Statistic A AP Suport Curs

UNIVERSITATEA „ALEXANDRU IOAN CUZA” IAŞI

FACULTATEA DE ECONOMIE ŞI ADMINISTRAREA

AFACERILOR

CARMEN PINTILESCU

STATISTICĂ

© 2010 Prof. Univ. Dr. Carmen Pintilescu Statistica – Suport de curs

2

CUPRINS INTRODUCERE ................................................................................................................ 3

1. Statistică descriptivă şi statistică inferenţială ......................................................... 3

2. Variabile statistice ................................................................................................... 3

PARTEA ÎNTÂI ................................................................................................................. 7

CAPITOLUL 1. DISTRIBUŢII STATISTICE .............................................................. 7

1.1. Distribuţii statistice pentru variabile numerice discrete ....................................... 7

1.2. Distribuţii statistice pentru variabile numerice continue ..................................... 8

1.3. Distribuţii statistice pentru variabile categoriale ............................................... 10

CAPITOLUL 2. CARACTERIZAREA UNEI SERII STATISTICE DUPĂ O VARIABILĂ NUMERICĂ DISCRETĂ ...................................................................... 13

2.1. Frecvenţe absolute cumulate crescător (Ni↓ ) sau descrescător (Ni↑ ) ............... 13

2.2. Frecvenţe relative cumulate crescător (Fi↓) sau descrescător (Fi↑) ................... 13

2.3. Caracterizarea seriei statistice folosind metode grafice ..................................... 18

2.4. Caracterizarea seriei folosind indicatori ai statisticii descriptive ...................... 21

CAPITOLUL 3. CARACTERIZAREA UNEI SERII STATISTICE DUPĂ O VARIABILĂ NUMERICĂ CONTINUĂ .................................................................... 57

3.1. Frecvenţe absolute şi relative cumulate crescător sau descrescător ................... 57

3.2. Caracterizarea seriei folosind metode grafice .................................................... 59


CAPITOLUL 4. CARACTERIZAREA UNEI SERII STATISTICE DUPĂ O VARIABILĂ CATEGORIALĂ ................................................................................... 75

4.1. Caracterizarea seriei folosind metode grafice .................................................... 75


PARTEA A DOUA........................................................................................................... 81

Capitolul 5. Noţiuni şi notaţii folosite în inferenţa statistică ........................................ 81

5.1. Populaţie şi eşantion .......................................................................................... 81

5.2. Parametri şi estimaţii.......................................................................................... 81

5.3. Distribuţia de selecţie a mediei .......................................................................... 82

Capitolul 6. Estimarea parametrilor unei populaţii ....................................................... 87

6.1. Estimarea mediei unei populaţii ( µ ) ................................................................. 87

6.2. Estimarea proporţiei unei populaţii (p) .............................................................. 89

CAPITOLUL 7. TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE ...................................... 93

7.1. Testarea ipotezelor cu privire la un parametru .................................................. 93

7.2 Testarea ipotezelor cu privire la doi parametri ................................................. 104

7.3. Estimare versus testare ..................................................................................... 112

ANEXE ........................................................................................................................... 113

BIBLIOGRAFIE ............................................................................................................. 117


3

INTRODUCERE

Termenul de “statistică” a evoluat din momentul în care a apărut pentru prima oară în lucrarea lui Gottfried Achenwall, publicată în 1746, până în zilele noastre. În acea perioadă, prin termenul de statistică se înţelegea un ansamblu de informaţii despre lucrurile remarcabile cu privire la colectivitatea numită stat, expuse într-o anumită ordine. În prezent, prin statistică se înţelege un ansamblu de metode folosite pentru culegerea, prezentarea şi analiza datelor înregistrate pentru o colectivitate statistică.

1. Statistică descriptivă şi statistică inferenţială Datele obţinute în urma observării statistice sunt prelucrate cu ajutorul metodelor

statisticii descriptive şi a statisticii inferenţiale. Statistica descriptivă are ca obiectiv prezentarea sintetică a datelor statistice, folosind metode de reprezentare grafică şi prin calculul diferiţilor indicatori statistici (indicatori ai tendinţei centrale, indicatori ai dispersiei, indicatori ai asimetriei şi boltirii). Statistica inferenţială are ca obiectiv caracterizarea unei populaţii prin prelucrarea datelor înregistrate pentru un eşantion extras din aceasta. Problemele statisticii inferenţiale sunt, astfel, estimarea parametrilor populaţiei (a mediei, varianţei şi proporţiei) şi testarea ipotezelor statistice.

2. Variabile statistice

2.1. Definire şi notaţii

Variabila statistică este o caracteristică, o însuşire a unor unităţi statistice, care înregistrează o anumită valoare, pentru fiecare unitate statistică observată.

Exemple - dacă se consideră ansamblul firmelor din judeţul Iaşi care desfăşoară activitate

de producţie, variabilele statistice care pot reprezenta un interes pentru cercetarea statistică sunt: valoarea vânzărilor, numărul de salariaţi, cifra de afaceri, mărimea firmei etc.

- dacă se consideră ansamblul studenţilor unei serii, variabilele statistice care pot fi supuse analizei statistice sunt: vârsta studenţilor, sexul persoanei etc.

O variabilă statistică este notată cu X. Valorile sau variantele variabilei X se

notează cu xi. Din punct de vedere formal, avem: m,1icu),x(:X i = .


4

2.2. Clasificarea variabilelor statistice Variabilele statistice pot fi clasificate după mai multe criterii: 1. După modul de exprimare, distingem: - variabile cantitative sau numerice sunt acele variabile pentru care valorile

sunt exprimate numeric. Exemple: vârsta persoanelor, câştigul salarial, înălţimea etc. - variabile nenumerice, calitative sau categoriale sunt acele variabile pentru

care valorile sunt exprimate prin cuvinte. Exemple: sexul persoanei (masculin şi feminin), starea civilă (celibatar, căsătorit,

văduv, divorţat), mediul de rezidenţă (urban, rural) etc. Pentru analiza statistică, valorilor variabilei categoriale li se atribuie un cod

numeric. Variabilele categoriale pot fi nominale sau ordinale. Variabilele nominale sunt acele variabile pentru care ordinea acordării codurilor

nu are un sens. Exemple: pentru variabila X: Sexul persoanei, se pot acorda codurile 1 pentru

varianta Masculin şi 2 pentru varianta Feminin, fără să se poată stabili o relaţie de ordine între aceste două valori.

Variabilele ordinale sunt acele variabile în care există o relaţie de ordine între

unităţile din categoriile variabilei. Ordinea acordării codurilor diferitelor categorii ale variabilei X are, în acest caz, un sens.

Exemple: pentru variabila X: Preferinţa pentru un produs, cu variantele Foarte bun, Bun, Nici bun-nici rău, Foarte rău, Rău, ordinea acordării codurilor are un sens. Valorile variabilei X sunt 1- Foarte bun, 2- Bun, 3- Nici bun-nici rău, 4 - Foarte rău, 5-Rău.

2. După numărul de valori ale variabilei, distingem: - variabile dichotomice sau binare sunt acele variabile care înregistrează două

valori. Exemple: dacă se înregistrează rata şomajului în diferite ţări ale Uniunii Europene

se pot defini două categorii de ţări: o categorie formată din ţările cu o rată a şomajului mai mică decât nivelul mediu înregistrat pentru ansamblul ţărilor UE şi o categorie formată din ţările cu o rată a şomajului mai mare.

- variabile care înregistrează trei sau mai multe valori. Exemple: pentru variabila X: „vârsta”, valorile care pot fi înregistrate pentru o

populaţie sunt: (xi)=(0, 1, 2, ...) ani. 3. După modul de manifestare a variaţiei lor, distingem: - variabile discrete sunt acele variabile care nu pot lua decât valori finite din

domeniul de valori al variabilei. Exemple: variabilele Numărul de angajaţi, Numărul de şomeri, Numărul de copii

pe familie etc.


5

- variabile continue sunt acele variabile care pot lua o infinitate de valori din domeniul de valori al variabilei.

Exemple: variabilele Înălţimea, Greutatea, Viteza etc.

2.3. Scale de măsurare

În vederea măsurării unei variabile pentru o unitate statistică, valorilor unei variabile li se atribuie coduri sau numere. Scala este reprezentată de aceste coduri sau numere atribuite valorilor unei variabile X.

În statistică se folosesc patru tipuri de scale: 1. scale pentru măsurarea variabilelor categoriale: scala nominală şi scala ordinală; 2. scale pentru măsurarea variabilelor numerice: scala interval şi scala raport. Scala nominală este o scală care presupune atribuirea de coduri variantelor unei

variabile categoriale nominale. Aceste coduri nu au decât rolul de a realiza o separare a unităţilor statistice pe clase sau grupe. Ordinea acordării acestor coduri nu are un sens. Pe această scală de măsurare, nu este posibilă realizarea operaţiilor de adunare, scădere etc.

Exemplu - pentru variabila Sexul persoanei, codurile care se atribuie valorilor acestei

variabile sunt, de exemplu, 1 - pentru unităţile statistice de sex masculin, 2- pentru unităţile statistice de sex feminin. Ordinea acordării acestor coduri nu are un sens, ceea ce înseamnă că se poate atribui codul 1 - pentru unităţile statistice de sex feminin şi codul 2- pentru unităţile statistice de sex masculin. Pentru această variabilă statistică, singurele operaţii care pot fi realizate privesc doar frecvenţele sau numărul de unităţi statistice. De exemplu, poate fi identificată categoria care are frecvenţa cea mai mare, însă nu poate fi calculată media aritmetică, deoarece valorile codurilor sunt arbitrare.

Scala ordinală este o scală care presupune atribuirea de coduri variantelor unei

variabile categoriale ordinale. Scala ordinală introduce relaţia de ordine între valorile acestor coduri. Pe această scală de măsurare, este posibilă realizarea operaţiilor specifice variabilelor nominale, dar şi a operaţiilor care au la bază relaţia de ordine.

Exemplu - pentru variabila Nivelul de educaţie cu variantele Studii primare, Studii

gimnaziale, Studii liceale, Studii superioare, codurile care se atribuie valorilor acestei variabile sunt, de exemplu, 1 - Studii primare, 2 - Studii gimnaziale, 3 - Studii liceale, 4 - Studii superioare. Ordinea acordării acestor coduri are, în acest caz, un sens. Pentru această variabilă statistică, poate fi identificată categoria care are frecvenţa cea mai mare, dar şi numărul de unităţi care au studii primare, gimnaziale şi liceale.


6

Scala interval este o scală care se foloseşte pentru o variabilă numerică. Diferenţa dintre două valori are, în acest caz, un sens. Scala interval se caracterizează printr-o valoare zero, fixată, însă, arbitrar: valoarea zero nu arată absenţa unui fenomen, ci doar trecerea de la o stare la alte. De aceea, raportul dintre două valori nu are sens în cazul scalei interval.

Exemplu Dacă se consideră temperatura exprimată în grade Celsius, diferenţa dintre

valorile 200 şi 100 are aceeaşi semnificaţie ca diferenţa dintre valorile 300 şi 200. Temperatura de 200 de grade, de exemplu, nu arată însă faptul că aceasta este o temperatură de două ori mai mare decât temperatura de 100. De aceea, raportul dintre două valori în cazul scalei interval nu are sens.

Scala raport este folosită pentru variabilele numerice şi are ca proprietate faptul

că posedă un zero absolut. Valoarea zero arată, în acest caz, absenţa unui fenomen. În cazul acestei scale sunt posibile toate operaţiile aritmetice.

Exemplu Dacă se consideră greutatea unor persoane, diferenţa şi raportul dintre două valori

au un sens. O greutate de 50 kg este de două ori mai mare decât greutatea de 25 de kg. Valoarea zero arată faptul absenţa greutăţii pentru unitatea respectivă.


7

PARTEA ÎNTÂI STATISTICĂ DESCRIPTIVĂ

CAPITOLUL 1. DISTRIBUŢII STATISTICE

Plecând de la un şir de valori ale unei variabile X înregistrate pentru un ansamblu

format din m unităţi, se poate realiza o grupare a acestor valori, prin construirea unei distribuţii de frecvenţă.

O distribuţie sau o serie statistică presupune ordonarea valorilor variabilei X şi determinarea frecvenţei de apariţie, a numărului de unităţi pentru fiecare valoare xi a variabilei. Frecvenţa de apariţie este notată cu ni.

1.1. Distribuţii statistice pentru variabile numerice discrete Distribuţia statistică pentru o variabilă discretă presupune realizarea unei grupări a

valorilor variabilei X pe variante de variaţie şi determinarea frecvenţei de apariţie a fiecărei variante xi.

Forma de prezentare a unei distribuţii statistice pentru o variabilă discretă este prezentată în tabelul de mai jos:

Tabelul 1.1. Forma generală a unei distribuţii

pentru o variabilă discretă xi ni

x1 n1 x2 n2

M M xi ni

M M xm nm

TOTAL ∑=i

inn

Exemplu Pentru un ansamblu format din 20 de studenţi se înregistrează nota obţinută la un

examen în sesiunea iunie 2009 şi se obţin următoarele rezultate: 9, 6, 5, 5, 6, 7, 6, 7, 9, 10, 7, 8, 4, 5, 8, 8, 7, 7, 6, 8. Se cere să se formeze distribuţia de frecvenţă.


8

Rezolvare Variabila statistică X este reprezentată de Nota obţinută la examen, iar variantele

variabilei X sunt valorile xi: (4, 5, 6, 7, 8, 9, 10). Pentru formarea distribuţiei de frecvenţă, se ordonează valorile variabilei X: Nota

obţinută la examen în sens crescător şi se determină frecvenţa de apariţie, ni, a fiecărei variante xi. Rezultatele sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Tabelul 1.2. Distribuţia studenţilor după nota obţinută la un examen

în sesiunea iunie 2009 xi Frecvenţa de apariţie ni

4 I 1 5 III 3 6 IIII 4 7 IIIII 5 8 IIII 4 9 II 2

10 I 1 TOTAL - 20

1.2. Distribuţii statistice pentru variabile numerice continue Pentru construirea unei distribuţii statistice după o variabilă continuă, de regulă,

se definesc intervale de variaţie (xi-1, xi). Considerând cazul intervalelor egale de variaţie, pentru formarea distribuţiei de frecvenţă se parcurg următoarele etape:

• se calculează mărimea intervalelor de grupare, după relaţia:

k

xx

k

Al minmax −

== , unde:

A este amplitudinea de variaţie a variabilei X, adică diferenţa dintre nivelul maxim şi nivelul minim al variabilei: A=xmax-xmin;

k este numărul de grupe în care se grupează datele. Dacă se obţine un număr zecimal, mărimea intervalului de grupare se rotunjeşte

întotdeauna în plus.

• se formează intervalele de grupare; • se determină frecvenţa de apariţie, ni, corespunzătoare fiecărui interval de variaţie.

Forma de prezentare a unei distribuţii statistice pentru o variabilă continuă este

realizată în tabelul de mai jos:


9

Tabelul 1.3. Forma generală a unei distribuţii pentru o variabilă continuă

xi-1-xi ni

xo-x1 n1 x1-x2 n2

M M xi-1-xi ni

M M xm-1-xm nm

TOTAL ∑=i

inn

Observaţie În cazul variabilelor discrete care prezintă un număr mare de valori, pentru o

prezentare sintetică a distribuţiei unităţilor statistice, se realizează, de regulă, gruparea acestora pe intervale de variaţie.

Exemplu Pentru un ansamblu format din 30 de firme se înregistrează valoarea vânzărilor

(mil. Lei) obţinute în luna decembrie 2008 şi se obţin următoarele rezultate: 11, 9, 15, 16, 18, 20, 22, 12, 9, 6, 5, 5, 6, 7, 6, 7, 9, 10, 7, 8, 7, 5, 8, 8, 21, 22, 7, 7, 6, 8. Se cere să se formeze distribuţia de frecvenţă pe intervale de variaţie egale, considerând 5 intervale de grupare.

Rezolvare Variabila statistică X este reprezentată de Valoarea vânzărilor. Pentru formarea distribuţiei de frecvenţă pe intervale de variaţie egale, se parcurg

următoarele etape: • se calculează mărimea intervalelor de grupare, după relaţia:

4,35

522

k

xx

k

Al minmax =

−=

−== . Mărimea intervalelor de variaţie este

.44,3l ≈= • se formează intervalele de grupare. Primul interval de variaţie este intervalul (5-

9), al doilea interval este (9-13) etc.

• se determină frecvenţa de apariţie corespunzătoare fiecărui interval de variaţie. Rezultatele centralizării datelor sunt prezentate în tabelul de mai jos:


10

Tabelul 1.4. Distribuţia firmelor după valoarea vânzărilor (mil. Lei) în luna decembrie 2008

xi-1-xi ni

5-9 20 9-13 3

13-17 2 17-21 3 21-25 2

TOTAL 30 *Notă: Limita superioară a fiecărui interval este inclusă în intervalul respectiv.

Observaţie Pentru gruparea datelor pe intervale de variaţie, există mai multe variante

posibile. Dacă limita superioară a unui interval coincide cu limita inferioară a altui interval, se precizează printr-o notă unde a fost inclusă acea valoare. În exemplul de mai sus, firmele cu vânzări de 9, 13, 17, 21 mil. Lei au fost incluse în intervalele în care aceste valori sunt limite superioare.

1.3. Distribuţii statistice pentru variabile categoriale Distribuţia statistică pentru o variabilă categorială presupune prezentarea

categoriilor variabilei X şi determinarea frecvenţei de apariţie a fiecărei variante. Forma de prezentare a unei distribuţii statistice pentru o variabilă categorială este

prezentată în tabelul de mai jos:

Tabelul 1.5. Forma generală a unei distribuţii pentru o variabilă categorială

xi ni

x1 n1 x2 n2

M M xm nm

TOTAL ∑=i

inn

Exemplu Pentru un ansamblu format din 10 persoane se înregistrează mediul de rezidenţă

(urban, rural) şi se obţin următoarele rezultate: urban, urban, urban, urban, rural, rural, urban, urban, rural, urban. Se cere să se formeze distribuţia de frecvenţă.

Rezolvare Variabila statistică X este reprezentată de Mediul de rezidenţă, variabilă

categorială nominală, iar variantele variabilei X sunt xi: (urban, rural). Rezultatele sunt prezentate în tabelul de mai jos:


11

Tabelul 1.6. Distribuţia persoanelor după mediul de rezidenţă xi ni

Urban 7 Rural 3

TOTAL 10


12


13

CAPITOLUL 2. CARACTERIZAREA UNEI SERII STATISTICE DUPĂ O VARIABILĂ NUMERICĂ DISCRETĂ

Caracterizarea unităţilor statistice observate după o variabilă discretă se realizează

folosind metode grafice sau numerice. Pentru reprezentarea grafică a unei serii după o variabilă discretă se folosesc următoarele diagrame: poligonul frecvenţelor, curba frecvenţelor sau curba frecvenţelor cumulate. Indicatorii numerici prin care poate fi caracterizată o serie statistică după o variabilă discretă pot fi grupaţi în indicatori ai tendinţei centrale (mărimi medii), indicatori ai dispersiei, indicatori ai asimetriei şi boltirii.

2.1. Frecvenţe absolute cumulate crescător (Ni↓ ) sau descrescător (Ni↑ )

Frecvenţele absolute cumulate crescător (Ni↓) sau descrescător (Ni↑) exprimă numărul de unităţi statistice cumulate “până la” sau “peste” un anumit nivel al variabilei, adică valori ≤ xi, respectiv ≥ xi.

Relaţiile de calcul sunt:

∑=

− =+↓↓=i

1hhi1ii nnNN , respectiv

∑=

+ =+↑↑=m

ihhi1ii nnNN .

2.2. Frecvenţe relative cumulate crescător (Fi↓) sau descrescător (Fi↑) Frecvenţele relative cumulate crescător (Fi↓) sau descrescător (Fi↑) exprimă

ponderea unităţilor statistice cumulate “până la” sau “peste” un anumit nivel al caracteristicii, adică valori ≤ xi , respectiv ≥ xi.

Relaţiile de calcul sunt:

∑=

− =+↓↓=i

1hhi1ii ffFF , respectiv

∑=

+ =+↑↑=m

ihhi1ii ffFF , unde fi reprezintă frecvenţele relative.

Frecvenţele relative, fi , exprimă ponderea unităţilor ni în volumul total al

unităţilor observate, n, şi se calculează după relaţiile:


14

• n

n

n

nf i

ii

ii ==∑

, atunci când frecvenţele sunt exprimate sub formă de coeficient.

În acest caz, .1fi

i =∑

• 100n

n100

n

nf i

ii

ii ⋅=⋅=∑

, atunci când frecvenţele sunt exprimate sub formă de

procente (%). În acest caz, %.100fi

i =∑

Exemplu Distribuţia studenţilor dintr-o serie după nota obţinută la un examen în sesiunea

iunie 2009 se prezintă astfel:

Tabelul 2.1. Distribuţia studenţilor unei serii după nota obţinută la un examen în sesiunea iunie 2009

Nota Nr. studenţi 4 10 5 25 6 40 7 55 8 60 9 15

10 5 TOTAL 210

Se cere să se calculeze frecvenţele absolute şi relative cumulate crescător sau

descrescător. Rezolvare Frecvenţe absolute cumulate crescător( Ni↓) Frecvenţele absolute cumulate crescător se calculează după relaţia:

∑=

− =+↓↓=i

1hhi1ii nnNN .

Pentru exemplul dat, avem: 10nN 11 =↓= ;

;352510nNN 212 =+=+↓↓=

754035nNN 323 =+=+↓↓= etc.

Celelalte rezultate sunt prezentate în tabelul de mai jos:


15

Tabelul 2.2. Frecvenţele absolute cumulate crescător xi ni ↓iN

4 10 10 5 25 35 6 40 75 7 55 130 8 60 190 9 15 205

10 5 210

TOTAL 210 -

Interpretare Numărul studenţilor care au obţinut nota 4 la examen este de 10 studenţi.

Numărul studenţilor care au obţinut cel mult nota 5 este de 35 persoane. Numărul studenţilor care au obţinut cel mult nota 6 este de 75 persoane. În mod similar, se interpretează celelalte rezultate.

Observaţie În calculul frecvenţelor absolute cumulate crescător, ultima valoare Ni↓ este

întotdeauna egală cu volumul total al eşantionului observat. În exemplul dat, avem N7↓=n=210.

Frecvenţe absolute cumulate descrescător ( ↑iN )

Frecvenţele absolute cumulate descrescător se calculează după relaţia:

∑=

+ =+↑↑=m

ihhi1ii nnNN .

Pentru exemplul dat, avem: 5nNN 787 =+↑↑= ;

;20155nNN 676 =+=+↑↑=

806020nNN 565 =+=+↑↑= etc.


Tabelul 2.3. Frecvenţele absolute cumulate descrescător xi ni ↑iN

4 10 210

5 25 200 6 40 175 7 55 135 8 60 80 9 15 20

10 5 5 TOTAL 210 -


16

Interpretare Numărul studenţilor care au obţinut nota 10 la examen este de 5 studenţi.

Numărul studenţilor care au obţinut peste nota 9 este de 25 persoane. Numărul studenţilor care au obţinut peste nota 8 este de 80 persoane. În mod similar, se interpretează celelalte rezultate.

Frecvenţe relative (fi) Frecvenţele relative se calculează după relaţia:

100n

n100

n

nf i

ii

ii ⋅=⋅=∑

.

Pentru exemplul dat, avem:

%76,4100210

10100

n

nf

ii

11 =⋅=⋅=∑

%90,11100210

25100

n

nf

ii

22 =⋅=⋅=

∑ etc.


Tabelul 2.4. Frecvenţele relative xi ni fi (%) 4 10 4,76 5 25 11,91 6 40 19,05 7 55 26,19 8 60 28,57 9 15 7,14

10 5 2,38 TOTAL 210 100,00

Interpretare Ponderea studenţilor care au obţinut nota 4 la examen este de 4,76% din numărul

total de studenţi. Ponderea studenţilor care au obţinut nota 5 este de 11,91%, iar ponderea studenţilor care au obţinut nota 6 este de 19,05%. În mod similar, se interpretează celelalte rezultate.

Frecvenţe relative cumulate crescător ( ↓iF )

Frecvenţele relative cumulate crescător se calculează după relaţia:

∑=

− =+↓↓=i

1hhi1ii ffFF .

Pentru exemplul dat, avem: %76,4fF 11 =↓= ;

%;67,1691,1176,4fFF 212 =+=+↓↓=


17

%72,3505,1967,16fFF 323 =+=+↓↓= etc.


Tabelul 2.5. Frecvenţele relative cumulate crescător xi ni fi (%) ↓iF (%)

4 10 4,76 4,76 5 25 11,91 16,67 6 40 19,05 35,72 7 55 26,19 61,91 8 60 28,57 90,48 9 15 7,14 97,62

10 5 2,38 100,00

TOTAL 210 100 -

Interpretare Ponderea studenţilor care au obţinut nota 4 la examen este de 4,76% din numărul

total de studenţi. Ponderea studenţilor care au obţinut cel mult nota 5 este de 16,67%. Ponderea studenţilor care au obţinut cel mult nota 6 este de 35,72%. În mod similar, se interpretează celelalte rezultate.

Frecvenţe relative cumulate descrescător ( ↑iF )

Frecvenţele relative cumulate descrescător se calculează după relaţiile:

∑=

+ =+↑↑=m

ihhi1ii ffFF .

Pentru exemplul dat, avem: %;38,2fFF 787 =+↑↑= ;

%;52,914,738,2fFF 676 =+=+↑↑=

%09,3857,2852,9fFF 565 =+=+↑↑= etc.


Tabelul 2.6. Frecvenţele relative cumulate crescător xi ni fi (%) ↑iF (%)

4 10 4,76 100,00

5 25 11,91 95,24 6 40 19,05 83,33 7 55 26,19 64,28 8 60 28,57 38,09 9 15 7,14 9,52

10 5 2,38 2,38 TOTAL 210 100 -


18

Interpretare Ponderea studenţilor care au obţinut nota 10 la examen este de 2,38%. Ponderea

studenţilor care au obţinut peste nota 9 este de 9,52%. Ponderea studenţilor care au obţinut peste nota 8 este de 38,09%. În mod similar, se interpretează celelalte rezultate.

2.3. Caracterizarea seriei statistice folosind metode grafice O distribuţie statistică după o variabilă numerică discretă poate fi reprezentată

grafic folosind poligonul frecvenţelor, curba frecvenţelor şi curba frecvenţelor cumulate. Poligonul frecvenţelor Construirea poligonului frecvenţelor presupune găsirea locului geometric al

punctelor Ai de coordonate (xi , ni) sau (xi , fi) şi unirea acestora prin segmente de dreaptă. Poligonul frecvenţelor aproximează forma unei distribuţii.

Alura poligonului frecvenţelor este reprezentată în figura de mai jos:

Figura 1. Poligonul frecvenţelor

Curba frecvenţelor Construirea curbei frecvenţelor presupune ajustarea printr-o linie curbă, continuă

a poligonului frecvenţelor. Curba frecvenţelor aproximează mai bine forma de distribuţie a colectivităţii după variabila considerată.

Alura curbei frecvenţelor este reprezentată în figura de mai jos:


19

Figura 2. Curba frecvenţelor

Curba frecvenţelor pentru distribuţia dată se compară cu forma curbei frecvenţelor

pentru o distribuţie normală, cunoscută sub denumirea de Clopotul lui Gauss. Această curbă este o curbă simetrică faţă de nivelul mediu: jumătate din unităţi au valori mai mici decât nivelul mediu, iar jumătate au valori mai mari.

În urma prelucrării datelor la nivelul unui eşantion, pot fi obţinute următoarele forme ale distribuţiei unităţilor:

Figura 3. Curbă asimetrică la dreapta


20

Figura 4. Curbă asimetrică la stânga

În exemplele prezentate în Figura 3 şi Figura 4 se observă o concentrare a

frecvenţelor ni spre valorile mici (Figura 3), respectiv spre valorile mari ale variabilei X (Figura 4).

Curba frecvenţelor cumulate Construirea curbei frecvenţelor cumulate presupune reprezentarea grafică a

funcţiei de repartiţie a frecvenţelor unei variabile: F(X ≤ xi). Alura curbei frecvenţelor cumulate crescător este reprezentată în figura de mai

jos:

Figura 5. Curba frecvenţelor cumulate crescător

Alura curbei frecvenţelor cumulate desccrescător este reprezentată în figura de

mai jos:


21

Figura 6. Curba frecvenţelor cumulate descrescător

2.4. Caracterizarea seriei folosind indicatori ai statisticii descriptive

Cei mai importanţi indicatori ai statisticii descriptive pot fi grupaţi în indicatori ai tendinţei centrale, indicatori ai dispersiei, indicatori ai asimetriei şi boltirii.

2.4.1. Indicatori ai tendinţei centrale (mărimi medii) Indicatorii tendinţei centrale sunt indicatori prin care pot fi caracterizate în mod

sintetic unităţile statistice observate după o variabilă X. Principalele mărimi medii folosite în caracterizarea unei serii statistice sunt media aritmetică, modul şi mediana.

a. Media aritmetică )x(

Media aritmetică pentru o serie statistică după o variabilă discretă se calculează după relaţiile:

n

x

x ii∑

= , pentru o serie simplă de valori;

∑

∑ ⋅=

ii

iii

n

nx

x , pentru o serie cu frecvenţe ni.

Principalele proprietăţi ale mediei aritmetice sunt:

1. Media aritmetică se înscrie în intervalul de variaţie al variabilei X: maxmin xxx ≤≤ .


22

2. Pentru o serie cu frecvenţe, media aritmetică este plasată între valorile extreme, oscilând în jurul valorii cu frecvenţa dominantă.

Media este considerată în statistică un punct de echilibru, similar centrului de greutate în fizică. Dacă o serie nu prezintă o asimetrie pronunţată, atunci media va fi în apropierea valorii cu frecvenţa cea mai mare. 3. Media este o mărime normală, adică suma abaterilor valorilor individuale ale unei variabile X de la media lor este egală cu zero:

0)xx(i

i =−∑ , pentru o serie simplă de valori;

0n)xx( ii

i =⋅−∑ , pentru o serie cu frecvenţe.

Exemple

1. Vânzările unei firme (mil. Lei) înregistrate timp de cinci zile sunt: 10, 9, 8 7, 7. Se cere să se calculeze media aritmetică.

Rezolvare Media aritmetică pentru o serie simplă de valori se calculează după relaţia:

n

x

x ii∑

= .

Pentru exemplul dat, obţinem:

2,85

778910

n

x

x ii

=++++

==∑

mil. Lei.

Interpretare Nivelul mediu al vânzărilor zilnice ale firmei este de 8,2 mil. Lei.

2. Distribuţia studenţilor dintr-o serie după nota obţinută la un examen în sesiunea



Nota Nr. studenţi 4 10 5 25 6 40 7 55 8 60 9 15

10 5 TOTAL 210

Se cere să se calculeze media aritmetică.


23

Rezolvare Media aritmetică pentru o serie statistică cu frecvenţe se calculează după relaţia

∑

∑ ⋅=

ii

iii

n

nx

x .

Elementele pentru calculul mediei aritmetice sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Tabelul 2.8. Elementele pentru calculul mediei aritmetice xi ni ii nx ⋅

4 10 40 5 25 125 6 40 240 7 55 385 8 60 480 9 15 135

10 5 50 TOTAL ∑ =

iin 210 ∑ =⋅

iii nx 1455

Înlocuind în relaţia de mai sus, se obţine :

93,6210

1455

n

nx

x

ii

iii

==⋅

=∑

∑.

Interpretare Nota medie obţinută de studenţii din eşantionul observat la examen este de

6,93~7.

b. Modul (Mo) Modul este valoarea variabilei cea mai frecvent observată într-o distribuţie, adică

valoarea xi care corespunde frecvenţei maxime (nimax). Aflarea modului presupune identificarea valorii xi corespunzătoare frecvenţei

maxime (nimax). Exemple

1. Vânzările unei firme A (mil. Lei) înregistrate timp de cinci zile sunt: 10, 9, 8 7, 7. Se cere să se afle modul.

Rezolvare Pentru aflarea modului, trebuie identificată valoarea xi corespunzătoare frecvenţei

maxime (nimax). Frecvenţa maximă este nimax=2, iar valoarea xi corespunzătoare este xi=7. Pentru seria dată, modul este: Mo=7 mil. Lei.


24

Interpretare Valoarea vânzărilor cea mai frecvent înregistrată de firma A este de 7 mil. Lei pe

zi.

2. Vânzările unei firme A (mil. Lei) înregistrate timp de cinci zile sunt: 10, 8, 8 7, 7. Se cere să se afle valoarea modului.

Rezolvare Pentru aflarea modului, trebuie identificată valoarea xi corespunzătoare frecvenţei

maxime (nimax). Frecvenţa maximă este nimax=2, iar valorile xi corespunzătoare sunt xi=7 şi xi=8. Seria dată este o serie bimodală, valorile modului fiind de 7 mil. Lei şi de 8 mil. Lei.

Interpretare Valorile vânzărilor cele mai frecvente sunt de 7 mil. Lei şi de 8 mil. Lei pe zi . 3. Distribuţia studenţilor dintr-o serie după nota obţinută la un examen în sesiunea



Nota Nr. studenţi 4 10 5 25 6 40 7 55

Mo=8 60

9 15 10 5

TOTAL 210

Se cere să se calculeze modul. Rezolvare Pentru aflarea modului, se află frecvenţa maximă: nimax=60. Valoarea xi care

corespunde acestei frecvenţe maxime este xi=8. Pentru seria dată, modul este: Mo=8. Interpretare Cei mai mulţi studenţi au luat la examenul din sesiunea iunie 2009 nota 8.

c. Mediana (Me) Mediana reprezintă acea valoare a variabilei care împarte seria ordonată crescător

în două părţi egale: jumătate din unităţi au valori mai mici decât mediana, iar jumătate au valori mai mari decât mediana.

Aflarea medianei se realizează diferit în funcţie de tipul seriei:


25

1. Pentru o serie simplă:

• cu număr par de termeni, mediana este reprezentată de media aritmetică simplă a celor doi termeni centrali ai seriei ordonate crescător. Exemplu Se consideră seria reprezentată de valorile 10, 9, 11, 6, 7, 8. Pentru aflarea

medianei, şirul valorilor se ordonează în sens crescător: 6, 7, 8, 9, 10, 11. Mediana este reprezentată de media aritmetică simplă a celor doi termeni centrali ai seriei ordonate

crescător, respectiv 5,82

98Me =

+= .

• cu număr impar de termeni, mediana este reprezentată de termenul central al

seriei ordonate crescător. Exemplu Se consideră seria reprezentată de valorile 10, 9, 11, 6, 7. Pentru aflarea medianei,

şirul valorilor se ordonează în sens crescător: 6, 7, 9, 10, 11. Mediana este reprezentată de termenul central al seriei ordonate crescător, respectiv 9Me = .

2. Pentru o serie cu frecvenţe după o variabilă discretă Aflarea medianei presupune parcurgerea următoarelor etape:

• se calculează unitatea mediană:

- atunci când 100n ≥ , unitatea mediană este :2

n

U ii

Me∑

= ;

- atunci când 100n < , unitatea mediană este 2

1n

U ii

Me

+=∑

.

• se calculează frecvenţele absolute cumulate crescător, Ni↓; • se află prima valoare Ni↓≥UMe; • valoarea xi corespunzătoare acestei frecvenţe Ni↓≥UMe este mediana.

Exemplu Distribuţia studenţilor dintr-o serie după nota obţinută la un examen, în sesiunea

iunie 2009, se prezintă astfel:


Nota Nr. studenţi 4 10 5 25 6 40 7 55 8 60 9 15

10 5 TOTAL 210


26

Se cere să se calculeze mediana.

Rezolvare Etape pentru aflarea medianei:

• se calculează unitatea mediană: 1052

210

2

n

U ii

Me ===∑

;

• se calculează frecvenţele absolute cumulate crescător, Ni↓. Acestea sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Tabelul 2.11. Frecvenţele absolute cumulate crescător xi ni ↓1N

4 10 10 5 25 35 6 40 75

Me=7 55 130

8 60 190 9 15 205

10 5 210 TOTAL 210 -

• se află prima valoare Ni↓≥UMe. Pentru exemplul dat, .105U130N Mei =≥↓=

• valoarea xi corespunzătoare primei frecvenţe Ni↓≥UMe este mediana. Pentru exemplul dat, Me=7. Interpretare Jumătate din numărul total al studenţilor au luat la examenul din sesiunea iunie

2009 o notă de până la 7, iar jumătate au luat peste 7. Observaţie Locul medianei într-o distribuţie depinde de forma acesteia. Doar în cazul unei

distribuţii simetrice mediana este termenul central al seriei. Exemplu Se consideră distribuţiile a două serii, prezentate în tabelele de mai jos:


27

Seria I xi ni 1 20 2 40 3 20 4 15 5 5

TOTAL 100

Seria II

xi ni 1 10 2 20 3 40 4 20 5 10

TOTAL 100

Să se afle şi să se compare valorile medianei pentru cele două distribuţii. Rezolvare Pentru seria I, aflarea medianei presupune parcurgerea următoarelor etape:


100

2

n

U ii

Me ===∑

;


Tabelul 2.12. Frecvenţele absolute cumulate crescător pentru seria I

xi ni ↓iN

1 20 20

Me=2 40 60

3 20 80 4 15 95 5 5 100

TOTAL 100 -

• prima valoare Ni↓≥UMe este .50U60N Mei =≥↓=

• valoarea xi corespunzătoare frecvenţei Ni↓≥UMe este Me=2. Pentru seria II se obţin următoarele rezultate:


28

Tabelul 2.13. Frecvenţele absolute cumulate crescător pentru seria II

xi ni ↓iN

1 10 10 2 20 30

Me=3 40 70

4 20 90 5 10 100

TOTAL 100 -

În acest caz, valoarea medianei este Me=3. Se observă că poziţia medianei pentru cele două distribuţii diferă, deşi volumul

colectivităţii este acelaşi, n=100. Seria I este o serie asimetrică, spre deosebire de seria II care este o distribuţie simetrică. În acest ultim caz, mediana este reprezentată de termenul central al seriei.

d. Relaţii între cele trei mărimi medii fundamentale Relaţia dintre cele trei mărimi medii fundamentale evidenţiază forma unei

distribuţii: • atunci când MeMox == , distribuţia este simetrică;

Figura 7. Distribuţie simetrică

• atunci când MoMex >> , distribuţia este asimetrică la dreapta;


29

Figura 8. Distribuţie asimetrică la dreapta

• atunci când MoMex << , distribuţia este asimetrică la stânga.

Figura 9. Distribuţie asimetrică la stânga

e. Comparaţii între cele trei mărimi medii fundamentale Interpretarea valorilor obţinute pentru cele trei mărimi medii fundamentale poate

releva aspecte importante privind unităţile statistice din distribuţia analizată. De exemplu, să considerăm că în urma prelucrării datelor privind salariul lunar

(lei) obţinut de către salariaţii unei firme, s-au obţinut următoarele rezultate: lei800Me;lei700Mo;lei1500x === .


30

Aceste valori arată că salariul mediu obţinut de salariaţii firmei este de 1500 lei/lună, însă cei mai mulţi salariaţi câştigă 700 lei/lună, iar jumătate din numărul total al salariaţilor câştigă până la 800 lei/lună, iar jumătate câştigă peste 800 lei/lună. Distribuţia salariaţilor firmei observate este o distribuţie puternic asimetrică la dreapta.

Aceste rezultate pot fi explicate prin diferenţe mari înregistrate între valorile salariului obţinut de salariaţii din firma considerată. Media aritmetică este o mărime influenţată de valorile extreme, aberante. De aceea, este deosebit de utilă şi interpretarea celorlalte mărimi medii fundamentale.

f. Generalizarea medianei: quantilele Quantilele sunt valori ale caracteristicii care împart volumul unei colectivităţi în r

părţi egale. Cele mai folosite quantile sunt:

1. Quartilele Quartilele sunt valori ale caracteristicii care împart volumul unei colectivităţi în 4

părţi egale. Poziţia celor trei quartile într-o distribuţie simetrică este prezentată în figura de

mai jos:

Figura 10. Poziţia quartilelor într-o distribuţie

Quartila unu ( Q1) Aflarea quartilei unu presupune parcurgerea următoarelor etape:

• se calculează unitatea quartilică unu: 4

n

U ii

Q1

∑= ;

• se calculează frecvenţele absolute cumulate crescător, Ni↓; • se află prima valoare Ni↓≥UQ1; • valoarea xi corespunzătoare frecvenţei Ni↓≥UQ1 este quartila unu.


31

Quartila doi ( Q2) Aflarea quartilei doi presupune parcurgerea următoarelor etape:

• se calculează unitatea quartilică doi: Meii

ii

Q U2

n

4

n2

U 2 ==⋅

=∑∑

. Quartila doi

este, deci, mediana. Quartila trei ( Q3) Aflarea quartilei trei presupune parcurgerea următoarelor etape:

• se calculează unitatea quartilică trei: 4

n3

U ii

Q3

∑⋅= ;

• se calculează frecvenţele absolute cumulate crescător, Ni↓; • se află prima valoare Ni↓≥UQ3; • valoarea xi corespunzătoare frecvenţei Ni↓≥UQ3 este quartila trei.

Exemplu Distribuţia studenţilor dintr-o serie după nota obţinută la un examen, în sesiunea

iunie 2009, se prezintă astfel:


Nota Nr. studenţi 4 10 5 25 6 40 7 55 8 60 9 15

10 5 TOTAL 210

Se cere să se calculeze quartila unu şi quartila trei.

Rezolvare Quartila unu

• se calculează unitatea quartilică unu: 5,524

210

4

n

U ii

Q1 ===∑

;



32


4 10 10 5 25 35

Q1=6 40 75

7 55 130 8 60 190 9 15 205

10 5 210 TOTAL 210 -

• se află prima valoare Ni↓≥UQ1. Pentru exemplul dat, 5,52U75N 1Qi =≥↓= ;

• valoarea xi corespunzătoare primei frecvenţe Ni↓≥UMe este quartila unu. Pentru exemplul dat, Q1=6. Interpretare 25% din numărul total al studenţilor au luat la examenul din sesiunea iunie 2009 o

notă de până la 6, iar 75% au luat peste 6.

Quartila trei

• se calculează unitatea quartilică trei: 5,1574

2103

4

n3

U ii

Q3 =⋅

=⋅

=∑

;


Tabelul 2.16. Frecvenţele absolute cumulate crescător

xi ni ↓1N

4 10 10 5 25 35 6 40 75 7 55 130

Q3=8 60 190

9 15 205 10 5 210

TOTAL 210 -

• se află prima valoare Ni↓≥UQ3. Pentru exemplul dat, .5,157U190N 3Qi =≥↓=

• valoarea xi corespunzătoare primei frecvenţe Ni↓≥UQ3 este quartila trei. Pentru exemplul dat, Q3=8.

Interpretare 75% din numărul total al studenţilor au luat la examenul din sesiunea iunie 2009 o



33

2. Decilele Decilele sunt valori ale caracteristicii care împart volumul unei colectivităţi în 10

părţi egale. Cele mai importante decile sunt decila unu şi decila nouă. Decila unu ( D1) Aflarea decilei unu presupune parcurgerea următoarelor etape:

• se calculează unitatea decilică unu: 10

n

U ii

D1

∑= ;

• se calculează frecvenţele absolute cumulate crescător, Ni↓; • se află prima valoare Ni↓≥UD1; • valoarea xi corespunzătoare frecvenţei Ni↓≥UD1 este decila unu.

Decila nouă (D9) Aflarea decilei nouă presupune parcurgerea următoarelor etape:

• se calculează unitatea decilică nouă: 10

n9

U ii

D9

∑⋅= ;

• se calculează frecvenţele absolute cumulate crescător, Ni↓; • se află prima valoare Ni↓≥UD9; • valoarea xi corespunzătoare ifrecvenţei Ni↓≥UD9 este decila nouă.




Nota Nr. studenţi 4 10 5 25 6 40 7 55 8 60 9 15

10 5 TOTAL 210

Se cere să se calculeze decila unu şi decila nouă.

Rezolvare Decila unu

• se calculează unitatea decilică unu: 2110

210

10

n

U ii

D1 ===∑

;


34



4 10 10 D1=5 25 35

6 40 75 7 55 130 8 60 190 9 15 205

10 5 210 TOTAL 210 -

• se află prima valoare Ni↓≥UD1. Pentru exemplul dat, .21U35N 1Di =≥↓=

• valoarea xi corespunzătoare primei frecvenţe Ni↓≥UD1 este decila unu. Pentru exemplul dat, D1=5. Interpretare 10% din numărul total al studenţilor au luat la examenul din sesiunea iunie 2009 o


Decila nouă

• se calculează unitatea decilică nouă: 18910

2109

10

n9

U ii

D9 =⋅

=⋅

=∑

;



4 10 10 5 25 35 6 40 75 7 55 130

D9=8 60 190

9 15 205 10 5 210

TOTAL 210 -

• se află prima valoare Ni↓≥UD9. Pentru exemplul dat, .189U190N 9Di =≥↓=

• valoarea xi corespunzătoare primei frecvenţe Ni↓≥UD9 este decila nouă. Pentru

exemplul dat, D9=8.


35

Interpretare 90% din numărul total al studenţilor au luat la examenul din sesiunea iunie 2009 o


g. Reprezentarea diagramei „box-and-whiskers” sau „box-plot” Construirea diagramei „box-and-whiskers” presupune reprezentarea următoarelor

valori ale tendinţei centrale: quartila unu, mediana, quartila trei, decila unu şi decila nouă. Forma generală a diagramei „box-and-whiskers” este prezentată în figura de mai jos:

1

10,009,008,007,006,005,004,00

D1 Q1 Q2 Q3 D9

Figura 11. Diagrama „box-and-whiskers”

Diagrama „box-and-whiskers” este utilă în cercetarea statistică deoarece oferă

informaţii cu privire la indicatorii tendinţei centrale, la forma unei distribuţii, dar şi cu privire la gradul de dispersie al distribuţiei (fenomen prezentat în capitolul următor).

Într-o distribuţie perfect simetrică, valorile decilei unu şi nouă, respectiv ale quartilei unu şi trei, sunt reprezentate la aceeaşi distanţă faţă de mediană. Această situaţie este reprezentată în Figura 11.

2.4.2. Indicatori ai dispersiei Pentru caracterizarea unităţilor unei distribuţii nu este suficientă doar folosirea

indicatorilor tendinţei centrale. Pentru o caracterizare corectă a unei distribuţii trebuie să se ia în considerare gradul de variaţie a valorilor variabilei X faţă de nivelul mediu. O colectivitate caracterizată printr-o dispersie mare a valorilor xi ale unei variabile faţă de nivelul mediu este o colectivitate eterogenă iar media nu este reprezentativă pentru distribuţie.

a. Definirea fenomenului de dispersie Aprecierea variabilităţii valorilor unei variabile faţă de nivelul mediu se poate

realiza prin aprecierea fenomenului de dispersie. Dispersia exprimă gradul de împrăştiere


36

a valorilor individuale ale unei variabile faţă de nivelul mediu. Aprecierea fenomenului de dispersie al unei distribuţii permite identificarea gradului de reprezentativitate a mediei unei distribuţii.

b. Indicatorii dispersiei Principalii indicatori ai dispersiei sunt: 1. Amplitudinea de variaţie Amplitudinea de variaţie măsoară distanţa dintre nivelul maxim şi nivelul minim

al unei variabile. Se calculează pe baza relaţiei:

minmax xxA −= .

Acest indicator permite aprecierea întinderii domeniului de variaţie al variabilei X. Dezavantajul acestui indicator constă în faptul că nu „pătrunde” în interiorul distribuţiei, respectiv între cele două valori extreme ale variabilei.

2. Varianţa Varianţa este media pătratelor abaterilor valorilor xi de la nivelul mediu şi poate fi

calculată pe baza relaţiei:

n

)xx(

s

2

ii

2∑ −

= , pentru o serie simplă;

∑

∑ ⋅−=

ii

i2

ii

2

n

n)xx(

s , pentru o serie cu frecvenţe.

Varianţa nu are unitate de măsură şi nu se interpretează. 3. Abaterea medie pătratică (abaterea standard) Abaterea medie pătratică sau abaterea standard este rădăcina mediei pătratelor

abaterilor valorilor xi de la nivelul mediu şi poate fi calculată pe baza relaţiei:

n

)xx(

ss

2

ii

2∑ −

== , pentru o serie simplă;

∑

∑ ⋅−==

ii

i2

ii

2

n

n)xx(

ss , pentru o serie cu frecvenţe.

Abaterea standard se exprimă în aceeaşi unitate de măsură cu cea a variabilei X. Arată cu cât variază, în medie, valorile variabilei X de la nivelul mediu, în sens negativ şi pozitiv.

4. Coeficientul de variaţie Întrucât abaterea standard şi media se exprimă în aceeaşi unitate de măsură cu cea

a variabilei X, aceşti indicatori nu pot fi folosiţi pentru a compara două serii de date care sunt exprimate în unităţi de măsură diferite. Pentru a înlătura acest inconvenient, se calculează coeficientul de variaţie, după relaţia:


37

100x

sv ⋅= .

Prin evaluarea acestui coeficient se poate aprecia gradul de reprezentativitate a mediei unei distribuţii. În general, o valoare a coeficientului de variaţie mai mică de 50% arată că media este reprezentativă.




Nota Nr. studenţi 4 10 5 25 6 40 7 55 8 60 9 15

10 5 TOTAL 210

Se cere să se calculeze indicatorii dispersiei. Rezolvare Cei mai importanţi indicatori ai dispersiei sunt: amplitudinea de variaţie, varianţa,

abaterea standard şi coeficientul de variaţie. Amplitudinea de variaţie Amplitudinea de variaţie se calculează pe baza relaţiei:

6410xxA minmax =−=−= .

Interpretare Diferenţa dintre nivelul maxim şi nivelul minim al variabilei X este egală cu 6. Varianţa Varianţa se calculează pe baza relaţiei:

∑

∑ ⋅−=

ii

i2

ii

2

n

n)xx(

s . Pentru această distribuţie, media este 93,6x = .

Elementele de calcul ale varianţei sunt prezentate în tabelul de mai jos:


38

Tabelul 2.21. Elemente de calcul ale varianţei xi ni xxi − 2

i )xx( − i2

i n)xx( ⋅−

4 10 -2,93 8,58 85,85 5 25 -1,93 3,72 93,12 6 40 -0,93 0,86 34,60 7 55 0,07 0,00 0,27 8 60 1,07 1,14 68,69 9 15 2,07 4,28 64,27

10 5 3,07 9,42 47,12 TOTAL 210 - - 393,93

Înlocuind în relaţia de mai sus, se obţine:

876,1210

93,393

n

n)xx(

s

ii

i2

ii

2 ==⋅−

=∑

∑.

Abaterea standard Abaterea standard se calculează pe baza relaţiei:

37,1876,1ss 2 === . Interpretare Notele obţinute de studenţii din seria dată variază, în medie, faţă de nota medie cu

1,37~1 punct, în sens pozitiv şi negativ. Coeficientul de variaţie Coeficientul de variaţie se calculează după relaţia:

%77,1910093,6

37,1100

x

sv =⋅=⋅= .

Interpretare Valoarea coeficientului de variaţie arată că distribuţia studenţilor după nota

obţinută la un examen în sesiunea iunie 2009 este o distribuţie omogenă, caracterizată printr-o dispersie mică (v<50%). Media este reprezentativă pentru această distribuţie.

c. Compararea fenomenului de dispersie pentru mai multe distribuţii Pentru două colectivităţi se înregistrează vârsta persoanelor şi se obţin

următoarele rezultate: ani2s,ani15x 11 == ;

ani2s,ani50x 22 == . Aceste rezultate arată că ambele colectivităţi se caracterizează printr-o dispersie

mică a vârstei persoanelor faţă de vârsta medie. Vârsta medie pentru unităţile din prima colectivitate este, însă, mult mai mică decât vârsta medie pentru unităţile din cea de-a doua colectivitate. Aceasta arată că prima colectivitate este formată din persoane foarte tinere, spre deosebire de persoanele din cea de-a doua colectivitate.


39

Reprezentarea grafică a două distribuţii caracterizate prin medii diferite şi aceeaşi dispersie este realizată în figura de mai jos:

Figura 12. Curba frecvenţelor pentru două distribuţii

Reprezentarea grafică a două distribuţii caracterizate prin aceeaşi medie şi

dispersii diferite este realizată în figura de mai jos:

Figura 13. Curba frecvenţelor pentru două distribuţii

d. Abaterea standard şi distribuţia normală Cunoscând nivelul mediu şi abaterea standard pentru o distribuţie, putem afla care

este proporţia unităţilor care înregistrează valori mai mari, de exemplu, decât ( sx + ).


40

Pentru aceasta, se calculează valori ale unei variabile standardizat Z, cunoscută şi sub denumirea de scor Zi, după relaţia:

s

xxz i

i

−= . Această mărime arată poziţia unei unităţi faţă de nivelul mediu ( x ),

folosind ca „unitate de măsură” abaterea standard. Variabila Z este o variabilă de medie 0 şi varianţă egală cu 1.

De exemplu, pentru o distribuţie caracterizată printr-o medie de 100x = şi o abatere standard de 20s = , pentru xi=140 putem afla valoarea zi, astfel:

220

100140=

−=iz . Aceasta arată că unitatea care înregistrează valoarea xi=140 se

găseşte la o distanţă faţă de nivelul mediu egală cu de două ori abaterea standard.

Odată calculată valoarea z, putem afla proporţia unităţilor care înregistrează valori

mai mari decât 140, de exemplu. Aceste valori sunt calculate pentru o distribuţie normală şi sunt tabelate (Anexa 1).

Tabelul care prezintă aceste rezultate este de forma:

0 0.01 K 0.05 K 0

0.1 0.2 M 1 0,341

1.1 0,375 M

Pe prima coloană sunt valorile lui z, întregul şi prima zecimală, iar valorile din

următoarele coloane reprezintă a doua zecimală a valorii zi. Valorile din interiorul tabelul


41

arată proporţia unităţilor care înregistrează valori cuprinse între nivelul mediu şi scorul z corespunzător.

De exemplu, pentru o valoare zi=1,15, se citeşte 0,375. Această valoare arată că

aproximativ 37,5% din unităţile distribuţiei înregistrează valori cuprinse între nivelul mediu şi valoarea zi=1,15.

În Tabelul Z nu sunt valori negative pentru zi, însă distribuţia normală este o distribuţie simetrică, deci aria suprafeţei cuprinse între nivelul mediu şi valoarea pozitivă sau negativă a lui Z este aceeaşi.

Exemple 1. Pentru o distribuţie normală de medie, x , şi abatere standard, s, să se afle

proporţia unităţilor care înregistrează valori cuprinse în intervalele ( sx ± ), ( s2x ⋅± ) şi ( s3x ⋅± ).

Rezolvare Pentru a afla proporţia unităţilor care înregistrează valori cuprinse în intervalul

)sx;sx( +− , se calculează scorul Z, astfel:

1s

xsx

s

xxz 1

1 −=−−

=−

=

1s

xsx

s

xxz 2

2 +=−+

=−

= .

Din tabelul Z se citeşte valoarea care corespunde unui nivel zi=1, şi anume 0,341.

0 0.01 K 0.05 K 0

0.1 0.2 M 1 0,341

1.1 0,375 M


42

Această valoare, 0,341, reprezintă aria suprafeţei cuprinse între nivelul mediu şi

zi=1. Proporţia unităţilor care înregistrează valori cuprinse în intervalul )sx;sx( +− este: 682,0341,02 =⋅ sau 68,2%.

În mod similar, se obţin valorile zi=±2, pentru limitele intervalului ( s2x ⋅± ).

Din tabelul Z, se citeşte valoarea care corespunde unui nivel zi=2, de 0,477.

0 K 0.05 K 0

0.1 0.2 M 2 0,477 M

Proporţia unităţilor care înregistrează valori cuprinse în intervalul

)s2x;s2x( ⋅+⋅− este: 954,0477,02 =⋅ sau 95,4%.


43

Pentru intervalul ( s3x ⋅± ), se obţin valorile zi=±3:

Pentru zi=±3, se citeşte valoarea corespunzătoare 0,499.

0 K 0.05 K 0

0.1 0.2 M 3 0,499

Proporţia unităţilor care înregistrează valori cuprinse în intervalul

)s3x;s3x( ⋅+⋅− este: 998,0499,02 =⋅ sau 99,8%.


44

Interpretare Într-o distribuţie normală, în intervalul ( sx ± ) sunt cuprinse 68,2% din unităţi, în

intervalul ( s2x ⋅± ) sunt cuprinse 95,4% din unităţi şi în intervalul ( s3x ⋅± ) sunt cuprinse 99,8% din unităţi.

2. Distribuţia unor studenţi după nota obţinută la un test urmează o lege normală

şi se caracterizează prin următoarele rezultate: 7x = şi s=2. Se cere să se afle proporţia studenţilor care au luat note mai mici decât 6.

Rezolvare Valoarea Zi care corespunde unei valori xi=6 se calculează astfel:

502

76,

s

xxz i

i −=−

=−

=

Din tabelul Z se citeşte valoarea care corespunde unui nivel zi=0,5, egală cu 0,191.

0 0.01 K 0.05 K

0 0.1 0.2 M

0,5 0,191 M

Proporţia studenţilor care au luat note mai mici decât 6 este f=0,5-0,191=0,309

sau 30,9%.


45

Observaţie Aria suprafeţei reprezentate în figura de mai sus este egală cu unu (după cum am

precizat anterior, suma proporţiilor este egală cu 1 sau 100%). Distribuţia normală este o distribuţie simetrică, deci proporţia unităţilor care au valori mai mari decât nivelul mediu este de 0,5.

3. Distribuţia unor persoane după vârstă urmează o lege normală şi se

caracterizează prin următoarele rezultate: 30x = ani şi s=4 ani. Se cere să se afle proporţia persoanelor care au o vârstă cuprinsă între 27 ani şi 35 ani.

Rezolvare Valorile lui Z corespunzătoare lui x1=27 şi x2=35 sunt:

75,04

3027

s

xxz 1

1 −=−

=−

=

25,14

3035

s

xxz 2

2 +=−

=−

= .

Din tabelul Z se citesc valorile corespunzătoare lui z1=-0,75 şi z2=+1,25, astfel:

0 K 0.05 K 0

0.1 0.2 M

0,7 0,273 M M

1,2 0,394 M M

Proporţia persoanelor care au o vârstă cuprinsă între 27 ani şi 35 ani este:

f=0,273+0,394=0,667 sau 66,7%.


46

4. Pentru o distribuţie normală de medie x , şi abatere standard s, să se afle

limitele intervalului care include 95% din unităţile statistice observate.

Rezolvare Această problemă poate fi prezentată grafic astfel:

Demersul urmat pentru rezolvarea acestei probleme este invers celui prezentat

anterior: se cunoaşte proporţia (95%) şi trebuie să aflăm valoarea zi care corespunde acestei proporţii.

Pentru a afla valoarea zi, se calculează aria suprafeţei cuprinsă între nivelul mediu

şi z, care este egală cu %5,472

%95= sau 0,475.


47

Pentru această proporţie egală cu 0,475, se citeşte valoarea zi corespunzătoare, de

1,96. 0 K 0.06 K

0 0.1 0.2 M

1,9 0,475 M M

Prin urmare, într-o distribuţie normală, 95% din unităţi au valori cuprinse în

intervalul [ ]s96,1x;s96,1x ⋅+⋅− .

Observaţie În estimarea parametrilor unei populaţii, problematică prezentată în partea a doua,

obiectivul urmărit este de a afla limitele unui interval care acoperă media unei populaţii, în 95% din cazuri, de exemplu.


48

2.4.3. Indicatori ai formei unei distribuţii

a. Asimetria O distribuţie este simetrică dacă valorile frecvenţelor sunt egal dispersate faţă de

valoarea centrală a seriei. Distribuţia normală este exemplul clasic al unei repartiţii simetrice. Graficul densităţii de repartiţie în cazul unei distribuţii normale are forma unui clopot simetric, cu axa de simetrie reprezentată de media seriei. O deviere de la forma simetrică a unei distribuţii evidenţiază fenomenul de asimetrie.

Asimetria poate fi apreciată pe cale grafică prin reprezentarea poligonului şi

curbei frecvenţelor, şi prin reprezentarea diagramei “box-and-whiskers”. Alura curbei frecvenţelor în cazul unei distribuţii simetrice, a unei distribuţii

asimetrice la dreapta sau la stânga este reprezentată grafic în figurile de mai jos:

10,008,006,004,00

Nota

50

40

30

20

10

0

Fre

qu

ency

Mean = 7,00

Std. Dev. =

1,54303

N = 190


10,008,006,004,00

Nota

60

50

40

30

20

10

0

Fre

qu

enc

y

Mean = 6,4737

Std. Dev. =

1,43163

N = 190



49

10,008,006,004,00

Nota

60

50

40

30

20

10

0

Fre

qu

ency

Mean = 7,5263

Std. Dev. =

1,43163

N = 190

Figura 16. Distribuţie asimetrică la stânga Alura diagramei “box-and-whiskers” în cazul unei distribuţii simetrice, a unei

distribuţii asimetrice la dreapta sau la stânga este reprezentată grafic în figurile de mai jos:

1

10,009,008,007,006,005,004,00



50

Nota

10,009,008,007,006,005,004,00


Nota

10,009,008,007,006,005,004,00

Figura 19. Distribuţie asimetrică la stânga

Cei mai importanţi indicatori ai asimetriei sunt: 1. Asimetria în mărime absolută Asimetria în mărime absolută poate fi calculată pe baza relaţiei:

MoxAs −= . O valoare pozitivă a acestui indicator arată o asimetrie la dreapta a distribuţiei, iar

o valoare negativă arată o asimetrie la stânga. O valoare nulă arată o distribuţie simetrică.

2. Coeficientul de asimetrie Pearson Coeficientul de asimetrie Pearson se calculează pe baza relaţiei:

32

23

1µ

µβ = , unde:


51

∑

∑ ⋅−=

ii

i3

ii

3 n

n)xx(

µ reprezintă momentul centrat de ordinul 3;

2

ii

i2

ii

2 sn

n)xx(

=⋅−

=∑

∑µ reprezintă momentul centrat de ordinul 2, adică

varianţa. Acest indicator este întotdeauna pozitiv. Sensul asimetriei este dat de semnul lui

µ3. Atunci când µ3>0, distribuţia este asimetrică la dreapta. Atunci când µ3<0, distribuţia este asimetrică la stânga.

3. Coeficientul de asimetrie Fisher Coeficientul de asimetrie Fisher se calculează pe baza relaţiei:

33

1s

µγ = .

Interpretarea valorii acestui coeficient este similară coeficientului de asimetrie Pearson.




Nota Nr. studenţi 4 10 5 25 6 40 7 55 8 60 9 15

10 5 TOTAL 210

Se cere să se calculeze indicatorii asimetriei. Rezolvare Indicatorii asimetriei sunt: 1. Asimetria în mărime absolută

07,1893,6MoxAs −=−=−= .


52

Interpretare Valoarea indicatorului de asimetrie arată că distribuţia studenţilor dintr-o serie

după nota obţinută la un examen în sesiunea iunie 2009 prezintă o asimetrie la stânga (As<0).


32

23

1µ

µβ = , unde:

∑

∑ ⋅−=

ii

i3

ii

3 n

n)xx(

µ reprezintă momentul centrat de ordinul 3;

2

ii

i2

ii

2 sn

n)xx(

=⋅−

=∑

∑µ reprezintă momentul centrat de ordinul 2, adică

varianţa. Elementele de calcul sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Tabelul 2.23. Elemente de calcul xi ni )xx( i − 2

i )xx( − i2

i n)xx( ⋅− 3i )xx( − i

3i n)xx( ⋅−

4 10 -2,93 8,58 85,85 -25,15 -251,54 5 25 -1,93 3,72 93,12 -7,19 -179,73 6 40 -0,93 0,86 34,60 -0,80 -32,17 7 55 0,07 0,00 0,27 0,00 0,02 8 60 1,07 1,14 68,69 1,23 73,50 9 15 2,07 4,28 64,27 8,87 133,05

10 5 3,07 9,42 47,12 28,93 144,67 TOTAL 210 - - 393,93 - -112,20

Momentele centrate de ordinul doi şi trei sunt:

876,1210

93,393

n

n)xx(

ii

i2

ii

2 ==⋅−

=∑

∑µ

534,0210

20,112

n

n)xx(

ii

i3

ii

3 −=−

=⋅−

=∑

∑µ


0432,06023,6

2852,0

876,1

)534,0(3

2

32

23

1 ==−

==µ

µβ .


53

Interpretare Valoarea coeficientului de asimetrie Pearson arată că distribuţia dată se

caracterizează printr-o asimetrie ( 01 ≠β ) la stânga (µ3<0). 3. Coeficientul de asimetrie Fisher Coeficientul de asimetrie Fisher se calculează pe baza relaţiei:

208,037,1

534,0

s 333

1 −=−

==µ

γ .

b. Boltirea Boltirea este definită prin compararea distribuţiei statistice cu distribuţia normală

din punctul de vedere al variaţiei variabilei X şi a frecvenţei ni. Boltirea poate fi apreciată pe cale grafică prin reprezentarea curbei frecvenţelor.

Alura curbei frecvenţelor în cazul unei distribuţii normale (mezocurtice) sau care prezintă un accentuat fenomen de boltire este reprezentată în figura de mai jos:

Figura 20. Boltirea unei distribuţii

În cazul unei distribuţii leptocurtice, se înregistrează o variaţie mică a valorilor

variabilei X şi o variaţie mare a frecvenţelor absolute, ni. În cazul unei distribuţii platicurtice, se înregistrează o variaţie mare a variabilei X şi o variaţie mică a frecvenţelor absolute, ni.

Boltirea poate fi apreciată pe cale numerică prin calculul indicatorilor boltirii: 1. Coeficientul de boltire Pearson Coeficientul de boltire Pearson se calculează pe baza relaţiei:

44

22

42

s

µ

µ

µβ == , unde:


54

∑

∑ ⋅−=

ii

i4

ii

4 n

n)xx(

µ reprezintă momentul centrat de ordinul 4.

O valoare a coeficientului de boltire Pearson 32 =β arată o distribuţie

mezocurtică. O valoare 32 >β arată o distribuţie leptocurtică iar o valoare 32 <β arată o distribuţie platicurtică.

2. Coeficientul de boltire Fisher Coeficientul de boltire Fisher se calculează pe baza relaţiei:

322 −= βγ .

O valoare a coeficientului de boltire Fisher 02 =γ arată o distribuţie mezocurtică.

O valoare 02 >γ arată o distribuţie leptocurtică iar o valoare 02 <γ arată o distribuţie platicurtică.




Nota Nr. studenţi 4 10 5 25 6 40 7 55 8 60 9 15

10 5 TOTAL 210

Se cere să se calculeze indicatorii boltirii. Rezolvare Indicatorii boltirii sunt: Coeficientul de boltire Pearson se calculează pe baza relaţiei:

44

22

42

s

µ

µ

µβ == , unde:

∑

∑ ⋅−=

ii

i4

ii

4 n

n)xx(


Elementele de calcul sunt prezentate în tabelul de mai jos:


55

Tabelul 2.25. Elemente de calcul xi ni )xx( i − 4

i )xx( − i4

i n)xx( ⋅−

4 10 -2,93 -2,93000 73,70051 5 25 -1,93 -1,93000 13,87488 6 40 -0,93 -0,93000 0,74805 7 55 0,07 0,07000 0,00002 8 60 1,07 1,07000 1,31080 9 15 2,07 2,07000 18,36037

10 5 3,07 3,07000 88,82874 TOTAL 210 - - 1911,99746

Momentul centrat de ordinul patru este:

105,9210

99746,1911

n

n)xx(

ii

i4

ii

4 ==⋅−

=∑

∑µ


59,2876,1

105,922

2

42 ===

µ

µβ .

Interpretare Valoarea coeficientului de boltire Pearson arată că distribuţia studenţilor după

nota obţinută la examen în sesiunea iunie 2009 este o distribuţie platicurtică ( 32 <β ) . Coeficientul de boltire Fisher se calculează pe baza relaţiei:

41,0359,2322 −=−=−= βγ . Interpretare Valoarea coeficientului de boltire Fisher arată că distribuţia studenţilor după nota

obţinută la examen în sesiunea iunie 2009 este o distribuţie platicurtică ( 02 <γ ).


56


57

CAPITOLUL 3. CARACTERIZAREA UNEI SERII STATISTICE DUPĂ O VARIABILĂ NUMERICĂ CONTINUĂ

Caracterizarea unităţilor statistice observate după o variabilă continuă se

realizează folosind metode grafice sau numerice. Reprezentarea grafică a unei serii după o variabilă discretă presupune folosirea următoarelor diagrame: histograma, poligonul frecvenţelor, curba frecvenţelor sau curba frecvenţelor cumulate. Indicatorii numerici prin care poate fi caracterizată o serie statistică după o variabilă continuă pot fi grupaţi, ca şi în cazul variabilelor discrete, în indicatori ai tendinţei centrale (mărimi medii), indicatori ai dispersiei, indicatori ai asimetriei şi boltirii.

3.1. Frecvenţe absolute şi relative cumulate crescător sau descrescător

Frecvenţele absolute şi relative cumulate crescător sau descrescător se calculează în mod similar modului de calcul prezentat în cazul variabilelor discrete.

Înaintea prelucrării unei serii după o variabilă continuă prezentată pe intervale de variaţie, dacă limitele intervalelor nu sunt precizate, acestea trebuie închise:

- în cazul intervalelor egale de variaţie, primul şi ultimul interval se închid luând în considerare aceeaşi mărime a intervalelor;

- în cazul intervalelor inegale de variaţie, primul interval se închide luând în considerare mărimea intervalului următor, iar ultimul interval se închide luând în considerare mărimea intervalului anterior.

Exemplu Distribuţia firmelor din judeţul Iaşi după valoarea vânzărilor zilnice (mil. Lei),

înregistrată în luna octombrie 2009, este prezentată în tabelul de mai jos:

Tabelul 3.1. Distribuţia firmelor din judeţul Iaşi după valoarea vânzărilor zilnice (mil. Lei), în luna octombrie 2009 Valoare vânzări Număr firme

până la 10 20 10-20 40 20-30 35 30-40 15

peste 40 10 TOTAL 110

Se cere să se calculeze frecvenţele absolute şi relative cumulate crescător sau

descrescător.


58

Rezolvare Închiderea intervalelor de variaţie Mărimea intervalelor de variaţie este l=10. Limita inferioară a primului interval

de variaţie se închide luând în considerare aceeaşi mărime, deci: 10-10=0. Limita superioară a ultimului interval de variaţie este: 40+10=50.

Frecvenţe absolute cumulate crescător şi descrescător Frecvenţele absolute cumulate crescător şi descrescător se calculează după

relaţiile:

∑=

− =+↓↓=i

1hhi1ii nnNN , respectiv ∑

=+ =+↑↑=

m

ihhi1ii nnNN .

Valorile frecvenţelor absolute cumulate crescător şi descrescător pentru exemplul dat sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Tabelul 3.2. Frecvenţe absolute cumulate crescător şi descrescător

xi-1-xi ni ↓iN ↑iN

0- 10 20 20 120

10-20 40 60 100 20-30 35 95 60 30-40 15 110 25 40-50 10 120 10

TOTAL 120 - - Interpretare Un număr de 20 firme au realizat vânzări de până la 10 mil. Lei ( ↓1N ). Un

număr de 60 firme au realizat vânzări de până la 20 mil. Lei ( ↓2N ). În mod similar se interpretează celelalte valori din tabelul de mai sus.

Din numărul total al firme, 10 firme au realizat vânzări de peste 40 mil. Lei. Un număr de 25 de firme au realizat vânzări de peste 30 mil. Lei. În mod similar se interpretează celelalte valori din tabelul de mai sus.

Observaţie În interpretarea frecvenţelor absolute cumulate crescător se consideră limita

superioară a intervalului de variaţie, iar în interpretarea frecvenţelor absolute cumulate descrescător se consideră limita inferioară a intervalului de variaţie.

Frecvenţe relative cumulate crescător şi descrescător Frecvenţele relative cumulate crescător şi descrescător se calculează după

relaţiile:

∑=

− =+↓↓=i

1hhi1ii ffFF , respectiv ∑

=+ =+↑↑=

m

ihhi1ii ffFF .

Pentru exemplul dat, valorile calculate ale frecvenţelor relative cumulate crescător şi descrescător sunt prezentate în tabelul de mai jos:


59

Tabelul 3.3. Frecvenţe absolute cumulate crescător şi descrescător xi-1-xi ni fi ↓iF ↑iF

0 -10 20 16,67 16,67 100,00

10-20 40 33,33 50,00 83,33 20-30 35 29,17 79,17 50,00 30-40 15 12,50 91,67 20,83 40-50 10 8,33 100,00 8,33

TOTAL 120 100,00 - - Interpretare Ponderea firmelor care au realizat vânzări de până la 10 mil. Lei ( ↓1F ) este de

16,67%. Ponderea firmelor care au realizat vânzări de până la 20 mil. Lei ( ↓2F ) este de

50%. În mod similar se interpretează celelalte valori din Tabelul 3.3. Ponderea firmelor care au realizat vânzări de peste 40 mil. Lei este de 8,33%.

20,83% din numărul total al firmelor au realizat vânzări de peste 30 mil. Lei. În mod similar se interpretează celelalte valori din Tabelul 3.3.

3.2. Caracterizarea seriei folosind metode grafice O distribuţie statistică după o variabilă numerică continuă poate fi reprezentată

grafic folosind histograma, poligonul frecvenţelor, curba frecvenţelor şi curba frecvenţelor cumulate.

Histograma Construirea histogramei presupune ridicarea unor dreptunghiuri alăturate, cu baza

egală, în cazul intervalelor egale de variaţie, sau inegală, în cazul intervalelor inegale, de înălţime ni. Alura histogramei, considerând intervale egale de variaţie, este reprezentată în figura de mai jos:

10,008,006,004,00

5

4

3

2

1

0

Fre

qu

ency

Histogram

Figura 21. Histograma


60

Poligonul frecvenţelor Construirea poligonului frecvenţelor presupune găsirea locului geometric al

punctelor Ai de coordonate ( i'i n,x ) sau ( i

'i n,x ) şi unirea acestora prin segmente de

dreaptă. Valorile 'ix reprezintă mijlocul sau centrul intervalelor de variaţie, calculat ca

medie aritmetică simplă a limitelor intervalelor de variaţie:

2

xxx i1i'

i

+= − .

Curba frecvenţelor Construirea curbei frecvenţelor presupune ajustarea printr-o linie curbă, continuă

a poligonului frecvenţelor. Curba frecvenţelor pentru o distribuţie normală este reprezentată în figura de mai jos:

10,008,006,004,00

Nota

6

5

4

3

2

1

0

Freq

uenc

y

Figura 22. Curba frecvenţelor

Curba frecvenţelor cumulate Construirea curbei frecvenţelor cumulate presupune reprezentarea grafică a

funcţiei de repartiţie a frecvenţelor unei variabile: F(X<xi). Alura curbei frecvenţelor cumulate crescător este reprezentată în figura de mai jos:


61

5 6 7 8 9

nota

0%

25%

50%

75%

100%

Per

cen

t

Figura 23. Curba frecvenţelor cumulate crescător


3.3.1. Indicatori ai tendinţei centrale (mărimi medii)

a. Media aritmetică Media aritmetică pentru o serie statistică după o variabilă continuă se calculează

după relaţia:

∑

∑ ⋅=

ii

ii

'i

n

nx

x , unde 2

xxx i1i'

i

+= − .




- 10 20 10-20 40 20-30 35 30-40 15

peste 40 10 TOTAL 110


62

Se cere să se calculeze media aritmetică. Rezolvare

Media aritmetică se calculează după relaţia ∑

∑ ⋅=

ii

ii

'i

n

nx

x , unde 2

xxx i1i'

i

+= − .

Centrul intervalelor de variaţie se calculează astfel: 52

100

2

xxx 10'

1 =+

=+

= ;

152

2010

2

xxx 21'

2 =+

=+

= etc.

Elementele pentru calculul mediei aritmetice sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Tabelul 3.5. Elemente pentru calculul mediei aritmetice xi-1-xi ni '

ix i'i nx ⋅

0 -10 20 5 100 10-20 40 15 600 20-30 35 25 875 30-40 15 35 525 40-50 10 45 450

TOTAL 120 - 2550

Înlocuind în relaţia de mai sus se obţine:

25,21120

2550

n

nx

x

ii

ii

'i

==⋅

=∑

∑ mil. Lei.

Interpretare Valoarea medie a vânzărilor zilnice realizate în luna octombrie 2009 de firmele

din judeţul Iaşi este de 21,25 milioane lei.

b. Modul (Mo) Pentru aflarea modului în cazul unei variabile continue, trebuie parcurse

următoarele etape: • se află frecvenţa maximă, nimax; • în dreptul acestei frecvenţe maxime, se citeşte intervalul modal (xi-1, xi); • în acest interval, modul se află prin interpolare, după relaţia:

21

11i dxMo

∆∆∆+

⋅+= − , unde:

xi-1, reprezintă limita inferioară a intervalului modal; d este mărimea intervalului modal, d= xi - xi-1;


63

1∆ este diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului anterior:

1imaxi1 nn −−=∆ ;

2∆ este diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului următor:

1imaxi1 nn +−=∆ .




0- 10 20 10-20 40

20-30 35 30-40 15 40-50 10

TOTAL 110

Se cere să se calculeze valoarea modului. Rezolvare Etapele aflării modului sunt:

• se află frecvenţa maximă, nimax=40; • în dreptul acestei frecvenţe maxime se citeşte intervalul modal (10-20); • în acest interval, modul se află prin interpolare, după relaţia:

21

11i dxMo

∆∆∆+

⋅+= − , unde:

xi-1 =10; d= xi - xi-1 =20-10=10 ;

202040nn 1imaxi1 =−=−= −∆ ;

53540nn 1imaxi1 =−=−= +∆ .


18)3540()2040(

)2040(1010Mo =

−+−−

⋅+= mil. Lei.

Interpretare Cele mai multe firme din judeţul Iaşi au realizat în luna octombrie 2009 vânzări

zilnice de 18 mil. Lei.


64

c. Mediana (Me) Aflarea medianei presupune parcurgerea următoarelor etape:


n

U ii

Me∑

= ;

• se calculează frecvenţele absolute cumulate crescător, Ni↓; • se află prima valoare Ni↓≥UMe; • în dreptul primei valori Ni↓≥UMe, se citeşte intervalul median: (xi-1, xi); • în acest interval, mediana se află prin interpolare după relaţia:

i

1iMe

1i n

NUdxMe

↓−⋅+= −

− , unde:

xi-1, reprezintă limita inferioară a intervalului median; d este mărimea intervalului median, d= xi - xi-1;

↓−1iN este frecvenţa absolută cumulată corespunzătoare intervalului anterior intervalului

median; ni este frecvenţa absolută corespunzătoare intervalului median.




0- 10 20 10-20 40 20-30 35 30-40 15 40-50 10

TOTAL 120

Se cere să se calculeze mediana.

Rezolvare Etape pentru aflarea medianei:


120

2

n

U ii

Me ===∑

;



65

Tabelul 3.8. Frecvenţele absolute cumulate crescător xi-1-xi ni ↓iN

0 - 10 20 20 10-20 40 60

20-30 35 95 30-40 15 110 40-50 10 120

TOTAL 120 -

• prima valoare Ni↓=60 ≥UMe=60; • în dreptul acestei valori, se citeşte intervalul median: (10-20); • în acest interval, mediana se află prin interpolare după relaţia:

i

1iMe

1i n

NUdxMe

↓−⋅+= −

− , unde:

xi-1=10; d= xi - xi-1=20-10=10;

20N 1i ↓=− ;

ni = 40.

Înlocuind în relaţia de mai sus, se obţine: 2040

20601010Me =

−⋅+= mil. Lei.

Interpretare Jumătate din numărul total al firmelor din judeţul Iaşi au realizat, în luna

octombrie 2009, vânzări zilnice de până la 20 mil. Lei, iar jumătate au realizat vânzări de peste 20 mil. Lei.

d. Generalizarea medianei: quantilele

1. Quartilele Quartila unu (Q1) Aflarea quartilei unu presupune parcurgerea următoarelor etape:


n

U ii

Q1

∑= ;

• se calculează frecvenţele absolute cumulate crescător, Ni↓; • se află prima valoare Ni↓≥UQ1; • în dreptul primei valori Ni↓≥UQ1, se citeşte intervalul quartilic unu: (xi-1, xi); • în acest interval, quartila unu se află prin interpolare după relaţia:

1

1

Q

1iQ

1i1 n

NUdxQ

↓−⋅+= −

− , unde:

xi-1, reprezintă limita inferioară a intervalului quartilic unu; d este mărimea intervalului quartilic unu, d= xi - xi-1;


66


quartilic unu; nQ1 este frecvenţa absolută corespunzătoare intervalului quartilic unu.

Quartila doi (Q2) După cum am arătat în cazul variabilelor discrete, quartila doi este egală cu

mediana, Q2=Me. Quartila trei (Q3) Aflarea quartilei trei presupune parcurgerea următoarelor etape:


n3

U ii

Q3

∑⋅= ;

• se calculează frecvenţele absolute cumulate crescător, Ni↓; • se află prima valoare Ni↓≥UQ3; • în dreptul primei valori Ni↓≥UQ1 se citeşte intervalul quartilic trei: (xi-1, xi); • în acest interval, quartila trei se află prin interpolare după relaţia:

3

3

Q

1iQ

1i3 n

NUdxQ

↓−⋅+= −

− , unde:

xi-1, reprezintă limita inferioară a intervalului quartilic trei; d este mărimea intervalului quartilic trei, d= xi - xi-1;


quartilic trei; nQ3 este frecvenţa absolută corespunzătoare intervalului quartilic trei.

Exemplu Distribuţia firmelor din judeţul Iaşi după valoarea vânzărilor zilnice (mil. Lei)

înregistrată în luna octombrie 2009 este prezentată în tabelul de mai jos:


0- 10 20 10-20 40 20-30 35 30-40 15 40-50 10

TOTAL 120

Se cere să se calculeze quartila unu şi quartila trei.

Rezolvare Quartila unu Etape pentru aflarea quartilei unu:


67


120

4

n

U ii

Q1 ===∑

;


Tabelul 3.8. Distribuţia firmelor din judeţul Iaşi după valoarea vânzărilor

zilnice (mil. Lei), în luna octombrie 2009 xi-1-xi ni ↓iN

0- 10 20 20 10-20 40 60

20-30 35 95 30-40 15 110 40-50 10 120

TOTAL 120 -

• prima valoare Ni↓=60 ≥UQ1=30; • în dreptul acestei valori se citeşte intervalul quartilic unu: (10-20); • în acest interval, quartila unu se află prin interpolare după relaţia:

1

1

Q

1iQ

1i1 n

NUdxQ

↓−⋅+= −

− , unde:

xi-1=10; d= xi - xi-1=20-10=10;

20N 1i ↓=− ;

ni = 40.

Înlocuind în relaţia de mai sus, se obţine: 5,1240

20301010Q1 =

−⋅+= mil. Lei.

Interpretare 25% din numărul total al firmelor din judeţul Iaşi au realizat vânzări zilnice de

până la 12,5 mil. Lei, iar 75% au realizat vânzări zilnice de peste 12,5 mil. Lei.

Quartila trei


1203

4

n3

U ii

Q3 =⋅

=⋅

=∑

;

• prima valoare Ni↓=95 ≥UQ1=90; • în dreptul acestei valori se citeşte intervalul quartilic trei: (20-30); • în acest interval, quartila trei se află prin interpolare după relaţia:

3

3

Q

1iQ

1i3 n

NUdxQ

↓−⋅+= −

− , unde:

xi-1=20; d= xi - xi-1=30-20=10;

60N 1i ↓=− ;


68

ni = 35.

Înlocuind în relaţia de mai sus, se obţine: 57,2835

60901020Q3 =

−⋅+= mil. Lei.

Interpretare 75% din numărul total al firmelor din judeţul Iaşi au realizat vânzări zilnice de

până la 28,57 mil. Lei, iar 25% au realizat vânzări zilnice de peste 28,57 mil. Lei. 3.3.2. Indicatori ai dispersiei

Principalii indicatori ai dispersiei sunt: 1. Amplitudinea de variaţie Amplitudinea de variaţie măsoară distanţa dintre nivelul maxim şi nivelul minim

al unei variabile. Se calculează pe baza relaţiei:

minmax xxA −= .

2. Varianţa Varianţa se calculează pe baza relaţiei:

∑

∑ ⋅−=

ii

i2

i

'i

2

n

n)xx(

s . Varianţa nu are unitate de măsură şi nu se interpretează.

3. Abaterea medie pătratică (abaterea standard) Abaterea medie pătratică se calculează pe baza relaţiei:

∑

∑ ⋅−==

ii

i2

i

'i

2

n

n)xx(

ss . Abaterea medie pătratică reprezintă variaţia medie

a valorilor individuale ale variabilei X de la nivelul mediu, în sens pozitiv şi negativ. 4. Coeficientul de variaţie Coeficientul de variaţie se calculează după relaţia:

100x

sv ⋅= .




69

Tabelul 3.9. Distribuţia firmelor din judeţul Iaşi după valoarea vânzărilor zilnice (mil. Lei), în luna octombrie 2009

Valoare vânzări Număr firme 0- 10 20 10-20 40 20-30 35 30-40 15 40-50 10

TOTAL 120

Se cere să se calculeze abaterea standard şi coeficientul de variaţie. Rezolvare Abaterea standard Abaterea standard se calculează pe baza relaţiei:

∑

∑ ⋅−==

ii

i2

i

'i

2

n

n)xx(

ss .

Pentru această distribuţie, media aritmetică este 25,21x = mil. Lei. Elementele de calcul ale abaterii standard sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Tabelul 3.10. Elemente de calcul ale abaterii standard xi-1-xi ni '

ix xx'i −

2'i )xx( − i

2'i n)xx( ⋅−

0 - 10 20 5 -16,25 264,06 5281,25 10-20 40 15 -6,25 39,06 1562,50 20-30 35 25 3,75 14,06 492,19 30-40 15 35 13,75 189,06 2835,94 40-50 10 45 23,75 564,06 5640,63

TOTAL 120 - - - 15812,50

Înlocuind în relaţia de mai sus se obţine:

48,11120

50,15812

n

n)xx(

ss

ii

i2

i

'i

2 ==⋅−

==∑

∑ mil. Lei.

Interpretare Vânzările zilnice ale firmelor din judeţul Iaşi, realizate în luna octombrie 2009,

variază, în medie, de la nivelul mediu al vânzărilor zilnice, cu ± 11,48 mil. Lei. Coeficientul de variaţie Coeficientul de variaţie se calculează după relaţia:

%02,5410025,21

48,11100

x

sv =⋅=⋅= .


70

Interpretare Valoarea coeficientului de variaţie arată că distribuţia firmelor după valoarea

vânzărilor zilnice realizate în luna octombrie 2009 este o distribuţie eterogenă, caracterizată printr-o dispersie mare (v>50%). Media nu este reprezentativă pentru această distribuţie. 3.3.3. Indicatori ai formei unei distribuţii

Asimetria Indicatorii asimetriei se calculează, în cazul unei variabile continue, astfel: 1. Asimetria în mărime absolută Asimetria în mărime absolută poate fi calculată pe baza relaţiei:

MoxAs −= . Modul de interpretare este identic cu cel prezentat în cazul variabilelor discrete.


32

23

1µ

µβ = , unde:

∑

∑ ⋅−=

ii

i3

i

'i

3 n

n)xx(

µ reprezintă momentul centrat de ordinul 3, unde: 2

xxx i1i'

i

+= − ;

2

ii

i2

i

'i

2 sn

n)xx(

=⋅−

=∑

∑µ reprezintă momentul centrat de ordinul 2, adică varianţa.

Acest indicator este întotdeauna pozitiv. Sensul asimetriei este dat de semnul lui µ3. Atunci când µ3>0, distribuţia este asimetrică la dreapta. Atunci când µ3<0, distribuţia este asimetrică la stânga.

3. Coeficientul de asimetrie Fisher Coeficientul de asimetrie Fisher se calculează pe baza relaţiei:

33

1s

µγ = .

Interpretarea valorii acestui coeficient este similară coeficientului de asimetrie Pearson.

Boltirea Indicatorii boltirii se calculează după relaţiile 1. Coeficientul de boltire Pearson Coeficientul de boltire Pearson se calculează pe baza relaţiei:

44

22

42

s

µ

µ

µβ == , unde:


71

∑

∑ ⋅−=

ii

i4

i

'i

4 n

n)xx(


O valoare a coeficientului de boltire Pearson 32 =β arată o distribuţie

mezocurtică. O valoare 32 >β arată o distribuţie leptocurtică iar o valoare 32 <β arată o distribuţie platicurtică.

2. Coeficientul de boltire Fisher Coeficientul de boltire Fisher se calculează pe baza relaţiei:

322 −= βγ .

O valoare a coeficientului de boltire Fisher 02 =γ arată o distribuţie mezocurtică.

O valoare 02 >γ arată o distribuţie leptocurtică iar o valoare 02 <γ arată o distribuţie platicurtică.



Tabelul 3.11. Distribuţia firmelor din judeţul Iaşi după valoarea vânzărilor zilnice (mil. Lei), în luna octombrie 2009

Valoare vânzări Număr firme 0- 10 20 10-20 40 20-30 35 30-40 15 40-50 10

TOTAL 120

Se cere să se calculeze coeficientul de asimetrie Pearson şi coeficientul de boltire

Pearson. Rezolvare Coeficientul de asimetrie Pearson se calculează pe baza relaţiei:

32

23

1µ

µβ = , unde:

∑

∑ ⋅−=

ii

i3

i

'i

3 n

n)xx(

µ ; 2

ii

i2

i

'i

2 sn

n)xx(

=⋅−

=∑

∑µ .

Elementele de calcul ale momentelor centrate de ordinul doi şi trei sunt prezentate în tabelul de mai jos:


72

Tabelul 3.12. Elemente de calcul ale momentelor centrate de ordinul doi şi trei xi-1-xi ni '

ix xx'i −

2'i )xx( − i

2'i n)xx( ⋅−

3'i )xx( − i

3'i n)xx( ⋅−

0 - 10 20 5 -16,25 264,06 5281,25 -4291,02 -85820,31 10-20 40 15 -6,25 39,06 1562,50 -244,14 -9765,63 20-30 35 25 3,75 14,06 492,19 52,73 1845,70 30-40 15 35 13,75 189,06 2835,94 2599,61 38994,14 40-50 10 45 23,75 564,06 5640,63 13396,48 133964,84

TOTAL 120 - - - 15812,50 - 79218,75

Înlocuind în relaţiile de mai sus, se obţine:

16,660120

75,792183 ==µ ;

77,131120

5,158122 ==µ .

Coeficientul de asimetrie Pearson este: 19,02287966,38

435811,23

77,131

16,6603

2

1 ===β .

Interpretare Valoarea coeficientului de asimetrie Pearson arată că distribuţia dată prezintă o

asimetrie ( 01 ≠β ) la dreapta (µ3>0).

Coeficientul de boltire Pearson

44

22

42

s

µ

µ

µβ == , unde:

∑

∑ ⋅−=

ii

i4

i

'i

4 n

n)xx(

µ .

Elementele de calcul ale momentului centrat de ordinul patru sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Tabelul 3.13. Elemente de calcul ale momentului centrat de ordinul patru

xi-1-xi ni 'ix xx'

i − 4'

i )xx( − i4'

i n)xx( ⋅−

0 - 10 20 5 -16,25 69729,00 1394580,08 10-20 40 15 -6,25 1525,88 61035,16 20-30 35 25 3,75 197,75 6921,39 30-40 15 35 13,75 35744,63 536169,43 40-50 10 45 23,75 318166,50 3181665,04

TOTAL 120 - - 5180371,09

Înlocuind în relaţiile de mai sus, se obţine:

43169,76120

09,51803714 ==µ .


73

Coeficientul de boltire Pearson este: 49,277,131

76,4316922 ==β .

Interpretare Valoarea coeficientului de boltire Pearson arată că distribuţia dată este o

distribuţie platicurtică ( 32 <β ).


74


75

CAPITOLUL 4. CARACTERIZAREA UNEI SERII STATISTICE DUPĂ O VARIABILĂ CATEGORIALĂ

4.1. Caracterizarea seriei folosind metode grafice

O distribuţie statistică după o variabilă categorială nominală sau ordinală poate fi reprezentată grafic folosind diagrame de structură: cercul de structură, dreptunghiul de structură etc.

Alura acestor grafice este prezentată în figurile de mai jos:

65,0%

35,0%

Feminin

Masculin

Sexul_persoanei

Figura 24. Cercul de structură

FemininMasculin

Sexul_persoanei

70,0%

60,0%

50,0%

40,0%

30,0%

20,0%

10,0%

0,0%

Per

cen

t

65,0%

35,0%

Figura 25. Dreptunghiul de structură


76


4.2.1. Mărimi relative

a. Mărimi relative de structură Pentru o distribuţie după o variabilă categorială nominală se pot calcula

frecvenţele relative, respectiv ponderea unităţilor din fiecare categorie în volumul total al colectivităţii, după relaţia:

100n

n100

n

nf i

ii

ii ⋅=⋅=∑

.

Exemplu Distribuţia studenţilor dintr-o grupă pe sexe, la 1 ianuarie 2009, se prezintă astfel:

Tabelul 4.1 Distribuţia studenţilor dintr-o grupă pe sexe, la 1 ianuarie 2009

Sexul persoanei Nr. studenţi Masculin 7 Feminin 13 TOTAL 20

Se cere să se calculeze frecvenţele relative. Rezolvare Frecvenţele relative se calculează după relaţia:

100n

n100

n

nf i

ii

ii ⋅=⋅=∑

.

Pentru exemplul dat, avem:

%3510020

7100

n

nf

ii

11 =⋅=⋅=∑

%6510020

13100

n

nf

ii

22 =⋅=⋅=

∑.

Interpretare Ponderea persoanelor de sex masculin este de 35%, iar ponderea persoanelor de

sex feminin este de 65%.


77

b. Mărimi relative de corespondenţă Mărimile relative de corespondenţă arată numărul de unităţi dintr-o grupă care

revin la 100 (1000) de unităţi dintr-o altă grupă, în cadrul aceleaşi populaţii. Mărimile relative de corespondenţă se calculează după relaţia:

,100X

XK

B

AB/A ⋅= respectiv 100

X

XK

A

BA/B ⋅= , unde:

XA, XB reprezintă numărul de unităţi din grupa A, respectiv B. Exemplu Distribuţia salariaţilor dintr-o regiune pe sexe, la 1 ianuarie 2009, se prezintă

astfel:

Tabelul 4.2 Distribuţia salariaţilor dintr-o regiune pe sexe, la 1 ianuarie 2009

Sexul persoanei Nr. studenţi Masculin 7000 Feminin 1300 TOTAL 830

Se cere să se calculeze mărimile relative de corespondenţă. Rezolvare Mărimile relative de corespondenţă se calculează după relaţia:

,100X

XK

B

AB/A ⋅= respectiv 100

X

XK

A

BA/B ⋅= .

Considerând grupa A, grupa formată din persoanele de sex masculin, şi grupa B cea a persoanelor de sex feminin, se obţine:

5,5381001300

7000100

X

XK

B

AB/A =⋅=⋅=

6,181007000

1300100

X

XK

A

BA/B =⋅=⋅= .

Interpretare La 100 de persoane de sex feminin revin 538,5~540 de persoane de sex masculin.

La 100 de persoane de sex masculin revin 18,6~19 persoane de sex feminin.

4.2.2 Mărimi medii În cazul unei distribuţii după o variabilă categorială nominală singura mărime

medie care poate fi calculată este modul. Modul arată categoria variabilei X cea mai frecvent observată, respectiv cea care corespunde frecvenţei maxime.

În cazul unei distribuţii după o variabilă categorială ordinală, mărimile medii care pot fi calculate sunt modul şi mediana.


78

Exemple Distribuţia salariaţilor dintr-o regiune pe sexe, la 1 ianuarie 2009 se prezintă

astfel:

Tabelul 4.3 Distribuţia salariaţilor dintr-o regiune pe sexe, la 1 ianuarie 2009

Sexul persoanei Nr. studenţi 1-Masculin 700 2-Feminin 130 TOTAL 830

Se cere să se afle valoarea modului. Rezolvare Pentru aflarea modului, se observă că nimax=700. Categoria care corespunde

acestei frecvenţe maxime este xi=1-Masculin. Interpretare Cele mai multe persoane din colectivitatea observată sunt de sex masculin.

2. Distribuţia salariaţilor unei firme după nivelul de studii (Primar, Gimnazial,

Liceal, Superior) se prezintă astfel:

Tabelul 4.4 Distribuţia salariaţilor unei firme după nivelul de studii

Nivel de studii Nr. persoane Primar 10

Gimnazial 25 Liceal 15

Superior 50 TOTAL 100

Se cere să se calculeze valorile modului şi medianei. Rezolvare Modul Pentru identificarea modului, se află nimax=50. Categoria care corespunde acestei

frecvenţe maxime este xi=Superior. Interpretare Cele mai multe persoane din colectivitatea observată au studii superioare.

Mediana

Pentru aflarea medianei, se află 502

100

2

n

U ii

Me ===∑

. Se calculează

frecvenţele absolute cumulate crescător, prezentate în tabelul de mai jos:


79

Tabelul 4.5 Frecvenţele absolute cumulate crescător

Nivel de studii Nr. persoane Ni↓ Primar 10 10

Gimnazial 25 35 Liceal 15 50

Superior 50 100 TOTAL 100 -

Prima valoare Ni↓=50 ≥UMe=50. Mediana este reprezentată de categoria Liceal. Interpretare Jumătate din numărul total al persoanelor sunt cu studii primare, gimnaziale şi

liceale, iar jumătate sunt cu studii superioare.


80


81

PARTEA A DOUA INFERENŢA STATISTICĂ

Inferenţa statistică are ca obiectiv cunoaşterea unei populaţii în mod indirect, prin prelucrarea datelor la nivelul unui eşantion extras aleatoriu din aceasta. Inferenţa statistică presupune estimarea parametrilor unei populaţii şi testarea ipotezelor statistice.

Capitolul 5. Noţiuni şi notaţii folosite în inferenţa statistică

5.1. Populaţie şi eşantion Observarea şi înregistrarea valorilor unei variabile pentru toate unităţile populaţiei

presupune o observare exhaustivă, totală. Acest procedeu se aplică, de exemplu, în cazul recensământului unei populaţii, când sunt înregistrate mai multe caracteristici ale populaţiei (vârsta, categoria socio-profesională, sexul persoanei etc.), la un moment de referinţă. Volumul unei populaţii se notează cu N.

Observarea şi înregistrarea valorilor unei variabile pentru anumite unităţi statistice extrase dintr-o populaţie presupune o observare parţială. În acest caz, se observă doar un eşantion reprezentativ extras din populaţie. Inferenţa statistică are ca obiectiv cunoaşterea unei populaţii în mod indirect, prin prelucrarea datelor la nivelul unui eşantion extras din aceasta. Volumul eşantionului se notează cu n. Avantajele cercetării prin sondaj decurg, în principal, din costurile reduse de obţinere a datelor statistice.

5.2. Parametri şi estimaţii Parametrii reprezintă mărimi reale dar necunoscute prin care poate fi caracterizată

o populaţie. De exemplu, o populaţie poate fi caracterizată folosind un indicator al tendinţei centrale, cum ar fi media populaţiei ( µ ), şi un indicator al dispersiei, cum ar fi abaterea medie pătratică (σ ).

Aceste mărimi sunt estimate prin prelucrarea datelor înregistrate la nivelul unui eşantion, proces în urma căruia se obţin estimaţii ale parametrilor populaţiei. De exemplu, prin înregistrarea valorilor unei variabile la nivelul unui eşantion, pot fi calculate media eşantionului ( x ) şi abaterea medie pătratică ( s ).


82

Notaţiile folosite pentru definirea parametrilor şi estimaţiilor sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Estimaţii (eşantion)

Parametri (populaţie)

Media x µ Varianţa 2s 2σ

Abaterea standard s σ

Proporţia f p

5.3. Distribuţia de selecţie a mediei

O distribuţie de selecţie este distribuţia unui estimator. Un estimator este o funcţie de variabile aleatoare de selecţie şi se notează, de regulă, cu semnul „^” deasupra

parametrului respectiv. De exemplu, estimatorul mediei se notează µ̂ , al varianţei 2σ̂ , iar al proporţiei p̂ .

Pentru a forma distribuţia mediei de selecţie, să considerăm cele k eşantioane de

volum n care se pot extrage dintr-o populaţie de volum N. Pentru fiecare din cele k eşantioane, se pot calcula mediile eşantioanelor şi se pot determina frecvenţele de apariţie a fiecărei variante.

De exemplu, să considerăm o populaţie formată din 5 persoane pentru care se

înregistrează vârsta (ani) şi se obţin următoarele valori: 22, 25, 26, 24, 23. Caracterizarea acestei populaţii se poate realiza prin calculul unui indicator al

tendinţei centrale, media, de exemplu, şi a unui indicator al dispersiei, cum este abaterea standard:

Media populaţiei este: 245

2324262522

N

Xi

i

=++++

==∑

µ ani.

Abaterea standard este 2σσ = . Varianţa se calculează astfel:

25

)2423()2424()2426()2425()2422(

N

)X( 22222i

2i

2 =−+−+−+−+−

=−

=∑ µ

σ

Înlocuind în relaţia de mai sus, se obţine: 41,122 === σσ ani.


83

Considerând această populaţie de volum N=5, se pot forma nNCK = eşantioane

de volum n, extrase aleator nerepetat (o unitate extrasă şi înregistrată nu se mai

reintroduce în populaţie). Dacă n=2, 10)!25(!2

!5CCK 2

5nN =

−⋅=== eşantioane.

Valorile unităţilor celor 10 eşantioane sunt:

Eş. 1 Eş.2 Eş.3 Eş.4 Eş.5 Eş.6 Eş.7 Eş.8 Eş.9 Eş.10 22 25

22 26

22 24

22 23

25 26

25 24

25 23

26 24

26 23

24 23

Pentru fiecare din cele 10 eşantioane, se calculează mediile eşantioanelor, astfel:

Eşantionul 1: 5,232

2522x1 =

+= Eşantionul 6: 5,24

2

2425x6 =

+=

Eşantionul 2: 242

2622x2 =

+= Eşantionul 7: 24

2

2325x7 =

+=

Eşantionul 3: 232

2422x3 =

+= Eşantionul 8: 25

2

2426x8 =

+=


2322x4 =


2

2326x9 =

+=


2625x5 =


2

2324x10 =

+=

Distribuţia mediei de selecţie, µ̂ , se formează prin ordonarea mediilor

eşantioanelor şi determinarea probabilităţii (frecvenţei) de apariţie a fiecărei variante:

Tabelul 5.1. Distribuţia variabilei media de selecţie µ̂

ix Frecvenţa de apariţie

pi

22,5 I 1/10=0,1 23,0 I 1/10=0,1 23,5 II 2/10=0,2 24,0 II 2/10=0,2 24,5 II 2/10=0,2 25,0 I 1/10=0,1 25,5 I 1/10=0,1

TOTAL - 1 Distribuţia mediei de selecţie este o distribuţie de probabilitate a mediilor tuturor

eşantioanelor de volum n care se pot extrage aleatoriu dintr-o populaţie de volum N. Caracteristicile variabilei media de selecţie sunt:


84

- media mediei de selecţie este: 24pxMi

ii∑ =⋅= . Media mediei de selecţie

este, deci, egală cu media populaţiei ( µ ). - varianţa mediei de selecţie este:

75,02475,576)px(px)ˆ(V 2

i i

2iii

2i

2ˆ =−=⋅−⋅== ∑ ∑µσµ . Varianţa mediei

de selecţie este egală cu N

nN

n

22ˆ

−⋅=

σσ µ , în cazul unui sondaj aleator

nerepetat. Se demonstrează că în cazul unui sondaj aleator repetat, ⋅=n

22ˆ

σσ µ

- abaterea standard a mediei de selecţie este:

866,075,0)px(pxi i

2iii

2i

2ˆˆ ==⋅−⋅== ∑ ∑µµ σσ .

Tabelul 5.2. Elemente de calcul ale mediei şi varianţei variabilei µ̂

ix pi ii px ⋅ 2ix i

2i px ⋅

22,5 0,1 2,25 506,25 50,63 23,0 0,1 2,30 529,00 52,90 23,5 0,2 4,70 552,25 110,45 24,0 0,2 4,80 576,00 115,20 24,5 0,2 4,90 600,25 120,05 25,0 0,1 2,50 625,00 62,50 25,5 0,1 2,55 650,25 65,03

TOTAL 1,0 24,00 - 576,75

Reprezentarea grafică a distribuţiei mediei de selecţie este realizată în figura de

mai jos:

26,0025,0024,0023,0022,00

VAR00001

25

20

15

10

5

0

Freq

uen

cy

Mean = 24,00

Std. Dev. =

0,87039

N = 100

Figura 26. Reprezentarea grafică a distribuţiei mediei de selecţie, µ̂


85

După cum se observă, distribuţia mediei de selecţie urmează o lege normală, iar

mediile eşantioanelor „se grupează” în jurul mediei lor, adică a mediei populaţiei. Variabila media de selecţie se caracterizează prin legea normală - teorema limită

centrală, bazată pe legea numerelor mari: - dacă variabila aleatoare X urmează o lege normală, atunci µ̂ urmează o lege

normală oricare ar fi n; - dacă variabila aleatoare X nu urmează o lege normală, atunci µ̂ urmează o

lege normală doar pentru valori mari ale lui n, de regulă mai mari decât 30.

Folosind notaţiile prezentate, putem scrie: ),(N~ˆ 2µ̂σµµ sau )

n,(N~ˆ

2σµµ .


86


87

Capitolul 6. Estimarea parametrilor unei populaţii

Estimarea reprezintă procedeul de determinare a unui parametru al unei populaţii

(µ, σ2, p) prin prelucrarea datelor înregistrate la nivelul unui eşantion. Estimarea se poate realiza:

1. punctual: presupune aflarea unei valori posibile a estimatorului parametrului căutat.

2. prin interval de încredere (IC): presupune aflarea limitelor de încredere ale unui interval care acoperă valoarea unui parametru.

6.1. Estimarea mediei unei populaţii ( µ )

a. Estimarea punctuală a mediei unei populaţii Estimarea punctuală a mediei unei populaţii presupune aflarea unei valori posibile

a estimatorului parametrului µ̂ . În paragraful anterior, am arătat că media eşantionului, x , este o valoare a estimatorului µ̂ . Media eşantionului este, deci, o estimaţie punctuală a mediei populaţiei.

b. Estimarea prin interval de încredere a mediei unei populaţii Construirea IC se bazează pe variabila normală standard Z, prezentată în partea

întâi: )1,0(N~Z),(N~ˆ 2ˆ ⇒µσµµ .

Valoarea Z se calculează după relaţia: n/

xxz

ˆ σ

µ

σ

µ

µ

−=

−= . Astfel, se poate

determina: ασ

µ−=+≤

−≤− 1)z

n/

xz(P , unde:

α este un nivel al probabilităţii cuprins între zero şi unu. Acest nivel arată riscul asumat în estimare. De regulă, în economie se foloseşte un risc de 0,05 sau 5%.

Intervalul de încredere pentru media populaţiei, când se cunoaşte varianţa

populaţiei, este:

⋅±

nzx 2/

σα , unde:

x este media calculată la nivelul eşantionului;

2/zα este o valoare a statisticii Z care se citeşte din Tabelul Z pentru un risc α .

σ este abaterea standard la nivelul populaţiei; n este volumul eşantionului.


88

Atunci când nu se cunoaşte varianţa populaţiei, în estimarea mediei prin interval de încredere se foloseşte statistica t Student. Limitele intervalului de încredere pentru media populaţiei sunt definite de:

⋅±

n

'stx 2/α , unde:

x este media calculată la nivelul eşantionului;

2/tα este valoarea statisticii t Student care se citeşte din Tabelul Student pentru un risc α

şi n-1 grade de libertate; 's este abaterea standard corectată determinată la nivelul eşantionului, după relaţia:

1n

)xx(

's i

2i

−

−=∑

;

n este volumul eşantionului.

Observaţii Precizia estimării creşte (mărimea intervalului de încredere este mai mică), atunci când: - volumul eşantionului (n) creşte (“legea rădăcinii pătrate”: mărirea de 4 ori a

volumului eşantionului, dublează precizia estimării); - probabilitatea cu care se garantează rezultatele este mai mică; - varianţa eşantionului este mică (valorile aberante afectează mărimea intervalului

de încredere).

Exemple 1. La nivelul unui eşantion format din 25 de persoane, extras aleator simplu, s-au

obţinut următoarele rezultate privind vârsta (ani): ani2s,ani32x ' == . Să se estimeze prin interval de încredere vârsta medie a întregii populaţii din care a fost extras eşantionul, considerând un risc de 0,05.

Rezolvare • (n=20)≤30, în estimarea prin IC a mediei populaţiei se foloseşte statistica t Student. Din Tabelul repartiţiei Student se citeşte valoarea t0,025;20-1=2,093.

t K 0.025 K

M

19 K 2,093 K M

• IC este definit de:

⋅±

n

stx 2/α . Înlocuind cu valorile date, se obţine:


89

⋅±

25

2093,232 sau [ ]837,32;163,31 .

Interpretare Se poate garanta cu o probabilitate de 0,95 că vârsta medie a întregii populaţii din

care a fost extras eşantionul ( µ ) este acoperită de intervalul: [ ]837,32;163,31 ani.

2. La nivelul unui eşantion format din 9 persoane, extras aleator simplu, s-au

obţinut următoarele rezultate privind vârsta (ani): ani2s,ani32x ' == . Să se estimeze prin interval de încredere vârsta medie a întregii populaţii din care a fost extras eşantionul, considerând un risc de 0,05.

Rezolvare • (n=9)≤30, în estimarea prin IC a mediei populaţiei se foloseşte statistica t Student. Din Tabelul Student se citeşte valoarea t0,025;9-1=2,306.

t K 0.025 K

M

8 K 2,306 K M

• IC este definit de:

⋅±

n

'stx 2/α . Înlocuind cu valorile date, se obţine:

⋅±

9

2306,232 sau [ ]54,33;46,30 .

Interpretare Se poate garanta cu o probabilitate de 0,95 că vârsta medie a întregii populaţii din

care a fost extras eşantionul ( µ ) este acoperită de intervalul: [ ]54,33;46,30 ani. Observaţie Mărimea intervalului de încredere este, în acest caz, mai mare faţă de exemplul

anterior. Precizia estimării s-a micşorat datorită volumului redus al eşantionului.

6.2. Estimarea proporţiei unei populaţii (p)

a. Estimarea punctuală a proporţiei la nivelul unei populaţii Estimarea punctuală a proporţiei la nivelul unei populaţii presupune aflarea unei

valori posibile a estimatorului parametrului p̂ . Proporţia unei anumite categorii calculată


90

la nivelul eşantionului (f) este o estimaţie punctuală a proporţiei acestei categorii la nivelul populaţiei.

Exemplu În urma realizării unui sondaj electoral la nivelul unui eşantion format din 1500

persoane, se observă că 840 persoane au votat pentru candidatul A. Să se estimeze punctual proporţia persoanelor care au votat pentru candidatul A la nivelul întregii populaţii.

Rezolvare Proporţia persoanelor care au votat pentru candidatul A calculată la nivelul

eşantionului este: 56,01500

840

n

nf i === .

Interpretare Proporţia persoanelor care au votat pentru candidatul A la nivelul întregii

populaţii poate fi estimată punctual prin proporţia calculată la nivelul eşantionului, deci p=0,56 sau p=56%.

b. Estimarea prin interval de încredere a proporţiei unei populaţii

Variabila proporţia de selecţie ( p̂ ) se caracterizează prin: )n

)p1(p,p(N~p̂

−.

Construirea intervalului de încredere pentru proporţia calculată la nivelul unei populaţii se realizează în mod similar mediei unei populaţii. Intervalul de încredere pentru proporţia la nivelul unei populaţii este:

−⋅⋅±

n

)f1(ftf 2/α , atunci când nu se cunoaşte p̂σ .

Exemplu În urma realizării unui sondaj electoral la nivelul unui eşantion format din 1500

persoane, se observă că 840 persoane au votat pentru candidatul A. Să se estimeze prin interval de încredere proporţia persoanelor care au votat pentru candidatul A la nivelul întregii populaţii, considerând un risc de 0,05.

Rezolvare Proporţia persoanelor care au votat pentru candidatul A, la nivelul eşantionului,

este: 56,01500

840

n

nf i === sau 56%.

Limitele intervalului de încredere se calculează astfel:

−⋅⋅±

n

)f1(ftf 2/α , unde:

56,0f = ;


91

2/tα este valoarea statisticii t Student care se citeşte din Tabelul Student pentru un risc

05,0=α şi n-1 grade de libertate. Din Tabelul Student se citeşte: t0,025;1500-1=1,96.

t K 0.025 K

M

M K K

∞

K

1,96

K


−⋅⋅±

1500

)56,01(56,096,156,0 sau [ ]59,0;53,0 .

Interpretare Se poate garanta cu o probabilitate de 0,95 că proporţia persoanelor care au votat

pentru candidatul A la nivelul întregii populaţii este cuprinsă între 0,53 sau 53% şi 0,59 sau 59%.


92


93

CAPITOLUL 7. TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE

Testarea ipotezelor statistice este un procedeu prin care se testează semnificaţia

egalităţii dintre valoarea unui parametru şi o valoare de referinţă sau dintre doi parametri (două medii ale populaţiei sau două proporţii de la nivelul unor populaţii).

7.1. Testarea ipotezelor cu privire la un parametru

Testarea ipotezelor cu privire la un parametru are ca obiectiv testarea egalităţii dintre media unei populaţii sau proporţia la nivelul unei populaţii faţă de valori de referinţă, cunoscute.

7.1.1 Demersul testării

• Verificarea ipotezelor care se formulează cu privire la populaţie. Inferenţa statistică presupune ca distribuţia populaţiei din care a fost extras eşantionul să urmeze o lege normală sau volumul eşantionului să fie suficient de ridicat (n>30).

• Formularea ipotezelor statistice O ipoteză este o presupunere cu privire la valoarea unui parametru: media unei

populaţii, varianţa unei populaţii sau proporţia unei anumite categorii dintr-o populaţie. Ipotezele care se formulează în statistică sunt:

- ipoteza nulă este ipoteza prin care se presupune că nu există diferenţe faţă de o valoare teoretică sau o valoare de referinţă considerată. Ipoteza nulă are un rol important în determinarea distribuţiei de selecţie care va fi folosită în procesul testării. Se notează cu H0.

- ipoteza alternativă este contrară ipotezei nule, deci este ipoteza prin care se presupune că există diferenţe faţă de o valoare teoretică sau o valoare de referinţă considerată. Se notează cu H1.

• Alegerea pragului de semnificaţie a testului

În testarea ipotezelor statistice, pragul de semnificaţie a testului, notat cu α , reprezintă probabilitatea (de regulă, egală cu 0.05, 0.01) bazată pe ipoteza că H0 este adevărată.

• Alegerea şi calcularea statisticii test

Testul statistic se alege în funcţie de legea urmată de distribuţia de selecţie a statisticii considerate. De exemplu, în paragraful anterior am arătat că distribuţia de selecţie a mediei de selecţie urmează o lege normală. În testarea semnificaţiei mediei unei populaţii, se foloseşte testul Z sau testul t Student.


94

• Definirea regulii de decizie Pentru definirea regulii de decizie, valoarea calculată a statisticii test, pe baza

datelor observate la nivelul unui eşantion, se compară cu valoarea teoretică, numită şi valoare critică, care se alege din tabelele teoretice. Decizia corectă poate fi adoptată şi prin compararea probabilităţii asociate statisticii test calculate cu riscul α . În mod sintetic, regula de decizie, în cazul folosirii repartiţiei Z, poate fi prezentată astfel:

Se respinge ipoteza H0 Se acceptă ipoteza H0 Folosind probabilitatea asociată statisticii test

dacă α<.obPr dacă α≥.obPr

Folosind valoarea calculată a statisticii test

dacă 2/calculat zz α−< sau

2/calculat zz α+>

dacă 2/calculat zz α−≥ sau

2/calculat zz α+≤

Reprezentarea grafică a regiunilor de respingere şi de acceptare a ipotezei H0 este

realizată în figura de mai jos:

HH

α/2

H

-z

1

α/2

0

1-α

zα/2

1

α/2Z

Figura 27. Regiunile de respingere şi de acceptare a ipotezei H0

7.1.2. Testarea semnificaţiei mediei unei populaţii

Ipoteze statistice În testarea semnificaţiei mediei unei populaţii se formulează următoarele ipoteze

statistice: - ipoteza nulă este ipoteza prin care se presupune că nu există diferenţe între

media unei populaţii, µ , estimată prin media calculată la nivelul eşantion, şi o valoare de

referinţă considerată, 0µ .

De exemplu, într-un studiu statistic cu privire la nivelul ratei şomajului în anumite ţări ale Uniunii Europene, în procesul testării statistice se poate urmări dacă există diferenţe semnificative între nivelul mediu al ratei şomajului pentru ansamblul ţărilor din


95

UE ( µ ) şi nivelul mediu al ratei şomajului din SUA ( 0µ ). Ipoteza nulă care se

formulează este: 00 :H µµ = .

- ipoteza alternativă este contrară ipotezei nule, deci este ipoteza prin care se

presupune că există diferenţe între valorile comparate. Pentru exemplul prezentat anterior, ipoteza alternativă se formulează astfel:

01 :H µµ ≠ (test bilateral), 01 :H µµ > (test unilateral la dreapta) sau 01 :H µµ < (test

unilateral la stânga).

Alegerea pragului de semnificaţie a testului

În testarea ipotezelor statistice, pragul de semnificaţie a testului, notat cu α , este, de regulă, egal cu 0.05 sau 0.01.

De exemplu, dacă pragul de semnificaţie a unui test este de 0,05, atunci ipoteza

00 :H µµ = va fi respinsă dacă media eşantionului extras din populaţie este atât de

îndepărtată, la stânga sau la dreapta, de valoarea fixă 0µ , încât se încadrează printre cele

5% cele mai puţin probabile medii ale eşantioanelor posibil de extras din populaţie. Pragul de semnificaţie a testului, α , arată probabilitatea de a respinge ipoteza H0

atunci când aceasta este adevărată. Eroarea comisă în respingerea ipotezei H0, atunci când aceasta este adevărată, poartă denumirea de eroare de tip I.

Eroarea de tip II se produce în momentul acceptării ipotezei H0, atunci când aceasta este falsă.

Alegerea şi calculul statisticii test

Atunci când se cunoaşte varianţa populaţiei )( 2σ , în testarea semnificaţiei mediei unei distribuţii se foloseşte statistica Z. Pe baza datelor observate la nivelul unui eşantion de volum n, se calculează statistica test Z astfel:

n/

xxz 0

ˆ

0calculat

σ

µσ

µ

µ

−=

−= .

Atunci când nu se cunoaşte varianţa populaţiei, în testarea semnificaţiei mediei

unei distribuţii se foloseşte statistica t Student. Pe baza datelor observate la nivelul unui eşantion de volum n, se calculează statistica test t Student astfel:

n/'s

x

s

xt 0

ˆ

0calculat

µµ

µ

−=

−= , unde

1n

)xx(

's i

2i

−

−=∑

.

Definirea regulii de decizie Considerând un test bilateral, regula de decizie poate fi definită astfel:


96




dacă 2/calculat zz α−< sau

2/calculat zz α+>

dacă 2/calculat zz α−≥ sau

2/calculat zz α+≤

Reprezentarea regiunii de acceptare şi de respingere a ipotezei H0 este realizată în

figura de mai jos:

HH

α/2

H

-z

1

α/2

0

1-α

zα/2

1

α/2Z

Figura 28. Regiunea de respingere şi de acceptare a ipotezei H0

în cazul unui test bilateral

Regula de decizie pentru un test unilateral poate fi definită astfel:



Test unilateral la dreapta

01 :H µµ > dacă αzz calculat +> dacă αzz calculat +≤

Test unilateral la stânga

01 :H µµ < dacă αzz calculat −< dacă αzz calculat −≥

Reprezentarea regiunilor de respingere şi de acceptare a ipotezei H0 pentru un test

unilateral este realizată în figura de mai jos:


97


în cazul unui test unilateral la dreapta


în cazul unui test unilateral la stânga

De exemplu, în cazul unui test bilateral, considerând un prag de semnificaţie 05,0=α , valoarea critică a statisticii test Z este z=1,96. Regiunea de respingere a

ipotezei Ho este definită de: 96,1z calculat −< , respectiv .96,1z calculat +>

În cazul unui test unilateral la dreapta, pentru care ipoteza 01 :H µµ > ,

considerând un prag de semnificaţie 05,0=α , valoarea critică a statisticii test Z este z=1,65. Regiunea de respingere a ipotezei Ho este, astfel, definită de: 65,1z calculat> .

În cazul unui test unilateral la stânga, pentru care ipoteza 01 :H µµ < ,

considerând un prag de semnificaţie 05,0=α , valoarea critică a statisticii test Z este 65,1z −= . Regiunea de respingere a ipotezei Ho este definită de: 65,1z calculat −< .


98

Exemple 1. La nivelul unui eşantion format din 100 de persoane, se înregistrează salariul

lunar obţinut şi se obţine .lei.mil14x = Ştiind că lei.mil4=σ , se cere să se testeze dacă există diferenţe semnificative între salariul mediu al întregii populaţii din care a fost extras eşantionul şi salariul mediu pe economie, de 13 mil. lei. Se consideră un risc

.05,0=α Rezolvare Formularea ipotezelor statistice

13:H0 =µ milioane lei (nu există diferenţe semnificative între salariul mediu al

întregii populaţii din care a fost extras eşantionul şi salariul mediu pe economie) 13:H1 ≠µ milioane lei (există diferenţe semnificative între salariul mediu al

întregii populaţii din care a fost extras eşantionul şi salariul mediu pe economie) Alegerea pragului de semnificaţie a testului

.05,0=α Statistica test Pentru testarea semnificaţiei mediei unei populaţii, atunci când se cunoaşte σ , se

foloseşte statistica test Z: n/

xz 0

σ

µ−= .

Calculul statisticii test Pe baza datelor obţinute la nivelul eşantionului, se obţine:

5,2100/4

1314zcakulat =

−= .

Regula de decizie Folosind probabilitatea asociată statisticii test calculate:

• dacă α<.obPr , atunci se respinge ipoteza H0; • dacă α≥.obPr , atunci se acceptă ipoteza H0.

Folosind statistica test: • dacă αzz calculat −< sau αzz calculat +> , atunci se respinge ipoteza H0;

• dacă αzz calculat −≥ sau αzz calculat +≤ , atunci se acceptă ipoteza H0.

Valoarea teoretică a statisticii test Se citeşte din tabelul Z pentru un risc 05,0=α . Această valoare este:

.96,1z 2/ =α

Probabilitatea asociată statisticii test calculate Valoarea probabilităţii asociate statisticii test calculate, 5,2zcakulat = , se citeşte

din tabelul Z, astfel: 006,0494,05,0)5,2Z(P =−=> . Această valoare este furnizată de


99

programele specializate de statistică şi poartă denumirea de Prob. sau p-value (programul E-VIEWS) sau Sig. (Significance Level) (programul SPSS).


Interpretare

96,1z5,2z 025,0calculat =>= sau 05,0)012,0006,02.ob(Pr =<=⋅= α , se

respinge ipoteza Ho. Se poate garanta cu o probabilitate de 0,95 că există diferenţe semnificative între salariul mediu al întregii populaţii din care a fost extras eşantionul observat )( µ şi salariul mediu pe economie )( 0µ .

2. La nivelul unui eşantion format din 100 de persoane, se înregistrează salariul

lunar obţinut şi se obţine .lei.mil14x = Ştiind că lei.mil4=σ , se cere să se testeze dacă salariul mediu al întregii populaţii din care a fost extras eşantionul este mai mare decât salariul mediu pe economie, de 13 mil. lei. Se consideră un risc .05,0=α

Rezolvare Formularea ipotezelor statistice

13:H0 =µ milioane lei

13:H1 >µ milioane lei Alegerea pragului de semnificaţie a testului

.05,0=α Statistica test Pentru testarea semnificaţiei mediei unei populaţii, atunci când se cunoaşte σ , se

foloseşte statistica test Z: n/

xz 0

σ

µ−= .


100


5,2100/4

1314zcakulat =

−= .

Regula de decizie Folosind probabilitatea asociată statisticii test calculate:

• dacă α<.obPr , atunci se respinge ipoteza H0; • dacă α≥.obPr , atunci se acceptă ipoteza H0.

Folosind statistica test: • dacă αzz calculat +> , atunci se respinge ipoteza H0;

• dacă αzz calculat +≤ , atunci se acceptă ipoteza H0.

Valoarea teoretică a statisticii test Se citeşte din tabelul Z pentru un risc 05,0=α . Această valoare este:

.65,1z 2/ =α

Probabilitatea asociată statisticii test calculate Valoarea probabilităţii asociate statisticii test calculate, 5,2zcakulat = , se citeşte

din tabelul Z, astfel: 006,0494,05,0)5,2Z.(obPr =−=> .

Figura 32. Regiunea de respingere şi de acceptare a ipotezei H0 în cazul unui test

unilateral la dreapta Interpretare

65,1z5,2z 025,0calculat =>= sau 05,0006,0.obPr =<= α , se respinge ipoteza

Ho. Se poate garanta cu o probabilitate de 0,95 că salariul mediu al întregii populaţii din


101

care a fost extras eşantionul observat )( µ este mai mare decât salariul mediu pe

economie )( 0µ .

3. Pentru un eşantion format din 25 de persoane, se înregistrează salariul lunar

obţinut şi se obţin următoarele rezultate: .lei.mil2's,lei.mil15x == Se cere să se testeze dacă există diferenţe semnificative între salariul mediu al întregii populaţii din care a fost extras eşantionul şi salariul mediu de economie, de 13 mil. lei. Se consideră un risc .05,0=α


13:H0 =µ

13:H1 ≠µ Alegerea pragului de semnificaţie a testului

.05,0=α Statistica test Pentru testarea semnificaţiei mediei unei populaţii se foloseşte statistica test t

Student, n/'s

xt 0µ−

= .

Calculul statisticii test

Pe baza datelor obţinute la nivelul eşantionului, se obţine: 525/2

1315tcakulat =

−= .

Regula de decizie

• dacă 2/calculat tt α−< sau 2/calculat tt α+> , atunci se respinge ipoteza H0;

• dacă 2/calculat tt α−≥ sau 2/calculat tt α+≤ , atunci se acceptă ipoteza H0.

Valoarea teoretică a statisticii test Se citeşte din tabelul t Student pentru un risc 05,0=α şi n-1 grade de libertate.

Această valoare este: 064,2tt 24;025,01n;2/ ==−α .

t K 0.025 K

M

24 K 2,064 K M


102

Interpretare Regiunea de acceptare şi regiunea de respingere a ipotezei Ho sunt prezentate în

figura de mai jos:

0,025

HH

0,025

1

2,064-2,064

H 0

0,95

1

tt =5calc


064,2t5t 24;025,0calculat =>= , se respinge ipoteza Ho. Se poate garanta cu o

probabilitate de 0,95 că există diferenţe semnificative între salariul mediu al întregii populaţii din care a fost extras eşantionul observat )( µ şi salariul mediu pe economie

)( 0µ .

7.1.3 Testarea semnificaţiei proporţiei unei populaţii

Demersul testării semnificaţiei unei proporţii este similar demersului prezentat în cazul mediei unei populaţii.

Ipoteze statistice Ipotezele care se formulează în testarea semnificaţiei unei proporţii sunt:

00 pp:H =

01 pp:H ≠ (test bilateral)


05,0=α .

Alegerea şi calculul statisticii test Atunci când nu se cunoaşte varianţa populaţiei, în testarea semnificaţiei

proporţiei unei distribuţii se foloseşte statistica t Student. Pe baza datelor observate la nivelul unui eşantion de volum n, se calculează statistica test t astfel:

n/)f1(f

pf

s

pft 0

p̂

0calculat

−

−=

−= .

Definirea regulii de decizie


103

Adoptarea decizie corecte presupune compararea valorii calculate a statisticii test cu valoarea teoretică. De exemplu, considerând un test bilateral, atunci când nu se cunoaşte varianţa populaţiei, regula de decizie poate fi definită astfel:


dacă α>.obPr dacă α≥.obPr


dacă 2/calculat tt α−< sau

2/calculat tt α+>

dacă 2/calculat tt α−≥ sau

2/calculat tt α+≤

Exemplu La nivelul unui eşantion de volum n=25 de persoane, se observă că ponderea

persoanelor care votează pentru candidatul A este de 49%. Se cere să se testeze dacă există diferenţe semnificative între proporţia persoanelor care votează pentru candidatul A la nivelul întregii populaţii şi proporţia persoanelor care au votat pentru acest candidat la alegerile anterioare, de 51%. Se consideră un risc .05,0=α


%51p:H0 =

%51p:H1 ≠ Alegerea pragului de semnificaţie a testului

.05,0=α Statistica test Pentru testarea semnificaţiei mediei unei populaţii se foloseşte statistica test t

Student, n/)f1(f

pft 0

−⋅

−= .


2,025/)49100(49

5149tcalculat −=

−⋅

−= .

Regula de decizie

• dacă 2/calculat tt α−< sau 2/calculat tt α+> , atunci se respinge ipoteza H0;

• dacă 2/calculat tt α−≥ sau 2/calculat tt α+≤ , atunci se acceptă ipoteza H0.

Valoarea teoretică a statisticii test Se citeşte din tabelul t Student pentru un risc 05,0=α şi n-1 grade de libertate.

Această valoare este: 064,2tt 24;025,01n;2/ ==−α .


104

Interpretare

064,2t2,0t 24;025,0calculat =<= , se acceptă ipoteza Ho. Se poate garanta cu o

probabilitate de 0,95 că nu există diferenţe semnificative între proporţia persoanelor care votează pentru candidatul A la nivelul întregii populaţii, p, şi proporţia persoanelor care au votat pentru acest candidat la alegerile anterioare, p0.

7.2 Testarea ipotezelor cu privire la doi parametri Testarea ipotezelor cu privire la doi parametri poate viza două medii ale unor

populaţii, 1µ şi 2µ , sau două proporţii, 1p şi 2p .

7.2.1 Testarea diferenţei dintre două medii a. Cazul eşantioanelor independente

În cazul eşantioanelor independente, statistica test folosită în testarea ipotezelor statistice este statistica Z sau t.

Ipoteze statistice

0:H 210 =− µµ

0:H 211 ≠− µµ Alegerea pragului de semnificaţie a testului α Alegerea şi calculul statisticii test

Atunci când 22

21 σσ = şi nu se cunosc varianţele populaţiilor, statistica test se

calculează astfel:

2

22

1

21

21calculat

n

s

n

s

xxt

+

−= .

Atunci când 22

21 σσ ≠ şi nu se cunosc varianţele populaţiilor, statistica test se

calculează astfel:

21p

21calculat

n

1

n

1s

xxt

+

−=

⋅

, unde:

2nn

)1n(s)1n(ss

21

2221

21

p −+

−+−= .


105

Definirea regulii de decizie Regula de decizie se defineşte în mod similar testării semnificaţiei unui parametru

al unei populaţii. Valoarea teoretică a statisticii test se alege însă pentru n1+n2-2 grade de libertate.

Exemple 1. Pentru două eşantioane extrase aleator simplu de volum n1=n2=625 persoane

s-a înregistrat vârsta şi s-au obţinut următoarele rezultate: ani32x,ani35x 21 == ;

ani4s,ani2s 21 == . Să se testeze ipoteza potrivit căreia între vârstele medii ale celor două populaţii din care au fost extrase eşantioanele observate există diferenţe semnificative. Se consideră un risc de 0,05.

Rezolvare Ipoteze statistice: H0: 21 µµ = (nu există diferenţe semnificative între vârstele medii ale celor două populaţii din care au fost extrase eşantioanele) H1: 21 µµ ≠ (există diferenţe semnificative între vârstele medii ale celor două populaţii din care au fost extrase eşantioanele) Alegerea pragului de semnificaţie a testului

.05,0=α Statistica test Când nu se cunosc varianţele populaţiilor, pentru testarea ipotezelor statistice se

foloseşte statistica t, calculată după relaţia:

2

22

1

21

21

n

s

n

s

xxt

+

−=

Regula de decizie

• dacă 2/calc tt α> , se respinge ipoteza H0;

• dacă 2/calc tt α≤ , se acceptă ipoteza H0.

Regiunea de acceptare şi regiunea de respingere a ipotezei Ho sunt prezentate în figura de mai jos:


106

0

-t t

1-α

tα/2 α/2

α/2α/2

H H H 11


Calculul statisticii test Statistica test este:

7,16

625

42

3235t

22=

+

−=

Valoarea teoretică a statisticii test Valoarea teoretică a statisticii t se citeşte din Tabelul Student pentru un risc

α=0,05 şi n1+n2-2 grade de libertate: t α /2=1,96.

Interpretare ( ) ( ),96,1t7,16t 025,0calc =>= se respinge ipoteza H0. Se poate garanta cu o

probabilitate de 0,95 că există diferenţe semnificative între vârstele medii ale populaţiilor din care au fost extrase eşantioanele observate.

2. Pentru două eşantioane, extrase aleator simplu, formate din 7 persoane de sex masculin, iar al doilea din 9 persoane de sex feminin, se înregistrează salariul lunar obţinut şi se obţin următoarele rezultate: leisute25x,leisute24x FM == ;

2s,3s FM == . Să se testeze ipoteza potrivit căreia între salariul mediu al persoanelor

de sex masculin şi salariul mediu al persoanelor de sex feminin există diferenţe semnificative, la nivelul populaţiei din care au fost extrase eşantioanele observate. Se consideră un risc de 0,05.

Rezolvare Ipoteze statistice H0: FM µµ =

H1: FM µµ ≠

Alegerea pragului de semnificaţie a testului .05,0=α


107

Statistica test Când nu se cunosc varianţele populaţiilor, pentru testarea ipotezelor statistice se

foloseşte statistica t, calculată după relaţia:

2

2

1

2

n

s

n

s

xxt

FM

FM

+

−=

Regula de decizie • dacă 2/calc tt α> , se respinge ipoteza H0;



0

-t t

1-α

tα/2 α/2

α/2α/2

H H H 11


Calculul statisticii test Statistica test este:

76,0

9

2

7

3

2524t

22=

+

−=


α=0,05 şi n1+n2-2 grade de libertate: t α /2; 7+9-2=2,145.

Interpretare ( ) ( ),145,2t76,0t 025,0calc =<= se acceptă ipoteza H0. Se poate garanta cu o

probabilitate de 0,95 că nu există diferenţe semnificative între salariul mediu al persoanelor de sex masculin şi salariul mediu al persoanelor de sex feminin, la nivelul populaţiilor din care au fost extrase eşantioanele observate.


108

b. Cazul eşantioanelor dependente În cazul eşantioanelor dependente, unităţile statistice observate sunt aceleaşi. De

exemplu, pentru a studia efectele unui tratament asupra unui lot de bolnavi, se înregistrează anumiţi parametri înainte şi după tratament, pentru aceleaşi persoane. În acest caz, se va estima diferenţa dintre valorile înregistrate la parametrii respectivi înainte şi după tratament.

Ipoteze statistice

0:H 210 =− µµ

0:H 211 ≠− µµ Alegerea pragului de semnificaţie a testului α Alegerea şi calculul statisticii test Statistica test se calculează astfel:

n/s

xxt

d

21calculat

−= , unde sd este abaterea standard a diferenţelor dintre valorile

înregistrate de unităţile statistice între cele două momente observate. Regula de decizie



Valoarea critică a statisticii test ( 2/tα ) se alege pentru n-1 grade de libertate.

Exemplu Pentru două eşantioane formate din 5 persoane, se înregistrează punctajele

obţinute la două teste susţinute în primul şi al doilea semestru, şi se obţin următoarele rezultate:

Persoana Punctaj test

Semestrul I Semestrul II A 65 58 B 69 65 C 88 82 D 73 70 E 75 71

Se cere să se testeze dacă există diferenţe semnificative între punctajele medii

obţinute la testele susţinute în semestrul I şi semestrul II, la nivelul populaţiilor din care au fost extrase eşantioanele. Se consideră un risc de 0,05.

Rezolvare Ipoteze statistice H0: 0semIIsemI =− µµ


109

H1: 0semIIsemI ≠− µµ


.05,0=α Statistica test Pentru testarea ipotezelor statistice se foloseşte statistica t, calculată după relaţia:

n/s

xt

d

dcalculat = , unde:

dx este media diferenţelor dintre valorile înregistrate între cele două momente:

n

d

n

)xx(

x ii

i2i1i

d

∑∑=

−= ;

1n

)xd(

s i

2di

d −

−=∑

este abaterea standard a diferenţelor di.

Regula de decizie




0

-t t

1-α

tα/2 α/2

α/2α/2

H H H 11


Calculul statisticii test Pe baza datelor înregistrate la nivelul eşantioanelor, se calculează statistica test

astfel:

n/s

xxt

d

21calculat

−= .

Elementele de calcul ale mediilor şi abaterii standard sunt prezentate în tabelul de mai jos:


110

Tabelul 7.1. Elemente de calcul ale mediilor şi abaterii standard Persoana Sem_I

(xi1) Sem_II

(xi2) di= 2i1i xx − )xd( di −

2di )xd( −

A 65 58 7 2,2 4,84 B 69 65 4 -0,8 0,64 C 88 82 6 1,2 1,44 D 73 70 3 -1,8 3,24 E 75 71 4 -0,8 0,64

TOTAL 370 346 24 - 10,8

Media diferenţelor, dx , este: 8,45

24

n

d

x ii

d ===∑

.

Abaterea standard a diferenţelor dintre valorile înregistrate în cele două momente

este: 64,17,215

8,10sd ==

−= .

Statistica test se calculează astfel:

55,65/64,1

8,4tcalculat == .


α=0,05 şi n-1 grade de libertate: t α /2; 5-1=2,776.

Interpretare ( ) ( ),776,2t55,6t 025,0calc =>= se respinge ipoteza H0. Se poate garanta cu o

probabilitate de 0,95 că există diferenţe semnificative între punctajele medii obţinute la testele susţinute în semestrul I şi semestrul II, la nivelul populaţiilor din care au fost extrase eşantioanele.

7.2.2 Testarea diferenţei dintre două proporţii

Ipoteze statistice 0pp:H 210 =−

0pp:H 211 ≠− Alegerea pragului de semnificaţie a testului α Alegerea şi calculul statisticii test Statistica test se calculează astfel:

2

22

1

11

21calculat

n

)f1(f

n

)f1(f

fft

−⋅+

−⋅

−= .


111

Regula de decizie • dacă 2nn;2/calc 21

tt −+> α , se respinge ipoteza H0;

• dacă 2nn;2/calc

21tt

−+≤

α, se acceptă ipoteza H0.

Exemplu Pentru două eşantioane extrase aleator simplu de volum n1=n2=625 persoane s-a

înregistrat proporţia persoanelor care au votat pentru candidatul A în anul 2009 şi în anul 2005 şi s-au obţinut următoarele rezultate: %49f;%,51f 21 == . Să se testeze ipoteza potrivit căreia între proporţia persoanelor care au votat pentru candidatul A în cele două momente, la nivelul populaţiilor, există diferenţe semnificative. Se consideră un risc de 0,05.

Rezolvare Ipoteze statistice: H0: 21 pp = (nu există diferenţe semnificative între proporţia persoanelor care au votat pentru candidatul A în anul 2009 şi anul 2005) H1: 21 pp ≠ (există diferenţe semnificative între proporţia persoanelor care au votat pentru candidatul A în anul 2009 şi anul 2005) Alegerea pragului de semnificaţie a testului

.05,0=α Statistica test Statistica t se calculează după relaţia:

2

22

1

11

21calculat

n

)f1(f

n

)f1(f

fft

−⋅+

−⋅

−=

Regula de decizie

• dacă 2nn;2/calc 21tt −+> α , se respinge ipoteza H0;

• dacă 2nn;2/calc

21tt

−+≤

α, se acceptă ipoteza H0.

Calculul statisticii test Pe baza datelor înregistrate la nivelul eşantioanelor, se calculează statistica test

astfel:

71,0

625

)49100(49)51100(51

4951tcalculat =

−⋅+−⋅

−= .


α=0,05 şi n1+n2-2 grade de libertate: t α /2=1,96.


112

Interpretare ( ) ( ),96,1t71,0t 025,0calc =<= se acceptă ipoteza H0. Se poate garanta cu o

probabilitate de 0,95 că nu există diferenţe semnificative între proporţia persoanelor care au votat pentru candidatul A în anul 2009 şi în anul 2005, la nivelul populaţiilor din care au fost extrase eşantioanele observate.

7.3. Estimare versus testare Estimarea prin interval de încredere presupune construirea unui interval pentru

valoarea unui parametru, plecând de la rezultatele obţinute prin prelucrarea datelor la nivelul unui eşantion extras din populaţie.

Prin testarea ipotezelor statistice se formulează o ipoteză asupra valorii unui parametru şi se verifică dacă această ipoteză este sau nu „contrazisă” de observaţiile de la nivelul unui eşantion extras din populaţie.

De exemplu, în estimarea şi testarea semnificaţiei mediei unei populaţii, să presupunem că se înregistrează salariul lunar obţinut de persoanele dintr-un eşantion de volum n şi se află limitele intervalului de încredere pentru salariul mediu la nivelul populaţiei. În urma prelucrării datelor, considerând un risc de 0,05, se obţin următoarele rezultate pentru intervalul de încredere a mediei populaţiei: [ ]18;14 mil. Lei. Dacă testarea statistică are ca obiectiv verificarea egalităţii dintre salariul mediu la nivelul populaţiei şi salariul mediu pe economie, 120 =µ mil. Lei, atunci, cu o probabilitate de

0,95, se poate conchide că se respinge ipoteza egalităţii dintre cele două valori. În procesul testării statistice, ipotezele care se formulează, în exemplul dat, sunt următoarele: 12:H;12:H 10 ≠= µµ . Cunoscând limitele intervalului de încredere

pentru media populaţiei, 1814 ≤≤ µ , se observă, astfel, că aceasta nu poate fi egală cu 12 mil. Lei.

În mod similar, dacă intervalul de încredere calculat pentru un parametru θ nu include valoarea zero, atunci se respinge ipoteza H0 prin care se admite că valoarea acelui parametru este nulă ( 0:H0 =θ ), considerând o probabilitate de α−1 .


113

ANEXE


114

Repartiţia Laplace:

∫−

=z

0

2

t

dte2

1)z(

2

πΦ

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0 0.000 0.004 0.008 0.012 0.016 0.020 0.024 0.028 0.032 0.036

0.1 0.040 0.044 0.048 0.052 0.056 0.060 0.064 0.067 0.071 0.075 0.2 0.079 0.083 0.087 0.091 0.095 0.099 0.103 0.106 0.110 0.114 0.3 0.118 0.122 0.126 0.129 0.133 0.137 0.141 0.144 0.148 0.152 0.4 0.155 0.159 0.163 0.166 0.170 0.174 0.177 0.181 0.184 0.188 0.5 0.191 0.195 0.198 0.202 0.205 0.209 0.212 0.216 0.219 0.222 0.6 0.226 0.229 0.232 0.236 0.239 0.242 0.245 0.249 0.252 0.255 0.7 0.258 0.261 0.264 0.267 0.270 0.273 0.276 0.279 0.282 0.285 0.8 0.288 0.291 0.294 0.297 0.300 0.302 0.305 0.308 0.311 0.313 0.9 0.316 0.319 0.321 0.324 0.326 0.329 0.331 0.334 0.336 0.339

1 0.341 0.344 0.346 0.348 0.351 0.353 0.355 0.358 0.360 0.362 1.1 0.364 0.367 0.369 0.371 0.373 0.375 0.377 0.379 0.381 0.383 1.2 0.385 0.387 0.389 0.391 0.393 0.394 0.396 0.398 0.400 0.401 1.3 0.403 0.405 0.407 0.408 0.410 0.411 0.413 0.415 0.416 0.418 1.4 0.419 0.421 0.422 0.424 0.425 0.426 0.428 0.429 0.431 0.432 1.5 0.433 0.434 0.436 0.437 0.438 0.439 0.441 0.442 0.443 0.444 1.6 0.445 0.446 0.447 0.448 0.449 0.451 0.452 0.453 0.454 0.454 1.7 0.455 0.456 0.457 0.458 0.459 0.460 0.461 0.462 0.462 0.463 1.8 0.464 0.465 0.466 0.466 0.467 0.468 0.469 0.469 0.470 0.471 1.9 0.471 0.472 0.473 0.473 0.474 0.474 0.475 0.476 0.476 0.477

2 0.477 0.478 0.478 0.479 0.479 0.480 0.480 0.481 0.481 0.482 2.1 0.482 0.483 0.483 0.483 0.484 0.484 0.485 0.485 0.485 0.486 2.2 0.486 0.486 0.487 0.487 0.487 0.488 0.488 0.488 0.489 0.489 2.3 0.489 0.490 0.490 0.490 0.490 0.491 0.491 0.491 0.491 0.492 2.4 0.492 0.492 0.492 0.492 0.493 0.493 0.493 0.493 0.493 0.494 2.5 0.494 0.494 0.494 0.494 0.494 0.495 0.495 0.495 0.495 0.495 2.6 0.495 0.495 0.496 0.496 0.496 0.496 0.496 0.496 0.496 0.496 2.7 0.497 0.497 0.497 0.497 0.497 0.497 0.497 0.497 0.497 0.497 2.8 0.497 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 2.9 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.499 0.499 0.499

3 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499

0 z


115

Repartiţia Student: p=P(t>tdf)

df α = 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.0005

1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.656 318.289 636.578

2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.328 31.600

3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.214 12.924

4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 8.610

5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.894 6.869

6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208 5.959

7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785 5.408

8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.501 5.041

9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297 4.781

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.144 4.587

11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.025 4.437

12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.930 4.318

13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.852 4.221

14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.787 4.140

15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733 4.073

16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.686 4.015

17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.646 3.965

18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.610 3.922

19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.579 3.883

20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.552 3.850

21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.527 3.819

22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.505 3.792

23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.485 3.768

24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.467 3.745

25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.450 3.725

26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.435 3.707

27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.421 3.689

28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.408 3.674

29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.396 3.660

30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385 3.646

∞ 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 3.091 3.291


116


117

BIBLIOGRAFIE 1. Andrei, T., Statistică şi econometrie, Editura Economica, Bucureşti, 2003.

2. Andrei, T. şi Stancu, S., Statistică - teorie şi aplicaţii , Editura All, Bucureşti, 1995

3. Bărbat, Al. , Teoria statisticii sociale, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1972.

4. Baron, T.; Biji, E.; Tövissi, L., ş.a., Statistică teoretică şi economică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1991.

5. Biji, M.; Biji, El., Statistica teoretică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979.

2. Biji, M.; Stoichiţă, I. , Metoda selectivă a cercetării statistice, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1957.

3. Capanu, I; Wagner, P.; Mitruţ, C., Sistemul conturilor naţionale şi agregate macroeconomice, Editura All, Bucureşti, 1994.

4. Chelcea, S., Chestionarul în investigaţia sociologică, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1975.

3. Galton, Fr., Natural Inheritance, Macmillan, London, 1889

4. Georgescu Roegen, N. , Metoda statistică - elemente de statistică matematică, I.S.C.S., Bucureşti, 1933.

5. Glenberg, A.M., Andrzejewski, M.E., Learning from data. An Introduction to Statistical Reasoning, Taylor and Francis Group, New York, 2008.

6. Isaic-Maniu, Al.; Grădinaru, A.; Voineagu, V.; Mitruţ, C. - Statistică teoretică şi economică, Editura Tehnică, Chişinău, 1994.

7. Jaba, E., Grama, A., Analiza statistică cu SPSS sub Windows, Ed. Polirom, Iaşi, 2004

8. Jaba, E., Statistica, Ediţia a treia, Editura Economica, Bucureşti, 2002

9. Jaba, E., Pintilescu, C., Iosub F., Statistică descriptivă. Teste grilă şi probleme, Editura Sedcom Libris, Iaşi, 2001.

10. Jaba, E., Pintilescu, C., Statistică. Teste grilă şi probleme, Editura Sedcom Libris, Iaşi, 2005.

11. Jemna, D., Econometrie, Editura Sedcom Libris, Iaşi, 2009.

12. Jemna, D., Pintilescu, C., Turturean, C., Chirilă V., Chirilă, C, Viorică, D., Econometrie. Probleme şi teste grilă, Editura Sedcom Libris, Iaşi, 2009.

13. Lecaillon, J.; Labrousse, C., Statistique descriptive, Editura Cujas, Paris, 1988

14. Mallinvaud, E. - Méthodes statistique de l'économetrie, Dunod, Paris, 1981

15. Marinescu, I. , Analiza factorială, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1984.

16. McClave, J.T.; Benson, P.G. , Statistics for Business and Economics, Dellen Publishing Company, San Francisco, 1985.


118

17. Mills, Fr.G., Statistical Methods, 3rd ed., Henry Holt, New York, 1955.

18. Milton Smith, G. - Ghid simplificat de statistică pentru psihologie şi pedagogie, E.D.P., Bucureşti 1971.

19. Minium, E.W., Clarke, R., C., Coladarci, T., Elements of Statistical Reasoning, John Wiley and Sons, 1999.

20. Pecican, E.S. - Econometrie, Editura All, Bucureşti, 1994

21. Pintilescu, C., Analiza datelor, Editura Junimea, Iaşi, 2002.

22. Pintilescu, C., Analiză statistică multivariată, Editura Universităţii “Alexandru Ioan Cuza” Iaşi, 2007.

23. Saporta, G., Probabilités, analyse des données et statistique, Editura Technip, Paris, 1990

24. Tövissi, L.; Isaic-Maniu, Al., Statistica, A.S.E., Bucureşti, 1984.

25. Trebici, V.(coord.) - Mica enciclopedie de statistică, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1985.

26. Ţarcă, M. , Statistică, vol.I şi II, Universitatea "Al.I.Cuza" Iaşi, 1979.

27. Yule, U.G.; Kendall, M.C. - Introducere în teoria statisticii, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1969.

28. Wonnacott, T.H., Wonnacott, R.J., Statistique, Economica, Paris, 1991.

Date post:	27-Jun-2015
Category:	Documents
Upload:	rudisteanu-simona-gabriela
View:	547 times
Download:	3 times

Statistic A AP Suport Curs

Documents