”If it is just us, seems like an awful waste of space.”

Carl Sagan

7Transformata Z

Semnalul ”Wow!”

E 15 august 1977, Universitatea de Stat Ohio, SUA. Radiotelescopul BigEar capteaza semnalul din imagine venind dinspre constelatia Sagetatorului.De fapt, imaginea contine o descifrare a intensitatii semnalului iar scrisul iiapartine astronomului Jerry R. Ehman. In sistemul alfanumeric utilizat, pentruintensitati mici se folosesc cifre de la 0 la 9, apoi litere in ordine alfabetica.Litera U inseamna, asadar, un semnal foarte puternic iar J. Ehman declara laun moment dat: ”Nu mai vazusem un semnal atat de puternic inainte” era de30 de ori mai zgomotos decat noise-ul obisnuit al spatiului.

1

Acest semnal a devenit popular deoarece avea semne distinctive, preconizatea fi din afara sistemului solar. Localizarea aproximativa a originii pare sa indicesteaua 𝜒1-Sagittarii din sistemul solar triplu 𝜒-Sagittarii

Pe de alta parte, semnalul a venit pe frecventa de 1420.456 MHz, frecventala care atomii de hidrogen emit si absorb fotonii, era exact aceea pe care

”cau-

tatorii de extraterestrii” fusesera instruiti sa o urmareasca cu atentie. Cu cativaani in urma doi fizicieni Philip Morrison si Giuseppe Cocconi au incercat saargumenteze, intr-un articol, ca orice civilizatie extraterestra care ar incerca sacomunice cu noi ar face-o folosind o frecventa de 1420 MHz, care este emisa inmod natural de hidrogen, cel mai comun element din Univers si prin urmarefamiliar civilizatiilor avansate tehnologic.

S-a speculat mult pe tema originii posibil terestre a acestui semnal. Princi-palul argument impotriva acestei teze este faptul ca semnalul a fost detectat peun spectru protejat: o lungime de banda rezervata scopurilor pur astronomiceunde transmitatorii terestrii nu au voie sa transmita.

Chiar daca sursa semnalului pare a fi extraterestra, nu sunt inca suficientedovezi care sa indice ca ar fi fost artificial (produs de catre o civilizatie). Celemai multe dovezi par sa indice o sursa extraterestra, dar naturala.

Radiotelescopul utilizat este fix s, i foloses,te rotatia Pamantului pentru studiereacerului, de aceea poate observa un punct oarecare doar 72 de secunde. Din celedoua detectoare de semnale radio ale radiotelescopului Big Ear, doar unul areusit sa capteze semnalul din noaptea de 15 august 1977. Oamenii de stiintas-au intors cu regularitate catre enigmatica destinatie din constelatia Sageta-torului. Cerul a ramas, insa, tacut.

Un semnal cu caracteristici foarte asemanatoare s-a repetat apoi intr-o altazona de pe bolta cereasca. In anul 2003, cercetatori din programul SETI auanuntat existenta unui al doilea semnal. Botezat SHGb02+14a, el a fost inre-gistrat de trei ori in aceeasi luna. Frecventa? Aceeasi, 1420.456 MHz. Semnalula venit, din nou, dintr-o zona lipsita total de stele, din vecinatea constelatiilorPisces (pesti) si Aries (berbecului). Ceea ce este si mai interesant, este ca acesta,desi foarte slab, are o oscilatie rapida a frecventei. Din aceasta cauza au fostinaintate doua ipoteze. Daca oscilatia este data de efectul Dopppler atuncisemnalul pare a proveni de pe o planeta cu o viteza de rotatie de 40 de ori maimare decat a Pamantului. A doua ipoteza, pare sa explice mai bine oscilatiarapida a frecventei, sustine ca acesta provine de la un pulsar. Asemanarile cufaimosul Wow sunt, insa, mult prea mari.

In tot acest timp cei din programul SETI continua sa cerceteze semnalelevenite din cosmos, pornind de la presupunerea ca daca viata extraterestra arexista, cei care locuiesc in sisteme solare aflate in apropierea sistemului nostrusolar ar fi cei mai motivati sa trimita semnale radio catre Terra. Daca vorbimde civilizatii avansate, cu siguranta ca ele au realizat deja ca Pamantul se aflain zona propice vietii si ca are apa lichida. Pe de alta parte, pentru planeteaflate la o distanta mai mica de 50 de ani lumina, cu ajutorul unui telescopspatial in infrarosu vom putea sa detectam noi daca exista vapori de apa inatmosfera planetei. Din aceasta cauza urmatorul mare proiect al NASA si ESAil reprezinta instalarea telescopului James Webb pe orbita. Deocamdata planulde lansare pare sa indice anul 2021...

2

Semnale discrete

In lumea reala un semnal este vazut continuu/analogic in timp. Dar aparitiacomputerelor a dus la posibilitatea de a procesa semnalele continue sub formaunora discrete. Matematic vorbind asta inseamna trecerea de la functia 𝑥(𝑡) lasirul 𝑥𝑛. Aceasta trecere se face in general printr-un proces numit esantionare.Vom discuta putin despre esantionarea uniforma a unui semnal, inainte de atrece la prezentarea variantei discrete (transformata Z) a transformatei Laplacedin cazul semnalelor continue.

Daca 𝑥(𝑡) este un semnal continuu care urmeaza sa fie esantionat, iar aceastaes,antionare este efectuata prin masurarea valorii semnalului continuu la fiecare 𝑇secunde, ceea ce se numes,te interval de es,antionare, atunci semnalul esantionat𝑥[𝑛] este dat prin:

𝑥[𝑛] = 𝑥(𝑛𝑇 ), unde 𝑛 = 0, 1, 2, 3, ...

Rata de esantionare 𝑓𝑠 ( sampling rate) este definita ca fiind numarul deesantioane obtinute intr-o secunda 𝑓𝑠 = 1

𝑇 (un fel de frecventa discreta) iarfrecventa angulara discreta 𝜔𝑠 este definita prin legatura cu frecventa angularacontinua 𝜔0 = 𝜔𝑠𝑇 . Mai jos aveti esantionari uniforme ale semnalelor continue𝑥(𝑡) = 𝑒−

𝑡4𝑢(𝑡), 𝑦(𝑡) = 𝑒−

𝑡4 cos

(2𝜋10 𝑡)𝑢(𝑡) si 𝑧(𝑡) = cos

(2𝜋10 𝑡)𝑢(𝑡) pentru 𝑇 = 1.

Cand rata de esantionare nu satisface anumite conditii se poate intampla saapara efectul de dedublare si anume semnale diferite sa aiba esantionari identice.Pe pagina urmatoare aveti un exemplu in care un semnal continuu reprezentatcu albastru si unul reprezentat cu rosu coincid pentru o anumita esantionare.

3

Transformata Z

Transformata 𝑍 unilaterala are forma

𝑍[𝑥𝑛](𝑧) =

∞∑𝑛=0

𝑥𝑛 · 𝑧−𝑛

si este folosita pentru prelucrarea semnalelor discrete.Principalele proprietati ale transformatei 𝑍 sunt afisate mai jos:

∙ transformata 𝑍 impreuna cu inversa sa sunt transformari liniare

𝑍[𝑎 · 𝑥𝑛 + 𝑏 · 𝑦𝑛](𝑧) = 𝑎 · 𝑍[𝑥𝑛](𝑧) + 𝑏 · 𝑍[𝑦𝑛](𝑧)

𝑍−1[𝑎 ·𝑋(𝑧) + 𝑏 · 𝑌 (𝑧)](𝑛) = 𝑎 · 𝑍−1[𝑋(𝑧)](𝑛) + 𝑏 · 𝑍−1[𝑌 (𝑧)](𝑛)

∙ translatia la dreapta:

𝑍[𝑥𝑛−𝑘](𝑧) =1

𝑧𝑘𝑍[𝑥𝑛](𝑧)

∙ translatia la stanga:

𝑍[𝑥𝑛+𝑘](𝑧) = 𝑧𝑘

(𝑍[𝑥𝑛](𝑧) −

𝑘−1∑𝑖=0

𝑥𝑖1

𝑧𝑖

)= 𝑧𝑘𝑍[𝑥𝑛](𝑧) − 𝑥0𝑧

𝑘 − 𝑥1𝑧𝑘−1 − . . .− 𝑥𝑘−1𝑧

∙ teorema amortizarii:

𝑍[𝑒−𝑎𝑛 · 𝑥𝑛](𝑧) = 𝑍[𝑥𝑛](𝑎𝑧)

∙ teorema schimbarii de scara:

𝑍[𝑎𝑛𝑥𝑛](𝑧) = 𝑍[𝑥𝑛](𝑧𝑎

)∙ derivarea imaginii:

𝑍[𝑛𝑥𝑛](𝑧) = −𝑧 · 𝑍[𝑥𝑛]′(𝑧)

∙ teorema valorii initiale:

𝑥0 = lim𝑧→∞

𝑍[𝑥𝑛](𝑧)

4

∙ teorema valorii finale:

lim𝑛→∞

𝑥𝑛 = lim𝑧→1

(𝑧 − 1)𝑍[𝑥𝑛](𝑧)

∙ teorema de convolutie:

𝑍

[𝑛∑

𝑘=0

𝑥𝑘𝑦𝑛−𝑘

](𝑧) = 𝑍[𝑥𝑛](𝑧) · 𝑍[𝑦𝑛](𝑧)

∙ formula de inversare:

𝑥𝑛 =∑

toti polii lui 𝑋(𝑧)

Rez(𝑋(𝑧)𝑧𝑛−1

)unde 𝑋(𝑧) = 𝑍[𝑥𝑛](𝑧).

Tabelul transformatelor Z uzuale seamana cu cel al transformatei Laplacepentru semnale continue

Semnal 𝑥[𝑛] Transformata Z

𝛿[𝑛] 1

𝛿[𝑛− 𝑛0] 𝑧−𝑛0

𝑢[𝑛] 𝑧𝑧−1

𝑛 · 𝑢[𝑛] 𝑧(𝑧−1)2

𝑎𝑛 · 𝑢[𝑛] 𝑧𝑧−𝑎

𝑛𝑎𝑛 · 𝑢[𝑛] 𝑎𝑧(𝑧−𝑎)2

sin(𝑎𝑛) · 𝑢[𝑛] 𝑧 sin 𝑎𝑧2−2𝑧 cos 𝑎+1

cos(𝑎𝑛) · 𝑢[𝑛] 𝑧(𝑧−cos 𝑎)𝑧2−2𝑧 cos 𝑎+1

sinh(𝑎𝑛) · 𝑢[𝑛] 𝑧 sinh 𝑎𝑧2−2𝑧 cosh 𝑎+1

cosh(𝑎𝑛) · 𝑢[𝑛] 𝑧(𝑧−cosh 𝑎)𝑧2−2𝑧 cosh 𝑎+1

∙ uneori semnalul treapta 𝑢[𝑛] este omis in astfel de tabele, puteti faceabstractie de el, rolul lui este sa anuleze partea din semnal pentru care 𝑛 < 0caci seria transformatei 𝑍 incepe de la 𝑛 = 0.

Transformata Fourier discreta

∙ semnalele digitale vor avea o lungime finita, pentru prelucrarea acestoravem nevoie de transformari adaptate situatiei

∙ pentru un sir cu suportul {0, 1, 2, . . . 𝑁 −1}, adica un sir de lungime 𝑁 (sepresupune ca 𝑥𝑘 = 0, pentru 𝑘 in afara multimii {0, 1, . . . , 𝑁−1}), transformataFourier discreta are forma

5

𝑋𝑛 = 𝐹𝑑[𝑥𝑘](𝑛) =

𝑁−1∑𝑘=0

𝑥𝑘 · 𝑒−𝑖 2𝜋𝑁 𝑛·𝑘

iar transformata Fourier discreta inversa este

𝑥𝑘 = 𝐹−1𝑑 [𝑋𝑛](𝑘) =

1

𝑁

𝑁−1∑𝑛=0

𝑋𝑛 · 𝑒𝑖 2𝜋𝑁 𝑘·𝑛

si permite refacerea semnalului 𝑥𝑘 din esantioanele spectrului.∙ trucul general consta in notarea expresiei 𝑒−

2𝜋𝑁 cu 𝑤 si atunci transformata

Fourier discreta, fiind o transformare liniara, poate fi calculata prin intermediulmatricei asociate, care de fapt e si numita matrice Fourier

𝑋 = 𝐷𝑥

unde

𝐷 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 1 1 . . . 1

1 𝑤 𝑤2 . . . 𝑤𝑁−1

1 𝑤2 𝑤4 . . . 𝑤2(𝑁−1)

......

.... . .

...

1 𝑤𝑁−1 𝑤2(𝑁−1) . . . 𝑤(𝑁−1)(𝑁−1)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠iar transformata inversa prin 𝑥 = 𝐷−1𝑋 pentru

𝐷−1 =1

𝑁

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 1 1 . . . 1

1 𝑤−1 𝑤−2 . . . 𝑤−(𝑁−1)

1 𝑤−2 𝑤−4 . . . 𝑤−2(𝑁−1)

......

.... . .

...

1 𝑤−(𝑁−1) 𝑤−2(𝑁−1) . . . 𝑤−(𝑁−1)(𝑁−1)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Pentru semnalele discrete periodice, de perioada 𝑁 , adica 𝑥𝑘+𝑁 = 𝑥𝑘

pentru orice 𝑘 ∈ {0, 1, . . . , 𝑁 − 1}, avem disponibila varianta discreta aseriilor Fourier

𝑋𝑛 = 𝐹𝑑[𝑥𝑘](𝑛) =1

𝑁

𝑁−1∑𝑘=0

𝑥𝑘 · 𝑒−𝑖 2𝜋𝑁 𝑛·𝑘

iar frecventele complexe obtinute (coeficientii seriei in acest context) vorfi tot periodice de aceeasi perioada 𝑋𝑛+𝑁 = 𝑋𝑛, pentru 𝑛 = 0, 𝑁 − 1.Exista o diferenta intre seria Fourier discreta si transformata Fourier dis-creta, in special datorata tipului semnalelor procesate. Matematic diferentaconsta in prezenta/absenta constantei 1

𝑁 din definitie.

Remarca:

6

Probleme rezolvate

Problema 1. Determinati transformata 𝑍 a urmatoarelor siruri (𝑥𝑛)𝑛≥0

unde:a) 𝑥𝑛 = 𝑛,b) 𝑥𝑛 = 𝑛2.

Solutie: Este elementara urmatoarea identitate

𝑍[𝑢[𝑛]](𝑧) =

∞∑𝑛=0

1 · 𝑧−𝑛 =𝑧

𝑧 − 1,

convergenta avand loc pentru |𝑧| > 1. Aici prin 𝑢[𝑛] intelegem sirul care iavaloarea 1 pentru orice 𝑛 ≥ 0, cel din tabelul transformatelor.

La subpunctul a) vom avea

𝑍[𝑛](𝑧) =

∞∑𝑛=0

𝑛 · 𝑧−𝑛 =

∞∑𝑛=1

𝑛

𝑧𝑛

Deocamdata toata experienta noastra in materie de transformate Z se reducela celebra serie de puteri anterioara. Vom incerca sa facem o conexiune intreseria de mai sus si aceasta. Trebuie sa gasim motivul aparitiei lui 𝑛 in fiecaretermen. Punctul de plecare il constituie relatia(

1

𝑧𝑛

)′

= −𝑛𝑧−𝑛−1 = −1

𝑧

𝑛

𝑧𝑛(*)

Deci, daca am deriva seria data la inceputul solutiei (vezi curs serii numerice)

si apoi am inmulti cu −𝑧 am obtine exact seria

∞∑𝑛=1

𝑛

𝑧𝑛

𝑍[𝑛](𝑧) =

∞∑𝑛=1

𝑛

𝑧𝑛= −𝑧

∞∑𝑛=1

(𝑧−𝑛

)′= −𝑧

( ∞∑𝑛=0

𝑧−𝑛

)′

= −𝑧

(𝑧

𝑧 − 1

)′

= −𝑧 · 𝑧 − 1 − 𝑧

(𝑧 − 1)2 =

𝑧

(𝑧 − 1)2

convergenta avand loc din nou pentru |𝑧| > 1.Am fi putut calcula aceasta transformata 𝑍 fara sa fi observat identitatea

(*) ci folosind proprietatea de derivare a imaginii

𝑍[𝑛𝑥𝑛](𝑧) = −𝑧 · 𝑍[𝑥𝑛]′(𝑧)

Pentru 𝑥𝑛 = 𝑢[𝑛] se obtine

𝑍[𝑛](𝑧) = −𝑧 · 𝑍[𝑢[𝑛]]′(𝑧) = −𝑧

(𝑧

𝑧 − 1

)′

7

In continuare pentru subpunctul b) fie aplicam inca o data proprietatea dederivarea imaginii pentru 𝑥𝑛 = 𝑛, de aceasta data

𝑍[𝑛2](𝑧) = −𝑧 · 𝑍[𝑛]′(𝑧) = −𝑧

(𝑧

(𝑧 − 1)2

)′

fie mergem pe acelasi principiu, doar ca acum abordarea pe aceasta cale este si

mai artificiala. Ar trebui observat ca 𝑛2

𝑧𝑛 are o legatura cu derivata a doua a lui1𝑧𝑛 sau cu derivata intai a lui 𝑛

𝑧𝑛

𝑍[𝑛2](𝑧) =

∞∑𝑛=1

𝑛2

𝑧𝑛= −𝑧

∞∑𝑛=1

( 𝑛

𝑧𝑛

)′= −𝑧

(𝑧

(𝑧 − 1)2

)′

=

= −𝑧 · 1 · (𝑧 − 1)2 − 2𝑧 (𝑧 − 1)

(𝑧 − 1)4 =

𝑧 (1 + 𝑧)

(𝑧 − 1)3 .

Asadar prima abordare ar fi de preferat.

Problema 2. Utilizand transformata 𝑍, sa se determine termenul gen-eral al sirului (𝑢𝑛)𝑛≥0 dat prin relatia de recurenta

𝑢𝑛+2 + 6𝑢𝑛 = 𝑛 + 5𝑢𝑛+1, 𝑛 ≥ 0, 𝑢0 = 𝑢1 = 1.

Solutie: Vom nota cu 𝑈 (𝑧) = 𝑍[𝑢𝑛](𝑧). A se compara aceasta metoda deaflare a termenului general al unui sir cu metoda de rezolvare a unei ecuatii difer-entiale folosind transformata Laplace. Conform teoremei translatiei la stangaavem

𝑍[𝑥𝑛+𝑘](𝑧) = 𝑧𝑘

(𝑍[𝑥𝑛](𝑧) −

𝑘−1∑𝑖=0

𝑥𝑖1

𝑧𝑖

)In particular

𝑍[𝑢𝑛+1](𝑧) = 𝑧1 (𝑈 (𝑧) − 1) = 𝑧𝑈 (𝑧) − 𝑧

𝑍[𝑢𝑛+2] = 𝑧2(𝑈 (𝑧) − 1 − 1

𝑧

)= 𝑧2𝑈 (𝑧) − 𝑧2 − 𝑧

Transformam toata recurenta folosind transformata 𝑍. Putem sa ne folosim detabelul de transformate sau de problema anterioara pentru a obtine

𝑍[𝑛](𝑧) =𝑧

(𝑧 − 1)2

Asadar imaginea relatiei de recurenta prin transformarea 𝑍 devine

𝑧2𝑈 (𝑧) − 𝑧2 − 𝑧 + 6 · 𝑈 (𝑧) =𝑧

(𝑧 − 1)2 + 5 · (𝑧𝑈 (𝑧) − 𝑧)

de unde rezulta

𝑈(𝑧) =𝑧 + (𝑧 − 1)2(𝑧2 − 4𝑧)

(𝑧 − 1)2(𝑧 − 2)(𝑧 − 3)

si apoi pentru a putea afla transformata inversa vom folosi teorema de inversare

8

𝑢𝑛 =∑

toti polii lui 𝑈(𝑧)

Rez(𝑈(𝑧)𝑧𝑛−1

)Se observa ca 𝑈(𝑧) are polul 1 de ordin doi si polii simpli 2 si 3.

𝑅𝑒𝑧(𝑈(𝑧)𝑧𝑛−1, 2

)= lim

𝑧→2

[(𝑧 − 2)

𝑧 + (𝑧 − 1)2(𝑧2 − 4𝑧)

(𝑧 − 1)2(𝑧 − 2)(𝑧 − 3)· 𝑧𝑛−1

]= 2𝑛

𝑅𝑒𝑧(𝑈(𝑧)𝑧𝑛−1, 3

)= lim

𝑧→3

[(𝑧 − 3)

𝑧 + (𝑧 − 1)2(𝑧2 − 4𝑧)

(𝑧 − 1)2(𝑧 − 2)(𝑧 − 3)· 𝑧𝑛−1

]= −3𝑛+1

4

iar

𝑅𝑒𝑧(𝑈(𝑧)𝑧𝑛−1, 1

)= lim

𝑧→1

[(𝑧 − 1)

2 𝑧 + (𝑧 − 1)2(𝑧2 − 4𝑧)

(𝑧 − 1)2(𝑧 − 2)(𝑧 − 3)· 𝑧𝑛−1

]′=

2𝑛 + 3

4

In final obtinem

𝑢𝑛 = 2𝑛 − 3𝑛+1

4+

2𝑛 + 3

4, 𝑛 ≥ 0.

Un indiciu ca am lucrat bine este oferit de faptul ca 𝑢𝑛 verifica conditiile initiale𝑢0 = 1 si 𝑢1 = 1.

Problema 3. Utilizand transformata 𝑍, sa se determine prin douametode termenul general al sirului (𝑥𝑛)𝑛≥0 dat prin relatia de recurenta

𝑥𝑛+2 = 2𝑥𝑛, 𝑛 ≥ 0, 𝑥0 = 𝑥1 = 1.

Solutie: Notam din nou

𝑍[𝑥𝑛] = 𝑋 (𝑧)

si apoi din teorema translatiei la stanga

𝑍[𝑥𝑛+2] = 𝑧2[𝑋 (𝑧) − 1 − 1

𝑧

]= 𝑧2𝑋 (𝑧) − 𝑧2 − 𝑧

Tranformata relatiei de recurenta va conduce la

𝑋 (𝑧) =𝑧2 + 𝑧

𝑧2 − 2.

Metoda 1: O prima abordare presupune descompunerea expresiei obtinutein expresii care se regasesc in tabelul de transformate 𝑍. Vom descompunefunctia rationala 𝑋(𝑧) obtinuta in felul urmator

𝑋 (𝑧) =𝑧 (𝑧 + 1)(

𝑧 −√

2) (

𝑧 +√

2) =

1

2√

2

[(√2 + 1

)· 𝑧

𝑧 −√

2+(√

2 − 1)· 𝑧

𝑧 +√

2

]9

si pe baza tabelului (citit de la dreapta la stanga) obtinem

𝑥𝑛 =1

2√

2

[(√2 + 1

)·(√

2)𝑛

+(√

2 − 1)·(−√

2)𝑛]

=

(√2)𝑛−1

2

[√2 + 1 + (−1)

𝑛 ·(√

2 − 1)]

.

Abordarea impune multa creativitate din partea rezolvitorului si uneoripoate parea dificila.

Metoda 2: Putem evita toate dificultatile tehnice daca folosim teorema deobtinere a transformatei inverse 𝑍 prin intermediul teoriei reziduurilor

𝑥𝑛 =∑

toti polii lui 𝑋(𝑧)

Rez(𝑋(𝑧)𝑧𝑛−1

)

𝑧𝑛−1 ·𝑋 (𝑧) = 𝑧𝑛−1 · 𝑧 (𝑧 + 1)(𝑧 −

√2) (

𝑧 +√

2) =

𝑧𝑛 (𝑧 + 1)(𝑧 −

√2) (

𝑧 +√

2) ,

Functia obtinuta are doi poli de ordin intai in√

2 si −√

2

𝑥𝑛 = 𝑅𝑒𝑧(𝑋(𝑧)𝑧𝑛−1,

√2)

+ 𝑅𝑒𝑧(𝑋(𝑧)𝑧𝑛−1,−

√2).

Se obtine usor (vezi seminar functii complexe)

𝑅𝑒𝑧(𝑋(𝑧)𝑧𝑛−1,

√2)

= lim𝑧→

√2

[(𝑧 −

√2) 𝑧𝑛 (𝑧 + 1)(

𝑧 −√

2) (

𝑧 +√

2)] =

= lim𝑧→

√2

𝑧𝑛 (𝑧 + 1)

𝑧 +√

2=

(√2)𝑛 (√

2 + 1)

2√

2

𝑅𝑒𝑧(𝑋(𝑧)𝑧𝑛−1,−

√2)

= lim𝑧→−

√2

[(𝑧 +

√2) 𝑧𝑛 (𝑧 + 1)(

𝑧 −√

2) (

𝑧 +√

2)] =

= lim𝑧→−

√2

𝑧𝑛 (𝑧 + 1)

𝑧 −√

2=

(−√

2)𝑛 (−√

2 + 1)

−2√

2

de unde ın final rezulta

𝑥𝑛 =

(√2)𝑛−1

2

[1 +

√2 + (−1)

𝑛 ·(√

2 − 1)]

.

Problema 4. Sa se determine termenul general al sirului (𝑦𝑛)𝑛≥0 definitprin relatia de recurenta

𝑦𝑛+2 = 𝑦2𝑛, ∀ 𝑛 ≥ 0,

si datele initiale 𝑦0 = 1, 𝑦(1) = 5.

10

Solutie: Din cauza termenului neliniar 𝑦2𝑛 transformata 𝑍 nu interactioneazaprea bine cu relatia de recurenta si atunci avem nevoie de un truc care sa trans-forme relatia de recurenta intr-una liniara. Prin logaritmare obtinem

ln 𝑦𝑛+2 = 2 ln 𝑦𝑛

si dupa o renotare 𝑧𝑛 = ln 𝑦𝑛 avem

𝑧𝑛+2 = 2𝑧𝑛, 𝑛 ≥ 0,

care este o relatie de recurenta liniara de ordinul 2.”Daca ai o idee... opreste-te. Cauta alta mai buna !”

Emanuel Lasker

Daca privim lucrurile din perspectiva datelor initiale, are fi ideal sa logarit-mam in baza 5, caci atunci 𝑧0 = log5 1 = 0 si 𝑧1 = log5 5 = 1. In acest momentproblema este aproape identica cu problema anterioara.

Problema 5. Determinati forma generala a sirurilor (𝑥𝑛)𝑛≥0, (𝑦𝑛)𝑛≥0

si (𝑧𝑛)𝑛≥0 date prin relatiile⎧⎪⎨⎪⎩𝑥𝑛+1 = − 7

6𝑥𝑛 + 133 𝑦𝑛 + 9

2𝑧𝑛

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑧𝑛

𝑧𝑛+1 = −𝑥𝑛 + 2𝑦𝑛 + 𝑧𝑛

, 𝑛 ≥ 0

si valorile initiale 𝑥0 = 4, 𝑦0 = 1 si 𝑧0 = 1.

Solutie: A se compara cu o problema asemanatoare din fisa seminaruluianterior, pentru semnale continue. Strategia generala presupune sa notam𝑋(𝑧) = 𝑍[𝑥𝑛](𝑧), 𝑌 (𝑧) = 𝑍[𝑦𝑛](𝑧), si 𝑍(𝑧) = 𝑍[𝑧𝑛](𝑧) apoi sa transformamsistemul intr-un sistem de ecuatii algebrice cu necunoscutele 𝑋,𝑌, 𝑍, sa il re-zolvam si in final sa aplicam transformata 𝑍 inversa pentru a identifica sirurile(𝑥𝑛)𝑛≥0, (𝑦𝑛)𝑛≥0 si (𝑧𝑛)𝑛≥0.

Problema 6. Esantionati semnalul continuu

𝑥(𝑡) = 5 + 2 cos(

2𝜋𝑡− 𝜋

2

)+ 3 cos(4𝜋𝑡)

la o rata de esantionare 𝑓𝑠 = 4, de la 𝑡 = 0 la 𝑡 = 34 . Calculati transfor-

mata Fourier discreta a semnalului esantionat obtinut.

Solutie: Se observa ca intervalul de esantionare este de 𝑇 = 1𝑓𝑠

= 14 deci

𝑥[0] = 𝑥(0 · 𝑇 ) = 𝑥(0) = 8

𝑥[1] = 𝑥(1 · 𝑇 ) = 𝑥

(1

4

)= 4

𝑥[2] = 𝑥(2 · 𝑇 ) = 𝑥

(2

4

)= 8

11

𝑥[3] = 𝑥(3 · 𝑇 ) = 𝑥

(3

4

)= 0

si obtinem un semnal de lungime 𝑁 = 4.Putem calcula transformata Fourier discreta folosind definitia, sau folosind

matricea Fourier atasata. Observam ca 𝑤 = 𝑒−𝑖 2𝜋𝑁 = 𝑒−

𝜋2 𝑖 = −𝑖 si prin urmare

daca folosim formula matricei care da transformarea 𝐹𝑑 obtinem⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝑋[0]

𝑋[1]

𝑋[2]

𝑋[3]

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 1 1 1

1 −𝑖 −1 𝑖

1 −1 1 −1

1 𝑖 −1 −𝑖

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝑥[0]

𝑥[1]

𝑥[2]

𝑥[3]

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝20

−4𝑖

12

4𝑖

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠In concluzie, transformata Fourier a sirului (semnalului discret) de lungime

finita 𝑥𝑛 este sirul frecventelor complexe

𝑋[𝑛] =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

20, daca 𝑛 = 0

−4𝑖, daca 𝑛 = 1

12, daca 𝑛 = 2

4𝑖, daca 𝑛 = 3

0, in rest

Problema 7. Aflati transformata Fourier discreta a sirului 𝑥𝑛 = cos𝑛.

Solutie: E o mica eroare de formulare in enuntul problemei. Se presupuneca sirul respecta regula 𝑛 ↦→ cos𝑛 doar pentru 𝑁 valori consecutive, incepandcu 0, fara a spune clar acest lucru. Asadar, se da legea de asociere dar nu seprecizeaza suportul functiei 𝑥 : N → C. Problema poate fi interpretata practic infelul urmator, si atunci ambiguitatea este eliminata: avem un semnal continuu𝑥(𝑡) = cos 𝑡 si avem libertatea de a alege lungimea 𝑁 a esantionarii (in acest felavem libertatea de a alege rezolutia la care vrem sa procesam semnalul)

Dintr-un alt punct de vedere, pentru semnale discrete de lungime infinita,putem defini un concept asemanator transformatei Fourier discrete si anumetransformata in timp discret Fourier

𝑋(𝜔𝑠) =

∞∑𝑛=−∞

𝑥𝑛 · 𝑒−𝑖𝜔𝑠𝑛

unde 𝜔𝑠 este frecventa angulara discreta. Insa semnalul trebuie sa fie absolut

sumabil pentru a admite o transformata in timp discret, iar

∞∑𝑛=−∞

|𝑥𝑛| nu exista

in acest caz.Revenind la problema, transformatele Fourier discrete, cand 𝑁 este necunos-

cut sau suficient de mare pentru a nu putea fi abordate cu ajutorul matriceiFourier atasate, se afla pornind de la definitie:

𝐹𝑑[𝑥𝑘](𝑛) =

𝑁−1∑𝑘=0

𝑥𝑘 · 𝑒−𝑖 2𝜋𝑁 𝑛·𝑘

12

si astfel

𝐹𝑑[cos 𝑘](𝑛) =

𝑁−1∑𝑘=0

cos 𝑘 · (𝑤𝑛)𝑘

unde 𝑤 e definit ca in problema anterioara. Punctul de plecare il constituieformula

𝑒𝑖𝑘 + 𝑒−𝑖𝑘

2= cos 𝑘

si privita din aceasta perspectiva suma se transforma intr-o suma de puteri

𝐹𝑑[cos 𝑘](𝑛) =

𝑁−1∑𝑘=0

𝑒𝑖𝑘 + 𝑒−𝑖𝑘

2· (𝑤𝑛)

𝑘=

𝑁−1∑𝑘=0

𝑥𝑘 + 𝑦𝑘

2=

1

2

(𝑥𝑁 − 1

𝑥− 1+

𝑦𝑁 − 1

𝑦 − 1

)pentru 𝑥 = 𝑒𝑖𝑤𝑛 si 𝑦 = 𝑒−𝑖𝑤𝑛. In final se obtine

𝐹𝑑[cos 𝑘](𝑛) =1

2

(𝑒𝑖𝑁 − 1

𝑒𝑖𝑤𝑛 − 1− 𝑒−𝑖𝑁 − 1

𝑒−𝑖𝑤𝑛 − 1

)caci 𝑤𝑁 = 1.

Problema 8. Aflati transformata Fourier discreta a sirului 𝑥𝑛 = 𝑛.

Solutie: Alegem o esantionare de lungime 𝑁 . Prin definitie

𝐹𝑑[𝑥𝑘](𝑛) =

𝑁−1∑𝑘=0

𝑥𝑘 · 𝑒−𝑖 2𝜋𝑁 𝑛·𝑘

si renotam indexul sirului cu 𝑘, pentru a avea 𝑥𝑘 = 𝑘:

𝐹𝑑[𝑘](𝑛) =

𝑁−1∑𝑘=0

𝑘 · 𝑒−𝑖 2𝜋𝑁 𝑛·𝑘

Introducem notatia clasica 𝑤 = 𝑒−𝑖 2𝜋𝑁 si observam ca

𝑤𝑁 = 1

iar transformata se scrie

𝐹𝑑[𝑘](𝑛) =

𝑁−1∑𝑘=0

𝑘 · (𝑤𝑛)𝑘

in care 𝑤𝑛 este perceputa ca o constanta.Comparam cu ceva cunoscut (strategie clasica de problem-solving). Suma

ceruta aduce aminte de unele sume din gimnaziu

𝑆 =

𝑁−1∑𝑘=0

𝑘𝑥𝑘

care poat fi abordate elementar (inmultind S cu 𝑥 si scazand apoi S) sau folosindideea

(𝑥𝑘)′ = 𝑘𝑥𝑘−1

13

si atunci

𝑆 = 𝑥

(𝑁−1∑𝑘=0

𝑥𝑘

)′

= 𝑥

(𝑥𝑁 − 1

𝑥− 1

)′

= 𝑥 · 𝑁𝑥𝑁−1(𝑥− 1) − (𝑥𝑁 − 1)

(𝑥− 1)2

Problema poate fi comparata cu Problema 1, care corespunde unui sem-nal discret fara lungime finita, prin urmare poate fi abordata si pornind de laproprietatea de derivare corespunzatoarea transformatei Fourier discrete.

Probleme propuse

Problema 1. Determinati transformata 𝑍 a sirului (𝑥𝑛)𝑛≥0 cu termenul gen-

eral 𝑥𝑛 = 𝑛3 + (𝑛− 1)2𝑛.

Problema 2. Utilizand transformata 𝑍, sa se determine termenul general alsirului (𝑥𝑛)𝑛≥0 dat prin relatia de recurenta

𝑥𝑛+1 + 3𝑥𝑛 = −1, ∀ 𝑛 ≥ 0, si 𝑥0 = 2.

Problema 3. Utilizand transformata 𝑍, sa se determine prin doua metodetermenul general al sirului (𝑥𝑛)𝑛≥0 dat prin relatia de recurenta

𝑥𝑛+2 − 5𝑥𝑛+1 + 6𝑥𝑛 = 1, ∀ 𝑛 ≥ 0, si 𝑥0 = 𝑥1 = 1.

Problema 4. Sa se determine un sir (𝑥𝑛)𝑛 a carui transformata 𝑍 este:a) 𝑋(𝑧) = 𝑧

(𝑧−3)3

b) 𝑋(𝑧) = 𝑧𝑧2+2𝑎𝑧+2𝑎2 , 𝑎 > 0

Problema 5. Folosind transformata 𝑍 sa se determine sirurile (𝑥𝑛)𝑛 pentrucare:

a) 𝑥𝑛+1 + 3𝑥𝑛 = −1, pentru 𝑛 ≥ 0, si 𝑥0 = 2b) 𝑥𝑛+2 − 3𝑥𝑛+1 + 2𝑥𝑛 = 2𝑛, pentru 𝑛 ≥ 0, si 𝑥0 = 𝑥1 = 0.c) 𝑥𝑛+3−2𝑥𝑛+2−𝑥𝑛+1+2𝑥𝑛 = 𝑛2+𝑛+1, 𝑛 ≥ 0 si 𝑥0 = 𝑥2 = 1, 𝑥1 = 0.

Problema 6. Aflati tranformata Fourier discreta a sirului 𝑥𝑛 = 𝑛2 si apoi asirului 𝑦𝑛 = sin𝑛.

Problema 7. Determinati expresiile generale ale sirurilor (𝑥𝑛)𝑛≥0, (𝑥𝑛)𝑛≥0

date de relatiile de recurenta{2𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 + 𝑦𝑛−1

6𝑦𝑛 = 7𝑦𝑛−1 − 𝑥𝑛−1

, 𝑛 ≥ 1

stiind ca 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 0.

Problema 8. Determinati termenul general al sirului (𝑥𝑛)𝑛≥0 dat prin relatiade recurenta

𝑥4𝑛+2 = 𝑥𝑛+1𝑥𝑛

cu conditiile initiale 𝑥0 = 1 si 𝑥1 = 2𝜋.

14

Bibliografie

[1] M. Wickert. Signals and Systems for Dummies, Wiley&Sons, 2013.

[2] Wikipedia/Wow signal

[3] www.descopera.ro

[4] R. Negrea. Note de curs MS, 2020.

[5] C. Hedrea. Fise de seminar MS, 2015.

[6] O. Lipovan. Analiza Matematica: Calcul integral, Ed. Politehnica, 2007.

15