1

Trapezul. Arii

3.1. Trapezul

Definiţie: Patrulaterul convex cu două laturi paralele şi celelalte două laturi neparalele se numeşte trapez. Cele două laturi paralele se numesc bazele trapezului. Clasificare:

�Trapezul isoscel este trapezul cu laturile neparalele congruente. �Trapezul dreptunghic este trapezul care are o latură din cele neparalele perpendiculară pe bazele

trapezului. �Trapezul oarecare. Teorema 1: Într-un trapez este isoscel dacă şi numai dacă unghiurile alăturate aceleiaşi baze sunt congruente. Teorema 2: Într-un trapez este isoscel dacă şi numai dacă are diagonalele congruente. Definiţie: Se numeşte linie mijlocie în trapez segmentul de dreaptă determinat de mijloacele laturilor neparalele. Teoremă: Linia mijlocie în trapez este paralelă cu bazele şi egală cu semisuma lungimilor bazelor.

Probleme rezolvate 1. În trapezul ABCD, AB æ CD (AB > CD), M ∈ AD, MA = MD, N ∈ BC, NB = NC, MN ∩ AC = {P} şi MN ∩ BD = = {Q}. Demonstraţi că:

a) MP = NQ = CD2

; b) PQ = 2

CDAB− .

Rezolvare: a) În ∆DAC, MP || DC şi MA = MD ⇒ MP = 2

DC.

În ∆DBC, NQ || DC şi NB = NC ⇒ NQ = DC2

. Atunci MP = NQ = 2

DC ⇒ MP + NC = DC.

b) MN = 2

CDAB+ ; PQ = MN � MP � NQ ⇒ PQ = MN � DC ⇔ PQ = 2

CDAB+ � CD ⇔ PQ = 2

CDAB+ .

2. În orice trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare, înălţimea trapezului este egală cu linia mijlocie a sa.

Rezolvare: Fie trapezul ABCD, AB || CD, AC ⊥ BD, AC ∩ BD = {O}. Construim prin O înălţimea MN, cu M ∈ (AB) şi N ∈ (CD). Trapezul fiind isoscel, unghiurile formate de diagonale cu bazele sunt congruente ⇒ ∆AOB şi ∆COD sunt triunghiuri dreptunghice isoscele. Deci M şi N sunt mijlocele bazelor.

∆AOM este dreptunghic isoscel ⇒ OM = AM = 2

AB

∆CON este dreptunghic isoscel ⇒ ON = NC = 2

DC

⇒ OM + ON = 2

CDAB+ ⇔ MN = 2

CDAB+ , deci înălţimea este congruentă cu linia mijlocie.

D

A B

C

M

N

O

⇒

M

D C

B A

N P Q

2

Probleme propuse 1. Demonstraţi că în trapezul ABCD (AB æ CD), AB = baza mare şi MN = linia mijlocie, are loc relaţia:

AB � MN = MN � CD.

2. Fie unghiul propriu xOy în care considerăm două puncte A şi B situate în interiorul său. Distanţele de la punctul A la laturile unghiului sunt de 2 cm şi respectiv 8 cm, iar distanţele de la punctul B la laturile unghiului sunt de 3 cm şi 7 cm. Calculaţi distanţele de la mijlocul segmentului AB la laturile unghiului.

3. Fie paralelogramele ABCD şi A′B′C′D′ care au AB = 3 cm şi A′B′ = 7 cm, iar AB || CD || A′B′ || C′D′. Fie M, N, P şi Q mijloacele segmentelor AA′, BB′, CC′ şi respectiv DD′. Calculaţi lungimile segmentelor MN şi PQ.

4. Într-un trapez, lungimea liniei mijlocii este de 20 cm, iar lungimea segmentului ce uneşte mijloacele diagonalelor este de 6 cm. Calculaţi lungimile bazelor trapezului.

5. Un trapez dreptunghic ABCD (ABæCD), m('B) = 60° are BC = 10 cm, CD = 5 cm. Calculaţi lungimea bazei mari şi a diagonalei AC.

6. Fie trapezul isoscel MNPQ (MN || PQ), [MQ] ≡ [QP] ≡ [NP], m('M) = 60° şi EF = 9 cm, unde EF este linia mijlocie a trapezului. Calculaţi perimetrul trapezului.

7. Se consideră patrulaterul ABCD în care AC ∩ BD = {O} şi punctele M ∈ (AC) astfel încât [AM] ≡ [MO] ≡ [OC] şi N ∈ (BD) astfel încât [DN] ≡ [NO] ≡ [OB]. Demonstraţi că ABCD este un trapez şi lungimea bazei mici este jumătate din lungimea bazei mari.

8. Fie MNPR trapez, cu NP || MR, NP > MR, MR = 6 cm. Paralela prin M la RP şi paralela prin R la MN se intersectează în S, iar S ∈ (NP). Calculaţi lungimea liniei mijlocii a trapezului.

9. Latura triunghiului echilateral ABC are 12 cm. BB′ şi CC′ sunt înălţimi, iar M şi N mijloacele lor. Calculaţi MN.

10. În trapezul dreptunghic ABCD, cu m('A) = 90°, diagonala AC este perpendiculară pe BC. Prin mijlocul M al laturii [AD] se duce paralela MN (N ∈ BC) la bazele trapezului, care intersectează pe AC în P. Demonstraţi că dreapta determinată de punctul P şi punctul de intersecţie al dreptelor AD şi BC este perpendiculară pe AN.

11. În trapezul ABCD, AB æ CD, AD = BC = DC şi AB = 2DC. Demonstraţi că m('ABC) = 60° şi AC ⊥ BC.

12. În trapezul ABCD, AB æ CD, DA ⊥ AB şi (AC est bisectoarea !DAB. Demonstraţi că AB = 2CD dacă şi numai dacă AC ⊥ BC.

13. Demonstraţi că mijloacele diagonalelor unui trapez aparţin liniei mijlocii a trapezului.

14. În trapezul ABCD, AB || CD, AB > CD, se ştie că CD = 8 cm, segmentul care uneşte mijlocele laturilor neparalele are lungimea 12 cm, iar măsurile unghiurilor A, B, C şi D sunt proporţionale cu numerele 1, 2, 4 şi respectiv 5. Dacă AD ∩ BC = {E}, demonstraţi că ∆ABE este dreptunghic, în care [CD] este linie mijlocie.

15. Fie G centrul de greutate al ∆ABC, D mijlocul laturii [BC] şi d o dreaptă oarecare ce trece prin G. Fie BB′ || AD, B′ ∈ d şi CC′ || AD, C′ ∈ d. Demonstraţi că BB′ + CC′ este constant.

16. Pe laturile AB şi AC ale ∆ABC echilateral se construiesc în exterior pătratele ABED şi ACFG. Arătaţi că: a) DC = BF; b) BCDG este trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare.

17. Fie M un punct mobil pe (AB). Construim de aceeaşi parte a lui AB pătratele AMNP şi MBRQ. Demonstraţi că, indiferent de poziţia lui M pe AB, segmentele PR trec printr-un punct fix.

18. Se consideră trapezul ABCD, AB æ CD şi AD = AB + CD. Arătaţi că dacă E este mijlocul lui [BC], atunci ∆EAD este dreptunghic.

O.M., jud. Satu Mare, Etapa locală, 2007, (Enunţ parţial), Sita Florentina

19. Se dă trapezul ABCD în care AB æ CD, AD = CD = BC, m( "A ) = 60°, M este mijlocul lui [AB] şi AC ∩ BD = {O}. Arătaţi că BMDC este romb.

O.M., jud. Sibiu, Etapa locală, 2007, Enunţ parţial, Simona Dumitrescu

3

20. În trapezul ABCD oarecare, AB æ CD, (AM este bisectoarea !CAB, M ∈ [BC] astfel încât [BM] ≡ [MC] şi

DM ∩ AB = {E}. a) Să se arate că DBEC este paralelogram. b) Dacă AM ∩ CE = {N} şi BP ⊥ BC, P ∈ [CE], arătaţi că 2·MN = BP.

O.M., jud. Galaţi, Etapa locală, 2007, (Enunţ parţial), Maria Minea

21. Fie ABCD un trapez cu AB æ CD, AB = 2·DC. Notăm mijloacele diagonalelor AC şi BD cu E, respectiv F. Dacă EM æ AD, M ∈ BD, FN æ BC, N ∈ AC şi P este mijlocul lui (AB) demonstraţi că:

a) punctele D, E, P sunt coliniare; b) AB = 8·MN. O.M., jud. Cluj, Etapa locală, 2007, Alexandru Zăgrăian

3.2. Arii Aria triunghiului. Fie AA′, BB′, CC′ înălţimile ∆ABC.

A[ABC] = 2

ABCC2

ACBB2

BBAA ⋅′=

⋅′=′⋅′

.

De regulă, în formule notăm aria cu S înălţimile cu ha, hb, hc:

2hc

2hb

2haS cba ⋅

=⋅

=⋅

=

Observăm că a ⋅ ha = b ⋅ hb = c ⋅ hc, adică în orice triunghi produsele dintre înălţimi şi bazele corespunzătoare sunt egale.

Pentru triunghiul dreptunghic, catetele sunt şi înălţimi şi aria se poate calcula ca semiprodusul catetelor.

Astfel, A[ABC] = 2

BCAD2

ABAC ⋅=

⋅ ⇒ AC ⋅ AD ⋅ BC ⇔ AD =

2ACAB ⋅

.

Cu această formulă putem calcula înălţimea triunghiului dreptunghic, cunoscând catetele şi ipotenuza.

Aria paralelogramului este egală cu produsul dintre înălţime şi baza corespunzătoare. În paralelogramul din figura alăturată avem: A[ABCD] = DE ⋅ AB = DF ⋅ BC.

Aria dreptunghiului = L ⋅ $

Aria pătratului = $2

Aria rombului = 2Dd ⋅

, unde d şi D sunt diagonalele rombului

Aria trapezului = 2

i)Bb( ⋅+, unde b şi B sunt lungimile bazelor, iar i este înălţimea trapezului.

A[ABCD] = 2

CE)CDAB( ⋅+

Aria cercului = πR2, unde R este lungimea razei şi π ≈ 3,1415.

Probleme rezolvate

1. În ∆ABC, M ∈ (BC), calculaţi valoarea raportului [ABM]

[ABC]

AA

.

Rezolvare: Fie AD ⊥ BC. Observăm că AD este înălţime şi în ∆ABM şi în ∆ABC.

[ABM]

[ABC]

AD BMAD BM2= =AD BC AD BC

2

⋅⋅

⋅ ⋅

AA

⇔ [ABM]

[ABC]

BM=BC

AA

.

A

C D

B

A B

C D

E

F

A B

C D

E

B DM

C

A

4

Dacă M este mijlocul lui BC ⇒ [ABM] [ABC] [ABM] [ACM]1 1= =2 2

⇒A A A A .

Deci mediana împarte triunghiul în două triunghiuri echivalente. 2. În ∆ABC, AB = 13 cm, BC = 14 cm, AC = 15 cm şi înălţimea AD = 12 cm. Calculaţi aria ∆ABC şi lungimile celorlalte înălţimi.

Rezolvare: [ ABC]AD BC 12 14

2 2⋅ ⋅

= =A = 84 cm2;

[ABC]BB AC BB 15 2 84= =84 BB

2 2 15′ ′⋅ ⋅ ⋅′⇔ ⇔ =A ⇔ BB′ =

556

cm;

[ABC]CC AB CC 13 16884 CC

2 2 13′ ′⋅ ⋅ ′= ⇔ = ⇔ =A .

3. În trapezul ABCD, AB || BC, M este mijlocul lui (BC). Demonstraţi că: [ABCD][MAD]= 2

AA .

Rezolvare: Fie DM ∩ AB = {N} ⇒!DMC ≡ !BMN (op. vf.) (MC) ≡ (MB) (ip.) ⇒ !DCM ≡ !NBM (alt. int.)

⇒ ∆DCM ≡ ∆NBM (ULU) ⇒ A[DCM] ≡ A[BMN] ⇒ A[ADN] ≡ A[ABCD] (1).

∆DCM ≡ ∆NBM ⇒ DM = MN, deci (AM) este mediană şi, conform problemei 1 ⇒ [ADN][ADM]= 2

AA , (2)

Din (1) şi (2) ⇒ [ABCD][MAD]= 2

AA .

Probleme propuse 1. Aflaţi aria triunghiului isoscel cu lungimea bazei de 16 cm şi lungimea medianei corespunzătoare acesteia de

90 mm.

2. În ∆ABC, AB = 20 cm şi înălţimea CD = 16 cm, M ∈ (AB) astfel încât 23

MBMA

= . Calculaţi A[ABC], A[AMC] şi

A[CBM].

3. Aflaţi aria unui triunghi dreptunghic cu lungimile catetelor de 1,8 dm şi 0,3 m.

4. Demonstraţi că orice mediană a unui triunghi determină cu latura corespunzătoare două triunghiuri de arii egale.

5. Fie ∆ABC, cu AM mediană şi MM′ ⊥ AB (înălţime în ∆AMB). Ştiind că AB = 8 cm şi MM′ = 40 mm, calculaţi A∆ABC.

6. În ∆ABC, m(!A) = 90°, laturile AB, AC, BC sunt proporţionale cu 3; 4; 5. Înălţimea (AD) dusă din vârful drept are 36 cm. Calculaţi aria şi perimetrul triunghiului.

7. În ∆ABC, AB = AC şi M ∈ (BC). Demonstraţi că suma distanţelor de la M la AB şi AC este constantă oricare ar fi poziţia lui M.

8. Fie ∆ABC echilateral, M un punct interior triunghiului şi M1, M2, M3 picioarele perpendicularelor din M pe AB, BC, AC. Arătaţi că MM1 + MM2 + MM3 = k (nu depinde de alegerea lui M).

9. În paralelogramul ABCD, BD ⊥ AD, BD = BC şi AB = 20 cm. Calculaţi aria paralelogramului. 10. În dreptunghiul ABCD, AB = 40 cm, BC = 30 cm. Fie M ∈ (DC) astfel încât MD = 30 cm, N ∈ (AD) astfel încât

ND = 20 cm. Calculaţi aria ∆MNB.

11. Demonstraţi că aria unui patrulater ortodiagonal este jumătate din produsul lungimilor celor două diagonale.

12. Calculaţi înălţimea rombului cu lungimile diagonalelor de 6 cm şi 0,8 dm, iar lungimea laturii de 5 cm.

B D

B′

C

A

A B

CD

MN

5

13. Punctul M este mijlocul laturii [BC] a paralelogramului ABCD şi {E} = AM ∩ CD. Dacă DF ⊥ AM, F ∈ AM, AM = 25 cm şi DF = 8 cm, calculaţi aria paralelogramului ABCD.

14. Patrulaterul ABCD este romb cu perimetrul şi aria egale cu 40 cm şi respectiv 80 cm2. Ştiind că lungimile

diagonalelor rombului sunt invers proporţionale cu numerele 0,125 şi 0,2, calculaţi lungimile diagonalelor şi înălţimii rombului, precum şi măsurile unghiurilor acestuia.

15. Calculaţi aria unui trapez dreptunghic cu baza mică de 12 cm, baza mare de 2,4 dm şi latura perpendiculară pe bază de 8 cm. Dacă trapezul are aria egală cu aria unui pătrat, aflaţi perimetrul pătratului.

16. Perimetrul unui triunghi isoscel este de 108 cm, iar lungimile laturilor şi a înălţimii corespunzătoare bazei sunt proporţionale cu numerele 8, 5 şi respectiv 3. Aflaţi aria triunghiului.

17. Se dă trapezul isoscel ABCD, AB || CD, AB = 20 cm, CD = 10 cm, DE şi CF înălţimi, DE = 12 cm. Calculaţi: A[ADE], A[DEFC] şi A[ABC], A[ABCD].

18. Fie triunghiul ascuţitunghic ABC, M mijlocul segmentului AC şi Q ( )BM .∈ Dacă QT || AB, T ( )BC∈ şi aria

patrulaterului AQTB este egală cu 516

din aria triunghiului ABC, arătaţi că BQ=QM.

19. Fie ABCD un paralelogram şi M un punct interior paralelogramului astfel încât A(MAB) = A(MBC). a) Arătaţi că A(MCD) = A(MAD). b) Determinaţi locul geometric al punctului M.

O.M., jud. Dolj, Etapa locală, 2007

20. Se consideră trapezul ABCD, cu AB æ CD şi AB = 2·CD. Fie M mijlocul laturii [AB] iar {E} = AC ∩ DM. Ştiind

că A CME = 4 cm2, calculaţi aria triunghiului ABP, unde {P} = AD ∩ BC. O.M., jud. Giurgiu, Etapa locală, 2007, Rodica Mărăcineanu

TEOREMA LUI THALES

Raportul a două segmente. Segmente proporţionale Definiţie: Prin raportul a două segmente, măsurate cu aceeaşi unitate de măsură, înţelegem raportul lungimilor lor.

Ex. AB = 18 cm; CD = 35 cm ⇒ AB 18CD 35

= .

În general, dacă AB mCD n

= , înseamnă că există o unitate de măsură care se cuprinde în AB de m ori şi în CD de n ori.

De regulă, scriem AB mCD n

= ⇔ AB = mk, CD = nk, k ∈ ∗+% .

Fiind date: mulţimea segmentele {(A1B1), (A2B2), ..., (AkBk)} şi mulţimea segmentele {(M1N1), (M2N2), ..., (MkNk)},

spunem că cele două mulţimi sunt formate din segmente proporţionale numai dacă 1 1 2 2 k k

1 1 2 2 k k

A B A B A B...M N M N M N

= = = .

Împărţirea unui segment într-un raport dat Teorema 1: Există un punct în interiorul unui segment care împarte segmentul într-un raport dat. Acest punct este unic. Teorema 2: Există un punct în exteriorul segmentului care împarte segmentul într-un raport dat. Acest punct este unic. Observaţie: Exceptând cazul când raportul este 1 (punctul este mijlocul segmentului), în toate celelalte rapoarte există

cele două puncte de mai sus. Ele se numesc puncte conjugate armonic. Teorema paralelelor echidistante: Dacă trei sau mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente,

atunci ele determină pe orice secantă segmente congruente.

6

Teorema lui Thales: O paralelă dusă la una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporţionale.

MN || BC ⇒ AM ANMB NC

= ⇔ MB NCAM AN

= ⇔ AM ANAB AC

= ⇔ BM CNAB AC

= ⇔ AB ACBM CN

= ⇔ AB ACAM AN

= .

Folosind proporţii derivate obţinem: AM AN AM AN AM ANMB NC AM MB AN NC AB AC

= ⇔ = ⇔ =+ +

. Analog AB ACBM CN

= etc.

Reciproca teoremei lui Thales: Dacă o dreaptă determină pe două laturi ale unui triunghi segmente proporţionale,

atunci ea este paralelă cu a treia latură a triunghiului.

Formulare matematică: Dacă în ∆ABC, M ∈ AB şi N ∈ AC astfel încât AM ANAB AC

= atunci MN || BC

Teorema paralelelor neechidistante: Trei sau mai multe paralele determină pe două secante segmente proporţionale.

a || b || c || d ⇒ 1 1 1 1 1 1

AB BC CDA B B C C D

= =

Probleme rezolvate

1. Determinaţi M ∈ (AB) astfel încât MA 2MB 5

= .

Rezolvare: Ne vom folosi de teorema paralelelor echidistante. Din A construim o

semidreaptă (Ax pe care purtăm un segment AA1 de şapte ori, respectiv în punctele A2, A3, ..., A7. Unim A7 cu B, apoi, prin diviziunile A2, A3, ..., A6 trasăm paralele la A7B. Acestea determină pe Ax segmente congruente, deci vor determina şi pe AB segmente congruente. Am împărţit astfel [AB] în şapte părţi congruente. MA 2 MA 2 MA 2MB 5 MA MB 5 2 MB 7

= ⇔ = ⇔ =+ +

.

A doua diviziune corespunde lui M.

2. Se dau segmentele a, b, c. Să se construiască un segment d astfel încât a cb d= .

Rezolvare: Fie ! xOy. Luăm OA = a şi AC = c pe (Ox, iar pe (Oy luăm OB = b. Prin C construim CD || AB, D ∈ (Oy. Conform teoremei paralelelor

neechidistante avem: OA AC a cOB BD b d

= ⇔ = , deci BD = d este segmentul căutat.

3. Teorema bisectoarei. În orice triunghi, bisectoarea unui unghi interior (sau exterior) determină pe latura opusă segmente proporţionale cu celelalte două laturi.

Demonstraţie: I. Fie (AD bisectoarea ! BAC. Construim BE || AD, E ∈ CA ⇒ ! EBA ≡ ! BAD (alt. int.)

⇒ ! BEA ≡ !DAC (coresp.) ⇒ ! ABE ≡ ! BEA ⇒ AE = AB (1) ! BAD ≡ !DAC (ip.)

În ∆BEC, AD || EB (1)T.Th. BD AE

DC AC⇒ = ⇒ BD AB

DC AC= .

M N

C B

A

M N C B

A

C B

A

M N

A1

B1

d

c

b

a

D

C

B

A

D1

C1

A M B

xA7

A6

A5

A4

A2

A3

A1

O A

C

D

B b

a

d

c x

y

A

BC

E

D

7

II. Fie (AF bisectoarea ! BAx, F ∈ CB. Construim BB′ || AF, B′ ∈ AC ⇒ ! FAB ≡ ! ABB′ (alt. int.)

⇒ ! FAx ≡ ! BB′A (coresp.) ⇒ ! ABB′ ≡ ! BB′A ⇒ AB = AB′ (2) ! FAB ≡ ! FAx

BB′ || AF (2)T.Th. FB AB

FC AC′

⇒ = ⇒ FB ABFC AC

= .

Teorema reciprocă: Dacă un punct D ∈ (CB) astfel încât DB ABDC AC

= , atunci (AD este bisectoarea ! BAC.

4. În ∆ABC, AB = c, AC = b, BC = a şi (AD este bisectoarea ! BAC. Calculaţi BD şi DC.

Rezolvare: (AD bisectoare ⇒ BD ABDC AC

= ⇔ BD ABBD DC AB AC

= ⇔+ +

⇔ BD ABBC AB AC

=+

⇔ BD = AB BCAB AC

⋅+

⇒ BD = acb c+

DC = a � acb c+

⇔ DC = ab ac abb c− ++

⇔ DC = abb c+

.

5. Teorema lui Menelaus sau teorema transversalei. Dacă o dreaptă d intersectează laturile ∆ABC sau prelungirile

acestora în punctele M ∈ (AB), N ∈ (AC) şi P ∈ BC, atunci MA PB NCMB PC NA

⋅ ⋅ = 1.

Demonstraţie: Prin P ducem o dreaptă d, apoi construim AA′ || CC′ || BB′, A′,B′,C′ ∈ d

şi exprimăm rapoartele din teoremă cu ajutorul unor segmente de pe d folosind teorema paralelelor neechidistante, nu teorema lui Thales. Obţinem: MA PAMB PB

′=

′; PB PB

PC PC′

=′; NC PC

NA PA'′

= ⇒ MA PB NC PA PB PCMB PC NA PB PC PA

′ ′ ′⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

′ ′ ′ = 1.

Teorema reciprocă: Dacă M ∈ (AB), N ∈ (AC) şi P ∈ BC astfel încât:

MA PB NCMB PC NA

⋅ ⋅ = 1, atunci M, N şi P sunt coliniare.

Observaţie: Demonstraţia se face prin reducere la absurd, considerând că MN ∩ BC = = {P′}. Se va demonstra că P = P′.

Definiţie: Numim ceviană orice dreaptă care trece prin vârful unui triunghi şi intersectează latura opusă.

6. Teorema lui Ceva: Dacă AA′, BB′, CC′ sunt trei ceviene concurente în ∆ABC, atunci A B B C C AA C B A C B′ ′ ′⋅ ⋅

′ ′ ′ = 1.

Demonstraţie: Conform teoremei lui Menelaus în ∆ABA′, cu transversala C′-M-C, avem:

C A CB MAC B CA MA′ ′⋅ ⋅

′ ′ = 1.

În ∆AA′C, cu teorema lui Menelaus şi transversala B′-M-B ⇒ B C MA A BB A MA BC′ ′⋅ ⋅

′ ′ = 1.

Înmulţind membru cu membru obţinem: C A B C CB MA MA A B A B B C C A1 1C B B A A C MA MA BC A C B A C B′ ′ ′ ′ ′ ′ ′⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇔ ⋅ ⋅ =

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′.

Teorema reciprocă: Dacă AA′, BB′, CC′ sunt cevine în ∆ABC şi A B B C C A 1A C B A C B′ ′ ′⋅ ⋅ =

′ ′ ′, atunci AA′, BB′, CC′ sunt

concurente. Demonstraţia se face prin metoda reducerii la absurd, presupunând că AA′ ∩ BB′ = {M} şi CM ∩ AB = {D} ⇒ D = C′.

A

BC

x

F B′

A

CD

B

b c

A

B C

N M

d

A′

P

C′

B′

A

CA′B

B′C′

M

8

7. Teorema lui Van Aubel: Dacă în ∆ABC cevienele AA′, BB′, CC′ sunt concurente în P, atunci există relaţia B A C A PAB C C B PA′ ′

+ =′ ′ ′

.

Demonstraţie: Vom aplica teorema lui Menelaus în ∆AA′C şi în ∆AA′B ⇒

⇒ B A BC PAB C A B CA′ ′⋅ ⋅

′ ′= 1 ⇔ B A PA A B

B C PA BC′ ′

= ⋅′ ′

;

C A BC PA C A PA A C1C B A C PA C B PA BC′ ′ ′ ′⋅ ⋅ = ⇔ = ⋅

′ ′ ′ ′.

Adunând membru cu membru obţinem: B A C A PA A B A CB C C B PA BC′ ′ ′ ′+ + = ′ ′ ′

⇔ B A C A PAB C C B PA′ ′

+ =′ ′ ′

.

Probleme propuse 1. Raportul a două segmente

1. Fie segmentul AB şi M un punct în interiorul lui astfel încât raportul segmentelor AM şi MB = 23

. Ştiind că

AB = 15 cm, calculaţi lungimile AM şi MB. 2. Fie [AB] un segment dat. Construiţi C ∈ (AB) astfel încât 7AC = 3AB. 3. Se dă un segment [MN]. Construiţi I ∈ (MN) astfel încât 8MI = 5 MN. 4. Segmentul AB este împărţit de punctele M şi N în trei segmente cu lungimile direct proporţionale cu numerele 3; 5 şi

7. Determinaţi ANMB

.

5. Se consideră punctele M, N ∈ (AB), cu M ∈ (AN) şi AM 1MB 3

= ; AN 4BN 5

= . Calculaţi MNAB

.

6. Se dă un segment AB = 36 cm şi fie O mijlocul său. Construiţi M ∈ (AB) astfel încât 4AM = 5MB. Construiţi N ∈ (AB) astfel încât 5AN = 4NB şi verificaţi relaţia: OB2 = OM ⋅ ON.

7. Calculaţi raportul segmentelor AB şi CD ştiind că: a) AB = 48 mm şi CD = 0,36 cm; b) AB = 7,(3) m şi CD = 3,1(6) m. 8. Fie AB = 24 cm şi M ∈ (AB) astfel încât 6AM = 5AB.

a) Calculaţi lungimea segmentului AM. b) Calculaţi MBAB

.

9. Se dă segmentul AB şi punctele M şi N în interiorul lui astfel încât segmentele AM şi BN sunt proporţionale cu MB şi AN. Arătaţi că [AM] ≡ [BN].

10. Lungimea segmentului AB este de 10 cm. M ∈ (AB) şi P ∈ AB, P este exterior lui (AB) astfel încât PA MA 2PB MB 3

= = .

Calculaţi MA, MB, PA, PB. 11. Împărţiţi segmentul (AB) de lungime a în cinci părţi egale. Fie A1, A2, A3, A4 punctele de diviziune. Determinaţi

rapoartele: 3 41 2 1

1 2 3

A A A AA A A A A A; ; ; ;A B A B AB A B AB

.

12. Un segment AB are lungimea de 120 cm şi C ∈ (AB).

a) Dacă CA 5CB 7

= , calculaţi CA şi CB. b) Dacă CB 3AB 5

= , calculaţi CB şi CA.

13. Fie M ∈ (AB) astfel încât:

a) MA 2MB 7

= . Calculaţi MAAB

şi MBAB

. b) MA 2AB 7

= . Calculaţi MBAB

şi MAMB

.

14. Punctele M, P, Q, R, N, în această ordine, sunt coliniare astfel încât P ∈ (MQ) şi R ∈ (QN). Segmentele [MP], [PQ], [QR] şi [RN] au lungimile proporţionale cu numerele 3, 5, 2 şi respectiv 4.

Calculaţi valoarea fiecăruia din rapoartele: MQ MR,PN QN

şi RNPQ

.

15. Găsiţi pe dreapta AB punctele M şi N, conjugate armonic în raport cu extremităţile segmentului [AB], ştiind că

AB = 7,2 cm, M ∈ (AB) şi AM 1MB 2

= .

A

CA′B

B′C′

P

9

16. Pe dreapta d se consideră punctele A, B, C, D astfel încât [AB] ≡ [BC] ≡ [CD], B ∈ (AC) şi C ∈ (BD). Dacă E este

mijlocul [BC], F = simBE, G = simDE şi H = simFD, calculaţi valorile rapoartelor: AC AC BD EF; ; ;CD AH AG GH

şi BGAE

.

17. Desenaţi pe o dreaptă d punctele distincte A şi B. Determinaţi pe dreapta d poziţia unui punct C astfel încât:

a) AC 3BC 2

= ; b) BC 2AC 5

= .

18. Fie punctele coliniare A, C, D, B, în această ordine, astfel încât CA DB 3CB DA 5

= = . Demonstraţi că:

a) 4CD = AB; b) mijlocul lui (AB) este şi mijlocul lui (CD). 19. Pe o dreaptă d se iau punctele distincte A şi B astfel încât AB = 320 mm. Împărţiţi segmentul [AB] în trei segmente

proporţionale cu segmentele [MN], [PQ], [RS], ale căror lungimi sunt de 18 mm, 35 mm şi respectiv 27 mm.

20. Se dă segmentul [PA] şi C ∈ (PA), D ∈ (PA), B ∈ (PA) astfel încât CA 2 DA 2;CB 5 DB 5

= = ; PA 11PB 4

= .

a) Stabiliţi poziţiile lui C şi D faţă de mijlocul lui (AB).

b) Calculaţi ABPB

. c) Demonstraţi că PB = 2BD.

2. Paralele echidistante

1. Segmentul AB = 5 cm. Determinaţi poziţia unui punct C ∈ (AB) astfel încât AC 3CB 4

= folosind teorema paralelelor

echidistante.

2. Desenaţi un segment de lungime 10 cm. Folosind teorema paralelelor echidistante, împărţiţi-l în 7 segmente de aceeaşi lungime.

3. Fie dreptele a1 || a2 || a3 || a4 || a5 şi secantele a şi b. ştiind că A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 şi B2B5 = 12 cm, calculaţi lungimile: B1B3, B3B5, B1B5, B1B4.

a A1

B1

A2

B2

A3

B3

A4

B4

A5

B5

b

a1 a2 a3 a4 a5

4. Un grup de paralele echidistante determină pe două secante punctele A1, A2, A3, A4, A5, respectiv B1, B2, B3, B4, B5. Ştiind că A1B1 = 2a şi A3B3 = 2b, calculaţi A5B5.

5. Se consideră trapezul ABCD (AB || CD). Pe latura AB se iau punctele M1, M2, M3, M4 astfel încât AM1 = M1M2 =

= M2M3 = M3M4 = M4D. Prin punctele M1, M2, M3, M4 se construiesc dreptele paralele M1N1 || M2N2 || M3N3 || M4N4 (N1, N2, N3, N4 ∈ BC). Dacă BN3 = 18 cm, calculaţi lungimea segmentului BC.

6. Fie trapezul ABCD (AB || CD). Pe latura AB se consideră punctele M, G, E astfel încât AM = MG = GE = ED şi

MN || GM || EF || AB (N, M, F ∈ BC). Demonstraţi că segmentele DE, DG, DM şi DA sunt proporţionale cu segmentele CF, CM, CN şi CB.

7. Fiind dat [AB] = 5 cm, determinaţi punctele M şi P conjugate armonic, ştiind că M ∈ (AB) şi MA 1MB 4

= . Folosiţi

teorema paralelelor echidistante.

8. În ∆ABC, trei paralele cu BC, echidistante, împart pe (AC) în patru segmente congruente, ca în figura alăturată. Dacă BC = 12 cm, calculaţi lungimile segmentelor de pe paralele cuprinse între laturile (AB) şi (AC). Puteţi generaliza rezultatul obţinut?

3. Teorema lui Thales

1. Se consideră ∆ABC, MN || BC, M ∈ (AB), N ∈ (AC). a) Dacă AM = 8, MB = 6, AN = 6, calculaţi NC şi AC. b) Dacă AM = 10, AN = 4, NC = 6, calculaţi MB şi AB.

A

B C

M3

M2

M1 N1

N3

N2

x 2x

3x

12

10

2. În ∆MNP avem EF || NP, E ∈ (MN), F ∈ (MP). a) Dacă MN = 16, MP = 32, ME = 6, calculaţi MF, EN şi FP. b) Dacă MP = 24, MF = 16, EN = 12, calculaţi MN, ME şi FP.

3. Folosind figura alăturată completaţi tabelul: AB AC AD AE DB EC

1 16 8 3 24 8

12 8 9 16 12 15

4. În ∆ABC determinaţi poziţiile dreptelor B′C′ şi BC, B′ ∈ (AB) şi C′ ∈ (AC), ştiind că: a) AB = 6 cm; AC = 9 cm; AB′ = 2 cm şi AC′ = 3cm; b) AB = 12 cm; BB′ = 0,4 dm; AC′ = 1,5 dm şi CC′ = 5 cm.

5. Fie ABC un triunghi oarecare, E ∈ (AB), F ∈ (AC). Arătaţi că EF || BC dacă: a) AE = 12; EB = 18; AF = 10; FC = 15; b) AE = 4; AB = 16, AC = 20; FC = 15. 6. În ∆ABC, M ∈ (AB), MN || BC, N ∈ (AC), MM′ || AC, M′ ∈ BC, NN′ || AB, N′ ∈ BC. Demonstraţi că

[BN′] ≡ [CM′].

7. În ∆ABC, D ∈ (AC). Dacă DE || AB, E ∈ (BC) şi DF || BC, F ∈ (AB), atunci CE AFBC AB

+ = 1.

8. În figura alăturată se ştie că AA′ || BB′ || CC′ şi A′B || B′C || C′D. Demonstraţi

că: OA OB OCOB OC OD

= = .

9. În ∆ABC, AB = 12 cm, BC = 16 cm, AC = 24 cm, N ∈ (BC), şi P ∈ (AC)

astfel încât NC = PA = 6 cm. D ∈ (AB) astfel încât 3AD = DB. Dacă PD ∩ AM = {Q} şi (AM) este mediană în ∆ABC, demonstraţi că MNPQ este paralelogram.

10. În patrulaterul ABCD, M∈(AB). Dacă MN || AC, N∈(BC), MP || AD, P ∈ (BD), demonstraţi că NP || CD.

11. În patrulaterul convex ABCD, diagonalele sunt perpendiculare şi M, N, P, Q sunt puncte ale laturilor [AB], [BC], [CD], [DA] astfel încât MN || AC, NP || BD şi PQ || AC.

a) Demonstraţi că paralela prin Q la BD intersectează pe AB în M. b) Demonstraţi că MNPQ este dreptunghi. 12. În dreptunghiul ABCD, dreapta d intersectează (AB) în P, (DC) în N, BC în M şi DA în Q. Demonstraţi că QA ⋅

MN = QP ⋅ MC. 13. În ∆ABC, M ∈ (BC), N ∈ (AC) astfel încât MN || AB şi NP || BC, P ∈ (AB). Este PM || AC ? 14. Fie P un punct pe mediana (AM) a ∆ABC; BP ∩ AC = {B′}, CP ∩ AB = {C′}. Demonstraţi că B′C′ || BC.

15. În paralelogramul ABCD, m(!B) = 120°, BC = 10 cm şi BD ⊥ AD. Dacă BE ⊥ CD, E ∈ CD şi EF || BC,

F ∈ BD, calculaţi valoarea raportului BFBD

şi perimetrul paralelogram ABCD. Dacă, în plus, G ∈ AD astfel încât

AG 1GD 3

= , aflaţi perimetrul patrulaterului DEFG.

16. Segmentele [MN] şi [PQ] se intersectează în A. Dacă B ∈ PQ astfel încât MB || NQ şi C ∈ MN astfel încât

CQ || MP, demonstraţi că BC || NP.

17. În trapezul ABCD (AB || CD, AB > CD), avem MN || AB, M ∈ (AD) şi N ∈ (BC), MP || BC şi NQ || AD, unde P, Q ∈ AB. Demonstraţi că [AP] ≡ [BQ].

18. Demonstraţi că bisectoarele într-un triunghi sunt concurente. Folosiţi pentru demonstraţie reciproca teoremei lui

Ceva.

B

A

C

ED

O

C′

A B C D

A′ B′

11

19. Se dau semidreptele (Ox, (Oy, (Oz şi punctele B şi B′ pe (Oy. Construim BA ⊥ (Ox, B′A′ ⊥ (Ox, A, A′ ∈ (Ox,. BC || B′C�, C ∈ (Oz, C′ ∈ ∈ (Oz. Demonstraţi că: A′C′ || AC.

20. În ∆ABC construim mediana (BD) şi bisectoarea (AE, E ∈ (BC), AE ∩ BD = {F}. Demonstraţi că FA AC 1FE AB

− = .

4. Paralele neechidistante

1. În ∆ABC, pe laturile AB şi AC se consideră punctele M, N ∈ (AB) şi M′, N′ ∈ (AC) astfel încât AM = 24 mm, MN = 3,6 cm, BN = 12 mm şi AC = 9 cm. Dacă MM′ || NN′ || BC, calculaşi lungimile segmentelor AM′, M′N′ şi N′C.

2. În figura alăturată a || b || c || d, AB = 4 cm, CD = 2 cm, MN = 5 cm, NP = 10 cm. Calculaţi BC şi PQ.

3. Lungimea segmentului AB este de 9 cm. Împărţiţi segmentul AB în părţi proporţionale cu numerele 2, 3, 1, 5 folosind teorema paralelelor neechidistante.

4. Fie ∆ABC şi mediana (AM), F∈(AM), CF∩AB ={D}, BF∩AC ={E}, Q ∈ (AD)

astfel încât AQ 4AD 5

= , iar N este mijlocul lui (AQ), R ∈ (AE) astfel încât AR = 80%AE şi AP 1AR 2

= , P ∈ (AR). Demonstraţi

că segmentele (AN, NQ, QD, DB) sunt proporţionale cu (AP, PR, RE, EC).

5. Desenaţi un segment cu lungimea de 10 cm şi un triunghi oarecare ABC. Împărţiţi segmentul în 3 segmente proporţionale cu laturile [AB], [BC], respectiv [CA].

6. Dreptele a || b || c || d intersectează dreptele s1 în punctele A, B, C, respectiv D şi s2 în punctele M, N, P, respectiv Q. Dacă AB = 5 cm, AC = 13 cm, MN = 4 cm şi MQ = 18 cm, calculaţi BC, CD, NP şi PQ.

7. În ∆ABC, prin D ∈ (AB) şi F ∈ (AB) se duc paralele la BC care intersectează pe AC în E, respectiv G. Dacă AD 1DB 2

= şi BF 1FD 3

= , calculaţi valoarea raportului AFAB

şi perimetrele triunghiurilor ADE şi AFG, ştiind că ∆ABC este

echilateral cu latura de lungime 24 cm.

8. În trapezul ABCD, AB || CD, fie M şi N mijloacele laturilor [AB], respectiv [CD]. Din M se construiesc bisectoarele (MP, P ∈ AD şi (MQ, Q ∈ BC, ale unghiurilor NMA, respectiv NMB. Demonstraţi că PQ || AB || CD.

5. Probleme recapitulative

1. Fie [Ox, [Oy şi [Oz trei semidrepte oarecare, A, A′ ∈ (Ox, B, B′ ∈ (Oy şi c, C′ ∈ (Oz astfel încât AB || A′B′ şi BC || B′C′.

a) Dacă OA = 4 cm, AA′ = 6 cm, OC′ = 9 cm, aflaţi lungimile segmentelor OC şi CC′. b) Dacă OA = 6 cm, OA′ = 8 cm, OC = 9 cm, OC′ = 12 cm, stabiliţi poziţia relativă a dreptelor BC şi B′C′.

2. În ∆ABC, AB = 12 cm, AC = 18 cm, BC = 16 cm, M ∈ (AB), MA = 4 cm. Construim MN || BC, N ∈ (AC),

NP || AB, P ∈ BC, PQ || AC, Q ∈ (AB). Calculaţi PC, BQ şi MQ.

3. Pe dreapta d se află în ordine punctele A, C, B, P astfel încât CA 5CB 2

= şi PA 4PB 3

= . Calculaţi CB OC OP; ;CP OA OB

, unde O

este mijlocul lui [AB].

4. Se dă trapezul ABCD, AB || CD, cu AB = 24 cm, DC = 12 cm şi MN || AB, M ∈(AD) şi N ∈ (BC). Calculaţi perimetrul trapezului, ştiind că DM = 10 cm, MA = x + 1, CN = 14 cm şi FB = 2x � 1.

5. Se dă ∆ABC. Prin B şi C construim paralele la mediana din A. CA şi BA intersectează aceste paralele în E, respectiv

F. Demonstraţi că BCFE este paralelogram.

d c

b

a M A

B N

C

D

P

Q

12

6. În ∆ABC se consideră punctele M, N ∈ (AB), Q, P ∈ (BC), R ∈ (AC) astfel încât NP || AC, NR || BC, RQ || AB,

QM || AC. Demonstraţi că BP QB 1PC CQ

⋅ = .

7. În paralelogramul ABCD, M este mijlocul lui (DC), AM ∩ BD = {E}, BM ∩ AC = {F}. Demonstraţi că EF || AB

8. În paralelogramul ABCD, printr-un punct oarecare M al diagonalei AC se construieşte MN || BC, N ∈ AB şi

MP || CD, P ∈ AD. Demonstraţi că PN || BD. Această relaţie este adevărată şi dacă ABCD este un patrulater oarecare?

9. În ∆ABC se construiesc înălţimile BH şi CK, iar în ∆AKH se construiesc înălţimile KM şi HL. a) Demonstraţi că AB ⋅ AM = AC ⋅ AL. b) Demonstraţi că LM || BC.

10. Fie patrulaterul ABCD, în care [AD] ≡ [BC]. Bisectoarele unghiurilor DAB şi CBA intersectează diagonalele BD şi

AC respectiv în E şi F. Demonstraţi că EB ⋅ FC = FA ⋅ ED.

11. În ∆ABC, AD şi BE sunt bisectoarele interioare (D ∈(BC), E ∈(AC)) şi [AF este bisectoarea exterioară ! BAC, F ∈ BC. Dacă AB = 4 cm, AC = 5 cm şi BC = 6 cm, calculaţi lungimile segmentelor: BD, DC, BF şi FC.

12. Se dă un romb ABCD, cu AB = a. Prin A se duce o secantă care intersectează prelungirile laturilor CB şi CD în E,

respectiv F. Demonstraţi că 1 1 1CE CF a

+ = .

13. În trapezul isoscel ortodiagonal ABCD, AB || CD, perpendiculara din C pe AB intersectează (AB) şi (BD) în E,

respectiv F. a) Determinaţi natura triunghiului DAF. b) Dacă AF ∩ BC = {M}, atunci M este mijlocul segmentului [BC] dacă şi numai dacă m(! (AD, BC)) = 45°, c) Dacă M este mijlocul segmentului [BC], demonstraţi că:

AB2 � CD2 = 4 ⋅ OA ⋅ OC. 14. Într-un triunghi ABC, laturile au lungimile AB = 10 cm, AC = 20 cm şi BC = 15 cm. Se consideră [BD bisectoarea

unghiului !ABC, D ∈ (AC) şi se duc DE æ BC, E ∈ (AB) şi EF æ AC, F ∈ (BC). Să se determine:

a) perimetrul trapezului AEFC; b) raportul ODOB

, unde {O} = BD ∩ EF.

O.M., jud. Giurgiu, Etapa locală, 2007, Radu Stănică

15. Fie ∆ABC, D ∈ (AB), E ∈ (AC) astfel încât 7·BD = 5·AB. Fie {M} = CD ∩ BE, astfel încât 9·DM = 2·DC. Arătaţi că DE æ BC.

O.M., jud. Cluj, Etapa locală, 2007, Vasile Şerdean, Simona Pop 16. Fie ∆ABC în care [AO] este mediană, G este centrul de greutate, iar GD æ AB şi GE æ AC, unde D şi E sunt pe

latura BC. a) Dacă H este simetricul lui G faţă de O, arătaţi că GDHE este paralelogram. b) Dacă {M} = DG ∩ AE şi {N} = DG ∩ BH, arătaţi că MN = 2·DG. c) Arătaţi că BC = 6·OD.

O.M., jud. Mureş, Etapa locală, 2007, Georgeta Pânzaru

17. În paralelogramul ABCD, P ∈ (AD), Q ∈ (BC), PC ∩ AB = {M}, DQ ∩ AB = {N}, AP 1PD 3

= , BQ 2QC 3

= . Dacă

DC = 12 cm, calculaţi MN. O.M., jud. Harghita, Etapa locală, 2007, (Enunţ parţial)

13

Teste recapitulative (Teorema lui Thales)

Testul 1

Partea I (Se vor scrie numai rezultatele) (8p) 1. Dacă segmentul AB se împarte în 24 de părţi congruente şi punctele M şi N sunt respectiv al şaselea şi al

paisprezecelea punct de diviziune, atunci valoarea rapoartelor MAAB

şi NAAB

este .......

(8p) 2. Fie AB un segment. Un punct M îl împarte în raportul MA 4MB 7

= . Atunci MAAB

şi MBAB

sunt .........

(8p) 3. În ∆ABC, MN || BC (M ∈ (AB), N ∈ (AC)). Dacă AM = 3 cm, AB = 4 cm şi AC = 8 cm, atunci MB, AN, NC sunt egale cu ..........

(8p) 4. În ∆DEF, G ∈ (DE), H ∈ (DF) astfel încât DE = 7, DF = 14, DG = 1,5, DH = 3, atunci GH ...... EF.

(8p) 5. În desenul alăturat AE = 30; AB = 60; AF = 35; AC = 70. Cum ?AE 1 AF

AB 2 AC= = ⇒

⇒ EF || BC.

(8p) 6. Într-un triunghi oarecare ABC, [AM = bisectoare, M ∈ BC. Atunci ABAC

= .........

Partea a II-a (Se vor scrie rezolvările complete) (12p) 7. În ∆ABC, G = centrul de greutate al triunghiului dat, PQ || AC, P∈AB, Q∈BC, G∈PQ. Dacă AP = 9 cm,

BQ = 12 cm, calculaţi lungimile segmentelor BP, CQ şi BC.

(15p) 8. În ∆ABC, D ∈ (AC). Dacă DE || AB, E∈(BC) şi DF || BC, F∈(AB), atunci CE AFBC AB

+ = 1.

(15p) 9. În ∆ABC se construieşte mediana MB, M ∈ (AC). Bisectoarea 'AMB intersectează AB în P, iar bisectoarea !BMC intersectează BC în N. Demonstraţi că NP || AC.

Testul 2

Partea I (Se vor scrie numai rezultatele)

(8p) 1. Dacă C ∈ (AB) astfel încât AC 2AB 7

= , Atunci BCAB

= .......

(8p) 2. Latura Ox a unghiului xOy este intersectată de dreptele a || b || c || d în punctele A, B, C, D, de la O spre x, în această ordine, astfel încât OA = AB = BC = CD. Dacă aceste drepte intersectează pe Oy în punctele M, N, P, Q, atunci .............

(8p) 3. În ∆ABC, prin punctul M ∈ (AB) se duce MN || BC, N ∈ (AC). Dacă BM 1MA 2

= , atunci ANAC

= ..........

(8p) 4. Dacă în ∆ABC, M ∈ (AB) astfel încât AM 2AB 3

= şi N ∈ (AC) astfel încât AN 2AC 3

= , atunci dreptele MN şi BC

sunt .......... (8p) 5. În trapezul ABCD, AB || CD, prin punctele M şi N situate pe (AD) se duc paralele la AB care intersectează pe

BC în P, respectiv Q. Dacă AM 1AN 2

= şi MN 1ND 2

= , atunci BQBC

= .........

(8p) 6. Laturile [AB] şi [BC] ale triunghiului ABC sunt intersectate de dreapta d, d || AC, în punctele D şi respectiv E. Dacă AB = 16 cm, BE = 9 cm, EC = 3 cm, atunci AD = .........

Partea a II-a (Se vor scrie rezolvările complete) (12p) 7. Fie D un punct oarecare al laturii [AC] a triunghiului ABC. Dacă (DE şi (DF sunt bisectoarele unghiurilor

! BDC şi respectiv ! BDA, E ∈ BC şi F ∈ AB, Demonstraţi că BE⋅CD⋅AF = BF⋅AD⋅CE. (15p) 8. Pe laturile [BC], [AC] şi [AB] ale triunghiului ABC se iau punctele D, E şi respectiv F astfel încât EF || BC, iar

(DE şi (DF să fie bisectoarele unghiurilor ! ADC şi ! ADB. a) Demonstraţi că D este mijlocul segmentului BC.

F A

EB

C

14

b) Dacă AD = 11 cm, BC = 14 cm, AF = 223

cm şi CE = 499

cm, aflaţi natura triunghiului ABC şi calculaţi

perimetrul său. (15p) 9. Fie dreptunghiul ABCD şi punctele E, F situate pe (AC), E ∈ (AF) astfel încât [AE] ≡ [EF] ≡ [FC]. Dacă

BE ∩ AD = {M}, DF ∩ BC = {N}, demonstraţi că: a) DF || BE; b) punctele M, O şi N sunt coliniare.

Testul 3

Partea I (Se vor scrie numai rezultatele)

(8p) 1. În ∆ABC, MN || BC, M ∈ (AB), N ∈ (AC), AM 4MB 3

= şi AN = 12 cm. Atunci AC = .......

(8p) 2. Dacă MN || BC, M ∈ (AB), N ∈ (AC) şi AM = 16 cm, MB = 12 cm, AN = 24 cm, atunci NC = ......... cm.

(8p) 3. C ∈ (AB) astfel încât CA 2CB 3

= , atunci BCBA

= ..........

(8p) 4. (AD este bisectoarea din A a triunghiului ABC, D ∈ BC, AB = 9 cm şi AC = 10 cm. Atunci BDBC

= .......

(8p) 5. În ∆ABC, fie MN || BC, M ∈ (AB), N ∈ (AC) şi G centrul de greutate al triunghiului. Dacă G ∈ MN, atunci

raportul AMAB

= .........

(8p) 6. C ∈ (AB), O1 şi O2 sunt respectiv mijloacele lui (AC) şi (BC). Atunci 1 2O OAB

= ..........

Partea a II-a (Se vor scrie rezolvările complete) (20p) 7. Pe semidreptele (Ox, (Oy, (Oz, (Ot se iau respectiv punctele A şi A′, B şi B′,

C şi C′, D şi D′ astfel încât AB || A′B′, BC || B′C′, CD || C′D′. Demonstraţi că ∆ACD şi ∆A′C′D′ au unghiurile respectiv congruente.

(22p) 8. În ∆ABC, AB = 8 cm, AC = 10 cm, BC = 15 cm şi (AD este bisectoarea !BAC. Calculaţi BD.

Probleme propuse pentru lucrarea semestrială

Lucrarea 1

1. În triunghiul PQR se construiesc AB || CD || QR (A, C ∈ (PQ), B, D ∈ (PR)) astfel încât AP = 2 cm, AC = 5 cm, CQ = 3 cm şi PR = 30 cm. Calculaţi lungimea segmentelor PB, BD şi DR.

2. În ∆ABC se construieşte mediana AM şi MN ⊥ AC. Dacă AC = 8 cm şi MN = 40 mm, să se afle aria ∆ABC. 3. În patrulaterul oarecare ABCD, M ∈ (BD). Dacă MN || AB, MP || BC (N ∈ (AD), P ∈ (CD)), demonstraţi că NP ||

AC.

Lucrarea 2

1. În ∆ABC se construiesc MN || PQ || BC (M, P ∈ (AB), N, Q ∈ (AC)) astfel încât AM = 3 cm, MP = 7 cm, PB = 5 cm şi AC = 30 cm. Calculaţi lungimea segmentelor AN, NQ şi CQ.

2. În ∆KLM se consideră A mijlocul segmentului [KL] şi AA′ înălţime în ∆LAM. Dacă LM = 0,7 dm şi AA′ = 3 cm, să

se afle aria ∆KLM. 3. În patrulaterul MNPQ, R ∈ (MN). Dacă SR || MQ, RT || MP (S ∈ (NQ), T ∈ (PN)), demonstraţi că ST || PQ.

O

C

C′z

yB′B

A

A′x

D

D′ t

15

Lucrarea 3

1. Pe laturile [AB] şi [AD] ale pătratului ABCD, în exteriorul său, se construiesc triunghiurile dreptunghice ABE şi ADF, m(! BAE) = m(!DAF) = 90° şi AC = AE = AF. Demonstraţi că:

a) patrulaterul BDFE este trapez isoscel; b) înălţimea trapezului BDFE şi linia sa mijlocie au aceeaşi lungime. 2. Punctul O este intersecţia diagonalelor paralelogramului ABCD. Dacă AD = 20 cm şi OM ⊥ BC, M ∈ BC,

OM = 8 cm, calculaţi aria paralelogramului ABCD. 3. Fie triunghiul ABC şi DE || AC, D ∈ AB, E ∈ BC. a) Dacă D ∈ (AB) şi AD = 8 cm, AB = 12 cm, CE = 6 cm, calculaţi BD, BE, BC. b) Dacă C ∈ (BE) şi BE = 30 cm, EC = 6 cm, AD = 8 cm, calculaţi BC, AB, BD.

Lucrarea 4

1. Pe laturile [AB] şi [AD] ale rombului ABCD, în exteriorul său, se construiesc triunghiurile dreptunghice ABE şi ADF, m(! BAE) = m(!DAF) = 90° şi AC = AE = AF. Demonstraţi că:

a) patrulaterul BDFE este trapez isoscel; b) centrul rombului, mijlocul segmentului EF şi vârful C al rombului sunt trei puncte coliniare. 2. Punctul O este intersecţia diagonalelor paralelogramului ABCD. Dacă AB = 30 cm şi ON ⊥ CD, N ∈ CD,

ON = 6 cm, calculaţi aria paralelogramului ABCD. 3. Fie triunghiul ABC şi DE || AB, D ∈ AC, E ∈ BC. a) Dacă D ∈ (AC) şi CE = 8 cm, BE = 16 cm, AC = 18 cm, calculaţi CD, AD, BC. b) Dacă C ∈ (AD) şi AC = 20 cm, AD = 28 cm, BC = 25 cm, calculaţi CE, BE, CD.

Lucrarea 5

1. Pe o dreaptă se iau în ordine punctele A, B, C, D. Se ştie că BA 3 CA,BD 7 CD

= = 4 şi BC = 10 cm. Calculaţi lungimile

segmentelor AB, CD, AD. 2. În ∆ABC, BC = 20 cm şi înălţimea AA′ = 12 cm. Dacă AD este mediană şi G este centrul de greutate, calculaţi: a) A[ABC]; b) A[ABG]. 3. În ∆MPQ fie R şi S mijloacele laturilor [MP], respectiv [MQ]. Dacă T este un punct oarecare pe [PQ] şi aria

patrulaterului MRTS este de 11 cm2, aflaţi aria triunghiului MPQ.

Lucrarea 6

1. Pe o dreaptă se iau în ordine punctele A, B, C, D astfel încât BC 3 AB 2,BD 4 BC 3

= = . Calculaţi lungimile segmentelor AB,

BC, AD, dacă CD = 6 cm. 2. A[ABC] = 375 cm2 şi BC = 30 cm. D şi E sunt respectiv mijloacele laturilor [BC] şi [AC]. a) Calculaţi înălţimea din A. b) Aflaţi A[EDC]. 3. Trapezul isoscel ABCD are diagonalele perpendiculare şi lungimea liniei mijlocii de 8 cm. Aflaţi aria trapezului.

16

ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR

Definiţie: Două triunghiuri se numesc asemenea dacă au laturile respectiv proporţionale şi unghiurile opuse lor respectiv congruente.

Teorema fundamentală a asemănării: O paralelă dusă la una din laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi, sau cu prelungirile lor, un

triunghi asemenea cu cel dat.

Cazuri de asemănare a triunghiurilor Teorema: Dacă două triunghiuri sunt asemenea cu un al doilea triunghi, atunci sunt asemenea între ele. Teorema 1 (Cazul I de asemănare):

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au câte două unghiuri respectiv congruente. Teorema 2 (Cazul II de asemănare):

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au câte două laturi respectiv proporţionale şi unghiurile dintre ele congruente.

Teorema 3 (Cazul III de asemănare):

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au laturile respectiv proporţionale. Scriem ∆ ABC ∼ ∆A′B′C′ şi citim: �∆ABC este asemenea cu ∆A′B′C′�.

∆ ABC ∼ ∆MNP ⇔ kNPBC

MPAC

MNAB

=== şi !A ≡ !M; ! B ≡ !N; ! C ≡ ! P

k reprezintă valoarea raportului de asemănare.

Probleme rezolvate 1. Punctul de intersecţie a diagonalelor unui trapez determină pe diagonale segmente proporţionale.

Demonstraţie: DC || AB ⇒ ∆DOC ∼ ∆BOA ⇒ ABDC

OACO

OBDO

== ; făcând proporţii

derivate ⇒ DCAB

DCACCO

DBDO

+==

2. Fie trapezul ABCD, AB || CD şi MN || AB, M ∈ (AD), N ∈ (BC). Demonstraţi că MP = NQ, unde {P} = MN ∩ AC şi {Q} = MN ∩ BD. Demonstraţie:

AB || MN || DC ⇒ BCBN

ADAM

=

MP || DC ⇒ (TFA) ∆AMP ∼∆ADC⇒DCMP

ADAM

= ⇒DCNQ

DCMP

= ⇔MP=NQ.

NQ || DC ⇒ (TFA) ∆BNQ ∼∆BCD⇒DCNQ

BCBN

=

3. În trapezul ABCD, AB || CD, AC ∩ BD = {O}, EF || AB, O ∈ EF, E ∈ AD, F ∈ BC. Demonstraţi că EO = OF. Calculaţi EF.

Demonstraţie: I. Se poate considera un caz particular al problemei precedente în care P = Q = O.

A BO

CD

A B

NF

CD E

M O

P Q

17

II.

EF || AB || DC ⇒ BCBF

ADAE

=

EO || DC ⇒ ∆AEO ∼ ∆ADC ⇒ EO AEDC AD

= ⇒DCFO

DCEO

= ⇔ EO = FO.

OF || DC ⇒ ∆BFO ∼ ∆BCD ⇒ BCBF

CDFO

=

Din problema 1.⇒AO ABAC AB DC

=+

⇒EO AB AB DC

EODC AB DC AB DC

⋅= ⇔ =

+ +(I)

∆AEO ∼ ∆ADC⇒EO AODC AC

=

dar EO = OF ⇒ EF = 2⋅EO ⇒ EF = DCABDCAB2

+⋅ , deci EF este media armonică a bazelor trapezului.

Observaţie: Relaţia (I) mai poate fi scrisă: CD1

AB1

OE1

+= .

4. Mediana unui triunghi împarte orice paralelă la bază în două segmente congruente. Demonstraţie: Fie ∆ABC, (AD) mediană, MN || BC, MN ∩ AD = {P}

MP || BD ⇒ BDMP

ADAP

=

PN || DC ⇒ DCPN

ADAP

= ⇒ ⇔=BDPN

BDMP MP= PN.

Şi BD = DC

5. Punctul de intersecţie a diagonalelor unui trapez, punctul de intersecţie a laturilor neparalele şi mijloacele bazelor trapezului sunt coliniare. Demonstraţie: În figura alăturată trebuie să arătăm că P, N, O, M sunt coliniare. PO este mediană în ∆PEF conform problemei 4. PO intersectează orice paralelă la EF în mijlocul său, deci M este mijlocul lui (AB) şi N este mijlocul lui (DC).

Probleme propuse 1. Raportul înălţimilor, medianelor şi bisectoarelor ce sunt construite din vârfurile corespondente a două triunghiuri

asemenea este egal cu raportul de asemănare al celor două triunghiuri.

2. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare.

3. În figura alăturată laturile ∆ABC au fost împărţite în câte 7 părţi congruente astfel încât. MN PQ SR 3AB BC AC 7

= = = iar AMAB

BN 2AB 7

= = etc. Să se afle raportul dintre aria hexagonului

MNPQRS şi aria ∆ABC. 4. În ∆SAM se consideră TQ || AM. Dacă ST = 3u, SA = 7u, TQ = 4u şi MQ = 5u calculaţi

lungimea segmentelor SQ, SM şi AM.

5. În desenul alăturat avem MN || QR. Dacă MN = 4n, PN = 3u, PQ = 5u şi PR = 8u, calculaţi lungimea segmentelor MP şi QR.

A

M

B D

C

NP

A

F

B

D C E

P

N O

M

M N

P

RQ

TFA

TFA

TFA

TFA

B P Q

R

C

S M

N

A

18

6. Fie trapezul ABCD (AB || CD); AC ∩ BD = {O} în care se cunosc AB = 30 cm, CD = 10 cm, AC = 24 cm şi BD = 16 cm. Să se calculeze: OA, OB, OC şi OD.

7. În ∆ABC, MN || BC, M ∈ (AB), N ∈ (AC), P ∈ (BC) şi AP ∩ MN = {Q}. Demonstraţi că: PCBP

QNMQ

= .

8. Demonstraţi că mediana DM a ∆DEF determină pe orice paralelă la latura EF două segmente congruente.

9. Se consideră a || b. Pe dreapta a se consideră punctele A, B, C în această ordine şi pe dreapta b se iau punctele M,

N, P astfel încât AP ∩ BN ∩ CM = {O}. Demonstraţi că: MPAC

MNBC

NPAB

== .

10. Fie paralelogramul MNPQ cu MN = 16 cm şi MQ = 12 cm. Pe diagonala MP se consideră un punct A astfel încât

31

APAM

= . Prin punctul A se construiesc AB || MN, B ∈ (MQ) şi AC || MQ, C ∈ (PQ). Calculaţi perimetrul patrulaterului

ABQC.

11. Fie ∆ABC cu lungimile laturilor de AB = 9 cm, AC = 12 cm şi BC = 18 cm. Se construieşte [BP bisectoarea !ABC, P ∈ (AC) şi MP || BC, M ∈ (AB). Calculaţi perimetrul trapezului MBCP.

12. Trapezul MNPQ (MN || PQ), MN = 24 cm, PQ = 8 cm are laturile neparalele MQ = 10 cm şi PN = 16 cm, MQ ∩ PN = {S}. Calculaţi perimetrul ∆SPQ.

13. Fie ∆PQR cu lungimile laturilor PQ = 16 cm, QR = 18 cm şi PR = 20 cm. Se construieşte MN || RQ astfel încât

∆PMN şi trapezul MQRN să aibă perimetre egale. Calculaţi lungimea segmentului MN.

14. Fie ∆ KLM în care se construieşte AB || LM, A ∈ (KL) şi B ∈ (KM). Prin A se construieşte AC || KM, C ∈ (LM) şi prin B paralela BD || KL (D ∈(LM)). Demonstraţi că [LC] ≡ [DM].

15. În patrulaterul MNPQ cu MQ = 3⋅PQ şi MN = 16 cm se construieşte bisectoarea [QS a unghiului MQP (S ∈ (MP)), Prin S se duce paralela ST || MN, (T ∈ (PN)). Calculaţi lungimea segmentului ST.

16. În paralelogramul KLMN se construieşte o secantă oarecare care trece prin vârful L şi intersectează dreptele MN şi KN în punctele S şi T. Demonstraţi că produsul SM⋅KT = constant.

17. Prin vârful K al ∆KLM se construieşte dreapta KP, P ∈ LM astfel încât ! LKP ≡ !KML. Demonstraţi că LK este medie proporţională între LM şi LP.

18. Fie rombul ABCD. O dreaptă variabilă ce trece prin punctul A intersectează (în exteriorul rombului) laturile BC şi

CD în punctele P şi Q. Demonstraţi că AB ≤4

CQCP +.

19. Fie triunghiul dreptunghic MNP (m(!M) = 90°) în care se construieşte MM′ ⊥ NP. Fie S şi T mijloacele segmentelor MM′ şi MP. Demonstraţi că ! SNM ≡ ! TNP.

20. Prin capetele segmentului AB se construiesc două segmente paralele (AD = a şi BC = b), AD || BC de aceeaşi parte a dreptei AB; AC ∩ BD = {P}, iar segmentul PQ || AD (Q ∈ (AB)). Calculaţi PQ în funcţie de a şi b.

21. În ∆ ABC, AB = 16 cm, BC = 30 cm, AC = 24 cm. Dintr-un punct D∈(AB) se construieşte DE, E∈(AC) astfel încât DE = 10 cm şi m(!ADE) = m(!ACB). Calculaţi perimetrul ∆ADE şi arătaţi că ∆AEB ∼ ∆ACD.

22. Triunghiul ABC are perimetrul de 130 cm şi lungimile laturilor [AB], [AC] şi [BC] invers proporţionale cu numerele 0,25; 0,(3) şi respectiv 0,1(6). Fie M ∈ [AB], N ∈ [AC] şi P ∈ [BC] astfel încât MN || BC, NP || AB şi AM = 16 cm.

a) Demonstraţi că BN ⊥ MP; b) Aflaţi perimetrul patrulaterului MNPB.

23. Demonstraţi că în orice trapez dreptunghic ortodiagonal latura perpendiculară pe bază este medie geometrică a bazelor.

24. Fie ∆ABC, AB = AC, m(! BAC) = 36° şi (BD bisectoarea !ABC, D ∈ (AC). Demonstraţi că: a) AD = BC; b) AC2 � BC2 = AC ⋅ BC.

19

25. În triunghiul ABC, fie M ∈ (AC) şi D ∈ (BM, M ∈ (BD), BM = 2 ⋅ MD, CD || AB şi N mijlocul segmentului [AB] astfel încât 6⋅MN = AB. Demonstraţi că DN ⊥ NC.

26. În ∆ABC, T este un punct al medianei (AD). O dreaptă d care trece prin T intersectează (AB) în E şi (AC) în F.

Dacă kTDAT

= demonstraţi că FC EB 2AF EA k

+ = .

27. Pe laturile !XOY se iau punctele A, B ∈ (OX; C, D ∈ (OY astfel încât OA = 4 cm, OB = 15 cm, OC = 5 cm,

OD = 12 cm. Demonstraţi că m(!OCB)=m(!OAD); m(!OAC)=m(!ODB); m(!OBC)=m(!ODA).

28. În paralelogramul ABCD, N ∈ (AC) astfel încât NC = 41

AC.

BN ∩ DC = {M}. Demonstraţi că AB = 3⋅MC şi calculaţi valoarea raportului ]BCN[

]MCN[

AA

.

29. În trapezul ABCD, AB || CD, AB = 25 cm, AD = DC = 10 cm. Construim MN || AB, 52

ADAM

= . MN ∩ AC =

= {P}, MN ∩ BD = {Q}. Calculaţi MN şi PQ.

30. Fie ∆ABC, H ortocentrul, AD înălţime, D ∈ (BC). Demonstraţi că AD⋅HD = BD⋅DC. (teorema generalizată a înălţimii).

31. Se dă patrulaterul convex ABCD cu m(!ADB) = m(!ACB) şi AC ∩ BD = {M}. Demonstraţi că:

a) MA⋅MC = MB⋅MD; b) m(!ACD) = m(!ABD); c) CDBCADAB

MCMA

⋅⋅

= şi DCADBCAB

MDMB

⋅⋅

= .

32. În paralelogramul ABCD luăm E, F ∈ (DC) astfel încât DE = EF = FC. BE ∩ AC = {M}. BF ∩ AC = {N}. Cât la

sută din AC reprezintă MN?

33. Pe ipotenuza (BC) a ∆ABC se ia punctul D astfel încât AB = BD. În A se construieşte perpendiculara pe AD care intersectează pe BC în E. Demonstraţi că:

a) ∆ABE este isoscel; b) AC2 = EC⋅DC; c) AB2 + AC2 = BC2.

34. În paralelogramul ABCD se duce MN || AB, M ∈ (AD) şi N ∈ (BC). Fie MP ⊥ AB, P ∈ AB şi NQ ⊥ CD, Q ∈ CD. Demonstraţi că dacă AC ∩ PQ = {R}, atunci punctele M, R şi N sunt coliniare.

35. În ∆ABC, m(!A) = 2⋅m(! B). Dacă (AD este bisectoarea unghiului BAC, cu D ∈ BC, demonstraţi că AC2 = BC⋅DC.

36. În ∆ABC, AD ⊥ BC (D ∈ BC), BE ⊥ AC (E ∈ (AC). Demonstraţi că ∆ABC asemenea cu ∆DEC, (Dreapta DE se numeşte antiparalelă faţă de dreapta AB).

37. În patrulaterul MNPQ se consideră MN = 13, 5 cm, NP = 6 cm, PQ = 4 cm, MQ = 6 cm şi MP = 9 cm. Demonstraţi că [MP este bisectoarea unghiului !QMN.

38. În ∆ABC se construieşte prin punctul P al bazei BC o paralelă la mediana AD, care se intersectează cu laturile AB şi AC în N, respectiv M. Demonstraţi că PM + PN = constantă.

39. O secantă intersectează laturile unui unghi XOY de măsură 120° în A şi B, iar bisectoarea lui în C. Prin C se duce paralela la AO care intersectează pe OY în D.

a) Stabiliţi natura ∆OCD. b) Demonstraţi că 1 1 1OC OB OA

= + .

O.M., jud. Alba, Etapa locală, 2007 40. Fie ABCD un paralelogram şi punctele E, F şi G respectiv, intersecţiile perpendicularei din B pe AC cu dreptele

AC, DC, AD. Să se arate că 2BE EF EG= ⋅ . O.M., jud. Olt, Etapa locală, 2007, Eduard Buzdugan

41. Fie ABCD trapez, AD æ CD şi AC ∩ BD = {O}. Ducem prin O, MN æ AD, unde M ∈ AB, N ∈ CD şi PQ æ BC, unde P ∈ AB, Q ∈ CD. Arătaţi că CN · BM = AP · DQ.

O.M., jud. Argeş, Etapa locală, 2007

20

42. Se dă ∆ABC în care BB' este bisectoarea unghiului ABC, B' ∈ AC. Fie B'D æ AB şi B'E æ BC, cu D ∈ BC şi E ∈ AB.

a) Arătaţi că BDB'E este romb. b) Demonstraţi că: 1 1 1'AB BC B D

+ = .

O.M., jud. Braşov, Etapa locală, 2007, Dorina Mateiaş 43. Fie ABCD paralelogram. Bisectoarea unghiului A intersectează diagonala BD în M, iar bisectoarea unghiului D

intersectează diagonala AC în N. Demonstraţi că MN æ AD. O.M., jud. Tulcea, Etapa locală, 2007

44. Fie ABCD un patrulater convex. Paralela prin D la BC intersectează AC în M, iar paralela prin C la AD

intersectează BD în N. Demonstraţi că AB æ MN. O.M., jud. Harghita, Etapa locală, 2008, Ionescu Doina

45. Se consideră paralelogramul ABCD şi punctele M = mijlocul lui [BC] şi E ∈ [AB] cu AE = 2·EB. Fie AM ∩ BD =

= {N}, DE ∩ AC = {F}, MF ∩ AD = {P}. Demonstraţi că NPDC este trapez. O.M., jud. Prahova, Etapa locală, 2008, prof. Claudiu Militaru

46. În triunghiul ABC, D ∈ (BC). B ∈ (DE), C ∈ (DF) astfel încât BD = 3·BE şi DC = 3·CF, iar punctele M, N sunt

simetricele punctului A faţă de B şi respectiv C. Să se arate că ME, NF şi AD sunt concurente. Concursul interjudeţean de matematică �Mathematica � modus vivendi�, 2008, prof. Irinel Definescu

Teste recapitulative

Testul 1

Partea I (Se vor scrie numai rezultatele)

1. Dacă M ∈ (AB) astfel încât AM = 18 cm şi 23

AMMB

= , atunci AB =

�.. cm. 2. Segmentul AB = 15 cm, se împarte în două segmente proporţionale cu nr. 2 şi 3. Lungimea segmentului mai mic

este de �.. cm. 3. În ∆ABC, M ∈ (AB), N ∈ (AC), MN || BC. Dacă AM = 3 cm, MB = 7 cm, AN = 4 cm, atunci NC = �� cm. 4. În ∆ABC, M ∈ (AB), N ∈ (AC), AM = 4 cm, AB = 8 cm, BC = 6 cm. Dacă MN || BC, atunci MN =�� cm.

5. Dacă ∆ABC ∼ ∆DEF, AB = 8 cm, BC = 6 cm, DE = 6 cm, atunci EF = �. cm. 6. În paralelogramul ABCD, AB = 10 cm şi AC ∩ BD = {O}. Dacă M este mijlocul lui BC, atunci OM =��. cm.

Partea a II-a (Se vor scrie rezolvările complete)

7. În paralelogramul ABCD, avem AB = 32 cm şi BC = 24 cm, M ∈ (AC) astfel încât 31

MCAM

= , MP || AB, P ∈ (BC)

şi MQ || BC, Q ∈ (AB). Calculaţi perimetrul paralelogramului MPBQ. 8. În ∆ABC, MN || BC, M ∈ (AB), N ∈ (AC), BN ∩ CM = {O}, AO ∩ BC = {P}. Demonstraţi că P este mijlocul lui (BC).

9. Fie ∆ABC cu lungimile laturilor de AB = 12 cm, AC = 15 cm şi BC = 24 cm. Se construieşte [BP bisectoarea !ABC, P ∈ (AC) şi PQ || AB, Q ∈ (BC). Calculaţi perimetrul trapezului APQB.

Testul 2 Partea I (Se vor scrie numai rezultatele) (8p) 1. În ∆ABC, E ∈ (AB), F ∈ (AC) şi EF || BC. Dacă AE = 8 cm, AB = 12 cm şi AF = 10 cm atunci AC = ��cm.

(8p) 2. Dacă în ∆ABC, MN || AB, M ∈ (AC), N ∈ (BC), AC = 12 cm, BC = 16 cm şi MC 3AC 4

= atunci NC = .......cm,

AM = ...........cm. (8p) 3. În ∆MNP, EF || NP, E ∈(MN), F ∈(MP), MA mediană, MA ∩ EF = {P}, EF = 12 cm atunci PF = ��..cm. (8p) 4. În trapezul ABCD, AB || CD, AB = 25 cm, CD = 10 cm, AC = 21 cm şi AC ∩ BD = {O}. Segmentul AO are

��cm.

21

(8p) 5. Dacă ABCD este un trapez isoscel, AB || CD, în care AC ⊥ BD şi AB = 12 cm, DC = 8 cm, AD ∩ BC = {M} atunci înălţimea din M a ∆MAB are ��cm.

(8p) 6. În paralelogramul ABCD, M este mijlocul lui (DC), BM ∩ AC = {N} atunci =ACCN

�..

Partea a II-a (Se vor scrie rezolvările complete) (14p) 7. ABCD este un patrulater ortogonal. Demonstraţi că patrulaterul determinat de mijloacele laturilor lui ABCD

este dreptunghi. (14p) 8. În ∆ABC, AD este mediană, E ∈ (DC) şi prin E construim o paralelă la mediană care intersectează pe AC în G

şi pe BA în F. Demonstraţi că BECE

EFGE

= .

(14p) 9. În ∆ABC, (AD este bisectoarea ! BAC, D ∈ (BC), DE || AB, E∈(AC). Calculaţi DE ştiind că AB = 10 cm şi AC = 15 cm.

Probleme pregătitoare pentru olimpiade 1. În ∆ ABC, m(! C) este media aritmetică a măsurilor celorlalte două unghiuri, iar m(!A) este cât m(! B) şi încă jumătate din m(! C). Pe înălţimea AD, D ∈ BC, se consideră punctul E. Demonstraţi că BE ⊥ AC dacă şi numai dacă 2⋅DE = AC.

2. Într-un ∆ABC, m(! B) este media aritmetică a măsurilor unghiurilor !A şi ! C, înălţimea AE (E ∈ BC) şi bisectoarea [BD a unghiului !ABC, D ∈ AC, se intersectează în M. Demonstraţi că 3⋅BM = 2⋅AE.

3. Fie ∆ABC cu AB = AC. Construim AD ⊥ BC, D ∈ BC şi bisectoarea (BE a !ABC, E ∈ (AC). BE ∩ AD = {F}. Dacă m(! BAD) = a°, determinaţi valoarea lui a astfel încât AF = FE. Pentru valoarea găsită demonstraţi că BE = 2⋅AD.

4. Punctele A, B, C sunt coliniare cu B ∈ (AC) şi AC = 3 ⋅ BC. Pe perpendiculara în B pe AC se ia punctul D astfel

încât 3⋅DB = 2⋅AC. Dacă E este mijlocul segmentului BD, iar F ∈ (AE, E ∈ (AF) să se demonstreze: a) AF ⊥ CD; b) ∆FDE ≡ ∆DBC dacă şi numai dacă E este mijlocul segmentului AF.

5. Pe mediatoarea segmentului [AB], pe care-l intersectează în O, se iau punctele C şi D, D ∈ (OC) cu DC = 2⋅DO, iar pe (AD se consideră punctul F, D ∈ (AF) astfel încât 3⋅DF = 2⋅AF. Dacă perpendicularele în A şi F pe AC, respectiv FC se intersectează în M, atunci AF ⊥ MB.

6. În ∆ABC, M ∈ (AB), MN || BC, N ∈ (AC), BN ∩ MC = {O} şi P este mijlocul lui (BC). a) Demonstraţi că A, O, P sunt coliniare; b) Fie d || BC, A ∈ d, BN ∩ d = {D} şi CM ∩ d = {E}. Demonstraţi că BCDE este paralelogram dacă şi numai dacă

31

ABAM

= .

7. Fie punctul A egal depărtat de punctele distincte B şi C. Din C se duce perpendiculara CD pe AB, D ∈ AB. Se prelungeşte CD cu un anumit segment DM, [DM] ≡ [CD]. Să se afle natura triunghiului ∆ABC atunci:

a) Piciorul perpendicularei din M pe BC coincide cu B; b) MA || BC.

8. În triunghiul ascuţitunghic ABC se construieşte BE ⊥ AC (E ∈ AC) şi EF ⊥ BC (F ∈ BC). Fie D ∈ AB astfel încât !ACD şi !ACB să fie complementare.

a) Dacă CD ∩ BE = {I} demonstraţi că EF este mediană în triunghiul CEI; b) Dacă M este mijlocul lui [BC] demonstraţi că CI ⊥ EM.

9. În trapezul ABCD, AB || CD, m(!DAC) = m(!ABD). Demonstraţi că DCAB1

DADB 2

+=

.

10. În exteriorul ∆ABC ascuţitunghic se construiesc pătratele ABMN şi ACPQ. Să se arate că MP || BC dacă şi numai dacă (AB) ≡ (AC).

11. Pe înălţimea AD (D ∈ BC) a triunghiului echilateral ABC se construieşte, de aceeaşi parte cu B, triunghiul dreptunghic isoscel ADE (m(!D) = 90°). Înălţimea din E a triunghiului AEC intersectează pe AD în I, iar bisectoarea unghiului ACE intersectează pe AB, EI, AD respectiv în J, K, L. Demonstraţi că:

a) triunghiul DIJ este isoscel; b) triunghiul IKL este echilateral; c) patrulaterul AEBI este trapez isoscel.

22

12. Simetricul triunghiului dreptunghic ABC (m(!ABC)=90°) în raport cu un punct O din exteriorul triunghiului ABC este ∆MNP. Ştiind că AQ ⊥ MN, AQ =10 cm, AABMN = 80 cm2, PD ⊥ BC, PD = 13 cm şi ABCNP = 156 cm2, să se afle aria triunghiului ABC.

13. În triunghiul scalen ∆ABC, m(! B) = 60°, (BD este bisectoare unghiului !ABC, D ∈ AC. Fie E ∈ BC astfel încât AE ⊥ BD, AE ∩ BD = {M} şi F ∈ (BD astfel încât !AEF ≡ ! CEF. Dacă {S} = EF ∩ AC, demonstraţi că:

a) [BC]

BF 2 ;2h 3

∈

,unde h[BC] este lungimea înălţimii corespunzătoare laturii [BC] a triunghiului ABC;

b) .32

hBFdacă,1

SACS

ADCD,2

hBFdacă,1

SACS

ADCD

]BC[]BC[==+==−

14. În ∆ isoscel ABC ([AB] ≡ [AC]), AB = 27 cm, BC = 18 cm se construieşte bisectoarea [BM a unghiului ABC, M ∈ (AC).

a) Demonstraţi că MB < BCAB ⋅ . b) Dacă MN||AB, N∈(BC), să se calculează lungimea segmentului [MN].

15. Fie mediana (AM) a ∆ABC isoscel, cu m(! BAC) = 120°. Se consideră un punct O, iar pe semidreapta opuse semidreptei (AC un punct P. Fie OP ∩ AB = {M}. Demonstraţi că:

a) AN < AP; b) AO = AP ANAP-AN

⋅ .

16. Într-un trapez dreptunghic una din diagonale împarte trapezul în două triunghiuri, din care unul este echilateral. Să se afle raportul în care această diagonală împarte cealaltă diagonală a trapezului.

17. Fie M un punct al laturii (AC) a triunghiului ABC, D ∈ (BM astfel încât M ∈ (BD) şi BM = 2⋅MD. Dacă N este mijlocul laturii [AB] şi este coliniar cu M şi punctul de intersecţie al dreptelor AD şi BC, demonstraţi că:

a) CD || AB; b) AB = 6⋅MN dacă şi numai dacă AD ⊥ BC; c) ∆ABC este isoscel (AC = BC) dacă şi numai dacă AD ⊥ AB.

18. În triunghiul isoscel ∆ABC (AB = AC), [AD este bisectoarea unghiului ! BAC, D ∈ [BC] şi punctul P ∈ [AD] astfel încât AP = 2⋅PD. Dacă F este simetricul punctului B faţă de P, iar M ∈ (BC, BM = 4⋅BD, să se demonstreze:

a) Punctele A, F, M sunt coliniare; b) 3⋅BF = 2⋅AM; c) AB ⊥ AM ⇔ 3⋅AF = 2⋅AD.

19. Într-un paralelogram ABCD, AC ∩ BD = {O}. Fie M mijlocul lui (AB). Perpendiculara dusă din M pe AB

intersectează diagonalele BD şi AC în P şi Q. Fie OH ⊥ AB, H ∈ AB. Demonstraţi că OH2

MQ1

MP1

=+ .

20. Fie ABCD un paralelogram, Bisectoarea !ADC intersectează dreapta BC în E, iar mediatoarea laturii AD intersectează dreapta DE în M. Fie {F} = AM ∩ BC. Să se arate că:

a) DE = AF; b) AD ⋅ AB = DE ⋅ DM. Olimpiada Naţională - 2005, Daniela şi Marius Lobază - Timişoara

21. Fie ABCD un trapez cu bazele AB şi CD, având diagonalele perpendiculare în O. Pe semidreptele (OA şi (OB se consideră M şi respectiv N astfel încât !ANC şi ! BMD să fie drepte. Notând cu E mijlocul segmentului MN. Să se arate că: a) ∆OMN si ∆OBA sunt asemenea. b) Dreapta OE este perpendiculară pe dreapta AB.

Olimpiada Naţională � 2005 , Claudiu Ştefan Popa

22. Fie ABCD un paralelogram în care raportul dintre AD şi perimetrul său este 1

10. Se consideră punctele E şi

F ∈ (DC) astfel încât [AD] ≡ [DE] şi [BC]≡ [CF]. Dacă AE ∩ BF = {M} demonstraţi că ∆AMB este triunghi dreptunghic. 23. Se consideră ∆ABC în care M este mijlocul segmentului [AB], iar D este piciorul bisectoarei din B. Să se arate că dacă MD ⊥ BD, atunci | AB | 3 | BC |= ⋅ . 24. Fie AB şi CD două drepte concurente, AB ∩ CD = {O}. Fie [OP bisectoarea !AOC, [OT bisectoarea !POB şi

[OR bisectoarea !TOD.

a) dacă m(!POR)=140°, aflaţi m(!AOC) şi m(!AOD);

b) dacă m(!POR)=25°, aflaţi m(!AOC) şi m(!AOD). O.M., Brăila 2006, Stănică Nicolae

23

25. Fie B∈[AC] şi D, E două puncte de o parte şi de alta a dreptei AC, astfel încât triunghiurile ABD şi BCE să fie echilaterale. Dacă perpendiculara din D pe AB taie EC în P, perpendiculara din E pe AB taie AD în F şi P,B,F coliniare, demonstraţi că AD=BC. Axioma nr. 23, 2007, Stănică Nicolae 26. Fie S şi T două puncte în interiorul triunghiul ABC dreptunghic în A, astfel încât AS⊥BS, AT⊥BT. Dacă ST⊥BC, demonstraţi că AS=DT, unde D este piciorul perpendicularei din A pe [BC].

27. Fie paralelogramul ABCD , ( ) 90m BAD ≠ &! . Punctele M şi Q se află pe semidreptele (CB şi respectiv (CD astfel încât DAQ DAC≡! ! , .BAM BAC≡! ! Dacă AQ AM= , arătaţi că .CQ CM=

O.L., Brăila, 2007, Stănică Nicolae

28. În triunghiul ascutitunghic ABC, AB<AC, fie AD⊥BC, D∈(BC). Pe semidreapta (AD alegem punctele P şi Q astfel încât DP=BD, DQ=CD, D∈(AP) şi P∈(DQ). Demonstraţi că CP⊥BQ.

O.J., Brăila, 2007, Stănică Nicolae 29. Găsiţi un punct M pe segmentul (AB), AB = 9 cm, astfel încât aria pătratului de perimetru AM să fie de 4 ori

mai mare decât aria pătratului de perimetru MB. O.M., jud. Vaslui, Etapa locală, 2007

30. Pe latura (AB) a ∆ABC se consideră M astfel încât 27

AMAB

= . Se duc MN æ BC, NP æ AB, PQ æ AC, QR æ BC,

RS æ AB, unde N,R ∈ (AC), P,S ∈ (BC) şi Q ∈ (AB).

a) Să se calculeze: ANNC

; CPPB

; BQAQ

. b) Să se arate că [AM] ≡ [BQ]. c) Să se arate că SM æ AC.

O.M., jud. Vrancea, Etapa locală, 2007, Mirela Pârvu şi Marius Mohorea 31. Laturile a, b, c ale unui triunghi verifică relaţiile a + b − c = 1 şi 2ab − c2 = 4. Să se arate că triunghiul este

echilateral. O.M., Etapa naţională, Piteşti, 2007

32. Se consideră ∆ABC dreptunghic în A cu AC = 2·AB. Fie P şi Q mijloacele laturilor AB, respectiv AC şi

punctele M, N pe latura BC cu CM = BN = x, unde 2x < BC. Să se determine x în funcţie de AB astfel încât 2 · A MNPQ = A ABC. O.M., Etapa naţională, Piteşti, 2007

33. Se consideră ∆ABC dreptunghic în A cu AB < AC. Fie punctul D pe latura AC astfel încât ' 'ACB DBA≡ . Punctul E este proiecţia punctului D pe latura BC. Ştiind că BD + DE = AC, să se afle măsurile unghiurilor triunghiului ABC. O.M., Etapa naţională, Piteşti, 2007

34. În figura alăturată ABCD este un paralelogram. N este mijlocul laturii CD şi

BC ∩ AN = {P} şi BD ∩ AN = {M}. a) Daţi exemplu de două triunghiuri asemenea în figura alăturată. Justificaţi

alegerea făcută.

b) Calculaţi valoarea raportului ADBP

.

c) Arătaţi că 2AM MN MP= ⋅ . Teza cu subiect unic, cls. a VII-a, 2008 35. Fie ABCD un paralelogram. Notăm cu M punctul în care se intersectează bisectoarele unghiurilor A şi D şi cu N

punctul în care se intersectează bisectoarele unghiurilor B şi C. a) Calculaţi măsura unghiului AMD. b) Demonstraţi că MN æ AB.

O.M., jud. Argeş, Etapa locală, 2008 36. Triunghiul ABC cu AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 5 cm. Prelungim latura AB cu segmentul [BD], BD = 6 cm şi

latura [AC] cu segmentul [CE], CE = 3 cm. a) Calculaţi lungimea segmentului [DE]. b) Dacă {M} = BC ∩ DE, calculaţi perimetrul triunghiului MCE.

O.M., jud. Argeş, Etapa locală, 2008 37. Fie ABCD un patrulater convex, dar nu paralelogram, M, N, P, Q mijloacele laturilor AB, BC, CD şi respectiv DA.

Notăm cu {E} = DM ∩ BQ şi cu {F} = DN ∩ BP. a) Să se arate că MNPQ este paralelogram, iar MEFN şi QEFP sunt trapeze. b) Demonstraţi că dacă MEFN şi QEFP sunt ambele trapeze isoscele, atunci DB este bisectoare pentru unghiurile

ADC şi ABC. O.M., jud. Prahova, Etapa locală, 2008, Gabriela Leu

D N

P

C

B A

M