UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI, FACULTATEA DE ADMINISTRAŢIE ŞI AFACERI

Economia Riscului

Suport de curs

Elena Druică

2

Atenționare: Prezentul material a stat la baza elaborării lucrării ”Economia Riscului. Teorie și aplicații” apărută la Editura Cartea Studențească în anul 2008, ISBN ISBN 978-606-501-000-0 și este supus legii drepturilor de autor.

3

Din partea autoarei

Ori de câte ori mă aflu în fața studenților mei, gata să le împărtăşesc vreo nouă teorie sau gata să le

pun în față vreo nouă problemă de seminar, mă întreb dacă voi reuşi să îi conving că informația cu

care tocmai vreau să le agresez creierul le va fi vreodată utilă. Numai cei care nu au predat copiilor

din generațiile cele mai recente n-ar înțelege dilema mea şi ar încerca să se prevaleze fie de forță (de

exemplu, ”studentul este dator să învețe”) fie de apelul la afirmații normative (de exemplu ”este

frumos din partea studentului să respecte profesorul, cunoşințele acestuia şi să îi admită

superioritatea”). Este evident, desigur, că a doua versiune de mai sus nu reprezintă nimic altceva

decât prima versiune deghizată în cuvinte frumoase - şi studentul este pe deplin conştient de asta.

Va trebui să admitem, fie că ne place fie că nu, faptul că studentul de astăzi este, în cel mai fericit caz,

insensibil la argumentele exemplificate anterior. Există şi varianta în care astfel de motive invocate

de un dascăl stârnesc proteste vehemente şi efecte pe termen lung care nu au nimic de-a face cu

bunul mers al procesului didactic.

Poate că unii dintre colegii mei consideră actuala atitudine a studentului ca fiind nu doar exagerată,

ci şi lipsită complet de orice valori care odată erau definite generic ”bun simț”. Poate că psihologii ne-

ar avertiza asupra faptului că aceste generații de copii se nasc cu un alt tip de inteligență, care

evadează din tiparele cu care ne-am obişnuit. Poate că factorii economici, sociali, politici, schimbarea

de climă sau amenințarea epuizării apropiate a resurselor planetare să reprezinte explicații la fel de

bune pentru situații care se pot transforma, cu participarea activă a unui profesor ”de modă veche”,

în adevărate focare explozive implicând atitutini studențeşti care au la bază o dorință inepuizabilă de

a afla ”asta la ce mai trebuie” . De menționat că această curiozitate se exprimă într-o manieră care

comunică în egală măsură din partea învățăcelului epuizare emoțională, frustrare şi o uşoară

superioritate față de bietul dascăl venit la prima oră facultate doar ca să afle că materia lui nu

foloseşte la nimic .

Dacă distinsul cititor îşi imaginează că un profesor care se pretinde cât de cât pregătit în domeniul

economiei şi managementul riscului îşi permite să-şi argumenteze în vreun fel scuzabil inabilitatea de

a comunica eficient cu invatacelul, porneşte de la o ipoteză greşită. Odată ce merg la şcoală cu

aplomb ca să le explic cât de important este să învețe cum se gestionează riscul de personal, sau că

într-o organizație buna comunicare între colegi are rostul ei în prevenirea unor riscuri cu conotație

4

operațională, vă rog să îmi sugerați un mod valabil prin care să le explic şi faptul că eu şi ei nu ar

trebui să funcționăm pe principii de comunicare eficientă.

Iată de ce am considerat întotdeauna că primul curs este foarte important. Acela este un interval de

două ore în care, la fel ca un nefericit participant într-o campanie electorală, va trebui să dau tot ce

am mai bun cu scopul de a-i convinge pe copii că pe lumea asta au mai rămas lucruri care merită

interes, altele decât cele specifice vârstei lor şi care în cel mai fericit caz sunt exprimate prin cuvintele

cunoscute ”discotecă”, ”McDonald΄s”, ”pub”, sau altfel prin înşiruiri de litere pe care uneori numai

un informatician de top le-ar putea înțelege. ..

Voi încerca pe tot parcursul acestei cărți să mă mențin la fel de convingătoare pe cât îmi dau silința să

fiu atunci când sunt în clasă cu studenții mei şi voi evita pe cât posibil cramponarea de un limbaj mult

prea specializat care ar putea trezi angoase cititorului. Am structurat materialul astfel încât oricine

doreşte să îl parcurgă să poată găsi atât elemente teoretice dar şi aplicații practice, menite să

accentueze caracterul didactic al lucrării şi de asemenea să ajute persoanele interesate să utilizeze

efectiv formulele de calcul şi metodele prezentate.

Informația din fiecare capitol este structurată ca prelegere pentru cursurile şi seminariile disciplinei

Economia Riscului care se desfăşoară pe parcursul semestrului 6 din programul de pregătire a

studenților Facultății de Administrație şi Afaceri din Universitatea din Bucureşti. Fiecare secțiune este

urmată de probleme rezolvate şi comentate care pot completa fie informația care va fi comunicată la

curs, fie pe cea dezbătută la seminar.

București, 2008

5

CUPRINS

CAPITOLUL 1.

ELEMENTE INTRODUCTIVE, SAU CÂTE CEVA DESPRE RISC ..... 8

1.1. Considerente generale despre risc ..................................... 8

1.2. Riscul şi efectele sale ......................................................... 13

1.3. Unde suntem tentați să greşim când studiem

riscul? ....................................................................................... 16

1.4. De la teorie la practică ....................................................... 18

1.5. Tipuri de pierdere aşteptată .............................................. 23

1.6. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar ............... 25

CAPITOLUL 2.

IDENTIFICAREA RISCULUI LA NIVEL DE FIRMĂ ...................... 27

2.1. Punerea problemei ............................................................ 27

2.2. Câte ceva despre clasificarea riscurilor ............................. 28

2.3. Riscul la nivel de afacere ................................................... 31

2.4. Riscul de reputație ............................................................. 38

2.4. Riscul şi pierderea potențială ............................................ 41

2.5. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar ............... 44

CAPITOLUL 3.

RECAPITULAREA UNOR ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ......... 46

3.1. Probabilitatea şi riscul. Câteva elemente de ordin general....... 46

3.2. Independență şi condiționare ........................................... 55

6

3.3. Distribuții speciale de probabilitate .................................. 58

3.4. Valori numerice pentru o variabilă aleatoare ................... 64

3.5. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar ............... 73

CAPITOLUL 4.

DESPRE EVALUAREA RISCULUI ............................................ 75

4.1. Construcția distribuțiilor de probabilitate utilizate în studiul riscului .... 75

4.2. Nevoia de distribuții teoretice........................................... 84

4.3. Modalități de măsurare a riscului ..................................... 85

4.4. Măsuri ale riscului pentru situații particulare ................... 94

4.5. Măsuri alternative ale riscului ........................................... 98

4.6. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar ............. 100

CAPITOLUL 5.

ATITUDINI FAŢA DE RISC, ÎN SENS FORMAL ŞI INTUITIV. .... 102

5.1. Despre utilitate. Locul şi rolul ei în viața agentului economic ... 102

5.2. Funcțiile utilitate şi preferințele individului. Teoria Utilității Aşteptate.....108

5.3. Alte atitidini față de risc şi funcții specifice ..................... 114

5.4. Echivalentul cert şi prima de risc ..................................... 121

5.5. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar ............. 123

CAPITOLUL 6.

MĂRIMI OBSERVABILE ŞI NEOBSERVABILE LA NIVEL DE AFACERE..........125

4.1. Provocări ale pieței monopoliste în mediu incert .......... 125

4.2. Implicațiile prețului necunoscut asupra alegerii optime a inputurilor......130

4.3. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar ............. 139

7

CAPITOLUL 7.

VALOAREA ACTUALIZATĂ ÎN STUDIUL RISCULUI ............... 141

7.1. Despre valoarea actualizată ............................................ 141

7.2. Problema pensiei viagere ................................................ 141

7.3. Alegerea celei mai bune variante .................................... 150

7.4. Casă, dulce casă... ........................................................... 159

7.5. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar ............. 161

CAPITOLUL 8.

MODELE PROBABILISTICE ÎN STUDIUL RISCULUI ................ 163

8.1. Acoperiea riscului, ca tendință naturală ......................... 163

8.2. Actuarul – sau cine este în spatele poliței de asigurare .. 165

8.3. Despre modelele actuariale ............................................ 167

8.4. De la enunț particular la model general .......................... 171

8.5. Despre alte modele probabilistice .................................. 173

8.6. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar ............. 179

BIBLIOGRAFIE ................................................................... 180

8

CAPITOLUL 1.

ELEMENTE INTRODUCTIVE, SAU

CÂTE CEVA DESPRE RISC

1.1. Considerente generale despre risc

1.2. Riscul şi efectele sale

1.3. Unde suntem tentați să greşim când studiem riscul?

1.4. De la teorie la practică

1.5. Tipuri de pierdere indirectă

1.6. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar

Obiectivele capitolului

În acest prim capitol am urmărit prezentarea conceptului de risc, a principalelor sale forme de manifestare şi a

modului în care existența sa se repercutează asupra persoanelor amenințate. Am motivat nevoia de studiu al

riscului şi am prezentat principalele tipuri de pierderi indirecte.

1.1. Considerente generale despre risc

Trebuie să mărturisesc cu sinceritate faptul că mi-a fost foarte greu să încep să scriu această

secțiune. Din acest motiv am petrecut o mulțime de timp structurând paragrafele anterioare, de

parcă efortul investit în modificarea la nesfârşit a fonturilor unui text de o pagină m-ar fi absolvit de

scrierea primelor rânduri din acest curs.

Am studiat un anumit număr de cărți în domeniul economiei şi managementului de risc şi am

observat că toate încep prin a spune într-un mod uneori constatativ, alteori dramatic, că riscul este

un însoțitor permanent al vieții noastre, că este un motor al vieții economice, că este un motiv de

teamă dar şi o formă de provocare. Din toate aceste începuturi se desprindea un avertisment mai

mult sau mai puțin clar exprimat, şi anume că oamenii ar trebui să ia lucrurile foarte în serios şi asta

chiar din clipa în care citesc materialul în cauză.

Desigur că manifest un respect deplin față de aceşti autori pe care îmi iau libertatea de a nu-i aminti

deocamdată, la fel cum sunt în acord total cu seriozitatea problematicii studiului riscului. Mi-am

9

imaginat, însă, că merg în prima zi de şcoală în fața studenților mei şi le spun, pătrunsă de importanța

momentului, că întregul semestru ne vom ocupa cu studiul unei entități care aduce numai necazuri -

şi vă mărturisesc că mi s-a tăiat cheful de a-mi începe lucrarea în spiritul important care se

desprindea din demersul altor autori. Şi, bineînțeles, acesta este şi motivul pentru care am petrecut

mai multe zile întrebându-mă cum să aranjez în pagină introducerea şi nicidecum gândind constructiv

la modul cum voi ieşi din impas. Stimate cititor, observă te rog că şi acum fac acelaşi lucru: trag de

timp.

Oricum aş încerca să evit, va trebui să o spun totuşi: riscul este parte din viața noastră. Este ceva cu

care ştim că ne-am confruntat încă de pe vremea când speram că mama nu o să ne prindă că am fost

la ştrand si nu la ora de chimie, sau poate chiar mult mai devreme. Nu are importanță cât de

conştienți am fost de cauzele anumitor evenimente de care ne-am fi lipsit bucuroşi dacă am fi ştiut că

pot să apară, important este că fiecare lucru care a iesit bine avea o şansă să iasă prost şi asta din

cele mai diverse motive.

Să nu întrebați niciodată specialiştii care este definiția riscului. O sa intrați într-o polemică veche de

aproape 100 de ani şi după ce vă veți fi epuizat energia veti ajunge la concluzia că n-ați rezolvat

nimic. Haideți să aruncăm o privire asupra cadrului în care nu ar trebui de fapt să vă implicați, să

explicăm şi să analizăm contextul, atitudinile şi efectele care au făcut ca definiția riscului să fie un fel

de măr al discordiei printre participanții activi la viața ştiințifică din unele perioade ale istoriei.

Încă de pe la începutul secolului al XX-lea a apărut în discuțiile oficiale ideea de aleator ca o

componentă a vieții economice. Prin acest cuvânt, unii dintre economiştii vremii îndrăzneau să

insinueze că acțiunile agentului economic, deci şi rezultatele sale, ar trebui să fie puse sub semnul

întrebării. Nu imi imaginez exact ce anume a dus la punerea cărților pe masă, probabil vreo

succesiune de inițiative economice încheiate jalnic, cert este că ideea de aleator a început să se

contureze în mintea teoreticienilor vremii. Ceea ce cu siguranță că astăzi vi se pare la fel de natural ca

si masa de prânz, anume luarea în calcul a neprevăzutului, venea în totală contradicție cu

mentalitatea vremii: agentul economic era agent economic doar dacă avea decența să se comporte

rațional, asta însemnând nimic altceva decât că trebuia să ia decizii în cunoştință de cauză, iar dacă

nu reuşea să facă lucrul acesta putea să părăsească breasla şi să se apuce de altceva. A lua decizii

raționale mai însemna, în mintea oamenilor vremii, să fie atât de bine pregătit şi de desăvârşit

informat, încât să nu lase loc niciunui fel de surprize să se manifeste în viața lui.

Aparte faptul că mulți dintre noi am considera, la nivel personal, că o astfel de abilitate de control

deplin face viața de-a dreptul plictisitoare, trebuie să admitem faptul că bietul agent economic era

10

supus unui perfecționism generator de frustrări, iar motivul pentru care i se cereau astfel de

comportamente desăvârşite nu avea nici pe departe la bază faptul că oamenii de ştiință aveau

dreptate, ci faptul că se dorea ca lumea sa se potrivească modelelor lor şi nu invers. Haideți să

explicăm.

Atunci când vă întreb cât obțineți la adunarea lui 2 cu 2, îmi veți răspunde că 4. Sunteți, de

asemenea, siguri că 4 va fi rezultatul acestei adunări şi dacă o face vecinul, şi dacă o reluați mâine,

deci independent de moment şi de cel care efectuează calculul. Evident, am presupus că adunarea

are loc în mulțimea numerelor reale. Prin urmare, experiența adunării lui 2 cu 2 este una

deterministă pentru că rezultatul este acelaşi ori de câte ori efectuăm adunarea şi indiferent cine o

face.

Dacă atunci când vă întreb câte puncte veți obține dacă aruncați un zar îmi răspundeți fără să clipiți

„şase puncte”, o să mă gândesc la una din două: fie că vă place să vă intimidați adversarul, fie că

dacă vom juca vreodată împreună n-o să vă permit să aruncați cu zarurile dumneavoastră, aduse de

acasă şi probabil îndelung pregătile pentru acel joc... Pentru oricine, experiența aruncării unui zar are

un procent important de aleator: dacă zarul nu este „aranjat” în niciun fel, nu putem şti rezultatul

aruncării decât după ce experiența a fost efectuată şi prin urmare experiența aruncării unui zar,

printre alte experiențe reale, este o experiență aleatoare.

Acum, va trebui să admitem că oricât de rațional ar fi un agent economic, el nu va putea construi

experiențe deterministe din aleatorul care ne înconjoară. A pretinde, aşadar, cuiva să fie apt de a

anticipa corect de fiecare dată rezultatele acțiunilor lui, sau de multe ori chiar pe ale altora, înseamnă

să dai dovadă fie de nevroză, fie de o candoare demnă de poveştile din copilărie. Nivelul maxim de

rațional într-o situație grevată ne factori nedeterminişti este să poți stabili rezultatele posibile şi de

asemenea şansele, sau probabilitățile lor de apariție - aşa cum am putea face pentru experiența

aleatoare a aruncării unui zar, apoi să încerci să iei cele mai bune măsuri ca să te asiguri că şansele să

se întâmple ce nu îți convine sunt cât mai mici cu putință.

O situație în care omul nostru ar putea stabili toate rezultatele posibile şi probabilitățile cu care apar,

se va numi situație riscantă. O situație în care poate stabili cu obiectivitate doar rezultatele posibile,

dar are dubii că în procesul atribuirii probabilităților se bazează pe argumente solide, o vom denumi

situație incertă. În sfârşit, situația cea mai rea se descrie cu numele de nedeterminare şi se referă la

cazurile în care nu se pot atribui nici rezultate, nici probabilități, altfel decât pe baza unor supoziții şi

deci cu un grad mare de subiectivism.

11

O să vă întrebați, în acest punct, unde este mobilul polemicii veche de 100 de ani. Păi, în exact ceea

ce am scris mai sus. Mai exact, mulți specialişti petrec o grămadă de timp ca să se contrazică asupra

conceptelor de risc şi incertitudine, unii spunând ce am spus noi mai sus, iar alții susținând pe dos, că

riscantă ar trebui să fie acea situație în care putem descrie rezultatele, dar nu putem atribui

probabilități, iar incertă să fie situația în care putem stabili obiectiv şi rezultatele, şi probabilitățile lor.

Ați zâmbit, nu-i aşa? Într-o lume în care riscurile înțeleg să se manifeste nestingherite, într-o lume în

care efectele lor ajung uneori până la dramatism, este amuzant că unii îşi petrec timp ca să se

contrazică pe baza conceptelor, şi nu pe baza celor mai bune metode de gestionare a amenințărilor.

Şi totuşi, va trebui să fim corecți şi să spunem că oamenii de ştiință serioşi au încetat de multă vreme

să mai ia în seamă genul acesta de conflict. În anii 1920, când polemica asupra semnificației noțiunii

de risc era în floare, toate contradicțiile şi toate discuțiile care aveau loc erau destinate dezvoltării

unui domeniu care ulterior a devenit o zonă de maximă importanță în teoria economică şi economico

– financiară. Nicio schimbare importantă nu are loc peste noapte şi nu se face fără efort din partea

celor care trebuie să-şi reconsidere modul de-a gândi. Trecerea de la gândirea deterministă la

gândirea care incorpora factorul riscant a suscitat discuții interminabile, dar care au avut meritul că

au presupus implicit acceptarea existenței aleatorului în viața economică: nu poți polemiza pe

definirea unui concep a cărui existență nu ai acceptat-o deja. Prin urmare, când în anul 1942

economistul norvegian Trygve Haavelmo a pus bazele Economiei Probabilistice, comunitatea

ştiințifică a vremii era familiarizată cu nevoia de a lua în considerare neprevăzutul, de această dată ca

factor obiectiv şi nu ca dovadă nemijlocită a iraționalității bietului agent ecoonmic.

Polemica asupra definirii riscului şi a diferențierii lui față de incertitudine este încă vie, mai ales în

sfera începătorilor în ale studiului factorului aleator. Dincolo, însă, de toate contradicțiile,

participanții la discuții sunt unanim de acord cu câteva aspecte: că există amenințări; că ele nu ne fac

plăcere; că trebuie gestionate; că există metode de gestionare şi, nu în ultimul rând, că aceste

metode pot fi îmbunătățite. Acestea sunt argumente esențiale în favoarea colaborării între oamenii

de ştiință ai domeniului. Care sunt contradicțiile? De fapt, ele s-ar traduce astfel: pe tine, distinsule

cititor, s-ar putea să te cheme Mircea. Eu, dacă mă uit la tine, îmi spun că ți s-ar potrivi mai bine

numele de Alin. Şi Marius, şi Alin, sunt etichete şi modificarea lor, de-ar fi să se facă de sute de ori, nu

va schimba esențialul: tu exişti şi oamenii trebuie să țină cont de tine. Indiferent cum am numi riscul,

el există.

Pentru bunul mers al prezentării materialului care va urma şi pentru ca din lecturarea acestui

material cititorul să dobândească o înțelegere logică a fenomenelor, vom admite că riscul este acel

eveniment potențial generator de pagube, cu privire la care putem stabili efectele manifestării lui

12

(adică rezultatele), şansele lor de apariție şi impactul, sau severitatea asupra perimetrului afectat.

Vom vedea că atunci când vom discuta despre metodele de gestionare a riscului, ideea de severitate

va fi un element important de decizie asupra riscurilor care trebuie avute în vedere cu prioritate.

Deja în această etapă probabil că mintea cititorului e plină de exemple în care riscul – aşa cum am

văzut că poate fi descris – grevează existența zilnică. Probabil că realizați, la o privire mai atentă, că

nimic din ceea ce faceți sau din ceea ce vă înconjoară într-o zi nu poate scăpa acestui duşman

nevăzut. Marea varietate de semnificații ale conceptului de risc este legată tocmai de marea

varietate de situații în care se întâlneşte. E timpul să ne întrebăm: de ce Economia Riscului? De unde

această asociere de cuvinte şi ce semnificație au ele?

Ştiința Economică, aşa cum este ea acceptată astăzi, este ştiința care ne învață să alocăm resurse

insuficiente, pentru a satisface cu ajutorul lor nevoi uriaşe. În general vorbind, există un număr de

probleme economice, pe care unii economişti le-au structurat ca şapte întrebări1, cărora trebuie să le

răspundem ca să putem spera că vom putea răspunde problemei fundamente a economiei. Iată

câteva din aceste întrebări, pe care cu siguranță le-ați întâlnit la cursul de Economie din anul I de

studiu: Ce trebuie să producă agentul economic? Cum trebuie să producă? Pentru cine trebuie să

producă? Este vreo metodă de producție care să se poată considera „cea mai bună”? Există o

alocare, cea mai bună, a resurselor în perspectiva a ceea ce urmează să fie obiectul producției? Cum

trebuie repartizată producția între indivizi la nivel de societate? Ce putem spune despre stabilitatea

banilor în timp?

Problemele pe care le-am amintit în paragraful anterior nu sunt deloc simple şi de aceea vă putreți

imagina câtă comoditate ar fi indus în rândul economiştilor păstrarea modelelor deterministe. Numai

să ne gândim cum ar fi fost să fie cineva capabil să spună: agentul economic cutare va produce trei

seturi de mobilier de birou (răspuns la întrebarea „ce să producă”), pentru familiile X, Y şi Z (numitul

agent economic ştie pentru cine să producă), aceste trei familii le vor cumpăra cu siguranță marfa, la

prețul p, iar banii încasați îi vor ajunge fabricantului pentru o vacanță petrecută pe litoral peste opt

ani (o poveste despre stabilitatea puterii de cumpărate).

În loc de scenariul lui 2+2=4 pe care l-am schițat mai devreme, viața reală ar suna cam aşa: agentul

economic cutare ar putea produce trei seturi de mobilier de birou (răspuns la întrebarea „oare ce-ar

vrea piața să se producă”), pentru oameni care ar putea fi descrişi „cam aşa” în funcție de venitul lor

şi de alte caracteristici relevante ca de pildă dacă au sau nu o cameră pe care să o dorească birou,

(numitul agent economic bănuieşte cine ar fi interesat de producția lui), cu puțin noroc aceşti

1 Economia Riscului ........................, p.

13

potențiali clienți ar putea cumpăra marfa, la un preț care fabricantului i-ar conveni să fie egal cu

prețul p, iar banii încasați îi vor ajunge ... mă rog, o să mai vadă el peste opt ani, după ce îşi va fi

distrus un număr de neuroni făcându-şi griji despre care investiții sunt mai sigure.

Mai trebuie să explic de ce avem de-a face cu o economie a riscului?

V-am spus mai devreme că, spre deosebire de alte concepte specifice ştiinței economice, riscul a fost

incorporat formal în anul 1942 chiar dacă şi înainte de acest moment au fost elaborate pe aceeaşi

temă lucrări relevante şi deosebit de folositoare. Dacă aruncăm o privire în jur, în perimetrul

literaturii referitoare la risc, vom avea o mare surpriză. Aceast perimetru este poate unul dintre cele

mai avansate sub aspectul contribuției ştiințifice şi cel pentru studiul căruia se alocă un volum

impresionant de resurse. Deloc surprinzător, numărul cel mai mare de contribuții, ca şi cei mai

importanți specialişti, sunt de întâlnit în domeniul Finanțelor unde dealtfel au fost dezvoltate şi cele

mai sofisticate modele de evaluare a evoluției în timp a prețului pentru diferite titluri. Sumele uriaşe

care pot fi câştigate jucând diferite jocuri financiare fac să existe o motivație puternică de dezvoltare

a literaturii teoretice şi aplicate pe acest segment. Pe de altă parte, o cotă deosebit de importantă

din literatura ştiințifică economică a rămas şi în acest moment tributară modelelor deterministe pe

care mulți dintre învățători şi autori le utilizează aducând ca argument simplitatea şi prin urmare

compatibilitatea cu scopurile didactice.

Ceea ce nu îşi propune această lucrare este reiterarea literaturii referitoare la riscurile de natură

financiară, decât în măsura în care referirile ocazionale nu vor putea fi de evitat. Această categorie de

riscuri poate fi găsită detaliată în mule cursuri şi articole specifice Finanțelor şi din acest motiv nu le

vom repeta. Ceea ce vom face totuşi, ori de câte ori va fi posibil, va fi să arătăm modul în care

anumite modele, metode şi tehnici de studiu al riscului, care de obicei sunt puse în corespondență

directă cu riscurile financiare, pot fi aplicate şi pentru studiul riscurilor care grevează viața de zi cu zi

a unui agent economic.

1.2. Riscul şi efectele sale

Aşa cum a fost descris în secțiune precedentă, riscul ca eveniment potențial generator de pagube nu

poate fi o prezență sută la sută plăcută în viața nimănui. Nici chiar acei inivizi născuți să rişte, pe care

îi numim înclinați către risc şi despre care vom discuta mai în detaliu în Capitolul al treilea, nu fac

intotdeauna casă bună cu absența certitudinii din viața lor.

14

Am discutat deja despre maniera în care descriem riscul şi am asigurat în acest fel un limbaj unitar

pentru toți cititorii. La fel ca atunci când întâlniți pe stradă un anumit indicator de circulație pe care îl

înțelegeți automat ca semnificând „trecere pentru pietoni”, şi în cazul acesta veți şti ce să înțelegeți

atunci când veți întâlni noțiunea de risc. Etapa următoare în demersul nostru este să înțelegem mai

exact motivele pentru care oamenii alocă timp şi energie pentru studiul lui. Desigur că în această

etapă suntem deja de acord că riscurile sunt evenimente potențial dăunătoare, dar această afirmație

este încă suficient de vagă pentru a putea constitui prin ea însăşi o motivație a studiului aprofundat

al riscului. Vom lua în discuție exemplul următor prin intermediul căruia ne vom explica unele dintre

elementele legate de motivația studiului riscului.

Un fabricant de automobile, numit X, a lansat pe piață un model nou care, pentru un anumit nivel al

dotărilor, se vinde la prețul de 10.000 euro. În primele luni de la momentul lansării noul model a fost

un succes, iar fabricantul a îndeplinit şi chiar a depăşit toate targeturile pe care le-a estimat ca fiind

posibile. Un fabricant concurent, foarte puternic, numit Y, anunță că în foarte scurt timp va lansa la

rândul lui un model nou care va depăşi ca performanțe modelul aflat deja în mare vogă, al

fabricantului X. Ne propunem să discutăm acum asupra reacțiilor pe care le pot avea potențialii

clienți ai lui X, la auzul veştilor împărtăşite de Y publicului larg.

Un client care ar fi dorit să achiziționeze maşina de la X ar putea să renunțe, cel puțin deocamdată, la

a lua vreo inițiativă pentru că aşteaptă să vadă ce anume va oferi fabricantul Y. Prin urmare, există o

anumită probabilitate ca maşina pe care ar fi ales-o clientul să nu mai fie cumpărată. Din motive

didactice, să presupunem că această probabilitate ca respectivul client să renunțe la a mai cumpăra

maşina este de 15% deci există 15% şanse ca fabricantul X să nu ia niciun ban pe maşina în cauză,

deci menținem o şasnă de 85% ca maşina să fie vândută.

Suma încasată pe maşină ar fi, ca urmare a celor prezentate mai sus, o variabilă aleatoare de forma:

Suma încasată =

85,0p1cu,euro000.10

15,0pcu,euro0.

Odată lansată provocarea venită din partea concurenței, fabricantul X nu va mai putea fi sigur de

suma pe care o va încasa pentru o maşină şi deci valoarea maşinii va înregistra o anumită

variabilitate.

15

Variabilitatea la care ne-am referit aduce asupra fabricantului şi pericolul pierderii: dacă vom calcula

suma pe care se aşteaptă acesta să o încaseze pentru o maşină în condițiile date, va trebui să

determinăm valoarea medie, sau aşteptată, a variabilei aleatoare „Sumă încasată” ca mai jos:

850085,0000.1015,00incasataSumaM euro.

De aici deducem că, față de prețul de 10.000 de euro al maşinii, de data aceasta fabricantul se va

aştepta să obțină doar 8.500 de euro. Diferența de până la 10.000 de euro, adică 1500 de euro, este

pierderea aşteptată ca urmare a lansării pe piață a reclamei pentru produsul concurent şi deci a

apariției ezitării (posibilității de necumpărare) la un client altfel decis să achiziționeze maşina în

cauză.

Experiența anterioară mă face să cred că va trebui să aprofundez acest aspect al pierderii aşteptate

pentru că de obicei el este perceput de către studenți ca fiind puțin neprietenos. Atunci când afirm că

în loc de 10.000 de euro, fabricantul X se aşteaptă să obțină pentru o maşină doar 8.500, nu spun nici

pe departe că fiecare client vine hotărât să negocieze o scădere de preț. Poate unii o fac, poate chiar

reuşesc să o obțină, dar cu siguranță nu acesta este sensul în care a fost utilizată ideea de sumă

medie, sau aşteptată.

Ideea este că, odată lansată pe piață reclama pentru produsul concurent, unii dintre cei care înainte

ar fi cumpărat modelul fabricantului X sunt acum în aşteptarea noului produs. Ca să folosim cifrele pe

care le-am utilizat, 15% dintre clienții altădată siguri au renunțat să mai cumpere o maşină de la X.

Încasările fabricantului scad, aşadar, cu 15% pentru că din întreg stocul de maşini de care dispune,

fabricantul va vinde cu 15% mai puțin. Din acest motiv, dacă vom estima o încasare medie pentru

maşinile din stoc, aceasta nu va mai fi de 10.000 euro cât a fost inițial, ci cu 15% mai puțin – adică

8.500 euro. Asta poate să însemne foarte bine că maşinile se vând tot cu 10.000 euro bucata, dar că

nu se mai vând toate, ceea ce în mod clar generează o pierdere pentru fabricant.

Un alt aspect pe care trebuie să îl semnalăm în legătură cu problema acelor încasări medii de 8500

euro per maşină este legat de faptul că, din păcate, din aceşti bani mai pot să se scadă şi alte sume.

Dată fiind scăderea interesului unei anumite părți din piață pentru maşina în cauză, potențialul

compărător va lua în calcul faptul că la rândul său va avea dificultăți să o revândă. El se poate gândi

că, aşa cum el a ezitat să cumpere şi aceast ezitare a creat variabilitate în valoarea de piață a maşinii

şi implicit scăderea prețului, la fel şi cei care vor fi interesați să cumpere maşina second hand vor

genera o scădere a prețului ei la momentul respectiv. Incertitudinea asupra valorii viitoare a maşinii

16

atrage după sine încă o scădere a prețului maşinii noi, sub cuantumul de 8500 de euro care deja

însemnau pentru fabricant o pierdere.

În concluzie, exemplul pe care l-am prezentat a arătat cum un factor perturbator din viața

fabricantului X, adică fabricantul Y, a fost cauza unui eveniment potențial generator de pagube, adică

a anunțat lansarea pe piață a unui produs mai bun decât cel al lui X, făcând ca prețul produsului X să

fie sub semnul riscului. Aşadar, am pus în evidență două aspecte ale factorului riscant şi anume: o

pierdere aşteptată şi o variabilitate care poate accentua nivelul pierderii lui X. Referindu-ne la

exemplul nostru, pierderea aşteptată a fabricantului X este de 1500 de euro față de prețul la care

clientul ar fi cumpărat inițial, dar această sumă poate fi mai mare (e drept, şi mai mică) dacă

respectivul client ia în calcul posibilele fluctuații în timp ale valorii maşinii pe care doreşte să o

cumpere.

Ambele abordări ale riscului, atât în sens de pierdere aşteptată cât şi în sens de variabilitate şi efecte

ale sale, au căpătat în exemplul nostru efecte monetare. Se conturează, prin urmare, ideea care stă la

baza motivației oricărui manager de risc şi anume că riscul costă. De cele mai multe ori atunci când

planificăm o inițiativă încercăm să stabilim şi nivelul aşteptărilor noastre în raport cu inițiativa

respectivă. Orice abatere de la aceste aşteptări care evoluează advers intereselor noastre este o

formă de manifestare a riscului. Ce înseamnă mai riguros valoare aşteptată şi care este interpretarea

ei vom discuta mai pe larg în partea destinată aplicațiilor şi de asemenea în secțiunea următoare,

destinată recapitulării elementelor de teoria probabilităților necesare înțelegerii Economiei Riscului.

Vom mai spune că, pe baza celor prezentate mai sus, atunci când evaluăm două situații aflate sub

semnul aleatorului, spunem că una este mai riscantă decât cealaltă dacă are o pierdere aşteptată mai

mare şi de asemenea o variabilitate mai mare în jurul acestei valori aşteptate.

Până în acest moment am răspuns la două întrebări: de este riscul? Şi, de ce îl studiem? Ca o

continuare firească a prezentării noastre trebuie spus că odată familiarizat cu amenințările cu care se

confruntă, omul încearcă metode pentru a le gestiona. Metodele de gestionare a riscului s-au născut

din nevoia de a reface nivelul optim de certitudine cu care omul poate evolua în viața de zi cu zi în

cadru de normalitate. Ce înseamnă „normalitatea” este greu de stabilit pentru că descrierea acestei

stări sau a parametrilor săi ar presupune o doză semnificativă de subiectiv, dar enumerarea

manifestărilor care fac îngrijorătoare evoluția manegerului în mediu incert o vom prezenta în

rândurile următoare.

1.3. Unde suntem tentați să greşim când studiem riscul?

17

Institute de Management al Riscului2 de pe tot mapamondul au constatat, ca urmare a studiilor

efectuate, că odată ce oamenii au de implementat un management în condiții de incertitudine se

manifestă o serie de bariere psihologice îngrijorătoare. Amploarea studiilor acestor instituții

specializate în probleme de risc dovedeşte că necazurile care pot să apară nu sunt nici pe departe

subiective şi deloc de neglijat. Dacă o persoană alege să se comporte conform prejudecăților,

educației, obişnuințelor şi valorilor proprii, aceasta este până la un punct problema ei. Dacă, însă,

acea persoană este un actor economic cu putere de decizie, de care depind alte persoane, binele şi

bunăstarea lor, lucrurile se complică. Responsabilitățile nu mai vizează un segment personal şi

acțiunile trebuie să capete o altă profunzime. Iată câteva concluzii la care au ajuns specialiştii şi care

ne pot convinge de necesitatea abordării riscului pe baze ştiințifice.

Primul semnal de alarmă trebuie să vină din sfera rutinelor noastre. Obişnuința cu anumite tipare

comportamentale şi de gândire, dobândite prin diferite forme de educație, ne fac să fim tentați să

privim doar la ceea ce ne este familiar, văzând doar ceea ce am fost învățați (condiționați - am spune)

să vedem.

În momentul confruntării cu incertitudinea, tindem să subestimăm riscul de a repeta aceleaşi acțiuni

ca şi până atunci şi să supraevaluăm riscul de a ne îndrepta într-o direcție nouă. Obişnuința,

comoditatea, lipsa de informare şi lipsa dorinței de a ne informa, incapacitatea de înțelegere a unor

alte conjuncturi economice, teama de ceea ce nu cunoaştem sunt adversari redutabili ai adaptării la

noi sisteme de valori, la noi practici şi la noi abordări. Urmarea firească a reticențelor menționate are

ca rezultat faptul că obişnuim să ne focalizăm planificarea pe ceea ce cunoaştem şi pe oportunitățile

curente, evitând să aflăm ceea ce nu cunoaştem şi să determinăm astfel acțiunile corecte viitoare.

Dintru început, mintea noastră pare a fi programată astfel încât să aibă anumite comportamente

deloc fericite. Tindem să construim tablouri incomplete, obscure, colorate cu credințe fundamentate

subiectiv. Inevitabil, un astfel de cadru este propice analizelor vulnerabile, atât din punct de vedere al

datelor pe care se construiesc, cât şi din punct de vedere al inexactității concluziilor. Mai avem

obiceiul să supradimensionăm acele informații la care avem acces, considerându-le deosebit de

importante şi adesea avem impresia că sunt şi suficiente pentru a lua decizii şi a construi concluzii

funcționale. Mulți dintre noi suferim de o supra-încrede asupra viitorului. Şi cum ar putea fi altfel

dacă tabloul obscur din mintea noastră nu ne lasă a lua în calcul toate posibilitățile de perspectivă? Şi

mai păcătuim considerând de cele mai multe ori că suntem pregătiți pentru a face față situației

2 Căteva exemple: The Institute of Risk Management, London: www.theirm.org; The Public Entity Risk

Institute, Nevada: www.riskinstitute.org: International Risk Management institute, Dallas: www.irmi.com

18

atunci când nu avem nici pe departe armele necesare. Specialiştii găsesc că o altă tară a

comportamentelor noastre economice şi nu numai, rezidă în incapacitatea de a ne focaliza atenția

asupra lucrurilor esențiale care trebuie urmărite în caracterizarea unei situații în care trebuie luată o

decizie. Suferim de o mare sensibilitate când este vorba de lucruri de formă şi nu de conținut, la fel

cum ne cufundăm cu uşurință în probleme contextuale şi pierdem imaginea de ansamblu.

În ceea ce priveşte tentativa noastră de a măsura riscul, pierdem din vedere că abaterile sistematice

sunt dezastruoase pentru rezultat. Mai grav este că avem propriile reprezentări şi propriile

presupuneri despre risc, pe care încercăm doar să le verificăm în cadrul măsurătorilor şi nu să căutăm

rezultate reale. Şi, ca şi când toate acestea nu ar fi de ajuns, studiile arată că obişnuim să subestimăm

corelațiile care apar între diferite valori referitoare la mărimea riscurilor la care este supusă

obținerea unui anumit rezultat. Specialiştii mai spun că avem aversiune față de pierdere, față de risc

şi față de ambiguitate şi, în mod ciudat, studiile atestă că aceste mărimi nu sunt corelate, cum s-ar

putea crede la prima vedere.

Cu atâtea defecte, agentului economic nu-i mai rămâne decât să ia în serios problema

managementului în mediu incert, să găsească un antidot al „stărilor minții” prin constituirea unui

scenariu corect de planificare, să ia în calcul multiplele direcții pe care le poate urma în deciziile sale

şi să poată estima cât mai exact consecințele fiecărei alegeri.

1.4. De la teorie la practică

A vorbi despre risc a fost şi rămâne o provocare. Polemicile în care au fost angrenați diferiți specialişti

de-a lungul timpului au generat puncte de vedere, idei, construcții şi raționamente inedite care au

pus bazele unor colaborări fructuoase între cele mai diferite zone ale ştiinței. Au apărut teorii,

concepte, instrumente, metode şi modele menite prin naştere să facă trecerea – atât de necesară –

de la abstract la concret.

Cu toate acestea, ne pare rău să spunem că toată această creație se dovedeşte de multe ori prea

puțin accesibilă întreprinzătorului de rând. Nu, nu vorbim aici despre instituții financiare, despre

companii puternice care au forța să se integreze condițiilor în continuă modificare şi uneori sunt

capabile să creeze aceste condiții. Ne referim la mulți dintre întreprinzătorii de talie redusă, care îşi

desfăşoară activitatea de azi pe mâine şi care n-ar da doi bani pe concepte ca funcție utilitate,

inferență Bayesiană, coeficient de variație şi alte asemenea. Majoritatea dintre ei este aversă nu față

de risc, ci față de coloanele de cifre care ar trebui prelucrate în scopul nobil al obținerii frecvențelor

relative.

19

A spune că un întreprinzător trebuie să îşi cunoască funcția cost poate deveni ceva distractiv, iar

sfatul pentru utilizarea indicelui Lerner pentru a stabili dacă merită sau nu modificarea în prețul

produsului, este la fel de inept ca şi recomandarea către un călugăr ortodox de a folosi practici

hinduse. Nu vrem să fim nedrepți, există o literatură vastă menită să ajute întreprinzătorul să afle

despre cum ar trebui să se comporte în mediu incert sau riscant. Avem dubii mari, totuşi, că agenții

noştri economici ar invada periodic librăriile sau site-urile specializate, în căutare de informații.

Absența interesului se poate înțelege, dacă privim cu atenție la decalajul dintre limbajul agreat de

întreprinzător şi cel folosit în multe din sursele potențiale de documentare. Există, îndrăznim să

spunem, o lipsă de cooperare perceptibilă pe mai multe niveluri. Să luăm de exemplu: reputatul Paul

Wilmott3, imens de talentat şi autor al câtorva cărți şi al multor articole de finanțe, a trimis spre

editare o „Biblie” a ingineriei financiare publicată, recunoscută şi adulată. O carte de excepție pe care

am avut curiozitatea să o deschidem în speranța că vom înțelege pe larg misterele teoriei şi practicii

pe piața financiară. Pe mai mult de jumătate din pagini ființează modele ucigătoare chiar pentru un

matematician de formație, funcții de variabile stohastice, ecuații cu derivate parțiale şi alte minunății

indispensabile pentru descrierea fenomenelor care se petrec zilnic într-o bursă. Lucrarea este de

excepție şi, credem noi, în vreo doi ani de muncă susținută vom putea pricepe cam tot ce scrie în cele

aproape opt sute de pagini, inclusiv micile programe informatice scrise într-un limbaj care pentru

moment ne este oarecum străin.

Răsfoind volumul, ne-am amintit de o tânără angajată a unei universități din Bucureşti care, în

dorința firească de a-şi finaliza teza de doctorat orientată spre piața derivatelor financiare, a reuşit să

intre în legătură cu un specialist recunoscut al Bursei de Valori Bucureşti. La întrebarea ei: „Cum

aplicați practic Indicele Treynor?”, răspunsul specialistului a fost: „Indicele care? N-am întâlnit aşa

ceva…” Probabil colega noastră încă se mai întrebă dacă modelul pe care l-a gândit luni de zile, pe

baza indicelui ingrat, are alt rost decât acela de a rămâne pe hârtie…

Trebuie să fim corecți şi să spunem că am întâlnit şi directori de firme care păstrează pe birou, ca

sursă permanentă de documentare, cărți de referință în domeniul economic. La fel de corect este şi

faptul că mulți dintre conducătorii unor afaceri apelează în mod serios la specialişti pentru a-şi

asigura o bună desfăşurare a activității. Dar, privit în ansamblu, totalul celor interesați de afaceri pe

baze ştiințifice este încă prea mic, iar apetitul pentru informație şi informare se limitează la

continuarea unor practici intrate în rutină.

3 Wilmott P., Derivative. Inginerie financiară. Teorie şi practică, Ed. Economică, Bucureşti, 2002

20

Într-un sistem complex, ca acela numit „economie”, amenințările pot să apară la orice nivel şi pot fi

oricât de variate. Cu fiecare victorie asupra unei noi tehnologii, cu fiecare informație, numărul şi

mărimea amenințărilor cresc. În felul lui, fiecare agent economic caută soluții şi metode de acțiune

pentru a se asigura că activitatea pe care o desfăşoară este cât mai puțin riscantă. În mod normal şi

logic, primul pas ar trebui să fie procesul de identificare a riscurilor, atât a celor care pot surveni din

desfăşurarea activității proprii, cât şi din acțiunile externilor, pentru că „a gestiona” presupune un

obiect al gestionării – care ar trebui să fie cunoscut. Aşa cum, vom mai spune şi în alte situații, este

de presupus că întreprinzătorul îşi cunoaşte afacerea şi mediul în care o desfăşoară, încât această

identificare să o poată realiza - singur sau ajutat de specialişti externi. Fără a insinua că este o

tentativă comodă, identificarea riscurilor pare a fi, totuşi, pasul cel mai simplu în lupta firmei cu

neprevăzutul : chiar dacă există o serie de evenimente unice, impredictibile, în marea lor majoritate

riscurile se pot identifica înainte de producerea lor.

Problemele se complică în etapa imediat următoare, aceea a evaluării şanselor de apariție şi a

consecințelor posibile. A spune că un risc are 2% şanse de producere nu e deloc totuna cu a afirma că

probabilitatea este de 40%. În primul caz, unii întreprinzători pot să nu ia în calcul posibilitatea

producerii, fiind de părere că orice eveniment cu şanse de manifestare mai mici de 7% este probabil ,

dar nu posibil. Dar dacă acest fenomen are o probabilitate mult subevaluată, atunci posibilitatea

apariției lui este exclusă de întreprinzător, deşi ar trebui, dimpotrivă, tratată cu maximă seriozitate.

Desigur că, din punct de vedere al teoriei pronbabilităților în unele aspecte ale sale pe care nu o să le

aprofundăm aici, se poate alege ca punct de plecare în stabilirea probabilității de apariție a

evenimentului, orice valoare procentuală. Observațiile efectuate pe parcurs şi ajustările care se pot

face ulterior pe baza acestor observații, vor conduce într-un final la valoarea corectă a şansei de

producere – adică la probabilitatea obiectivă.

Din păcate, de foarte multe ori apar probleme legate de evoluția în timp a fenomenelor. Fie că

întreprinzătorul nu-şi poate permite să aştepte suficient de mult pentru a deține toate informațiile

necesare, fie că aceste informații sunt incomplete oricât de mult s-ar aştepta, fie că unele

evenimente nu au obiceiul să se producă atât de des şi de explicit cât să ofere observatorului destule

date, cert este că firma are nevoie de probabilități obiective „aici şi acum”, nu într-o perspectivă care

să aducă după sine fie producerea de pagube, fie modificare a contextului de o aşa manieră încât

puține din informațiile deja existente să mai fie valabile.

Problema evaluării corecte şi în timp real a probabilității de apariție a riscurilor şi a intensității lor

este destul de complicată prin urmare şi multă lume recomandă apelul către specialişti. Doar că

aceştia au nevoie de date concrete pe baza cărora să poată deduce atât natura particulară a riscului,

21

cât şi gradul de predictibilitate a manifestării lui… Deloc de neglijat în problema evaluării riscului este

faptul că nu de puține ori specialişti, analizând un fenomen perceput ca aleatoriu, au opinii diferite.

Pe baza studiilor proprii, unul dintre ei poate afirma că nu există „motive de îngrijorare” – înțelegând

prin asta fie că probabilitatea de producere a riscului este foarte mică, fie că rezultatele eventualei

produceri nu sunt evaluate ca grave. Celălalt expert, studiind acelaşi risc, poate afirma că –

dimpotrivă – problema ar trebui să stârnească preocupare. Rezultatele acestui tip de divergență de

opinie le putem observa cu prisosință în jurul nostru şi nu sunt deloc îmbucurătoare pentru

încrederea pe care şi-o formează publicul larg în problema educației economice. De obicei există trei

tipuri de reacție a publicului în fața acestor contradicții între specialişti şi anume:

Un agent prea puțin familiarizat cu problemele care fac obiectul polemicilor, persoană numită uneori

„profan”, va decide că nu se poate baza pe judecata nici unuia dintre specialişti şi că el singur poate

găsi cel mai bun răspuns la problemele respective. Prin urmare, va acționa conform propriilor puncte

de vedere şi care vor fi rezultatele – se va vedea în timp.

Un alt agent economic, dintr-o a doua categorie de reacție, poate alege să se ralieze opiniilor acelui

expert care îi susține punctele de vedere proprii asupra problemelor discutate. În acest fel, individul

rămâne în continuare prizonierul propriului nivel de cunoştințe şi respinge a-priori orice argument

valabil pe care celălalt specialist îl poate aduce.

În fine, în a treia categorie întâlnim agenții economici care ascultă mai multe păreri în domeniu, aşa

încât înainte de a-şi forma o opinie asupra fenomenului să fi acumulat deja suficientă informație şi

să-şi fi format o viziune cât mai largă asupra fenomenului.

Deşi încadrarea în această a treia categorie este şi primul pas spre succes, trebuie să recunoaştem că

în jurul nostru există oameni care manifestă o adevărată lehamite când e vorba de a se consulta cu

experți în diferite domenii şi motivul nu este legat doar de divergențele care apar între specialişti.

Evaluarea tradițională asupra riscului ne-a obişnuit să ne focalizăm atenția asupra potențialelor

pierderi, exprimate monetar. Această abordare este şi logică, ținând cont că marea majoritate a

agenților economici au ca scop obținerea de profit, dar şi necesară având în vedere că riscul pentru a

fi risc are nevoie de cuantificare şi studiul pierderilor potențiale permite obținerea de rezultate bune

în această direcție.

Există, însă, şi o altă abordare, denumită studiul percepției, care ia în calcul factorii psihologici şi

emoționali. Aşa cum s-a observat, aceştia au un impact puternic asupra comportamentului economic

22

– lucru pus în evidență de o serie de studii care au debutat în 1970 prin intermediul lui Paul Slovic,

Baruch Fischhoff şi a altor psihologi şi care au urmărit măsurarea reacțiilor „profanilor” la diferite

tipuri de risc. Studiile arată că acel aleatoriu relativ la care subiecții dețin puține informații şi de care

se tem foarte mult, este perceput ca fiind cel mai mare risc. Pentru anumite tehnologii, ca de

exemplu cea legată de energia nucleară, opiniile specialiştilor diferă substanțial de opiniile oamenilor

de rând, în ceea ce priveşte riscul implicat de acestea. Concluzia generală a acestor studii arată că

„profanii” şi specialiştii percep aceleaşi riscuri în maniere uneori complet diferite. Faptul în sine nu

este deranjant, fiecare persoană fiind – de obicei – liberă să gândească ce vrea. Problemele apar în

contextul în care o persoană insuficient informată este pusă în postura de a lua decizii într-un mediu

pe care îl percepe ca fiind foarte riscant. Am pus deja în evidență barierele care apar în astfel de

situații şi este limpede că perceperea unui risc ca fiind uriaş şi cu efecte dezastruoase nu va ajuta un

întreprinzător să ia decizii corecte.

Pentru o lungă perioadă de timp, comunitatea ştiințifică a ales să ignore percepția publicului asupra

riscurilor în măsura în care estimările făcute conduceau la concluzii obiective – deşi uneori greu de

priceput pentru nespecialişti. Din acest motiv, oamenii au devenit nu foarte încrezători în experți şi în

prognozele acestora, cu atât mai mult cu cât mediatizarea rezultatelor nu era făcută întotdeauna

într-un limbaj clar, ci într-o manieră mai degrabă greoaie. Dacă unii dintre cititori ar argumenta că în

multe state cu economie dezvoltată agenții economici sunt suficient de educați în acest moment, cât

să poată urmări şi înțelege limbajul specialiştilor şi cât să fie încrezători în colaborarea cu ei, îi vom

ruga cu toată modestia să nu recurgă la generalizare şi să fie de acord cu faptul că în România, în

acest moment, lucrurile nu stau deloc aşa. Este evident faptul că slaba informare a publicului cu

privire la unele riscuri şi lipsa de încredere pe care oamenii o manifestă pentru experți au ca efect

evitarea de cât mai mulți dintre „profani” a acelor acțiuni pe care ei le percep ca fiind foarte riscante.

Un exemplu ar fi teama populației de riscurile pe care le sesizează în raport cu sistemul bancar şi de

asigurări, care are ca rezultat tendința de economisire „la saltea”, făcând astfel aproape imposibil de

evaluat mărimea masei monetare din România. Există, se pare, un stigmat social asociat unor

tehnologii, locuri şi produse pe care publicul le percepe ca aflate sub semnul hazardului, deşi în cele

mai multe cazuri evidențele ştiințifice n-ar sugera motive de îngrijorare. Este nevoie, cu siguranță, de

mediatizarea corespunzătoare a informațiilor şi de includerea în procesul de analiză a riscului

factorilor psihologici şi emoționali. Din studii reiese faptul că oamenii obişnuiți au dificultăți în

procesarea informațiilor primite de la experți relativ la evenimentele grevate de risc şi lucrul acesta

face necesară stabilirea unui limbaj comun între cele două părți, astfel încât comunicarea datelor să

fie făcută într-o manieră eficientă.

23

Puternica dezvoltare a activității economice, noutățile care apar în fiecare zi, diversificând atât riscurile cât şi

formele lor de manifestare, fac necesară generalizarea studiilor pe baze ştiințifice. Într-o lume caracterizată

prin stabilitate, într-o economie bazată pe raritatea bunurilor fizice, răspunsul corect împotriva riscului a

fost, mult timp, cumpărarea poliței de asigurare. Cele mai multe pericole erau asigurabile şi transferul de risc

– realizat cu costuri convenabile – asigura bunul mers al afacerilor. În ultimele două decenii ale secolului 20,

asistăm la o economie în schimbare, la crearea unei economii „non-fizice”, în care complexitatea este într-o

continuă creştere. Şansa întreprinzătorului depinde, pe zi ce trece mai mult, de existența la nivelul de firmă a

preocupării constante pentru analiza şi gestionarea riscului.

1.5. Tipuri de pierdere indirectă

Deşi foarte puțin academică, nu pot să nu construiesc această secțiune sub semnul binecunoscutei

mirări româneşti: „Unde dai, şi unde crapă”... Aşa cum o să vedem mai departe, o mare parte din

motivația creării şi întreținerii domeniului managementului de risc a fost motivată tocmai de această

întrebare pentru că doar rareori daunele pe care le poate înregistra cineva se rezumă doar la ceea ce

s-a înregistrat în mod direct.

Să ne referim la exemplul fabricantului X, pentru care dauna maximă pe care o poate înregistra la

nevânzarea unei maşini este de 10.000 euro, adică prețul maşinii din momentul de glorie al

modelului comercializat. Aceasta este, însă, o daună directă care areage după sine şi o serie de daune

indirecte dintre cele mai diverse şi cu grad diferit de periculozitate. Dacă maşinile nu se vând, banii

care nu se încasează afectează cu siguranță un circuit mai vast în care poate intra periclitarea relației

cu furnizorii de materii prime şi materiale, pe care fabricantul îi va plăti cu greutate sau nu îi va putea

plăti, sau periclitarea relației cu angajații care se vor trezi cu salariile neplătite sau chiar

disponibilizați. Dezvoltarea unui nou model, care să-i asigure fabricantului X revenirea pe piață într-o

poziție favorabilă, va fi de asemenea pusă sub semnul întrebării pentru că lipsa fondurilor suficiente

va face ca anumite cheltuieli cu dezvoltarea produsului sau lansarea unui produs nou să nu poată fi

susținute. Sigur că un astfel de scenariu apocaliptic nu-l va amenința pe fabricantul X dacă nu se

vinde o maşină, dar dacă stocul rămas nevândut este prea mare atunci evident că problemele devin

mult mai serioase.

Exemplul anterior demonstrează că în plus față de pierderile directe, care apar nemijlocit ca urmare a

manifestării riscurilor, există şi pierderi indirecte care de multe ori pot fi mult mai severe şi cu efecte

mult mai dure decât pierderile directe. Unul dintre motivele pentru care pierderile indirecte sunt un

adversar redutabil pentru un manager de risc este faptul că ele sunt uneori greu de intuit şi ca atare

greu de luat în calcul în procesul de estionare a riscului.

24

La fel ca şi în alte situații care presupun clasificări, şi în cazul clasificării tipurilor de pierderi indirecte

se întâmplă ca diferiți autori să aibă opinii diferite şi prin urmare să elaboreze categorii diferite.

Lucrul acesta nu înseamnă nici pe departe că aceşti diferiți autori trebuie să fie în conflict unii cu alții,

ci doar că ordonează informația într-un mod care lor personal li se pare mai potrivit. De aceea, dacă

veți consulta diferite cărți de specialitate, este posibil ca anumite abordări să vă placă mai mult decât

altele pentru că se potrivesc mai mult structurii pe care o aveți, dar fără ca această preferință să

însemne că acele materiale pe care nu le-ați agreat nu sunt valoroase.

Aş mai adăuga faptul că în literatura destinată studiului riscului există atât de multe clasificări încât aş

considera exagerat să caut să contorsionez realitatea doar ca să vă pot prezenta acum ceva ce am

pretenția că este creația mea. În loc de asta, prefer să discutăm asupra unei clasificări logice şi

simple, pe care o puteți găsi în lucrarea lui Scott E. Harrington şi Gregory R. Niehaus4. Autorii ne

vorbesc despre patru tipuri de pierderi indirecte şi anume: pierderi în profit, cheltuielile de

extraoperare, costuri mai mari pentru atragerea de finanțări şi alte tipuri de fonduri şi costuri de

faliment. Fiecare dintre aceste tipuri de pierderi indirecte pot fi urmarea unor pierderi directe de un

anume tip, aşa cum vom vedea din exemplele următoare.

Exemplu de pierdere în profit: Un scurt circuit substanțial în relația cu furnizorii de materii prime şi

materiale poate genera întreruperi ale procesului de producție şi implicit o pierdere în profit, care nu

ar fi apărut în absența problemei cu furnizorii.

Exemplu de cheltuieli de extraoperare: Dacă o fabrică a fost afectată de un incendiu astfel încât un

mare număr de maşini şi echipamente a fost distrus, se poate întâmpla ca o comandă importantă,

care trebuie livrată la termen, să necesite închirierea altor utilaje pe toată durata restabilirii

avctivelor fizice proprii. Chiar dacă o societate de asigurări ar putea plăti despăgubiri pentru activele

fizice distruse, în cazul în care există contract în acest sens, cheltuielile pentru cele închiriate sunt

suportate de către fabrică sub forma unor pierderi care au survenit indirect ca urmare a pierderilor

directe.

Exemplu de costuri mai mari de atragere a capitalului: Orice afacere care dovedeşte că a făcut față

de curând unui şoc financiar va plăti o dobândă mai mare pentru atragerea unui credit bancar.

Desigur, prin perceperea unei dobânzi majorate banca urmăreşte să acopere riscul de nerambursare

a sumei împrumutate, pentru că o dobândă mai mare va face ca perioada de timp în care această

sumă revine la împrumutător scade. De asemenea, dacă o astfel de afacere doreşte să obțină capital

4 Scott E. Harrington, Gregory R. Niehaus, Risk Management and Insurance, 2 – nd ed, McGraw – Hill

/ Irwin Series in Finance, insurance and real estate, p. 3.

25

prin eliberarea de acțiuni, cumpărătorii vor plăti mai puțin, sau deloc pentru un titlu atunci când ştiu

că afacerea nu este stabilă din punct de vedere financiar.

Exemplu de cheltuieli de faliment: Este evident că atunci când afacerea a făcut față unor pierderi

suficient de dure, iar redresarea ei este sub semnul întrebării, pot începe procedurile specifice

declarării falimentului care presupun şi ele o serie de cheltuieli.

Aşadar, pierderile indirecte se dovedesc a fi pe cât de importante pe atât de diverse şi anticiparea lor

este în egală măsură o inițiativă care presupune din partea managerului de risc intuiție şi bună

pregătire teoretică. Cu toate că această lucrare nu este un curs de management al riscului, capitolul

următor va aduce în discuție etapa de identificare amenințărilor la care poate fi supusă o afacere.

Motivul pentru care am hotărât să introducem acest capitol în cursul de Economia Riscului este legat

de faptul că nu putem încerca să înțelegem, sau să modelăm, amenințări pe care nu le-am identificat.

1.6. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar

1. Care este semnificația noțiunii de „aleator”? Dați exemplu de o situație concretă pe care o

considerați aleatoare şi explicați motivele acestei încadrări.

2. Care este diferența dintre o experiență deterministă şi una probabilistă? Exemplificați şi

explicați.

3. Explicați diferența dintre o situație riscantă şi una incertă. Exemplificați şi justificați alegerea

exemplelor.

4. Cum descrieți riscul? Dați 5 exemple de 5 evenimente riscante despre care ştiți că fac

obiectul unui contract de asigurare şi de alte 5 evenimente potențial dăunătoare pentru care

societățile de asigurări nu sunt dispuse să preia riscul.

5. Explicați de ce riscul nu poate fi privit separat de ştiința economică. Dați 5 exemple de

evenimente potențial dăunătoare care se pot constitui în riscuri asupra unor segmente din

activitatea economică.

6. Explicați cele două componente care caracterizează evenimentul riscant: pierderea aştaptată

şi variabilitatea. Dați exemplu o situație concretă din viața voastră în care v-ați confruntat cu

aceste două componente şi explicați modul în care ați fost afectați de prezența lor.

7. Care sunt principalele slăbiciuni de comportament pe care le întâlnim la o persoană care

trebuie să ia decizii în mediu incert sau riscant? Explicați cum se manifestă fiecare dintre

aceste componente şi descrieți efectele pe care le-ar putea avea asupra deciziei finale.

26

8. Cum este afectat consumatorul de informații de utilizarea unui limbaj prea specializat în care

îi sunt aduse la cunoştință anumite evenimente? Decrieți şi explicați principalele tipuri de

reacție.

9. Explicați importanța pe care o are evaluarea corectă a probabilității de producere a unui risc

şi descrieți principalele dificultăți cu care se confruntă specialiştii în realizarea acestui

demers.

10. Explicați ce este pierderea indirectă şi de ce este ea importantă pentru un studiu de risc.

Expemplificați diferitele tipuri de pierdere indirectă la care poate fi supus un fabricant care se

confruntă cu o inundație severă a depozitului cu materii prime şi materiale.

27

CAPITOLUL 2.

IDENTIFICAREA RISCULUI LA NIVEL DE FIRMĂ

2.1. Punerea problemei

2.2. Câte ceva despre clasificarea riscurilor

2.3. Riscul la nivel de afacere

2.4. Riscul de reputație

2.4. Riscul şi pierderea potențială

2.5. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar

Obiectivele capitolului

După lecturarea acestui capitol, studentul va fi capabil să explice importanța etapei de identificare a

riscului, să explice motivele pentru care există diferite clasificări ale riscului şi va fi capabil să se refere

la unele criterii de clasificare. Parcurgerea acestui capitol va ajuta studentul să înțeleagă ce sunt riscul

la nivel de afacere şi riscul de reputație şi să descrie principalele lor caracteristici, ca şi importanța

amenințărilor pe care le atrag după sine aceste două categorii de risc.

2.1. Punerea problemei

În capitolul anterior am răspuns întrebărilor: „Ce este riscul?” şi „De ce trebuie să-l gestionăm?”.

Logica lucrurilor ne spune că înainte să trecem proporiu zis la metode de gestionare trebuie să

parcurgem o etapă de identificare, din care să rezulte cât mai clar cu putință care sunt riscurile cu

care urmează să ne confruntăm. Această etapă de identificare este cu siguranță esențială, pentru că

se poate întâmpla ca riscuri diferite să necesite metode de management diferite. Capitolul al doilea al

acestei lucrări îşi propune, aşadar, o trecere în revistă a celor mai importante elemente din

perimetrul identificării riscului.

Activitatea de analiză şi gestionare a riscului, în toată complexitatea ei, este condiția sine – qua – non

pentru menținerea unei firme la parametri performanți, pe termen lung, iar identificarea riscului

devine primul pas în desfăşurarea unei afaceri pe baze conştiente, responsabile, înțelegând prin asta

procesul prin care în mod continuu şi sistematic se identifică expunerile la factori potențial dăunători.

28

Este foarte bine dacă un întreprinzător este capabil să facă această identificare a pagubelor

potențiale pe baza experienței acumulate de alții sau măcar pe baza unui istoric propriu. A constata o

pagubă după momentul producerii ei este mai neplăcut şi cu siguranță mai costisitor decât a-i

preveni producerea. Lipsa de identificare a pericolelor potențiale face ca pierderile care se pot

înregistra să constituie o surpriză pentru firmă şi reținerea inconştientă a unor riscuri nu este cea mai

fericită inițiativă pentru întreprinzător. Dar procesul identificării pierderilor potențiale trebuie să aibă

la bază “inventarierea” lor prealabilă şi la acest aspect ne vom referi în secțiunea următoare.

2.2. Câte ceva despre clasificarea riscurilor

Dacă priviți peisajul în care vă desfăşurați activitatea de fiecare zi, veți fi de acord cu faptul că în jurul

nostru se întâmplă o permanentă schimbare. Se nasc influențe noi şi cele vechi se transformă,

informația devine din ce în ce mai complexă şi mai greu de cuprins în timp real. Pentru un

întreprinzător devine vitală o ordonare a cunoştințelor, o categorisire a lor, acesta fiind singurul mod

în care poate afla suficient şi gestiona corespunzător furnicarul care-l înconjoară.

Nevoia de clasificare a informației consistente nu este o noutate. E veche de când lumea5 şi nu ar fi

nici o problemă în dorința noastră de a ordona informațiile, dacă - aşa cum am amintit şi în capitolul

precedent - diferitele criterii de clasificare n-ar genera atâtea polemici printre specialişti. Dacă

deschidem un număr de – să spunem – şase cărți de profil, există şanse foarte mari să găsim

clasificări diferite pentru o serie de riscuri care se cheamă la fel. Faptul în sine poate fi tulburător

pentru un cititor nefamiliarizat cu cărămizile pe care şi le aruncă în cap diverşi autori, pe tema “care

criteriu de clasificare este mai elocvent?”. În ceea ce ne priveşte, am decis să fim insensibili la această

întrebare şi să optăm pentru a nu oferi încă o variantă celor deja existente. Considerăm că tentativa

de clasificare a unor entități atât de complexe cum sunt riscurile în ansamblul lor este o inițiativă

spinoasă şi, evident, datoare să genereze divergențe de opinie.

Deloc surprinzător, clasificările pe care le-au elaborat specialiştii de-a lungul timpului nu sunt bazate

pe criterii unice şi nici nu ar putea fi. Ele urmează, e drept, o anumită logică, motivată de trăsăturile

comune sau complementare ale riscurilor incluse în categorii similare, dar există o mulțime de

criterii de clasificare tocmai pentru că trăsăturile comune ale diferitelor riscuri se pot întâlni pe

diferite niveluri de manifestare.

Iată de ce, oricare dintre clasificările riscurilor ne poate oferi informații utile în caracterizarea

fenomenelor generatoare şi in descrierea zonelor potențial afectate. Cu certitudine, nici una dintre

5 N. G. Roegen, op. cit., p. 82

29

clasificări nu poate fi considerată perfectă, dar lucrul acesta nu este de maximă importanță. Este,

credem noi, pe deplin neconstructiv să ne oprim asupra unor probleme de formă în loc să acționăm

concret în direcția minimizării şanselor de producere a evenimentelor nefavorabile şi a efectelor lor.

Şi, pentru că va trebui să ne decidem totuşi la o anumită abordare, vom opta pentru cateva variante

de diferențiere6 a riscurilor, pe care le vom prezenta pe scurt in continuare.

1. Din punct de vedere al naturii lor, riscurile capătă următoarea încadrare:

a) Pure, sau aleatorii. Asupra acestei exprimări trebuie să manifestăm o oarecare rezervă, legată

evident de formă şi nu de conținut, sau mesaj. Autorul optează pentru denumirea de „aleator” relativ

la un risc pe care în mod evident îl încadrează în categoria riscurilor lipsite de intenționalitate. Totuşi,

credem că „accidental” ar fi un termen mult mai potrivit, pentru ca aleatorul este de fapt forma

generalizată a neprevăzutului şi nu putem caracteriza riscul,ca variantă particulară a aleatorului,

printr-o astfel de trăsătură. În orice caz, această observație nu afectează cu nimic valabilitatea acestei

încadrări şi putem trece mai departe.

b) Antreprenoriale, sau speculative. În mod clar, Gerard Colson încadrează aici toate riscurile la care

este supusă afacerea ca urmare a însăşi existenței ei. Ideea de speculativ, pe care noi am asimilat-o

mai devreme în această lucrare cu intenționalitatea, este legată mai degrabă de faptul că afacerea nu

poate exista fără să fie supusă la riscuri şi nu de vreo suspiciune cum că întreprinzătorul ar ține

neapărat să rişte.

2. Din punct de vedere al originii lor, delimităm:

a) Întreprinderea, ceea ce se asimilează cu riscurile de mediu intern.

b) Mediul extern firmei.

3. Din punct de vedere al consecințelor, întâlnim:

a) Riscuri care afectează angajații, pe care le vom lua şi noi în calcul în secțiunea următoare şi ne

vom referi la ele ca la riscuri vizând personalul.

b) Riscuri afectând bunurile întreprinderii, pe care le vom întâlni de asemenea şi le vom pune în

legătură cu riscurile aferente proprietății asupra afacerii.

c) Riscuri afectând securitatea financiară a întreprinderii, legate de tot ce înseamnă cash flow,

datorie sau investiție de natură financiară.

6 Colson Gerard, Gestion du Risque, E.A.A., Lille, 1994 – 1995, p. 38 - 50

30

4. Din punct de vedere al severității consecințelor şi al frecvenței de apariție, ne putem referi la:

a) Riscuri majore.

b) Riscuri minore.

Asupra acestor două ultime categorii de riscuri vom discuta extins în Capitolul 3. Cu certitudine,

această încadrare, ca şi altele dealtfel, nu acoperă toate riscurile cu care se poate confrunta

întreprinzătorul. Marcela - Cornelia Danu7 propune o altă delimitare de natură să cuprindă

„triunghiul întreprindere – consumator – mediu”. Vom aminti, pe scurt, clasificarea doamnei Danu,

care vine să completeze categoriile prezentate anterior.

I. În funcție de natura lor, riscurile pot fi:

a) Riscuri pure, sau aleatorii.

a1) Riscuri pure cu bază în natural;

a2) Riscuri pure cu determinare psiho – socio – economică.

b) Riscuri de piață, sau decizionale.

b1) Riscuri ale consumatorului, decurgând din decizia individuală a acestuia;

b2) Riscuri antreprenoriale, sau ale întreprinzătorului.

II. Din punct de vedere al relației cauze – consecințe, riscurile pot fi:

a) Riscuri provenite din activitatea întreprinderii.

a1) Suportate de întreprindere;

a2) Suportate de individ;

a3) Cu implicații asupra mediului.

b) Riscuri generate de acțiunea individului.

a1) Suportate de întreprindere;

a2) Asumate de individul însuşi;

a3) Cu repercursiuni asupra mediului.

7 Marcela Cornelia Danu, Riscul în afaceri, Ed. Plumb, Bacău, 2001, p. 69 - 70

31

c) Riscuri provenite de la nivelul variabilelor de mediu.

c1) Cu acțiune asupra întreprinderii;

c2) Suportate de individ;

c3) Cu urmări asupra mediului

III. Luând în considerare nivelul la care se manifestă, riscurile pot fi:

a) La nivel mondo – societal;

b) La nivel macro – societal;

c) La nivel micro – societal.

IV. În funcție de natura consecințelor, riscurile pot fi:

a) Materiale;

b) Financiare;

c) Umane.

V. În funcție de dimensiunea consecințelor.

a) Majore;

b) Minore.

Delimitarea propusă de Cornelia Danu, ca şi alte delimitări pe care le întâlnim în literatura de

specialitate, arată o dată în plus faptul că încercarea de clasificare a riscurilor este o inițiativă

sensibilă. Vom trece mai departe şi ne vom focaliza atenția asupra unui risc aparent mai restrâns sub

aspectul delimitării componentelor sale şi anume riscul în afaceri.

2.3. Riscul la nivel de afacere

Odată ce am parcurs ampla clasificare propusă anterior, e timpul să ne îndreptăm atenția către

„riscul în afaceri” şi vom începe prin a prezenta descrierea pe care o capătă acest risc în literatura de

profil. Dicționarul MacMillan de economie8 îl asimilează oarecum ambiguu riscului de corporație,

înțelegând prin asta riscul total apărut într-o activitate economică. Ni se sugerează mai departe că

8 Dicţionar MacMillan de economie modernă, Editura Codecs, Bucureşti, 1999, p. 354

32

este vorba de viziunea agregată a celor două mari tipuri de risc pe care le cuprinde şi anume: riscul

financiar, care apare din finanțarea prin împrumut şi riscul economic, văzut ca risc fundamental al

oricărei activități curente dintr-o firmă. O altă opinie o găsim în Dicționarul de economie9, unde în

dreptul riscului în afaceri se face trimitere imediată la noțiunea de profit10. Pentru că profitul este

considerat, în această viziune, ca expresia sintetică a eficienței activității oricărei unități economice,

obiectivul major al acestor unități se asimilează maximizării profitului şi riscul afacerii se deduce a fi

riscul de neobținere şi/sau ne-maximizare a profitului. Conform opiniei autorilor Hirschey şi Pappas11,

riscul în afaceri este „şansa” de pierdere asociată unei decizii manageriale şi este pus în legătură

directă cu ideea de variație a cererii pentru produs şi în condițiile aflate în dependență directă cu

nivelul costurilor. Mergând mai departe, Petru Prunea12 asociază riscul de afaceri cu riscul care se

manifestă în procesul de creştere a firmei, în sensul creşterii calității, diversificării produselor şi a

capacității deținute, sau utilizării tehnologiilor perfecționate, care conduc la un profit superior.

Enciclopedia electronică de investiții13 ne asigură că riscul în afaceri este riscul ca o companie să nu

dispună de cash-flow adecvat pentru a suporta cheltuielile curente care să-i permită să fie

operațională , precizând că există două componente şi anume: riscul financiar, legat de împrumuturi

şi riscul generat de climatul economic, iar firma de consultanță în probleme de risc McGladery14 se

exprimă ceva mai general, spunând că riscul în afaceri este evenimentul sau acțiunea cu efecte

adverse asupra stabilității companiei de a atinge obiectivele şi de a-şi executa strategiile.

Chiar dacă aceste câteva exemple de abordare adoptă viziuni şi exprimări proprii în descrierea

riscului în afaceri, suntem de părere că ele converg totuşi spre câteva aspecte comune pe care ne

propunem să le sintetizăm în continuare. Pentru orice întreprindere, producerea unui risc este

potențial generatoare de probleme. „Problema” înseamnă diferența între rezultatul înregistrat şi

rezultatul dorit sau, într-o altă exprimare, ecartul dintre rezultatul efectiv şi obiectivul fixat. În

măsura în care este acceptat că obținerea, menținerea şi maximizarea profitului reprezintă obiectivul

de fundal al activității economice, atunci se poate constata similitudinea între viziunea din Dicționarul

de economie şi cea a firmei de consultanță McGladrey. O unitate economică nu-şi va desfăşura

activitatea la întâmplare: pentru atingerea obiectivelor are nevoie de strategii coerente, funcționale,

eficiente. Executarea lor corespunzătoare are nevoie de condiții prielnice, dar înainte de orice ele

trebuie elaborate conform obiectivelor (şi asta presupune abilitate). Iată cum între strategie şi

obiectiv există, de fapt, o relație intrinsecă şi abordarea riscului în afaceri prin prisma autorilor

9 Dictionar de economie, coord. Niţă Dobrotă, Editura Economică, Bucureşti, 1999, p. 408

10 Dictionar de economie, coord. Niţă Dobrotă, Editura Economică, Bucureşti, 1999, p. 373-374

11 Hirschey, Pappas, op. cit, p. 729

12 Prunea Petru, Riscul în activitatea economică, Editura Economică, Bucureşti, 2003, p. 105

13 www.investopedia.com

14 www.mcgladery.com

33

Hirschey şi Pappas se suprapune cumva peste celelalte două opinii deja discutate. Descrierile din

Dicționarul Macmillan şi Enciclopedia electronică ne spun, de fapt, acelaşi lucru şi, dacă acceptăm că

la baza activității unei firme există motorul universal, cel monetar, atunci vom accepta şi faptul că

implementarea şi susținerea strategiilor, la fel ca şi atingerea obiectivului, sunt acțiuni care nu se pot

realiza fără cash-flow adecvat. În fine, viziunea domnului Prunea ne pune la dispoziție câteva strategii

generale şi obiective, de conjunctură sau permanente, ale firmei şi se încadrează de asemenea în

opinia generală asupra riscului în afaceri.

Esențială, aşadar, pentru formularea unei descrieri a riscului în afaceri este ideea de agregare, de risc

care are în vedere amenințările la adresa valorii firmei luată în ansamblul ei. Prin urmare, se vădeşte

ca foarte necesară ordonarea acelor componente pe care le putem integra ca fiind parte a riscului la

nivel de afacere şi pe care le vom delimita imediat.

1. Riscul vizând activitatea specifică firmei

Fie că întreprinderea în cauză oferă bunuri, servicii sau informație, activitatea ei are la bază elemente

de ordin general pe care ştiințele economice le denumesc la fel, indiferent de natura produselor.

Există o cerere, o ofertă, un proces de producere a ofertei – fie că este vorba despre producția

propriu-zisă sau de crearea ei prin metode care nu presupun utilaje, linii de asamblare, o tehnologie

utilizată, un proces de vânzare etc. Ca atare, vom include în această primă categorie de risc toate

acele evenimente de natură să aducă necazuri în atingerea obiectivelor fixate de firmă prin prisma

acestei activități specifice.

Întâlnim aici probleme potențiale în atragerea şi alocarea resurselor, în stabilirea ofertei, în

estimarea cererii, în alegerea şi utilizarea tehnologiilor, în relațiile cu concurența sau în realizarea

nivelului sperat de vânzări. Putem încadra tot aici necazurile care pot să apară ca urmare a calității

discutabile a produsului, sau ca urmare a fluctuațiilor de preț şi multe alte situații sau evenimente

care pot afecta obținerea, menținerea sau maximizarea profitului. În câteva cuvinte, am prezentat

suficiente posibilități ca să convingem că este nevoie de o încadrare mai clară. În măsura în care nu

facem delimitarea între cauză, forme de manifestare şi efecte, inițiativa de a depista riscurile care

afectează profitul – ca şi tentativa ulterioară de măsurarea a lor – sunt sortite eşecului. Să luăm un

exemplu şi să ne referim la „riscul ca furnizorii de materii prime şi materiale să nu onoreze

contractele la termen” şi să vedem ce putem spune despre această posibilitate.

Cauzele ei pot fi, în mare, de trei tipuri:

a) În directă legătură cu furnizorul:

34

Neseriozitate;

Accidente în procesul de transport;

Distrugerea materiilor prime şi a materialelor în depozitele furnizorului, din cauza

intervenției iresponsabile a angajaților.

b) În legătură cu relația furnizor – producător:

Încălcarea de către producător a uneia sau mai multe clauze contractuale, ceea ce absolvă

furnizorul de obligația respectării termenilor contractuali sau duce la rezilierea contractului;

Refuzul producătorului de a primi materii prime şi materiale de calitate necorespunzătoare

etc.

c) Independente atât de furnizor, cât şi de producător:

Furtul materiilor prime şi materialelor;

Distrugerea lor din cauze accidentale: foc, cutremur, inundații, alunecări de teren etc.

Asupra formei de manifestare, aparent nu avem ce discuta pentru că ea este clară: materiile prime şi

materialele nu ajung la producător la termenul stabilit prin contract. Cu toate acestea, şi aici se pot

lua în calcul câteva posibilități de care vor depinde în cea mai mare măsură efectele problemei

apărute. Delimitarea o vom face, în acest caz, după gradul de întârziere şi anume:

Întârziere mică față de data stabilită prin contract

Întârziere mare față de această dată

Întârziere foarte mare, sau materiile prime şi materialele nu mai ajung deloc la producător

Aprecierea sensului „mic”, „mare” şi „foarte mare” rămân la altitudinea producătorului, în funcție de

efectele pe care le apreciază şi care pot fi:

Încetinire nesemnificativă a procesului de producție, care nu este de natură să genereze

pierderi;

Încetinire semnificativă a procesului de producție, generatoare de pierderi semnificative,

care pot depăşi sau nu nivelul de suportabilitate pentru firmă;

Oprirea procesului de producție şi înregistrarea unor pierderi majore.

Putem merge chiar mai departe cu analiza şi, în funcție de context, se poate discuta natura

pierderilor: monetare sau nemonetare etc. Iată aşadar, că doar prezentarea cauzelor ne oferă şapte

riscuri potențiale – şi nu ne-am propus un studiu complet. Dacă nu avem în atenție efectul de

ansamblu, şi anume „impactul asupra desfăşurării procesului de producție”, relația cu furnizorul

35

aduce în viața producătorului un hățiş de riscuri care pot scăpa chiar şi descrierii şi cu atât mai mult

evaluării.

Atunci când vorbim despre riscul vizând activitatea specifică firmei avem în vedere doar „efectele” şi

nu multitudinea cauzelor. Acestea din urmă sunt foarte importante, dar sunt stabilite – la fel ca şi

formele de manifestare – pentru fiecare situație în parte, pentru că fiecare firmă este capabilă să

detecteze sursele potențiale ale unor evenimente. În ceea ce priveşte scopurile noastre, suntem

interesați să prezentăm câteva categorii de evenimente care pot afecta oricare din unitățile

economice şi ne vom fixa atenția asupra următoarelor tipuri de risc:

1.A. Riscul de piață: Activitatea unei firme presupune contactul direct cu clienții, prin intermediul

produsului trimis pe piață. Fie că distribuția se realizează direct, fie prin intermediari, produsul

ajunge la utilizatori şi intervine procesul de evaluare a lui şi, eventual, de vânzare.

Chiar dacă firma este „singură” pe piață, va exista întotdeauna întrebarea dacă va vinde tot ce a

produs. Cu atât mai mult atunci când mediul este concurențial, preferințele consumatorilor şi

posibilitățile lor, orientările şi opțiunile, prețul produsului şi acțiunile concurenței sunt imprevizibile.

Instabilitatea cererii, a prețului şi a vânzărilor generează permanenți factori de risc în viața

întreprinzătorului. Prin urmare, vom cădea de acord să stabilim că riscul de piață în viziunea noastră

se referă la posibilitatea de ne-vânzare a întregii producții, sau de ne-vânzare în termenii planificați.

1.B. Riscul operațional: Vorbind despre riscul operațional, denumit de unii autori şi risc de

exploatare, Irina Cişmaşu15 spune că acesta se manifestă ca urmare a lipsei de corelare şi perfectă

anticipare a rezultatelor activității de exploatare cu componentele acestei activități. Asupra acestui

risc se va reveni pentru o discuție mai amplă în capitolul următor. Deocamdată, dorim să subliniem

faptul că unul şi acelaşi efect – şi anume neatingerea pragului de rentabilitate – poate fi atât urmarea

riscului de piață cât şi a celui operațional şi de aceea trebuie să repetăm faptul că doar o analiză

concretă asupra situației firmei ne poate spune în ce măsură cele două riscuri acționează sau nu

independent.

1.C. Riscul de natură tehnologică: Pentru a nu se crea confuzii, trebuie spus că acest risc nu vizează

existența şi utilizarea unei anumite tehnologii, pentru că acest aspect intră în sfera riscului

operațional. Ne referim la decizia de păstrare sau de înlocuire a acesteia, ştiut fiind că evoluția

tehnologică poate afecta pozitiv sau negativ un întreprinzător – în funcție de capacitatea lui de a

anticipa evoluția fenomenelor. Adaptarea rapidă la schimbare, alegerea direcției corecte, pot aduce

15

Cişmaşu, Irina Daniela – Riscul, element în fundamentarea deciziei, Ed. Economică, Bucureşti, 2003, p. 71.

36

avantaje mari la fel cum ezitările, întârzierile sau concentrarea atenției în direcții greşite pot periclita

serios poziția firmei pe piață. Nu vom încadra aici riscul aferent deciziei de investiție în tehnologie,

care va fi încorporat în mod natural în sfera riscurilor de natură financiară, ci doar acele riscuri care

însoțesc calitatea produselor, costurile lor, competitivitatea, trăsături privite direct prin prisma

rezultatelor pe care le poate obține producătorul utilizând o tehnologie sau alta.

Desigur că descrierea acestor trei tipologii de risc specific al activității firmei este sumară, dar scopul

nostru este acela de a le privi într-o manieră agregată şi nu a le prezenta în amănunt. Tratarea

oricăruia dintre ele poate face obiectul unei lucrări consistente şi de sine stătătoare, iar literatura de

specialitate ne pune la dispoziție informații ample. Vom trece, astfel, mai departe şi vom face o

scurtă incursiune în aspectele care vizează riscurile de natură financiară cu care se poate confrunta o

firmă în activitatea ei.

2. Riscul de natură financiară

Este de la sine înțeles că, în absența unui suport financiar corespunzător, o firmă nu îşi poate

desfăşura activitatea conform cerințelor impuse de intenția ei de a-şi atinge obiectivele. O bună

poziție financiară îi oferă întreprinzătorului confortul alternativelor de investiție, al diversificării lor şi

îl îndepărtează într-o anumită măsură de efectele unor şocuri pe care le poate resimți în activitatea

sa. Dimpotrivă, o poziție financiară slabă obstrucționează chiar şi procesele elementare care se

desfăşoară la nivel de firmă, aducând întreprinderea sub incidența unor amenințări incomode. Vom

trata, în perimetrul riscurilor de natură financiară, câteva tipologii de risc specific, nu înainte de a

face observația că ne vom menține intenția ca toate categoriile de risc care vor rezulta în final să aibă

calitatea de a corespunde unor evenimente prea puțin corelate.

2. A. Riscul de piață (din perspectiva portofoliului de investiții): Desigur că este vorba despre o altă

accepție decât aceea de la 1.A., de data aceasta referindu-ne la riscul ca portofoliul de investiții pe

care îl deține firma să nu aibă evoluția dorită, sau ca decizia asupra modificării structurii portofoliului

să conducă la pierderi. Ceva mai târziu ne vom apleca îndeaproape asupra acestei categorii de risc,

motivându-ne inițiativa prin aceea că latura investițională a activității firmei este una foarte

importantă.

2. B. Riscul de inflație: Posibilitatea unei creşteri în nivelul general al prețurilor se constituie într-o

amenințare reală la adresa rezultatelor oricăror angajamente, efectuate pe baze legale şi care implică

plăți fixe, stabilite, urmând a fi executate în viitor. Problema este cu atât mai gravă cu cât

posibilitatea de a prognoza astfel de modificări ale prețului este de multe ori relativ redusă şi poate

37

ieşi, practic, de sub incidența controlului întreprinzătorului. Riscul de inflație afectează o sumedenie

de componente ale activității firmei, având impact direct asupra rezultatelor financiare.

2. C. Riscul de rata dobânzii: Modificările în nivelul ratei dobânzii pot afecta drastic valoarea

investițiilor unei firme, fie că aceste modificări vizează creşteri sau descreşteri ale ratei dobânzii. În

perspectiva modelului agregat, vom avea nevoie de acele fluctuații care nu sunt rezultatul inflației

pentru a putea păstra într-o cât mai mare măsură independența tipurilor de risc. Desigur, este dificil

de estimat care este influența inflației în modificarea ratei dobânzii, dar nu este imposibil sa privim

separat factorii de influență şi se poate spera în posibilitatea delimitării acțiunilor lor.

2. D. Riscul de credit: De obicei, tratarea amănunțită a acestui tip de risc este apanajul instituțiilor

financiare. Privit în ansamblu, însă, „creditul” poate fi asimilat oricărei obligații contractuale care

presupune onorarea unor angajamente între părți şi care, în final, poate căpăta o evaluare monetară.

Este nevoie, însă, de o delimitare clară între problemele financiare pe care le poate cauza un proiect

de investiție realizat pe baza unui capital împrumutat şi cele cu impact asupra veniturilor, ca urmare

a faptului că un partener de contract refuză să mai primească o parte din oferta firmei, sau să mai

achite chiria pentru un spațiu aflat în proprietatea firmei.

2. E. Riscul de lichiditate: Atunci când firma este în incapacitatea de a disponibiliza active financiare

sau alte tipuri de investiții pe care le deține, în timpul cerut şi la preț corespunzător, absența

lichidităților poate genera probleme grave în desfăşurarea activității sau chiar încetarea ei. Riscul de

lichiditate nu poate fi privit, din păcate, independent de manifestarea altor riscuri pe care le-am

precizat deja şi din acest motiv includerea lui în modelul agregat va fi cel puțin delicată sub aspectul

evaluării covarianțelor care apar cu alte manifestări.

În mod normal am putea continua cu prezentarea riscului de faliment, care se încadrează pe de o

parte în categoria riscurilor financiare dar care poate fi inclus şi ca efect direct al riscului operațional,

pentru că acesta din urmă a fost descris ca neacoperirea cheltuielilor cu veniturile rezultate şi, în

funcție de severitatea decalajului dintre cel două mărimi, falimentul poate fi iminent.

Din ceea ce am prezentat până acum se pot desprinde câteva concluzii şi anume:

Este foarte dificilă, dacă nu aproape imposibilă separarea riscurilor care amenință afacerea,

în categorii independente;

Descrierea amenințărilor la care este supusă o întreprindere nu se poate face în absența

cunoaşterii şi înțelegerii proceselor interne ale afacerii;

38

Efectele posibile pe care le poate genera manifestarea unui risc sunt dintre cele mai diverse.

Este nevoie de foarte multă imaginație pentru a le intui şi de o abilitate uriaşă pentru a le măsura, cu

atât mai mult cu cât acelaşi efect poate fi, concomitent, rezultatul mai multor cauze care se

manifestă simultan şi, uneori în interdependență una cu alta.

Complexitatea pe care o regăsim în tipul amenințărilor şi în efectelor lor potențiale, aproape

imposibil de clasificat şi de evaluat, poate genera un adevărat haos în inițiativa întreprinzătorului de

gestionare a riscului în afaceri. Este nevoie prin urmare, de metode de ordonare a informațiilor, de

algoritmi logici şi de formule pentru a modela riscul total la nivel de firmă. Pentru că deseori ideea de

„model” este asociată unui limbaj dificil de înțeles pentru utilizatori, este nevoie de o permanentă

grijă pentru exprimarea clară şi accesibilă, de o punte de legătură între specialistul teoretician şi

întreprinzător.

Riscul în afaceri este un risc compus, a cărui tratare corespunzătoare are nevoie de o

abordare de ansamblu, de o viziune agregată care să asigure mixul între toate componentele privite

atât din punct de vedere teoretic cât şi practic. Absența concordanței între modelul teoretic şi latura

practică va conduce inevitabil la inițiative care nu se vor dovedi operaționale, la fel cum încercarea de

abordare a riscului în afaceri în absența unui „tipar” va genera panică întreprinzătorului conştient de

complexitatea problemelor. O înțelegere intuitivă a riscului, bazată pe experiență şi pe abordările

comune, poate crea o falsă senzație de confort dar obținerea unor rezultate bune în practică are la

bază mai mult decât abordările intuitive.

O altă abordare a clasificării riscurilor la nivel de afacere are în vedere patru direcții şi anume:

Latura financiară, incluzând aici tot ce înseamnă acțiuni, obligațiuni, depozite la termen, casă,

datorii, credite etc. De obicei, aici sunt incluse riscul de preț şi riscul de credit.

Latura fizică, incluzând clădiri, terenuri şi echipamente. De obicei, aici sunt incluse acele

riscuri care sunt asigurabile.

Latura relațiilor cu clienții şi personal, incluzând de obicei şi responsabilitățile pe care le are

firma față de aceştia.

Aspectele intangibile, care vizează reputația firmei, marca, informația.

2.4. Riscul de reputație

Considerăm necesar ca în prezentarea noastră să ne referim în mod special la un risc care capătă o

importanță deosebită pentru oricare firmă, pe măsură ce se înregistrează noi şi noi schimbări în

mediul economic şi de afaceri. Aducem astfel în discuție riscul de reputație, care vizează latura

intangibilă a existenței firmei.

39

Mai mult sau mai puțin recunoscut sau exprimat, nici un actor economic nu dispută importanța

reputației unei întreprinderi, în calitatea ei de componentă, sau ingredient în afaceri. Orice instituție

de prestigiu poate afirma dincolo de orice dubiu că buna reputație este cheia spre succes, că prin

intermediul ei se obține credibilitatea în afaceri şi că tot ea stă la baza unor decizii uneori

surprinzătoare şi uneori în aparentă contradicție cu obiectivul de fundal al oricărei firme – obținerea,

menținerea şi maximizarea profitului.

Cu toate acestea, cea mai mare parte a resurselor financiare sau de altă natură ale unui management

corect al riscului în afaceri este orientată în direcții pe care ne-am obişnuit să le întâlnim sub numele

de management operațional, financiar, de personal etc. Riscul de reputație, deşi acceptat şi

recunoscut ca amenințare reală, este prea puțin implicat în grija firmelor pentru asigurarea atingerii

obiectivelor proprii.

În viața fiecăruia dintre noi ideea de reputație apare de timpuriu, asociată fie relației cu părinții, cu

prietenii, cu educatorii, fie – mai târziu – relației cu societatea, cu partenerii, cu angajatorii. La orice

nivel de relaționare reputația este o noțiune complexă şi cu siguranță subiectivă, depinzând de

natura contactelor interumane şi de cerințele de context. În orice caz însă, ea este asociată ideii de

credibilitate şi se răsfrânge atât asupra relațiilor directe cât şi asupra celor stabilite indirect. În

evaluarea reputației contează în egală măsură ce spunem şi cum acționăm, dar şi contextul sau

modificările de context care generează percepția asupra afirmațiilor şi comportamentului nostru.

Complexitatea noțiunii face dificilă interpretarea ei într-un context particular, iar faptul că o latură

importantă este legată de percepția dintr-un mediu extern aduce imprecizie în evaluarea ei. Ne place

totuşi să credem că reputația şi implicit riscul de reputație sunt aspecte nu doar de acceptat în viața

unei firme, ci şi gestionabile pe baze teoretice solide.

Definită ca valoarea firmei care o depăşeşte pe cea a activelor fizice, reputația, în calitatea ei de

capital intangibil, este rezultatul unor acțiuni anevoioase îndreptate către câştigarea încrederii

clienților şi partenerilor de afaceri, în condițiile unui mediu într-o permanentă schimbare şi a unor

reprezentanți ai umanității care manifestă cele mai diverse dorințe, opinii sau urmăresc scopuri de

multe ori contrare. Dacă a construi reputația este un proces lent, consumator de efort, a o distruge

pur şi simplu. Amenințările sunt nenumărate şi pot să apară din cele mai nebănuite direcții; este de

fapt evident că oricare pericol care amenință buna desfăşurare a afacerii poate deveni la un moment

dat o amenințare la adresa bunei reputații a firmei, într-un context în care mediul economic

înregistrează noi şi diverse modificări atât în ceea ce priveşte relațiile dintre firme cât şi relațiile cu

consumatorii. Dezvoltarea fără precedent a comunicațiilor face ca informațiile cu privire la

evenimente dintre cele mai diverse să circule cu o repeziciune uimitoare, mass media fiind deosebit

40

de înclinată către mediatizarea acelor ştiri care pot căpăta valoare comercială, a „bârfelor”, a

criticilor către care mulți dintre indivizi manifestă o înclinație deosebită. În această situație, orice

neregulă şi orice întâmplare care în esență nu este un şoc pentru firmă se constituie într-un pericol

latent asupra capitalului intangibil numit reputație.

Desigur că la prima vedere definiția riscului de reputație este simplă, acesta fiind orice eveniment

potențial generator de daune în reputația firmei. O astfel de abordare este, cu siguranță, una

simplistă, pentru că însăşi descrierea daunei pentru un activ intangibil este o problemă serioasă, cu

atât mai mult cu cât acest activ este deseori sensibil şi în esență riscant. Este limpede că reputația

unei firme poate fi afectată de o sumedenie de factori. Pe care îi putem delimita ca fiind factori aflați

în legătură cu mediul intern sau extern firmei şi factori aflați în legătură cu preferințele şi opiniile

partenerilor de afaceri şi ale consumatorilor. Delimităm, astfel, o componentă obiectivă şi una

subiectivă a amenințărilor care vizează reputația unei firme, iar aspectul subiectiv nu invită nici pe

departe la relaxare.

Bazându-ne pe definiția enunțată anterior, putem caracteriza riscul de reputație ca fiind orice

eveniment a cărui manifestare poate afecta în sens negativ diferența dintre valoarea de piață a firmei

şi valoarea activelor fizice. Privită astfel, problema capătă un aspect cuantificabil – deşi încă

incomplet – şi se naşte speranța că există posibilitatea unei abordări pe baza unor modele teoretice

solide. Ceea ce este cu adevărat important şi interesant în studiul acestui risc este faptul că spre

deosebire de manifestarea altor evenimente riscante care produc pagube imediate, riscul de imagine

poate genera efecte în timp dând astfel posibilitatea redresării pe parcurs fără şocuri financiare

puternice. Pe de altă parte, tocmai această trăsătură se poate constitui într-o problemă reală pentru

întreprinzător, fiindcă lipsa percepției imediate supra efectelor invită mai degrabă la o gestionare ex

– post decât ex – ante. O atare atitudine poate reprezenta o amenințare suplimentară pentru o firmă

de dimensiuni reduse pentru care pierderea credibilității în fața unui client important, de exemplu,

este mai gravă decât aceeaşi situație întâmpinată de o firmă foarte bine dezvoltată şi cu producție

diversificată.

A gestiona ex – ante riscul de reputație este o inițiativă dificilă, pentru că acest risc diferă

fundamental de celelalte riscuri pe care firma este obişnuită să le gestioneze. Natura lui, mai degrabă

calitativă decât cantitativă, face greu de estimat proporția de subiectiv şi cea de obiectiv din această

evaluare, de multe ori fiind imposibil de stabilit nivelul real al riscului de reputație. Din această cauză,

este mai mult decât necesară construcția unei imagini cât mai apropiate de realitate pentru cadrul

concret de manifestare a riscului.

41

Realitatea este că distrugerea imaginii şi brandului poate fi cauza manifestării oricărui risc cu care se

poate confrunta instituția, deci grija pentru reputație trebuie dublată de un management

corespunzător al riscului total la nivel de firmă. Întreprinzătorii ar trebui să privească foarte serios

acest risc, ştiut fiind că reputația impecabilă a unei firme atrage după sine o serie de avantaje de

necontestat, dintre care amintim câteva:

Îmbunătățirea relației cu partenerii de afaceri.

Crearea unui mediu mai bun pentru investiții şi pentru accesul la capital.

Posibilitatea recrutării şi reținerii celor mai buni angajați.

Atragerea celor mai buni parteneri, atât din rândul furnizorilor de materii prime, materiale,

utilaje, tehnologie cât şi din rândul clienților.

Reducerea barierelor de penetrare şi dezvoltare pe piețe noi.

Garantarea nivelului prețurilor pentru bunuri şi servicii.

Minimizarea amenințărilor unor posibile litigii şi ale unor reglementări severe.

Reducerea potențialului de criză.

Întărirea credibilității firmei şi a încrederii partenerilor.

Desigur că o bună reputație a fost întotdeauna un element de interes pentru întreprinzător, chiar

dacă o dimensiune mică a afacerii nu putea aduce neapărat o faimă uriaşă. În zilele noastre se

înregistrează o accelerare fără precedent în circulația informației, astfel încât lucruri bune şi rele sunt

aduse la cunoştința publicului imediat. Pericole pe care altădată firma le putea considera ca având

efecte asupra proprietății, veniturilor sau personalului angajat, au astăzi un recul puternic în

percepția externilor asupra imaginii firmei şi atrag după sine pierderi potențiale din eliminarea a cel

puțin unuia din cele mai avantajoase amintite anterior.

2.5. Riscul şi pierderea potențială

Dacă printr-o întâmplare oarecare unii întreprinzători mai puțin informați ar citi clasificările riscurilor

pe care le-am prezentat sau le-am recomandat, probabil că ar rămâne cu uimiți şi unora dintre ei

acest eveniment le-ar putea schimba viața. În funcție de temperament şi de atitudinea pe care o

manifestă față de risc, unii ar renunța la afaceri. Alții s-ar gândi imediat cum să păcălească destinul,

alții s-ar putea să decidă că un specialist nu e de lepădat, iar alții ar căsca plictisiți şi ar opina că

despicăm prea mult firul în patru. Din păcate, există destui aşa numiți oameni de afaceri pentru care

exprimări ca acelea de „risc relativ la personalul angajat”, sau „risc de lichiditate”, sau „risc de

solvabilitate” au nişte conotații realmente vagi şi sunt contracarate cu o replică de tipul „Doamne

fereşte...” Degeaba prezentăm unei anumite categorii de întreprinzători diferența dintre riscul pur şi

42

riscul speculativ, dacă în portofoliul lor de afaceri există doar comanda la care se lucrează şi comanda

care poate pica mâine, printr-un noroc neaşteptat. Degeaba informăm asupra unor categorii de

riscuri, dacă la nivel de firmă nu se conştientizează ideea că „potențial” nu înseamnă „la alții”.

Instituțiile de asigurări oferă un punct de plecare deloc de neglijat în construcția unei „liste” prin

intermediul căreia întreprinzătorul va trebui să aibă în vedere toate pierderile pe care le-ar putea

suferi în desfăşurarea activității, ca urmare a manifestării diferitelor riscuri cu care se poate confrunta

un întreprinzător. Şi, pentru că lucrurile nu sunt simple, ar trebui să existe o ordine în constituirea

listei, mai exact este nevoie să fie urmărite câteva direcții concrete şi adaptate, evident, la obiectul

de activitate al firmei. Pierderi pot să apară ca urmare a deținerii de active de orice fel, fizice sau

intangibile şi ca urmare a expunerilor la care pot fi supues, direct sau indirect proprietățile şi

veniturile, expunerile relativ la răspunderi şi datorii, la personalul angajat etc.

Utilizarea listelor propuse de diferiți asigurători sau de organisme orientate către managementul

riscului este o inițiativă bună, dar uneori insuficientă. Pentru că fiecare firmă este o entitate în sine,

cu particularități care fac necesară adaptarea unui cadru general exprimat la condițiile specifice de

derulare a activității. Bine ar fi ca întreprinzătorul să opteze pentru o îmbunătățire a listei pierderilor

potențiale propusă de externi, construind el însuşi o listă suplimentară. Desigur, pe de o parte

aceasta este o decizie consumatoare de timp şi energie, dar pe de altă parte în felul acesta se poate

ține cont de posibile expuneri care vizează cadrul particular al afacerii, rezultând o viziune mai amplă

şi evitând omiterea unor riscuri deloc menționate în listele „oficiale”, dar destul de obişnuite în

activitatea firmei. Întreprinzătorul se presupune a fi suficient de familiarizat cu elemente specifice

activității proprii încât să fie capabil să ştie care sunt pierderile potențiale cu care s-ar putea

confrunta.

Totuşi, pentru că activitatea firmei se poate întâmpla să fie complexă, dinamică şi diversificată, este

recomandat să existe o manieră de explorare sistematică a tuturor laturilor acestei activități.

Specialiştii sugerează o serie de metode, ca de exemplu constituirea unui chestionar de analiză a

riscului, de evaluarea stării financiare a firmei, de completarea acestei evaluări cu prognoze

financiare şi bugetare de natură să pună în evidență expuneri viitoare. Se folosesc, de asemenea,

metoda hărții fluxurilor şi inspecții de teren.

Dacă, după toate acestea, întreprinzătorul ar proceda şi la înregistrarea statistică a datelor, lucrurile

ar fi de natură să creeze posibilitatea obținerii de informații prețioase despre pierderi care s-au

produs şi care se pot repeta în viitor. Este foarte adevărat că aceste date nu oferă nici un amănunt

despre noi tipuri de pierderi potențiale şi de aceea este recomandată o analiză atentă a mediului

43

înconjurător. Prin studierea cu responsabilitate a clienților, a concurenței, a ofertei şi reglementărilor

în vigoare, a relațiilor care se stabilesc între aceste elemente şi firmă şi a dinamicii acestor raporturi,

se pot afla multe lucruri utile de natură să lărgească viziunea asupra modului şi contextului în care se

desfăşoară activitatea firmei.

Nu în ultimul rând, la dispoziția întreprinzătorului stau firmele de consultanță şi agenții de asigurări

care pot fi utilizați în obținerea de detalii cu privire la procesul de identificare a riscurilor. Această

colaborare cu externii are, desigur, avantaje şi dezavantaje. E drept că intervenția unui consultant

aduce un plus de obiectivitate şi experiență în domeniu, dar poate fi costisitoare, poate avea ca

rezultat o viziune prea generală şi poate face ca întreprinzătorul să nu se mai considere pe deplin

responsabil pentru rezultatul conlucrării. De fapt, nu se poate afirma că vreuna dintre metodele

recomandate anterior este cea mai bună. Ansamblul lor, însă, poate conduce la efecte pozitive în

activitatea de identificare a riscului, în măsura în care întreprinzătorul este cu adevărat motivat în

această direcție. Natura şi dimensiunea afacerii, ca şi accesibilitatea expertizelor sunt elemente în

funcție de care se alege cumulul de metode care vor trebui utilizate în procesul de identificare a

pierderilor potențiale.

Cam aşa stau lucrurile pe hârtie, iar metodele prezentate în atâtea cărți de profil ar trebui să conducă

la rezultate de excepție. Cu toate acestea, ridicând ochii din materialele scrise, vom găsi vreun

magazin de cartier al cărui patron ar rămâne surprins să constate câte probleme ar trebui să-şi facă

pentru o afacere pe care o conduce de câțiva ani. Dacă din profitul obținut în anul anterior tocmai şi-

a permis o excursie în Austria, fapt care în mod cert i-a modificat drastic imaginea despre sine, nu văd

cum ar putea fi convins de către noi, teoreticienii, să construiască o hartă a fluxurilor de exemplu. La

o astfel de propunere ar putea, cel mult, să ne atenționeze că el ne-a vorbit frumos şi că ne invită să

procedăm la fel...

Lipsa de educație economică apasă greu asupra multor întreprinzători de talie mică sau medie.

Afacerile conduse după ureche, acțiunile bazate constant pe fler, sunt o realitate a vieții noastre de zi

cu zi. În timp ce specialişti de înaltă clasă construiesc teorii complicate şi modele menite să fie

accesibile firmelor puternice, cu un pronunțat simț al responsabilității în problema protecției față de

risc, firmele mici se descurcă pe baze mai puțin (sau deloc) ştiințifice, făcând teoreticianul să se

întrebe nostalgic dacă are şi el vreun rost. Afirmațiile noastre nu vizează, în mod sigur, totalitatea

firmelor de talie mică sau medie, la fel cum nu putem scăpa din vedere faptul că uneori şi firmele

mari au probleme. În măsura în care întreprinzătorul este depăşit de dimensiunea sau chiar de natura

afacerii pe care o deține, el va delega o altă persoană pentru activitatea de gestionare a riscului. Va

alege, astfel, vreun manager, sau vreun responsabil, sau va crea chiar un întreg departament în

44

această direcție, acționând astfel cum scrie la carte. Necazurile apar imediat ce diferența dintre

mentalitatea de proprietar şi cea de angajat îşi face simțită prezența. Obiectivele celor doi, patron şi

subordonat, pot coincide o vreme, dar divergențele odată instalate se ajunge relativ repede la

situația în care o serie de riscuri sunt neidentificate la timp, sau gestionate incorect. Probabil că un

manager de risc prost motivat sau cu o mentalitate nesănătoasă este chiar mai periculos pentru

bunul mers al afacerii decât un întreprinzător neinformat.

În concluzie, o simplă clasificare a riscurilor nu este, în sine, suficientă pentru a ajuta un

întreprinzător să se protejeze de rezultatele evenimentelor nefavorabile. Pentru că fiecare alegere

are propriile specificități, este nevoie de o proiecție a cadrului general prezent în teorie, la zona

particulară a fiecărei activități. Cea mai mare problemă pe care o ridică manifestarea riscurilor este

„potențialitatea”. A pierde sau a nu pierde, dar mai ales cât de departe se poate ajunge cu frecvența

şi magnitudinea pierderilor. Pregătirea unei situații elocvente cu privire la tipurile de daune care se

pot înregistra este o muncă dificilă, bazată pe un cumul de metode şi tehnici specifice, dar este cea

mai bună cale de a crea puntea de legătură între două spectre permanente sub care există firma:

riscul şi pierderea potențială. Construcția unei astfel de situații este, totuşi, doar primul pas în munca

amplă de analiză şi gestionare a neprevăzutului, pentru că ei îi urmează firesc măsurarea acestor

expuneri la pierderi. Măsurătorile sunt vitale, pentru a stabili importanța relativă a pierderilor

potențiale şi pentru obținerea de informații necesare în perspectiva alegerii combinației optime de

instrumente manageriale.

2.5. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar

1. Explicați motivele pentru care identificarea riscurilor este un demers important. Dați

exemplu de o situație în care identificarea greşită a amenințărilor poate cauza daune şi

implicit costuri suplimentare pentru un individ.

2. De ce este necesară clasificarea riscurilor? Considerați că existența unor clasificări distincte,

realizate din perspective diferite, evidențiază dezacordul dintre specialişti? Explicați.

3. Dați exemplu de un eveniment riscant pe care îl puteți încadra diferit, în clasificări diferite şi

explicați motivele pentru care se întâmplă lucrul acesta. (Indicație: Se recomandă ca studentul să facă

referire la diferite clasificări pe care le poate găsi în materialul bibliografic)

4. Explicați diferitele accepțiuni şi descrieri ale riscului la nivel de afacere.

5. Elaborați o clasificare proprie a riscurilor la care este supusă o afacere. Justificați alegerea

diferitelor categorii de risc şi explicați cum puteți să vă asigurați că nu ați omis nimic.

6. Construiți un scenariu despre manifestarea riscului tehnologic într-o afacere. Alegeți tipul de

activitate care vă este cel mai familiar.

45

7. Explicați diferitele accepțiuni ale riscului de piață şi subliniați diferențele dintre ele.

8. Explicați ce înțelegeți prin reputație şi prin riscul de reputație. Ce diferențiază riscul de

reputație de alte tipuri de risc la nivel de afacere?

9. Enunțați câteva măsuri care trebuie întreprinse în vederea gestionării ex – ante a riscului de

reputație. Explicați care ar trebui să fie rezultatele care se aşteaptă ca urmare a

implementării lor.

10. Care sunt metodele recomandate pentru determinarea datelor din care ulterior se obțin

informații despre pierderile potențiale? Explicați rolul acestor metode şi limitele utilizării lor.

46

CAPITOLUL 3.

RECAPITULAREA UNOR ELEMENTE DE

TEORIA PROBABILITĂŢILOR

3.1. Probabilitatea şi riscul. Câteva elemente de ordin general

3.2. Independență şi condiționare

3.3. Funcția de repartiție

3.4. Distribuții speciale de probabilitate

3.4. Valori numerice pentru o variabilă aleatoare

3.5. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar

Obiectivele capitolului

După parcurgerea acestui capitol, studentul va fi capabil să definească probabilitatea, variabila aleatoare

discretă şi continuă, să explice de ce este nevoie de teoria probabilităților în studiul riscului, să definească şi să

calculeze principalele mărimi numerice ale unei variabile aleatoare.

3.1. Probabilitatea şi riscul. Câteva elemente de ordin general

Atunci când ne-am referit, în Capitolul 1, la exemplul fabricantului de automobile, am discutat despre

faptul că în descrierea conceptului de risc apar noțiunile de pierdere aşteptată şi de variabilitate în

jurul acestei valori. De asemenea, atunci când ne-am referit la risc în sens general am amintit ceva

despre rezultatele posibile ale evenimentului potențial generator de pagube şi despre probabilitățile

cu care apar.

Nu este deloc surprinzător, prin urmare, că am simțit nevoia să includ în această lucrare un capitol

care să reamintească principalele noțiuni de tepria probabilităților şi statistică pe care le vom aplica

în capitolul următor strict legate de problematica evaluării riscului.

Elementele de teoria probabilităților, deşi deseori au darul să îi sperie pe studenți, sunt însoțitoarele

noastre permanente încă din copilărie. Destul de devreme în existența noastră conştentizăm că

uneori lucrurile evoluează altfel decât ne-am fi dorit, decât am planificat sau decât ne-am aşteptat şi

47

tot relativ de timpuriu înțelegem că există evenimente de care este bine să ne ferim. Intuim, aşadar,

şi conceptul de probabilitate ca şansă (sau neşansă?) de a face față unei anumite situații şi de

asemenea noțiunea de risc, sau de pericol potențial, ca eveniment posibil pentru care ne dorim să

putem măsura măcar probabilitatea de manifestare.

A încerca să înțelegi şi apoi să gestionezi riscul în absența cunoaşterii unor noțiuni - fie ele şi

elementare - de teoria probabilităților este un demers dificil, bazat doar pe intuiție şi pe cuvinte

frumoase. Iată de ce acest capitol îşi propune să prezinte într-o manieră cât mai clară şi

exemplificată, principalele noțiuni din sfera probabilităților pe care le vom folosi în capitolele

următoare cu aplicare directă în economie.

Cel mai simplu mod de a defini o experiență aleatoare este prin a spune că aceasta este acea

experiență al cărei rezultat nu poate fi cunoscut decât după încheierea ei. Aşa cum am mai comentat

şi în primul capitol al lucrării, adunarea lui 2 cu 2 nu conduce la surprize şi nu ține pe nimeni cu

sufletul la gură. Dar dacă ați jucat vreodată canastă, ştiți câte rugăminți calde ați ridicat către pronia

cerească atunci când ați întins mâns după o piatră din teanc, sperând să se potrivească la configurația

pe care o aveați deja pe tablă. Aceasta este o experiență aleatoare, pentru că, dacă jocul acela era în

regulă, precis nu ştiați ce piatră urmează.

Din cele spuse mai sus, deducem imediat faptul că o experiență aleatoare are mai multe rezultate

posibile. A nu se înțelege că rezultatele acelea apar în acelaşi timp, sau că ar fi vreo cât de mică

posibilitate în acest sens. De exemplu, atunci când aruncați un zar aveți şase rezultate posibile dar,

odată încheiată aruncarea, veți obține un număr de puncte clar exprimat. Asta înseamnă că nu veți

putea obține simultan şi 3, şi 5 puncte, de exemplu.

O experiență aleatoare va fi descrisă complet, în sensul în care veți şti despre ea tot ce trebuie să

ştiți, dacă în plus față de rezultatele ei veți putea să calculați şi probabilitățile, sau şansele lor de

apariție. În fine, pentru a uşura descrierea unei experiențe aleatoare în termeni de rezultate posibile

şi probabilități de apariție se foloseşte un tablou format din două linii, pe prima linie înscriindu-se

rezultatele posibile ale experienței şi pe linia a doua probabilitățile care le corespund.

De exemplu, experiența aleatoare care corespunde aruncării unui zar se poate descrie prin

intermediul următorului tablou:

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1654321

:X

48

Pe prima linie am înscris rezultatele de la 1 la 6, care sunt toate rezultatele posibile la aruncarea unui

zar, iar pe linia a doua am pus în evidență că fiecare rezultat are o şansă din şase să apară. Putem

completa cele spuse până acum cu faptul că o tabloul care descrie o experiență aleatoare se numeşte

variabilă aleatoare şi de obicei se notează cu litere mari cum ar fi X, Y, Z etc.

Descrierea unei experiențe aleatoare este foarte utilă, pentru că include toată informația la care

avem acces cu privire la experiența în cauză. Totuşi, construcția variabilei aleatoare corespunzătoare

experienței se poate lovi uneori fie de problema enumerării rezultatelor posibile, fie de problema

calculării probabilitălilor lor. Vom exemplifica în continuare ambele situații.

Cu siguranță ați vâzut că pe ambalajele de săpun lichid stă scris volumul, de exemplu 250 ml, dar mai

există o precizare şi anume că umplerea s-a făcut cu o abatere de 5% față de capacitatea declarată.

Asta înseamnă că în recipientul cu săpun lchid se poate afla, teoretic, orice număr de mililitri cuprins

între 245 şi 255, adică acei 250 declarați la care s-a scăzut, respectiv s-a adăugat, toleranța. Cu

siguranță vă dați seama că nu aveți cum să enumerați toate rezultatele, adică numerele, posibile din

intervalul menționat, pentru că sunt o infinitate şi pentru că singura regulă de scriere pe care o

cunoaşteți – şi care funcționează în acest context – este aceea că volumul de săpun lichid conținut în

recipient aparține intervalului 255,245 ml.

Deja putem desprinde ideea că pe lumea asta există două feluri de variabile aleatoare, unele pentru

care putem enumera rezultatele iar altele pentru care putem preciza doar intervalul, sau intervalele

cărora le aparțin aceste rezultate. În teoria probabilităților se acceptă această diferență şi variabilele

aleatoare de cele două tipuri sunt denumite în mod distinct: sunt variabile aleatoare discrete acelea

pentru care enumerarea rezultatelor este posibilă şi sunt variabile aleatoare continue cele pentru

care nu putem enumera rezultatele pentru că ele aparțin unui interval, sau unei reuniuni de mai

multe intervale – dar putem preciza intervalele în cauză. Există unii specialişti, în special cei care

lucrează în perimetrul industriei asigurărilor, care admit şi existența unui al treilea tip de variabile

aleatoare, care sunt un amestec între cele discrete şi cele continue şi pe care le numesc variabile

aleatoare mixte. Desigur că existența acestora a fost acceptată ca urmare a faptului că ele apar în

demersul modelării diferitelor situații prctice şi nu doar din pura plăcere de a complica teoria.

Exemplul 3.1.1. Să ne gândim la acele contracte de asigurări care prevăd o valoare minimă şi o

valoare maximă a daunei care se poate lua în discuție: contractul poate să prevadă că dacă dauna

este mai mică decât 150 RON atunci o va suporta asiguratul. De asemenea, polița poate să stipuleze

că dauna maximă pe care o puteți primi este de 20000 RON.

49

În aceste condiții, haideți să notăm cu X variabila aleatoare care descrie pierderea pe care o veți

putea înregistra şi să acceptăm că aceasta este o variabilă aleatpare continuă. Ceea ce veți primi,

totuşi, ca despăgubire de la societatea de asigurări este o variabilă aleatoare mixtă deoarece include

forma lui X doar pe o porțiune, aceea în care X este mai mare decât 150 RON şi maim mică decât

20000 RON. În afara acestor valori, X este de formă discretă şi ia fie valoarea 0, fie valoarea 20000.

Asta înseamnă fie că ați înregistrat o daună sub nivelul franşizei de 150 RON, fie dauna a depăşit

plafonul pe care l-ați stabilit prin contract.

Mergând mai departe, cea de-a doua problemă pe care o poate ridica scrierea unei variabile

aleatoare este legată de abilitatea de a evalua valorile de probabilitate cu care apar rezultatele. În

cazul variabilei aleatoare care descrie experiența aruncării unui zar, lucrurile au fost simple pentru că

toate evenimentele erau egal probabile. În alte situații, însă, evidența nu mai este la fel de puternică

şi de aceea este nevoie de elemente teoretice care să ne ajute să determinăm aceste valori de

probabilitate.

Unul din cazurile fericite este acela când ne dăm seama că evenimentul a cărui probabilitate dorim să

o calculăm se produce sub un număr de auspicii favorabile. De exemplu, dacă ne intereseaza să aflăm

probabilitatea ca la aruncarea unui zar să obținem un număr par de puncte, veți fi de acord că lucrul

acesta se întâmplă dacă la aruncarea zarului obținem 2, 4 sau 6. În consecință, intuiția ne spune că

există trei cazuri favorabile evenimentului care ne interesează dintr-un total de şase cazuri posibile,

deci probabilitatea ca la aruncarea unui zar să obşinem un număr par este de 3 împărțit la 6.

Una dintre metodele de calcul al probabilității unui eveniment este tocmai determinarea raportului

dintre numărul de cazuri favorabile şi numărul cazurilor posibile:

P (eveniment A) b

a , unde a este numărul de cazuri favorabile producerii evenimentului, iar b este

numărul de cazuri posibile.

Exemplul 3.1.2. Se aruncă două zaruri. Vom determina probabilitatea ca suma punctelor obținute să

fie, pe rând:

i) egală cu 7

ii) mai mare decât 9

iii) mai mică decât 4

iv) un număr par

50

Vom începe prin a spune că la aruncarea a două zaruri suma punctelor obținute variază între

valoarea 2, pentru cazul în care pe ambele fețe apare 1 şi valoarea maximă 12, pentru punctajul

maxim obținut pe ambele fețe, anume 6. Totalul perechilor de rezultate este 26 36. Prezentăm

mai jos matricea rezultatelor:

6,65,64,63,62,61,6

6,55,54,53,52,51,5

6,45,44,43,42,41,4

6,35,34,33,32,31,3

6,25,24,23,22,21,2

6,15,14,13,12,11,1

i) Suma S egală cu 7 se obține din combinațiile de rezultate: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1),

deci pentru 6 cazuri favorabile din 36 posibile. Deci, aplicând metoda de calcul a probabilității unui

eveniment ca raport între numărul de cazuri favorabile şi numprul de cazuri posibile obținem:

1666,06

1

36

67SP

ii) O sumă mai mare decât 9, adică 10, 11 sau 12, se poate obține din perechile de mai jos:

Suma 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4)

Suma 11: (5, 6), (6, 5)

Suma 12: (6, 6)

În total, avem (întâmplarea face) tot 6 cazuri favorabile, din 36 posibile. Deci,

1666,036

612SP11SP10SP9SP

iii) Pentru o sumă mai mică decât 4, avem următoarele posibilități:

Suma 3: (1, 2), (2, 1)

Suma 2: (1, 1)

Prin urmare, avem trei cazuri favorabile, din 36 de cazuri posibile, deci:

51

0833,012

1

36

33SP2SP4SP .

iv) Suma este un număr par în cazul în care este egală cu 2, 4, 6, 8, 10 sau 12. Pentru fiecare în parte

avem cazurile favorabile:

Suma 2: (1, 1)

Suma 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1)

Suma 6: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)

Suma 8: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)

Suma 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4)

Suma 12: (6, 6)

În total, există 18 cazuri favorabile, deci probabilitatea căutată este:

5,02

1

36

18parSP

Desigur, acest ultim rezultat are şi un caracter Intuitiv, în sensul că suma punctelor poate fi doar pară

sau impară, iar cele două parități au, evident, şanse egale.

Pe baza acestei metode de calcul a probabilității unui eveniment devine evident că o valoare de

probabilitate este situată întotdeauna în intervalul 1,0 . Valoarea de probabilitate nu poate fi mai

mică decât zero şi aspectul acesta poate fi justificat în mai multe moduri. O variantă ar fi să motivăm

prin aceea că atât numărul de cazuri favorabile, cât şi numărul de cazuri posibile, sunt mărimi mai

mari decât zero. Singura mărime care poate fi zero, dar în nici un caz negativă, este numărul cazurilor

favorabile. De exemplu, la aruncarea unui zar nu există niciun caz favorabil obținerii unui număr de

puncte egal cu 7, deşi pentru această experiență rămân tot 6 cazuri posibile. Prin urmare, o valoare

de probabilitate nu poate fi mai mică decât zero – nici măcar atunci când pentru calculul ei se aplică

alte reguli. Un alt mod de a justifica faptul că probabilitatea este mai mare sau egală cu zero este să

ne amintim că ea este măsura unei şanse de producere a unui eveniment, prin urmare nu are cum să

fie negativă.

A doua caracteristică de discutat este că probabilitatea este cel mult egală cu 1. Putem justifica

această afirmație fie pe baza fatului că numărul cazurilor favorabile nu poate fi niciodată mai mare

52

decât numărul cazurilor posibile, deci nici rapotul acestor mprimi nu poate fi mai mare decât 1. Pe de

altă parte, intuitiv ne dăm seama că un eveniment cu probabilitate 1 are 100% şanse să aibă loc, deci

a spune că o probabilitate este egală cu 1,2 de exemplu este echivalentul metaforei că evenimentul

se realizează cu şanse de 120%. O astfel de exprimare este o simplă metaforă, nu are nicio reflectare

în rigoarea ştiințifică.

Exemplul 3.1.3. Iată aici exemplul unei urne în care există 6 bile albe şi patru bile negre. Experiența

aleatoare este extragerea la întâmplare a unei bile din urnă, iar rezultatele experienței, sau

evenimentele elementare, sunt următoarele:

A: se obține o bilă albă

N: se obține o bilă neagră

Ca să putem descrie complet variabila aleatoare ataşată experienței pe care am efectuat-o, vom

calcula probabilitățile evenimentelor A şi N conform regulii enunțate anterior. Ţinem cont că în urnă

sunt zece bile, dintre care şase, cele albe, sunt favorabile evenimentului A. Probabilitatea lui A va fi,

deci, de 6:10, adică 0,6. Similar, din cele zece bile din urnă un număr de patru sunt negre ceea ce

asigură pentru evenimentul N o probabilitate egală cu 4:10, adică 0,4. În consecință, variabila

aleatoare ataşată experienței extragerii unei bile din urnă este

4,06,0

NA:Y

Atunci când ne referim la variabile aleatoare continue, adică la cele despre care am menționat mai

devreme că enumerarea tuturor rezultatelor nu este posibilă pentru că ele aparțin unui interval sau

unei reuniuni de intervale, este de aşteptat că aceeaşi problemă va apare pe linia a doua, a

probabilităților. Dacă nu putem enumera rezultate, desigur că nu putem enumera nici probabilitățile

care le corespund. Pentru cazul variabilelor aleatoare continue se utilizează o generalizare a listei

probabilităților din cazul variabilelor aleatoare discrete şi anume o funcție care descrie regula pe baza

căreia se obțin aceste valori de probabilitate.

În general, o variabilă aleatoare discretă se scrie în formă restrânsă astfel:

n,1ii

i

p

x:X

53

Această scriere arată că rezultatele sunt n21 x...,,x,x având respectiv probabilitățile n21 p...,,p,p .

Similar, o variabilă aleatoare continuă se scrie sub forma

Ix

xf

x:X

Această scriere arată că rezultatele sunt denumite generic x şi aparțin unui interval, deci nu pot fi

enumerate, iar fiecărui rezultat x îi corespunde probabilitatea xp . În ambele cazuri, mulțimea

tuturor valorilor de probabilitate pentru variabila aleatoare, fie ea discretă sau continuă, poartă

numele de densitate de probabilitate, sau densitate de repartiție, iar ansamblul descris ca variabila X

în cele două cazuri descrie ceea ce poartă numele de distribuție de probabilitate pentru variabila

aleatoare X.

Exemplul 3.1.4. Să ne întoarcem pentru o clipă la exemplul recipientelor umplute cu săpun lichid,

despre volumul cărora am spus că se poate abate cu %5 față de capacitatea declarată de 250 ml.

Putem afirma, prin urmare, că abaterile exprimate procentual față de volumul mediu, sau standard,

al recipientului, se află situate în intervalul 5,5 . Vom considera, ca un exemplu, că variabila

aleatoare X care descrie valorile x ale acestor abateri are o funcție densitate de probabilitate de

forma:

altfel,0

5,5x,x250

3xf

2

Va trebui să spunem că, spre deosebire de cazul variabilelor aleatoare discrete în care xp

reprezenta probabilitatea rezultatului x, aşa cum în cazul exemplului anterior Ap reprezintă

probabilitatea evenimentului „bilă albă” şi ia valoarea 0,6, în cazul variabilelor aleatoare continue

xf nu mai reprezintă o valoare de probabilitate, ci arată doar înălțimea graficului funcției f în

punctul x.

54

Figura 3.1. Reprezentarea grafică a funcției densitate de probabilitate din Exemplul 3.1.4. şi punerea

în evidență a valorii 2f , care arată înălțimea graficului în acest punct.

Haideți să vedem de ce în cazul variabilelor aleatoare continue se întâmplă astfel: dacă am aplica

definiția probabilității ca raport între numărul de cazuri favorabile şi numărul de cazuri posibile ar

trebui să observăm că probabilitatea ca volumul unui recipient de săpun să se abată cu exact 2% (de

exemplu) de la valoarea standard de 250 ml este de

1, pentru că există un singul caz favorabil şi o

infinitate de posibilități în intervalul 5,5 . De fapt, ca să fim corecți până la capăt trebuie să

spunem că probabilitatea lui 1X nu este chiar nulă, ci atât de mică încât să poată fi considerată ca

egală cu zero.

Prin urmare, în cazul unei variabile aleatoare continue ne bvom îndrepta atenția mai degrabă către

calculul probabilității ca un anumit rezultat să fie situat într-un interval, mai degrabă decât să se

obțină ca atare. Dev exemplu, putem calcula probabilitatea ca un anumit recipient de săpun lichid să

conțină un volum de lichid care să se abată cu maxim 1% de la volumul standard de 250 ml. Pentru

asta va trebui să calculăm următoarea probabilitate: 1X1P . Aceasă scriere arată că

recipientul poate conține mai puțin, sau mai mult cu 1% față de volumul standard. Pentru a rezolva

această problemă vom face apel la integrala Riemann şi vom calcula probabilitatea astfel:

150

2

3

x

250

3dxx

250

3dxxf1X1P

1

1

31

1

2

1

1

Mai trebuie spus, în finalul acestei secțiuni, că întotdeauna suma elementelor de pe linia

probabilităților unei variabile aleatoare discrete este 1, iar în cazul unei variabile aleatoare continue

integrala calculată pe întreaga mulțime a numerelor reale din funcția densitate de probabilitate este

de asemenea egală cu 1.

Exemplul 3.1.5. În acest exemplu vom determina valorile a doi parametri reali a şi b astfel încât X şi Y

definite după cum urmează să fie variabile aleatoare discretă şi respectiv continuă.

X:

2

1a

3

1311

şi Y:

xf

x cu

altfel,0

4,1x,bxxf

2

.

55

Ţinând cont de afirmația pe care am făcut-o anterior, suma elementelor de le linia a doua a lui X

trebuie să fie egală cu 1, dacă acest tablou reprezintă o variabilă aleatoare. Această condiție se scrie:

6

1a1

2

1a

3

1

O condiție similară o vom impune şi asupra lui Y. Pentru că în acest al doilea caz există o infinitate de

valori pe care le poate lua funcția f pentru x în intervalul 4,1 , va trebui să facem apel la integrala

Riemann care generalizează o sumă finită. Condiția pe care o vom impune în cazul variabilei

aleatoare Y este:

65

3b1

3

xb1dxbx1dxxf

4

1

34

1

2

R

Prin urmare, pentru valorile determinate anterior ale lui a şi b, X şi Y devin variabile aleatoare

discretă şi respectiv continuă.

3.2. Independență şi condiționare

Să ne amintim de urna U având structura: 6 bile albe şi 4 bile negre. La extragerea unei bilă din urnă

am stabilit următoarele evenimente complementare: A : bila extrasă este albă şi N : bila extrasă este

neagră. Spuneam că 6,0)A(P şi 4,0)N(P . Aşa cum era de aşteptat, se verifică egalitatea:

1)N(P)A(P .

Exemplul 3.2.1. În ipotezele de mai sus, presupunem că din urna U efectuăm o a doua extragere. Ne

interesează care este probabilitatea ca a doua bilă extrasă să fie albă. Problema se poate trata în

două maniere care se vor dovedi ca fiind fundamentale pentru studiul ulterior al teoriei

probabilităților.

Cazul I. Acest caz îl vom denumi cazul extragerii cu întoarcere. Presupunem că bila de la prima

extragere este repusă în urnă înainte de efectuarea extragerii a doua. Prin urmare, înainte de a doua

extragere structura urnei este aceeaşi cu cea dată în ipoteză (6 bile albe şi 4 bile negre) şi dacă notăm

din nou:

A : bila obținută la prima extragere este albă

B : bila obținută la a doua extragere este albă

56

probabilitatea evenimentului B nu va fi întru nimic diferită față de probabilitatea evenimentului A.

Deci, 5

3

10

6)A(P)B(P .

Cazul al-II-lea. Vom numi acest caz, cazul extragerii fără întoarcere. El presupune că prima bilă

extrasă nu este repusă în urnă, de unde rezultă clar că structura urnei va fi modificată față de

structura inițială. Înainte de cea de-a doua extragere, în urna dată în enunț au mai rămas doar 9 bile

din 10, astfel:

dacă prima bilă extrasă a fost albă, înaintea celei de-a doua extrageri au mai rămas 5 bile albe şi

s-au menținut cele 4 negre care au fost.

dacă prima bilă extrasă a fost neagră, înaintea celei de-a doua extrageri au mai rămas 3 bile negre

şi s-au menținut cele 5 albe care au fost

Concluzia imediată este că rezultatul celei de-a doua extrageri depinde de culoarea bilei extrase

inițial. Notăm:

A : prima bilă extrasă este albă

N: prima bilă extrasă este neagră

B : a doua bilă extrasă este albă.

Deoarece evenimentele A şi B, sau N şi B de mai sus depind unul de altul, vom spune că ele sunt

evenimente dependente. Evenimentele A şi B de la cazul I sunt un exemplu de evenimente

independente. În general, vom considera că două evenimente A şi B sunt independente dacă

realizarea sau nerealizarea lui A nu influențează cu nimic realizarea sau nerealizarea lui B. Despre

două evenimente independente, acceptăm ca fiind adevărată egalitatea: BPAPBAP şi de

asemenea forma ei generală pentru n evenimente independente oarecare.

Exemplul 3.2.2. Două produse destinate consumului casnic sunt lansate pe piață de către o firmă F.

Probabilitatea ca un cumpărător să prefere produsele firmei F unor produse de la o firmă concurentă

este de 0,6. Ne interesează probabilitatea ca pe piața de desfacere cel puțin unul dintre cele două

produse de la F să fie vândute în detrimentul firmei concurente. Pentru rezolvarea problemei vom

fixa evenimentele:

:A1 primul produs al firmei F este preferat celui de la firma concurentă

57

:A 2 al doilea produs al firmei F este preferat celui de la firma concurentă

Se dau probabilitățile: 6,0)A(P)A(P 21 . Faptul că dintre cele două produse cel puțin unul este

preferat pe piață se scrie ca reuniunea evenimentelor de mai sus, adică: 21 AA . Cele două

produse se vând independent unul de celălalt, deci are loc:

36,0AAPAPAPAAP 212121 .

În concluzie, avem:

84,036,06,06,0AAP

AAPAPAPAAP

21

212121

Introducem notația:

)B(P

BAPBAP

(3.1.)

şi citim: probabilitatea condiționată a lui A relativ la B. Dacă P (B) = 0, atunci fracția (3.1.) conduce la

un caz de nedeterminare 0

0, pe care îl vom evita considerând că ori de câte ori vom scrie

probabilitatea condiționată P(A/B), vom şti că se impune P(B) > 0, chiar dacă acest lucru nu este

menționat explicit. P(A/B) înseamnă probabilitatea (şansa) de realizare a lui A, în condițiile în care

ştim sigur că B s-a realizat.

Exemplul 3.2.3. Se consideră o urnă U cu următoarea structură: 4 bile albe şi 5 bile negre. Se fac

două extrageri succesive din U, fără a pune bila extrasă înapoi. Să notăm cu:

A1 : la prima extragere am obținut bilă albă

A2 : la a doua extragere am obținut bilă neagră.

Avem,9

4=)A(P 1 deoarece în U avem 4 bile albe, deci 4 şanse de a obține o bilă albă la o extragere,

din 4+5=9 bile care înseamnă toate bilele din urnă. Am putut, deci, stabili P(A1). Pentru P(A2), însă nu

putem preciza cu exactitate o valoare. Rezultatul celei de-a doua extrageri depinde de noua structură

a urnei, astfel:

Dacă la prima extragere s-a obținut bilă albă, ceea ce înseamnă că evenimentul A1 s-a realizat, urna U

58

are structura: 3 bile albe + 5 bile negre. Probabilitatea ca la a doua extragere să obținem bilă albă,

deci să se realizeze A2, este în acest caz 8

3. Aceasta este o probabilitate condiționată:

8

3 = )AA(P 12

Dacă la prima extragere am obținut bilă neagră, deci s-a realizat complementarul lui A1 ( notat CA1),

structura urnei este: 4 bile albe + 4 bile negre şi 2

1

4

2CAAP 12 reprezintă probabilitatea ca la

a doua extragere să rezulte bilă albă, ştiind că la prima extragere s-a obținut bilă neagră.

Mai putem calcula 1212 CACAPşiACAP , care se traduc astfel: 12 ACAP = probabilitatea ca

la a doua extragere să obținem bilă neagră, dacă la prima extragere am obținut bilă albă şi este:

8

5 = )ACA(P 12

12 CACAP = probabilitatea ca la a doua extragere să rezulte bilă neagră, dacă la prima extragerea

a rezultat neagră: 2

1 =

8

4 = )CACA(P 12 .

3.3. Funcția de repartiție

Acest paragraf se va ocupa de funcția de repartiție pentru o variabilă aleatoare, fie că ea este

discretă, fie continuă. Multiplele utilizări în practică fac ca discutarea acestei funcții să fie un aspect

important al recapitulării elementelor de teoria probabilităților. Pentru a înțelege cum ajungem la

construcția acestei funcții, vom porni de la un exemplu.

Exemplul 3.3.1. Fie variabila aleatoare discretă X, definită prin

3,02,01,02,02,0

21012:X . Vom

calcula următoarele valori de probabilitate:

1XP , 1XP,3XP .

Să observăm că inegalitatea 1X se traduce prin valorile pe care le ia variabila aleatoare din enunț

(deci, cele înscrise pe prima linie) şi care sunt mai mici sau cel mult egale cu -1. În cazul de față există

valorile X = -2 şi X = -1 care întrunesc această condiție. Probabilitățile cu care apar aceste valori sunt

0,2 şi 0,2, deci putem scrie:

4,02,02,01XP2XP1XP .

59

Pentru celelalte valori, avem: 0)3X(P , deoarece în variabila aleatoare valorile încep de la - 2 şi

3,02XP1XP

Am ales pentru calculul probabilităților de mai sus forme de inegalitate care includeau valori ale

variabilei aleatoare: -1,1, sau numărul fixat -3. Să presupunem acum că dorim să calculăm

xXP ,unde x este un număr real arbitrar. Vom discuta, desigur, în funcție de valorile pe care le

poate lua x.

dacă x < - 2, avem în mod evident: 0)xX(P

dacă - 2 x < -1, avem: 2,0)2X(P)xX(P

dacă - 1 x < 0, avem:

4,02,02,0)1X(P)2X(P)xX(P

dacă 0 x < 1, avem:

5,01,02,02,0)0X(P)1X(P)2X(P)xX(P

dacă 1 x < 2, avem:

7,02,01,02,02,0

)1X(P)0X(P)1X(P)2X(P)xX(P

dacă 2x , avem:

13,02,01,02,02,0

)2X(P)1X(P)0X(P)1X(P)2X(P)xX(P

Aceste rezultate pe care le-

am obținut le vom scrie restrâns astfel:

60

2xdacă,1

2x1dacă,7,0

1x0dacă,5,0

0x1dacă,4,0

1x2dacă,2,0

2xdacă,0

)x(F

2xdacă,3,02,01,02,02,0

2x1dacă,2,01,02,02,0

1x0dacă,1,02,02,0

0x1dacă,2,02,0

1x2dacă,2,0

2xdacă,0

)x(F

Vom spune că F (x) este funcția de repartiție a lui X.

După cum a fost construită, putem defini funcția de repartiție a unei variabile aleatoare discrete ca

fiind

)xX(P)x(F,1,0R:F (3.2.)

Se demonstrează că funcția de repartiție din definiția anterioară are proprietățile:

este o funcție monoton crescătoare

are valoarea minimă egală cu 0 şi 0)x(Flimx

are valoarea maximă egală cu 1 şi 1)x(Flimx

este semicontinuă, mai exact este continuă la stânga

Aşa cum o arată şi exercițiul anterior, funcția de repartiție pentru variabila aleatoare discretă în

discuție este o funcție în scară: graficul ei este în trepte (vezi figura de mai jos). Mai mult, este o

funcție crescătoare, cu valoarea minimă egală cu 0 şi valoarea maximă egală cu 1. Față de afirmația

de mai sus, mai avem de verificat semicontinuitatea lui F în fiecare dintre punctele - 2, - 1, 0, 1, 2.

Pentru x = - 2, arătăm că )2(F)x(Flim

2x2x

adică, dacă înlocuim, )2(F02,0lim

2x2x

, ceea ce este

adevărat. Pe de altă parte, 2,02,0lim)x(Flim

2x2x

2x2x

, deci funcția este continuă doar la dreapta, prin

urmare este semicontinuă.

61

Pentru celelalte puncte avem de dovedit pe rând următoarele egalități: )1(F)x(Flim

1x1x

,

)0(F)x(Flim

0x0x

, )1(F)x(Flim

1x1x

, )2(F)x(Flim

2x2x

. Dată fiind simplitatea verificării, lăsăm ca temă.

1

0,5

Figura 3.2. Funcția de repartiție ca funcție în scară, pentru o variabilă aleatoare discretă.

Observați că, pentru funcția de repartiție a unei variabile aleatoare discrete, condițiile din definiție

sunt satisfăcute aproape evident.

Funcția de repartiție pentru variabile aleatoare discrete este foarte utilă în aplicații pentru calculul

probabilităților de forma: bXaP , unde a şi b sunt două numere reale. Se poate demonstra cu

uşurință că:

)a(F)b(FbXaP (3.3.)

unde F este funcția de repartiție a variabilei aleatoare X.

În cazul unor variabile aleatoare continue, este foarte clar că funcția de repartiție se va calcula tot pe

baza unor calcule integrale. De fapt, pornind de la (3.2.) vom spune că penbtru o variabilă aleatoare

continuă de forma

Rxxf

x:X

funcția de repartiție F se defineşte astfel:

x

dttf)xX(P)x(F,1,0R:F (3.4.)

Din (3.4.) şi din (3.3.) deducem imediat că pentru o variabilă aleatoare continuă, de forma

Rx

xf

x:X

, putem calcula:

62

aFbFdttf)bXa(P

b

a

(3.5.)

Exemplul 3.3.2. Vom calcula acum funcția de repartiție pentru variabila aleatoare continuă din

exemplul 3.1.5., care are funcția densitate de probabilitate

altfel,0

4,1x,x65

3xf

2

.

Este evident faptul că vom distinge trei cazuri şi anume: 1x , 4,1x şi de asemenea 4x .

Să găsim forma lui xF pentru fiecare dintre cele trei situații şi pentru asta să folosim (3.4.):

Dacă 1x , atunci 0dt0dttf)x(F

xx

, adică 0)x(F 1x .

Dacă 4,1x , atunci

x

1

1x

dttfdt0dttf)x(F . Continuăm calculul şi obținem:

65

1x

3

t

65

3dtt

65

3dt0)x(F

3x

1

3x

1

2

1

, 4,1x

În fine, mai avem cazul 4x şi atunci

x

4

4

1

1x

dttfdttfdttfdttf)x(F

1dt0dtt65

3dt0)x(F

x

4

4

1

2

1

În concluzie, funcția de reprtiție pentru variabila aleatoare continuă pe care o studiem este:

4x,1

4x1,65

1x

1x,0

xF3

Dacă dorim acum să calculăm pe baza relației (3.5.) probabilitatea 3X2P , aceasta va fi:

63

65

280

65

132F3F3X2P

3

Din modul în care s-a obținut fincția de repartiție în cazul variabilelor aleatoare contiune, deducem că

există o relație între ea şi densitatea de probabililate f. Această relație este, în mod evident:

xFxf (3.6.)

Egalitatea are loc pentru toate acele valori ale lui x pentru care mărimile au sens. Exemplul următor

ne va arăta modul în care se poate deduce funcția densitate de probabilitate odată ce cunoaştem

funcția ei de repartiție şi vom aduce în discuție o variabilă aleatoare mixtă.

Exemplul 3.3.3. [Arcones, 2005] Vom considera că variabila aleatoare X are funcția de repartiție

definită astfel:

2x,1

2x1,16

4x3

1x0,8

2x0x,0

xF 2

Vom arăta modul în care se deduce distribuția de probabilitate pentru această variabilă aleatoare şi

vom porni de la observația că funcția F nu este continuă aşa cum ar cere proprietățile ei teoretice:

8

20

8

2xFlim0F0F0F

0x

16

1

8

3

16

7xFlim1F1F1F

1x

016

161xFlim2F2F2F

2x

, deci F este continuă în 2.

Valorile de probabilitate pentru rezultatele 0 şi 1, care vor face parte din componenta discretă a

variabilei aleatoare X, se calculează din:

8

20F0F0XP0XP0XP

64

16

11F1F1XP1XP1XP

Partea discretă a variabilei aleatoare X este, prin urmare:

altfel,0

1x,16

1

0x,8

2

xp

Pentru a obține partea continuă a variabilei aleatoare X vom deriva în forma funcției de repartiție F:

altfel,0

2x1,8

x3

1x0,8

1

xf

altfel,0

2x1,16

4x3

1x0,8

2x

xf2

Se poate observa că variabila aleatoare X este, chiar şi în cazul în care este caracterizată de o

componentă discretă şi de una continuă, o variabilă aleatoare în adevăratul sens al cuvântului pentru

că probabilitatea totală este 1:

1dx8

x3dx

8

11XP0XP

1dxxfxp

2

1

1

0

Rx

3.4. Distribuții speciale de probabilitate

Manualele de teoria probabilităților alocă un spațiu vast descrierii modului în care operează diferite

tipuri de distribuții de probabilitate, care sunt proprietățile lor şi cum anume putem stabili că o

variabilă aleatoare urmează o anumită distribuție şi nu alta. Cu privire la aceste aspecte vom mai

discuta în capitolul următor, în relație directă cu problematica riscului care ne interesează în această

lucrare.

65

Prezentarea distribuțiilor de probabilitate ar trebui să înceapă, întotdeauna, cu distribuțiile discrete.

Din punct de vedere formal sunt mai simplu de prezentat şi de instrumentat, iar din punct de vedere

practic sunt mai uşor de înțeles. Vom începe şi noi tot cu câteva distribuții discrete şi vom pune

accent pe posibilitatea utilizării lor în evaluarea riscului la nivel de firmă.

Distribuția binominală cu două stări

Cunoscută şi sub numele de distribuția lui Bernoulli, ea modelează următoarea experiență aleatoare:

din n urne cu structuri identice, care conțin bile albe şi bile negre într-o anume proporție, se face câte

o extragere. Se urmăreşte numărul de bile albe obținute ca urmare a acestor n extrageri, număr care

în mod cert nu poate fi cunoscut înainte de încheierea experienței. Dacă în fiecare urnă există a bile

albe şi b bile negre, este simplu să observăm că din totalul a + b al bilelor din urnă probabilitatea ca la

o extragere să apară o bilă albă este

b a

ap

Se poate demonstra – şi Bernoulli a demonstrat cu mult timp în urmă – că probabilitatea ca din

totalul de n bile extrase să fie k albe şi restul de n - k negre, este:

knkknk p1pCP

(3.7.)

Exemplul 3.3.1: Un utilaj a cărui funcționare este automată, poate genera rebuturi. Experiența

anterioară arată că un produs rezultat pe această linie de producție este respins la controlul de

calitate cu probabilitate de 1,4%. Câte rebuturi generează utilajul, dintr-un total de 20 produse

fabricate?

Multă lume poate răspunde la această întrebare spunând că trebuie făcută înmulțirea dintre 20 şi

1,4/100, adică va fi vorba de „vreo” 2 sau 3 rebuturi. Într-un anume fel răspunsul este corect, dar el

arată un număr mediu de produse la care ne putem aştepta să fie respinse de controlul de calitate.

Câte rebuturi generează efectiv utilajul nu putem şti cu exactitate. Poate să fie vorba de 5, de 17 sau

de nici unul. Orice număr între zero şi douăzeci poate fi răspunsul la întrebarea noastră, dar intuim că

anumite variante sunt mai probabile ca altele.

Să vedem legătura între acest exemplu şi distribuția binomială: în modelul teoretic, urnele sunt

obiectul de interes. Prin urmare, pe poziția lor se vor găsi cele n = 20 de produse. Extragerile din urnă

sunt asimilate expunerilor la proasta funcționare a utilajului. Rezultatul extragerii este obținerea bilei

66

albe, iar rezultatul studiat în exemplul nostru este apariția rebutului. Probabilitatea apariției unei bile

albe este asimilată şansei (sau neşansei!) de obținere a unui rebut , prin urmare p = 0,014. În

concluzie, probabilitatea ca din cele 20 de produse un număr egal cu k să fie rebuturi, iar restul de 20

- k să fie corespunzătoare, este:

k20986,0

k014,0

k20CkP

Înainte să stabilim cadrul general de aplicare a distribuției binomiale în evaluarea riscului, este nevoie

să mai facem câteva observații importante. Modelul teoretic vorbeşte despre n urne diferite, dar

identice ca structură. Din fiecare din ele se face exact o extragere, existând posibilitatea obținerii

unei bile de oricare din cele două culori. Aceste ipoteze ne spun, de fapt, că avem de-a face cu n

evenimente (rezultate ale extragerilor):

Independente, pentru că fiind vorba de urne diferite acestea nu se pot influența reciproc

pentru obținerea de bile de o anumită culoare;

Egal probabile, pentru că în toate urnele ponderea bilelor albe este aceeaşi.

În fine, din fiecare urnă se face exact o extragere, deci atunci când vom aplica practic modelul va

trebui să avem în atenție acest aspect. În exemplul nostru, toate aceste ipoteze sunt îndeplinite:

fiecare produs poate de veni rebut indiferent de ce se întâmplă cu celelalte, experiența anterioară ne

spune că probabilitatea să se întâmple un astfel de eveniment este aceeaşi pentru toate produsele şi

nici un produs nu poate deveni rebut de mai multe ori.

La fel ca pentru oricare instrument matematic, utilizarea distribuției binomiale are avantaje şi limite.

O primă limită se referă la faptul că numărul n al unităților expuse nu trebuie să depăşească 20,

pentru ca rezultatele să fie relevante. Pentru n > 20, vom vedea că se aplică alte metode de lucru. De

asemenea, nu în toate cazurile se poate vorbi despre aceeaşi probabilitate de apariție a pierderii

pentru toate unitățile expuse, nici despre independența expunerilor şi nici despre faptul că o unitate

nu poate fi expusă de mai multe ori în aceeaşi perioadă de timp. Devine naturală convingerea că

există şi alte distribuții teoretice de probabilitate care se pot utiliza în diferite situații concrete.

Distribuția Poisson

Deşi are o formă aparte, în sensul că rezultatele posibile ale acestei distribuții sunt o infinitate, ea

este tot o distribuție discretă de probabilitate, utilizată adesea pentru determinarea numărului de

apariții ale unui eveniment într-un interval de timp specificat, sau într-un anumit spațiu. Ne poate

67

interesa, de exemplu, numărul defecțiunilor care apar într-o oră pe o linie de producție, numărul de

reparații care trebuie făcute unei maşini în 50.000 km parcurşi, sau numărul care nu corespunde

standardelor de greutate, din 200 de pungi rezultate de pe o linie de ambalare. Pentru a putea utiliza

distribuția Poisson este nevoie să fie îndeplinite două condiții pe care le vom enunța imediat şi care

ne asigură că probabilitatea apariției de x ori a fenomenului generator de pierdere este dată de o

funcție cunoscută sub numele de funcția de probabilitate Poisson.

1) Probabilitatea de apariție a evenimentului este aceeaşi, pentru orice două intervale (de timp,

spațiu etc.) de aceeaşi lungime.

2) Apariția sau neapariția evenimentului în oricare interval este independentă de apariția sau

neapariția evenimentului în oricare interval.

Atunci, funcția Poisson de probabilitate este:

!x

exp

x , x = 0, 1, 2, … (3.8.)

Am notat cu μ numărul mediu de apariții ale evenimentului, iar cu e numărul lui Euler, e = 2,71828.

Înainte de a trece mai departe, trebuie să observăm că în (3.8.) nu se impune o limită superioară a

numărului de apariții ale evenimentului, deci teoretic o distribuție Poisson poate avea o infinitate de

rezultate. Referindu-ne la exemplul defecțiunilor care pot să apară în decurs de o oră pe o linie, de

producție, cu siguranță că presupunerea că ele ar fi 20, 100 sau 2000 este stranie. Dacă ar constata

una ca asta, cu siguranță că întreprinzătorul nu s-ar mai ocupa cu calcul de probabilități, ci ar face o

investiție serioasă într-o linie de producție corespunzătoare. Să nu înțelegem, totuşi, că distribuția

Poisson este inaplicabilă, ci să avem încredere în faptul că valorile de probabilitate p(x) care se abțin

pentru un număr nenatural de mare al aparițiilor evenimentului dăunător se dovedesc atât de mici,

încât nici nu vor fi luate în considerație.

Atunci când discutam despre distribuția binomială, spuneam că avantajul utilizării ei ține de faptul că

este necesară cunoaşterea unei singure mărimi şi anume p. În cazul distribuției Poisson acest avantaj

se menține, în sensul că nu trebuie să determinăm decât numărul mediu de apariții ale

evenimentului nefavorabil, μ, într-un anume interval de timp. Între aceste două distribuii există o

legătură pe care trebuie să o amintim. Dacă, în ipotezele distribuției binomiale, numărul n al

unităților expuse este din ce în ce mai mare, iar valoarea de probabilitate p devine din ce în ce mai

mică astfel încât produsul μ = np să se mențină constant, atunci distribuția Poisson cu μ menționat

68

anterior devine o bună aproximare pentru distribuția binomială. O convenție acceptată16 este aceea

că aproximarea distribuției binomiale cu distribuția Poisson se poate face ori de câte ori p ≤ 0,05 şi n

≥ 20. Desigur, aproximarea este posibilă chiar dacă aceste două condiții nu sunt îndeplinite, dar

rezultatul obținut ar putea să nu fie relevant.

Nu putem încheia această secțiune fără să facem o scurtă prezentare a distribuției normale,

considerată poate cea mai importantă dintre distribuțiile continue de probabilitate.

Distribuția normală

Scopul acestui paragraf nu este în nici un caz reluarea unor binecunoscute caracteristici matematice,

formale, ale acestei distribuții, deşi este esențial să spunem că din punct de vedere al repartiției

normale, probabilitatea obținerii unui rezultat x este:

2

2

2

mx

e2

1xf

(3.9.)

unde m şi sunt doi parametri a căror semnificație, foarte importantă de altfel, va fi reamintită

cititorilor atunci când vom discuta asupra măsurării riscului.

La fel ca şi distribuția Poisson, distribuția normală poate fi utilizată pentru a descrie evoluția unui

fenomen aleatoriu luat ca atare, sau pentru aproximarea unei distribuții binomiale. Să spunem de

exemplu, că o firmă producătoare de lapte utilizează o maşină de îmbuteliat care are sarcina să

umple sticle de un litru. Față de această cantitate, se admite o toleranță de ± 5%, dar uneori

sticlele pot fi umplute mai mult sau mai puțin, ceea ce conduce la respingerea lor înainte de a fi

trimise spre vânzare. Se intuieşte faptul că distribuția normală este cea care redă cel mai fidel

apariția abaterilor de la cantitatea de 1 litru motiv pentru care, dacă parametrii m şi sunt: m

= 1 şi = 0,0025, atunci probabilitatea ca o sticlă să fie respinsă la controlul de calitate se poate

calcula utilizând tabelele repartiției normale.

În cazul în care fenomenul studiat se încadrează în condițiile 1-3 ale distribuției binomiale şi dacă au

loc simultan: np ≥ 5 şi n(1-p) ≥ 5, atunci distribuția binomială se poate aproxima printr-o distribuție

normală cu parametrii m = np şi = np(1-p). Imediat ce vom trece la prezentarea măsurilor utilizate

16

Anderson D., Sweeney D., Williams T. – Statistics for Business and Economics, Second Edition, West

Publishing Company.1984.

69

pentru risc, în capitolul următor, va deveni foarte limpede motivul pentru care distribuția normală

este foarte agreată în practică.

3.4. Valori numerice pentru o variabilă aleatoare

Această secțiune se va referi doar la variabilele aleatoare discrete, pentru care determinarea valorilor

care ne vor interesa nu presupune calcul integral. Pentru aceia dintre cititori care sunt interesați să

aprofundeze aspectele teoretice legate de variabile aleatoare continue recomandăm un materialul

bibliografic cu un grad mai mare de dificultate, menționat la sfârşitul cărții.

Pentru o variabilă aleatoare putem calcula anumite valori numerice care se vor dovedi deosebit de

utile în aplicații. Cele mai întâlnite astfel de valori sunt media, dispersia şi abaterea standard ale unei

variabile aleatoare dar şi corelația dintre două astfel de variabile, indiferent că ele sunt discrete sau

continue. Această secțiune se va ocupa, aşa cum am precizat, de calculul valorii medii, dispersiei,

abaterii standard şi corelației în cazul variabilelor aleatoare discrete.

Dacă

n21

n21

ppp

xxx:X

este o variabilă aleatoare discretă simplă, definim media, au valoarea ei

aşteptată, mărimea notată M (X) şi definită astfel:

nn2211 pxpxpxXM . (3.10.)

Dacă X şi Y sunt variabile aleatoare discrete, atunci M (X + Y ) = M (X) + M (Y). De asemenea, ca o

consecință directă a acestei afirmații, putem spune că dacă X este o variabilă aleatoare discretă a

cărei medie există şi dacă a este o constantă reală, atunci are loc relația: M(aX) = a M(X).

Exemplul 3.5.1. Fie variabila aleatoare discretă

4,04,02,0

311:X . Vom verifica egalitatea M (3X) =

3M (X). Pentru asta vom spune că regula de înmulțire cu o constantă este următoarea: se înmulțeşte

cu constanta respectivă întreaga linie a rezultatelor, iar probabilitățile rămân neschimbate.

4,04,02,0

933:X3

4,04,02,0

333131:X3

Obținem, prin aplicarea lui (3.10.):

2,44,094,032,0)3()X3(M

70

Pe de altă parte, avem:

6,14,034,012,0)1()X(M4,04,02,0

311:X

Relația pe care trebuia să o verificăm este adevărată:

M (3X) = 3M(X) 6,132,4 .

Pentru variabila aleatoare discretă X se calculează dispersia notată 22 sau),X(D , din formula

următoare:

222 )X(M)X(M)X(D (3.11.)

Numărul )X(D2 se numeşte abatere medie pătratică a lui X.

Exemplul 3.5.2. Fie variabila aleatoare discretă

2

1

4

1

4

1101

:X . Vom calcula media ei, dispersia şi

abaterea medie pătratică. Din (3.10.) rezultă, prin înlocuire:

4

1

2

11

4

10

4

11)X(M

Calculăm 2X prin ridicarea la pătrat a elementelor de prima linie şi lăsând probabilitățile

neschimbate:

4

3

4

110

:X

2

1

4

1

4

1101

:X 2

222

2 4

3

4

31

4

10XM 2

Pentru calculul abaterii medii pătratice avem nevoie de dispersie, pe care am definit-o în (3.11.).

Înlocuim şi obținem:

4

11)X(D

16

11

4

1

4

3)X(D 2

2

2

Exemplul 3.5.3. Vom scrie variabila aleatoare ataşată experienței aruncării unui zar. Şi apoi vom

calcula media şi dispersia ei. Am determinat anterior variabila aleatoare în discuție, ca fiind

71

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1654321

:X

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1654321

:X

222222

2

Calculăm:

2

7654321

6

1)X(M

6

91654321

6

1XM 2222222

Dispersia se calculează după formula (3.11.):

12

35

4

49

6

91)X(D)X(M)X(M)X(D 2222

6

105

12

35)X(D2

Va trebui să facem mențiunea că mărimea )X(D2 a fost definită pentru o variabilă X arbitrară.

Aceasta ne spune că trebuie ca dispersia unei variabile aleatoare să fie un număr pozitiv, indiferent

de forma variabilei aleatoare discrete X, pentru ca radicalul cu ajutorul căruia a fost definită să

existe.

Nu putem încheia această secțiune fără să prezentăm un model de calcul pentru media şi dispersia

unei variabile aleatoare continue şi în acest scop ne vom referi la tot la variabila Y din Exemplul

3.1.5., pentru care am determinat varoarea b a parametrului ca fiind 65

3b . Deocamdată să

spunem că dacă o variabilă aleatoare continuă este de forma X:

xf

x, atunci media ei se calculează

din:

R

dxxxfXM , (3.12.)

iar R

22 dxxfxXM . (3.13.)

72

Dispersia ei, odată calculate XM şi 2XM , se determină după aceeaşi formulă de calcul ca şi în

cazul variabilelor aleatoare discrete.

Exemplul 3.5.4. Vom calcula, aşadar, media şi dispersia variabilei aleatoare continue Y a cărei funcție

densitate de probabilitate este

altfel,0

4,1x,x65

3xf

2

.

Media variabilei Y este:

dxxxfdxxxfdxxxfdxxxfYM

4

4

1

1

R

dxx65

3dx0dxx

65

3xdx0YM

4

1

3

4

4

1

2

1

52

153

4

1

4

4

65

3

4

x

65

3YM

444

1

4

Similar,

dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxYM

4

2

4

1

2

1

2

R

22

dxx65

3dx0dxx

65

3xdx0YM

4

1

4

4

4

1

22

1

2

13

123

5

1

5

4

65

3

5

x

65

3YM

554

1

52

Dispersia se va calcula din formula:

8,052

153

13

123YMYMYD

2222

Abaterea standard a variabilei aleatoare Y este:

894,0YD2

73

3.5. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar

1. Explicați din ce motiv este necesară intervenția instrumentelor formale, specifice matematicii

în general şi teoriei probabilităților în special, pentru studiul riscului?

2. Explicați noțiunea de experiență aleatoare şi dați 5 exemple de astfel de experiențe pentru

care puteți atribui valori de probabilitate diferitelor rezultate posibile?

3. Ce este o variabilă aleatoare? Dați exemplu de o variabilă aleatoare care să exprime

rezultatele posibile la examenul de Economia Riscului. Există mai multe variabile aleatoare pe

care le puteți construi, relativ la experiența aleatoare pe care v-am formulat-o? Explicați.

4. Care este diferența dintre o variabilă aleatoare discretă şi o variabilă aleatoare continuă?

Dați câte două exemple concrete din fiecare, explicând modul în care ați dedus forma lor din

exemplele practice pe care le-ați ales.

5. Explicați maniera de calcul a probabilității ca raport între numărul de cazuri favorabile şi

numărul de cazuri posibile. Dați exemplu de trei situații concrete în care o astfel de abordare

se poate utiliza şi explicați, relativ la fiecare caz în parte, de ce oricare valoare de

probabilitate se află situată în intervalul 1,0 .

6. Explicați ce sunt evenimentele dependente şi evenimentele independente. Dați exemplu de

trei situații practice în care să apară fiecare dintre cele două tipuri de evenimente. Justificați

de ce credeți că evenimentele pe care le-ați ales sunt dependente sau, dimpotrivă,

independente.

7. Enunțați ipotezele în care funcționează distribuția lui Bernoulli. Găsiți un exemplu practic în

care aceste ipoteze funcționează (justificați!) şi construiți, pe baza acestui exemplu, o

problemă de teoria probabilităților. Rezolvați-o!

8. Enunțați ipotezele în care funcționează distribuția Poisson. Găsiți un exemplu practic în care

aceste ipoteze funcționează (justificați!) şi construiți, pe baza acestui exemplu, o problemă

de teoria probabilităților. Rezolvați-o!

9. Care sunt principalele valori numerice pe care le ataşăm în mod tradițional unei variabile

aleatoare şi le utilizăm în studiul riscului? Exemplificați calculul pentru următoarele variabile

aleatoare: a)

5

1

5

2

5

1

5

14321

:X ; b)

xf

x:X unde RR:f ,

altfel,0

2x1,1x

1x,2

1

xf ; c)

X variabilă aleatoare discretă pentru care 50

2xxxXP

, pentru x egal cu 1, 2, 3 şi 4,

74

iar 0xXP dacă X ia alte valori; d) X este variabilă aleatoare a cărei funcție de

repartiție este

4x,1

4x2,30

2x3x

2x,0

xF2

.

10. Ce este funcția de repartiție a unei variabile aleatoare şi ce semnificație practică îi puteți

acorda? Explicați legătura dintre funcția de repartiție F a unei variabile aleatoare X şi

densitatea ei de probabilitate, pentru cazul d) de la exercițiul anterior.

75

CAPITOLUL 4.

DESPRE EVALUAREA RISCULUI

4.1. Construcția distribuțiilor de probabilitate utilizate în studiul riscului

4.2. Nevoia de distribuții teoretice

4.3. Modalități de măsurare a riscului

4.4. Măsuri ale riscului pentru situații particulare

4.5. Măsuri alternative ale riscului

4.6. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar

Obiectivele capitolului

Acest capitol îşi propune să prezinte cititorului cele mai obişnuite metode prin care specialiştii înțeleg să

construiască distribuțiile de probabilitate pe care le utilizează apoi în studiul riscului şi de asemenea să treacă în

revistă cele mai importante – şi totdată cele mai simple – maniere de evaluare a riscului.

4.1. Construcția distribuțiilor de probabilitate

utilizate în studiul riscului

Ori de câte ori veți încerca să aflați cum obțin specialiştii atâtea valori numerice pe baza cărora vă

spun că lucrurile vor sta aşa şi aşa, şi vor evolua aşa şi pe dincolo, vi se va răspunde savant că „se

lucrează cu date statistice”. Dacă vreți să aflați ceva mai mult, fie trebuie să vă purtați frumos, fie să

învățați singuri. Metodele care stau la baza descrierii fenomenelor care au avut loc într-un context nu

sunt nici multe, nici foarte complicate şi de aceea este timpul să le luăm în discuție.

4.1.1. Metoda bazată pe date istorice

Aşa cum se poate intui din însăşi denumirea ei, metoda presupune observarea datelor anterioare

momentului în care se realizează studiul, presupunând că acestea există şi sunt accesibile. Interesat

fiind de un anumit tip de pierdere, dintr-o anumită cauză şi pentru o perioadă de timp stabilită,

întreprinzătorul va trebui să consulte documentele firmei şi să afle, astfel, numărul de apariții ale

pierderilor pe parcursul unei perioade îndelungate de timp. În felul acesta, el va reuşi să obțină

informații despre frecvența diferitelor niveluri de pierdere deja apărute şi va putea estima

probabilitatea ca ele să se producă din nou.

76

Exemplul 4.1.1. Se poate constata, ipotetic şi simplist vorbind, că în ultimii 15 ani firma

întreprinzătorului despre care vorbeam mai devreme a înregistrat pierderi ca urmare a întreruperii

procesului de producție din cauza defecțiunilor tehnice. Datele istorice pe care le presupunem a fi

obținute ca urmare a studiului acestei perioade sunt trecute în Tabelul 4.1. Întreprinzătorul va putea

calcula frecvența de apariție a fiecărui nivel al pierderii, stabilind de exemplu că o pierdere de

2400 u.m. are o frecvență relativă egală cu 15/50 = 0,3 în perioada de timp pentru care s-au studiat

datele. Similar, o pierdere severă de 12.000 u.m. a fost înregistrată o singură dată în 50 de apariții,

deci probabilitatea de a se produce şi pe mai departe este estimată ca fiind egală cu frecvența

relativă de 1/50 = 0,02. Conform acestor date istorice, putem construi (în Tabelul 4.2.) distribuția de

probabilitate pentru pierderile totale la care se poate aştepta întreprinzătorul în perspectivă.

Întrebarea este: cât de corectă este această distribuție şi cât de bine surprinde realitatea

fenomenului „pierdere”?

Spuneam că datele au fost culese pentru ultimii 15 ani. Este foarte posibil ca această perioadă de

timp să nu mai fie relevantă, de exemplu, pentru că schimbarea unor echipamente uzate,

achiziționarea de tehnologii avansate, îmbunătățirea condițiilor de lucru etc. fac ca întreruperile

producției ca urmare a defecțiunilor tehnice să se fi redus foarte mult.

De altfel, este unanim acceptat faptul că viteza uriaşă de evoluție tehnologică şi permanentele

modificări ale mediului de afaceri intern şi extern fac ca perioadele de timp pentru care datele rămân

relevante să se micşoreze drastic. Dacă, de exemplu, toate pierderile mai mari de 4000 u.m. au fost

înregistrate până la momentul înlocuirii unor echipamente învechite (adică, acum 7 ani), de atunci

încoace pierderile nedepăşind 3800 u.m., cu siguranță că datele din tabelul 4.1. ar trebui să arate

altfel, pentru a putea fi utilizate pentru construcția unei distribuții corecte.

Număr de apariții Pierdere totală (u.m.)

4

8

15

8

7

5

1200

1500

2400

3200

3800

4500

77

2

1

7000

12.000

Total: 50 35.600

Tabel 4.1.: Numărul de apariții pentru diferitele pierderi totale înregistrate de firmă în perioada de

timp studiată (15 ani)

Pierdere totală

(u.m.)

Probabilitate Pierdere totală

(u.m.)

Probabilitate

1200

1500

2400

3200

0,08

o,16

0,30

0,16

3800

4500

7000

12.000

0,14

0,10

0,04

0,02

Tabel 4.2.: Pretinsă distribuție de probabilitate pentru pierderile totale potențiale, obținută pe baza

datelor din tabelul 4.1.

Este la fel de adevărat faptul că perioadele relevante prea scurte pot păcătui prin date insuficiente,

mai ales dacă întreprinzătorul ia în calcul rezultatele anuale.

Exemplul 4.1.2. Să spunem că, în urmă cu trei ani, o firmă a adus îmbunătățiri şi modernizări foarte

importante în majoritatea punctelor nevralgice ale activității, acolo unde se înregistrau de obicei

probleme generatoare de pierderi. Multe din cauzele neplăcerilor au fost astfel eliminate şi, de

asemenea, o serie de efecte negative care s-ar fi putut accentua din cauza neregulilor existente, pot

fi presupuse a avea impact mai puțin grav. Cu alte cuvinte, s-a obținut eliminarea unor factori de risc

şi deci a pierderilor care li se datorau şi, în plus, severitatea perturbărilor rămase a fost redusă. Este

de aşteptat, în consecință, ca pierderile potențiale care se aşteaptă în perioada ulterioară

modernizării firmei să fie diferite față de rezultatele nefaste înregistrate până atunci.

Este de asemenea natural ca prognozele care urmează a fi realizate în privința pierderilor potențiale

să fie făcute pe baza datelor recente, care corespund perioadei de după îmbunătățirea activității. În

Exemplul 4.1.2. am presupus că este vorba de 3 ani; dacă aceasta este perioada relevantă, firma se

va baza pe trei observații privind pierderile totale anuale şi aceste date sunt de-a dreptul insuficiente,

în cele mai multe situații, pentru trasarea unei distribuții corecte de probabilitate. Desigur, se poate

argumenta că trei ani înseamnă 3 ∙ 2 = 6 semestre, sau 3 ∙ 4 = 12 trimestre sau mai bine 3 ∙ 12 = 36

luni. Făcând observații pe aceste perioade de timp mai scurte, numărul datelor istorice creşte şi

78

creşte, astfel, acuratețea cu care se va construi distribuția de probabilitate a pierderilor totale. Din

păcate, însă, nu tot ce este corect în teorie este şi comod de aplicat. Dacă ar fi chiar atât de simplu să

analizăm datele lunare din intervalul de trei ani şi să construim corect distribuția pierderilor

potențiale din anul al patrulea, statisticienii n-ar mai pretinde că analiza seriilor de timp este o treabă

complicată! În fond, de unde provine dificultatea? Atunci când luăm în calcul pierderile anuale

obținem trei rezultate, mai mult sau mai puțin apropiate unul de altul – deci cu o variabilitate mai

mare sau mai mică.

De pildă, putem afla că în primul an de după modificările aduse în firmă, s-a înregistrat o pierdere

totală de 1500 u.m., în al doilea an de 1600 u.m., iar în anul al treilea de 2800 u.m.

Observăm, aşadar, că primele două rezultate sunt apropiate unul de altul, dar al treilea este

substanțial diferit. Această variabilitate face ca pierderea potențială pentru anul următor să fie dificil

de estimat. Utilizând date despre pierderile înregistrate lunar în cei trei ani anteriori, variabilitatea

datelor poate creşte sensibil. În plus, trebuie să recunoaştem că firmele care pot pretinde că dețin cu

adevărat aceste date lunare cu privire la toate pierderile din ultimii trei ani, sunt extrem de puține.

Prin urmare, exceptând câteva situații fericite, nu ne putem baza pe faptul că o firmă deține propriile

date istorice pentru a determina corect forma distribuției pierdere. De ajutor pot fi în acest caz

datele suplimentare pe care întreprinzătorul le-ar obține de la firmele de asigurări sau de la institute

de statistică, dar şi aici există unele inconveniente care se vor reflecta în gradul de realism al

distribuției de probabilitate care va rezulta.

În primul rând, astfel de date se referă la firme de diferite dimensiuni, cu expuneri diferite şi cu

specificități în capacitatea de răspuns la pierdere. Întreprinzătorul va trebui să aibă, aşadar,

capacitatea să extrapoleze sau, dimpotrivă, să particularizeze informațiile la situația propriei afaceri

şi lucrul acesta nu este tocmai uşor.

În al doilea rând, datele obținute din surse externe firmei nu se prezintă sub forma distribuțiilor de

probabilitate, ci sunt mărimi exacte care se constituie în serii temporale sau teritoriale sau, mai grav,

pot fi atât de amestecate încât numai cu mare greutate se poate realiza o analiză corectă a lor.

În sfârşit, nu putem să nu atragem atenția asupra unui alt aspect foarte important a cărui neglijare

poate duce la erori grave în evaluarea formei distribuției pierdere. Este binecunoscut faptul că fiecare

perioadă de timp este caracterizată de un anumit nivel al costurilor, fie că acestea se referă la

reparații, fie la înlocuirea totală a obiectelor deteriorate. Este important, deci, să fie făcută o ajustare

79

a valorilor obținute pe baza datelor istorice, pentru ca sumele luate în calcul ca pierderi potențiale să

fie reale.

Pornind de la toate aspectele pe care le-am semnalat, concluzia firească este că distribuția de

probabilitate pentru pierderile totale potențiale se va evalua cu un grad mai mare sau mai mic de

subiectivism, influențată fiind atât de informațiile disponibile cât şi de atitudinea întreprinzătorului

cu privire la pierderile potențiale. Din fericire, teoria probabilităților vine în sprijinul firmei şi pune la

dispoziție o serie de distribuții teoretice de probabilitate care, împreună cu datele particulare pe care

le deține întreprinzătorul, pot ajuta la estimarea distribuțiilor pierdere.

4.1.2. Metoda bazată pe distribuții teoretice

Oricine deschide o carte de teoria probabilităților va întâlni o sumedenie de distribuții teoretice. În

funcție de complexitatea materialului, va găsi repartițiile clasice de probabilitate sau multe alte

repartiții care sunt cunoscute doar de un anumit segment de specialişti. Fiecare distribuție în parte

modelează experiențe aleatoare cu anumite caracteristici, bine stabilite, astfel încât unuia şi aceluiaşi

fenomen nu i se pot atribui mai multe repartiții teoretice care să-i descrie comportamentul.

De exemplu, dacă există în firmă un număr „n” de unități expuse independent la evenimente

generatoare de pierdere şi dacă probabilitatea fiecărei apariții a pierderii este aceeaşi pentru toate

unitățile – şi anume p – atunci orice cunoscător al repartițiilor clasice de probabilitate va spune că

numărul de apariții ale pierderilor urmează o distribuție binominală, sau bernoulliană.

Dacă numărul n al unităților este mai mare decât 50, teoreticienii probabilişti spun că ipotezele de

mai sus ne duc cu gândul la o distribuție Prisson şi exemplele pot continua.

Deşi, mărturisim, ne-ar face o reală plăcere să prezentăm pe larg distribuțiile de probabilitate

utilizate în evaluarea riscului la nivel de firmă, ca şi a modului în care se aplică ele în practică, trebuie

să admitem că lucrul acesta depăşeşte scopul prezentei lucrări. Pentru întreprinzător este mai puțin

importantă frumusețea acestor obiecte matematice şi, de fapt, nu prea îşi pune problema să o

perceapă: însăşi forma generală a distribuției normale de exemplu ar avea capacitatea să

demoralizeze orice cititor.

Plăcute la vedere sau nu, distribuțiile teoretice de probabilitate pot fi extrem de utile atunci când

este nevoie să evaluăm pierderile totale potențiale. Motivul este simplu: dacă pentru determinarea

variabilei aleatoare „pierdere totală” prin metoda datelor istorice este nevoie de un volum mare de

informații, de multe ori greu de obținut, atunci când există deja conturat un comportament prin

80

intermediul unei distribuții teoretice de probabilitate mai este nevoie de date relativ puține pentru a

estima caracteristicile ei exacte. În plus, specialiştii au stabilit deja o mulțime de proprietăți ale

distribuțiilor teoretice şi, de asemenea, direcțiile practice în care se regăsesc ele de obicei.

Multe lucrări de specialitate prezintă distribuția normală ca fiind cea mai importantă în evaluarea

riscului. E foarte adevărat, ea este specifică unei sumedenii de fenomene aleatoare din mediul

înconjurător şi are, în plus, proprietăți care fac ca utilizarea ei să fie comodă în obținerea şi

interpretarea rezultatelor. Nu putem să nu ne referim la ea şi îi vom face o scurtă prezentare, dar nu

pentru a repeta informații deja cunoscute ci pentru a sublinia avantajele şi limitele utilizării acestei

distribuții.

Până atunci, însă, considerăm necesar să supunem atenției câteva informații pe care nu le întâlnim

de obicei în materialele referitoare la evaluarea riscului. Motivul absenței lor ar putea fi tocmai lipsa

de comunicare între specialiştii celor două ştiințe, economia şi matematica. Matematicienii lucrează,

dar rareori economiştii se simt vizați şi, mai ales, ajutați de concluziile studiilor teoretice.

În capitolul al treilea am adus în discuție distribuția binomială şi este tipul să ilustrăm rolul important

pe care îl poate avea această distribuție teoretică în studiul riscului. Vom reaminti, într-un context

mai aplicat decât în capitolul precedent, ipotezele în care poate funcționa distribuția binomială şi

anume: (1) Există în firmă n unități expuse independent la un anumit tip de pierdere, dintr-o anumită

cauză şi într-un interval de timp fixat, (2) Fiecare unitate este expusă pierderii o singură dată, (3)

Pentru toate unitățile expuse, probabilitatea de apariție a pierderii este aceeaşi şi este egală cu p.

În aceste condiții, am stabilit că probabilitatea să se înregistreze exact k apariții ale pierderii, este

knkknk p1pCP

(4.1.1.)

Distribuția binomială ne este, deci, de ajutor în evaluarea numărului de apariții ale pierderii ceea ce

face posibilă determinarea pierderilor totale potențiale, cu condiția să cunoaştem pierderea cauzată

de fiecare apariție.

Exemplul 4.1.3. De exemplu, dacă în cazul utilajului care produce rebuturi cunoaştem costul total

mediu al unui produs ca fiind 4 u.m., atunci pierderea totală de 40 u.m. corespunde apariției a 10 de

rebuturi şi are probabilitatea

1010102010 986,0014,0CP

81

Pentru unii întreprinzători, această valoare ar putea să nu fie demnă de luat în seamă, motiv pentru

care o pierdere de 40 u.m. să nu se afle pe lista lor de amenințări.

Având în vedere faptul că relația (4.1.1.) nu este tocmai relaxantă, se poate pune întrebarea de ce ar

opta întreprinzătorul pentru utilizarea distribuției binomiale atunci când fenomenul studiat o

permite.

În mod cert, este mult mai simplu decât dacă ar încerca să construiască o distribuție de probabilitate

prin metoda datelor istorice. Pentru a calcula numărul posibil de apariții ale pagubei şi probabilitățile

corespunzătoare diferitelor variante, este nevoie să se estimeze doar valoarea p de probabilitate a

apariției. Acest lucru este mai uşor de realizat decât construcția integrală a distribuției de

probabilitate, fără să ştim dacă ceea ce am obținut este sau nu reprezentativ pentru descrierea

fenomenului practic.

Desigur, ca şi în oricare altă situație, evaluarea valorii p pentru distribuția binomială are şi un anumit

grad de subiectivism: în această evaluare nu se poate ține cont de toate informațiile care există. Cu

toate astea, o valoare a lui p cât mai apropiată de realitate este posibil de obținut.

O altă distribuție de probabilitate pe care am menționat-o în capitolul anterior este distribuția

Poisson.

Exemplul 4.1.4. Să exemplificăm aplicarea distribuției Poisson, considerând că un întreprinzător a

încheiat un număr de contracte identice cu clienții, astfel încât întreaga producție de care dispune la

un moment dat să poată fi vândută. Există posibilitatea ca exact înainte de livrarea mărfii clienții să

denunțe contractul şi, pentru moment, întreprinzătorul să înregistreze pierderi în încasări.

Iată similitudinea cu modelul teoretic: (1) Cele n contracte sunt unitățile expuse la pierdere cauzată

de renunțarea clientului la a mai primi marfa. Pentru a ne situa în ipotezele schemei Poisson, trebuie

să ne asigurăm că renunțarea unui client la onorarea contractului nu influențează în nici un fel decizia

celorlalți clienți în această problemă, deci că „expunerile” sunt independente; (2) La momentul la

care ar trebui livrate produsele, contractele pot fi denunțate o singură dată, deci fiecare unitate nu

este expusă pierderii de mai multe ori; (3) Fiecare client are o anumită optică şi atitudine cu privire la

respectarea contractului, deci probabilitățile de neonorare a înțelegerii cu producătorul pot fi diferite

de la un client la altul.

82

Se poate calcula probabilitatea fiecărui număr de respingeri posibile ale contractelor şi, ținând cont

de faptul că am menționat deja că orice două contracte sunt identice, vom şti să evaluăm distribuția

pierderilor totale potențiale.

Această ipoteză, a contractelor similare din punct de vedere al cantității care urmează a fi distribuită

clienților, este restrictivă dar foloseşte la determinarea pierderilor totale potențiale. Dacă ar exista

diferențe între pierderile ocazionate de respingerea unui contract sau altul, atunci n-am mai avea de

unde să calculăm probabilitatea unui anume nivel al daunei pornind de la numărul de apariții.

Aceasta este în mod cert o limită a aplicării schemei lui Poisson, dar nu înseamnă că nu putem găsi, în

practică, situații în care ea să ne fie de ajutor.

Exemplul 4.1.5. Pentru o microîntreprindere, este posibil ca existența a cel puțin 20 de unități expuse

la acelaşi tip de pierdere, dintr-o aceeaşi cauză şi într-un interval de timp specificat să nu poată fi

îndeplinită. De asemenea, este posibil ca probabilitatea de apariție a pierderii în decursul perioadei

studiate să fie, de exemplu, de 0,12 şi atunci nu se îndeplineşte nici condiția p < 0,05. Să nu mai

vorbim despre acea condiție de independență în apariția pierderilor, care este şi ea discutabilă, în

practică. Să fie, oare, aceste două distribuții, binomială şi Poisson, simple invenții ale probabiliştilor?

Cu siguranță, nu.

Condițiile impuse de modelul teoretic pot fi satisfăcute chiar dacă întreprinzătorul nu se decide să

achiziționeze unități suplimentare pe care să le expună şi chiar dacă nu poate, oricât şi-ar dori, să

minimizeze probabilitatea de apariție a pierderilor potențiale. Haideți să punem problema astfel: un

întreprinzător îşi desfăşoară activitatea cu ajutorul a cinci strunguri, fiecare dintre acestea fiind supus

la riscul unor defecțiuni tehnice cu o probabilitate de 0,1 anual.

Dacă gândim să evaluăm numărul defecțiunilor care pot să apară în decurs de un an, avem o

problemă. Unitățile expuse sunt n = 5, ceea ce face comod de aplicat distribuția binomială, pentru că

n ≤ 20 şi este îndeplinită condiția de independență: putem pretinde că, în cele mai multe situații,

defectarea unui strung nu are de-a face cu defectarea altuia.

Problema este că nu avem argumente în a afirma că o asemenea maşinărie nu intenționează să

creeze probleme în mod repetat. Nu este îndeplinită, deci, condiția 2 din descrierea aplicabilității

distribuției binomiale, aceea că fiecare unitate este expusă o singură dată. În această formă, despre

distribuția Poisson nici nu poate fi vorba pentru că nici n, nici p nu întrunesc condițiile cerute.

83

Este de intuit că întreprinzătorul nu va considera necesar să achiziționeze încă 15 strunguri doar

pentru a se încadra în ipotezele acestei din urmă distribuții de probabilitate şi lucrul acesta este de

înțeles. Ce poate face, totuşi? Ideea existenței mai multor posibile apariții ale defecțiunilor tehnice

este foarte utilă.

Nu spune nimeni că aceste probleme vor apărea cu precădere miercurea, sau în luna septembrie,

deci putem reconsidera studiul nostru micşorând, pur şi simplu, intervalul de timp. Se poate

considera că fiecare strung ar putea să se defecteze o dată pe lună. Aceasta înseamnă că, pentru

perioada care ne interesează (aceea de un an) numărul unităților expuse la pierdere creşte de la 5 la

5 ∙ 12 = 60 şi iată că n ≥ 20. Devine logic şi faptul că dacă probabilitatea inițială de defectare a fost 0,1

şi s-a referit la o perioadă de un an, atunci pentru un interval de o lună ea va fi mult mai mică, poate

chiar 0,1 : 12 şi astfel este îndeplinită şi condiția p < 0,05.

În concluzie, metoda trecerii la subperioadă de timp face ca distribuția Poisson să poată fi aplicată cu

succes atunci când trebuie aproximată distribuția de probabilitate pentru numărul de apariție al

pierderilor potențiale.

A nu se înțelege faptul că distribuția Poisson este atotputernică, pentru că există în aplicarea ei o

condiție de care trebuie ținut cont: aceea că pentru toate unitățile expuse, probabilitatea de apariție

a pierderii este aceeaşi.

Referindu-ne la exemplul anterior, asta înseamnă că toate cele 5 strunguri au aceeaşi dorință de a

funcționa sau nu, acelaşi potențial tehnic, eventual sunt identice din toate punctele de vedere. De

multe ori se poate să ne bazăm pe o astfel de presupunere, dar sunt şi situații când nu este posibil.

Din fericire, teoria probabilităților ne pune la dispoziție instrumente pentru cele mai diferite

contexte, dar în privința distribuțiilor discrete utilizate în studiul riscului la nivel de firmă lucrarea de

față se va opri aici.

Este foarte dificil de spus dacă o anumită distribuție de probabilitate este mai utilă decât alta. Fiecare

dintre ele are avantaje şi limite ale utilizării într-o situație practică, dar este adevărat că, aşa cum am

mai subliniat pe parcurs, este de preferat să ştim tipologia spre care evoluează fenomenul şi să

rămână de evaluat o mărime de probabilitate, p, sau o mărime medie, μ, decât să trebuiască să

determinăm distribuția de probabilitate pe baza datelor istorice, adesea insuficiente. Nu trebuie,

însă, uitat că în estimarea acestor mărimi poate să apară o doză de subiectivism care să afecteze

validitatea distribuției. Este recomandat ca oricare parametru pe baza căruia se va construi o

distribuție de probabilitate să fie obținut din oricât de multe informații pot fi la îndemâna firmei.

84

Trebuie să spunem, totuşi, că la fel ca şi distribuția Poisson, cea normală ne scapă de condiția

incomodă că fiecare unitate expusă nu are voie să sufere mai multe pierderi potențiale în perioada

de timp considerată.

4.2. Nevoia de distribuții teoretice

S-ar putea ca într-o zi să trebuiască să discutați cu un om de afaceri japonez. Veți şti, prin urmare, să

nu vă lăsați păcăliți de zâmbetul său permanent, veți avea grijă să nu aruncați cartea lui de vizită în

geantă imediat ce v-a fost oferită şi vă veți abține să-l pupați pe amândoi obrajii atunci când lucrurile

iau o turnură care vă convine. De ce? Pentru că ştiți din experiența proprie sau a altora că anumite

atitudini sau comportamente pot fi fatale intereselor pe care le urmăriți. Japonezul ar putea fi un tip

de treabă, care să nu ascundă că în ziua aceea îl doare un dinte, sau ar putea să nu țină neapărat să-i

analizați cartea de vizită sau, cine ştie, ar putea agrea pupăturile pentru că îi amintesc de o copilărie

fericită, petrecută undeva în Sicilia. Cu toate acestea, atunci când vă prezentați la întâlnire veți fi prudenți.

Ați aflat din vreme ce nu trebuie să faceți la o discuție de afaceri cu un japonez şi nu aveți interesul să

pierdeți din vedere lucrul acesta.

Ați putea să vă prezentați fără nici un fel de informații prealabile despre cultura şi obiceiurile oamenilor

din acest popor, despre ce agrează şi ce nu şi atunci totul se va desfăşura după cum vă e norocul. E posibil

ca pe parcurs să realizați că ați făcut vreo gafă, dar să fie puțin cam târziu să mai schimbați ceva. Prin

urmare, dacă rezultatul întrevederii va fi opusul a ceea ce v-ați dorit, să nu întrebați de ce.

Cam la fel stau lucrurile şi în ceea ce priveşte distribuțiile de probabilitate, ca ilustrare formală a

fenomenelor aleatoare. O distribuție de probabilitate reprezintă cartea de identitate a riscului care vă

interesează, un punct de plecare în analiză şi o armă de calibru în descrierea lui. Aşa cum calitatea de

“japonez” atrage atenția interlocutorului asupra unui set de comportamente posibile, de atitudini şi

atenționări în relația care se va stabili cu omul de afaceri, la fel calitatea de “binomial”, de exemplu,

incorporează o cantitate utilă de informație pentru abordarea fenomenului generator de pagube

potențiale. Este foarte adevărat că oricât de multe am cunoaşte cu privire la un risc, nu există garanții că

acesta poate fi eliminat. Dar, în loc să ne gândim – în plină desfăşurare a unui eveniment dealtfel probabil

– unde anume se va opri şi care cum vom face față consecințelor, este de preferat să ştim, pe cât posibil,

la ce ne aşteptăm şi să avem deja pregătite măsurile de contracarare a efectelor.

Nu vrem să pretindem că, pentru un întreprinzător, vestea despre existența distribuțiilor de probabilitate

ar trebui să echivaleze cu grațierea de neajunsurile provocate de riscuri. Chiar şi o singură valoare de

85

probabilitate poate fi extrem de greu de estimat, uneori. Totuşi, a cunoaşte mai mult decât nimic despre

veşnicul adversar, riscul, este un pas important în bunul mers al activității firmei.

4.3. Modalități de măsurare a riscului

În toate lucrările de specialitate se poate întâlni afirmația conform căreia odată ce a fost determinată

distribuția de probabilitate, se poate trece la măsurarea riscului pe baza câtorva valori numerice

cunoscute sub numele de medie, dispersie, abatere standard, procentilă, coeficient de variație.

Metodele de calcul pentru aceste mărimi sunt fără echivoc şi de aceea, la momentul potrivit, vom

face doar o foarte scurtă prezentare a lor.

Nu ne propunem să contestăm valabilitatea acestor măsuri ale riscului, dealtfel nici nu am avea

foarte multe argumente. Există, totuşi, câteva aspecte importante care trebuie evidențiate în această

importantă etapă de evaluare a factorilor dăunători.

Vom reveni, pentru moment, la datele ipotetice pe care le-am prezentat în Tabelul 4.1. şi la

distribuția de probabilitate pe care am construit-o în Tabelul 4.2. pe baza metodei care în statistică

este cunoscută sub numele de Metoda frecvențelor relative. În oricare dintre cele două tabele avem

informații complete despre nivelul pierderilor şi despre frecvența lor de apariție, iar calculul pierderii

medii potențiale se poate face imediat, printr-o metodă uşor de intuit. Avem de calculat o medie a

pierderilor, ponderată cu frecvențele lor de apariție. Din Tabelul 4.1. deducem o valoare medie egală

cu:

.m.u3070m

50

12001...1500812004m

Din Tabelul 4.2., un calcul similar conduce la aceeaşi valoare medie, m = 3070 u.m. Am obținut, deci,

aceeaşi valoare medie pentru pierderea aşteptată în următoare perioadă de timp, pe baza datelor

istorice pe care le deține firma.

Aşa cum spuneam, însă, de foarte multe ori astfel de date sunt inexistente şi de aceea

întreprinzătorul poate fi obligat să apeleze la date statistice culese de instituții abilitate. Este uşor de

intuit că aceste instituții nu au cum să prezinte datele în forma lor extinsă, pentru că ar fi aproape

imposibil de gestionat.

86

Se procedează la o rezumare a lor şi aceasta este forma comunicată întreprinzătorului. Să vedem, în

Tabelul 4.3., un exemplu de de rezumare a informațiilor din Tabelul 4.1.

Pierdere totală anuală (RON) Nr de apariții

Cel puțin 1000 şi cel mult 2000

Cel puțin 2000 şi cel mult 3000

Cel puțin 3000 şi cel mult 4000

Cel puțin 4000 şi cel mult 5000

Cel puțin 7000 şi cel mult 8000

Cel puțin 12000 şi cel mult 13000

12

15

15

5

2

1

Total 50

Tabel 4.3.. Datele rezumate din tabelul 4.1., pentru intervale de pierdere de 1000 u.m.

Din datele rezumate prezentate în Tabelul 4.3. se observă imediat că nu mai putem calcula totalul

pierderilor potențiale, pentru că nu mai cunoaştem decât intervale şi nu valori exacte. Valoarea

medie a pierderilor potențiale nu se mai poate calcula pe baza metodei anterioare şi întreprinzătorul

va trebui sî găsească o soluție.

Statisticienii ne spun că pentru calculul mediei ca şi a celorlalte mărimi de interes în studiul riscului,

vom proceda la o aproximare: vom considera că în intervalul 1000 – 2000, pierderea medie este de

1500 u.m.; în intervalul 2000 – 3000, pierderea medie este de 2500 u.m. şi tot aşa. Tabelul 4.4. arată

toate aceste mijloace ale intervalelor şi frecvențele întregistrate în intervalele respective.

Valoarea medie a pierderilor rezultă a fi:

50

1250017500245005350015250015150012m

3160m RON

Comparând valorile medii obținute pentru date complete şi pentru date rezumate, se poate constata

că există o diferență de 90 u.m.

87

Este adevărat că aproximarea prin date rezumate nu este sfidător diferită de mărimea reală, dar

trebuie să avem în vedere că nu am definit unitatea monetară. Dacă aceasta este, de exemplu, “mii

euro”, s-ar putea ca diferența de 90 u.m. să fie semnificativă.

Este la fel de adevărat şi faptul că în intervalul 12000 – 1300, mărimea reală a pierderii, aceea de

1200 u.m., apare doar o singură dată şi, prin rezumarea datelor, ea a fost aproximată prin adaos cu

12500 u.m. Dacă ar fi apărut de mai multe ori, media de 3160 u.m. ar fi fost sensibil mai mare.

Mijloacele intervalele de pierdere (RON) Nr de apariții

1500

2500

3500

4500

7500

12500

12

15

15

5

2

1

Tabel 4.4. Mijloacele intervalelor de pierderi potențiale şi numărul de apariții, conform tabelului 4.3.

Exemplul nostru, însă, cuprinde date foarte puține şi alegerea mijlocului de interval a generat de

obicei, aproximări prin adaos. Într-o mulțime mare de date, o astfel de procedură poate aduce şi

aproximări prin lipsă şi abaterile se compensează într-o mare măsură.

Atunci când firma îşi propune să cuantifice riscul, are în vedere ca în viitor să fie la adăpost de unele

neajunsuri. Nimeni nu-i poate garanta unui întreprinzător care a înregistrat în anul anterior o

pierdere totală de 300 u.m. că în perioada următoare va înregistra tot atât, sau dublu, sau o treime.

Există în procesul de evaluare a pierderilor o componentă aleatoare suficient de incomodă şi, fără să

mai luăm în considerare, posibile erori generate de aproximări asupra datelor. Odată luate în calcul

date rezumate, este posibil ca acuratețea estimării valorii medii şi a celorlalte măsuri menționate ale

riscului să scadă, mai mult sau mai puțin. Iată de ce există instrumente statistice menite să ofere

informații despre veridicitatea rezultatelor obținute din calcul.

Cineva ar putea argumenta că distribuția de probabilitate care modelează comportamentul unui

fenomen aleator nu este o înşiruire de intervale în care se pot încadra rezultatele, ci este ansamblul

rezultatelor în sine. Dar cum a fost ea construită?

88

În situația în care datele inițiale au fost prezentate într-o formă rezumată, acele rezultate nu pot fi

altceva decât valori aproximative, medii, care impietează din start asupra acurateții estimărilor

viitoare. Fără a considera că astfel de estimări sunt sortite eşecului, dorim să subliniem importanța

deținerii de date complete, care ar fi ideal să reflecte activitatea anterioară pentru chiar firma care

doreşte să desfăşoare o analiză de risc. O altă problemă pe care o ridică măsurile despre care vom

discuta în continuare, ține de faptul că ele pot fi obținute doar pentru date cantitative.

Exemplul 4.3.1. Să luăm exemplul unui întreprinzător care trimite pe piață un produs ambalat în

patru moduri diferite. Este de aşteptat ca fiecare client să aibă propriile preferințe în materie de

ambalaje, prin urmare producătorul poate obține informațiile din Tabelul 4.5., cu privire la 200 de

produse vândute. Se constată imediat că este lipsit de semnificație să încercăm calculul unei valori

medii pentru datele din acest tabel, deci nu are rost să exprimăm nici alte valori numerice.

Este evident că tipul de ambalaj poate influența nivelul vânzărilor, dar ca să poată fi calculate

rezultatele efective este nevoie ca datele să capete o formă monetară, cantitativă şi nu calitativă.

Tip ambalaj Nr produse vândute

Tip A

Tip B

Tip C

Tip D

35

120

15

30

Total produse 200

Tabel 4.5.. Date de natură calitativă, care reflectă preferințele consumatorilor pentru un tip de

ambalaj

Să ne întoarcem acum la măsurarea efectivă a riscului şi să facem o scurtă trecere în revistă a

definițiilor pentru măsurile clasice acceptate. Pentru aceasta, va trebui să avem deja o distribuție de

probabilitate care să modeleze fenomenul aleator, pe care reamintim din capitolul anterior că o vom

nota cu ii

i

p

x:X

pentru cazul discret şi cu

x

xp

x:X

pentru cazul continuu.

În măsura în care variabila aleatoare exprimă nivelul pierderilor potențiale, atunci media ei,

reprezentând valoare anticipată a pierderilor pentru perioada de timp următoare, este o măsură a

riscului la care este expusă firma.

89

Am văzut că valoarea medie se calculează, în funcție de natura discretă sau continuă a variabilei

aleatoare X, într-unul din următoarele moduri:

i

ii xpXM , pentru cazul discret

R

dxxxfXM , pentru cazul continuu.

În cazul datelor din Tabelul 4.2., valoarea medie a pierderilor potențiale a rezultat a fi m = 3070 u.m.,

ceea ce într-o altă exprimare înseamnă că întreprinzătorul riscă în perioada de timp următoare o

pierdere anticipată la 3070 u.m.

Aşadar, ori de câte ori este nevoie de calculul unei valori aşteptate vom proceda la aflarea valorii

medii. Cu toate acestea, media nu este întotdeauna relevantă în studiul riscului şi, chiar atunci când

are semnificație, cunoaşterea ei poate fi insuficientă. Următoarea situație va ilustra foarte bine acest

aspect.

8 9 10 11

zile

0,

1 ,

0,2

0,3

0,4

0,5

Frecvenţa relativă

0,1 ,

0,2

0,3

0,4

Frecvenţa relativă

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

90

Figura 4.1. Frecvențe relative cu privire la numărul de zile necesare celor doi furnizori pentru

onorarea comenzilor de aprovizionare

Exemplul 4.3.2. Este recunoscut faptul că o latură importantă a activității unei firme se referă la

procesul de aprovizionare cu materii prime şi materiale. În măsura în care apar întârzieri în

aprovizionare, producătorul poate intra sub incidența riscului operațional.

Să presupunem acum că există doi furnizori care pretind că timpul mediu de livrare a comenzilor este

de zece zile. Pentru început, întreprinzătorul va trebui să aibă încredere în aceste afirmații, urmărind

pe parcurs comportamentul celor doi colaboratori. După câteva luni s-au adunat următoarele

informații cu privire la numărul de zile necesare fiecărui furnizor pentru livrarea mărfii (Figura 4.1.

arată aceste date exprimate ca frecvențe relative).

Un calcul simplu, efectuat pentru fiecare dintre cele două distribuții de frecvență, arată următoarele

valori medii ale timpilor de aprovizionare:

9,93,0115,0102,081m zile

102,0153,0103,091,071,062m zile

Deci, valorile medii pentru timpii de livrare sunt, aşa cum au declarat cei doi furnizori, de aproximativ

zece zile.

Această informație nu ne vorbeşte despre nici o măsură de risc, atât timp cât distribuițiile din Figura

4.1. nu sunt distribuții de pierderi potențiale şi nici nu avem motive să credem că întreprinzătorul ar

avea motive să prefere unul sau altul dintre furnizori. La o privire mai atentă, oricine poate observa

că datele referitoare la al doilea furnizor sunt mai “dispersate”, în sensul că au existat situații în care

aprovizionarea s-a făcut foarte rapid, adică în 6 sau 7 zile, dar există şi situații oarecum dramatice

când cele 15 zile indicate de distribuția de frecvență ar fi putut cauza întârzieri sau chiar întreruperi în

procesul de producție.

Iată, deci, că valoarea medie nu aduce în acest caz informații despre existența vreunei probleme în

relația cu furnizorii. Specialiştii au stabilit, prin urmare, că este nevoie de o altă măsură care să

surprindă această variabilitate, sau împrăştiere a rezultatelor şi ca atare au optat pentru definirea

dispersiei şi apoi, pe baza ei, a abaterii medii pătratice.

Reamintim, de asemenea, că dispersia se calculează după regula:

91

222 XMXMXD

Să acceptăm că întreprinzătorul consideră cele două distribuții de frecvență din Figura 4.1. suficient

de bine fundamentate pentru a se baza pe ele în estimarea comportamentului viitor al celor doi

furmizori. Frecvențele relative vor juca prin urmare rolul probabilității cu care un rezultat se poate

reflecta în perspectivă: de pildă, există o probabilitate de 0,5 ca primul furnizor să aducă materiile

prime şi materialele în termen de zece zile de la momentul comenzii.

Utilizând formula de calcul recent amintită, dispersia pentru variabilele aleatoare care arată numărul

de zile care trebuie să treacă până la primirea comenzii rezultă a fi:

09,1XD2 pentru primul furnizor,

8,7XD2 pentru al doilea furnizor.

Chiar şi fără studii aprofundate asupra dispersiei ca instrument de măsură a variabilității rezultatelor,

se poate constata imediat că activitatea celor doi furnizori este, în fond, diferită. Chiar dacă în medie

ambii reuşesc să onoreze comenzile firmei în aproximativ 10 zile, întreprinzătorului n-ar trebui să-i fie

indiferent cu care dintre ei va lucra în viitor.

Punând problema într-un cadru general, existența dispersiei reprezintă credem noi un atu important

atunci când un decident are de ales între două sau mai multe posibilități cu rezultat aleator şi care

conduc la valori medii similare. Aspectul neplăcut al acestei mărimi ține de faptul că este greu să-i

atribuim o semnificație anume. Este de observat că însăşi unitatea sa de măsură nu prea are sens: în

exemplul celor doi furnizori valoarea medie este exprimată în zile, iar dispersia în 2zile . Din

fericire, orice putere poate fi eliminată cu ajutorul unui radical potrivit şi, de aceea, se defineşte o

altă măsură a riscului, derivată direct din dispersie şi anume abaterea medie pătratică:

XDX 2 .

Aplicând această formulă de calcul, obținem pentru timpul de aprovizionare abaterile de la valoarea

medie:

109,1X1 zi, 38,7X2 zile.

Devine, astfel, evident că o colaborare cu al doilea furnizor poate aduce întârzieri în procesul de

producție de trei ori mai mari decât în cazul primului furnizor.

92

Din păcate, nu întotdeauna putem obține informații amănunțite cu privire la fenomenul aleator

studiat, doar utilizând valoarea medie şi abaterea standard luate ca atare. Ar fi minunat să putem

spune, de exemplu, că pentru cel de-al doilea furnizor există o foarte mare probabilitate ca timpul de

aprovizionare să fie studiat între valoarea medie ± abaterea standard adică între 10 – 3 şi 10 + 3 zile.

Asta ar însemna că, foarte probabil, furnizorul va onora comenzile în decurs de 9 sau 10 zile ( a se

vedea figura 4.1.b). Lucrul acesta nu este adevărat şi o afirmație ca aceea de mai sus poate deveni

validă doar pentru anumite distribuții de probabilitate, aşa cum vom vedea în secțiunea următoare.

Ne vom mulțumi, prin urmare, cu faptul că dispersia şi implicit abaterea standard ne sunt de folos ori

de câte ori două distribuții de probabilitate au aceeaşi valoare medie şi suntem puşi în situația să

alegem între ele.

Ca să încheiem trecerea în revistă a măsurilor utilizate în mod obişnuit pentru cuantificarea riscului,

trebuie să ne referim şi la coeficientul de variație. Media şi dispersia pe care le-am prezentat anterior

sunt de ajutor atunci când trebuie să comparăm două distribuții de probabilitate care au fie aceeaşi

valoare anticipată, fie aceeaşi variabilitate a datelor.

Mai exact, dacă 21 mm şi 21 , vom alege distribuția 1X cu risc mai mic decât 2X , la aceeaşi

valoare medie. Dacă 21 mm şi 21 , vom face alegerea în funcție de semnificația distribuțiilor.

Dacă 1X şi 2X se referă la pierderi potențiale, cu siguranță că vom alege 2X care arată o pierdere

medie aşteptată mai mică de cât a lui 1X la acelaşi nivel de risc. Dacă, dimpotrivă, 1X şi 2X se

referă de exemplu la venituri potențiale, interesul va fi să alegem venitul mediu anticipat 1m , deci

distribuția 1X .

Realitatea este, însă, mult mai complexă decât ar dori teoreticienii şi nimeni nu poate garanta că

întreprinzătorul va avea de decis între variante care au medii aproximativ identice sau dispersii

(riscuri) similare.

Exemplul 4.3.3. Într-o firmă se poate pune problema alegerii între două acțiuni de tipul următor:

A) Lansarea pe piață a unui produs nou, care va aduce un venit mediu din încasări 4500m1 u.m. şi

înregistrează un risc 40021 .

B) Îmbunătățirea unui produs deja existent, ceea ce va aduce o medie a încasărilor 600m2 u.m. şi

prezintă un risc 8122 .

93

Pentru o astfel de alegere, întreprinzătorul nu are nici o armă până în acest moment. Valorile medii

sunt semnificativ diferite, la fel şi dispersiile, deci este nevoie de o altă măsură pentru a putea

compara riscurile celor două inițiative. Este vorba despre coeficientul de variație, pe care l-am definit

în capitolul anterior ca raport între abaterea standard şi valoarea medie, exprimat procentual:

Coeficientul de variație = %100m

.

Informația pe care ne-o furnizează acest coeficient este procentul pe care îl reprezintă abaterea

standard din media variabilei aleatoare. Pentru cele două inițiative posibile ale întreprinzătorului,

obținem:

%44,0%1004500

400%100

m1

1

, %5,1%100600

81%100

m2

2

.

Deşi, în esență, ambii coeficienți de variație au valori mici, putem spune comparativ că prima variantă

este mai puțin riscantă.

Spre deosebire de dipersie şi abaterea standard, utilizarea coeficientului de variație ca măsură a

riscului impune anumite restricții asupra variabilei aleatoare care descrie fenomenul studiat. În

definirea lui, valoarea medie apare la numitorul fracției şi ca atare, pentru a avea sens, trebuie ca

0m . Chiar şi în situația în care m este nenulă dar are valori foarte mici, oricât de mică ar fi

valoarea lui se poate ajunge la valori extrem de mari ale coeficientului de variație şi, ca atare,

utilizarea lui nu mai este neapărat relevantă. Pentru a evita astfel de situații, specialiştii au optat

pentru utilizarea acestei măsuri doar în cazul distribuțiilor ale căror rezultate sunt pozitive.

Pentru interesele noastre, o astfel de restricție nu este neapărat deranjantă. Studiul pierderilor

potențiale aduce în atenția analiştilor mărimi pozitive, exprimate de cele mai multe ori monetar.

Problemele pot să apară atunci când studiul se îndreaptă în zona rentabilității activelor financiare,

unde anumite titluri pot avea evoluții cu rezultate atât pozitive, cât şi negative. Este foarte adevărat

că specialiştii pieței financiare nu vor considera demoralizantă imposibilitatea utilizării coeficientului

de variație în analiza riscului, ştiut fiind că exact în acest perimetru există modelele de risc de cea mai

mare complexitate şi cu adevărat incredibile prin ingeniozitatea şi dificultatea instrumentelor

matematice care stau la baza lor.

94

În ceea ce ne priveşte, nu ne vom limita doar la prezentarea măsurilor uzuale pentru risc, ci vom

vedea ce devine fiecare dintre ele în situația în care distribuțiile de probabilitate care descriu

fenomenul aleator se dovedesc a fi de o natură particulară detaliată în secțiunea precedentă.

4.4. Măsuri ale riscului pentru situații particulare

Vom începe această secțiune referindu-ne la distribuția binomială cu două stări, pentru care

particularizarea măsurilor de risc are un caracter spectaculos. Să ne reamintim că, pentru a considera

aplicabilă această distribuție, este nevoie de n unități expuse independent la pierdere într-o perioadă

de timp stabilită, fiecare unitate fiind expusă exact o dată cu probabilitate egală cu p. Valoarea

medie, sau anticipată, a pierderii pentru o astfel de distribuție de probabilitate este egală cu:

npm . Dispersia se va nota cu 2 şi, pentru acest caz, este p1np2 . Abaterea standard,

calculată ca radical al dispersiei, este p1np .

În fine, coeficientul de variație are forma:

Coeficient de variație

np

p1

np

p1np

.

Să facem câteva observații pornind de la mărimile particulare pe care le-am obținut şi ținând cont că

valoarea de probabilitate este cuprinsă între 0 şi 1. În primul rând, trebuie să comentăm valorile

extreme:

Dacă 0p , atunci cu siguranță nici o unitate expusă nu va înregistra pierdere şi deci nu are sens să

punem problema vreunei pierderi potențiale. În această situație, aproape imposibilă dealtfel din

punct de vedere practic, nu mai are nici o importanță natura binomială sau de alt fel a distribuției de

probabilitate, pentru simplul motiv că distribuția nu mai există. Probabilitatea zero denotă

eveniment imposibil, la fel cum probabilitatea unu arată eveniment sigur, ambele cazuri fiind

complet în afara noțiunii de aleator.

Aşadar, pentru 0p obținem o medie a pierderilor nulă, ceea ce este un motiv suficient pentru a nu

mai calcula vreun coeficient de variație. Abaterea standard este de asemenea nulă, însemnând că un

eveniment care nu se va întâmpla nu comportă riscuri. Celălalt caz, corespunzător lui 1p , are

particularitățile sale. Practic, 1p înseamnă că fiecare expunere va conduce la pagubă, deci

pierderea medie este identică, în această situație, cu pierderea maximă care se poate înregistra.

95

n1nnpm .

Nici aici nu mai este vorba despre o pierdere medie propriu zisă. Distribuția binomială despre care

discutăm arată numărul de apariții posibile ale pagubei în contextul a n unități expuse. Odată ce se

ştie că expunerea atrage după sine în mod cert apariția pierderii, valoarea m va fi o valoare sigură,

egală cu numărul unităților expuse.

Deci, pentru 1p obținem maximul de pierdere, din toate unitățile expuse. Să vedem ce devine

fiecare din celelalte măsuri de risc. Aparent surprinzător, atât dispersia, abaterea standard cât şi

coeficientul de variație sunt nule. Adică, fără risc. Şi, de fapt, lucrurile chiar aşa stau pentru că în

acest caz întreprinzătorul nu are a se teme că pierderea ar putea fi mai mică decât cea maxim

posibilă... Din acest punct de vedere, riscul este nul: expunerea maximă este certă.

Să trecem acum la situații mai probabil întâlnite în practică şi anume la cazul în care 1,0p .

Formulele de calcul pe care le-am prezentat sunt de ajutor în estimarea numărului mediu de apariții

ale pierderii, a riscului ca acest număr să fie altul decât cel anticipat de valoarea m şi iată că pentru

distribuția binomială putem judeca lucrurile mai profund. Dacă privim coeficientul de variație, vom

vedea că la numitorul fracției care îl defineşte apare n. În ipoteza în care valoarea lui p rămâne

neschimbată, observăm că mărimea coeficientului de variație depinde de modificarea lui n, în sensul

că o majorare a numărului de unități expuse generează o scădere a riscului cuantificat astfel.

pn

p1

pn

p1

pn

p1

pn

p1

n

1

n

1nn

212121

21

Am putea observa, din formula de calcul a dispersiei sau a abaterii standard, că acestea cresc odată

cu creşterea lui n. Este perfect adevărat, dar la fel de reală este şi creşterea valorii medii odată cu

majorarea numărului de unități expuse, ceea ce face imposibilă o comparare a situației doar pe baza

analizei mediei şi dispersiei. Prin urmare, singura măsură relevantă care poate explica modificările

care apar odată cu creşterea lui n, rămâne coeficientul de variație care arată că riscul relativ scade.

Cum anume scade şi dacă din punct de vedere al întreprinzătorul este rentabilă creşterea numărului

de unități expuse, vom vedea imediat. Notăm:

Risc 1 pn

p1

1

, Risc 2

pn

p1

2

96

Vom face raportul între cele două riscuri, pentru că suntem interesați de comparația dintre ele.

Rezultă imediat că:

1

2

n

n

2Risc

1Risc

Pe de altă parte, dacă pnm 11 şi pnm 22 , atunci raportul dintre numărul anticipat de apariții va

fi:

21

2

1

2

1 nncu,n

n

m

m

Raportul 2

1

n

n reprezintă proporția cu care a crescut numărul unităților expuse, prin urmare raportul

2Risc

1Risc ne arată că odată cu această creştere riscul scade în relație inversă cu rădăcina pătrată a

acestei creşteri. Ca să fim mai exacți, dacă numărul unităților expuse a crescut de 100 de ori, atunci

riscul relativ scade de numai 10 ori față de cel anterior.

Această metodă de creştere a unităților expuse este deosebit de importantă şi pe larg aplicată de

instituțiile de asigurări17 şi acesta este un motiv foarte bun pentru ca un întreprinzător să încerce la

rândul lui să o aplice. În practica firmei, însă, pot să apară probleme. Orice majorare a unităților

expuse riscului presupune, de cele mai multe ori, cheltuieli de achiziționare a acestora. Pentru a

considera mulțumitoare scăderea amenințării, raportul 2

1

n

n trebuie să fie semnificativ. De exemplu,

o creştere de la 10n1 unități la 100000n2 unități scade riscul de zece ori, dar costurile pentru

această extindere cine le suportă? În dorința sa de a minimiza un risc, întreprinzătorul se poate

îndrepta direct către faliment pentru că odată cu ajungerea la 100000 de unități expuse se va majora

spectaculos şi numărul mediu al expunerilor la pierdere şi implicit pierderea totală potențială.

Odată în plus, putem afirma că în lupta contra riscului doar rareori există rețete şi odată în plus

considerăm că un apel la pregătirea întreprinzătorului pentru această confruntare permanentă este

binevenită.

17

Văcărel I., Bercea F., op. cit., p. 301 - 303

97

Următoarea distribuție de probabilitate, extrem de utilă în stabilirea numărului de apariții ale

pierderii şi studiată de noi anterior este distribuția Poisson. Media şi dispersia acestei distribuții sunt

egale cu , abaterea standard este , iar coeficientul de variație

1

Se poate afirma, deci, că riscul relativ la valoarea medie este cu atât mai mic cu cât numărul anticipat

(mediu) al aparițiilor este mai mare.

În fine, ne vom referi la „vedeta” distribuțiilor clasice de probabilitate şi anume la repartiția normală.

Forma ei este deja cunoscută din capitolul anterior şi este timpul să reamintim că valoarea medie şi

dispersia sunt tocmai m şi 2 . Motivul pentru care această distribuție este atât de agreată şi de

dorită este urmarea formei graficului ei, care arată simetrie față de dreapta mx , aşa cum se

poate observa din Figura 4.2.

Suntem pe deplin conştienți că frumusețea acestui grafic nu este de natură să impresioneze un

fabricant de pantofi, de exemplu. El ar putea fi convins, totuşi, că este util şi iată cum. Simetria

graficului repartiției normale face ca abaterea standard să capete o valoare deosebită.

Exemplul 4.4.1. Dacă vânzătorul de pantofi are o medie lunară a vânzărilor egală cu, să spunem, 45

de perechi şi află cumva că abaterea standard a variabilei aleatoare este 5, atunci va şti că sunt

68,26% şanse ca vânzările lunare să fie situate între 40 şi 50 de perechi, şanse 95,46% ca aceste

vânzări să fie între 35 şi 55 de perechi şi 99,76% şanse ca vânzările să fie între 30 şi 60 de perechi.

Evident, pentru asta e nevoie ca variabila aleatoare care arată numărul de perechi de pantofi

vândute într-o lună să poată fi considerată ca având o repartiție normală cu media 45m şi abaterea

standard 5 . Afirmațiile noastre se bazează pe o binecunoscută proprietate a repartiției normale18 şi

anume:

18

Hirschey M., Pappas J., Fundamentals of Managerial Economics, Fifth Edition, p. 739

98

Figura 4.2. Graficul funcției de repartiție normală de parametri m şi 2 , simetric față de dreapta

mx

68,26% dintre rezultate sunt cuprinse în intervalul m,m

95,46% dintre rezultate sunt cuprinse în intervalul 2m,2m

99,74% dintre rezultate sunt cuprinse în intervalul 3m,3m

De ce este relevantă o atare proprietate în analiza riscului? Dacă vânzătorul de pantofi se

aprovizionează pentru o lună cu 15 perechi, atunci cu siguranță va lucra cu mult sub potențial. Dacă,

dimpotrivă, are de gând să cumpere pentru vânzare o sută de perechi, ideea se poate dovedi proastă

şi îşi va bloca o sumă de bani pe care ar fi putut-o folosi într-o manieră profitabilă. Aceasta pentru că

distribuția normală ne spune, pentru cazul discutat, că nu există decât şanse de 0,26% ca vânzările să

fie mai mici de 30 de perechi lunar şi mai mult de 60.

4.5. Măsuri alternative ale riscului

Este uşor de imaginat că intenția oricărui întreprinzător de a capta întreaga informație referitoare la

risc în una sau două mărimi numerice este bună, dar deseori sortită eşecului. Mult prea complex în

sine, riscul crează probleme reale în tentativa de măsurare motiv pentru care specialiştii au propus şi

propun mereu măsuri alternative. Valoarea medie a variabilei aleatoare pierdere potențială, sau

abaterea standard a rentabilității sunt, fără îndoială, elemente de interes pentru un analist dar

x

f(x)

2

1

99

acestea nu oferă informații despre comportamentul distribuției de probabilitate decât în cazul fericit

în unei reprezentări simetrice față de medie (aşa cum este repartiția normală, de exemplu). Îndată ce

această condiție nu este îndeplinită, apar probleme în exprimarea unor opinii ferme cu privire la

dimensiunea riscului şi nici una dintre mărimile discutate în secțiunile anterioare nu mai este un

însoțitor de nădejde al statisticianului.

Ne vom referi în continuare la câteva măsuri alternative19 pentru riscul ca nivelul anticipat al

rentabilității afacerii să nu fie atins.

4.5.1. Semivarianța

Atunci când am definit dispersia şi, ulterior, abaterea standard, am acceptat că abaterile de la

rezultatul mediu (anticipat) pot fi atât în sens pozitiv (obținerea de rezultate mai bune decât media),

cât şi în sens negativ (rezultate aflate sub media calculată).

Câtă vreme ideea de risc este asociată de cele mai multe ori cu ideea de pierdere, specialiştii propun

semivarianța ca măsură a abaterilor de la medie care se pot înregistra doar ca urmare a unor

modificări care presupun evoluții negative (scăderi) semnificative ale rentabilității.

Dacă distribuția de probabilitate are proprietatea de simetrie discutată anterior, atunci semivarianța

se dovedeşte a fi un „multiplu” de varianță (dispersie) şi calculul ei nu aduce informații suplimentare.

Utilitatea ei se vădeşte pentru distribuții de probabilitate nesimetrice în raport cu dreapta x .

4.5.2. Semivarianța țintă

Referindu-ne la semivarianță, am spus că ea captează informații cu privire la acele scăderi

semnificative ale rentabilității. Conceptul de „semnificativ” are o doză de subiectivitate, în funcție de

percepția şi posibilitățile întreprinzătorului. Fiecare firmă cunoaşte nivelul pierderilor pe care le

poate cataloga ca fiind severe şi de aceea estimarea riscului trebuie făcută în raport cu gravitatea

atribuită fiecărui context în parte. Semivarianța țintă este o măsură similară semivarianței pomenite

anterior, dar înregistrează doar acele scăderi posibile de rentabilitate care depăşesc un anumit nivel

considerat de întreprinzător ca fiind maxim acceptabil (nivel țintă).

4.5.3. Probabilitatea rentabilității insuficiente

19

Grinold R., Kahn R., Active Portofoliu management, Second Edition, MacGraw-Hill, New Zork, 2000,

Capitolul 3

100

Sub denumirea pretențioasă, dar necesarp stabilirii legăturii cu latura aplicativă a problemei se

ascunde de fapt funcția de repartiție a distribuției rentabilitate, calculată într-un punct pe care

întreprinzătorul îl hotărăşte ca fiind minimul acceptat al rezultatelor activității sale. Altfel spus,

probabilitatea rentabilității insuficiente răspunde întrebării: „Care sunt şansele ca rentabilitatea să fie

mai mică decât o valoare țintă, X?”. Această măsură a riscului captează informații despre acea parte a

distribuției care arată valori mai joase decât nivelul rentabilității considerat critic pentru afacere.

4.5.4. Valoarea la risc

Probabil cea mai utilizată, dar şi cea mai controversată dintre măsurile alternative, valoarea la risc

înregistrează pierderea efectivă care poate să apară atunci când rentabilitatea esre situată în

regiunea „insuficientă” pomenită mai devreme. Pentru că şi aici apare o „rentabilitate țintă”, sau

critică, valoarea la risc va reflecta, mai mult sau mai puțin direct, percepția întreprinzătorului cu

privire la ideea de „sever” sau de „insuficient”. Cu toate că aparent valoarea la risc are o definiție

clară, există în prezent numeroase controverse printre specialişti cu privire la modul în care ar trebui

determinată această „pierdere efectivă” atunci când distribuția de probabilitate implicată nu este o

distribuție normală.

Oricare dintre măsurile alternative la care ne-am referit poate face obiectul unei lucrări de sine

stătătoare, într-atât este de complexă problema cuantificării riscului. Dealtfel, multe dintre mărimile

care au ca scop cuantificarea riscului pun greu la încercare abilitățile specialiştilor în statistică şi

econometrie, atunci când se pune problema calculării lor pe bata datelor concrete. Ori de câte ori

veți întâlni, pe viitor, afirmații despre anumiți parametri care se pot estima într-un fel sau altul, va

trebui păstrat respectul cuvenit pentru volumul de muncă necesar unor asemenea demersuri. Nici o

lucrare, însă, oricât ar fi de complexă, nu poate acoperi toată informația relativ la temă şi cu atât mai

puțin o lucrare centrată pe problematica riscului.

4.6. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar

1. Explicați de ce cunoaşterea distribuțiilor de probabilitate pentru evenimentele cu potențial

dăunător este importantă în studiul riscului.

2. Care sunt cele două metode care permit deducerea distribuțiilor de probabilitate odată ce se

cunosc date statistice sau reguli de manifestare a fenomenelor? Dați exemplu de două

101

situații concrete din viața dvs în care ați fi putut aplica fie una, fie cealaltă metodă şi explicați

modul în care ați fi procedat.

3. De ce metoda bazată pe date statistice nu este întotdeauna de folos în determinarea

distribuțiilor de probabilitate şi prin ce este diferită metoda bazată pe distribuții teoretice?

4. Cum ştiți dacă să alegeți o distribuție de tip Bernoulli, sau una de tip Poisson, sau niciuna

dintre ele, atunci când trebuie să modelați un fenomen? Găsiți două situații concrete pe care

să le puteți descrie utilizând cele două distribuții teoretice.

5. Care sunt valorile numerice ataşate unei variabile aleatoare pe care le puteți utiliza în

măsurarea riscului? Exemplificați calculul lor pentru următoarele variabile aleatoare: a)

2

1

2

111

:X şi b)

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1654321

:X . Găsiți două situații concrete în care

fenomenul să se poată modela utilizând experiența aruncării unei monede şi respectiv

aruncării unui zar, apoi interpretați măsurile găsite pentru risc în cazul acestor situații

concrete.

6. Care sunt măsurile alternative ale riscului şi care este motivul pentru care ele sunt chemate

uneori să înlocuiască măsurile tradiționale de cuantificare?

7. Alcătuiți un referat de trei pagini despre semivarianță ca măsură alternativă a riscului, despre

avantajele şi limitele aplicării ei şi includeți trei exemple concrete de aplicare a calculului

acestei metode de cuantificare.

8. Aceeaşi cerință ca mai sus pentru semivarianța țintă.

9. Aceeaşi cerință pentru probabilitatea rentabilității insuficiente.

10. Alcătuiți un referat de opt - zece pagini despre valoarea la risc ca măsură alternativă a

riscului, despre avantajele şi limitele aplicării ei şi includeți trei exemple concrete de aplicare

a calculului acestei metode de cuantificare. Includeți în acest referat date despre istoricul

acestei mărimi, despre importanța ei şi despre polemicile pe care le naşte printre specialişti.

102

CAPITOLUL 5.

ATITUDINI FAŢA DE RISC,

ÎN SENS FORMAL ŞI INTUITIV.

5.1. Despre utilitate. Locul şi rolul ei în viața agentului economic

5.2. Funcțiile utilitate şi preferințele individului. Teoria Utilității Aşteptate.

5.3. Alte atitidini față de risc şi funcții specifice

5.4. Echivalentul cert şi prima de risc

5.5. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar

Obiectivele capitolului

În acest capitol am urmărit prezentarea celor mai importante noțiuni legate de utilitate, de teoria utilității

aşteptate şi de modul în care această teorie poate fi de ajutor în înțelegerea manierei în care se iau deciziile

economice. Au fost prezentate principalele caracteristici ale indivizilor care iau decizii în mediul economic, prin

prisma modului în care se raportează ei la prezența riscului.

5.1. Despre utilitate. Locul şi rolul ei în viața agentului economic

În calitatea sa de participant la viața economică, fiecare individ trebuie să facă alegeri. În primul

capitol al acestei lucrări am amintit câteva dintre întrebările fundamentale la care îşi propune să

răspundă ştiința economică şi am căzut de acord că fiecare dintre ele presupune existența unor

evenimente greu de observat, greu de prognozat şi uneori chiar neobservabile. Asimetria de

informație este, prin urmare, prezentă la fiecare pas şi face ca deciziile individului să fie puse sub

semnul întrebării: vor conduce ele la rezultatul dorit? Abaterile de la ceea ce şi-a propus individul

sunt tolerabile? A ales individul cea mai bună alternativă posibilă?

Concomitent cu apariția acestei a treia întrebări, apare imediat şi o problemă: cum stabileşte un

individ că alegerea lui a fost cea mai bună alternativă? Am căzut de acord că marea majoritate a

acțiunilor pe care le întreprinde o persoană sunt grevate de un procent important de neprevăzut,

astfel încât acțiunea în sine să aibă natura unei experiențe aleatoare, ceea ce înseamnă că rezultatele

ei se vor putea observa doar după ce acțiunea a fost întreprinsă. Care este, aşadar, criteriul după care

103

îşi va motiva alegerile? Ce anume îi va spune individului că alegerea pe care a efectuat-o este, sau a

fost gândită să fie, în avantajul lui?

Desigur că atunci când ne uităm în jur observăm cele mai diverse criterii de alegere. În mare parte,

oamenii motivează alegerile pe care le fac argumentând că alții au procedat la fel. Alții fac alegeri pe

care cei din jur le consideră cel puțin iresponsabile. În fine, alții par a fi modele de comportament şi

tot ce fac este bine. Care este motorul acestor decizii pe care le iau oamenii? Şi de ce unii oameni iau

atitudini, în vreme ce alții se complac în a nu decide nimic?

Există, cu siguranță, o mare varietate de profiluri umane. Nu ştiu să vă răspund la întrebarea: „de ce

pe unii îi interesează cum decid alții?”. Acest capitol se doreşte a fi doar o trecere în revistă a

principalelor informații pe care ni le pun la dispoziție specialiştii în privința conceptului de funcție

utilitate şi a teoriilor care derivă de aici. Ar trebui spus, totuşi, că teoriile care s-au construit în jurul

conceptului central al utilității au adus printre economişti un număr impresionant de opinii

contradictorii şi au generat polemici care în zilele noastre sfârşesc, aşa cum era de aşteptat, prin

crearea de echipe interdisciplinare care să explice ceea ce uneori pare de neexplicat.

Problema fundamentală de la care pornim în prezentarea noastră este un fapt uşor observabil: de

foarte multe ori avem de ales din mai două sau mai multe variante, dintre care cel puțin una implică

un grad de aleator. În limbajul de specialitate, aceste variante se numesc loterii şi ca să putem face

comparație între ele avem la îndemână mărimile din teoria probabilităților, cum ar fi media,

dispersia, sau abaterea standard. Calculul şi interpretarea acestor mărimi ar putea fi de ajutor pentru

a decide asupra celei mai bune variante de alegere. Haideți să luăm un exemplu în acest sens şi să

presupunem că un individ doreşte să cumpere acțiuni şi are de ales între două variante: o acțiune

oferă o rentabilitate aşteptată de 6% cu o abatere standard de 2%, iar celălalt tip de acțiune îi aduce

o rentabilitate de 14% şi are o abatere standard de 8%. Este evident că vor fi persoane care vor alege

primul tip de acțiune, pentru că deşi nu oferă o rentabilitate foarte mare are o abatere standard

mică, adică un risc destul de mic. Dimpotrivă, alții vor argumenta că nu sunt foarte speriați de un risc

de 8% în cazul celei de-al doilea tip de acțiune, pentru că a risca nu înseamnă neapărat a pierde. Al

doilea tip de acțiune aduce o rentabilitate mai mare şi prin urmare aceste persoane ar putea decide

să cumpere.

Iată că acest prim exemplu, chiar dacă este unul foarte simplist, ne poate aduce argumente în

favoarea faptului că oamenii pot acționa în maniere care capătă sens pentru ei, dar care sunt departe

de a fi înțelese sau aprobate de alții. Care este motorul acestor alegeri personalizate? Ce anume

caută oamenii să realizeze prin modul în care fac alegerile? Filosofi şi psihologi ai zilelor noastre dar şi

104

ai secolelor trecute, pornesc de la premisa că oamenii vor să îşi maximizeze fericirea şi să evite, sau

măcar să minimizeze suferința. Şi fiecare face cum ştie el mai bine ca să îşi atingă acest obiectiv.

Unul dintre argumentele care au minunat lumea ştiințifică la începutul anilor 1700, dovedind că nu

întotdeauna oamenii acționează în sensul obținerii celei mai mari valori în sens monetar, a constituit

un argument în introducerea conceptului de utilitate, concept care a ajutat – sau s-a dorit un

element important de ajutor - în descrierea comportamentului de decizie al agentului economic.

Pe scurt, vom reaminti că utilitatea, aşa cum a fost definită la cursul de microeconomie, reprezintă

gradul de satisfacție pe care îl resimte un individ atunci când consumă o anumită cantitate dintr-un

bun. Şi pentru că individul poate fi tentat, în diferite situații, să consume diferite cantități din bunul

respectiv, desigur că ar trebui să ne gândim la o funcție utilitate, care să atribuie fiecărei cantități o

anumită valoare care să exprime mulțumirea individului vizavi de ceea ce a consumat. Deja simțiți,

probabil, că lucrurile sunt pe cale să scape de sub control. Dacă vă întreb cum măsurați o cantitate,

veți şti să îmi indicați câteva unități de măsură. Dacă vă întreb despre volum, nu veți avea dificultăți

să răspundeți. Dar dacă vă întreb cum măsurați gradul de satisfacție, cu siguranță că vă va lua ceva

timp ca sa găsiți un răspuns valabil. Cu aceeaşi dilemă s-au confruntat şi creatorii teoriei utilității şi au

decis să inventeze o unitate de măsură nouă, numită utili.

În această exprimare, veți putea afirma de exemplu că o prăjitură vă bucură preț de 6 utili, două

prăjituri vă încântă de un total de 8 utili, trei prăjituri vă duc undeva spre 9 utili. Mă rog, nu voi

continua pentru că s-ar putea ca de la a treia prăjitură încolo să resimțiți o descreştere vertiginoasă a

bucuriei de a vă îndopa cu dulciuri şi am contrazice astfel ideea unanim acceptată că funcția utilitate

ar fi o funcție strict crescătoare...

Prima întrebare pe care şi-ar putea-o pune cineva (şi ar avea perfectă dreptate) ar fi următoarea: ce

ne face să credem că o funcție numită funcție utilitate ar exista cu adevărat şi nu este doar creația

unor minți doritoare de a naşte concepte? Răspunsul îl vom da în cele ce urmează, folosindu-ne de

doar una dintre situațiile semnalate în decursul timpului ca fiind neconforme cu ceea ce ar trebui să

facă un individ rațional.

După cum am discutat în primul capitol al lucrării, raționalitatea economică ar impune individului

anumite norme comportamentale şi printre ele ar trebui să se numere, cu siguranță, ideea de a

obține cel mai bun câştig posibil. Iată că, în anul 1738, Daniel Bernoulli a supus atenției opiniei

publoice o problemă care arăta că din motive necunoscute oamenii nu se comportă întotdeauna în

105

sensul maximizării câştigului monetar. Problema, cunoscută ulterior sub numele de Paradoxul St.

Petersburg, se enunță după cum urmează.

Se consideră următorul joc: se aruncă o monedă în mod repetat, până ce apare pentru prima dată

„cap”. Potul începe cu 1$ şi se dublează de fiecare dată când apare „cap”. De exemplu, dacă apare

„cap” la prima aruncare, atunci jucătorul va câştiga 1 dolar, dacă apare la a doua aruncare va câştiga

de două ori pe atât adică 2 dolari, la a treia aruncare va câştiga tot de două ori mai mult adică 4, iar

dacă apare „cap” ca aruncarea cu numărul k atunci jucătorul va câştiga k2 . Odată ce a apărut „cap”,

jocul se opreşte.

Aşa cum ştie toată lumea, ca să joci un joc potențial aducător de câştig trebuie mai întâi să plăteşti

„intrarea”. Întrebarea este cât ar dori să plătească o persoană ca să intre în acest joc, iar ca să

răspundem acestei întrebări va trebui mai întâi să determinăm cam cât se aşteaptă un jucător să

obțină. Vom calcula, aşadar, valoarea aşteptată a câştigului ca valoare medie a variabilei aleatoare

câştig. Va trebui spus că probabilitatea ca la aruncarea unei monede varianta „cap” să se obțină la

prima aruncare este 2

1 , probabilitatea ca varianta „cap” să se obțină la a doua aruncare este

2

2

1

şi, în general, probabilitatea ca varianta „cap” să se obțină la aruncarea cu numărul k este

1k

2

1

. Valoarea medie, sau aşteptată, a câştigului este următoarea:

1i

2

32 2

1...2

2

12

2

11

2

1E

Suma seriei este infinit şi deci câştigul aşteptat al jucătorului acestui joc este nelimitat. Asta înseamnă

că jucătorul este aproape sigur că, pe termen lung, nu contează cât de mult plăteşte intrarea în joc

din moment ce câştigul aşteptat este aproape sigur mult mai mare decât suma pe care a plătit-o.

Conform cu abordarea obişnuită a deciziei cu privire la cât este de avantajos şi deci de rațional să

plăteşti ca să joci, cele de mai sus spun că jucătorul ar trebui să fie dispus să plătească oricât pentru

oportunitatea de a juca.

În ciuda celor scrise mai sus, se pare că în practică oamenii nu prea sunt dispuşi să plătească o sumă

cu mult mai mare de 20 de dolari ca să intre în acest joc. Daniel Bernoulli, în 1738, a explicat că în

mod evident oamenii nu atasează acestei variante de a juca o valoare monetară, ci mai degrabă o

valoare subiectivă şi de aici concluzia că oamenii nu caută să îşi maximizeze valoarea aşteptată

106

exprimată în sens monetar, ci mai degrabă o altă mărime care caracterizează modul în care se

raportează la acest joc. Introducerea funcției utilitate a fost doar o formalitate, odată ce acest

element care era în mod cert în afara normelor acceptate – încălcarea principilui maximizării valorii

monetare, sau posibilitatea maximizării acesteia - a fost pus în evidență.

Funcțiile utilitate, despre a căror existență ne-a convins Paradoxul St. Petersburg, sunt acceptate de

către economişti ca fiind instrumentul prin care putem măsura preferințele agentului ecoonmic, fie

că acesta se află pe poziția consumatorului, fie că are de luat o serie de decizii de investiție, fie că se

află în alte situații în care trebuie să aleagă nivelul sumei la care este dispus să renunțe şi cantitatea

de risc pe care este dispus să şi-o asume cu speranța că va obține un câştig mai mare. Teoria utilității

aşteptate, dezvoltată pe baza funcțiilor utilitate, este în centrul teoriei moderne a portofoliului şi are

un rol important în determinarea portofoliului optim. Ca afirmație cuprinzătoare, putem spune că

Teoria Utilității Aşteptate este larg utilizată în economie pentru a explica criteriile de alegere în

mediu riscant şi spune că un individ va alege astfel încât să îşi maximizeze utilitatea aşteptată.

Exemplele următoare vor explica mai clar acest fenomen.

Exemplul 5.1.1. Cu siguranță că maximizarea utilității este un obiectiv care uneori nu este urmărit de

unii indivizi. Ca orice teorie, economică sau de altă natură, şi Teoria Utilității funcționează într-un

anumit cadru şi sub anumite ipoteze. Exemplul următor va arăta cum putem să stabilim dacă o

persoană urmăreşte, într-o situație, maximizarea utilității sale sau nu. Cu privire la posibilitatea unor

câştiguri viitoare, un investitor a răspuns următoarelor întrebări dintr-un chestionar:

1. Preferați să primiți suma de 1000 de euro cu certitudine, mai degrabă decât să vă expuneți

unei investiții care să vă ofere o treime şanse să o câştigați?

2. Ce alegere faceți între o treime şanse să obțineți suma de 1000 de euro dintr-o investiție

riscantă şi certitudinea că veți primi suma de 500 de euro?

3. Considerați că a primi 500 de euro cu certitudine este o variantă mai atractivă decât 50%

şanse să îi câştigați?

4. Ce preferați: 25% şanse de a câştiga 1000 de euro, sau 50% şanse de a câştiga 500 de euro?

La aceste întrebări, investitorul a răspuns după cum urmează:

1. Preferă să primească suma de 1000 de euro cu certitudine.

2. Preferă o treime şanse de a câştiga 1000 de euro.

3. Preferă varianta în care să primească 500 de euro cu certitudine.

4. Preferă 50% şanse să câştige 500 de euro.

107

Vom căuta ca, pe baza datelor de care dispunem, să stabilim dacă investitorul este coerent în

alegerile pe care le face, mai exact dacă alegerile sale urmează principiul de maximizare a utilității

aşteptate.

Pentru asta, vom nota cu U funcția utilitate a acestui individ, pe care evident că nu o cunoaştem dar

despre care ştim câteva informații generale şi anume că este o funcție pozitivă şi strict crescătoare.

Aceste presupuneri sunt mai mult decât naturale în acest context, pentru că discutăm despre funcția

utilitate a banilor. Sigur că fiecare persoană va prefera să aibă mai mulți bani decât mai puțini, chiar

dacă fiecare unitate monetară câştigată suplimentar îi va aduce, probabil, o satisfacție din ce în ce

mai mică. De asemenea, este firesc să considerăm că banii aduc mereu utilitate pozitivă. În

continuare vom exprima în termeni formali afirmațiile investitorului nostru şi pentru asta vom ține

cont de faptul că atunci când spunem că o variantă A este preferată unei variante B înseamnă că

utilitatea lui A este mai mare utilității lui B. Cele patru răspunsuri se scriu, formal, astfel:

1000U3

11000U (1)

500U1000U3

1 (2)

500U2

1500U (3)

1000U4

1500U

2

1 (4)

În condițiile în care valorile funcției utilitate sunt pozitive, inegalitățile (1) şi (3) sunt absolut fireşti şi

le putem elimina din discuție. Inegalitatea (4) se poate îmnulți cu un 2 şi obținem:

500U1000U3

1 (2)

1000U2

1500U (4)

Din aceste două afirmații rezultă, prin combinare:

1000U2

11000U

3

1

108

Asta înseamnă, însă, că o treime dintr-un număr pozitiv ar fi mai mare decât o jumătate din el, ceea

ce este cu siguranță neadevărat. Prin urmare, din afirmațiile investitorului nostru deducem că el este

oarecum contradictoriu şi că obiectivul lui nu este nici pe departe maximizarea utilității aşteptate.

5.2. Funcțiile utilitate şi preferințele individului. Teoria Utilității Aşteptate.

Aşa cum a fost ea gândită şi implementată în cadrul teoretic al ştiinței economice, o funcție utilitate

măsoară preferințele relative ale investitorului pentru diferitele niveluri ale venitului pe care îl are

sau pe care îl poate câştiga. Pentru a accepta în viața lor o astfel de entitate altminteri abstractă,

oamenii au avut nevoie să stabilească unele elemente descriptive care să se potrivească funcției

utilitate în general, iar aceste elemente au fost construite pe baza unor observații despre

comportamentele de zi cu zi ale indivizilor.

Ipoteza non-sațietății

O primă ipoteză pe care ați întâlnit-o în manualele de economie este aceea că funcția utilitate este

crescătoare pentru că, ni se spune, orice individ preferă să consume mai mult decât mai puțin şi prin

urmare un consum mai mare îl face mai fericit. Sigur că nu putem fi de acord până la capăt cu această

afirmație, sau cel puțin nu în această formulare. Un individ nu se va bucura, în mod cert, dacă îi

cerem să bea o cantitate suplimentară de apă dincolo de pragul său de sațietate şi, odată obligat, el

va experimenta mai degrabă o utilitate negativă. Pe de altă parte, dacă ne gândim la cantitate

preferată în termeni de posesie şi nu neapărat de consum efectiv, veți fi de acord că toți oamenii

aceia care se înghesuie prin supermarketuri, achiziționând produse cu mult peste nevoile lor, pe care

în cel mai scurt timp fie le uită într-o debara fie le aruncă, veți înțelege că tendința individului este să

îşi supraevalueze cu mult nevoile reale, efective. Motivele pentru care oamenii se comportă conform

acestei ipoteze de lucru pe care economiştii au numit-o non – sațietate sunt tratate pe larg în lucrări

de psihologie, iar abordarea lor nu face obiectul lucrării noastre.

Pentru scopurile pe care ni le-am propus este suficient să admitem că oamenii preferă întotdeauna

să aibă mai mult decât mai puțin, iar funcția utilitate exprimă de fapt maniera lor personală de a

manifesta preferințe. Modul în care uneori oamenii aleg împotriva a ceea ce ar putea fi considerat

rațional este ilustrat într-o manieră simplificată în exemplul care va urma.

Până atunci va trebui să mai facem referire la teoria care în economie poartă numele de Teoria

Utilității Aşteptate şi în acest scop ne vom reaminti că de obicei un individ se confruntă cu situații în

care rezultatele pe care le va obține dintr-o anumită inițiativă rămân necunoscute până în ultimul

moment. Dacă individul operează în mediu riscant, atunci el ştie care sunt variantele posibile şi poate

109

calcula şi probabilitățile lor, prin urmare ştie variabila aleatoare care descrie experiența de care este

interesat. Această variabilă aleatoare poartă numele de loterie, aşa cum este ea cunoscută în

limbajul de specialitate.

Achiziționarea unei acțiuni ar putea fi o experiență riscantă, de exemplu, dacă investitorul poate

estima rentabilitățile posibile ale acțiunii la finalul perioadei de investiție, ca şi probabilitățile cu care

aceste rezultate pot să apară.

În consecință, chiar dacă individul ştie care este funcția sa utilitate, el nu va putea să determine

utilitatea achiziționării respectivei acțiuni, ci doar utilitatea rezultatelor posibile ale acesteia.

Utilitatea sa cu privire la deținerea acțiunii devine la rândul său o variabilă aleatoare, iar pentru a

evalua „calitatea” experienței pentru individ, avem nevoie să calculăm valoarea ei medie, sau

aşteptată.

O mărime foarte importantă în procesul efectuării de alegeri şi în procesul luării deciziilor în mediu

riscant este, aşadar, utilitatea aşteptată care se determină ca valoare medie, sau aşteptată, a

variabilei aleatoare utilitate asociată unei experiențe riscante. Următorul exemplu va arăta modul în

care pe baza acestei valori se poate alege între două variante de investiție.

Exemplul 5.2.1. Exemplul următor ne va ajuta să înțelegem modul în care un individ poate avea

asupra unei anumite inițiative o altă viziune decât cea exprimată în rezultat monetar. Deşi problema

este formulată în termeni de investiție în titluri financiare, cu siguranță că aceeaşi abordare se poate

aplica în diverse alte alegeri pe care le poate face o persoană la un moment dat.

O persoană are de ales, aşadar, între duă variante de investiție care sunt mutual exclusive. Primul tip

de investiție este descris de variabila aleatoare

2,08,0

1001:L1 , iar al doilea capătă forma variabilei

aleatoare

01,099,0

100010:L2 . Din punct de vedere strict monetar, valorile aşteptate ale celor două

investiții sunt următoarele:

8,202,01008,01LM 1 u.m.

9,1901,0100099,010LM 2 u.m.

Pentru a evalua riscul pe care îl presupune fiecare investiție în parte, determinăm dispersiile lor:

110

16,15682,08,201008,08,201LD22

12

99,970201,09,19100099,09,1910LD22

22

Se observă că investiția 1L are o valoare aşteptată mai mare şi un risc mai mic față de investiția 2L ,

prin urmare o persoană care ar alege doar din punct de vedere al principiului medie – varianță ar

trebui să se orienteze către varianta de investiție 1L .

Aşa cum am spus mai devreme, există situații în care oamenii aleg conform altor criterii, sau cel puțin

nu putem afirma că latura mometară are singura, sau cea mai importantă pondere în motivația

alegerii. Am admis că toate aceste criterii care fac ca o alegere să fie importantă pentru o persoană

sunt înglobate în ceea ce numim conceptul de utilitate, iar funcția utilitate este cea care oferă pentru

individ o ierarhie a preferințelor.

Haideți să presupunem că pentru exemplul nostru funcția utilitate este de tip logaritmic şi anume

wlgwU unde w este suma de bani față de care individul îşi manifestă preferințele. Existența

unei funcții utilitate dovedeşte că individul nu vede investițiile 1L şi 2L aşa cum au fost scrise mai

devreme, ci într-un mod propriu, care este de fapt legat de modul în care se transformă variabilele

aleatoare 1L şi 2L prin intermediul funcției U. Prin urmare, individul va percepe aceste două

variante de investiție prin utilitatea lor, deci ca fiind

2,08,0

100lg1lg:LU 1 şi

01,099,0

1000lg10lg:LU 2 .

Ceea ce va da un răspuns la întrebarea: care investiție oferă o utilitate mai convenabilă pentru

investitor este valoarea medie, sau aşteptată, ale celor două variabile utilitate obținute anterior:

4,0100lg2,01lg8,0LUM 1 u.m.

02,11000lg01,010lg99,0LUM 2 u.m.

Se observă că a doua investiție, care la o evaluare strict monetară ar fi pierdut bătălia, este cea pe

care o va prefera investitorul cu funcție utilitate logaritmică.

Aversiunea față de risc

111

Proprietatea de a fi avers față de risc este cea de-a doua ipoteză care vine să întregească descrierea a

ceea ce ar trebui să fie o funcție utilitate şi ne spune că funcția utilitate este concavă sau, cu alte

cuvinte, că utilitatea marginală a câştigului este descrescătoare pe măsură ce câştigul individului

creşte.

Într-o exprimare mult mai apropiată de limbajul de zi cu zi, această ipoteză spune de fapt că pentru

cineva care are la momentul inițial o unitate monetară, obținerea a încă unei unități monetare este

destul de importantă. Pentru cineva care are un milion de euro, un euro suplimentar nu înseamnă

foarte mult. Legea diminuării mărimilor marginale, pe care ați întâlnit-o la cursul de economie în

diferite conjuncturi, funcționează şi aici şi ne spune că, în general, creşterea în utilitate cauzată de

obținerea unei unități monetare suplimentare descreşte pe măsură ce suma de care dispune

individul creşte.

Din punct de vedere strict al formei graficului funcției utilitate, această condiție de aversiune față de

risc se traduce prin existența unei reprezentări concave aşa cum arată figura de mai jos.

Înainte de a trece la prezentarea unui exemplu, vom mai face precizarea că fiecare individ este o entitate

separată şi unică în felul ei. Nu ne putem aştepta ca indivizii să aibă funcții utilitate identice, dar putem accepta

că există unele trasături care caracterizează aceste funcții indiferent de persoană. Cele două ipoteze, ce a non

sațietății şi cea a aversiunii față de risc, sunt determinanții care ne ajută să avem o reprezentare despre cum

anume se comportă în general o funcție utilitate indiferent de forma pe care o are ea efectiv.

Figura 5.1. Funcție utilitate de formă concavă, care arată aversiunea față de risc a individului

Exemplul 5.2.2. Considerăm un investitor care are o funcție utilitate de tipul von Neumann –

Morgenstern, wwU . De la bun început se poate comenta faptul că această funcție este strict

cresctoare şi concavă, prin urmare răspunde în acelaşi timp celor două ipoteze despre care am

discutat mai devreme: reflectă non sațietatea şi indică o diminuare a satisfacției pe măsură ce se

adaugă câte o unitate monetară la câştigul individului. Din punct de vedere al exprimării matematice

112

a acesor afirmații, funcția utilitate are derivata întâi pozitivă (pentru că este crescătoare) şi derivata a

doua negativă (pentru că este concavă).

Să considerăm acum că investitorul nostru dispune de 10 u.m. cu care doreşte să achiziționeze o

loterie despre care ştie că îi poate aduce cu aceeaşi probabilitate de 50% fie un câştig de 4 u.m., fie

unul de 16 u.m. Variabila aleatoare care arată ce va obține investitorul este următoarea:

L:

5,05,0

146.

Ţinând cont de faptul că investitorul a plătit pentru această loterie 10 u.m., variabila aleatoare care

arată rentabilitatea este următoarea:

R:

5,05,0

%10010

1014%100

10

106, sau

R:

5,05,0

%40%40

Dacă vom calcula valoarea aşteptată a rentabilității acestui joc, vom obține că ea este 0% deci pe

termen lung, dacă investitorul repetă jocul de mai multe ori, nici nu câştigă nici nu pierde. Un astfel

de joc, pentru care valoarea medie, sau aşteptată, este nulă se numeşte joc corect din punct de

vedere actuarial.

Am prezentat acest exemplu de loterie, sau de joc aleatoriu, caracterizat ca fiind corect din punct de

vedere actuarial pentru că ne va fi de ajutor în descrierea comportamentului unui individ avers față

de risc. Caracteristica generală a unei astfel de persoane este că ea va refuza întotdeauna să joace un

joc pentru care rezultatul aşteptat este nul. Un individ avers față de risc va atribui întotdeauna o

pondere mai mare pierderii decât câştigului, atunci când acestea au aceeaşi probabilitate de

realizare. Lucrul acesta se poate observa imediat, dacă vom calcula efectele percepuite de către

individ ale celor două variante din jocul exemplificat anterior.

În varianta în care individul câştigă patru unități monetare, el de fapt a pierdut şase din cele zece

unități plătite inițial. În varianta în care individul primeşte 16 unități monetare, înseamnă că el a

câştigat 6 unități monetare în plus față de cele zece investite inițial. Haideți să calculăm utilitatea

celor trei variante: 6 u.m., 10 u.m. şi 16 u.m.

113

244U utili, 162,31010U utili, 41616U utili

Se poate observa că pierdere în utilitate generată de scăderea câştigului investitorului de la 10 u.m.

la 4 u.m. este de 1,162 utili, pe când creşterea în utilitate ca urmare a creşterii câştigului

investitorului tot cu 6 unități, de la 10 u.m. la 16 u.m. este de doar 0,837. Iată de ce spunem că un

individ avers față de risc va resimți mai puternic pierderea, decât câştigul atunci când ele au şanse

egale să se producă.

Putem afirma acum că în general, pentru un investitor avers față de risc, o pierdere de 2x este mai

mult decât de două ori mai rea decât o pierdere de 1x, pe când un câştig de 2x este mai puțin decât

de două ori mai bun decât un câştig de 1x.

Exemplul 5.2.3. Un individ o funcție utilitate medie varianță de forma w~DAw~Mw~U 2 ,

unde A este un coeficient care arată aversiunea individului față de risc. Vom explica mai întâi

elementele implicate în această funcție şi modul în care operează coeficientul A, apoi vom discuta o

situație concretă. Va trebui să spunem că funcția utilitate medie – varianță este larg folosită pentru a

descrie comportamentul agentului economic în perimetrul investițiilor financiare.

Observați, în primul rând, că de această dată am folosit notația w~ în loc de notația simplă w. Asta

înseamnă că de data aceasta se evaluează utilitatea unei loterii, a unui joc aleator, şi nu a unei sume

certe. În evaluarea utilității unei situații aleatoare, o importanță mare o acordăm valorii aşteptate,

sau câştigului mediu pe care individul se aşteaptă să îl obțină dacă se expune situației respective de

un număr foarte mare de ori şi cu siguranță că o persoană va considera o loterie cu atât mai utilă cu

cât valoarea aşteptată a câştigului, notată de noi w~M , este mai mare. Din acest motiv w~M este

un termen care apare cu semnul plus în forma funcției.

De aşteptat va fi şi faptul că dispersia loteriei va avea un impact asupra utilității pe care individul o va

acorda jocului. Dacă individul nu este avers față de risc, ne vom aştepta ca această dispersie să

contribuie în sens advers la evaluarea utilității loteriei şi din acest motiv w~D2 apare în expresia

funcției utilitate cu semnul minus. Totuşi, va trebui să acceptăm că pentru diferite persoane averse

față de risc, percepțiile asupra unor pierderi potențiale pot fi diferite. Aşadar, o aceeaşi valoare a

dispersiei va fi pentru unii mai amenințătoare decât pentru alții şi de aceea termenul w~D2 este

însoțit de un coeficient A, pe care l-am numit coeficient de aversiune față de risc. Cu cât individul se

va simți mai amenințat de valoarea dispersiei, cu atât valoarea lui A va fi mai mare.

114

5.3. Alte atitidini față de risc şi funcții specifice

Haideți să discutăm un caz concret şi să calculăm utilitatea loteriilor din Exemplul 5.2.1. Pentru

loteria 1L am stabilit că 8,20LM 1 şi 16,1568LD 12 . De aici deducem că utilitatea medie –

varianță este

16,1568A8,20LU 1

Similar, pentru loteria 2L obținem după înlocuirea mărimilor calculete anterior:

99,9702A9,19LU 2

După cum se poate observa, din două valori medii aproape egale se scad, pentru determinarea

utilității medie – varianță, două mărimi sensibil diferite: 16,1568A în cazul primei investiții şi

99,9702A în cazul celei de-a doua investiții. Este foarte limpede că atât timp cât coeficientul A de

aversiune față de risc este pozitiv, investiția 2L va fi considerată o variantă de neales de către un

individ avers față de risc. Pe de altă parte, din Exercițiul 5.2.1. ştim că există unii indivizi mai ciudați,

care ar putea considera investiția a doua ca fiind pe gustul lor. Haideți să vedem cum ar trebui să fie

coeficientul A în cazul lor, iar răspunsul la această problemă va face trecerea către următorul punct

pe care îl vom aborda în studiul preferințelor indivizilor.

Dacă 12 LULU , atunci obținem din înlocuirea celor două expresii pentru funcțiile utilitate medie

– varianță:

99,9702A9,19 00011,0A16,1568A8,20

Cu alte cuvinte, o persoană va considera că al doilea tip de investiție este mai util, sau poate mai

plăcut, dacă A, coeficientul său de aversiune față de risc, este negativ. Haideți să vedem ce înseamnă

asta, discutând relativ la forma generală w~DAw~Mw~U 2 a unei funcții utilitate medie –

varianță. Aşa cum se ştie deja, dispersia unei variabile aleatoare nu poate fi altfel decât pozitivă. Prin

urmare, contribuția termenului w~DA 2 la utilitatea totală va fi în sens de scădere, dacă A iao

valoare pozitivă, în sens de creştere, dacă A ia o valoare negativă, sau acest termen nu va contribui

defel, dacă A ia valoarea zero.

Cazul în care A este pozitiv corespunde situației în care prezența riscului – exprimat ca dispersie a

variabilei aleatoare – descurajează individul: aşa cum spuneam mai sus, riscul este perceput ca fiind

115

cu atât mai neplăcut cu cât coeficientul A este mai mare, pentru că astfel termenul w~DA 2 care

se scade din valoarea medie w~M devine la rândul lui mare.

Cazul în care coeficientul A este negativ corespunde situației în care prezența riscului contribuie în

sens pozitiv la alegerea individului: cu cât mai mare este dispersia w~D2 , cu atât mai mare va fi

cantitatea care se va adăuga la valoarea medie w~M pentru a obține în total utilitatea medie

varianță. Prin urmare, pentru un coeficient negativ al aversiunii față de risc, indivizii sunt cu atât mai

fericiți cu cât riscul variantei pe care o aleg este mai mare. Acestea sunt persoanele inclinate către

risc, pentru care funcția utilitate ia o formă convexă. În cazul unor astfel de indivizi, este mai

important şi mai bobilizator faptul că pot câştiga decât faptul că pot pierde şi de aceea ei acordă o

valoare mult mai mare unei unități monetare câştigate decât unei unități monetare pierdute.

În fine, cea de-a treia variantă corespunde unor indivizi care sunt foarte liniştiți în prezența riscului.

Coeficientul lor de aversiune față de risc, A, este nul şi din acest motiv ei vor fi motivați întotdeauna

de varianta care le va aduce cea mai mare valoare medie, sau aşteptată. Între două variante care le

aduc avelaşi rezultat potențial, ei vor fi complet indiferenți ce aleg pentru că nu se vor interesa care

variantă este mai riscantă. Pentru un individ pe care riscul îl lasă rece, funcția utilitate are o formă

liniară care arată că din punctul lui de vedere se raportează la fel la o unitate monetară câştigată ca şi

la o unitate monetară pierdută şi din acest motiv el va căuta să îşi maximizeze valoarea câştigului

indiferent de cât de riscant sau de neriscant este demersul respectiv.

Este de la sine înțeles, iar practica o demonstrează cu prisosință, faptul că un acelaşi individ se poate

manifesta în moduri diferite, în situații diferite. Un exemplu simplu este legat chiar de atitudinea ta,

stimate cititor, în cazul în care ai fi invitat să joci un joc care să coste 10 u.m. şi care să îți aducă un

câştig ca acela pe care l-a modelat în loteria

5,05,0

146. Dacă unitatea monetară este „banul”, deci

dacă jocul te costă 10 bai, atunci probabil că vei fin indiferent dacă joci sau nu, sau poate vei participa

pentru simpla plăcere a socializării cu cei care organizează loteria. Dacă, însă, unitatea monetară este

suta de euro, adică intrarea în joc te va costa 1000 de euro şi ai şanse 50% să rămâi fără 400 dintre ei,

atunci am dubii că vei decide la fel de senin dacă să joci sau nu.

Iată, prin urmare, că în esență fiecare individ are pe funcția sa utilitate porțiuni convexe, concave şi

liniare care arată modul diferit în care se raportează la diferite situații riscante. Pentru oamenii de

afaceri este important, de multe ori, să ştie care este profilul pe care îl manifestă colaboratorii față

de diverse alternative riscante şi pentru că oamenii sunt tentați mereu să clasifice şi să ierarhizeze, au

116

inventat o măsură a aversiunii față de risc din care să poată deduce cum se comportă un individ în

raport cu altul. Următorul exemplu va aduce puțină lumină în acest sens.

Exemplul 5.3.1. Un om de afaceri este interesat să ştie cum se vor comporta doi dintre colaboratorii

săi în raport cu o propunere de activitate comună. Persoana A are o funcție utilitate de forma

3A w3wU , iar persoana B are funcția utilitate de forma 5,0

B w8wU . Teoreticienii au

definit o funcție, numită funcția de aversiune absolută față de risc pe care o cunoaştem sub numele

de Coeficientul Arrow – Pratt, sau ARA, şi care are forma:

wU

wUwr

Dacă vom calcula acest coeficient, care se mai notează şi cu ARA, pentru fiecare dintre cei doi indivizi,

vom afla dacă unul dintre ei este de felul său mai avers față de risc decât celălalt, sau dacă există

situații în care A este mai avers decât B şi situații în care acest raport se schimbă.

Vom avea nevoie de derivatele de ordinul întâi şi al doilea pentru funcțiile utilitate ale celor două

persoane implicate în studiu:

4A

3A w9wUw3wU şi 5

A w36wU

5,0B

5,0B w4wUw8wU şi 5,1

B w2wU

Înlocuim în formula generală a coeficientului Arrow – Pratt şi obținem:

w

4

wU

wUwr

A

AA

w2

1

wU

wUwr

B

BB

.

Se poate observa imediat că între cele două funcții care definesc aversiunea absolută față de risc

există următoarea relație:

w

4

w2

1, adică wrA wrB

117

Concluzia studiului este că individul A este mai avers față de risc decât individul B, iar asta se

întâmplă indiferent de valoarea lui w. Prin urmare, omul de afaceri trebuie să ştie că A este global

mai avers față de risc decât B şi decă că dacă o variantă este acceptată de această persoană, atunci

va fi acceptată şi de B.

Exemplul 5.3.2. Acest exemplu ne va ajuta să vedem care este corespondentul practic al funcției

utilitate şi pentru asta ne vom referi la un om de afaceri care este interesat să majoreze capitalul

întreprinderii pe care o conduce. Emisiunea de acțiuni i se pare o idee buna, dar ar dori să ştie cum va

fi primită această inițiativă de către investitorii potențiali.

Să presupunem că piața arată o asemenea predispoziție, că evoluția indicată pentru acțiunile emise

de omul de afaceri este următoarea:

8,02,0

11:W

~

Asta înseamnă că din deținerea fiecărei acțiuni, investitorul poate pierde o unitate monetară cu

şanse de 20% şi poate câştiga o unitate monetară cu şanse de 80%. Întrebările la care doreşte să îşi

răspundă omul de afaceri sunt următoarele: ce fel de investitori trebuie să caute, ca să fie sigur că

vor fi dornici să cumpere acțiunile? Şi, cât sunt dispuşi aceşti investitori să plătească pentru

achiziționarea unui astfel de titlu financiar?

Probabil că sunteți puțin surprinşi gândindu-vă că din aceste prea puține date care vi s-au dat în

ipoteză ați putea deduce răspunsul la cele două întrebări care sunt, dealtfel, vitale pentru emitentul

de acțiuni. Totuşi, vă asigurăm că putem da răspunsuri coerente deîndată ce luăm în calcul că fiecare

persoană este caracterizată de o funcție utilitate. Specialiştii ne spun că funcția utilitate medie –

varianță descrie destul de bine comportamentul individului în raport cu deciziile sale financiare, prin

urmare vom considera că potențialii investitori au o funcție utilitate de tipul

w~DA2

1w~Mw~U 2 , unde w~ este variabila aleatoare care arată ceea ce obține individul din

jocul riscant în care se angajează. În cazul nostru, jocul riscant îi aduce fie un câştig de o unitate

monetară, fie o pierdere de acelaşi nivel, cu probabilitățile pe care le-am amintit deja. Este bine să

observăm, totuşi, că acest câştig şi această pierdere nu ne spun mare lucru dacă nu ştim la ce să le

raportăm. De exemplu, dacă individul a plătit pentru acțiune 10 u.m. şi primeşte un câştig de o

unitate monetară, se prea poate să se orienteze către un alt emitent de acțiuni. Dacă primeşte

acțiunea în schimbul a 0,2 u.m., atunci ar putea considera că tentația de a obține o unitate monetară

118

este mare în raport cu cât investeşte, mai ales pentru că probabilitatea de pierdere este sensibil mai

mică decât cea de câştig.

Pentru a avea o imagine mai clară asupra a ceea ce oferă acțiunea, va trebui să reformulăm problema

în termeni de rentabilitate: această abordare va pune în evidență atât beneficiile potențiale, cât şi

efortul inițial de achiziționare a titlului financiar. Să presupunem, aşadar, că omul de afaceri pune în

vânzare o acțiune la prețul 0s , prin urmare variabila aleatoare rentabilitate este de forma:

8,02,0

s

s1

s

s1

:R~

0

0

0

0

Pentru a putea evalua impactul pe care îl are această ofertă de investiție asupra potențialilor

investitori, va trebui să calculăm funcția utilitate medie varianță pentru această „loterie”. Va trebui,

în acest scop, să calculăm media şi dispersia ei.

0

0

0

0

0

0

s

s6,0

s

s18,0

s

s12,0R

~M

2

0

0

0

0

2

0

0

0

02

s

s6,0

s

s16,0

s

s6,0

s

s14,0R

~D

Obținem:

20

2

s

53248,0R~

D

Determinăm utilitatea medie – varianță pentru un individ care are un coeficient A de aversiune față

de risc:

R~

DA2

1R~

MR~

U 20

0

s

s6,0

20s

53248,0A

2

1

Aducem la o formă mai simplă şi obținem:

20

020

s2

A53248,0s2,1s2R~

U

Se observă că această ultimă formă a funcției U ne arată modul în care utilitatea pe care o resimte

individul este influențată atât de atitudinea lui față de risc, exprimată prin intermediul coeficientului

A, dar şi de suma pe care trebuie să o plătească inițial pentru achiziționarea acțiunii. Deocamdată,

rezultatul la care am ajuns este unul foarte abstract şi încă nu ne dăm seama care ar fi legătura cu

viața reală. Haideți să răspundem acum la întrebarea: poate vreu investitor să fie tentat să

119

achiziționeze o astfel de acțiune? O variantă de abordare a acestei probleme ar fi să gândim astfel:

pentru ca tentația să funcționeze, potențialul investitor ar trebui să se simtă cumva indiferent între

varianta de a investi banii în acțiunile emise de omul de afaceri şi varianta în care să nu facă nimic cu

ei. Cu alte cuvinte, să-i fie indiferent dacă scoate sau nu banii din buzunar. Desigur că un raționament

similar se poate aplica şi pentru cazurile în care există şi alte alternative de investiție, dar pentru

scopurile noastre este important să prezentăm modul în care trebuie să gândim asupra fenomenului

în general.

Spuneam că în varianta în care individul se simte indiferent între a cumpăra acțiunea emisă de omul

de afaceri şi a ține banii în buzunar, există o şansă ca acțiunea să se vândă. De asemenea, trebuie

spus că utilitatea ținerii banilor în buzunar este nulă, dintr-un motiv foarte simplu: banii ținuți în

buzunar aduc, în condiții de stabilitate financiară, o rentabilitate nulă şi nu sunt expuşi la niciun fel de

risc, deci şi dispersia este într-un astfel de caz tot egală cu zero. Pentru ca individul să fie indiferent

între cele două variante menționate mai sus, trebuie ca utilitățile variantelor să fie egale între ele.

Deci, trebuie ca şi utilitatea deținerii unei acțiuni să fie cel puțin tot zero. Aceasta se scrie, din punct

de vedere formal:

0R~

U 0s2

A53248,0s2,1s220

020

Asta înseamnă că:

0A53248,0s2,1s2 020 sau

0A53248,0s2,1s2 020 (#)

Variabila în această inecuație de gradul al doilea este 0s , iar intenția noastră este să determinăm

prețul la care potențialul investitor ar fi dispus să cumpere acțiunea. Calculăm discriminantul funcției

de gradul al doilea din membrul din stânga al relației şi impunem condiția ca acesta să fie pozitiv

pentru ca funcția de mai sus să poată avea rădăcini reale, adică pentru a fi siguri că individul şi-ar dori

să plătească o sumă pentru cumpărarea acțiunii.

A25984,444,1A53248,0242,1 2

Pentru ca investitorul să fie dispus să plătească ceva pentru achiziționarea acțiunii, va trebui ca

0 :

120

338,0A0A25984,444,1

Deci, investitorul se va aştepta ca acțiunile pe care le emite să fie tentante pentru aceia dintre

investitorii potențiali al căror profil față de risc este descris de un coeficient de aversiune 338,0A ,

ceea ce înseamnă că aceştia trebuie să fie destul de aproape de ... indiferență față de risc, dacă nu

chiar înclinați către risc. Investitorii al căror coeficient A nu se încadrează în acest interval nu vor

considera investiția ca fiind atractivă.

Haideți să vedem, de exemplu, care va fi suma pe care va fi dispus să o plătească un individ care are

coeficientul de aversiune față de risc 25,0A pentru acțiunea emisă de individ. Pentru a răspunde

la întrebare, va trebui să înlocuim această valoare a lui A în relația (#) şi obținem:

025,053248,0s2,1s2 020 , sau

013312,0s2,1s2 020

Rezolvăm această ecuație de gradul al doilea şi obținem următoarele două soluții:

1469,0s01 u.m. şi 4531,0s02 u.m.

Desigur, vă aşteptați să apară întrebarea: „Care soluție va fi aleasă?”. Evident, răspunsul va depinde

de semnificația pe care o are 0s în toată povestea asta. La o primă vedere ați putea spune că

potențialul investitor ar dori să cumpere acțiunea pentru suma mai mică, egală cu 0,1469 u.m., pe

când omul de afaceri care emite acțiunile ar dori să obțină pentru ele cât mai mult, adică în acest caz

suma de 0,4531 u.m. Un astfel de răspuns are logică, dar nu este corect până la capăt. Realitatea este

că 0s a reprezentat de la bun început exact suma pe care potențialul investitor este dispus să o

plătească pentru achiziționarea unei acțiuni. De ce, atunci, emitentul să ceară pentru acel titlu 0,1469

u.m. şi nu 0,4531 u.m.? Individul este dispus să dea aceşti bani, conform funcției sale utilitate! Prin

urmare, din perspectiva omului de afaceri el va trebui să aleagă soluția 4531,0s02 ca preț al

acțiunilor pe care le emite.

Problema pe care tocmai v-am prezentat-o şi care în esență nu este deloc dificilă face trimitere către

o noțiune foarte importantă în economia riscului şi anume la echivalentul cert. Secțiunea următoare

se va ocupa de cele două noțiuni pe care dorim să le mai discutăm înainte de încheierea acestui

capitol şi anume echivalentul cert şi prima de risc.

121

5.4. Echivalentul cert şi prima de risc

Exemplul 5.3.2. din secțiunea precedentă a adus în discuție situația în care o persoană este

indiferentă între a cumpăra o anumită acțiune şi a păstra banii neinvestiți. Într-un mediu riscant, se

poate pune deseori problema care dintre deciziile de a acționa sau a nu acționa este mai bună, sau

altfel spus „Care variantă este mai bună: varianta sigură, sau varianta riscantă?”.

Conceptul de echivalent cert vine să ne vorbească despre o sumă care ne poate face suficient de

fericiți pentru a nu mai fi nevoie să ne implicăm în acțiuni riscante. Desigur că, odată ce am pomenit

cuvântul „fericit” cu referire clară la o persoană, trebuie să admitem că funcția utilitate trebuie să

aibă un amestec aici.

Acest echivalent cert este acea sumă pe care o notăm c, care este sigură şi care asigură individului

aceeaşi utilitate ca o acțiune riscantă din care el ar avea si de pierdut, şi de câştigat. Haideți să fim

mai clari.

Exemplul 5.4.1. Presupunem că într-o dimineață copilul dumneavoastră vine şi vă spune că ar dori să

intre în afaceri cu un coleg. Va trebui să investească 1000 de euro, iar din calculele lor rezultă că în

următorul an fie va câştiga 2500 de euro (cu o probabilitate foarte mică, din câte puteți să mirosişi

dumneavoastră), fie va pierde cam tot ce a cheltuit. Pentru că vă e clar că acei 1000 de euro la care

se referă puştiul sunt tocmai banii pe care i-ați pus deoparte în perspectiva concediului, şi pentru că

nu doriți nici să vă certați urât cu un adfolescent (care poate fi foarte dificil dacă depune efprturi în

acest sens), vâ gândiți să îi propuneți un compromis: îi faceți cadou o pereche de role pe care şi le

doreşte de multă vreme şi uită de povestea cu afacerea. Aflați că dacă puştiul dumneavoastră va

spune „da”, înseamnă că tocmai ați determinat un fel de echivament cert al situației: prețul rolelor.

Se presupune că în această etapă copilului îi este indiferent dacă mai intră în afaceri cu prietenul său,

pentru că obținerea sigură a patinelor cu rotile este destul de tentantă în felul său. Sigur că până la

urmă veți face cumva ca rolele acelea să devină chiar preferință, nu doar o variantă suficient de bună,

dar asta depăşeşte deja scopul exemplului nostru.

Exemplul anterior a explicat pe baza unu exemplu foarte simplu faptul că puştiul aspirant la ststutul

de om de afaceri a evaluat rapid, prin prisma caracteristicilor proprii, utilitatea aşteptată a loteriei în

care ar fi intrat cu prietenul său şi a comparat-o cu utilitatea posesiunii certe a patinelor cu rotile. În

varianta în care cele două mărimi i-au dat ca fiind egale, probabil că s-a lăsat uşor convins să nu se

complice, ci să meargă mai degrabă să se joace în parc.

122

În general, arunci când avm de comparat o loterie L a cărei utilitate aşteptată este W~

UM , cu o

variantă certă c, a cărei utilitate este cU , spunem că mărimea c este echivalentul cert dacă are loc

egalitatea

cU W~

UM

Pe de altă parte, prima de risc este suma pe care o personă aversă față de risc ar fi dispusă să o

plătească pentru a evita riscul. Modul în care se calculează prima de risc nu mai este, din păcate, la

fel de simplu şi evident ca în cazul echivalentului cert şi de aceea există o întreagă literatură care se

focalizează pe determinarea celor mai bune variante de calcul al acestei mărimi. Ceea ce ne dorim în

această lucrare este doar să familiarizăm cititorul cu unele noțiuni generale şi prin urmare vom alege

să stabilim că prima de risc se calculează după formula

W~

MU W~

UM

Exemplele următoare vor explica mai clar modul în care se calculează atât echivalentul cert, cât şi

prima de risc.

Exemplul 5.4.2. Un individ este caracterizat de o funcție utilitate von Neumann – Morgenstern, de

forma 5,0wwU şi dispune de o sumă de 64 u.m.. Această presoană este pusă într-o situație

riscantă din care, cu şanse egale, poate fie să rămână cu suma pe care o are inițial, fie poate să piardă

aproape o jumătate din ea, conform loteriei următoare:

5,05,0

.m.u64.m.u36:w~

Se pune problema cât este dispusă această persoană să plătească pentru a încheia un contract care

să o acopere împotriva pierderii potențiale de 28 u.m.

Formula de calcul pe care o vom utiliza noi pentru prima de risc este legată de coeficientul Arrow –

Pratt de aversiune față de risc şi se scrie explicit astfel:

ARA

2

w~D2

Deci, prima de risc se calculează ca produs între jumătatea dispersiei loteriei la care este supus

individul şi coeficientul Arrow - Pratt de aversiune față de risc.

123

Dispersia lui

5,05,0

.m.u64.m.u36:w~ se calculează imediat şi rezultă egală cu 196. Determinăm acum

derivatele de ordinul întâi şi al doilea pentru funcția utilitate, ca să putem calcula ARA:

5,15,05,0 w25,0wUw5,0wUwwU

Atunci: w2

1

wU

wUwrARA

Prima de risc este:

w

49

w2

1

2

196ARA

2

w~D2

Haideți să vedem acum care este semnificația practică a relației pe care am obținut-o: prima de risc a

fost determinată în funcție de o valoare w care este acea valoare de care individul doreşte să

dispună. De exemplu, loteria din exemplul nostru îi asigură individului o valoare medie egală cu

50645,0365,0wM

În realitate, el va dispune fie de 36 u.m., fie de 64 u.m., dar nu de 50 u.m. Şi totuşi, dacă persoana

doreşte să se asigure că va beneficia de această valoare medie cu siguranşp, ea va putea încheia un

contract de asigurare care să o sedpăgubească în cazul cel mai nefavorabil până la valoarea medie

dorită. Înseamnă că, pentru a putea beneficia de o medie de 50 u.m., persoana va trebui să plătească

o primă de risc egală cu:

.m.u98,050

49

5.5. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar

1. Alegeți un eveniment important din viața dvs care urmează să aibă loc. Enumerați cinci dintre

caracteristicile pe care le considerați neobservabile şi din cauza cărora nu puteți prevedea cu

exactitate rezultatul pe care îl veți înregistra.

2. Ce înțelegeți prin utilitate şi care este motivul pentru care teoria economică a avut nevoie de

un astfel de concept?

3. Explicați modul în care Padadoxul St. Petersburg dovedeşte că oamenii nu decid întotdeauna

conform criteriului maximizării câştigului monetar.

124

4. Explicați diferențşa dintre utilitate şi funcție utilitate şi dați un exemplu concret care să

exprime această distincție.

5. Care este afirmația de bază a teoriei utilității aşteptate? Găsiți un exemplu concret din viața

dvs când ați acționat pentru maximizarea valorii monetare a unui câştig şi un alt exemplu în

care ați luat decizia pe baza unor valori nemonetare dar care v-au maximizat utilitatea în

contextul respectiv.

6. Explicați în ce constă ipoteza non sațietății din teoria utilității aşteptate. Întocmiți un referat

de 5 pagini despre tendința individului către consumatorism. Utilizați, în acest scop, cel puțin

5 materiale bibliografice relevante.

7. Explicați în ce constă ipoteza aversiunii față de risc din teoria utilității aşteptate. Întocmiți un

referat de 5 pagini despre diferitele tipuri de funcții utilitate pe care le utilizează specialiştii în

evaluarea profilului față de risc pe care îl are un decident. Utilizați, în acest scop, cel puțin 5

materiale bibliografice relevante.

8. Explicați noțiunile de echivalent cert şi primă de risc. Întocmiți un referat de 5 pagini despre

legătura dintre aceste două concepte şi despre diferitele metode de calcul pe care le-au

propus specialiştii pentru a determina prima de risc. Subliniați motivele pentru care calculul

acestei valori este atât de mult discutat. Utilizați, în acest scop, cel puțin 5 materiale

bibliografice relevante.

9. Întocmiți un referat de 7 – 8 pagini despre teoria anxietății şi despre importanța ei în studiul

luării deciziei în mediu riscant. Utilizați, în acest scop, cel puțin 10 materiale bibliografice

relevante.

10. Întocmiți un referat de 7 – 8 pagini despre limitele teoriei utilității ațteptate şi despre teorii

alternative propuse de către specialişti, cum ar fi de exemplu teoria prosprctării. Utilizați, în

acest scop, cel puțin 10 materiale bibliografice relevante.

125

CAPITOLUL 6.

MĂRIMI OBSERVABILE ŞI NEOBSERVABILE

LA NIVEL DE AFACERE

6.1. Provocări ale pieței monopoliste în mediu incert

6.2. Implicațiile prețului necunoscut asupra alegerii optime a inputurilor

6.3. Întrebări recapitulative şi teme de seminar

Obiectivele capitolului

Acest capitol îşi propune să evidențieze utilitatea introducerii elementului aleator în tratarea anumitor procese

care au loc în mod obişnuit la nivel de afacere. Ne-am îndreptat atenția către provocările la care face față

monopolul temporar în condițiile în care pe piață tot mai mulți competitori sunt dispuşi să îşi adapteze

produsele conform cu cele mai noi modele lansate de concurență şi de asemenea am studiat un exemplu în

care am pus în evidență diferențele dintre deciziile optime pe care le poate lua un om de afaceri înainte şi după

ce află care este prețul la care consumatorii primesc produsul pe piață.

6.1. Provocări ale pieței monopoliste în mediu incert

Oricare curs de microeconomie ne învață că în situația în care pe piață funcționează un regim de

monopol profitul este acelaşi indiferent dacă monopolistul va hotărî să stabilească prețul produsului

sau cantitatea pe care urmează să o trimită pe piață. Secțiunea de față îşi propune ca, pornind de la

un aparat matematic simplu, să dovedească faptul că afirmația precedentă nu mai este un adevăr

general valabil atunci când luăm în considerare condițiile reale de pe piață, prin urmare atunci când

acceptăm că agentul economic îşi desfăşoară activitatea în mediu incert. Concluzia, susținută riguros

ştiințific, se constituie într-o atenționare pentru acei producători care pentru o perioadă scurtă de

timp se găsesc pe o poziție similară monopolului, ca urmare a trimiterii pe piață a unui produs

suficient de diferențiat pentru a putea afirma că situația se caracterizează ca monopol de

conjunctură.

Ne propunem să abordăm problema maximizării profitului, ca obiectiv al unei firme care deține un

monopul temporar asupra unui anumit produs. Situația provizorie în care se află firma este dată de

rapiditatea cu care concurența este capabilă şi dispusă să copieze ideea noului produs. Astfel, la

126

momentul lansării pe piață de către concurență a unui produs similar, firma îşi va pierde calitatea de

monopolist şi implicit şi avantajele pe care i le oferă o astfel de poziție.

Vom porni de la opinia general exprimată în lucrările de Microeconomie şi anume că un monopolist

poate în egală măsură stabili prețul sau cantitatea pentru un anumit bun, rareori ambele mărimi

simultan, iar într-o astfel de situație prin fixarea prețului se stabileşte indirect şi cantitatea. Tot ca o

concluzie indirectă, se enunță faptul că indiferent dacă monopolistul va stabili prețul sau cantitatea,

el va putea obține acelaşi profit.

Încă de la începutul anilor 1970, în literatura economică au fost aduse argumente importante care au

arătat faptul că în condiții de incertitudine profitul monopolistului nu este acelaşi atunci când acesta

fixează prețul ca şi atunci când fixează cantitatea. Pot fi menționați aici Sandmo (1971), Leland

(1972), dar se pot include şi contribuții mai recente ca de exemplu Klemperer şi Meyer (1986) sau

Lambertini (2006)

Problema căreia trebuie să îi facă față monopolistul de conjunctură nu este o problemă teoretică.

Recentele transformări ale mediului economic, generate de integrarea în Uniunea Europeană, fac ca

economia în care trăim să fie din ce în ce mai mult cu bază în risc şi de aceea deciziile trebuie luate în

deplină cunoştință de cauză.

Nici un monopol nu este scutit de problema existenței bunurilor substituibile, chiar dacă uneori

acestea oferă consumatorului o utilitate mai mică decât produsul de monopol. Câtă vreme există

alternative, monopolistul va trebui să-şi pună problema că nu poate anticipa modificării preferințelor

consumatorilor, modificări care vor avea impact asupra cererii pentru produs. Câtă vreme preferința

va rămâne în drepturi ca factor al cererii, problema pe care o tratam în această lucrare va fi o

problemă reală pentru orice întreprinzător.

Vom porni de la ipoteza că monopolistul cunoaşte curba cererii, notată ,pD , unde p este prețul

produsului iar este o variabilă aleatoare care arată modul în care se modifică preferințele

consumatorilor şi care are efect asupra cererii. Vom accepta că valoarea aşteptată a variabilei

aleatoare este zero, iar prețul p este de forma:

0pp , unde 0p este o mărime certă (1)

Ca urmare a regimului de monopol temporar, vom putea accepta faptul că pentru firma în discuție

cererea se confundă cu cantitatea oferită. Considerăm, deci, că

127

q,pS,pD (2)

Am exprimat faptul că oferta este egală cu cererea şi că mărimea q este cantitatea comună. Vom mai

nota, de asemenea, funcția cost total ca fiind qC , ea fiind în mod clar o funcție de două variabile

dacă acceptăm forma lui q din egalitatea (2).

Obiectivul fundamental al monopolistului este maximizarea profitului, prin urmare vom avea de

rezolvat problema următoare:

qqCpmax (3)

Deoarece relația (1) ne spune că variabila preț are în componență un element aleator, problema din

(3) nu poate cere decât o maximizare în medie. În mod indirect, variabila aleatoare se regăseşte şi

în q (din (2)), prin urmare şi în funcția cost.

Cazul în care monopolistul alege cantitatea

Acest caz corespunde situației în care nivelul lui q este ales înainte de a fi observat , iar prețul este

ales după observarea lui . Este situația în care prețul produsului se formează pornind de la piață,

deci de la observarea comportamentului consumatorului şi de la evaluarea cererii pe care aceştia o

manifestă.

Este nevoie de câteva comentarii suplimentare. În momentul în care alege cantitatea, monopolistul

presupune că el „se confundă” cu cererea globală de pe piață. Pe de altă parte, concomitent cu

evaluarea acestei cereri, port surveni o serie de modificări în preferințele consumatorilor, motiv

pentru care la momentul la care va trebui dedus prețul monopolistul constată că acesta corespunde,

de fapt, unei alte cantități. În concluzie, odată ce a ales cantitatea q monopolistul nu poate să ştie cu

exactitate decât un preț mediu la care trebuie să producă, dedus din condiția 0E .

Problema maximizării profitului se scrie, aşadar:

qCpqEmaxmax q

Deoarece q a fost deja ales, mărimile q şi qC sunt deja determinate, iar despre p putem deduce că

are 0ppE . Problema de maximizare devine:

128

qCqpmaxmax 0q (4)

Nivelul optim al producției se deduce din condiția de ordinul întâi şi din rezolvarea ecuației care

rezultă: 0pqC .

Studiu de caz: Dacă qp30,pD şi 4

qqC

2

, atunci problema de maximizare a

profitului este:

4

qq30qEmaxmax

2

q

Ţinând cont de elementele deja precizate, problema de maximizare conduce la 12q , aceasta fiind

cantitatea optimă în condițiile preferințelor neobservate. Ulterior acestui moment, se poate spune că

prețul va fi de forma 18p dar că valoarea lui exactă nu poate fi cunoscută decât în momentul

determinării valorii manifestate pentru variabila aleatoare .

Monopolistul stabileşte prețul

Ordinea este, de această dată, următoarea: se alege p, apoi se observă şi urmarea deținerii acestor

observații se află care este nivelul lui q. Se pune problema determinării nivelului optim al lui p, ca

primă alegere a monopolistului, astfel încât profitul să fie maxim.

Această situație este incomparabil mai complicată decât precedenta. Motivul este legat de faptul că

toate mărimila care intră acum în componența profitului capătă caracter aleator, problema de

optimizare fiind de forma:

,pDC,ppDEmaxmax p

Faptul că nu cunoaştem forma funcțiilor implicate în această problemă nu ne mai permite de această

dată să aplicăm proprietățile operatorului valoare aşteptată. Reamintind însă scopul prezentei

secțiuni şi anume acela de a arăta că atunci când operăm în mediu incert afirmația conform căreia

„profitul monopolistului este acelaşi indiferent dacă alege prețul sau cantitatea” nu mai este un

adevăr general valabil, înseamnă că este suficient să găsim un caz particular în care să dovedim că

egalitatea mărimilor nu are loc.

129

Studiu de caz: Vom considera tot qp30,pD şi 4

qqC

2

, de data aceasta problema de

maximizare formulându-se în termeni de preț.

4

p30p30pEmaxmax

2

p

Problema se scrie în formă echivalentă, ținând cont de faptul că p este o mărime stabilită, deci nu are

caracter aleator:

4

p30EpEpp30maxmax

22

p

Condiția de ordinul întâi conduce la 18p . Pentru acest nivel al prețului, cantitatea trimisă pe piață

este 12q .

Concluzii la problema monopolistului

Din calculele anterioare se poate observa o diferență între mărimile optime din fiecare caz în parte.

Atunci când monopolistul alege cantitatea pe care o va trimite pe piață şi abia apoi observă

preferințele consumatorilor, avem ca mărimi optime 12q şi 18p . Atunci când

monopolistul alege prețul si apoi observă preferințele, se obțin 12q şi 18p . Faptul că

apare această diferență de mărimi nu este, deocamdată, un argument solid în sprijinul ideii pe care o

susține această lucrare. Vom calcula profitul pentru fiecare dintre combinațiile optime în parte:

palegerecaz,4

121218

qalegerecaz,4

121812

2

2

(5)

Despre nu ştim decât că este o variabilă aleatoare cu media zero, valoarea ei exactă nefiind

cunoscută la momentul la care înteprinzătorul face alegerea. Vom calcula profitul aşteptat, deoarece

funcția din (5) este, la rândul ei, o variabilă aleatoare.

130

palegerecaz,4

12E216

qalegerecaz,180

E2

(6)

Funcția

4

12f

2

este o funcție convexă, pentru care inegalitatea Jensen devine:

EffE

4

12

4

12E

22

De aici şi din (6) deducem că

1804

12E216

2

, adică tocmai faptul că profitul aşteptat în

cazul alegerii prețului este mai mic decât profitul aşteptat în cazul alegerii cantității.

6.2. Implicațiile prețului necunoscut asupra alegerii optime a inputurilor

Funcția de producție este o noțiune pe care o admitem ca fiind indisolubil legată de ştiința

economică şi pe care o întâlnim încă de la primele cursuri legate de producător. Deşi primele

tentative de a o estima cu precizie datează de la începutul anilor 1800, chiar şi în zilele noastre

această inițiativă ridică probleme destul de serioase. Desigur că acest aspect nu face deloc ca funcția

de producție să fie un concept neimportant pentru teoria şi practica economică, iar această secțiune

îşi propune să arate modul în care această funcție, chiar şi în formă abstractă, poate fi utilizată de

întreprinzători în scopul luării deciziilor în mediul incert în care se desfăşoară atât activitatea de

producție cât şi de distribuție. Mai exact, ne propunem să stabilim modul în care incertitudinea

asupra prețului produsului poate afecta optimalitatea alegerii inputurilor pe care producătorul le ia

în considerare într-un ciclu de producție şi de asemenea intenționăm să evidențiem faptul că

momentele în care este observată valoarea reală a prețuli produsului determină efecte diferite

asupra cantităților optime de factori de producție.

Pentru început, să fim de acord cu faptul că pentru fiecare întreprinzător, problemele legate de „ce”,

„cum” şi „cât” să producă sunt parte integrantă a activității de zi cu zi. Din păcate nu se poate spune

că răspunsurile la aceste dileme se construiesc o dată pentru totdeauna, pentru că mediul în care

întreprinzătorul îşi desfăşoară existența este într-o continuă schimbare. Cu toate că decizia asupra a

„ce” să producă se poate modifica în funcție de cererea pentru produsul oferit sau pentru

131

caracteristicile sale, secțiunea de față îşi propune să considere că această întrebare şi-a găsit un

răspuns care va rămâne valabil pe toată durata studiului nostru.

Întrebările „cum” şi „cât” sunt întrucâtva mai spinoase şi teoria economică oferă pentru descrierea

legăturii dintre tehnologie, inputuri (de exemplu capital, muncă, materii prime şi materiale) şi output,

funcția de producție ca expresie a relaționării optime între mărimile menționate. Din punct de vedere

teoretic, această funcție permite construcția unor modele de lucru menite să asigure

întreprinzătorului succesul în afaceri, dar evidența empirică aduce în discuție faptul că până în acest

moment nici o functională propusă pentru a juca rolul doritei funcții nu poate fi o estimare corectă

până la capăt a fenomenului real.

Marea problemă pe care o ridică economiştii atunci când intră în discuție determinarea formei

funcției de producție este aceea că unele inputuri nu pot fi observate sau exprimate cantitativ. Din

acest motiv, incercările de estimare din ultimii ani, bazate dealtfel pe metode econometrice

moderne, au sfarsit prin a fi criticate si problema a rămas deschisă până în acest moment. Soluților

propuse de Chamberlain (1982), Blundell şi Bond (1999) sau Olley şi Pakes (1996) de exemplu, li s-au

adus contraargumente legate de faptul că nu au rezolvat problema coliniarității, care poate genera

erori în interpretarea rezultatelor.

Deloc întîmplător, în decursul timpului au fost propuse diferite forme funcționale pentru funcția de

producție: binecunoscuta funcție Cobb – Douglas (vezi *4+), sau funcția propusă de Solow şi

Tinbergen incluzând rolul progresului tehnic, funcția CES (1961) sau funcția Harrod – Domar.

Dincolo de toate formele funcționale propuse şi contestate în tot acest timp, specialiştii au căzut de

acord asupra unui fapt susținut de evidență şi anume acela că există în esență două tipuri de funcții

de producție şi anume: funcțiile omogene de grad n şi, ca o mulțime mult mai generală, funcțiile

omotetice. Se acceptă, de asemenea, faptul că funcția de producție poate fi considerată derivabilă în

raport cu fiecare dintre variabile, că derivatele de ordinul I sunt pozitive şi că acelea de ordinul al

doilea sunt negative, funcția neavând astfel puncte de inflexiune şi îndeplinind proprietatea de a fi

concavă, lucru în deplin acord cu Legea Randamentelor Descrescătoare.

Pentru o parte din scopurile acestei secțiuni, proprietățile generale enunțate anterior vor fi suficiente

pentru a demonstra că întreprinzătorul poate lua decizii în mediu incert doar pe baza unor elemente

generale legate de funcția de producție. Mai mult, concluziile la care vom ajunge pot fi implementate

şi fără ca agentul economic să cunoască întreg aparatul teoretic care stă la baza elaborării lor.

132

Ne vom referi la situația unui întreprinzător care îşi desfăşoară activitatea în regim „take – pricing”,

problema esențială fiind faptul că prețul outputului ar putea să nu fie cunoscut la momentul la care

se fac demersuri pentru alegerea nivelului inputurilor. Vom considera că este trimis pe piață un

singur produs, că acesta este omogen şi că în elaborarea lui se iau în considerare factorii capital şi

muncă. Se vor trata două variante posibile şi anume: situația în care întreprinzătorul alege să

dimensioneze inputurile înainte de a observa efectiv prețul şi situația în care îşi dimensionează

capitalul, apoi observă prețul şi apoi dimensionează munca.

O altă ipoteză naturală este aceea că întreprinzătorul urmăreşte să îşi maximizeze rezultatele şi din

acest motiv ne vom concentra asupra următoarei probleme de maximizare:

LCKCL,KpQMax 21L,K

(6.2.1)

Am utilizat următoarele notații:

p = prețul outputului

K = capitalul

L = munca

L,KQ funcția de producție, de variabile K şi L

KC1 = costul capitalului utilizat

LC2 = costul factorului muncă utilizat

În ipotezele menționate vom urmări să determinăm modul în care sunt influențate valorile optime

care se constituie în soluții ale problemei (6.2.1), de componenta incertă a prețului şi de momentul în

care acesta este cunoscut cu certitudine de către întreprinzător.

Pentru a pune în evidență faptul că prețul este necunoscut de către întreprinzător, îl vom considera

de forma 0pp , unde 0p este o mărime certă, iar este o variabilă aleatoare care arată

abaterea posibilă a prețului real față de 0p . Conform cu normele statistice, termenul este

caracterizat de o distribuție de probabilitate şi are valoarea aşteptată nulă: 0E .

6.2.1. Alegerea cantităților de factori este premergătoare observării prețului

133

Această situație presupune că întreprinzătorul îşi va stabili parametrii în care urmează să funcționeze

înainte de a afla nivelul efectiv al prețului la care va putea trimite produsul pe piață. Este un caz de

alegere în condiții de risc care face ca rezolvarea problemei de maximizare (6.2.1) să nu poată fi

făcută cu exactitate: câtă vreme există măcar o mărime necunoscută apriori, în cazul nostru prețul,

nu ne putem referi la rezultat decât ca la o valoare medie şi nu ca la o mărime certă. De aceea,

rezolvarea problemei (6.2.1) se va transforma în rezolvarea următoarei probleme:

LCKCL,KpQEMax 21L,K

(6.2.2)

Introducerea operatorului valoare medie a fost absolut necesară, dar proprietățile sale ne spun că au

loc următoarele egalități:

LCKCpEL,KQLCKCL,KpQE 2121

00 ppEpE

În concluzie, avem de rezolvat următoarea problemă de maximizare echivalentă cu (6.2.2):

LCKCL,KQpMax 210L,K

(6.2.3)

Ca urmare a caracteristicilor funcției de producție, problema (6.2.3) are cu siguranță soluție şi

aceasta nu va depinde în nici un fel de posibilele valori ale variabilei aleatoare . Concluzia este că

lipsa cunoaşterii prețului atunci când se aleg K şi L nu afectează în nici un fel rezultatul aşteptat de

întreprinzător. Trebuie menționat că în realitate se pot înregistra abateri de la aşteptările

întreprinzătorului, dar acestea nu sunt efectiv reflectate de abordarea problemei prin prisma valorii

medii a rezultatului.

Studiu de caz: Considerăm funcția de producție 2

1

4

1

LK4L,KQ şi vom lucra în ipoteza simplificată

în care costul unei unități de factor este de o unitate atât în cazul lui L cât şi în cazul lui K. Problema

de maximizare (4.2.3) se scrie în acest caz:

LKLK4pMax 2

1

4

1

0L,K

(6.2.4)

Condiția de ordinul întâi conduce la următorul sistem de ecuații:

134

1LK2

14p

1LK4

14p

2

1

4

1

0

2

1

4

3

0

Soluția sistemului este: 40p4K , 4

0p8L , toate mărimile implicate fiind de dimensiune certă. Prin

urmare, soluția problemei (4.2.4) va fi de asemenea o mărime independentă de valorile efective ale

prețului şi va depinde doar de prețul mediu, sau aşteptat, pentru produs.

6.2.2. Alegerea nivelului factorului capital este premergatoare observării prețului, iar alegerea

nivelului factorului muncă este ulterioară acestei observări.

Din nou, existența variabilei aleatoare preț va face ca problema de maximizare să presupună

optimizarea valorii medii a rezultatului, adică ar trebui să ne referim la (6.2.2). De această dată,

alegerea lui L se face după ce se cunosc p şi K. Din acest motiv determinarea lui L nu mai are nici o

dimensiune aleatoare, el rezultând din rezolvarea următoarei probleme deterministe:

LCL,KpQMax 2L

(6.2.5)

Față de problema (6.2.2), în cazul (6.2.5) lipsesc operatorul medie – fapt explicat de natura

deterministă a acestei părți din problemă - şi costul factorului K, deoarece el este deja ales şi

mărimea este considerată constantă în raport cu cantitatea care a rămas de maximizat.

Rezolvarea problemei (6.2.5) este urmarea directă a condiției de ordinul întâi:

LCL,KpQMax 2L

Vom nota cu L soluția problemei, reprezentând nivelul factorului muncă ales astfel încât să

maximizeze rezultatul întreprinzătorului în condițiile cunoaşterii prețului produsului şi nivelului

factorului capital.

Problema care face ca totul să se complice în acest moment este legată de faptul că în fond L este o

funcție de două variabile şi anume p,KL . Alegerea lui K trebuie făcută înainte de observarea

prețului, iar problema (6.2.5) a fost o problemă de o singură variabilă, anume L.

Adevărata problemă de maximizare a rezultatelor întreprinzătorului este, în momentul de față,

următoarea:

135

p,KLCKCp,KL,KpQMax 21K

(6.2.6)

Se observă că această problemă nu mai este una deterministă, pentru că prețul este o variabilă

aleatoare şi singura manieră în care putem spera într-o rezolvare este trecerea la operatorul medie:

dependența lui K nu mai poate fi gândită de data aceasta ca fiind o dependență efectivă de p, ci de

distribuția de probabilitate care îl descrie pe acesta.

p,KLCKCp,KL,KpQEMax 21K

Singura mărime care nu are conotație aleatoare este KC1 , deci problema se scrie în formă

echivalentă:

KCp,KLCp,KL,KpQEMax 12K

Această nouă scriere nu rezolvă foarte multe, pentru că în absența cunoaşterii formei funcțiilor

p,KL,KQ şi p,KLC2 nu putem aplica proprietățile operatorului medie. Pentru a ilustra

procedura care trebuie urmată, vom prezenta în continuare un studiu concret care urmează etapele

generale ale rezolvării problemei.

Studiu de caz: Considerăm aceeaşi funcție de producție din studiul de caz anterior, 2

1

4

1

LK4L,KQ

şi vom lucra în aceeaşi ipoteză simplificată în care costul unei unități de factor este de o unitate atât

în cazul lui L cât şi în cazul lui K. Problema de maximizare (6.2.5) se scrie în acest caz:

LLpK4Max 2

1

4

1

L (6.2.7)

Rezolvarea condiției de ordinul întîâi conduce la:

2

1

2Kp4p,KL (6.2.8)

Această formă a lui L este cea care asigură întreprinzătorul de maximizarea rezultatelor, odată ce

acesta a ştiut nivelul pentru K şi p. Pe de altă parte, nu trebuie omis faptul că dimensionarea lui K

136

trebuie făcută urmărind acelaşi obiectiv, ceea ce ne spune că în condițiile în care L este cel din (8)

firma va trebui să aleagă K astfel încât să rezolve problema de maximizare rezultată din (6.2.6) prin

înlocuirea lui p,KL şi prin aplicarea proprietăților operatorului medie:

KKpE4Max 2

1

2

K (6.2.9)

Rezolvarea condiției de ordinul întâi conduce la:

22opt pE4pKK (6.2.10)

Vom analiza două situații şi anume: mai întâi cazul în care p ar avea o valoare certă pe care o vom

nota 0p şi apoi cazul în care apare componenta incertă şi prețul p devine variabila aleatoare pe care

am notat-o deja prin 0pp .

Dacă 0pp , atunci condiția de optimizare nu mai are motive să includă operatorul medie şi prin

urmare nivelul optim al capitalului este:

40

220 p4p4K (6.2.11)

Folosind formele (6.2.10) şi (6.2.11), vom determina efectele introducerii incertitudinii asupra

nivelului capitalului pe care trebuie să îl aleagă firma pentru a-şi maximiza rezultatele. Comparăm

cele două forme ale lui K şi observăm că relația dintre optK şi K este în acest caz relația dintre 20p şi

2pE . Dacă vom considera funcția 2xxf , vom constata că ea este o funcție convexă pe întreg

domeniul de definiție, adică R, prin urmare inegalitatea lui Jensen ne spune că:

xEfxfE .

Înlocuim acum ceea ce defineşte problema noastră şi obținem, pe baza inegalității lui Jensen, că:

20222 ppEpEpE

Rezultă că are loc inegalitatea:

optKK .

137

În concluzie, incertitudinea asupra lui p are, de această dată, efectul de majorare a nivelului

capitalului optim, spre deosebire de situația anterioară unde această incertitudine nu afecta în nici

un fel rezultatele medii ale întreprinzătorului, nivelul pentru K şi L fiind strict determinat.

Deşi în prezentarea acestei concluzii ne-am prevalat de un caz particular, nu considerăm că lucrul

acesta afectează în vreun fel calitatea observațiilor pe care le-am efectuat. Din rezolvarea

problemelor concrete pe care le-am prezentat anterior se pot extrage metode de lucru valabile

pentru oricare situație, pentru că aparatul matematic utilizat este unul cu caracter suficient de

general.

Desigur că nu putem stabili, doar pe baza exemplului propus, că întotdeauna într-o situație în care

observarea mărimii preț se face după stabilirea factorului capital şi înainte de determinarea

volumului de muncă, factorul capital are un nivel mai mare decât l-ar fi avut în cazul cert.

Demersurile teoretic matematice care ar face referire la proprietățile abstracte ale funcției de

producție, ale funcțiilor cost etc. ar fi, aici, mai mult decât inutile pentru că informația se doreşte a fi

prezentată într-un mod accesibil şi nematematicienilor. Pe baza condiderentelor precedente, credem

totuşi că în acest moment oricare cititor se poate convinge singur dacă efectele incertitudinii se

resimt pentru un anumit caz de funcție de producție şi pentru un anumit tip de funcție cost.

Ceea ce trebuie observat încă de la început este faptul că mărimile implicate în acest studiu sunt

aceleaşi şi în cazul 6.2.1., şi în cazul 6.2.2. Diferența între cele două situații este legată de ordinea

observării sau determinării lor.

În primul caz funcția de producție este cunoscută, iar mărimile K şi L se determină în mod cert pe

baza unei mărimi medii a prețului. Modul în care este implicat prețul în problema de maximizare face

să nu existe nici un dubiu asupra rezultatului aplicării operatorului valoare medie: apare doar

mărimea pE pe care o cunoaştem cu exactitate şi care face ca asupra lui K şi L să nu planeze

incertitudine.

În cel de-al doilea caz, ordinea observării face ca incertitudinea să se implice în problema de

optimizare chiar în structura lui Q. Operatorul valoare medie, a cărui aparitie am justificat-o atunci

când am discutat situația 6.2.2., nu se mai aplică unei funcții cu proprietăți de liniaritate şi din acest

motiv nu mai putem beneficia de simplificări de calcul. Concluzia la care am ajuns în acest al doilea

caz este că prezența incertitudinii face ca nivelul capitalului necesar pentru optimizarea rezultatelor

să fie mai mare decât în cazul cert.

138

Pornind de la formele obținute pentru optK şi K , rezultă imediat că factorul muncă în cazul cert şi în

cel incert capătă descrere prin următoarele expresii:

22opt pEp8L şi 4

0

220 p8p4L

Discutând despre optK şi K , am putut stabili inegalitatea optK K . Atunci când este vorba despre

optL (în cazul incert) şi L (în cazul cert), nu mai putem determina inegalitatea dintre aceste două

mărimi înainte de a cunoațte efectiv valoarea lui p. O comparație a lor ne va spune că dacă p

observat este mai mare decât prețul mediu, atunci optL > L . Totuşi, o astfel de inegalitate nu poate

avea loc întotdeauna, pentru simplul motiv că prețul mediu nu poate fi mai mic decât toate valorile

variabilei aleatoare preț. Înseamnă că atunci când prețul observat este mai mic decât prețul mediu,

există şanse ca optL < L . Deoarece optK K , înseamnă că întâlnim o situație în care în procesul de

maximizare a rezultatelor munca a trebuit susbtituită cu capitalul.

Considerente similare ne permit câteva comentarii asupra nivelului producției pentru situația 6.2.2.

Rezultă imediat, prin înlocuirea mărimilor optK şi K respectiv optL şi L :

2opt ppE16Q şi 3

0

220 p16p4Q

Comparând aceste două mărimi, vedem că dacă p observat este mai mare decât prețul mediu, atunci

optQ > Q , dar dacă lucrul acesta nu se întâmplă atunci sunt şanse ca inegalitatea să fie contrară

indicând o situație stranie posibil alarmantă pentru producător: acesta a majorat capitalul, a micşorat

nivelul lui L şi rezultatul a fost o scădere a producției.

Analiza situației trebuie făcută în continuare stabilind ce mdificări apar la nivel de costuri ca urmare a

modificării nivelului inputurilor. Este foarte adevărat că întregul calcul a căutat să determine mărimi

optime în context, dar în acestă fază rămâne deschisă problema relației dintre rezultatul în cazul

incert şi rezultatul în cazul cert. Răspunsul la această întrebare poate fi oferit numai în măsura în care

se cunoaşte mai amănunțit, fie şi la nivel de proprietăți, distribuția de probabilitate a variabilei

aleatoare preț.

Momentul şi modul de alegere a inputurilor într-un proces de producție s-au dovedit a fi factori care

pot perturba rezultatul unui întreprinzător, prin aducerea în discuție a unei componente incerte care

poate fi evitată sau care poate deveni parte intrinsecă a întregului proces.

139

În funcție de fiecare context în parte, prezența incertitudinii poate fi o premisă pentru o rentabilitate

mai mare sau, dimpotrivă, un factor de evitat, iar răspunsul la întrebarea “În ce ordine trebuie să

aleagă întreprinzătorul?” se poate construi pe baze teoretice, odată ce se cunosc măcar câteva

elemente de descriere a proprietăților variabilei aleatoare preț.

În mod cu totul surprinzător, cunoaşterea prețului înainte de a determina nivelul factorului muncă nu

este un motiv de reducere a incertitudinii (aşa cum probabil ne-am fi aşteptat pornind de la ipoteza

că creşterea gradului de informare reduce riscul), ci unul de aducere a ei ca parte integrantă a

procesului decizional.

6.3. Întrebări recapitulative şi teme de seminar

1. Reamintiți-vă de la cursul de Microeconomie principalele caracteristici ale pieței de monopol.

2. Explicați afirmația economiştilor, referitoare la faptul că „un monopolist poate stabili în egală

măsură prețul sau cantitatea pentru un anumit bun, rareori ambele mărimi simultan, iar într-

o astfel de situație prin fixarea prețului se stabileşte indirect şi cantitatea”.

3. Luați în discuție una dintre firmele care dețin un anumit monopul la momentul la care

urmează să rezolvați această problemă. Identificați caracteristicile pe care le-ați enunțat din

punct de vedere teoretic în cadrul cerinței de la punctul 1. Întocmiți o lucrare de doua pagini

în care să discutați toate aceste aspecte. Faceți referire atât la surse din mass - media, cât şi

la surse bibliografice ştiințiice.

4. Care sunt riscurile cu care se confrontă un monopolist şi care credeți că sunt cele mai

periculoase riscuri care caracterizează monopulul de conjuntură? Alegeți un exemplu de

brand care s-a afțat sub unul dintre riscurile pe care le-ați semnalat şi întocmiți o lucrare de

două pagini despre modul cum a procedat firma în cauză pentru gestionarea riscului. Faceți

referire atât la surse din mass - media, cât şi la surse bibliografice ştiințiice.

5. Ce diferențe apar, față de modelul pe care l-ați discutat la punctul al doilea al acestei

secțiuni, în cazul în care încep să fie luați în calcul factori de risc care determină fluctuații în

prețul produsului monopolistului?

6. Reamintiți-vă de la cursul de Microeconomie ce este funcția de producție, ce semnificație are

ea în viața întreprinzătorului şi care sunt legăturile care se stabilesc între aceasta şi

rezultatele pe care le obține întreprinzătorul.

7. Întocmiți un referat de 5 pagini despre principalele tipuri de funcții de producție utilizate de

economişti, despre utilitatea şi limitele lor. Utilizați în acest scop cel puțin 5 surse

bibliografice relevante.

140

8. Explicați ce semnificație are regimul „take pricing” şi întocmiți o lucrare despre riscurile pe

care le întâmpină un producător care funcționează într-un astfel de mediu de afaceri. Găsiți

un exemplu care există pe piață la momentul când răspundeți acestei cerințe şi încercați să

descrieți mediul „Take oricing” în acesl caz, precum şi riscurile particulare pe care le observați

ca urmare a desfăşurării activității în economia românească.

9. Explicați care sunt implicațiile alegerii cantității de factori premergător momentului

observării prețului pentru output.

10. Explicați care sunt implicațiile alegerii nivelului cantității factorului capital premergător

observării prețului, când alegerea factorului muncă se face ulterior acestei observări.

Comparați rezultatele cu cele pe care le-ați observat la punctul anterior.

141

CAPITOLUL 7.

VALOAREA ACTUALIZATĂ

ÎN STUDIUL RISCULUI

7.1. Despre valoarea actualizată

7.2. Problema pensiei viagere

7.3. Alegerea celei mai bune variante

7.4. Casă, dulce casă...

7.5. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar

Obiectivele capitolului:

Scopul acestui capitol este acela de a reaminti unele cunoştințe de matematici financiare, în mod special pe

cele referitoare la calculul valorii actualizate. Am structurat acest capitol ca un număr de exemple care să ajute

cititorul să se familiarizeze, sau refamiliarizeze cu latura calculatorie a problemelor, pe de o parte, dar am

introdus şi cerințe care să explice diferitele situații practice în care acest calcul poate fi utilizat.

7.1. Despre valoarea actualizată

De cele mai multe ori, la nivel de afacere deciziile se iau la un anumit moment dar rezultatele vizează

momente viitoare. Acest interval de timp aduce cu sine, de foarte multe ori, factori care afectează

certitudinea asupra rezultatelor. Calculul valorii actualizate transferă în momentul prezent anumite

rezultate viitoare, prin introducerea în calcul a ratei de actualizare. Pentru o persoană care se ocupă

cu gestionarea riscului este esențial să poată face scenarii cu privire la ceea ce se poate întâmpla, iar

această serie de exerciții doreşte să pună în evidență că fiecare situație poate fi privită din unghiuri

multiple.

7.2. Problema pensiei viagere

1. Doriți să primiți lunar suma de 700 RON, până la sfârşitul vieții, începând cu sfârşitul acestei

luni (sau începutul lunii viitoare). Dacă se ia în calcul o rată anuală de actualizare de 12%,

care este valoarea actuală a investiției?

142

2. Găsiți exemple concrete, din viața economică, în care poate fi aplicat calculul anterior.

3. Comentați câteva dintre riscurile aflate în legătură cu exemplele de la punctul b.

Rezolvare:

a) Vom nota cu 700S0 RON suma lunară şi %12pa procentul anual de actualizare şi cu A

valoarea actualizată a tuturor plăților. Pentru început, vom considera că plățile se efectuează pentru

o perioadă de timp fixată, să spunem n ani. Pentru că plățile sunt lunare, în final ele vor fi în număr

de 12n.

Tabelul de mai jos arată modul în care calculăm valoarea actualizată a fiecărei plăți în parte, pe baza

formulei cunoscute cu ajutorul căreia se determină suma finală a unui plasament efectuat în regim

de dobândă compusă:

t

0f100

p1SS

(7.1.)

După cum se poate observa, în problema enunțată la punctul a) procentul de actualizare este anual

%12pa , iar plățile sunt lunare. Deci, rata lunară de actualizare este %1%12

12p l .

Valoarea actualizată a primei plăți, notată prin 1A , reprezintă acea sumă necunoscută pe care ar

trebui să o primiți astăzi, pentru ca peste o lună să devină 700 RON. Ce înseamnă „să devină”?

Înseamnă că dacă am plasa această sumă necunoscută cu un procent lunar de 1%, ea trebuie să se

transforme în 700 RON în timp de o lună. Vom înlocui datele cunoscute în formula (7.1.) şi obținem:

Plata nr. t 7000S

Plata nr. t-1 7000S

.............. .....

Plata nr. 3 7000S

Plata nr. 2 7000S

Plata nr. 1 7000S

Momentul

actualizării

1A

2A

3A

.

.....

1tA

tA

143

Tabelul 7.1. Detalierea a t plăți lunare efectuate la sfârşitul lunii

11

1

101,1

700A

100

11A700

Dacă aplicăm acelaşi raționament pentru cea de-a doua valoare actualizată, observăm că formula

(5.1.) se scrie:

22

2

201,1

700A

100

11A700

În general, valoarea actualizată a sumei care trebuie să fie plătită în luna k este:

1k,

01,1

700A

kk

Valoarea actualizată a tuturor acestor plăți eşalonate lunare, efectuate tinp de n ani, este suma a 12n

valori actualizate individuale:

n1221 A...AAA

Înlocuim formele lui 1k,Ak determinate anterior şi obținem:

n122101,1

700...

01,1

700

01,1

700A

Scoatem factor comun mărimea 101,1

700 şi rezultă:

1n121101,1

1...

01,1

11

01,1

700A (*)

Pentru a putea scrie această sumă într-o formă restrânsă va trebui să utilizăm câteva cunoştințe

despre progresia geometrică şi anume:

1q,q1

q1q...qq1

m1m2

(7.2.)

144

În paranteza dreaptă din egalitatea (*) observăm că: n12m1n121m şi de asemenea că

01,1

1q . Înlocuim în (7.2.) şi obținem:

01,1

11

01,1

11

01,1

700A

n12

1

Aducem la acelaşi numitor în diferența de la numitorul celei de-a doua fracții şi obținem succesiv:

n12

n12

1 01,1

11

01,0

700

01,1

101,1

01,1

11

01,1

700A (**)

Pentru a ne uşura munca pe mai departe, vom scrie acum o formula generală pentru calculul valorii

actualizate a m plăți efectuate în m perioade de timp egale, în condițiile în care la sfârşitul fiecărei

perioade este plătită suma 0S , iar procentul de actualizare aferent perioadei este p%: folosim

pentru ghidare versiunea (**) de mai sus şi scriem:

m

0

100

p1

11

100

p

SA (7.3.)

Să ne reamintim acum că în calculul care a dus la valoarea actualizată totală din (**) am ținut cont de

plăți care se fac pe o perioadă necunoscută, adică de n ani. Pentru o mai bună înțelegere a

rezultatului să vedem ce înseamnă această valoare actualizată, pe rând, pentru n egal cu 1, 2, 3, 4 şi 5

ani.

Dacă n este 1, există 12 plăți lunare şi valoarea actualizată din (**) este:

RON55,787801,1

11

01,0

700A

112

Asta înseamnă că 12 plăți lunare, fiecare în valoare de 700 RON, plătite la sfârşitul fiecărei luni, sunt

de fapt echivalente cu o sumă unică egală cu 7878,55 RON plătibilă la începutul primei luni a

145

operațiunii, dacă rata de actualizare este de 10%. Cu alte cuvinte, dacă rata de actualizare este de

10%, din punct de vedere al calculului matematic este totuna dacă dispuneți acum de 7878,55 RON

sau dacă vi se plătesc lunar, timp de un an, la sfârşitul lunii, câte 700 RON.

Dacă n este 2, deci plățile se fac timp de doi ani şi deci sunt în număr de 24, valoarea lor actualizată

este:

RON4,1487001,1

11

01,0

700A

212

Pentru o perioadă de 3 ani vom lua în calcul 36 de plăți şi valoarea lor actualizată este:

RON25,2107501,1

11

01,0

700A

312

Dacă n este 4, sunt 48 de plăți cu valoarea actualizată:

RON8,2658101,1

11

01,0

700A

412

În sfârşit, pentru n egal cu 5 obținem valoarea actualizată a 60 de plăți ca fiind:

RON53,3146801,1

11

01,0

700A

512

Se poate observa că pe măsură ce numărul de ani creşte de la 1 către 5, valoarea actualizată creşte şi

ea considerabil dar din ce în ce mai puțin. Vom mai calcula două valori actualizate, pentru 20 şi

respectiv 25 de ani de plăți.

RON53,3146801,1

11

01,0

700A

512

RON6,6646201,1

11

01,0

700A

2512

146

Se observă că în acest caz creşterea valorii actualizate este şi mai mică, iar cauza este legată de faptul

că termenul RON6,6357301,1

11

01,0

700A

2012

devine din ce în ce mai mic pe măsură ce

valoarea lui k va creşte; pentru cei care îşi amintesc, acest termen face parte dintr-un şir descrescător

şi convergent către zero.

Am calculat valoarea actuală a plăților pentru câteva cazuri particulare: de la 1 la 5 ani, apoi 20 şi 25.

Problema ne cere, totuşi, să calculăm valoarea actualizată a acestor plăți în condițiile în care ele se

desfăşoară pentru tot restul vieții persoanei respective, adică pentru o perioadă pe care nu o

cunoaştem. În funcție de vârsta persoanei am putea, în cel mai bun caz, să ne dăm cu părerea cam

câți ani ar însemna acest ”pentru tot restul vieții”: poate 20, poate 40, poate 5... Dar nu vom putea

face un calcul bazat pe o ipoteză certă.

Din aceste considerente plățile care se efectuează pentru tot restul vieții unei persoane au fost

denumite plăți perpetue şi se consideră că numărul de ani este suficient de mare pentru a/l putea

aproxima cu infinit. Desigur că din punct de vedere al realității de zi cu zi o astfel de presupunere este

complet nelalocul ei, dar din punct de vedere al calculului matematic ea are o justificare. Tabelul

următor arată că atunci când numărul de plăți m este suficient de mare, termenul m

01,1

1

din

componența valorii actualizate se apropie de zero suficient de mult pentru a nu mai avea un impact

deosebit asupra valorii actualizate A.

Se poate observa că a treia coloană din tabel cuprinde numere din ce în ce mai mici, pe măsură ce

numărul de ani creşte. Din acest motiv s-a optat pentru aproximarea cu zero a lui

m

01,1

1

, iar

valoarea actualizată în cazul plăților perpetue se obține din (**) prin eliminarea acestui termen:

RON700000101,0

700A

Răspunsul la primul punct al problemei este, în concluzie, 70000 RON.

Număr de ani, n Număr de plăți lunare m = 12n m

01,1

1

Valoarea actualizată din (**)

20 240 0,092 6357,36

25 300 0,05 66462,6

147

30 360 0,028 68052,8

35 420 0,0153 68928,2

40 480 0,0084 69410,02

45 540 0,00464 69675,245

50 600 0,00255 69821,24

Tabelul 7.2. Valorile actualizate ale plăților lunare pentru diferite perioade de timp

b) Prezentăm acum câteva exemple practice care să se constituie în aplicații ale calculului de la

punctul anterior.

Exemplul b1) O persoană încheie o poliță de asigurare pe baza căreia să poată primi, din momentul

pensionării pentru tot restul vieții, la finele fiecărei luni, suma de 700 RON. Dacă societatea de

asigurări ia în calcul o rată anuală de actualizare de 10%, atunci persoana ar trebui să dispună deja la

momentul pensionării de un fond de 70.000 RON din care asigurătorul să-i facă plățile.

Exemplul b2) O persoană îşi constituie un fond propriu de rezervă în vederea pensionării. Intenția

acestei persoane este să retragă lunar 700 RON din banii strânşi, pentru tot restul vieții. Dacă există

posibilitatea ca această sumă să fie supusă unei rate de actualizare de 12%, atunci persoana va trebui

să dispună la momentul pensionării de 70.000 RON.

Exemplul b3) O firmă doreşte să îi motiveze pe câțiva dintre angajații săi foarte buni şi le propune, în

acest scop, un plan de pensii. Pentru ca un astfel de angajat să poată primi la sfârşitul fiecărei luni, pe

toată durata vieții sale de pensionar, suma de 700 RON în condițiile unei rate anuale de actualizare

de 12%, la momentul pensionării firma va trebui să dispună de 70.000 RON special în acest scop.

Exemplul b4) O firmă doreşte să mai reducă din personalul care a depăşit o anumită vârstă şi, în

acest scop, propune un program de pensii private câtorva dintre angajații săi. Pentru fiecare

persoană care ar primi la sfârşitul fiecărei luni, pentru tot restul vieții, suma de 700 RON, firma ar

trebui să dispună la momentul implementării programului de câte 70.000 RON special destinați

acestor plăți. S-a luat în calcul o rată de actualizare de 12%.

Exemplul b5) O firmă se confruntă cu situația neplăcută în care un echipament insuficient verificat a

accidentat un muncitor. Instanța de judecată decide ca formă compensatorie pentru acest prejudiciu,

ca firma să-i plătească muncitorului o pensie viageră în valoare de 700 RON, la sfârşitul fiecărei luni.

În ipoteza unei rate de actualizare constante şi egale cu 12% anual, firma ar trebui să dispună la

începutul primei luni de plată de o sumă egală cu 70.000 RON.

148

Există o observație care trebuie făcută şi anume că suma de 70.000 RON rezultată din calcul nu

include nici comisioanele de administrare a poliței de asigurare din primul exemplu, nici impozitele

pe care trebuie să le plătească persoana care primeşte dobândă la un plasament ca acela din

exemplul 2. De asemenea, firma care acordă (de bunavoie sau nu) pensia viageră n-ar trebui să se

declare mulțumită dacă dispune de doar 70.000 RON alocați unei persoane, pentru că aceştia nu

includ taxele şi impozitele pe care ar putea trebui să le plătească pentru acest tip de cheltuieli.

c) Discutăm acum câteva tipuri de risc pe care le considerăm ca potențial relevante pentru axemplele

anterioare. Este nevoie să facem două precizări şi anume: (1) scopul acestor exemple este unul pur

didactic, deci este posibil ca unele dintre riscurile care vor fi aduse în discuție să nu fie tratate

deocamdată într-o manieră foarte riguroasă şi (2) deocamdată vom aborda conceptul de risc aşa cum

este perceput în accepțiunea curentă, anume aceea de amenințare şi vom lăsa pentru tema a doua

abordarea lui teoretică, pentru care vom avea nevoie să lămurim sau să reamintim unele noțiuni de

teoria probabilităților.

Exemplul b1) Se delimitează două categorii importante de amenințări legate de situația prezentată

aici. Prima este aceea că, din cauza modificării ratei de actualizare, suma de 70.000 RON să devină

insuficientă pentru plata lunară a pensiei în valoare de 700 RON dacă persoana în cauză decide să

trăiască suficient de mult. De exemplu, dacă rata reală de actualizare este de 6% şi nu de 12%, atunci

vom calcula mai jos câte plăți vor putea fi acoperite dintr/o sumă inițială de 70.000 RON. Utilizăm

formula (**) în care modificăm procentul lunar: în loc de %1%12

12p l , vom folosi

%5,0%12

6p l . Valoarea A este de 70.000 RON şi vom calcula n, adică numărul de luni:

700

005,0

005,0

11

005,0

700000.70

n12

5,0005,0

1

700

005,0000.70

005,0

11

n12n12

Logaritmăm în ultima egalitate pe care am obținut-o:

5,0ln005,0

1lnn125,0ln

005,0

1ln

n12

149

6,11n

005,0

1ln12

5,0lnn ani

În consecință, dacă rata anuală de actualizare s-ar modifica, sau dacă societatea de asigurări ar

considera că această rată a fost evaluată greşit, atunci suma de 70.000 RON ar putea să ajungă

pentru mult prea puțini ani față de nevoile reale ale asiguratului. Diferența ar trebui suportată de

către asigurător, în varianta în care acesta a încheiat cu asiguratul un contract ferm cu privire la suma

de 700 RON lunar plată perpetuă, cu posibile repercursiuni asupra stării financiare a acestuia. Când

spunem că starea financiară a societății de asigurări ar putea fi afectată, desigur că nu luăm în calcul

nicio clipă faptul că 70.000 RON ar fi o sumă demnă de luat în seamă pentru un asigurător:

potențialul financiar al acestuia este mult peste acest nivel. Cu toate acestea, de cele mai multe ori

produsele lansate pe piață au un caracter standardizat şi putem bănui că viitorul pensionar despre

care discutăm în acest moment nu este singurul fericit care a încheiat un astfel de contract cu

compania în cauză. Aşa cum vom arăta în capitolele următoare, managerii de risc sunt în mod special

preocupați de acele daune individuale care gîndite individual sunt mici şi neamenințătoare dar care,

cumulate, pot deveni o problemă pentru firmă.

Dacă, dimpotrivă, contractul de asigurare a prevăzut posibilitatea modificării ratei de actualizare şi

societatea de asigurări a prevăzut posibilitatea modificării sumei lunare în funcție de evoluția în timp

a procentului de 12%, atunci viitorul pensionar are toate motivele să ia în calcul un risc de venit, în

sensul în care evoluția nefavorabilă a ratei de actualizare ar putea să îi scadă veniturile lunare. Tot

sub incidența riscului de venit s-ar putea găsi asiguratul în cazul în care, din diferite motive,

societatea de asigurări ar intra în imposibilitate de plată şi nu i-ar mai pune la dispoziție – pentru un

anumit interval de timp sau deloc - suma lunară la care s-a convenit pein contract.

Exemplul b2) La fel ca şi în cazul exemplului precedent, există riscul ca rata de actualizare să nu fi

foat evaluată corect şi prin urmare cei 70000 RON să nu fie suficienți pentru acoperirea plății lunare

perpetue de 700 RON care s-a convenit a fi efectuată către beneficiarul pensiei viagere. Am adus în

discuție un risc de venit pe care, de această dată, nu îl mai poate prelua o instituție de asigurări

pentru că fondul de 70000 RON nu face obiectul unei polițe de asigurare ci este doar un plasament –

bancar sau nu.

Al doilea risc la care se expune posesorul banilor este, şi în acest caz, legat de posibilitatea ca

instituția aleasă să îi păstreze banii intră în imposibilitate de plată. În felul acesta, persoana care se

aşteaptă să beneficieze de o pensie de 700 RON pentru tot restul vieții se poate trezi, la fel ca în cazul

150

menționat la Exemplul b1), în situația de a nu mai vedea niciun ban – pentru o anumită perioadă de

timp, sau chiar definitiv.

Atât în cazul celor două exemple discutate anterior cât şi al celor pe care le vom discuta în

continuare, există riscul ca individul care primeşte cei 700 RON lunar să ajungă la concluzia că această

sumă este insuficientă pentru nevoile sale, din unul sau mai multe motive: fie pentru că banii s-au

devalorizat foarte mult, fie pentru că au crescut cheltuielile medicale, fie pentru că au apărut

cheltuieli noi şi exemplele pot continua.

Exemplul b3) Firma propune programul de pensii ca o măsură clasică de gestionare a riscului de

personal. Prin motivarea angajaților buni se evită neplăcerile generate de căutarea altor lucrători

despre care firma nu ştie dacă sunt într-adevăr motivați, competenți sau corecți şi se caută să se

elimine eventualele întreruperi în procesul de producție sau activitate, care pot să survină atunci

când un lucrător pleacă înainte de a i se fi găsit un înlocuitor sau înainte ca înlocuitorul să se fi

familiarizat suficient cu ceea ce are de făcut. Acelaşi program de pensii poate urmări fidelizarea

angajaților şi sub asteptul atutudinii față de firmă sau al păstrării secretului profesional.

De cealaltă parte a bunelor intenții se pot afla aceleaşi riscuri ca şi în cazul Exemplului b1). Dacă firma

a subevaluat suma de care are nevoie pentru susținerea acestor plăți atunci fie ea va fi profund

afectată financiar, fie se va putea afla în situația în care va intra în faliment. Pe de altă parte fostul

angajat, acum pensionar, va fi supus riscului de venit pentru că imposibilitatea de plată în care se

găseşte firma îl lipseşte – temporar sau definitiv – de un venit pe care îl luase în considerare atunci

când îşi planificase cheltuielile zilnice.

7.3. Alegerea celei mai bune variante

a) Aveți de ales între două variante prin care puteți primi suma de 10.000 RON: i) plata pe loc a

acestei sume; ii) Plata anuală, la început de an, a sumei de 1.200 RON timp de 10 ani. Ştiind

că rata de actualizare a acestei operațiuni este de 6%, stabiliți care variantă este mai

avantajoasă din punct de vedere monetar.

b) Găsiți exemple concrete, din viața reală, în care poate fi aplicat calculul de la punctul a).

c) Comentați câteva dintre riscurile care au legătură cu exemplele de la b).

Rezolvare:

a) În foarte multe situații, studenții răspund la întrebarea de la punctul a) al acestei probleme

comparând suma de 10.000 RON ca plată imediată, cu 200.110 adică 12.000 RON acumulată din

151

plățile anuale, concluzionând că varianta a doua este mai avantajoasă pentru că din punct de vedere

monetar conduce la o valoare mai mare. Un astfel de răspuns, deşi este foarte la îndemână şi pare a

se bucura şi de o componentă intuitivă solidă, ignoră componenta timp care este totuşi foarte

importantă. La fel ca şi în cazul Exemplului 1, şi de această dată suma plătită fragmentat – adică

1.200 RON – are o valoare diferită astăzi față de valoarea pe care o va avea mai târziu, adică peste un

an sau peste 10.

Pentru a putea compara cele două operațiuni financiare, anume plata imediată a sumei de 10.000

RON cu plata eşalonată, timp de 10 ani anticipat, a sumei de 1.200 RON, va trebui să le raportăm la

acelaşi moment şi din acest motiv vom calcula valoarea actualizată a eşalonării. Un tabel similar

Tabelului 1.1. ne va ajuta să determinăm valorile actualizate pentru fiecare plată în parte şi anume:

Anul 10 1.200

.............. ....

Anul 3 1.200

Anul 2 1.200

Anul 1 1.200

Momentul

actualizării

1A

2A

3A

.

....

1tA

Tabelul 7.3. Detalierea celor zece plăți anuale, efectuate la început de an

Va trebui să observăm că, deoarece plățile se fac la începutul perioadei de timp, prima plată este

egală cu valoarea ei actuală:

200.1A1 RON

Pe baza unui raționament similar celui din exercițiul anterior şi ținând cont că de această dată plățile

sunt anuale şi procentul va rămâne %6pa , obținem:

12

06,1

200.1A ,

23

06,1

200.1A , ...,

910

06,1

200.1A

Deci, valoarea actualizată a plăților eşalonate este:

1021 A...AAA

152

Înlocuim formele lui 1k,Ak determinate anterior şi obținem:

921

921

06,1

1...

06,1

1

06,1

11200.1

06,1

200.1...

06,1

200.1

06,1

200.1200.1A

Folosim formula de calcul (5.2.2.) pentru 06,1

1q şi obținem:

06,1

11

06,1

11

200.1A

10

Prin aducere la acelaşi numitor şi scriere echivalentă obținem:

10

10

06,1

11

06,0

06,1200.1

06,1

106,1

06,1

11

200.1A

Prin generalizare, obținem următoarea formulă de calcul pentru valoarea actualizată a unei plăți

eşalonate anuale anticipate de valoare 0S , efectuate pe o perioadă de n ani, cu un procent de

actualizare p%:

n

0

100

p1

11

100

p100

p1

SA (1.4.)

Efectuăm calculul efectiv în cazul datelor din exemplul nostru şi obținem 9362A RON. Se

observă cum valoarea actualizată a celor zece plăți eşalonate este mai mică decât valoarea plății

unice, efectuabile la momentul inițial, care este în valoare de 10.000 RON. Prin urmare, din punct de

vedere al exprimării strict monetare, plata imediată a sumei de 10.000 RON este preferabilă plății

eşalonate a sumei de 1.200 RON anual, la încept de an, timp de 10 ani.

b) Aducem în discuție patru situații concrete pe care le putem considera aplicații ale calculului

anterior. Desigur, cititorul poate găsi şi alte exemple.

153

Exemplul b1) O firmă este în situația să concedieze un număr de 12 angajați, din motive care nu țin

de culpa lucrătorilor. Pentru a evita unele conflicte, care pot culmina cu acționarea firmei în justiție,

angajații solicită ca la momentul disponibilizării să primească suma care reprezintă de zece ori

valoarea unui salariu lunar, ceea ce înseamnă 10.000 RON pentru fiecare persoană.

Din punct de vedere al firmei, 12 plăți imediate în valoare de 10.000 RON fiecare reprezintă o sumă

importantă care ar putea afecta activități deja planificate, sau chiar aflate în derulare. Din acest

motiv, directorul firmei propune o alternativă pe care şi-ar dori ca muncitorii să o găsească tentantă:

va face plata pe loc a unui salariu şi apoi anual, în luna ianuarie, timp de 10 ani, fiecare muncitor

disponibilizat va primi suma de 1.200 RON pentru a acoperi o parte din numeroasele cheltuieli care

însoțesc fiecare început de an.

Judecând din punct de vedere strict monetar, observăm că propunerea directorului este mai

avantajoasă decât varianta cerută de muncitori: valoarea actualizată a celor 12 plăți de câte 1.200

RON fiecare a fost deja calculată şi este egală cu 9362 RON. Acesteia i se adaugă suma plătită imediat

ca si contravaloare a unui salariu, deci încă 1.000 RON. În total, valoarea actualizată a ofertei

directorului de firmă este de 10.362 RON, mai mult decât cei 10.000 RON solicitați ca plată imediată

pentru fiecare angajat. Dacă această propunere va fi acceptată, deci dacă muncitorii vor putea fi

convinşi că prin intermediul acestei eşalonări vor câştiga mai mult decât 10.000 RON de persoană,

atunci firma va plăti imediat doar 000.112 , adică 12.000 RON în loc de 000.1012 , adică

120.000 RON. Restul de 000.144000.1212 RON, reprezentând plățile timp de 10 ani efectuate

în luna ianuarie către cei 12 angajați disponibilizați, vor putea fi luați în calcul din timp şi nu vor

reprezenta un şoc financiar pentru firmă.

Exemplul b2) La Extragerea Extraordinară Loto organizată în noaptea de Revelion, ați câştigat

100.000 Euro. La data de 3 ianuarie, deîndată ce se reiau toate activitățile, vă prezentați să vă ridicați

premiul: la timp ca să aflați că plățile se vor efectua în zece rate lunare, cu începere de la 1 martie şi

până la sfârşitul anului, fiecare rată fiind în valoare de 10.000 Euro. Din surse proprii, pe care le

considerați de încredere, aflați că pentru anul în curs se preconizează o rată de actualizare de 6%. Pe

baza datelor de care dispuneți acum şi cu ajutorul formulei (1.4.) veți putea calcula valoarea

actualizată a celor zece rate lunare în raport cu data de 1 martie, de începere a plăților. Vom ține

cont că dacă rata anuală de actualizare este %6pa , atunci rata lunară va fi %5,0%12

6pl .

Înlocuim, aşadar, în formula (1.4.) pe 0S cu 10.000, pe n cu 10, iar 005,0100

5,0

100

p :

154

Euro64,790.97005,01

11

005,0

005,01000.10A

10

Între momentul 1 martie şi momentul 1 ianuarie, când se presupune că ați câştigat banii, mai există o

distanță de încă două luni. Prin urmare, suma A determinată mai devreme va trebui actualizată din

nou, în raport cu începutul lunii ianuarie. Câştigul efectiv de care veți beneficia prin programul de

plată eşalonată amânată pe care vițl impone Loteria este, deci:

Câştig efectiv 820.96

100

5,01

64,790.972

Euro

Asta înseamnă că veți primi, de fapt, cu 3180 de euro mai puțin decât ați fost înştiințat că ați fi

câştigat!

Exemplul b3) Doriți să vindeți un tablou şi aveți de ales între următoarele variante de plată:

a) Plata pe loc a sumei de 5000 de euro

b) Plata peste un an a sumei de 6000 de euro

c) Plata lunară, anticipată, timp de un an, a sumei de 500 de euro.

Se consideră ca acceptabilă o rată de actualizare de 6% pe toată durata operațiunilor propuse.

La fel ca şi în cazul exemplelor anterioare, pentru a putea compara cele trei variante de plată aveți

nevoie să le exprimați în raport cu acelaşi moment, să spunem cel care corespunde variantei a) a

plății imediate. Valoarea actualizată a sumei de la punctul b) se calculează folosind procentul abual

de 6%, din relația:

38,660.5

100

61

6000A

1b

Euro.

Deja se poate observa că varianta b) este mai bună decât varianta a), cel puțin la o analiză din punct

de vedere monetar. Pentru a calcula valoarea actualizată în cazul variantei c), vom folosi formula

(1.4.) pentru 500S0 Euro, n egal cu 12 şi procentul lunar de actualizare, corespunzător unui

procent anual %6pa , egal cu %5,0%12

6p l . Înlocuim, aşadar, şi obținem:

155

Euro5,838.5005,01

11

005,0

005,01500A

12

În concluzie, compararea valorilor actualizate vă arată că varianta a treia este cea mai avantajoasă.

Această variantă ar putea să fie, de asemenea, cel mai uşor de suportat şi pentru cumpărătorul

tabloului, iar aducerea ei în discuție să reflecte de fapt încercarea de a găsi o soluție reciproc

avantajoasă de încheiere a târgului.

Exemplul b4) Vă doriți un televizor de cea mai nouă generație, dar prețul de 4.000 RON vi se pare

greu de suportat în varianta unei plăți integrale imediate. De la magazin vi se propune cu solicitudine

să acceptați un program de rate pentru o perioadă de 5 ani, astfel încât să plătiți la începutul fiecărei

luni suma de 150 RON. Rada dobânzii vi se comunică a fi de 19,8% anual.

Perspectiva în care vă veți putea bucura de televizorul dorit fără să vi se ceară uriaşa sumă de 4.000

RON, plus rata lunară pe care o puteți percepe ca fiind rezonabilă sub aspectul efortului financiar pe

care ar trebui să îl faceți, sunt lucruri de natură să nu vă mai ridice nicun fel de întrebări cu privire la

modul în care a fost calculat acest sistem de rate. Dacă, totuşi, vă întrebați cum s-a ajuns la această

sumă lunară care se presupune că serveşte achitării creditului pe care vi l-a acordat magazinul (sau

vreo bancă parteneră acestuia) ca să puteți beneficia de televizor deşi nu aveați cei 4.000 RON,

atunci veți fi cu siguranță curioşi să urmăriți raționamentul pe care îl vom prezenta în continuare.

Dacă toată povestea ar fi corectă, ar însemna că prin sistemul de rate care vi s-a propus urmează să

achitați suma de 4.000 RON la care se adaugă dobânda calculată lunar, cu un procent anual de

19,8%, la suma care a mai rămas de plătit. Pentru că ați fost de acord cu o durată a creditului de 5

ani, înseamnă că aveți de făcut 60 de plăți lunare (5 ani a câte 12 luni fiecare).

Pentru ca toate ratele pe care le veți plăti să reprezinte eşalonarea în timp a creditului pe care l-ați

primit şi a dobânzilor aferente, ar trebui ca valoarea actualizată a tuturor acestor plăți să fie egală cu

prețul actual al televizorului, adică acea sumă pe care ar trebui să o plătiți pentru el dacă l-ați

achiziționa cu banii jos, aici şi acum. Pentru aceia dintre cititori care nu au înțeles pe deplin această

afirmație, voi reaminti faptul că dobânda care vi se percepe atunci când contractați un credit este un

fel de preț al bailor pe care urmează să îi utilizați. Deci, acel procent de 19,8% reprezintă o reflectare

a prețului pe care trebuie să îl plătiți pentru utilizarea celor 4.000 RON care reprezintă prețul

televizorului, şi pe care îi rambursați integral după un anumit interval de timp – în cazul acesta 5 ani.

Dacă nu ați solicita această amânare în rambursarea celor 4.000 RON, ar însemna că îi aveți şi că îi

puteți achita pe loc. Cu alte cuvinte, plata pe loc a sumei de 4.000 RON sau plata lunară anticipată a

156

sumei de 150 RON pe o perioadă de 5 ani cu dobândă anuală de 19,8% ar trebui să fie echivalente.

Echivalența ar însemna că aceste două operațiuni financiare, raportate la acelaşi moment de timp, ar

trebui să se tradzcă prin acceaşi sumă. Din acest motiv, valoarea actualizată a plății eşalonate şi

prețul televizorului în varianta în care el este achitat pe loc trebuie să fie egale.

Vom calcula valoarea actualizată a plății eşalonate folosind formula (1.4.) pentru plăți anticipate,

pentru un procent anual %8,19pa , care corespunde unui procent lunar %65,1%12

8,19pl .

Înlocuim, aşadar, în formula (1.4.) pe 0S cu 150, pe n cu 60, iar 0165,0100

65,1

100

pl :

57800165,01

11

0165,0

0165,01500A

60

RON.

Rezultatul calculului ne arată că rata lunară de 150 RON ar fi mai potrivită pentru un produs cu prețul

egal cu 5.780 RON, mai degrabă decât pentru unul de 4.000 RON – desigur, dacă procentul de 19,8%

care vi s-a comunicat la magazin este unul real şi dacă ați fost înştiințați cu privire la toate

comisioanele pe care, ca din întâmplare, le mai aveți de suportat. În mod normal, ca să obțineți o

valoare actualizată de 4.000 RON rata lunară pe o perioadă de 5 ani în condițiile unui procent anual

de 19,8% ar trebui să fie undeva în jurul valorii de 103,82 RON şi vă propun să vă convingeți singuri,

pe baza unui calcul care vă este deja familiar!

Dacă veți încerva să aplicați un calcul similar pentru multe dintre produsele pe care le vedeți în

magazine oferite pentru a fi cumpărate în rate, veți avea marea surpriză să constatați că procentul

care vi se comunică pe post de rata anuală a dobânzii la creditul pe care îl contractați este foarte

departe de dobânda reală cu care o să vă confruntați pe parcursul următoarei perioade de timp.

Prea puțini sunt, însă, clienții care ştiu să calculeze o valoare actualizată şi prea puțini sunt aceia care

s-ar gândi mai departe de evaluarea suportabilității sumei pe care urmează să o plătească. Dacă 150

RON este o sumă de care cumpărătorul se poate dispensa lunar fără eforturi prea mari, atunci orice

argumente raționale despre cum va fi ea percepută în timp, sau despre faptul că este prea mare în

raport cu ceea ce a comunicat magazinul ca şi condiții de creditare, sunt mult prea de prisos.

c) Vom discuta acum, pe rând, câteva dintre amenințările care grevează în particular situațiile pe care

le-am prezentat.

157

Exemplul b1) prezintă o propunere a directorului firmei, menită să evite o plată de dimensiune mare

care ar putea crea dificultăți la nivel de afacere. Cu toate că, din punct de vedere al calculelor,

propunerea se dovedeşte a fi avantajoasă pentru muncitori, se poate întâmpla ca anumite nevoi

stringente pentru lichididate să îi determine pe cei implicați să refuze plata în rate. Este posibil, de

asemenea, ca angajații care urmează a fi disponibilizați să nu acorde suficient credit bunelor intenții

ale instituției şi să considere că o perioadă de zece ani este mult prea mare ca să poată avea

certitudinea că banii vor fi plătiți conform promisiunilor. Urmarea firească a unei astfel de situații

este că firma va fi supusă amenințării pe care de fapt a dorit să o evite: va trebui să plătească integral

cei 120.000 RON, în loc să beheficieze de o eşalonare a acestei plăți.

Pe de altă parte, dac cei 12 muncitări aleg să aibă încredere în promisiunea firmei şi acceptă că din

punct de vedere al valorii actualizate varianta plății în rate este mai avantajoasă, ei se vor putea

confrunta cu situația în care firma va înceta plățile, sau banii se vor devaloriza suficient de mult

pentru a nu mai acoperi aceleaşi necesități ca în primul, sau în primii ani. În abele situații, individul ar

fi supus unui risc de venit. Şi într-o anumită situație, evidentă dealtfel, firma ar fi supusă riscului de a

fi dată în judecată de oamenii păgubiți...

Exemplul b2) arată cum asupra câştigătorului la extragerea Loto se acționează în sensul micşorării

sumei plătite efectiv, cea la care se aştepta şi care îi fusese comunicată ca nivel al câştigului. Plata în

rate face ca individul să nu se poată angaja, de exemplu, în cumpărarea imediată a unei locuințe,

lucru care nu s-ar fi întâmplat dacă ar fi primit banii pe loc. De asemenea, lunile de eşalonare fac ca

suma care va fi plătită efectiv să fie echivalentul – în sens de valoare actualizată - de numai 96.820

Euro, în loc de 100.000 Euro aşa cum i s-a promis inițial.

Exemplul b3) reiterează riscurile menționate în cazul Exemplului b1), cu singura mențiune că de

această dată tranzacția se realizează între doi indivizi. În absența unor acte bine întocmite, perfect

valabile, probabilitatea de manifestare a riscurilor menționate în discutarea Exemplului b1) este mult

mai mare.

Exemplul b4) aduce față în față clientul şi creditorul în sensul clasic al relației pe care o cunoaştem

între ei. Creditorul îşi ia întotdeauna măsuri de prevedere pentru a evita nerambursarea sumei

împrumutate, iar clientul este întotdeauna interesat să nu îi fie modificate advers condițiile în care a

contractat creditul. Ambele amenințări se pot manifesta în cazul Exemplului b4), dar pe lângă acestea

este bine să semnalăm şi un alt aspect.

158

Din calculele pe care le-am efectuat mai devreme s-a putut observa că există o diferență destul de

mare între valoarea actualizată a tuturor ratelor, adică 5.780 RON şi prețul televizorului, adică suma

de 4.000 RON pe care ar trebui să o plătească un cumpărător dacă ar achiziționa obiectul cu plata pe

loc. Diferența de 1.780 RON sugerează în mod evident că procentul de 19,8% nu este un procent real,

că de fapt procentul practicat de creditor este sensibil mai mare.

Dacă 19,8% ar fi o valoare corectă, atunci ar trebui fie ca rata lunară să fie mai mică de 150 RON, fie

perioada de rambursare să fie mai mică de 60 de luni. Să facem câteva calcule care să elucideze

aceste aspecte.

Cazul I. Dacă procentul ar fi de 19,8% şi perioada de rambursare ar fi de 5 ani, adică de 60 de luni,

atunci rata 0S s-ar calcula din (1.4.) astfel:

82,103S0165,01

11

0165,0

0165,01S4000 0

60

0

RON lunar.

Se observă că între rata cerută de magazin, de 150 RON, şi rata reală în cazul în care condițiile de

creditare ar fi corecte există o diferență de aproximativ 47 RON.

Cazul al II-lea. Dacă procentul ar fi de 19,8% şi rata lunară ar fi de 150 RON, atunci vom calcula

perioada reală de rambursare, pe care o notăm m, din ehalitatea de mai jos:

0165,01150

0165,0000.4

0165,01

11

0165,01

11

0165,0

0165,01150000.4

m

m

567,00165,01

1

0165,01150

0165,0000.41

0165,01

1

m

m

Aplicăm logaritmul natural în ultima egalitate, pentru a putea exprima puterea m:

0165,01

1ln

567,0lnm

0165,01150

0165,0000.41

0165,01

1m

159

Obținem m=15 luni aprovimativ, ceea ce înseamnă că la o rată de 150 RON lunar şi un procent de

dobândă de 19,8%, cumpărătorul televizorului ar trebui să lichideze creditul în 15 luni, adică puțin

mai mult de un an, şi nicidecum în 60 de luni, adică 5 ani.

În ambele situații puteți observa cum cumpărătorul este prejudiciat de la bun început. Informația cu

privire la procentul de 19,8% este în totală contradicție cu restul dovezilor rezultate din calcul.

Paradoxul este că nici măcar nu ne putem referi la această situație ca la un risc al clientului, pentru că

prejudiciul apare... cu certitudine, pe când riscul este descris ca fenomen... potențial generator de

pagube! Faptul că sunt comunicate cu multă precizie rata lunară care urmează a fi plătită şi numărul

de plăți care urmează a fi efectuate, determină din partea clientului o atitudine credulă. Acesta nu o

să se întrebe dacă nu cumva în realitate i se cer mai mulți bani decât i s-a spus, dar creditorul este

acoperit prin faptul că a comunicat cuantumul ratei şi numărul plăților. Atât majorarea ratei peste

nivelul corect, cât şi prelungirea perioadei de timp peste cea corectă, afectează veniturile viitoare ale

clientului şi îl fac vulnerabil la alte pericole la care poate fi expus ca urmare a insuficienței resurselor

financiare.

Aspecte suplimentare la riscurile pe care le presupun calculele bazate pe rate de actualizare vor fi

discutate şi în alte teme de seminar.

7.4. Casă, dulce casă...

Una dintre problemele importante cu care se confruntă tinerii este achiziționarea unei locuințe. În

cele mai multe cazuri, băncile oferă şi chiar încurajează creditele pe o perioadă lungă de timp ca de

exemplu 20 sau 25 de ani. Exercițiul vă cere să calculați suma pe care v-o poate împrumuta un

creditor în condițiile în care se consideră că puteți suporta pe termen lung o rată lunară de 200 euro.

Problema se cere rezolvată în catul unei rate anuale a dobânzii de 9%, pe o perioadă de 10 ani, 20 de

ani şi respectiv 25 de ani. Considerăm că plățile lunare se fac la începutul perioadelor de timp.

Rezolvare:

Pentru că plățile sunt anticipate, vom folosi formula (1.4.). Suma pe care o va acorda banca sub

formă de credit este valoarea actualizată a tuturor plăților lunare pe care le-ar efectua clientul în

fiecare dintre cele trei variante: 10 ani, 20 de ani şi respectiv 25 de ani.

160

Procentul anual este de 9%, deci procentul lunar pe care ne vom baza calculul este

%75,0%12

9p l . Perioada de timp pe care o vom lua în calcul va fi, după caz:

a) 10 ani, adică 120 luni

b) 20 de ani, adică 240 luni

c) 25 de ani, adică 300 luni.

Alicăm, pe rând, formula (1.4.) pentru cele trei perioade de timp, o rată lunară anticipată de 200 Euro

şi un procent lunar de 0,75%.

a) Valoarea împrumutului pentru o perioadă de rambursare de 120 luni:

15907A0075,1

11

0075,0

0075,1200A

120

Euro

b) Valoarea împrumutului pentru o perioadă de rambursare de 240 luni:

22396A0075,1

11

0075,0

0075,1200A

240

Euro

c) Valoarea împrumutului pentru o perioadă de rambursare de 300 luni:

24011A0075,1

11

0075,0

0075,1200A

300

Euro

Cu siguranță, cititorii vor avea una şi aceeaşi reacție atunci când vor studia rezultatele calculelor pe

care le-am efectuat. În raport cu o plată lunară destul de însemnată, care pentru unele persoane

reprezintă echivalentul salariului lunar, suma acordată sub formă de credit reprezintă doar o mică

parte din costul actual al unei locuințe. În plus, suma de 200 de euro se consideră a fi plătită lunar, pe

o perioadă foarte mare de timp; raportat la posibilitățile unei familii cu venituri medii, banca îşi va

pune întrebarea dacă împrumutatul va fi în stare să îşi ramburseze datoria.

Haideți să comparăm acum suma pe care o primeşte persoana în cazul unui credit pe 10 ani cu suma

pe care o primeşte în cazul unui credit pe 20 de ani şi apoi cu cazul creditului pe 25 de ani. Ne-am

aştepta ca dublarea perioadei de creditare să asigure o creştere importantă a sumei acordate – lucru

pe care calculele nu îl confirmă în niciun caz. La o creştere cu 100% a eforturilor persoanei creditate,

161

suma acordată cu titlu de împrumut creşte cu 40,7%. Dacă vom compara acum variantele a şi c vom

vedea cum creşterea cu 150% a eforturilor celui care contractează creditul (perioada de rambursare

creşte de la 10 la 25 de ani) conduce la o creştere cu doar 51% a sumei împrumutate.

Aceste procente, de 40,7% şi de 51%, şi aşa destul de neplăcute pentru client, vor fi doar o parte a

condițiilor aspre de creditare dacă între timp banca va dcide majorarea ratei dobânzii față de

dobânda inițială de 9% sau dacă va opera modificări în perimetrul comisioanelor. Dacă apar astfel de

majorări ale ratei dobânzii, pe care banca le va da pe seama evoluției pieței, atunci clientul va avea

de suportat o rată lunară mai mare chiar de 200 de euro.

Desigur că banca îşi asumă la rândul său un risc atunci când acordă un credit pe o perioadă de timp

de zeci de ani. Pe de altă parte, activitatea ei este suficient de diversificată pentru a ține sub control

şi pentru a anticipa destul de corect ceea ce vom învăța că sunt pierderile aşteptate. De asemenea,

prin contracte încheiate cu clienții săi se stabilesc în mod explicit garanțiile pentru creditul acordat. În

toată această ecuație, clientul depinde de colaborarea cu instituția bancară pentru că de cele mai

multe ori creditul este singura variantă în care acesta îşi poate procura anumite bunuri de folosință

îndelungată. În mod obişnuit, el nu poate negocia cu banca şi nici nu se poate plânge de faptul că

ansamblul condițiilor de creditare crează conjuncturi care îi sunt defavorabile. Tot ce poate face un

client este să evalueze cu exactitate ofertele băncii, astfel încât atunci când va decide cu privire la

alegereas pe care o va face să fie perfect conştient de consecințe.

7.5. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar

1. Ce este valoarea actualizată şi din ce motiv luarea ei ân calcul este un aspect relevant în

studiul riscului?

2. La ce se referă rata de actualizare? Reamintiți-vă de la cursul de Economie care sunt

elementele relevante pentru discutarea ratei de actualizare.

3. Refaceți calculele de la exemplul prezentat în paragraful 7.2. pentru o sumă lunară de 1200

RON şi o rată anuală de actualizare de 9%.

4. Refaceți calculele de la exemplul prezentat în paragraful 7.3. pentru o sumă egală cu 8000

RON pentru care se dau alternativele: plata pe loc, sau plata anuală, la sfârşit de an, a sumei

de 1000 RON în cazul unei rate anuale de actualizare de 9% şi apoi de 6%. Comparați

rezultatele în cazul celor două rate de actualizare.

5. Refaceți calculele de la exemplul prezentat în paragraful 7.4. pentru o rată lunară de 300

RON şi apoi de 700 RON pe rând, în cazul unor rate anuale ale dobânzii de 9%, 12% şi apoi de

18%. Perioadele de timp sunt cele menționate în exemplul din paragraful 7.4.

162

6. Enunțați şi explicați pierderile indirecte care se pot manifesta odată cu fiecare dintre riscurile

pe care le-am exemplificat pe parcursul exercițiilor rezolvate.

7. Întocmiți un referat de 5 pagini care să indice locul şi importanța valorii actualizate în studiul

riscului. Utilizați cel puțin 5 surse bibliografice relevante.

8. Găsiți câte două exemple din experiența dvs în care considerați că ar fi fost util să cunoaşteți

informațiile pe care le-ați aflat din fiecare din paragrafele 7.2., 7.3. şi 7.4. în parte.

9. Întocmiți un studiu de caz din care să rezulte care sunt riscurile cu care se confruntă clientul

care doreşte să contracteze un credit de luocuință în condițiile ofertelor care se află pe piață

la momentul la care urmează să rezolvați această chestiune. Aduceți date concrete,

provenind de la instituții existente pe piața românească.

10. Întocmiți un studiu de caz din care să reiasă modul în care o instituție bancară sau o societate

de asigurări utilizează valoarea actualizată. Aduceți date concrete, provenind de la instituții

existente pe piața românească.

163

CAPITOLUL 8.

MODELE PROBABILISTICE

ÎN STUDIUL RISCULUI

8.1. Acoperiea riscului, ca tendință naturală

8.2. Actuarul – sau cine este în spatele poliței de asigurare

8.3. Despre modelele actuariale

8.4. De la enunț particular la model general

8.5. Despre alte modele probabilistice

8.6. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar

Obiectivele capitolului

După parcurgerea acestui capitol, studentul va fi capabil să explice ce este un actuar, care este rostul lui în cadrul

instituției în care îşi desfăşoară activitatea şi care sunt principalele tipuri de actuar pe care îi aminteşte literatura din

domeniu. Studentul va şti să exemplifice modul în care se aplică în practică elementele teoretice legate de variabile

aleatoare discrete şi continue şi de mărimile numerice ataşate lor.

8.1. Acoperirea riscului, ca tendință naturală

Capitolul 1 din această lucrare a argumentat, sperăm noi suficient de convingător, faptul că viața

oricărui individ este grevată de riscuri şi de asemenea că riscurile pot afecta în egală măsură atât

afacerea ca întreg cât şi persoanele implicate. De foarte multe ori, manifestarea anumitor riscuri

poate atrage după sine daune foarte mari în raport cu posibilitățile individului. Dacă o maşină este

furată din parcare, proprietarul ar resimți greu pierderea pentru că în cele mai multe cazuri suma pe

care ar trebui să o plătească pentru a acoperi dauna este foarte mare în raport cu posibilitățile sale.

Dacă o locuință cade victimă unui incendiu, costurile reparațiilor îl pot lua pe proprietar pe

nepregătite. Dacă principalul echipament al unei linii productive s-a defectat, proprietarul afacerii se

poate afla într-o postură foarte dificilă, obligat fiind să acopere atât reparațiile cât şi eventualele

pierderi indirecte despre care am discutat la începutul acestei cărți.

164

Aşa cum discutam în Capitolul al cincilea, indivizii au o tendință generală de a fi averşi față de risc.

Unii specialişti sunt de părere că stă în firea omului să se aştepte mai degrabă la un rezultat pozitiv

decât la unul negativ şi de aceea suntem atât de profund afectați atunci când apar pierderi şi că

această imagine pe care o avem despre noi înşine determină profilul de avers față de risc al marii

majorități. Indiferent dacă aceşti specialişti au sau nu dreptate, cu certitudine oamenii, în marea mor

majoritate, doresc să se pună la adăpost. Societățile de asigurări, ca şi variantele alternative

reprezentate de fonduri mutuale şi fonduri de autoasigurare, sunt dovada vie a faptului că există o

teamă de latura neagră a neprevăzutului.

Ne-am obişnuit deja să considerăm că este normal ca o societate de asigurări să preia o sumedenie

de riscuri, contra unei sume pe care noi o plătim în funcție de prevederile contractuale. Cu siguranță

ştiți, pentru că ați învățat la cursurile de Asigurări şi Reasigurări, că aceste societăți nu au o pasiune

nativă pentru a prelua riscurile altora. Sunt în realitate organizații pro - profit, prin urmare este clar

că desfăşoară această activitate pentru că într-un fel sau altul au decis că este rentabil să o facă.

Chiar dacă până în această etapă totul pare mai mult decât logic, banal chiar, sunt sigură că prea

puțini dintre noi şi-au pus cu adevărat întrebarea: de ce, pentru polița CASCO, a trebuit să plătesc o

primă de risc egală cu 4,3% din valoarea maşinii, şi nu de 4,7%? Sau, de ce nu 2%?

Realitatea este că suntem foarte, foarte obişnuiți să gândim răspunsul la această întrebare în termeni

care pot suna cam aşa: (1) Păi au făcut ei calcule, aşa a rezultat. (2) Pai cum de ce, ei din ce să

câştige?. (3) E... sunt înțeleşi între ei, toți fac la fel. (4) Se fac studii şi procentul rezultă pe bază de

date statistice. Vă mărturisesc că rareori am auzit alt răspuns înafara celor patru menționate

anterior, sau a variațiunilor pe aceeaşi temă. Cu toate acestea puțini sunt cei care ştiu ce, sau cine se

află cu adevărat în spatele produselor pe care le pune în vânzare o companie de asigurări. Cu un

lucru va trebui să fim cu toții de acord: activitatea dintr-o companie de asigurări este, aşa cum spun şi

specialiştii, una de tipul „win – win”. Cu alte cuvinte, activitatea se desfăşoară astfel încât şi

asiguratul, şi asigurătorul ies până la urmă în câştig, iar explicația este simplă. Un individ poate face

față cu greu pierderilor importante care îi amenință existența. Insecuritatea lui financiară este un

permanent motiv de stres şi de aceea el va căuta să transfere responsabilitatea către altcineva.

Pentru că o poliță de asigurare nu costă cât o maşină, sau cât ar costa o locuință, deci pentru că o

poliță de asigurare costă mult mai puțin decât ar costa o daună severă care poate să se manifeste la

un moment dat, individul preferă să cumpere protecția contra riscului. Pe de altă parte, societatea de

asigurări are motive să ştie că dacă încheie asigurare contra aceleiaşi daune potențiale la care este

supus un grup mai mare de indivizi, atunci va putea estima cu destulă exactitate pierderile la care vor

fi supuşi asigurații, deci va putea face o prognoză destul de bună a banilor pe care va trebui să îi

165

plătească în contul despăgubirilor. Odată ce ştie cât o va costa preluarea riscului grupului de indivizi,

va şti să spună şi în ce condiții îl va prelua, sau mai exact cât va costa o poliță de asigurare astfel încât

să se obțină şi multdoritul profit.

Tot ce am scris anterior este simplu de înțeles, dar ridică o întrebare: cum ştie societatea de asigurări

că a prognozat corect daunele la care se poate aştepta după ce a asigurat, de exemplu, un grup

format din 2000 de autoturisme contra riscului de coliziune în trafic? Profesorul de asigurări v-a

arătat, cu siguranță, modul în care se poate demonstra că odată ce numărul de unități asigurate

împotriva unui acelaşi risc creşte, scade drastic probabilitatea ca dauna medie să se abată cu mult de

la valoarea prognozată. Ei bine, chiar şi după ce a aflat lucrurile acestea îmbucurătoare, de unde ştie

asigurătorul cu exactitate cât trebuie să ceară pentru preluarea acestui cumul de 2000 de riscuri? Să

nu uităm că o prognoză este doar o prognoză, iar o daună totală la 2000 de maşini s-ar putea să fie

ea absolut improbabilă dar destul de neplăcută dacă apare totuşi.

Toate estimările care stau la baza elaborării prognozelor despre care am discutat mai sus, ca şi a

determinării prețului la care se pot achiziționa diferite polițe de asigurare, se bazează pe instrumente

actuariale complexe care au la bază modele probabilistice. Secțiunea următoare va prezenta pe scurt

câteva informații despre un actuar şi despre rolul lui nu doar într-o companie de asigurări, dar şi în

probleme mai generale de consultanță financiară, după care vom exemplifica utilizarea elementelor

specifice de teoria probabilităților în modelele actuariale.

8.2. Actuarul – sau cine este în spatele poliței de asigurare

Cu siguranță, un om care are calitatea de actuar ştie teoria probabilităților. Prezența elementului

neprevăzut, a riscului, face ca modelele deterministe – acelea în care 2 plus 2 fac întotdeauna 4 – să

nu fie mai deloc de ajutor atunci când vrem să descriem o situație sau să prognozăm evoluția ei.

Pentru aceia dintre cititori care au auzit deja despre actuari, este aproape de la sine înțeles că aceştia

sunt nişte oameni care lucrează în impresionanta industrie a asigurărilor, unde se ocupă cu

competență de rezolvarea tuturor problemelor care se leagă într-un fel sau altul de pierderi

exprimabile monetar. Actuarii sunt cei care stau în spatele ofertelor pe care le trimit pe piață

instituțiile de asigurări. Eu sunt cei care vă spun, de exemplu, că nu este rentabil pentru o societate

de asigurări să vă ofere un contract de asigurare contra riscului de inundație a apartamentului pe

care îl aveți la bloc, în absența asigurării locuinței contra unei daune totale. Probabil că actuarul ştie

că vecinul de deasupra vă poate inunda mult mai des decât ar putea lăsa deschise gazele care să

arunce tot blocul în aer. Tot actuarul este cel care vă analizează dosarul şi vă spune că, pentru maşina

166

pe care o aveți, va trebui să plătiți o rată de 5,4% din valoarea ei pentru a încheia o asigurare CASCO.

Actuarul nu vă va spune, totuşi, de ce la o companie concurentă rata este de doar 4,8%...

Ceea ce trebuie să mai rețineți este că, în plus față de stabilirea produselor unei companii de

asigurări, actuarul este cel pe umerii căruia cad toate responsabilitățile legate de analiza şi

prelucrarea datelor statistice care îi pot crea un cadru suficient de informat ca să poată realiza

prognoze ale evenimentelor viitoare. Dacă, de exemplu, veți dori să încheiați o asigurare de viață veți

afla care este prima anuală pe care trebuie să o plătiți pentru ca, la momentul la care nu veți mai fi,

cineva să se bucure de o anumită sumă de bani (poate nu şi de evenimentul în sine al dispariției

dumneavoastră). Nivelul acelei prime va fi stabilit pe baza faptului că aveți o anumită vârstă, că există

o anumită probabilitate să supraviețuiți în anii următori (probabilitate care scade cu cât vârsta creşte)

şi prin urmare se va stabili prima de asigurare astfel încât să fie cât mai probabil să acoperiți prin

plățile pe care le faceți suma care va fi plătită către beneficiar. Actuarul va trbeui, prin urmare, să

estimeze cât mai exact durata medie a vieții dumneavoastră, posibilitățile de investiție pentru banii

pe care îi plătiți periodic, astfel încât la momentul la care va trebui să achite despăgubirea către

beneficiar compania de asigurări să nu iasă păgubită.

Munca de actuar este dificilă şi implică o foarte mare răspundere. În ansamblu ea presupune analiza

tuturor datelor care pot fi în legătură cu posivile riscuri financiare, fie că este vorba despre preluarea

de riscuri de la polulație de către companiile de asigurări, fie că este vorba despre stabilirea unor

planuri de pensii sau de formularea unor strategii de investiții. Literatura de specialitate estimează că

aproximativ 70% dintre actuari activează în industria asigurărilor, dar metodele şi tehnicile actuariale

pot fi utilizate cu succes pentru acordarea de consultanță afacerilor de diferite dimensiuni, unor

organisme din sectorul public, băncilor şi exemplele pot continua. Tot actuarii pot fi solicitați de către

marile companii în cazul în care acestea doresc să facă achiziții importante, să fuzioneze cu ale

structuri, sau să realizeze planuri de investiție. Desigur că şi o persoană fizică poate cere sfatul unui

actuar atunci când doreşte să gestioneze un anumit buget sau atunci când este interesată să

stabilească cea mai bună variantă de investiție în perspectiva pensionării.

Există, după cum vă puteți imagina, multe domenii în care un actuar poate fi extrem de folositor, iar

rândurile de mai devreme au adus în discuție doar unele dintre aceste câmpuri de activitate. În

finalul acestei secțiuni mai trebuie spus că, din punct de vedere al unei companii de asigurări, există

două categorii de actuari care au în grijă două domenii distincte. Sunt actuarii specializați în asigurări

de viață, pe care îi putem întâlni ori de câte ori este nevoie de planificare de pensii, de planificare

financiară sau de determinarea fondurilor de rezervă pentru compania care solicită studiul. De

cealaltă parte sunt actuarii obişnuiți, care au în grijă toate celelalte produse de asigurare altele decât

167

asigurările de persoane. Întâlnim aici, de fapt, toate asigurările care au legătură cu proprietățile unui

individ sau ale unei instituții. Indiferent de zona efectivă în care îşi desfăşoară activitatea, un actuar

va trebui să fie capabil să opereze cu date statistice pe baza cărora să construiască distribuțiile de

probabilitate ale fenomenelor aleatoare pe care le studiază.

8.3. Despre modelele actuariale

Atunci când, în Capitolul al treilea, am recapitulat noțiunea de variabilă aleatoare am fost de acord cu

faptul că ea reprezintă metoda cea mai bună de descriere a unei mărimi despre care nu ştim cu

exactitate ce valoare ia. Ceva mai devreme am spus că actuarii se folosesc de teoria probabilităților şi

de asemenea am afirmat că în studiul riscului doar arareori putem pretinde că 2 plus 2 fac 4. Prin

urmare, trebuie să pornim de la ipoteza nu foarte plăcută că o mare parte dintre mărimile implicate

in economia riscului pot fi descrise ca variabile aleatoare şi ca atare că modelele specifice sunt

modele probabiliste.

Pentru a explica mai clar ce anume este un model actuarial şi de ce este el important în studiul

riscului, va trebui să reamintim cititorului faptul că un model matematic este o imitație simplificată a

unei probleme pe care o întâlnim în viața reală. Existența modelelor matematice are şi alt rost decât

acela al stresării studenților, pentru că un astfel de model ajută la înțelegerea mai uşoară şi uneori

mai rapidă a fenomenului real aşa cum în mod sigur modelul cererii liniare de bunuri v-a ajutat să

înțelegeți dependența inversă a cantității cerute de prețul unității de bun. Cu siguranță că pentru

multe dintre produsele aflate pe piață funcția cerere are o formă ciudată, dar modelul liniar

surprinde exența fenomenului şi anume acela descris de Legea Cererii.

Modelele actuariale vor fi, prin urmare, acele modele care ajută un actuar să înțeleagă funcționarea

fenomenelor cu care lucrează el. De exemplu, dacă actuarul respectiv doreşte să elaboreze o poliță

de asigurare pe care să o pună în vânzare în scopul protecției contra riscului de coloziune a

autovehiculelor, el va trebui să poată elabora, sau utiliza, un model pe baza căruia să determine cât

anume trebuie să plătească posesorul unui automobil pentru a putea beneficia de respectiva poliță

de asigurare. Similar, un actuar care lucrează pentru o bancă va dori să elaboreze un produs de credit

care să acorde împrumuturi clienților astfel încât riscul la care este supusă banca să fie minim. Şi,

pentru că am spus mai devreme că un actuar nu trebuie să lucreze neapărat pentru o instituție

financiară, mai putem da exemplul unei organizații care are nevoie de consultanță pentru a putea

acorda angajaților săi planuri de pensii. Pentru a stabili cea mai bună metodă de planificare

financiară în acest scop, organizația va putea solicita unui actuar să realizeze un model matematic pe

care să îl utilizeze pentru detreminarea celei mai bune variante.

168

În toate cazurile menționate, modelele matematice se elaborează pe baza unor caracteristici care să

fie relevante în context. De exemplu, pentru stabilirea planului de pensii cel mai avantajos, vor trebui

luate în calcul vârsta angajaților, starea sănătății lor şi veniturile, ca să dăm doar câteva exemple de

variabile care trebuie luate în considerație. În cazul asigurării contra riscului de coliziune, modelul va

trebui să țină cont de informații cum ar fi vârsta şoferului, experiența anterioară, tipul de maşină pe

care îl conduce, distanțele pe care circulă şi aşa mai departe.

Construcția unui model nu este o muncă uşoară şi necesită o bunpă cunoaştere teoretică a

fenomenelor, dar şi multă intuiție din partea specialistului. Există, în evaluarea oricărei mărimi care

implică factorul aleator, un grad de neprevăzut care face ca niciodată modelele să nu poată exprima

cu exactitate ceea ce se întâmplă în viața reală. Tot ceea ce se poate spera de la un model probabilist

este o bună apropiere de fenomenul pe care îl modelează, astfel încât măcar aproximativ, sau măcar

în medie, lucrurile să stea aşa cum au fost prognozate.

Foarte multe dintre utilizările modelelor probabiliste de calcul sunt întâlnite de către copii la cursurile

de asigurări, acolo unde distribuțiile de probabilitate sunt utilizate pentru a calcula mărimi specifice:

pierderea aşteptată a unei anumite expuneri la risc, prima de risc pe care o cere o companie de

asigurări pentru a prelua un anumit tip de risc de la o persoană, frecvența daunelor şi exemplele pot

continua. Mai puțin se discută, totuşi, impactul pe care îl au anumite cerințe ale unei companii de

asigurări asupra individului, iar exemplul care urmează este destinat tocmai acestui scop: să arate

cititorului cum se poate raporta individul la anumite situații care presupun pierderi potențiale.

Exemplul 8.3.1. O persoană dispune de o sumă inițială de 1200 u.m. şi este expusă riscului de a

pierde, cu probabilitate de 0,5, suma de 800 u.m. Se presupune că persoana poate încheia o poliță de

asigurare care să o protejeze contra acestei posibile pierderi, în următoarele condiții: asigurătorul

este dispus să plătească, în caz de daună, o sumă egală cu D cu condiția ca asiguratul să plătească

pentru acest contract de asigurare o primă egală cu 0,6D. Cu alte cuvinte, asigurătorul este dispus să

îl despăgubească pe individ cu cele 800 u.m. dacă este acceptat un contract de asigurare prin care

individul să plătească societății de asigurări suma de 0,6 ori 800 adică 480 u.m.

Problema ne spune că individul are o funcție utilitate de tipul von Neumann – Morgenstern,

w2wU şi ne întreabă dacă individul va accepta oferta firmei de asigurări. Dacă da, atunci care

va fi suma pe care o va asigura?

Conform cu forma concavă pe care o are funcția utilitate (care este o funcție radical), putem deduce

că individul este avesr față de risc. Mai departe, pentru că în capitolul al şaselea am discutat despre

169

aversiunea față de risc, putem afirma că individul va fi foarte incomodat de probabilitatea de 50% ca

pierderea să apară. Va fi tentat, aşadar, să se orienteze către o formă de protecție împotriva unui risc

cu probabilitate mare şi, în acelaşi timp, cu severitate mare: observați că o pierdere de 800 u.m. din

1200 u.m. reprezintă o pierdere importantă.

Pe de altă parte, individul ar putea observa că societatea de asigurări care propune oferta de

protecție nu este tocmai corectă: ea percepe o rată a primei de risc de 0,6, adică de 60%, în condițiile

în care şansele de apariție a pagubei sunt de doar 50%. Individul poate să nu fie încântat de acest

târg incorect, dar deocamdată nu are altă alternativă. Sau are?

Din enunțul problemei înțelegem că societatea de asigurări nu impune ca persoana în cauză să facă

asigurare pentru toate cele 800 u.m. pierdere potențială, ci se referă mai general la o daună D. Asta

ar putea însemna că individul poate cumpăra protecție pentru mai puțin de 800 u.m., având în

vedere că există, totuşi, o şansă de 50% să scape cu fața curată din expunerea la risc.

Haideți să vedem care sunt sumele de care dispune individul în cazul în care pierderea apare şi în

cazul în care ea nu apare, înainte de încheierea oricărui contract de asigurare: există 50% şanse ca

individul să rămână cu 1200 u.m. şi există tot 50% şanse ca el să rămână cu doar 400 u.m., în cazul în

care cele 800 u.m. s-au pierdut.

În cazul în care individul ia în calcul încheierea unui contract de asigurare prin care societatea de

asigurări să îl despăgubească în caz de manifestare a pierderii cu o daună în valoare D, el va trebui să

plătească o sumă egală cu 0,6D. Aşadar, individul va dispune de următoarele sume: în cazul în care

pierderea nu apare, el va avea 1200 u.m. din care se scad 0,6D, cele plătite pentru contractul de

asigurare; dacă pierderea de 800 u.m. apare, persoana va rămâne cu diferența de 400 u.m. la care se

va adăuga suma pe care i-o acordă societatea de asigurări, anume D, minus suma pe care a plătit-o ca

primă de risc şi anume 0,6D. Ambele variante se pot întâmpla cu o probabilitate de 50%, sau 0,5 şi

sunt rezumate în variabila aleatoare de mai jos pe care o notăm cu W~

şi care defineşte suma de care

dispune individul după încheierea asigurării:

5,05,0

D6,0D8001200D6,01200:W

~

5,05,0

D4,0400D6,01200:W

~

170

Problema ne întreabă dacă individul va decide să cumpere asigurare şi, dacă da, pentru ce sumă?

Asta înseamnă că va trebui să determinăm valoarea lui D, după care vom putea enunța câteva

concluzii. De exemplu, dacă D va fi mai mare decât zero, va însemna că individul decide să cumpere

asigurare. Dacă D va fi mai mică de 800 u.m., vom înțelege că persoana nu simte nevoia să se

protejeze împotriva întregii pierderi ci doar contra unei anumite fracțiuni din ea. Cum vom

determina, aşadar, valoarea lui D? Răspunsul va trebui să implice cu siguranță funcția utilitate a

persoanei şi de asemenea teoria conform căreia oric individ va urmări să îşi maximizeze utilitatea

aşteptată.

Pornind de la variabila aleatoare W~

vom putea determina utilitatea celor două variante şi anume:

5,05,0

D4,04002D6,012002:W

~U

Utilitatea aşteptată este:

D4,040025,0D6,0120025,0W~

UM

D4,0400D6,01200W~

UM

Pentru a determina valoarea lui D care maximizează utilitatea aşteptată vom scrie condiția de ordinul

întâi pentru funcția W~

UM :

0

D4,04002

4,0

D6,012002

6,0

dD

W~

UdM

200DD4,0400

4,0

D6,01200

6,0

u.m.

Iată, aşadar, că individul va decide să se protejeze împotriva unei pierderi cu o probabilitate foarte

mare, dar din cauza ratei mari pe care o percepe societatea de asigurări el decide să nu ceară ca

polița de asigurare să fie încheiată pentru toată suma care este periclitată, adică 800 u.m., ci doar

pentru 200 u.m.

Vă veți întreba, desigur, ce anume are problema asta cu un model actuarial. Ne imaginăm cu toții că

modelele exprimă situații foarte generale, din care oamenii să poată afla informațiile de care au

171

nevoie fără să mai fie nevoie să mai facă o mulțime de calcule incomode. Secțiunea următoare va

prezenta modul în care se poate generaliza exemplul anterior pentru a condiuce la un model în

adevăratul sens al cuvântului.

8.4. De la enunț particular la model general

Considerăm acum cazul mai general al unui individ avers față de risc (aşa cum sunt considerați a fi

mai toți indivizii), care dispune inițial de o sumă w şi care este expus la o pierdere L care poate să

apară cu o probabilitate p. Dacă această pierdere apare, individul va rămâne cu suma w – L.

O societate de asigurări îi oferă individului o variantă de contract prin care se angajează că în cazul în

care dauna apare el va primi o sumă D, cel mult egală cu valoarea totală a pierderii L, în schimbul

unei sume D care reprezintă costul achiziționării contractului de asigurare. În acest context,

reprezintă rata pe care o percepe asigurătorul pentru fiecare unitate monetară acoperită prin

asigurare şi care, în mod normal, ar trebui să fie egală cu probabilitatea de apariției daunei. Am spus

„în mod normal” pentru că aceasta este condiția ca un contract de asigurare să fie corect din punct

de vedere actuarial, dar de multe ori este doar o condiție teoretică pentru care nu găsim neapărat

corespondent în practică.

Problema ne cere să stabilim care este suma optimă D pentru care ar trebui încheiată o asigurare.

Vom urma modelul de raționament pe care l-am prezentat în cazul particular şi vom fi de acord cu

faptul că dacă pierderea se înregistrează, individul dispune de suma DDLw , cu o

probabilitate egală cu p. Dacă pierderea nu apare, pe baza aceluiaşi raționament deducem că

individul dispune de suma Dw cu probabilitate p1 .

Variabila aleatoare care descrie suma de care dispune individul după încheierea contractului de

asigurare, în cele două variante de apariție şi de neapariție a pierderii, este:

p1p

DwDDLw:W

~

Pornind de la variabila aleatoare W~

vom putea determina din nou utilitatea celor două variante şi

anume:

p1p

DwUDDLwU:W

~U

172

Utilitatea aşteptată este:

DwUp1DDLwpUW~

UM

Se observă că de această dată nu mai avem o formă explicită funcției utilitate a persoanei şi de

aceea va trebui să scriem condiția de ordinul întâi în cazul cel mai general:

0DwUp1DDLwU1p

dD

W~

UdM

Condiția de ordinul al doilea, esențială pentru determinarea maximului utilității aşteptate, este:

DwUp1DDLwU1p

dD

W~

UMd 22

2

2

Pentru că individul este avers față de

risc, funcția sa utilitate este concavă. Din acest motiv, derivata a doua a lui U în orice argument în

caree ste definită va trebui să fie negativă. Din ultima relație scrisă anterior se observă că

0

dD

W~

UMd2

2

.

Valoarea lui D care este optimă pentru individ se determină ca soluție a ecuației pe care ne-o oferă

condiția de ordinul întâi şi anume:

0DwUp1DDLwU1p (#)

Această relație este un model general care permite determinarea sumei optime pe care o poate

asigura un individ, în funcție de detaliile care descriu riscul la care este expus şi de funcția utilitate

care caracterizează persoana.

Se poate deduce că suma D va depinde de coordonatele particulare ale fiecărei situații şi fiecărei

persoane implicate. Cu toate acestea, există un amănunt pe care îl putem deduce chiar din această

formă generală a modelului. Din modul în care au fost enunțate problemele atât în cazul particular

cât şi în acest caz general, deducem că o persoană care se află față în față cu o situație ca aceea pe

care am descris-o se gândesc să asigure o sumă mai mică decât valoarea integrală a daunei. Se poate

pune întrebarea: de ce n-ar încerca să cumpere asigurare pentru valoarea totală a pierderii, L? Cu

alte cuvinte, ar trebui ca D să fie egal cu L. Pentru ca această variantă să îl bucure pe individ, ar trebui

ca relația obținută din condiția de ordinul întâi să fie îndeplinită. Să facem şi noi înlocuirea în (#):

173

0LwUp1LLLwU1p

0LwUp1LwU1p

0LwUp0LwUp11p

Din această ultimă egalitate se observă că achiziționarea de asigurare pentru întreaga sumă expusă

pierderii, în cazul exemplului numeric cele 800 u.m., este optimă doar în situația în care p . Dacă

rata percepută de societatea de asigurări este mai mare decât probabilitatea de apariție a daunei,

atunci cumpărarea de asigurare pentru toată suma este suboptimă.

8.5. Despre alte modele probabilistice

Cele două secțiuni anterioare au prezentat un exemplu de model care poate aduce puțină lumină în

mintea unei persoane care este pusă în situația de a lua o decizie. Cu toate acestea, trebuie să

spunem că numărul modelelor care se folosesc în aceast scop este foarte mare pentru că situațiile

din lumea reală sunt dintre cele mai diverse. Fiecare distribuție de probabilitate teoretică se poate

constitui într-un context sau altul într-un model al unei situații reale. Modelul pe care îl vom prezenta

în continuare are la bază un binecunoscut şi deja celebru model din finanțe, modelul Markowitz, pe

care l-am adaptat pentru a deveni funcțional în direcția gestionării riscului de piață cu care se

confruntă un om de afaceri.

Vom porni în demersul nostru admițând că maniera în care un producător alege să trimită pe piață

bunurile depinde de o serie întreagă de factori ca de exemplu: natura bunului, destinația sa,

posibilitățile şi opțiunile producătorului în a stabili legătura cu beneficiarii, reputația firmei etc.

Producătorul poate fi vânzător direct, cu amănuntul, poate avea parteneri care cumpără un anumit

nivel al producției, bine stabilit, sau parteneri a căror cerere pentru produs se situează într-un

interval fluctuant. În oricare dintre cazuri există un potențial mai mare sau mai mic de manifestare a

riscului ca producția să nu fie vândută integral într-o perioadă de timp fixată, sau ca vânzarea ei să nu

se realizeze în condițiile unui preț favorabil producătorului.

Ne vom limita pentru moment la situația în care fabricantul deține sau intenționează să dețină o

producție de nivel q pe care o poate distribui către n variante notate de noi cu n21 V...,,V,V ,

1n, Nn . Către fiecare dintre aceste direcții, producătorul ar putea să trimită cantitățile

n21 q...,,q,q care trebuie să satisfacă o primă condiție restrictivă,

qq...qq n21 (1)

174

Vom considera că alocarea producției se poate face în oricare cantitate, deci că bunul produs este

divizibil. Condiția este esențială deocamdată pentru corectitudinea modelului formal, dar nu este

indispensabilă aplicării lui în practică.

Diferențele de comportament, de interese, de preferințe şi priorități ale diverşilor parteneri,

particularitățile fiecărei piețe, tipurile de influențe pe care le suportă acestea sunt doar câteva

elemente care pot genera rezultate surprinzătoare pentru producător, în procesul de desfacere a

bunului produs. Se poate pune problema modului în care trebuie repartizată cantitativ producția

către cele n variante, dar nu există o certitudine cu privire la rezultat. Fabricantul poate şti doar

rezultatul pe care şi-ar dori să-l obțină şi eventual valorile medii de rentabilitate pe care i le oferă

fiecare dintre variante odată ce s-a determinat distribuția de probabilitate a rentabilității. Problema

pe care dorim să o rezolvăm se poate rezuma astfel: „Care este repartizarea optimă a producției

către cele n variante, pe care le vom numi – mai general – piețe, astfel încât întreprinzătorul să

obțină fie o rentabilitate dinainte stabilită la cel mai mic risc posibil, fie un maxim de rentabilitate

pentru un risc dat?” Aceasta conduce, evident, la analiza medie – varianță a cărei aplicare corectă în

acest context necesită o serie de modificări aduse unor elemente legate de formarea prețului pe

piață pentru bunul produs.

În continuare vom defini cota din disponibilitatea inițială CT (costul total) alocată procesului de

producție care are ca destinația piața i, prin

CT

CTii , n,1i (2)

Mărimile i pot fi influențate doar de către producător, conform cu condițiile pe care le poate

observa pe fiecare piață, cu informațiile deținute şi în funcție de percepția lui asupra acestui

ansamblu. Va trebui să fim de acord cu faptul că în condițiile unui mediu concurențial şi în contextul

restricțiilor bugetare ale consumatorilor, producătorul nu poate influența decisiv prețul acceptat pe

piață pentru bunul trimis spre vânzare. Eventualele fluctuații ale cantității pe care o oferă nu au forța

să genereze creşteri sensibile ale prețului, întreprinzătorul având putere de influență doar în sensul

deciziei de scădere a lui – dacă lucrul acesta este cu adevărat necesar. Dacă nu există alte interese de

conjunctură, un producător va face tot posibilul să obțină venitul maxim posibil din vânzarea fiecărei

unități de bun, prin urmare în condiții normale modificarea prețului pe piață are cauze externe

afacerii. Privită din această perspectivă, rentabilitatea care rezultă din vânzarea unei unități de bun,

la care ne vom referi ca la rentabilitate unitară, devine egală pe piața i cu:

175

n,1i,c

cpR

u

uii

(3)

Dacă nu apar modificări importante ale prețului ip , s-ar putea crede că producătorul poate conta pe

o rentabilitate relativ stabilă care asigură la rândul ei confortul unor estimări corecte pentru

veniturile brute obținute din vânzări. O astfel de descriere, deşi deseori utilizată de teoreticieni, are

neajunsul de a nu include un element esențial şi anume posibilitatea deloc de neglijat ca acea unitate

de bun, pentru care s-a calculat rentabilitatea unitară, de fapt să nu se vândă deloc în intervalul de

timp dorit de producător. Atingem acum un element subtil care este, de fapt, cheia întregului

fundament al modelului ce va urma. Vom avea curajul să eliminăm complet posibilitatea de

nevânzare a unității de bun şi vom spune că vânzarea este perfect posibilă, dar la un alt preț –

evident mai mic, poate chiar mult mai mic decât prețul dorit. Rămâne doar o problemă de opțiune a

producătorului dacă disponibilizează produsul în aceste condiții sau dacă aşteaptă un moment

prielnic pentru aceasta. Cineva ar putea să argumenteze că există produse care nici nu se vând în

termenul stabilit, nici nu pot aştepta un moment prielnic pentru că au grad mare de perisabilitate şi

uneori nu mai pot fi folosite nici ca ingrediente pentru fabricarea altor bunuri. Suntem perfect de

acord, dar asta nu încalcă în nici un fel postulatul nostru: situația descrisă este echivalentă cu

„vânzarea” la preț egal cu zero. Riscăm să mergem chiar mai departe, deranjând poate anumite

tradiții despre modul în care este perceput prețul şi spunem că în măsura în care o unitate de bun

nevândută ocazionează costuri suplimentare celor de producție (de stocare, de transport şi re –

transport, de curățenie etc), atunci prețul ei poate fi chiar negativ. Nu vedem nimic rău în a accepta o

astfel de abordare, reală şi extrem de utilă, atâta vreme cât specialiştii în domeniul finanțelor

operează nestingheriți nu doar cu rentabilități negative, ci şi cu capital negativ corespunzător

activelor de împrumut.

Prin urmare, odată ce acceptăm că bunul se poate vinde, acceptăm că prețul devine o variabilă

aleatoare de o natură particulară. Ea va reflecta, de fapt, modul în care este „cotat” produsul: mai

exat, ea va arăta pe baza relației cerere – preț cât ar obține producătorul din vânzarea bunului dar

fără să fie obligat în vreun fel să vândă. Rentabilitatea unitară pe care am definit-o în (3) înglobează

astfel toată informația necesară pentru a putea stabili rezultatele pe care le poate obține

producătorul pe piața i. Nu trebuie să uităm nici o clipă faptul că prețul, în modelul nostru, nu este

cel afişat pe eticheta produsului ci acea „cotare” pe care i-o putem atribui în ipoteza unei vânzări

176

sigure a unității de bun, în strânsă legătură cu cererea agregată a consumatorilor individuali,

reflectând nevoile, preferințele dar şi constrângerile lor bugetare.

Să trecem, prin urmare, la formalizarea modelului şi să considerăm că producătorul dispune de n

piețe de desfacere pentru bunul produs, toate implicând un anumit grad de risc din punct de verede

al rentabilității unitare, adică vom accepta că aceste rentabilități sunt variabile aleatoare pe care le

vom nota ca şi până acum cu n,1i,Ri . Se vor putea determina valorile lor medii şi dispersiile (ca

măsuri ale riscului) şi covarianțele. Vom nota, de asemenea: m = vectorul rentabilităților unitare

medii, = vectorul ponderilor alocate celor n piețe, matricea de varianță – covarianță. Este de

observat că ponderile trebuie să satisfacă restricția:

1... n21 (4)

Pentru moment, această constrângere bugetară a producătorului va fi singura restricție la care ne

vom opri şi vom accepta ca o condiție teoretică posibilitatea ca întreprinzătorul să poată aloca spre

orice piață o sumă oricât de mică din totalul CT, deci că poate trimite o producție oricât de mică spre

oricare dintre cele n piețe. În plus, în funcție de oportunitățile de moment, de capacitatea sa de

producție şi de opțiunea producătorului, putem accepta că acesta se poate împrumuta pe termen

scurt de capital pentru a trimite pe o piață sau alta mai multe bunuri decât şi-ar permite din banii

proprii. Aceasta înseamnă că putem accepta şi valori negative pentru una sau mai multe ponderi i ,

păstrând în acelaşi timp condiția (4).

Pentru o alocare a producției şi pentru rentabilitățile aşteptate (medii) m, rentabilitatea medie a

repartizării este

n

1i

iimm . Dispersia (varianța sau riscul) repartizării este:

n

1i

ijji2 .

Analiza medie – varianță pe care o vom dezvolta în continuare îşi are originile în anul 1952, în

lucrările lui H. Markowitz şi a fost inițial îndreptată către studiul portofoliilor de investiții.

Genialitatea lui Markowitz nu a fost în inventarea instrumentalului matematic utilizat, binecunoscut

ingredient al tehnicilor teoriei probabilităților, ci în stabilirea conexiunii dintre latura matematică şi

aplicarea ei practică. Ceea ce vrem să subliniem este faptul că în acest moment dorim să extindem

această aplicabilitate într-o sferă care până acum nu a beneficiat o astfel de abordare, fără să avem

pretenția că instrumentele teoretice ne aparțin. Ipoteza esențială de care avem nevoie pentru

exprimarea concluziilor ce rezultă din analiza medie – varianță este aceea că producătorul va alege

repartizarea producției doar din punct de vedere al celor două mărimi urmărite, media şi dispersia, el

considerând optimă o repartizare în unul dintre cazurile:

177

Repartizarea aduce cea mai mare rentabilitate aşteptată pentru un nivel dat al riscului.

Repartizarea este supusă celui mai mic risc posibil, pentru un nivel dat al rentabilității

aşteptate.

O repartizare care îndeplineşte aceste criterii de optim o vom numi eficientă medie – varianță, iar

mulțimea tuturor repartizărilor de acest tip va purta numele de frontieră eficientă, ales în mod

natural după modelul similar din teoria portofoliului.

Să ne ocupăm în continuare de repartizări de risc minim, adică acelea care, pentru o rentabilitate

medie (anticipată) stabilită şi notată aici cu R au cea mai mică dispersie posibilă. Vom avea nevoie să

impunem condiția ca matricea de varianță – covarianță să fie pozitiv semidefinită, adică

nR

nt 0R,0 , fapt care ne va permite să ne bazăm pe proprietatea lui de a fi

inversabilă, inversa ei fiind de asemenea pozitiv semidefinită şi, în plus, că rentabilitatea nici unei

piețe nu poate fi exprimată ca o combinație liniară de rentabilitățile celorlalte piețe, deci nici o piață

nu este redundantă. Vom avea nevoie, de asemenea, să introducem notațiile 1...,,1,11 nR :

mmC

1mm1B

11A

1tR

1t1t

R

R

1t

R

nn

nn

În aceste condiții, din calcule rezultă forma finală pentru repartizarea eficientă şi anume:

mD

BAR1

D

BRC 1t

R

1n

(5)

Caz particular: Să luăm în calcul existența a trei piețe spre care producătorul îşi poate trimite bunul

rezultat ca urmare a unui proces de producție cu cheltuială inițială CT. Studiile arată că rentabilitățile

la care se poate aştepta pentru fiecare din aceste piețe sunt următoarele:

%20m%,6m%,8m 321 .

Matricea de varianță – covarianță este dată:

910

140

001

. Obținem:

178

263

55692D,

63

5968C,

63

654B,

63

81A , deci

74

76

504

55692

654R81

3

15

63

55692

R6545968.

Să presupunem acum că întreprinzătorul ar dori să obțină o rentabilitate de 9% pentru ansamblul

producției repartizate către cele trei piețe. Înlocuim 9R şi obținem:

105,0

125,0

77,0

74

76

504

55692

75

3

15

63

55692

82

În concluzie, pentru a atinge rentabilitatea medie pe ansamblul desfacerii, pe prima piață trebuie

trimis echivalentul producției a 77% din costul total, pe a doua piață 12,5% şi pe a treia doar 10%. În

aceste condiții, producătorul va avea şanse să obțină rentabilitatea dorită cu minim de risc.

Forma explicită a cazului particular prezentat ne este de ajutor şi în altă direcție, pe care am fi

observat-o cu greu dacă ne păstram în parametri generali. Spuneam că ponderile i pozitive sunt

asociate situației în care cheltuielile inițiale se fac doar din capitalul deținut de producător şi nu din

vreun capital de împrumut. În exemplul nostru, un calcul simplu arată că ponderile sunt pozitive şi

riscul minim în condițiile în care rentabilitatea medie fixată de întreprinzător se situează între 7,56%

şi 10,896%. Orice altă rentabilitate care depăşeşte această valoare de aproximativ 11% nu se poate

atinge utilizând doar banii proprii, decât eventual violând condiția riscului minim.

Analiza medie – varianță pe care am utilizat-o în modelul precedent este elegantă şi simplă, oferind

explicații intuitive pentru o serie de fenomene cu care producătorul de bunuri destinate consumului

se confruntă permanent. Cu toate acestea, trebuie să recunoaştem că este doar primul pas dintr-un

ansamblu de studii care vor trebui elaborate, pentru a face din piața bunurilor de consum un

segment şi mai bine fundamentat teoretic. Analiza medie – varianță se opreşte, de cele mai multe

ori, la modele statice care pot ajuta producătorul în faza inițială a procesului de desfacere sau în faza

de decizie asupra cantității produse în funcție de cerere şi de condițiile interne firmei, dar nu permite

ca instrument teoretic ajustări pe parcurs ale repartizărilot asupra cărora s-a decis. Este absolut

necesară trecerea către modele dinamice de analiză, aşa cum Merton (1973, 1992) a elaborat în

materie de teoria portofoliilor de investiție. De asemenea, intuim că în perioada următoare vom

putea conta pe modele care să determine variabila aleatoare preț în acel sens, oarecum atipic, în

care am utilizat-o în prezentarea noastră. În orice caz, ne-am dorit să punem în evidență faptul că nu

179

doar activele financiare pot fi abordate prin prisma teoriei probabilităților şi că o schimbare de optică

asupra unor alte piețe poate aduce elemente de o mare importanță în practica afacerilor.

8.6. Întrebări recapitulative şi teme pentru seminar

1. Care sunt motivele pentru care o persoană care doreşte să se protejeze contra riscului

apelează la o instituție specializată, ca de exemplu o societate de asigurări? De ce societatea

de asigurări este dispusă să preia riscul diferitelor persoane? Explicați mecanismul „win –

win” care stă la baza acestei alegeri.

2. Explicați motivele pentru care este esențial pentru o societate de asigurări să cunoască

distribuția de probabilitate a pierderilor potențiale. Considerați că doar pentru o societate de

asigurări este recomandat să cunoască această variabilă aleatoare? Explicați şi exemplificați.

3. Explicați rolul şi atribuțiile actuarului, precum şi domeniile în care activează el.

4. Explicați ce este un model matematic şi de ce este utilă existența lui în ştiința economică.

Dați exemple de trei cel puțin trei modele matematice pe care vi le amintiți de la cursul de

Economie.

5. Explicați diferența dintre un model determinist şi unul probabilist, apoi explicați ce este un

model actuarial şi la ce poate fi utilizat.

6. Refaceți calculele din Exemplul 8.3.1. pentru o sumă inițială de 120 u.m. şi o pierdere

potențială de doar 80 u.m.

7. Explicați generalizarea modelului din exercițiul anterior. Găsiți două exemple inspirate din

viața de zi cu zi în care aceste calcule pot fi utile.

8. Explicați modul în care se poate utiliza analiza medie – varianță în studiul riscului de piață la

care este expus un producător.

9. Întocmiți un referat de 8 pagini în care să discutați Analiza medie varianță din perspectiva

apariției sale, a modului în care a fost primită de specialişti şi a modului în care a fost

utilizată. Explicați avantajele şi limitele utilizării sale, folosind cel puțin 5 referințe

bibliografice reprezentative.

10. Întocmiți un referat de 8 pagini despre analiza medie varianță ca alternativă la teoria utilității

aşteptate. Explicați modul în care au privit specialiştii aceste două abordări şi menționați

principalele argumente aduse în sprijinul utilizării fiecăreia dintre ele. Utilizați pentru

întocmirea referatului cel puțin cinci lucrări relevante.

180

Bibliografie selectivă

Academia de Studii Economice, Facultatea de Economie Generală, Catedra de Economie şi Politici

Economice, (2003) Economie, Ediția a patra, Editura Economică, Bucureşti,

D Ackerberg, K Caves, G Frazer, (2005) Structural Identification of Production Function, Working

Paper,

Andrew W., (1999) The Three P’s of Total Risk Management, Februarie 1999, www.nabe.com

Anderson G., ş.a., (2005) On the Aggregation of Local Risk Models for Global Risk Management,

www.math.fsu.edu

Anderson D., Sweeney D., Williams T. (1984) Statistics for Business and Economics, Second Edition,

West Publishing Company

Andreica Marin, Stoica Marcel, Luban Florica, (1998) Metode cantitative în management, Editura

Economică, Bucureşti

Arcones A. Miguel (2005), Applied Probability Models, Binghamton University

K Arrow, H Chennery, B Minhas, R Sollow, (1961) Capital – Labor Substitution and Economic

Efficiency, Review of Economics and Statistics, 43, 3(Aug. 1961), 225 – 50

Băbăiță Ilie, Duță Alexandra, (1998) Piețe şi prețuri, Editura de Vest, Timişoara

Bârsan-Piu N., Popescu I., (2003) Managementul riscului. Concepte, metode, aplicații, Editura Universității „Transilvania” Braşov,

Boardman E. Anthony, Greenberg H. David, Vining R. Aidan, Weimwr L. David, (2001) Analiza cost – beneficiu. Concepte şi practică, Ediția a doua, Editura ARC, Bucureşti

Carbonnier Jacques, (1983) La Practique de Risk Management, Paris

Colson Gerard, (1995) Gestion du Risque, E.A.A., Lille,

Coşea Mircea, Nastovici Luminița, (1997) Evaluarea riscurilor – Metode şi tehnici de analiză la nivel micro şi macro economic, Editura Lux Libris, Braşov,

Cişmaşu Irina., D., (2003) Riscul, element în fundamentarea deciziei. Concept, metode, aplicații,

Editura Economică, Bucureşti

181

Ciurel Violeta, (2000) Asigurări şi reasigurări: Abordări teoretice şi practice în practica internațională,

Editura AllBeck, Bucureşti,

Constantinescu D. A., Dobrin M., (1998) Asigurarea şi Managementul riscului, Editura Tehnică,

Bucureşti

Cornescu Viorel, Druică Elena, (2005) Întreprindere, management, profit, Editura AllBeck, Bucureşti

Danu Marcela Cornelia., (2000) Riscul în afaceri, Editura Plumb, Bacău

Dicționar de economie, (1999) coordonator Niță Dobrotă, Editura Economică, Bucureşti

Dicționar Macmillan de economie modernă, (1999), Editura CODECS, Bucureşti,

Diewert, W E (1973) Functional Forms for Profit and Transformation Functions, Journal of Economic

Theory, 6 (3), 284 – 316

Doltu Teodora, (2004) Risc şi incertitudine în economie, teză de doctorat, ASE

P Douglas, C Cobb, (1928) A Theory of Production, American Economic Reviews, 18 (Supplement),

139 – 165

Druică Zeletin Elena, (2002) Introducere în teoria probabilităților şi aplicații, Editura DARECO,

Bucureşti

Druică Elena, (2006) Risc şi afaceri, Ed. ChBeck, Bucureşti

D Epple, B Gordon, H Sieg, (2006) A Semi – Nonparametric Approach to Estimated Production

Functions When Output Prices and Quantities are Unobserved, No. 105, 2006 Meeting Papers from

Society for Economic Dynamics

Fisher Irving, (1917) Recherces Mathematiques sur la Theorie de la Valeur et des Prix, Libraires

Editeurs, 16, rue Soufflout, Paris,

Georgescu - Roegn Nicholas, (1979) Legea entropiei şi procesul economic, Editura Politică, Bucureşti

Giarini Orio, Stahel R. Walter, (1996), Limitele certitudinii, Editura Edimpress – Camro, Bucureşti,

Grigore Maria Zenovia, (2005) Noua microeconomie, Editura Universitară, Bucureşti

Gogoneață Basarab, (2004) Economia riscului şi incertitudinii, Editura Economică, Bucureşti

Harrington E. Scott, Niehaus R. Gregory (2003), Risk Management and Insurance, Second Edition,

McGraw-Hill/Irwin series in finance, insurance and real estate

Hirschey M., Pappas J., (1995) Fundamentals of Managerial Economics, The Dryden Press

182

Hofmann D. Laurence, (1986) Calculus for Business, Economics and the Social and Life Science, Third

Edition, McGraw – Hill Book Company

International Risk Management institute, Dallas: www.irmi.com

The Institute of Risk Management, London: www.theirm.org;

Jula D., (2003) Introducere în econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureşti

Klemperer P., Meyer M. (1986), Price Competition vs. Quantity Competition: The Role of

Uncertainty, RAND Journal of Economics, 17, 618-38

Kotler Philip, (1999) Managementul Marketingului, Editura TEORA

Lambertini L. (2006), Process RD in Monopoly under Demand Uncertainty, Economics Bulletin, Vol.

15, N0. 14, p. 1-9

Leland H. (1972), Theory of the Firm Facing Uncertainty Demand, American Economic Review, 62,

278-91

J Levinsohn, A Petrin, (2003) Estimating Production Functions Using Inputs to Control for

Unobservable, Review of Economic Studies, 70, 317 - 42

Mărgulescu S., (2005) Asigurări şi reasigurări, Ediția a II-a, Editura Cartea Studențească, Bucureşti

Merriam – Webster Dictionary on – line, www.m-w.com

Nistor Cornelia, (2005) Elemente de statistică, Editura Cartea Universitară, Bucureşti

Olteanu A., Olteanu F. M., Badea L., (2003) Management bancar. Caracteristici, strategii, studii de

caz, Editura DARECO, Bucureşti

Onicescu Octav, (1969) Principiile teoriei probabilităților, Ed. Academiei, Bucureşti

Platis Magdalena, (1996) Prețul şi formarea lui, Editura Economică, Bucureşti

Ploae Victor, Ruiz Salvador, (2001) Managementul Întreprinderilor mici şi mijlocii, Editura EX PONTO,

Constanța

Prunea P., (2003) Riscul în activitatea economică, Editura Economică, Bucureşti

Purcaru Ion, (1994) Matematică şi asigurări, Editura Economică, Bucureşti

Rebonato R., Jäckel, (1999) The most general methodology to create a valid correlation matrix for

risk management and option price purposes, octombrie

183

Reny Alfred, (1973) Dialog despre calculul probabilităților, Ed. Enciclopedia Română, Bucureşti,

The Public Entity Risk Institute, Nevada: www.riskinstitute.org

Sabdmo A. (1971), On the Theory of the Firm under Price Uncertainty, American Economic Review,

61, 65-73

Suciu Marta Christina, (2000) Investiția în educație, Editura Economică, Bucureşti

Vatn Jorn, (1998) „A discussion of the acceptable risk problem”, in „Reliability Engeneering and

System Safety” 61(1-2): 11 – 19

Văcărel Iulian, Bercea Florian, (1999) Asigurări şi reasigurări, Editura Expert, Bucureşti,

Williams C. Arthur Jr., Richard M. Heins (1985) Risk Management and Insurance, fifth edition,

McGraw Hill, Inc.

Wilmott Paul, (2002) Derivative. Inginerie financiară. Teorie şi practică, Editura Economică, Bucureşti