www.neutrino.ro Strada Ateneului 320112, Nr. 1, Reia, Cara-Severin, ROMÂNIA Tel: 0255-214238; Fax: 0255-216042 E-mail: [email protected]; Web: http://www.cs.isj.edu.ro OLIMPIADA DE MATEMATIC2010 – FAZA LOCAL13.02 2010 Not: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore Fiecare problemse puncteazde la 0 la 7 puncte. CLASA A IX-A FILIERA TEORETICPROFIL REAL - TIINE ALE NATURII 1. a) Determinai cel mai mic numr întreg m pentru care 3 2 2010 m - ≤ . b) Artai c, dac2 3 a = + , atunci 2 4 (10 ) a a - ∈ . c) Calculai câte numere de 5 cifre sunt divizibile cu 25. 2. Se considermul imea { } 1,4,7,10,...,178 A = . a) Determinai numrul elementelor mulimii considerate. b) Calculai suma elementelor mulimii A. c) Artai cexist cel puin doutriplete 1 2 3 ( , , ) a a a i 1 2 3 ( , , ) bb b de elemente, distincte doucâte dou, din A , pentru care 1 2 3 1 2 3 177 a a a b b b + + = + + = . 3. Se spune co funcie : f A B → are proprietatea ( P ) dacpentru orice , , xy A x y ∈ ≠ , rezult () ( ). f x f y ≠ ( i ) Studiai care dintre urmtoarele funcii au proprietatea ( P ): a) : , () f fn → = restul împririi lui n la 7; b) : , () 3 2 f f x x → = + ; c) 2 : , () 2 f f x x x → = - . (ii) Determinai m ∈ pentru care punctul ( 2,2 1) Am m - - este situat pe graficul funciei : , () 3 2 f f x x → = + . 4. Se noteazcu F mijlocul laturii (BC) a unui triunghi ABC , cu G mijlocul segmentului (AF) i se considerpunctele D i E astfel încât 2 , AD DB AE k AC = ⋅ = ⋅ . a) Determinai k ∈ pentru care dreptele DE i BC sunt paralele. b) Determinai k ∈ pentru care punctele E, G, B sunt coliniare.
OLIMPIADA DE MATEMATIC� 2010 – FAZA LOCAL� 13.02 2010
Not�: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore Fiecare problem� se puncteaz� de la 0 la 7 puncte.
CLASA A IX-A FILIERA TEORETIC� PROFIL REAL - �TIIN�E ALE NATURII
1. a) Determina�i cel mai mic num�r întreg m pentru care 3 2 2010m − ≤ . b) Ar�ta�i c�, dac� 2 3a = + , atunci 2 4(10 )a a− ∈� . c) Calcula�i câte numere de 5 cifre sunt divizibile cu 25.
2. Se consider� mul�imea { }1,4,7,10,...,178A = . a) Determina�i num�rul elementelor mul�imii considerate. b) Calcula�i suma elementelor mul�imii A. c) Ar�ta�i c� exist� cel pu�in dou� triplete 1 2 3( , , )a a a �i 1 2 3( , , )b b b de elemente,
distincte dou� câte dou�, din A , pentru care 1 2 3 1 2 3 177a a a b b b+ + = + + = . 3. Se spune c� o func�ie :f A B→ are proprietatea ( P ) dac� pentru orice
, , x y A x y∈ ≠ , rezult� ( ) ( ).f x f y≠ ( i ) Studia�i care dintre urm�toarele func�ii au proprietatea ( P ): a) : , ( )f f n→ =� � restul împ�r�irii lui n la 7; b) : , ( ) 3 2f f x x→ = +� � ; c) 2: , ( ) 2f f x x x→ = −� � . (ii) Determina�i m∈� pentru care punctul ( 2,2 1)A m m− − este situat pe graficul func�iei : , ( ) 3 2f f x x→ = +� � . 4. Se noteaz� cu F mijlocul laturii (BC) a unui triunghi ABC , cu G mijlocul segmentului
(AF) �i se consider� punctele D �i E astfel încât 2 , AD DB AE k AC= ⋅ = ⋅���� ���� ���� ����
. a) Determina�i k ∈� pentru care dreptele DE �i BC sunt paralele. b) Determina�i k ∈� pentru care punctele E, G, B sunt coliniare.
1. Se numeroteaz� 10 cutii cu numere naturale consecutive, de la 1 la 10 �i în fiecare cutie se a�eaz� un acela�i num�r de mere. Dup� o or�, în fiecare cutie se mai pun câteva mere, folosind urm�toarea regul�: în cutia cu num�rul n se adaug� n mere. Dac� acum sunt în total 145 de mere, calcula�i câte mere au fost la început în fiecare cutie..
2. Se spune c� o mul�ime A de numere reale are proprietatea ( P ) dac� pentru orice
,x y A∈ avem ( )x y A+ ∈ sau x y A⋅ ∈ . Stabili�i care dintre urm�toarele mul�imi au proprietatea ( P ) ,
justificând r�spunsul: a) { }1 2,4,6,8,...,2 ,... ,A n n ∗= ∈� ; b) { }2 1,0,1A = − ; c) [ ]3 0,2A = ;
d) { }4 3 2 / .A n n ∗= − ∈� 3. Calcula�i x �i y �tiind c�:
a) numerele 1, 3 4, 5x x x− − + formeaz�, în aceast� ordine, o progresie aritmetic�;
b) numerele 2, 11 5 , 1 7y y+ + formeaz�, în aceast� ordine, o progresie geometric�.
4. Pentru fiecare num�r întreg m se consider� func�ia : , ( ) ( 1) 2 .m mf f x m x m→ = − ⋅ + −� � a) Calcula�i ( )3 2 (2)f f ; b) Reprezenta�i în acela�i sistem de axe de coordonate graficele func�iilor 3f �i 4f ; c) Ar�ta�i c� graficele tuturor func�iilor mf trec printr-un acela�i punct; d) Determina�i cel mai mare num�r întreg k pentru care 3 ( ) 2010f k < .
e) Determina�i cea mai mare valoare a func�iei 3f pentru 1,2
OLIMPIADA DE MATEMATIC� 2010 – FAZA LOCAL� 13.02 2010
Not�: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore Fiecare problem� se puncteaz� de la 0 la 7 puncte.
CLASA A X-A FILIERA TEORETIC� PROFIL REAL – �TIIN�E ALE NATURII
1. a) Exprima�i 12log 9x = în func�ie de 16log 6a = . b) Determina�i numerele întregi k pentru care 2 4log 4 3 log 16 5k k+ ⋅ = .
2. Determina�i mul�imile: { }/ 2 4A x x x= ∈ + − =� , { }2/ 2 4 , 1B z z z i i= ∈ + = + = −� .
3. Se consider� func�iile , : , ( ) 2 1xf g f x→ = −� � �i 3 , pentru 0
( )1 , pentru 0
x xg x
x x
+ <�= � + ≥�.
Ar�ta�i c�:
a) una singur� dintre func�iile considerate este injectiv�; b) una singur� dintre func�iile considerate este surjectiv�; c) graficele celor dou� func�ii au un singur punct comun; d) exist� , 0k k∈ ≠� , pentru care (2 ) 3 ( ).f k f k= ⋅
4. Se consider� o mul�ime M de numere reale care satisface urm�toarele propriet��i: a) 1 M∈ ; b) dac� x M∈ , atunci x M∈ ; c) dac� 3 x M∈ , atunci (1 )x M+ ∈ .
1. a) Determina�i numerele naturale n pentru care mul�imea { }3 3 3 31, 2, 3,...,A n= con�ine
exact 3 numere ra�ionale.
b) Rezolva�i ecua�ia: 5 3x x+ − = .
2. a) Determina�i numerele reale a �i b pentru care 22 , unde 1
1 2i
a b i ii
− = + ⋅ = −+
.
b) Dac� u este o r�d�cin� a ecua�iei 2 1 0z z+ + = , calcula�i modulul num�rului complex 2 3 4(1 )(1 )(1 )(1 )Z u u u u= + + + + .
3. Preciza�i, justificând r�spunsurile, care dintre urm�toarele func�ii sunt injective �i care
sunt surjective: a) :f ∗ →� � , ( ) 4 3f n n= − ; b) 2: , ( ) 2g g t t t→ = −� � ; c) : , ( )h A h x→ =� media la matematic� a elevului x în clasa a IX a ( A este mul�imea elevilor din jude�ul Cara� – Severin ).
OLIMPIADA DE MATEMATIC� 2010 – FAZA LOCAL� 13.02 2010
Not�: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore Fiecare problem� se puncteaz� de la 0 la 7 puncte.
CLASA A X-A PROFIL UMAN – FILOLOGIE, �TIIN�E SOCIALE
1. a) Se consider� expresia 1 1 1 18 8 4 2( ) 1 1 1 1 ( 1)E x x x x x x
� � � � � � � �= − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +� � � � � � � �
� � � �� � � �. Determina�i
cel mai mic num�r natural n pentru care ( ) 2010.E n >
b) Exprima�i 6log 27x = în func�ie de 16log 18a = . 2. Rezolva�i ecua�iile: a) 2 4x x+ + = . b) 4 2 12x x− = . c) log (3 2) 2x x − = .
3. În anul 2007, tat�l lui Daniel avea un salariu de 1000 de lei. Dac� în anii 2008 �i 2009
salariul s�u a crescut cu 5%, respectiv cu 10%, ce salariu are acum tat�l lui Daniel ? Determina�i cel mai mic num�r natural p astfel încât, dac� în anul 2010 i se acord� o cre�tere a salariului cu p%, acesta s� dep��easc� 1400 de lei.
4. Se consider� o mul�ime M de numere reale care satisface urm�toarele propriet��i: a) 1 M∈ . b) dac� x M∈ , atunci ( )2log x M∈ . c) dac� ( )3log ( 1)x M+ ∈ , atunci x M∈ . Demonstra�i c� 2 M∈ , 3 M∈ �i 26 M∈ .
OLIMPIADA DE MATEMATIC� 2010 – FAZA LOCAL� 13.02 2010
Not�: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore Fiecare problem� se puncteaz� de la 0 la 7 puncte.
CLASA A XI-A FILIERA TEORETIC� PROFIL REAL – �TIIN�E ALE NATURII
1. În 2 ( )M � se consider� matricele 2
4 6 1 0, ,
2 3 0 1A I
−� � � �= =� � � �−� � � �
precum
�i submul�imea { }2( ) / , ( ) .G X a a X a I aA= ∈ = +�
a) S� se calculeze 2;A b) S� se arate c� : ( ) ( ) ( ) , ( ), ( ) ;X a X b X a b ab X a X b G⋅ = + + ∀ ∈ c) S� se arate c� : (1) (2) ... (2009) (2010! 1).X X X X⋅ ⋅ ⋅ = −
2. Se consider� matricele 3
1 2( , ) 1 1 ( )
1
x
H a x x
a a
� �� �= ∈� �� �� �
�� .
a) Calcula�i determinantul matricei (1,2).H b) Determina�i 20B , unde (0,0)B H= . c) Ar�ta�i c�, pentru orice a ∈� , exist� x ∈� astfel încât det ( , ) 0H a x = .
3. Determina�i numerele reale m pentru care aria triunghiului care are vârfurile ( ,1), (1, ), ( , )A m B m C m m este egal� cu 2.
a) Calcula�i determinantul matricei (1,2).H b) Determina�i 3B , unde (0,0)B H= . c) Ar�ta�i c�, pentru orice a ∈� , exist� x ∈� astfel încât det ( , ) 0H a x = .
3. i) S� se calculeze limitele laterale ale func�iei de mai jos în punctul 30 =x :
f : →� � , ( )���
��
=
≠+= −
3,2
3,
21
1
31
xdac�
xdac�xf x
ii) Calcula�i urm�toarele limite: a) ( )2lim 1 ;x
x x→−∞
+ +
b) 2
21
2 3 1lim ;x
x xx x→
− +−
4. i) S� se determine ∈a � , pentru care are loc egalitatea: limx a→ 8
OLIMPIADA DE MATEMATIC� 2010 – FAZA LOCAL� 13.02 2010
Not�: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore Fiecare problem� se puncteaz� de la 0 la 7 puncte.
CLASA A XII-A FILIERA TEORETIC� PROFIL REAL – �TIIN�E ALE NATURII
1. a) S� se determine ( ),a b ∗ ∗∈ ×� � pentru care legea de compozi�ie definit� pe � prin 4 , ,x y xy ax by x y∗ = + + ∀ ∈� este asociativ� �i comutativ�.
b) Pe ( )0,1M = se define�te legea , ,2 1
xyx y x y M
xy x y= ∀ ∈
− − +� . Determina�i
elementul neutru
al legii definite �i simetricul elementului 14
x M= ∈ fa�� de legea " "� .
c) S� se precizeze, justificând r�spunsurile, care dintre urm�toarele mul�imi nu sunt p�r�i stabile
ale lui � în raport cu înmul�irea numerelor reale: { }5 /A n n= ∈� , \B = � �.
2. Se consider� mul�imea [ )2,H = ∞ �i opera�ia " "� definit� prin 2 2 6 , ,x y xy x y x y= − − + ∀ ∈� � .
a) Ar�ta�i c� opera�ia " "� este lege de compozi�ie pe mul�imea considerat�; b) Studia�i dac� exist� p ∈� astfel încât , x p p x p x= = ∀ ∈� � � ; c) Determina�i cel mai mic num�r întreg m pentru care
3. Se consider� func�ia ( ): 0, , ( ) lnf f x x x∞ → = ⋅�
a) S� se determine ( )( ) , 0, .
f xdx x
x∈ ∞�
b) S� se determine ( )2( )
, 0, .f x
dx xx
∈ ∞�
c) S� se demonstreze c�, pentru orice primitiv� F a func�iei f, este adev�rat� inegalitatea:
(2007) (2008) (2009) (2010)F F F F+ < + .
4. Se consider� func�ia 2 3: , ( ) 1g g x x x x→ = + + +� � . a) Rezolva�i ecua�ia ( ) 0g x = . b) Dac� G este o primitiv� a func�iei g pentru care (0) 0G = , calcula�i (1)G
1. i) S� se determine ( ),a b ∗ ∗∈ ×� � pentru care legea de compozi�ie definit� pe � prin 4 , ,x y xy ax by x y∗ = + + ∀ ∈� este asociativ� �i comutativ�.
ii) S� se precizeze, justificând r�spunsurile, care dintre urm�toarele mul�imi nu sunt p�r�i
stabile ale lui � în raport cu înmul�irea numerelor reale: { }5 /A n n= ∈� , \B = � �.
2. i) Se consider� mul�imea M ( ){ }baxxxff ++=Ζ→Ζ= 233: . S� se determine ∈ba,
3� ,
pentru care ( ) ( ) .1̂1̂0̂ == ff
ii) Pe ( )0,1M = se define�te legea , ,2 1
xyx y x y M
xy x y= ∀ ∈
− − +� . Determina�i
elementul neutru
al legii definite �i simetricul elementului 14
x M= ∈ fa�� de legea " "� .
3. i) Se d� func�ia f : →� � , ( )��
��
�
≥−
−<+=
2,49
12,23
axx
axxxf
bx
bx
, ∈ba, � . S� se
determine ∈ba, � astfel încât f s� admit� primitive pe � .
ii) S� se arate c� 2 3 2 1
0
sin cos 0,n nx xdx xπ
+ + ∗⋅ = ∀ ∈� �
4. Se consider� func�ia ( ): 0, , ( ) lnf f x x x∞ → = ⋅� .
a) S� se determine ( )( ) , 0, .
f xdx x
x∈ ∞�
b) S� se determine ( )2( )
, 0, .f x
dx xx
∈ ∞�
c) S� se demonstreze c�, pentru orice primitiv� F a func�iei f, este adev�rat� inegalitatea:
