Anul I, CSIE 2011-2012 Statistica I Exercitii pregatitoare pentru testul de la seminar si pentru examen – partea I Ex. 1. Următoarea serie de date arată preţul de vânzare (sute lei) pentru 13 lucrări de grafică la o licitaţie de obiecte de artă: 51, 60, 72, 35, 32, 57, 63, 61, 48, 33, 67, 54, 37. Stabiliţi valoarea de adevăr a următoarelor afirmaţii, justificând răspunsurile: a) 25 % dintre lucrarile licitate s-au vandut pentru un pret mai mic de 48 sute de lei; b) jumatate dintre lucrarile licitate au un pret mai mic sau egal cu 54 sute lei; c) 25 % dintre lucrari s-au vandut cu cel putin 62 sute de lei; d) pentru 75% dintre obiecte s-a obtinut un pret de cel putin 36 sute lei; e) precizati care dintre urmatoarele valori: 25, 29, 16, 40, 124, 85, 99,8 sute lei sunt outliers in raport cu datele initiale. Rezolvare: Cele n=13 valori ale seriei de date se ordonează crescător: x (1) =32, x (2) =33, x (3) =35, x (4) =37, x (5) =48, x (6) =51, x (7) =54, x (8) =57, x (9) =60, x (10) =61, x (11) =63, x (12) =67, x (13) =72. Q 1 – cuartila de ordinul 1 sau cuartila inferioara Locul lui Q 1 este n +1 4 ⋅ 1= 13 +1 4 ⋅ 1=3 , 50 ∉ N, dar 3 < 3,50 < 4 ⇒ x ( 3) ≤Q 1 ≤x ( 4) si Q 1 = x ( 3) +x (4 ) 2 = 35+37 2 = 36 sute lei. x ( 1 ) ≤x ( 2 ) ≤x ( 3 ) ⏟ 25% ¿¿¿ ↑ ¿ Q 1 ¿¿¿¿ 36 ¿¿¿ x (4 ) ¿ x (5 ) ¿ x ( 6) ¿ x ( 7) ¿ x ( 8) ¿ x ( 9) ¿ x (10) ¿ x ( 11) ¿ x ( 12) ¿ x ( 13) ⏟ 75 % ¿
Transcript
Anul I, CSIE 2011-2012Statistica I
Exercitii pregatitoare pentru testul de la seminar si pentru examen – partea I
Ex. 1. Următoarea serie de date arată preţul de vânzare (sute lei) pentru 13 lucrări de grafică la o licitaţie de obiecte de artă: 51, 60, 72, 35, 32, 57, 63, 61, 48, 33, 67, 54, 37.Stabiliţi valoarea de adevăr a următoarelor afirmaţii, justificând răspunsurile:
a) 25 % dintre lucrarile licitate s-au vandut pentru un pret mai mic de 48 sute de lei;b) jumatate dintre lucrarile licitate au un pret mai mic sau egal cu 54 sute lei;c) 25 % dintre lucrari s-au vandut cu cel putin 62 sute de lei;d) pentru 75% dintre obiecte s-a obtinut un pret de cel putin 36 sute lei;e) precizati care dintre urmatoarele valori: 25, 29, 16, 40, 124, 85, 99,8 sute lei sunt
outliers in raport cu datele initiale.
Rezolvare:Cele n=13 valori ale seriei de date se ordonează crescător:x(1)=32, x(2)=33, x(3)=35, x(4)=37, x(5)=48, x(6)=51, x(7)=54, x(8)=57, x(9)=60, x(10)=61, x(11)=63, x(12)=67, x(13)=72.
Q1 – cuartila de ordinul 1 sau cuartila inferioara
Locul lui Q1 este
n+14
⋅1=13+14
⋅1=3 ,50∉N, dar 3 < 3,50 < 4
⇒ x (3 )≤Q 1≤x ( 4 ) si Q1=
x ( 3 )+x ( 4 )
2=35+37
2=36
sute lei.
x ( 1 )≤x (2 )≤x (3 )⏟25%
¿ ¿ ¿↑ ¿
Q1 ¿¿ ¿¿36 ¿¿¿ x (4 )¿ x (5 )¿ x (6 )¿ x (7 )¿ x (8 )¿ x ( 9)¿ x (10 )¿ x (11 )¿ x (12 )¿ x (13)⏟75 %
¿
Cu interpretarea: 25 % dintre termenii seriei au valori mai mici decat 36 sute lei (Q1 este percentila de
ordinul 25), iar 75% dintre termenii seriei au valori mai mari ca 36 sute lei;sau
25% dintre lucrarile de grafica licitate s-au vandut pentru un pret mai mic decat 36 sute lei, iar restul de 75% dintre ele s-au vandut cu un pret mai mare de 36 sute lei.
Q2=Me – cuartila de ordinul 2 sau mediana seriei de date statistice.
Cu interpretarea: 75 % dintre termenii seriei au valori mai mici decat 62 sute lei (Q3 este percentila de
ordinul 75), iar 25% dintre termenii seriei au valori mai mari ca 62 sute lei;sau
75% dintre lucrarile de grafica licitate s-au vandut pentru un pret mai mic decat 62 sute lei, iar restul de 25% dintre ele s-au vandut cu un pret mai mare de 62 sute lei.
x ( 1 )≤x (2 )≤x (3 )⏟25 %
¿ ¿ ¿↑ ¿
Q1 ¿¿ ¿¿36 ¿¿¿ x (4 )¿ x (5 )¿ x (6 )¿ x (7 )¿ x (8 )¿ x ( 9)¿ x (10 )⏟50 %
¿ ¿ ¿↑ ¿
Q3 ¿¿ ¿¿62 ¿¿¿ x (11 )¿ x (12 ) ¿ x (13 )⏟25%
¿
Jumatate din termenii din mijlocul seriei au valori cuprinse intre Q1=36 sute lei si Q3=62 sute lei.
Abaterea intercuatilica este IQR=Q3-Q1=26 sute lei.
Definitie: Spunem ca o valoare x este outlier pentru un set de date statistice numerice daca:x<Q1−1,5⋅IQR sau x>Q3+1,5⋅IQR
sauvaloarea x este outlier pentru un set de date statistice daca daca se gaseste in afara
intervalului[Q1−1,5⋅IQR ; Q3+1,5⋅IQR ] .
In cazul nostru, [Q1−1,5⋅IQR ; Q3+1,5⋅IQR ]=[−3 ; 101 ] , deci numai valoarea 124 este outlier in raport cu setul initial de date statistice.
In concluzie, a) fals; b) adevarat; c) adevarat; d) adevarat; e) numai valoarea 124 sute lei este outlier in raport cu seria initiala de date.
Ex. 2. Se considera urmatoarea serie, reprezentand valoarea inregistrata a 9 facturi emise de o societate comerciala in ultima luna: 47; 58; 41; 36; 54; 42; 65; 43; 37 (mil. lei).
Unde A – nivelul cel mai slab, E – nivelul cel mai inalt.
Construiti distributia de frecvente absolute si reprezentati-o grafic.Studiati tendinta centrala a distributiei folosind indicatori adecvati.Calculati media si dispersia unei variabile alternative, a carei stare favorabila este data de copiii care au atins cel mult nivelul C al jocului.
Alegeti afirmatiile false:a) Cuartilele inferioara si superioara sunt 43 si respectiv 58 mil. lei.b) Abaterea intercuartilica este de 10 mil. lei;c) Jumatate dintre termenii seriei, plasati pe mijocul distributiei, se regasesc intre 39 si
56.d) Percentilele de ordinul 25 si 75 sunt 39 si respectiv 56 mil. leie) In raport cu datele initiale, valorile: 73, 29, 18, 73, 23 sunt toate outliers.f) Daca fiecare valoare s-ar mari intai cu 4,25 lei, apoi de 2 ori, dispersia noilor valori ar
fi 396.
Ex. 3. Structura unui esantion de 90 de copii dupa nivelul maxim atins al unui joc pe calculator este:
A11%
B13%
C20%
D34%
E22%
Ex. 4. Pentru 39 de actrite care au obtinut premiul Oscar se cunoaste varsta, in ani impliniti, la momentul castigarii premiului:
Se cere:a) sa se determine si sa se interpreteze indicatorii tendintei centrale si cuartilele acestei
serii de date;b) sa se construiasca diagrama box-plot (sau diagrama cu mustati box-and-whisker),
punand in evidenta daca seria are valori extreme;c) sa se calculeze indicatorii variatiei si sa se stabileasca daca seria este omogena;d) analizati asimetria;e) Descriptive Statistics.
Rezolvare: a)
o Populatia statistica este multimea actritelor care au castigat premiul Oscar.o Unitatea statistica este o actrita.o Variabila sau caracteristica de interes, notata X, este variabila ce arata varsta unei actrite la
momentul obtinerii premiului; variabila numerica, discreta.o Pentru un esantion de volum n=39 de actrite se cunosc valorile variabilei X, adica
{x1=50, x2=44, x3=35, x4=80, ..., xn=x39=33 ani}, care reprezinta o serie simpla sau nesistematizata de date statistice numerice.
o Media unei serii simple de date numerice {x1 , x2 , .. . , xn} estex=
x1+x2+. ..+xn
n=∑i=1
n
x i
n .In cazul acestei serii, varsta medie a unei actrite din esantion care a castigat premiul Oscar
este x=
x1+x2+. ..+x39
39=∑i=1
39
x i
39=1486
39=38 , 1025
ani.o Pentru a determina mediana, vom proceda astfel:
- seria simpla de date se ordoneaza crescator x (1 )≤x (2 )≤.. .≤x ( n ) , unde x (i ) , i=1 , n
este elementul cu rangul i din seria ordonata crescator,
- locul medianei este
n+12
=20∈N ⇒Me=x ( 20 )=34 ani.
Jumatate dintre actritele din selectie au obtunut premiul Oscar la o varsta de cel mult 34 de ani (jumatate dintre actritele din esantion au castigat premiul Oscar la o varsta de peste 34 de ani).
o Exista doua valori care au frecventa maxima si anume valorile 26 ani si 34 ani, care apar pentru 4 actrite fiecare.
Nr. crt. Varsta actritelorx i Varsta actritelor, in ordine crescatoare
o Pentru determinarea cuartilelor procedam astfel:
- locul cuartilei de ordinul 1, Q1, este
n+14
⋅1=10∈N ⇒Q1=x (10 )=30 ani;
un sfert dintre actrite au castigat premiul Oscar la o varsta mai mica sau egala cu 30 de ani, iar restul la cel putin 30 de ani;
- locul cuartilei de ordinul 3, Q3, este
n+14
⋅3=30∈N ⇒Q3=x ( 30)=41 ani;
trei sferturi dintre actrite au castigat premiul Oscar la o varsta mai mica sau egala cu 41 de ani, iar restul la cel putin 41 de ani.
o Abaterea intercuartilica esteIQR=Q3−Q1=11 ani si arata lungimea intervalului in care se gasesc jumatate dintre valorile din mijlocul seriei de date.
b) Diagrama cu mustati (box-and-whisker) sau diagrama box-plot pentru o serie de date statistice numerice se construieste punand in evidenta urmatoarele cinci elemente si eventualele valori extreme sau outliers:
- cuartila inferioara sau de ordinul 1, Q1=30 ani;- mediana sau cuartila de ordinul al 2-lea, Q2=Me=34 ani;- cuartila superioara sau de ordinul al 3-lea, Q3=41 ani;- limita sau marginea inferioara a diagramei box-plot este cea mai mica
dintre valorile seriei de date cu proprietatea ca este mai mare sau egala cu Q1−1,5⋅IQR , adica
lim infbox− plot=min {x (i ) , i=1 , n | x( i )≥Q1−1,5⋅IQR }:o Q1−1,5⋅IQR=13 ,5o cea mai mica dintre valorile seriei de date, cu proprietatea ca este
¿13 , 5 , este x(1)=21 ani, deci marginea inferioara este egala cu 21
ani, lim infbox−plot=21=x ( 1 ) ;
30(Q1)
34(Me)
41(Q3)
50 60 61 74 80
* * * **
- limita sau marginea superioara a diagramei box-plot este cea mai mare dintre valorile seriei de date cu proprietatea ca este mai mica sau egala cu Q3+1,5⋅IQR , adica
lim supbox− plot=max {x (i ) , i=1 , n | x (i )≤Q3+1,5⋅IQR }:o Q3+1,5⋅IQR=57 ,5o cea mai mare dintre valorile seriei de date, cu proprietatea ca este
¿57 ,5 , este x(34)=50 ani, deci marginea superioara este egala cu 50
ani, lim supbox−plot=50=x (34 ) .
Se observa ca intervalul cuprins intre marginea inferioara si cea superioara diagramei box-plot, adica intervalul de numere reale [21; 50] nu contine toate valorile observate, in afara lui ramanand valorile x(35)=60, x(36)=61, x(37)=61, x(38)=74, x(39)=80 ani.
Valoarea x este outlier pentru seria de date statistice numerice daca x se gaseste in
afara intervalului [Q1−1,5⋅IQR ; Q3+1,5⋅IQR ]=[ 13 ,5 ; 57 ,5 ] , x(35)=60, x(36)=61, x(37)=61, x(38)=74, x(39)=80 sunt outliers si vor fi reprezentate distinct in diagrama box-plot.
Fig. …. Diagrama box-plot sau diagrama cu mustati (box-and-whisker).
21
Fig. …. Diagrama box-plot in SPSS.
c) Dispersia de selectie (sample variance) pentru o serie simpla de date numerice asupra variabilei X este
sx2=
(x1− x )2+. ..+( xn− x )2
n−1=∑i=1
n
(xi− x )2
n−1 ,
adica sx
2=∑i=1
39
(x i− x )2
39−1=6791 ,5897
39−1=178 ,7260
,
abaterea standard (standard deviation) este sx=√sx2=13 ,3688 ani.
Coeficientul de variatie este vx=
sx
x⋅100=35 ,09 %>35 %
, ceea ce indica faptul ca seria de date nu este omogena, iar media nu este reprezentativa pentru colectivitate, ca indicator al tendintei centrale.
d) Asimetria unei serii de distribuţie de frecvenţe se poate stabili:- prin compararea indicatorilor tendintei centrale,- prin analiza distantei intre mediana si cele doua cuartile inferioara si superioara,- prin calculul si interpretarea valorii unui indicator specific, coeficientul de asimetrie,- se observă din reprezentarea grafică prin histogramă sau poligonul frecvenţelor.
- Cum Me=34<38 ,1025= x , atunci concluzionam ca seria de date prezinta asimetrie pozitiva.
- Cum mediana este mai apropiata de Q1 decat de Q2, adica Me−Q1<Q3−Me , asa cum se poate vedea din diagrama box-plot, atunci concluzionam ca seria prezinta asimetrie pozitiva, in seria de date predominand valorile mici.
- Indicatorul asimetriei este coeficientul de asimetrie (Skewness) CAS=
∑i=1
n
(x i− x)3
n⋅(sx )3 , al carui semn si marime arata tipul asimetriei (pozitiva sau negativa), iar marimea arata gradul mai putin accentuat sau mai accentuat al asimetriei seriei de date sau al distributiei. In cazul acestei serii de date,CAS=1 , 5734 , o valoare pozitiva si mai mare ca 1, ceea ce arata ca seria de date prezinta o asimetrie pozitiva pronuntata.
- Sistematizarea printr-o serie de distributie de frecvente pe r=6 intervale de variatie de marime egala a dat urmatoarea distributie a celor n=39 de actrite din esantion dupa varsta la momentul obtinerii premiului Oscar:
Nr. crt. Intervalul k de variatie(clasa de varsta)
Frecventa absolutanka intervalului k de variatie
(numarul de actritedin fiecare clasa de varsta)
Centrulxkal intervalului k de
variatie
1 20-30 ani 11 252 30-40 ani 16 353 40-50 ani 7 454 50-60 ani 1 555 60-70 ani 2 656 70-80 ani 2 75
∑k=1
6
nk=39=n
Reprezentarea grafica seriei de distributie de frecvente pe intervale, adica histograma si poligonul frecventelor sugereaza ca aceasta prezinta asimetrie pronuntata la dreapta sau asimetrie pozitiva, adica predomina valorile mai mici ale variabilei de interes, cu coada mai lungă a distribuţiei spre valorile mari, care apar cu frecventa mai mica. Intre cele 39 de actrite castigatoare ale premiului Oscar, predomina cele cu varste relativ mai mici.
Histograma - distributia celor n=39 de actrite dupa variabila ce arata varsta la momentul castigarii premiului
Oscar
11
16
7
12 2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20-30ani
30-40ani
40-50ani
50-60ani
60-70ani
70-80ani
Varsta (intervalele sau clasele de varsta)
Frec
vent
a ab
solu
ta (n
umar
ul d
e ac
trite
)
Poligonul frecventelor pentru seria de distributie de frecvente
11
16
7
12 2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Varsta, in ani (centrele intervalelor)
Num
arul
de
actri
te
e) Indicatorii tendintei centrale, principalii indicatori ai variatiei si ai formei distributiei pentru o serie simpla de date numerice pot fi calculati in Excel si in SPSS, output-urile fiind de forma:
Output-ul Descriptive Statistics in Excel Output-ul Descriptive Statistics in SPSSVarsta actritelor
Mean (media) x= 38.1025Standard Error 2.1407
Median Me=34Mode Mo=26
Standard Deviation(abaterea standard) sx=√sx
2=13.3688
Sample Variance(dispersia de selectie) sx
2= 178.7260Kurtosis 2.3830
Skewness(coeficientul de asimetrie) CAS= 1.5734
Range(Amplitudinea)
Ax=xmax−xmin= 59
Minimum xmin= 21
Maximum xmax= 80
Sum ∑i=1
39
xi=1486
Count n=39
Statistics
Varsta actritelor Oscar
N Valid 39
Missing 0
Mean x= 38.10
Std. Error of Mean 2.141
Median Me=34.00
Mode Mo=26a
Std. Deviation sx=√sx2=
13.369
Variance sx2= 178.726
Skewness CAS= 1.573
Std. Error of Skewness .378
Kurtosis 2.383
Std. Error of Kurtosis .741
Range Ax=xmax−xmin= 59
Minimum xmin= 21
Maximum xmax= 80
Sum ∑i=1
39
x i=1486
Percentiles 25 Q1=30.00
50 Q2=Me=34.00
75 Q3= 41.00
a. Multiple modes exist. The smallest value is shown
Observatie: Analiza boltirii/aplatizăriiBoltirea(kurtosis, în engl.) exprimă înălţimea curbei („cocoaşei”) comparativ cu distribuţia normală teoretică. Întâlnim, astfel distribuţii leptocurtice, ascuţite (cu „cocoaşa” înaltă) şi distribuţii platicurtice, aplatizate. Coeficientul de boltire sau aplatizare (kurtosis) este o măsură a împrăştierii fiecărei observaţii în jurul unei valori centrale şi se determină, pe eşantion, cu formula:
CBA=∑i=1
n
(x i− x )4
n⋅(sx2)2
−3, unde
sx2=
∑i=1
n
(x i− x )2
n−1 .
Definiţia este bazată pe momentul centrat de ordinul 4.
Interpretarea valorii coeficientului de aplatizare si boltire: Dacă CBA>0 , avem distribuţie leptocurtică, valorile varibilei fiind concentrate în
jurul indicatorilor tendinţei centrale Dacă CBA<0 , avem distribuţie platicurtica, valorile varibilei fiind dispersate în
raport cu indicatorii tendinţei centrale Dacă CBA=0 , avem distribuţie mezocurtică, adică distribuţia normală.
In cazul acestei serii de date statistice,CAB=2 , 383>0 , ceea ce indica o distributie leptocurtica (cu cocoasa, asa cum se poate vedea si din histograma sau poligonul frecventelor).
Ex. 5. Un agent al companiei de asigurari W vinde contracte de asigurare de locuinte. In luna iulie a incheiat: 2 contracte cu prime anuale de 50 Eur, 3 contracte cu prime anuale de 60 Eur, 6 contracte cu prime de 70 Eur, 9 contracte cu prime de 90 Eur, 16 contracte cu prime anuale de 120 Eur, 8 contracte cu prime anuale de 130 Eur si 6 contracte cu prime de 140 Eur. Se cere:
a) Construiţi seria de distribuţie de frecvenţe şi analizaţi grafic tendinţa de normalitate a acesteia.
b) Caracterizaţi omogenitatea şi asimetria distribuţiei contractelor în funcţie de valoarea primelor anuale.
c) Calculati media si abaterea standard a variabilei alternative care evidentiaza contractele cu prime anuale de valoare mai mica sau egala cu 90 Eur.
Rezolvare: a)o Populatia statistica este multimea contractelor de asigurare de locuinte din portofoliul
companiei W.o Unitatea statistica este un contract de asigurare de locuinta.
o Variabila statistica sau caracteristica de interes, notata X, este variabila ce arata marimei primei anuale, in Eur, pentru un contract de asigurare de locuinta incheiat de un agent al companiei; variabila numerica, continua.
o Agentul a incheiat intr-o luna n=50 de contracte, seria de date statistice referitoare la primele anuale ale acestor contracte fiind sistematizata intr-o serie de distributie de frecvente pe r=7 variante distincte. Astfel distributia celor n=50 de contracte dupa valoarea primei anuale, in Eur, este:
o Poligonul frecventelor sugereaza ca distributia are tendinta de normalitate, dar prezinta asimetrie la stanga, coada poligonului freventelor absolute fiind mai alungita spre stanga.
o Poligonul frecventelor se mai poate reprezenta si cu ajutorul frecventelor relative
Prima anuala, in Eur, pentru un contract de asigurare
Frec
vent
a re
lativ
a
b)o Media pentru o serie de distributie de frecvente pe r variante distincte ale variabilei de
interes este
x=x1⋅n1+ .. .+xr⋅nr
n1+. . .+nr=∑k=1
r
xk⋅nk
n ,
unde {xk , k=1 , r } sunt variantele distincte observate ale variabilei, iar ∑k=1
r
nk=n volumul
esantionului.
In cazul nostru, x=
∑k=1
7
xk⋅nk
50=5310
50=106 , 2
Eur este valoarea medie a unei prime anuala corespunzatoare unui contract de asigurare de locuinta incheiat de respectivul agent de vanzari.
o Mediana pentru o serie de distributie de frecvente pe r variante distincte se calculeaza parcurgand urmatorii pasi:
Cele r variante distincte sunt ordonate crescator x1<x2<. ..<xr .
Se determina locul medianei, adica
n+12
=25 , 5.
Se calculeaza frecventele absolute cumulate crescator ale celor r variante distincteF ck=n1+. ..+nk , k=1 ,r .
Mediana este acea valoare distincta cu proprietatea ca frecventa sa absoluta cumulata crescator este prima care depaseste locul medianei
Fc1=2<25 ,5Fc2=5<25 , 5Fc3=11<25 , 5Fc4=20<25 ,5
si Fc5=36≥25 ,5 , deci a 5-a varianta sau valoare distincta, x5 , este mediana
sau valoarea mediana: Me=x5=120 Eur, adica jumatate dintre contractele incheiat de agentul de vanzari au o prima anuala de valoare mai cica sau egala cu 120 Eur.
Nr.crt.
Valoareadistincta,xk Eur
nk ,(frecventaabsoluta)
xk⋅nk Fck=n1+. ..+nk (xk− x )2⋅nk
1x1= 50
n1= 2x1⋅n1= 100
Fc 1=n1= 2 (x2− x )2⋅n1=6316,88
2x2=60
n2= 3x2⋅n2= 180
Fc2=n1+n2=5(x2− x )2⋅n2=
6403,32
3x3=70
n3= 6 420Fc3=n1+n2+n3= 11 7862,64
4x4= 90
n4= 9 810Fc4=n1+. ..+n4= 20 2361,96
5x5=120
n5= 16 1920Fc5=n1+. . .+n5= 36 3047,04
6x6= 130
n6= 8 1040Fc6=n1+ .. .+n6= 44 4531,52
7x7= 140
n7= 6 840Fc7=n1+ .. .+n7=n=
50(x7− x )2⋅n7=
6854,64
∑k=1
7
nk=50=n ∑k=1
7
xk⋅nk=5310
∑k=1
7
(xk− x )2⋅nk=
37378
x= 106,2 sx2= 762,8163265
sx=√sx2=
27,61912972vx= 26,01%
o Modul sau valoarea modala pentru o serie de distributie de frecvente pe r variante distincte este acea varianta sau valoare care apare cu frecventa absoluta sau relativa cea mai mare:
Frecventa absoluta cea mai mare este:16=n5=max {nk , k=1 ,r }.
valoarea modala este deci a 5-a varianta sau valoare distincta de raspuns a
variabilei de interes, Mo=x5=120 Eur, aceasta fiind valoarea cea mai des intalnita a unei prime anuale pentru contractele incheiate de respectivul agent.
o Relatia in care se gasesc indicatorii tendintei centrale, x<Me=Mo , ca si reprezentatrea grafica pentru poligonul frecventelor absolute sau relative, arata ca distributia contractelor dupa valoarea primelor anuale prezinta asimetrie negativa, in serie predominand valorile mai mari ale primelor anuale, iar coada distributiei este alungita spre stanga.
o Dispersia in esantion (de selectie) pentru o serie de distributie de frecvente pe r intervale de variatie este
sx2=
(x1− x )2⋅n1+. ..+( xr− x)2⋅nr
(n1+. ..+nr )−1=∑k=1
r
(xk− x )2⋅nk
n−1 ,
unde {xk , k=1 , r } sunt variantele distincte observate ale variabilei, ∑k=1
r
nk=n volumul
esantionului.
In cazul nostru,sx
2=∑k=1
7
(xk− x )2⋅nk
50−1=37378
50−1=762 , 8163
, iar abaterea standard sau
abaterea medie patratica este sx=√sx2=27 , 6191 Eur, care arata cu cat se abat, in medie,
valorile observate fata de nivelul mediu in esantion al primelor anuale.
o Coeficientul de variatie in esantion este vx=
sx
x⋅100=27 ,6191
106 ,2⋅100=26 ,01 %<30 %
, ceea ce arata ca distributia este omogena si media este reprezentativa pentru colectivitate.
c) Definim “evenimentul favorabil” ca evenimentul ca un contract de asigurare are o prima anuala de valoare mai mica sau egala cu 90 Eur. Variabila alternativa care evidentiaza contractele ale caror prime anuale sunt de valoare mai mica sau egala cu 90 Eur este
Y :( 0 1n−m m )
,
unde Y=1 pentru unitatile statistice din esantion care verifica evenimentul favorabil, iar m este numarul de unitati statistice din esantion care verifica evenimentul favorabil, m=n1+n2+n3+n4=20 contracte,
iar Y=0 pentru unitatile statistice din esantion care nu verifica evenimentul favorabil, n−m este numarul de unitati statistice din esantion pentru care nu se verifica evenimentul favorabil, n−m=30 de contracte cu prime anuale mai mari de 90 Eur.
Media variabilei alternative estey=m
n=20
50=0,4
, adica 40% dintre contracte au valori ale primelor anuale mai mici sau egale cu 90 Eur.
Dispersia variabilei alternative este s y
2=mn⋅(1−m
n )=0 ,24, iar abaterea standard
s y=√ mn⋅(1−m
n )≃0 , 48
Ex. 6. Distributia a 1100 de absolventi ai Universitatii din Florida dupa salariul castigat, in $, in primul an dupa terminarea studiilor este urmatoarea serie de distributie de frecvente pe intervale de variatie:
Nr. crt. Intervalul de variatie al salariului, $ Numarul de absolventi1 [7200; 12500] 302 (12500; 17800] 69
Se cere:a) sa se reprezinte grafic aceasta serie de distributie;b) sa se determine si sa se interpreteze indicatorii tendintei centrale;c) sa se reprezinte grafic poligonul frecventelor absolute cumulate crescator si sa se
estimeze proportia absolventilor care:i) au obtinut un salariu mai mic de 21000 $ in primul an de dupa finalizarea
studiilor,ii) au obtinut un salariu mai mic decat media in primul an de dupa finalizarea
studiilor,iii) au castigat in primul an intre 25000 $ si 40000 $,iv) au castigat mai mult de 52000 $;
d) sa se stabileasca daca media este reprezentativa pentru colectivitate;e) sa se analizeze asimetria acestei distributii.
Rezolvare: a) Populatia statistica este multimea absolventilor Universitatii din Florida, promotiile anilor
1989 si 1990, asa cum se specifica in fisierul University of Florida graduate salaries.sav al programului SPSS.
Unitatea statistica este un absolvent. Variabila sau caracteristica de interes, notata X, este variabila ce arata salariul unui
absolvent, in $, din primul an de dupa finalizarea studiilor, variabila numerica, continua. Pentru un esantion de volum n=1100 de absolventi s-au inregistrat valorile variabilei, iar
setul de date s-a sistematizat intr-o serie de distributie de frecvente pe r=11 intervale de variatie de marime egala, data in enuntul problemei.
Reprezentarea grafica a acestei serii de distributie de frecvente pe intervale de variatie se poate realiza prin histograma si poligonul frecventelor absolute.
Fig. ..... Histograma – Distributia celor 1100 de absolventi ai Universitatii din Florida dupa salariul castigat in primul an de dupa finalizarea studiilor.
Poligonul frecventelor absolute
30
69
263
95
302308
206 5 1 1
0
50
100
150
200
250
300
350
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000
Salariul, in $ (centrele intervalelor de variatie)
Frec
vent
a ab
solu
ta (n
umar
ul d
e ab
solv
enti)
Fig. ..... Poligonul frecventelor absolute – Distributia celor 1100 de absolventi ai Universitatii din Florida dupa salariul castigat in primul an de dupa finalizarea studiilor.
b) Indicatorii tendintei centrale: media, mediana si modul.
o Media pentru o serie de distributie de frecvente pe r intervale de variatie este
x=x1⋅n1+ .. .+xr⋅nr
n1+. . .+nr=∑k=1
r
xk⋅nk
n ,
unde {xk , k=1 , r } sunt centrele celor r intervale, iar ∑k=1
r
nk=n volumul esantionului.
⇒ x=∑k=1
11
xk⋅nk
1100=28563500
1100=25966 ,82
$ a castigat, in medie, un absolvent in primul an.
o Mediana pentru o serie de distributie de frecvente pe r intervale de variatie se calculeaza parcurgand urmatorii pasi:
Se determina locul medianei, adica
n+12
=550 ,5.
Se calculeaza frecventele absolute cumulate crescator ale intervalelor de variatieFck=n1+. ..+nk , k=1 ,r .
Intervalul median este primul interval cu proprietatea ca frecventa sa absoluta cumulata crescator depaseste locul medianeiFc 1=30<550 ,5Fc 2=99<550 ,5Fc 3=401<550 , 5
si Fc4=709≥550 , 5 , deci al 4-lea interval de variatie (23100; 28400] $ este intervalul median.
Me=x inf Me+hMe⋅
n+12
−F c Me−1
nMe=
=23100+5300⋅550 ,5−401
308=25672 ,56
$, adica jumatate dintre absolventi au castigat cel mult 25672,56$ in primul an sau jumatate au castigat cel putin 25672,56 $.
o Modul sau valoarea modala pentru o serie de distributie de frecvente pe r intervale de variatie se calculeaza astfel:
Se determina intervalul cu frecventa absoluta cea mai mare:308=n4=max {nk , k=1 , r } ,deci al 4-lea interval de variatie (23100; 28400] $ este intervalul modal.
Mo=x inf Mo+hMo⋅
Δ1
Δ1+Δ2=
=23100+5300⋅308−302
(308−302 )+(308−263 )=23723 ,52
$, aceasta este valoarea cea mai des intalnita a castigului salarial al unui absolvent intr-un an.
c) Introducem functia Fc :R→R+ definita astfelFc ( x )= numarul de unitati statistice din esantion pentru care valoarea observata a
caracteristicii de interes X este mai mica sau egala cu xsau
frecventa cumulata a lui x.
Frecventa absoluta cumulata crescator a intervalului k de variatie, Fck=n1+. ..+nk ,
k=1 ,r , reprezinta numarul de unitati statistice din esantion pentru care valoarea observata a
variabilei de interes X este mai mica sau egala decat limita superioara x ( k ) sup a intervalului k
de variatie, adica Fck=Fc (x ( k ) sup ) , k=1 ,r .Pentru reprezentarea grafica a poligonului freventelor absolute cumulate crescator
vom pune in evidenta limitele superioare x ( k ) sup
ale intervalelor de variatie si frecventele lor
absolute cumulate, impreuna cu limita inferioara a primului interval de variatie x (1 ) inf
, in cazul
nostru 7200 $, a carui frecventa absoluta cumulata este 0, Fc ( x (1 ) inf )=Fc (7200 )=0
, deoarece
pentru nicio unitate statistica din esantion, nivelul variabilei nu este mai mic decat x (1 ) inf
.
Limitele superioare aleintervalelor de variatie,
x ( k ) sup
Fc ( x ( k ) sup )=Fck=n1+.. .+nk , adicanumarul de absolventi din esantion
care au castigat un salariu mai mic sau egal cu x ( k ) sup $x (1 ) inf =7200
Fc ( x (1 ) inf )=Fc (7200 )=0x (1 ) sup =12500
Fc ( x (1 ) sup )=Fc (12500 ) =30x ( 2 ) sup=17800
Fc ( x (2 ) sup )=Fc (17800 ) =99x (3 ) sup =23100
Fc ( x (3 ) sup )=Fc (23100 )=401
x ( 4 ) sup =28400Fc ( x (4 ) sup )=Fc (28400 )
=709x (5 ) sup =33700
Fc ( x (5 ) sup )=Fc (33700 ) =972x ( 6 ) sup =39000
Fc ( x (6 ) sup )=Fc (39000 )=1067
x (7 ) sup =44300Fc ( x (7 ) sup )=Fc ( 44300 )
=1087x ( 8) sup =49600
Fc ( x ( 8 ) sup )=Fc ( 49600 )=1093
x ( 9 ) sup =54900Fc ( x ( 9 ) sup )=Fc (54900 )
=1098x (10 ) sup =60200
Fc ( x (10 ) sup )=Fc (60200 )=1099
x (11 ) sup=65500Fc ( x (11 ) sup)=Fc (65500 ) =1100
Poligonul freventelor absolute cumulate crescator
99
709
972
1100
1099
1098109310871067
401
300
0
200
400
600
800
1000
1200
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000
Salariul, in $ (limitele superioare ale intervalelor de variatie)
Frec
vent
ele
abso
lute
cum
ulat
e(n
umar
ul c
umul
at d
e ab
solv
enti)
i) Fc (21000 ) este numarul de absolventi care au obtinut un salariu mai mic de 21000 $ in primul an de dupa finalizarea studiilor.
Valoarea 21000 $ se gaseste in intervalul de variatie (17800; 23100] $, iarFc (21000 ) se determina prin interpolare liniara, utilizand urmatoarea egalitate de rapoarte, asa cum se poate observa in figura de mai jos:
21000−1780023100−17800
=Fc (21000 )−Fc (17800 )Fc (23100 )−Fc (17800 )
⇒32005300
=Fc (21000 )−99401−99
⇒Fc (21000 )=281,33≃281 absolventi, adica o proportie de
2811100
⋅100=25 ,54 %
dintre cei 1100 de absolventi din esantionul considerat au avut un salariu anual mai mic de 21000 $.
Fig. .... Interpolare liniara - detaliu din figura reprezentand poligonul frecventelor absolute cumulate crescator, pentru intervalul (17800; 23100] $ in care se gaseste 21000 $.
ii) F c (25966 ,82 ) este numarul de absolventi care au obtinut un salariu mai mic decat nivelul mediu x= 25966,82 $ al salariului in esantion.
Din relatia25966 , 82−2310028400−23100
=Fc (25966 ,82 )−Fc (23100 )
Fc (28400 )−Fc (23100 ) ,
obtinem ca Fc (25966 ,82 )=567 , 8≃568 absolventi,
adica o proportie de
5681100
⋅100=51 ,63 % dintre cei 1100 de absolventi din esantionul
considerat au avut un salariu anual mai mic de nivelul mediu.
iii) Fc (40000 )−Fc (25000 )=559 ,35≃559 este numarul de absolventi care au castigat in primul an intre 25000 $ si 40000 $, adica 50,81% dintre cei 1100 de absolventi.
iv) n−Fc (52000 )=1100−Fc (52000 )=4 ,73≃5 absolventi au castigat mai mult de 52000 $, adica o proportie de 0,45%.
d) Media variabilei de interes in esantion este x= 25966,82 $.
Dispersia in esantion (de selectie) pentru o serie de distributie de frecvente pe r intervale de variatie este
sx2=
(x1− x )2⋅n1+. ..+( xr− x)2⋅nr
(n1+. ..+nr )−1=∑k=1
r
(xk− x )2⋅nk
n−1 ,
unde {xk , k=1 , r } sunt centrele celor r intervale, ∑k=1
r
nk=n volumul esantionului.
⇒ sx2=
∑k=1
11
( xk− x)2⋅nk
1100−1=55482218864
1100−1=50484275 , 58
, iar abaterea standard este sx=7105 , 2287 $, care arata cu cat se abat, in medie, valorile observate fata de nivelul mediu al salariului din esantion.
Coeficientul de variatie in esantion este
vx=sx
x⋅100=7105 ,2287
25966 , 82⋅100=27 ,36 %<30 %
, ceea ce arata ca media este reprezentativa pentru colectivitate.
e) Asimetria unei serii de distribuţie de frecvenţe se observă din reprezentarea grafică prin histogramă sau poligonul frecvenţelor, si prin modalitatea în care sunt situaţi, unul faţă de celălalt, indicatorii tendinţei centrale.
Histograma
30
69
302 308
263
95
206 5 1 1
0
50
100
150
200
250
300
350
[7200
; 125
00]
(1250
0; 17
800]
(1780
0; 23
100]
(2310
0; 28
400]
(2840
0; 33
700]
(3370
0; 39
000]
(3900
0; 44
300]
(4430
0; 49
600]
(4960
0; 54
900]
(5490
0; 60
200]
(6020
0; 65
500]
Salariul, in $ (intervalele de variatie)
Frec
vent
a ab
solu
ta (n
umar
ul d
e ab
solv
enti)
Poligonul frecventelor absolute
30
69
263
95
302308
206 5 1 1
0
50
100
150
200
250
300
350
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000
Salariul, in $ (centrele intervalelor de variatie)
Frec
vent
a ab
solu
ta (n
umar
ul d
e ab
solv
enti)
Reprezentarea grafica seriei de distributie sugereaza ca aceasta are tendinta de normalitate si ca in seria de date predomina valorile mai mici ale variabilei de interes, castigul salarial intr-un an, adica este asimetrica spre dreapta (cu coada mai lungă a distribuţiei spre valorile mari, care apar cu frecventa mai mica).
Indicatorii tendintei centrale se gasesc in urmatoarea relatie Mo< Me< x , ceea ce indica faptul ca distributia de frecvente prezinta asimetrie pozitiva, in serie predominand valorile mici.
Gradul de asimetrie prezent în serie poate să fie şi măsurat printr-un indicator specific, numit coeficient de asimetrie (Skewness), care in cazul unei serii de distributii de frecvente pe r intervale de variatie se calculeaza dupa
CAS x=∑k=1
r
( xk− x )3⋅nk
n⋅(s x )3 ,
unde {xk , k=1 , r } sunt centrele celor r intervale, ∑k=1
Cum 0<CAS<1 , avem asimetrie pozitivă, coada distribuţiei este mai alungită la dreapta, în serie predominând valorile mici (modul < mediana < media).
Ex. 7. La o banca se analizeaza distributia a 500 de debitori restantieri dupa situatia datelor de intarziere a rambursarii creditelor. Datele au fost sistematizate astfel:
Intervale de variatiea numarului de zile de intarziere a platii
Ponderea cumulataa debitorilor (%)
mai putin 25 de zile 2525-35 de zile 7535-45 de zile 8545-55 de zile 9355-65 de zile 98
peste 65 de zile 100Se cere:
a) sa se scrie distributia de frecvente pe intervale de variatie;b) sa se reprezinte grafic distributia de frecvente absolute;c) sa se calculeze si sa se analizeze indicatorii tendintei centrale si sa se stabileasca daca
durata medie de intarziere a platilor este reprezentativa;d) sa se calculeze media si abaterea standard pentru variabila alternativa care evidentiaza
debitorii ce au intarziat mai mult de 45 de zile cu efectuarea platilor.
Rezolvare: a)o Populatia statistica – mutimea debitorilor cu intarziere in efectuarea platilor pentru
rambursarea unor credite.o Unitatea statistica – un debitor.o Variabila sau caracteristica de interes, X, este variabila ce arata numarul de zile de
intarziere a efectuarii platii catre banca de catre un deitor; variabila numerica, discreta.o S-a realizat o selectie de volum n=500 de debitori restantieri pentru care s-a inregistrat
numarul de zile de intarziere, datele obtinute fiind sistematizate intr-o serie de distributie de frecvente per=6 intervale de variatie de marime egala.
Notam cu:
nk , k=1, r , frecventa absoluta a intervalului k de variatie (numarul de debitori restantiei pentru care numarul de zile de intarziere apartine intervalului k de variatie),n1+ .. .+nr=n ;
nk
¿=nk
n∈ [ 0;1 ] , k=1, r
, frecventa relativa a intervalului k de variatie,n1¿+ .. .+nr
¿=1 ;
nk
¿ %=100⋅nk
n, k=1 ,r
, frecventa relativa exprimata procentual a intervalului k de variatie sau ponderea debitorilor cu numarul de zile de intarziere din intervalul sau clasa
k, n1¿ %+. ..+nr
¿%=100 % ;
Fck=n1+. ..+nk , k=1, r , este frecventa absoluta cumulata crescator a intervalului k;
Fck¿ =n1
¿+. ..+nk¿ , k=1, r , este frecventa relativa cumulata crescator a intervalului k;
crescator a intervalului k (ponderea cumulata a intervalului k).
Nr.crt.
Intervalul k devariatie a
numarului de zilede intarziere a
platii
Ponderea cumulataa debitorilor (%)
Fck¿ %=n1
¿ %+.. .+nk¿ %
Ponderea intervalului k,
nk¿ %
Frecventa relativa,
nk¿=
nk¿ %
100
Frecventa absoluta,
nk=n⋅nk¿=
=500⋅nk¿
1 15-25 de zile Fck¿ %=n1
¿ %=25% 25% n1¿= 0,25 n1=125
2 25-35 de zile Fc2¿ %=n1
¿ %+n2¿ %=75% n2
¿ %=50% n2¿= 0,50 n2= 250
3 35-45 de zile Fc3¿ %=n1
¿ %+. . .+n3¿ %=85% n3
¿ %=10% n3¿= 0,10 n3= 50
4 45-55 de zile F c4¿ %=n1
¿ %+.. .+n4¿ %=93% n4
¿ %=8% n4¿ =0,08 n4=40
5 55-65 de zile Fc5¿ %=n1
¿ %+. . .+n5¿ %=98% n5
¿ %=5% n5¿= 0,05 n5= 25
6 65-75 de zileFc6
¿ %=n1¿ %+. . .+n6
¿ %=100%
n6¿ %=2%
n6¿= 0,02 n6= 10
∑k=1
6
nk¿ %=
100%∑k=1
6
nk¿=
1∑k=1
6
nk=500=n
Distributia celor 500 de debitori dupa numarul de zile de intarziere a platii este urmatoarea serie de distributie de frecvente pe intervale:
Nr.crt.
Intervalul k de variatiea numarului de zilede intarziere a platii
Numarul de debitori(frecventa absoluta),
nk
Centrul xk al intervalului k
de variatie1 15-25 de zile n1=125 debitori x1= 202 25-35 de zile n2= 250 x2=303 35-45 de zile n3= 50 x3=404 45-55 de zile n4=40 x4=505 55-65 de zile n5= 25 x5=606 65-75 de zile n6= 10 x6=70
∑k=1
6
nk=500=n debitori
b)
%*1n
Histograma
125
250
5040
2510
0
50
100
150
200
250
300
15-25de zile
25-35de zile
35-45de zile
45-55de zile
55-65de zile
65-75de zile
Numarul de zile de intarziere
Num
arul
de
debi
tori
Fig. ..... Distributia celor 500 de debitori dupa numarul de zile de intarziere a platii
Poligonul frecventelor absolute
0
50
100
150
200
250
300
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Numarul zilelor de intarziere
Num
arul
de
debi
tori
Fig. .... Poligonul frecventelor absolute pentru distributia celor 500 de debitori dupa numarul de zile de intarziere a platilor
c)Nr.crt. Intervalul k
Numarul de
debitori, nk
Centrulxk
xk⋅nk Fck (xk− x )2⋅nk
1 15-25 de zilen1= 125 x1= 20 x1⋅n1= 2500
Fc1=125 19220
2 25-35 de zilen2= 250 x2=30 7500
Fc2=375 1440
3 35-45 de zile n3= 50 x3=40 2000Fc3=425 2888
4 45-55 de zile n4= 40 x4= 50 2000 465 12390,4
5 55-65 de zile n5= 25 x5=60 1500 490 19044
6 65-75 de zilen6= 10 x6= 70 x6⋅n6= 700
Fc6= 500 14137,6
∑k=1
6
nk=500=n ∑k=1
6
xk⋅nk=16200
∑k=1
6
(xk− x )2⋅nk=
=69120
x= 32,4 sx2= 138,5170
sx=√sx2=
11,7693vx= 36,33%
o Media este x=
x1⋅n1+ .. .+xr⋅n6
n1+. . .+n6=∑k=1
6
xk⋅nk
n=16200
500 , deci x=32 ,4 zile este numarul mediu de zile de intarziere a platilor pentru un debitor restantier.
o Locul medianei este
n+12
=250 , 5; primul interval cu proprietatea ca
Fck≥n+1
2 este
intervalul 25-35 de zile, deoarece Fc1=125<250 , 5 , dar Fc2=375≥250 , 5 , deci:
Me=x inf Me+hMe⋅
n+12
−Fc Me−1
nMe=
=25+10⋅250 , 5−125250
=30 , 02 zile, adica jumatate dintre debitorii restantieri
au intarziat cel putin 30 de zile cu efectuarea platilor.
o Intervalul modal este intervalul 25-35 de zile deoarece are frecventa absoluta cea mai
mare 250=n2=max {nk , k=1,6} , atunci
Mo=x inf Mo+hMo⋅Δ1
Δ1+Δ2=
=25+10⋅250−125(250−125 )+(250−50 )
=28 ,84zile; numarul cel mai intalnit de zile
de intarziere a platilor celor 500 de debitori restantieri este de aproximativ 29 de zile.
o Relatia in care se gasesc cei trei indicatori ai tendintei centrale este Mo< Me< x , ceea ce indica o asimetrie pozitiva.
o Dispersia in esantion este sx
2=(x1− x )2⋅n1+. ..+( x6− x )2⋅n6
(n1+ .. .+n6 )−1=∑k=1
6
(xk− x )2⋅nk
500−1=69120
500−1 ,
deci sx2=138 ,5170 , iar abaterea standard sx=√sx
2=11 ,7693 zile, care arata cu cate zile se abat, in medie, valorile observate ale seriei de date fata de numarul mediu de zile de intarziere.
o Coeficientul de variatie in esantion este vx=
sx
x⋅100=11 ,7693
32 , 4⋅100=36 ,33 %>35 %
, ceea ce arata ca distributia nu este omogena si media, ca indicatot al tendintei centrale, nu este reprezentativa pentru colectivitate.
d) Definim “evenimentul favorabil” ca evenimentul ca un debitor intarzie cu platile mai mult de 45 de zile. Variabila alternativa care evidentiaza debitorii ce au intarziat mai mult de 45 de
zile cu efectuarea platilor esteY :( 0 1
n−m m ),
unde Y=1 pentru unitatile statistice din esantion care verifica evenimentul favorabil, iar m este numarul de unitati statistice din esantion pentru care se verifica evenimentul
favorabil, m=n4+n5+n6=75 debitori,iar Y=0 pentru unitatile statistice din esantion care nu verifica evenimentul favorabil,
n−m este numarul de unitati statistice din esantion pentru care nu se verifica evenimentul favorabil, n−m=425 debitori.
Media variabilei alternative estey=m
n=75
500=0 ,15
, adica 15% dintre debitori au intarziat mai mult de 45 de zile.
Dispersia variabilei alternative estes y
2=mn⋅(1−m
n )=0 ,1275, iar abaterea standard
s y=√ mn⋅(1−m
n )≃0 ,36.
Ex. 8. Un cercetător face un studiu asupra unor firme, privind şansele pe care acestea le oferă tinerilor angajaţi de a promova repede şi de a avansa în carieră. Pentru aceasta el a cuprins în studiu un număr de 20 de companii producătoare de tehnologie de vârf şi a înregistrat timpul scurs de la angajarea iniţială a unui salariat în firmă până la prima promovare a acestuia. Firmele au fost grupate după mărime, iar datele înregistrate sunt:
Mărimea firmelor
Număr de săptămâni de la angajare până la prima promovare
Se cere:a) să seprecizeze care este grupa de firme cu un grad mai ridicat de omogenitate;b) sa se determine in ce proportie marimea companiei influenteaza variatia timpului pana
la prima promovare a unui salariat.
Rezolvare: a)o Populatia statistica este multimea companiilor producatoare de tehnologie de varf.o Unitatea statistica este o companie (firma).o Caracteristicile urmarite sunt:
X - variabila ce arata marimea unei firme;- variabila nenumerica avand r=3 categorii sau variante de raspuns: firme mici, firme
mijlocii si firme mari:aceste categorii ale variabilei X vor determina impartirea populatiei statistice in r =3 grupe si anume:
- astfel, variabila X, marimea firmei, se mai numeste si factor de grupare.
si
Y - variabila ce arata durata de timp, in saptamani, de la angajare la prima promovare a unui salariat al unei firme producatoare de tehnologie de varf;
- variabila numerica de interes.
Din Grupa 1 (grupa firmelor mici) se selecteaza un subesantion de volum n1=8 firme pentru care se inregistreaza valorile variabilei Y:
abaterea standard de selectie de grupa este s1=√s12=√18 ,2857=4 ,2762 saptamani,
iar coeficientul de variatie al acestei grupe este v1=
s1
y1⋅100= 4 , 2762
30⋅100=14 , 25 %
.
Din Grupa 2 (grupa firmelor mijlocii) se selecteaza un subesantion de volum n2=5 firme pentru care se inregistreaza valorile variabilei Y:{y2, 1=34 , y2 , 2=32 , y2, 3=25 , y2, 4=36 , y2, 5= y2 , n2
abaterea standard de selectie de grupa este s3=√s32=√15 ,3333=3 , 9158 saptamani,
iar coeficientul de variatie al acestei grupe este v3=
s3
y3⋅100=3 , 9158
44⋅100=8 , 89 %
.
Cum coeficientii de variatie pentru cele trei grupe sunt mai mici ca 30%-35%, atunci toate grupele sunt omogene. Grupa 3 (grupa firmelor mari) este mai omogena in privinta duratei de timp de la angajare la prima promovare a unui salariat deoarece are cel mai mic
coeficient de variatie v3<v2<v1 .
Problema poate fi rezolvata in Excel dupa cum urmeaza: Intr-o foaie de lucru se introduc datele din cele trei subesantioane pe coloane, asa cum
apare in Figura 1; In Excel 2003, din meniul principal Tools, submeniul Data Analysis, se alege
Descriptive Statistics; In Excel 2007, din meniul principal Data, submeniul Data Analysis, se alege
Descriptive Statistics;
Figura 1. Introducerea datelor si alegerea Descriptive Statisticsdin submeniul Data Analysis.
Fereastra de dialog este prezentata in Figura 2.
Figura 2. Fereastra de dialog pentru Descriptive Statistics.
Output-ul consta din urmatorul tabel, corepunzator prelucrarii datelor din cele trei grupe:
Variatia din interiorul grupelor (Sum of Squares Within Groups)SSW=(n1−1 )⋅s1
2+ (n2−1 )⋅s22+(n3−1 )⋅s3
2==(8−1 )⋅18 ,2857+(5−1 )⋅17 , 5+(7−1 )⋅15 ,3333
⇒SSW =290 Variatia totala
SST=SSB+SSW=808 ,8+290
⇒SST=1098 , 8 Coeficientul de determinatie este
R2= SSBSST
=404 , 41098 ,8
=0 ,368
sau, exprimat procentual, R%
2 =SSBSST
⋅100=404 , 41098 , 8
⋅100=36 , 8 % arata ca factorul de
grupare, tipul companiei, explica variatia totala a duratei de timp pana la prima promovare in proportie de 36,8%, restul de 63,2% din variatia totala a timpului se datoreaza altor factori care nu au fost considerati de cercetator.
o Dispersia de selectie la nivelul intregului esantion de volum n=20 de firme este
s y2=Variatia totala la nivelul intregului esantion
n−1= SST
n−1=1098 ,8
20−1=57 ,8315
cu o abatere standard s y=√s y2=√57 ,8315=7 ,6047 saptamani,
iar coeficientul de variatie estev y=
s y
y⋅100=7 ,6047
35 , 4⋅100=21 , 48 %
.
Ex. 9. Managerul unei agentii imobiliare doreste sa efectueze o analiza referitoare la pretul de vanzare (zeci mii euro) al caselor din doua zone ale Bucurestiului: zona Cotroceni si zona Piata Victoriei. Datele inregistrate au fost prelucrate cu Excel si s-au obtinut urmatoarele rezultate:
Cotroceni Piata Victoriei
Mean 38,98 Mean 59,45Median 36,18 Median 59,8Mode 36 Mode 59
Standard Deviation 12,04 Standard Deviation 17,23
a) Caracterizati comparativ cele doua subcolectivitati pe baza output-ului prezentat (in particular, caracterizaţi omogenitatea şi asimetria
