Tratarea separat pe parcursul acestei seciuni a modelelor de tip proporional va permite s insistm asupra problematicii cauzalitii care este comod de investigat datorit simplitii descrierii matematice. Discuia face apel la exemple binecunoscute n fizic. 2.1.1. Tranziia cauzal intrare-ieire Sistemele cu comportare proporional pot fi descrise printr-un model matematic de tip ecuaie algebric liniar de ordinul I de forma:

y(t)=cu(t), c0 (2.1.1) unde u(t) noteaz mrimea (variabila sau semnalul) cauz (sau de intrare), iar y(t) noteaz mrimea efect (sau de ieire). Denumirea de "model de tip proporional" se datoreaz faptului c la orice moment de timp t valoarea instantanee a mrimii efect y(t) poate fi determinat din valoarea instantanee a mrimii cauz u(t) prin multiplicare cu factorul (sau coeficientul) de proporionalitate c0. Factorul de proporionalitate trebuie privit drept o constant ce

Cap. 2. Tipuri de modele cauzale i proprieti2.1.Modeledetipproporional

caracterizeaz funcionarea sistemului fizic modelat prin intermediul ecuaiei (2.1.1). Unitatea de msur prin care se exprim valoarea lui c0 este corelat cu unitile de msur ale semnalelor u(t) i y(t).

Exemplul 2.1.1.

Se consider un rezistor electric avnd rezistena R [], parcurs de un curent i(t) [A], ntre ale crui extremiti exist diferena de potenial (tensiunea) u(t) [V], conform fig. 2.1.1.

u(t) [V]

i(t) [A] R []

Fig. 2.1.1. Rezistor electric pentru care

se utilizeaz un model proporional

Modelul de tip proporional n forma acauzal este dat de legea lui Ohm:

u(t)-Ri(t)=0 din care se poate obine forma cauzal rezistiv (rolul constantei este jucat de o rezisten):

u(t)=Ri(t) i forma cauzal conductiv (rolul constantei este jucat de o conductan):

i(t)=(1/R)u(t) Exprimrile cauzale evideniate mai sus trebuie privite n corelare cu maniera de furnizare a energiei electrice utilizate de rezistor. Forma cauzal rezistiv presupune c rezistorul primete energia de la o surs ideal de curent care impune i(t) prin rezistor, iar u(t) rezult la bornele rezistorului. Forma cauzal conductiv presupune c rezistorul primete energia de la o surs ideal de tensiune care impune u(t) la bornele rezistorului, rezultnd i(t) care parcurge rezistorul.

BestTypewritten textS2

BestTypewritten textS2

BestTypewritten textS2

2.2. Modele de tip integrator sau derivator

Un numr mare de sisteme fizice, de naturi diferite sunt descrise prin legi care evideniaz legtura dintre o mrime fizic derivat i o alt mrime fizic nederivat. Interpretarea tranziiei cauzale intrare-ieire pentru o astfel de lege se poate face apelnd la modele de tip integrator sau de tip derivator. Prin parcurgerea acestei seciuni, cititorului i se creaz posibilitatea unui studiu comparativ al aplicabilitii celor dou tipuri de modele (integrator sau derivator) prin referiri la funcionarea unor sisteme fizice frecvent ntlnite n practica tehnico-inginereasc. 2.2.1. Tranziia cauzal intrare-ieire pentru modele de tip integrator

Modele de tip integrator sunt descrise de o ecuaie diferenial avnd forma particular:

0,)0();()( 0 ayytutya (2.2.1)

unde u(t) este o funcie continu, notnd mrimea (variabila sau semnalul) cauz (sau de intrare), iar y(t) noteaz mrimea efect (sau de ieire). Denumirea "model de tip integrator" se datoreaz faptului c y(t) poate fi exprimat drept:

)0()()/1()( 0 yduatyt (2.2.2)

Exprimarea integral (2.2.2) pune n eviden funcionarea de tip acumulativ n raport cu mrimea de intrare u(t), n sensul c integrarea utilizeaz toate valorile semnalului u de pe ntreg intervalul [0, t].

2.2.3. Tranziia cauzal intrare-ieire pentru modele de tip derivator Modelele de tip derivator sunt descrise de o ecuaie liniar de forma:

(2.2.11)

unde u(t) este o funcie neted (de clas C1 cu derivata de ordinul I continu) notnd variabila (sau semnalul) cauz (sau de intrare), iar y(t) noteaz variabila (sau semnalul) efect (sau de ieire).

2.2.2. Descrierea operaional asociat modelului de tip integrator Prin aplicarea transformrii Laplace ecuaiei (2.2.1), sau echivalent, ecuaiei (2.2.2), imaginea semnalului de ieire L {y(t)}=Y(s) poate fi exprimat n funcie de imaginea semnalului de intrare L {u(t)}=U(s), sub forma:

s

U s yas

Y s 1( ) (0)1( ) (2.2.8)

y(t) bu(t), b 0

BestTypewritten textS3

Se consider un condensator electric avnd capacitatea Ce

e

din care se poate obine modelul de tip integrator (2.2.1):

C u(t) i(t)e

i(t) C u(t)e ,

i(t) [A] Ce [F]

u(t) [V] Fig. 2.2.1. Condensator electric pentru care se utilizeaz o

descriere de forma (2.2.14)

n care u(t) este intrare, iar i(t) ieire. Exprimrile cauzale evideniate mai sus trebuie privite n corelare cu maniera de furnizare a energiei electrice utilizate de condensator. Modelul de tip integrator presupune c energia este primit de la o surs ideal de curent, care impune i(t) prin condensator, iar u(t) rezult ntre terminalele condensatorului conform (2.2.2). Modelul de tip derivator presupune c energia este primit de la o surs ideal de tensiune care impune u(t) ntre terminalele condensatorului, rezultnd i(t).

Y(s)=bsU(s) (2.2.12)

Exemplul 2.2.1.

,

n care i(t) este intrare, iar u(t) ieire i modelul de tip derivator (2.2.11):

[F], parcurs de curentul i(t) [A], ntre ale crui terminale exist diferena de potenial (tensiunea) u(t) [V], conform fig. 2.2.1. Modelul n exprimarea acauzal (2.2.14) este de forma: C u(t) i(t) 0,

2.2.4. Descrierea operaional asociat modelului de tip derivator Presupunnd c n ecuaia (2.2.11) funcia u(t) este de clas C1 i satisface condiia u(0)=0, prin aplicarea transformrii Laplace imaginea semnalului de ieire L{y(t)}=Y(s) poate fi exprimat n funcie de imaginea semnalului de intrare L {u(t)}=U(s), sub forma:

BestTypewritten textS3

2.4.1. Tranziia cauzal intrare-stare-ieire 2.4.1.1. Modele intrare-stare-ieire de ordinul doi

Definirea unui model de acest tip se bazeaz pe un sistem de dou ecuaii difereniale,

liniare, de ordinul I, de forma:

(2.4.1)

sau, n scriere echivalent:

, (2.4.1)

unde u(t) noteaz variabila (semnalul) de intrare u(t), iar x1(t) i x2(t) noteaz variabilele (semnalele) de stare ale sistemului. Valorile x1(0) = x10 i x2(0) = x20 reprezint condiii iniiale impuse sistemului de ecuaii difereniale.

Variabila (semnalul) de ieire este definit drept o combinaie liniar a variabilelor de stare i intrare:

y(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+du(t) (2.4.2)

sau, n scriere echivalent:

(2.4.2)

Este evident c n particular, putem avea c1 = 1, c2 = 0, d = 0 sau c1 = 0, c2 = 1, d = 0 cazuri n care variabila de ieire coincide cu una din variabilele de stare.

n general, un model de forma (2.4.1), (2.4.2) descrie comportarea unui sistem fizic alctuit din : (i) dou elemente care acumuleaz energie crora li se asociaz variabilele de stare x1(t)

respectiv x2(t), adecvat alese spre a caracteriza funcionarea n cauzalitate integral a acestor elemente. (Totodat aceast alegere asigur continuitatea n raport cu variabila temporal t i precizarea condiiilor iniiale);

(ii) unul sau mai multe elemente care disip energie. Legile fizicii care descriu interconectarea elementelor (i) i (ii) conduc la sistemul de

ecuaii difereniale (2.4.1). Variabilele de stare x1(t) i x2(t) au semnificaia de mrimi efect n raport cu mrimea

cauz u(t). Din punctul de vedere al observrii fizice directe (msurare, nregistrare etc) pot exista situaii, cnd s nu ne intereseze, ca efect, variabilele de stare x1(t) sau x2(t), ci mrimi exprimabile din variabilele de stare cu ajutorul unor relaii statice (sau instantanee) de forma (2.4.2). Acest aspect practic justific introducerea conceptelor difereniate de variabil de stare, respectiv variabil de ieire.

BestTypewritten textS6

Exemplul 2.4.1.

Se consider un circuit electric alctuit dintr-un rezistor (cu rezisten Re), o bobin (cu inductana L) i un condensator ( cu capacitatea Ce) conectate n serie, conform fig. 2.4.1,

cu o surs de tensiune e(t) (care se modific n timp, dup o lege precizat). Tensiunea e(t) furnizat de surs constituie mrimea de intrare. Alegem drept variabile de stare tensiunea pe condensator uc(t) i curentul prin bobin iL(t), cu scopul de a exploata exprimarea de tip integral a legilor ce descriu funcionarea condensatorului i a bobinei ca acumulatori de energie:

uC(t)

iL(t)

e(t) uR(t) uL(t)

Re L

Ce

Fig. 2.4.1. Circuitul electric utilizat n exemplul 2.4.1.

( ), (0)0C C C

ce i t u udt

duC

,

( ), (0)

0L L LL u t i i

dtdiL

,

unde iC(t) i uL(t) sunt curentul prin condensator i, respectiv, tensiunea pe bobin. Din faptul c elementele circuitului sunt conectate n serie, rezult c prin toate elementele circul acelai curent, adic: i (t) i (t) i (t)C R L , iar tensiunea pe bobin poate fi exprimat (conform legii lui Kirchoff) sub forma: u (t) e(t) u (t) u (t) e(t) R i (t) u (t)L R C e L C . nlocuind aceste expresii n membrul drept al modelelor de tip integrator de mai sus, se obine sistemul de dou ecuaii difereniale liniare, neomogene:

( );1 i t

dt Cdu

Le

C

( )1( ) ( )1 e t

Li t

LR

u tdt L

diL

eC

L .

Astfel intrm n posesia ecuaiei vectorial-matriceale de stare, scrierea general (2.4.3) particularizndu-se sub forma:

0

0

(0)(0)

( );10

( )( )

1

10

L

C

L

C

L

C

ee

L

C

iu

iu

e tLi t

u t

LR

L

C

dtdidt

du

.

n funcie de obiectivul urmrit prin construcia modelului, rolul mrimii de ieire poate fi ndeplinit de oricare din semnalele (variabilele) ce apar n descrierea funcionrii circuitului, mai puin e(t) (care se presupune a fi cunoscut prin nsi natura problemei). Astfel, ecuaia ieirii avnd forma general (2.4.2) se particularizeaz conform urmtoarelor cazuri: (i) Dac tensiunea pe condensator este considerat drept mrime de ieire, atunci ecuaia

(2.4.4) devine:

( )( )

( ) 1 0i tu t

u tL

CC

,

artnd c semnalul de ieire coincide cu prima variabil de stare aleas.

(ii) Dac curentul prin bobin (sau, echivalent, curentul furnizat de sursa circuitului serie din fig. 2.4.1) este considerat drept mrime de ieire, atunci ecuaia (2.4.4) devine:

( )( )

( ) 0 1i tu t

i tL

CL

,

BestTypewritten textS6

2.4.2. Rspuns complet, rspuns liber i rspuns forat Exprimarea analitic a mrimii de ieire y(t) se realizeaz pornind de la soluia

sistemului de ecuaii difereniale (2.4.3) care constituie ecuaia intrare stare a modelului, i anume:

t tAAt dbuexetx 0 )( )()0()( (2.4.10) Recomandm ca exprimarea (2.4.10) s fie privit drept o generalizare fireasc a

soluiei ecuaiei difereniale de ordin I, cu coeficieni constani, generalizare care face apel la exponeniala matricial. Afirmaiile ce urmeaz vor pune n eviden utilitatea nelegerii unei atare generalizri.

n baza relaiei (2.4.10), vectorul de stare x(t) poate fi scris sub forma:

x(t)=xl+xf (2.4.11)

unde

)0()( xetx Atl (2.4.12)

definete componenta liber (de regim liber) a strii, iar

t tAf dbuetx 0 )( )()( (2.4.13) definete componenta forat (de regim forat) a strii.

Componenta de regim liber xl(t) constituie soluia ecuaiei (2.4.3) n forma omogen cu condiii iniiale nenule, adic:

0x (t) Ax (t), x (0) xl l l . (2.4.14)

Componenta de regim forat xf (t) constituie soluia ecuaiei (2.4.3) n forma neomogen, cu condiii iniiale nule, adic:

0x (t) Ax (t) bu(t), x (0) xf f l (2.4.15)

Astfel, descompunerea (2.4.11) ne arat c modelul (2.4.3) constituie un model complet al comportrii sistemului, iar x(t) din (2.4.10) reprezint rspunsul complet pe stare, care cuprinde informaiile privitoare att la evoluia liber a strii, ct i la evoluia forat a strii.

Lund acum n considerare i ecuaia ieirii (2.4.4) se constat c descompunerea (2.4.11) atrage dup sine posibilitatea descompunerii semnalului de ieire y(t) sub forma:

y(t)=yl+yf , (2.4.16)

unde

yl(t)=cTxl(t)=cT eAtx(0) (2.4.17)

definete componenta liber (de regim liber) a ieirii, iar:

yl(t)=cTxl(t)+du(t)= tT A tc e bu du t0 ( ) ( ) ( ) (2.4.18)

BestTypewritten textS7

Exemplul 2.4.2.

Se consider circuitul electric din Exemplul 2.4.1., cu mrimea de ieire definit conform cazului (iv), adic tensiunea pe bobin. Valorile proprii matricei

LR

L

CAe

e1

10

ndeplinesc condiia (2.4.19) indiferent de valorile parametrilor Re, L, Ce, deoarece polinomul caracteristic ataat:

e

eLC

sL

Rs s 1( ) 2

evideniaz, prin coeficienii si, suma rdcinilor negativ (-Re/L) i produsul rdcinilor pozitiv (1/LCe). n construcia matricei eAt vom distinge ns dou situaii diferite:

(i) Dac (Re/L)24/LCe atunci autovalorile vor fi reale i negative; (ii) Dac (Re/L)2

METODE PARAMETRICE PENTRU IDENTIFICAREA SISTEMELOR

3.1. Identificarea sistemelor folosind rspunsul la intrare treapt

Metoda I Aproximarea sistemelor cu un sistem de ordinul I cu intrziere. Rspunsul sistemelor la intrare treapt poate fi utilizat pentru identificarea funciei de transfer a sistemului. Considerm rspunsul la intrare treapt din figura urmtoare:

Fig.1Determinareaparametrilorfuncieidetransferfolosindrspunsulunuisistemlaintraretreaptunitate Acest sistem se aproximeaz cu un sistem cu funcia de transfer:

d( )1

T sKG s es

unde K, Td i se determin aa cum este indicat pe graficul din figura 1. O alt variant de identificare a parametrilor funciei de transfer este urmtoarea. Se aleg dou puncte t1 i t2 aa cum este prezentat n figura 2.

( )K y

dT

0.632 ( )y

Parametrii se identific folosind formulele urmtoare:

2 1

1

2

ln

t tK yK y

2 1d 1

2 1d 1

t tT

2

1

ln,

ln

K yK

K yK

1

2

K yK

K yK

lnln

t tT

BestTypewritten textS10

Metoda II Aproximarea sistemului cu o funcie de transfer de forma

( )1 n

KG ss

Pentru determinarea funciei de transfer se utilizeaz graficul din figura urmtoare:

Fig.3Determinareapunctelort10,...,t90

h

10t0.1h

30t 50t 70t 90t

0.3h

0.5h

0.7h

0.9h

Ku t

BestTypewritten textS10

S2.pdfS3.pdfS6.pdfS7.pdfS10.pdf