⎜⎛

F(o-P)

O

y

x

Fig2

Fig1

Intensitatea are expresia ( )xfn

( ) ( ) [ ][⎪⎩

⎪⎨⎧

notin

isin=

n1n

1-pentru x 0n

1n1-pentru x 2 Pn

xfn ] n fiind număr natural Pgt0

Sistemul de forţe uniform distribuit pe bară are ca rezultantă vectorul

Momentul rezultant )PO(R minusr

oMr

al acestor forţe icircn raport cu originea reperului este

nul Icircn consecinţă sistemul de forţe uniform distribuit pe bară este echivalentul cu

vectorul rezultant Rr

a cărui mărime este P adică aria dreptungiului din fig 1 Pe de

altă parte cacircnd intensitatea forţei distribuite infinrarrn P)2n(fn = tinde la infinit iar

lungimea pe care acţionează tinde la zero Mărimea rezultantei a forţelor este

independentă de lungimea barei AB şi este egală cu P Pentru obţinem o

forţă concentrată

Rr

infinrarrn

)PO(F minusr

aplicată icircn origine Dar intensitatea a foţelor

distribuite reprezintă un şir de funcţii ce nu are limită icircn sens obişnuit Deci nu

putem scrie

)x(fn

on y)x(flimF rr

= Sirul ( ))x(fn este un şir reprezentativ Dirac adică

Deci forţa concentrată icircn origine (fig2) se poate scrie sub forma )x()x(flim nn

δ=infinrarr

on

n

oon

ny)x(P)x(flimyPy)x(flimF)5( rrrr

δsdot=sdot=sdot=infinrarrinfinrarr

Raţionamentul prezentat ne permite ca icircn general o forţă

acţionacircnd icircntr-un punct să fie reprezentată ca forţa uniform distribuită

icircn tot spaţiul sub forma

)FFF(F zyx

r

)( 000 zyxA

222

)zzyyxx(F)zyx(q)6( ooo minusminusminusδ=rr

unde reprezintă sarcina distribuită echivalentă cu acţiunea forţei icircn punctul A qr F

r

Conform expresiei (6) a forţei

concentrate Fr

(Fig 3) direcţia sensul şi

mărimea forţei sunt caracterizate prin

vectorul Fr

iar punctul de aplicaţie prin

distribuţia lui Dirac care are ca suport

punctul Pentru deducerea

expresiei (6) este suficient să considerăm un

şir reprezentativ Dirac icircn

)zyx(A 000

3R adică pentru care )zyx(fn

Fr

A(x0y0z0)

O y

z

)()(lim ooonn

zzyyxxzyxf minusminusminus=infinrarr

δ

Icircn acest mod proiecţiile sarcinii echivalente qr date de (6) au expresiile

(7)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

minusminusminus==

infinrarr

)()(lim

ooozznn

z

oooyynn

y

oooxxnn

x

zzyyxxFFzyxfq

δ

5 Reprezentarea unui cuplu concentrat

Fie )FF(rr

minus un sistem de două forţe paralele egale ca mărime şi de sensuri

contrare (fig1)

Acest ansamblu reprezintă icircn

mecanica corpului rigid un cuplu şi

este caracterizat printr-un vector liber

Mr

numit momentul cuplului Braţul

cuplului este distanţa d dintre liniile

de acţiune a celor două forţe paralele

iar mărimea momentului este

dFM sdot= unde FFr

=

α

ouFF rrsdot=

Fr

minus

O

y

A(-a0) B(a0) d

x

Fig1

223

Dacă ansamblul )FF(rr

minus acţionează asupra unui solid deformabil atunci cele

două forţe şi - trebuie considerate ca forţe concentrate care nu se pot reprezenta

prin vectori alunecători aşa cum se procedează icircn cazul solidului rigid Evident că

icircn cazul solidelor deformabile nu putem să nu luăm icircn consideraţie punctele de

aplicaţie A şi B ale celor două forţe paralele precum şi direcţia forţelor paralele

Notacircnd cu versoul forţei paralel forţelor -

Fr

our Fr

şi Fr

aplicate respectiv icircn punctle

şi le corespund sarcinile distribuite )0a(A minus )0a(B

)0ax(Fq)F()0ax(Fq)F()1( 21 minusδ=rarr+δminus=rarrminusrrrrrr

Ansamblului de forţe )FF(rr

minus icirci corespunde sarcina echivalentă qr avacircnd expresia o

21 u)]0ax(F)0ax(F[qqq)2( rrrrrrminus++δminus=+=

Definiţia 1 Numim moment concentrat icircn origine limita icircn sensul teoriei

distribuţiilor a ansamblului de forţe concentrate )FF(rr

minus cacircnd braţul de pacircrghie

consideracircnd versorul 0d rarr our al forţei Fr

precum şi mărimea momentului

constante dFM sdot=

Proprietate Fie 0)xF( o ne=ltαrr

Atunci expresia matematică a cuplului

concentrat icircn origine qlim0d

r

rarr este

x)yx(

sinMuqlim o

0d partδpart

sdotα

sdotminus=rarr

rr

Demonstraţie Fie o funcţie fundamentală Atunci din figura 1

şi ţinacircnd seama de relaţia (2) avem

)R(K)yx( 2isinϕ

α= sina2d

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αminusϕminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αϕ=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α+δminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αminusδ=ϕ

rarr

rarrrarr

0sin2d0

sin2d

dM

limu

osin2dxo

sin2dx

dM

limu)q(lim

0d

o

0d

o

0d

r

rr

Aplicacircnd formula creşterilor finite expresiei din paranteză obţinem

x)0(

limsinuM)q(lim)4( d

0d

o

0d partξϕpart

sdotα

=ϕrarrrarr

rr

unde ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ααminusisinξ

sin2d

d Cacircnd atunci şi 0d rarr 0d rarrξ şi expresia (4) devine

224

)yx(x

)yx(sin

Mux

)00(sin

uM)q(lim)5( oo

0d⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ

partϕpart

sdotα

minus=partϕpart

sdotα

=ϕrarr

rr

r

de unde

x)yx(

sinMuqlim)6(

o

0d partϕpart

sdotα

minus=rarr

rr

Cu ajutorul acestor momente concentrate putem reprezenta alte sarcini

concentrate cu o structură mai complexă

6 Calculul variaţional icircn distribuţii Probleme discontinue

Icircn scopul lărgirii cadrului de aplicabilitate a rezultatelor obţinute icircn calculul

variaţional şi posibilităţii tratării unor probleme de calcul variaţional icircn care liniile

admisibile prezintă discontinuităţi de speţa icircntacirci vom defini noţiunea de variaţie a

unei funcţionale icircn spaţiul distribuţiilor Fie funcţionala

dx)yyx(F]y[I)1(b

aint=

unde Mulţimea liniilor admisibile pentru funcţionala (1) este

mulţimea de funcţii

32 RD)D(CF subisin

(2) y)b(yy)a(y|]ba[Cy 211 ==isin=∆

Variaţia de ordinul icircntacirci a funcţionalei (1) are expresia

int ηsdot+ηsdot=ηδ=δb

ayy dx)FF()y(II)3(

unde este o funcţie arbitrară verificacircnd condiţiile ]ba[C1isinη 0)b()a( =η=η Icircn locul

funcţiei putem considera o funcţie fundamentală η )(RKisinϕ avacircnd suportul inclus

icircn intervalul [ab] deci supp Icircn acest fel (3) devine ]ba[subϕ

int ϕ+ϕ=ϕδ=δR

yy dx)FF()y(II)4(

Pe de altă parte lagrangianul F se poate prelungi cu valori nule icircn afara

domeniului lui de definiţie 3Rsub∆ cu toate că acest lucru nu este absolut necesar

icircntrucacirct icircn (4) nu intervin decacirct valorile din 3Rsub∆

225

Analog efectuăm o prelungire a liniei admisibile ∆isiny icircn afara intervalului

[ab] astfel icircncacirct să fie de clasă pe R fapt ce este posibil oricacircnd Mulţimea

funcţiilor fundamentale cu proprietatea supp

2C

)R(Kisinϕ ]ba[subϕ o vom nota cu

К Ksub Icircn felul acesta variaţia de ordinul icircntacirci Iδ se poate scrie sub forma

)F()F()I()y(I)5( yy ϕ+ϕ=ϕδ=ϕδ

ceea ce arată că variaţia de ordinul icircntacirci este o distribuţie definită pe subspaţiul К

Ksub al funcţiilor indefinit derivabile cu suport icircn [ab]

Lema fundamentală a calcului variaţional icircn cazul că liniile admisibile sunt

distribuţii dinspaţiul este )R(K

Lemă Condiţia necesară şi suficientă pentru ca distribuţia să fie

nulă pe [ab] este ca pentru orice

)R(Kf isin

0))x()x(f( =ϕ isinϕ ξ Ksub deci supp ]ba[subϕ

Ţinacircnd seama de regula de derivare icircn distribuţii expresia (5) se poate scrie sub

forma

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕminus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕminusϕ=ϕδ F

dxdFF

dxd)F()I( yyyy

de unde pe baza lemei avem ecuaţia lui Euler icircn distribuţii

0FdxdF)6( yy =minus

operaţiile de derivare fiind considerate icircn spaţiul distribuţiilor

Dacă icircn extremala are o discontinuitate de speţa I atunci linia extremală

pe intervalele verifică ecuaţiile

ox

]bx()xa[ 00

yyxy FFdxd~F)FyF(

dxd~)7( ==minus

( d~ derivata icircn sens obişnuit) iar curba extermală trebuie să verifice icircn ox

0)F(S0)FyyF(S)8( yxx oo==minus

(unde este saltul funcţiei icircn ) oxS ox

Condiţiile suplimentare (8) se numesc condiţiile Erdmann-Weierstrass

Icircn concluzie dacă o linie extremală are o discontinuitate de speţa icircntacirci icircn

punctul atunci ea satisface ecuaţia lui Euler pe intervalele )ba(xo isin ]bx()xa[ 00

226

iar icircn punctul de discontinuitate trebuie să verifice condiţiile Erdmann-

Weierstrass

ox

Exemplu Fie funcţionala

int= minus11

22 dxyx]y[I)9(

Se cere să se determine curba care să realizeze minimul

funcţionalei (9) şi să treacă prin punctele A(-1-1) B(11)

]11[Cy 1 minusisin

B(11) Brsquo

Arsquo A(-1-1)

O

y

x

Deoarece rezultă că Cum inf rezultă că

valoarea minimă a funcţionalei este

022 ge= yxF 0]y[I ge 0]y[I =

0]y[I = Aceasta implică F = 0 deci 0y =

adică y este constant Aceasta este o funcţie de clasă dar nu trece prin

punctele A şi B Prin urmare funcţionala (9) nu icirc-şi atinge minimul icircn mulţimea

liniilor admisibile de clasa Vom căuta curbe netede pe porţiunea care să

realizeze minimul funcţionalei Deci problema nu are soluţie icircn clasa Ecuaţia

lui Euler corespunzătoare funcţionalei (9) este

]11[C1 minus

1C

0)()10( 2 =yxdxd

de unde se obţine ecuaţie considerată icircn distribuţii Soluţia acestei ecuaţii

este distribuţia de tip funcţie

0yx 2 =

⎩⎨⎧

leminusgt

=minusθ=0x10x1

1)x(2)x(y)11(

Derivacircnd icircn sensul distribuţiilor avem

)x(2y δ= deci ceea ce arată că (11) reprezintă soluţia ecuaţiei lui

Euler icircn distribuţii

0)x(x2yx 22 =δ=

227

Prin urmare curba ce realizează minimul funcţionalei este compusă din

segmentele paralele cu axa Ox AArsquo şi BBrsquo ce trec prin punctele date A şi B

Punctul de discontinuitate a soluţiei (11) este 0xo = Icircn acest punct cele două

condiţii Erdmann-Weierstrass sunt icircndeplinite deoarece

0)yx(S)FyF(S 2ooyo =minus=minus

0|)yx(0|)yx( oo2

oo22 =minus=minus +minus 0y = pentru 0x ne Analog

Problema formulată pentru funcţionala (9) a fost pusă de către KWeiestrass

0)yx2(S)F(S 2oyo ==

7 Probleme propuse

1 Să se demonstreze că icircn avem )R(K 2

|)x|at(a|)x|at(t

minusδ=minusθpartpart

2 Fie şirul de funcţii Rx))x(f( n isin

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

gt

leleminus

leleminus+

minuslt

=

n1pentrux0

n1x0pentru)nx1(n

0xn1pentru)nx1(n

n1xpentru0

)x(fn

Să se arate că este un şir reprezentativ Dirac ))x(f( n

3 Fie distribuţia

0x)()x()x(f 1 gtα

αΓθ

= minusαα

Să se arate că β+αβα = fff

228

4 Considerăm operatorul

22

2

R)tx(ttx

2t

3 isinpartpart

minuspartpart

partminus

partpart

=∆

şi distribuţia )R(K)tx(E 2isin

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

isingeminusminus+

lt= )|(0)]3()([

41

00 RKttxtx

ttxE θθθ

fiind distribuţia lui Heavyside Să se arate că

)tx()tx(E δ=∆

229

CAPITOLUL IX

TEORIA PROBABILITĂŢILOR

1 Cacircmp de evenimente Cacircmp de probabilitate Definiţia clasică a

probabilităţii Model generalizat al probabilităţii Problema acului (Buffon)

Definiţia axiomatică a probabilităţii după A N Kolmogorov

Icircn calculul probabilităţilor prin experienţă se icircnţelege orice act ce poate fi

repetat icircn condiţiile date Prin eveniment se icircnţelege orice situaţie legată de o

experienţă despre care putem spune că s-a realizat sau nu icircn urma efectuării

experienţei

Astfel considerăm experienţa aruncării unui zar Rezultatul experienţei este

apariţia uneia dintre cele şase feţe cu numerele 123456 Icircn acest caz actul

aruncării zarului constituie experienţa Un eveniment al acestei experienţe poate fi

considerat de exemplu apariţia feţei cu cifra 3

Fiecărei experienţe i se asociează două evenimente speciale numite

evenimentul sigur notat cu E şi evenimentul imposibil notat cu Φ

Definiţia 1 Numim eveniment sigur E acel eveniment care se realizează

icircntodeauna la fiecare efectuare a experienţei Prin evenimentul imposibil Φ se

icircnţelege evenimentul care nu se produce la nici o efectuare a experienţei

Definiţia 2 Numim sistem de evenimente icircntr-o experienţă dată mulţimea de

evenimente ce pot apărea icircn acea experienţă

Fie A un eveniment legat de o experienţă dată Numim contrarul (opusul sau

complementarul) evenimentului A evenimentul notat Ā care constă icircn nerealizarea

evenimentului A

Conform celor de mai sus avem Ē = Φ şi Φ = E

230

Dacă odată cu evenimentul A se realizează şi evenimentul B atunci vom

spune că A implică B şi vom scrie A sub B

Exemplu Icircn experienţa aruncării cu zarul

(1) sub (15) (23) sub (2345)

Avem următoarele proprietăţi evidente

A sub A A sub E dacă A sub B şi B sub C atunci A sub C (tranzitivitatea) Dacă

A sub B şi B sub A cele două evenimente se numesc echivalente şi se scrie A = B

Dacă A şi B sunt două evenimente din acelaşi sistem atunci evenimentul

care constă icircn apariţia fie a evenimentului A fie a evenimentului B se numeşte

reuniunea evenimentelor A şi B şi se notează A U B

Evenimentul care constă icircn realizarea simultană a ambelor evenimente se

numeşte evenimentul ldquo A şi Brdquo sau intersecţia evenimentelor A B notat A cap B

Avem A cap E = A A cap Φ = Φ Operaţiile ldquoUrdquo şi ldquocaprdquo sunt comutative asociative

iar ldquocaprdquo este distributivă faţă de ldquoUrdquo

Are loc şi proprietatea Ā = CE A = E A

Fie A şi B evenimente ale sistemului S A şi B sunt evenimente compatibile

dacă acestea se produc simultan A cap B ne Φ Evenimentele A şi B se numesc

evenimente incompatibile (sau disjuncte) dacă ele nu se pot realiza simultan A cap

B ne Φ

Definiţia 3 Două evenimente din acelaşi sistem de evenimente se numesc

independente dacă realizarea unuia nu depinde de realizarea celuilalt

Definiţia 4 Două evenimente se numesc dependente dacă producerea unui

eveniment are loc numai dacă celălalt eveniment se produce

Exemplu A= (236) B= (24) sunt evenimente dependente icircn aruncarea

zarului şi compatibile A= (246) şi C= (15) sunt evenimente independente şi

incompatibile

Definiţia 5 O mulţime F se numeşte cacircmp de evenimente dacă sunt

icircndeplinite următoarele condiţii

a) E isinF E fiind evenimentul sigur

b) Oricare ar fi evenimentul A din F contrariul său Ā se găseşte icircn F

231

c) Dacă AB isinF atunci A U B isinF

d) Icircn cazul că F conţine o infinitate de evenimente isinA i F atunci

A i F Ui

infin

=1isin

Se spune că F este un cacircmp finit sau infinit după cum F conţine un număr

finit sau o infinitate de evenimente distincte

Din definiţia cacircmpului de evenimente rezultă proprietăţile

1) Φ isin F (Φ = E_

şi se aplică b) )

2) A B isin F A cap B forall rArr isin F

3) A B isin F B A isin F forall rArr

cu A B sub

Fie A un eveniment corespunzător unei experienţe Repetacircnd experienţa de n

ori icircn condiţii identice să presupunem că evenimentul A s-a produs de a ori

Definiţia 6 Numim frecvenţă relativă a evenimentului A numărul f n=

na

Numărul a se numeşte frecvenţă absolută

Numărul icircn jurul căruia se grupează frecvenţele relative se numeşte

probabilitatea de apariţie a evenimentului A şi se notează P(A)

Definiţia 7 (definiţia clasică a probabilităţii)

Probabilitatea realizării unui eveniment este dată de raportul dintre numărul

cazurilor favorabile şi numărul cazurilor egal posibile

Această definiţie este satisfăcătoare numai icircn cazul cacircmpurilor finite de

evenimente

Se poate generaliza prezentarea modelului de calcul al probabilităţilor P(A)

la mulţimile continue (sau numărabile)

Icircn acest sens mărimilor continue ca lungime arie volum greutate timp etc

li se asociază o funcţie m(X) ndash numită măsură ndash care se bucură de următoarele

proprietăţii

a) m(X) 0 ge

232

b) m( ) = 0 Φ

c) dacă este un sistem de mulţimi disjuncte atunci X k21 nk isin

m = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= kXU

n

k 1)(

1kX

n

kmsum

=

Dacă notăm cu m(X) măsura mulţimii asociate evenimentului X şi cu m(E)

măsura mulţimii asociate evenimentului sigur E atunci

(1) P(X) =)()(

EmXm

Formula (1) poate fi aplicată atacirct icircn cazul cacircmpurilor finite cacirct şi infinite de

evenimente discrete sau continue Măsurile evenimentelor se adoptă icircn funcţie de

natura evenimentelor Astfel dacă evenimentele pot fi puse icircn corespondenţă cu

imagini geometrice ca segmente figuri plane sau spaţiale atunci ca măsuri ale

evenimentelor se pot lua lungimi arii volume

Exemplu Problema acului (Buffon) Pe un plan orizontal sunt trasate

dreptele paralele la aceeaşi distanţă (2d) (figura) ∆

∆

2d

∆

2d ∆

2d

∆

Se aruncă icircn plan un ac AB de lungime 2l l le d Să se determine

probabilitatea ca acul să icircntacirclnească una din dreptele paralele

Georges- Louis Leclerc Compte le Buffon (1707-1788) Celebru om de ştiinţă francez

şi icircn acelaşi timp mare scriitor

233

Poziţia acului AB icircn planul dreptelor ∆ constituie un eveniment icircntacircmplător

care este dată de doi parametrii care de asemenea icircn experienţa făcută au valori

icircntacircmplătoare Pentru fixarea parametrilor care determină poziţia acului AB icircn

plan consideracircnd mijlocul M al lui AB constatăm că distanţa x a lui M de cea mai

apropriată dreaptă ∆ şi unghiul α pe care icircl face cu dreapta (figura de mai jos)

determină complet poziţia acului deci x şi α pot fi considerate drept parametri

∆

(∆)

BM

Valorile posibile ale acestor parametri sunt date de sistemul de inegalităţi

(2) 0 le x d 0 le le α πle

Astfel interpretat evenimentul sigur Ε icirci corespunde mulţimea punctelor din

planul 0 α x de coordonate (α x) corespunzător sistemului de inegalităţi (2) adică

evenimentului sigur icirci corespunde dreptunghiul de laturi π şi d (figura de mai jos)

Evenimentul X cerut de

experienţă adică AB să

icircntacirclnească pe are loc cacircnd

MD

∆

le MC adică (3) x l sin le α

A

x

CD

(∆)

x

d x

αo π

X

234

Astfel interpretat evenimentul X icirci corespunde icircn planul 0α x mulţimea

punctelor (α x) care satisfac inecuaţia (3) această mulţime reprezentacircnd aria

primei bucle a sinusoidei (figura de mai sus)

Mulţimile E şi X au drept măsură ariile corespunzătoare adică avem

m (E) = π d m (X) = d intπ

α0

sinl α = 2l

Rezultă

P(X) =)()(

Emxm =

dl

π2

O definiţie simplă corectă şi corespunzătoare este cea dată de

ANKolmogorov icircn 1931

Definiţia 8 (Definiţia axiomatică a probabilităţii după ANKolmogorov)

Fie un cacircmp finit sau infinit de evenimente Numim probabilitate pe cacircmpul image image

aplicaţia P R verificacircnd următoarele condiţii image rarr

1) A isin P(A) 0 forall image ge

2) P(E) = 1

3) A B isin forall image A B = Φ P(A cup B) = P(B) + P(B) cap

4) dacă image este un cacircmp infinit atunci forall iA isin image iA cap jA = Φ i j avem ne

P( ) = ) Ni

iUAisin

suminfin

=1(

iiAP

Din definiţia 8 a probabilităţii rezultă următoarele consecinţe o1 P (Φ) = 0 o2 A isin forall image rArr 0 P(A) le le 1 şi P ( A ) = 1- P(A) o3 forall A B isin image Asub B P(A) rArr le P(B)

o4 isin (i= 12hellipn) şi forall iA image iA jAcap = Φ (i ne j) avem P(U ) = n

i 1=iA sum

=

n

iiAP

1)(

lowast ANKolmogorov (n1903) matematician rus pionierul axiomatizării calculului probabilităţilor

făcută icircn 1929 235

2 Probabilităţi condiţionate

Fie A şi B două evenimente aparţinacircnd cacircmpului image Dacă evenimentele sunt

dependente rezultă că probabilitatea unuia din evenimente depinde de faptul că

celălalt eveniment s-a realizat Definiţie Se numeşte

probabilitate condiţionată a

evenimentului B de către

evenimentul A şi se notează

(BA)= (B) probabilitatea

evenimentuli B calculată icircn

ipoteza că evenimentul A s-a

realizat Icircn mod analog

P(AB)= (A) este

AP

BP

probabilitatea condiţionată a evenimentului A de către evenimentul B

Constituind evenimentul produs Acap B (figura) se constată că evenimentul

dependent BA este realizat de evenimentul Acap B raportat la evenimentul A (ca

eveniment sigur) iar evenimentul dependent AB este realizat de evenimentul

Acap B raportat la evenimentul B (ca eveniment sigur)

Notacircnd cu m(X) măsura corespunzătoare evenimentului X putem scrie

)()(

)()()()(

)()( APBm

BAmBAPBPAm

BAmABP BA ===cap

=

Observăm că

)()()(

)(

)()(

EmAmEm

BAm

AmBAm

cap

=cap adică

)()()(

APBAPBPA

cap=

Deasemenea putem scrie )(

)()(BP

BAPAPBcap

= Din ultimile două relaţii rezultă

A

B

E

AcapΒ

236

⎩⎨⎧

sdotsdot

=cap)()()()(

)(APBPBPAP

BAPB

A

adică probabilitatea producerii simultane a două evenimente dependente este egală

cu produsul dintre probabilitatea unuia din evenimente şi probabilitatea

condiţionată a celuilalt eveniment icircn ipoteza că primul eveniment a avut loc

3 Probabilitatea evenimentelor rezultate din operaţii cu evenimente

31 Reuniunea evenimentelor compatibile

Pentru două evenimente compatibile A şi B măsurile mulţimilor asociate

satisfac relaţia

m(A B) = m(A) + m(B) ndash m(Acup cap B)

care prin icircmpărţirea cu m(E) se scrie

)()(

EmBAm

EmBm

EmAm

EmBAm cap

minus+=cup

adică

(1) P(A B) = P(A) +P(B) ndash P(Acup cap B)

Formula (1) dă regula de calcul a probabilităţii evenimentului reuniune a

două evenimente compatibile Rezultatul precedent se generalizează prin inducţie

obţinacircndu-se formula

(2) = n

kP

1(

=U )kA sum sum

=ne

==

minus capsdotminus++capminusn

k

n

jiji

k

n

k

njik APAAPAP

1 1 1

1 )()1()()(

numită formula lui Poincare

32 Intersecţia evenimentelor dependente şi independente

Fie evenimente dependente Are loc formula nAAA 21

(3) P( ) = P( K

n

KA

1=cap )()() 1

1

1 21 nA

A APAPAK

n

K

minus

=cap

sdot

lowast HPoincare (1854-1912)- matematician francez (lucrări analiză mecanică fizică matematică probabilităţi)

237

Dacă sunt evenimente independente atunci are loc formula nAAA 21

(4) P( ) = k

n

kA

1=cap )()()( 21 nAPAPAP sdot

Altă fomulă de calcul a probabilităţii reuniunii de evenimente

Fie sistemul de evenimente compatibile şi independente Are

loc formula

kA 21 nk isin

(5) [ ])(11)(1)(111 k

n

kk

n

kk

n

kAPAPAUP minusprodminus=capminus=

===

33 Inegalitatea lui Boole Exemplu

Fie 21 nkAk

isinimageisin un sistem de evenimente despre care nu ştim dacă

sunt independente sau dependente Icircn acest caz se poate scrie o inegalitate

care limitează inferior probabilitatea evenimentului produs Din (1)

deoarece 0 obţinem 1)( lecuple BAP

(6) 1)()(( minus+gecap BPAPBAP

sau icircn general

(7) sum==

minusminusgen

kkk

n

knAPAP

11)1()()(I

Relaţia (7) constituie inegalitatea lui Boole şi dă o margine inferioară a

probabilităţii evenimentului intersecţie cacircnd nu se cunoaşte dacă evenimentele sunt

dependente sau independente

Exemplu Să presupunem că un complex turistic (o bancă o piaţă de

desfacere etc) pentru a corespunde cerinţelor de a fi competitiv (vis a vis de

necesităţile cerute de turişti etc) trebuie să icircndeplinească condiţiile (conform

cerinţelor) A (să aibă de exemplu bazine de icircnot etc) B (cabinete medicale de

tipul a) b)hellip) C (să aibă restaurant unde se pot servi mese cu meniuri la alegere

a) b)hellip) D (icircn camere să existe televizor program pe satelit frigider etc)

Ştiind că 86 din componentele complexului icircndeplinesc condiţia A 92

bull GBoole (1815-1864) matematician englez A folosit pentru prima dată o algebră constituită pe

principii logice

238

condiţia B 95 condiţia C 82 condiţia D Icircn ipoteza că o societate de turism

efectuează excursii la diverse complexe solicită 500 lei icircn cazul icircn care sunt oferite

la maximum cerinţele A B hellip să se afle care este suma minimă ce poate fi

solicitată de societate de la turist icircn cazul cacircnd efectuează o excursie la complexul

turistic de mai sus

Complexul corespunde ldquostasuluirdquo dacă se realizează evenimentul

X = DCBA III

Aplicacircnd inegalitatea lui Boole obţinem

550)(550355338209509208603)()()()()(

ge=minus=++++=minus+++ge

XPDPCPBPAPXP

Suma minimă ce va putea fi solicitată 2705 lei

34 Formula probabilităţii totale Formula lui Bayes Exemplu

Fie image un cacircmp de evenimente şi S= ( hellip un sistem complet de

evenimente ale lui

21 AA )nA

image precum şi evenimentul X imageisin care se realizează cacircnd unul

din evenimentele se realizează Cunoscacircnd probabilităţile condiţionate kA

n1kXPKA )( = se cere să se determine probabilitatea evenimentului X adică P(X)

Evident are loc relaţia

X= ( )()() 21 XAXAXA n capcupcapcupcap

iar incompatibilitatea evenimentelor antrenează şi incompatibilitatea

evenimentelor

kA

XAk cap Probabilitatea evenimentului X folosind calculul

probabilităţii reuniunii evenimentelor incompatibile precum şi probabilitatea

evenimentelor condiţionate este

(8) P(X) = sum sum= =

sdot=capn

k

n

kAkk XPAPXAP

K1 1

)()()(

rezultat numit formula probabilităţii totale permiţacircnd determinarea probabilităţii

evenimentului X dacă sunt cunoscute a priori probabilităţile P şi a posteriori

probabilităţile

)( KA

21)( nkXPKA isin

239

bull Thomas Bayes (n1763) matematician englez S-a ocupat de probabilitatea a posteriori Punacircnd problema de a determina probabilitatea a posteori a evenimentului

icircn ipoteza realizării evenimentului X adică pornind de la identitatea KA )( kX AP

)()()()()( kXAkk APXPXPAPXAPK

sdot=sdot=cap

din relaţia de mai sus şi egalitatea (8) obţinem

(9) sum

=

sdot=

sdot= n

iA

AkAkkX

XP

XPAPXP

XPAPAP

i

KK

1)(

)()()(

Exemplu Un magazin cumpără acelaşi produs de la trei fabrici icircn

cantităţi proporţionale cu numerele 3 2 5 Se cunosc proporţiile respective ale

produselor cu defecte a fiecărei fabrici 1 25 2 O cantitate de produse icircn

valoare de 6300 lei care a fost cumpărată este restituită icircn baza contractului de

garanţie ca avacircnd defecte ce o fac de neicircntrebuinţat iar suma respectivă restituită

cumpărătorului

321 FFF

Ce sume trebuie imputate fiecărei fabrici dacă nu se ştie de la ce fabrică s-a

cumpărat produsul restituit

Soluţie Evident sumele de bani imputate fabricilor ( i = 123) nu pot fi

decacirct proporţionale cu probabilităţile ca marfa restituită să provină de la fabrica

respectivă

iF

Să calculăm aceste probabilităţi Notăm cu evenimentul ca marfa să fie de

la fabrica i = 123 şi cu X evenimentul ca marfa să fie defectă Avem

următoarele evenimente X marfa defectă care aparţine fabricii

probabilitatea corespunzătoare fiind marfa care aparţine fabricii

este defectă probabilitatea corespunzătoare fiind Aplicacircnd formula lui

Bayes avem

iA

iF

KA KF

XAXP KAK)( KF

)( KX AP

sum=

sdot== 3

1)()(

)()()(

iAi

AkkXk

XPAP

XPAPAPp

i

K 321isink

Din datele problemei rezultă

240

50105)(20

102)(30

103)( 321 ====== APAPAP

020)(0250)(010)(321

=== XPXPXP AAA

Formula precedentă ne dă

61

1 =p 185

2 =p 95

3 =p

Sumele imputate vor fi i = 123 care satisfac relaţiile is

95

185

61

321 sss== sau

183006

1053321 ===

sss

Se obţine = 1050 lei = 1750 lei şi = 3500 lei 1s 2s 3s

4 Scheme probabilistice clasice

41 Schema urnei cu bile nerevenite Exemplu

Să considerăm o urnă care conţine N bile de aceeaşi mărime dintre care a

sunt albe şi b sunt negre Din urnă se extrag succesiv n bile fără a se pune bila

extrasă icircnapoi Să se determine probabilitatea ca din cele n bile extrase α să fie

albe şi β negre Evenimentul sigur E constă icircn formarea tuturor grupelor posibile

cu cele N bile luate cacircte n ele diferind prin natura bilelor Mulţimea respectivă

conţine elemente (cazuri egal posibile) Pentru a determina numărul cazurilor

favorabile producerii evenimentului dorit vom asocia fiecărei grupe care conţine α

bile albe (icircn total

nNC

αaC grupe) cu fiecare grupă care conţine β bile negre (icircn total

βbC grupe) obţinacircnd α

aC βbC cazuri favorabile Folosind definiţia clasică a

probabilităţii avem

(1) ( )nNC

βbCα

aCβαnP

sdot= icircn care a+b=N şi α+ β=n

241

Generalizarea problemei presupune că icircn urnă sunt ak bile de culoare k

k Se extrag n bile Care este probabilitatea ca x21 sisin k bile să fi de culoarea k

Avem

(2) ( )nNC

sx

saC2x

2aC1x

1aC

2x1xnP

sdot

=nx

unde

sum=

=s

1kNka şi sum

==

s

1knkx

Exemplu Icircntr-o grupă din anul I sunt 30 de studenţi dintre care 18 băieţi şi

12 fete Care este probabilitatea ca din 10 studenţi ai grupei care vor pleca icircntr-o

excursie pe Litoral 6 să fie băieţi şi 4 fete

Soluţie Aplicacircnd formula (1) avem

0912329

94171030C

412C6

18Cp cong

sdotsdotsdot

=sdot

=

sau 91

42 Schema urnei cu bile revenite Exemplu

Fie o urnă conţinacircnd bile albe şi negre Notăm cu A evenimentul scoaterii

unei bile albe de probabilitate P(A)=p Scoaterea unei bile negre reprezintă

evenimentul contrar lui A de probabilitate p-1q)AP( == Se fac n extrageri

succesive introducacircndu-se de fiecare dată icircn urmă bila extrasă Aceasta face ca p

să fie constant tot timpul experienţei Să se determine probabilitatea Pn(x) ca x bile

din cele n extrase să fie albe

Fie

44 344 214434421orixnde

AşişiAşiAşiorixde

AşişiAşiAminus

O succesiune icircn care evenimentul A apare de x ori iar A de n-x ori

Probabilitatea unei astfel de succesiuni de evenimente independente este

242

( ) ( ) xnqxporixnde

AAAorixde

AAAP minussdot=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

capcapcapcapcapcap44 344 2144 344 21

Numărul succesiunilor distincte icircn care A apare de x ori şi A de (n-x) ori

este evident xnC

Probabilitatea Pn(x) este dată de probabilitatea acestor succesiuni distincte

Cum aceste succesiuni sunt incompatibile şi echiprobabile avem

(3) xnqxpxnC(x)nP minussdotsdot=

Exemplu Din datele statistice probabilitatea evenimentului naşterii

unei fete este p=p(F)=051 iar a evenimentului naşterii unui băiat este

q=P(B)=049 Care este probabilitatea ca icircntr-o familie cu 7 copii 5 să fie fete

1702049505157C(5)7P =sdotsdot=

Observaţie Se observă că probabilitatea Pn(x) din (3) este dată de

coeficientul lui tx din dezvoltarea binomului

( ) sum=

sdotminussdotsdot=+n

0xxtxnqxpx

nCnqpt

Pentru aceasta se mai spune că probabilitatea respectivă reprezintă o lege

binominală

Generalizare Dacă o urnă conţine bile de culoare k (k=12 hellip s) şi se fac n

extrageri succesive punacircnd de fiecare dată bila scoasă icircnapoi cunoscacircnd că

probabilitatea scoaterii bilei de culoare k este pk se dovedeşte că probabilitatea

evenimentului ca din cele n bile extrase xk să fie de culoare k k=12 hellip s este

(4) ( ) sxsp2x

2p1x1p

kx2x1xn

sx2x1xnP sdot=

unde sum=

=sum=

=ges

1k1kp

s

1knkx0sx iar probabilitatea respectivă defineşte o lege

multinominală

Observaţie Cele două scheme probabilistice date de urna cu bile revenite şi

de urna cu bile nerevenite reprezintă icircn practică două tipuri de selecţii selecţie

243

repetată respectiv selecţie nerepetată obţinute prin sondaj non-exhaustiv

respectiv sondaj exhaustiv

43 Schema urnelor Poisson Exemplu

Schema lui Poisson constă icircn a considera n urne Uk k=12 hellip n neidentice

ceea ce revine a considera pentru fiecare eveniment A realizat din urna Uk

probabilităţile diferite pk=P(AUk) k 21 nisin

Probabilitatea ca evenimentul A să se realizeze icircn cele n extracţii (de

scoaterea a unei bile din fiecare urnă) de x ori şi A de n-x ori este dată de

coeficientul lui tx din dezvoltarea polinomului

)nqtnp()22()11(Q(t) +++= qtpqtp

Exemplu O urnă conţine 5 bile albe şi trei negre o altă urnă şase albe şi

două negre şi a treia şapte albe şi una neagră

Se extrage cacircte o bilă din fiecare urnăSă se determine probabilitatea ca două

bile să fie albe şi una neagră

Soluţie Aplicacircnd schema lui Poisson găsim că probabilitatea de a extrage

două bile albe şi una neagră este dată de coeficientul lui t2 din produsul

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

8

1t

8

7

8

2t

8

6

8

3t

8

5Q(t)

Aşadar

38

12638

7038

30p ++= sau 044p cong

5 Variabile aleatoare

51 Introducere Variabile aleatoare Distribuţia unei variabile aleatoare

Studiul evenimentelor aleatoare şi chiar al probabilităţilor respective a

prezenatat cu deosebire caracteristca calitativă a experienţelor ce conduc la

realizarea lor Dar fenomenele sau proprietăţile ce generează experienţele pot fi

atacirct cantitative cacirct şi calitative Icircn viaţa de toate zilele icircntacirclnim la tot pasul măsuri

244

care se schimbă sub influenţa unor factori icircntacircmplători Aşa sunt de exemplu

numărul de zile dintr-un an icircn care cade ploaia numărul de puncte care apare icircn

aruncarea unui zar masa unui bob de gracircu luată dintr-o anumită recoltă cererea

unui produs icircntr-o unitate de timp (zi lună etc) valoarea vacircnzărilor unui magazin

pe unitatea de timp numărul pacienţilor care solicită serviciul unei policlinici etc

măsurile care se iau la icircntacircmplare sunt legate de anumite experienţe aleatoare O

astfel de mărime legată de experienţa aleatoare şi care ia valori la icircntacircmplare icircn

funcţie de rezultatele experienţei se numeşte variabilă aleatoare (stochastică)

Fie S=(E1 E2 hellip En ) un sistem complet de evenimente ale cacircmpului finit

F Evenimentele Ei sunt elementare şi icircntr-o experienţă apare unul singur Aceste

evenimente verifică condiţiile Notăm pjijEiEiEn

1iUE neΦ=cap=

= i = P(Ei)

evident Putem enunţa sum=

=n

1i1ip

Definiţia 1 Se numeşte variabilă aleatoare aplicaţiaX Srarr R Valoarea

variabilei X corespunzătoare evenimentului EiisinS se va nota X(Ei)=xi cu

probabilitatea P(X=xi)=pi

Variabilele aleatoare se clasifică după mulţimile pe care sunt definite Astfel

avem

- variabilă aleatoare discretă definită pe o mulţime cel mult numărabilă de

evenimente

- variabilă aleatoare continuă definită pe o mulţime continuă

O variabilă aleatoare discretă o vom nota

(1) sau ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

np2p1pnx2x1x

X n1iipix

X =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

unde icircn primul racircnd al tabloului am trecut valorile posibile ale variabilei şi sub

fiecare valoare probabilitatea cu care X ia această valoare Tabloul (1) defineşte

distribuţia sau repartiţia variabilei X

O variabilă aleatoare continuă o vom nota

(2) [ ]bax(x)

xX isin⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

245

unde ϕ(x) se numeşte densitate de probabilitate şi are proprietăţile

( ) [ ] ( )int =isingeb

a1dxxşibax0x ϕϕ

Exemplu (variabilă aleatoare discretă) Fie Ei 16i = Ei=(i) 16i =

evenimentul care constă icircn apariţia feţei cu i puncte la o anumită aruncare 61

ip =

16i = iar distribuţia va fi

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1654321

X

Deoarece 61

6p2p1p === spunem că X are o distribuţie uniformă

52 Operaţii cu variabile aleatoare

Fie X şi Y două variabile aleatoare definite respectiv pe sistemele complete

de evenimente S1 şi S2 ale aceluiaşi cacircmp image şi avacircnd repartiţiile

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

np2p1pnx2x1x

X ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

mq2q1qmy2y1y

Y

Definiţii

10 Prin produsul dintre constanta kisinR şi variabila aleatoare X se icircnţelege o

nouă variabilă aleatoare kX şi avacircnd repartiţia

(3) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sdot

np2p1pnkx2x1kx

Xkk

20 Se numeşte sumă a variabilelor aleatoare X şi Y variabila aleatoare

Z=X+Y avacircnd repartiţia

(4) m1jn1iijp

jyixYX ==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++

unde pij reprezintă probabilitatea realizării simultane a evenimentelor X=xi şi Y=yj

adică pij=P(X=xI şi Y=yj)

Are loc

246

Proprietatea Dacă pi=p(Ai) AiisinS1 şi qj=P(Bj) BjisinS2 atunci pij=P(AicapBj)

şi au loc relaţiile sum=

sum=

==sum=

sum=

=n

1i

m

1j ipijpjqijpn

1i

m

1j1ijp

30 Numim produs al variabilelor aleatoare X şi Y variabila aleatoare Z=X Y

avacircnd repartiţia

(5) m1jn1iijp

jyixYX ==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ sdotsdot

unde pij=P(A1capBj) şi sum=

sum=

=n

1i

m

1j1ijp

53 Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare

Se numeşte funcţie de repartiţie a variabilei aleatoare X funcţia

F(x)=P(Xltx)

constituind o caracteristică pentru orice variabilă aleatoare Calculul efectiv al

funcţiei de repartiţie se adaptează celor două tipuri de variabile aleatoare

a) Variabila aleatoare discretă

Evenimentul (Xltx) este reuniunea evenimentelor (X=xi) pacircnă la cel mai

mare argument xi le x adică (Xltx)= (X=xUxx

i

i le

=1i) Evenimentele (X=xi) fiind

incompatibile aplicacircnd xi le x operatorul de probabilitate asupra relaţiei precedente

obţinem

( ) ( ) sumle

sumle

===ltxix ip

xix ixXPxXP deci

(1) sumle

=xix ipF(x)

Consideracircnd graficele repartiţiei variabilei aleatoare discrete funcţia de

repartiţie F(x) este suma probabilităţilor pi de la stacircnga punctului de abscisă x

(figa) sau suprafaţa histogramei de la stacircnga punctului de abscisă b (figb)

(funcţia de repartiţie este numită şi funcţia cumulativă a probabilităţilor)

247

a) b)

Din graficul b) observăm că

Pi

248

(2) ( ) ( ) ( )αFβFβXαP minus=ltle

b) Variabila aleatoare continuă

Dacă X este o variabilă aleatoare continuă funcţia de repartiţie se defineşte

astfel

(3) ( ) ( ) ( )int==ltx

adttxFxXP ϕ

Ţinacircnd cont de interpretarea geometrică a integralei definite rezultă că

funcţia F(x) reprezintă aria din histogramă pe intervalul [ax] (figa)

a) b)

P(Xltx)F(x)o

a

φ (x)

P(αltXltβ)

xbo

αa ltxlt β b x

φ(x)

x

x1O x2 xi

P1

P2

Pi

PnOxn x

F(x)

αa xb

β

Pi

şi icircn acest caz rămacircne valabilă formula (3) icircn fig b) relaţia (3) reflectă formula de

calcul a unei integrale definite pe intervalul [αβ]

Funcţia de repartiţie F(x)=P(Xltx) are următoarele proprietăţi

10 0le F(x) 1 ceea ce rezultă din faptul că F(x) reprezintă probabilitatea

P(Xltx)

le

20 Funcţia F(x) este nedescrescătoare adică din x1 le x2 rezultă F(x1) F(xle 2)

30 F(a)=0 F(b)=1 unde a şi b sunt cea mai mică respectiv cea mai mare

valoare pe care o poate lua argumentul variabilei X (evenimentul Xlta este

imposibil iar Xltb este sigur)

Pentru variabila aleatoare discretă funcţia F(x) este continuă icircn acest

interval şi este discontinuă la extremităţile intervalului graficul (figa de mai jos)

este numit icircn scară iar salturile de la o treaptă la cea consecutivă sunt egale cu pi

Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare continue este de asemenea o funcţie

continuă (figb)

F(x )

a) b)

Observaţie Pentru funcţia de repartiţie F(x) se obişnuieşte a se considera

drept domeniu de definiţie toată mulţimea numerelor reale

Icircn acest caz avem relaţii de forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( )intinfinminus

int+infin

infinminus=infin+=infinminus==

x1Fşi0F1dxxdttxF ϕϕ

6 Caracteristici ale variabilei aleatoare

xx 2 x 1o

x n

i

1

F(x)o

F(x)

x x

1

249

Icircn prezenţa unor mulţimi de numere acestea reprezentacircnd valorile

argumentului unei variabile aleatoare icircn corespondenţă cu probabilităţile

respective se pune problema de a sintetiza aceste mulţimi numerice prin cacircteva

date numerice care să aibă proprietatea de a reprezenta cacirct mai fidel variabila

aleatoare considerată O astfel de reducere a mai multor date numerice la cacirct mai

puţine numere devine absolut necesară mai ales atunci cacircnd se urmăreşte

compararea icircntre ele a diferite fenomene sau proprietăţi generacircnd variabile

aleatoare

Pentru sistematizarea prezentării acestor caracteristici le vom grupa după

nota dominantă pe care o pun icircn evidenţă tendinţa centrală de grupare

icircmprăştierea distribuţiei

61 Tendinţa centrală de grupare a distribuţiei

Icircn practica aplicaţiilor icircn economie drept indicatori numerici ai tendinţei

centrale de grupare sunt frecvent folosiţi valoarea medie mediană modul etc

a) Valoarea medie Se numeşte valoare medie (sau speranţa matematică) a

unei variabile aleatoare X numărul (M=M(X))

(1) (X variabilă discretă) ( ) sum=

=n

1i ipixXM

(2) (X variabilă continuă) ( ) ( )int=b

adxxxXM ϕ

Observăm că valoarea medie a variabilei X (discretă) este media ponderată a

valorilor sale cu ponderile p1 p2 hellip pn ( )np2p1p

nxnp2x2p1x1pXM

+++

+++= Valoarea

medie se notează şi cu ( )XMx =

Au loc

Propoziţia 1 Fie variabilele aleatoare X şi Y atunci au loc relaţiile

250

(3) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

isin=+=+

RkXkMkXMYMXMYXM

Demonstraţie Conform definiţiei valorii medii a unei variabile aleatoare

avem

( ) sum=

=sum=

sum=

+sum=

=sum=

sum=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=+

n

1i jym

1j ijpn

1i ixm

1j ijpn

1i

m

1j jyixijpYXM

( ) ( )sum=

+=sum=

sum=

+sum=

sum=

m

1j jqjym

1i ipixn

1j ijpm

1i jym

1j ijpn

1i ix YMXM

şi

( ) ( ) ( )sum=

sum=

=sdot==n

1i

n

1iXkMipixkipikxkXM

Propoziţia 2 Fie X şi Y două variabile independente

Atunci

(4) ( ) ( ) ( )YMXMYXM sdot=sdot

Icircntr-adevăr putem scrie

( ) ( ) ( )YMXMn

1i jym

1j jpixipn

1i jyixjqm

1j ipn

1i

m

1j jyixijpYXM sdotsum=

=sum=

sum=

=sdotsdotsdotsum=

=sum=

sum=

sdotsdot=sdot

pij=piqj (XY independente)

Observaţie

Valoarea medie este un fel de valoare centrală icircn jurul căreia cad celelalte

valori posibile

Dacă atunci ( +infininfinminusisin x )

( ) ( )int+infin

infinminus= dxxxXM ϕ

b) Valoarea mediană

Se numeşte mediana variabilei aleatoare X numărul Me care satisface

ecuaţia

(5) P(XltMe)=P(XgtMe)

Cu ajutorul funcţiei de repartiţie F(x) relaţia (5) se mai scrie

F(Me)=1-F(Me) sau 2F(Me)=1

Rezultă deci că mediana Me este soluţia ecuaţiei

251

(6) ( )21xF =

Icircn cazul unei variabile aleatoare continue mediana este determinată de

ecuaţia

( )int =eM

0 21

dxxϕ

Dacă F(x) este continuă crescătoare soluţia acesteia este unică

Exemplu Să se determine mediana variabilei aleatoare continue

3x0)12(121

xX lele

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+x

Soluţie Calculele sunt

( )int =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=+

eM

0 21

eM2eM

121

eM2eM

121

dx12x121

cu soluţiile Me=-3 şi Me=2 Convine Me=2 isin[03]

c) Moda (valoarea cea mai probabilă) Se numeşte moda variabilei

aleatoare X acea valoare M0 a variabilei X pentru care funcţia densitate de

probabilitate are valoarea maximă Astfel dacă funcţia densitate de probabilitate

ϕ(x) este derivabilă de două ori atunci moda M0 verifică relaţiile ϕrsquo(M0)=0

ϕrdquo(M0)lt0 Icircn cazul cacircnd X este o variabilă aleatoare de tip discret

i moda reprezintă valoarea x

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ipix

X

21 ni isin i pentru care pi este maximă

1) Geometric Me este numărul cu proprietatea că x=Me icircmparte aria cuprinsă

icircntre graficul funcţiei ϕ(x) şi axa Ox icircn două părţi egale

252

x x=M eo

ϕ( x)

y

2) Icircntre cei trei indicatori numerici M Me M0 nu există o relaţie

determinată Dacă este de exemplu cu distribuţie simetrică atunci M= Me = M0

3) Noţiunea de mediană se generalizează astfel rădăcinile ecuaţiei ( )nixF =

i=12 hellip n-1 se numesc quantile de ordinul n pentru n=2 i=1 este quantila de

ordinul doi tocmai mediana Pentru n=4 se obţin quartile Quantilele de ordinul

zece (n=10) sunt numite decile iar cele de ordinul o sută (n=100) centile

4) Valoarea medie a unei variabile reprezintă aria haşurată de mai jos

(Xvadiscretă b) X va continuă)

a) b)

d) Momente şi medii de ordin superior

Se numeşte momentul de ordinul k al variabilei X expresia

(7) pentru variabila discretă sum=

sdot=n

1i ipkixkM

şi

F

(7) pentru variabila discretă i

n

i

kik pxM sum

=

=1

(8) pentru variabila continuă ( )int+infin

infinminussdot= dxxkxkM ϕ

Se numeşte medie de ordinul k a variabilei X expresia

(9) k kMkmicro =

62 Icircmprăştierea distribuţiei variabilei aleatoare

Caracteristicile numerice ale tendinţei centrale de grupare nu dau nici o

indicaţie asupra icircmprăştierii respectiv a concentraţiilor valorilor variabilei adică icircn

ce măsură datele se abat icircntre ele drept consecinţă icircn ce măsură se abat de la

poziţia centrului de grupare

x 1 x 2 0

1

bx n-1 x n

xa 0

x

F

253

De exemplu dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare simetrice evident

centrele lor de grupare coincid deşi distribuţiile lor sunt substanţial diferite

variabila X avacircnd valorile mai icircmprăştiate decacirct variabila Y (sau invers variabila Y

mai concentrate ca X)

X

0

ϕ(x )

Y

x

Sunt deci necesare caracteristici numerice care să permită să se compare

icircntre ele icircmprăştierea respectiv concentrarea distribuţiilor pentru diferite variabile

aleatoare

Printre acestea se foloseşte extinderea sau intervalul de variaţie abaterea

abaterea absolută medie dispersia abaterea medie pătratică coeficientul de

variaţie momente centrate covarianţa coeficient de icircmprăştiere etc

a) Extinderea sau interval de variaţie Dacă a şi b sunt cea mai mică

respectiv cea mai mare valoare a argumentului variabilei atunci extinderea este

prin definiţie

(1) ω=b-a sau ω=xmax-xmin

Extinderea este folosită icircn statistica controlului de fabricaţie icircn serie

b) Abaterea Abaterea absolută medie Dacă α este o valoare oarecare din

intervalul de variaţie al unei variabile aleatoare X prin abatere a variabilei X

icircnţelegem variabila

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ minusminus

xxYsau

ipix

Yϕ

αα

254

De obicei ca valoare pentru α se ia valoarea medie m=M(X) sau mediana

Me

Consideracircnd variabila aleatoare ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ minus

ip

mixU vom obţine abaterea absolută

medie dată de expresiile

(2) ( )sum=

int+infin

infinminusminussdotminus

n

1idxxmxsauipmix ϕ

Care poate caracteriza icircmprăştierea variabilei aleatoare X icircn jurul valorii ei

medii m

c) Dispersia Abaterea medie pătratică Abaterea medie absolută definită

mai sus aparent simplă ca definiţie prezintă dezavantajul de a fi icircn cele mai dese

cazuri greu de calculat fiind vorba de valorile absolute ale argumentului abaterii

Există icircnsă un alt mod de a ţine seama de valorile absolute ale abaterii asociind

variabila

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ minus(x)

2mx2Uϕ

Definiţie Valoarea medie a acestei variabile adică expresia M (U2) se

numeşte dispersia variabilei aleatoare iniţiale X Vom nota dispersia cu

( ) ( )( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus===

2XMXM2UMdef

XDsau2σ

Cacircnd variabila X este discretă avem

(3) sum=

sdotminus= ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛n

1i ip2

mixD(X)

iar cacircnd variabila X este continuă avem

(4) ( ) ( )int+infin

infinminussdotminus= dxx2mxD(X) ϕ

Numărul ( )XD=σ se numeşte abaterea medie pătratică a variabilei X sau

abaterea medie tip (standard)

Dispersia şi abaterea medie pătratică sunt indicatorii cei mai utilizaţi pentru

a caracteriza icircmprăştierea valorilor unei variabile aleatoare Are loc următoarea 255

Teoremă Fie X şi Y două variabile aleatoare independente (pij=pi qj)

Atunci

(5) D(X+Y)=D(X)+D(Y)

şi

(6) D(k X)=k2 D(X) forall kisinR

Demonstraţie Notăm cu U V W respectiv abaterile variabilelor aleatoare

X Y X+Y observăm că U=X-M(X) V=Y-M(Y) W=X+Y-M(X+Y) Deoarece

variabilele aleatoare X şi Y sunt independente avem

W=X-M (X)+Y-M (Y)

Pentru valorile abaterilor variabilelor aleatoare UV W obţinem

ui=xi-M (X) vi=yi-M (Y) wij=ui+vj

Conform definiţiei dispersiei avem

( ) sum=

sum=

++sum=

sum=

=+sum=

sum=

==+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ n

1i

m

1j jvi2u2jv2

iujqipn

1i

m

1j

2jviujqip

n

1i

m

1j2ijwijpYXD

Ţinacircnd seamă de relaţiile

M (U)=0 M (V)=0 sum=

=sum=

=m

1j1

n

1i ipjq

din relaţia precedentă avem

( ) sum=

sum=

+sum=

++sum=

=+m

1j

n

1i

n

1i

m

1j jvjqiuipm

1j22

jvjqip2iu

n

1i ipjqYXD

=D(X)+D(Y) adică relaţia (5)

Icircn ce priveşte relaţia (6) observăm că

( ) ( )( ) ( )sum=

=minus=sdotn

1iXD2k2XkMikxipXkD

d) Momente centrate Variabila X-M (X) realizează o translaţie mutacircnd

originea argumentului icircn centrul de grupare m=M (X) adică abaterea X-m

centrează variabila considerată X icircn acest sens momentele abaterii şi mediile

respective de ordinul k se numesc momente centrate mk respectiv medii centrate

microk (de ordinul k) şi se definesc astfel

256

(7) ( ) ( ) ( )sum=

intinfin+

infinminusminus=minus=

k

1idxxkmxkmipkmixkm ϕ

Se observă că

m2=D (X) σ=micro2= 2m

Pentru calculul momentelor centrate de diferite ordine folosim de obicei

legătura cu momentele obişnuite Astfel ţinacircnd seama că am notat cu litere mici mk

momentele centrate şi cu litere mari Mk momentele obişnuite avem

( ) sum=

sum=

=minus=n

1i ipkix

k

1i kMipkmixkm

Dezvoltacircnd (xi-m)k după binomul lui Newton obţinem

( )sum=

sdotminussum=

sdotminus=n

1i ipjmjkix

k

0jjkCj1km

Cum avem

1

2101 sum=

isinminus=minus=n

ikjjkMipjk

ixMm

(M0=1) relaţia precedentă conduce la exprimarea momentelor centrate icircn funcţie de

momentele obişnuite

(8) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

sdotminus++sdotminusminus+

++minus+minusminus=

k1Mk1s

1MskMskCs1

21M2kM2

kC1kM1kCkMkm

Particularizacircnd pe k şi ţinacircnd seama că M0=1 se găsesc momentele centrate

de diferite ordine

(9) etc 312M1M23M3M3m2

1M2M2m01m10m +minus=minus===

e) Covarianţa Fiind date două variabile X şi Y se defineşte covarianţa lor

notacircndu-se cov (XY)=σxy expresia

(10) σxy=M[(X-mx) ( Y-my)]

adică un moment centrat mixt al celor două variabile unde mx=M(X) my=M(Y)

Dezvoltacircnd (10) se obţine formula echivalentă de calcul

(11) σxy=M (X Y)-M (X) M (Y)

257

f) Coeficient de icircmprăştiere se defineşte ca fiind raportul m

V σ=

7 Funcţia caracteristică ataşată unei variabile aleatoare

Pentru dovedirea unor proprietăţi sau calcul mai uşor icircn unele exemple a

caracteristicilor variabililor aleatoare sunt utile anumite funcţii ce pot fi ataşate

unei variabile aleatoare dintre care prezentăm funcţia caracteristică

Definiţie Se numeşte funcţie caracteristică a variabilei aleatoare X

valoarea medie a unei noi variabile aleatoare obţinute din X icircnlocuind argumentul

ei x prin eixt unde i este unitatea imaginară iar t este un parametru real Notacircnd

funcţia caracteristică cu c(t) avem

(1) ( )( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

intinfin+

infinminus

suminfin

==

xdensitateacucontinuăedistributiaredacădxxitxe

1kdiscreta edistributi esteXdacăkitx

ekptc

ϕϕ X

Are loc următoarea

Teoremă Funcţia caracteristică admite următoarea dezvoltare icircn serie

(2) ( ) ( )suminfin

==

0kkt

k

kXMkitc

unde M (Xk)=Mk este momentul de ordinul k al variabilei X Relaţia (2) se obţine

uşor dacă icircnlocuim icircn (1) pe eitx cu dezvoltarea

suminfin

==

0kkt

k

kxkiitxe

Egalitatea (2) permite adesea să se calculeze mai uşor momentele de diferite

ordine ale variabilei X Se dezvoltă icircn serie funcţia caracteristică c(t)

şi momentul de ordinul k este ( ) suminfin

==

0kktkctc

(3) ( )

0tkdt

tckdki

1kcki

kkM

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

258

Dacă repartiţia variabilei X este de tip continuu densitatea sa de repartiţie

ϕ(x) este dată de

infinminusminus= dttcitxe

2π1xϕ

8 Inegalitatea Bienayme ndash Cebacircşev

Pentru orice variabilă aleatoare are loc inegalitatea

(1) ( ) ( ) ( )XD2XMmarbitrar0ε2ε

21εmXP ==gtminusgeltminus σσ

Vom demonstra (1) pentru cazul cacircnd X este variabilă aleatoare continuă

Dacă ϕ(x) este densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare X atuci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )εmXP2εεmxdxx

2

εm-xεdxx2mxdxx2mxXD geminussdot=int

geminusintinfin+

infinminusint

gegeminusgeminus= ϕϕϕ

de unde rezultă

(2) ( ) ( ) ( ) ( )2ε

XD1εmXPsau2ε

XDεmXP minusgeltminuslegeminus

Luacircnd ε=kσ kisinN şi σ= D(X) avem 2k

122k

2

2ε

D(x)==

σ

σ iar inegalitatea lui

Bienayme-Cebacircşev sub cele două forme date de (2) se scrie

(3) ( ) ( )211kmXPrespectiv

2k

1kmXPk

minusgeltminuslegeminus σσ

pentru k=1 relaţia este nesemnificativă dacircnd rezultat banal de aceea vom lua kgt1

Exemplu Pentru k=3 avem

( ) ( ) 90983mXP10

913mXP conggeltminusconglegeminus σσ sau

Pentru k=4 avem

( ) 0061614mXP congltltminus σ

259

Constatăm că abaterile mai mari decacirct 3σ şi cu atacirct mai mult decacirct 4σ au

probabilităţile de realizare foarte mici deci şansele acestor evenimente de a se

produce sunt extrem de reduse

9 Distribuţii clasice

Dintre variabilele aleatoare unele au o importanţă deosebită fie că sunt

folosite cu o pondere mare icircn cercetarea fenomenelor sau proprietăţilor pe care

practica icircndeosebi le pune

91 Distribuţia binominală

Să considerăm o urnă care conţine a bile albe şi b bile negre Repartiţia

variabilei aleatoare X

(1)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

minusminus npknqkpknC1npq1

nCnq

nk10

X

care constă icircn n extracţii să apară o bilă albă de k ori se numeşte distribuţie

(repartiţie) binominală (sau repartiţia lui Bernoulli) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus=

+= p1q

baap

Observăm că probabilităţile celor n+1 valori sunt termenii dezvoltării

( ) 0qnpnnC1nq1p1

nCnq0p0nCnqp ++minus+=+

de unde şi numele de lege sau distribuţie binominală Observăm de asemenea că

funcţia de probabilitate ( ) knqkpknCkx minus=ϕ verifică

( ) ( )sum=

=gen

0k1kxsi0kx ϕϕ

(cea de-a doua se obţine imediat din dezvoltarea (p+q)n=1)

Icircn cazul legii binominale funcţia caracteristică este

( ) sum=

minus⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=sdotsum

=

minus=n

0kknq

kitpeknCitke

n

0kknqkpk

nCtc

260

deci

(2) ( ) ( )nqitpetc +=

Cu ajutorul funcţiei caracteristice c(t) obţinem valoare medie

( ) ( ) npii1

0tdttdc

i1XM =

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

sau

(3) M(X)=np

apoi

( ) 0t

2dt

tc2d2i

12XM=⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

unde

( ) ( ) ite2ip1n

qitpen2ite2i2p2n

qitpe1)n(n2dt

c(t)2dsdot

minus++

minus+minus=

Icircnlocuind t=0 şi ţinacircnd seama că p+q=1 obţinem

M(X2)=n2p2+np-np2

Rezultă

D(X)=M(X2)-[M(X)]2=np-np2=np(1-p)=npq

Aşadar dispersia unei variabile aleatoare cu distribuţia binominală este

(4) D(X)=npq

92 Distribuţia normală (Laplace şi Gauss)

Icircn studiul multor fenomene de masă se icircntacirclnesc variabile aleatoare care se

supun unei legi de probabilitate numită legea normală

Definiţie Spunem că o variabilă aleatoare X are distribuţie normală sau că

urmează legea normală cu parametrii m şi σ dacă densitatea sa de repartiţie este

(1) ( )( )

222mx

e2π

1x σσ

ϕminusminus

sdot= unde xisinR σgt0 misinR

261

Legea normală sau distribuţia normală se numeşte şi legea lui Laplace şi

Gauss şi densitatea de repartiţie se mai notează cu n(xmσ) Printre distribuţiile

discrete care se apropie de o lege normală este şi distribuţia binominală icircn cazul

cacircnd numărul probelor este foarte mare Observăm că pentru orice xisinR avem

( ) 0x geϕ Efectuacircnd schimbarea de variabilă x-m= 2σ obţinem

( )int+infin

infinminusint

+infin

infinminusint

+infin

infinminus=minus==minus= πdt

2tedeoarece1ππ

1dt2te

π1dxxϕ (integrala lui Poisson)

Icircn consecinţă cele două condiţii ale densităţii de repartiţie sunt icircndeplinite

de ϕ(x) Are loc

Teorema Funcţia caracteristică a unei variabile aleatoare X supusă unei

distribuţii normale n(xmσ) este ( ) 22t2imt

etcσminus

=

Icircntr-adevăr

( ) ( ) intinfin+

minusinfin

minusminus=int

infin+

minusinfinsdot= dxitxe22

2)(

e2π

1dxxitxetc σσ

ϕ

mx

Icircn această integrală facem schimbarea de variabilă x-m=y şi obţinem

( ) intinfin+

minusinfin

sdotminussdot= dyitye

2y221

eimte2π

1tc σσ

Icircnlocuim eity=costy+isinty şi obţinem

=intinfin+

infinminusintinfin+

infinminus

minus+int

infin+

infin=

sdotminusdysinty

2y22

1

eidycosty -

2y22

1-edyitye

2y221

e σσσ

( )impara0sintydy

2y22

1

ecostydy0

2y22

1-e2

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=intinfin+

infinminus

minussdotint

infin= σσ

Folosind un rezultat cunoscut (integrala Poisson)

0a4a2b

eaπ

21cosbxdx

0

2axe gtminus

=intinfin minus obţinem ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== tb22

1aσ

262

( ) 2

2t2imt

etcdecisi2

2t2

e2πdyitye2y22

1 σσ

σσminus

=intinfin+

minusinfin

minussdot=

sdotminus

Semnificaţia parametrilor m şi σ este următoarea m este valoarea medie a

variabilei aleatoare X iar σ2 este dispersia acestei variabile Folosind funcţia

caracteristică valoarea medie şi dispersia variabilei aleatoare X supusă legii

normale se calculează uşor

Icircntr-adevăr

( ) ( )[ ] m0tc(t)t2imi1

0tdtdc(t)

i1XM ==minus=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= σ (c(0)=1) şi

( )[ ] 22XM2XMD(X)

undede2m2

0tc(t)

2t2im2

0t2dt

c(t)2d2i

12XM

σ

σσσ

=minus⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

+==⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus+minusminus=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

Graficul funcţiei ϕ(x) se numeşte curba normală (clopotul lui Gauss) cu

parametrii m şi σ şi are formă de clopot

1) Toate curbele admit cacircte un punct de maxim x=m (a cărei valoare

esteπσ 2

1 ) şi scad necontenit la stacircnga şi la dreapta lui apropiindu-se de axa

absciselor

2) Dreapta x=m este o axă de simetrie a graficului curbelor y=ϕ(x)

3) Toate curbele au formă de clopot avacircnd formă convexă pentru

xisin(-infinm-σ)cup(m+σinfin) şi concavă pentru xisin(m-σ m+σ)Punctele mplusmnσ sunt

263

puncte de inflexiune Cu cacirct σ este mai mic cu atacirct clopotul este mai ascuţit iar cu

cacirct σ este mai mare cu atacirct clopotul este mau turtit Suprafaţa inclusă de axa Ox

este de arie 1 u2 curba se apropie repede de axa Ox icircn raport cu o abatere

σ3mxξ ltminus= diferenţa faţă de Ox este de ordinul 0003 unităţi Pentru aceasta

din punct de vedere practic distribuţia poate fi considerată definită icircntr-un interval

finit

4) Faţă de parametrul m curbele n(xmσ)suferă translaţii de-a lungul axei

Ox menţinacircndu-şi forma şi mărimea (σ constant)

5) Moda şi mediana au valori egale cu m

( ) ( )( ) ( ) ( ) m0xare0xfsi

2mx2e

2π2mxxfm0xXeMXM

1

==⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ minusminusminusminus====

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ

σ Funcţia

de repartiţie are expresia

(2) ( ) ( )intminusinfin

=x

dtmtnxF σ

şi graficul F(X)

1

264

Momentele centrate ale legii normale cu parametrii m şi σ (k ge 2) sunt

1m0 m-τ x m+τ

12

( )( )

dx222mx

ekmx2π

1km int

infin+

minusinfin

minusminusminus= σ

σ

Făcacircnd substituţia y2mx

=minus

σ obţinem

( ) dy2yeky

π2

km intinfin

infinminusminus=

Kσ

Integracircnd prin părţi cu obţinem formula de recurenţă dy2yyedv1kyu minus=minus=

(3) ( ) 2km21kkm minusminus= σ

Ştiind că m0=1 m1=0 m2=σ2 rezultă m2p-1=0 şi m2p=1middot3middot5 hellip (2p-1)σ2p

21isinp

93 Distribuţia Gama

O variabilă X are o distribuţie gama dacă densitatea ei este dată de

egalitatea

(1) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

le

gtgeminusminussdotsdot

=

0xpentru0

0ba0xpentrubx

e1axab1

aΓ1

xϕ

Ţinacircnd seama de definiţia funcţiei

( ) ( )int+infin

infinminus=gtint

infin minusminus= 1dxxcărezultă0z0

dtte1ztzΓ ϕ (icircn urma schimbării de variabilă x=bt)

Deoarece rezultă că ϕ(x) reprezintă o densitate de ( ) ( )int+infin

infinminus=ge 1dxxsi0x ϕϕ

repartiţie Graficul funcţiei ϕ(x) este redat mai jos ϕ(x

265

Efectuacircnd schimbarea de variabilă x=bt obţinem

a=1

a 1ne

0 x

)

( ) ( ) abbΓ(a)

1aΓXM =sdot+

=

Moda x0 are expresia x0=b(a-1) iar dispersia D(x)=ab2 Momentele de

ordinul k

mk=a(a+1)hellip(a+k-1)bk 21isink

Funcţia de repartiţie F(x) este definită de relaţia

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

lt

geintminusminus

sdot=

0xpentru0

0xdtx

0bt

e1atabΓ(a)1

xF

şi are graficul

1

x

0

F(x)

94 Distribuţia Beta

Spunem că o variabilă aleatoare X are distribuţia Beta cu parametrii p şi q

(pgt0 qgt0) dacă densitatea sa de repartiţie este

(1) ( ) ( ) ( )

[ ][ ]01xpentru

01xpentru0

1qx11pxqpB

1x isin

⎪⎩

⎪⎨

⎧

notin

minusminusminussdot=ϕ

Deoarece ϕ(x) 0 şi rezultă că ϕ(x) este o densitate de

repartiţie Momentul de ordinul k este

ge int+infin

minusinfin= 1(x)dx)ϕ

(2) 1)kq1)(pqq)(p(p

1)k1)(pp(pkm

minus+++++minus++

=

iar valoarea medie şi dispersia sunt

266

(3) ( )1)q(p2q)(p

pqXDqp

pM(x)+++

=+

=

Moda distribuţiei este 2qp

1p0x

minus+minus

=

95 Distribuţia χ 2 (hi -pătrat)

O variabilă aleatoare X are distribuţia χ 2 dacă densitatea de probabilitate

(1) ( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

lt

geminusminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

0xpentru0

0x22ax

e1

2ν

x

2νΓνaν22

1

xϕ

Distribuţia χ2 a fost descoperită de Helmert icircn 1876 şi pusă icircn valoare 30 de

ani mai tacircrziu de R Pearson Ea are doi parametrii agt0 şi ν (ν reprezentacircnd

numărul gradelor de liberatate) şi se aplică icircn statistica matematică

Pentru a=1 şi ν=24615 graficele lui ϕ(x) sunt

ϕ(x

267

20

ν1)

005

0

010

5 10 15

ν=6

020

015

030ν=2

ν=4

ν=15

25x

ϕ(xν1)

22

2 2

P(λ gtλ )0

λ0 x=λ0

Pentru ν gt30 graficul distribuţiei χ2 se aproprie de graficul distribuţiei

normale Icircn practica statisticii este frecvent folosită funcţia de repartiţie

complementară P(χ2gtχ02)=δ (ale căror valori sunt tabelate pentru diferite valori a

lui ν şi valorile uzuale a lui σ )

Observăm că ϕ(x) icircndeplineşte condiţiile unei densităţi de probabilitate

a) ( ) 0x geϕ şi ultima egalitate se obţine făcacircnd schimbarea de

variabilă x=2t

( )int+infin

infinminus= 1dxxϕ

Caracteristici ale distribuţiei χ2

M(X)=a2ν D(X)=2a4ν x0=(ν-2)a2 m3=8a6ν m4=12a8ν(ν+4)

Funcţia carcateristică c(t)=(1-2ia2t)-ν2 Dacă infinrarrυ icircntr-o distribuţie χ2

atunci distribuţia tinde către n(x01)

96 Distribuţia Poisson (legea evenimentelor rare)

Să considerăm legea binominală

( ) ( ) αnp1αpαnCαnp minusminus=

icircn care presupunem n foarte mare şi p foarte mic

Notăm np=λ şi avem

( ) ( ) ( ) αn

nλ1

α

nλ

α1αn1nnαnp

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+minusminus

=

Vom scrie icircncă

(1) ( ) ( ) ( )α

αλα-n

nλ1αn

1αn1nnαnp ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

+minusminus=

Deoarece ( ) ( ) λeαn

nλ1nlimsi1αn

1αn1nnnlim minus=

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minusinfinrarr=

+minusminusinfinrarr pentru n foarte

mare vom icircnlocui primii doi factori din (1) prin limitele lor Obţinem valoarea

asimptotică

(2) ( ) λeα

αλαnP minuscong

268

Definiţie Dacă o variabilă aleatoare X ia valorile α=012hellip cu

probabilităţile λeα

αλ minus unde λ este un parametru real se spune că variabila X este de

tip Poisson sau că legea sa de probabilitate este o lege de tip Poisson Legea lui

Poisson se aplică icircn cazul evenimentelor ce se icircntacircmplă foarte rar De aceea legea

lui Poisson se mai numeşte şi lege evenimentelor rare Pentru ca legea de mai sus

să fie o lege de probabilitate este necesar ca suma probabilităţilor sale să fie egală

cu 1 Această condiţie este icircndeplinită sum+infin

==minus=minus

0α1λeλeλe

αλ

Proprietăţi

1) Valoarea medie a unei variabile Poisson este M(X)=λ Icircntra-devăr

M(X)= ( )suminfin

==sum

infin

=sdot=minus=minus

0αλλeλ-e

1αλ

1-α

1-αλλλeλeαλα

2) Funcţia carcateristică a unei variabile de tip Poisson este

Aceasta se obţine uşor pornind de la definiţie

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minus=

1iteλetc

( ) ( )suminfin

=

minus=minus=minus=minussum

infin

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0α

1iteλe

itλeeλeα

αitλeαeλeα

αλ0α

itαetc

3) Dispersia variabilei Poisson este egală cu λ Conform definiţiei

D(X)=M(X2)-[M(x)]2 Pentru a calcula M(X2) folosim definiţia

( ) ( ) λ2λ

0t

1iteλeitλe2ite2λ

0t2dt

c(t)2d2XM +=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minusminusminusminus=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡minus=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Icircnlocuind icircn egalitatea precedentă se obţine D(X)=λ2+λ-λ2=λ

97 Distribuţia trdquo (Student)

Variabila aleatoare este repartizată Student cu ν grade de libertate dacă

funcţia densitate de probabilitate este

269

(1) ( ) ( )+infininfinminusisin+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= t2

1ν

ν

2t1

1

2νΓ

21νΓ

νπ1νtϕ

Şi icircn acest caz se poate arăta uşor că sunt icircndeplinite condiţiile ca trdquo să fie

o densitate de probabilitate

a) ( ) 0νt geϕ (evidentă)

b) (cu schimbare de variabilă t( )int+infin

infinminus= 1dtνtϕ 2=νy)

Caracteristicile variabilei sunt

( ) ( ) 012km00x2ν

νXD0xM =+=minus

==

( )( )( ) ( )2kν4ν2ν

12k31kν2km

minusminusminusminussdot

=

Practic pentru νgt30 distribuţia trdquo Student este aproximată de distribuţia

normală n(t01) graficele respective confirmacircnd acest fapt (figa)

ϕ

distributia t

Figa

Icircn practica statistică matematice pentru distribuţia Student tabelată funcţia

( ) δtXP =gt (fig b haşurat)

0tx

-5-4-3-2-1 1 2 3 4

010203

5

distributia n(x01)

270

ϕ(x

Fig b

10 Convergenţa icircn repartiţie sau icircn sens Bernoulli

Fie Fn şi F respectiv funcţiile de repartiţie ale variabilelor Xm şi X Şirul de

variabile aleatoare NnnX isin converge icircn repartiţie către variabila aleatoare X dacă

şirul funcţiilor de repartiţie NnnF isin converge către funcţia de repartiţie F icircn toate

punctele de continuitate ale lui F

Activitatea practică are uneori să cunoaştem condiţiile icircn care acţiunea mai

multor factori icircntacircmplători conduc la un rezultat care să permită să prevedem

evoluţia unui anumit fenomen Astfel de condiţii se dau icircn teoremele cunoscute sub

denumirea de comună de legea numerelor mari

10 Teorema lu Cebacircşev Dacă X1 X2 hellipXn sunt variabile aleatoare

(discrete sau continue) independente ale căror dispersii sunt mai mici decacirct o

constantă C atunci pentru orice ε gt0 avem

(1) 1εn

n

1k)kM(X

n

1k kXPnlim =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ltsum=minus

sum=

infinrarr

ϕ( )x

o t t -t

)

271

Icircntra-devăr fie variabila aleatoare n

n

1k kXX

sum== pentru care avem

( )n

n

1k)kM(X

n

1k kXMXM

sum==

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ sum==

( )nC

2n

Cn2n

n

1k)kD(X

n

1k kXDXD =

sdotlt

sum==

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ sum==

Aplicarea inegalităţii Bienayme-Cebacircşev asupra variabilei X conduce la

dubla inegalitate

1εn

n

1k)kM(X

n

1k kXP2nε

C1 le

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ltsum=minus

sum=leminus

care la limită devine (1) Teorema lui Cebacircşev stă la baza teoriei selecţiei

20 Teorema lui Bernoulli (Legea numerelor mari a lui Bernoulli) Dacă se

fac n experienţe independente icircn fiecare experienţă probabilitatea evenimentului A

fiind p şi dacă x este numărul de operaţii al evenimentului A icircn cele n experienţe

atunci

(2) 1εpnx

nlim =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ltminusinfinrarr

Vom prezenta două teoreme numite teoremă de convergenţă icircn lege pentru

a căror demonstraţie se foloseşte de obicei funcţia caracteristică

a) Teorema lui Moivre-Laplace Distribuţia binominală icircn cazul cacircnd

volumul n ala extracţiilor este mare este aproximată de distribuţia normală adică

are loc relaţia

(3) ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=minus

=minusinfinrarr npq

npm2

2mx211

e2π

1xnqxpxnCnlim

σσ

σ

272

b) Teorema limită centrală (Laplace-Leapunov) Fie dat un sistem de

variabile aleatoare Xk kisin12hellipn pentru care sunt icircndeplinite următoarele

condiţii

10 Variabile aleatoare Xk sunt independente

20 Momentele centrate pacircnă la cel puţin ordinul trei există fiind mărginite

mk rlt C kisin12hellipn r le 3 C-constantă

30 Notacircnd

sum=

=sum=

===n

1kkρ

(n)xρ

n

1k 3kmkρ2kτ(n)2

xτ)kD(X2kτ

fiind satrisfăcută relaţia

(3) ( )

( )0

n3xτ

nxρ

nlim =infinrarr

atunci variabila sumă are o distribuţie asimptotică distribuţia normală

oricare ar fi distribuţiile variabilelor X

sum=

=n

1k kXX

k k isin 12hellipn

11Covarianţa şi corelaţia a două variabile aleatoare

Prin covarianţa a două variabile aleatoare X şi Y icircnţelegem expresia

(1) cov (XY)=M[(X-M(X)) (Y-M(Y))]

Dacă Y este independentă de X atunci cov (YX)=0 (analog dacă X este

independentă de Y cov (XY)=0)

Fiind date două variabile X şi Y ale căror valori normate sunt Zk respectiv

Zy (a norma sau a reduce o variabilă abatoare icircnseamnă a centra variabila şi a

măsura argumentul prin abaterea medie pătratică) se numeşte coeficient de

corelaţie a cuplului de variabile (XY) convarianţa variabilelor normate Notacircnd

ρXY coeficientul de corelaţie prin definiţie avem

(2) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ minussdot

minus==

yτM(Y)Y

xτM(X)XMyZxZcovXYρ care se mai scrie

(3) yτxτ

xyτ

yτxτX)cov(Y

yτxτM(Y))](YM(x))M[(X

XYρsdot

=sdot

minussdotminus=

273

Datorită simetriei icircn raport cu variabilele X şi Y avem

ρXY= ρYX= ρ

sau astfel spus coeficientul de corelaţie indică legătura ce există icircntre variabilele

perechi (XY) şi nu legătura de la o variabilă la cealaltă Acest fapt permite să se

spună că această legătură stochastică defineşte corelaţia variabilei X şi Y sau că

variabilele sunt corelate Coeficientul de corelaţie are valorile ρisin[-11] marginele

intervalului fiind atinse atunci cacircnd icircntre X şiY a există o dependenţă liniară certă

13 Aplicaţii ale teoriei probabilităţilor icircn teoria fiabilităţii

Teoria fiabilităţii (teoria siguranţei icircn funcţionare) are ca scop găsirea legilor

de apariţie a defecţiunilor echipamentlor sau utilajelor Astfel echipament sau

utilaj poate fi strung tractor automobil aparatură industrială fabrică uzină

calculator etc

Prin calitatea echipamentului icircnţelegem mulţimea proprietăţilor ce definesc

gradul de utilitate icircn exploatare

Fiabilitatea echipamentului este capacitatea echipamentului de a-şi conserva

calitatea icircn condiţii determinate de exploatare

Timpul de funcţionare pacircnă la prima defecţiune Icircn cazul sistemelor

complexe se studiază atacirct fiabilitatea sistemului icircn asamblul său cacirct şi fiabilitatea

unor părţi componente considerate aparte ca entităţi de sine stătătoare O parte

indivizibilă a sistemului sau studiată ca un tot independent de părţile sale

componente o vom numi element Icircn cazul unor echipamente sau a unor elemente

perioada de timp de la darea icircn funcţiune pacircnă la apariţia avariei coincide cu durata

de viaţă a echipamentului sau elementului respectiv (de exemplu becurile ndash la care

nu se pune problema reparării)

Să considerăm ca moment iniţial momentul icircn care un element este pus icircn

stare de funcţionare şi să notăm cu z timpul de funcţionare pacircnă la apariţia

defecţiunii Prin timp de funcţionare icircnţelegem perioada de funcţionare efectivă

274

eliminacircnd perioadele de icircntrerupere deliberată z este o variabilă aleatoare a cărei

funcţie de repartiţie o vom nota prin Q

Q(t) = P( z lt t ) ( t gt 0)

Vom presupune că funcţia Q(t) este derivabilă icircn orice punct t gt 0 şi notăm

q(t) = Qrsquo(t)

Probabilitatea ca elementul să fie icircn stare de funcţionare la momentul t (sau

să funcţioneze fără să se defecteze un timp mai lung decacirct t) este

Φ(t) = P ( z lt t )=1-P(t) ( t gt 0 )

Funcţia P(t) se numeşte funcţia de siguranţă

Din proprietăţile generale ale funcţiilor de repartiţie şi din condiţiile impuse

lui Q se deduc imediat proprietăţile funcţiei de siguranţă Φ este continuă şi

derivabilă icircn orice t gt 0 Φ(0) = 1 0)(lim =infinrarr

tt

φ

Valoarea medie a timpului de funcţionare fără defectare este

M(z) = tq (t) dt = intinfin

0

2

0

)( mdtt minusintinfin

φ

unde m = M(z)

Icircn practică icircntacirclnim numeroase exemple icircn care este important ca avariile să

fie prevenite Icircn acest caz se stabileşte pe bază de calcule şi experienţă o limită de

funcţionare Aceasta icircnseamnă că indiferent de starea icircn care se găseşte

elementul sau echipamentul respectiv la momentul el este scos din funcţiune

(Este cazul cazanelor de la instalaţiile de icircncălzire al locomotivelor vapoarelor

etc) Dacă z ar fi durata de viaţă a unui astfel de echipament fără impunerea unei

durate maxime de funcţionare atunci adevărata valoare a acestei durate este

0t

)min( 0 tzz =

Dacă este funcţia de repartiţie a lui se vede imediat că pentru orice t

0

Q z

ge

Q (t) = P( lt t ) = z1

)(

0

tttt

pentrupentrutQ

gtle

⎩⎨⎧

şi corespunzător

275

⎩⎨⎧

gtleΦ

=minus=Φ

0)(

)(1)(0

0

tttt

pentrupentrut

tQt

Valoarea medie a variabilei este z

int intinfin

lowast Φ=Φ=0 0

0

)()(t

dttdttm

iar dispersia acestei variabile

int minusΦ=0

2

0

2 )(2)(t

mdtttzD

Funcţia risc de defectare Să considerăm evenimentele

A elementul funcţionează fără să se defecteze pacircnă la momentul t

B elementul nu se defectează icircntre momentele t şi t + h Se observă că A cap B

este evenimentul ldquo elementul funcţionează fără să se defecteze pacircnă la momentul t

+ hrdquo Avem

P ( BA) = )(

)()(

)(t

httzP

htzPAP

BAPΦ

+Φ=

gt+gt

=cap

Cu alte cuvinte dacă elemntul nu se defectează pacircnă la momentul t

probabilitatea ca el să nu se defecteze pacircnă la momentul t + h este )()(

tht

Φ+Φ

Icircnseamnă că icircn aceeaşi ipoteză probabilitatea ca el să se defecteze icircnainte de

momentul t + h este

1- )(

)()()(

)(t

httt

htΦ

+ΦminusΦ=

Φ+Φ

Dacă h este mic atunci )()()( thhtt φφ cong+minusΦ

şi deci pentru un astfel de h

P(BA) )()()( hth

tt

sdot=sdotΦΦ

minuscong λ

Funcţia )(tλ se numeşte risc de defectare Graficul funcţiei empirice risc de

defectare obţinut prin prelucrarea datelor statistice este de forma

276

λ(t)

t

0 I II III

Această formă a graficului sugerează existenţa a trei perioade distincte icircn

timpul exploatăriiIcircn prima perioadă (I de pe figură) riscul de defectare descreşte

cu timpul Icircn momentul punerii icircn stare de funcţionare a echipamentului icircncep să se

manifeste viciile de fabricaţie ascunse Cei care lucrează cu anumite utilaje ştiu că

riscul de defectare este mai mic după trecerea unui timp de la darea icircn exploatare

Aceasta este perioada rodajului A doua (II pe figură) perioadă este perioada de

funcţionare normală După trecerea perioadei de rodaj urmează o perioadă icircn care

riscul de defectare se stabilizează şi practic nu depinde de timp A treia (III pe

figură) este perioada de icircmbătracircnire a echipamentului Sub influenţa unor factori

fizici şi chimici elementele se degradează ireversibil şi riscul de defectare creşte cu

trecerea timpului

Dacă considerăm ca moment iniţial momentul icircn care se termină perioada

rodajului şi icircncepe perioada de funcţionare normală o lungă perioadă de timp

riscul de defectare va fi practic constant De multe ori nu se pătrunde prea adacircnc

nici icircn cea de a treia perioadă echipamentul fiind icircnlocuit icircn scopul prevenirii

avariilor sau a uzurii morale icircnainte ca el să devină incapabil să mai funcţioneze

Dacă λ(t) = λ λ gt0 aceasta icircnseamnă că

λminus=ΦΦ

)()(

tt

de unde rezultă Funcţia de repartiţie a duratei de funcţionare fără

defectare este

)( tet λminus=Φ

Q(t) = 1- t gt 0 te λminus

277

adică durată are distribuţie exponenţială cu parametrul λ

Această lege de fiabilitate nu este universală Icircn practică se icircntacirclnesc

frecvent situaţii icircn care datele experimentale nu concordă cu modelul de mai sus O

lege de probabilitate care apare din ce icircn ce mai des icircn teoria fiabilităţii este

distribuţia Weibull Dacă z are distribuţia Weibull cu parametrii λ şi α adică

funcţia sa de repartiţie este

Q(t) = 1- t gt 0 αλteminus

atunci funcţia de siguranţă corespunzătoare este αλφ tet minus=)(

şi deci icirci va corespunde funcţia risc de defectare 1)( minus= αλαλ tt

Legea Weibull este mai generală decacirct legea exponenţială Depinzacircnd de doi

parametrii ea poate cuprinde un număr mult mai mare de cazuri concrete decacirct

legea exponenţială

Dacă riscul de defectare este proporţional cu timpul

λ (t) = 2λt λ gt 0 constant

atunci din relaţiile

1)0(2)()(

=minus= φλφφ t

tt

rezultă 2

)( tet λminus=Φ

şi suntem icircn cazul unei legi Weibull

14 Probleme propuse

1 Se consideră variabilele aleatoare independente

X şi Y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛201070

421⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛30104020

7641

Să se calculeze şi D(2X +4Y) YXm 42 +

278

2 Să se determine densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare X pentru care

funcţia caracteristică este Ψ(t) = 211t+

3 Să se determine funcţia caracteristică a unei variabile aleatoare X avacircnd

densitatea de repartiţie

f(x) = )4(

12 +xx

-infin lt x lt + infin

279

CAPITOLUL X

PROBLEME DATE LA CONCURSURILE DE MATEMATICĂ

ldquo TRAIAN LALESCUrdquo- anul II- (Politehnică-)

(fazele naţionale - 1980- 1996) (selectiv)

1 Să se calculeze

I = dxx

xxint +

minus1

03

3 2

)1()1(

= 1980 =

2 Să se determine soluţia pe [0 infin) a ecuaţiei diferenţiale xyPrime + 2yprime = care

satisface condiţiile y(0)=0 şi este mărginită icircn vecinătatea originii folosind

transformata Laplace

2x

= 1981 =

3 Fie f(xt) = )

2(

2ttx

eminus

olomorfă pentru x Risin fixat şi 0 lt | t | lt infin Dacă f(xt)

admite o dezvoltare icircn serie Laurent de forma f(xt) = atunci f(xt)

verifică următoarele relaţii

sum+infin

minusinfin=

sdotn

nn txJ )(

2 )()()( 11 xJxJxJ nnn +minus minus=

)(2)()( 11 xJxnxJxJ nnn =+ +minus Rxisin

214

= 1981 =

4 Folosind metoda separării variabilelor să se afle soluţia ecuaţiei

1 22

2

uaxu

xtu

=partpart

minuspartpart agt0 care

satisface condiţiile

(1) u(xt) = u(xt + 2л) 0 geisin tRx

(2) u(0t) = tcos35

1minus

= 1982 =

5 Să se dezvolte icircn serie Fourier funcţia

2cos211)(

axaxfRRf

+minus=rarr a gt 1

= 1983 =

6 Se dă ecuaţia cu derivatele parţiale

0coscossin2 2

22

2

=partpart

minuspartpart

partminus

partpart

yux

yxux

xu

a) Să se determine tipul ecuaţiei şi să se aducă la forma canonică

b) Să se determine soluţia generală

c) Să se determine soluţia particulară care satisface condiţiile u(0y) = 2y

2)0( =partpart yxu

=1989 =

7 a) Să se determine funcţia morfă f(z) = u(xy) + iv(xy) pentru care

215

u(xy) = xyshyxchyxye x cossincos minus+

b) Să se calculeze int minus

π2

0 cos453cos dx

xx

=1985 =

8 Fie rv vectorul de poziţie al punctului de coordonate (xyz) 3Risin şi

o funcţie armonică icircntr-un domeniu D

RR rarr3ϕ

3Rsub

a) Să se determine parametrii reali ab astfel icircncacirct

grad 0)()( =++ ϕϕϕ bgradxgradrarotgradr rr

pentru orice funcţie armonică ϕ

b) Să se exprime printr-o integrală de suprafaţă integrala triplă

I = ( )[ ]int int intΩ

nabla+ dwgradrgrad ϕϕ r

unde Ω este un domeniu cu frontiera suficient de regulată ΩsubD

rrz

zy

yx

xpartpart

+partpart

=nabla

= 1986 =

9 a) Să se determine funcţia monogenă f ştiind că f(z) = )( 22 yxx ++ϕ ϕ

derivabilă

b) Să se calculeze

I = int=

minus

neminusRZ

zRdz

ze 1

)1(

1

= 1987 =

216

10 a) Să se determine funcţiile olomorfe f pentru care

u(xy) =

CC rarr

)()( yx ψϕ sdot cu ϕ şi ψ de clasă unde u ( xy) = z = x + iy )(2 RC )(Re zf

b) Să se calculeze

I = intinfin

++02222 ))((

sin dxcxbx

axx

unde abc Risin

=1988 =

11 Se dă funcţia complexă

F(p) = ( )[ ]1)1(1

22 ω+++ pp ω gt 0

pisinZ Se cere

a) Să se determine funcţia original f(t)

b) Să se rezolve ecuaţia integrală

int minus=minus minust

t tteduutfug0

)sin()()( ωω

c) Să se calculeze intinfin

=0

1)( dt

ttfI

d) Pentru ω = 2 să se calculeze

int=2

0

62 cos)(

π

tdttfeI t

= 1989 =

217

( )int

infin

+0n2bxa

dx unde a şi b sunt numere reale strict pozitive

Nnisin

Folosind rezultatul obţinut să se calculeze

( )int

infin

+019932x1

dx

= 1993 = (UnivCBracircncuşi TgJiu)

intπ

πminus minussdot dx

xcos45nxsinxsin nisinN

=1996= (UnivCluj Napoca)

218

BIBLIOGRAFIE

1BĂLAN T Matematici speciale Universitatea Craiova 1980 2BĂLAN T

FLORESCU G

STOICA L

Curs de matematici speciale Repro Univ

Craiova 1978 (2 vol)

3 CIUCU C CRAIU V Probleme de teoria probabilităţilor Editura

Tehnică Bucureşti 1974 4 BRAcircNZARU T

CRSTICI B şa Matematici speciale EDP Bucureşti 1981

5 DOBRESCU V

DOBRESCU L Matematici speciale EDP Bucureşti 1967

6IOVANOV M Matematici speciale ndashprobleme 2006 TgJiu PECINGINA O Departamentul de matematică

UnivrdquoCBrancuşirsquo TgJiu 7 IOVANOV M

Matematici speciale Universitatea ldquoConstantin

Bracircncuşirsquo ndashTgJiu 1993 8 KECS W Complemente de matematici cu aplicaţii icircn

tehnică Editura Tehnică Bucureşti 1981 9 LAVRENTIEV MA Curs de calcul variaţional Editura Tehnică

Bucureşti 1955 10 LEBEDEV NN Funcţiile speciale şi aplicaţiile lor Editura

Tehnică Bucureşti 1957 (traducere din limba

rusă) 11 MOCANU PT

HAMBURG P

NEGOESCU N

Analiză matematică ( funcţii complexe) EDP

Bucureşti 1982

239

12 MAYER O Teoria funcţiilor de o variabilă complexă

Editura Acad Bucureşti 1981 13 OLARIU V

STĂNĂŞILĂ O Ecuaţii diferenţiale şi cu derivate parţiale

Editura Tehnică Bucureşti 1982 14 RUS AI PAVEL P

MICULA G

IONESCU B

Probleme de ecuaţii diferenţiale şi cu derivate

parţiale EDP Bucureşti 1982

15 ŞICLOVAN I

MATEI I POPESCU I

CREŢ F

Matematici speciale Culegere de probleme Lit

IMP Petroşani 1988

16 ŞABAC Gh Matematici speciale vol I II EDP Bucureşti

1965 17 UNGUREANU V Matematici speciale Editura MIRTON

Timişoara2003

240

coperta
cuprins
cap1
cap2
cap3
cap4
cap5
cap6
cap7
cap8
cap9
cap10
bibliografie

Page 2: Universitatea ,,Constantin Brâncuşi” Tg Jiurefkol.ro/matek/mathbooks/ro.math.wikia.com wiki Fisiere... · = ( , ), ( , )∈ reprezintă un câmp de direcţii, graficul unei soluţii

C U P R I N S CAPITOLUL I ECUAŢII DIFERENŢIALE 1 Ecuaţii diferenţiale Soluţia generalăSoluţii particulare Interpretarea geometrică Exemple Problema Cauchyhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip8 2 Ecuaţii diferenţiale de ordinul icircntacirci rezolvate icircn raport cu y integrabile prin metode elementarehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9 21 Ecuaţii cu variabile separate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9 22 Ecuaţii omogene helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip9 23 Ecuaţii reductibile la ecuaţii omogene 9 2 4 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul icircntacircihelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip11

25 Ecuaţia lui Bernoullihelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 26 Ecuaţia lui Riccatihelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 27 Ecuaţia lui Lagrange şi Clairauthelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip12 3 Ecuaţii diferenţiale de ordin superiorhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 4 Ecuaţii diferenţiale de ordinul n liniareDependenţa liniară Wronskian Soluţia generalăa unei ecuaţii diferenţiale liniarehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip14 5 Ecuaţii diferenţiale de ordinul n liniare şi neomogeneSoluţia generală Metoda variaţiei constantelor pentrudeterminarea unei soluţii particulare a ecuaţiei neomogene Exempluhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 16 6 Ecuaţii diferenţiale de ordinul n liniarecu coeficienţi constanţihelliphelliphelliphelliphellip 20 7 Ecuaţii neomogene Determinarea soluţiei particularehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip21 8 Ecuaţia lui Euler Exempluhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23 9 Sisteme de ecuaţii diferenţiale Exempluhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25 10 Sisteme simetrice Definiţie Integrale primeCombinaţii integrabile Exemplehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip27 11 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul icircntacirci liniare şi omogene Sistem caracteristicSoluţie generală Exempluhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29 12 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul icircntacirci cvasiliniare Exempluhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 30 13 Probleme propusehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

CAPITOLUL II FUNCŢII COMPLEXE 1 Corpul numerelor complexeConstrucţia şi reprezentarea numerelor complexe helliphellip 34 2 Elemente de topologie icircn corpul numerelor complexe Proiecţia stereografică helliphelliphellip 37 3 Şiruri şi serii de numere complexe helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 42

CAPITOLUL I

Problema Cauchy

4

2xy minus= numită

Dyxyxfdxdy

8

CdyyQdxxPx

x

y

=+int int0 0

)()(

(2) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xyf

dxdy

tdxdtx

dxdy

+=

xdx

ttfdt

=minus)(

variabile separate

1

+

minus=

xyxy

dxdy

dxdttt

minus=++

11

9

(3) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=222

111cybxacybxafy

22

+=+=

vyyuxx

0

11⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=vbuavbuaf

21 =minusne+ babacc

1

2

1

2

1

kbb

aa

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

++=

211

111

)(

ecuaţia devine

1

2

11

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

ckzczfa

dxdz

13

+minusminus+

=yxyxy

vuvu

dudv

minus+

= (omogenă)

ududt

tt

=+minus

211

)2()1(ln12 22 Cyx

10

O ecuaţie de forma

)(int=

minus dxxPCey

)()(int=

minus dxxPexCy

sau )()()(int=dxxP

(5) C)()( 1))(

CdxexQxCdxxP

(6) )()(

1)(

⎥⎦⎤

minusdxexQCey

dxxPdxxP

11

(8) )(1)(11 xQ

yxPy

=z

yy

şi ecuaţia (8)

26 Ecuaţia Riccati

yy p1

liniară Avem 2

0)(1)(1)(2

2 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

zyxQ

zyxP

zzy ppp

zxRyxQyxPy pppp

12

(12) ( ) ( )( ) ( )

dx p pxdp p p p p

ϕ ψϕ ϕ

+ =minus minus

(13) ( )( ) ( ) ( )

(16) ][p )()(

)(ab

pppypx

isin⎩⎨⎧

+minus=minus=

ψψψ

13

(2) )1(00

sau 2

44x

ux

x

xCu544

1 minus=

Icircnlocuind yyu

xCyy

54 4

2

5

1ne=

minusxexCy

xC

)1(1

nn =++++ minusminus

14

(2) 0)()()()( 1)1(

1)(

nn

(4) )1()1(

2)1(

1

21

)(

minusminusminus

=

nn

n

yyy

yyyW

(6) 0)()( 1)1(

1)( =+++ minus

minus yxayxay nnn

15

)1(1

)(0 =++++ minus

2 )(

1)1(

11)(

1)(

111111nn

nn

0)(])()([])()()([ 10)()1(

10111)1(

1)(

nn

0)()()( 1)2(

1)1(

nn

16

(1) )()()()()()( 1)1(

1)(

n =++++= minusminus

(2) 0)()()()()( 1

)1(1

)(0 =++++= minus

n

(5)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++=+++

minusminusminus

)()()()()(

0)()()(

0)()()(0)()()(

0

)1(2

)1(21

)1(1

)2(2

)2(21

)2(1

2211

xaxfxCyxCyxCy

xCyxCyxCy

xCyxCyxCyxCyxCyxCy

nn

nnn

nn

nnn

nn

17

(11) nn yCyCyCy 2211 +++=

)1()1(22

)1(1

)1(

)3()3(22

311

)3(

+++=

nnn

nn

yCyCyCy

)1()1(22

)1(11

)()(22

)(11

nnnnn

)()(

0

)()(22

)(11

)(

xaxfyCyCyCy n

nnnnn ++++=

18

)()(

)(

)1()(021

)1()1(1

)1(1

)1(2

)1(1

1121

xaxf

yyyWyyyyyyyyyyyyyyy

xCn

nn

nk

nnnkk

nkk

knk sdotsdotminus=

minusminus+

minusminus

minusminus+minus

+minus

+

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

xxCxC

xCxC142

0

321

42

21

cu soluţiile

2

1 21 xC minus= 42 2

1x

C = şi apoi 21

11 xCC +=

61

322 x

CC minus=

19

3

42

21

xxCxCy ++= isinx R0

(am renotat ) 221

1 CCCC ==

(1) 0 0 01)1(

1)(

nn

nxrxr n 21

21

0)( 11

10 =++++ minusminus

nnnnrx arararaAe

xrn

20

)(

)( 21)(

112

11

212121

21

nxrrr

xrnn

xrnxrn

xrn

xrxr

xrxrxr

n rrrVe

ererer

eee

yyyW n

n

sdot== +++

minusminusminus

21

mniriririririr

mmm

mmm 2

222111

xkk

xk

(4) sum=

+=m

kkkkk

x xCxCey k

1

)sincos( ββα

pp

21

121

21

)( xPm )( xQm

kp αα +=

]sin)(cos)([21

xp ββα +=

22

h 2cos2sin)( 4321

p ++= minus

4321 R

)1()1(1

dtdye

dxdt

dtdy

dxdyx =

2

22

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

dtdy

dtyde

dtdye

dtde

dxdy

dxd

dxyd ttt deci 2

2

22

dtdy

dtyd

dxydx minus=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= minusminus

dtdy

dtyde

dtde

dxyd

dxd

dxyd tt

2

22

2

3

sau 23 2

2

3

33

dtdy

dtyd

dxydx +minus=

kk

ydp

p

(2) )( 11

1

10t

nnn

n

efybdtdyb

dtydb

minus

23

(3) 0 11

1

0 =++++ minusminus

minus

ybdtdyb

dtydb

dtydb nnn

n

)1(11

)(0 =++++ minus

21

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= x

xy

ln23sin1

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= x

0 ln23sinln

23cos1

21 ne⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= xxCxC

xu

24

(1) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

0)(

)()()(3

)()()(2

)()()(1

pnm

zzzyyyxxxtF

(2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

minusminusminus

)()()(

)1()1()1()(

pnmp

pnmn

pnmm

(3)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

)(

21

2122

2111

nnn

n

yyytfdt

dy

yyytfdt

dy

yyytfdtdy

25

necunoscute

12

32

21

1 minusminus ==== m

m xdt

dxx

dtdxx

dtdx

) ( 1111111

n zzzyyyxxxtfdt

dx

isin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

minus=t

xydtdy

xydtdx

42

R

2

dtxd

dtdx

dtdy

+=

xdtdxx

dtxd

dtdx 422

2

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ sau 062

2

=minusminus xdtdx

dtxd

23

1tt eCeCx minus+=

şi tt eCeCy 2

23

R isin⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=

+=minus

minus

teCeCy

eCeCxtt

tt

4 2

23

1

22

31

26

R isin⎩⎨⎧

=minus=minus

ttyx

txy

sin4

22

1tt

41minusminus= Deci

teCeCy tt sin51

412

22

1

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

minusminus+=

minusminusminus=

minus

teCeCy

tteCeCx

tt

sin51

41

cos5122

22

21

22

21

27

(1) )(

)()( 21212

2

211

1

nn

n

nn xxxPdx

xxxPdx

===

(2)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==

minusminus 1211

2212

1211

)(

)()(

nnn

n

CxxxF

CxxxFCxxxF

(3) nn

nn

n

PPPdxdxdx

Pdx

λλλλλλ

++++++

====

2211

2

1

0

2211

=+++Φ=+++

nn

PPPddxdxdx

λλλλλλ

12

3

31

2

23

1

xxdx

minus=

00332211321

12

3

31

2

23

1 dxxdxxdxxdxdxdxxx

dxxx

dx ++=

++=

minus=

minus

28

Cxxx 223

22

21 =++

0)()()( 212

2121

211 =partpart

++partpart

+partpart

nnnnn x

uxxxPxuxxxP

xuxxxP (1)

)(

)()( 21212

2

211

1

nn

n

nn xxxPdx

xxxPdx

=== (2)

(3) 022

11

=partpart

++partpart

+partpart

nn

dxx

ϕϕϕ

(4) 022

11

=partpart

++partpart

+partpart

nn

Px

ϕϕϕ

29

)( 21 nxxx

022 =partpart

+partpart

minuspartpart

zuy

yuxy

xux

dzxy

dyxdx

=minus

=

Din xy

dyxdx

2ydz

xydy

=minus

⎩⎨⎧

=+

=

23

1

3 Cxyzy

Cxy

este de forma

(1) )()()()( 211212

2121

211 uxxxPxuuxxxP

xuuxxxP

xuuxxxP nn

nnnnn +=

partpart

++partpart

+partpart

30

(2) 12

2

1

1 +

====nn

n

Pdu

Pdx

222 yxuuyuy

xux ++minus=

partpart

+partpart

222 yxuudu

ydy

xdx

++minus==

Avem

222222222 yxuudu

yxuuuyxuduydyxdx

++minus=

++minus++

++

sau

( ) 222222222 yxuudu

uyxuuyxuduydyxdx

++minus=

minus++++

++

de unde du

uyxuduydyxdx

minus=++

++222

0 222 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++Φ uuyx

yx sau ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+++

yxfuuyx 222

13 Probleme propuse

31

00cos

1==minus ) y(

xy tgxy

4 Să

) y(xy-yx

y- 1121 2 ==

x

y ax

yx

yya p ==+++prime 0) 22 ( )0gta 24

cos

1cos

sin2sin) 22

xy

xxxyyb p ==+prime

)y

yxyaprime

+prime= 1

primeprime+=

35

4

)3(

=+

=minus

=minus+minus

=minus+

b + 2)1() yxyy

ţi constan

04500200

)4( =+minus

===minus

yyb) y)( y) y(ya) y

040

03306116

)()(

)(

yf) yye) y

yyyd) yyyy-c) y

32

210665)3()4(

2

xeyyyb) yxxyya) y

=+minusminus

+minus=+minus

x

yycos

1=minusprimeprime

zyxz minus+=prime

)a )()()( 213

3

132

2

321

1

xxxdx

minus=

minus

)b2

32

22

13

3

2

1

xxxx

dxx

dx

++minus==

)c31

3

21

22

32

22

1

22 xxdx

xxdx

xxxdx

==minusminus

221

222 xuyxuyuyu

xuxu

y=minusminus=

partpart

+partpart

=

33

CAPITOLUL II

FUNCŢII COMPLEXE

numerelor complexe

sub

rarr

34

isinyy)0( sub

35

y M(xy) y z

ρ

θ

0 x x

36

(7) )]sin()[cos( 21212

1

2

1 θθθθρρ

minus+minus= izz

Observăm că 2

1

2z1z

z

z= şi arg

2

1

nk

rarr

37

38

Ρ

y )( 0 rz∆

0z r

V 0 x

0z

0V IntV

___

VVV cup=0

VV sup___

VV =hArr

39

CV sub )0( r∆

Cz isin0 CA sub

0z

infin=z

ςO

40

ne

(7) 22

22

2222 1

1

1 yxyx

yxy

yxx

+++

=++

= ςηξ

rarr

__infincup= CC

sub

CD subΓ ∆

0 x

41

2T

1B 1C 2B 2A ( ) 2C 1T 1A

1T 2T

)()()()()()()( 22221111321

capcapcapcap

nzCzisin

zznn=

42

+= limlimlim

nx ny

nz

211

++++=suminfin

=n

nn wwww

( ) definit astfel

suminfin

=1nnw

43

nS

suminfin

=1nnw Sw

nn =sum

infin

=1

nS suminfin

=1nnw

=

infin

=

infin

=

+=1 11 n n

nnn

n viuw Rvu nn isin

Are loc

sum nw

sum nu sum nv

şirurile ( ) şi (

sum nw

nS

nu

sum nv

44

ltftt

=rarr

)(lim0

ttttRe)(lim)(lim

00

=hArr=rarrrarr

şi ltytt

Im)(lim0

=rarr

0 EEt capisin

)()(lim 000

tftfttt

=hArrrarr

(3) 0

0 )()(lim

0 tttftf

tt minusminus

rarr

45

)()()()()()(

00

0

0 tEttt

tytyi

tttxtx

tttftf

isinminusminus

+minusminus

=minusminus de unde

0

tyitxtf prime+=

minus= kknkttdγ

minusminus=n

kkkkd ttff

46

intb

a

dttf )(

(10) )(lim)(0)(

fdttfI dd

b

a

τυ rarr

))((Im))((Re)())((Im

))((RetyItxIfI

tyI

txIddd

d

d ττττ

⎪⎭

⎪⎬⎫

minus

minus deoarece

(11) int intint +=b

a

b

a

b

a

intt

a

df ττ )( F

(10) ba

b

a

47

(1) 0

0 )()(lim

0 zzzfzf

zz minusminus

rarr

)( 0 zf

Dz isin0

)( 00 yx

(2) )()()()( 00000000 yxxvyx

yuyx

yvyx

xu

partpart

minus=partpart

partpart

=partpart

)()()]()([)]()([)()(

00

0000

0

yyixxyxvyxviyxuyxu

zzzfzf

=minusminus(3)

y z z

z 0y 0z 0 x 0x

Din (3) obţinem

(4) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminus

+minusminus

=rarr

0

000

0

0000

)()()()(lim)(

0 xxyxvyxv

ixx

yxuyxuzf

xx

48

(5) )()()(

lim 000

000

0

yxxu

xxyxuyxu

xx partpart

=minusminus

rarr

şi

(6) )()()(

lim 000

000

0

yxxv

xxyxvyxv

xx partpart

=minusminus

rarr

yxxviyx

xuzf

partpart

+partpart

=

0xx = şi 0

yy ⎯rarr⎯

Din (3) obţinem

(8) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus+

minus

minus=

rarr0

000

0

0000

)()()()(1lim)(0 yy

yxvyxvyy

yxuyxui

zfyy

(9) )()()(

lim 000

000

0

yxyu

yyyxuyxu

yy partpart

=minus

minusrarr

şi

(10) )()()(

lim 000

000

0

yxyv

yyyxvyxv

yy partpart

=minus

minusrarr

Din (8) (9) şi (10) găsim (11) )()(1)( 00000

yxyvyx

yu

izf

partpart

+partpartsdot=

unde

isinf

00 =∆=∆ vu 2

2

yx partpart

+partpart

49

yv

xu

partpart

=partpart şi

xv

yu

partpart

minus=partpart

yu

xv

partpart

minus=partpart

xu

yv

partpart

=partpart

dyxudx

yudv

partpart

+partpart

minus=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

yu

yxu

2

=partpart

+partpart

yu

xu Funcţia

(1) dyxudx

yuyxv

AMint part

part+

partpart

minus=)(

D

)( 00 yxA )( 0yxB

int int partpart

+partpart

minus=x

x

y

dttxxudtyt

yuyxv

0 0

)()()( 0

50

int int partpart

minuspartpart

=y

y

x

dtytyudttx

xuyxv

0 0

)()()( 0

dyxudx

yudv

partpart

+partpart

xv

partpart

minus=partpart

xu

yv

partpart

=partpart

(2) dyxvdx

yvyxu

AMint part

partminus

partpart

=)(

yeyzv x sin)( =

yexv

yuye

yv

xu xx sincos minus=

partpart

minus=partpart

=partpart

AM

x

y

51

nezf)( 00 zfw =

α α β β )( 00 zM )( 00 wN 0 x u

0

0)( 0 nezf

(2) sauzf

zzww

zfzzww

zf

zz

zzzz

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minusminus

minusminus

=minusminus

=

rarr

rarrrarr

)(argarglim

lim)(lim)(

0

00

0

00

0

00

52

(3) _______

00

_______

0 NN)(Γ

(4) )()(

0

0)(

0

00

0

rarr

minus

rarr

minus

rarrsdot

∆∆

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

∆∆sdot

∆sdot

∆== i

zz

i

zz

i

zze

sSe

sS

MMs

SMN

eMMMN

zf

deoarece 1lim 0

)( 00

=∆

rarrrarr s

NM

zzMM

şi 1lim 0

)( 00

=∆

rarrrarr S

MN

zzNN

sSzf

zz ∆∆

=rarr 0

lim)( 0

zfAm obţinut

0z)0)(( 0

nezf)( 00 zM

0z 0zTM 0 UN 0

)(Γ

)()( 21 CCDzzM isin000 )( 0)( 0

nezf)( 1Γ )( 2Γ

53

y (z) v (w) 2U 2T 1T 1U ω )( 2C ω )( 2Γ )( 1C )( 1Γ

2α 1α 2β 1β

)( 00 zM )( 00 wN

10TM 20TM

12 ββω minus=

)( 1C )( 2C)( 1Γ )( 2Γ

54

)11(0M2)( zzf = )90( 0=prime= ωω

_____

M

1M kP kM

00 )( MzA = 0 x

_____

AB

55

arbitrar

Arcului _____

(2) sum=

minusminus=n

kkkkd zzaff

11 ))(()(σ

DAB sub_____

rarr____

)()(lim0)(

AB

ddvdzzffI σ

__________

)()()()()()

ABABAB

(5) )()()( fiff ddd σσσ +=

unde

sum=

kkkkkkkkkd yyvxxuf

111

)]()()()([)( ηξηξσ

şi

sum=

kkkkkkkkkd yyuxxvf

111

)]()()()([)( ηξηξσ

56

_____

AB

b

aABddv

0)(σ

şi

intint +=+=rarr

b

aAB

0)(_____

σ

_____ _____

)()(AB BA

dzzfdzzf

AB

3 int int int isin+=_____ _____ _____

_____)()()(

AB AC CB

ABCdzzfdzzfdzzf

4 LMdzzfAB

sdotleint_____

)( unde )(sup_____

zfMABzisin

AB

=C az

dzI

a

y M(z) r θ a

(C) 0 x

57

θθθ diredzeraz

ii ==minus

minus 11

şi

θθ πθθ2

0

2

0

21 ididireer

I ii

(1) int =C

dzzf 0)(

∆ (C) 0 x

58

dxdyyP

xQdyyxQdxyxP

Cintintint∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

=+ )()(

xv

yu

xu

partpart

Green obţinem

intintint∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

minus=minus dxdyyu

xvvdyudx

C

(3) şi

intintint∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

=+ dxdyyv

xuudyvdx

C

∆

yv

xu

partpart

=partpart şi

xv

yu

partpart

dzzf 0)(

∆)( 1C )( 2C

59

_____

AB ____

ABD ∆=

)()()()(__________

minus+CBA

CAB

C

2_____

1

Cum intint =+BAAB

minus=2 2

)()(C C

dzzfdzzf

minus +

=1 2

)()(C C

dzzfdzzf

)( 1C)( 2C )( nC )( 1C )( 2C )( nC

)( 2C )( nC y )( 1C

)( 2C )( nC )( 3c )( kC

∆ 0 (C) x

(6) sum intint=

=n

k CC k

dzzfdzzf1

)()(

60

(1) int minus=

C

dzaz

zfi

af )(21)(π

zfminus

minusminus

=minus

=minus γγ γ

dzaz

afdzaz

afzfdzaz

zfdzaz

zf

C

)()()()()(

πiaz

zf 2)(

61

int intint =leminus

minusle

minusminus

γ γγ

πεε 2)()()()( ds

rdz

azafzf

dzaz

afzf

minusminus

int dzaz

afzf

γ

minusminus

=C

n

k C

dzaz

zfi

dzaz

zfi

afK1

)(21)(

21)(

ππ

(5) int +minus=

Cn

n dzazzf

inaf 1

)(

)()(

2)(π

=C

dzaz

zfi

af )(21)(π

62

=1

)(n

n zf Dz isin0

infin

=10 )(

nn zf

mulţimea

suminfin

=1)(

nn zf

1

)(zf n

Dzzfn

n isinsuminfin

=

)(1

00

gtsuminfin

=n

nn uu

=1

)(n

n zf DA sub

şi

nnn zczf =)( n

n azc )( minusinfin

=1n

nn zc

nn

nn cazc )(

1suminfin

=

minus Caisin

Are loc

suminfin

=1n

nn zc

0ge

63

nnc

nR lim

___1

infinrarr== ω

ω

(1) sau

n

cc

nR 1lim

___1 +

infinrarr== ω

ω

(2) int minus=

C

duzu

ufi

zf )(21)(π

Observăm că

(3) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

minusminus

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

minusminus

++minusminus

+minus

=minus

sdotminus

=minus minus

minus

+

minusminus

auaz

nn

auaz au

azauaz

auaz

auauzu 1111

1111 1

int int int +minus

minus++

minusminus

+minus

= +C C

nC

n

Rduauuf

iazdu

auuf

iazdu

auuf

izf 12 )(

)(2

)()()(

2)(

21)(

πππ

unde

= +

+

Cn

n

n azauauduuf

iazR

)]()[()()(

2)(

1

π

64

int +minus=

Cn

n

auduuf

inaf 1

)(

)()(

2)(π

(6) nn

n

Razn

)()(1

)()()()(

intint sdotminus

sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛le

minussdotminus

minusle

+

C

n

Cn

n

n udrr

Mrau

udufazR

ρρ

πρπ1

2)(

2

1

adică 1+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdot

minusle

n

n rrMrR ρρ

infinrarrn

(7) suminfin

=

minus=0

)(

)()(n

nn

azn

afzf

D 1r u z a 2r )( 2γ 0 v x

minusminus

=21

)(21)(

21)(

γγ ππ zuduuf

izvdvvf

izf

65

(2) n

nn azc

zvdvvf

i sumintinfin

=

minus=minus 0

)()(21

1γπ

unde (3) 210

)()(

21

1

1 isinminus

= int + nav

dvvfi

c nnγπ

⎤⎢⎣

⎡minus

sdot++++minus

=minusminusminus

=minus

minusminusminus

+minusminus

minusminus

2 221

11)(21

)()()(

21)(

21 1

γ γγ πππdu

azuf

iauazduuf

izuduuf

i azau

nazaun

azau

12 lt=minusminus

ρr

azau

minus=

minusminus minus

+

= 22

11

1))((

21

)(1)(

21

γγ ππ nk

n

kk Rduauuf

iazzuduuf

i unde

(5) duufi

R azn

azau

n minus+

21

2γπ

2

zfMz γisin

= obţinem

2

21

2

rrr

MRn

n minus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotle

+

ρρ

sumintinfin

=

minusminus minus=

minus 1)()(

21

2 n

nn azc

uzduuf

i γπ unde

(6) duauufi

c nn

1))((21

2

γπ

66

infin

minusinfin=

minus

minusinfin=

infin

=

nn

nn azcazcazczf

1

0)()()()(

unde (8) ))((

21 Znduauuf

ic n

n

nn

n

nn azcazc )()(

0

1

=

minus

minusinfin=

(9) suminfin

=

subisinminus=0

)()(n

nn DVzazczf

Disin

(11) suminfin

=

++minus

=0

1 )()(

)(n

nnm

m azcaz

caz

czf

67

n

infin

minusinfin=

)()( zQzPzf =

Γ

= dzzfdzzfC

)()(

Γ

= dzzfi

arezf )(21)(π

68

Γ minus= dz

azz

iarezf p)(

)(21)( ϕπ

)1(1)( )1( gtminus

= minus pap

arezf pϕ

)1(1)( minus

=sdotminusminus

= paz

p zfazp

arezf

)()()(

caz (5)

)()()( ah

agarezf =

69

C

dzzf 0)(

ka KΓ

Γ Γ Γ

+++=1 2

)()()()(n

dzzfdzzfdzzfdzzfC

k

isin=intΓ

π

(6) )(2)(1

kC

n

k

afrezidzzfint sum=

= π

70

dzz

IC

zint ++

=1

sin1 π

22

=+yx

funcţiei z

zf z

++

=1

sin1)(

π

11)( 3

3

31

+=

zzz zzzz

zf πππ

1

0sin53

)0(53

1 2210

1 +++++++=⎟⎠⎞

uc

uf m

m

adică

(7) )( 221

zc

czcczf m

1cinfin

71

izfrez

Cz int=infin= )(

21)]([π

(9) 0)]([)(1

=+suminfin

=infin=

kzk zfrezarezf

Lemă (Jordan)

rarr

zfazaz

0=int

rarr

dzzfCR

infinrarr

zfazR

atunci

dzzf

dxxQxP

int+infin

)()(

72

nzzz 21

)(Γ

y )(Γ 2z nz R 2 z 1 z x -R 0 R

(1) int sumintΓ =

=

+

minus

=+n

kzz

R

RK

zrezfidxxQxPdz

zQzP

1

)(2)()(

)()( π

zfzz

avem intΓinfinrarr

= 0)()(lim dz

zQzP

(2) int suminfin

infinminus ===

n

kzz k

zrezfidxxQxP

1

)(2)()( π

θθθ2

0

)cos(sin dR

73

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus=

zz

i1

21cos1

21sin θθ

zint=

=1

1 )(

π

θθ

0 sin45dI

intint== minus+

=sdotminus+

=1

21

12 252

)(51

zz zi izzdzI

izdz

zI

estei

zrezfiz 3

1)(31 =

minus= şi deci

32π

=I

(3) int sum ==

sdot+=C

zzk

n

k

zfrezizfrezidzzf0

)]([)(2)(1

ππ

)(Γ 0z

74

(4) int int sum

===+

____ ______

1

)(2)()(QPC PAQ

n

kzzk k

zrezfidzzfdzzf π

0

____ ______ 1

1)(2)(2)()( zz

n

kk

QPC PBQ

n

k ===

)()()( 00100

= minus nn zzczzcc

zzc

zf

Observăm că

(5) 0)()(lim0

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+ intint

rarr

=minus=PBQPAQR

cdzzfcdzzf ππ 110

)()(lim )

0rarrR

int sumsum ==

==

+=C

az

m

jzz

p

kjK

zrezfizfrezidzzf11

)()(2)( ππ

_____1 pkzk =

_____1 mjj =α

=1 )1(z zz

dzI

00 minus==

rarr= zzfzrezf

zz şi 1)]()1[()( lim

11 =minus=

rarr= zfzzrezf

zz

75

θ

θθ

1f 2f

)( 00 zM )(zM

0θ şi θ

________

0MM

22

21 )(

θθ

ρρii

0M

1f 2f

76

(2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=sdot=sdotminus=

=sdotminus=sdot=

+

)()(

122)2(

2

222)2(

1

zfeezf

zfeezfii

ii

θπθ

ρρ

1f 2f

)(1 zf )(2 zf

n

z +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

infinrarr

we z =

77

αzzf =)(

(11) 2

cos2

siniziziziz eez

ieez

minusminus +=

minus=

(12)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+minus++minus=

+minus

minus++minus=minus

+

)2(

)1(2

1cos

)12(

)1(3

sin

22

121

3

nzzz

sinzzzz

nn

(13) 111

cossin

2

+minus

== iz

iz

ee

izztgz

izArc minusplusmn=

78

iz minusplusmn=

izArc minusplusmn=

(19) ⎩⎨⎧

minus++

=zk

zkzArc

arcsin)12(arcsin2

sinππ

izzizie iw plusmnne

+minus

= 2 deci ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+minus

=zizi

iArctgz ln

79

(20) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+minus

=zizi

iarctgz ln

21

(21) sh z 2

2

zz ee minus+=

2 2

a) suminfin

=1 )2(nni

n b) suminfin

=1 2cos

nn

in c) suminfin

=13

2

n

in

ne

2 Să se calculeze

int minus+1

0 123 dtitit

b) ))((14

22cos

2)( tgzzfRfychx

yshyxv ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

π

c)

))(( zzfR =

80

2

11⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

minus+

2332)( 2 +minus

+=

ze

C

ziπ

a) dzzz

e

z

int= minus1

1

)1(

b) 22

)1)(1(22

2 yxyxundeCzz

dz

C

+=++minusint

c) 3

zzzdz

C

81

a) intinfin

infinminus +dx

xx

16

2

minus 0cos0

2

c) intinfin

xxxxI

136sin

21 şi intinfin

xxxxI

136cos

22

d) int +

π

θθ2

02)cos45(

d

e) int isingt+minus

π

θθθ2

02 1

cos21cos nad

aan N

531 itgz minus

82

CAPITOLUL III

FUNCŢII SPECIALE

(fmfn)= ⎩⎨⎧

=gtne

=intΩ nmC

nmdxxfxf

nnm 0

0)()(

)(xfn Nnisin

Nkk

k

fxf

isin⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

2

xnlxn

lx

=ne

=intminus nml

nmdxxfxf m

l

ln

0)()( )(xfk

llxn

n

l

llxn dx π

ππ

llxn

n

l

llxn dx π

ππ

83

( ) ldx lll

xnl

llxn =+= minus

minusint ππ 2

212 cos1cos

llxn

l

llxn =minus= minus

minusint ππ

dxmnmndx lx

l

llx

lxm

l

llxn ππππ etc

(2) 2

2

lxn

lx

lllllllππππππ

(4) 1

1

2cos1

2sin1

1

πππππππ

)(xf k Nkisin

Ω

))()()(( xfxpxf nm =⎩⎨⎧

=gtne

=intΩ nmC

nmdxxfxfxp

nnm 0

0)()()(

Exemplu

n

nx

84

)(0)()())()(( 2

0

mx

n =ne== intinfin

minusminus

xn e

nxL

1)( = )( xn

n

(1) intinfin

minusminus=Γ0

intintinfin

11

0

1)( dtetdtetz tztz

01

11

xt

a

iyxt

a

zt

a

zt

00111

11 gtgt

xadttdtte

a

xx

a

zt

0

1 dtet tz

85

minusminus

1

1 dtet tz

11

tb

x

n enu

1minus

1

minusinfin

minusint

1

)1( +Γ z = )()( 1

00

0

intint

86

( deci intinfin

minusminus gt=Γ0

zππ

sin

intintinfin

minusinfin minus

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

00

2

221 πduedt

te u

t

(6) intinfin

minusminus=Γ0

122)( dttez zt

0

(8) =)( qpB )()()(

qpqp

int intinfin infin

1212)( 22

0

121212121)(2 sincos)(2sincos4)(2

2

00 πθρ lelege

B(pq)= θθθπ

dqpint minusminus2

0

87

3 Funcţiile Bessel

(2) y(x)=xrsuminfin

=0k

kk xa

ka

Din (2) obţinem

(3)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

minus++=

+=

sum

suminfin

=

minus+

infin

=

minus+

0

2

0

1

)1)((

)(

k

rkk

k

rkk

xrkrkay

xrkay

(4) sumsuminfin

=

infin

=

minus=minus+00

22 ])[(k

kk

k

kk xaxvrka

(5)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

isinminus=minus+

=minus+

=minus

minus 432])[(0])1[(

0)(

222

221

220

kavkra

vra

kk

88

(6) 32100 12531 isin====== + kaaaa k

(7) 321)44( 222

(9) ))(2)(1(2

)1(2

02 nvvvn

aa n

n

n +++minus

=

(10) 210)1(2

)1()1(2

02 isin

++Γ+Γminus

= nnvnva

a n

n

(11) n

n

nv xnvn

xy2

0 2)1()1(

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

(12) n

n

nv

vx

nvnxxI

2

0 2)1()1(

2)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

v

89

(13) n

n

nv

vx

nv1+

minusn

xxI2

0 2)1()(

2)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+minusΓ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

minus

minus nv ne

1gep

(15) n

pn

np

px

npnxxI

2

2)1()1(

2)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++minusΓminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

minus

şi )()1()( xIxI pp

p minus=minus

(16) nvv

xIxIvxN vv

v neminus

= minus sin

)()(cos)(

ππ

(1) )(xH n ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus=22

)1( xdxdxn ee n

n 3210isinn

32

90

2

)( xexu minus=2

2 xxeu minusminus=

( ) [ ])()()1(22)( )1()()1()2( 2

Observăm că H

2

(5) intinfin

infinminus

minus

⎩⎨⎧

=

ne=

nmn

nmdxxHxHe

nnmx

2

0)()(

2

π

I= intinfin

infinminus

minus = π222

ndxen nxn

(7) f(xt)=

)(0 n

txHn

nnsum

infin

=

)(xH n

=partpart fxt

tftf

91

(1) [ nn

n

nn xdxd

nxL )1(

(x2-1)u(n+2)(x)+2xu(n+1)(x)-n(n+1)u(n)(x)=0

n

xdxd )1( 2 minus

21

1)2

minusisinisinminus+

= xx

x ρρρ

ρ

E(M)= RR

12 =M0M

20

V(M)=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

lt=minus+

=1

21

11

121

11

10

2

02

0

rr

xr

rr

xr

R ρρρ

ρρρ

92

(6) [ ] ( ) ( )( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

suminfin

==+minus++=

+minus

minusminusminus

minus

0)(1

)2()2(1)2(1)(

233

253

212

232

222

23

21

2122

12

nxLxx

xxxxf

nnxx ρρρρ

ρρρρρρρ

partpart

+minus fxfx ρρ

ρρ

0)()()()21(01

=

infin

=

minus n

nn

n

⎩⎨⎧

=+ne

=intminus nmn

nmdxxLxL mn )12(2

0)()(

1

`

93

6 Probleme propuse

int= 20

46 cossinπ

xdxxI

intinfin

+=

0 36

2

)1( xdxxI

intinfin

+=

0 8 1 x

dxI

a) xxf =)(

b) 2

1)( xxf minus=

94

CAPITOLUL IV

suminfin

minusinfin=

isin+==k

ω )(~

xff Tω=

sum=

++=n

kkkn kxbkxa

ax

1

0 )sincos(2

)(T (1)

)sincos(2 1

0 kxbkxaa

kk

k ++ suminfin

=

(2)

int intminus minus

==π

π

95

(4) suminfin

=

++=1

0 )sincos(2

)(k

kk kxbkxaa

xf

(5) intminus

=π

ππdxxfao )(1

int intminus minus

==π

π

(6) intminus

=π

ππkxdxxfak cos)(1

(7) intminus

=π

ππkxdxxfbk sin)(1

kk ba 321isink

(8) suminfin

=

++asymp1

0 )sincos(2

)(k

kk kxbkxaa

xf

96

(9) 2

)0()0()( ++minus=

cfcfcS unde

cxcx

ltrarr

=+=minus

)(2

6

0)1(02

02

π=ne

minus== ak

kab

k

kk

este

2

2cos1

cos12

cos)1(124 22

2

12

22

++minus=minus

+= suminfin

=

xxkxk

xk

k ππ

6

121

11 2

222

π=++++

n

97

kxxf sin)(

(1)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

====

intint

intintint

minus

minusminus

ππ

π

ππ

π

ππ

πππ

0

00

cos)(2cos)(1

)(2)(10sin)(1

kxdxxfkxdxxfa

dxxfdxxfakxdxxfb

k

(2) kxaa

xfk

k cos2

)(1

0 suminfin

=

+=

π 0

sin)(2 kxdxxfbk

(4) suminfin

=

=1

sin)(k

k kxbxf

lxn

lx

lx ππππ

98

⎠⎞

⎜⎝⎛

πltf Scriind

⎜⎝⎛

πltf avem

(2) )sincos(2 1

0 ktbktaaltf k

kk ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sum

infin

=π

(3)

dxlxkxf

lb

dxlxkxf

la

dxxfl

dxl

xfdtltfa

l

lk

l

lk

l

int

intintint

minus

minusminusminus

=

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

π

ππππ

π

sin)(1

cos)(1

)(1)(110

(4) )sincos(2

)(1

0

lxkb

lxka

axf k

kk

ππ++= sum

infin

=

π

ππk

xdxkxxdxkxba kkk

2)1(sin2sin0 11

0

1

+

minus

minus==== intint

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minus= sum

infin

=

+

1

sin)1(2k

k

xkk

x ππ

Pentru 21

=x obţinem suma

4

71

51

311 π

=+minus+minus

]l0

99

]0lminus][ llminus

y f(-x) f(x) -l -x 0 x l x

⎩⎨⎧

isinminusisinminus

=]0[)(

]0[)()(

lxxflxxf

xF

(1) lxka

axF

kk

πcos2

)(1

0 suminfin

=

+=

unde

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

intint

intintminus

dxlxkxf

ldx

lxkxF

la

dxxfl

dxxFl

a

ll

lk

ll

l

0

00

cos)(2cos)(1

)(2)(1

ππ 0=kb

100

(3) suminfin

=

+=1

0 cos2

)(k

k lxka

axf π

⎩⎨⎧

=]0[)(

]0[)()(

lxxflxxf

xF

(4) F(x)=lxkb

kk

πsin1

suminfin

=

unde

(5)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

==

int

intminus

dxlxkxf

lb

saudxlxkxF

lba

l

k

l

lkk

0

sin)(2

sin)(10

π

101

(6) lxkbxf

kk

πsin)(1

suminfin

=

⎩⎨⎧

=]10[1

)01[1)(

xxxx

xF

unde

xkbk

k πsin1

suminfin

=

int =minus=1

0

2sin)1(2π

πk

xkxbk

Deci

1-x = sin21

suminfin

=k kxkπ

π

102

(1) ( )lxkb

lxka

axf k

kk

ππ sincos2

)(1

0 ++= suminfin

=

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

==

int

intint

minus

minusminus

dxlxkxf

lb

dxlxkxf

ladxxf

la

l

lk

l

lk

π

sin)(1

cos)(1)(10

(3) )(21sin)(

21cos l

xki

lxk

i

l

xklxk

ilxk

i

l

xk eei

eeππ

πππ

seria (1) devine

(4) f(x)= )(2 22

1

0 lxki

kibkalxki

kibka

kee

infin

=

++ sum

(5) ck= intminus

minusl

l

lxkidxexf

l

π

)(21

şi

minus

l

lxkidxexf

l

π

)(21

(7) 00 )(

21

2cdxxf

la l

l

== intminus

=

minus

infin

=

+00 k

lxki

kk

lxki

k ececππ

sau

(9) f(x)= suminfin

minusinfin=k

lxki

k ecπ

unde

(10) ck = intminus

minusl

l

lxkidxexf

l

π

)(21 kisinZ

103

))(( xnΨ

(1) f(x)= )(1

xc kk

k Ψsuminfin

=

kΨ

(2) kk

b

akkk

b

2)(

(3) ⎩⎨⎧

=ne

=ΨΨnmnm

mm 10

)(

kc

)( kΨ

(4) = )(xH n )()1(22 x

ndx

2xeminus )(2 RLisin

(5) sum xinfin

=

=0

)(k

kkx xHce isinR

104

)(2

xHex

π2)()( 222

kcdxxHecdxxHe kkk

xkk

xx intintinfin

infinminus

minusinfin

infinminus

+minus == de unde

intinfin

infinminus

+minus= dxxHek

c kxx

kk )(21 2

π

int int intinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

+minusminus

1

222

xxk

xx π

suminfin

=

=0

41

2)(

kkkx

kxH

ee

)(2 baLisin

(6) )()(1)()(21

21 xgxfab

dxxgxfb

aab

minusminus

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡minus= intminus

δ

Funcţia

(7) sum=

Ψ=n

kkkn xxS

1

)()( λ

dxxfdxxSxfabb

a

b

a

n

kkknn

2

1

22 )()()()( int int sum=

105

b

ai

n

i

n

jjik

b

a

n

k

b

a

n

k

b

akxkn ΨΨ+Ψ

⎩⎨⎧

22 )( λλλλδ

kΨ

)kΨ

int Ψ=b

(9)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sumsum sum

sum sum sum sum

== =

= = = =

n

kkk

n

k

n

kkkkkk

n

k

n

k

n

k

n

kkkkkkkkn

ccfcc

cfccfab

1

2

1 1

22

1 1 1 1

2222

))((

)(

λλλ

λλλλδ

)(2 baLisin

sum=

Ψn

kkkc

1

(10) sum=

minus=minusn

kkn cfab

1

222 )(δ

(11) 2

1

2 fcn

kksum

=

le

(unde dxffb

=1

2

=1

2

(12) 2

1

2 fcn

nnsum

=

le

106

(13) 2

1

2 fcn

nnsum

=

(14) sin

cos

sin

cos

21 1111

lllll

xkxkxx ππππ

cos)(cos

)( 1|k

l

xkl

lk aldx

lxkxf

lldx

lxfc sdot=== intint

minusminus ππ

lbc kk = si 00 2)(1

22)( alxf

lldx

lxfc

l

0 kk ccc

(15) intsumminus

infin

=

=++l

lnnn dxxf

lba

a)(1)(

22

1

222

0

(16) intsumminus

infin

=

=++π

ππdxxfba

an

nn )(1)(2

2

1

222

0

⎪⎩

⎪⎨⎧

ltle

lt=

πx

xxf

1pentru 0

1pentru 1)(

=12

2sinn n

n şi suminfin

=12

2cosn n

n

Seria Fourier este

(1) suminfin

=

++=1

0 )sincos(2

)(n

nn nxbnxaa

xf

unde

π

0

107

x

y

0 -π -1 1 π

1

Avem intminus=

1

101 dxaπ

de unde rezultă

(3) π2

0 =a

Apoi n

nnxn

1

1=== int

minusminus

adică

(4) n

nan πsin2

=

şi 0cos1sin1 11

1

nnxdxbn ππ

adică

(6) suminfin

=

+=1

cossin21)(n

nxn

nxfππ

(7) dxxfbaa

nn

n )(1)(2

22

1

220 intsum

minus

infin

=

=++π

ππ

sau

(8) intsumminus

infin

=

=+1

112

2

22

1sin42 dxn

nn πππ

de unde

(9) 1sin211

2

=+ suminfin

=n nn

ππ

108

(10) 2

1sin1

2

2 minus=sum

infin

=

πn n

n

=12

2cosn n

n scriem

sumsumsumsuminfin

=

infin

=

infin

=

infin

=

minus=minus

=1

2

12

2

12

2 sin1sin1cosnnnn n

nnn

nn

n

Ştim că 6

1 2

12

π=sum

infin

=n ndeci

21

6cos

1

2

2 minusminus=sum

infin

=

ππn n

n

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

isin

minusisin=

]0(3

]0(1)(

π

x

xxf

b)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

isinminus

isin

=

]32[3

)21(1

]10[

)(

xx

x

xx

xf

c) Rx

xxxf isin

+=

cos45cos)(

24)( ππ

isinminus= xxxf

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

isinminus

isin=

]21(

]10[)(

xx

xxxf

109

)(2

)( πππ

πminusisin= xe

suminfin

= +minus

12 1

)1(n

n

n şi sum

infin

= +12 11

n n

⎪⎩

⎪⎨

⎧

lele

lt=

πxa

axxf

0

1)( a gt0

suminfin

=12

2sinn n

na şi suminfin

=12

2cosn n

na

110

CAPITOLUL V

infinminus

(1) )(21)( )( ττπ

infinminus

+infin

infinminusint int=

l

etFl

tFn

l

minusinfin= minus

(3) sum int+infin

minusinfin= minus

minus=n

l

tin defl

tF ττ τ )()(21)(

111

putem nota intminus

minus=l

l

sum+infin

nnnn uututF ))((

21)( 1ϕπ

int+infin

infinminus

unde

int+infin

infinminus

(4) ⎩⎨⎧

infinminus

+infin

infinminus

+infin

infinminus

+infin

infinminus

τττπ

)(cos)(21)(

au

proprietăţile

intint+infin

infinminus

+infin

infinminus

int int int+infin

infinminus

+infin +infin

infinminus

==0

infinminus

minus=0

)(cos)(1)( τττπ

dtufdutf

112

infinminus

+infin +infin

infinminus

00

τττπ

dufutdudufduuttf

Dacă notăm

int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

sdot=sdot= τττπ

τττπ

avem

intinfin

+=0

(6) intint+infin

infinminus

+infin

τττπ

dufduutt(f

sdotsdot=0 0

dufduuttf

int int+infin

infinminus

+infin

sdot=sdot0

şi

int +infin

infinminus

int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

minus= ττπ

113

Dacă notăm

int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

21)(

πττ

πτ

avem

int+infin

infinminus

(8)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

int

intinfin+

infinminus

minus

+infin

infinminus

minus

dteugtf

dtetfug

iut

)(21)(

π

(8)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

int

intinfin+

infinminus

minus

+infin

infinminus

dteugtf

dtetfug

iut

)(21)(

π

sdot==0 0

τττπ

int+infin

sdot=0

cos)(2)( duutugtfπ

sdot==0 0

τττπ

int+infin

sdot=0

sin)(2)( duutugtfπ

114

(9)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

sdot=

int

intinfin+

+infin

0

cos)(2)(

duutugtf

dtuttfug

π

tf+

+022

)1(sin dt

tutt

(1) intinfin

=0

cos)(2)( utdttfugπ

sau )1(

cos221

)1(cos2)( 22

022 dt

tutdt

tutug intint

infin

infinminus

infin

+=

ππ

infinminus += dt

tutI 22 )1(

=z

uzzh

y

x 0

(Γ)

-R R

D i iz =1

Observăm că

+=C

R

dzzhdtthdzzh )()()(

lim

(2) intint intΓ

infinrarr

infin

infinminus

++

= )(lim)1(

RC

115

int =C

R intΓ

infinrarrrarrrArr=

infinrarr

0)(0)(lim dzzhzzhz

R

Din (2) obţinem

(3) )(2 iirezhI π=

Observăm că

iuiuiuiirezh

izuzizizuzu

izizuzizirezh

iziz

4cossin)(

)(cos)(2)(sinlim

)()(cos)(lim)( 4

2

222

+=rArr

rArr+

+minus+minus=

prime

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus

minus=rarrrarr

sau ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

minus=

minusminus

2cos

2sin

iwiwiwiw eewieew

(4) i

chuushuirezh4

)( +minus=

(5) )(2

ushuchuI minus=π

de unde

(6) )(22

intinfin

+022 )1(

intinfin

+=

022 )1(

cos2)( dttutug

116

dttuttug int

infin

+minus=prime

022 )1(

sin2)(π

infin

+minus=minusminus

022 )1(

sin2)(22

1π

π de unde

(7) uchudttutt

4)1(sin

022

π=

+intinfin

(10)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

sdot=

int

intinfin+

+infin

0

sin)(2)(

duutugtf

dtuttfug

π

int+infin

infinminus

int+infin

infinminus

şi int+infin

infinminus

unde int+infin

infinminus

=01

)(t

tϕ⎩⎨⎧gt

lelt1

10t

t

117

)(cos)(2

0

π unde

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus

==0

)1(2)(2)( tttf πϕ

π pentru

110

gtlelt

tt

int int+infin

sdot+sdot=1

0 1

intminus

sdot=sdotminus=1

02

cos12cos)1(2)(u

udtuttugππ

118

1

(2)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

gt

=

lt

=

01

021

00

)(

t

tη

(3) intinfin

minussdot=0

0s

0ss gt

f(t) 0 t

(4) intinfin

minussdotminus=0

))(()( dtettfpF pt

119

)]([)]([)]([)]([)]()([

tfLktfkLtgLtfLtgtfL

ααα pFtfL =

ττα

βϕτ

α pFdefdtetfpLp

pt

1sinsin 2 +=

ptLt

Atunci 0

1)(

11sin 222

gt+

=+

sdot= ωω

ω

ωω

ωpp

tL

120

int intinfin infin

)()(τ

int intinfin infin

)( )()()(τ

121

])([])([)())((00

minusinfin

minusminus

Exemplu 22)()sin(

ωλωωλ

+minus=sdot

pteL t

00

)(

0

limlim tfftff k

tt

k

tt

gtrarr

gtinfinrarr

intinfin

minus=0

)()( dtetftLf pt

intinfin

minusinfinminus +=0

infinrarr

pt

tetf

minus+minus=0

)0()()(

)0()()()0()()(

)0()()0()()(

)1()1()(

minusminus minus=

minusprimeprime=

minus=

minus=minus=

nnn ftpLftLf

ftfpLtLfftpLftLf

ftpLffppFtLf

122

ωω

+=

pptL

1)sin( 22

2

22 ωω

ωωω

+minus=minus

+sdot=minus

pppptL

ωωω+

=p

tL

0ss gt

ττ dft

int0

)(

ττ dftgt

int=0

)()(

(13) )(1)(0

pFp

dfLt

=int ττ

123

(14) ttfLdqqf

p

)()( =intinfin

dtgfLpGpF0

)()()()( τττ

int minus=lowastt

dtgfgf0

)()( τττ

(16) intinfin+

infinminus

gtminus=ia

ia

sadqqpGqFi

tgtfL 0)()(21)]()([π

0s

(1) intinfin+

infinminus

gt=ia

ia

pt sadpepFi

tf 0)(21)(π

124

)]0()0([21

++minus cfcf

intinfin

minus=0

)()( dtetfpF pt

)(tfateminus

Avem intinfin+

infinminus

= )(

0)(

21)( ττσττσπ

ϕ dteaefdt

intinfin+

infinminus

0)()(

21)( ττστσσπ

ϕ diaefdtiaetate

125

)]0()0([21)(

0)(

21

++minus=intinfin+

infinminus=int

ia

iatatedpefdppte

iϕτττ

π

int+infin

minus sdot=0

)()( ττ defpF pt

)()()(

pBpApF =

npppp 210

(1) sum=

sdot=n

k

tp

k

k kepBpA

tf0

)()(

)(

n

ppa

pFminus

++minus

+minus

= )(2

2

1

0

=j j

n

k jk pp

dpadppF0

)(

minusintΓ kpp

dp pentru jk ne

Pe de altă parte i

ppdp

k

π2=minusint

Γ

deci

2)( jiadppFj

π=intΓ

126

)()(

2)(2)( j

jj pB

pAiprezFidppF

j

ππ =sdot=intΓ

)()(

j

jj pB

pAa =

sum= minus

sdot=n

k kk

k

pppBpA

pF0

1)()(

)(

0

sum= minus

sdotsdot

+sdot=n

k kkk

k

pppRppA

pRApF

1

1)(

)(1)0()0()( şi (1) devine

(2) kp

tpen

k kpRkpA

RAtf

ksdotsum

=+=

1 )(

)(

)0()0()(

)()()(

(3) )(Re)(21)( k

k

ia

pt pzGdpepFi

tf sumint ==infin+

infinminusπ unde

127

(4) )1(

])()[()1(

1)(minus

=sdotminusminus

= kkpp

ptepFkkpp

kkprezG

λλ

kp

0 a x (C) B(a-iR)

)4()1()( 22 +sdot+=

ppppF

)52(21

)()(

2 +=

ppBpA obţinem

)()(61)( 22

31)( tttf minus=

128

1

)1(1

)(0 gt=++++ minus

)2( 1)1(

1

0 )0()0()0( minusminus === n

n yyyyyy

1

)1(1

nn =++++ minusminus

(4)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

minus=

+minus=

+++minus=

++++minus=

0

102

23

12

01)1(

122

11

0(n)

)(

)()(

)()(Ly

yppYLy

ypypYpLy

ypypypYpLy

ypypypypYp

nnnnn

(5) P(p) Y(p) - G(p) = F(p)

129

)( 011

(6)

)()()()(

pPpGpFpY +

=

521)5)(2)(1(

1311)(2

minus+

minus=

=p

Cp

Bp

Appp

pppY

Găsim

1217

35

43

minus=== CBA

Deci 0

1217

35

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++

=+++++

tyyxxyyyxxx

222212

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=+++

++=+++++

pp

pYpppXp

pp

pppXpp

22

2)()2()()22(

11)1()()12(

130

1)1(

11)(1)1(

11)( 2222 +++

+minus=++

+=p

pp

pYpp

pX

21)(

tchtfRRf =rarr+

41)( 2 +

=rarr+ ttfRRf

)4(1)( 22t

tf+

= Din

sin

022 dt

tutt

intinfin

+

intinfin

+=

02 11cos)(

uutdttf u gt0

intinfin

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=minus

gt

isin

=0

4

0

)0(2

cos)(

πππ

ππ

t

utduuf

131

b) 1)0(

15)0(3)0(062044

)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===++

=++

yxyxyyxx

a

1)0(1)0(0)0(

)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

===++=

+minus=

++minus=

zyxzyxzzyxy

zyxx

b

132

CAPITOLUL VI

(11) 0mnxum

21x

u2

nxu

2xu

1xuuxF =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpart

part

partpartpart

partpart

(12) 0n

1i 2ix

u2∆u =sum

= part

part=

(14) ( )uxf∆u2a2t

u2=minus

part

timpul)

133

(15) ( )uxf∆u2atu

=minuspartpart

(16) sum=

=+partpartn

1if(x)u0a

ixu(x)ia

(17) sum=

=sum=

+partpart

partn

1jif

n

1i(x)u0a

ixu(x)ia

jxixu2

(x)ija

(18) 02x1x

u2=

partpartpart

0n

1i1

2

ixu

=sum=

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

(21) ( ) ( )sum=

=n

1ji jξiξxijaξxP

134

Exemple

22

2ξ21ξξP lt⎟

⎠⎞⎜

2ξ21ξ

22ξP ⎟⎠⎞⎜

δ

( ) 2nξ2

2ξ21ξ

2aξP ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++=δ

(22) ( ) ( ) ( ) 0yu

xuuyxd2y

u2yxc

yxu2

yx2b2x

u2yxa =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

135

Notăm

Atunci

δ

(31) fn

1iu(x)0a

ixu(x)

n

1i ia2ix

u2iλ =sum

=sdot+

partpart

sum=

+part

part

=n

1i2iξiλξP

fun

1i(x)0a

ixu(x)ia∆u =sum

=+

partpart

+plusmn

136

fn

1iu(x)0a

ixu(x)ia

k

1i 2ix

u2=sum

=sdot+

partpart

sum=

+part

part

n12jiijaAisin

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

n12jiijbBisin

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

( ) sum=

=n

1ji jξiξijaξP

egalităţile

(32) n1ijξn

1j ijbiη =sum=

=

( ) sum=

=ηn

1i2iηiλQ

(33) unde B⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nλ00

02λ0

001λ

(34) n1ijxn

1j ijbiy =sum=

=

(35) sum=

=+partpart

+sum= part

part n

1ig(y)0b

iyu(y)ib

n

1i 2iy

u2iλ

unde λiisin-1 0 1

137

sum= part

part=sum

= part

partsdot

partpart

=partpart n

1k ikbkyun

1k ixky

kyu

iλix

u

şi

sum= partpart

part=sum

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

partpart

sdotpartpart

=partpart

part n

1lk lykyu2

jlbikbn

1k kyu

jxikbjyix

u2

(36) sum=

=+partpart

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sum=

+partpart

partsum= ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sum=

n

1kg(x)u0a

kyun

1i ik(x)bialyky

u2n

1lk

n

1ji jlbijaikb

n

1ji jlbijaikb AB

⎪⎩

⎪⎨⎧

ne

==sum

= lkdaca0

lkdacakλn

1ji jlbijaikb

( ) ( ) ( ) ( )sum=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus=

n

+partpart

+sumpartpart

part=

n

1i(x)a0a

ixu(x)ia

n

ji jxixu2

(x)ijauDxD

138

şi

(43) Ω0x)0h(xu(x)0x

part

şi

(45) Ω0x)0h(xd

du(x)0x

unde

(46) (sum= part

part=

n

1ji ix0Ncosjx

u(x)ijadυ

du(x) )

du=

part

( )sum= part

part=

partpart

=n

1i 0Nu

ix0Ncosix

udυ

du(x)

(47) ( ) fuDxDtu

=partpart

(48) ( ) fuDxD2t

u2=minus

part

txu

şi

(410) ( )

( ) nRxxαt)u(x0xtx

⎠⎞⎜

⎝⎛

u2

(412) ( )

( ) nRxxαt)u(x0xtx

⎠⎞⎜

⎝⎛

şi

(413) ( )

( ) nRxxβt

t)u(x0xtx

lim isinforall=part

partrarr ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

140

probleme

doilea

141

rarr

i la curba u=u(xt)

2M1Mand

x

u

0 2x1x

1α

2α2M1M

Frarr

2 t )(x

1 t )(rarr F x

intpart

partminus

2x

1xdx2t

u2ρ(x)

partminus

2x

1xdx2t

u2ρ(x) =0

142

1

ixx

2

xu1

1

iα2tg1

12cosα asymp

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+

=+

=

şi

ixxxu

ixx

2

xu1

xu

iα2tg1itgα

iαsin=part

partasymp

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+

partpart

=+

=

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

dxl

0

2

xu1int ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+

ll

0dxdx

l

0

2

⎜⎝⎛partpart

+

int =part

partminus

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=partpart

minus=part

part 2x

1x0dx2t

u2ρ(x)

1xxxu

2xxxuF

143

intpart

part=

=partpart

minus=part

part 2x

1xdx2x

u2

1xxxu

2xxxu

obţinem egalitatea

0dx2x

1x 2t

u2ρ(x)2x

u2F =int

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partminus

part

02t

u2ρ(x)2x

u2F =

part

partminus

part

(53) 2x

u22a2t

u2

part

part=

part

partminus

part

part Rl)(0t)(x02x

t)u(x22a2t

t)u(x2

20 ( ) l)(0x(x)0tt

partϕ==

căldurii

144

( )1xxx

ukτt1xq=part

partminus=

( )2xxx

ukτt2xq=part

partminus=

( ) ( )[ ]int int⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=partpart

minus=part

part=+= 2t

1tdt2t

1t 1xxxu

2xxxukτdtt1xqt2xqQ

sau

int intpart

part=

2x

1x

2t

1tdxdt2x

u2kτQ

1xdx1txu2txucρQ

sau cu

int intpartpart

=2x

1x

2t

1tdxdt

tucρQ σ

145

02x

1x

2t

1tdxdt2x

u2kρ-

tucρ =int int

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partpartpartσ

02x

u2kρ

tucρ =

part

partminus

partpartσ

sau

(54) 2x

u22atu

part

part=

partpart

căldurii

partminus

part

part Rl)(0t)(x02x

t)u(x22at

t)u(x

146

sau

(55) ( ) Ωyx02yu2

2xu2

isinforall=part

part+

part

xu

dNdu

=partpart

+partpart

=

10 ( ) Ωyx02y

y)u(x2

2x

y)u(x2isinforall=

part

part+

part

20 fΩdN

du=

part

147

canonică

(1) ( ) 0)yu

xuuyd(x2y

u2y)c(x

yxu2

y)2b(x2x

u2yxa =

partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

(3) ⎩⎨⎧

==

y)η(xηy)ξ(xξ

148

yxDηξD

( ) ( )( )ηξ2Ψyηξ1Ψx ==

(4) yη

ηu

yξ

ξu

yu

xη

ηu

xξ

ξu

xu

partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

(5) 2x

η2

ηu

2x

ξ2

ξu2

xη

2η

u2

xη

xξ

ξu2

22

xξ

2ξ

u2

2x

u2

part

partsdot

partpart

+⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partsdot

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

part

part+

partpartsdot

partpartpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

sdotpart

part=

part

partη

(6) 2y

η2

ηu

2y

ξ2

ξu

2

yη

2η

u2

yη

yξ

ξu2

22

yξ

2ξ

u2

2y

u2

part

partsdot

partpart

+⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partsdot

partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

part

part+

partpartsdot

partpartpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

sdotpart

part=

part

partη

(7)

yxη2

ηu

yxξ2

ξu

yη

xη

2η

u2

xη

yξ

xη

xξ

ηξu2

yξ

xξ

2ξ

u2

yxu2

partpartpart

sdotpartpart

+

+partpart

partsdot

partpart

+⎪⎩

⎪⎨⎧

partpartsdot

part

part+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

sdotpartpart

part+

partpartsdot

part

part=

partpartpart

(1rsquo) ( ) ( ) ( ) 0)ηu

ξuuD(ξ2η

u2ηξC

ηξu2

ηξ2B2ξ

u2ηξA =

partpart

η+part

part+

partpartpart

+part

part

(8)

( )

yη

yξ

2

yηc

yη

xη2b

2

xηaηξC

cxη

yξ

yη

xξb

yη

xξaηξB

2

yξc

yξ

xξ2b

2

xξaηξA

partpart

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+partpart

partpart

+partpartsdot

partpart

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

149

icircn

dxdy

==

(10) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

2Cyx2

1Cyx1ϕ

ϕ

0dyy2dx

x20dy

y1dx

x1 =

part

part+

part

part=

part

part+

part

part ϕϕϕϕ

y2

x2

2micro

y1

x1

1micro

part

ϕpartpart

ϕpart

minus=

part

ϕpartpart

ϕpart

minus=

(2``)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

part+

part

part+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

part

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

part

part+

part

part+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

part

02

y2c

y2

x22b

2

x2a

02

y1c

y1

x12b

2

x1a

ϕϕϕϕ

150

variabile

(11) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

yx2η

yx1ξ

ϕ

( )[ ]c21b21ay2

y1B ++minus

part

partsdot

part

part= ϕϕϕϕ

ϕϕ

a

2bacy2

y12B minus

sdotpart

partsdot

part

part=

ϕϕ

(12) 0ηu

ξuuηξH

ηξu2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+partpart

part

= unde

micro verifică

(14) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=minus=+minus

=

0dyy

dxx

=partpart

+partpart ϕϕ

151

Deducem uşor că

y

xmicro

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=partpart

+partpart

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

0yx

a

02

yc

yx2b

2

xa

ϕϕ

ϕϕϕϕ

b

(15) 0ηu

ξuuηξP2η

u2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

part

21α +=+=

Avem

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

part

partminus

part

part=

partpartpart

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

=partpart

2βu2

2αu2

41

ηξu2

şiβui

αu

21

ξu

(16) 0βu

αuuβαE2β

u22αu2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

partminus

part

complex conjugate

152

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=minus=ψ

=+=ϕ

( )( ) ( ) ( ) 0ΩδcuΩyx

yxβηyxαξ

ltisin⎩⎨⎧

==

(17) 0ηu

ξuuηξE2η

u2

2ξ

u2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

partminus

part

(1) 02y

u2c

yxu2

2b2x

u2=

part

part+

partpartpart

+part

parta

(2) 0cxdyd2b

2

⎜⎝⎛

prin ecuaţiile

⎪⎩

⎪⎨⎧

=minus

(3) ⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=

x2microyη

x1microyξ

153

obţinem

2η

u222micro

ηξu2

2micro12micro2ξ

u221micro2x

u2

part

part+

partpartpart

+part

part=

part

( ) 2η

u2

2microηξu2

2micro1micro2ξ

u2

1microyxu2

part

partminus

partpartpart

+minuspart

partminus=

partpartpart

2η

u2

ηξu2

22ξ

u2

yu2

part

part+

partpartpart

+part

part=

partpart

0ηξu2

a

2bac4 =partpart

partsdot

minussdot

(4) 0ηξu2=

partpartpart

(4rsquo) 0ηu

ξ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

(5) u=f(ξ)+g(η)

⎩⎨⎧

=minus=

xηbxayξ

154

(6) 02η

u2=

part

2η

u2

ηξu2

2b2ξ

u22b2x

u2

part

part+

partpartpart

minuspart

part=

part

ηξu2

a2ξ

u2ab

yxu2

partpartpart

+part

partminus=

partpartpart

2ξ

u22a2y

u2

part

part=

part

02η

u2a2ξ

u22baca =part

part+

part

part⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

putem scrie

( )ξfηuundede0

ηu

η=

partpart

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

(7) u (x y)= x f (ay - bx)+g (ay - bx)

(8) 02u2

2u2

=part

part+

part

βα

155

(1) 02u2

21

2u2

=part

partminus

part

tcx

infinită

Fig1

perpendicular pe Ox

xM0(x)

M

u

A(0) B(l)

156

2

Tc ρ

altă semnificaţie

(2) ( ) ( ) [ ]0lxg(x)0tt

uxfx0u isin==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

[0l]

iar [0lxg(x)0

]tt

uisin=

=⎟⎠⎞

⎞⎜⎜⎝

⎛gt= 02c

02c

12

xt

=minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dd

x-ct=C1 şi x+ct=C2

⎩⎨⎧

+=minus=

ctxηctxξ

partpartpart

u = ϕ(ξ)+ψ(η)

157

Avem

⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=+

=+

g(x)c1(x)Ψ(x)

f(x)Ψ(x)(x)

ϕ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+ϕx

0xd)(g

c1Ψ(x)(x)

f(x)Ψ(x)(x)

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡intminus=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡intminus=

x

0x)dg(

c1f(x)

21xΨ şi

x

0x)dg(

c1f(x)

21x ττττϕ

de unde deducem

(4)

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

int+

minus+=+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

intminus=

ctx

0x)dg(

c1ct)f(x

21ctxΨ

ct-x

0x)dg(

c1ct)-f(x

21ct-x

ττ

ττϕ

(5) ( ) [ ] int+

minusττ+++minus=

ctx

ctxd)(g

c21)ctx(f)ctx(f

21txu

158

( ) [ ][ ]⎩

⎨⎧

isinisin

=l0Rx0

l0xf(x)x0u

u=

=⎟⎠⎞

0 l

0

Fig2

159

Fig1

(1) [ ] 0tl0x02tu2

2c1

2xu2

geisin=part

partminus

part

(2) ( ) [ ]l0xg(x)0tt

uf(x)x0u isin==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

(3) u(0t)=0 u(lt)=0 t 0 ge

160

(1) u(xt)=X(x)T(t)

(t)TX(x)2c

1T(t)(x)X sdot=sdot

se separă

kT(t)

(t)T2c

1X(x)

(x)X==

şi

(7) X(0)=0 X(l)=0

Condiţiile (7) dau

161

soluţia banală

Rezultă

12nlπnλ isin=

12n2

lnπ

nk isin⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus=

lxnsin(x)nX π

=

0T(t)2

lcn(t)T =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+π

lctnsinnB

adică

(8) 12nlxnsin

lctnsinnB

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

πππ

forma

162

(9) suminfin

==

1nt)(xnut)u(x

suminfin

= part

part=

part

partsuminfin

= part

part=

part

1n 2tnu2

2t

u2

1n2x

nu2

2x

u2

Avem

suminfin

==sum

infin

==

1n lxnπsinnA

1n(x0)nuu(x0)

suminfin

=suminfin

==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

1n lxnπsinnB

lcnπ

1n 0ttu

0ttu

suminfin

==

1nf(x)

lxnsinnA π

suminfin

==

1ng(x)

lxnsinnB

lcnπ π

(10) int=int=l

0dx

lxng(x)sin

cnπ2

nBl

0dx

lxnf(x)sin

l2

nA ππ

nc2l

nω2π

nB2nA π

sdot+

163

(1) 0 22

22

=partpart+

partpart+

partpart

zu

yu

xu

şi

(2) z)yf(x 22

22

=partpart+

partpart+

partpart

zu

yu

xu

de limită

164

S

cu rarrrarrrarrrarr

rlt

rlt === γβα

dydu

dxdu

dndu

++=

maghiară)

exterioare

165

∆u=0 d) uS=f

s

=

s

=

punctiformă

02

2

=partpart

+partpart

zf

yf

xf

Dar

)()( 3

22

2

rfr

xrrfrx

xf

sdotminus

+sdot=partpart

166

şi )()( 3

22

2

rfr

yrrfry

yf

sdotminus

+sdot=partpart

)()( 3

22

2

rfr

zrrfrz

zf

sdotminus

+sdot=partpart

rf sau 2)()(

rrfrf

rc

2

=partpart

+partpart

yf

xf

Dar

)(f)(

3

22

2

3

22

2

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

sdotminus

+sdot=partpart

sdotminus

+sdot=partpart

ρρ

ρρρ

ρρ

ρρρ

yfyy

fşi

xfxx

f

167

x

y

θ ρ y

x O

C Ω

Ω M(xy)

(1) 02

2

=partpart

+partpart

yu

xu

cu condiţia

sdot=sdot=

θρθρ

sincos

yx

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

πθ

ρ

kxyarctg

yx 22

ρ xx=

partpart

ρρ yy=

partpart 2

ρθ yx

minus=partpart

2ρθ xy=

partpart

Obţinem

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

partpart

sdot+partpart

sdot=partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

partpart

sdotminuspartpart

sdot=partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

θρρρθ

θρ

ρ

θρρρθ

θρ

ρ

uxuyy

uy

uyu

uyuxx

ux

uxu

2

168

Calculăm apoi

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

sdotpartpart

=partpart

θρρρuyux

xxu

22

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partsdotpartpart

sdotminuspartpart

sdotpartpartsdot

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

xsdot

partsdotpartpart

+partpartsdot

partpart

partsdotminus

=x

ux

uyuxyu

xuxux

x θθ

ρθρρθρ

ρρ

θρρ

ρρρρθ

ρρ2

2

24

2

partθ şi xpart

(4) ⎩⎨⎧

partpart

sdot+partpartsdot

minus+

partpart

sdot+partsdotpart

partsdotminus

partpart

sdot=partpart

θρρρρ

xu

43

22

2

4

22

32

2

2 22

(5) ⎩⎨⎧

partpart

minus+

partpart

sdot+partsdotpart

partsdot+

partpart

sdot=partpart

θρρρρ

yu

43

22

2

4

22

32

2

2 22

0)(23

222

2

4

22

2

22

2

=partpart

sdot+minus

+partpart

sdot+

+partpart

sdot+

=partpart

+partpart

=∆ρρ

ρθρρρ

uyxuyxuyxyu

xuu

sau

22

2

22

2

011 ρρρθρρ

sdot=partpartsdot+

partpart

(6) 02

2

22 =

partpart

+partpartsdot+

partpart

sdotθρ

ρρ

ρ uuu

(7) uρ=a=f

Obsevăm că

)()( θρρ

TRusdotprime=

partpart şi )()(2

2

θρρ

TRusdotprimeprime=

θTRu primesdot=

partpart şi

)()(2

2

θρθ

TRu

primeprimesdot=part

part

169

(9) )()(

)()(

)()(2

θθ

ρρρ

TT

RR

RR primeprime

minus=prime

sdot+primeprime

sdot

şi

170

(12) 2 1 0 2 == nnnλ

Obţinem succesiv

te=ρ

dtdRe

ddt

dtdR

ddRRe

ρρρ

ρρρ )(1ln şi

tttt edt

RdedtdRe

ddt

dtdRe

dtd

ddR

dd

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠⎞

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot==primeprime

2

)(ρρρρ

ρ de unde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

dtdR

dtRdeR t2

022

2

=minus Rndt

generală sau

nr plusmn=21

ntn

ntnn eDeCR minus+=

(14) nn

n

şi

171

(16i) ( )suminfin

=

lesdot+sdotsdot=0

sincos)(n

(16e) ( )suminfin

=

sincos)(n

nB i)

(17i) ( )suminfin

=

le=sdot+sdotsdot=0

fsincos)(n

şi

(17e) ( )suminfin

=

fsincos)(n

astfel

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sdotsdotsdot=sdot

int

intπ

π

π2

0

2

0

sin)(1

cos)(1

dtnttfBa

dtnttfAa

nn

de unde

(18i) 3 2 1n sin)(1

cos)(1

2

0

2

0 isin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sdotsdotsdotsdot

=

sdotsdotsdotsdot

=

int

intπ

π

dtnttfa

B

dtnttfa

A

nn

şi int sdotsdot=π

π

2

00 )(

21 dttfA

172

01

2

0

2

0

un

n

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

infin

=

ππ

θθρπ

θρ

sau

sum intinfin

=

⎜⎝⎛sdot+=

1

2

00 )(cos)(1)(

n

dttntfa

Auπ

θρπ

θρ

⎤

⎢⎢⎣

⎡minussdot⎟

⎠⎞

infin

=

π

θρπ

θρ2

0 1

)(cos21)(21)( dttn

atfu

n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ltlt 10

aρ

sum sumsuminfin

=

infin

=

minusinfin

=

sdot⎟⎠⎞

⎠⎞

⎜⎝⎛

1 1

)(

1

)(sin)(cosn n

tinnn

n

ea

tna

itna

θρθρθρ

Seria suminfin

=

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1

)(

n

tinn

ea

[ ]22)(

)(

)cos(2)sin()cos(

1 ρθρθρθρ

ρρ

ρ

θθ

θ

=minussdot

=sdotminus

sdot=

minusminusminus

minus

taataita

eaea

eaS ti

ti

deci

[ ]22

⎠⎞

⎜⎝⎛sum

infin

= taatatn

an

n

[ ]int sdot

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+sdotsdot=π

ρθρρθρ

πθρ

2

022 )cos(2

))cos(21)(21)( dt

taatatfu

sdotminus

=π

ρθρπρθρ

2

022

22

)cos(2)(

2)(

taadttfau

173

(21e) 3 2 1 sin)(

cos)(

2

0

2

0 isin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sdotsdotsdot=

int

intlowast

lowast

ndtnttfaB

dtnttfaA

n

π

2

0

)(21 dttfAn

sdotminus

=π

ρθρπρθρ

2

022

22

)cos(2)(

2)(

taadttfau

C

=

( )suminfin

=

sdot+sdotsdot+=1

0 sincos)(n

unde

π

2

0

π

2

0

suminfin

=

2 )cos21ln(cos2n

n qqnnq αα

174

fdndu

a

==

este

dta

πθρ

2

02

22

0)cos(2ln)(

2)(

(1) tu

axu

partpartsdot=

partpart

22

2 1

făcută baraρsdot

=c

(1prime) tu

ayu

xu

partpartsdot=

partpart

+partpart

22

2

2 1

şi respectiv

(1primeprime) tu

azu

yu

xu

partpartsdot=

partpart

+partpart

22

2

2 1

175

ktTtT

axXxX

=prime

sdot=primeprime

)()(1

)()(

2

Obţinem ecuaţiile

şi

2

)(sincos)(22

176

(7) intinfin

sdot=0

)()( λλ dtxutxu

intinfin

=sdot0

)()0( xfdxu λλ

(8) [ ] )(sin)(cos)(0

λλλλλ

infinminus

infin

dxfdxf )(cos)(1)(0

infinminus

infin

infinminus

sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

0

ddfxdfxxf

infinminus

infin

infinminus

λτλττπ

λ dfBdfA

(9) intinfin

infinminus

int intinfin infin

infinminus

)(cos)(1)(22

ττλτλπ

λ dxefdtxu ta

intintinfin

minusinfin

infinminus

)(cos)(1)(22

λτλττπ

λ dxedftxu ta

177

2

224

)(

0

tadxe ta

xta

(10) ττπ

τ

defta

txu tax

sdotsdotsdot=minus

minusinfin

infinminusint

2

4)(

)(2

1)(

tu

au

partpartsdot=∆ 2

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

ζηξ

dddefta

tzyxu tazyx

2

222

4)()()(

3 )(2

1)(

S D

dadivdsna ωrrr

178

lui kzvuj

yvui

xvua

rrrrsdot

partpartsdot+sdot

⎜⎝⎛

partpartsdotminus

partpartsdot

S D

duvvudsnuv

nvu ω

S D

suprafaţa S avem

partpartsdot

SS

dsnuvds

nvu

şi

(4) 0=sdotpartpart

intintS

dsnu

Are loc şi

(5) dsnru

nu

rMu

S

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

11

41)( 0 π

179

considerăm r

( ) dsnu

rnruds

nu

rnruduvvu

SSD

sdot⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

ω 11

11

1

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdotkSSS

dsnu

rds

nruds

nu

rnru 1

11

1

ε

2

111

εminus=

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

=part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

rr

nr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdotintint uudsnru

S

πεπε

ε

4411

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

sdotsdot=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

unuds

nu

rS

επεπε

ε

4411 2

180

unde lowast

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

nupartpart pe Sε

lowastlowast ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdotintint nuuds

nu

rnru

S

εππ 4411

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

tocmai formula (5)

Obsevaţii

v 1ln= şi

dsn

runu

rMu

C

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot= int

1ln1ln

21)( 0 π

181

dsua

Mu 20 41)(π

2

111

arr

nr

ar

minus=part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

=part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

=

obţinem

sdot=SSS

dsua

dsnu

aMu 220 4

14

141)(

πππ

obţinemu(M0)=u

182

10 Probleme propuse

10) 02y

u22

yxu2

32x

u2=

part

part+

partpartpart

+part

part

20) 02y

u2

yxu2

22x

u2=

part

part+

partpartpart

+part

part

30) 0yuy

xux2y

u22yyxu2

2xy2x

u22x =partpart

+partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

40) 0yuy

xux2y

u22y2x

u22x =partpart

minuspartpart

+part

partminus

part

50) 02y

u22x2x

u22y =part

part+

part

60) 02y

u2

yxu2

52x

u26 =

part

part+

partpartpart

minuspart

part

70) 0yuy2y

u222xyxu2

2xy2x

u22y =partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

80) 0yucosx2y

u2x2cos

yxu2

2sinx2x

u2=

partpart

minuspart

partminus

partpartpart

minuspart

part

90) 0xu2x2y

u22y-2x

u224x =partpart

+part

part

183

012

2

22

2

=partpart

minuspartpart

tu

cxu

cu condiţiile

u(0t)=0 u(lt)=0

( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

leleminussdot

lelesdot=

llxllh

lxlh

oxux

2 2

2x0 2

)(

tu

( )( )

( ) ( )l

ctnl

xnn

htxuRn

n πππ

12cos12sin12

18)(0

22

+sdot

+minus

sdot= suminfin

=

012

2

22

2

=partpart

minuspartpart

tu

cxu

cu condiţiile

u(0t)=0 u(lt)=0

şi 00

=partpart

=ttu

( )

( ) ( )l

ctnl

xnn

htxuRn

πππ

12cos12sin12

132)(0

33

+sdot

+sdot= sum

infin

=

+partpart

+partpart 0 02

22

2

tlxxux

xux

tu

cu condiţiile

184

t

ttfcos45

sin)(minus

=

ntl

xtxuRn

n

sin22

1)(1

sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdot= sum

infin

=

xu

xtu

partpartsdot=

partpart 1

2

cu condiţiile

u(xt+2π)=u(xt)

u(0t)=f(t)

t

tfcos45

1)(minus

ntetxuRxn

nn cos

21

32

31)(

22

21

1sdotsdotsdot+=

minusinfin

=sum

a) 022 2

22

2

22 =

partpart

+partpart

partminus

partpart

yuy

yxuxy

xux

b) 023 2

22

2

=partpart

+partpart

part+

partpart

yu

yxu

xu

yxyxxyxyu

yyoxuyyu

=partpart

=

2)2()(2)(

3)( )0(

23

2

185

c) 065 2

22

2

=partpart

+partpart

part+

partpart

yu

yxu

xu

1

)3( )2(23 minus+=

==minusminus

minus

xyxy

xx

eeuexxuexxu

d) 056 2

22

2

=partpart

+partpart

partminus

partpart

yu

yxu

xu

)2cos()3sin()(

yxyxyxu

xxoxyuxxxu

+++=

minus=partpart

+=

e) 02

22

2

22 =

partpartsdotminus

partpartsdot+

partpartsdotminus

partpartsdot

yuy

xux

yuy

xux

yxchxyshyxu

exyuexu x

y

x

+=

sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

= minus

=

)(

)1(1

f) 02 2

22

2

22 =

partpartsdotminus

partpartsdot+

partsdotpartpart

yuy

xux

yuy

yxuxy

xux

186

CAPITOLUL VII

gy2dtdsV ==

de dxgyy

VdsT

b

a

sdotprime+

== int int 21 2

y=y(x)xisin[ab]

187

[ ] [ ]baCydxgyy

yTb

a

2

1 12

isinsdotprime+

= int

suprafaţă

Fig 2

B (S)

A

este dată de

a

188

∆

(fig3)

egalitatea

(3) [ ] intint∆

sdotsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+== dydxyz

xzAzI S

22

1

189

(4) dxyyl

yb

b2

mă

cur

scr

iar

car

exe

sdotprime+= int 1

` dxylb

a

funcţionalei (4)

ie

(5) ldtyxb

a

(6) ( ) dtyxxy21A

b

a

(7) [ ] dxyyxFyIb

a

sdotprime= int )(

190

a

partpart

=D

dydxyu

xuuyxFuI )(

valori icircn R

(10) ( ) ( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

ltminus

ε

εε

)()()()()()(

0

xfxf

xfxfxfxf

nn

I[f0] ge I[f]

191

I[f0] le I[f]

I[f0] ge I[f]

relativ slab

funcţionale

(11) int =sdotsdotb

a

dxxxf 0)()( η

192

Considerăm

Observăm că

demonstrată

int int=sdotsdotb

a

fdxxxfβ

α

η )()(

LEMA 2 (D

(12) intb

a

g

Prin combin

LEMA FU

(13)

funcţia

( )( )⎩

⎨⎧

= 0)()(

)(22

βαβαβα

ηxxxx

x

gisinC[ab] Dacă

a

193

deci

int sdot=x

a

dttfxF )()(

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxxFxg 0)()()( η

a

(1) [ ] dxyyxFyIb

a

sdotprime= int )(

(1) y(a)=y1 y(b)=y2

Funcţia

(3) Y(x) = y(x) + αη(x)

194

[ ] [ ] dxxxyxxyxFb

a

Observăm că

unde yFFy partpart

b

ay

b

a

b

ayy dxxyyxF

unde yx

FFyy

FFy

=primepartsdotpart

part=

primepartpart

22

2

195

C

[ ] int sdotprime=b

a

dxyyxFyI )(

[ ] [ ] dxxQxPyIb

a

unde

Are loc

De aici avem

[ ] int sdotprime=b

a

dxyyxFyI )(

196

Fie funcţionala

(1) ( )int=b

a

)n( dxyyyxF]y[I

[ ] 110 )()( 2)(

condiţiile

]ba[Cy nisin

(2) 1-n 01k )( )( )(2

)()(1

(3) 0Fdxd)1(F

dxdF

dxdF )n(yn

nn

y2

2

a

+++=αimage int

0)0( =image

197

Avem

[ ]dx FηFηFη)0(b

ay

(n)yy

)n(int +++=image

ay

)1k(b

ay

)1k(b

a

bay

)1k(y

)k( dxFdxddxF

de unde

(4) )10k 0(b)η(a)(η n 12k

)()1(

(k)(k)

)()()(

minus===isin

minus=int intn

dxFdxdxdxF

b

a

b

ayk

kk

yk

kk ηη

Deci

dxdF

dxdF)0(

b

ayn

nn

y2

2

yy )n( sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

extremală

η]y[Iδ2

(6) 0)()()( geyF nn yy

(7) 0)()()( leyF nn yy

admisibile

(int +=1

0

2 dxyy2]y[I )

198

0FdxdF

dxdF y2

2

yy =+minus

432

23

1

4

[01] x241224

234

b

an21 int=

Are loc următoarea

Dyyy n21 isin

199

(3) 21k 0

ndxd

kykyFF isin=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

forma

)x(ηk

[ baC2 ] k

=αpartpartimage

Deci

int isin=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot+sdot

b

21k 0)(η

ndxxdxd

k

b

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusint

limită (2)

( ) n12ji yyy

FAji

2

ji isinpartpart

part=

200

Are loc

(4) nnnn

n

AAA

AAAAAA

AAAA

AD

D D

21

22221

11211

n2221

12112111 ===

şi

k DD

Dacă

(b) 00 0 2

1 gtgtgt nDDD

Exemplu

( ) ( )[ ] dxyz2zy]zy[I2

0

22intπ

++=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

isin= 12

z12

y 0z(0)y(0) 2

0C)zy(D 1

⎩⎨⎧

minusminus+=+++=

minus

43x

2x

1

43x

2x

1

201

42002

FFFF

D 2FDzzyz

uşor

RRDI 2 rarrsub

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

=D

dxdyyu

xuuyxF]u[I

(2) ( ) ( )yxfyxu C=

Are loc următoarea

2

yu

xuu

partpart

(3) ( ) ( ) 0FFy

Fx uyuxu =minus

partpart

+partpart unde

yuu

xuu yx part

part=

partpart

=

202

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=imageprime

dxdyyxD D

dxdyyxD

dxdy⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

+part

part

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

partpart

intint =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

yuFxuF

ηyuηF

xuηFyuFyηxuFxη

dxdyyxD

dxFdyFD

dxdyC

uu yX

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

+part

part

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+ int

yuFxuF

)(yuFyηxuFxη η

devine

( ) ( )intint =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

minuspart

part

minus=imageprimeD

dxdyyxyyuF

xxuF

uF 0η0

203

[ ] intint intΩ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

= dxdxdxxu

xu

xuuxxxFuI n21

n21n21 unde nRsubΩ

n12k u unde 0 k1

isinpartpart

==partpart

minus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpartsum

= k

n

k kk xu

uF

x

[ ] intintΩ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

= dxdyyxyu

xuuI 22

22

unde ( ) 43 442

⎭⎬⎫

partyxuDCu

Soluţie

2222

yxyu

xu

yu

xuuyxF +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart este

(1) 0=minus⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

partpart

uFyuF

yxuFx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=partpart

=yuu

xuu yx sau

(1) 02

2

=partpart

+partpart

yu

xu

upart

(2) ⎩⎨⎧

==

θρθρ

sincos

yx

de unde rezultă

(2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

+=

xyarctg

yx

θ

ρ 22

Observăm că ρ

ρ xx=

partpart

ρρ yy=

partpart 2ρ

θ yx

θ xy=

partpart

204

Obţinem

(3)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

partpart

+partpart

=partpart

partpart

+partpart

partpart

=partpart

partpart

minuspartpart

=partpart

partpart

+partpart

partpart

=partpart

θρρρθ

θρ

ρ

θρρρθ

θρ

ρ

uyuyy

uy

uyuşi

uyuxx

ux

uxu

2

şi

(4)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

partpart

minuspartpartminus

+partpart

part+

partpart

=partpart

partpart

+partpartminus

+partpart

partminus

partpart

=partpart

θρρρρ

θρθρρρρ

θρρρρ

θρθρρρρ

uxyuyuxuxyuyyu

şi

uxyuxuyuxyuxxu

43

22

2

4

22

32

2

43

22

2

4

22

32

2

22

(5) 02

2

22 =

partpart

+partpart

θρρ

ρρ uuu

(6) θθθ

4cos41

43

sincos

44 =minus+===part

yxD

yxu

(7) ( ) ( ) ( ) θρθρ TRu =

θρρ

TRuTRu 2

2 =

partpart

θ

2

TRu=

partpart

(8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02 =++ θρθρρθρρ TRTRTR

(9) ( )( )

( )( )

( )( )θθ

ρρρ

TT

RR

2 minus=+

205

(10) ( ) ( ) 0 =+ θλθ TT

şi

(11) ( ) ( ) ( ) 02 =minus+ ρλρρρρ RRR

1A 2B

(12) 321 2 isin= nnnλ

(11) ( ) ( ) ( ) 022 =minus+ ρρρρρ RnRR

206

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

=

minus

dtdR

dtRdeR

şidtdReR

t

2

22

ρ

(11) 022

2

=minus Rndt

Rd

(14) nn

caz contrar

0=nD

infinrarr=minusn

n

origine Deci

u

(15) nnn CR ρρ =)(

sau

n θθρθρ

forma

(17) ( ) 321 sincosA)(1

n isin+= suminfin

=

nnBnun

nn

n θθρθρ

partDuu

Observăm că 4 040

primeşte forma

207

(18) ( ) θρθρ 4cos4

=u

( ) ( )

( )04

2002

)(2 _ gt===u

yuFyuFu

xuyuF

uyuxuFu

xuxuF

D

Observăm că

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

= θθρθρ

θρ

θθρ

θρ

θ 22422

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

233233

cos4sin4

44cossin4

4sin4sin4

44coscos4

24cos1

43sin3cos2sin

4

426262

88

446 minus+=UF

Deci

(19) [ ] intint ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+==

4cos88

446

minD

unde şi ⎩⎨⎧

lelelele

πθρ

2010

D θρρ dddxdy =

⎞⎜⎜⎝

⎛+=minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1

0

2

0

57

557

min 84cos

88D D

⎜⎝⎛ +=minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=minus

1

0

2

0

2

0

1

0

62

0

1

0

685 02

481

814sin

41

681

4884cos

81 π

ππ

de unde

247

minπ

=I

208

an21n21n21 int=

(3) ( ) m12i 2121 isin=int i

b

anni adxyyyyyyxG

(4) [ ] ( )int=b

a

dxyyxFyI

(5) ( )int =b

a

mdxyyxG

Are loc următoarea

(6) ( ) ( ) 21 yby yay ==

aint λ+=

(8) ( ) ( ) ( ) ( )xηαxηαxyxY 221121 ++=αα

209

(9) η1(a) = η1(b) = 0 η2(a) = η2(b) = 0

(10) ( ) mαα 211 =image

( )int =+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage b

ayiyi

0i

1 12i dxGηGηα

(11) ( ) 12i ηGGα iyy

0i

1 int isin⎟⎠⎞

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage b

a

dxxdxd

02

1 ne⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

02

1 ne⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

2

(12)

02

1

01

1

01

2

α

αdαdα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

210

funcţie de α1

( ) int ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=imageprime

b

ay2

01

21y2

01

21 dxFη

dαdαηFη

dαdαη0

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

b

a

b

a 2yy01

21yy dxηF

dxdF

dαdαdxηF

dxdF0

2

dαdα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

de (11) deducem

dxdF0

b

a

b

⎜⎝⎛ minus+⎟

⎠⎞

unde

int

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

minus= b

a2yy

b

a2yy

dxηGdxdG

dxηFdxdF

λ

( ) ( )int ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

b

adxxyGyF

dxd

yGyF 1ηλλ0

demonstrată

211

(13) [ ] ( )int=b

a

dxzzyyxFzyI

(14) ( ) ( ) [ ]ba xxzz xyy isin==

(15) ( ) 0zyxG =

(16) ( ) ( ) ( ) ( ) 2121 z zbzazybyyay ====

Are loc următoarea

(17) [ ] ( )[ ]dx GxλFzyKb

aint +=

7 Probleme propuse

a) [ ] [ ]

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎟⎠⎞

⎤⎢⎣⎡isin=

++minus= int

04

10 4

0

384

1

4

0

22

ππ

π

yyCyD

undedxyyyyI

b) [ ] [ ]

[ ] ( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==isin=

++= int

21

1

0

222

311

310 10

2

eyyCyD

undedxyeyyyI x

212

a) [ ] ( )

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

====isin=

2

1

0

2

yyyyCyD

undedxyyyI

b) [ ] [ ]

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

minus====isin=

primeprime++= int

1 110010 10

2

1

0

222

shyyyyCyD

undedxyyyyI

[ ] RDzyI rarr

a) [ ] [ ]

( ) ( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡isin=

+minus+= int

122

000 2

0

52

1

2

0

22

πππ

π

zyzyCzyD

undedxyzzyzyI

b) [ ] [ ]

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 0100 10

2

1

0

22

⎪⎩

⎪⎨

⎧

====isin=

++= intyzzyCzyD

undedxyzyyI

213

[ ]

( ) ( ) ( ) ⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

le+isin=Ω⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=partpart

=Ωisin=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

Ωintint

420

232

2220

21

22

yxRyxşixyuxxuCuD

undedxdyyu

yu

xu

xuuI

y

a) [ ]

[ ] ( ) ( ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==isin=

== intint6110 10

3 legaturacu

1

0

1

0

2

yyCyD

undedxydxyyI

b) [ ]

[ ] ( ) ( )

00 0

100

2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==isin=

== intintππ

ππ

yyCyD

dxxydxyyI

214

CAPITOLUL VIII

DISTRIBUŢII

fxxx

fDn21

n21

x ααα

α++α+αα

partpartpartpart

=

ffD0x =

(2) ⎩⎨⎧

cap=sdotcup=+

integrala

(3) ( )int nRdxxf

mulţimea nRsubΩ

215

dxxf p

Spaţiul K

Γrarrϕ nR

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

ge

lt=

minusminus

a

aexxa

a

xpentru 0

xpentru 22

2

e-1

y

xa-a

nRsubΩ

xu

ix DD

Spaţiul S

216

Spaţiul ξ

Γrarrϕ nR

YXT rarr

ΓrarrXT

217

distribuţiilor Φ`

( )intΩ

f K dxxxfT

218

originea reperului

( )⎩⎨⎧

gelt

=θ0 x10 x0

x

a

dxx θT

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) dxxdxxxxxTb

aint int+infin

( ) ( ) ( ) 2

-x2

⎜⎝⎛ πδ=⎟

⎠⎞

( ) ( )( ) ( ) ( )Rf R x0a axxf

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ϕ=ϕ

aax δδ

infinrarr)

219

Proprietăţi

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

dxxfxxxf dxxfxfxxf

(1) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )xxfxxf ϕminus=ϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partϕpart

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

partpart

yzxzyxzyxf1zyx

yzxzyxf

2

33

2

3

dxxd

δ=θ

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )xx0xdxxxxxdx

xd00

int

se notează

(4) ( )( ) ( ) ( ) n

R

RX xdttxgtfxgfn

220

şi

( ) ( )⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

gelt

=θgelt

=θ0 xsin x0 x 0

xsinx 0 x10 x0

x

deci

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

geθ

lt=θlowastθ int

x

0

0 xdtt-x sint

0 x0 xsinxx

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )xcos1x0 xxcos1

0x 0xsinxx

0

x

0

x

0

minusθ=⎩⎨⎧

geminuslt

=θlowastθ

221

( )xfn

A

y

x ⎟⎠⎞

⎝n1⎜⎛ O B

M(x)

2n

fn

xo

yo

⎟⎠⎞

⎝minus

n1

⎜⎛

F(o-P)

O

y

x

Fig2

Fig1

( ) ( ) [ ][⎪⎩

⎪⎨⎧

notin

isin=

n1n

1-pentru x 0n

1n1-pentru x 2 Pn

oMr

Rr

infinrarrn

)PO(F minusr

putem scrie

)x(fn

on y)x(flimF rr

δ=infinrarr

on

n

oon

)FFF(F zyx

r

)( 000 zyxA

222

r

concentrate Fr

vectorul Fr

)zyx(A 000

Fr

A(x0y0z0)

O y

z

)()(lim ooonn

δ

(7)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

minusminusminus==

infinrarr

)()(lim

ooozznn

z

oooyynn

y

oooxxnn

x

zzyyxxFFzyxfq

δ

Fie )FF(rr

contrare (fig1)

Mr

dFM sdot= unde FFr

=

α

ouFF rrsdot=

Fr

minus

O

y

A(-a0) B(a0) d

x

Fig1

223

Fr

our Fr

şi Fr

constante dFM sdot=

r

rarr este

x)yx(

sinMuqlim o

0d partδpart

sdotα

sdotminus=rarr

rr

)R(K)yx( 2isinϕ

α= sina2d

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αminusϕminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αϕ=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α+δminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αminusδ=ϕ

rarr

rarrrarr

0sin2d0

sin2d

dM

limu

osin2dxo

sin2dx

dM

limu)q(lim

0d

o

0d

o

0d

r

rr

x)0(

limsinuM)q(lim)4( d

0d

o

0d partξϕpart

sdotα

=ϕrarrrarr

rr

unde ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ααminusisinξ

sin2d

224

)yx(x

)yx(sin

Mux

)00(sin

uM)q(lim)5( oo

0d⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ

partϕpart

sdotα

minus=partϕpart

sdotα

=ϕrarr

rr

r

de unde

x)yx(

sinMuqlim)6(

o

0d partϕpart

sdotα

minus=rarr

rr

dx)yyx(F]y[I)1(b

aint=

32 RD)D(CF subisin

ayy dx)FF()y(II)3(

int ϕ+ϕ=ϕδ=δR

yy dx)FF()y(II)4(

225

2C

)R(Kf isin

forma

⎟⎠⎞

⎠⎞

dxdFF

dxd)F()I( yyyy

0FdxdF)6( yy =minus

ox

]bx()xa[ 00

yyxy FFdxd~F)FyF(

dxd~)7( ==minus

226

Weierstrass

ox

int= minus11

22 dxyx]y[I)9(

]11[Cy 1 minusisin

B(11) Brsquo

Arsquo A(-1-1)

O

y

x

022 ge= yxF 0]y[I ge 0]y[I =

]11[C1 minus

1C

0)()10( 2 =yxdxd

0yx 2 =

⎩⎨⎧

leminusgt

=minusθ=0x10x1

1)x(2)x(y)11(

0)x(x2yx 22 =δ=

227

0|)yx(0|)yx( oo2

0)yx2(S)F(S 2oyo ==

7 Probleme propuse

|)x|at(a|)x|at(t

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

gt

leleminus

leleminus+

minuslt

=

n1pentrux0

n1x0pentru)nx1(n

0xn1pentru)nx1(n

n1xpentru0

)x(fn

3 Fie distribuţia

0x)()x()x(f 1 gtα

αΓθ

= minusαα

228

22

2

R)tx(ttx

2t

3 isinpartpart

minuspartpart

partminus

partpart

=∆

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

isingeminusminus+

lt= )|(0)]3()([

41

00 RKttxtx

ttxE θθθ

)tx()tx(E δ=∆

229

CAPITOLUL IX

experienţei

evenimentului A

230

(1) sub (15) (23) sub (2345)

B ne Φ

incompatibile

231

A i F Ui

infin

=1isin

şi se aplică b) )

cu A B sub

na

evenimente

proprietăţii

a) m(X) 0 ge

232

b) m( ) = 0 Φ

m = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= kXU

n

k 1)(

1kX

n

kmsum

=

(1) P(X) =)()(

EmXm

∆

2d

∆

2d ∆

2d

∆

233

∆

(∆)

BM

MD

∆

A

x

CD

(∆)

x

d x

αo π

X

234

α0

sinl α = 2l

Rezultă

P(X) =)()(

Emxm =

dl

π2

2) P(E) = 1

P( ) = ) Ni

iUAisin

suminfin

=1(

iiAP

i 1=iA sum

=

n

iiAP

1)(

P(AB)= (A) este

AP

BP

)()(

)()()()(

)()( APBm

BAmBAPBPAm

BAmABP BA ===cap

=

Observăm că

)()()(

)(

)()(

EmAmEm

BAm

AmBAm

cap

=cap adică

)()()(

APBAPBPA

cap=

)()(BP

BAPAPBcap

A

B

E

AcapΒ

236

⎩⎨⎧

sdotsdot

=cap)()()()(

)(APBPBPAP

BAPB

A

satisfac relaţia

)()(

EmBAm

EmBm

EmAm

EmBAm cap

minus+=cup

adică

(2) = n

kP

1(

=U )kA sum sum

=ne

==

k

n

jiji

k

n

k

njik APAAPAP

1 1 1

1 )()1()()(

(3) P( ) = P( K

n

KA

1=cap )()() 1

1

1 21 nA

A APAPAK

n

K

minus

=cap

sdot

237

(4) P( ) = k

n

kA

loc formula

kA 21 nk isin

(5) [ ])(11)(1)(111 k

n

kk

n

kk

n

===

Fie 21 nkAk

sau icircn general

(7) sum==

minusminusgen

kkk

n

knAPAP

11)1()()(I

principii logice

238

turistic de mai sus

X = DCBA III

550)(550355338209509208603)()()()()(

XPDPCPBPAPXP

evenimente ale lui

21 AA )nA

evenimentelor

kA

(8) P(X) = sum sum= =

sdot=capn

k

n

kAkk XPAPXAP

K1 1

)()()(

probabilităţile

)( KA

21)( nkXPKA isin

239

sdot=sdot=cap

(9) sum

=

sdot=

sdot= n

iA

AkAkkX

XP

XPAPXP

XPAPAP

i

KK

1)(

)()()(

cumpărătorului

321 FFF

respectivă

iF

Bayes avem

iA

iF

KA KF

XAXP KAK)( KF

)( KX AP

sum=

sdot== 3

1)()(

)()()(

iAi

AkkXk

XPAP

XPAPAPp

i

K 321isink

240

50105)(20

102)(30

103)( 321 ====== APAPAP

020)(0250)(010)(321

=== XPXPXP AAA

61

1 =p 185

2 =p 95

3 =p

95

185

61

321 sss== sau

183006

1053321 ===

sss

nNC

(1) ( )nNC

βbCα

aCβαnP

241

Avem

(2) ( )nNC

sx

saC2x

2aC1x

1aC

2x1xnP

sdot

=nx

unde

sum=

=s

1kNka şi sum

==

s

1knkx

0912329

94171030C

412C6

18Cp cong

sdotsdotsdot

=sdot

=

sau 91

Fie

44 344 214434421orixnde

AşişiAşiAminus

242

AAAorixde

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

este evident xnC

1702049505157C(5)7P =sdotsdot=

( ) sum=

0xxtxnqxpx

nCnqpt

binominală

(4) ( ) sxsp2x

2p1x1p

kx2x1xn

sx2x1xnP sdot=

unde sum=

=sum=

=ges

1k1kp

s

multinominală

243

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

8

1t

8

7

8

2t

8

6

8

3t

8

5Q(t)

Aşadar

38

12638

7038

244

1iUE neΦ=cap=

= i = P(Ei)

=n

1i1ip

avem

evenimente

(1) sau ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

np2p1pnx2x1x

X n1iipix

X =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

(2) [ ]bax(x)

xX isin⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

245

a1dxxşibax0x ϕϕ

ip =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1654321

X

Deoarece 61

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

np2p1pnx2x1x

X ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

mq2q1qmy2y1y

Y

Definiţii

(3) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sdot

np2p1pnkx2x1kx

Xkk

(4) m1jn1iijp

jyixYX ==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++

Are loc

246

sum=

==sum=

sum=

=n

1i

m

1j ipijpjqijpn

1i

m

1j1ijp

(5) m1jn1iijp

jyixYX ==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ sdotsdot

sum=

=n

1i

m

1j1ijp

F(x)=P(Xltx)

i

i le

obţinem

( ) ( ) sumle

sumle

===ltxix ip

xix ixXPxXP deci

(1) sumle

=xix ipF(x)

247

a) b)

Pi

248

astfel

(3) ( ) ( ) ( )int==ltx

adttxFxXP ϕ

a) b)

P(Xltx)F(x)o

a

φ (x)

P(αltXltβ)

xbo

αa ltxlt β b x

φ(x)

x

x1O x2 xi

P1

P2

Pi

PnOxn x

F(x)

αa xb

β

Pi

P(Xltx)

le

continuă (figb)

F(x )

a) b)

int+infin

xx 2 x 1o

x n

i

1

F(x)o

F(x)

x x

1

249

aleatoare

=n

1i ipixXM

adxxxXM ϕ

nxnp2x2p1x1pXM

+++

+++= Valoarea

Au loc

250

(3) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

isin=+=+

RkXkMkXMYMXMYXM

avem

( ) sum=

=sum=

sum=

+sum=

=sum=

sum=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=+

n

1i jym

1j ijpn

1i ixm

1j ijpn

1i

m

1j jyixijpYXM

( ) ( )sum=

+=sum=

sum=

+sum=

sum=

m

1j jqjym

1i ipixn

1j ijpm

1i jym

1j ijpn

1i ix YMXM

şi

( ) ( ) ( )sum=

sum=

=sdot==n

1i

n

1iXkMipixkipikxkXM

Atunci

( ) ( ) ( )YMXMn

1i jym

1j jpixipn

1i jyixjqm

1j ipn

1i

m

=sum=

sum=

=sdotsdotsdotsum=

=sum=

sum=

sdotsdot=sdot

Observaţie

valori posibile

( ) ( )int+infin

ecuaţia

251

(6) ( )21xF =

ecuaţia

( )int =eM

0 21

dxxϕ

3x0)12(121

xX lele

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+x

( )int =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=+

eM

0 21

eM2eM

121

eM2eM

121

dx12x121

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ipix

X

252

x x=M eo

ϕ( x)

y

a) b)

sdot=n

1i ipkixkM

şi

F

n

i

kik pxM sum

=

=1

(9) k kMkmicro =

x 1 x 2 0

1

bx n-1 x n

xa 0

x

F

253

X

0

ϕ(x )

Y

x

aleatoare

prin definiţie

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ minusminus

xxYsau

ipix

Yϕ

αα

254

Me

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ minus

ip

(2) ( )sum=

int+infin

n

1idxxmxsauipmix ϕ

medii m

variabila

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ minus(x)

2mx2Uϕ

( ) ( )( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus===

2XMXM2UMdef

XDsau2σ

(3) sum=

⎝⎛n

1i ip2

mixD(X)

Atunci

(5) D(X+Y)=D(X)+D(Y)

şi

W=X-M (X)+Y-M (Y)

( ) sum=

sum=

++sum=

sum=

=+sum=

sum=

==+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ n

1i

m

1j jvi2u2jv2

iujqipn

1i

m

1j

2jviujqip

n

1i

m

1j2ijwijpYXD

M (U)=0 M (V)=0 sum=

=sum=

=m

1j1

n

1i ipjq

( ) sum=

sum=

+sum=

++sum=

=+m

1j

n

1i

n

1i

m

1j jvjqiuipm

1j22

jvjqip2iu

n

1i ipjqYXD

( ) ( )( ) ( )sum=

=minus=sdotn

1iXD2k2XkMikxipXkD

256

(7) ( ) ( ) ( )sum=

intinfin+

k

Se observă că

( ) sum=

sum=

=minus=n

1i ipkix

k

1i kMipkmixkm

( )sum=

sdotminussum=

sdotminus=n

1i ipjmjkix

k

0jjkCj1km

Cum avem

1

2101 sum=

isinminus=minus=n

ikjjkMipjk

ixMm

(8) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

++minus+minusminus=

k1Mk1s

1MskMskCs1

21M2kM2

kC1kM1kCkMkm

de diferite ordine

(9) etc 312M1M23M3M3m2

(10) σxy=M[(X-mx) ( Y-my)]

(11) σxy=M (X Y)-M (X) M (Y)

257

V σ=

(1) ( )( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

intinfin+

infinminus

suminfin

==

ekptc

ϕϕ X

Are loc următoarea

(2) ( ) ( )suminfin

==

0kkt

k

kXMkitc

suminfin

==

0kkt

k

kxkiitxe

==

0kktkctc

(3) ( )

0tkdt

tckdki

1kcki

kkM

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

258

ϕ(x) este dată de

2π1xϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )εmXP2εεmxdxx

2

geminusintinfin+

infinminusint

de unde rezultă

(2) ( ) ( ) ( ) ( )2ε

XD1εmXPsau2ε

122k

2

2ε

D(x)==

σ

2k

1kmXPk

( ) ( ) 90983mXP10

Pentru k=4 avem

259

(1)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nCnq

nk10

X

⎜⎝⎛ minus=

+= p1q

baap

( ) 0qnpnnC1nq1p1

( ) ( )sum=

=gen

0k1kxsi0kx ϕϕ

( ) sum=

minus⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=sdotsum

=

minus=n

0kknq

kitpeknCitke

n

0kknqkpk

nCtc

260

deci

(2) ( ) ( )nqitpetc +=

( ) ( ) npii1

0tdttdc

i1XM =

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

sau

(3) M(X)=np

apoi

( ) 0t

2dt

tc2d2i

12XM=⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

unde

( ) ( ) ite2ip1n

qitpen2ite2i2p2n

qitpe1)n(n2dt

c(t)2dsdot

minus++

minus+minus=

M(X2)=n2p2+np-np2

Rezultă

(4) D(X)=npq

(1) ( )( )

222mx

e2π

1x σσ

ϕminusminus

261

( )int+infin

infinminusint

+infin

infinminusint

+infin

2tedeoarece1ππ

1dt2te

de ϕ(x) Are loc

etcσminus

=

Icircntr-adevăr

( ) ( ) intinfin+

minusinfin

minusminus=int

infin+

2)(

e2π

1dxxitxetc σσ

ϕ

mx

( ) intinfin+

minusinfin

2y221

eimte2π

1tc σσ

=intinfin+

infinminusintinfin+

infinminus

minus+int

infin+

infin=

sdotminusdysinty

2y22

1

eidycosty -

2y22

1-edyitye

2y221

e σσσ

( )impara0sintydy

2y22

1

ecostydy0

2y22

1-e2

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=intinfin+

infinminus

minussdotint

infin= σσ

0a4a2b

eaπ

21cosbxdx

0

2axe gtminus

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== tb22

1aσ

262

( ) 2

2t2imt

etcdecisi2

2t2

e2πdyitye2y22

1 σσ

σσminus

=intinfin+

minusinfin

minussdot=

sdotminus

Icircntr-adevăr

( ) ( )[ ] m0tc(t)t2imi1

0tdtdc(t)

i1XM ==minus=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= σ (c(0)=1) şi

( )[ ] 22XM2XMD(X)

undede2m2

0tc(t)

2t2im2

0t2dt

c(t)2d2i

12XM

σ

σσσ

=minus⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

+==⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

esteπσ 2

absciselor

263

finit

( ) ( )( ) ( ) ( ) m0xare0xfsi

2mx2e

2π2mxxfm0xXeMXM

1

==⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ

σ Funcţia

=x

dtmtnxF σ

şi graficul F(X)

1

264

1m0 m-τ x m+τ

12

( )( )

dx222mx

ekmx2π

1km int

infin+

minusinfin

minusminusminus= σ

σ

=minus

σ obţinem

( ) dy2yeky

π2

km intinfin

infinminusminus=

Kσ

21isinp

egalitatea

(1) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

le

=

0xpentru0

0ba0xpentrubx

e1axab1

aΓ1

xϕ

( ) ( )int+infin

infinminus=gtint

265

a=1

a 1ne

0 x

)

( ) ( ) abbΓ(a)

1aΓXM =sdot+

=

ordinul k

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

lt

geintminusminus

sdot=

0xpentru0

0xdtx

0bt

e1atabΓ(a)1

xF

şi are graficul

1

x

0

F(x)

(1) ( ) ( ) ( )

[ ][ ]01xpentru

01xpentru0

1qx11pxqpB

1x isin

⎪⎩

⎪⎨

⎧

notin

ge int+infin

(2) 1)kq1)(pqq)(p(p

1)k1)(pp(pkm

minus+++++minus++

=

266

(3) ( )1)q(p2q)(p

pqXDqp

pM(x)+++

=+

=

1p0x

minus+minus

=

(1) ( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

lt

geminusminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

0xpentru0

0x22ax

e1

2ν

x

2νΓνaν22

1

xϕ

ϕ(x

267

20

ν1)

005

0

010

5 10 15

ν=6

020

015

030ν=2

ν=4

ν=15

25x

ϕ(xν1)

22

2 2

P(λ gtλ )0

λ0 x=λ0

variabilă x=2t

( )int+infin

infinminus= 1dxxϕ

( ) ( ) ( ) αn

nλ1

α

nλ

α1αn1nnαnp

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus⎟

⎠⎞

=

Vom scrie icircncă

(1) ( ) ( ) ( )α

αλα-n

nλ1αn

⎜⎝⎛ minus

+minusminus=

nλ1nlimsi1αn

1αn1nnnlim minus=

minus⎟⎠⎞

asimptotică

(2) ( ) λeα

αλαnP minuscong

268

==minus=minus

0α1λeλeλe

αλ

Proprietăţi

M(X)= ( )suminfin

==sum

infin

=sdot=minus=minus

0αλλeλ-e

1αλ

1-α

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minus=

1iteλetc

( ) ( )suminfin

=

infin

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0α

1iteλe

itλeeλeα

αitλeαeλeα

αλ0α

itαetc

( ) ( ) λ2λ

0t

1iteλeitλe2ite2λ

0t2dt

c(t)2d2XM +=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡minus=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

269

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= t2

1ν

ν

2t1

1

2νΓ

21νΓ

νπ1νtϕ

( ) ( ) 012km00x2ν

νXD0xM =+=minus

==

( )( )( ) ( )2kν4ν2ν

12k31kν2km

=

ϕ

distributia t

Figa

0tx

-5-4-3-2-1 1 2 3 4

010203

5

distributia n(x01)

270

ϕ(x

Fig b

(1) 1εn

n

1k)kM(X

n

1k kXPnlim =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ltsum=minus

sum=

infinrarr

ϕ( )x

o t t -t

)

271

n

1k kXX

( )n

n

1k)kM(X

n

1k kXMXM

sum==

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ sum==

( )nC

2n

Cn2n

n

1k)kD(X

n

1k kXDXD =

sdotlt

sum==

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ sum==

dubla inegalitate

1εn

n

1k)kM(X

n

1k kXP2nε

C1 le

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ltsum=minus

sum=leminus

atunci

(2) 1εpnx

nlim =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ltminusinfinrarr

are loc relaţia

(3) ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=minus

=minusinfinrarr npq

npm2

2mx211

e2π

1xnqxpxnCnlim

σσ

σ

272

condiţii

30 Notacircnd

sum=

=sum=

===n

1kkρ

(n)xρ

n

1k 3kmkρ2kτ(n)2

xτ)kD(X2kτ

(3) ( )

( )0

n3xτ

nxρ

nlim =infinrarr

sum=

=n

1k kXX

k k isin 12hellipn

(1) cov (XY)=M[(X-M(X)) (Y-M(Y))]

(2) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ minussdot

minus==

yτM(Y)Y

(3) yτxτ

xyτ

yτxτX)cov(Y

XYρsdot

=sdot

minussdotminus=

273

ρXY= ρYX= ρ

calculator etc

274

Q(t) = P( z lt t ) ( t gt 0)

q(t) = Qrsquo(t)

Φ(t) = P ( z lt t )=1-P(t) ( t gt 0 )

tt

φ

0

2

0

φ

unde m = M(z)

0t

)min( 0 tzz =

0

Q z

ge

Q (t) = P( lt t ) = z1

)(

0

tttt

pentrupentrutQ

gtle

⎩⎨⎧

şi corespunzător

275

⎩⎨⎧

gtleΦ

=minus=Φ

0)(

)(1)(0

0

tttt

pentrupentrut

tQt

int intinfin

lowast Φ=Φ=0 0

0

)()(t

dttdttm

int minusΦ=0

2

0

2 )(2)(t

mdtttzD

+ hrdquo Avem

P ( BA) = )(

)()(

)(t

httzP

htzPAP

BAPΦ

+Φ=

gt+gt

=cap

tht

Φ+Φ

momentul t + h este

1- )(

)()()(

)(t

httt

htΦ

+ΦminusΦ=

Φ+Φ

P(BA) )()()( hth

tt

sdot=sdotΦΦ

minuscong λ

276

λ(t)

t

0 I II III

trecerea timpului

λminus=ΦΦ

)()(

tt

defectare este

)( tet λminus=Φ

277

1)0(2)()(

=minus= φλφφ t

tt

rezultă 2

)( tet λminus=Φ

14 Probleme propuse

X şi Y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛201070

421⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛30104020

7641

278

f(x) = )4(

12 +xx

279

CAPITOLUL X

1 Să se calculeze

I = dxx

xxint +

minus1

03

3 2

)1()1(

= 1980 =

2x

= 1981 =

3 Fie f(xt) = )

2(

2ttx

eminus

sum+infin

minusinfin=

sdotn

nn txJ )(

214

= 1981 =

1 22

2

uaxu

xtu

=partpart

(2) u(0t) = tcos35

1minus

= 1982 =

2cos211)(

axaxfRRf

+minus=rarr a gt 1

= 1983 =

0coscossin2 2

22

2

=partpart

minuspartpart

partminus

partpart

yux

yxux

xu

2)0( =partpart yxu

=1989 =

215

π2

0 cos453cos dx

xx

=1985 =

RR rarr3ϕ

3Rsub

rrz

zy

yx

xpartpart

+partpart

=nabla

= 1986 =

derivabilă

b) Să se calculeze

I = int=

minus

neminusRZ

zRdz

ze 1

)1(

1

= 1987 =

216

u(xy) =

CC rarr

b) Să se calculeze

I = intinfin

++02222 ))((

sin dxcxbx

axx

unde abc Risin

=1988 =

F(p) = ( )[ ]1)1(1

22 ω+++ pp ω gt 0

pisinZ Se cere

t tteduutfug0

)sin()()( ωω

=0

1)( dt

ttfI

int=2

0

62 cos)(

π

tdttfeI t

= 1989 =

217

( )int

infin

+0n2bxa

Nnisin

( )int

infin

+019932x1

dx

intπ

218

BIBLIOGRAFIE

FLORESCU G

STOICA L

5 DOBRESCU V

rusă) 11 MOCANU PT

HAMBURG P

NEGOESCU N

Bucureşti 1982

239

MICULA G

IONESCU B

15 ŞICLOVAN I

MATEI I POPESCU I

CREŢ F

IMP Petroşani 1988

Timişoara2003

240

coperta
cuprins
cap1
cap2
cap3
cap4
cap5
cap6
cap7
cap8
cap9
cap10
bibliografie

Page 3: Universitatea ,,Constantin Brâncuşi” Tg Jiurefkol.ro/matek/mathbooks/ro.math.wikia.com wiki Fisiere... · = ( , ), ( , )∈ reprezintă un câmp de direcţii, graficul unei soluţii

CAPITOLUL I

Problema Cauchy

4

2xy minus= numită

Dyxyxfdxdy

8

CdyyQdxxPx

x

y

=+int int0 0

)()(

(2) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xyf

dxdy

tdxdtx

dxdy

+=

xdx

ttfdt

=minus)(

variabile separate

1

+

minus=

xyxy

dxdy

dxdttt

minus=++

11

9

(3) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=222

111cybxacybxafy

22

+=+=

vyyuxx

0

11⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=vbuavbuaf

21 =minusne+ babacc

1

2

1

2

1

kbb

aa

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

++=

211

111

)(

ecuaţia devine

1

2

11

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

ckzczfa

dxdz

13

+minusminus+

=yxyxy

vuvu

dudv

minus+

= (omogenă)

ududt

tt

=+minus

211

)2()1(ln12 22 Cyx

10

O ecuaţie de forma

)(int=

minus dxxPCey

)()(int=

minus dxxPexCy

sau )()()(int=dxxP

(5) C)()( 1))(

CdxexQxCdxxP

(6) )()(

1)(

⎥⎦⎤

minusdxexQCey

dxxPdxxP

11

(8) )(1)(11 xQ

yxPy

=z

yy

şi ecuaţia (8)

26 Ecuaţia Riccati

yy p1

liniară Avem 2

0)(1)(1)(2

2 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

zyxQ

zyxP

zzy ppp

zxRyxQyxPy pppp

12

(12) ( ) ( )( ) ( )

dx p pxdp p p p p

ϕ ψϕ ϕ

+ =minus minus

(13) ( )( ) ( ) ( )

(16) ][p )()(

)(ab

pppypx

isin⎩⎨⎧

+minus=minus=

ψψψ

13

(2) )1(00

sau 2

44x

ux

x

xCu544

1 minus=

Icircnlocuind yyu

xCyy

54 4

2

5

1ne=

minusxexCy

xC

)1(1

nn =++++ minusminus

14

(2) 0)()()()( 1)1(

1)(

nn

(4) )1()1(

2)1(

1

21

)(

minusminusminus

=

nn

n

yyy

yyyW

(6) 0)()( 1)1(

1)( =+++ minus

minus yxayxay nnn

15

)1(1

)(0 =++++ minus

2 )(

1)1(

11)(

1)(

111111nn

nn

0)(])()([])()()([ 10)()1(

10111)1(

1)(

nn

0)()()( 1)2(

1)1(

nn

16

(1) )()()()()()( 1)1(

1)(

n =++++= minusminus

(2) 0)()()()()( 1

)1(1

)(0 =++++= minus

n

(5)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++=+++

minusminusminus

)()()()()(

0)()()(

0)()()(0)()()(

0

)1(2

)1(21

)1(1

)2(2

)2(21

)2(1

2211

xaxfxCyxCyxCy

xCyxCyxCy

xCyxCyxCyxCyxCyxCy

nn

nnn

nn

nnn

nn

17

(11) nn yCyCyCy 2211 +++=

)1()1(22

)1(1

)1(

)3()3(22

311

)3(

+++=

nnn

nn

yCyCyCy

)1()1(22

)1(11

)()(22

)(11

nnnnn

)()(

0

)()(22

)(11

)(

xaxfyCyCyCy n

nnnnn ++++=

18

)()(

)(

)1()(021

)1()1(1

)1(1

)1(2

)1(1

1121

xaxf

yyyWyyyyyyyyyyyyyyy

xCn

nn

nk

nnnkk

nkk

knk sdotsdotminus=

minusminus+

minusminus

minusminus+minus

+minus

+

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

xxCxC

xCxC142

0

321

42

21

cu soluţiile

2

1 21 xC minus= 42 2

1x

C = şi apoi 21

11 xCC +=

61

322 x

CC minus=

19

3

42

21

xxCxCy ++= isinx R0

(am renotat ) 221

1 CCCC ==

(1) 0 0 01)1(

1)(

nn

nxrxr n 21

21

0)( 11

10 =++++ minusminus

nnnnrx arararaAe

xrn

20

)(

)( 21)(

112

11

212121

21

nxrrr

xrnn

xrnxrn

xrn

xrxr

xrxrxr

n rrrVe

ererer

eee

yyyW n

n

sdot== +++

minusminusminus

21

mniriririririr

mmm

mmm 2

222111

xkk

xk

(4) sum=

+=m

kkkkk

x xCxCey k

1

)sincos( ββα

pp

21

121

21

)( xPm )( xQm

kp αα +=

]sin)(cos)([21

xp ββα +=

22

h 2cos2sin)( 4321

p ++= minus

4321 R

)1()1(1

dtdye

dxdt

dtdy

dxdyx =

2

22

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

dtdy

dtyde

dtdye

dtde

dxdy

dxd

dxyd ttt deci 2

2

22

dtdy

dtyd

dxydx minus=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= minusminus

dtdy

dtyde

dtde

dxyd

dxd

dxyd tt

2

22

2

3

sau 23 2

2

3

33

dtdy

dtyd

dxydx +minus=

kk

ydp

p

(2) )( 11

1

10t

nnn

n

efybdtdyb

dtydb

minus

23

(3) 0 11

1

0 =++++ minusminus

minus

ybdtdyb

dtydb

dtydb nnn

n

)1(11

)(0 =++++ minus

21

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= x

xy

ln23sin1

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= x

0 ln23sinln

23cos1

21 ne⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= xxCxC

xu

24

(1) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

0)(

)()()(3

)()()(2

)()()(1

pnm

zzzyyyxxxtF

(2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

minusminusminus

)()()(

)1()1()1()(

pnmp

pnmn

pnmm

(3)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

)(

21

2122

2111

nnn

n

yyytfdt

dy

yyytfdt

dy

yyytfdtdy

25

necunoscute

12

32

21

1 minusminus ==== m

m xdt

dxx

dtdxx

dtdx

) ( 1111111

n zzzyyyxxxtfdt

dx

isin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

minus=t

xydtdy

xydtdx

42

R

2

dtxd

dtdx

dtdy

+=

xdtdxx

dtxd

dtdx 422

2

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ sau 062

2

=minusminus xdtdx

dtxd

23

1tt eCeCx minus+=

şi tt eCeCy 2

23

R isin⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=

+=minus

minus

teCeCy

eCeCxtt

tt

4 2

23

1

22

31

26

R isin⎩⎨⎧

=minus=minus

ttyx

txy

sin4

22

1tt

41minusminus= Deci

teCeCy tt sin51

412

22

1

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

minusminus+=

minusminusminus=

minus

teCeCy

tteCeCx

tt

sin51

41

cos5122

22

21

22

21

27

(1) )(

)()( 21212

2

211

1

nn

n

nn xxxPdx

xxxPdx

===

(2)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==

minusminus 1211

2212

1211

)(

)()(

nnn

n

CxxxF

CxxxFCxxxF

(3) nn

nn

n

PPPdxdxdx

Pdx

λλλλλλ

++++++

====

2211

2

1

0

2211

=+++Φ=+++

nn

PPPddxdxdx

λλλλλλ

12

3

31

2

23

1

xxdx

minus=

00332211321

12

3

31

2

23

1 dxxdxxdxxdxdxdxxx

dxxx

dx ++=

++=

minus=

minus

28

Cxxx 223

22

21 =++

0)()()( 212

2121

211 =partpart

++partpart

+partpart

nnnnn x

uxxxPxuxxxP

xuxxxP (1)

)(

)()( 21212

2

211

1

nn

n

nn xxxPdx

xxxPdx

=== (2)

(3) 022

11

=partpart

++partpart

+partpart

nn

dxx

ϕϕϕ

(4) 022

11

=partpart

++partpart

+partpart

nn

Px

ϕϕϕ

29

)( 21 nxxx

022 =partpart

+partpart

minuspartpart

zuy

yuxy

xux

dzxy

dyxdx

=minus

=

Din xy

dyxdx

2ydz

xydy

=minus

⎩⎨⎧

=+

=

23

1

3 Cxyzy

Cxy

este de forma

(1) )()()()( 211212

2121

211 uxxxPxuuxxxP

xuuxxxP

xuuxxxP nn

nnnnn +=

partpart

++partpart

+partpart

30

(2) 12

2

1

1 +

====nn

n

Pdu

Pdx

222 yxuuyuy

xux ++minus=

partpart

+partpart

222 yxuudu

ydy

xdx

++minus==

Avem

222222222 yxuudu

yxuuuyxuduydyxdx

++minus=

++minus++

++

sau

( ) 222222222 yxuudu

uyxuuyxuduydyxdx

++minus=

minus++++

++

de unde du

uyxuduydyxdx

minus=++

++222

0 222 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++Φ uuyx

yx sau ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+++

yxfuuyx 222

13 Probleme propuse

31

00cos

1==minus ) y(

xy tgxy

4 Să

) y(xy-yx

y- 1121 2 ==

x

y ax

yx

yya p ==+++prime 0) 22 ( )0gta 24

cos

1cos

sin2sin) 22

xy

xxxyyb p ==+prime

)y

yxyaprime

+prime= 1

primeprime+=

35

4

)3(

=+

=minus

=minus+minus

=minus+

b + 2)1() yxyy

ţi constan

04500200

)4( =+minus

===minus

yyb) y)( y) y(ya) y

040

03306116

)()(

)(

yf) yye) y

yyyd) yyyy-c) y

32

210665)3()4(

2

xeyyyb) yxxyya) y

=+minusminus

+minus=+minus

x

yycos

1=minusprimeprime

zyxz minus+=prime

)a )()()( 213

3

132

2

321

1

xxxdx

minus=

minus

)b2

32

22

13

3

2

1

xxxx

dxx

dx

++minus==

)c31

3

21

22

32

22

1

22 xxdx

xxdx

xxxdx

==minusminus

221

222 xuyxuyuyu

xuxu

y=minusminus=

partpart

+partpart

=

33

CAPITOLUL II

FUNCŢII COMPLEXE

numerelor complexe

sub

rarr

34

isinyy)0( sub

35

y M(xy) y z

ρ

θ

0 x x

36

(7) )]sin()[cos( 21212

1

2

1 θθθθρρ

minus+minus= izz

Observăm că 2

1

2z1z

z

z= şi arg

2

1

nk

rarr

37

38

Ρ

y )( 0 rz∆

0z r

V 0 x

0z

0V IntV

___

VVV cup=0

VV sup___

VV =hArr

39

CV sub )0( r∆

Cz isin0 CA sub

0z

infin=z

ςO

40

ne

(7) 22

22

2222 1

1

1 yxyx

yxy

yxx

+++

=++

= ςηξ

rarr

__infincup= CC

sub

CD subΓ ∆

0 x

41

2T

1B 1C 2B 2A ( ) 2C 1T 1A

1T 2T

)()()()()()()( 22221111321

capcapcapcap

nzCzisin

zznn=

42

+= limlimlim

nx ny

nz

211

++++=suminfin

=n

nn wwww

( ) definit astfel

suminfin

=1nnw

43

nS

suminfin

=1nnw Sw

nn =sum

infin

=1

nS suminfin

=1nnw

=

infin

=

infin

=

+=1 11 n n

nnn

n viuw Rvu nn isin

Are loc

sum nw

sum nu sum nv

şirurile ( ) şi (

sum nw

nS

nu

sum nv

44

ltftt

=rarr

)(lim0

ttttRe)(lim)(lim

00

=hArr=rarrrarr

şi ltytt

Im)(lim0

=rarr

0 EEt capisin

)()(lim 000

tftfttt

=hArrrarr

(3) 0

0 )()(lim

0 tttftf

tt minusminus

rarr

45

)()()()()()(

00

0

0 tEttt

tytyi

tttxtx

tttftf

isinminusminus

+minusminus

=minusminus de unde

0

tyitxtf prime+=

minus= kknkttdγ

minusminus=n

kkkkd ttff

46

intb

a

dttf )(

(10) )(lim)(0)(

fdttfI dd

b

a

τυ rarr

))((Im))((Re)())((Im

))((RetyItxIfI

tyI

txIddd

d

d ττττ

⎪⎭

⎪⎬⎫

minus

minus deoarece

(11) int intint +=b

a

b

a

b

a

intt

a

df ττ )( F

(10) ba

b

a

47

(1) 0

0 )()(lim

0 zzzfzf

zz minusminus

rarr

)( 0 zf

Dz isin0

)( 00 yx

(2) )()()()( 00000000 yxxvyx

yuyx

yvyx

xu

partpart

minus=partpart

partpart

=partpart

)()()]()([)]()([)()(

00

0000

0

yyixxyxvyxviyxuyxu

zzzfzf

=minusminus(3)

y z z

z 0y 0z 0 x 0x

Din (3) obţinem

(4) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminus

+minusminus

=rarr

0

000

0

0000

)()()()(lim)(

0 xxyxvyxv

ixx

yxuyxuzf

xx

48

(5) )()()(

lim 000

000

0

yxxu

xxyxuyxu

xx partpart

=minusminus

rarr

şi

(6) )()()(

lim 000

000

0

yxxv

xxyxvyxv

xx partpart

=minusminus

rarr

yxxviyx

xuzf

partpart

+partpart

=

0xx = şi 0

yy ⎯rarr⎯

Din (3) obţinem

(8) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus+

minus

minus=

rarr0

000

0

0000

)()()()(1lim)(0 yy

yxvyxvyy

yxuyxui

zfyy

(9) )()()(

lim 000

000

0

yxyu

yyyxuyxu

yy partpart

=minus

minusrarr

şi

(10) )()()(

lim 000

000

0

yxyv

yyyxvyxv

yy partpart

=minus

minusrarr

Din (8) (9) şi (10) găsim (11) )()(1)( 00000

yxyvyx

yu

izf

partpart

+partpartsdot=

unde

isinf

00 =∆=∆ vu 2

2

yx partpart

+partpart

49

yv

xu

partpart

=partpart şi

xv

yu

partpart

minus=partpart

yu

xv

partpart

minus=partpart

xu

yv

partpart

=partpart

dyxudx

yudv

partpart

+partpart

minus=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

yu

yxu

2

=partpart

+partpart

yu

xu Funcţia

(1) dyxudx

yuyxv

AMint part

part+

partpart

minus=)(

D

)( 00 yxA )( 0yxB

int int partpart

+partpart

minus=x

x

y

dttxxudtyt

yuyxv

0 0

)()()( 0

50

int int partpart

minuspartpart

=y

y

x

dtytyudttx

xuyxv

0 0

)()()( 0

dyxudx

yudv

partpart

+partpart

xv

partpart

minus=partpart

xu

yv

partpart

=partpart

(2) dyxvdx

yvyxu

AMint part

partminus

partpart

=)(

yeyzv x sin)( =

yexv

yuye

yv

xu xx sincos minus=

partpart

minus=partpart

=partpart

AM

x

y

51

nezf)( 00 zfw =

α α β β )( 00 zM )( 00 wN 0 x u

0

0)( 0 nezf

(2) sauzf

zzww

zfzzww

zf

zz

zzzz

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minusminus

minusminus

=minusminus

=

rarr

rarrrarr

)(argarglim

lim)(lim)(

0

00

0

00

0

00

52

(3) _______

00

_______

0 NN)(Γ

(4) )()(

0

0)(

0

00

0

rarr

minus

rarr

minus

rarrsdot

∆∆

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

∆∆sdot

∆sdot

∆== i

zz

i

zz

i

zze

sSe

sS

MMs

SMN

eMMMN

zf

deoarece 1lim 0

)( 00

=∆

rarrrarr s

NM

zzMM

şi 1lim 0

)( 00

=∆

rarrrarr S

MN

zzNN

sSzf

zz ∆∆

=rarr 0

lim)( 0

zfAm obţinut

0z)0)(( 0

nezf)( 00 zM

0z 0zTM 0 UN 0

)(Γ

)()( 21 CCDzzM isin000 )( 0)( 0

nezf)( 1Γ )( 2Γ

53

y (z) v (w) 2U 2T 1T 1U ω )( 2C ω )( 2Γ )( 1C )( 1Γ

2α 1α 2β 1β

)( 00 zM )( 00 wN

10TM 20TM

12 ββω minus=

)( 1C )( 2C)( 1Γ )( 2Γ

54

)11(0M2)( zzf = )90( 0=prime= ωω

_____

M

1M kP kM

00 )( MzA = 0 x

_____

AB

55

arbitrar

Arcului _____

(2) sum=

minusminus=n

kkkkd zzaff

11 ))(()(σ

DAB sub_____

rarr____

)()(lim0)(

AB

ddvdzzffI σ

__________

)()()()()()

ABABAB

(5) )()()( fiff ddd σσσ +=

unde

sum=

kkkkkkkkkd yyvxxuf

111

)]()()()([)( ηξηξσ

şi

sum=

kkkkkkkkkd yyuxxvf

111

)]()()()([)( ηξηξσ

56

_____

AB

b

aABddv

0)(σ

şi

intint +=+=rarr

b

aAB

0)(_____

σ

_____ _____

)()(AB BA

dzzfdzzf

AB

3 int int int isin+=_____ _____ _____

_____)()()(

AB AC CB

ABCdzzfdzzfdzzf

4 LMdzzfAB

sdotleint_____

)( unde )(sup_____

zfMABzisin

AB

=C az

dzI

a

y M(z) r θ a

(C) 0 x

57

θθθ diredzeraz

ii ==minus

minus 11

şi

θθ πθθ2

0

2

0

21 ididireer

I ii

(1) int =C

dzzf 0)(

∆ (C) 0 x

58

dxdyyP

xQdyyxQdxyxP

Cintintint∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

=+ )()(

xv

yu

xu

partpart

Green obţinem

intintint∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

minus=minus dxdyyu

xvvdyudx

C

(3) şi

intintint∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

=+ dxdyyv

xuudyvdx

C

∆

yv

xu

partpart

=partpart şi

xv

yu

partpart

dzzf 0)(

∆)( 1C )( 2C

59

_____

AB ____

ABD ∆=

)()()()(__________

minus+CBA

CAB

C

2_____

1

Cum intint =+BAAB

minus=2 2

)()(C C

dzzfdzzf

minus +

=1 2

)()(C C

dzzfdzzf

)( 1C)( 2C )( nC )( 1C )( 2C )( nC

)( 2C )( nC y )( 1C

)( 2C )( nC )( 3c )( kC

∆ 0 (C) x

(6) sum intint=

=n

k CC k

dzzfdzzf1

)()(

60

(1) int minus=

C

dzaz

zfi

af )(21)(π

zfminus

minusminus

=minus

=minus γγ γ

dzaz

afdzaz

afzfdzaz

zfdzaz

zf

C

)()()()()(

πiaz

zf 2)(

61

int intint =leminus

minusle

minusminus

γ γγ

πεε 2)()()()( ds

rdz

azafzf

dzaz

afzf

minusminus

int dzaz

afzf

γ

minusminus

=C

n

k C

dzaz

zfi

dzaz

zfi

afK1

)(21)(

21)(

ππ

(5) int +minus=

Cn

n dzazzf

inaf 1

)(

)()(

2)(π

=C

dzaz

zfi

af )(21)(π

62

=1

)(n

n zf Dz isin0

infin

=10 )(

nn zf

mulţimea

suminfin

=1)(

nn zf

1

)(zf n

Dzzfn

n isinsuminfin

=

)(1

00

gtsuminfin

=n

nn uu

=1

)(n

n zf DA sub

şi

nnn zczf =)( n

n azc )( minusinfin

=1n

nn zc

nn

nn cazc )(

1suminfin

=

minus Caisin

Are loc

suminfin

=1n

nn zc

0ge

63

nnc

nR lim

___1

infinrarr== ω

ω

(1) sau

n

cc

nR 1lim

___1 +

infinrarr== ω

ω

(2) int minus=

C

duzu

ufi

zf )(21)(π

Observăm că

(3) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

minusminus

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

minusminus

++minusminus

+minus

=minus

sdotminus

=minus minus

minus

+

minusminus

auaz

nn

auaz au

azauaz

auaz

auauzu 1111

1111 1

int int int +minus

minus++

minusminus

+minus

= +C C

nC

n

Rduauuf

iazdu

auuf

iazdu

auuf

izf 12 )(

)(2

)()()(

2)(

21)(

πππ

unde

= +

+

Cn

n

n azauauduuf

iazR

)]()[()()(

2)(

1

π

64

int +minus=

Cn

n

auduuf

inaf 1

)(

)()(

2)(π

(6) nn

n

Razn

)()(1

)()()()(

intint sdotminus

sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛le

minussdotminus

minusle

+

C

n

Cn

n

n udrr

Mrau

udufazR

ρρ

πρπ1

2)(

2

1

adică 1+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdot

minusle

n

n rrMrR ρρ

infinrarrn

(7) suminfin

=

minus=0

)(

)()(n

nn

azn

afzf

D 1r u z a 2r )( 2γ 0 v x

minusminus

=21

)(21)(

21)(

γγ ππ zuduuf

izvdvvf

izf

65

(2) n

nn azc

zvdvvf

i sumintinfin

=

minus=minus 0

)()(21

1γπ

unde (3) 210

)()(

21

1

1 isinminus

= int + nav

dvvfi

c nnγπ

⎤⎢⎣

⎡minus

sdot++++minus

=minusminusminus

=minus

minusminusminus

+minusminus

minusminus

2 221

11)(21

)()()(

21)(

21 1

γ γγ πππdu

azuf

iauazduuf

izuduuf

i azau

nazaun

azau

12 lt=minusminus

ρr

azau

minus=

minusminus minus

+

= 22

11

1))((

21

)(1)(

21

γγ ππ nk

n

kk Rduauuf

iazzuduuf

i unde

(5) duufi

R azn

azau

n minus+

21

2γπ

2

zfMz γisin

= obţinem

2

21

2

rrr

MRn

n minus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotle

+

ρρ

sumintinfin

=

minusminus minus=

minus 1)()(

21

2 n

nn azc

uzduuf

i γπ unde

(6) duauufi

c nn

1))((21

2

γπ

66

infin

minusinfin=

minus

minusinfin=

infin

=

nn

nn azcazcazczf

1

0)()()()(

unde (8) ))((

21 Znduauuf

ic n

n

nn

n

nn azcazc )()(

0

1

=

minus

minusinfin=

(9) suminfin

=

subisinminus=0

)()(n

nn DVzazczf

Disin

(11) suminfin

=

++minus

=0

1 )()(

)(n

nnm

m azcaz

caz

czf

67

n

infin

minusinfin=

)()( zQzPzf =

Γ

= dzzfdzzfC

)()(

Γ

= dzzfi

arezf )(21)(π

68

Γ minus= dz

azz

iarezf p)(

)(21)( ϕπ

)1(1)( )1( gtminus

= minus pap

arezf pϕ

)1(1)( minus

=sdotminusminus

= paz

p zfazp

arezf

)()()(

caz (5)

)()()( ah

agarezf =

69

C

dzzf 0)(

ka KΓ

Γ Γ Γ

+++=1 2

)()()()(n

dzzfdzzfdzzfdzzfC

k

isin=intΓ

π

(6) )(2)(1

kC

n

k

afrezidzzfint sum=

= π

70

dzz

IC

zint ++

=1

sin1 π

22

=+yx

funcţiei z

zf z

++

=1

sin1)(

π

11)( 3

3

31

+=

zzz zzzz

zf πππ

1

0sin53

)0(53

1 2210

1 +++++++=⎟⎠⎞

uc

uf m

m

adică

(7) )( 221

zc

czcczf m

1cinfin

71

izfrez

Cz int=infin= )(

21)]([π

(9) 0)]([)(1

=+suminfin

=infin=

kzk zfrezarezf

Lemă (Jordan)

rarr

zfazaz

0=int

rarr

dzzfCR

infinrarr

zfazR

atunci

dzzf

dxxQxP

int+infin

)()(

72

nzzz 21

)(Γ

y )(Γ 2z nz R 2 z 1 z x -R 0 R

(1) int sumintΓ =

=

+

minus

=+n

kzz

R

RK

zrezfidxxQxPdz

zQzP

1

)(2)()(

)()( π

zfzz

avem intΓinfinrarr

= 0)()(lim dz

zQzP

(2) int suminfin

infinminus ===

n

kzz k

zrezfidxxQxP

1

)(2)()( π

θθθ2

0

)cos(sin dR

73

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus=

zz

i1

21cos1

21sin θθ

zint=

=1

1 )(

π

θθ

0 sin45dI

intint== minus+

=sdotminus+

=1

21

12 252

)(51

zz zi izzdzI

izdz

zI

estei

zrezfiz 3

1)(31 =

minus= şi deci

32π

=I

(3) int sum ==

sdot+=C

zzk

n

k

zfrezizfrezidzzf0

)]([)(2)(1

ππ

)(Γ 0z

74

(4) int int sum

===+

____ ______

1

)(2)()(QPC PAQ

n

kzzk k

zrezfidzzfdzzf π

0

____ ______ 1

1)(2)(2)()( zz

n

kk

QPC PBQ

n

k ===

)()()( 00100

= minus nn zzczzcc

zzc

zf

Observăm că

(5) 0)()(lim0

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+ intint

rarr

=minus=PBQPAQR

cdzzfcdzzf ππ 110

)()(lim )

0rarrR

int sumsum ==

==

+=C

az

m

jzz

p

kjK

zrezfizfrezidzzf11

)()(2)( ππ

_____1 pkzk =

_____1 mjj =α

=1 )1(z zz

dzI

00 minus==

rarr= zzfzrezf

zz şi 1)]()1[()( lim

11 =minus=

rarr= zfzzrezf

zz

75

θ

θθ

1f 2f

)( 00 zM )(zM

0θ şi θ

________

0MM

22

21 )(

θθ

ρρii

0M

1f 2f

76

(2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=sdot=sdotminus=

=sdotminus=sdot=

+

)()(

122)2(

2

222)2(

1

zfeezf

zfeezfii

ii

θπθ

ρρ

1f 2f

)(1 zf )(2 zf

n

z +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

infinrarr

we z =

77

αzzf =)(

(11) 2

cos2

siniziziziz eez

ieez

minusminus +=

minus=

(12)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+minus++minus=

+minus

minus++minus=minus

+

)2(

)1(2

1cos

)12(

)1(3

sin

22

121

3

nzzz

sinzzzz

nn

(13) 111

cossin

2

+minus

== iz

iz

ee

izztgz

izArc minusplusmn=

78

iz minusplusmn=

izArc minusplusmn=

(19) ⎩⎨⎧

minus++

=zk

zkzArc

arcsin)12(arcsin2

sinππ

izzizie iw plusmnne

+minus

= 2 deci ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+minus

=zizi

iArctgz ln

79

(20) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+minus

=zizi

iarctgz ln

21

(21) sh z 2

2

zz ee minus+=

2 2

a) suminfin

=1 )2(nni

n b) suminfin

=1 2cos

nn

in c) suminfin

=13

2

n

in

ne

2 Să se calculeze

int minus+1

0 123 dtitit

b) ))((14

22cos

2)( tgzzfRfychx

yshyxv ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

π

c)

))(( zzfR =

80

2

11⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

minus+

2332)( 2 +minus

+=

ze

C

ziπ

a) dzzz

e

z

int= minus1

1

)1(

b) 22

)1)(1(22

2 yxyxundeCzz

dz

C

+=++minusint

c) 3

zzzdz

C

81

a) intinfin

infinminus +dx

xx

16

2

minus 0cos0

2

c) intinfin

xxxxI

136sin

21 şi intinfin

xxxxI

136cos

22

d) int +

π

θθ2

02)cos45(

d

e) int isingt+minus

π

θθθ2

02 1

cos21cos nad

aan N

531 itgz minus

82

CAPITOLUL III

FUNCŢII SPECIALE

(fmfn)= ⎩⎨⎧

=gtne

=intΩ nmC

nmdxxfxf

nnm 0

0)()(

)(xfn Nnisin

Nkk

k

fxf

isin⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

2

xnlxn

lx

=ne

=intminus nml

nmdxxfxf m

l

ln

0)()( )(xfk

llxn

n

l

llxn dx π

ππ

llxn

n

l

llxn dx π

ππ

83

( ) ldx lll

xnl

llxn =+= minus

minusint ππ 2

212 cos1cos

llxn

l

llxn =minus= minus

minusint ππ

dxmnmndx lx

l

llx

lxm

l

llxn ππππ etc

(2) 2

2

lxn

lx

lllllllππππππ

(4) 1

1

2cos1

2sin1

1

πππππππ

)(xf k Nkisin

Ω

))()()(( xfxpxf nm =⎩⎨⎧

=gtne

=intΩ nmC

nmdxxfxfxp

nnm 0

0)()()(

Exemplu

n

nx

84

)(0)()())()(( 2

0

mx

n =ne== intinfin

minusminus

xn e

nxL

1)( = )( xn

n

(1) intinfin

minusminus=Γ0

intintinfin

11

0

1)( dtetdtetz tztz

01

11

xt

a

iyxt

a

zt

a

zt

00111

11 gtgt

xadttdtte

a

xx

a

zt

0

1 dtet tz

85

minusminus

1

1 dtet tz

11

tb

x

n enu

1minus

1

minusinfin

minusint

1

)1( +Γ z = )()( 1

00

0

intint

86

( deci intinfin

minusminus gt=Γ0

zππ

sin

intintinfin

minusinfin minus

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

00

2

221 πduedt

te u

t

(6) intinfin

minusminus=Γ0

122)( dttez zt

0

(8) =)( qpB )()()(

qpqp

int intinfin infin

1212)( 22

0

121212121)(2 sincos)(2sincos4)(2

2

00 πθρ lelege

B(pq)= θθθπ

dqpint minusminus2

0

87

3 Funcţiile Bessel

(2) y(x)=xrsuminfin

=0k

kk xa

ka

Din (2) obţinem

(3)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

minus++=

+=

sum

suminfin

=

minus+

infin

=

minus+

0

2

0

1

)1)((

)(

k

rkk

k

rkk

xrkrkay

xrkay

(4) sumsuminfin

=

infin

=

minus=minus+00

22 ])[(k

kk

k

kk xaxvrka

(5)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

isinminus=minus+

=minus+

=minus

minus 432])[(0])1[(

0)(

222

221

220

kavkra

vra

kk

88

(6) 32100 12531 isin====== + kaaaa k

(7) 321)44( 222

(9) ))(2)(1(2

)1(2

02 nvvvn

aa n

n

n +++minus

=

(10) 210)1(2

)1()1(2

02 isin

++Γ+Γminus

= nnvnva

a n

n

(11) n

n

nv xnvn

xy2

0 2)1()1(

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

(12) n

n

nv

vx

nvnxxI

2

0 2)1()1(

2)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

v

89

(13) n

n

nv

vx

nv1+

minusn

xxI2

0 2)1()(

2)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+minusΓ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

minus

minus nv ne

1gep

(15) n

pn

np

px

npnxxI

2

2)1()1(

2)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++minusΓminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

minus

şi )()1()( xIxI pp

p minus=minus

(16) nvv

xIxIvxN vv

v neminus

= minus sin

)()(cos)(

ππ

(1) )(xH n ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus=22

)1( xdxdxn ee n

n 3210isinn

32

90

2

)( xexu minus=2

2 xxeu minusminus=

( ) [ ])()()1(22)( )1()()1()2( 2

Observăm că H

2

(5) intinfin

infinminus

minus

⎩⎨⎧

=

ne=

nmn

nmdxxHxHe

nnmx

2

0)()(

2

π

I= intinfin

infinminus

minus = π222

ndxen nxn

(7) f(xt)=

)(0 n

txHn

nnsum

infin

=

)(xH n

=partpart fxt

tftf

91

(1) [ nn

n

nn xdxd

nxL )1(

(x2-1)u(n+2)(x)+2xu(n+1)(x)-n(n+1)u(n)(x)=0

n

xdxd )1( 2 minus

21

1)2

minusisinisinminus+

= xx

x ρρρ

ρ

E(M)= RR

12 =M0M

20

V(M)=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

lt=minus+

=1

21

11

121

11

10

2

02

0

rr

xr

rr

xr

R ρρρ

ρρρ

92

(6) [ ] ( ) ( )( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

suminfin

==+minus++=

+minus

minusminusminus

minus

0)(1

)2()2(1)2(1)(

233

253

212

232

222

23

21

2122

12

nxLxx

xxxxf

nnxx ρρρρ

ρρρρρρρ

partpart

+minus fxfx ρρ

ρρ

0)()()()21(01

=

infin

=

minus n

nn

n

⎩⎨⎧

=+ne

=intminus nmn

nmdxxLxL mn )12(2

0)()(

1

`

93

6 Probleme propuse

int= 20

46 cossinπ

xdxxI

intinfin

+=

0 36

2

)1( xdxxI

intinfin

+=

0 8 1 x

dxI

a) xxf =)(

b) 2

1)( xxf minus=

94

CAPITOLUL IV

suminfin

minusinfin=

isin+==k

ω )(~

xff Tω=

sum=

++=n

kkkn kxbkxa

ax

1

0 )sincos(2

)(T (1)

)sincos(2 1

0 kxbkxaa

kk

k ++ suminfin

=

(2)

int intminus minus

==π

π

95

(4) suminfin

=

++=1

0 )sincos(2

)(k

kk kxbkxaa

xf

(5) intminus

=π

ππdxxfao )(1

int intminus minus

==π

π

(6) intminus

=π

ππkxdxxfak cos)(1

(7) intminus

=π

ππkxdxxfbk sin)(1

kk ba 321isink

(8) suminfin

=

++asymp1

0 )sincos(2

)(k

kk kxbkxaa

xf

96

(9) 2

)0()0()( ++minus=

cfcfcS unde

cxcx

ltrarr

=+=minus

)(2

6

0)1(02

02

π=ne

minus== ak

kab

k

kk

este

2

2cos1

cos12

cos)1(124 22

2

12

22

++minus=minus

+= suminfin

=

xxkxk

xk

k ππ

6

121

11 2

222

π=++++

n

97

kxxf sin)(

(1)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

====

intint

intintint

minus

minusminus

ππ

π

ππ

π

ππ

πππ

0

00

cos)(2cos)(1

)(2)(10sin)(1

kxdxxfkxdxxfa

dxxfdxxfakxdxxfb

k

(2) kxaa

xfk

k cos2

)(1

0 suminfin

=

+=

π 0

sin)(2 kxdxxfbk

(4) suminfin

=

=1

sin)(k

k kxbxf

lxn

lx

lx ππππ

98

⎠⎞

⎜⎝⎛

πltf Scriind

⎜⎝⎛

πltf avem

(2) )sincos(2 1

0 ktbktaaltf k

kk ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sum

infin

=π

(3)

dxlxkxf

lb

dxlxkxf

la

dxxfl

dxl

xfdtltfa

l

lk

l

lk

l

int

intintint

minus

minusminusminus

=

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

π

ππππ

π

sin)(1

cos)(1

)(1)(110

(4) )sincos(2

)(1

0

lxkb

lxka

axf k

kk

ππ++= sum

infin

=

π

ππk

xdxkxxdxkxba kkk

2)1(sin2sin0 11

0

1

+

minus

minus==== intint

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minus= sum

infin

=

+

1

sin)1(2k

k

xkk

x ππ

Pentru 21

=x obţinem suma

4

71

51

311 π

=+minus+minus

]l0

99

]0lminus][ llminus

y f(-x) f(x) -l -x 0 x l x

⎩⎨⎧

isinminusisinminus

=]0[)(

]0[)()(

lxxflxxf

xF

(1) lxka

axF

kk

πcos2

)(1

0 suminfin

=

+=

unde

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

intint

intintminus

dxlxkxf

ldx

lxkxF

la

dxxfl

dxxFl

a

ll

lk

ll

l

0

00

cos)(2cos)(1

)(2)(1

ππ 0=kb

100

(3) suminfin

=

+=1

0 cos2

)(k

k lxka

axf π

⎩⎨⎧

=]0[)(

]0[)()(

lxxflxxf

xF

(4) F(x)=lxkb

kk

πsin1

suminfin

=

unde

(5)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

==

int

intminus

dxlxkxf

lb

saudxlxkxF

lba

l

k

l

lkk

0

sin)(2

sin)(10

π

101

(6) lxkbxf

kk

πsin)(1

suminfin

=

⎩⎨⎧

=]10[1

)01[1)(

xxxx

xF

unde

xkbk

k πsin1

suminfin

=

int =minus=1

0

2sin)1(2π

πk

xkxbk

Deci

1-x = sin21

suminfin

=k kxkπ

π

102

(1) ( )lxkb

lxka

axf k

kk

ππ sincos2

)(1

0 ++= suminfin

=

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

==

int

intint

minus

minusminus

dxlxkxf

lb

dxlxkxf

ladxxf

la

l

lk

l

lk

π

sin)(1

cos)(1)(10

(3) )(21sin)(

21cos l

xki

lxk

i

l

xklxk

ilxk

i

l

xk eei

eeππ

πππ

seria (1) devine

(4) f(x)= )(2 22

1

0 lxki

kibkalxki

kibka

kee

infin

=

++ sum

(5) ck= intminus

minusl

l

lxkidxexf

l

π

)(21

şi

minus

l

lxkidxexf

l

π

)(21

(7) 00 )(

21

2cdxxf

la l

l

== intminus

=

minus

infin

=

+00 k

lxki

kk

lxki

k ececππ

sau

(9) f(x)= suminfin

minusinfin=k

lxki

k ecπ

unde

(10) ck = intminus

minusl

l

lxkidxexf

l

π

)(21 kisinZ

103

))(( xnΨ

(1) f(x)= )(1

xc kk

k Ψsuminfin

=

kΨ

(2) kk

b

akkk

b

2)(

(3) ⎩⎨⎧

=ne

=ΨΨnmnm

mm 10

)(

kc

)( kΨ

(4) = )(xH n )()1(22 x

ndx

2xeminus )(2 RLisin

(5) sum xinfin

=

=0

)(k

kkx xHce isinR

104

)(2

xHex

π2)()( 222

kcdxxHecdxxHe kkk

xkk

xx intintinfin

infinminus

minusinfin

infinminus

+minus == de unde

intinfin

infinminus

+minus= dxxHek

c kxx

kk )(21 2

π

int int intinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

+minusminus

1

222

xxk

xx π

suminfin

=

=0

41

2)(

kkkx

kxH

ee

)(2 baLisin

(6) )()(1)()(21

21 xgxfab

dxxgxfb

aab

minusminus

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡minus= intminus

δ

Funcţia

(7) sum=

Ψ=n

kkkn xxS

1

)()( λ

dxxfdxxSxfabb

a

b

a

n

kkknn

2

1

22 )()()()( int int sum=

105

b

ai

n

i

n

jjik

b

a

n

k

b

a

n

k

b

akxkn ΨΨ+Ψ

⎩⎨⎧

22 )( λλλλδ

kΨ

)kΨ

int Ψ=b

(9)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sumsum sum

sum sum sum sum

== =

= = = =

n

kkk

n

k

n

kkkkkk

n

k

n

k

n

k

n

kkkkkkkkn

ccfcc

cfccfab

1

2

1 1

22

1 1 1 1

2222

))((

)(

λλλ

λλλλδ

)(2 baLisin

sum=

Ψn

kkkc

1

(10) sum=

minus=minusn

kkn cfab

1

222 )(δ

(11) 2

1

2 fcn

kksum

=

le

(unde dxffb

=1

2

=1

2

(12) 2

1

2 fcn

nnsum

=

le

106

(13) 2

1

2 fcn

nnsum

=

(14) sin

cos

sin

cos

21 1111

lllll

xkxkxx ππππ

cos)(cos

)( 1|k

l

xkl

lk aldx

lxkxf

lldx

lxfc sdot=== intint

minusminus ππ

lbc kk = si 00 2)(1

22)( alxf

lldx

lxfc

l

0 kk ccc

(15) intsumminus

infin

=

=++l

lnnn dxxf

lba

a)(1)(

22

1

222

0

(16) intsumminus

infin

=

=++π

ππdxxfba

an

nn )(1)(2

2

1

222

0

⎪⎩

⎪⎨⎧

ltle

lt=

πx

xxf

1pentru 0

1pentru 1)(

=12

2sinn n

n şi suminfin

=12

2cosn n

n

Seria Fourier este

(1) suminfin

=

++=1

0 )sincos(2

)(n

nn nxbnxaa

xf

unde

π

0

107

x

y

0 -π -1 1 π

1

Avem intminus=

1

101 dxaπ

de unde rezultă

(3) π2

0 =a

Apoi n

nnxn

1

1=== int

minusminus

adică

(4) n

nan πsin2

=

şi 0cos1sin1 11

1

nnxdxbn ππ

adică

(6) suminfin

=

+=1

cossin21)(n

nxn

nxfππ

(7) dxxfbaa

nn

n )(1)(2

22

1

220 intsum

minus

infin

=

=++π

ππ

sau

(8) intsumminus

infin

=

=+1

112

2

22

1sin42 dxn

nn πππ

de unde

(9) 1sin211

2

=+ suminfin

=n nn

ππ

108

(10) 2

1sin1

2

2 minus=sum

infin

=

πn n

n

=12

2cosn n

n scriem

sumsumsumsuminfin

=

infin

=

infin

=

infin

=

minus=minus

=1

2

12

2

12

2 sin1sin1cosnnnn n

nnn

nn

n

Ştim că 6

1 2

12

π=sum

infin

=n ndeci

21

6cos

1

2

2 minusminus=sum

infin

=

ππn n

n

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

isin

minusisin=

]0(3

]0(1)(

π

x

xxf

b)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

isinminus

isin

=

]32[3

)21(1

]10[

)(

xx

x

xx

xf

c) Rx

xxxf isin

+=

cos45cos)(

24)( ππ

isinminus= xxxf

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

isinminus

isin=

]21(

]10[)(

xx

xxxf

109

)(2

)( πππ

πminusisin= xe

suminfin

= +minus

12 1

)1(n

n

n şi sum

infin

= +12 11

n n

⎪⎩

⎪⎨

⎧

lele

lt=

πxa

axxf

0

1)( a gt0

suminfin

=12

2sinn n

na şi suminfin

=12

2cosn n

na

110

CAPITOLUL V

infinminus

(1) )(21)( )( ττπ

infinminus

+infin

infinminusint int=

l

etFl

tFn

l

minusinfin= minus

(3) sum int+infin

minusinfin= minus

minus=n

l

tin defl

tF ττ τ )()(21)(

111

putem nota intminus

minus=l

l

sum+infin

nnnn uututF ))((

21)( 1ϕπ

int+infin

infinminus

unde

int+infin

infinminus

(4) ⎩⎨⎧

infinminus

+infin

infinminus

+infin

infinminus

+infin

infinminus

τττπ

)(cos)(21)(

au

proprietăţile

intint+infin

infinminus

+infin

infinminus

int int int+infin

infinminus

+infin +infin

infinminus

==0

infinminus

minus=0

)(cos)(1)( τττπ

dtufdutf

112

infinminus

+infin +infin

infinminus

00

τττπ

dufutdudufduuttf

Dacă notăm

int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

sdot=sdot= τττπ

τττπ

avem

intinfin

+=0

(6) intint+infin

infinminus

+infin

τττπ

dufduutt(f

sdotsdot=0 0

dufduuttf

int int+infin

infinminus

+infin

sdot=sdot0

şi

int +infin

infinminus

int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

minus= ττπ

113

Dacă notăm

int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

21)(

πττ

πτ

avem

int+infin

infinminus

(8)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

int

intinfin+

infinminus

minus

+infin

infinminus

minus

dteugtf

dtetfug

iut

)(21)(

π

(8)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

int

intinfin+

infinminus

minus

+infin

infinminus

dteugtf

dtetfug

iut

)(21)(

π

sdot==0 0

τττπ

int+infin

sdot=0

cos)(2)( duutugtfπ

sdot==0 0

τττπ

int+infin

sdot=0

sin)(2)( duutugtfπ

114

(9)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

sdot=

int

intinfin+

+infin

0

cos)(2)(

duutugtf

dtuttfug

π

tf+

+022

)1(sin dt

tutt

(1) intinfin

=0

cos)(2)( utdttfugπ

sau )1(

cos221

)1(cos2)( 22

022 dt

tutdt

tutug intint

infin

infinminus

infin

+=

ππ

infinminus += dt

tutI 22 )1(

=z

uzzh

y

x 0

(Γ)

-R R

D i iz =1

Observăm că

+=C

R

dzzhdtthdzzh )()()(

lim

(2) intint intΓ

infinrarr

infin

infinminus

++

= )(lim)1(

RC

115

int =C

R intΓ

infinrarrrarrrArr=

infinrarr

0)(0)(lim dzzhzzhz

R

Din (2) obţinem

(3) )(2 iirezhI π=

Observăm că

iuiuiuiirezh

izuzizizuzu

izizuzizirezh

iziz

4cossin)(

)(cos)(2)(sinlim

)()(cos)(lim)( 4

2

222

+=rArr

rArr+

+minus+minus=

prime

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus

minus=rarrrarr

sau ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

minus=

minusminus

2cos

2sin

iwiwiwiw eewieew

(4) i

chuushuirezh4

)( +minus=

(5) )(2

ushuchuI minus=π

de unde

(6) )(22

intinfin

+022 )1(

intinfin

+=

022 )1(

cos2)( dttutug

116

dttuttug int

infin

+minus=prime

022 )1(

sin2)(π

infin

+minus=minusminus

022 )1(

sin2)(22

1π

π de unde

(7) uchudttutt

4)1(sin

022

π=

+intinfin

(10)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

sdot=

int

intinfin+

+infin

0

sin)(2)(

duutugtf

dtuttfug

π

int+infin

infinminus

int+infin

infinminus

şi int+infin

infinminus

unde int+infin

infinminus

=01

)(t

tϕ⎩⎨⎧gt

lelt1

10t

t

117

)(cos)(2

0

π unde

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus

==0

)1(2)(2)( tttf πϕ

π pentru

110

gtlelt

tt

int int+infin

sdot+sdot=1

0 1

intminus

sdot=sdotminus=1

02

cos12cos)1(2)(u

udtuttugππ

118

1

(2)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

gt

=

lt

=

01

021

00

)(

t

tη

(3) intinfin

minussdot=0

0s

0ss gt

f(t) 0 t

(4) intinfin

minussdotminus=0

))(()( dtettfpF pt

119

)]([)]([)]([)]([)]()([

tfLktfkLtgLtfLtgtfL

ααα pFtfL =

ττα

βϕτ

α pFdefdtetfpLp

pt

1sinsin 2 +=

ptLt

Atunci 0

1)(

11sin 222

gt+

=+

sdot= ωω

ω

ωω

ωpp

tL

120

int intinfin infin

)()(τ

int intinfin infin

)( )()()(τ

121

])([])([)())((00

minusinfin

minusminus

Exemplu 22)()sin(

ωλωωλ

+minus=sdot

pteL t

00

)(

0

limlim tfftff k

tt

k

tt

gtrarr

gtinfinrarr

intinfin

minus=0

)()( dtetftLf pt

intinfin

minusinfinminus +=0

infinrarr

pt

tetf

minus+minus=0

)0()()(

)0()()()0()()(

)0()()0()()(

)1()1()(

minusminus minus=

minusprimeprime=

minus=

minus=minus=

nnn ftpLftLf

ftfpLtLfftpLftLf

ftpLffppFtLf

122

ωω

+=

pptL

1)sin( 22

2

22 ωω

ωωω

+minus=minus

+sdot=minus

pppptL

ωωω+

=p

tL

0ss gt

ττ dft

int0

)(

ττ dftgt

int=0

)()(

(13) )(1)(0

pFp

dfLt

=int ττ

123

(14) ttfLdqqf

p

)()( =intinfin

dtgfLpGpF0

)()()()( τττ

int minus=lowastt

dtgfgf0

)()( τττ

(16) intinfin+

infinminus

gtminus=ia

ia

sadqqpGqFi

tgtfL 0)()(21)]()([π

0s

(1) intinfin+

infinminus

gt=ia

ia

pt sadpepFi

tf 0)(21)(π

124

)]0()0([21

++minus cfcf

intinfin

minus=0

)()( dtetfpF pt

)(tfateminus

Avem intinfin+

infinminus

= )(

0)(

21)( ττσττσπ

ϕ dteaefdt

intinfin+

infinminus

0)()(

21)( ττστσσπ

ϕ diaefdtiaetate

125

)]0()0([21)(

0)(

21

++minus=intinfin+

infinminus=int

ia

iatatedpefdppte

iϕτττ

π

int+infin

minus sdot=0

)()( ττ defpF pt

)()()(

pBpApF =

npppp 210

(1) sum=

sdot=n

k

tp

k

k kepBpA

tf0

)()(

)(

n

ppa

pFminus

++minus

+minus

= )(2

2

1

0

=j j

n

k jk pp

dpadppF0

)(

minusintΓ kpp

dp pentru jk ne

Pe de altă parte i

ppdp

k

π2=minusint

Γ

deci

2)( jiadppFj

π=intΓ

126

)()(

2)(2)( j

jj pB

pAiprezFidppF

j

ππ =sdot=intΓ

)()(

j

jj pB

pAa =

sum= minus

sdot=n

k kk

k

pppBpA

pF0

1)()(

)(

0

sum= minus

sdotsdot

+sdot=n

k kkk

k

pppRppA

pRApF

1

1)(

)(1)0()0()( şi (1) devine

(2) kp

tpen

k kpRkpA

RAtf

ksdotsum

=+=

1 )(

)(

)0()0()(

)()()(

(3) )(Re)(21)( k

k

ia

pt pzGdpepFi

tf sumint ==infin+

infinminusπ unde

127

(4) )1(

])()[()1(

1)(minus

=sdotminusminus

= kkpp

ptepFkkpp

kkprezG

λλ

kp

0 a x (C) B(a-iR)

)4()1()( 22 +sdot+=

ppppF

)52(21

)()(

2 +=

ppBpA obţinem

)()(61)( 22

31)( tttf minus=

128

1

)1(1

)(0 gt=++++ minus

)2( 1)1(

1

0 )0()0()0( minusminus === n

n yyyyyy

1

)1(1

nn =++++ minusminus

(4)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

minus=

+minus=

+++minus=

++++minus=

0

102

23

12

01)1(

122

11

0(n)

)(

)()(

)()(Ly

yppYLy

ypypYpLy

ypypypYpLy

ypypypypYp

nnnnn

(5) P(p) Y(p) - G(p) = F(p)

129

)( 011

(6)

)()()()(

pPpGpFpY +

=

521)5)(2)(1(

1311)(2

minus+

minus=

=p

Cp

Bp

Appp

pppY

Găsim

1217

35

43

minus=== CBA

Deci 0

1217

35

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++

=+++++

tyyxxyyyxxx

222212

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=+++

++=+++++

pp

pYpppXp

pp

pppXpp

22

2)()2()()22(

11)1()()12(

130

1)1(

11)(1)1(

11)( 2222 +++

+minus=++

+=p

pp

pYpp

pX

21)(

tchtfRRf =rarr+

41)( 2 +

=rarr+ ttfRRf

)4(1)( 22t

tf+

= Din

sin

022 dt

tutt

intinfin

+

intinfin

+=

02 11cos)(

uutdttf u gt0

intinfin

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=minus

gt

isin

=0

4

0

)0(2

cos)(

πππ

ππ

t

utduuf

131

b) 1)0(

15)0(3)0(062044

)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===++

=++

yxyxyyxx

a

1)0(1)0(0)0(

)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

===++=

+minus=

++minus=

zyxzyxzzyxy

zyxx

b

132

CAPITOLUL VI

(11) 0mnxum

21x

u2

nxu

2xu

1xuuxF =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpart

part

partpartpart

partpart

(12) 0n

1i 2ix

u2∆u =sum

= part

part=

(14) ( )uxf∆u2a2t

u2=minus

part

timpul)

133

(15) ( )uxf∆u2atu

=minuspartpart

(16) sum=

=+partpartn

1if(x)u0a

ixu(x)ia

(17) sum=

=sum=

+partpart

partn

1jif

n

1i(x)u0a

ixu(x)ia

jxixu2

(x)ija

(18) 02x1x

u2=

partpartpart

0n

1i1

2

ixu

=sum=

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

(21) ( ) ( )sum=

=n

1ji jξiξxijaξxP

134

Exemple

22

2ξ21ξξP lt⎟

⎠⎞⎜

2ξ21ξ

22ξP ⎟⎠⎞⎜

δ

( ) 2nξ2

2ξ21ξ

2aξP ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++=δ

(22) ( ) ( ) ( ) 0yu

xuuyxd2y

u2yxc

yxu2

yx2b2x

u2yxa =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

135

Notăm

Atunci

δ

(31) fn

1iu(x)0a

ixu(x)

n

1i ia2ix

u2iλ =sum

=sdot+

partpart

sum=

+part

part

=n

1i2iξiλξP

fun

1i(x)0a

ixu(x)ia∆u =sum

=+

partpart

+plusmn

136

fn

1iu(x)0a

ixu(x)ia

k

1i 2ix

u2=sum

=sdot+

partpart

sum=

+part

part

n12jiijaAisin

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

n12jiijbBisin

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

( ) sum=

=n

1ji jξiξijaξP

egalităţile

(32) n1ijξn

1j ijbiη =sum=

=

( ) sum=

=ηn

1i2iηiλQ

(33) unde B⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nλ00

02λ0

001λ

(34) n1ijxn

1j ijbiy =sum=

=

(35) sum=

=+partpart

+sum= part

part n

1ig(y)0b

iyu(y)ib

n

1i 2iy

u2iλ

unde λiisin-1 0 1

137

sum= part

part=sum

= part

partsdot

partpart

=partpart n

1k ikbkyun

1k ixky

kyu

iλix

u

şi

sum= partpart

part=sum

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

partpart

sdotpartpart

=partpart

part n

1lk lykyu2

jlbikbn

1k kyu

jxikbjyix

u2

(36) sum=

=+partpart

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sum=

+partpart

partsum= ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sum=

n

1kg(x)u0a

kyun

1i ik(x)bialyky

u2n

1lk

n

1ji jlbijaikb

n

1ji jlbijaikb AB

⎪⎩

⎪⎨⎧

ne

==sum

= lkdaca0

lkdacakλn

1ji jlbijaikb

( ) ( ) ( ) ( )sum=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus=

n

+partpart

+sumpartpart

part=

n

1i(x)a0a

ixu(x)ia

n

ji jxixu2

(x)ijauDxD

138

şi

(43) Ω0x)0h(xu(x)0x

part

şi

(45) Ω0x)0h(xd

du(x)0x

unde

(46) (sum= part

part=

n

1ji ix0Ncosjx

u(x)ijadυ

du(x) )

du=

part

( )sum= part

part=

partpart

=n

1i 0Nu

ix0Ncosix

udυ

du(x)

(47) ( ) fuDxDtu

=partpart

(48) ( ) fuDxD2t

u2=minus

part

txu

şi

(410) ( )

( ) nRxxαt)u(x0xtx

⎠⎞⎜

⎝⎛

u2

(412) ( )

( ) nRxxαt)u(x0xtx

⎠⎞⎜

⎝⎛

şi

(413) ( )

( ) nRxxβt

t)u(x0xtx

lim isinforall=part

partrarr ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

140

probleme

doilea

141

rarr

i la curba u=u(xt)

2M1Mand

x

u

0 2x1x

1α

2α2M1M

Frarr

2 t )(x

1 t )(rarr F x

intpart

partminus

2x

1xdx2t

u2ρ(x)

partminus

2x

1xdx2t

u2ρ(x) =0

142

1

ixx

2

xu1

1

iα2tg1

12cosα asymp

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+

=+

=

şi

ixxxu

ixx

2

xu1

xu

iα2tg1itgα

iαsin=part

partasymp

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+

partpart

=+

=

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

dxl

0

2

xu1int ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+

ll

0dxdx

l

0

2

⎜⎝⎛partpart

+

int =part

partminus

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=partpart

minus=part

part 2x

1x0dx2t

u2ρ(x)

1xxxu

2xxxuF

143

intpart

part=

=partpart

minus=part

part 2x

1xdx2x

u2

1xxxu

2xxxu

obţinem egalitatea

0dx2x

1x 2t

u2ρ(x)2x

u2F =int

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partminus

part

02t

u2ρ(x)2x

u2F =

part

partminus

part

(53) 2x

u22a2t

u2

part

part=

part

partminus

part

part Rl)(0t)(x02x

t)u(x22a2t

t)u(x2

20 ( ) l)(0x(x)0tt

partϕ==

căldurii

144

( )1xxx

ukτt1xq=part

partminus=

( )2xxx

ukτt2xq=part

partminus=

( ) ( )[ ]int int⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=partpart

minus=part

part=+= 2t

1tdt2t

1t 1xxxu

2xxxukτdtt1xqt2xqQ

sau

int intpart

part=

2x

1x

2t

1tdxdt2x

u2kτQ

1xdx1txu2txucρQ

sau cu

int intpartpart

=2x

1x

2t

1tdxdt

tucρQ σ

145

02x

1x

2t

1tdxdt2x

u2kρ-

tucρ =int int

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partpartpartσ

02x

u2kρ

tucρ =

part

partminus

partpartσ

sau

(54) 2x

u22atu

part

part=

partpart

căldurii

partminus

part

part Rl)(0t)(x02x

t)u(x22at

t)u(x

146

sau

(55) ( ) Ωyx02yu2

2xu2

isinforall=part

part+

part

xu

dNdu

=partpart

+partpart

=

10 ( ) Ωyx02y

y)u(x2

2x

y)u(x2isinforall=

part

part+

part

20 fΩdN

du=

part

147

canonică

(1) ( ) 0)yu

xuuyd(x2y

u2y)c(x

yxu2

y)2b(x2x

u2yxa =

partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

(3) ⎩⎨⎧

==

y)η(xηy)ξ(xξ

148

yxDηξD

( ) ( )( )ηξ2Ψyηξ1Ψx ==

(4) yη

ηu

yξ

ξu

yu

xη

ηu

xξ

ξu

xu

partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

(5) 2x

η2

ηu

2x

ξ2

ξu2

xη

2η

u2

xη

xξ

ξu2

22

xξ

2ξ

u2

2x

u2

part

partsdot

partpart

+⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partsdot

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

part

part+

partpartsdot

partpartpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

sdotpart

part=

part

partη

(6) 2y

η2

ηu

2y

ξ2

ξu

2

yη

2η

u2

yη

yξ

ξu2

22

yξ

2ξ

u2

2y

u2

part

partsdot

partpart

+⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partsdot

partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

part

part+

partpartsdot

partpartpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

sdotpart

part=

part

partη

(7)

yxη2

ηu

yxξ2

ξu

yη

xη

2η

u2

xη

yξ

xη

xξ

ηξu2

yξ

xξ

2ξ

u2

yxu2

partpartpart

sdotpartpart

+

+partpart

partsdot

partpart

+⎪⎩

⎪⎨⎧

partpartsdot

part

part+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

sdotpartpart

part+

partpartsdot

part

part=

partpartpart

(1rsquo) ( ) ( ) ( ) 0)ηu

ξuuD(ξ2η

u2ηξC

ηξu2

ηξ2B2ξ

u2ηξA =

partpart

η+part

part+

partpartpart

+part

part

(8)

( )

yη

yξ

2

yηc

yη

xη2b

2

xηaηξC

cxη

yξ

yη

xξb

yη

xξaηξB

2

yξc

yξ

xξ2b

2

xξaηξA

partpart

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+partpart

partpart

+partpartsdot

partpart

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

149

icircn

dxdy

==

(10) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

2Cyx2

1Cyx1ϕ

ϕ

0dyy2dx

x20dy

y1dx

x1 =

part

part+

part

part=

part

part+

part

part ϕϕϕϕ

y2

x2

2micro

y1

x1

1micro

part

ϕpartpart

ϕpart

minus=

part

ϕpartpart

ϕpart

minus=

(2``)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

part+

part

part+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

part

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

part

part+

part

part+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

part

02

y2c

y2

x22b

2

x2a

02

y1c

y1

x12b

2

x1a

ϕϕϕϕ

150

variabile

(11) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

yx2η

yx1ξ

ϕ

( )[ ]c21b21ay2

y1B ++minus

part

partsdot

part

part= ϕϕϕϕ

ϕϕ

a

2bacy2

y12B minus

sdotpart

partsdot

part

part=

ϕϕ

(12) 0ηu

ξuuηξH

ηξu2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+partpart

part

= unde

micro verifică

(14) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=minus=+minus

=

0dyy

dxx

=partpart

+partpart ϕϕ

151

Deducem uşor că

y

xmicro

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=partpart

+partpart

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

0yx

a

02

yc

yx2b

2

xa

ϕϕ

ϕϕϕϕ

b

(15) 0ηu

ξuuηξP2η

u2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

part

21α +=+=

Avem

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

part

partminus

part

part=

partpartpart

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

=partpart

2βu2

2αu2

41

ηξu2

şiβui

αu

21

ξu

(16) 0βu

αuuβαE2β

u22αu2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

partminus

part

complex conjugate

152

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=minus=ψ

=+=ϕ

( )( ) ( ) ( ) 0ΩδcuΩyx

yxβηyxαξ

ltisin⎩⎨⎧

==

(17) 0ηu

ξuuηξE2η

u2

2ξ

u2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

partminus

part

(1) 02y

u2c

yxu2

2b2x

u2=

part

part+

partpartpart

+part

parta

(2) 0cxdyd2b

2

⎜⎝⎛

prin ecuaţiile

⎪⎩

⎪⎨⎧

=minus

(3) ⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=

x2microyη

x1microyξ

153

obţinem

2η

u222micro

ηξu2

2micro12micro2ξ

u221micro2x

u2

part

part+

partpartpart

+part

part=

part

( ) 2η

u2

2microηξu2

2micro1micro2ξ

u2

1microyxu2

part

partminus

partpartpart

+minuspart

partminus=

partpartpart

2η

u2

ηξu2

22ξ

u2

yu2

part

part+

partpartpart

+part

part=

partpart

0ηξu2

a

2bac4 =partpart

partsdot

minussdot

(4) 0ηξu2=

partpartpart

(4rsquo) 0ηu

ξ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

(5) u=f(ξ)+g(η)

⎩⎨⎧

=minus=

xηbxayξ

154

(6) 02η

u2=

part

2η

u2

ηξu2

2b2ξ

u22b2x

u2

part

part+

partpartpart

minuspart

part=

part

ηξu2

a2ξ

u2ab

yxu2

partpartpart

+part

partminus=

partpartpart

2ξ

u22a2y

u2

part

part=

part

02η

u2a2ξ

u22baca =part

part+

part

part⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

putem scrie

( )ξfηuundede0

ηu

η=

partpart

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

(7) u (x y)= x f (ay - bx)+g (ay - bx)

(8) 02u2

2u2

=part

part+

part

βα

155

(1) 02u2

21

2u2

=part

partminus

part

tcx

infinită

Fig1

perpendicular pe Ox

xM0(x)

M

u

A(0) B(l)

156

2

Tc ρ

altă semnificaţie

(2) ( ) ( ) [ ]0lxg(x)0tt

uxfx0u isin==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

[0l]

iar [0lxg(x)0

]tt

uisin=

=⎟⎠⎞

⎞⎜⎜⎝

⎛gt= 02c

02c

12

xt

=minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dd

x-ct=C1 şi x+ct=C2

⎩⎨⎧

+=minus=

ctxηctxξ

partpartpart

u = ϕ(ξ)+ψ(η)

157

Avem

⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=+

=+

g(x)c1(x)Ψ(x)

f(x)Ψ(x)(x)

ϕ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+ϕx

0xd)(g

c1Ψ(x)(x)

f(x)Ψ(x)(x)

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡intminus=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡intminus=

x

0x)dg(

c1f(x)

21xΨ şi

x

0x)dg(

c1f(x)

21x ττττϕ

de unde deducem

(4)

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

int+

minus+=+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

intminus=

ctx

0x)dg(

c1ct)f(x

21ctxΨ

ct-x

0x)dg(

c1ct)-f(x

21ct-x

ττ

ττϕ

(5) ( ) [ ] int+

minusττ+++minus=

ctx

ctxd)(g

c21)ctx(f)ctx(f

21txu

158

( ) [ ][ ]⎩

⎨⎧

isinisin

=l0Rx0

l0xf(x)x0u

u=

=⎟⎠⎞

0 l

0

Fig2

159

Fig1

(1) [ ] 0tl0x02tu2

2c1

2xu2

geisin=part

partminus

part

(2) ( ) [ ]l0xg(x)0tt

uf(x)x0u isin==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

(3) u(0t)=0 u(lt)=0 t 0 ge

160

(1) u(xt)=X(x)T(t)

(t)TX(x)2c

1T(t)(x)X sdot=sdot

se separă

kT(t)

(t)T2c

1X(x)

(x)X==

şi

(7) X(0)=0 X(l)=0

Condiţiile (7) dau

161

soluţia banală

Rezultă

12nlπnλ isin=

12n2

lnπ

nk isin⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus=

lxnsin(x)nX π

=

0T(t)2

lcn(t)T =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+π

lctnsinnB

adică

(8) 12nlxnsin

lctnsinnB

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

πππ

forma

162

(9) suminfin

==

1nt)(xnut)u(x

suminfin

= part

part=

part

partsuminfin

= part

part=

part

1n 2tnu2

2t

u2

1n2x

nu2

2x

u2

Avem

suminfin

==sum

infin

==

1n lxnπsinnA

1n(x0)nuu(x0)

suminfin

=suminfin

==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

1n lxnπsinnB

lcnπ

1n 0ttu

0ttu

suminfin

==

1nf(x)

lxnsinnA π

suminfin

==

1ng(x)

lxnsinnB

lcnπ π

(10) int=int=l

0dx

lxng(x)sin

cnπ2

nBl

0dx

lxnf(x)sin

l2

nA ππ

nc2l

nω2π

nB2nA π

sdot+

163

(1) 0 22

22

=partpart+

partpart+

partpart

zu

yu

xu

şi

(2) z)yf(x 22

22

=partpart+

partpart+

partpart

zu

yu

xu

de limită

164

S

cu rarrrarrrarrrarr

rlt

rlt === γβα

dydu

dxdu

dndu

++=

maghiară)

exterioare

165

∆u=0 d) uS=f

s

=

s

=

punctiformă

02

2

=partpart

+partpart

zf

yf

xf

Dar

)()( 3

22

2

rfr

xrrfrx

xf

sdotminus

+sdot=partpart

166

şi )()( 3

22

2

rfr

yrrfry

yf

sdotminus

+sdot=partpart

)()( 3

22

2

rfr

zrrfrz

zf

sdotminus

+sdot=partpart

rf sau 2)()(

rrfrf

rc

2

=partpart

+partpart

yf

xf

Dar

)(f)(

3

22

2

3

22

2

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

sdotminus

+sdot=partpart

sdotminus

+sdot=partpart

ρρ

ρρρ

ρρ

ρρρ

yfyy

fşi

xfxx

f

167

x

y

θ ρ y

x O

C Ω

Ω M(xy)

(1) 02

2

=partpart

+partpart

yu

xu

cu condiţia

sdot=sdot=

θρθρ

sincos

yx

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

πθ

ρ

kxyarctg

yx 22

ρ xx=

partpart

ρρ yy=

partpart 2

ρθ yx

minus=partpart

2ρθ xy=

partpart

Obţinem

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

partpart

sdot+partpart

sdot=partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

partpart

sdotminuspartpart

sdot=partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

θρρρθ

θρ

ρ

θρρρθ

θρ

ρ

uxuyy

uy

uyu

uyuxx

ux

uxu

2

168

Calculăm apoi

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

sdotpartpart

=partpart

θρρρuyux

xxu

22

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partsdotpartpart

sdotminuspartpart

sdotpartpartsdot

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

xsdot

partsdotpartpart

+partpartsdot

partpart

partsdotminus

=x

ux

uyuxyu

xuxux

x θθ

ρθρρθρ

ρρ

θρρ

ρρρρθ

ρρ2

2

24

2

partθ şi xpart

(4) ⎩⎨⎧

partpart

sdot+partpartsdot

minus+

partpart

sdot+partsdotpart

partsdotminus

partpart

sdot=partpart

θρρρρ

xu

43

22

2

4

22

32

2

2 22

(5) ⎩⎨⎧

partpart

minus+

partpart

sdot+partsdotpart

partsdot+

partpart

sdot=partpart

θρρρρ

yu

43

22

2

4

22

32

2

2 22

0)(23

222

2

4

22

2

22

2

=partpart

sdot+minus

+partpart

sdot+

+partpart

sdot+

=partpart

+partpart

=∆ρρ

ρθρρρ

uyxuyxuyxyu

xuu

sau

22

2

22

2

011 ρρρθρρ

sdot=partpartsdot+

partpart

(6) 02

2

22 =

partpart

+partpartsdot+

partpart

sdotθρ

ρρ

ρ uuu

(7) uρ=a=f

Obsevăm că

)()( θρρ

TRusdotprime=

partpart şi )()(2

2

θρρ

TRusdotprimeprime=

θTRu primesdot=

partpart şi

)()(2

2

θρθ

TRu

primeprimesdot=part

part

169

(9) )()(

)()(

)()(2

θθ

ρρρ

TT

RR

RR primeprime

minus=prime

sdot+primeprime

sdot

şi

170

(12) 2 1 0 2 == nnnλ

Obţinem succesiv

te=ρ

dtdRe

ddt

dtdR

ddRRe

ρρρ

ρρρ )(1ln şi

tttt edt

RdedtdRe

ddt

dtdRe

dtd

ddR

dd

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠⎞

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot==primeprime

2

)(ρρρρ

ρ de unde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

dtdR

dtRdeR t2

022

2

=minus Rndt

generală sau

nr plusmn=21

ntn

ntnn eDeCR minus+=

(14) nn

n

şi

171

(16i) ( )suminfin

=

lesdot+sdotsdot=0

sincos)(n

(16e) ( )suminfin

=

sincos)(n

nB i)

(17i) ( )suminfin

=

le=sdot+sdotsdot=0

fsincos)(n

şi

(17e) ( )suminfin

=

fsincos)(n

astfel

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sdotsdotsdot=sdot

int

intπ

π

π2

0

2

0

sin)(1

cos)(1

dtnttfBa

dtnttfAa

nn

de unde

(18i) 3 2 1n sin)(1

cos)(1

2

0

2

0 isin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sdotsdotsdotsdot

=

sdotsdotsdotsdot

=

int

intπ

π

dtnttfa

B

dtnttfa

A

nn

şi int sdotsdot=π

π

2

00 )(

21 dttfA

172

01

2

0

2

0

un

n

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

infin

=

ππ

θθρπ

θρ

sau

sum intinfin

=

⎜⎝⎛sdot+=

1

2

00 )(cos)(1)(

n

dttntfa

Auπ

θρπ

θρ

⎤

⎢⎢⎣

⎡minussdot⎟

⎠⎞

infin

=

π

θρπ

θρ2

0 1

)(cos21)(21)( dttn

atfu

n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ltlt 10

aρ

sum sumsuminfin

=

infin

=

minusinfin

=

sdot⎟⎠⎞

⎠⎞

⎜⎝⎛

1 1

)(

1

)(sin)(cosn n

tinnn

n

ea

tna

itna

θρθρθρ

Seria suminfin

=

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1

)(

n

tinn

ea

[ ]22)(

)(

)cos(2)sin()cos(

1 ρθρθρθρ

ρρ

ρ

θθ

θ

=minussdot

=sdotminus

sdot=

minusminusminus

minus

taataita

eaea

eaS ti

ti

deci

[ ]22

⎠⎞

⎜⎝⎛sum

infin

= taatatn

an

n

[ ]int sdot

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+sdotsdot=π

ρθρρθρ

πθρ

2

022 )cos(2

))cos(21)(21)( dt

taatatfu

sdotminus

=π

ρθρπρθρ

2

022

22

)cos(2)(

2)(

taadttfau

173

(21e) 3 2 1 sin)(

cos)(

2

0

2

0 isin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sdotsdotsdot=

int

intlowast

lowast

ndtnttfaB

dtnttfaA

n

π

2

0

)(21 dttfAn

sdotminus

=π

ρθρπρθρ

2

022

22

)cos(2)(

2)(

taadttfau

C

=

( )suminfin

=

sdot+sdotsdot+=1

0 sincos)(n

unde

π

2

0

π

2

0

suminfin

=

2 )cos21ln(cos2n

n qqnnq αα

174

fdndu

a

==

este

dta

πθρ

2

02

22

0)cos(2ln)(

2)(

(1) tu

axu

partpartsdot=

partpart

22

2 1

făcută baraρsdot

=c

(1prime) tu

ayu

xu

partpartsdot=

partpart

+partpart

22

2

2 1

şi respectiv

(1primeprime) tu

azu

yu

xu

partpartsdot=

partpart

+partpart

22

2

2 1

175

ktTtT

axXxX

=prime

sdot=primeprime

)()(1

)()(

2

Obţinem ecuaţiile

şi

2

)(sincos)(22

176

(7) intinfin

sdot=0

)()( λλ dtxutxu

intinfin

=sdot0

)()0( xfdxu λλ

(8) [ ] )(sin)(cos)(0

λλλλλ

infinminus

infin

dxfdxf )(cos)(1)(0

infinminus

infin

infinminus

sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

0

ddfxdfxxf

infinminus

infin

infinminus

λτλττπ

λ dfBdfA

(9) intinfin

infinminus

int intinfin infin

infinminus

)(cos)(1)(22

ττλτλπ

λ dxefdtxu ta

intintinfin

minusinfin

infinminus

)(cos)(1)(22

λτλττπ

λ dxedftxu ta

177

2

224

)(

0

tadxe ta

xta

(10) ττπ

τ

defta

txu tax

sdotsdotsdot=minus

minusinfin

infinminusint

2

4)(

)(2

1)(

tu

au

partpartsdot=∆ 2

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

ζηξ

dddefta

tzyxu tazyx

2

222

4)()()(

3 )(2

1)(

S D

dadivdsna ωrrr

178

lui kzvuj

yvui

xvua

rrrrsdot

partpartsdot+sdot

⎜⎝⎛

partpartsdotminus

partpartsdot

S D

duvvudsnuv

nvu ω

S D

suprafaţa S avem

partpartsdot

SS

dsnuvds

nvu

şi

(4) 0=sdotpartpart

intintS

dsnu

Are loc şi

(5) dsnru

nu

rMu

S

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

11

41)( 0 π

179

considerăm r

( ) dsnu

rnruds

nu

rnruduvvu

SSD

sdot⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

ω 11

11

1

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdotkSSS

dsnu

rds

nruds

nu

rnru 1

11

1

ε

2

111

εminus=

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

=part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

rr

nr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdotintint uudsnru

S

πεπε

ε

4411

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

sdotsdot=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

unuds

nu

rS

επεπε

ε

4411 2

180

unde lowast

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

nupartpart pe Sε

lowastlowast ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdotintint nuuds

nu

rnru

S

εππ 4411

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

tocmai formula (5)

Obsevaţii

v 1ln= şi

dsn

runu

rMu

C

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot= int

1ln1ln

21)( 0 π

181

dsua

Mu 20 41)(π

2

111

arr

nr

ar

minus=part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

=part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

=

obţinem

sdot=SSS

dsua

dsnu

aMu 220 4

14

141)(

πππ

obţinemu(M0)=u

182

10 Probleme propuse

10) 02y

u22

yxu2

32x

u2=

part

part+

partpartpart

+part

part

20) 02y

u2

yxu2

22x

u2=

part

part+

partpartpart

+part

part

30) 0yuy

xux2y

u22yyxu2

2xy2x

u22x =partpart

+partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

40) 0yuy

xux2y

u22y2x

u22x =partpart

minuspartpart

+part

partminus

part

50) 02y

u22x2x

u22y =part

part+

part

60) 02y

u2

yxu2

52x

u26 =

part

part+

partpartpart

minuspart

part

70) 0yuy2y

u222xyxu2

2xy2x

u22y =partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

80) 0yucosx2y

u2x2cos

yxu2

2sinx2x

u2=

partpart

minuspart

partminus

partpartpart

minuspart

part

90) 0xu2x2y

u22y-2x

u224x =partpart

+part

part

183

012

2

22

2

=partpart

minuspartpart

tu

cxu

cu condiţiile

u(0t)=0 u(lt)=0

( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

leleminussdot

lelesdot=

llxllh

lxlh

oxux

2 2

2x0 2

)(

tu

( )( )

( ) ( )l

ctnl

xnn

htxuRn

n πππ

12cos12sin12

18)(0

22

+sdot

+minus

sdot= suminfin

=

012

2

22

2

=partpart

minuspartpart

tu

cxu

cu condiţiile

u(0t)=0 u(lt)=0

şi 00

=partpart

=ttu

( )

( ) ( )l

ctnl

xnn

htxuRn

πππ

12cos12sin12

132)(0

33

+sdot

+sdot= sum

infin

=

+partpart

+partpart 0 02

22

2

tlxxux

xux

tu

cu condiţiile

184

t

ttfcos45

sin)(minus

=

ntl

xtxuRn

n

sin22

1)(1

sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdot= sum

infin

=

xu

xtu

partpartsdot=

partpart 1

2

cu condiţiile

u(xt+2π)=u(xt)

u(0t)=f(t)

t

tfcos45

1)(minus

ntetxuRxn

nn cos

21

32

31)(

22

21

1sdotsdotsdot+=

minusinfin

=sum

a) 022 2

22

2

22 =

partpart

+partpart

partminus

partpart

yuy

yxuxy

xux

b) 023 2

22

2

=partpart

+partpart

part+

partpart

yu

yxu

xu

yxyxxyxyu

yyoxuyyu

=partpart

=

2)2()(2)(

3)( )0(

23

2

185

c) 065 2

22

2

=partpart

+partpart

part+

partpart

yu

yxu

xu

1

)3( )2(23 minus+=

==minusminus

minus

xyxy

xx

eeuexxuexxu

d) 056 2

22

2

=partpart

+partpart

partminus

partpart

yu

yxu

xu

)2cos()3sin()(

yxyxyxu

xxoxyuxxxu

+++=

minus=partpart

+=

e) 02

22

2

22 =

partpartsdotminus

partpartsdot+

partpartsdotminus

partpartsdot

yuy

xux

yuy

xux

yxchxyshyxu

exyuexu x

y

x

+=

sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

= minus

=

)(

)1(1

f) 02 2

22

2

22 =

partpartsdotminus

partpartsdot+

partsdotpartpart

yuy

xux

yuy

yxuxy

xux

186

CAPITOLUL VII

gy2dtdsV ==

de dxgyy

VdsT

b

a

sdotprime+

== int int 21 2

y=y(x)xisin[ab]

187

[ ] [ ]baCydxgyy

yTb

a

2

1 12

isinsdotprime+

= int

suprafaţă

Fig 2

B (S)

A

este dată de

a

188

∆

(fig3)

egalitatea

(3) [ ] intint∆

sdotsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+== dydxyz

xzAzI S

22

1

189

(4) dxyyl

yb

b2

mă

cur

scr

iar

car

exe

sdotprime+= int 1

` dxylb

a

funcţionalei (4)

ie

(5) ldtyxb

a

(6) ( ) dtyxxy21A

b

a

(7) [ ] dxyyxFyIb

a

sdotprime= int )(

190

a

partpart

=D

dydxyu

xuuyxFuI )(

valori icircn R

(10) ( ) ( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

ltminus

ε

εε

)()()()()()(

0

xfxf

xfxfxfxf

nn

I[f0] ge I[f]

191

I[f0] le I[f]

I[f0] ge I[f]

relativ slab

funcţionale

(11) int =sdotsdotb

a

dxxxf 0)()( η

192

Considerăm

Observăm că

demonstrată

int int=sdotsdotb

a

fdxxxfβ

α

η )()(

LEMA 2 (D

(12) intb

a

g

Prin combin

LEMA FU

(13)

funcţia

( )( )⎩

⎨⎧

= 0)()(

)(22

βαβαβα

ηxxxx

x

gisinC[ab] Dacă

a

193

deci

int sdot=x

a

dttfxF )()(

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxxFxg 0)()()( η

a

(1) [ ] dxyyxFyIb

a

sdotprime= int )(

(1) y(a)=y1 y(b)=y2

Funcţia

(3) Y(x) = y(x) + αη(x)

194

[ ] [ ] dxxxyxxyxFb

a

Observăm că

unde yFFy partpart

b

ay

b

a

b

ayy dxxyyxF

unde yx

FFyy

FFy

=primepartsdotpart

part=

primepartpart

22

2

195

C

[ ] int sdotprime=b

a

dxyyxFyI )(

[ ] [ ] dxxQxPyIb

a

unde

Are loc

De aici avem

[ ] int sdotprime=b

a

dxyyxFyI )(

196

Fie funcţionala

(1) ( )int=b

a

)n( dxyyyxF]y[I

[ ] 110 )()( 2)(

condiţiile

]ba[Cy nisin

(2) 1-n 01k )( )( )(2

)()(1

(3) 0Fdxd)1(F

dxdF

dxdF )n(yn

nn

y2

2

a

+++=αimage int

0)0( =image

197

Avem

[ ]dx FηFηFη)0(b

ay

(n)yy

)n(int +++=image

ay

)1k(b

ay

)1k(b

a

bay

)1k(y

)k( dxFdxddxF

de unde

(4) )10k 0(b)η(a)(η n 12k

)()1(

(k)(k)

)()()(

minus===isin

minus=int intn

dxFdxdxdxF

b

a

b

ayk

kk

yk

kk ηη

Deci

dxdF

dxdF)0(

b

ayn

nn

y2

2

yy )n( sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

extremală

η]y[Iδ2

(6) 0)()()( geyF nn yy

(7) 0)()()( leyF nn yy

admisibile

(int +=1

0

2 dxyy2]y[I )

198

0FdxdF

dxdF y2

2

yy =+minus

432

23

1

4

[01] x241224

234

b

an21 int=

Are loc următoarea

Dyyy n21 isin

199

(3) 21k 0

ndxd

kykyFF isin=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

forma

)x(ηk

[ baC2 ] k

=αpartpartimage

Deci

int isin=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot+sdot

b

21k 0)(η

ndxxdxd

k

b

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusint

limită (2)

( ) n12ji yyy

FAji

2

ji isinpartpart

part=

200

Are loc

(4) nnnn

n

AAA

AAAAAA

AAAA

AD

D D

21

22221

11211

n2221

12112111 ===

şi

k DD

Dacă

(b) 00 0 2

1 gtgtgt nDDD

Exemplu

( ) ( )[ ] dxyz2zy]zy[I2

0

22intπ

++=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

isin= 12

z12

y 0z(0)y(0) 2

0C)zy(D 1

⎩⎨⎧

minusminus+=+++=

minus

43x

2x

1

43x

2x

1

201

42002

FFFF

D 2FDzzyz

uşor

RRDI 2 rarrsub

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

=D

dxdyyu

xuuyxF]u[I

(2) ( ) ( )yxfyxu C=

Are loc următoarea

2

yu

xuu

partpart

(3) ( ) ( ) 0FFy

Fx uyuxu =minus

partpart

+partpart unde

yuu

xuu yx part

part=

partpart

=

202

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=imageprime

dxdyyxD D

dxdyyxD

dxdy⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

+part

part

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

partpart

intint =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

yuFxuF

ηyuηF

xuηFyuFyηxuFxη

dxdyyxD

dxFdyFD

dxdyC

uu yX

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

+part

part

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+ int

yuFxuF

)(yuFyηxuFxη η

devine

( ) ( )intint =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

minuspart

part

minus=imageprimeD

dxdyyxyyuF

xxuF

uF 0η0

203

[ ] intint intΩ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

= dxdxdxxu

xu

xuuxxxFuI n21

n21n21 unde nRsubΩ

n12k u unde 0 k1

isinpartpart

==partpart

minus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpartsum

= k

n

k kk xu

uF

x

[ ] intintΩ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

= dxdyyxyu

xuuI 22

22

unde ( ) 43 442

⎭⎬⎫

partyxuDCu

Soluţie

2222

yxyu

xu

yu

xuuyxF +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart este

(1) 0=minus⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

partpart

uFyuF

yxuFx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=partpart

=yuu

xuu yx sau

(1) 02

2

=partpart

+partpart

yu

xu

upart

(2) ⎩⎨⎧

==

θρθρ

sincos

yx

de unde rezultă

(2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

+=

xyarctg

yx

θ

ρ 22

Observăm că ρ

ρ xx=

partpart

ρρ yy=

partpart 2ρ

θ yx

θ xy=

partpart

204

Obţinem

(3)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

partpart

+partpart

=partpart

partpart

+partpart

partpart

=partpart

partpart

minuspartpart

=partpart

partpart

+partpart

partpart

=partpart

θρρρθ

θρ

ρ

θρρρθ

θρ

ρ

uyuyy

uy

uyuşi

uyuxx

ux

uxu

2

şi

(4)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

partpart

minuspartpartminus

+partpart

part+

partpart

=partpart

partpart

+partpartminus

+partpart

partminus

partpart

=partpart

θρρρρ

θρθρρρρ

θρρρρ

θρθρρρρ

uxyuyuxuxyuyyu

şi

uxyuxuyuxyuxxu

43

22

2

4

22

32

2

43

22

2

4

22

32

2

22

(5) 02

2

22 =

partpart

+partpart

θρρ

ρρ uuu

(6) θθθ

4cos41

43

sincos

44 =minus+===part

yxD

yxu

(7) ( ) ( ) ( ) θρθρ TRu =

θρρ

TRuTRu 2

2 =

partpart

θ

2

TRu=

partpart

(8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02 =++ θρθρρθρρ TRTRTR

(9) ( )( )

( )( )

( )( )θθ

ρρρ

TT

RR

2 minus=+

205

(10) ( ) ( ) 0 =+ θλθ TT

şi

(11) ( ) ( ) ( ) 02 =minus+ ρλρρρρ RRR

1A 2B

(12) 321 2 isin= nnnλ

(11) ( ) ( ) ( ) 022 =minus+ ρρρρρ RnRR

206

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

=

minus

dtdR

dtRdeR

şidtdReR

t

2

22

ρ

(11) 022

2

=minus Rndt

Rd

(14) nn

caz contrar

0=nD

infinrarr=minusn

n

origine Deci

u

(15) nnn CR ρρ =)(

sau

n θθρθρ

forma

(17) ( ) 321 sincosA)(1

n isin+= suminfin

=

nnBnun

nn

n θθρθρ

partDuu

Observăm că 4 040

primeşte forma

207

(18) ( ) θρθρ 4cos4

=u

( ) ( )

( )04

2002

)(2 _ gt===u

yuFyuFu

xuyuF

uyuxuFu

xuxuF

D

Observăm că

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

= θθρθρ

θρ

θθρ

θρ

θ 22422

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

233233

cos4sin4

44cossin4

4sin4sin4

44coscos4

24cos1

43sin3cos2sin

4

426262

88

446 minus+=UF

Deci

(19) [ ] intint ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+==

4cos88

446

minD

unde şi ⎩⎨⎧

lelelele

πθρ

2010

D θρρ dddxdy =

⎞⎜⎜⎝

⎛+=minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1

0

2

0

57

557

min 84cos

88D D

⎜⎝⎛ +=minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=minus

1

0

2

0

2

0

1

0

62

0

1

0

685 02

481

814sin

41

681

4884cos

81 π

ππ

de unde

247

minπ

=I

208

an21n21n21 int=

(3) ( ) m12i 2121 isin=int i

b

anni adxyyyyyyxG

(4) [ ] ( )int=b

a

dxyyxFyI

(5) ( )int =b

a

mdxyyxG

Are loc următoarea

(6) ( ) ( ) 21 yby yay ==

aint λ+=

(8) ( ) ( ) ( ) ( )xηαxηαxyxY 221121 ++=αα

209

(9) η1(a) = η1(b) = 0 η2(a) = η2(b) = 0

(10) ( ) mαα 211 =image

( )int =+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage b

ayiyi

0i

1 12i dxGηGηα

(11) ( ) 12i ηGGα iyy

0i

1 int isin⎟⎠⎞

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage b

a

dxxdxd

02

1 ne⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

02

1 ne⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

2

(12)

02

1

01

1

01

2

α

αdαdα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

210

funcţie de α1

( ) int ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=imageprime

b

ay2

01

21y2

01

21 dxFη

dαdαηFη

dαdαη0

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

b

a

b

a 2yy01

21yy dxηF

dxdF

dαdαdxηF

dxdF0

2

dαdα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

de (11) deducem

dxdF0

b

a

b

⎜⎝⎛ minus+⎟

⎠⎞

unde

int

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

minus= b

a2yy

b

a2yy

dxηGdxdG

dxηFdxdF

λ

( ) ( )int ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

b

adxxyGyF

dxd

yGyF 1ηλλ0

demonstrată

211

(13) [ ] ( )int=b

a

dxzzyyxFzyI

(14) ( ) ( ) [ ]ba xxzz xyy isin==

(15) ( ) 0zyxG =

(16) ( ) ( ) ( ) ( ) 2121 z zbzazybyyay ====

Are loc următoarea

(17) [ ] ( )[ ]dx GxλFzyKb

aint +=

7 Probleme propuse

a) [ ] [ ]

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎟⎠⎞

⎤⎢⎣⎡isin=

++minus= int

04

10 4

0

384

1

4

0

22

ππ

π

yyCyD

undedxyyyyI

b) [ ] [ ]

[ ] ( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==isin=

++= int

21

1

0

222

311

310 10

2

eyyCyD

undedxyeyyyI x

212

a) [ ] ( )

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

====isin=

2

1

0

2

yyyyCyD

undedxyyyI

b) [ ] [ ]

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

minus====isin=

primeprime++= int

1 110010 10

2

1

0

222

shyyyyCyD

undedxyyyyI

[ ] RDzyI rarr

a) [ ] [ ]

( ) ( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡isin=

+minus+= int

122

000 2

0

52

1

2

0

22

πππ

π

zyzyCzyD

undedxyzzyzyI

b) [ ] [ ]

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 0100 10

2

1

0

22

⎪⎩

⎪⎨

⎧

====isin=

++= intyzzyCzyD

undedxyzyyI

213

[ ]

( ) ( ) ( ) ⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

le+isin=Ω⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=partpart

=Ωisin=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

Ωintint

420

232

2220

21

22

yxRyxşixyuxxuCuD

undedxdyyu

yu

xu

xuuI

y

a) [ ]

[ ] ( ) ( ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==isin=

== intint6110 10

3 legaturacu

1

0

1

0

2

yyCyD

undedxydxyyI

b) [ ]

[ ] ( ) ( )

00 0

100

2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==isin=

== intintππ

ππ

yyCyD

dxxydxyyI

214

CAPITOLUL VIII

DISTRIBUŢII

fxxx

fDn21

n21

x ααα

α++α+αα

partpartpartpart

=

ffD0x =

(2) ⎩⎨⎧

cap=sdotcup=+

integrala

(3) ( )int nRdxxf

mulţimea nRsubΩ

215

dxxf p

Spaţiul K

Γrarrϕ nR

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

ge

lt=

minusminus

a

aexxa

a

xpentru 0

xpentru 22

2

e-1

y

xa-a

nRsubΩ

xu

ix DD

Spaţiul S

216

Spaţiul ξ

Γrarrϕ nR

YXT rarr

ΓrarrXT

217

distribuţiilor Φ`

( )intΩ

f K dxxxfT

218

originea reperului

( )⎩⎨⎧

gelt

=θ0 x10 x0

x

a

dxx θT

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) dxxdxxxxxTb

aint int+infin

( ) ( ) ( ) 2

-x2

⎜⎝⎛ πδ=⎟

⎠⎞

( ) ( )( ) ( ) ( )Rf R x0a axxf

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ϕ=ϕ

aax δδ

infinrarr)

219

Proprietăţi

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

dxxfxxxf dxxfxfxxf

(1) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )xxfxxf ϕminus=ϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partϕpart

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

partpart

yzxzyxzyxf1zyx

yzxzyxf

2

33

2

3

dxxd

δ=θ

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )xx0xdxxxxxdx

xd00

int

se notează

(4) ( )( ) ( ) ( ) n

R

RX xdttxgtfxgfn

220

şi

( ) ( )⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

gelt

=θgelt

=θ0 xsin x0 x 0

xsinx 0 x10 x0

x

deci

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

geθ

lt=θlowastθ int

x

0

0 xdtt-x sint

0 x0 xsinxx

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )xcos1x0 xxcos1

0x 0xsinxx

0

x

0

x

0

minusθ=⎩⎨⎧

geminuslt

=θlowastθ

221

( )xfn

A

y

x ⎟⎠⎞

⎝n1⎜⎛ O B

M(x)

2n

fn

xo

yo

⎟⎠⎞

⎝minus

n1

⎜⎛

F(o-P)

O

y

x

Fig2

Fig1

( ) ( ) [ ][⎪⎩

⎪⎨⎧

notin

isin=

n1n

1-pentru x 0n

1n1-pentru x 2 Pn

oMr

Rr

infinrarrn

)PO(F minusr

putem scrie

)x(fn

on y)x(flimF rr

δ=infinrarr

on

n

oon

)FFF(F zyx

r

)( 000 zyxA

222

r

concentrate Fr

vectorul Fr

)zyx(A 000

Fr

A(x0y0z0)

O y

z

)()(lim ooonn

δ

(7)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

minusminusminus==

infinrarr

)()(lim

ooozznn

z

oooyynn

y

oooxxnn

x

zzyyxxFFzyxfq

δ

Fie )FF(rr

contrare (fig1)

Mr

dFM sdot= unde FFr

=

α

ouFF rrsdot=

Fr

minus

O

y

A(-a0) B(a0) d

x

Fig1

223

Fr

our Fr

şi Fr

constante dFM sdot=

r

rarr este

x)yx(

sinMuqlim o

0d partδpart

sdotα

sdotminus=rarr

rr

)R(K)yx( 2isinϕ

α= sina2d

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αminusϕminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αϕ=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α+δminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αminusδ=ϕ

rarr

rarrrarr

0sin2d0

sin2d

dM

limu

osin2dxo

sin2dx

dM

limu)q(lim

0d

o

0d

o

0d

r

rr

x)0(

limsinuM)q(lim)4( d

0d

o

0d partξϕpart

sdotα

=ϕrarrrarr

rr

unde ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ααminusisinξ

sin2d

224

)yx(x

)yx(sin

Mux

)00(sin

uM)q(lim)5( oo

0d⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ

partϕpart

sdotα

minus=partϕpart

sdotα

=ϕrarr

rr

r

de unde

x)yx(

sinMuqlim)6(

o

0d partϕpart

sdotα

minus=rarr

rr

dx)yyx(F]y[I)1(b

aint=

32 RD)D(CF subisin

ayy dx)FF()y(II)3(

int ϕ+ϕ=ϕδ=δR

yy dx)FF()y(II)4(

225

2C

)R(Kf isin

forma

⎟⎠⎞

⎠⎞

dxdFF

dxd)F()I( yyyy

0FdxdF)6( yy =minus

ox

]bx()xa[ 00

yyxy FFdxd~F)FyF(

dxd~)7( ==minus

226

Weierstrass

ox

int= minus11

22 dxyx]y[I)9(

]11[Cy 1 minusisin

B(11) Brsquo

Arsquo A(-1-1)

O

y

x

022 ge= yxF 0]y[I ge 0]y[I =

]11[C1 minus

1C

0)()10( 2 =yxdxd

0yx 2 =

⎩⎨⎧

leminusgt

=minusθ=0x10x1

1)x(2)x(y)11(

0)x(x2yx 22 =δ=

227

0|)yx(0|)yx( oo2

0)yx2(S)F(S 2oyo ==

7 Probleme propuse

|)x|at(a|)x|at(t

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

gt

leleminus

leleminus+

minuslt

=

n1pentrux0

n1x0pentru)nx1(n

0xn1pentru)nx1(n

n1xpentru0

)x(fn

3 Fie distribuţia

0x)()x()x(f 1 gtα

αΓθ

= minusαα

228

22

2

R)tx(ttx

2t

3 isinpartpart

minuspartpart

partminus

partpart

=∆

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

isingeminusminus+

lt= )|(0)]3()([

41

00 RKttxtx

ttxE θθθ

)tx()tx(E δ=∆

229

CAPITOLUL IX

experienţei

evenimentului A

230

(1) sub (15) (23) sub (2345)

B ne Φ

incompatibile

231

A i F Ui

infin

=1isin

şi se aplică b) )

cu A B sub

na

evenimente

proprietăţii

a) m(X) 0 ge

232

b) m( ) = 0 Φ

m = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= kXU

n

k 1)(

1kX

n

kmsum

=

(1) P(X) =)()(

EmXm

∆

2d

∆

2d ∆

2d

∆

233

∆

(∆)

BM

MD

∆

A

x

CD

(∆)

x

d x

αo π

X

234

α0

sinl α = 2l

Rezultă

P(X) =)()(

Emxm =

dl

π2

2) P(E) = 1

P( ) = ) Ni

iUAisin

suminfin

=1(

iiAP

i 1=iA sum

=

n

iiAP

1)(

P(AB)= (A) este

AP

BP

)()(

)()()()(

)()( APBm

BAmBAPBPAm

BAmABP BA ===cap

=

Observăm că

)()()(

)(

)()(

EmAmEm

BAm

AmBAm

cap

=cap adică

)()()(

APBAPBPA

cap=

)()(BP

BAPAPBcap

A

B

E

AcapΒ

236

⎩⎨⎧

sdotsdot

=cap)()()()(

)(APBPBPAP

BAPB

A

satisfac relaţia

)()(

EmBAm

EmBm

EmAm

EmBAm cap

minus+=cup

adică

(2) = n

kP

1(

=U )kA sum sum

=ne

==

k

n

jiji

k

n

k

njik APAAPAP

1 1 1

1 )()1()()(

(3) P( ) = P( K

n

KA

1=cap )()() 1

1

1 21 nA

A APAPAK

n

K

minus

=cap

sdot

237

(4) P( ) = k

n

kA

loc formula

kA 21 nk isin

(5) [ ])(11)(1)(111 k

n

kk

n

kk

n

===

Fie 21 nkAk

sau icircn general

(7) sum==

minusminusgen

kkk

n

knAPAP

11)1()()(I

principii logice

238

turistic de mai sus

X = DCBA III

550)(550355338209509208603)()()()()(

XPDPCPBPAPXP

evenimente ale lui

21 AA )nA

evenimentelor

kA

(8) P(X) = sum sum= =

sdot=capn

k

n

kAkk XPAPXAP

K1 1

)()()(

probabilităţile

)( KA

21)( nkXPKA isin

239

sdot=sdot=cap

(9) sum

=

sdot=

sdot= n

iA

AkAkkX

XP

XPAPXP

XPAPAP

i

KK

1)(

)()()(

cumpărătorului

321 FFF

respectivă

iF

Bayes avem

iA

iF

KA KF

XAXP KAK)( KF

)( KX AP

sum=

sdot== 3

1)()(

)()()(

iAi

AkkXk

XPAP

XPAPAPp

i

K 321isink

240

50105)(20

102)(30

103)( 321 ====== APAPAP

020)(0250)(010)(321

=== XPXPXP AAA

61

1 =p 185

2 =p 95

3 =p

95

185

61

321 sss== sau

183006

1053321 ===

sss

nNC

(1) ( )nNC

βbCα

aCβαnP

241

Avem

(2) ( )nNC

sx

saC2x

2aC1x

1aC

2x1xnP

sdot

=nx

unde

sum=

=s

1kNka şi sum

==

s

1knkx

0912329

94171030C

412C6

18Cp cong

sdotsdotsdot

=sdot

=

sau 91

Fie

44 344 214434421orixnde

AşişiAşiAminus

242

AAAorixde

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

este evident xnC

1702049505157C(5)7P =sdotsdot=

( ) sum=

0xxtxnqxpx

nCnqpt

binominală

(4) ( ) sxsp2x

2p1x1p

kx2x1xn

sx2x1xnP sdot=

unde sum=

=sum=

=ges

1k1kp

s

multinominală

243

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

8

1t

8

7

8

2t

8

6

8

3t

8

5Q(t)

Aşadar

38

12638

7038

244

1iUE neΦ=cap=

= i = P(Ei)

=n

1i1ip

avem

evenimente

(1) sau ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

np2p1pnx2x1x

X n1iipix

X =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

(2) [ ]bax(x)

xX isin⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

245

a1dxxşibax0x ϕϕ

ip =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1654321

X

Deoarece 61

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

np2p1pnx2x1x

X ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

mq2q1qmy2y1y

Y

Definiţii

(3) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sdot

np2p1pnkx2x1kx

Xkk

(4) m1jn1iijp

jyixYX ==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++

Are loc

246

sum=

==sum=

sum=

=n

1i

m

1j ipijpjqijpn

1i

m

1j1ijp

(5) m1jn1iijp

jyixYX ==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ sdotsdot

sum=

=n

1i

m

1j1ijp

F(x)=P(Xltx)

i

i le

obţinem

( ) ( ) sumle

sumle

===ltxix ip

xix ixXPxXP deci

(1) sumle

=xix ipF(x)

247

a) b)

Pi

248

astfel

(3) ( ) ( ) ( )int==ltx

adttxFxXP ϕ

a) b)

P(Xltx)F(x)o

a

φ (x)

P(αltXltβ)

xbo

αa ltxlt β b x

φ(x)

x

x1O x2 xi

P1

P2

Pi

PnOxn x

F(x)

αa xb

β

Pi

P(Xltx)

le

continuă (figb)

F(x )

a) b)

int+infin

xx 2 x 1o

x n

i

1

F(x)o

F(x)

x x

1

249

aleatoare

=n

1i ipixXM

adxxxXM ϕ

nxnp2x2p1x1pXM

+++

+++= Valoarea

Au loc

250

(3) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

isin=+=+

RkXkMkXMYMXMYXM

avem

( ) sum=

=sum=

sum=

+sum=

=sum=

sum=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=+

n

1i jym

1j ijpn

1i ixm

1j ijpn

1i

m

1j jyixijpYXM

( ) ( )sum=

+=sum=

sum=

+sum=

sum=

m

1j jqjym

1i ipixn

1j ijpm

1i jym

1j ijpn

1i ix YMXM

şi

( ) ( ) ( )sum=

sum=

=sdot==n

1i

n

1iXkMipixkipikxkXM

Atunci

( ) ( ) ( )YMXMn

1i jym

1j jpixipn

1i jyixjqm

1j ipn

1i

m

=sum=

sum=

=sdotsdotsdotsum=

=sum=

sum=

sdotsdot=sdot

Observaţie

valori posibile

( ) ( )int+infin

ecuaţia

251

(6) ( )21xF =

ecuaţia

( )int =eM

0 21

dxxϕ

3x0)12(121

xX lele

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+x

( )int =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=+

eM

0 21

eM2eM

121

eM2eM

121

dx12x121

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ipix

X

252

x x=M eo

ϕ( x)

y

a) b)

sdot=n

1i ipkixkM

şi

F

n

i

kik pxM sum

=

=1

(9) k kMkmicro =

x 1 x 2 0

1

bx n-1 x n

xa 0

x

F

253

X

0

ϕ(x )

Y

x

aleatoare

prin definiţie

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ minusminus

xxYsau

ipix

Yϕ

αα

254

Me

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ minus

ip

(2) ( )sum=

int+infin

n

1idxxmxsauipmix ϕ

medii m

variabila

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ minus(x)

2mx2Uϕ

( ) ( )( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus===

2XMXM2UMdef

XDsau2σ

(3) sum=

⎝⎛n

1i ip2

mixD(X)

Atunci

(5) D(X+Y)=D(X)+D(Y)

şi

W=X-M (X)+Y-M (Y)

( ) sum=

sum=

++sum=

sum=

=+sum=

sum=

==+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ n

1i

m

1j jvi2u2jv2

iujqipn

1i

m

1j

2jviujqip

n

1i

m

1j2ijwijpYXD

M (U)=0 M (V)=0 sum=

=sum=

=m

1j1

n

1i ipjq

( ) sum=

sum=

+sum=

++sum=

=+m

1j

n

1i

n

1i

m

1j jvjqiuipm

1j22

jvjqip2iu

n

1i ipjqYXD

( ) ( )( ) ( )sum=

=minus=sdotn

1iXD2k2XkMikxipXkD

256

(7) ( ) ( ) ( )sum=

intinfin+

k

Se observă că

( ) sum=

sum=

=minus=n

1i ipkix

k

1i kMipkmixkm

( )sum=

sdotminussum=

sdotminus=n

1i ipjmjkix

k

0jjkCj1km

Cum avem

1

2101 sum=

isinminus=minus=n

ikjjkMipjk

ixMm

(8) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

++minus+minusminus=

k1Mk1s

1MskMskCs1

21M2kM2

kC1kM1kCkMkm

de diferite ordine

(9) etc 312M1M23M3M3m2

(10) σxy=M[(X-mx) ( Y-my)]

(11) σxy=M (X Y)-M (X) M (Y)

257

V σ=

(1) ( )( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

intinfin+

infinminus

suminfin

==

ekptc

ϕϕ X

Are loc următoarea

(2) ( ) ( )suminfin

==

0kkt

k

kXMkitc

suminfin

==

0kkt

k

kxkiitxe

==

0kktkctc

(3) ( )

0tkdt

tckdki

1kcki

kkM

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

258

ϕ(x) este dată de

2π1xϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )εmXP2εεmxdxx

2

geminusintinfin+

infinminusint

de unde rezultă

(2) ( ) ( ) ( ) ( )2ε

XD1εmXPsau2ε

122k

2

2ε

D(x)==

σ

2k

1kmXPk

( ) ( ) 90983mXP10

Pentru k=4 avem

259

(1)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nCnq

nk10

X

⎜⎝⎛ minus=

+= p1q

baap

( ) 0qnpnnC1nq1p1

( ) ( )sum=

=gen

0k1kxsi0kx ϕϕ

( ) sum=

minus⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=sdotsum

=

minus=n

0kknq

kitpeknCitke

n

0kknqkpk

nCtc

260

deci

(2) ( ) ( )nqitpetc +=

( ) ( ) npii1

0tdttdc

i1XM =

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

sau

(3) M(X)=np

apoi

( ) 0t

2dt

tc2d2i

12XM=⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

unde

( ) ( ) ite2ip1n

qitpen2ite2i2p2n

qitpe1)n(n2dt

c(t)2dsdot

minus++

minus+minus=

M(X2)=n2p2+np-np2

Rezultă

(4) D(X)=npq

(1) ( )( )

222mx

e2π

1x σσ

ϕminusminus

261

( )int+infin

infinminusint

+infin

infinminusint

+infin

2tedeoarece1ππ

1dt2te

de ϕ(x) Are loc

etcσminus

=

Icircntr-adevăr

( ) ( ) intinfin+

minusinfin

minusminus=int

infin+

2)(

e2π

1dxxitxetc σσ

ϕ

mx

( ) intinfin+

minusinfin

2y221

eimte2π

1tc σσ

=intinfin+

infinminusintinfin+

infinminus

minus+int

infin+

infin=

sdotminusdysinty

2y22

1

eidycosty -

2y22

1-edyitye

2y221

e σσσ

( )impara0sintydy

2y22

1

ecostydy0

2y22

1-e2

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=intinfin+

infinminus

minussdotint

infin= σσ

0a4a2b

eaπ

21cosbxdx

0

2axe gtminus

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== tb22

1aσ

262

( ) 2

2t2imt

etcdecisi2

2t2

e2πdyitye2y22

1 σσ

σσminus

=intinfin+

minusinfin

minussdot=

sdotminus

Icircntr-adevăr

( ) ( )[ ] m0tc(t)t2imi1

0tdtdc(t)

i1XM ==minus=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= σ (c(0)=1) şi

( )[ ] 22XM2XMD(X)

undede2m2

0tc(t)

2t2im2

0t2dt

c(t)2d2i

12XM

σ

σσσ

=minus⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

+==⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

esteπσ 2

absciselor

263

finit

( ) ( )( ) ( ) ( ) m0xare0xfsi

2mx2e

2π2mxxfm0xXeMXM

1

==⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ

σ Funcţia

=x

dtmtnxF σ

şi graficul F(X)

1

264

1m0 m-τ x m+τ

12

( )( )

dx222mx

ekmx2π

1km int

infin+

minusinfin

minusminusminus= σ

σ

=minus

σ obţinem

( ) dy2yeky

π2

km intinfin

infinminusminus=

Kσ

21isinp

egalitatea

(1) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

le

=

0xpentru0

0ba0xpentrubx

e1axab1

aΓ1

xϕ

( ) ( )int+infin

infinminus=gtint

265

a=1

a 1ne

0 x

)

( ) ( ) abbΓ(a)

1aΓXM =sdot+

=

ordinul k

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

lt

geintminusminus

sdot=

0xpentru0

0xdtx

0bt

e1atabΓ(a)1

xF

şi are graficul

1

x

0

F(x)

(1) ( ) ( ) ( )

[ ][ ]01xpentru

01xpentru0

1qx11pxqpB

1x isin

⎪⎩

⎪⎨

⎧

notin

ge int+infin

(2) 1)kq1)(pqq)(p(p

1)k1)(pp(pkm

minus+++++minus++

=

266

(3) ( )1)q(p2q)(p

pqXDqp

pM(x)+++

=+

=

1p0x

minus+minus

=

(1) ( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

lt

geminusminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

0xpentru0

0x22ax

e1

2ν

x

2νΓνaν22

1

xϕ

ϕ(x

267

20

ν1)

005

0

010

5 10 15

ν=6

020

015

030ν=2

ν=4

ν=15

25x

ϕ(xν1)

22

2 2

P(λ gtλ )0

λ0 x=λ0

variabilă x=2t

( )int+infin

infinminus= 1dxxϕ

( ) ( ) ( ) αn

nλ1

α

nλ

α1αn1nnαnp

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus⎟

⎠⎞

=

Vom scrie icircncă

(1) ( ) ( ) ( )α

αλα-n

nλ1αn

⎜⎝⎛ minus

+minusminus=

nλ1nlimsi1αn

1αn1nnnlim minus=

minus⎟⎠⎞

asimptotică

(2) ( ) λeα

αλαnP minuscong

268

==minus=minus

0α1λeλeλe

αλ

Proprietăţi

M(X)= ( )suminfin

==sum

infin

=sdot=minus=minus

0αλλeλ-e

1αλ

1-α

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minus=

1iteλetc

( ) ( )suminfin

=

infin

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0α

1iteλe

itλeeλeα

αitλeαeλeα

αλ0α

itαetc

( ) ( ) λ2λ

0t

1iteλeitλe2ite2λ

0t2dt

c(t)2d2XM +=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡minus=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

269

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= t2

1ν

ν

2t1

1

2νΓ

21νΓ

νπ1νtϕ

( ) ( ) 012km00x2ν

νXD0xM =+=minus

==

( )( )( ) ( )2kν4ν2ν

12k31kν2km

=

ϕ

distributia t

Figa

0tx

-5-4-3-2-1 1 2 3 4

010203

5

distributia n(x01)

270

ϕ(x

Fig b

(1) 1εn

n

1k)kM(X

n

1k kXPnlim =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ltsum=minus

sum=

infinrarr

ϕ( )x

o t t -t

)

271

n

1k kXX

( )n

n

1k)kM(X

n

1k kXMXM

sum==

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ sum==

( )nC

2n

Cn2n

n

1k)kD(X

n

1k kXDXD =

sdotlt

sum==

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ sum==

dubla inegalitate

1εn

n

1k)kM(X

n

1k kXP2nε

C1 le

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ltsum=minus

sum=leminus

atunci

(2) 1εpnx

nlim =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ltminusinfinrarr

are loc relaţia

(3) ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=minus

=minusinfinrarr npq

npm2

2mx211

e2π

1xnqxpxnCnlim

σσ

σ

272

condiţii

30 Notacircnd

sum=

=sum=

===n

1kkρ

(n)xρ

n

1k 3kmkρ2kτ(n)2

xτ)kD(X2kτ

(3) ( )

( )0

n3xτ

nxρ

nlim =infinrarr

sum=

=n

1k kXX

k k isin 12hellipn

(1) cov (XY)=M[(X-M(X)) (Y-M(Y))]

(2) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ minussdot

minus==

yτM(Y)Y

(3) yτxτ

xyτ

yτxτX)cov(Y

XYρsdot

=sdot

minussdotminus=

273

ρXY= ρYX= ρ

calculator etc

274

Q(t) = P( z lt t ) ( t gt 0)

q(t) = Qrsquo(t)

Φ(t) = P ( z lt t )=1-P(t) ( t gt 0 )

tt

φ

0

2

0

φ

unde m = M(z)

0t

)min( 0 tzz =

0

Q z

ge

Q (t) = P( lt t ) = z1

)(

0

tttt

pentrupentrutQ

gtle

⎩⎨⎧

şi corespunzător

275

⎩⎨⎧

gtleΦ

=minus=Φ

0)(

)(1)(0

0

tttt

pentrupentrut

tQt

int intinfin

lowast Φ=Φ=0 0

0

)()(t

dttdttm

int minusΦ=0

2

0

2 )(2)(t

mdtttzD

+ hrdquo Avem

P ( BA) = )(

)()(

)(t

httzP

htzPAP

BAPΦ

+Φ=

gt+gt

=cap

tht

Φ+Φ

momentul t + h este

1- )(

)()()(

)(t

httt

htΦ

+ΦminusΦ=

Φ+Φ

P(BA) )()()( hth

tt

sdot=sdotΦΦ

minuscong λ

276

λ(t)

t

0 I II III

trecerea timpului

λminus=ΦΦ

)()(

tt

defectare este

)( tet λminus=Φ

277

1)0(2)()(

=minus= φλφφ t

tt

rezultă 2

)( tet λminus=Φ

14 Probleme propuse

X şi Y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛201070

421⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛30104020

7641

278

f(x) = )4(

12 +xx

279

CAPITOLUL X

1 Să se calculeze

I = dxx

xxint +

minus1

03

3 2

)1()1(

= 1980 =

2x

= 1981 =

3 Fie f(xt) = )

2(

2ttx

eminus

sum+infin

minusinfin=

sdotn

nn txJ )(

214

= 1981 =

1 22

2

uaxu

xtu

=partpart

(2) u(0t) = tcos35

1minus

= 1982 =

2cos211)(

axaxfRRf

+minus=rarr a gt 1

= 1983 =

0coscossin2 2

22

2

=partpart

minuspartpart

partminus

partpart

yux

yxux

xu

2)0( =partpart yxu

=1989 =

215

π2

0 cos453cos dx

xx

=1985 =

RR rarr3ϕ

3Rsub

rrz

zy

yx

xpartpart

+partpart

=nabla

= 1986 =

derivabilă

b) Să se calculeze

I = int=

minus

neminusRZ

zRdz

ze 1

)1(

1

= 1987 =

216

u(xy) =

CC rarr

b) Să se calculeze

I = intinfin

++02222 ))((

sin dxcxbx

axx

unde abc Risin

=1988 =

F(p) = ( )[ ]1)1(1

22 ω+++ pp ω gt 0

pisinZ Se cere

t tteduutfug0

)sin()()( ωω

=0

1)( dt

ttfI

int=2

0

62 cos)(

π

tdttfeI t

= 1989 =

217

( )int

infin

+0n2bxa

Nnisin

( )int

infin

+019932x1

dx

intπ

218

BIBLIOGRAFIE

FLORESCU G

STOICA L

5 DOBRESCU V

rusă) 11 MOCANU PT

HAMBURG P

NEGOESCU N

Bucureşti 1982

239

MICULA G

IONESCU B

15 ŞICLOVAN I

MATEI I POPESCU I

CREŢ F

IMP Petroşani 1988

Timişoara2003

240

coperta
cuprins
cap1
cap2
cap3
cap4
cap5
cap6
cap7
cap8
cap9
cap10
bibliografie

Page 4: Universitatea ,,Constantin Brâncuşi” Tg Jiurefkol.ro/matek/mathbooks/ro.math.wikia.com wiki Fisiere... · = ( , ), ( , )∈ reprezintă un câmp de direcţii, graficul unei soluţii

CAPITOLUL I

Problema Cauchy

4

2xy minus= numită

Dyxyxfdxdy

8

CdyyQdxxPx

x

y

=+int int0 0

)()(

(2) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xyf

dxdy

tdxdtx

dxdy

+=

xdx

ttfdt

=minus)(

variabile separate

1

+

minus=

xyxy

dxdy

dxdttt

minus=++

11

9

(3) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=222

111cybxacybxafy

22

+=+=

vyyuxx

0

11⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=vbuavbuaf

21 =minusne+ babacc

1

2

1

2

1

kbb

aa

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

++=

211

111

)(

ecuaţia devine

1

2

11

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

ckzczfa

dxdz

13

+minusminus+

=yxyxy

vuvu

dudv

minus+

= (omogenă)

ududt

tt

=+minus

211

)2()1(ln12 22 Cyx

10

O ecuaţie de forma

)(int=

minus dxxPCey

)()(int=

minus dxxPexCy

sau )()()(int=dxxP

(5) C)()( 1))(

CdxexQxCdxxP

(6) )()(

1)(

⎥⎦⎤

minusdxexQCey

dxxPdxxP

11

(8) )(1)(11 xQ

yxPy

=z

yy

şi ecuaţia (8)

26 Ecuaţia Riccati

yy p1

liniară Avem 2

0)(1)(1)(2

2 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

zyxQ

zyxP

zzy ppp

zxRyxQyxPy pppp

12

(12) ( ) ( )( ) ( )

dx p pxdp p p p p

ϕ ψϕ ϕ

+ =minus minus

(13) ( )( ) ( ) ( )

(16) ][p )()(

)(ab

pppypx

isin⎩⎨⎧

+minus=minus=

ψψψ

13

(2) )1(00

sau 2

44x

ux

x

xCu544

1 minus=

Icircnlocuind yyu

xCyy

54 4

2

5

1ne=

minusxexCy

xC

)1(1

nn =++++ minusminus

14

(2) 0)()()()( 1)1(

1)(

nn

(4) )1()1(

2)1(

1

21

)(

minusminusminus

=

nn

n

yyy

yyyW

(6) 0)()( 1)1(

1)( =+++ minus

minus yxayxay nnn

15

)1(1

)(0 =++++ minus

2 )(

1)1(

11)(

1)(

111111nn

nn

0)(])()([])()()([ 10)()1(

10111)1(

1)(

nn

0)()()( 1)2(

1)1(

nn

16

(1) )()()()()()( 1)1(

1)(

n =++++= minusminus

(2) 0)()()()()( 1

)1(1

)(0 =++++= minus

n

(5)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++=+++

minusminusminus

)()()()()(

0)()()(

0)()()(0)()()(

0

)1(2

)1(21

)1(1

)2(2

)2(21

)2(1

2211

xaxfxCyxCyxCy

xCyxCyxCy

xCyxCyxCyxCyxCyxCy

nn

nnn

nn

nnn

nn

17

(11) nn yCyCyCy 2211 +++=

)1()1(22

)1(1

)1(

)3()3(22

311

)3(

+++=

nnn

nn

yCyCyCy

)1()1(22

)1(11

)()(22

)(11

nnnnn

)()(

0

)()(22

)(11

)(

xaxfyCyCyCy n

nnnnn ++++=

18

)()(

)(

)1()(021

)1()1(1

)1(1

)1(2

)1(1

1121

xaxf

yyyWyyyyyyyyyyyyyyy

xCn

nn

nk

nnnkk

nkk

knk sdotsdotminus=

minusminus+

minusminus

minusminus+minus

+minus

+

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

xxCxC

xCxC142

0

321

42

21

cu soluţiile

2

1 21 xC minus= 42 2

1x

C = şi apoi 21

11 xCC +=

61

322 x

CC minus=

19

3

42

21

xxCxCy ++= isinx R0

(am renotat ) 221

1 CCCC ==

(1) 0 0 01)1(

1)(

nn

nxrxr n 21

21

0)( 11

10 =++++ minusminus

nnnnrx arararaAe

xrn

20

)(

)( 21)(

112

11

212121

21

nxrrr

xrnn

xrnxrn

xrn

xrxr

xrxrxr

n rrrVe

ererer

eee

yyyW n

n

sdot== +++

minusminusminus

21

mniriririririr

mmm

mmm 2

222111

xkk

xk

(4) sum=

+=m

kkkkk

x xCxCey k

1

)sincos( ββα

pp

21

121

21

)( xPm )( xQm

kp αα +=

]sin)(cos)([21

xp ββα +=

22

h 2cos2sin)( 4321

p ++= minus

4321 R

)1()1(1

dtdye

dxdt

dtdy

dxdyx =

2

22

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

dtdy

dtyde

dtdye

dtde

dxdy

dxd

dxyd ttt deci 2

2

22

dtdy

dtyd

dxydx minus=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= minusminus

dtdy

dtyde

dtde

dxyd

dxd

dxyd tt

2

22

2

3

sau 23 2

2

3

33

dtdy

dtyd

dxydx +minus=

kk

ydp

p

(2) )( 11

1

10t

nnn

n

efybdtdyb

dtydb

minus

23

(3) 0 11

1

0 =++++ minusminus

minus

ybdtdyb

dtydb

dtydb nnn

n

)1(11

)(0 =++++ minus

21

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= x

xy

ln23sin1

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= x

0 ln23sinln

23cos1

21 ne⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= xxCxC

xu

24

(1) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

0)(

)()()(3

)()()(2

)()()(1

pnm

zzzyyyxxxtF

(2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

minusminusminus

)()()(

)1()1()1()(

pnmp

pnmn

pnmm

(3)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

)(

21

2122

2111

nnn

n

yyytfdt

dy

yyytfdt

dy

yyytfdtdy

25

necunoscute

12

32

21

1 minusminus ==== m

m xdt

dxx

dtdxx

dtdx

) ( 1111111

n zzzyyyxxxtfdt

dx

isin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

minus=t

xydtdy

xydtdx

42

R

2

dtxd

dtdx

dtdy

+=

xdtdxx

dtxd

dtdx 422

2

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ sau 062

2

=minusminus xdtdx

dtxd

23

1tt eCeCx minus+=

şi tt eCeCy 2

23

R isin⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=

+=minus

minus

teCeCy

eCeCxtt

tt

4 2

23

1

22

31

26

R isin⎩⎨⎧

=minus=minus

ttyx

txy

sin4

22

1tt

41minusminus= Deci

teCeCy tt sin51

412

22

1

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

minusminus+=

minusminusminus=

minus

teCeCy

tteCeCx

tt

sin51

41

cos5122

22

21

22

21

27

(1) )(

)()( 21212

2

211

1

nn

n

nn xxxPdx

xxxPdx

===

(2)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==

minusminus 1211

2212

1211

)(

)()(

nnn

n

CxxxF

CxxxFCxxxF

(3) nn

nn

n

PPPdxdxdx

Pdx

λλλλλλ

++++++

====

2211

2

1

0

2211

=+++Φ=+++

nn

PPPddxdxdx

λλλλλλ

12

3

31

2

23

1

xxdx

minus=

00332211321

12

3

31

2

23

1 dxxdxxdxxdxdxdxxx

dxxx

dx ++=

++=

minus=

minus

28

Cxxx 223

22

21 =++

0)()()( 212

2121

211 =partpart

++partpart

+partpart

nnnnn x

uxxxPxuxxxP

xuxxxP (1)

)(

)()( 21212

2

211

1

nn

n

nn xxxPdx

xxxPdx

=== (2)

(3) 022

11

=partpart

++partpart

+partpart

nn

dxx

ϕϕϕ

(4) 022

11

=partpart

++partpart

+partpart

nn

Px

ϕϕϕ

29

)( 21 nxxx

022 =partpart

+partpart

minuspartpart

zuy

yuxy

xux

dzxy

dyxdx

=minus

=

Din xy

dyxdx

2ydz

xydy

=minus

⎩⎨⎧

=+

=

23

1

3 Cxyzy

Cxy

este de forma

(1) )()()()( 211212

2121

211 uxxxPxuuxxxP

xuuxxxP

xuuxxxP nn

nnnnn +=

partpart

++partpart

+partpart

30

(2) 12

2

1

1 +

====nn

n

Pdu

Pdx

222 yxuuyuy

xux ++minus=

partpart

+partpart

222 yxuudu

ydy

xdx

++minus==

Avem

222222222 yxuudu

yxuuuyxuduydyxdx

++minus=

++minus++

++

sau

( ) 222222222 yxuudu

uyxuuyxuduydyxdx

++minus=

minus++++

++

de unde du

uyxuduydyxdx

minus=++

++222

0 222 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++Φ uuyx

yx sau ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+++

yxfuuyx 222

13 Probleme propuse

31

00cos

1==minus ) y(

xy tgxy

4 Să

) y(xy-yx

y- 1121 2 ==

x

y ax

yx

yya p ==+++prime 0) 22 ( )0gta 24

cos

1cos

sin2sin) 22

xy

xxxyyb p ==+prime

)y

yxyaprime

+prime= 1

primeprime+=

35

4

)3(

=+

=minus

=minus+minus

=minus+

b + 2)1() yxyy

ţi constan

04500200

)4( =+minus

===minus

yyb) y)( y) y(ya) y

040

03306116

)()(

)(

yf) yye) y

yyyd) yyyy-c) y

32

210665)3()4(

2

xeyyyb) yxxyya) y

=+minusminus

+minus=+minus

x

yycos

1=minusprimeprime

zyxz minus+=prime

)a )()()( 213

3

132

2

321

1

xxxdx

minus=

minus

)b2

32

22

13

3

2

1

xxxx

dxx

dx

++minus==

)c31

3

21

22

32

22

1

22 xxdx

xxdx

xxxdx

==minusminus

221

222 xuyxuyuyu

xuxu

y=minusminus=

partpart

+partpart

=

33

CAPITOLUL II

FUNCŢII COMPLEXE

numerelor complexe

sub

rarr

34

isinyy)0( sub

35

y M(xy) y z

ρ

θ

0 x x

36

(7) )]sin()[cos( 21212

1

2

1 θθθθρρ

minus+minus= izz

Observăm că 2

1

2z1z

z

z= şi arg

2

1

nk

rarr

37

38

Ρ

y )( 0 rz∆

0z r

V 0 x

0z

0V IntV

___

VVV cup=0

VV sup___

VV =hArr

39

CV sub )0( r∆

Cz isin0 CA sub

0z

infin=z

ςO

40

ne

(7) 22

22

2222 1

1

1 yxyx

yxy

yxx

+++

=++

= ςηξ

rarr

__infincup= CC

sub

CD subΓ ∆

0 x

41

2T

1B 1C 2B 2A ( ) 2C 1T 1A

1T 2T

)()()()()()()( 22221111321

capcapcapcap

nzCzisin

zznn=

42

+= limlimlim

nx ny

nz

211

++++=suminfin

=n

nn wwww

( ) definit astfel

suminfin

=1nnw

43

nS

suminfin

=1nnw Sw

nn =sum

infin

=1

nS suminfin

=1nnw

=

infin

=

infin

=

+=1 11 n n

nnn

n viuw Rvu nn isin

Are loc

sum nw

sum nu sum nv

şirurile ( ) şi (

sum nw

nS

nu

sum nv

44

ltftt

=rarr

)(lim0

ttttRe)(lim)(lim

00

=hArr=rarrrarr

şi ltytt

Im)(lim0

=rarr

0 EEt capisin

)()(lim 000

tftfttt

=hArrrarr

(3) 0

0 )()(lim

0 tttftf

tt minusminus

rarr

45

)()()()()()(

00

0

0 tEttt

tytyi

tttxtx

tttftf

isinminusminus

+minusminus

=minusminus de unde

0

tyitxtf prime+=

minus= kknkttdγ

minusminus=n

kkkkd ttff

46

intb

a

dttf )(

(10) )(lim)(0)(

fdttfI dd

b

a

τυ rarr

))((Im))((Re)())((Im

))((RetyItxIfI

tyI

txIddd

d

d ττττ

⎪⎭

⎪⎬⎫

minus

minus deoarece

(11) int intint +=b

a

b

a

b

a

intt

a

df ττ )( F

(10) ba

b

a

47

(1) 0

0 )()(lim

0 zzzfzf

zz minusminus

rarr

)( 0 zf

Dz isin0

)( 00 yx

(2) )()()()( 00000000 yxxvyx

yuyx

yvyx

xu

partpart

minus=partpart

partpart

=partpart

)()()]()([)]()([)()(

00

0000

0

yyixxyxvyxviyxuyxu

zzzfzf

=minusminus(3)

y z z

z 0y 0z 0 x 0x

Din (3) obţinem

(4) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminus

+minusminus

=rarr

0

000

0

0000

)()()()(lim)(

0 xxyxvyxv

ixx

yxuyxuzf

xx

48

(5) )()()(

lim 000

000

0

yxxu

xxyxuyxu

xx partpart

=minusminus

rarr

şi

(6) )()()(

lim 000

000

0

yxxv

xxyxvyxv

xx partpart

=minusminus

rarr

yxxviyx

xuzf

partpart

+partpart

=

0xx = şi 0

yy ⎯rarr⎯

Din (3) obţinem

(8) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus+

minus

minus=

rarr0

000

0

0000

)()()()(1lim)(0 yy

yxvyxvyy

yxuyxui

zfyy

(9) )()()(

lim 000

000

0

yxyu

yyyxuyxu

yy partpart

=minus

minusrarr

şi

(10) )()()(

lim 000

000

0

yxyv

yyyxvyxv

yy partpart

=minus

minusrarr

Din (8) (9) şi (10) găsim (11) )()(1)( 00000

yxyvyx

yu

izf

partpart

+partpartsdot=

unde

isinf

00 =∆=∆ vu 2

2

yx partpart

+partpart

49

yv

xu

partpart

=partpart şi

xv

yu

partpart

minus=partpart

yu

xv

partpart

minus=partpart

xu

yv

partpart

=partpart

dyxudx

yudv

partpart

+partpart

minus=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

yu

yxu

2

=partpart

+partpart

yu

xu Funcţia

(1) dyxudx

yuyxv

AMint part

part+

partpart

minus=)(

D

)( 00 yxA )( 0yxB

int int partpart

+partpart

minus=x

x

y

dttxxudtyt

yuyxv

0 0

)()()( 0

50

int int partpart

minuspartpart

=y

y

x

dtytyudttx

xuyxv

0 0

)()()( 0

dyxudx

yudv

partpart

+partpart

xv

partpart

minus=partpart

xu

yv

partpart

=partpart

(2) dyxvdx

yvyxu

AMint part

partminus

partpart

=)(

yeyzv x sin)( =

yexv

yuye

yv

xu xx sincos minus=

partpart

minus=partpart

=partpart

AM

x

y

51

nezf)( 00 zfw =

α α β β )( 00 zM )( 00 wN 0 x u

0

0)( 0 nezf

(2) sauzf

zzww

zfzzww

zf

zz

zzzz

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minusminus

minusminus

=minusminus

=

rarr

rarrrarr

)(argarglim

lim)(lim)(

0

00

0

00

0

00

52

(3) _______

00

_______

0 NN)(Γ

(4) )()(

0

0)(

0

00

0

rarr

minus

rarr

minus

rarrsdot

∆∆

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

∆∆sdot

∆sdot

∆== i

zz

i

zz

i

zze

sSe

sS

MMs

SMN

eMMMN

zf

deoarece 1lim 0

)( 00

=∆

rarrrarr s

NM

zzMM

şi 1lim 0

)( 00

=∆

rarrrarr S

MN

zzNN

sSzf

zz ∆∆

=rarr 0

lim)( 0

zfAm obţinut

0z)0)(( 0

nezf)( 00 zM

0z 0zTM 0 UN 0

)(Γ

)()( 21 CCDzzM isin000 )( 0)( 0

nezf)( 1Γ )( 2Γ

53

y (z) v (w) 2U 2T 1T 1U ω )( 2C ω )( 2Γ )( 1C )( 1Γ

2α 1α 2β 1β

)( 00 zM )( 00 wN

10TM 20TM

12 ββω minus=

)( 1C )( 2C)( 1Γ )( 2Γ

54

)11(0M2)( zzf = )90( 0=prime= ωω

_____

M

1M kP kM

00 )( MzA = 0 x

_____

AB

55

arbitrar

Arcului _____

(2) sum=

minusminus=n

kkkkd zzaff

11 ))(()(σ

DAB sub_____

rarr____

)()(lim0)(

AB

ddvdzzffI σ

__________

)()()()()()

ABABAB

(5) )()()( fiff ddd σσσ +=

unde

sum=

kkkkkkkkkd yyvxxuf

111

)]()()()([)( ηξηξσ

şi

sum=

kkkkkkkkkd yyuxxvf

111

)]()()()([)( ηξηξσ

56

_____

AB

b

aABddv

0)(σ

şi

intint +=+=rarr

b

aAB

0)(_____

σ

_____ _____

)()(AB BA

dzzfdzzf

AB

3 int int int isin+=_____ _____ _____

_____)()()(

AB AC CB

ABCdzzfdzzfdzzf

4 LMdzzfAB

sdotleint_____

)( unde )(sup_____

zfMABzisin

AB

=C az

dzI

a

y M(z) r θ a

(C) 0 x

57

θθθ diredzeraz

ii ==minus

minus 11

şi

θθ πθθ2

0

2

0

21 ididireer

I ii

(1) int =C

dzzf 0)(

∆ (C) 0 x

58

dxdyyP

xQdyyxQdxyxP

Cintintint∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

=+ )()(

xv

yu

xu

partpart

Green obţinem

intintint∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

minus=minus dxdyyu

xvvdyudx

C

(3) şi

intintint∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

=+ dxdyyv

xuudyvdx

C

∆

yv

xu

partpart

=partpart şi

xv

yu

partpart

dzzf 0)(

∆)( 1C )( 2C

59

_____

AB ____

ABD ∆=

)()()()(__________

minus+CBA

CAB

C

2_____

1

Cum intint =+BAAB

minus=2 2

)()(C C

dzzfdzzf

minus +

=1 2

)()(C C

dzzfdzzf

)( 1C)( 2C )( nC )( 1C )( 2C )( nC

)( 2C )( nC y )( 1C

)( 2C )( nC )( 3c )( kC

∆ 0 (C) x

(6) sum intint=

=n

k CC k

dzzfdzzf1

)()(

60

(1) int minus=

C

dzaz

zfi

af )(21)(π

zfminus

minusminus

=minus

=minus γγ γ

dzaz

afdzaz

afzfdzaz

zfdzaz

zf

C

)()()()()(

πiaz

zf 2)(

61

int intint =leminus

minusle

minusminus

γ γγ

πεε 2)()()()( ds

rdz

azafzf

dzaz

afzf

minusminus

int dzaz

afzf

γ

minusminus

=C

n

k C

dzaz

zfi

dzaz

zfi

afK1

)(21)(

21)(

ππ

(5) int +minus=

Cn

n dzazzf

inaf 1

)(

)()(

2)(π

=C

dzaz

zfi

af )(21)(π

62

=1

)(n

n zf Dz isin0

infin

=10 )(

nn zf

mulţimea

suminfin

=1)(

nn zf

1

)(zf n

Dzzfn

n isinsuminfin

=

)(1

00

gtsuminfin

=n

nn uu

=1

)(n

n zf DA sub

şi

nnn zczf =)( n

n azc )( minusinfin

=1n

nn zc

nn

nn cazc )(

1suminfin

=

minus Caisin

Are loc

suminfin

=1n

nn zc

0ge

63

nnc

nR lim

___1

infinrarr== ω

ω

(1) sau

n

cc

nR 1lim

___1 +

infinrarr== ω

ω

(2) int minus=

C

duzu

ufi

zf )(21)(π

Observăm că

(3) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

minusminus

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

minusminus

++minusminus

+minus

=minus

sdotminus

=minus minus

minus

+

minusminus

auaz

nn

auaz au

azauaz

auaz

auauzu 1111

1111 1

int int int +minus

minus++

minusminus

+minus

= +C C

nC

n

Rduauuf

iazdu

auuf

iazdu

auuf

izf 12 )(

)(2

)()()(

2)(

21)(

πππ

unde

= +

+

Cn

n

n azauauduuf

iazR

)]()[()()(

2)(

1

π

64

int +minus=

Cn

n

auduuf

inaf 1

)(

)()(

2)(π

(6) nn

n

Razn

)()(1

)()()()(

intint sdotminus

sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛le

minussdotminus

minusle

+

C

n

Cn

n

n udrr

Mrau

udufazR

ρρ

πρπ1

2)(

2

1

adică 1+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdot

minusle

n

n rrMrR ρρ

infinrarrn

(7) suminfin

=

minus=0

)(

)()(n

nn

azn

afzf

D 1r u z a 2r )( 2γ 0 v x

minusminus

=21

)(21)(

21)(

γγ ππ zuduuf

izvdvvf

izf

65

(2) n

nn azc

zvdvvf

i sumintinfin

=

minus=minus 0

)()(21

1γπ

unde (3) 210

)()(

21

1

1 isinminus

= int + nav

dvvfi

c nnγπ

⎤⎢⎣

⎡minus

sdot++++minus

=minusminusminus

=minus

minusminusminus

+minusminus

minusminus

2 221

11)(21

)()()(

21)(

21 1

γ γγ πππdu

azuf

iauazduuf

izuduuf

i azau

nazaun

azau

12 lt=minusminus

ρr

azau

minus=

minusminus minus

+

= 22

11

1))((

21

)(1)(

21

γγ ππ nk

n

kk Rduauuf

iazzuduuf

i unde

(5) duufi

R azn

azau

n minus+

21

2γπ

2

zfMz γisin

= obţinem

2

21

2

rrr

MRn

n minus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotle

+

ρρ

sumintinfin

=

minusminus minus=

minus 1)()(

21

2 n

nn azc

uzduuf

i γπ unde

(6) duauufi

c nn

1))((21

2

γπ

66

infin

minusinfin=

minus

minusinfin=

infin

=

nn

nn azcazcazczf

1

0)()()()(

unde (8) ))((

21 Znduauuf

ic n

n

nn

n

nn azcazc )()(

0

1

=

minus

minusinfin=

(9) suminfin

=

subisinminus=0

)()(n

nn DVzazczf

Disin

(11) suminfin

=

++minus

=0

1 )()(

)(n

nnm

m azcaz

caz

czf

67

n

infin

minusinfin=

)()( zQzPzf =

Γ

= dzzfdzzfC

)()(

Γ

= dzzfi

arezf )(21)(π

68

Γ minus= dz

azz

iarezf p)(

)(21)( ϕπ

)1(1)( )1( gtminus

= minus pap

arezf pϕ

)1(1)( minus

=sdotminusminus

= paz

p zfazp

arezf

)()()(

caz (5)

)()()( ah

agarezf =

69

C

dzzf 0)(

ka KΓ

Γ Γ Γ

+++=1 2

)()()()(n

dzzfdzzfdzzfdzzfC

k

isin=intΓ

π

(6) )(2)(1

kC

n

k

afrezidzzfint sum=

= π

70

dzz

IC

zint ++

=1

sin1 π

22

=+yx

funcţiei z

zf z

++

=1

sin1)(

π

11)( 3

3

31

+=

zzz zzzz

zf πππ

1

0sin53

)0(53

1 2210

1 +++++++=⎟⎠⎞

uc

uf m

m

adică

(7) )( 221

zc

czcczf m

1cinfin

71

izfrez

Cz int=infin= )(

21)]([π

(9) 0)]([)(1

=+suminfin

=infin=

kzk zfrezarezf

Lemă (Jordan)

rarr

zfazaz

0=int

rarr

dzzfCR

infinrarr

zfazR

atunci

dzzf

dxxQxP

int+infin

)()(

72

nzzz 21

)(Γ

y )(Γ 2z nz R 2 z 1 z x -R 0 R

(1) int sumintΓ =

=

+

minus

=+n

kzz

R

RK

zrezfidxxQxPdz

zQzP

1

)(2)()(

)()( π

zfzz

avem intΓinfinrarr

= 0)()(lim dz

zQzP

(2) int suminfin

infinminus ===

n

kzz k

zrezfidxxQxP

1

)(2)()( π

θθθ2

0

)cos(sin dR

73

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus=

zz

i1

21cos1

21sin θθ

zint=

=1

1 )(

π

θθ

0 sin45dI

intint== minus+

=sdotminus+

=1

21

12 252

)(51

zz zi izzdzI

izdz

zI

estei

zrezfiz 3

1)(31 =

minus= şi deci

32π

=I

(3) int sum ==

sdot+=C

zzk

n

k

zfrezizfrezidzzf0

)]([)(2)(1

ππ

)(Γ 0z

74

(4) int int sum

===+

____ ______

1

)(2)()(QPC PAQ

n

kzzk k

zrezfidzzfdzzf π

0

____ ______ 1

1)(2)(2)()( zz

n

kk

QPC PBQ

n

k ===

)()()( 00100

= minus nn zzczzcc

zzc

zf

Observăm că

(5) 0)()(lim0

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+ intint

rarr

=minus=PBQPAQR

cdzzfcdzzf ππ 110

)()(lim )

0rarrR

int sumsum ==

==

+=C

az

m

jzz

p

kjK

zrezfizfrezidzzf11

)()(2)( ππ

_____1 pkzk =

_____1 mjj =α

=1 )1(z zz

dzI

00 minus==

rarr= zzfzrezf

zz şi 1)]()1[()( lim

11 =minus=

rarr= zfzzrezf

zz

75

θ

θθ

1f 2f

)( 00 zM )(zM

0θ şi θ

________

0MM

22

21 )(

θθ

ρρii

0M

1f 2f

76

(2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=sdot=sdotminus=

=sdotminus=sdot=

+

)()(

122)2(

2

222)2(

1

zfeezf

zfeezfii

ii

θπθ

ρρ

1f 2f

)(1 zf )(2 zf

n

z +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

infinrarr

we z =

77

αzzf =)(

(11) 2

cos2

siniziziziz eez

ieez

minusminus +=

minus=

(12)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+minus++minus=

+minus

minus++minus=minus

+

)2(

)1(2

1cos

)12(

)1(3

sin

22

121

3

nzzz

sinzzzz

nn

(13) 111

cossin

2

+minus

== iz

iz

ee

izztgz

izArc minusplusmn=

78

iz minusplusmn=

izArc minusplusmn=

(19) ⎩⎨⎧

minus++

=zk

zkzArc

arcsin)12(arcsin2

sinππ

izzizie iw plusmnne

+minus

= 2 deci ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+minus

=zizi

iArctgz ln

79

(20) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+minus

=zizi

iarctgz ln

21

(21) sh z 2

2

zz ee minus+=

2 2

a) suminfin

=1 )2(nni

n b) suminfin

=1 2cos

nn

in c) suminfin

=13

2

n

in

ne

2 Să se calculeze

int minus+1

0 123 dtitit

b) ))((14

22cos

2)( tgzzfRfychx

yshyxv ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

π

c)

))(( zzfR =

80

2

11⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

minus+

2332)( 2 +minus

+=

ze

C

ziπ

a) dzzz

e

z

int= minus1

1

)1(

b) 22

)1)(1(22

2 yxyxundeCzz

dz

C

+=++minusint

c) 3

zzzdz

C

81

a) intinfin

infinminus +dx

xx

16

2

minus 0cos0

2

c) intinfin

xxxxI

136sin

21 şi intinfin

xxxxI

136cos

22

d) int +

π

θθ2

02)cos45(

d

e) int isingt+minus

π

θθθ2

02 1

cos21cos nad

aan N

531 itgz minus

82

CAPITOLUL III

FUNCŢII SPECIALE

(fmfn)= ⎩⎨⎧

=gtne

=intΩ nmC

nmdxxfxf

nnm 0

0)()(

)(xfn Nnisin

Nkk

k

fxf

isin⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

2

xnlxn

lx

=ne

=intminus nml

nmdxxfxf m

l

ln

0)()( )(xfk

llxn

n

l

llxn dx π

ππ

llxn

n

l

llxn dx π

ππ

83

( ) ldx lll

xnl

llxn =+= minus

minusint ππ 2

212 cos1cos

llxn

l

llxn =minus= minus

minusint ππ

dxmnmndx lx

l

llx

lxm

l

llxn ππππ etc

(2) 2

2

lxn

lx

lllllllππππππ

(4) 1

1

2cos1

2sin1

1

πππππππ

)(xf k Nkisin

Ω

))()()(( xfxpxf nm =⎩⎨⎧

=gtne

=intΩ nmC

nmdxxfxfxp

nnm 0

0)()()(

Exemplu

n

nx

84

)(0)()())()(( 2

0

mx

n =ne== intinfin

minusminus

xn e

nxL

1)( = )( xn

n

(1) intinfin

minusminus=Γ0

intintinfin

11

0

1)( dtetdtetz tztz

01

11

xt

a

iyxt

a

zt

a

zt

00111

11 gtgt

xadttdtte

a

xx

a

zt

0

1 dtet tz

85

minusminus

1

1 dtet tz

11

tb

x

n enu

1minus

1

minusinfin

minusint

1

)1( +Γ z = )()( 1

00

0

intint

86

( deci intinfin

minusminus gt=Γ0

zππ

sin

intintinfin

minusinfin minus

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

00

2

221 πduedt

te u

t

(6) intinfin

minusminus=Γ0

122)( dttez zt

0

(8) =)( qpB )()()(

qpqp

int intinfin infin

1212)( 22

0

121212121)(2 sincos)(2sincos4)(2

2

00 πθρ lelege

B(pq)= θθθπ

dqpint minusminus2

0

87

3 Funcţiile Bessel

(2) y(x)=xrsuminfin

=0k

kk xa

ka

Din (2) obţinem

(3)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

minus++=

+=

sum

suminfin

=

minus+

infin

=

minus+

0

2

0

1

)1)((

)(

k

rkk

k

rkk

xrkrkay

xrkay

(4) sumsuminfin

=

infin

=

minus=minus+00

22 ])[(k

kk

k

kk xaxvrka

(5)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

isinminus=minus+

=minus+

=minus

minus 432])[(0])1[(

0)(

222

221

220

kavkra

vra

kk

88

(6) 32100 12531 isin====== + kaaaa k

(7) 321)44( 222

(9) ))(2)(1(2

)1(2

02 nvvvn

aa n

n

n +++minus

=

(10) 210)1(2

)1()1(2

02 isin

++Γ+Γminus

= nnvnva

a n

n

(11) n

n

nv xnvn

xy2

0 2)1()1(

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

(12) n

n

nv

vx

nvnxxI

2

0 2)1()1(

2)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

v

89

(13) n

n

nv

vx

nv1+

minusn

xxI2

0 2)1()(

2)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+minusΓ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

minus

minus nv ne

1gep

(15) n

pn

np

px

npnxxI

2

2)1()1(

2)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++minusΓminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

minus

şi )()1()( xIxI pp

p minus=minus

(16) nvv

xIxIvxN vv

v neminus

= minus sin

)()(cos)(

ππ

(1) )(xH n ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus=22

)1( xdxdxn ee n

n 3210isinn

32

90

2

)( xexu minus=2

2 xxeu minusminus=

( ) [ ])()()1(22)( )1()()1()2( 2

Observăm că H

2

(5) intinfin

infinminus

minus

⎩⎨⎧

=

ne=

nmn

nmdxxHxHe

nnmx

2

0)()(

2

π

I= intinfin

infinminus

minus = π222

ndxen nxn

(7) f(xt)=

)(0 n

txHn

nnsum

infin

=

)(xH n

=partpart fxt

tftf

91

(1) [ nn

n

nn xdxd

nxL )1(

(x2-1)u(n+2)(x)+2xu(n+1)(x)-n(n+1)u(n)(x)=0

n

xdxd )1( 2 minus

21

1)2

minusisinisinminus+

= xx

x ρρρ

ρ

E(M)= RR

12 =M0M

20

V(M)=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

lt=minus+

=1

21

11

121

11

10

2

02

0

rr

xr

rr

xr

R ρρρ

ρρρ

92

(6) [ ] ( ) ( )( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

suminfin

==+minus++=

+minus

minusminusminus

minus

0)(1

)2()2(1)2(1)(

233

253

212

232

222

23

21

2122

12

nxLxx

xxxxf

nnxx ρρρρ

ρρρρρρρ

partpart

+minus fxfx ρρ

ρρ

0)()()()21(01

=

infin

=

minus n

nn

n

⎩⎨⎧

=+ne

=intminus nmn

nmdxxLxL mn )12(2

0)()(

1

`

93

6 Probleme propuse

int= 20

46 cossinπ

xdxxI

intinfin

+=

0 36

2

)1( xdxxI

intinfin

+=

0 8 1 x

dxI

a) xxf =)(

b) 2

1)( xxf minus=

94

CAPITOLUL IV

suminfin

minusinfin=

isin+==k

ω )(~

xff Tω=

sum=

++=n

kkkn kxbkxa

ax

1

0 )sincos(2

)(T (1)

)sincos(2 1

0 kxbkxaa

kk

k ++ suminfin

=

(2)

int intminus minus

==π

π

95

(4) suminfin

=

++=1

0 )sincos(2

)(k

kk kxbkxaa

xf

(5) intminus

=π

ππdxxfao )(1

int intminus minus

==π

π

(6) intminus

=π

ππkxdxxfak cos)(1

(7) intminus

=π

ππkxdxxfbk sin)(1

kk ba 321isink

(8) suminfin

=

++asymp1

0 )sincos(2

)(k

kk kxbkxaa

xf

96

(9) 2

)0()0()( ++minus=

cfcfcS unde

cxcx

ltrarr

=+=minus

)(2

6

0)1(02

02

π=ne

minus== ak

kab

k

kk

este

2

2cos1

cos12

cos)1(124 22

2

12

22

++minus=minus

+= suminfin

=

xxkxk

xk

k ππ

6

121

11 2

222

π=++++

n

97

kxxf sin)(

(1)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

====

intint

intintint

minus

minusminus

ππ

π

ππ

π

ππ

πππ

0

00

cos)(2cos)(1

)(2)(10sin)(1

kxdxxfkxdxxfa

dxxfdxxfakxdxxfb

k

(2) kxaa

xfk

k cos2

)(1

0 suminfin

=

+=

π 0

sin)(2 kxdxxfbk

(4) suminfin

=

=1

sin)(k

k kxbxf

lxn

lx

lx ππππ

98

⎠⎞

⎜⎝⎛

πltf Scriind

⎜⎝⎛

πltf avem

(2) )sincos(2 1

0 ktbktaaltf k

kk ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sum

infin

=π

(3)

dxlxkxf

lb

dxlxkxf

la

dxxfl

dxl

xfdtltfa

l

lk

l

lk

l

int

intintint

minus

minusminusminus

=

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

π

ππππ

π

sin)(1

cos)(1

)(1)(110

(4) )sincos(2

)(1

0

lxkb

lxka

axf k

kk

ππ++= sum

infin

=

π

ππk

xdxkxxdxkxba kkk

2)1(sin2sin0 11

0

1

+

minus

minus==== intint

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minus= sum

infin

=

+

1

sin)1(2k

k

xkk

x ππ

Pentru 21

=x obţinem suma

4

71

51

311 π

=+minus+minus

]l0

99

]0lminus][ llminus

y f(-x) f(x) -l -x 0 x l x

⎩⎨⎧

isinminusisinminus

=]0[)(

]0[)()(

lxxflxxf

xF

(1) lxka

axF

kk

πcos2

)(1

0 suminfin

=

+=

unde

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

intint

intintminus

dxlxkxf

ldx

lxkxF

la

dxxfl

dxxFl

a

ll

lk

ll

l

0

00

cos)(2cos)(1

)(2)(1

ππ 0=kb

100

(3) suminfin

=

+=1

0 cos2

)(k

k lxka

axf π

⎩⎨⎧

=]0[)(

]0[)()(

lxxflxxf

xF

(4) F(x)=lxkb

kk

πsin1

suminfin

=

unde

(5)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

==

int

intminus

dxlxkxf

lb

saudxlxkxF

lba

l

k

l

lkk

0

sin)(2

sin)(10

π

101

(6) lxkbxf

kk

πsin)(1

suminfin

=

⎩⎨⎧

=]10[1

)01[1)(

xxxx

xF

unde

xkbk

k πsin1

suminfin

=

int =minus=1

0

2sin)1(2π

πk

xkxbk

Deci

1-x = sin21

suminfin

=k kxkπ

π

102

(1) ( )lxkb

lxka

axf k

kk

ππ sincos2

)(1

0 ++= suminfin

=

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

==

int

intint

minus

minusminus

dxlxkxf

lb

dxlxkxf

ladxxf

la

l

lk

l

lk

π

sin)(1

cos)(1)(10

(3) )(21sin)(

21cos l

xki

lxk

i

l

xklxk

ilxk

i

l

xk eei

eeππ

πππ

seria (1) devine

(4) f(x)= )(2 22

1

0 lxki

kibkalxki

kibka

kee

infin

=

++ sum

(5) ck= intminus

minusl

l

lxkidxexf

l

π

)(21

şi

minus

l

lxkidxexf

l

π

)(21

(7) 00 )(

21

2cdxxf

la l

l

== intminus

=

minus

infin

=

+00 k

lxki

kk

lxki

k ececππ

sau

(9) f(x)= suminfin

minusinfin=k

lxki

k ecπ

unde

(10) ck = intminus

minusl

l

lxkidxexf

l

π

)(21 kisinZ

103

))(( xnΨ

(1) f(x)= )(1

xc kk

k Ψsuminfin

=

kΨ

(2) kk

b

akkk

b

2)(

(3) ⎩⎨⎧

=ne

=ΨΨnmnm

mm 10

)(

kc

)( kΨ

(4) = )(xH n )()1(22 x

ndx

2xeminus )(2 RLisin

(5) sum xinfin

=

=0

)(k

kkx xHce isinR

104

)(2

xHex

π2)()( 222

kcdxxHecdxxHe kkk

xkk

xx intintinfin

infinminus

minusinfin

infinminus

+minus == de unde

intinfin

infinminus

+minus= dxxHek

c kxx

kk )(21 2

π

int int intinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

+minusminus

1

222

xxk

xx π

suminfin

=

=0

41

2)(

kkkx

kxH

ee

)(2 baLisin

(6) )()(1)()(21

21 xgxfab

dxxgxfb

aab

minusminus

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡minus= intminus

δ

Funcţia

(7) sum=

Ψ=n

kkkn xxS

1

)()( λ

dxxfdxxSxfabb

a

b

a

n

kkknn

2

1

22 )()()()( int int sum=

105

b

ai

n

i

n

jjik

b

a

n

k

b

a

n

k

b

akxkn ΨΨ+Ψ

⎩⎨⎧

22 )( λλλλδ

kΨ

)kΨ

int Ψ=b

(9)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sumsum sum

sum sum sum sum

== =

= = = =

n

kkk

n

k

n

kkkkkk

n

k

n

k

n

k

n

kkkkkkkkn

ccfcc

cfccfab

1

2

1 1

22

1 1 1 1

2222

))((

)(

λλλ

λλλλδ

)(2 baLisin

sum=

Ψn

kkkc

1

(10) sum=

minus=minusn

kkn cfab

1

222 )(δ

(11) 2

1

2 fcn

kksum

=

le

(unde dxffb

=1

2

=1

2

(12) 2

1

2 fcn

nnsum

=

le

106

(13) 2

1

2 fcn

nnsum

=

(14) sin

cos

sin

cos

21 1111

lllll

xkxkxx ππππ

cos)(cos

)( 1|k

l

xkl

lk aldx

lxkxf

lldx

lxfc sdot=== intint

minusminus ππ

lbc kk = si 00 2)(1

22)( alxf

lldx

lxfc

l

0 kk ccc

(15) intsumminus

infin

=

=++l

lnnn dxxf

lba

a)(1)(

22

1

222

0

(16) intsumminus

infin

=

=++π

ππdxxfba

an

nn )(1)(2

2

1

222

0

⎪⎩

⎪⎨⎧

ltle

lt=

πx

xxf

1pentru 0

1pentru 1)(

=12

2sinn n

n şi suminfin

=12

2cosn n

n

Seria Fourier este

(1) suminfin

=

++=1

0 )sincos(2

)(n

nn nxbnxaa

xf

unde

π

0

107

x

y

0 -π -1 1 π

1

Avem intminus=

1

101 dxaπ

de unde rezultă

(3) π2

0 =a

Apoi n

nnxn

1

1=== int

minusminus

adică

(4) n

nan πsin2

=

şi 0cos1sin1 11

1

nnxdxbn ππ

adică

(6) suminfin

=

+=1

cossin21)(n

nxn

nxfππ

(7) dxxfbaa

nn

n )(1)(2

22

1

220 intsum

minus

infin

=

=++π

ππ

sau

(8) intsumminus

infin

=

=+1

112

2

22

1sin42 dxn

nn πππ

de unde

(9) 1sin211

2

=+ suminfin

=n nn

ππ

108

(10) 2

1sin1

2

2 minus=sum

infin

=

πn n

n

=12

2cosn n

n scriem

sumsumsumsuminfin

=

infin

=

infin

=

infin

=

minus=minus

=1

2

12

2

12

2 sin1sin1cosnnnn n

nnn

nn

n

Ştim că 6

1 2

12

π=sum

infin

=n ndeci

21

6cos

1

2

2 minusminus=sum

infin

=

ππn n

n

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

isin

minusisin=

]0(3

]0(1)(

π

x

xxf

b)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

isinminus

isin

=

]32[3

)21(1

]10[

)(

xx

x

xx

xf

c) Rx

xxxf isin

+=

cos45cos)(

24)( ππ

isinminus= xxxf

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

isinminus

isin=

]21(

]10[)(

xx

xxxf

109

)(2

)( πππ

πminusisin= xe

suminfin

= +minus

12 1

)1(n

n

n şi sum

infin

= +12 11

n n

⎪⎩

⎪⎨

⎧

lele

lt=

πxa

axxf

0

1)( a gt0

suminfin

=12

2sinn n

na şi suminfin

=12

2cosn n

na

110

CAPITOLUL V

infinminus

(1) )(21)( )( ττπ

infinminus

+infin

infinminusint int=

l

etFl

tFn

l

minusinfin= minus

(3) sum int+infin

minusinfin= minus

minus=n

l

tin defl

tF ττ τ )()(21)(

111

putem nota intminus

minus=l

l

sum+infin

nnnn uututF ))((

21)( 1ϕπ

int+infin

infinminus

unde

int+infin

infinminus

(4) ⎩⎨⎧

infinminus

+infin

infinminus

+infin

infinminus

+infin

infinminus

τττπ

)(cos)(21)(

au

proprietăţile

intint+infin

infinminus

+infin

infinminus

int int int+infin

infinminus

+infin +infin

infinminus

==0

infinminus

minus=0

)(cos)(1)( τττπ

dtufdutf

112

infinminus

+infin +infin

infinminus

00

τττπ

dufutdudufduuttf

Dacă notăm

int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

sdot=sdot= τττπ

τττπ

avem

intinfin

+=0

(6) intint+infin

infinminus

+infin

τττπ

dufduutt(f

sdotsdot=0 0

dufduuttf

int int+infin

infinminus

+infin

sdot=sdot0

şi

int +infin

infinminus

int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

minus= ττπ

113

Dacă notăm

int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

21)(

πττ

πτ

avem

int+infin

infinminus

(8)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

int

intinfin+

infinminus

minus

+infin

infinminus

minus

dteugtf

dtetfug

iut

)(21)(

π

(8)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

int

intinfin+

infinminus

minus

+infin

infinminus

dteugtf

dtetfug

iut

)(21)(

π

sdot==0 0

τττπ

int+infin

sdot=0

cos)(2)( duutugtfπ

sdot==0 0

τττπ

int+infin

sdot=0

sin)(2)( duutugtfπ

114

(9)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

sdot=

int

intinfin+

+infin

0

cos)(2)(

duutugtf

dtuttfug

π

tf+

+022

)1(sin dt

tutt

(1) intinfin

=0

cos)(2)( utdttfugπ

sau )1(

cos221

)1(cos2)( 22

022 dt

tutdt

tutug intint

infin

infinminus

infin

+=

ππ

infinminus += dt

tutI 22 )1(

=z

uzzh

y

x 0

(Γ)

-R R

D i iz =1

Observăm că

+=C

R

dzzhdtthdzzh )()()(

lim

(2) intint intΓ

infinrarr

infin

infinminus

++

= )(lim)1(

RC

115

int =C

R intΓ

infinrarrrarrrArr=

infinrarr

0)(0)(lim dzzhzzhz

R

Din (2) obţinem

(3) )(2 iirezhI π=

Observăm că

iuiuiuiirezh

izuzizizuzu

izizuzizirezh

iziz

4cossin)(

)(cos)(2)(sinlim

)()(cos)(lim)( 4

2

222

+=rArr

rArr+

+minus+minus=

prime

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus

minus=rarrrarr

sau ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

minus=

minusminus

2cos

2sin

iwiwiwiw eewieew

(4) i

chuushuirezh4

)( +minus=

(5) )(2

ushuchuI minus=π

de unde

(6) )(22

intinfin

+022 )1(

intinfin

+=

022 )1(

cos2)( dttutug

116

dttuttug int

infin

+minus=prime

022 )1(

sin2)(π

infin

+minus=minusminus

022 )1(

sin2)(22

1π

π de unde

(7) uchudttutt

4)1(sin

022

π=

+intinfin

(10)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

sdot=

int

intinfin+

+infin

0

sin)(2)(

duutugtf

dtuttfug

π

int+infin

infinminus

int+infin

infinminus

şi int+infin

infinminus

unde int+infin

infinminus

=01

)(t

tϕ⎩⎨⎧gt

lelt1

10t

t

117

)(cos)(2

0

π unde

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus

==0

)1(2)(2)( tttf πϕ

π pentru

110

gtlelt

tt

int int+infin

sdot+sdot=1

0 1

intminus

sdot=sdotminus=1

02

cos12cos)1(2)(u

udtuttugππ

118

1

(2)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

gt

=

lt

=

01

021

00

)(

t

tη

(3) intinfin

minussdot=0

0s

0ss gt

f(t) 0 t

(4) intinfin

minussdotminus=0

))(()( dtettfpF pt

119

)]([)]([)]([)]([)]()([

tfLktfkLtgLtfLtgtfL

ααα pFtfL =

ττα

βϕτ

α pFdefdtetfpLp

pt

1sinsin 2 +=

ptLt

Atunci 0

1)(

11sin 222

gt+

=+

sdot= ωω

ω

ωω

ωpp

tL

120

int intinfin infin

)()(τ

int intinfin infin

)( )()()(τ

121

])([])([)())((00

minusinfin

minusminus

Exemplu 22)()sin(

ωλωωλ

+minus=sdot

pteL t

00

)(

0

limlim tfftff k

tt

k

tt

gtrarr

gtinfinrarr

intinfin

minus=0

)()( dtetftLf pt

intinfin

minusinfinminus +=0

infinrarr

pt

tetf

minus+minus=0

)0()()(

)0()()()0()()(

)0()()0()()(

)1()1()(

minusminus minus=

minusprimeprime=

minus=

minus=minus=

nnn ftpLftLf

ftfpLtLfftpLftLf

ftpLffppFtLf

122

ωω

+=

pptL

1)sin( 22

2

22 ωω

ωωω

+minus=minus

+sdot=minus

pppptL

ωωω+

=p

tL

0ss gt

ττ dft

int0

)(

ττ dftgt

int=0

)()(

(13) )(1)(0

pFp

dfLt

=int ττ

123

(14) ttfLdqqf

p

)()( =intinfin

dtgfLpGpF0

)()()()( τττ

int minus=lowastt

dtgfgf0

)()( τττ

(16) intinfin+

infinminus

gtminus=ia

ia

sadqqpGqFi

tgtfL 0)()(21)]()([π

0s

(1) intinfin+

infinminus

gt=ia

ia

pt sadpepFi

tf 0)(21)(π

124

)]0()0([21

++minus cfcf

intinfin

minus=0

)()( dtetfpF pt

)(tfateminus

Avem intinfin+

infinminus

= )(

0)(

21)( ττσττσπ

ϕ dteaefdt

intinfin+

infinminus

0)()(

21)( ττστσσπ

ϕ diaefdtiaetate

125

)]0()0([21)(

0)(

21

++minus=intinfin+

infinminus=int

ia

iatatedpefdppte

iϕτττ

π

int+infin

minus sdot=0

)()( ττ defpF pt

)()()(

pBpApF =

npppp 210

(1) sum=

sdot=n

k

tp

k

k kepBpA

tf0

)()(

)(

n

ppa

pFminus

++minus

+minus

= )(2

2

1

0

=j j

n

k jk pp

dpadppF0

)(

minusintΓ kpp

dp pentru jk ne

Pe de altă parte i

ppdp

k

π2=minusint

Γ

deci

2)( jiadppFj

π=intΓ

126

)()(

2)(2)( j

jj pB

pAiprezFidppF

j

ππ =sdot=intΓ

)()(

j

jj pB

pAa =

sum= minus

sdot=n

k kk

k

pppBpA

pF0

1)()(

)(

0

sum= minus

sdotsdot

+sdot=n

k kkk

k

pppRppA

pRApF

1

1)(

)(1)0()0()( şi (1) devine

(2) kp

tpen

k kpRkpA

RAtf

ksdotsum

=+=

1 )(

)(

)0()0()(

)()()(

(3) )(Re)(21)( k

k

ia

pt pzGdpepFi

tf sumint ==infin+

infinminusπ unde

127

(4) )1(

])()[()1(

1)(minus

=sdotminusminus

= kkpp

ptepFkkpp

kkprezG

λλ

kp

0 a x (C) B(a-iR)

)4()1()( 22 +sdot+=

ppppF

)52(21

)()(

2 +=

ppBpA obţinem

)()(61)( 22

31)( tttf minus=

128

1

)1(1

)(0 gt=++++ minus

)2( 1)1(

1

0 )0()0()0( minusminus === n

n yyyyyy

1

)1(1

nn =++++ minusminus

(4)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

minus=

+minus=

+++minus=

++++minus=

0

102

23

12

01)1(

122

11

0(n)

)(

)()(

)()(Ly

yppYLy

ypypYpLy

ypypypYpLy

ypypypypYp

nnnnn

(5) P(p) Y(p) - G(p) = F(p)

129

)( 011

(6)

)()()()(

pPpGpFpY +

=

521)5)(2)(1(

1311)(2

minus+

minus=

=p

Cp

Bp

Appp

pppY

Găsim

1217

35

43

minus=== CBA

Deci 0

1217

35

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++

=+++++

tyyxxyyyxxx

222212

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=+++

++=+++++

pp

pYpppXp

pp

pppXpp

22

2)()2()()22(

11)1()()12(

130

1)1(

11)(1)1(

11)( 2222 +++

+minus=++

+=p

pp

pYpp

pX

21)(

tchtfRRf =rarr+

41)( 2 +

=rarr+ ttfRRf

)4(1)( 22t

tf+

= Din

sin

022 dt

tutt

intinfin

+

intinfin

+=

02 11cos)(

uutdttf u gt0

intinfin

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=minus

gt

isin

=0

4

0

)0(2

cos)(

πππ

ππ

t

utduuf

131

b) 1)0(

15)0(3)0(062044

)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===++

=++

yxyxyyxx

a

1)0(1)0(0)0(

)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

===++=

+minus=

++minus=

zyxzyxzzyxy

zyxx

b

132

CAPITOLUL VI

(11) 0mnxum

21x

u2

nxu

2xu

1xuuxF =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpart

part

partpartpart

partpart

(12) 0n

1i 2ix

u2∆u =sum

= part

part=

(14) ( )uxf∆u2a2t

u2=minus

part

timpul)

133

(15) ( )uxf∆u2atu

=minuspartpart

(16) sum=

=+partpartn

1if(x)u0a

ixu(x)ia

(17) sum=

=sum=

+partpart

partn

1jif

n

1i(x)u0a

ixu(x)ia

jxixu2

(x)ija

(18) 02x1x

u2=

partpartpart

0n

1i1

2

ixu

=sum=

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

(21) ( ) ( )sum=

=n

1ji jξiξxijaξxP

134

Exemple

22

2ξ21ξξP lt⎟

⎠⎞⎜

2ξ21ξ

22ξP ⎟⎠⎞⎜

δ

( ) 2nξ2

2ξ21ξ

2aξP ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++=δ

(22) ( ) ( ) ( ) 0yu

xuuyxd2y

u2yxc

yxu2

yx2b2x

u2yxa =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

135

Notăm

Atunci

δ

(31) fn

1iu(x)0a

ixu(x)

n

1i ia2ix

u2iλ =sum

=sdot+

partpart

sum=

+part

part

=n

1i2iξiλξP

fun

1i(x)0a

ixu(x)ia∆u =sum

=+

partpart

+plusmn

136

fn

1iu(x)0a

ixu(x)ia

k

1i 2ix

u2=sum

=sdot+

partpart

sum=

+part

part

n12jiijaAisin

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

n12jiijbBisin

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

( ) sum=

=n

1ji jξiξijaξP

egalităţile

(32) n1ijξn

1j ijbiη =sum=

=

( ) sum=

=ηn

1i2iηiλQ

(33) unde B⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nλ00

02λ0

001λ

(34) n1ijxn

1j ijbiy =sum=

=

(35) sum=

=+partpart

+sum= part

part n

1ig(y)0b

iyu(y)ib

n

1i 2iy

u2iλ

unde λiisin-1 0 1

137

sum= part

part=sum

= part

partsdot

partpart

=partpart n

1k ikbkyun

1k ixky

kyu

iλix

u

şi

sum= partpart

part=sum

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

partpart

sdotpartpart

=partpart

part n

1lk lykyu2

jlbikbn

1k kyu

jxikbjyix

u2

(36) sum=

=+partpart

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sum=

+partpart

partsum= ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sum=

n

1kg(x)u0a

kyun

1i ik(x)bialyky

u2n

1lk

n

1ji jlbijaikb

n

1ji jlbijaikb AB

⎪⎩

⎪⎨⎧

ne

==sum

= lkdaca0

lkdacakλn

1ji jlbijaikb

( ) ( ) ( ) ( )sum=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus=

n

+partpart

+sumpartpart

part=

n

1i(x)a0a

ixu(x)ia

n

ji jxixu2

(x)ijauDxD

138

şi

(43) Ω0x)0h(xu(x)0x

part

şi

(45) Ω0x)0h(xd

du(x)0x

unde

(46) (sum= part

part=

n

1ji ix0Ncosjx

u(x)ijadυ

du(x) )

du=

part

( )sum= part

part=

partpart

=n

1i 0Nu

ix0Ncosix

udυ

du(x)

(47) ( ) fuDxDtu

=partpart

(48) ( ) fuDxD2t

u2=minus

part

txu

şi

(410) ( )

( ) nRxxαt)u(x0xtx

⎠⎞⎜

⎝⎛

u2

(412) ( )

( ) nRxxαt)u(x0xtx

⎠⎞⎜

⎝⎛

şi

(413) ( )

( ) nRxxβt

t)u(x0xtx

lim isinforall=part

partrarr ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

140

probleme

doilea

141

rarr

i la curba u=u(xt)

2M1Mand

x

u

0 2x1x

1α

2α2M1M

Frarr

2 t )(x

1 t )(rarr F x

intpart

partminus

2x

1xdx2t

u2ρ(x)

partminus

2x

1xdx2t

u2ρ(x) =0

142

1

ixx

2

xu1

1

iα2tg1

12cosα asymp

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+

=+

=

şi

ixxxu

ixx

2

xu1

xu

iα2tg1itgα

iαsin=part

partasymp

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+

partpart

=+

=

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

dxl

0

2

xu1int ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+

ll

0dxdx

l

0

2

⎜⎝⎛partpart

+

int =part

partminus

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=partpart

minus=part

part 2x

1x0dx2t

u2ρ(x)

1xxxu

2xxxuF

143

intpart

part=

=partpart

minus=part

part 2x

1xdx2x

u2

1xxxu

2xxxu

obţinem egalitatea

0dx2x

1x 2t

u2ρ(x)2x

u2F =int

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partminus

part

02t

u2ρ(x)2x

u2F =

part

partminus

part

(53) 2x

u22a2t

u2

part

part=

part

partminus

part

part Rl)(0t)(x02x

t)u(x22a2t

t)u(x2

20 ( ) l)(0x(x)0tt

partϕ==

căldurii

144

( )1xxx

ukτt1xq=part

partminus=

( )2xxx

ukτt2xq=part

partminus=

( ) ( )[ ]int int⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=partpart

minus=part

part=+= 2t

1tdt2t

1t 1xxxu

2xxxukτdtt1xqt2xqQ

sau

int intpart

part=

2x

1x

2t

1tdxdt2x

u2kτQ

1xdx1txu2txucρQ

sau cu

int intpartpart

=2x

1x

2t

1tdxdt

tucρQ σ

145

02x

1x

2t

1tdxdt2x

u2kρ-

tucρ =int int

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partpartpartσ

02x

u2kρ

tucρ =

part

partminus

partpartσ

sau

(54) 2x

u22atu

part

part=

partpart

căldurii

partminus

part

part Rl)(0t)(x02x

t)u(x22at

t)u(x

146

sau

(55) ( ) Ωyx02yu2

2xu2

isinforall=part

part+

part

xu

dNdu

=partpart

+partpart

=

10 ( ) Ωyx02y

y)u(x2

2x

y)u(x2isinforall=

part

part+

part

20 fΩdN

du=

part

147

canonică

(1) ( ) 0)yu

xuuyd(x2y

u2y)c(x

yxu2

y)2b(x2x

u2yxa =

partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

(3) ⎩⎨⎧

==

y)η(xηy)ξ(xξ

148

yxDηξD

( ) ( )( )ηξ2Ψyηξ1Ψx ==

(4) yη

ηu

yξ

ξu

yu

xη

ηu

xξ

ξu

xu

partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

(5) 2x

η2

ηu

2x

ξ2

ξu2

xη

2η

u2

xη

xξ

ξu2

22

xξ

2ξ

u2

2x

u2

part

partsdot

partpart

+⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partsdot

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

part

part+

partpartsdot

partpartpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

sdotpart

part=

part

partη

(6) 2y

η2

ηu

2y

ξ2

ξu

2

yη

2η

u2

yη

yξ

ξu2

22

yξ

2ξ

u2

2y

u2

part

partsdot

partpart

+⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partsdot

partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

part

part+

partpartsdot

partpartpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

sdotpart

part=

part

partη

(7)

yxη2

ηu

yxξ2

ξu

yη

xη

2η

u2

xη

yξ

xη

xξ

ηξu2

yξ

xξ

2ξ

u2

yxu2

partpartpart

sdotpartpart

+

+partpart

partsdot

partpart

+⎪⎩

⎪⎨⎧

partpartsdot

part

part+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

sdotpartpart

part+

partpartsdot

part

part=

partpartpart

(1rsquo) ( ) ( ) ( ) 0)ηu

ξuuD(ξ2η

u2ηξC

ηξu2

ηξ2B2ξ

u2ηξA =

partpart

η+part

part+

partpartpart

+part

part

(8)

( )

yη

yξ

2

yηc

yη

xη2b

2

xηaηξC

cxη

yξ

yη

xξb

yη

xξaηξB

2

yξc

yξ

xξ2b

2

xξaηξA

partpart

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+partpart

partpart

+partpartsdot

partpart

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

149

icircn

dxdy

==

(10) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

2Cyx2

1Cyx1ϕ

ϕ

0dyy2dx

x20dy

y1dx

x1 =

part

part+

part

part=

part

part+

part

part ϕϕϕϕ

y2

x2

2micro

y1

x1

1micro

part

ϕpartpart

ϕpart

minus=

part

ϕpartpart

ϕpart

minus=

(2``)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

part+

part

part+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

part

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

part

part+

part

part+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

part

02

y2c

y2

x22b

2

x2a

02

y1c

y1

x12b

2

x1a

ϕϕϕϕ

150

variabile

(11) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

yx2η

yx1ξ

ϕ

( )[ ]c21b21ay2

y1B ++minus

part

partsdot

part

part= ϕϕϕϕ

ϕϕ

a

2bacy2

y12B minus

sdotpart

partsdot

part

part=

ϕϕ

(12) 0ηu

ξuuηξH

ηξu2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+partpart

part

= unde

micro verifică

(14) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=minus=+minus

=

0dyy

dxx

=partpart

+partpart ϕϕ

151

Deducem uşor că

y

xmicro

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=partpart

+partpart

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

0yx

a

02

yc

yx2b

2

xa

ϕϕ

ϕϕϕϕ

b

(15) 0ηu

ξuuηξP2η

u2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

part

21α +=+=

Avem

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

part

partminus

part

part=

partpartpart

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

=partpart

2βu2

2αu2

41

ηξu2

şiβui

αu

21

ξu

(16) 0βu

αuuβαE2β

u22αu2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

partminus

part

complex conjugate

152

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=minus=ψ

=+=ϕ

( )( ) ( ) ( ) 0ΩδcuΩyx

yxβηyxαξ

ltisin⎩⎨⎧

==

(17) 0ηu

ξuuηξE2η

u2

2ξ

u2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

partminus

part

(1) 02y

u2c

yxu2

2b2x

u2=

part

part+

partpartpart

+part

parta

(2) 0cxdyd2b

2

⎜⎝⎛

prin ecuaţiile

⎪⎩

⎪⎨⎧

=minus

(3) ⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=

x2microyη

x1microyξ

153

obţinem

2η

u222micro

ηξu2

2micro12micro2ξ

u221micro2x

u2

part

part+

partpartpart

+part

part=

part

( ) 2η

u2

2microηξu2

2micro1micro2ξ

u2

1microyxu2

part

partminus

partpartpart

+minuspart

partminus=

partpartpart

2η

u2

ηξu2

22ξ

u2

yu2

part

part+

partpartpart

+part

part=

partpart

0ηξu2

a

2bac4 =partpart

partsdot

minussdot

(4) 0ηξu2=

partpartpart

(4rsquo) 0ηu

ξ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

(5) u=f(ξ)+g(η)

⎩⎨⎧

=minus=

xηbxayξ

154

(6) 02η

u2=

part

2η

u2

ηξu2

2b2ξ

u22b2x

u2

part

part+

partpartpart

minuspart

part=

part

ηξu2

a2ξ

u2ab

yxu2

partpartpart

+part

partminus=

partpartpart

2ξ

u22a2y

u2

part

part=

part

02η

u2a2ξ

u22baca =part

part+

part

part⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

putem scrie

( )ξfηuundede0

ηu

η=

partpart

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

(7) u (x y)= x f (ay - bx)+g (ay - bx)

(8) 02u2

2u2

=part

part+

part

βα

155

(1) 02u2

21

2u2

=part

partminus

part

tcx

infinită

Fig1

perpendicular pe Ox

xM0(x)

M

u

A(0) B(l)

156

2

Tc ρ

altă semnificaţie

(2) ( ) ( ) [ ]0lxg(x)0tt

uxfx0u isin==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

[0l]

iar [0lxg(x)0

]tt

uisin=

=⎟⎠⎞

⎞⎜⎜⎝

⎛gt= 02c

02c

12

xt

=minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dd

x-ct=C1 şi x+ct=C2

⎩⎨⎧

+=minus=

ctxηctxξ

partpartpart

u = ϕ(ξ)+ψ(η)

157

Avem

⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=+

=+

g(x)c1(x)Ψ(x)

f(x)Ψ(x)(x)

ϕ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+ϕx

0xd)(g

c1Ψ(x)(x)

f(x)Ψ(x)(x)

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡intminus=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡intminus=

x

0x)dg(

c1f(x)

21xΨ şi

x

0x)dg(

c1f(x)

21x ττττϕ

de unde deducem

(4)

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

int+

minus+=+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

intminus=

ctx

0x)dg(

c1ct)f(x

21ctxΨ

ct-x

0x)dg(

c1ct)-f(x

21ct-x

ττ

ττϕ

(5) ( ) [ ] int+

minusττ+++minus=

ctx

ctxd)(g

c21)ctx(f)ctx(f

21txu

158

( ) [ ][ ]⎩

⎨⎧

isinisin

=l0Rx0

l0xf(x)x0u

u=

=⎟⎠⎞

0 l

0

Fig2

159

Fig1

(1) [ ] 0tl0x02tu2

2c1

2xu2

geisin=part

partminus

part

(2) ( ) [ ]l0xg(x)0tt

uf(x)x0u isin==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

(3) u(0t)=0 u(lt)=0 t 0 ge

160

(1) u(xt)=X(x)T(t)

(t)TX(x)2c

1T(t)(x)X sdot=sdot

se separă

kT(t)

(t)T2c

1X(x)

(x)X==

şi

(7) X(0)=0 X(l)=0

Condiţiile (7) dau

161

soluţia banală

Rezultă

12nlπnλ isin=

12n2

lnπ

nk isin⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus=

lxnsin(x)nX π

=

0T(t)2

lcn(t)T =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+π

lctnsinnB

adică

(8) 12nlxnsin

lctnsinnB

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

πππ

forma

162

(9) suminfin

==

1nt)(xnut)u(x

suminfin

= part

part=

part

partsuminfin

= part

part=

part

1n 2tnu2

2t

u2

1n2x

nu2

2x

u2

Avem

suminfin

==sum

infin

==

1n lxnπsinnA

1n(x0)nuu(x0)

suminfin

=suminfin

==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

1n lxnπsinnB

lcnπ

1n 0ttu

0ttu

suminfin

==

1nf(x)

lxnsinnA π

suminfin

==

1ng(x)

lxnsinnB

lcnπ π

(10) int=int=l

0dx

lxng(x)sin

cnπ2

nBl

0dx

lxnf(x)sin

l2

nA ππ

nc2l

nω2π

nB2nA π

sdot+

163

(1) 0 22

22

=partpart+

partpart+

partpart

zu

yu

xu

şi

(2) z)yf(x 22

22

=partpart+

partpart+

partpart

zu

yu

xu

de limită

164

S

cu rarrrarrrarrrarr

rlt

rlt === γβα

dydu

dxdu

dndu

++=

maghiară)

exterioare

165

∆u=0 d) uS=f

s

=

s

=

punctiformă

02

2

=partpart

+partpart

zf

yf

xf

Dar

)()( 3

22

2

rfr

xrrfrx

xf

sdotminus

+sdot=partpart

166

şi )()( 3

22

2

rfr

yrrfry

yf

sdotminus

+sdot=partpart

)()( 3

22

2

rfr

zrrfrz

zf

sdotminus

+sdot=partpart

rf sau 2)()(

rrfrf

rc

2

=partpart

+partpart

yf

xf

Dar

)(f)(

3

22

2

3

22

2

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

sdotminus

+sdot=partpart

sdotminus

+sdot=partpart

ρρ

ρρρ

ρρ

ρρρ

yfyy

fşi

xfxx

f

167

x

y

θ ρ y

x O

C Ω

Ω M(xy)

(1) 02

2

=partpart

+partpart

yu

xu

cu condiţia

sdot=sdot=

θρθρ

sincos

yx

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

πθ

ρ

kxyarctg

yx 22

ρ xx=

partpart

ρρ yy=

partpart 2

ρθ yx

minus=partpart

2ρθ xy=

partpart

Obţinem

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

partpart

sdot+partpart

sdot=partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

partpart

sdotminuspartpart

sdot=partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

θρρρθ

θρ

ρ

θρρρθ

θρ

ρ

uxuyy

uy

uyu

uyuxx

ux

uxu

2

168

Calculăm apoi

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

sdotpartpart

=partpart

θρρρuyux

xxu

22

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partsdotpartpart

sdotminuspartpart

sdotpartpartsdot

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

xsdot

partsdotpartpart

+partpartsdot

partpart

partsdotminus

=x

ux

uyuxyu

xuxux

x θθ

ρθρρθρ

ρρ

θρρ

ρρρρθ

ρρ2

2

24

2

partθ şi xpart

(4) ⎩⎨⎧

partpart

sdot+partpartsdot

minus+

partpart

sdot+partsdotpart

partsdotminus

partpart

sdot=partpart

θρρρρ

xu

43

22

2

4

22

32

2

2 22

(5) ⎩⎨⎧

partpart

minus+

partpart

sdot+partsdotpart

partsdot+

partpart

sdot=partpart

θρρρρ

yu

43

22

2

4

22

32

2

2 22

0)(23

222

2

4

22

2

22

2

=partpart

sdot+minus

+partpart

sdot+

+partpart

sdot+

=partpart

+partpart

=∆ρρ

ρθρρρ

uyxuyxuyxyu

xuu

sau

22

2

22

2

011 ρρρθρρ

sdot=partpartsdot+

partpart

(6) 02

2

22 =

partpart

+partpartsdot+

partpart

sdotθρ

ρρ

ρ uuu

(7) uρ=a=f

Obsevăm că

)()( θρρ

TRusdotprime=

partpart şi )()(2

2

θρρ

TRusdotprimeprime=

θTRu primesdot=

partpart şi

)()(2

2

θρθ

TRu

primeprimesdot=part

part

169

(9) )()(

)()(

)()(2

θθ

ρρρ

TT

RR

RR primeprime

minus=prime

sdot+primeprime

sdot

şi

170

(12) 2 1 0 2 == nnnλ

Obţinem succesiv

te=ρ

dtdRe

ddt

dtdR

ddRRe

ρρρ

ρρρ )(1ln şi

tttt edt

RdedtdRe

ddt

dtdRe

dtd

ddR

dd

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠⎞

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot==primeprime

2

)(ρρρρ

ρ de unde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

dtdR

dtRdeR t2

022

2

=minus Rndt

generală sau

nr plusmn=21

ntn

ntnn eDeCR minus+=

(14) nn

n

şi

171

(16i) ( )suminfin

=

lesdot+sdotsdot=0

sincos)(n

(16e) ( )suminfin

=

sincos)(n

nB i)

(17i) ( )suminfin

=

le=sdot+sdotsdot=0

fsincos)(n

şi

(17e) ( )suminfin

=

fsincos)(n

astfel

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sdotsdotsdot=sdot

int

intπ

π

π2

0

2

0

sin)(1

cos)(1

dtnttfBa

dtnttfAa

nn

de unde

(18i) 3 2 1n sin)(1

cos)(1

2

0

2

0 isin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sdotsdotsdotsdot

=

sdotsdotsdotsdot

=

int

intπ

π

dtnttfa

B

dtnttfa

A

nn

şi int sdotsdot=π

π

2

00 )(

21 dttfA

172

01

2

0

2

0

un

n

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

infin

=

ππ

θθρπ

θρ

sau

sum intinfin

=

⎜⎝⎛sdot+=

1

2

00 )(cos)(1)(

n

dttntfa

Auπ

θρπ

θρ

⎤

⎢⎢⎣

⎡minussdot⎟

⎠⎞

infin

=

π

θρπ

θρ2

0 1

)(cos21)(21)( dttn

atfu

n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ltlt 10

aρ

sum sumsuminfin

=

infin

=

minusinfin

=

sdot⎟⎠⎞

⎠⎞

⎜⎝⎛

1 1

)(

1

)(sin)(cosn n

tinnn

n

ea

tna

itna

θρθρθρ

Seria suminfin

=

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1

)(

n

tinn

ea

[ ]22)(

)(

)cos(2)sin()cos(

1 ρθρθρθρ

ρρ

ρ

θθ

θ

=minussdot

=sdotminus

sdot=

minusminusminus

minus

taataita

eaea

eaS ti

ti

deci

[ ]22

⎠⎞

⎜⎝⎛sum

infin

= taatatn

an

n

[ ]int sdot

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+sdotsdot=π

ρθρρθρ

πθρ

2

022 )cos(2

))cos(21)(21)( dt

taatatfu

sdotminus

=π

ρθρπρθρ

2

022

22

)cos(2)(

2)(

taadttfau

173

(21e) 3 2 1 sin)(

cos)(

2

0

2

0 isin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sdotsdotsdot=

int

intlowast

lowast

ndtnttfaB

dtnttfaA

n

π

2

0

)(21 dttfAn

sdotminus

=π

ρθρπρθρ

2

022

22

)cos(2)(

2)(

taadttfau

C

=

( )suminfin

=

sdot+sdotsdot+=1

0 sincos)(n

unde

π

2

0

π

2

0

suminfin

=

2 )cos21ln(cos2n

n qqnnq αα

174

fdndu

a

==

este

dta

πθρ

2

02

22

0)cos(2ln)(

2)(

(1) tu

axu

partpartsdot=

partpart

22

2 1

făcută baraρsdot

=c

(1prime) tu

ayu

xu

partpartsdot=

partpart

+partpart

22

2

2 1

şi respectiv

(1primeprime) tu

azu

yu

xu

partpartsdot=

partpart

+partpart

22

2

2 1

175

ktTtT

axXxX

=prime

sdot=primeprime

)()(1

)()(

2

Obţinem ecuaţiile

şi

2

)(sincos)(22

176

(7) intinfin

sdot=0

)()( λλ dtxutxu

intinfin

=sdot0

)()0( xfdxu λλ

(8) [ ] )(sin)(cos)(0

λλλλλ

infinminus

infin

dxfdxf )(cos)(1)(0

infinminus

infin

infinminus

sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

0

ddfxdfxxf

infinminus

infin

infinminus

λτλττπ

λ dfBdfA

(9) intinfin

infinminus

int intinfin infin

infinminus

)(cos)(1)(22

ττλτλπ

λ dxefdtxu ta

intintinfin

minusinfin

infinminus

)(cos)(1)(22

λτλττπ

λ dxedftxu ta

177

2

224

)(

0

tadxe ta

xta

(10) ττπ

τ

defta

txu tax

sdotsdotsdot=minus

minusinfin

infinminusint

2

4)(

)(2

1)(

tu

au

partpartsdot=∆ 2

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

ζηξ

dddefta

tzyxu tazyx

2

222

4)()()(

3 )(2

1)(

S D

dadivdsna ωrrr

178

lui kzvuj

yvui

xvua

rrrrsdot

partpartsdot+sdot

⎜⎝⎛

partpartsdotminus

partpartsdot

S D

duvvudsnuv

nvu ω

S D

suprafaţa S avem

partpartsdot

SS

dsnuvds

nvu

şi

(4) 0=sdotpartpart

intintS

dsnu

Are loc şi

(5) dsnru

nu

rMu

S

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

11

41)( 0 π

179

considerăm r

( ) dsnu

rnruds

nu

rnruduvvu

SSD

sdot⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

ω 11

11

1

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdotkSSS

dsnu

rds

nruds

nu

rnru 1

11

1

ε

2

111

εminus=

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

=part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

rr

nr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdotintint uudsnru

S

πεπε

ε

4411

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

sdotsdot=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

unuds

nu

rS

επεπε

ε

4411 2

180

unde lowast

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

nupartpart pe Sε

lowastlowast ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdotintint nuuds

nu

rnru

S

εππ 4411

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

tocmai formula (5)

Obsevaţii

v 1ln= şi

dsn

runu

rMu

C

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot= int

1ln1ln

21)( 0 π

181

dsua

Mu 20 41)(π

2

111

arr

nr

ar

minus=part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

=part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

=

obţinem

sdot=SSS

dsua

dsnu

aMu 220 4

14

141)(

πππ

obţinemu(M0)=u

182

10 Probleme propuse

10) 02y

u22

yxu2

32x

u2=

part

part+

partpartpart

+part

part

20) 02y

u2

yxu2

22x

u2=

part

part+

partpartpart

+part

part

30) 0yuy

xux2y

u22yyxu2

2xy2x

u22x =partpart

+partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

40) 0yuy

xux2y

u22y2x

u22x =partpart

minuspartpart

+part

partminus

part

50) 02y

u22x2x

u22y =part

part+

part

60) 02y

u2

yxu2

52x

u26 =

part

part+

partpartpart

minuspart

part

70) 0yuy2y

u222xyxu2

2xy2x

u22y =partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

80) 0yucosx2y

u2x2cos

yxu2

2sinx2x

u2=

partpart

minuspart

partminus

partpartpart

minuspart

part

90) 0xu2x2y

u22y-2x

u224x =partpart

+part

part

183

012

2

22

2

=partpart

minuspartpart

tu

cxu

cu condiţiile

u(0t)=0 u(lt)=0

( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

leleminussdot

lelesdot=

llxllh

lxlh

oxux

2 2

2x0 2

)(

tu

( )( )

( ) ( )l

ctnl

xnn

htxuRn

n πππ

12cos12sin12

18)(0

22

+sdot

+minus

sdot= suminfin

=

012

2

22

2

=partpart

minuspartpart

tu

cxu

cu condiţiile

u(0t)=0 u(lt)=0

şi 00

=partpart

=ttu

( )

( ) ( )l

ctnl

xnn

htxuRn

πππ

12cos12sin12

132)(0

33

+sdot

+sdot= sum

infin

=

+partpart

+partpart 0 02

22

2

tlxxux

xux

tu

cu condiţiile

184

t

ttfcos45

sin)(minus

=

ntl

xtxuRn

n

sin22

1)(1

sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdot= sum

infin

=

xu

xtu

partpartsdot=

partpart 1

2

cu condiţiile

u(xt+2π)=u(xt)

u(0t)=f(t)

t

tfcos45

1)(minus

ntetxuRxn

nn cos

21

32

31)(

22

21

1sdotsdotsdot+=

minusinfin

=sum

a) 022 2

22

2

22 =

partpart

+partpart

partminus

partpart

yuy

yxuxy

xux

b) 023 2

22

2

=partpart

+partpart

part+

partpart

yu

yxu

xu

yxyxxyxyu

yyoxuyyu

=partpart

=

2)2()(2)(

3)( )0(

23

2

185

c) 065 2

22

2

=partpart

+partpart

part+

partpart

yu

yxu

xu

1

)3( )2(23 minus+=

==minusminus

minus

xyxy

xx

eeuexxuexxu

d) 056 2

22

2

=partpart

+partpart

partminus

partpart

yu

yxu

xu

)2cos()3sin()(

yxyxyxu

xxoxyuxxxu

+++=

minus=partpart

+=

e) 02

22

2

22 =

partpartsdotminus

partpartsdot+

partpartsdotminus

partpartsdot

yuy

xux

yuy

xux

yxchxyshyxu

exyuexu x

y

x

+=

sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

= minus

=

)(

)1(1

f) 02 2

22

2

22 =

partpartsdotminus

partpartsdot+

partsdotpartpart

yuy

xux

yuy

yxuxy

xux

186

CAPITOLUL VII

gy2dtdsV ==

de dxgyy

VdsT

b

a

sdotprime+

== int int 21 2

y=y(x)xisin[ab]

187

[ ] [ ]baCydxgyy

yTb

a

2

1 12

isinsdotprime+

= int

suprafaţă

Fig 2

B (S)

A

este dată de

a

188

∆

(fig3)

egalitatea

(3) [ ] intint∆

sdotsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+== dydxyz

xzAzI S

22

1

189

(4) dxyyl

yb

b2

mă

cur

scr

iar

car

exe

sdotprime+= int 1

` dxylb

a

funcţionalei (4)

ie

(5) ldtyxb

a

(6) ( ) dtyxxy21A

b

a

(7) [ ] dxyyxFyIb

a

sdotprime= int )(

190

a

partpart

=D

dydxyu

xuuyxFuI )(

valori icircn R

(10) ( ) ( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

ltminus

ε

εε

)()()()()()(

0

xfxf

xfxfxfxf

nn

I[f0] ge I[f]

191

I[f0] le I[f]

I[f0] ge I[f]

relativ slab

funcţionale

(11) int =sdotsdotb

a

dxxxf 0)()( η

192

Considerăm

Observăm că

demonstrată

int int=sdotsdotb

a

fdxxxfβ

α

η )()(

LEMA 2 (D

(12) intb

a

g

Prin combin

LEMA FU

(13)

funcţia

( )( )⎩

⎨⎧

= 0)()(

)(22

βαβαβα

ηxxxx

x

gisinC[ab] Dacă

a

193

deci

int sdot=x

a

dttfxF )()(

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxxFxg 0)()()( η

a

(1) [ ] dxyyxFyIb

a

sdotprime= int )(

(1) y(a)=y1 y(b)=y2

Funcţia

(3) Y(x) = y(x) + αη(x)

194

[ ] [ ] dxxxyxxyxFb

a

Observăm că

unde yFFy partpart

b

ay

b

a

b

ayy dxxyyxF

unde yx

FFyy

FFy

=primepartsdotpart

part=

primepartpart

22

2

195

C

[ ] int sdotprime=b

a

dxyyxFyI )(

[ ] [ ] dxxQxPyIb

a

unde

Are loc

De aici avem

[ ] int sdotprime=b

a

dxyyxFyI )(

196

Fie funcţionala

(1) ( )int=b

a

)n( dxyyyxF]y[I

[ ] 110 )()( 2)(

condiţiile

]ba[Cy nisin

(2) 1-n 01k )( )( )(2

)()(1

(3) 0Fdxd)1(F

dxdF

dxdF )n(yn

nn

y2

2

a

+++=αimage int

0)0( =image

197

Avem

[ ]dx FηFηFη)0(b

ay

(n)yy

)n(int +++=image

ay

)1k(b

ay

)1k(b

a

bay

)1k(y

)k( dxFdxddxF

de unde

(4) )10k 0(b)η(a)(η n 12k

)()1(

(k)(k)

)()()(

minus===isin

minus=int intn

dxFdxdxdxF

b

a

b

ayk

kk

yk

kk ηη

Deci

dxdF

dxdF)0(

b

ayn

nn

y2

2

yy )n( sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

extremală

η]y[Iδ2

(6) 0)()()( geyF nn yy

(7) 0)()()( leyF nn yy

admisibile

(int +=1

0

2 dxyy2]y[I )

198

0FdxdF

dxdF y2

2

yy =+minus

432

23

1

4

[01] x241224

234

b

an21 int=

Are loc următoarea

Dyyy n21 isin

199

(3) 21k 0

ndxd

kykyFF isin=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

forma

)x(ηk

[ baC2 ] k

=αpartpartimage

Deci

int isin=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot+sdot

b

21k 0)(η

ndxxdxd

k

b

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusint

limită (2)

( ) n12ji yyy

FAji

2

ji isinpartpart

part=

200

Are loc

(4) nnnn

n

AAA

AAAAAA

AAAA

AD

D D

21

22221

11211

n2221

12112111 ===

şi

k DD

Dacă

(b) 00 0 2

1 gtgtgt nDDD

Exemplu

( ) ( )[ ] dxyz2zy]zy[I2

0

22intπ

++=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

isin= 12

z12

y 0z(0)y(0) 2

0C)zy(D 1

⎩⎨⎧

minusminus+=+++=

minus

43x

2x

1

43x

2x

1

201

42002

FFFF

D 2FDzzyz

uşor

RRDI 2 rarrsub

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

=D

dxdyyu

xuuyxF]u[I

(2) ( ) ( )yxfyxu C=

Are loc următoarea

2

yu

xuu

partpart

(3) ( ) ( ) 0FFy

Fx uyuxu =minus

partpart

+partpart unde

yuu

xuu yx part

part=

partpart

=

202

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=imageprime

dxdyyxD D

dxdyyxD

dxdy⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

+part

part

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

partpart

intint =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

yuFxuF

ηyuηF

xuηFyuFyηxuFxη

dxdyyxD

dxFdyFD

dxdyC

uu yX

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

+part

part

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+ int

yuFxuF

)(yuFyηxuFxη η

devine

( ) ( )intint =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

minuspart

part

minus=imageprimeD

dxdyyxyyuF

xxuF

uF 0η0

203

[ ] intint intΩ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

= dxdxdxxu

xu

xuuxxxFuI n21

n21n21 unde nRsubΩ

n12k u unde 0 k1

isinpartpart

==partpart

minus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpartsum

= k

n

k kk xu

uF

x

[ ] intintΩ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

= dxdyyxyu

xuuI 22

22

unde ( ) 43 442

⎭⎬⎫

partyxuDCu

Soluţie

2222

yxyu

xu

yu

xuuyxF +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart este

(1) 0=minus⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

partpart

uFyuF

yxuFx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=partpart

=yuu

xuu yx sau

(1) 02

2

=partpart

+partpart

yu

xu

upart

(2) ⎩⎨⎧

==

θρθρ

sincos

yx

de unde rezultă

(2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

+=

xyarctg

yx

θ

ρ 22

Observăm că ρ

ρ xx=

partpart

ρρ yy=

partpart 2ρ

θ yx

θ xy=

partpart

204

Obţinem

(3)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

partpart

+partpart

=partpart

partpart

+partpart

partpart

=partpart

partpart

minuspartpart

=partpart

partpart

+partpart

partpart

=partpart

θρρρθ

θρ

ρ

θρρρθ

θρ

ρ

uyuyy

uy

uyuşi

uyuxx

ux

uxu

2

şi

(4)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

partpart

minuspartpartminus

+partpart

part+

partpart

=partpart

partpart

+partpartminus

+partpart

partminus

partpart

=partpart

θρρρρ

θρθρρρρ

θρρρρ

θρθρρρρ

uxyuyuxuxyuyyu

şi

uxyuxuyuxyuxxu

43

22

2

4

22

32

2

43

22

2

4

22

32

2

22

(5) 02

2

22 =

partpart

+partpart

θρρ

ρρ uuu

(6) θθθ

4cos41

43

sincos

44 =minus+===part

yxD

yxu

(7) ( ) ( ) ( ) θρθρ TRu =

θρρ

TRuTRu 2

2 =

partpart

θ

2

TRu=

partpart

(8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02 =++ θρθρρθρρ TRTRTR

(9) ( )( )

( )( )

( )( )θθ

ρρρ

TT

RR

2 minus=+

205

(10) ( ) ( ) 0 =+ θλθ TT

şi

(11) ( ) ( ) ( ) 02 =minus+ ρλρρρρ RRR

1A 2B

(12) 321 2 isin= nnnλ

(11) ( ) ( ) ( ) 022 =minus+ ρρρρρ RnRR

206

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

=

minus

dtdR

dtRdeR

şidtdReR

t

2

22

ρ

(11) 022

2

=minus Rndt

Rd

(14) nn

caz contrar

0=nD

infinrarr=minusn

n

origine Deci

u

(15) nnn CR ρρ =)(

sau

n θθρθρ

forma

(17) ( ) 321 sincosA)(1

n isin+= suminfin

=

nnBnun

nn

n θθρθρ

partDuu

Observăm că 4 040

primeşte forma

207

(18) ( ) θρθρ 4cos4

=u

( ) ( )

( )04

2002

)(2 _ gt===u

yuFyuFu

xuyuF

uyuxuFu

xuxuF

D

Observăm că

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

= θθρθρ

θρ

θθρ

θρ

θ 22422

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

233233

cos4sin4

44cossin4

4sin4sin4

44coscos4

24cos1

43sin3cos2sin

4

426262

88

446 minus+=UF

Deci

(19) [ ] intint ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+==

4cos88

446

minD

unde şi ⎩⎨⎧

lelelele

πθρ

2010

D θρρ dddxdy =

⎞⎜⎜⎝

⎛+=minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1

0

2

0

57

557

min 84cos

88D D

⎜⎝⎛ +=minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=minus

1

0

2

0

2

0

1

0

62

0

1

0

685 02

481

814sin

41

681

4884cos

81 π

ππ

de unde

247

minπ

=I

208

an21n21n21 int=

(3) ( ) m12i 2121 isin=int i

b

anni adxyyyyyyxG

(4) [ ] ( )int=b

a

dxyyxFyI

(5) ( )int =b

a

mdxyyxG

Are loc următoarea

(6) ( ) ( ) 21 yby yay ==

aint λ+=

(8) ( ) ( ) ( ) ( )xηαxηαxyxY 221121 ++=αα

209

(9) η1(a) = η1(b) = 0 η2(a) = η2(b) = 0

(10) ( ) mαα 211 =image

( )int =+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage b

ayiyi

0i

1 12i dxGηGηα

(11) ( ) 12i ηGGα iyy

0i

1 int isin⎟⎠⎞

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage b

a

dxxdxd

02

1 ne⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

02

1 ne⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

2

(12)

02

1

01

1

01

2

α

αdαdα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

210

funcţie de α1

( ) int ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=imageprime

b

ay2

01

21y2

01

21 dxFη

dαdαηFη

dαdαη0

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

b

a

b

a 2yy01

21yy dxηF

dxdF

dαdαdxηF

dxdF0

2

dαdα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

de (11) deducem

dxdF0

b

a

b

⎜⎝⎛ minus+⎟

⎠⎞

unde

int

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

minus= b

a2yy

b

a2yy

dxηGdxdG

dxηFdxdF

λ

( ) ( )int ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

b

adxxyGyF

dxd

yGyF 1ηλλ0

demonstrată

211

(13) [ ] ( )int=b

a

dxzzyyxFzyI

(14) ( ) ( ) [ ]ba xxzz xyy isin==

(15) ( ) 0zyxG =

(16) ( ) ( ) ( ) ( ) 2121 z zbzazybyyay ====

Are loc următoarea

(17) [ ] ( )[ ]dx GxλFzyKb

aint +=

7 Probleme propuse

a) [ ] [ ]

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎟⎠⎞

⎤⎢⎣⎡isin=

++minus= int

04

10 4

0

384

1

4

0

22

ππ

π

yyCyD

undedxyyyyI

b) [ ] [ ]

[ ] ( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==isin=

++= int

21

1

0

222

311

310 10

2

eyyCyD

undedxyeyyyI x

212

a) [ ] ( )

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

====isin=

2

1

0

2

yyyyCyD

undedxyyyI

b) [ ] [ ]

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

minus====isin=

primeprime++= int

1 110010 10

2

1

0

222

shyyyyCyD

undedxyyyyI

[ ] RDzyI rarr

a) [ ] [ ]

( ) ( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡isin=

+minus+= int

122

000 2

0

52

1

2

0

22

πππ

π

zyzyCzyD

undedxyzzyzyI

b) [ ] [ ]

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 0100 10

2

1

0

22

⎪⎩

⎪⎨

⎧

====isin=

++= intyzzyCzyD

undedxyzyyI

213

[ ]

( ) ( ) ( ) ⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

le+isin=Ω⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=partpart

=Ωisin=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

Ωintint

420

232

2220

21

22

yxRyxşixyuxxuCuD

undedxdyyu

yu

xu

xuuI

y

a) [ ]

[ ] ( ) ( ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==isin=

== intint6110 10

3 legaturacu

1

0

1

0

2

yyCyD

undedxydxyyI

b) [ ]

[ ] ( ) ( )

00 0

100

2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==isin=

== intintππ

ππ

yyCyD

dxxydxyyI

214

CAPITOLUL VIII

DISTRIBUŢII

fxxx

fDn21

n21

x ααα

α++α+αα

partpartpartpart

=

ffD0x =

(2) ⎩⎨⎧

cap=sdotcup=+

integrala

(3) ( )int nRdxxf

mulţimea nRsubΩ

215

dxxf p

Spaţiul K

Γrarrϕ nR

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

ge

lt=

minusminus

a

aexxa

a

xpentru 0

xpentru 22

2

e-1

y

xa-a

nRsubΩ

xu

ix DD

Spaţiul S

216

Spaţiul ξ

Γrarrϕ nR

YXT rarr

ΓrarrXT

217

distribuţiilor Φ`

( )intΩ

f K dxxxfT

218

originea reperului

( )⎩⎨⎧

gelt

=θ0 x10 x0

x

a

dxx θT

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) dxxdxxxxxTb

aint int+infin

( ) ( ) ( ) 2

-x2

⎜⎝⎛ πδ=⎟

⎠⎞

( ) ( )( ) ( ) ( )Rf R x0a axxf

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ϕ=ϕ

aax δδ

infinrarr)

219

Proprietăţi

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

dxxfxxxf dxxfxfxxf

(1) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )xxfxxf ϕminus=ϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partϕpart

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

partpart

yzxzyxzyxf1zyx

yzxzyxf

2

33

2

3

dxxd

δ=θ

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )xx0xdxxxxxdx

xd00

int

se notează

(4) ( )( ) ( ) ( ) n

R

RX xdttxgtfxgfn

220

şi

( ) ( )⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

gelt

=θgelt

=θ0 xsin x0 x 0

xsinx 0 x10 x0

x

deci

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

geθ

lt=θlowastθ int

x

0

0 xdtt-x sint

0 x0 xsinxx

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )xcos1x0 xxcos1

0x 0xsinxx

0

x

0

x

0

minusθ=⎩⎨⎧

geminuslt

=θlowastθ

221

( )xfn

A

y

x ⎟⎠⎞

⎝n1⎜⎛ O B

M(x)

2n

fn

xo

yo

⎟⎠⎞

⎝minus

n1

⎜⎛

F(o-P)

O

y

x

Fig2

Fig1

( ) ( ) [ ][⎪⎩

⎪⎨⎧

notin

isin=

n1n

1-pentru x 0n

1n1-pentru x 2 Pn

oMr

Rr

infinrarrn

)PO(F minusr

putem scrie

)x(fn

on y)x(flimF rr

δ=infinrarr

on

n

oon

)FFF(F zyx

r

)( 000 zyxA

222

r

concentrate Fr

vectorul Fr

)zyx(A 000

Fr

A(x0y0z0)

O y

z

)()(lim ooonn

δ

(7)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

minusminusminus==

infinrarr

)()(lim

ooozznn

z

oooyynn

y

oooxxnn

x

zzyyxxFFzyxfq

δ

Fie )FF(rr

contrare (fig1)

Mr

dFM sdot= unde FFr

=

α

ouFF rrsdot=

Fr

minus

O

y

A(-a0) B(a0) d

x

Fig1

223

Fr

our Fr

şi Fr

constante dFM sdot=

r

rarr este

x)yx(

sinMuqlim o

0d partδpart

sdotα

sdotminus=rarr

rr

)R(K)yx( 2isinϕ

α= sina2d

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αminusϕminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αϕ=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α+δminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αminusδ=ϕ

rarr

rarrrarr

0sin2d0

sin2d

dM

limu

osin2dxo

sin2dx

dM

limu)q(lim

0d

o

0d

o

0d

r

rr

x)0(

limsinuM)q(lim)4( d

0d

o

0d partξϕpart

sdotα

=ϕrarrrarr

rr

unde ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ααminusisinξ

sin2d

224

)yx(x

)yx(sin

Mux

)00(sin

uM)q(lim)5( oo

0d⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ

partϕpart

sdotα

minus=partϕpart

sdotα

=ϕrarr

rr

r

de unde

x)yx(

sinMuqlim)6(

o

0d partϕpart

sdotα

minus=rarr

rr

dx)yyx(F]y[I)1(b

aint=

32 RD)D(CF subisin

ayy dx)FF()y(II)3(

int ϕ+ϕ=ϕδ=δR

yy dx)FF()y(II)4(

225

2C

)R(Kf isin

forma

⎟⎠⎞

⎠⎞

dxdFF

dxd)F()I( yyyy

0FdxdF)6( yy =minus

ox

]bx()xa[ 00

yyxy FFdxd~F)FyF(

dxd~)7( ==minus

226

Weierstrass

ox

int= minus11

22 dxyx]y[I)9(

]11[Cy 1 minusisin

B(11) Brsquo

Arsquo A(-1-1)

O

y

x

022 ge= yxF 0]y[I ge 0]y[I =

]11[C1 minus

1C

0)()10( 2 =yxdxd

0yx 2 =

⎩⎨⎧

leminusgt

=minusθ=0x10x1

1)x(2)x(y)11(

0)x(x2yx 22 =δ=

227

0|)yx(0|)yx( oo2

0)yx2(S)F(S 2oyo ==

7 Probleme propuse

|)x|at(a|)x|at(t

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

gt

leleminus

leleminus+

minuslt

=

n1pentrux0

n1x0pentru)nx1(n

0xn1pentru)nx1(n

n1xpentru0

)x(fn

3 Fie distribuţia

0x)()x()x(f 1 gtα

αΓθ

= minusαα

228

22

2

R)tx(ttx

2t

3 isinpartpart

minuspartpart

partminus

partpart

=∆

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

isingeminusminus+

lt= )|(0)]3()([

41

00 RKttxtx

ttxE θθθ

)tx()tx(E δ=∆

229

CAPITOLUL IX

experienţei

evenimentului A

230

(1) sub (15) (23) sub (2345)

B ne Φ

incompatibile

231

A i F Ui

infin

=1isin

şi se aplică b) )

cu A B sub

na

evenimente

proprietăţii

a) m(X) 0 ge

232

b) m( ) = 0 Φ

m = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= kXU

n

k 1)(

1kX

n

kmsum

=

(1) P(X) =)()(

EmXm

∆

2d

∆

2d ∆

2d

∆

233

∆

(∆)

BM

MD

∆

A

x

CD

(∆)

x

d x

αo π

X

234

α0

sinl α = 2l

Rezultă

P(X) =)()(

Emxm =

dl

π2

2) P(E) = 1

P( ) = ) Ni

iUAisin

suminfin

=1(

iiAP

i 1=iA sum

=

n

iiAP

1)(

P(AB)= (A) este

AP

BP

)()(

)()()()(

)()( APBm

BAmBAPBPAm

BAmABP BA ===cap

=

Observăm că

)()()(

)(

)()(

EmAmEm

BAm

AmBAm

cap

=cap adică

)()()(

APBAPBPA

cap=

)()(BP

BAPAPBcap

A

B

E

AcapΒ

236

⎩⎨⎧

sdotsdot

=cap)()()()(

)(APBPBPAP

BAPB

A

satisfac relaţia

)()(

EmBAm

EmBm

EmAm

EmBAm cap

minus+=cup

adică

(2) = n

kP

1(

=U )kA sum sum

=ne

==

k

n

jiji

k

n

k

njik APAAPAP

1 1 1

1 )()1()()(

(3) P( ) = P( K

n

KA

1=cap )()() 1

1

1 21 nA

A APAPAK

n

K

minus

=cap

sdot

237

(4) P( ) = k

n

kA

loc formula

kA 21 nk isin

(5) [ ])(11)(1)(111 k

n

kk

n

kk

n

===

Fie 21 nkAk

sau icircn general

(7) sum==

minusminusgen

kkk

n

knAPAP

11)1()()(I

principii logice

238

turistic de mai sus

X = DCBA III

550)(550355338209509208603)()()()()(

XPDPCPBPAPXP

evenimente ale lui

21 AA )nA

evenimentelor

kA

(8) P(X) = sum sum= =

sdot=capn

k

n

kAkk XPAPXAP

K1 1

)()()(

probabilităţile

)( KA

21)( nkXPKA isin

239

sdot=sdot=cap

(9) sum

=

sdot=

sdot= n

iA

AkAkkX

XP

XPAPXP

XPAPAP

i

KK

1)(

)()()(

cumpărătorului

321 FFF

respectivă

iF

Bayes avem

iA

iF

KA KF

XAXP KAK)( KF

)( KX AP

sum=

sdot== 3

1)()(

)()()(

iAi

AkkXk

XPAP

XPAPAPp

i

K 321isink

240

50105)(20

102)(30

103)( 321 ====== APAPAP

020)(0250)(010)(321

=== XPXPXP AAA

61

1 =p 185

2 =p 95

3 =p

95

185

61

321 sss== sau

183006

1053321 ===

sss

nNC

(1) ( )nNC

βbCα

aCβαnP

241

Avem

(2) ( )nNC

sx

saC2x

2aC1x

1aC

2x1xnP

sdot

=nx

unde

sum=

=s

1kNka şi sum

==

s

1knkx

0912329

94171030C

412C6

18Cp cong

sdotsdotsdot

=sdot

=

sau 91

Fie

44 344 214434421orixnde

AşişiAşiAminus

242

AAAorixde

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

este evident xnC

1702049505157C(5)7P =sdotsdot=

( ) sum=

0xxtxnqxpx

nCnqpt

binominală

(4) ( ) sxsp2x

2p1x1p

kx2x1xn

sx2x1xnP sdot=

unde sum=

=sum=

=ges

1k1kp

s

multinominală

243

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

8

1t

8

7

8

2t

8

6

8

3t

8

5Q(t)

Aşadar

38

12638

7038

244

1iUE neΦ=cap=

= i = P(Ei)

=n

1i1ip

avem

evenimente

(1) sau ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

np2p1pnx2x1x

X n1iipix

X =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

(2) [ ]bax(x)

xX isin⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

245

a1dxxşibax0x ϕϕ

ip =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1654321

X

Deoarece 61

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

np2p1pnx2x1x

X ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

mq2q1qmy2y1y

Y

Definiţii

(3) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sdot

np2p1pnkx2x1kx

Xkk

(4) m1jn1iijp

jyixYX ==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++

Are loc

246

sum=

==sum=

sum=

=n

1i

m

1j ipijpjqijpn

1i

m

1j1ijp

(5) m1jn1iijp

jyixYX ==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ sdotsdot

sum=

=n

1i

m

1j1ijp

F(x)=P(Xltx)

i

i le

obţinem

( ) ( ) sumle

sumle

===ltxix ip

xix ixXPxXP deci

(1) sumle

=xix ipF(x)

247

a) b)

Pi

248

astfel

(3) ( ) ( ) ( )int==ltx

adttxFxXP ϕ

a) b)

P(Xltx)F(x)o

a

φ (x)

P(αltXltβ)

xbo

αa ltxlt β b x

φ(x)

x

x1O x2 xi

P1

P2

Pi

PnOxn x

F(x)

αa xb

β

Pi

P(Xltx)

le

continuă (figb)

F(x )

a) b)

int+infin

xx 2 x 1o

x n

i

1

F(x)o

F(x)

x x

1

249

aleatoare

=n

1i ipixXM

adxxxXM ϕ

nxnp2x2p1x1pXM

+++

+++= Valoarea

Au loc

250

(3) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

isin=+=+

RkXkMkXMYMXMYXM

avem

( ) sum=

=sum=

sum=

+sum=

=sum=

sum=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=+

n

1i jym

1j ijpn

1i ixm

1j ijpn

1i

m

1j jyixijpYXM

( ) ( )sum=

+=sum=

sum=

+sum=

sum=

m

1j jqjym

1i ipixn

1j ijpm

1i jym

1j ijpn

1i ix YMXM

şi

( ) ( ) ( )sum=

sum=

=sdot==n

1i

n

1iXkMipixkipikxkXM

Atunci

( ) ( ) ( )YMXMn

1i jym

1j jpixipn

1i jyixjqm

1j ipn

1i

m

=sum=

sum=

=sdotsdotsdotsum=

=sum=

sum=

sdotsdot=sdot

Observaţie

valori posibile

( ) ( )int+infin

ecuaţia

251

(6) ( )21xF =

ecuaţia

( )int =eM

0 21

dxxϕ

3x0)12(121

xX lele

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+x

( )int =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=+

eM

0 21

eM2eM

121

eM2eM

121

dx12x121

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ipix

X

252

x x=M eo

ϕ( x)

y

a) b)

sdot=n

1i ipkixkM

şi

F

n

i

kik pxM sum

=

=1

(9) k kMkmicro =

x 1 x 2 0

1

bx n-1 x n

xa 0

x

F

253

X

0

ϕ(x )

Y

x

aleatoare

prin definiţie

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ minusminus

xxYsau

ipix

Yϕ

αα

254

Me

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ minus

ip

(2) ( )sum=

int+infin

n

1idxxmxsauipmix ϕ

medii m

variabila

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ minus(x)

2mx2Uϕ

( ) ( )( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus===

2XMXM2UMdef

XDsau2σ

(3) sum=

⎝⎛n

1i ip2

mixD(X)

Atunci

(5) D(X+Y)=D(X)+D(Y)

şi

W=X-M (X)+Y-M (Y)

( ) sum=

sum=

++sum=

sum=

=+sum=

sum=

==+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ n

1i

m

1j jvi2u2jv2

iujqipn

1i

m

1j

2jviujqip

n

1i

m

1j2ijwijpYXD

M (U)=0 M (V)=0 sum=

=sum=

=m

1j1

n

1i ipjq

( ) sum=

sum=

+sum=

++sum=

=+m

1j

n

1i

n

1i

m

1j jvjqiuipm

1j22

jvjqip2iu

n

1i ipjqYXD

( ) ( )( ) ( )sum=

=minus=sdotn

1iXD2k2XkMikxipXkD

256

(7) ( ) ( ) ( )sum=

intinfin+

k

Se observă că

( ) sum=

sum=

=minus=n

1i ipkix

k

1i kMipkmixkm

( )sum=

sdotminussum=

sdotminus=n

1i ipjmjkix

k

0jjkCj1km

Cum avem

1

2101 sum=

isinminus=minus=n

ikjjkMipjk

ixMm

(8) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

++minus+minusminus=

k1Mk1s

1MskMskCs1

21M2kM2

kC1kM1kCkMkm

de diferite ordine

(9) etc 312M1M23M3M3m2

(10) σxy=M[(X-mx) ( Y-my)]

(11) σxy=M (X Y)-M (X) M (Y)

257

V σ=

(1) ( )( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

intinfin+

infinminus

suminfin

==

ekptc

ϕϕ X

Are loc următoarea

(2) ( ) ( )suminfin

==

0kkt

k

kXMkitc

suminfin

==

0kkt

k

kxkiitxe

==

0kktkctc

(3) ( )

0tkdt

tckdki

1kcki

kkM

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

258

ϕ(x) este dată de

2π1xϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )εmXP2εεmxdxx

2

geminusintinfin+

infinminusint

de unde rezultă

(2) ( ) ( ) ( ) ( )2ε

XD1εmXPsau2ε

122k

2

2ε

D(x)==

σ

2k

1kmXPk

( ) ( ) 90983mXP10

Pentru k=4 avem

259

(1)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nCnq

nk10

X

⎜⎝⎛ minus=

+= p1q

baap

( ) 0qnpnnC1nq1p1

( ) ( )sum=

=gen

0k1kxsi0kx ϕϕ

( ) sum=

minus⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=sdotsum

=

minus=n

0kknq

kitpeknCitke

n

0kknqkpk

nCtc

260

deci

(2) ( ) ( )nqitpetc +=

( ) ( ) npii1

0tdttdc

i1XM =

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

sau

(3) M(X)=np

apoi

( ) 0t

2dt

tc2d2i

12XM=⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

unde

( ) ( ) ite2ip1n

qitpen2ite2i2p2n

qitpe1)n(n2dt

c(t)2dsdot

minus++

minus+minus=

M(X2)=n2p2+np-np2

Rezultă

(4) D(X)=npq

(1) ( )( )

222mx

e2π

1x σσ

ϕminusminus

261

( )int+infin

infinminusint

+infin

infinminusint

+infin

2tedeoarece1ππ

1dt2te

de ϕ(x) Are loc

etcσminus

=

Icircntr-adevăr

( ) ( ) intinfin+

minusinfin

minusminus=int

infin+

2)(

e2π

1dxxitxetc σσ

ϕ

mx

( ) intinfin+

minusinfin

2y221

eimte2π

1tc σσ

=intinfin+

infinminusintinfin+

infinminus

minus+int

infin+

infin=

sdotminusdysinty

2y22

1

eidycosty -

2y22

1-edyitye

2y221

e σσσ

( )impara0sintydy

2y22

1

ecostydy0

2y22

1-e2

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=intinfin+

infinminus

minussdotint

infin= σσ

0a4a2b

eaπ

21cosbxdx

0

2axe gtminus

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== tb22

1aσ

262

( ) 2

2t2imt

etcdecisi2

2t2

e2πdyitye2y22

1 σσ

σσminus

=intinfin+

minusinfin

minussdot=

sdotminus

Icircntr-adevăr

( ) ( )[ ] m0tc(t)t2imi1

0tdtdc(t)

i1XM ==minus=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= σ (c(0)=1) şi

( )[ ] 22XM2XMD(X)

undede2m2

0tc(t)

2t2im2

0t2dt

c(t)2d2i

12XM

σ

σσσ

=minus⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

+==⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

esteπσ 2

absciselor

263

finit

( ) ( )( ) ( ) ( ) m0xare0xfsi

2mx2e

2π2mxxfm0xXeMXM

1

==⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ

σ Funcţia

=x

dtmtnxF σ

şi graficul F(X)

1

264

1m0 m-τ x m+τ

12

( )( )

dx222mx

ekmx2π

1km int

infin+

minusinfin

minusminusminus= σ

σ

=minus

σ obţinem

( ) dy2yeky

π2

km intinfin

infinminusminus=

Kσ

21isinp

egalitatea

(1) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

le

=

0xpentru0

0ba0xpentrubx

e1axab1

aΓ1

xϕ

( ) ( )int+infin

infinminus=gtint

265

a=1

a 1ne

0 x

)

( ) ( ) abbΓ(a)

1aΓXM =sdot+

=

ordinul k

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

lt

geintminusminus

sdot=

0xpentru0

0xdtx

0bt

e1atabΓ(a)1

xF

şi are graficul

1

x

0

F(x)

(1) ( ) ( ) ( )

[ ][ ]01xpentru

01xpentru0

1qx11pxqpB

1x isin

⎪⎩

⎪⎨

⎧

notin

ge int+infin

(2) 1)kq1)(pqq)(p(p

1)k1)(pp(pkm

minus+++++minus++

=

266

(3) ( )1)q(p2q)(p

pqXDqp

pM(x)+++

=+

=

1p0x

minus+minus

=

(1) ( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

lt

geminusminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

0xpentru0

0x22ax

e1

2ν

x

2νΓνaν22

1

xϕ

ϕ(x

267

20

ν1)

005

0

010

5 10 15

ν=6

020

015

030ν=2

ν=4

ν=15

25x

ϕ(xν1)

22

2 2

P(λ gtλ )0

λ0 x=λ0

variabilă x=2t

( )int+infin

infinminus= 1dxxϕ

( ) ( ) ( ) αn

nλ1

α

nλ

α1αn1nnαnp

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus⎟

⎠⎞

=

Vom scrie icircncă

(1) ( ) ( ) ( )α

αλα-n

nλ1αn

⎜⎝⎛ minus

+minusminus=

nλ1nlimsi1αn

1αn1nnnlim minus=

minus⎟⎠⎞

asimptotică

(2) ( ) λeα

αλαnP minuscong

268

==minus=minus

0α1λeλeλe

αλ

Proprietăţi

M(X)= ( )suminfin

==sum

infin

=sdot=minus=minus

0αλλeλ-e

1αλ

1-α

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minus=

1iteλetc

( ) ( )suminfin

=

infin

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0α

1iteλe

itλeeλeα

αitλeαeλeα

αλ0α

itαetc

( ) ( ) λ2λ

0t

1iteλeitλe2ite2λ

0t2dt

c(t)2d2XM +=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡minus=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

269

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= t2

1ν

ν

2t1

1

2νΓ

21νΓ

νπ1νtϕ

( ) ( ) 012km00x2ν

νXD0xM =+=minus

==

( )( )( ) ( )2kν4ν2ν

12k31kν2km

=

ϕ

distributia t

Figa

0tx

-5-4-3-2-1 1 2 3 4

010203

5

distributia n(x01)

270

ϕ(x

Fig b

(1) 1εn

n

1k)kM(X

n

1k kXPnlim =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ltsum=minus

sum=

infinrarr

ϕ( )x

o t t -t

)

271

n

1k kXX

( )n

n

1k)kM(X

n

1k kXMXM

sum==

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ sum==

( )nC

2n

Cn2n

n

1k)kD(X

n

1k kXDXD =

sdotlt

sum==

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ sum==

dubla inegalitate

1εn

n

1k)kM(X

n

1k kXP2nε

C1 le

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ltsum=minus

sum=leminus

atunci

(2) 1εpnx

nlim =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ltminusinfinrarr

are loc relaţia

(3) ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=minus

=minusinfinrarr npq

npm2

2mx211

e2π

1xnqxpxnCnlim

σσ

σ

272

condiţii

30 Notacircnd

sum=

=sum=

===n

1kkρ

(n)xρ

n

1k 3kmkρ2kτ(n)2

xτ)kD(X2kτ

(3) ( )

( )0

n3xτ

nxρ

nlim =infinrarr

sum=

=n

1k kXX

k k isin 12hellipn

(1) cov (XY)=M[(X-M(X)) (Y-M(Y))]

(2) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ minussdot

minus==

yτM(Y)Y

(3) yτxτ

xyτ

yτxτX)cov(Y

XYρsdot

=sdot

minussdotminus=

273

ρXY= ρYX= ρ

calculator etc

274

Q(t) = P( z lt t ) ( t gt 0)

q(t) = Qrsquo(t)

Φ(t) = P ( z lt t )=1-P(t) ( t gt 0 )

tt

φ

0

2

0

φ

unde m = M(z)

0t

)min( 0 tzz =

0

Q z

ge

Q (t) = P( lt t ) = z1

)(

0

tttt

pentrupentrutQ

gtle

⎩⎨⎧

şi corespunzător

275

⎩⎨⎧

gtleΦ

=minus=Φ

0)(

)(1)(0

0

tttt

pentrupentrut

tQt

int intinfin

lowast Φ=Φ=0 0

0

)()(t

dttdttm

int minusΦ=0

2

0

2 )(2)(t

mdtttzD

+ hrdquo Avem

P ( BA) = )(

)()(

)(t

httzP

htzPAP

BAPΦ

+Φ=

gt+gt

=cap

tht

Φ+Φ

momentul t + h este

1- )(

)()()(

)(t

httt

htΦ

+ΦminusΦ=

Φ+Φ

P(BA) )()()( hth

tt

sdot=sdotΦΦ

minuscong λ

276

λ(t)

t

0 I II III

trecerea timpului

λminus=ΦΦ

)()(

tt

defectare este

)( tet λminus=Φ

277

1)0(2)()(

=minus= φλφφ t

tt

rezultă 2

)( tet λminus=Φ

14 Probleme propuse

X şi Y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛201070

421⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛30104020

7641

278

f(x) = )4(

12 +xx

279

CAPITOLUL X

1 Să se calculeze

I = dxx

xxint +

minus1

03

3 2

)1()1(

= 1980 =

2x

= 1981 =

3 Fie f(xt) = )

2(

2ttx

eminus

sum+infin

minusinfin=

sdotn

nn txJ )(

214

= 1981 =

1 22

2

uaxu

xtu

=partpart

(2) u(0t) = tcos35

1minus

= 1982 =

2cos211)(

axaxfRRf

+minus=rarr a gt 1

= 1983 =

0coscossin2 2

22

2

=partpart

minuspartpart

partminus

partpart

yux

yxux

xu

2)0( =partpart yxu

=1989 =

215

π2

0 cos453cos dx

xx

=1985 =

RR rarr3ϕ

3Rsub

rrz

zy

yx

xpartpart

+partpart

=nabla

= 1986 =

derivabilă

b) Să se calculeze

I = int=

minus

neminusRZ

zRdz

ze 1

)1(

1

= 1987 =

216

u(xy) =

CC rarr

b) Să se calculeze

I = intinfin

++02222 ))((

sin dxcxbx

axx

unde abc Risin

=1988 =

F(p) = ( )[ ]1)1(1

22 ω+++ pp ω gt 0

pisinZ Se cere

t tteduutfug0

)sin()()( ωω

=0

1)( dt

ttfI

int=2

0

62 cos)(

π

tdttfeI t

= 1989 =

217

( )int

infin

+0n2bxa

Nnisin

( )int

infin

+019932x1

dx

intπ

218

BIBLIOGRAFIE

FLORESCU G

STOICA L

5 DOBRESCU V

rusă) 11 MOCANU PT

HAMBURG P

NEGOESCU N

Bucureşti 1982

239

MICULA G

IONESCU B

15 ŞICLOVAN I

MATEI I POPESCU I

CREŢ F

IMP Petroşani 1988

Timişoara2003

240

coperta
cuprins
cap1
cap2
cap3
cap4
cap5
cap6
cap7
cap8
cap9
cap10
bibliografie

Page 5: Universitatea ,,Constantin Brâncuşi” Tg Jiurefkol.ro/matek/mathbooks/ro.math.wikia.com wiki Fisiere... · = ( , ), ( , )∈ reprezintă un câmp de direcţii, graficul unei soluţii

CAPITOLUL I

Problema Cauchy

4

2xy minus= numită

Dyxyxfdxdy

8

CdyyQdxxPx

x

y

=+int int0 0

)()(

(2) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xyf

dxdy

tdxdtx

dxdy

+=

xdx

ttfdt

=minus)(

variabile separate

1

+

minus=

xyxy

dxdy

dxdttt

minus=++

11

9

(3) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=222

111cybxacybxafy

22

+=+=

vyyuxx

0

11⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=vbuavbuaf

21 =minusne+ babacc

1

2

1

2

1

kbb

aa

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

++=

211

111

)(

ecuaţia devine

1

2

11

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

ckzczfa

dxdz

13

+minusminus+

=yxyxy

vuvu

dudv

minus+

= (omogenă)

ududt

tt

=+minus

211

)2()1(ln12 22 Cyx

10

O ecuaţie de forma

)(int=

minus dxxPCey

)()(int=

minus dxxPexCy

sau )()()(int=dxxP

(5) C)()( 1))(

CdxexQxCdxxP

(6) )()(

1)(

⎥⎦⎤

minusdxexQCey

dxxPdxxP

11

(8) )(1)(11 xQ

yxPy

=z

yy

şi ecuaţia (8)

26 Ecuaţia Riccati

yy p1

liniară Avem 2

0)(1)(1)(2

2 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

zyxQ

zyxP

zzy ppp

zxRyxQyxPy pppp

12

(12) ( ) ( )( ) ( )

dx p pxdp p p p p

ϕ ψϕ ϕ

+ =minus minus

(13) ( )( ) ( ) ( )

(16) ][p )()(

)(ab

pppypx

isin⎩⎨⎧

+minus=minus=

ψψψ

13

(2) )1(00

sau 2

44x

ux

x

xCu544

1 minus=

Icircnlocuind yyu

xCyy

54 4

2

5

1ne=

minusxexCy

xC

)1(1

nn =++++ minusminus

14

(2) 0)()()()( 1)1(

1)(

nn

(4) )1()1(

2)1(

1

21

)(

minusminusminus

=

nn

n

yyy

yyyW

(6) 0)()( 1)1(

1)( =+++ minus

minus yxayxay nnn

15

)1(1

)(0 =++++ minus

2 )(

1)1(

11)(

1)(

111111nn

nn

0)(])()([])()()([ 10)()1(

10111)1(

1)(

nn

0)()()( 1)2(

1)1(

nn

16

(1) )()()()()()( 1)1(

1)(

n =++++= minusminus

(2) 0)()()()()( 1

)1(1

)(0 =++++= minus

n

(5)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++=+++

minusminusminus

)()()()()(

0)()()(

0)()()(0)()()(

0

)1(2

)1(21

)1(1

)2(2

)2(21

)2(1

2211

xaxfxCyxCyxCy

xCyxCyxCy

xCyxCyxCyxCyxCyxCy

nn

nnn

nn

nnn

nn

17

(11) nn yCyCyCy 2211 +++=

)1()1(22

)1(1

)1(

)3()3(22

311

)3(

+++=

nnn

nn

yCyCyCy

)1()1(22

)1(11

)()(22

)(11

nnnnn

)()(

0

)()(22

)(11

)(

xaxfyCyCyCy n

nnnnn ++++=

18

)()(

)(

)1()(021

)1()1(1

)1(1

)1(2

)1(1

1121

xaxf

yyyWyyyyyyyyyyyyyyy

xCn

nn

nk

nnnkk

nkk

knk sdotsdotminus=

minusminus+

minusminus

minusminus+minus

+minus

+

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

xxCxC

xCxC142

0

321

42

21

cu soluţiile

2

1 21 xC minus= 42 2

1x

C = şi apoi 21

11 xCC +=

61

322 x

CC minus=

19

3

42

21

xxCxCy ++= isinx R0

(am renotat ) 221

1 CCCC ==

(1) 0 0 01)1(

1)(

nn

nxrxr n 21

21

0)( 11

10 =++++ minusminus

nnnnrx arararaAe

xrn

20

)(

)( 21)(

112

11

212121

21

nxrrr

xrnn

xrnxrn

xrn

xrxr

xrxrxr

n rrrVe

ererer

eee

yyyW n

n

sdot== +++

minusminusminus

21

mniriririririr

mmm

mmm 2

222111

xkk

xk

(4) sum=

+=m

kkkkk

x xCxCey k

1

)sincos( ββα

pp

21

121

21

)( xPm )( xQm

kp αα +=

]sin)(cos)([21

xp ββα +=

22

h 2cos2sin)( 4321

p ++= minus

4321 R

)1()1(1

dtdye

dxdt

dtdy

dxdyx =

2

22

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

dtdy

dtyde

dtdye

dtde

dxdy

dxd

dxyd ttt deci 2

2

22

dtdy

dtyd

dxydx minus=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= minusminus

dtdy

dtyde

dtde

dxyd

dxd

dxyd tt

2

22

2

3

sau 23 2

2

3

33

dtdy

dtyd

dxydx +minus=

kk

ydp

p

(2) )( 11

1

10t

nnn

n

efybdtdyb

dtydb

minus

23

(3) 0 11

1

0 =++++ minusminus

minus

ybdtdyb

dtydb

dtydb nnn

n

)1(11

)(0 =++++ minus

21

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= x

xy

ln23sin1

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= x

0 ln23sinln

23cos1

21 ne⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= xxCxC

xu

24

(1) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

0)(

)()()(3

)()()(2

)()()(1

pnm

zzzyyyxxxtF

(2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

minusminusminus

)()()(

)1()1()1()(

pnmp

pnmn

pnmm

(3)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

)(

21

2122

2111

nnn

n

yyytfdt

dy

yyytfdt

dy

yyytfdtdy

25

necunoscute

12

32

21

1 minusminus ==== m

m xdt

dxx

dtdxx

dtdx

) ( 1111111

n zzzyyyxxxtfdt

dx

isin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

minus=t

xydtdy

xydtdx

42

R

2

dtxd

dtdx

dtdy

+=

xdtdxx

dtxd

dtdx 422

2

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ sau 062

2

=minusminus xdtdx

dtxd

23

1tt eCeCx minus+=

şi tt eCeCy 2

23

R isin⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=

+=minus

minus

teCeCy

eCeCxtt

tt

4 2

23

1

22

31

26

R isin⎩⎨⎧

=minus=minus

ttyx

txy

sin4

22

1tt

41minusminus= Deci

teCeCy tt sin51

412

22

1

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

minusminus+=

minusminusminus=

minus

teCeCy

tteCeCx

tt

sin51

41

cos5122

22

21

22

21

27

(1) )(

)()( 21212

2

211

1

nn

n

nn xxxPdx

xxxPdx

===

(2)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==

minusminus 1211

2212

1211

)(

)()(

nnn

n

CxxxF

CxxxFCxxxF

(3) nn

nn

n

PPPdxdxdx

Pdx

λλλλλλ

++++++

====

2211

2

1

0

2211

=+++Φ=+++

nn

PPPddxdxdx

λλλλλλ

12

3

31

2

23

1

xxdx

minus=

00332211321

12

3

31

2

23

1 dxxdxxdxxdxdxdxxx

dxxx

dx ++=

++=

minus=

minus

28

Cxxx 223

22

21 =++

0)()()( 212

2121

211 =partpart

++partpart

+partpart

nnnnn x

uxxxPxuxxxP

xuxxxP (1)

)(

)()( 21212

2

211

1

nn

n

nn xxxPdx

xxxPdx

=== (2)

(3) 022

11

=partpart

++partpart

+partpart

nn

dxx

ϕϕϕ

(4) 022

11

=partpart

++partpart

+partpart

nn

Px

ϕϕϕ

29

)( 21 nxxx

022 =partpart

+partpart

minuspartpart

zuy

yuxy

xux

dzxy

dyxdx

=minus

=

Din xy

dyxdx

2ydz

xydy

=minus

⎩⎨⎧

=+

=

23

1

3 Cxyzy

Cxy

este de forma

(1) )()()()( 211212

2121

211 uxxxPxuuxxxP

xuuxxxP

xuuxxxP nn

nnnnn +=

partpart

++partpart

+partpart

30

(2) 12

2

1

1 +

====nn

n

Pdu

Pdx

222 yxuuyuy

xux ++minus=

partpart

+partpart

222 yxuudu

ydy

xdx

++minus==

Avem

222222222 yxuudu

yxuuuyxuduydyxdx

++minus=

++minus++

++

sau

( ) 222222222 yxuudu

uyxuuyxuduydyxdx

++minus=

minus++++

++

de unde du

uyxuduydyxdx

minus=++

++222

0 222 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++Φ uuyx

yx sau ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+++

yxfuuyx 222

13 Probleme propuse

31

00cos

1==minus ) y(

xy tgxy

4 Să

) y(xy-yx

y- 1121 2 ==

x

y ax

yx

yya p ==+++prime 0) 22 ( )0gta 24

cos

1cos

sin2sin) 22

xy

xxxyyb p ==+prime

)y

yxyaprime

+prime= 1

primeprime+=

35

4

)3(

=+

=minus

=minus+minus

=minus+

b + 2)1() yxyy

ţi constan

04500200

)4( =+minus

===minus

yyb) y)( y) y(ya) y

040

03306116

)()(

)(

yf) yye) y

yyyd) yyyy-c) y

32

210665)3()4(

2

xeyyyb) yxxyya) y

=+minusminus

+minus=+minus

x

yycos

1=minusprimeprime

zyxz minus+=prime

)a )()()( 213

3

132

2

321

1

xxxdx

minus=

minus

)b2

32

22

13

3

2

1

xxxx

dxx

dx

++minus==

)c31

3

21

22

32

22

1

22 xxdx

xxdx

xxxdx

==minusminus

221

222 xuyxuyuyu

xuxu

y=minusminus=

partpart

+partpart

=

33

CAPITOLUL II

FUNCŢII COMPLEXE

numerelor complexe

sub

rarr

34

isinyy)0( sub

35

y M(xy) y z

ρ

θ

0 x x

36

(7) )]sin()[cos( 21212

1

2

1 θθθθρρ

minus+minus= izz

Observăm că 2

1

2z1z

z

z= şi arg

2

1

nk

rarr

37

38

Ρ

y )( 0 rz∆

0z r

V 0 x

0z

0V IntV

___

VVV cup=0

VV sup___

VV =hArr

39

CV sub )0( r∆

Cz isin0 CA sub

0z

infin=z

ςO

40

ne

(7) 22

22

2222 1

1

1 yxyx

yxy

yxx

+++

=++

= ςηξ

rarr

__infincup= CC

sub

CD subΓ ∆

0 x

41

2T

1B 1C 2B 2A ( ) 2C 1T 1A

1T 2T

)()()()()()()( 22221111321

capcapcapcap

nzCzisin

zznn=

42

+= limlimlim

nx ny

nz

211

++++=suminfin

=n

nn wwww

( ) definit astfel

suminfin

=1nnw

43

nS

suminfin

=1nnw Sw

nn =sum

infin

=1

nS suminfin

=1nnw

=

infin

=

infin

=

+=1 11 n n

nnn

n viuw Rvu nn isin

Are loc

sum nw

sum nu sum nv

şirurile ( ) şi (

sum nw

nS

nu

sum nv

44

ltftt

=rarr

)(lim0

ttttRe)(lim)(lim

00

=hArr=rarrrarr

şi ltytt

Im)(lim0

=rarr

0 EEt capisin

)()(lim 000

tftfttt

=hArrrarr

(3) 0

0 )()(lim

0 tttftf

tt minusminus

rarr

45

)()()()()()(

00

0

0 tEttt

tytyi

tttxtx

tttftf

isinminusminus

+minusminus

=minusminus de unde

0

tyitxtf prime+=

minus= kknkttdγ

minusminus=n

kkkkd ttff

46

intb

a

dttf )(

(10) )(lim)(0)(

fdttfI dd

b

a

τυ rarr

))((Im))((Re)())((Im

))((RetyItxIfI

tyI

txIddd

d

d ττττ

⎪⎭

⎪⎬⎫

minus

minus deoarece

(11) int intint +=b

a

b

a

b

a

intt

a

df ττ )( F

(10) ba

b

a

47

(1) 0

0 )()(lim

0 zzzfzf

zz minusminus

rarr

)( 0 zf

Dz isin0

)( 00 yx

(2) )()()()( 00000000 yxxvyx

yuyx

yvyx

xu

partpart

minus=partpart

partpart

=partpart

)()()]()([)]()([)()(

00

0000

0

yyixxyxvyxviyxuyxu

zzzfzf

=minusminus(3)

y z z

z 0y 0z 0 x 0x

Din (3) obţinem

(4) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminus

+minusminus

=rarr

0

000

0

0000

)()()()(lim)(

0 xxyxvyxv

ixx

yxuyxuzf

xx

48

(5) )()()(

lim 000

000

0

yxxu

xxyxuyxu

xx partpart

=minusminus

rarr

şi

(6) )()()(

lim 000

000

0

yxxv

xxyxvyxv

xx partpart

=minusminus

rarr

yxxviyx

xuzf

partpart

+partpart

=

0xx = şi 0

yy ⎯rarr⎯

Din (3) obţinem

(8) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus+

minus

minus=

rarr0

000

0

0000

)()()()(1lim)(0 yy

yxvyxvyy

yxuyxui

zfyy

(9) )()()(

lim 000

000

0

yxyu

yyyxuyxu

yy partpart

=minus

minusrarr

şi

(10) )()()(

lim 000

000

0

yxyv

yyyxvyxv

yy partpart

=minus

minusrarr

Din (8) (9) şi (10) găsim (11) )()(1)( 00000

yxyvyx

yu

izf

partpart

+partpartsdot=

unde

isinf

00 =∆=∆ vu 2

2

yx partpart

+partpart

49

yv

xu

partpart

=partpart şi

xv

yu

partpart

minus=partpart

yu

xv

partpart

minus=partpart

xu

yv

partpart

=partpart

dyxudx

yudv

partpart

+partpart

minus=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

yu

yxu

2

=partpart

+partpart

yu

xu Funcţia

(1) dyxudx

yuyxv

AMint part

part+

partpart

minus=)(

D

)( 00 yxA )( 0yxB

int int partpart

+partpart

minus=x

x

y

dttxxudtyt

yuyxv

0 0

)()()( 0

50

int int partpart

minuspartpart

=y

y

x

dtytyudttx

xuyxv

0 0

)()()( 0

dyxudx

yudv

partpart

+partpart

xv

partpart

minus=partpart

xu

yv

partpart

=partpart

(2) dyxvdx

yvyxu

AMint part

partminus

partpart

=)(

yeyzv x sin)( =

yexv

yuye

yv

xu xx sincos minus=

partpart

minus=partpart

=partpart

AM

x

y

51

nezf)( 00 zfw =

α α β β )( 00 zM )( 00 wN 0 x u

0

0)( 0 nezf

(2) sauzf

zzww

zfzzww

zf

zz

zzzz

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minusminus

minusminus

=minusminus

=

rarr

rarrrarr

)(argarglim

lim)(lim)(

0

00

0

00

0

00

52

(3) _______

00

_______

0 NN)(Γ

(4) )()(

0

0)(

0

00

0

rarr

minus

rarr

minus

rarrsdot

∆∆

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

∆∆sdot

∆sdot

∆== i

zz

i

zz

i

zze

sSe

sS

MMs

SMN

eMMMN

zf

deoarece 1lim 0

)( 00

=∆

rarrrarr s

NM

zzMM

şi 1lim 0

)( 00

=∆

rarrrarr S

MN

zzNN

sSzf

zz ∆∆

=rarr 0

lim)( 0

zfAm obţinut

0z)0)(( 0

nezf)( 00 zM

0z 0zTM 0 UN 0

)(Γ

)()( 21 CCDzzM isin000 )( 0)( 0

nezf)( 1Γ )( 2Γ

53

y (z) v (w) 2U 2T 1T 1U ω )( 2C ω )( 2Γ )( 1C )( 1Γ

2α 1α 2β 1β

)( 00 zM )( 00 wN

10TM 20TM

12 ββω minus=

)( 1C )( 2C)( 1Γ )( 2Γ

54

)11(0M2)( zzf = )90( 0=prime= ωω

_____

M

1M kP kM

00 )( MzA = 0 x

_____

AB

55

arbitrar

Arcului _____

(2) sum=

minusminus=n

kkkkd zzaff

11 ))(()(σ

DAB sub_____

rarr____

)()(lim0)(

AB

ddvdzzffI σ

__________

)()()()()()

ABABAB

(5) )()()( fiff ddd σσσ +=

unde

sum=

kkkkkkkkkd yyvxxuf

111

)]()()()([)( ηξηξσ

şi

sum=

kkkkkkkkkd yyuxxvf

111

)]()()()([)( ηξηξσ

56

_____

AB

b

aABddv

0)(σ

şi

intint +=+=rarr

b

aAB

0)(_____

σ

_____ _____

)()(AB BA

dzzfdzzf

AB

3 int int int isin+=_____ _____ _____

_____)()()(

AB AC CB

ABCdzzfdzzfdzzf

4 LMdzzfAB

sdotleint_____

)( unde )(sup_____

zfMABzisin

AB

=C az

dzI

a

y M(z) r θ a

(C) 0 x

57

θθθ diredzeraz

ii ==minus

minus 11

şi

θθ πθθ2

0

2

0

21 ididireer

I ii

(1) int =C

dzzf 0)(

∆ (C) 0 x

58

dxdyyP

xQdyyxQdxyxP

Cintintint∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

=+ )()(

xv

yu

xu

partpart

Green obţinem

intintint∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

minus=minus dxdyyu

xvvdyudx

C

(3) şi

intintint∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

=+ dxdyyv

xuudyvdx

C

∆

yv

xu

partpart

=partpart şi

xv

yu

partpart

dzzf 0)(

∆)( 1C )( 2C

59

_____

AB ____

ABD ∆=

)()()()(__________

minus+CBA

CAB

C

2_____

1

Cum intint =+BAAB

minus=2 2

)()(C C

dzzfdzzf

minus +

=1 2

)()(C C

dzzfdzzf

)( 1C)( 2C )( nC )( 1C )( 2C )( nC

)( 2C )( nC y )( 1C

)( 2C )( nC )( 3c )( kC

∆ 0 (C) x

(6) sum intint=

=n

k CC k

dzzfdzzf1

)()(

60

(1) int minus=

C

dzaz

zfi

af )(21)(π

zfminus

minusminus

=minus

=minus γγ γ

dzaz

afdzaz

afzfdzaz

zfdzaz

zf

C

)()()()()(

πiaz

zf 2)(

61

int intint =leminus

minusle

minusminus

γ γγ

πεε 2)()()()( ds

rdz

azafzf

dzaz

afzf

minusminus

int dzaz

afzf

γ

minusminus

=C

n

k C

dzaz

zfi

dzaz

zfi

afK1

)(21)(

21)(

ππ

(5) int +minus=

Cn

n dzazzf

inaf 1

)(

)()(

2)(π

=C

dzaz

zfi

af )(21)(π

62

=1

)(n

n zf Dz isin0

infin

=10 )(

nn zf

mulţimea

suminfin

=1)(

nn zf

1

)(zf n

Dzzfn

n isinsuminfin

=

)(1

00

gtsuminfin

=n

nn uu

=1

)(n

n zf DA sub

şi

nnn zczf =)( n

n azc )( minusinfin

=1n

nn zc

nn

nn cazc )(

1suminfin

=

minus Caisin

Are loc

suminfin

=1n

nn zc

0ge

63

nnc

nR lim

___1

infinrarr== ω

ω

(1) sau

n

cc

nR 1lim

___1 +

infinrarr== ω

ω

(2) int minus=

C

duzu

ufi

zf )(21)(π

Observăm că

(3) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

minusminus

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

minusminus

++minusminus

+minus

=minus

sdotminus

=minus minus

minus

+

minusminus

auaz

nn

auaz au

azauaz

auaz

auauzu 1111

1111 1

int int int +minus

minus++

minusminus

+minus

= +C C

nC

n

Rduauuf

iazdu

auuf

iazdu

auuf

izf 12 )(

)(2

)()()(

2)(

21)(

πππ

unde

= +

+

Cn

n

n azauauduuf

iazR

)]()[()()(

2)(

1

π

64

int +minus=

Cn

n

auduuf

inaf 1

)(

)()(

2)(π

(6) nn

n

Razn

)()(1

)()()()(

intint sdotminus

sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛le

minussdotminus

minusle

+

C

n

Cn

n

n udrr

Mrau

udufazR

ρρ

πρπ1

2)(

2

1

adică 1+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdot

minusle

n

n rrMrR ρρ

infinrarrn

(7) suminfin

=

minus=0

)(

)()(n

nn

azn

afzf

D 1r u z a 2r )( 2γ 0 v x

minusminus

=21

)(21)(

21)(

γγ ππ zuduuf

izvdvvf

izf

65

(2) n

nn azc

zvdvvf

i sumintinfin

=

minus=minus 0

)()(21

1γπ

unde (3) 210

)()(

21

1

1 isinminus

= int + nav

dvvfi

c nnγπ

⎤⎢⎣

⎡minus

sdot++++minus

=minusminusminus

=minus

minusminusminus

+minusminus

minusminus

2 221

11)(21

)()()(

21)(

21 1

γ γγ πππdu

azuf

iauazduuf

izuduuf

i azau

nazaun

azau

12 lt=minusminus

ρr

azau

minus=

minusminus minus

+

= 22

11

1))((

21

)(1)(

21

γγ ππ nk

n

kk Rduauuf

iazzuduuf

i unde

(5) duufi

R azn

azau

n minus+

21

2γπ

2

zfMz γisin

= obţinem

2

21

2

rrr

MRn

n minus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotle

+

ρρ

sumintinfin

=

minusminus minus=

minus 1)()(

21

2 n

nn azc

uzduuf

i γπ unde

(6) duauufi

c nn

1))((21

2

γπ

66

infin

minusinfin=

minus

minusinfin=

infin

=

nn

nn azcazcazczf

1

0)()()()(

unde (8) ))((

21 Znduauuf

ic n

n

nn

n

nn azcazc )()(

0

1

=

minus

minusinfin=

(9) suminfin

=

subisinminus=0

)()(n

nn DVzazczf

Disin

(11) suminfin

=

++minus

=0

1 )()(

)(n

nnm

m azcaz

caz

czf

67

n

infin

minusinfin=

)()( zQzPzf =

Γ

= dzzfdzzfC

)()(

Γ

= dzzfi

arezf )(21)(π

68

Γ minus= dz

azz

iarezf p)(

)(21)( ϕπ

)1(1)( )1( gtminus

= minus pap

arezf pϕ

)1(1)( minus

=sdotminusminus

= paz

p zfazp

arezf

)()()(

caz (5)

)()()( ah

agarezf =

69

C

dzzf 0)(

ka KΓ

Γ Γ Γ

+++=1 2

)()()()(n

dzzfdzzfdzzfdzzfC

k

isin=intΓ

π

(6) )(2)(1

kC

n

k

afrezidzzfint sum=

= π

70

dzz

IC

zint ++

=1

sin1 π

22

=+yx

funcţiei z

zf z

++

=1

sin1)(

π

11)( 3

3

31

+=

zzz zzzz

zf πππ

1

0sin53

)0(53

1 2210

1 +++++++=⎟⎠⎞

uc

uf m

m

adică

(7) )( 221

zc

czcczf m

1cinfin

71

izfrez

Cz int=infin= )(

21)]([π

(9) 0)]([)(1

=+suminfin

=infin=

kzk zfrezarezf

Lemă (Jordan)

rarr

zfazaz

0=int

rarr

dzzfCR

infinrarr

zfazR

atunci

dzzf

dxxQxP

int+infin

)()(

72

nzzz 21

)(Γ

y )(Γ 2z nz R 2 z 1 z x -R 0 R

(1) int sumintΓ =

=

+

minus

=+n

kzz

R

RK

zrezfidxxQxPdz

zQzP

1

)(2)()(

)()( π

zfzz

avem intΓinfinrarr

= 0)()(lim dz

zQzP

(2) int suminfin

infinminus ===

n

kzz k

zrezfidxxQxP

1

)(2)()( π

θθθ2

0

)cos(sin dR

73

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus=

zz

i1

21cos1

21sin θθ

zint=

=1

1 )(

π

θθ

0 sin45dI

intint== minus+

=sdotminus+

=1

21

12 252

)(51

zz zi izzdzI

izdz

zI

estei

zrezfiz 3

1)(31 =

minus= şi deci

32π

=I

(3) int sum ==

sdot+=C

zzk

n

k

zfrezizfrezidzzf0

)]([)(2)(1

ππ

)(Γ 0z

74

(4) int int sum

===+

____ ______

1

)(2)()(QPC PAQ

n

kzzk k

zrezfidzzfdzzf π

0

____ ______ 1

1)(2)(2)()( zz

n

kk

QPC PBQ

n

k ===

)()()( 00100

= minus nn zzczzcc

zzc

zf

Observăm că

(5) 0)()(lim0

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+ intint

rarr

=minus=PBQPAQR

cdzzfcdzzf ππ 110

)()(lim )

0rarrR

int sumsum ==

==

+=C

az

m

jzz

p

kjK

zrezfizfrezidzzf11

)()(2)( ππ

_____1 pkzk =

_____1 mjj =α

=1 )1(z zz

dzI

00 minus==

rarr= zzfzrezf

zz şi 1)]()1[()( lim

11 =minus=

rarr= zfzzrezf

zz

75

θ

θθ

1f 2f

)( 00 zM )(zM

0θ şi θ

________

0MM

22

21 )(

θθ

ρρii

0M

1f 2f

76

(2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=sdot=sdotminus=

=sdotminus=sdot=

+

)()(

122)2(

2

222)2(

1

zfeezf

zfeezfii

ii

θπθ

ρρ

1f 2f

)(1 zf )(2 zf

n

z +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

infinrarr

we z =

77

αzzf =)(

(11) 2

cos2

siniziziziz eez

ieez

minusminus +=

minus=

(12)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+minus++minus=

+minus

minus++minus=minus

+

)2(

)1(2

1cos

)12(

)1(3

sin

22

121

3

nzzz

sinzzzz

nn

(13) 111

cossin

2

+minus

== iz

iz

ee

izztgz

izArc minusplusmn=

78

iz minusplusmn=

izArc minusplusmn=

(19) ⎩⎨⎧

minus++

=zk

zkzArc

arcsin)12(arcsin2

sinππ

izzizie iw plusmnne

+minus

= 2 deci ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+minus

=zizi

iArctgz ln

79

(20) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+minus

=zizi

iarctgz ln

21

(21) sh z 2

2

zz ee minus+=

2 2

a) suminfin

=1 )2(nni

n b) suminfin

=1 2cos

nn

in c) suminfin

=13

2

n

in

ne

2 Să se calculeze

int minus+1

0 123 dtitit

b) ))((14

22cos

2)( tgzzfRfychx

yshyxv ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

π

c)

))(( zzfR =

80

2

11⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

minus+

2332)( 2 +minus

+=

ze

C

ziπ

a) dzzz

e

z

int= minus1

1

)1(

b) 22

)1)(1(22

2 yxyxundeCzz

dz

C

+=++minusint

c) 3

zzzdz

C

81

a) intinfin

infinminus +dx

xx

16

2

minus 0cos0

2

c) intinfin

xxxxI

136sin

21 şi intinfin

xxxxI

136cos

22

d) int +

π

θθ2

02)cos45(

d

e) int isingt+minus

π

θθθ2

02 1

cos21cos nad

aan N

531 itgz minus

82

CAPITOLUL III

FUNCŢII SPECIALE

(fmfn)= ⎩⎨⎧

=gtne

=intΩ nmC

nmdxxfxf

nnm 0

0)()(

)(xfn Nnisin

Nkk

k

fxf

isin⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

2

xnlxn

lx

=ne

=intminus nml

nmdxxfxf m

l

ln

0)()( )(xfk

llxn

n

l

llxn dx π

ππ

llxn

n

l

llxn dx π

ππ

83

( ) ldx lll

xnl

llxn =+= minus

minusint ππ 2

212 cos1cos

llxn

l

llxn =minus= minus

minusint ππ

dxmnmndx lx

l

llx

lxm

l

llxn ππππ etc

(2) 2

2

lxn

lx

lllllllππππππ

(4) 1

1

2cos1

2sin1

1

πππππππ

)(xf k Nkisin

Ω

))()()(( xfxpxf nm =⎩⎨⎧

=gtne

=intΩ nmC

nmdxxfxfxp

nnm 0

0)()()(

Exemplu

n

nx

84

)(0)()())()(( 2

0

mx

n =ne== intinfin

minusminus

xn e

nxL

1)( = )( xn

n

(1) intinfin

minusminus=Γ0

intintinfin

11

0

1)( dtetdtetz tztz

01

11

xt

a

iyxt

a

zt

a

zt

00111

11 gtgt

xadttdtte

a

xx

a

zt

0

1 dtet tz

85

minusminus

1

1 dtet tz

11

tb

x

n enu

1minus

1

minusinfin

minusint

1

)1( +Γ z = )()( 1

00

0

intint

86

( deci intinfin

minusminus gt=Γ0

zππ

sin

intintinfin

minusinfin minus

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

00

2

221 πduedt

te u

t

(6) intinfin

minusminus=Γ0

122)( dttez zt

0

(8) =)( qpB )()()(

qpqp

int intinfin infin

1212)( 22

0

121212121)(2 sincos)(2sincos4)(2

2

00 πθρ lelege

B(pq)= θθθπ

dqpint minusminus2

0

87

3 Funcţiile Bessel

(2) y(x)=xrsuminfin

=0k

kk xa

ka

Din (2) obţinem

(3)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

minus++=

+=

sum

suminfin

=

minus+

infin

=

minus+

0

2

0

1

)1)((

)(

k

rkk

k

rkk

xrkrkay

xrkay

(4) sumsuminfin

=

infin

=

minus=minus+00

22 ])[(k

kk

k

kk xaxvrka

(5)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

isinminus=minus+

=minus+

=minus

minus 432])[(0])1[(

0)(

222

221

220

kavkra

vra

kk

88

(6) 32100 12531 isin====== + kaaaa k

(7) 321)44( 222

(9) ))(2)(1(2

)1(2

02 nvvvn

aa n

n

n +++minus

=

(10) 210)1(2

)1()1(2

02 isin

++Γ+Γminus

= nnvnva

a n

n

(11) n

n

nv xnvn

xy2

0 2)1()1(

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

(12) n

n

nv

vx

nvnxxI

2

0 2)1()1(

2)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

v

89

(13) n

n

nv

vx

nv1+

minusn

xxI2

0 2)1()(

2)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+minusΓ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

minus

minus nv ne

1gep

(15) n

pn

np

px

npnxxI

2

2)1()1(

2)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++minusΓminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= sum

infin

=

minus

şi )()1()( xIxI pp

p minus=minus

(16) nvv

xIxIvxN vv

v neminus

= minus sin

)()(cos)(

ππ

(1) )(xH n ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minusminus=22

)1( xdxdxn ee n

n 3210isinn

32

90

2

)( xexu minus=2

2 xxeu minusminus=

( ) [ ])()()1(22)( )1()()1()2( 2

Observăm că H

2

(5) intinfin

infinminus

minus

⎩⎨⎧

=

ne=

nmn

nmdxxHxHe

nnmx

2

0)()(

2

π

I= intinfin

infinminus

minus = π222

ndxen nxn

(7) f(xt)=

)(0 n

txHn

nnsum

infin

=

)(xH n

=partpart fxt

tftf

91

(1) [ nn

n

nn xdxd

nxL )1(

(x2-1)u(n+2)(x)+2xu(n+1)(x)-n(n+1)u(n)(x)=0

n

xdxd )1( 2 minus

21

1)2

minusisinisinminus+

= xx

x ρρρ

ρ

E(M)= RR

12 =M0M

20

V(M)=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

lt=minus+

=1

21

11

121

11

10

2

02

0

rr

xr

rr

xr

R ρρρ

ρρρ

92

(6) [ ] ( ) ( )( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

suminfin

==+minus++=

+minus

minusminusminus

minus

0)(1

)2()2(1)2(1)(

233

253

212

232

222

23

21

2122

12

nxLxx

xxxxf

nnxx ρρρρ

ρρρρρρρ

partpart

+minus fxfx ρρ

ρρ

0)()()()21(01

=

infin

=

minus n

nn

n

⎩⎨⎧

=+ne

=intminus nmn

nmdxxLxL mn )12(2

0)()(

1

`

93

6 Probleme propuse

int= 20

46 cossinπ

xdxxI

intinfin

+=

0 36

2

)1( xdxxI

intinfin

+=

0 8 1 x

dxI

a) xxf =)(

b) 2

1)( xxf minus=

94

CAPITOLUL IV

suminfin

minusinfin=

isin+==k

ω )(~

xff Tω=

sum=

++=n

kkkn kxbkxa

ax

1

0 )sincos(2

)(T (1)

)sincos(2 1

0 kxbkxaa

kk

k ++ suminfin

=

(2)

int intminus minus

==π

π

95

(4) suminfin

=

++=1

0 )sincos(2

)(k

kk kxbkxaa

xf

(5) intminus

=π

ππdxxfao )(1

int intminus minus

==π

π

(6) intminus

=π

ππkxdxxfak cos)(1

(7) intminus

=π

ππkxdxxfbk sin)(1

kk ba 321isink

(8) suminfin

=

++asymp1

0 )sincos(2

)(k

kk kxbkxaa

xf

96

(9) 2

)0()0()( ++minus=

cfcfcS unde

cxcx

ltrarr

=+=minus

)(2

6

0)1(02

02

π=ne

minus== ak

kab

k

kk

este

2

2cos1

cos12

cos)1(124 22

2

12

22

++minus=minus

+= suminfin

=

xxkxk

xk

k ππ

6

121

11 2

222

π=++++

n

97

kxxf sin)(

(1)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

====

intint

intintint

minus

minusminus

ππ

π

ππ

π

ππ

πππ

0

00

cos)(2cos)(1

)(2)(10sin)(1

kxdxxfkxdxxfa

dxxfdxxfakxdxxfb

k

(2) kxaa

xfk

k cos2

)(1

0 suminfin

=

+=

π 0

sin)(2 kxdxxfbk

(4) suminfin

=

=1

sin)(k

k kxbxf

lxn

lx

lx ππππ

98

⎠⎞

⎜⎝⎛

πltf Scriind

⎜⎝⎛

πltf avem

(2) )sincos(2 1

0 ktbktaaltf k

kk ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sum

infin

=π

(3)

dxlxkxf

lb

dxlxkxf

la

dxxfl

dxl

xfdtltfa

l

lk

l

lk

l

int

intintint

minus

minusminusminus

=

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

π

ππππ

π

sin)(1

cos)(1

)(1)(110

(4) )sincos(2

)(1

0

lxkb

lxka

axf k

kk

ππ++= sum

infin

=

π

ππk

xdxkxxdxkxba kkk

2)1(sin2sin0 11

0

1

+

minus

minus==== intint

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minus= sum

infin

=

+

1

sin)1(2k

k

xkk

x ππ

Pentru 21

=x obţinem suma

4

71

51

311 π

=+minus+minus

]l0

99

]0lminus][ llminus

y f(-x) f(x) -l -x 0 x l x

⎩⎨⎧

isinminusisinminus

=]0[)(

]0[)()(

lxxflxxf

xF

(1) lxka

axF

kk

πcos2

)(1

0 suminfin

=

+=

unde

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

intint

intintminus

dxlxkxf

ldx

lxkxF

la

dxxfl

dxxFl

a

ll

lk

ll

l

0

00

cos)(2cos)(1

)(2)(1

ππ 0=kb

100

(3) suminfin

=

+=1

0 cos2

)(k

k lxka

axf π

⎩⎨⎧

=]0[)(

]0[)()(

lxxflxxf

xF

(4) F(x)=lxkb

kk

πsin1

suminfin

=

unde

(5)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

==

int

intminus

dxlxkxf

lb

saudxlxkxF

lba

l

k

l

lkk

0

sin)(2

sin)(10

π

101

(6) lxkbxf

kk

πsin)(1

suminfin

=

⎩⎨⎧

=]10[1

)01[1)(

xxxx

xF

unde

xkbk

k πsin1

suminfin

=

int =minus=1

0

2sin)1(2π

πk

xkxbk

Deci

1-x = sin21

suminfin

=k kxkπ

π

102

(1) ( )lxkb

lxka

axf k

kk

ππ sincos2

)(1

0 ++= suminfin

=

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

==

int

intint

minus

minusminus

dxlxkxf

lb

dxlxkxf

ladxxf

la

l

lk

l

lk

π

sin)(1

cos)(1)(10

(3) )(21sin)(

21cos l

xki

lxk

i

l

xklxk

ilxk

i

l

xk eei

eeππ

πππ

seria (1) devine

(4) f(x)= )(2 22

1

0 lxki

kibkalxki

kibka

kee

infin

=

++ sum

(5) ck= intminus

minusl

l

lxkidxexf

l

π

)(21

şi

minus

l

lxkidxexf

l

π

)(21

(7) 00 )(

21

2cdxxf

la l

l

== intminus

=

minus

infin

=

+00 k

lxki

kk

lxki

k ececππ

sau

(9) f(x)= suminfin

minusinfin=k

lxki

k ecπ

unde

(10) ck = intminus

minusl

l

lxkidxexf

l

π

)(21 kisinZ

103

))(( xnΨ

(1) f(x)= )(1

xc kk

k Ψsuminfin

=

kΨ

(2) kk

b

akkk

b

2)(

(3) ⎩⎨⎧

=ne

=ΨΨnmnm

mm 10

)(

kc

)( kΨ

(4) = )(xH n )()1(22 x

ndx

2xeminus )(2 RLisin

(5) sum xinfin

=

=0

)(k

kkx xHce isinR

104

)(2

xHex

π2)()( 222

kcdxxHecdxxHe kkk

xkk

xx intintinfin

infinminus

minusinfin

infinminus

+minus == de unde

intinfin

infinminus

+minus= dxxHek

c kxx

kk )(21 2

π

int int intinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

+minusminus

1

222

xxk

xx π

suminfin

=

=0

41

2)(

kkkx

kxH

ee

)(2 baLisin

(6) )()(1)()(21

21 xgxfab

dxxgxfb

aab

minusminus

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡minus= intminus

δ

Funcţia

(7) sum=

Ψ=n

kkkn xxS

1

)()( λ

dxxfdxxSxfabb

a

b

a

n

kkknn

2

1

22 )()()()( int int sum=

105

b

ai

n

i

n

jjik

b

a

n

k

b

a

n

k

b

akxkn ΨΨ+Ψ

⎩⎨⎧

22 )( λλλλδ

kΨ

)kΨ

int Ψ=b

(9)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sumsum sum

sum sum sum sum

== =

= = = =

n

kkk

n

k

n

kkkkkk

n

k

n

k

n

k

n

kkkkkkkkn

ccfcc

cfccfab

1

2

1 1

22

1 1 1 1

2222

))((

)(

λλλ

λλλλδ

)(2 baLisin

sum=

Ψn

kkkc

1

(10) sum=

minus=minusn

kkn cfab

1

222 )(δ

(11) 2

1

2 fcn

kksum

=

le

(unde dxffb

=1

2

=1

2

(12) 2

1

2 fcn

nnsum

=

le

106

(13) 2

1

2 fcn

nnsum

=

(14) sin

cos

sin

cos

21 1111

lllll

xkxkxx ππππ

cos)(cos

)( 1|k

l

xkl

lk aldx

lxkxf

lldx

lxfc sdot=== intint

minusminus ππ

lbc kk = si 00 2)(1

22)( alxf

lldx

lxfc

l

0 kk ccc

(15) intsumminus

infin

=

=++l

lnnn dxxf

lba

a)(1)(

22

1

222

0

(16) intsumminus

infin

=

=++π

ππdxxfba

an

nn )(1)(2

2

1

222

0

⎪⎩

⎪⎨⎧

ltle

lt=

πx

xxf

1pentru 0

1pentru 1)(

=12

2sinn n

n şi suminfin

=12

2cosn n

n

Seria Fourier este

(1) suminfin

=

++=1

0 )sincos(2

)(n

nn nxbnxaa

xf

unde

π

0

107

x

y

0 -π -1 1 π

1

Avem intminus=

1

101 dxaπ

de unde rezultă

(3) π2

0 =a

Apoi n

nnxn

1

1=== int

minusminus

adică

(4) n

nan πsin2

=

şi 0cos1sin1 11

1

nnxdxbn ππ

adică

(6) suminfin

=

+=1

cossin21)(n

nxn

nxfππ

(7) dxxfbaa

nn

n )(1)(2

22

1

220 intsum

minus

infin

=

=++π

ππ

sau

(8) intsumminus

infin

=

=+1

112

2

22

1sin42 dxn

nn πππ

de unde

(9) 1sin211

2

=+ suminfin

=n nn

ππ

108

(10) 2

1sin1

2

2 minus=sum

infin

=

πn n

n

=12

2cosn n

n scriem

sumsumsumsuminfin

=

infin

=

infin

=

infin

=

minus=minus

=1

2

12

2

12

2 sin1sin1cosnnnn n

nnn

nn

n

Ştim că 6

1 2

12

π=sum

infin

=n ndeci

21

6cos

1

2

2 minusminus=sum

infin

=

ππn n

n

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

isin

minusisin=

]0(3

]0(1)(

π

x

xxf

b)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

isinminus

isin

=

]32[3

)21(1

]10[

)(

xx

x

xx

xf

c) Rx

xxxf isin

+=

cos45cos)(

24)( ππ

isinminus= xxxf

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

isinminus

isin=

]21(

]10[)(

xx

xxxf

109

)(2

)( πππ

πminusisin= xe

suminfin

= +minus

12 1

)1(n

n

n şi sum

infin

= +12 11

n n

⎪⎩

⎪⎨

⎧

lele

lt=

πxa

axxf

0

1)( a gt0

suminfin

=12

2sinn n

na şi suminfin

=12

2cosn n

na

110

CAPITOLUL V

infinminus

(1) )(21)( )( ττπ

infinminus

+infin

infinminusint int=

l

etFl

tFn

l

minusinfin= minus

(3) sum int+infin

minusinfin= minus

minus=n

l

tin defl

tF ττ τ )()(21)(

111

putem nota intminus

minus=l

l

sum+infin

nnnn uututF ))((

21)( 1ϕπ

int+infin

infinminus

unde

int+infin

infinminus

(4) ⎩⎨⎧

infinminus

+infin

infinminus

+infin

infinminus

+infin

infinminus

τττπ

)(cos)(21)(

au

proprietăţile

intint+infin

infinminus

+infin

infinminus

int int int+infin

infinminus

+infin +infin

infinminus

==0

infinminus

minus=0

)(cos)(1)( τττπ

dtufdutf

112

infinminus

+infin +infin

infinminus

00

τττπ

dufutdudufduuttf

Dacă notăm

int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

sdot=sdot= τττπ

τττπ

avem

intinfin

+=0

(6) intint+infin

infinminus

+infin

τττπ

dufduutt(f

sdotsdot=0 0

dufduuttf

int int+infin

infinminus

+infin

sdot=sdot0

şi

int +infin

infinminus

int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

minus= ττπ

113

Dacă notăm

int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

21)(

πττ

πτ

avem

int+infin

infinminus

(8)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

int

intinfin+

infinminus

minus

+infin

infinminus

minus

dteugtf

dtetfug

iut

)(21)(

π

(8)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

int

intinfin+

infinminus

minus

+infin

infinminus

dteugtf

dtetfug

iut

)(21)(

π

sdot==0 0

τττπ

int+infin

sdot=0

cos)(2)( duutugtfπ

sdot==0 0

τττπ

int+infin

sdot=0

sin)(2)( duutugtfπ

114

(9)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

sdot=

int

intinfin+

+infin

0

cos)(2)(

duutugtf

dtuttfug

π

tf+

+022

)1(sin dt

tutt

(1) intinfin

=0

cos)(2)( utdttfugπ

sau )1(

cos221

)1(cos2)( 22

022 dt

tutdt

tutug intint

infin

infinminus

infin

+=

ππ

infinminus += dt

tutI 22 )1(

=z

uzzh

y

x 0

(Γ)

-R R

D i iz =1

Observăm că

+=C

R

dzzhdtthdzzh )()()(

lim

(2) intint intΓ

infinrarr

infin

infinminus

++

= )(lim)1(

RC

115

int =C

R intΓ

infinrarrrarrrArr=

infinrarr

0)(0)(lim dzzhzzhz

R

Din (2) obţinem

(3) )(2 iirezhI π=

Observăm că

iuiuiuiirezh

izuzizizuzu

izizuzizirezh

iziz

4cossin)(

)(cos)(2)(sinlim

)()(cos)(lim)( 4

2

222

+=rArr

rArr+

+minus+minus=

prime

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus

minus=rarrrarr

sau ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

minus=

minusminus

2cos

2sin

iwiwiwiw eewieew

(4) i

chuushuirezh4

)( +minus=

(5) )(2

ushuchuI minus=π

de unde

(6) )(22

intinfin

+022 )1(

intinfin

+=

022 )1(

cos2)( dttutug

116

dttuttug int

infin

+minus=prime

022 )1(

sin2)(π

infin

+minus=minusminus

022 )1(

sin2)(22

1π

π de unde

(7) uchudttutt

4)1(sin

022

π=

+intinfin

(10)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

sdot=

int

intinfin+

+infin

0

sin)(2)(

duutugtf

dtuttfug

π

int+infin

infinminus

int+infin

infinminus

şi int+infin

infinminus

unde int+infin

infinminus

=01

)(t

tϕ⎩⎨⎧gt

lelt1

10t

t

117

)(cos)(2

0

π unde

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus

==0

)1(2)(2)( tttf πϕ

π pentru

110

gtlelt

tt

int int+infin

sdot+sdot=1

0 1

intminus

sdot=sdotminus=1

02

cos12cos)1(2)(u

udtuttugππ

118

1

(2)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

gt

=

lt

=

01

021

00

)(

t

tη

(3) intinfin

minussdot=0

0s

0ss gt

f(t) 0 t

(4) intinfin

minussdotminus=0

))(()( dtettfpF pt

119

)]([)]([)]([)]([)]()([

tfLktfkLtgLtfLtgtfL

ααα pFtfL =

ττα

βϕτ

α pFdefdtetfpLp

pt

1sinsin 2 +=

ptLt

Atunci 0

1)(

11sin 222

gt+

=+

sdot= ωω

ω

ωω

ωpp

tL

120

int intinfin infin

)()(τ

int intinfin infin

)( )()()(τ

121

])([])([)())((00

minusinfin

minusminus

Exemplu 22)()sin(

ωλωωλ

+minus=sdot

pteL t

00

)(

0

limlim tfftff k

tt

k

tt

gtrarr

gtinfinrarr

intinfin

minus=0

)()( dtetftLf pt

intinfin

minusinfinminus +=0

infinrarr

pt

tetf

minus+minus=0

)0()()(

)0()()()0()()(

)0()()0()()(

)1()1()(

minusminus minus=

minusprimeprime=

minus=

minus=minus=

nnn ftpLftLf

ftfpLtLfftpLftLf

ftpLffppFtLf

122

ωω

+=

pptL

1)sin( 22

2

22 ωω

ωωω

+minus=minus

+sdot=minus

pppptL

ωωω+

=p

tL

0ss gt

ττ dft

int0

)(

ττ dftgt

int=0

)()(

(13) )(1)(0

pFp

dfLt

=int ττ

123

(14) ttfLdqqf

p

)()( =intinfin

dtgfLpGpF0

)()()()( τττ

int minus=lowastt

dtgfgf0

)()( τττ

(16) intinfin+

infinminus

gtminus=ia

ia

sadqqpGqFi

tgtfL 0)()(21)]()([π

0s

(1) intinfin+

infinminus

gt=ia

ia

pt sadpepFi

tf 0)(21)(π

124

)]0()0([21

++minus cfcf

intinfin

minus=0

)()( dtetfpF pt

)(tfateminus

Avem intinfin+

infinminus

= )(

0)(

21)( ττσττσπ

ϕ dteaefdt

intinfin+

infinminus

0)()(

21)( ττστσσπ

ϕ diaefdtiaetate

125

)]0()0([21)(

0)(

21

++minus=intinfin+

infinminus=int

ia

iatatedpefdppte

iϕτττ

π

int+infin

minus sdot=0

)()( ττ defpF pt

)()()(

pBpApF =

npppp 210

(1) sum=

sdot=n

k

tp

k

k kepBpA

tf0

)()(

)(

n

ppa

pFminus

++minus

+minus

= )(2

2

1

0

=j j

n

k jk pp

dpadppF0

)(

minusintΓ kpp

dp pentru jk ne

Pe de altă parte i

ppdp

k

π2=minusint

Γ

deci

2)( jiadppFj

π=intΓ

126

)()(

2)(2)( j

jj pB

pAiprezFidppF

j

ππ =sdot=intΓ

)()(

j

jj pB

pAa =

sum= minus

sdot=n

k kk

k

pppBpA

pF0

1)()(

)(

0

sum= minus

sdotsdot

+sdot=n

k kkk

k

pppRppA

pRApF

1

1)(

)(1)0()0()( şi (1) devine

(2) kp

tpen

k kpRkpA

RAtf

ksdotsum

=+=

1 )(

)(

)0()0()(

)()()(

(3) )(Re)(21)( k

k

ia

pt pzGdpepFi

tf sumint ==infin+

infinminusπ unde

127

(4) )1(

])()[()1(

1)(minus

=sdotminusminus

= kkpp

ptepFkkpp

kkprezG

λλ

kp

0 a x (C) B(a-iR)

)4()1()( 22 +sdot+=

ppppF

)52(21

)()(

2 +=

ppBpA obţinem

)()(61)( 22

31)( tttf minus=

128

1

)1(1

)(0 gt=++++ minus

)2( 1)1(

1

0 )0()0()0( minusminus === n

n yyyyyy

1

)1(1

nn =++++ minusminus

(4)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

minus=

+minus=

+++minus=

++++minus=

0

102

23

12

01)1(

122

11

0(n)

)(

)()(

)()(Ly

yppYLy

ypypYpLy

ypypypYpLy

ypypypypYp

nnnnn

(5) P(p) Y(p) - G(p) = F(p)

129

)( 011

(6)

)()()()(

pPpGpFpY +

=

521)5)(2)(1(

1311)(2

minus+

minus=

=p

Cp

Bp

Appp

pppY

Găsim

1217

35

43

minus=== CBA

Deci 0

1217

35

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++

=+++++

tyyxxyyyxxx

222212

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=+++

++=+++++

pp

pYpppXp

pp

pppXpp

22

2)()2()()22(

11)1()()12(

130

1)1(

11)(1)1(

11)( 2222 +++

+minus=++

+=p

pp

pYpp

pX

21)(

tchtfRRf =rarr+

41)( 2 +

=rarr+ ttfRRf

)4(1)( 22t

tf+

= Din

sin

022 dt

tutt

intinfin

+

intinfin

+=

02 11cos)(

uutdttf u gt0

intinfin

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=minus

gt

isin

=0

4

0

)0(2

cos)(

πππ

ππ

t

utduuf

131

b) 1)0(

15)0(3)0(062044

)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===++

=++

yxyxyyxx

a

1)0(1)0(0)0(

)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

===++=

+minus=

++minus=

zyxzyxzzyxy

zyxx

b

132

CAPITOLUL VI

(11) 0mnxum

21x

u2

nxu

2xu

1xuuxF =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpart

part

partpartpart

partpart

(12) 0n

1i 2ix

u2∆u =sum

= part

part=

(14) ( )uxf∆u2a2t

u2=minus

part

timpul)

133

(15) ( )uxf∆u2atu

=minuspartpart

(16) sum=

=+partpartn

1if(x)u0a

ixu(x)ia

(17) sum=

=sum=

+partpart

partn

1jif

n

1i(x)u0a

ixu(x)ia

jxixu2

(x)ija

(18) 02x1x

u2=

partpartpart

0n

1i1

2

ixu

=sum=

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

(21) ( ) ( )sum=

=n

1ji jξiξxijaξxP

134

Exemple

22

2ξ21ξξP lt⎟

⎠⎞⎜

2ξ21ξ

22ξP ⎟⎠⎞⎜

δ

( ) 2nξ2

2ξ21ξ

2aξP ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++=δ

(22) ( ) ( ) ( ) 0yu

xuuyxd2y

u2yxc

yxu2

yx2b2x

u2yxa =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

135

Notăm

Atunci

δ

(31) fn

1iu(x)0a

ixu(x)

n

1i ia2ix

u2iλ =sum

=sdot+

partpart

sum=

+part

part

=n

1i2iξiλξP

fun

1i(x)0a

ixu(x)ia∆u =sum

=+

partpart

+plusmn

136

fn

1iu(x)0a

ixu(x)ia

k

1i 2ix

u2=sum

=sdot+

partpart

sum=

+part

part

n12jiijaAisin

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

n12jiijbBisin

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

( ) sum=

=n

1ji jξiξijaξP

egalităţile

(32) n1ijξn

1j ijbiη =sum=

=

( ) sum=

=ηn

1i2iηiλQ

(33) unde B⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nλ00

02λ0

001λ

(34) n1ijxn

1j ijbiy =sum=

=

(35) sum=

=+partpart

+sum= part

part n

1ig(y)0b

iyu(y)ib

n

1i 2iy

u2iλ

unde λiisin-1 0 1

137

sum= part

part=sum

= part

partsdot

partpart

=partpart n

1k ikbkyun

1k ixky

kyu

iλix

u

şi

sum= partpart

part=sum

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

partpart

sdotpartpart

=partpart

part n

1lk lykyu2

jlbikbn

1k kyu

jxikbjyix

u2

(36) sum=

=+partpart

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sum=

+partpart

partsum= ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sum=

n

1kg(x)u0a

kyun

1i ik(x)bialyky

u2n

1lk

n

1ji jlbijaikb

n

1ji jlbijaikb AB

⎪⎩

⎪⎨⎧

ne

==sum

= lkdaca0

lkdacakλn

1ji jlbijaikb

( ) ( ) ( ) ( )sum=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus=

n

+partpart

+sumpartpart

part=

n

1i(x)a0a

ixu(x)ia

n

ji jxixu2

(x)ijauDxD

138

şi

(43) Ω0x)0h(xu(x)0x

part

şi

(45) Ω0x)0h(xd

du(x)0x

unde

(46) (sum= part

part=

n

1ji ix0Ncosjx

u(x)ijadυ

du(x) )

du=

part

( )sum= part

part=

partpart

=n

1i 0Nu

ix0Ncosix

udυ

du(x)

(47) ( ) fuDxDtu

=partpart

(48) ( ) fuDxD2t

u2=minus

part

txu

şi

(410) ( )

( ) nRxxαt)u(x0xtx

⎠⎞⎜

⎝⎛

u2

(412) ( )

( ) nRxxαt)u(x0xtx

⎠⎞⎜

⎝⎛

şi

(413) ( )

( ) nRxxβt

t)u(x0xtx

lim isinforall=part

partrarr ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

140

probleme

doilea

141

rarr

i la curba u=u(xt)

2M1Mand

x

u

0 2x1x

1α

2α2M1M

Frarr

2 t )(x

1 t )(rarr F x

intpart

partminus

2x

1xdx2t

u2ρ(x)

partminus

2x

1xdx2t

u2ρ(x) =0

142

1

ixx

2

xu1

1

iα2tg1

12cosα asymp

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+

=+

=

şi

ixxxu

ixx

2

xu1

xu

iα2tg1itgα

iαsin=part

partasymp

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+

partpart

=+

=

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

dxl

0

2

xu1int ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+

ll

0dxdx

l

0

2

⎜⎝⎛partpart

+

int =part

partminus

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=partpart

minus=part

part 2x

1x0dx2t

u2ρ(x)

1xxxu

2xxxuF

143

intpart

part=

=partpart

minus=part

part 2x

1xdx2x

u2

1xxxu

2xxxu

obţinem egalitatea

0dx2x

1x 2t

u2ρ(x)2x

u2F =int

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partminus

part

02t

u2ρ(x)2x

u2F =

part

partminus

part

(53) 2x

u22a2t

u2

part

part=

part

partminus

part

part Rl)(0t)(x02x

t)u(x22a2t

t)u(x2

20 ( ) l)(0x(x)0tt

partϕ==

căldurii

144

( )1xxx

ukτt1xq=part

partminus=

( )2xxx

ukτt2xq=part

partminus=

( ) ( )[ ]int int⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=partpart

minus=part

part=+= 2t

1tdt2t

1t 1xxxu

2xxxukτdtt1xqt2xqQ

sau

int intpart

part=

2x

1x

2t

1tdxdt2x

u2kτQ

1xdx1txu2txucρQ

sau cu

int intpartpart

=2x

1x

2t

1tdxdt

tucρQ σ

145

02x

1x

2t

1tdxdt2x

u2kρ-

tucρ =int int

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partpartpartσ

02x

u2kρ

tucρ =

part

partminus

partpartσ

sau

(54) 2x

u22atu

part

part=

partpart

căldurii

partminus

part

part Rl)(0t)(x02x

t)u(x22at

t)u(x

146

sau

(55) ( ) Ωyx02yu2

2xu2

isinforall=part

part+

part

xu

dNdu

=partpart

+partpart

=

10 ( ) Ωyx02y

y)u(x2

2x

y)u(x2isinforall=

part

part+

part

20 fΩdN

du=

part

147

canonică

(1) ( ) 0)yu

xuuyd(x2y

u2y)c(x

yxu2

y)2b(x2x

u2yxa =

partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

(3) ⎩⎨⎧

==

y)η(xηy)ξ(xξ

148

yxDηξD

( ) ( )( )ηξ2Ψyηξ1Ψx ==

(4) yη

ηu

yξ

ξu

yu

xη

ηu

xξ

ξu

xu

partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

(5) 2x

η2

ηu

2x

ξ2

ξu2

xη

2η

u2

xη

xξ

ξu2

22

xξ

2ξ

u2

2x

u2

part

partsdot

partpart

+⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partsdot

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

part

part+

partpartsdot

partpartpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

sdotpart

part=

part

partη

(6) 2y

η2

ηu

2y

ξ2

ξu

2

yη

2η

u2

yη

yξ

ξu2

22

yξ

2ξ

u2

2y

u2

part

partsdot

partpart

+⎪⎩

⎪⎨⎧

part

partsdot

partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

part

part+

partpartsdot

partpartpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

sdotpart

part=

part

partη

(7)

yxη2

ηu

yxξ2

ξu

yη

xη

2η

u2

xη

yξ

xη

xξ

ηξu2

yξ

xξ

2ξ

u2

yxu2

partpartpart

sdotpartpart

+

+partpart

partsdot

partpart

+⎪⎩

⎪⎨⎧

partpartsdot

part

part+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

sdotpartpart

part+

partpartsdot

part

part=

partpartpart

(1rsquo) ( ) ( ) ( ) 0)ηu

ξuuD(ξ2η

u2ηξC

ηξu2

ηξ2B2ξ

u2ηξA =

partpart

η+part

part+

partpartpart

+part

part

(8)

( )

yη

yξ

2

yηc

yη

xη2b

2

xηaηξC

cxη

yξ

yη

xξb

yη

xξaηξB

2

yξc

yξ

xξ2b

2

xξaηξA

partpart

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+partpart

partpart

+partpartsdot

partpart

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

149

icircn

dxdy

==

(10) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

2Cyx2

1Cyx1ϕ

ϕ

0dyy2dx

x20dy

y1dx

x1 =

part

part+

part

part=

part

part+

part

part ϕϕϕϕ

y2

x2

2micro

y1

x1

1micro

part

ϕpartpart

ϕpart

minus=

part

ϕpartpart

ϕpart

minus=

(2``)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

part+

part

part+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

part

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

part

part+

part

part+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

part

02

y2c

y2

x22b

2

x2a

02

y1c

y1

x12b

2

x1a

ϕϕϕϕ

150

variabile

(11) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

yx2η

yx1ξ

ϕ

( )[ ]c21b21ay2

y1B ++minus

part

partsdot

part

part= ϕϕϕϕ

ϕϕ

a

2bacy2

y12B minus

sdotpart

partsdot

part

part=

ϕϕ

(12) 0ηu

ξuuηξH

ηξu2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+partpart

part

= unde

micro verifică

(14) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=minus=+minus

=

0dyy

dxx

=partpart

+partpart ϕϕ

151

Deducem uşor că

y

xmicro

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=partpart

+partpart

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

0yx

a

02

yc

yx2b

2

xa

ϕϕ

ϕϕϕϕ

b

(15) 0ηu

ξuuηξP2η

u2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

part

21α +=+=

Avem

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

part

partminus

part

part=

partpartpart

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

=partpart

2βu2

2αu2

41

ηξu2

şiβui

αu

21

ξu

(16) 0βu

αuuβαE2β

u22αu2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

partminus

part

complex conjugate

152

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=minus=ψ

=+=ϕ

( )( ) ( ) ( ) 0ΩδcuΩyx

yxβηyxαξ

ltisin⎩⎨⎧

==

(17) 0ηu

ξuuηξE2η

u2

2ξ

u2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

+part

partminus

part

(1) 02y

u2c

yxu2

2b2x

u2=

part

part+

partpartpart

+part

parta

(2) 0cxdyd2b

2

⎜⎝⎛

prin ecuaţiile

⎪⎩

⎪⎨⎧

=minus

(3) ⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=

x2microyη

x1microyξ

153

obţinem

2η

u222micro

ηξu2

2micro12micro2ξ

u221micro2x

u2

part

part+

partpartpart

+part

part=

part

( ) 2η

u2

2microηξu2

2micro1micro2ξ

u2

1microyxu2

part

partminus

partpartpart

+minuspart

partminus=

partpartpart

2η

u2

ηξu2

22ξ

u2

yu2

part

part+

partpartpart

+part

part=

partpart

0ηξu2

a

2bac4 =partpart

partsdot

minussdot

(4) 0ηξu2=

partpartpart

(4rsquo) 0ηu

ξ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

(5) u=f(ξ)+g(η)

⎩⎨⎧

=minus=

xηbxayξ

154

(6) 02η

u2=

part

2η

u2

ηξu2

2b2ξ

u22b2x

u2

part

part+

partpartpart

minuspart

part=

part

ηξu2

a2ξ

u2ab

yxu2

partpartpart

+part

partminus=

partpartpart

2ξ

u22a2y

u2

part

part=

part

02η

u2a2ξ

u22baca =part

part+

part

part⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus

putem scrie

( )ξfηuundede0

ηu

η=

partpart

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

(7) u (x y)= x f (ay - bx)+g (ay - bx)

(8) 02u2

2u2

=part

part+

part

βα

155

(1) 02u2

21

2u2

=part

partminus

part

tcx

infinită

Fig1

perpendicular pe Ox

xM0(x)

M

u

A(0) B(l)

156

2

Tc ρ

altă semnificaţie

(2) ( ) ( ) [ ]0lxg(x)0tt

uxfx0u isin==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

[0l]

iar [0lxg(x)0

]tt

uisin=

=⎟⎠⎞

⎞⎜⎜⎝

⎛gt= 02c

02c

12

xt

=minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dd

x-ct=C1 şi x+ct=C2

⎩⎨⎧

+=minus=

ctxηctxξ

partpartpart

u = ϕ(ξ)+ψ(η)

157

Avem

⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=+

=+

g(x)c1(x)Ψ(x)

f(x)Ψ(x)(x)

ϕ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+ϕx

0xd)(g

c1Ψ(x)(x)

f(x)Ψ(x)(x)

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡intminus=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡intminus=

x

0x)dg(

c1f(x)

21xΨ şi

x

0x)dg(

c1f(x)

21x ττττϕ

de unde deducem

(4)

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

int+

minus+=+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

intminus=

ctx

0x)dg(

c1ct)f(x

21ctxΨ

ct-x

0x)dg(

c1ct)-f(x

21ct-x

ττ

ττϕ

(5) ( ) [ ] int+

minusττ+++minus=

ctx

ctxd)(g

c21)ctx(f)ctx(f

21txu

158

( ) [ ][ ]⎩

⎨⎧

isinisin

=l0Rx0

l0xf(x)x0u

u=

=⎟⎠⎞

0 l

0

Fig2

159

Fig1

(1) [ ] 0tl0x02tu2

2c1

2xu2

geisin=part

partminus

part

(2) ( ) [ ]l0xg(x)0tt

uf(x)x0u isin==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

(3) u(0t)=0 u(lt)=0 t 0 ge

160

(1) u(xt)=X(x)T(t)

(t)TX(x)2c

1T(t)(x)X sdot=sdot

se separă

kT(t)

(t)T2c

1X(x)

(x)X==

şi

(7) X(0)=0 X(l)=0

Condiţiile (7) dau

161

soluţia banală

Rezultă

12nlπnλ isin=

12n2

lnπ

nk isin⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus=

lxnsin(x)nX π

=

0T(t)2

lcn(t)T =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+π

lctnsinnB

adică

(8) 12nlxnsin

lctnsinnB

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

πππ

forma

162

(9) suminfin

==

1nt)(xnut)u(x

suminfin

= part

part=

part

partsuminfin

= part

part=

part

1n 2tnu2

2t

u2

1n2x

nu2

2x

u2

Avem

suminfin

==sum

infin

==

1n lxnπsinnA

1n(x0)nuu(x0)

suminfin

=suminfin

==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

1n lxnπsinnB

lcnπ

1n 0ttu

0ttu

suminfin

==

1nf(x)

lxnsinnA π

suminfin

==

1ng(x)

lxnsinnB

lcnπ π

(10) int=int=l

0dx

lxng(x)sin

cnπ2

nBl

0dx

lxnf(x)sin

l2

nA ππ

nc2l

nω2π

nB2nA π

sdot+

163

(1) 0 22

22

=partpart+

partpart+

partpart

zu

yu

xu

şi

(2) z)yf(x 22

22

=partpart+

partpart+

partpart

zu

yu

xu

de limită

164

S

cu rarrrarrrarrrarr

rlt

rlt === γβα

dydu

dxdu

dndu

++=

maghiară)

exterioare

165

∆u=0 d) uS=f

s

=

s

=

punctiformă

02

2

=partpart

+partpart

zf

yf

xf

Dar

)()( 3

22

2

rfr

xrrfrx

xf

sdotminus

+sdot=partpart

166

şi )()( 3

22

2

rfr

yrrfry

yf

sdotminus

+sdot=partpart

)()( 3

22

2

rfr

zrrfrz

zf

sdotminus

+sdot=partpart

rf sau 2)()(

rrfrf

rc

2

=partpart

+partpart

yf

xf

Dar

)(f)(

3

22

2

3

22

2

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

sdotminus

+sdot=partpart

sdotminus

+sdot=partpart

ρρ

ρρρ

ρρ

ρρρ

yfyy

fşi

xfxx

f

167

x

y

θ ρ y

x O

C Ω

Ω M(xy)

(1) 02

2

=partpart

+partpart

yu

xu

cu condiţia

sdot=sdot=

θρθρ

sincos

yx

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

πθ

ρ

kxyarctg

yx 22

ρ xx=

partpart

ρρ yy=

partpart 2

ρθ yx

minus=partpart

2ρθ xy=

partpart

Obţinem

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

partpart

sdot+partpart

sdot=partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

partpart

sdotminuspartpart

sdot=partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partpart

=partpart

θρρρθ

θρ

ρ

θρρρθ

θρ

ρ

uxuyy

uy

uyu

uyuxx

ux

uxu

2

168

Calculăm apoi

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

sdotpartpart

=partpart

θρρρuyux

xxu

22

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartsdot

partpart

+partpartsdot

partsdotpartpart

sdotminuspartpart

sdotpartpartsdot

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

xsdot

partsdotpartpart

+partpartsdot

partpart

partsdotminus

=x

ux

uyuxyu

xuxux

x θθ

ρθρρθρ

ρρ

θρρ

ρρρρθ

ρρ2

2

24

2

partθ şi xpart

(4) ⎩⎨⎧

partpart

sdot+partpartsdot

minus+

partpart

sdot+partsdotpart

partsdotminus

partpart

sdot=partpart

θρρρρ

xu

43

22

2

4

22

32

2

2 22

(5) ⎩⎨⎧

partpart

minus+

partpart

sdot+partsdotpart

partsdot+

partpart

sdot=partpart

θρρρρ

yu

43

22

2

4

22

32

2

2 22

0)(23

222

2

4

22

2

22

2

=partpart

sdot+minus

+partpart

sdot+

+partpart

sdot+

=partpart

+partpart

=∆ρρ

ρθρρρ

uyxuyxuyxyu

xuu

sau

22

2

22

2

011 ρρρθρρ

sdot=partpartsdot+

partpart

(6) 02

2

22 =

partpart

+partpartsdot+

partpart

sdotθρ

ρρ

ρ uuu

(7) uρ=a=f

Obsevăm că

)()( θρρ

TRusdotprime=

partpart şi )()(2

2

θρρ

TRusdotprimeprime=

θTRu primesdot=

partpart şi

)()(2

2

θρθ

TRu

primeprimesdot=part

part

169

(9) )()(

)()(

)()(2

θθ

ρρρ

TT

RR

RR primeprime

minus=prime

sdot+primeprime

sdot

şi

170

(12) 2 1 0 2 == nnnλ

Obţinem succesiv

te=ρ

dtdRe

ddt

dtdR

ddRRe

ρρρ

ρρρ )(1ln şi

tttt edt

RdedtdRe

ddt

dtdRe

dtd

ddR

dd

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠⎞

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot==primeprime

2

)(ρρρρ

ρ de unde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

dtdR

dtRdeR t2

022

2

=minus Rndt

generală sau

nr plusmn=21

ntn

ntnn eDeCR minus+=

(14) nn

n

şi

171

(16i) ( )suminfin

=

lesdot+sdotsdot=0

sincos)(n

(16e) ( )suminfin

=

sincos)(n

nB i)

(17i) ( )suminfin

=

le=sdot+sdotsdot=0

fsincos)(n

şi

(17e) ( )suminfin

=

fsincos)(n

astfel

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sdotsdotsdot=sdot

int

intπ

π

π2

0

2

0

sin)(1

cos)(1

dtnttfBa

dtnttfAa

nn

de unde

(18i) 3 2 1n sin)(1

cos)(1

2

0

2

0 isin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sdotsdotsdotsdot

=

sdotsdotsdotsdot

=

int

intπ

π

dtnttfa

B

dtnttfa

A

nn

şi int sdotsdot=π

π

2

00 )(

21 dttfA

172

01

2

0

2

0

un

n

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

infin

=

ππ

θθρπ

θρ

sau

sum intinfin

=

⎜⎝⎛sdot+=

1

2

00 )(cos)(1)(

n

dttntfa

Auπ

θρπ

θρ

⎤

⎢⎢⎣

⎡minussdot⎟

⎠⎞

infin

=

π

θρπ

θρ2

0 1

)(cos21)(21)( dttn

atfu

n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ltlt 10

aρ

sum sumsuminfin

=

infin

=

minusinfin

=

sdot⎟⎠⎞

⎠⎞

⎜⎝⎛

1 1

)(

1

)(sin)(cosn n

tinnn

n

ea

tna

itna

θρθρθρ

Seria suminfin

=

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1

)(

n

tinn

ea

[ ]22)(

)(

)cos(2)sin()cos(

1 ρθρθρθρ

ρρ

ρ

θθ

θ

=minussdot

=sdotminus

sdot=

minusminusminus

minus

taataita

eaea

eaS ti

ti

deci

[ ]22

⎠⎞

⎜⎝⎛sum

infin

= taatatn

an

n

[ ]int sdot

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+sdotsdot=π

ρθρρθρ

πθρ

2

022 )cos(2

))cos(21)(21)( dt

taatatfu

sdotminus

=π

ρθρπρθρ

2

022

22

)cos(2)(

2)(

taadttfau

173

(21e) 3 2 1 sin)(

cos)(

2

0

2

0 isin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sdotsdotsdot=

int

intlowast

lowast

ndtnttfaB

dtnttfaA

n

π

2

0

)(21 dttfAn

sdotminus

=π

ρθρπρθρ

2

022

22

)cos(2)(

2)(

taadttfau

C

=

( )suminfin

=

sdot+sdotsdot+=1

0 sincos)(n

unde

π

2

0

π

2

0

suminfin

=

2 )cos21ln(cos2n

n qqnnq αα

174

fdndu

a

==

este

dta

πθρ

2

02

22

0)cos(2ln)(

2)(

(1) tu

axu

partpartsdot=

partpart

22

2 1

făcută baraρsdot

=c

(1prime) tu

ayu

xu

partpartsdot=

partpart

+partpart

22

2

2 1

şi respectiv

(1primeprime) tu

azu

yu

xu

partpartsdot=

partpart

+partpart

22

2

2 1

175

ktTtT

axXxX

=prime

sdot=primeprime

)()(1

)()(

2

Obţinem ecuaţiile

şi

2

)(sincos)(22

176

(7) intinfin

sdot=0

)()( λλ dtxutxu

intinfin

=sdot0

)()0( xfdxu λλ

(8) [ ] )(sin)(cos)(0

λλλλλ

infinminus

infin

dxfdxf )(cos)(1)(0

infinminus

infin

infinminus

sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

0

ddfxdfxxf

infinminus

infin

infinminus

λτλττπ

λ dfBdfA

(9) intinfin

infinminus

int intinfin infin

infinminus

)(cos)(1)(22

ττλτλπ

λ dxefdtxu ta

intintinfin

minusinfin

infinminus

)(cos)(1)(22

λτλττπ

λ dxedftxu ta

177

2

224

)(

0

tadxe ta

xta

(10) ττπ

τ

defta

txu tax

sdotsdotsdot=minus

minusinfin

infinminusint

2

4)(

)(2

1)(

tu

au

partpartsdot=∆ 2

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

ζηξ

dddefta

tzyxu tazyx

2

222

4)()()(

3 )(2

1)(

S D

dadivdsna ωrrr

178

lui kzvuj

yvui

xvua

rrrrsdot

partpartsdot+sdot

⎜⎝⎛

partpartsdotminus

partpartsdot

S D

duvvudsnuv

nvu ω

S D

suprafaţa S avem

partpartsdot

SS

dsnuvds

nvu

şi

(4) 0=sdotpartpart

intintS

dsnu

Are loc şi

(5) dsnru

nu

rMu

S

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

11

41)( 0 π

179

considerăm r

( ) dsnu

rnruds

nu

rnruduvvu

SSD

sdot⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

ω 11

11

1

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdotkSSS

dsnu

rds

nruds

nu

rnru 1

11

1

ε

2

111

εminus=

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

=part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

rr

nr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdotintint uudsnru

S

πεπε

ε

4411

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

sdotsdot=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

unuds

nu

rS

επεπε

ε

4411 2

180

unde lowast

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

nupartpart pe Sε

lowastlowast ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

partpartsdotminus

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

sdotintint nuuds

nu

rnru

S

εππ 4411

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

tocmai formula (5)

Obsevaţii

v 1ln= şi

dsn

runu

rMu

C

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot= int

1ln1ln

21)( 0 π

181

dsua

Mu 20 41)(π

2

111

arr

nr

ar

minus=part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

=part

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛part

=

obţinem

sdot=SSS

dsua

dsnu

aMu 220 4

14

141)(

πππ

obţinemu(M0)=u

182

10 Probleme propuse

10) 02y

u22

yxu2

32x

u2=

part

part+

partpartpart

+part

part

20) 02y

u2

yxu2

22x

u2=

part

part+

partpartpart

+part

part

30) 0yuy

xux2y

u22yyxu2

2xy2x

u22x =partpart

+partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

40) 0yuy

xux2y

u22y2x

u22x =partpart

minuspartpart

+part

partminus

part

50) 02y

u22x2x

u22y =part

part+

part

60) 02y

u2

yxu2

52x

u26 =

part

part+

partpartpart

minuspart

part

70) 0yuy2y

u222xyxu2

2xy2x

u22y =partpart

+part

part+

partpartpart

+part

part

80) 0yucosx2y

u2x2cos

yxu2

2sinx2x

u2=

partpart

minuspart

partminus

partpartpart

minuspart

part

90) 0xu2x2y

u22y-2x

u224x =partpart

+part

part

183

012

2

22

2

=partpart

minuspartpart

tu

cxu

cu condiţiile

u(0t)=0 u(lt)=0

( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

leleminussdot

lelesdot=

llxllh

lxlh

oxux

2 2

2x0 2

)(

tu

( )( )

( ) ( )l

ctnl

xnn

htxuRn

n πππ

12cos12sin12

18)(0

22

+sdot

+minus

sdot= suminfin

=

012

2

22

2

=partpart

minuspartpart

tu

cxu

cu condiţiile

u(0t)=0 u(lt)=0

şi 00

=partpart

=ttu

( )

( ) ( )l

ctnl

xnn

htxuRn

πππ

12cos12sin12

132)(0

33

+sdot

+sdot= sum

infin

=

+partpart

+partpart 0 02

22

2

tlxxux

xux

tu

cu condiţiile

184

t

ttfcos45

sin)(minus

=

ntl

xtxuRn

n

sin22

1)(1

sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdot= sum

infin

=

xu

xtu

partpartsdot=

partpart 1

2

cu condiţiile

u(xt+2π)=u(xt)

u(0t)=f(t)

t

tfcos45

1)(minus

ntetxuRxn

nn cos

21

32

31)(

22

21

1sdotsdotsdot+=

minusinfin

=sum

a) 022 2

22

2

22 =

partpart

+partpart

partminus

partpart

yuy

yxuxy

xux

b) 023 2

22

2

=partpart

+partpart

part+

partpart

yu

yxu

xu

yxyxxyxyu

yyoxuyyu

=partpart

=

2)2()(2)(

3)( )0(

23

2

185

c) 065 2

22

2

=partpart

+partpart

part+

partpart

yu

yxu

xu

1

)3( )2(23 minus+=

==minusminus

minus

xyxy

xx

eeuexxuexxu

d) 056 2

22

2

=partpart

+partpart

partminus

partpart

yu

yxu

xu

)2cos()3sin()(

yxyxyxu

xxoxyuxxxu

+++=

minus=partpart

+=

e) 02

22

2

22 =

partpartsdotminus

partpartsdot+

partpartsdotminus

partpartsdot

yuy

xux

yuy

xux

yxchxyshyxu

exyuexu x

y

x

+=

sdot=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

= minus

=

)(

)1(1

f) 02 2

22

2

22 =

partpartsdotminus

partpartsdot+

partsdotpartpart

yuy

xux

yuy

yxuxy

xux

186

CAPITOLUL VII

gy2dtdsV ==

de dxgyy

VdsT

b

a

sdotprime+

== int int 21 2

y=y(x)xisin[ab]

187

[ ] [ ]baCydxgyy

yTb

a

2

1 12

isinsdotprime+

= int

suprafaţă

Fig 2

B (S)

A

este dată de

a

188

∆

(fig3)

egalitatea

(3) [ ] intint∆

sdotsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

+== dydxyz

xzAzI S

22

1

189

(4) dxyyl

yb

b2

mă

cur

scr

iar

car

exe

sdotprime+= int 1

` dxylb

a

funcţionalei (4)

ie

(5) ldtyxb

a

(6) ( ) dtyxxy21A

b

a

(7) [ ] dxyyxFyIb

a

sdotprime= int )(

190

a

partpart

=D

dydxyu

xuuyxFuI )(

valori icircn R

(10) ( ) ( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

ltminus

ε

εε

)()()()()()(

0

xfxf

xfxfxfxf

nn

I[f0] ge I[f]

191

I[f0] le I[f]

I[f0] ge I[f]

relativ slab

funcţionale

(11) int =sdotsdotb

a

dxxxf 0)()( η

192

Considerăm

Observăm că

demonstrată

int int=sdotsdotb

a

fdxxxfβ

α

η )()(

LEMA 2 (D

(12) intb

a

g

Prin combin

LEMA FU

(13)

funcţia

( )( )⎩

⎨⎧

= 0)()(

)(22

βαβαβα

ηxxxx

x

gisinC[ab] Dacă

a

193

deci

int sdot=x

a

dttfxF )()(

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxxFxg 0)()()( η

a

(1) [ ] dxyyxFyIb

a

sdotprime= int )(

(1) y(a)=y1 y(b)=y2

Funcţia

(3) Y(x) = y(x) + αη(x)

194

[ ] [ ] dxxxyxxyxFb

a

Observăm că

unde yFFy partpart

b

ay

b

a

b

ayy dxxyyxF

unde yx

FFyy

FFy

=primepartsdotpart

part=

primepartpart

22

2

195

C

[ ] int sdotprime=b

a

dxyyxFyI )(

[ ] [ ] dxxQxPyIb

a

unde

Are loc

De aici avem

[ ] int sdotprime=b

a

dxyyxFyI )(

196

Fie funcţionala

(1) ( )int=b

a

)n( dxyyyxF]y[I

[ ] 110 )()( 2)(

condiţiile

]ba[Cy nisin

(2) 1-n 01k )( )( )(2

)()(1

(3) 0Fdxd)1(F

dxdF

dxdF )n(yn

nn

y2

2

a

+++=αimage int

0)0( =image

197

Avem

[ ]dx FηFηFη)0(b

ay

(n)yy

)n(int +++=image

ay

)1k(b

ay

)1k(b

a

bay

)1k(y

)k( dxFdxddxF

de unde

(4) )10k 0(b)η(a)(η n 12k

)()1(

(k)(k)

)()()(

minus===isin

minus=int intn

dxFdxdxdxF

b

a

b

ayk

kk

yk

kk ηη

Deci

dxdF

dxdF)0(

b

ayn

nn

y2

2

yy )n( sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

extremală

η]y[Iδ2

(6) 0)()()( geyF nn yy

(7) 0)()()( leyF nn yy

admisibile

(int +=1

0

2 dxyy2]y[I )

198

0FdxdF

dxdF y2

2

yy =+minus

432

23

1

4

[01] x241224

234

b

an21 int=

Are loc următoarea

Dyyy n21 isin

199

(3) 21k 0

ndxd

kykyFF isin=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

forma

)x(ηk

[ baC2 ] k

=αpartpartimage

Deci

int isin=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot+sdot

b

21k 0)(η

ndxxdxd

k

b

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusint

limită (2)

( ) n12ji yyy

FAji

2

ji isinpartpart

part=

200

Are loc

(4) nnnn

n

AAA

AAAAAA

AAAA

AD

D D

21

22221

11211

n2221

12112111 ===

şi

k DD

Dacă

(b) 00 0 2

1 gtgtgt nDDD

Exemplu

( ) ( )[ ] dxyz2zy]zy[I2

0

22intπ

++=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

minus=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

isin= 12

z12

y 0z(0)y(0) 2

0C)zy(D 1

⎩⎨⎧

minusminus+=+++=

minus

43x

2x

1

43x

2x

1

201

42002

FFFF

D 2FDzzyz

uşor

RRDI 2 rarrsub

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

=D

dxdyyu

xuuyxF]u[I

(2) ( ) ( )yxfyxu C=

Are loc următoarea

2

yu

xuu

partpart

(3) ( ) ( ) 0FFy

Fx uyuxu =minus

partpart

+partpart unde

yuu

xuu yx part

part=

partpart

=

202

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=imageprime

dxdyyxD D

dxdyyxD

dxdy⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

+part

part

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

partpart

intint =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

yuFxuF

ηyuηF

xuηFyuFyηxuFxη

dxdyyxD

dxFdyFD

dxdyC

uu yX

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

+part

part

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+ int

yuFxuF

)(yuFyηxuFxη η

devine

( ) ( )intint =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

part

minuspart

part

minus=imageprimeD

dxdyyxyyuF

xxuF

uF 0η0

203

[ ] intint intΩ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart

= dxdxdxxu

xu

xuuxxxFuI n21

n21n21 unde nRsubΩ

n12k u unde 0 k1

isinpartpart

==partpart

minus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpartsum

= k

n

k kk xu

uF

x

[ ] intintΩ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

= dxdyyxyu

xuuI 22

22

unde ( ) 43 442

⎭⎬⎫

partyxuDCu

Soluţie

2222

yxyu

xu

yu

xuuyxF +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

partpart este

(1) 0=minus⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

partpart

uFyuF

yxuFx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=partpart

=yuu

xuu yx sau

(1) 02

2

=partpart

+partpart

yu

xu

upart

(2) ⎩⎨⎧

==

θρθρ

sincos

yx

de unde rezultă

(2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

+=

xyarctg

yx

θ

ρ 22

Observăm că ρ

ρ xx=

partpart

ρρ yy=

partpart 2ρ

θ yx

θ xy=

partpart

204

Obţinem

(3)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

partpart

+partpart

=partpart

partpart

+partpart

partpart

=partpart

partpart

minuspartpart

=partpart

partpart

+partpart

partpart

=partpart

θρρρθ

θρ

ρ

θρρρθ

θρ

ρ

uyuyy

uy

uyuşi

uyuxx

ux

uxu

2

şi

(4)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

partpart

minuspartpartminus

+partpart

part+

partpart

=partpart

partpart

+partpartminus

+partpart

partminus

partpart

=partpart

θρρρρ

θρθρρρρ

θρρρρ

θρθρρρρ

uxyuyuxuxyuyyu

şi

uxyuxuyuxyuxxu

43

22

2

4

22

32

2

43

22

2

4

22

32

2

22

(5) 02

2

22 =

partpart

+partpart

θρρ

ρρ uuu

(6) θθθ

4cos41

43

sincos

44 =minus+===part

yxD

yxu

(7) ( ) ( ) ( ) θρθρ TRu =

θρρ

TRuTRu 2

2 =

partpart

θ

2

TRu=

partpart

(8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02 =++ θρθρρθρρ TRTRTR

(9) ( )( )

( )( )

( )( )θθ

ρρρ

TT

RR

2 minus=+

205

(10) ( ) ( ) 0 =+ θλθ TT

şi

(11) ( ) ( ) ( ) 02 =minus+ ρλρρρρ RRR

1A 2B

(12) 321 2 isin= nnnλ

(11) ( ) ( ) ( ) 022 =minus+ ρρρρρ RnRR

206

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

=

minus

dtdR

dtRdeR

şidtdReR

t

2

22

ρ

(11) 022

2

=minus Rndt

Rd

(14) nn

caz contrar

0=nD

infinrarr=minusn

n

origine Deci

u

(15) nnn CR ρρ =)(

sau

n θθρθρ

forma

(17) ( ) 321 sincosA)(1

n isin+= suminfin

=

nnBnun

nn

n θθρθρ

partDuu

Observăm că 4 040

primeşte forma

207

(18) ( ) θρθρ 4cos4

=u

( ) ( )

( )04

2002

)(2 _ gt===u

yuFyuFu

xuyuF

uyuxuFu

xuxuF

D

Observăm că

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

= θθρθρ

θρ

θθρ

θρ

θ 22422

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

233233

cos4sin4

44cossin4

4sin4sin4

44coscos4

24cos1

43sin3cos2sin

4

426262

88

446 minus+=UF

Deci

(19) [ ] intint ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+==

4cos88

446

minD

unde şi ⎩⎨⎧

lelelele

πθρ

2010

D θρρ dddxdy =

⎞⎜⎜⎝

⎛+=minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1

0

2

0

57

557

min 84cos

88D D

⎜⎝⎛ +=minus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=minus

1

0

2

0

2

0

1

0

62

0

1

0

685 02

481

814sin

41

681

4884cos

81 π

ππ

de unde

247

minπ

=I

208

an21n21n21 int=

(3) ( ) m12i 2121 isin=int i

b

anni adxyyyyyyxG

(4) [ ] ( )int=b

a

dxyyxFyI

(5) ( )int =b

a

mdxyyxG

Are loc următoarea

(6) ( ) ( ) 21 yby yay ==

aint λ+=

(8) ( ) ( ) ( ) ( )xηαxηαxyxY 221121 ++=αα

209

(9) η1(a) = η1(b) = 0 η2(a) = η2(b) = 0

(10) ( ) mαα 211 =image

( )int =+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage b

ayiyi

0i

1 12i dxGηGηα

(11) ( ) 12i ηGGα iyy

0i

1 int isin⎟⎠⎞

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage b

a

dxxdxd

02

1 ne⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

02

1 ne⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

2

(12)

02

1

01

1

01

2

α

αdαdα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpartimage

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

210

funcţie de α1

( ) int ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=imageprime

b

ay2

01

21y2

01

21 dxFη

dαdαηFη

dαdαη0

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

b

a

b

a 2yy01

21yy dxηF

dxdF

dαdαdxηF

dxdF0

2

dαdα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

de (11) deducem

dxdF0

b

a

b

⎜⎝⎛ minus+⎟

⎠⎞

unde

int

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

minus= b

a2yy

b

a2yy

dxηGdxdG

dxηFdxdF

λ

( ) ( )int ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

b

adxxyGyF

dxd

yGyF 1ηλλ0

demonstrată

211

(13) [ ] ( )int=b

a

dxzzyyxFzyI

(14) ( ) ( ) [ ]ba xxzz xyy isin==

(15) ( ) 0zyxG =

(16) ( ) ( ) ( ) ( ) 2121 z zbzazybyyay ====

Are loc următoarea

(17) [ ] ( )[ ]dx GxλFzyKb

aint +=

7 Probleme propuse

a) [ ] [ ]

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎟⎠⎞

⎤⎢⎣⎡isin=

++minus= int

04

10 4

0

384

1

4

0

22

ππ

π

yyCyD

undedxyyyyI

b) [ ] [ ]

[ ] ( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==isin=

++= int

21

1

0

222

311

310 10

2

eyyCyD

undedxyeyyyI x

212

a) [ ] ( )

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

====isin=

2

1

0

2

yyyyCyD

undedxyyyI

b) [ ] [ ]

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

minus====isin=

primeprime++= int

1 110010 10

2

1

0

222

shyyyyCyD

undedxyyyyI

[ ] RDzyI rarr

a) [ ] [ ]

( ) ( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡isin=

+minus+= int

122

000 2

0

52

1

2

0

22

πππ

π

zyzyCzyD

undedxyzzyzyI

b) [ ] [ ]

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 0100 10

2

1

0

22

⎪⎩

⎪⎨

⎧

====isin=

++= intyzzyCzyD

undedxyzyyI

213

[ ]

( ) ( ) ( ) ⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

le+isin=Ω⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=partpart

=Ωisin=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

minuspartpart

partpart

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛partpart

=

Ωintint

420

232

2220

21

22

yxRyxşixyuxxuCuD

undedxdyyu

yu

xu

xuuI

y

a) [ ]

[ ] ( ) ( ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==isin=

== intint6110 10

3 legaturacu

1

0

1

0

2

yyCyD

undedxydxyyI

b) [ ]

[ ] ( ) ( )

00 0

100

2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==isin=

== intintππ

ππ

yyCyD

dxxydxyyI

214

CAPITOLUL VIII

DISTRIBUŢII

fxxx

fDn21

n21

x ααα

α++α+αα

partpartpartpart

=

ffD0x =

(2) ⎩⎨⎧

cap=sdotcup=+

integrala

(3) ( )int nRdxxf

mulţimea nRsubΩ

215

dxxf p

Spaţiul K

Γrarrϕ nR

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

ge

lt=

minusminus

a

aexxa

a

xpentru 0

xpentru 22

2

e-1

y

xa-a

nRsubΩ

xu

ix DD

Spaţiul S

216

Spaţiul ξ

Γrarrϕ nR

YXT rarr

ΓrarrXT

217

distribuţiilor Φ`

( )intΩ

f K dxxxfT

218

originea reperului

( )⎩⎨⎧

gelt

=θ0 x10 x0

x

a

dxx θT

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) dxxdxxxxxTb

aint int+infin

( ) ( ) ( ) 2

-x2

⎜⎝⎛ πδ=⎟

⎠⎞

( ) ( )( ) ( ) ( )Rf R x0a axxf

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ϕ=ϕ

aax δδ

infinrarr)

219

Proprietăţi

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

dxxfxxxf dxxfxfxxf

(1) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )xxfxxf ϕminus=ϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partϕpart

minus=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

partpart

yzxzyxzyxf1zyx

yzxzyxf

2

33

2

3

dxxd

δ=θ

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )xx0xdxxxxxdx

xd00

int

se notează

(4) ( )( ) ( ) ( ) n

R

RX xdttxgtfxgfn

220

şi

( ) ( )⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

gelt

=θgelt

=θ0 xsin x0 x 0

xsinx 0 x10 x0

x

deci

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

geθ

lt=θlowastθ int

x

0

0 xdtt-x sint

0 x0 xsinxx

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )xcos1x0 xxcos1

0x 0xsinxx

0

x

0

x

0

minusθ=⎩⎨⎧

geminuslt

=θlowastθ

221

( )xfn

A

y

x ⎟⎠⎞

⎝n1⎜⎛ O B

M(x)

2n

fn

xo

yo

⎟⎠⎞

⎝minus

n1

⎜⎛

F(o-P)

O

y

x

Fig2

Fig1

( ) ( ) [ ][⎪⎩

⎪⎨⎧

notin

isin=

n1n

1-pentru x 0n

1n1-pentru x 2 Pn

oMr

Rr

infinrarrn

)PO(F minusr

putem scrie

)x(fn

on y)x(flimF rr

δ=infinrarr

on

n

oon

)FFF(F zyx

r

)( 000 zyxA

222

r

concentrate Fr

vectorul Fr

)zyx(A 000

Fr

A(x0y0z0)

O y

z

)()(lim ooonn

δ

(7)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

minusminusminus==

infinrarr

)()(lim

ooozznn

z

oooyynn

y

oooxxnn

x

zzyyxxFFzyxfq

δ

Fie )FF(rr

contrare (fig1)

Mr

dFM sdot= unde FFr

=

α

ouFF rrsdot=

Fr

minus

O

y

A(-a0) B(a0) d

x

Fig1

223

Fr

our Fr

şi Fr

constante dFM sdot=

r

rarr este

x)yx(

sinMuqlim o

0d partδpart

sdotα

sdotminus=rarr

rr

)R(K)yx( 2isinϕ

α= sina2d

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αminusϕminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αϕ=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α+δminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αminusδ=ϕ

rarr

rarrrarr

0sin2d0

sin2d

dM

limu

osin2dxo

sin2dx

dM

limu)q(lim

0d

o

0d

o

0d

r

rr

x)0(

limsinuM)q(lim)4( d

0d

o

0d partξϕpart

sdotα

=ϕrarrrarr

rr

unde ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ααminusisinξ

sin2d

224

)yx(x

)yx(sin

Mux

)00(sin

uM)q(lim)5( oo

0d⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ

partϕpart

sdotα

minus=partϕpart

sdotα

=ϕrarr

rr

r

de unde

x)yx(

sinMuqlim)6(

o

0d partϕpart

sdotα

minus=rarr

rr

dx)yyx(F]y[I)1(b

aint=

32 RD)D(CF subisin

ayy dx)FF()y(II)3(

int ϕ+ϕ=ϕδ=δR

yy dx)FF()y(II)4(

225

2C

)R(Kf isin

forma

⎟⎠⎞

⎠⎞

dxdFF

dxd)F()I( yyyy

0FdxdF)6( yy =minus

ox

]bx()xa[ 00

yyxy FFdxd~F)FyF(

dxd~)7( ==minus

226

Weierstrass

ox

int= minus11

22 dxyx]y[I)9(

]11[Cy 1 minusisin

B(11) Brsquo

Arsquo A(-1-1)

O

y

x

022 ge= yxF 0]y[I ge 0]y[I =

]11[C1 minus

1C

0)()10( 2 =yxdxd

0yx 2 =

⎩⎨⎧

leminusgt

=minusθ=0x10x1

1)x(2)x(y)11(

0)x(x2yx 22 =δ=

227

0|)yx(0|)yx( oo2

0)yx2(S)F(S 2oyo ==

7 Probleme propuse

|)x|at(a|)x|at(t

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

gt

leleminus

leleminus+

minuslt

=

n1pentrux0

n1x0pentru)nx1(n

0xn1pentru)nx1(n

n1xpentru0

)x(fn

3 Fie distribuţia

0x)()x()x(f 1 gtα

αΓθ

= minusαα

228

22

2

R)tx(ttx

2t

3 isinpartpart

minuspartpart

partminus

partpart

=∆

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

isingeminusminus+

lt= )|(0)]3()([

41

00 RKttxtx

ttxE θθθ

)tx()tx(E δ=∆

229

CAPITOLUL IX

experienţei

evenimentului A

230

(1) sub (15) (23) sub (2345)

B ne Φ

incompatibile

231

A i F Ui

infin

=1isin

şi se aplică b) )

cu A B sub

na

evenimente

proprietăţii

a) m(X) 0 ge

232

b) m( ) = 0 Φ

m = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= kXU

n

k 1)(

1kX

n

kmsum

=

(1) P(X) =)()(

EmXm

∆

2d

∆

2d ∆

2d

∆

233

∆

(∆)

BM

MD

∆

A

x

CD

(∆)

x

d x

αo π

X

234

α0

sinl α = 2l

Rezultă

P(X) =)()(

Emxm =

dl

π2

2) P(E) = 1

P( ) = ) Ni

iUAisin

suminfin

=1(

iiAP

i 1=iA sum

=

n

iiAP

1)(

P(AB)= (A) este

AP

BP

)()(

)()()()(

)()( APBm

BAmBAPBPAm

BAmABP BA ===cap

=

Observăm că

)()()(

)(

)()(

EmAmEm

BAm

AmBAm

cap

=cap adică

)()()(

APBAPBPA

cap=

)()(BP

BAPAPBcap

A

B

E

AcapΒ

236

⎩⎨⎧

sdotsdot

=cap)()()()(

)(APBPBPAP

BAPB

A

satisfac relaţia

)()(

EmBAm

EmBm

EmAm

EmBAm cap

minus+=cup

adică

(2) = n

kP

1(

=U )kA sum sum

=ne

==

k

n

jiji

k

n

k

njik APAAPAP

1 1 1

1 )()1()()(

(3) P( ) = P( K

n

KA

1=cap )()() 1

1

1 21 nA

A APAPAK

n

K

minus

=cap

sdot

237

(4) P( ) = k

n

kA

loc formula

kA 21 nk isin

(5) [ ])(11)(1)(111 k

n

kk

n

kk

n

===

Fie 21 nkAk

sau icircn general

(7) sum==

minusminusgen

kkk

n

knAPAP

11)1()()(I

principii logice

238

turistic de mai sus

X = DCBA III

550)(550355338209509208603)()()()()(

XPDPCPBPAPXP

evenimente ale lui

21 AA )nA

evenimentelor

kA

(8) P(X) = sum sum= =

sdot=capn

k

n

kAkk XPAPXAP

K1 1

)()()(

probabilităţile

)( KA

21)( nkXPKA isin

239

sdot=sdot=cap

(9) sum

=

sdot=

sdot= n

iA

AkAkkX

XP

XPAPXP

XPAPAP

i

KK

1)(

)()()(

cumpărătorului

321 FFF

respectivă

iF

Bayes avem

iA

iF

KA KF

XAXP KAK)( KF

)( KX AP

sum=

sdot== 3

1)()(

)()()(

iAi

AkkXk

XPAP

XPAPAPp

i

K 321isink

240

50105)(20

102)(30

103)( 321 ====== APAPAP

020)(0250)(010)(321

=== XPXPXP AAA

61

1 =p 185

2 =p 95

3 =p

95

185

61

321 sss== sau

183006

1053321 ===

sss

nNC

(1) ( )nNC

βbCα

aCβαnP

241

Avem

(2) ( )nNC

sx

saC2x

2aC1x

1aC

2x1xnP

sdot

=nx

unde

sum=

=s

1kNka şi sum

==

s

1knkx

0912329

94171030C

412C6

18Cp cong

sdotsdotsdot

=sdot

=

sau 91

Fie

44 344 214434421orixnde

AşişiAşiAminus

242

AAAorixde

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

este evident xnC

1702049505157C(5)7P =sdotsdot=

( ) sum=

0xxtxnqxpx

nCnqpt

binominală

(4) ( ) sxsp2x

2p1x1p

kx2x1xn

sx2x1xnP sdot=

unde sum=

=sum=

=ges

1k1kp

s

multinominală

243

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

8

1t

8

7

8

2t

8

6

8

3t

8

5Q(t)

Aşadar

38

12638

7038

244

1iUE neΦ=cap=

= i = P(Ei)

=n

1i1ip

avem

evenimente

(1) sau ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

np2p1pnx2x1x

X n1iipix

X =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

(2) [ ]bax(x)

xX isin⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

245

a1dxxşibax0x ϕϕ

ip =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1654321

X

Deoarece 61

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

np2p1pnx2x1x

X ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

mq2q1qmy2y1y

Y

Definiţii

(3) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sdot

np2p1pnkx2x1kx

Xkk

(4) m1jn1iijp

jyixYX ==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++

Are loc

246

sum=

==sum=

sum=

=n

1i

m

1j ipijpjqijpn

1i

m

1j1ijp

(5) m1jn1iijp

jyixYX ==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ sdotsdot

sum=

=n

1i

m

1j1ijp

F(x)=P(Xltx)

i

i le

obţinem

( ) ( ) sumle

sumle

===ltxix ip

xix ixXPxXP deci

(1) sumle

=xix ipF(x)

247

a) b)

Pi

248

astfel

(3) ( ) ( ) ( )int==ltx

adttxFxXP ϕ

a) b)

P(Xltx)F(x)o

a

φ (x)

P(αltXltβ)

xbo

αa ltxlt β b x

φ(x)

x

x1O x2 xi

P1

P2

Pi

PnOxn x

F(x)

αa xb

β

Pi

P(Xltx)

le

continuă (figb)

F(x )

a) b)

int+infin

xx 2 x 1o

x n

i

1

F(x)o

F(x)

x x

1

249

aleatoare

=n

1i ipixXM

adxxxXM ϕ

nxnp2x2p1x1pXM

+++

+++= Valoarea

Au loc

250

(3) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

isin=+=+

RkXkMkXMYMXMYXM

avem

( ) sum=

=sum=

sum=

+sum=

=sum=

sum=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=+

n

1i jym

1j ijpn

1i ixm

1j ijpn

1i

m

1j jyixijpYXM

( ) ( )sum=

+=sum=

sum=

+sum=

sum=

m

1j jqjym

1i ipixn

1j ijpm

1i jym

1j ijpn

1i ix YMXM

şi

( ) ( ) ( )sum=

sum=

=sdot==n

1i

n

1iXkMipixkipikxkXM

Atunci

( ) ( ) ( )YMXMn

1i jym

1j jpixipn

1i jyixjqm

1j ipn

1i

m

=sum=

sum=

=sdotsdotsdotsum=

=sum=

sum=

sdotsdot=sdot

Observaţie

valori posibile

( ) ( )int+infin

ecuaţia

251

(6) ( )21xF =

ecuaţia

( )int =eM

0 21

dxxϕ

3x0)12(121

xX lele

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+x

( )int =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=+

eM

0 21

eM2eM

121

eM2eM

121

dx12x121

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ipix

X

252

x x=M eo

ϕ( x)

y

a) b)

sdot=n

1i ipkixkM

şi

F

n

i

kik pxM sum

=

=1

(9) k kMkmicro =

x 1 x 2 0

1

bx n-1 x n

xa 0

x

F

253

X

0

ϕ(x )

Y

x

aleatoare

prin definiţie

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ minusminus

xxYsau

ipix

Yϕ

αα

254

Me

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ minus

ip

(2) ( )sum=

int+infin

n

1idxxmxsauipmix ϕ

medii m

variabila

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ minus(x)

2mx2Uϕ

( ) ( )( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus===

2XMXM2UMdef

XDsau2σ

(3) sum=

⎝⎛n

1i ip2

mixD(X)

Atunci

(5) D(X+Y)=D(X)+D(Y)

şi

W=X-M (X)+Y-M (Y)

( ) sum=

sum=

++sum=

sum=

=+sum=

sum=

==+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ n

1i

m

1j jvi2u2jv2

iujqipn

1i

m

1j

2jviujqip

n

1i

m

1j2ijwijpYXD

M (U)=0 M (V)=0 sum=

=sum=

=m

1j1

n

1i ipjq

( ) sum=

sum=

+sum=

++sum=

=+m

1j

n

1i

n

1i

m

1j jvjqiuipm

1j22

jvjqip2iu

n

1i ipjqYXD

( ) ( )( ) ( )sum=

=minus=sdotn

1iXD2k2XkMikxipXkD

256

(7) ( ) ( ) ( )sum=

intinfin+

k

Se observă că

( ) sum=

sum=

=minus=n

1i ipkix

k

1i kMipkmixkm

( )sum=

sdotminussum=

sdotminus=n

1i ipjmjkix

k

0jjkCj1km

Cum avem

1

2101 sum=

isinminus=minus=n

ikjjkMipjk

ixMm

(8) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

++minus+minusminus=

k1Mk1s

1MskMskCs1

21M2kM2

kC1kM1kCkMkm

de diferite ordine

(9) etc 312M1M23M3M3m2

(10) σxy=M[(X-mx) ( Y-my)]

(11) σxy=M (X Y)-M (X) M (Y)

257

V σ=

(1) ( )( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

intinfin+

infinminus

suminfin

==

ekptc

ϕϕ X

Are loc următoarea

(2) ( ) ( )suminfin

==

0kkt

k

kXMkitc

suminfin

==

0kkt

k

kxkiitxe

==

0kktkctc

(3) ( )

0tkdt

tckdki

1kcki

kkM

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

258

ϕ(x) este dată de

2π1xϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )εmXP2εεmxdxx

2

geminusintinfin+

infinminusint

de unde rezultă

(2) ( ) ( ) ( ) ( )2ε

XD1εmXPsau2ε

122k

2

2ε

D(x)==

σ

2k

1kmXPk

( ) ( ) 90983mXP10

Pentru k=4 avem

259

(1)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nCnq

nk10

X

⎜⎝⎛ minus=

+= p1q

baap

( ) 0qnpnnC1nq1p1

( ) ( )sum=

=gen

0k1kxsi0kx ϕϕ

( ) sum=

minus⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=sdotsum

=

minus=n

0kknq

kitpeknCitke

n

0kknqkpk

nCtc

260

deci

(2) ( ) ( )nqitpetc +=

( ) ( ) npii1

0tdttdc

i1XM =

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

sau

(3) M(X)=np

apoi

( ) 0t

2dt

tc2d2i

12XM=⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

unde

( ) ( ) ite2ip1n

qitpen2ite2i2p2n

qitpe1)n(n2dt

c(t)2dsdot

minus++

minus+minus=

M(X2)=n2p2+np-np2

Rezultă

(4) D(X)=npq

(1) ( )( )

222mx

e2π

1x σσ

ϕminusminus

261

( )int+infin

infinminusint

+infin

infinminusint

+infin

2tedeoarece1ππ

1dt2te

de ϕ(x) Are loc

etcσminus

=

Icircntr-adevăr

( ) ( ) intinfin+

minusinfin

minusminus=int

infin+

2)(

e2π

1dxxitxetc σσ

ϕ

mx

( ) intinfin+

minusinfin

2y221

eimte2π

1tc σσ

=intinfin+

infinminusintinfin+

infinminus

minus+int

infin+

infin=

sdotminusdysinty

2y22

1

eidycosty -

2y22

1-edyitye

2y221

e σσσ

( )impara0sintydy

2y22

1

ecostydy0

2y22

1-e2

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=intinfin+

infinminus

minussdotint

infin= σσ

0a4a2b

eaπ

21cosbxdx

0

2axe gtminus

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== tb22

1aσ

262

( ) 2

2t2imt

etcdecisi2

2t2

e2πdyitye2y22

1 σσ

σσminus

=intinfin+

minusinfin

minussdot=

sdotminus

Icircntr-adevăr

( ) ( )[ ] m0tc(t)t2imi1

0tdtdc(t)

i1XM ==minus=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= σ (c(0)=1) şi

( )[ ] 22XM2XMD(X)

undede2m2

0tc(t)

2t2im2

0t2dt

c(t)2d2i

12XM

σ

σσσ

=minus⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

+==⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

esteπσ 2

absciselor

263

finit

( ) ( )( ) ( ) ( ) m0xare0xfsi

2mx2e

2π2mxxfm0xXeMXM

1

==⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ

σ Funcţia

=x

dtmtnxF σ

şi graficul F(X)

1

264

1m0 m-τ x m+τ

12

( )( )

dx222mx

ekmx2π

1km int

infin+

minusinfin

minusminusminus= σ

σ

=minus

σ obţinem

( ) dy2yeky

π2

km intinfin

infinminusminus=

Kσ

21isinp

egalitatea

(1) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

le

=

0xpentru0

0ba0xpentrubx

e1axab1

aΓ1

xϕ

( ) ( )int+infin

infinminus=gtint

265

a=1

a 1ne

0 x

)

( ) ( ) abbΓ(a)

1aΓXM =sdot+

=

ordinul k

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

lt

geintminusminus

sdot=

0xpentru0

0xdtx

0bt

e1atabΓ(a)1

xF

şi are graficul

1

x

0

F(x)

(1) ( ) ( ) ( )

[ ][ ]01xpentru

01xpentru0

1qx11pxqpB

1x isin

⎪⎩

⎪⎨

⎧

notin

ge int+infin

(2) 1)kq1)(pqq)(p(p

1)k1)(pp(pkm

minus+++++minus++

=

266

(3) ( )1)q(p2q)(p

pqXDqp

pM(x)+++

=+

=

1p0x

minus+minus

=

(1) ( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

lt

geminusminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

0xpentru0

0x22ax

e1

2ν

x

2νΓνaν22

1

xϕ

ϕ(x

267

20

ν1)

005

0

010

5 10 15

ν=6

020

015

030ν=2

ν=4

ν=15

25x

ϕ(xν1)

22

2 2

P(λ gtλ )0

λ0 x=λ0

variabilă x=2t

( )int+infin

infinminus= 1dxxϕ

( ) ( ) ( ) αn

nλ1

α

nλ

α1αn1nnαnp

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus⎟

⎠⎞

=

Vom scrie icircncă

(1) ( ) ( ) ( )α

αλα-n

nλ1αn

⎜⎝⎛ minus

+minusminus=

nλ1nlimsi1αn

1αn1nnnlim minus=

minus⎟⎠⎞

asimptotică

(2) ( ) λeα

αλαnP minuscong

268

==minus=minus

0α1λeλeλe

αλ

Proprietăţi

M(X)= ( )suminfin

==sum

infin

=sdot=minus=minus

0αλλeλ-e

1αλ

1-α

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minus=

1iteλetc

( ) ( )suminfin

=

infin

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0α

1iteλe

itλeeλeα

αitλeαeλeα

αλ0α

itαetc

( ) ( ) λ2λ

0t

1iteλeitλe2ite2λ

0t2dt

c(t)2d2XM +=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡minus=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

269

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= t2

1ν

ν

2t1

1

2νΓ

21νΓ

νπ1νtϕ

( ) ( ) 012km00x2ν

νXD0xM =+=minus

==

( )( )( ) ( )2kν4ν2ν

12k31kν2km

=

ϕ

distributia t

Figa

0tx

-5-4-3-2-1 1 2 3 4

010203

5

distributia n(x01)

270

ϕ(x

Fig b

(1) 1εn

n

1k)kM(X

n

1k kXPnlim =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ltsum=minus

sum=

infinrarr

ϕ( )x

o t t -t

)

271

n

1k kXX

( )n

n

1k)kM(X

n

1k kXMXM

sum==

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ sum==

( )nC

2n

Cn2n

n

1k)kD(X

n

1k kXDXD =

sdotlt

sum==

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ sum==

dubla inegalitate

1εn

n

1k)kM(X

n

1k kXP2nε

C1 le

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ltsum=minus

sum=leminus

atunci

(2) 1εpnx

nlim =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ltminusinfinrarr

are loc relaţia

(3) ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=minus

=minusinfinrarr npq

npm2

2mx211

e2π

1xnqxpxnCnlim

σσ

σ

272

condiţii

30 Notacircnd

sum=

=sum=

===n

1kkρ

(n)xρ

n

1k 3kmkρ2kτ(n)2

xτ)kD(X2kτ

(3) ( )

( )0

n3xτ

nxρ

nlim =infinrarr

sum=

=n

1k kXX

k k isin 12hellipn

(1) cov (XY)=M[(X-M(X)) (Y-M(Y))]

(2) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ minussdot

minus==

yτM(Y)Y

(3) yτxτ

xyτ

yτxτX)cov(Y

XYρsdot

=sdot

minussdotminus=

273

ρXY= ρYX= ρ

calculator etc

274

Q(t) = P( z lt t ) ( t gt 0)

q(t) = Qrsquo(t)

Φ(t) = P ( z lt t )=1-P(t) ( t gt 0 )

tt

φ

0

2

0

φ

unde m = M(z)

0t

)min( 0 tzz =

0

Q z

ge

Q (t) = P( lt t ) = z1

)(

0

tttt

pentrupentrutQ

gtle

⎩⎨⎧

şi corespunzător

275

⎩⎨⎧

gtleΦ

=minus=Φ

0)(

)(1)(0

0

tttt

pentrupentrut

tQt

int intinfin

lowast Φ=Φ=0 0

0

)()(t

dttdttm

int minusΦ=0

2

0

2 )(2)(t

mdtttzD

+ hrdquo Avem

P ( BA) = )(

)()(

)(t

httzP

htzPAP

BAPΦ

+Φ=

gt+gt

=cap

tht

Φ+Φ

momentul t + h este

1- )(

)()()(

)(t

httt

htΦ

+ΦminusΦ=

Φ+Φ

P(BA) )()()( hth

tt

sdot=sdotΦΦ

minuscong λ

276

λ(t)

t

0 I II III

trecerea timpului

λminus=ΦΦ

)()(

tt

defectare este

)( tet λminus=Φ

277

1)0(2)()(

=minus= φλφφ t

tt

rezultă 2

)( tet λminus=Φ

14 Probleme propuse

X şi Y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛201070

421⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛30104020

7641

278

f(x) = )4(

12 +xx

279

CAPITOLUL X

1 Să se calculeze

I = dxx

xxint +

minus1

03

3 2

)1()1(

= 1980 =

2x

= 1981 =

3 Fie f(xt) = )

2(

2ttx

eminus

sum+infin

minusinfin=

sdotn

nn txJ )(

214

= 1981 =

1 22

2

uaxu

xtu

=partpart

(2) u(0t) = tcos35

1minus

= 1982 =

2cos211)(

axaxfRRf

+minus=rarr a gt 1

= 1983 =

0coscossin2 2

22

2

=partpart

minuspartpart

partminus

partpart

yux

yxux

xu

2)0( =partpart yxu

=1989 =

215

π2

0 cos453cos dx

xx

=1985 =

RR rarr3ϕ

3Rsub

rrz

zy

yx

xpartpart

+partpart

=nabla

= 1986 =

derivabilă

b) Să se calculeze

I = int=

minus

neminusRZ

zRdz

ze 1

)1(

1

= 1987 =

216

u(xy) =

CC rarr

b) Să se calculeze

I = intinfin

++02222 ))((

sin dxcxbx

axx

unde abc Risin

=1988 =

F(p) = ( )[ ]1)1(1

22 ω+++ pp ω gt 0

pisinZ Se cere

t tteduutfug0

)sin()()( ωω

=0

1)( dt

ttfI

int=2

0

62 cos)(

π

tdttfeI t

= 1989 =

217

( )int

infin

+0n2bxa

Nnisin

( )int

infin

+019932x1

dx

intπ

218

BIBLIOGRAFIE

FLORESCU G

STOICA L

5 DOBRESCU V

rusă) 11 MOCANU PT

HAMBURG P

NEGOESCU N

Bucureşti 1982

239

MICULA G

IONESCU B

15 ŞICLOVAN I

MATEI I POPESCU I

CREŢ F

IMP Petroşani 1988

Timişoara2003

240

coperta
cuprins
cap1
cap2
cap3
cap4
cap5
cap6
cap7
cap8
cap9
cap10
bibliografie

Date post:	23-Nov-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	6 times
Download:	0 times

Universitatea ,,Constantin Brâncuşi” Tg Jiurefkol.ro/matek/mathbooks/ro.math.wikia.com wiki...

Documents