+ All Categories
Home > Documents > Teza Cosmin Bogdan Dita v4

Teza Cosmin Bogdan Dita v4

Date post: 17-Feb-2016
Category:
Upload: ionutzdinescu
View: 152 times
Download: 3 times
Share this document with a friend
Description:
:)
192
UNIVERSITATEA ”POLITEHNICA” din BUCURES ¸TI FACULTATEA DE INGINERIE ELECTRIC ˘ A DEPARTAMENTUL DE ELECTROTEHNIC ˘ A Nr. Decizie Senat 230 din 21.07.2014 TEZ ˘ A DE DOCTORAT MODELAREA ELECTROMAGNETIC ˘ A MULTIPROCESOR A MICROSISTEMELOR INTEGRATE MULTIPROCESSOR ELECTROMAGNETIC MODELLING OF INTEGRATED MICROSYSTEMS Autor: Ing. Cosmin-Bogdan DIT ¸ ˘ A Conduc˘ ator de doctorat: Prof. dr. ing. Daniel IOAN COMISIA DE DOCTORAT Pres ¸edinte Prof. dr. ing. Alexandru MOREGA UPB Conduc˘ ator de doctorat Prof. dr. ing. Daniel IOAN UPB Referent Prof. dr. ing. Gabriela CIUPRINA UPB Referent Prof. dr. ing. Vasile T ¸ OPA UTC Referent Dr. Alexandru MULLER IMT BUCURES ¸TI 2013
Transcript
  • UNIVERSITATEA POLITEHNICA din BUCURESTIFACULTATEA DE INGINERIE ELECTRICADEPARTAMENTUL DE ELECTROTEHNICA

    Nr. Decizie Senat 230 din 21.07.2014

    TEZA DE DOCTORAT

    MODELAREA ELECTROMAGNETICA MULTIPROCESOR AMICROSISTEMELOR INTEGRATE

    MULTIPROCESSOR ELECTROMAGNETIC MODELLING OFINTEGRATED MICROSYSTEMS

    Autor: Ing. Cosmin-Bogdan DITAConducator de doctorat: Prof. dr. ing. Daniel IOAN

    COMISIA DE DOCTORAT

    Presedinte Prof. dr. ing. Alexandru MOREGA UPBConducator de doctorat Prof. dr. ing. Daniel IOAN UPB

    Referent Prof. dr. ing. Gabriela CIUPRINA UPBReferent Prof. dr. ing. Vasile TOPA UTCReferent Dr. Alexandru MULLER IMT

    BUCURESTI2013

  • Multumiri

    As vrea sa multumesc n primul rand domnului prof.dr.ing. Daniel Ioan, atat n ca-litatea sa de ndrumator stiintific cat si de ndrumator moral n elaborarea si finalizareaacestei teze, pentru sprijinul si ncrederea acordata, rabdarea si ncurajarile, pentru profe-sionalismul si atentia cu care mi-a ghidat activitatea de cercetare n acesti ani de doctorat,un model demn de urmat la baza caruia se afla o viziune inginereasca unica izvorata dinvastele cunostinte multidisciplinare si experienta unei fructuoase cariere.

    Deosebita recunostinta si multumiri doamnei prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina, pentrundrumarea si suportul acordat nca din primele zile de doctorat si a carei experinta sisimt critic ca cercetator au reprezentat o nepretuita sursa de cunostinte n dezvoltarea meaprofesionala.

    De asemenea as vrea sa multumesc dl.prof.dr. Wilhelmus H.A. Schilders si dl.prof.dr.Mark Peletier de la Universitatea Tehnica din Eindhoven pentru sansa de a efectua stagiulde pregatire la o universitate de renume din Europa, pentru profesionalismul, amabilitateasi generozitatea cu care m-au primit si ndrumat n timpul stagiului.

    As vrea sa multumesc colegilor din LMN cu care am avut deosebita placere sa co-laborez si alaturi de care am petrecut multe momente frumoase: Iulian, Simona, Cerasela,Dan, Sorin, Stefan, Alex, Andreea. De asemenea as vrea sa multumesc membrilor CASA-TU/e pentru amabilitatea si ajutorul acordat n timpul stagiului: Sangye, Xiulei, Deepesh,Upanshu, Giovanni, Oleg, Alessandro, Nico, Enna.

    Multumesc familiei mele pentru sprijinul acordat pe parcursul anilor de doctorat sipentru neclintita lor ncredere n mine.

    Rezultatele prezentate n aceasta teza de doctorat au fost obtinute cu sprijinul finan-ciar al Ministerului Muncii, Familiei si Protectiei Sociale prin Fondul Social European,Programul Operational Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-20013, Contract nr.POSDRU/107/1.5/S/76813, a proiectul Advanced Tools and Methodologies for the Mul-tiphysics Modelling and Simulation of RF MEMS Switches - ToMeMS din ProgramulNational de cercetare Joint Applied Research Projects PN-II-PT-PCCA-2011-3, dar sicu sprijinul proiectului Fronts and Interfaces in Science and Technology, nr. 238702,PITN-GA-2009-238702, precum si suportul Laboratorului de Modelare Numerica (LMN)din UPB, care mi-a pus la dispozitie cu generozitate resursele sale.

    i

  • Cuprins

    Cuprins iv

    Lista de figuri v

    Lista de tabele viii

    1 Introducere 11.1 Incadrare n contextul actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Aplicatiile microsistemelor integrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Tendinte si perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Structura lucrarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2 Stadiul actual al modelarii sistemelor micromecanice integrate 92.1 Functionarea, fabricarea si clasificarea comutatoarelor MEMS . . . . . . . 102.2 Modelarea compacta a comutatoarelor RF-MEMS . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Tehnici de modelare numerica n electromagnetism . . . . . . . . . . . . . 22

    2.3.1 Metoda elementului finit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 Metoda elementelor de frontiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.3 Metoda diferentelor finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.4 Metoda elementului partial de circuit echivalent (PEEC) . . . . . . 33

    2.4 Tehnologii software folosite n modelarea electromagnetica a sistemelormicromecanice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.5 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3 Modelarea electromagnetica a dispozitivelor microelectromecanice 413.1 Modelarea conceptuala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    3.1.1 Modelarea geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.2 Modelarea fizica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    3.2 Modelarea matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3 Modelarea analitica aproximativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4 Modelarea numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.5 Reducerea ordinului modelului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    3.5.1 Metoda Vector Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.5.2 Reducerea ordinului prin metoda AFS-VF . . . . . . . . . . . . . . 74

    3.6 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    iii

  • CUPRINS

    4 Modelarea electromagnetica globala a circuitelor integrate 774.1 Partitionarea pe domenii (DP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.2 Modele MEEC globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    5 Reducerea timpului de calcul n modelarea electromagnetica 935.1 Metode iterative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    5.1.1 Analiza matricelor n vederea preconditionarii . . . . . . . . . . . . 965.1.2 Tehnici de preconditionare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    5.2 Metode directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.3 Folosirea sistemelor multiprocesor n modelarea electromagnetica . . . . . 112

    5.3.1 Arhitecturi multiprocesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3.2 Sistemul de calcul multiprocesor ATLAS din LMN . . . . . . . . . 1155.3.3 Rezolvarea paralela si distribuita a sistemelor liniare de ecuatii . . . 117

    5.4 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

    6 Modelarea MEMS si validarea experimentala a rezultatelor 1276.1 Modelarea comutatorului Qian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

    6.1.1 Descrierea modelului numeric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.1.2 Rezolvarea modelului numeric. Validare . . . . . . . . . . . . . . . 1306.1.3 Extragerea modelului compact TL-RLC-TL din solutia numerica

    de camp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.2 Modelare electromagnetica 3D cu DP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.3 Metoda de partitionare pe blocuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.4 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

    7 Concluzii finale si contributii originale 153

    A Rezolvarea pe blocuri 157A.1 Cod sys2snp block v1.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157A.2 Cod compute one frequency block v1.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158A.3 Cod solves block v1.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

    B Rezolvarea distribuita cu MUMPS n PETSc 161B.1 Cod rwmats.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161B.2 Cod axb2para v13.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

    Bibliografie 181

    iv

  • Lista de figuri

    1.1 Comutatoare capacitive Rockwell Scientific. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Comutator cu contact metalic actionat electrostatic Lincoln Labs. . . . . . . 51.3 Comutator rezistiv Analog Devices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 X-band Comutator de faza pe 4biti, realizat de Universitatea din Michigan

    n cooperare cu Rockwell Scientific. Dimensiuni: 3.2 2.1 mm2. . . . . . 61.5 Filtru variabil n gama 885-986MHz cu 5poli realizat de Raytheon Systems

    Co. Dimensiuni: 3.5 14 mm2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Integrarea comutatoarelor RF MEMS cu LNA fabricat folosind tehnologia

    GaAs PHEMT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7 Status comercial RF MEMS 2003-2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.1 Comutator capacitiv Raytheon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Variante constructive pentru comutatoarele rezistive. . . . . . . . . . . . . 132.3 Comutator cu contact rezistiv actionat electrostatic, pe substrat de nichel,

    n configuratie pieptene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Comutator cu contact rezistiv actionat electrotermic. . . . . . . . . . . . . 142.5 Comutator cu contact rezistiv actionat electrostatic, pe substrat de siliciu. . 152.6 Exemplu de dispozitiv tipic cu comutator capacitiv RF MEMS. . . . . . . . 172.7 Circuitul echivalent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.8 Llamas, comutator capacitiv RF MEMS si circuitul echivalent. . . . . . . . 192.9 Model Kaynak - pozitia Up. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.10 Model Kaynak - pozitia Down. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.11 Circuitul echivalent propus de Puyal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.12 Circuitul echivalent RLC propus de Halder. . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.13 Element K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.14 Discretizare FEM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.15 Tipuri de sabloane n 5 puncte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.16 Structura matricei asociata retelei de discretizare. . . . . . . . . . . . . . . 332.17 Captura din Comsol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.18 Diagrama ANSYS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.19 Diagrama compatibilitati Coventor-Cadence. . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    3.1 Elementul Electromagnetic de Circuit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Layout microcomutator Qian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3 Sectiune microcomutator Qian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4 Pozitia Down. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    v

  • LISTA DE FIGURI

    3.5 Sectiune prin membrana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6 Jumatate din linia de transmisie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.7 Metoda imaginilor electrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.8 Comparatia dintre rezultatele din literatura si rezultatele folosind calculul

    analitic aproximativ, pozitia Up. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.9 Comparatie rezultate literatura vs. calculul analitic aproximativ, pozitia

    Down. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.10 Reteaua de discretizare duala n FIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.11 Discretizarea operatorilor Hodge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.12 Circuitele echivalente FIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.13 Structura sistemului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.14 Modelul continuu, modelul discret si modelul compact. . . . . . . . . . . . 723.15 Algoritmul AFS-VF pentru extragerea modelului de ordin redus. . . . . . . 76

    4.1 Partitionarea domeniului. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.2 Partitionarea cu DP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3 Cuplarea domeniilor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4 Modelul SPICE-MEEC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.5 Partitionarea verticala n sub-domenii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.6 Modele MEEC compacte cuplate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.7 Punte Wheaston, graf topologic si geometric (layout). . . . . . . . . . . . . 854.8 Layout n Chamy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.9 Plasarea terminalelor pentru simularea cu MS a unei jumatati de domeniu. . 864.10 Buclele electrice independente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.11 Hook-urile magnetice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.12 Modelul SPICE-MEEC global, exemplificare pentru latura 1. . . . . . . . . 894.13 Modelul de circuit cu inductantele proprii si mutuale. . . . . . . . . . . . . 904.14 FIT-FW vs SPICE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    5.1 Spectrul matricei pentru grid 6x6x6 cu 827DoFs. . . . . . . . . . . . . . . 985.2 Exemplu de matrice din FIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.3 Structura matricei dupa permutarile pentru eliminarea elementelor nenule

    pe diagonala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.4 Reordonarea RCM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.5 Principalele blocuri pentru matricele FIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.6 Partitionare n patru blocuri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.7 Structura matricei S ZE1Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.8 Rezultate LU vs LU pe blocuri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.9 Umplerea cu elemente nenule n timpul factorizarii. . . . . . . . . . . . . . 1115.10 Comparatie LU vs UMFPack. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.11 Multiprocesoare cu memorie comuna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.12 Multiprocesoare cu memorie distribuita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.13 Cluster ATLAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.14 Rezolvarea paralela si seriala cu UMFPpack. . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.15 Timp de rezolvare pe sistem INTEL/AMD. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.16 Memoria consumata, INTEL/AMD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    vi

  • LISTA DE FIGURI

    5.17 Comparatie AMD vs INTEL sisteme foarte mari. . . . . . . . . . . . . . . 1205.18 Organizarea modulelor PETSc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    6.1 Comutator Qian - sectiune transversala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.2 Comutator Qian - sectiune lingitudinala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.3 Comutator Qian - dispunerea materialelor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.4 Layout comutator Qian n Chamy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.5 Dispunerea terminalelor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.6 Exemplificare discretizare Chamy pentru o retea de 27 27 25. . . . . . 1306.7 Comparatie 100 esantioane distribuite liniar si AFS-VF, pozitia Up. . . . . 1316.8 Comparatie 100 esantioane distribuite liniar si AFS-VF, pozitia Down. . . . 1316.9 Caracteristicile de frecventa obtinute cu FEM si cu FIT, pozitia Up. . . . . 1336.10 Caracteristicile de frecventa obtinute cu FEM si cu FIT, pozitia Down. . . . 1336.11 Model parametric Qian vs. AFS-VF n Chamy, pozitia Up. . . . . . . . . . 1346.12 Model parametric Qian vs. AFS-VF n Chamy, pozitia Down. . . . . . . . 1346.13 Caracteristicile n S pentru diferite valori ale inductivitatii lineice . . . . . . 1366.14 Caracteristicile n S pentru diferite valori ale capacitatii lineice. . . . . . . . 1366.15 Caracteristicile n S pentru diferite valori ale rezistentei lineice. . . . . . . . 1376.16 Caracteristicile n S pentru diferite valori ale CUp. . . . . . . . . . . . . . . 1376.17 Raspunsul n frecventa pentru diferite valori ale lui Rmem. . . . . . . . . . 1386.18 Influenta inductivitatii si a capacitatii n stare actionat. . . . . . . . . . . . . 1386.19 Modelele compacte TL-RLC-TL pentru cele doua stari ale comutatorului. . 1396.20 AFS-VF vs. TL-RLC-TL Qian vs. TL-RLC-TL extras din Chamy, Neactionat1406.21 AFS-VF vs. TL-RLC-TL Qian vs. TL-RLC-TL extras din Chamy, Actionat 1406.22 Validarea metodei de modelare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.23 Layout CHRF202. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.24 Reteaua de discretizare pentru CHRF202. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.25 Admitanta Y11: noDP vs masuratori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.26 Admitanta Y11: noDP vs masuratori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.27 Admitanta Y11: EQSpMS/noDP/masuratori. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.28 Admitanta Y11: EQSpMS/noDP/masuratori. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.29 Admitanta Y11: MS/noDP/masuratori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.30 Admitanta Y11: MS/noDP/masuratori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.31 Plasarea conectorilor magnetici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.32 Admitanta Y11: MS clust./MS nod cu nod/masuratori. . . . . . . . . . . . . 1476.33 Admitanta Y11: MS clust./MS nod cu nod/masuratori. . . . . . . . . . . . . 1476.34 Plasarea conectorilor electrici (verde) si magnetici magnetici (albastru). . . 1486.35 Admitanta Y11: EQSpMS clust. si nod cu nod /EQSpMS nod cu nod/masuratori.1486.36 Admitanta Y11: EQSpMS clust. si nod cu nod /EQSpMS nod cu nod/masuratori.1496.37 Timpul total si memoria maxima - problema Qian. . . . . . . . . . . . . . . 1516.38 Timpul total si memoria maxima - problema CHRF202 . . . . . . . . . . . 151

    vii

  • Lista de tabele

    3.1 Constantele de material, permitivitatea si permeabilitatea relativa, conduc-tivitatea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    3.2 Parametrii RLC ai comutatorului Qian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    5.1 Teste combinate GMRES-ILU pentru 827 DoFs, 6x6x6 grid. . . . . . . . . 995.2 Teste combinate GMRES-ILU pentru 6317 DoFs, 11x11x11 grid. . . . . . 995.3 Teste combinate GMRES-ILUTP pentru 17069 DoFs, 15x15x15 grid. . . . 1005.4 Preconditionare cu scalare si permutare - 11 11 11. . . . . . . . . . . . 1035.5 Permutare, scalare si reordonare cu RCM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.6 Permutare, scalare si reordonare cu COLAMD. . . . . . . . . . . . . . . . 1045.7 Rezolvare iterativa vs. rezolvarea directa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.8 Rezolvare directa vs. rezolvare pe blocuri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.9 Rezolvare directa vs. rezolvare pe blocuri pentru sisteme mari. . . . . . . . 1105.10 Rezolvare directa cu UMFPack. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.11 Rezolvare directa seriala vs. rezolvare paralela. . . . . . . . . . . . . . . . 1175.12 Rezolvarea n paralel INTEL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.13 Rezolvarea n paralel AMD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.14 AMD vs INTEL, sisteme foarte mari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.15 Rezolvarea cu MUMPS pe 1 nod - 11 11 11. . . . . . . . . . . . . . . 1235.16 Rezolvarea cu MUMPS pe 2 noduri - 11 11 11. . . . . . . . . . . . . . 1245.17 Rezolvarea cu MUMPS pe 2 noduri pentru diferite griduri de discretizare. . 124

    6.1 Convergenta algoritmului AFS cu VF - pozitia Up. . . . . . . . . . . . . . 1326.2 Convergenta algoritmului AFS cu VF - pozitia Down. . . . . . . . . . . . . 1326.3 Determinarea inductivitatii lineice LTL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.4 Determinarea capacitatii lineice CTL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.5 Compararea parametrilor RLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.6 Convergenta algoritmului AFS cu VF - noDP. . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.7 Convergenta algoritmului AFS cu VF - EQSpMS. . . . . . . . . . . . . . . 1446.8 Convergenta algoritmului AFS cu VF - MS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.9 Convergenta algoritmului AFS cu VF - MS conectori clusterizati. . . . . . . 1476.10 Convergenta algoritmului AFS cu VF - EQSpMS conectori clusterizati si

    nod cu nod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.11 Rezultate de timp si memorie - problema Qian. . . . . . . . . . . . . . . . 1506.12 Rezultate de timp si memorie - problema CHRF202. . . . . . . . . . . . . 150

    ix

  • Capitolul 1

    Introducere

    1.1 Incadrare n contextul actual

    Progresul tehnologic actual poate fi atribuit n mare masura avansurilor din domeniulmicro- si nanoelectronicii, ale carei aplicatii au avut un impact deosebit asupra societatiiumane. Este general acceptat ca inventarea tranzistorului a fost un pas tehnologic de oimportanta deosebita, nsa nu functionarea propriu-zisa a tranzistorului ci posibilitatea in-tegrarii lui la nivel microscopic, ieftin si rapid, a determinat succesul acestuia si implicit almicrotehnologiei, n stransa legatura cu folosirea siliciului, reprezentand, de altfel, startulRevolutiei Informationale, a carei scanteie a fost aprinsa n 1959 de celebra prezentare alui Richard Feynman, Theres Plenty of Room at the Bottom [1]. Aceste noi circuitemicroelectronice, denumite ulterior circuite integrate (IC), au dovedit o crestere drama-tica n performanta, functionalitate si stabilitate, la costuri reduse de fabricatie. Succesulmicroelectronicii a extins perspectiva cercetatorilor catre alte domenii ale fizicii, princi-piul miniaturizarii si tehnologia de microfabricatie patentata de circuitele integrate, fiindulterior aplicata pentru obtinerea unor dispozitive mecanice, luand astfel nastere sistemelemicroelectromecanice (MEMS).

    Guvernate de legea lui Moore [2] si n conditiile economice propice datorita dezvoltariitelefoniei mobile n anii 80, circuitele integrate au cunoscut o dezvoltare exploziva, nspecial n aplicatiile de radio-frecventa, mpingand functionarea acestora ntr-o gama defrecvente tot mai ridicate, 40 GHz, 60 GHz, 80 GHz, si chiar mai mari, de pana la 300GHz [3]. Frecventele nalte si continua miniaturizare au introdus nsa probleme legate deproiectare, comportamentul circuitelor integrate la frecvente nalte nu mai putea fi modelatsi simulat n mod eficient cu abordarile specifice teoriei circuitelor, fiind necesara si obli-gatorie gasirea unor noi metode de modelare electromagnetica care sa permita continuareadezvoltarii nanoelectronicii. Acesta a fost si motivul constituirii Platformei TehnologiceEuropene de Nano-Electronica (ENIAC)[4], sub influenta careia au fost dezvoltate maimulte prioritati strategice, din care mentionam, More Moore [5], care sustinea mentinerearitmului de integrare stabilit de legea lui Moore, si More than Moore [6], care urmareadiversificarea functiilor circuitelor integrate n domenii non-digitale si non-electronice.

    Circuitele integrate si-au demonstrat aplicabilitatea n practic toate domeniile teh-nice si nu numai, nsa, dupa decenii de progrese, industria microcipurilor se afla n criza,datorita, n primul rand, scaderii performantelor energetice. Treptat, producatorii de circu-

    1

  • 1. Introducere

    ite integrate au realizat ca doar prin reducerea dimensiunilor tranzistorului nu se mai poateobtine o eficienta energetica rezonabila. Aceasta problema de natura energetica a circuitelorintegrate este cu atat mai evidenta la dispozitivele si circuitele integrate ce contin comuta-toare si/sau ntrerupatoare. Problema este intrinseca tranzistoarelor din circuitele integrate,care, strict vorbind, sunt comutatoare imperfecte, chiar si n stare deschisa exista curent descurgere, curent care este totusi fundamental modului n care functioneaza tranzistorul.

    De aceea pentru fabricarea unui comutator competitiv trebuie cautata o tehnologiemai eficienta din punct de vedere energetic pentru semnalele de nalta frecventa, iar osolutie viabila este tehnologia sistemelor microelectromecanice (MEMS). Aceste dispo-zitive microelectromecanice mobile nu sunt totusi la fel de rapide, nsa compenseaza prineficienta energetica, performante mai bune la frecvente nalte, avand de asemenea avantajulca pot fi fabricate prin procedee tehnologice similare fabricarii tranzistoarelor, nefiind decinecesare modificari substantiale asupra liniei de productie. Nevoia crescanda pentru mi-crofabricate cu performante energetice superioare a determinat reorientarea producatorilorde circuite integrate, si implicit a comunitatii stintifice, catre tehnologia sistemelor micro-electromecanice, ale caror avantaje, n special n domeniul radio-frecventei, au fost pusen evidenta n ultimul deceniu. Dezvoltata initial pentru aplicatii militare, aceasta tehnolo-gie noua si revolutionara a demonstrat performante excelente n domeniul dispozitivelor deradio-frecventa si nu numai.

    Sistemele microelectromecanice (MEMS), sunt n esenta, dispozitive n miniaturacare prin intermediul unei miscari mecanice modifica comportamentul unui circuit elec-tric. MEMS-urile au aparut nca din anii 1970, fiind folosite pentru senzori de temperaturasi presiune, accelerometre, cromatografe de gaz, iar la nceputul anilor 1980 au fost de-monstrate primele aplicatii ale comutatoarelor MEMS la frecvente reduse, nsa au ramas ocuriozitate de laborator pentru mult timp [7]. Motivul era simplu, n acel moment folo-sirea tranzistoarelor n circuite de comutatie domina piata de desfacere, de-a lungul acelordecenii, cu fiecare noua generatie de tranzistoare, puteau fi obtinute comutatoare mai rapidesi mai eficiente din punct de vedere energetic.

    Dispozitivele RF MEMS sunt microfabricate la temperaturi mici prin procese com-patibile cu tehnologia de fabricare a circuitelor integrate pe baza de GaAs, SiGe si post-CMOS [7], mostenind astfel unele din avantajele tehnologice ale acestora, facand posibilaintegrarea comutatoarelor RF MEMS n circuite microelectronice n vederea obtinerii unordispozitive complete cu un scop bine determinat [7][8][9]. In ultimul deceniu, microsiste-mele electromecanice de radio frecventa (RF MEMS) au cunoscut o dezvoltare spectacu-loasa, mai ales n Statele Unite, n mare parte datorita implicarii unor institutii, universitatisi parteri industriali de renume precum DARPA, Rockwell Science Center, Texas Instru-ments, MIT, Columbia University, University of Michigan, The University of California,Berkeley, Northeastern University, Analog Devices, Motorola, Samsung, NEC si multi altii.Interesul tehnologic si financiar era perfect justificat, cu toate ca n domeniul dispozitive-lor GaAs HEMT (high-electron mobility transistors) si CMOS avansurile tehnologice erauenorme, n domeniul diodelor de comutatie semiconductoare dezvoltarea era foarte lenta[7]. Evident, o noua tehnologie era necesara, iar aceasta tehnologie a fost identificata ndomeniul microsistemelor electromecanice de radio-frecventa.

    Modelarea unor astfel de circuite integrate cu instrumente clasice de analiza a circu-itelor electrice si-a atins limitele, ipotezele acestei teorii fiind, din punct de vedere practic,

    2

  • 1.1. Incadrare n contextul actual

    mult prea restrictive [10]. Datorita tehnologiei de fabricatie, variatia n timp a fluxului mag-netic nu mai poate fi neglijata iar pierderile de curent de-a lungul liniilor de transmisieduc la violarea ipotezelor teoriei clasice, existand deci efecte ale campului electromagne-tic pe care teoria clasica a circuitelor electrice nu le ia n considerare. Din aceste motive,folosirea unor metode de modelare care au la baza rezolvarea campului electromagnetic,pornind de la ecuatiile lui Maxwell, este o necesitate. Mai mult, spre deosebire de metodelefolosite n analiza circuitelor electrice, care pornind de la ecuatiile lui Kirchhoff, au nevoiede iteratii suplimentare pentru a obtine un cip functional, instrumentele care se bazeaza peecuatiile lui Maxwell [11][12] pot obtine solutia dupa o singura iteratie.

    Proiectarea circuitelor integrate de nalta frecventa si radio frecventa au n vedereefectele campului electromagnetic [13], nsa astfel de metode pot conduce la modele cumilioane de grade de libertate. De aceea este absolut necesara aplicarea unor tehnici dereducere a ordinului modelelor extrase [14], modelul initial fiind transformat ntr-un modelechivalent, de ordin redus si cu o comportare similara pe la terminale. Totusi, deoareceefortul de calcul poate fi extrem de mare, o alternativa fezabila o constitue folosirea archi-tecturilor multi-core (CPU) si many-core (GPGPU) [15] dar si a unor algoritmi paraleli sidistribuiti [16][17][18] pentru reducerea timpului de extragere a acestor modele de ordinredus.

    Modelarea sistemelor microelectromecanice implica mai multe domenii ale fizicii,electric, magnetic, mecanic, termic, aerodinamic, nsa prezenta lucrare se va concentraasupra aspectelor electromagnetice ale acestora la frecvente nalte. O modelare corecta, nprimul rand, a sistemelor microelectromecanice, presupune o ntelegere foarte buna a mo-delelor fizice asociate, precum si a modului n care se realizeaza cuplarea acestor domenii.Pentru comutare, o diferenta de potential trebuie aplicata ntre cei doi electrozi rezultandn aparitia unor forte electrostatice n dielectric (modelul electrostatic), forte care deter-mina deplasarea componentei mobile (modelul mecanic), care, n miscarea ei, ntampinao rezistenta la naintare, datorita frecarii cu aerul (modelul aerodinamic), de asemenea,aplicarea tensiunii necesare actionarii si nchiderea circuitului determina trecerea curentu-lui electric, deci agitatie termica n conductor, avand ca rezultat ncalzirea partii mobilesi eventual modificarea constantelor de material datorita modificarii temperaturii (modelultermic). Modelarea poate fi si mai complicata daca dispozitivul are o complexitate geome-trica ridicata sau daca deplasarea lamelei sau a grindei metalice este ampla, n acest cazanaliza trebuie realizata n domeniul dinamic, pierzandu-se caracterul liniar.

    Teza de doctorat Modelarea electromagnetica multiprocesor a microsistemelorintegrate are ca principal obiectiv modelarea electromagnetica a circuitelor integrate deradio-frecventa convertibile cu comutatoare microelectromecanice, propunandu-si mode-larea fenomenelor electromagnetice de RF din circuitele integrate care contin comutatoareMEMS. Se urmareste extragerea modelelor de ordin redus pentru aceste comutatoare, mo-delarea fenomenelor de cuplaj magnetic ntre componentele circuitului dar si cu mediulexterior, precum si folosirea eficienta a sistemelor multiprocesor cu arhitectura ierarhica,cluster, CPU multi-nucleu, pentru extragerea modelelor electromagnetice, prin dezvoltareaunor algoritmi paraleli si distribuiti eficienti. Actualitatea stintifica si economica a mi-crosistemelor electromecanice precum si necesitatea determinarii unor modele precise sieficiente pentru procesul de proiectare, justifica importanta temei de cercetare abordate nprezenta teza de doctorat.

    3

  • 1. Introducere

    1.2 Aplicatiile microsistemelor integratePrin combinarea unor dispozitive integrate tipice precum tranzistoare, inductoare,

    antene on-chip, condensatoare, comutatoare, pot fi obtinute o multitudine de dispozitiveintegrate precum amplificatoare, oscilatoare, filtre, circuite de comutatie si multe altele.Mai mult, prin folosirea comutatoarelor microelectromecanice, flexibilitatea acestor circu-ite creste, deoarece ele permit modificarea configuratiei lor si adaptarea functiilor conformnecesitatilor utilizatorilor.

    Dispozitivelor microelectromecanice au dimensiuni foarte mici, ntre 20m - 1mm,deci masa lor este neglijabila si astfel nu sunt sensibile la efecte inertiale, nu consuma pu-tere statica, pretul de fabricatie este mic si cel mai important, au o frecventa de taiere de30-50 de ori mai buna decat a dispozitivelor similare ce pot fi obtinute folosind tehnologiaGaAs [7]. In consecinta, domeniile de utilizare pentru dispozitivele MEMS sunt foarte vari-ate, telecomunicatii, medicina, sisteme radar, industria auto, aplicatii militare si sisteme deinstrumentatie si achizitie de date de mare precizie. Componentele de radio-frecventa(RF)fabricate folosind tehnologia MEMS sunt numeroase, de la comutatoare capacitive si oh-mice, variatoare de tensiune fixe si mobile, inductoare si rezonatoare variabile, pana laretele complexe bazate pe combinatii configurabile ale acestor componente de baza, pre-cum filtrele multibanda de radio-frecventa, matrice de comutatie, divizoare de putere simulte altele.

    Figura 1.1: Comutatoare capacitive Rockwell Scientific [8].

    Comutatoarele microelectromecanice de radio frecventa sunt realizate sa functionezela frecvente de 0.1 100GHz si prezinta o serie de avantaje comparativ cu diodele PINsi comutatoarele FET: consum de putere foarte mic, izolatie foarte buna la frecvente mari,pierderi reduse de insertie, liniaritate, pret redus de fabricatie. Pe de alta parte, dispozitivelemicroelectromecanice nu sunt la fel de rapide (2 40s), ele necesita o tensiune mai marede actionare, iar majoritatea MEMS-urilor nu pot functiona la puteri mai mari de 200mW,numarul maxim de cicluri de comutatie este de doar 4 107, nu sunt rezistente la socuri me-canice sau schimbari de temperatura si umiditate, necesitand conditii speciale de ambalare,transport si stocare [8], n consecinta costul total creste.

    Actionarea electrostatica necesita 30 80V, nsa curentul consumat este foarte mic,rezultand o valoare mica a puterii disipate (10100nJ pe ciclu de comutatie). Datorita mo-

    4

  • 1.2. Aplicatiile microsistemelor integrate

    Figura 1.2: Comutator cu contact metalic actionat electrostatic Lincoln Labs [8].

    dului n care functioneaza, comutatoarele capacitive RF MEMS, sunt fabricate continandgoluri de aer, astfel capacitatea n starea Up a comutatorului este foarte mica (2 4fF),furnizand o izolare excelenta ntre 0.1 si 60GHz. Deasemenea, comutatoarele RF MEMS,prezinta pierderi de insertie foarte mici, de 0.1dB, pana la frecvente de 100GHz si suntdispozitive liniare cu performante de pana la 3050dB mai bune decat comutatoarele FETsi diodele PIN.

    Figura 1.3: Comutator rezistiv Analog Devices [7].

    Raspunsul n frecventa aproape ideal al comutatoarelor RF MEMS, atat pentru celecapacitive cat si pentru cele rezistive, a condus la fabricarea unor circuite de comutatie cuperformante ridicate la frecvente de la 0.1GHz si pana la 120GHz. Un astfel de circuita fost construit, de exemplu, ca urmare a cooperarii dintre Universitatea din Michigan siRockwell Scientific si reprezinta un comutator de faza Fig.1.4 pe 4 biti, cu pierderi medii de1.4dB la 10GHz, reprezentand unul din cele mai mici circuite de comutare, ca dimensiune[8].

    Un alt exemplu este filtrul variabil din Fig.1.5 cu 5 poli n gama 885 986MHz,fabricat de Raytheon Systems Co. Este un circuit complex, cu 18 comutatoare, cu raspunsulmasurat aproape ideal, caracteristica lineara, avand un factor de calitate Q = 30 la 0.9GHz[8].

    Figura 1.6a evidentiaza folosirea comutatoarelor microelectromecanice pentru directionarea

    5

  • 1. Introducere

    Figura 1.4: X-band Comutator de faza pe 4biti, realizat de Universitatea din Michigan n cooperarecu Rockwell Scientific [8]. Dimensiuni: 3.2 2.1 mm2.

    Figura 1.5: Filtru variabil n gama 885-986MHz cu 5poli realizat de Raytheon Systems Co. [7]Dimensiuni: 3.5 14 mm2.

    semnalului ntre doua amplificatoare de zgomot redus cu caracteristici de frecventa diferitesi diagrama de circuit Fig. 1.6b.

    (a) Micrograful circuitului, (b) Diagrama de circuit,

    Figura 1.6: Integrarea comutatoarelor RF MEMS cu LNA fabricat folosind tehnologia GaAsPHEMT [9].

    Cererea de dispozitive performante la frecvente nalte a condus treptat la dezvoltareatehnologiei microsistemelor electromecanice n domeniul frecventelor radio, comutatoa-rele RF MEMS impunandu-se ca un candidat mai bun decat dispozitivele conventionale decomutatie bazate pe tranzistoare FET si diode PIN. Din pacate fragilitatea dispozitivelormicroelectromecanice a dus la amanarea folosirii lor pe scara larga n aplicatii comerciale,nsa n ultimii ani, datorita performatelor deosebite la frecvente nalte si eficientei ener-getice, RF MEMS au ajuns sa se impuna treptat n domenii tehnologice precum aplicatii

    6

  • 1.3. Tendinte si perspective

    wireless, telefonie mobila, comunicatii prin satelit, aplicatii militare si aparatura medicala.

    1.3 Tendinte si perspective

    Chiar daca tehnologia RF MEMS nu este recenta, primul articol pe aceasta tema fiindpublicat nca din 1979 [19], este totusi o tehnologie tanara, primele astfel de dispozitivedisponibile comercial aparand n 2001.

    Impactul microsistemelor integrate pe piata dispozitivelor microelectronice este des-cris n [20], unde stadiul tehnologic si comercial al dispozitivelor RF MEMS este prezentatsi analizat de J. Bouchand de la firma germana de consultanta tehnica WTC, fiind identifi-cate principalele tendinte si perspective de dezvoltare a RF MEMS, avantajele tehnologieidar si limitarile ei. Interesul pentru sistemele microelectromecanice a crescut incepand cuanii 80, n Statele Unite DARPA finantand o serie de proiecte de interes militar, potentialulRF MEMS fiind recunoscut treptat de producatorii de circuite integrate, n 2005 fiind peste120 de companii si centre de cercetare implicate n dezvoltarea RF MEMS. Printre al-tele, Bouchand identifica comutatoarele RF MEMS ca principalele dispozitive pentru noilegeneratii de telefoane mobile, datorita izolarii bune > 30dB la 2GHz, pierderilor mici deinsertie < 0.3dB la 2GHz si posibilitatea izolarii semnalului de comanda de semnalul RF.

    Figura 1.7: Status comercial RF MEMS 2003-2008 [21].

    In 2007 Bouchand revine cu un alt articol ce prezinta stadiul tehnologiei microelec-tromecanice [21], fiind descrise progresele tehnologiei exemplificata la nivel comercial, de-a lungul anilor, dar si principalele aplicatii MEMS cu interes comercial, provocarile tehnicece trebuie depasite, n concluzia articolului fiind reconfirmat potentialul comutatoarelor RFMEMS si interesul crescand pentru acestea.

    Tehnologia sistemelor microelectromecanice este o tehnologie, nca, n dezvoltare,nsa potentialul ei este unanim recunoscut, SRA/ENIAC [22] si ITRS [23] identificandMEMS si EDA ca directii importante de cercetare si dezvoltare n industria nano-electronica.

    7

  • 1. Introducere

    Maturizarea sistemelor microelectromecanice poate fi ncheiata cu succes doar cuobtinerea unor modele parametrice robuste care pot fi folosite de companiile implicaten dezvoltarea RF MEMS, pentru obtinerea unor dispozitive cu performante superioaresi costuri de productie reduse. Acest deziderat implica nsa multe aspecte, nu numai denatura tehnologica, printre care, folosirea tehnicilor de calcul de nalta performanta si asistemelor de calcul multiprocesor pentru modelarea si optimizarea dispozitivelor MEMS,aceasta fiind o tema de mare actualitate si perspectiva stintifica [24],[25].

    1.4 Structura lucrariiTeza este alcatuita din sapte capitole. Primul capitol contine justificarea studierii

    sistemelor micromecanice, prezentand importanta si actualitatea temei de cercetare, dome-niile de utilizare, notiuni generale legate de modelare si proiectare precum si structura tezeide doctorat.

    Capitolul doi prezinta metode, tehnici si tehnologii actuale de modelare a sistemelormicromecanice, punand accent pe modelarea multifizica si pachetele software utilizate,incluzand, de asemenea, si principalele metode numerice folosite n prezent.

    Capitolul trei descrie procesul de modelare a sistemelor micromecanice, prezentandtoate etapele procesului de modelare, modelarea multifizica, modelarea matematica si mo-delarea numerica.

    In capitolul patru sunt prezentate strategii si tehnici de reducere a complexitatii siste-mului nainte de reducerea ordinului modelului prin tratarea n mod independent a partilordisjuncte ale problemei, rezolvarea lor si reasamblarea sistemului pentru a obtine n finalun model complet.

    In capitolul cinci sunt prezentate principalele metode si tehnici folosite pentru ex-tragerea eficienta, corecta si rapida a unor modele valide pentru sistemele micromecanice.Sunt prezentate tehnici de reducere a efortului de calcul, metode de reducere a ordinuluimodelelor, precum si avantajele folosirii arhitecturilor multiprocesor.

    Capitolul sase contine studii de caz pentru o suita de probleme reale si de test pentruvalidarea rezultatelor cercetarii.

    Ultimul capitol concluzioneaza acest studiu si descrie contributiile originale aduse deautor.

    Anexele si bibliografia consultata ncheie teza de doctorat.

    8

  • Capitolul 2

    Stadiul actual al modelarii sistemelormicromecanice integrate

    Dezvoltarea RF MEMS este sustinuta prin contributiile stintifice sub forma de arti-cole si carti, aparute ca urmare a interesului crescand pentru sistemele microelectromeca-nice, de-a lungul anilor fiind finantate o serie de proiecte pe aceasta tema, printre care siproiectul Advanced Tools and Methodologies for the Multiphysics Modelling and Simu-lation of RF MEMS Switches (ToMEMS), un parteneriat LMN/UPB-IMT, al carui coor-donator este dna.conf.dr.ing. Gabriela Ciuprina. Ca membru al echipei ToMEMS, autorulprezentei teze, a participat la redactarea unor rapoarte de cercetare printre care si Stadiulactual al cercetarii n domeniul RF MEMS [26], care trece n revista rezultatele cercetariisi inventariaza resursele disponibile n domeniul sistemelor microelectromecanice pana nprezent.

    Resursele informationale disponibile pe internet cu referire la tema proiectului To-MEMS este enorma, o simpla cautare pentru rf mems switch returnand 1 430 000 derezultate, din care 197 000 generate n ultimul an. Extragerea informatiilor relevante dinmultitudinea de resurse bibliografice nu este deci o sarcina simpla, raportul [26] clasificanddatele relavente n urmatoarele categorii:

    Articole si comunicari

    generale: sunt prezentate articole si comunicari ce prezinta sintetic starea do-meniului (au fost recenzate 12 articole de interes general n domeniul RF MEMS);

    simulare si modelare: este descris procesul de modelare RF MEMS, aspectelemodelarii multifizice dar si stategiile de proiectare bazate pe instrumente si pa-chete EDA dedicate (62 articole si prezentari);

    optimizare: identificarea unor tehnici si strategii de optimizare a dispozitive-lor RF MEMS, dintre care reducerea ordinului modelelor (MOR) este una dintehnicile propuse n mod repetat n literatura (11 articole);

    aplicatii: prin integrarea dispozitivelor RF MEMS n circuitele de radiofrecventapot fi mbunatatite performantele sistemelor de microunde si extinderea ariei lorde aplicatie (14 articole);

    9

  • 2. Stadiul actual al modelarii sistemelor micromecanice integrate

    realizare/tehnologie: sunt prezentate articole ce au n vedere aspectele tehnolo-gice ale sistemelor microelectromecanice, proiectarea, fabricarea, provocarilesi tendintele de mbunatatire a tehnologiei (17 articole);

    caracterizari experimentale: sunt luate n considerare aspectele practice aleRF MEMS, determinarea caracteristicilor dispozitivelor, verificarea cerintelorde proiectare prin compararea rezultatelor simularilor cu masuratorile (11 arti-cole);

    fiabilitate: principala preocupare a utilizatorilor RF MEMS este fiabilitateaacestor dispozitive, n aceasta sectiune fiind trecute n revista tehnicile propusen literatura pentru mbunatatirea duratei de viata (13 articole);

    Teze si dizertatii: sunt prezentate rapoarte de cercetare, teze de doctorat si dizertatiide master ce prezinta interes pentru RF MEMS (au fost recenzate 24 de teze sidizertatii n domeniul RF MEMS);

    Carti: sunt prezentate recenzii si aprecieri privind cartile cu tematica MEMS, re-prezentand o resurse bibliografica substantiala datorita cantitatii considerabile deinformatii si aspecte de cercetare prezentate (21 carti);

    Software MEMS: sunt analizate principalele software-uri comerciale sau nu, dispo-nibile la ora actuala pentru modelarea RF MEMS (8 programe comerciale si opensource);

    Training, Transfer de cunostinte, Cursuri: sunt prezentate principalele cursuridisponibile n diferite parti ale lumii, ce au n vedere transmiterea cunostintelor siraspandirea interesului pentru MEMS (13 cursuri);

    Activitatea comunitatii: sunt prezentate principalele proiecte, reviste si conferintededicate cercetarii RF MEMS;

    Proiecte, echipe de cercetare:

    Jurnale si alte periodice:

    Conferinte si alte evenimente:

    In continure vor fi prezentate doar cateva aspecte actualizate ale acestui studiu, sianume: generalitati privind MEMS, modelarea prin circuite compacte, modelarea electro-magnetica si software pentru modelarea si proiectarea MEMS.

    2.1 Functionarea, fabricarea si clasificarea comutatoare-lor MEMS

    Succesul MEMS se explica si prin faptul ca fabricarea microsistemelor electromeca-nice se bazeaza pe aceleasi tehnologii de micro-fabricatie ntalnite la circuitele integrate:depunere, imprimare, dopare si gravare, tehnici mature, testate si verificate, cu alte cuvinte

    10

  • 2.1. Functionarea, fabricarea si clasificarea comutatoarelor MEMS

    realizarea practica a microsistemelor electromecanice nu impune probleme majore. Difi-cultatile intervin n etapa de proiectare unde se urmareste obtinerea unor performante ridi-cate ale dispozitivelor microelectromecanice, care evident, ca oricare alta noua tehnologieare problemele ei, n cazul acesta, cele legate de tensiunea mare necesara pentru actionare,viteza mica de comutatie, sensibilitatea la temperatura, acumularea de sarcina statica, careconduce la frecari statice si alte efecte parazite.

    Pentru actionarea mecanica a unui comutator RF MEMS este necesara aplicarea uneitensiuni ntre 30 80 V, destul de mare pentru multe aplicatii care folosesc astfel de comu-tatoare, aceasta implicand de obicei introducerea n circuitul de comutatie respectiv a unuitransformator ridicator. Consecinta cea mai importanta a unei valori mari pentru tensiuneade actionare este efectul pe care aceasta l are asupra vitezei de comutatie, care reprezintaprincipala limitare a RF MEMS. In general, obtinerea unei viteze mai bune de comutatienecesita o rigiditate mai mare a parti mobile a microsistemului electromecanic, cu alte cu-vinte cresterea constantei resortului modelului mecanic, astfel ncat frecventa de rezonantamecanica sa creasca, rezultand un timp de comutatie sub 1 s [27]. Insa, cresterea rigiditatiiduce la o tensiune mai mare de actionare. Altfel spus, daca se doreste scaderea tensiuniide actionare se va obtine o viteza mica de comutatie, iar daca se urmareste mbunatatireavitezei de comutatie, trebuie crescuta tensiunea de actionare. Trebuie ajuns, deci, la uncompromis, sau la identificarea unor materiale si/sau structuri care permit scaderea tensiu-nii de actionare fara a afecta n mod considerabil viteza de comutatie. Este un exemplutipic de problema inginereasca, care pentru identificarea unui proiect de succes presupuneefectuarea unei modelari atente urmata de o optimizare.

    Raportul dintre capacitatea n pozitia Up, respectiv capacitatea n pozitia Down, saualtfel spus inchis deschis, este un parametru foarte important n proiectarea microsiste-melor electromecanice, fiind n mod direct afectat de acumularile statice de sarcina n tim-pul functionarii dispozitivelor RF MEMS. Acumularea de sarcina statica determina frecaristatice, care afecteaza considerabil actionarea partii mobile, efecte descrise n [28]. Inprezent materiale dielectrice precum, aliage Al2O3/ZnO, PZT, PZT/HfO2, materiale com-pozite polimer-ceramice, BST, TiO2, HfTiAlO, sunt considerate ca potentiali nlocuitoripentru SiO2 / Si3N3 n procesul de fabricare RF MEMS.

    Testele efectuate [29] au aratat rolul foarte important pe care efectele parazite l joacaasupra factorului de calitate, Q, a dispozitivelor MEMS. Folosirea unui substrat din siliciunu este indicata pentru aplicatii la frecvente nalte datorita efectului de atenuare pe caresiliciul l are asupra semnalelor RF, o frecventa de 10 GHz, de exemplu, este destul demare pentru a determina comportarea substratului de siliciu ca un sistem disipativ [27].Folosirea unui substrat de pasivizare corespunzator joaca deci un rol foarte important nobtinerea unor performante bune a dispozitivelor RF MEMS, n [30] a fost aratat ca pierde-rile pot fi reduse sub 3 dB/cm la frecvente de pana la 40 GHz, prin folosirea unor polimeriprecum, rasini polimerice, rasini BCB si Kapton, cu grosime de cativa zeci de microni[30],[31],[32]. Un alt factor de limitare important pentru microsistemele electromecaniceeste puterea maxima la care pot opera, cauzele acestei limitari fiind: pierderile prin efect Jo-ule, care pot conduce la topirea si/sau sudarea contactelor si autopolarizarea si/sau blocareasemnalelor de radio-frecventa.

    Potentialele avantaje ale microsistemelor electromecanice nu pot fi nsa ignorate [7],[8],[33],[34], chiar si n prezent RF MEMS au dat dovada de performante mai bune compa-

    11

  • 2. Stadiul actual al modelarii sistemelor micromecanice integrate

    rativ cu dispozitivele clasice de comutatie [35],[36], nsa tehnologia microsistemelor elec-tromecanice nu s-a maturizat nca, numeroase mbunatatiri pot fi aduse, cercetari raman afi efectuate si cel mai important trebuie identificate modele electromagnetice si mecanicecorespunzatoare.

    Clasificarea comutatoarelor MEMS se poate face n functie de urmatoarele criterii:modul n care se realizeaza actionarea mecanica, directia miscarii, configuratia electricasi tipul de contact. Actionarea mecanica a unui comutator RF MEMS se poate realizafolosind forte de natura termica, piezoelectrica, magnetostatica si electrostatica. Cea maides ntalnita este actionarea electrostatica, bazata pe forte electrostatice de atractie ntre doielectrozi de polaritati diferite, care ofera avantajul unui consum mic de putere, o consecintaa faptului ca, acest tip de comutatoare, necesita putere electrica doar n momentul realizariicomutatiei. Un alt mare avantaj, al acestor tipuri de comutatoare, este compatibilitatea cuprocesul de fabricare al circuitelor integrate tipice si posibilitatea integrarii MEMS-urilorcu alte circuite microfabricate, tranzistoare, amplificatoare, diode [7], nsa tensiunea marede actionare (3080 V) reprezinta un mare dezavantaj, mai ales n aplicatii precum telefoa-nele mobile, unde sursele de energie sunt limitate la 3 8 V. In functie de tipul constructiv,miscarea mecanica poate avea loc pe verticala sau lateral, majoritatea comutatoarelor RFMEMS produse n ultimul deceniu sunt cu miscare pe verticala datorita performantelor maibune la frecvente nalte [37].

    Fundamental, exista doua tipuri constructive pentru comutatoarele RF MEMS, cucontact ohmic (rezistiv) si cu contact capacitiv, care pot fi plasate n configuratie serie sausunt. In cazul comutatoarelor rezistive, un contact metal-metal se realizeaza ntre doi elec-trozi, legatura caracterizata printr-o rezistenta de contact foarte mica. Pentru comutatoarelecu contact capacitiv, o membrana metalica suspendata n aer deasupra unui strat dielec-tric subtire, este miscata (curbata) prin intermediul fortelor electrostatice pana cand facecontact cu stratul dielectric, sub care se afla un electrod de potential nul, creand astfel unscurtcircuit. Comutatoarele capacitive RF MEMS sunt esentiale functionarii unor dispo-zitive precum condensatoare si filtre trece-banda variabile, varianta lor constructiva tipicafiind n configuratie sunt [7].

    Un astfel de comutator RF MEMS este prezentat n Fig. 2.1a. Cand membrana me-talica este n pozitia Up(necurbata), semnalul RF este transmis neperturbat, aceasta estepozitia ON de functionare; cand o tensiune electrica este aplicata ducand la aparitia uneiforte electrostatice n dielectric, membrana metalica este curbata (Down) pana cand esteadusa n contact cu stratul dielectric (scurtcircuit), semnalul RF fiind pus la masa, cores-punzand pozitiei OFF de functionare [8].

    Substratul poate fi pe baza de siliciu, GaAs, LTCC (Low Temperature Co-fired Ce-ramics) sau quartz, stratul dielectric este realizat, de regula, din Si3N4, valori tipice deproiectare fiind, grosimea dielectricului 0.1 0.15 m, constatanta dielectrica relativa de5.0 7.6 (n functie de tipul de nitrid folosit), membrana metalica este suspendata la onaltime de 2.55m, avand de regula o grosime de 0.52 m, lungimea de 200300 msi latimea ntre 25 180 m [27], toate acestea fiind alese n functie de valoarea capacitatide comutatie necesare, iar ca material pentru membrana este, de regula, ales Au, datoritaproprietatilor conductive superioare.

    Un parametru important al comutatoarelor RF MEMS capacitive l reprezinta ra-portul dintre capacitatea n pozitia ON (Down), respectiv OFF (Up), r = CDown/CUp

    12

  • 2.1. Functionarea, fabricarea si clasificarea comutatoarelor MEMS

    (a) Comutator RF MEMS cu contact ca-pacitiv (b) Sectiunea transversala

    Figura 2.1: Comutator capacitiv Raytheon [8].

    [37]. O valoare mai mare a lui r este avantajoasa deoarece pierderile de insertie sunt maimici iar izolatia este mai buna n timpul functionarii, adica o plaja mai larga de frecvente,ceea ce permite folosirea cu succes a comutatoarelor cu contact capacitiv, n special, lafrecvente mari, spre deosebire de comutatoarele cu contact rezistiv, care la frecvente mariau o rezistenta de contact ridicata, rezultand n pierderi mult mai mari. Pentru un comutatorcapacitiv n configuratie sunt, pozitia Up corespunde unei valori mici a capacitatii (n jurde 50 fF), ce permite trecerea semnalului RF prin linia de transmisie, iar n pozitia Down,valoarea capacitatii creste de aproximativ 100 de ori, ceea ce practic nseamna punerea lamasa a semnalului de radio-frecventa. In consecinta folosirea comutatoarelor cu contactcapacitiv este indicata pentru aplicatii ce functioneaza la frecvente mari, > 10 GHz, iar ometoda de obtinere a unor comutatoare capacitive pentru frecvente sub 10 GHz consta nfolosirea unor materiale cu constante dielectrice mai mari [37].

    Actionarea mecanica a comutatoarelor cu contact rezistiv se poate face pe verticala,Fig. 2.2a, sau lateral, Fig. 2.2b.

    (a) Cu miscare verticala (b) Cu miscare laterala

    Figura 2.2: Variante constructive pentru comutatoarele rezistive [7].

    In primul caz deplasarea se realizeaza perpendicular pe planul substratului de siliciu,acest tip de comutatoare fiind fabricate prin depunere treptata, peste substratul de siliciu, aunor straturi foarte subtiri din diferite materiale urmat apoi de o gravare selectiva (surfacemicromachining), iar pentru deplasare laterala, miscarea se realizeaza de-a lungul unui

    13

  • 2. Stadiul actual al modelarii sistemelor micromecanice integrate

    plan paralel substratului, varianta de microfabricate folosita fiind prin gravarea directa asubstratului de siliciu (bulk micromachining).

    In prezent exista trei tipuri importante [7] pentru comutatoarele laterale, toate fiindcu contact rezistiv, n constructie grinda sau pieptene. Primul tip este comutatorul actionatelectrostatic cu contact metalic pe substrat de nichel [38],[39], fiind folosit, de obicei, nconstructie pieptene, Fig.2.3, avand o tensiune de actionare de 35 150V si o rezistenta decontact ntre 5 20.

    Figura 2.3: Comutator cu contact rezistiv actionat electrostatic, pe substrat de nichel, n configuratiepieptene[37].

    Un alt tip este comutatorul actionat electrotermic sau electrostatic realizat pe o struc-tura din polisiliciu, cu performante demonstrate n domeniul frecventelor radio, de pana la50 GHz [40],[41], cu o tensiune de actionare mai mica, de 2.5 3.5 V, nsa cu un procescomplex de fabricare, consum ridicat de putere, structura fragila si o viteza mai mica decomutatie.

    Figura 2.4: Comutator cu contact rezistiv actionat electrotermic [37].

    Ultima varianta constructiva pe care o prezentam are n vedere un comutator rezistiv2.4 cu actionare electrostatica pe substrat de siliciu [42],[43], Fig. 2.5. Usurinta procesu-lui de microfabricare (bulk micromachining), precum si folosirea siliciului ca material debaza, a determinat obtinerea unor proprietati mecanice si termice superioare nsa prezintadezavantajul ca functioneaza doar n curent continuu.

    Criteriile constructive de clasificare a sistemelor microelectromecanice, dupa moduln care se realizeaza actionarea mecanice (magnetostatic/termic/piezoelectric/electrostatic),

    14

  • 2.2. Modelarea compacta a comutatoarelor RF-MEMS

    Figura 2.5: Comutator cu contact rezistiv actionat electrostatic, pe substrat de siliciu [37].

    tipul de contact(capacitiv/rezistiv), directia n care se realizeaza miscarea(vertical/lateral) siconfiguratia electrica (serie/sunt), corelat cu posibilitatea combinarii lor, permite obtinereaa 4 2 2 2 = 32 de implementari diferite [7]. Comutatoarele cu contact capacitivsi actionare electrostatica sunt, n prezent, cele mai utilizate pentru aplicatii RF, datoritaperformantelor bune la frecvente nalte, consumului de putere foarte mic, dimensiunilorreduse comparativ cu alte tipuri constructive, vitezei de comutatie mai bune decat alte vari-ante de MEMS-uri, precum si datorita valorilor rezonabile pentru forta necesara actionarii.

    2.2 Modelarea compacta a comutatoarelor RF-MEMSCa si n cazul circuitelor integrate tipice, modelarea sistemelor microelectromeca-

    nice folosind instrumentele clasice de analiza a circuitelor electrice nu ofera cea mai naltaprecizie, ipotezele acestei teorii fiind, din punct de vedere practic, mult prea restrictive.Diferenta majora ntre teoria circuitelor electrice si teoria campului electromagnetic estecomplexitatea solutiei [10], n primul caz solutia este un numar finit de semnale, pe cand ncazul teoriei campului, solutia apartine unui spatiu infinit dimensional, datorita diferenteidintre spatiului fizic inerent celor doua teorii, R3 euclidian, respectiv topologic, n cazul te-oriei circuitelor electrice, unde conexiunile dintre elementele de circuit sunt fundamentale,si nu distanta sau unghiul dintre ele.

    Modele de circuit cu parametri concentrati

    In regim static ecuatiile lui Kirchhoff sunt consecinte exacte ale ecuatiilor lui Ma-xwell, daca dielectricul din jurul conductoarelor este un izolator perfect. In cazul regimu-rilor variabile acest lucru nu mai este valabil, n general ecuatiile lui Kirchhoff sunt doaraproximari ale ecuatiilor lui Maxwell, fiind necesare ipoteze simplificatoare pentru a re-duce sistemul cu derivate partiale (PDE) la un sistem de ecuatii ordinare (ODE), conditiilesuficiente pentru validarea ecuatiilor lui Kirchhoff n circuite cu parametri concentrati, fiind[10][3]:

    frecventa trebuie sa fie destul de mica astfel ncat lungimea undei electromagnetice() sa fie mult mai mare decat lungimea circuitului (L):

    L = c T = cf

    ; (2.1)

    15

  • 2. Stadiul actual al modelarii sistemelor micromecanice integrate

    neglijarea campului electric si magnetic din exteriorul bobinelor, considerand exteri-orul circuitului perfect izolator;

    frecventa este destul de mica pentru a permite neglijarea curentului de deplasare ncircuit, cu exceptia condensatoarelor;

    frecventa este destul de mica pentru a permite neglijarea efectelor inductiei magne-tice n circuit, cu exceptia bobinelor.

    In aceste conditii, parametrii de circuit, R, L, C, nu sunt dependenti de frecventa,distributia campului fiind similara cu cea din regimul static:

    diametrul conductorului (d) trebuie sa fie mult mai mic decat adancimea de patrundere() pentru ca efectul pelicular sa poata fi neglijat:

    d = 1pif

    ; (2.2)

    perioda semnalului (T ) trebuie sa fie mult mai mare decat constanta de timp de rela-xare a sarcinii

    1

    f= T =

    f

    . (2.3)

    Conditiile 2.1 - 2.3 impun n final restrictii asupra frecventei de operare care trebuiesa aiba valori suficient de mici pentru ca dispozitivele sa admita ca modele, circuite cuparametri concentrati.

    Datorita tehnologiei de fabricatie si frecventelor nalte de functionare, variatia n timpa fluxului magnetic nu mai poate fi neglijata, existand efecte ale campului electromagne-tic pe care teoria clasica a circuitelor integrate, bazata pe ecuatiile lui Kirchhoff, nu leia n considerare, de aceea folosirea unor metode de modelare care au la baza rezolvareacampului electromagnetic pornind de la ecuatiile lui Maxwell este o necesitate, daca sedoreste o nalta acuratete. Mai mult, spre deosebire de metodele folosite n analiza circui-telor electrice, pornind de la ecuatiile lui Kirchhoff, care au nevoie de iteratii suplimentarepentru a obtine un cip functional, instrumentele care se bazeaza pe ecuatiile lui Maxwellpot obtine solutia dupa o singura iteratie [11],[12].

    Modele de circuit cu linii de transmisie

    Pentru prezenta teza de doctorat, modelarea electromagnetica a RF MEMS are nvedere, n special, comutatoarele capacitive n configuratie sunt, fiind tipul constructiv celmai promitator din punct de vedere al performantelor nregistrate n functionarea circuite-lor integrate de RF. In consecinta, acest tip de comutatoare sunt de regula folosite pentrucomutarea semnalelor de RF pentru liniile de transmisie, de regula, microstrip sau CPW(coplanar-waveguide).

    In cartea de referinta pentru MEMS [7], G. Rebeiz face o descriere substantiala acomutatoarelor capacitive RF MEMS, stabilind, printre altele, cadrul fizic de camp elec-tromagnetic ce le caracterizeaza. Pentru un dispozitiv tipic cu comutatoare capacitive RFMEMS, din punct de vedere constructiv (Fig. 2.6), membrana metalica de lungime L,

    16

  • 2.2. Modelarea compacta a comutatoarelor RF-MEMS

    latime w si grosime t este suspendata la o naltime g peste un strat dielectric, de grosime tdsi permitivitate r, depus pe conductorul central al unei linii de transmisie CPW, de latimeW si distanta dintre linii G. Intregul dispozitiv este plasat pe un substrat de siliciu.

    Figura 2.6: Exemplu de dispozitiv tipic cu comutator capacitiv RF MEMS [7]

    Modelele de circuit ntalnite n literatura de specialitate n acest moment, pentru co-mutatoarele capacitive actionate electrostatic, sunt bazate pe un model hidbrid TL1/RLC/TL2,ntregul dispozitiv fiind modelat ca doua portiuni ale liniei de transmisie plus circuitulRLC al comutatorului (Fig.2.7), n doua variante, corespunzatoare pozitiei actionat (Cd) sineactionat (Cu).

    Figura 2.7: Circuitul echivalent [7].

    Impedanta comutatorului este:

    Zs = Rs + jL+1

    jC, (2.4)

    unde C poate fi Cu sau Cd.In functie de frecventa de rezonanta caracteristica circuitului LC pentru comutator:

    f0 =1

    2pi

    1LC

    , (2.5)

    17

  • 2. Stadiul actual al modelarii sistemelor micromecanice integrate

    se poate aproxima impedanta membranei

    Zs =

    1

    jC, pentru f f0;

    Rs , pentru f = f0;

    jL , pentru f f0.

    (2.6)

    Cu alte cuvinte comportarea comutatorului este dominata de capacitatea acestuia pen-tru valori ale frecventei de functionare sub frecventa de rezonanta si de inductivitatea luipeste aceasta valoare.

    Valoarea capacitatii condensatorului plan-paralel al comutatorului n stare neactionata(Cu), pozitia Up a membranei, luand n considerare si grosimea td a stratului dielectric,este:

    Cpp =0wW

    g +tdr

    , (2.7)

    unde r reprezinta permitivitatea relativa a dielectricului, pentru Si3N4, de exemplu, r =7.6. Din simularea 3D folosind pachete comerciale de analiza a campului, pentru dife-rite valori ale parametrilor geometrici, a fost aratat ca influenta capacitatii de capat (Cf )reprezinta 20% 60% [7][8], din capacitatea condensatorului plan-paralel si nu poate fineglijata, capacitatea comutatorului n pozitia Up fiind deci suma celor doua capacitati,Cu = Cpp + Cf .

    Calculul capacitatii n stare actionata, pozitia Down a membranei, nu impune di-ficultati majore. Datorita modului n care sunt proiectate comutatoarele capacitive RFMEMS, grosimea stratului dielectric nu poate fi mai mica de 0.1 m, datorita tehnologieide fabricatie, iar limita superioara este aproximativ 0.15 m din considerente de proiec-tare. Grosimea redusa a stratului dielectric determina o capacitate de capat foarte mica,ndeajuns pentru a fi neglijata, astfel ncat capacitatea n stare actionata este data de:

    Cd =0rwW

    td. (2.8)

    Rezistenta si inductivitatea comutatorului prezinta interes doar n stare actionata. Incalcularea rezistentei trebuie luati n considerare doi factori importanti, grosimea mem-branei si frecventa. Frecventa determina adancimea de patrundere (), iar daca < t/2,aria efectiva de transmitere a curentului scade, iar cum aceasta este invers proportionalacu rezistenta, odata cu cresterea frecventei creste si rezistenta. Pentru frecvente reduse,pentru care > t/2, rezistenta poate fi calculata ca n curent continuu, nsa peste aceastalimita, pana n prezent, nu exista formule cu o precizie destul de buna pentru determinareape cale analitica a rezistentei la frecvente nalte, un astfel de calcul putandu-se face doarprin implementarea numerica a ecuatiilor lui Maxwell.

    Calculul inductivitatii prezinta probleme asemanatoare calculului rezistentei, singu-rul mod, de a obtine un rezultat cu o acuratete destul de buna, este folosirea unor tehnici demodelare electromagnetica bazate pe ecuatiile lui Maxwell.

    18

  • 2.2. Modelarea compacta a comutatoarelor RF-MEMS

    Deoarece modelele compacte au avantajul simplitatii si al rapiditatii de simulare, maimulti cercetatori au publicat diferite abordari, care sa conduca la extinderea domeniilor lorde valabilitate si la sporirea acuratetei acestor modele.

    In [44] sunt prezentate aspectele fundamentale si dificultatile simularii dispozitive-lor MEMS, autorii identificand trei mari provocari: necesitatea dezvoltarii unor algoritmirapizi pentru calculul fortelor superficiale datorate campului electrostatic sau fluidului ex-terior, cuplarea cat mai eficienta a ecuatiilor diferitelor domenii ale fizicii care sa permitacaracterizarea corecta si rapida a performantelor dispozitivelor precum si identificarea unormetode robuste de modelare folosind tehnici de reducere a ordinului modelelor, identificatan literatura de specialitate ca nonlinear macromodeling sau nonlinear model order re-duction.

    Modele compacte extrase din solutii numerice

    Llamas[45] ilustreaza procesul de modelare electromagnetica 3D si 2.5D a comuta-toarelor capacitive si rezistive RF MEMS folosind doua programe comerciale dezvoltatede Agilent Technologies, EMDS, respectiv, ADS-Momentum, propunand diferite strategiide modelare care iau n considerare dependenta performantelor modelului electric de pro-prietatile mecanice si tehnologia de fabricare (Fig.2.8). Unul din dispozitivele analizatede Llamas este un comutator capacitiv RF MEMS, ancorat capacitiv cu liniile de masa aleCPW.

    Figura 2.8: Llamas, comutator capacitiv RF MEMS si circuitul echivalent [45].

    Avand deja disponibile masuratorile si folosind un proces euristic, Llamas stabilestevalorile de referinta pentru parametrii caracteristici comutatorului, sub forma unui circuitechivalent hibrid TL1/RLC/TL2, la care adauga doua condensatoare ce corespund ancorarii.Comparand rezultatele simularilor 2.5D si 3D cu referinta, Llamas identifica ca principalesurse de eroare, rugozitatea contactului dintre electrozi, conductivitatea membranei si con-ductivitatea conexiunilor dintre straturi, propunand apoi o abordare analitica inginereascade modelare a acestor efecte. Abordarea lui Llamas este una pur inginereasca, un exempluclasic de modelare inginereasca, o mbinare de cunostinte, experienta si intuitie, precum sifolosirea eficienta a tehnicilor si tehnologiilor de calcul disponibile, pentru obtinerea unei

    19

  • 2. Stadiul actual al modelarii sistemelor micromecanice integrate

    model compact ce poate descrie cu o acuratete suficienta comportamentul dispozitivuluianalizat. Pe de alta parte, metoda este totusi subiectiva, particulara dispozitivului, nefiindidentificate tehnici de calcul efectiv a parametrilor comutatorului, cu alte un cuvinte unmodel ce nu poate descrie functionare unei game variante de dispozitive.

    Un proces asemnanator, 2.5D si 3D, este prezentat n [46], pentru un comutator faraancore capacitive, fiind calculati parametrii caracteristici comutatorului, precum si alti pa-rametri de interes. Procesul de modelare este n ntregime electromagnetic, toti parametrifiind calculati prin simulari, rezultatele fiind destul de apropiate de cele obtinute de Llamas.

    Kynack[47] realizeaza o modelare directa, electromagnetica, cu FEM n Sonnet, nsaca si Llamas, recunoaste dificultatea modelarii zonei de contact a comutatorului capacitiv,solutia lui fiind extragerea modelului cu parametri concentrati pentru zona de contact, directdin masuratori realizate la frecvente joase, combinarea acestor abordari ducand la obtinereaunor modele de circuit hibride pentru cele doua pozitii ale membranei, cu rezultate raportatebune, comparativ cu masuratorile.

    Figura 2.9: Model Kaynak - pozitia Up [47].

    Figura 2.10: Model Kaynak - pozitia Down [47].

    In [48] este descrisa modelarea pur electromagnetica a unui comutator capacitiv detip punte folosit pentru comutarea semnalului de RF pentru o linie CPW. Folosind metodaelementului finit sub ANSYS-HFSS se determina parametrii S iar apoi se extrage un modelparametric pentru pozitia neactionata a membranei. Un an mai tarziu autorii revin asupra

    20

  • 2.2. Modelarea compacta a comutatoarelor RF-MEMS

    problemei reusind sa extraga un model complet pentru cele doua stari ale membranei pre-cum si validarea implementarii comparativ cu masuratorile [49]. Prin repetarea procesuluipentru diferite valori ale latimii membranei se ncearca obtinerea unui model parametricscalabil. Acest model prezinta totusi variatii fata de simularea n regim general variabilpentru pozitia neactionat, autorii concluzionand ca erorile se datoreaza influentei efectu-lui de capat. O detaliata modelare fizica a comutatoarelor RF MEMS este prezentata deHannot n [50].

    Modele compacte parametrice

    Puyal et at.[51] propun un model pentru comutatoarele capacitive scalabil n functiede valoarea dorita pentru frecventa de rezonanta f0, plecand de la o abordare analiticacombinata electromagnetic-mecanic, prin identificare unui parametru de scalareKs, definitca raportul dintre latimea dispozitivului considerat de referinta si latimea dispozitivuluidorit, n conditiile n care frecventa de rezonanta este cunoscuta. Modelul este validat ngama de frecvente 20 90 GHz, fiind extras un circuit echivalent parametrizat n factorulde scalare (Fig.2.11).

    Figura 2.11: Circuitul echivalent propus de Puyal [51].

    Unele modele abordeaza aspectele electrice ale RF MEMS, precum Muldavian [52],Bartolucci [53], sau doar modele mecanice, Marcelli [54], iar alte modele abordeaza as-pectele dinamice ale RF MEMS, ca de exemplu Halder [55],[56], Fig.2.12, care n 2009raporta un model electromecanic compact RF pentru comutatoarele capacitive RF MEMSurmand ca un an mai tarziu sa completeze modelul pentru a lua n considerare si efecteelectrotermice si termomecanice.

    Pe langa aceste exemple generale, au fost publicate lucrari care au avut n vedereabordari particulare a dispozitivelor RF MEMS. In [57], unde un comutator RF MEMScu o geometrie aparte este prezentat, pentru care actionarea se realizeaza prin combinareaefectelor electrotermice cu cele hidraulice, cu performante RF excelente pana la 10 GHz,sau n [58], care constituie un studiu asupra efectelor mecanice ce pot conduce la degrada-rea sau scoaterea din functionare a unui comutator RF, studiu realizat n stransa legatura cumodul n care tensiunea de actionare influenteaza integritatea structurala.

    Kong et al. [59] a studiat modul n care variaza performantele unui comutator MEMSceramic pentru diferite variante constructive pentru partea mobila cat si a spatiului de aerdintre electrozi. Modul n care tensiunea de alimentare influenteaza durata de viata a unuicomutator MEMS, si anume ca aceasta depinde exponential de valoarea tensiunii, a fost

    21

  • 2. Stadiul actual al modelarii sistemelor micromecanice integrate

    Figura 2.12: Circuitul echivalent RLC propus de Halder [55].

    atribuit conductiei Frankel-Poole [60], completata ulterior prin demonstrarea influentei pecare o are tipul si calitatea contactului asupra numarului maxim de cicluri de comutatie[61].

    Similar cu modelele pentru tranzistoarele din circuitele integrate, proiectarea unordispozitive RF MEMS cu performante superioare necesita modele de circuit compacte,nsa dat fiind frecventele nalte la care aceste comutatoare trebuie sa functioneze, modelerobuste nu pot fi obtinute decat din simularea acestor dispozitive folosind metode numericeadecvate prin discretizarea ecuatiilor campului electromagnetic, cu alte cuvinte modelareacu parametri distribuiti ai RF MEMS.

    2.3 Tehnici de modelare numerica n electromagnetism

    Avantajul urmarit n urma modelarii cu parametri distribuiti este obtinerea unui modelcu o acuratete ridicata deoarece metoda ia n considerare toate efectele campului electro-magnetic. Pretul platit pentru acuratete se regaseste nsa n complexitatea modelului, fiindnecesara rezolvarea unui sistem de ecuatii cu derivate partiale, la care se adauga relatiileconstitutive de material si conditiile de frontiera. Modelul initial este unul continuu, infinitdimensional, din care este obtinut apoi modelul discret, de dimensiune finita, prin folosireaunei metode numerice pentru discretizarea ecuatiilor lui Maxwell si a conditiilor de fron-tiera. Cele mai folosite metode sunt: metoda elementului finit (FEM), metoda elementelorde frontiera (BEM), metoda diferentelor finite (FDM) si o varianta mbunatatita si gene-ralizata a ei, numita tehnica integralelor finite (FIT). Prin folosirea tehnicilor de reducerea ordinului (MOR) se urmareste, n final, obtinerea unui model de circuit cu complexitatecat mai redusa, similar modelelor compacte prezentate anterior.

    In analiza de regim tranzitoriu, n domeniul timpului, toate aceste metode transformaecuatiile cu derivate partiale (PDE) n sisteme de ecuatii diferentiale ordinare (ODE), cuvariabila independenta timpul. In cazul liniar, prin analiza n frecventa bazata pe repre-zentarea n complex, acestea devin sisteme de ecuatii algebrice complexe iar n analiza ndomeniul timpului, prin integrarea numerica cu metode implicite ele se reduc, la fiecare pasde integrare la sisteme de ecuatii algerice liniare de mari dimensiuni. Deosebirea ntre me-todele de discretizare consta n felul n care sunt alese variabilele necunoscute (gradele delibertate ale solutiei, DoFs) si modul n care sunt calculati coeficientii (elementele matricei)sistemelor liniare ce vor fi rezolvate [62], [63], [64].

    22

  • 2.3. Tehnici de modelare numerica n electromagnetism

    2.3.1 Metoda elementului finitRezolvarea directa a ecuatiilor integrale si diferentiale pe un computer este imposibila de-oarece calculatoarele lucreaza cu numere discrete, fiind incapabile sa faca fata variatieicontinue a necunoscutelor problemei de rezolvat, de exemplu, necunoscutele campului nelectromagnetism. Strategia folosita este de a mparti domeniul de calcul ntr-un numarmare de elemente volumetrice finite peste care solutia este aproximata local, prin functiisimple, polinomiale, problema de rezolvat reducandu-se la un set mare, dar finit, de ecuatiilineare care pot fi rezolvate de un calculator. Gradele de libertate sunt valorile solutiei nnodurile retelei de discretizare sau pe laturile acesteia, valori care determina coeficientiiaproximarilor polinomiale locale, rezultatul fiind o buna aproximare a solutiei continue.Coeficientii sistemului liniar se determina cel mai bine folosind forma slaba a ecuatiilordiferentiale ce sunt rezolvate. Aceasta abordare poarta numele de metoda elementuluifinit [65].

    Chiar daca metoda diferentelor finite si metoda integralelor finite sunt conceptualmai simple si mai usor de programat, metoda elementului finit este mai robusta, datoritadiscretizarii spatiale nestructurate, n triunghiuri si tetraede, extrem de flexibila si posibi-litatii de a fi aplicata n mod natural n cazul unor geometrii complexe n medii neomogene,fiind o metoda numerica ce poate fi intrebuintata pentru o gama variata de probleme. Ana-liza n element finit a oricarei probleme liniare de camp stationar presupune parcurgereaurmatorilor pasi [66]:

    1. discretizarea domeniului spatial al problemei ntr-un numar finit de subregiuni ele-mentare de forme simple;

    2. alegerea modului caracteristic de variatie a solutiei numerice ntr-un element tipic;

    3. asamblarea contributiilor fiecarui element la matricea sistemului si la termenul liber,realizata folosind forma slaba a ecuatiilor;

    4. rezolvarea sistemului de ecuatii algebrice liniare obtinut.

    In metoda elementelor finite este folosita forma variationala slaba, de tip Galerkin,problema fiind reformulata astfel [62]: sa se gaseasca v X , a..

    a(v, u) = f(u), u X (2.9)n care X este spatiul Hilbert n care se cauta solutia v dar n care se afla si functiilepondere, de testare, a(v, u) este o functie biliniara, numita de energie iar f(u) este ofunctionala liniara ce reprezinta sursele de camp. Avantajele acestei abordari constau nfaptul ca functionala f reprezinta si conditiile de frontiera numite narurale, celelalte, numitefortate sunt impuse spatiului X .

    In urma discretizarii, solutia aproximativa, numerica a problemei, este cautata ntr-un spatiu finit dimensional, notat Xh, iar daca Xh X atunci discretizarea este numitaconforma, problema de rezolvat reducandu-se la:

    sa se gaseasca vh Xh, a.. a(vh, uh) = f(uh), uh Xh (2.10)

    23

  • 2. Stadiul actual al modelarii sistemelor micromecanice integrate

    care nu este altceva decat un sistem de ecuatii algebrice liniare.Parametrul h este folosit pentru a descrie norma retelei de discretizare, definita ca

    lungimea laturii maxime, iar daca h 0, atunci solutia numerica converge catre solutiaexacta, cu alte cuvinte, Xh X . Metoda Galerkin se bazeaza pe posibilitatea de a trecedin continuu n discret prin alegerea unor functii de test (v) si de baza (), elementelespatiului finit dimensional Xh exprimandu-se prin combinatii liniare ale functiilor de baza,numite si functii de forma, de ncercare sau de interpolare: 1, 2, . . . , N :

    uh =ni=1

    uhi i, (2.11)

    unde ui sunt gradele de libertate, nlocuind uh n 2.10 obtinem sistemul de ecuatii liniare:

    Au = f , (2.12)

    unde u = [uhi ] RN , A = [a(, j)] RNN este asa numita matrice de rigiditate, iarf = [f(j)] RN este vectorul de sarcina (al surselor).

    Metoda elementului finit are trei caracteristici definitorii [62] care au n vedere dis-cretizarea domeniului de calcul (), spatiul finit dimensional (Xh) al functiilor de forma sicaracterul local al functiilor de interpolare ():

    1. Domeniul marginit Rd cu d = 1, 2 sau 3 cu frontiera neteda pe portiuni esteacoperit de o triangulatie Th ce constituie reteaua de discretizare conforma (compu-tational mesh), o reuniune disjuncta de poliedre sau respectiv poligoane K, ce nu aunoduri comune, adica nu au noduri plasate pe fetele sau muchiile elementelor vecine;

    2. SpatiulXh format din polinoame definite pe portiuni, adica pe elementele triangulatiei,care asigura deci continuitatea solutiei pe tot domeniul de calcul;

    3. Xh are o baza cu suport local ce se anuleaza n toate elementeleK Th cu exceptiacelor care au un element geometric comun.

    Alegerea triunghiului ca element de referinta n metoda elementelor finite pentrurezolvarea problemelor bidimensionale este naturala si intuitiva, orice poligon putand fimpartit n doua sau mai multe triunghiuri astfel ncat orice set de poligoane sau poliedrepoate fi convertit ntr-o retea conforma alcatuita din triunghiuri, n care elementele vecineau varfurile comune. Mai mult, o conditie critica este ca proprietatile de material sa fieuniforme pentru orice element finit din K Th, iar triunghiul este o forma care poateurmari conturul frontierei domeniului .

    Folosind transformarea bijectiva, continua si derivabila

    K : K K, (2.13)elementul de referinta K este transformat ntr-un element fizicK (Fig.2.13), facand legaturantre coordonatele elementul de referinta x si coordonatele elementul fizic x = K(x), ele-mentul fizic avand aceeasi forma ca cel de referinta, cel mai simplu caz fiind cand este otransformare afina:

    K(x) = BK x+ bK , (2.14)

    24

  • 2.3. Tehnici de modelare numerica n electromagnetism

    undeBK Rdd si bK Rd, elementul fizic este obtinut din cel de referinta prin translatie,rotatie sau scalare [62]. Particularitatea acestei alegeri constituie ideea de succes a meto-dei elementelor finite, deoarece transforma polinoamele din elementul de referinta n po-linoame de acelasi grad definite pe elementul fizic, simplificand substantial procesul deanaliza si de dezvoltare a unor programe generale de elemente finite.

    Figura 2.13: Element K [62].

    Un alt aspect important n determinarea unei discretizari adecvate este marimea tri-unghiurilor folosite n discretizare. Ipoteza celui mai simplu element finit este ca, n oriceelement K Th campul electric este uniform, daca consideram o problema de electrosta-tica, de exemplu. Daca exista o variatie spatiala rapida a campului ntr-o anumita partea adomeniului, evident va fi necesara folosirea unui numar mai mare de elemente finite, pen-tru a obtine o solutie numerica cat mai exacta, fiind indicata folosirea unei discretizari maifine doar acolo unde efectele campului sunt mai pronuntate, proces ce poarta numele dediscretizare adaptiva [64](Fig.2.14).

    Strategia cea mai simpla si de altfel cea naturala de alegere a unei retele de discre-tizare adecvate porneste de la cunoasterea fenomenelor fizice inerente fiecarei probleme,ca de exemplu rafinarea retelei n zonele unde teoria campului electromagnetic prezice odensitatea mai mare de sarcina si deci un camp electric mai intens. O metoda mai riguroasasi implicit mai eficienta, pentru discretizarea adaptiva, este folosirea unei proceduri auto-mate de generarea a retelei de discretizare, rafinarea bazandu-se pe estimarea unei erorii dediscretizare [67].

    Asamblarea matricei sistemului este partea centrala a FEM, fiecare element al tri-angulatiei Th este parcurs si contributia lui este adaugata la matricea de rigiditate (A) sivectorul termenilor liberi (f ), obtinandu-se:

    A =KTh

    (CK)TAKCK , (2.15)

    f =KTh

    (CK)T fK , (2.16)

    unde C este o matrice topologica care descrie relatia dintre gradele locale de libertate sicele globale. Functiile de baza alese n cazul metodei FEM au valori nenule doar pentruelementul curent din K Th si cele adiacente acestuia, rezultand o matrice C, si implicitA, rara.

    25

  • 2. Stadiul actual al modelarii sistemelor micromecanice integrate

    (a) Coarse (b) Normal (c) Fina

    Figura 2.14: Discretizare FEM [68].

    O larga serie de probleme de camp, cum sunt cele stationare ES, MS, EC, dar si celenestationare n regim EQS, se reduc la rezolvarea problemei variationale asociata ecuatieilui Helmholtz scalar de tip div grad, n care, n forma sa variationala se cauta u Xh H1D() a..

    uvdx+

    kuvdx =

    fvdx, ()v Xh. (2.17)

    Daca k = 0, problema degenereaza n rezolvarea ecuatiei lui Poisson, specifica regi-murilor statice si stationare. In regimurile MG, MQS si FW, dupa reprezentarea n complex,ecuatiile vectoriale de tip rot rot, de tip Poisson generalizate si respectiv Helmholtz aun forma slaba, operatorul rot n locul operatorului grad [62]:

    [1( wi) ( E) (2 j)wi E]dx+

    +

    SH

    wi(Q n n E)dS = j

    wi Jsdx,(2.18)

    obtinuta dupa nmultirea cu functiile de test vectoriale Wi si integrata apoi pe domeniul decalcul.

    Pentru ecuatia (2.17) contributia fiecarui element la matricea sistemului este:

    AKij = k

    K

    ijdx+K

    kijdx =

    = KK

    (FK)Ti(FK)TjJdx+

    K

    kijJdx,

    (2.19)

    fKi =

    K

    fdx =

    K

    f iJdx, (2.20)

    unde sunt functiile de baza ale elementului de referinta.

    26

  • 2.3. Tehnici de modelare numerica n electromagnetism

    Odata asamblata matricea, urmatorul pas este rezolvarea sistemului liniar pentru de-terminarea solutiei numerice folosind metode directe sau iterative, eventual postprocesarearezultatului pentru determinarea unor marimi derivate.

    Pentru a ntelege mai clar modul n care este generat sistemul liniar de ecuatii alge-brice, n continuare va fi prezentat un exemplu simplu de folosire a metodei elementuluifinit pentru rezolvarea ecuatiei Poisson cu conditii Dirichlet nule de frontiera:

    u = f (2.21)u = 0 pe

    Pentru rezolvarea problemei, altfel spus aproximarea solutiei exacte, conform eta-pelor metodei FEM, avem nevoie de forma slaba a ecuatiei 2.21, pe care o vom obtinemultiplicand aceasta ecuatie cu functia de test v, la stanga, integrand apoi peste domeniul. Astfel obtinem:

    vudx =

    vfdx.

    Integrand prin parti, rezulta

    v udx

    vn udx =

    vfdx.

    Functia de test v trebuie sa satisfaca aceleasi conditii de frontiera, asa ca pe frontierav = 0, iar forma slaba devine:

    (v,u) = (v, f),unde s-a folosit notatia (a, b) =

    ab, pentru a pune n evidenta ca suntem n spatiul

    functiilor, problema cere sa se gaseasca u a.. relatia de mai sus este adevarata pentru toatefunctiile de test v H0.

    In general este greu de gasit o asemenea functie folosind calculatorul, de aceea ur-meaza sa facem trecerea de la continuu la discret, conform metodei lui Galerkin, si cautamo aproximare

    uh(x) =i

    Uii(x), (2.22)

    unde Ui sunt gradele de libertate ale problemei, iar i(x) sunt functiile de baza pe care levom folosi. Forma slaba pentru problema discreta va fi reformulata astfel, sa se gaseascacoeficientii Ui a..:

    (i,uh) = (i, f), i = 1 . . . N.Ecuatia poate fi rescrisa sub forma unui sistem liniar, dupa ce nlocuim uh(x):

    AU = F,

    unde

    27

  • 2. Stadiul actual al modelarii sistemelor micromecanice integrate

    Aij = (i,j),Fi = (i, f).

    Daca am fi nmultit la dreapta, ecuatia originala, cu functia de test, forma sistemuluiar fi fost UTA = F, cele doua variante fiind echivalente daca matricea A este simetrica.

    In acest moment avem ce ne trebuie pentru a ncepe asamblarea matricei sistemuluisi vectorului termenilor liberi. Va trebui sa gasim un mod de a calcula numeric integralele,iar pentru metoda elementului finit, pentru aproximarea integralelor se folosesc formulede cuadratura numerica, integralele sunt deci nlocuite cu sume peste seturi de puncte alecelulelor discretizarii, altfel spus integram peste fiecare celula a domeniului de calcul ,

    Aij = (i,j) =KTh

    K

    i jdx,

    Fi = (i, f) =KTh

    K

    ifdx

    si aproximam contributia fiecarei celule prin cuadratura:

    AKij =

    K

    i jdx q

    i(xKq ) j(xKq )wKq ,

    Fi =

    K

    ifdx q

    i(xKq )f(x

    Kq )w

    Kq ,

    unde xKq este al q-lea punct de cuadratura din interiorul domeniului, iar termenii wKq sunt

    ponderile specifice metodei de integrare numerica folosita. In cazul elementelor de formesimple (simplex), integralele se pot calcula prin metode analitice.

    Avantajele si flexibilitatea metodei FEM au garantat folosirea pe scara larga a me-todei elementului finit atat n comunitatea stintifica cat si n industrie, n acest momentexistand o gama variata de programe de calcul (CAD) si biblioteci de rutine ce utilizeazaFEM pentru rezolvarea unor probleme 1D, 2D sau 3D, de natura electromagnetica, meca-nica, termodinamica, aceste cerinte facand ca metoda FEM sa fie potrivita pentru analizadispozitivelor RF MEMS [69].

    2.3.2 Metoda elementelor de frontieraMetoda Elementelor de Frontiera (BEM) [70],[71],[72],[73], sau metoda momen-

    telor, este o metoda numerica folosita pentru rezolvarea problemelor cu derivate partiale(PDE), formulate ca ecuatii integrale, spre deosebire de FEM ce foloseste forma slaba aecuatiilor diferentiale, fiind, din punct de vedere al efortului de calcul, foarte eficienta,deoarece implica calculul valorilor necunoscute doar de pe frontiera domeniului de calcul.

    Daca domeniul de calcul este 2D si are, de exemplu, forma patrata, cu fiecare laturadiscretizata n n segmente, atunci metodele de volum, precum diferente finite (FDM) sauelemente finite (FEM), au numarul de necunoscute de ordinului n2, iar deoarece matricea

    28

  • 2.3. Tehnici de modelare numerica n electromagnetism

    sistemului de ecuatii este rara, aceasta are de la 5n2 pana la 9n2 elemente nenule, pe cand ncazul BEM, intervin doar valorile solutiei de pe cele patru laturi ale patratului, deci sistemulare d


Recommended