+ All Categories
Home > Documents > STATISTICA ECONOMICA

STATISTICA ECONOMICA

Date post: 24-Jun-2015
Category:
Upload: silviu-florea
View: 1,851 times
Download: 12 times
Share this document with a friend
98
Conf. Univ. Dr. Nicolae Mihailescu STATISTICA
Transcript

Conf. Univ. Dr. Nicolae Mihailescu

STATISTICA

2

Cuprins Statistica – stiinta si metodologie de cercetare a fenomenelor social-economice

- Obiectul si metoda statisticii - Concepte de baza folosite de statistica - Cercetarea statistica - Tipuri de erori care pot apare într-o cercetare statistica

Gruparea datelor statistice Seriile statistice Marimile relative Marimile medii

- Marimi medii de pozitie (mediana si modulul) - Media în cazul caracteristicii alternative

Indicatorii gradului de variabilitate - Dispersia în cazul caracteristicii alternative - Felurile dispersiilor

Indicatorii asimetriei si boltirii (aplatizarii) seriilor de repartitie Indicatorii gradului de concentrare / diversificare Prezentarea datelor statistice sub forma reprezentarilor grafice Studiul statistic al corelatiilor dintre fenomene

- Metode statistico-matematice de analiza a corelatiilor dintre fenomene - Metode de analiza a corelatiei rangurilor

Indicii statistici - Indicii de grup medii armonici - Indicii de grup medii aritmetici - Indicii de grup calculati ca raport între marimi medii - Indicii teritoriali

Analiza statistica a seriilor dinamice - Sistemul de indicatori ai seriilor dinamice - Ajustarea seriilor dinamice

Cercetarea statistica prin sondaj - Erorile în cercetarea statistica prin sondaj - Procedee de sondaj - Felurile esantioanelor

3

Statistica – stiinta si metodologie de cercetare a fenomenelor social-economice

Obiectul si metoda statisticii

Statistica studiaza, pe baza expresiei cantitative a fenomenelor social-economice de masa, legitatile dezvoltarii sociale, în conditii concrete de loc si timp, în strânsa interdependenta cu continutul lor calitativ. Teoria probabilitatilor este fundamentata pe aceasta stabilitate statistica a fenomenelor de masa care este cunoscuta sub denumirea de legitate statistica.

Se precizeaza ca o legitate statistica este un adevar constatat experimental si în aceste conditii nu se poate demonstra.

Concepte de baza folosite de statistica

Populatia statistica reprezinta ansamblul elementelor care au una sau mai multe caracteristici comune, cu o existenta obiectiva si localizata clar în timp si spatiu Unitatea de observare statistica este elementul component al populatiei statistice la care se particularizeaza nivelul individual al caracteristicilor statistice. Unitatile statistice au o forma de existenta care poate fi simpla sau complexa. Unitatile simple sunt reprezentate printr-un singur element structural obiectiv, cum ar fi de exemplu persoana, produsul, piesa etc., în timp ce unitatile complexe sunt formate din mai multe unitati simple, ca de exemplu: familia, întreprinderea etc.. Caracteristica statistica este acea însusire comuna tuturor unitatilor populatiei statistice supusa cercetarii ale carei valori difera de la o unitate statistica la alta sau de la un grup de unitati la altul. Caracteristicile statistice pot fi clasificate în functie de mai multe criterii, astfel: - dupa continutul caracteristicilor, - numerice sau cantitative

- exprimate prin cuvinte (legate de natura unitatilor statistice) - de spatiu (exprima particularitatea unitatilor statistice de a exista într-un

anumit punct al spatiului) - de timp (exprima particularitatea unitatilor statistice de a fi aparut la un

anumit moment sau de a fi existat un anumit interval de timp) - dupa modul de prezentare al caracteristicilor numerice,

- pe variante (discreta sau prezentare în numere întregi) - pe intervale (continua) - dupa modul în care se manifesta,

- forma alternativa (caracteristica cu doua variante de manifestare) - forma nealternativa (caracteristica cu mai mult de doua variante de

manifestare) Varianta este nivelul individual al caracteristicii statisticii asociat unei unitati statistice sau unui grup de unitati.

4

Frecventa este numarul de unitati statistice la care se înregistreaza o varianta a caracteristicii. Indicatorul statistic este expresia numerica a unei determinari calitative obiective rezultata în urma unei cercetari statistice. Forma indicatorilor statistice depinde de gradul de prelucrare la care au fost supuse datele initiale, astfel: - indicatori absoluti - indicatori relativi - indicatori medii

Legea numerelor mari are: - o forma generala de manifestare prin caracterul real al legitatilor statistice si

respectiv, - o forma specifica care este exprimata printr-un grup de teoreme ale teoriei probabilitatilor: - Inegalitatea lui Cebâsev - Teorema lui Cebâsev - Teorema lui Bernoulli - Teorema lui Poisson

Cercetarea statistica

Cercetarea statistica este un proces de cunoastere a fenomenelor de masa, realizat cu ajutorul metodelor statistice. Efectuarea unei cercetari statistice implica parcurgerea urmatoarelor etape:

- Observarea statistica - Prelucrarea datelor obtinute prin observare - Interpretarea rezultatelor

Observarea statistica este etapa în care are loc înregistrarea datelor primare. Observarea se desfasoara conform unei metodologii care se aplica în mod identic la toate unitatile statistice de la care se culeg date. Procedeele operationale prin care se realizeaza observarea statistica sunt: - observarea pe baza de documente care au fost elaborate de sistemul informational contabil, de evidenta tehnic-operativa sau de alte sisteme de evidenta, - observarea directa a unitatilor care compun colectivitatea statistica, prin:

- masurare, cântarire etc., - interviu, - aplicarea unui chestionar.

Observarea statistica poate fi desfasurata în mai multe variante de lucru în functie de criteriul la care ne referim, astfel: - dupa modul de cuprindere în cercetare a unitatilor statistice,

- observari totale: recensamintele, sistemul raportarilor statistice obligatorii - obsevari partiale: cercetarea statistica prin sondaj, ancheta statistica,

monografia - dupa periodicitatea organizarii observarii - observari curente

5

- observari periodice - observari unice

Prelucrarea datelor obtinute prin observare este etapa în care se desfasoara operatiuni de grupare, de centralizare (totalizare), de calcul a indicatorilor derivati (sintetici si analitici) precum si de afisare a rezultatelor sub forma tabelelor si reprezentarilor grafice. Prelucrarea datelor se efectueaza cu ajutorul unor procedee metodologice compatibile cu scopul cercetarii si cu particularitatile colectivitatii cercetate.

Interpretarea rezultatelor este etapa în care se formuleaza concluzii cu privire la starea colectivitatii statistice cercetate. Rezultatele obtinute în urma prelucrarilor efectuate sunt supuse unui proces calitativ de extragere a acelor informatii cu caracter esential care prezinta utilitate practica, confirma sau infirma ipoteze, fundamenteaza eventuale actiuni care vor fi întreprinse în viitor, orienteaza decizia economica pe un teren al cunoasterii stiintifice etc.

Tipuri de erori care pot apare într-o cercetare statistica

Rezultatele cercetarilor statistice pot fi deformate, într-o masura mai mare sau mai

mica, de unele erori a caror aparitie este cauzata atât de factori obiectivi cât si de factori subiectivi.

Dupa locul aparitiei, erorile care pot afecta rezultatele cercetarilor statistice, sunt: - erori de înregistrare sau de observare - erori de reprezentativitate - erori de prelucrare sau de calcul - erori de interpretare - erori de metoda sau de metodologie a cercetarii

Erorile de înregistrare pot apare la orice tip de observare statistica si sunt la rândul lor de doua feluri: - erori întâmplatoare - erori sistematice Erorile de reprezentativitate sunt specifice cercetarilor statistice prin sondaj si pot îmbraca, de asemenea, doua forme: - erori întâmplatoare - erori sistematice

Gruparea datelor statistice

Gruparea datelor statistice este o operatiune de sistematizare a prezentarii materialului statistic obtinut prin observare care consta în separarea colectivitatii cercetate în grupe omogene de unitati dupa variatia uneia sau mai multor caracteristici din programul observarii. Realizarea unei grupari utile pentru îndeplinirea scopului cercetarii statistice impune cu necesitate sa fie respectate urmatoarele conditii: - alegerea caracteristicii sau caracteristicilor care vor sta la baza efectuarii operatiunii de grupare în strânsa legatura cu obiectivele de cunoastere si respectiv cu particularitatile sau specificul colectivitatii supuse cercetarii. Cea mai potrivita caracteristica de grupare este

6

aceea care este în strânsa interdependenta cu esenta fenomenului studiat si, în consecinta, permite identificarea tipurilor calitative care exista în cadrul colectivitatii; - în cazul caracteristicilor de grupare numerice se stabileste sau se calculeaza marimea intervalului de grupare si respectiv numarul de grupe care vor fi constituite, astfel încât sa se obtina cea mai buna forma de distribuire a unitatilor statistice pe grupe; - toate operatiunile de natura metodologica, implicate cu efectuarea unei grupari a datelor statistice, trebuie sa fie subordonate atingerii obiectivelor gruparii, si anume: a - cunoasterea structurii colectivitatii statistice si respectiv a tipurilor

calitative existente în colectivitate la un anumit moment sau într-o anumita perioada de timp,

b - cunoasterea modificarilor de natura structurala, care s-au produs de la un segment de timp la altul,

c - identificarea unor posibile corelatii care se formeaza între caracteristicile utilizate la grupare, forma si directia acestor corelatii si, într-o anumita masura, obtinerea unei informatii orientative privind intensitatea corelatiei.

Efectuarea unei grupari a datelor statistice, dupa o caracteristica exprimata numeric, implica parcurgerea unor etape de lucru, dupa cum urmeaza: 1 - se calculeaza amplitudinea variatiei, respectiv se cuantifica diferenta dintre valoarea (varianta) cea mai mare a caracteristicii si valoarea (varianta) cea mai mica, ( )minmax xxA −= ; 2 - în functie de marimea amplitudinii variatiei, se stabileste numarul de grupe în care va fi împartita colectivitatea. În aceasta etapa de lucru se opteaza, de regula, pentru constituirea unui numar mai mare de grupe comparativ cu numarul care se presupune ca este necesar pentru a cunoaste structura si respectiv tipurile calitative existente în colectivitate. Aceasta operatiune este legata în mod strict de logica persoanei care realizeaza gruparea; 3 - se calculeaza marimea (lungimea) intervalului de grupare prin raportarea amplitudinii variatiei la numarul de grupe convenit a fi constituite. Daca se considera necesar, pentru a calcula marimea intervalului, se poate folosi formula propusa de Sturges,

nlog3,3221xx

nlog1xx

i10

minmax

2

minmax

⋅+−

=+

−=

4 - se scriu intervalele de grupare astfel încât sa se foloseasca ca limite inferioare si superioare, “numere rotunde”; 5 - se repartizeaza unitatile statistice pe intervalele de grupare stabilite. Aceasta este o etapa intermediara de lucru care ofera o prima forma de sistematizare a materialului statistic pe grupe si în continuare, sa permita, daca se considera necesar, efectuarea unei regrupari prin asocierea a doua sau mai multor intervale de grupare; 6 - se procedeaza la efectuarea unor regrupari, eventual în mai multe variante, pentru a avea posibilitatea formularii celei mai bune decizii de alegere a gruparii care ofera solutia considerata optima, în vederea caracterizarii colectivitatii statistice cercetate sau pentru efectuarea unor prelucrari ulterioare. Regruparea poate fi efectuata fie pe intervale de marimi egale fie pe intervale de marimi neegale dupa cum se considera ca acestea raspund mai bine scopului propus.

7

Felurile gruparilor

Gruparile pot fi prezentate în mai multe variante constructive în functie de un anumit criteriu, astfel: a) dupa numarul caracteristicilor folosite la grupare, - grupari simple, când gruparile sunt efectuate dupa o singura caracteristica,

- grupari combinate când se folosesc doua sau mai multe caracteristici pentru sistematizarea pe grupe a materialului statistic. Este necesar sa se precizeze ca se opteaza, de regula, pentru un numar de maximum 4 caracteristici de grupare. În cazul folosirii unui numar mai mare de 4 caracteristici se ajunge la o pulverizare a informatiilor statistice si în consecinta la îngreunarea înterpretarii din punct de vedere structural a colectivitatii statistice;

b) dupa tipul caracteristicii de grupare, - grupari efectuate dupa o caracteristica de spatiu - grupari efectuate dupa o caracteristica de timp - grupari efectuate dupa o caracteristica numerica - grupari efectuate dupa o caracteristica exprimata prin cuvinte c) dupa variatia caracteristicii de grupare numerica,

- grupari efectuate pe variante ale caracteristicii (atunci când caracteristica de grupare este de forma discreta - se exprima în numere întregi - si are o variatie redusa, sau prezinta un numar relativ mic de variante) - grupari efectuate pe intervale de grupare (de marimi egale sau neegale). Aceste grupari pot fi formate atât în cazul caracteristicilor discrete cât al celor de forma continua.

Seriile statistice

Seria statistica este un sir de valori ale unei caracteristici ordonate în functie de sirul

valorilor unei alte caracteristici sau dupa un anumit principiu, cum ar fi ordinea alfabetica, ordinea de marime sau rangul unitatii statistice etc..

Seriile statistice pot fi de mai multe feluri în functie de tipul caracteristicii de grupare sau de forma practica de prezentare a datelor, astfel:

1 - serii simple enumerative - sunt seriile care prezinta o simpla însiruire a datelor. De exemplu, însiruirea notelor obtinute la examenele sustinute de un student la finele unui an de studii universitare.

2 - serii de spatiu sau teritoriale - prezinta volumului colectivitatii statistice sau nivelul unei caracteristici statistice în raport cu tipologia teritoriala în care exista unitatile statistice. De exemplu, repartizarea numarului locuitorilor pe judete care a existat, în tara noastra, la o anumita data calendaristica.

3 - serii dinamice, cronologice sau de timp - sunt siruri de date statistice care prezinta schimbarea marimii unor indicatori statistici în raport cu timpul. Seriile dinamice pot fi de doua feluri:

- de intervale de timp, cînd indicatorii prezentati în serie dinamica au ca perioada de formare întreg segmentul de timp le care se refera. De exemlu, dinamica cifrei de afaceri obtinuta anual de un agent economic într-o perioada de cinci ani;

8

- de momente, cînd indicatorii prezentati în serie dinamica se refera la numarul unitatilor sau marimea caracteristicii statistice înregistrata la o anumita data calendaristica. De exemplu, dinamica stocurilor de marfuri existente într-un magazin la data de întâi a fiecarei luni, pe durata unei anumite perioade de timp (trimestru, semestru, an). 4 - serii de repartitie, de variatie sau de distributie – se prezinta sub forma unor date

paralele cu referire la o caracteristica statistica de grupare numerica sau cantitativa si numarul unitatilor colectivitatii statistic care revin pe variante ale caracteristicii sau pe intervale de grupare. De exemplu, seria numarului salariatilor care îsi desfasoara activitatea în cadrul unei firme comerciale, grupati dupa marimea salariului mediu lunar.

Marimile relative Marimile relative sunt indicatori derivati calculati ca raport între doua marimi absolute, doua marimi medii sau alte doua marimi relative. Rezultatul obtinut este o expresie numerica care arata câte unitati din indicatorul raportat revin la o unitate a indicatorului baza de raportare. Formele de exprimare a marimilor relative depind de natura fenomenelor studiate si de raportul de marime existent între indicatorii care se compara, si anume: - forma de coeficient – este un rezultat exprimat de un numar zecimal sau de un numar întreg care arata câte unitati zecimale sau întregi din indicatorul raportat revin la o unitate din indicatorul baza de raportare; - forma de fractie – arata cîte parti reprezinta marimea indicatorului raportat la o parte a indicatorului baza de raportare; - forma de procent – când rezultatul prezentat în forma de coeficient este amplificat cu 100 si arata câte unitati din indicatorul raportat revin la 100 de unitati ale indicatorului baza de raportare; - forma de promila – când rezultatul prezentat în forma de coeficient este amplificat cu 1000 si arata câte unitati din indicatorul raportat revin la 1000 de unitati ale indicatorului baza de raportare;

- forma de prodecimila – când rezultatul prezentat în forma de coeficient este amplificat cu 10.000 si arata câte unitati din indicatorul raportat revin la 10.000 de unitati ale indicatorului baza de raportare; - forma de procentimila – când rezultatul prezentat în forma de coeficient este amplificat cu 100.000 si arata câte unitati din indicatorul raportat revin la 100.000 de unitati ale indicatorului baza de raportare;

Cu ajutorul marimilor relative pot fi caracterizate urmatoarele aspecte: - structura fenomenelor sau a colectivitatilor, prin raportarea indicatorilor exprimati în marimi absolute privind volumul fiecarei grupe la indicatorul care dimensioneaza volumul total al colectivitatii (marimi relative de structura), astfel:

statistice atiicolectivit al totalVolumulgrupei Volumul

M.r.s. =

9

- intensitatea fenomenelor, prin raportarea nivelului a doua fenomene diferite între care exista o anumita legatura, rezultatul are în acest caz o semnificatie distincta si un continut de nivel mediu. De exemplu, valoarea medie a productiei sau a cifrei de afaceri realizata de un salariat într-o zi, pe parcursul unei luni, sau într-un an, valoarea mijloacelor fixe care revine în medie la un salariat, cheltuielile efectuate pentru 1000 lei productie etc. (marimi relative de intensitate). Se mentioneaza, în acest sens, ca toti indicatorii care exprima aspecte ale performantei financiare si respectiv ale eficientei economice atinse de un agent economic fac parte din categoria marimilor relative de intensitate si prezinta o larga utilizare în analizele economico-financiare efectuate de factorii de decizie. Marimile relative de intensitate (M.r.i.) se calculeaza astfel:

raportare de baza ifenomenulu Nivelulraportat ifenomenulu Nivelul

M.r.i. =

- dinamica fenomenelor, în care caz, marimea relativa calculata exprima modificarea unui indicator statistic, de la un segment de timp la altul (marimi relative de dinamica). Marimile relative de dinamica (M.r.d.) se calculeaza dupa formula:

baza de perioadaîn realizat Nivelulcalcul de perioadaîn realizat indicator unui Nivelul

M.r.d. =

- îndeplinirea indicatorilor programati, prin raportarea indicatorului realizat la nivelul programat al aceluiasi tip de indicator, aferenti unei perioade de timp date (marimi relative de îndeplinire a indicatorilor programati). Pentru calculul acestor marimi relative se foloseste urmatoarea relatie:

planificatsau programat lIndicatorurealizat lIndicatoru

M.r.î.p. =

- marimea relativa a sarcinii programate de modificare a indicatorului analizat (marimi relative ale sarcinii programate de crestere sau de scadere a indicatorilor analizati). Formula de calcul este urmatoarea:

precedenta timpde perioadaîn realizat lIndicatoru timpde perioada opentru programat lIndicatoru

M.r.s.p. =

- raportul de marime dintre doua grupe ale aceleiasi colectivitati (marimi relative de coordonare). - raportul de marime dintre doi indicatori de acelasi fel, coexistenti în timp dar situati în spatii diferite (marimi relative de coordonare teritoriala). Tipurile de marimi relative prezentate ofera o informatie analitica asupra fenomenului studiat sau a agentului economic în ansamblul sau, pe baza careia este posibil sa se formuleze aprecieri suficient de consistente cu privire la starea economico-financiara a acestuia.

10

Marimile medii Mediile sunt, de asemenea, indicatori derivati dar care exprima ceea ce este tipic, comun si general în configuratia fenomenelor, exprima într-o maniera abstracta tendinta centrala de grupare a nivelurilor individuale catre un nivel de sinteza denumit marime medie. Media poate substitui nivelurile individuale pe care le sintetizeaza deoarece este o valoare mai mult sau mai putin reprezentativa în functie de gradul de omogenitate al colectivitatii supuse cercetarii. Modul de organizare al sistemului de date statistice pentru care dorim sa calculam media determina optiunea de aplicare a unei anumite forme de medie. Se cunosc si se aplica mai multe tipuri de medii, dintre care cele mai utilizate sunt: media aritmetica, media armonica, media patratica, media cronologica si media geometrica. Media aritmetica se utilizeaza la calculul nivelului mediu al unor indicatori prezentati în serie dinamica de intervale de timp, la calculul nivelului mediu al seriilor statistice de variatie, al seriilor simple enumerative, precum si în cazul seriilor teritoriale comparabile. De exemplu, se recurge la forma mediei aritmetice atunci când dorim sa calculam categoria medie de încadrare tarifara a unor salariati, productia medie sau cifra de afaceri realizata în medie pe un segment de timp dintr-o anumita perioada etc. Daca frecventele variantelor din seria statistica studiata sunt egale între ele, se foloseste formula mediei aritmetice simple,

( )nx

xxM iΣ== , iar daca frecventele variantelor nu sunt egale între ele, se aplica

media aritmetica ponderata,

i

ii

n nx

x M(x)Σ

Σ== , în care notatiile utilizate au urmatoarele semnificatii:

M(x) sau x - valoarea medie a caracteristicii studiate “x”, xi- varianta “i” a caracteristicii statistice pentru care se calculeaza media, i = 1, 2, 3, ... , n , ni- frecventa variantei “i” a caracteristicii statistice studiate, n - numarul variantelor caracteristicii statistice atunci când se foloseste media aritmetica simpla. Proprietatile mediei aritmetice: Media aritmetica are mai multe proprietati operationale care prin cunoasterea si aplicarea lor se poate verifica atât exactitatea calculelor cât si posibilitatea obtinerii valorii medii printr-un calcul simplificat. Aceste proprietati sunt: 1. Media aritmetica se pozitioneaza ca marime între valoarea minima si maxima a caracteristicii studiate,

maxmin xxx <<

11

2. Suma algebrica a abaterilor va riantelor caracteristicii de la valoarea medie este egala cu zero,

( ) 0xxS i =− , pentru seriile statistice cu frecvente egale, ( ) 0nxxS ii =⋅− , pentru seriile statistice cu frecvente neegale

3. Daca fiecare varianta a caracteristicii studiate (xi) se mareste sau se micsoreaza cu

o constanta (a), valoarea medie a caracteristicii se modifica cu constanta respectiva, ( )

naxS

ax i ±=± , pentru seriile statistice cu frecvente egale,

( )i

ii

SnnaxS

ax⋅±

=± , pentru seriile statistice cu frecvente neegale

4. Daca fiecare varianta a caracteristicii studiate (xi) se mareste sau se micsoreaza de

un anumit numar de ori (k) valoarea medie a caracteristicii se modifica cu numarul de ori exprimat de constanta respectiva. În cazul seriile statistice cu frecvente neegale pot fi scrise urmatoarele relatii:

( )i

ii

SnnkxS

kx⋅⋅

=⋅

i

ii

Sn

nkx

S

kx

=

5. Daca valoarea medie se calculeaza pe baza frecventelor relative (nri), valoarea

medie nu se modifica,

i

iiii Sn

nnr careîn ,nrSxx =⋅=

În acest sens se mentioneaza, de asemenea ca, daca frecventele (ponderile) variantelor caracteristicii studiate se modifica în aceeasi proportie, respectiv se majoreaza sau se micsoreaza de “c” ori, (“c” fiind o constanta oarecare), media caracteristicii nu se modifica.

Pornind de la proprietatile prezentate, în anumite conditii, prin îmbinarea acestora se

ajunge la o relatie de calcul simplificat a valorii medii si anume,

aknk

axS

x

i

+⋅⋅

= , pentru seriile statistice cu frecvente egale,

akSn

nk

axS

xi

ii

+⋅⋅

= , pentru seriile statistice cu frecvente neegale

Aceste relatii ofera în mod efectiv avantajul simplificarii calculelor numai daca sunt îndeplinite urmatoarele conditii:

12

- seria de variatie este constituita pe intervale egale de grupare, - constantei “a” i se acorda ca valoare mijlocul intervalului care detine frecventa cea mai mare, - constantei “k” i se acorda ca valoare marimea intervalului de grupare. Exemplul 1. Cele 30 de apartamente ale unui bloc de locuinte se repartizeaza dupa valoarea consumului de energie electrica înregistrat în luna aprilie, astfel:

Tabelul 1 Consumul de energie electrica din luna aprilie

Grupe de apartamente dupa consumul de energie electrica ($)

Numarul aparta-

men- telor (ni)

Mijlocul

interva-lului (xi)

Consumul

total de energie electrica

(xini) 0,5k7,25a

kax i

==

ii nk

ax⋅

Frecvente relative

(nri)

i

ii Sn

nnr =

pâna la 6,5

5 6,25 31,25 -2 -10 0,17

6,5-7,0 7 6,75 47,25 -1 -7 0,23 7,0-7,5 10 7,25 72,50 0 0 0,33 7,5-8,0 6 7,75 46,50 +1 6 0,20 peste 8,0 2 8,25 16,50 +2 4 0,07 Total 30 - 214,00 - -7 1,00

Nota: - Limita inferioara a intervalului de grupare este inclusa în interval. - Mijlocul intervalului de grupare se obtine prin raportarea la 2 a sumei celor doua limite înscrise la fiecare interva l (semisuma limitelor intervalului). - În cazul intervalelor deschise (lipseste una din limite), pentru a putea calcula mijlocul intervalului, acestora li se completeaza limita care nu este definita, astfel: - în cazul primului interval: se calculeaza marimea intervalului urmator si se extinde marimea acestuia si la primul interval. Prin urmare primul interval va avea ca limite, 6,0 si 6,5, - în cazul ultimului interval: se calculeaza marimea intervalului precedent si se extinde marimea acestuia si la intervalul urmator. În urma acestui calcul ultimul interval va fi dimensionat astfel: 8,0-8,5.

Consumul mediu de energie electrica care revine la un apartament este,

$ 13,730214

n nx

xi

ii ==Σ

Σ= sau,

$ 13,725,75,030

7ak

Sn

nk

axS

xi

ii

=+⋅−

=+⋅⋅

= ,

sau, daca se folosesc frecventele relative se poate scrie urmatoarea relatie de calcul a valorii medii,

$ 13,707,025,820,075,733,025,723,075,617,025,6frSxx ii =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==

13

Media armonica este o forma transformata a mediei aritmetice (simple sau ponderate) si se utilizeaza atunci când ne propunem sa calculam o valoare medie din marimi relative, cunoscând marimile relative individuale si numaratorii rapoartelor pe baza carora au fost calculate. Utilizari adecvate ale acestei forme de medie sunt: la calculul indicelui mediu al preturilor de consum; pentru determinarea nivelului mediu al mai multor marimi relative de intensitate de acelasi tip, dar numai în conditiile în care se cunosc nivelurile individuale ale marimilor relative si numaratorii rapoartelor pe baza carora au fost calculate. Formula de calcul a mediei armonice simple se aplica atunci când numaratorii rapoartelor pe baza carora au fost calculate marimile relative individuale sunt egali ca marime între ei,

( )∑

==

ix1

nxxMa ,

unde “n” este numarul marimilor relative, iar “xi” reprezinta marimile relative individuale. În timp ce media armonica ponderata se utilizeaza atunci când numaratorii rapoartelor pe baza carora au fost calculate marimile relative individuale nu sunt egali ca marime între ei,

( )∑∑==

iii

ii

nxx1

nxxxMa

În cazul mediei armonice ponderate, se foloseste o pondere compusa, “ iinx ” echivalenta cu numaratorii rapoartelor pe baza carora au fost calculate marimile relative individuale.

Exemplul 2. În patru puncte comerciale dintr-o piata agro-alimentara s-au înregistrat în ziua de 1 octombrie urmatoarele date statistice privind vânzarile de cartofi:

Tabelul 2 Vânzarile de cartofi înregistrate la data de 1 octombrie

Punctul comercial

Sumele încasate din vânzarea

cartofilor (lei) -xini-

Pretul de vânzare cu amanuntul

(lei/kg.) -xi-

i

ii

xnx

A 675.000 2.500 270 B 420.000 2.400 175 C 655.500 2.300 285 D 500.000 2.000 250

Total 2.250.500 980 Sa se determine pretul mediu de vânzare, al unui kilogram de cartofi, înregistrat la

cei patru comercianti, în data de 1 octombrie.

14

lei/kg 4,296.2

000.2000.500

300.2500.655

400.2000.420

500.2000.675

000.500500.655000.420000.675

nxx1

nxx

iii

ii =+++

+++==

∑∑

Se mentioneaza ca între media aritmetica si media armonica nu este nici-o deosebire de continut, ambele reflectând nivelul mediu al caracteristicii studiate, dar calculul acesteia din urma se adopta în functie de modul în care sunt prezentate datele statistice initiale.

Media patratica se utilizeaza la calculul indicatorilor care exprima în mod sintetic gradul de variabilitate al caracteristicilor statistice. Daca frecventele variantelor caracteristicii din seria statistica studiata sunt egale între ele, se foloseste formula mediei patratice simple,

( )n

SxxxMp

2i== ,

iar daca frecventele variantelor nu sunt egale între ele, se aplica media patratica ponderata,

( )i

i2i

SnnSx

xxMp ==

Media cronologica are semnificatia unei medii aritmetice din medii partiale si se utilizeaza la calculul nivelului mediu al indicatorilor prezentati sub forma seriilor dinamice de momente. Aceasta medie se foloseste la calculul valorii medii a activelor circulante, a stocurilor de orice natura dar în special pentru materii prime, materiale si marfuri, a imobilizarilor corporale si respectiv a mijloacelor fixe, precum si la calculul efectivelor medii de animale. Daca intervalele de timp, dintre oricare doua momente succesive ale seriei dinamice, sunt egale între ele se foloseste formula mediei cronologice simple, adica,

1-n

2x

x...xxx2x

xMc

n1-n432

1 ++++++==

si respectiv, daca nu sunt egale între ele, se recurge la formula mediei cronologice ponderate,

m321

mn1-n

343

232

121

t...ttt

t2

xx...t

2xx

t2

xxt

2xx

xMc++++

+++

++

++

+

==

în care, Mc - nivelul mediu al indicatorilor prezentati în serie dinamica, calculat cu media cronologica,

xi - indicatorii de nivel ai seriei dinamice, i = 1, 2, 3, ... , n, n - numarul indicatorilor de nivel sau numarul momentelor de timp la care sunt înregistrati indicatorii,

15

tj - durata intervalului de timp “j”, dintre doua momente succesive la care sunt înregistrati indicatorii de nivel, exprimata în zile, luni sau ani, j = 1, 2, 3, ... , m ; m = n-1. Suma duratelor succesive tj va fi egala cu durata întregii perioade exprimata de seria dinamica analizata.

Media geometrica are aplicabilitate în domeniul economic, în special când se calculeaza indicele mediu anual de crestere (scadere) - ” Im ” - a unui indicator, într-o anumita perioada de timp. Aceasta forma de medie conduce la un rezultat real numai atunci când seria dinamica, pentru care dorim sa determinam nivelul mediu al modificarii relative, prezinta o anumita constanta a cresterii sau scaderii indicatorului formalizat în serie dinamica. Relatia de calcul a mediei geometrice simple este urmatoarea:

1

1

1

13

4

2

3

1

2−−

=⋅⋅⋅⋅== nn

n

n

n

xx

xx

...xx

xx

xx

MgIm , în care:

- Mg este notatia pentru valoarea medie obtinuta cu ajutorul mediei geometrice, - n - numarul indicatorilor de nivel înscrisi în serie dinamica, - ix - varianta “i” a indicatorului de nivel,

- 1x si nx - primul si respectiv ultimul indicator de nivel al seriei dinamice. Daca fenomenul studiat este marcat de oscilatii pronuntate cu caracter conjunctural, de la un segment de timp la altul, utilizarea procedeului clasic al mediei geometrice, simpla sau ponderata, dupa caz, poate conduce la un rezultat neconform cu realitatea, deoarece se bazeaza numai pe indicatorul initial si final din seria dinamica respectiva. În aceste situatii se recomanda calculul indicelui mediu anual de crestere (scadere) prin folosirea procedeului mediei geometrice corectate sau a procedeului autoregresiei care iau în calcul toti indicatorii de nivel cuprinsi în seria dinamica analizata. Media geometrica corectata (

cMg ) este o forma a mediei geometrice ponderate calculata din medii geometrice secventiale sau partiale (

iMg ), determinate astfel: - prima medie geometrica (

1Mg ) este o medie geometrica simpla , care se refera la întreaga serie dinamica supusa prelucrarii, - a doua medie geometrica (

2Mg ) este tot o medie geometrica simpla dar care se bazeaza pe n-2 indicatori de nivel, fiind eliminati din calcul primul si ultimul indicator din serie, notatia “n” este acordata numarului total de indicatori de nivel înscrisi în serie dinamica, - a treia medie geometrica (

3Mg ) se determina prin luarea în consideratie a unui numar de n-4 indicatori de nivel, se elimina astfel din calcul primii doi si ultimii doi indicatori de nivel din serie, - se continua modalitatea de calcul a mediilor geometrice secventiale (partiale) pâna se epuizeaza toate posibilitatile.

16

Daca seria dinamica respectiva este formata dintr-un numar impar de indicatori, indicatorul din mijlocul seriei nu va fi luat în calcul la nici-o varianta a mediei geometrice secventiale. Ponderea fiecarei medii geometrice secventiale este reprezentata prin numarul unitatilor (segmentelor) de timp la care se refera media, adica f1= n-1 pentru prima medie, f2= n-3 pentru media a doua, f3= n-5 pentru media a treia, s.a.m.d. Relatia de calcul a mediei geometrice corectate este urmatoarea:

∑ ⋅⋅⋅⋅⋅== i 4321f f

4f3

f2

f1c MgMgMgMgMgIm mf

mMg... în care, mf...+++++=∑ 4321i fffff m - numarul mediilor geometrice secventiale Procedeul autoregresiei se bazeaza pe calculul indicelui mediu anual de crestere (scadere) din ecuatia care se obtine prin minimizarea urmatoarei expresii:

( ) minimS =∑ −⋅==

2

21

n

iii xImx

Egalând cu zero derivata acestei sume calculata în raport cu Im rezulta ecuatia,

( ) ∑∑ ⋅=⋅ 1-ii2

1-i xxImx , din care se extrage Im ,

( )∑∑ ⋅

=2

1-i

1-ii

x

xxIm

Daca indicele mediu este exprimat procentual si apoi se micsoreaza cu 100 se obtine ritmul mediu anual de crestere sau de scadere ( )Rm , ca o expresie derivata a marimii medii care caracterizeaza modificarea medie în timp a unui fenomen,

100-100ImRm ⋅= Marimi medii de pozitie (mediana si modulul) Daca se considera necesar, pentru aprecierea nivelului mediu al unei caracteristici

statistice se poate folosi, mediana sau modulul, ca valori tipice de pozitie, deoarece acestea ocupa un anumit loc cu semnificatie medie în cadrul unei serii de valori.

Mediana (XMe) este varianta caracteristicii care ocupa locul central în seria de date statistice care au fost ordonate crescator sau descrescator.

Pozitia ocupata de mediana în cadrul unei serii de repartitie prezentata ca o însiruire de variante se calculeaza asfel:

21n

Me+

=

Daca seria are un numar impar de valori, XMe, va fi varianta centrala localizata prin calculul locului medianei (Me).

17

Daca seria are un numar par de valori, XMe, va fi rezultatul mediei aritmetice simple efectuata din cele doua variante centrale.

În cazul seriilor de repartitie în care datele statistice sunt prezentate sub forma unor grupari pe intervale de grupare, calculul valorii mediane se realizeaza pe baza formulei:

fm

fcp2

1Sn

dxX

i

0Me

−+

⋅+= , în care,

0x este limita inferioara a intervalului median, d este marimea intervalului median, obtinuta ca diferenta între limita superioara si

limita inferioara a intervalului median,

21Sn i +

este locul sau, numarul de ordine pe care îl ocupa valoarea mediana si pe

baza caruia se stabileste intervalul median, fcp este suma frecventelor tuturor intervalelor precedente, constituite pâna la

intervalul în care se gaseste valoarea mediana, fm este frecventa intervalului în care se pozitioneaza valoarea mediana. Quartilele sunt acele valori ale caracteristicii statistice care împart o serie de

repartitie în patru zone egale, din punct de vedere al numarului unitatilor care formeaza o colectivitate. Aceasta procedura este folosita atunci când numarul unitatilor statistice este suficient de mare si se considera necesar sa se constituie patru grupe egale care sa se caracterizeze printr-un anumit grad de omogenitate. Calculul quartilelor se bazeaza pe aceeasi logica metodologica folosita la calculul medianei, dar tinând seama de locul ocupat de quartila respectiva. Quartila 2 (Q2) este identica cu valoarea mediana iar quartila 1 (Q1) si respectiv quartila 3 (Q3) se calculeaza astfel:

( )1

1

1Q

)(Qi

Q01 f

fcp4

1Sn

dxQ−

+

⋅+=

( )

( )

3

3

3Q

)(Qi

Q03 f

fcp1Sn43

dxQ−+⋅

⋅+=

Decilele. În unele cazuri, în procesul de prelucrare al datelor statistice, se opteaza

pentru calculul decilelor care sunt valori ale caracteristicii ce împart seria statistica în zece parti egale. Decila a cincea este egala cu valoarea mediana, iar calculul celorlalte decile tine seama de pozitia acesteia în cadrul seriei de valori ale caracteristicii. Decilele se calculeaza, de regula când amplitudinea variatiei este mai mare, astfel:

( )1

1

1D

)(Di

D01 f

fcp10

1Sn

dxD−

+

⋅+= ..... ( )

( )

9

9

9D

)(Di

D09 f

fcp1Sn109

dxD−+⋅

⋅+=

18

Modulul (XMo) reprezinta acea varianta a caracteristicii care are cea mai mare frecventa, sau, cu alte cuvinte, varianta care este înregistrata de cele mai multe unitati ale colectivitatii statistice.

Daca dispunem de o serie de repartitie în care datele statistice sunt prezentate sub forma unei grupari pe intervale de grupare, calculul valorii modale se realizeaza pe baza formulei:

21

10Mo dxX

∆+∆∆

⋅+= , în care,

0x este limita inferioara a intervalului modal. Intervalul modal este intervalul care are frecventa cea mai mare,

d este marimea intervalului modal, obtinuta ca diferenta între limita superioara si limita inferioara a intervalului modal,

1∆ este diferenta dintre frecventa intervalului modal si frecventa intervalului precedent,

2∆ este diferenta dintre frecventa intervalului modal si frecventa intervalului urmator.

Sunt si cazuri în care frecvente maxime identice se înregistreaza la doua sau mai

multe intervale de grupare sau la mai multe variante ale caracteristicii, în aceste situatii seriile de repartitie sunt denumite bimodale sau multimodale.

Exemplul 3. Daca folosim datele statistice utilizate la exemplul 1, valoarea madiana si respectiv

valoarea modala se calculeaza astfel: Grupe de apartamente dupa consumul de energie electrica ($)

Numarul apartamen

- telor (ni)

Marimea intervalulu

i (lim. sup.

-- lim. inf.)

Frecventele cumulate ascendent

6,0-6,5 5 0,5 5 6,5-7,0 7 0,5 12 7,0-7,5 10 0,5 22 7,5-8,0 6 0,5 28 8,0-8,5 2 0,5 30 Total 30 -

Locul valorii mediane:

15,52

1302

1SnMe i =

+=

+= , prin urmare mediana este valoarea medie a variantelor cu

numarul de ordine 15 si 16 care se pozitioneaza în intervalul, 7,0 - 7,5 (intervalul median).

19

$ 175,710

122

130

5,00,7fm

fcp2

1Sn

dxX

i

0Me =−

+

⋅+=−

+

⋅+=

Intervalul modal este intervalul, 7,0 – 7,5 la care se înregistreaza frecventa maxima (10).

( ) ( ) $ 214,7610710

7105,00,7dxX

21

10Mo =

−+−−

⋅+=∆+∆

∆⋅+=

Indicatorii gradului de variabilitate

Datele retinute în urma observarii difera de la o unitate statistica la alta, prin urmare

prezinta un anumit grad de variabilitate determinat de conditiile de dezvoltare specifice fenomenului studiat, de factorii care actioneaza asupra aparitiei si existentei fiecarei unitati.

Pentru caracterizarea unei colectivitati statistice din punct de vedere al împrastierii nivelurilor individuale se folosesc indicatori specifici cunoscuti sub denumirea de indicatorii variatiei.

Daca tinem seama de numarul variantelor caracteristicii care se compara pentru a obtine un indicator care masoara gradul de variabilitate se disting doua feluri de indicatori:

- indicatori simpli si - indicatori sintetici. 1. Indicatorii simpli ai variatiei caracterizeaza abaterea unei singure variante fata de

alta varianta sau fata de valoarea medie a caracteristicii. Acesti indicatori dimensioneaza, prin urmare, aspecte izolate ale gradului de variabilitate si pot fi calculati atât în expresie absoluta cât si în expresie relativa.

a) - Amplitudinea variatiei (A) masoara câmpul de împrastiere a valorilor caracteristicii si se obtine prin compararea variantei cu marimea cea mai mare sub care s-a înregistrat caracteristica cu varianta de valoare minima, astfel:

- amplitudinea absoluta: minmax xxA −=

- amplitudinea relativa: ( ) 100x

xx%A minmax ⋅

−=

b) - Abaterea fiecarei variante a caracteristicii de la valoarea medie

( i? ), - abaterea absoluta: n1,2,...,i ; xx? ii =−=

- abaterea relativa: ( ) 100x

xx%? i

i ⋅−

=

Acesti indicatori exprima masura în care fiecare varianta a caracteristicii se distanteaza de la valoare medie a tuturor variantelor. Pentru analiza prezinta interes, în mod deosebit, abaterea maxima negativa si respectiv abaterea maxima pozitiva care ofera si o informatie generala asupra împrastierii nivelurilor individuale în raport cu valoarea medie.

20

2. Indicatorii sintetici ai variatiei caracterizeaza abaterea medie a tuturor variantelor

caracteristicii de la media lor. a) - Abaterea medie liniara sau abaterea medie absoluta (d),

n

xxSd i −= , în cazul seriilor de repartitie cu frecvente egale

i

ii

Sn

nxxSd

⋅−= , în cazul seriilor de repartitie cu frecvente neegale

Abaterea medie liniara, prin modul ei de calcul, acorda aceeasi importanta tuturor abaterilor variantelor de la valoarea medie, indiferent de marimea abaterii, fapt ce poate influenta în mod negativ o corecta apreciere a gradului de reprezentativitate a valorii medii. Din acest motiv, pentru aprofundarea analizei seriilor statistice se recomanda sa se utilizeze si alti indicatori sintetici cu rol de medie a nivelului de variabilitate. b) - Dispersia ( )2

xs Dispersia caracteristicii ofera o marime cifrica cu caracter abstract a gradului de variabilitate existent într-o colectivitate statistica deoarece nu poate fi interpretata în mod direct datorita caracterului ireal al unitatii de masura în care se exprima

( ) 2i

2i

2i2

x nSx

nSx

nxxS

s

−=

−= , în cazul seriilor de repartitie cu frecvente egale

( ) 2

i

ii

i

i2i

i

i2

i2x Sn

nSxSn

nSxSn

nxxSs

−=

⋅−= , în cazul seriilor de repartitie cu frecvente neegale

Uneori, pentru determinarea dispersiei se poate folosi si o formula de calcul simplificat, care are un suport metodologic similar cu cel ut ilizat la calculul simplificat al mediei aritmetice,

( )22

2i

2x axk

nk

axS

s −−⋅

= , în cazul seriilor de repartitie cu frecvente egale

( )22

i

i

2i

2x axk

Sn

nk

axS

s −−⋅⋅

= , în cazul seriilor de repartitie cu frecvente neegale

Se precizaza, de asemenea, ca aceste relatii ofera în mod efectiv avantajul simplificarii calculelor numai daca sunt îndeplinite urmatoarele conditii: - seria de variatie este constituita pe intervale egale de grupare, - constantei “a” i se acorda ca valoare mijlocul intervalului care detine frecventa cea mai mare,

21

- constantei “k” i se acorda ca valoare marimea intervalului de grupare. c) - Abaterea medie patratica sau abaterea standard ( )xs se calculeaza prin extragerea radacinii patrate din dispersie, astfel,

( )n

xxSs

2i

x

−= , în cazul seriilor de repartitie cu frecvente egale

( )i

i2

ix Sn

nxxSs

⋅−= , în cazul seriilor de repartitie cu frecvente neegale

Abaterea medie patratica caracterizeaza gradul de variabilitate a variantelor individuale ale caracteristicii de la va loarea medie. Cu cât abaterea medie patratica are o marime mai mica cu atât valorile caracteristicii sunt mai concentrate în jurul mediei si în consecinta colectivitatea statistica este mai omogena si invers, cu cât abaterea medie patratica are o marime mai mare cu atât valorile individuale ale caracteristicii sunt mai dispersate si deci colectivitatea este mai putin omogena. Abaterea medie patratica are o aplicabilitate extinsa pentru dimensionarea sintetica a variatiei caracteristicii studiate deoarece se exprima în aceleasi unitati de masura în care sunt exprimate si variantele caracteristicii. Acest indicator prezinta totusi si o limita de aplicare atunci când se doreste sa se faca, pe baza marimii sale, o comparatie a gradului de variabilitate existent în doua colectivitati statistice ale caror caracteristici sunt exprimate în unitati de masura diferite sau sunt marimi cifrice de ordin diferit (ordinul zecilor si respectiv ordinul sutelor) chiar daca unitatea de masura este identica. d) - Coeficientul de variatie (V)

100x

sV x ⋅=

Coeficientul de variatie permita, datorita formei sale de exprimare procentuala, cea mai generala apreciere a gradului de variabilitate medie a caracteristicii statistice studiate, fara limite de interpretare. Cu cât coeficientul de variatie are o valoare mai mica, cu atât media caracteristicii este mai reprezentativa pentru colectivitatea statistica studiata si în consecinta colectivitatea este mai omogena. Se apreciaza ca o valoare mai mica de 30% a coeficientului de variatie atesta un grad bun de omogenitate a colectivitatii si respectiv de reprezentativitate a valorii medii.

Dispersia în cazul caracteristicii alternative

Dupa cum se cunoaste, în cazul caracteristicii alternative valoarea medie este egala cu proportia numarului unitatilor care detin caracteristica urmarita în totalul unitatilor care formeaza colectivitatea statistica (p). Pentru caracteristica alternativa dispersia si abaterea medie patratica se calculeaza astfel:

22

( ) ( ) ( )pq

qppqpq

qpqppq

qpqp0pp1

s2222

2x ⋅=

++⋅⋅

=+

⋅+⋅=

+⋅−+⋅−

= pqs x ⋅=

Notatia “q” este acordata proportiei numarului unitatilor care nu detin caracteristica

urmarita în totalul unitatilor care formeaza colectivitatea statistica si în consecinta, 1qp =+ . De asemenea, se mentioneaza ca “p” este ponderea (frecventa) relativa pentru varianta 1, iar “q” este ponderea relativa pentru varianta 0.

Felurile dispersiilor

Pentru a mari paleta concluziilor care privesc aspectele structurale ale colectivitatilor statistice se procedeaza la împartirea acestora în grupe omogene dupa doua sau mai multe caracteristici. Grupele constituite difera între ele atât prin valoarea lor medie, cât si prin nivelul intern al gradului de variabilitate. Indicatorii variatiei calculati pentru întreaga colectivitate sintetizeaza doua categorii de influente: - influenta factorilor cu actiune întâmplatoare localizati la nivelul grupelor care determina variatia interna a grupelor; - influenta factorilor obiectivi reprezentati prin continutul si tipologia caracteristicilor de grupare care au puterea de a determina departajarea colectivitatii în grupe care evidentiaza tipuri calitative distincte si care determina variatia dintre grupe. Analiza colectivitatilor statistice împartite pe grupe, prin calcularea unor indicatori specifici ai variatiei, are în vedere urmatoarele tipuri de indicatori: - dispersia caracteristicii statistice la nivelul colectivitatii (dispersia generala), - dispersia caracteristicii statistice la nivelul fiecarei grupe (dispersia de grupa), - media dispersiilor calculate pe grupe, - dispersia dintre grupe. a) Dispersia generala ( 2

0s ) oglindeste variatia caracteristicii statistice existenta în colectivitatea totala si produsa ca urmare a influentei tuturor factorilor obiectivi si întâmplatori care actioneaza asupra unitatilor statistice,

( )

∑∑

=

= =

⋅−=

k

1jj

k

1j

n

1iij

20ij

20

n

nxxs

j

în care,

ijx sunt cele “i” variante ale caracteristicii din grupa “j”,

0x este media caracteristicii la nivelul colectivitatii totale, k reprezinta numarul de grupe în care s-a împartit colectivitatea,

jn este frecventa grupei “j”, j1i

ij nnj

=∑=

n

,

ijn este frecventa variantei “i” din grupa “j”.

23

b) Dispersia de grupa ( 2js ) caracterizeaza variatia caracteristicii la nivelul unei grupe

de unitati,

( )

=

=

⋅−=

j

j

f

1iij

f

1iij

2jij

2j

n

nxxs în care,

jx este valoarea medie a caracteristicii în grupa “j”. c) Media dispersiilor calculate pe grupe ( 2

js ) reflecta acea parte din variatia caracteristicii, existenta în colectivitatea totala, care este produsa de factorii cu actiune întâmplatoare,

=

=

⋅= k

1jj

k

1jj

2j

2j

n

nss

d) Dispersia dintre grupe ( 2d ) este masura gradului de împrastiere a mediilor calculate pe grupe de la media generala. Aceasta dispersie reflecta variatia caracteristicii din colectivitatea totala provocata de influenta factorului obiectiv reprezentat prin caracteristica folosita pentru a realiza gruparea,

( )

=

=

⋅−= k

1jj

k

1jj

20j

2

n

nxxd

Rezulta, din cele expuse, ca dispersia generala cumuleaza atât influenta factorilor întâmplatori cât si influenta factorului obiectiv, respectiv a factorului de grupare, exprimând, astfel, masura nivelului total al varibilitatii caracteristicii studiate, fapt confirmat si prin relatia care atesta “regula de adunare a dispersiilor”,

22j

20 dss +=

Indicatorii asimetriei si boltirii (aplatizarii) seriilor de repartitie

Indicatorii asimetriei si boltirii seriilor de repartitie ofera informatii suplimentare

care completeaza si le dezvolta pe acelea sintetizate de indicatorii medii sau de cei ai variatiei.

a) Coeficientul de asimetrie Coeficientul de asimetrie (Sx) este o masura a asimetriei distributiei seriei în jurul

mediei, acesta ne edifica asupra modului de dispunere a nivelurilor individuale ale caracteristicii în raport cu o repartitie uniforma sau normala. Cu cât coeficientul de asimetrie

24

este mai mic, respectiv se apropie ca marime de zero, cu atât seria statistica are un grad de asimetrie mai redus, iar daca Sx este egal cu zero, seria este perfect simetrica.

Semnul pozitiv al coeficientului de asimetrie indica o asimetrie spre dreapta iar, semnul negativ semnalizeaza existenta unei asimetrii a seriei statistice spre stânga respectiv catre nivelurile mai mici ale seriei.

Formula de calcul a coeficientului de asimetrie este: 3

xx s

xxS

n1

S

−=

în care, n

)xS(xn

Sxn

Sxs222

x−=

−=

b) Coeficientul de boltire (aplatizare) (Kx) se cuantifica cu ajutorul relatiei:

4

xx s

xx S

n1

K

−=

Marimea coeficientului de boltire se compara cu nivelul standard de 3. - daca, Kx = 3, boltirea seriei statistice corespunde legii de repartitie normale, - daca, Kx < 3, seria are o dispunere plata relativ la repartitia normala, - daca, Kx > 3, seria are o forma ascutita comparativ cu repartitia normala,

Atunci când 3K si 0S xx == , seria statistica este normal distribuita. Verificarea convergentei seriei de repartitie studiate câtre legea de repartitie normala pe baza indicatorilor de asimetrie si boltire se poate realiza cu ajutorul testului Jarque-Bera. Dimensiunea statistica a acestui test este:

( )2x

2x 3K

24n

S6n

JB −+=

JB se distribuie conform legii de repartitie 2? cu 2 grade de libertate)

Daca, 22f ; q1P

?JB=−=

> , se respinge ipoteza nula a repartizarii normale a variabilei. Cu

cât valoarea lui JB este mai mica, mai apropiata de zero, cu atât seria statistica se apropie ca forma de repartitia normala. Este evident ca atunci când, JB = 0, seria se distribuie conform legii de repartitie normala.

Indicatorii asimetriei si boltirii seriilor de repartitie prezinta, de asemenea, utilitate practica pentru alegerea unei anumite scheme de sondaj. Se mentioneaza ca în cazul colectivitatilor statistice relativ simetrice, sau cu un grad redus de asimetrie si o dispunere compatibila cu repartitia teoretica normala, se adopta, de regula, un tip de sondaj simplu, nestratificat.

Indicatorii gradului de concentrare / diversificare

25

Studiul seriilor statistice poate fi aprofundat prin conturarea unor concluzii specifice cu privire la masura în care volumul caracteristicii sau unitatile statis tice se dispun între starile, grupele sau segmentele de timp la care se refera.

Indicatorii cu ajutorul carora se apreciaza gradul de concentrare / diversificare sunt: - indicatorul “Energia informationala” ( 2SrEi = ) Indicatorul "Ei" poate înregistra o marime cuprinsa între 1 si 1/n (în care “n” este

numarul starilor, grupelor sau diviziunilor de timp, iar “r” sunt marimile relative de

structura). Daca n1

Ei = , se constata o dispunere uniforma a unitatilor sau a caracteristicii pe

starile respective (maxima diversificare), iar daca 1Ei = , se identifica o concentrare totala, într-o singura stare.

- indicatorului “Entropia informationala” (En). r) logr-3,321928r) ⋅Σ⋅=⋅Σ⋅−= (logr(logEn 102

Entropia informationala poate lua o valoare în intervalul 0 si nlog 2 , în care “n” reprezinta numarul starilor sau al segmentelor de timp. Daca 0En = , exista o singura stare care concentreaza toata activitatea, iar daca nlog3,321928nlogEn 102 ⋅== , se confirma o dispunere uniforma a tuturor starilor prin prisma numarului unitatilor statistice sau a volumului caracteristicii studiate. - ”Coeficientul Gini” (Kg)

( )1

1−

−Σ⋅=

nn

Kg2r

Coeficientul Gini se situiaza ca marime în intervalul 0 si 1. Marimea 0 atesta o dispunere uniforma pe stari sau pe segmente de timp, iar valoarea 1 se obtine atunci când se constata existenta unei singure stari care concentreaza întreaga activitate sau toate unitatile colectivitatii statistice.

Prezentarea datelor statistice sub forma reprezentarilor grafice În vederea realizarii operatiunilor de prelucrare, interpretare, previziune si prezentare a datelor statistice initiale sau a indicatorilor obtinuti în urma prelucrarii, se procedeaza, de regula, la vizualizarea indicatorilor economico-financiari folosind reprezentari grafice, care se construiesc cu ajutorul sistemului de axe rectangulare, prin figuri geometrice, harti, figuri simbolice etc. Pentru obtinerea unui mesaj corect prin grafic este necesar sa se apeleze la tipul de reprezentare care se potriveste specificului datelor ce vor fi vizualizate în forma grafica. Astfel, în practica se utilizeaza urmatoarele tipuri de reprezentari grafice: - diagrama prin benzi - este recomandata a fi utilizata în cazul datelor care exprima: lungimea (râurilor, fluviilor, soselelor, cailor ferate); vârsta populatiei (piramida vârstelor); productia unor bunuri industriale sau agricole realizate într-un an. De asemenea,

26

aceasta modalitate de reprezentare este folosita si în cazul seriilor dinamice formate dintr-un numar redus de indicatori distantati inegal în timp. - diagrama prin coloane - are o utilizare mai frecventa atunci când dorim sa reprezentam grafic un numar redus de indicatori sistematizati în serie dinamica; - diagrama de structura - este utilizata pentru reprezentarea tipurilor calitative de fenomene existente într-o colectivitate. Diagrama de structura se poate realiza pe cerc, semicerc, patrat sau dreptunghi prin reprezentarea grafica a marimilor relative de structura referitoare la grupele unei colectivitati; - diagrama polara - este aplicata cu predilectie pentru reprezentarea grafica a unor indicatori de volum înregistrati pe segmente de timp componente ale unei perioade; - histograma - este folosita la reprezentarea seriilor de variatie pe intervale; - curba cumulativa de frecvente (ascendenta sau descendenta); - cronograma - este o modalitate clasica de reprezentare a seriilor dinamice formate dintr-un numar suficient de mare de indicatori; - cartograma - se realizeaza pe harta prin hasurari de intensitati diferite în functie de marimea indicatorilor reprezentati; - cartodiagrama - se construieste pe harta folosind diagrame înscrise în fiecare zona teritoriala; - figuri geometrice (patrat, cerc, paralelipiped, dreptunghi) - sunt folosite în special pentru reprezentarea grafica a unor indicatori de volum; - figuri simbolice - acestea reproduc la dimensiuni proportionale marimea indicatorilor de volum pe care dorim sa- i reprezentam. Studiul reprezentarilor grafice ne permite sa formulam aprecieri privind evolutia si tendinta indicatorilor economico-financiari, sa concluzionam asupra unor aspecte ale corelatiilor dintre fenomene, sa caracterizam din punct de vedere spatial dezvoltarea unor fenomene, sa vizualizam structura fenomenelor etc. Este de relevat faptul ca aceasta metoda de analiza prin grafice este utilizata si ca etapa intermediara de lucru în cadrul folosirii altor metode mai complexe, cum ar fi metodele statistico-matematice de analiza a corelatiilor dintre fenomene sau cele de modelare a seriilor dinamice.

Studiul statistic al corelatiilor dintre fenomene Fenomenele si procesele economice se gasesc în relatii de interdependenta, astfel încât unele se comporta ca fenomene cauza, determinante, independente sau factoriale, iar altele sunt fenomene efect, determinate, dependente sau rezultative. Concluzii utile privind interdependenta dintre indicatorii statistici pot fi formulate numai în conditiile folosirii unui volum suficient de mare de date. Daca se studiaza corelatii între serii dinamice de indicatori numarul minim de segmente de timp trebuie sa fie de 15, iar în cazul seriilor de indicatori obtinuti în urma unor experimentari, numarul minim de indicatori este apreciat la 40. În unele situatii concrete se remarca faptul ca o semnificatie crescuta a indicatorilor care exprima diverse aspecte ale corelatiilor dintre fenomene este mult îmbunatatita atunci când numarul determinarilor statistice depaseste 100. Pentru a studia legaturile statistice care se formeaza între fenomene pot fi utilizate mai multe modalitati de observatie si de calcul, grupate astfel:

27

- metode simple sau de observatie

- metoda compararii seriilor paralele de date statistice interdependente - metoda tabelului de corelatie - metoda grafica - metode analitice

- metode parametrice (metode statistico-matematice de analiza a corelatiilor) - metode neparametrice (metode de analiza a corelatiei rangurilor)

Metoda compararii seriilor paralele de date statistice interdependente consta în stabilirea legaturilor de interdependenta dintre fenomenele social-economice prin compararea a doua sau mai multe serii de indicatori.

În cazul seriilor de repartitie indicatorii care se refera la variabila determinanta sau independenta se aseaza în ordine crescatoare sau descrescatoare si în mod paralel se înscriu apoi valorile corespunzatoare variabilei (caracteristicii) dependente. Daca se compara serii cronologice de indicatori acestia se pozitioneaza în mod paralel pe segmente de timp identice. Metoda compararii seriilor paralele de date statistice interdependente se poate utiliza, de asemenea, si atunci când seriile respective de indicatori sunt înscrise în raport cu o caracteristica de spatiu (teritoriala).

Cu ajutorul acestei metode poate fi identificata, astfel, o anumita corespondenta a modificarilor înregistrate de indicatorii seriilor comparate, directia si intens itatea orientativa a modificarilor.

Metoda tabelului de corelatie. Tabelul de corelatie este un tabel statistic cu dubla

intrare si cuprinde doua serii statistice de repartitie, o serie reprezinta seria de variante, sau intervalele de grupare, ale caracteristicii determinante, iar cealalta serie se refera la caracteristica dependenta (determinata). Tabelul de corelatie este o forma de grupare combinata efectuata dupa doua caracteristici considerate în sistem interdependent.

În functie de modul în care se distribuie frecventele aferente celor doua caracteristici se poate contura o apreciere cu privire la existenta sau inexistenta unei legaturi statistice, forma si directia legaturii. Concentrarea frecventelor în jurul uneia dintre diagonalele tabelului indica existenta unei anumite legaturi statistice, iar daca se remarca o împrastiere a frecventelor în tot spatiul tabelului se apreciaza ca cele doua caracteristici nu manifesta o stare de interdependenta.

Prin metoda tabelului de corelatie se identifica daca exista o legatura statistica între fenomenele studiate, în profil static, la un anumit moment la care se refera datele, legatura care poate sa nu se mai manifeste la alte momente de existenta a unitatilor statistice.

Metoda grafica este una din cele mai utilizate metode pentru evidentierea legaturilor

care se formeaza între caracteristicile statistice. Aceasta metoda poate avea atât o utilizare independenta cât si în contextul aplicarii altor metode cu o structura de lucru mai complexa cum ar fi metodele statistico-matematice de analiza a corelatiilor.

Metoda graficului de corelatie (corelograma) consta în analiza unui grafic construit pe baza axelor rectangulare, valorile caracteristicii independente se înscriu pe abscisa, iar cele ale caracteristicii rezultative se înscriu pe axa ordonatelor. Reprezentarea punctelor de intersectie a valorilor celor doua caracteristici (“norul de puncte”) ofera o dispunere care

28

permite, prin observatie, sa se concluzioneze asupra existentei corelatiei, precum si asupra directiei si formei analitice de manifestare a corelatiei.

Metodele statistico-matematice de analiza a corelatiilor dintre fenomene fac parte din categoria metodelor de analiza factoriala, sunt metode cu caracter analitic si permit dimensionarea intensitatii interdependentei dintre doua sau mai multe fenomene, viteza de modificare a fenomenelor efect prin modificarea fenomenelor cauza, precum si forma analitica a relatiei de interdependenta exprimata printr-o ecuatie de regresie. Aceste metode prezinta o larga aplicabilitate practica datorita consistentei informatiilor pe care le ofera. Corelatiile care se manifesta între fenomene sunt expresii ale asocierii unor dimensiuni cifrice date de indicatorii statistici cu continut economic sau de alta natura, si pot fi clasificate în functie de urmatoarele criterii:

1) Dupa numarul caracteristicilor care intervin într-un sistem de interdependenta statistica, se disting:

-corelatii simple, când sistemul considerat cuprinde o caracteristica (fenomen) cauza si o caracteristica (fenomen) efect; - corelatii multiple, când se studiaza un sistem format din doua sau mai multe caracteristici determinante si o caracteristica rezultativa.

2) Dupa sensul sau directia corelatiei, pot exista: - corelatii directe, când modificarea într-un anumit sens a fenomenului cauza determina modificarea în acelasi sens a fenomenului efect; - corelatii inverse, când modificarea într-un anumit sens a fenomenului cauza determina modificarea în sens invers a fenomenului efect.

3) Dupa forma analitica, legaturile de interdependenta pot fi: - corelatii liniare, - simple, exprimate cu ajutorul ecuatiei: bxay += - multiple, sintetizate prin ecuatia: 321 dxcxbxay +++= , daca variabilele independente (x) sunt în

numar de trei - corelatii de tip parabolic,

- simple: 2cxbxay ++= - multiple: 2

22211 exdxcxbxay ++++= , daca variabilele independente

(x) sunt în numar de doua - corelatii de tip hiperbolic,

- simple: xb

ay +=

- multiple: 21 x

cxb

ay ++=

- corelatii de tip exponential , - simple: xbay ⋅=

29

- multiple: 21 xx cbay ⋅⋅=

4) Dupa tipul sincronizarii corelatiei în timp (în cazul corelatiilor dintre indicatori prezentati în serii dinamice): - corelatii concomitente; - corelatii cu decalaj.

În cadrul ecuatiilor de regresie fenomenul efect (rezultativ, determinat sau dependent) este notat cu y, fenomenul sau fenomenele cauza (determinante sau independente) cu x, iar parametrii a, b, c, d, ... asociati fenomenelor determinante sau independente se numesc coeficienti de regresie. În cazul abordarii unei probleme de analiza a corelatiei dintre fenomene cu ajutorul metodelor statistico-matematice, se are în vedere parcurgerea urmatoarelor etape: * constituirea sistemului de indicatori statistici sau de masurare propusi a fi studiati în sistem interdependent. Se mentioneaza ca în aceasta etapa de lucru trebuie sa se tina seama de conditiile restrictive ce privesc volumul datelor. În cazul studierii corelatiei între indicatori statistici prezentati sub forma seriilor dinamice, numarul minim acceptat este de 15 indicatori, iar în cazul datelor obtinute prin experimentari sau masurari ale unor unitati retinute prin sondaj, numarul minim de indicatori este apreciat la 40; * analiza sistemului propus prin prisma cunostintelor de economie generala, precum si a experientei practice din domeniul concret al masuratorilor efectuate, în vederea stabilirii caracterului real sau absurd de existenta a interdependentei între fenomenele sistemului. Aceasta decizie este necesara deoarece prelucrarea indicatorilor initiali se realizeaza folosind o metodologie matematica care nu poate preciza caracterul real sau absurd al corelatiei. * se apreciaza, tot pe baza de analiza, care este tipologia fenomenelor constituite în sistem interdependent, respectiv care este fenomenul dependent-efect (y) si care este fenomenul independent-cauza (x); * se reprezinta grafic sisteme de corelatie constituite dintr-un fenomen efect si unul cauza, folosind axele rectangulare. Pe grafic va rezulta un "nor de puncte" care va sugera forma ecuatiei de regresie în functie de modul de dispunere a punctelor în plan; * pe baza reprezentarii grafice, prin apreciere vizuala, se alege forma ecuatiei de regresie, considerata ca sintetizând în mod corespunzator modul de asezare a norului de puncte; * se estimeaza valorile parametrilor din ecuatia de regresie aleasa, folosind metoda celor mai mici patrate, care consta în minimizarea sumei patratelor abaterilor nivelurilor

30

reale ale fenomenului dependent-efect (y) de la nivelurile calculate pe baza ecuatiei de regresie ale aceluiasi fenomen (yc),

( ) minimyySS 2c =−=

Minimum acestei sume se obtine prin egalarea cu zero a derivatelor partiale ale sumei în raport cu parametrii ecuatiei.

În cazul particular al unei ecuatii de regresie de forma: xbay ⋅+= , sistemul de ecuatii obtinut prin metoda celor mai mici patrate care permite estimarea parametrilor ecuatiei de regresie, “a” si “b”, este dedus astfel:

( ) minimxbaySS 2 =⋅−−=

( ) ( )

( ) ( )

=−⋅⋅−−=

=−⋅⋅−−=

0xxbayS2dbdS

01xbayS2dadS

De unde rezulta:

=+=+

SxyxbSxaSSyxbSna

2

Rezolvarea matriciala a sistemului se bazeaza pe relatia:

CBA 1 =⋅−

în care: A reprezinta matricea sistemului de ecuatii A-1 este matricea inversa a matricei A B reprezinta vectorul termenilor liberi ( )Sxy Sy;

C reprezinta vectorul coeficientilor (parametrilor) ecuatiei de regresie, “a” si “b”. * se calculeaza estimatia erorii standard pentru fiecare parametru al ecuatiei de regresie si se verifica semnificatia parametrilor cu ajutorul Criteriului "t" .

Confirmarea semnificatiei parametrilor ecuatiei de regresie este atestata cu ajutorul Criteriului "t" care consta în a compara variabila t-statistic cu variabila t-tabelara corespunzatoare unui anumit prag de semnificatie (de obicei se opteaza pentru o probabilitate P = 95%, respectiv un prag de semnificatie q = 5%, q = 1-P ) si f = n - k grade de libertate, distribuita dupa func tia de repartitie Student). Se precizeaza ca "n" reprezinta numarul variantelor, iar "k" reprezinta numarul parametrilor ecuatiei de regresie. Variabila t-statistic se obtine raportând estimatia parametrului la estimatia erorii standard asociata fiecaruia dintre parametrii ecuatiei, astfel: Daca ecuatia de regresie este de forma: 321 xdxcxbay ⋅+⋅+⋅+=

- pentru parametrul a, as

astatistict =− , în care sa este estimatia erorii standard a

parametrului a,

31

- pentru parametrul b, bs

bstatistict =− , în care sb este estimatia erorii standard a

parametrului b,

- pentru parametrul c, cs

cstatistict =− , în care sc este estimatia erorii standard a

parametrului c,

- pentru parametrul d, ds

dstatistict =− , în care sd este estimatia erorii standard a

parametrului d, Nota: Estimatiile erorilor standard ale parametrilor ecuatiei de regresie (sa, sb, sc si sd) sunt determinate prin extragerea radacinii patrate din elementele situate pe diagonala principala a matricei rezultate din produsul estimatiei dispersiei erorii standard a ecuatiei de regresie sau patratului erorii standard a ecuatiei de regresie ( 2

y.ycs ) cu matricea inversa

a produsului matricei transpuse a variabilelor independente ( X' ) cu matricea initiala a acestor variabile ( X ) :

12y.y

12y.y )A(s)XX'(s

cc

−− ⋅=⋅⋅

în care, ( )

knyyS

s2

c2y.yc −

−=

Testarea si interpretarea semnificatiei parametrilor ecuatiei de regresie conduce la urmatoarele concluzii:

-daca marimea cifrica a parametrul "a" este suficient de mare, se obtine informatia ca sistemul de corelatie studiat este format dintr-un numar redus de variante dar, în anumite conditii date ale analizei abordate aceasta concluzie poate fi ignorata. Importanta acestui parametru pentru analiza economica este relativ redusa iar procedura verificarii semnificatiei statistice a acestuia este aplicata, de regula, în scop demonstrativ. -testarea semnificatiei parametrului “b”, “c”, si“ d” este efectuata, de asemenea, prin compararea indicatorului t-statistic cu t-tabelar ( q = 0,05; f = n - k). Daca se constata o inegalitate în favoarea marimii tabelare a lui “t” se accepta ipoteza nula si deci putem afirma cu suficienta încredere ca parametrul respectiv are o marime care nu difera semnificativ de zero. În aceste conditii caracteristica asociata acestui coeficient devine neinteresanta în sistemul de corelatie studiat si poate fi eliminata din sistem. În cazul existentei unei inegalitati în favoarea marimii statistice, calculate, se respinge ipoteza nula si prin urmare parametrul respectiv are o marime care difera semnificativ de zero iar variabile independenta asociata este semnificativa în cadrul sistemului interdependent studiat. Decizia de a elimina o variabila independenta dintr-un sistem interdependent multiplu se poate lua si atunci când marimea coeficientului de regresie asociat variabilei este foarte mica, situatie în care variabila dependenta este deci influentata într-o masura considerata nesemnificativa;

32

* se calculeaza nivelurile estimate (teoretice) ale fenomenului efect prin aplicarea ecuatiei de regresie, urmarindu-se realizarea urmatoarei egalitati:

cyy Σ=Σ Prin aceasta egalitate se confirma exactitatea calculelor efectuate pâna la aceasta etapa de lucru. * se procedeaza la testarea ipotezei privind existenta autocorelatiei între valorile variabilei reziduale cu ajutorul criteriului statistic DURBIN-WATSON care se bazeaza pe calculul si interpretarea urmatorului indicator ( coeficientul de autocorelatie - DW):

( )

∑ −=

=

=−

n

tt

n

ttt

u

uuDW

1

2

2

21

; tct )yy(u −=

Criteriului statistic DURBIN-WATSON atesta o buna eficacitate a parametrilor ecuatiei de regresie si respectiv a ecuatiei de regresie de a fi utilizata în calcule care vizeaza extrapolarea corelatiei studiate, daca marimea coeficientul de autocorelatie - DW este cuprinsa în intervalul 1,8 si 2,2. Se precizeaza ca indicatorul statistic DW poate avea o marime situata în intervalul, 0 si 4: - daca: 0,0 ≤ DW < 1,8, se confirma o corelatie pozitiva între termenii de eroare sau reziduali (autocorelatie pozitiva);

- daca: 2,2 < DW ≤ 4,0, se confirma o corelatie negativa între termenii de eroare sau reziduali (autocorelatie negativa); - daca: 1,8 ≤ DW ≤ 2,2, se infirma existenta autocorelatiei între termenii reziduali; - valoarea ideala a indicatorului statistic DW, pentru a constata absenta autocorelatiei între termenii reziduali, este 2. În cazul ecuatiilor de regresie care nu au parametrul “a“, testarea existentei autocorelatiei între variantele variabilei reziduale cu ajutorul indicatorului statistic DW nu este relevanta. * se calculeaza intensitatea corelatiei, folosind: a)- Raportul de corelatie este forma generala de calcul a intensitatii corelatiei dar se utilizeaza, în special, în cazul corelatiilor simple neliniare si multiple,

33

2

2

1)()(

y-yy-y

Rsau R c xy xy i Σ

Σ−=⋅⋅ , unde

( )ny

yMyΣ

== este valoarea medie a variabilei dependente.

Uneori se practica si un calcul corectat (ajustat) al raportului de corelatie în functie de numarul gradelor de libertate aferente celor doua sume de patrate. Se mentioneaza ca acest calcul este aplicat, de regula, atunci când baza de date este reprezentata de un esantion si în consecinta raportul de corelatie corectat este masura estimatiei intensitatii corelatiei dintre fenomenele sistemului studiat. Relatia de calcul a raportului de corelatie corectat are urmatoarea forma:

( ) ( ) ( ) ( )

−−Σ

−−Σ

−=1

122

nyy

:knyy

R cy corectat Rsau corectat

i x.y .x

sau, ( ) ( ) ( )kn

nRcorectatR yy −

−⋅−−=

111 2

x. x.y z . corectat Rsau i

în care : k = numarul parametrilor din ecuatia de regresie.

Rezultatul raportului de corelatie se considera, practic, ca nu are semn algebric si se încadreaza ca marime în intervalul 0 si 1. Cu cât raportul de corelatie are o valoare mai apropiata de 1, cu atât legatura dintre fenomenele sistemului studiat este mai puternica si, dimpotriva, cu cât valoarea sa se apropie de 0 se apreciaza ca interdependenta este slaba sau inexistenta. Se considera o corelatie foarte puternica atunci când Ry.x are o valoare cuprinsa între 0,8 si 1. Daca marimea raportului de corelatie este cuprinsa între 0,6 si 0,8, se considera existenta unei corelatii suficient de puternica; daca rezultatul se situeaza între 0,4 si 0,6, corelatia este de intensitate medie; iar daca valoarea sa este mai mica de 0,4, corelatia este slaba sau inexistenta. b)- Coeficientul simplu de corelatie liniara - ca forma particulara a raportului de corelatie - se aplica numai în cazul corelatiei sintetizata prin ecuatia de regresie, y = a + bx ,

( )[ ] ( )[ ]2222 yynxxn

yxxynr x.y

Σ−Σ⋅⋅Σ−Σ⋅

Σ⋅Σ−Σ⋅=

în care: n = numarul variantelor Marimea acestui coeficient se poate situa între -1 si +1, semnul coeficientului aratând sensul legaturii (inversa, când are semnul minus sau directa când este pozitiv). Cu cât coeficientul simplu de corelatie are o valoare mai apropiata de +1 sau de -1, cu atât legatura dintre fenomenele sistemului studiat este mai puternica si, dimpotriva, cu cât valoarea sa se

34

apropie de 0 se apreciaza ca interdependenta este mai slaba sau inexistenta. Interpretarea acestui coeficient pe intervale de marimi, indiferent de semnul rezultatului, este similara cu aceea prezentata în cazul raportului de corelatie. * se verifica semnificatia indicatorului care exprima intensitatea corelatiei cu ajutorul Criteriului "F" . Criteriul "F" folosit pentru verificarea semnificatiei raportului de corelatie se aplica prin compararea variabilei F-statistic cu variabila F-tabelar care corespunde probabilitatii P = 0,95 si numarului gradelor de libertate, f1 = k - 1 si f2 = n - k ,

( ) ( )knyyS

:1kyyS

statisticF2

c2

c

−−

−−

=−

Daca F-statistic > F-tabelar ipoteza nula este respinsa si deci, raportul de corelatie este semnificativ diferit de zero. În acelasi timp, raportul de corelatie si expresia relativa a estimatiei erorii standard a ecuatiei de regresie ( %10V

cy.y < ) confirma prin marimea lor ca, ecuatia de regresie formalizeaza corect, din punct de vedere analitic, legitatea statistica a corelatiei dintre variabilele sistemului considerat si poate fi utilizata cu suficienta încredere pentru a estima niveluri viitoare ale variabilei dependente în conditiile adoptarii unor variante posibile ale marimii variabilelor independente. * se calculeaza coeficientul de determinare în forma procentuala, astfel: În cazul corelatiilor simple se calculeaza coeficientul simplu de determinare , pe baza relatiei:

100⋅= 2 x . x. yy rd sau, 100⋅= 2

x . x. yy Rd ; iar în cazul corelatiilor multiple, se calculeaza coeficientul multiplu de determinare :

100⋅= 2 x. x. ii yy RD .

Coeficientul de determinare exprima cât la suta din modificarea (variatia) indicatorului rezultativ (y) este determinata de modificarea (variatia) indicatorului (indicatorilor) factorial sau independent din sistemul interdependent considerat. Diferenta pâna la 100% este reprezentata de influenta altor factori care nu au fost cooptati în sistemul studiat. * se calculeaza estimatia erorii medii a ecuatiei de regresie (estimatia erorii standard a regresiei) în expresie absoluta:

( )

k-ny-y

s2

cyy c

Σ=⋅ ,

si în expresie relativa:

100y

sV c

c

y y y y ⋅= ⋅

35

Acest indicator exprima "puterea" ecuatiei de regresie, atunci când este folosita în calcule de extrapolare sau de prognoza. Se considera o eroare medie relativa de o marime foarte buna, când aceasta se situeaza sub 5% si de o marime buna, când are o valoare cuprinsa între 5% si 10% . Interpretarea acestui indicator de eroare este complementara concluziei oferita de criteriul statistic DURBIN-WATSON O semnificatie statistica similara aceleia pe care o ofera eroarea medie relativa a ecuatiei de regresie este obtinuta prin calculul si interpretarea “Coeficientului de neregularitate al lui Theil” care se determina astfel:

( )n

yy

ny

ny

Th c

c

2

22

−Σ=σ

Σ+

Σ

σ= ⋅

c

cy y

y y careîn ;

Coeficientul de neregularitate al lui Theil poate lua o valoare cuprinsa între zero si unu. Daca, 0=Th , valorile estimate ale variabilei dependente ( cy ) exprima perfect prognoza fenomenului. Se considera ca fiind o marime foarte buna a coeficientului de neregularitate al lui Theil atunci când nu depaseste limita de 5%. Exemplul 4

Exemplificarea metodologiei statistice pentru analiza corelatiei dintre fenomene (metode statistico-matematice sau parametrice de analiza a corelatiei) va fi efectuata pe baza seriilor dinamice a doi indicatori statistici, prezentati într-o forma conventionala, “dinamica cheltuielilor pentru servicii” (SERIA 01) - variabila dependenta (y) si “dinamica veniturilor” (SERIA 02) - variabila independenta (x).

Tabelul 3 Anul Dinamica cheltuielilor

pentru servicii SERIA 01 (y)

Dinamica veniturilor

SERIA 02 (x) 1 1,00 2,00 2 2,00 4,00 3 4,00 6,00 4 5,00 8,00 5 8,00 10,00

Total 20,00 30,00

Reprezentarea grafica a corelatiei dintre seria 01 si seria 02 este expusa în figura 1.

36

Corelograma dinamicii cheltuielilor pentru servicii în functie de dinamica veniturilor

0246

810

0 5 10 15Dinamica veniturilor (%)

Din

amic

a ch

eltu

ielil

or

pen

tru

ser

vici

i (%

)

y

Fig. 1

Pe baza reprezentarii grafice din figura 1 se conchide ca ecuatia de regresie, y = a +

bx, sintetizeaza în mod corespunzator interdependenta dintre cele doua variabile deoarece distributia norului de puncte se grupeaza în jurul unei linii drepte.

Calculul valorilor estimate ale parametrilor ecuatiei de regresie se realizeaza cu ajutorul metodei celor mai mici patrate.

Sistemul de ecuatii obtinut prin metoda celor mai mici patrate care permite estimarea parametrilor ecuatiei de regresie este:

=+=+

Σ=Σ+ΣΣ=Σ+

1542203020305

2 baba

xyxbxayxbna

Rezolvarea matriciala a sistemului:

−=

−=

→=⋅

−−

850101

15420

0250150015001001

15420

22030305 1

1

,,

,,,,

CBA

în care: A reprezinta matricea sistemului de ecuatii A-1 este matricea inversa a matricei A B reprezinta vectorul termenilor liberi ( )154Sxy 20;Sy ==

C reprezinta vectorul coeficientilor ecuatiei de regresie (a = -1,10, b = 0,85). Vectorul B poate fi obtinut astfel:

37

=

→=⋅′

15420

85421

10864211111

ByX

154810584624122051412111

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅

Calculul termenilor care formeaza vectorul coeficientilo r ecuatiei de regresie, prin

înmultirea matricei ( 1−A ) cu vectorul (B), se realizeaza astfel:

85015402502015001011541500201001

,,,,),(,

=⋅+⋅−−=⋅−+⋅

−=

−→

−→

0250150015001001

20052003020030200220

53030220

22030305

,,,,

////

transpusa asociata matricea matricei A = A′ transpusei inversa = A-1

matricei A A= Valoarea determinantului asociat matricei sistemului de ecuatii:

2003030220522030305

=⋅−⋅==A

Rezulta ca ecuatia de regresie are urmatoarea forma:

y = -1,10 + 0,85x

Parametrul, b = 0,85, este denumit coeficient de regresie sau propensiunea marginala deoarece cuantifica modificarea fenomenului dependent atunci când variabila independenta se modifica cu o unitate.

Calculul valorii estimate a erorii standard pentru fiecare parametru al ecuatiei de regresie are la baza urmatoarea metodologie:

- se calculeaza produsul estimatiei patratului erorii standard a ecuatiei de regresie cu matricea inversa a matricei sistemului de ecuatii,

−=

−⋅=⋅σ −

⋅ 0091660054999005499904033330

0250150015001001

366666012

,,,,

,,,,

,Ay y ))

Acelasi rezultat se obtine daca se opteaza pentru urmatoarea varianta de lucru:

38

( )

−=

=

−=

⋅=

=

⋅=⋅′⋅σ

−⋅

0091660054999005499904033330

02501500

150010013666660

22030

3053666660

10181614121

10864211111

3666660

1

1

12

,,,,

,,

,,,,

,XX

y y ))

( ) 11 −− =⋅′ AXX - se calculeaza estimatia erorii standard a parametrului a,

63508503403330 ,,sa ==

- se calculeaza estimatia erorii standard a parametrului b,

09574300091660 ,,s b == Nota: Estimatia erorii standard a parametrilor ecuatiei de regresie este reprezentata prin radacina patrata a elementelor situate pe diagonala principala a matricei ( 12 −

⋅ ⋅σ Ay y )

)).

( )

366666,060553,0s

0,6055325

1,10knyySs

22y.y

2

y.y

==

=−

=−−=

)

)))

Verificarea semnificatiei parametrilor ecuatiei de regresie este realizata prin compararea variabilei t-statistic cu t-tabelar.

Daca, t-statistic > t-tabelar , se respinge ipoteza nula si în aceste conditii parametrii ecuatiei de regresie sunt semnificativ diferiti de zero. Variabila t-statistic se obtine raportând estimatia parametrului la estimatia erorii standard asociata fiecaruia dintre parametrii ecuatiei, astfel:

- pentru parametrul a, 73205116350850

101,

,,

−=−

==−as

astatistict

4) (Anexa 182,3ttabelart182,3tabelart1,73205statistict

32-5kn-f ; 0,05q ↔==−=−<−=−

====

39

- pentru parametrul b, 87796080957430

850,

,,

===−bsb

statistict

4) (Anexa 182,3ttabelart182,3tabelart87796,8statistict

32-5kn-f ; 0,05q ↔==−=−>=−

====

În cazul studiului corelatiei dintre dinamica cheltuielilor pentru servicii - variabila

dependenta (y) si dinamica veniturilor - variabila independenta (x) se confirma statatistic ca parametrul ”b” are o marime semnificativa în timp ce parametrul ”a” nu este atestat statistic cu o marime semnificativ diferit de zero. În principiu, aceasta concluzie nu afecteaza, însa, utilitatea ecuatiei de regresie deoarece infirmarea semnificatiei parametrului ”a” (ordonata la origine) este o consecinta a numarului redus de valori luate în calcul (n = 5).

Analiza sistemului interdependent de indicatori statistici prezentati sub forma celor doua serii dinamice se bazeaza pe interpretarea indicatorilor derivati prezentati în tabelul 4.

Tabelul 4 Sistemul indicatorilor analitici care privesc corelatia dintre SERIA 01 si SERIA 02

Variabila dependenta - dinamica cheltuielilor pentru servicii: SERIA 01 Metoda celor mai mici patrate Numarul observatiilor: 5

Variabila Coeficientul Eroarea standard

t-Statistic

regresie de ulcoeficient →b

0,850000 0,095743 8,877960

a -1,100000 0,635085 -1,732051

2R - coeficientul de determinare R – raportul de

corelatie ( )2R

0,963333

0,981495

Media variabilei dependente

4,000000

ajustatR 2 −

0,951111 Estimatia abaterii standard a variabilei dependente

2,738613

Eroarea standard a ecuatiei de regresie

0,605530 F-statistic 78,81818

Suma patratului reziduurilor: ( )2yyS −

1,100000 Prob. (F-statistic) 0,003013

Coeficientul Durbin-Watson

2,509091

Metodologia de calcul a indicatorilor din tabelul 4 este urmatoarea:

40

- Coeficientul de determinare ( 2R )

( )( )

963333030101

11 2

22 ,

,

yy

yyR =−=

−Σ

−Σ−=

)

Intervalul de localizare a coeficientului de determinare si respectiv a raportului de

corelatie este:

10 2 ≤≤ R ,R - Raportul de corelatie (R) se obtine prin extragerea radacinii patrate din

coeficientul de determinare, 9815,0963333,02 === RR , si indica, pentru corelatia studiata, o intensitate foarte puternica.

- Coeficientul de determinare corectat în functie de numarul gradelor de

libertate aferente celor doua sume de patrate,

( ) ( )9511110

1530

25101

11

122

2 ,:,

nyy

:knyy

corectatR =

−−−=

−−Σ

−−Σ

−=)

în care: k – numarul parametrilor din ecuatia de regresie n – numarul observatiilor

- Estimatia erorii standard a ecuatiei de regresie ,

( )605530

251012

,,

knyy

y.y =−

=−−Σ

=σ)

))

- Suma patratelor reziduurilor sau erorilor,

( ) 1012 ,yy =−Σ )

- Se testeaza ipoteza privind existenta autocorelatiei între valorile variabilei

reziduale cu ajutorul criteriului statistic DURBIN-WATSON,

( )

( )5092

101762

1

2

2

2

,,,

n

tt

n

t ==∑

∑=

=

=

y-y

u-uDW

1-tt

) ; tt )yy(u )−=

41

În acest caz indicatorul statistic DW are o marime care depaseste limita de 2,2 si obtinem astfel informatia ca la nivelul valorilor reziduale se înregistreaza o usoara autocorelatie, fapt ce poate afecta eficacitatea ecuatiei de regresie daca aceasta va fi folosita pentru extrapolarea dinamicii studiate. O explicatie a acestei concluzii poate fi argumentata prin faptul ca studiul corelatiei este realizat, pe sema unui volum prea mic de date.

- Valoarea medie a variabilei dependente,

4520

585421

==++++

=ny

y

- Estimatia abaterii standard a variabilei dependente,

( )7386132

1530

1

2

,n

yys y =

−=

−−Σ

=

- Verificarea semnificatiei raportului de corelatie cu ajutorul “Criteriului F”,

( )

( )8181878

3666609000028

25101

129028

2

2

,,,

,

,

F ==

−=Σ

Σ

=

k-ny-y1-ky-y

statistic )

)

( )

1

2

−−Σ

=σk

yyy

))

)2

y . - estimatia dispersiei dintre sisteme

( )knyy

y −−Σ

=σ2)

))

2y . - estimatia dispersiei dintre interiorul sistemelor

( )1

2

−−Σ

=σn

yyy2

) - estimatia dispersiei totale

( ) ( ) ( )

101902830

222

,,yyyyyy

+=−Σ+−Σ=−Σ

))

( ) 245-11030 ⋅=→−Σ=⋅

Σ

−Σ

=−Σ 2222

2 ynynny

ny

yy

( ) 222 45154850201019028 ⋅−⋅+⋅−=→−Σ+Σ=−Σ ,,,ynxybyayy)

( ) ( ) 1548502010111010122 ⋅−⋅−−=→Σ−Σ−Σ=−Σ ,,,xybyayyy )

42

F statistic = 78,81818 > F tabelar = 10,1 F tabelar = 10,1

2121 f ; f ; f f ; == =−==−=−=−= 3251129501 ,kn;kP FF

Deoarece, F statistic > F tabelar se respinge ipoteza nula si în consecinta Raportul de corelatie (R) difera în mod semnificativ de zero, iar corelatia studiata este reala. Nota:

- Se mentioneaza ca, F statistic este un criteriu cu ajutorul caruia se testeaza veridicitatea modelului (ecuatiei de regresie) în ansamblul sau. Prin aceasta testare se verifica, de asemenea, ipoteza de valoare “zero” a tuturor coeficientilor de regresie, respectiv a coeficientilor variabilelor independente, cu exceptia coeficientului care dimensioneaza ordonata la origine. Valoarea critica a acestui indicator, (F statistic), este 2,7 ce corespunde unei probabilitati de 95% si care atesta ca cel putin un coeficient de regresie este în mod semnificativ diferit de zero.

În cazul exemplului considerat de noi, probabilitatea de a accepta ipoteza nula este foarte mica: 0,003013 sau 0,30%. Riscul de a formula o concluzie gresita este, în aceasta situatie, practic inexistent.

- Regula de adunare a dispersiilor se verifica numai atunci când nu se tine seama de numarul gradelor de libertate aferente fiecarei sume de abateri ridicate la patrat si deci fiecare din cele trei sume de abateri ridicate la patrat se raporteaza la numarul observatiilor (n).

Tabel pentru efectuarea calculelor intermediare Anul y y) = -1,10 + 0,85x yyu )−= 22 )yy(u )−=

1 1 1y) = -1,10 + 0,85(2) = 0,6 0,4 0,16 2 2

2y) = -1,10 + 0,85(4) = 2,3 -0,3 0,09 3 4

3y) = -1,10 + 0,85(6) = 4,0 0 0

4 5 4y) = -1.10 + 0,85(8) = 5,7 -0,7 0,49 5 8

5y) = -1,10 + 0,85(10) = 7,4 0,6 0,36

Total

20 20,0 0 1,10

Anul

21)uu( tt −−

t = 2,…,n

yy −)

( )2yy −)

yy − ( )2yy − y2 xy

1 -3,4 11,56 -3 9 1 2 2 0,49 -1,7 2,89 -2 4 4 8 3 0,09 0 0 0 0 16 24 4 0,49 1,7 2,89 1 1 25 40 5 1,69 3,4 11,56 4 16 64 80

Total

2,76 0 28,90 0 30 110 154

43

Nivelurile calculate ale variabilei dependente ( )y) , determinate pe baza ecuatiei de regresie, pot fi obtinute si în varianta de calcul matricial, astfel:

=

−⋅

==⋅

4775043260

850101

10181614121

,,,,,

,,

yCX )

În tabelul 5 se prezinta, în mod comparativ, seria reala a variabilei dependente sau rezultative (y) cu nivelurile, aceleiasi variabile, estimate pe baza ecuatiei de regresie ( y) ), precum si distributia erorilor (reziduurilor).

Tabelul 5 Situatia reziduurilor: marimile absolute si dispunerea grafica

Anul Nivelurile reale (y)

SER01

Nivelurile calculate sau

estimate*) ( y) ) SER01F

Reziduuri (Termenul de

eroare) u = y- y)

Plaja reziduurilor

1 1,00000 0,60000 0,40000 | . | * . | 2 2,00000 2,30000 -0,30000 | . * | . | 3 4,00000 4,00000 0,00000 | . * . | 4 5,00000 5,70000 -0,70000 |* . | . | 5 8,00000 7,40000 0,60000 | . | * |

+ 0,60553 = + y

))

⋅σ y

- 0,60553 = - y )

)⋅σ y

*) Nivelurile calculate sau estimate ale variabilei dependente sunt determinate pe baza ecuatiei de regresie: y = a + bx

Nota: - Este foarte bine atunci când dimensiunea reziduurilor nu depaseste plaja delimitata de o estimatie a erorii standard a ecuatiei de regresie,( yy

))

⋅σ± ). - Conditia de normalitate a distributiei seriei erorilor (reziduurilor) este îndeplinita

implicit daca n > 40, atunci când sunt date de natura experimentala sau, n > 15 în cazul seriilor dinamice.

Metode de analiza a corelatiei rangurilor

În cazul considerarii unui sistem interdependent de variabile pentru care se infirma

ipoteza corespondentei cu legea de repartitie normala, calculul intensitatii corelatiei se realizeaza prin aplicarea unor metode neparametrice.

44

Prezumtia parametrica a corelatiei este eliminata prin ordonarea, în mod crescator sau descrescator, a valorilor variabilei independente (X), urmând sa se opereze cu marimi echivalente, denumite ranguri.

Metodele neparametrice permit masurarea intensitatii corelatiei atât pentru variabile cantitative cât si pentru variabile calitative.

Optiunea pentru aplicarea acestor metode este, de obicei, adoptata atunci când se studiaza corelatii între variabile economice cu variabile proprii unor domenii neeconomice (demografice, psihologice, medicale, sportive etc. ).

Coeficientul lui Spearman

( )1−Σ⋅

=θ2

2

nnd6

-1 , în care:

d - reprezinta diferenta dintre rangurile (numerele de ordine) corespunzatoare lui “y” si respectiv ”x”, xy rrd −=

n - numarul nivelurilor aferente variabilelor statistice Coeficientul lui Kendall

( )12

−⋅

=τnn

S, în care:

QPS −= , P - este indicatorul concordantei sau numarul rangurilor superioare termenului respectiv, numarate în continuare, aferente variabilei dependente - y,

Q - este indicatorul discordantei sau numarul rangurilor inferioare termenului respectiv, numarate în continuare, aferente variabilei dependente - y.

Intensitatea corelatiei este apreciata în functie de marimea coeficientului, care poate

lua o valoare în intervalul –1, +1.

Exemplul 5

Tabelul 6 Situatia cheltuielilor cu publicitatea efectuate de 17 societati care comercializeaza

produse alimentare Nr. crt.

Cheltuieli cu

publicita-tea

(mil. lei) -X-

Cifra de

afaceri (mil. lei) -Y-

Rangul pentru

variabila X - xr -

Rangul pentru variabil

a Y - yr -

yx rrd

−==

2d

P

Q

S = = P-Q

1 5 420 1 1 0 0 16 0 16 2 5 450 2 2 0 0 15 0 15 3 5 570 3 6 -3 9 11 3 8

45

4 6 490 4 4 0 0 12 1 11 5 6 580 5 7 -2 4 10 2 8 6 7 600 6 8 -2 4 9 2 7 7 7 610 7 10 -3 9 7 3 4 8 7 660 8 11 -3 9 6 3 3 9 7 690 9 12 -3 9 5 3 2 10 8 520 10 5 5 25 6 1 5 11 8 600 11 9 2 4 5 1 4 12 8 720 12 14 -2 4 3 2 1 13 8 730 13 15 -2 4 2 2 0 14 10 710 14 13 1 1 2 1 1 15 14 1.000 15 17 -2 4 0 2 -2 16 50 450 16 3 13 16

9 1 0 1

17 120 990 17 16 1 1 0 0 0 Total

256

84

( ) ( ) 686011717

25661

1 2,=

−⋅⋅

−=−

Σ⋅=θ

2

2

nnd6

-1

( ) ( )6180

11717842

12

,nn

S=

−⋅⋅

=−⋅

Coeficientii calculati ne permit sa apreciem ca între suma cheltuielilor efectuate cu publicitatea, de catre cele 17 societati comerciale cuprinse în cercetare, si cifra de afaceri, este o corelatie suficient de puternica, deoarece marimea lor se situeaza în intervalul 0,6 - 0,8.

Indicii statistici Pentru fundamentarea deciziilor care vizeaza conducerea activitatii economice o utilitate deosebita prezinta metoda indicilor datorita continutului informational pe care îl ofera dimensiunea statistica numita indice, obtinuta ca rezultat al comparatiei realizate în raport dinamic sau în statica. Indicele statistic este o marime relativa care exprima una din urmatoarele categorii de stari a fenomenelor economice: - dinamica, - gradul de îndeplinire a indicatorilor programati sau planificati, - nivelul relativ al sarcinii propuse pentru cresterea sau diminuarea unui indicator economico-financiar în segmentul de timp care urmeaza, - raportul de marime dintre doi indicatori economico-financiari identici din punct de vedere al continutului si modului de calcul, referitori la doua entitati teritoriale similare (oras, judet, tara) sau doi agenti economici, dar coexistenti în timp.

46

Prin urmare, indicele este rezultatul raportului a doi indicatori statistici referitori la acelasi fenomen economic, care, la rândul lor, pot fi prezentati în forma absoluta, relativa sau medie. Indicele exprima modificarea relativa a marimii indicatorului de la numarator în comparatie cu marimea de la numitorul raportului. Din punct de vedere al sferei de cuprindere se disting doua categorii de indici statistici: indici individuali sau simplii si indici de grup. Indicele individual exprima raportul de marime între doi indicatori statistici care caracterizeaza colectivitati de unitati (obiecte sau tipuri de produse,) omogene sau fenomene cu acelasi continut economic. De exemplu, se poate calcula indicele individual al dinamicii volumului fizic, al dinamicii preturilor sau al dinamicii valorii marfurilor vândute de un agent economic pentru fiecare fel de marfa, în mod distinct. Formulele generale de calcul a indicilor individuali de dinamica sunt: - pentru un indicator economic de tip cantitativ,

( )0

1

ff

fi = ,

- pentru un indicator economic de tip calitativ,

( )0

1

xx

xi = ,

- pentru un indicator economic complex,

00

11fx

xfxf

i =

Indicele de grup exprima modificarea medie relativa a caracteristicii unei colectivitati de unitati care difera între ele prin continut sau valoare de întrebuintare. De exemplu, indicele de grup al dinamicii valorii marfurilor vândute de o societate comerciala (indicele de grup al dinamicii cifrei de afaceri), care este un indice al unui indicator statistic complex, se calculeaza ca raport între suma încasarilor (valoarea vânzarilor) din perioada curenta sau de calcul si suma încasarilor (valoarea vânzarilor) din perioada baza de comparatie, conform urmatoarei relatii,

00

11qp

pqpq

IΣΣ

= , în care,

“q” este volumul fizic al vânzarilor pe tipuri de marfuri (indicator economic de tip cantitativ - f), “p” reprezinta pretul unitar de vânzare pentru fiecare fel de marfa (indicator economic de tip calitativ - x). Se precizeaza ca atât volumul fizic al vânzarilor cât si preturile unitare de vânzare sunt neînsumabile în mod direct deoarece se refera la tipuri diferite de marfuri si în consecinta pentru a evidentia influenta sau modificarea separata a fiecaruia din cei doi

47

factori (q si p) se calculeaza indici de grup factoriali prin aplicarea unui anumit sistem de ponderare. Prin urmare, în cazul unei relatii factorial-deterministe de forma y = fx, sau

fxy Σ=Σ , pentru a dimensiona modificarea separata a fiecaruia din cei doi factori (cantitativ-f si calitativ-x) care au determinat modificarea indicatorului complex (y) sau, într-o alta forma de interpretare, folosita numai în cazul indicilor de grup factoriali, pentru a cuantifica modificarea medie a indicatorului cantitativ si respectiv a celui calitativ se utilizeaza, de regula, metoda substituirilor succesive (în lant) dar, în practica de analiza se recurge uneori si la alte modalitati de ponderare.

În vederea sistematizarii, generalizarii si rigurozitatii aplicarii metodei substituirilor succesive, indicatorii economici sunt grupati astfel: - indicatori economici cantitativi (f) cum ar fi: volumul fizic al productiei sau al prestatiilor de servicii (q); numarul mediu al salariatilor (N); timpul lucrat de salariati, exprimat în om-ore (Nh); timpul lucrat de salariati, exprimat în om-zile (Nz); valoarea medie a mijloacelor fixe (Mf); valoarea medie a activelor circulante (Ac); locuri capacitate de cazare turistica existenta sau capacitatea construita si destinata pentru cazarea turistilor - (L); locuri-zile capacitate de caza re turistica existenta (Le); locuri-zile capacitate de cazare turistica disponibila, în functiune sau activa (Lz); turisti cazati în unitatile de cazare turistica (T); numarul de zile-turisti (Tz) etc.;

- indicatori economici calitativi (x): pretul de productie sau tariful pe unitate fizica de servicii (p); pretul de vânzare cu amanuntul (pv); cheltuielile cu forta de munca efectuate în medie cu un salariat (cfm ); costul complet unitar (c); consumul specific de resurse materiale si energetice exprimat în unitati naturale (m); cheltuielile la 1000 lei cifra de afaceri (Ch); rata rentabilitatii financiare (Rrf); productivitatea muncii (w); numarul mediu de rotatii a activelor circulante (n), durata medie în zile a unei rotatii a activelor circulante (d) si în general toti indicatorii care exprima eficienta economica; - indicatori economici complecsi (fx): cifra de afaceri (CA); marja comerciala (Mc); productia exercitiului (Q); valoarea adaugata (VA), cheltuielile totale (Ct); veniturile totale (Vt); cheltuielile totale cu forta de munca (CFM); cheltuielile totale cu materiile prime, materialele si energia aferente activitatii productive, de comert sau de prestare a serviciilor (CM); consumul total de materii prime, materiale si combustibil exprimat în unitati naturale - pe feluri de resurse - (M); rezultatul din exploatare (Re); rezultatul net al exercitiului financiar (Rn), rezultatul brut al exercitiului (Rb). Aplicarea metodei substituirilor succesive implica respectarea urmatoarelor doua reguli de baza: 1) individualizarea si dimensionarea influentei unui factor de tip cantitativ care a determinat modificarea indicatorului complex se realizeaza prin ponderare (mentinere constanta) cu factorul de tip calitativ baza de comparatie;

48

2) individualizarea si dimensionarea influentei unui factor de tip calitativ care a determinat modificarea indicatorului complex se realizeaza prin ponderare cu factorul de tip cantitativ comparat. Facem precizarea ca, în cazul analizei pe factori a indicatorilor care caracterizeaza eficienta utilizarii factorilor de productie directi sau primari (forta de munca, mijloacele fixe si activele circulante materiale sau resursele materiale si energetice), consumati pentru obtinerea unui rezultat economic, indicatorii de efect economic sunt tratati ca indicatori de tip calitativ, iar cei de efort economic au semnificatia si se comporta ca indicatori de tip cantitativ. Formulele generale de calcul folosite în cazul metodei substituirilor succesive, atunci când dorim sa cuantificam modificarile respective în marimi relative si absolute, sunt urmatoarele:

- modificarea totala a fenomenului (indicatorului) complex:

00

11fx

xfxf

I = , sau 00

11fx

xfxf

IΣΣ

=

0011 xf-xf=∆ , sau 0011 xf-xf ΣΣ=∆ din care:

- influenta modificarii factorului de tip cantitativ:

( )00

01

xfxf

fI = , sau ( )00

01

xfxf

fIΣΣ

=

( ) 0001 xf-xff =∆ , sau ( ) 0001 xf-xff ΣΣ=∆

- influenta modificarii factorului de tip calitativ:

( )01

11

xfxf

xI = , sau ( )01

11

xfxf

xIΣΣ

=

( ) 0111 xf-xfx =∆ , sau ( ) 0111 xf-xfx ΣΣ=∆

urmând sa se verifice egalitatile: ( )xII(f)I fx ⋅=

( ) ( )xf ∆+∆=∆

În cazul concret al indicilor de grup factoriali care explica, în dinamica, influenta modificarii volumului fizic si respectiv influenta modificarii preturilor de vânzare asupra modificarii cifrei de afaceri, sau exprima modificarea medie a volumului fizic si respectiv modificarea medie a preturilor de vânzare pot fi scrise urmatoarele relatii de calcul: - indicele de grup al dinamicii volumului fizic,

49

00

01qpq pq

pqI

ΣΣ

=

- indicele de grup al dinamicii preturilor de vânzare,

01

11qpp pq

pqI

ΣΣ

=

O alta procedura metodologica folosita pentru a calcula influenta factorilor care au

determinat modificarea unui indicator complex, este cunoscuta sub denumirea “Metoda separarii actiunii izolate a fiecarui factor“. Aplicarea principiului de separare a actiunii individuale a factorilor care determina modificarea unui indicator complex – prezentat în functie de mai multi factori conform unei relatii factorial-deterministe - se bazeaza pe un sistem de ponderare care utilizeaza în mod invariabil indicatorii baza de comparatie, indiferent ca sunt de natura cantitativa sau calitativa. Rezulta, în acest caz, si o influenta suplimentara care este cauzata de interactiunea factorilor sau a actiunii simultane a factorilor. Metoda substituirilor succesive, prezentata anterior, permite obtinerea unor rezultate multumitoare numai atunci când modificarea indicatorului complex nu are o amplitudine mare si în consecinta si influentele factorilor considerati sunt relativ mici. De aceea, schema de evidentiere izolata a influentei factorilor asupra fenomenului complex îsi gaseste utilitatea în special atunci când marimea absoluta a interactiunii factorilor este mai importanta. Pornind de la aceste considerente, metoda separarii actiunii izolate a fiecarui factor se recomanda a fi utilizata atunci când marimea relativa a influentei interactiunii factorilor în cresterea totala a fenomenului complex depaseste 5%, adica:

( )( ) ( )( )%5100

xf-xfx-xf-f

100xf

0011

0101 >⋅=⋅∆

∆, în care:

( )( )xf? - modificarea absoluta a indicatorului complex datorita interactiunii factorilor, f si x, considerati printr-o relatie determinista.

În cazul aplicarii metodei separarii actiunii izolate a fiecarui factor, pentru indicii de

grup pot fi scrise urmatoarele relatii de calcul: - influenta indicatorului de tip cantitativ,

00

01

xSfxSf

I(f) =

- influenta indicatorului de tip calitativ,

00

10

xSfxSf

I(x) =

- influenta interactiunii factorilor (actiunea simultana a factorilor),

( )00

10

01

11

xSfxSf

:xSfxSf

xI(f) =

În acest caz se confirma urmatoarea relatie de recurenta:

50

⋅⋅==

00

10

01

11

00

10

00

01

00

11fx

xSfxSf

:xSfxSf

xSfxSf

xSfxSf

xSfxSf

I

Daca se efectueaza o analiza factoriala prin aplicarea metodei separarii actiunii

izolate a fiecarui factor si se doreste sa se calculeze expresiile absolute ale modificarilor aferente unui indicator complex, se opteaza, de regula la varianta repartizarii proportionale a modificarii datorate interactiunii factorilor.(metoda cresterilor proportionale ). Relatiile generale de calcul, utilizate în acest caz, sunt urmatoarele:

- modificarea absoluta totala a indicatorului complex:

0011 xf-xf=∆ din care: - influenta modificarii factorului de tip cantitativ:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )010100100001

00010001 x-xf-f

xf-xfxf-xfxf-xf

xf-xff+

+=∆ ,

- influenta modificarii factorului de tip calitativ:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )010100100001

00100010 x-xf-f

xf-xfxf-xfxf-xf

xf-xfx+

+=∆ ,

verificându-se egalitatea:

( ) ( )xf ∆+∆=∆ Nota. Se mentioneaza ca rezultatul interactiunii factorilor nu poate fi interpretat în

forma economica clara si în aceste conditii el trebuie repartizat factorilor individualizati prin relatia functionala a indicatorului complex sau analizat, folosind un anumit criteriu de repartizare. Daca se considera, în mod conventional, ca modificarea indicatorului complex datorata interactiunii factorilor este un rezultat exclusiv al actiunii factorului de natura calitativa se ajunge la forma de ponderare care corespunde metodei substituirilor succesive. Prin urmare, se poate aprecia ca metoda substituirilor succesive este un caz particular al metodei separarii actiunii izolate a fiecarui factor în conditiile alocarii în totalitate a modificarii datorate interactiunii factorilor, asupra factorului de natura calitativa.

Cele mai folosite sisteme alternative de calcul a indicilor de grup factoriali sunt cele propuse de Laspeyres (care, în mod invariabil, utilizeaza ca ponderi indicatorii factoriali corespondenti din perioada de baza), Paasche (care, în mod invariabil, utilizeaza ca ponderi indicatorii factoriali corespondenti din perioada de calcul), Fisher (care realizeaza media geometrica a indicilor Laspeyres si Paasche) sau Edgeworth (în care caz ponderile sunt reprezentate de media aritmetica simpla a indicatorilor factoriali corespondenti, din cele doua perioade de referinta), astfel:

- indicele de grup al factorului de tip cantitativ,

metoda substituirilor succesive: ( )00

01

xf

xffI

Σ

Σ=

51

indicele Laspeyres : ( )00

01

xf

xffI

Σ

Σ=

indicele Paasche: ( )10

11

xf

xffI

Σ

Σ=

indicele Fisher: ( )10

11

00

01

xfxf

xfxf

fIΣΣ

⋅ΣΣ

=

indicele Edgeworth: ( ) ( )( )010

011

010

011

2

2xxfxxf

xxf

xxf

fI+Σ+Σ

=+

Σ

=

- indicele de grup al factorului de tip calitativ,

metoda substituirilor succesive: ( )01

11

xfxf

xIΣΣ

=

indicele Laspeyres : ( )00

10

xfxf

xIΣΣ

=

indicele Paasche: ( )01

11

xfxf

xIΣΣ

=

indicele Fisher: ( )01

11

00

10

xfxf

xfxf

xIΣΣ

⋅ΣΣ

=

indicele Edgeworth: ( ) ( )( )010

011

010

011

2

2ffxffx

ffx

ffx

xI+Σ+Σ

=+

Σ

=

52

Tabelul 7 Sistemul calculelor implicate în conditiile folosirii metodei substituirilor succesive pentru analiza

factoriala a dinamicii unui indicator statistic complex (y = fx)

Felul modificarii Indici individuali

Indici de grup Modificarea absoluta a indicatorului complex

Proportii ale modificarilor absolute factoriale în

modificarea absoluta totala a indicatorului statistic complex

Contributia procentuala a factorilor la formarea ritmului indicatorului

statistic complex Modificarea totala a indicatorului statistic complex din care:

00

11

0

1y

xfxfyy

i

=

==

0011 xf-xf=∆

0011 xf-xf ΣΣ=∆

- 100100−⋅=

0

1y

yy

R

100100−⋅ΣΣ

=0

1y

yy

R

- modificarea (influenta) indicatorului statistic de tip cantitativ

( )0

1

ff

fi = ( )00

01

xfxf

fIΣΣ

=

( ) 001 )xf-ff (=∆

( ) 0001 xf-xff ΣΣ=∆ ( ) ( )

( )100⋅

∆∆

=∆yf

f % ( ) ( )100⋅

∆=

0yf

fR

( ) ( )100

yf

fR0

⋅Σ∆

=

- modificarea (influenta) indicatorului statistic de tip calitativ

( )0

1

xx

xi = ( )01

11

xfxf

xIΣΣ

=

( ) 101 )fx-xx (=∆

( ) 0111 xf-xfx ΣΣ=∆ ( ) ( )

( )100⋅

∆∆

=∆yx

x % ( ) ( )100⋅

∆=

0yx

xR

( ) ( )100⋅

Σ∆

=0y

xxR

Relatii de recurenta ( ) ( )xifiiy ⋅= ( ) ( )xIfII y ⋅= ( ) ( )xf ∆+∆=∆ ( ) ( ) %%% 100=∆+∆ xf Ry = R(f)+R(x)

00

11

0

1y

xfxfyy

I

ΣΣ=

=ΣΣ

=

-53-

Exemplul 6 Vânzarile de marfuri cu amanumntul ale unei societati comerciale sunt prezentate în tabel.

Tabelul 8 Situatia vânzarilor de marfuri pe feluri de marfuri

Perioada de baza Perioada de calcul Felul marfurilor vândute

Unitatea de

masura Cantitati vândute

( 0q )

Pretul de

vânzare ( 0p ) -lei-

Valoarea vânzarilor

( 00 pq ) -lei-

Cantitati vândute

( 1q )

Pretul de

vânzare ( 1p ) -lei-

Valoarea vânzarilor

( 11pq ) -lei-

“A” m 500 10 5.000 600 9 5.400 “B” buc. 200 30 6.000 300 30 9.000 “C” kg 1.000 5 5.000 900 4 3.600 Total 16.000 18.000

Pe baza datelor din tabel se vor calcula indicii elementari (individuali) si indicii de grup ai volumului fizic a vânzarilor, ai preturilor de vânzare si ai valorii vânzarilor, precum si corespondentul în cifre absolute al modificarilor relative exprimate prin indicii de grup. Se precizeaza ca pentru calculul indicilor de grup factoriali se va aplica metoda substituirilor succesive. Indicii individuali ai dinamicii volumului fizic,

- pentru marfa “A”: ( ) 20% ; 120% ; 1,2500600

qq

qi0

1 +===

- pentru marfa “B”: ( ) 50% ; 0%51 ; 51,002003

qq

qi0

1 +===

- pentru marfa “C”: ( ) 10% ; 0%9 ; 9,0000.1

009qq

qi0

1 −===

Prin urmare, în perioada de calcul vânzarile au fost mai mari din punct de vedere cantitativ, comparativ cu perioada de baza, cu 20% la marfa “A”, si cu 50% la marfa “B”, în timp ce vânzarile din marfa “C” au scazut cu 10%. Indicii individuali ai dinamicii preturilor de vânzare,

- pentru marfa “A”: ( ) 10% ; 0%9 ; 9,0019

pp

pi0

1 −===

- pentru marfa “B”: ( ) 0%01 ; 01,0303

pp

pi0

1 ===

- pentru marfa “C”: ( ) 20% ; 0%8 ; 8,054

pp

pi0

1 −===

Indicii elementari calculati arata ca la marfa “B” pretul de vânzare s-a mentinut la acelasi nivel atât în perioda de calcul cât si în perioda de baza, în timp ce la marfurile “A” si “C” pretul de vânzare a scazut cu 10% si respectiv cu 20%.

-54-

Indicii individuali ai dinamicii valorii vânzarilor,

- pentru marfa “A”: 8% ; 108% ; 1,085.0005.400

pqpq

i00

11qp +===

- pentru marfa “B”: 50% ; 0%51 ; 51,000.6000.9

pqpq

i00

11qp +===

- pentru marfa “C”: 28% ; %72 ; 72,0000.5600.3

pqpq

i00

11qp −===

Aceste rezultate evidentiaza faptul ca în perioada de calcul valoarea vânzarilor a înregistrat cresteri fata de perioada de baza, cu 8% la marfa “A” si cu 50% la marfa “B”, în timp ce la marfa “C” valoarea vânzarilor s-a diminuat cu 28%.

Indicele degrup al valorii vânzarilor,

12,5% ; 112,5% ; 125,1000.16000.18

pSqpSq

I00

11qp +===

Indicele degrup al volumului fizic a vânzarilor,

21,875% ; 121,875% ; 21875,1000.16500.19

000.1659003030010600

pqpq

I00

01qpq

+=

==⋅+⋅+⋅=ΣΣ

=

Indicele degrup al preturilor de vânzare,

7,692%- ; 92,308% ; 92308,0500.19000.18

pqpq

I01

11qpp ==

ΣΣ

=

Rezultatele calculelor efectuate ne confirma faptul ca valoarea vânzarilor a crescut, în perioada de calcul comparativ cu perioada de baza, cu 12,5%. Aceasta crestere a fost determinata, în totalitate, de majorarea cantitatilor vândute. Daca preturile de vânzare s-ar fi mentinut la nivelul înregistrat în perioada de baza, valoarea vânzarilor ar fi crescut cu 21,875%, dar reducerile operate la preturile de vânzare a provocat o diminuare a valorii vânzarilor cu 7,692%. În acest caz, se poate interpreta acest rezultat si în felul urmator: în perioada de calcul comparativ cu perioada de baza preturile de vânzare s-au micsorat în medie cu 7,692%.

Pe baza sumelor folosite la calculul indicilor de grup putem determina, în continuare,

volumul absolut al modificarii valorice a vânzarilor, totale si pe seama celor doi factori, astfel: - modificarea absoluta totala a valorii vânzarilor,

lei 000.2000.1600018.pSqpSq? 0011qp +=−=−=

din care - influenta modificarii volumului fizic al vânzarilor,

( ) lei 500.3000.16500.91pSqpSqq? 0001 +=−=−= - influenta modificarii preturilor de vânzare,

( ) lei 500.1500.19000.81pSqpSqp? 0111 −=−=−=

-55-

Indicii de grup medii armonici Daca se analizeaza formulele de calcul a indicilor de grup care exprima influenta modificarii relativa a factorilor cantitativi si calitativi (indicii de grup factoriali), construiti pe baza metodei substituirilor succesive, se observa ca pentru a fi calculati este necesara o marime recalculata ( 01xSf ). Determinarea directa a acestei sume este, uneori, dificil de realizat datorita lipsei datelor în evidenta. Din acest motiv, pentru calculul indicilor de grup factoriali se utilizeaza , dupa caz, si formula mediei armonice sau a mediei aritmetice. Aceste relatii de calcul se obtin prin transformarea corespunzatoare a indicilor de grup prezentati în forma agregata. Un exemplu practic de calcul al indicelui de grup mediu armonic se refera la modificarea medie a preturilor de vânzare, astfel:

( )

( ) 11

11

11

0

1

11

01

11qpp

pqpi1

S

pSq

pq

pp1

S

pSqpSqpSq

pII⋅

=⋅

===

Prin urmare, indicele de grup al preturilor de vânzare se calculeaza pe baza formulei mediei armonice ori de câte ori ni se ofera date asupra indicilor individuali ai preturilor de vânzare (i(p)) si respectiv asupra cifrei de afaceri din perioada de calcul, pe tipuri de produse si pe total ( 1111 pq si pq Σ ).

Indicii de grup medii aritmetici

În cazul particular al indicelui de grup al volumului fizic al vânzarilor, în forma agregata,

indicatorul recalculat ( 01pSq ) se situeaza la numarator si în aceste conditii se va opera o transformare constructiva la numaratorul indicelui, folosind forma mediei aritmetice, astfel:

( ) ( )[ ]00

00

00

000

1

00

01qpq pSq

pqqiSpSq

pqqq

S

pSqpSq

qII⋅

====

Aceasta este formula indicelui de grup mediu aritmetic al dinamicii volumului fizic, în care i(q) reprezinta indicii individuali ai volumului fizic iar 00 pq valoarea vânzarilor pe feluri de marfuri.

Indicii de grup calculati ca raport între marimi medii

Indicii de grup determinati prin raportarea a doua marimi medii ofera posibilitatea compararii în timp sau în raport cu planul a marimilor medii, pentru al caror calcul se poate însuma factorul de tip cantitativ.

-56-

În lucrarile de calcul statistic se folosesc frecvent indici de grup calculati ca raport între marimi medii în vederea analizei dinamicii sau pentru analiza îndeplinirii indicatorilor programati privind productivitatea muncii, costul unitar, cheltuielile totale la 1000 lei venituri totale etc..

Formula generala de calcul a acestor indici de grup este:

00

11

10

11

0

00

1

11

0

1x

xSgxSg

SfxxSf

SfxSf

:Sf

xSfxx

I =⋅

===

în care,

Sff

g = reprezinta structura factorului (indicatorului) cantitativ însumat.

Relatia generala de calcul a indicelui de grup reprezentat prin raportul a doua marimi medii este denumit indice de grup cu structura variabila al modificarii indicatorului calitativ mediu. Asupra indicelui de grup cu structura variabila exercita influenta doi factori: a) modificarea structurii factorului de tip cantitativ (g). b) modificarea nivelului factorului calitativ la fiecare unitate statistica în parte (x), Prin urmare, este necesar sa remarcam ca, modificarea absoluta totala a indicatorului de tip cantitativ nu este un factor de influenta asupra modificarii indicatorului calitativ mediu. Daca dorim sa cunoastem dinamica relativa a indicatorului calitativ mediu datorata modificarii structurii factorului cantitativ însumat, în formula indicelui cu structura variabila consideram constant factorul calitativ individual din perioada de baza ( 0x ) si obtinem indicele de grup al schimbarii structurii,

00

01xg xSg

xSgI =

Daca dorim, însa, sa calculam dinamica relativa a indicatorului calitativ mediu datorata modificarii factorului calitativ individual, în formula indicelui cu structura variabila consideram constant factorul de tip cantitativ (structura indicatorului cantitativ) din perioada de calcul ( 1g ) si obtinem indicele de grup cu structura fixa,

01

11xx xSg

xSgI =

Între indicii de grup cu structura variabila, al schimbarii structurii si cu structura fixa se poate scrie urmatoarea relatie,

xx

xg

x III ⋅=

Pe baza relatiilor de calcul a indicilor de grup obtinuti ca raport între marimi medii se poate determina modificarea absoluta a indicatorului rezultativ (complex), ( Sfx ) ca urmare a modificarii indicatorului calitativ mediu ( fx

x? ), a structurii indicatorului cantitativ însumat ( fxg? ) si

respectiv a indicatorului calitativ individual ( fxx? ), astfel:

( ) 101111fxx SfxxSfxxSf? −=⋅−=

-57-

( ) 10001fxg SfxSgxSg? −=

( ) 10111fxx SfxSgxSg? −=

Exactitatea calculelor este confirmata de urmatoarea relatie de recurenta: fxx

fxg

fxx ??? +=

Exemplul 7 Pentru exemplificarea calculului indicilor determinati ca raport între doua marimi medii vom utiliza datele sintetizate în “Contul de profit si pierdere” al unui agent economic.

Tabelul 9 Situatia veniturilor si cheltuielilor grupate pe feluri de activitati

Venituri (mil. lei) Cheltuieli (mil. lei) Felul activitatii

(Sursa veniturilor si destinatia cheltuielilor)

Perioada de baza

Perioada de calcul

Perioada de baza

Perioada de calcul

Exploatare Ve0 8.000 Ve1 10.000 Ce0 6.000 Ce1 7.500 Financiara Vf0 500 Vf1 300 Cf0 1.000 Cf1 1.400 Extraordinara Vex0 1.500 Vex1 1.700 Cex0 1.000 Cex1 1.100 Total Vt0 10.000 Vt1 12.000 Ct0 8.000 Ct1 10.000

Pe baza acestor date ne propunem sa analizam dinamica cheltuielilor totale la 1.000 lei venituri totale prin prisma modificarii structurii veniturilor totale si a cheltuielilor la 1000 lei venituri pe feluri de activitati.

Pentru a pune în evidenta factorii enuntati, cheltuielile totale la 1.000 lei venituri totale sunt prezentatate prin relatia urmatoare:

( ) ( )1000C/gSSVi

1000C/ViS1000

VexVfVeCexCfCe

1000VtCt

1000Ct/ Vt ⋅=⋅

=⋅++++

=⋅=

Nota: Se mentioneaza ca indicatorul cheltuieli totale la 1.000 lei venituri totale este o marime relativa de intensitate si care prin continutul si forma sa derivata de calcul are semnificatia de valoare medie În acest caz cheltuielile totale la 1.000 lei venituri totale ( 1000Ct/ ) sunt obtinute ca o medie aritmetica ponderata a cheltuielilor la 1000 lei venituri calculate pe feluri de activitati ( 1000C/ ), iar ponderea este reprezentata de structura veniturilor totale ( Vtg ), asa cum rezulta din ultima forma de scriere a indicatorului calitativ mediu, în care, - 1000Ct/ este indicatorul calitativ mediu - 1000C/ este indicatorul calitativ individual - Vtg este structura indicatorului cantitativ însumat - Vt = Venituri totale; - Ct = Cheltuieli totale;

- SViVi

gVt =

-58-

Tabel cu calculele intermediare necesare

Felul activitatii

Structura veniturilor totale din

perioada de baza

Vt0g

Structura veniturilor

totale din

perioada de

calcul Vt1g

Cheltuielile la 1000 lei venituri

pe feluri de activitati, în perioda de

baza C/10000

Cheltuielile la 1000 lei

venituri pe feluri de activitati,

în perioda de calcul

C/10001

0Vt1 1000C/g ⋅

Exploatare 0,80000 0,83333 750,00 750,00 625,0 Financiara 0,05000 0,02500 2.000,00 4.666,67 50,0 Extraordinara 0,15000 0,14167 666,67 647,06 94,4 Total 1,00000 1,00000 800,00 833,33 769,4

Indicele de grup cu s tructura variabila al cheltuielilor totale la 1000 lei venituri totale,

4,162% ; 104,162% ; 04162,10,8003,833

)1000C/S(g)1000C/S(g

1000Ct/1000Ct/

I0

Vt0

1Vt1

0

11000Ct/ +==⋅⋅

==

Indicele de grup al schimbarii structurii,

3,825% ; 96,175% ; 96175,00,8004,769

)1000C/S(g)1000C/S(g

I0

Vt0

0Vt11000Ct/

g −==⋅⋅

=

Indicele de grup cu structura fixa,

8,305% ; 108,305% ; 08305,14,7693,833

)1000C/S(g)1000C/S(g

I0

Vt1

1Vt11000Ct/

1000C/ +==⋅⋅

=

1,04162 1,08305% 96175,0III 1000Ct/1000C/

1000Ct/g

1000Ct/ =⋅=⋅=

Varianta calculelor reprezentând corespondentul în cifre absolute al modificarilor relative exprimate de indicii de grup, este:

Modificarea totala a cheltuielilor totale la 1.000 lei venituri totale:

( ) ( ) lei 33,363,9-30,61000C/?g??lei 3,330,8003,8331000Ct/1000Ct/? 01

+=+=+=+=−=−=

din care: - influenta modificarii structurii veniturilor totale

( ) ( ) ( ) lei 6,300,8004769,1000C/gS1000C/gSg? 0Vt00

Vt1 −=−=⋅−⋅=

- influenta modificarii cheltuielilor la 1000 lei venituri pe feluri de activitati ( ) ( ) ( ) lei 9,634,7693,8331000C/gS1000C/gS1000C/ 0

Vt11

Vt1 +=−=⋅−⋅=∆

-59-

Calculele efectuate ne permit sa constatam ca cheltuielile totale efectuate pentru 1.000 lei venituri totale au crescut în perioada de calcul comparativ cu nivelul înregistrat în perioada de baza cu 4,162%, respectiv cu 33,3 le i. Aceasta majorare este motivata astfel:

- cresterea cheltuielilor la 1000 lei venituri pe feluri de activitati a determinat o crestere a cheltuielilor totale la 1.000 lei venituri totale cu 8,305% cu un corespondent valoric de 63,9 lei la fiecare 1000 le i venituri,

- în timp ce schimbarea structurii veniturilor totale a favorizat reducerea cheltuielilor totale la 1.000 lei venituri totale cu 3,825% sau cu 30,6 lei. Se observa ca a crescut proportia veniturilor obtinute din exploatare, de la 80,00% la 83,33%, activitate la care nivelul cheltuielilor la 1.000 lei venituri este mai mic comparativ cu nivelul relativ mediu general, care în perioada de calcul este de 833,33 lei, fapt ce a avut un impact pozitiv asupra reducerii nivelului relativ al cheltuielilor totale.

Activitatea financiara desfasurata de acest agent economic este finalizata cu pierderi importante care sunt acoperite, în primul rând, pe seama rezultatelor financiare pozitive obtinut din activitatea de exploatare.

Forma absoluta a modificarii cheltuielilor totale ca indicator complex sau rezultativ este oferita de urmatoarele calcule,

- modificarea absolu ta a cheltuielilor totale datorata cresterii cheltuielilor totale la 1000 lei venituri totale este,

( )

lei mil. 600,399800,766200,367???

lei mil. 600,399

000.000.000.121000

0,8003,833SVt1000Ct/1000Ct/?

Ct1000C/

Ctg

Ct1000Ct/

101Ct

1000Ct/

+=+−=+=

+=

=⋅

=−=

din care: - influenta modificarii structurii veniturilor totale,

( )[ ]lei mil. 367,200- 000.000.000.12

10000,8004,769

SVt)0,8004(769,SVt)1000C/S(g1000C/gS? 110Vt00

Vt1

Ctg

=⋅

=

=−=⋅⋅−⋅=

- influenta modificarii cheltuielilor la 1000 lei venituri pe feluri de activitati, ( )[ ]

lei mil. 766,800 000.000.000.121000

4,7693,833

SVt)1000C/S(g1000C/gS? 10Vt11

Vt1

Ct1000C/

+=⋅

=

=⋅⋅−⋅=

Indicii teritoriali

Indicele teritorial rezulta din compararea indicatorilor statistici referitori la doua sau mai multe unitati teritoriale similare (oras, judet, tara etc.) sau din compararea unui indicator determinat pe o unitate teritoriala cu indicatorul corespunzator care se refera la întregul teritoriu. Într-un sens mai general, indicele teritorial este o marime relativa de coordonare obtinuta din

-60-

compararea a doua fenomene de aceeasi natura coexistente în timp, dar situate în diferite domenii spatiale. Formula generala dupa care se calculeaza un indice individual teritorial este urmatoarea:

B

AxA/B x

xi = sau

A

BxB/A x

xi =

în care: Ax - reprezinta marimea fenomenului cercetat în unitatea teritoriala “A”, Bx - reprezinta marimea fenomenului cercetat în unitatea teritoriala “B”. Daca valorile caracteristicii studiate (x) se pot generaliza la nivelul celor doua colectivitati pozitionate în teritorii diferite (A si B) sub forma marimilor medii, rezulta urmatoarele forme de indici teritoriali:

B

AA/B x

xx = sau

A

BB/A x

xx =

în care:

A

AiA n

Sxx = ,

B

BiB n

Sxx =

În cazul comparatiilor teritoriale se poate considera în egala masura ca baza de comparatie oricare din teritoriile ”A” si ”B”.În acelasi timp, trebuie sa mentionam ca, la calculul indicilor teritoriali nu ne este indiferenta ordinea comparatiei, aceasta depinde în întregime de sarcina de cunoastere la care trebuie sa raspunda fiecare indice în parte. Indicii teritoriali, de grup, se calculeaza în aceleasi conditii metodologice folosite la calculul indicilor care respecta regulile metodei substituirilor succesive, astfel: - pentru indicatorul complex,

BB

AAfxA/B xSf

xSfI = sau

AA

BBfxB/A xSf

xSfI =

- pentru indicatorul de natura cantitativa,

( )BB

BAfxA/Bf xSf

xSfI = sau ( )

AA

ABfxB/Af xSf

xSfI =

- pentru indicatorul de natura calitativa,

( )BA

AAfxA/Bx xSf

xSfI = sau ( )

AB

BBfxB/Ax xSf

xSfI =

Problema ponderilor, în cazul indicilor teritoriali, se rezolva numai în urma unei analize atente a fenomenului cercetat, deoarece o ponderare nerationala poate conduce la rezultate contradictorii sau chiar paradoxale. În aceste conditii se propun si alte metode de ponderare, cum ar fi: - metoda ponderilor standard. Aceasta metoda exclude sistemul de ponderare al indicilor teritoriali cu marimile unuia din teritoriile comparate, ea presupune alegerea unor ponderi care sa

-61-

se refere la un teritoriu mult mai larg, care cuprinde ambele zone teritoriale într-o expresie medie, astfel: - pentru indicele teritorial al indicatorului de natura cantitativa,

( )( )( )XfS

XfSI

B

AfxA/Bf ⋅

⋅= sau ( )

( )( )XfS

XfSI

A

BfxB/Af ⋅

⋅=

- pentru indicele teritorial al indicatorului de natura calitativa,

( )( )( )B

AfxA/Bx xFS

xFSI

⋅⋅

= sau ( )( )( )A

BfxB/Ax xFS

xFSI

⋅⋅

=

în care: X este ponderea standard calitativa, determinata ca medie aritmetica ponderata,

BA

BBAA

ffxfxf

X++

= ,

F este ponderea standard cantitativa , determinata ca medie aritmetica simpla, astfel:

2

ffF BA +

=

Folosirea ponderilor standard elimina, în principiu, influenta subiectivismului la alegerea ponderilor si deci asupra rezultatului obtinut prin calculul indicelui teritorial. Totusi, se precizeaza ca la alegerea tipului de ponderare este indicat sa se tina seama de particularitatile fenomenului al carui indice teritorial urmeaza a fi calculat.

Analiza statistica a seriilor dinamice

Sistemul de indicatori ai seriilor dinamice

O serie dinamica este formata din mai multi indicatori de nivel care dau masura fenomenului respectiv la diferite momente sau pe anumite intervale de timp. Analiza evolutiei unui fenomen care este prezentat sub forma unei serii dinamice se poate efectua prin simpla comparare a indicatorilor, prin analiza reprezentarii grafice, prin prelucrarea datelor initiale si obtinerea unor indicatori derivati exprimati în marimi absolute, marimi medii si marimi medii cât si prin ajustarea seriei dinamice cu ajutorul unor metode specifice. Sistemul indicatorilor statistici cu ajutorul carora pot fi caracterizate seriile dinamice, sunt: - indicatorii exprimati prin marimi absolute: - indicatorii de nivel

- indicatorii modificarilor absolute care pot fi calculati în doua variante: cu baza fixa si cu baza variabila (în lant)

- indicatorii exprimati prin marimi relative - indicii de dinamica calculati cu baza fixa sau cu baza variabila (în lant)

- ritmul dinamicii cu baza fixa sau cu baza variabila (în lant) - valoarea absoluta a unui procent din ritmul dinamicii - indicatorii exprimati prin marimi medii - nivelul mediu - cresterea sau scaderea medie

-62-

- indicele mediu de crestere sau de scadere - ritmul mediu de crestere sau de scadere

Indicatorii exprimati prin marimi absolute

Indicatorii exprimati prin marimi absolute sunt prezentati în unitati de masura concrete (lei, tone, metri etc.), specifice fenomenului a carui evolutie este analizata. Indicatorii de nivel sunt reprezentati prin datele initiale, obtinute prin observare, care dimensioneaza volumul caracteristicii studiate ( ix ).

Indicatorii modificarilor absolute pot fi calculati în doua variante: - cu baza fixa: 1i1i/ xx? −= ; n ..., 4, 3, 2,i = - cu baza variabila (în lant): 1ii1i/i xx? −− −=

Indicatorii exprimati prin marimi relative

Pe baza indicatorilor initiali exprimati în marimi absolute se pot calcula indicatori relativi,

care dau o consistenta distincta concluziilor pe care le genereaza. Indicatorii exprimati prin marimi relative sunt:

- indicii de dinamica:

- cu baza fixa: 1

i1i/ x

xI = ; n ..., 4, 3, 2,i =

- cu baza variabila (în lant): 1i

i1i/i x

xI

−− =

- ritmul dinamicii:

- cu baza fixa: 100x

xx100100

xx

R1

1i

1

i1i/ ⋅

−=−⋅=

- cu baza variabila (în lant): 100x

xx100100

xx

R1i

1ii

1i

i1i/i ⋅

−=−⋅=

−−

- valoarea absoluta a unui procent din ritmul dinamicii

- cu baza fixa:100x

100x

xxxx

R?

V 1

1

1i

1i

1i/

1i/1i/ =

⋅−

−==

- cu baza variabila (în lant): 100x

100x

xxxx

R?

V 1i

1i

1ii

1ii

1i/i

1i/i1i/i

−− =

⋅−

−==

Indicatorii exprimati prin marimi medii

Varietatea nivelurilor absolute initiale, a modificarilor individuale exprimate în cifre absolute sau relative ce caracterizeaza evolutia unui fenomen de la un segment de timp la altul

-63-

care formeaza perioada considerata pentru a fi cercetata, conditioneaza necesitatea generalizarii acestora cu ajutorul indicatorilor medii. Indicatorii exprimati prin marimi medii ofera o forma sintetica a evolutiei unui fenomen înregistrata pe parcursul unei perioade de timp date si permit totodata conturarea tendintelor generale de dezvoltare prin eliminarea influentelor datorate unor factori întâmplatori. Acesti indicatori sunt:

a)- Nivelul mediu Nivelul mediu al unei serii dinamice se calculeaza prin procedee distincte, dupa cum

aceaste este de intervale de timp sau de momente, asfel - pentru o serie dinamica de intervale de timp nivelul mediu se calculeaza cu ajutorul

mediei aritmetice simple: n

Sxx i=

- în cazul seriilor dinamice de momente, nivelul mediu al indicatorilor prezentati în serie dinamica se calculeaza cu ajutorul mediei cronologice simple sau ponderate dupa cum intervalele de timp dintre momente sunt egale sau inegale.

b)- Cresterea sau scaderea medie Cresterea sau scaderea medie absoluta a unui fenomen pe parcursul perioadei supuse studiului se calculeaza prin aplicarea mediei aritmetice simple la modificarile absolute cu baza în lant, asfel:

1nxx

1n?

1nS?

? 1n1n/1i/i

−−

=−

=−

= −

c)- Indicele mediu de crestere sau de scadere Indicele mediu de crestere sau de scadere ( )I se calculeaza pe baza mediei geometrice simple, a mediei geometrice ponderate, a mediei geometrice corectate sau a metodei autoregresiei, dupa caz. Indicele mediu caracterizeaza modificarea medie a unui fenomen, care a avut loc de la un segment de timp la altul pe parcursul perioadei de timp supuse cercetarii, în numar de ori de crestere sau de scadere. d)- Ritmul mediu de crestere sau de scadere Ritmul mediu de crestere sau de scadere a unui fenomen ( )R se determina în forma procentuala pe baza indicelui mediu, astfel:

100100IR −⋅= Ritmul mediu exprima cu cât a crescut sau a scazut fenomenul în perioada studiata.

-64-

Ajustarea seriilor dinamice Evolutia fenomenelor social-economice, modificarile care se produc de la un segment de timp la altul, sunt influentate de un complex de factori esentiali si neesentiali, care pot actiona într-o paleta larga de forme: concomitent sau succesiv; cu o intensitat e mai mare sau mai mica; în acelasi sens sau în sensuri diferite. Factorii esentiali sau de natura obiectiva imprima fenomenului o evolutie bine determinata, care este reprezentata printr-o traectorie de dezvoltare constituita din doua componente: tendinta generala si tendinta periodica sau sezoniera. Factorii neeesentiali au o reprezentare aleatoare în structura factorilor de influenta si din acest motiv, din punct de vedere statistic, sunt considerati ca formeaza “termenul de eroare”. Analiza unei serii dinamice impune cunoasterea clara a tendintei generale pe care o înregistreaza un fenomen sub actiunea factorilor obiectivi, amploarea modificarilor de natura sezoniera dar si modificarea cauzata de factorii cu actiune întâmplatoare. Acest proces de cunoastere complexa este denumit, “ajustarea seriilor dinamice” sau “modelarea statistica a seriilor dinamice”. Pentru ajustarea seriilor dinamice pot fi utilizate mai multe modalitati statistice, si anume: - metoda de ajustare grafica - metode de ajustare mecanica - metode de ajustare analitica

A) Metoda de ajustare grafica Ajustarea grafica se bazeaza pe reprezentarea grafica a seriei dinamice sub forma cronogramei (historiogramei) si trasarea vizuala a unei linii drepte sau curbe, dupa caz, care este considerata ca sintetizeaza în mod corespunzator evolutia fenomenului respectiv. Aceasta metoda are ca suport metodologic intuitia cercetatorului de a identifica tendinta generala atunci când linia empirica nu sugereaza în mod direct imaginea tendintei fenomenului. Ajustarea grafica are un caracter orientativ si serveste, de regula, pentru alegerea functiei matematice (ecuatiei de trend) când se procedeaza la aplicarea unor metode analitice de ajustare.

B) Metode de ajustare mecanica Ajustarea mecanica a seriilor dinamice se realizeaza prin aplicarea în mod mecanic a unei metodologii sau formule considerata ca fiind adecvata pentru seria dinamica supusa analizei. Metodele de ajustare a seriilor dinamice cu un suport metodologic mecanic de calcul sunt: - metoda mediilor mobile - metoda sporului (scaderii) mediu - metoda indicelui mediu de crestere (scadere) Ajustarea cu ajutorul mediilor mobile permite caracterizarea tendintei generale a evolutiei unui fenomen prin eliminarea totala sau numai partiala a variabilitatii cauzata de factorii cu actiune sezoniera precum si a termenului rezidual. Acest deziderat se realizeaza prin înlocuirea indicatorilor reali ai seriei dinamice cu indicatori medii calculati pe baza unui numar determinat de

-65-

indicatori ai seriei initiale. Subperioadele de timp pentru care se calculeaza mediile mobile ramân egale ca marime, deplasându-se de la primul nivel al seriei dinamice cu câte un nivel la calculul fiecarei medii, pâna la includerea în calcul a nivelului final al seriei. Numarul nivelurilor reale care intra în calculul mediilor mobile se stabileste dupa o prealabila analiza calitativa a fenomenului studiat. În acest sens se mentioneaza ca este preferabil sa se aleaga acel numar de termeni ai seriei dinamice care corespund unor perioade de schimbari reale în evolutia fenomenului respectiv.

Ajustarea cu ajutorul sporului (scaderii) mediu Procedeul sporului mediu se aplica cu suficienta încredere pentru ajustarea unei serii

dinamice, atunci când modificarile absolute calculate cu baza în lant din indicatorii de nivel initiali, sunt apropiate ca marime între ele. Daca este îndeplinita aceasta conditie, ajustarea se realizeaza cu ajutorul urmatoarei relatii:

( ) ?Bixy Bi ⋅−+= , în care, n , ... 3, 2, 1,i =

iy reprezinta valoarea ajustata, care înlocueste termenul real ix

Bx este unul din indicatorii reali, ales ca baza de ajustare, n, ... 3, 2, 1,B = . Nivelul baza de ajustare se alege în urma unei ajustari grafice astfel: nivelul real care se apropie cel mai mult de o linie conventionala considerata ca exprima în mod satisfacator evolutia fenomenului se alege ca nivel baza de ajustare.

∆ este sporul sau diminarea medie absoluta Ajustarea cu ajutorul indicelui mediu de crestere (scadere)

Aceasta metodologie de ajustare are ca suport aproximarea indicatorilor unei serii dinamice pe baza relatiei existente între primul nivel al seriei ( 1x ), indicele mediu de crestere sau scadere ( )I si nivelul final al seriei dinamice ( nx ).

Ajustarea cu ajutorul indicelui mediu de crestere (scadere) este recomandata atunci când indicii de crestere (scadere) calculati cu baza în lant au valori apropiate ca marime între ei.

În aceste conditii relatia pentru ajustare este,

( ) BiBi Ixy

−⋅= , în care,

I este indicele mediu calculat cu media geometrica

C) Metode de ajustare analitica

Pentru a caracteriza evolutia si tendinta fenomenelor cu ajutorul metodelor analitice se folosesc serii dinamice de date statistice referitoare la perioade reprezentative de timp. Daca este necesar, indicatorii analizati sunt supusi unor prelucrari preliminare pentru a asigura comparabilitatea acestora în timp prin operarea acelor corectii care au în vedere, de exemplu, nivelul indicelui inflatiei, respectiv transformarea indicatorilor din marimi nominale sau curente în marimi reale prin raportarea nivelului nominal la indicele inflatiei sau, pentru a corecta indicatorii înregistrati pe segmente de timp prin prisma numarului de zile aferente pentru a se referi la durate perfect comparabile etc..

-66-

De asemenea, comparabilitatea indicatorilor prezentati în serie dinamica se asigura prin folosirea aceleiasi metodologii de calcul, exprima fenomene cu acelasi continut, definite în acelasi mod si se refera la structuri organizatorice similare.

Daca ne referim la evolutia unui indicator economico- financiar acesta are mai multe componente care îsi pun amprenta pe marimea nivelurilor individuale, si anume:

- o componenta are un continut esential, marcheaza tendinta obiectiva sau evolutia generala datorata cresterii sau regresului economic înregistrat în plan economic pe termen lung, - o componenta exprima modificarea ciclica, conjuncturala, sesizabila pe perioade mari de timp (5, 10, 15 sau 20 de ani), determinata de factori care acumuleaza periodic efecte ale contradictiilor obiective ce au loc în activitatea economico-sociala si politica, -o componenta este reprezentata de manifestarea cu caracter sezonier, lunara sau trimestriala, - o componenta se refera la variatiile cu caracter întâmplator, neesentiale (variatia reziduala sau termenul de eroare).

Toate activitatile si subactivitatile economice sunt influentate, într-o masura mai mare sau mai mica, de factori naturali, de factori economici constanti sau cu caracter conjunctural, precum si de factori dirijati prin decizii legislative, care pot determina în consecinta oscilatii ale marimii indicatorilor economici si financiari. Succesiunea anotimpurilor exercita în mod evident o anumita influenta asupra unor activitati economice (transport, agricultura, unele ramuri industriale, turism) printr-o oferta diferita de produse sau printr-o solicitare sezoniera diferentiata din partea beneficiarilor de produse si servicii. În general, fiecare an calendaristic se constituie ca un ciclu economic prezentând aceleasi regularitati sezoniere de crestere si de reducere a activitatii, dar pe fondul unei evo lutii si tendinte medii a volumului de activitate. Metodele analitice de ajustare constau în înlocuirea nivelurilor reale ale seriei dinamice cu niveluri calculate (teoretice) pe baza unei ecuatii de tendinta, ai carei parametrii sunt estimati, de regula, prin metoda celor mai mici patrate. Alegerea ecuatiei de tendinta, care sa corespunda cât mai bine formei reale a evolutiei fenomenului se face pe baza analizei atente a reprezentarii grafice a indicatorilor de nivel initiali sau prin calculul unor indicatori derivati care caracterizeaza seria dinamica, astfel: - daca modificarile absolute calculate cu baza în lant sunt apropiate ca marime , tendinta poate fi sintetizata prin ecuatia liniei drepte, btay += , în care ”t” este variabila timp pentru care se acorda valori conventionale, iar “a” si ”b” sunt parametrii ecuatiei care o localizeaza în plan; - daca diferentele de ordinul n, n>1, calculate pe baza indicatorilor de nivel, sunt apropiate ca marime între ele, ecuatia de tendinta poate fi o parabola de gradul n, adica:

n2 zt...ctbtay ++++= ; - daca indicii de dinamica calculati cu baza în lant au valori apropiate între ele, se poate considera ca evolutia fenomenului respectiv urmeaza o curba de tipul functiei exponentiale,

taby = ;

-67-

- daca modificarile absolute calculate cu baza în lant, folosind logaritmii indicatorilor de nivel reali, sunt aproximativ egale între ele, atunci ajustarea seriei dinamice se poate face cu ajutorul urmatoarei ecuatii: btay log += ; - daca indicii de dinamica calculati cu baza în lant din logaritmii indicatorilor de nivel reali, sunt de marimi apropiate între ele, ajustarea poate fi efectuata pe baza ecuatiei: .aby log t= Reprezentarea grafica a seriei dinamice ofera, de asemenea, solutii utile pentru alegea formei ecuatiei de tendinta. Exe mplul 8

Pentru exemplificarea metodelor analitice de analiza a evolutiei, sezonalitatii si tendintei cifrei de afaceri pe care a înregistrat-o un agent economic, s-a constituit o serie dinamica cu niveluri trimestriale pe o perioada de trei ani, iar în final pe baza analizei propuse ne propunem sa calculam estimatia cifrei de afaceri, pe trimestre, în anul 4.

Tabelul 10 Calcule necesare analizei evolutiei si tendintei cifrei de afaceri

Perioada

Cifra de afaceri

(xi)

R)S(T ⋅⋅

ti

t2

i xi ti

Tendinta liniara

yi = a + bti

(T)

Coeficientul produsului

componentei sezonalitatii cu

termenul de eroare )/y(x ii

⋅=

⋅⋅RS

TRST

Tendinta liniara

corectata în functie de

sezonalitatea trimestriala

)Cs(y ii ⋅

S)(T⋅

trim.I 2 1 1 2 3,923077 0,5098 1,79332 trim.II 6 2 4 12 4,891608 1,2266 5,94947 trim.III 11 3 9 33 5,860140 1,8771 10,91389 trim.IV 3 4 16 12 6,828671 0,4393 3,16998 Total an 1 22 30 59 4,0528 21,82666 trim.I 4 5 25 20 7,797203 0,5130 3,56426 trim.II 10 6 36 60 8,765734 1,1408 10,66141 trim.III 18 7 49 126 9,734266 1,8491 18,12905 trim.IV 5 8 64 40 10,702797 0,4672 4,96842 Total an 2 37 174 246 3,9701 37,32314 trim.I 4 9 81 36 11,671329 0,3427 5,33521 trim.II 16 10 100 160 12,639860 1,2658 15,37336 trim.III 25 11 121 275 13,608392 1,8371 25,34420 trim.IV 7 12 144 84 14,576923 0,4802 6,76685 Total an 3 52 446 555 3,9258 52,81962 Total general

111 78 650 860 111,000000 11,9487 111,96942

Nota: Seria dinamica a cifrei de afaceri ajustata cu ajutorul ecuatiei de tendinta liniara este prezentata în coloana, “Tendinta liniara”.

-68-

Notatiile folosite în tabel au urmatoarele semnificatii:

STCsyTy

RSTx

ii

i

i

⋅⇔⋅⇔

⋅⋅⇔

T = tendinta ; S = sezonalitatea ; R = termenul rezidual (termenul de eroare)

Fig. 2 Relatiile de calcul pentru diferitele componente ce determina o anumita marime a

indicatorilor de nivel initiali sunt evidentiate în doua variante:

- prin procedeul multiplicativ :

i

i

yx

↔ SR

RS ; R

STRST

; RST

RST=

⋅=

⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅

- prin procedeul aditiv : SRR)(S ; RS)(TR)S(T ; RSTR)S(T =−+=+−+++=−++

Tendinta generala a cifrei de afaceri este estimata cu ajutorul ecuatiei de regresie liniara, deoarece reprezentarea grafica (Fig. 1) sugereaza o forma liniara a evolutiei cifrei de afaceri, în perioda celor trei ani supusi analizei, btay += . Calculul parametrilor din ecuatia de tendinta aleasa este realizat prin aplicarea metodei celor mai mici patrate care conduce la urmatorul sistem de ecuatii:

Dinamica cifrei de afaceri

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Valori realeValori ajustate (trend liniar)Valori ajustate corectate cu factorul de sezonalitate

-69-

+=+=

b650a78860b78a12111

Rezolvarea sistemului de ecuatii a permis definirea ecuatiei de tendinta în forma: y = 2, 954545 + 0, 968531 t

954545,217165070

7878-6501278860-650111

a ==⋅⋅⋅⋅

= 968531,017161662

7878-6501211178-86012

b ==⋅⋅⋅⋅

=

Nota: Variabila timp este reprezentata prin notatia “t”, pentru care se acorda valori conventionale. Daca se considera necesar, în vederea simplificarii calculelor implicate cu estimarea

parametrilor ecuatiei de tendinta se poate adopta, pentru evaluarea variabilei timp, un sistem care sa îndeplineasca doua conditii, asfel: - suma valorilor acordate lui t la puteri impare sa fie nula, 0St 1m2

i =+ , ( )..., 2, 1, 0,m = , - diferenta dintre oricare doua valori succesive ale lui t sa fie constanta. Mediile trimestriale ale componentelor cumulate de sezonalitate si eroare:

a) Medii trimestriale individuale:

( ) 455167,03

3427,05130,05098,0y:xM 1ii =

++=

( ) 211067,13

2658,11408,12266,1y:xM 2ii =

++=

( ) 854433,13

8371,18491,18771,1y:xM 3ii =

++=

( ) 462233,03

4802,04672,04393,0y:xM 4ii =

++=

b) Media trimestriala generala: ( ) 995725,0129487,11

y:xM 0ii ==

Coeficientii medii de sezonalitate trimestriala aferenti perioadei anilor 1-3:

457121,0995725,0455167,0

Cs1 == ; 216266,1995725,0211067,1

Cs2 == ;

862395,1995725,0854433,1Cs 3 == ; 464217,0

995725,0462233,0Cs 4 ==

Nota: Coeficientii medii de sezonalitate trimestriala (Csi), fiind calculati ca raport între marimi medii, exprima o tendinta centrala si nu sunt afectati de termenul de eroare.

-70-

Structura spectrala a evolutiei cifrei de afaceri (procedeul aditiv)

Perioada RS)(TR)S(T

=+−−++

R)(STR)S(T+=−

−++

SR

R)(S

=−

−+

x T S R

2001 : 1 0,20668 -1,92308 -2,12976 2 = 3,923 - 2,130 + 0,207 2001 : 2 0,05053 1,10839 1,05786 6 = 4,892 + 1,058 + 0,050 2001 : 3 0,08611 5,13986 5,05375 11 = 5,860 + 5,054 + 0,086 2001 : 4 -0,16998 -3,82867 -3,65869 3 = 6,829 - 3,659 - 0,170 Total an 1 2002 : 1 0,43574 -3,79720 -4,23294 4 = 7,797 - 4,233 + 0,436 2002 : 2 -0,66141 1,23427 1,89568 10 = 8,766 + 1,895 - 0,661 2002 : 3 -0,12905 8,26573 8,39478 18 = 9,734 + 8,395 - 0,129 2002 : 4 0,03158 -5,70280 -5,73438 5 = 10,703 - 5,734 + 0,031 Total an 2 2003 : 1 -1,33521 -7,67133 -6,33612 4 = 11,671 - 6,336 - 1,335 2003 : 2 0,62664 3,36014 2,73350 16 = 12,640 + 2,733 + 0,627 2003 : 3 -0,34420 11,39161 11,73581 25 = 13,608 + 11,736 - 0,344 2003 : 4 0,23315 -7,57692 -7,81007 7 = 14,577 -7,810 + 0,233 Total an 3 Total general

-0,96942 0,00000 +0,96942 111 =111,000 + 0,969 - 0,969

Prognoza : Cs)bt(ay vp ⋅+= Anul 4 : 1 = 7, 10615 = (2,954545 + 0,968531 * 13) * 0,457121 Anul 4 : 2 = 20, 08539 = (2,954545 + 0,968531 * 14) * 1,216266 Anul 4 : 3 = 32, 55934 = (2,954545 + 0,968531 * 15) * 1,862395 Anul 4 : 4 = 8, 56529 = (2,954545 + 0,968531 * 16) * 0,464217 Aceasta analiza semnalizeaza managerilor când este necesar sa se aplice masuri prin care:

- sa se asigure capacitatea necesara pentru acoperirea cererii de produse (servicii) din trimestrele II si III când sezonalitatea este supraunitara, - sa se asigure executarea lucrarilor de raparatii la mijloacele fixe cu prioritate în trimestrele cu activitate redusa, - sa se realizeze aprovizionarea cu resursele necesare în mod diferentiat în functie de marimea solicitarii trimestriale, - sa se programeze în mod judicios concediile de odihna, - sa se asigure o plasare profitabila a lichiditatilor, - sa se adopte cea mai buna politica pentru contractarea creditelor curente (de trezorerie), - sa se asigure personalul necesar pentru realizarea volumului de activitate previzibil, care va fi solicitat pe trimestre. Prognoza volumului de activitate poate fi completata cu o estimare a structurii cifrei de

afaceri pe subactivitati pe baza metodei lanturilor Markov.

-71-

Nota: Din punct de vedere metodologic, analiza prezentata poate fi considerata ca model si pentru alte activitati cu o desfasurare sezoniera cum ar fi productia de conserve din fructe sau produse agricole, productia si comercializarea de bere, productia de zahar etc.

Cercetarea statistica prin sondaj Datele statistice care dau forma concreta de existenta si manifestare a colectivitatilor statistice se obtin fie prin observarea totala a unitatilor componente , fie prin observari partiale de tipul anchetelor, monografiilor sau cercetarilor statistice prin sondaj. Cercetarea statistica prin sondaj are ca scop general efectuarea unei analize tematice riguroase privind un ansamblu de unitati pe care îl vom numi “populatie” (în sens statistic) sau colectivitate statistica, observând, prelucrând si interpretând rezultate ce se refera numai la oparte din unitatile ce o compun, numita esantion. Privita numai din acest punct de vedere se poate aprecia ca, cunoasterea umana bazata pe observatii partiale este foarte veche, dar luata ca un procedeu fundamentat si utilizat în mod stiintific, cercetarea prin sondaj s-a conturat dupa al doilea razboi mondial. Pe plan mondial, cu toate progresele teoretice, incontestabile, înregistrate, cu precadere, între cele doua razboaie mondiale, datorita unor ilustri specialisti ca Student, K. Pearson, R. A. Fisher, Jerzy Neyman, A. N. Kolmogorov, P. C. Mahalanobis, aplicatiile metodei sondajului sunt totusi modeste, în raport cu eficacitatea scontata a sa. Cercetarea prin sondaj este forma cea mai eficienta de cercetare partiala, deoarece se bazeaza pe studierea unei colectivitati de unitati relativ mici, însa constituita, prin aplicarea unor reguli fundamentate în mod riguros si care permite sa se faca aprecieri foarte precise asupra întregii mase de unitati ce formeaza populatia statistica. Scopul aplicarii unei asemenea metodologii de cercetare este de a estima nivelurile unor caracteristici ale populatiei statistice, cum sunt: media si dispersia, proportia unitatilor ce detin o anumita caracteristica, corelatia dintre doua sau mai multe caracteristicii sau de a cunoaste repartitia unitatilor populatiei dupa una sau mai multe caracteristici. Folosirea pe scara din ce în ce mai mare a cercetarilor prin sondaj este determinata de avantajele pe care le prezinta aceasta metoda, comparativ cu cercetarea totala, si anume: - asigura o importanta economie de timp prin observarea, prelucrarea si interpretarea rezultatelor obtinute de la un numar relativ mic de unitati ale populatiei; - permite reducerea volumului de mijloace umane si financiare, comparativ cu necesitatile de realizare ale unei observari totale; - prin studierea caracteristicilor înregistrate numai la o parte a populatiei apare posibilitatea desfasurarii unei observari mai extinse, mai amanuntite, mai complexe si mai exacte a unitatilor supuse cercetarii; - în cadrul organizatoric al unei cercetari prin sondaj este posibila exercitarea unui control mai strict asupra operatiunilor de culegere si prelucrare a datelor; - sondajul poate fi efectuat de un personal mai bine calificat pentru a culege, prelucra si interpreta rezultate; - sondajul poate fi aplicat cu succes atunci când observarea totala a unitatilor ce compun populatia nu este posibila, fie datorita unor necesitati de resurse banesti si umane foarte mari, care

-72-

nu ar fi compensate de avantajele ce s-ar obtine prin folosirea rezultatelor oferite, fie datorita faptului ca unitatile supuse observarii se distrug, fie ca populatia statistica ce urmeaza a fi cercetata este infinita sau foarte numeroasa; - prin sondaj se poate efectua verificarea modului de organizare si a programului unui recensamânt ce urmeaza sa fie realizat; - pe baza unui sondaj se poate determina gradul de precizie a datelor obtinute printr-un recensamânt si respectiv se poate opera o corectie a datelor respective ; - datele obtinute prin sondaj sunt afectate de unele erori de reprezentativitate întâmplatoare, a caror marime poate fi însa estimata daca se respecta caracterul întâmplator de formare a esantionului. Teoria metodei sondajelor se bazeaza pe legea numerelor mari, care în esenta este formulata astfel: se poate afirma cu o probabilitate apropiata de unitate ca, în cazul unui numar suficient de mare de unitati cercetate, indicatorii medii care caracterizeaza esantionul difera cu o cantitate foarte mica de indiatorii care caracterizeaza populatia statistica din care a fost extras. Practica cercetarilor statistice prin sondaj a facut necesara consacrarea unor notiuni specifice, cu o semnificatie adecvata acestui domeniu, astfel: - Sondajul este un complex de operatiuni metodologice aferente cercetarii unei parti dintr-o populatie statistica numita esantion constituit prin folosirea unor procedee adecvate de extragere. Sondajul poate fi de tip aleator sau probabilist sau de tip nealeator, însa numai pentru sondajul aleator este posibil sa se estimeze limitele erorilor de reprezentativitate, în timp ce pentru sondajul care nu are un caracter aleator nu poate fi calculat un nivel estimativ al erorilor comise. - Esantionul este o parte a unei populatii statistice constituita în urma unei operatii de extragere a unora din unitatile ce o compun. - Sondajul aleator sau probabilist este un sondaj efectuat pe baza teoriei probabilitatilor; fiecare unitate din populatie are o probabilitate cunoscuta si diferita de zero de afi inclusa în esantion. - Sondajul nealeator este acela care nu respecta caracterul întâmplator de includere în esantion a unitatilor statistice. Unitatile esantionului sunt alese în mod constient, premeditat. - Esantionul aleator este esantionul constituit printr-un procedeu aleator de extragere a unitatilor statistice din colectivitatea totala. - Volumul esantionului reprezinta numarul unitatilor extrase din tr-o populatie statistica si care au intrat în componenta esantionul. - Unitatea de sondaj este unitatea care face parte dintr-o populatie si care urmeaza sa faca obiectul unor extrageri. - Baza de sondaj este o lista, o harta sau o colectie de formulare ce contine informatii cu privire la unitatile populatiei statistice din care urmeaza sa se constituie un esantion. - Fractia de sondaj reprezinta raportul dintre numarul unitatilor ce compun esantionul si numarul total al unitatilor din populatie. Organizarea practica a unei cercetari statistice prin sondaj implica rezolvarea mai multor probleme metodologice în functie de specificul populatiei, scopul si programul observarii. În acest sens se cere definirea completa si precisa a scopului cercetarii; delimitarea în timp si spatiu a populatiei statistice din care urmeaza a se extrage esantionul; stabilirea unitatii de sondaj;

-73-

detalierea programului observarii; stabilirea celei mai convenabile baze de sondaj sau întocmirea acesteia daca nu exista o baza oficial constituita; alegerea procedeului de formare a esantionului care sa permita o buna reprezentativitate a populatiei; determinarea volumului esantionului si constituirea acestuia; alegerea metodei de culegere a datelor care sa conduca la erori de observare neglijabile; întocmirea planului de prelucrare a datelor culese.

Erorile în cercetarea statistica prin sondaj

Metodologia adoptata pentru constituirea esantionului influenteaza, în mod inevitabil, fazele ulterioare ale cercetarii, nivelurile estimative ale caracteristicilor statistice si al erorilor aferente. În cazul cercetarilor prin sondaj rezultatele finale sunt afectate de unele erori, care însa trebuie sa fie suficient de mici pentru a nu denatura concluziile referitoare la populatia cercetata.

Tipurile de erori considerate ca fiind specifice cercetarilor statistica prin sondaj sunt: erori de înregistrare sau de observare cu o dimensiune minima, aproape inexistente si erori de reprezentativitate.

Erorile de înregistrare sunt, de rgula, neglijabile în acest caz, deoarece este posibil ca etapa de observare sa se desfasoare în conditii organizatorice superioare si cu un control mai riguros, comparativ cu observarile totale.

Erorile de reprezentatvitate apar la toate cercetarile prin sondaj deoarece observarea se extinde numai asupra partii din populatia statistica care a fost cuprinsa în esantion si care nu poate fi, în nici-o situatie practica, o formatie perfect identica cu populatia, indiferent de marimea esantionului si de procedeul de sondaj adoptat.

Eliminarea completa a erorilor de reprezentativitate nu este posibila deoarece aceasta ar însemna sa înlocuim observarea partiala cu obsevarea totala.

Eroarea de reprezentativitate este apreciata prin diferenta care exista între valoarea medie sau abaterea medie patratica a valorilor caracteristicii calculate pe baza datelor obtinute prin observarea esantionului, si media sau abaterea medie patratica calculate la nivelul tuturor unitatilor care formeaza populatia statistica.

Erorile de reprezentativitate pot fi identificate în doua variante: sistematice si întâmplatoare.

În cazul cercetarilor prin sondaj, cauzele care pot provoca aparitia erorilor de reprezentativitate sistematice, sunt:

a) - folosirea unor formule incorecte pentru estimarea nivelului caracteristicilor statistice despre care s-au colectat date;

b) - alegerea constienta a unitatilor de sondaj, pretinzând ca acestea reprezinta în mod corect ce este tipic în colectivitatea totala respectiva. Aplicarea unui procedeu de sondaj constient implica posibilitatea afirmarii punctelor de vedere subiective cu repercursiuni deformatoare asupra reprezentativitatii esantionului;

c) - constituirea esantionului prin extrageri dintr-o baza de sondaj incompleta sau învechita;

d) - folosirea unui procedeu de tip nealeator pentru formarea esantionului; e) - substituirea unor unitati din esantion cu altele mai comode pentru cercetare.

-74-

Când se organizeaza o cercetare statistica prin sondaj este necesar sa se asigure, de la bun început, eliminarea tuturor surselor care pot provoca erori de reprezentativitate sistematice. Modalitatea cea mai sigura de a evita aparitia erorilor de reprezentativitate sistematice este adoptarea riguroasa a unei scheme de sondaj de tip aleator pentru formarea esantionului. Erorile de reprezentativitate întâmplatoare nu pot fi eliminate, acestea se produc si atunci când s-a respectat cu strictete caracterul aleator de extragere a unitatilor care vor constitui esantionul. Dar, se remarca faptul ca este posibil, în acest caz, sa se calculeze cu exactitate marimea probabila a acestor erori, ceea ce asigura metodei cercetarii statistice prin sondaj avantajul unei metodologii riguroase de cercetare.

Valoarea medie a erorilor de reprezentativitate întâmplatoare depinde de volumul esantionului, de gradul de variabilitate al caracteristicilor studiate si de procedeul de sondaj aplicat. Din punct de vedere al structurii, reprezentativitatea unui esantion se considera corespunzatoare atunci când structura acestuia este identica, sau difera foarte putin de structura populatiei din care a fost extras, acest fapt se apreciaza prin compararea marimilor relative de structura ale esantionului si respectiv ale populatiei care nu trebuie sa evidentiaze diferente mai mari de %5± . O concluzie utila cu privire la reprezentativitatea structurala a unui esantion poate fi obtinuta si cu ajutorul “Criteriului 2? ” - “Testul de conformitate”. Exemplul 9 Sa se verifice reprezentativitatea structurii esantionului pentru o colectivitate de salariati grupati pe categorii profesionale cu ajutorul “Criteriului 2? ”

Tabelul 11 Colectivitatea totala Categorii

profesionale Numarul persoanelor

Structura Esantion (Nr. pers.)

in

Frecvente teoretice

int

( )i

2ii

ntntn −

“A” 1961 0,37 400 370 2,4324

“B” 2385 0,45 420 450 2,0000

“C” 689 0,13 140 130 0,7692

“D” 265 0,05 40 50 2,0000

Total 5300 1,00 1000 1000 7,2016

Nota Distributia teoretica a frecventelor este calculata prin aplicarea marimilor relative de structura de la nivelul colectivitatii totale asupra volumului esantionului. Verificarea ipotezei propuse se realizeaza prin compararea lui 2χ - statistic cu 2χ - tabelar, astfel:

( )7,81?7,20

ntntn

Sstatistic? 214f0,05;q

i

2ii2 =<=

−=− −==

Deoarece a rezultat ca 2? - statistic este mai mic decât 2? - tabelar, care a fost extras din ”Anexa 3”, pentru o probabilitate de 95% si 3 grade de libertate, se accepta ipoteza nula si deci între cele doua structuri nu se constata o deosebire semnificativa. Se confirma statistic faptul ca esantionul este reprezentativ din punct de vedere al structurii pe categorii profesionale, comparativ cu structura colectivitatii totale.

-75-

Procedee de sondaj În vederea asigurarii caracterului aleator al esantionului, în practica cercetarilor prin sondaj, se recurge la unul din urmatoarele doua procedee: - procedeul tragerii la sorti, - procedeul sondajului cu ajutorul tabelului cu numere întâmplatoare.

Procedeul tragerii la sorti

Procedeul tragerii la sorti sau al loteriei consta în extragerea la întâmplare dintr-o urna a unor bile, discuri sau fise identice ca forma, ce reprezinta unitati de sondaj, pâna la constituirea volumului necesar al esantionului. Acest procedeu poate fi aplicat în doua variante, astfel: a) - extragerea cu reintroducere (sondajul aleator cu revenire), când unitatea extrasa si supusa observarii este reintrodusa în popuplatia statistica, astfel încât la o extragere urmatoare aceasta unitate poate fi cercetata înca odata. În aceasta varianta, fiecare unitate de sondaj are aceeasi probabilitate de a fi extrasa si

respectiv de a fi cuprinsa în esantion cu o marime diferita de zero, egala cu, N1

P = , în care,

P este probabilitatea unei unitati de sondaj a populatiei statistice de a fi inclusa în esantion, N reprezinta numarul total al unitatilor populatiei statistice. b) - extragerea fara reintroducere (sondajul aleator fara revenire), când unitatea extrasa si supusa observarii nu mai este reintrodusa în colectivitatea totala. Prin acest procedeu de extragere probabilitatea fiecarei unitati de a fi inclusa în esantion creste odata cu derularea procesului de efectuare a extragerilor, ca urmare a micsorarii continue a volumului populatiei statistice. Astfel,

probabilitatea primei unitati de sondaj de a fi extrasa este:N1

P = , probabilitatea celei de a doua

unitati este: 1N

1P

−= si în final probabilitatea de a intra în esantion a ultimei unitati este,

( )1nN1P

−−= , în care cu “n” s-a notat numarul total de unitati ale esantionului.

Dintre cele doua variante de extragere a unitatilor conform procedeului tragerii la sorti, mai avantajos este sondajul fara revenire, deoarece în acest caz erorile de reprezentativitate întâmplatoare sunt mai mici. Prin includerea în esantion a unei unitati de sondaj, o singura data, se elimina posibilitatea deformarii frecventei variantelor caracteristicii.

Procedeul sondajului cu ajutorul tabelului cu numere aleatoare (întâmplatoare).

Acest procedeu consta în numerotarea, de la 1 la N, a tuturor unitatilor ce compun populatia statistica, fara a avea în vedere o ordine dinainte stabilita, si extragerea unui numar de “n” unitati de sondaj cu ajutorul unui tabel cu numere aleatoare. În practica se cunosc mai multe tipuri de asemenea tabele, întocmite de Tippett, de Fisher si Yates, de Burke Horton, de Kendall si Babington Smith si de Rond Corporation. Aceste tabele

-76-

au rezultat în urma a numeroase trageri la sorti, efectuate cu ajutorul unor masini de amestecat numere. Pentru exemplificarea tehnicii de obtinere a esantionului folosind procedeul sondajului cu ajutorul tabelului cu numere aleatoare, vom considera o populatie statistica compusa din 200 unitati, din care dorim sa extragem 10 unitati. În primul rând, cele 200 de unitati ale populatiei vor fi numerotate într-o ordine oarecare, de la 1 la 200. În continuare vom alege o coloana din tabelul respectiv, sa zicem coloana a 7-a, din care retinem 10 grupe de numere. Deoarece grupele de numere din tabel sunt formate din câte cinci cifre, acestea trebuie descompuse în grupe cu un numar de cifre egal cu numarul din care este compus volumul total al populatiei (în cazul nostru în grupe de câte trei cifre). Daca luam din tabel (Anexa 1), de exemplu, numarul 50243, vom putea forma urmatoarele grupe de trei cifre: 502, 024 si 243, deci dintr-o grupa de numere a tebelului putem alege una din cele trei variante de grupe formate din câte trei cifre. Sa presup unem ca am ales varianta prin care grupurile de trei cifre sunt situate în mijlocul numarului format din cinci cifre, în acest caz vom retine: 024 164 046 090 115 062 144 043 083..................................060 Se mentioneaza ca numerele formate din câte trei cifre care sunt mai mari de 200, vor fi neglijate, deoarece nu intra în limitele sondajului propus de noi. Cele 10 numere retinute sunt apoi ordonate dupa marime în vederea usurarii extragerii celor 10 unitati de sondaj din populatia statistica. Daca unele grupe de cifre retinute se repeta sau sunt foarte apropiate ca marime se recomanda a fi înlocuite cu alte numere extrase în continuare din tabel pe baza acelorasi principii. Tabelele cu numere aleatoare pot fi folosite, pentru constituirea esantioanelor, începând cu oricare coloana sau rând de numere, cu conditia ca sistemul de extragere a numerelo r sa fie respectat în mod riguros, pe toata durata operatiunii, pâna la formarea volumului necesar al esantionului. Acest procedeu de sondaj este echivalent cu sondajul aleator fara revenire. Practica cercetarilor prin sondaj a impus si alte procedee pe ntru constituirea esantioanelor datorita existentei unor conditii particulare de existenta a populatiilor statistice, de inexistenta unei baze de sondaj adecvate sau datorita unor posibilitati si scopuri specifice de realizare a sondajului, pe care le vom prezenta în continuare.

Procedeul sondajului sistematic În conditiile sondajului sistematic sau mecanic, pentru constituirea esantionului, unitatile de sondaj sunt extrase dintr-o baza de sondaj de forma unei liste sau a unui pachet de fise care cuprinde toate unitatile populatiei statistice. În baza de sondaj, unitatile sunt pozitionate si numerotate conform unei criteriu oarecare, independent de marimea caracteristicilor care vor fi studiate prin folosirea esantionului. O

-77-

eventuala corelare a criteriu lui de ordonare a unitatilor în baza de sondaj cu nivelul caracteristicii studiate sau existenta unei periodicitati a nivelului caracteristicii în baza de sondaj constituie surse de erori de reprezentativitate sistematice ce trebuie evitate.

Extragerea unitatilor de sondaj din baza de sondaj, în vederea formarii esantionului, se

efectueaza prin aplicarea unui interval sau pas de numarare, calculat astfel: nN

i = . În acest fel,

populatia statistica este împartita în grupe conventionale neomogene cu un numar de unitati egal cu marimea pasului de numarare, din fiecare grupa urmând a se extrage câte o unitate. Operatiunea de extragere începe prin localizarea unei unitati din prima grupa prin aplicarea tragerii la sorti, aceasta unitate va fi baza de plecare a extragerilor urmatoare (unitatea de start). La numarul de ordine asociat primei unitati extrase se adauga marimea pasului de numarare si se obtine numarul de ordine al urmatoarei unitati de sondaj, procesul continua pâna la formarea completa a esantionului. Sondajul sistematic, efectuat în acest mod, este asimilat procedeului de sondaj aleator cu revenire, deoarece volumul colectivitatii totale ramâne constant pe toata durata realizarii extragerilor, iar caracterul aleator se asigura prin folosirea unei baze de sondaj adecvate. De foarte multe ori, în practica, se adopta sistemul de ordonare alfabetica a unitatilor, în baza de sondaj, care permite, de regula, o pozitionare aleatoare a unitatilor. Din punct de vedere teoretic, marimea reala a erorilor de reprezentativitate, introduse prin aplicarea procedeului sistematic, este mai mica decât în cazul sondajului aleator cu revenire deoarece se evita riscul cooptarii repetate a uneia si aceleasi unitati în esantion dar este mai mare comparativ cu sondajul aleator fara revenire, deoarece volumul si ordinea populatiei statistice ramân aceleasi pe toata durata sondajului. Sondajul sistematic este aplicat cu succes în cercetarile sociologice si demografice, în studiile de opinie sau de preferinte, cu conditia ca baza de sondaj folosita sa fie completa, actuala si cu o ordine întâmplatoare a unitatilor.

Procedeul cotelor

Cazurile practice în care se recurge la procedeul cotelor sunt cele care au ca obiectiv cunoasterea opiniilor, preferintele sau a cerintelor de consum ale unor grupuri de persoane.

Procedeul cotelor poate fi aplicat numai atunci când este cunoscuta structura populatiei statistice care urmeaza sa fie cercetata prin sondaj. Fiecare operator de interviu primeste o “cota” de unitati care vor fi observate, de exemplu, câte persoane de sex feminin si câte de sex masculin sa fie intervievate, câte persoane active din anumite profesii, câte persoane sa apartina unei anumite grupe de vârsta, câte persoane care au domiciliul în mediul rural si câte în urban etc., astfel încât prin reunirea tuturor cotelor sa se reconstituie structura populatiei statistice pe un volum al esantionului considerat satisfacator pentru a obtine o caracterizare corespunzatoare a populatiei. Includerea unitatilor statistice (persoanelor) în esantion se face prin alegerea subiectilor, în conformitate cu cotele care i-au fost repartizate, la aprecierea subiectiva a fiecarui operator, fapt ce favorizeaza aparitia unor erori de reprezentativitate sistematice. Procedeul cotelor, datorita caracterului predominant al factorului subiectiv, comparativ cu includerea întâmplatoare în esantion a unitatilor statistice, nu permite estimarea erorilor de

-78-

reprezentativitate si în consecinta nu poate fi calculat intervalul de încredere pentru marimea medie sau totala a unei caracteristici.

Procedeul concentrat

Procedeul concentrat sau al partii principale poate fi adoptat atunci când, în functie de o anumita caracteristica, populatia statistica este puternic asimetrica. Aceasta consta în aceea ca procedam la cercetarea tuturor unitatilor în care este concentrata, într-o proportie mare (90-95%), caracteristica ce ne intereseaza si care sunt putine la numar si respectiv sunt excluse în totalitate din cercetare un numar mare de unitati în care caracteristica respectiva are o pondere mica (5-10%).

Procedeul introduce în mod deliberat, fara îndoiala, o eroare de reprezentativitate sistematica, dar care este posibil sa fie de proportii mici si sa fie considerata acceptabila.

Procedeul observatiilor la intervale egale sau neegale de timp

Acest procedeu se aplica în special la studiul statistic al calitatii productiei industriale si consta în observarea, la anumite momente, a uneia sau mai multor unitati care apartin unui fenomen ce se desfasoara în timp.

Felurile esantioanelor

a) Esantionul simplu aleator constituit prin tragere la sorti cu revenire

În cazul acestui tip de esantion pot fi fundamentate urmatoarele relatii de calcul atât în varianta reala cât si în varianta estimata: Pentru o caracteristica cantitativa

DENUMIREA

INDICATORILOR

Valoarea reala -calculata pe baza datelor

aferente colectivitatii totale-

Valoarea estimata -calculata pe baza datelor

obtinute din sondaj-

1. Volumul colectivitatii totale (N)

2. Volumul esantionului (n) 3. Valoarea medie a caracteristicii de reprezentativitate

Nx iΣ

=m nx iΣ

== xm

4. Dispersia caracteristicii de reprezentativitate ( )

Nm

X∑ −

=σ2

2 ix ( )1

222

−∑ −

==σn

xxsˆ i

XX

5. Eroarea medie a valorii medii de sondaj ( )

ns

NmxS

s

2X

n

2i

x

=

=−

= n

sˆ Xx

2

-79-

6. Eroarea medie a valorii totale a caracteristicii de reprezentativitate xX N σ⋅=σ xN σ⋅=σ ˆˆ X 7. Numarul total de esantioane care pot fi formate prin aplicarea procedeului de extragere prin tragere

la sorti cu revenire ( nN )

8. Eroarea limita sau maxima admisa pentru valoarea medie xx z σ⋅=∆

xx ˆzˆ σ⋅=∆

Pentru o caracteristica alternativa

DENUMIREA

INDICATORILOR

Valoarea reala -calculata pe baza datelor

aferente colectivitatii totale-

Valoarea estimata -calculata pe baza datelor

obtinute din sondaj-

1. Volumul colectivitatii totale(N)

2. Volumul esantionului (n)

3. Valoarea medie a caracteristicii alternative

NM

=p nm

== wp

4. Numarul de unitati statistice care detin caracteristica alternativa urmarita în colectivitatea totala

(M)

5 Numarul de unitati statistice care detin caracteristica alternativa

urmarita în esantion (m)

6. Dispersia caracteristicii alternative ( )ppp −=σ 12 ( )

1122

−⋅−==σ

nn

wwsˆ wp

7. Eroarea medie a valorii medii de sondaj ( )

np1p

n

ss

2p

w−==

( )1

12

−−

==σn

wwn

sˆ w

w

8. Eroarea medie a valorii totale a caracteristicii alternative wM N σ⋅=σ wN σ⋅=σ ˆˆ M 9. Numarul total de esantioane care pot fi formate prin aplicarea procedeului de extragere prin

tragere la sorti cu revenire ( nN )

10. Eroarea limita sau maxima admisa pentru valoarea medie ww z σ⋅=∆

ww ˆzˆ σ⋅=∆

b) Esantionul simplu aleator constituit prin tragere la sorti fara revenire

În cazul acestui tip de esantion pot fi fundamentate urmatoarele relatii de calcul, atât în varianta reala cât si în varianta estimata:

Pentru o caracteristica cantitativa

-80-

DENUMIREA INDICATORILOR

Valoarea reala este calculata pe baza datelor aferente

colectivitatii totale Valoarea estimata

este calculata pe baza datelor obtinute din sondaj

1. Volumul colectivitatii totale (N) 2. Volumul esantionului (n) 3. Valoarea medie a caracteristicii de reprezentativitate

Valoarea reala

Nx iΣ

=m Valoarea estimata

nx iΣ

== xm 4. Dispersia caracteristicii de reprezentativitate

Valoarea reala

( )N

mX

∑ −=σ

22 ix

Valoarea estimata

( )N

Nn

xxN

Nsˆ i

XX1

11 2

22 −⋅

−∑ −

=−

⋅=σ 5. Eroarea medie a valorii medii de sondaj Valoarea reala

( )1NnN

ns

CmxS

s2X

nN

2i

x −−

⋅=−

=

Valoarea estimata

NnN

nsˆ X

x

−⋅=σ

2

6. Eroarea medie a valorii totale a caracteristicii de reprezentativitate

Valoarea reala

xX N σ⋅=σ Valoarea estimata

xN σ⋅=σ ˆˆ X 7. Numarul total de esantioane care pot fi formate prin aplicarea procedeului de extragere prin tragere la sorti fara revenire

( nNC )

8. Eroarea limita sau maxima admisa pentru valoarea medie

Valoarea reala

xx z σ⋅=∆ Valoarea estimata

xx ˆzˆ σ⋅=∆ Nota:

( )!Cn

N n-Nn!N!

⋅=

-81-

Pentru o caracteristica alternativa

DENUMIREA INDICATORILOR

Valoarea reala este calculata pe baza datelor aferente

colectivitatii totale Valoarea estimata

este calculata pe baza datelor obtinute din sondaj

1. Volumul colectivitatii totale (N) 2. Volumul esantionului (n) 3. Valoarea medie a caracteristicii alternative Valoarea reala

NM

=p

Valoarea estimata

nm

wp == 4. Numarul de unitati statistice care detin caracteristica alternativa urmarita în colectivitatea

totala (M)

5 Numarul de unitati statistice care detin caracteristica alternativa urmarita în

esantion (m)

6. Dispersia caracteristicii alternative Valoarea reala

( )ppp −=σ 12 Valoarea estimata

( )N

Nn

nww

NN

sˆ wp

11

1122 −

⋅−

⋅−=−

⋅=σ 7. Eroarea medie a valorii medii de sondaj Valoarea reala

( )1

11

2

−−

⋅−

=−−

⋅σ

=σN

nNn

ppN

nNn

pw

Valoarea estimata

( )N

nNn

wwn

sˆ ww

−⋅

−−

==σ1

12

8. Eroarea medie a valorii totale a caracteristicii alternative

Valoarea reala

wM N σ⋅=σ Valoarea estimata

wN σ⋅=σ ˆˆ M 9. Numarul total de esantioane care pot fi formate prin aplicarea procedeului de extragere prin

tragere la sorti fara revenire ( nNC )

10. Eroarea limita sau maxima admisa pentru valoarea medie

Valoarea reala

ww z σ⋅=∆ Valoarea estimata

ww ˆzˆ σ⋅=∆

-82-

CALCULUL VOLUMULUI ESANTIONULUI

TIPUL ESANTIONULUI Esantion simplu aleatoriu cu revenire

(caracteristica cantitativa) 2

22

x

Xzn

∆σ⋅

=

Esantion simplu aleatoriu cu revenire (caracteristica alternativa sau calitativa)

( )2

2 1

w

ppzn∆

−⋅=

Esantion simplu aleatoriu fara revenire (caracteristica cantitativa) ( ) 222

22

1 Xx

X

zNNz

nσ⋅+∆⋅−

⋅σ⋅=

Esantion simplu aleatoriu fara revenire (caracteristica alternativa sau calitativa)

( )( ) ( )ppzN

Nppznw −⋅+∆⋅−

⋅−⋅=11

122

2

Nota: - z este factorul de probabilitate extras din tabela cu valorile functiei de

repartitie normala, în functie de probabilitatea cu care se doreste sa fie garantate rezultatele , (Anexa 2);

- 2Xσ este dispersia aracteristicii de reprezentativitate, cunoscuta dintr-o

cercetare totala efectuata anterior sau este o estimatie obtinuta pe baza unui esantion; - ( )pp −1 este dispersia caracteristicii alternative sau calitative cu doua variante, cunoscuta

dintr-o cercetare totala efectuata anterior sau este o estimatie obtinuta pe baza unui esantion; - x∆ este eroarea limita sau maxima admisa pentru valoarea medie a caracteristicii de

reprezentativitate cantitative, pentru care se opteaza, astfel încât marimea relativa a erorii limita în raport cu valoarea medie sa nu depaseasca 5%;

- w∆ este eroarea limita sau maxima admisa pentru valoarea medie a caracteristicii de reprezentativitate alternative sau calitative cu doua variante, pentru care se opteaza, astfel încât marimea relativa a erorii limita în raport cu valoarea medie sa nu depaseasca 5%.

c) Esantio nul simplu constituit prin procedeul sistematic

În cazul acestui tip de esantion pot fi fundamentate urmatoarele relatii de calcul, atât în

varianta reala cât si în varianta estimata: Pentru o caracteristica cantitativa În cazul ordonarii unitatilor statistice de sondaj în baza de sondaj dupa marimea

caracteristicii de reprezentativitate

DENUMIREA INDICATORILOR Valoarea reala

este calculata pe baza datelor aferente colectivitatii totale Valoarea estimata

este calculata pe baza datelor obtinute din sondaj 1. Volumul colectivitatii totale (N) 2. Volumul esantionului (n)

-83-

3. Valoarea medie a caracteristicii de reprezentativitate Valoarea reala

Nx iΣ

=m Valoarea estimata

nx iΣ

== xm 4. Dispersia caracteristicii de reprezentativitate Valoarea reala

( )N

mX

∑ −=σ

22 ix

5. Eroarea medie a valorii medii de sondaj Valoarea reala

( ) ( )[ ]?1n1n

sk

mxSs

2X

2i

x ⋅−+⋅=−

=

Valoarea estimata Yates

( )( )∑

−−

⋅⋅−

=σ−

=

+1

1

21

12

n

i

iix n

xxnNnNˆ

Cochran

( )∑ −⋅⋅−

=σ=

2

1

21222

/n

iiix xx

nNnNˆ

6. Coeficientul de corelatie interclasa Valoarea reala

( ) ( )( ) 2

1 1 1

1 X

k

r

n

i

n

iriir

nnk

mxmx

σ⋅−⋅⋅

∑ ∑ ∑ −⋅−=ρ = = =′

7. Pasul sau intervalul de numarare

nN

k =

8. Eroarea medie a valorii totale a caracteristicii de reprezentativitate

Valoarea reala

xX N σ⋅=σ Valoarea estimata

xN σ⋅=σ ˆˆ X 9. Numarul total de esantioane care pot fi formate prin aplicarea procedeului de extragere sistematica

(k)

10. Eroarea limita sau maxima admisa pentru valoarea medie

Valoarea reala

xx z σ⋅=∆ Valoarea estimata

xx ˆzˆ σ⋅=∆

-84-

11. Eroarea limita relativa pentru valoarea medie Valoarea reala Valoarea estimata

100⋅∆m

x 100⋅∆x

ˆx

Nota:

- în relatia de calcul a coeficientului de corelatie interclasa, marimea “k” va fi folosita cu zecimale, daca asa rezulta din calcul; - daca pasul sau intervalul de numarare -k- este un numar întreg se aplica un sondaj sistematic liniar. În acest caz “unitatea de start” este extrasa prin tragere la sorti din prima grupa conventionala de unitati statistice de sondaj care are marimea pasului de numarare; - daca pasul sau intervalul de numarare -k- este un numar zecimal, se foloseste partea întreaga a numarului si se aplica un sondaj sistematic circular. În acest caz “unitatea de start” este extrasa prin tragere la sorti din N; - daca în baza de sondaj, unitatile statistice de sondaj au o ordine aleatorie, sau sunt ordonate dupa o caracteristica independenta, necorelata cu caracteristice de reprezentativitate, cum ar fi ordinea alfabetica, sondajul simplu sistematic este asimilat sondajului simplu aleatoriu cu revenire; - estimatiile oferite de Yates si Cochran, pentru eroarea medie a valorii medii de sondaj, sunt “usor” distorsionate; - sondajul sistematic sau mecanic, în cazul ordonarii unitatilor statistice de sondaj în baza de sondaj dupa marimea caracteristicii de reprezentativitate, este considerat qvasi-aleatoriu;

- valoarea minima a coeficientului de corelatie interclasa este: -0,01=−⇔−

−1001

11

n;

- relatia necesara calculului volumului esantionului se poate obtine din formula erorii

limita sau maxima admisa pentru valoarea medie, astfel: ( )

ρ⋅σ⋅−∆ρ−⋅σ⋅

=222

2 1

Xx

X

zn

2z.

- Sondajul în trepte. În acest caz tipologia unitatilor de sondaj se modifica de la un esantion la altul. De exemplu: - în prima treapta se extrag judete, - în treapta a doua se extrag din judetele extrase în prima treapta, localitati, iar în treapta a treia, din localitati se extrag persoane sau familii.

Sondajul în trepte presupune, prin urmare, existenta unei grupari a unitatilor care formeaza colectivitatea statistica totala în grupe (cuiburi, serii) si subgrupe cu existenta permanenta. Daca se opteaza pentru un sondaj în doua trepte (cu observarea totala a unitatilor statistice elementare cuprinse în cuiburile extrase în treapta a doua), prin tragere la sorti fara revenire, eroarea medie a valorii medii de sondaj se calculeaza astfel:

-85-

11 2

22

1

11

−−

⋅⋅

δ+

−−

⋅δ

=σR

rRR

rRx

12

22

1

21

rrr, în care:

- 2R - numarul unitatilor de sondaj (cuiburilor), de forma treptei întâi, existente în

colectivitatea statistica totala, - 2R - numarul unitatilor de sondaj (cuiburilor), de forma treptei a doua, continute în 1r , - 1r - volumul esantionului format din cuiburile extrase, în prima treapta, din 1R , - 2r - volumul esantionului format din cuiburile extrase, în treapta a doua din 2R . - Sondajul în faze. În cazul acestui tip de sondaj se formeaza esantioane succesive prin

extrageri dintr-un esantion, mai numeros, constituit anterior. Tipologia unitatilor de sondaj este aceeasi în toate fazele de extragere a esantioanelor. În fiecare faza de esantionare se aplica un program de observare mai complex.

Exemplul 10 În procesul de ambalare automata a unui antibiotic, se retine la anumite intervale de timp câte un flacon si se cântareste continutul acestora cu o precizie de 0,1 mg.. Sunt cercetate, în acest fel, 250 flacoane. Valorile referitoare la greutatea flacoanelor cântarite sunt prezentate, pe grupe, în tabel. Se doreste sa se calculeze un interval de încredere pentru valoarea medie a greutatii flacoanelor pentru o productie totala de 10.000 fiole. Rezultatele vor fi garantate cu o probabilitate de 95% ( 1,96z 0,05q == ).

Tabelul 12

Grupe de

flacoane dupa

greutate (mg.)

Numarul flacoane-

lor ( in )

Mijlocul interva-

lului ( ix )

2126,55x i − i

i n2

126,55x⋅

i

2i n

2126,55x

115,6-117,5

4 116,55 -5 -20 100

117,6-119,5

6 118,55 -4 -24 96

119,6-121,5

20 120,55 -3 -60 180

121,6-123,5

36 122,55 -2 -72 144

123,6-125,5

44 124,55 -1 -44 44

125,6-127,5

55 126,55 0 0 0

127,6- 36 128,55 +1 36 36

-86-

129,5 129,6-131,5

25 130,55 +2 50 100

131,6-133,5

12 132,55 +3 36 108

133,6-135,5

8 134,55 +4 32 128

135,6-137,5

4 136,55 +5 20 100

Total 250 1.036 Nota: În cazul acestei cercetari procedeul adoptat pentru constituirea esantionului este aplicat pe toata durata procesului tehnologic de productie a lotului de 10.000 fiole si poate fi asimilat procedeului de extragere prin tragere la sorti fara revenire.

Marimea intervalului de grupare s-a calculat astfel:

( ) ( ) .mg 2 .mg 1,71161378100

1xx8

1001

i minmax ≈=−⋅⋅=−⋅⋅= , în care,

8100

1⋅ este un factor empiric iar, minmax xx − , este amp litudinea variatiei

- estimatia valorii medii a greutatii flacoanelor,

.mg 126,182126,552n

n2

126,55xS

x1

i

=+⋅⋅

=

- estimatia dispersiei greutatii flacoanelor (în cazul sondajului efectuat prin tragere la sorti fara revenire),

( ) 16,5N

1N126,55126,1822

1n

n2

126,55xS

N1N

s 221

2i

2 =−

−−⋅−

=−

- limita inferioara a intervalului (li) în care se situeaza greutatea medie a celor 10.000 fiole,

mg. 685,12525367,096,1182,126N

nNns

zxli2

q =⋅−=

⋅−=

- limita superioara a intervalului (ls) în care se situeaza greutatea medie a celor 10.000 fiole,

mg. 679,12625367,096,1182,126N

nNns

zxls2

q =⋅+=

⋅+=

Exemplul 11

-87-

Din încarcatura de carbuni a unei garnituri de tren, destinat unei centrale electrice, s-a constituit un esantion simplu aleator format din 400 probe. Pe baza analizelor efectuate s-au obtinut urmatoarele date cu privire la continutul de cenuse a carbunilor:

Tabelul 13 Grupe dupa

continutul în cenuse

al carbunilor

(%)

Numarul Probelor ( in )

Mijlocul Intervalului ( ix )

iinx xx i − ( )2i xx − ( ) i

2i nxx ⋅−

9 - 11 5 10 50 -7,175 51,4806 257,403 11 - 13 30 12 360 -5,175 26,7806 803,419 13 - 15 45 14 630 -3,175 10,0806 453,628 15 - 17 100 16 1.600 -1,175 1,3806 138,063 17 - 19 130 18 2.340 0,825 0,6806 88,481 19 - 21 55 20 1.100 2,825 7,9806 438,934 21 - 23 25 22 550 4,825 23,2806 582,016 23 - 25 10 24 240 6,825 46,5806 465,806 Total 400 6.870 3.227,750

Sa se determine probabilitatea ca eroarea limita (maxima admisa) care revine pentru ca estimatia procentului mediu de cenuse a carbunilor sa nu depaseasca 0,3%, ( %3,0? x = )

- estimatia procentului mediu al continutului de cenuse al carbunilor,

% 175,17400870.6

SnnSx

xi

ii ===

- estimatia dispersiei procentului de cenuse,

( )09,8

140075,227.3

1SnnxxS

si

i2

i2 =−

=−

⋅−=

%3,0? x = → 11,2

40009,83,0

ns

?z

ns

z?2

xq

2

qx ===→⋅=

În tabela cu valorile functiei lui Laplace (Anexa 2) se gaseste ca pentru 11,2z q = , revine o probabilitate de 96,60%.

Exemplul 12

Sa se calculeze marimea esantionului simplu care se doreste a fi constituit în vederea cercetarii prin sondaj a rezistentei la presiune a unor piese. Procedeul de sondaj care urmeaza a fi folosit este tragerea la sorti fara revenire. Dintr-o înregistrare de proba, efectuata anterior, asupra unui numar de 100 piese s-a putut calcula o estimatie a dispersiei caracteristicii (rezistenta la presiune), care are marimea de 20.000.

-88-

Cercetarea ce urmeaza a fi realizata admite o eroare limita pentru rezistenta medie la presiune de 40 kg/ 2cm si o probabilitate de garantare a rezultatelor de 95%, în care caz factorul de probabilitate, conform legii de repartitie normale, este 1,96z q = .

Nota: Cu toate ca, procedeul de sondaj ce se preconizeaza a fi utilizat este tragerea la sorti

fara revenire, formula de calcul folosita pentru determinarea numarului de piese ce vor fi cercetate, este aceea utilizata în cazul tragerii la sorti cu revenire, deoarece nu se cunoaste volumul colectivitatii totale.

piese 4840

20.0001,96?

szn

2

2

2x

22q =

⋅=

⋅=

Exemplul 13

Se doreste sa se estimeze proportia fumatorilor existenta într-o populatie statistica, cu o probabilitate de 95%, iar pe baza unor informatii anterioare se apreciaza ca aceasta proportie este de aproximativ 40%. Sa se calculeze marimea esantionului simplu ce va fi constituit prin tragere fara revenire, considerând o eroare limita de 4%.

În aceste conditii date, numarul de pesoane care vor fi incluse în esantion este calculat astfel:

( )persoane 657

0,040,60,41,96

?

p1pzn

2

2

2w

2q =

⋅⋅=

−⋅=

Exemplul 14

În cadrul unei cercetari statistice prin sondaj privind eficienta activitatii comisiilor de judecata s-a urmarit si evaluarea duratei medii de solutionare a cauzelor. Prelucrarea datelor înregistrate de la un esantion format prin tragere la sorti fara revenire si care reprezinta 20% din totalitatea cauzelor, a condus la urmatoarea distributie:

Tabelul 14 Timpul necesar pentru solutionarea cauzelor (zile)

Numarul cauzelor

in

Mijlocul intervalului

ix

iinx ( )2i xx − ( ) i

2i nxx ⋅−

pâna la 15 20 8,0 160 473,0625 9.461,250 16-30 120 23,0 2.760 45,5625 5.467,500 31-60 50 45,5 2.275 248,0625 12.403,125 peste 60 10 75,5 755 2.093,0625 20.930,625 total 200 5.950 48.262,500

Sa se estimeze durata medie de solutionare o unei cauze din întregul lot de cauze si limitele sale probabile, adoptându-se o probabilitate de garantare a rezultatelor de 95,45%.

- Estimatia duratei medii de solutionare a unei cauze:

-89-

zile 29,75200

5.950Sn

nSxx

i

ii ===

- Estimatia dispersiei duratei de solutionare a cauzelor: ( )

28,224999,052512,242000.1

9991200

48.262,500N

1N1Sn

nxxSN

1Nsi

i2

i2

=⋅=

=⋅−

=−⋅−

⋅−=−⋅

- Estimatia erorii medii a valorii medii:

9849,08,02126,1000.1

200000.120052512,242

NnN

nss

2

x =⋅=−⋅=−⋅=

- Limitele probabile ale duratei medii de solutionare a unei cauze: - limita inferioara:

zile 78,279849,0275,29N

nNns

zxli2

q =⋅−=

⋅−=

- limita superioara:

zile 72,319849,0275,29N

nNns

zxli2

q =⋅+=

⋅+=

-90-

Anexa 1 Numere întâmplatoare1)

Seria 1 2 3 4 5 6 7 8 1 78994 36244 02673 25475 84953 61793 50243 63423 2 04909 58485 70786 93930 34880 73059 06823 80257 3 46582 73570 33004 51795 86477 46736 60460 70345 4 29242 89792 88634 60285 07190 97795 27011 85941 5 68104 81339 97090 20601 78940 20228 22803 96070 6 17156 02182 82504 19880 93747 80910 78260 25136 7 50711 94789 07171 02103 99057 98775 37997 18325 8 39449 52409 75095 77720 39729 03205 09313 43545 9 75629 82729 76916 72657 58992 32576 01154 84890 10 01020 55151 36132 51971 32155 60735 64867 35424 11 08337 89989 24290 08618 66798 25889 52860 57375 12 76829 47229 19706 30094 69430 92399 98749 22081 13 39708 30641 21267 56501 95182 72442 221445 17276 14 89836 55817 56747 75195 06818 83043 47403 58266 15 25903 61370 66081 54076 67442 52964 23823 02718 16 71345 03422 01015 68023 19703 77313 04555 83425 17 61454 92263 14647 08473 34124 10740 40839 05620 18 80376 08909 30470 40200 46558 61742 11643 92121 18 45144 54373 05505 90074 24783 86299 20900 15144 20 12191 88527 58852 51175 11534 87218 04876 85584 21 62936 59120 73957 35969 21598 47287 39394 08778 22 31588 96798 43668 12611 01714 77266 55079 24690 23 20787 96048 84726 17512 39450 43618 30629 24356 24 45603 00745 84635 43079 52724 14262 05750 89373 25 31606 64782 34027 56734 09365 20008 93559 78384 26 10452 33074 76718 99556 16026 00013 78411 95107 27 37016 64633 67301 50949 91298 74968 73631 57397 28 66725 97865 25409 37498 00816 99262 14471 10232 29 07380 74438 82120 17890 40963 55757 13492 68294 30 71621 57688 58256 47702 74724 89419 08025 68519 31 03466 13263 23917 20417 11315 52805 33072 07723 32 12692 32931 97387 34822 53775 91674 76549 37635 33 52192 30941 44998 17833 94563 23062 95725 38463 34 56691 72529 66063 73570 86860 68125 40436 31303 35 74952 43041 58869 15677 78598 43520 97521 83248 36 18752 43693 32867 53017 22661 39610 03796 02622 37 61691 04944 43111 28325 82319 65589 66048 98498 38 49197 63948 38947 60207 70667 39843 60607 15328 39 19436 87291 71684 74859 76501 9345 6 95714 92518 40 39143 64893 14606 13543 09621 68301 69817 52140 41 82244 67549 76491 09761 74494 91307 64222 66592 42 55847 56155 42878 23708 98999 40131 52360 90398 43 94095 95970 07826 25991 37584 56966 68623 83454 44 11751 69469 25521 44097 07511 88976 30122 67542 45 69902 08995 27821 11758 64989 61902 32121 28163 46 21850 25352 25556 92161 23592 43294 10479 37879 47 75850 46992 251665 55906 62339 88958 91717 15756 48 29648 22086 42581 85677 20251 39641 65786 80689 49 82740 28443 42734 25518 82827 35825 90288 32911 50 36842 42092 52075 83926 42875 71500 69216 01350

1) Reprodus dupa F. Mills – “Statistical Methodes”, Columbia University, Third edition, New York.

-91-

Anexa 2 Distributia normala normata.

Functia lui Laplace ( ) dzez zz

⋅∫⋅π

=φ−

02

2

2

1

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3696 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0

0,0 0,4987

0,1 0,4990

0,2 0,4993

0,3 0,4995

0,4 0,4997

0,5 0,4998

0,6 0,4998

0,7 0,4999

0,8 0,4999

0,9 0,5000

-92-

Anexa 3

Distributia 2χ Valorile lui 2χ în functie de probabilitatea ( ) PqP P =−=χ≤χ 122 si numarul gradelor de libertate f

q% P%

f

99,5 0,5

99,0 1,0

97,5 2,5

95,0 5,0

90,0 10,0

50,0 50,0

10,0 90,0

5,0 95,0

2,5 97,5

1,0 99,0

0,5 99,5

1 0,0000 393

0,000 157

0,000 982

0,00 393

0,158 0,455 2,71 3,84 5.02 6,63 7,88

2 0,0100 0,2010 0,0506 0,103 0,211 1,39 4,61 5,99 7,38 9,21 10,6 3 0,0717 0,115 0,216 0,352 0,548 2,37 6,25 7,81 9,35 11,3 12,8 4 0,207 0,297 O,484 0,711 1,06 3,36 7,78 9,49 11,1 13,3 14,9 5 0,412 0,554 0,831 1,45 1,61 4,35 9,24 11,1 12,8 15,1 16,7 6 0,676 0,827 1,24 1,64 2,20 5,35 10,6 12,6 14,4 16,8 18,5 7 0,989 1,24 1,69 2,17 2,83 6,35 12,0 14,1 16,0 18,5 20,3 8 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 7,34 13,4 15,5 17,5 20,1 22,0 9 1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 8,34 14,7 16,9 19,0 21,7 23,6

10 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 9,34 16,0 18,3 20,5 23,2 25,2 11 2,60 3,05 3,82 4,57 5,58 10,3 17,3 19,7 21,9 24,7 26,8 12 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 11,3 18,5 21,0 23,3 26,2 28,3 13 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 12,3 19,8 22,4 24,7 27,7 29,8 14 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 13,3 21,1 23,7 26,1 29,1 31,3 15 4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 14,3 22,3 25,0 27,5 30,6 32,8 16 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 15,3 23,5 26,3 28,8 32,0 34,3 17 5,70 6,41 7,56 8,67 10,1 16,3 24,8 27,6 30,2 33,4 35,7 18 6,26 7,01 8,23 9,39 109 17,3 26,0 28,9 31,5 34,8 37,8 19 6,84 7,63 8,91 10,1 11,7 18,3 27,2 30,1 32,9 36,2 38,6 20 7,43 8,26 9,59 10,9 12,4 19,3 28,4 31,4 34,2 37,6 40,0 21 8,03 8,90 10,3 11,6 13,2 20,3 29,6 32,7 35,5 38,0 41,4 22 8,64 9,54 11,0 12,3 14,0 21,3 30,8 33,9 36,9 40,3 42,8 23 9,26 10,2 11,7 13,1 14,8 22,3 32,0 35,0 38,1 41,6 44,2 24 9,89 10,9 12,4 13,8 15,7 23,3 33,2 36,4 39,4 43,0 45,6 25 10,5 11,5 13,1 14,6 16,5 24,3 34,4 37,7 40,6 44,3 46,9 26 11,2 12,2 13,8 15,4 17,3 25,3 35,6 38,9 41,9 45,6 48,3 27 11,8 12,9 14,6 16,2 18,1 26,3 36,7 40,1 43,2 47,0 49,6 28 12,5 13,6 15,3 16,9 18,9 27,3 37,9 41,3 44,5 48,3 51,0 29 13,1 14,3 16,0 17,7 19,8 28,3 39,1 42,6 45,7 49,6 52,3 30 13,8 15,0 16,8 18,5 20,6 29,3 40,3 43,8 47,0 50,9 53,7

-93-

Anexa 4

Distributia Student a) Valorile lui “t” în functie de probabilitatea ( ) PqttP q =−=≤ 1 si numarul gradelor de libertate “f”

b) Valorile lui “t” în functie de probabilitatea ( ) Pqq

tttP qq =−=⋅−=+<<− 12

21 si numarul gradelor de libertate

“f”

P %q %

f

6040

7030

8020

9010

955

97,52,5

991

99,50 ,5

99 ,90,1

99,950,05

1 0,325 0,727 1,376 3,078 6,314 12,710 31,820 63,660 381,30 636,60 2 0,289 0,617 1,061 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,33 31,60 3 0,277 0,584 0,978 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,22 12,94 4 0,271 0,569 0,941 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 8,610 5 0,267 0,559 0,920 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 6,859 6 0,265 0,553 0,906 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5,959 7 0,263 0,549 0,896 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 5,405 8 0,262 0,546 0,889 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 5,041 9 0,261 0,543 0,883 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 4,781

10 0,260 0,542 0,879 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4,587 P%q%

2040

4 03 0

6 02 0

8 01 0

905

952,5

9 81

990,5

99,80,1

99,900,05

-94-

P %q %

f

6040

7030

8020

9010

955

97,52,5

991

99,50 ,5

99 ,90,1

99,950,05

11 0,260 0,540 0,876 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4,437 12 0,259 0,539 0,873 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 4,318 13 0,259 0,538 0,870 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,853 4,221 14 0,258 0,537 0,868 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4,140 15 0,258 0,536 0,866 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 4,073 16 0,258 0,535 0,865 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 4,015 17 0,257 0,534 0,863 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 3,965 18 0,257 0,534 0,862 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,611 3,922 19 0,257 0,533 0,861 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3,883 20 0,257 0,533 0,860 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3,850 21 0,257 0,532 0,859 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 3,819 22 0,256 0,532 0,858 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 3,792 23 0,256 0,532 0,858 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 3,767 24 0,256 0,531 0,857 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 3,745 25 0,256 0,531 0,856 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 3,725 26 0,256 0,531 0,856 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 3,707 27 0,256 0,531 0,855 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 3,690 28 0,256 0,530 0,855 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 3,674 29 0,256 0,530 0,854 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 3,659 30 0,256 0,530 0,854 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 3,646

P%q%

2040

4 03 0

6 02 0

8 01 0

905

952,5

9 81

990,5

99,80,1

99,900,05

-95-

P %q %

f

6040

7030

8020

9010

955

97,52,5

991

99,50 ,5

99 ,90,1

99,950,05

40 0,255 0,529 0,851 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 3,551 50 0,255 0,528 0,849 1,298 1,676 2,009 2,403 2,678 3,262 3,495 60 0,254 0,527 0,848 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 3,460 80 0,254 0,527 0,846 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3,195 3,415

100 0,254 0,526 0,845 1,290 1,660 1,984 2,365 2,626 3,174 3,389 200 0,254 0,525 0,843 1,286 1,653 1,972 2,345 2,601 3,131 3,339 500 0,253 0,525 0,842 1,283 1,648 1,965 2,334 2,586 3,106 3,310 º 0,253 0,524 0,842 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 3,291 P%q%

2040

4 03 0

6 02 0

8 01 0

905

952,5

9 81

990,5

99,80,1

99,900,05

-96-

Anexa 5 Distributia Fisher

Valorile raportului 22

21

ss

F = corespunzatoare probabilitatii P(F ≤ Fq) = 95% si numarul gradelor de libertate

“f1” si “f2 ”. Dispersia mai mare, în cazul nostru 21s se ia la numarator.

f1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 16 20 24 80 100 º

f2 1 161 200 216 225 230 234 237 239 241 242 244 246 248 249 252 253 254 2 18,5 19,0 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,5 19,5 19,5 19,5 3 10,1 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,74 8,69 8,66 8,64 8,58 8,55 8,53 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,91 5,84 5,80 5,77 5,70 5,66 5,63 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,68 4,60 4,56 4,53 4,44 4,41 4,37 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00 3,92 3,87 3,84 3,75 3,71 3,67 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,57 3,49 3,44 3,41 3,32 3,27 3,23 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,28 3,20 3,15 3,12 3,02 2,97 2,93 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,07 2,99 2,94 2,90 2,80 2,76 2,71 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,91 2,83 2,77 2,74 2,64 2,59 2,54 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,79 2,70 2,65 2,61 2,51 2,46 2,40 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,69 2,60 2,54 2,51 2,40 2,35 2,30 13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,60 2,51 2,46 2,42 2,31 2,26 2,21 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,53 2,44 2,39 2,35 2,24 2,19 2,13 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,48 2,38 2,33 2,29 2,18 2,12 2,07 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,42 2,33 2,28 2,24 2,12 2,07 2,01

-97-

f1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 16 20 24 80 100 º

f2 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,38 2,29 2,23 2,19 2,08 2,02 1,96 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,34 2,25 2,19 2,15 2,04 1,98 1,92 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,31 2,21 2,16 2,11 2,00 1,94 1,88 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,28 2,18 2,12 2,08 1,97 1,91 1,84 21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,25 2,16 2,10 2,05 1,94 1,88 1,81 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,23 2,13 2,07 2,03 1,91 1,85 1,78 23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,20 2,11 2,05 2,00 1,88 1,82 1,76 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,18 2,09 2,03 1,98 1,86 1,80 1,73 25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,16 2,07 2,01 1,96 1,84 1,78 1,71 26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,15 2,05 1,99 1,95 1,82 1,76 1,69 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 2,13 2,04 1,97 1,93 1,81 1,74 1,67 28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 2,12 2,02 1,96 1,91 1,79 1,73 1,65 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 2,10 2,01 1,94 1,90 1,77 1,71 1,64 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 1,16 2,09 1,99 1,93 1,89 1,76 1,70 1,62 32 4,15 3,29 2,90 2,67 2,51 2,40 2,31 2,24 2,19 2,14 2,07 1,97 1,91 1,86 1,74 1,67 1,59 34 4,13 3,28 2,88 2,65 2,49 2,38 2,29 2,23 2,17 2,12 2,05 1,95 1,89 1,84 1,71 1,65 1,57 36 4,11 3,26 2,87 2,63 2,48 2,36 2,28 2,21 2,15 2,11 2,03 1,93 1,87 1,82 1,69 1,62 1,55 38 4,10 3,24 2,85 2,62 2,46 2,35 2,26 2,19 2,14 2,09 2,02 1,92 1,85 1,81 1,68 1,61 1,53 40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,00 1,90 1,84 1,79 1,66 1,59 1,51 60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,92 1,82 1,75 1,70 1,56 1,48 1,39 100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,93 1,85 1,75 1,68 1,63 1,48 1,39 1,28 200 3,89 3,04 2,65 2,42 2,26 2,14 2,06 1,98 1,93 1,88 1,80 1,69 1,62 1,57 1,41 1,32 1,19 500 3,86 3,01 2,62 2,39 2,23 2,12 2,03 1,96 1,90 1,85 1,77 1,68 1,59 1,54 1,38 1,28 1,11 º 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83 1,75 1,64 1,57 1,52 1,35 1,24 1,00

-98-


Recommended