UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE PSIHOLOGIE ŞI ŞTIINŢE ALE EDUCAŢIEI

TEZĂ DE DOCTORAT (REZUMAT)

STUDIUL OBSTACOLELOR ŞI AL ERORILOR ÎN DIDACTICA MODERNĂ.

PARTICULARIZĂRI PENTRU MATEMATICA DIN GIMNAZIU

CONDUCĂTOR ŞTIINŢIFIC:

Prof. univ. dr. IOAN NEACŞU

DOCTORAND:

GHEORDUNESCU (CĂPRIOARĂ) I.

DANIELA-DUMITRA

BUCUREŞTI

2010

2

CUPRINS Lista tabelelor...........................................................................................................................................4

Lista figurilor...........................................................................................................................................7

INTRODUCERE..................................................................................................................................14

CAP.I. DIDACTICA ŞTIINŢELOR. SUCCINTĂ ANALIZĂ TEORETICĂ

1. Didactica generală între tradiţional şi modern. De la didactica generală la

didactica ştiinţelor................................................................................................................15

2. Concepte „cheie” în didactica ştiinţelor. Câmp selectiv...................................................18

2.1. Constructivismul – paradigma învăţării centrată pe interacţiunea subiect-obiect ...........18

2.2. Transinformaţia didactică – de la cunoaşterea ştiinţifică la cunoaşterea de tip şcolar .....20

2.3. Situaţia didactică – cadru de referinţă al proiectării procesului de învăţare.....................23

2.4. Triangulaţia – model factorial şi operaţional în didactica argumentativă a ştiinţelor.......25

2.5. Contractul didactic – ansamblu relaţional în cadrul binomului educaţional ……….........26

2.6. Concept, conceptualizare şi câmp conceptual – forme ale cunoaşterii autentice….…......28

2.7. Niveluri de reprezentare/formulare– etape în tratarea didactică a conceptelor

ştiinţifice …………………………………………………................................................33

2.8. Cuplul obiectiv-obstacol – strategie didactică de tip constructivist în învăţare…..…......34

2.9. Conflict cognitiv şi conflict socio-cognitiv – valori generative în cunoaşterea

şcolară…...…....................................................................................................................37

2.10. Relaţia situaţie-problemă – situaţie de învăţare şi abordarea didactică a erorii…….....39

2.11. Problematica obstacolelor şi a erorilor în învăţare. Conexiuni modelatoare....................42

3. Orientări şi tendinţe actuale în didactica matematicii.....................................................44

CAP. II. PROBLEMATICA OBSTACOLELOR ŞI A ERORILOR ÎN DIDACTICA

MATEMATICII

1. Stadiul actual al cercetărilor în câmpul problematicii obstacolelor şi a erorilor în

didactica matematicii……………………………................................................................47

2. Un model al motivaţiei în context şcolar. Perspectiva didacticii matematicii.................49

3. Raportul dintre obstacole şi erori în abordările didactice................................................59

4. Obstacole şi tipologia obstacolelor specifice contextului didactic matematic.................59

5. Erorile în perspectiva didacticii asupra erorii. Taxonomii specifice…...........................63

6. Tratarea didactică a obstacolelor şi a erorilor……………………..................................70

7. Riscuri ale non-intervenţiei didactice în identificarea şi tratarea pedagogică a

erorilor….............................................................................................................................73

3

CAP. III. METODOLOGIA CERCETĂRII EMPIRICE

1. Scopul şi obiectivele cercetării.........................................................................................77

2. Variabilele cercetării –statut şi operaţionalizare ............................................................79

3. Ipotezele cercetării – axa în jurul căreia se articulează componentele demersului

investigativ..........................................................................................................................80

4. Spectrul metodelor de cercetare .....................................................................................82

4.1. Observaţia .........................................................................................................................82

4.2. Analiza documentelor curriculare......................................................................................83

4.3. Cercetarea produselor elevilor. Studiu de caz...................................................................87

4.4. Focus-grupul......................................................................................................................96

4.5. Experimentul didactic........................................................................................................97

4.6. Ancheta pe bază de chestionar...........................................................................................99

5. Eşantionul de cercetare.....................................................................................................100

6. Graficul desfăşurării activităţilor de cercetare...............................................................104

7. Limitele şi dificultăţile demersului de cercetare.............................................................106

CAP. IV. REZULTATE ŞI INTERPRETĂRI

1. Analiza curriculară: gradul de reprezentativitate al aplicaţiilor matematicii în practică,

la nivel gimnazial.................................................................................................................107

2. Continuitate şi discontinuitate la nivelul curriculum-ului matematic .........................136

3. Motivaţia elevilor pentru învăţarea matematicii de gimnaziu......................................146

4. Strategii de predare a matematicii în gimnaziu..............................................................167

5. Strategii de învăţare a matematicii în gimnaziu.............................................................183

6. Strategii de evaluare a rezultatelor învăţării matematicii în gimnaziu........................202

7. Performanţele elevilor în învăţarea matematicii............................................................210

8. Statutul erorilor în învăţare, în concepţia elevilor.........................................................224

9. Statutul erorilor în învăţare, în concepţia cadrelor didactice.......................................230

10. Obstacole şi erori întâlnite în învăţarea matematicii în gimnaziu................................244

CONCLUZII FINALE ŞI RECOMANDĂRI.................................................................................265

BIBLIOGRAFIE...............................................................................................................................270

ANEXA 1. Erori întâlnite frecvent în învăţarea matematicii în gimnaziu.................................... .275

ANEXA 2. Chestionarul pentru elevi................................................................................................317

4

INTRODUCERE

Din multitudinea perspectivelor din care pot fi abordate dificultăţile cu care se confruntă elevii

(şi nu numai ei), în învăţarea matematicii în gimnaziu, ne-am concentrat atenţia asupra uneia pe care o

considerăm centrală: cea a obstacolelor şi a erorilor în procesul de predare-învăţare-evaluare. Prin

lucrarea de faţă ne-am propus, pe de o parte, să prezentăm o parte dintre aceste obstacole, iar pe de altă

parte, să centralizăm erorile întâlnite în mod frecvent în învăţarea matematicii la acest nivel. Pentru

atingerea acestor obiective, cercetarea întreprinsă a avut două coordonate: o cercetare bibliografică şi

una de tip empiric.

Primul capitol cuprinde, după o introducere sintetică în câmpul problematic al didacticii, o

prezentare a unora dintre conceptele-cheie cu care operează didactica ştiinţelor. Selecţia acestor

concepte a avut la bază criteriul conexiunii lor cu tema centrală a cerectării.

In cel de-al II-lea capitol, ne-am propus o analiză teoretică generală a obstacolelor cu care se

confruntă elevii în învăţarea matematicii, precum şi a erorilor specifice acestei activităţi. Scopul este

acela de a evidenţia un alt mod de abordare a erorilor în procesul de învăţare: valorificarea lor ca

strategie didactică pentru eficientizarea acestui proces.

Capitolul III este dedicat prezentării elementelor de metodologie care au structurat, orientat şi

susţinut cercetarea pedagogică realizată.

În capitolul IV sunt prezentate şi interpretate rezultatele obţinute în urma demersului

subordonat cercetării problematicii obstacolelor şi a erorilor în învăţarea matematicii în gimnaziu.

Anexa 1, din finalul lucrării, cuprinde o listă a erorilor cu un grad mai mare de semnificaţie

înregistrate în procesul instruirii, specifice conţinuturilor matematice din curriculum-ul gimnazial.

Pe tot parcursul studiului, demersul investigativ a fost dirijat de două aspecte fundamentale ale

instruirii la matematică la acest nivel de învăţământ: centrarea actului didactic pe formarea

conceptelor matematice şi operaţionalizarea acestor concepte prin utilizarea lor în abordarea şi

rezolvarea problemelor teoretice şi practice de natură matematică.

Considerăm că procesul de instruire la matematică în perioada gimnaziului trebuie privit cu mai

multă responsabilitate din partea tuturor factorilor implicaţi, în mod direct sau indirect, în desfăşurarea

acestuia deoarece la acest nivel: se diversifică domeniile matematice (aritmetică, algebră, geometrie),

se introduc în studiu majoritatea conceptelor ce reprezintă o componentă de bază a culturii matematice

a fiecărui om, elevul îşi formează şi îşi dezvoltă gândirea abstractă (logico-formală) prin operaţiile

specifice acesteia şi se dobândesc cunoştinţe utile în practică, ce nu se mai studiază în liceu.

5

CAP.I. DIDACTICA ŞTIINŢELOR. SUCCINTĂ ANALIZĂ TEORETICĂ

1. DIDACTICA GENERALĂ ÎNTRE TRADIŢIONAL ŞI MODERN. DE LA DIDACTICA

GENERALĂ LA DIDACTICA ŞTIINŢELOR

In evoluţia didacticii se pot distinge două etape, diferenţiate atât din punct de vedere

cronologic, cât şi al ariei de preocupări. O primă etapă, cea a didacticii tradiţionale (clasice),

preponderent normativă, a fost dezvoltată pe baza doctrinei pedagogice a lui Comenius şi studiază şi

fundamentează pe baze ştiinţifice analiza, proiectarea, desfăşurarea şi evaluarea procesului de

instruire şi educare. Cea de-a doua etapă corespunde didacticii moderne, psihologice, care este

explicativă şi normativă1. Aceasta se centrează pe studiul componentelor fundamentale ale sistemului

didactic (cunoaşterea de tip şcolar-profesorul-elevul) sintetizate prin modelul triunghiului didactic,

precum şi pe relaţiile ce se stabilesc între acestea în contextul didactic (de predare-învăţare-formare).

De asemenea, didactica modernă este interesată şi de identificarea şi tratarea dificultăţilor pe care le

întâmpină elevii în învăţare. In acest scop, ea se orientează, în primul rând, spre conţinuturile înseşi ale

predării-învăţării, dintr-o perspectivă epistemologică. Cum didactica generală nu poate răspunde

acestui imperativ, s-au conturat şi dezvoltat didacticile specifice disciplinelor şcolare. În cadrul

acestora, ştiinţele s-au detaşat, constituindu-şi şi dezvoltându-şi o didactică aparte, cu o terminologie

specifică şi cu un câmp de cercetare şi acţiune propriu.

2. CONCEPTE „CHEIE” ÎN DIDACTICA ŞTIINŢELOR. CÂMP SELECTIV

Odată cu constituirea didacticii ştiinţelor, s-a impus şi necesitatea elaborării unui cadru

conceptual specific, proces în care matematica are un statut de pionierat. Din gama variată de concepte

cu care operează didactica ştiinţelor, le-am selectat pe cele care au un grad de relevanţă ridicat în

abordarea şi prelucrarea problematicii obstacolelor şi a erorilor în didactică.

2.1. Constructivismul – paradigma învăţării centrată pe interacţiunea subiect-obiect

Constructivismul are ca notă definitorie realizarea accesului la cunoaştere prin implicarea activă

a subiectului în procesul de construcţie, în plan mental, a obiectului cunoaşterii. Pentru J.-P. Astolfi et

alii (1998) perspectiva de analiză a constructivismului în învăţare este tridimensională: psihologică,

1 Ibidem, p. 23.

6

epistemologică şi didactică. Subiectul îşi construieşte cunoaşterea printr-o activitate de remodelare şi

reorganizare continuă a structurilor sale mentale, operatorii şi cognitive, ceea ce implică învăţarea. În

acest proces constructiv, aflat sub incidenţa unui complex multidimensional de variabile, mai mult sau

mai puţin controlabile, se pot manifesta rupturi sau abateri de la evoluţia “normală” a cunoaşterii.

Problematica obstacolelor şi a erorilor în învăţare are ca centru de interes identificarea şi remedierea

acestora.

2.2. Transinformaţia didactică – de la cunoaşterea ştiinţifică la cunoaşterea de tip şcolar

Procesul didactic prin care se realizează transformarea (prelucrarea) informaţiei ştiinţifice

pentru a se constitui în cunoaştere de tip şcolar, accesibilă elevilor este numit în didactica românească

transinformaţie didactică2, iar în literatura de specialitate străină, transpoziţie didactică3. J.-P. Astolfi

(1998) identifică în desfăşurarea transpoziţiei didactice două etape (niveluri), în raport cu activitatea

didactică nemijlocită cu elevii: transpoziţia externă şi transpoziţia internă. Treptele de cunoaştere

(academică, de tip şcolar şi predată) specifice transinformaţiei corespund nivelurilor epistemologice4:

epistemologia de referinţă, epistemologia şcolară, respectiv epistemologia profesor-elev.

CUNOAŞTERE PRACTICI SOCIALE SAVANTĂ DE REFERINŢĂ

Axiologizare Didacticizare

(răspuns la finalităţi educative) (crearea de “predabil”)

CONŢINUT DE ÎNVĂŢĂMÂNT Figura I.2. Transpoziţia didactică (după M. Develay, 1992)

2.3. Situaţia didactică – cadru de referinţă al proiectării procesului de învăţare

O situaţie didactică (situaţie de învăţare) reprezintă un „ansamblu de raporturi stabilite în mod

explicit sau implicit între un elev sau un grup de elevi, un anume mediu (ce conţine instrumente sau

2 I. Neacşu, Instruire şi învăţare, Bucureşti, EDP, 1999, p. 170. 3 Acest concept, creat de sociologul Michel Verret (Le temps des etudes, 1975), a fost introdus în didactica matematicii de Yves Chevallard şi Marie-Alberte Joshua prin lucrarea Un exemple d’analyse de la transposition didactique: la notion de distance, apărută în Recherches en didactique des mathématiques, 3.2. Grenoble, La Pensée Sauvage, 1982. 4 J. Houssaye, Le triangle pédagogique, Berna, Peter Lang, 1988, p. 40.

7

obiecte) şi un sistem educativ (profesor) cu scopul de a face posibilă însuşirea de către elevi a unei

cunoaşteri constituite sau în curs de constituire”.5 Acestea sunt variabile didactice ce reprezintă

pârghii de acţiune pentru a produce învăţarea. G. Brousseau (1998), structurează temporal situaţia

didactică în patru momente diferite: acţiunea, formularea, validarea şi instituţionalizarea, ca etape

succesive în construirea cunoaşterii, caracterizate de activităţi specifice.

2.4. Triangulaţia - model factorial şi operaţional în didactica argumentativă a ştiinţelor

Conceptul modelează sistemul didactic, evidenţiind principalii trei factori constitutivi ai

acestuia: cadrul didactic, elevul şi cunoaşterea. Didactica modernă are ca preocupare studiul

elementelor structurale ale sistemului didactic (plasate în vârfurile triunghiului pedagogic) dar, mai

ales, studiul relaţiilor ce se stabilesc între acestea (predare, formare şi învăţare).

Unii didacticieni (printre care şi G. Brousseau) includ în modelul unei situaţii didactice şi mediul (al

patrulea element) ce reprezintă un dispozitiv prevăzut de profesor, care permite elevului, angajat în

rezolvarea unei probleme, să primească o indicaţie asupra validităţii soluţiei date, independent de

profesor, prin reacţiunea mediului6.

2.5. Contractul didactic – ansamblu relaţional în cadrul binomului educaţional

Termenul de contract didactic (introdus în didactica matematicii de G. Brousseau)

caracterizează o situaţie de predare-învăţare din perspectiva relaţiilor implicite ce se stabilesc între

participanţii la actul didactic. J.-P. Astolfi (1998, pp.60-61) rezumă caracteristicile contractului didactic

astfel: un sistem de obligaţii reciproce, în general implicite; preexistă situaţiei didactice şi o

supradetermină; defineşte “meseria de elev”, dar şi pe cea de “cadru didactic”; nu se manifestă decât cu

ocazia rupturilor acestuia; are un caracter evolutiv (dinamic) de-a lungul derulării actului didactic şi

un caracter local, specific unui anume câmp conceptual în construcţie. G. Brousseau studiind

caracteristicile contractului didactic, pune în evidenţă “paradoxuri” ale acestuia: efectul Topaze, efectul

Jourdain, efectul Dienes, cu efect distorsionant şi obstructiv asupra învăţării.

2.6. Concept, conceptualizare, câmp conceptual – forme ale cunoaşterii autentice

Interesul pentru concept-conceptualizare se manifestă în direcţia cunoaşterii condiţiilor

didactice care influenţează construcţia şi însuşirea acestora de către elevi pe parcursul şcolarităţii

(elaborare, formare, construcţie, realizare, achiziţionare).

5 G. Brousseau, La théorie des situations didactiques en mathématiques, Grenoble, La Pensée Sauvage, 1998. 6 Vezi exemplul referitor la “mărirea puzzle-ului” prezentat în abordarea situaţiilor-problemă.

8

I. Neacşu pune în evidenţă două sensuri ale învăţării conceptelor7 în şcoală, cu relevanţă

deosebită pentru studiul obstacolelor şi a erorilor în învăţare: învăţarea unui nou concept şi

modificarea şi adaptarea conţinutului conceptelor existente, aspecte cu o importanţă deosebită pentru

profesorul de matematică.

Menţionăm două perspective cunoscute în literatura de specialitate asupra conceptului: B.-M.

Barth (apud J.-P. Astolfi et M. Develay, 2002, pp. 23-24), respectiv G. Vergnaud (apud J.-P. Astolfi

et M. Develay, 2002, p. 30).

Orice concept ştiinţific este inserat într-o reţea complexă, “coerentă şi organizată” şi doar printr-o

analiză a materiei se pot identifica conexiunile pe care acesta le stabileşte cu celelalte concepte şi se

poate stabili domeniul său de cuprindere. O astfel de abordare a condus la introducerea noţiunii de

câmp conceptual, prin care G. Verganud8 desemnează “un spaţiu de probleme sau de situaţii problemă

a căror tratare implică concepte şi proceduri de mai multe tipuri, aflate în strânsă conexiune”.

2.7. Niveluri de reprezentare/formulare – etape în tratarea didactică a conceptelor ştiinţifice

Traseul parcurs de construcţia conceptelor (şi a cunoaşterii, în general) în context şcolar nu este

unul liniar, ci este caracterizat de o evoluţie în spirală, impusă de cel puţin doi factori: particularităţile

cunoştinţelor ce trebuie prelucrate (studiate de epistemologie) şi nivelul de dezvoltare a structurilor

mentale (operatorii şi cognitive) ale elevilor (studiate de psihologia învăţării). Traseul ascendent din

punct de vedere al generalizării şi al abstractizării este definit de succesiunea nivelurilor de formulare

specifice conceptelor (etape în tratarea didactică a conceptelor). Nivelurile de formulare prin care se

construieşte un concept determină diferite reprezentări specifice ce constituie obstacole epistemologice

în învăţarea acestuia. Necesitatea cunoaşterii modului de formare şi funcţionare a acestui tip de

obstacole deschide noi orizonturi de explorare în didactica ştiinţelor.

2.8. Cuplul obiectiv-obstacol – strategie didactică de tip constructivist în învăţare

Conceptul, introdus în didactică de Jean Louis Martinand, a rezultat din combinarea altor două

concepte: cel de obiectiv şi cel de obstacol. Conceptul de obiectiv-obstacol este o replică la cel de

blocaj în învăţare, ce caracterizează acea stare afectivă de neputinţă didactică (specifică unei

perspective pesimiste asupra învăţării), în care orice strategie didactică aplicată este sortită eşecului.

Aceste blocaje constituie obstacole puternice în construirea cunoaşterii, însă, pentru a le da valoare

7 Ibidem, p. 228. 8 G. Vergnaud, La théorie des champs conceptuels, publicat în “Recherches en Didactique des Mathématiques”, vol. 10, nr. 23, pp. 123-170, 1990.

9

didactică, ele trebuie abordate dintr-o perspectivă optimistă, ce face posibilă depăşirea lor, deziderat ce

devine operaţional prin asocierea celor două noţiuni – obiectiv şi obstacol.

2.9. Conflict cognitiv şi conflict socio-cognitiv – valori generative în cunoaşterea şcolară

Un astfel de conflict produce un progres intelectual cu condiţia ca subiectul să “conştientizeze

contradicţia” care “nu se produce în mod spontan” ci presupune, în context şcolar, un anume mod de

organizare a situaţiilor de învăţare în care este angajat elevul, ceea ce intră în responsabilitatea

profesorului. Cercetările în domeniu au arătat că un rol esenţial în declanşarea conflictului cognitiv îl

au interacţiunile sociale, ceea ce a condus la introducerea în terminologia de specialitate a conceptului

de conflict socio-cognitiv. Acesta “combină rolul motor al conflictelor în învăţare, dezvoltat de Piaget,

cu cel al interacţiunilor sociale, pe care îl găsim în mod egal la H. Wallon şi L.-S. Vîgotski.

2.10. Relaţia situaţie-problemă – situaţie de învăţare şi abordarea didactică a erorii

O situaţie-problemă reprezintă un instrument didactic construit în jurul unui obiectiv-obstacol,

din care se degajă o problemă ştiinţifică, a cărei rezolvare, realizată prin traversarea obstacolului

specific, conduce la învăţare.

2.11. Problematica obstacolelor şi a erorilor în învăţare. Conexiuni modelatoare

Figura I.8. prezintă o posibilă modelare a raporturilor de determinare dintre conceptele didactice:

Figura I.8. Un model de abordare sistemică a conceptelor didactice

Cunoaşterea ştiinţifică (academică)

Ştiinţele educaţiei

Constructivismul (sau alte paradigme)

Didactica ştiinţelor C Concept Niveluri de formulare Obstacole-erori Conflict cognitiv Situaţie-problemă P E Situaţie didactică

Contractul

didactic

transinformaţia didactică

10

3. ORIENTĂRI ŞI TENDINŢE ACTUALE ÎN DIDACTICA MATEMATICII

Echipele de cercetători, în domeniul predării şi învăţării matematicii, ce reunesc specialişti din

diverse domenii (psihologi, pedagogi, matematicieni, filosofi etc.), au ca direcţii principale de

cercetare9: analiza specificului învăţării matematicii; dezvoltarea de modele conceptuale ale

demersurilor cognitive pe care le realizează elevii în învăţarea matematicii; conceperea de dispozitive

pedagogice pentru eficientizarea procesului formativ; furnizarea unei baze ştiinţifice solide pentru

învăţarea matematicii şi promovarea unei formări de calitate în acest domeniu.

Referitor la învăţarea matematicii, E. De Corte şi L. Verschaffel10, consideră aceasta trebuie să

fie dinamică, ceea ce se traduce prin trei caracteristici: autoreglată, contextualizată şi colaborativă.

Aceste caracteristici ale învăţării, descrise succint mai sus, vin să întregească lista condiţiilor

unei învăţări eficiente, care trebuie să fie participativă, activă şi creativă11.

CAP. II. PROBLEMATICA OBSTACOLELOR ŞI A ERORILOR ÎN

DIDACTICA MATEMATICII

1. STADIUL ACTUAL AL CERCETĂRILOR ÎN CÂMPUL PROBLEMATICII

OBSTACOLELOR ŞI A ERORILOR ÎN DIDACTICA MATEMATICII

Problematica obstacolelor şi a erorilor are, în primul rând, un fundament fenomenologic, printre

primii care au acordat atenţie acestui „fenomen” de natură didactică fiind Gaston Bachellard. Acesta a

introdus conceptul de obstacol epistemologic, iniţiind, mai târziu, noi direcţii de cercetare în domeniul

didacticii. Ideile lui G. Bachelard au fost preluate şi dezvoltate de A. Giordan şi G. De Vecchi în Les

origines du savoir (1987), unde este pus în evidenţă rolul obstacolelor epistemologice în formarea

cunoaşterii ştiinţifice. Printre didacticienii interesaţi de identificarea cauzelor erorilor sistematice

efectuate de elevi, s-a numărat Guy Brousseau care clasifică obstacolele în învăţare în: obstacole

epistemologice, obstacole ontologice şi obstacole didactice. În 1988, a avut loc la Montréal un

Colocviu internaţional asupra obstacolelor epistemologice şi a conflictului socio-cognitiv12, dedicat

problematicii obstacolelor şi a conflictelor în construcţia cunoaşterii. Jean-Pierre Astolfi, în lucrarea

9 Idem, loc. cit. 10 M. Crahay et al. (dir.),Enseignement et apprentissage des mathématiques,Bruxelles, De Boeck Université, 2005, p.33. 11 Conform lui I. Neacşu, Instruire şi învăţare, Bucureşti, EDP, 1999, p. 12. 12 N. Bernarz, C. Garnier (dir.), Les Actes du Coloque international sur l'obstacle épistémologique et le conflit socio-cognitif, Montréal, 1988.

11

L’erreur, un outil pour enseigner, pledează pentru revizuirea statutului erorii în actul didactic,

evidenţiindu-i valenţele formative şi realizează o tipologie a erorilor propunând, totodată, strategii de

mediere şi remediere a fiecărui tip de eroare. Philippe Meirieu prezintă importanţa conflictului socio-

cognitiv şi a noţiunii de obiectiv-obstacol pentru evidenţierea obstacolelor epistemologice în lucrarea

Apprendre...oui, mais comment, apărută în 1987. O lucrare de referinţă pentru studiul erorilor în actul

didactic aparţine lui Saturnino de la Torre de la Torre, Aprender de los errores (1993), în care

tratamentul didactic al erorilor este considerat, de autor, strategie de inovare.

2. UN MODEL AL MOTIVAŢIEI ÎN CONTEXTUL ŞCOLAR.

PERSPECTIVA DIDACTICII MATEMATICII

R. Viau (1999) a construit un model al motivaţiei în contextul şcolar, pornind de la definiţia

motivaţiei, inspirată de lucrările cercetătorilor cu o orientare socio-cognitivă asupra fenomenului

educaţional (D. H. Schunk, B. J. Zimmerman, P. R. Pintrich şi B. Schrauben13). Modelul teoretic al

motivaţiei este structurat în două categorii factoriale: determinanţii motivaţiei şi indicatorii motivaţiei:

Determinanţi Indicatori Percepţiile elevului Angajament

-asupra valorii cognitiv unei activităţi

Context Alegere Performanţă -asupra competenţei

Perseverenţă -asupra controlului

Figura II.2. Modelul motivaţiei în contextul şcolar (după R. Viau, 1999, p.32)

Valoarea unei activităţi este percepută în funcţie de scopurile urmărite prin învăţare. În mediul

şcolar, K. R. Wentzel14diferenţiază două categorii de scopuri: scopurile sociale şi scopurile şcolare,

acestea putând fi scopuri de învăţare sau scopuri de performanţă.

13 R.Viau, La motivation en contexte scolaire, De Boeck Université, 1999, p. 7. 14 K. R. Wentzel, apud R.Viau, La motivation en contexte scolaire, De Boeck Université, 1999, p. 45.

12

Percepţia asupra posibilităţilor de a controla derularea şi rezultatul unei activităţi este

condiţionată de dimensiunile atribuţionale care, în viziunea lui B. Weiner, sunt: locul cauzei (cauze

interne şi cauze externe), stabilitatea cauzei (cauze stabile şi cauze instabile) şi controlul asupra

cauzei (cauze controlabile şi cauze necontrolabile).

3. RAPORTUL DINTRE OBSTACOLE ŞI ERORI ÎN ABORDĂRILE DIDACTICE

Cercetările au evidenţiat o relaţie de interdependenţă între obstacole şi erori, în context didactic:

un obstacol care se manifestă şi cu care se confruntă subiectul angajat într-un proces de învăţare poate

determina o eroare în produsul învăţării şi, în acelaşi timp, o eroare neidentificată şi netratată la timp

poate constitui un obstacol în evoluţia ulterioară a cunoaşterii. Raportul dintre obstacole şi erori

prezintă interes pentru o didactică a erorii, în care eroarea în învăţare este valorizată ca instrument

didactic, ca simptom al unui demers cognitiv inadecvat în care este angajat elevul.

4. OBSTACOLE ŞI TIPOLOGIA OBSTACOLELOR SPECIFICE

CONTEXTULUI DIDACTIC MATEMATIC

OBSTACOLE EPISTEMOLOGICE

Dificultăţi interne conţinutului noţional C

E P OBSTACOLE OBSTACOLE

PSIHOLOGICE DIDACTICE

Caracteristici cognitive Dispozitive şi modele

ale elevului de predare

Figura II.3. Tipologia obstacolelor (după J.-P. Astolfi, 1997, p. 98)

SISTEM DIDACTIC

Reprezentări alternative

Distanţa faţă de demersurile aşteptate

Operaţii intelectuale disponibile

Redactarea şi înţelegerea cerinţelor

Probleme ce ţin de transfer

Complexitatea internă a

conţinutului

Starea de supraîncărcare cognitivă

Modul de decodare a obişnuinţei didactice

13

Utilizarea acestui concept în context didactic presupune utilizarea paradigmei constructiviste a

procesului de instruire, acceptând învăţarea ca un proces dinamic ce se poate confrunta, în derularea

lui, cu diverse obstacole.

5. ERORI. PERSPECTIVA DIDACTICII ASUPRA ERORII. TAXONOMII SPECIFICE

In didactică, eroarea şi greşeala sunt sinonime până la un moment dat, ele având acelaşi

înţeles: rezultatul obţinut în urma unei activităţi didactice (de învăţare) nu este egal cu rezultatul

aşteptat. Totuşi, această suprapunere de sens vizează doar produsul, modurile de obţinere a acestuia

putând fi diferite, în sensul că elevul poate cunoaşte sau nu metoda de obţinere a rezultatului. Aşadar,

greşelile sunt întâmplătoare, superficiale, determinate de factori preponderent subiectivi (neatenţie,

oboseală, emoţii etc.), iar acestea trebuie evitate, neavând valoare didactică. In schimb, erorile sunt

importante pentru actul didactic deoarece sunt mai profunde, cu caracter aleator sau sistematic, fiind

dovada unui anume mod de a gândi, de a raţiona, deci, ceea ce este foarte important, a angajării

elevului într-o activitate de învăţare. Fiecare eroare, oricât de iraţională ar părea, are logica ei.

J.-P. Astolfi (1997) a realizat o tipologie a erorilor pornind de la tipurile de obstacole specifice unui

sistem didactic (v. Figura II.3). S. de la Torre de la Torre15 propune un model de analiză didactică a

erorilor, model tridimensional, realizat în funcţie de fazele tratării informaţiei:

Figura II. 6. Modelul de analiză didactică a erorilor (după S. de la Torre de la Torre,1993, p. 130)

15 S. de la Torre de la Torre, Apprender de los errores, Madrid, Editorial Escuela Espaňola, 1993, pp. 129-149.

I INTRARE

II ORGANIZARE

III EXECUŢIE

ANALIZĂ ORDONARE SINTEZĂ CONEXIUNI

E E R. R. O M P E E C R A A N T I I C V E E

E R. S T R A T E G I C E

INŢELEGERE:-LEXICALĂ -CONCEPTUALĂ -LOGICĂ PERCEPŢIE :-OMISIUNE -REDUNDANŢĂ -DISTORSIUNE INTENŢIE (Obiective): -AMBIGUITATE -CONFLICT

14

6. TRATAREA DIDACTICĂ A OBSTACOLELOR ŞI A ERORILOR

Problema tratării didactice a erorilor presupune schimbarea de paradigmă în învăţare: trecerea

de la o paradigmă centrată pe produs, la una centrată pe proces.

Didactica erorii valorifică ceea ce s-a realizat şi, mai ales, modul în care s-a realizat învăţarea,

analizând, prin intermediul erorilor, modalităţile de ameliorare a procesului. Acest tip de didactică este

organizat pe baza unor enunţuri-valori specifice16, cum ar fi: eroarea este inevitabilă în procesul de

învăţare; eroarea este un element constructiv şi inovator; eroarea este acceptabilă şi analizabilă;

eroarea este un indicator de proces, un simptom cu rol de diagnoză-diagnosticare, nu un rezultat

negativ şi sancţionabil; sarcinile obişnuite ale profesorului (explicarea, prezentarea, corectarea

exerciţiilor şi Eroarea are semnificaţii diferite pentru profesor respectiv pentru elev.

În ceea ce priveşte tratarea didactică a erorilor, S. de la Torre (1993, pp.157-170) identifică trei

faze: detectarea, identificarea şi rectificarea erorilor.

7. RISCURI ALE NON-INTERVENŢIEI DIDACTICE ÎN IDENTIFICAREA ŞI TRATAREA PEDAGOGICĂ A ERORILOR

Pentru a aborda problema riscurilor determinate de non-intervenţia în tratarea didactică a

erorilor, punem în evidenţă valoarea didactică a acestora, prin menţionarea implicaţiilor pe care le au

asupra unor componente esenţiale ale didacticii:

Obiective de cercetare Obiective educaţionale

Cogniţie socială Proiectarea didactică

Selectarea şi organizarea conţinuturilor Formarea personalului didactic

Alegerea strategiei didactice

Comportamentul didactic

Stabilirea instrumentelor de evaluare

Comportamentul elevilor

Figura II. 7. Valoarea didactică a erorilor

16 S. de la Torre de la Torre, Apprendre de los errores, Madrid, Editorial Escuela Espaňola, 1993, p. 94.

Valoarea didactică a erorii

- implicaţii

15

Utilizarea erorilor în activitatea didactică presupune schimbarea de paradigmă la nivelul tuturor

componentelor didacticii, menţionate în figura de mai sus. Abordarea sistemică a acestor factori

presupune înţelegerea modificărilor ce sunt declanşate la nivelul celorlalte componente de valorizarea

didactică a erorilor în cadrul uneia dintre acestea.

CAP. III. METODOLOGIA CERCETĂRII EMPIRICE

1. SCOPUL ŞI OBIECTIVELE CERCETĂRII

Obiectivele generale, ce au conturat câmpurile de investigare, sunt:

O1: Analiza psihopedagogică a conţinuturilor matematice prezentate în documentele curriculare

principale pentru ciclul gimnazial.

O2: Analiza strategiilor didactice (de predare-învăţare-evaluare) utilizate în instruirea la

matematică la nivel de gimnaziu, din perspectiva problematicii studiate.

O3: Studiul nivelului motivaţional al elevilor de gimnaziu pentru învăţarea matematicii şi

identificarea factorilor cu impact afectiv-motivaţional asupra rezultatelor/performanţelor acestora.

O4: Analiza rezultatelor înregistrate de elevii de gimnaziu în învăţarea matematicii.

O5: Identificarea, înregistrarea şi analiza specifică a obstacolelor şi a erorilor specifice în

învăţarea matematicii de gimnaziu.

Din acestea derivă un set de 13 obiective specifice.

2. VARIABILELE CERCETĂRII - statut şi operaţionalizare Criteriile de selecţie a variabilelor au fost relevanţa crescută a acestora din punctul de vedere al

problematicii obstacolelor şi a erorilor în învăţarea matematicii în gimnaziu şi implicarea celor trei

componente din modelul triangular al actului didactic (profesor-elev-cunoaştere).

Cercetarea este susţinută şi orientată de studiul următoarelor variabile:

V1. Analiza curriculară: gradul de reprezentativitate al aplicaţiilor matematicii în practică, la

nivel gimnazial;

V2. Continuitate şi discontinuitate la nivelul curriculum-ului matematic pentru gimnaziu;

V3. Motivaţia elevilor pentru învăţarea matematicii de gimnaziu;

V4. Strategii de predare a matematicii în gimnaziu;

V5. Strategii de învăţare a matematicii în gimnaziu;

V6. Strategii de evaluare a rezultatelor învăţării matematicii în gimnaziu.;

16

V7. Performanţele elevilor în învăţarea matematicii;

V8. Statutul erorilor în învăţare, în concepţia elevilor;

V9. Statutul erorilor în învăţare, în concepţia cadrelor didactice;

V10. Obstacole şi erori întâlnite în învăţarea matematicii

3. IPOTEZELE CERCETĂRII - axa în jurul căreia se articulează

componentele demersului investigativ

Cercetarea realizată s-a focalizat pe verificarea ipotezei generale, conform căreia, elevii de

gimnaziu se confruntă în învăţarea matematicii cu o serie de obstacole, mai mult sau mai puţin

conştientizate atât de către profesor, cât şi de către elev; cunoaşterea şi depăşirea acestor obstacole,

precum şi tratarea corespunzătoare a erorilor specifice determinate de acestea vor ameliora

activitatea de instruire-învăţare la matematică.

Pentru verificarea ipotezei generale am elaborat un set de 6 ipoteze secundare.

4.SPECTRUL METODELOR DE CERCETARE

Metodologia utilizată a fost definită de 6 metode de cercetare:

4.1. Observaţia

4.2. Analiza documentelor curriculare: Procesele-verbale încheiate cu ocazia inspecţiilor efectuate

pentru obţinerea gradelor didactice şi rapoartele de evaluare curentă (30 de documente; şcoli din

municipiul Constanţa); Programa şcolară de matematică pentru clasele V-VIII; Manualele şcolare de

matematică pentru gimnaziu.

4. 3. Cercetarea produselor elevilor. Studiu de caz a avut ca obiect Lucrările de la Proba scrisă la

matematică, Examenul de capacitate, Sesiunea iunie 2006, Varianta 2.

Tabelul III. 3. Alcătuirea eşantionului cuprins în studiu

MEDIUL URBAN MEDIUL RURAL Şcoală generală Liceu cu clasele

V-VIII Şcoală

generală Liceu cu clasele V-VIII

TOTAL

Subiecţi fete 69 25 43 12 149 Subiecţi băieţi 67 26 44 14 151

TOTAL 136 51 87 26 300

17

4. 4. Focus-grupul

Au fost organizate 2 focus-grupuri la care au participat profesori de matematică (de gimnaziu,

respectiv de liceu): profesori metodişti sau profesori mentori de practică pedagogică. Fiecare focus-

grup a avut un număr de 6 participanţi, iar durata de desfăşurare a fiecăruia a fost de 1,5 h.

Discuţiile înregistrate şi analizate într-un timp ulterior desfăşurării acestora, s-au concentrat în

jurul a 4 probleme majore: Tendinţele conturate în studiul matematicii în gimnaziu în perioada

reformei din învăţământul preuniversitar. Didactica matematicii în contextul actual al învăţământului

românesc; Manualele alternative de matematică pentru gimnaziu; Obstacolele şi erorile în învăţarea

matematicii în gimnaziu; Deosebirea dintre eroare şi greşeală în contextul didacticii matematicii.

Tratarea didactică a erorilor.

4.5. Experimentul didactic

Variabila independentă centrală introdusă în experiment s-a raportat la strategia didactică prin

următoarele categorii de subvariabile: valorificarea continuităţii între conţinuturile matematice;

intensificarea activităţii individuale a elevilor; evaluarea continuă a procesului de învăţare;

asigurarea unui climat socio-afectiv pozitiv; evidenţierea caracterului aplicativ al cunoştinţelor

matematice; diversificarea materialului didactic.

Variabilele dependente, cuantificate, sunt reprezentate de rezultatele/performanţele obţinute de elevi.

Lotul experimental a fost alcătuit din 27 de elevi, structurat astfel:

Figura III.3. Componenţa lotului experimental 4.6. Ancheta pe bază de chestionar: chestionar de tip omnibus (v. Anexa 2), aplicat elevilor de clasa a

VIII-a, cu 176 de itemi elaboraţi în scopul cercetării fiecăreia dintre cele 10 variabile de cercetare.

Întrebările incluse în chestionar au fost de două tipuri: întrebări închise, cu variante de

răspuns precodificate, dihotomice (de tip adevărat/fals) sau multiple (cu scala ordinală de tip Likert, în

6 trepte) şi întrebări deschise, de genul „altele (care anume): ...”.

Datele obţinute au fost prelucrate statistic (programului SPSS 14.) prin: tabelele de frecvenţă,

calcularea indicatorilor tendinţei centrale, reprezentarea grafică a distribuţiilor de frecvenţe, testarea

băieţi; 12; 44%

fete; 15; 56%

18

ipotezelor statistice (testul neparametric Wilcoxon, pentru eşantioane perechi), analiza corelaţională

(coeficientul de corelaţie ρ Spearman).

5. EŞANTIONUL DE CERCETARE

Chestionarul a fost pretestat pe un lot de 27 de elevi de clasa a VIII-a din Municipiul Constanţa

şi aplicat în 22 de clase de elevi (clasa a VIII-a), reprezentând 19 localităţi (12 din mediul rural şi 7

din mediul urban) şi a cuprins 4 judeţe din zona de sud-est a României (Constanţa, Tulcea, Brăila,

Călăraşi) şi Municipiul Bucureşti, totalizând un număr de 350 de elevi.

Figura III.5. Componenţa eşantionului după Figura III.6. Componenţa eşantionului după genul subiecţilor mediul de locaţie a şcolii

Figura III.7. Distribuiţia eşantionului după mediul şcolii şi genul subiecţilor

76 42,22%

104 57,78%

mediul şcolii: urban

masculin

feminin

genul subiecţilor

84 49,41%

86 50,59%

mediul şcolii: rural

masculin

feminin

genul subiecţilor

masculin

feminin

genul subiecţilor

190 54,29%

160 45,71% 180

51,43% 170 48,57%

urban

rural

mediul şcolii

19

7. LIMITELE ŞI DIFICULTĂŢILE DEMERSULUI DE CERCETARE

În interpretarea şi valorificarea rezultatelor cercetării trebuie să ţinem cont de limitele şi de

dificultăţile ce caracterizează orice activitate de cercetare a fenomenului educaţional, dată fiind

dinamica specifică acestui fenomen, precum şi caracterul continuu şi ireversibil al fluxului său de

desfăşurare.

CAP. IV. REZULTATE ŞI INTERPRETĂRI

Fiecare subcapitol al acestei părţi din lucrare corespunde unei variabile cercetate şi cuprinde

rezultatele obţinute, însoţite de comentarii şi interpretări specifice.

În cele ce urmează vom prezenta câteva rezultate mai semnificative ale cercetării.

1. Analiza curriculară: gradul de reprezentativitate al aplicaţiilor matematicii în practică,

la nivel gimnazial

Pentru studiul acestei variabile am aplicat trei metode de cercetare, fiecare vizând câte o

componentă a triunghiului didactic: analiza documentelor curriculare, focus-grupul şi chestionarul.

Dinamica nivelului de reprezentativitate studiat pentru cei patru ani de gimnaziu, pe fiecare

domeniu al matematicii, este ilustrată prin figura de mai jos:

Figura IV.8. Studiu comparativ între domeniile matematicii, după clasă,

privind gradul de reprezentativitate al aplicaţiilor practice

Studiu comparativ între domeniile matematicii, după anul de studiu

3,83%

22%

13,88%

5,98%

16,66%

1,90%

9,27%

0%

8,51%

1,51%

6,22%

16,13%

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

Clasa a V-a Clasa a VI-a Clasa a VII-a Clasa a VIII-a

Pro

cent

e di

n to

talu

l apl

icaţ

iilor

pro

puse

Aritmetică şi algebră Geometrie Recapitulare finală

20

Pe baza datelor desprinse din studiul realizat şi prezentat mai sus, putem formula concluzia că

aspectul contextualizării şi al recontextualizării cunoştinţelor prevăzute în programa de matematică

pentru gimnaziu nu constituie un criteriu în alcătuirea manualelor şcolare, cel puţin la nivelul lotului

de manuale cuprins în studiu.

Concluziile discuţiilor purtate în cadrul focus-grupului subliniază lipsa unei suficiente susţineri

de ordin practic-aplicativ a cunoştinţelor matematice studiate în gimnaziu, cu impact motivaţional

negativ asupra elevilor în raport cu această disciplină şcolară.

2. Continuitate şi discontinuitate la nivelul curriculum-ului matematic

pentru gimnaziu

Pentru cercetarea acestei variabile, am aplicat trei metode de cercetare: analiza documentelor

curriculare, focus-grupul şi chestionarul.

Urmărind evoluţia principalelor concepte matematice în curriculum-ul pentru gimnaziu şi

conexiunile acestora cu ciclul primar, respectiv liceal se constată organizarea acestora după unele linii

directoare ce orientează evoluţia în spirală a conceptelor, care se formează pe niveluri gradiente de

conceptualizare şi prin valorificarea conţinuturilor studiate anterior.

Dezbaterea ce a avut loc în cadrul focus-grupului a evidenţiat importanţa asigurării continuităţii

între ciclurile de învăţământ, atât sub aspectul conţinuturilor, cât şi al strategiilor de instruire, precum şi

necesitatea valorificării achiziţiilor anterioare în construirea cunoaşterii.

Chestionarul a cuprins trei itemi referitori la continuitatea la nivel curricular în ceea ce priveşte

cunoştinţele de matematică:

Pentru a identifica existenţa unei eventuale legături între realizarea acestor conexiuni între

cunoştinţe şi rezultatele elevilor la matematică, am calculat coeficientul de corelaţie Spearman.

Tabelul IV.11. Corelaţia între "rezultatele elevilor" şi "realizarea conexiunilor între cunoştinţe"

media la matematică în cls V-VII

când învăţ, fac conexiuni între cunoştinţele matematice noi şi alte cunoştinţe de matematică

însuşite anterior Correlation Coefficient 1,000 ,348(**) Sig. (2-tailed) . ,000

media la matematică în cls V-VII N 350 348

Correlation Coefficient ,348(**) 1,000

Sig. (2-tailed) ,000 .

Spea

rman

's rh

o

când învăţ, fac conexiuni între cunoştinţele matematice noi şi alte cunoştinţe de matematică însuşite anterior

N 348 348

** Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).

21

În ceea ce priveşte continuitatea între cunoştinţele matematice din ciclul primar şi cele din

gimnaziu, într-o măsură destul de importantă (aproape 40% dintre subiecţi) a fost apreciată ca mai

degrabă nerealizată, după cum se poate observa în Tabelul IV.14.

Figura IV.13. Histograma pentru “continuitate primar-gimnaziu”

Se constată că pentru o mare parte dintre elevii de gimnaziu, realizarea conexiunilor între

cunoştinţele anterioare şi cele în curs de învăţare nu constituie o componentă a strategiei de învăţare a

matematicii. Profesorii de matematică ar trebui să expliciteze mai mult legăturile ce se pot stabili între

cunoştinţele matematice aflate pe diferite niveluri de conceptualizare. Însă, pentru aceasta este absolut

necesară cunoaşterea de către profesor a curriculum-ului matematic, cel puţin pentru clasele „vecine”

ciclului respectiv şi măcar la nivel de conţinuturi ale învăţării.

3. Motivaţia elevilor pentru învăţarea matematicii de gimnaziu

Pentru cercetarea acestei variabile, am aplicat: FOCUS-GRUPUL şi CHESTIONARUL.

În ierarhia motivelor pentru care elevii de gimnaziu învaţă matematica, se detaşează în mod

semnificativ acela de a reuşi la liceul dorit.

întotdeauna

foarte des

des

rar

foarte rar

niciodată

30 25 20 15 10 5 0 Percent

14,66%

19,54%

26,44%

17,24%

14,66%

7,47%

cunoştinţele de matematică predate în gimnaziu au fost legate de cele din ciclul primar

22

În figura de mai jos sunt ilustrate diferenţele şi asemănările dintre fete şi băieţi în mediul rural,

respectiv în cel urban, în ceea ce priveşte motivele învăţării matematicii:

Figura IV.16. Ierarhia motivelor învăţării matematicii, după mediul de rezidenţă al şcolii şi după genul subiecţilor

Rezultatele studiului arată că eventualele eşecuri în învăţarea matematicii au cauze interne şi

controlabile, asupra cărora elevii pot acţiona.

Elevii consideră că, în ceea ce priveşte învăţarea matematicii, deţin controlul asupra

posibilităţilor de a îndeplini această activitate şi îşi asumă responsabilitatea în ceea ce priveşte

rezultatele obţinute. Totuşi, interpretând nivelul nu tocmai ridicat al indicatorilor stării motivaţionale a

elevilor pentru această componentă a învăţării şcolare (angajarea şi perseverenţa în rezolvarea

sarcinilor), putem afirma că elevii se confruntă cu un obstacol de natură motivaţională în procesul de

învăţare a matematicii. De asemenea, considerăm că este necesară o creştere a autonomiei elevilor în

masculin feminin genul subiecţilor

5,00

4,00

3,00

2,00

Mea

n

masculin feminin

urban rural mediul şcolii

să fiu la fel ca profesorul meu

să obţin recompensele materiale promise

să-mi bucur părinţii, să le răsplătesc efortul

teama de eşec; să evit pedepsele parintţlor/profesorului

să am o meserie

datoria pe care o am ca elev

plăcerea de a învăţa, curiozitatea de a afla lucruri noi, satisfacţia de a afla lucruri interesante

convingerea că ceea ce învăţ îmi va folosi în viaţă, în profesie, mai târziu

sa reusesc la liceul dorit

mă obligă familia/prietenii

dorinţa de a dobândi cât mai multe cunoştinţe de matematică

să obţin note mari; să fiu primul/prima din clasă; să fiu apreciat(ă) de colegi/profesori/familie

23

rezolvarea activităţilor de învăţare specifice matematicii, prin exersarea auto-organizării şi auto-

controlului, strategii fundamentale pentru o învăţare autentică.

4. Strategii de predare a matematicii în gimnaziu

Cercetarea acestei variabile s-a realizat prin: analiza documentelor şcolare, focus-grupul şi

chestionarul.

Figura IV.31. Comparaţii între “metodele didactice”

După cum rezultă din figura de mai sus, în orele de matematică predomină explicaţia,

demonstraţia şi rezolvarea de probleme, indiferent de criteriul de analiză a rezultatelor. .

Histogramele de mai jos vizează formele de organizare a activităţii de învăţare în orele de matematică:

urbanrural

mediul şcolii

6,00

4,00

2,00

Mea

n

urban rural

6,00

4,00

2,00

masculin feminin

genul subiecţilor

generalăliceu/grup şcolar cu

clasele V-VIII

tipul şcolii

ne antrenează în competiţii în afara clasei (concursuri de matematică, olimpiade,...)

ne antrenează în competiţii la nivelul clasei

discută cu noi, chiar subiecte din afara matematicii

problematizează

rezolvă exerciţii şi probleme de matematică

demonstrează (afirmaţiile pe care le face el sau un elev din clasă)

conversează cu noi pe teme de matematică

Profesorul explică

24

Figura IV.32. Histograma pentru Figura IV.33. Histograma pentru „lucrăm individual, pe caiet” „lucrăm individual, pe fişe de lucru”

Figura IV.34. Histograma pentru Figura IV.35. Histograma pentru „lucrăm pe echipe” „lucrăm frontal, odată cu cel de la tablă” Se poate observa că predomină activitatea de tip frontal, fişele individuale de lucru fiind foarte

puţin folosite în învăţarea matematicii.

Referitor la mijloacele didactice folosite în timpul orelor de matematică, se observă că fişele

individuale de lucru şi calculatorul sunt foarte puţin valorizate în desfăşurarea activităţilor de învăţare,

predominante fiind tabla şi caietul. (v. Figura de mai jos)

6 5 4 3 2 1 în clasă, profesorul de matematică ne cere să lucrăm

individual, pe caiet

120

100

80

60

40

20

0

Freq

uenc

y

107

71 57 40

49 26

Freq

uenc

y

6 5 4 3 2 1

în clasă, profesorul de matematică ne cere să lucrăm individual, pe fişe de lucru

120

100

80

60

40

20

0 24 28

58 67 64

108

6 5 4 3 2 1 în clasă, profesorul de matematică ne cere să lucrăm pe echipe

200

150

100

50

0 11 16 22 52 61

186

6 5 4 3 2 1 în clasă, profesorul de matematică ne cere să lucrăm

frontal, odată cu cel de la tabla

200

150

100

50

0

166

68 48

23 18 24

Freq

uenc

y

Freq

uenc

y

25

Figura IV.38. Comparaţii între ”mijloacele didactice folosite în ora de matematică”

O altă coordonată a cercetării strategiilor didactice o reprezintă natura metodelor de rezolvare a

problemelor de aritmetică.

Figura IV.40. Distribuţia frecvenţelor pentru „metodele de rezolvare a problemelor de aritmetică”

Se constată predominanţa metodelor algebrice, bazate pe algoritmi de rezolvare.

urban rural mediul şcolii

6,00

4,00

2,00

Mea

n

urban rural

liceu/grup şcolar cu clasele V-VIII generală

tipul şcolii

calculatorul

diverse corpuri geometrice

trusa de geometrie pentru construcţii la tablă

trusa de geometrie individuală

fişe individuale de lucru

diverse planşe cu formule şi figuri geometrice

culegeri de probleme

tabla şi caietul

1,74%

76,45%

23,55% Missing

metode algebrice (ecuaţii, sisteme de ecuaţii,...)

metode aritmetice cu accent pe gândire/raţionament

în rezolvarea problemelor de aritmetică, profesorul foloseşte mai ales ...

26

Un alt set de itemi vizează exigenţele profesorului de matematică privind modul de exprimare a cunoştinţelor matematice. Se constată o mai mare atenţie acordată exprimării scrise faţă de cea orală.

urbanrural

mediul scolii

4,60

4,40

4,20

Mea

n

profesorul de matematica este exigent cu noi in privinta redactarii ingrijite, corecte si complete, a rezolvarii exercitiilor si problemelor

profesorul de matematica este exigent cu noi in privinta exprimarii orale, folosind corect limbajul matematic

Figura IV.41. Comparaţie între "exigenţele privind modul de exprimare"

Se constată că în cadrul procesului de instruire la matematică în gimnaziu, profesorii pun, încă,

accentul pe predare - ca transmitere de cunoştinţe şi pe învăţare – ca însuşire de cunoştinţe gata

construite. De asemenea, în desfăşurarea orelor de matematică se folosesc cu precădere strategiile

tradiţionale de instruire.

5. Strategii de învăţare a matematicii în gimnaziu

Pentru verificarea ipotezei, am aplicat următoarele două metode de cercetare: focus-grupul şi

chestionarul.

Din schimbul de opinii ce a avut loc între participanţii la focus-grup a reieşit că: manualele şcolare

nu constituie mijloace de învăţare eficiente pentru elevi; predomină metodele algoritmice în rezolvarea

problemelor; ajutorul nespecializat din partea părinţilor poate constitui un obstacol în învăţarea

matematicii.

Itemii construiţi pentru a cerceta această variabilă vizează strategiile cele mai frecvente aplicate de

elevi în învăţarea matematicii:

27

Comparând strategiile aplicate de elevi în învăţarea matematicii, după media statistică, se constată

existenţa unor similitudini, dar şi diferenţe, atât între elevii din mediul urban şi cei din mediul rural, cât

şi între băieţii şi fetele dintr-un acelaşi mediu de rezidenţă al şcolii (Figura IV.45).

Figura IV. 45. Comparaţie între „strategiile de învăţare a matematicii”

Unele strategii de învăţare corelează semnificativ cu rezultatele obţinute de elevi la matematică.

Tabelul IV.48. Corelaţia între „strategiile de învăţare” şi „rezultatele la matematică”

Pentru a învăţa/studia la matematică:

îmi construiesc, în minte, "imagini" ale celor

învăţate lucrez în plus faţă de ceea ce ne dă

profesorul ca temă Correlation Coefficient ,318(**) ,373(**)

Sig. (2-tailed) ,000 ,000

Spe

arm

an's

rho

m

edia

la

mat

emat

ică

în c

ls V

-VII

N 349 341

** Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed). Păstrând acelaşi indicator (media statistică), putem face comparaţii între punctele de sprijin

folosite de elevi în învăţarea matematicii, în funcţie de tipul şcolii, mediul de rezidenţă al şcolii şi

genul subiecţilor (Figura IV.47).

28

Figura IV.49. Comparaţie multicriterială între “punctele de sprijin în învăţarea matematicii”

Deşi elevii consideră că înţeleg mai bine atunci când lucrează împreună cu alţi colegi,

rezultatele la matematică corelează pozitiv (ρ = .305, p ˂ .01) cu modul de lucru la tablă, iar apoi cu

modul de lucru individual, în bancă (ρ = .253, p ˂ .01). (Tabelul IV.53)

Tabelul IV.53. Corelaţia între “modalităţile de lucru în ora de matematică“ şi "rezutatele obţinute"

în orele de matematică înţeleg

mai bine dacă lucrez singur în bancă şi-mi dau seama, astfel,

cât ştiu

în orele de matematică înţeleg

mai bine dacă lucrez împreună cu

alţi colegi şi ne putem consulta

în orele de matematică înţeleg mai

bine dacă ies la tablă

Correlation Coefficient ,253(**) ,048 ,305(**) Sig. (2-tailed) ,000 ,375 ,000

Spearman's rho

media la matematică în cls V-VII

N 350 350 349 ** Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).

masculin feminin genul subiecţilor

5,50

5,00

4,50

4,00

3,50

3,00

Mea

n

masculin feminin

5,50

5,00

4,50

4,00

3,50

3,00

urban rural

mediul şcolii

generalăliceu/grup şcolar cu

clasele V-VIII

tipul şcolii

cât mai mult exerciţiu (antrenament)

inspiraţia de moment

diferite scheme pe care mi le

construiesc în minte

gândirea logică

imaginaţie

memorie

În învăţarea matematicii mă bazez pe…

înţelegere

29

Următorul set de itemi vizează preferinţele elevilor în ceea ce priveşte metodele de rezolvare a

exerciţiilor şi problemelor de aritmetică.

Metodele algoritmice devansează metodele euristice în ordinea preferinţelor elevilor, indiferent

de criteriul ales pentru comparaţie (mediul de rezidenţă al şcolii sau genul subiecţilor ), după cum se

poate vedea şi în diagrama de mai jos. Acest rezultat întăreşte preferinţele elevilor pentru algebră şi

confirmă folosirea preponderentă, de către profesor, a metodelor algebrice în rezovarea problemelor.

Figura IV.54. Comparaţie privind "aplicaţii matematice preferate de elevi"

Datele obţinute au demonstrat lipsa unui program personal de studiu (bazat pe organizarea şi

planificarea activităţilor de învăţare), precum şi a unei strategii personale de învăţare la matematică.

De asemenea, se constată un nivel redus al construcţiilor mentale (reprezentărilor) a ceea ce face

obiectul învăţării, informaţia nefiind interiorizată, conştientizată şi procesată corespunzător.

30

6. Strategii de evaluare a învăţării matematicii în gimnaziu Pentru studiul acestei variabile, am aplicat chestionarul. Un prim set de itemi, construiţi pentru

cercetarea acestei variabile, a vizat metodele şi instrumentele de evaluare utilizate.

Figura IV.57. Distribuţia frecvenţelor Figura IV.58. Distribuţia frecvenţelor

pentru“evaluarea orală” pentru “evaluarea scrisă”

Figura IV.59. Distribuţia frecvenţelor pentru “evaluarea practică"

întotdeauna foarte des

des rar foarte rar

niciodată

la matematică suntem evaluaţi oral

40

30

20

10

0

Perc

ent

32,29%

21,71%

17,14%

12,86% 9,14%

6,86%

întotdeauna foarte des

des rar foarte rar

niciodată

la matematică suntem evaluaţi prin teste de evaluare

40

30

20

10

0

Perc

ent

33,05%

22,99%

18,68%

12,64% 8,62%

4,02%

întotdeauna foarte des

des rar foarte rar

niciodată

la matematică suntem evaluaţi prin activităţi practice

20

15

10

5

0

Perc

ent

12,07%

16,95% 17,24% 17,53% 16,38%

19,83%

31

Figura IV.60. Distribuţia frecvenţelor Figura IV.61. Distribuţia frecvenţelor

pentru “evaluarea prin portofolii” pentru “evaluarea prin referate”

Se constată că predominante sunt metodele tradiţionale de evaluare (prin probe orale sau scrise), în timp ce metodele moderne sunt foarte puţin prezente în evaluarea procesului de instruire la matematică, în gimnaziu.

Figura IV.62. Comparaţie privind "tipologia itemilor de evaluare"

întotdeauna foarte des

des rar foarte rar

niciodată

la matematică suntem evaluaţi prin portofolii

60

50

40

30

20

10

0

Perc

ent

1,72% 2,87%

6,02% 12,61%

18,91%

57,88%

întotdeauna foarte des

des rar foarte rar niciodată

la matematică suntem evaluaţi prin referate

80

60

40

20

0 Pe

rcen

t

1,47% 2,05% 3,52%

8,21% 13,49%

71,26%

Mea

n

5

4

3

2

1

mediul şcolii urban

0 rural

itemi de tip pereche (de realizarea corespondenţei între întrebări şi răspunsuri)

itemi cu alegere multiplă (de tip grilă)

itemi cu alegere duală (de tip adevărat/fals)

itemi de completat (spaţiile libere dintr-un enunţ)

rezolvări integrale de exerciţii şi probleme

reproducerea definitiilor, a teoremelor,...

Cerinţele din probele de evaluare pe care le-am avut până acum la matematică au fost… intrebări scurte din teorie

32

În concluzie, profesorii de matematică au introdus într-o mică măsură în practica evaluării

diversificarea instrumentelor şi a itemilor de evaluare, preferând metodele tradiţionale, mai comode,

dar mai puţin eficiente.

7. Performanţele elevilor în învăţarea matematicii

Pentru cercetarea acestei variabile am aplicat focus-grupul; studiul de caz şi chestionarul.

În urma discuţiilor purtate în cadrul focus-grupului s-a conturat ideea că învăţământul

matematic gimnazial de masă din ţara noastră traversează o perioadă de criză, dovadă fiind rezultatele

foarte slabe înregistrate la evaluările naţionale în ultimii ani.

Datele obţinute în urma studiului de caz (cercetarea produselor elevilor) sunt centralizate în

tabelul de mai jos: Tabelul ... Performanţele elevilor în rezolvarea subiectului II.

Subiectul Denumirea etapei

Reuşită

Eşec

Omisiune

II. 1.a. Rezolvă integral subiectul 32, 24 % 33, 88 % 33, 88 % II. 1.b. Rezolvă integral subiectul 18,18 % 23,96 % 57,86 % II. 2.a. Rezolvă integral cerinţa 45,34 % 19,62 % 35,04 % II. 2.b. Rezolvă integral cerinţa 26,05 % 46,31 % 27,64 % II. 2.c. Rezolvă integral cerinţa 5,79 % 33,44 % 60,77%

Notă: *: Prin Reuşită am desemnat situaţia în care procedura respectivă a fost finalizată cu succes de către elev:

raţionamentul utilizat a fost bine argumentat din punct de vedere ştiinţific, iar redactarea a fost corectă şi completă.

**: Prin Eşec am desemnat situaţia în care procedurile specifice unei etape au fost iniţiate, dar fie raţionamentul a fost

eronat, neargumentat sau nefinalizat, fie redactarea a fost incorectă şi/sau incompletă, fie rezultatul obţinut a fost

incorect.

***: Prin Omisiune am desemnat situaţia în care procedura respectivă nu a fost abordată deloc de către

elev.

Pentru cercetarea performanţelor obţinute în învăţarea matematicii, am introdus în chestionar

două seturi de itemi, unul centrat pe indicatorii în funcţie de care elevii îşi apreciază succesul la

matematică, celălalt pe modul în care elevii percep propriile performanţe. În general, nota obţinută la

matematică reprezintă, în mai mare măsură decât capacitatea de a rezolva singur o problemă sau un

exerciţiu, un indicator al succesului în învăţarea acestei discipline şcolare

Performanţele reale ale elevilor sunt sub nivelul notelor obţinute cu ocazia diferitelor evaluări la

matematică. Notele nu reflectă, într-un mod real, nivelul de cunoaştere al acestora. Riscul supra-

aprecierii rezultatelor obţinute la matematică este, în primul rând, acela al unei superficialităţi în

pregătire.

33

8. Statutul erorilor în învăţare, în concepţia elevilor

Instrumentul folosit pentru verificarea ipotezei a fost chestionarul.

Primul set de itemi corespunzători acestei variabile vizează comportamentul elevilor în faţa

unui obstacol/dificultate în învăţarea matematicii.

Diagramele de mai jos ilustrează variaţia mediilor statistice corespunzătoare celor trei itemi, în

funcţie de mediul de apartenenţă al şcolii.

Figura IV.72. Comparaţie între „comportamentele elevilor în faţa obstacolelor”,

în funcţie de mediul de provenienţă

În general, în confruntarea cu un anumit obstacol sau dificultate ce se iveşte în procesul de

învăţare, elevii încearcă depăşirea acestora, însă mai puţin prin efort propriu şi mai mult cu ajutorul

altei persoane. Există, totuşi, o bună parte dintre elevi care, în faţa unei dificultăţi, aleg abandonarea

sarcinii .

9. Statutul erorilor în învăţare, în concepţia cadrelor didactice

Pentru cercetarea acestei variabile, am aplicat: analiza documentelor curriculare; focus-grupul

şi chestionarul. Diagramele de mai jos ilustrează dimensiunile socio-afective ale climatului în care se

urban rural

mediul şcolii

4,50

4,00

3,50

3,00

2,50

Mea

n

abandonez sarcina de lucru

apelez la ajutorul altei persoane (coleg, profesor, părinte)

În faţa unui obstacol/dificultate în învăţarea matematicii…

încerc să-l depăşesc singur(ă) prin efort propriu

34

desfăşoară procesul de instruire la matematică, aspecte ce pot favoriza sau, dimpotrivă, frâna derularea

acestui proces.

Figura IV.87. Comparaţii între "dimensiunile afective ale contextului de învăţare"

Se constată că, în general, orele de matematică se desfăşoară într-o atmosferă securizantă pentru

elev, din punct de vedere afectiv, permisivă, favorabilă unei strategii de valorificare didactică a

erorilor.

10. Obstacole şi erori întâlnite în învăţarea matematicii în gimnaziu

A. Obstacolele specifice învăţării matematicii de gimnaziu, abordate din perspectiva didactică.

Metodele de cercetare aplicate pentru această componentă a studiului sunt: analiza documentelor

curriculare; focus-grupul şi chestionarul.

Consemnările înregistrate în Rapoartele de inspecţie ilustrează importanţa acordată de evaluatori,

în aprecierea actului didactic, obstacolelor cu care se confruntă elevii în învăţarea matematicii.

O primă categorie de itemi, referitori la această variabilă, au vizat identificarea unor obstacole

specifice instruirii la matematică, respectiv a factorilor anxiogeni care însoţesc procesul de instruire.

După cum se poate observa în Figura de mai jos, în general, printre factorii care solicită foarte mult

9-10 7-8 5-6 media la matematică în clasele V-VII

5,50

5,00

4,50

4,00

3,50

3,00

2,50

2,00

Mea

n

să mă sancţioneze cu notă proastă dacă am greşit o rezolvare

să mă treacă la loc dacă m-am încurcat la tablă, fără să-mi explice unde am greşit

să mă ironizeze/facă de râs în faţa colegilor pentru un răspuns greşit

să ne scoată pe toţi, pe rând la tablă

să mă ajute când am fost în încurcătură

să le acorde tuturor elevilor aceeaşi atenţie

În timpul orelor de matematică s-a întâmplat ca profesorul …

să lucreze numai cu elevii buni la matematică

35

elevii se află teama de notă, bagajul foarte mare de cunoştinţe, dificultatea cunoştinţelor şi teama de a

fi ascultat(ă). În timpul orelor de matematică mă simt copleşit(ă) de...

Figura IV.89. Comparaţie multicriterială între "percepţiile elevilor asupra unor factori perturbatori ai învăţării"

Figura IV.90. Comparaţie privind “factorii anxiogeni ce acţionează asupra elevilor”

urban rural

mediul şcolii

4,00

3,50

3,00

2,50

2,00

Mea

n

urban rural

masculinfeminin genul subiecţilor

teama de nota pe care o voi obţine

teamă de dificultatea cerinţei de lucru

teamă de a nu da un răspuns greşit

teamă de colegi (că vor râde de mine)

În orele de matematică, atunci când sunt solicitat(ă) să răspund sau să ies la tablă îmi este …

teamă de profesor

36

Înteresant de urmărit este şi modul de variaţie a atribuirii cauzale în funcţie de performanţele obţinute (Figura IV.95).

Notele slabe obţinute la matematică sunt pentru că...

Figura IV.95. Comparaţii, după “rezultate”, privind "atribuirea cauzală a greşelilor/erorilor în învăţare"

Concluziile referitoare la atribuirea cauzală a performanţelor scăzute obţinute în învăţarea matematicii sunt întărite şi de rezultatul obţinut la itemul ce vizează investiţia de efort pentru învăţare:

Figura IV.96. Distribuţia frecvenţelor pentru “investiţia de efort în învăţare”

9-10 7-8 5-6

media la matematică în clasele V-VII

4,5

4,0

3,5

3,0

2,5

Mea

n

profesorul a fost prea exigent în evaluare

am avut ghinion

subiectele au fost prea grele

nu m-am concentrat suficient

nu m-am pregătit suficient

nu gândesc corect (raţionamentul este greşit)

greşesc din cauza emoţiilor, deşi ştiu răspunsul corect

greşesc din cauza neatenţiei, deşi ştiu răspunsul corect

greşesc din cauza oboselii, deşi ştiu răspunsul corect

3,14%

96,86%

fals adevărat

rezultatele la matematică ar fi fost mai bune dacă aş fi depus mai mult efort

37

Analizând aceste rezultate, putem formula concluzia că elevii se consideră capabili să facă faţă sarcinilor specifice învăţării matematicii, însă nu depun suficient efort în acest sens.

Figura IV.97. Distibuţia frecvenţelor pentru „nevoia de atenţie din partea profesorului”

B. Erorile specifice învăţării matematicii în gimnaziu, cele mai frecvente, sunt prezentate în

Anexa 1 a lucrării.

C. Rezultatele activităţii experimentale

Efectul pozitiv al variabilelor independente (componente ale strategiei didactice) asupra variabilei

dependente (rezultatele obţinute) este ilustrat prin Figura următoare:

Figura IV.100. Comparaţie între "evaluarea iniţială" şi "evaluarea finală"

49,43% 50,57%

fals

adevărat

aş fi vrut ca profesorul de matematică să-mi acorde mai multă atenţie/sprijin în pregătire

Mean 6 4 2

genu

l sub

iecţ

ilor feminin

0

masculin

5,97

6,19

5,23

5,79

evaluarea finală

evaluarea iniţială

38

În general, elevii îşi asumă rezultatele obţinute, acuzând, în primul rând, lipsa de pregătire,

superficialitatea sau lipsa atenţiei, factori interni şi controlabili ce ţin de voinţa acestuia. Ei sunt

convinşi că ar fi putut învăţa mai mult (în proporţie de 96,86%), fiind foarte încrezători în forţele şi

capacităţile lor. Aceştia au o percepţie pozitivă asupra activităţii profesorului, acuză mai puţin

dificultatea conţinuturilor sau calităţile dascălului, dar, totodată, îşi exprimă nevoia de mai mult sprijin

din partea acestuia.

CONCLUZII FINALE ŞI RECOMANDĂRI În cele ce urmează, vom evidenţia unele recomandări ce constituie posibile repere în

elaborarea unui model de instruire la matematică, în gimnaziu, la care să se raporteze atât studenţii ce

se pregătesc pentru a deveni profesori de matematică, cât şi practicienii în acest domeniu.

Mărirea nivelului de explicitare a dimensiunii practic-aplicative a cunoştinţelor matematice,

prin trimiteri la situaţii concrete de viaţă, care să sprijine o construcţie conceptualizată a

cunoaşterii matematice.

Ralizarea transferului de cunoştinţe, practică ce trebuie să devină o coordonată a elaborării

strategiei didactice, pentru orice profesor de matematică. Acesta trebuie să cunoască

particularităţile curriculum-ului matematic pentru ciclul primar şi să ţină cont de ele în

proiectarea, organizarea şi desfăşurarea orelor de matematică la clasa a V-a, pentru a asigura

adaptarea elevilor la exigenţele matematicii din gimnaziu. De asemenea, este necesară

cunoaşterea specificului curriculum-ului matematic pentru nivelurile post-gimnaziale de studiu

pentru a putea asigura premisele unei evoluţii şcolare, fără eşec la matematică.

Abordare complementară a strategiilor didactice, prin care să se reconsidere rolul elevului în

procesul instruirii şi să se valorifice maximal potenţialul mental al acestuia (accentuând

importanţa folosirii strategiilor metacognitive).

Valorificarea erorilor trebuie să constituie un reper în construcţia unei situaţii de învăţare şi,

totodată, o componentă permanentă a repertoriului strategic al profesorului de matematică de

gimnaziu.

BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ

1. *** (2006). Annales de didactique et de sciences cognitives. Revue internationale de didactique

des mathématiques, IREM de Strasbourg.

3. Astolfi, J.-P. (1997). L’erreur, un outil pour enseigner, Paris: ESF Éditeur.

5. Astolfi, J.-P. (Éd). (1998, 2e éd.). Mots-clés de la didactique des Sciences. Repères, définitions,

39

bibliographies, Paris-Bruxelles: De Boeck Université.

6. Bachelard, G. (1938). La formation de l’esprit scientifique, Paris: Vrin.

19. Brousseau, G. (1983). Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques, în

“Recherche en Didactique mathématique”, 7(2), p. 33-115.

22. Bruston, M. et Rouxel, C. ( 1983). Obstacles et deblocages en mathematiques, APMEP.

26. Cerghit, I., Radu, I., (1990). Didactica, Bucureşti: EDP.

31. CIEAEM (1988). Rôle de l’erreur dans l’apprentissage et l’enseignement de la mathématique,

Sherbrooke.

38. Crahay, M., Verschaffel, L., de Corte, E. et Gregoire, J. (2005). Enseignement et apprentissage

des mathématiques, Bruxelles: De Boeck Université.

42. Develay, M. (1992). De l’apprentissage à l’enseignement, Paris: ESF Éditeur.

44. Dubois, C., Pauvert, M. et Fenichel, M. (2002). Se former pour enseigner les mathematiques,

Paris: Bordas.

46. Duverneuil, J., Prendre en compte les erreurs en mathématiques à l’ecole et au college,

Midi-Pyrenees CRDP.

54. Giordan, A. et Vecchi, G. (1987). Les origines du savoir, Paris: Neuchàtel.

76. Meirieu, Ph. (1987). Apprendre…oui, mais comment, Paris: ESF Éditeur.

80. Neacşu, I. (1978). Motivaţie şi învăţare, Bucureşti: EDP.

82. Neacşu, I. (1999, ed. a II-a). Instruire şi învăţare. Teorii.Modele. Strategii.Bucureşti. E.D.P. .

90. Perrenoud, Ph., Metier d’élève et sens du travail scolaire, Paris: ESF Éditeur.

93. Potolea, D., Manolescu, M., (2006). Teoria şi metodologia curriculumului, MEC, Proiectul pentru

învăţământul rural.

94. Potolea, D., Neacşu, I., Iucu, R., Pânişoară, I.-O., (coord.) (2008). Pregătirea psihopedagogică.

Manual pentru definitivat şi gradul didactic II, Iaşi: Polirom.

95. Păun, E., Potolea, D. (coord.) (2002). Pedagogie. Fundamentări teoretice şi demersuri aplicative,

Iaşi: Polirom.

98. Raynal, F., Rieunier, A. (2005). Pédagogie: dictionnaire des concepts clés. Apprentissages,

formation, psychologie cognitive, Paris: ESF éditeur.

107. de la Torre de la Torre, S.(1993). Apprender de los errores, Madrid: Editorial Escuela Espaňola.

111. Viau, R. (1999). La motivation en contexte scolaire, Bruxelles: De Boeck Université.

113. Wolfs, J.-L., (2001). Methodes de travail et strategies d’apprentissage (du secondaire a

l’université), Bruxelles: De Boeck Université.

115. Zlate, M. (2006). Psihologia mecanismelor cognitive, Iaşi: Polirom.