untitledCZU 53(075.3) M 39
Elaborat conform curriculumului disciplinar în vigoare i aprobat prin Ordinul ministrului educaiei (nr. 265 din 27 aprilie 2012). Editat din sursele fi nanciare ale Fondului Special pentru Manuale.
Contribuia autorilor la elaborarea manualului: Mihai Marinciuc – capitolele 1, 2 (par. 2.1–2.3, 2.8), 3, 4 Spiridon Rusu – capitolele 2 (par. 2.4–2.7), 4 (par. 4.3), 5, lucrri de laborator Comisia de experi: Ion Stratan, doctor în fi zic, confereniar, Universitatea Tehnic a Moldovei Eleodor Lupacu, doctor în fi zic, confereniar, Universitatea Agrar, Chiinu Andrei Petruca, prof. colar, grad did. superior, Liceul Teoretic „Principesa Natalia Dadiani”, Chiinu Recenzeni: Oleg Bursuc, doctor în tiine ale educaiei, coordonator, Consiliul pentru Cercetri i Schimburi Internai- onale (IREX), Chiinu
Alexei Colîbneac, Maestru în Arte, profesor universitar, Academia de Muzic, Teatru i Arte Plastice, Chiinu
Mihai leahtichi, doctor în psihologie i pedagogie, confereniar, Universitatea Liber Internaional din Moldova, Chiinu
Anatolie Cerbu, doctor în tiine fi zico-matematice, confereniar, Academia de Transporturi, Informatic i Comunicaii, Chiinu
Tatiana Cartaleanu, doctor în fi lologie, confereniar, Universitatea Pedagogic de Stat „Ion Creang”, Chiinu
Redactor: Mariana Belenciuc Corectori: Maria Cornesco, Tatiana Darii Redactor tehnic: Nina Duduciuc Machetare computerizat, copert: Romeo ve, Vitaliu Pogola
ISBN 978-9975-67-823-0
© Î.E.P. tiina. 2007, 2012
tel.: (+373 22) 73-96-16, fax: (+373 22) 73-96-27; e-mail: prini@stiinta.asm.md
Descrierea CIP a Camerei Naionale a Crii Marinciuc, Mihai
Fizic: Man. pentru cl. a 10-a / Mihai Marinciuc, Spiridon Rusu; Min. Educaiei al Rep. Moldova. – Ch.: Î.E.P. tiina, 2012 (Tipogr. „SEREBIA” SRL). – 180 p.
ISBN 978-9975-67-823-0
str. Alba-Iulia, nr. 23/1 A; MD-2051, Chiinu;
tel.: (+37322) 51-68-17; 51-57-49; fax: (+373 22) 50-15-81;
e-mail: info@pronoi.md, www.pronoi.md
Introducere ........................................................................................................................................................ 7
Capitolul I. CINEMATICA ..................................................................................................................................... 8
1.1. Punctul material i solidul rigid – modele utilizate în mecanic ....................................... 8
1.2. Sistem de referin. Spaiu i timp .................................................................................................... 10
a. Relativitatea micrii. Sistem de referin ........................................................................................ 10
b. Unitile de lungime i de timp .......................................................................................................... 11
c. Spaiul i timpul în mecanica clasic ................................................................................................. 12
1.3. Traiectoria. Deplasarea i distana parcurs ................................................................................ 13
a. Descrierea micrii unui punct material .......................................................................................... 13
b. Traiectoria .................................................................................................................................................. 14
d.o Micarea de translaie a rigidului ..................................................................................................... 15
1.4. Operaii cu vectori ..................................................................................................................................... 16
a. Adunarea vectorilor ................................................................................................................................ 16
b. Scderea vectorilor ................................................................................................................................. 17
1.5. Micarea rectilinie uniform. Viteza ................................................................................................ 20
1.6.o Cinematica micrii relative ................................................................................................................ 24
1.7. Micarea rectilinie uniform variat. Acceleraia ......................................................................... 27
a. Micarea rectilinie neuniform. Viteza medie. Viteza momentan ....................................... 27
b. Micarea rectilinie uniform variat. Acceleraia ............................................................................ 28
c. Grafi cele proieciilor acceleraiei i vitezei ...................................................................................... 29
d. Legea micrii uniform variate a mobilului .................................................................................... 30
e. Formula lui Galilei .................................................................................................................................... 31
f.o Raportul distanelor parcurse de mobil în intervale de timp egale ......................................... 32
g. Micarea corpului pe vertical ............................................................................................................. 32
C U P R I N S
1.8. Micarea circular uniform. Acceleraia centripet ................................................................ 37
a. Micarea circular uniform. Perioada i frecvena de rotaie ................................................. 37
b. Acceleraia centripet ........................................................................................................................... 39
c. Viteza unghiular ..................................................................................................................................... 40
2.1. Principiul ineriei. Sisteme de referin ineriale ....................................................................... 45
2.2. Masa i fora. Principiul fundamental al dinamicii .................................................................... 47
a. Interaciuni fundamentale .................................................................................................................... 47
e.o Principiul suprapunerii forelor ......................................................................................................... 53
2.3. Principiul aciunii i reaciunii ............................................................................................................. 55
2.4.o Atracia universal .................................................................................................................................... 56
b. Cîmpul gravitaional ............................................................................................................................... 59
2.5. Fora elastic. Micarea sub aciunea forei elastice ............................................................... 63
2.6. Fora de frecare. Micarea în prezena forei de frecare ......................................................... 67
2.7.o Micarea corpurilor sub aciunea mai multor fore .................................................................. 72
2.8.o Principiul relativitii al lui Galilei ..................................................................................................... 77
Capitolul III. ELEMENTE DE STATIC .......................................................................................................... 81
3.1. Echilibrul de translaie al rigidului .................................................................................................... 81
3.2.o Momentul forei. Echilibrul de rotaie al rigidului .................................................................... 85
3.3.o Centrul de greutate al sistemului de puncte materiale. Centrul de mas .................... 87
a. Centrul de greutate. Centrul de mas .............................................................................................. 87
b. Determinarea poziiei centrului de greutate ................................................................................. 89
Capitolul IV. IMPULSUL MECANIC. LUCRUL I ENERGIA MECANIC ...................................... 92
4.1. Impulsul punctului material. Teorema variaiei i legea conservrii impulsului punctului material ............................. 92
4.2. Impulsul sistemului de puncte materiale. Teorema variaiei i legea conservrii impulsului sistemului de puncte materiale ...................... 95
a. Fore interne i externe. Proprietatea forelor interne ............................................................. 95
b. Teorema variaiei impulsului sistemului de puncte materiale ................................................ 96
c. Legea conservrii impulsului sistemului de puncte materiale. Aplicaii ............................. 97
d.o Micarea reactiv .................................................................................................................................... 99
4.4. Lucrul mecanic. Puterea ......................................................................................................................... 103
a. Lucrul mecanic al forei constante .................................................................................................... 103
b. Puterea ........................................................................................................................................................ 106
4.6. Lucrul forei de greutate. Energia potenial gravitaional ............................................... 112
a. Fora de greutate – for conservativ ............................................................................................. 112
b. Energia potenial gravitaional ...................................................................................................... 113
c. Echilibrul în cîmpul gravitaional ....................................................................................................... 114
4.7. Lucrul forei elastice. Energia potenial elastic ...................................................................... 116
4.8. Lucrul forei de frecare ............................................................................................................................ 118
4.9. Legea conservrii i transformrii energiei mecanice ............................................................. 120
a. Legea conservrii i transformrii energiei mecanice în sisteme izolate în care acioneaz fore conservative ............................................................................................... 120
b.o Ciocnirile corpurilor .............................................................................................................................. 122
c.o Variaia energiei mecanice a sistemului în prezena forelor neconservative i a forelor externe ................................................................................................................................. 124
Capitolul V. OSCILAII I UNDE MECANICE .............................................................................................. 127
5.1. Micarea oscilatorie .................................................................................................................................. 127
a. Pendulul elastic ........................................................................................................................................ 130
b. Pendulul gravitaional ........................................................................................................................... 131
d. Caracteristicile momentane ale oscilaiilor armonice ................................................................ 135
e.o Reprezentarea micrii oscilatorii prin fazori ............................................................................... 136
f. Dependena pulsaiei i perioadei oscilaiilor armonice libere de proprietile sistemului .... 137
g. Energia oscilatorului liniar armonic .................................................................................................. 138
5.3.o Compunerea oscilaiilor coliniare ..................................................................................................... 141
5.4.o Oscilaii amortizate i forate. Rezonana ..................................................................................... 143
5.5. Propagarea micrii oscilatorii. Unde transversale i unde longitudinale .................... 145
5.6. Caracteristicile micrii ondulatorii. Viteza de propagare a undelor .............................. 147
5.7.o Ecuaia undei plane .................................................................................................................................. 150
5.8. Principiul lui Huygens .............................................................................................................................. 152
5.9. Refl exia i refracia undelor .................................................................................................................. 152
a. Legile refl exiei i refraciei .................................................................................................................... 152
b.o Studiul refl exiei i refraciei cu ajutorul principiului lui Huygens ......................................... 153
c.o Comportamentul fazei undelor la refl exie .................................................................................... 154
5.10. Difracia undelor ........................................................................................................................................ 155
5.11. Interferena undelor ................................................................................................................................ 156
5.12.o Unde sonore ................................................................................................................................................ 159
b. Calitile sunetului ................................................................................................................................... 159
5.13.o Unde seismice ............................................................................................................................................. 161
LUCRRI DE LABORATOR ............................................................................................................................. 165 Noiuni elementare despre calculul erorilor ............................................................................................. 165
a. Msurri i erori .............................................................................................................................................. 165 b. Erorile msurrilor directe .......................................................................................................................... 166 c. Erorile msurrilor indirecte ...................................................................................................................... 167 d. Eroarea unei singure msurri .................................................................................................................. 169 e. Prelucrarea grafi c a datelor experimentale ....................................................................................... 170
Lucrarea de laborator nr. 1 Studiul micrii rectilinii uniform accelerate a unui corp ....................................................................... 171
Lucrarea de laborator nr. 2o Determinarea constantei de elasticitate a unui corp cu proprieti elastice .................................... 172
Lucrarea de laborator nr. 3 Determinarea coefi cientului de frecare la alunecare ............................................................................... 173
Lucrarea de laborator nr. 4. Studiul pendulului elastic ..................................................................................................................................... 175
Rspunsuri la probleme ..................................................................................................................................... 177
NOT: Temele nemarcate sînt obligatorii pentru ambele profi luri. Cele marcate convenional (o) sînt obligatorii
pentru profi lul real.
Introducere O particularitate general a naturii ce ne înconjoar este schimbarea. Schimbrile, foarte diverse i complicate, se cerceteaz în cadrul tiinelor naturii: fi zica, biologia, chimia, astronomia, geologia .a.
Mecanica (în limba greac înseamn „main” sau „tiina despre maini i me- canisme”) este o ramur a fi zicii care studiaz cea mai simpl form de micare, numit micare mecanic.
Micarea mecanic a unui corp este schimbarea în timp a poziiei lui în raport cu alte corpuri.
Exemple de micare mecanic observm în jurul nostru la fi ecare pas: deschiderea ochilor, ridicarea din pat, deschiderea uii, a robinetului, deplasarea spre coal etc.
În mecanic se disting dou compartimente care studiaz dou aspecte ale micrii mecanice:
Cinematica (în limba greac „micare”) cerceteaz formele micrii corpurilor i caracteristicile acesteia, fr a evidenia îns factorii ce determin o form sau alta de micare. La descrierea micrii se folosesc formule, grafi ce i tabele. Cinematica este numit metaforic i geometrie a micrii.
Dinamica (în limba greac „for”) studiaz formele micrii corpurilor în funcie de cauzele ce le condiioneaz. Astfel, în dinamic se rspunde la întrebarea: „De ce corpul se mic în modul dat?”, întrebare care nu-i gsete rspunsul în cinematic.
Un compartiment special al dinamicii este statica, ce studiaz doar repausul (echilibrul) corpului în vederea stabilirii condiiilor corespunztoare ale acestuia.
În natur mai exist o micare foarte frecvent întîlnit, care se repet dup anumite intervale de timp. De exemplu: micarea unui corp suspendat la captul resortului sau al unui fi r, a unei rigle metalice prinse la un capt, a crengilor copacilor sub aciunea vîntului, btile inimii, vibraiile plmînilor în procesul respiraiei, vibraiile coardelor vocale i ale timpanelor care ne permit s vorbim i s auzim etc. Aceste micri sînt numite micri oscilatorii. În general, în urma aciunii unei anumite fore, orice corp material poate efectua oscilaii, chiar dac acestea, în unele cazuri, sînt de scurt durat.
Propagarea micrii oscilatorii în spaiu i timp reprezint micarea ondulatorie. Undele pot fi de natur diferit. În funcie de faptul ce oscileaz i în ce medii se propag, se deosebesc unde: pe suprafaa apei, sonore în medii elastice, seismice în scoara terestr etc.
7
8
C a p i t o l u l I
CINEMATICA
UTILIZATE ÎN MECANIC
Cunoatei deja c micarea mecanic este cea mai simpl form a micrii. Totui aceast micare nu este de fi ecare dat foarte simpl. Urmrind atent cderea unei frunze, vei observa c ea se rotete, legnîndu-se pe undele aerului (fi g. 1.1). Rsfoind manualul, fi l cu fi l, putei observa c, la început, foaia se îndoaie, se deformeaz (adic îi schimb forma), apoi diferite poriuni ale ei se mic în mod divers. Aceste dou exemple sînt sufi ciente pentru a înelege c micarea mecanic în natur nu este întotdeauna simpl i c descrierea ei exact poate fi foarte complicat.
Întrebarea fi reasc este dac în procesul studierii fenomenelor fi zice trebuie s cunoatem i s analizm, de fi ecare dat, detaliat i amnunit micarea corpurilor.
S examinm un exemplu concret. Imaginai-v un pasager pe peronul unei gri, care ateapt sosirea trenului ce se afl la cîiva
kilometri de gar. Pentru acest pasager, ca i pentru dispecerul grii (care urmrete mersul trenului pe o schem electronic, fi g. 1.2), este important s tie distana la care se afl trenul, pentru a deduce dac trenul circul în conformitate cu orarul stabilit. În aceast situaie, determinînd distana dintre tren i gar, putem face abstracie de dimensiunile trenului, care nu ne intereseaz (fi ind cu mult mai mici decît distana pîn la el). Nu are importan pentru pasager i dispecer nici for- ma trenului, determinat de conturul poriunii de cale ferat pe care se afl .Fig. 1.2
Fig. 1.1
CI NE
M AT
IC A
Studiind micarea unei nave cosmice spre Lun sau spre o planet oarecare, vom ne- glija în calculele noastre dimensiunile navei, care sînt foarte mici în comparaie cu distana parcurs. Ajungem, aadar, la concluzia c în unele micri dimensiunile corpurilor conside- rate pot fi neglijate în raport cu distanele pîn la alte corpuri sau cu distanele parcurse de aceste corpuri. Astfel, s-a ajuns la un model foarte des utilizat în mecanic, modelul punctului material.
Corpul ale crui dimensiuni spaiale pot fi neglijate în comparaie cu distana parcurs sau cu distanele pîn la alte corpuri este numit punct material. Din defi niie reiese c punctul material nu
este neaprat un corp mic, important fi ind ca dimensiunile lui s poat fi neglijate în condiiile date.
Evident, în alte condiii corpul respectiv nu mai poate fi considerat punct material. Atunci cînd trenul intr în gar (fi g. 1.3), dimensiunile lui devin importante pentru pasagerul care ateapt anunul dispecerului privind ordinea numerotrii vagoanelor: primele vagoane se afl la ieirea pe peron în partea stîng sau în cea dreapt a peronului. Rezult c modelul (noiunea) de punct material poate fi utilizat numai în cazul în care sînt satisfcute anumite condiii. Corpul în micare la care se neglijeaz nu numai dimensiunile spaiale, ci i alte caracteristici ale lui (masa, sarcina electric etc.) este numit mobil.
S examinm i s defi nim alt model de corp utilizat în mecanic. Cunoatem c forma i di- mensiunile corpului dat depind, într-o anumit msur, i de corpurile cu care el interacioneaz. Astfel, lungimea unui resort poate fi mai mare sau mai mic, o lam poate fi mai mult sau mai puin încovoiat etc. Deci corpurile din jur pot modifi ca dimensiunile i forma corpului dat, adic provoac deformarea acestuia. În natur nu exist corpuri care nu se deformeaz, unele deformîndu-se în aceleai condiii mai puin, altele mai mult.
În anumite cazuri modifi crile dimensiunilor i ale formei corpurilor pot fi neglijate. În aceste situaii se utilizeaz modelul solidului rigid.
Corpul care în condiiile date nu-i modifi c dimensiunile i forma (adic nu se deformeaz) se numete solid rigid sau, pur i simplu, rigid. Cu alte cuvinte, rigid este corpul la care distana dintre orice dou puncte rmîne invariabil în timp. Pot fi utilizate i alte modele atît pentru corpuri, cît i pentru fenomene fi zice. Necesitatea
lor rezult din faptul c proprietile corpurilor i fenomenele fi zice reale din natur sînt foarte complicate. De aceea se evideniaz unele proprieti (sau factori) ce nu infl ueneaz esenial fenomenul studiat i sînt neglijate. Acest procedeu este cunoscut sub denumirea de abstractizare, iar modelele elaborate sînt numite abstracii. Veridicitatea modelului elaborat este justifi cat de corectitudinea prezicerilor obinute pe baza lui. Se ajunge, astfel, la o de- scriere aproximativ, dar mai simpl, a fenomenului studiat, ceea ce permite stabilirea unor relaii cantitative între mrimile ce-l caracterizeaz. Ulterior pot fi evaluate i modifi crile condiionate de factorii neglijai asupra rezultatelor obinute anterior.
Fig. 1.3
1. Ce reprezint punctul material? Exemplifi cai.
2. Care este deosebirea dintre noiunea de punct material i cea de mobil?
3. Care corpuri solide se numesc rigide?
4. Mai multe automobile se afl în faa barierei în ateptarea traversrii cii ferate. Poate fi con- siderat trenul drept un punct material fa de automobile?
5. Analizai situaiile urmtoare: o albin se mic pe petalele unei fl ori în cutarea nectarului; albina se afl în zbor spre stup; albina zboar în faa urdiniului pentru a intra în stup. În ce caz albina poate fi considerat punct material i în care nu? Argumentai rspunsul.
1.2 SISTEM DE REFERIN. SPAIU I TIMP
a. Relativitatea micrii. Sistem de referin
În definiia micrii mecanice se menioneaz c schim- barea poziiei corpului dat are loc „în raport cu alte corpuri”. De exemplu, poziia unui automobil poate fi determinat în raport cu o born kilometric de pe marginea oselei, cu podul de care se apropie, cu autobuzul ce vine din sens opus, cu tractorul ce se deplaseaz în direcie perpendicular fa de drumul pe care se mic automobilul (fig. 1.4) etc. Un pasager din autobuz se afl în stare de repaus în raport cu autobuzul, dar se mic fa de celelalte corpuri. Astfel, micarea automobilului sau a pa- sagerului poate fi descris în raport cu mai multe corpuri. Aadar, ajungem la concluzia c
micarea oricrui corp, precum i starea lui de repaus, ca un caz particular al micrii, sînt relative. Conchidem c înainte de a cerceta micarea unui corp, trebuie s indicm corpul în raport
cu care este descris micarea. Acest corp, considerat fi x, este numit corp de referin sau reper. Pentru a determina poziia corpului, considerat punct
material, în raport cu un corp de referin, este necesar s legm de el (în mod rigid) un sistem de coordonate i s avem un instrument de msurare a distanelor. Alegerea corpului de referin legat cu originea unui sistem de coordonate, a direciei i sensului axelor acestuia este arbitrar. Descrierea micrii trebuie s fi e cît mai simpl pentru observatorul care o cerceteaz. De exemplu, studierea micrii unui corp pe puntea unui vas maritim poate fi realizat atît în raport cu puntea vasului, cît i în raport cu Pmîntul. La descrierea micrii navei cosmice spre Lun (fi g. 1.5), pot fi utilizate diferite corpuri de referin – lansarea navei i micarea ei în vecintatea Pmîntului este mai convenabil s fi e descrise considerînd Pmîntul drept corp de referin. Micarea navei de la Pmînt spre Lun poate fi descris inîndu-se cont de poziia ei atît fa de Pmînt, cît i fa de Soare sau de Lun; apropierea de Lun i aselenizarea navei se descriu mai simplu dac se consider Luna drept corp de referin.
Fig. 1.5
Fig. 1.4
CI NE
M AT
IC A
În defi niia micrii mecanice se menioneaz, de asemenea, c schimbarea poziiei corpului are loc în timp. De aceea, pentru a descrie micarea, este necesar i un instrument de msurare a timpului (un ceasornic), imobil fa de corpul de referin.
Toate elementele enumerate mai sus, indispensabile pentru a descrie micarea mecanic a corpurilor, constituie ceea ce numim sistem de referin sau referenial.
Corpul de referin, sistemul de coordonate (legat rigid cu el), instrumentul de msurare a distanelor i ceasornicul (imobil în raport cu acelai corp) formeaz sistemul de referin sau referenial (consi- derat convenional fi x, fi g.1.6).
b. Unitile de lungime i de timp
Pentru a determina coordonatele punctului material la un moment anumit de timp, este necesar s msurm lungimi i intervale de timp. Pe aceast cale se stabilete cîte uniti conine mrimea msurat (ea este egal cu numrul respectiv de uniti). Msurarea mrimii fi zice const în compararea ei cu o mrime de aceeai natur, considerat ca unitate.
În prezent se utilizeaz Sistemul Internaional (SI), ce are apte uniti fundamentale stabilite, pentru apte mrimi fi zice. Unitile altor mrimi fi zice se exprim prin cele fundamentale i sînt numite uniti derivate.
Din gimnaziu cunoatei unitile de lungime i de timp – metrul (m) i secunda (s). Metrul, ca unitate fundamental în SI, a fost defi nit în 1791 ca a 1/40000000 parte din lungimea meridianului terestru pe care este situat Parisul. S-au realizat apoi msurrile respective i pe baza lor a fost stabilit un etalon al metrului, confecionat din platin (90%) i iridiu (10%), adoptat la 10 decembrie 1799. Acesta reprezint o bar de construcie special, avînd la capete cîte trei linii subiri. Lungimea de 1 m este egal cu distana dintre liniile de mijloc (fi g. 1.7). Etalonul se pstreaz la Biroul Internaional de Msuri i Greuti de la Sèvres, lîng Paris. Msurrile mai exacte au artat c lungimea meridianului ales este mai mare decît valoarea obinut anterior, dar etalonul metrului nu a fost modifi cat (el nu mai corespunde defi niiei iniiale).
Pentru msurarea timpului s-a folosit înc în Antichitate periodicitatea schimbrii zilei cu noaptea, schimbare condiionat de rotaia Pmîntului în jurul axei sale. Durata acestui interval numit zi s-a dovedit a fi mare, de aceea a fost divizat în mai multe pri: o zi conine 24 de ore (aceast divizare a fost propus înc în Babilon), 1 or – 60 de minute, iar 1 minut – 60 de secunde. În SI secunda a fost adoptat ca unitate fundamental pentru timp:
1s = 1 24 · 60 · 60 = dintr-o zi.
Secunda astfel defi nit este numit secund astronomic. Pe baza acestor defi niii ale metrului i secundei au fost construite instrumente ce permit
msurarea lungimilor i a intervalelor de timp cu precizii destul de mari, sufi ciente pentru activitatea cotidian a omului.
Fig. 1.7
I
Cercetrile speciale necesit etaloane defi nite mult mai exact decît cele descrise mai sus, care ar putea fi realizate în cazul dispariiei etaloanelor existente. S-a stabilit c aciunea Lunii i a Soarelui asupra Pmîntului frîneaz rotaia acestuia în jurul axei sale, ceea ce duce la mrirea duratei unei zile cu circa 0,001 s într-un secol. Durata zilei este infl uenat i de schimbrile formei i ale dimensiunii Pmîntului, de cutremurele de pmînt .a. În urma unor cutremure de intensitate mare, durata zilei variaz brusc cu valori de pîn la 0,004 s.
Se impune utilizarea unui sistem fi zic cu o periodicitate mult mai stabil. Aceasta este radiaia emis de atomi, pus la baza defi nirii unor etaloane noi. În 1972, a fost adoptat o nou defi niie a secundei ca unitate fundamental în SI:
O secund este egal cu 9 192 631 770 de perioade ale radiaiei ce corespunde tran- ziiei dintre dou niveluri fi ne ale atomului de cesiu 133. Tot radiaia atomilor, de aceast dat a atomilor de cripton, a fost pus în 1960 la baza
defi niiei unui etalon nou al metrului. În 1983, acesta a fost înlocuit cu un alt etalon, care este în uz i în prezent.
Metrul este egal cu distana parcurs de lumin în vid în intervalul de timp egal cu 1/299 762 458 dintr-o secund. Aceste etaloane se utilizeaz numai în cercetri speciale care necesit msurri cu un
grad înalt de precizie.
c. Spaiul i timpul în mecanica clasic
Corpurile se mic în spaiu i în timp. Spaiul determin ordinea în care sînt situate (aranjate) corpurile, iar timpul, ordinea în care se succed fenomenele. Aceste noiuni se consider fundamentale în fi zic.
În mecanica clasic sau newtonian, ale crei principii fundamentale au fost formulate de ctre Newton, spaiul i timpul sînt considerate absolute, independente unul de altul, de corpurile ce se afl i se mic în spaiu. De aici rezult concluzii importante: distana dintre dou puncte (lungimea segmentului) pentru observatorii din diferite sisteme de referin este una i aceeai; aceasta se refer i la durata intervalului de timp dintre dou evenimente – la determinarea ei observatorii din diferite sisteme de referin obin una i aceeai valoare.
La începutul secolului al XX-lea, s-a constatat c aceste concepii referitoare la spaiu i timp sînt limitate i necesit modifi cri eseniale.
ÎNTREBRI
1. Ce reprezint relativitatea micrii? Ilustrai cu exemple care difer de cele din text.
2. Ce este corpul de referin?
3. Ce reprezint sistemul de referin?
4. Care este deosebirea dintre unitile fundamentale i cele derivate?
5. Ce înelegei prin caracterul absolut al spaiului i al timpului?
6. Care este corpul de referin preferat la studiul micrii planetelor? Dar al sateliilor acestora?
7. Un pescar traverseaz rîul cu o luntre vîslind. Ce corpuri pot fi luate drept corpuri de referin la descrierea micrii vîslei?
8. Poate fi considerat corp de referin corpul a crui micare se studiaz?
13
1.3 TRAIECTORIA. DEPLASAREA I DISTANA PARCURS
a. Descrierea micrii unui punct material Micarea unui punct material este considerat cunoscut (descris) dac poate fi
identifi cat poziia lui la orice moment de timp. Exist cîteva metode de descriere a micrii.
Metoda coordonatelor. S urmrim un punct material care se mic de-a lungul unei linii drepte (de exemplu, micarea automobilului sau a trenului pe o poriune rectilinie de drum). În acest caz este raional s construim sistemul de coordonate astfel încît o ax a lui, de exemplu, axa Ox, s coincid cu aceast linie (fi g. 1.8). Poziia mobilului M pe ax este determinat de valoarea coordonatei x egal cu distana de la origi- nea O pîn la punctul M, luat cu semnul plus, dac pentru a ajunge din O în M trebuie s ne micm în sensul pozitiv al axei x, i luat cu semnul minus – în sens contrar. La micarea mobilului M în timp, coordonata lui variaz, adic este o funcie de timp:
x = x (t). (1.1)
Ecuaia dat descrie micarea punctului material de-a lungul unei linii drepte i este numit ecuaie cinematic a micrii.
Pentru descrierea micrii unui punct material pe o suprafa plan (de exemplu: o luntre pe apa stttoare a unui lac sau o bil pe masa de biliard), este convenabil s construim un sistem de dou coordonate situate în acest plan (fi g. 1.9). Poziia punctului material M pe plan este determinat de coordonatele x i y, egale cu distanele lui de la axele de coordonate i luate cu semnele plus sau minus în acord cu convenia stabilit în cazul precedent. De exemplu, coordonatele punctului M sînt
x = OM2 = MM1 i y = OM1 = MM2 , iar coordonatele punctului M’:
x’ = OM’2 = M’ M’1 i y’ = – OM’1 = – M’ M’2 . La micarea punctului material, coordonatele lui variaz, adic
x = x (t), y = y (t). (1.2)
Astfel, micarea punctului material pe o suprafa plan este descris de dou ecuaii cinematice ale micrii.
În cazul micrii punctului material M în spaiu, se iau trei axe de coordonate, reci- proc perpendiculare (fi g. 1.10). Poziia punctului material M este determinat de cele trei coordonate x, y, z, egale cu distanele punctului de la planele perpendiculare pe axele corespunztoare. Distanele se iau cu semnele plus sau minus conform regulii stabilite mai sus. De exemplu, punctul M are coordonatele: x = M1M2, y = OM2, z = MM1, iar punctul M’are coordonatele: x’ = – M’1 M’2, y’ = – OM’2, z’ = M’ M’1.
Cînd punctul material se mic, cele trei coordonate variaz în timp, prin urmare: x = x (t), y = y (t), z = z (t). (1.3)
Aceste trei ecuaii cinematice ale micrii descriu complet micarea punctului material în spaiu.
Fig. 1.8
Fig. 1.9
Fig. 1.10
I
Metoda vectorial. Poziia mobilului M în raport cu sistemul de coordonate, legat rigid cu corpul de referin, poate fi determinat, de asemenea, de un vector numit vector de poziie. Amintim c vectorul este un segment de dreapt orientat, caracterizat prin modúl (valoare), punct de aplicaie (origine), direcie i sens. Originea vectorului de poziie r→ = OM→ coincide permanent cu originea coordonatelor O, iar extremitatea sa cu punctul material M (fig. 1.11). Modulul vectorului de poziie este egal cu distana de la originea coordonatelor pîn la punctul M.
Cunoaterea vectorului de poziie r→ presupune cunoaterea modulului su i a unghiurilor formate cu axele de coordonate sau cunoaterea coordonatelor extremitii lui M.
Pentru a descrie micarea corpului într-un plan, reprezentm vectorul de poziie al unui punct material ce se mic în acest plan (fi g. 1.12). Notm cu unghiul msurat în sens trigonometric, de la axa Ox spre vectorul de poziie. Cunoaterea modulului vectorului de poziie i a unghiului permite calcularea coordonatelor mobilului i invers.
Din fi gur obinem x = r cos, y = r sin i relaiile inverse . Aceste relaii rmîn valabile pentru orice valori ale unghiului . În timpul micrii mobilului M, vectorul lui de poziie variaz în modúl i direcie,
originea sa rmîne fi x (în O), iar sensul este mereu orientat de la O spre M. Astfel, vectorul r→ este o funcie de timp:
r→= r→(t). (1.4)
b. Traiectoria
Mobilul în timpul micrii sale trece dintr-o poziie în alta.
Ansamblul poziiilor ocupate succesiv de mobil constituie o linie numit traiectorie. Traiectoria permite vizualizarea simultan a tabloului integral al micrii, al tuturor
punctelor prin care a trecut sau va trece mobilul în timpul micrii. Traiectoria reprezint, în genere, o linie imaginar i doar uneori este materializat de
corpuri. De exemplu, linia de cale ferat determin traiectoria trenului, sîrma care trece printr-o bil determin traiectoria acesteia în timpul alunecrii pe sîrm etc.
Forma traiectoriei este pus la baza primei clasifi cri a micrilor mecanice ale mobilului: în micri rectilinii (traiectoriile sînt linii drepte) i în micri curbilinii (traiectoriile sînt linii curbe, în plan sau în spaiu).
c. Deplasarea i distana parcurs
Considerm traiectoria unui mobil (fi g. 1.13) i dou poziii ocu- pate de el pe traiectorie: poziia M la momentul de timp t i poziia M’ la momentul ulterior de timp t’= t +Δt.
Vectorul Δs→ = MM’care unete poziia iniial M i cea fi nal M’se numete vector deplasare sau deplasare Δ s→ a mobilului în intervalul de timp t = t’– t .
Fig. 1.11
Fig. 1.12
Modulul deplasrii (lungimea vectorului deplasare) este distana minim dintre aceste poziii i nu depinde de forma traiectoriei dintre ele.
Lungimea traiectoriei l dintre poziiile M i M’se numete distan parcurs de mobil în intervalul de timp t. Deplasarea mobilului este o mrime vectorial i nu poate fi comparat cu distana
parcurs, care reprezint o mrime scalar. Ultima poate fi comparat doar cu modulul deplasrii ce nu poate depi distana parcurs: s→ ≤ l.
d.o Micarea de translaie a rigidului
Micarea de translaie a rigidului este micarea în care segmentul de dreapt ce unete dou puncte arbitrare ale rigidului rmîne paralel cu sine însui (fi g. 1.14). În jur observm deseori corpuri în micare de translaie: valiza cu
rotile ce coboar pe o suprafa înclinat (fi g. 1.15), telefericul ce urc sau coboar, dar a crui podea rmîne permanent orizontal (fi g. 1.16), scaunele roii de contemplare („roata dracului”) ale cror speteze sînt permanent verticale (fi g. 1.17) etc.
Cercetînd detaliat micarea de translaie a corpului din fi gura 1.14, observm c segmentul AB ce unete punctele arbitrare A i B ocup ulterior poziia A’B’. În conformitate cu defi niia rigidului, segmentele AB i A’B’au lungimi egale, iar potrivit defi niiei micrii de translaie, aceste segmente sînt paralele. Prin urmare, pa- trulaterul ABB’A’este un paralelogram. Deci în intervalul de timp cît a durat aceast micare, deplasrile punctelor arbitrare A i B sînt egale: . Punctele fi ind arbi- trare, rezult c deplasrile tuturor punctelor rigidului în micare de translaie sînt egale între ele, adic toate punctele au traiectorii identice. Acest fapt permite s considerm rigidul în micare de translaie drept punct material, chiar dac dimensiunile corpului nu sînt neglijabile.
ÎNTREBRI I PROBLEME
02. Care este defi niia vectorului de poziie?
03. Ce numim traiectorie a unui punct material?
04. Cum se defi nete vectorul deplasare? Dar distana parcurs?
Fig. 1.14
I
05. În ce const micarea de translaie? Cum se mic punctele corpului în cazul micrii de translaie?
06. Poate oare modulul deplasrii unui corp s fi e egal cu distana parcurs? Dar mai mare? Mai mic? Argumentai rspunsul.
07. Deplasarea mobilului într-un interval de timp este egal cu zero. Se poate oare afi rma c în acest interval mobilul s-a afl at în repaus? Justifi cai rspunsul.
08. Ce indic contorul vitezometrului automobilului: modulul deplasrii sau distana parcurs?
09. Coordonatele punctului material la un moment de timp sînt: x = 8 m, y = 6 m. Trasai pe caiet axele unui sistem plan al coordonatelor i reprezentai în el poziia punctului i vectorul lui de poziie. Determinai în baza fi gurii obinute modulul vectorului de poziie i unghiul format de el pe axa Ox. Verifi cai rezultatele efectuînd calculele respective (vezi p. 14).
10. Un corp aruncat vertical în sus de la înlimea h = 3 m deasupra pmîntului se ridic în sus cu H = 7 m deasupra locului lansrii, apoi cade pe pmînt. Determinai modulul deplasrii i distana parcurs de corp în aceast micare.
11. Un grup de turiti parcurge distana l1 = 1,6 km în direcia Nord, apoi înc l2 = 1,2 km în direcia Vest. Determinai modulul deplasrii grupului de turiti i cu cît el este mai mic decît distana parcurs.
12. O bil se mic de la un capt pîn la altul al unui jgheab de forma unui semiinel de raz R = 0,5 m. Determinai modulul deplasrii bilei i distana parcurs de ea.
13. Un sportiv alearg pe un stadion distana L = 200 m. Pista de alergri prezint un semicerc urmat de o poriune rectilinie cu lungimea l = 100 m. Care este modulul deplasrii sportivului?
1.4 OPERAII CU VECTORI
a. Adunarea vectorilor
În fi zic se utilizeaz pe larg mrimile vectoriale, dou dintre ele fi ind deja defi nite: vectorul de poziie i deplasarea. Din cursul de Matematic, clasa a VIII-a, cunoatei unele elemente de algebr vectorial.
Regula adunrii (compunerii) vectorilor poate fi stabilit relativ simplu, analizînd un exemplu de micare. Imaginai-v intersecia a dou strzi i un pieton care se afl în poziia A i trebuie s ajung în poziia B (fi g. 1.18). Trecerea direct de la A la B, în linie dreapt, este interzis de regulile de circulaie. De aceea pietonul traverseaz mai întîi una din strzi ca s ajung în poziia C, apoi strada a doua i ajunge în poziia B.
În conformitate cu defi niia, vectorul s→ = AB→ este deplasarea pietonului în tot intervalul de timp. Aceast deplasare se compune din dou etape, s→1 = AC→ i s→2 = CB→
, efectuate succesiv. Deci
Acest exemplu ilustreaz regula adunrii vectorilor. Considerm doi vectori: a→ i
b→ (fi g. 1.19, a) i notm suma lor cu c→ = a→ + b→. Reprezentm în fi gura 1.19, b vectorul a→, apoi translm paralel vectorul
b→cu originea sa în extremitatea vectorului a→. Vectorul sum c→, numit i rezultant, îi are originea în cea a primului vector a→ i extremitatea în cea a vec- torului al doilea b→. Acelai rezultat c→se obine dac efectum operaia menionat mai sus în ordine invers, adic reprezentm mai întîi vectorul
b→, iar pe urm vectorul a→(fi g. 1.19, c). Aceast regul de adunare a vectorilor este cunoscut ca regula triunghiului.
Rezultatul adunrii vectorilor rmîne acelai dac realizm o alt fi gur: reprezentm vectorii ce se adun, a→i
b→, cu originea comun, construim pe ei un paralelogram, apoi
17
CI NE
M AT
IC A
diagonala lui, care pornete din originea comun a acestor vectori. Vectorul sum c→ pornete din aceast origine i are ca extremitate vîrful opus al paralelogramului (fi g. 1.19, d). Aceast regul a fost denumit regula paralelogramului.
Avem dou reguli echivalente de adunare a vectorilor. În cazul folosirii regulii triun- ghiului se construiesc doar dou laturi ale paralelogramului i diagonala lui.
La adunarea mai multor vectori una dintre regulile expuse mai sus se aplic de mai multe ori, rezultatul fi ind independent de ordinea în care acetia se adun (fi g. 1.20).
Modulul vectorului sum poate fi determinat atît grafic, prin construirea figurii corespunztoare la o scal aleas, cît i analitic. De exemplu, dac vectorii a→
i b→au suport
comun i acelai sens (fi g. 1.21, a), atunci modulul sumei este egal cu suma modulelor; dac îns vectorii au suport comun, dar sensuri contrare (fi g. 1.21, b), vectorul sum este orientat în sensul vectorului cu modulul mai mare i are modulul egal cu diferena modulelor vecto- rilor ce se adun; în cazul în care vectorii a→
i b→formeaz între ei un unghi drept (fi g. 1.21, c),
modulul vectorului sum se determin pe baza teoremei lui Pitagora: c = . În alte cazuri se utilizeaz aparatul matematic adecvat, de exemplu, teorema cosinusului.
b. Scderea vectorilor
Considerm doi vectori a→i b→. Diferena lor d→ = a→ – b→
poate fi determinat prin cîteva metode.
Observm c a→ = b→+ d→, adic vectorul a→ este vector sum. Construim vectorii a→i
b→cu origine comun. Evident, vectorul d→
este segmentul orientat din extremitatea vectorului
b→spre extremitatea lui a→(fi g. 1.22, a).
S 2
S 1
I
Transformm relaia d→ = a→ – b→ = a→ + (– b→). Astfel, vectorul diferen d→se obine prin adunarea vectorilor a→i (– b→), ultimul avînd acelai modúl i aceeai linie de suport ca i vectorul
b→, dar sens contrar (fi g. 1.22, b). Din fi gurile de mai jos observai c prin ambele metode se obine unul i acelai rezultat.
Cunoaterea operaiei de scdere a vectorilor permite s exprimm vectorul deplasare s→ al mobilului prin vectorii de poziie r→i r→’ ai locurilor ocupate de acesta la începutul i la sfîritul intervalului de timp. Din fi gura 1.23 observm c s→ = r→’– r→= r→, unde cu r→= r→’– r→s-a notat variaia vectorului de poziie al mobilului.
Vectorul deplasare al mobilului într-un interval oarecare de timp este egal cu variaia vectorului de poziie al mobilului în acest timp.
c. Componentele i proieciile unui vector
Din cele expuse mai sus rezult c este relativ simplu a determina modulul vectorului sum sau al vectorului diferen a doi vectori dac aceti vectori sînt coliniari sau reciproc perpendiculari. Dac îns unghiul dintre vectori este arbitrar i se opereaz cu mai muli vectori, procedura adunrii (scderii) se complic considerabil. Pentru a o simplifi ca, se introduc noiunile de componente i de proiecii ale vectorilor.
Orice vector situat în planul de coordonate xOy poate fi prezentat ca suma a doi vectori paraleli la axele de coordonate (fi g. 1.24). Aceti vectori se numesc componente ale vectorului. Astfel, compo- nentele unui vector sînt tot vectori. Componenta se noteaz ca i vectorul corespunztor, dar cu indice care arat axa creia îi este paralel. Astfel, cx
→ este componenta vectorului
c→paralel la axa Ox, iar cy →
este componenta aceluiai vector paralel la axa Oy. Conform defi niiei, c→x + cy
→ = c→. Folosind componentele vectorilor, sistemul iniial de vectori orientai arbitrar în plan se
înlocuiete cu un sistem de vectori în numr de dou ori mai mare, dintre care o jumtate sînt paraleli la axa Ox, iar alt jumtate – paraleli la axa Oy. Dup adunarea vectorilor din fi ecare jumtate, se obin doi vectori reciproc perpendiculari. Procedura adunrii vectorilor s-a simplifi cat.
Fig. 1.22 Fig. 1.23
CI NE
M AT
IC A
Pentru a efectua calculele prin metoda analitic, introducem înc o noiune – proiecia vectorului pe o ax, în particular, pe axa de coordonate. Conform defi niiei, proiecia unui vector pe o ax reprezint o mrime scalar algebric egal cu modulul com- ponentei vectorului în direcia acestei axe, luat cu semnul plus dac componenta i axa respectiv au acelai sens sau cu semnul minus în cazul în care sensul componentei este contrar sensului axei.
Proiecia vectorului a→ pe axa Ox se noteaz cu ax , proiecia vectorului
b→pe axa Oy – cu by etc. Conform fi gurii 1.24, proieciile vectorilor sînt:
ax=ax →, ay= ay
→.
Exist i o alt defi niie, echivalent, a proieciei vectorului pe o ax. S examinm vec- torul a→din fi gura 1.25. Coborîm perpendiculare din originea i extremitatea lui pe axele de coordonate. Astfel, se obin proieciile punctelor respective pe axe. Proiecia vectorului pe o ax este egal cu diferena dintre coordonatele proieciei extremitii i proieciei vectorului originii. Adic ax = x2 – x1 i ay = y2 – y1. Observm c ax > 0 i ay < 0, ceea ce rezult i din defi niia precedent.
Proieciile vectorului se pot calcula ca lungimile catetelor triunghiurilor dreptunghice. Cunoscînd un unghi (fi g. 1.25), pentru proiecii avem ax = a sin i ay = – a cos .
Din aceeai fi gur se obine i relaia dintre modulul vectorului i proieciile lui pe axele de coordonate:
. (1.6)
S ilustrm aplicarea noiunii de proiecie a vectorului la calcularea sumei a trei vectori s→ = a→+ b→+ c→(fi g. 1.26). Din fi gur observm c proiecia vectorului sum pe axa Ox este sx= x4 – x1 = (x4 – x3 ) + (x3 – x2 ) + (x2 – x1 ) = cx + bx + ax.
În mod similar se obine: sy = ay + by + cy.
Proiecia vectorului sum a unui sistem de vectori este egal cu suma proieciilor acestor vectori pe axa corespunztoare. inînd seama de relaia (1.6), pentru modulul vectorului sum avem
s = √ s2 x + s2
y= √ (ax+ bx+ cx)2 + (ay+ by+ cy)2. (1.7)
În cazul diferenei vectorilor, proieciile respective se iau cu semnul minus.
Fig. 1.26Fig. 1.25
ÎNTREBRI I PROBLEME
01. Cum se adun doi vectori dup regula triunghiului? Dar dup regula paralelogramului?
02. Ce reprezint componentele unui vector?
03. Cum se determin proiecia unui vector pe o ax?
04. Cu ce este egal proiecia pe o ax a vectorului perpendicular pe ea?
05. Suma a cror doi vectori este egal cu zero?
06. În ce caz modulul sumei a doi vectori este egal cu diferena modulelor vectorilor ce se adun?
07. Modulul vectorului sum a doi vectori de module identice este egal cu modulul unuia dintre ei. Care este unghiul dintre vectorii ce se adun?
08. Trei vectori de module egale, situai în acelai plan, formeaz între ei unghiuri de 120o. Care este modulul sumei acestor vectori?
09. Proieciile vectorului a pe axele de coordonate sînt ax=2 uniti i ay = 2uniti. Determinai modulul acestui vector i unghiurile formate de el cu axele de coordonate.
10. Vectorul a are proieciile pe axele de coordonate ax = 6 uniti i ay = – 4 uniti, iar vectorul
b − proieciile egale cu bx=–2uniti i by = 2 uniti . Determinai modulul vectorului sum
s = a + b i modulul vectorului diferen d = a – b.
11. Un punct material s-a deplasat din poziia M1 determinat de coordonatele x1 = 6 m, y1 = –2 m în poziia M2 cu coordonatele x2 = 2 m, y2 = 1 m. Alegei un sistem plan de coordonate Oxy i scala respectiv pentru lungime. Indicai poziiile M1 i M2, trasai vectorii respectivi de poziie r1 i r2 , precum i vectorul deplasare Δs = r2 – r1. Determinai, în baza fi gurii obinute, modulul vectorului deplasare. Verifi cai rezultatul prin calculele respective.
1.5 MICAREA RECTILINIE UNIFORM. VITEZA
Micarea rectilinie a punctului material care parcurge deplasri egale în intervale de timp egale se numete micare rectilinie uniform. Fie s→1 , s→2 , s→3 , … sînt deplasrile mobilului în intervalele de timp t1 , t2 , t3 , …
corespunztoare. În conformitate cu defi niia de mai sus, s→1 = s→2 = s→3 =…, pentru orice intervale t1 = t2 = t3 =… . Dac unul dintre aceste intervale este divizat în dou pri egale, atunci i deplasarea ce corespunde unei jumti de interval va fi egal cu o jumtate din deplasarea efectuat în intervalul întreg de timp. Aceast afi rmaie rmîne just i în cazul divizrii intervalului de timp în mai multe pri egale.
Egalitatea vectorilor deplasare ai punctului material este posibil numai dac acetia sînt orientai de-a lungul aceleiai drepte. Astfel, conchidem c în condiiile prevzute de defi niia de mai sus traiectoria mobilului constituie o linie dreapt, adic micarea este rectilinie, iar din egalitatea deplasrilor i, respectiv, a intervalelor de timp rezult egali- tatea rapoartelor:
= = ... = = ... = const.
21
CI NE
M AT
IC A
Vitez a mobilului în micarea rectilinie uniform este numit raportul dintre depla- sarea mobilului i intervalul de timp respectiv:
→ = = const. (1.8)
Intervalul de timp t > 0; prin urmare, viteza are aceeai direcie i sens ca i vectorul deplasare. Putem formula o alt defi niie pentru aceeai micare:
Micarea mobilului cu vitez constant → este o micare rectilinie uniform. S-a convenit a nota unitile mrimilor fi zice cu simbolurile respective luate în paran-
teze ptrate. De exemplu, unitatea deplasrii [s→ ] = m, a intervalului de timp [t] = s. La stabilirea unitii de vitez în SI, obinem
[ v→ ]=
.
Unitatea de vitez este o unitate derivat, deoarece se exprim prin unitile fundamentale. Pentru a descrie mai simplu micarea mobi-
lului de-a lungul traiectoriei sale rectilinii, este convenabil s lum o ax de coordonate, Ox, de-a lungul traiectoriei (fig. 1.27). Indicm pe ax poziia iniial a mobilului M0 (la momentul t0 = 0) i poziia fi nal M→(la momentul t). Deplasarea mobilului în intervalul t = t – 0 = t este egal cu vectorul = s→ , iar viteza lui v→
= . De aici exprimm deplasarea mobilului în intervalul Δt = t:
s→ = →t. (1.9)
Legea micrii rectilinii uniforme este urmtoarea:
Deplasarea mobilului ce se mic rectiliniu uniform este direct proporional cu durata micrii. În proiecii pe axa Ox avem
sx = xt. (1.10)
Din fi gura 1.27 observm c proiecia deplasrii sx = x – x0, deci x – x0 = vxt. Astfel, co- ordonata mobilului ce se mic rectiliniu uniform este dat de expresia
x = x0+ x t, (1.11)
care constituie ecuaia cinematic a micrii rectilinii uniforme. Din (1.11) observm c pentru vx > 0, cînd viteza este
orientat în sensul pozitiv al axei Ox, coordonata x crete cu timpul, iar pentru vx < 0 ea descrete.
Ecuaia micrii (1.11) permite a determina coordonata mobilului la orice moment de timp, adic descrie micarea dat.
Construim grafi cele pentru proieciile vitezei i pentru coordonata mobilului în micarea rectilinie uniform.
Proiecia vitezei rmîne constant în timp, grafi cul ei este o dreapt paralel la axa timpului (fi g.1.28). Dreapta 2
Fig. 1.27
I
corespunde micrii cu o vitez v2x mai mare decît viteza v1x , iar dreapta 3 corespunde micrii în sensul negativ al axei Ox (proiecia v3x < 0).
Cunoaterea grafi cului pentru proiecia vitezei mobilu- lui permite calcularea proieciei deplasrii lui. Din grafi cul reprezentat în fi gura 1.29 i luînd în considerare formula (1.10), constatm c proiecia deplasrii s1x = v1x . t1 este numeric egal cu aria dreptunghiului haurat dintre grafi c i axa timpului. Dac proiecia vitezei v2x < 0, atunci i proiecia deplasrii este negativ.
Se tie c laturile fi gurilor se exprim în metri (m), iar ariile lor în metri ptrai (m2). Dreptunghiul de sub grafi cul proieciei vitezei are o latur (pe axa absciselor) care se exprim în s, a doua – în m/s, iar aria lui se exprim în metri. Analogia cu geometria nu este complet, de aceea se menioneaz c egalitatea proieciei deplasrii cu aria de sub grafi c reprezint doar o egalitate numeric, unitatea de msur fi ind diferit de unitatea de msur a ariei (m2).
În conformitate cu ecuaia micrii (1.11), la momentul iniial (t0 = 0) coordonata mobilului este egal cu x0, apoi crete liniar pentru vx > 0 (grafi cul 1 din fi g. 1.30). Grafi cul 2 corespunde micrii cu o vitez mai mare, ambele mobile pornind din aceeai poziie. Grafi cul 3, paralel cu grafi cul 1, corespunde micrii ce are ca poziie iniial originea coor- donatelor i viteza v3x = v1x . Grafi cul 4 corespunde micrii mobilului care începe din poziia cu coordonata x’0 i are proiecia vitezei v4x < 0, adic mobilul se mic în sensul negativ al axei Ox.
Distana parcurs de punctul material în micarea rectilinie uniform este egal cu modulul deplasrii, deoarece sensul micrii rmîne permanent acelai. Avem l = |sx| = |vx|t.
Dac cunoaterea grafi cului proieciei vitezei permite de- terminarea deplasrii, deci i a coordonatei, atunci cunoaterea grafi cului coordonatei permite calcularea proieciei vitezei. În acest scop, determinm din grafi c variaia coordonatei (egal cu proiecia deplasrii) într-un interval oarecare de timp t (fi g. 1.31), apoi calculm:
x = . (1.12)
Din aceeai fi gur observm c aceast mrime este raportul catetei opuse la cateta alturat unghiului , adic un raport asemntor celui care defi nete tangenta unghiului. Aceasta îns este o mrime adimensional, în timp ce raportul catetelor triunghiului din fi gura 1.31 reprezint o mrime dimensional i se msoar în uniti de vitez (m/s). De aceea trebuie s fi m ateni la utilizarea în asemenea cazuri a noiunii de tangent, subliniind c egalitatea mrimilor în cauz este doar numeric.
Fig. 1.29
Fig. 1.30
Fig. 1.31
CI NE
M AT
IC A
PROBLEM REZOLVAT
În fi gura 1.32 sînt reprezentate grafi cele micrii pentru dou mo- bile. Utilizînd grafi cele:
a) determinai intervalele de timp i distanele parcurse de mobile pîn la întîlnirea lor;
b) determinai vitezele mobilelor; c) scriei ecuaiile micrii mobilelor;
d) determinai distana dintre mobile la t = 4 s dup întîlnire.
REZOLVARE a) Punctul de intersecie al grafi celor corespunde întîlnirii mobilelor,
adic aceasta are loc la momentul de timp tînt = 6 s în punctul cu
coordonata xînt = 8 m. Mobilul 1 începe micarea sa din punctul cu coordonata x01= 5 m la momentul t01= 0, deci pîn la întîlnire
parcurge distana l1= xînt – x01= 3 m în timpul t1 = tînt – t01 = 6 s. Mobilul 2 începe s se deplaseze
la momentul t02 = 2 s din origine: x02 = 0. Pîn la întîlnire el parcurge distana l2 = xînt – x02 = 8 m
în timpul t2 = tînt – t02 = 4 s.
b) Vitezele ambelor mobile sînt orientate în sensul pozitiv al axei Ox:
v1 = = 0,5 m/s i v2 = = 2 m/s.
c) Ecuaia micrii mobilului 1 se obine din expresia general x = x0 + vxt, în care se sub- stituie valorile obinute mai sus: x1 = x01+ v1t = 5 + 0,5t. Cel de-al doilea mobil începe s se deplaseze din origine (x02 = 0) cu t02 = 2 s mai tîrziu decît primul, ecuaia micrii lui fiind x2 = v2 (t – t02) = 2(t –2). În aceast expresie se pot substitui doar valorile t >_ 2 s.
d) Distana dintre mobile d = |x1 – x2| = |5 + 0,5 t – 2 (t – 2)| = |9 – 1,5 t|. Intervalul de timp
t = 4 s dup întîlnire corespunde momentului de timp t1 = tînt + t = 10 s. Distana d la acest moment: d = 6 m.
ÎNTREBRI I PROBLEME
1. Care micare a mobilului este numit rectilinie uniform?
2. Ce se numete vitez a mobilului în micare rectilinie uniform?
3. Cum se defi nete micarea rectilinie uniform prin noiunea de vitez?
4. Cum poate fi determinat proiecia deplasrii mobilului în micare rectilinie uniform cînd este cunoscut grafi cul vitezei?
5. Ce indic vitezometrul automobilului: proiecia vitezei sau modulul ei?
6. Un automobil care se mic rectiliniu uniform cu viteza v1 = 54 km/h a parcurs în t1 = 10 s o distan egal cu cea parcurs de un motociclist în t2 = 12 s. Care este viteza motociclistului, considerînd micarea lui, de asemenea, rectilinie uniform?
7. Un tren cu lungimea l = 160 m traverseaz un rîu pe un pod cu lungimea L = 290 m. Cît timp dureaz micarea trenului pe pod cu viteza constant v = 18 km/h?
8. Un mobil se mic rectiliniu uniform. La momentul t1 = 2 s coordonata lui x1 = 5 m, iar la momentul t2 = 4 s coordonata devine egal cu x2 = 2 m. Scriei ecuaia micrii mobilului.
9. Dou mobile se mic de-a lungul axei de coordonate Ox conform ecuaiilor x1 = –3 + 2t i x2 = 17 – 3 t, în care timpul t este exprimat în s , iar coordonata x – în m. Construii grafi cele pentru coordonatele i proieciile vitezelor mobilelor; determinai momentul întîlnirii lor i distanele parcurse de ele pîn la întîlnire.
Fig. 1.32
1.6° CINEMATICA MICRII RELATIVE
Mai sus (par. 1.2, a) s-a menionat c micarea este relativ, adic poate fi descris simul- tan fa de mai multe sisteme de referin. În acest caz este important s stabilim ce relaii exist între caracteristicile micrii unuia i aceluiai corp în sisteme de referin diferite.
De exemplu, un elev se deplaseaz cu autobuzul. Admitem c el s-a aezat pe un scaun (fi g. 1.33, a). Fa de autobuz elevul se afl în repaus, dar fa de staia de autobuze (de Pmînt) el se mic împreun cu autobuzul. Astfel, acest elev fa de un referenial se afl în repaus, iar fa de altul se mic. De aceea se spune c starea de repaus este relativ i depinde de alegerea referenialului. Deplasarea elevului fa de referenialul legat de autobuz (referenialul mobil) este nul s1 = 0, iar deplasarea sa s
fa de referenialul
legat de Pmînt (referenial considerat convenional fi x) devine egal cu deplasarea s→2 a autobuzului, adic
s→ = s→2 pentru s→1 = 0. (1.13)
O alt situaie: elevul intr în autobuz prin ua din spate i trece pîn la ua din fa în timp ce autobuzul se mic. Dup cum se observ din fi gura 1.33, b, deplasarea s→ a elevului fa de Pmînt este egal cu deplasarea sa s→1 fa de autobuz plus deplasarea s→2
a acestuia:
s→ = s→1 + s→2 . (1.14)
Deplasrile elevului în raport cu cele dou refereniale sînt diferite, deci ele sînt relative, adic dependente de referenialul ales.
Dac îns elevul intr în autobuz prin ua din fa i se deplaseaz spre partea din spate a lui, relativitatea micrii este i mai evident: în raport cu autobuzul elevul se deplaseaz într-un sens (în sensul deplasrii sale s→1 ), iar în raport cu Pmîntul în sens contrar (i cu spatele înainte!). Din fi gura 1.33, c observm c i în acest caz deplasrile corpurilor satisfac relaia (1.14).
Corpurile din exemplele de mai sus se micau în aceeai direcie. S examinm acum un caz cînd ele se mic în direcii diferite: pe suprafaa apei unui rîu se deplaseaz simultan, pornind din acelai loc, o plut i o luntre cu vîsle, aceasta inînd cursul su perpendicular pe direcia curentului de ap (fi g. 1.34). Pluta i luntrea sînt antrenate în micare de curentul de ap la fel, rmînînd permanent pe o direcie perpendicular fa de curentul de ap. În timpul în care luntrea ajunge la malul opus al rîului, aceasta, ca i pluta, s-a deplasat în direcia curentului de ap cu s→2 . Deplasarea luntrii în raport cu pluta, deci i în raport cu curentul de ap, este egal cu s→1 . Din fi gur observm c deplasarea s→
a luntrii în raport cu malul satisface relaia s→ = s→1 + s→2 , obinîndu-se din nou relaia (1.14).
Fig. 1.33
Fig. 1.34
S 2
S 1
CI NE
M AT
IC A
Micarea corpului fa de sistemul mobil i caracteristicile acesteia sînt numite rela- tive: deplasare relativ, vitez relativ. Micarea corpului i caracteristicile ei în raport cu sistemul de referin considerat fi x sînt numite absolute: deplasare absolut, vitez absolut. Micarea corpului cauzat numai de micarea sistemului mobil este numit micare de transport i, respectiv, caracteristicile ei: deplasare de transport, vitez de transport. Din aceste defi niii reiese c pentru a evidenia micarea de transport i a determina carac-
teristicile ei, este necesar s ne imaginm corpul în repaus fa de referenialul mobil. În aceti termeni relaia (1.14) se enun astfel:
Deplasarea absolut a corpului este egal cu suma deplasrii relative i a celei de transport. Aceasta este legea compunerii deplasrilor. La prima vedere, relaia (1.14) este identic cu relaia (1.5). În ambele cazuri se adun
vectorii deplasare. Dar în relaia (1.5) se adun vectorii deplasare ai corpului pentru in- tervale succesive de timp t1 i t2, obinîndu-se deplasarea corpului în întreg intervalul de timp ( t = t1 + t2). În relaia (1.14) îns fi gureaz deplasri ale corpului în unul i acelai interval de timp, dar fa de refereniale diferite, i deplasarea corpului condiionat de micarea referenialului mobil.
Considerm c micarea relativ a corpului i cea a referenialului mobil sînt rectilinii i uniforme. Atunci i micarea în raport cu referenialul fi x este rectilinie i uniform.
Notm cu t durata micrii (timpul este absolut, deci durata t este aceeai în ambele sisteme de referin). Împrind termenii relaiei (1.14) la t, obinem
. (1.15)
Mrimea v→ = constituie viteza absolut (în raport cu referenialul fi x), v→1 = este
viteza relativ (în raport cu referenialul mobil) i v→2 = – viteza de transport, adic viteza
pe care o are corpul datorit micrii referenialului mobil. Relaia (1.15) ia forma
→ = →1 + →2
. (1.16)
Viteza absolut a mobilului este egal cu suma vitezei relative i a celei de transport. Aceasta este legea compunerii vitezelor. Astfel, nu numai deplasarea mobilului, ci i viteza lui este o caracteristic relativ,
dependent de sistemul de referin ales. Legea exprimat de relaia (1.16) este cunoscut, de asemenea, ca legea compunerii
vitezelor în mecanica clasic. Ulterior vei afl a c ea rmîne valabil la viteze mult mai mici decît viteza luminii în vid c i c la viteze comparabile cu c este înlocuit cu o lege general de compunere a vitezelor, care la viteze mici în comparaie cu c trece în legea (1.16).
PROBLEM REZOLVAT Un sportiv traverseaz un rîu cu limea L în direcie perpendicular pe mal. El ajunge în punctul B de pe malul opus, situat vizavi de locul de plecare, apoi se reîntoarce la acesta. A doua oar sportivul înoat în sens opus curentului de ap (în amonte) la o distan egal, de asemenea,
26
I
cu L, dup care se întoarce la locul iniial. În ce caz sportivul a consumat un timp mai mare i de cîte
ori? Viteza sportivului în ap stttoare v1 = 0,90 m/s, viteza de curgere a apei din rîu v2 = 0,54 m/s.
REZOLVARE Reprezentm în fi gura 1.35 poziia iniial A, poziia B de pe malul opus al rîului i poziia C în amonte. Distanele AB = AC = L. La traversarea rîului din A în B i înapoi,
viteza v→1 a sportivului în raport cu apa trebuie s fi e orientat sub un anumit unghi
fa de aceast direcie, astfel încît viteza v→ a lui fa de mal s fi e perpendicular
pe acesta. Din fi gur observm c v = . Deci timpul deplasrii din A în B
i înapoi este egal cu t1 = . Viteza sportivului fa de mal la deplasarea lui din A în C
este egal cu (v1– v2), iar la deplasarea din C în A – cu (vv1 + vv2).
Timpul total în acest caz: t2 = . Calculm
raportul timpilor: = 0,8, de unde
obinem t2 = 1,25 t1.
Astfel, în cel de-al doilea caz sportivul are nevoie de un interval de timp de 1,25 ori mai mare decît în primul caz.
ÎNTREBRI I PROBLEME
1. Cînd caracteristicile micrii sînt numite absolute? Dar de transport?
2. Cum se formuleaz legea compunerii vitezelor?
3. Cum se explic faptul c în majoritatea cazurilor sateliii sînt lansai dinspre vest spre est (vezi fi g. 1.5)?
4. Viteza unui biciclist v1 = 12 m/s, iar viteza vîntului ce-i sufl în fa este v2 = 4 m/s, ambele viteze fi ind considerate în raport cu pmîntul. Determinai viteza vîntului în raport cu biciclistul.
5. Viteza de curgere a apei din rîu v1 = 1,2 m/s. O luntre cu motor se deplaseaz în amonte (în sens contrar curentului de ap) cu viteza v2 = 3 m/s fa de mal. Cu ce vitez se mic luntrea în aval (în sensul curgerii apei)? Regimul de funcionare a motorului luntrii în ambele cazuri este acelai.
6. Pe dou linii paralele de cale ferat se deplaseaz în acelai sens dou trenuri: un marfar cu lungimea L = 640 m, cu viteza v1 = 36 km/h i un tren de pasageri cu viteza v2 = 64,8 km/h. Determinai intervalul de timp în care pasagerul vede marfarul atunci cînd acesta este depit de trenul de pasageri.
7. O scar rulant urc o persoan afl at în repaus în timpul t1 = 1 min. Pe scara imobil persoana urc în t2 = 3 min. În cît timp ea va urca micîndu-se pe scara cu trepte mobile?
8. Un sportiv trece înot un rîu în direcie perpendicular pe mal cu viteza v = 0,5 m/s fa de
acesta. Determinai viteza de curgere a apei din rîu dac se tie c ea este de ori mai mic decît viteza sportivului în raport cu apa.
9. O luntre traverseaz un rîu cu limea L = 60 m , viteza ei fa de ap fi ind perpendicular pe direcia curentului de ap. tiind c viteza luntrii în ap stttoare este egal cu v1 = 3 m/s, iar viteza curentului de ap – cu v2 = 1 m/s, s se determine:
a) viteza luntrii fa de mal; b) distana cu care a fost deplasat luntrea de curentul de ap; c) modulul deplasrii luntrii fa de malul rîului.
Se d:
a. Micarea rectilinie neuniform. Viteza medie. Viteza momentan
În viaa cotidian întîlnim rar corpuri ce se mic rectiliniu uniform. În majoritatea cazurilor ele efectueaz deplasri diferite în intervale de timp egale, adic micrile lor sînt neuniforme. De exemplu, autobuzul care pornete din staie efectueaz în prima secund o deplasare mai mic decît în secunda a doua, iar în a doua – o deplasare mai mic decît în a treia. Un auto- mobil care frîneaz efectueaz în ultima secund o deplasare mai mic decît în penultima etc.
Pentru a caracteriza micarea rectilinie neuniform a mobilului i pentru a compara micrile neuniforme ale diferitor mobile, se introduce noiunea de vitez medie. Admitem c deplasarea mobilului într-un interval de timp Δt = t2– t1 este egal cu s→.
Mrimea fi zic egal cu raportul dintre deplasare i intervalul de timp corespunztor se numete vitez medie a corpului în acest interval de timp.
v→med = . (1.17)
Vectorul vitez medie are direcie i sens comune cu deplasarea corpului, adic este orientat de-a lungul dreptei ce prezint traiectoria sa.
Viteza medie caracterizeaz micarea mobilului în întreg intervalul de timp (t2–t1). Cunoaterea ei nu permite determinarea deplasrii mobilului într-o anumit poriune a acestui interval, de exemplu, în prima treime a lui. Mrimea care permite o descriere mai detaliat a micrii neuniforme este viteza mobilului la un moment dat, numit vitez momentan sau instantanee.
Considerm un exemplu concret: un motociclist se deplaseaz pe o poriune rectilinie de osea. Se cere s se determine viteza instantanee a lui la momentul trecerii pe lîng borna kilometric, mai exact a unui punct, de exemplu, al axului roii din fa, la momentul cînd trece prin planul din fa P al bornei (fi g. 1.36).
Admitem c în intervalul de timp t1 motociclistul a ajuns din poziia A1 în B1 efectuînd
deplasarea s→1. Viteza medie a lui în acest interval v→med 1= . Lum un interval mai mic t2,
deplasarea mobilului este mai mic i egal cu s→2 , iar viteza medie în acest interval: v→med 2= . v→med 2 difer de viteza v→med 1. Unor intervale de timp din ce în ce mai mici t3>t4>t5… le corespund deplasri din ce în ce mai mici s→3, s→4, s→5... i viteze medii:
v→med 3= , v →
t5
... .
Calculînd viteza medie la intervale tot mai mici, vom obine valoarea vitezei momentane.
Notînd cu s o deplasare destul de mic a mobi-
lului i cu t intervalul de timp corespunztor, afl m viteza momentan a mobilului:
→ = . (1.18)
Cu cît intervalul de timp t este mai mic, cu atît acesta se apropie tot mai mult de un moment de timp, iar viteza medie pe acest interval se apropie de viteza momentan.
S 2
I
În cazul micrii rectilinii neuniforme, viteza momentan, care ulterior va fi numit vitez, ia valori diferite pentru momente de timp diferite, adic este o funcie de timp:
→ = → (t). (1.19)
Ea crete în modúl atunci cînd mobilul începe micarea sa i scade cînd acesta frîneaz. În situaia unei traiectorii arbitrare a micrii mobilului (fi g. 1.23), viteza lui momentan
reprezint raportul dintre variaia în timp r →
a vectorului de poziie i intervalul respectiv
de timp t, adic v→ = (se consider c intervalul de timp tinde ctre zero).
Observaie. În cazul în care mobilul se mic în unul i acelai sens, modulul deplasrii lui este egal cu distana parcurs s→ = l , astfel pentru modulul vitezei medii avem
med = . (1.20)
Dac îns mobilul se mic într-un sens, apoi în sens contrar, atunci modulul deplasrii devine mai mic decît distana parcurs. Dac mobilul se întoarce în poziia iniial, modulul deplasrii devine nul, deci viteza medie calculat dup formula (1.17) este egal cu zero, de parc mobilul nu s-ar fi micat pe parcursul acestui interval de timp.
De aceea, atunci cînd mobilul îi schimb sensul micrii, ca în cazul micrii pe traiec- torii curbilinii, este mai efi cient a utiliza viteza medie de distan. Ea este o mrime scalar egal cu raportul dintre lungimea distanei parcurse i intervalul de timp corespunztor. Expresia respectiv coincide cu relaia (1.20). Cînd se afi rm c un autobuz a parcurs traseul Chiinu–Orhei cu viteza de 45 km/h, se constat c acesta a parcurs lungimea de 45 km a oselei (traiectoriei) de la Chiinu pîn la Orhei în timp de o or.
b. Micarea rectilinie uniform variat. Acceleraia
Corpul ce se mic rectiliniu uniform are vitez constant, aceasta fi ind cea mai simpl form de micare. Exist îns o micare rectilinie a corpului, în care viteza lui variaz într-un anumit mod.
Micarea rectilinie a corpului este uniform variat, dac în orice intervale egale de timp variaia vitezei lui momentane este una i aceeai. Conform defi niiei, variaiile vitezei corpului v→1, v→2, v→3, ... în intervalele de timp egale
t1 = t2 = t3 = ... satisfac condiia v→1 = v→2 = v→3 = ... . De asemenea, dac divizm unul dintre intervalele ti în mai multe intervale mai mici egale, atunci fi ecrui interval mai mic îi corespunde o variaie a vitezei tot de atîtea ori mai mic fa de variaia vitezei în intervalul ti.
Din cele expuse mai sus rezult egalitatea raporturilor ... = const.
Acest raport, constant pentru micarea dat, este numit acceleraie (în latin acceleratio „a grbi”):
a→= . (1.21)
Unitatea pentru acceleraie în SI este [a→] = = = .
Acceleraia este mrimea fi zic ce caracterizeaz rapiditatea variaiei vitezei mobi- lului. Acceleraia mobilului în micare rectilinie uniform variat este o mrime constant: a→= const.
29
CI NE
M AT
IC A
Viteza mobilului în micarea rectilinie uniform rmîne constant, deci variaia ei, ca i acceleraia mo- bilului, este nul. Astfel, micarea rectilinie uniform este micarea cu acceleraie nul. Considerm micarea rectilinie uniform variat a unui mobil. Orientm axa de coordonate Ox în direcia micrii (fi g. 1.37). Admitem c la momentul iniial t0 = 0 mobilul ocupa poziia M0 cu coordonata x0 i avea viteza iniial v→ 0, iar la momentul t ocup poziia M cu coordonata x i are viteza v→. Deci în intervalul de timp t = t – t0 = t, viteza mobilului s-a modifi cat cu v→ = v→– v0
→ . Acceleraia lui este
→ = →0 + a →
t. (1.23)
Pentru proiecia vitezei pe axa Ox (fi g. 1.37) avem
x = 0x+ axt. (1.24)
Aceasta este ecuaia vitezei în micarea rectilinie uniform variat. Din aceste relaii observm c viteza mobilului în micare rectilinie uniform variat este o
funcie liniar de timp. În cazul în care proieciile vitezei v0x i ale acceleraiei ax au acelai semn, proiecia vx crete în modúl cu timpul, dac îns ele au semne opuse, proiecia vx descrete. În primul caz micarea este numit accelerat, în cazul al doilea încetinit.
c. Grafi cele proieciilor acceleraiei i vitezei
Proiecia acceleraiei mobilului în micare rectilinie uni- form variat este constant ax = const. Grafi cul ei reprezint o dreapt paralel cu axa timpului (fi g. 1.38). Din fi gur observm c grafi cul 2 corespunde micrii cu o acceleraie mai mare decît cea din micarea reprezentat de grafi cul 1: a2x > a1x. Grafi cul 3 corespunde micrii uniform variate cu proiecia negativ a acceleraiei (a3x < 0), adic orientate în sens contrar sensului pozitiv al axei Ox.
Grafi cul proieciei vitezei vx ca funcie liniar de timp (1.24) este o linie dreapt. În fi gura 1.39 sînt reprezentate diferite grafi ce posibile. Grafi cul 1 reprezint micarea rectilinie uniform variat cu viteza iniial v0x i acceleraia a1x, am- bele proiecii fi ind pozitive, adic vectorii corespunztori sînt orientai în sensul pozitiv al axei Ox. Grafi cul 2 red micarea cu aceeai vitez iniial ca în micarea 1, dar cu acceleraie mai mare: a2x > a1x, deoarece viteza crete mai repede. Grafi cul 3, paralel cu grafi cul 1, reprezint o micare cu viteza iniial nul i acceleraia a3x = a1x. Viteza corpului în micrile reprezentate de grafi cele 1, 2 i 3 crete cu timpul, adic micrile sînt uniform accelerate.
Grafi cul 4 red o micare uniform variat cu proiecia vitezei iniiale v’0x > 0 i cea a acceleraiei a4x < 0. Cu timpul
2
3
1
I
viteza mobilului se micoreaz, deci micarea lui este uniform încetinit. La momentul t4, care corespunde punctului de intersecie a grafi cului 4 cu axa timpului, viteza mobilului a devenit nul, deci el s-a oprit. Dup aceasta (la t > t4), proiecia vitezei a devenit negativ, corpul se mic în sens contrar micrii iniiale cu vitez crescînd în modúl. Astfel, micarea descris de grafi cul 4 este iniial uniform încetinit, pîn la momentul t4, cînd trece în micare uniform accelerat.
Grafi cul 5 corespunde micrii uniform încetinite în sensul negativ al axei Ox pîn la momentul t5, în care viteza mobilului devine nul, dup ce micarea lui devine uniform accelerat în sensul pozitiv al axei Ox.
Punctele de intersecie a grafi celor vitezelor pentru diferite mobile corespund momentelor de timp la care mobilele au viteze egale. De exemplu, mobilele 3 i 5 au viteze egale la momentul t3, 5.
Cunoscînd grafi cul proieciei vitezei, se poate determina proiecia acceleraiei mobilului (fi g. 1.40). Considerm un interval de timp t i determinm din grafi c variaia vx a
proieciei vitezei în acest interval. Pentru proiecia acceleraiei avem ax= .
Procedeul determinrii proieciei acceleraiei pe baza grafi cului vitezei mobilului în micare uniform accelerat este asemntor cu cel al determinrii proieciei vitezei mobilului în micare uniform conform grafi cului pentru coordonata lui.
d. Legea micrii uniform variate a mobilului
Pentru a deduce expresia coordonatei mobilului în micare uniform variat, s examinm graficul pentru proiecia vitezei (fig. 1.41), amintindu-ne c proiecia deplasrii mobilului în aceast micare este numeric egal cu aria dreptunghiului format de grafi cul proieciei vitezei, axa timpului i ordonatele ce corespund începutului i sfîritului intervalului de timp corespunztor (vezi fi g. 1.29).
Spre deosebire de micarea rectilinie uniform, cînd proiecia vitezei rmîne constant, în micarea uniform accelerat proiecia vitezei mobi- lului variaz pe parcursul intervalului 0 ÷ t de la valoarea v0x pîn la valoarea vx = v0x+ axt.
Pentru a calcula proiecia deplasrii în acest caz, împrim imaginar intervalul de timp într-un numr mare de poriuni (intervale) mici t1, t2 … ti , ..., tj … . Deplasarea mo- bilului în întreg intervalul de timp se egaleaz cu suma deplasrilor lui în toate poriunile mici în care a fost împrit acest interval (micarea este rectilinie în unul i acelai sens!). La calcularea proieciei deplasrii mobilului pe parcursul unui interval destul de mic de timp ti inem seama de faptul c în acest interval variaia vitezei este mult mai mic decît valoa- rea ei, ceea ce se vede i din fi gura 1.41. Dac neglijm aceast variaie a proieciei vitezei, atunci micarea mobilului pe parcursul intervalului ti poate fi considerat uniform cu viteza vix. Prin urmare, proiecia deplasrii respective, six, este numeric egal cu aria de sub grafi c – cu aria fîiei haurate de lime ti i înlime vix. Proiecia deplasrii mobilului într-un alt interval mic tj este numeric egal cu aria fîiei respective, de alt lime tj i de alt înlime vjx.
Fig. 1.40
Fig. 1.41
CI NE
M AT
IC A
Însumarea proieciilor deplasrilor în toate intervalele mici de timp se reduce la adunarea
ariilor tuturor fîiilor, obinîndu-se, astfel, aria fi gurii de sub grafi c. Figura respectiv este un
trapez cu bazele egale cu v0x i (v0x + axt) i înlimea egal cu t. Pentru proiecia deplasrii obinem
sx= . t = v0xt+ .
Aceasta este legea micrii rectilinii uniform variate. inînd seama de faptul c proiecia deplasrii sx = x – x0 (fi g. 1.37), pentru coordonata
mobilului avem x = x0 + 0x t + . (1.25)
Aceasta este ecuaia micrii rectilinii uniform variate. În funcie de semnele proieciilor v0x i ax coordonata x i proiecia vitezei vx se pot mri sau micora.
e. Formula lui Galilei
(1.26)
Ecuaiile de mai sus conin cinci mrimi: sx, vx, v0x, ax i t, permiînd a determina dou dintre aceste mrimi cînd sînt cunoscute celelalte trei. În acest mod se rezolv toate pro- blemele ce se refer la forma dat de micare.
În unele probleme timpul t nu este cunoscut i nici nu se cere determinarea lui. În astfel de cazuri este util folosirea unei relaii ce se obine din cele dou relaii (1.26) dup
excluderea din ele a timpului t. Exprimm din cea de-a doua formul timpul t = i îl substituim în prima formul din (1.26):
sx = vox sau
2 x – 2
0x = 2axsx. (1.27)
Relaia respectiv este cunoscut ca formula lui Galilei. Ea nu conine timpul i permite a determina una dintre mrimi cînd sînt cunoscute celelalte trei.
Galileo GALILEI (1564–1642), fi zician i astronom italian
A descoperit principiul ineriei, a stabilit caracterul relativ al micrii mecanice, a formulat principiul clasic al relativitii i legea compunerii vitezelor. A stabilit legitile cderii libere, ale micrii corpului pe planul înclinat i ale oscilaiilor pendulului.
Cu ajutorul unei lunete confecionate de el, a descoperit munii pe Lun, patru satelii ai planetei Jupiter; a stabilit natura stelar a Cii- Lactee. A construit un telescop care i-a permis s descopere fazele planetei Venus, petele pe Soare.
Galilei a fost adept al sistemului heliocentric al lui Copernic, pentru aceasta fi ind persecutat de inchiziie.
32
I
f .o Raportul distanelor parcurse de mobil în intervale de timp egale
S analizm o proprietate deosebit a micrii uniform accelerate cu vitez iniial nul (v0x= 0). Presupunem c axa Ox este orientat în sensul vitezei, care în cazul de fa nu se
modifi c. Prin urmare, distana parcurs este egal cu proiecia deplasrii: l = sx= . Considerm intervale de timp, egale fi ecare cu τ, care se succed. Distana parcurs de
corp în primul interval τ este l1= .
Distana parcurs în cel de-al doilea interval τ este egal cu distana parcurs în intervalul (2τ) de la începutul micrii minus cea parcurs în primul interval τ, adic
l2 = .
Distana parcurs în cel de-al treilea interval succesiv de timp egal cu τ coincide cu distana parcurs în timpul (3τ) minus cea parcurs în timpul (2τ):
l3 = .
Din aceste expresii rezult legitatea
l1 : l2 : l3 : l4 : … = 1: 3: 5: 7: … . (1.28)
În micarea rectilinie uniform accelerat cu vitez iniial nul, distanele parcurse de mobil în intervale succesive de timp egale se raport ca numerele impare succesive. Acest raport al distanelor poate fi utilizat la cercetarea micrii uniform accelerate, în
particular, folosind cronofotografi erea. Pe aceeai fotografi e se obin imagini ale corpului dup intervale de timp egale. Practic ea se realizeaz prin fotografi erea în întuneric a corpului ce se mic. Obiectivul aparatului de fotografi at rmîne deschis, iar corpul este iluminat cu impul- suri de lumin de scurt durat, care sînt orientate asupra lui dup intervale de timp egale.
g. Micarea corpului pe vertical
Un exemplu de micare rectilinie uniform variat este micarea corpului pe vertical la înlimi mult mai mici decît raza Pmîntului. Micarea pe vertical este mi