60
1 Gheorghe NECȘULEU TEME ȘI PROBLEME DE MATEMATICĂ PENTRU BACALAUREAT PARTEA a II-a CLASELE a XI-a și a XII-a
1
Gheorghe NECȘULEU
TEME ȘI PROBLEME
DE MATEMATICĂ
PENTRU BACALAUREAT
PARTEA a II-a
CLASELE a XI-a și a XII-a
2
Capitolul 1
PROBLEME DE ALGEBRĂ
CLASELE A XI-A ȘI A XII-A
1.Elemente de calcul matriceal şi sisteme de
ecuaţii liniare
1.2 Probleme rezolvate
1) Se consideră matricea 1 1
1 0A
a) Calculaţi 2A A .
b) Determinaţi inversa matricei A.
c) Rezolvaţi ecuaţia
2
2010 2010,
2009 2010A X X M
Bacalaureat M 2, iunie-iulie ,2010
Soluţie.
a)2
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
1 0 1 0 1 0 1 1 1 0A A
2
1 0
0 1I
.
b)1
0 1 0 1 0 11 1
1 1 1 1 1 1det 1A
A
c) 1
2010 2010 0 1 2010 2010 2009 2010
2009 2010 1 1 2009 2010 1 0X A
2) Se consideră matricea
1 0 0
0 1 0
1 0 1
A
a) Calculaţi determinantul matricei A.
3
b) Verificaţi dacă 1
1 0 0
0 1 0 ,
1 0 1
A
unde 1A este inversa matricei A.
c) Rezolvaţi ecuaţia 3
1 1 1
2 2 2 , .
3 3 3
A X X M
Bacalaureat M 2, august-septembrie,2010
Soluţie. a)detA = produsul elementelor de pe diagonala principală a matricei A
.Rezultă det 1 1 1 1A .
b) 3
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 .
1 0 1 1 0 1
A A I
Deci 1
1 0 0
0 1 0 .
1 0 1
A
c) 1
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 .
3 3 3 2 2 2
X A
3) Se consideră matricele 2
1 0 1 1,
0 1 2 2I A
şi 2 ,X a I aA
unde a .
a)Caiculaţi 2 3 .A A
b)Demonstraţi că 3 ,X a X b X a b ab oricare ar fi , .a b
c)Arătaţi că X a este matrice inversabilă,oricare ar fi .a
Bacalaureat M 2, iunie-iulie ,2011
Soluţie.
a) 21 1 1 1 3 3
32 2 2 2 6 6
A A
2
3 3 3 3
6 6 6 6O
b) 2
2 2 2X a X b I aA I bA I bA aA abA
2I + 3 .a b ab A X a b ab
c)Este suficient să arătăm că det 0,X a oricare ar fi .a Avem
2
1det det
2 2 1
a aX a I aA
a a
21 2 1 2a a a
4
= 2 22 2 1 2 3 1 0,a a a a a oricare ar fi .a
4) Se consideră determinantul
1 1 1
, 1 ,
1 1 1
D x y x y
x y
unde , .x y
a) Calculaţi 1,1 .D
b) Determinaţi ,x pentru care ,2010 1.D x
c) Demonstraţi că
2 2, , , ,D x y D x y D x y
oricare ar fi , .x y
Bacalaureat M 2, august-septembrie,2011
Soluţie.
1 1 1
, 1 1
1 1 1
D x y x y xy x x y
x y
x xy y 1y .x y
1 1 1
1 x y Atunci avem:
a) 1,1 1 1 2;D
b) ,2010 1 2010 1 2011 .D x x x
c) 2 2 2 2, , , ,D x y D x y x y x y x y D x y
oricare ar fi , .x y
5) În reperul cartezian xOy se consideră punctele *1, 2 , .nA n n n
a) Determinaţi ecuaţia dreptei 1 2.A A
b) Demonstraţi că punctele , ,m n pA A A sunt coliniare,oricare ar fi
*, , .m n p
c) Pentru fiecare *p notăm * / 2 .p n pM n A A
Determinaţi elementele mulţimii 2011.M
Bacalaureat M 2, 2012,model oficial
Soluţie.
a)Ecuaţia dreptei 1 2A A cu 1 0,3A şi 2 1,4A este 0, unde
5
1
0 3 1 3 3 4 3
1 4 1
x y
x y x x y
x y 1
0 3 1
Rezultă ecuaţia 3 0x y sau 3.y x
b) Avem
1 2 1
1 2 1 2 2 2 2 2
1 2 1
m m
n n mn m n np n p pm p
p p
-
m-1 m+2 1
n-1 n+2 1
2 2 2 2 2 2 2 0.m np p n mp m p mn n m Rezultă că
punctele , ,m n pA A A sunt coliniare,oricare ar fi *, , .m n p
c) *
2011 2011/ 2nM n A A unde 1, 2 ,nA n n iar 2011 2010,2013 .A
Atunci 2 2
2011 2010 1 2013 2nA A n n
2 2 2
2011 2011 2 2011 2 2011 .n n n n
Rezultă 2011 2 2 2011 2 2011 2nA A n n
2 2011 2 2011 2 2011 2n n şi cum *n obţinem
2011 2010,2011,2012 .M
6) Se consideră matricele 3 4 1 2
,2 3 1 1
A B
şi 2
1 0.
0 1I
a) Să se calcuieze matricea 2.B
b) Să se verifice că 13 4
.2 3
A
c) Să se arate că 4 4
26 ,C I unde 2 1.C B A
Soluţie.
a) 21 2 1 2 3 4
.1 1 1 1 2 3
B A
b) Rezuită imediat că
6
2
3 4 3 4,
2 3 2 3A A I
de unde 13 4
.2 3
A
c)Obţinem 1
2
3 4 3 4 6 06 .
2 3 2 3 0 6C A A I
7).Se consideră determinantul 2
1 1 1
1 3 9 ,
1
D a
a a
unde a este număr real.
a)Să se calculeze valoarea determinantului 9 .D
b)Să se resolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 0.D a
c)Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 0.xD
Soluţie.
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 3 1 3 3 1 1 3
1 9 1 3
D a a a a a
a a
2 1 3 ,a a ca determinant Vandermonde.
Atunci:
a) 9 2 9 1 9 3 2 8 6 96.D
b)D 10 1D a a şi 2 3.a
c) 3 0 3 1x xD sau 13 1 0x x şi 2 1.x
8) În reperel cartezian xOy se consideră punctele 0,0O şi
,2 1 , .nA n n n
a)Să se determine ecuaţia dreptei 1 2.A A
b)Să se calculeze aria triunghiului 1 2.OA A
c) Să se arate că punctele ,2 1 ,nA n n n sunt coliniare.
Soluţie.
a)Ecuatia dreptei 1 2 ,A A unde 1 21,3 , 2,5A A este 0, unde
1
1 3 1 3 5 2 6 5 2 1.
2 5 1
x y
x y x y x y
x y 1
7
1 3 1
Obţinem ecuaţia 2 1.y x
b)Aria triunghiului 1 2OA A este1 2
1,
2OA AA unde
0 0 1
1 3 1 2 0 0 1 1.
2 5 1
Rezultă 1 2
1.
2OA AA
c) Cum 1 2,A A aparţin dreptei : 2 1,d y x se observă că orice punct
,2 1 , ,nA n n n aparţine dreptei d .Prin urmare punctele , ,nA n
sunt coliniare.
9) În 2M se consideră matricele
1 5 2
, .10 1 4
x xA x x
x x
a) Să se calculeze 1 1 .A A
.b) Să se verifice dacă 2 2
1 1 , .A x A x x
c) Să se determine inversa matricei 1 .A
Soluţie.
a) 6 2 4 2 4 2
1 1 1 .10 3 10 5 10 5
A A A
b) 2 2
2
2 2
5 10 1 2 4
10 20 4 8 1
x x x xA x A x A x
x x x x
2 2
22
2 2
1 5 2 2 22 1 1 .
10 2 1 4 2
x x x xA x x A x
x x x x
c)
1 3 2 3 21 11 .
10 6 10 6det 1 2A
A
10) În 2M se consideră matricele 2
4 1 1 0,
4 1 0 1A I
şi
submulţimea 2/ .G X a a şiX a I aA
8
a) Să se verifice dacă 2I aparţine mulţimi G .
b) Să se arate că 5 , , .X a X b X a b ab a b
c) Să se arate că pentru 1
5a inversa matricei X a este
matricea .1 5
aX
a
Soluţie.
a) 2 0 .I X G
b) 2
2 2 2 .X a X b I aA I bA I bA aA abA
Dar 24 1 4 1 20 5
5 .4 1 4 1 20 5
A A
Rezultă
2 5 5 .X a X b I a b ab A X a b ab
c) Folosind relaţia precedentă avem
5
1 5 1 5 1 5
a aa aX a X X a
a a a
2 25 5
1 5
a a a aX
a
20 .X I şi analog 20 .1 5
aX X a X I
a
11) Se consideră sistemul
3 0
2 0,
4 5 0
x y z
x y mz
x y z
cu m parametru real şi A
matricea sistemului .
a) Să se calculeze determinantul matricei A pentru 1.m
b) Să se determine parametrul real m dacă determinantul matricei
sistemului este nul .
c) Pentru 1m să se rezolve sistemul .
Solutie.
a) Pentru 1m avem
1 1 3
det 2 1 1 5 6 4 12 1 10 6.
4 1 5
A
b) În general
1 1 3
det 2 1 5 6 4 12 10 3 3
4 1 5
A m m m m şi
9
1 1 3
2 -1 m
avem det 0A dacă şi numai dacă 1.m
c) Pentru 1m avem det 0A şi sistemul este compatibil determinat
cu soluţia 0,0,0 .
12) Se consideră matricele 3
1 1 3 1 0 0
2 2 6 , 0 1 0
3 3 9 0 0 1
A I
şi 3.B A I
a) Să se calculeze determinantul matricei A .
b) Să se calculeze 2 2.A B
c) Să se arate că inversa matricei B este 1
3
1.
9B A I
Soluţie.
a) Deoarece matricea A are 2 linii proporţionale, obţinem det 0.A
b) Avem 2 2
3 32A B A B A B I A I
1 1 3 1 0 0 3 2 6
2 2 2 6 0 1 0 4 3 12 .
3 3 9 0 0 1 6 6 17
c) Avem 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1 10.
9 9 9 9 9A I A I A A A I A A I
Dar
2
1 1 3 1 1 3
2 2 6 2 2 6 10 .
3 3 9 3 3 9
A A
Rezultă 3 3 3
1
9A I A I I
şi analog 3 3 3
1.
9A I A I I
13) Se consideră matricele 1 1
, ,2
a xA a X
a y
cu ,x y şi
1
.4
B
a) Să se determine a astfel încât det 0.A
b) Pentru 3a să se verifice că 12 1
.3 2
A
10
c) Pentru 3a să se rezolve ecuaţia matriceală .A X B
Soluţie.
a) 1 1
0 2 2 0 2.2
aa a a
a
b) 3
2 1 2 1 2 1 2 1.
3 2 3 2 3 2 3 2I
c) Din 2 1
,3 2
X B
rezultă X=
12 1 1 2 1 1 2
.3 2 4 3 2 4 5
14) Se consideră sistemul
0
4 2 16 ,
2 2 6
x ay z
x y z
x y z
unde a şi matricea sistemului
1 1
1 4 2 .
1 2 2
a
A
a) Să se determine ,a astfel încât matricea A să fie inversabilă.
b) Să se calculeze 2.A
c) Să se rezolve sistemul pentru 1.a
Soluţie.
a)
1 1
det 1 4 2 8 2 2 4 4 2 4 10.
1 2 2
a
A a a a
Matricea A
1 1a
1 4 -2
este inversabilă dacă şi numai dacă det 4 10 0,A a adică
5
\ .2
a
b) 2
1 1 1 1 5 2 2 3
1 4 2 1 4 2 3 20 13 .
1 2 2 1 2 2 1 12 7
a a a a a
A a
a
c) Pentru 1,det 4 1 10 14 0.a A Rezultă că sistemul este
compatibil determinat cu soluţia
, , ,yx z
dd dx y z
d d d unde det 14,d A iar
11
0 1 1
16 4 2 12 32 24 32 28,
6 2 2
xd
1 0 1 1 1 0
1 16 2 42, 1 4 16 14.
1 6 2 1 2 6
y zd d
Astfel soluţia unică este 2,3, 1 .
15) Se consideră matricele 2
2 1 5 4 0 0, ,
1 2 3 1 0 0A B O
şi 2
1 0
0 1I
în 2 .M
a) Să se calculeze .A B
b) Să se rezolve ecuaţia matriceală ,A X B unde 2 .X M
c) Să se demonstreze că matricea A verifică egalitatea
2
2 24 5 .A A I O
Soluţie.
a) 2 1 5 4 13 9
.1 2 3 1 1 2
A B
b) det 4 1 5 0.A Deci matricea A este inversabilă.
Atunci din A X B obţinem
12 1 5 4 7 71 1
.1 2 3 1 11 65 5
X A B
c) Avem 22 1 2 1 3 4
1 2 1 2 4 3A A A
şi 2
8 4 5 0 3 44 5 .
4 8 0 5 4 3A I
Obţinem 2
24 5 ,A A I de unde 2
2 24 5 .A A I O
1.2 Probleme propuse
12
1) Se consideră matricele
1 0 0
0 1 ln
0 0 1
H x x
, cu 0,x .
a) Arătați că det 1H x , pentru orice 0,x .
b) Determinați numărul real , 0a a , astfel încât H x H a H x ,
pentru orice 0x .
c) Calculați determinantul matricei 1 2 ... 2012H H H .
Bacalaureat M 2, iunie-iulie, 2012
2) Se consideră sistemul de ecuații
2 0
1
2,
x y z
x y z
x y az
unde a .
a) Calculați determinantul matricei asociate sistemului .
b) Determinați valorile reale ale lui a , pentru care matricea asociată siste-
mului este inversabilă.
c) Pentru 0a , rezolvați sistemul de ecuații.
Bacalaureat M 2, sesiunea specială, 2012
3) Se consideră matricea
21
0 1 2
0 0 1
x x
A x x
, unde x .
a) Arătați că A x A y A x y , oricare ar fi ,x y .
b) Arătați că 2011
3A x A y O , pentru orice ,x y .
c) Determinați inversa matricei A x , unde x .
Bacalaureat M 1, iunie-iulie, 2011
Indicație. b) 3
3A x A y O ;c) A x A x A x x .
4) Se consideră sistemul
2 3 0
2 3 0
0
x y z
x y z
x y mz
unde m .
a) Calculați determinantul matricei sistemului .
b) Determinați valorile reale ale lui m pentru care sistemul are soluție
unică.
c) În cazul 2m , determinați soluția 0 0 0, ,x y z a sistemului pentru care
0 0x și 2 2 2
0 0 0 3x y z .
Bacalaureat M 1, iunie-iulie, 2012
13
Indicație. c) În cazul 2m matricea sistemului are rangul egal cu 2 .
5) În 3M , se consideră matricele
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
și
cos 0 sin
0 1 0 ,
sin 0 cos
x i x
A x x
i x x
.
a) Calculați det A .
b) Arătați că A x A y A x y , pentru orice ,x y .
c) Determinați numerele reale x pentru care 2012
3A x I .
Bacalaureat M 1, sesiunea specială, 2012
Indicație.c)Folosind b)obținem 2012
2012A x A x .
2. Structuri algebrice
2.1 Probleme rezolvate
1) Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie
2 6 6 21.x y xy x y
a) Arătaţi că 2 3 3 3,x y x y oricare ar fi , .x y
b) Arătaţi că legea ,,* ” este asociativă .
c) Calculaţi 1 2 ... 2011.
Bacalaureat M 2,august-septembrie,2011
Soluţie.
a) 2 3 3 3 2 3 3 9 3 2 6 6x y xy x y x x y 21
,x y oricare ar fi , .x y
b) Considerăm 2 3 3 3x y x y şi avem :
2 3 3 3 4 3 3 3 3;x y z x y z x y z
2 3 3 3 2 3 2 3 3 3.x y z x y z x y z
Rezultă ,x y z x y z oricare ar fi , , ,x y z adică legea
14
,, * „ este asociativă .
c) Avem 3 3 3,x x pentru orice x . Atunci
1 2 ... 2011 1 2 3 4 ... 2011 3 4 5 ... 2011 3.
2) Pe mulţimea numerelor reale definim operaţia
4 4 12,x y xy x y
pentru orice , .x y
a) Să se verifice că 4 4 4,x y x y pentru orice , .x y
b) Să se calculeze 4 , .x x
c) Ştiind că operaţia este asociativă ,să se calculeze
2012 2011 ... 2011 2012.
Soluţie.
a) 4 4 4 4 4 16 4 .x y xy x y x y
b) 4 4 4 4 4,x x pentru orice .x
c) Observăm că şi 4 4 4 4 4 4,x x pentru orice
x şi atunci avem 2012 2011 ... 2011 2012
2012 2011 ... 5 4 3 ... 2012
4 3 ... 2011 2012 4, pentru orice .x
3) Se consideră mulţimea , ,M k k şi legea decompoziţie
2 ,x y xy k x y k k
oricare ar fi , .x y M
a) Să se determine k astfel încât 2 3 2.
b) Pentru 2,k să se resolve în M ecuaţia 6.x x
c) Să se demonstreze că pentru orice , ,x y M avem .x y M
Solutie.
a) 2 22 3 2 2 3 2 3 2 4 4 0k k k k k
2
2 0 2.k k
b) Pentru 2k avem 2 6.x y xy x y Atunci
2 2
16 4 6 6 4 0 0x x x x x x x şi 2 4.x
Cum 0 2, , iar 4 2, , rezultă soluţia unică 4.x
c) Avem
,x y M x k şi 0y k x k şi 0y k
15
2 0x k y k o xy kx ky k
2xy k x y k k k x y k ,x y M
pentru orice , .x y M
4) Pe mulţimea se consideră legea de compoziţie
5 30.x y xy x y
a) Să se demonstreze că 5 5 5,x y x y oricare ar fi , .x y
b) Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie , , ".
c) Ştiind că legea de compoziţie , , " este asociativă să se rezolve în
ecuaţia .x x x x
Soluţie.
a) 5 5 5 5 5 25 5 .x y xy x y x y
b) ,x e e x x conduce la 5 5 5 ,x e x adică la
5 6 0,x e de unde obţinem elementul neutru 6.e
c) Avem:
2 2
5 5; 5 5x x x x x x x x
2
5 5 5x x
3
5 5.x
Atunci ecuaţia x x x x se scrie 3
5 5.x x Observăm că
1 5x şi prin împărţire cu 5 0,x obţinem 2
5 1x sau
2 10 24 0,x x de unde 2 34, 6.x x
5) Pe mulţimea se consideră legile de compoziţie
1, 1,x y x y x y ax by cu ,a b
şi funcţia :f definită prin 2.f x x
a) Să se demonstreze că 1 1 ,x x x oricare ar fi .x
b) Să se determine ,a b pentru care legea , , " este asociativă.
c) Dacă 1a b să se arate că funcţia f este morfism între grupurile
, şi , .
Soluţie.
a) Evident ,x y y x pentru orice ,x y şi atunci
1 1 ,x x iar 1 1 1 .x x x
b) Cum 21 1,x y z ax by z a x aby a bz x y z
16
21 1,x ay bz ax aby b z b pentru orice , , ,x y z
rezultă 2 2,a a b b şi ,a b de unde 0a b sau 1.a b
c) Din 2 3f x y x y x y şi
1 2 2 1 3,f x f y f x f y x y x y rezultă
,f x y f x f y oricare ar fi , ,x y adică f este morfism
de grupuri.
6) Se consideră ( 8 , +, inelul claselor de resturi modulo 8.
a) Să se calculeze suma ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 2 3 4 5 6 7.S
b) Să se calculeze în 8 produsul elementelor inversabile ale inelului 8.
c) Să se rezolve în 8 sistemul ˆ ˆˆ2 5 2
.ˆ ˆ ˆ3 2 5
x y
x y
Soluţie.
a) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 7 2 6 3 5 4 4.S
b) Avem că 8a este inversabil ,8 1.a Rezultă că mulţimea
elementelor inversabile ale inelului 8 este ˆ ˆ ˆ ˆ1,3,5,7M şi avem
1 3 5 7 7 7 1.P
c) Înmulţind prima ecuaţie cu 2 şi a doua cu 3 sistemul devine
ˆ ˆ ˆ4 2 4
.ˆ ˆ6 7
x y
x y
Adunând cele două ecuaţii ,rezultă ˆ5 3,x de unde 7x şi 6 0.y
Obţinem soluţia unică ˆ7, 4 .
2.2 Probleme propuse
1) Pe mulțimea numerelor reale, se definește legea de compoziție asociati-
vă 1x y x y .
a) Arătați că 1x x , pentru orice x .
b) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația 4x x x .
c) Determinați numărul natural , 2n n , pentru care 1 2 14n nC C .
Bacalaureat M 2, sesiunea specială, 2012
17
2) Pe mulțimea se definește legea 2 3 3 ,x y xy x y m m . Fie
mulțimea 3
\2
M
.
a) Determinați m astfel încât x y M , pentru orice ,x y M .
b) Pentru 6m , arătați că ,M este grup .
c) Pentru 6m , demonstrați că funcția : , 2 3f M f x x este un
izomorfism între grupurile ,M și , .
Bacalaureat M 1,august-septembrie,2010
Indicație. a)3 3 3
2 62 2 2
x y x y m
;dacă 6m , atunci avem
2 3 30
6 2
m .
3) Se consideră matricea 2
3 2
3 2A M
și mulțimea
2 \ 1G X P I pA p .
a) Arătați că X p X q G , pentru orice ,X p X q G .
b) Admitem că ,G este grup comutativ având elementrul neutru 0X .
Determinați inversul elementului X p în acest grup.
c) Rezolvați ecuația 3
2 7X p I A , unde X p G .
Bacalaureat M 1, iunie-iulie, 2012
Indicație. b) 0X p X q X p q pq X , dacă 1
pq
p
.
c) 3 3
1 1X p X p .
4)Pe mulțimea ,se definește legea de compoziție 1
12
x y x y xy
a) Verificați dacă legea de compoziție '' '' este asociativă .
b) Arătați că legea de compoziție " " admite element neutru.
c) Rezolvați ecuația 3x x x .
5) Pe mulțimea , se definește legea de compoziție
3 3 12x y xy x y .
18
a) Demonstrați că 3 3 3x y x y , oricare ar fi ,x y .
b) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația 19x x .
c) Știind că legea " " este asociativă , calculați 3 3 31 2 ... 2011 .
Indicație. c) 3 3 3x x , pentru orice x .
6) Pe mulțimea numerelor reale, se dă legea de compoziție
4 4 20x y xy x y .
a) Să se arate că 4 4 4x y x y .
b) Să se determine elementul neutru al legii de compoziție .
c) Să se rezolve ecuația 2 2 4x x , în mulțimea numerelor reale.
3. Polinoame cu coeficienţi
într-un corp comutativ
3.1 Probleme rezolvate
1) Se consideră polinoamele 3, ,f g X
2 2 ˆ, 2 ,f X X g X X a cu 3.a
a)Calculaţi ˆ ˆ0 1 .f f
b) Determinaţi rădăcinile polinomului .f
c) Demonstraţi că ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 0 1 2 ,f f f g g g pentru
orice 3.a
Bacalaureat M 2 ,iunie-iulie,2010
Soluţie.
a) 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 0 0 1 1 2.f f
b) Cum 3ˆ ˆ ˆ0,1,2 şi ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0, 1 2, 2 1 2 0,f f f rezultă
rădăcinile 0 şi 2.
c) Avem ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 2f f f şi
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 1 2 1 1 2g g g a a a .
Rezultă
19
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 0 1 2 ,f f f g g g pentru orice 3.a
2) Fie polinomul 3 2
3ˆ, 2f X f X X şi mulţimea
3 2
3/ , , , .G g aX bX cX d a b c d
a) Calculaţi 1 .f
b) Determinaţi rădăcinile polinomului f
c) Determinaţi numărul elementelor mulţimii G .
Bacalaureat M 2 ,august-septembrie,2010
Soluţie.
a) 3 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 2 1 1 2 0.f
b) Cum 3ˆ ˆ ˆ0,1,2 şi 3 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0, 1 0, 2 2 2 2f f f ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 1 0
rezultă rădăcinile 0 şi 1.
c) Cum 3ˆ ˆ ˆ0,1,2 şi 3, , , ,a b c d rezultă că numărul elementelor
mulţimii G este 43 81, întrucât a,b,c,d pot lua fiecare câte 3 valori.
3) Polinomul 3 22 5 ,f X X X m ,m are rădăcinile 1 2,x x şi 3.x
a) Calculaţi 2 2 2
1 2 3 .x x x
b) Determinaţi *m pentru care 1 2 3
1 2 3
1 1 1.x x x
x x x
c) Arătaţi că determinantul
1 2 3
2 3 1
3 1 2
x x x
x x x
x x x
este număr natural,
oricare ar fi .m Bacalaureat M 2 ,iunie-iulie,2011
Soluţie. a) Folosind şi relaţiile lui Viete avem
22 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 32x x x x x x x x x x x x 2
2 2 5 14.
b) Avem
1 2 1 3 2 31 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 1,
x x x x x xx x x x x x
x x x x x x
care, folosind relaţiile lui Viete,devine
5
2m
sau 2 5,m de unde
5.
2m
20
c) Avem
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 1
3 1 2
x x x x x x x x x
x x x
x x x
1 2 3 2 3 1
3 1 2
1 1 1
x x x x x x
x x x
1 1 1
2x 3x
1x
2 2 2
1 2 3 2 3 1 2 1 3 3 1 2x x x x x x x x x x x x 2 5 14 38 .
4) Fie polinoamele 3 2 1f X aX X şi 3g X din inelul 5 .X
a) Să sedetermine 5 ,a astfel încât polinomul f să fie divizibil cu
polinomul .g
b) Pentru 1a să se arate că 2ˆ ˆ1 1 .f X X
c) Pentru 1a să se rezolve în inelul ( 5 ,+, ) ecuaţia 0.f x
Soluţie.
a) Conform teoremei lui Bezout f este divizibil cu 2,g X dacă şi
numai dacă ˆ ˆ2 0f ,adică ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 4 2 1 0,a de unde ˆ ˆ4 4a sau 1.a
b) Pentru 1a avem
3 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 1 1 .f X X X X X X X X
c) Avem 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 1 0 1 0f x x x x sau 2 ˆ ˆ1 0x
şi cum 5ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0,1,2,3,4 obţinem ˆ ˆ ˆ2,3,4 .x
5) Se consideră polinoamele 2012 2012
1 1f X X şi 1.g X
Polinomul f are forma algebrică
2012 2011
2012 2011 1 0... ,f a X a X a X a cu 0 1 2012, ,..., .a a a
a) Să se determine 0.a
b) Să se calculeze restul împărţirii polinomului f la polinomul .g
c) Să se calculeze suma coeficienţilor polinomului f
Soluţie.
a) 2012 2012
0 0 0 1 0 1 2.a f
b) Restul împărţirii lui f prin 1g X este
2012 2012 20121 1 1 1 1 2 .r f
21
c) Suma coeficienţilor lui f este 2012 2012 20121 1 1 1 1 2 .f
6) Se consideră polinomul 4 2 ,f X mX n unde , .m n Rădăcinile
polinomului sunt 1 2 3 4, , , .x x x x
a) Să se determine ,m n ştiind că polinomul f admite rădăcinile
1 0x şi 2 1.x
b) Să se determine m astfel încât rădăcinile polinomului să verifice
relaţia 2 2 2 2
1 2 3 4 2.x x x x
c) Pentru 1m şi 1n să se descompună polinomul f în produs de
factori ireductibili în .X
Soluţie.
a) Condiţiile 0 0f şi 1 0f conduc la 0n şi 1 0,m de
unde 1m şi 0.n
b) Folosind şi relaţiile lui Viete relaţia se scrie succesiv:
2
1 2 3 4 1 2 1 3 3 42 ... 2x x x x x x x x x x 0 2 2m 1.m
c) Pentru 1m şi 1n avem
2
4 2 4 2 2 2 21 2 1 1f X X X X X X X
2 2 2 21 1 1 1X X X X X X X X şi factorii
2 21, 1X X X X sunt ireductibili în ,X întrucât ecuaţile
2 1 0x x şi 2 1 0x x nu au rădăcini reale.
7) Se consideră mulţimea 2
2/ , ,H a bX cX a b c şi polinoamele
2
2ˆ, , 1f g X f X şi 1.g X
a) Să se verifice că 2 .g f
b) Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f g la
polinomul .f
c) Să se determine numărul elementelor mulţimii H .
Soluţie.
a) 2
2 2 2ˆ ˆ ˆ1 2 1 1 .g X X X X f
b) 2 2ˆ ˆ1 1 .f g X X X X Obţinem câtul 1q şi restul
1.r X
22
c) Deoarece 2ˆ ˆ, , 0,1 ,a b c numărul polinoamelor 2h a bX cX ,
2, , ,a b c este 32 8. Rezultă că mulţimea H are 8 elemente.
8) În inelul X fie polinomul 3 5,f X X cu rădăcinile 1 2 3, , .x x x
a) Să se calculeze 1
.2
f
b) Să se determine a pentru care restul împărţirii polinomului f
la X a să fie 5.
c) Să se arate că valoarea determinantului
1 2 3
2 3 1
3 1 2
x x x
x x x
x x x
este număr intreg.
Soluţie.
a)
31 1 1 1 1 37
5 5 .2 2 2 8 2 8
f
b) Restul împărţirii lui f la X a este .f a Avem 5f a
3 3 25 5 0 1 0a a a a a a 1,0,1 .a
c) Avem 1 2 3 0x x x şi atunci
1 2 3 2 3 1
3 1 2
1 1 1
0 .x x x x x x
x x x
9) Se consideră polinomul 3 2, ,f X f X pX qX r cu
rădăcinile 1 2 3, , .x x x
a) Să se calculeze 0 1 .f f
b) Să se calculeze expresia 1 2 31 1 1x x x în funcţie de , , .p q r
c) Să se arate că polinomul 3 2 1g X X X nu are toate rădăcinile
reale .
Soluţie.
a) 0 1 1 1.f f r p q r p q
b) Cum 1 2 3 ,f X x X x X x obţinem 1 2 31 1 1x x x
23
1 1f p q r .
c) Presupunem că rădăcinile lui g sunt numerele reale 1 2 3, , .y y y
Atunci 22 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 32y y y y y y y y y y y y =
2
1 2 1 1 0.
Am ajuns la o contradicţie cu 2 2 2
1 2 3 0y y y dacă 1 2 3, , .y y y
Prin urmare ,în baza metodei reducerii la absurd ,rădăcinile 1 2 3, ,y y y
nu sunt toate reale .
10) Se consideră polinomul 3 23 17 2 7,f X m X X m cu
.m
a) Pentru 4m determinaţi câtul şi restul împărţirii polinomului f la
3.X
b) Determinaţi m pentru care polinomul f este divizibil cu 1.X
c) Rezolvaţi în ecuaţia 27 9 17 3 15 0.x x x
Bacalaureat M 2,2012,model oficial
Soluţie.
a) Cu schema lui Horner, pentru 4,m avem
3X 2X X 0X
1 1 17 15
3 1 4 5 0
de unde obţinem câtul 2 4 5q X X şi restul 0.r
b) Cu teorema lui Bezout avem 1 1 0f X f
1 3 17 2 7 0 3 12 4.m m m m
c) Cu notaţia 3 0x y obţinem 3 2 17 15 0y y y şi cu a)
rezultă 3 1 5 0,y y y de unde 0,1 .x
3.2 Probleme propuse
1) În X , se consideră polinomul 3 23 3 1f X X X , cu rădăcinile
1 2,x x și 3x .
a) Arătați că polinomul f se divide cu 1X .
b) Calculați 2 2 2
1 2 3x x x .
c) Verificați dacă 1 2 32 2 2 13x x x .
24
Bacalaureat M 2 ,iunie-iulie,2012
Indicație. c) 1 2 3f X x X x X x .
2) În 5 X se consideră polinomul 5f mX nX , cu 5,m n .
a) Determinați 5n pentru care 1f m .
b) Pentru 1m și 4n , determinați rădăcinile din 5 ale polinomului f .
c) Arătați că , dacă ˆ ˆ1 2f f , atunci ˆ ˆ3 4f f .
Bacalaureat M 2 ,august-septembrie,2012
Indicație . c) ˆ ˆ ˆ1 2 0f f m n .
3) Se consideră polinomul 8 4
5ˆ ˆ4 3,f X X f X .
a) Arătați că 5a a , pentru orice 5a .
b) Arătați că polinomul f este reductibil peste 5 .
c) Arătați că polinomul f nu are rădăcini în 5 .
Bacalaureat M 1 ,august-septembrie,2012
Indicație. b) 8 4 4ˆ ˆ3 3f X X X .
4) Se consideră polinomul 3 22f X X a X .
a) Aflați parametrul real a știind că 1 6f .
b) Pentru 1a , aflați rădăcinile polinomului f în mulțimea .
c) Dacă 1 2,x x și 3x sunt rădăcinile polinomului f ,calculați 2 2 2
1 2 3x x x .
Indicație. b)Pentru 1a avem 3 2 2 1f X X X .
5) Se consideră polinomul 3 2, 2 5 2f X f X mX X m .
a) Determinați m astfel încât 1 2 3 1 2 3x x x x x x , unde 1 2,x x și 3x
sunt rădăcinile polinomului f .
b) Determinați parametrul real m , știind că restul împărțirii polinomului
f la 1X este 7 .
c) Pentru 0m , descompuneți polinomul f în factori ireductibili peste
mulțimea X .
Indicație.c) Pentru 0m avem 1 0f f este divizibil cu 1X .
25
6) Se consideră polinomul 3 27 7 1f X X X .
a) Să se calculeze 1 , 1f f .
b) Să se determine câtul și restul împărțirii polinomului f la 1X .
c) Să se rezolve ecuația 7 1 0f x x x ,în mulțimea numerelor com-
plexe .
Indicație.c)Se obține o ecuație reciprocă de grad 3 ,deci o soluție este 1 .
7) Fie polinomul 4 34 4f X X X X .
a) Să se calculeze 0 1 ... 2013 .f f f
b) Să se determine câtul și restul împărțirii polinomului f la 1X .
c) Să se găsească rădăcinile reale ale polinomului f .
Indicație.c) Se folosește formula 3 3 2 2a b a b a ab b .
Capitolul 2
PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
26
CLASELE A XI-A ȘI A XII-A
1 Limite de funcţii,funcţii continue, funcţii
derivabile şi asimptote la graficul unei funcții
1.1 Probleme rezolvate
1)Se consideră funcţia 2: , .xf f x x e
a) Calculaţi .f x
b) Demonstraţi că funcţia f este descrescătoare pe intervalul 2,0 .
c) Demonstraţi că
2
2 10 ,
ef x f x
e
oricare ar fi 1,0 .x
Bacalauret M 2 ,iunie-iulie,2010
Soluţie.
a) 2 2 22 2 ;x x x xf x x e xe x e e x x
b) Pentru 2,0x avem 2 0x şi atunci 2 0,xf x x x e
de unde rezultă că f este descrescătoare pe 2,0 .
c) Cum f este descrescătoare pe 1,0 , pentru 1 0,x avem
0 1 ,f f x f adică 1
0 ,f xe
pentru orice 1,0 .x
Pentru 1,0 ,x avem 2 0,1 .x Pe 0,1 avem 0f x şi deci f
este crescătoare pe 0,1 . Atunci , pentru 20 1,x avem
20 1 ,f f x f adică 20 , 1,0 .f x e x
Obţinem
2
2 1 10 ,
ef x f x e
e e
pentru orice 1,0 .x
2) Se consideră funcţia : 0,1 , .1
xef f x
x
27
a) Demonstraţi că
1
f x x
f x x
, oricare ar fi 0,1 .x
b) Demonstraţi că funcţia f este crescătoare pe intervalul 0,1 .
c) Demonstraţi că
2 11,
e f x oricare ar fi 0,1 .x
Bacalaureat M 2,august-septembrie,2010
Soluţie.
a) Cum
2 2
1,
1 1
x x xe x e xef x
x x
obţinem
2
1, 0,1 .
11
x
x
f x xe x xx
f x e xx
b) Pentru 0,1x avem 0.f x Rezultă că f este crescătoare pe 0,1 .
c) Cum f este crescătoare pe 0,1 , pentru 0 1,x avem
0 1 ,f f x f adică 12
ef x sau
2 1
1.e f x
3) Se consideră funcţia 1
: 1, , .xf f x ex
a) Calculaţi
2
2lim .
2x
f x f
x
b) Arătaţi că 0,f x oricare ar fi 1, .x
c) Arătaţi că graficul funcţiei f nu admite asimptotă spre .
Bacalaureat M 2 ,iunie- iulie ,2011
Soluţie.
a) Cum 2
1xf x ex
avem
2
2
2 1lim 2 .
2 4x
f x ff e
x
b) Cum 0,f x pentru orice 1,x ,obţinem că f este strict
crescătoare pe 1, şi atunci 1x conduce la 1 1 0.f x f e
c) Cum lim ,x
f x
rezultă că graficul lui f nu admite asimptotă
orizontală la . Întrucât
lim ,x
f x
x obţinem că graficul funcţiei f
nu admite nici asimptotă oblică spre .
28
4) Se consideră funcţia 3 2: , 3 .xf f x x x x
a) Calculaţi 0 .f
b) Arătaţi că funcţia f este crescătoare pe .
c) Arătaţi că 3 2 3 2 3 3 ,b aa a a b b b oricare ar fi numerele
reale ,a b cu .a b
Bacalaureat M 2 ,august-septembrie,2011
Soluţie.
a) Avem 23 2 1 3 ln3,xf x x x de unde 0 1 ln3.f
b) Din 222 1 3 ln3 0,xf x x x pentru orice ,x obţinem că
f este crescătoare pe .
c) Cum funcţia f este crescătoare pe , din , , ,a b a b obţinem
,f a f b adică 3 2 3 23 3a ba a a b b b sau
3 2 3 2 3 3 .b aa a a b b b
5) Se consideră funcţia 2
4, 0
: , .1
4, 0
xf f x x
x x
a) Demonstraţi că funcţia f este continuă în punctul 0 0.x
b) Calculaţi
24lim .
16x
f x
x
c) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul
1, 2 .A
Bacalaureat M 2, 2012,model oficial
Soluţie.
a) Cum 20 0 0 00 0 0
4lim lim 4, lim lim 4 4
1x x x xx x x o x
f x f x xx
şi
0 4,f rezultă că f este continuă în 0.
b)
24 4 4
4 1 1lim lim lim .
16 4 4 4 8x x x
f x x
x x x x
c) Ecuaţia tangentei în 1, 2A este 2 1 1 .y f x
Cum pentru
22 2
4 4 20, ,
1 1
xx f x
x x
obţinem 1 2,f
29
ecuaţia tangentei este 2 2 1y x sau 2 4.y x
6) Se consideră funcţia : , .xf f x x e
a) Să se calculeze , .f x x
b) Să se arate că f este descrescătoare pe ,0 şi crescătoare pe
0, .
c) Să se determine ecuatia asimptotei oblice către la graficul funcţiei
f .
Soluţie.
a) 1 1 .x xf x e x e
b) 1 1
1 .x
x x
ef x
e e
Cum 1,xe pentru 0x şi 1,xe pentru
0,x obţinem 0,f x pentru 0x şi 0,f x pentru 0.x Deci
f este crescătoare pentru 0x şi descrescătoare pentru 0.x
c)
1 1
lim lim 1 1; lim lim 0.x xx x x x
f xm n f x x
x xe e
Atunci
,y mx n adică y x este asimptotă oblică la .
7) Se consideră funcţia 2
2
, 1: , .
, 1
x x xf f x
x x x
a) Să se studieze continuitatea funcţiei f în punctul 0 1.x
b) Să se calculeze 0 2 .f f
c) Să se studieze derivabilitatea funcţiei f în punctual 0 1.x
Soluţie.
a) Din 1 1
1 1
lim lim 1 0,x xx x
f x f x f
rezultă că f este continuă în 1.
b) Avem 2 1, 1
.2 1, 1
x xf x
x x
Atunci 0 2 1 2 2 1 4.f f
c) '
11
1 lim 2 1 1 1sxx
f f x
'
11
1 lim 2 1 1 1dxx
f f x
,
conduce la faptul că funcţia f nu este derivabilă în punctul 0 1.x
30
8) Se consideră funcţia : 0,1 , .2
xef f x
x
a) Să se calculezen , 0,1 .f x x
b) Să se verifice că 3
0 0 .4
f f
c) Să se demonstreze că
3 12,
e f x pentru orice 0,1 .x
Soluţie.
a)
2 2
2 1, 0,1 .
2 2
x x
xe x e x
f x e xx x
b) Cum 0 1
00 2 2
ef
şi 01 1
0 ,4 4
f e obţinem
0 0f f 2 1 3
.4 4 4
c) Cum 0,f x pentru orice 0,1 ,x obţinem că f este crescătoare pe
0,1 şi atunci din 0 1,x obţinem 0 1 ,f f x f adică avem
1
,2 3
ef x de unde
3 1
2,e f x pentru orice 0,1 .x
9) Se consideră funcţia : ,f definită prin .xf x e x
a) Să se calculeze , .f x x
b) Să se demonstreze că 1f x ,pentru orice .x
c) Să se scrie ecuaţia asimptotei oblice către la graficul funcţiei .f
Soluţie.
a) 1.xf x e
b) Din
x 0
f x - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + +
f x 1
31
obţinem că 0x este punctul de minim şi 0 1,f x f pentru
orice .x
c) Cum
lim lim 1 1x
x x
f x em
x x
şi lim
xn f x mx
lim 0,x
xe x x
obţinem că dreapta ,y mx n adică y x
este asimptotă oblică către .
10) Seconsideră funcţia : 0, , ln .f f x x x
a) Să se arate că 1 1 1.f f
b) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f .
c) Să se calculeze
lim .x
f x
x
Soluţie.
a) Din 1
1 ,f xx
obţinem 1
1 1 01
f şi atunci
1 1f f 1 1 ln1 1.f
b) Cum 1x
f xx
obţinem
x 0 1
f x 0 + + + + + + +
f x 1
de unde rezultă că 1x este punct de minim al funcţiei f .
c) lnln 1
lim lim 1 1 lim 1 lim 1 0 1x x x x
f x xx
x x x x
(am
folosit regula lui lHospital, cazul
).
11) Se consideră funcţia 2: , .xf f x x e
a) Să se calculeze
0
0lim .x
f x f
x
b) Să se arate că funcţia f este convexă pe .
c) Să se rezolve în ecuaţia 3.xf x f x f x e
Soluţie.
32
a) Cum 2 ,xf x x e obţinem
0
0
0lim 0 2 0 1.
0x
f x ff e
x
b) Din 2 0,xf x e pentru orice ,x obţinem că funcţia f este
convexă pe .
c) Ecuaţia 3,xf x f x f x e devine 22 2x x xx e e x e
3,xe adică 2 2 1 0,x x sau 2
1 0x ,de unde 1.x
12) Se consideră funcţia 2
2
1: 0, , .f f x x
x
a) Să se calculeze ,f x pentru 0, .x
b) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctual de
abscisă 0 1.x
c) Să se calculeze
lim .x
f x
x
Soluţie.
a) 4
4 3 3
2 12 22 2 .
xxf x x x
x x x
b) Ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctual 0 0 0,M x f x este
0 0 0 ,y f x f x x x
adică 1 1 1y f f x sau 0 4 1 ,y x adică 4 4.y x
c) 4
4
2 1lim lim 2.x x
xf x
x x
13) Se consideră funcţia : ,f
3 1, 1
2, 1.
x xf x
ax x
a) Să se determine valoarea parametrului real a astfel încât funcţia f
să fie continuă în punctul 0 1.x
b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către la graficul
funcţiei .f
c) Să se calculeze lim 1 .x
f x x
Soluţie.
33
a) 1 1
1 1
lim lim 1x xx x
f x f x f
13 1 1 2a 2.a
b) Cum lim lim 3 1 1,x
x xf x
rezultă că dreapta de ecuaţie 1y
este asimptotă orizontală către la graficul funcţiei f .
c)
lim 1 lim 3 1 1 lim lim3
3
x
xx x x x x
x xf x x x
1
lim 03 ln 3xx
(am folosit regula lui lHospital,cazul
).
14) Se consideră funcţia : , 2 ln 2.xf f x x
a) Să se calculeze , .f x x
b) Să se calculeze
3
3lim .
3x
f x f
x
c) Să se determine punctele de extreme ale funcţiei .f
Soluţie.
a) 2 ln 2 ln 2 2 1 ln 2.x xf x
b)
3
3
3lim 3 2 1 ln 2 7ln 2.
3x
f x ff
x
c) Pentru 0,x avem 0,f x iar pentru 0,x avem 0.f x Deci
0x este punct de minim .
15) Se consideră funcţia 2
2: , .
1
xf f x
x
a) Să se calculeze , .f x x
b) Să se determine numărul punctelor de extrem al funcţiei .f
c) Să se demonstreze că 3 2,f x f x pentru orice .x
Soluţie.
a)
22 2
2 22 2
2 12 2 4.
1 1
xx xf x
x x
b) Avem 20 1 0 1.f x x x Din
x 1 1
34
f x - - - - - 0 + + + 0 - - - - -
f x 0 1 1 0
rezultă 1x punct de minim şi 1x punct de maxim. Deci numărul
punctelor de extrem ale funcţiei f este 2.
c) Din tabelul de variaţie al funcţiei f rezultă 1f x şi 3 1,f x
pentru orice ,x de unde 3 2,f x f x pentru orice .x
16) Se consideră funcţia 2
: 0, , ln .2
xf f x x
a) Să se calculeze , 0, .f x x
b) Să se calculeze
1
1lim .
1x
f x f
x
c) ) Să se determine intervalele de convexitate şi de concavitate ale
funcţiei .f
Soluţie.
a) 22 1 1 1
.2
x xf x x
x x x
b)
2
1
1 1 1lim 1 2.
1 1x
f x ff
x
c) 2
2 2
1 1 11
xf x x
x x x
şi 0 1.f x x Pentru
0,1x avem 0,f x deci f este concavă , iar pentru 1,x
avem 0,f x deci f este convexă .
17) Se consideră funcţia 3 3: , .f f x x
x
a) Să se calculeze , .f x x
b) Să se calculeze
1
1lim .
1x
f x f
x
c) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei .f
Soluţie.
a) 4
2
2 2
3 133 .
xf x x
x x
35
b)
1
1 3lim 1 3 1 0.
1 1x
f x ff
x
c) Avem 2 2
2
3 1 1x xf x
x
şi 0 1.f x x
Din tabelul de variaţie:
x -1 0 1
f x + + 0 - - - - - 0 + + +
f x
-4
4
rezultă f crescătoare pe , 1 1, şi f descrescătoare pe
1,0 0,1 .
18) Se consideră funcţia : , 2 3 .x xf f x
a) ) Să se calculeze , .f x x
b) Să se determine asimptota spre a graficului funcţiei .f
c) Să se arate că funcţia f este convexă pe .
Soluţie.
a) 2 ln 2 3 ln3.x xf x
b) Cum lim lim 2 3 0,x x
x xf x
obţinem că dreapta de ecuaţie
0y este asimptotă orizontală spre .
c) Cum 2 2
2 ln 2 3 ln3 0,x xf x pentru orice ,x rezultă
că f este convexă pe .
19) Se consideră funcţia : 0, , 3 .f f x x x
a) Să se verifice că 3 3
,2
xf x
x
pentru orice 0.x
b) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de
abscisă 0 1.x
c) Să se demonstreze că 2
3,xx
pentru orice 0.x
Soluţie.
36
a) 1 2 3 3 3
3 .2 2 2
x x xf x x x
x x x
b) Ecuaţia tangentei este 1 1 1y f f x .Cum 1 1 3 1f
2, iar 3 1 3
1 0,2 1
f
obţinem ecuaţia 2 0.y
c) Definim funcţia 2
: 0, , .g g x xx
Funcţia g este
derivabilă şi
12
121 .
x xxg x
x x x
Avem 0 1g x x şi
din tabelul de variaţie :
x 0 1
g x - - - 0 + + + + +
g x 3
obţinem 3,g x pentru orice 0,x adică 2
3,xx
pentru orice
0.x
1.2 Probleme propuse
1) Se consideră funcția : 0, , lnf f x x x .
a) Arătați că
4
4lim 0
4x
f x f
x
.
b) Demonstrați că funcția f este crescătoare pe intervalul 4, .
c) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției f .
Bacalaureat M 2,iunie-iulie,2012
Indicație. c) 0
0
limxx
f x
.
2) Se consideră funcția 2 1
: \ 1 ,1
x xf f x
x
.
a) Calculați , \ 1f x x .
b) Calculați 2
lnlim
1x
f x x
x x
.
c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre la graficul funcției f .
37
Bacalaureat M 2,august-septembrie,2012
3) Se consideră funcția 1
: 0, ,x
xf f x
e
.
a) Arătați că
1
f x x
f x x
, pentru orice 0,x .
b) Arătați că funcția f este descrescătoare pe intervalul 0, .
c)Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției : 0,g ,
2 2xe f x
g xx
.
Bacalaureat M 2, sesiunea specială, 2012
4) Se consideră funcția : 1, , ln 1 ln 1f f x x x .
a) Arătați că funcția f este strict descrescătoare pe 1, .
b) Determinați asimptotele graficului funcției f .
c) Calculați limx
xf x
.
Bacalaureat M 1,iunie-iulie,2011
Indicație. c)
1lim limx x
f xxf x
x nedeterminare de forma
0
0.
5) Se consideră funcția 5: , 5 4f f x x x .
a) Calculați
2
2lim
2x
f x f
x
.
b) Arătați că graficul funcției f are un punct de inflexiune.
c) Arătați că, pentru orice 0,8m , ecuația f x m are exact trei
soluții reale distincte.
Bacalaureat M 1,august-septembrie,2011
6) Se consideră funcția 3: , 12f f x x x .
a) Arătați că funcția este crescătoare pe intervalul 2, .
b) Calculați
limx
x
e
f x.
38
c) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care ecuația f x a
are trei soluții reale distincte.
Bacalaureat M 1,iunie-iulie,2012
Indicație. c) Se folosește șirul lui Rolle, pentru funcția : ,g
g x f x a .
7) Se consideră funcția 2: 0, , 1f f x x x .
a) Calculați
0
1limx
f x
x
.
b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre la graficul funcției f .
c) Demonstrați că, pentru orice număr real 0m , ecuația f x m are o
soluție unică în .
Bacalaureat M 1,august-septembrie,2012
Indicație. c) f este continuă pe , lim 0x
f x
și limx
f x
,
deci f este surjectivă.
8) Se consideră funcția : ,2
x xe ef f x
.
a) Calculați
limx
x
f x.
b) Demonstrați că funcția f este convexă pe .
c) Arătați că funcția : 0, ,g g x f x , este strict crescătoare
pe 0, .
Bacalaureat M 1, sesiunea specială, 2012
Indicație. a)
22lim lim
x xx x x x
xx
e ee e
.
2. Primitive,integrala definită şi aplicaţii
2.1 Probleme rezolvate
1) Se consideră funcţia 1
: , .f f x xx
39
a) Calculaţi 3
1
1.f x dx
x
b) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei
Ox a graficului funcţiei : 1,2 , .g g x f x
c) Calculaţi 1
lne
f x x .dx
Bacalaureat M 2,iunie-iulie,2010
Soluţie.
a) 2 2 2
3 33
11 1
1 3 1| 4.
2 2 2
xf x xdx
x
b) Volumul este
3
2 22 2 2 2 2
1 1 121 1
1 12 | | 2 |
3
xV g x dx x dx x
x x
3 32 1 1 1 14 3 12 29
2 2 1 .3 2 1 6 6 6 6
c) 1
lne
f x x 2
1 1 1
lnln ln
2
e e ex xdx x xdx x dx
x
2 2 2 2
1 11 1
1 lnln ln ln | |
2 2 2 2
e ee ex x x e
x x dx x dxx
2 2 2 2 2
2
1
1 1 1 1 2 2 1 3| 1 .
2 2 2 2 4 4 4
ex e e e ee
2) Se consideră funcţia 2 3, 1
: , .2 , 1
x xf f x
x x
a) Demonstraţi că funcţia f admite primitive pe .
b) Calculaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox
a graficului funcţiei : 1,2 , .g g x f x
c) Calculaţi 6
1.x f x dx
Bacalaureat M 2,august-septembrie,2010
Soluţie.
a) Cum 1 1
1 1
lim lim 1 ,x xx x
f x f x f
rezultă că f este continuă în 1 şi
deci f este continuă pe . Din f continuă pe obţinem că f admite
primitive pe .
40
b) Volumul este 3
2 22 2 2 2
1 11 1
3 | 3 |3
xV g x dx x dx x
73
3
16.
3
c) 6 6 6
2 2 2
1 1 1
13 3 3
2xf x dx x x dx x x dx
11
3 3299 3 32 24
4
1 1 1 1 19| 9 4 3 2 .
12 2 3 3 31
2
ttdt
3) Se consideră funcţia Se consideră funcţia 2: , 10.f f x x
a) Calculaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia, în jurul axei Ox , a
graficului funcţiei : 0,3 , .g g x f x
b) Demonstraţi că orice primitivă F a funcţiei f este crescătoare pe
mulţimea .
c) Demonstraţi că 10 10
102 .
of x dx f x dx
Bacalaureat M 2,iunie-iulie,2011
Soluţie
a) Volumul este
3
3 32 2 3 3
0 00 0
2710 | 10 | 30 39 .
3 3
xV g x dx x dx x
b) Din 0,F x f x pentru orice ,x deducem că F este
crescătoare pe .
c) 10 0 10 0
10 10 0 10f x dx f x dx f x dx f t d t
10
of x dx
10 10 10
2 .o o o
f t dt f x dx f x dx
4) Pentru fiecare număr natural n se consideră funcţia
: 0,1 , .n x
n nf f x x e
a) Calculaţi 1
1
0.
x
f xdx
e
b) Calculaţi 1
1 .o
f x dx
41
c) Arătaţi că 1
2
0
1,
2 1nf x dx
n
pentru orice , 1.n n
BacalaureatM 2,august-septembrie,2011
Soluţie.
a) 2
1 11 1
00 0
1 1| .
2 2
x
x x
f x xdx xe dx
e e
b) 1 1 1
1 1
1 0 00 0 0
| | 1 1.x x x xf x dx x e dx xe e dx e e e e
c) 2
2 11 1 1
2 2 2 0 1
00 0 0
1| ,
2 1 2 1
nn x n
n
xf x dx x e dx x e dx
n n
pentru orice
, 1.n n
5) Se consideră funcţiile 2 2: , 3 6 9,m mf f x m x mx unde
.m
a) Determinaţi mulţimea primitivelor funcţiei 0.f
b) Calculaţi aria suprafeţei cuprinse între graficul funcţiei 1f , axa Ox şi
dreptele de ecuaţii 0x şi 1.x
c) Calculaţi 2
2
1
9.x
f xe dx
x
Bacalaureat M 2, 2012,model oficial
Soluţie.
a) Mulţimea primitivelor este 0 9 9 ,f x dx dx x c unde .c
b) Aria cerută este
1 1 1 1
2 2 2
10 0 0 0
3 6 9 3 2 3 3 2 3A f x dx x x dx x x dx x x dx
3
1 2 1 1
0 0 0
13 | | 3 | 3 1 3 13.
3 3
xx x
c)
2 2 22
1 1 1
912 12 12 1x x x
f xe dx x e dx x e dx
x
2
2 2 2 2
1 11
12 1 | 12 3 2 | 12 2 .x x xx e e dx e e e e e
6) Se consideră funcţia 1, 1
: , .2, 1
xe xf f x
x x
a) Să se arate că funcţia f admite primitive pe .
42
b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia in jurul axei Ox ,
a graficului funcţiei : 0,2 , , 0,2 .g g x f x x
c) Să se calculeze 0
2.x f x dx
Soluţie.
a) 1 1
1 1
lim lim 1 ,x xx x
f x f x f
conduce la faptul că f este continuă
în 1. Rezultă că f este continuă pe şi deci f admite primitive pe .
b) Volumul cerut este
3 3 322 2 2 2
00 0
2 4 22 |
3 3 3
xV g x dx x dx
56.
3
c) 0 1 0 1
1
2 2 1 2
xx f x dx x f x dx x f x dx x e dx
3
02 1 1 1 1 0 2 0 1
2 2 1 11
2 | | | | 1 23
x x xx x dx xe e x e
1 1 2 1 2 3 81 1 1 1 .
3 3 3e
e e e
7) Se consideră funcţia : , .xf f x x e
a) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f ,
axa Ox şi dreptele de ecuaţii 0x şi 1.x
b) Folosind faptul că 22 1xx e pentru orice ,x să se
demonstreze că
21
0
2.
3
x
e dx
c) Să se determine volumul corpului obţinut prin rotaţia, in jurul axei
Ox , a graficul funcţiei : 0,1 , .g g x f x f x
Soluţie.
a) Aria cerută este
2
1 11 1 1 0
0 00 0
1| |
2 2
x xxA f x dx x e dx e e e
3 1.
2 e
b) 2 3
1 12 1 1
0 00 0
1 21 | | 1 .
3 3 3
x xe dx x dx x
c) Volumul cerut este
1 1 12
2 2 2
0 0 02x x x xV g x dx x e x e dx e e dx
43
2 2 2 2
1 1 1
0 0 0
1 1| 2 | | 2 .
2 2 2 2
x xe e e ex
8) Se cosideră funcţiile : 0,1 ,mf definite prin
2 2 2 1 1,mf x m x m m x unde .m
a) Să se calculeze 1 .f x dx
b) Să se calculeze 1
00
.xe f x dx
c) Să se determine m , astfel încât 1
0
3.
2mf x dx
Soluţie.
a) 3 2
2
1 1 , .3 2
x xf x dx x x dx x c c
b) 1
00
xe f x dx 1
1 1 1
0 0 00
1 1 | | | .x x x xx e dx x e e xe e
c) Cum
3 2 2 2
12 1 2 1 1
0 0 00
1| 1 | | 1
3 2 3 2m
x x m m mf x dx m m m x
2 2 22 3 3 3 6 5 3 9
,6 6
m m m m m avem
1
2
0
35 3 9 9
2mf x dx m m şi cum ,m obţinem
3.
5m
9) Se consideră funcţia : 0, ,f definită prin lnf x x x .
a) Să se calculeze 2 2
1ln .x f x x dx
b) Să se demonstreze că orice primitivă F a funcţiei f este concavă pe
intervalul 1, .
c) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei
: 1, , ,h e h x f x x axa Ox şi dreptele 1x şi .x e
Soluţie.
a) 2 2 22 2 2
1 1 1ln ln ln 4x f x x dx x x x x dx x dx
32
14 |3
x
8 1 28
4 .3 3 3
44
b) Avem 1 1
1 0,x
F x F x f x f xx x
pentru
1,x de unde rezultă că F este concavă pe 1, .
c) Aria cerută este
1 11 1 1
ln ln | ln |e e e
e eA h x dx x x dx x x x xdx e x 1.
10) Se consideră integralele 2
1, .n x
nI x e dx n
a) Să se calculeze 0.I
b) Să se determine 1.I
c) ) Să se arate că 1
11 2 1 ,n
n nn I I e e
pentru orice .n
Soluţie.
a) 2
0 2 2
0 11
| .x xI x e dx e e e
b) 2
2 2 2 2 2
1 1 11
| | 2 .x x xI x e dx xe e e e e e e
c) Din 2 2
1 1 2
1 11 1
| 1 ,n x n x n x
nI x e dx x e n x e dx
obţinem
1 2 1
1 1 2 2 1 ,n n
n nI n I e e e e
pentru orice .n
11) Se consideră funcţia , : 0, , 1 , .n
f f x x n
a) Pentru 2n să se calculeze 2
1.f x dx
b) Pentru 1n , să se determine ,a astfel încât 0
0.a
f x dx
c) Să se calculeze 1
1.f x f x dx
Soluţie.
a)
322 2
2
11 1
1 27 8 191 | .
3 3 3 3
xf x dx x dx
b) Pentru 1n avem
00 0
10 0 ln 1 | 0 ln 1 0
1
a aaf x dx dx x a
x
1 1a 1 1a sau 1 1 0a a sau 2.a
c)
2
1 11 2 2
11 1
1| 1 1
2 2
f xf x f x dx f x f x dx f f
45
2 2 2 11
1 1 1 1 2 .2
n n n
12) Se consideră funcţia : , 3 3 .x xf f x
a) Să se calculeze 1
1.f x dx
b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia ,in jurul axei ,Ox
a graficului funcţiei : 0,1 , 3 .xg g x
c) Să se arate că orice primitivă F a funcţiei f este concavă pe ,0
şi convexă pe 0, .
Soluţie.
a) 1 1
1 1
1 11 1
3 33 3 | |
ln3 ln3
x xx xf x dx dx
1 1 1
3 3ln 3 3 3
1 8 8 16
.ln 3 3 3 ln 27
b) Volumul cerut este
21 1 1
2 2
0 0 03 3 2
2
xxV g x dx dx x dx
21
0
3|
2 ln 3
x
1 8 4
1 .2ln 3 9 18ln 3 9ln3
c) Avem 3 ln3 3 ln3x xF x F x f x
23 1 ln 31
3 ln 3 .3 3
x
x
x x
Rezultă 0,F x pentru orice 0x şi 0,F x pentru orice
0,x de unde deducem că F este convexă pe 0, şi concavă pe
,0 .
2.2 Probleme propuse
1) Se consideră funcția : , xf f x xe .
a) Arătați că funcția : , 2012x xF F x xe e , este o primitivă a
funcției f .
b) Calculați 1
lne
f x dx .
46
c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a gra-
ficului funcției
: 1,2 ,f x
g g xx
.
Bacalaureat M 2,iunie-iulie, 2012
2) Se consideră funcția : 0, , 1xf f x e x .
a) Determinați primitivele funcției
: 0, ,1
f xg g x
x
.
b) Calculați. 2
11x f x dx
c) Calculați aria suprafeței determinate de graficul funcției
: 0, , xh h x e f x ,
axa Ox și dreptele de ecuații 2x și 3x .
Bacalaureat M 2,august-septembrie, 2012
3) Se consideră funcția 2012 2011 2: ,f f x x x x x .
a) Determinați primitiva :F a funcției f , care verifică relația
0 1F .
b) Calculați 1
0 1
f xdx
x .
c) Calculați volumul corpului obținut prin rotația, în jurul axei ,Ox a gra-
ficului funcției 2012 2011: 1,2 ,g g x f x x x .
Bacalaureat M 2,sesiunea specială,2012
4) Se consideră funcția 2: 1,2 , 3 2f f x x x .
a) Calculați 4
1f x dx .
b) Calculați aria suprafeței determinate de graficul funcției : 1,2 ,g
f x
g xx
și de axa Ox .
c) Arătați că 12 2
1 14 2 0
nnn f x dx n f x dx
.
Bacalaureat M 1,iunie-iulie, 2011
Indicație. b) 0f pe 1,2 ;c) 2 2
1 1
12 3
2
n nf x dx x f x dx .
47
5) Se consideră funcția 2 3
: 1, ,2
xf f x
x
.
a) Arătați că orice primitivă a lui f este strict crescătoare pe 1, .
b) Calculați 1
0 1
f xdx
x .
c) Calculați
2
lim
x
x
x
f t dt
x
.
Bacalaureat M 1, iunie-iulie, 2012
Indicație.b)
2 3
1 2 1 2
x A B
x x x x
;c)
2 3 12
2 2
x
x x
.
6) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numerele
1
2
01n
nI x x dx și 2
0sinn
nJ xdx
.
a) Calculați 1J .
b) Calculați 1I .
c)Demonstrați că 2 2 2 2n n nJ J I , pentru orice număr natural nenul n .
Bacalaureat M 1,sesiunea specială,2012
Indicație. În 2 2 2n nJ J 2 22
0sin cosnx xdx
se face schimbarea de
variabilă sin x t .
7) Se consideră funcția : 0, , lnf f x x .
a) Arătați că funcția : 0, , lnF F x x x x ,este o primitivă a
funcției f .
b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f , axaOx
și dreptele de ecuații 1x și x e .
c) Arătați că 1 1
1 11
x xp p pp f t dt f t dt xf x , pentru orice
1x și orice 0p .
Indicație. 1
1 11 ln
x xp pp f t dt t t dt
.
48
Capitolul 7
BREVIARE TEORETICE
49
1. Breviar teoretic, algebră clasa aXI-a
Adunarea a două matrice , nA B M
ijA a şi ijB b ,ijA B c unde .ij ij ijc a b
Înmulţirea unui număr real cu o matrice :
şi ,ij n ijA a M A c unde .ij ijc a
Referitor la înmulţirea a două matrice 2, ,A B M ,ij ijA a B b
avem:
11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22
,a a b b c c
A Ba a b b c c
unde:
11 11 11 12 21c a b a b , 12 11 12 12 22c a b a b
21 21 11 22 21 22 21 12 22 22, .c a b a b c a b a b
Analog se procedează în general folosind acest procedeu numit linii pe
coloane .
Puterea a n -a a matricei nA M este ...nA A A A (de n ori ).
Determinantul matricei 2
a bA M
c d
este
detA= .a b
ad bcc d
Determinantul matricei 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3
a b c
A a b c M
a b c
este
1 1 1
2 2 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3
3 3 3
det
a b c
A a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c
a b c
.
1a 1b 1c
2a 2b 2c
Determinantul Vandermonde
50
2 2 2
1 1 1
, , , .a b c b a c a c b a b c
a b c
Determinantul unei matrice 4A M se calculează folosind dezvolta-
rea după o linie sau după o coloană .
Proprietăţi ale determinanţilor:
(i) det det ,tA A unde t A este transpusa matricei 3 .A M
(ii)Dacă o matrice are două linii(respectiv coloane) proporţionale ,atunci
determinantul sau este nul .
(iii)O matrice care are o linie (sau o coloană) cu toate elementele 0,are
determinantul 0.
(iv)Dacă într-o matrice adunăm la toate elementele unei linii (respectiv
coloane) elementele corespunzătoare unei alte linii (respectiv coloane)
înmulţite cu un număr atunci valoarea determinantului matricei nu se
schimbă.
(v)Dacă schimbăm între ele două linii (sau două coloane) dintr-o matrice
pătratică, atunci valoarea determinantului se înmulţeşte cu 1.
(vi) det det detA B A B şi det det ,nnA A unde 3,A B M iar
...nA A A A (de n ori) este puterea a n -a a matricei A.
Proprietățile determinanților de mai sus se păstrează pentru orice
matrici din n cu 2,3,4n .
Aplicaţii ale determinanţilor în geometrie:
I.Ecuaţia dreptei ce trece prin punctele distincte 1 1 1,M x y şi 2 2 2,M x y
este 1 1
2 2
1
1 0
1
x y
x y
x y
II.Dacă notăm
1 1
2 2
3 3
1
1
1
x y
x y
x y
atunci:
a) Condiţia de coliniaritate a punctelor , , 1,2,3i i iM x y i este 0.
51
b) Aria triunghiului 1 2 3M M M cu vârfurile , , 1,2,3i i iM x y i este
1 2 3
1.
2M M MA
Matricea , 2,3,4 ,nA M n este inversabilă (există 1
nA M
astfel încât 1 1
nA A A A I ) ,dacă şi numai dacă det 0.A
Inversa matricei a b
Ac d
cu det 0A ad bc se poate calcula
direct cu formula 1 1.
d bA
c aad bc
Inversa matricei 3ijA a cu det 0A se calculează cu formu-
la 1 1
detA A
A
, unde ,t t
ij ijA A A fiind complementul algebric al
elementului t
ija din transpusa t t
ijA a a matricei A ; A adjuncta lui A .
Ecuaţii matriceale:
O ecuaţie matriceală de forma ,AX B unde , , , 2,3,4nA X B M n
şi det 0A se poate rezolva cu formula 1 .X A B
Sisteme de ecuaţii liniare:
Sistemul liniar
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
a x a y a z b
a x a y a z b
a x a y a z b
are ijA a matricea sistemului
şi
1
2
3
b
B b
b
coloana termenilor liberi. Dacă det 0d A sistemul este
compatibil determinat cu soluţia unică , , ,yx z
dd dx y z
d d d unde xd
este determinantul obţinut din d prin înlocuirea coloanei corespunzătoare
coeficienţilor necunoscutei x cu coloana termenilor liberi ş.a.m.d.
Sistemul liniar poate fi exprimat matriceal sub forma ,AX B unde
x
X y
z
este coloana necunoscutelor şi în cazul det 0A , 1 .X A B
Aceleași considerații sunt valabile și pentru un sistem liniar de patru
ecuații cu patru necunoscute , cu matricea sistemului nesingulară .
52
2. Breviar teoretic , algebră clasa a XII-a
Proprietăţi ale unei legi de compoziţie:
Legea de compoziţie : , ,M M M x y x y
a) este comutativă dacă ,x y y x pentru orice , .x y M
b) este asociativă dacă ,x y z x y z pentru orice , , .x y z M
c) admite element neutru dacă există ,e M astfel încât x e x şi
e x x ,pentru orice .x M
d) o lege asociativă şi cu element neutru are elemente simetrizabile dacă
pentru x M există ,x M astfel încât .x x x x e
Grupuri şi morfisme de grupuri
I. ,G este grup dacă G este o mulţime nevidă ,iar ,, ” este o lege de
compoziţie pe G ,asociativă, cu element neutru şi cu toate elementele din
G simetrizabile. Dacă ,, ” este comutativă,atunci grupul ,G se
numeşte comutativ sau abelian.
II. Fie grupurile , , ,G şi o funcţie :f G astfel încât
,f x y f x f y pentru orice , .x y G Atunci funcţia f se
numeşte morfism între grupurile ,G şi , . Dacă f este şi bijectivă,
spunem că f este izomorfism de grupuri,iar grupurileG şi se numesc
izomorfe.
Inele şi corpuri:
I. , , ,I unde I este o mulţime nevidă ,iar ,,+” şi ,, ” sunt două legi
de compoziţie pe I, se numeşte inel dacă
a) ,I este grup abelian .
b) ,, ” este asociativă şi admite element neutru .
c) ,, ”este distributivă faţă de ,,+” la stânga şi la dreapta .
Inelul I se numeşte comutativ dacă ,, ” este comutativă.
II. Un inel K se numeşte corp dacă 0 1 şi orice element nenul din K
este inversabil. Dacă înmulţirea este comutativă, K se numeşte corp
comutativ.
53
Inelele , 2n n şi corpurile , 2,p p p prim.
ˆ ˆ ˆ0,1,2,..., 1 , 2n n n este inel în raport cu
ˆ ˆx y x y şi ˆ ˆ .x y xy Avem ˆ ,a n a pentru orice ˆ
na şi ˆna este inversabil dacă şi
numai dacă , 1.a n
Polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ:
I. 1
1 1...n n
n n of a X a X a X a K X
este un polinom cu
coeficienţii 0 1, ,..., na a a în corpul comutativ .K
II.Un element K este rădăcină (din K ) a polinomului f K X , dacă 0.f
III. Restul împărţirii polinomului nenul K X prin X K X este .r f
IV.Teorema lui Bezout: Polinomul nenul f K X este divizibil prin
X K X dacă şi numai dacă 0.f
V.Relaţiile lui Viete: Dacă polinomul de grad n , f X ,are rădăcinile
reale 1 2, ,..., ,nx x x atunci avem:
a) pentru 2 , 0f aX bX c a :1 2
1 2
bx x
a
cx x
a
;
b) pentru 3 2 , 0 :f aX bX cX d a
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
bx x x
a
cx x x x x x
a
dx x x
a
;
54
c) pentru 4 3 2 , 0 :f aX bX cX dX e a
1 2 3 4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4
1 2 3 4
;
bx x x x
a
cx x x x x x x x x x x x
a
dx x x x x x x x x x x x
a
ex x x x
a
VI.Fie 2, , 0f X f aX bX c a .Atunci f este ireductibil
peste ,dacă şi numai dacă 2 4 0.b ac
VII. Orice polinom ,f X de grad 1n ,poate fi descompus
în produs de polinoame de gradul 1 sau 2 ,din ,X ireductibile
peste .
VIII. Orice polinom f X , de grad 1n , 1
1
n n
n nf a X a X
+
1 0... , 0na X a a poate fi descompus în produs de polinoame de
gradul 1, sub forma 1 2 ...n nf a X x X x X x , unde 1 2, ,x x
..., nx sunt rădăcinile complexe ale polinomului f . Aceasta este
descompunerea polinomului f peste corpul numerelor complexe .
IX.Fie corpul comutativ ,K f K X şi , , .a b K a b Atunci
polinomul f este divizibil cu ,X a X b dacă şi numai dacă
0.f a f b
3. Breviar teoretic , analiză
matematică clasa a XI-a
Asimptote
Fie funcţia : ,f D D şi 0x un punct de acumulare al lui D .
55
Dreapta de ecuaţie 0x x este asimptota verticală la graficul funcţiei f
dacă cel puţin una din limitele laterale :
0
0
limx xx x
f x
sau 0
0
limx xx x
f x
există şi este infinită.
Dacă D este o mulţime nemărginită la dreapta , atunci dreapta
y n este asimptotă orizontală la a graficului funcţiei f, dacă
limx
f x n
. Dacă limx
f x
şi dacă există şi sunt finite numerele
reale ,m n unde
lim ,x
f xm
x lim ,
xn f x mx
atunci dreapta de
ecuaţie y mx n este asimptotă oblică la la graficul lui f.
Consideraţii asemănătoare se pot face dacă D este o mulţime
nemărginită la stânga.
Continuitate şi derivabilitate
Funcţia :f E cu 0x E E ( E= mulţimea punctelor de
acumulare ale lui E ) este continuă în 0x dacă există
0
limx x
f x
şi 0
0limx x
f x f x
,
adică dacă
0 0
0 0
0lim limx x x xx x x x
f x f x f x
Dacă există
0
0
0
0
limx x
f x f xf x
x x
,
spunem că funcţia f este derivabilă în 0x şi 0f x este derivata sa în 0x .
În acest caz ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă
0x a , situat pe graficul funcției f este
y f a f a x a .
Reguli de derivare :
Fie funcţiile , :f g D derivabile pe D .Atunci :
a) ;f g f g b) , ;f f
c) f g f g f g d) 2
,f f g f g
g g
56
dacă pentru orice
Formule de derivare
0; 1;x
.
(unde iar pentru fiecare formulă verifică condiţiile de
existenţă a formulei respective).
Pentru funcții compuse avem de exemplu 1
ln u uu
.
Regula lui l’Hospital
Fie , şi I un interval .Dacă
şi sunt funcţii cu proprietăţile
1) (respectiv )
2) şi sunt derivabile şi pentru orice
3) există finită sau infinită ,
atunci g , pentru orice (respectiv există o vecinătate
a lui ,cu , pentru orice ) şi există
Rolul derivatei de ordinul I Fie , un interval şi o funcţie derivabilă .Atunci
1) Dacă , pentru orice atunci este crescătoare pe
2) Dacă , pentru orice atunci este descrescătoare pe
Alcătuind tabelul de variaţie cu trei rubrici orizontale corespunzătoare lui
0,g x .x D
1 1; ; ln ; ln ;x x x xx x e e a a a x
x
1
log ;ln
a xx a
2
1 1 1; ; sin cos ; cos sin ;
2x x x x x
x xx
2
2
11 ;
costgx tg x
x 2 2
1 1; arcsin ;
sin 1ctgx x
x x
2 22
1 1 1arccos ; ;
1 11x arctgx arcctgx
x xx
, 0, 1,a a x
:
,a b a b , ,a b I a b
0 ,x a b 0, : ,f g I x :
0 0
lim lim 0x x x x
f x g x
0
limx x
g x
;
f g 0,g x 0x I x ;
0
limx x
f x
g x
x 0 0x I x V
0x 0g x 0x I V x
0 0
lim lim .x x x x
f x f x
g x g x
:
I :f I :
0f x x I f .I
0f x x I f
.I
57
se găsesc şi punctele de extrem ale funcţiei Într-un
punct de extrem f își schimbă semnul .
Rolul derivatei de ordinul al II-lea Fie , un interval şi o funcţie de două ori derivabilă.
Atunci
1) este convexă pe dacă şi numai dacă ,
2) este concavă pe dacă şi numai dacă ,
Punctele de inflexiune ale funcției f (dacă există) sunt acelea în care
f își schimbă semnul .
4 .Breviar teoretic , analiză
matematică clasa a XII-a
Primitive
Spunem că funcţia ( interval) admite primitive pe dacă
există o primitivă a funcţiei ,adică o funcţie cu proprietăţile
1) derivabilă pe
2) pentru orice
Mulţimea tuturor primitivelor funcţiei (care admite primitive ) se
notează cu şi se numeşte integrala nedefinită a funcţiei
Avem , unde este o primitivă a funcţiei şi c
O funcţie continuă pe un interval admite primitive pe acel
interval.
Primitive uzuale 2
0 ; 1 ; ; ;2
xdx c dx x c dx x c xdx c
, ,x f x f x .f
:
I :f I
f I 0f x .x I
f I 0f x .x I
:
:f I I I
f :F I :
F I ;
,F x f x .x I
f
f x dx .f
f x dx F x c F f .
:
58
.
( unde și trebuie să verifice pentru fiecare formulă condiţiile de
existenţă ale formulei respective)
Integrale definite Numărul real
( formula Leibniz-Newton),
unde funcția este o primitivă a funcţiei continue ,se
numeşte integrala (definită) a funcţiei de la a la b. Avem
1) , pentru orice
2) pe implică
3) 0
0
x
f t dt F x F f x
, pentru orice 0,x I .
Formula de integrare prin părţi
Fie funcţii derivabile pe intervalul ,cu derivatele
continue şi două numere Atunci
Aria suprafeței mărginite de graficul funcției continue pozitive
:f I , axa Ox şi dreptele şi este A b
af x dx ,iar
volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției continue pozi-
tive : ,f a b în jurul axei Ox este 2b
aV f x dx .
1 1; ln ;
1
x xxx dx c dx x c e dx e c
x
;
ln
xx a
a dx ca
2
1sin cos ; cos sin ;
cosxdx x c xdx x c dx tgx c
x ;
2 2 2
1 1 1; ;
sin
xdx ctgx c dx arctg c
x x a a a
2 2
1 1ln
2
x adx c
x a a x a
2 2
1; arcsin
xdx c
aa x
;
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1ln ; lndx x x a c dx x x a c
x a x a
x
:
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
:F I :f I
f
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx .c I
f g ,a b .
b b
a a
f x dx f x dx
:
, :f g I I
, :f g I , .a b I
.
b b
b
a
a a
f x g x dx f x g x f x g x dx
x a x b
59
Bibliografie
[1] Gh. Necșuleu, I. Necșuliu, M. Gușatu, B. Heroiu, V. Necșuleu,
M. Stroie, D. Eftenoiu(coord.): Matematică, Variante de subiecte
pentru bacalaureat, Editura Fair Partners, București, 2013.
[2]Gh.Necșuleu, I. Necșuliu, V. Necșuleu: Matematică M1+M2,Probleme
pregătitoare pentru bacalaureat însoțite de breviare teoretice,Partea
a II-a, Clasele a XI-a și a XII-a, Editura Sitech, Craiova 2013.
[3] Gh.Necşuleu, I.Zaharia, A-S.Negulescu,I.Necşuliu,T.Saulea,
M.Crăciun,A.Cojocaru,M.Voinea,F.Smeureanu şi M.Guşatu (coord):
Matematică,culegere de probleme pentru clasa a XII-a, Editura Fair
60
Partners, Bucureşti,2007.
[4] Gh.Necşuleu,I.Necşuleu, M.Guşatu,M.Crăciun,M.Ghiţan,I.Preda,
T.Saulea şi C.Buican (coord.) Matematică, culegere de probleme
pentru clasa a XI-a, Editura Fair Partners, Bucureşti,2006.
[5]I.Necşuleu ,T.Saulea , C.Buican,M.Postolache (coord) Matematică
M2,Manual pentru clasa a XI-a, Editura Fair Partners,Bucureşti,2006.
[6] M.Postolache(coord.),Gh.Necşuleu,I.Necşuliu ,T.Saulea,B.Nicolescu,
C.Buican : Matematică M2,Manual pentru clasa a XII-a, Editura Fair
Partners ,Bucureşti,2007.
[7]C.Udrişte (coord.), I.Ţevy ,Gh.Necşuleu, M.Guşatu, M.Crăciun,
A.Cojocaru:Matematică M1, Manual pentru clasa a XI-a, Editura Fair
Partners, Bucureşti,2006.
[8]C.Udrişte, I.Ţevy ,Gh.Necşuleu, I.Necşuleu ,I.Preda Matematică
M1,Manual pentru clasa a XI-a,Editura Fair Partners,Bucureşti, 2004.
[9]C.Udrişte,I.Ţevy,Gh.Necşuleu,I.Necşuleu,Gh.Miculescu,D.Mihalache:
Matematică M1 Manual pentru clasa a XII-a, Editura Fair Partners,
Bucureşti,2003.
[10]*** : Enunţurile definitive publicate de M.E.C.T.la 11.04.2008,pentru
Examenul de bacalaureat 2008.
:
:
:
