Teorema lui Noether (1918)
Emmy NoetherEmmy Noether
Simetrie Conservare
Orice simetrie continua independenta de timp a Lagrangianului
tqqLL ssss ,,genereaza o integrala a miscarii.
Data fiind o solutie a ecuatiei de miscare, putem utiliza Data fiind o solutie a ecuatiei de miscare, putem utiliza simetria pentru a genera o familie continua de solutiisimetria pentru a genera o familie continua de solutii
L are o simetrie continua daca este invariant la transformarea:
)(qhqq ss unde s este un parametru constant real, iar hs=0 este transformarea identica
-Dandu-se o cale (nu neaparat fizica) q(t), L are aceeasi valoare pentru toate caile familiei qs(t).
- Daca
0LdtS pe calea q(t) , atunci 0S pentru toti membrii
familiei qs(t)
- Daca
)()(0 tqtqs este o cale fizica, atunci toate caile qs(t) generate de
simetria hs sunt fizice
s
s
s q
L
dt
d
q
Ld/dt este derivata totalin lugul caii s=const.
cum Ls=const. pe toata familia de cai, atunci
0s
L
dt
dq
sq
L
s
q
q
L
dt
d
s
q
q
L
s
q
q
L
s
L
s
ss
s
ss
s
ss
s
ss
s
q
q
L
dt
d
s
q
dt
d
q
L
s
q
q
L
dt
d
s
s
s
ss
s
s
0),,(
dttqqdI ss
Integrala de miscaregenerata de simetria h.),,( const
s
q
q
LtqqI
s
ss
Conservare
Simetrie
Simetria de rotatie
Coordonate polare )(2
1 22
2
rVrrmL
srrqhs ,,:s
q
q
LtqqI
s
ss
),,(
1,0s
qs
2),,( mrL
tqqI
s
ss
Coordonate carteziene )(2
1 2222
yxVyxmL
sysxsysxyxqhs cossin,sincos,:
sss xysysxsysxs
q,sincos,cossin
sszssss
s
s
s
sss rrmexyyxmx
Ly
y
LxtqqI
),,(
Conservarea momentului cinetic
Ne vedem in doua saptamani !
Sistem invariant in raport cu translatiile temporale
),(
qqLL
......)()()(0
00 ttdt
dqtttqtq
)(t
qttqtqq )()()( 0
t
t
t
t
dtqq
Lq
q
LSdtqqLS
00
),(
qqqqtq )(
t
t
dtqqq
Lq
q
LS
0
)(
daca )(t
t
t
t
t
dtqq
Lqq
Ldtqq
q
Lq
q
LS
00
)(
qdq
Lqq
L
dt
dL
qdq
Ldqq
LdLqqLL ),(
t
t
ttLdt
dt
dLS
0
0
S=f(punct. de capat ale limitei temporale)
daca )(t
t
t
dtqqq
Lq
q
LS
0
)(
t
t
t
t
dtqq
L
dt
dLdtq
q
Lq
q
Lq
q
L
00
dtqq
L
dt
dq
q
Ldtq
q
L t
t
t
t
t
t
00
0
0)()( 0 tt
dtqq
LL
dt
dtdtq
q
L
dt
d
dt
dLS
t
t
t
t
00
)(
0
LL
dt
d .constqq
LL
Posibilitatea obtinerii unor marimi care se conserva, direct din S, fara a utiliza ecuatiile de miscare !
Din invarianta actiunii la o transformare simetrica (≡ parametru independent de timp) rezulta intotdeauna marimi care se conserva
L = T – V
Daca Lagrangianul este invariant la o translatie temporala
Conservarea energiei.
Sa presupunem ca x1, x2,…, xn sunt variabilele dinamice ce caracte-rizeaza starea fizica a unui sistem, fiecare din ele fiid o functie de timp, iar L(x1,x2,…,xn). Obtinerea ecuatiilor de miscare implica luarea in considerare a urmatorului set de variabile perturbate :
unde δi(t) sunt variatii arbitrare si apoi stabilirea conditiilor ce trebuiesc indeplinite pentru ca integrala din Ldt sa fie stationara, adica san nu fie afectata de o crestere a valorii parametrului variational ε.
Alegand ca aceasta sa fie nula cand ε = 0 astfel Xi = xi,
Neobservabile Simétrie in raport cu transformarea :
Legea de conservare
Pozitia spatiala absoluta
Translatia spatiala Impuls P
Timp absolut Translatia in timp Energie E
Orientarea spatiala absoluta
Rotatia Moment cinetic L
Viteze, Orientari, Pozitii absolute(RR)
Transformari ale grupului Poincaré ( Lorentz + translatii in Spatiu si Timp)
Intervalul spatio-temporal s², Impuls P, moment cinetic L, Energie E
Orientari, Pozitii, Viteze si si Acceleratii absolute (RG)
- Covarianta generala- Difeomorfisme infinitezimale
-Invarianti topologici- Actiunea ( d'Hilbert) campurilor gravitationale si materiale
Diferenta intre particule identice
Permutarea Particulelor identice
Statistica Fermi-Dirac sau Bose-Einstein
a) Consideram o translatie elementara
ii
ii
iii
zz
yy
xxx
'
'
'
Fie un sistem inchis de N particule. Sa se deduca legile de conservare ale impulsului, momentului cinetic si energiei
)(2
2
i ji
jiijii rrUvm
L
dtxx
Lx
x
LS
t
t i ii
ii
i0
0
dtxmdt
dtxmdttxm
t
t iii
t
tiii
t
t iii
000
)()( 0
0
i
iixmdt
d .constxmi
ii
translatie Conservarea impulsului
b) Consideram o rotatie elementara
ii
iiiii
iiiii
zz
xyxyy
yxyxx
'
'
'
dtxymyxmdtyymxxmSt
t i iiiiiii
t
t i iiiiiii
00
)()(
t
t iii
t
t
t
t i iiiii dttyx
dt
dyxdttyx
000
)()()(
t
t iii
t
t
t
t i iiiii dttyx
dt
dyxdttyx
000
)()()(
.0)(0
constxyyxmdtxyyxmdt
dtS
iiiiii
t
t iiiiii
rotatie Conservarea momentuluicinetic (proiectia pe Oz)
