SUBIECTE ALGEBRA - fmi.unibuc.rofmi.unibuc.ro/ro/pdf/2011/admitere/iulie/ALGEBRA... · 2.Sa se...

1

SUBIECTE ALGEBRA

1.Sa se arate ca pentru Rx ∈∀ numerele 13 −x , 13 +x , 135 +⋅ x sunt termeni consecutivi intr-

o progresie aritmetica.

2.Sa se determine al 25-lea termen al sirului 1, 7, 13, 19, …

3.Fie functia 38)(,: 2 −−=→ xmxxfRRf , unde m este un numar real nenul. Sa se

determine m stiind ca valoarea maxima a functiei f este egala cu 5.

4.Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei: 3)5(log)2(log 22 =−−+ xx .

5.Sa se calculeze probabilitatea ca , alegand un numar din multimea { }333 100,...,2,1 , acesta

sa fie numar rational.

6.Sa se determine valorile reale pozitive ale numarului x, stiind ca xx lg,2

3,lg , sunt 3

termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

7.Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei:

x

x

=−

3

13 2 .

8.Sa se calculeze 0202 50cos130sin + .

9.Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei: 3622 3 =+ +xx .

10.Sa se compare numerele 3

4

1

4 CCa += si 3

3

2

3

1

3

0

3 CCCCb +++= .

11.Sa se determine al zecelea termen al unei progresii geometrice, stiind ca ratia este egala cu

3

1 si primul termen este 27.

12 Se considera functia baxxfRRf +=→ )(,: . Sa se determine numerele reale a si b stiind

ca 532)(3 +=+ xxf pentru Rx ∈∀ .

13.Stiind ca 2lg3=a , sa se verifice daca a525log100log8log 333 =−+ .

14.Sa se determine solutiile reale ale inecuatiei 11

322

≥++

+xx

x.

15.Sa se determine Rm ∈ stiind ca parabola asociata functiei

1)(,: 2 −+−=→ mmxxxfRRf este tangenta axei Ox.

16.Sa se arate ca pentru *Ra ∈∀ ecuatia 01)12(2 =+++− axaax , are doua solutii reale

distincte.

17.Sa se determine numarul real x, stiind ca 123 ,4 ,12 ++− xxx sunt 3 termeni consecutivi ai

unei progresii aritmetice.

2

18. Sa se determine numarul natural n, 5≥n stiind ca 6)!5(

)!3(=

−−

n

n.

19.Sa se determine }1{−∈ Rm stiind ca abscisa punctului de minim al graficulului functiei

1)2()1()(,: 2 ++−−=→ xmxmxfRRf este egala cu 2.

20.Se considera functia 32)(,: +=→ xxfRRf . Sa se calculeze )(...)1()0( nfff +++ ,

pentru �n ∈ fixat.

21.Sa se calculeze distanta dintre punctele de intersectie ale graficului functiei

82)(,: 2 ++−=→ xxxfRRf cu axa Ox.

22.Sa se arate ca 1001...531 ++++=E este numar natural.

23.Sa se determine coordonatele punctului de intersectie a dreptei de ecuatie y = - 4 cu

graficul functiei 56)(,: 2 +−=→ xxxfRRf .

24.Sa se demonstreze ca ecuatia 012 22 =++− axx nu admite solutii reale, oricare ar fi *Ra ∈ .

25.Sa se determine valorile reale ale lui m, stiind ca valoarea minima a functiei

1)(,: 2 −+−=→ mmxxxfRRf este egala cu 4

1− .

26.Sa se ordoneze crescator numerele 3

2

8 ,64 ,4

1−

.

27.Sa se determine Rm ∈ stiind ca solutiile x1 , x2 ale ecuatiei 03)12(2 =++− mxmx verifica

relatia: 112121 =++ xxxx .

28.Sa se determine probabilitatea ca alegand un numar natural de 3 cifre, acesta sa fie cub

perfect.

29.Sa se determine elementele multimii { }1|12|/ ≤−∈= x�xA .

30.Sa se determine cea mai mica valoare a functiei 13)(,]1,2[: +−=→− xxfRf .

31.Sa se calculeze probabilitatea ca alegand unul dintre numerele 2

5

2

4 ,CC si 3

4C , acesta sa fie

divizibil cu 3.

32.Sa se rezolve sistemul:

=−+

=−

yxx

yx

72

322

, unde Ryx ∈, .

33.Sa se determine numerele reale m si n pentru care punctele A(3, -1) si B(1,1) se afla pe

dreapta de ecuatie 0=++ nmyx .

3

34.Sa se calculeze numarul 62

4

2

5 +− AC .

35.Sa se calculeze suma 1032 2...2221 +++++ .

36.Sa se arate ca ( x-1)(x-2) > x-3, oricare ar fi Rx ∈ .

37.Se considera progresia aritmetica 1)( ≥nna in care 11 =a si 135 =a . Sa se calculeze

2010a .

38.Se considera functia .1)1()(,: 2 ++−=→ mxmxfRRf Sa se arate ca 4

1)( −≥xf ,

oricare ar fi .Rm ∈

39.Se considera functia 3)(,: +=→ xxfRRf Sa se calculeze )2(...)2()2( 112 fff +++ .

40.Sa se rezolve in R ecuatia 11 −=+ xx .

41.Sa se determine ratia unei progresii aritmetice 1)( ≥nna , stiind ca 16210 =− aa .

42.Sa se rezolve in multimea numerelor reale inecuatia 9)12( 2 ≤−x .

43.Dupa 2 scumpiri succesive cu 10%, respectiv cu 20%, pretul unui produs este 660 RON.

Sa se determine pretul initial al produsului.

44.Sa se demonstreze ca parabola asociata functiei 12)(,: 22 ++−=→ mmxxxfRRf este

situata deasupra axei Ox, Rm ∈∀ .

45.Se considera progresia geometrica 1)( ≥nnb in care b1=2 si b2=6. Sa se calculeze b10.

46.Sa se rezolve sistemul de ecuatii

=+−

=−+

02

022

yxx

yx unde Ryx ∈, .

47.Sa se rezolve in R ecuatia: 1)9(log 2

5 =− x .

48. Sa se rezolve in R ecuatia: 03349 =+⋅− xx .

49.Sa se determine numarul real x, stiind ca sirul 1, 2x+1, 9, 13,…. este o progresie aritmetica.

50.Sa se determine numarul submultimilor cu 2 elemente ale unei multimi care are 6

elemente.

51.Ecuatia 02 =+− mxx are solutiile x1 si x2. Sa se determine numarul real m pentru care:

.4

3

1

1

1

1

21

−=+

++ xx

52.Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia: 0242 =−+− xx .

53.Sa se determine numerele reale m pentru care punctul A(m, -1) apartine graficului functiei

.13)(,: 2 +−=→ xxxfRRf

54.Sa se calculeze suma: 1+11+21+31+…+1111.

55.Sa se determine elementele multimii { }.1423| −≥+∈= xx�xA

56.Sa se determine functia de gradul 2 al carei grafic contine punctele A(1,3), B(0,5) si C(-

1,11).

4

57.Dupa o reducere a pretului cu 10%, un produs costa 999 de lei. Sa se determine pretul

produsului inainte de reducere.

58.Sa se determine valorile reale ale numarului m pentru care x=5 este solutie a ecuatiei

.32)1(2 mxxm −+=−

59.Sa se determine coordonatele punctului de intersectie al dreptelor de ecuatii

042 =−+ yx si .03 =−+ yx

60.Sa se rezolve ecuatia .23642 +=++ xxx

61. Sa se verifice ca: .110

9lg...

3

2lg

2

1lg −=+++

62.Sa se determine m real incat 03)3(2 >−+−− mxmx , pentru orice x real.

63.Sa se determine valorile reale ale parametrului m stiind ca solutiile x1 si x2 ale ecuatiei

03)1(2 =+−+ xmx verifica egalitatea x1 = 3x2.

64.Sa se rezolve in R ecuatia .3)103(log 2

2 =−+ xx

65.Sa se arate ca solutiile x1 si x2 ale ecuatiei 012 =−− xx verifica relatia

.221

2

2

2

1 ++=+ xxxx

66.Sa se determine valorile reale ale numarului x stiind ca numerele ,5 x− x+7 si 3x+11 sunt

termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

67.Sa se calculeze 1

2009

2

2009

2

2010 CCC −− .

68.Sa se arate ca numarul urmator este natural : .!7!2

!9

!5!3

!8−

69.Sa se determine suma primilor trei termini ai unei progresii geometrice stiind ca suma

primilor 2 termeni este 8 iar diferenta dintre al doilea termen si primul termen este egala cu 4.

70.Sa se determine cat la suta din a+b reprezinta numarul a stiind ca a este egal cu 25% din b.

71.Sa se rezolve in R ecuatia xx 243 =+ .

72.Sa se arate ca solutiile x1 si x2 ale ecuatiei 012 22 =−+− mmxx verifica relatia

02)( 2121 ≥++− xxxx pentru orice m real.

73.Sa se arate ca multimea { }0)12(| 22 =+++−∈ mmxmxRx are doua elemente, oricare ar

fi .Rm ∈

74.Sa se rezolve in R ecuatia: ).21lg()32lg()4lg( xxx −=+++

5

75.Sa se formeze o ecuatie de gradul doi ale carei solutii x1 si x2 verifica relatiile 1121 =+ xx

si 30

1111

21

=+xx

.

76.Sa se determine numarul real a, stiind ca numerele aa 41,2 + si 22 +a sunt termeni

consecutivi ai unei progresii aritmetice.

77.Se considera functiile 6)(,:,, +=→ xxfRRhgf , 22)( += xxg , 33)( += xxh . Sa se

determine numarul real a incat Rxxgxhxfa ∈∀=+ ),())()(( .

78.Sa se rezolve in R ecuatia 8

4

2

1 x

x= .

79.Sa se rezolve in R ecuatia ).1(log1)13(log 55 −+=+ xx

80. Sa se rezolve in R inecuatia xxx −≤+− 11)1)(12( .

81.Ecuatia 012 =−−− aaxx cu a din R, are solutiile x1 si x2 . Sa se arate ca expresia

2121 xxxx −+ nu depinde de a.

82.Sa se compare numerele 2=a si 23

1

+=b .

83.Sa se rezolve in R ecuatia: 2)21()223( +=+ x .

84.Sa se determine Rm ∈ astfel incat ecuatia 02 =+− mxx sa admita solutii de semne

contrare.

85. Sa se rezolve in R ecuatia 1)42(log)2(log 2

2

2 =−−−− xxx .

86.Sa se rezolve in R ecuatia 02lg3lg2 =+− xx .

87.Sa se arate ca produsul solutiilor reale ale ecuatiei 020102 =−− mxmx este constant,

oricare ar fi m din R*.

88.Sa se rezolve in R ecuatia 10823 1 =⋅+ xx .

89.Sa se determine multimea { }02| 2 <−+∈= xxZxA .

90.Sa se determine numarul elementelor multimii { }40,...,7,4,1=A .

91.Se considera functia xxfRRf 2)(,: =→ . Sa se calculeze )3()2(...)2()3( ffff ⋅⋅⋅−⋅− .

92.Se considera functiile 144)(,:, 2 +−=→ xxxfRRgf , 12)( −= xxg . Sa se rezolve in R

ecuatia 1)(2)( −=+ xgxf .

6

93.Sa se rezolve ecuatia ,5)!1(

)!2( 21

2 +=++

++ nn

nCn

pentru n natural.

94.Sa se determine functia baxxfRRf +=→ )(,: , cu Rba ∈, , pentru care

bafff 26)3()2()1( +=++ si 8)4( =f .

95.Sa se determine coordonatele punctelor de intersectie cu axele de coordonate a graficului

functiei .22)(,: 3 −=→ +xxfRRf

96.Pretul unui produs este de 5400 lei. Cu ce procent trebuie ieftinit pretul produsului pentru

ca acesta sa coste 4860 lei?

97.Se considera functia .log2)(,),0(: 3 xxfRf x +=→∞ Sa se calculeze ).3()1( ff +

98.Se considera functiile baxxfRRgf +=→ )(,:, , abxxg +=)( , unde Rba ∈, . Sa se

arate ca daca )1()1( −=− gf atunci f = g.

99.Sa se determine m real incat solutiile reale ale ecuatiei 032 =+− mxx sa fie inverse una

alteia.

100.Sa se determine numarul natural nenul n incat numarul submultimilor cu doua elemente

ale unei multimi cu n elemente sa fie egal cu 6.

101.Se considera determinantul

213

132

321

xxx

xxx

xxx

d = unde 321 ,, xxx sunt solutiile ecuatiei

0233 =+− xx .

a) Sa se arate ca 63

3

3

2

3

1 −=++ xxx

b) Sa se calculeze valoarea lui d.

102.Pe multimea R definim operatia 1244 +++= yxxyyx o

a) Sa se calculeze )4(−ox , unde x real.

b) Stiind ca operatia ""o este asociativa , sa se calculeze:

.20102009...)2009()2010( oooo −−

103.Se considera determinantul

acb

bac

cba

d = , unde a,b,c .R∈

a) Sa se arate ca [ ]222 )()()(2

accbbacba

d −+−+−++

=

b) Sa se rezolve in R ecuatia xxx

xxx

xxx

253

325

532

= 0.

7

104.Pe R definim operatia 21662 +−−= yxxyyx o

a) Sa se arate ca 333 == xx oo , pentru orice x real

b) Stiind ca operatia ""o este asociativa , sa se calculeze 2010...321 oooo .

105.Se considera polinoamele cu coeficienti reali: 9628 234 ++−+= bxxaxxf si

).4)(242( 22 −−+= xxxg

a) Sa se determine Rba ∈, incat polinoamele f si g sa fie egale.

b) Sa se rezolve in R ecuatia 096284288216 =+⋅−⋅−⋅+ xxxx .

106.Pe multimea )(2 RM se considera matricele

−

−=

32

64A si .)( 2 AaIaX ⋅+=

a) Sa se verifice daca ),()()( abbaXbXaX ++=⋅ ., Rba ∈∀

b) Sa se calculeze suma )2010(...)2()1( XXX +++ .

107. Se considera inelul (Z6, +, •), unde Z6= { }5̂,4̂,3̂,2̂,1̂,0̂ .

a ) Sa se rezolve in Z6 ecuatia 1̂5̂2̂ =+x si sistemul

=+

=+

5̂2̂

4̂2̂

yx

yx

b ) Sa se calculeze in Z6 determinantul

2̂1̂3̂

1̂3̂2̂

3̂2̂1̂

=d

108. Se consideră matricea A =

−

−

31

13

x

x, x ∈ R.

a) Sa se arate ca A2 = (2x − 6) A - (x2 - 6x + 8 ) Ι2, unde I2 =

10

01.

b) Să se determine x real, pentru care A2 = 2A.

109. Se considera multimea { }ZxAG x ∈| unde

=

10

010

001

x

Ax , x ∈ Z.

a) Stiind ca (G, •) este grup ( • - inmultirea matricelor ), sa se determine elementul neutru al grupului.

b) Sa se arate ca functia f : Z → G, f(x) = Ax este morfism intre grupurile (Z, +) si (G, •).

110. Se considera matricele A =

32

43 si B =

11

21.

a) Sa se arate ca A-1

=

−

−

32

43.

b) Daca notam cu C matricea C = B2 + A-1, sa se arate ca C4 = 64 I2.

111. Se considera in inelul Z5 [x] poninoamele :

f = 1̂23 +++ xaxx si 3̂+= xg .

a) Sa se determine a ∈ Z5 incat f sa fie divizibil cu g.

b) Pentru 1̂=a sa se arate ca ( )( )1̂1̂ 2 ++= xxf si sa se rezolve in Z5 ecuatia : ( ) 0̂=xf .

8

112. Se considera matricele :

=

3

2

1

x si

−

=

3

2

1

y . Definim matricele :

A = x • yt si B(a)= aA + I3.

a) Sa se arate ca

−

−

−

=

963

642

321

A si sa se calculeze det A.

b) Sa se arate ca B(a) este inversabila,

∈∀

4

1\Ra .

113. Se considera poninoamele f, g ∈ Z5[x], unde :

( ) baxxbaf 3̂2̂23̂3̂ 2 ++++= si baxxg 2̂3̂2̂2̂ 2 +++=

a) Sa se determine a, b ∈ Z5 astfel incat cele 2 polinoame sa fie egale.

b) Pentru a = b = 2̂ sa se calculeze in Z5 suma ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4̂3̂2̂1̂0̂ fffff ++++ si sa se rezolve

ecuatia : ( ) 0̂=xf .

114. In M2 (Z) se considera matricea

=

dc

baA .

a) Sa se calculeze determinantul matricei B = A – At.

b) Sa se arate ca, daca A + At = 2I2, atunci determinantul matricei A – A

t este un numar divizil cu 4.

115. Se considera matricea

−

−=

31

62A .

a) Sa se arate ca A2 + A

3 = 0.

b) Sa se calculeze suma A + 2A2 + 3A

3 + …+ 10A

10.

116. Se considera polinoamele f, g ∈ R[x], unde f = ( x - 1 )10

+ ( x – 2 )10

si g = x2 -3x + 2.

a) Sa se arate ca f nu este divizibil cu g.

b) Sa se determine restul impartirii lui f la g.

117. Pe R se considera legea de compozitie 3 33 1−+= yxyx o .

a) Sa se arate ca : ( ) .,1 Rxxx ∈∀−=−o

b) Sa se arate ca legea ""o este asociativa si sa se calculeze : ( ) ( ) .43......34 oooo −−

118. Se considera matricele :

=

100

110

111

A si

=

000

100

111

B .

a) Sa se verifice ca A = I3 + B si sa se calculeze A2 + B

2.

b) Sa se calculeze inversa matricei A2.

119. Pe R se defineste legea de compozitie ( ) 427 +++= yxxyyx o .

a) Sa se verifice ca : ( )( ) .,,777 Ryxyxyx ∈∀−++=o

b) Stiind ca legea ""o este asociativa sa se rezolve in R ecuatia : .xxxx =oo

9

120. Se considera determinantul : ( )21

931

111

aa

aD = , unde a ∈ R.

a) Sa se calculeze D(9) si sa se rezolve in R ecuatia D(a) = 0.

b) Sa se rezolve in R ecuatia D(3x) = 0.

121. Fie RkM ⊂∞= ),[ , k ∈ R si operatia ( ) .,,2 Ryxkkyxkxyyx ∈∀+++−=∗

a) Se cere k ∈ R astfel incat 232 =∗ si pentru k = 2 sa se rezolve in M ecuatia .6=∗ xx

b) Sa se arate ca pentru Myx ∈∀ , rezulta .Myx ∈∗

122. Se considera matricea : ( ).10

052 RMA ∈

=

a) Sa se calculeze An pentru n ≥2 si sa se rezolve ecuatia ( ) 12552det −⋅= nnA .

b) Sa se afle transpusa matricei B = A + A2 + …..+ A2010.

123. Se considera polinomul ,24 nmxxf ++= unde m, n ∈ R.

a) Sa se determine m ∈ R incat radacinile x1, x2, x3, x4 ale polinomului sa verifice relatia :

224

23

22

21 =+++ xxxx

b) Pentru m = n = 1 sa se descompuna f in produs de factori ireductibili in R[x].

124. Se considera polinomul cu coeficientii rationali : .65234 +−++= xbxaxxf

a) Pentru a = -3 si b = 1 sa se descompuna f in produs de factori ireductibili in Q[x].

b) Sa se rezolve in R ecuatia .0365333123 =⋅+−+− −+ xxxx

125. Se considera sistemul :

( )Rmunde

zyxm

zyx

mzymx

∈

−=+++

−=+−

−=++

,

2321

225

32

.

a) Sa se determine m ∈ R incat 12

321

125

11

−=

+

−

m

m

b) Pentru m = -1 sa se rezolve sistemul de ecuatii.

126. Se considera polinomul 99 23 +−−= xxxf , cu radacinile x1, x2, x3 ∈ R.

a) Sa se determine catul si restul impartirii lui f la x2 – 1 si sa se rezolve in R ecuatia ( ) .03 =xf

b) Sa se arate ca ( ) .189 23

22

21

33

32

31 −++=++ xxxxxx

127. Se considera multimea ( )

∈

== Ra

aa

aa

aAM

0

000

0

.

a) Sa se arate ca ( ) ( ) ( )abAbAaA 2=⋅ , ., Rba ∈∀

b) Sa se arate ca

2

1A este element neutru pentru inmultirea matricelor din M si sa se determine

simetricul elementului A(1) ∈ M.

128. Se considera polinomul cu coeficienti rationali : 14523 +−+= xaxxf si suma

*321 , �nxxxS nnn

n ∈++= , unde 321 ,, xxx sunt radacinile lui f.

a) Sa se determine a ∈ Q incat f sa admita radacina 21 −=x .

10

b) Pentru a = -4 sa se rezolve ecuatia f(x) = 0 si sa se arate ca 123 5442 SSS +=+ .

129. Se considera f, g ∈ R[x], 1234 ++++= xxxxf si 12 −−= xxg .

a) Sa se arate ca daca “a” este radacina a lui g atunci a3 = 2a +1.

b) Sa se arate ca daca “a” este radacina a lui g atunci f(a) ∉ Q.

130. Se considera f,g ∈ Z5[x], 4̂3̂3̂3̂ 35 +++= xxxf si 3̂2̂3̂3̂ 23 +++= xxxg .

a) Sa se reolve in Z5 ecuatia f(x)= 0.

b) Sa se determine catul impartirii lui f la g.

131. Se considera matricele

=

300

130

113

A si

=

000

300

430

B si functia f : M3(R) → M3(R),

133)( 2 +−= xxxf .

a) Sa se arate ca f (A)= I3+B si sa se calculeze det (f(A)).

b) Sa se arate ca (f(A))3 = I3+3B+3B

2.

132. Pe Z se definesc legile de compozitie : 3−+=∗ yxyx si ( )( ) 333 +−−= yxyx o .

a) Sa se determine a ∈ Z incat .,3 Zxax ∈∀=o

b) Sa se rezolve in Z ecuatia xxxx ∗=o si sistemul : ( )

( ) .,,51

41Zyxunde

yx

yx∈

=−

=−∗

o

133. Se considera multimea ( )ZMbaZbaab

baG 2

22 13,,3

⊂

=−∈

= .

a) Sa se arate ca I2 ∈ G si ca AB = BA, ∀ A,B ∈ G.

b) Sa se arate ca ∀ A ∈ G, A-1 ∈ G.

134. Se considera polinomul ].[711 23 xRmzxmxf ∈+++=

a) Sa se determine m ∈ Q incat ( ) Qf ∈2 .

b) Pentru m = -9 sa se calculeze suma patratelor radacinilor lui f.

135. Se considera sistemul Rmunde

azymx

zyx

zyx

∈

=+−

=++

−=+−

,

4

42

332

.

a) Sa se determine m ∈ R incat ( 2, 1, -1 ) sa fie o solutie a sistemului.

b) Sa se rezolve ecuatia Rmmm

m

∈−=

−

−

,3

41

112

3212 si pentru m = -5 sa se rezolve sistemul de

ecuatii.

136. Se considera sistemul de ecuatii

=++

=++

=++

14

12

1

2 zayx

azyx

zyx

si ( )

=241

21

111

a

aaA .

a) Sa se determine a ∈ R pentru care A(a) este inversabila.

b) Pentru a ∈ R\{1,2} sa se rezolve sistemul.

137. Fie polinomul ][423 xRaxaxxf ∈−−+= .

11

a) Sa se determine a ∈ R astfel incat f sa se divida cu x2 – 2.

b) Sa se determine a ∈ Z pentru care f are o radacina rationala pozitiva.

138. Se considera polinomul Zaundexaxxf ∈−−+= ,134

a) Petnru a = 1 sa se determine radacinile reale ale lui f.

b) Sa se arate ca f(x) ≠ 0, oricare ar fi x ∈ Q\Z.


=

11

11A si

−

−=

11

11B .

a) Sa se arate ca AB = 2B.

B) Sa se arate ca daca X ∈ M2(R) si AXB = 0, atunci suma elementelor matricei X este egala cu zero.

140. Fie f, g ∈ Z2[x], 1̂2 += xf si 1̂+= xg si fie multimea H ={a + bx + cx2 | a, b, c ∈ Z2}.

a) Sa se determine catul si restul impartirii lui f + g la f.

b) Sa se determine numarul elementelor lui H.

141. Sa se arate ca pentru oricare A ∈ M2(R) si oricare m ∈ R are loc relatia (mA)t= mAt.

Sa se determine A ∈ M2(R) pentru care A + At = O2.

142. Se considera sistemul Rcbaunde

czccyx

bzbbyx

azaayx

∈

=++

=++

=++

,,,

2

2

2

si sunt distincte 2 cate 2.

a) Sa se verifice ca detA = (a-b)(b-c)(c-a), unde A este matricea asociata sistemului. b) Sa se arate ca solutia sistemului nu depinde de numerele reale a, b, c.

143. Pe R se defineste legea de compozitie Rmundemyxyx ∈++=∗ , .

a) Sa se determine m ∈ R incat elementul neutru al legii ""∗ sa fie -6.

b) Sa se determine m ∈ R incat ( ) ( ) 23323 =∗∗−∗− m .

144. Se considera polinomul ( ) Raundeaxxf ∈−+−= ,12 22 .

Sa se determine a ∈ R incat f sa aiba toate radacinile reale.

145. Se considera multimea

∈

= *,,,| Rdcba

db

caM .

Sa se arate ca pentru Mdb

caX ∈

=∀ cu ( ) 0det =⋅ tXX are loc relatia .

d

c

b

a=

146. Se considera ecuatia 0134 =+−− axaxx .

Sa se determine a ∈ Z pentru care ecuatia are cel putin o radacina intreaga.

147. In multimea M3 (Z) se considera matricele

=

100

010

101

F si

=

10

10

1

d

c

ba

A .

a) Sa se arate ca pentru a = c = 0 si b = -1 avem F-1 = A.

b) Sa se rezolve ecuatia

=⋅

987

654

321

XF , unde X ∈ M3 (Z).

12

148. Se considera sistemul : .,,

44

52

23

Rbaunde

zyx

azyx

bzyx

∈

=++

=+−

=++

.

a) Sa se rezolve sistemul pentru a = -1 si b = 2.

b) Sa se determine b ∈ R incat (x0, y0, z0) sa fie o solutie a sistemului si x0 + y0 + z0 = 4.

149. Se considera polinoamele 35122 +−= xxf si ( ) 662010 −+−= xxg .

Polinomul g are forma algebrica ...... 01

2009

2009

2010

2010 axaxaxag ++++=

a) Sa se calculeze f(7) + g(7) si sa se arate ca 0..... 201010 >+++ aaa .

b) Sa se determine restul impartirii lui g la f.

150. Se considera multimea

∈

= Rcba

cb

baM ,,| .

Sa se arate ca MBA ∈∀ , avem ( ) 0det ≥− BAAB .

151. Pe R se defineste legea de compozitie 222 −++−=∗ yxxyyx .

a) Sa se determine a ∈ R incat Rxaxaax ∈∀=∗=∗ , .

b) Stiind ca legea de compozitie “∗” este asociativa sa se calculeze : 2010

4020......

2010

2

2010

1∗∗∗

152. Pe Z se considera legile de compozitie 1++=∗ yxyx si 1−+= byaxyx o cu a, b ∈ Z si fie

functia f : Z → Z , f(x) = x + 2.

a) Sa se determine a, b ∈ Z incat legea “ o ” sa fie asociativa.

b) Daca a = b = 1 sa se arate ca f este morfism intre grupurile ( )∗,Z si ( )o,Z .

153. Se considera polinomul ][82 23 xRaxxxf ∈−+−= .

a) Pentru a = 4 sa se determine catul si restul impartirii lui f la .422 +− xx

b) Sa se arate ca daca ( )∞∈ ,2a atunci f nu are toate radacinile reale.


−=

11

11A .

a) Sa se determine x ∈ R incat det ( A – xI2 ) = 0.

b) Sa se arate ca ( )RMX 2∈∀ avem A4X = X A

4.

155. Se considera multimea { }12,,|2 22 =−∈+= baZbabaG .

a) Sa se arate ca Gyx ∈∀ , rezulta ca xy ∈ G.

b) Sa se arate ca Gx ∈∀ are invers in G in raport cu inmultirea numerelor reale.

156. Se considera matricea )(2 RMdc

baA ∈

= .

Sa se arate ca daca suma elementelor matricei A At este egala cu zero atunci det A = 0.

13

157. Se considera polinomul ].[2 234 xRcbxaxxxf ∈++++=

Stiind ca radacinile polinomului f sunt in progresie aritmetica sa se arate ca b = a – 1.

158. Se considera polinomul baxxxf ++−= 23 2 cu radacinile x1, x2 si x3.

Stiind ca ( )( )( )23

22

21 xxxxxxf −−−= sa se determine a, b ∈ R.


−

−=

24

12A si multimea ( ){ } ( )RMRyxyAxIyxMG 22 ,|, ⊂∈+== .

a) Sa se determine inversa matricei M ( 1, 1 ). b) Sa se determine matricele inversabile din G.

160. Se considera polinomul 123 ++= pxxf cu radacinile x1, x2, x3 si p ∈ R.

Sa se calculeze suma 43

42

41 xxx ++ in functie de p.


=

100

010

002

A .

a) Sa se arate ca A3 = 4A2 – 5A+2I2.

b) Sa se determine m, n, p ∈ R incat A-1 = mA2 + nA + pI3.

162. Se considera x1, x2, x3 ∈ R incat

=++

−=++

=++

2

1111

2

2

321

323121

321

xxx

xxxxxx

xxx

a) Sa se determine a, b, c ∈ R stiind ca ecuatia 023 =+++ cbxaxx are radacinile x1, x2, x3.

b) Sa se descompuna polinomul 422 23 +−−= xxxf in factori ireductibili in R[x].

163. Pe R se defineste legea de compozitie yxyx += 2o .

a) Sa se rezolve in R ecuatia 642 =xx o .

b) Sa se arate ca daca ( ) zzyx += 12oo atunci x = -y.

164. Pe R se defineste legea de compozitie 3 33 yxyx +=∗ .

Stiind ca x0 ∈ Q si *10 , �nxxx nn ∈∀∗= − sa se arate ca x3 ∉ Q.

165. Sa se determine numarul elementelor multimii : { }.|][ 23 baxxfxZfM ++=∈=

166. Se considera matricele ( ) .0,

00

010

0ln1

>

= aunde

a

a

aH

a) Sa se arate ca H(a) H(b) = H(ab), ∀ a, b > 0.

b) Sa se calculeze determinantul matricei H(1) + H(2) + H(3) + ....+ H(2010).

167. Sa se arate ca toate elementele multimii ( )∞= ,2G sunt simetrizabile in raport cu legea :

( ) 62 ++−= yxxyyx o .

14

168. Se considera sistemul .,

14

42

332

Rmunde

zymx

zyx

zyx

∈

=+−

=++

−=+−

a) Sa se determine Rm∈ pentru care sistemul are solutie unica.

b) Sa se rezolve sistemul pentru .3≠m


−

−=

32

64A .

Stiind ca An = A pentru orice n ∈ N* sa se calculeze suma A + 2A

2 + 3A

3 + ....+nA

n.

170.Fie ][123 xRmxxxf ∈+++= cu radacinile x1, x2, x3.Se noteaza nnnn xxxS 321 ++= pentru n∈N*

a) Sa se arate ca 03123 =+++ mSSS .

b) Sa se arate ca pentru orice numar par m ∈ Z polinomul f nu are solutii rationale.

171. Fie f, g ∈ R[x], 1234 ++++= xxxxf si 123 +++= xxxg .

a) Sa se determine radacinile reale ale lui g.

b) Sa se calculeze f(a) stiind ca a este o radacina a lui g.

172. In M2[R] se considera matricele ( )

−

−+=

xx

xxxA

4110

251.

a) Sa se arate ca ( )( ) ( )( ) RxxAxA ∈∀−+= ,1122

.

b) Sa se determine inversa lui A(1).

173. Se considera sistemul .,

2

13

0452

Zaunde

azx

zyx

zyx

∈

=−

−=++−

=+−

Sa se determine cea mai mica valoare a numarului natural a pentru care solutia sistemului este formata

din trei numere naturale.

174. Pe R se considera legea de compozitie 1++= yxyx o si multimea :

{ }6|2*, 210 +=≥∈= nCCCn�nA nnn oo .

Sa se determine numarul elementelor lui A.

175. Fie ][23 xRrqxpxxf ∈−+−= cu radacinile x1, x2, x3 ∈ R.

a) Sa se calculeze ( )( )( )321 111 xxx −−− in functie de p, q si r.

b) Sa se arate ca polinomul 323 −++= xxxg nu are toate radacinile reale.


=

14

14A si multimea ( ) ( ){ }aAIaXsiRaaXG +=∈= 2| .

a) Sa se arate ca ( ) ( ) ( ) RbaabbaXbXaX ∈∀++=⋅ ,,5 .

b) Sa se arate ca pentru 5

1−≠a , inversa matricei ( )aX este

+−

a

aX

51.

177. Sa se determine numarul radacinilor din Z5 ale polinomului : ][2̂3̂4̂3̂ 523 xZxxxf ∈+++= .

178. Se considera polinoamele 133 23 +++= xxxf si 122 +−= xxg din R[X].

Sa se calculeze produsul f(y1) f(y2), unde y1 si y2 sunt radacinile lui g.

15


−

−

−

=

933

622

311

A si B = A – I3.

a) Sa se calculeze det (A).

b) Sa se arate ca B-1

= 39

1IA − .

180. Sa se calculeze suma 44

43

42

41 xxxx +++ daca 4321 ,,, xxxx sunt radacinile polinomului

12 24 +−= xxf .

181. Se considera inelul ( )•+,,8Z .

a) Sa se calculeze in Z8 suma 7̂6̂5̂4̂3̂2̂1̂ ++++++ si produsul tuturor elementelor inversabile ale

inelului.

b) Sa se rezolve in Z8 sistemul

=+

=+

5̂2̂3̂

2̂5̂2̂

yx

yx.


−=

01

21A si

=

tz

yxB .

Stiind ca AB = I2 sa se calculeze S = (B-1 –A)2

183. Sa se rezolve in Z ecuatia 1.....6

=4434421 ooooride

xxx , unde 11++= yxyx o .

184. Pe R se considera legea de compozitie ( ) 62 ++−= yxxyyx o .

a) Sa se arate ca Rxx ∈∀= ,22o .

b) Stiind ca legea este asociativa sa se calculeze valoarea expresiei :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20102009....211.....20092010 oooooooo −−−

185. Sa se rezolve ecuatia matriceala :

=⋅

4

1

23

12X .

186. Pe multimea G = ( -1, 1 ) se considera operatia xy

yxyx

++

=1

o .

Fie ( ) ( )∞→− ,01,1:f , ( )x

xxf

+−

=1

1.

Sa se arate ca f este morfism de grupuri intre grupurile ( ) ( )( )•∞ ,,0, siG o .

187. Pe R se definesc legile de compozitie 622 +−−=∗ yxxyyx si ( ) 123 ++−= yxxyyx o .

Fie f : R → R, f(x) = ax + 1, unde a ∈ R.

Sa se determine a astfel incat f sa fie morfism de grupuri intre grupurile ( )∗,R si ( )o,R .

188. Se considera polinoamele 623 +++= nxmxxf si 22 −−= xxg din R[X].

a) Sa se determine m, n ∈ R incat f sa se divida cu g.

b) Pentru m = - 4 si n = 1 sa se calculeze ( ) ( ) ( ) ( )2010....210 ffff .


=

00

10A .

16

a) Sa se arate ca daca X ∈ M2(R) si XA = AX atunci exista a, b ∈ R incat

=

a

baX

0.

b) Sa se arate ca ecuatia X2 = A nu are solutii in M2(R).

190. Sa se calculeze probabilitatea ca alegand un element din inelul ( )•+,,6Z , acesta sa fie solutie a

ecuatiei 0̂3 =x .


−

−=

42

74A .

a) Sa se arate ca ( ) 2

1

2 IAIA −=+ −.

b) Sa se rezolve ecuatia det(x2A) = x2 det A.

192. Pe R se defineste operatia 1244 +++= yxxyyx o .

a) Sa se arate ca ( ) Ryxyx ∈∀−=− ,,44 oo .

b) Sa se calculeze ( ) ( )420112010420092008 −− ooooo .

193. Sa se rezolve ecuatia matriceala

=⋅

− 13

45

21

12X in M2(R).

194. Sa se rezolve in R ecuatia 4

11

11

11

−=

a

a

a

.

195. Fie matricele ( )

−

−=

kk

kk

xx

xxkA2

2

2

2

111

, unde k ∈ { 0, 1, 2 }, x0 = 1 si x1, x2 sunt solutiile ecuatiei

022 =−+ xx cu x1 < x2.

a) Sa se determine detA(0) si A(1) + A(2).

b) Sa se determine suma elementelor matricei A(k) pentru fiecare k ∈ { 0, 1, 2 }.

196. Se considera determinantul ( ) Rxbaunde

axb

bxa

abx

xbaD ∈= ,,,

1

1

1

,, .

a) Sa se arate ca D(a,a,x) nu depinde de x. b) Sa se rezolve ecuatia D(a,b,x) = 0 , unde a, b >0.

197. Se considera polinoamele f, g ∈ R[x], axxf +−= 33 si 232 +−= xxg , unde a ∈ R.

a) Sa se determine radacinile lui f stiind ca f are o radacina dubla pozitiva.

b) Pentru a = 2 sa se rezolve ecuatia ef(x) =

−2

53g .

198. Fie f : R → M3(R), ( )

+

=

100

410

221 2

x

xxx

xf .

a) Sa se calculeze f(0) + f(1) si f(1)⋅f(-1).

17

b) Sa se arate ca f (x + y ) = f(x) f(y), oricare ar fi x, y ∈ R.

199. Fie inelul ( Z6, +, •).

a) Sa se calculeze determinantul

2̂1̂3̂

1̂3̂2̂

3̂2̂1̂

in Z6.

b) Sa se rezolve in Z6 ecuatia 1̂5̂2̂ =+x si sistemul

=+

=+

5̂2̂

4̂2̂

yx

yx

200. Pe R se considera operatia 2+−−= yxxyyx o .

a) Sa se arate ca ( )( ) Ryxyxyx ∈∀+−−= ,,111o .

b) Sa se calculeze 2

2010.....

2

3

2

2

2

1oooo .

201. Pe R se defineste legea de compozitie 4266 +−−= yxxyyx o .

a) Sa se rezolve in R ecuatia xxxxx =ooo .

b) Sa se arate ca ( )( ) Ryxyxyx ∈∀+−−= ,,666o si apoi sa se calculeze :

20102009.....321 ooooo

202. Se considera polinomul Rcbaundecbxaxxf ∈+++= ,,,34 .

Sa se arate ca nu exista Rcba ∈,, incat f sa se divida cu polinomul xxg −= 3 .


−−=

11

22A .

a) Sa se arate ca A2 = A si sa se calculeze det ( A3 – 2A2 + A).

b) Sa se demostreze ca oricare ar fi x ∈ M2(R) cu X2 = X verifica relatia ( 2X – I2 )2 = I2.

204. Pe Z se considera legile de compozitie 2++=∗ ypxyx cu p ∈ Z, 2−+= yxyx o si functia

f : Z → Z, f(x) = 3x + q, unde q ∈ Z.

a) Pentru p = 1 sa se rezolve in Z ecuatia ( ) ( ) 22 +=∗∗ xxxxx o .

b) Pentru p = 1 sa se determine q ∈ Z incat f sa fie morfism intre grupurile ( )∗,Z si ( )o,Z .

205. Sa se rezolve ecuatia matriceala 3

500

030

001

IX =⋅

in M3(R).

206. Pe Z se defineste operatia 4773 +++=∗ yxxyyx .

a) Sa se determine elementul neutru al legii “∗”.

b) Sa se rezolve in Z inecuatia x∗ x ≤ -1.

207. Se considera polinomul ][34 xRcbxaxxf ∈+++= .

a) Sa se determine a, b, c ∈ R incat f(0) + f(1) = -2 si una din radacinile lui f este x = 2. b) Pentru a = c = -2 si b = 1 sa se determine radacinile reale ale lui f.

208. Se considera polinomul 200910042 )1( xxxf +++= , cu forma algebrica :

18

2009

20092

210 ... xaxaxaaf ++++= .

a) Sa se arate ca 2009210 ... aaaa ++++ este un numar intreg par.

b) Sa se determine restu impartirii lui f la x2 – 1.

209. Se considera polinomul ( ) ][4̂1̂2̂ 63 xZaxaxf ∈++++= .

a) Sa se arate ca a3 = a, ∀ a ∈ Z6.

b) Sa se determine a ∈ Z6 incat ( ) 0̂2̂ =f .

c) Pentru 2̂=a sa se rezolve in Z6 ecuatia ( ) 0̂=xf .

210. Sa se determine a, b ∈ Z3 incat polinomul ][32 xZbaxxf ∈++= sa aiba radacinile 1̂si 2̂ .

211. Sa se arate ca daca ( ) ][1̂2̂2̂ 323 xZaxxaaf ∈+++= atunci ( ) 1̂2̂1̂ += af .


−

−

=

000

001

011

A . Sa se arate ca A3 + A2 + A = O3.

213. Pe R se considera operatia 36882 +−−= yxxyyx o .

a) Sa se arate ca ( )( ) Ryxyxyx ∈∀+−−= ,,4442o .

b) Sa se calculeze 2010.....321 oooo .


=

010

001

100

X si multimea { }{ }3,2,1| ∈= nXG n.

a) Sa se arate ca X3 = I3 si sa se calculeze det ( I3 + X + X2 ).

b) Sa se arate ca daca X ∈ G atunci X-1 ∈ G.


−−

−−

−−

=

211

121

112

A si

−−−

−−−

−−−

=

111

111

111

B .

a) Sa se calculeze AB si sa se arate ca ( A + B )2 = ( A - B )2 = A2 + B2.

b) Sa se inverseze matricea ( A - B )2.


=

20

22A si

=

60

yxB , cu x, y ∈ R.

a) Sa se determine x ∈ R incat AB = BA si sa se arate ca A2 = 4(A – I2).

b) Sa se determine a ∈ R incat A3 – aA2 + 4A = O2.

217. Pe R se definiesc legile de compozitie 3++= yxyx o si ( ) 123 ++−=∗ yxxyyx .

a) Sa se rezolve in R ecuatia ( )( ) ( )( ) 1111 =+∗++ xxxx o .

b) Sa se rezolve in R sistemul : ( )

( ) ( )

+∗=∗+

=−

11

01

yxyx

yx o

19

SUBIECTE A�ALIZA

1. Se considera functia ,

a) Sa se calculeze .

b) Sa se calculeze volumul corpului de rotatie obtinut prin rotatia in jurul axei Ox a graficului

functiei .

2. Se considera functia , . Sa se calculeze

, unde ,


a)Sa se calculeze aria suprafetei plane determinate de graficul lui ,axa Ox si dreptele x=0 si

x=1

b)Sa se arate ca , .


a) Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiei

,

b) Sa se calculeze .



b) Sa se determine numarul real a>1 incat .

c) Sa se calculeze .


a) Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui in punctual A(1,0).

b) Sa se arate ca este convexa pe .

7. Folosind faptul ca , sa se arate ca


a) Sa se calculeze

b)Sa se demonstreze ca ,


20


b) Sa se arate ca .


a) Sa se calculeze

b) Sa se arate ca orice primitive a lui f este crescatoare pe

c) Sa se determine numarul real incat aria suprafetei plane, determinate de

graficul functiei , axa Ox, dreptele de ecuatie x = a si sa fie egala cu .


a) Sa se calculeze

b) Sa se determine ecuatia asimptotei orizontale catre + la graficul functiei .

12. Se considera functiile , si

a) Sa se arate ca

b) Folosind ca , sa se arate ca .

13. Se considera functia , , unde .

Sa se determine incat

14. Se considera , pentru

a) Folosind, eventual, ca , sa se arate ca

b) Sa se arate ca , pentru orice .


a) Sa se calculeze

b) Sa se arate ca este concava pe (-∞,1] .



b) Sa se arate ca

17. Se considera functia , , + . Sa se calculeze

.

21

18. Se considera functia , .

a) Sa se arate ca

b) Sa se arate ca sirul ,unde este o progresie aritmetica cu

ratia 1.

19.Se considera functia , . Sa se arate ca , ,

.

20.Se considera functiile , , unde

.

Sa se determine incat

21. Pentru se considera .Folosind faptul ca

sa se arate ca , .


a) Sa se arate ca

b) Sa se demonstreze ca , .

23. Se considera functiile , si , . Sa se

calculeze .

24. Se considera functia , .Sa se determine aria suprafetei plane

cuprinse intre graficul functiei , , axa Ox si dreptele de ecuatii x =

0 si x = 1.

25.Se considera functia , , unde .

a)Sa se determine incat sa fie continua pe .

b) Sa se determine ecuatia tangentei la graficul lui in punctual .

26. Se considera , .

a) Sa se calculeze I0 si I1

b) Sa se arate ca , pentru .

22


a) Sa se arate ca este descrescatoare pe (0,2].

b)Sa se arate ca

28. Se considera functia , . Sa se determine intervalele

de monotonie ale functiei , .

29.Sa se determine functia ,

a) Sa se calculeze

b) Sa se arate ca

30. Se considera functia , . Sa se arate ca ,

.

31. Se considera functia , . Sa se verifice ca

32. Se considera functia , . Sa se arate ca ,

.

33. Se considera functiile , si .

a) Sa se arate ca functia , este concava pe .



a) Sa se determine ecuatia asimptotei oblice catre la grafic.

b) Sa se arate ca , .


a) Sa se calculeze

b) Sa se arate ca orice primitiva F a functiei este concava pe si convexa pe

.


23

a) Sa se calculeze

b) Sa se determine intervalele de monotonie ale lui .

37. Se considera functia , . Sa se determine a>2 incat aria

suprafetei plane, marginite de graficul lui , axa Ox si dreptele de ecuatii x=2 si x=a sa fie

ln3.


a) Sa se determine punctele de extreme ale lui .



a) Sa se arate ca F este o primitiva a lui ;

b) Sa se arate ca .

40. Fie , pentru .



41.Se considera functia , , unde .

a) Sa se determine incat si



a) Sa se determine intervalele de monotonie ale lui .

b) Sa se arate ca pentru .


a) Sa se arate ca g este o primitiva a lui .


44. Se considera functia , . Sa se calculeze .


a) Sa se verifice ca .

24

b) Sa se arate ca

46. Se considera integralele si .

a) Sa se arate ca

b) Folosind, eventual, ca sa se arate ca .

c) Sa se arate ca .


a) Sa se calculeze

b) Sa se rezolve in ecuatia

48. Pentru se considera

a) Folosind ca , si sa se arate ca

b) Folosind, eventual, ca , si sa se arate

ca


a) Sa se calculeze

b) Aratati ca ,


a) Sa se calculeze

b) Sa se calculeze


Sa se arate ca .

52.Se considera functia ,

a) Sa se determine ecuatia asimptotei orizontale la la graficul lui .


53. Se considera , pentru orice .

a) Sa se arate ca , .

25

b) Folosind, eventual, ca , si , sa se demonstreze ca :

.

54.Se considera functia , .Sa se arate ca

55.Se considera functiile , , .

a) Sa se calculeze

b) Sa se arate ca


a) Sa se determine ecuatia asimptotei orizontale spre la graficul lui .

b) Sa se arate ca tangenta la graficul lui in punctul este paralela cu axa Ox.

57. Se considera functia , . Sa se determine ecuatia asimptotei

catre la graficul functiei , .

58. Se considera functiile ,

a)Sa se demonstreze ca

b) Sa se calculeze

59. Se considera functia , si , .

Sa se calculeze .

60. Se considera , pentru orice

a) Sa se arate ca , .

b) Sa se arate , pentru


a) Sa se determine incat :

b) Sa se calculeze

26

62. Se considera functiile , ,

a) Sa se calculeze si

b) Sa se calculeze

63.Se considera functiile , ,

a) Folosind ca , sa se calculeze

b) Folosind ca , sa se arate ca .

64. Se considera functia , . Sa se demonstreze ca volumele

corpurilor obtinute prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiilor ,

si sunt egale.


Sa se arate ca daca este o primitive a lui atunci

66. Se considera functiile , , .

a) Sa se calculeze

b) Sa se determine numarul incat


a) Sa se studieze continuitatea lui

b) Sa se arate ca , pentru orice


a) Sa se arate ca si ca

b) Sa se arate ca exista incat

69. Se considera , pentru orice .



27


a) Sa se arate ca ,

b) Sa se calculeze

71. Se considera , unde .

a) Sa se verifice ca

b) Sa se arate ca , , .


a) Sa se calculeze

b) Sa se arate ca

73. Se considera functiile , , . Sa se verifice ca

.


a) Sa se studieze continuitatea lui in

b) Sa se calculeze

75. Se considera functia , , unde .

a) Sa se determine parametrul a incat sa fie continua.

b) Sa se determine ecuatia tangentei la graficul functiei in punctul A(9,3) .


a) Sa se arate ca

b) Sa se clculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox a graficului functiei

, , .

77. Se considera functia , . Sa se arate ca

.

28

78. Se considera functia , . Sa se determine aria

suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei , ,axa Ox si

dreptele x=1 si x=2.


a) Sa se verifice ca

b) Sa se arate ca ,

80. Se considera functiile , si numerele , pentru

a) Sa se calculeze si sa se arate ca

b) Sa se arate ca , , .

81. Sa se determine incat .

82. Se considera functiile , , pentru .

Sa se calculeze aria suprafetei plane determinate de graficul functiei , axa Ox si dreptele

x=1 si x=2.


Sa se arate ca daca atunci .


a) Sa se studieze monotonia lui

b) Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui in A(1,e).


Sa se arate ca pentru aria suprafetei plane determinate de graficul lui , axa

Ox si dreptele x=m si x=m+1 este cel putin .


a) Sa se arate ca

b) Sa se determine numarul real pozitiv a incat aria suprafetei plane determinate de graficul

lui , axa Ox si dreptele x=0 si x=a sa fie egala cu

29

87. Se considera functia , . Sa se determine numarul real p incat

volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox a graficului functiei ,

, pentru , sa fie minim.

88. Se considera functia , .Sa se arate ca

.

89. Se considera functia , si numerele reale positive a, b si c. Sa se

arate ca daca numerele , , sunt termini consecutive ai unei

progresii aritmetice , atunci numerele a,b,c sunt termini consecutive ai unei progresii

geometrice.

90. Sa se arate ca , .

91. Se considera functia , . Sa se determine incat

aria suprafetei plane determinate de graficul lui , axa Ox si dreptele x=1 si x=e sa fie egala

cu .


Sa se calculeze .

93. Se considera functia , .Sa se determine coordonatele

punctului de pe graficul lui , in care tangenta la grafic are panta .

94. Se considera functiile , , .

a) Sa se determine ecuatia asimptotei catre la graficul lui



Sa se arate ca .


a) Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului lui


30


a) Sa se determine a astfel incat sa fie continua in

b) Sa se determine a incat panta tangentei la grafic in punctul sa fie egala cu 1.

98. Sa se arate ca .


Sa se arate ca , , .


a) Sa se determine primitive a lui incat


101. Pentru fiecare se considera functia , .

a) Sa se determine primitive G a functiei , pentru care ;

b) Sa se calculeze , unde , .


a) Sa se arate ca

b) Sa se arate ca nu are asimptota spre .


Sa se calculeze .

104. Se considera functia , . Sa se arate ca .


a) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse intre graficul lui g,axa Ox si dreptele x=e si

x=1.


106. Se considera functia , + .

a) Sa se determine asimptota catre la graficul lui ;

b) Sa se arate ca este convexa pe .

107. Se considera functiile , , pentru fiecare .

31

a) Sa se calculeze ;

b) Sa se arate ca


a) Sa se determine ecuatia asimptotei catre la graficul lui ;


109. Se considera functiile ,

a) Sa se determine aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei , axa Ox si dreptele

x=e si x=1.



a) Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui in A(1,-1)

b) Sa se arate ca , pentru .

111. Se considera functia , , .

a) Sa se determine incat functia , sa fie o primitive a lui

.

b) Sa se demonstreze ca ,pentru .

112. Sa se arate ca pentru .

113. Se considera functiile , , pentru fiecare .

a) Sa se calculeze

b) Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului lui

functiei , .

114. Se considera functia , - .


b) Sa se arate ca este crescatoare pe .

115.Sa se calculeze .

116.Sa se arate ca , pentru .

117. Folosind, eventual, ca pentru sa se arate ca

32

.

118. Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul functiei , in punctul

.

119. Sa se arate ca , pentru .

120. Folosind, eventual, ca , sa se arate ca .


.


a) Sa se arate ca orice primitive a lui este convexa pe



124. Se considera functiile , si . Sa se arate ca

.


126. Se considera functiile , , pentru . Sa se

arate ca pentru .

127. Se considera functiile , , pentru . Sa se calculeze

volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiei .


a) Sa se determine asimptota vertical la graficul lui .

b) Sa se arate ca pentru .


a) Sa se determine ecuatia tangentei la graficul lui in O(0,0).

b) Sa se determine ecuatia asimptotei catre la graficul lui .

33

130. Se considera functiile , . Sa se arate ca aria suprafetei

plane cuprinse intre graficul functiei , axa Ox si dreptele x=e si x=1 este mai mica sau

egala cu 2.

131. Sa se calculeze .


.

133. Sa se arate ca .

134. Se considera functiile , , unde .

a) Sa se calculeze ;

b) Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiei

, .


136. Se considera functia , . Folosind ca , pentru

sa se arate ca volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului lui

, este un numar in intervalul .

137. Se considera functiile , , unde .

a) Sa se determine aria suprafetei plane cuprinse intre graficul lui , axa Ox si dreptele x=e si

x=1 .

b) Sa se arate ca .

SUBIECTE I�FORMATICA

1.Se considera algoritmul alaturat, descris in pseudocod, unde s-a notat cu [a] partea intreaga

a numarului real a si cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y.

citeste n (numar natural)

r ← 0

repeta

r ← (r*10 + n%10)*10

n ←[n/100]

34

pana cand n<100

scrie r

Valoarea care se va afisa pentru n=2009 este:

a) 90 b) 900 c) 9000 d) 90000

2. Se considera algoritmul alaturat, descris in pseudocod, unde s-a notat cu x%y restul

impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y si cu [a] partea intreaga a numarului

real a.

citeste n (numar natural nenul)

k ← 9

pentru i←1,n exectuta

citeste x (numar natural)

c←[x/10]%10

daca c<k atunci k←c

scrie k.

Daca pentru n se citeste valoarea 3 iar pentru x se citesc in ordine valorile: 90,965,727 , atunci

numarul care se va afisa este:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

3. Se considera algoritmul alaturat descris in pseudocod, unde s-a notat cu x%y restul


real a.


max←0

repeta

n←[n/10]

daca max<n%10 atunci max← n%10

pana cand n=0

scrie max

Daca se citeste numarul 27349 atunci valoarea afisata este:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

4. Care din urmatoarele variabile nu isi modifica valoarea in urma executarii secventei de

instructiunii alaturate, oricare ar fi valorile lor initiale?(a,b,c sunt variabile de tip intreg)

c←2*a-b

a←a-b

a←c-a

b←2*a-c

a) niciuna b) doar c c) doar a si c d) doar a si b


impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y.

citeste x,y (numere naturale)

z←1; t←0

cat timp x≥z executa

daca x%z=y atunci t←z

z←z+1

scrie t

Daca se citesc in aceasta ordine valorile 12 si 3 atunci valoarea afisata de algoritm este:

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11

35

6. Se considera algoritmul alaturat descris in pseudocod; unde s-a notat cu x%y restul


citeste x (numar natural nenul)

y←0

repeta

y ← y*10+9-x%10

pana cand x≤y sau y=0

scrie y

Daca se citeste valoarea 274 atunci numarul afisat va fi:

a) 555 b) 556 c) 557 d) 558

7. Care este instructiunea prin care variabilei x I se atribuie valoarea sumei cifrelor numarului

natural format din exact 3 cifre, memorat de variabila intreaga y?

a) x←y/100+(y/10)%10+y%10

b) x←y+y/10+y/100

c) x←y%10+(y%10)/10+y/100

d) x←y%10+y%100+y%1000




cat timp x*y ≠ 0 executa

daca x>y atunci x←x%y

altfel y←y%x

scrie x+y

Daca se citesc in aceasta ordine numerele 30 si 25 atunci algoritmul va afisa valoarea:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

9.Stiind ca variabilele x si y sunt de tip intreg care este instructiunea prin care variabilei x i se

atribuie cifra zecilor numarului natural, cu cel putin doua cifre, memorat de variabila y?

a) x←(y%10)/10 b) x←(y/10)%10 c) x←y%10 d) x←y/100




cat timp y>0 executa

z←x%y; x←2*y, y←2*z

scrie x

Daca se citesc valorile15 si 25 in aceasta ordine atunci valoarea pe care o afiseaza algoritmul

este:

a) 50 b) 60 c) 70 d) 80

36

11. Stiind ca variabilele x si y sunt de tip intreg, care este instructiunea prin care variabilei x i

se atribuie ultima cifra a numarului natural memorat in variabila y?

a) x←y%10 b) y←x%10 c) y←x/10 d) x←x/10

12. Se considera algoritmul alaturat descris in pseudocod, unde s-a notat cu [a] partea intreaga

a numarului real a.


pentru i←1,n executa

p ← 1

pentru j←i,2,-1 executa

p←p*j

scrie [p/(i*2)]

Daca se citeste valoarea 3 atunci valorile afisate in urma executarii algoritmului sunt:

a) 0 si 1 b) 1 si 2 c) 0 si 2 d) 2 si 2

13. Se considera algoritmul alaturat descris in pseudocod; unde s-a notat cu x%y restul

impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y si cu [z] partea intreaga a numarului

real z.

s←0

citeste v (numar natural)

cat timp v≠0 executa

a←v%10

b←[v/10]%10

s←s+a*10+b

citeste v

scrie s

Daca se citesc in aceasta ordine urmatoarele valori:114,123,517,3312,14,412,22,0 atunci

algoritmul va afisa valoarea:

a) 248 b) 249 c) 247 d) 250

14. Variabila a memoreaza un numar natural cu exact 3 cifre. Care din expresiile de mai jos

are ca valoare numarul format din prima si ultima cifra a numarului memorat de a?

(s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y)

a) a/10+a%100

b) a/100+a%10

c) (a/100)*10+a%10

d) a-(a/10)%10

15. Se considera algoritmul alaturat descris in pseudocod:

citeste a,b (numere naturale nenule)

daca a>b atunci

c←b; b←a ; a←c

cat timp a<=b executa

scrie a

a←a*4

scrie a

Daca se citesc valorile150 si 9 in aceasta ordine, atunci valoarile afisate de algoritm sunt:

37

a) 9; 36; 144 b) 9; 36; 144; 576 c) 9; 36 d) 144; 576

16.Se considera variabila a care memoreaza un numar cu exact 6 cifre. Care din expresiile de

mai jos are ca valoare numarul format din cele doua cifre din mijloc ale valorii memorate in

a? (s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y)

a) (a%100)/100

b) (a/100)%100

c) a/1000+a%1000

d) (a/100)%10+(a/1000)%10

17. Se considera algoritmul alaturat descris in pseudocod, unde s-a notat cu [x] partea intreaga

a numarului real x.

citeste a (numar natural strict pozitiv)

k←0

b←[((a+1)*(a+2))/2]

cat timp b>=a executa

b←b-a

k←k+1

scrie b,k

Daca se citeste valoarea 9 atunci valorile afisate in urma executarii algoritmului sunt:

a) 1 si 6 b) 5 si 5 c) 1 si 5 d) 5 si 6

18. Un program genereaza in ordine crescatoare toate numere naturale de 5 cifre distincte,

acre se pot forma cu cifrele 5,6,7,8 si 9. Atunci numarul generat imediat inaintea si numarul

generat imediat dupa secventa urmatoare: 67589,67598,67859 sunt:

a) 65978 si 67895 b) 65987 si 67895 c) 65987 si 67958 d) 65978 si 67958

19. Un program genereaza in ordine crescatoare, numere naturale de exact 5 cifre din

multimea {1,2,3,4,5}. Fiecare din numerele generate are cifrele distincte doua cate

doua.Primele 3 numere astfel generate sunt: 12345,12354,12435.

Care este numarul generat imediat dupa 12543?

a) 12534 b) 13254 c) 13542 d) 13245

20.Daca numarul natural memorat de variabila x, de tip intreg, are exact doua cifre nenule,

care din urmatoarele expresii este adevarata?(s-a notat cu x%y restul impartirii numarului

intreg x la numarul intreg nenul y)

a) x/100=0 b) ( x/100=0) si ( x%10=0) c) x/10=0 d) (x/100=0) si ( x/10=0)

21. Daca numarul natural nenul memorat in variabila x, de tip intreg, este divizibil cu 100

atunci care din urmatoarele expresii este adevarata? (s-a notat cu x%y restul impartirii

numarului intreg x la numarul intreg nenul y)

a) x%10+(x/10)%10=0

b) x/100=0

c) x%10+x/10=0

d) x%10+(x/10)/10=0

38

22. Se considera algoritmul alaturat descris in pseudocod :

citeste n,m (numere naturale)

cat timp n≤m executa

n←n+1

m←m-1

cat timp m<n executa

m←m+1

n←n-1

scrie n

Daca se citesc valorile 6 si 12 in aceasta ordine atunci valoarea afisata de algoritm este:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10

23. Se considera algoritmul alaturat descris in pseudocod, unde s-a notat cu [x] partea

intreaga a numarului real x.

citeste x (numar real pozitiv)

y←[x]; x←x-y

cat timp x≠[x] executa

x←x*10

daca x=y atunci scrie 1

altfel scrie 2

Daca se citeste valoarea 120.12 atunci valoarea afisata de algoritm este:

a) 3 b) 4 c) 1 d) 2

24. Care este cea mai mica valoare pe care o poate avea expresia x/7-x%7 daca variabila x ,de

tip intreg, memoreaza un numar natural cu o singura cifra?

a) 0 b) 1.14 c) -6 d) 1

25. Se considera programul alaturat, descries in pseudocod, unde variabila a memoreaza o

matrice cu 8 linii si 8 coloane (numerotate de la 1 la 8), cu elemente numere intregi, iar toate

celelalte variabile din program sunt intregi.

pentru i←1,8 executa

k←i

pentru j←1,8 executa

a(i,j)←k

k←k+1

Ce valoare va avea elemental a(8,8) dupa executarea acestei secvente ?

a) 16 b) 15 c) 64 d) 10




c←0


c←(c+1)%10

scrie c

Daca se citeste valoarea 11 atunci algoritmul afisaza valorile urmatoare:

a) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 b) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;9

c) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ;0 d) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0; 1

39

27. Se considera algoritmul alaturat descris in pseudocod, unde s-a notat y|x faptul ca x este

divizibil cu y.

citeste a,b,c (numere naturale nenule)

daca a>b atunci

t←a; a←b ; b←t

cat timp a<=b executa

daca c|a atunci scrie a

a←a+1

scrie a

Daca se citesc valorile10,15, 6 in aceasta ordine atunci valoarile afisate de algoritm sunt:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13

28. Cate atribuiri se executa, in total, in secventa alaturata descrisa in pseudocod, daca n si p

sunt variabile de tip intreg.

p←1; n←279;

cat timp n>=100

p←p*10

n←n-100

a) 4 b) 6 c) 2 d) 8

29. Se considera algoritmul alaturat descris in pseudocod;


daca x<y atunci

x←x-y

y←x+y

x←y-x

cat timp x>=y executa

scrie A

x←x-y

scrie B

Daca se citesc valorile 2,9 in aceasta ordine, atunci succesiunea de caractere pe care le va

afisa algoritmul este:

a) ABABAB b) AB c) BAB d) BABA

30. Fie urmatoarea secventa de program descrisa in pseudocod, unde s-a notat cu x%y restul


y←0;

executa

x←x/10

y←y+1

cat timp (x%100=0)

Care este cea mai mica valoare pe care sa o aiba initial variabila x daca la sfarsitul executarii

secventei de program de mai sus, variabila intreaga y are valoarea 2?

a) 300 b) 5000 c) 1000 d) 0

31. Care din urmatoarele instructiuni, descrise in pseudocod, determina eliminarea cifrei din

mijloc a unui numar natural, cu exact 5 cifre, memorat in variabila intreaga x?

(s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y)

a) x←(x/1000)*100+x%100

b) x←(x%1000)*100+x/100

40

c) x←(x/1000)*100+x%100

d) x←x/1000+x%100


impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y si cu a↔b interschimbarea valorilor

retinute de variabilele a si b.


daca x>y atunci y↔x

daca x%2=0 atunci x←x+1

cat timp x<=y executa

x←x+2

scrie *

Daca se citesc valorile 2 si 9 in aceasta ordine, atunci succesiunea de caractere ce se va afisa

dupa executarea algoritmului este:

a) ** b) *** c) * d) *****

33.Variabilele x si y, de tip intreg, memoreaza valorile 9 si respectiv 2. Care din expresiile de

mai jos este falsa?( s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg

nenul y).

a) x-y≠0 b) x+y>x%y+1 c) x-2*y=0 d)x≠2*y

34. Se considera algoritmul alaturat descrise in pseudocod, unde s-a notat cu x%y restul


citeste a,n (numere naturale)


daca i%2=0 atunci a←a-i*i

altfel a←a+i*i

scrie a

Daca se citesc valorile 25 si 6 in aceasta ordine atunci valoarea care se va afisa este:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

35.Care din urmatoarele instructiuni, descris in pseudocod, determina inserarea cifrei 7 in fata

ultimei cifre a unui numar natural cu cel putin 2 cifre, numar memorat in variabila intreaga x?

(s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y).

a) x←((x/10)*10+7)*10+x%10

b) x←x/10+7+x%10

c) x←((x%10)*10+7)*10+x/10

d) x←(x/10+7)*10+x%10




pentru i←1,n-1 executa

daca i%2=0 atunci scrie #

pentru j←i+1,n executa

scrie *

Daca se citeste valoarea 4 atunci caracterele ce se vor afisa in urma executarii algoritmului

sunt:

a) * # * b) * * * # * * * c) * * # d) # * *

41

37.Pentru care din perechiile de valori de mai jos, expresia ((a%100=b%100) si (a>99) sau

(b>99) este adevarata?( s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg

nenul y)

a) a=1003 si b=3 b) a=35 si b=35 c) a=1100 si b=10 d) a=1234 si b=12

38.Variabilele x si y de tip intreg memoreaza valorile 8 si respectiv 6.Care din expresiile de

mai jos este falsa? ( s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg

nenul y)

a) 3*x-4*y=0 b) (x+y)/2>x%y+1 c) x/2+2≠y d) x-y+3≠0

39.Care din urmatoarele expresii, descrise in pseudocod, este adevarata daca variabilele

intregi x si y memoreaza doua numere naturale pare consecutive? ( s-a notat cu x%y restul

impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y)

a) (x-y = 2) si (y-x = 2)

b) (x=2) si (y=4)

c) x-y = 2

d) ((x-y=2) sau (y-x=2)) si (x%2=0)

40.Se considera algoritmul alaturat, descris in pseudocod, unde s-a notat cu x%y restul


real a.


s←10

cat timp n>0 executa

daca n%10<s atunci s←n%10

altfel s← -1

n←[n/10]

scrie s

Daca se citeste valoarea 1239 atunci algoritmul va afisa valoarea:

a) 1 b) 2 c) 3 d) -1

41.Variabila intreaga x memoreaza un numar natural strict mai mare decat zero iar variabila

intreaga y memoreaza un numar natural strict mai mare decat 5. Care dintre expresiile de mai

jos este falsa?

a) x*y-5≠0 b) x*(y-5)≠0 c) x*(y-5)<=0 d) x*(y-5)>0

42. Variabila x este de tip real memoreaza un numar real ce nu apartine intervalului (2,9].

Care din urmatoarele expresii, descris in pseudocod, este falsa?

a) (x>2) si (x<=9) b) (x<=2) si (x>9) c) (x<=2) sau (x>9) d) (x<2) sau (x>9)




s← -1

42


daca n%10>s atunci s←n%10

altfel s← 11

n←[n/10]

scrie s

Daca se citeste valoarea 9321 atunci valoarea pe care o afiseaza algoritmul este:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10

44. Fie x o variabila reala care memoreaza un numar real din intervalul (-2, 2). Care din

urmatoarele expresii descrise in pseudocod este falsa?

a) x*x-4<=0 b) 4-x*x>0 c) (2>x) si (x>-2) d) (x-2)*(x+2)>0

45.Se considera algoritmul alaturat, descris in pseudocod, unde s-a notat cu x%y restul


citeste z,x (numere naturale nenule)

cat timp x>0 executa

citeste y (numar natural)

daca z<y-x atunci scrie x%10

altfel scrie y%10

x←y

Daca se citesc, in aceasta ordine, numerele :2,5,16,9,12,13,5,0 atunci algoritmul va afisa

numerele:

a) 5, 9 b) 5, 9, 9 c) 5, 9, 9, 3, 5, 0 d) 5, 9, 9, 3

46. Se considera algoritmul alaturat, descris in pseudocod, unde s-a notat cu x↔y operatia de

interschimbare a valorilor variabilelor x si y si cu x%y restul impartirii numarului intreg x la

numarul intreg nenul y.

citeste a,b (numere intregi)

daca a<b atunci a↔b

pentru x←a,b,-1 executa

daca x%2≠0 atunci scrie x

Daca se citesc valorile 2 si 9 in aceasta ordine atunci algoritmul afiseaza numerele:

a) 9, 7 b) 9, 7, 5 c) 7, 5, 3 d) 9, 7, 5, 3

47. Variabilele x si y de tip intreg memoreaza valori intregi nenule egale.Care din expresiile

de mai jos este falsa?(s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg

nenul y)

a) (x%y=0) si (y%x=0) si (x*y>0)

b) (x<=y) si (y<x)

c) (x<=y) sau (y<=x)

d) x*x=y*y



citeste x (numar natural nenul)

cat timp x>0 executa

citeste y (numar natural)

daca x>y atunci scrie x%10

43

altfel scrie y%10

x←y

Daca se citesc valorile :17,22,13,101,2,7,5,0 in aceasta ordine atunci algoritmul va afisa

numerele:

a) 2, 2, 1, 1 b) 2, 2, 1, 1,7 c) 2, 2, 1, 1, 7, 7, 5 d) 2

49. Variabila x de tip real memoreaza un numar real din intervalul(5,8]. Care din urmatoarele

expresii, descris in pseudocod , este falsa?

a) (x<=8) si (x>=5) b) (x<=8) si (x>5) c) (x>8) sau (x<=5) d) (x>5) sau (x>8)



citeste n (numar natural )

z←0; p←1


c←n%10; n← [n/10]

daca c%3=0 atunci z←z+p*(9-c)

p←p*10

scrie z

Daca se citeste numarul 103456 atunci algoritmul va afisa valoarea:

a) 962 b) 963 c) 964 d) 965

Date post:	15-May-2018
Category:	Documents
Upload:	lamkhanh
View:	335 times
Download:	1 times

SUBIECTE ALGEBRA - fmi.unibuc.rofmi.unibuc.ro/ro/pdf/2011/admitere/iulie/ALGEBRA... · 2.Sa se...

Documents