Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului

Universitatea “OVIDIUS” Constanța

Facultatea de Matematică și Informatică

Teză de doctorat Rezumat

Conducător științific:

Prof.univ.dr. Mirela ȘTEFĂNESCU

Doctorand:

Alexandru BOBE

Constanța 2007

Studiul unor algoritmi de algebrăşi geometrie computaţională

Alexandru BOBE1

1Lucrare parţial susţinută din Programul CEEX al Ministerului Educaţiei şiCercetării, contract CEX 05-D11-11/2005

Cuprins

1 Algoritm pentru determinarea regiunii Groebner a unui ideal 21.1 Ideale monomiale. Ordonări monomiale . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Regiunea Groebner a unui ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Interpretări geometrice şi algoritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Implementarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Testarea algoritmului pe cazuri atipice . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Anexă: Codul ı̂n Singular al algoritmului de determinare a

regiunii Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Aplicaţii ale algoritmului de determinare a regiunii Groebner 302.1 Poliedru. Con. Faţă a unui poliedru . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Însumarea poliedrelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Determinarea fanului normal al unui poliedru . . . . . . . . . . . 362.4 Fanul Groebner şi politopul de stare al unui ideal . . . . . . . . . 39

3 Invarianţi pre-Ţiţeica 443.1 Relaţii liniare pentru curbe de pe suprafeţe ı̂n deformare . . . . . 443.2 Raport pre-Ţiţeica pentru curbele de pe suprafeţele ı̂n deformare 50

4 Invarianţi de tip Ţiţeica 544.1 Funcţia Ţiţeica pentru curbe ı̂n R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Suprafeţe Ţiţeica şi ecuaţii Monge-Ampère . . . . . . . . . . . . 564.3 Funcţia Ţiţeica pentru suprafaţa Euler . . . . . . . . . . . . . . . 594.4 Invarianţi tip Ţiţeica pentru cuplul curbă-suprafaţă . . . . . . . . 60

5 Lanţul Clifford al configuraţiei Ţiţeica pentru elipse egale 655.1 Istoria problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Configuraţia Ţiţeica-Johnson pentru elipse egale . . . . . . . . . 665.3 Lanţ Clifford pentru elipse egale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4 Implementarea ı̂n Mathematica a lanţului Clifford . . . . . . . . 70

6 Curbe şi suprafaţe Ţiţeica ı̂n Mathematica 746.1 Exemplu de suprafaţă Ţiţeica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.2 Aplicarea unei transformări centro-afine . . . . . . . . . . . . . . 766.3 Rolul liniilor asimptotice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

i

6.4 Algoritmul de test Ţiţeica implementat ı̂n Mathematica . . . . . 78

Lista de figuri 79

Bibliografie 81

1

Introducere

În ultimii ani, ı̂n algebră şi geometrie, ca şi ı̂n alte ramuri ale matematicii, sepoate observa un interes sporit faţă de metodele algoritmice de rezolvare a unorprobleme concrete. Acesta este justificat de faptul că progresele spectaculoaseı̂n tehnica de calcul permit efectuarea de calcule complet netriviale cu ajutorulcomputerului, care nu erau posibile ı̂nainte. Un alt motiv este faptul că algorit-mii contribuie la o mai bună ı̂nţelegere a unei probleme.

Tot ı̂n ultimii ani s-au dezvoltat noi metode de cercetare ı̂n algebră. Acesteaau la bază idei din diverse domenii: geometrie poliedrală, teoria grafurilor,programare ı̂ntreagă, calcul simbolic etc. Legătura cu probleme ale matematiciidiscrete şi ale metodelor numerice sau ale cercetărilor operaţionale a devenit dince ı̂n ce mai stânsă. Astfel de metode şi probleme cer, pur şi simplu, abordareacu ajutorul calculatorului.

Teoria bazelor Groebner este un minunat exemplu cum o idee folosită pen-tru rezolvarea unei probleme devine cheia rezolvării unei varietăţi de alte pro-bleme din diferite arii ale matematicii şi chiar din afara matematicii (vedeţi[Robbiano şi Kreuzer, 2000]).

De aceea, teoria bazelor Groebner a devenit un subiect important de cercetareı̂n algebra computaţională, generând un interes constant datorită utilităţii unel-telor computaţionale create, care se aplică unor largi clase de probleme dinmatematică, inginerie şi informatică.

Bazele Groebner1 au fost introduse ı̂n 1965 de Bruno Buchberger2 ı̂n teza sade doctorat [Buchberger, 1965]. Ideea de bază din spatele acestei teorii poatefi descrisă ça o generalizare a teoriei polinoamelor ı̂ntr-o variabilă. În inelulpolinomial k[X ], unde k este un corp, orice ideal I poate fi generat de unsingur element, şi anume de cel mai mare divizor comun al elementelor dinI. Fiind dată o mulţime de generatori {f1, ..., fs} ⊆ k[X ] pentru I, se poatecalcula un polinom d = cmmdc (f1, ..., fs) astfel ı̂ncât I = (f1, ..., fs) = (d).Atunci un polinom f ⊆ k[X ] se află ı̂n I, dacă şi numai dacă restul ı̂mpărţiriilui f la d este zero. Bazele Groebner sunt analoagele cmmdc-urilor ı̂n inelelepolinomiale de mai multe variabile, ı̂n următorul sens: o bază Groebner pen-tru un ideal I ⊆ k[X1, ..., Xn] generează I şi un polinom f ⊆ k[X1, ..., Xn]este ı̂n I, dacă şi numai dacă restul ı̂mpărţirii lui f la polinoamele din baza

1Voi folosi acestă scriere a numelui ı̂n locul scrierii Gröbner2Doctorandul lui Wolfgang Gröbner

2

Groebner este zero. Dacă sintetizăm, teoria bazelor Groebner rezolvă prob-leme de tipul următor: având dat sistem de ecuaţii polinomiale peste un corparbitrar f1 (x1, ...xn) = 0,...,fs (x1, ...xn) = 0 şi o nouă ecuaţie polinomialăf (x1, ...xn) = 0, vrem să aflăm dacă soluţiile sistemului iniţial sunt şi soluţiilenoii ecuaţii. Desigur, această problemă depinde de corpul unde căutăm o ast-fel de soluţie. În oricare din cazuri, o parte importantă a problemei constă ı̂na decide dacă f aparţine idealului I generat de f1, ...fs, adică să existe poli-noamele g1, ..., gs astfel ı̂ncât f = g1f1 + ... + gsfs. Dacă f ∈ I, atunci oricesoluţie a sistemului f1 = ... = fs = 0 este şi soluţie pentru f = 0. Deci, o bazăGroebner poate fi văzută ca un sistem special de generatori pentru idealul Icu proprietatea că problema apartenenţei lui f la idealul I se rezolvă printr-osimplu proces de ı̂mpărţire cu rest.

Această caracterizare abstractă a bazelor Groebner este numai o faţă ateoriei. De fapt, ideile din spatele acestei caracterizări au existat şi ı̂naintede lucrarea lui Buchberger. De exemplu, Macaulay a folosit ı̂n [Macaulay, 1927]astfel de idei pentru a detrmina anumiţi invarianţi ai idealelor din inelele poli-nomiale şi Hironaka ı̂n lucrarea [Hironaka, 1964] a folosit idei similare pentru astudia inelele de serii de puteri.

Adevărata importanţă a bazelor Groebner este de fapt că acestea se potcalcula şi algoritmul lui Buchberger a făcut din bazele Groebner un subiect cudrepturi depline ı̂n algebră3.

Algoritmii de natură geometrică s-au format ca o ştiinţă de sine stătătoare(geometria computaţională), oferind soluţii pentru multe dintre problemele prac-tice de natură geometrică din diverse domenii — design arhitectural, ingineriecivilă şi militară, transporturi, ecografie, ecologie, etc. Geometria computaţionalăeste, de asemenea, activitatea de a demonstra teoreme de geometrie folosind cal-culatorul, rezultatele ı̂n acest domeniu fiind ı̂nsă doar ale geometriei.

Studiul sistematic al algoritmilor şi a structurilor de date pentru obiectele ge-ometrice poate fi făcut dacă obiectelor geometrice li s-au identificat proprietăţile(de obicei altele decât cele caracterizările geometrice clasice). Astfel de pro-prietăţi vom ı̂ncerca să găsim ı̂n lucrarea de faţă.

3pentru mai multe detalii puteţi consulta [Robbiano şi Kreuzer, 2000]

3

Mulţumiri

Doresc să adresez mulţumirile cuvenite tuturor celor care, direct sau indirect,prin sugestiile oferite au contribuit la şlefuirea acestui demers ştiinţific şi m-aususţinut ı̂n finalizarea lui.

Pe tot parcursul efectuării acestei lucrări am beneficiat de sprijinul per-manent al doamnei profesoare Mirela Ştefănescu, conducătorul ştiinţific al tezeimele de doctorat, căreia ı̂i aduc, pe această cale, cele mai sincere mulţumiri pen-tru ı̂ndrumarea activităţii mele ştiinţifice şi pentru exigenţa manifestată faţă delucrare.

Mulţumesc doamnei profesoare Viviana Ene pentru sugestiile oferite la parteade algebră, idei ce mi-au fost de un real folos ı̂n elaborarea acestei teze.

Mulţumesc domnului profesor Wladimir Boskoff, care cu generozitate, răbdareşi profesionalism, a ı̂ncurajat permanent conţinutul ideatic şi ştiinţific al cercetăriimele şi pentru sprijinul personal şi ı̂ncrederea pe care mi le acordă ı̂n viaţă şimai ales ı̂n carieră.

De asemenea ţin să le mulţumesc domnilor profesori Bogdan Suceavă, Al-fonso Agnew şi Laurenţiu Homentcovschi, pentru exactitatea sugestiilor şi pu-terea de sinteză ce-au manifestat-o de-a lungul articolelor scrise ı̂mpreună.

În cele din urmă aş dori să exprim recunoştiinţă şi mulţumire mamei, soţieişi fiicei mele, pentru susţinerea, ı̂nţelegerea şi liniştea pe care mi-au acordat-ope parcursul acestor ani de studiu.

4

Rezumat

Teza este structurată ı̂n 6 capitole.

Folosind ı̂n cadrul teoriei bazelor Groebner tehnici din combinatorică, geome-trie poliedrală şi geometrie computaţională, se poate crea conceptul de regiuneGroebner pentru un ideal al unui inel de polinoame. În Capitolul 1 am con-struit un algoritm care să calculeze ı̂n O(nlogn) regiunea Groebner a unui idealprincipal ı̂n două nedeterminate, am implementat acest algoritm ı̂n Singularşi am vizualizat obiectul creat folosind Mathematica. Acest algoritm asociazăunui obiect algebric un obiect geometric, care se poate vizualiza şi folosi cu omai mare uşurinţă ı̂n aplicaţii. O parte din rezultatele acestui capitol le-amcomunicat ı̂n cadrul a două prelegeri la Şcoala Naţională de Algebră - Ediţia aXIV-a, Septembrie 2005.

După ce ı̂n Secţiunea 1.1 am prezentat câteva dintre proprietăţile ide-alelor monomiale şi ordonărilor monomiale ce ne sunt folositoare ı̂n capitoleleurmătoare, ı̂n Secţiunea 1.2 am folosit legătura dintre idealele iniţiale (inω) şibazele Groebner pentru a defini regiunea Groebner:

GR(I) = {ω ∈ Rn | inω(I) = inω′(I) pentru ω′ ≥ 0} .

Aceste două secţiuni conţin multe exemple originale, care permit o maibuna ı̂nţelegere a noţiunilor discutate. În Secţiunea 1.3, care este origi-nală, am construit algoritmul de determinare a regiunii Groebner pe următorulschelet: considerând polinomul f ∈ k[X, Y ] de forma:

f = c1Xa1Y b1 + c2Xa2Y b2 + ... + cnXanY bn ,

c1, c2, ..., cn �= 0, fiecare vector vi = (ai, bi) determină ı̂n plan punctul Ai(ai, bi).Pentru a calcula GR(I) suntem interesaţi de acele direcţii ω ∈ R2 astfel ı̂ncâtinω(I) = inω′(I) pentru ω′ ∈ R2+, adică vrem să găsim reuniunea tuturormulţimilor cu elemente ω ∈ R2 astfel ı̂ncât să fie ı̂ndeplinită condiţia inω(I) =inω′(I), pentru ω′ ∈ R2+. Condiţia inω(I) = inω′(I) ı̂nseamnă de fapt să găsimacele direcţii ω ∈ R2 astfel ı̂ncât ωvi să fie maxim, i = 1, n. Valoarea optimă afuncţiei liniare ωv se obţine pe frontiera politopului Newton New(f) şi, mai ex-act, ı̂ntr-un vârf al frontierei H a lui New(f). Folosind acest rezultat, problemanoastră se reduce la a afla, pentru fiecare vârf din H , direcţiile ω = (ω1, ω2) ∈ R2astfel ı̂ncât problema {

max(ω1x + ω2y)v = (x, y) ∈ New(f)

5

să-şi realizeze soluţia ı̂n vârful considerat. În acest mod, vom determina de faptmulţimile

Sωj ={ω ∈ R2 | ωv ı̂şi atinge maximumul ı̂n punctul Aj , v ∈ New(f)

},

j = 1, m, unde m = este numărul de vârfuri ale frontierei H . Atunci, algoritmulva determina regiunea Grobner astfel:

GR(I) =m⋃

j=1

(Sωj ∩ R2+).

Rezultatele din acest paragraf au fost publicate ı̂n [Bobe, 2006]. Aici mă simtdator să amintesc discuţiile avute pe această temă cu domnul profesor GerhardPfister, la Workshop-ul “Cohen-Macaulay Rings and Related Structures” dinaprilie 2005 şi cu doamna profesoară Viviana Ene ı̂n cadrul pregătirii pentruSNA 2005. Aceste discuţii au motivat scrierea unui astfel de algoritm, ca unpas important al unui algoritm ce calculează politopul de stare al unui ideal depolinoame.

Exemplul 1.2.15 Pentru idealul I = (f), unde f este polinomul din Exem-plul 1.2.4

f (X1, X2) = 4X61X22 + 5X

51X

32 − X41 + 3X21X42 + X21 + X1X2 + X32 + 7,

vom calcula GR(I).

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

� �

�

�

�

�

�

�

A8

A5

A6

A3

A1

A2

A4

A7

d1

d2

d3d4

d5

d6

Fig. 1.a: Politopul Newton pentru Exemplul 1.2.15

Fiecare vector exponent vi din scrierea f =∑

v∈NnavX

v ∈ k[X ], cu avi �= 0 de-

termină un punct Ai ı̂n plan, aşa cum se poate vedea ı̂n Fig. 1.a. Înfăşurătoareaconvexă a acestor puncte este hexagonul A1A2A4A7A8A3.

Pentru a calcula GR(I), suntem interesaţi să căutăm acei vectori ω ∈ R2astfel ı̂ncât inω(I) = inω′(I) pentru ω′ ∈ R2+, adică vrem să găsim, pentru

6

fiecare element (vârf sau muchie) al ı̂nfăşurătoarei convexe, toate direcţiile ω =(ω1, ω2) ∈ R2 astfel ı̂ncât ele să maximizeze ω ·vi p̧e acoperirea convexă. În plus,regiunile asociate fiecărui vârf sau muchii trebuie să aibă intersecţia nevidă cuprimul cadran al lui R2.

Deci, trebuie să găsim acele direcţii care se situează ı̂ntre vectorii normali aidreptelor d1 şi d4. În Figura 2 avem toate direcţiile posibile divizate ı̂n clase.Factorizarea direcţiilor se face prin vârurile şi muchiile ı̂nfăşurătoarei convexe.Astfel, regiunea Groebner este zona marcată cu săgeată circulară, adică:

GR(I) ={(ω1, ω2) ∈ R2 | ω1 + ω2 > 0 şi 2ω1 + ω2 > 0

}.

Celelalte zone (nemarcate) maximizează produsul ω · vi, dar intersecţia cuprimul cadran este vidă.

1 2 3 4 5−1−2−3

1

2

3

4

−1

−2

GR(I) = {(ω1, ω2) : ω1 + ω2 > 0 ∧ 2ω1 + ω2 > 0}

Fig. 1.b: Regiunea Groebner pentru idealul din Exemplul 1.2.15

Exemplul 1.3.1 Pentru a putea construi un algoritm să observăm mai ı̂ntâicum se poate calcula Sω2 pentru I = (f), f din Exemplul 1.2.4. Politopul Newtonal lui f este dat de acoperirea convexă a punctelor Ai, i = 1, 8, adică hexagonulce are ca laturi dj , j = 1, 6 (vedeţi Figura 1). Aşa cum am descris mai sus, Sω2ı̂nseamnă mulţimea tuturor acelor ω = (ω1, ω2) ∈ R2 astfel ı̂ncât ωv ı̂şi atingemaximumul ı̂n punctul A2. Aşadar avem de rezolvat următoarea problemă:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

max(ω1x + ω2y) = 5ω1 + 3ω2y ≥ x − 4y ≤ −x + 8y ≤ − 13x +

143

y ≤ 12x + 3x ≥ 0y ≥ 0

7

Dacă considerăm dreapta d : ω1x + ω2y = t, atunci nd = (ω1, ω2) estevectorul normal al acestei drepte. Deci, vectorul normal al dreptei de stareω1x + ω2y = t ce satisface condiţiile problemei se află ı̂ntre nd2 = (1, 1) şind3 = (1, 3) aşa cum putem observa şi din Figura 1.b. Deci,

Sω2 = {(ω1, ω2) : −ω1 + ω2 ≥ 0 ∧ 3ω1 − ω2 ≥ 0} .

Iată, algoritmul nostru pentru determinarea regiunii Groebner:

Algoritm: Regiunea GroebnerInput : I = (f), f = c1Xa1Y b1 + ... + cnXanY bn , c1, c2, ..., cn �= 0.Output : GR(I).1. Pentru fiecare monom al lui f : vi := (ai, bi), i = 1, n.2. Dacă n < 2, atunci: GR(I) = R2; afişează GR(I).3. Dacă n = 2, atunci:Calculează vectorul normal exterior ne = (a, b), a > 0. Dacă b > 0, atunci:

3.1. GR(I) = R2; afişează GR(I).3.2. Altfel: GR(I) =

{(ω1, ω2) ∈ R2 | − bω1 + aω2 > 0

}; afişează GR(I).

4. Determină H :=Înfăşurătoarea convexă(v1, ..., vn) = {A1, ..., Am}, m =numărul de vârfuri din ı̂nfăşurătoarea convexă.

5. Determină vectorii normali exteriori ai lui H : V := {ne1, ..., nem}.6. Păstrăm din V doar vectorii ce au ambele componente pozitive:

{nei , n

ei+1..., n

ej

}.

7. Fie nei−1 = (ai−1, bi−1) şi nej+1 = (aj+1, bj+1) vectorii directori ai dreptelor

ce ne dau regiunea Groebner GR(I). Atunci,

GR(I) ={(ω1, ω2) ∈ R2 | − bi−1ω1 + ai−1ω2 > 0 or bj+1ω1 − aj+1ω2 > 0

}8. Afişează GR(I).

În Secţiunea 1.4 am discutat detaliile de implementare ale fiecărui obiectdin algoritmul de determinare a regiunii Groebner aflat ı̂n Anexa 1.6 şi aleşirurilor de caractere din Singular ce permit vizualizarea politopului Newtonşi a regiunii Groebner ı̂n Mathematica. Şirurile de caractere conţin de asemeneaşi instrucţiuni de manipulare ı̂n Mathematica. Tot ı̂n această secţiune am regăsit(cu ajutorul algoritmului implementat) politopul Newton şi regiunea Groebnerdin exemplul rezolvat teoretic ı̂n Secţiunea 1.2.

Vom vedea cum lucrează acest program pentru determinarea regiunii Groeb-ner a polinomului din Exemplul 1.2.4. Urmărind paşii din algoritm, programulva afişa fiecare obiect important pentru construcţia şirului final de caractere.

The EXPONENT VECTORS are:6 25 32 44 00 3

8

2 01 10 0

The NUMBER of the points is:8

The POSITION of the RIGHTMOST LOWEST POINT is:4

The MATRIX before the sorting procedure is:4 05 32 46 20 32 01 10 0

The MATRIX with the POINTS SORTED angulary is:4 06 25 32 40 31 12 00 0

The CIRCULAR LIST of the points is:4 06 25 32 40 31 12 00 04 0

ELIMINATE the point from the POSITION7ELIMINATE the point from the POSITION6

9

THE NEWTON POLYTOPE is:4 06 25 32 40 30 04 0

THE EXTERIOR NORMAL VECTORS are:2 -21 11 3

-1 2-3 00 -4

The POSITIONS of the FRONTIER HALF LINESof the Groebner region are:14

THE GROEBNER REGION is:GR(I)={(w1,w2) in R^2 | 2*w1+2*w2>0 or 2*w1+1*w2>0}

Putem observa că regiunea Groebner determinată cu acest program esteaceeaşi cu cea dedusă teoretic ı̂n Secţiunea 1.2.

Rulajul programului ı̂n Singular ne furnizeză şirurile de caractere şi, urmândinstrucţiunile din ultimele rânduri, vom transporta aceste şiruri ı̂ntr-un Note-book din Mathematica.

Show[Graphics[{RGBColor[0,1,0],PointSize[.03],Map[Point,{{4,0},{6,2},{5,3},{2,4},{0,3},{1,1},{2,0},{0,0}}],RGBColor[0,0,1],Map[Point,{{4,0},{6,2},{5,3},{2,4},{0,3},{0,0},{4,0}}],RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Line[{{4,0},{6,2},{5,3},{2,4},{0,3},{0,0},{4,0}}]},AspectRatio->Automatic,Axes->True]];Show[Graphics[{RGBColor[0,0,1],Thickness[.01],Map[Line[{{0, 0},#}]&,{{2,-2},{1,1},{1,3},{-1,2},{-3,0},{0,-4}}],RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Line[{{0,0},{2,-2}}],Line[{{0,0},{-1,2}}]},AspectRatio->Automatic,Axes -> True]];

Executând instrucţiunile de mai sus ı̂n Mathematica, vom obţine reprezentarea

10

grafică a obiectelor dorite (politopul Newton şi regiunea Groebner), la fel ca ı̂nFigura 1.a şi Figura 1.b din Secţiunea 1.2. Politopul Newton al punctelor iniţialese poate vedea ı̂n figura de mai jos:

Fig. 1: Vizualizarea politopului Newton cu Mathematica

Regiunea Groebner este dată de sectorul circular infinit din primul cadrance se află ı̂ntre cele două semidrepte roşii suport:

Fig. 2: Reprezentarea regiunii Groebner ı̂n Mathematica

În Secţiunea 1.5 am testat algoritmul de determinare a regiunii Groebnerpe câteva cazuri atipice, pentru a observa cum funcţionează algoritmul ı̂n situaţiiı̂n care datele de intrare nu sunt convenţionale şi pentru a putea fi uzitat şi ı̂nalte aplicaţii din capitolul următor.

Scopul Capitolului 2 este de a aplica algoritmul de determinare a regiuniiGroebner la construirea, pentru un ideal I ⊂ k[X ], a unei corespondenţe bijec-

11

tive ı̂ntre diferitele ideale iniţiale şi vârfurile unui obiect geometric. Acest obiectva fi numit politopul de stare pentru I şi ı̂l vom nota cu State(I).

În Secţiunea 2.1 am utilizat algoritmul de determinare a regiu-nii Groebner pentru a afla regiunea Groebner a fiecărei feţe a unuipoliedru, folosindu-mă şi de identitatea

faceω′(faceω(P )) = faceω+εω′(P ), ∀ω, ω′ ∈ Rn, � > 0,

astfel: am găsit regiunea Groebner a feţei faceω(P ) (pe care o putem notacu GRω) şi apoi am calculat regiunea Groebner a feţei faceω′(P ) (pe care amnotat-o cu GRω′). Dacă vom intersecta cele două regiuni GRω ∩ GRω′ vomobţine ca rezultat tocmai regiunea Grobner a feţei faceω+εω′(P ).

Pentru a putea aplica procedura de determinare a politopului New-ton folosită ı̂n algoritmul din Capitolul 1, la calcularea sumei Minkowskia două poliedre, ı̂n Secţiunea 2.2 am exprimat poliedrele ca polinoame ı̂nk[X ]. După ce am făcut această transformare, am folosit rezultatul care leagăsuma Minkowski de polinoamele obţinute, rezultat ce este o consecinţă a iden-tităţii faceω(New(f)) = New(inω(f)), ∀ω ∈ Rn şi ∀f ∈ k[X ] şi care afirmă căsuma Minkowski este tocmai politopul Newton al produsului polinoamelor.

În Secţiunea 2.3 am aplicat o rutină a algoritmului de determinarea regiunii Groebner pentru a construi fanul normal al unui poliedru.Conul normal al fiecărui vârf al unui poliedru, precum şi al fiecărei muchii sepoate găsi cu uşurinţă folosind algoritmul de determinare a regiunii Groebner,unde va trebui eliminată condiţia de intersecţie cu Rn+ (pasul 6 din algorimul dedeterminare a regiunii Groebner). Reunind regiunile Groebner ale feţelor se vaobţine fanul normal al poliedrului.

Fig. 3: Politopul căruia ı̂i calculăm fanul normal.

Definiţia 2.1.9. Fie P un poliedru ı̂n Rn şi ω ∈ Rn văzut ca o funţionalăliniară. Definim o faţă a lui P , ca fiind:

faceω(P ) = {u ∈ P |ω · u ≥ ω · v, ∀v ∈ P}.

Definiţia 2.3.1. Fie P ⊂ Rn un poliedru şi F o faţă a lui P . Definim conul

12

Fig. 4: Ilustratea conurilor normale pentru fiecare faţă a politopului.

normal al lui F ı̂n P :

NP (F ) = {ω ∈ Rn : faceω(P ) = F}.

Definiţia 2.3.7. Colecţia de conuri normale NP (F ), unde F parcurgemulţimea feţelor lui P :

N (P ) =⋃

F∈PNP (F )

se numeţe fanul normal al lui P .Scopul Secţiunii 2.4 este de a construi politopul de stare pentru un ideal I ⊆

k[X ]. Constatând că ordonările monomiale formează o mulţime nenumărabilă,pentru un ideal fixat I le-am putea grupa totuşi ı̂ntr-un număr finit de clase deechivalenţă. Dacă vom nota clasa de echivalenţă cu C[ω], atunci fanul Groebnerva fi dat de GF (I) = {C [ω] | ω ∈ Rn} ∪ ∅. În cazul particular ı̂n care f este unpolinom omogen, politopul de stare ı̂n putem calcula cu algoritmul dedeterminare a regiunii Groebner, deoarece este politopul Newton al lui f .

13

La sfârşitul secolului al XIX-lea, câteva dintre problemele importante dingeometria diferenţială au fost rezolvate datorită faimosului Program de la Erlan-gen al lui F. Klein ce a oferit ideea de a studia geometria prin anumite grupuride transformari. Urmând ideile lui F. Klein, Gh. Ţiţeica a studiat curbe şisuprafeţe obţinând importante proprietăţi afine, centro-afine şi proiective aleobiectelor supuse transformărilor, descoperind ı̂n 1907 o clasă de suprafeţe dinspaţiul 3-dimensional (suprafeţele S), ce sunt astăzi exemple de sfere afine. Dinpunct de vedere istoric, Gh. Ţiţeica a fost primul geometru ce a studiat sfer-ele afine folosind invarianţi euclidieni. Aceste rezultate au fost generalizate lanoţiuni precum hipersuprafeţe Ţiţeica ı̂ntr-o dimensiune arbitrară sau sfere afinepropriu-zise. O noţiune geometrică importantă direct legată de hipersuprafeţeleŢiţeica este funcţia distanţă afină, cunoscută de asemenea şi ca funcţia suportafină [Nomizu şi Sasaki, 1994]. O hipersuprafaţă Ţiţeica poate fi caracterizatăca locul geometric al punctelor care se află la o distanţă afină fixată faţă de unpunct centru (considerat ca fiind originea) — de unde şi terminologia de “sfereafine”.

Pornind de la ideea lui Ţiţeica, ce afirma că: “având dată o clasă de obiecte,pentru a le studia proprietăţile ce sunt invariante faţă de un anumit grup detransformări, trebuie să considerăm un element arbitrar al clasei de obiecte şisă vedem ce relaţii satisface aceasta astfel ı̂ncât aceste relaţii să fie invariantepentru ı̂ntreaga clasă, la acţiunea acelui grup”, ı̂n Capitolul 3 am căutat relaţiiı̂ntre mărimile caracteristice curbelor şi suprafeţelor ce se păstrează sub acţiuneatransformărilor centro-afine, idee ce ne va conduce la noţiunea de suprafeţeŢiţeica şi am dat astfel un alt răspuns la ı̂ntrebarea: “Cum şi de ce au apărutsuprafeţele Ţiţeica?”.

În Secţiunea 3.1, pentru a ajunge la suprafeţe Ţiteţica, am căutat mai ı̂ntâirelaţii asemănătoare la curbe pe suprafeţe. Relaţiile pe care le-am căutat suntı̂ntre curbura curbelor şi distanţa de la origine la planul rectificant asociat. Amcercetat şi dacă aceste relaţii sunt invariante la centro-afinităţi. Acest studiul-am făcut pe două clase de suprafeţe: suprafeţele tetraedrale ı̂n deformare ST(x

mm+1 +y

mm+1 +z

mm+1 = 1, m ∈ Z\{−1, 0}) şi sferele astroidale ı̂n deformare SA,

anume cele date de ecuaţia: x2

2m+1 + y2

2m+1 + z2

2m+1 = 1, m ∈ N. Pentru ambeleclase de suprafeţe studiate (ST ) şi (SA) am obţinut că produsul K1 (x) · d (0, π)este constant doar ı̂n cazul sferei uzuale şi a celei astroidale, ce sunt singurelesuprafeţe din ST ∪ SA (singurele soluţii ale ecuaţiei mm+1 =

22k+1 , m ∈ Z −

{−1}, k ∈ N sunt numai m = ±2, deoarece relaţia se scrie k = m+22m ∈ N).Obţinând că relaţia K1 (x) · d(0, π) = ct nu este invariantă pentru clasele de

obiecte de mai sus, a trebuit să căutăm altă relaţie ı̂ntre aceste două mărimi.Relaţia pe care am cercetat-o ı̂n Secţiunea 3.2 este K1(x)d3(0,π) = ct, inspirată dinforma expresiilor celor doua mărimi.

Pentru ambele clase de suprafeţe studiate (ST ) şi (SA) am obţinut că ra-portul K1(x)d3(0,π) este constant doar ı̂n cazul sferei uzuale. Putem observa că, deşiaceastă relaţie este un invariant centro-afin pentru curbele de intersecţie dintresferă şi un plan, ı̂n momentul când am trecut la alte clase de suprafeţe, relaţia

14

Fig. 5: Suprafaţă tetraedrală pentru m = 3

Fig. 6: Suprafaţă tetraedrală pentru m = 9

nu ne oferă decât sfera. Cu alte cuvinte relaţia K1(x)d3(0,π) este destul de greu deı̂ndeplinit. Am fi puţin descurajaţi la acest pas de stricteţea relaţiilor de tip

Kdn+1 , dar am insistat şi ı̂n momentul când am trecut de la curbe pe suprafeţela suprafeţe (adică am verificat Kd4 ), am constatat că o ı̂ntreaga clasă verificărelaţia: clasa suprafeţelor S (numite astăzi suprafeţe Ţiţeica).

În Capitolul 4, am considerat geometria curbelor asimptotice asociatesuprafeţelor Ţiţeica, ceea ce ne-a condus la un nou invariant asociat cu-plului curbă-suprafaţă Ţiţeica. Rezultatele au fost sintetizate ı̂n lucrarea[Agnew, Bobe şi Boskoff, 2006] şi au fost obţinute ı̂n 2006.

În Secţiunea 4.1 am considerat funcţia Ţiţeica pentru curbe ı̂n R3, stabilindinvariantul pentru curbe şi relaţia care există ı̂ntre funcţia Ţiţeica pentruo curbă şi transformata centro-afină a acesteia. Totodată am obţinut, ca şiconsecinţă, rezultatul lui Ţiţeica referitor la curbe Ţiţeica.

Lema 4.1.1 Fie c : I ⊂ R −→ R3, c(t) = (x(t), y(t), z(t)) o curbă ı̂n spaţiul

15

Fig. 7: Sferele astroidale ı̂n deformare pentru m ∈ {1, 2}

Fig. 8: Sferele astroidale ı̂n deformare pentru m ∈ {3, 4}

3-dimensional. Atunci avem relaţia:

K2(c)(t) = d2c(t) · Ic(t),

unde Ic(t) =det(

·c(t),

··c(t),

···c (t))(

det(c(t),·c(t),

··c(t))

)2 este o funcţie de variabila t.Definiţia 4.1.2. Vom numi cantitatea Ic(t) din Lema 4.1.1 funcţia Ţiţeica

pentru curba c : I ⊂ R −→ R3.Definiţia 4.1.3. Transformata centro-afină a curbei c : I ⊂ R −→ R3,

c(t) = (x(t), y(t), z(t)) este o curbă h : I ⊂ R −→ R3, h(t) = c(t) · M , undeM ∈ M3(R), det M �= 0.

Rezultatul important al acestei secţiuni este următoarea teoremă ce sta-bileşte invariantul pentru curbe şi relaţia care există ı̂ntre funcţiile Ţiţeica pen-tru o curbă şi transformata centro-afină a acesteia.

Teorema 4.1.4. Fie h : I ⊂ R −→ R3 transformata centro-afină a curbeic : I ⊂ R −→ R3, c(t) = (x(t), y(t), z(t)). Atunci funcţia Ţiţeica pentru curbe

16

I·(t) =K2(·)(t)

d2· (t)este un invariant centro-afin şi, ı̂n plus, satisface relaţia:

Ih(t) =1

detM· Ic(t).

Definiţia 4.1.5. O curbă c : I ⊂ R −→ R3 se numeţe curbă Ţiţeica dacăfuncţia Ţiţeica Ic(t) este constantă.

Rezultatul lui Ţiţeica referitor la invarianţa funcţiei pentru curbe Ţiţeicadevine corolarul Teoremei 4.1.4:

Corolarul 4.1.6.(Ţiţeica) Transformata centro-afină a unei curbe Ţiţeicaeste tot o curbă Ţiţeica. În plus, relaţia pe care o satisfac cele două curbe este:

Ih =1

detM· Ic.

Legând conceptul de suprafeţe Ţiţeica de ecuaţia Monge-Ampère, ı̂n Secţiunea4.2 am definit funcţia Ţiţeica pentru suprafeţe şi am arătat invarianţa acesteiapentru suprafeţe, obţinând ca rezultat particular cazul suprafeţelor Ţiţeica. Înplus, am determinat şi relaţia ı̂n care se află funcţia Ţiţeica pentru o suprafaţăşi transformata ei centro-afină.

Să considerăm ecuaţia Monge-Ampère neomogenă ı̂n dimensiune 2, adică oecuaţie cu derivate parţiale de ordinul doi de forma:(

∂2u

∂x∂y

)2− ∂

2u

∂x2· ∂

2u

∂y2= F (x, y), (0.0.1)

având ca soluţie u = u(x, y).

Definiţia 4.2.1. Numim o suprafaţă f : U =◦U ⊂ R2 −→ R3, cu condiţia

caf(x, y) = (x, y, u(x, y)),

suprafaţă generată de ecuaţia Monge-Ampère neomogenă, unde u =u(x, y) este o soluţie pentru ecuaţia 4.2.1

Lema 4.2.2. Suprafaţa generată de ecuaţia Monge-Ampère 4.2.1 satisfacerelaţia:

K (f) (p) = d4f (p) · Jf (p) ,unde

Jf (p) =−F (x, y)(

u (x, y) − x∂u∂x − y∂u∂y

)4 .Definiţia 4.2.3. Numim cantitatea Jf (p) din Lema 4.2.2 funcţia Ţiţeica

pentru suprafaţa f : U =◦U ⊂ R2 −→ R3 .

Definiţia 4.2.4. Transformata centro-afină a suprafeţei f este o

suprafaţă g : U =◦U ⊂ R2 −→ R3 dată de:

g(x, y) = f(x, y) · M.

17

Următoarea teoremă evidenţiază invarianţa funcţiei Ţiţeica pentru suprafeţeşi relaţia ı̂n care se află funcţiile Ţiţeica pentru o suprafaţă şi transformata eicentro-afină.

Teorema 4.2.5. Fie f : U =◦U ⊂ R2 −→ R3 o suprafaţă generată de ecuaţia

Monge-Ampère 4.2.1 şi g transformata centro-afină a suprafeţei f . Atunci,funcţia Ţiţeica pentru suprafeţe J·(p) =

K(·)(p)d4· (p)

este un invariant al transformăriişi, ı̂n plus, satisface relaţia:

Jg(p) =1

(detM)2· Jf (p) .

Definiţia 4.2.6. O suprafaţă f : U =◦U ⊂ R2 −→ R3 se numeşte suprafaţă

Ţiţeica dacă funcţia Ţiţeica Jf (p) este constană.Corolarul 4.2.7.(Ţiţeica) Transformata centro-afină a unei suprafeţe Ţiţeica

este tot o suprafaţă Ţiţeica. Mai mult, invariantul centro-afin satisface relaţia:

Jg =1

(detM)2· Jf .

Unul dintre rezultatele clasice de geometrie diferenţială afină afirma că liniileasimptotice ale unei suprafeţe Ţiţeica sunt curbe Ţiţeica. În Capitolul Invarianţide tip Ţiţeica am demonstrat acest rezultat ca un caz particular al unei teoremeenunţate ı̂ntr-un caz mult mai general. În Secţiunea 4.3 am definit funcţiaŢiţeica pentru suprafaţa Euler şi am oferit un contraexemplu rezultatuluiinvers, adică am să găsit o curbă Ţiţeica pe o suprafaţă Ţiţeica care nu estecurbă asimptotică. Din câte ştim, rezultatele acestei secţiuni nu au maifost discutate ı̂n literatura de specialitate.

În Secţiunea 4.4 am tratat legătura dintre suprafeţele Ţiţeica şi curbeleŢiţeica de pe aceste suprafeţe. Noţiunea centrală a acestui studiu este cea decurbe asimptotice. Acestă analiză conduce la introducerea unui nou invari-ant asociat cuplului curbă-suprafaţă Ţiţeica, completând rezultatele dinsecţiunile anterioare. Din ceea ce ştim, acest rezultat nu a mai fost abordatı̂n literatura de specialitate.

Lema 4.4.6. Fie f : U −→ R3 o suprafaţă şi c = f ◦ α : I −→ R3 o curbăpe f . Atunci:

Jf (p) = I2c (t) · Qf,c(p, t),unde Qf,c(p, t) este o funcţie reală.

Definiţia 4.4.7. Qf,c(p, t) din Lema 4.4.6 se numeşte funcţia Ţiţeicapentru cuplul (f, c).

Corolarul 4.4.8. Fie f : U =◦U ⊆ R2 −→ R3 o suprafaţă de curbură

negativă şi c = f ◦ α : I ⊂ R −→ R3 o linie asimptotică pe această suprafaţă.Atunci

Qf,c(t) = −1 = Qf,c.

18

Corolarul 4.4.9.(Ţiţeica) Liniile asimptotice ale unei suprafeţe Ţiţeica suntcurbe Ţiţeica.

Teorema 4.4.10 Fie (f, c) un cuplu constând dintr-o suprafaţă f şi o curbăc pe această suprafaţă, şi fie (g, h) transformata centro-afină a cuplului (f, c).Atunci funcţia Ţiţeica Q·,·(p, t) =

J·(p)I2· (t)

este un invariant centro-afin pentruaceastă transformare. Mai mult, relaţia pe care cuplurile o satisfac este:

Qg,h(p, t) = Qf,c(p, t).

Propoziţia 4.4.11 Transformata centro-afină a unei linii asimptotice de peo suprafaţă este o linie asimptotică pentru transformata centro-afină a suprafeţei.

Corolarul 4.4.12. Funcţia Ţiţeica Q = JI este un invariant centro-afin pen-tru cuplul transfomat centro-afin (g, h) al cuplului (f, c), unde f este o suprafaţăşi c este o linie asimptotică pe f . Mai mult, avem şi relaţia:

Qg,h = Qf,c.

Corolarul 4.4.13 Funcţia Ţiţeica Q = JI este un invariant centro-afin alcuplului format din suprafaţă Ţiţeica şi linie asimptotică pe această suprafaţă.

DeliaÎn Capitol 5 am extins configuraţia Ţiţeica pentru cercuri de raze egale

prezentată pe scurt ı̂n Secţiunea 5.1 la elipse egale şi am arătat că problemaare sens pentru n elipse egale, generând astfel un lanţ Clifford. Aceste rezultatese găsesc ı̂n lucrarea [Bobe şi Boskoff, 2007].

În Secţiunea 5.2 am demonstrat două rezultate ajutătoare pentru a puteaextinde configuraţia şi la elipse de semiaxe egale şi paralele cu axele de co-ordonate.

Teorema 5.2.5 Dacă 3 elipse egale Ei (Oi, a, b) , i = 1, 3 au un punct comunP , atunci celelalte 3 puncte de intersecţie Pij , i, j = 1, 3, i < j aparţin uneielipse egală cu cele iniţiale.

Teorema 5.3.1 Fie Ei (Oi, a, b) , i = 1, 4 4 elipse egale, toate trecând printr-un punct P şi fie Pij , i, j = 1, 4, i < j punctele de interseţie ale elipselor Ei şiEj . Atunci cele 4 elipse (conform Teoremei 5.2.5) Eijk (Oijk, a, b) , i, j = 1, 4, i <j < k ce trec prin punctele Pij , Pik, şi Pjk au un punct comun P1234.

×

×

×

×O

O

O

O

P

P

P

P

¹

²

³

¹²³

¹²

²³

¹³

O×4

×P1234

19

Teorema 5.3.1 afirmă existenţa unui punct comun P1234 de intersecţie a 4elipse determinate de Teorema 5.2.5 ı̂ntr-o configuraţie cu patru elipse egaleavând un punct comun P . Este natural să ne punem problema configuraţiei decinci elipse egale ce au un punct comun P . Conform Teoremei 5.3.1, fiecare 4determina un punct. Cele 5 puncte obţinute din intersecţii aparţin unei elipseegale cu cele iniţiale? Dacă raspunsul este afirmativ, putem continua? Dacăvom considera o configuraţie formată din 6 elipse egale având un punct comunP , fiecare 5 vor produce o elipsă egală cu cele iniţiale. Cele 6 elipse produse sevor ı̂ntâlni ı̂ntru-un punct comun P123456? Putem găsi generalizarea rezultatelordin Teorema 5.2.5 şi Teorema 5.3.1?

În Secţiunea 5.3 am introdus noţiunea de lanţ Clifford pentru elipseegale şi am enunţat şi demonstrat două rezultate ce generalizează configuraţiainiţială.

Teorema 5.3.3 Având 2n+1 elipse egale Ei (Oi, a, b) , i = 1, 2n + 1, n ∈ N∗,toate având un punct comun P , atunci cele 2n + 1 puncte P1...i...2n+1, i =1, 2n + 1, fiecare dat de intersecţia a 2n elipse E12...i...j...2n+1, j = 1, 2n + 1, j �= i,aparţin unei elipse egală cu cele iniţiale. (unde i ı̂nseamnă omiterea lui i)

Teorema 5.3.4 Fiind date 2n+2 elipse egale Ei (Oi, a, b) , i = 1, 2n + 2, n ∈N∗, toate intersectându-se ı̂ntr-un punct P , atunci cele 2n + 2 elipse

E1...i...2n+2(O1...i...2n+2, a, b

),

i = 1, 2n + 2, fiecare determinată (conform Teoremei 5.3.3) de câte 2n+1 puncteP1...i...j...2n+2, j = 1, 2n + 2, j �= i, au un punct comun P1...2n+2.

Folosind programul Mathematica, ı̂n Secţiunea 5.4 am implementat algo-ritmul de construcţie al lanţului Clifford pentru elipse egale şi am vizualizatobiectele noi create.

În Capitolul 6 am discutat invarianţii Ţiţeica cu ajutorul programuluiMathematica. Suprafeţele Ţiţeica constituie un subiect excelent pentru a folosicapabilităţile de calcul simbolic ale programului Mathematica. Din acest motiv,acest capitol este ca un complement al capitolelor anterioare, oferind o imag-ine a discursului matematic şi chiar o vizualizare a obiectelor implicate. Maimult, folosindu-ne de rezultatele teoretice obţinute ı̂n Capitolul 5 Invarianţi detip Ţiţeica, am dezvoltat un algoritm de verificare a apartenenţei uneisuprafeţe la clasa suprafeţelor Ţiţeica. Acest algoritm se poate aplica nunumai pentru testarea proprietăţii Ţiţeica, dar şi pentru verificarea invarianţeiunei suprafeţe. Rezultatele acestui capitol au fost publicate ı̂n[Agnew, Bobe, Boskoff şi Suceavă, 2006].

Utilizând metodele standard de determinare a liniilor asimptotice (vedeţiCapitolul 18 din [Grey, 1998]), vom găsi că aceste linii asimptotice sunt (imag-inile) spirale logaritmice de forma:

θ = v ±√

3 Log[ρ],

ρ[θ] → u e±θ√

3 ,

20

Fig. 9: Suprafaţa z = 1x2+y2 .

unde u şi v sunt noii parametrii. Vom figura una dintre aceste spirale pentru omai buna vizualizare:

Fig. 10: Linie asimptotică pentru z = 1x2+y2 .

Testul Ţiţeica

x =y =z =r = {x, y, z}ru = D[r, u]

21

Fig. 11: Curbele asimptotice/Ţiţeica pentru z = 1x2+y2 .

rv = D[r, v]e = ru.ruf = ru.rvg = rv.rvnormal = Cross[ru, rv] / Sqrt[Cross[ru, rv].Cross[ru, rv]] // Simplifyruu = D[ru, u]ruv = D[ru, v]rvv = D[rv, v];l = normal.ruu // Simplifym = normal.ruv // Simplifyn = normal.rvv // Simplifyk = (l * n - m ^2) / (e * g - f^2) // Simplifyd = (normal.r) / (Sqrt[normal.normal]) // Simplifyd^4 // Simplify;k / d^4 // Simplify

22

Bibliografie

[Adams, Loustaunau, 1994] Adams, W.W., Loustaunau, P., An Introduction toGröbner Bases, AMS, 1994.

[Agnew, Bobe, Boskoff şi Suceavă, 2007] Agnew, A.F., Bobe, A., Boskoff, W.G.,Suceavă, B.D., Gheorghe Tzitzeica and the Origins of Affine Differential Ge-ometry, Hist. Math., Manuscript number: HM-06-24R2 (̂ın curs de publicare).

[Agnew, Bobe şi Boskoff, 2006] Agnew, A.F., Bobe, A., Boskoff, W.G., Tzitzeica-Type Invariants, Rocky Mt. J. Math. (trimis spre publicare).

[Agnew, Bobe, Boskoff, Homentcovschi şi Suceavă, 2006] Agnew, A.F., Bobe, A.,Boskoff, W.G., Homentcovschi, L., Suceavă, B.D., The Equation of Euler’s LineYields a Tzitzeica Surface, Elem. Math. (trimis spre publicare).

[Agnew, Bobe, Boskoff şi Suceavă, 2006] Agnew, A.F., Bobe, A., Boskoff, W.G.,Suceavă, B.D., Tzitzeica Curves and Surfaces, The Math. J., WR-675289, 2006.

[Alexander, 1995] Alexander, A., Gaston Darboux and the history of complex dynam-ics, Hist. Math., 22(2) (1995), 179-185.

[Andonie, 1965] Andonie, G.Ş., Istoria matematicii ı̂n România, vol. I, EdituraŞtiinţifică, Bucureşti, 1965.

[Barbilian, 2000] Barbilian, D., Ion Barbu - Opere, vol. II, Proză, Academia Română,Univers Enciclopedic, Bucureşti, 2000.

[Baues şi Cortés, 2003] Baues, O., Cortés, V., Proper Affine Hyperspheres which Fiberover Projective Special Kaehler Manifolds, Asian J. Math., 7 (2003), 115-132.

[Bianchi, 1894] Bianchi, L., Lezioni di geometria differenziale, Ed. Spoerri, Pisa, 1894.

[Blaschke, 1930] Blaschke, W., Vorlesungen über differential Geometrie unde ge-ometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, Berlin, 1930.

[Bobe, 2006] Bobe, A., Algorithm for the Groebner region of a principal ideal, An.Ştiinţ. Univ. Ovidius Constanţa, 14(1) (2006), 23-44.

[Bobe şi Boskoff, 2007] Bobe, A., Boskoff, W.G., Tzitzica-Johnson Theorem Revis-ited, Aust. Math. Soc. Gaz., (trimis spre publicare).

[Boskoff şi Suceavă, 2004] Boskoff, W.G., Suceavă, B.D., When Is Euler’s Line Par-allel to a Side of a Triangle?, College Math. J., 35 (2004), 292-296.

23

[Br̂ınzănescu şi Stănăşilă, 1998] Brn̂zănescu, V., Stănăşilă, O., Matematici speciale,Ed. All, Bucureşti, 1998.

[Buchberger, 1965] Buchberger, B., Ein Algorithmus zum Auffinden der Basiselementedes Restklassenringes nach einem nulldimensionalen Polynomideal, Ph.D. Thesis,Inst. University of Innsbuck, Austria, 1965.

[Buchin, 1983] Buchin, S., Affine Differential Geometry, Science Press, Beijing, Chinaand Gordon and Breach, Science Publishers, Inc., New York, 1983.

[Calabi, 1972] Calabi, E., Complete Affine Hypersurfaces, I. Symposia Mathematica,10 (1972), 19-38.

[Calabi, 1990] Calabi, E., Affine differential geometry and holomorphic curves. Com-plex Geometry and Analysis, Lecture Notes in Mathematics, 1422, Springer-Verlag, 1990, 15-21.

[Chen, 2000] Chen, B.-Y., Riemannian submanifolds. Handbook of Differential Ge-ometry, vol. I, Editors F.J.E. Dillen and L.C.A. Verstraelen, Elsevier, 2000, pp.187-418.

[Cheng şi Yau, 1986] Cheng, S.-Y and Yau, S.-T., Complete Affine Hyperspheres. PartI. The completeness of affine metrics, Comm. on Pure and Appl. Math., 39(6)(1986), 839-866.

[Cox, Little şi O’Shea, 1992] Cox, D., Little, J., O’Shea, D., Ideals, Varieties and Al-gorithms, Springer-Verlag, 1992.

[Coxeter şi Greitzer, 1967] Coxeter, H.S.M., Greitzer, S.L., Geometry Revisited, YaleUniv. Press., 1976.

[Cruceanu, 2005] Cruceanu, V., Research works of Romanian mathematicians onCentro-Affine Geometry, Balkan J. Geom. Appl., 10(1) (2005), 1-5.

[Dantzing, 2003] Dantzing, G.B., Thapa, M.N., Linear Programming, Springer, 2003.

[Darboux, 1894] Darboux, G., Leçons sur la théorie générale des surfaces et les ap-plications géométriques du calcul infinitésimal, Vol. I-IV, Third edition, Chelsea,New York, 1972.

[Demoulin, 1911a] Demoulin, A., Sur les surfaces R et les surfaces Ω, C.R. Acad. Sci.Paris, 153 (1911), 590-593.

[Demoulin, 1911b] Demoulin, A., Sur les surfaces R, C.R. Acad. Sci. Paris, 153(1911), 797-799.

[Dillen şi Vrancken, 1994] Dillen, F., Vrancken, L., Calabi Type composition of affinespheres, Diff. Geom. and Its Appl., 4 (1994), 303-328.

[Dillen, 1996] Dillen, F., Komrakov, B., Simon, U., Verstraelen, L., Van De Woestyne,I., Geometry and Topology of Submanifolds VIII, World Scientific, 1996.

[Dumitru, 1981] Dumitru, N.C., Gh. Ţiţeica, Gazeta matematică, 6 (1981), Electronicedition, Softwin, Bucharest, 2005.

24

[Eisenhart, 1909] Eisenhart, L.P., A treatise on the differential geometry of curves andsurfaces, Dover Publications, Inc. New York, new edition published in 1960.

[Eisenhart, 1917/1918] Eisenhart, L.P., Darboux’s contribution to geometry, Bull.Amer. Math. Soc. 24 (1917/18), 227-237.

[Eisenhart, 1921] Eisenhart, L.P., Conjugate nets R and their transformations, Ann.Math. 22(2) (1921), 161-181.

[Ene, 2002] Ene, V., Capitole de algebră asistată de calculator, Ex Ponto, Constanţa,2002.

[Euler, 1765] Euler, L., Solutio facilis problematum quorundam geometricorum diffi-cillimorum, Novii Comm. Acad. Sci. Petropolitanae 11 (1765), 103-123 (in Operaomnia, 26(1), 139-157).

[Fubini, 1924] Fubini, G., Su alcune classi di congruenze di rette e sulle trasformazionidelle R, Ann. di Mat., 1(4) (1924), 241-257.

[Fubini, 1926] Fubini, G., Proprieta proiettive delle superficie a curvature metricacostante, Rend. Accad. Roma, 4(6) (1926), 167-171.

[Fubini, 1928] Fubini, G., Riassunto di alcune ricerche di geometria proiettivo-differenziale, Proc. Congress Toronto 1, 1928, pp. 831-834.

[Gheorghiev şi Popa, 1960] Gheorghiev, G., Popa, I., Géométrie projectivedifférentielle des variétés de cônes, C.R. Acad. Sci. Paris, 251 (1960),1208-1210.

[Gheorghiev şi Popa, 1961] Gheorghiev, G., Popa, I., Géométrie des réseaux d’unesurface, C.R. Acad. Sci. Paris, 252 (1961), 2499-2501.

[Gheorghiev şi Popa, 1962] Gheorghiev, G., Popa, I., Corespondenţa ı̂ntre varietăti deconuri, An. Stiint. Univ. Al. I. Cuza Iasi, secţia I, mat., fiz., chim., 8(1) (1962),97-103.

[Gheorghiu, 1939] Gheorghiu, G.T., George Ţiţeica, Gazeta matematică, 4 (1939),Electronic edition, Softwin, Bucharest, 2005.

[Gheorghiu, 1956] Gheorghiu, G.T., Les courbes Tzitzeica dans la géométrie projec-tive, Rev. Roum. Math. Pures Appl., 1 (1956), 133-150.

[Gheorghiu, 1959] Gheorghiu, G.T., Hipersuprafeţe Ţiţeica, Lucrările ştiinţ. Inst.pedag. Timişoara, mat., fiz., 1959, 45-60.

[Gheorghiu şi Popa, 1959] Gheorghiu, G.T., Popa, C., O proprietate afină caracteris-tică suprafeţelor Ţiţeica, Lucrările ştiinţ. Inst. pedag. Timişoara, mat., fiz., 1959,65-71.

[Gheorghiu, 1962] Gheorghiu, G.T., Asupra varietăţilor neolonome Ţiţeica, StudiaUniversitatis Babeş-Bolyai, series math.-phys., 7(1) (1962), 45-60.

[Godeaux, 1932] Godeaux, L., Les quadriques de Tzitzeica et la théorie des surfaces,Ann. Soc. Polon. Math. 10 (1932), 21-24.

25

[Grey, 1998] Grey, A., Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces withMathematica, CRC Press, Boca Raton, 1998.

[Gross şi Siebert, 2003] Gross, M., Siebert, B., Affine manifolds, Log structures, andmirror symmetry, Turkish J. Math. 27 (2003), 33-60.

[Guggenheimer, 1963] Guggenheimer, H.W., Differential geometry, McGraw-Hill,New York, 1963.

[Hironaka, 1964] Hironaka, H., Resolution on singularities of an algebraic variety overa field of characteristic zero, Ann. Math. 79 (1964), 109-326.

[Ianuş, 1995] Ianuş, S., Gheorghe Ţiţeica (1873-1939) - fondatorul şcolii de geometriedin ţara noastră, Gazeta matematică, 100 (1995), 399-401.

[Johnson, 1916] Johnson, R.A., A Circle Theorem, Amer. Math. Monthly, 23(1916),161-162.

[Kimberling, 2007] Kimberling, C., Gossard Perspector, 2007,http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html

[Lauritzen, 2002] Lauritzen, N., Convex analysis, 2002,http://home.imf.au.dk/niels/Topics/convexanalysis.pdf

[Lauritzen, 2002a] Lauritzen, N., Sturmfels expanded, 2002,http://home.imf.au.dk/niels/Topics/chapter1.pdf

[Lauritzen, 2002] Lauritzen, N., Groebner bases, 2002,http://home.imf.au.dk/niels/Topics/statepoly.pdf

[Loftin, 2002] Loftin, J., Affine spheres and Kähler-Einstein metrics, Math. Res. Lett.,9 (2002), 425-432.

[Loftin, 2005] Loftin, L, Yau, S.-T., Zaslow, E., Affine manifolds, SYZ geometry andthe ”Y” vertex, J. Diff. Geom., 71 (2005), 129-158.

[Li şi Simon, 1993] Li, A.M., Simon, U., Zhao, G., Global affine differetnial geometryof hypersurfaces, W. De Gruyter, Berlin-New York, 1993.

[Liu, 1996] Liu, H., Magid, M., Scharlach, Ch., Simon, U., Recent developments inaffine differential geometry, in Geometry and topology of submanifolds VIII, (F.Dillen et al., eds.), World Scientific, 1996.

[Macaulay, 1927] Macauly, F.S., Some properties of enumeration in the theory of mod-ular systems, Proc. London Math. Soc. 26 (1927), 531-555.

[Mayer, 1927] Mayer, O., Sur les surfaces réglées à lignes flecnodales planes, Ann.Scient. Univ. Iassy, 15(1-2) (1927), 25-55.

[Mayer, 1928] Mayer, O., Etudes sur les surfaces réglées, Bul. Fac Ştiinţe, Cernăuţi,1(2) (1928), 1-33.

[Mayer şi Myller, 1933] Mayer, O., Myller, A., Géométrie centro-affine différentielledes courbes planes, Ann. Scient. Univ. Iassy, 18(3-4) (1933), 234-280.

26

[Mayer, 1934] Mayer, O., Géométrie centro-affine différentielle des surfaces, Ann. Sci-ent. Univ. Iassy, 21 (1934), 1-77.

[Mayer, 1938] Mayer, O., Etude des réseaux plans en géométrie centro-affine, Ann.Scient. Univ. Iassy, 24(1) (1938), 57-71.

[Mayer, 1940a] Mayer, O., Sur les surfaces réglées, III, Ann. Scient. Univ. Iassy, 26(1940), 299-308.

[Mayer, 1940b] Mayer, O., Sur les surfaces réglées, IV, Ann. Scient. Univ. Iassy, 26(1940), 626-632.

[Mignotte, 1991] Mignotte, M., Mathematics for Computer Algebra, Springer-Verlag,1991.

[Mihăileanu, 1955] Mihăileanu, N., Gheorghe Ţiţeica, Gazeta matematică, 8 (1955),Electronic edition, Softwin, Bucharest, 2005.

[Mihăileanu, 1972] Mihăileanu, N., Geometrie Analitica Proiectiva si Diferentiala.Complemente, Ed. Did. şi Ped., Bucureşti, 1972.

[Mihăileanu, 1976] Mihăileanu, N., Lecţii complementare de geometrie, Ed. Did. şiPed., Bucureşti, 1976.

[Mora şi Robbiano, 1988] Mora, T., Robbiano, L., The Groebner fan of an ideal, J.Symb. Comp., 6 (1988), 183-208.

[Nicolescu, 1945] Nicolescu, A., Sur les courbes sphériques de Tzitzeica, Bull. Sci. Éc.Polyt. Timişoara, 12(1-2) (1945), 37-44.

[Nicolescu, 1956] Nicolescu, A., Câteva proprietăţi ale suprafeţelor Ţiţeica, Com.Acad. R.P.R., 6(9) (1956), 1065-1071.

[Nicolescu, 1962] Nicolescu, A., Construcţia invarianţilor geometriei centro-afine, Ed.Acad., 1962, pp. 139-141.

[Nomizu şi Sasaki, 1991] Nomizu, K., Sasaki, T., A new model of unimodular-affinelyhomogeneous surfaces, Manuscr. Math., 73 (1991), 39-44.

[Nomizu şi Sasaki, 1994] Nomizu, K., Sasaki, T., Affine differential geometry, Geom-etry of affine immersions, Cambridge University Press, 1994.

[Oliker şi Simon, 1992] Oliker, V., Simon, U., Affine geometry and polar hypersur-faces. Analysis and Geometry: Trends in Research and Teaching, (B. Fuchssteinerand W. A. J. Luxemburg, eds.), BI-Mannheim-Zürich, 1992, pp. 87-112.

[O’Neill, 1966] O’Neill, B., Elementary Differential Geometry, Academic Press, SanDiego, 1966.

[Pambuccian, 2005] Pambuccian, V., Euclidean geometry problems rephrased in termsof midpoints and point-reflections, Elem. Math., 60 (2005), 19-24.

[Papuc şi Munteanu, 1960] Papuc, D., Munteanu, E., Asupra geometriei diferenţialea unui grup particular de transformări proiective, An. Şt. Univ. Iaşi, mat., fiz.,chim., 6(3) (1960), 655-663.

27

[Papuc, 1963a] Papuc, D., Sur les variétés des espaces kleinéens à groupe linéairecomplétement réductible, C.R. Acad. Sci. Paris, 256(1) (1963), 62-64.

[Papuc, 1963b] Papuc, D., Sur la théorie des variétés des espaces kleinéens à groupelinéaire complétement réductible, C.R. Acad. Sci. Paris, 257(3) (1963), 589-591.

[Pfister, 2001] Pfister, G., Greuel, G.M., Schönemann, H., Singular 3.0. A ComputerAlgebra System for Polynomial Computations, Centre for Computer Algebra, Uni-versity of Kaiserslautern, http://www.singular.uni-kl.de, 2001.

[Polyamin şi Zaitsev, 2004] Polyamin, N., Zaitsev, V., Handbook of Nonlinear PartialDifferential Equations, CRC Press, 2004.

[Popa, 1934a] Popa, I., Géométrie centro-affine hyperbolique des courbes gauches,Ph.D. thesis., Ann. Sci. Univ. Iassy, 21, 78-181.

[Popa, 1934b] Popa, I., Géométrie centro-affine parabolique des courbes et des sur-faces, Ann. Sci. Univ. Iassy, 21 (1934), 141-181.

[Preparata, 1985] Preparata, F.P., Shamos, M.I., Computational Geometry. An Intro-duction, Springer, 1985.

[Pripoae şi Gogu, 2005] Pripoae, G.T., Gogu, R., Gheorghe Tzitzeica - an incompletebibliography, Balkan J. Geom. Appl., 10 (2005), 32-56.

[Robbiano şi Kreuzer, 2000] Robbiano, L., Kreuzer, M., Computational CommutativeAlgebra I, Springer, 2000.

[Rodriguez, 2006] Rodriguez, J., Manuel, P., Simiao, P., A conic associated with Eulerlines, Forum Geom., 6 (2006), 17-23.

[Scharlach, 1997] Scharlach, Ch., Simon, U., Verstraelen, L., Vrancken, L., A newintrinsic curvature invariant for centroaffine hypersurfaces, Contrib. Alg. Geom.,38 (1997), 437-458.

[Scharlach şi Vrancken, 1996] Scharlach, Ch., Vrancken, L., A curvature invariant forcentroaffine hypersurfaces, Part II. Geometry and Topology of Submanifolds, 8,(ed. by F. Dillen et al.), World Scientific, Singapore, 1996, pp. 341-350.

[Schrijver, 1998] Schrijver, A., Theory of Linear and Integer Programming, J. Wiley,New-York, 1998.

[Simon, 1991] Simon, U., Schwenk-Schellschmidt, A., Viesel, H., Introduction to theaffine differential geometry of hypersurfaces, Science University of Tokyo, 1991.

[Simon, 2000] Simon, U., Affine differential geometry. Handbook of Differential Ge-ometry, vol. I, (Editors F.J.E. Dillen and L.C.A. Verstraelen), Elsevier, 2000, pp.905-962.

[Slebodzinski, 1937] Slebodzinski, W., Sur la realization d’une variete et connexionaffine par une surface plongee dans un espace affine, C. R. Acad. Sci. Paris, 7(2)(1937), 31-40.

[Slebodzinski, 1939] Slebodzinski, W., Sur quelques problemes de la theorie des sur-faces de l’espace affine, Prace Mat. Fiz. 46 (1939), 81-88.

28

[Soare, 2005] Soare, N., Gheorghe Titeica An Affine Differential Geometry, Balkan J.Geom. Appl., 10 (1) (2005), 21-23.

[Sturmfels, 1996] Sturmfels, B., Gröbner Basis and Convex Polytopes, AMS, 1996.

[Teleman, 2005] Teleman, K., On the mathematical work of Gheorghe Ţiţeica, BalkanJ. Geom. Appl., 10(1), 59-64.

[Ţiţeica, 1895] Ţiţeica, G., Relaţiuni ı̂ntre elementele unui tetraedru, Gazeta matem-atică, 3 (1895), Electronic edition, Softwin, Bucharest, 2005.

[Ţiţeica, 1903] Ţiţeica, G., Geometria ı̂n ı̂nvăţământul secundar, Gazeta matematică,Part 1, 1 (1903); Part 2, 3 (1903), Electronic edition, Softwin, Bucharest, 2005.

[Ţiţeica, 1906] Ţiţeica, G., Sur la deformation de certaines surfaces tetraedrales, C.R. Acad. Sci. Paris, 142 (1906), 1493-1494.

[Ţiţeica, 1907] Ţiţeica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, C. R. Acad. Sci. Paris,144 (1907), 1257-1259.

[Ţiţeica, 1908a] Ţiţeica, G., Sur une classe de surfaces. C. R. Acad. Sci. Paris, 146(1908), 165-166.

[Ţiţeica, 1908b] Ţiţeica, G., Sur les surfaces reglées, C. R. Acad. Sci. Paris, 147(1908), 173-174.

[Ţiţeica, 1908c] Ţiţeica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, I, Rend. Circ. Mat.Palermo, 25 (1908), 180-187.

[Ţiţeica, 1908d] G. Ţiţeica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, Atti del IV Con-gresso Internazionale dei Matematici, Roma, vol. 2, 1908, pp. 304-308.

[Ţiţeica, 1909] Ţiţeica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, II, Rend. Circ. Mat.Palermo, 28 (1909), 210-216.

[Ţiţeica, 1910a] Ţiţeica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, C. R. Acad. Sci.Paris, 150 (1910), 955-956.

[Ţiţeica, 1910b] Ţiţeica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, C. R. Acad. Sci.Paris, 150 (1910), 1227-1229.

[Ţiţeica, 1913a] Ţiţeica, G., Sur une generalization des surfaces minima non-euclidiennes, C. R. Acad. Sci. Paris, 156 (1913), 1136- 1138.

[Ţiţeica, 1913b] Ţiţeica, G., Sur une generalisation des surfaces minima, Bull. Sect.Sci. Acad. Roumaine, 2(1) (1913), 11-15.

[Ţiţeica, 1915a] Ţiţeica, G., Sur une classe speciale de surfaces, Bull. Sect. Sci. Acad.Roumaine, 3 (1915), 200-204.

[Ţiţeica, 1915b] Ţiţeica, G., Sur une classe speciale de surfaces, II, Bull. Sect. Sci.Acad. Roumaine, 3 (1915), 205-210.

[Ţiţeica, 1916] Ţiţeica, G., Deformarea unei clase de suprafeţte tetraedrale, An. Acad.Romana, Mem. Sectiei St., 2(38) (1916), 241-259.

29

[Ţiţeica, 1924] Ţiţeica, G., Géometrie différentielle projective des reseaux, CulturaNaţională, Bucharest and Gauthier-Villars, Paris, 1924.

[Ţiţeica, 1926] Ţiţeica, G., Sur la deformation de certaines surfaces tetraedales, lessurfaces S et les reseaux R, Appendix of Geometria proettiva differenziale, (G,Fubini - E. Cech), Bologna, 1926, vol.II, 663-669.

[Ţiţeica, 1931] Ţiţeica, G., Introduction à la géométrie différentielle projective descourbes, Mem. Sci. Math. Paris, 47 (1931), 61 pag.

[Ţiţeica, 1935] Ţiţeica, G., Sur quelques proprietes affines, C. R. Acad. Sci. Paris, 200(1935), 1563-1565.

[Ţiţeica, 1956] Ţiţeica, G., Geometrie diferenţială proiectivă a reţelelor, Edit. Acad.R.P.R., 1956.

[Ţiţeica, 1962] Ţiţeica, G., Probleme de geometrie, Ediţia a şasea, Ed. Tehnică, 1962.

[Transon, 1841] Transon, A., Recherches sur la courbure des lignes et des surfaces, J.Math. Pures et Appl., 6 (1841), 191-208.

[Vrancken, 1991] Vrancken, L., Li, A.M., Simon, U., Affine spheres with constantaffine sectional curvature, Math. Z., 206 (1991), 651-658.

[Vrănceanu, 1972] Vrănceanu, Gh., Invariants centro-affines d’une surface, Rev.Roum. Math. Pures Appl., 24 (1972), 979-982.

[Vrănceanu, 1977] Vrănceanu, Gh., Surfaces Tzitzeica, An. Univ. Craiova, Ser. Mat.Fiz.-Chim., 5 (1977), 5-10.

[Vrănceanu, 1979a] Vrănceanu, Gh., Tzitzéica fondateur de la géométrie centro-affine,Rev. Roum. Math. Pures Appl., 24 (1979), 983-988.

[Vrănceanu, 1979b] Vrănceanu, Gh., Sur les surfaces de Tzitzeica, Bul. Stiint. Univ.Teh. Constr. Bucuresti, 40(1) (1979), 63-64.

[Wilczynski, 1907] Wilczynski, E.J., Projective differential geometry of curved surfaces(First Memoir), Trans. Amer. Math. Soc., 8 (1907), 233-260.

[Wilczynski, 1908a] Wilczynski, E.J., Projective differential geometry of curved sur-faces (Second Memoir), Trans. Amer. Math. Soc., 9 (1908), 79-120.

[Wilczynski, 1908b] Wilczynski, E.J., Projective differential geometry of curved sur-faces. III, Trans. Amer. Math. Soc., 9 (1908), 293-315.

[Wolfram, 2007] Wolfram Reasearch, Mathematica 6.0, http://www.wolfram.com,2007.

[Ye şi Wu, 2002] Ye, Z.H., Wu W.C., Problem 10980, Am. Math. Mon., p.921 (2002),solution pp. 823-824 (2004).

[Ziegler, 1995] Ziegler, G.M., Lectures on Polytopes, Springer-Verlag, 1995.

30

Coperta_rezumat.pdfPages from teza57_rezumat_1.pdf