7/23/2019 UI6iugiiguigig

1/12

CURS STATISTIC I - Unitatea de nvarenr. 6

ANALIZA STATISTIC A DISTRIBUIILOR DE FRECVENE.INDICATORII TENDINEI CENTRALE (2).

Cuprins:

1.Obiectivele unitii de nvare.

2.Indicatorii medii de poziie.

2.1 Mediana2.2. Modul

3.Abordri comparative ntre principalii indicatori ai tendinei centrale.

4. Rspunsuri i comentarii la testele de autoevaluare.

!. "eme de control.

#. Rezumatul unitii de nvare.

$. %iblio&ra'ia unitii de nvare.

. O!i"#$i%"&" uni$'ii " *n%'+r"

(n urma parcur&erii acestei uniti de nvare studentul)

va nele&e c*nd este indicat s se utilizeze mediana i modul

i va nsui metodolo&ia de calcul a celor doi indicatori +mediana i modul, pentru toate

tipurile de serii

2. Ini#+$,rii "ii " p,i$i"

Indicatorii medii de poziie evideniaz tendinele de mi-loc sau de concentrare a unitilor.

intre indicatorii medii de poziie/ cei mai 'recveni utilizai sunt) mediana i modul.

7/23/2019 UI6iugiiguigig

2/12

2.. /"i+n+

/"i+n+ 'ace parte din cate&oria cuantilelor alturi de 0uartile/ decile. uv*ntul median

provine din cuv*ntul latin medius care nseamn mi-loc.

Mediana reprezint acea valoare a unei serii ordonate cresctor sau descresctor care

mparte seria n dou pri e&ale/ aa nc*t !5 din termenii seriei au valori mai mici dec*t

mediana/ iar !5 mai mari dec*t mediana.

6n avanta- al medianei 'a de medie este acela c poate 'i utilizat n caracterizarea

tendinei centrale pentru o serie de date msurate pe o scar ordinal. Mediana ia n consideraie

doar poziia termenilor n serie/ nu i mrimea acestor valori/ deci mediana nu este supus

in'luenei valorilor 'oarte mari sau 'oarte mici care sunt lsate n a'ara seriei.

E0"p&u&

7entru 1 obolani care ncearc s ias dintr8un labirint se cunosc urmtorii timpi de parcur&ere)

9 obolani au parcurs labirintul n mai puin de 1! minute/ n timp ce un obolan a reuit s

parcur& labirintul dup 24 de ore. 7entru a calcula timpul mediu n care un obolan parcur&e

labirintul valoarea reprezentativ este mediana i nu media +care ar 'i a'ectat de acea durat

mare de peste 24 ore,.

:aloarea medianei este invariabil 'a de convenia cu care se nc;id intervalele ee cunoate urmtorul set de valori ale unei caracteristici)

! $ 4 9 12 3 1

Ordonm seria cresctor)

7/23/2019 UI6iugiiguigig

3/12

3 4 ! $ 9 1 12

Me

7entru date ordinale mediana este varianta situat n centrul seriei.

- seria are un numr par de termeni,atunci mediana este e&al cu media aritmetic

simpl a celor 2 termeni centrali ai seriei ordonate cresctor sau descresctor.

?ie urmtorul set de valori)

3 1 ! $ 9 4

1 3 4 ! $ 9

!/42

!4Me =

+=

7entru un ir de date ordinale 'ormat din numr par de termeni/ mediana este e&al cu una

din cele dou variante din centrul seriei dac aceste variante sunt e&ale/ iar dac variantele nu

sunt e&ale mediana ia 2 valori deoarece nu se poate 'ace media lor.

p"n$ru , s"ri" " is$ri!ui" " 3r"#%"n" p" %+ri+n$" calculul medianei comport

urmtoarele etape)

@tapa 1) se determin locul medianei n cadrul seriei)

+= =

1n21A

B

1iiMe

@tapa 2) se cumuleaz cresctor 'recvenele absolute i se determin acea 'recven

cumulat cresctor care este imediat mai mare sau e&al cu locul medianei +Me,. :arianta care

corespunde 'recvenei absolute cumulate ce ndeplinete condiia de mai sus este mediana.

E0"p&u& 2

C de apartamente dintr8un bloc au 'ost sistematizate dup numrul de camere rezult*nd

urmtoarea distribuie de 'recvene)

Nr. C+"r" (0i) Nr. Ap+r$+"n$" (ni) ni#uu&+$ #r"s#'$,r1234

132!2C14

133C##3

T,$+& 45

7/23/2019 UI6iugiiguigig

4/12

alculai mediana.

7/23/2019 UI6iugiiguigig

5/12

4 = ## = CC = 11 8 12

1421C1#

2#4##4C

T,$+& 45 -

[ ]C/#Me4#!/42C11n

21A !

1iiMe

7/23/2019 UI6iugiiguigig

6/12

a un ma&azin de panto'i s8au v*ndut ntr8o or panto'i av*nd urmtoarele mrimi)az 1) 3! 3$ 39 4 42

Aceast serie nu are mod.az 2) 3! 3$ 3! 4 42

Mo D 3! deoarece este valoarea cea mai des nt*lnit

az 3) 3! 3$ 3! 4 4Mo1D 3! Mo2D 4Aceast serie este bimodal.

@

7/23/2019 UI6iugiiguigig

7/12

Intervalul modal este H#/ C,

$!2#

#2#

,1C2+,142+

1422#Mo =

++=

+

+= mii euro

ele mai multe bnci au atras depozite n valoare de $! mii euro.

T"s$u& " +u$,"%+&u+r"

. 6n auditor bancar a selectat 1 conturi i a nre&istrat sumele ee cere s se calculeze indicatorii tendinei centrale

C+u&u& 1r+3i# +& ,u&ui:

*n #+u& s"rii&,r " is$ri!ui" p" %+ri+n$"/ determinarea &ra'ic a modului se 'ace cu

a-utorul dia&ramei prin bare sau prin bastoane/ modul 'iind acea valoare de pe abscis

creia i corespunde ordonata ma

7/23/2019 UI6iugiiguigig

8/12

*n #+u& s"rii&,r " is$ri!ui" p" in$"r%+&" " %+ri+i"/ determinarea &ra'ic a

modului se 'ace cu a-utorul ;isto&ramei. >e determin punctul de intersecie al

se&mentului ce unete captul din st*n&a al blocului cel mai nalt cu captul din st*n&a

blocului urmtor cu se&mentul ce unete captul din dreapta al blocului cel mai nalt cu

captul din dreapta al blocului anterior. orespondena pe abscis a acestui punct de

intersecie este modul.

Analo& cu modul se poate determina/ n cazul distribuiilor n 'orm de 6 i valoareaantimodal creia i corespunde 'recvena minim.

Modul nu este un indicator al tendinei centrale 'oarte stabil i poate 'i a'ectat de modul n

care au 'ost construite intervalele de variaie. (n plus/ modul nu se preteaz aa uor la clacule

al&ebrice ca i mediana.

u toate aceste dezavanta-e/ modul este un indicator util n analiza seriilor de dimensiuni

mari n care ne intereseaz valoarea cea mai des nt*lnit.

6. A!,r+r"+ #,p+r+$i%' + prin#ip+&i&,r ini#+$,ri +i $"nin"i #"n$r+&"

Media este indicatorul cel mai utilizat n analiza tendinei centrale. alculul mediei se

bazeaz pe ansamblul valorilor caracteristicii

7/23/2019 UI6iugiiguigig

9/12

termenilor n serie i nu este in'luenat de valorile termenilor.

Modul se determin 'oarte uor/ dar este indicatorul cel mai sensibil la modul de &rupare a

datelor. ou &rupri di'erite ale aceleiai serii vor conduce la dou valori modale di'erite.

7entru o serie per'ect simetric cei trei indicatori ai tendinei centrale sunt e&ali)

MoMe< ==

;r,pri"$'i

(

7/23/2019 UI6iugiiguigig

10/12

>e cumuleaz cresctor 'recvenele absolute +ni,)

0i ni ni#uu&+$" #r"s#'$,r

14

1!1#1$1C192

2

#11!C!4

2

C1C33414#!

eci !5 dintre salariai au avut sub 1$ zile concediu/ iar !5/ peste 1$ zile.

Modul +dominanta unei serii,

Modul este/ n cazul &ruprii pe variante/ acea valoare a caracteristicii creia i corespunde

'recvena absolut ma

7/23/2019 UI6iugiiguigig

11/12

7/23/2019 UI6iugiiguigig

12/12

3.6n studiu privind durata de via n ore a unui produs electrocasnic e'ectuat pe 1 aparate a

condus la urmtoarele rezultate)

Dur+$+ " %i+' (,r") S$ru#$ur+ nu'ru&ui " +p+r+$" "&"#$r,#+sni#" = 1

1 = 22 = 33 = 44 = !! 8 #

C

22#221C

#T,$+& 55

>e cere) s se calculeze indicatorii tendinei centraleE

. R"u+$u& Uni$'ii " *n%'+r"

Indicatorii tendinei centrale reprezint o categorie deosebit de important de indicatori statistici

utilizai n analiza variabilelor numerice. Aceti indicatori sintetici redau ntr-o singur msur ceea ceeste tipic, esenial, caracteristic, obiectiv i stabil pentru o serie de date numerice.

Indicatorii tendinei centrale sunt:

mrimile medii care pot fi calculate att ca medii simple (pentru date negrupate, ct i

ca medii ponderate (pentru date grupate pe variante sau pe intervale

-media aritmetic

-media geometric

- media ptratic

-media armonic

indicatorii medii de poziie

-mediana

-modul

Aceti indicatori caracterizeaz cu at!t mai bine tendina central cu c!t datele pe baza crora

se determin sunt mai omogene.

"ei mai importani i mai utilizai indicatori ai tendinei centrale sunt: media, mediana, modul.

?. Bi!&i,1r+3i+ Uni$'ii " *n%'+r"

1.;auvat L./ Reau .7./ #tatisti$ues descriptives/ Armand olin/ 7aris/ 24

2. anciu A./Jiculescu I./ Lruiescu M./ #tatistic economic/ @ditura @nciclopedic/ %ucureti/

29

3. Isaic8Maniu Al./ Mitrut ./ :oinea&u :./#tatistic/ @ditura 6niversitar/ %ucureti/ 23E

4. :oinea&u :./ Nian @./ L;i >./ %oboc ./ "odose . = #tatistic. %aze teoretice i aplicaii,

@ditura @conomic/ %ucureti/ 2$E

!.onnacott ".P./ onnacott R../ >tatisti0ue/ @conomica/ 7aris/199!