Conf. Univ. Dr. Nicolae Mihailescu STATISTICA 2 Cuprins Statistica stiinta si metodologie de cercetare afenomenelor social-economice - Obiectul si metoda statisticii - Concepte de baza folosite de statistica - Cercetarea statistica - Tipuri de erori care pot apare ntr-o cercetare statistica Gruparea datelor statistice Seriile statistice Marimile relative Marimile medii - Marimi medii de pozitie (mediana si modulul) - Media n cazul caracteristicii alternative Indicatorii gradului de variabilitate - Dispersia n cazul caracteristicii alternative - Felurile dispersiilor Indicatorii asimetriei si boltirii (aplatizarii) seriilor de repartitie Indicatorii gradului de concentrare / diversificare Prezentarea datelor statistice sub forma reprezentarilor grafice Studiul statistic al corelatiilor dintre fenomene - Metode statistico- matematice de analiza a corelatiilordintre fenomene - Metode de analiza a corelatiei rangurilor Indicii statistici - Indicii de grup medii armonici - Indicii de grup medii aritmetici - Indicii de grup calculati ca raport ntre marimi medii - Indicii teritoriali Analiza statistica a seriilor dinamice - Sistemul de indicatori ai seriilor dinamice - Ajustarea seriilor dinamice Cercetarea statistica prin sondaj - Erorile n cercetarea statistica prin sondaj - Procedee de sondaj - Felurile esantioanelor 3 Statistica stiinta si metodologie de cercetare a fenomenelor social-economice Obiectul si metoda statisticii Statistica studiaza, pe baza expresiei cantitative a fenomenelor social-economice de masa,legitatiledezvoltariisociale,nconditiiconcretedelocsitimp,nstrnsa interdependenta cu continutul lor calitativ.Teoriaprobabilitatilorestefundamentatapeaceastastabilitatestatisticaa fenomenelor de masa care este cunoscuta sub denumirea delegitate statistica. Seprecizeazacaolegitatestatisticaesteunadevarconstatatexperimentalsin aceste conditii nu se poate demonstra. Concepte de baza folosite de statistica Populatiastatisticareprezintaansamblulelementelorcareauunasaumaimulte caracteristici comune, cu o existenta obiectiva si localizata clar n timp si spatiuUnitateadeobservarestatisticaesteelementulcomponentalpopulatieistatisticela care se particularizeaza nivelul individual al caracteristicilor statistice. Unitatilestatisticeauoformadeexistentacarepoatefisimplasaucomplexa. Unitatilesimplesuntreprezentateprintr- un singur element structural obiectiv, cum ar fi de exemplupersoana,produsul,piesaetc.,ntimpceunitatilecomplexesuntformate din mai multe unitati simple, ca de exemplu: familia, ntreprinderea etc..Caracteristicastatisticaesteaceansusirecomunatuturorunitatilorpopulatiei statistice supusacercetariialecareivaloridiferadelaounitatestatisticalaaltasaude la un grup de unitati la altul. Caracteristicilestatisticepotficlasificatenfunctiedemai multe criterii, astfel: - dupa continutul caracteristicilor,- numerice sau cantitative - exprimate prin cuvinte (legate de natura unitatilor statistice) -despatiu(exprimaparticularitateaunitatilorstatisticedeaexistantr- un anumit punct al spatiului) -detimp(exprimaparticularitateaunitatilorstatisticedeafiaparutlaun anumit moment sau de a fi existat un anumit interval de timp) - dupa modul de prezentare al caracteristicilor numerice, - pe variante (discreta sau prezentare n numere ntregi) - pe intervale (continua) - dupa modul n care se manifesta,- forma alternativa (caracteristica cu doua variante de manifestare) -formanealternativa(caracteristicacumaimultdedouavariantede manifestare) Variantaestenivelulindividualalcaracteristiciistatisticiiasociatuneiunitati statistice sau unui grup de unitati. 4 Frecventaestenumaruldeunitatistatisticelacaresenregistreazaovariantaa caracteristicii. Indicatorulstatisticesteexpresianumericaauneideterminaricalitativeobiective rezultata n urma unei cercetari statistice. Formaindicatorilorstatisticedepindedegraduldeprelucrarelacareaufostsupuse datele initiale, astfel:- indicatori absoluti - indicatori relativi - indicatori medii Legea numerelor mari are: - o forma generala de manifestare prin caracterul real al legitatilor statistice si respectiv, -oformaspecificacareesteexprimataprintr-ungrupdeteoremealeteoriei probabilitatilor: - Inegalitatea lui Cebsev - Teorema lui Cebsev - Teorema lui Bernoulli - Teorema lui Poisson Cercetarea statistica Cercetarea statistica este un proces de cunoastere a fenomenelor de masa, realizat cu ajutorulmetodelorstatistice.Efectuareauneicercetaristatisticeimplicaparcurgerea urmatoarelor etape: - Observarea statistica - Prelucrarea datelor obtinute prin observare - Interpretarea rezultatelorObservareastatisticaesteetapancarearelocnregistrareadatelorprimare. Observareasedesfasoaraconformuneimetodologiicareseaplicanmodidenticlatoate unitatile statistice de la care se culeg date. Procedeele operationale prin care se realizeaza observarea statistica sunt: - observarea pe baza de documente care au fost elaborate de sistemul informational contabil, de evidenta tehnic-operativa sau de alte sisteme de evidenta, - observarea directa a unitatilor care compun colectivitatea statistica, prin: - masurare, cntarire etc., - interviu, - aplicarea unui chestionar. Observarea statistica poate fi desfasurata n mai multe variante de lucru n functie de criteriul la care ne referim, astfel: - dupa modul de cuprindere n cercetare a unitatilor statistice, - observari totale: recensamintele, sistemul raportarilor statistice obligatorii -obsevaripartiale:cercetareastatisticaprinsondaj,anchetastatistica, monografia - dupa periodicitatea organizarii observarii - observari curente 5 - observari periodice - observari unice Prelucrarea datelor obtinute prin observare este etapa n care se desfasoara operatiuni de grupare, de centralizare (totalizare), de calcul a indicatorilor derivati (sintetici si analitici) precum si de afisare a rezultatelor sub forma tabelelor si reprezentarilor grafice.Prelucrarea datelorseefectueazacuajutorulunorprocedeemetodologicecompatibilecuscopul cercetarii si cu particularitatile colectivitatii cercetate. Interpretarearezultateloresteetapancareseformuleazaconcluziicuprivirela stareacolectivitatiistatisticecercetate.Rezultateleobtinutenurmaprelucrarilorefectuate suntsupuseunuiprocescalitativdeextragereaacelorinformatiicucaracteresentialcare prezintautilitatepractica,confirmasauinfirmaipoteze,fundamenteazaeventualeactiuni carevorfintreprinsenviitor,orienteazadeciziaeconomicapeunterenalcunoasterii stiintifice etc. Tipuri de erori care pot apare ntr-o cercetare statistica Rezultatelecercetarilorstatisticepotfideformate,ntr-omasuramaimaresaumai mica,deuneleeroriacaroraparitieestecauzataattdefactoriobiectivictsidefactori subiectivi. Dupa locul aparitiei, erorile care pot afecta rezultatele cercetarilor statistice, sunt: - erori de nregistrare sau de observare - erori de reprezentativitate- erori de prelucrare sau de calcul - erori de interpretare - erori de metoda sau de metodologie a cercetarii Eroriledenregistrarepotaparelaoricetipdeobservarestatisticasisunt la rndul lor de doua feluri: - erori ntmplatoare- erori sistematice Eroriledereprezentativitatesuntspecificecercetarilorstatisticeprinsondajsipot mbraca, de asemenea, doua forme: - erori ntmplatoare- erori sistematice Gruparea datelor statistice Grupareadatelorstatisticeesteooperatiunedesistematizareaprezentarii materialului statistic obtinut prin observare care consta n separarea colectivitatii cercetate n grupeomogenedeunitatidupavariatiauneiasaumaimultorcaracteristicidinprogramul observarii.Realizareauneigrupariutile pentru ndeplinirea scopului cercetarii statistice impune cu necesitate sa fie respectate urmatoarele conditii: - alegerea caracteristicii sau caracteristicilor care vor sta la baza efectuarii operatiunii degruparenstrnsalegaturacuobiectiveledecunoasteresirespectivcuparticularitatile sau specificul colectivitatii supuse cercetarii. Cea mai potrivita caracteristica de grupare este 6 aceeacareestenstrnsainterdependentacuesentafenomenuluistudiatsi,nconsecinta, permite identificarea tipurilor calitative care exista n cadrul colectivitatii; -ncazulcaracteristicilordegruparenumericesestabilestesausecalculeaza marimeaintervaluluidegruparesirespectivnumaruldegrupecarevorficonstituite,astfel nct sa se obtina cea mai buna forma de distribuire a unitatilor statistice pe grupe;-toate operatiuniledenaturametodologica,implicatecuefectuareauneigruparia datelor statistice,trebuie sa fie subordonate atingerii obiectivelor gruparii, si anume: a-cunoastereastructuriicolectivitatiistatisticesirespectivatipurilor calitativeexistentencolectivitatelaunanumitmomentsauntr-o anumita perioada de timp, b - cunoasterea modificarilor de natura structurala, care s-au produs de la un segment de timp la altul, c-identificareaunorposibilecorelatiicareseformeazantre caracteristicileutilizatelagrupare,formasi directiaacestorcorelatiisi, ntr-oanumitamasura,obtinereauneiinformatiiorientativeprivind intensitatea corelatiei. Efectuarea unei grupari a datelor statistice, dupa o caracteristicaexprimatanumeric, implica parcurgerea unor etape de lucru, dupa cum urmeaza: 1-secalculeazaamplitudineavariatiei,respectivsecuantificadiferentadintre valoarea(varianta)ceamaimareacaracteristiciisivaloarea(varianta)ceamaimica, ( )min maxx x A ; 2-nfunctiedemarimeaamplitudiniivariatiei,sestabilestenumaruldegrupen carevafimpartitacolectivitatea.naceastaetapadelucruseopteaza,deregula, pentru constituirea unui numar mai mare de grupe comparativ cu numarul care se presupune ca este necesarpentruacunoastestructurasirespectivtipurilecalitativeexistentencolectivitate. Aceasta operatiune este legata n mod strict de logica persoanei care realizeaza gruparea; 3-secalculeazamarimea(lungimea)intervaluluidegrupareprinraportarea amplitudiniivariatieilanumaruldegrupeconvenitaficonstituite.Dacaseconsidera necesar, pentru a calcula marimea intervalului, se poate folosi formula propusa de Sturges, n log 3,322 1x xn log 1x xi10min max2min max ++4 - se scriu intervalele de grupare astfel nct sa se foloseasca ca limite inferioare si superioare, numere rotunde; 5 -serepartizeazaunitatilestatisticepeintervaleledegruparestabilite.Aceasta este oetapaintermediaradelucrucareoferaoprimaformadesistematizareamaterialului statisticpegrupesincontinuare,sapermita,dacaseconsideranecesar,efectuareaunei regrupari prin asocierea a doua sau mai multor intervale de grupare; 6 - se procedeaza la efectuarea unor regrupari, eventual n mai multe variante, pentru a avea posibilitatea formularii celei mai bune decizii de alegere a gruparii care ofera solutia considerataoptima,nvedereacaracterizariicolectivitatiistatisticecercetatesaupentru efectuareaunorprelucrariulterioare.Regrupareapoatefiefectuatafiepeintervalede marimiegalefiepeintervaledemarimineegaledupacumseconsideracaacestea raspund mai bine scopului propus. 7 Felurile gruparilor Gruparile pot fi prezentate n mai multe variante constructive n functie de un anumit criteriu, astfel: a) dupa numarul caracteristicilor folosite la grupare, - grupari simple, cnd gruparile sunt efectuate dupa o singura caracteristica, - grupari combinatecndsefolosesc doua saumaimultecaracteristici pentru sistematizareapegrupeamaterialuluistatistic.Estenecesarsaseprecizeze caseopteaza,deregula,pentruunnumardemaximum4caracteristicide grupare.ncazulfolosiriiunuinumarmaimarede4caracteristiciseajunge laopulverizareainformatiilorstatisticesinconsecintalangreunarea nterpretarii din punct de vedere structural a colectivitatii statistice; b) dupa tipul caracteristicii de grupare, - grupari efectuate dupa o caracteristica de spatiu - grupari efectuate dupa o caracteristica de timp - grupari efectuate dupa o caracteristica numerica - grupari efectuate dupa o caracteristica exprimata prin cuvinte c) dupa variatia caracteristicii de grupare numerica, - grupari efectuate pe variante ale caracteristicii (atunci cnd caracteristica de grupareestedeformadiscreta-seexprimannumerentregi-siareo variatie redusa, sau prezinta un numar relativ mic de variante) -grupariefectuatepeintervaledegrupare(demarimiegalesauneegale). Aceste grupari pot fi formate att n cazul caracteristicilor discrete ct al celor de forma continua. Seriile statistice Seriastatisticaesteunsirdevalorialeuneicaracteristici ordonate n functie de sirul valoriloruneialtecaracteristicisaudupaunanumitprincipiu,cumarfiordineaalfabetica, ordinea de marime sau rangul unitatii statistice etc..Seriile statistice pot fi de mai multe feluri n functie de tipul caracteristicii de grupare sau de forma practica de prezentare a datelor, astfel: 1 - serii simple enumerative - sunt seriile care prezinta o simpla nsiruire a datelor. Deexemplu,nsiruireanotelorobtinutelaexamenelesustinutedeunstudentlafineleunui an de studii universitare. 2-seriidespatiusauteritoriale-prezintavolumuluicolectivitatiistatisticesau niveluluneicaracteristicistatisticenraportcutipologiateritorialancareexistaunitatile statistice.Deexemplu,repartizareanumaruluilocuitorilorpejudetecareaexistat,ntara noastra, la o anumita data calendaristica. 3 - serii dinamice, cronologice sau de timp - sunt siruri de date statistice care prezinta schimbareamarimiiunorindicatoristatisticinraportcutimpul.Seriiledinamicepotfide doua feluri: -deintervaledetimp,cndindicatoriiprezentatinseriedinamicaauca perioada de formare ntreg segmentul de timp le care se refera. De exemlu, dinamica cifrei de afaceri obtinuta anual de un agent economic ntr-o perioada de cinci ani; 8 -demomente,cndindicatoriiprezentatinseriedinamicasereferala numarul unitatilor saumarimea caracteristicii statistice nregistrata la o anumita data calendaristica. De exemplu, dinamica stocurilor de marfuri existente ntr-un magazin ladatadentiafiecareiluni,peduratauneianumiteperioadedetimp(trimestru, semestru, an). 4 - serii de repartitie, de variatie sau de distributie se prezinta sub forma unor date paralelecureferirelaocaracteristicastatisticadegruparenumericasaucantitativasi numarulunitatilorcolectivitatiistatisticcarerevinpevariantealecaracteristiciisaupe intervaledegrupare.Deexemplu,serianumaruluisalariatilorcaresidesfasoaraactivitatea n cadrul unei firme comerciale, grupati dupa marimea salariului mediu lunar. Marimile relative Marimilerelativesuntindicatoriderivaticalculaticaraportntredouamarimi absolute, doua marimi medii sau alte doua marimi relative. Rezultatul obtinut este o expresie numerica care arata cte unitati din indicatorul raportat revin la o unitate a indicatorului baza de raportare. Formeledeexprimareamarimilorrelativedepinddenaturafenomenelor studiate si de raportul de marime existent ntre indicatorii care se compara, si anume: -formadecoeficientesteunrezultatexprimatdeunnumarzecimalsaudeun numarntregcarearatacteunitatizecimalesauntregidinindicatorulraportatrevinlao unitate din indicatorul baza de raportare; -formadefractiearatactepartireprezintamarimeaindicatoruluiraportatlao parte a indicatorului baza de raportare;-formadeprocentcndrezultatulprezentat nformadecoeficientesteamplificatcu100siaratacteunitatidinindicatorulraportat revin la 100 de unitati ale indicatorului baza de raportare; - forma de promila cnd rezultatul prezentat n forma de coeficient este amplificat cu 1000 si arata cte unitati din indicatorulraportatrevinla1000deunitatialeindicatorului baza de raportare; -formadeprodecimilacndrezultatulprezentatnformadecoeficienteste amplificat cu 10.000 si arata cte unitati din indicatorul raportat revin la 10.000 de unitati ale indicatorului baza de raportare; -formadeprocentimilacndrezultatulprezentatnformadecoeficienteste amplificat cu 100.000 si arata cte unitati din indicatorul raportat revin la 100.000 de unitati ale indicatorului baza de raportare; Cu ajutorulmarimilor relative pot fi caracterizate urmatoarele aspecte: -structurafenomenelorsauacolectivitatilor,prinraportareaindicatorilorexprimati nmarimiabsoluteprivindvolumulfiecareigrupelaindicatorulcaredimensioneaza volumul total al colectivitatii (marimi relative de structura), astfel: statistice atii colectivit al total Volumulgrupei VolumulM.r.s. 9 -intensitateafenomenelor,prinraportareaniveluluiadouafenomenediferitentre careexistaoanumitalegatura,rezultatularenacestcazosemnificatiedistinctasiun continutdenivelmediu.Deexemplu,valoareamedieaproductieisauacifreideafaceri realizatadeunsalariatntr-ozi,peparcursuluneiluni,sauntr-unan,valoareamijloacelor fixecarerevinenmedielaunsalariat,cheltuielileefectuatepentru1000leiproductieetc. (marimirelativedeintensitate).Sementioneaza,nacestsens,catotiindicatoriicare exprimaaspectealeperformanteifinanciaresirespectivaleeficienteieconomiceatinsede un agent economic fac parte din categoria marimilor relative de intensitate si prezinta o larga utilizare n analizele economico- financiare efectuate de factorii de decizie. Marimile relative de intensitate (M.r.i.) se calculeaza astfel: raportare de baza i fenomenulu Nivelulraportat i fenomenulu NivelulM.r.i. - dinamica fenomenelor, n care caz, marimea relativa calculata exprima modificarea unuiindicatorstatistic,delaunsegmentdetimplaaltul(marimirelativededinamica). Marimile relative de dinamica (M.r.d.) se calculeaza dupa formula: baza de perioada nrealizatNivelulcalcul de perioada nrealizatindicatorunui NivelulM.r.d. - ndeplinirea indicatorilor programati, prin raportarea indicatorului realizat la nivelul programat al aceluiasitip deindicator, aferenti unei perioade de timpdate (marimi relative dendeplinireaindicatorilorprogramati).Pentrucalcululacestormarimirelativese foloseste ur matoarea relatie: planificat sau programatl Indicatorurealizat l IndicatoruM.r..p. -marimearelativaasarciniiprogramatedemodificareaindicatoruluianalizat (marimirelativealesarciniiprogramatedecresteresaudescadereaindicatorilor analizati). Formula de calcul este urmatoarea: precedent atimp de perioada n realizat l Indicatorutimp de perioada o pentru programatl IndicatoruM.r.s.p. - raportul de marime dintre doua grupe ale aceleiasi colectivitati (marimi relative de coordonare). - raportul de marime dintre doi indicatori de acelasi fel, coexistenti n timp dar situati n spatii diferite(marimi relative de coordonare teritoriala). Tipuriledemarimirelativeprezentateoferaoinformatieanaliticaasupra fenomenuluistudiatsauaagentuluieconomicnansamblulsau,pebazacareiaesteposibil sa se formuleze aprecieri suficient de consistente cu privire la starea economico-financiara a acestuia. 10 Marimile medii Mediilesunt,deasemenea,indicatoriderivatidarcareexprimaceeaceestetipic, comunsigeneralnconfiguratiafenomenelor,exprimantr-omanieraabstractatendinta centraladegrupareanivelurilorindividualecatreunniveldesintezadenumitmarime medie.Mediapoatesubstituinivelurileindividualepecarelesintetizeazadeoareceesteo valoaremaimultsaumaiputinreprezentativanfunctiedegraduldeomogenitateal colectivitatii supuse cercetarii. Moduldeorganizarealsistemuluidedatestatisticepentrucaredorimsacalculam media determina optiunea de aplicare a unei anumite forme de medie. Se cunosc si se aplica maimultetipuridemedii,dintrecarecelemaiutilizatesunt:mediaaritmetica,media armonica, media patratica, media cronologica simedia geometrica. Mediaaritmeticaseutilizeazalacalcululniveluluimediualunorindicatori prezentatinseriedinamicadeintervaledetimp,lacalcululniveluluimediualseriilor statisticedevariatie,alseriilorsimpleenumerative,precumsincazulseriilorteritoriale comparabile.Deexemplu,serecurgelaformamedieiaritmeticeatuncicnddorimsa calculamcategoriamediedencadraretarifaraaunorsalariati,productia medie sau cifra de afaceri realizata n medie pe un segment de timp dintr-o anumita perioada etc. Dacafrecventelevariantelordinseriastatisticastudiatasuntegalentreele,se foloseste formula mediei aritmetice simple, ( )nxx x Mi , iar daca frecventele variantelor nu sunt egale ntre ele, se aplica media aritmetica ponderata, ii inn xx M(x) , n care notatiile utilizate au urmatoarele semnificatii: M(x) saux - valoarea medie a caracteristicii studiate x, xi- varianta i a caracteristicii statistice pentru care se calculeaza media, i = 1, 2, 3, ... , n , ni- frecventa variantei i a caracteristicii statistice studiate, n-numarulvariantelorcaracteristiciistatisticeatuncicndsefolosestemedia aritmetica simpla. Proprietatile mediei aritmetice: Mediaaritmeticaaremaimulteproprietatioperationalecareprincunoastereasi aplicarealorsepoateverificaattexactitateacalculelorctsiposibilitatea obtinerii valorii medii printr-un calcul simplificat. Aceste proprietati sunt: 1.Mediaaritmeticasepozitioneazacamarimentrevaloareaminimasimaximaa caracteristicii studiate, max minx x x < < 11 2.Sumaalgebricaaabaterilorvariantelorcaracteristiciidelavaloareamedieeste egala cu zero, ( ) 0 x x Si , pentru seriile statistice cu frecvente egale, ( ) 0 n x x Si i , pentru seriile statistice cu frecvente neegale 3. Daca fiecare varianta a caracteristicii studiate (xi) se mareste sau se micsoreaza cu o constanta (a), valoarea medie a caracteristicii se modifica cu constanta respectiva, ( )na x Sa xit t , pentru seriile statistice cu frecvente egale, ( )ii iSnn a x Sa x t t , pentru seriile statistice cufrecvente neegale 4. Daca fiecare varianta a caracteristicii studiate (xi) se mareste sau se micsoreaza de unanumitnumardeori(k)valoareamedieacaracteristiciisemodificacunumaruldeori exprimat de constanta respectiva. n cazul seriile statisticecufrecventeneegalepotfiscrise urmatoarele relatii: ( )ii iSnn k x Sk x iiiSnnkxSkx ,_

5.Dacavaloareamediesecalculeazapebazafrecventelorrelative(nri),valoarea medie nu se modifica, iii i iSnnnr care n, nr Sx x nacestsenssementioneaza,deasemeneaca,dacafrecventele(ponderile) variantelorcaracteristiciistudiatesemodificanaceeasiproportie,respectivsemajoreaza sausemicsoreazadecori,(cfiindoconstantaoarecare),mediacaracteristiciinuse modifica. Pornind de la proprietatile prezentate, n anumite conditii, prin mbinarea acestora se ajunge la o relatie de calcul simplificat a valorii medii si anume, a knka xSxi+ , pentru seriile statistice cu frecvente egale, a kSnnka xSxiii+ , pentru seriile statistice cu frecvente neegale Acesterelatiioferanmodefectivavantajulsimplificariicalculelornumaidacasunt ndeplinite urmatoarele conditii: 12 - seria de variatie este constituita pe intervale egale de grupare, - constanteiai seacorda cavaloaremijloculintervaluluicaredetine frecventa cea mai mare, - constanteik i se acorda ca valoare marimea intervalului de grupare. Exemplul1.Cele30deapartamentealeunuiblocdelocuinteserepartizeazadupa valoarea consumului de energie electrica nregistrat n luna aprilie, astfel: Tabelul 1 Consumul de energie electrica din luna aprilie Grupe de apartamente dupa consumul de energie electrica ($) Numarul aparta-men- telor (ni) Mijlocul interva-lului (xi) Consumul total de energie electrica (xini) 0,5 k7,25 aka xi iinka x Frecvente relative (nri) iiiSnnnr pnala 6,5 56,2531,25-2-100,17 6,5-7,076,7547,25-1-70,23 7,0-7,5107,2572,50000,33 7,5-8,067,7546,50+160,20 peste 8,028,2516,50+240,07 Total30-214,00--71,00 Nota: - Limita inferioara a intervalului de grupare este inclusa n interval. -Mijloculintervaluluidegrupareseobtineprinraportareala2asumeicelordoua limite nscrise la fiecare interval (semisuma limitelor intervalului). -ncazulintervalelordeschise(lipsesteunadinlimite),pentruaputeacalcula mijlocul intervalului, acestora li se completeaza limita care nu este definita, astfel: -ncazulprimuluiinterval:secalculeazamarimea intervalului urmatorsise extindemarimeaacestuiasilaprimulinterval. Prin urmare primul interval va avea ca limite, 6,0 si 6,5, -ncazulultimuluiinterval:secalculeazamarimeaintervaluluiprecedentsi seextindemarimeaacestuiasilaintervalulurmator.nurmaacestuicalculultimul interval va fi dimensionat astfel: 8,0-8,5. Consumul mediu de energie electrica care revine la un apartament este, $ 13 , 730214nn xxii i sau, $ 13 , 7 25 , 7 5 , 0307a kSnnka xSxiii + + , sau,dacasefolosescfrecventelerelative se poate scrie urmatoarea relatie de calcul a valorii medii, $ 13 , 7 07 , 0 25 , 8 20 , 0 75 , 7 33 , 0 25 , 7 23 , 0 75 , 6 17 , 0 25 , 6 fr Sx xi i + + + + 13 Mediaarmonicaesteoformatransformataamedieiaritmetice(simplesau ponderate) si se utilizeaza atunci cnd ne propunem sa calculam o valoare medie din marimi relative,cunoscndmarimilerelativeindividualesinumaratoriirapoartelorpebazacarora aufostcalculate.Utilizariadecvatealeacesteiformedemediesunt:lacalcululindicelui mediualpreturilordeconsum;pentrudeterminareaniveluluimediualmaimultormarimi relativedeintensitatedeacelasitip,darnumainconditiilencaresecunoscnivelurile individuale ale marimilor relative si numaratorii rapoartelor pe baza carora au fost calculate. Formuladecalculamedieiarmonicesimpleseaplicaatuncicndnumaratorii rapoartelorpebazacaroraaufostcalculatemarimilerelativeindividualesuntegalica marime ntre ei, ( ) ix1nx x Ma , undenestenumarulmarimilorrelative,iarxireprezintamarimilerelative individuale. ntimpcemediaarmonicaponderataseutilizeazaatuncicndnumaratorii rapoartelorpebazacaroraaufostcalculatemarimilerelativeindividualenusuntegalica marime ntre ei, ( ) i iii in xx1n xx x Mancazulmedieiarmoniceponderate,sefolosesteoponderecompusa,i in x echivalentacunumaratoriirapoartelorpebazacaroraaufostcalculatemarimilerelative individuale. Exemplul 2. n patrupuncte comerciale dintr-o piata agro-alimentara s-au nregistrat n ziua de 1 octombrie urmatoarele date statistice privind vnzarile de cartofi: Tabelul 2 Vnzarile de cartofi nregistrate la data de 1 octombrie Punctul comercial Sumele ncasate din vnzarea cartofilor (lei) -xini- Pretul de vnzare cu amanuntul (lei/kg.) -xi- ii ixn x A675.0002.500270 B420.0002.400175 C655.5002.300285 D500.0002.000250 Total2.250.500980 Sasedeterminepretulmediudevnzare,alunuikilogramdecartofi,nregistratla cei patru comercianti, n data de 1 octombrie. 14 lei/kg 4 , 296 . 2000 . 2000 . 500300 . 2500 . 655400 . 2000 . 420500 . 2000 . 675000 . 500 500 . 655 000 . 420 000 . 675n xx1n xxi iii i+ + ++ + + Se mentioneaza ca ntre media aritmeticasi media armonicanu este nici-o deosebire de continut,ambelereflectndnivelulmediu al caracteristicii studiate, dar calcululacesteia din urma se adopta n functie de modul n care sunt prezentate datele statistice initiale. Mediapatratica seutilizeazalacalcululindicatorilorcareexprimanmodsintetic gradul de variabilitate al caracteristicilor statistice. Daca frecventele variantelor caracteristicii din seria statistica studiata sunt egale ntre ele, se foloseste formula mediei patratice simple, ( )nSxx x Mp2i , iar daca frecventele variantelor nu sunt egale ntre ele, se aplica media patratica ponderata, ( )ii2iSnn Sxx x Mp Mediacronologicaaresemnificatiauneimediiaritmeticedinmediipartialesise utilizeazalacalcululniveluluimediualindicatorilorprezentatisubformaseriilordinamice demomente.Aceastamediesefolosestelacalcululvaloriimediiaactivelorcirculante,a stocurilordeoricenaturadarnspecialpentrumateriiprime,materialesimarfuri,a imobilizarilorcorporalesirespectivamijloacelorfixe,precumsilacalcululefectivelor medii de animale. Daca intervalele de timp, dintre oricare doua momente succesive ale seriei dinamice, sunt egale ntre ele se foloseste formula mediei cronologice simple, adica, 1 - n2xx ... x x x2xx Mcn1 - n 4 3 21+ + + + + + sirespectiv,dacanusuntegalentreele,serecurgelaformulamedieicronologice ponderate, m 3 2 1mn 1 - n34 323 212 1t ... t t tt2x x... t2x xt2x xt2x xx Mc+ + + +++ ++++++ n care, Mc-nivelulmediualindicatorilorprezentatinseriedinamica,calculatcumedia cronologica, xi - indicatorii de nivel ai seriei dinamice, i = 1, 2, 3, ... , n, n-numarulindicatorilordenivelsaunumarulmomentelordetimplacaresunt nregistrati indicatorii, 15 tj-durataintervaluluidetimpj,dintredouamomentesuccesivelacaresunt nregistrati indicatorii de nivel, exprimata n zile, luni sau ani, j = 1, 2, 3, ... , m ; m = n-1. Suma duratelor succesive tjvafiegalacuduratantregii perioade exprimata de seria dinamica analizata. Mediageometricaareaplicabilitatendomeniuleconomic,nspecialcndse calculeazaindicelemediuanualdecrestere(scadere)-Im -aunuiindicator,ntr-o anumitaperioadadetimp.Aceastaformademedieconducelaunrezultatrealnumaiatunci cnd seria dinamica, pentru care dorim sa determinam nivelul mediu al modificarii relative, prezintaoanumitaconstantaacresteriisauscaderiiindicatoruluiformalizatnserie dinamica. Relatia de calcul a mediei geometrice simple este urmatoarea: 1111 342312 nnnnnxxxx...xxxxxxMg Im, n care: - Mg este notatia pentru valoarea medie obtinuta cu ajutorul mediei geometrice, - n - numarul indicatorilor de nivel nscrisi n serie dinamica, - ix - varianta i a indicatorului de nivel, - 1xsi nx- primul si respectiv ultimul indicator de nivel al seriei dinamice. Dacafenomenulstudiateste marcat de oscilatii pronuntate cu caracter conjunctural, delaunsegmentdetimplaaltul,utilizareaprocedeuluiclasicalmedieigeometrice,simpla sauponderata,dupacaz,poateconducelaunrezultatneconformcurealitatea,deoarecese bazeazanumaipeindicatorulinitialsifinaldinseriadinamicarespectiva.nacestesituatii se recomanda calculul indicelui mediu anual de crestere (scadere) prin folosirea procedeului medieigeometricecorectatesauaprocedeuluiautoregresieicareiauncalcultoti indicatorii de nivel cuprinsi n seria dinamica analizata. Mediageometricacorectata(cMg)esteoformaamedieigeometriceponderate calculata din medii geometrice secventiale sau partiale(iMg), determinate astfel: -primamediegeometrica(1Mg)esteomediegeometricasimpla,carese refera la ntreaga serie dinamica supusa prelucrarii, - a doua medie geometrica (2Mg) este tot o medie geometrica simpla dar care sebazeazapen-2indicatoridenivel,fiindeliminatidincalculprimulsiultimulindicator dinserie,notatianesteacordatanumaruluitotaldeindicatoridenivelnscrisinserie dinamica, -atreiamediegeometrica(3Mg) se determinaprinluareanconsideratiea unuinumarden-4indicatoridenivel,seeliminaastfeldincalculprimiidoisiultimiidoi indicatori de nivel din serie,-secontinuamodalitateadecalculamediilorgeometricesecventiale (partiale) pna se epuizeaza toate posibilitatile. 16 Dacaseriadinamicarespectivaesteformatadintr-unnumarimpardeindicatori, indicatoruldinmijloculserieinuvafiluatncalcullanici-ovariantaamedieigeometrice secventiale. Pondereafiecareimediigeometricesecventialeestereprezentataprinnumarul unitatilor(segmentelor)detimplacaresereferamedia,adicaf1=n-1 pentru prima medie, f2= n-3 pentru media a doua, f3= n-5 pentru media a treia, s.a.m.d. Relatia de calcul a mediei geometrice corectate este urmatoarea: i4 3 2 1ff4f3f2f1 cMg Mg Mg Mg Mg ImmfmMg ... n care,mf ... + + + + + 4 3 2 1 if f f f fm - numarul mediilor geometrice secventiale Procedeulautoregresieisebazeazapecalcululindiceluimediuanualdecrestere (scadere) din ecuatia care se obtine prin minimizarea urmatoarei expresii: ( ) minim S 221nii ix Im x EgalndcuzeroderivataacesteisumecalculatanraportcuIm rezultaecuatia, ( ) 1 - i i21 - ix x Im x , din care se extrageIm , ( )21 - i1 - i ixx xImDaca indicele mediu este exprimat procentual si apoi se micsoreaza cu 100 se obtine ritmul mediu anual de crestere sau de scadere( ) Rm , ca o expresie derivata a marimii medii care caracterizeaza modificarea medie n timp a unuifenomen, 100 - 100 Im Rm Marimi medii de pozitie (mediana si modulul) Dacaseconsideranecesar,pentruapreciereaniveluluimediualuneicaracteristici statisticesepoatefolosi,medianasaumodulul,cavaloritipicedepozitie,deoareceacestea ocupa un anumit loc cu semnificatie medie n cadrul unei serii de valori. Mediana (XMe) estevariantacaracteristiciicareocupa locul central n seria dedate statistice care au fost ordonate crescator sau descrescator. Pozitiaocupatademedianancadrul unei serii de repartitie prezentata ca o nsiruire de variante se calculeaza asfel: 21 nMe+Dacaseriaareunnumarimpardevalori,XMe, vafivarianta centralalocalizata prin calculul locului medianei (Me). 17 Daca seria are un numarpar de valori,XMe, va fi rezultatul mediei aritmetice simple efectuata din cele doua variante centrale. ncazulseriilorderepartitiencaredatelestatisticesuntprezentatesubformaunor grupari pe intervale de grupare, calculul valorii mediane se realizeaza pe baza formulei: fmfcp21 Snd x Xi0 Me+ + , n care, 0xeste limita inferioara a intervalului median, destemarimeaintervaluluimedian,obtinutacadiferentantrelimitasuperioarasi limita inferioara a intervalului median, 21 Sni +esteloculsau, numarulde ordinepecarelocupavaloareamedianasipe baza caruia se stabileste intervalul median, fcpestesumafrecventelortuturorintervalelorprecedente,constituitepnala intervalul n care se gasestevaloarea mediana, fm este frecventa intervalului n care se pozitioneaza valoarea mediana. Quartilelesuntacelevalorialecaracteristiciistatisticecarempartoseriede repartitienpatruzoneegale,dinpunctdevederealnumaruluiunitatilorcareformeaza o colectivitate.Aceastaproceduraestefolositaatuncicndnumarulunitatilorstatisticeeste suficientdemaresiseconsideranecesarsaseconstituiepatrugrupeegalecaresase caracterizezeprintr- unanumitgraddeomogenitate.Calcululquartilelorsebazeazape aceeasilogicametodologicafolositalacalcululmedianei,dartinndseamadeloculocupat de quartila respectiva. Quartila 2 (Q2) este identica cu valoarea mediana iar quartila 1 (Q1) si respectiv quartila 3 (Q3) se calculeaza astfel: ( )111Q) (QiQ 0 1ffcp41 Snd x Q+ + ( )( )333Q) (Q iQ 0 3ffcp 1 Sn43d x Q + + Decilele.nunelecazuri,nprocesuldeprelucrarealdatelorstatistice,seopteaza pentrucalcululdecilelorcaresuntvalorialecaracteristiciicempartseriastatisticanzece parti egale. Decila a cincea esteegala cuvaloareamediana,iarcalcululcelorlaltedeciletine seama de pozitia acesteia n cadrulseriei de valori ale caracteristicii. Decilele se calculeaza, de regula cnd amplitudinea variatiei este mai mare, astfel: ( )111D) (DiD 0 1ffcp101 Snd x D+ + ..... ( )( )999D) (D iD 0 9ffcp 1 Sn109d x D + + 18 Modulul(XMo)reprezintaaceavariantaacaracteristiciicareareceamaimare frecventa,sau,cualtecuvinte,variantacareestenregistratadecelemaimulteunitatiale colectivitatii statistice. Dacadispunemdeoseriederepartitiencaredatelestatisticesuntprezentatesub formauneigruparipeintervaledegrupare,calcululvaloriimodaleserealizeazapebaza formulei: 2 110 Mod x X + + , n care, 0x estelimitainferioaraaintervaluluimodal.Intervalulmodalesteintervalulcare are frecventa cea mai mare, destemarimeaintervaluluimodal,obtinutacadiferentantrelimitasuperioarasi limita inferioara a intervalului modal, 1 estediferentadintrefrecventaintervaluluimodalsifrecventaintervalului precedent, 2 estediferentadintrefrecventaintervaluluimodalsifrecventaintervalului urmator. Suntsicazurincarefrecventemaximeidenticesenregistreazaladouasaumai multeintervaledegruparesaulamaimultevariantealecaracteristicii,nacestesituatii seriile de repartitie sunt denumite bimodale sau multimodale. Exemplul 3. Dacafolosimdatelestatisticeutilizatelaexemplul1, valoarea madianasi respectiv valoarea modala se calculeaza astfel: Grupe de apartamente dupa consumul de energie electrica ($) Numarul apartamen- telor (ni) Marimea intervalului (lim. sup. -- lim. inf.)Frecventele cumulate ascendent 6,0-6,550,55 6,5-7,070,512 7,0-7,5100,522 7,5-8,060,528 8,0-8,520,530 Total30- Locul valorii mediane: 15,521 3021 SnMei++ ,prinurmaremedianaestevaloareamedieavariantelorcu numarul de ordine 15 si 16 care se pozitioneaza n intervalul, 7,0 - 7,5 (intervalul median). 19 $ 175 , 7101221 305 , 0 0 , 7fmfcp21 Snd x Xi0 Me+ + + + Intervalulmodalesteintervalul,7,07,5lacaresenregistreazafrecventamaxima (10). ( ) ( )$ 214 , 76 10 7 107 105 , 0 0 , 7 d x X2 110 Mo + + + + Indicatorii gradului de variabilitate Dateleretinutenurmaobservariidiferadelaounitatestatisticalaalta,prinurmare prezintaunanumitgraddevariabilitatedeterminatdeconditiilededezvoltarespecifice fenomenului studiat, de factorii care actioneaza asupra aparitiei si existentei fiecarei unitati. Pentrucaracterizareauneicolectivitatistatisticedinpunctdevederealmprastierii nivelurilor individuale se folosesc indicatori specifici cunoscuti sub denumirea de indicatorii variatiei. Dacatinemseamadenumarulvariantelorcaracteristiciicaresecomparapentrua obtine un indicator care masoara gradul de variabilitate se disting doua feluri de indicatori:- indicatori simpli si- indicatori sintetici. 1. Indicatoriisimpliaivariatiei caracterizeazaabatereauneisingurevariantefatade altavariantasaufatadevaloareamedieacaracteristicii.Acestiindicatoridimensioneaza, prinurmare,aspecteizolatealegraduluidevariabilitatesipotficalculatiattnexpresie absoluta ct si n expresie relativa. a)-Amplitudineavariatiei(A)masoaracmpuldemprastiereavalorilor caracteristiciisiseobtineprincomparareavarianteicumarimeaceamaimaresubcares-a nregistrat caracteristica cu varianta de valoare minima, astfel: - amplitudinea absoluta: min maxx x A - amplitudinea relativa:( ) 100xx x% Amin max b) - Abaterea fiecarei variante a caracteristicii de la valoarea medie (i? ), - abaterea absoluta:n 1,2,..., i ; x x ?i i - abaterea relativa:( ) 100xx x% ?iiAcestiindicatoriexprimamasurancarefiecarevariantaacaracteristiciise distanteazadelavaloaremedieatuturorvariantelor.Pentruanalizaprezintainteres,nmod deosebit,abatereamaximanegativasirespectivabatereamaximapozitivacareoferasio informatie generala asupra mprastierii nivelurilor individuale n raport cu valoarea medie. 20 2. Indicatorii sinteticiaivariatiei caracterizeaza abatereamedie a tuturor variantelor caracteristicii de la media lor. a) - Abaterea medie liniara sau abaterea medie absoluta (d), nx x Sdi , n cazul seriilor de repartitie cu frecvente egale ii iSnn x x Sd , n cazul seriilor de repartitie cu frecvente neegale Abatereamedieliniara,prinmoduleidecalcul,acordaaceeasiimportantatuturor abaterilorvariantelordelavaloareamedie,indiferentdemarimeaabaterii,faptcepoate influentanmodnegativocorectaapreciereagraduluidereprezentativitateavaloriimedii. Din acest motiv, pentru aprofundarea analizei seriilor statistice se recomanda sa se utilizeze si alti indicatori sintetici cu rol de medie a nivelului de variabilitate. b) - Dispersia( )2xsDispersiacaracteristiciioferaomarimecifricacucaracterabstractagraduluide variabilitateexistentntr-ocolectivitatestatisticadeoarecenupoatefiinterpretatanmod direct datorita caracterului ireal al unitatii de masura n care se exprima ( )2i2i2i 2xnSxnSxnx x Ss1]1

, n cazul seriilor de repartitie cu frecvente egale ( )2ii iii2iii2i 2xSnn SxSnn SxSnn x x Ss1]1

, n cazul seriilor de repartitie cu frecvente neegale Uneori,pentrudeterminareadispersieisepoatefolosisioformuladecalcul simplificat,careareunsuportmetodologicsimilarcucelut ilizatlacalcululsimplificatal mediei aritmetice, ( )2 22i2xa x knka xSs

,_

, n cazul seriilor de repartitie cu frecvente egale ( )2 2ii2i2xa x kSnnka xSs ,_

, n cazul seriilor de repartitie cu frecvente neegale Seprecizaza,deasemenea,caacesterelatiioferanmodefectivavantajul simplificarii calculelor numai daca sunt ndeplinite urmatoarele conditii: - seria de variatie este constituita pe intervale egale de grupare, - constanteiaiseacordacavaloaremijloculintervaluluicaredetinefrecventa cea mai mare, 21 - constanteik i se acorda ca valoare marimea intervalului de grupare. c)-Abatereamediepatraticasauabatereastandard( )xs secalculeazaprin extragerea radacinii patrate din dispersie, astfel, ( )nx x Ss2ix , n cazul seriilor de repartitie cu frecvente egale ( )ii2ixSnn x x Ss , n cazul seriilor de repartitie cu frecvente neegale Abatereamediepatraticacaracterizeazagraduldevariabilitateavariantelor individualealecaracteristiciidelavaloareamedie.Cuctabatereamediepatraticaareo marimemaimicacuattvalorilecaracteristiciisuntmaiconcentratenjurulmedieisin consecintacolectivitateastatisticaestemaiomogenasiinvers,cuctabatereamedie patraticaareomarimemaimarecuattvalorileindividualealecaracteristiciisuntmai dispersate si deci colectivitatea este mai putin omogena. Abaterea medie patratica are o aplicabilitate extinsa pentru dimensionarea sintetica a variatiei caracteristicii studiate deoarece se exprima n aceleasi unitati de masura n care sunt exprimatesivariantelecaracteristicii.Acestindicatorprezintatotusisiolimitadeaplicare atuncicndsedorestesasefaca,pebazamarimiisale,ocomparatieagraduluide variabilitate existentn doua colectivitati statistice ale caror caracteristici sunt exprimate n unitati de masura diferite sau sunt marimi cifrice de ordin diferit (ordinul zecilor si respectiv ordinul sutelor) chiar daca unitatea de masura este identica.d) - Coeficientul de variatie (V) 100xsVx Coeficientuldevariatiepermita,datoritaformeisaledeexprimareprocentuala, cea maigeneralaapreciereagraduluidevariabilitatemedieacaracteristiciistatisticestudiate, fara limite de interpretare. Cuctcoeficientuldevariatieareovaloaremaimica,cuattmediacaracteristicii este mai reprezentativa pentru colectivitatea statistica studiata si n consecinta colectivitatea estemaiomogena.Seapreciazacaovaloaremaimicade30%acoeficientului de variatie atestaungradbundeomogenitateacolectivitatii si respectiv de reprezentativitate a valorii medii. Dispersia n cazul caracteristicii alternative Dupacumsecunoaste,ncazulcaracteristiciialternativevaloareamedieesteegala cuproportianumaruluiunitatilorcaredetincaracteristicaurmaritantotalulunitatilorcare formeazacolectivitateastatistica(p).Pentrucaracteristicaalternativadispersiasiabaterea medie patratica se calculeaza astfel: 22 ( ) ( ) ( )p qq pp q p qq pq p p qq pq p 0 p p 1s2 2 2 22x ++ + + + + p q sx Notatiaq este acordataproportieinumaruluiunitatilorcarenudetincaracteristica urmarita n totalul unitatilor care formeaza colectivitatea statistica si n consecinta,1 q p + . De asemenea, se mentioneaza cap este ponderea (frecventa) relativa pentru varianta 1, iar q este ponderea relativa pentru varianta 0. Felurile dispersiilor Pentru a mari paleta concluziilor care privesc aspectele structurale ale colectivitatilor statisticeseprocedeazalampartireaacestorangrupeomogenedupadouasaumaimulte caracteristici.Grupeleconstituitediferantreeleattprinvaloarealormedie,ctsiprin nivelulinternalgraduluidevariabilitate.Indicatoriivariatieicalculatipentruntreaga colectivitate sintetizeaza doua categorii de influente: -influentafactorilorcuactiunentmplatoarelocalizatilanivelulgrupelorcare determina variatia interna a grupelor; - influenta factorilor obiectivi reprezentati prin continutul si tipologia caracteristicilor degruparecareauputereadeadeterminadepartajareacolectivitatiingrupecare evidentiaza tipuri calitative distincte si care determina variatia dintre grupe. Analizacolectivitatilorstatisticempartitepegrupe,princalculareaunorindicatori specifici ai variatiei, are n vedere urmatoarele tipuri de indicatori: - dispersia caracteristicii statistice la nivelul colectivitatii (dispersia generala), - dispersia caracteristicii statistice la nivelul fiecarei grupe (dispersia de grupa), - media dispersiilor calculate pe grupe, - dispersia dintre grupe. a)Dispersiagenerala(20s )oglindestevariatiacaracteristiciistatisticeexistentan colectivitateatotalasiprodusacaurmareainfluenteituturorfactorilorobiectivisi ntmplatori care actioneaza asupra unitatilor statistice, ( ) k1 jjk1 jn1 iij20 ij20nn x xsjn care, ijxsunt cele i variante ale caracteristicii din grupaj, 0xeste media caracteristicii la nivelul colectivitatii totale, k reprezinta numarul de grupen care s-a mpartit colectivitatea, jneste frecventa grupei j, j1 iijn njn, ijneste frecventa varianteii din grupa j. 23 b) Dispersia de grupa (2js ) caracterizeaza variatia caracteristicii la nivelul unei grupe de unitati, ( ) jjf1 iijf1 iij2j ij2jnn x xs n care, jxeste valoarea medie a caracteristicii n grupaj. c)Mediadispersiilorcalculatepegrupe(2js )reflectaaceapartedinvariatia caracteristicii,existentancolectivitateatotala,careesteprodusadefactoriicuactiune ntmplatoare,k1 jjk1 jj2j2jnn ssd)Dispersiadintregrupe(2d )estemasuragraduluidemprastiereamediilor calculate pe grupe de la media generala. Aceasta dispersie reflecta variatia caracteristicii din colectivitateatotalaprovocatadeinfluentafactoruluiobiectivreprezentatprin caracteristica folosita pentru a realiza gruparea,( ) k1 jjk1 jj20 j2nn x xdRezulta,dinceleexpuse,cadispersiageneralacumuleazaattinfluentafactorilor ntmplatori ct si influenta factorului obiectiv, respectiv a factorului de grupare, exprimnd, astfel,masuraniveluluitotalalvaribilitatiicaracteristiciistudiate,faptconfirmatsiprin relatia care atesta regula de adunare a dispersiilor, 2 2j20d s s + Indicatorii asimetriei si boltirii (aplatizarii) seriilor de repartitie Indicatoriiasimetrieisiboltiriiseriilorderepartitieoferainformatiisuplimentare carecompleteazasiledezvoltapeaceleasintetizatedeindicatoriimediisaudeceiai variatiei. a) Coeficientul de asimetrie Coeficientuldeasimetrie(Sx)esteomasuraaasimetrieidistributieiserieinjurul mediei,acestaneedificaasupramoduluidedispunereanivelurilorindividualeale caracteristicii n raport cu o repartitie uniforma sau normala. Cu ct coeficientul de asimetrie 24 estemaimic,respectivseapropiecamarimedezero,cuattseriastatisticaareun gradde asimetrie mai redus, iar daca Sx este egal cu zero, seria este perfect simetrica. Semnulpozitivalcoeficientuluideasimetrieindicaoasimetriespredreaptaiar, semnulnegativsemnalizeazaexistentauneiasimetriiaserieistatistice spre stnga respectiv catre nivelurile mai mici ale seriei. Formula de calcul a coeficientului de asimetrie este: 3xxsx xSn1S1]1

n care, n) x S(xnSxnSxs222x1]1

b) Coeficientul de boltire (aplatizare) (Kx) se cuantifica cu ajutorul relatiei: 4xxsx xSn1K1]1

Marimea coeficientului de boltire se compara cu nivelul standard de 3. - daca, Kx = 3, boltirea seriei statistice corespunde legii de repartitie normale, - daca, Kx < 3, seria are o dispunere plata relativ la repartitia normala, - daca, Kx > 3, seria are o forma ascutita comparativ cu repartitia normala, Atunci cnd3 K si 0 Sx x , seria statistica este normal distribuita. Verificarea convergentei seriei de repartitie studiate ctre legea de repartitie normala pebazaindicatorilor deasimetriesiboltire sepoaterealizacuajutorultestului Jarque-Bera. Dimensiunea statistica a acestui test este: ( )2x2x3 K24nS6nJB + JB se distribuie conform legii de repartitie 2?cu 2 grade de libertate) Daca, 22 f ; q 1 P? JB > , serespingeipotezanulaarepartizariinormaleavariabilei. Cu ct valoarea lui JB este mai mica, mai apropiata de zero, cu att seria statistica se apropie ca forma de repartitia normala. Este evident ca atunci cnd,JB = 0, seria se distribuie conform legii de repartitie normala. Indicatoriiasimetrieisiboltiriiseriilorderepartitieprezinta,deasemenea,utilitate practicapentrualegereauneianumiteschemedesondaj.Sementioneazacancazul colectivitatilorstatisticerelativsimetrice,saucuungradredusdeasimetriesiodispunere compatibilacurepartitiateoreticanormala,seadopta,deregula,untipdesondajsimplu, nestratificat. Indicatorii gradului de concentrare / diversificare 25 Studiul seriilor statisticepoate fi aprofundat prin conturarea unor concluzii specifice cuprivirelamasurancarevolumulcaracteristiciisauunitatilestatisticesedispunntre starile, grupele sau segmentele de timp la care se refera.Indicatorii cu ajutorul carora se apreciaza gradul de concentrare / diversificare sunt: - indicatorul Energia informationala(2Sr Ei )Indicatorul"Ei"poatenregistraomarimecuprinsantre1 si1/n(ncaren este numarulstarilor,grupelorsaudiviziunilordetimp,iarrsuntmarimilerelativede structura). Daca n1Ei , se constata o dispunere uniforma a unitatilor sau a caracteristicii pe starilerespective (maxima diversificare), iar daca1 Ei , seidentificao concentraretotala, ntr-o singura stare. - indicatorului Entropia informationala (En). r) log r -3,321928 r) ( log r ( log En 102 Entropiainformationalapoateluaovaloarenintervalul0 sin log2,ncaren reprezintanumarulstarilorsaualsegmentelordetimp.Daca0 En , exista o singura stare careconcentreazatoataactivitatea,iardacan log 3,321928 n log En10 2 ,seconfirmao dispunereuniformaatuturorstarilorprinprismanumaruluiunitatilorstatisticesaua volumului caracteristicii studiate. - Coeficientul Gini (Kg) ( )11 nnKg2r CoeficientulGinisesituiazacamarimenintervalul0si1.Marimea0atestao dispunere uniforma pe stari sau pe segmente de timp, iar valoarea 1 se obtine atunci cnd se constataexistentauneisingurestaricareconcentreazantreagaactivitate sau toate unitatile colectivitatii statistice. Prezentarea datelor statistice sub forma reprezentarilor grafice n vederea realizarii operatiunilor de prelucrare, interpretare, previziune si prezentare a datelorstatisticeinitialesauaindicatorilorobtinutinurmaprelucrarii,seprocedeaza,de regula,lavizualizareaindicatoriloreconomico-financiarifolosindreprezentarigrafice,care se construiesc cu ajutorul sistemului de axe rectangulare, prin figuri geometrice, harti, figuri simbolice etc. Pentruobtinereaunuimesajcorectpringraficestenecesarsaseapelezelatipulde reprezentarecaresepotrivestespecificuluidatelorcevorfivizualizatenformagrafica. Astfel, n practica se utilizeaza urmatoarele tipuri de reprezentari grafice: -diagramaprinbenzi-esterecomandataafiutilizatancazuldatelorcare exprima:lungimea(rurilor,fluviilor,soselelor,cailorferate);vrstapopulatiei(piramida vrstelor); productia unor bunuriindustrialesauagricolerealizatentr-unan.Deasemenea, 26 aceasta modalitate de reprezentare este folosita si n cazul seriilor dinamice formate dintr- un numar redus de indicatori distantati inegal n timp. -diagramaprincoloane-areoutilizaremaifrecventaatuncicnddorimsa reprezentam grafic un numar redus de indicatori sistematizati n serie dinamica; -diagramadestructura-esteutilizatapentrureprezentareatipurilorcalitativede fenomeneexistententr-ocolectivitate.Diagramadestructurasepoaterealizapecerc, semicerc,patratsaudreptunghiprinreprezentareagraficaamarimilorrelativedestructura referitoare la grupele unei colectivitati; -diagramapolara -esteaplicatacupredilectiepentrureprezentareagraficaaunor indicatori de volum nregistrati pe segmente de timp componente ale unei perioade; - histograma - este folosita la reprezentarea seriilor de variatie pe intervale; - curba cumulativa de frecvente (ascendenta sau descendenta); - cronograma - este o modalitate clasica de reprezentare a seriilor dinamice formate dintr- un numar suficient de mare de indicatori; - cartograma - se realizeaza pe harta prin hasurari de intensitati diferite n functie de marimea indicatorilor reprezentati; - cartodiagrama - se construieste pe harta folosind diagrame nscrise n fiecare zona teritoriala; - figuri geometrice (patrat, cerc, paralelipiped, dreptunghi)- sunt folosite nspecial pentru reprezentarea grafica a unor indicatori de volum; -figurisimbolice-acesteareproducladimensiuniproportionalemarimea indicatorilor de volum pe care dorim sa- i reprezentam. Studiulreprezentarilorgraficenepermitesaformulamaprecieriprivindevolutiasi tendintaindicatoriloreconomico- financiari,saconcluzionamasupraunoraspecteale corelatiilordintrefenomene,sacaracterizamdinpunctdevederespatialdezvoltareaunor fenomene,savizualizamstructurafenomeneloretc.Estederelevatfaptulcaaceastametoda deanalizapringraficeesteutilizatasicaetapaintermediara de lucru n cadrul folosirii altor metodemaicomplexe,cumarfimetodelestatistico- matematicedeanalizaacorelatiilor dintre fenomene sau cele de modelare a seriilor dinamice. Studiul statistic al corelatiilor dintre fenomene Fenomenelesiproceseleeconomicesegasescnrelatiideinterdependenta,astfel nctunelesecomportacafenomenecauza,determinante,independentesaufactoriale,iar altele sunt fenomene efect, determinate, dependente sau rezultative. Concluziiutileprivindinterdependentadintreindicatoriistatisticipotfiformulate numainconditiilefolosiriiunuivolumsuficientdemarededate.Dacasestudiazacorelatii ntreseriidinamicedeindicatorinumarulminimdesegmentedetimptrebuiesafiede15, iarncazulseriilordeindicatoriobtinutinurmaunorexperimentari,numarulminimde indicatoriesteapreciatla40.nunelesituatiiconcreteseremarcafaptulcao semnificatie crescutaaindicatorilorcareexprimadiverseaspectealecorelatiilordintrefenomeneeste mult mbunatatita atunci cnd numarul determinarilor statistice depaseste 100. Pentruastudialegaturilestatisticecareseformeazantrefenomenepotfiutilizate mai multe modalitati de observatie si de calcul, grupate astfel: 27 - metode simple sau de observatie - metoda compararii seriilor paralele de date statistice interdependente - metoda tabelului de corelatie - metoda grafica - metode analitice- metode parametrice (metode statistico- matematice de analiza a corelatiilor) - metode neparametrice (metode de analiza a corelatiei rangurilor) Metoda compararii seriilor paralele de date statistice interdependente consta n stabilirealegaturilordeinterdependentadintrefenomenelesocial-economiceprin compararea a doua sau mai multe serii de indicatori. ncazulseriilorderepartitieindicatoriicaresereferalavariabila determinanta sau independentaseaseazanordinecrescatoaresaudescrescatoaresinmodparalelsenscriu apoivalorilecorespunzatoarevariabilei(caracteristicii)dependente.Dacasecompara serii cronologicedeindicatoriacestiasepozitioneazanmodparalelpesegmentedetimp identice.Metodacomparariiseriilorparalelededatestatisticeinterdependentesepoate utiliza, de asemenea, si atunci cnd seriile respective de indicatori sunt nscrise n raport cu o caracteristica de spatiu (teritoriala). Cuajutorulacesteimetodepoatefiidentificata,astfel,oanumitacorespondentaa modificarilornregistratedeindicatoriiseriilorcomparate,directiasiintens itatea orientativa a modificarilor. Metodatabeluluidecorelatie. Tabeluldecorelatieeste un tabelstatistic cudubla intrare si cuprinde doua serii statistice de repartitie, o serie reprezinta seria de variante, sau intervaleledegrupare,alecaracteristiciideterminante,iarcealaltaseriesereferala caracteristicadependenta(determinata).Tabeluldecorelatieesteoformadegrupare combinata efectuata dupa doua caracteristici considerate n sistem interdependent. n functie de modul n care se distribuie frecventele aferente celor doua caracteristici sepoateconturaoaprecierecuprivirelaexistentasauinexistentauneilegaturistatistice, formasidirectialegaturii.Concentrareafrecventelornjuruluneiadintrediagonalele tabelului indica existenta unei anumite legaturi statistice, iar daca se remarca o mprastiere a frecventelorntotspatiultabeluluiseapreciazacaceledouacaracteristicinumanifestao stare de interdependenta. Prinmetodatabeluluidecorelatieseidentificadacaexistaolegatura statistica ntre fenomenele studiate,nprofilstatic,launanumitmomentlacaresereferadatele,legatura care poate sa nu se mai manifeste la alte momente de existenta a unitatilor statistice. Metoda grafica este una din cele mai utilizate metode pentru evidentierea legaturilor careseformeazantrecaracteristicilestatistice.Aceastametodapoateaveaattoutilizare independentactsincontextul aplicarii altor metodecuostructuradelucrumaicomplexa cum ar fi metodele statistico- matematice de analiza a corelatiilor.Metodagraficuluidecorelatie(corelograma)constananalizaunuigraficconstruit pebazaaxelorrectangulare,valorilecaracteristiciiindependentesenscriupeabscisa,iar celealecaracteristiciirezultativesenscriupeaxaordonatelor.Reprezentarea punctelor de intersectieavalorilorcelordouacaracteristici(noruldepuncte)oferaodispunerecare 28 permite,prinobservatie,saseconcluzionezeasupraexistentei corelatiei,precum siasupra directiei si formei analitice de manifestare a corelatiei. Metodele statistico-matematice de analiza a corelatiilor dintre fenomene fac parte dincategoriametodelordeanalizafactoriala,suntmetodecucaracteranaliticsipermit dimensionareaintensitatiiinterdependenteidintredouasaumaimultefenomene,vitezade modificareafenomenelorefectprinmodificareafenomenelorcauza,precumsiforma analitica a relatiei de interdependenta exprimata printr-o ecuatie de regresie.Acestemetode prezinta o larga aplicabilitate practica datorita consistentei informatiilor pe care le ofera. Corelatiilecaresemanifestantrefenomenesuntexpresiialeasocieriiunor dimensiuni cifrice date de indicatorii statistici cu continut economic sau de alta natura, si pot fi clasificate n functie de urmatoarele criterii: 1) Dupa numarul caracteristicilorcareintervinntr-un sistem de interdependenta statistica, se disting: -corelatiisimple,cndsistemulconsideratcuprindeocaracteristica(fenomen) cauza si o caracteristica (fenomen) efect; - corelatii multiple, cnd se studiaza un sistem format din doua sau mai multe caracteristici determinante si o caracteristica rezultativa. 2) Dupa sensul sau directia corelatiei, pot exista: - corelatii directe, cnd modificareantr-un anumit sens a fenomenului cauza determina modificarea n acelasi sens a fenomenului efect; - corelatii inverse, cnd modificarea ntr- un anumit sens a fenomenului cauza determina modificarea n sens invers a fenomenului efect. 3) Dupa forma analitica, legaturile de interdependenta pot fi: - corelatii liniare, - simple, exprimate cu ajutorul ecuatiei: bx a y + - multiple, sintetizate prin ecuatia:

3 2 1dx cx bx a y + + + , daca variabilele independente (x) sunt n numar de trei - corelatii de tip parabolic, - simple: 2cx bx a y + + - multiple: 22 221 1ex dx cx bx a y + + + + , daca variabilele independente (x) sunt n numar de doua - corelatii de tip hiperbolic, - simple:xba y + - multiple: 2 1xcxba y + + - corelatii de tip exponential , - simple:xb a y 29 - multiple: 2 1x xc b a y 4)Dupatipulsincronizariicorelatieintimp(ncazulcorelatiilordintre indicatori prezentati n serii dinamice): - corelatii concomitente; - corelatii cu decalaj. ncadrulecuatiilorderegresiefenomenulefect(rezultativ,determinatsau dependent)estenotatcuy,fenomenulsaufenomenelecauza(determinantesau independente)cux,iarparametriia,b,c,d,...asociatifenomenelordeterminantesau independente se numesc coeficienti de regresie. n cazul abordarii unei probleme de analiza a corelatiei dintre fenomene cu ajutorul metodelor statistico- matematice, se are n vedere parcurgerea urmatoarelor etape: * constituirea sistemuluideindicatoristatisticisaudemasurarepropusiafistudiati n sistem interdependent. Sementioneazacanaceastaetapadelucrutrebuiesasetinaseamadeconditiile restrictiveceprivescvolumuldatelor.ncazulstudieriicorelatieintreindicatoristatistici prezentatisubformaseriilordinamice,numarul minimacceptateste de15indicatori,iarn cazul datelor obtinute prin experimentari sau masurari ale unor unitati retinute prin sondaj, numarul minim de indicatori este apreciat la 40; * analiza sistemului propus prin prisma cunostintelor de economie generala, precum si a experientei practice din domeniul concret al masuratorilor efectuate, n vederea stabilirii caracterului real sau absurd de existenta a interdependentei ntre fenomenele sistemului. Aceastadecizieestenecesaradeoareceprelucrareaindicatorilorinitialiserealizeaza folosindometodologiematematicacarenupoateprecizacaracterulrealsauabsurdal corelatiei. *seapreciaza,totpebazade analiza,careestetipologiafenomenelor constituiten sisteminterdependent,respectivcareestefenomenuldependent-efect(y)sicareeste fenomenul independent-cauza (x); *sereprezintagraficsistemedecorelatieconstituitedintr- unfenomenefectsiunul cauza,folosindaxelerectangulare.Pegraficvarezultaun"nordepuncte"carevasugera forma ecuatiei de regresie n functie de modul de dispunere a punctelor n plan; *pebazareprezentariigrafice,prinaprecierevizuala,sealegeformaecuatieide regresie,consideratacasintetizndnmodcorespunzatormoduldeasezareanoruluide puncte; *seestimeazavalorileparametrilordinecuatiaderegresiealeasa,folosindmetoda celormaimicipatrate,careconstanminimizareasumeipatratelorabaterilornivelurilor 30 realealefenomenuluidependent-efect(y)delanivelurilecalculatepebazaecuatieide regresie ale aceluiasi fenomen (yc), ( ) minim y y S S2c Minimumacesteisumeseobtineprinegalareacuzeroaderivatelorpartialeale sumei n raport cu parametrii ecuatiei.ncazulparticularaluneiecuatiideregresiedeforma:x b a y + ,sistemulde ecuatiiobtinutprinmetodacelormaimicipatratecarepermiteestimareaparametrilor ecuatiei de regresie, a si b, este dedus astfel: ( ) minim x b a y S S2 ( ) ( )( ) ( ) ' 0 x x b a y S 2dbdS0 1 x b a y S 2dadS De unde rezulta: ' + +Sxy x bS x aSSy x bS na2 Rezolvarea matriciala a sistemului se bazeaza pe relatia: C B A1 n care: A reprezinta matricea sistemului de ecuatii A-1 este matricea inversa a matricei A B reprezinta vectorul termenilor liberi( ) Sxy Sy;C reprezinta vectorul coeficientilor(parametrilor) ecuatiei de regresie, a si b. *secalculeazaestimatiaeroriistandardpentrufiecareparametrualecuatieide regresie si se verifica semnificatia parametrilor cu ajutorul Criteriului "t". Confirmareasemnificatieiparametrilorecuatieideregresieesteatestatacuajutorul Criteriului"t"careconstanacomparavariabilat-statisticcuvariabilat-tabelara corespunzatoareunuianumitpragdesemnificatie(deobiceiseopteazapentruo probabilitate P = 95%, respectiv un prag de semnificatie q = 5%, q = 1-P ) si f = n - k grade delibertate,distribuitadupafunctiaderepartitieStudent).Seprecizeazaca"n"reprezinta numarul variantelor, iar "k" reprezinta numarul parametrilor ecuatiei de regresie. Variabilat-statisticseobtineraportndestimatiaparametruluilaestimatiaerorii standard asociata fiecaruia dintre parametrii ecuatiei, astfel: Daca ecuatia de regresie este de forma: 3 2 1x d x c x b a y + + + -pentruparametrula, asastatistic t ,ncaresaesteestimatiaeroriistandarda parametrului a, 31 -pentruparametrulb, bsbstatistic t ,ncaresbesteestimatiaeroriistandarda parametrului b, -pentruparametrulc, cscstatistic t ,ncarescesteestimatiaeroriistandarda parametrului c, -pentruparametruld, dsdstatistic t ,ncaresdesteestimatiaeroriistandarda parametrului d, Nota: Estimatiile erorilor standard ale parametrilor ecuatiei de regresie (sa, sb, sc si sd) sunt determinateprinextragerearadaciniipatratedinelementelesituatepediagonala principala a matricei rezultate din produsul estimatiei dispersiei erorii standard a ecuatiei de regresie sau patratului erorii standard a ecuatiei de regresie (2y.ycs ) cu matricea inversa aprodusuluimatriceitranspuseavariabilelorindependente(X')cumatriceainitialaa acestor variabile ( X ) : 1 2y.y1 2y.y) A ( s ) X X' ( sc c n care,( )k ny y Ss2c 2y.yc Testareasiinterpretareasemnificatieiparametrilorecuatieideregresieconducela urmatoarele concluzii:-daca marimea cifrica a parametrul "a" este suficient de mare, se obtine informatia ca sistemuldecorelatiestudiatesteformatdintr-unnumarredusdevariantedar,nanumite conditiidatealeanalizeiabordateaceastaconcluziepoatefiignorata.Importantaacestui parametru pentru analiza economica este relativ redusa iar procedura verificarii semnificatiei statistice a acestuia este aplicata, de regula,n scop demonstrativ. -testarea semnificatiei parametruluib, c, si d este efectuata, de asemenea, prin comparareaindicatoruluit-statisticcut-tabelar(q=0,05;f=n-k).Dacaseconstata o inegalitate n favoarea marimii tabelare a lui t se accepta ipoteza nula si deci putem afirma cu suficientancrederecaparametrulrespectiv are o marime care nu difera semnificativ de zero.nacesteconditiicaracteristicaasociataacestuicoeficientdevineneinteresantan sistemuldecorelatiestudiatsipoatefieliminatadinsistem.ncazulexistenteiunei inegalitatinfavoareamarimiistatistice,calculate,serespingeipotezanulasiprinurmare parametrul respectiv are o marime care difera semnificativ de zero iar variabile independenta asociata este semnificativa n cadrul sistemului interdependent studiat. Deciziadeaeliminaovariabilaindependentadintr-unsisteminterdependent multiplu se poate lua si atunci cnd marimea coeficientului de regresie asociat variabilei este foartemica,situatiencarevariabiladependentaestedeciinfluentatantr-omasura considerata nesemnificativa; 32 *secalculeazanivelurileestimate(teoretice)alefenomenuluiefectprinaplicarea ecuatiei de regresie, urmarindu-se realizarea urmatoarei egalitati: cy y Prinaceastaegalitateseconfirmaexactitateacalculelorefectuatepnalaaceasta etapa de lucru. *seprocedeazalatestareaipotezeiprivindexistentaautocorelatieintrevalorile variabilei reziduale cu ajutorul criteriului statistic DURBIN-WATSON care se bazeaza pe calculul si interpretarea urmatorului indicator ( coeficientul de autocorelatie - DW): ( ) nttntt tuu uDW12221 ; t c t) y y ( u CriteriuluistatisticDURBIN-WATSONatestaobunaeficacitateaparametrilor ecuatiei de regresie si respectiv a ecuatiei de regresie de a fi utilizata n calcule care vizeaza extrapolareacorelatieistudiate,dacamarimeacoeficientuldeautocorelatie-DWeste cuprinsa n intervalul 1,8 si 2,2. Se precizeaza ca indicatorul statistic DW poate avea o marime situata n intervalul, 0 si 4: -daca:0,0DWF-tabelaripotezanulaesterespinsasideci,raportuldecorelatie este semnificativ diferit de zero. n acelasi timp, raportul de corelatie si expresia relativa a estimatiei erorii standard a ecuatieideregresie( % 10 Vcy.y< )confirmaprinmarimealorca,ecuatiaderegresie formalizeazacorect,dinpunctdevedereanalitic,legitateastatisticaacorelatieidintre variabilelesistemuluiconsideratsipoatefiutilizatacusuficientancredere pentru a estima niveluriviitoarealevariabileidependentenconditiileadoptariiunorvarianteposibileale marimii variabilelor independente. * se calculeaza coeficientul de determinare n forma procentuala, astfel: ncazulcorelatiilorsimplesecalculeazacoeficientulsimpludedeterminare, pe baza relatiei:100 2 x. x . y yr dsau,100 2 x. x . y yR d ; iar n cazul corelatiilor multiple, se calculeaza coeficientul multiplu de determinare : 100 2x . x .i iy yR D . Coeficientuldedeterminareexprimactlasutadinmodificarea(variatia) indicatoruluirezultativ(y)estedeterminatademodificarea(variatia)indicatorului (indicatorilor)factorialsauindependentdinsistemulinterdependentconsiderat.Diferenta pnala100%estereprezentatadeinfluentaaltorfactoricarenuaufostcooptatinsistemul studiat. * se calculeaza estimatia erorii medii a ecuatiei de regresie (estimatia erorii standard a regresiei) n expresie absoluta:

( )k - ny - ys2cy y c, si n expresie relativa: 100ysVccy y y y 35 Acestindicatorexprima"puterea"ecuatieideregresie,atuncicndestefolositan calculedeextrapolaresaudeprognoza.Seconsideraoeroaremedierelativadeomarime foartebuna,cndaceastasesitueazasub5%sideomarimebuna,cndareovaloare cuprinsantre5%si10%.Interpretareaacestuiindicatordeeroareestecomplementara concluziei oferita de criteriul statistic DURBIN-WATSON Osemnificatiestatisticasimilaraaceleiapecareooferaeroareamedierelativaa ecuatieideregresieesteobtinutaprincalcululsiinterpretareaCoeficientuluide neregularitate al lui Theil care se determina astfel: ( )ny ynynyThcc22 2 +ccy y y y care n; CoeficientuldeneregularitatealluiTheilpoateluaovaloarecuprinsantrezerosi unu.Daca,0 Th ,valorileestimatealevariabileidependente(cy )exprimaperfect prognozafenomenului.Seconsideracafiindomarimefoartebunaacoeficientuluide neregularitate al lui Theil atunci cnd nu depaseste limita de 5%. Exemplul 4 Exemplificareametodologieistatisticepentruanalizacorelatieidintrefenomene (metode statistico-matematice sau parametrice de analiza a corelatiei) va fi efectuata pe baza seriilordinamiceadoiindicatoristatistici,prezentatintr-o forma conventionala,dinamica cheltuielilor pentru servicii (SERIA 01) - variabila dependenta (y) sidinamica veniturilor (SERIA 02) - variabila independent a (x). Tabelul 3 AnulDinamica cheltuielilor pentru servicii SERIA 01 (y) Dinamica veniturilor SERIA 02 (x) 1 1,00 2,00 2 2,00 4,00 3 4,00 6,00 4 5,00 8,00 5 8,00 10,00 Total20,0030,00 Reprezentarea grafica a corelatiei dintre seria 01 si seria 02 este expusa n figura 1. 36 Corelograma dinamicii cheltuielilor pentru servicii n functie de dinamica veniturilor 02468100 5 10 15Dinamicaveniturilor (%)Dinamica cheltuielilor pentru servicii (%)y Fig. 1 Pe baza reprezentarii grafice din figura 1 se conchide ca ecuatia de regresie, y = a + bx,sintetizeazanmodcorespunzatorinterdependentadintreceledouavariabiledeoarece distributia norului de puncte se grupeaza n jurul unei linii drepte. Calcululvalorilorestimatealeparametrilorecuatieideregresieserealizeazacu ajutorul metodei celor mai mici patrate. Sistemul de ecuatii obtinut prin metoda celor mai mici patrate care permite estimarea parametrilor ecuatiei de regresie este: ' + +' + +154 220 3020 30 52b ab axy x b x ay x b na Rezolvarea matriciala a sistemului:

,_

,_

,_

,_

,_

85 010 115420025 0 150 0150 0 100 115420220 3030 511,,, ,, ,C B A n care: A reprezinta matricea sistemului de ecuatii A-1 este matricea inversa a matricei A B reprezinta vectorul termenilor liberi( ) 154 Sxy 20; Sy C reprezinta vectorul coeficientilor ecuatiei de regresie(a = -1,10, b = 0,85). Vectorul B poate fi obtinut astfel: 37

,_

,_

,_

154208542110 8 6 4 21 1 1 1 1B y X 154 8 10 5 8 4 6 2 4 1 220 5 1 4 1 2 1 1 1 + + + + + + + Calculultermenilorcareformeazavectorulcoeficientilorecuatieideregresie,prin nmultirea matricei (1 A ) cu vectorul (B), se realizeaza astfel: 85 0 154 025 0 20 150 010 1 154 150 0 20 100 1, , ,, ) , ( , + +

,_

,_

,_

,_

025 0 150 0150 0 100 1200 5 200 30200 30 200 2205 3030 220220 3030 5, ,, ,/ // / transpusa asociatamatricea matricei A = Atranspuseiinversa = A-1 matricei A A Valoarea determinantului asociat matricei sistemului de ecuatii: 200 30 30 220 5220 3030 5 A Rezulta ca ecuatia de regresie are urmatoarea forma: y = -1,10 + 0,85xParametrul, b = 0,85, este denumit coeficient de regresie sau propensiunea marginala deoarececuantificamodificareafenomenuluidependentatuncicndvariabilaindependenta se modifica cu o unitate. Calcululvaloriiestimateaeroriistandardpentrufiecareparametrualecuatieide regresie are la baza urmatoarea metodologie: - se calculeaza produsul estimatiei patratului erorii standard a ecuatiei de regresie cu matricea inversa a matricei sistemului de ecuatii,

,_

,_

009166 0 054999 0054999 0 403333 0025 0 150 0150 0 100 1366666 01 2, ,, ,, ,, ,, Ay y)) Acelasi rezultat se obtine daca se opteaza pentru urmatoarea varianta de lucru: 38 ( )

,_

,_

,_

111111]1

,_

,_

009166 0 054999 0054999 0 403333 0025 0 150 0150 0 100 1366666 0220 3030 5366666 010 18 16 14 12 110 8 6 4 21 1 1 1 1366666 0111 2, ,, ,, ,, ,, ,, X X

y y )) ( )1 1 A X X - se calculeaza estimatia erorii standard a parametrului a, 635085 0 3 40333 0 , , sa - se calculeaza estimatia erorii standard a parametrului b, 095743 0 009166 0 , , sb Nota:Estimatiaeroriistandardaparametrilorecuatieideregresieestereprezentataprin radacina patrata a elementelor situate pe diagonala principala a matricei (1 2 Ay y))). ( )366666 , 0 60553 , 0 s0,605532 51,10k ny y Ss2 2y . y2y . y )))) Verificareasemnificatieiparametrilorecuatieideregresieesterealizataprin compararea variabilei t-statistic cu t-tabelar. Daca,t-statistic >t-tabelar,serespingeipotezanulasinacesteconditiiparametrii ecuatiei de regresie sunt semnificativ diferiti de zero. Variabilat-statisticseobtineraportndestimatiaparametruluilaestimatiaerorii standard asociata fiecaruia dintre parametrii ecuatiei, astfel: - pentru parametrul a,732051 1635085 010 1,,, asastatistic t4) (Anexa182 , 3 t tabelar t182 , 3 tabelar t 1,73205 statistic t3 2 - 5 k n- f ; 0,05 q < 39 - pentru parametrul b,877960 8095743 085 0,,, bsbstatistic t4) (Anexa182 , 3 t tabelar t182 , 3 tabelar t 87796 , 8 statistic t3 2 - 5 k n- f ; 0,05 q > ncazulstudiuluicorelatieidintredinamicacheltuielilorpentruservicii-variabila dependenta(y)sidinamicaveniturilor - variabila independenta (x) se confirma statatistic ca parametrulbareomarimesemnificativa n timp ce parametrul anu este atestatstatistic cuomarimesemnificativdiferitdezero.nprincipiu,aceastaconcluzienuafecteaza,nsa, utilitatea ecuatiei de regresie deoarece infirmarea semnificatiei parametrului a (ordonata la origine) este o consecinta a numarului redus de valori luate n calcul (n = 5).Analizasistemuluiinterdependentdeindicatoristatisticiprezentatisubformacelor douaseriidinamicesebazeazapeinterpretareaindicatorilorderivatiprezentatin tabelul 4. Tabelul 4 Sistemul indicatorilor analitici care privesc corelatia dintre SERIA 01 si SERIA 02 Variabila dependenta - dinamica cheltuielilor pentru servicii: SERIA 01 Metoda celor mai mici patrate Numarul observatiilor: 5 VariabilaCoeficientulEroarea standard t-Statistic regresie deul coeficient b 0,8500000,0957438,877960 a-1,1000000,635085-1,732051 2R- coeficientul de determinare R raportul de corelatie( )2R0,963333 0,981495 Media variabilei dependente 4,000000 ajustat R2 0,951111 Estimatia abaterii standard a variabilei dependente 2,738613 Eroarea standard a ecuatiei de regresie 0,605530 F-statistic78,81818 Suma patratului reziduurilor:( )2y y S 1,100000 Prob. (F-statistic)0,003013 Coeficientul Durbin-Watson2,509091 Metodologia de calcul a indicatorilor din tabelul 4 este urmatoarea: 40 - Coeficientul de determinare (2R ) ( )( )963333 03010 11 1222,,y yy yR ) Intervaluldelocalizareacoeficientuluidedeterminaresirespectivaraportuluide corelatie este: 1 02 R , R-Raportuldecorelatie(R)seobtineprinextragerearadaciniipatratedin coeficientuldedeterminare,9815 , 0 963333 , 02 R R ,siindica,pentrucorelatia studiata, o intensitate foarte puternica. -Coeficientuldedeterminarecorectatnfunctiedenumarulgradelorde libertate aferente celor doua sume de patrate, ( ) ( )951111 01 5302 510 11112 22, :,ny y:k ny ycorectat R 1]1

1]1

) n care: k numarul parametrilor din ecuatia de regresie n numarul observatiilor - Estimatia erorii standard a ecuatiei de regresie, ( )60553 02 510 12,,k ny yy . y ))) - Suma patratelor reziduurilor sau erorilor, ( ) 10 12, y y ) -Setesteazaipotezaprivindexistentaautocorelatieintrevalorilevariabilei reziduale cu ajutorul criteriului statistic DURBIN-WATSON,

( )( )509 210 176 21222,,,nttnt y - yu - uDW1 - t t) ; t t) y y ( u) 41 nacestcazindicatorulstatisticDWareomarimecaredepasestelimitade2,2si obtinemastfelinformatiacalanivelulvalorilorrezidualesenregistreazaousoara autocorelatie, fapt ce poate afecta eficacitatea ecuatiei de regresie daca aceasta va fi folosita pentru extrapolarea dinamicii studiate. O explicatie a acesteiconcluziipoate fiargumentata prin faptul ca studiul corelatiei este realizat, pe sema unui volum prea mic de date. - Valoarea medie a variabilei dependente, 452058 5 4 2 1 + + + +nyy - Estimatia abaterii standard a variabilei dependente, ( )738613 21 53012,ny ysy - Verificarea semnificatiei raportului de corelatie cu ajutorul Criteriului F, ( )( )81818 7836666 090000 282 510 11 290 2822,,,,,F k - ny - y1 - ky - ystatistic)) ( )12 ky yy)))2y . - estimatia dispersiei dintre sisteme ( )k ny yy 2 )))2y . - estimatia dispersiei dintre interiorul sistemelor ( )12 ny yy2 ) - estimatia dispersiei totale ( ) ( ) ( )10 1 90 28 302 2 2, ,y y y y y y+ +

) ) ( )24 5 - 110 30 11]1

,_

2 2222y n y nnynyy y( )2 2 24 5 154 85 0 20 10 1 90 28 + + , , , y n xy b y a y y) ( ) ( ) 154 85 0 20 10 1 110 10 12 2 , , , xy b y a y y y) 42 F statistic = 78,81818 > F tabelar = 10,1 F tabelar =10,12 1 2 1f ; f ; f f ; 3 2 5 1 1 2 95 0 1 , k n ; k PF F Deoarece, F statistic > F tabelar se respinge ipoteza nula si n consecinta Raportul de corelatie (R) difera n mod semnificativ de zero, iar corelatia studiata este reala. Nota: -Sementioneazaca,Fstatisticesteuncriteriucuajutorulcaruiasetesteaza veridicitateamodelului(ecuatieideregresie)nansamblulsau.Prinaceastatestarese verifica,deasemenea,ipotezadevaloarezeroatuturorcoeficientilorderegresie, respectivacoeficientilorvariabilelorindependente,cuexceptiacoeficientuluicare dimensioneazaordonatalaorigine.Valoareacriticaaacestuiindicator,(Fstatistic),este 2,7cecorespundeuneiprobabilitatide95%sicareatestacacelputinuncoeficientde regresie este n mod semnificativ diferit de zero.n cazul exemplului considerat de noi, probabilitatea de a accepta ipoteza nula este foarte mica: 0,003013 sau 0,30%. Riscul de a formula o concluzie gresita este, n aceasta situatie, practic inexistent. - Regula de adunare a dispersiilor se verifica numai atunci cnd nu se tine seama de numarulgradelordelibertateaferentefiecareisumedeabateriridicatelapatratsideci fiecaredinceletreisumedeabateriridicatelapatratseraporteazalanumarul observatiilor (n). Tabel pentru efectuarea calculelor intermediare Anulyy) = -1,10 + 0,85xy y u) 2 2) y y ( u) 11 1y)= -1,10 + 0,85(2) = 0,60,40,16 22 2y)= -1,10 + 0,85(4) = 2,3 -0,30,09 34 3y)= -1,10 + 0,85(6) = 4,0 00 45 4y)= -1.10 + 0,85(8) = 5,7-0,70,49 58 5y)= -1,10 + 0,85(10) = 7,4 0,60,36 Total 2020,001,10 Anul 21) u u (t t t = 2,,n y y ) ( )2y y ) y y ( )2y y y2 xy 1-3,411,56-3912 20,49-1,72,89-2448 30,0900001624 40,491,72,89112540 51,693,411,564166480 Total 2,76028,90030110154 43 Nivelurilecalculatealevariabileidependente( ) y),determinatepebazaecuatiei de regresie, pot fi obtinute si n varianta de calcul matricial, astfel:

,_

,_

,_

4 77 50 43 26 085 010 110 18 16 14 12 1,,,,,,,y C X) ntabelul5seprezinta,nmodcomparativ,seriarealaavariabileidependentesau rezultative(y)cunivelurile,aceleiasivariabile,estimatepebazaecuatieideregresie( y)), precum si distributia erorilor (reziduurilor). Tabelul 5 Situatia reziduurilor: marimile absolute si dispunerea grafica AnulNivelurile reale(y) SER01 Nivelurile calculate sau estimate*) ( y)) SER01F Reziduuri (Termenul de eroare) u = y- y) Plaja reziduurilor 1 1,00000 0,60000 0,40000|. |*.| 2 2,00000 2,30000-0,30000|.*| .| 3 4,00000 4,00000 0,00000|. * .| 4 5,00000 5,70000-0,70000|* . | .| 5 8,00000 7,40000 0,60000|. | *| + 0,60553 = +y))y - 0,60553 = -y))y *)Nivelurilecalculatesauestimatealevariabileidependentesuntdeterminatepebaza ecuatiei de regresie: y = a + bx Nota: - Estefoartebineatuncicnddimensiuneareziduurilornudepasesteplajadelimitata de o estimatie a erorii standard a ecuatiei de regresie,(y y )) t ). -Conditiadenormalitateadistributieiserieierorilor(reziduurilor)estendeplinita implicitdacan>40,atuncicndsuntdatedenaturaexperimentalasau,n>15ncazul seriilor dinamice. Metode de analiza a corelatiei rangurilor ncazulconsiderariiunuisisteminterdependentdevariabilepentrucareseinfirma ipotezacorespondenteiculegeaderepartitienormala,calcululintensitatiicorelatieise realizeaza prin aplicarea unor metode neparametrice. 44 Prezumtiaparametricaacorelatieiesteeliminataprinordonarea,nmodcrescator saudescrescator,avalorilorvariabileiindependente(X),urmndsaseoperezecumarimi echivalente, denumite ranguri. Metodeleneparametricepermitmasurareaintensitatiicorelatieiattpentruvariabile cantitative ct si pentru variabile calitative. Optiuneapentruaplicareaacestormetodeeste,deobicei,adoptataatuncicndse studiazacorelatiintrevariabileeconomicecuvariabilepropriiunordomeniineeconomice (demografice, psihologice, medicale, sportive etc. ). Coeficientul lui Spearman ( ) 1 22n nd 6- 1 , n care: d - reprezinta diferenta dintre rangurile (numerele de ordine) corespunzatoare lui y si respectiv x, x yr r d n - numarul nivelurilor aferente variabilelor statistice Coeficientul lui Kendall ( ) 12 n nS, n care: Q P S ,P-esteindicatorulconcordanteisaunumarulrangurilorsuperioare termenului respectiv, numarate n continuare, aferente variabilei dependente - y, Q-esteindicatoruldiscordanteisaunumarulrangurilorinferioare termenului respectiv, numarate n continuare, aferente variabilei dependente - y. Intensitatea corelatiei este apreciata n functie de marimea coeficientului, care poate lua o valoare n intervalul1, +1. Exemplul 5 Tabelul 6 Situatia cheltuielilor cu publicitatea efectuate de 17 societati care comercializeaza produse alimentare Nr. crt. Cheltuieli cu publicita-tea (mil. lei) -X- Cifra de afaceri (mil. lei) -Y- Rangul pentru variabila X -xr - Rangul pentru variabila Y -yr - y xr rd 2d P Q S = = P-Q 15420110016016 25450220015015 3557036-391138 45 46490440012111 5658057-241028 6760068-24927 77610710-39734 87660811-39633 97690912-39532 108520105525615 11860011924514 1287201214-24321 1387301315-24220 1410710141311211 15141.0001517-2402-2 165045016313169 101 17120990171611000 Total 256 84 ( ) ( )686 01 17 17256 6112, 22n nd 6- 1 ( ) ( )618 01 17 1784 212,n nS Coeficientiicalculatinepermitsaapreciemcantresumacheltuielilorefectuatecu publicitatea,decatrecele17societaticomercialecuprinsencercetare,sicifradeafaceri, esteocorelatiesuficientdeputernica,deoarecemarimealorsesitueazanintervalul0,6- 0,8. Indicii statistici Pentrufundamentareadeciziilorcarevizeazaconducereaactivitatiieconomiceo utilitatedeosebitaprezintametodaindicilordatoritacontinutuluiinformationalpecarel oferadimensiuneastatisticanumitaindice,obtinutacarezultatalcomparatieirealizaten raport dinamic sau n statica.Indicelestatisticesteomarimerelativacareexprimaunadinurmatoarelecategorii de stari a fenomenelor economice: - dinamica, - gradul de ndeplinire a indicatorilor programati sau planificati, -nivelulrelativalsarciniipropusepentrucrestereasaudiminuareaunui indicator economico-financiar n segmentul de timp care urmeaza, - raportul de marime dintre doi indicatori economico-financiari identici din punctdevederealcontinutuluisimoduluidecalcul,referitoriladouaentitatiteritoriale similare (oras, judet, tara) sau doi agenti economici, dar coexistenti n timp. 46 Prinurmare,indiceleesterezultatulraportuluiadoiindicatoristatisticireferitorila acelasifenomeneconomic,care,larndullor,potfiprezentatinformaabsoluta,relativa saumedie.Indiceleexprimamodificarearelativaamarimiiindicatoruluidelanumaratorn comparatie cu marimea de la numitorul raportului. Dinpunctdevederealsfereidecuprinderesedistingdouacategoriideindici statistici: indici individuali sau simplii si indici de grup. Indiceleindividualexprimaraportuldemarimentredoiindicatoristatisticicare caracterizeaza colectivitati de unitati (obiecte sau tipuri de produse,) omogene sau fenomene cu acelasi continut economic. De exemplu, se poate calcula indicele individual al dinamicii volumuluifizic,aldinamiciipreturilorsaualdinamiciivaloriimarfurilorvndutedeun agent economic pentru fiecare fel de marfa, n mod distinct. Formulele generale de calcul a indicilor individuali de dinamica sunt: - pentru un indicator economic de tip cantitativ, ( )01fff i , - pentru un indicator economic de tip calitativ, ( )01xxx i , - pentru un indicator economic complex, 0 01 1 fxx fx fi Indiceledegrupexprimamodificareamedierelativaacaracteristiciiunei colectivitati de unitati care difera ntre ele prin continut sau valoare de ntrebuintare. Deexemplu,indiceledegrupaldinamiciivaloriimarfurilorvndutedeosocietate comerciala(indiceledegrupaldinamiciicifreideafaceri),careesteunindicealunui indicatorstatisticcomplex,secalculeazacaraportntresumancasarilor(valoarea vnzarilor) din perioada curenta sau de calcul si suma ncasarilor (valoarea vnzarilor) din perioada baza de comparatie, conform urmatoarei relatii, 0 01 1 qpp qp qI , n care, qestevolumulfizicalvnzarilorpetipuridemarfuri(indicatoreconomicdetip cantitativ - f), p reprezinta pretul unitar de vnzare pentru fiecare fel de marfa (indicator economic de tip calitativ - x). Seprecizeazacaattvolumulfizicalvnzarilorctsipreturileunitaredevnzare suntnensumabilenmoddirectdeoarecesereferalatipuridiferitedemarfurisin consecintapentruaevidentiainfluentasaumodificareaseparataafiecaruiadinceidoi 47 factori(qsip)secalculeazaindicidegrupfactorialiprinaplicareaunuianumitsistemde ponderare. Prinurmare,ncazuluneirelatiifactorial-deterministedeformay=fx,sau fx y ,pentruadimensionamodificareaseparataafiecaruiadinceidoifactori (cantitativ- f si calitativ- x) care au determinat modificarea indicatorului complex (y) sau, ntr-oaltaformadeinterpretare,folositanumaincazulindicilordegrupfactoriali,pentrua cuantificamodificareamedieaindicatoruluicantitativsirespectivaceluicalitativse utilizeaza,deregula,metodasubstituirilorsuccesive(nlant)dar,npracticadeanalizase recurge uneori si la alte modalitati de ponderare. nvedereasistematizarii,generalizariisirigurozitatiiaplicariimetodeisubstituirilor succesive, indicatorii economici sunt grupati astfel: -indicatorieconomicicantitativi(f)cumarfi:volumulfizicalproductieisaual prestatiilordeservicii(q);numarulmediualsalariatilor(N);timpullucratdesalariati, exprimat n om-ore (Nh); timpul lucrat de salariati, exprimat n om- zile (Nz); valoarea medie amijloacelorfixe(Mf);valoareamedieaactivelorcirculante(Ac);locuricapacitatede cazare turistica existenta sau capacitatea construita si destinata pentru cazarea turistilor - (L); locuri- zilecapacitatedecazareturisticaexistenta(Le);locuri- zilecapacitatedecazare turistica disponibila, n functiune sau activa (Lz); turisti cazati n unitatile de cazare turistica (T); numarul de zile-turisti (Tz) etc.; - indicatori economici calitativi (x): pretul de productiesautarifulpeunitatefizica de servicii (p); pretul de vnzare cu amanuntul (pv); cheltuielile cu forta de munca efectuate nmediecuunsalariat(cfm );costulcompletunitar(c);consumulspecificderesurse materialesienergeticeexprimatnunitatinaturale(m);cheltuielilela1000leicifrade afaceri(Ch);ratarentabilitatiifinanciare(Rrf);productivitateamuncii(w);numarulmediu derotatiiaactivelorcirculante(n),duratamedienzileauneirotatiiaactivelorcirculante (d) si n general toti indicatorii care exprima eficienta economica; - indicatori economici complecsi (fx): cifra de afaceri (CA); marja comerciala (Mc); productiaexercitiului(Q);valoareaadaugata(VA),cheltuieliletotale(Ct);venituriletotale (Vt);cheltuieliletotalecufortademunca(CFM);cheltuieliletotalecumateriileprime, materialele si energia aferente activitatii productive, de comert sau de prestare a serviciilor (CM);consumultotaldemateriiprime,materialesicombustibilexprimatnunitatinaturale -pefelurideresurse-(M);rezultatuldinexploatare(Re);rezultatulnetalexercitiului financiar (Rn), rezultatul brut al exercitiului (Rb). Aplicareametodeisubstituirilorsuccesiveimplicarespectareaurmatoarelordoua reguli de baza: 1)individualizareasidimensionareainfluenteiunuifactordetipcantitativcarea determinatmodificareaindicatoruluicomplexserealizeazaprinponderare(mentinere constanta) cu factorul de tip calitativ baza de comparatie; 48 2)individualizareasidimensionareainfluenteiunuifactordetipcalitativcarea determinatmodificareaindicatoruluicomplexserealizeazaprinponderarecufactorulde tip cantitativ comparat. Facemprecizareaca,ncazulanalizeipefactoriaindicatorilorcarecaracterizeaza eficienta utilizarii factorilor de productie directi sau primari (forta de munca, mijloacele fixe siactivelecirculantematerialesauresurselematerialesienergetice),consumatipentru obtinereaunuirezultateconomic,indicatorii de efect economic sunt tratati ca indicatori de tipcalitativ,iarceideeforteconomicausemnificatiasisecomportacaindicatoridetip cantitativ. Formulele generale de calcul folosite n cazul metodei substituirilor succesive, atunci cnddorimsacuantificammodificarilerespectivenmarimirelativesiabsolute,sunt urmatoarele: - modificarea totala a fenomenului (indicatorului) complex: 0 01 1 fxx fx fI , sau0 01 1 fxx fx fI 0 0 1 1x f - x f , sau0 0 1 1x f - x f din care: - influenta modificarii factorului de tip cantitativ:( )0 00 1x fx ff I , sau ( )0 00 1x fx ff I ( )0 0 0 1x f - x f f , sau ( )0 0 0 1x f - x f f - influenta modificarii factorului de tip calitativ: ( )0 11 1x fx fx I , sau ( )0 11 1x fx fx I ( )0 1 1 1x f - x f x , sau ( )0 1 1 1x f - x f x urmnd sa se verifice egalitatile: ( ) x I I(f) Ifx ( ) ( ) x f + n cazulconcret alindicilordegrupfactorialicareexplica,ndinamica,influenta modificariivolumuluifizicsirespectivinfluentamodificariipreturilordevnzareasupra modificariicifreideafaceri,sauexprimamodificareamedieavolumuluifizicsirespectiv modificarea medie a preturilor de vnzare pot fi scrise urmatoarele relatii de calcul: - indicele de grup al dinamicii volumului fizic, 49 0 00 1 qpqp qp qI- indicele de grup al dinamicii preturilor de vnzare,0 11 1 qppp qp qI Oaltaprocedurametodologicafolositapentruacalculainfluentafactorilorcareau determinatmodificareaunuiindicatorcomplex,estecunoscutasubdenumireaMetoda separarii actiunii izolate a fiecarui factor. Aplicareaprincipiuluideseparareaactiuniiindividualeafactorilorcaredetermina modificareaunuiindicator complex prezentatnfunctiedemaimultifactoriconform unei relatiifactorial-deterministe -sebazeazapeunsistemdeponderarecareutilizeazanmod invariabilindicatoriibazadecomparatie,indiferentcasuntdenaturacantitativasau calitativa. Rezulta, n acest caz, si o influenta suplimentara care este cauzata de interactiunea factorilor sau a actiunii simultane a factorilor. Metoda substituirilor succesive, prezentata anterior, permite obtinerea unor rezultate multumitoarenumaiatuncicndmodificareaindicatoruluicomplexnuareoamplitudine mare si n consecinta si influentele factorilor considerati suntrelativ mici. Deaceea,schemadeevidentiereizolataainfluenteifactorilorasuprafenomenului complexsigasesteutilitateanspecialatuncicndmarimeaabsolutaainteractiunii factorilorestemaiimportanta.Porninddelaacesteconsiderente,metodaseparariiactiunii izolateafiecaruifactorserecomandaafiutilizataatuncicndmarimearelativaainfluentei interactiunii factorilor n cresterea totala a fenomenului complex depaseste 5%, adica: ( )( ) ( )( )% 5 100x f - x fx - x f - f100x f0 0 1 10 1 0 1> ,n care: ( )( ) x f ?-modificareaabsolutaaindicatoruluicomplex datoritainteractiuniifactorilor, f si x, considerati printr-o relatie determinista. n cazulaplicariimetodeiseparariiactiuniiizolateafiecaruifactor,pentruindiciide grup pot fi scrise urmatoarele relatii de calcul: - influenta indicatorului de tip cantitativ, 0 00 1x Sfx SfI(f) - influenta indicatorului de tip calitativ, 0 01 0x Sfx SfI(x) - influenta interactiunii factorilor (actiu