Transformatoare trifazate cu conversie radiala (infasurari cilindrice concentrice) Partea II Sinteza(Proiectarea) 1 Breviar 1.1 Solutia constructiva -miez magnetic trifazat,nesimetric (3 coloane-c,2juguri-j),dispuse in acelasi plan -infasurari cilindrice,dispuse concentric (fig.1) JT JT JT JT JT JT IT IT IT IT IT IT a1 a1 a2 a2 Lj H F Hb D1 2 D a12 a22 ho2 Fig.1 In cazul infasurarilor concentrice,(fig.1),infasurarea de joasa tensiune(JT,avand w 1 spire,parcurse de curentul de faza I f1 )este dispusa interior,langa miez,iar infasurarea de inalta tensiune(IT),cu w 2 spire,parcurse de curentul de faza I f2, la exterior. Principalele dimensiuni indicate in fig 1 sunt urmatoarele: -diametrul mediu (D 1,2 ) si inaltimea medie a celor doua infasurari(H b ) -grosimile radiale ale infasurarilor:a 1 (J.T.,in interior,langa miez) si a 2 (I.T,in exterior) -distantele de izolatie radiale: a01 (miez –JT),a12 (JT-IT), a22 (IT-IT) si axiale:h10 (JT-miez),h20 (miez-IT) -dimensiunile ferestrei: H (inaltimea),F (largimea) -dimensiunile coloanei: D -diametrul circumscris treptelor, -dimensiunile jugului: L j -lungimea jugului 1.2 Vectorul Poynting si dimensiunile principale ale transformatoarelor Transformatorul electric este un convertor electromagnetic static,in care se realizeaza o conversie de tip electric-electric(E-E). Puterea electromagnetica este preluata de la sursa de catre infasurarea primara si transmisa infasurarii secundare, prin spatiul (cilindric)dintre cele doua infasurari- sediul campului magnetic de scapari, cu suprafata A P-aria Poynting,(m 2 )- cu densitatea de suprafata a puterii electromagnetice σ HESs p × = (VA/m 2 ) –vectorul Poynting,orientat radial (fig.2). (1) Dimensiunile principale ale transformatorului cu conversie radiala sunt dimensiunile cilindrului de transfer: diametrul 1 2 D si inaltimea b H,respectiv diametrul si inaltimea medie a infasurarilor, iarB HD / 12 π β = -o marime adimensionala, factorul de geometrie (arhitectura) a transformatorului.
Transformatoare trifazate cu conversie radiala(infasurari cilindrice concentrice)
Partea II Sinteza(Proiectarea)1 Breviar
1.1 Solutia constructiva-miez magnetic trifazat,nesimetric (3 coloane-c,2juguri-j),dispuse in acelasi plan-infasurari cilindrice,dispuse concentric (fig.1)
JT JT JT JT JT JTIT IT IT IT IT IT
a1 a1a2 a2
Lj
H
F
Hb
D12
D
a12 a22 ho2
Fig.1
In cazul infasurarilor concentrice,(fig.1),infasurarea de joasa tensiune(JT,avand w1 spire,parcurse decurentul de faza If1)este dispusa interior,langa miez,iar infasurarea de inalta tensiune(IT),cu w2
spire,parcurse de curentul de faza If2, la exterior.
Principalele dimensiuni indicate in fig 1 sunt urmatoarele:-diametrul mediu (D1,2) si inaltimea medie a celor doua infasurari(H b)-grosimile radiale ale infasurarilor:a1 (J.T.,in interior,langa miez) si a2 (I.T,in exterior)-distantele de izolatie radiale: a01 (miez –JT),a12 (JT-IT), a22 (IT-IT) si axiale:h10 (JT-miez),h20 (miez-IT)-dimensiunile ferestrei: H (inaltimea),F (largimea)-dimensiunile coloanei: D -diametrul circumscris treptelor,-dimensiunile jugului: L j-lungimea jugului
1.2 Vectorul Poynting si dimensiunile principale ale transformatoarelor
Transformatorul electric este un convertor electromagnetic static,in care se realizeaza o conversie de tip
electric-electric(E-E). Puterea electromagnetica este preluata de la sursa de catre infasurarea primara sitransmisa infasurarii secundare, prin spatiul (cilindric)dintre cele doua infasurari- sediul campuluimagnetic de scapari, cu suprafata A P -aria Poynting,(m2)- cu densitatea de suprafata a puterii
electromagnetice σ H E S s p ×= (VA/m2) –vectorul Poynting,orientat radial (fig.2). (1)
Dimensiunile principale ale transformatorului cu conversie radiala sunt dimensiunile cilindrului detransfer: diametrul 12 D si inaltimea b H ,respectiv diametrul si inaltimea medie a infasurarilor, iar
B H D /
12π β = -o marime adimensionala, factorul de geometrie (arhitectura) a transformatorului.
În relaţia (1), Es (V/m) reprezintă intensitatea câmpului electric indus prin transformare (un vector orientat in lungul spirei in sensul curentului la infasurarea generatoare si in sens invers la infasurarea
receptoare), Hσ (A/m) intensitatea câmpului magnetic de scăpări (un vector axial pentru configuratiadin fig.2.a, cu distributia trapezoidala din fig.2b), iar B P H D A ⋅=12
π (m2) -aria laterală a cilindrului descăpări pe care o vom defini ca suprafata,de transfer, Poynting.Vectorul Poynting P
S rezulta astfel radial, fiind indreptat spre infasurarea secundara, regim degenerator a transformatorului,transformatoarele cu infasurari concentrice putand fi denumite catransformatoare cu conversie de tip radial.
În regim sinusoidal , se defineşte puterea electromagnetică aparentă SΣca semiprodusul valorilor devârf s E ˆ şi σ
H ˆ respectiv ca produsul valorilor efective ale acestora (extinzând formal aceasta noţiuneşi în ceea ce priveşte câmpul magnetic ), astfel încât se poate scrie urmatoarea relatie putere-dimensiuni:
P P BS e AS H D H E S S ⋅=⋅⋅⋅=≅Σ 12π
σ (VA) (2)
Intensitatea câmpului electric indus Es(V/m)), se obţine aplicând legea inducţiei electromagnetice uneispire (medii) de diametru D12, traversată de câmpul magnetic principal, respectiv din tensiunea de spira
12/ DU E SpS
π ≅ (V/m), unde 2/ Fe Fe sp B AU ⋅⋅=ω (V/sp) (3)unde BFe reprezintă valoarea, de vârf, a inducţiei magnetice în miezul magnetic (coloana), iar AFe ariasectiunii de fier corespunzatoare.Intesitatea câmpului magnetic de scăpări 2ˆ
σ σ H H = (sau S H -fig.2b)se determină din legea
circuitului magnetic
1221
11 Ai A A H
I w H
B
′=≈=⋅
≅σ (A/m), unde 21 A A
≈
, reprezintă pânza de curent (cu 12 ii≈′
).Înlocuind aceste rezultate în relaţia (2) se obţine:
C s p B
B
s p
BS e S I U I U w H D H
I w
D
U H D H E S ≈⋅=⋅⋅=⋅⋅
⋅
⋅=⋅⋅⋅=⋅ 11111 2
11
1 2
1 2π
π
π σ
(VA) (4)
respectiv puterea aparentă (pe o coloană),transferata intre cele doua infasurari ale transformatorului.
Impedanta Poynting P Z se defineste ca raportul dintre S E si σ H obtinandu-se expresia :
2
1
1
w
Z
H
E Z nS
P ⋅
==
β σ
(Ω) unde f n
f n
n I
U Z
,1
,1
1 = (Ω) si B H
D12π β = (5)
1.3 Relaţia pierderilor Joule (PJ ) si a fluxului termic (Qt )
Daca se considera infasurarea (concentrica) ca o panza de curent de grosime ( ,in m), inaltime HB sidiametru mediu D12, si desitatea (medie,pentru cele doua infasurari) de curent J ,sunt valabile relatiile; )/()/()()/(
2 m A Am A H mm A J ==∆⋅σ
, (6)
unde B H I w A /⋅= , in A/m, este densitatea lineara de curent a panzei de curent .
Pierderile Joule din infasurare,respectiv din panza de curent,se pot scrie astfel sub forma :)()( 2
1212
22 A J m A H D A J H D J V J P P B BCu J ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∆⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= ρ π ρ π ρ ρ (W) (7)
Fluxul termic unitar , pe suprafata de transfer(Poynting) a puterii electromagnetice(AP ),in acelasi timpsi suprafata de referinta pentru transmisia caldurii prin convectie, se poate astfel determina cuurmatoarea relatie:
A J H D P Q B J t ⋅⋅=⋅= ρ π )/(12 (W/m2) (8)
respectiv, fluxul termic unitar este proportional cu sarcina termica a transformatorului ( A J ⋅ ).
Din expresia de mai sus, se poate obtine relatia de calcul a pierderilor Joule(nominale) , in u.r. :
r E
E
E
J
H E
A J
S
Q
H DS
H DQ
S
P p
S
J
S S P
t
B P
Bt
e
J J ==
⋅=
⋅
⋅⋅==
⋅⋅
⋅⋅==
ρ ρ
π
π
σ 12
12 (u.r) (9)
astfel încât pierderile Joule nominale, exprimate în u.r.,respectiv rezistenta infasuraii,in u.r.,suntnumeric egale cu raportul dintre intensităţile câmpului electrocinetic (EJ) respectiv indus (Es).Relatia (9) este fundamentala, stabilind cea mai simpla si concisa exprimare in u.r. a pierderilor Joulenominale–respectiv a rezistentei infasurarii (in unitati relative r =pJ ), ca raportul dintre intensitateacampului electric de conductie ( J E J ⋅= ρ ) si intensitatea campului electric indus( S E ).Pe de alta parte, avand in vedere relatia pierderilor de scurtcircuit ( J J J kn p p p p 221 ≅+= ) relatia (9) semai poate scrie sub forma :
kn
t
J
t
S S P p
Q
p
Q A E H E S
21
≅=== σ (VA/m2) (10)
respectiv, vectorul Poynting este numeric egal cu raportul dintre fluxul termic unitar (Q t, W/m2) şi pierderile Joule (pJ1, u.r.) din înfăşurare, stabilindu-se astfel o relaţie directă între solicitarea termică atransformatorului (proporţională cu fluxul termic unitar Qt), pierderile de scurtcircuit (pkn) şi vectorul
Poynting (S p).
1.4 Relaţia tensiunii de scurtcircuit (uk )
Tensiunea de scurtcircuit nominala (in u.r.),se determina in functie de componentele activa si reactiva:2
,
2
,, r k ak nk uuu += (u.r.),unde componenta activa nk k ak pr r r u ,
Componenta reactiva a tensiunii (nominala) de scurtcircuit ( r k u
, )este, (in u.r.),numeric egala cu
reactanta de scurtcircuit,respectiv cu reactanta totala de scapari: ,
2,1,,1, σ σ σ x x x xuk r k
+=== (u.r),unde:
nk k Z L x ,1,1,1 /⋅=ω (u.r.), cu σ σ σ Λ⋅=+=
2
1
,
,2,1,1 w L L L k (12)Permeanta totala a canalului de scapari se calculeaza cu relatia generala Bo H A /
σ σ µ ⋅≅Λ (H),
unde σ Α (m2)-aria echivalenta strabatuta de campul magnetic de scapari, este o suprafata inelara cu
diametrul mediu 2,1 D si grosimea echivalenta 3/)( 212,1 aaaa ++=σ (fig.2), σ σ π a D A ⋅= 12 ,
respectiv:
S
o
P
o
n
o
B
o
n
r k E
H a
Z
a
Z
aw
H
Da
Z
w xu σ
σ σ σ σ
σ µ ω µ ω β µ ω π µ ω
⋅⋅⋅=
⋅⋅
=
⋅⋅⋅⋅
=
⋅⋅
⋅
⋅
==
,1
2
112
,1
2
1, (u.r.) (13)
1.5. Relaţia factorului (mediu) de umplere a înfăşurărilor (k u )
Se definesc factorii de umplere(subunitari) ai celor doua infasurari(joasa tensiune,inalta tensiune) 1,uk
si 2,uk ca raportul dintre aria neta de material conductor(cupru sau aluminiu),ocupata,in sectiune, deconductoarele celor doua infasurari( 11 wS w ⋅ ,si 22 wS w ⋅ ),si suprafata de gabarit a acestora, B H a ×1 ,si
B H a ×2 (fig.1),respectiv:
B
W
u
B
W
u H a
S wk si
H a
S wk
2
22
2
1
11
1 == (<1,si 2,uk < 1,uk ,avand in vedere ponderea izolatiei in inf.I.T ) (14)
In functie de factorii de umplere individuali, 1,uk si 2,uk se defineste factorul mediu de umplere al
celor doua infasurari:
B
W W u
H aa
S wS wk
)( 21
2211
+
+= =
)(
2
)(
2
)(
22
211211
11
21
1,1
21
21
aa J
H
H aa J
I w
H aa
S w
k k
k k
B B
w
uu
uu
+⋅
⋅≅
⋅+⋅
⋅⋅=
⋅+
⋅≅
+
σ
unde s-a avut in vedere ca,pentru o aceeasi densitate de curent, J J J =≅ 21 ,avem 11 wS w ⋅ ≅ 22 wS w ⋅
Din relatia de definitie (14) se poate explicita suma ( 21aa + ):
J k
H aa
u ⋅
⋅=+
σ 221 =
σ µ ω
ρ ρ
a pk
u
Z pk knu
kr
P knu ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
=
⋅⋅
⋅
0
44(m) , cu
3
2112
aaaa
++=σ (15)
unde s-a inlocuit ρ ⋅
⋅=
2
S kn E p J (conform relatiei 9), si
σ µ ω a
u Z kr
P ⋅⋅
=
0
.(Ω),
Din ecuatia (15) rezulta valoarea largimii echivalente a canalului de scapari( σ a )
22
1212(
2
1 Raaa ++⋅=
σ (m), undeukn
r k
k p
u R
⋅⋅⋅
⋅⋅=
ω µ
ρ
0
,2
3
16(m2) (16)
Rezulta astfel expresii de calcul a dimensiunilor radiale ale infasurarilor:
21
2
211)(
uu
u
k k
k aaa
+⋅+= , respectiv
21
1
212 )(uu
u
k k
k aaa
+⋅+= (m) ,unde )(3 1221 aaaa −=+ σ (17)
relatii analitice importante pentru grosimea infasurarilor (in mod uzual estimate cu o relatieempirica),evaluata astfel in concordanta cu principalele date de proiectare ale
transformatorului:materialul infasurarilor si temperatura de functionare( ρ ),frecventa( f ),parametride scurtcircuit( nk
p, , nk u
, ),si factorul mediu de umplere a infasurarilor( 1,uk , 2,uk ).
1.6 Relatia tensiunii de spira
Pornind de la expresia de calcul a componentei reactive a tensiunii de scurtcircuit,(13),
n
k kr Z
aw xu
1
2
10 β ω µ σ ⋅⋅⋅== ,unde c f n f n f nn S U I U Z // 2
,1,1,1,1 == , si sp f n U wU ⋅≅ 1,1 (18)
se obtine o relatie alternativa pentru tensiunea de spira,in functie de puterea pe coloana (S c) si factorulde geometrie :
r k oc sp uaS U ,. /)( β µ ω σ ⋅⋅⋅⋅= (V) , unde Bm H D /π β = (19)
respectiv sectiunea de fier a miezului(coloanei):2,
22
Fer k
oc
Fe
sp
Fe
Bu
aS
B
U A
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅=
⋅
⋅=
ω
β µ
ω
σ (m2) (20)
2. Algoritmi de dimensionare2.1 Algoritmul tensiunii de spiraRelatia de baza este relatia tensiunii de spira (19),care permite generarea analitica a secventelor decalcul pentru dimensiuni geometrice,solicitari electromagnetice,consumuri de materiale,etc.,in functiede factorul de geometrie ,si principalele date de proiectare(putere,frecventa,parametri de scc.,etc).Astfel, pentru factorul de geometrie variabil ( 5.....5.0∈β ),se calculeaza urmatoarele secvente:
a) Tensiunea de spira )/)( ,. r k oc sp uaS U β µ ω σ ⋅⋅⋅⋅= , unde ),,,,(,,
ω ρ σ ur k nk
k u p f a = , (21)
b) Sectiunea de fier (utila) a miezului magnetic: )/(2 Fe FeBUsp A ⋅⋅= ω ,(se adopta . Fe B )
(22)Observatie. Valoarea inductiei magnetice in miez,BFe, se poate evalua in functie de performantele
dorite la mersul in gol, respectiv po,n si io,n (in u.r.),avand in vedere urmatoarele relatii:)()/(.).( Fe Fe Feo B pVAkg cr u p
∗
⋅≅ si )()/(.).( Fe Fe Feo BqVAkg cr uq∗
⋅≅ ,respectiv ∗∗≅ Fe Feoo q pq p //
(23)unde ∗
Fe p (w/kg) si ∗
Feq (Var/kg) sunt pierderile specifice de putere activa,respectiv reactiva;Avand in vedere expresia curentului de mers in gol:
2
,
2
.0).( r oao iir ui += , unde oao pi =, (u.r.) si or o qi =, (u.r.)
(24)valoarea corespunzatoare a inductiei magnetice(BFe) poate rezulta din urmatoarea egalitate:
)()()()()( ,
22
, Fe P Fe Feno Fe Fe Fe Feno FeQ B f B pi Bq B p p B f =⋅=+⋅=∗∗∗
(25)
c) Diametrul coloanei(circulara): )/()4( ,cu Fe k A D ⋅⋅= π , unde g Feiz cu k k k ⋅= ,, ,(26)
- k iz,Fe ,factorul de izolatie a tolelor (0.9....0.95)
sp s π = (V/m), s P E S A H /==σ ,A/m- densitatea (medie) de curent in cele doua infasurari : )2/(
,ρ ⋅⋅= snk
E p J ,(A/mm2), (28)- fluxul termic pe suprafata de transfer(Poynting): A J Q pt ⋅⋅= ρ , ,
f) Dimensiunile ferestrei(FxH):-largimea ferestrei: 222,11, )(2 aaaa F
o+++= (m) ,unde 21 aaa += (29)
-inaltimea ferestrei: 2,2ob h H H += (m),
g) Consumuri de materiale active(cupru,fier)-consumul de cupru(aluminiu) in infasurari: 2
,/ J P d V d M nk CuCuCuCu ⋅⋅=⋅= ρ (kg)
-consumul specific de cupru: )/(/2 J d pS M c CuknnCuCu ⋅⋅== ρ (kg/VA) (30)
-consumul de fier -in cele 3 coloane: Fe Fec Fe
d H AM ⋅⋅=3, (kg),-in cele doua juguri: Fe Fe j Fe
d F D AM ⋅+⋅= )23(2, (kg),unde s-a considerat Fec Fe j Fe A A A == ,,
-consumul specific de fier: n j Fec Fe Fe S M M c /)( ,, += (kg/VA)
h) Costul specific al materialelor active
-costul specific al infasurarilor CuCuCu ck λ ⋅= , (u.m./VA) , (31)-costul specific al miezului magnetic Fe Fe Fe ck λ ⋅= , (u.m./VA),
unde Cuλ si Feλ (u.m./kg), reprezinta costul specific al materialului conductor(cupru saualuminiu),respectiv al miezului magnetic(tole)
i) Parametri de mers in gol (po ,io)- pierderile de putere activa, in miez: )( Fe Fe Fe Fe B pc p ∗
⋅= = aoo i p ,= (u.r.) (32)
- pierderile de putere reactiva, in miez: )( Fe Fe Fe Fe Bqcq ∗
⋅= r oi
,= (u.r.)
- curentul de mers in gol: 2,
2, r oaoo iii += (u.r.)
j) Criterii de optimizare
-criteriul parametrilor de mers in gol: nonoo po p p pd ., /)( −= < poε , nonoooi iiid ,.,, /)( −= < poε (33)
-criterii economice: FeCum ccc += ≅ min; FeCum k k k += ≅ min;2.2 Algoritmul PoyntingUn algoritm de dimensionare alternativ se poate construi avand in vedere relatia(10), dintre vectorulPoynting(SP), fluxul termic (Qt) pe suprafata de transfer(AP) a puterii electromagnetice-proportional cu sarcina termica A*J, si pierderile Joule nominale din infasurare( 2/,,2,1 nk n jn j
Astfel,daca se impun solicitarea termica Qt(W/m2), si pierderile de scurtcircuit pk,n (u.r.),algoritmul Poynting corespunde urmatoarelor secvente specifice,in functie de factorul de geometrie :a) vectorul Poynting si elementele sale(independente de !): nk t P
pQS ,/2= (VA/m2), P P s Z S E ⋅= (V/m), s P E S A H /==σ (A/m), r k o P ua Z ,/
σ ωµ = (Ω) (32)
b) dimensiunile principale: P c P S S A /= (m2), β / P b A H = (m), π β /2,1 b H D ⋅= (m) si dD D D −= 12 (m) (33)
c) solicitarile electrice si magnetice,in infasurari si miez: ρ 2/
, snk E p J ⋅= (A/m2), )/( 2
,12 Dk D E B f c s Fe ⋅⋅= (T),unde 24/,, cu f c k k ⋅=ω (34)In continuare se determina dimensiunile ferestrei,consumul de materiale active, parametri de mers ingol,conform secventelor f,g,h,i din algoritmul precedent.Observatie: Utilizarea algoritmului Poynting conduce la solicitari electrice(J) constante,independentede factorul de geometrie ( ),respectiv consum de cupru constant(rel.28),astfel incat criteriile deoptimizare privesc exclusiv miezul magnetic(consumul de fier,pierderile in fier),unde inductiamagnetica este variabila(rel.34).
2.3 Date de proiectare orientative
a) distante de izolatie,in functie de tensiunea nominala a infasurarii (IT)
