Strategii Metodice Utilizate in Vederea Stimularii Si Dezvoltarii Creativitatii Elevilor Din Clasele...

UNIVERSITATEA “BABES-BOLYAI” CLUJ NAPOCAFACULTATEA DE PSIHOLOGIE ŞI ŞTIINŢE ALE

EDUCAŢIEIEXTENSIA SIBIU

LUCRARE DE LICENŢĂ

COORDONATORl : Prof.gr I MĂRCUŢ IOANA Conf.univ.dr.NICU ADRIANA

SIBIU2008

UNIVERSITATEA “BABES-BOLYAI” CLUJ NAPOCAFACULTATEA DE PSIHOLOGIE ŞI ŞTIINŢE ALE

EDUCAŢIEIEXTENSIA SIBIU

STRATEGII METODICE UTILIZATE ÎN VEDEREA STIMULĂRII ŞI DEZVOLTĂRII CREATIVITĂŢII ELEVILOR DIN CLASELE

I-III

COORDONATORl : Prof.gr I MĂRCUŢ IOANA Conf.univ.dr.NICU ADRIANA

SIBIU2009

2

INTRODUCERE

MOTIVATIA ALEGERII TEMEI

Stiintele educatiei joacă un rol din ce în ce mai influent în viata societătii

contemporane, si aceasta ca un efect sine qua non al dezvoltării stiintei si tehnicii,

care impune matematicizarea domeniilor economico- sociale. Tocmai de aceea,

însusirea matematicii de către elevi a devenit o necesitate stringentă, căreia trebuie

să-i acordăm atentia cuvenită, începând cu ciclul primar, când studiul matematicii

devine o disciplină de învătământ stiintific organizată.

Însusirea matematicii prezintă o serie de dificultăti pentru scolarul mic, ceea

ce impune tot atâtea strategii, modalităti care să-l ajute să înteleagă si să depăsească

pragul care-i blochează dezvoltarea intelectuală, întelegerea si stăpânirea notiunilor

matematice.

Cunoscutul om de cultură, Mircea Malita scria “nicicând omenirea nu a ajuns

să pretuiască inteligenta si creativitatea ca în ultimele cinci decenii”. S-a adăugat

astfel ca bogatie natională, alături de aur, “AURUL NEGRU” si o nouă valoare

“AURUL CENUSIU”. Înteleasă ca o sinteză între inteligentă si creativitate

denumită aur cenusiu, această bogatie constă în capacitatea creativă a unui popor,

care transpusă pe planul vietii economico-sociale, îl poate propulsa cu certitudine în

rândul tărilor civilizate.

Epoca contemporană are nevoie de inteligenta creatoare, de oameni cu

gândire independentă, creativă.

Caracterul creator al activitătii în orice domeniu, nevoia omului de a se

adapta continuu la situatii noi, la procese si probleme de muncă, mereu noi, impun

ca scoala, o data cu functia ei informativă să dezvolte si aptitudinile intelectuale ale

elevilor, independenta si creativitatea gândirii.

M-am oprit la aceasta temă, pe de o parte având în vedere marea importantă

a gândirii matematice pentru viitor, iar pe de altă parte, pentru că din experienta

anilor de la catedră m-am convins că învătătorul poate depista timpuriu elevii cu

3

aptitudini spre gândirea productivă, creativă în matematică, se poate ocupa cu

predilectie de dezvoltarea acestui tip de gândire, usurând în felul acesta sarcina

formării unor viitori matematicieni in verigile superioare de învătământ.

Pentru a realiza depistarea acestei aptitudini timpuriu, învatătorul trebuie să

stăpânească, pe de o parte, coordonatele teoretice ale conceptului de creativitate si

psihologia copilului de 7-11 ani, iar pe de altă parte să posede un arsenal de metode

si procedee specifice dezvoltării acestui tip de gândire.

În procesul de învătământ nu contează produsul elevilor ca valoare sociala ci,

pe plan psihologic, interesează supletea solutiilor găsite pentru rezolvarea

problemelor scolare solicitate de învătător, intereseaza măsura in care solutiile găsite

în rezolvarea problemei prin caracterul lor revelator, produc elevilor o stare de

surpriză si în acelasi timp o trăire intensivă pe plan afectiv.

Factorul esential pentru stimularea spiritului creator este relatia învatator-

elev, atitudinea acestuia în clasă sau în afara ei. Totul depinde de învătător si

învătătorul poate face pentru creativitatea elevilor aproape totul in conditiile actualei

organizări a învătământului.

Pentru a realiza o învătare activă si crativă este necesar să folosim, pe de o

parte, metodologia didactică corespunzatoare de a dezvolta capacitătii creatoare la

elevi, iar pe de altă parte trebuie selectat si restructurat de învatător continutul

procesului de învătămant. Dintre disciplinele care nu numai ca permit, dar solicită o

învătare care să îmbine creativitatea cu gândirea logică, cu un puternic caracter

activ-participativ, este matematica. Această disciplină presupune însusirea până la

nivelul automatizării a unor deprinderi si algoritmi strict necesari pentru dezvoltarea

unor activitati de nivel superior cum sunt exercitiile complexe si problemele.

În predarea matematicii învatătorul trebuie să aibă în vedere mai mult

capacitatea de a forma notiunile, decât facultatea de a le reproduce. Gândirea

copilului se dezvoltă prin exercitii si probleme rezolvate si nu prin acelea care se

rezolvă în fata lui. Astfel că, prin utilizarea metodelor activ-participative se poate

crea cadrul organizatoric al participării directe a elevilor la propria lor instruire si

formare.

4

În educarea creativitatii sunt deopotrivă implicate: metodele, procedeele,

relatia învătător-elev (autentic democratică si de cooperare), atitudinea învătătorului

fată de elev (deschisă si receptivă fată de copil si de valorile creativitatii sale),

precum si atmosfera creată în clasă de cadrul didactic.

Se conturează astfel, ipoteza de lucru de la care am plecat: dacă învatatorul

reuseste sa depisteze timpuriu elementele aptitudinale ale gandirii productive

matematice, el poate accelera ritmul de dezvoltare al acestei gândiri, prin procedee si

tehnici de lucru specifice învătării matematicii cu un prioritar caracter formativ.

Obligat să-mi elaborez o metodologie adecvată de cercetare metodico-

stiintifică, am constatat că în domeniul metodologiei cercetării stiintifice în

învătământ există studii numeroase si valoroase. De aceea, în realizarea lucrării am

căutat să îmbin elementele teoretice si bibliografia de specialitate cu experientă la

clasa si să aplic moduri concrete de lucru, să finalizez analiza prin metode, tehnici,

procedee, tipuri de exercitii si probleme care să vină în interesul îmbunătătirii

predării matematicii la ciclul primar.

Consider că dezideratul principal al învătământului este acela de a lupta

împotriva rigiditatii si de a fi creator în fiecare moment al activitătii, de a participa

activ si afectiv la procesul de dobândire a cunostiintelor, priceperilor si

deprinderilor. Stă în puterea noastră de a utiliza în activitatea la clasă asemenea

metode si procedee didactice care să antreneze si să stimuleze în cel mai înalt grad

capacitătile si procedeele intelectuale ale elevilor, să trezească interesul si

curiozitatea acestora, să inspire întregii actiuni de învătare un pronuntat caracter

formativ.

Munca la clasă, contactul zilnic cu elevii în decursul celor 14 ani de

activitate m-a determinat să aleg această tema de studiu si mi-a constituit veriga de

lucru, cadrul direct al experientei mele didactice.

În această lucrare voi încerca să-mi exprim câteva opinii si să prezint unele

din metodele si procedeele pe care le-am utilizat pentru că elevii mei să simtă

atractie pentru matematică, să lucreze cu plăcere, să-i entuziasmeze permanent

5

propriile lor progrese si să le mobilizeze întreaga capacitate si energie pentru

performante si succese tot mai mari.

6

CAPITOLUL 1

ROLUL CREATIVITĂTII ÎN ÎNVĂTĂMÂNTUL MATEMATIC LA ELEVI

1.1 CONCEPTUL DE CREATIVITATE

“Progresul omenirii nu este posibil fără activitatea creatoare, teoretică sau

practică a oamenilor. Din acest motiv este firesc ca activitatea creatoare să fie

considerată forma cea mai înaltă a activitatii omenesti” (Alex Rosca –

“Creativitatea”).

Caracterizată printr-un înalt grad de complexitate si tehnicitate si printr-un

ritm accelerat de dezvoltare, creativitatea a fost apreciată drept o însusire

generatoare a progresului.

În depistarea si formarea aptitudinilor creatoare în educatia personalitatii

active si inventive un rol hotarâtor îl are scoala. Toti psihologii sustin că toti copiii

sunt receptivi până în momentul când adultii, prin sistemul lor educativ, prin

autoritatea si disciplina impusă, nu le înabusă originalitatea. Depinde numai de

sistemul educativ ca potentialul creator al unui individ să se dezvolte sau să se

anihileze. Educatia este un act de creatie, iar educatorul un creator.

Termenul de creativitate are acceptiuni diferite, care nu se contrazic, ci mai

degrabă se completează.

Unii autori definesc creativitatea ca fiind aptitudine sau capacitate de a

produce ceva nou si de valoare. Pentru altii creativitatea nu este aptitudine sau

capacitate, ci proces, prin care se realizează produsul. Sunt unii pentru care

creativitatea este orice rezolvare de probleme noi. Pentru altii creativitatea implică

realizarea unui produs nou si de valoare pentru societate.

În “Dictionarul de pedagogie” acest concept este definit ca si capacitate de a

realiza ceva nou, ca aptitudine si ca “produs si proces”. Este considerată “un produs”

pentru că se dovedeste pe baza următorilor factori: flexibilitate, originalitate, fluentă,

ingeniozitate, prin activitate, prin experientă.

7

Ea este “un proces” deoarece implică desfasurarea în timp, dezvoltări si retrageri

ale factorilor si elementelor noi, învingerea unor obstacole.

Cel mai des, definitiile notiunii de creativitate diferă după aspectul pe care îl

subliniază cu preponderenta, procesul creator, produsul creat sau persoana creatoare.

A. Rosca arata că “mai frecvent creativitatea este considerată ca fiind un proces, ce

duce la un anumit produs, caracterizat prin originalitate sau noutate si prin valoarea

sau utilitatea pentru societate.”

Desigur, este necesară mai întai o distinctie între creativitate considerată ca

proces psihologic în desfasurarea activitătii si creatia luată ca produs al creativitatii.

Fireste cel de-al doilea înteles nu exprima un act psihic în curs de efectuare, ci

rezultatul unui asemenea act, consemnat în planul intelectului sub forma limbajului

national se stie însă că notiunile, odată conturate, exprimă etapa incheierii si nu faza

derularii fenomenului creativitatii. Neglijarea acestui adevar întăreste acceptiunea

comună potrivit căreia, prin educarea intelectului sau a unor procese intelectuale

(imaginatia, gândirea) se realizeaza educarea creativitatii.

Dacă în manifestarea potentelor creative ale copilului este implicată întreaga

lui fiintă si nu numai anumite functii mintale, atunci educarea creativitatii nu poate fi

limitată la exersarea intelectului, fără a respinge întelesul actului creativ.

Din cele aratate mai sus cei doi termeni ai definitiei – creativitatea ca proces

si ca produs – nu pot fi separati. Notiunea de produs se referă nu numai la conceptul

material, ci si la producerea de idei, la gasirea de solutii originale.

În cazul când accentul este pus pe persoană, creativitatea este definită ca o

caracteristică a performantei persoanei, fie ca facultate sau capacitate de a inventa

(în tehnică), de a descoperi (în stiintă) sau a crea (în artă sau literatură).

În sens mai larg creativitatea se referă si “la găsirea de solutii, idei,

probleme, metode care nu sunt noi pentru societate, dar la care s-a ajuns pe cale

independenta”. Se are în vedere din cele spuse mai sus creativitatea manifestată de

elevi în scoală, la diferite obiecte de învătământ. De exemplu, rezolvarea de catre un

elev a unei probleme de matematică pe o cale diferită, eventual mai elegantă decat

cea din manual sau decât cea care a fost prezentată de învatător în clasă este

8

considerată creatoare, chiar dacă modul de rezolvare găsit de elev nu este nou pentru

stiintă.

Creativitatea este definită adeseori prin sublinierea a doua laturi: obiectivă si

subiectivă.

Din punct de vedere al aspectului obiectiv, creativitatea se determină prin

produsul său final, care poate fi o inventie, o descoperire stiintifică, o opera de artă,

rezolvarea unei probleme de productie. Ea se defineste prin trăsăturile produsului

său: originalitate, noutate, valoare si utilitate socială.

În ceea ce priveste aspectul subiectiv, el are în vedere procesul de creatie.

Dat fiind că, în sens mai larg, creativitatea se referă si la activitătile prin care se

obtin rezultate care sunt noi numai pentru individul dat sau pentru persoanele din

mediul său imediat. Din acest punct de vedere, mai importantă decât noutatea

produsului este noutatea demersului cognitiv si actional, capacitatea de a rupe

automatismul deprinderilor si obisnuintelor, atitudinea critică fată de metode.

Când definim natura creativitătii trebuie să avem în vedere cele doua notiuni,

subiectivă si obiectivă. În preocupările diferitilor autori cele două aspecte ale

creativitătii au avut ponderi diferite. Unii au studiat mai mult aspectele subiective

(legate de factorii, procesul si subiectul creatiei), altii mai mult aspectele obiective

(legate de calitătile produselor de creatie, de conditiile social-culturale care

conditionează creativitatea).

Creativitatea este vazută ca un indicator al personalitatii, în sensul psihologic

al notiunii, adică o calitate caracteristică pe care o posed în diferite grade si sub

diferite aspecte, toti indivizii normali.

1.2 ACTUL DE CREATIE SI FAZELE LUI

Plecând de la analiza unor date communicate de creatori, unii autori au

încercat să stabilească stadiile sau fazele actului creator.

9

Mai frecvent sunt mentionate urmatoarele faze:

1. preparatia;

2. incubatia;

3. inspiratia sau iluminatia;

4. verificarea sau revizuirea.

Copiii nu cunosc terminologia specifică fiecarei etape a actului de creatie,

dar prin joaca lor, inconstient, ei trec actul creator prin toate verigile de manifestare.

De multe ori elevii mici îsi demontează jucariile, le “strică” fiind chiar

mândrii de rezultatul muncii lor. Ei nu fac acest lucru din răutate, ci din curiozitate,

din dorintele de a cunoaste, de a vedea din ce sunt alcătuite jucăriile, angrenajele

care le pun în miscare sau provoacă diferite sunete. Această activitate corespunde

etapei de pregatire a procesului creatiei care se realizează prin sesizarea si punerea

problemei, documentarea, culegerea, analiza si interpretarea materialului faptic.

Numeroase încercări de a reconstitui jucăria asa cum a fost la început coincid

cu incubatia, etapa care intervine în urma unei perioade de muncă obositoare, fără ca

solutia să apară. Este o faza de asteptare tensională, când are loc distantarea de

problemă, producându-se noi combinări de imagini si idei.

Asamblarea corectă a partilor din jucăria demontată, reconstituirea jucăriei

este acelasi lucru cu iluminatia, adică aparitia bruscă a ideii, a solutiei.

Punerea în functiune a jucăriei reprezintă faza de control, verificarea

veridicitătii ipotezei de rezolvare a problemei, de evaluare si aplicare a produselor

create.

Dar iată cum se desfasoară procesul gândirii matematice în aflarea solutiilor,

în aspectul ei creator, inventiv. Unii cercetători desprind patru etape (Eugen Rusu):

ETAPA I. Aceasta constă într-o tatonare (“A incerca cu prudenta sa-si dea seama

de o situatie, să gasească o solutie”) în linii mari, în clasificarea enuntului, când

elevul îsi dă seama mai bine de natura problemei, de sensul ei, de anumite

dificultati.(preparatia).

10

ETAPA a II-a. Acum se caută metoda, la un moment dat în centrul constiintei

apare o altă metodă care se cere încercată; în momentul următor prinde contur o altă

metodă a demonstratiei, apoi alta, dar nici una nu se impune. (incubatia).

ETAPA a III-a. Apare cu precizie o linie convergentă de fapte, o structura, o idee

călăuzitoare si convingerea că aceasta e directia cea justă. (inspiratia sau iluminatia).

ETAPA a IV-a. Odată întrevazută urmează faza de concretizare a ei, de

verificare, de construire a detaliilor. Acum intervine munca propriu-zisă, organizată,

sistematică, perseverentă. (verificarea).

1.3. FACTORII CREATIVITĂTII

Problema factorilor care compun si determină procesele de creatie a fost si

este cel mai mult studiată de psihologie, elaborându-se în acest sens metodologii din

cele mai complexe. Această problemă a fost în acelasi timp generatoare de

controverse, de pozitii si conceptii diferite. Ca o idee generală se desprinde aceea a

multitudinii si varietatii factorilor care definesc creativitatea, precum si a modului

original în care se imbină la nivelul persoanei creatoare.

Modul de analiză a factorilor creativitatii este diferit de la autor la autor, atât

ca număr, cât si ca mod de identficare.

Desi se recunoaste creativitătii caracterul de formatiune complexă în care

interactionează o multime de variabile, în general în literatura de specialitate sunt

trei categorii de factori:

-factori psihici;

-factori sociali (culturali, educativi si mediul socio-economic);

- factori biologici (diferenta de sex, vârsta);

Se întelege că această clasificare este arbitrară ca orice clasificare, în

situatiile reale fiind vorba de o interactiune complexă.

În lucrarea de fată ma voi referii la factorii psihici ai creativitatii care se pot

repartiza în trei grupe:

11

-factori intelectuali (imaginatie, gândire, inteligentă, memorie);

-factori aptitudinali;

-factori nonintelectuali (motivatie, atitudini, caractere, temperament, interese,

vointă).

1.4. FACTORII INTELECTUALI

Dintre factorii intelectuali implicati în actul creator inteligenta si imaginatia

creatoare sunt cei mai importanti (M. Bejaf).

I.4.1. Inteligenta creatoare este considerată că fiind forma superioară de

organizare a comportamentului creativ, care presupune în primul rând sensibilitate

fată de probleme, apoi fluentă (fluiditate, asociativitate), flexibilitate si capacitate de

redefinire.

a) Sensibilitatea fată de probleme sau receptivitatea fată de nou este punctul

de plecare al creatiei, manifestându-se în curiozitate stiintifică si atitudine

interogativă, în capacitatea de a sesiza cu usurintă problemele esentiale si

neobisnuite, de “a vedea” relatiile de dependentă cauzale sau functionale.

b) Flexibilitatea este capacitatea de a modifica modul de gândire în functie

de variatiile conditilor si de rezultatul actiunilor anterioare, capacitatea de a realiza

centrări si decentrări succesive.

Flexibilitatea gândirii este definită ca fiind posibilitatea de a renunta la

posibilitatiile sterile si de a adopta altele noi, de a abandona o cale ce se dovedeste la

un moment dat un drum închis, fără perspective de solutionare, pentru a se înscrie pe

o altă directie de căutare cu totul diferită. Devine mai flexibil intelectual elevul care,

în loc să renunte sau sa se multumească cu un raspuns, o ia de la capat în alt fel.

Flexibilitatea gândirii este vazută în legatură cu ceea ce J.P. Gylford definea

ca “gandire divergentă”, deschisă spre solutii diverse.

În creatie gândirea divergentă este, dacă nu factorul cel mai important, atunci cel

putin unul caracteristic. Gândirea divergentă înseamnă căutarea mai multor

răspunsuri la o singura întrebare, înseamnă “puterea gândirii de a se adapta în mod

12

optim, în timp cât mai scurt si cu eforturi minime la situatii noi. Ea este evidentă în

rezolvarea exercitiilor si a problemelor cu mai multe solutii”, se formează si se

dezvoltă prin metode care favorizează si ajută gândirea personală, independenta,

solutionarea originală a problemelor.

c) Fluiditatea gândirii constă în usurinta asociatiilor dintre cuvinte, idei,

expresii.

Fluiditatea poate fi verbală, ideativă si expresională. M. Bejaf consideră că în

general nu se poate vorbi de fluenta ca factor a creativitatii decât atunci când este

asociată cu originalitatea.

Indiciu principal este bogatia si usurinta asociatiilor.

d) Redefinirea este un factor ce se caracterizează prin renuntarea la forma

obisnuită de definire dându-i o nouă interpretare.

I.4.2. Imaginatia creatoare este forma cea mai importantă de imaginatie, deoarece

duce la produse noi si originale. Imaginatia creatoare este intentionată, constientă si

exprimă pozitie independentă si activă a subiectului în căutarea de noi solutii. Ea are

ca punct de plecare întrebarea, problema. Aceasta îl pune pe elev în miscare, îl face

să caute, să încerce, să presupună.

a) Un factor deosebit de important al imaginatiei creatoare este intuitia. Ea

constă în reorganizarea si sinteza rapidă a experientei anterioare, în emanciparea

bruscă a solutiei problemei.

b) Ingeniozitatea este capacitatea de rezolvare diferită a problemelor în mod

abil, neobisnuit. Este finalizată în gândirea unor solutii simple, surprinzatoare si

originale.

c) Originalitatea este caracterizată prin noutate, inventivitate, previziune. Ea

reprezintă în fond rezultanta a doi factori deosebiti: independenta în gândire si

imaginatia creatoare puternic dezvoltat.

Având în vedere în special continutul procesului de creativitate am inclus

imaginatia creatoare printre factorii intelectuali. Sunt autori care includ imaginatia

13

printre factorii de personalitate. Astfel P. Popescu Noveanu arata că “imaginatia este

o expresie a personalitatii si nu factor important în insasi formarea personalitatii”.

1.5. FACTORII NONINTELECTUALI

Cercetările actuale în psihologie ne relevă că, creativitatea nu tine numai la

inteligentă sau imaginatie, ci ea este o “expresie a personalitătii” în ansamblul ei.

Încă din 1938 G. Allport a vazut creativitatea ca rezultatul unei anumite organizări a

proceselor psihice în sistemul personalitatii. De aceea, creativitatea este privită

astăzi ca o caracteristică a personalitătii derivând din interactiunea complexă între

structurile acesteia, în cadrul căreia un rol important revine factorilor nonintelectuali

de personalitate: afectivitatea, motivatia, temperamentul, caracterul.

I.5.1. Motivatia este unul dintre cei mai importanti factori nonintelectuali care

intervine în creativitate, deoarece sustine efortul fizic si intelectual al persoanei

creatoare.

În analiza ei ca factor al creativitatii, motivatia se prezintă ca intrisecă si

extrinsecă, fiind de asemenea adevarata teza ca ambele tipuri de motivatie sunt

prezentate în orice tip de activitate de creatie.

A. Rosca arată că dacă în general, motivatia intrisecă poate fi maximă având

un rol decisiv în procesul de creatie, o motivatie extrinsecă maximă poate avea

efecte negative.

Pentru a-l determina pe micul scolar sa se angajeze la o activitate atât de

complexă si de dificila cum este activitatea de învatare, în special a matematicii,

trebuie stimulate o serie de mobiluri interne si externe care să declanseze dorinta,

atractia si interesul pentru învatare, însotite de satisfactia efortului tensional, de

bucuria succesului.

I.5.2. Temperamentul se manifestă ca factor al creativitatii tocmai prin faptul că

imprimă o anumită dinamică proceselor creative, dinamica ce se repercutează asupra

celorlalte caracteristici ce definesc creativitatea (flexibilitatea, fluiditatea).

14

I.5.3. Caracterul constituie un factor deosebit de important al creativitatii prin

sistemul de atitudini care îl defineste.

Dintre atitudinile esentiale în acest sens se mentionează atitudinea fată de

nou.

Prezentând multitudinea factorilor ce determină creativitatea, trebuie

subliniat si faptul că în activitatea creatoare complexă ei se întrepătrund. Cu privire

la interactiunea dintre factori trebuie subliniate si interrelatiile dintre factorii

obiectivi si cei subiectivi, precum si importanta muncii în dezvoltarea creativitatii.

Mai sus am aratat rolul factorilor subiectivi în dezvoltarea capacitatilor

creatoare, dar pentru ca potentele creative ale indivizilor să fie puse în valoare este

nevoie ca dezvoltarea si exercitarea lor să fie favorizate de mediul social în care

acestia îsi desfasoară activitatea – adică factorii obiectivi.

În scoală sunt unele conditii si situatii specifice care pot duce la dezvoltarea

spiritului investigativ, a gândirii divergente, a atitudinii creative. Astfel în clasele I-

IV, nu putem vorbi de existenta unei creativităti absolute a gândirii scolarului, căci

acesta se află abia la începutul însusirii elementelor de bază. Cu toate acestea

învătătorul, poate face foarte mult în directia formării unor premise pentru

dezvoltarea ulterioară a creativitătii. Stimularea unor trăsături de personalitate ca de

pildă perseverenta, încurajarea căutarii de nou sunt mijloace care garantează

dezvoltarea originalitatii, a creativitatii elevilor.

Din cele arătate mai sus se desprind câteva concluzii:

- creativitatea, ca si capacitate umană, este educabilă si se poate dezvolta numai în

contextul si simultan cu alte capacitati umane, desi între creativitate, randament

scolar si inteligentă nu există neapărat o coordonantă (dupa unii autori);

- creativitatea nu poate fi considerată ca factor singular în educatie. Mai mult

aceasta este rezultatul unor procese psihice complexe care se conturează în treptele

superioare ale învătării, dar se dezvoltă începand cu primele etape ale instructiei si

educatiei;

15

- creativitatea este educabilă, adică se învată, cu conditia sferei teoretice a

conceptului, de către cei ce dirijează si aplică metodele educationale structurate în

corelatie cu sfera acestei capacităti umane;

- ea se formează si se educă printr-o varietate de activităti umane independente,

începând cu vârsta cea mai fragedă si dezvoltându-se pe tot parcursul vietii;

- cultivarea creativitătii nu poate fi realizată pur teoretic, ci prin intermediul

nemijlocit al practicii. Amplificarea formelor si mărirea evantaiului de activităti

practice în care elevii să învete cum să devină creativi este o necesitate socială.

Pentru a învata elevul sa fie creativ trebuie ca însăsi cadrul didactic să fie

creativ, să cunoască formele de activitate specifică dezvoltării acestei capacităti

umane si să aibă o imagine clară cu privire la sfera produsului creativ.

Iată, câteva conditii pe care trebuie sa le îndeplinească un produs rezultat

într-un proces creativ:

- să contină cel putin un element nou;

- să se poata aplica într-un sistem real sau teoretic;

- să implice o restructurare sau reevaluare mintală a datelor initiale ale unei

probleme.

Cu alte cuvinte, un produs al creativitatii trebuie să contină cel putin un

element nou si să poată fi aplicat într-un scop util.

1.7. EDUCAREA CAPACITĂTILOR CREATOARE ALE ELEVILOR

Capacitatea creatoare exprimă posibilitatea efectivă, reală de a produce idei

sau lucruri noi, originale. Ele asigură adaptarea omului la diferite schimbări prin

participarea activă la căutarea noului.

a) Educarea creativitătii elevului este un proces activ si constient. Dezvoltarea ei

trebuie vazută în primul rând în raport cu factorii care alcatuiesc si determină

procesele creativitatii.

În primul rând se are în vedere dezvoltarea inteligentei si gândirii divergente.

Aceasta are la baza dezvoltarea intereselor de cunoastere. Prin exercitii gândirea îsi

formează deprinderi de care are nevoie, capacitatea de a stabili repede legături, de a

16

sesiza esentialul într-o împrejurare, de a generaliza si de a aplica corect, în

împrejurări corecte, cunostiintele generale.

Trebuie avut în vedere educarea flexibilitătii gândirii si originalitatii.

Flexibilitatea gândirii se formează si se dezvoltă prin metode care favorizează si

ajută gândirea personală, independenta, solutionarea originală a problemelor în

cadrul disciplinelor de învătământ, în viata scolară si socială a elevilor. Elevii

trebuie educati în spiritul independentei în gândire, al exprimării atitudinii personale

fată de diferite împrejurări.

Un rol important îl ocupă educarea motivatiei si a atitudinilor favorabile fată

de actul creatiei, curiozitatea, sensibilitatea fată de nou.

b) Factorul esential pentru stimularea capacitătilor creatoare este relatia învătător-

elev. Deplină încredere si pretuire pe care o simte elevul din partea învătătorului îl

face să-si alunge timiditatea si inhibitiile. Învătătorul trebuie să încurajeze si să

creeze atmosfera propice exprimării personalitătii si originalitatii elevului fară ca să

neglijeze autoevaluarea. Pentru a învata să fi creativ, să fi autoactiv si

autoresponsabil este nevoie de o practică constantă în autoevaluare. Copiii trebuie

antrenati să se aprecieze corect, corectitudinea însemnând de fapt raportarea propriei

productii la valorile interne, propriei fiecaruia.

Dacă învătătorul pune elevul să gândească sau să compună original trebuie

să respecte ideile si compozitiile pe care le produce el; să ia în serios eforturile, ceea

ce dovedeste că a muncit cu seriozitate. Dacă învătătorul este fortat să respingă

creatia elevului, trebuie să indice de ce anume. Să ne reamintim întotdeauna că o

creatie care pare a fi banală pentru noi, poate fi ceva nou pentru elevul care a

produs-o. Dacă un copil de vârstă scolară mică enuntă o idee imposibilă, în loc de a

aplica textul realitătii, învătătorul trebuie să intre în interiorul fanteziei sale. La

această varstă, a exterpa fantezia în interesul logicului înseamnă a trasa prea ferm o

linie între intelect si imaginatie, conducând spre ideea că imaginatia este inutilă si

umilitoare pentru gândire.

17

Învătătorul trebuie să aprobe ideile care exprimă adevărul, să încurajeze pe

cele care se apropie de adevăr, să stimuleze pe elevii timizi. În clasă el trebuie să

creeze o atmosferă caldă, calmă, afectivă care să descătuseze spiritele copiilor.

Climatul creativ în colectivul de elevi poate fi definit prin trei grupe de

conditii:

1) Elevii trebuie îndrumati ca în abordarea problemelor să folosească un set de

întrebări generatoare de informatii. Prin încercări si erori selective se construiesc si

reconstruiesc modele ale situatiei, cu diferite grade de abstractizare.

2) În situatii concrete, special alese, elevii constientizează si învată să învingă

barierele productiei creative. După unii autori acestea sunt de trei tipuri: perceptive,

provocând dificultati în delimitarea problemelor, generalizarea lor, definirea

termenilor; blocaje culturale, conformismul – prea mare încredere în ratiune si

logică; blocaje emotionale: teama de a gresi, fixarea lor de prima idee ce vine în

minte, teama de apreciere a elevilor, dorinta de a rezolva repede.

3) Prin exercitii si probleme bine alese învătătorul poate educa la elevi

încrederea că fiecare dintre ei posedă capacitatea de a fi creativ, că aceasta se poate

dezvolta prin însusirea de noi tehnici de gândire.

Pentru a învata sa fi creativ, să fi autoactiv si autoresponsabil este nevoie de

o practică constantă în autoevaluare.

Copiii trebuie antrenati să se aprecieze corect, corectitudinea înseamna de fapt

raportarea propriei productii la valorile interne, proprii fiecăruia, care să constituie

în acel cadru intern de evaluare al creatorului, atât de necesar în întretinerea

curajului de a înfrunta opinia deseori neîntelegătoare si ostilă a celor din jur.

18

1.8. MATEMATICA – TEREN DELIMITAT DE DEZVOLTARE A

CAPACITĂTII CREATOARE A ELEVILOR

Obiectul care permite un câmp larg de desfăsurare a activitătii creatoare este

mtematica.

Caracterizată prin spiritul său de ordine, disciplina matematica presupune un

mod deosebit de gândire si ca urmare în învătarea matematicii nu este nimic mai

esential decat a oferii cât mai timpuriu posibilitatea ca toti elevii să-si improprieze

acest mod de gândire.

Mai mult decât la alte discipline scolare, la matematică se pune problema

activizării elevilor, situarea lor în prim planul activitatii si antrenarea gândirii.

Însusirea notiunilor matematice, pătrunderea în esenta lor necesită un efort sustinut

si bine gradat al intelectului, a gândirii si reprezintă în acelasi timp antrenamentul

mintal, exercitii sau gimnastica mintii deosebit de necesară în dezvoltarea

intelectuală a elevilor.

Însusindu-si matematica în vederea pregătirii pentru viată, în vederea

aplicării ei, necesită folosirea unor metode cu caracter formativ, a metodelor care cer

participarea constientă a elevului, stimularea capacitătii creatoare.

Practica scolară arată ca orice elev ezvoltat normal din punct de vedere

intelectual este capabil să-si însusească materialul de studiu al matematicii, prevăzut

în programa scolară. Dar, pe când unii asimilează acest material mai repede si mai

usor, cu un efort mai mic, altii, cu toată perseverenta si atitudinea pozitivă

manifestată pentru acest domeniu, obtin rezultate mai modeste, neputând depasi

nivelul mediu. Acest lucru ne arată că ne aflăm în fata unor aptitudini diferite.

Aptitudinea pentru matematică este o particularitate psihică, individuală a

omului care conditionează însusirea cu succes a activitatii în domeniul matematicii.

Domeniul cu cea mai mare pondere îl are însa capacitatea intelectuală:

atentia, memoria, gândirea, cu diferitele ei aspecte, hotărâtoare pentru aptitudinea

matematică.

19

Capacitatea de concentrare a atentiei oferă posibilitatea celui cu aptitudine

matematică să-si orienteze activitatea intelectuală asupra unei probleme fără a fi

atras de alte preocupări care n-au tangentă cu tema urmarită.

Memoria este de asemenea o componentă a aptitudinii matematice fiind

necesară la actualizarea regulilor, a formelor de rezolvare a timpurilor în care trebuie

încadrată problema respectivă.

Gândirea este procesul cu cea mai mare pondere între componentele

aptitudinii matematice. În cadrul acesta este vorba de gândirea logică. Considerăm

că un elev are aptitudini pentru matematică după modul cum judecă problemele,

dupa înlantuirea rationamentelor si după stringenta logică în care decurg. Gândirea

logică îl ajută să surprindă esenttialul si necesarul, să diferentieze elementele unei

probleme, să stabilească noi raporturi.

Gândirea matematică are o serie de însusiri ca:

a) Asimilarea relativ repede a cunostiintelor, priceperilor si deprinderilor

matematice. Elevii cu aptitudini pentru matematică se remarcă prin întelegerea

rapidă si corectă a datelor problemei, a relatiilor termenilor. Unii înteleg

problema si întrevad calea solutionării de la început, din momentul în care iau

cunostiinta de datele ei, raportând-o cu usurinta la tipul specific sau modelul de

rezolvare. Deprinzând esentialul de neesential, elevul cu aptitudine matematică

îsi reprezintă cu claritate corelatia dintre elementele unei probleme sau ale unui

exercitiu, sesizează puncte de jonctiune ale vechiului cu noul si întrevăd corect

solutia.

b) Independenta si originalitatea gândirii

Aptitudinea matematică implică independenta, capacitatea de a rationa singur, de a

demonstra în mod independent, fără a recurge la imitarea proceselor sau ideilor

altora. Elevii înzestrati cu aptitudine matematică se abat de la sabloane, de la

procedee obisnuite de rezolvare, căutând permanent metode noi.

c) Gândirea matematică se distinge printr-o flexibilitate deosebită sau suplete,

trecând usor de la o operatie la alta, de la un procedeu de rezolvare la altul.

20

d) Gândirea matematică este în acelasi timp critică, o gândire care cercetează

valabilitatea fiecărui argument, logica succesiunii elementelor demonstratiei,

precum si temeinicia solutiei la care s-a ajuns. Pentru asemenea gândire orice

afirmatie trebuie supusă unei analize critice spre a-si da seama de valabilitatea

corelatiilor de exercitare a formulărilor, precum si de corectitudinea solutiei.

e) Capacitatea de abstractizare este o particularitate foarte importantă a gândirii

matematice, deoarece ajută la redarea prin cifre sau simboluri a însusirilor

fundamentale ale obiectelor, sub formă de mărimi si corelatii de mărimi. Numai o

gândire abstractă poate întelege operatiile cu mărimi cantitative sau cu simbolurile

lor conventionale si să retină un mare volum de corelatii, care de fapt constituie o

înlăntuire de rationamente.

21

CAPITOLUL 2

METODE CLASICE SI MODERNE ÎN PREDAREA MATEMATICII ÎN CICLUL PRIMAR

Metodele de învătământ sunt cele prin care cadrul didactic transmite elevilor

cunostiinte, le formează priceperi si deprinderi, dezvoltă gândirea si spiritul de

observatie, cultivă sentimente superioare, le întretine interesul pentru studiu, le

formează capacitati de vointă si caracter.

Alegerea unei metode nu se face la întamplare. Cadrul didactic trebuie să

aleagă dintre metodele de învătământ pe acelea care îl ajută la realizarea unui

învătământ de calitate.

În acest scop el se va orienta după urmatoarele criterii:

-sarcina didactică urmarită;

-particularitatile de vârstă ale elevilor;

-baza didactică de care dispune;

-nivelul de pregatire al elevilor.

Procedeele sunt aspecte particulare, practice de aplicare a unei metode.

Pentru ca lectiile să fie mai vii si mai atractive, pentru a le spori eficienta, cadrele

didactice pot găsi o gamă mai variată de procedee în aplicarea fiecarei metode de

învătământ. Metodele si procedeele au rolul de a apropia pe elevi de continutul

materiei si de a asigura însusirea lui.

Realizarea obiectivelor procesului de învătământ în scoală se poate obtine

prin folosirea metodelor clasice si moderne.

Fiecare cadru didactic în activitatea practică realizează un învătământ

participativ cu concursul tuturor metodelor de învătământ.

Dintre metodele de învătământ care contribuie la dezvolatea capacitatilor

creatoare ale elevilor precizăm: problematizarea, învatarea prin descoperire,

modelarea, exercitiul, algoritmizarea, instruirea prin jocuri didactice.

22

2 .1. PROBLEMATIZAREA

Problematizarea sau instruirea prin rezolvarea de probleme se bazează pe crearea unor situatii-problemă în cadrul procesului de învătământ, a caror rezolvare solicită un efort autentic din partea elevilor, de căutare si găsire a adevărurilor (solutiilor), de gândire investigatoare.

În această acceptiune, notiunea de situatie problemă desemnează o stare contradictorie, conflictuală, ce rezultă din trăirea simultană a doua realităti (de ordin coguitiv si motivational) pe o parte experienta anterioară (informatia existentă), iar pe de alta, elemental de noutate si surpriză, necunoscutul cu care este confruntat elevul, ceea ce deschide calea spre intuirea sau enuntarea unei sau mai multor ipoteze (solttii, alternative, raspunsuri). Rezolvarea situatiei-problema echivaleaza cu parcurgerea constientă a drumului din momentul elaborării ipotezelor până la cel al verificării si adaptării ipotezei optimale, ceea ce are semnificatia unui act de descoperire.

În mecanismul rezolvării unei situatii-problemă pot fi adaptate mai multe variante: - într-un prim caz se poate da elevilor un material cu caracter conflictual, cerându-li-se să se

sesizeze si să enunte ei însisi probiema ce rezultă; - în a doua variantă, învătătorul poate fi cel care enuntă problema, iar elevii cei care

urmează să gasească materialul necesar rezolvării ei; - în varianta a treia se poate cere elevilor să recunoască existenta unei probleme

implicate într-un material care aparent pare lipsit de o formulare problematică.După identificarea problemei, urmează ,,atacarea" ei de către elevi, care presupune:

- reactualizarea si selectarea anumitor informatii însusite anterior si a unor strategii conguitive;- eventual, însusirea unei noi informatii, odata cu descrierea problemei;- identificarea contradictiilor si constientizarea lor;

- analiza problemei (elucidarea contradictiilor) pe calea organizării si transformării informatiei, prin rationamente inductive sau deductive, prin inductie sau analogie - ceea ce duce la emiterea ipotezelor;- verificarea si adoptarea ipotezei optimale (actul descoperirii) după carese poate proceda eventual la actiune.Problematizarea are un efect formativ foarte pronuntat, fapt ce justifică cerintele folosirii ei intensive în predarea tuturor obiectivelor de învătământ. Trezeste si mentine interesul si curiozitatea pentru solutia problemei, asigurând astfel formarea unei motivatii interioare (superioare) fată de învătare si implicit, o participare activă si constientă în procesul de dobândire a constiintelor. Îi mobilizează pe elevi să rezolve prin eforturi intelectuale sustinute problema sau situatia problematică în fata căreia sunt pusi, contribuind astfel la dezvoltarea creativitatii gândirii si a altor capacitati intelectuale.

23

Asa cum pentru învătător este dificil a formula problema ,pentru elev este a o rezolva ,apărând aici varietatea procedeelor de solutionare. Învătătorul poate crea situatii-problemă accesibile, dacă are în vedere aceste procedee ,dar si modul de formulare.

Astfel ,o situatie-problemă apare între explicatii vechi si insuficiente în cazul sarcinii date.Exemplu: "Aduna 2 cu 5 si înmulteste cu 3,iar apoi pe 2 trebuie să-1 aduni cu 5 înmultit cu 3"(clasa

a III-a).Analizând ,apar două rezultate diferite ,care depind de succesiunea operatiilor.cum

se scrie corect ? Urmează apoi rezolvarea prin descoperire ,evidentiind rolul parantezei.În alte cazuri se confundă situatia-problemă cu exercitiul de creativitate:

+ =21 x =21

+ + = 21 x x =21

Aici este o verificare obisnuită ,rămânând ca elevii să inventarieze solutiile învatate ,dar nu apare un conflict ,desi gândesc. Dacă s-ar transforma astfel :"Sunt adevarate egalitatile ,când avem aceleasi numere ,cunoscând relatia între adunare si înmultire ?" putem vorbi de situatie-problematică ,ce cere efort de gândire?Exemplu: Se dă problema:

,,Un tăran a vândut la piată într-o zi 10 kg de rosii. În a doua zi a vândut de două ori mai mult."

Ce întrebări puteti pune?În cazul acesta nu este decât aplicarea usoară a algoritmului,a relatiei între termenii

dati ,nu apare o contradictie. Doar dacă ar fi : ,,Ce alte date puteti introduce pentru a rezolva problema cu cunostiintele voastre ?"

2.2.Învatarea prin descoperire.

Modelarea Învatarea prin descoperire ,încurajată în scolile moderne ,apelează la metode

active ,participative ,conducând elevul la dobândirea unei experiente proprii ,ca urmare a contactului nemijlocit cu realitatea ,prin efort personal de explorare ,cercetare ,experimentare.

24

Este importantă ,în acest caz ,respectarea etapelor cunoscute:-formularea sarcinii,problemei;-efectuarea de reactualizări;-formularea ipotezei de rezolvare;-stabilirea planului mijloacelor;-verificarea ,formularea unor generalizari;-evaluarea;-valorificarea.

Descoperirea nu este o metoda în sine ,ci însăsi strategia euristică de învatare ,cu sistemul de metode corespunzatoare implicate: observatia ,munca cu manualul ,experimentul ,modelarea.Învatatorul le combină ,corelând însă si cu conversatia euristică ,cu problematizarea ,pentru a realiza tocmai o mai bună dirijare frontala în principal ,apoi independenta.Învătarea prin descoperire utilizează :inductia ,deductia si analogia.

Am folosit această metodă de învătământ pentru a dezvolta la elevi creativitatea, interesul, pasiunea, perseverenta, spiritul de ordine si participarea activă si constientă. Ei vor dobândi astfel, încă din scoală sentimentul competentei si al încrederii în posibilitătile sale,

Rolul cadrului didactic este acela de a îndruma si stimula elevii, de a-i ajuta când sarcinile cognitive sau practice pe care le au de îndeplinit depasesc posibilitatile lor.Descoperirea efectuată este o descoperire dirijată.

Exemple Clasa I- Descoperiti cifra sau semnul care lipseste

1 2 4 6 92 3 25 24 5 + 3 = 84 5 36 36 6 4 = 10 7 4 85 42 8 5 = 33 9 86 68 9 4 = 5

- Stabileste vecinii4 5

6 7

2 9

25

Clasa I -Verifică si descoperă greseala:27 + 42 = 45 + 2437 - 17 = 80 - 6023 + 51 = 97 - 1536 : 4 = 3 x 3-Descoperă valoarea termenului necunoscut: 15 46 27 64 8 + 7 42 + + 25 57 +

6 + 9 25 + + 26 56 + 10 + 5 28 + + 24 55 +

Activitatea depusă de elevi în acest caz este similară cu cea depusă de cercetător într-un domeniu oarecare, când îsi propune să ajungă la descoperirea unor noi adevăruri.

Modelarea

Desi este distinctă ,totusi modelarea este o formă a descoperirii ,bazată pe cercetarea obiectelor si fenomenelor din natura si societate cu ajutorul modelelor.

Notiunea de model înseamnă procesul de simplificare a realitatii ,pentru a o adapta gândirii deductive. Modelul reproduce numai acele determinari esentiale(elemente ,relatii ,factori) de care avem absolută nevoie pentru a explica sau demonstra o structură conceptuală.

În predarea matematicii la clasele mici se folosesc mai multe tipuri de modele:-obiectuale;-figurative;-simbolice.

Încă din clasa I am pus elevii să opereze cu diferite modele obiectuale: diagramele jocurile didactice ,tabla magnetică ,figuri numerice ,corpuri geometrice.

Elevii au fost pusi în situatia de a opera cu diferite modele obiectuale ,grafice si simbolice, întrucât acestea i-au ajutat nu numai să înteleagă mai bine ,să-si lărgească si să-si adâncească cunostiintele ,dar contribuie la însusirea unor operatii implicate în procesul cunoasterii. Exemplu: La clasa I în cadrul lectiilor cu multimi concrete de obiecte ,la efectuarea operatiilor de reuniune a multimilor s-a lucrat cu betisoare. Elevii au observat cele două multimi formate si au putut sa le compare ,să le recunoască.

Zecea ,suta si mia se pot demonstra mai convingător prin legarea celor 10 betisoare (zece zeci si zece sute) în mănunchiuri.

După ce elevii au învătat să stăpânească raporturile egalitatilor numerice am introdus simbolourile literale.

26

Exemplu: -,,Ce număr este ,,a" în egalitatea?" a+b=37 a=17sau b=?

b=37-17 b=20 proba: 17+20=37- Calculati pe ,,a" din:a-27=29

a=27+29a=56proba: 56-27=29- Completează coloanele libere după modelul dat :

- Ecuatii de forma:8 x a=56 42:n=7 b:5=8a=56:8 n=42:7 b=5x8a=7 n=6 b=40proba: 8x7=56 proba: 42:6=7 proba: 40:5=8

Încă din clasa a II-a elevii sunt obisnuiti cu rezolvarea unor exercitii de forma “gasiti toate valorile lui a” care fac adevărată relatia: a+3=7a=0 0+3=3 3<7 deci a=0 – adevărat

a+14=16 a=16-14 a=2 proba:2+14=16

(12+24)a=12 36-a=12 a=36-12 a=24

a a+3

1 4

2 5

3 6

4 7

a 7-a

1 6

2 5

3 4

4 3

a a x 9

1 9

2 18

3 27

4 36

5 45

27

a=1 1+3=4 4<7 deci a=1 – adevărata=2 2+3=5 5<7 deci a=2 – adevărata=3 3+3=6 6<7 deci a=3 – adevărata=4 3+4=7 7=7 deci a=4 – falsR={0, 1, 2, 3}

În cazul exercitiilor de tipul 40<a-8<53 am ajutat elevii să sesizeze că sunt de fapt două exercitii:40<a-8 / se rezolvă pe rând fiecare aplicând regula aflării descăzutului.a-8<53 /a=40+8a=48 – această valoare nefăcând adevarată relatia, fiind mai mare , este anulată si se ia în ordine crescătoare următoarele valori:a) Pentru 40<a-b -> A={49,50,51,52,53,54,…}b) Pentru a-8<53 -> B={60,59,58,57,…,49}Facând intersectia celor doua multimi s-au obtinut urmatoarele valori adevărate pentru ambele exercitii:C={49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60} si aceste valori sunt tocmai intersectia multimilor “A” si “B”.-Găseste valoarea de adevăr a propozitiei:986-542=867-420986-542=444986-542=447444=447 – fals

Folosind această metodă am dat posibilitatea elevilor de a gândi, de a trece de la gândirea concretă la cea abstractă.

2 .3. Exercitiul

Între cele mai utilizate metode în ciclul primar ,exercitiul este valorificat tocmai pentru formarea deprinderilor ,algoritmilor ,prin repetarea constientă si variată de operatii ,actiuni în toate etapele învătării.

Matematica ,prin excelentă este o stiintă a exercitiilor si mai ales aici elevii sunt familiarizati cu tehnica diferitelor tipuri ,pentru variate obiective.

Exercitiile ,pe lângă rolul de a forma priceperi si deprinderi ajută si la dezvoltarea aptitudinilor .În acest scop pot fi folosite fie exercitii de o complexitate crescândă ,fie lucrări cu caracter creator.

De exemplu ,la început rezolvarea problemelor se execută în întregitie sub îndrumarea învătătorului. Dupa ce elevii au rezolvat în acest mod un numar de probleme ,vor fi condusi numai la analiza problemelor ,urmând ca ei însisi să elaboreze planul de rezolvare. Mai tarziu

28

elevii pot primi sarcina de a rezolva probleme în mod cu totul independent ,cand ei însisi vor analiza problema ,îi vor stabili planul de rezolvare si o vor rezolva în sens.Lucrările au caracter creator ,sunt exercitii care dezvoltă într-o largă măsură spiritul de independentă al elevilor. Pentru buna lor desfasurare este necesar ca elevii să stapanească temeinic cunostiintele , priceperile si deprinderile solicitate de activitatea creatoare ,sa fie indrumati prin exercitii.

Am urmărit să formez elevilor o gândire creatoare ,capabilă să se adapteze solicitărilor mereu crescânde ,să-i înarmez cu priceperi si deprinderi temeinice de activitate independenta prin introducerea unor procedee de activitate care să optimizeze procesul de învătare si urmatoarele directii:

a) intensitatea ritmului de asimilare a cunostiintelor matematice sifolosirea economicoasă a timpului lectiei în avantajele acestei sarcini;

b) cultivarea unor elemente de creativitate si flexibilitate a gândirii matematice la elevi; c) însusirea de către elevi a limbajului matematic.

M-am preocupat ca noutatea si varietatea să caracterizeze materialul selectat pentru a favoriza antrenarea gândirii si a participării afective a copiilor la activitatea de învătare.Exercitiile se pot rezolva în toate momentele lectiei.Există mai multe tipuri de exercitii clasificate astfel:a) dupa subiectii care le execută:

- individul în echipă; frontale. b) dupa functia îndeplinită:- introductive;- de bază;- operatorii(de mânuire).c) dupa modul de interventie al învătătorului:- dirijate;- semidirijate;- libere.d) dupa obiectivul didactic urmărit:- de calcul mintal;- de rezolvare a problemelor;- de formare a deprinderilor intelectuale;- de creativitate;

- de autocontrol. În organizarea si desfasurarea exercitiilor am avut în vedere:

- precizarea obiectivelor si cunoasterea acestora de către elevi;- explicarea si demonstrarea modelului;

29

- gradarea operatiilor si repetarea lor esalonată în timp;- cunoasterea rezultatelor si integrarea exercitiului învătat în sistemul de exercitii.

În timpul calculului mintal am rezolvat exercitii diferite. Calculul mintal îl ajuta pe elev să-si însusească o serie de procedee rationale pentru

efectuarea calculelor ,formându-le copiilor priceperi si deprinderi necesare trecerii la calculul în scris.

O contribute însemnată îsi aduce calculul mintal si în dezvoltarea facultatilor mintale ale elevului ,în special a memoriei ,atentiei Judecătii ,a proceselor de analiză si sinteză a gândirii.Voi prezenta cateva modalitati folosite in calculul mintal:-în cadrul adunării cu trecere peste ordin ,atât în concentrul 0-20 ,cât si în celelalte am folosit procedeul rotunjirii:

8+5=(8+2)+3=10+3=13- pe baza proprietatii comutativitatii adunarii sau înmultirii am cerut să schimbe ordinea termenilor sau factorilor pentru a usura calculul: Exemplu:a) 25+48+15+12= (25+15)+(48+12) = 40+60 = 100b) 2x3x25= (2x25)x3= 50x3= 150- prezentarea exercitilor simple de calcul mintal sub diferite forme:a) exercitii în care se indică operatia:- adunati numerele 14 si 4;- scadeti numărul 8 din 19;- înmultiti numărul 10 cu 6;- împartiti numărul 80 la 8.b) exercitii în care se gaseste un număr mai mic sau mai mare ca numărul dat:- găsiti un număr cu 8 mai mare decât 12;- găsiti un număr cu 6 mai mic decât 37;- găsiti un număr de 5 ori mai mare decât 7;- găsiti un număr de 9 ori mai mic ca 54;c) exercitii în care se denumeste rezultatul operatiei ce urmează a se efectua: - aflati suma numerelor 18 si 4;- aflati diferenta numerelor 95 si 24;- aflati produsul numerelor 8 si 9;- aflati câtul numerelor 21 si 7.

Exercitiile ce urmează au plăcut mult elevilor; procedeele de rezolvare au fost diferite; ele s-au folosit în consolidarea operatiilor si au contribuit la dezvoltarea capacitătilor creatoare ale elevilor.

30

31

I . Aflati pentru care valori date necunoscutelor din egalitătile si inegalitătile ce urmează, expresiile sunt adevărate:

a) 45= a + a + a b) x + x = x + 7 c) 5 – c = c + l 45=15+15+15 7 + 7=7 + 7 5 - 2=2 + 1

d) 3 x a = a + 6 e) n + n = n f) a x a = a + a 3 x 3 = 3 +6 0+0=0 0 x 0=0 + 0 2 x 2=2 + 2 g) a<=4 h)2 x a < a + 5 a = { 0 ,l, 2, 3, 4 }

Elevii au găsit cu usurintă solutiile care verifică propozitiile ,motivând “de ce" egalitatea sau inegalitatea este adevărată numai pentru anumite solutii. Astfel la exercitiul ,,g)" ,elevii au descoperit că propozitia este adevărată numai pentru valorile: 0,1,2 ,3,4, date lui a, deoarece 0<4 -adevărată1<4 -adevărată 2<4 -adevărată 3<4 -adevărată 4=4 -adevărată

Pentru exercitiul “h)" solutiile sunt aceleasi:0,l,2 ,3,4. a=0 2xO<0+5 -> 0<5 -adevărată a=l 2xl<5+l -> 2<6 -adevărată a=2 2x2<5+2 -> 4<7 -adevărată a=3 2x3<5+3 -> 5<8 -adevărată a=4 2x4<5+4 -> 8<9 -adevărată

Exercitii de tipul celor enuntate se pot creea cu numere de orice mărime în raport de clasa si de scopul urmărit .Deoarece am vizat prin aceste exercitii dezvoltarea flexibilitătii ,fluentei ,gândirii divergente ,am folosit numere mici care nu necesită numere greoaie.II. a) Căutati solutiile care să verifice inegalitatile de mai jos:a<(48-3):9

Elevii au observat că pentru a rezolva inegalitatea este necesar să rezolve partea din dreapta a exercitiului:a< 45:9 si apoi au aflat că : a<5. Propozitia este deci adevărată pentru următoarele valori ale lui a={0, 1,2,3,4}b) 3x(x-2)<2x(x+2)

La început elevii au observat că cea mai mică valoare a lui x trebuie să fie 2( pentru ca să se poată efectua exercitiul din paranteză)

X=2 3x(2-2)<2x(2+2) -> 3x0<2x4 -> 0<8X=3 3x(3-2)<2x(3+2) -> 3x1<2x5 -> 3<10X=4 3x(4-2)<2x(4+2) -> 3x2<2x6 -> 6<12X=5 3x(5-2)<2x(5+2) -> 3x3<2x7 -> 9<14

32

…..…..…..X=9 3x(9-2)<2x(9+2) -> 3x7<2x11 -> 21<22În felul acesta s-a ajuns la ultima solutie x=9.Dacă x=10, atunci 3x(10-2)<2x(10+2) -> 3x8<2x12 – fals.Deci 10 nu face să fie adevărată relatia.III. Puneti în locul “*” semnul operatiei corespunzătoare pentru a obtine adevărul (clasa a

III-a):3 * 4=12 8 * 4=45 * 9=14 8 * 2 * 4=10Făcând legături între numerele date si rezultate, elevii au pus următoarele semne:3 x 4=12 8 – 4=45 + 9=14 8 – 2 + 4=10IV. Puneti în locul semnului “*” cifre diferite, altele decât cele din exercitiu, pentru a obtine:***-9*7=1Pentru a fi corect, cifra sutelor de la descăzut trebuie să fie 9, dar nu este diferită de cifra

sutelor de la scăzător. Asadar problema este imposibilă, deci nu are solutii.V. Să se determine toate numerele naturale de forma abc cu a, b, c cifre diferite(distincte)

pentru care are loc egalitatea:abc-cba=594Înlocuind literele cu cifrele, elevii au găsit mai multe posibilităti care fac adevărată operatia:791-197=594 892-298=594923-329=594 812-218=594

VI. Reconstituiti adunările: 5*5 + b) ANA + c) ELE + ANA +

*5* NA EL AN

----- ------- E A

678 814 -------- --------

6 EL 8A2

Solutii: a) 525+ b) 757 + c) 595 + d) 787 + 153 57 59 78 ----- ----- 5 7

33

678 814 ------ ------ 659 872

VII. Puneti în locul stelutei cifre corespunzătoare pentru ca următoarele afirmatii să fie adevărate: a) 4*2=412 solutie: 412=412b) 627>*27 solutie: 627>527 627>427 c) 627>327 627>127d) 3*2<327 solutie: 302<327 312<327La primul exemplu “steluta” poate fi înlocuită cu o singură cifră, iar la celelalte două se găsesc mai multe posibilităti.

Exercitiile variate previn monotonia, aparitia plictiselii si oboselii, mentin atentia si suscită interesul pentru actiune.

2.4. Algoritmizarea

Este o metodă ce s-a impus în urma cuceririlor psihologiei privitoare la operativitatea gândirii.

Un algoritm este o operatie constituită dintr-o succesiune univocă de secvente care conduce, întotdeauna, spre acelasi rezultat. Se consideră că orice algoritm se caracterizează printr-o succesiune de elemente (secvente, operatii), prin caracterul univoc al acestei succesiuni, printr-o finalitate precisă, cunoscută în prealabil si prin claritatea lui, în sensul că aplicat de persoane diferite va asigura un răspuns corect.Algoritmii se prezintă sub formă de:- reguli de calcul;- scheme de desfăsurare;

- instructiuni tip (cuprind întrebări exacte). Distingem în cadrul acestei metode două niveluri complementare:- elaborarea algoritmilor;- aplicarea lor în vederea rezolvării unor situatii tipice.

Am folosit această metodă, deoarece este de neconceput învătarea fără algoritmizare.La ciclul primar se pune mare accent pe formarea unor deprinderi

intelectuale, relativ complexe, adică pe însusirea unor algoritmi; să efectueze cele patru operatii cu numere, să rezolve o problemă, să citească o plansă.

Însusirea algoritmilor îi obisnuieste pe elevi să găsească usor procedeul adevărat de a rezolva problema, ceea ce le va fi de real folos după terminarea scolii.

În practică este vizată mai ales formarea algoritmilor de calcul. Algoritmii de calcul sunt scheme mintale, automatisme intelectuale, sisteme de rationament care se

34

succed într-o anumită ordine, a cărei respectare duce la rezolvarea unei situatii problematice, a unei probleme de un anumit tip.

După ce elevii si-au însusit un anumit algoritm, 1-a aplicat în diverse situatii noi, în care gândirea actionează în mod creator.

La clasa I la adunarea numerelor naturale în concentrul 0-10, pentru formarea algoritmilor de calcul, am parcurs cu elevii următoarele etape:- am reunit multimi concrete de obiecte;- am reunit multimi ilustrate cu ajutorul figurilor numerice;- am efectuat adunarea numerelor cu simboluri numerice (4+2=6)- apoi am efectuat calcule cu simboluri literale (a+b=c).

Pentru ca algoritmii să devină instrumente de calcul este necesar să nu fie dati de-a gata, ci să-i punem pe elevi în situatia de a parcurge toate etapele elaborarii lor.Exemplu Câte elemente are cea de-a doua multime astfel ca reunite să aibă 10 elemente?

4 2

** * *

* *

4 + 2 = 6

2

10

35

8 + 2 = 102 = 10 - 8

36

Cunoscând conditiile unei probleme de un anumit tip, prin algoritm se întelege sistemul de operatii prin care se obtine solutia acesteia.Solutia problemei se obtine efectuând operatii succesive univoc determinate. Pentru problemele de matematică, o etapă foarte importantă este stabilirea algoritmului de rezolvare. Considerăm că unul din procedeele cele mai adecvate ale stabilirii acestuia o constituie rezolvarea problemei tipice de aflare a două numere când se cunosc suma si diferenta lor si schemele de calcul. Exemplu: 1 .La o fermă sunt 720 găini si puisori.

Câte găini si puisori sunt, dacă puisorii sunt cu 260 mai multi decât găinile?Reprezentarea în schemă a datelor si relatiilor dintre ele permit elevilor să observe

structura problemei date.

GĂINI 260 720 GĂINI SI PUISORIPUISORI

Aplicarea acestui tip de algoritm de recunoastere a problemei este urmat de procedeul tip de rezolvare.

Eliminând din numărul total de găini si puisori, 260 de puisori, rămâne unnumăr de găini egal cu dublul numărului de puisori, pe care îl împărtim ladoi si obtinem numărul de găini aflate la fermă. Scăzând din numărul totalde găini si puisori numărul de găini aflate, se obtine numărul de puisori (sause adaugă cei 260 de puisori la numărul de găini).

Rezolvare: Primul mod720-260=460 (puisori si găini) (S-D):2=a (numărul mai mic)460:2=230 (găini) a+D=b (numărul mai mare) 720-230=490 (puisori)Al doilea mod720+260=980980:2=490 (puisori) (S+D):2=b (numărul mai mare)

490-260=230 (găini) b-D=a (numărul mai mic)

2. La un magazin sunt 198 de articole: 36 cămăsi, 45 pulovere, 26 paltoane,iar restul fulare. Câte fulare se găsesc în magazin?

37

Pentru rezolvarea acestei probleme se poate alcătui urmatoarea schemă: 107

26+36+45=107 (cămăsi, pulovere, paltoane) 198-107=91 (fulare)Pentru descrierea unui algoritm de calcul sunt mai multe modalităti:

- în cuvinte (enuntând verbal operatiile ce trebuie efectuate);- cu ajutorul unor scheme prin care se desprind mersul operatiei;- prin intermediul limbajelor de programare.

2. 5. Instruirea prin jocul didactic

Una din formele specifice, utilizate în predarea matematicii în ciclul primar este jocul didactic. Jocul matematic prin caracterul său atractiv, prin dinamismul sau, prin stimularea interesului si competivitătii contribuie atât la consolidarea cunostiintelor matematice, cât si la însusirea unor concepte si notiuni noi. Totodata prin aceste activităti sunt favorizate si activitătile de verificare a cunostiintelor, motivându-se alternativele de răspuns si oferind posibilitatea propunerii de solutii originale.

Una din trăsăturile esentiale ale jocului didactic o reprezintă caracterul său competitiv, de întrecere. Copiii sunt solicitati să-si concentreze atentia, să gândească repede si corect, să participe activ la reusita jocului.

Prin jocurile matematice se urmăresc nu numai laturile formative ale învătării matematice în scoală (formarea deprinderilor trainice de calcul, dezvoltarea capacitătii elevilor de a rezolva probleme), dar si anumite laturi educative.Un exercitiu sau o problemă matematică poate deveni joc dacă:

198 ARTICOLE

26

38

a) realizează un scop educativ sau formativ;b) rezolvă o sarcină didactică;

c) foloseste elemente specifice jocului (este accesibil, are elemente de competitivitate recompense, aplauze)

Elementele esentiale ale unui joc sunt: problematizarea, competitivitatea, rapiditatea, corectitudinea.

O primă si foarte importantă etapă o constituie organizarea jocului. Introducerea lui se face prin simpla descriere precedată de enuntarea lui si prin exemplificări scurte, după care se trece la desfăsurarea propriu-zisă.

Sub aspect metodic jocul trebuie să fie în mod detaliat pregătit. Se prevăd principalele sale momente, precum si modalitătile de a le depăsi pe cele dificile. În finalul jocului se face o scurtă apreciere asupra modului în care au fost realizate diferitele momente si asupra cunostiintelor însusite.

Jocuri din perioada premergătoare operatiilor cu numere Pentru consolidarea cunostiintelor despre pereche se pot practica

următoarele jocuri: 1. Jocul perechilor 2. Notiunea de pereche este fundamentală în operatia de punere în corespondentă a multimilor de obiecte, element cu element. El se poate aplica cu succes la începutul primelor lectii care privesc constructia multimilor echivalente cu o multime dată folosind denumirile de ,,tot atât" “mai mult" sau ,,mai putin".Scopul acestui joc este de a consolida deprinderile elevilor de a recunoaste cu usurintă diferentele între piese si denumirile lor. 1. Jocul ,,Ce piesă lipseste?"Scopul jocului:- realizarea corespondentei element cu element;- compararea elementelor unei multimi.Materiale: fise pe care sunt reprezentate multimi;

Regula jocului: elevii vor realiza corespondenta între multimi pentru a arăta că sunt tot atâtea căldăruse câte lopătele si câti brăduti, apoi vor realiza corespondenta între elementele celuilalt grup de multimi, arătând ce piese lipsesc,

Recompensa: un balon.

39

3. Jocul negatiei - cu privire la diferenta multimilor

Desfăsurarea cu succes a lectiilor din această temă este de neconceput fără cunoasterea de către micii scolari a negatiei logice, care trebuie să-i conducă la formarea multimii complementare a unei multimi date. Specificul acestui joc este că el se poate desfăsura între doi elevi care stau în aceeasi bancă, care pot forma o echipă. Există atâtea perechi în clasă câte bănci sunt în acea clasă. O echipă sau o pereche lucrează la tablă.Scopul acestui joc este de a face să se nască la copii ideea negatiei logice.

- elev iese la tablă si alege o piesă anumită si cere tuturor copiilor să numească toate atributele pe care nu le are.Exemplu: Un elev alege un pătrat mic, rosu, subtire. Un alt elev numeste atributele pe care nu le are: nu este mare, nu este dreptunghi, nu este galben, nu este gros.

40

4 . Jocurile numerice Forma de activitate a jocului o constituie completarea simbolurilor

matematice într-o anumită propozitie matematică (egalitate, inegalitate)numită deschisă, adică o propozitie a cărei valoare logică nu este cunoscută decât dupa ce se cunoaste simbolul care lipseste sau simbolurile care lipsesc. Exemplu: 1) Se consideră propozitia deschisă:3+2+...=10

Aflarea numărului necunoscut care trebuie scris în casută astfel încât propozitia să devină adevărată, se face prin judecăti asupra continutului acestei propozitii. Se încearcă cu numerele 1, 2, 3, 4, 5 si se obtine solutia jocului:

3+2+5=10 2) Rebus matematic Scopul jocului:

- formarea deprinderilor de calcul rapid si corect;- dezvoltarea spiritului competitiv.Regula jocului: rebusul este format din sase rânduri de pătrate. Pătratele libere se vor completa cu numere, astfel încât să se obtină aceeasi sumă, 8, care va fi scrisă în prima coloană. Recompensa: primii trei copii care au rezolvat primesc un creion.

8 3 2

1 4 2 1

5 3

8 0 1 3 3

3 2 3

8 6 1

41

4. Jocuri pentru recunoasterea semnelor relatiei: “<", “>" “=" Exemplu : 1) Scrie în casută unul din semnele „<" , „>" , „+", astfel încât relatia să fie

2) Jocul ,,Semnul s-a pitit" Scopul jocului:- folosirea corectă a semnelor de relatie (<, >, =)

- perfectionarea tehnicii de calcul; Materiale: fise de muncă independentă;Regula jocului: elevii vor primi fise de muncă independentă si vor pune în pătrate semnul de relatie care se impune;

Recompensa: primii elevi care vor utiliza corect toate semnele de relatie vor primi câte un balon;

2 3 10+4 ...14 15 ... 15 9-3 ... 16 27 ... 72 18-8 ... 10 3) Jocul “Dreptunghiuri egale" Scopul jocului:

- dezvoltarea flexibilitătii gândirii, a creativitătii, a preciziei si a rapiditătii în calcul;- stabilirea relatilor de egalitate (=) sau de inegalitate (<, >). Regula jocului: se vor desena dreptunghiuri, după modelul de mai jos:

………

………

……….

………

………..

d)6+4 ... 10-0e) 10-6+2 ... 8+2-7f) 8-4+3 ... 10-5+2

adevarată:a)2+6 ... 5+1b)8-3 ... 10-8c) 2+5-3 ...9-4+2

19 - 6 31 + 10

30 + 18 22 - 12

44 + 12 25 + 32

51 + 22 2222 13 + 84

96 - 36 63 - 21

41 - 20 10 + 11

42

Elevii vor trebui să efectueze mai întâi operatiile din dreptunghiuri, apoi să treacă semnul corespunzător (<, >, =) între cele două dreptunghiuri. Semnele de relatie se completează numai după ce elevii au făcut calculele. Dacă dreptunghiurile aflate în corespondentă nu contin exercitii cu acelasi rezultat, se pune semnul inegalitătii si se strigă ,,Fals!", iar dacă rezultatul este acelasi se strigă ,,Adevărat!".

Exercitiile pot fi rezolvate apoi contra cronometru, sub formă de coloană sau elevii silitori pot alcătui alte exercitii după modelul dat.

Recompensa: o trusă cu figuri geometrice din plastic sau un desen cu figuri geometrice.5.a). Jocuri pentru recunoasterea semnului operatiei Exemplu: 1) Jocul „ Ce semn

lipseste?" Scopul jocului:

- formarea deprinderilor de adunare si scădere;- folosirea corectă a simbolurilor adunării si scăderii. Regula jocului: învătătorul va da

elevilor fisele si le va cere să pună în pătrate simbolul corespunzător fiecărui exercitiu, în asa fel încât relatia să fie corectă.

Recompensa: primii trei elevi care vor pune simbolurile (+, -) corect vor primi calificativul “F.B.”.

a) 3 ... 4=7 5...3=9 5 ... 5=0 8...8=0

5 6 ... 2=8 5 ... 0=5 3=4 2 ... 2=4 10 ... 0=10 ...8...1 10…5…3=1

b) Jocuri cu cele patru operatii pentru aflarea termenului sau factorului mecunoscut

c)2...3=4... 1

2... 3 ...5=5 ... 2

...4... 5 ...

10

43

1) Jocul ,,Acelasi exercitiu"

Scopul jocului: dezvoltarea fluiditătii si flexibilitătii, dezvoltarea capacitătii de combinare, dezvoltarea si consolidarea deprinderilor de calcul scris formarea ideii de variabilitate a aceluiasi material.

44

Sarcina didactică: formularea într-un mod cât mai variat a unui exercitiu.

Jocul se poate desfăsura individual, în colectiv sau pe grupe. Când se desfăsoară individual, învătătorul le spune că va scrie pe tablă un exercitiu, iar ei vor trebui să-1 reia în cât mai multe feluri. Scrie, de pilda, "6x5=?" si numeste un elev care să noteze pe tablă o variantă a acestui exercitiu. Dacă elevii nu găsesc, învătătorul va formula unele întrebări ajutătoare: „Mai putem ajunge la acelasi rezultat scriind si în alt mod exercitiul?", „Cum am putea scrie exercitiul dacă nu am cunoaste unul dintre factori?". În acest mod, elevii vor descoperi variante precum:

5x6=… 30=…x5…x6=30 30=6x……x5=30 …=6x56x…=30 30=…x…

Vor fi apreciati elevii care au lucrat repede si bine si care le grupează logic.2) Jocul „ Săgeata magică"Scopul jocului: formarea deprinderilor de calcul corect si rapid. Regula jocului: copiii vor completa pătratele cu cifrele corespunzătoare. Recompensa: un fanion rosu.

a) 8

5

3 + 2 +

45

b) 34 34

+3

+1

4

c) 3 + …

…+… 2+…

6+…8-…

4+… 10-…

7

…-2

-4

46

d) START

5+7-

8+

3+

2-

5+

4-1-

3=

47

CAPITOLUL 3

DEZVOLTAREA CREATIVITĂTII GÂNDIRII ELEVILORÎN PROCESUL DE DEZVOLTARE SI COMPUNERE A PROBLEMELOR LA

OBIECTUL MATEMATICĂ

3.l. Notiunea de problemă

În clasele primare se pune temelia învătământului matematic, iar de felul cum este organizat si orientat procesul de predare-învătare depinde dezvoltarea gândirii independente si creatoare a elevilor.Rezolvarea de probleme si în mod deosebit compunerea de probleme matematice prezintă o importantă deosebită pentru dezvoltarea flexibilitătii gândirii de tip divergent la elevii din ciclul primar.Originalitatea este o trăsătură a flexibilitătii, ca urmare a caracterului inedit al răspunsurilor si solutiilor.

Din experienta didactică de până acum am observat că activitatea de rezolvare si compunere de probleme în cadrul obiectului matematică are influente pozitive asupra dezvoltării capacitătilor creatoare la elevi. Învătând întâi să rezolve o problemă, elevul dobândeste capacitatea de a rezolva singur o problemă asemănătoare, apoi una nouă si în final va putea alcătui probleme prin forte proprii. Aceasta înseamnă că se porneste de la o activitate de învătare reproductivă prin care sunt însusite unele deprinderi si abilităti corecte care ulterior sunt transferate în mod creativ în sfera rezolvării individuale a unei probleme noi sau a compunerii unor probleme.

În general, deprinderile si abilitătile necesare rezolvării problemelor de matematică pe care trebuie să si le însusească corect si temeinic elevii sunt cele care se referă la analiza datelor problemei, întelegerea întrebării problemelor si de orientarea rationamentului spre găsirea solutiei corecte.

Notiunea de problemă are un continut larg, cuprinzând o gamă variată de preocupări si actiuni, în foarte diferite domenii. În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică care reclamă o rezolvare, o solutionare, poarta numele de problemă. Cu alte cuvinte, tinând seama de faptul că orice proces de gândire este declansat de o întrebare pe care si-o pune sau i se pune omului, se admite ca formularea unui răspuns clar si precis la o astfel de întrebare constituie o problemă. Limitându-ne la matematică, admitem că prin problemă se întelege orice chestiune a cărei solutionare se poate obtine prin procese de gândire si calcul. Astfel problemele de matematică constituie răspunsuri la anumite întrebări referitoare la preocupări si actiuni bazate pe date numerice.

48

Ele au ca note comune:- structura lor, prin care se stabilesc relatii de dependentă între anumite valori, cantităti sau mărimi exprimate prin numere;- felul de solutionare, modalitatea stabilirii răspunsului, care se obtine cu ajutorul unor operatii aritmetice în care intervin valorile numerice.

În activitatea de zi cu zi, practica sau teoretica, adultii sau copiii întâlnesc probleme pe care le pot rezolva pe baza cunostiintelor, experientei acumulate prin metode standardizate de tip algoritmic, dar si probleme a căror rezolvare cere aplicarea creatoare a cunostiintelor si tehnicilor dobândite pentru descoperirea necunoscutei si elaborarea pe căi rationale a solutiei. În general, munca de rezolvare a problemelor dezvoltă gândirea, îmbogăteste volumul de cunostiinte al elevilor si contribuie la formarea deprinderilor de exprimare în limbaj matematic.

3.2. Metode de rezolvare a problemelor în ciclul primar

Metode fundamentale (generale) de rezolvare a problemelor Procesul rezolvării unei probleme se prezintă ca o activitate mintală de căutare, pe

parcursul căreia, în baza datelor problemei, sunt emise diferite ipoteze care sunt supuse verificării pe rând. În cursul rezolvării problemelor are loc un proces de reorganizare succesivă a datelor, apar noi formulări ale problemei care conduc la solutie. De foarte mare importantă în rezolvarea problemei este găsirea ideii centrale, a principiului de rezolvare a problemei.

Elevul trebuie învătat să-si cumpănească bine rationamentul, acesta fiind lucrul cel mai important în rezolvarea problemelor.

Problema, fie că este dată spre rezolvare elevului din clasa I sau elevului din clasa a Xll-a, rezolvarea ei trebuie să parcurgă anumite etape care la anumite vârste sunt mai mult sau mai putin evidente.a) Întelegerea enuntului este premisa rezolvării corecte a enuntului problemei si rationamentului corect .b) Repetarea enuntului, cu si fără ajutorul unor întrebări suplimentare , e necesară pentru a vedea dacă elevii si-au însusit enuntul si semnificatia fiecărei mărimi. În această etapă, se pun în evidentă părtile principale ale problemei: cunoscuta, datele, conditia si cerinta.

Conditiile reprezintă ansamblul datelor si a sintagmelor care sugerează o anumită operatie matematică, implicând rezolvarea unei probleme. La nivelul scolii primare, astfel de rezolvări presupun operatii de adunare, scădere, înmultire si împărtire.

Cerintele reprezintă ce anume trebuie căutat în conditiile date.

c) Rezolvarea propriu-zisă necesită metode generale bine mânuite de învătător. După atenta examinare, se identifică metode de rezolvare sintetică sau analitică.

49

Esenta examinării problemei constă în analiza datelor unor probleme compuse în vederea descoperirii raporturilor dintre ele. Se formulează apoi întrebarea potrivită, prin care se poate ajunge la rezolvarea problemei prin analiza succesivă a fiecăruia dintre elementele componente ale enuntului; se realizează, practic, o descompunere si recompunere a problemei prin elementele sale componente.

Există doua metode principale pentru examinarea unei probleme:A. metoda analitică B. metoda sintetică

A. Metoda analitică A examina o problemă prin metoda analitică înseamnă deci, a porni de la întrebarea

problemei, a stabili datele, în general necunoscute, cu ajutorul cărora se poate formula problema simplă a cărei întrebare să coincidă cu întrebarea problemei date, apoi a stabili alte date cu ajutorul cărora să se formuleze alte probleme simple ale căror rezultate să constituie elementele problemei simple precedente si asa mai departe până se ajunge la prima problemă simplă care se poate formula pe baza datelor problemei compuse respective, date ce trebuie să fie ambele cunoscute. Pornind de la această problemă simplă, se arată în mod succesiv toate problemele simple care pot fi formulate, fiecare utilizând datele celei precedente, până se ajunge la problema simplă al cărei rezultat este însusi rezultatul problemei date.

B. Metoda sintetică A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta atentia elevilor asupra a

două din datele problemei compuse si a formula cu acestea o problemă simplă, al cărei rezultat să constituie un element al unei noi probleme simple si asa mai departe până se ajunge la ultima problemă simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei compuse date.

În aplicarea acestei metode trebuie să se aibă grijă ca să se termine numai acele probleme simple care converg spre întrebarea finală.

Metoda sintetică este mai usoară, este mai accesibilă elevilor datorită faptului că nu necesită un proces de gândire de mare profunzime. De aceea trebuie întrebuintată cu precădere în primele trei clase.

Am folosit această metodă cu precădere în clasa I, când elevii nu cunosteau problema compusă si nu se puteau orienta singuri în rezolvarea ei.

Prin structura lor unele probleme se pretează la o examinare prin metoda sintetică, în care problemele simple sunt evidente si însusi textul problemei indică succesiunea acestora.

Exemplu: ,,La un magazin se aduc: 5 pachete de unt a 200g, 6 forme de câte 3 kg cascaval si 7 săculeti de câte 4 kg brânză de burduf.Ce cantitate de produse lactate a fost ? „

La o analiză amănuntită a problemei se observă că textul acesteia delimitează în mod clar problemele simple si stabileste succesiunea lor. În acest caz procesul de gândire se desfăsoară în felul următor :

50

1) Cunoscând numărul pachetelor de unt si cantitatea unui pachet se poate afla întreaga cantitate de unt adusă la magazin;2) Cunoscând numărul formelor de cascaval si cantitatea unei forme se poate afla cantitatea totală a cascavalului adus;3) Cunoscând numărul săculetilor de brânză de burduf si cantitatea unui săculete putem afla cantitatea totală de brânză de burduf adusă la magazin;4) Dacă am aflat cantitatea de unt, de cascaval si de brânză de burduf putem afla cantitatea totală de produse lactate aduse la magazin.

X

X

X

5 pachete unt

Cantitatea unui pachet de unt 200 g

Cantitatea de unt

6 forme cașcaval

Cantitatea unei forme 3 kg

Cantitatea de cașcaval

7 săculeți brânză

Cantitatea unui săculete 4 kg

Cantitatea de brânză de burduf

Cantitatea de produse lactate

51

Examinând problemele pe cale sintetică, desprinderea fiecărei probleme simple dă elevului posibilitatea s-o si rezolve deoarece are datele si întrebarea.

Această metodă de examinare a problemei este recomandată în etapa când elevii se familiarizează cu problemele compuse, deoarece în loc de a-i pune în situatia să vadă problema în ansamblul ei, s-o judece în întregime, le dă prilejul să rezolve succesiv mai multe probleme simple.

Examinând problemele pe cale analitică se înlătură această fragmentare a problemei compuse, deoarece desprinderea problemelor simple nu duce decât în ultimul moment la datele problemei. Întrebând “ce ar trebui să stim pentru a afla…” elevul ajunge la date necalculate, neexprimate în textul problemei, dar posibil de calculate. După ce a fost parcursă cu gândirea întreaga judecată a problemei se poate reveni cu o sinteză.

Încă din clasa a II-a rezolvarea problemei nu trebuie să însemne elaborarea unor rationamente ,,comandate" sau conduse în mod stas, ci un efort propriu al gândirii copilului, care să-i dea satisfactia unei descoperiri.Este necesar să lăsăm tot mai multă independentă elevului pentru ca el să capete încredere în propriile-i posibilităti, să apară curiozitatea si spiritul de inventivitate.

Exemplu: ,,Într-un clasor, Costel are 9 timbre, în altul de 8 ori mai multe, iar în al treilea cu 160 timbre mai multe decât în al doilea. Câte timbre are Costel în cele trei clasoare ? „

Mersul rationamentului trece de la cunoscut la necunoscut. Elevul îsi va pune succesiv îmtrebările : "Ce stim de la început?", "Ce se poate afla apoi?", "Ce se află mai departe?".

Metoda sintetică duce adeseori mai repede la obtinerea răspunsului la întrebarea problemei decât metoda analitică.

Prin metoda analitică, problema prezentată anterior urmează a se rezolva comform urmatoarei scheme :

Număr total de timbre

Numărul de timbre din al treilea clasor

Numărul de timbre din al doilea clasor

Numărul de timbre din primul clasor

de 8 ori mai mult

cu 106 mai mult

52

Rezolvarea problemelor se poate face si pe o cale diferită, pornind de la întrebarea finală către cele subordonate acesteia.

Analiza si sinteza, care reprezintă două aspecte ale procesului gândirii, sunt legate între ele si se aplică în unitate si armonie, astfel organizarea problemei prin însăsi esenta ei reprezintă un proces analitico-sintetic. Altfel spus, în procesul rezolvării unei probleme se combină analiza cu sinteza.

După ce problema a fost analizată prin metodele discutate anterior se trece la realizarea planului. Acest plan nu este altceva decât o linie generală de conduită, ce va fi urmată în rezolvarea problemei.

După găsirea răspunsului se impune acea privire retrospectivă (verificarea rezolvării date), o fază importantă si instractivă a muncii. Reexaminând rezolvarea, elevii pot să-si aprofundeze cunostiintele, să capete mai multă abilitate în rezolvarea problemelor, să ajungă la generalizare.

Dacă în rezolvarea problemelor se utilizează diagrame pentra a ilustra grafic datele unei anumite probleme, atunci elevii descoperă usor legăturile dintre datele problemei si se familearizează cu întelegerea sensului concret al operatiilor necesare.

Exemplu: ,,Vasilica are 14 nuci, iar Costel cu 9 nuci mai putine decât Ionel , care are 16 nuci.

Cu câte nuci are mai mult Vasilica decât Costel ? „

Schemele acestei probleme-sintetică si analitică-au urmatoarele înfătisări:Sintetică (se porneste de la datele)

-

-

Analitică (se porneste de la întrebarea problemei)

16 nuci 9 nuci

14 nuci ? nuci

? nuci

? nuci

14 nuci ? nuci

16 nuci 9 nuci

53

Multi elevi rezolvă cu relativă usurintă trei probleme simple, pe când nu toti rezolvă la fel de usor o problemă compusă din trei probleme simple. Problema compusă este un set de probleme simple relationate functional. După ce elevul rezolvă un pas, el se află în fata aceleiasi probleme, dar cu mai putin necunoscut si mai mult cunoscut, care-l va ajuta în următorii pasi. Această etapă se consideră realizată în momentul în care elevul reuseste să creeze un model grafic pentru o anumită problemă.

3.B.Tipuri de probleme ce se rezolva in ciclul primar

Prin problemă tipică întelegem acea constructie matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui algoritm specific fiecărui tip. O asemenea problemă se consideră teoretic rezolvată în momentul în care i-am stabilit tipul si suntem în posesia algoritmului de rezolvare. Prin identificarea metodei algoritmului voi rezolva model unele dintre cele mai semnificative probleme apartinând unui anumit tip si pentru unele dintre ele voi aborda o discutie introductivă care să coboare la nivelul de întelegere si de cunostiinte al elevilor din ciclul primar.

Desi există stabilit algoritmul de rezolvare pentru un anumit tip de probleme, totusi noi nu trebuie să fim adeptii unor sabloane pentru ca în acest caz rezolvatorul devine un robot, posesor al unei cartele, pe care sunt imprimati algoritmii si atunci sarcina lui ar fi doar să stabilească tipul, să tragă ,,cartela" corespunzătoare si să o adapteza datelor problemei. Rezolvatorul trebuie să caute să fie un bun specialist al obiectului si un tip creator, novator, întreprinzator, calităti disjuncte cu ale roborului în sensul clasic al cuvântului.Din categoria problemelor tipice voi mentiona doar câteva, care sunt mai

semnificative:- probleme ce se rezolvă prin metoda figurativă;- probleme de aflare a două numere cunoscând suma sau diferenta si raportul lor;- probleme de egalare a datelor (metoda reducerii la imitate);- probleme gen rest din rest (metoda mersului invers);

- probleme de aflare a două numere cunoscând suma si câtul lor. 1.

Probleme ce se rezolvă prin metoda figurativă

Această metodă are la baza procedeul figurării (desenării prin anumite simboluri a mărimilor ce intervin în problemă si a corespondentei ce există între ele), atât în faza initială, cât si în urma unor rationamente care conduc în cele din urmă la solutionarea problemei.

Problemele figurative pot fi împărtite în două categorii:- cu date sau mărimi ,,discrete", întelegând prin aceasta că mărimile pot fi numărate câte una si că se pot pune în corespondente după anumite criterii;

54

- cu date sau mărimi continui, caz în care le figurăm prin segmente sau desen.Metoda figurativă poate fi utilizată în ciclul primar începând cu clasa a II-a pentru că

se bazează pe modelul intuitiv adecvat gândirii concret-intuitive a elevilor mici.In continuare voi arata câteva exemple în care se aplică metoda figurativă în

rezolvarea problemelor.

Exemplul: ,,Un gospodar are oi si rate, în total 30 capete si 96 de picioare.

Câte oi si câte rate are gospodarul ?" Se figurează oile si ratele prin ovale:

00000………00000

30 capete

Pentru că fiecare vietate are cel putin 2 picioare se figurează la fiecare oval câte două linioare ce reprezintă două picioare:

30x2=60 (picioare)Dar rămân 96-60=30 (picioare)

0 0 0 0 0……0 0 0 0 0

60 picioareCele 36 picioare rămase se pot figura la:

36:2=18 (oi)18 ovale reprezintă animalele cu 4 picioare, adică oi:

………..

18 capete

Deducem că 18 vietăti au câte 4 picioare deci sunt oi, iar restul rate. 30-18-12 (rate)

Deci 12 vietăti au 2 picioare, si sunt rate.

55

Verificare: 18 oi x 4 = 72 (picioare) 12 rate x 2 = 24 (picioare) 30 capete... 96 picioare.

56

Exemplul 2 :

,,Trei grupe de elevi au cules mere. Într-o oră prima grupă a umplut 5 lăzi a câte 25 kg, a doua grupă 4 lăzi a 30 kg, iar a treia grupă 3 lăzi a câte 50kg.

Câte kg de mere au cules în 4 ore cele trei grupe de elevi?”reprezentare grafică prin desen:

I grupă:25 kg 25 kg 25 kg 25 kg 25kga II-a grupă:30 kg 30 kg 30 kg 30 kg 1 orăa III-a grupă:50 kg 50 kg 50kg

1. Câte kg mere a cules prima grupă într-o oră?25kg x 5=125 kg

2. Câte kg mere a cules a doua grupă într-o oră?30 kg x 4=120 kg

3. Câte kg mere a cules a treia grupă într-o oră?50 kg x 3=150 kg

4. Câte kg mere au cules într-o oră cele trei grupe de elevi?125 kg + 120 kg + 150 kg = 395 kg

5. Câte kg mere au cules în patru ore cele trei grupe?395 kg x 4= 1580 kgRăspuns: 1580 kg

Exemplul 3 “Doi frati au împreună 17 mere. Radu are 9 mere.

Câte mere are Simona?”

reprezentăm grafic:17 MERE

RADU si SIMONA

RADU = 9 mere SIMONA=?

9 mere + [ ] mere=17 mere

17 mere-9 mere=8 mere

Răspuns: 8 mere

57

Exemplul 4

“Un colet de 64 abecedare se repartizează la două clase I, astfel încât clasa I B să primească cu 5 abecedare mai putin decât dublul cărtilor pe care le primeste clasa I A.

Câte abecedare primeste fiecare clasă?”

REZOLVAREDacă la clasa I B s-ar mai repartiza încă 5 abecedare, atunci numărul total de

abecedare ar fi:64+5=69 (abecedare), iar clasa I B ar primi un număr

dublu de abecedare fată de clasa I A.

I A 5 carti 69 cărtiI B

În acest caz se poate considera că pentru clasa IA se vor da o parte, iar pentru clasa I B două părti, în total trei părti, adică:

IA : 69 : 3 = 23 (cărti)I B : 23x2-5 = 46-5 = 41 (cărti).

răspuns: clasa I A primeste 23 cărti clasa I B primeste 41 cărti

Exemplul 5

“Suma a trei numere este 800. Primul număr este 250, iar al doilea 170. Care este al treilea număr?”REZOLVARE

Reprezentăm grafic suma celor trei numere: 250 170 ?

800

58

1. Cât este suma primelor două numere?250+170=420

2. Cât este al treilea număr?800-420=380

sau: 800-250-170=550-170=380Răspuns: al treilea număr este 380b. Probleme de aflare a două numere cunoscând suma si diferenta

Exemplul 1 “Suma a două numere este 567, iar diferenta lor este 123. Care sunt numerele?”

REZOLVARE:Pentru acest tip de probleme notăm unul din numere cu “a", iar celălalt cu ,,b", suma cu

,,S", iar diferenta cu ,,D". Atunci avem: a + b = S

a - b = DAdunând cele două egalităti obtinem: a + a + b - b = S + Da+a=S+D2a=S+D a = S + D sau a = (S + D):2 2Scăzând cele două egalităti obtinem: a+b -a+b=S-Db + b = S - D2b=S-D b= S-D sau b =(S - D): 2.

2 Exemplu numeric:

a+b=567a-b-1232a = 567 + 123 => 2a = 690 => a = 690 : 2 => a = 3452b = 567 - 123 => 2b = 444 => b = 444 : 2 => b = 222

Pentru acest tip de problemă se poate aplica si metoda figurativă care este mai usor de înteles pentru copii.

59

Exemplu 2: ,,La un centru de legume s-au adus 64 de lăzi cu legume, unele cu rosii, altele cu

castraveti. Stiind că numărul lăzilor cu rosii este cu 14 mai mare decât al celor cu castraveti, să se afle câte lăzi cu rosii si câte lăzi cu castraveti s-au adus?"

REZOLVARE:

Notăm : a = numărul lăzilor cu rosii b = numărul lăzilor cu castraveti Avem : a + b = 64

a-b=14a = S + D sau a = (S + D): 2 2

b = S-D sau b = (S-D): 2. 2

Înlocuim si avem:a = (64+ 14): 2 a = 78:2a = 39 (lăzi cu rosii) b = (64 -14) : 2b = 50 : 2b = 25 (lăzi cu castraveti) sau pe b îl mai putem afla si altfel: b = 64 - a

b = 64 - 39 b = 25răspuns : 39 lăzi cu rosii 25 lăzi cu castraveti.

c. Probleme de egalare a datelor sau probleme ce se rezolvă prin metoda comparatiei

Acest tip de probleme se poate clasifica după numărul mărimilor sau necunoscutelor care apar în text, cu doua, trei sau mai multe necunoscute, numărul relatiilor fiind în mod necesar egal cu numărul mărimilor respective.

De asemenea, problemele de eliminare prin reducere, se pot clasifica si după faptul dacă contin sau nu valori egale pentra una din mărimi. Daca una din mărimi ia valori egale, reducerea se face direct.

60

Asezarea datelor într-o problemă de eliminare prin reducere se face prin respectarea relatiilor stabilite între mărimi si astfel încât comparatia dintre valorile aceleiasi mărimi să fie pusă în evidentă în mod direct asezând valorile de acelasi fel unele sub altele. Rezolvarea se face prin eliminarea succesivă a necunoscutelor până se ajunge la o relatie cu o singură necunoscută.

Cu ajutorul acestei metode se rezolvă probleme în care sunt date două sau mai multe relatii între mai multe mărimi si se cer a fi determinate valoric mărimile.

Exemplu 1: „ Într-o săptămână 12 băieti si 7 fete au cules 630 kg de cirese. În săptămâna a

doua, 12 băieti si 3 fete au cules 510 kg de cirese.Câte kg de cirese a cules pe săptămână o fată si câte un băiat? „ REZOLVARE

Problema se poate aseza în felul următor: 12 băieti .................. 7 fete..................630 kg cirese 12 băieti .................. .. 3 fete.............. 510 kg cirese

4 fete.................120 kg cirese

Comparând mărimile sense în aceste două rânduri, observăm că în prima săptămână au fost cu 7-3=4 (fete) mai multe decât în a doua săptămână si s-au cules cu 630-510=120 (kg) cirese mai mult.

Cele 120 kg de cirese reprezintă cantitatea de cirese culese într-o săptămână de 4 fete. Deci:

1 fată a cules într-o săptămână 120:4=30 (kg) cirese 7 fete au cules într-o săptămână 30x7=210 (kg) cirese12 băieti au cules într-o săptămână 630-210=420 (kg) cirese 1 băiat a cules într-o săptămână 420:12=35 (kg) cirese

R: 30 kg cirese a cules o fată35 kg cirese a cules un băiat

Exemplul 2: (Aducerea la acelasi termen de comparatie)„ Pentru 3 banane si 4 mere s-au plătit 34 000 lei. Pentru 5 banane si 6 mere s-au

plătit 54 000 lei.Cât costă o banană si cât costă un măr?"

61

REZOLVARE 3 banane...............4mere...............34 000/x3

5 banane..............6 mere............... 54000/ x2 Aducem la acelasi termen de comparatie:

9 banane...............12 mere..............102 000 lei10 banane.............. 12 mere.. ............ .108 000 lei

Analizând mărimile după ce au fost aduse la acelasi termen de comparatie se observă usor că: 1 banană........costă: 108 000-102 000=6 000 (lei)9 banane........costă: 9x6 000=54 000 (lei)12 mere......... costă: 102 000-54 000=48 000 (lei)1 măr ...........costă: 48 000:12= 4000 (lei)

R: 1 banană costă 6 000 lei 1 măr costă 4 000 lei

d. Probleme gen rest din rest (metoda mersului invers)

Rezolvarea unui exercitiu sau a unei probleme prin metoda mersului invers, presupune refacerea calculului în sens invers celor indicate de text până se ajunge la elementul de bază pe care s-a construit exercitiul sau problema. Pentru a întelege această metodă trebuie să folosim cât mai multe exercitii de aflare a unui număr considerat necunoscut, dar asupra căruia s-au efectuat anumite operatii, al căror rezultat este dat.

Exemplul 1: „ Mă gândesc la un număr. Adaug 7. Rezultatul se înmulteste cu 6, din produsul

obtinut se scade 10, rezultatul se împarte la 4, apoi se adaugă 5, obtinându-se 25.La ce număr m-am gândit?"

Notăm numărul cu ,,a" si vom scrie problema sub forma unui exercitiu: [(a+7)x6-10]:4+5=25Pornim de la ultima operatie, adică adunarea lui 5 cu un termen necunoscut.

Termenul necunoscut se află astfel: [(a+7)x6-10]:4=25-5[(a+7)x6-10]:4=20Acum exercitiul este o împărtire în care cunoastem împărtitul si câtul si nu cunoastem

deîmpărtitul. Deîmpărtitul îl găsim astfel: (a+7)x6-10=20x4 (a+7)x6-10=80

62

Acum ultima operatie reprezintă o diferentă în care cunoastem scăzătorul si nu cunoastem descăzutul. Il aflăm astfel:

(a+7)x6=80+10 (a+7)x6=90

Exercitiul reprezintă un produs unde nu cunoastem unul din factori, pe care îl aflăm astfel: a+7=90:6 a+7=15

Ultimul exercitiu rămas este o sumă în care cunoastem primul termen si îl aflăm astfel: a=15-7 a=8

Pentru a fi convinsi că solutia este corectă vom face verificarea: [(8+7)x6-10]:4+5=(15x6-10):4+5=(90-10):4+5=80:4+5=20=5=25

R: Nr. la care m-am gândit este 8 Exemplul 2:

,,Raluca are cu 15 bomboane mai multe decât Oana. Ana are de 2 ori mai multe bomboane decât Oana, Ina are cu 40 mai multe decât Ana, adică 70.

Câte bomboane are Raluca?" REZOLVARE

Din enunt se constată că Ina are 70 de bomboane. Dacă Ana are cu 40 mai putine decât Ina, atunci ea va avea:

70-40=30 (bomboane)Ana are de 2 ori mai multe bomboane decât Oana. Atunci Oana are de 2 ori mai putine

bomboane decât Ana, adică:30:2=15 (bomboane)

Raluca are cu 15 mai multe bomboane mai multe decât Oana. Deci Raluca are: 15+15=30 (bomboane)

dacă asezăm problema sub forma unui exercitiu, vom avea: a= bomboanele Ralucăi

(a-15)x2+40=70(a-15)x2=70-40(a-15)x2=30a-15=30:2a-15-15a=15+15a=30

Răspuns: Raluca are 30 bomboane

63

e. Probleme de aflare a două numere cunoscând suma si câtul lor

Exemplu:„ Un segment este mai mare decât celălalt de 4 ori, iar suma lungimilor lor este 50 cm. Câti centimetri are fiecare segment?" Notăm: I segment =a al II-lea segment=b Se dă: a+b=50 adica S=50

b=4xa sau b:a=4 Se cere: a=? b=? Se poate realiza următorul desen:a 50 b

Din desen deducem că suma celor două segmente este de 5 ori lungimea segmentului mic, a. Înseamnă că numărul mic este 50:5=10 (a), iar cel mare este 10x4=40(b) sau 50-10=40(b).

Se impune întrebarea :"Cine ne arată de câte ori este mai mare un număr decât celalalt?". Răspunsul este : câtul. Asadar această este o problemă cu suma si cât. Care este formula numerică de rezolvare?

50:(4+1)=?Se ajunge astfel la formula generală: S: (c+1 )=număr micÎn mod asemănător am proceda si în cazul problemelor ce diferentiază si cât. Formula

dedusă este: s:(c-l)=număr mic.Aceste probleme sunt foarte atractive. Ele pot fi făcute în orice moment al lectiei

si pot diferentia sarcina în functie de particularitătile individuale. Uneori, reprezintă momente de destindere, de satisfactie si de aceea copiii regretă faptul că soneria anuntă sfârsitul orei.

M-a preocupat si mă preocupa noutatea si varietatea a problemelor selectate, în scopul de a înlătura monotonia si pentru a asigura performantele deosebite la ora de matematică. Caut ca asemenea probleme să le complic pentru a înlătura stereotipul, pentru a-i determina pe elevi să gândească. De fapt, acesta este si rolul matematicii. Înrezolvarea unei probleme, lucrul cel mai important este construirea rationamentului de rezolvare, adică a acelui sir de judecăti orientate către descoperirea necunoscutelor.

64

III.4. Probleme simple si metodologia rezolvării lor

Familiarizarea elevilor cu notiunea de problemă si cele două componente ale ei: continut si întrebare se face înca din clasa I. Rezolvarea oricăror probleme de matematică presupune mai multe etape:- cunoasterea enuntului problemei;- întelegerea enuntului problemei;- analiza problemei si elaborarea judecătii concretizate în

planul de rezolvare a problemei; - alegerea si efectuarea operatiilor aritmetice corespunzătoare

judecătilor;- verificarea rezultatului.

Primele probleme simple sunt acelea pe care si le pun copiii zilnic la scoală, în familie, la joacă si care sunt ilustrate cu exemple familiare lui. Pentru a-1 putea face pe elev .începând chiar din clasa I, să vadă importanta activitătii de rezolvare a problemelor, este necesar ca acesti mici scolari să înteleagă faptul că în viata de toate zilele sunt o multime de situatii când trebuie găsit un răspuns la diferite întrebări.

Prin problema simplă se întelege, în general, problema care necesită efectuarea unei singure operatii aritmetice pentru aflareasolutiei.

În clasa I se porneste cu rezolvarea de probleme simple pe baze intuitive, cu exemple cunoscute elevului. Primele probleme ce se rezolvă se introduc prin joc, unele au caractere de actiune si sunt însotite de un bogat material ilustrativ.

Rezolvarea primelor probleme se realizează deci, la nivel concret, ca actiuni de viată (au mai venit... .băieti, s-au spart... .baloane, au plecat... .cătei, au mâncat... .mure, au zburat păsărele, i-a dat creioane colorate) ilustrate prin imagini sau chiar prin actiuni regizate de elevi. În această fază, activitatea de rezolvare a problemelor se află foarte aproape de cea de calcul. Dificultatea principală în rezolvarea problemelor constă în corelarea actiunii concrete cu operatiile corespunzătoare. Exemplu 1:

„ Pe o sârmă de telegraf sunt 4 rândunele. Lângă ele mai vin 2 rândunele.

Câte rândunele sunt în total pe sârma de telegraf?"

65

Prin actiunea concretă ,,mai vin" elevii trebuie să constate că cele 4 rândunele care există pe sârmă si cu cele 2 rândunele care vin trebuie reunite si numărate câte sunt în total. Acestei actiuni concrete îi corespunde operatia de adunare:

4+2=6(rândunele)R:6 rândunele;

Desi problemele simple par usoare, ele sunt deosebit de importante, fiind un suport necesar întelegerii si rezolvării problemelor compuse. De aceea este necesar a se rezolva cu elevii un număr cât mai mare de probleme simple de toate genurile. Problemele simple au la bază una din cele 4 operatii si ca atare pot fi clasificate astfel:

a. Tipuri de probleme bazate pe adunare:-de aflare a sumei a doi termeni;-de aflare a unui număr mai mare cu un anumit număr de unităti decât un număr

dat; -de genul cu atât mai mult,

b. Tipuri de probleme bazate pe scădere:-de aflare a diferentei sau a restului;-de aflare a unui număr mai mic cu un anumit număr de unităti decât un număr dat.

III.5. Probleme compuse si metodologia rezolvării lor

Problema compusă trebuie privită ca un tot unitar si nu ca o însusire de probleme simple.

Planul de rezolvare poate fi elaborat prin enunturi sau întrebări, iar operatiile aritmetice pot fi efectuate fie la sfârsitul planului de rezolvare, fie intercalate cu întrebările sau enunturile planului. Experienta didactică a demonstrat că cea mai eficientă formă este cea în care operatiile aritmetice se intercalează întrebărilor.

Eficienta activitătii de rezolvare a problemelor compuse se accentuează dacă se insistă asupra găsirii tuturor căilor de rezolvare a unei probleme. Acest lucru antrenează toate capacitătile intelectuale ale elevilor si contribuie la dezvoltarea gândirii logice, la dezvoltarea simtului estetic prin aceea că elevul este pus în situatia de a alege.

Un instrument ajutător pentru întelegerea problemei este modelul sau schema acesteia. Această schemă ajută elevii să înteleagă si să regizeze organizarea internă a problemei si structurarea logică a datelor din continutul ei.

66

Exemplu: a. „ Dan are 3 baloane rosii si 2 baloane albastre.

Câte baloane are Dan?"3+2=5 (baloane)

b. „ Dan are 5 baloane. El sparge un balon.Câte baloane îi mai rămân?"5-l=4 (baloane)

Unind cele două probleme într-una singură se obtine o problemă compusă:„ Dan are 3 baloane rosii si 2 baloane albastre. El sparge un balon.

Câte baloane îi mai rămân?" Se citeste enuntul problemei de mai multe ori, se scrie problema prescurtat, se analizează si se întocmeste planul de rezolvare: „... 3 baloane rosii... 2 baloane albastre... 1 balon se sparge ? baloane rămân"

PLAN DE REZOLVARE1.Câte baloane are Dan?

3+2=5(baloane)2.Câte baloane îi mai rămân? 5-l=4(baloane)

R:4 baloane îi rămân. Printr-un singur exercitiu rezolvarea problemei poate fi scrisă astfel:

3+2-1=4În clasa I si la începutul clasei a II-a planul de rezolvare se alcătuieste oral si mai putin

scris, deoarece deprinderile de scriere nu sunt suficient consolidate.

Trecerea la probleme compuse mai dificile se face treptat. O atentie deosebită trebuie acordată problemelor în care relatiile dintre date sunt de genul ,,cu atât mai mare (mai mic)" , “de atâtea ori mai mare (mai mic)”, deoarece aceste relatii au un caracter abstract, iar elevii sunt tentati să le ia drept valori numerice cunoscute. Acest neajuns poate fi înlăturatfăcând de fiecare dată o analiză temeinică a problemelor, astfel încâtelevii să sesizeze că valoarea unei mărimi interne apare de mai multe oriîn operatiile ce conduc la găsirea solutiei:a+(a+b) a+(a:b)a+(a-b) a-(a:b) etc.

De regulă pentru analiza si rezolvarea problemelor compuse se foloseste metoda analitică si sintetică, despre care am vorbit într-un subcapitol anterior.

67

3.6. Compunerea problemelor - mijloc de dezvoltare a gândirii elevilor

Compunerea problemelor constituie una din cele mai importante forme de dezvoltare si educare a gândirii matematice. Compunerea problemelor de către elevi ne dă posibilitatea să angajăm gândirea elevului în mod creator si inventiv.

Pentru a forma la elevii ciclului primar o gândire creatoare trebuie să-i învătăm din ce si cum să creeze. Pusi în situatia de a compune probleme elevilor li se dezvoltă în mod nemijlocit independenta de a gândi.

În procesul de creatie este necesar să se tină seama de cele două componente ale unei probleme si anume: de conditiile si de cerintele acesteia, adică ce anume trebuie să fie calculat în conditiile date.

Procesul creator va fi stimulat de întrebări si de executarea diferitelor sarcini de natură să-i determine pe elevi să-si încerce puterile si să caute satisfactia oferită de învingerea dificultătilor, ca de exemplu:- puteti să schimbati întrebarea problemei;- puneti întrebarea si rezolvati problema;- ati putea să compuneti o problemă asemănătoare cu cea pe care ati rezolvat-o;- puteti să enuntati altfel problema;- completati termenul necunoscut si rezolvati problema;- compuneti o problemă si rezolvati-o prin metoda folosită anterior;- găsiti o altă cale de rezolvare;- formulati problema folosindu-vă de exercitiul...- compune exercitiul după diagramele...- formulati câte o problemă pentru fiecare din figurile...

Am început activitatea de compunere a problemelor încă din clasa I, folosind o serie de modalităti menite să stimuleze gândirea creatoare a elevilor, prezentându-le într-o esalonare gradată (de la simplu la complex), modalitătile cu reale valente creative sunt urmatoarele:

1.Elaborarea problemelor după un material ilustrativPornind de la ideea că orice problemă trebuie văzută în alcătuirea ei concretă, ca o

suită de actiuni, fapte de viată am urmărit ca primele probleme să îmbrace forma întâmplărilor reale la care sunt pusi să participe copiii.

68

Exemplu: ,,Nicu are 5 creioane colorate ti Olguta îi mai dă 3 creioane.

Câte creioane are Nicu?" (Olguta îi dă lui Nicu 3 creioane). Introducerea problemelor compuse am făcut-o treptat, regizând probleme actiuni

de felul : „ Ionut are 6 creioane colorate ,iar Dănut cu 3 creioane mai multe.Câte creioane are Dănut?".Asemenea probleme simple se transformă în probleme compuse prin întrebarea: “Câte creioane colorate au în total cei doi copii?".

De la astfel de probleme am trecut treptat la rezolvarea cu elevii a problemelor cu enunt care se preta la desene si ilustratii. Le prezentam elevilor o plansă pe care era ilustrat un desen, iar ei aveau sarcina să compună o problemă pe baza ilustratiei.

Pe baza desenului elevii au formulat problema în mai multe variante. Exemplific una dintre acestea:

“Andrei are 3 baloane rosii si 2 baloane galbene.Câte baloane are Andrei?”

3 2

?

69

Am complicat apoi gradul de dificultate al problemei, cerându-le să formuleze probleme a căror solutionare cerea două operatii aritmetice.

Această figură a sugerat elevilor crearea unor probleme de genul: a+(a+b).Exemplu:

“Maria a primit 3 inimioare. Sora ei, Alina, a primit cu 2 inimioare mai multe decât Maria.Câte inimioare au primit cele două fete în total?”

2.Compararea enuntului problemei stabilind întrebarea acesteiaÎn asemenea împrejurări elevii au fost stimulati să recurgă la imaginatia creatoare declansată

de problemele pe care le-au avut de rezolvat. În fond ce este întrebarea? O componentă obligatorie a oricărei probleme. Este o manifestare a gândirii la granite dintre cunoastere si necunoastere, constituind un demers prin excelentă productiv.Exemplu:

“Într-o ladă sunt 10 kg de rosii. În altă ladă sunt cu 2 kg mai mult.”Indicând numărul operatiilor, elevii au formulat întrebări de genul:

a. cu o singură operatie:” Câte kg de rosii sunt în a doua ladă?”b. cu două operatii: “Câte kg de rosii sunt în cele două lăzi?”

De asemenea am încercat să complic problemele prin introducerea de noi date sau modificând întrebarea problemei, de exemplu:

„ Două echipe de muncitori au sarcina să construiască 30 km de sosea. După 7 zile de muncă prima echipă a construit 8 km de sosea, iar cealaltă echipă a construit 10 km de sosea.

Câti km mai are de construit fiecare echipă? sau: Câti km de sosea mai au de construit cele două echipe?"

3

32

?

70

Am solicitat elevii să rezolve problema prin două sau mai multe procedee: I.1.Câti km de sosea are de construit fiecare echipă?

30:2=15(km)2.Câti km de sosea mai are de construit prima echipă? 15-8=7(km)3.Câti km de sosea mai are de construit a doua echipă?

15-10-5(km)Pentru a doua întrebare planul de rezolvare va fi putin diferit, adaugându-se înca o

operatie la cele de mai sus:II. III.30:2-8=7(km) 8km+10km=18km30:2-10=5(km) 30km-18km=12km7+5=12(km)

Le-am cerut elevilor, în final, să scrie rezolvarea problemelor într-o singură expresie, stimulând si mai mult creativitatea.

30 km-(8 km+10 km)=30 km-18 km=12 kmR: 12 km mai au de construit.

3.Elaborarea problemelor după indicatii verbalePentru realizarea acestui lucru elevii au primit sarcini de felul:

- compuneti o problemă simplă de adunare (scădere);- creati o problemă în care să se obtină rezultatul 80 pe baza

cărora au alcătuit enuntul, au formulat întrebarea si au solutionatproblema4.Elaborarea problemelor după un exercitiu numeric

Compunerea problemelor după un exercitiu dat simplu sau compus pretinde elevilor un efort mai mare de gândire si originalitate.

Exemplu: 12+4=?După acest exercitiu simplu elevii au compus o varietate de probleme. Redau una dintre

acestea: „ Alex a citit într-o zi 12 pagini dintr-o carte, iar a doua zi cu 4 pagini mai mult.

Câte pagini a citit Alex a doua zi?"Acest exercitiu simplu l-am transformat în unul compus si le-am cerut elevilor să

compună o problemă după el sau chiar să transforme enuntul problemei compusă anterior astfel încât să se rezolve prin exercitiul compus.

Exemplu2: 12+(12+4)=?,,Într-o clasă sunt 12 fete, iar băieti cu 4 mai multi.

Câti elevi sunt în acea clasă?"

71

5.Elaborarea problemelor după un exercitiu literalElevii au fost solicitati să compună probleme după următorul tip de exercitii:

a=5b=4 a+b=?

Din multitudinea problemelor create, voi prezenta doar una:,,Într-o zi Nicusor a rezolvat 5 probleme, iar în ziua următoare 4

probleme.Câte probleme a rezolvat Nicusor în cele două zile?".

Mentionez că elevii cu dificultăti în ceea ce priveste gândirea matematică au fost sprijiniti în activitatea de compunere a problemelor după un exercitiu numeric sau literal.

În clasa a II-a am continuat exercitiile de compunere pe baza formulei numerice si literale. Exemplu:

,,Câte probleme a rezolvat un elev în trei zile, dacă în prima zi a rezolvat 11 probleme ,in a doua zi cu 5 probleme mai putin decat in prima zi, iar in a treia zi a rezolvat 7 probleme?"

Elevii au stabilit relatia care exista intre datele problemei: 11 probleme........-5 probleme..............7 probleme

11 probleme…..... 11 -5 probleme….......7 probleme 11 + (11-5) +7 =11+6+7=24

Apoi au transformat simbolurile numerice in simboluri literale ,redand formula generala in care se incadreaza rezolvarea problemei:

a+(a-b)+cIn continuare ,elevii au compus probleme pe baza unor formule literale date:l.a+(a+b)

2.a+(a-b)3.a-(b+c)

sau pe baza unor scheme si formule ,ca de exemplu:a. 10 a

40

72

Exemplu: “Suma a două numere este 40. Primul număr este 10.Aflati al doilea număr.”

b. Problema se poate complica:70

10 b c

90

Exemplu: ,,Suma a trei numere este 90.Primul număr este 10. Să se afle celelalte două

numere ,stiind că suma primelor două numere este 70."În aceasta activitate de compunere de probleme trebuie să tinem seama în primul rând de posibilitătile elevului ,prin sarcini gradate ,trecându-se treptat de la compunerea liberă la cea care impune anumite cerinte ,din ce in ce mai restrictive.

Sarcina învătătorului este să conducă această activitate prin indicatii clare ,prin exemple sugestive folosite ca modele, prin cerinte rationale ,să canalizeze gândirea si imaginatia copiilor spre asociatii din ce în ce mai întâmplătoare. De asemenea trebuie să-i facem pe elevi să aibă încredere în ei ,să le stimulăm eforturile intelectuale ,să le formăm si educăm calităti moral-volitive ,să le dezvoltam interesul si sensibilitatea în directia rezolvării si compunerii de probleme noi ,să fie receptivi la situatii problematice cu continut matematic.

Compunerea problemelor cât si rezolvarea lor ,este recomandat să se facă în situatii de joc didactic. Jocul creează o atmosferă de competitie si astfel vom contribui nu numai la activitatea intelectuală a copiilor ,dar si la formarea personalitătii lor ,la manifestarea unei conduite atitudinale pozitive fată de muncă.

Totodată se va avea în vedere cresterea mobilitătii gândirii ,a capacitătilor sale divergente ,capacitatea de control si autocontrol ,dezvoltarea atentiei ,rapiditătii si operativitătii elevilor. În acest scop se pot găsi si crea o multime de forme si procedee.

73

Voi prezenta câteva exemple pe care le-am folosit cu elevii, la clasă:- care echipă compune mai corect si mai frumos o problemă dupa următoarea cerintă;- să se rezolve problema compusă de o echipă;- rezolvati problema compusă de colegul (colega) voastră;- o grupă să formuleze continutul problemei, iar cealaltă grupă să găsească întrebarea

problemei si ,apoi ,ambele grupe să rezolve problema;- care grupă găseste mai multe întrebări la o problema dată;- să găseasca mai multe căi de rezolvare a unei probleme;- eliminati din continutul problemei datele de prisos;- corectati un enunt formulat intentionat gresit;- corectatti rezolvarea unei probleme ,rezolvată gresit intentionat.

Activitatea de compunere a problemelor la clasele mici poate constitui o premisă reală si eficientă pentru munca de cercetare ,pentru activitatea ulterioară de creatie si ,cu certitudine o modalitate sigură de sporire a rolului formativ al învătământului matematic la ciclul primar.

lII.7.Preocupari personale privind formarea priceperilor si deprinderilor de rezolvare a problemelor în vederea dezvoltării creativitătii gândirii elevilor din ciclul primar

Învătământul primar se caracterizează prin bogate valente formative ,având o evidentă functie educativă. Plasticitatea deosebită a sistemului nervos al copiilor la acesta vârstă oferă bogate posibilităti de modelare a personalitătii.

Impresionabil ,copilul din clasele I-IV este un material viu, usor de modelat. Datorită acestor particularităti ale micului scolar ,între copii si învătător se stabileste o relatie afectivă.

Aici ,în primele patru clase ,se naste la elevi dragostea pentru studiul matematicii. Dacă micul scolar simte că pătrunde în miezul notiunilor matematice ,dacă gândirea este stimulată în mod sistematic să faca un efort gradat ,dacă elevul traieste bucuria fiecărui succes ,toate aceste train cultivă interesul si dragostea pentru studiul acestei frumoase discipline.

În cadrul orelor de matematică ,prin modul cum am conceput lectiile ,elevii au fost atrasi către acest obiect de studiu ,fiind antrenati în compunerea de exercitii si probleme asemănătoare celor rezolvate în timpul predarii ,în alcătuiri originale de probleme după exercitii sau scheme date dinainte ,precum si în găsirea solutiilor de rezolvare a problemelor sau a unor jocuri didactice interesante.

Am manifestat desigur o preocupare sustinută pentru componentele afective si motivationale ale învătării matematicii ,organizând jocuri si activităti cât mai interesante.

Principiul de bază al metodelor de lucru cu elevii a fost realizarea unei permanente ,.,gimnastici" a mintii ,a unui permanent antrenament. Nu i-am lasat ,,să învete" matematica ,ci i-am provocat în permanentă să gândească matematic ,punându-i de multe ori în situatia de ,,a materializa" aspecte reale din viată.

74

Ceea ce vreau să aduc în prim plan este modul cum problemele pot contribui la dezvoltarea flexibilittii spontane si adaptive a gândirii ,a formelor variate sub care se prezinta imaginatia creatoare.

Învatatorul care pune temelia dezvoltarii si dirijării inteligentei copilului ,trebuie să stie care este rolul problemelor si să le folosească ca atare.

Activitatea de rezolvare a problemelor se desfasoară prin parcurgerea mai multor etape ,tinând cont de particularitătile de vârstă ale elevilor:

- întelegerea problemei;- dirijarea atentiei spre părtile ei principale ,ce este cunoscut si necunoscut;

stabilirea relatiilor dintre aceste părti;- separarea întrebării din continutul ei ,în cazul simple si analiza problemei

în cazul celei compuse;- transformarea rationamentului în relatii matematice ,adică rezolvarea ei,care constituie scopul final urmărit;

- formularea răspunsului la întrebarea problemei; Pe parcursul rezolvării problemelor am urmărit constientizarea ,adică masura în care

elevul întelege principiul care îl conduce la rezolvare si nu face simple combinatii întâmplătoare de numere sau aplică mecanic unele tehnici de calcul.

Încă din clasa I am insistat asupra îndrumării gândirii elevilor în directia sesizării si desprinderii relatiilor ,pentru a-i determina ca in orice situatie să descifreze generalul.

Având în vedere vârsta mai mică a scolarilor din clasa I, problemele trebuie să îmbrace forma întâmplărilor reale la care sunt pusi să participe ,să intre firesc în atmosfera lor.

Exemplu: Pe catedră am asezat două cosuri cu mere. Un elev a numărat merele din fiecare

cos ,constatând că în primul sunt 6 mere ,iar în al doilea 4 mere. Merele din al doilea cos sunt puse în primul cos ,după care s-a formulat întrebarea:

,,Câte mere sunt acum în primul cos?" sau ,,Câte mere au fost în total în cele două cosuri?" Reprezentând grafic multimea merelor din primul si din al doilea cos si apoi reunind cele

două multimi ,elevii au înteles ,că pentru a afla totalul este necesar să efectuăm o operatie de adunare:

6+4=10(mere)R: 10 mere

Am continuat activitatea de rezolvare a problemelor ,adaugând o activitate în plus si anume ,ordinea de rezolvare nu coincide cu ordinea datelor din enunt ,elevii fiind solicitati să aleagă perechi de date între care ei stabilească relatii matematice cerute.

75

Exemplu: ,,Ioana a cumparat o felicitare care a costat 7 000 lei si un plic cu 2000 lei.

Ce rest a primit de la 10 000 lei?"Prin analiza datelor problemei si a relatiilor ce există între ele ,ne desprindem treptat

de continutul propriu-zis al ei si formulăm continutul logic:Am avut Am plătit Am plătit10 000 lei 7 000 lei 2 000 lei

Rationamentul problemei se generalizează în formula numerică: 10 000-(7 000+2 000) ,iar treptat ,după rezolvarea mai multor probleme care se încadrează

în acest algoritm ,el poate fi exprimat într-o formulă generală:a - ( b + c ).

Este vorba aici de drumul pe care îl face elevul ridicându-se de la întelegerea continutului concret al problemei ,prin reformularea treptată a ei ,în scopul descoperirii relatiilor logice si a ajunge la solutie. Aceasta presupune capacitatea de a cuprinde în raza gândirii nu secvente independente din rationamente ,nu fragmente succesive pe care să le pună cap la cap ,ci întregul rationament pe care să-1 exprime într-o formulă (algoritmul de rezolvare a problemei).

O altă categorie de probleme rezolvate cu elevii clasei I au fost cele care cuprind în enunt, două date ,obligând ca una dintre ele să fie luată în considerare de două ori.

Exemplu: „ Alina are 4 timbre. Dana are cu 3 timbre mai multe decât Alina. Câte timbre au cele două

fete împreună?" PLANUL DE REZOLVARE

1.Câte timbre are Dana? 4+3=7(timbre)

2.Câte timbre au cele două fete împreună?4+7=ll(timbre)

R:ll timbreÎn clasa a doua am insistat asupra rezolvarii problemelor atât dupa sistemul traditional

(cu plan de rezolvare) ,cât si după sistemul folosirii schemei. Specific rezolvării problemelor din clasa a doua a fost deducerea principiului de rezolvare a problemei direct din datele ei în momentul analizei:

Exemplu: „ Un termen al adunării este 100 ,al doilea termen este cu 50 mai mare decât

primul ,iar al treilea cu 20 mai mic decât al doilea.Care este suma termenilor?"

76

Analizând pe rând datele problemei rezultaă: 100...................+50......................-20100................100+50...................(100+50)-20

100+150+130=380Rezolvarea deductivă a problemei presupune exercitii de gândire matematică si

pregăteste terenul pentru transformarea formulei numerice de rezolvare a problemei în formula literala.

Pe lângă modalitătile de lucru folosite în clasa I si a II-a ,am introdus si alcătuirea planului de rezolvare.

Exemplu: ,,Într-o clasă sunt 15 fete si cu 6 baieti mai mult. Într-o oră de educatie fizică ei au fost împărtiti pe grupe de 9 elevi. Câte grupe s-au format?"

PLAN DE REZOLVARE1.Câti băieti sunt în clasă? 15+6=21 (băieti)2.Câti elevi sunt în clasă?

15+21=36(elevi)3.Câte grupe s-au format?

36:9=4(grupe)R:4 grupe

Rezolvarea problemelor în două sau mai multe moduri contribuie foarte mult la formarea flexibilitătii gândirii elevilor. Este mult mai bine să se rezolve o problemă sau părti din ea în mai multe feluri ,decât să se rezolve trei sau patra probleme în acelasi mod.

Exemplu: „ Într-o livadă s-au plantat 2 rânduri de meri a câte 7 meri pe rând si 3 rânduri de peri a

câte 7 peri pe rând.Caâti pomi s-au plantat în livadă?" PLAN DE REZOLVARE

Modul I1 .Câti meri s-au plantat în livadă?

2x7=14(meri)2.Câti peri s-au plantat în livadă?

3x7=21 (peri)3.Câti pomi s-au plantat în livadă?

14+21=35(pomi)R:35 pomi

77

Modul al II-lea 1 .Câte rânduri cu meri si câte rânduri cu peri s-au plantat în livadă?

2+3=5(rânduri)2.Câti pomi s-au plantat în total în livadă?

5x7=35(pomi) R: 35 pomi Ambele rezolvări au fost scrise sub forma de formula numerică:

I. (2x7)+(3x7)II. (2+3)x7

In clasele I , a II-asi aI II-a am insistat foarte mult asupra formularii întrebării problemei de către elevi.

Exemplu: ,,Într-o ladă sunt 48 kg de rosii. Într-un cos sunt de 6 ori mai putine „. Am cerut

elevilor să formuleze întrebările posibile pentru această problemă.Elevii au formulat:

1.Câte kg de rosii sunt în cos?2.De câte ori sunt mai multe rosii în ladă decât în cos?3.Câte kg de rosii sunt în total?4.Cu cate kg de rosii sunt mai multe în ladă decât în cos?5.Cu cate kg de rosii sunt mai putine în cos decât în ladă?

Printr-un alt exemplu voi ilustra ce situatii se pot crea în vederea dezvoltării gândirii creatoare a elevilor prin activitatea de rezolvare a unei probleme.

Exemplu: „ Intr-o zi Ancuta a citit 20 de pagini ,iar a doua zi cu 4 pagini mai putin."

Cerinte:1 .să se formuleze întrebarea în asa fel încât problema să se rezolve printr-o singura operatie.

,,Câte pagini a citit Ancuta a doua zi?"2.să se formuleze întrebarea în asa fel încât problema să se rezolve prin doua operatii.

,,Câte pagini a citit Ancuta în cele două zile?"3.să adauge o necunoscută problemei ,dar să nu mai fie nevoie de o valoare numerică nouă ,să pună întrebarea si să rezolve problema.

„ A treia zi a citit cât în primele două zile la un loc. Câte pagini a citit a treia zi?"

4.să modifice relatiile dintre datele problemei ,încât aceasta să se rezolve printr-un singur fel de operatii.

,.A doua zi a citit cu 4 pagini mai mult. Câte pagini a citit în cele doua zile?"

5.să alcătuiască schema problemei.6.să transpună în formula numerică rezolvarea problemei.

78

Desigur că posibilitătile de creativitate pe care ni le oferă situatiile problemei sunt numeroase; depinde de maiestria fiecăruia dintre noi de a le găsi si a le fructifica în scopul antrenării ,stimulării si dezvoltării gândirii creatoare a elevilor.

Uneori elevii intâmpină greutăti pentru că nu pot traduce relatiile din textul problemei în relatii matematice.

De asemenea, la rezolvarea urmatoarei probleme: ,,Sandel are 9 bomboane ,iar Ramona de trei ori mai multe. Câte bomboane au în total?"Câtiva elevi au rezolvat gresit ,luând pe 3 ca valoare numerică adaugată celeilalte

valori.Aceste greseli se datorează faptului că elevii nu înteleg relatiile dintre mărimile unei

probleme. De aceea ,am făcut multe exercitii de precizare a limbajului matematic ,a notiunilor: suma ,diferenta ,produs ,cât si a relatiilor: cu atat mai mare(mai mult) ,de atâtea ori mai putin(mai mic).

Exemplu: 1.Găseste numerele:

a)cu 9 mai mare decât 5;b)de 9 ori mai mare decât 5;c)cu 7 mai mic decât 63;d)de 7 ori mai mic decât 63;

2.Din suma numerelor 25 si 7 scădeti diferenta numerelor 23 si 9.3.La jumatatea numărului 12 adăugati sfertul numărului 16.4.Adună produsul numerelor 6 si 8 cu câtul numerelor 36 si 4.

Aceste exercitii constituie o adevarată gimnastică a mintii si nu trebuie să lipsească din ora de matematică.

Atunci când elevul stie să transpună în limbaj matematic expresiile: ,,mai mult" , ,,mai putin" , ,,de atâtea ori mai mult" , ,,da atâtea ori mai putin" ca fiind vorba de adunare ,scădere , înmultire ,împărtire ,el stie să stabilească corect operatia cerută de relatia dintre datele unei probleme. După multe exercitii de precizare a limbajului matematic elevii au rezolvat corect probleme ca în exemplul următor:

„ Nicu are 24 timbre ,Alex are cu 3 timbre mai mult decât Nicu ,iar Adrian are de 3 ori mai putine timbre decât Alex.

Câte timbre au în total cei trei copii?"

79

Le-am explicat elevilor că nu întotdeauna enuntul problemei duce direct la rezultat ca în cazul următor:

,,După ce a primit de la fratele ei 6 mere ,Olguta are 14 mere. Câte mere a avut Olguta?"

În acest caz ,intre gândirea problemei si limbaj s-a introdus o contradictie. Problema trebuie să se rezolve prin operatia de scădere ,desi limbajul în care este redată sugerează adunarea.

În căutarea solutiei unei probleme ,obisnuiesc să-i las pe elevi cateva minute să caute ,să încerce singuri. Actiunea de căutare are o eficientă mult mai mare decât dirijarea elevilor către solutie. Dirijarea il scuteste pe elev de efort ,de o trăire emotională ,de bucuria descoperirii.

Activitatea de rezolvare a problemelor contribuie la dezvoltarea gndirii independente si creatoare. Copilul de vârstă scolară mică adoptă o atitudine creatoare atunci când ,pus în fata unei probleme ,îi restructurează datele si descoperă calea de rezolvare într-un mod personal.

Creativitatea gândirii nu se poate produce decât pe baza unor deprinderi corect formate ,tehnici de calcul ,deprinderi de a stabili rationamente logice ,un volum bogat de cunostiinte pentru a elabora un enunt cu continut realist.

Am trecut la crearea de probleme imediat după ce elevii au înteles ce este o problemă ,pentru a realiza un început de mobilitate a gândirii. Elevii au compus probleme fie după modele rezolvate anterior ,ori după operatii ce trebuie efectuate ,fie după desene ,început dat ,cu sprijin de limbaj ,cu marimi date si compuneri libere.

De un real folos în atingerea obiectivelor pe care mi le-am propus a fost atragerea elevilor ca aliati determinându-i astfel să prindă dragoste de acest obiect.

80

CAPITOLUL 4

METODE DE EVALUARE IN CADRUL ORELOR DE MATEMATICA LA CLASELE I - III

In procesul educatiei se disting trei componente: predarea ,invatarea si evaluarea. Procesul de instruire depinde in mare masura de modul in care este proiectata evaluarea.

In scoli, se folosesc trei modalitati de realizare a evaluarii: evaluarea initiala ,evaluarea continua sau formativa si evaluarea cumulativa sau sumativa.

Evaluarea initiala se aplica de obicei la inceput de ciclu scolar sau la inceputul fiecarui an scolar ,pentru a depista nivelul cunostiintelor in momenrul respectiv.

Evaluarea continua sau formativa imbraea diferite forme ,determinate fie de varsta elevilor ,fie de volumul de cunostinte ,priceperi si deprinderi cu care opereaza acestia ,obiectul de invatamant ,programa scolara si manualul folosit. Ea are loc pe tot parcursul desfasurarii procesului de invatamant si are caracter permanent.

Diferite metode si procedee de evaluare formativa am folosit in cadrul orelor de matematica la clasele I si a Il-a ,pe care le voi mentiona in continuare:

a) Observarea si aprecierea verbala se poate face zilnic ,in once moment al lectiei ,pentru stimularea elevilor prin calificative orale ,de tipul ,,foarte bine", ,,bine" , ,,ai facut progrese".

b) Chestionarea orala este o forma de conversatie prin care invatatorul estimeaza cantitatea si calitatea cunostiintelor ,a priceperilor si deprinderilor elevilor si a capacitatilor de a opera cu ele. Chestionarea orala poate fi curenta(realizata in timpul lectiei) si final realizata in ore special planificate la sfarsitul capitolelor sau a semestrelor.

c) Lucrarile sense permit verificarea cunostiintelor unui numar mare de elevi intr-un timp scurt.

In evaluarile de scurta durata(5-10 min.) se pot da elevilor exercitii ,probleme pregatite anterior ,privind aspectele esentiale ale lectiei.

Elevii pot completa raspunsurile pe foile multiplicate in prealabil sau copiate de la tabla ,apoi isi pot schimba intre ei foile ,caietele ,corectand raspunsurile si notandu-le conform baremului anuntat de invatator; invatatorul va oficializa apoi calificativele.

Cateva modalitati practice de evaluari prin lucrari scrise sunt redate in anexa.d) Verificarea prin lucrari practice se aplica ,in special ,la capitolul

,,Unitati de masura".Evaluarea comulativa sau sumativa se face la intervale mai mari de timp (semestru ,an si ciclu scolar) si este in esenta normativa.

81

Instrumentul cel mai potrivit pentru aceasta evaluare este testul prin care urmarim ce stie sa faca elevul ,examinarea realizandu-se in limitele prevederilor programei.

In cadrul unor evaluari limitate la un capitol important ,vor fi cuprinse toate cunostintele acumulate pe parcursul acelui capitol. Subiectele vor fi prezentate fie pe foi multiplicate ,fie pe foi pe care copiii isi vor copia singuri de la tabla subiectele. Si in acest caz ,elevilor le va fi prezentat baremul de corectare ,urmand ca aceasta sa fie facuta de invatator ,iar rezultatele anuntate elevilor ora urmatoare ,cand se va face corectarea greselilor tipice(exemple de evaluari sunt prezentate in Anexa2).

Noile alternative de evaluare aduc inovatii ,sub aspectul principiilor si normelor unitare de aplicare in activitatea de evaluare a progresului icolar.

Principala caracteristica a evaluarii este posibilitatea utilizarii tuturor metodelor si tehnicilor de evaluare ,pe care invatatorul la are la dispozitie. Fie ca este vorba de metodele traditionale de apreciere a progresului scolar (probe orale ,scrise ,practice ,temele pentru acasa) sau metodele alternative (investigafia ,observarea sistematica a comportamentului scolar ,proiectul ,portofoliul ,autoevaluarea) ,invatatorul este cel care le va alege pe cele mai potrivite obiectivelor instruirii ,disciplinei de invatamant ,tipul de continut si particularitatilor de varsta.

82

ANEXA Modalitati de evaluare prin lucrari scrise

(Numerele naturale de la 0 la 10)

Clasa I1 .Desenati in fiecare diagrama numarul de stelute corespunzator cifrei din casuta:

2.Completati casutele libere cu numerele corespunzatoare stelutelor din diagrame:

3.Completati casutele libere cu numerele care lipsesc:

0 5 4 0

4.Descompuneti si compuneti numerele:5 3 7

1 0 3

1 3 2 4 1 2

8

5.Completati casutele libere cu unul din semnele:<,=,>:

83

3…4 3…3 7…77…6 9…8 2…3

6.Completati casutele libere cu numerele potrivite:3<… 2=… 3<…<7…>7 …<10 …>5>…

Clasa a II-a “Operatii cu numere naturale formate din sute, zeci si unitati”

1. Numara din 5 in 5 de la 425 pana la 575.2. Ordonati crescator, apoi descrescator urmatoarele numere:235; 618; 245; 810; 930; 769; 370.3. Calculati:a. 145+74= b. …+126=735

900-69= 437-…=217236-183+124= …. -578=267

4. Aflati diferenta dintre suma numerelor 145 si 96 si produsul numerelor 9 si 7.

ANEXA 2

84

Evaluare cumulativa si sumativa

Am elaborat urmatoarele teste sense pentru a putea face o evaluare a intregii clase ,dar si a fiecarui elev in parte ,asupra nivelului de cunostiinte insusit ,a priceperilor si deprinderilor insusite. Am urmarit dezvoltarea a trei procese psihice fundamentale: atentie ,memorie ,gandire.

I. Numerele naturale de la 0 la 10.

85

Testul numarul 1- test initial Obiective operationale:

- să scrie numerele mai mici sau egale cu 10;- să stabilească locul fiecărui număr in concentrul 0-10;- să scrie vecinii fiecărui număr natural dat;- să folosească corect semnele de relatie dintre numerele naturale învătate.

Subiectul evaluării: I1. Scrie numerele care lipsesc: _

… 1 … 3 … … …5 … … 8 …9... 7 ... ... 4 ...

I2. Scrieti în ordine crescătoare următoarele numere:

6; 1; 5; 2; 4; 3.I3. Scrieti in ordine descrescatoare urmatoarele numere: 3; 7; 4; 8; 5; 6.I4. Completeaza:

2

8 9 9

3 1

I5. Scrie vecinii numerelor: … 6 … 7 … 9 … … 8 … 5 … 7 … … 1 … … 5 … 7

I6. Comparati numerele si puneti în căsută unul din semnele: <,=,> 2 … 7 3 … 7 … 10 9 … 1 9 … 2 … 0 0 … 5 3 … 3 … 1

DESCRIPTORI DE PERFORMANTĂ FOARTE BINE: -completeaza corect cu numerele care lipsesc in toate cele trei situatii;

86

-ordoneaza corect crescator si descrescator numerele date la punctele 2 si 3;

-completeaza corect cele trei situatii de la punctul 4;-scrie corect vecinii numerelor in cele sase situatii de la punctul 5;-completeaza corect in casuta cu semnele <,>,= in toate cele sase

situatii.BINE: -completeaza corect cu numerele care lipsesc la exercitiul numarul 1;

-ordoneaza corect crescator numerele date la punctul 2 si mai putin la punctul 3;-la punctul 4 completeaza corect primele 2 situatii;-la punctul 5 completeaza corect primele trei situatii;-la punctul 6 completeaza corect primele trei situatii.

SUFFICIENT: -a completat corect 2 situatii la punctul 1;-la punctul 2 ordoneaza crescator numerele cu mici greseli;-la punctul 3 ordoneaza descrescator doar doua numere din cele 6;-la punctul 4 completeaza corect prima situatie;-la punctul 5 completeaza corect doar o singura situatie;-la punctul 6 a completat corect cel putin un enunt lacunar.

87

II. Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 10Testul numărul 2 Obiective operationale:

-să foloseasca corect semnele de relatie dintre numerele naturale învatate;-să efectueze adunări si scăderi cu proba acestora cu numere naturale date;-să afle termenul necunoscut dintr-o adunare sau scădere;-să rezolve probleme în care intervin operatii de adunare si scădere;-să scrie în căsută semnul corespunzator „=" sau „-„.

Subiectul evaluarii: I1. Calculati:

a)3+7= b) 10-0= c) 3+2+4= 6-6= 1+8= 9-3-4= 0+4= 10-4= 7-3+5= 8-5= 5+3= 3+4-6=

I2. Calculati si faceri proba in trei moduri: 4+5= 8-6=I3. Scrieti in casuta semnul „+" sau „-„ pentru a face adevarata egalitatea:

3—2=5 9 — 9=07 — 4=3 2 — 8=10

I4. Completati in casutele libere numerele care lipsesc:— +5=9 — +3+2=10... .3=7 9+1. ...=22+ —=8 0+4+ —=97- —=4 3+ — +4=7

I5. Scrieti in fiecare casuta semnul de relate corespunzator: 5+1 — 5-1 10-3 — 3+4 7+1... 4+56-2 — 0+4

I6. Mama ii da lui lonut 3 mare si 2 pere. Cate fiucte are lonut?

I7. Pe un aeroport erau 7 avioane. Au mai aterizat inca 3 si decoleaza 5. Cate avioane au mai ramas pe aeroport?

88

DESCRIPTORI DE PERFORMANTĂ FOARTE BINE: -a calculat corect cele 12 rezultate (sume si diferente)

-a efectuat proba celor doua exercitii prin toate cele trei moduri; -a completat corect cu semnele „+" sau „-" in toate cele patru

situatii; -a determinat cei 8 termeni necunoscuti; -a pus corect semnele de relatie in cele patru situatii; -a rezolvat corect ambele probleme.

BINE: -a calculat corect cel putin 9 rezultate; -a efectuat proba celor doua exercitii prin doua moduri; -a completat corect cu semnele „+" sau „-" in toate situatiile; -a determinat cel putin 4 termeni necunoscuti; -a pus corect semnele de relatie in eel putin trei situatii; -a rezolvat corect o singura problema. SUFICIENT: -a calculat corect cel putin 4 rezultate;

-a efectuat corect exercitiile ,mai putin proba lor; -a determinat cel putin 3 termeni necunoscuti;

-a pus semnele de relatie intr-o singura situatie; -a incercat sa rezolve cel putin o problema.

In urma administrarii testului numarul 2 ,la un numar de 18 elevi ,cele mai mari rezultate s-

au inregistrat la urmatorii itemi:Il, I2,I3,I4,I5,I6.

Elevii au intampinat dificultati in afara termenului necunoscut si in rezolvarea

ultimei probleme ,unde trebuia efectuata o operatic cu trei termeni.

Esantionarea urmareste realizarea unei cercetari reprezentative, prin studierea numai a

unei parti din universul cercetarii,care alcatuieste o selectie statistica de unitati (elemente).

In investigarea fenomenului educational, esantionul este un numar de cazuri alese dintr-o

populatie scolara, dupa anumite criterii, pentru a fi puse investigatiei.

Populatia investigata cuprinde un numar de 34 subiecti –elevi ai claselor I-III,incadrati la

Scoala cu clasele I-VIII Talmacel, judetul Sibiu.

Grafic, rezultatele au fost urmatoarele:

89

NR ELEVI

16

12

42

I S B FBCalificativ obtinut

90

Testul numărul 3-finalClasa I

Obiectivul de referintă din programă: l.3.Elevul trebuie să efectueze operatii de adunare si scădere în concentrul 0-100 fără trecere peste ordin.

Capacitatea: Întelegerea si efectuarea operatiilor cu numere naturale.Subcapacitatea: Intelegerea si efectuarea adunării si scăderii numerelor naturale în concentrul 0-100 fără trecere peste ordin.

Subiectul evaluarii: I1. Calculati: a)3+4= b)5+15+6= c)(20+8)-8= 20-5= 30+7-20= 26-(19-13)= 29-18= 71-70+9= (3+17)+(28-20)= 14+10= 36-6-10= (34-20)+(19+1)=I2. Completează cu numărul necunoscut:

a)12+ — =28 b)45-5+ — =65...+3=24 21+21- — =3029=13+-- — -8-20=07=28- — 20+ —+13=75

I3. Aflati termenul necunoscut: a + 20 = 33 59 – a = 9 a – 31 = 23 a +( 23-20) =17

I4. Calculati si comparati:3+70…3+7 26-6-1… 16+320+5 … 5+5+10 (3+20X10+10) … 29-9

I5. a) Aflati numerele cu 20 mai mari decât :3; 10; 13; 50. b) Aflati numerele cu 10 mai mici decât: 15; 30; 48; 76.

I6. a) La suma numerelor 22 si 13 adaugă diferenta numerelor 14 si 10; b)Din suma numerelor 34 si 25 să se scadă diferenta numerelor 43 si 22.I7. Ana are 35 ani .Ina este cu 5 ani mai mică.

Cati ani are Ina?I8. Vlad are 20 timbre. El mai primeste de la mama lui 16 timbre ,iar sorei sale ii da 11 timbre.

Cate timbre are Vlad acum?DESCRIPTORI DE PERFORMANTĂ

91

FOARTE BINE: -a efectuat corect toate exercitiile si problemelecuprinse in cei 8 itemi;

BINE: -a calculat corect cel putin 10 rezultate la punctul 1; -a determinat eel putin 8 termeni necunoscufi; -a calculat si comparat cel putin 3 sume si diferente; -a efectuat corect adunarile si scaderile de la punctul 5; -a efectuat partial corect punctul a de la itemul 6; -a rezolvat corect problema 7; -a rezolvat partial corect problema 8.

SUFTCIENT: -a calculat cel putin 9 rezultate; -a determinat cel putin 6 termeni necunoscuti; -a calculat si comparat cel putn doua sume si diferente

-a calculat doua exercitii la punctul 5 si doua la punctul 6.

92

Test final numarul 4Clasa a III-a

I1. Scrie numerele cuprinse între:a) 75 si 81b) 230 si 224

I2. Completează vecinii numerelor:... 190… … 479 … ... 300… … 909 …

I3. Ordonează crescător si descrescător numerele: 105; 951; 591; 40; 274; 470.I4. Desenează:

a) o linie frântă deschisă;b) un dreptunghi;c) un segment de 3 centimetri;d) o linie curbă închisă;

I5. Calculează:a)14+6= b)212+153=

20-12= 674-244=7x8= 356+309=63:9= 538-275=

I6. Află: a) suma numerelor 94 si 8;b) diferenta numerelor 62 si 13;c) produsul numerelor 9 si 4;d) câtul numerelor 28 si 7.

I7. Adevărat sau fals:49+25=64 2 ore=60 min +60 min73-16=57 1 zi= 30 ore -6 ore8x4=32 1 an=24 luni:420:1=20 1 luna= 4x7 zile

I8. Mama are 33 de ani. Ea este cu 24 ani mai in varsta decat Ana ,care este cu 3 ani mai tanara decat Calin.

Cati ani are Calin?I9. Compune o problema care să se rezolve după formula:

a + ( a : b) unde ,a= 63 , b= 7

c)7x4+35= 80-(42:6)= 35:7x4= (27+13): 10=

93

Evaluare

calificative\cerinte I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9

Insuficient 1 2 * * * * * * *

Suficient 1 2 3 4(a,b)

5(a,b) * * * *

Bine 1 2 3 4 5 6 7 8 *

Foarte bine 1 2 3 4 5 6 7 8 9

94

REZOLVARE DE PROBLEMETestul numărul 5

Obiectivul de referintă din programă: 2.4.Elevul trebuie să rezolve probleme care presupun o singura operatie din cele învătate.

Capacitatea: Întelegerea si rezolvarea problemelor cu o singura operatie. Subcapacitatea:

- determinarea operatiei de adunare sau scădere corespunzătoare rationamentului cerut de textul problemei;

- efectuarea acestei operatii aritmetice;- formularea răspunsului. Subiectul evaluarii:

1) Ana are 23 cuburi, iar Corina 14 cuburi.Câte cuburi au împreună?

R:____ cuburi2) Câte garoafe albe sunt în vază ,dacă 13 dintre ele sunt rosii iar în total sunt 20 de

garoafe?R:____ garoafe

4) Am în plic 57 de timbre. Sora mea mai pune 22 de timbre, iar fratele scoate din plic 50 de timbre. Câte timbre sunt acum in plic?

R:____ timbre5) Care este numarul mai mic cu 2 decât cel mai mare număr scris cu doua cifre?

R:____ DESCRIPTORI DE PERFORMANTĂ

calificative\cerinte 1 2 3 4

S 1 2 * *

B 1 2 3 *

FB 1 2 3 4

În urma administrării testului final se constataă o crestere a rezultatelor itemilor ce necesită efectuarea operatiilor în concentrul dat, de aflare a termenilor

95

necunoscuti ,completare a enunturilor lacunare si rezolvare si compunere de probleme. Aceasta se datoreaza efectuarii si rezolvarii unor exercitii si probleme care sa conduca la dezvoltarea atentiei ,memoriei si a gandirii. De asemenea s-au utilizat metode si mijloace didactice care au urmarit permanent formarea gandirii ,activismul ,rapiditatea si flexibilitatea acesteia ,a algoritmilor ei.

Copiii care poseda algoritmi de recunoastere sau identificare mai putin dezvoltati si algoritmi de lucru bine consolidati ,obtin rezultate mai bune la exereitii si gresesc frecvent la stabilirea operatiilor create de problema. Cei care au consolidati algorirmii de recunoastere si mai slabi pe cei de lucru judeca bine problemele dar gresesc la calcule.

96

CAPITOLUL V

METODICA CERCETĂRII

SCOPUL SI OBIECTIVELE CERCETĂRII

Prin această lucrare “ Strategii metodice utilizate în vederea stimulării si dezvoltării creativitătii elevilor din clasele I-III “ s-a urmărit dezvoltarea gândirii productive, creative în matematică , usurând în felul acesta sarcina formării unor viitori matematicieni în verigile superioare de învătământ.

SCOPUL lucrării este acela de depistare a elevilor cu aptitudini spre gândirea productivă, creativă în matematică şi posedarea metodelor şi procedeelor specifice dezvoltării acestui tip de gândire.În experimentul de faţă am pornit de la ipoteza că prin antrenarea gândirii elevilor

la un efort gradat în rezolvarea problemelor si a exercitiilor , cu schema grafică, cu

formula numerică şi literală, prin compunerea de probleme contribui la dezvoltarea

mobilităţii gândirii şi la sporirea interesului pentru studiul matematicii.

Obiectivul principal urmărit a fost acela de a demonstra că prin solicitarea

gradată a gândirii elevilor în procesul rezolvării problemelor, prin însuşirea

matematicii prin efort propriu, putem spori eficienţa formativă a învăţării

matematicii, contribuind cu precădere la dezvoltarea mobilităţii gândirii şi la sporirea

interesului pentru studiul matematicii.

În faza constatativă, obiectele urmărite au fost: cât mai bună cunoaştere a

particularităţilor elevilor; investigarea potenţialului intelectual de care dispun elevii.

În următoarele faze m-am orientat asupra următoarelor obiective:

a) Dezvoltarea flexibilităţii gândirii, a perspicacităţii şi profunzimii gândirii

prin găsirea unor modalităţi diverse de creare, rezolvare a exercitiilor si

problemelor;

b)Formarea deprinderilor de a analiza problema, formarea unei gândiri

concrete, sintetice, prin redarea sintetică a rezolvării problemei în formula

numerică sau într-o formulă literală;

97

c) Dezvoltarea gândirii creatoare prin compunerea de exerciţii şi de

probleme.

În experimentul de faţă am pornit de la ipoteza că prin antrenarea gândirii

elevilor la un efort gradat în rezolvarea problemelor , cu schema grafică, cu formula

numerică şi literală, prin compunerea de probleme contribui la dezvoltarea

mobilităţii gândirii şi la sporirea interesului pentru studiul matematicii.

În munca practică am urmărit organizarea unor activităţi care să solicite gândirea

copilului în mod judicios şi corespunzător forţelor sale, am încercat să le insuflu

încredere şi să le stimulez încercările personale prin activităţi de muncă

independentă. Am încercat să evit apariţia factorilor de blocaj (tensiune, teamă,

imitare, conformism) încurajând spontaneitatea.

2.2. Prezentarea eşantionului de lucru

În investigarea fenomenului educaţional, eşantionul este un număr de cazuri

alese dintr-o populaţie şcolară ,după anumite criteria, pentru a fi supuse investigaţiei.

Populaţia investigată cuprinde un număr de 45 de subiecţi –elevi ai claselor I-

III, încadraţi la Şcoala cu clasele I-VIII Tălmăcel, judeţul Sibiu.Doar 6,66% din

părinţii subiecţilor investigaţi au studii superioare, 66,6% au studii medii, în timp ce

un procent de 26,66%, mai mult de un sfert din numărul total de părinţi ai

subiecţilor investigaţi au doar studii gimnaziale; acet fapt este relative obişnuit, dacă

avem în vedere că elevii privin din mediul rural.

Colectivul claselor eterogen. Între elevi s-au stabilit relaţii de prietenie,

colegialitate, chiar dacă în clasă sunt elevi cu posibilităţi intelectuale bune şi foarte

bune pe de o parte şi elevi cu posibilităţi intelectuale medii şi limitate pe de altă

parte, chiar dacă unii provin din familii închegate şi responsabile, iar alţii au neşansa

de a proveni din familii dezorganizate şi lipsite de interes faţă de şcoală, iar

institutorul care propune lucrarea de faţă fiind încadrat pe funcţia de învăţător titular

la şcoala Tălmăcel.

98

Situaţia la învăţătură este strâns legată de nivelul material al familiei (o

alimentaţie corectă şi bogată în vitamine şi proteine asigură în mare parte succesul

şcolar, iar o alimentaţie săracă influenţează negativ acesta), de componenţa numerică

a familiei şi de gradul de confort de care dispune aceasta (pshic şi material), dar şi de

vârsta începerii şcolii la elevi, de structura familiei şi nivelul socio-cultural al

familiei.

Etapele cercetării

Această cercetare este una experimentală, ameliorativă şi s-a desfăşurat în trei

etape:

a) Etapa constatativă

În această etapă am căutat să cunosc copii pentru a le descoperi

nivelul intelectual, aptitudinile, vocabularul, limbajul. Am urmărit

atenţia, memoria, nivelul de înţelegere, disciplina elevilor, dar şi

cunoştinţele cu care au venit de la grădiniţă.

b) Etapa experimentală

În această fază am introdus probleme care să solicite gradat gândirea

elevilor, cu formula numerică, cu schema grafică, cu formula literală

cu scopul de a dezvolta gândire logică a copiilor, Pentru stimularea

creativităţii la elevi am propus probleme care să se rezolve pe mai

multe căi (moduri) şi compunere de probleme.

c) Etapa de valorificare

În urma testelor, a probelor de evaluare am prelucrat rezultatele

pentru a confirma ipoteza de lucru.

Pentru a verifica ipotezele, am apelat la o metodologie adecvată care să ne

poată oferi informaţiile necesare, metodologie care are la bază ancheta prin

chestionar şi analiza documentelor şcolare.

99

METODA ANCHETEI PRIN CHESTIONAR

Chestionarul constă într-o succesiune de întrebări adresate subiecţilor

cercetării şi la care se aşteaptă răspuns.

ETAPE:

-delimitarea obiectului anchetei;

-alegerea subiec’ilor de chestionat;

-elaborarea chestionarului- întrebări propriu zise;

-executarea pe teren a anchetei prin interogarea subiecţilor;

-„despuirea” chestionarului şi elaborarea datelor.

Metoda prin chestionar constă în formularea în scris , dar şi oral( pentru

clasa I)a unor întrebări la care subiecţii răspund individual. Prin ancheta

psihopedagogică se pot studia trebuinţele, tendinţele, aspiraţiile, trăsăturile de

personalitate ale elevilor etc.

Prin chestionarul nr.1, se cere elevilor să exprime intensitatea preferinţei

pentru fiecare din obiectele de studiu, intensutatea cuprinzând patru criterii: “foarte

mult”, “mult’’, puţin”, ‘’deloc”.Pentru clasa I ,acest chestionar a fost oral.

Nonrăspunsurile, omiterea opţiunilor pentru unul din cele patru criterii la unul din

obiectele de învăţământ sunt considerate opţiuni pentru criteriul ,,deloc”.

Chestionarul nr 2 cuprinde acelaşi tip de cerinţă. Acesta însă cere elevilor

să aprecieze, prin bifarea căsuţei respective, timpul de pregătire, învăţare, pe care ei

îl alocă fiecărui obiect de învăţământ timpul se apreciază după aceleaşi criterii:

“foarte mult”, “mult’’, puţin”, ‘’deloc”.Pentru clasa I ,acest chestionar a fost oral.

Chestionarul nr 3 cuprinde o listă de motive, iar elevii trebuie să bifeze

motivele, care îi atrag mai mult să înveţe la obiectul matematică.De aswemenea I se

permite elevului să adauge mai multe motuve care I se potrivesc, dar nu sunt

cuprinse în lista de motive.

100

METODA ANALIZEI DOCUMEMTELOR ŞCOLARE

Analiza documentelor şcolare este o altă modalitate prin care putem să

evidenţiem performanţele şcolare ale elevilor.

Din perspectiva planului de învăţământ pe care îl propune Curriculum

Naţional putem observa că se acordă o importanţă deosebită acestui obiect de

învăţământ, aşocândui-se între 3 şi 4 ore săptpmânal, ceea ce reprezintă între 15% şi

20% din numărul săptămânal de ore. Si bineînţeles că noi institutorii luăm maximul

de ore -4 la număr, (trunchi comun 3 ore şi 1 oră extindere sau aprofundare, în

funcţie de nivelul clasei), pentru a dezvolta şi aprofunda capacităţile intelectuale ale

elevilor.

Calitatea învăţării se exprimă prin media ponderată:

Mp= ax4+bx3+cx2+dx1

a+b+c+d

unde a, b, c, d reprezintă numărul elevilor astfel: a- numărul elevilor ce au obţinut

calificativul FOARTE BINE, b-numărul elevilor care au obţinut calificativul BINE,

c- numărul elevilor care au obţinut calificativul SUFICIENT, d- numărul elevilor

care au obţinut calificativul INSUFICIENT, iar a+b+c+d reprezintă totalul elevilor,

populaţia investigată.

101

PREZENTAREA ŞI INTERPRETAREA DATELOR

Toate rezultatele oferite de chestionare şi datele din documentele şcolare au

fost interpretate din prisma eficienţei procesului de predare-învăţare şi concordanţa

acestei eficienţe cu utilizarea intensă amijloacelor de învăţământ, valorificate prin

aplicarea metodelor de predare –învăţare de tip activ- participativ.

Pentru a verifica în ce măsură interesul pentru învăţare al elevilor concordă

cu plăcerea, timpul şi se reflectă în rezultatele obţinute de aceştia, am aplicat

următoarele chestionare (vezi anexele).

Prima întrebare se referă la intensitatea preferinţei pentru fiecare obiect de

învăţământ studiat. Intensitatea preferinţei a fost apreciată pe o scală de la 1 la 4, 4

reprezentând intensitate,, foarte mare”;3 reprezentând intensitate,, mare”;2-,,puţin”,

iar 1-,, deloc”.Preferin’ele elevilor în raport cu obiectele de studii au fost cuantificate

după cum se poate observa în tabelul de centralizare a datelor şi s-au obţinut

următoarele procente: 58,97% dintre elevi au preferinţe de intensitate ,,foarte mare”;

32,82%- intensitate ,,mare”; 8,21% intensitate puţină; 0%fiind procentajul celor care

nu prefer materiile studiate.

TĂRIA PEFERINŢEI PENTRU OBIECTELE DE ÎNVĂŢĂMÂNT

PROCENTAJ

58,97% 32,83% 8,21% 0%

DELOC PUŢIN MULT FOARTE MULT

102

Intensităţile,,foarte mult” si ,,mult” considerăm că sunt aprecieri poyitive pentru obiectele de studiu, iar ,,puţin” si ,,deloc” reprezintă aprecieri negative. Insumând aprecierile pozitive 91,79% observăm că sunt net superioare valoric celor negative 8,21%.

La obiectele de studiu ,,foarte mult „ preferate amintesc ponderile mai mari ]n cadrul acestor criterii, în ordine descrescătoare a opţiunilor: educaţia fizică şi opţionalul- calculatoare, urmate îndeaproape de educaţia muzicală, educaţia civică (la clasa a III-a), educaţia plastică şi abilităţile practice.

Interpretând rezultatele obţinute la chestionarul nr. 2, s-a observat că elevii preferă tocmai acele materii care le solicită mai puţin timp în pregătire.

La un studiu

Studiu comparativ privind tăria preferinţei şi timpul alocat tuturor materiilor

Ţinând cont de condiţiile reale ale rezolvării problemelor pe care în mod firesc, le

întâmpină elevii în această activitate, obiectivul principal pe care l-am urmărit a fost

valorificarea valenţelor formative şi sporirea eficienţei formative a activităţii de

rezolvare şi compunere de probleme în direcţia stimulării creativităţii.

Înainte de a trece la formarea deprinderilor de rezolvare a problemelor

compuse, clasificate după gradul de dificultate şi folosirea schemei în rezolvarea

acestora, am dat clasei experimentale, ca probă de control, să rezolve următoarea

problemă:

103

Într-o grădină sunt 68 flori. 22 sunt garoafe, 35 lalele, iar restul panseluţe.

Câte panseluţe sunt în grădină?

Lucrând la aceeaşi clasă după schema: test iniţial – experiment – test final,

după efectuarea experimentului am propus elevilor să rezolve o altă problemă care a

avut aceeaşi formulă de rezolvare.

Rezultatele obţinute la testul iniţial şi final pot fi aşezate în următorul tabel:

Clasificare

Nr. elevi

INSUFICIENT

( I )

SUFICIENT

( S )

BINE

(B )

FOARTE

BINE

( FB )

TEST INIŢIAL 5 6 7 3

TEST FINAL 2 2 10 7

Progresele înregistrate sunt evidenţiate şi reies din graficul următor:

Analizând datele de start, am constatat dificultăţile pe care le-au întâmpinat

elevii şi le-am avut în vedere pe tot parcursul experimentului.

104

Aspectele urmărite au fost:

Formarea deprinderilor de calcul, pentru ca în rezolvarea problemelor

efortul copiilor să se concentreze asupra liniei raţionamentului, nu

asupra efectuării calculelor

Analiza riguroasă a datelor problemei, pentru că unii elevi calcule la

întâmplare

Scoaterea în evidenţă a relaţiilor dintre date, a raţionamentului

Pentru a verifica eficienţa modalităţilor folosite, după ce am rezolvat

probleme din

cele trei categorii, am propus spre rezolvare o problemă a cărei formulă de rezolvare

era:

a + ( a - b )

105

CONCLUZII

Dezvoltarea stiintei si tehnicii au impus schimbari corespunzatoare in continutul invatamantului si in metodele de predare. Izvoral acestor schimbari se afla in cerintele societatii ,in sarcinile pe care acestea le pun in fata scolii.

Cercetarea sistematica asupra dezvoltarii creativitatii elevilor in actiunea de rezolvare si compunere a problemelor ,a fost patronata continuu de ideea trecerii de la teorie la practica instruirii. In activitatea mea la clasa am imbinat partea teoretica cu cea de exemplificare practica asupra modului de lucru cu elevii mei pentru a obtine rezultate cat mai bune.

Se desprinde ideea ca activitatea de rezolvare si compunere a problemelor de matematica constituie un cadru optim pentru cultivarea creativitatii.

In vederea realizarii acestei sarcini este necesara realizarea unui continut adecvat al problemelor si o onentare a activitatii de rezolvare a lor. Se impune totodata sa gradam efortul la care supunem gandirea elevilor.

In scopul dezvoltarii capacitatilor intelectuale si creatoare ,problemele trebuie ordonate ,selectionate dupa gradul de dificultate pe care acestea il ridica lin rezolvare. Trebuie sa avemigrija sa nu predomine problemele cu rol de exercitiu care nu solicita elevului decat un efort de calcul.

106

Invatatorului ii revine sarcina de a completa inventarul problemelor din manuale cu acele probleme care dau de lucru gandirii elevilor ,incluzand intre acestea si multe probleme de perspicacitate. Am rezolvat cu elevii nu numai probleme independente ,ci si categorii de probleme in care se incadrau fiecare problema rezolvata. In acest sens fiecare categorie a constituit obiect de studiu in sensul ca in activitatea de rezolvare a problemelor elevii au fost ajutati sa sesizeze structura rationamentului si diversitatea problemelor ce se pot constitui pe acea structura. I-am ajutat pe elevi sa generalizeze principiul de rezolvare pentru intreaga categorie de probieme.

Acest mod de lucru nu a permis elevilor sa rezolve fragmentar sau sa incerce niste legaturi intamplatoare intre datele cunoscute ale problemei ,principiul de rezolvare ,intregul sir de judecati si rationamente care duc la solutie ,ci sa realizeze intai formula numerica si apoi sa generalizeze intr-o formula literala.

De-a lungul perioadei de studiu s-a desprins ideea ca exista o repetitie normala a potentialului creativ in cadrul populatiei scolare. Se recomanda urmatoarele cai de urmarire a actului creativ:

- observarea in orele de matematica;- teste de gandire creatoare;- aprecieri ale colegilor;- autoaprecierile elevului;- evaluarile educatorului;

Innoirea invatamantului matematic vizeaza nu dezvoltare oricarui fel de gandire ,ci formarea si dezvoltarea unei gandiri creatoare care constituie calitatea-sinteza a omului zilelor noastre.Vom continua si cu generatiile urmatoare de elevi sa promovam un invatamant formativ pentru a cultiva la elevi dragostea pentru studiul matematicii ,disciplina grea si arida ,dar foarte necesara si cu aplicatii benefice in toate vremurile stiintei actuale si viitoare.

107

108

Rezumat

Lucrarea de licenta “ Strategii metodice utilizate in vederea stimularii si dezvoltarii creativitatii elevilor din clasele I-IIII ” este formata din 4 capitole .

Capitolul I este intitulat “ Rolul creativitatii in invatamantul matematic la elevi ”

In acest capitol este prezentat conceptul de creativitate,actul de creatie si fazele lui si factorii creativitatii:intelectuali ,nonintelectuali.

Capitolul II este intitulat “ Metode clasice si moderne in predarea matematicii in ciclul primar ” unde sunt prezentate metodele : problematizarea , invatarea prin descoperire , exercitiul , algoritmizarea , instruirea prin jocul didactic , ciorchinele,jocuri din perioada premergatoare operatiilor cu numere.

Capitolul III este “ Dezvoltarea creativitatii gandirii elevilor in procesul de dezvoltare si compunere a problemelor la obiectul matematica ” , unde sunt prezentate metode de rezolvare a problemelor , de compunere de probleme, tipuri de probleme ce se rezolva in ciclul primar,precum si preocupari personale privind formarea priceperilor si deprinderilor de rezolvare a problemelor in vederea dezvoltarii creativitatii gandirii elevilor.

Capitolul IV este intitulat “Metode de evaluare in cadrul orelor de matematica la clasele I- III”.

109

L’epreuve "Strategies methodiques utilisees pour stimuler et developper de la

creativite des eleves de la premiere jusqu’a la troisieme" est structuree sur cinq

chapitres.

Le premier chapitre est intitule « Le role de la creativite dans l’enseignement

mathematique chez les eleves»

Le deuxieme chapitre est intitule « Methodes classiques et modernes dans

l’enseignement de la mathematique dans le cycle primaire»

Le troisieme chapitre est «Le developpement de la creativite de la pensee des eleves

dans le proces de developpement et de redaction des problemes a l’objet

mathematique»

Le quatrieme chapitre est «Methodes d’evaluation a la mathematique dans le cadre

des classes de mathemathique de la 1e jusqu’a la 3e »

Le cinquieme chapitre a le titre « La methodique de la recherche et de la

presentation des donnees »

J’ai choisi ce theme parce que je desire d’exprimer quelques-unes de mes

opinions et de presenter les resultats de ma recherche en classe concernant le

developpement de la creativite chez les eleves de la 1e jusqu’a la 3e.

110

CUPRINS:

Introducere------------------------------------------------------------------------3

CAPITOLUL 1 : Rolul creativitatii in invatamantul matematic la elevi

I.1 Conceptul de creativitate-----------------------------------------------------6

I.2 Actul de creatie si fazele lui-------------------------------------------------8

I.3. Factorii creativitatii----------------------------------------------------------10

I.4. Factorii intelectuali----------------------------------------------------------11

I.5. Factorii nonintelectuali-----------------------------------------------------13

I.6. Concluzii---------------------------------------------------------------------15

I.7. Educarea capacitatilor creatoare la elevi---------------------------------16

I.8. Matematica – teren delimitat de dezvoltare a capacitatii creatoare a

elevilor----------------------------------------------------------------------------18

CAPITOLUL 2:Metode clasice si moderne in predarea matematicii in

ciclul primar

2.1. Problematizarea-----------------------------------------------------------------22

2.2. Invatarea prin descoperire.--------------------------------------------------------------------------23

2.3. Exercitiul---------------------------------------------------------------------------------------27

2.4. Algoritmizarea----------------------------------------------------------------------------32

2.5. Instruirea prin jocul didactic----------------------------------------------------------------------53

CAPITOLUL 3 :Dezvoltarea creativitatii elevilor in procesul de dezvoltare si

compunere a problemelor la obiectul matematica

111

3.l. Notiunea de problema---------------------------------------------------------------44

3.2. Metode de rezolvare a problemelor in ciclul primar------------------------------------45

3.3. Tipuri de probleme ce se rezolva in ciclul primar-------------------------------------50

3.4. Probleme simple si metodologia rezolvarii lor---------------------------------------60

3.5. Probleme compuse si metodologia rezolvarii lor-------------------------------61

3.6. Compunerea problemelor-mijloc de dezvoltare a gandirii elevilor.-----------63

3.7. Preocupari personale privind formarea priceperilor si deprinderilor de

rezolvare a problemelor in vederea dezvoltarii creativitatii gandirii elevilor

din ciclul primar---------------------------------------------------------------------------------69

CAPITOLUL 4:Metode de evaluare in cadrul orelor de matematica la

clasele I-III --------------------------------------------------------------------------70

ANEXA1-----------------------------------------------------------------------------72

ANEXA 2 :Evaluare cumulativa si sumativa--------------------------------------------74

Teste de evaluare--------------------------------------------------------------------------------75

Descriptori de performanta------------------------------------------------------------------76

Teste finale----------------------------------------------------------------------------------------78

Studiu comparativ-------------------------------------------------------------------------------82

Concluzii-------------------------------------------------------------------------------------------83

112

BIBLIOGRAFIE

3.Ancuta L si Ancuta P: Jocurile de creativitate.4.Neacsu I :Metodica predarii matematicii la clasele I-IV,Ed Didactica si Pedagogica Bucuresti,1988.5.Caraiman F:Matematica prin joc,Ed.Polirom.6.Calugarita F :Exercitii si probleme pentru clasele I-IV, Ed Stiintifica, Bucuresti.7.Cerghit I:Metode de invatamant, Ed didactica si pedagogica,Bucuresti ,1981.8.Ionescu M ,Radu I.:Experienta didactica si creativitatea,Ed.Dacia ,Cluj-Napoca, 1987.9.Garboveanu M:Stimularea creativitatii elevilor in procesul de invatamant: Ed.Didactica si Pedagogica, Bucuresti ,1951.10.Guran E: Matematica recreativa,Ed Junimea, Iasi, 1985.11.Joita E :Didactica aplicata in invatamantul primar.Ed.Gheorghe A.,Craiova 1994.12.Matei N; Educarea capacitatilor creatoare in procesul de invatamant,Ed.D.P.Bucuresti, 1982.1.Aldea Delia,Pedagogie, Partea I.2.Voiculescu F.,Popovici D: Obiectul si temele fundamentale ale pedagogiei.13.Nicula I:Tratat de pedagogie scolara,Ed.D.P.R.A.,Bucuresti,1996.14.Olteanu M, Presecan D : la Ghid pentru activitati matematice pe echipe clasa I,Ed.Dacia,Cluj Napoca,2001.15.Postelnicu C-tin:Fundamente ale didacticii scolare, Ed.Aramis,Bucuresti,2000.16.Revista Invatamantul primar,2001/2002,Ed.Discipol.17.Revista Invatamantul primar,Nr.2,3 /2000,Ed.Discipol.18.Revista Invatamantul primar,4/2000,Ed.Discipol.19.Stoica A:Creativitatea elevilor,Ed.D.P.,Bucuresti,1993 .20.Stoica M;Pedagogie Scolara,Ed.Gheorghe cartu Alexandru,1995.21.Voiculescu F.,LudusanM.,Aldea D.,PopoviciD.,Petrovan R.;Pedagogie partea a II-a,Teoria si tehnologia procesului de invatamant,2001.22.,,Cresterea eficientei invatarii in ciclul primar”culegere editata de revista,,Tribuna scolii”.Bucuresti,1989.

113

Date post:	11-Aug-2015
Category:	Documents
Upload:	adrian-luta
View:	472 times
Download:	1 times

Strategii Metodice Utilizate in Vederea Stimularii Si Dezvoltarii Creativitatii Elevilor Din Clasele...

Documents