+ All Categories
Home > Documents > TUTORIAL EXCEL2

TUTORIAL EXCEL2

Date post: 18-Feb-2016
Category:
Upload: hopity
View: 89 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
Description:
GHID
72
PARTEA A – II - A MODELAREA DECIZIILOR UTILIZ~ND FOILE DE CALCUL 131
Transcript

PARTEA A – II - A

MODELAREA DECIZIILOR UTILIZ~ND FOILE DE CALCUL

131

132

REZOLVAREA PROBLEMELOR DE PROGRAMARE LINIAR{

133

134

Rezolvarea problemelor =i procesul de luare a deciziilor

}n general, prin <problem[> se ]n\elege o dificultate care nu poate fi dep[=it[ ]n mod automat. Procesul de rezolvare a unei probleme poate fi definit ca procesul de identificare a diferen\elor dintre starea actual[ =i starea dorit[ a unei afaceri =i stabilirea ac\iunilor necesare pentru a rezolva aceast[ diferen\[. Pentru probleme destul de complicate care s[ justifice timpul =i efortul unei analize am[nun\ite, procesul de rezolvare a unei probleme implic[ parcurgerea urm[torilor pa=i:

1. Identificarea =i definirea problemei.2. Determinarea unui set de solu\ii alternative.3. Determinarea unui criteriu sau a unor criterii pentru evaluarea

alternativelor.4. Evaluarea alternativelor.5. Alegerea unei alternative.6. Implementarea alternativei alese.7. Evaluarea rezultatelor =i verificarea dac[ a fost selectat[ o solu\ie

satisf[c[toare.Luarea deciziilor este un termen ]n general asociat cu primele cinci

etape ale procesului de rezolvare a unei probleme. Astfel, prima etap[ ]n luarea unei decizii este identificarea =i definirea problemei, iar ultima etap[ este alegerea unei alternative, care de fapt este actul de luare a deciziei (figura II.1.1).

S[ consider[m urm[toarea situa\ie. Un absolvent de facultate ]=i caut[ un serviciu. Ca urmare a cererilor depuse, absolventul prime=te mai multe oferte situate ]n localit[\i diferite: Bucure=ti, Timi=oara, Constan\a, Bra=ov. Alternativele pentru acest caz de luare a deciziei sunt:

1. Acceptarea postului din Bucure=ti.2. Acceptarea postului din Timi=oara.3. Acceptarea postului din Constan\a.4. Acceptarea postului din Bra=ov.Urm[torul pas al procesului de luare a deciziei este stabilirea criteriilor

ce vor fi folosite ]n evaluarea alternativelor. Problemele decizionale ]n care obiectivul este de a g[si cea mai bun[ solu\ie ]n raport cu un singur criteriu se numesc decizii cu un singur obiectiv. Desigur, un criteriu important este salariul, dar pot exista =i alte criterii: posibilitatea de avansare, localitatea, posibilitatea de a avea o locuin\[. Problemele decizionale ]n care decizia este luat[ ]n func\ie de mai multe criterii se numesc decizii multicriteriale.

Urm[torul pas este evaluarea fiec[rei altenative ]n raport cu fiecare criteriu. Unele criterii sunt u=or de evaluat (cum ar fi salariul), altele pot fi evaluate pe baza unor factori subiectivi (poten\ialul de avansare, localitatea). }n general, la factorii subiectivi, pentru fiecare variant[ se acord[ un calificativ sau o not[. De foarte multe ori criteriile sunt contradictorii. O alternativ[ bun[ prin aplicarea unui criteriu poate s[ nu fie la fel de bun[ prin aplicarea celorlalte criterii.

Pentru evaluarea primului tip de criterii se folosesc metodele cantitative, pentru cel de al doilea tip, metodele calitative.

135

}n abordarea cantitativ[ analistul se va concentra asupra datelor asociate problemei =i va dezvolta un model matematic care va descrie obiectivele, restric\iile sau alte rela\ii care exist[ ]n problem[. Ulterior, prin utilizarea metodelor cantitative, analistul va face o alegere ]n func\ie de datele problemei.

Analiza calitativ[ se bazeaz[ mai mult pe intui\ie =i experien\[. Dac[ managerul a avut experien\e similare, problema este relativ simpl[. Dac[ managerul nu are experien\[ ]n probleme similare sau problema este prea complex[, pentru luarea deciziei finale se recomand[ metodele cantitative.

Figura II.1.1 – Procesul de luare a deciziei

Dezvoltarea modelelor

Modelele sunt reprezent[ri ale unor obiecte sau situa\ii reale. Ele pot exista ]n mai multe forme. De exemplu, o machet[ a unui avion este o reprezentare a unui avion adev[rat. Similar, un camion de juc[rie este modelul unui camion adev[rat. Aceste dou[ exemple de modele sunt replici fizice ale obiectelor reale. Folosind terminologia adecvat[, ele sunt modele fizice sau modele iconice.

136

Definirea problemei

Identificarea alternativel

or

Determinarea criteriilor

Evaluarea alternativel

or

Analiza cantitativ[

Analiza calitativ[

Luarea deciziei

O alt[ categorie de modele include obiectele care exist[ ]n form[ fizic[, dar nu au acela=i aspect ca =i obiectul modelat. Acestea sunt modelele analogice. Cutia de viteze a unui automobil este un model analogic: pozi\ia acului indic[ viteza automobilului. Un termometru este un alt model analogic pentru reprezentarea temperaturii.

A treia categorie include acele modele care reprezint[ o problem[ sub forma unui set de rela\ii matematice. Aceste modele se numesc modele matematice. De exemplu, profitul total ob\inut prin v`nzarea unui produs poate fi calculat ]nmul\ind profitul unitar cu cantitatea v`ndut[. Dac[ x reprezint[ num[rul de unit[\i v`ndute, P profitul total, atunci pentru un profit unitar de 1000 lei, modelul matematic care stabile=te profitul total ]n func\ie de v`nz[ri este Pˆ1000*x.

Scopul utiliz[rii modelelor este realizarea unei interfe\e cu situa\ia real[ prin studierea =i analizarea modelului. De exemplu, un constructor de avioane poate testa un model fizic pentru a verifica caracteristicile de zbor ale unui avion adev[rat. Similar, un model matematic poate fi utilizat pentru a analiza ce profit va fi ob\inut dac[ un produs este v`ndut. Pentru cazul prezentat, dac[ vor fi v`ndute 30 de buc[\i (xˆ30), profitul ob\inut va fi de 30*1000ˆ30000 lei.

Utilizarea modelelor matematice reduce cheltuielile =i timpul necesar pentru rezolvarea unei probleme reale. O machet[ de avion se construie=te mai repede =i este mai ieftin[ dec`t un avion real. La fel, prin utilizarea modelului matematic, se poate calcula rapid profitul ce poate fi ob\inut, f[r[ ca managerul s[ produc[ =i s[ v`nd[ cele x unit[\i.

Modelele au =i avantajul reducerii riscului asociat, prin experimentarea unei situa\ii reale. Pentru exemplele prezentate se pot evita gre=elile de proiectare, care ar putea duce la pr[bu=irea avionului, sau se pot evita deciziile gre=ite care ar duce la pierderi de milioane de lei.

Concluziile ob\inute depind de c`t de bine reprezint[ modelul situa\ia real[. Cu c`t modelul se apropie mai mult de cazul real, cu at`t rezultatele vor fi mai precise.

}n continuare vor fi analizate numai modelele matematice. Principalele aspecte abordate se refer[ la utilizarea metodelor cantitative ]n procesul de luare a deciziei. Accentul este pus nu pe metodele propriu-zise, ci pe modul ]n care ele pot fi rezolvate utiliz`nd foile de calcul.

Modele matematice

}n majoritatea cazurilor ]n care se ]ncearc[ rezolvarea unor probleme manageriale se constat[ c[ modul ]n care este structurat[ problema conduce la ob\inerea unui obiectiv specific (cum ar fi maximizarea unui profit sau minimizarea unui cost). De asemenea, se constat[ c[ de multe ori exist[ o serie de restric\ii sau constr`ngeri (cum ar fi capacitatea de produc\ie). Succesul folosirii analizei cantitative depinde de acurate\ea cu care obiectivul =i restric\iile sunt exprimate sub form[ de ecua\ii =i rela\ii matematice.

137

Expresia matematic[ care descrie obiectivul problemei se nume=te func\ie obiectiv. De exemplu, ecua\ia Pˆ10*x poate fi func\ia obiectiv a unei firme care ]ncearc[ s[ maximizeze profitul.

Rela\iile matematice care descriu constr`ngerile problemei se numesc restric\ii. Dac[ de exemplu pentru a produce o unitate de produs sunt necesare 5 ore =i ]ntr-o s[pt[m`n[ se lucreaz[ doar 40 de ore, atunci rela\ia 50*xˆ40 este o restric\ie de timp. 5*x reprezint[ timpul total necesar pentru a produce x unit[\i, care trebuie s[ fie mai mic sau egal cu cele 40 de ore disponibile.

Problema de decizie este urm[toarea: C`te unit[\i trebuie produse ]ntr-o s[pt[m`n[ pentru a maximiza profitul? Modelul matematic al acestei probleme este:

Restric\ia xŽˆ0 este necesar[ deoarece nu se poate fabrica un num[r negativ de produse.

Metoda program[rii liniare

Programarea liniar[ este o metod[ de rezolvare a problemelor de luare a deciziei. Urm[toarele tipuri de aplica\ii sunt specifice pentru rezolvarea lor cu ajutorul program[rii liniare:

1. Un manager trebuie s[ stabileasc[ pentru perioada urm[toare programul de produc\ie =i nivelul stocurilor astfel ]nc`t s[ fie satisf[cut[ cererea de pe pia\[ =i ]n acela=i timp vrea s[ minimizeze costul total de produc\ie =i costurile de stocare.

2. Un analist financiar trebuie s[ selecteze pentru un portofoliu de investi\ii cea mai bun[ combina\ie de ac\iuni =i obliga\iuni. Aceste investi\ii trebuie selectate astfel ]nc`t s[ se maximizeze eficien\a investi\iei.

3. Un director de marketing trebuie s[ stabileasc[ modul ]n care va distribui bugetul pentru publicitate ]n diverse medii: radio, televiziune, ziare =i reviste, astfel ]nc`t efectul reclamei f[cute s[ fie maxim.

4. O companie are depozite ]n c`teva ora=e din \ar[ =i prime=te comenzi de la clien\i din diverse localit[\i. Se pune problema determin[rii cantit[\ilor care vor fi trimise de la depozite spre clien\i astfel ]nc`t costurile totale de transport s[ fie minimizate.

Acestea sunt doar c`teva exemple ]n care programarea liniar[ a fost utilizat[ cu succes, dar lista poate continua. Ce au ]n comun aceste exemple este faptul c[ ele ]ncearc[ s[ minimizeze sau s[ maximizeze ceva. }n primul exemplu managerul vrea s[ minimizeze costurile; ]n exemplul 2 analistul financiar vrea s[ maximizeze eficien\a investi\iei; ]n exemplul 3 directorul de marketing trebuie s[ maximizeze eficien\a reclamei; ]n exemplul 4 trebuie minimizate cheltuielile de transport. }n toate

138

problemele de programare liniar[, obiectivul este maximizarea sau minimizarea unor cantit[\i.

Toate problemele de programare liniar[ au =i o a doua proprietate: restric\iile care limiteaz[ gradul ]n care obiectivul poate fi realizat. }n exemplul 1 produc\ia este limitat[ de capacitatea de produc\ie =i ]n acela=i timp trebuie s[ satisfac[ cererea; ]n exemplul 2 analistul este limitat de suma disponibil[ =i tipul ac\iunilor existente; ]n exemplul 3 directorul de marketing este constr`ns de bugetul fixat =i de disponibilitatea mediilor de reclama; ]n exemplul 4 cantit[\ile ce pot fi transportate sunt limitate la disponibilul din fiecare depozit. Deci, restric\iile sunt o alt[ tr[s[tur[ general[ a fiec[rei probleme de programare liniar[.

Exemplu

Firma ABC produce o varietate de produse chimice. }n cadrul unui proces de produc\ie, pentru a produce dou[ produse (un aditiv =i un solvent) sunt necesare trei tipuri de materii prime. Aditivul este v`ndut fabricilor de ulei =i este folosit la producerea a diverse tipuri de combustibil. Solventul este v`ndut combinatelor chimice =i este utilizat la fabricarea detergen\ilor. Pentru a fabrica aditivul =i solventul cele trei materii prime sunt amestecate ]n propor\iile indicate ]n tabelul II.1.1.

ProdusAditiv Solvent

Material 1 2/5 ½Material 2 0 1/5Material 3 3/5 3/10

Tabelul II.1.1 – Necesarul de materii prime pentru ob\inerea unei tone de adidiv/solvent

Pentru a ob\ine o ton[ de aditiv se amestec[ 2/5 tone de material 1=i 3/5 tone de material 3. O ton[ de solvent poate fi ob\inut[ prin amestecarea a ½ tone de material 1, 1/5 tone de material 2 =i 3/10 tone de material 3.

Produc\ia este limitat[ de disponibilitatea celor trei materii prime. }n prezent firma dispune de 20 tone de material 1, 5 tone de material 2 =i 21 tone de material 3. Prin natura procesului de produc\ie, materiile prime care nu sunt utilizate ]n procesul de produc\ie curent sunt considerate de=euri.

Fiecare ton[ de aditiv aduce un profit de 40$ , iar fiecare ton[ de solvent aduce un profit de 30$.

Managementul firmei ABC, dup[ analiza cererii de pe pia\[, a decis c[ pre\urile stabilite vor determina v`nzarea ]ntregii cantit[\ii produse (aditiv =i sovent).

Formularea problemei

139

Formularea problemei sau modelarea reprezint[ procesul de transpunere a problemei ]ntr-un model matematic. Modelarea problemei este o art[ care poate fi st[p`nit[ prin practic[ =i experien\[. De=i fiecare problem[ are caracteristici unice, multe probleme pot avea tr[s[turi comune. Ca urmare, pentru ]ncep[tori pot fi utile o serie de reguli ce pot fi aplicate pentru formularea unui model, reguli ce vor fi ilustrate ]n dezvoltarea modelului matematic pentru firma ABC.

Acest exemplu a fost selectat pentru a introduce metoda program[rii liniare pentru c[ este u=or de ]n\eles. }n practic[ apar probleme mai complicate, care necesit[ o analiz[ mai profund[ pentru a identifica toate aspectele care trebuie incluse ]n model.

Primul pas este identificarea obiectivului =i a restric\iilor. }n cazul nostru obiectivul este maximizarea profitului total. Restric\iile se refer[ la cantit[\ile de materii prime disponibile, care limiteaz[ cantit[\ile de aditiv =i solvent ce pot fi produse.

Restric\ia 1: cantitatea de material 1 utilizat[ trebuie s[ fie mai mic[ sau egal[ cu cantitatea de material 1 disponibil[.

Restric\ia 2: cantitatea de material 2 utilizat[ trebuie s[ fie mai mic[ sau egal[ cu cantitatea de material 2 disponibil[.

Restric\ia 3: cantitatea de material 3 utilizat[ trebuie s[ fie mai mic[ sau egal[ cu cantitatea de material 3 disponibil[.

Urm[torul pas este definirea variabilelor de decizie. Cele dou[ variabile de decizie sunt: num[rul de tone de aditiv produse =i num[rul de tone de solvent produse. Not[m cu:

A: cantitatea de aditiv produs[ (tone)S: cantitatea de solvent produs[ (tone)

A =i S sunt variabile de decizie.

Se scrie obiectivul utiliz`nd variabilele de decizie. Profitul total provine din dou[ surse: v`nz[rile de aditiv =i v`nz[rile de solvent. Dac[ profitul ob\inut prin v`nzarea unei tone de aditiv este de 40$, atunci prin v`nzarea a A tone profitul va fi 40*A. La fel, dac[ profitul ob\inut prin v`nzarea unei tone de solvent este de 30$, atunci prin v`nzarea a S tone profitul va fi 40*S.

Profitul total ˆ 40A ‡ 30S

Expresia matematic[ a obiectivului se nume=te func\ie obiectiv. }n cazul nostru obiectivul este maximizarea profitului total, deci func\ia obiectiv va fi:

Max ( 40A ‡ 30S )

Se scriu restric\iile utiliz`nd variabilele de decizie. Restric\ia 1. Deoarece o ton[ de aditiv este produs[ folosind 2/5 tone

de material 1, cantitatea de material 1 necesar[ pentru a produce A tone de aditiv este 2/5 * A. Pentru fiecare ton[ de solvent se folosesc ½ tone de material 1, deci cantitatea de material 1 necesar[ pentru a produce S

140

tone de solvent este ½ * S. Astfel, cantitatea total[ de material 1 necesar[ este 2/5 * A ‡ ½ * S. Cantitatea disponibil[ de material 1 este de 20 tone, deci transpunerea sub form[ de ecua\ie a restric\iei 1 este:

2/5 * A ‡ ½ * S ˆ20Restric\ia 2. Deoarece la fabricarea aditivului nu este necesar

materialul 1 se va lua ]n lua ]n calcul doar cantitatea de material 2 utilizat[ la fabricarea solventului. Pentru fiecare ton[ de solvent se folosesc 1/5 tone de material 2, deci cantitatea de material 2 necesar[ pentru a produce S tone de solvent este 1/5 * S. Astfel, cantitatea total[ de material 2 necesar[ este 1/5 * S. Cantitatea disponibil[ de material 2 este de 5 tone, deci transpunerea sub form[ de ecua\ie a restric\iei 2 este:

1/5 * S ˆ5Restric\ia 3. Deoarece o ton[ de aditiv este produs[ folosind 3/5 tone

de material 3, cantitatea de material 3 necesar[ pentru a produce A tone de aditiv este 3/5 * A. Pentru fiecare ton[ de solvent se folosesc 3/10 tone de material 3, deci cantitatea de material 3 necesar[ pentru a produce S tone de solvent este 3/10 * S. Astfel, cantitatea total[ de material 3 necesar[ este 3/5 * A ‡ 3/10 * S. Cantitatea disponibil[ de material 3 este de 21 tone, deci transpunerea sub form[ de ecua\ie a restric\iei 3 este:

3/5 * A ‡ 3/10 * S ˆ 21P`n[ acum am specificat rela\iile matematice referitoare la

constr`ngerile asociate celor trei materii prime. Mai trebuie oare alte restric\ii? Poate firma ABC s[ produc[ un num[r negativ de tone de aditiv =i solvent? R[spunsul este evident nu. Deci pentru ca variabilele de decizie s[ nu aib[ valori negative mai sunt necesare dou[ restric\ii:

A Žˆ0S Žˆ0

Modelul matematic al problemei este acum complet. At`t obiectivul c`t =i restric\iile au fost transformate ]ntr-un set de rela\ii matematice, set de rela\ii definit ca model matematic. Modelul matematic complet al problemei este:

Max ( 40A ‡ 30S )2/5 * A ‡ ½ * Sˆ201/5 * Sˆ53/5 * A ‡ 3/10 * Sˆ21AŽˆ0SŽˆ0

Pentru rezolvarea problemei trebuie g[sit[ combina\ia optim[ (de A =i S) care s[ satisfac[ toate restric\iile =i ]n acela=i timp s[ conduc[ la o valoare a func\iei obiectiv care s[ fie mai mare sau egal[ dec`t orice valoare calculat[ cu o alt[ solu\ie posibil[.

Dac[ func\ia obiectiv =i restric\iile sunt func\ii liniare ]n raport cu variabilele de decizie (variabilele de decizie apar numai la puterea I), atunci avem o problem[ de programare liniar[.

Pentru rezolvarea problemelor de programare liniar[ exist[ mai multe metode analitice: metoda Simplex, metoda grafic[. }n continuare vom

141

prezenta modul ]n care pot fi rezolvate problemele de programare liniar[ utiliz`nd foile de calcul (Microsoft Excel).

Utilizarea foilor de calcul pentru rezolvarea problemelor de programare liniar[

Foile de calcul sunt instrumente utilizate frecvent pentru prelucrarea datelor ]n multe organiza\ii. Deoarece modelele matematice necesit[ de multe ori date care deja exist[ ]n alte foi de calcul, este important a ]n\elege modul ]n care o problem[ de programare liniar[ poate fi rezolvat[ cu ajutorul foilor de calcul. }n continuare vom ilustra modul ]n care se poate rezolva problema precedent[ folosind foile de calcul. }n acest scop va fi folosit programul de calcul tabelar Microsoft Excel.

Un model de programare liniar[ transpus ]ntr-o foaie de calcul va con\ine urm[toarele elemente:

1. Celulele care con\in datele problemei.2. Celulele pentru variabilele de decizie.3. O celul[ care con\ine formula pentru calcularea func\iei obiectiv.4. Celulele care con\in formulele pentru calcularea p[r\ii st`ngi a

restric\iilor.5. Celulele care con\in valorile p[r\ii drepte a restric\iilor.Transpunerea problemei ]ntr-o foaie de calcul presupune parcurgerea

urm[toarelor etape:1. Introducerea datelor problemei ]n foaia de calcul.2. Definirea celulelor care vor con\ine variabilele de decizie.3. Definirea celulei care con\ine formula pentru func\ia obiectiv.4. Definirea celulelor care con\in formulele din partea st`ng[ a restic\

iilor.5. Definirea celulelor care con\in valorile din partea dreapt[ a restric\

iilor.

142

}n figura II.1.2 este prezentat[ solu\ia pentru problema

prezentat[ anterior.

Figura II.1.2 – Foaia de calcul utilizat[ pentru rezolvarea problemei

Remarca\i c[ foaia de calcul este alc[tuit[ din dou[ p[r\i: o parte con\ine datele problemei =i alta con\ine modelul. Un avantaj al separ[rii datelor de model este c[ se poate studia efectul modific[rii m[rimilor de intrare asupra modelului f[c`nd modific[ri doar ]n zona care con\ine date. Un alt avantaj este c[ analistul poate dezvolta modelul independent de datele disponibile.

}n continuare este prezentat fiecare pas al procedurii:

Pasul 1: Introducerea datelor problemei. Datele problemei apar ]n partea superioar[ a foii de calcul. Frac\iile care reprezint[ compozi\ia pentru ob\inerea unei tone de solvent =i aditiv au fost convertite ]n valori zecimale =i introduse ]n domeniul B5:C7. Valoarea 0.4 din celula B5 arat[ c[ fiecare ton[ de aditiv produs[ utilizeaz[ 0.4 tone de material 1, valoarea 0.5 din celula C5 arat[ c[ fiecare ton[ de solvent produs[ utilizeaz[ 0.5 tone de material 1, etc. Celulele D5:D7 con\in cantitatea disponibil[ din fiecare material, iar celulele B8 =i C8 con\in profitul ob\inut prin v`nzarea unei tone de aditiv (40$), respectiv solvent (30$).

Pasul 2: Definirea celulelor care vor con\ine variabilele de decizie. Celulele B15 =i C15 con\in num[rul de tone de aditiv =i solvent produse.

Pasul 3: Definirea celulei care con\ine formula func\iei obiectiv. Celula B17 con\ine formula pentru calcularea func\iei obiectiv: ˆ B8*B15‡ C8*C15 (profiul unitar pe tona de aditiv * produc\ia de aditiv ‡ profiul unitar pe tona de solvent * produc\ia de solvent).

143

Pasul 4: Definirea celulelor care con\in formulele din partea st`ng[ a restric\iilor. Celulele B20:B22 con\in formulele care indic[ cum se calculeaz[ partea st`ng[ a restric\iilor. Pentru materialul 1, ]n celula B20 se introduce formula ˆB5*B15‡C5*C15 (cantitatea de aditiv produs[*cantitatea de material 1 pentru a produce o ton[ de aditv ‡ cantitatea de solvent produs[*cantitatea de material 1 pentru a produce o ton[ de solvent). }n mod similar se vor introduce ]n celulele B21 =i B22 formulele pentru materialele 2 =i 3.

Pasul 5: Definirea celulelor care con\in valorile din partea dreapt[ a restric\iilor. }n problema analizat[ valorile din partea dreapt[ a restric\iilor reprezint[ cantit[\ile de material disponibile, valori care deja sunt introduse ]n domeniul D5:D7. Pentru materialul 1, ]n celula D20 se introduce formla ˆD5, pentru matrialul 2, ]n celula D21 se introduce formula ˆD6, iar pentru materialul 3 ]n celula D22 se introduce formula ˆD7.

Un avantaj al folosirii foilor de calcul este c[ dac[ una din valorile din partea care con\ine datele problemei se modific[, valorile din model se modific[ automat..

Pentru a determina solu\ia optim[ a problemei se va folosi Solver-ul din Excel. Pa=ii urm[tori arat[ modul ]n care poate fi folosit Solver-ul pentru ob\inerea solu\iei optime pentru o problem[ de programare liniar[.

1. Se selecteaz[ meniul Tools.2. Se aplic[ comanda Solver.3. Caseta Solver Parameters se completeaz[ ]n modul urm[tor:

Set Target Cell: B17 Se selecteaz[ op\iunea Max. By Changing Cells: B15:C15. Se selecteaz[ butonul Add.

4. Caseta Add Constraint se completeaz[ astfel: Cell Reference: B20:B22 Se selecteaz[ operatorul ‹ ˆ Constraint: D20:D22 Se selecteaz[ butonul OK.

5. C`nd caseta Solver Parameters apare din nou se selecteaz[ butonul Options.

6. }n caseta Solver Options se selecteaz[: Assume Linear Model. Assume Non- Negative. Butonul Ok.

7. C`nd caseta Solver Parameters apare din nou se selecteaz[ butonul Solve.

8. }n caseta Solver Results se selecteaz[ Keep Solver Solution. Se selecteaz[ butonul Ok pentru a genera solu\ia optim[, afi=at[ ]n celulele B15, C15.

Solu\ia optim[ este 25 tone de aditiv =i 20 tone de solvent.

144

Analiza de senzitivitate =i interpretarea rezultatelor

Problemele din lumea real[ au loc ]ntr-un mediu ]n continu[ schimbare. Pre\ul materiilor prime, salariile, cererea, oferta, valoarea ac\iunilor, etc. sunt valori care pot varia de la un moment la altul. Dac[ o problem[ de programare liniar[ este utilizat[ ]ntr-un astfel de mediu, ne putem a=tepta ca anumi\i coeficien\i ai problemei s[ se modifice ]n timp. Deci va trebui s[ determin[m cum afecteaz[ aceste schimb[ri solu\ia optim[ a problemei de programare liniar[ ini\ial[.

Cu analiza de senzitivitate se poate observa cum este afectat[ solu\ia optim[ de modific[ri ale coefiecien\ilor dintr-o problem[ de programare liniar[. Utiliz`nd analiza de senzitivitate se poate r[spunde la ]ntreb[ri de tipul:

1. Cum este afectat[ solu\ia optim[ de o modificare a unui coeficient din func\ia obiectiv?

2. Cum este afectat[ solu\ia optim[ de o modificare a valorii din partea dreapt[ a restric\iilor?

Deoarece obiectul analizei de senzitivitate este modul ]n care modific[rile specificate afecteaz[ solu\ia optim[, analiza nu poate ]ncepe p`n[ c`nd nu se ob\ine solu\ia problemei de programare liniar[ ini\ial[. Din aceast[ cauz[, analiza de senzitivitate este de multe ori numit[ =i analiz[ postoptimal[.

Revenind la problema prezentat[ anterior:

Max ( 40A ‡ 30S )2/5 * A ‡ ½ * Sˆ20 Materialul 11/5 * Sˆ5 Materialul 23/5 * A ‡ 3/10 * Sˆ21 Materialul 3AŽˆ0SŽˆ0

Solu\ia optim[ Aˆ25 tone de aditiv =i Sˆ20 tone de solvent s-a ob\inut pentru cazul ]n care s-a considerat c[ profitul pe ton[ pentru aditiv este 40$, iar profitul pe ton[ pentru solvent este de 30$.

Presupunem c[ datorit[ unor factori exteriori are loc o reducere a pre\urilor, ceea ce determin[ o sc[dere a profitului de la 30$ pe ton[ la 25$ pe ton[ pentru solvent. }n acest caz programul de produc\ie de 25 de tone de aditiv =i 20 de tone de solvent este ]n continuare cel mai bun? }n mod normal ar trebui s[ rezolv[m o nou[ problem[ de programare liniar[ cu func\ia obiectiv modificat[ 40*A‡25*S. Acest lucru nu este necesar, deoarece cu analiza de senzitivitate putem determina ]n ce limite poate varia profitul pe tona de aditiv f[r[ ca solu\ia optim[ s[ se modifice. Dac[ analiza de senzitivitate arat[ c[ 25 tone de aditiv =i 20 de tone de solvent r[m`ne solu\ia optim[ at`ta timp profitul pe tona de solvent variaz[ ]ntre 20$ =i 40$, agentul decizional poate considera c[ estimarea de 30$/ton[ este bun[. Dac[ analiza de senzitivitate arat[ c[ 25 de tone de aditiv =i 20 de tone de solvent r[m`ne solu\ia optim[ at`ta timp profitul pe tona de solvent variaz[ ]ntre 29.90$ =i 32$, managementul va trebui s[ reanalizeze acurate\ea estim[rii de 30$/tona de solvent.

145

Domeniul de optimalitate pentru fiecare coeficient al func\iei obiectiv este domeniul de valori ]n care acest coeficient poate varia far[ a modifica solu\ia optim[. Managerul va trebui s[ analizeze cu aten\ie acei coeficien\i din func\ia obiectiv care au un domeniu de optimalitate ]ngust, deoarece o mic[ modificare a acestora poate modifica solu\ia optim[.

Un alt aspect al analizei de senzitivitate se refer[ la modific[rile valorilor din partea dreapt[ a restric\iilor. Referindu-ne la aceea=i problem[, pentru solu\ia optim[ sunt utilizate ]n ]ntregime stocurile de material 1 =i 3. Ce se ]nt`mpl[ cu solu\ia optim[ =i profitul total dac[ se m[resc cantit[\ile disponibile de material 1 =i 3?

Cu analiza de senzitivitate se poate determina cu c`t va cre=te profitul total dac[ cantitatea disponibil[ de material 1 sau 3 cre=te cu o ton[.

Pentru ca programul Excel s[ furnizeze un raport pentru realizarea analizei de senzitivitate, c`nd se rezolv[ problema cu Solver-ul, ]n fereastra de dialog Solver Results, sec\iunea Reports, se selecteaz[ Sensitivity (vezi lec\ia 12).

Interpretarea raportului Excel pentru analiza de senzitivitate

Raportul generat de Excel are structura prezentat[ ]n figura II.1.3.

Figura II.1.3 – Raportul de analiz[ de senzitivitate

Raportul are dou[ sec\iuni Adjustable Cells =i Constraints. }n sec\iunea Adjustable Cells se analizeaz[ coeficien\ii variabilelor de decizie din func\ia obiectiv, iar ]n sec\iunea Constraints sunt analizate valorile din partea dreapt[ a restric\iilor.

Sec\iunea Adjustable Cells}n coloana Cell sunt afi=ate celulele care con\in coeficien\ii

variabilelor de decizie din func\ia obiectiv, iar ]n coloana Name sunt afi=ate numele acestor celule.

Coloana Final Value con\ine valorile optime pentru variabilele de decizie. Pentru problema analizat[ solu\ia este 25 de tone de aditiv =i 20 tone de solvent.

146

Coloana Reduced Cost. Pentru fiecare variabil[ de decizie, valoarea absolut[ din Reduced Cost arat[ c`t de mult trebuie s[ creasc[ (pentru problemele de maximizare) sau s[ scad[ (pentru problemele de minimizare) coeficientul variabilei de decizie din func\ia obiectiv astfel ]nc`t variabila de decizie respectiv[ s[ aib[ valoare pozitiv[. Dac[ o variabil[ de decizie este pozitiv[ ]n solu\ia optim[, costul redus este 0. Pentru problema analizat[ ambele variabile de decizie au valori pozitive =i costurile reduse sunt 0. Dac[ de exemplu pentru cantitatea de solvent s-ar fi ob\inut 0 ]n coloana Final Value =i –12.5 ]n coloana Reduced Cost, interpretarea ar fi urm[toarea: profitul pe tona de solvent ar trebui s[ creasc[ la 30‡12.50ˆ42.50 pentru ca ]n solu\ia optim[ variabila de decizie ata=at[ cantit[\ii de solvent s[ aib[ o valoare pozitiv[. Altfel spus, pentru a produce solvent ar trebui ca profitul pe tona de solvent s[ fie 42.50$.

Coloana Objective Coefficient con\ine valorile coeficien\ilor variabilelor de decizie din func\ia obiectiv, iar coloanele Allowable Increase =i Allowable Decrease con\in valorile pe baza c[rora se poate calcula domeniu de optimalitate pentru coeficientul respectiv (cre=terea =i mic=orarea permis[). De exemplu, pentru aditiv:

Deci dac[ profitul pe tona de aditiv variaz[ ]ntre 24 =i 60, solu\ia optim[ de 25 tone de aditiv =i 20 tone de solvent r[m`ne neschimbat[.

Pentru solvent:

Deci dac[ profitul pe tona de solvent variaz[ ]ntre 20 =i 50, solu\ia optim[ de 25 tone de aditiv =i 20 tone de solvent r[m`ne neschimbat[.

Sec\iunea ConstraintsColoana Cell indic[ celulele care con\in valorile din partea dreapt[ a

restric\iilor, iar coloana Name con\ine numele acestor celule.Valorile din coloana Final Value sunt valorile restric\iilor (partea

st`ng[) calculate pentru solu\ia optim[. Pentru problema analizat[ valorile din coloana Final Value indic[ cantit[\ile de material 1, 2 =i 3 necesare pentru a produce combina\ia optim[ de 25 de tone de aditiv =i 20 tone de solvent. Deci pentru solu\ia optim[ sunt necesare 20 tone de material 1, 4 tone de material 2 =i 21 tone de material 3.

Valorile din coloana Constraint RH sunt valorile ini\iale ale problemei: 20 tone de material 1, 5 tone de material 2, 21 tone de material 3 (cantit[\ile disponibile). Pentru fiecare restric\ie abaterea reprezint[ diferen\a dintre valoarea din coloana Constraint RH =i valoarea din Final Value. Abaterea asociat[ materialului 1 este 20-20ˆ0 tone, pentru materialul 2: 5-4ˆ1 ton[, iar pentru materialul 3: 21-21ˆ0 tone. Deci materialele 1 =i 3 sunt utilizate ]n totalitate, iar din materialul 2 r[m`ne o ton[. Concluzia este c[ dac[ ar exista cantit[\i mai mari de material 1 sau 3 s-ar putea ob\ine un profit total mai mare. Modul ]n care modificarea acestor cantit[\i influen\eaz[ profitul este indicat ]n coloana Shadow Price (pre\uri umbr[).

147

Pre\urile umbr[ arat[ cu c`t se modific[ (cre=tere/mic=orare) valoarea func\iei obiectiv la cre=terea/mic=orarea cu o unitate a valorii din partea dreapt[ a unei restric\ii.

}n cazul nostru, pre\ul umbr[ de 33.33 pentru materialul 1 arat[ c[ o ton[ suplimentar[ de material 1 va cre=te profitul cu 33.33$. Deci, dac[ cantitatea disponibil[ de material 1 ar cre=te de la 20 la 21, ceilal\i coeficien\i r[m`n`nd constan\i, profitul total ar cre=te cu 33.33$, ceea ce ]nseamn[ 1600‡33.33ˆ1633.33$.

Similar, dac[ cantitatea disponibil[ de material 3 ar cre=te de la 21 la 22, ceilal\i coeficien\i r[m`n`nd constan\i, profitul total ar cre=te cu 44.44$, ceea ce ]nseamn[ 1600‡44.44ˆ1644.44$.

Valoarea 0 a pre\ului umbr[ pentru materialul 2 arat[ c[ dac[ cantitatea disponibil[ de material 2 ar cre=te, valoarea func\iei obiectiv (profitul total) nu s-ar modifica.

Ultimele dou[ coloane Allowable Increase =i Allowable Decrease determin[ domeniul ]n care poate varia termenul din dreapta al unei restric\ii f[r[ a se modifica pre\urile umbr[. De exemplu, consider`nd restric\ia pentru materialul 1, termenul din partea dreapt[ are valoarea 20, cre=terea permis[ este 1.5 =i mic=orarea permis[ este de 6. +tim c[ cu un pre\ umbr[ de 33.33$ , o ton[ ]n plus de material 1 va cre=te valoarea func\iei obiectiv (profitul) cu 33.33$, iar reducerea cantit[\ii de material cu o ton[ va mic=ora valoarea func\iei obiectiv cu 33.33$. Valorile din Allowable Increase =i Allowable Decrease arat[ c[ pre\ul umbr[ de 33.33$ este valabil pentru cre=teri de material 1 de p`n[ la 1.5 tone =i reduceri de pan` la 6 tone.

Domeniul de valori ]n care pre\ul umbr[ este aplicabil se nume=te domeniu de fezabilitate. Deci pentru materialul 1 domeniul de fezabilitate este ]ntre 20-6ˆ14 =i 20‡1.5ˆ21.5 tone. Pentru modific[ri ]n afara domeniului de fezabilitate problema trebuie rezolvat[ din nou pentru a g[si noul pre\ umbr[.

Pentru restric\ia materialului 2 cre=terea permis[ este 1E‡30, deci 1030, un num[r foarte mare. Putem interpreta aceast[ valoare ca o eviden\[ a faptului c[ nu exist[ limit[ superioar[ pentru domeniul de fezabilitate a materialului 2. Cu alte cuvinte, oric`t material 2 ar fi disponibil, valoarea func\iei obiectiv nu s-ar modifica. Descre=terea permis[ (1) arat[ c[ limita minim[ a domeniului de fezabilitate pentru materialul 2 este 5-1ˆ4 tone. Deci dac[ pentru produc\ie ar fi disponibile 4.5 tone de material 2, valoarea func\iei obiectiv nu s-ar modifica. Dac[ sunt disponibile mai pu\in de 4 tone va trebui s[ rezolv[m problema din nou pentru a afla noua solu\ie =i pre\urile umbr[.

Pentru materialul 3, domeniul de fezabilitate este ]ntre 21-2.25ˆ18.75 tone =i 21‡9ˆ30 tone. Deci pre\ul umbr[ de 44.44 este aplicabil dac[ termenul din partea dreapt[ a restric\iei (cantitatea de material disponibil) ia valori ]ntre 18.75 tone =i 30 tone.

Informa\iile din raportul de analiz[ de senzitivitate se bazeaz[ pe presupunerea c[ doar un coeficient se modific[, to\i ceilal\i r[m`n`nd neschimba\i.

148

REZOLVAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT

149

150

Probleme de transport

Problemele de transport apar frecvent ]n situa\iile ]n care trebuie planificat modul de distribuire al bunurilor de la produc[tori la consumatori. Obiectivul obi=nuit al acestor probleme este minimizarea costurilor de transport. Modelele de transport sunt o varia\ie a problemelor de programare liniar[ =i presupun urm[toarele:

1. Obiectivul este minimizarea costurior totale de transport.2. Costurile de transport sunt func\ii liniare ]n raport cu num[rul de

unit[\i transportate.3. Cererea =i oferta sunt exprimate ]n unit[\i omogene.4. Costurile de transport pe unitate nu variaz[ cu cantitatea

transportat[.Pentru a ilustra modul ]n care se pot rezolva problemele de transport

prezent[m urm[torul exemplu:O companie dispune de trei fabrici =i patru centre de distribu\ie.

Fabricile sunt plasate ]n Cluj, Bac[u =i Craiova. Capacit[\ile de produc\ie ale fabricilor sunt:

Fabrica Capacitate de produc\ie (unit[\i)

Cluj 5000Bac[u 6000Craiova 2500

Total: 13.500

Centrele de distribu\ie sunt plasate ]n Deva, Ia=i, Bucure=ti, Bra=ov. Cererea pentru produsele companiei ]n aceste centre este:

Centre de distribu\ie Cerere (unit[\i)Deva 6000Ia=i 4000Bucure=ti 2000Bra=ov 1500

Total: 13.500

Managementul ar dori s[ determine cantitatea care ar trebui transportat[ de la fiecare fabric[ la fiecare centru de distribu\ie astfel ]nc`t costurile de transport s[ fie minime.

Figura II.2.1 prezint[ graficul cu cele 12 rute posibile. Un astfel de graf este numit graf de re\ea. Cercurile reprezint[ nodurile re\elei. Liniile care unesc nodurile se numesc arcuri. Fiecare punct de plecare =i sosire este reprezentat printr-un nod, iar fiecare rut[ posibil[ este reprezentat[ printr-un arc. }n dreptul fiec[rui nod este trecut[ valoarea ofertei (pentru capacit[\ile de produc\ie) sau a cererii (pentru centrele de distribu\ie). Sensul de deplasare este indicat prin s[ge\i. Costurile unitare de transport pentru fiecare rut[ sunt prezentate ]n tabelul II.2.1 =i pe fiecare arc din figura II.2.1.

151

Destina\ieOrigine 1. Deva 2. Ia=i 3. Bucure=ti 4.

Bra=ov1. Cluj 3 2 7 62. Bac[u 7 5 2 33. Craiova

2 5 4 5

Tabelul II.2.1 – Costurile unitare de transport pe fiecare rut[

Figura II.2.1 – Graful de re\ea ata=at problemei

Pentru a rezolva problema de transport putem folosi programarea liniar[. Vom utiliza variabile de decizie cu doi indici, primul indice indic[ nodul origine, al doilea nodul destina\ie. Astfel xij indic[ num[rul de unit[\i transportate de la fabrica i la centrul de distribu\ie j.

Costul unit[\ilor transportate din Cluj este ˆ 3*x11‡2*x12‡7*x13‡6*x14Costul unit[\ilor transportate din Bac[u este ˆ

7*x21‡5*x22‡2*x23‡3*x24Costul unit[\ilor transportate din Craiova este ˆ

2*x31‡5*x32‡4*x33‡5*x34Suma acestor costuri este costul total de transport, valoare care

trebuie minimizat[, deci func\ia obiectiv este:Min

(3*x11‡2*x12‡7*x13‡6*x14‡7*x21‡5*x22‡2*x23‡3*x24‡2*x31‡5*x32‡4*x33‡5*x34)

152

Cluj

Craiova

Bac[u

Bra=ov

Bucure=ti

Ia=i

Deva

5000

6000

2500

1500

2000

4000

6000

72

6

3

3257

5

45

2

}n problemele de transport apar restric\ii deoarece fiecare fabric[ are o capacitate de produc\ie limitat[ =i fiecare centru de distribu\ie are o anumit[ cerere. Fabrica din Cluj are o capacitate de produc\ie de 5000 unit[\i. Num[rul total de unit[\i transportate din fabrica de la Cluj este x11‡x12‡x13‡x14, deci restric\ia asociat[ acestei fabrici este:

x11‡x12‡x13‡x14 5000}n mod similar pentru celelalte fabrici avem:x21‡x22‡x23‡x24 6000 - pentru fabrica de la Bac[u.x31‡x32‡x33‡x34 2500 - pentru fabrica de la Craiova.}n cele patru centre de distribu\ie, restric\ia va fi dat[ de faptul

c[ cererea la centrul respectiv trebuie s[ fie egal[ cu cantit[\ile transportate aici.

x11‡x21‡x31‡x41 ˆ6000 - cererea la Devax12‡x22‡x32‡x42 ˆ4000 - cererea la Ia=ix13‡x23‡x33‡x43 ˆ2000 - cererea la Bucure=tix14‡x24‡x34‡x44 ˆ1500 - cererea la Bra=ovCombin`nd func\ia obiectiv cu restric\iile ob\inem modelul pentru

problema de transport:

Min (3*x11‡2*x12‡7*x13‡6*x14‡7*x21‡5*x22‡2*x23‡3*x24‡2*x31‡5*x32‡4*x33‡5*x34)

x11‡x12‡x13‡x14 5000x21‡x22‡x23‡x24 6000x31‡x32‡x33‡x34 2500x11‡x21‡x31‡x41 ˆ6000 x12‡x22‡x32‡x42 ˆ4000 x13‡x23‡x33‡x43 ˆ2000 x14‡x24‡x34‡x44 ˆ1500 xij0, iˆ1,2,3; jˆ1,2,3,4

Rezolvarea problemei ]n Excel

Foaia de calcul folosit[ pentru rezolvarea problemei este prezentat[ ]n figura II.2.2.

153

Figura II.2.2 – Foaia de calcul ata=at[ problemei

Datele problemei sunt introduse ]n domeniul A1:F8. Costurile de transport sunt con\inute ]n domaniul B5:E7, capacit[\ile de produc\ie (oferta) ]n F5:F7, iar cererea din centrele de distribu\ie ]n celulele B8:E8.

Elementele cheie care trebuie introduse ]n Excel sunt variabilele de decizie, func\ia obiectiv, partea st`ng[ =i partea dreapt[ a restric\iilor.

Variabilele de decizie

Celulele B17:E19 con\in variabilele de decizie. Ini\ial toate variabilele de decizie au valoarea 0.

Func\ia obiectiv

Pentru a calcula costul total, ]n celula C13 a fost introdus[ formula ˆSUMPRODUCT(B5:E7,B17:E19).

Partea st`ng[ a restric\iilor

Celulele F17:F19 con\in formulele pentru partea st`ng[ a restric\iilor asociate capacit[\ilor de produc\ie, iar celulele B20:E20 con\in formulele pentru partea st`ng[ a restric\iilor asociate cererii din centrele de distribu\ie. Formulele utilizate sunt:Celula F17: ˆSUM(B17:E17). Se copieaz[ F17 ]n F18:F19.Celula B20: ˆSUM(B17:B19). Se copieaz[ B20 ]n C20:E20.

154

Partea dreapt[ a restric\iilor

Celulele H17:H19 con\in partea dreapt[ a restric\iilor asociate capacit[\ilor de produc\ie, iar celulele B22:E22 con\in partea dreapt[ a restric\iilor asociate cererii din centrele de distribu\ie. Aceste valori sunt introduse deja ]n datele ini\iale ale problemei, deci se vor utiliza formulele:Celula H17: ˆF5. Se copieaz[ H17 ]n H18:H19.Celula B22: ˆB8. Se copieaz[ B22 ]n C22:E22.

Se rezolv[ problema utiliz`nd Solver-ul. Caseta de dialog Solver Parameters se completeaz[ ca ]n figura II.2.3. Op\iunile selectate sunt Assume Linear Model =i Assume Non-Negative.

Figura II.2.3 – Caseta de dialog Solver

Solu\ia optim[ arat[ c[ costul minim de transport este de 39500 u.m., iar ]n domeniul B17:E19 sunt afi=ate cantit[\ile care trebuie transportate pe fiecare rut[. Valoarea 0 indic[ c[ pe ruta respectiv[ nu se transport[ nimic.

Varia\ii ale problemelor de transport

Oferta total[ nu este egal[ cu cererea total[}n multe cazuri oferta total[ nu este egal[ cu cererea total[.

Dac[ oferta total[ dep[=e=te cererea total[ nu este necesar[ nici o modificare ]n problema de programare liniar[. Excesul de ofert[ va ap[rea ca o abatere ]n solu\ia problemei, iar aceste abateri pot fi interpretate ca ofert[ neutilizat[ sau cantit[\i netransportate.

Dac[ oferta total[ este mai mic[ dec`t cererea total[ modelul de programare liniar[ a problemei de transport nu are o solu\ie fezabil[. Pentru rezolvarea problemei se creeaz[ o ofert[ fictiv[ astfel ]nc`t excesul de cerere s[ fie satisf[cut =i se atribuie costurilor de transport din acest punct valoarea 0. }n acest mod problema de programare liniar[ va avea solu\ie.

155

Maximizarea func\iei obiectiv}n unele probleme obiectivul este g[sirea unei solu\ii care

maximizeaz[ venitul sau profitul. Utiliz`nd venitul sau profitul unitar ]n coeficien\ii func\iei obiectiv, se va rezolva o problem[ de maximizare ]n locul uneia de minimizare. Modific[rile nu afecteaz[ restric\iile.

Rute neacceptateStabilirea unei rute de la fiecare nod origine la fiecare nod destina\ie

nu este ]ntotdeauna posibil[. Pentru a rezolva aceste situa\ii se elimin[ din graful de re\ea arcele respective, iar din modelul de programare liniar[ variabilele de decizie corespunz[toare. Pentru a face c`t mai pu\ine modific[ri ]n foaia de calcul, pentru aceste rute se stabilesc costuri foarte mari, astfel ]nc`t pe aceste rute se vor efectua transporuri doar dac[ nu exist[ alte solu\ii fezabile.

Rute cu capacit[\i limitatePentru rutele cu capacit[\i limitate se introduc restric\ii suplimentare.

De exemplu, dac[ mijloacele de transport pe ruta Craiova – Deva nu pot transporta mai mult de 1000 de unit[\i se va introduce restric\ia x131000.

Modelul general de programare liniar[ al unei probleme de transport cu m puncte de origine =i n puncte de destina\ie este:

unde:iˆ index-ul pentru punctele de originejˆ index-ul pentru punctele de destina\ie

xijˆ num[rul de unit[\i transportate de la originea i la destina\ia jcijˆ costul unitar de transport din originea i la destina\ia jsiˆ oferta sau capacitatea din originea idjˆ cererea la destina\ia j

156

157

REZOLVAREA PROBLEMELOR DE ALOCARE

158

159

Probleme de alocare

Problemele de alocare pot ap[rea ]n diverse situa\ii de luare a deciziilor. Problemele tipice sunt: alocarea lucr[rilor pe ma=ini, repartizarea personalului ]n diverse centre teritoriale, repartizarea agen\ilor care s[ efectueze anumite activit[\i. O caracteristic[ distinct[ este c[ unui agent ]i este asignat[ o singur[ activitate =i se ]ncearc[ optimizarea unui obiectiv, cum ar fi minimizarea costurilor, minimizarea timpului, maximizarea profitului, etc.

Pentru a ilustra modul de rezolvare a problemelor de alocare vom considera urm[torul exemplu: Firma ABC, specializat[ ]n studii de marketing are trei clien\i noi. Fiec[rui proiect ]i trebuie alocat un lider de proiect. Timpul necesar pentru realizarea proiectului depinde de experien\a =i abilitatea liderului de proiect. }n prezent sunt disponibile doar trei persoane, proiectele au aproximativ aceea=i prioritate =i nu pot fi realizate ]n acela=i timp. Conducerea firmei trebuie s[ stabileasc[ ce lider de proiect va coordona fiecare studiu astfel ]nc`t cele trei studii s[ se termine ]n timpul total cel mai scurt. Unui lider i se poate aloca doar un proiect. Cu trei clien\i =i trei studii sunt posibile 9 alternative. Timpii estima\i pentru finalizarea fiec[rui proiect sunt prezenta\i ]n tabelul II.3.1.

ClientLider de proiect

1 2 3

Ionescu 10 15 9Popescu 9 18 5Georgescu 6 14 3

Tabelul II.3.1 – Timpii estima\i pentru terminarea fiec[rui proiect

Figura II.3.1 prezint[ graful de re\ea pentru problema analizat[.

160

1Ionescu

2Popesc

u

3George

scuu

Client 3

Client 2

Client 1

14

3

6

5

918

915

10 11

1

1 1

1

Figura II.3.1 – Graful de re\ea ata=at problemei

Nodurile corespund liderilor de proiect =i clien\ilor, iar arcurile reprezint[ repartiz[rile posibile ale liderilor de proiect clien\ilor.

Oferta ]n fiecare nod origine este 1 =i cererea ]n fiecare nod destina\ie este 1. Costul repartiz[rii unui lider de proiect la un client este timpul necesar pentru realizarea studiului. Observa\i asem[narea dintre problemele de alocare =i cele de transport, problemele de alocare fiind un caz special de probleme de transport ]n care toate ofertele =i cererile au valoarea 1, iar cantitatea transportat[ pe fiecare arc este 0 sau 1.

Problema poate fi rezolvat[ folosind metoda program[rii liniare. Avem nevoie de o variabil[ pentru fiecare arc =i o restric\ie pentru fiecare nod. Vom utiliza variabile de decizie cu doi indici x ij - repartizarea liderului i la proiectul j.

Deci vom avea 9 variabile de decizie:

unde iˆ1,2,3 =i jˆ1,2,3.Utiliz`nd aceste nota\ii:Timpul necesar pentru finalizarea proiectelor de c[tre Ionescu este

10x11‡15x12‡9x13 (doar una din variabilele de decizie poate lua valoarea 0).

Timpul necesar pentru finalizarea proiectelor de c[tre Popescu este 9x21‡18x22‡5x23 (doar una din variabilele de decizie poate lua valoarea 0).

Timpul necesar pentru finalizarea proiectelor de c[tre Georgescu este 6x31‡14x32‡3x33 (doar una din variabilele de decizie poate lua valoarea 0).

Suma acestor timpi furnizeaz[ num[rul total de zile pentru a finaliza cele trei studii de pia\[. Astfel, func\ia obiectiv este:

Min (10x11‡15x12‡9x13‡9x21‡18x22‡5x23‡6x31‡14x32‡3x33)

Restric\iile reflect[ faptul c[ fiecare lider poate fi repartizat cel mult unui client =i fiecare client trebuie s[ aib[ repartizat un lider. Aceste restric\ii sunt:

Combin`nd func\ia obiectiv cu restric\iile ob\inem urm[torul model:

Min (10x11‡15x12‡9x13‡9x21‡18x22‡5x23‡6x31‡14x32‡3x33)

161

Foaia de calcul folosit[ pentru rezolvarea problemei este prezentat[ ]n figura II.3.2.

Figura II.3.2 – Foaia de calcul ata=ata problemei

Datele problemei sunt introduse ]n domeniul A1:D7.

Variabilele de decizie

Celulele D16:D18 sunt rezervate variabilelor de decizie. Ini\ial toate variabilele de decizie au valoarea 0.

Func\ia obiectiv

Formula ˆSUMPRODUCT(B5:D7,B16:D18) a fost plasat[ ]n celula C12 pentru a calcula num[rul necesar de zile pentru a termina toate proiectele.

Partea st`ng[ a

Celulele E16:E18 con\in partea st`ng[ a restric\iilor referitoare la num[rul de clien\i la care poate fi

162

restric\iilor repartizat un lider. Celulele B19:D19 con\in partea st`ng[ a restric\iilor conform c[rora unui proiect trebuie s[-i fie repartizat un lider de proiect. Formulele utilizate sunt:Celula E16: ˆSUM(B16:D16). Se copieaz[ E16 ]n E17:E18.Celula B19: ˆSUM(B16:B18). Se copieaz[ B19 ]n C19:D19.

Partea dreapt[ a restric\iilor

Celulele G16:G18 con\in partea dreapt[ a restric\iilor pentru lideri, iar celulele B21:D21 con\in partea dreapt[ a restric\iilor pentru clien\i. Toate valorile sunt egale cu 1.

Se rezolv[ problema utiliz`nd Solver-ul. Caseta de dialog Solver Parameters se completeaz[ ca ]n figura II.3.3. Op\iunile selectate sunt Assume Linear Model =i Assume Non-Negative.

Figura II.3.3 – Caseta Solver Parameters

Solu\ia optim[ a problemei este: Ionescu este repartizat clientului 2, Popescu clientului 3 =i Georgescu clientului 1. Timpul de finalizare a celor trei proiecte este de 26 de zile.

Varia\ii ale problemei

Deoarece problemele de alocare pot fi tratate ca fiind cazuri speciale de probleme de transport, varia\iile care pot ap[rea la problemele de alocare sunt acelea=i ca =i la problemele de transport.Num[rul total de agen\i (oferta) este diferit de num[rul total de activit[\i (cererea)

Dac[ num[rul de agen\i dep[=e=te num[rul de activit[\i, agen\ii suplimentari vor r[m`ne nealoca\i ]n modelul de programare liniar[. Dac[ num[rul de activit[\i este mai mare dec`t num[rul de agen\i, modelul de programare liniar[ nu va avea o solu\ie fezabil[. }n aceast[ situa\ie este suficient s[ ad[ug[m un num[r suficient de „agen\i fal=i“ pentru ca

163

num[rul de agen\i s[ fie egal cu num[rul de activit[\i. }n func\ia obiectiv coeficien\ii pentru agen\ii fal=i vor fi zero.

Dac[ problemele de alocare sunt evaluate ]n termeni de venit sau profit vom avea de rezolvat o problem[ de maximizare ]n loc de una de minimizare.

}n plus, dac[ una sau mai multe aloc[ri nu pot fi acceptate, variabilele de decizie corespunz[toare vor fi eliminate din modelul de programare liniar[. Pentru exemplul prezentat acest lucru poate ap[rea dac[ la un agent nu are experien\a necesar[ s[ lucreze la un proiect. Pentru a nu face modific[ri ]n foaia de calcul, cea mai simpl[ solu\ie ar fi ata=area unor costuri foarte mari pentru variabilele de decizie ce corespund aloc[rilor ce nu pot fi acceptate.

Modelul general pentru problemele de alocare este:

164

MANAGEMENTUL PROIECTELOR

165

166

Managementul proiectelor

Multe din proiectele din via\a real[ sunt foarte complexe =i costisitoare. Realizarea acestora la timp =i ]n cadrul bugetului alocat nu este o sarcin[ u=oar[. }n mod tipic, anumite activit[\i nu pot ]ncepe ]nainte ca altele s[ se termine. Iar dac[ ]ntr-un proiect apar sute de astfel de dependen\e, problemele de planificare se complic[ foarte mult, iar managerii au nevoie de metode speciale de analiz[.

C`teva din ]ntreb[rile la care vom ]ncerca s[ r[spundem ]n continuare sunt:

1. Care este termenul de terminare al proiectului?2. Care sunt momentele de ]nceput =i de terminare ale fiec[rei

activit[\i?3. Care activit[\i sunt critice, ]n sensul c[ ele trebuie s[ se termine

exact ]n termenul planificat, astfel ]nc`t s[ nu fie dep[=it termenul final de realizare al proiectului?

4. C`t de mult pot fi ]nt`rziate activit[\ile necritice astfel ]nc`t s[ nu fie dep[=it termenul final de realizare al proiectului?

5. Cum pot fi alocate resursele diverselor activit[\i astfel ]nc`t proiectul s[ se realizeze rapid =i cu costuri minime?

Metodele PERT =i CPM, acronimele pentru Program Evaluation Review Technique =i Critical Path Method, graficele Gant, sunt metode de analiz[ utilizate pentru managemenul proiectelor. Indiferent de metod[, primul pas ]n planificarea proiectelor este definirea activit[\ilor =i stabilirea rela\ilor de preceden\[ dintre acestea. Aceasta este partea cea mai important[ a unui proiect =i ]n mod normal ]n aceast[ etap[ ar trebui implicate mai multe persoane, astfel ]nc`t s[ nu fie uitat[ nici o activitate important[.

Exemplu

}n prezent firma ABC are birouri doar ]n Bucure=ti, =i dore=te s[ deschid[ birouri noi ]n Bra=ov. }n acest scop o parte din personalul din Bucure=ti se va muta ]n Bra=ov =i se va angaja personal nou. }n timp ce economi=tii trebuie s[ se ocupe de partea financiar[ a afacerii, arhitec\ii trebuie s[ se ocupe de proiectarea interioarelor.

Anumite p[r\i ale proiectului nu pot ]ncepe p`n[ c`nd altele nu sunt terminate. De exemplu, nu pot fi amenajate birourile dac[ acestea nu au fost ]nc[ proiectate, sau nu se poate angaja personal p`n[ nu se stabile=te personalul necesar. }n tabelul II.4.1 sunt prezentate activit[\ile din care este alc[tuit proiectul.

Activitatea

Descriere Activit[\i preceden

te

Durata de realizare

(s[pt[m`ni)A Selectarea birourilor - 3B Stabilirea planului de organizare

=i a celui financiar- 5

C Determinarea personalului B 3

167

necesarD Proiectarea interioarelor A, C 4E Amenajarea birourilor D 8F Selectarea personalului care se

va mutaC 2

G Angajarea de personal nou F 4H Mutarea propriu-zis[ F 2I Stabilirea rela\iilor cu noii

parteneri din Bra=ovB 5

J Instruirea peronalului H, E, G 3Tabelul II.4.1 - Activit[\ile proiectului

Fiecare activitate este plasat[ ]ntr-un r`nd separat, iar ]n coloana Activit[\i precedente sunt trecute activit[\ile care trebuie realizate ]naintea ]nceperii activit[\ii analizate. De exemplu activitatea C nu poate ]ncepe p`n[ nu se termin[ activitatea B. }n coloana Durata de realizare este trecut timpul estimat pentru realizarea activit[\ilor.

Grafice Gant

Una din metodele cele mai populare folosite pentru planificarea proiectelor este utilizarea graficelor Gant. Fiecare activitate este desf[=urat[ pe axa vertical[. Pe axa orizontal[ este reprezentat timpul. Activit[\ile sunt reprezentate prin bare de lungime egal[ cu timpul de realizare a activit[\ii. Graficul indic[ =i termenul cel mai devreme de ]ncepere a fiec[rei activit[\i. De exemplu, activitatea C nu poate ]ncepe ]nainte de sf`r=itul s[pt[m`nii 5, deoarece activitatea B trebuie s[ se termine ]nainte ca C s[ ]nceap[. Pe m[sur[ ce o activitate este realizat[, bara asociat[ este ha=urat[. Astfel, ]n orice moment de timp este foarte clar ce activit[\i au fost realizate la timp =i care nu. Graficul din figura II.4.1 arat[ c[ ]n s[pt[m`na 13 activit[\ile D, E =i H sunt ]n urma planului, iar activitatea G este ]naintea planului.

168

Figura II.4.1 – Graficul Gant

}n contextul graficelor Gant „]n plan“ ]nseamn[ c[ activitatea nu a fost finalizat[ mai t`rziu de cel mai devreme termen de terminare a activit[\ii. Astfel, ]n figura II.4.1 putem observa c[ activit[\ile D =i H ar trebui s[ se termine cel mai devreme ]n s[pt[m`na 12. Deoarece nu sunt terminate ]n s[pt[m`na 13 ele sunt ]n urma planului.

Din graficele Gant nu se pot stabili predecesorii imedia\i ai unei activit[\i. }n figura II.4.1 poate p[rea c[ F =i I sunt activit[\i precedente ale activit[\ii G, deoarece G poate ]ncepe ]n s[pt[m`na 10, iar F =i I se pot termina atunci. Dar din tabelul II.4.1 =tim c[ doar F este „predecesor imediat“ a lui G. O ]nt`rziere a activit[\ii I nu ar afecta momentul de ]ncepere al activit[\ii G. Astfel de informa\ii sunt importante pentru manager pentru c[ ar putea s[ stabileasc[ ce activit[\i ar putea fi ]nt`rziate f[r[ a modifica termenul final de realizare al proiectului. Graficele Gant nu pot fi folosite pentru astfel de analize, ]n acest caz fiind recomandat[ metoda de reprezentare a proiectului printr-un graf.

Reprezentarea proiectelor prin grafuri

Fiecare activitate este reprezentat[ ]n graf printr-un arc. }nceputul =i sf`r=itul fiec[rei activit[\i sunt indicate printr-un cerc numit nod. Fiec[rui nod i se atribuie un num[r. Modul de atribuire a numerelor este arbitrar. Pe m[sur[ ce se construie=te graful nodurile se pot renumerota, dar trebuie p[strate corect rela\iile de preceden\[ ]ntre activit[\i. Fiecare activitate trebuie s[ ]nceap[ ]n nodul ]n care activitatea precedent[ se termin[. De exemplu, ]n figura II.4.2, activitatea C ]ncepe ]n nodul 3, deoarece activitatea precedent[ B se termin[ aici.

169

Figura II.4.1 – Graful pentru activit[\ile de la A la C

Figura II.4.2 – Graful par\ial

Complica\ii apar ]n momentul ]n care ]ncerc[m s[ ad[ug[m activitatea D ]n graf. +i A =i C sunt activit[\i precedente pentru D, =i cum vrem ca ]n graf activitatea D s[ apar[ o singur[ dat[ trebuie s[ combin[m nodurile 2 =i 4 din figura II.4.2 ]ntr-unul singur. Acest lucru este ar[tat ]n figura II.4.3. Nodul 2 (au fost renumerotate nodurile) reprezint[ evenimentul ]n care activit[\ile A =i C au fost terminate. Activitatea E, care are ca activitate precedent[ doar pe D poate fi ad[ugat[ f[r[ dificultate. C`nd ]ncerc[m s[ ad[ug[m activitatea F apar din nou probleme. Cum F are activitate precedent[ pe C, ar trebui ca activitatea F s[ ]nceap[ ]n nodul 3. Dar acest lucru ar ]nsemna c[ activitatea F are ca activitate precedent[ =i pe A, ceea ce este incorect.

Aceast[ dilem[ poate fi rezolvat[ prin introducerea unei activit[\i fictive, reprezent[ prin linie punctat[ ]n figura II.4.4. Aceast[ activitate nu

necesit[ nici timp =i nici resurse. Astfel, figura II.4.4 arat[ c[ activitatea D poate ]ncepe dup[ ce =i A =i

C s-au terminat. Similar, F poate ]ncepe dup[ ce activitatea C s-a terminat.Putem generaliza modul ]n care introducem o activitate fictiv[ ]n

modul urm[tor: Presupunem c[ vrem s[ ad[ug[m o activitate A, ]n nodul de start N, dar nu toate activit[\ile care se termin[ ]n nodul N sunt activit[\i

170

1

2

3

4

A

BC

1

2

3

4A

B

C

5D E

1

2

3

5A

B C

7D E

64 FFigura II.4.4 – Introducerea unei activit[\i fictive

precedente ale acestei activit[\i. Pentru aceasta se creeaz[ un nou nod M, cu o activitate fictiv[ de la nodul M la nodul N. Toate activit[\ile care se termin[ ]n N =i sunt predecesoare ale activit[\ii A se vor termina ]n nodul M. Acum activitatea A poate ]ncepe ]n nodul M.

Figura II.4.5 prezint[ graful asociat tabelului II.4.1.

Figura II.4.5 – Graful de re\ea

Fiecare activitate este identificat[ printr-un nod de start =i unul de terminare. }n graful din figura II.4.5 s-ar putea face confuzia c[ G =i H reprezint[ aceea=i activitate. Pentru a evita confuzia se introduce o

nou[ activitate fictiv[ (figura II.4.6).

Figura II.4.6 – Introducerea celei de a doua activit[\i fictive

Astfel, graful final are forma din figura II.4.7.

Figura II.4.7 – Graful finalDin tabelul 4.1. se poate calcula (adun`nd duratele de realizare ale

activit[\ilor) c[ timpul total de realizare al proiectului este de 39 de

171

1

2

3

5A

B C 7

DE

64 F

8

G

H

IJ

6

G

8

7H

1

2

3

5A(3)

B(5)

C(3) 7

D(4)E(8)

64 F(2)

9

G(4)

H(2)

I(5)

J(3)8

s[pt[m`ni. Termenul acesta poate fi mai mic deoarece unele activit[\i se pot desf[=ura simultan (de exemplu activit[\ile A =i B).

Pentru a afla termenul minim de realizare al proiectului trebuie s[ calcul[m drumul critic. Un drum ]ntr-un graf este o succesiune de activit[\i de la nodul ini\ial (1) la nodul final (9). De exemplu secven\a B-I necesit[ 10 s[pt[m`ni pentru a fi realizat[, secven\a B-C-D-E-J 23 de s[pt[m`ni. }ntr-un graf pot fi identificate mai multe drumuri de la nodul ini\ial la cel final, cu durate diferite. Se pune problema determin[rii celui mai lung drum de la nodul ini\ial la cel final. Acest drum, numit drum critic, va determina timpul de realizare al proiectului, deoarece nici un alt drum nu este mai lung. Dac[ activit[\ile de pe drumul critic sunt ]nt`rziate, ]ntregul proiect va fi ]nt`rziat. Din aceast[ cauz[ activit[\ile care se g[sesc pe drumul critic se numesc activit[\i critice. Activit[\ile critice trebuie realizate „la termen“.

Problema se rezolv[ ]n modul urm[tor:1. Se calculeaz[ pentru fiecare activitate cel mai devreme termen

de ]ncepere =i cel mai devreme termen de terminare. Vom nota cu:DI – cel mai devreme termen pentru ]nceperea unei activit[\iDT – cel mai devreme termen pentru terminarea unei activit[\it – durata estimat[ a activit[\ii.Pentru o activitate, rela\ia dintre aceste m[rimi este: DTˆDI‡tTermenul DI pentru o activitate care pleac[ dintr-un nod este cel mai mare DT al activit[\ilor care se termin[ ]n acel nod.Pentru fiecare activitate din re\ea se calculeaz[ DI =i DT. Rezultatul este prezentat ]n figura II.4.8.

Figura II.4.8 – Termenele DI =i DT

Deci, cel mai devreme termen de terminare al proiectului este de 23 de s[pt[m`ni.

2. Se calculeaz[ cel mai t`rziu termen de ]ncepere =i terminare a activit[\ii. Pentru a identifica activit[\ile critice =i intervalele de timp cu care activit[\ile necritice pot fi ]nt`rziate f[r[ a afecta termenul de finalizare al proiectului, se parcurge graful ]napoi de la nodul final la nodul ini\ial. Ideea este c[ odat[ ce se cunoa=te

172

1

2

3

5A(0,3)

B(0,5)

C(5,8) 7

D(8,12) E(12,20)

64 F(8,10)

9

G(10,14)

H(10,12)

I(5,10)

J(20,23)

8

termenul de realizare al proiectului (23 de s[pt[m`ni), pornind de la aceast[ valoare putem calcula cel mai t`rziu termen la care se poate termina o activitate f[r[ a ]nt`rzia ]ntregul proiect. Evaluarea ]ncepe de la nodul final spre nodul ini\ial.Vom nota cu:TI – cel mai t`rziu termen de ]ncepere a unei activit[\iTT – cel mai t`rziu termen de terminare a unei activit[\iRela\ia dintre aceste m[rimi este: TI ˆ TT – tTermenul TT pentru o activitate care se termin[ ]ntr-un nod este cel mai mic TI al activit[\ilor care pleac[ din acel nod.Rezultatele sunt prezentate ]n figura II.4.9.

Figura II.4.9 – Calcularea TI =i TT

3. Determinarea rezervei de timp asociate fiec[rei activit[\i.Rezerva de timp este timpul cu care o activitate poate fi ]nt`rziat[ f[r[ a afecta termenul de finalizare al proiectului. Rezerva de timp (RT) se calculeaz[ cu formula: RT ˆ TI - DI ˆ TT – DTDe exemplu, pentru activitatea G, rezerva de timp este:RTG ˆ TIG – DIG ˆ 16 - 10 ˆ 6 sauRTG ˆ TTG – DTG ˆ 20 - 14 ˆ 6 Aceasta ]nseamn[ c[ activitatea G poate ]nt`rzia cu 6 s[pt[m`ni dup[ cel mai devreme termen de ]ncepere a activit[\ii f[r[ a ]nt`rzia proiectul.Pentru activitatea C:RTC ˆ TIC – DIC ˆ5 - 5 ˆ 0Deci activitatea C nu are rezerv[ de timp =i trebuie s[ ]nceap[ ]n s[pt[m`na 5. Cum aceast[ activitate nu poate fi ]nt`rziat[ f[r[ a afecta ]ntregul proiect, ]nseamn[ c[ aceast[ activitate este o activitate critic[.

Activit[\ile care au rezerva de timp 0 sunt activit[\i critice.

Rezolvarea cu Excel

173

1

2

3

5A(5,8)

B(0,5) C(5,8) 7

D(8,12) E(12,20)

64 F(14,16)

9

G(16,20)

H(18,20)

I(18,23)

J(20,23)

8

Rezolvarea problemelor de managementul proiectelor cu Excel se face folosind abordarea bazat[ pe grafuri. Foaia de calcul care con\ine acest model este prezentat[ ]n figura II.4.10.

Datele =i formulele introduse sunt cele rezultate prin dezvoltarea grafului ata=at proiectului. De exemplu, deoarece cel mai t`rziu termen de terminare a activit[\ii F este cea mai mic[ valoare dintre cele mai t`rzii termene de ]ncepere ale activit[\ilor G, F =i K, formula din celula G7 va fi ˆ MIN(F8, F9, F12). Deoarece cel mai devreme termen pentru ]nceperea activit[\ii D este cea mai mare valoare din cele mai devreme termene de terminare ale activit[\ilor A =i C, formula din D5 este ˆ MAX(E2,E4). }n coloana activitate critic[ este trecut cuv`ntul DA pentru activit[\ile care au abaterea 0.

Figura II.4.10 – Foaia de calcul Excel

Formulele utilizate ]n foaia de calcul sunt:

Celula Formula Se copieaz[ ]nD4 ˆMAX(E3) -D5 ˆMAX(E2,E4) -D6 ˆMAX(E5) -D7 ˆMAX(E4) -D8 ˆMAX(E7) -D9 ˆMAX(E7) -D10 ˆMAX(E3) -D11 ˆMAX(E6,E8,E9) -E2 ˆD2‡C2 E3:E11F2 ˆG2-C2 F3:F11G2 ˆMIN(F5) -G3 ˆMIN(F4,F10) -G4 ˆMIN(F5,F7) -G5 ˆMIN(F6) -G6 ˆMIN(F11) -G7 ˆMIN(F8,F9) -G8 ˆMIN(F11) -G9 ˆMIN(F11) -G10 ˆE13 -G11 ˆE13 -H2 ˆF2-D2 H3:H11

174

I2 ˆIF(H2ˆ0,“DA“,“NU“)

I3:I1

E13 ˆMAX(E2:E11) -

Reprezentarea grafic[ a graficelor Gant ]n Excel

}n graficul Gant activit[\ile sunt afi=ate pe axa vertical[, iar pe axa orizontal[ este reprezentat timpul. Graficul indic[ cel mai devreme termen de ]ncepere a fiec[rei activit[\i =i durata activit[\ii. Vom ilustra modul de construire a graficelor Gant pentru exemplul din figura II.4.10.

1. Se selecteaz[ datele care vor fi reprezentate ]n grafic: activit[\ile (A1:A11), durata activit[\ilor (C1:C11) =i cel mai devreme termen de ]ncepere a activit[\ilor (D1:D11).

2. Se creeaz[ un grafic de tip Staked Bar.3. Se selecteaz[ seria DI. Se apas[ butonul din dreapta al mouse-ului

=i se selecteaz[ comanda Format Series. Se selecteaz[ butonul Series Order =i se stabile=te pentru afi=area seriilor ordinea DI, Durata. Se selecteaz[ butonul Patterns, =i ]n sec\iunile Border =i Area se selecteaz[ op\iunile None. Deci barele ata=ate termenelor de ]ncepere ale activit[\ilor vor fi transparente, iar barele care reprezint[ durata activit[\ilor vor ap[rea ]n prelungirea lor.Se selecteaz[ seria Durata, se apas[ butonul din dreapta al mouse-ului =i se selecteaz[ comanda Format Series. Se selecteaz[ butonul Data Labels, op\iunea Show Value. Astfel ]n dretul fiec[rei bare va fi afi=at[ durata activit[\ii.Se selecteaz[ axa Y, se apas[ butonul din dreapta al mouse-ului =i se selecteaz[ comanda Format Axis. Se selecteaz[ butonul Scale, op\iunile Categories in reverse order =i Value (Y) axis crosses at maximum category. Astfel activit[\ile vor fi afi=ate ]ncep`nd din partea de sus a axei y.

Modelul de analiz[ a drumului critic/cost

Pentru reducerea timpului de realizare a unui proiect, analistul poate ]ncerca reducerea duratei ]n care se efectueaz[ anumite activit[\i de pe drumul critic prin alocarea de resurse suplimentare. De exemplu, o activitate care dureaz[ ]n mod normal 2 s[pt[m`ni dac[ se lucreaz[ 8 ore pe zi, poate fi terminat[ mai repede dac[ se lucreaz[ peste program sau dac[ se m[re=te num[rul de muncitori. Acest lucru, bine]n\eles, se realizeaz[ cu pre\ul unor costuri crescute. Problema care se pune este: „Ce activit[\i ar trebui urgentate astfel ]nc`t reducerea termenului final de realizare al proiectului s[ se fac[ cu costuri minime?“.

175

Acest model presupune c[ costul este o func\ie liniar[ de timp, descresc[toare, deoarece orice efort de urgentare este ]nso\it de

cre=terea cheltuielilor (figura II.4.11).

Figura II.4.11 - Func\ia cost - durat[

Pentru fiecare activitate se cunosc urm[toarele date:Timpul normal – timpul maxim de realizare a activit[\iiCostul normal – costul necesar pentru realizarea activit[\ii ]n

timpul normal de lucruTimpul minim - timpul minim ]n care se poate realiza

activitateaCost maxim - costul necesar pentru realizarea lucr[rii ]n

timpul minimPentru prezentarea metodei vom folosi urm[torul exemplu:Un proiect, cu graful asociat prezentat ]n figura II.4.13, este alc[tuit

din 5 activit[\i. Pentru fiecare activitate se cunosc timpul normal, timpul minim, costul normal =i costul maxim (prezentate ]n tabelul II.4.2).

Activitate

Timp normal (ore)

Cost normal

($)

Timp minim (ore)

Cost maxim

($)

Costul urgent[rii/or[

A 32 640 20 800 13.3B 40 480 30 720 24C 50 1000 30 1200 10D 24 288 15 360 8E 120 4800 70 5600 16

Total 7208

Tabelul II.4.2 - Activit[\ile proiectului

}n ultima coloan[ din tabel s-a calculat pentru fiecare activitate costul urgent[rii pe or[, egal cu (Costul maxim-Costul normal)/(Timpul normal-Timpul minim) .

176

Timp maxim

Timp minim

Timp

CostCost

maxim

Cost minim

Timp

Cost800

640

3220

Figura II.4.12 ilustreaz[ func\ia cost - durat[ pentru activitatea A.

Figura II.4.12 - Func\ia cost - durat[ pentru activitatea A

Graful asociat problemei este prezentat ]n figura II.4.13.

Figura II.4.13 – Graful asociat problemei

Utiliz`nd duratele normale pentru fiecare activitate, cel mai devreme termen pentru finalizarea proiectului este 194 ore (pe drumul critic C-D-E).

Pentru a reduce termenul de finalizare al proiectului la 193 de ore o activitate de pe drumul critic trebuie urgentat[ cu o or[. Cum costul urgent[rii pe or[ pentru activitatea D este mai mic dec`t costurile urgent[rii pe or[ pentru activit[\ile C =i E (8‹10 =i 8‹16), se va urgenta activitatea D cu o or[. Astfel, proiectul se va termina ]n 193 de ore, drumul critic va fi C-D-E =i costul total 7208‡8ˆ7216.

Dac[ termenul de finalizare mai trebuie redus cu o ]nc[ or[, la 192 ore, aplic`nd un ra\ionament asem[n[tor se urgenteaz[ activitatea D cu ]nc[ o or[ =i costul marginal va cre=te cu 8$.

Dac[ termenul de finalizare trebuie redus mai mult, la 191 ore, problema se complic[. Situa\ia este ilustrat[ ]n figura II.4.4. Acum exist[ dou[ drumuri critce A-B-E =i C-D-E, ambele de 192 ore.

Figura II.4.4 – Graful pentru timpul de finalizare de 191 ore

Urgentarea uneia dintre activit[\ile A, B, C, D cu o or[ va reduce un drum cu o or[, dar drumul critic va r[m`ne tot de 192 ore. Un drum critic de 191 de ore se poate ob\ine dac[ se urgenteaz[ activit[\i de pe ambele drumuri, sau dac[ se urgenteaz[ doar activitatea E. Deci exist[ mai multe alternative, iar dintre acestea trebuie g[sit[ solu\ia care are costul minim.

177

1

2

3

4 5

A

C

B

D

E32

50

40

120

24

1

2

3

4 5

A

C

B

D

E32

50

40

120

22

Pentru grafuri complexe rezolvarea ]n acest mod ar fi foarte greoaie. Problema poate fi rezolvat[ simplu cu ajutorul program[rii liniare. Figura II.4.5 con\ine modelul ata=at problemei.

Figura II.4.5 – Foaia de calcul utilizat[ pentru rezolvarea problemei

Formulele utilizate ]n foaia de calcul sunt:

Celula Formula Se copieaz[ ]n

F2 ˆB2-D2 F3:F6G2 ˆ(E2-C2)/(B2-D2) G3:G6D9 0 -D10 ˆE9 -D11 0 -D12 ˆE11 -D13 ˆMAX(E10,E12) -E9 ˆD9‡C9 E10:E13F9 ˆG9-C9 F10:F13G9 ˆF10 -G10 ˆF13 -G11 ˆF12 -G1 ˆF13 -G13 ˆE13 -H9 ˆF9-D9 H10:H13I9 ˆIF(H9ˆ0,“***“,““) I10:I13D14 ˆE13 -C15 ˆSUMPRODUCT(B9,B13,G2:G

6)-

}n prima parte a foii de calcul se introduc timpul normal, costul normal, timpul minim =i costul maxim de realizare a fiec[rei ativit[\i. Pe baza acestor date, se calculeaz[ ]n coloana Durata maxim[ a urgent[rii durata maxim[ cu care poate fi urgentat[ fiecare activitate (diferen\a dintre timpul normal =i timpul minim), iar ]n coloana urm[toare costul urgent[rii pe or[ (diferen\a dintre costul maxim =i costul normal raportat[ la durata maxim[ a urgent[rii).

178

Al doilea tabel din foaia de calcul con\ine variabilele de decizie ale problemei – duratele cu care poate fi urgentat[ fiecare activitate (]n domeniul B9:B13). Ini\ial toate valorile vor avea valoarea 0.

}n coloana Durata activit[\ii se calculeaz[ durata activit[\ii ]n cazul ]n care aceasta va fi urgentat[ cu valoarea din coloana Durata urgent[rii (diferen\a dintre durata normal[ =i durata urgent[rii).

}n coloanele urm[toare se calculeaz[ cele mai devreme =i cele mai t`rzii termene de ]ncepere =i terminare al fiec[rei activit[\i, respect`nd succesiunea activit[\ilor (la fel ca ]n exemplul anterior). Apoi, se calculeaz[ pentru fiecare activitate abaterile =i se introduc formulele pentru determinarea activit[\ilor critice.

Func\ia obiectiv (celula C15) este minimizarea costului total de urgentare, calculat ca suma produselor dintre duratele cu care se urgenteaz[ fiecare activitate =i costul urgent[rii activit[\ii pe unitatea de timp - min(C15).

Restric\iile problemei sunt:1. Durata ]n care trebuie realizat proiectul (con\inut[ ]n celula D14).

De exemplu dac[ proiectul ar trebui terminat ]n 184 de ore, restric\ia ar fi D14ˆ184

2. Durata cu care poate fi urgentat[ fiecare activitate nu poate dep[=i durata maxim[ de urgentare, iar aceste durate sunt numere pozitive. Deci,

Se rezolv[ problema cu ajutorul Solver-ului, iar rezultatele ob\inute arat[ c[ pentru ca proiectul s[ se termine cu costuri minime ]n 184 de ore, trebuie urgentate lucr[rile D cu 2 ore =i E cu 8 ore. Costul suplimentar al urgent[rii ar fi ]n acest caz de 144$.

179

180

PROBLEME DE ANALIZ{ DECIZIONAL{

181

182

Modele de analiz[ decizional[

Principalele elemente ale unui proces decizional sunt:1. Agentul decizional.2. Tipul problemei decizionale. Dac[ parametrii problemei analizate

sunt cunoscu\i se spune c[ avem de a face cu decizii ]n condi\ii de certitudine. }n cazul unor evenimente ale c[ror probabilit[\i de apari\ie sunt cunoscute, se spune c[ procesul decizional are loc ]n condi\ii de risc. Dac[ probabilit[\ile de apari\ie ale evenimentelor sunt aleatoare (nu sunt cunoscute), atunci decizia este adoptat[ ]n condi\ii de incertitudine.

3. Variantele posibile de ac\iune, pe care deciden\ii le au la dispozi\ie.

4. Strategiile posibile de ac\iune ale managerilor. Aceste strategii constau ]n diverse reguli care permit alegerea unei variante din cele existente.

5. Obiectivele procesului de decizie (scopul urm[rit de manageri). Aceste obiective se concretizeaz[ fie ]n restric\ii, fie ]n func\ii scop.

Evenimentele care pot ap[rea, dar pe care agentul decizional nu le poate controla sunt numite st[ri ale naturii.

Modelele de analiz[ decizional[ vor fi prezentate pe urm[torul exemplu:

Firma PDC a cump[rat la Bu=teni un teren pentru a construi un complex de vile. Pre\urile de construc\ie ale acestora variaz[ ]ntre 300000$ =i 1200000$, ]n func\ie de num[rul de camere. }n urma studiilor efectuate au fost realizate trei proiecte de dimensiuni diferite: 6 vile cu 10 camere, 12 vile cu 20 de camere =i 18 vile cu 30 de camere. Factorul cheie ]n selectarea uneia din cele trei alternative este evaluarea corect[ de c[tre managementul firmei a cererii viitoare. Cu toate c[ pia\a poate fi influen\at[ prin publicitate, pre\urile de cazare relativ mari fac ca cererea s[ depind[ de o varietate de factori asupra c[rora managementul nu are control.

Managementul firmei crede c[ exist[ dou[ posibilit[\i: acceptarea proiectului de c[tre pia\[, =i deci o cerere mare cerere redus[.

Deci, pentru exemplul analizat exist[ dou[ st[ri ale naturii:S1 – cerere mareS2 – cerere redus[

=i trei alternative:d1 – proiectul de dimensiune mic[d2 – proiectul de dimensiune medied3 – proiectul de dimensiune mare

Utiliz`nd cele mai bune informa\ii disponibile, agentul decizional trebuie s[ evalueze pentru fiecare alternativ[ =i stare a naturii „c`=tigul“ ce va fi ob\inut. }n func\ie de problema analizat[, acest „c`=tig“ poate reprezenta un profit, un cost, un timp, o distan\[, sau orice alt[ m[sur[ care s[ reflecte „ie=irile“ problemei studiate.

}n tabelul II.5.1 sunt prezentate profiturile evaluate pentru problema analizat[ (]n termeni de milioane de dolari).

183

Alternativ[ St[ri ale naturiiCerere mare

(S1)Cerere

redus[ (S2)Proiect de dimensiune mic[ - d1 8 7Proiect de dimensiune medie – d2 14 5Proiect de dimensiune mare – d3 20 -9

Tabelul II.5.1 – Profiturile ob\inute pentru fiecare alternativ[ =i stare a naturii

V31ˆ20 arat[ c[ se anticipeaz[ un profit de 20 de milioane dolari dac[ se va selecta proiectul de dimensiune mare =i cererea va fi mare, V32ˆ -9 arat[ c[ dac[ se va selecta proiectul de dimensiune mare =i cererea este redus[, se va ob\ine o pierdere de 9 milioane de dolari.

Decizii ]n condi\ii de incertitudine

Problemele decizionale care con\in incertitudini apar atunci c`nd nu se cunosc probabilit[\ile de apari\ie ale st[rilor naturii. Aceste probleme pot fi abordate din mai multe puncte de vedere, =i ]n mod corespunz[tor exist[ mai multe criterii de decizie. Deoarece prin aplicarea diverselor criterii se pot ob\ine recomand[ri diferite este bine c[ agentul decizional s[ ]n\eleag[ foarte bine toate criteriile existente =i s[-l selecteze pe acela care i se potrive=te cel mai bine.

Criteriul optimist (criterium maxi-max)Pentru fiecare alternativ[ se determin[ cel mai bun „c`=tig“. Decizia

recomandat[ este cea cu „c`=tigul“ cel mai bun. Pentru problemele de maximizare „c`=tigul“ cel mai bun ]nseamn[ cea mai mare valoare, pentru problemele de minimizare „c`=tigul“ cel mai bun ]nseamn[ cea mai mic[ valoare.

Criteriul pesimist (criteriul maxi-min)Pentru fiecare alternativ[ se determin[ cel mai defavorabil „c`=tig“.

Decizia recomandat[ este cea cu cel mai bun „c`=tig“ defavorabil.

Criteriul regretelor (criteriul mini-max)Alternativa se alege lu`nd ]n considerare diferen\a dintre rezultatul

optim ce s-ar fi putut ob\ine ]ntr-o anumit[ stare =i valoarea celorlalte rezultate. Aceast[ diferen\[ este numit[ regret.

unde:Rij – „regretul“ asociat alternativei di =i st[rii naturii SjV*j - „c`=tigul“ corespunz[tor celei mai bune decizii pentru starea

naturii Sj. Pentru probleme de maximizare V*j este cea mai mare valoare pentru starea naturii Sj, pentru probleme de minimizare V*j este valoarea cea mai mic[.

Vij - „c`=tigul“ corespunz[tor alternativei di =i st[rii naturii Sj.

184

Urm[torul pas este determinarea regretului maxim pentru fiecare alternativ[. }n final va fi selectat[ alternativa cu cel mai mic „regret“ maxim.

185

Rezolvarea problemelor de analiz[ decizional[ ]n condi\ii de incertitudine ]n Excel

Criteriul optimist}n figura II.5.1 este prezentat[ foaia de calcul pentru rezolvarea

problemei cu criteriul optimist. Domeniul A4:C8 con\ine datele problemei. }n domeniul D6:D8 se calculeaz[ „c`=tigul“ maxim pentru fiecare alternativ[. }n celula D10 se calculeaz[ cel mai mare dintre „c`=tigurile“ maxime ale fiec[rei alternative. }n domeniul E6:E8 se afi=eaz[ numele alternativei recomandate.

Formulele utilizate sunt:Celula Formula Se copieaz[ ]n:

D6 ˆMAX(B6:C6) D7:D8D10 ˆMAX(D6:D8) -E6 ˆIF(D6ˆ$D$10,A6,““) E7:E8

Figura II.5.1 – Criteriul optimist

Criteriul pesimist}n figura II.5.2 este prezentat[ foaia de calcul pentru rezolvarea

problemei cu criteriul pesimist. Singura diferen\[ dintre foile de calcul din figura II.5.1 =i II.5.2 este c[ la criteriul pesimist se determin[ „c`=tigul“ minim pentru fiecare alternativ[. Astfel, celula D6 con\ine formula ˆMIN(B6:C6), care este copiat[ ]n celulele D7 =i D8.

Figura II.5.2 – Criteriul pesimist

186

Criteriul regretelor}n figura II.5.3 este prezentat[ foaia de calcul pentru rezolvarea

problemei cu criteriul regretelor. Domeniul A4:C8 con\ine datele problemei.Aceast[ problem[ presupune determinarea regretelor asociate fiec[rei

alternative =i fiec[rei st[ri a naturii. Formulele utilizate sunt:

Celula B14

- Se calculeaz[ „regretul“ fa\[ de cea mai bun[ valoare a st[rii naturii cerere mare. Formula utilizat[ este:ˆMAX($B$6:$B$8)-B6Se copieaz[ B14 ]n B15 =i B16

Celula C14

- Se calculeaz[ „regretul“ fa\[ de cea mai bun[ valoare a st[rii naturii cerere redus[. Formula utilizat[ este:ˆMAX($C$6:$C$8)-C6Se copieaz[ C14 ]n C15 =i C16

Celula D14

- Se calculeaz[ „regretul“ maxim. Formula utilizat[ este:ˆMAX(B14:C14)Se copieaz[ D14 ]n D15 =i D16

Celula D18

- Se calculeaz[ minimul „regretelor maxime“. Formula utilizat[ este:ˆMIN(D14:D16)

Celula E14

- }n domeniul E14:E16 se afi=eaz[ numele alternativei recomandate. }n celula E14 se introduce formula:ˆIF(D14ˆ$D$18,A14,““).Se copieaz[ E14 ]n E15:E16.

Figura II.5.3 – Criteriul regretelor

Decizii ]n condi\ii de risc

187

}n multe probleme decizionale se poate estima probabilitatea cu care apar st[rile naturii. Principala caracteristic[ a deciziilor ]n condi\ii de risc este c[ agentul decizional trebuie s[ aleag[ o alternativ[ pe baza probabilit[\ilor de apari\ie a st[rilor naturii.

Not[m cu :N - num[rul st[rilor naturiiP(Sj) – probabilitatea de apari\ie a st[rii SJ

La un moment dat poate ap[rea doar o stare a naturii, deci probabilit[\ile trebuie s[ ]ndeplineasc[ condi\iile:

Valoarea a=teptat[ VA a unei alternative di este definit[ ]n moul urm[tor:

Altfel spus, „valoarea a=teptat[“ a unei alternative este suma ponderat[ a „c`=tigurilor“ alternativei analizate. Ponderea unui „c`=tig“ este probabilitatea asociat[ st[rii naturii j.

Pentru exemplul analizat, dac[ probabilit[\ile de apari\ie ale st[rilor naturii sunt 0.8 pentr S1 =i 0.2 pentru S2, avem:

VA(d1)ˆ0.8*8‡0.2*7ˆ7.8VA(d2)ˆ0.8*14‡0.2*5ˆ12.2VA(d3)ˆ0.8*20‡0.2*(-9)ˆ14.2

}n final va fi selectat[ alternativa cu „valoarea a=teptat[“ cea mai bun[ (cea mai mare valoare pentru criterii de maximizare, cea mai mica valoare pentru criterii de minimizare). }n exemplul analizat se ]ncearc[ maximizarea profitului, deci cea mai bun[ alternativ[ este d3 (cu VAˆ14.2)

Rezolvarea problemei utiliz`nd Excel

}n figura II.5.4 este prezentat[ foaia de calcul folosit[ pentru luarea deciziilor ]n condi\ii de risc.

188

Figura II.5.4 – Luarea deciziei ]n condi\ii de risc

Domeniul A4:C9 con\ine datele problemei. Probabilit[\ile de apari\ie ale celor dou[ st[ri ale naturii sunt introduse ]n celulele B9 =i C9.

}n domeniul D6:D8 se calculeaz[ „valoarea a=teptat[“ pentru fiecare alternativ[, iar ]n domeniul E6:E8 se afi=eaz[ numele alternativei recomandate.

Formulele utilizate sunt:

Celula D6 - Se calculeaz[ „valoarea a=teptat[“ a alternativei d1. Formula utilizat[ este:ˆSUMPRODUCT($B$9:$C$9,B6:C6)Se copieaz[ D6 ]n D7 =i D8.

Celula D11

- Se calculeaz[ „valoarea a=teptat[“ maxim[. Formula utilizat[ este:ˆMAX(D6:D8)

Celula E6 - Se determin[ alternativa recomandat[. Formula utilizat[ este:ˆIF(D6ˆ$D$11,A6,““)Se copieaz[ E6 ]n E7:E8

Pentru o problem[ de minimizare singura modificare ]n foaia de calcul ar fi schimbarea formulei din celula D11 ]n ˆMIN(D6:D8).

189


Recommended