Capitolul I

ELEMENTE DE TRlGONOMETRIE SFERICĂ

§ 1. Sfera.Definiţii.Ecuaţii

Se numeşte suprafaţă sferică. sau sferă, locul geometric al punctelor din spaţiu egal depărtate de un punct fix I , numit centrul sferei. Spaţiul mărginit de suprafaţa unei sfere va fi numit glob sau, pentru simplificare, tot sferă . Suprafaţa sferei poate fi definită şi ca suprafaţa obţinută prin rotaţia unui semicerc în jurul diametrului său. Segmentul de dreaptă care uneşte centrul sferei cu orice punct de pe suprafaţa ei se numeşte raza sferei, iar segmentul de dreaptă, care unind două puncte de pe suprafaţa sferei trece şi prin centrul ei se numeste diametru; evident razele aceleiaşi sfere sunt egale între ele (de lungime R), iar un diametru este egal cu două raze.

Impunând condiţia ca un punct oarecare M (x,y,z), variabil pe suprafaţa sferei să ramână mereu la aceeasi depărtare R (fig.1), de centrul I (a,b,c), se obţine :

MI = R > 0

Însă :

deci :

de unde :

(1)

care este ecuaţia sferei cu centrul I(a,b,c) şi rază R .

În particular, ecuaţia sferei cu centrul în origine O(0,0,0) şi rază R este :

(2)

Poziţia relativă a dreptelor şi sferelor

Dreptele pot avea cu o suprafaţă sferică un punct comun, două puncte comune sau nici un punct comun. O secantă intersectează suprafaţa sferică în două puncte. Partea din această secantă

cuprinsă în interiorul sferei se numeşte coardă. Coarda cea mai lungă este diametrul sferei; centrul sferei se găseşte la jumătatea diametrului.

Tangenta este dreapta care atinge sfera într-un punct (fig.2). În punctul de contact se pot duce oricâte tangente; toate aceste tangente determină planul tangent. Raza sferei în punctul de contact este perpendiculară pe planul tangent.

Fig.2. Sfera şi linii Fig.3. Intersecţia unei suprafeţe importante referitoare la sferă sferice cu un plan este un cerc

Poziţia relativă a sferelor şi planelor.

Un plan şi o suprafaţă, sferică au în comun un cerc, un punct sau nici un punct. În cazul când intersecţia unui plan cu o sferă este un cerc (fig.3), centrul acestuia F este piciorul perpendicularei coborâte din centrul sferei O pe plan (când planul trece prin O, centrul cercului de intersectie este chiar O). Distanţa de la un punct oarecare de intersecţie S la

centrul O este raza sferei R, distanţa r de la un astfel de punct la proiecţia F este

unde l = OF, deci constantă (raza cercului de intersecţie). Un plan taie suprafata globului numai atunci când distanţa l este mai mică decât raza R..Dacă aceasta distanţă este egală cu raza R , atunci planul atinge sfera şi este un plan tangent. Dacă distanţa l de la centrul sferei la plan este mai mare decât raza R, planul nu intersectează sfera.

Prin două puncte .A şi B care sunt situate pe o sferă şi nu sunt diametral opuse se poate duce un fascicul de plane (fig.4), care taie sfera după un fascicul de cercuri. Printre acestea există. un cel mai mic cerc (ca lungime), cel care are pe AB drept diametru şi cel mai mare cerc al cărui centru coincide cu centrul sferei.

Fig.4. Cercuri duse prin punctele A si B ale unei sfere

Acesta din urmă, a cărui rază coincide cu raza sferei se numeşte cerc mare al sferei; toate celelalte sunt numite cercuri mici. Daca se rotesc toate planele fasciculului împreună cu cercurile de intersecţie, astfel încât să ajungă în planul cercului mare, se obţine în acest plan un fascicul de cercuri prin punctele A şi B. Cel mai mic arc între A si B pe fiecare din aceste cercuri este evident cu atât mai mic cu cât raza r este mai mare. Acest arc este de lungime minimă pentru cercul mare când r = R. Cu ajutorul geometriei diferenţiale se poate arăta ca arcul AB al unui cerc mare este cel mai scurt drum între A şi B nu numai pe toate cercurile ci chiar pe toate curbele ce unesc punctele A şi B pe sferă. Acest arc se numeşte linie geodezică pe sferă.

Aşadar, orice plan taie o sferă dupa. un cerc, care poate fi un cerc mare sau un cerc mic. Planul împarte suprafaţa sferică în două calote sferice, şi sfera (globul) în două segmente sferice. Aceste calote şi segmente (fig. 5) sunt egale dacă planul trece prin centrul sferei.

Doua plane paralele delimitează dintr-o sferă o zonă sferică. Zona sferică este mărginită de două cercuri dintre care numai unul poate fi un cerc mare al sferei. Doua cercuri mari delimitează dintr-o sferă patru pene sferice. Daca raza unei sfere se mişcă sprijinindu-se de-a lungul unui cerc al sferei, ea va descrie o suprafaţă conică şi împarte sfera în două sectoare sferice.

Fig. 5. Sfera şi părţile ei

La baza geometriei sferice stau următoarele teoreme deja prezentate:1. Intersecţia unei suprafeţe sferice cu un plan oarecare este un cerc.2. Cercurile mari împart sfera şi suprafaţa ei în două părţi egale.3. Prin două puncte date pe suprafaţa unei sfere, dacă acestea nu sunt aşezate la extremităţile aceluiaşi diametru, se poate duce un cerc mare şi numai unul.4. Intersecţia planelor a două cercuri mari este un diametru al lor, care le împarte în două părţi egale.5. Cea mai scurtă distanţă pe sferă între două puncte de pe suprafaţa ei este un arc de cerc mare mai mic de 1800. Fie sfera cu centrul în origine şi de rază R (fig.6). Din punctul M oarecare al sferei se coboară perpendiculara MM’ pe planul xOy ( ) şi se consideră planul prin OM şi Oz (plan meridian al punctului M). Se notează cu unghiul format de planul meridian al punctului M(x,y,z) cu planul xOz şi cu unghiul razei OM cu planul xOy. Atunci :

, , de unde

rezultă ecuaţiile parametrice ale sferei : (3)

Fig. 6. Coordonate sferice

Pentru a se obţine toate punctele sferei, parametrul trebuie să varieze în intervalul (00 ,3600), iar parametrul în intervalul (-900, +900). Parametrii şi se numesc longitudine şi, respectiv latitudine. Curbele parametrice de pe sferă ( curbe ce se obţin când parametrii sunt, separat constanţi) sunt : = constant (semicercuri mari numite meridiane) şi = constant (cercuri numite paralele, dintre care = 0 este un cerc mare numit ecuator).

Fig. 7. Meridiane şi paralele

Sfera cu centrul în origine şi de rază , de ecuaţie (2): intersectează

axele de coordonate Ox, Oy, Oz în şase puncte (vârfuri) situate la distanţa R faţă de origine. Suprafaţa “deformată” cu centrul de simetrie în origine şi care intersectează axele de coordonate Ox, Oy, Oz în puncte situate la distanţe egale cu a > 0 (cu Ox), respectiv b > 0 (cu Oy) şi c > 0 (cu Oz) faţă de origine va avea ecuaţia :

(4)

Această suprafaţă se numeşte elipsoid (fig. 8); la fel se numeşte şi corpul mărginit de această suprafaţă. Distanţele a, b, şi c se numesc semiaxe ale elipsoidului. Dacă două semiaxe sunt egale între ele, elipsoidul se numeşte elipsoid de rotaţie. Astfel, un elipsoid de rotaţie în jurul axei Oz

are ecuaţia : (5)

Fig.8. Elipsoidul

În geodezie Pământul este considerat un elipsoid de rotaţie cu ecuaţia (5), unde raza ecuatorială , iar raza polară În realitate forma Pământului este neregulată şi este numită geoid; dar abaterile de la o formă care se pretează calculelor matematice sunt mici în raport cu mărimile care intervin în aceste calcule. Într-o primă aproximare, Pământul poate fi considerat o sferă (glob) de ecuaţie (2), cu raza (raza medie a Pământului).

§ 2. Biunghi sferic. Triunghi sferic

Toate distanţele dintre punctele aflate pe sferă se măsoară pe arce de cercuri de cercuri mari. Pe sfere de rază foarte mare, aceste distanţe sunt aproximate destul de bine prin segmentul de dreaptă determinat de cele două puncte. Lungimea arcului de cerc lAB între punctele A şi B (fig.9) depinde de mărimea razei R şi de unghiul la centru , formulele de calcul fiind cunoscute din geometria plană :

, dacă unghiul este măsurat în radiani şi (6)

, dacă unghiul este măsurat în grade (sexagesimale) (6’)

Două cercuri mari se intersectează în două puncte N şi S care sunt extremităţi ale unui diametru al sferei.Astfel de puncte în care sfera este tăiată de o dreaptă ce trece prin centrul ei se numesc diametral opuse sau poli. Porţiunea din suprafaţa sferei mărginită de două arce de cerc mare cu extremităţile în polii N şi S (semicercuri) formează cea mai simplă figură de pe sferă, care se numeşte biunghi sau fus sferic.Cercul mare al cărui plan este perpendicular pe linia polilor (în centrul sferei) se numeşte cerc polar.Orice plan perpendicular pe diametrul NS taie planele celor două cercuri mari prin N şi S după câte o dreaptă (fig.9) care reprezintă laturi ale unghiului dintre cele două plane (unghiul diedru al planelor).

Fig. 9. Biunghiul sferic

Tangentele într-un pol la ambele cercuri mari sunt perpendiculare pe diametrul NS şi deci formează acelaşi unghi ; acesta este unghiul dintre cercurile mari. În fig. 9 este trasat, de exemplu, biunghiul sferic NASBN care este determinat de unghiul egal cu unghiurile de la vârfuri. Laturile biunghiului sunt arce de 180 0

(semicercuri mari). În cartografie, proiecţia Gauss-Krüger foloseşte fusuri (biunghiuri) sferice ale căror unghiuri sunt de 60 (numite benzi meridiane). Dacă aria sferei de rază R este (corespunde unui unghi la centru de radiani sau 3600), atunci aria fusului sferic corespunzător unghiului este :

, dacă unghiul este măsurat în radiani şi (7)

, dacă unghiul este măsurat în grade (7’)

O bandă meridiană Gauss-Krüger are aria km2

(considerând R = 6.371,221 km.). Fie o sferă dată de centru O şi rază R, iar pe această sferă fie cercul mare C (de centru O şi rază R). Dreapta ce trece prin centrul O şi este perpendiculară pe planul cercului mare C intersectează suprafaţa sferei în două puncte diametral opuse N şi S (fig.10). Aceste puncte se vor numi polii cercului mare considerat C , iar cercul C însuşi se va numi polara (cercul polar) punctelor N şi S. Dacă se stabileşte un sens de parcurgere a cercului polar, atunci se pot deosebi polii : un pol drept şi unul stâng sau pol nord şi pol sud (de unde notaţia N şi S). Pe suprafaţa sferei, distanţa dintre două puncte se măsoară în grade sau radiani pe arcul de cerc mare ce trece

Fig. 10. Cercuri sferice

prin aceste puncte (geodezică pe sferă). Astfel, toate punctele cercului mare C sunt la aceeaşi distanţă ( de 900) faţă de polii N şi S. Fie acum un alt cerc , de secţiune a sferei cu un plan perpendicular pe diametrul NS (deci plan paralel cu planul ecuatorial al cercului mare C ) având centrul O1 ( ) şi raza r (r < R). Date fiind punctele A şi B pe cercul mare C , se obţine biunghiul sferic NASBN care este determinat de unghiul la centru , format de razele sferei OA şi OB, unghi egal cu unghiul diedru format de planele (NAS) şi (NBS) şi, de asemenea, egal cu unghiurile de la vârfurile biunghiului. Se notează cu C şi D punctele de intersecţie ale cercului

cu laturile biunghiului : C (NAS) şi D (NBS). Dacă este unghiul făcut de raza OD a sferei cu planul cercului , atunci pentru raza r a cercului mic are loc relaţia : (8)

Lungimea arcului se exprimă atunci, conform (6) :

(9)

Lungimea întregului cerc (paralelă pe sferă) este deci egală cu .

Se numeşte triunghi sferic figura de pe suprafaţa sferei, mărginită de trei arce de cerc mare, numite laturile triunghiului sferic, care se intersectează două câte două în trei puncte numite vârfurile triunghiului sferic. Fiind date trei puncte A, B şi C pe o sferă astfel încât să nu fie două diametral opuse şi nici toate trei pe acelaşi cerc mare al sferei, există trei cercuri mari care unesc câte două din aceste puncte şi se intersectează şi în punctele diametral opuse (fig.11). Suprafaţa sferei se împarte astfel în opt părţi, fiecare mărginită de trei arce de cerc mare, fiecare mai mic de 1800. Aceste porţiuni de sferă se numesc triunghiuri sferice euleriene (Leonhard Euler – matematician şi fizician elveţian, 1707-1783), spre a le deosebi de triunghiurile sferice care au laturi mai mari de 1800 (care se numesc triunghiuri Möbius (August Möbius – matematician şi astronom german, 1790-1868). În figura 11 triunghiurile ABC şi sunt

euleriene, dar triunghiul cu laturile AB, BC şi este triunghi Möbius. Acest triunghi neeulerian se deosebeşte de triunghiul eulerian ABC numai prin emisfera mărginită de cercul mare . De aceea, în ceea ce urmează se vor considera numai triunghiuri euleriene. Unghiurile acestui triunghi sunt unghiurile formate de planele cercurilor mari care se intersectează în vârful unghiului considerat,

Fig. 11. Triunghiuri sferice

respectiv unghiul celor două tangente duse prin vârful considerat la cele două cercuri mari. Astfel, un triunghi eulerian nu are unghiuri mai mari decât 1800. Notaţiile folosite într-un triunghi sferic sunt aceleaşi ca în cazul triunghiului plan : laturile sunt notate cu a, b, c, iar unghiurile cu A, B, C. Planele cercurilor mari ce apar în construcţia triunghiului sferic ABC au un punct comun (care este centrul O al sferei) şi formează unghiul triedru OABC (fig.12). Astfel putem considera că un triunghi sferic poate fi obţinut prin secţionarea sferei printr-un triedru cu vârful în O.

Fig. 12. Fig. 13.

Unghiurile triunghiului sferic sunt unghiurile diedre ale triedrului ce formează triunghiul, iar laturile triunghiului, fiind arce de cerc mare, sunt egale cu unghiurile plane corespunzătoare ale triedrului OABC.

Laturile unui triunghi sferic se exprimă prin unutăţi de unghi, de aceea nu are importanţă raza sferei. În figura 13 sunt desenate două triunghiuri sferice ABC şi A’B’C’ situate pe două sfere concentrice de raze R, respectiv R’, fiind obţinute prin intersecţia sferelor cu un acelaşi triedru. Dimensiunile liniaresunt diferite, dar elementele lor (laturi şi unghiuri) exprimate în unităţi de unghi, sunt respectiv egale. Triunghiurile ABC şi A’B’C’ din figură se numesc triunghiuri asemenea, dar au unghiuri şi laturi egale. În cele ce urmează se poate presupune că sfera suport are raza de lungime 1. Un biunghi de unghi este împărţit printr-un arc de cerc mare în două triunghiuri sferice numite triunghiuri conjugate sau suplimentare. Aceste triunghiuri au o latură comună, iar celelalte două sunt suplimentare. De asemenea, unghiurile adiacente sunt suplimentare (fig.14)

Fig. 14. Triunghiuri sferice conjugate

Dintre triunghiurile sferice particulare se remarcă triunghiurile sferice dreptunghice şi cele quadratice. Triunghiul sferic dreptunghic este triunghiul sferic care are un unghi (cel puţin unul) de 900. Triunghiul sferic quadratic (sau rectilater) este triunghiul sferic care are o latură (cel puţin una) de 900. De exemplu în figura 10 triunghiul ABN este dreptunghic şi quadratic (rectilater) în acelaşi timp : unghiurile A şi B, de asemenea laturile AN şi BN sunt de 900. Dacă şi latura AB ar avea 900 atunci triunghiul ABN ar avea toate trei laturile şi toate trei unghiurile de 900. Trigonometria sferică este disciplina matematică care se ocupă de studiul relaţiilor dintre laturile şi unghiurile unui triunghi sferic, precum şi rezolvarea triunghiurilor sferice. Trigonometria sferică are numeroase aplicaţii în astronomie, cartografie, geodezie, fotogrammetrie, cristalografie şi în alte ştiinţe, atunci când, pentru studiul poziţiei relative în spaţiu a unor puncte, drepte şi plane, se recurge la o sferă ajutătoare.

§ 3. Proprietăţi ale triunghiurilor sferice

Egalitatea triunghiurilor sferice Ca şi în cazul triunghiurilor plane, se poate arăta că două triunghiuri sferice situate pe o sferă sunt egale între ele dacă sunt la fel aşezate şi au :1. câte două laturi şi unghiul cuprins între ele egale;2. câte o latură şi cele două unghiuri alăturate, egale;3. câte trei laturi egale;4. câte trei unghiuri egale. La fel se arată că au loc teoremele :1. Laturilor egale, într-un triunghi sferic, li se opun unghiuri egale, şi reciproc.2. În orice triunghi sferic, unghiului mai mare i se opune latura mai mare, şi reciproc.

Triunghiuri sferice polare Fie dat triunghiul sferic ABC. Se consideră pe sfera suport punctele A1, B1, C1 astfel încât : A1

să fie un pol al arcului de cerc mare , B1 – pol al arcului , C1 – pol al arcului .

Triunghiul A1B1C1 se va numi triunghi sferic polar în raport cu triunghiul ABC (fig.15). Se arată că şi invers, triunghiul ABC este polar în raport cu triunghiul A1B1C1. Într-adevăr, A1 fiind pol al

Fig. 15. Triunghiuri sferice polare

laturii a = , arcele şi sunt de 900. La fel, B1 fiind pol al laturii b = , arcele

şi sunt de 900 , iar C1 fiind pol al laturii c = , arcele şi sunt de 900. Aşadar,

arcele şi fiind de 900 rezultă că punctul A este pol al laturii a1 = . Analog, punctul

B este pol al laturii b1 = , iar punctul C este pol al laturii c1 = . Prin urmare, cele două

triunghiuri ABC şi A1B1C1 sunt polare reciproc unul altuia. Teoremă. Suma dintre un unghi al triunghiului sferic ABC şi latura corespunzătoare a triunghiului său polar A1B1C1 este egală cu 1800

. Suma dintre o latură a triunghiului sferic ABC şi unghiul corespunzător la triunghiului său polar A1B1C1 este egală cu 1800

.

Într-adevăr, pe figura 15, prelungim laturile şi până în D, respectiv E situate pe latura

a1 = . Punctul B1 este polul laturii b, deci ; de asemenea, punctul C1 este polul

laturii c, deci . Punctul A fiind polul laturii a1 , rezultă că arcul are mărimea

unghiului A (vezi pe figura 10 unghiul ). Atunci :

,

deci are loc egalitatea

Analog, au loc şi egalităţile şi (10)

Cele două triunghiuri fiind reciproc polare, au loc şi relaţiile :

(11)

Observaţie : Triunghiul sferic ABC din figura 15 are laturile mai mici decât 900, de aceea el este situat în interiorul triunghiului său polar A1B1C1. Dacă triunghiul ABC ar avea laturi mai mari decît 900, cele două triunghiuri reciproc polare s-ar intersecta.

Se notează cu vectorii care unesc vârfurile A, B, şi C cu centrul sferei O (fig.16). Dacă

triunghiul sferic ABC este definit de unghiul triedru OABC , atunci triunghiul său polar A1B1C1

este definit de unghiul triedru OA1B1C1 astfel încât razele OA1, OB1, OC1 să fie perpendiculare respectiv, pe planele (OBC), (OAC), (OAB) ale triedrului iniţial (fig. 17 , 18). OA1B1C1 se numeşte

unghi triedru polar După cum s-a observat anterior, se poate presupune că vectorii au

lungimea egală cu R = 1.

Fig. 16. Vectorii triedrului OABC Fig. 17. Unghiul triedru şi unghiul triedru polar

Fig. 18. Unghiul polar PPaPbPc al unghiului triedru OABC

Dintr-un punct P din interiorul unghiului triedru se coboară perpendiculare pe feţele laterale ale acestuia; fie Pa, Pb, Pc picioarele acestora. Aceste perpendiculare determină un triedru al cărui unghi este egal cu unghiul triedru polar al unghiului triedru dat. De exemplu, faţa (PPaPc) este perpendiculară pe feţele (OBC) şi (OAB) ale triedrului iniţial, deci este perpendiculară şi pe

dreapta lor de intersecţie OB (determinată de ) în punctul . Unghiul este unghiul

dintre feţele plane (OBC) şi (OAB). În patrulaterul , notând unghiul PaPPc cu , are loc

relaţia + = 1800, deoarece celelalte unghiuri sunt drepte. Analog se definesc unghiurile

şi (fig.18) , pentru care şi . Alegând în unghiul polar un punct, pentru simplitate punctul O, atunci perpendicularele coborâte din acest punct pe feţele unghiului

triedru polar vor fi vectorii cu picioarele perpendicularelor . Unghiul triedru

iniţial OABC este unghi polar al unghiului său polar.

Dacă punctul P, ales arbitrar este chiar O, atunci perpendicularele PPa , PPb , respectiv PPc

devin perpendiculare pe feţele triedrului iniţial : (OBC) , (OCA) , respectiv (OAB) şi intersectează sfera în câte două puncte diametral opuse. Se consideră dintre aceste puncte , punctele A1 ,B1 , C1

care sunt poli stângi ai laturilor triunghiului sferic ABC în sensul de parcurgere . Triunghiul sferic A1B1C1 este triunghiul sferic polar al celui dat iniţial (fig.17). Din relaţiile obţinute pentru unghiurile şi se deduc relaţiile (10) şi (11).