Statistica MatematicaStatistica Matematica

Statistica Statistica matematicamatematica se se ocupa de ocupa de gruparea, gruparea, analizaanaliza si si interpretareainterpretarea datelor datelor referitoare la un referitoare la un anumit fenomen anumit fenomen precum si unele precum si unele previziuni previziuni privind privind producerea lui producerea lui viitoare.viitoare.

DEFINITIE:DEFINITIE: Prin Prin populatia populatia statisticastatistica se intelege orice multime se intelege orice multime de obiecte de aceeasi natura. de obiecte de aceeasi natura. Elementele unei populatii se numesc Elementele unei populatii se numesc unitati statisticeunitati statistice sau sau indiviziindivizi. . Numarul de elemente care constituie Numarul de elemente care constituie populatia se numeste populatia se numeste volumul volumul populatieipopulatiei..

Se numeste caracteristica (sau Se numeste caracteristica (sau variabila statistica) a populatiei variabila statistica) a populatiei trasatura comuna tuturor unitatilor trasatura comuna tuturor unitatilor (indivizilor) populatiei.(indivizilor) populatiei.

Caracteristica poate fi Caracteristica poate fi cantitativacantitativa (daca se (daca se poate masura) sau poate masura) sau calitativacalitativa (in caz contrar). (in caz contrar). In general o populatie se studiaza dupa una sau In general o populatie se studiaza dupa una sau mai multe caracteristici. In cazul populatiilor cu mai multe caracteristici. In cazul populatiilor cu un numar mare de indivizi se efectueaza o un numar mare de indivizi se efectueaza o statistica numai pentru o fractiune din statistica numai pentru o fractiune din populatia. Fractiunea din populatia totala, iar populatia. Fractiunea din populatia totala, iar rezultatul obtinut se extinde pentru toata rezultatul obtinut se extinde pentru toata populatia. Fractiunea din populatia totala populatia. Fractiunea din populatia totala pentru care se face statistica se numeste pentru care se face statistica se numeste esantionesantion. Este clar ca aceste concluzii au . Este clar ca aceste concluzii au sansa de a fi valabile cu cat esantionul este mai sansa de a fi valabile cu cat esantionul este mai mare. Gratie calcului probabilitatilor va fi mare. Gratie calcului probabilitatilor va fi posibil, in general, de a indica gradul de posibil, in general, de a indica gradul de incredere care se poate acorda concluziilor incredere care se poate acorda concluziilor obtinute. obtinute.

Caracteristicile cantitative pot fi Caracteristicile cantitative pot fi discretediscrete (sau (sau discontinuediscontinue) daca ) daca variabila statistica ia valori finite (sau variabila statistica ia valori finite (sau numarabile) sau numarabile) sau continuecontinue daca daca variabila poate lua orice valoare variabila poate lua orice valoare dintr-un interval finit sau infinit dintr-un interval finit sau infinit (greutatea, talia, etc.).(greutatea, talia, etc.).

Gruparea datelor se Gruparea datelor se realizeaza cu scopul de a realizeaza cu scopul de a se trage concluzii cu se trage concluzii cu caracter general.caracter general.

Frecventa absoluta. Frecventa relativa. Frecventa absoluta. Frecventa relativa. Frecvente cumulateFrecvente cumulate

Numarul tuteiuror indivizilor (sau unutatilor) unei Numarul tuteiuror indivizilor (sau unutatilor) unei populatii se numeste populatii se numeste efectivul totalefectivul total al acelei al acelei populatii.populatii.

DEFINITIE:DEFINITIE: Se numeste Se numeste fregventa absolutafregventa absoluta (sau efectiv) a unei valori x a caracteristicii, (sau efectiv) a unei valori x a caracteristicii, numarul de unitati ale populatiei corespunzatoare numarul de unitati ale populatiei corespunzatoare acestei valori.acestei valori.

Aceste date (caracteristica, efectiv) se Aceste date (caracteristica, efectiv) se reprezinta grafic, in raport de un sistem de axe reprezinta grafic, in raport de un sistem de axe rectangulare, prin desene, care pun in evidenta rectangulare, prin desene, care pun in evidenta anumite rapoarte numerice. Graficul anumite rapoarte numerice. Graficul corespunzator se numeste corespunzator se numeste diagramadiagrama. Alegerea . Alegerea unitatii pe fiecare dintre axe ramane la unitatii pe fiecare dintre axe ramane la latitudinea celui care prelucreaza datele.latitudinea celui care prelucreaza datele.

O prima reprezentare o constitue O prima reprezentare o constitue reprezentarea in batoane reprezentarea in batoane aplicata aplicata caracteristicii discrete cu un numar mic de caracteristicii discrete cu un numar mic de valori. Pe axa orizontala sunt trecute punctele valori. Pe axa orizontala sunt trecute punctele reprezentand valorile variabilei si din aceste reprezentand valorile variabilei si din aceste puncte se ridica segmente veriticale de lungime puncte se ridica segmente veriticale de lungime egala cu fregventa absoluta a valorii respective. egala cu fregventa absoluta a valorii respective. Segmentele ridicate sunt masurate cu unitatea Segmentele ridicate sunt masurate cu unitatea de pe axa verticala.de pe axa verticala.

Unind printr-o linie poligonala extremitatile superioare ale acestor Unind printr-o linie poligonala extremitatile superioare ale acestor segmente se obtine ceea ce se cheama segmente se obtine ceea ce se cheama poligonul fregventelor poligonul fregventelor marcat marcat prin linii discontinue. prin linii discontinue.

Vom reprezenta aceste date Vom reprezenta aceste date printr-un grafic numit printr-un grafic numit histogramahistograma, unde pe axa , unde pe axa orizontala se iau o succesiune de orizontala se iau o succesiune de segmente egale (reprezinta segmente egale (reprezinta lungimea claselor) si se ridica pe lungimea claselor) si se ridica pe fiecare din aceste segmente fiecare din aceste segmente considerate ca baze, considerate ca baze, dreptunghiuri de inaltimi dreptunghiuri de inaltimi proportionale cu fregventele proportionale cu fregventele absolute ale claselor respective.absolute ale claselor respective.

Daca in mijlocul fiecarui segment Daca in mijlocul fiecarui segment de pe axa orizontala (aceste de pe axa orizontala (aceste mijoloace de intervale le numim mijoloace de intervale le numim valori centralevalori centrale) se ridica ) se ridica segmente proportionale cu segmente proportionale cu fregventele claselor fregventele claselor corespunzatoare fiecarui segment corespunzatoare fiecarui segment si printr-o linie poligonala si printr-o linie poligonala extremitatile superioare ale extremitatile superioare ale acestor segmente se obtine acestor segmente se obtine poligoul fregventelorpoligoul fregventelor..

Uneori datele (din tabelul 4) se Uneori datele (din tabelul 4) se reprezinta prin dreptunghiuri de baze reprezinta prin dreptunghiuri de baze egale si cu inaltimi proportionale cu egale si cu inaltimi proportionale cu procentajele sau prin sectoare de procentajele sau prin sectoare de cerc, cu unghiuri proportionale cu cerc, cu unghiuri proportionale cu aceleasi numere. aceleasi numere.

DEFINITIE:DEFINITIE: Se numeste Se numeste fregventa relativa fregventa relativa (sau (sau simplu simplu fregventafregventa) a unei valori x) a unei valori xi i a caracteristicii a caracteristicii raportul dintre fregventa absoluta nraportul dintre fregventa absoluta ni i a valorii xa valorii xi i si si efectivul total al populatiei.efectivul total al populatiei.

Se numeste Se numeste frecventa cumulata crescatoare frecventa cumulata crescatoare a unei a unei valori x a variabilei, suma tuturor frecventelor valorilor valori x a variabilei, suma tuturor frecventelor valorilor care apar pana la x inclusiv.care apar pana la x inclusiv.

Se numeste Se numeste frecventa cumulata descrescatoare frecventa cumulata descrescatoare a a unei valori x a variabilei suma tuturor frecventelor unei valori x a variabilei suma tuturor frecventelor valorilor care apar de la x inclusivvalorilor care apar de la x inclusiv

Analiza statistica Analiza statistica a unui fenomen, a unui fenomen, in raport cu o in raport cu o singura singura caracteristica, caracteristica, conduce la o conduce la o serie de perechi serie de perechi de valori de valori ((caracteristica caracteristica efectivaefectiva), care ), care se numeste se numeste serie statisticaserie statistica. .

Elemente caracteristice ale unei Elemente caracteristice ale unei serii statisticeserii statistice

1. 1. MediaMedia Fie x variabila statistica Fie x variabila statistica

(caracteristica) care ia valorile x(caracteristica) care ia valorile x11, , xx2, 2, .......... xxk k cu efectivele cu efectivele corespunzatoare ncorespunzatoare n1, 1, nn22, …… n, …… nk.k.

DEFINITIE: DEFINITIE: Se numeste Se numeste media media caracteristicii x numarulcaracteristicii x numarul

Acest numar se mai numeste Acest numar se mai numeste media media ponderata ponderata a numerelor xa numerelor x11, x, x22,…….x,…….xk;k;

numerele nnumerele n11, n, n22,……..n,……..nk k se numesc se numesc ponderile ponderile respective ale numerelor xrespective ale numerelor x11, x, x22,…….. si ,…….. si respectiv xrespectiv xkk. .

Media este influentata de toate valorile xMedia este influentata de toate valorile xi i si nsi nii, , dar din pacate este deosebit de sensibila la dar din pacate este deosebit de sensibila la valorile extreme pierzand astfel o buna parte valorile extreme pierzand astfel o buna parte din reprezentativitate, mai ales in esantioanele din reprezentativitate, mai ales in esantioanele de marime redusa. de marime redusa.

2. Mediana2. Mediana

DEFINITIE: Mediana DEFINITIE: Mediana este o valoare este o valoare astefel incat jumatatea valorilor xastefel incat jumatatea valorilor x ii ale ale esantionului (sau ale populatiei) sunt mai esantionului (sau ale populatiei) sunt mai mici sau egale cu si cealalta jumatate a mici sau egale cu si cealalta jumatate a valorilor xvalorilor xii sunt mai mari sau egale cu . sunt mai mari sau egale cu .

In cazul unui esantion discret de valori k In cazul unui esantion discret de valori k aranjate in ordine crescatoare, mediana aranjate in ordine crescatoare, mediana este valoare din mijoc pentru k impar:este valoare din mijoc pentru k impar:

. Pentru k par se face media . Pentru k par se face media valorilor centrale valorilor centrale

Mediana nu este afectata de valorile Mediana nu este afectata de valorile extreme ale caracteristicii.extreme ale caracteristicii.

3. Modulul3. Modulul DEFINITIE: DEFINITIE: PrinPrin modulul modulul (sau (sau

dominantadominanta) unei serii statistice se ) unei serii statistice se intelege valoarea caracteristicii intelege valoarea caracteristicii corespunzatoare celei mai mari frecvente corespunzatoare celei mai mari frecvente daca valorile caracteristicii sunt discrete daca valorile caracteristicii sunt discrete si valoarea centrala a clasei si valoarea centrala a clasei corespunzatoare celei mai mari frecvente corespunzatoare celei mai mari frecvente daca variabila este continua.daca variabila este continua.

Modulul este insensibil la valorile Modulul este insensibil la valorile extreme. Ca element numeric modulul extreme. Ca element numeric modulul este mai putin utilizat decat media sau este mai putin utilizat decat media sau mediana.mediana.

4. Dispersia4. Dispersia Daca se doreste sa se vada cat se Daca se doreste sa se vada cat se

departeaza valorile variabilei de media departeaza valorile variabilei de media se poate calcula media diferentelor se poate calcula media diferentelor absolute Din ratiuni esential absolute Din ratiuni esential teoretice se prefera sa se calculeze teoretice se prefera sa se calculeze media patratelor diferentelor, adica daca media patratelor diferentelor, adica daca variabila ia valorile xvariabila ia valorile x11, x, x22, ….. X, ….. Xkk cu cu efectivele corespunzatoare nefectivele corespunzatoare n11, n, n22, ….. n, ….. nk, k,

atunciatunci

Numarul v se numeste Numarul v se numeste dispersia dispersia valorilor valorilor (sau (sau variatiavariatia) esantionului (sau ) esantionului (sau populatiei). populatiei).

DEFINITIE: DEFINITIE: Numarul se numeste Numarul se numeste abaterea medieabaterea medie patratica. patratica.

PROPRIETATI ALE VARIATIEIPROPRIETATI ALE VARIATIEI

Prin calculul direct se arata usor ca Prin calculul direct se arata usor ca variatia are exprimarile.variatia are exprimarile.

Proiect realizat deProiect realizat de Lascu Mihai Cristian Lascu Mihai Cristian clasa a X-a Aclasa a X-a A