+ All Categories
Home > Documents > Statica Navei

Statica Navei

Date post: 28-Dec-2015
Category:
Upload: adrian-popa
View: 464 times
Download: 16 times
Share this document with a friend
Description:
TCN - Statica Navei
279
CUPRINS PREFAŢĂ ……………………………………………………….. 9 CAPITOLUL I. NOŢIUNI INTRODUCTIVE ............................ 11 1. Câteva argumente în favoarea importanţei studierii teoriei navei ……………………………………………………….. 11 2. Statica navei ca parte importantă a teoriei navei. Calităţile nautice ale navei .................................................................. 12 3. Principalele caracteristici geometrice ale corpului navei. Sistemul de coordonate ....................................................................... 14 4. Coeficienţi de fineţe. Rapoarte între dimensiuni ........................... 18 CAPITOLUL II. FLOTABILITATEA NAVEI ........................... 21 5. Parametrii unei plutiri ..................................................................... 21 6. Forţe care acţionează asupra navei. Condiţii de echilibru ............. 23 7. Greutatea navei. Coordonatele centrului de greutate ..................... 29 8. Calculul elementelor hidrostatice ale carenei şi curbele de variaţie ale acestora cu pescajul. Diagrama de carene drepte ............ 33 8.1 Volumul carenei, deplasamentul, coordonatele centrului de carenă .......................................................... 33 8.2 Aria plutirii, abscisa centrului plutirii, momentele de inerţie longitudinală şi transversală ale plutirii ............... 39 8.3 Ariile secţiunilor transversale. Curba ariilor secţiunilor transversale ...................................................................... 43 8.4 Diagrama de carene drepte ............................................. 44 8.5 Formule empirice pentru calculul unor mărimi hidrostatice pe carene drepte ........................................... 45 9. Calculul practic de carene drepte. Metode numerice ..................... 47 10. Calculul de carene înclinate .......................................................... 55 10.1 Diagrama Bonjean ......................................................... 55 10.2 Diagrama de asietă ......................................................... 59 10.3 Calculul volumului carenei şi al coordonatelor centrului de carenă pentru o plutire oarecare. Curbele integrale ale secţiunilor transversale ................ 60 11. Influenţa ambarcării şi debarcării de mase la bord asupra flotabilităţii navei. Deplasamentul unitar ........................................... 63 11.1 Ambarcarea de mase mici .............................................. 64 11.2 Ambarcarea de mase mari ............................................. 67 11.3 Deplasamentul unitar ..................................................... 68
Transcript
Page 1: Statica Navei

CUPRINS

PREFAŢĂ ……………………………………………………….. 9

CAPITOLUL I. NOŢIUNI INTRODUCTIVE ............................ 111. Câteva argumente în favoarea importanţei studieriiteoriei navei ……………………………………………………….. 112. Statica navei ca parte importantă a teoriei navei.Calităţile nautice ale navei .................................................................. 123. Principalele caracteristici geometrice ale corpului navei.Sistemul de coordonate ....................................................................... 144. Coeficienţi de fineţe. Rapoarte între dimensiuni ........................... 18

CAPITOLUL II. FLOTABILITATEA NAVEI ........................... 215. Parametrii unei plutiri ..................................................................... 216. Forţe care acţionează asupra navei. Condiţii de echilibru ............. 237. Greutatea navei. Coordonatele centrului de greutate ..................... 298. Calculul elementelor hidrostatice ale carenei şi curbele devariaţie ale acestora cu pescajul. Diagrama de carene drepte ............ 33

8.1 Volumul carenei, deplasamentul, coordonatele centrului de carenă .......................................................... 338.2 Aria plutirii, abscisa centrului plutirii, momentele de inerţie longitudinală şi transversală ale plutirii ............... 398.3 Ariile secţiunilor transversale. Curba ariilor secţiunilor transversale ...................................................................... 438.4 Diagrama de carene drepte ............................................. 448.5 Formule empirice pentru calculul unor mărimi hidrostatice pe carene drepte ........................................... 45

9. Calculul practic de carene drepte. Metode numerice ..................... 4710. Calculul de carene înclinate .......................................................... 55

10.1 Diagrama Bonjean ......................................................... 5510.2 Diagrama de asietă ......................................................... 5910.3 Calculul volumului carenei şi al coordonatelor centrului de carenă pentru o plutire oarecare. Curbele integrale ale secţiunilor transversale ................ 60

11. Influenţa ambarcării şi debarcării de mase la bord asupraflotabilităţii navei. Deplasamentul unitar ........................................... 63

11.1 Ambarcarea de mase mici .............................................. 6411.2 Ambarcarea de mase mari ............................................. 6711.3 Deplasamentul unitar ..................................................... 68

Page 2: Statica Navei

_______________________________________________________________________________6

12. Influenţa modificării salinităţii apei asupra pescajului mediu alnavei .................................................................................................... 6813. Rezerva de flotabilitate. Marca de bord liber ............................... 71PROBLEME REZOLVATE .......................................................... 74

CAPITOLUL III. STABILITATEA INIŢIALĂ A NAVEI ....... 8314. Consideraţii generale despre stabilitatea navei ............................ 8315. Înclinări izocarene. Teorema Euler .............................................. 8616. Deplasarea centrului de carenă ..................................................... 8817. Metacentre şi raze metacentrice ................................................... 9218. Moment de redresare. Formula metacentrică a stabilităţii.Înălţimi metacentrice .......................................................................... 9519. Momentul stabilităţii de formă şi momentul stabilităţii degreutate ................................................................................................ 10020. Momentul unitar al înclinării transversale şi momentul unitar deasietă .................................................................................................... 10221. Forţe perturbatoare ........................................................................ 10322. Variaţia poziţiei metacentrului transversal cu pescajul.Raza metacentrică diferenţială ........................................................... 10623. Influenţa salinităţii apei asupra stabilităţii şi asietei navei ........... 11224. Influenţa deplasărilor de mase la bord asupra poziţiei şistabilităţii navei ................................................................................... 11425. Proba de stabilitate ........................................................................ 11926. Influenţa încărcăturilor suspendate asupra stabilităţii navei ........ 12227. Influenţa ambarcării şi debarcării de mase la bord asuprapoziţiei şi stabilităţii navei .................................................................. 125

27.1 Ambarcarea de mase mici .............................................. 12527.2 Ambarcarea de mase mari ............................................. 129

28. Influenţa încărcăturilor lichide cu suprafeţe libere asuprastabilităţii navei ................................................................................... 132PROBLEME REZOLVATE .......................................................... 136

CAPITOLUL IV. STABILITATEA NAVEI LA UNGHIURIMARI DE ÎNCLINARE .................................................................. 16929. Consideraţii generale despre stabilitatea navei la unghiuri maride înclinare .......................................................................................... 16930. Coordonatele centrului de carenă şi ale metacentruluitransversal ........................................................................................... 17031. Momentul de stabilitate şi braţul stabilităţii pentru unghiurimari de înclinare. Stabilitatea de formă şi stabilitatea de greutate .... 17132. Înălţimea metacentrică generalizată ............................................. 17433. Stabilitatea dinamică a navei. Braţul stabilităţii dinamice ........... 17534. Diagramele de stabilitate statică şi dinamică. Proprietăţi ............ 180

Page 3: Statica Navei

_______________________________________________________________________________7

35. Comportarea navei sub acţiunea forţelor externe ........................ 18436. Probleme practice care apar în timpul exploatării navei şi carese rezolvă cu ajutorul diagramelor de stabilitate ................................ 18637. Modificarea diagramei de stabilitate statică la deplasarea şiambarcarea de greutăţi la bordul navei .............................................. 19638. Construirea şi utilizarea diagramei de pantocarene ..................... 19939. Efectul modificării dimensiunilor principale ale navei asuprastabilităţii ............................................................................................. 20340. Calculul practic al stabilităţii la unghiuri mari de înclinareutilizând metoda izocarenelor ............................................................. 21141. Normarea stabilităţii. Conceptul global de siguranţă al navei ..... 222PROBLEME REZOLVATE .......................................................... 226

CAPITOLUL V. PROBLEME LEGATE DE APLICAREAPRACTICĂ A STUDIULUI FLOTABILITĂŢII ŞISTABILITĂŢII NAVEI .................................................................. 23342. Eşuarea navei ................................................................................ 23343. Ridicarea pupei ............................................................................. 23644. Momentul de stabilitate al navelor cu borduri verticale şi alnavelor tip ponton paralelipipedic ...................................................... 23845. Stabilitatea navei pe doc ............................................................... 24346. Stabilitatea navelor pe valuri de urmărire .................................... 245PROBLEME REZOLVATE .......................................................... 248

CAPITOLUL VI. NESCUFUNDAREA NAVEI ......................... 25947. Generalităţi. Tipuri de compartimente inundate. Extinderea şilocalizarea avariei ............................................................................... 25948. Efectele fundamentale ale avariei ................................................. 26149. Calculele stabilităţii la avarie ....................................................... 262

49.1 Metoda ambarcării de mase la bord ............................... 26349.2 Metoda deplasamentului constant ................................. 266

50. Calculul lungimilor inundabile ..................................................... 26951. Calculul diagramei de stabilitate statică pentru o navă avariată .. 274PROBLEME REZOLVATE .......................................................... 278

BIBLIOGRAFIE .............................................................................. 283

Page 4: Statica Navei

_______________________________________________________________________________8

PREFAŢĂ

În lucrarea de faţă, autorul îşi propune să trateze problemele fundamentale alestaticii navei, adresându-se ofiţerilor de marină, în drumul lor spre devenire de laofiţer cu responsabilitatea cartului (nivelul operaţional), până la comandant denavă sau şef mecanic (nivel managerial). Lucrarea se adresează deopotrivăstudenţilor instituţiilor de învăţământ superior de marină, reprezentând o parteînsemnată din "Teoria şi Construcţia Navei"; disciplină de specialitate din planulde învăţământ.Deşi nava ar trebui să fie o construcţie plutitoare la bordul căreia echipajul să-şidesfăşoare activitatea în siguranţă deplină, ştiinţa nu a ajuns la aceastăperformanţă, datorită faptului că nava operează la interfaţa dintre două mediifluide, ale căror evoluţii sunt departe de a fi cunoscute în totalitate. Cu toateacestea, studiile societăţilor de asigurare şi ale marilor companii de navigaţie auarătat că nu cauzele ştiinţifice sunt preponderent la originea accidentelor maritime,ci eroarea umană în proporţie de peste 80%. Cum întreaga activitate navală estecentrată pe problema siguranţei: siguranţa vieţii pe mare, siguranţa mediului,siguranţa mărfii şi siguranţa navei, înseamnă că este necesar să se cunoască câtmai exact comportarea navei la acţiunea cauzelor externe pe de o parte, precum şiinstruirea personalului navigant conformă cu cerinţele prevăzute în regulamentelenaţionale şi internaţionale din domeniu, pe de altă parte. Lucrarea este structuratăpe 6 capitole după cum urmează:Capitolul I. Noţiuni introductive cuprinde descrierea geometrică a formelornavei (principalele caracteristici geometrice, coeficienţi de fineţe şi rapoarteleîntre dimensiuni), precum şi sistemul de coordonate în raport cu care se realizeazăcalculele de statica navei.Capitolul II. Flotabilitatea navei cuprinde calculul elementelor hidrostatice alecarenei pe plutiri drepte şi înclinate, precum şi calculul influenţeiambarcării/debarcării de mase la bord dar şi a modificării salinităţii apei asupranavei pe carenă dreaptă.Capitolul III. Stabilitatea iniţială a navei cuprinde o analiză a fenomenelor şimodificărilor care se produc la înclinarea navei cu unghiuri mici; atât în planlongitudinal, cât şi în plan transversal în cazul diferitelor situaţii practice care aparîn timpul exploatării navei cum sunt: deplasări, ambarcări şi debarcări de mase labord, suprafeţe libere de lichid în tancuri, încărcături suspendate.Capitolul IV. Stabilitatea navei la unghiuri mari de înclinare cuprinde oanaliză a fenomenelor care se produc la înclinarea navei cu unghiuri mari în plan

Page 5: Statica Navei

_______________________________________________________________________________9

transversal, precum şi modul de trasare a diagramelor de stabilitate statică şidinamică ale navei. Sunt prezentate tipurile de probleme practice care apar întimpul exploatării şi care se rezolvă cu ajutorul diagramelor de stabilitate, precumşi recomandările Organizaţiei Maritime Internaţionale (I.M.O.) privitoare lastabilitatea navelor cargo şi pasagere.Capitolul V. Probleme legate de aplicarea practică a studiului flotabilităţii,stabilităţii navei cuprinde analiza câtorva probleme care apar în timpulexploatării navei cum sunt: eşuarea, ridicarea pupei, stabilitatea navei pe doc,stabilitatea navei pe valuri de urmărire.Capitolul VI. Nescufundarea navei cuprinde analiza flotabilităţii şi stabilităţiinavei avariate, precum şi metodele cu care se face această analiză.Originalitatea lucrării constă într-o abordare practică a fenomenelor legate destatica navei. Pentru a facilita înţelegerea şi aprofundarea aspectelor prezentate înaceastă lucrare, la sfârşitul capitolelor II, III, IV, V şi VI sunt prezentate seturi deprobleme rezolvate.

Autorul

Page 6: Statica Navei

_______________________________________________________________________________10

CAPITOLUL I. NOŢIUNI INTRODUCTIVE

1. CÂTEVA ARGUMENTE ÎN FAVOAREA IMPORTANŢEI STUDIERIITEORIEI NAVEI

În contextul globalizării economiei mondiale, în momentul actual, mai mult de90% din comerţul mondial se face pe mare cu ajutorul navelor de transport. Fărăindustria de shipping importul, respectiv exportul de mărfuri nu ar fi posibil şijumătate din populaţia omenirii ar suferi de foame iar cealaltă jumătate ar suferide frig. Comerţul pe mare va continua să se dezvolte în continuare în beneficiulconsumatorilor din întreaga lume fiind cel mai eficient şi cel mai puţin poluant, înacelaşi timp. Statisticile de la începutul anului 2008 arată că flota mondialăconţine circa 50.525 de nave de transport aparţinând a peste 150 de naţiuni cu untonaj însumat de 728.225.000 TR, la bordul cărora îşi desfăşoară activitateaaproximativ 1 milion de navigatori. Tansportul maritim a crescut de la 10.000miliarde tone x mile marine în 1970 la aproximativ 35.000 miliarde tone x milemarine în 2007. La nivel mondial activitatea în shipping este reglementată deOrganizaţia Maritimă Internaţională (IMO – International Maritime Organisation)care numără peste 150 de ţări membre şi care în ultimele decenii şi-a centratîntreaga activitate pe problema siguranţei transportului naval.Nava este o construcţie plutitoare, inginerească, destinată transportului de mărfurişi pasageri (navele de transport) sau pentru efectuarea unor operaţiuni în porturi şipe căile navigabile (navele tehnice). Construcţia navelor reprezintă, fără îndoială,un domeniu tradiţional în cadrul industriei transporturilor datorită elementuluiprincipal extrem de simplu pe care se bazează: "principiul lui Arhimede". Navatrebuie să fie o construcţie plutitoare care să opereze în siguranţă deplină, încondiţii de mediu cunoscute. Istoria dezastrelor navale dovedeşte că aceastăcerinţă este încă o problemă nerezolvată pe plan mondial şi a cărei dificultateapare din faptul că nava operează la interfaţa dintre două medii fluide a cărorevoluţie este oarecum predictibilă. Cauzele accidentelor navale sunt de naturătehnică, ştiinţifică, economică la care se adaugă, nu în ultimul rând, eroareaumană. Studiile societăţilor de asigurare şi ale marilor companii de navigaţieefectuate pentru fiecare caz în parte au ajuns la concluzia că mai mult de 80 % s-au datorat erorilor umane. Rezoluţia I.M.O. A.596 (15) din 1987 subliniază că"majoritatea accidentelor maritime se datorează erorilor umane".Ca o măsură absolut necesară în noiembrie 1993, Adunarea I.M.O. a adoptatCodul I.S.M. (International Safety Management), un standard internaţional pentru

Page 7: Statica Navei

_______________________________________________________________________________11

managementul în deplină siguranţă al navei, corespunzător fiecărei situaţii deoperare şi pentru prevenirea poluării mediului marin, care a intrat în vigoare la 24mai 1994. Orice navă la bordul căreia s-a implementat codul I.S.M. printr-un setde proceduri specifice primeşte Certificatul de Management, care se verifică întimpul inspecţiilor Port State Control. Aceste proceduri acoperă problematicaîntreagă a activităţilor de la bord constituind " Manualul procedurilor operaţionalede la bordul navei ".Pe de altă parte, pentru a limita numărul accidentelor navale care se datoreazăerorilor umane, în 1995, a fost adoptat codul S.T.C.W. (Standards of Training,Certification and Watchkeeping for Seafarers) care reprezintă un sumum minimde competenţe pe care trebuie să le posede orice membru al echipajului,corespunzător funcţiei pe care o ocupă.Pentru a justifica importanţa problematicii abordate în această carte, prezentămcâteva competenţe din S.T.C.W. corespunzătoare funcţiei de comandant la o navăcu tonaj brut de şi peste 500 t, care reclamă cunoştinţe din domeniul teoriei şiconstrucţiei navei.Competenţa:¨ Planificarea şi asigurarea siguranţei încărcării, stivuirii, transportului şidescărcării mărfiiCunoaştere, înţelegere, capacitate operaţională:® cunoaşterea efectului pe care mărfurile şi operaţiunile cu mărfurile îl au asupraasietei şi stabilităţii navei;® folosirea diagramelor de stabilitate şi asietă, a aparaturii de calcul asolicitărilor, inclusiv a aparaturii automate ce operează pe baza unei bănci de date.Competenţa:¨ Controlul asietei, stabilităţii şi a solicitărilor care acţionează asupra corpuluinaveiCunoaştere, înţelegere, capacitate operaţională:® înţelegerea principiilor fundamentale ale construcţiei navei, ale teoriilor şifactorilor care afectează asieta şi stabilitatea, precum şi măsurile necesare pentrupăstrarea asietei şi stabilităţii;® cunoaşterea efectului pe care eventuala avarie şi ulterioara inundare a unuicompartiment îl are asupra asietei şi stabilităţii precum şi contramăsurile caretrebuie luate.Ca o concluzie, întreaga activitate de transport naval este centrată peproblema siguranţei. Administraţiile semnatare ale convenţiilorinternaţionale, marile societăţi de clasificare, companiile de asigurare şi chiarcompaniile de management naval sunt din ce în ce mai preocupate de:siguranţa vieţii pe mare, siguranţa mediului, siguranţa mărfii şi siguranţanavei. Pentru îndeplinirea acestor deziderate este necesar să se cunoască câtmai exact comportarea navei din punct de vedere cinematic, dinamic şi

Page 8: Statica Navei

_______________________________________________________________________________12

structural pe de o parte, precum şi instruirea personalului navigantconformă cu cerinţele prevăzute în regulamentele naţionale şi internaţionaledin domeniu, pe de altă parte.

2. STATICA NAVEI CA PARTE IMPORTANTĂ A TEORIEI NAVEI.CALITĂŢILE NAUTICE ALE NAVEI

În cadrul teoriei navei, preocuparea esenţială constă în studiul calităţilor nauticeprecum şi modul în care: caracteristicile geometrice ale navei (dimensiuniprincipale, rapoarte între dimensiuni, formele suprafeţei imerse), distribuţia degreutăţi de la bordul navei, acţiunea factorilor externi (forţe şi momentehidrodinamice datorate acţiunii valurilor mării) etc. influenţează aceste calităţi.S-au identificat următoarele calităţi nautice ale navei: flotabilitatea, stabilitatea,nescufundabilitatea, caracteristici bune de oscilaţie, manevrabilitatea, rezistenţa laînaintare mică.Flotabilitatea este calitatea navei de a pluti cu întreaga încărcătură la bord, lapescajul dorit şi în poziţia dorită. Nava trebuie să posede şi o rezervă minimă deflotabilitate care depinde de tipul de navă, de tipul de încărcătură şi de zona denavigaţie.Stabilitatea reprezintă calitatea navei de a reveni la poziţia iniţială de echilibru,după dispariţia cauzei externe care a scos-o din această poziţie.Nescufundabilitatea reprezintă capacitatea navei de a-şi păstra flotabilitatea şistabilitatea în limite rezonabile atunci când un compartiment sau un grup decompartimente sunt inundate. În timpul navigaţiei pe mare montată, nava vaexecuta mişcări pe toate gradele de libertate, din care unele sunt mişcărioscilatorii. Aceste mişcări trebuie să aibă amplitudini cât mai mici şi perioade câtmai mari (Caracteristici bune de oscilaţie).Prin manevrabilitate se înţelege păstrarea sau modificarea controlată a direcţiei dedeplasare, incluzând în aceasta şi modificarea vitezei. Aceasta presupune ca nava:- să poată să-şi păstreze o traiectorie de mişcare dorită, adică să posedestabilitate de drum;- să poată să-şi modifice oricând această traiectorie la ordinul comandantului,adică să execute guvernarea. Nava trebuie, de asemenea, să posede o rezistenţă laînaintare mică, care se obţine încă din faza de proiectare, prin alegerea uneiarhitecturi a suprafeţei imerse corespunzătoare vitezei la care nava urmează să fieexploatată.În varianta modernă, teoria navei este o ramură a hidromecanicii aplicate, motivpentru care mai poartă denumirea şi de hidromecanica navei, bazându-se pe legilemecanicii teoretice şi hidromecanicii.Teoria navei permite să se determine forţele hidrostatice şi hidrodinamice careacţionează asupra corpului navei, considerând nava ca un solid, rigid,

Page 9: Statica Navei

_______________________________________________________________________________13

nedeformabil. Determinarea acestor forţe reprezintă baza pentru calculul static şidinamic al structurilor care alcătuiesc corpul navei.Statica navei este acea parte din teoria navei care se concentrează pe calităţilenautice de bază: flotabilitatea, stabilitatea şi nescufundabilitatea, aceasta din urmăînsemnând flotabilitatea şi stabilitatea navei avariate. În accepţiunea modernă,statica şi dinamica nu pot fi separate în special pentru faptul că metodeledinamicii sunt utilizate pentru rezolvarea unor probleme practice de stabilitate(stabilitatea navei la acţiunea dinamică a vântului, stabilitatea pe valurilongitudinale, stabilitatea remorcherelor sub efectul de smucitură la cârlig etc.).Prin urmare, separarea teoriei navei în statica şi dinamica navei este absolutformală, fiind adevărat însă că majoritatea problemelor de flotabilitate, stabilitateşi nescufundabilitate se rezolvă cu ajutorul metodelor staticii.În această carte s-a avut în vedere realizarea următoarelor obiective:- stabilirea caracteristicilor cu ajutorul cărora să poată fi evaluată calitativ şicantitativ flotabilitatea şi stabilitatea navei neavariate şi avariate;- modelarea matematică a problemelor practice legate de flotabilitatea şistabilitatea navei, care să ofere legătura dintre aceste calităţi nautice, dimensiunileprincipale şi formele navei.

3. PRINCIPALELE CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE CORPULUINAVEI. SISTEMUL DE COORDONATE

O navă se poate împărţi în mai multe complexe constructive: corpul,suprastructurile şi rufurile, instalaţia energetică, propulsorul, instalaţiile de punteşi cu tubulaturi, instalaţiile electrice şi radio etc., fiecare dintre aceste complexeridicând probleme specifice de proiectare, construcţie şi exploatare.Partea principală a oricărei nave o constă corpul alcătuit dintr-un înveliş subţire şietanş, întărit la interior cu cadre transversale şi longitudinale care formeazăstructura corpului şi îi conferă rigiditatea necesară. Reprezentarea grafică acorpului navei se concretizează în planul de forme. El se foloseşte pentruefectuarea calculelor hidrostatice necesare în procesul de proiectare şi în timpulexploatării navei, la reparaţiile la corp, la andocare, etc.Ca plane principale în statica navei se definesc următoarele trei plane reciprocperpendiculare (Fig.1):

Page 10: Statica Navei

_______________________________________________________________________________14

Fig. 1a) Planul diametral ( ). .P D este un plan vertical longitudinal care împarte nava îndouă jumătăţi simetrice tribord ( )Tb şi babord ( )Bb . Intersecţia corpului navei cuplanul diametral este un contur închis, numit conturul navei în planul diametral.Intersecţia planului diametral cu chila reprezintă linia chilei. Dacă în poziţia deplutire linia chilei este paralelă cu suprafaţa de plutire se spune că nava este pechilă dreaptă. În caz contrar, linia chilei este înclinată faţă de suprafaţa apei, cu unpescaj mai mare la pupa. Se spune că nava este apupată sau cu asieta la pupa.Această soluţie se adoptă la unele nave deoarece din punct de vederehidrodinamic, complexul "elice - cârmă" funcţionează în condiţii mai bune lapescaje mai mari.Planul plutirii de calcul este planul orizontal care coincide cu suprafaţa apeiliniştite, corespunzător pescajului pentru care a fost proiectată nava. Acest planîmparte nava în două părţi distincte: partea imersă numită şi carenă şi parteaemersă. Corespunzător, avem suprafaţa imersă în contact cu apa şi suprafaţaemersă în contact cu aerul atmosferic. Planul plutirii de calcul intersecteazăsuprafaţa corpului navei după o curbă plană închisă, denumită linie de apă, careînchide la interior plutirea de calcul sau plutirea de proiectare ( )CWL .Conform regulilor Registrului Naval Român (R.N.R.) se definesc următoareledouă perpendiculare (Fig. 2):

Page 11: Statica Navei

_______________________________________________________________________________15

Fig. 2

Perpendiculara prova ( )pvP este dreapta verticală care trece prin punctul deintersecţie dintre linia interioară a etravei şi CWL .Perpendiculara pupa ( )ppP este dreapta verticală conţinută în planul diametral,dusă prin axul cârmei sau la 96 % din lungimea plutirii de calcul ( )CWLL .

Pentru calculul elementelor geometrice ale carenei trebuie considerată o lungimecare să reprezinte o valoare medie a lungimii carenei pentru diferite plutiri. Îngeneral, pentru aceste calcule se foloseşte lungimea recomandată de societăţile declasificare pentru navele comerciale, respectiv lungimea plutirii de calcul pentrunavele militare. R.N.R. recomandă lungimea între perpendiculare.b) Planul secţiunii de la mijlocul navei este un al doilea plan important îndescrierea formelor geometrice ale navei. Este un plan lateral, perpendicular peplanul diametral, situat la jumătatea lungimii de calcul, în general reprezentat prinsimbolul . Acest simbol a fost iniţial utilizat pentru a desemna planul secţiuniitransversale de arie maximă sau planul "cuplului maestru". Planul cupluluimaestru împarte nava în două jumătăţi: jumătatea prova şi jumătatea pupa.La navele moderne de transport există o zonă la mijlocul navei unde secţiuneatransversală se păstrează constantă, care se numeşte "zonă cilindrică".c) Planul de bază este planul paralel cu planul plutirii de calcul, dus prin punctulde intersecţie al planului secţiunii de la mijlocul navei cu linia de bază. Urmaplanului de bază pe planul diametral se numeşte linie de bază ( ). .L B .Sistemul de coordonate faţă de care ne vom raporta în calculele de statica naveiare axele situate la intersecţia a două câte două din cele trei plane principale (veziFig. 1). Originea acestui sistem K se numeşte punct de chilă. Axa x este laintersecţia lui . .P B cu . .P D şi pozitivă spre prova; axa y este la intersecţia lui . .P Bcu şi pozitivă spre tribord; axa z este la intersecţia lui cu . .P D şi este pozitivăîn sus. Acesta este un sistem mobil în spaţiu, legat de navă. Asupra sistemelor decoordonate vom mai reveni în capitolul următor.

Page 12: Statica Navei

_______________________________________________________________________________16

Dimensiuni principale

Dimensiunile navei sunt de două tipuri: dimensiuni teoretice (de calcul sau deconstrucţie) şi dimensiuni de gabarit de care trebuie să se ţină cont în exploatareaşi manevra navei. Acestea sunt: lungimea L , lăţimea B , înălţimea de construcţieD , pescajul d .

Fig. 3

În figura 3 sunt ilustrate următoarele dimensiuni principale:- lungimea la linia de plutire de calcul ( )CWLL este distanţa măsurată în . .P D

între punctele de intersecţie ale liniei de plutire de calcul cu etrava şi etamboul;- lungimea de construcţie sau de calcul (L) este lungimea definită conformprescripţiilor registrelor de clasificare şi serveşte la dimensionarea elementelorconstructive ale navei;- lungimea maximă (Lmax) este distanţa orizontală măsurată între puncteleextreme ale corpului navei, excluzând eventualele părţi nestructurale. Dacă navaeste prevăzută cu părţi structurale, atunci aceeaşi distanţă se numeşte lungime degabarit;- lungimea între perpendiculare (Lpp) este distanţa măsurată întreperpendicularele prova şi pupa;- lăţimea de calcul (B) este distanţa măsurată între tangentele paralele la axa desimetrie a plutirii de calcul. Pentru navele care au zonă cilindrică, lăţimea estemăsurată în secţiunea de la mijlocul navei pe plutirea de calcul;- lăţimea maximă (Bmax) este distanţa măsurată între punctele extreme alecorpului în secţiunea de la mijlocul navei, excluzând eventualele părţinestructurale. Dacă nava este prevăzută cu părţi structurale, atunci aceeaşi distanţăse numeşte lăţime de gabarit;- înălţimea de construcţie ( )D este distanţa verticală dintre . .P B şi punctul deintersecţie al punţii cu bordajul, măsurată în planul secţiunii de la mijlocul navei;

Page 13: Statica Navei

_______________________________________________________________________________17

- înălţimea bordului liber ( )F este distanţa verticală măsurată în secţiunea de lamijlocul navei de la linia de plutire până la intersecţia punţii de bord liber cubordajul;- pescajul de calcul ( )d este distanţa verticală măsurată în secţiunea de lamijlocul navei între . .L B şi plutirea de calcul;- pescajele prova şi pupa ( ),pv ppd d sunt distanţele verticale, măsurate la celedouă perpendiculare de la linia chilei până la plutirea de calcul. Dacă cele douăpescaje au valori diferite, se spune că nava are asietă. Nava este aprovată sauapupată dacă pescajul prova ( )pvd este mai mare decât pescajul pupa ( )ppd şiinvers. Asieta este diferenţa dintre pescajul prova şi pescajul pupa. În aceastăsituaţie, pescajul mediu md va fi media aritmetică a celor două pescaje:

2pv pp

m

d dd

+= (3.1)

Planul de forme

Geometria navei se concretizează prin planul de forme care se obţine secţionândnava cu plane paralele cu planele principale şi suprapunând curbele rezultate. Eleste util în efectuarea calculelor necesare la proiectarea navei, cât şi în timpulexploatării acesteia; spre exemplu, la andocare sau la reparaţii care se execută lacorp, când este nevoie de detalierea formelor navei în anumite zone.Secţiunile care se fac în corpul navei paralele cu . .P B se numesc plutiri, iarnumărul acestora este de la 4 la 10, în funcţie de mărimea navei şi complexitateaformelor geometrice. Proiecţia liniilor de plutiri pe . .P B reprezintă "orizontalul"planului de forme.Secţiunile paralele cu se numesc "cuple". Numărul lor poate fi de 10, 20 sau 40,dispuse echidistant între ppP şi pvP . Cuplele se numerotează cu cifre arabe (deexemplu, cupla 0 se suprapune pe . .P D cu ppP şi cupla 20 cu pvP ). La extremităţi,unde formele navei sunt mai fine, cuplele pot fi mai dese. Proiectând cuplele pese obţine "lateralul" planului de forme.Secţiunile paralele cu . .P D se numesc "verticale". Numărul lor este între 2 şi 5.Intersecţia corpului navei cu . .P D dă forma etravei, etamboului, chilei şi a linieipunţii. Proiecţiile acestor secţiuni pe . .P D reprezintă "verticalul" planului deforme.Suprafaţa punţii poate fi comparată cu o "şa", fiind o suprafaţă cu dublă curburăatât în sens transversal, cât şi longitudinal. Curbura liniei punţii se mai numeşte şiselatură.

Page 14: Statica Navei

_______________________________________________________________________________18

4. COEFICIENŢI DE FINEŢE. RAPOARTE ÎNTRE DIMENSIUNI

Coeficienţii de fineţe sau coeficienţii de plenitudine sunt rapoarte adimensionaledintre arii şi volume proprii ale navei şi caracterizează geometria acesteia.Coeficienţii de fineţe ai ariilor sunt:

a) Coeficientul secţiunii maestre ( )MC reprezintă raportul dintre ariasecţiunii maestre şi aria dreptunghiului circumscris:

MA

CB d

Ä=×

(4.1)

Valoarea acestui coeficient este cuprinsă între 0,62 la navele cu forme foarte fineşi 0,995 la supertancuri.b) Coeficientul ariei de plutire ( )WLC reprezintă raportul dintre aria plutirii şi ariadreptunghiului circumscris, adică:

WLWL

AC

L B=

×(4.2)

Dacă se calculează acest coeficient pentru plutiri diferite de plutirea de plinăîncărcare, atunci L este ppL sau chiar lungimea plutirii curente. La plutirea deplină încărcare, valoarea lui WLC este cuprinsă între 0,65 şi 0,95 depinzând de tipulnavei, viteză şi alţi factori.Coeficienţii de fineţe ai volumelor sunt:a) Coeficientul de bloc ( )BC reprezintă raportul dintre volumul carenei V şivolumul paralelipipedului dreptunghic având dimensiunile ,L B şi d , adică:

BVC

L B d=

× ×(4.3)

De la o autoritate maritimă la alta L poate fi Lpp sau LWL. De regulă, pentruplutirile inferioare L se consideră lungimea plutirii respective. Lăţimea şi pescajulse iau în calcul la plutirea considerată măsurate în secţiunea de la mijlocul navei.Valoarea acestui coeficient este cuprinsă între 0,36 la navele de sport şi agrementşi 0,85 la supertancuri.b) Coeficientul prismatic longitudinal ( )LPC sau, mai simplu, coeficientullongitudinal reprezintă raportul dintre volumul carenei V şi volumul prismei ceare ca bază aria secţiunii maestre AÄ şi lungimea egală cu lungimea navei L ,adică:

BLP

M M

CV VCA L L B d C CÄ

= = =× × × ×

(4.4)

Acest coeficient ne dă o imagine asupra distribuţiei volumului pe lungimea navei,valoarea sa fiind cuprinsă între 0,5 şi 0,9. Valorile mici sunt pentru navele cuforme fine iar cele mari pentru navele cu forme pline şi zone cilindrice prelungite.

Page 15: Statica Navei

_______________________________________________________________________________19

c) Coeficientul prismatic vertical ( )VPC reprezintă raportul dintre volumul careneiV şi volumul cilindrului ce are ca bază aria plutirii şi ca înălţime pescajul navei,adică:

BVP

WL WL WL

CV VCA d L B d C C

= = =× × × ×

(4.5)

Acest coeficient ne oferă o imagine asupra distribuţiei volumului pe înălţimeanavei.d) Coeficientul volumetric sau raportul volumului pe lungime ( )VC este definit derelaţia:

3VVCL

= (4.6)

În unele publicaţii acest coeficient este utilizat în forma( )3100L

D , unde D este

deplasamentul navei în tone lungi, iar L este lungimea navei în picioareenglezeşti; el pierzându-şi astfel caracterul adimensional. Valoarea acestuicoeficient este cu atât mai mare, cu cât nava are lungimea mai mică la acelaşipescaj şi variază între 1,0 pentru nave lungi, cum sunt distrugătoarele şi 15,0pentru nave scurte, cum sunt traulere.Rapoartele între dimensiuni sunt mărimi adimensionale care oferă o imagineasupra calităţilor nautice şi manevriere ale navei. Cele mai utilizate sunt:

- raportul lungime pe lăţime LB

a cărui valoare se situează în limitele de la 3,5

la 10, oferă indicii legate de rezistenţa la înaintare şi manevrabilitatea navei.

Astfel, navele cu LB

mare au rezistenţa la înaintare mică, stabilitate transversală

mai mică, stabilitate de drum bună, sunt mai puţin manevriere şi invers pentru

navele cu LB

mic.

- raportul lăţime pe pescaj Bd

a cărui valoare se situează între 1,8 şi 5, oferă

indicii legate de stabilitate şi caracteristicile de oscilaţie ale navei. Astfel, navele

cu Bd

mare au stabilitate mare, dar în timpul navigaţiei pe valuri vor executa

oscilaţii de ruliu dure (amplitudini şi frecvenţe mari de oscilaţie).

- raportul lungime pe pescaj Ld

a cărui valoare se situează între 10 şi 30.

Pentru exemplificare, în tabelul 1 sunt prezentate dimensiunile principale,coeficienţii de fineţe şi rapoartele între dimensiuni pentru diferite tipuri de nave.

Page 16: Statica Navei

_______________________________________________________________________________20

Tabelul 1Tipulnavei

Lpp[m]

B[m]

d[m]

D[t]

CB CM CLP CWL CVP CVB

L

d

B

Navă 246.89 32.23 10.67 50370 0.579 0.965 0.6 0.748 0.774 3.26 7.94 2.91Navă Roll 195.07 31.09 9.75 34430 0.568 0.972 0.584 0.671 0.846 5.18 6.27 3.19Petrolier 192.02 27.43 10.40 43400 0.772 0.986 0.784 0.854 0.904 5.98 7,0 2.64Petrolier 323.09 54.25 20.39 308700 0.842 0.996 0.845 0.916 0.919 8.9 5.96 2.66Fregată 124.36 13.74 4.37 3390 0.449 0.741 0.605 0.727 0.618 1.7 9.05 3.14

Spărgător 107.29 23.77 8.53 10900 0.488 0.853 0.572 0.740 0.660 8.97 4.51 2.79Trauler 23.75 6.71 2.53 222 0.538 0.833 0.646 0.872 0.617 16.2 3.54 2.65L.N.G. 273.41 43.74 10.97 97200 0.722 0.995 0.726 0.797 0.906 4.64 6.25 3.99Bulk 260.60 32.23 13.96 100500 0.836 0.996 0.839 0.898 0.931 5.54 8.09 2.31

Page 17: Statica Navei

_______________________________________________________________________________21

5. PARAMETRII UNEI PLUTIRI

Poziţia navei în raport cu suprafaţa liberă a apei este definită depoziţia relativă a două sisteme de coordonate, unul fix în raport cu nava, dar mobilîn spaţiu despre care am vorbit în § 3 (Fig.1) şi unul fix în spaţiu legat desuprafaţa liniştită a apei. Este foarte dificil de găsit un singur sistem decoordonate, unanim acceptat pentru rezolvarea tuturor problemelor legate deteoria navei. În mod particular, pentru fiecare problemă se adoptă sistemul decoordonate cel mai convenabil din punct de vedere al exprimării comportăriinavei.

Sunt trei parametri care definesc poziţia navei în raport cusuprafaţa apei şi care se mai numesc şi parametrii plutirii (Fig. 4).

Fig. 4

1) pescajul corespunzător punctului A de intersecţie al plutirii cu axa oz , md ;2) unghiul q de înclinare longitudinală (unghiul dintre axa ox şi intersecţia . .P Dcu planul plutirii);3) unghiul j de înclinare transversală (unghiul dintre axa oy şi intersecţia cuplanul plutirii).

CAPITOLUL II. FLOTABILITATEA NAVEI

Page 18: Statica Navei

_______________________________________________________________________________22

În cazul cel mai general, poziţia navei în raport cu suprafaţa liberă a apeieste înclinată atât longitudinal ( )0q ¹ , cât şi transversal ( )0j ¹ . Nava poate aveanumai înclinare longitudinală ( 0q ¹ şi 0j = ) sau numai înclinare transversală( 0q = şi 0j ¹ ). Poziţia normală însă este considerată "pe carenă dreaptă " atuncicând 0j = q = .

Cunoscând dimensiunile navei: L - lungimea de calcul; B - lăţimea naveişi citind pescajele: pvd – pescajul la prova; ppd – pescajul la pupa; Tbd – pescajul latribord; Bbd – pescajul la babord; la scările de pescaj: prova, pupa şi în ambeleborduri, atunci parametrii plutirii se vor calcula cu relaţiile:

;2

pv ppm

d dd

+= pescajul mediu (5.1)

tg ;pv ppd dL-

q = înclinarea longitudinală (5.2)

tg Tb Bbd dB-

j = ; înclinarea transversală (5.3)

Vom observa că înclinarea longitudinală este considerată pozitivă atuncicând pv ppd d> şi nava este aprovată, iar înclinarea transversală este pozitivă atuncicând Tb Bbd d> şi tribordul intră, iar babordul iese din apă.

În cazul general, când 0q ¹ şi 0j ¹ suprafaţa apei va fi înclinată cu unghiula faţă de . .P B Între aceste unghiuri există relaţia:

2 2 2tg tg tga = q+ j (5.4)

Fig. 5a) navă pe carenă dreaptă; b) navă înclinată transversal; c) navă înclinată longitudinal

Page 19: Statica Navei

_______________________________________________________________________________23

Cu referire la Fig. 5, c), nava înclinată longitudinal cu unghiul q, se vademonstra în Capitolul III - "Stabilitatea iniţială a navei" că planul plutirii iniţialeşi planul plutirii înclinate se intersectează după o axă ce trece prin centrul degreutate al plutirii iniţiale F , a cărui abscisă o notăm cu Fx .

Noile pescaje prova şi pupa se vor calcula cu relaţiile:

tg tg2 2pv F mL Ld d x dæ ö= + - q =+ qç ÷

è ø(5.4)

tg tg2 2pp F mL Ld d x dæ ö= - + q =- qç ÷

è ø(5.5)

unde:

tg2 F pvL x dæ ö- q = dç ÷

è ø® variaţia pescajului prova (5.6)

tg2 F ppL x dæ ö+ q = dç ÷

è ø® variaţia pescajului pupa

(5.7)Legătura dintre pescajul de calcul ( )d şi pescajul mediu ( )md este:

tgm Fd d x= + q (5.8)Pentru o secţiune transversală de abscisă x , pescajul corespunzător se va

calcula cu relaţia:( ) ( ) tg tgF md x d x x d x= + - q =+ q . (5.9)

6. FORŢE CARE ACŢIONEAZĂ ASUPRA NAVEI.CONDIŢII DE ECHILIBRU

Un corp poate pluti la suprafaţa apei, caz în care o porţiune din corp este încontact cu apa, iar cealaltă în contact cu aerul (navele de suprafaţă) sau poate plutiîn condiţii de imersare completă (submarinele). Pe suprafaţa imersă a unui corpcare nu se mişcă în raport cu apa vor acţiona forţele de presiune hidrostatică. Dacăvom considera plutitorul gol la interior, deci în contact cu aerul atmosferic, atuncipresiunea care va trebui luată în consideraţie pentru a calcula acţiunea hidrostaticăasupra plutitorului este presiunea relativă:

( )'p g d z= r - (6.1)Pe suprafaţa elementară dS de pe corp, va acţiona forţa de presiune

elementară (Fig.6).( )'dF p n dS g z d n dS= - = r -

r r r (6.2)unde nr este versorul normalei la suprafaţa elementară dS . Cele trei componentevor fi:

Page 20: Statica Navei

_______________________________________________________________________________24

( )( )( )

'cos ,'cos ,'cos ,

x

y

z

dF p n x dSdF p n y dSdF p n z dS

= -ìï = -íï = -î

(6.3)

Fig. 6

Momentul acestei forţe în raport cu originea este:dM r dF= ´r rr cu componentele:

x z y

y x z

z y x

dM y dF z dFdM z dF x dFdM x dF y dF

ì = -ï = -íï = -î

(6.4)

Acţiunea hidrostatică asupra acestui corp se reduce în final la un torsorformat din rezultanta F

rşi momentul rezultant M

r. Componentele acestor vectori

se pot scrie:

( )

( )

( )

'cos ,

'cos ,

'cos ,

xS

yS

zS

F p n x dS

F p n y dS

F p n z dS

ì= -ï

ïï = -íïï = -ïî

ò

ò

ò

(6.5)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

' cos , cos ,

' cos , cos ,

' cos , cos ,

xS

yS

zS

M p z n y y n z dS

M p x n z z n x dS

M p y n x x n y dS

ì= -é ùï ë û

ïï = -é ùí ë ûïï = -é ùë ûïî

ò

ò

ò

(6.6)

Raţionând strict matematic, putem calcula forţa hidrostatică ce acţioneazăasupra plutitorului folosind formula integrală a lui Gauss. Vom putea scrie:

Page 21: Statica Navei

_______________________________________________________________________________25

' 'WLS S A

F p n dS p n dS+

= - = -ò òr r r (6.7)

Termenul adăugat 'WLA

p n dS-òr este nul şi nu modifică valoarea integralei,

însă a fost necesar pentru a transforma integrala într-o integrală pe o suprafaţăînchisă ( WLS A+ reprezintă suprafaţa carenei plus aria plutirii, care închide lainterior volumul carenei V ). Mai departe, aplicăm formula lui Gauss şi obţinem:

'V

F p dV gV k= - Ñ = ròrr

(6.8)

Relaţia (6.8) exprimă faptul că forţa hidrostatică se reduce la o rezultantăverticală, componentele orizontale fiind nule, adică:

( )'cos , ' 0yoz

yozS S

p n x dS p dS= =ò ò (6.9)

( )'cos , ' 0xoz

xozS S

p n y dS p dS= =ò ò (6.10)

unde yozS şi xozS sunt proiecţiile suprafeţei carenei pe planele yoz respectiv xoz. Înconcluzie, componentele elementare xdF şi ydF se anulează două câte două şiasemănător momentele acestor componente faţă de axe, adică:

( ) ( )' cos , 0 ; ' cos , 0S S

p z n y dS p x n y dS= =ò ò (6.11)

( ) ( )' cos , 0 ; ' cos , 0S S

p z n x dS p y n x dS= =ò ò (6.12)

Înlocuind (6.11) şi (6.12) în (6.6), găsim:( ) ( ) ( )' cos , cos ,x

S S

M p y n z dS g z d y n z dS= - = r -ò ò (6.13)

( ) ( ) ( )' cos , cos ,yS S

M p x n z dS g d z x n z dS= = r -ò ò (6.14)

0zM = (6.15)sau mai departe:

( ) ( )cos , cos ,xS S

M g zy n z dS gd y n z dS= r -rò ò (6.16)

( ) ( )cos , cos ,yS S

M gd x n z dS g zx n z dS= r -rò ò (6.17)

Vom observa că:( )cos , 0

S

y n z dS =ò şi ( )cos , 0S

x n z dS =òşi relaţiile anterioare se pot scrie:

( )cos ,xS

M g zy n z dS= r ò (6.18)

( )cos ,yS

M g zx n z dS= -r ò (6.19)

În continuare, vom calcula integralele din expresiile (6.18) şi (6.19). Cureferire la Fig. 7, notăm 1z şi 2z cotele punctelor care se găsesc pe suprafaţa S pe

Page 22: Statica Navei

_______________________________________________________________________________26

aceeaşi verticală în zonele superioară, respectiv inferioară ale acestei suprafeţe.De asemenea, xoyS reprezintă proiecţia întregii suprafeţe submerse pe planul xoy .Obţinem:

( ) ( )1 2cos ,xoy

xoyS S

zy n z dS y z z dS= -ò ò

Fig. 7

Din Fig. 7 se observă că ( )1 2 xoyz z dS- este volumul unei prisme elementarece are ca bază suprafaţa xoydS , iar ca înălţime ( )1 2z z- adică dV . Produsul ydV

este momentul static elementar al acestui volum faţă de planul xoz . Raţionândidentic şi pentru integrala din formula (6.19), vom putea scrie în final:

( )1 2

xoy

x xoy BS

M g y z z dS gy V= r - = rò (6.20)

( )1 2

xoy

y xoy BS

M g x z z dS gx V= -r -= -rò (6.21)

Dacă adăugăm şi relaţia (6.8), obţinem acţiunea completă hidrostaticăasupra plutitorului.

În concluzie, asupra unui corp scufundat în lichid acţionează de jos în suso forţă egală în mărime cu greutatea lichidului dezlocuit de acesta, suportul acesteiforţe trecând prin centrul de greutate al volumului dezlocuit. Aceasta este legea luiArhimede; forţa se numeşte forţă arhimedică sau forţă de împingere, iar centrulde greutate al volumului dezlocuit se notează cu B şi se numeşte centru decarenă. Coordonatele acestui punct se notează cu , ,B B Bx y z .

Deoarece corpul navei este simetric în raport cu planul diametral, planulxoz şi, în consecinţă, momentul static al volumului carenei faţă de acest plan estenul, deci:

Page 23: Statica Navei

_______________________________________________________________________________27

0By = şi 0xM =

În afară de forţele hidrostatice, asupra navei acţionează şi forţele degreutate care se reduc la o rezultantă unică, denumită greutatea navei notată cuW . Punctul de aplicaţie al forţei de greutate se numeşte centru de greutate, senotează cu G şi are coordonatele , ,G G Gx y z (Fig. 8).

Fig. 8

Din punct de vedere mecanic, un solid este în echilibru atunci când forţarezultantă care acţionează asupra lui şi momentul rezultant în raport cu un punctarbitrar sunt nule.

În concluzie, pentru ca o navă să fie în echilibru sunt necesare şi suficientea fi îndeplinite următoarele două condiţii:® Forţa arhimedică să fie egală cu forţa de greutate;® Cele două forţe să acţioneze pe acelaşi suport, adică:

;B G B G

W gx x y y= r Ñì

í = =î(6.22)

În formulele (6.22) s-a notat cu Ñ volumul carenei diferit de notaţiaanterioară V . Explicaţia este următoarea: prin V s-a notat volumul carenei calculatdin planul de forme, unde sunt prezentate formele navei la interiorul tablelor ceformează corpul. În realitate, datorită grosimii tablelor, volumul dezlocuit de navăeste mai mare, între Ñ şi V existând relaţia:

V V kVÑ = + d = (6.23)Coeficientul k are valori supraunitare cuprinse între 1,005 şi 1,01 în

funcţie de mărimea navei, de existenţa şi mărimea apendicilor şi de tipul navei.Dacă notăm cu D masa navei, atunci prima relaţie din (6.22) devine:

D= rÑ (6.24)motiv pentru care, masa navei se poate substitui prin deplasament. Relaţia (6.24)se numeşte ecuaţia flotabilităţii. Deplasamentul D se măsoară în tone, iar volumulcarenei Ñ în m3 . Densitatea apei dulci este r=1 t/m3, iar a apei sărate variază între1,009 şi 1,028 t/m3 în funcţie de zonă şi anotimp. În tabelul 2 sunt prezentatevalorile densităţii apei de mare în funcţie de anotimp, în câteva zone de pe glob.

Page 24: Statica Navei

_______________________________________________________________________________28

Tabelul 2Densitatea r [t/m3]Marea

vară iarnăMarea Neagră 1,009-1,011 1,011-1,014

Marea Mediterană 1,027 1,031Marea Baltică 1,010 1,012

Marea Japoniei 1,021 1,028

Relaţia (6.8) a forţei hidrostatice care acţionează asupra navei aflate înrepaus şi implicit ecuaţia flotabilităţii (6.24) este valabilă atâta timp cât toatăsuprafaţa imersă este în contact cu apa, deci nava pluteşte liber. Dacă nava esteeşuată sau scufundată, atunci forţa hidrostatică este mai mică datorită faptului căpe zona aşezată pe fundul mării, sau pe o stâncă, nu mai acţionează presiuneahidrostatică.

Fig. 9

În situaţia din figura 9, nava este aşezată cu suprafaţa de contact A pefundul şenalului navigabil. Pe această suprafaţă nu se manifestă presiuneahidrostatică. Dacă din volumul etanş al corpului navei se scade volumul cilindric,corespunzător suprafeţei A se obţine volumul 'V şi corespunzător, forţa deflotabilitate remanentă 'gVr . Pentru a putea desprinde nava de pe fundul apei estenecesară o forţă verticală, dată de relaţia:

( )0'F W gV p gh A= -r + + r (6.25)unde ( )0p gh A+ r este forţa de presiune a apei care apasă pe suprafaţa de mărime A .

Page 25: Statica Navei

_______________________________________________________________________________29

7. GREUTATEA NAVEI. COORDONATELECENTRULUI DE GREUTATE

În calculele de teoria navei, în general, şi de stabilitate, în particular, unadin principalele probleme este determinarea poziţiei centrului de greutate.

Greutatea navei este reprezentată de suma greutăţilor corespunzătoaregrupelor de mase care compun deplasamentul navei:

1

n

ii

W q=

=å (7.1)

unde iq este greutatea corespunzătoare grupei de mase " i ".Centrul de greutate este punctul în care se consideră că acţionează forţa de

greutate. Aşa cum ştim de la "Mecanică", coordonatele centrului de greutate secalculează cu formulele:

1

1

1

n

i ii

G

n

i ii

G

n

i ii

q xx

W

q yy

W

q zKG

W

=

=

=

ìïï =ïïïï =íïïïï =ïïî

å

å

å

(7.2)

În aceste formule, , ,i i ix y z sunt coordonatele centrului de greutate al grupeide mase " i ", iar , ,i i i i i iq x q y q z sunt momentele statice în raport cu planele

, ,yoz xoz xoy .În condiţii normale de încărcare, centrul de greutate este situat în planul

diametral datorită simetriei navei faţă de acest plan, deci1

0n

i ii

q y=

=å şi 0Gy = .

Pentru calculele preliminare, cota centrului de greutate KG se exprimă, deobicei, ca o fracţiune din înălţimea de construcţie D

KG aD=unde a este un factor adimensional, care depinde de tipul navei şi de condiţiile deîncărcare, a cărui valoare variază între 0,5 şi 1,0.

Abscisa centrului de greutate Gx se poate exprima ca o fracţiune dinlungimea navei şi poate fi pozitivă, negativă sau zero, însă rareori valoarea sa înmodul depăşeşte 1,5 % din lungimea navei.

Page 26: Statica Navei

_______________________________________________________________________________30

Deplasamentul navei se exprimă în tone metrice (1 tonă metrică = 1000Kg) sau tone engleze (1 tonă engleză = 1016 Kg).

La navele comerciale se disting două deplasamente importante:a) Deplasamentul gol ( )0D sau deplasamentul uşor, adică deplasamentul pe care îlare nava la ieşirea din şantierul de construcţie, având în compunere următoarelegrupe de mase:

- corpul navei;- amenajări, instalaţii şi echipamente, adică acele componente care dau

navei posibilitatea de a-şi îndeplini misiunea principală (transportul demărfuri), care asigură echipajului o viaţă cât mai comodă la bord şicare permit navei să execute diferite manevre în port sau în timpulnavigaţiei, precum şi acele sisteme necesare siguranţei navigaţiei saupentru salvare;

- instalaţia de propulsie şi mecanismele aferente.b) Deplasamentul de plină încărcare sau deplasamentul gol la care se adaugăurmătoarele grupe de mase:

- încărcătura utilă sau deplasamentul util;- rezervele de combustibil, ulei şi apă tehnică pentru maşini şi instalaţii;- echipajul;- proviziile pentru echipaj.Diferenţa dintre deplasamentul de plină încărcare şi deplasamentul gol se

numeşte capacitate brută de încărcare sau deadweight. Pentru navele de transportmărfuri (cargouri, portcontainere, petroliere etc.), deadweightul se determinărelativ simplu, procedura fiind mai complicată pentru navele de transport pasagerisau pentru navele mixte.

Un model de tabel pentru calculul deplasamentului şi a coordonatelorcentrului de greutate este prezentat mai jos (vezi tabelul 3). Realizarea acestuicalcul presupune parcurgerea mai multor etape:

1. Întocmirea tabelului cu toate greutăţile de la bordÎn acest tabel se vor include toate greutăţile care, însumate, ne dau

greutatea totală a navei. Ele se vor completa în coloana 2 simbolic şi cantitativ încoloana 3. Simbolurile sunt reprezentate de litere pentru fiecare categorie degreutăţi: A - deplasamentul gol ( )0D , B – încărcătura utilă (marfa încărcată înmagazii), C – apa tehnică (r=1000 Kg/m3), D – apă balast (r=1025 Kg/m3), E –combustibil greu (r=960 Kg/m3), F – motorină (r=860 Kg/m3), G – lubrifiant(r=910 Kg/m3), H – provizii.

2. Calculul coordonatelor centrelor de greutate ,i ix KGPentru calculul coordonatelor centrelor de greutate ale categoriilor de

greutăţi din tabelul 3 se utilizează tabelul cu coordonatele centrelor de volum

Page 27: Statica Navei

_______________________________________________________________________________31

pentru fiecare compartiment (tancuri şi magazii de marfă). În situaţia în carecompartimentul este umplut în totalitate cu marfă omogenă, centrul de greutate almărfii va coincide cu centrul volumului compartimentului respectiv. În cazultancurilor parţial umplute sau umplute cu mărfuri diferite, poziţia centrului degreutate al masei din compartiment se poate aproxima ţinând cont de gradul deumplere al compartimentului sau de tipul de mărfuri din compartiment.

3. Calculul momentelor statice faţă de linia de bază ( ). .L B şi planulcuplului maestru .

Se calculează aceste momente făcând produsul dintre greutăţi şi braţele lormăsurate faţă de ( ). . iL B KG şi faţă de ( )ix .

În final, se pot determina coordonatele centrului de greutate utilizândrelaţiile următoare:

;LBG

M MKG x Ä= =

D Då å (7.3)

În publicaţiile de specialitate de limbă engleză, pentru a desemna poziţiacentrului de greutate al navei G , în locul coordonatelor KG şi Gx se pot întâlninotaţiile VCG (vertical centre of gravity), respectiv LCG (longitudinal centre ofgravity). Valorile acestor mărimi pot fi măsurate fie de la mijlocul lungimii navei,fie de la ppP .

În multe cazuri din timpul exploatării navei, poziţia centrului de greutatese modifică datorită ambarcării, debarcării sau deplasării de greutăţi la bord.

1) Ambarcarea (Debarcarea) de greutăţi la bordÎn continuare, se va considera numai efectul ambarcării maselor;

debarcarea fiind considerată ca o ambarcare de mase negative. Se consideră omasă P ambarcată într-un punct ( )1 1 1, ,A x y z ; datele iniţiale despre navă fiind:deplasamentul D şi poziţia centrului de greutate ( ), ,G GG x y KG . Consecinţeleacestei operaţiuni asupra navei sunt multiple, incluzând modificareadeplasamentului şi a poziţiei centrului de greutate.

Astfel, noul deplasament se va calcula cu relaţia:1 PD= D + (7.4)

iar noile coordonate ale centrului de greutate, cu relaţiile:

( )1 1G G G

Px x x xP

= + -D + (7.5)

( )1 1G G G

Py y y yP

= + -D + (7.6)

( )1 1PKG KG z KG

P= + -

D +(7.7)

Page 28: Statica Navei

_______________________________________________________________________________32

În unele publicaţii din literatura de specialitate, cota centrului de greutate amasei ambarcate 1z se mai notează cu Kg .

Tabelul 3Braţul Momentul

Nr.crt.

Denumirea şiamplasareagreutăţilor

Greutatea[t]

( )i iz KG

[m]ix

[m]LBM

[t m]MÄ

[t m]

1 2 3 4 5 6 71 A. Deplasamentul gol

D Magazia 1Magazia 2Magazia 3

2 B.

Magazia 43 C. (r=1000 Kg/m3)4 D. (r=1025 Kg/m3)5 E. (r=960 Kg/m3)6 F. (r=860 Kg/m3)7 G. (r=910 Kg/m3)8 H. Provizii

9 Deplasament D ;LBG

M MKG x Ä= =

D Då å

Generalizare: Dacă la bordul navei se ambarcă " n " mase iP , cu centrele degreutate în punctele ( ), ,i i i iA x y z , 1i n= K , atunci noul deplasament al navei se vacalcula cu formula:

1 ii

PD = D +å (7.8)

iar noile coordonate ale centrului de greutate cu formulele:

( )1

1

1G G i i G

ix x P x x= + -

D å(7.9)

( )1

1

1G G i i G

iy y P y y= + -

D å (7.10)

( )11

1i i

iKG KG P z KG= + -

D å (7.11)

2) Deplasarea de greutăţi la bord.Dacă la bordul navei, masa P se deplasează din punctul ( ), ,A x y z în

punctul ( )1 1 1, ,D x y z , deplasamentul navei nu se modifică, însă se deplasează

Page 29: Statica Navei

_______________________________________________________________________________33

centrul său de greutate. Ca o consecinţă a teoremei momentelor statice din"Mecanica teoretică" se cunoaşte că:

"Dacă în cadrul unui sistem format din mai multe corpuri, unul din corpurise deplasează într-o direcţie oarecare, atunci centrul de greutate al sistemului se vadeplasa în aceeaşi direcţie şi în acelaşi sens. Raportul dintre distanţa de deplasarea centrului de greutate al corpului şi distanţa de deplasare a centrului de greutateal sistemului este egal cu raportul dintre masa corpului şi masa întregului sistem".

Coordonatele centrului de greutate în poziţia deplasată se calculează cuformulele:

( )1 1G G

Px x x x= + -D

(7.12)

( )1 1G G

Py y y y= + -D

(7.13)

( )1 1PKG KG z z= + -D

(7.14)

8. CALCULUL ELEMENTELOR HIDROSTATICE ALE CARENEI ŞICURBELE DE VARIAŢIE ALE ACESTORA CU PESCAJUL.

DIAGRAMA DE CARENE DREPTE

Se va presupune că nava este pe carenă dreaptă, adică P.B. este paralel cuplanul plutirii. În continuare, vom determina variaţia cu pescajul a elementelorhidrostatice ale carenei. Acestea sunt:

- volumul carenei V , deplasamentul D şi coordonatele centrului decarenă , ,B Bx y KB ;

- aria plutirii WLA , abscisa centrului plutirii Fx , momentele de inerţielongitudinal xI şi transversal fI ale plutirii;

- ariile secţiunilor transversale xA ;- razele metacentrice: transversală BM şi longitudinală LBM .

8.1 Volumul carenei, deplasamentul, coordonatele centrului de carenă

Dacă se consideră o carenă a cărei ecuaţie, pentru jumătatea tribord, este( ),y y x z= atunci, aşa cum se observă din figura 10, un volum prismatic elementar

al acestei carene va fi: dV y dx dz= . În consecinţă, volumul întregii carene se vacalcula cu formula:

2

02

2

Ld

L

V y dx dz-

= ò ò (8.1)

Page 30: Statica Navei

_______________________________________________________________________________34

Fig. 10

Cu referire la Fig. 11 vom spune că secţiunile prin carenă paralele cuplanul xoy se numesc plutiri şi ariile lor se notează cu WLA , iar secţiunile paralelecu planul yoz se numesc secţiuni transversale sau "cuple" şi ariile lor se notează cu

xA .

Fig. 11

Volumul carenei se poate calcula folosind fie ariile plutirilor (integrare peverticală), fie ariile secţiunilor transversale (integrare pe lungime), cu formulele:

0

d

WLV A dz= ò(8.2)

2

2

L

xL

V A dx-

= ò (8.3)

În calculele din teoria navei se folosesc toate cele trei relaţii pentrucalculul volumului carenei. Aşa cum s-a arătat în §6, volumul real al carenei este

( )1,005 1,01kV kÑ = = ¸ . Mai departe, deplasamentul navei este D= rÑ .

Page 31: Statica Navei

_______________________________________________________________________________35

Fig. 12

Pentru un pescaj oarecare z volumul teoretic al carenei se scrie:

0

z

WLV A dz= ò (8.4)

Considerând diverse valori ale limitei superioare de integrare, se poatecalcula volumul carenei la diverse plutiri. Se poate deci, construi o variaţie

( )V V z= care se numeşte şi curba volumului carenei. La fel se construiesc: curbavolumului real al carenei ( )zÑ şi curba deplasamentului ( )zD . Cele trei curbe setrasează în aceeaşi diagramă; stabilind scări de reprezentare diferite pentru volumeşi pentru deplasament. O astfel de diagramă arată ca în figura 12.

Derivând relaţia (8.4) obţinem:

WLdV Adz

= (8.5)

deci, caracterul curbei volumului carenei depinde de caracterul curbei ariilorplutirilor.

Din relaţia (8.5) rezultă că tangenta trigonometrică a unghiului a , formatde tangenta într-un punct la curba ( )V z cu axa ordonatelor, este egală cu ariaplutirii corespunzătoare acelui punct.

Analizând relaţia (8.5) putem obţine informaţii şi despre forma curbei( )V z în vecinătatea originii.

În Fig. 13 sunt prezentate două tipuri de nave: a) navă cu fund plat ; b)navă cu fund stelat şi curbele ( )V z corespunzătoare.

Page 32: Statica Navei

_______________________________________________________________________________36

În cazul navei cu fund plat, deoarece0

0WLA ¹ , rezultă 0a ¹ , iar pentrunava cu fund stelat, deoarece

00WLA = , rezultă 0a = , deci curba ( )V z este tangentă

în origine la axa ordonatelor.

Fig. 13

Curbele din Fig. 12 au o largă utilitate practică atât în timpul proiectării,cât şi în timpul exploatării navei. Spre exemplu, se măsoară pescajul la scările depescaj şi se aşează valoarea acestuia la scară pe axa oz , fiind egal cu segmentulAO . Ducând o orizontală prin punctul A şi intersectând cele trei curbe, putem citila scările volumelor şi deplasamentului valorile lui , ,V Ñ D corespunzătoarepescajului navei.

Dacă faţă de situaţia dată, se ambarcă o masă P , atunci se poate determinavariaţia pescajului mediu dd după următorul algoritm. Se aşează în continuarea luiD un segment la scară egal cu P . Din extremitatea acestui segment se ridică overticală până ce intersectează curba ( )zD . Din punctul de intersecţie se duce oorizontală şi se va citi dd (vezi Fig. 12).

Ne propunem în continuare să stabilim semnificaţia geometrică a relaţiei(8.5). Dacă în punctul E (vezi Fig.12), care corespunde pescajului navei, seconstruieşte tangenta la curba ( )V z , aceasta face unghiul a cu axa oz şi ointersectează în punctul E . Prin urmare:

tgWLdV EAAdz AB

= = a = (8.6)

cum EA V= rezultă:

WL WL

EA VABA A

= = şi mai departe VPWL

AB V CA dAO

= = (8.7)

Pentru a determina coordonatele centrului de carenă ( ), ,B Bx y KB , se vorconsidera momentele statice ale volumului carenei V în raport cu planele

; ;yz xz xy ale sistemului de coordonate.

2

02

Ld

yz x F WLL

M x A dx x A dz-

= =ò ò (8.8)

Page 33: Statica Navei

_______________________________________________________________________________37

0

d

xz F WLM y A dz= ò (8.9)

0

d

xy WLM z A dz= ò (8.10)

Fig. 14

Ultima egalitate din relaţia (8.8) se justifică dacă se observă din Fig. 14 cămomentul static în raport cu yz al volumului prismatic elementar WLdV A dz= este

yz F F WLdM x dV x A dz= = .Coordonatele centrului de carenă se determină cu formulele:

; ;yz xyxzB B

M MMx y KB

V V V= = = (8.11)

Având în vedere simetria carenei faţă de PD , ceea ce înseamnă că 0Fy = ,rezultă:

0

1 d

B F WLx x A dzV

= ò (8.12)

0By = (8.13)

0

1 d

WLKB z A dzV

= ò (8.14)

Vom face acum observaţia că în unele publicaţii de specialitate de limbăengleză, pentru a desemna poziţia pe lungimea navei a centrului plutirii F şi acentrului de carenă B , în locul notaţiilor Fx şi Bx se folosesc notaţiileLCF (position of the longitudinal centre of flotation) şi LCB (position of thelongitudinal centre of buoyancy), aceste mărimi putând fi măsurate fie de lamijlocul lungimii navei, fie de la ppP .

Se mai observă din Fig. 12 că aria triunghiului curbiliniu OED se scrie:

OED xyV

A M z dV V KB= = =ò deci: OED OEDA AKB

V OD= = (8.15)

Aria triunghiului curbiliniu AOE se calculează:( )AOE AODE OEDA A A OD AO V KB V d KB= - = × - × = - (8.16)

Page 34: Statica Navei

_______________________________________________________________________________38

Relaţia (8.16) este echivalentă cu:( ) ( )

V

V d KB d z dV- = -ò (8.17)

Membrul drept al relaţiei (8.17) reprezintă momentul static al volumuluicarenei în raport cu planul plutirii.

Să construim în continuare curba de variaţie a cotei centrului de carenă cupescajul ( )KB z . Derivând în raport cu z expresia lui KB , rezultă:

2

1 1xy

xyxy xy

dM dVV M dM Md KB dVdz dzdz V dz V dz VV

-= = - =

1 xydM dVKBV dz dzæ ö

= -ç ÷è ø

(8.18)

Ţinând cont că xyWL

dMA z

dz= şi WL

dV Adz

= , rezultă:

( )WLAd KB z KBdz V

= - (8.19)

Se observă de aici că, în permanenţă, 0d KBdz

> deoarece z KB> şi deci,

funcţia ( )KB z nu va avea valori extreme şi alura unei funcţii crescătoare. Relaţia(8.19) se poate scrie şi în următoarea formă echivalentă:

( )1d KB z KBdV V

= - (8.20)

în care z este pescajul navei.Aşa cum se vede din Fig. 15, forma secţiunilor transversale ale unei nave

este cuprinsă între dreptunghiul de încadrare şi un triunghi, ceea ce înseamnă că:1 22 3

dd KB< < (8.21)

Page 35: Statica Navei

_______________________________________________________________________________39

Fig. 15 Fig. 16Relaţia (8.21) este utilă pentru că reprezintă un mijloc foarte util de

verificare a calculelor, la determinarea lui KB . În figura 16 este prezentată variaţia( )KB z .

8.2 Aria plutirii, abscisa centrului plutirii, momentele de inerţie longitudinală şitransversală ale plutirii

Dacă se consideră o plutire oarecare (Fig. 17) atunci, faţă de sistemul deaxe adoptat, aria plutirii se poare calcula cu formula:

ò-

=2

2

2

L

LWL dxyA (8.22)

unde y este semilăţimea plutirii la abscisa x .Din considerente de simetrie a conturului plutirii faţă de axa x , centrul

plutirii F se va găsi pe această axă, deci 0=Fy . Abscisa centrului plutirii secalculează cu formula:

WL

yF A

Mx = (8.23)

în care yM este momentul static al suprafeţei plutirii în raport cu axa y . CumdxyxdAxdM WLy 2== , formula (8.23) se mai poate scrie:

ò

ò

-

-=

2

2

2

2L

L

L

L

F

dxy

dxxy

x (8.24)

Suprafaţa haşurată din Fig. 17 este o suprafaţă elementară de forma unuidreptunghi, cu dimensiunile y2 şi dx ; dxydAWL 2= . Momentul de inerţie al acesteisuprafeţe elementare în raport cu axa x va fi:

( ) dxyydxdI x3

3

32

122

== (8.25)

Momentul de inerţie al întregii plutiri în raport cu axa x se poate scrie:

ò-

=2

2

3

32

L

Lx dxyI (8.26)

Page 36: Statica Navei

_______________________________________________________________________________40

Fig. 17

Raţionând asemănător, momentul de inerţie al suprafeţei plutirii în raportcu axa y se scrie:

ò-

=2

2

22

L

Ly dxxyI (8.27)

Fig. 18 Fig. 19

Momentul de inerţie al suprafeţei plutirii în raport cu axa f (axă paralelăcu oy ce trece prin centrul plutirii F ) se calculează aplicând teorema lui Steiner:

2FWLyf xAII -= (8.28)

Page 37: Statica Navei

_______________________________________________________________________________41

Utilizând relaţia (8.24) se poate calcula abscisa centrului plutirii pentruplutiri succesive, situate între ..BP şi planul corespunzător unui pescaj oarecare,prin urmare se poate construi prin puncte curba ( )zxF . Datorită unor proprietăţi pecare le vom prezenta în continuare, curbele ( )zxB şi ( )zxF se vor reprezenta laaceeaşi scară în planul de forme.

Astfel, cele două curbe pleacă din acelaşi punct pentru că dacă se trece lalimită în relaţia (8.12) a lui Bx găsim:

00limlimlim

0

0000

===

ò

ò®®® z

WL

z

WLF

z

yz

zBzdzA

dzAx

VM

x

Prin aplicarea regulii lui L'Hospital se înlătură această nedeterminare şiobţinem că pentru FB xxz =® ,0 .

În afară de punctul de pornire A (Fig. 19), cele două curbe mai pot aveaun punct comun sau nu. Vom demonstra că dacă cele două curbe mai au un punctde intersecţie, atunci acesta este un punct de extrem pentru Bx (punctul B dinFig.19) adică soluţie a ecuaţiei:

0=dz

dxB . (8.29)

Să evaluăm membrul stâng al relaţiei (8.29):

2

1 1yz

yzyz yz yzB

dM dVV MM dM Mdx d dVdz dzdz dz V V dz V dz VV

-æ ö= = = - =ç ÷

è ø

÷÷ø

öççè

æ-=

dzdVx

dzdM

V Byz1 . (8.30)

Dar ò=z

FWLyz dzxAM0

, de unde rezultă că FWLyz xA

dzdM

= şi, pe de altă parte,

WLAdzdV = . Înlocuind în (8.30) obţinem:

( )BFWLB xxV

Adz

dx -= (8.31)

relaţie echivalentă cu:( )BF

B xxVdV

dx -= 1 . (8.32)

În felul acesta, condiţia de extrem (8.29) a funcţiei ( )zxB se reduce la:BF xx = (8.33)

ceea ce trebuia demonstrat.

Page 38: Statica Navei

_______________________________________________________________________________42

Revenind la centrul de carenă B vom observa că pentru orice valoare z apescajului, poziţia sa este în ..DP , deplasându-se după o curbă situată în acestplan. Pentru a duce ecuaţia acestei curbe plecăm de la:

yzB

xy

MxMKB

= sau mai departe yzB

xy

Mx KB

M= (8.34)

Ţinând cont de relaţiile (8.20) şi (8.32) rezultă:

( )tgB F Bdx x xd KB z KB

-= = p-a

-(8.35)

Cu alte cuvinte, dreapta ce uneşte centrul plutirii F , corespunzător unuianumit pescaj, cu poziţia centrului de carenă B este tangentă la curba centrelor decarenă în punctul respectiv (Fig. 18).

În figura 20 este prezentată curba ariilor plutirilor în două variante: navăcu fund stelat (Fig. 20, a) şi navă cu fund plat (Fig. 20, b).

Această curbă ne oferă informaţii complete, legate de volumul carenei laun anumit pescaj şi distribuţia acestuia pe înălţime. Amintim proprietăţile de bazăale acestei curbe:

1) Aria mărginită de curbă şi axa oz reprezintă la scara desenului volumulcarenei corespunzător pescajului considerat:

VdzAQd

WL == ò0

(8.36)

Fig. 20a) navă cu fund stelat b) navă cu fund plat

2) Coeficientul de fineţe al acestei arii este egal cu coeficientul de fineţeprismatic vertical al carenei, VPC :

VPCWLCWL

CdA

VdA

Q== (8.37)

3) Ordonata centrului de greutate al ariei mărginită de curbă şi axa oz esteegală la scară cu cota centrului de carenă KB :

Page 39: Statica Navei

_______________________________________________________________________________43

0

0

d

WLxy

q d

WL

A z dzM

z KBV

A dz= = =ò

ò(8.38)

8.3 Ariile secţiunilor transversale. Curba ariilor secţiunilor transversale

Considerând o secţiune transversală prin navă la o distanţă x de planulsecţiunii de la mijlocul navei (Fig. 21) atunci aria imersă a acestei secţiuni sepoate calcula cu formula:

Fig. 21

ò=d

x dzyA0

2 (8.39)

Dacă se calculează aceste arii pentru mai multe secţiuni transversale(cuple) să zicem 21, distribuite de la pupa (cupla 0 conţine ppP ) la prova (cupla 20conţine )pvP , atunci se va putea reprezenta grafic prin puncte curba ( )xfAx = . Seobţine astfel curba ariilor secţiunilor transversale, care arată ca în Fig. 22.

Fig. 22

Page 40: Statica Navei

_______________________________________________________________________________44

Această curbă ne defineşte pe deplin volumul carenei şi distribuţia acestuiape lungimea navei. Evidenţiem următoarele proprietăţi ale acestei curbe:

1). Aria mărginită de curbă şi axa ox reprezintă la scara desenului volumulcarenei:

VdxAQ

L

Lx == ò

-

2

2

(8.40)

2). Coeficientul de fineţe al acestei arii este egal cu coeficientul de fineţeprismatic longitudinal al carenei, LPC :

LPCLA

VLA

Q==

ÄÄ(8.41)

3). Abscisa centrului de greutate al suprafeţei Q este egală la scară cuabscisa centrului de carenă Bx :

Byz

L

Lx

L

Lx

q xV

M

dxA

dxAx

x ===

ò

ò

-

-

2

2

2

2 (8.42)

8.4 Diagrama de carene drepte

Dacă asamblăm într-o singură diagramă curbele de variaţie cu pescajulnavei, ale tuturor elementelor hidrostatice ale carenei despre care am vorbit maisus, se obţine diagrama de carene drepte. Această diagramă este întocmită pentrunava pe carenă dreaptă, fără înclinări transversale şi longitudinale ( )0=q=j , cazîn care singurul parametru care defineşte plutirea este pescajul de calcul d . Dindiagramă se obţin în funcţie de d următoarele mărimi: volumul carenei ( )V ,deplasamentul navei ( )D , abscisa ( )Bx şi cota ( )KB a centrului de carenă, abscisacentrului plutirii ( )Fx , aria plutirii ( )WLA , momentele de inerţie axiale ale plutirii:longitudinal ( )xI şi transversal ( )fI , precum şi coeficienţii de fineţe

VPLPBWL CCCC ,,, . Diagrama de carene drepte mai conţine, de asemenea, curbelede variaţie cu pescajul ale razelor metacentrice: transversală ( )BM şi longitudinală

( )LBM , despre care vom vorbi în detaliu în Capitolul III.

Page 41: Statica Navei

_______________________________________________________________________________45

Modul de lucru cu diagrama de carene drepte rezultă uşor dacă se studiazăFig.23 care reprezintă o variantă de "Diagramă de carene drepte". Astfel, pentruun pescaj de calcul fixat *d se duce o paralelă la axa absciselor, intersectându-secu fiecare din curbele enumerate mai sus. Din punctele de intersecţie se coboarăperpendicular pe abscisă citindu-se valorile acestor mărimi la scara lor dereprezentare.

Razele metacentrice: transversală ( )BM şi longitudinală ( )LBM secalculează cu formulele:

xIBM

V= (8.43)

fL

IBM

V= (8.44)

Fig. 23

8.5 Formulele empirice pentru calculul unor mărimi hidrostatice pecarene drepte

Pentru estimarea rapidă a unor elemente hidrostatice pe carene drepte sefolosesc, deseori, formule empirice sau semiempirice bazate pe prelucrareastatistică a datelor existente sau pe înlocuirea curbelor reale din diagrama decarene drepte cu curbe apropiate ca formă, descrise de ecuaţii analitice.

Redăm mai jos câteva formule de calcul a unor mărimi hidrostatice:a) Cota centrului de carenă ( )KB

O astfel de formulă va fi de tipul:

Page 42: Statica Navei

_______________________________________________________________________________46

( )1 ,B WLKB a C C d= (8.44)unde 1a este un coeficient care depinde de coeficientul de fineţe bloc ( )BC ,respectiv al ariei plutirii ( )WLC .

11 1

WL B

WL B VP

C CKB d d

C C C= =

+ +® formula Pozdiunin; (8.45)

0,1680,372VP

KB dC

æ ö= +ç ÷è ø

® formula Vlasov; (8.46)

( )0,833 0,333 0,833 0,333BVP

WL

CKB d C dC

æ ö= - = -ç ÷è ø

® formula Norman; (8.47)

b) Abscisa centrului de carenă ( )Bx

( )0,314 pv ppB

LP

V Vx

C AÄ

-= ® formula Vlasov (8.48)

( )Ä

-=

AVV

x pppvB 45,0 ® formula Norman (8.49)

echivalentă cu:( )pp

LPpvLP

B CCLx -= 225,0 (8.50)

În formulele de mai sus, pvV şi ppV sunt volumele de carenăcorespunzătoare jumătăţilor prova şi pupa, măsurate de la jumătatea lungimiinavei şi pp

LPpvLP CC , coeficienţii de fineţe prismatic, longitudinal, aferenţi. Prin

urmare:pvLPpv CLAV

2Ä= (8.51)

ppLPpp CLAV

2Ä= (8.52)

c) Abscisa centrului plutirii ( )Fx

( )B

AAC

xpp

WLpv

WL

WLF

-=

314,0 ® formula Vlasov (8.53)

( )B

AAxpp

WLpv

WLF

-= 45,0 ® formula Norman (8.54)

echivalentă cu:( )pp

WLpv

WLF CCLx -= 225,0 (8.55)

În formulele de mai sus, pvWLA şi pp

WLA sunt ariile plutirii corespunzătoarejumătăţilor prova şi pupa, iar pp

WLpv

WL CC , coeficienţii de fineţe ai acestor arii.Aşadar:

BLCA pvWL

pvWL 2

= (8.56)

Page 43: Statica Navei

_______________________________________________________________________________47

BLCA ppWL

ppWL 2

= (8.57)

d) Razele metacentrice: transversală ( )BM şi longitudinală ( )LBM

Pentru cele două mărimi se propun formule de tipul:

( )2

2 ,WL BBBM a C Cd

= (8.58)

( )2

3 ,L WL BLBM a C Cd

= (8.59)

Se demonstrează foarte uşor că pentru cazul unui ponton paralelipipedic,coeficienţii 2a şi 3a sunt egali cu:

121

32 == aa (8.60)2 2

1

WL

B

C BBMk C d

= ® formula Van-der-Fleet (8.61)

unde 1k este un coeficient cuprins între 11,2 şi 11,9 care ţine cont de formaplutirii.

( )3 20,72 0, 29248WL

B

C BBMC d+

= ® formula Norman (8.62)

( ) 20,0902 0,0200WL

B

C BBMC d

-= ® formula Vlasov (8.63)

2 2

14WL

LB

C LBMC d

= ® formula Van-der-Fleet (8.64)

( )3 20,08 0,077 WLL

B

C LBMC d

+= ® formula Norman (8.65)

20,107 0,03788WL

LB

C LBMC d-

= ® formula Vlasov

(8.66)

9. CALCULUL PRACTIC DE CARENE DREPTE. METODE NUMERICE

Atât în timpul proiectării navei, cât şi în decursul exploatării ei, aparenecesitatea determinării unor caracteristici cum sunt: arii, volume, momente deinerţie, momente statice etc. prezentate mai jos:

1. Aria plutirii (vezi formula 8.22):

ò-

=2

2

2

L

LWL dxyA

2. Ariile secţiunilor transversale (vezi formula 8.39):

Page 44: Statica Navei

_______________________________________________________________________________48

ò=d

x dzyA0

2

3. Volumul carenei (vezi formulele 8.2 şi 8.3):

òò-

==2

20

L

Lx

d

WL dxAdzAV

4. Momentele statice ale volumului carenei în raport cu planele sistemuluide coordonate (vezi formulele 8.8 şi 8.10):

òò ==

-

d

WLF

L

Lxyz dzAxdxAxM

0

2

2

ò=d

WLxy dzAzM0

5. Momentul static al ariei plutirii (vezi formula 8.24):

ò-

=2

2

L

Ly dxxyM

6. Momentele de inerţie ale suprafeţei plutirii (vezi formulele 8.26 şi 8.27):

ò-

=2

2

3

32

L

Lx dxyI

ò-

=2

2

22

L

Ly dxxyI

Determinarea acestor mărimi implică rezolvarea unor integrale de forma:

( )ò-

=2

2

11

L

L

dxxfI sau ( )ò=d

dzzfI0

22 .

Dacă funcţiile ( )xf1 , respectiv ( )zf2 ar fi cunoscute, atunci integralele 1I şi2I ar putea fi calculate analitic. Cum formele navei nu sunt date analitic, ele fiind

definite discret, se apelează la integrarea numerică a integralelor 1I şi 2I .

Page 45: Statica Navei

_______________________________________________________________________________49

Principiul de integrare numerică se bazează pe faptul că ( )ò=b

a

dxxfI

reprezintă aria cuprinsă între graficul funcţiei ( )xf , axa ox şi dreptele ax = şibx = .

Valoarea aproximativă a integralei se obţine dacă se divide intervalul [ ]ba ,în porţiuni mai mici şi apoi se însumează aria fiecărei fâşii obţinute.

Formula generală de calcul a integralei I printr-o metodă numerică este:

( ) å=

=+++=n

iiinn ykcykykykcI

11100 K (9.1)

unde ( )ii xfy = cu [ ]baxi ,Î .Dacă presupunem curba de formă matematică polinom de gradul n :

( ) qpxbxaxxfy nn ++++== - K1 , atunci metodele de integrare numerică se potclasifica după cum urmează:

1) metode în care intervalul [ ]ba , se divide în părţi egale având capeteleax =0 şi bxn = , iar problema este să găsim coeficienţii nkkkc K,,, 10 astfel încât

relaţia (9.1) să exprime aria căutată (metoda trapezelor şi metoda Simpson);2) metode în care 110 ==== nkkk K şi problema constă în localizarea

intervalelor din condiţia de precizie maximă (metoda Cebâşev);

Fig. 24

3) metode în care problema constă atât în determinarea coeficienţilornkkk K,, 10 , cât şi în localizarea intervalelor din condiţia de precizie maximă

(metoda Gauss).

Metoda trapezelor

Page 46: Statica Navei

_______________________________________________________________________________50

Această metodă presupune că poate înlocui curba dintre două ordonateconsecutive cu o dreaptă de ecuaţie baxy += (Fig. 25) şi se poate aproxima ariapatrulaterului curbiliniu ABCD cu aria trapezului ABCD având valoarea:

( )ii yyh +-12

Fig. 25

Prin generalizare ,obţinem:

( ) ( )nn

b

a

yyyyyhxfI +++++@= -ò 1210 2222

K (9.2)

unden

abh -= .

Evident, cu cât n este mai mare, aproximarea integralei I este mai bună.Un astfel de calcul se poate efectua şi tabelar ca mai jos.

Metoda Simpson

Tabelul 4Nr.

ordonată Ordonată å integrală å= integrala2

hAria

0 0y 0 0

1 1y 10 yy + 1I

2 2y 210 2 yyy ++ 2I

M M M M

1n- 1-ny 1-nI

n ny IIn =

Page 47: Statica Navei

_______________________________________________________________________________51

În cadrul acestei metode se păstrează principiul de la metoda trapezelor,însă aproximarea funcţiei de integrat pe porţiuni nu se face prin segmente dedreaptă, ci prin arce de parabolă de gradul doi; cbxaxy ++= 2 (Fig. 26).

Fig. 26

Cunoscând trei puncte consecutive prin care trece parabola se potdetermina coeficienţii cba ,, ca soluţii ale sistemului

ïî

ïí

ì

++=++=++=

+++

---

cbxaxycbxaxy

cbxaxy

iii

iii

iii

12

11

21

211

(9.3)

Calculând aceşti coeficienţi şi efectuând apoi integrarea obţinem pentruaria ABCD valoarea:

( )11 43 +- ++ iii yyyh

Prin generalizare, obţinem:

( ) ( )nnn

b

a

yyyyyyyyhxfI ++++++++@= --ò 1243210 4224243

K (9.4)

sau:

å=

a@n

iii yhI

03(9.5)

unde:niii ===a ;01 pentru ;

1,,3,14 -==a nii Kpentru ;2,,4,22 -==a nii Kpentru .

O primă observaţie care rezultă este că numărul de intervale în care sedivizează domeniul [ ]ba , trebuie să fie par.

Page 48: Statica Navei

_______________________________________________________________________________52

Calculul se poate realiza tabelar după cum urmează:

Tabelul 5Nr.

ordonată Ordonata CoeficientSimpson IIIII ×

I II III IV0 0y 1 0y

1 1y 4 14y

2 2y 2 22y

M

M

1-n 1-ny 4 14 -ny

n ny 1 ny

å

S@3hI

Fig. 27

Metoda Cebâşev

Page 49: Statica Navei

_______________________________________________________________________________53

Metoda Cebâşev este foarte cunoscută în domeniul naval, fiind o variantăa metodei Gauss şi care se bazează pe principiul intervalelor inegale dispuse îninteriorul unui interval centrat faţă de origine [ ]ll ,- .

Conform cu figura 27, aria ABCD este egală cu valoarea numerică a

integralei ( )ò-

l

l

dxxf .

Dacă presupunem că ( )xf are forma matematică a unui polinom de graduln :

( ) nnxaxaxaaxf ++++= K2

210 (9.7)atunci:

( ) ( )20 1 2

3 2 10 2 2

2 223 2 1

l ln

nl l

kk

f x dx a a x a x a x dx

a l a l a lk

- -

+

= + + + + =

= + + ++

ò ò K

K

(9.8)

unde2nk = sau 1

2n - după cum n este par sau impar.

Pe de altă parte, acceptăm pentru integrala de mai sus forma:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )åò=-

=+++=n

iin

l

l

xfmlxfxfxf

mldxxf

121

22K (9.9)

unde [ ]llxxx n ,,,, 21 -ÎK şi sunt necunoscutele problemei.

Dar:( )( )

( ) nnnnnn

nn

nn

xaxaxaaxf

xaxaxaaxfxaxaxaaxf

++++=

++++=++++=

K

KKKKKKKKKKKKKK

K

K

2210

22222102

12121101

(9.10)

Dacă introducem (9.10) în (9.9) obţinem:

( ) ( ) ( )( ) ú

úû

ù

êêë

é

+++++

+++++++++=ò

-nn

nnn

nnol

l xxxa

xxxaxxxanamldxxf

KK

KK

21

222

2122112 (9.11)

Comparând relaţiile (9.8) şi (9.11) se obţine sistemul:

Page 50: Statica Navei

_______________________________________________________________________________54

( )

( )

( )ïî

ïíì

+=+++

=+++

=+++

=

+lnxxx

ml

lxxxml

xxxml

lnml

nnn

nn

n

n

01

22

322

02

22

1

21

3222

21

21

K

KKKKKKKKKKKK

K

K

(9.12)

Din prima condiţie rezultă:nm = (9.13)

iar nxxx ,,, 21 K sunt soluţiile sistemului:

ïî

ïíì

+=+++

=+++

=+++

+lnxxx

lxxx

xxx

nnn

nn

n

n

01

2

32

0

1

21

2222

21

21

K

KKKKKKKKKKKK

K

K

(9.14)

Să particularizăm pentru cazul 2=n( ) 2

210 xaxaaxf ++=

şi:

ïî

ïíì

=+

=+22

221

21

32

0

lxx

xx(9.15)

Soluţia acestui sistem este:

llxx 5773,0321 ==-=

În consecinţă:

( )úúû

ù

êêë

é÷÷ø

öççè

æ+÷÷

ø

öççè

æ-=ò

-332

2 lflfldxxfl

l

(9.16)

Similar, se pot dezvolta formule pentru orice număr de termeni,coeficienţii fiind prezentaţi în tabelul de mai jos.

dacă n este par

dacă n este impar

dacă n este par

dacă n este impar

Page 51: Statica Navei

_______________________________________________________________________________55

Aplicarea metodei Cebâşev presupune parcurgerea următorului algoritm:- se adoptă numărul n în funcţie de complexitatea curbei;- se calculează abscisele ix cu relaţia:

lkx ii = (9.17)- se extrag ( )ixf ;- se calculează valoarea integralei cu relaţia:

( ) ( )åò=-

=n

ii

l

l

xfnldxxf

1

2 (9.18)

În cazul integrării numerice se poate apela cu succes la mijloaceleautomate de calcul putându-se folosi programe specializate existente în acest scop.

10. CALCULUL DE CARENE ÎNCLINATE

Formulele de calcul pentru elementele hidrostatice ale carenei deduseanterior sunt valabile, aşa cum am arătat în ipoteza de - navă pe carenă dreaptă -( )0=q=j . În procesul de exploatare a navei însă, în marea majoritate a cazurilor,nava are o poziţie oarecare în raport cu suprafaţa apei, înclinată atât transversal,cât şi longitudinal. În cele ce urmează vom stabili relaţii de calcul care să permitădeterminarea volumului carenei V şi a coordonatelor centrului de carenă BBB zyx ,,pentru o poziţie oarecare a navei.

10.1 Diagrama Bonjean

Să considerăm o secţiune transversală oarecare prin navă ca în Fig. 28, a.Aşa cum am arătat anterior, aria imersă a acestei secţiuni se calculează cu

formula (8.39).

n ik2 ± 0,5773

3 0 ; ± 0,7071

4 ± 0,1876 ± 0,7947

5 0 ; ± 0,3745 ± 0,8325

6 ± 0,2666 ± 0,4225 ± 0,8662

7 0 ; ± 0,3239 ± 0,5297 ± 0,8839

8 ± 0,1026 ± 0,4062 ± 0,5938 ± 0,8974

9 0 ; ± 0,1679 ± 0,5288 ± 0,6010 ± 0,9116

10 ± 0,0838 ±0,3127 ± 0,5000 ± 0,6873 ± 0,9162

Tabelul 6

Page 52: Statica Navei

_______________________________________________________________________________56

ò=d

x dzyA0

2

Fig. 28Aria imersă a acestei secţiuni transversale de la ..BL până la o plutire

oarecare având pescajul z se calculează cu formula:

( ) ò=z

x dzyzA0

2 (10.1)

Variaţia acestei arii în funcţie de pescaj este prezentată în Fig. 28, brespectiv corespunzător unui pescaj oarecare z , se aşează pe orizontală unsegment '' FE egal cu valoarea lui ( )zAx la o scară de reprezentare convenabilaleasă. În felul acesta se poate calcula pentru orice plutire WL aria secţiuniitransversale imerse. Deoarece în multe probleme din teoria navei intereseazăîntreaga arie a secţiunii transversale (de exemplu: calculul volumului etanş alcorpului navei), este necesar să se calculeze şi să se introducă în grafic şi ariamărginită de curbura transversală a punţii, adică porţiunea 'CC . În cele mai multecazuri, selatura punţii în sens transversal este parabolică cu săgeata

5030BBf ¸= .

Aria corespunzătoare acestei selaturi care va trebui adăugată este fBAx 32=D .

Vom mai observa că C este punct de inflexiune pentru curba ( )zAx , iar tangenta înpunctul 'C este paralelă cu axa oz .

La navele construite din lemn, dimensiunile de calcul ale secţiuniitransversale se consideră la exteriorul bordajului, în timp ce la navele metalice,aceleaşi dimensiuni se măsoară la interiorul bordajului.

Page 53: Statica Navei

_______________________________________________________________________________57

Reprezentarea grafică asamblată a variaţiei ariilor secţiunilor transversale,pentru toate cuplele navei, poartă denumirea de diagrama Bonjean, de la numeleinginerului francez care a propus această reprezentare.

Fig. 29Într-o primă variantă, pentru trasarea diagramei Bonjean se trasează

conturul corpului navei în ..DP , precum şi proiecţia pe acest plan a liniei punţii înbord, alegându-se scări diferite de reprezentare pentru lungimea navei şi înălţimeaei, realizându-se astfel o "contracţie" a navei pe lungime (Fig. 29). Pe acest conturse mai trasează cuplele pentru care s-au efectuat calculele ariilor precum şi liniilesuprastructurilor cum sunt duneta şi teuga. Se completează desenul cu trasareacurbelor ( )xiA z , precum şi cu scările de reprezentare.

Diagrama Bonjean poate fi reprezentată şi într-o altă formă (Fig. 30),înlocuind reprezentarea ( )zAx corespunzătoare fiecărei cuple cu o scală pe caresunt reprezentate numeric ariile imerse.

Fig. 30

Page 54: Statica Navei

_______________________________________________________________________________58

În prima variantă, pentru o plutire oarecare WL a găsi aria imersă a cuplei3 înseamnă a înmulţi segmentul AB cu scara ariilor. În a doua variantă, este multmai uşor să citim pe scala ariilor la intersecţia dintre WL şi cupla 3.

Există şi o a treia modalitate de reprezentare a diagramei Bonjean (Fig. 31)trasând curbele ( )zAx raportate la aceeaşi axă verticală, cele din jumătatea provafiind în dreapta axei, iar cele din jumătatea pupa în stânga axei, conformconvenţiei. O astfel de reprezentare prezintă avantajul că ocupă mai puţin spaţiu,dar prezintă dezavantajul necunoaşterii pescajului corespunzător cuplei pentru oplutire oarecare. Acesta se va calcula cu formula:

tgx md d x= + q (10.2)unde md este pescajul mediu al navei sau pescajul la cuplul maestru.

Diagrama Bonjean se foloseşte pentru rezolvarea unor problemeimportante de teoria navei. Astfel, cu ajutorul diagramei Bonjean este uşor decalculat volumul carenei şi coordonatele centrului de carenă pentru o plutireoarecare, înclinată în plan longitudinal.

Fig. 31

Cunoscute fiind formulele:

ò-

=2

2

L

Lx dxAV şi ò

-

=2

2

1L

LxB dxAx

Vx

Page 55: Statica Navei

_______________________________________________________________________________59

şi din diagrama Bonjean valorile ariilor imerse ale cuplelor xA , aplicând apoi oprocedură de integrare numerică, problema este rezolvată. Din considerente desimetrie, când nava nu este înclinată transversal ( )0j = , centrul de carenă segăseşte în ..DP , deci 0=By , iar cota centrului de carenă faţă de linia plutirii secalculează cu relaţia:

ò ò-

=2

20

1L

L

z

xWL dxdzAV

z (10.3)

Cunoscând Bx şi WLz se poate poziţiona exact centrul de carenă Bcunoscând şi poziţia plutirii înclinată longitudinal WL după următorul algoritm(Fig.32).

Fig. 32

- se măsoară Bx de la cuplul maestru ;- se determină punctul A la intersecţia verticalei dusă la Bx cu plutirea

înclinată WL ;- se măsoară de la punctul A în jos pe verticală, valoarea WLz şi se

găseşte poziţia lui B .

10.2 Diagrama de asietă

Dacă în diagrama Bonjean se construiesc o serie de plutiri, calculându-sepentru fiecare volumul de carenă corespunzător ( )V şi abscisa centrului de carenă

Page 56: Statica Navei

_______________________________________________________________________________60

( )Bx se poate construi diagrama de asietă, foarte utilă din punct de vedere practic.Un model de diagramă de asietă este prezentată în Fig. 33.

Fig. 33

În "diagrama de asietă" sunt prezentate curbele const.=iV şi const.=Bix

Intrându-se cu pescajele *pvd şi *

ppd măsurate la scările de pescaj, se determinăpoziţia punctului A de pe diagramă şi prin interpolare vom obţine volumulcarenei *V şi abscisa centrului de carenă *

Bx , corespunzătoare acestei situaţii deplutire. Aşadar, "diagrama de asietă" permite determinarea mărimilor V şi Bx ,oricare ar fi pescajele pvd şi ppd cunoscute.

10.3 Calculul volumului carenei şi a coordonatelor centrului de carenă pentru o plutire oarecare. Curbele integrale ale secţiunilor transversale

Aşa cum am arătat în §5, o plutire oarecare a unei nave este definită deurmătorii trei parametri: pescajul mediu md , înclinarea longitudinală q şiînclinarea transversală j .

Pentru o secţiune transversală oarecare din navă, pescajul în ..DP se poatecalcula cu formula:

tgx md d x= + q (10.4)

Page 57: Statica Navei

_______________________________________________________________________________61

Fig. 34

unde x este distanţa de la secţiunea transversală la planul secţiunii de la mijloculnavei. Reamintim că 0>x atunci când secţiunea se găseşte în prova şi 0>q cândnava este aprovată. De asemenea urma plutirii pe această secţiune va face unghiulj cu ..BP

Să considerăm, pentru început, o secţiune transversală oarecare ca în Fig.34.

Secţiunea fiind simetrică faţă de axa oz vom nota cu ( )zAt - aria jumătăţiide secţiune, cu ( )zM y - momentul static al aceleiaşi suprafeţe în raport cu axa oy ,respectiv cu ( )zM z - momentul static în raport cu axa oz . Formulele de calculpentru aceste mărimi sunt:

( ) ò=z

t dzyzA0

(10.5)

( ) ( )zbdzzyzMz

y == ò0

(10.6)

( ) ( )zcdzyzMz

z == ò0

2

21 (10.7)

Reprezentarea grafică a variaţiilor ( )zAt ; ( )zM y şi ( )zM z poartă numele de"curbele integrale ale secţiunii transversale". Valorile acestor mărimi pentru oplutire dreaptă de pescaj d sunt prezentate în Fig. 34, b.

Să considerăm, în continuare, o secţiune transversală situată la abscisa ixşi corespunzătoare "curbele integrale" (Fig. 35) şi o plutire WL înclinată în sens

Page 58: Statica Navei

_______________________________________________________________________________62

transversal. Ne propunem să găsim o modalitate de calcul a aceloraşi mărimipentru porţiunea imersă corespunzătoare acestei secţiuni transversale.

Fig. 35

Plutirea înclinată intersectează ..DP în A şi conturul secţiunii transversale înpunctele W şi L , echivalente unor plutiri drepte şi pentru care se citesc dincurbele integrale valorile: 0 0 0 1 1 1, , , ,respectivt tA b c A b c .

Aria imersă WOFL a secţiunii transversale se poate scrie:WEAWOEDALDOFLWOFL ariaariaariaariaaria ++-=

Momentul static al suprafeţei WOFL în raport cu axele oy şi oz se exprimăca sumă algebrică a momentelor suprafeţelor ce o compun (pentru momentul înraport cu axa oz se va observa că suprafeţele din dreapta axei au momentulpozitiv şi cele din stânga negativ).

Componentele ariei şi ale momentelor statice în raport cu axele oy şi oz secalculează cu formulele:

1

21

0

20

1 tg2

1 tg2

aria

aria

aria

aria

t

t

DOFL A

DAL y

WOE A

WEA y

=

= j

=

= j

Pentru momentele statice în raport cu axa oz :

Page 59: Statica Navei

_______________________________________________________________________________63

1

31

0

30

1 tg6

1 tg6

mom. static aria

mom. static aria

mom. static aria

mom. static aria

DOFL c

DAL y

WOE c

WEA y

=

= j

=

= - j

Pentru momentele statice în raport cu axa oy :

1

21 1

0

20 0

1 2tg tg2 3

1 2tg tg2 3

mom. static aria

mom. static aria

mom. static aria

mom. static aria

xi

xi

DOFL b

DAL y d y

WOE c

WEA y d y

=

æ ö= j + jç ÷è ø

=

æ ö= j - jç ÷è ø

Cunoscând componentele, se pot calcula: aria cuplei imerse xiA şimomentele statice ale acesteia în raport cu axele oz şi oy , respectiv ziM şi yiM :

2 21 1 0 0

1 1tg tg2 2xi t tA A y A y= - j+ + j (10.8)

3 31 1 0 0

1 1tg tg6 6ziM c y c y= - j- - j (10.9)

2 21 1 1 0 0 0

1 2 1 2tg tg tg tg2 3 2 3yi xi xiM b y d y b y d yæ ö æ ö= - j + j + + j - jç ÷ ç ÷

è ø è ø (10.10)

Dacă în (10.10) introducem (10.4), se mai poate scrie:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 3 21 0 1 0 1 0 1 0

1tg tg tg tg2 2 3m

yid xM b b y y y y y y= + - - j- - q j- + j (10.11)

Odată determinate aceste mărimi, pentru orice secţiune transversală se potcalcula, volumul carenei şi coordonatele centrului de carenă pentru această plutireoarecare, cu ajutorul relaţiilor:

ò-

=2

2

L

Lxi dxAV (10.12)

ò-

=2

2

1L

LxiB dxAx

Vx (10.13)

01 2

2

¹= ò-

L

LziB dxM

Vy (10.14)

Page 60: Statica Navei

_______________________________________________________________________________64

2

2

1L

yiL

KB M dxV

-

= ò (10.15)

11. INFLUENŢA AMBARCĂRII ŞI DEBARCĂRII DE MASE LA BORDASUPRA FLOTABILITĂŢII NAVEI. DEPLASAMENTUL UNITAR

Ambarcarea sau debarcarea de mase la bord modifică flotabilitatea navei,poziţia în raport cu suprafaţa liberă a apei şi stabilitatea acesteia.

Deoarece în acest paragraf analizăm influenţa ambarcării şi debarcării demase la bord asupra flotabilităţii, vom considera că masa se ambarcă într-unpunct, astfel încât, în urma acestei operaţiuni, nava să rămână pe carenă dreaptă(riguros vorbind, acest lucru nu este posibil). Convenim că masele ambarcate suntpozitive, iar cele debarcate negative.

Nava are deplasamentul iniţial D şi volumul de carenă corespunzător V şi seambarcă masa P în punctul având coordonatele .,, PPP zyx

Noul deplasament va fi:P+D=D1 (11.1)

Volumul carenei se va modifica corespunzător pentru a compensamodificarea deplasamentului:

VVV d+=1 (11.2)Concomitent cu modificarea deplasamentului şi a volumului carenei se vor

modifica: pescajul, coordonatele centrului de greutate şi coordonatele centrului decarenă.

Studiul ambarcării şi debarcării de mase la bord se face în două variantedistincte: ambarcarea de mase mici ( )D< 1,0P şi ambarcarea de mase mari( )D> 1,0P .

11.1 Ambarcarea de mase mici ( )D< 1,0P

Presupunem că în zona plutirii bordurile navei sunt verticale deci, ariaplutirii rămâne constantă. Din condiţia:

11 Vr=D (11.3)care implică:

dAVP WL dr=dr= (11.4)rezultă că variaţia pescajului mediu se va calcula cu formula:

WLAPd

r=d (11.5)

Page 61: Statica Navei

_______________________________________________________________________________65

sau, altfel spus, variaţia pescajului mediu se determină din condiţia ca volumulsuplimentar Vd al carenei să fie egal cu un cilindru care are ca bază suprafaţaplutirii WLA şi ca înălţime dd .

Considerând că centrul de greutate iniţial al navei are coordonatele ;0;Gx KG ,se vor produce variaţii ale acestor coordonate cu cantităţile ( ), ,G Gx y KGd d d

(Fig.36). Pentru a calcula aceste mărimi, vom scrie teorema momentelor în raportcu cele trei plane ale sistemului de coordonate:

( )( ) PGGG xPxPxx +D=+Dd+ (11.6)( ) PG yPPy =+Dd (11.7)

( ) ( ) PKG KG P KG P zé ù+ d D + =D +ë û (11.8)

Rezultă:( )GPG xx

PPx -+D

=d (11.9)

PG yP

Py+D

=d (11.10)

( ) ( )PPKG z KG

Pd = -

D + (11.11)

a)

Page 62: Statica Navei

_______________________________________________________________________________66

b)

Fig. 36

Noua poziţie a centrului de greutate al navei va fi 1G de coordonate:GGG xxx d+=

1 (11.12)

GGG yyy d+=1

(11.13)

( )1KG KG KG= + d (11.14)Pentru calculul variaţiilor coordonatelor centrului de carenă, apelăm la

acelaşi raţionament, considerând VVV zyx ,, coordonatele centrului de greutate alvolumului suplimentar Vd . Scriind teorema momentelor pentru volumul de carenăîn raport cu cele trei plane ale sistemului de coordonate:

( )( ) VBBB xVxVVVxx d+=d+d+ (11.15)( ) VB yVVVy d=d+d (11.16)

( ) ( ) VKB KB V V V KB V zé ù+ d + d = + dë û (11.17)

şi ţinând cont că2

;0; ddzyxx VVFVd+=== obţinem:

( )BFB xxVV

Vx -d+

d=d (11.18)

0=d By (11.19)

( ) 2V dKB d KB

V Vd dæ öd = + -ç ÷+ d è ø

(11.20)

Având în vedere că:

PP

VVV

+D=

d+d (11.21)

relaţiile anterioare se rescriu:( )BFB xx

PPx -+D

=d (11.22)

Page 63: Statica Navei

_______________________________________________________________________________67

0=d By (11.23)

( ) 2P dKB d KB

Pdæ öd = + -ç ÷D + è ø

(11.24)

Pentru ca în urma ambarcării/debarcării de greutăţi nava să nu capeteînclinări transversale şi/sau longitudinale, este necesar ca cele două centre - decarenă şi de greutate - în poziţii deplasate, să se găsească pe aceeaşi verticală;deci, cantităţile cu care s-au deplasat în plan orizontal să fie egale, adică: BG xx d=d

şi BG yy d=d .Rezultă:

BFGP xxxx -=- (11.25)0=Py (11.26)

Cum nava era iniţial pe carenă dreaptă, deci BG xx = găsim:

0==

P

FP

yxx (11.27)

Fig. 37În concluzie, pentru ca prin ambarcarea/debarcarea de mase la bord nava să

nu capete înclinări suplimentare, este necesar ca operaţiunea să se efectueze peverticala centrului plutirii iniţiale.

11.2 Ambarcarea de mase mari ( )D> 1,0P

În timpul exploatării navei, apar deseori situaţii în care masele ambarcate saudebarcate depăşesc limita de D1,0 , situaţie în care bordurile navei nu mai suntverticale în zona de variaţie a pescajului. Spre exemplu, în decursul operaţiilor deîncărcare/descărcare masa ambarcată/debarcată poate depăşi de mai multe orideplasamentul navei goale. Dacă dintr-o anumită situaţie de încărcare se ambarcămasa P , care poate fi şi o sumă de mase parţiale, adică iPP å= şi dacă

Page 64: Statica Navei

_______________________________________________________________________________68

iii zyx ,, sunt coordonatele centrului de greutate ale masei parţiale iP , atunci noilecoordonate ale centrului de greutate se vor calcula cu formulele:

i

iiGG P

xPxxå+Då+D

=1

(11.28)

i

iiG P

yPyå+D

å=

1 (11.29)

1i i

i

KG P zKG

PD + å

=D + å

(11.30)

Pentru determinarea pescajului final şi a noilor coordonate ale centrului decarenă, se utilizează diagrama de carene drepte (Fig. 37), mai precis se folosesccurbele: ( ) ( )zxz B;D şi ( )KB z .

Fig. 38

Aşezând la scara deplasamentului valoarea deplasamentului iniţial D ,ridicând o verticală şi intersectând cu ( )zD , putem citi pe axa z valoarea d apescajului corespunzător acestei situaţii de încărcare. Aşezând în continuarea luiD valoarea lui P şi repetând algoritmul, se obţine variaţia pescajului dd , precumşi variaţiile Bxd şi ( )KBd şi implicit noile valori ale pescajului 1d , abscisei

centrului de carenă1Bx , cotei centrului de carenă 1KB .

11.3 Deplasamentul unitar

Deplasamentul unitar este masa ce trebuie ambarcată pe o navă fără a-imodifica poziţia în raport cu suprafaţa liberă a apei, pentru ca pescajul să semodifice cu 1 cm.

Dacă în relaţia (11.5) se face mcmd100

11 ==d , se obţine formula de calcul a

deplasamentului unitar:TPCAq WL =

r=

100 (11.31)

Page 65: Statica Navei

_______________________________________________________________________________69

În publicaţiile de limbă engleză această mărime se mai notează cu( )CentimetreperTonnesTPC .

Din relaţia (11.31) rezultă că valoarea deplasamentului unitar depinde de mărimeapescajului; adică ( )zqq = şi această variaţie are aceeaşi formă cu ( )zAWL ; graficulfiind prezentat în Fig. 38.

Curbele ( )zq se utilizează în special la navele de transport mărfuri, care aupescaje ce variază foarte mult în timpul operaţiunilor de încărcare/descărcare.

În concluzie, dacă nava are pescajul d şi ambarcă masa P , variaţiapescajului în centimetri este:

( ) [ ]cmTPC

Pdq

Pd ==d (11.32)

12. INFLUENŢA MODIFICĂRII SALINITĂŢII APEI ASUPRAPESCAJULUI MEDIU AL NAVEI

În timpul exploatării, se por ivi des situaţii în care nava trece de pe mare peapele interioare dulci şi invers. O astfel de situaţie este acompaniată de modificăricare se produc asupra flotabilităţii navei. Ne vom referi în continuare lamodificarea pescajului mediu al navei şi la variaţia coordonatelor centrului decarenă.

a) Variaţia pescajului mediu

Din ecuaţia fundamentală a flotabilităţii navei, rezultă:

rD

=V (12.1)

Prin modificarea salinităţii apei la trecerea navei din apă sărată în apă dulce şiinvers, singura mărime care nu-şi schimbă valoarea este deplasamentul navei:

11VV r=r=D (12.2)unde r şi V sunt densitatea şi volumul de carenă corespunzătoare mediuluiiniţial, iar 1r şi 1V corespund mediului final. Dacă se exprimă volumul de carenăfinal în forma: VVV d+=1 , introducând în (12.2), obţinem:

VV1

1

rr-r

=d (12.3)

Dacă în zona plutirii, nava are borduri verticale, atunci variaţia volumului Vd sepoate scrie:

dAV WL d=d (12.4)şi relaţia (12.3) devine:

WLWL AV

AVd ÷÷

ø

öççè

æ-

rr

=rr-r

=d 111

1 (12.5)

Page 66: Statica Navei

_______________________________________________________________________________70

Bazându-ne pe următoarele relaţii care au fost demonstrate anterior:

BLCAdBLCV

WLWL

B

== (12.6)

înlocuind în (12.5), găsim în final:

dCCd

WL

B÷÷ø

öççè

æ-

rr

=d 11

(12.7)

Notăm r-r=dr 1 şi vom rescrie relaţia (12.7) în formă adimensională:

1rdr

-=d

WL

BCC

dd (12.8)

Se observă că dd şi dr au semne inverse atunci când nava trece din apă dulce înapă sărată ( )0>dr , pescajul se micşorează ( )0dd < . În cazul trecerii de pe mare peapă interioară dulce ( )0<dr şi ( )0dd > deci, pescajul navei creşte.

Fig. 39

Să calculăm spre exemplu, variaţia relativă a pescajului unei nave, la trecerea dinapă sărată cu 3/025,1 mt=r în apă dulce cu 3

1 /0,1 mt=r . Adoptând pentru raportul

WL

BCC valoarea medie 0,85, obţinem:

%2021,00,1

025,085,0 @==ddd (12.9)

Deci, pescajul creşte cu aproximativ două procente. În literatura de specialitate înlimba engleză, valoarea dd , corespunzătoare acestei situaţii, se mai notează cuFWA (Fresh Water Allowance).

b) Variaţia coordonatelor centrului de carenă

Variaţia salinităţii apei conduce la variaţia pescajului navei şi, implicit, lavariaţia coordonatelor centrului de carenă. Situaţia creată se poate observa şi înFig.39.

Page 67: Statica Navei

_______________________________________________________________________________71

Considerând volumul suplimentar de formă cilindrică dAV WL d=d şi centrul

său de greutate situat la distanţa2dd d+ faţă de ..BP şi la distanţa Fx faţă de planul

secţiunii de la mijlocul navei, scriind teorema momentelor în raport cu plane caretrec prin centrul de carenă iniţial, rezultă:

( ) ( )BFB xxVxVV -d=dd+ (12.10)

( ) ( ) 2dV V KB V d KBdæ ö+ d d = d + -ç ÷

è ø (12.11)

Coordonata By a centrului de carenă iniţial va rămâne neschimbată datorităsimetriei corpului navei faţă de ..DP Dacă în relaţiile (12.10) şi (12.11) înlocuimexpresia (12.3) a lui Vd , se obţin următoarele formule de calcul pentru variaţiilecoordonatelor centrului de carenă:

( ) ( )BFB xxx -r

r-r-=d

1

1 (12.12)

( ) ( )1

1 2dKB d KB

r -r dæ öd = - + -ç ÷r è ø (12.13)

Analizând relaţiile (12.12) şi (12.13) se pot constata următoarele:- Semnul lui Bxd depinde de formele navei, respectiv de poziţia relativă a

celor două centre F şi B .- Semnul lui ( )KBd depinde de variaţia densităţii dr . Astfel la trecerea din

apă sărată în apă dulce, ( ) 01 <r-r şi ( ) 0KBd > , deci centrul de carenă urcă peverticală şi invers.

În concluzie, modificarea salinităţii apei determină atât modificareapescajului mediu al navei cât şi a coordonatelor centrului de carenă. În condiţiileîn care centrul de greutate rămâne fix, neavând loc deplasări de mase la bord, celedouă centre B şi G nu se vor mai găsi pe aceeaşi verticală. Cuplul creat de forţa degreutate şi forţa de împingere arhimedică va înclina nava în sens longitudinal,modificându-i asieta. Detalii asupra calculului asietei navei la modificareasalinităţii apei sunt date în § 23.

13. REZERVA DE FLOTABILITATE. MARCA DE BORD LIBER

Prin definiţie, rezerva de flotabilitate este volumul etanş al navei situatdeasupra liniei plutirii. Rezerva de flotabilitate poate fi interpretată ca fiindvolumul de apă ce poate fi ambarcat la bord pentru ca nava să ajungă în situaţia de"plutire submarină". Evident că măsura rezervei de flotabilitate este bordul liberal navei F (Fig. 40).

Page 68: Statica Navei

_______________________________________________________________________________72

Prin definiţie, bordul liber atribuit este distanţa măsurată pe verticală lamijlocul navei, între marginea superioară a liniei punţii şi marginea superioară aliniei de încărcare corespunzătoare.

Rezerva de flotabilitate este deosebit de importantă, în special, în cazurilecând nava suferă avarii la corp şi un compartiment sau un grup de compartimentesunt inundate. În aceste situaţii, nava îşi modifică parametrii de flotabilitatemărindu-şi pescajul mediu şi înclinându-se longitudinal şi/sau transversal.

Fig. 40

Asigurarea rezervei de flotabilitate depinde de rigiditatea corpului (rezistenţagenerală şi locală) şi etanşeitatea lui.

Bordul liber, la o navă comercială, variază în limite largi, în funcţie decantitatea de marfă. Stabilirea bordului liber minim pentru navele de transportmaritim, se face conform "Convenţiei internaţionale asupra liniilor de încărcare"- Londra 1966. Astfel, navele sunt împărţite în două categorii:

1. Navele de tipul "A" - sunt nave special construite pentru a transportamărfuri lichide în vrac. La aceste nave deschiderile în tancurile de marfă sunt demici dimensiuni, acoperite cu capace rezistente şi garnituri etanşe. O astfel denavă trebuie să aibă un grad foarte mare de etanşeitate a punţilor principale; deasemenea, transportând mărfuri lichide în vrac, etanşeitatea este sporită şiasemănător şi rezistenţa la inundare.

2. Nave de tipul "B" - sunt nave care nu satisfac condiţiile pentru tipul "A"Înălţimea bordului se determină în practică cu ajutorul "mărcii de bord

liber". Aceasta este amplasată în fiecare bord la mijlocul navei şi constă din:- linia punţii;- discul de bord liber (denumit şi discul Plimsoll) situat sub linia punţii, tăiat

de o bandă orizontală, a cărei margine superioară trece prin centrul discului şi estesituată faţă de linia de punţii la o distanţă egală cu bordul liber minim de vară(Fig.41).

Având stabilit bordul liber de vară, relaţiile dintre acesta şi celelalte linii deîncărcare pentru diferite zone geografice şi anotimpuri sunt prezentate încontinuare.

1. Linia de încărcare de vară (Summer load line) este indicată prin margineasuperioară a benzii ce trece prin centrul discului, fiind marcată cu ( )SV . Distanţa

Page 69: Statica Navei

_______________________________________________________________________________73

măsurată în milimetri de la această linie şi linia punţii reprezintă bordul liberminim de vară (Summer freeboard).

Fig. 41

2. Linia de încărcare la tropice (Tropical load line) este situată deasupraliniei de încărcare de vară la o distanţă egală cu 1/48 din pescajul de vară al navei,fiind marcată cu ( )TT .

3. Linia de încărcare de iarnă (Winter load line) este situată sub linia deîncărcare de vară la o distanţă egală cu 1/48 din pescajul de vară al navei, fiindmarcată cu ( )WI .

4. Linia de încărcare de iarnă în Atlanticul de Nord (Winter Nord Atlanticload line) este marcată cu ( )WNAIAN . Pentru navele cu lungimea mai mică de

m100 , această linie se obţine majorând cu mm50 bordul liber minim de iarnă.Pentru celelalte nave, această linie coincide cu linia de încărcare de iarnă.

5. Linia de încărcare de vară în apă dulce (Summer fresh water load line)este indicată de marginea superioară a unei benzi marcată cu ( )FD . Distanţa de lamarginea superioară a acestei benzi până la linia de vară este egală cu variaţiapescajului mediu al navei la trecerea din apă sărată cu 3/025,1 mt=r în apă dulcecu 3

1 /0,1 mt=r ( )FWA .6. Linia de încărcare la tropice în apă dulce (Tropical fresh water load line)

este indicată de marginea superioară a unei benzi marcată cu ( )TFTD . Distanţa dela marginea superioară a acestei benzi până la linia de încărcare de vară în apădulce ( )D reprezintă modificarea pescajului care este admisă în apă dulce faţă debordul liber la tropice.

La navele care transportă cherestea pe punte se prevăd linii de încărcaresuplimentare, plasate în stânga discului de bord liber cu liniile de încărcare, avândaceeaşi specificaţie.

Page 70: Statica Navei

_______________________________________________________________________________74

PROBLEME REZOLVATE

Problema 1O navă tip ponton paralelipipedic are: 100 , 10 , 4L m B m d m= = = în apă cu

densitatea de 31,010 /t m . Să se găsească:(a) deplasamentul;(b) noul pescaj dacă se încarcă 750 t de marfă;(c) noul pescaj dacă densitatea mediului în care navighează este de

31.025 /t m ;(d) noul pescaj dacă ajunge în port, unde densitatea apei este 31,005 /t m ;(e) câtă marfă trebuie descărcată în port pentru ca pescajul final să fie de

3,5 m .

Page 71: Statica Navei

_______________________________________________________________________________75

Rezolvare:(a) Deplasamentul pontonului se calculează cu formula:

1,010 100 10 4 4040L B d tD =r = × × × =

(b) Încărcându-se masa 750P t= de marfă, noul pescaj se calculează curelaţia:

14040 750 4,743

1,010 100 10Pd m

L BD + +

= = =r × ×

(c) Când salinitatea apei îşi schimbă valoarea de la 31,010 /t mr = la3

2 1,025 /t mr = pescajul ajunge la valoarea:

2 12

1,010 4,743 4,6731,025

d d mr= = =r

(d) În port, unde densitatea apei este 33 1,005 /t mr = , pescajul va fi:

33

4040 750 4,7661,005 100 10

Pd mL B

D + += = =r × ×

(e) Plecând de la pescajul final, rezultat în urma descărcării de marfă, rezultădeplasamentul final

4 3 4 1,005 100 10 3,5 3517,5L B d tD =r × × × = × × × =

Cantitatea de marfă descărcată este:( ) ( )4 4 4040 750 3517,5 1272,5P P t= D + -D = + - =

Problema 2O navă cu deplasamentul de 16450 t şi 9,3KG m= efectuează operaţiuni de

încărcare şi descărcare de marfă după cum urmează:

Masa [ ]t [ ]Kg m

Încărcare 1427 8,62964 4,61930 12,0

Descărcare 2000 11,8483 6,4

Găsiţi valoarea finală a lui KG .

Rezolvare:Calculele se vor executa tabelar, considerând toate categoriile de greutăţi şi

momentele statice ale acestora faţă de PB .

Page 72: Statica Navei

_______________________________________________________________________________76

Masa [ ]t [ ];KG Kg m Momentul faţă de [ ]PB t m×

16450 9,3 1529851427 8,6 12272,22964 4,6 13634,41930 12,0 23160,0-2000 11,8 -23600-483 6,4 -3091,2

1D = 20288 LBM =å 175360,4

11

175360, 4 8,64320288

LBMKG m= = =

Problema 3O navă cu deplasamentul de 12500 t şi 9,6KG m= încarcă marfă la bord după

cum urmează:

Masa [ ]t [ ]Kg m

1000 5,5850 13,6

Să se calculeze cota centrului de greutate ( )Kg al unei mase de 1600 t care va maitrebui încărcată la bord, astfel încât cota centrului de greutate al navei, rezultată înurma acestor operaţiuni să fie 1 9,5KG m= .

Rezolvare:Notăm cu x , Kg căutat. Vom rezolva problema tabelar.

Masa [ ]t [ ];KG Kg m Momentul faţă de [ ]PB t m×

12500 9,6 1200001000 5,5 5500850 13,6 115601600 x 1600 x

1D = 15950 LBM =å 137060+1600 x

Page 73: Statica Navei

_______________________________________________________________________________77

11

137060 16009,515950

LBM xKG += Û =

9,041x m=

Problema 4O navă are deplasamentul de 16000 t , 9KG m= şi este încărcată după cum

urmează:

Masa [ ]t [ ]Kg m

1000 82000 61500 10

Cum va fi distribuită o cantitate de marfă de 2000 t ce trebuie ambarcată îndouă magazii având 5Kg m= şi 11Kg m= astfel încât, în final, nava să aibă

1 8,75KG m= ?

Rezolvare:Notăm cu x cantitatea de marfă din magazia cu 5Kg m= şi y cantitatea de

marfă din magazia cu 11Kg m= . Evident, 2000x y t+ = .Problema se poate rezolva tabelar:

Masa [ ]t [ ];KG Kg m Momentul faţă de [ ]LB t m×

16000 9 1440001000 8 80002000 6 120001500 10 15000

x 5 5 xy 11 11 y

1D = 22500 LBMå 179000+5 x +11 y

11

179000 5 118,7522500

LBM x yKG + += Û =

Då sau

5 11 17875 687,52000 1312,5

x y x tx y y t

+ = =ìÞí + = =î

Page 74: Statica Navei

_______________________________________________________________________________78

Problema 5O navă cu deplasamentul de 14500 t are cota centrului de greutate6,86KG m= . Să se calculeze noua valoare a cotei centrului de greutate 1KG care

rezultă în urma ambarcării a 3500 t de containere pe o punte cu 23Kg m= .

Rezolvare:Problema se poate rezolva tabelar:

Masa [ ]t [ ];KG Kg m [ ]LBM t m×

14500 6,86 994703500 23 80500

1D = 18000 LBM =å 179970

11

179970 1018000

LBMKG m= = @

Problema 6O navă încarcă 3500 t de produse de buncher cu 1,37Kg m= . Înainte de

încărcare nava avea deplasamentul de 12500 t şi 5,33KG m= . Care va fi valoareanoii cote a centrului de greutate 1KG ?

Rezolvare:Problema se poate rezolva tabelar:

Masa [ ]t [ ];KG Kg m [ ]LBM t m×

3500 1,37 479512500 5,33 66625

1D = 16000 LBM =å 71420

11

71420 4, 4616000

LBMKG m= = @

Problema 7

Page 75: Statica Navei

_______________________________________________________________________________79

Magazia de marfă Nr. 2 la o navă este încărcată ca in figură. Să se găseascăvaloarea cotei centrului de greutate al magaziei.

Rezolvare:Problema se rezolvă tabelar:

Masa [ ]t [ ]Kg m [ ]LBM t m×

400 1,95 780300 3,95 1185350 4,825 1688,75100 6,075 607,550 6,075 303,75

P =å 1200 LBM =å 4565

4565 3,81200

LBMKG m

P= = =åå

Problema 8O navă cu deplasamentul de 14600 t are 9,6KG m= . Se încarcă marfă după

cum urmează:

Masa [ ]t [ ]Kg m

2500 4,51600 12,5

Ce cantitate de marfă va putea fi ambarcată la 16Kg m= astfel încât valoareafinală a cotei centrului de greutate al navei să nu depăşească valoarea 1 10KG m= ?

Rezolvare:Notăm cu x cantitatea de marfă care reprezintă necunoscuta problemei.

Page 76: Statica Navei

_______________________________________________________________________________80

Masa [ ]t [ ];KG Kg m [ ]LBM t m×

14600 9,6 1401602500 4,5 112501600 12,5 20000

x 16,0 16 x

1D = 18700+ x LBM =å 171410+16 x

x se va determina din ecuaţia:

11

171410 1610 10 2598,318700

LBM xKG x tx

+= = Û = Þ =

D +å

Problema 9O navă are 16000 tD = şi 8,5KG m= . Ea încarcă marfa după cum urmează:

Masa [ ]t [ ]Kg m

1360 4,72957 10,51638 5,9500 14,8

Să se calculeze valoarea noii cote a centrului de greutate 1KG .

Rezolvare:Problema se va rezolva tabelar:

Masa [ ]t [ ];KG Kg m [ ]LBM t m×

16000 8,5 1360001360 4,7 63922957 10,5 31048,51638 5,9 9664,2500 14,8 7400

1D = 22455 LBM =å 190504,7

11

190504,7 8,4822455

LBMKG m= = =

Page 77: Statica Navei

_______________________________________________________________________________81

Problema 10O navă are 6200 tD = şi 8KG m= . Să se distribuie o cantitate de 9108t de

marfă în două spaţii de depozitare, având 1 0,59Kg m= şi 2 11,45Kg m= astfel încâtcota finală a centrului de greutate să fie 1 7,57KG m= .

Rezolvare:Notăm cu x capacitatea de marfă din magazia 1. În magazia 2 vom avea

( )9108 x- tone de marfă.Masa [ ]t [ ];KG Kg m [ ]LBM t m×

6200 8,0 49600x 0,59 0,59 x

9108 x- 11,45 104286,6 11, 45 x-

1D = 15308 LBM =å 153886,6-10,86 x

11

153886,6 10,86 7,5715308

LBM xKG -= = =

1 23499,5 ; 5608,5x P t P t= = =

Problema 11O navă are deplasamentul de 15000 t şi 6,86KG m= . O cantitate de marfă de

500 t este deplasată pe verticală de pe puntea dublului fund unde 2,43Kg m= pepuntea principală unde 1 12, 2Kg m= . Care va fi valoarea 1KG ?

Rezolvare:Problema se rezolvă ţinând cont de efectul deplasărilor de greutăţi la bordul

navei asupra poziţiei centrului de greutate.( ) ( )1

1500 12, 2 2,43

6,86 7,1915000

P Kg KgKG KG m

- -= + = + @

D.

Page 78: Statica Navei

_______________________________________________________________________________82

14. CONSIDERAŢII GENERALE DESPRE STABILITATEA NAVEI

În general, un corp se găseşte în echilibru atunci când rezultanta forţelorcare acţionează asupra lui şi momentul rezultant sunt nule. Un corp care pluteşteîn apă liniştită se află în echilibru sub acţiunea a două forţe rezultante verticale,egale şi de sens contrar şi acţionând pe acelaşi suport: forţa de greutate, acţionândvertical de jos în sus în centrul de greutate şi forţa de împingere orientată verticalîn sus cu punct de acţiune centrul de carenă. Corpurile plutitoare pot exista în treisituaţii de echilibru:

(a) Echilibru stabil, atunci când corpul scos din poziţia de echilibru de ocauză externă, revine la poziţia iniţială de îndată ce cauza externă încetează săacţioneze.

(b) Echilibru instabil, atunci când corpul scos din poziţia de echilibru de ocauză externă, nu mai revine la poziţia iniţială după dispariţia cauzei externe,depărtându-se tot mai mult de această poziţie.

(c) Echilibru indiferent sau neutru, atunci când corpul scos din poziţia deechilibru de o cauză externă rămâne în poziţie deplasată chiar şi după dispariţiacauzei externe.

În cazul unei nave, situaţia de echilibru indiferent trebuie tratată tot ca osituaţie de instabilitate, pentru că nu putem accepta, de exemplu, ca o navăînclinată transversal la tribord cu 10° de o cauză externă să rămână în aceastăpoziţie, când aceasta nu mai acţionează. Aşadar, în "Teoria navei", o navă poate fiîn două situaţii: stabilă sau instabilă.

Ca o consecinţă a acţiunii forţelor externe, nava va putea căpăta deplasăripe toate cele şase grade de libertate: trei translaţii în lungul axelor de coordonate

, ,ox oy oz şi trei rotaţii în jurul acestor axe.Să analizăm în continuare din punct de vedere al stabilităţii deplasarea

navei pe fiecare din cele şase grade de libertate.Dacă scoatem nava din poziţia de echilibru, deplasând-o pe direcţia axei

oz , vom observa că, odată cu încetarea cauzei exterioare, nava revine la poziţiainiţială deci, este într-o situaţie de echilibru stabil pe această direcţie. Astfel, dacănava se deplasează vertical în sus, scade pescajul iar forţa de împingerearhimedică va deveni mai mică decât forţa de greutate care îşi păstrează constantăvaloarea. Sub acţiunea forţei rezultante nava revine la poziţia de echilibru iniţial,odată cu încetarea acţiunii cauzei externe, după ce execută câteva oscilaţii

CAPITOLUL III. STABILITATEA INIŢIALĂ A NAVEI

Page 79: Statica Navei

_______________________________________________________________________________83

verticale amortizate. Nava este în echilibru stabil pe direcţia axei oz, indiferent demagnitudinea deplasărilor pe această direcţie.

Dacă nava capătă deplasări pe direcţiile axelor ox şi oy , mediul marinopune rezistenţă la aceste deplasări prin apariţia forţelor de rezistenţă la înaintarecare se opun mişcării. După dispariţia forţelor exterioare, nava rămâne în poziţiedeplasată şi nu revine la poziţia iniţială. Această comportare are loc indiferent demagnitudinea deplasărilor în plan orizontal, iar situaţia este de echilibruindiferent, deci nava este instabilă pe aceste direcţii.

Rotaţia navei în jurul axei oz (pivotarea) implică deplasări în planorizontal şi apariţia unui moment rezistent la rotaţie din partea mediului marin.După dispariţia cauzei externe, nava va rămâne deplasată neputând reveni lapoziţia iniţială, indiferent de mărimea deplasării. Suntem din nou într-un caz deinstabilitate.

În cazul rotaţiei navei în jurul axelor orizontale, longitudinală ( )ox şitransversală ( )oy , aceasta se poate găsi în oricare din situaţiile stabilă sauinstabilă, totul depinzând de o serie întreagă de factori cum ar fi: dimensiunilenavei, forma suprafeţei imerse, distribuţia de greutăţi la bord şi tipul acestora,precum şi mărimea unghiului de înclinare. Spre exemplu, dacă o navă pluteşteîntr-o poziţie dată şi asupra ei acţionează o cauză externă care o scoate din aceastăpoziţie, înclinând-o transversal, forţa de împingere şi forţa de greutate vor formaun cuplu, momentul acestuia putând avea semne diferite. Astfel, dacă acestmoment tinde să readucă nava în poziţia iniţială are semn pozitiv şi se numeştemoment de redresare sau moment de stabilitate, nava fiind stabilă (Fig. 42,a).Atunci când momentul tinde să încline nava în acelaşi sens cu cel produs de cauzaexternă, are semn negativ şi se numeşte moment de instabilitate, nava fiindinstabilă (Fig. 42,b).

Fig. 42

Page 80: Statica Navei

_______________________________________________________________________________84

Mecanismul fizic al apariţiei momentului de redresare este următorul. Îndecursul înclinării navei, centrul de carenă se va deplasa în sensul înclinării întimp ce centrul de greutate rămâne în poziţie fixă, neavând loc deplasări de masela bord. Deplasarea relativă a celor două centre aduce nava în situaţia în care, lasfârşitul înclinării, forţa de împingere şi forţa de greutate rămân egale în modulul,însă nu vor mai acţiona pe acelaşi suport, determinând apariţia momentului destabilitate.

Aşa cum vom demonstra în acest capitol, pentru navele de suprafaţă laaceeaşi mărime a unghiului de înclinare, momentul de stabilitate longitudinalăeste mult mai mare decât momentul de stabilitate transversală. Din acestconsiderent, în teoria navei se studiază îndeosebi stabilitatea transversală în douăsituaţii: stabilitatea la unghiuri mici de înclinare sau stabilitatea iniţială, atuncicând unghiul de înclinare transversală 7 10maximj < ° ° şi stabilitatea la unghiurimari de înclinare. La unghiuri mici, momentul de stabilitate are o variaţie liniarăcu unghiul de înclinare, pe când la unghiuri mari de înclinare această ipoteză numai este valabilă.

Spre deosebire de navele de suprafaţă, la submarinele complet imersate nuse poate face o distincţie ca ordin de mărime între stabilitatea transversală şi cealongitudinală. Un submarin imersat se poate răsturna la fel de uşor atâttransversal, cât şi longitudinal. Această diferenţă de comportament între navele desuprafaţă şi submarinele imersate se explică prin aceea că centrul de carenă lasubmarine este fix, în timp ce la nave se deplasează odată cu înclinarea corpului.

Un submarin se poate găsi din punct de vedere al stabilităţii în una dinsituaţiile din Fig. 43.

Se poate observa că numai în cazul din Fig. 43.a submarinul este stabilîntrucât momentul creat de forţa de împingere şi forţa de greutate tinde să-l aducăîn poziţia iniţială. În concluzie, un corp imersat este în poziţie de echilibru stabil,dacă centrul de greutate se găseşte sub centrul de carenă.

Astfel, în cazul navelor de suprafaţă cât şi în cazul submarinelor, aşa cumse observă din figurile 42 şi 43, stabilitatea se măreşte dacă centrul de greutate sedeplasează pe verticală în jos. Dacă nava este iniţial stabilă, se măreşte braţulmomentului şi implicit valoarea momentului de stabilitate. Dacă nava este iniţialinstabilă, prin deplasarea centrului de greutate vertical în jos cu o distanţăsuficientă, se schimbă sensul momentului, transformându-l din moment deinstabilitate în moment de stabilitate.

Cauzele externe care determină înclinarea navei pot acţiona static, atuncicând valoarea momentului exterior are o creştere lentă în timp şi dinamic, atuncicând momentul exterior acţionează cu intensitatea maximă din prima clipă. Înteoria navei, efectele acestor acţiuni se studiază separat, împărţind stabilitateanavei în: stabilitate statică şi stabilitate dinamică.

Page 81: Statica Navei

_______________________________________________________________________________85

Fig. 43

Stabilitatea statică este caracterizată de valoarea momentului de stabilitate,în timp ce măsura stabilităţii dinamice este lucrul mecanic al momentului destabilitate care se consumă în timpul înclinării.

15. ÎNCLINĂRI IZOCARENE. TEOREMA EULER

În general, acţiunea unei cauze externe asupra navei se reduce la un torsorformat dintr-o forţă şi un moment. Dacă forţa externă are componentă pe direcţieverticală, nava îşi modifică pescajul până când forţa de împingere egaleazărezultanta forţelor verticale care acţionează asupra ei. Dacă forţa externăacţionează pe direcţie transversală, nava capătă o mişcare de derivă întâmpinânddin partea apei o forţă de rezistenţă. Apare în acest fel şi un moment care înclinănava transversal. Atunci când forţa externă acţionează pe direcţie longitudinală,apare un moment care înclină nava longitudinal. În ambele cazuri, nava îşimodifică poziţia în raport cu suprafaţa liberă a apei păstrând constant volumulcarenei. Două plutiri se numesc izocarene dacă ele corespund la volume de careneegale.

Considerând două plutiri izocarene 1 1W L şi 2 2W L , înclinate transversal, unafaţă de alta, cu unghiul elementar dj , vom observa că forma volumului carenei semodifică deoarece volumul 1dV intră în apă, iar volumul 2dV iese din apă. Acestedouă volume în formă de pană se numesc onglete; 1dV este ongletul imers, iar 2dVeste ongletul emers (Fig. 44). Cele două plutiri fiind izocarene rezultă egalitatea:

1 2dV dV= (15.1)Pentru calculul celor două volume, observăm că ele sunt delimitate de

dreapta de intersecţie a plutirilor, a cărei urmă pe planul transversal este punctulF şi care împarte aria plutirii în două (Fig. 45):

1WLA este partea din aria plutirii

Page 82: Statica Navei

_______________________________________________________________________________86

care corespunde ongletului imers, iar2WLA corespunde ongletului emers. În

interiorul fiecărui onglet considerăm câte o prismă elementară având ca bază WLdA ,iar ca înălţime 1y dj , respectiv 2y dj .

Fig. 44 Fig. 45

Aşadar:

1 1

1 1 1 1

WL WL

WL WL sA A

dV y d dA d y dA d M= j = j = jò ò (15.2)

2 2

2 2 2 2

WL WL

WL WL sA A

dV y d dA d y dA d M= j = j = jò ò (15.3)

1sM şi 2sM sunt momentele statice ale ariilor1WLA şi

2WLA în raport cudreapta de intersecţie a plutirilor 1 1W L şi 2 2W L . Introducem (15.2) şi (15.3) în(15.1) şi obţinem:

1 2s sM M=

sau:1 2 0s s sM M M- = = (15.4)

În relaţia (15.4), sM reprezintă momentul static al ariei plutirii 1WL înraport cu dreapta de intersecţie a plutirilor 1 1W L şi 2 2W L . Din relaţia (15.4) rezultăcă acest moment static este nul, ceea ce înseamnă că dreapta de intersecţie (axa deînclinare) trece prin centrul de greutate al plutirii 1 1W L . Aceasta este esenţateoremei Euler al cărei enunţ este următorul:

Două plutiri izocarene înclinate cu un unghi infinit mic, una faţă de alta,se intersectează după o dreaptă ce trece prin centrul de greutate al celor douăplutiri.

La navele cu borduri verticale teorema Euler este valabilă pentru oriceînclinare în limitele în care plutirile nu intersectează puntea sau gurna.

Putem formula o reciprocă a teoremei Euler, deosebit de importantă:

Page 83: Statica Navei

_______________________________________________________________________________87

Dacă două plutiri sunt înclinate cu un unghi infinit mic în jurul unei axece trece prin centrul plutirii, atunci cele două plutiri sunt izocarene.

16. DEPLASAREA CENTRULUI DE CARENĂ

Teorema lui Euler a fost demonstrată pentru o înclinare pur transversală.Acest lucru nu micşorează cu nimic generalitatea enunţului ei. În general, o navăse poate roti în jurul oricărei axe centrale a plutirii cu un unghi infinit mic.Plutirea iniţială şi cea înclinată vor fi izocarene, însă centrele de carenă vor fipuncte distincte, deoarece formele celor două carene sunt diferite. Ne intereseazăsă studiem modul în care se deplasează centrul de carenă în timpul acestorînclinări.

Apariţia ongletelor, imers şi emers, egale şi de volum dV , poate ficonsiderată ca o modificare a formei carenei. Se poate considera că forma careneicorespunzătoare plutirii 2 2W L se obţine din carena corespunzătoare plutirii 1 1W L ,prin deplasarea volumului dV din bordul emers în bordul imers. Centrul degreutate al acestui volum se va deplasa pe distanţa 1 2g g .

Din mecanica teoretică este cunoscută următoarea teoremă, ca oconsecinţă directă a teoremei momentelor: "Dacă în interiorul unui sistem formatdin mai multe corpuri, un corp se deplasează după o direcţie oarecare; centrul degreutate al sistemului se deplasează după o direcţie paralelă şi în acelaşi sens.Raportul dintre deplasarea centrului de greutate al sistemului şi deplasareacentrului de greutate al corpului este egal cu raportul dintre masa corpului şi masasistemului de corpuri."

Conform teoremei amintite putem scrie (vezi Fig. 46):1 2 1 2//B B g g (16.1)

1 2 1 2dVB B g gV

= (16.2)

Fig. 46

Page 84: Statica Navei

_______________________________________________________________________________88

Dacă nava se înclină în jurul unei axe centrale oarecare din planulplutirii, deplasările 1 2g g şi 1 2B B sunt spaţiale şi pot fi descompuse în trei deplasăriortogonale, corespunzătoare sistemului la care ne raportăm.

Să considerăm un caz general de înclinare a navei în jurul unei axecentrale Fx din planul plutirii 1 1W L (Fig. 47).

Fig. 47

Sistemul de axe triortogonal, faţă de care ne raportăm, are planul Fxh carecoincide cu planul plutirii, iar axa Fz perpendiculară pe acest plan.

Ca urmare a înclinării cu unghiul da , deplasarea 21 BB a centrului decarenă poate fi descompusă în trei deplasări infinitezimale , ,d d dx h z în lungulaxelor. Considerăm un volum prismatic elementar ce are ca bază suprafaţaelementară WLdA , iar ca înălţime dh a (Fig.48). Distanţele de la centrul de greutate

al acestui volum la planele ,F Fzh zx şi , ,sunt respectivFVh x h h respectiv2

sunt respectiv daVh x h h .

Fig. 48

Prin deplasarea spaţială a centrului de carenă au loc variaţii alemomentelor statice ale volumului carenei în raport cu aceste plane, care secalculează cu formulele:

Page 85: Statica Navei

_______________________________________________________________________________89

WL

WLA

dM V d d dAzh = x= a xhò (16.3)

2

WL

WLA

dM V d d dAzx = h =a hò (16.4)

( )22

2WL

WLA

ddM V d dAxh

a= z = hò (16.5)

Cele două integrale care apar în relaţiile anterioare reprezintă momentelede inerţie ale ariei plutirii iniţiale, respectiv:

WL

WLA

dA Ixhxh =ò (16.6)

- momentul de inerţie centrifugal al suprafeţei plutirii:2

WL

WLA

dA Ixh =ò (16.7)

- momentul de inerţie al suprafeţei plutirii în raport cu axa centrală Fx .Deplasările infinitezimale ale centrului de carenă se vor scrie:

Id d

Vxhx = a (16.8)

Id d

Vxh = a (16.9)

( )212

Id d

Vxz = a (16.10)

Scriind relaţia (16.10), tragem următoarele concluzii:1) La înclinări izocarene pe direcţie verticală, centrul de carenă se va

deplasa întotdeauna în sus deoarece 0dz > .2) Deplasarea pe direcţie verticală a centrului de carenă dz este un infinit

mic de ordinul doi, comparativ cu deplasările în plan orizontal dx şi dh .Prin urmare, arcul elementar 21 BB se poate calcula cu relaţia:

2222221 ddddddsBB hxVhx +@++== (16.11)

Să examinăm în continuare, separat, înclinările transversale şilongitudinale, presupunând că plutirea iniţială este dreaptă, adică 1 1 0 0W L W Lº .Situaţia este prezentată în figura 49.

A) În cazul înclinărilor transversale, axa de înclinare F oxx º . Momentelede inerţie ale plutirii vor fi:

;x fxI I I Ix xh= =

Deplasările elementare ale centrului de carenă se pot calcula cu relaţiile:

0fxB

Id dx d

Vx = = j = (16.12)

xB

Id dy d

Vh = = j (16.13)

Page 86: Statica Navei

_______________________________________________________________________________90

( )212

xB

Id dz d

Vz = =j (16.14)

Fig. 49

În formulele de mai sus, momentul de inerţie centrifugal fxI s-a considerategal cu zero, deoarece ox este axa de simetrie a suprafeţei plutirii, iar d da = j .

B) În cazul înclinărilor longitudinale, axa de înclinare F Ffx º şi F oxh º ,iar unghiul de înclinare d da = q .Momentele de inerţie ale plutirii vor fi corespunzătoare:

;f fxI I I Ix xh= =

Deplasările elementare ale centrului de carenă se calculează cu relaţiile:

0fxB

Id dy d

Vx = = q = (16.15)

fB

Id dx d

Vh = =q (16.16)

( )212

fB

Id dz d

Vz = =q (16.17)

Formulele (16.8), (16.9) şi (16.10) reprezintă modelul matematic aldeplasării centrului de carenă la înclinări infinit de mici, izocarene în jurul uneiaxe centrale din planul plutirii. Ne putem imagina însă o infinitate de înclinări,infinit mici, în jurul unei axe centrale de la 0° la 360°, precum şi o infinitate deaxe centrale situate în planul plutirii în jurul cărora se roteşte nava. Loculgeometric al centrelor de carenă, corespunzătoare acestor infinităţi de plutiriizocarene, poartă numele de suprafaţa centrelor de carenă sau suprafaţa B . Dacăne fixăm asupra unei axe centrale de rotaţie, centrul de carenă se va deplasa pe ocurbă de pe această suprafaţă care se numeşte curba centrelor de carenă saucurba B .

Page 87: Statica Navei

_______________________________________________________________________________91

Studiind relaţia (16.11), vom observa că la înclinări infinit mici izocarene,centrul de carenă se deplasează după direcţiile x şi h , deci într-un plan paralel cuplanul plutirii, tangent la suprafaţa B . Rezultă de aici o proprietate importantă asuprafeţei centrelor de carenă, considerată de mulţi autori ca teorema a II-a a luiEuler: "Planul tangent la suprafaţa centrelor de carenă este paralel cu planulplutirii corespunzătoare punctului de tangenţă."

17. METACENTRE ŞI RAZE METACENTRICE

Să revenim la înclinările izocarene cu un unghi infinit mic, studiindseparat înclinările transversale şi longitudinale.

În timpul înclinărilor transversale, deplasările elementare ale centrului decarenă se calculează cu formulele (16.12), (16.13) şi (16.14) observând că

0 ; 0 ; 0B B Bdx dy dz= ¹ ¹ . Rezultă că centrul de carenă se va deplasa după o curbăde pe suprafaţa B situată într-un plan paralel cu planul de înclinare yKz .

Se consideră o navă înclinată transversal cu unghiul j şi care, faţă deaceastă poziţie, suferă o înclinare transversală suplimentară cu unghiul dj(Fig.50). Centrul de carenă se va deplasa parcurgând arcul elementar 21 BB , situatpe suprafaţa B într-un plan transversal.

În punctele B şi 1B acţionează forţele de împingere ce corespund plutirilorWL şi 1 1W L , perpendicular pe aceste plane. Întrucât planele plutirilor suntperpendiculare pe planul transversal în care se situează B şi 1B , rezultă căsuporturile forţelor de împingere arhimedică sunt coplanare şi se intersecteazăîntr-un punct Mj .

Conform teoremei a II-a a lui Euler, demonstrată în paragraful anterior,planele tangente în punctele B şi 1B la suprafaţa B , sunt paralele cu WL ,respectiv 1 1W L , deci suporturile forţelor de împingere sunt perpendiculare peaceste plane. Rezultă că poziţia limită a punctului Mj , atunci când 0dj® estecentrul de curbură al curbei centrelor de carenă în punctul B . El poartă denumireade metacentru transversal, iar raza de curbură se numeşte rază metacentricătransversală corespunzătoare unghiului j de înclinare şi se notează cu rj .

Din (16.11), (16.12) şi (16.13) se deduce expresia arcului elementar BB1

sub forma:

jj jj dBMd

VI

BB x1 =@ (17.1)

unde xI j este momentul de inerţie al plutirii WL în raport cu o axă paralelă cu axax ce trece prin centrul F al acestei plutiri. Din (17.1) obţinem formula de calculpentru raza metacentrică transversală:

Page 88: Statica Navei

_______________________________________________________________________________92

xIBM

Vj

j = (17.2)

Fig. 50

În situaţia în care plutirea iniţială este dreaptă (Fig. 51), raza metacentricătransversală se calculează cu relaţia:

xIBM

V= (17.3)

O discuţie asemănătoare se face pentru punerea în evidenţă ametacentrului longitudinal LM şi a razei metacentrice longitudinale. Întrucâtstabilitatea longitudinală a navei se studiază în limita unghiurilor mici deînclinare, vom reduce discuţia la cazul plutirii iniţiale drepte ( )0q = . Situaţia esteprezentată în Fig. 52.

Page 89: Statica Navei

_______________________________________________________________________________93

Fig. 51

Când nava se înclină longitudinal cu unghiul dq centrul de carenă contureazăarcul elementar 1BB . Utilizând formulele (16.11), (16.15) şi (16.16) găsim:

qq dBMdVI

BB Lf

1 =@ (17.4)

iar pentru raza metacentrică longitudinală:f

L

IBM

V= (17.5)

Fig. 52

În practică, se observă că pentru o navă de suprafaţă, raza metacentricălongitudinală LBM este mult mai mare decât raza metacentrică transversală BM .În timp ce LBM are ordinul de mărime al lungimii navei, putând ajunge până la

Page 90: Statica Navei

_______________________________________________________________________________94

1,5 L sau chiar 2 L ; BM variază între 1 16 3

Bæ öç ÷è øL . La aceeaşi concluzie putem ajunge

studiind raportul dintre LBM şi BM pentru un ponton paralelipipedic, cudimensiunile L B d´ ´ .Razele metacentrice vor fi:

3 2 3 2/12 /12;12 12

f xL

I IB L L L B BBM BMV L B d d V L B d d

= = = = = = (17.6)

Raportul lor va fi :2

LBM LBBM

æ ö= ç ÷è ø

(17.7)

Cum LB

variază în limitele 4...12 ; LBMBM

este situat în limitele 16....144 .

Din relaţiile (17.6) rezultă:2 2

1 2;12 12LL BBM d K BM d K= = = = (17.8)

care implică o variaţie hiperbolică a înălţimilor metacentrice cu pescajulpontonului. În cazul navelor obişnuite, se remarcă o variaţie apropiată de ceahiperbolică a înălţimilor metacentrice transversală şi longitudinală cu pescajul.

18. MOMENT DE REDRESARE. FORMULA METACENTRICĂ ASTABILITĂŢII. ÎNĂLŢIMI METACENTRICE

Aşa cum am arătat în §14, mecanismul fizic al apariţiei momentului deredresare în cazul înclinărilor izocarene constă în interacţiunea dintre forţa deîmpingere arhimedică şi forţa de greutate, datorită deplasării centrului de carenă însensul înclinării.

Considerând înclinări izocarene ale navei în limita unghiurilor mici, onavă se poate găsi, din punct de vedere al stabilităţii transversale, în una dinsituaţiile prezentate în Fig. 53.

Cazul a (Fig. 53). Centrul de greutate se găseşte sub centrul de carenă.Când nava se înclină transversal, centrul de carenă se deplasează în poziţia 1B .Momentul cuplului format de forţa de greutate g D şi forţa de împingere g Vr

tinde să aducă nava în poziţia iniţială, fiind un moment de stabilitate. Nava se aflăîn acest caz într-o situaţie de stabilitate transversală excesivă, întâlnită la naveleunde se iau măsuri speciale privind stabilitatea cum sunt navele de sport şiagrement. O navă cu stabilitate excesivă execută oscilaţii dure pe o maredezvoltată, adică oscilaţii cu perioadă mică şi frecvenţă mare. În timpul acestormişcări apar forţe de inerţie mari care, pe de-o parte, încarcă structural nava, iarpe de altă parte, acţionează asupra mecanismelor, instalaţiilor şi aparatelor deconducere ale navei, putând duce la funcţionarea defectuoasă a acestora.

Page 91: Statica Navei

_______________________________________________________________________________95

Cazul b (Fig. 53). În poziţia iniţială, centrul de greutate este situatdeasupra centrului de carenă. În poziţie înclinată transversal, centrul de carenă segăseşte în 1B . Momentul cuplului format de forţa de greutate g D şi forţaarhimedică g Vr tinde să aducă nava în poziţia iniţială, fiind un moment destabilitate. Această poziţie relativă a celor trei centre, metacentrul transversal M ,centrul de greutate G , centrul de carenă B , dispuse în această ordine pe verticalăde sus în jos, indică o situaţie de stabilitate pozitivă şi este întâlnită la mareamajoritate a navelor în timpul exploatării.

Cazul c (Fig. 53). În poziţia iniţială, centrul de greutate este situatdeasupra centrului de carenă. Când nava este înclinată transversal, centrul decarenă se deplasează din B în 1B astfel încât metacentrul transversal M estepoziţionat sub centrul de greutate. Momentul cuplului format de forţa de greutateg D şi forţa arhimedică g Vr este orientat în sensul înclinării deci, este un momentde instabilitate, nava găsindu-se într-o situaţie de stabilitate negativă.

Cazul d (Fig. 53). În poziţia iniţială, centrul de greutate se află deasupracentrului de carenă. Pentru o înclinare transversală centrul de carenă se deplaseazădin B în 1B , poziţie pentru care metacentrul transversal M coincide cu centrul degreutate G . În acest caz, momentul este nul şi nava rămâne în poziţie înclinată,situaţia fiind, de asemenea, de instabilitate.

Page 92: Statica Navei

_______________________________________________________________________________96

Fig. 53

Din punctul de vedere al mecanismului fizic de apariţie a momentului destabilitate există o analogie perfectă între stabilitatea transversală şi stabilitatealongitudinală a navei. În Fig. 54 este prezentat cazul cel mai frecvent în care sepoate găsi o navă din punct de vedere al stabilităţii longitudinale.

Fig. 54Vom face observaţia că o navă de suprafaţă obişnuită nu va fi

niciodată instabilă longitudinal deoarece BMBM L ³ şi totdeauna metacentrullongitudinal va fi situat deasupra centrului de greutate.

Page 93: Statica Navei

_______________________________________________________________________________97

Ne propunem în continuare să găsim formule pentru calculul momentelorde stabilitate transversală şi longitudinală.

Considerăm o navă înclinată transversal cu unghiul infinit mic dj (Fig.55). Iniţial, centrele M , G şi B se găsesc în . .P D În timpul înclinării, B sedeplasează în poziţia 1B care corespunde plutirii 1 1W L . În 1B acţionează vertical însus forţa de împingere arhimedică. Suportul acestei forţe intersectează . .P D înmetacentrul transversal M . Faţă de poziţia corespunzătoare plutirii iniţiale WL ,când forţa arhimedică g Vr şi forţa de greutate g D acţionau pe acelaşi suport, încazul plutirii înclinate, cele două forţe formează un cuplu. Momentulcorespunzător acestui cuplu este un moment de stabilitate elementar care secalculează cu formula :

sdM g GZ= D (18.1)unde GZ este braţul acestui moment elementar. Din Fig. 55 se observă că putemscrie:

GZ GM d= j (18.2)şi mai departe după înlocuire:

sdM g GM d= D j (18.3)

Fig. 55

Distanţa GM reprezintă înălţimea metacentrică transversală şi este omăsură a stabilităţii iniţiale a navei. Înălţimea metacentrică se consideră pozitivăcând metacentrul transversal este situat deasupra centrului de greutate şi negativăcând metacentrul transversal este situat sub centrul de greutate. Înălţimea

Page 94: Statica Navei

_______________________________________________________________________________98

metacentrică se poate scrie şi ca diferenţa dintre cota metacentrului transversal şicota centrului de greutate.

GM KM KG= - (18.4)sau:

GM BM KB KG= + - (18.5)Relaţia (18.3) se numeşte formula metacentrică a stabilităţii transversale

sub formă diferenţială. Chiar dacă această formulă a fost dedusă pentru oînclinare transversală infinitezimală ea poate fi aplicată şi pentru unghiuri finiteconsiderate în categoria unghiurilor mici de înclinare, sub forma:

sM g GM= D j (18.6)În relaţia (18.6) unghiul j se măsoară în radiani iar limitele de valabilitate

practică sunt pentru o10<j max o15 .Discutând în continuare despre stabilitatea longitudinală la unghiuri mici

de înclinare şi raţionând asemănător se obţine formula metacentrică a stabilităţiilongitudinale sub formă diferenţială:

sL LdM g GM d= D q (18.7)sau pentru unghiuri finite de înclinare longitudinală:

sL LM g GM= D q (18.8)cu unghiul de înclinare longitudinală q exprimat în radiani.

Distanţa LGM este înălţimea metacentrică longitudinală şi este o măsură astabilităţii longitudinale a navei. Ea se poate exprima şi ca diferenţa dintre cotametacentrului longitudinal şi cota centrului de greutate:

L LGM KM KG= - (18.9)sau:

L LGM BM KB KG= + - (18.10)Analizând prin intermediul formulei metacentrice a stabilităţii transversale

cazurile prezentate în Fig. 53, se constată că în cazurile a) şi b) 0sM > deoarece0GM > , în cazul c) 0sM < ( 0GM < ) şi în cazul d) 0sM = ( 0GM = ).

Din punct de vedere al stabilităţii transversale a navei este de dorit ovaloare cât mai mare a înălţimii metacentrice GM . Pe de altă parte, o navă cuGM mare execută pe mare reală oscilaţii de ruliu foarte "dure", adică oscilaţii cuperioadă mică şi frecvenţă mare. Astfel de mişcări implică forţe de inerţie maricare acţionează asupra mecanismelor şi instalaţiilor de la bord, precum şi asupraaparatelor de conducere a navei. Nu în ultimă instanţă, se înrăutăţesc condiţiile deviaţă ale echipajului. Din aceste motive, în timpul proiectării navei se are învedere ca să se asigure o valoare a înălţimii metacentrice, transversale înconformitate cu tipul navei şi cu normele de registru.

Aşa cu am precizat, înălţimile metacentrice, transversală şi longitudinală,corespund înclinărilor navei în jurul axelor centrale, situate în planul plutirii, Fx

Page 95: Statica Navei

_______________________________________________________________________________99

şi Ff . Vom remarca faptul că momentul de inerţie al plutirii în raport cu oricareaxă centrală are valoarea situată între xI şi fI ; motiv pentru care înălţimeametacentrică corespunzătoare rotaţiei în jurul acestei axe este mai mare decâtînălţimea metacentrică transversală GM şi mai mică decât înălţimea metacentricălongitudinală LGM . De asemenea, am arătat că datorită faptului că GMGM L >> ,pentru navele de suprafaţă, problema stabilităţii navei nu se pune decât în plantransversal. În ceea ce priveşte stabilitatea longitudinală a unei nave de suprafaţăneavariate, principalele probleme care se pun sunt legate de determinarea asietei şia pescajului sub acţiunea diferitelor cauze externe ce pot apărea în timpulexploatării. O înclinare longitudinală mică a navei va determina o deplasare acentrului de carenă în direcţia înclinării suficient de mare astfel încât momentulformat de forţa de împingere şi forţa de greutate să fie suficient de mare,comparativ cu momentul produs de aceleaşi forţe, la o înclinare egală, în plantransversal. Dacă totuşi, în timpul exploatării apar cauze care determină odeplasare a centrului de greutate pe verticală în sus, micşorând stabilitatea navei,atunci aceasta se va putea răsturna în plan transversal cu mult înainte de apariţiapericolului de răsturnare longitudinală, pentru că LM este situat mai sus peverticală decât M . Este puţin probabil ca o navă de suprafaţă neavariată săîntâlnească o asemenea forţă pe direcţie verticală, care să-i deplaseze G deasupralui LM , nava devenind instabilă şi în plan longitudinal.

Navele de suprafaţă se pot răsturna longitudinal doar ca urmare a inundăriiunui compartiment sau a unui grup de compartimente situate la extremităţile pupasau prova ale navei, datorită unei avarii. Pătrunderea unei cantităţi mari de apă îninteriorul navei, la una din extremităţile prova sau pupa, va exclude dinflotabilitatea navei zona corespunzătore compartimentului inundat, deplasândcentrul de carenă în sens opus, în timp ce centrul de greutate rămâne în aceeaşipoziţie, iar momentul determinat de forţa de împingere şi forţa de greutate ajungeaşa de mare, încât poate răsturna nava longitudinal.

Spre deosebire de o navă de suprafaţă, un submarin imersat se poaterăsturna la fel de uşor pe direcţie longitudinală ca pe direcţie transversală. Aceastădeosebire de comportament se datorează faptului că, la submarinele completimersate, centrul de carenă rămâne în permanenţă un punct fix.

În concluzie, pentru ca o navă să aibă stabilitate pozitivă pe carenă dreaptăeste necesar ca metacentrul transversal să fie deasupra centrului de greutate( )KM KG> . Se spune că în această situaţie înălţimea metacentrică transversală

este pozitivă ( )0GM > . În acest caz, dacă o cauză externă scoate nava din poziţiade echilibru, după ce cauza externă încetează să acţioneze, nava va reveni lapoziţia iniţială datorită cuplului format de forţa de împingere arhimedică şi forţade greutate.

Page 96: Statica Navei

_______________________________________________________________________________100

Când KM KG= , înălţimea metacentrică este nulă ( )0GM = , braţul cupluluişi implicit cuplul vor fi nule. După ce cauza externă care a înclinat nava înceteazăsă acţioneze, aceasta rămâne în poziţie înclinată. În sens "mecanic" suntem într-opoziţie de echilibru indiferent, dar în realitate este o situaţie de stabilitate negativăsau instabilitate.

Când KM KG< , metacentrul transversal este situat sub centrul de greutate,înălţimea metacentrică este negativă ( )0GM < şi implicit momentul cupluluiformat de cele două forţe. Acest moment va avea sensul momentului exteriorajutând la înclinarea navei. Suntem, de asemenea, într-o situaţie de stabilitatenegativă sau instabilitate.

19. MOMENTUL STABILITĂŢII DE FORMĂ ŞI MOMENTULSTABILITĂŢII DE GREUTATE

Dacă asupra unui corp acţionează un cuplu de forţe şi cunoaştem mărimeaforţelor, direcţia şi punctele de aplicaţie, este posibil să descompunem acest cupluîn două componente; aplicând în orice punct de pe corp două forţe egale, paraleleşi de sens contrar cu cele care formează cuplul.

Urmăm această procedură pentru o navă înclinată în sens transversal cuunghiul j şi aplicăm în centrul de carenă iniţial B două forţe paralele, egale şi desens contrar cu forţa de greutate a navei g D şi împingerea arhimedică g Vr .Obţinem două cupluri de sens contrar având braţele BE , respectiv BF . Cu referirela Fig. 56, considerând unghiul j în categoria unghiurilor mici, aceste braţe secalculează cu formulele (19.1), (19.2):

jj BMsinBMBE @= (19.1)jj BGsinBGBF @= (19.2)

Fig. 56

Page 97: Statica Navei

_______________________________________________________________________________101

Momentul de stabilitate va fi egal cu diferenţa momentelor celor două cupluri:( )sM gV BM g BG g BM BG= r j- D j =D - j (19.3)

Primul dintre ele se notează cu fM şi se numeşte momentul stabilităţii de formă:

f xM gV BM g I= r j =r j (19.4)iar al doilea se notează cu gM şi se numeşte momentul stabilităţii de greutate:

gM g BG= D j (19.5)În corespondenţă, BE se notează cu fl ,şi se numeşte braţul stabilităţii de formă,respectiv BF se notează cu gl şi se numeşte braţul stabilităţii de greutate.

La acelaşi rezultat se poate ajunge plecând de la distribuţia reală de presiuni pesuprafaţa S a corpului navei. Dacă nava se înclină transversal cu unghiul dj , fiecarepunct de pe suprafaţa S îşi va modifica pescajul cu cantitatea y dj şi corespunzătorpresiunea cu:

d p g y d= r j (19.6)Ca să calculăm momentul în raport cu axa ox aducem nava pe carenă dreaptă, oîncărcăm cu această variaţie de presiuni şi considerăm axa z verticală şi pozitivă înjos (Fig.57).

Fig. 57

Acest moment are forma matematică:( ) ( )cos , cos ,x

S

dM dp y n z z n y dS= -é ùë ûò (19.7)

Momentul xdM este calculat faţă de axa ox . Momentul de stabilitate sdM secalculează în raport cu o axă paralelă cu axa ox ce trece prin centrul de greutate alnavei şi are expresia:

Page 98: Statica Navei

_______________________________________________________________________________102

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

cos , cos ,

cos , cos ,

s GS

GS S

dM dp y n z z z n y dS

dp y n z dS dp z z n y dS

= - - =é ùë û

= - -

ò

ò ò (19.8)

unde Gz este adâncimea centrului de greutate al navei.Primul termen din relaţia (19.8) reprezintă momentul datorat forţelor verticale

de presiune suplimentară, iar al doilea reprezintă momentul componentelororizontale.Pe de altă parte, ( )cos , WLd S n z d A= şi ( )cos ,d S n y d A= în care WLd A este proiecţiasuprafeţei elementare de pe corpul navei pe planul plutirii şi d A este proiecţiaaceleaşi suprafeţe pe planul diametral ( ). .P D . Ţinând cont de aceste observaţii şiînlocuind (19.6) în (19.8), rezultă:

2 2 ( )WL

s WL GA A

dM g d y dA g d z z y dA= r j -r j -ò ò (19.9)

Se observă uşor că 2

WL

WL xA

y dA I=ò şi apelând la cunoştinţele elementare de mecanica

fluidelor, ( ) ( )2 G B GA

z z y dA V z z- = -ò . În acest context, (19.9) devine:

( )s x B GdM g I d gV z z d= r j-r - j (19.10)unde:

x fg I d dMr j = ® momentul elementar al stabilităţii de formă;( )B GgV z z d g BG dr - j =D j ® momentul elementar al stabilităţii de greutate.

În concluzie, momentul stabilităţii de formă este momentul rezultant al acţiuniiforţelor verticale de presiune suplimentară în raport cu o axă paralelă cu axa x cetrece prin G , iar momentul stabilităţii de greutate este momentul în raport cu aceeaşiaxă al forţelor orizontale de presiune suplimentară.

20. MOMENTUL UNITAR AL ÎNCLINĂRII TRANSVERSALE ŞIMOMENTUL UNITAR DE ASIETĂ

Folosind formula metacentrică a stabilităţii se poate calcula valoareamomentului exterior care, acţionând static asupra navei, îi produce o înclinare

transversală cu 1157,3

rad° = . Acest moment se notează cu 0M şi poartă numele de

moment unitar al înclinării transversale.Când asupra unei nave acţionează static un moment exterior producându-i oînclinare transversală în zona unghiurilor considerate mici, valoarea lui j sedetermină din ecuaţia:

eM g GM= D j (20.1)

Page 99: Statica Navei

_______________________________________________________________________________103

Dacă în relaţia (20.1) se face 1157,3

radj = ° = , rezultă valoarea lui 0M :

0 57,3g GMM D

= (20.2)

Cunoscând valoarea lui 0M calculată cu formula (20.2), la acţiunea statică a unuimoment exterior eM , nava se va înclina transversal cu unghiul j măsurat în grade:

[ ]0

eMM

j ° = (20.3)

Folosind formula metacentrică a stabilităţii longitudinale vom calcula valoareamomentului exterior de înclinare care, acţionând static asupra navei, îi produce ovariaţie de asietă de un centimetru. Acest moment se notează cu MCT (The Momentto Change Trim 1 cm) şi se numeşte moment unitar de asietă.

Diferenţa de asietă a unei nave este:pv ppd d dD = - (20.4)

Acestei diferenţe de asietă îi corespunde un unghi de înclinare longitudinală:dtg

LD

q = q =

Când un moment exterior longitudinal eM acţionează static asupra navei, condiţia destabilitate este:

e L LdM g GM g GM

LD

= D q = D (20.5)

Dacă în formula (20.5) facem 11100

d cm mD = = , rezultă:

100Lg GMMCT

LD

= (20.6)

Această mărime are o largă utilitate practică în timpul exploatării navei permiţândcalculul diferenţei de asietă dD măsurată în centimetri, atunci când asupra naveiacţionează momentul exterior de înclinare longitudinală cunoscut, eM :

[ ]eMd cm

MCTD = (20.7)

Dacă 0dD > , adică nava se aprovează, înclinarea longitudinală se consideră pozitivă.

21. FORŢE PERTURBATOARE

Mărimea forţelor perturbatoare şi a momentelor de înclinare care acţionează întimpul exploatării asupra navei determină mărimea momentului care va trebuigenerat de forţa de greutate şi forţa de împingere, pentru a preveni răsturnarea naveisau apariţia înclinărilor exagerate. Forţele perturbatoare care afectează stabilitateatransversală au cauze externe şi interne.

Ca exemple de cauze externe amintim:

Page 100: Statica Navei

_______________________________________________________________________________104

a) acţiunea vântului simultan sau nu cu existenţa mişcării de ruliu;b) ambarcarea de greutăţi cu ajutorul mijloacelor de la bord;c) giraţia navei cu viteză mare;d) eşuarea.Dintre cauzele interne care afectează stabilitatea navei precizăm:a) deplasarea de greutăţi la bord;b) ambarcarea de apă pe punte în timpul navigaţiei datorită mişcărilor pe care

nava le execută pe mare agitată.Aceste situaţii vor fi tratate în lucrarea de faţă; unele chiar în cadrul acestui

capitol [b), a)] , altele în capitolele ulterioare [a), d)] .Când asupra navei acţionează un vânt de la travers, presiunea acestuia va

acţiona pe proiecţia suprafeţei emerse a corpului în . .P D , denumită şi suprafaţăvelică. Considerând presiunea constantă pe această suprafaţă, forţa rezultantă vaacţiona în centrul de greutate al suprafeţei velice imprimând navei o mişcare dederivă. Ca o consecinţă, mediul marin va răspunde cu o forţă egală şi de sens contrarcare acţionează pe suprafaţa imersă a navei, moment în care mişcarea de derivă sestabilizează (Fig. 58).

Fig. 58 Fig. 59

Cuplul forţelor exterioare va înclina nava transversal, iar echilibrul se va realizaatunci când sunt îndeplinite următoarele două condiţii:

a) nava are o mişcare de derivă cu viteză constantă, ceea ce înseamnă că forţade presiune a vântului este egală cu forţa de rezistenţă a apei;

b) nava are o înclinare transversală până la unghi pentru care momentulcuplului forţelor exterioare este egal cu momentul cuplului format de forţa degreutate şi forţa de împingere, forţă care îşi deplasează punctul de aplicaţie în 1B .

Când o greutate este ambarcată de pe cheu cu ajutorul unei macarale de la bord,este ca şi când asupra navei acţionează vertical în jos, cu punctul de aplicaţie învârful macaralei (punctul A din Fig. 59), o forţă egală cu greutatea ambarcată. Sedemonstrează uşor folosind cunoştinţele din Mecanica Teoretică faptul că această

Page 101: Statica Navei

_______________________________________________________________________________105

situaţie este similară cu deplasarea centrului de greutate din poziţia G în poziţia 1G ,situată pe dreapta GA . Consecinţele acestei ambarcări sunt următoarele:

a) nava îşi va mări pescajul până când surplusul de flotabilitate va egalagreutatea ambarcată;

b) nava se va înclina transversal până când centrul de carenă se va deplasa înpoziţia 1B pe aceeaşi verticală cu noul centru de greutate 1G .

Dacă nava intră în mişcare de giraţie, apare o forţă centrifugă care acţionează încentrul de greutate al navei şi este dispusă în plan orizontal. Această forţă este cu atâtmai mare, cu cât viteza navei este mai mare şi raza de giraţie este mai mică. Situaţiaeste similară cu acţiunea laterală a vântului asupra navei şi este prezentată în Fig. 60.

Când o navă eşuează (se aşează pe o stâncă sau pe fundul şenalului navigabil),o parte din energia de deplasare va fi absorbită în timpul procesului de ridicare peverticală a navei, ceea ce înseamnă apariţia unei forţe de reacţiune R în zona decontact. Această reacţiune poate creşte mai târziu dacă în zona respectivă aparefenomenul de maree. În aceste condiţii, forţa de împingere va fi mai mică decâtgreutatea navei.

Nava se va înclina şi transversal până când momentul forţei de împingere faţăde punctul de contact este egal cu momentul forţei de greutate faţă de acelaşi punct,adică:

( )g R b g aD - = D (21.1)

Fig. 60 Fig. 61

Când reacţiunea R este mare, forţa de împingere se micşorează corespunzătorşi relaţia (21.1) nu mai poate fi satisfăcută, nava răsturnându-se. Cazul eşuării esteprezentat în Fig. 61.

Dacă la bordul unei nave are loc o deplasare de greutăţi solide, lichide sau odeplasare pasagerilor la bord, în aceeaşi direcţie se va deplasa şi centrul de greutateal navei până într-un punct 1G (Fig.62). Corespunzător, nava se va înclina transversal

Page 102: Statica Navei

_______________________________________________________________________________106

până când centrul de carenă ajunge într-o poziţie 1B situată pe aceeaşi verticală cu1G .

Pot apărea în timpul exploatării navei şi alte cazuri în care forţele perturbatoaredetermină înclinări ale navei. De exemplu, forţele care se transmit prin cablul deremorcă acţionează şi asupra navei remorcate şi asupra remorcherului sau o navăancorată se poate înclina datorită forţelor din lanţul de ancoră şi al acţiunii simultanea vântului. În toate cazurile, înclinarea se va face până la unghiul la care momentulde stabilitate egalează momentul de înclinare.

Fig. 62

Este posibil, de asemenea, ca forţele perturbatoare şi implicit momentele deînclinare să fie aşa de mari, încât echilibrul să nu se poată realiza şi nava să serăstoarne.

Este, de asemenea, posibil ca echilibrul să se realizeze la unghiuri mari deînclinare pentru care apa pătrunde în interiorul navei prin deschiderile din punteaprincipală. Apa pătrunsă se va acumula în bordul înclinat la partea inferioară a naveişi poate cauza răsturnarea ei.

22. VARIAŢIA POZIŢIEI METACENTRULUI TRANSVERSAL CUPESCAJUL. RAZA METACENTRICĂ DIFERENŢIALĂ

O variaţie tipică a cotei metacentrului transversalKM KB BM= + (22.1)

cu pescajul, este prezentată în Fig. 63. Se observă că iniţial KM descreşte rapid odatăcu creşterea pescajului până la o valoare minimă urmată de o creştere lentă. Dacăvaloarea minimă a lui KM corespunde unei situaţii de serviciu a navei, atunci lamodificarea deplasamentului, prin ambarcarea sau debarcarea de greutăţi la bord,cota metacentrului transversal va creşte. O astfel de comportare este favorabilăstabilităţii navei, cu condiţia ca modificarea deplasamentului să nu ducă la mărirea

Page 103: Statica Navei

_______________________________________________________________________________107

cotei centrului de greutate KG . Este evident că natura curbei ( )KM z depinde de

natura derivatei ( )d KM

dz.

Ţinând cont de (22.1) putem scrie:( ) ( ) ( )d KM d KB d BM

dz dz dz= + (22.2)

Pentru un volum al carenei V şi o poziţie iniţială a centrului de carenă KB , la ocreştere infinitezimală a pescajului dz , volumul carenei va creşte cu WLdV A dz= şi dinecuaţia de momente scrisă faţă de un plan paralel cu planul de bază . .P B , ce treceprin centrul de carenă iniţial, rezultă:

( ) ( )WLd KB A

z KBdz V

= - (22.3)

Fig. 63

Cunoscând formula de calcul a razei metacentrice transversale (8.43), rezultă:( ) 1 x

d BM dIBM

dV V dVæ ö= -ç ÷è ø

(22.4)

sau mai departe:( )

WL xd BM A dI

BMdz V dV

æ ö= -ç ÷è ø

(22.5)

Înlocuind (22.5) şi (22.3) în (22.2), rezultă:( )

WL x WL xd KM A dI A dI

z BM KB z KMdz V dV V dV

æ ö æ ö= + - - = + -ç ÷ ç ÷è ø è ø

(22.6)

În continuare, vom încerca să dăm o interpretare termenului xdIdV

care apare în relaţia

(22.6).

Page 104: Statica Navei

_______________________________________________________________________________108

Se consideră două plutiri drepte, infinit apropiate WL şi 1 1W L , precum şiplutirile izocarene înclinate transversal cu unghiul dj , ' 'W L şi 1 1' 'W L (Fig. 64). Prinînclinare, stratul de lăţime dz şi volum dV îşi modifică centrul de greutate trecânddin F în 1F , având în plan transversal o deplasare pe direcţia axei y egală cu dh şiuna pe direcţia axei z egală cu dz . Deplasări asemănătoare capătă şi centrele decarenă B şi 1B corespunzătoare plutirilor WL şi 1 1W L datorită înclinărilor cu unghiuldj . Notăm cu V volumul carenei corespunzătoare plutirii WL .

Fig. 64

Dacă vom aplica teorema momentelor pentru volumul ( )V dV+ în raport cuplanele xz şi xy , după efectuarea câtorva calcule elementare obţinem:

21;2

x xdI dId d d d

dV dVh =j z = j (22.7)

Când 0dz ® centrul de greutate al volumului stratului de lăţime dz sesuprapune cu centrul de greutate al plutirii WL , mărimile dh şi dz reprezentândvariaţiile coordonatelor transversale ale acestuia. Dacă nava se înclină izocarenic înjurul tuturor axelor centrale, centrul plutirii se va deplasa pe o suprafaţă denumităsuprafaţa centrelor de plutire. La o înclinare izocarenică în jurul axei Fx , centrulplutirii se va deplasa pe o curbă de pe această suprafaţă reprezentând curba centrelorde plutire.

La o înclinare izocarenică, transversală cu unghiul elementar dj (Fig. 65),centrul plutirii se va deplasa din F în 1F , parcurgând arcul elementar ds .Perpendiculara în 1F pe 1 1W L intersectează planul diametral în punctul m . La limită

Page 105: Statica Navei

_______________________________________________________________________________109

( )0dj® m este centrul de curbură al curbei centrelor de plutire iar distanţa Fm senotează cu Tr şi reprezintă raza de curbură a acestei curbe.

Lungimea arcului elementar ds se poate scrie:2 2ds d d= z + h

şi, pe de altă parte:Tds d= r j (22.8)

Rezultă:211

4x

TdI

d d ddV

r j = j + j (22.9)

În relaţia (22.9), 2dj reprezintă un infinit mic de ordinul doi care poate fi neglijat.Ca atare, (22.9) devine

xT

dId d

dVr j = j (22.10)

În final:x

TdIdV

r = (22.11)

Fig. 65

Prin analogie cu denumirile de metacentru şi rază metacentrică folositeanterior, m se numeşte metacentru diferenţial, iar Tr rază metacentrică diferenţială.Introducem (22.11) în (22.6) şi obţinem pentru z d= :

( ) ( )WLT

d KM Ad KM

dz V= + r - (22.12)

În această relaţie Td Km+r = este cota metacentrului diferenţial. Putem aveaurmătoarele trei situaţii:

Page 106: Statica Navei

_______________________________________________________________________________110

( )

( )

( )

0

0

0

daca

daca

daca

d KMKm KM

dzd KM

Km KMdz

d KMKm KM

dz

üï> >ïïï

= = ýïïï< <ïþ

(22.13)

ceea ce înseamnă că semnul derivatei ( )d KM

dz depinde de poziţia relativă a

metacentrului diferenţial m şi a metacentrului transversal M .Aşa cum se observă din Fig. 66, raza metacentrică diferenţială poate fi

negativă, caz în care m se găseşte sub F .Să studiem în continuare factorii de care depinde semnul razei metacentrice

diferenţiale Tr . Înlocuim WLdV A dz= în formula (22.11):

22

2

1 2L

xT

LWL WL

dI dyy dxA dz A dz

-

r = =ò

cunoscută fiind relaţia:2

3

2

23

L

xL

I y dx-

= ò .

Cum se observă din Fig. 66 tgdydz

= n . În consecinţă:

22

2

2 tg

L

TLWL

y dxA

-

r = nò (22.14)

Dacă nava are bordurile evazate tg 0n > şi 0Tr > . Dacă nava are bordurile verticaleîn zona plutirii, atunci tg 0n = şi 0Tr = ceea ce înseamnă că metacentrul diferenţialm se găseşte în planul plutirii. Era de aşteptat un astfel de rezultat, deoarece lanavele cu borduri verticale pentru o înclinare infinit de mică dj , F rămâne un punctfix.

Page 107: Statica Navei

_______________________________________________________________________________111

Fig. 66

În cazul unui ponton paralelipipedic cu dimensiunile L B d´ ´ ; 0Tr = ,

V L B d= ,3

12xL BI = şi ecuaţia ( )

0d KM

dz= devine:

22 21 10 0

2 12 6saud Bd d B

d- - = - = .

Rezolvând această ecuaţie în raport cu necunoscuta Bd

, găsim soluţia 6 2,45Bd= =

ceea ce înseamnă că ( )d KM

dz depinde de valoarea raportului B

d. Astfel, când:

( )2,45 0

d KMBd dz> Þ < şi cota metacentrului transversal scade;

( )2,45 0

d KMBd dz< Þ > şi cota metacentrului transversal creşte.

Pentru navele cu borduri evazate, ţinând cont de valoarea subunitară a

coeficienţilor de fineţe BC şi WC , valoarea lui Bd

corespunzătoare condiţiei

( )0

d KM

dz= este mai mare decât la pontoanele paralelipipedice.

Page 108: Statica Navei

_______________________________________________________________________________112

23. INFLUENŢA SALINITĂŢII APEI ASUPRA STABILITĂŢII ŞIASIETEI NAVEI

Aşa cum am văzut în §12, pescajul mediu al navei variază la trecerea din apădulce în apă sărată şi invers. În paragraful precedent am demonstrat că variaţia coteimetacentrului transversal cu pescajul se calculează cu relaţia:

( ) ( )WLT

Ad KM d KM dz

V= + r - (23.1)

La modificarea salinităţii apei deplasamentul rămâne constant, volumul careneimodificându-se:

V D=r

(23.2)

Dacă diferenţiem relaţia (23.2):

2dV dD= - r

r (23.3)

şi ţinând cont că pentru nave cu borduri verticale WLdV A dz= obţinem:

2WL

ddzAD r

= -r

(23.4)

Dacă înlocuim (23.4) în (23.1) găsim:

( ) ( ) ( )Tdd KM d KM d GMr

= - + r - =r

(23.5)

Aşa cum observăm din (23.5), dacă nava trece din apă dulce în apă sărată ( )0dr > şidacă metacentrul diferenţial m este situat deasupra metacentrului transversal M

( )0Td KM+r - > , înălţimea metacentrică transversală se micşorează şi implicitstabilitatea. Dacă metacentrul diferenţial m este poziţionat sub metacentrultransversal M ( )0Td KM+r - < , atunci înălţimea metacentrică transversală semăreşte şi stabilitatea deopotrivă. Când nava trece din apă sărată în apă dulce seproduc fenomenele inverse.

În cazul navelor cu borduri verticale 0Tr = , relaţia (23.5) devine:

( ) ( )dd GM d KMr= - -

r (23.6)

Luând în discuţie modificarea stabilităţii longitudinale atunci când se schimbăsalinitatea apei se deduc formule similare cu (23.5) şi (23.6):

( ) ( )L Ldd GM d KB BMr

= - - -r

(23.7)

Având în vedere valorile mari ale razei metacentrice longitudinale, în paranteza demai sus se poate neglija diferenţa d KB- şi se obţine:

( )L Ldd GM BMr

=r

(23.8)

Page 109: Statica Navei

_______________________________________________________________________________113

Când nava trece din apă dulce în apă sărată ( ) ( )0 , 0Ld d GMr > > şi înălţimea

metacentrică longitudinală creşte. În situaţia inversă ( ) ( )0 , 0Ld d GMr < < , ca urmareînălţimea metacentrică longitudinală va scădea. În ambele cazuri, variaţia înălţimiimetacentrice longitudinale nu va fi mai mare de ( )2 2,5¸ % din valoarea iniţială.

Modificarea pescajului determină şi modificarea poziţiei centrului de carenă alnavei. Ne interesează în mod special variaţia abscisei centrului de carenă Bdx .

Dacă scriem ecuaţia de momente statice faţă de un plan paralel cu planulsecţiunii de la mijlocul navei care trece prin centrul de carenă iniţial, obţinem:

( )B F Bdx V x xD =rd - (23.9)Înlocuind în relaţia (23.9) variaţia volumului carenei Vd egală cu:

WLV A dd =r d

şi variaţia pescajului la modificarea salinităţii apei dd cu:

2WL

ddAD r

d = -r

obţinem:

( )B F Bddx x xr

-D =D -r

(23.10)

Membrul drept al relaţiei (23.10) poate fi considerat ca un moment exterior ceînclină nava în plan longitudinal, modificându-i asieta. Acest moment este egalat demomentul de stabilitate longitudinală şi obţinem:

( )F B Ld x x GM dr

D - =D qr

(23.11)

Rezultă unghiul de înclinare longitudinală:F B

L

x xddGM-r

q =r

(23.12)

care determină o variaţie de asietă:

( )F BL

d Ld x xGM

rD = -

r (23.13)

Cum pentru majoritatea navelor F Bx x< , când nava trece din apă dulce în apăsărată ( )0dr > nava se va apupa ( )0dD < . În situaţia inversă, ( )0dr < şi nava se vaaprova ( )0dD > .

Pentru determinarea variaţiilor de pescaj, la extremităţile navei se utilizeazărelaţiile:

Bpv pp

x d dMCTD d

= d + d (23.14)

Page 110: Statica Navei

_______________________________________________________________________________114

2 Fpp

pp pv

L xdLd d

+d=

d + d (23.15)

unde ppdd şi pvdd sunt exprimate în centimetri.Relaţia (23.15) mai poate fi scrisă în forma:

pp

pp pv

d LCFLd d

d=

d + d (23.16)

Pescajele finale se vor calcula cu formulele:'pv pv pvd d d d= + d ± d (23.17)'pp pp ppd d d d= + d dm (23.18)

24. INFLUENŢA DEPLASĂRILOR DE MASE LA BORD ASUPRAPOZIŢIEI ŞI STABILITĂŢII NAVEI

Să considerăm o navă, la bordul căreia o masă P considerată în categoriamaselor mici ( )0,1P < D se deplasează din punctul ( ), ,A x y z în punctul ( )1 1 1, ,B x y z .Această deplasare nu va modifica deplasamentul navei, ci numai poziţia centrului degreutate şi se poate descompune în trei deplasări în lungul axelor de coordonate, aşacum se observă în Fig.67.

- deplasare verticală din ( ), ,A x y z în ( )1 1, ,A x y z pe distanţa ( )1z z- ;- deplasare laterală ( )1 1, ,A x y z în ( )1 1 1, ,B x y z pe distanţa ( )1y y- ;- deplasare longitudinală din ( )1 1 1, ,B x y z în ( )1 1 1, ,B x y z pe distanţa ( )1x x- .

Fig. 67

Modificarea stabilităţii navei se identifică cu modificarea valorilor înălţimilormetacentrice transversale şi longitudinale:

Page 111: Statica Navei

_______________________________________________________________________________115

( ) ( ) ( )GM KM KGd = d - d (24.1)

( ) ( ) ( )L LGM KM KGd = d - d (24.2)În condiţiile în care volumul carenei rămâne constant, poziţiile metacentrelor,

transversal M şi longitudinal LM , nu se schimbă, prin urmare:

( ) ( ) ( )LGM GM KGd= d= -d (24.3)Poziţia pe înălţime a centrului de greutate se modifică, datorită deplasării pe

direcţie verticală a masei P (Fig. 68), cu cantitatea:

Fig. 68

( ) ( )1PKG z zd = -D

(24.4)

Înlocuind (24.4) în (24.3), se obţine:

( ) ( ) ( )1LPGM GM z zd = d = - -D

(24.5)

Vom observa că dacă masa P se deplasează pe verticală în jos ( )1 0z z- < , centrul degreutate se va deplasa în acelaşi sens şi, în consecinţă, stabilitatea se va îmbunătăţi( )0GMd > . Când masa P se deplasează pe verticală în sus, stabilitatea se micşorează

( )0GMd < .Valorile înălţimilor metacentrice modificate se vor calcula cu formulele:

( )

( )

1 1

1 1L L

PG M GM z z

PG M GM z z

= - -D

= - -D

(24.6)

Page 112: Statica Navei

_______________________________________________________________________________116

Dacă nava are o înclinare iniţială 0j , datorată acţiunii unui moment exterior,după deplasarea masei P pe verticală, înclinarea se va modifica. Valoarea unghiuluifinal de înclinare transversală se determină din condiţia:

0 1 1g GM g G MD j =D j (24.7)şi rezultă:

1 01

GMG M

j = j (24.8)

ceea ce înseamnă că înclinarea navei se va modifica proporţional cu raportulînălţimilor metacentrice.

Fig. 69

Deplasarea laterală a masei P (Fig.69) din ( )1 1, ,A x y z în ( )1 1 1, ,B x y z determinăun moment transversal de înclinare:

( )1 coseM g P y y= - j (24.9)Pentru unghiuri mici de înclinare se poate considera cos 1j » şi obţinem:

( )1eM g P y y= - (24.10)Momentul de stabilitate este:

1sM g G M= D j (24.11)

Page 113: Statica Navei

_______________________________________________________________________________117

Fig. 70

Din egalitatea e sM M= rezultă valoarea unghiului de înclinare transversală:( )1

1

P y yG M-

j =D

(24.12)

La acelaşi rezultat se ajunge dacă se apelează la următorul raţionament. Deplasarealaterală a masei P pe distanţa ( )1y y- produce o deplasare pe aceeaşi direcţie acentrului de greutate al navei cu valoarea:

( )1G

P y yy

-d =

D (24.13)

aşa cum se observă din Fig. 70. Nava se va înclina transversal până la acel unghi j

pentru care 1B se află pe aceeaşi verticală cu 1G şi M , perpendiculară pe 1 1W L .Deplasarea pe direcţie longitudinală a masei P pe distanţa ( )1x x- modifică

asieta navei (Fig. 71).Dacă raţionăm analog cu cazul înclinării transversale, unghiul de înclinare

longitudinală se calculează cu relaţia:( )1

1 L

P x xG M-

q =D

(24.14)

Noua plutire 1 1W L nu va mai fi dreaptă şi va modifica pescajele la prova, la pupa,precum şi la mijlocul navei, după cum urmează:

Page 114: Statica Navei

_______________________________________________________________________________118

1 tg

tg2 2

tg2 2

F F

pv F F

pp F F

d d x d xL Ld d x d x

L Ld d x d x

üï= - q » - q ïïæ ö æ ö= + - q » + - qýç ÷ ç ÷

è ø è ø ïïæ ö æ ö= - + q » - + qïç ÷ ç ÷

è ø è ø þ

(24.15)

În grupul de relaţii (24.15), unghiul q se măsoară în radiani, iar termenii:

tg2 2

tg2 2

F F pv

F F pp

L Lx x d

L Lx x d

üæ ö æ ö- q » - q = dç ÷ ç ÷ ïè ø è ø ïý

æ ö æ ö ï+ q » + q = dç ÷ ç ÷ ïè ø è ø þ

(24.16)

reprezintă variaţiile pescajelor la prova şi la pupa. Unghiul q se consideră pozitivcând nava este aprovată şi negativ, când este apupată.

Dacă " "n mase se deplasează simultan la bordul navei, pentru a obţine efectulacestor deplasări asupra poziţiei şi stabilităţii navei, în algoritmul prezentat mai susse înlocuiesc:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 11

1 11

1 11

n

i i ii

n

i i ii

n

i i ii

P x x P x x

P y y P y y

P z z P z z

=

=

=

ü- = - ï

ïï

- = - ýïï

- = - ïþ

å

å

å

(24.17)

Fig. 71

Putem, în finalul acestui paragraf, să prezentăm un algoritm de calcul alefectelor pe care le produce deplasarea de mase P la bord dintr-un punct ( ), ,A x y z

într-un punct ( )1 1 1 1, ,B x y z . Se va proceda în următoarea succesiune:a) se corectează înălţimile metacentrice, transversală şi longitudinală, cu

aceeaşi valoare ( )1P z z-D

:

Page 115: Statica Navei

_______________________________________________________________________________119

( ) ( )1 1 1 1; L LP PG M GM z z G M GM z z= - - = - -D D

Întrucât ( )1 LP z z GM-D

se poate lucra cu înălţimea metacentrică longitudinală

necorectată, LGM .b) se calculează înclinarea transversală cu formula:

( )1

1

P y yG M-

j =D

Dacă nava avea o înclinare transversală iniţială 0j , atunci înclinarea finală se vacalcula cu formula:

( )11 0

1 1

P y yGMG M G M

-j =j +

D

c) se calculează unghiul de înclinare longitudinală cu relaţia:( ) ( )1 1

1 L L

P x x P x xG M GM- -

q = »D D

d) se calculează pescajele finale la extremităţile prova şi pupa cu relaţiile:( )1

2pv FL

P x xLd d xGM-æ ö= + -ç ÷ Dè ø

( )1

2pp FL

P x xLd d xGM-æ ö= - +ç ÷ Dè ø

Dacă nava nu era pe asietă dreaptă cu pv ppd d¹ atunci noile pescaje laextremităţile prova şi pupa se calculează cu relaţiile:

( )11 2pv pv F

L

P x xLd d xGM-æ ö= + -ç ÷ Dè ø

( )11 2pp pp F

L

P x xLd d xGM-æ ö= - +ç ÷ Dè ø

e) se calculează asieta finală (variaţia pescajelor finale prova şi pupa)qqddD LLtgddddd ppvppp1pv1 ==-=-= .

O valoare pozitivă a lui dD corespunde situaţiei de navă aprovată, iar o valoarenegativă situaţiei de navă apupată.

25. PROBA DE STABILITATE

Încă din faza de proiectare a navei, coordonatele centrului de greutate sedetermină prin calcul, luând în considerare toate categoriile de greutăţi care compundeplasamentul navei precum şi repartizarea acestora pe navă. Datorită complexităţiinavei, a numărului foarte mare de elemente componente, de forme şi dimensiunidiferite, acest calcul în faza de proiectare are un caracter aproximativ. De aceea,

Page 116: Statica Navei

_______________________________________________________________________________120

după terminarea construcţiei unei nave de tip nou sau după efectuarea de modificăriimportante în şantier şi înainte de a se face probele de recepţie, se verificădeplasamentul şi cota centrului de greutate de la planul de bază. Verificarea serealizează prin efectuarea probei de stabilitate. Aceasta se bazează pe următorulraţionament: deplasarea unei mase p dintr-un bord în altul, în planul secţiuniitransversale cu distanţa l , va produce înclinarea navei cu unghiul j , considerat încategoria unghiurilor mici (Fig. 72). Deplasarea masei p se face astfel încâtmomentul de înclinare acţionează static şi pentru determinarea unghiului de înclinarej se egalează momentul de înclinare cu momentul de stabilitate. Momentul deînclinare este dat de relaţia:

coseM g pl= j (25.1)

iar momentul de stabilitate se calculează cu formula metacentrică a stabilităţii:sinsM g GM= D j (25.2)

Egalând (25.1) cu (25.2), rezultă:cos sing p l g GMj =D j (25.3)

şi mai departe:

tgp lGM =

D j (25.4)

Dacă se cunosc , , ,p l D cota metacentrului transversal faţă de planul de bază( ). .P B şi se determină experimental unghiul de înclinare j , se află înălţimeacentrului de greutate al navei KG de la . .P B

Fig. 72

Page 117: Statica Navei

_______________________________________________________________________________121

Proba de stabilitate se efectuează cu deosebită atenţie, mai ales că rezultatelesunt folosite ca elemente de plecare pentru determinarea stabilităţii navei, în perioadaulterioară de exploatare. Lucrările corespunzătoare probei de stabilitate cuprind treietape distincte: pregătirea pentru probă, efectuarea probei şi prelucrarea rezultatelorobţinute. Operaţiunile pregătitoare pentru probă se fac în următoarea succesiune:

a) se debarcă toate sculele, materialele, instalaţiile şi dispozitivele folosite laefectuarea lucrărilor şi se întocmeşte tabelul cu toate masele care lipsesc de la bordfaţă de situaţia de navă goală;

b) se întocmeşte tabelul cu toate masele în plus faţă de situaţia de probă;c) se pompează în exterior toate masele lichide, iar tancurile rezervoare de

lichide şi compartimentele corespunzătoare sunt golite şi curăţate;d) lichidele din instalaţii se păstrează la nivelul de serviciu, iar valvulele trebuie

închise;e) se instalează pendule pentru măsurarea unghiurilor de înclinare. În mod

obişnuit se instalează trei pendule, unul la prova, al doilea în zona de mijloc, iar altreilea în sectorul pupa, în planul diametral al navei. Pentru măsurarea devieriipendulelor se instalează rigle gradate;

f) se pregăteşte lestul pentru proba de înclinare, determinându-se masa necesarăpentru efectuarea probei. Se ambarcă această masă la bord, stabilindu-se în acelaşitimp o dispunere cât mai raţională a acestuia la bord, astfel încât să nu se producăînclinarea longitudinală a navei, de obicei această masă se împarte în patru grupe,câte două în fiecare bord. Masa lestului nu trebuie să producă o înclinare transversalămai mare de 3° ;

g) proba de stabilitate se va efectua într-un loc liniştit, în lipsa valurilor, avântului şi a curentului. Toate scările şi schelele vor fi debarcate, iar nava va fi legatăcu câte o parâmă la prova şi la pupa, astfel încât să nu fie influenţate înclinăriletransversale ale navei. Echipajul va fi scos la mal, cu excepţia oamenilor care iauparte la efectuarea probei.

Efectuarea probei şi prelucrarea rezultatelor se face respectând următoareasuccesiune:

a) înainte de începerea probei se va face măsurătoarea pescajului la scările depescaj din prova, cuplul maestru şi pupa simultan în ambele borduri;

b) pe baza pescajelor definitive, utilizând diagrama de carene drepte se scot:deplasamentul D , coordonatele centrului de carenă Bx q şi KB ; razele metacentriceBM şi LBM ;

c) se deplasează lestul p în direcţie transversală cu distanţa l , măsurându-seunghiul j . Operaţia se repetă de mai multe ori măsurându-se unghiurile de înclinareşi determinând înălţimea metacentrică GM cu relaţia (25.4). Pe de altă parte, GM sepoate calcula cu relaţia:

GM BM KB KG= + - (25.5)

Page 118: Statica Navei

_______________________________________________________________________________122

de unde rezultă:KG BM KB GM= + - (25.6)

Această valoare a cotei centrului de greutate va trebui corectată prin luarea înconsideraţie a maselor în plus sau în minus, iar cu ajutorul lui Bx q şi al lui LBM sedetermină abscisa centrului de greutate al navei cu formula:

( ) tgG Bx x KG KBq= - - q (25.7)unde q este unghiul de înclinare longitudinală:

tg pv ppd dL-

q = (25.8)

26. INFLUENŢA ÎNCĂRCĂTURILOR SUSPENDATE ASUPRASTABILITĂŢII NAVEI

Printre tipurile de greutăţi ce compun deplasamentul navei, la un moment dat,pot exista şi greutăţi suspendate, care se vor deplasa liber prin înclinarea navei. Caexemple putem da: o greutate suspendată în cârligul macaralei sau o marfăsuspendată în interiorul unei magazii, etc.

Pentru a determina efectul unor astfel de sarcini asupra stabilităţii navei, vomconsidera o navă, iar în interiorul unei magazii o masa P , suspendată în punctul Aprin intermediul unui fir de lungime l .

Fig. 73

Când nava este înclinată transversal cu unghiul j , masa P îşi deplaseazăcentrul de greutate din punctul B în 1B parcurgând arcul de cerc 1BB (Fig. 73), astfelîncât direcţia forţei de greutate să fie în permanentă verticală, perpendiculară pesuprafaţa apei. Unghiul de înclinare transversală j este şi unghiul de rotaţie al firuluide lungime l la capătul căruia atârnă masa P .

Page 119: Statica Navei

_______________________________________________________________________________123

În timpul înclinării transversale cu unghiul j , deplasarea masei P determinăun moment exterior suplimentar de înclinare:

jD gPlM = (26.1)În aceste condiţii momentul de stabilitate îşi micşorează valoarea şi devine:

sPlM g GM g Pl g GMæ ö= D j- j = D - jç ÷Dè ø

(26.2)

Paranteza din membrul drept al relaţiei (26.2) este valoarea înălţimiimetacentrice transversale, corectate datorită influenţei greutăţii suspendateg P .Această corecţie este:

( ) P lGMd = -D

(26.3)

iar valoarea înălţimii metacentrice transversale, corectate:

( )' P lG M GM GM GM= + d = -D

(26.4)

La acelaşi rezultat ajungem dacă aplicăm următorul raţionament. Deplasareamasei P din B în 1B prin parcurgerea arcului 1BB , determină o deplasare de aceeaşinatură a centrului de greutate al navei din G în 1G . Arcul de cerc 1GG se calculeazăcu formula:

jDDPlPBBGG 11 == (26.5)

Fig. 74

Braţul stabilităţii transversale se va reduce de la valoarea GZ la valoarea 1 1G Z(Fig. 74). Dacă din punctul 1G ducem o paralelă la direcţia împingerii careintersectează urma . .P D în 'G , observăm că 1 1 ' 'G Z G Z= . Din punct de vedere alstabilităţii transversale, influenţa încărcăturii P suspendată de firul cu lungime leste echivalentă cu deplasarea centrului de greutate pe verticală în sus cu distanţa

'GG .

Page 120: Statica Navei

_______________________________________________________________________________124

Dar:j'' GGGG = (26.6)

Comparând (26.5) cu (26.6), rezultă:

' PlGG =D

(26.7)

Aceasta va duce la corecţia înălţimii metacentrice iniţiale cu valoarea:

( ) P lGMd = -D

(26.8)

Comparând relaţia (26.4) cu relaţia (24.6) obţinută în cazul deplasării maselorla bord pe direcţie verticală, constatăm că sunt identice. Aceasta înseamnă că încazul manipulării mărfurilor cu ajutorul instalaţiilor de la bord, modificareastabilităţii este similară cu deplasarea masei respective până în ciocul macaralei,indiferent de lungimea cablului de suspendare.

Dacă la bordul navei sunt mai multe mase suspendate, efectul lor se va însuma,corecţia înălţimii metacentrice putându-se calcula cu formula:

( ) 1

n

i ii

P lGM =d = -

D

å (26.8)

Din Fig. 74 rezultă că braţul stabilităţii statice corespunzător unghiului deînclinare j se va reduce în cazul maselor suspendate cu valoarea:

' sin sinsP ll GGd = j = jD

(26.9)

sau:

1 sin

n

i ii

s

P ll =d =- j

D

å (26.10)

în cazul în care la bord există n mase suspendate simultan. Studiind relaţiile (26.9) şi(26.10) rezultă că prin înclinarea navei cu unghiul j , fiecare masă suspendatăproduce un moment exterior de înclinare suplimentar care se calculează cu relaţia:

sine i iM g P ld = j (26.11)ceea ce este echivalent cu deplasarea masei iP pe direcţie transversală cu distanţa:

sini id l= j (26.12)

27. INFLUENŢA AMBARCĂRII ŞI DEBARCĂRII DE MASE LA BORDASUPRA POZIŢIEI ŞI STABILITĂŢII NAVEI

Page 121: Statica Navei

_______________________________________________________________________________125

Manevrele de ambarcare sau debarcare de greutăţi sunt absolut obişnuite întimpul exploatării navei, fapt ce determină modificarea deplasamentului. Aceastăschimbare a deplasamentului şi a distribuţiei de greutăţi la bord va conduce lamodificarea poziţiei navei în raport cu suprafaţa liberă a apei şi a stabilităţii acesteia.Se vor analiza consecinţele ambarcării şi debarcării de mase în două variante:ambarcarea de mase mai mici ( )0,1P < D şi ambarcarea de mase mari ( )0,1P > D . Deasemenea, se va analiza numai efectul ambarcării de mase, debarcarea fiindconsiderată o ambarcare de mase negative.

27.1 Ambarcarea de mase mici ( )0,1P < D

Se consideră o masă P care se ambarcă la bordul navei în punctul ( )1 1 1, ,A x y z .Această manevră se poate descompune fictiv în două etape (Fig. 75):

a) o ambarcare a masei P astfel încât nava să nu se încline transversal şi/saulongitudinal. Aşa cum am văzut în §11, pentru ca acest lucru să se întâmple, încondiţiile în care nava are borduri verticale, este necesar ca masa P să se ambarce peverticala centrului de greutate al volumului de carenă suplimentar Vd , care va treceprin centrul plutirii iniţiale F . În consecinţă, masa P se ambarcă în punctul

( )0 1,0,FA x z . Ca o consecinţă a acestei ambarcări se va modifica deplasamentul navei

1 PD= D + , centrul de greutate se va deplasa pe verticală cu distanţa ( )KGd , pescajulva ajunge la valoarea 1d d d= + d , centrul de carenă îşi va modifica poziţia datorităadăugării volumului suplimentar al carenei Vd , iar stabilitatea se va modificadatorită modificării înălţimilor metacentrice transversală şi longitudinală cucantităţile ( )GMd şi ( )LGMd .

Fig. 75

b) o deplasare a masei P din punctul ( )0 1,0,FA x z în punctul ( )1 1 1, ,A x y z .Această deplasare este responsabilă de apariţia înclinării transversale de unghi j şi aînclinării longitudinale de unghi q .

Să analizăm separat cele două etape urmând ca în final să însumăm efectele.

Page 122: Statica Navei

_______________________________________________________________________________126

1. Ambarcarea masei pe verticala centrului plutirii, în punctul ( )0 1,0,FA x z vaproduce o serie de modificări ale unor caracteristici după cum urmează:

® Variaţia pescajului mediuPrin ambarcarea masei P se modifică deplasamentul navei, căpătând valoarea:

( )1 P V VD= D+ = r + d (27.1)Rezultă că volumul suplimentar al carenei se poate calcula cu formula:

PVd =r

(27.2)

Cum am presupus că nava are borduri verticale în zona plutirii, putem scrie:WLV A dd = d (27.3)

şi mai departe variaţia pescajului mediu:

WL

PdA

d =r

(27.4)

® Variaţia razei metacentrice transversaleSe obţine făcând diferenţa dintre razele metacentrice care corespund plutirilor

1 1W L şi WL (Fig. 75),

( ) 1 1BM B M BMd = - (27.5)unde:

11 1

x x xI I IB M

V V V V+ d

= =+ d + d

; xIBM

V= (27.6)

Aici 1xI şi xI sunt momentele de inerţie axiale ale suprafeţelor plutirilor 1 1W L şi WL .Pe de altă parte, prin dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei ( )xI V găsim:

1x

x xI

I I VV¶

= + d¶

(27.7)

În consecinţă:

( )x

xx x x

II V I I IVVBMV V V V V V V

¶+ d ¶d æ ö¶d = - = -ç ÷+ d + d ¶è ø

(27.8)

Însă, aşa cum am arătat în §22 - formula (22.11) - xT

IV¶

= r¶

(raza metacentrică

diferenţială) şi din §8 - formula (8.43) - ştim că xIBM

V= ; prin urmare:

( ) ( ) ( )T TV PBM BM BM

V V Pd

d = r - = r -+ d D +

(27.9)

® Variaţia înălţimii centrului de greutateScriind ecuaţia de momente statice în raport cu un plan paralel cu . .P B care

trece prin centrul de greutate iniţial, obţinem:

( ) ( )1PKG z KG

Pd = -

D + (27.10)

Page 123: Statica Navei

_______________________________________________________________________________127

® Variaţia înălţimii centrului de carenăDin ecuaţia de momente statice faţă de un plan orizontal care trece prin centrul

de carenă iniţial, rezultă:

( ) 2 2V d P dKB d KB d KB

V V Pd d dæ ö æ öd = + - = + -ç ÷ ç ÷+ d D +è ø è ø

(27.11)

® Variaţia înălţimii metacentrice transversaleCunoscând expresia înălţimii metacentrice transversale:

GM BM KB KG= + -rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )GM BM KB KGd= d + d -d (27.12)Introducem (27.9), (27.10) şi (27.11) în (27.12) şi obţinem:

( ) 12 TP dGM d z GM

Pdæ öd = + + r - -ç ÷D + è ø

(27.13)

Asemănător, variaţia înălţimii metacentrice longitudinale se calculează cu formula:

( ) 12L L LP dGM d z GM

Pdæ öd = + +r - -ç ÷D + è ø

(27.14)

în care Lr este raza metacentrică diferenţială longitudinală.În mod particular, pentru navele cu borduri verticale în vecinătatea plutirii,

0T Lr = r = şi relaţiile anterioare se rescriu în forma:

( ) 12P dGM d z GM

Pdæ öd = + - -ç ÷D + è ø

(27.15)

( ) 12L LP dGM d z GM

Pdæ öd = + - -ç ÷D + è ø

(27.16)

Înălţimile metacentrice corectate se vor calcula cu formulele:

( )1 1 12P dG M GM GM GM d z GM

Pdæ ö= + d = + + - -ç ÷D + è ø

(27.17)

( )1 1 12L L L L LP dG M GM GM GM d z GM

Pdæ ö= + d = + + - -ç ÷D + è ø

(27.18)

Dacă în relaţia (27.17) se înmulţeşte în ambii membri cu factorul ( )PD + dupăefectuarea unor calcule elementare rezultă:

( ) ( )1 1 12dP G M GM GM P d zdæ öD + -D = d D = + -ç ÷

è ø (27.19)

în care ( )GMd D este variaţia coeficientului de stabilitate al navei la ambarcareamasei P . Plecând de la formula (27.19), putem face o discuţie asupra semnuluivariaţiei coeficientului de stabilitate, în funcţie de cota 1z a punctului de ambarcare amasei P .

I. La ambarcarea de mase ( )0P > putem avea următoarele situaţii:

Page 124: Statica Navei

_______________________________________________________________________________128

1) ( )1 ; 02dz d GMd

< + d D > stabilitatea iniţială a navei se măreşte;

2) ( )1 ; 02dz d GMd

= + d D = stabilitatea iniţială a navei rămâne neschimbată;

3) ( )1 ; 02dz d GMd

> + d D < stabilitatea iniţială a navei se micşorează.

II. La debarcarea de mase ( )0P < lucrurile se petrec invers:

1) ( )1 ; 02dz d GMd

< + d D < stabilitatea iniţială a navei se micşorează;

2) ( )1 ; 02dz d GMd

= + d D = stabilitatea iniţială a navei rămâne neschimbată;

3) ( )1 ; 02dz d GMd

> + d D > stabilitatea iniţială a navei se măreşte.

Valorile mari ale înălţimii metacentrice longitudinale LGM ne permit ca să

putem neglija suma 12dd zd

+ - din (27.16) şi să putem scrie:

( )L LPGM GM

Pd = -

D + (27.20)

Înlocuim în (27.18) şi obţinem:

1 1L LG M GMP

D=D +

(27.21)

ceea ce înseamnă că:( ) 1 1L LP G M GMD + = D (27.22)

şi o variaţie nulă a coeficientului de stabilitate longitudinală.( ) 0LGMd D = (27.23)

2. Deplasarea masei P din punctul ( )0 1,0,FA x z în punctul ( )1 1 1, ,A x y z

determină modificarea poziţiei navei în raport cu suprafaţa liberă a apei, înclinând-oatât transversal cât şi longitudinal. Pe baza celor arătate în §24 privitor la deplasareade mase la bord, unghiurile de înclinare se pot calcula cu relaţiile:

( ) 11

1

MGPPy

tg+

=@D

jj (27.24)

( )L

F1

GMxxP

tgD

qq-

=@ (27.25)

Dacă nava avea o înclinare transversală iniţială 0j , după ambarcarea masei Pnoua înclinare se va calcula cu relaţia:

1 01 1

GMG M

j= j +j (27.26)

Page 125: Statica Navei

_______________________________________________________________________________129

relaţii în care 0j şi j au semne. Se va considera că dacă nava se înclină la Tb ,înclinarea este pozitivă şi dacă se înclină la Bb , înclinarea este negativă.

Datorită înclinării longitudinale (Fig. 76), pescajele la extremităţi se vormodifica cu valorile:

( )1tg2 2

Fpv F F

L

P x xL Ld d x d xGM-æ ö æ öd = d + - q =d + -ç ÷ ç ÷ Dè ø è ø

(27.27)

( )1tg2 2

Fpp F F

L

P x xL Ld d x d xGM-æ ö æ öd = d - + q =d - +ç ÷ ç ÷ Dè ø è ø

(27.28)

noile pescaje prova şi pupa fiind:pv pvd d d= + d (27.29)pp ppd d d= + d (27.30)

Fig. 76

Atunci când nava nu este iniţial pe carenă dreaptă, ci are pescajele pvd şi ppd

( )pv ppd d¹ , pescajele finale rezultate în urma ambarcării masei P sunt:

1 tg2pv pv FLd d d xæ ö= + d + - qç ÷

è ø (27.31)

1 tg2pp pp FLd d d xæ ö= + d - + qç ÷

è ø (27.32)

27.2 Ambarcarea de mase mari ( )0,1P >

În cazul ambarcării de mase mari la bordul navei, ipoteza modificării pescajuluiîn zona unde bordurile sunt verticale nu mai este valabilă şi atunci algoritmul decalcul prezentat anterior nu mai poate fi folosit decât, eventual, ca estimă amodificărilor ce apar la stabilitatea şi poziţia navei în raport cu suprafaţa liberă aapei. Pentru a rezolva aceste probleme, cu acurateţe putem utiliza "Diagrama decarene drepte" (Fig. 77).

Pentru a determina variaţia pescajului mediu, se aşează la scaradeplasamentului, în continuarea lui D , valoarea masei ambarcate P şi apoi se ridică

Page 126: Statica Navei

_______________________________________________________________________________130

o verticală care se va intersecta cu curba deplasamentului ( )zD . Corespunzătoracestui punct, dacă ducem o orizontală vom citi pe ordonată valoarea pescajuluimediu 1d , care corespunde deplasamentului 1 PD= D + . Figurând la scara lungimilorvaloarea cotei centrului de greutate KG la pescajul d , vom putea citi valoareaînălţimii metacentrice transversale iniţiale:

GM KM KG= -

Fig. 77

De asemenea, cunoscând valoarea razei metacentrice longitudinale LBM dindiagramă vom putea calcula înălţimea metacentrică longitudinală, iniţială cuformula:

L LGM KB BM KG= + - .Cunoscând valoarea masei P precum şi cota 1z a masei ambarcate, se poate calculanoua cotă a centrului de greutate al navei cu formula:

( )1 1PKG KG z KG

P= + -

D +Ulterior, putem calcula înălţimile metacentrice transversală şi longitudinală,corespunzătoare noului pescaj mediu 1d :

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1L L

G M KM KG

G M KB B M KG

= -

= + -

Variaţiile acestor înălţimi metacentrice sunt:

Page 127: Statica Navei

_______________________________________________________________________________131

( )( )

1 1

1 1L L L

GM G M GM

GM G M GM

d = -

d = -

Toate aceste modificări asupra flotabilităţii şi stabilităţii navei au fost deduseconsiderând că nava rămâne pe carenă dreaptă. Aceasta înseamnă că masa P vatrebui ambarcată pe verticala centrului de greutate al volumului de carenăsuplimentar Vd . Coordonatele acestuia în plan orizontal sunt:

1 1 1

1 1

0 , WL F W L FV V

WL W L

A x A xy x

A A+

= =+

În continuare, vom deplasa masa P în plan orizontal cu distanţele ( )1 Vx x-

după axa x şi 1y după axa oy pentru a ajunge în punctul de ambarcare ( )1 1 1, ,A x y z .Această deplasare va cauza înclinarea navei în ambele plane: transversal şilongitudinal. Unghiurile de înclinare se calculează cu relaţiile:

( )1

1 1

tgP yP G M

j =D +

( )( )

1

1 1

tg V

L

P x xP G M-

q =D +

Aceleaşi mărimi se pot calcula cu formulele:1 1

1 1

tg B Gy yKG KB

-j =

-

1 1

1 1

tg B Gx xKG KB

-q =

-

din condiţia ca în poziţia înclinată a navei, centrul de carenă 1B şi centrul de greutate1G să se găsească pe aceeaşi dreaptă verticală, perpendiculară pe suprafaţa apei.

În formulele de mai sus, 1KB şi 1Bx se scot din "diagrama de carene drepte",iar 1KG şi 1Gy se calculează cu formulele:

( )1 1

11G

PKG KG z KGP

P yy

P

ì = + -ïï D +íï =ïî D +

Pescajul la cuplul maestru se calculează cu formula:1 1 tgFd d xÄ = - q

28. INFLUENŢA ÎNCĂRCĂTURILOR LICHIDE CU SUPRAFEŢE LIBEREASUPRA STABILITĂŢII NAVEI

Page 128: Statica Navei

_______________________________________________________________________________132

Dacă la bordul navei există tancuri parţial umplute, mişcarea lichidelor înaceste tancuri, în timpul înclinării navei, va reduce stabilitatea acesteia, deoarececentrul de greutate al lichidului se va deplasa, creând un moment de înclinaresuplimentar.

În Fig. 78 am considerat o navă şi un tanc parţial umplut. Plutirea dreaptă esteWL , iar a lichidului din tanc ab . Când nava se înclină, cu unghiul j considerat mic,plutirile 1 1W L şi 1 1a b rămân paralele.

Lichidul din tanc se comportă ca o carenă care îşi deplasează centrul din g în1g , determinând un moment suplimentar de înclinare:

1111e ggggggM nrnrD »= (28.1)unde 1vr este masa lichidului din tanc. Metacentrul lichidului din tanc este punctul

A , iar xiAgv

= este raza metacentrică a acestei carene, în care xi reprezintă momentul

de inerţie al suprafeţei libere, în raport cu o axă paralelă cu axa de înclinare şi caretrece prin centrul acestei suprafeţe. Putem scrie:

jn

x1

igg = (28.2)

şi prin înlocuire în (28.1):1e xM g iD =r j (28.3)

În această situaţie, momentul de stabilitate este egal cu cel al navei înclinatătransversal cu unghiul j din care scădem valoarea eMD ce reprezintă efectul negatival suprafeţei libere de lichid.

11

xs x

iM g GM g i g GM

Vræ ö

= D j-r j = D - jç ÷rè ø (28.4)

Din relaţia (28.4) se observă că putem interpreta efectul suprafeţei libere delichid din tanc, ca o micşorare a înălţimii metacentrice transversale cu valoarea:

( ) 1 xiGMV

rd =

r (28.5)

La acelaşi rezultat se ajunge dacă parcurgem următorul raţionament.Deplasarea centrului de greutate a lichidului din g în 1g antrenează o deplasaresimilară a centrului de greutate al navei din G în 1G (Fig. 78) şi o corecţie negativă aînălţimii metacentrice cu valoarea 'GG . Dar:

VggGG 1

11 rnr

= (28.6)

Page 129: Statica Navei

_______________________________________________________________________________133

Fig. 78

Înlocuind în (28.6) valoarea lui 1gg dată de (28.2), rezultă:

jrr

Vi

GG x11 = (28.7)

Dar:

ViGG

GG x11'

rr

j== (28.8)

În concluzie, pentru o situaţie oarecare de încărcare a navei, existenţa unui tanc ceconţine un lichid cu suprafaţă liberă şi densitate 1r este echivalentă la unghiuri mici

de înclinare cu ridicarea centrului de greutate al navei cu valoarea 1 xiV

rr

, ceea ce

înseamnă o înălţime metacentrică corectată care se calculează cu relaţia:1' xiG M GM

Vr

= -r

(28.9)

Dacă la bord există simultan mai multe tancuri ce conţin lichide cu suprafaţăliberă atunci, datorită efectului cumulat al acestora, înălţimea metacentricătransversală se calculează cu formula:

1'i

n

i xi

iG M GM

V=

r= -

r

å (28.10)

Corespunzător pentru înălţimea metacentrică longitudinală obţinem:1' y

L L

iG M GM

Vr

= -r

(28.11)

şi:

1'i

n

i yi

L L

iG M GM

V=

r= -

r

å. (28.12)

Page 130: Statica Navei

_______________________________________________________________________________134

În practică, evaluarea suprafeţelor libere de lichid din tancuri se facepresupunând situaţia cea mai defavorabilă ce poate apărea. Efectul maxim apareatunci când tancul este jumătate plin. Se va presupune că tancul cel mai mare dinfiecare sistem sau perechea cea mai mare de tancuri, dacă ele lucrează în pereche,sunt pline pe jumătate. Acest studiu se va efectua şi în situaţia de plină încărcareîntrucât este de aşteptat ca suprafeţele libere să apară în scurt timp de la plecarea dinport.

Efectul divizării tancurilorAnalizând relaţia (28.5), este uşor de observat importanţa divizării suprafeţei

libere de lichid asupra corectării înălţimii metacentrice. Această divizare se face cuajutorul pereţilor, împărţind tancul în două sau mai multe tancuri mai mici. Pentru aevalua acest efect, considerăm un tanc a cărui suprafaţă liberă este un dreptunghi cudimensiunile l b´ (Fig. 79). Dacă lichidul din tanc are densitatea 1r atuncimicşorarea înălţimii metacentrice datorită suprafeţei libere este:

( )3

1 1 112

xi l bGMV V

r rd = =

r r

Fig. 79

Dacă se împarte tancul prin " "m pereţi longitudinali, echidistanţi, atunci

suprafaţa liberă se divide în " 1"m + dreptunghiuri cu dimensiunile1

blm

´+

. În

această nouă situaţie, corecţia înălţimii metacentrice este:

( )( ) ( )

( )

3

1 121

111

12 1x

bm li GMmGMV V m

æ ö+ ç ÷ dr r +è ød = = =r r +å

Rezultă că fracţionarea suprafeţei libere prin " "m pereţi reduce micşorareaînălţimii metacentrice de ( )21m + ori. În particular, dacă se amplasează un singurperete etanş, despărţitor la jumătatea lăţimii tancului, efectul negativ al suprafeţeilibere de lichid se micşorează de patru ori.

Page 131: Statica Navei

_______________________________________________________________________________135

Un fenomen asemănător apare la transportul mărfurilor granulate în vrac(cereale, cărbuni, minereuri, etc.), atunci când magaziile de mărfuri sunt parţialîncărcate. Datorită oscilaţiilor navei pe mare reală, marfa se poate deplasa în unul dinborduri producând înclinări exagerate ale navei sau chiar răsturnarea acesteia. Pentrua evita astfel de fenomene nedorite, la transportul mărfurilor în vrac se iau măsurispeciale de micşorare sau divizare a suprafeţei libere.

Divizarea suprafeţelor libere, prin pereţi despărţitori, reprezintă un compromisdeoarece implică creşterea greutăţii structurii. În cazul navelor care transportămărfuri lichide în vrac, uneori acest compromis este inacceptabil întrucât implică ocreştere corespunzătoare a tubulaturilor, a valvulelor, a conductelor de aerisire şi depreaplin, complicând totodată operarea sistemului.

PROBLEME REZOLVATE

Page 132: Statica Navei

_______________________________________________________________________________136

Problema 1O navă tip ponton paralelipipedic are dimensiunile

200 20 ; 10;L m B m D m= = = şi pentru orice situaţie de încărcare are centrul degreutate situat în planul plutirii. Găsiţi valoarea pescajului pentru care nava este înpoziţie de echilibru indiferent.

Rezolvare:

KM KB BM= +

2dKB = (datorită formei carenei – paralelipiped dreptunghic) (1)

3

212

12x

LBI BBM rV L B d d

= = = = (2)

Rezultă :2

2 12d BKM

d= + .

Condiţia de echilibru indiferent KM KG= sau2 400 33,33

2 12 2 12 2d B d dd d d

d d d= + Û = + Û = + sau mai departe 2 22 66,67d d= + de unde

rezultă 8,165d m= .

Problema 2O navă are iniţial deplasamentul 0 10900 tD = şi 0 7KG m= . Se încarcă nava cu

5742 tone de marfă care se distribuie pe două punţi situate la distanţele1 8,17Kg m= şi 2 7,43Kg m= de planul de bază ( )PB . Găsiţi cantităţile de marfă

distribuite pe cele două punţi astfel încât înălţimea metacentrică finală a navei săfie 1,24GM m= . Se cunoaşte 8,43KM m= la deplasamentul 16642 tD = .

Rezolvare:Noua cotă a centrului de greutate se determină din ecuaţia de momente

statice faţă de PB considerând masa 1P ambarcată la cota 1Kg şi masa 2P la cota2Kg adică:

( )0 0 0 1 1 2 2P KG KG P Kg P KgD + = D + +

1 28,17 7, 43 16642 10900 7P P KG+ = - × (1)Din condiţia ca 1, 24GM m= găsim:

8, 43 1,24 7,19GM KM KG KG KM GM m= - Þ = - = - =

Page 133: Statica Navei

_______________________________________________________________________________137

Relaţia (1) devine:1 28,17 7,43 43356P P+ =

Se adaugă ecuaţia : 1 2 5742P P+ =

formându-se un sistem care se rezolvă. Soluţiile sistemului sunt:1 2936,5 ; 4805,5P t P t= =

Problema 3O navă tip ponton paralelipipedic are dimensiunile 250 25;L m B m= =

14D m= şi pentru orice situaţie de înclinare are centrul de greutate situat în planulplutirii. Găsiţi valoarea maximă a pescajului pentru care nava este la limită stabilătransversal.

Rezolvare:Condiţia de stabilitate transversală la limită este ca 0GM = (înălţimea

metacentrică transversală să fie nulă).GM KB BM KG= + -

Dar2dKB = (datorită formei suprafeţei imerse: paralelipiped dreptunghic)

3

212

12x

LBI BBM rV L B d d

= = = =

KG d=2 2

2 2

2

0 0 0 62 12 12 2

25 10, 26

d B B dGM d d Bd d

d m

= Û + - = Û - = = Þ

= =

Problema 4O navă cu deplasamentul de 22600 , 8, 2t KG m= descarcă 3000 t de balast

având cota centrului de greutate egală cu 2 m ( )2Kg m= . Nava încarcă 11400 t demarfă cu 7,8Kg m rămânând disponibilă pentru încărcare o cantitate de 1200 t demarfă. Determinaţi cota centrului de greutate a cantităţii disponibile Kg astfelîncât înălţimea metacentrică finală GM să nu fie mai mică de 0,5 m . KM ladeplasamentul de 32200 t este egal cu 9 m .

Rezolvare:

Page 134: Statica Navei

_______________________________________________________________________________138

Notăm cu x cota restului de 1200 t de marfă ce trebuie ambarcată pentru caînălţimea metacentrică GM să nu scadă sub valoarea de 0,5 m .

Problema se poate rezolva tabelar:

Masa [ ]t [ ];KG Kg m Momentul faţă de [ ]PB t m×

22600 8,2 18532011400 7,8 88920-3000 2 -60001200 x 1200 x

32200 268240+1200 x

0,5 0,5 9 0,5 8,5KM KG KG KM m- = Þ = - = - =

268240 1200 8,5 4,5532200

x x m+= Þ =

Problema 5O navă are pescajele 8,72pvd m= şi 9ppd m= în apă cu densitatea

31,025 /t mr = . Ea intră pe doc unde apa are densitatea 31 1,004 /t mr = . Găsiţi noile

pescaje prova şi pupa ţinând cont de schimbarea asietei datorită modificăriidensităţii apei. Se mai cunosc: 162 / ; 29,8 / ; 82MCT t m cm TPC t cm LCF m= × = =

90 ; 170 ; 27000LCB m L m t= = D = .

Rezolvare:

Pescajul de calcul iniţial se calculează cu formula:( ) ( )8,72 9

tg 9 82 8,865170

pv pppp pp

d dd d LCF d LCF m

L

- -= + q = + = + =

Deoarece 1r £ r , nava îşi va mări pescajul mediu cu 2% din valoareapescajului iniţial, adică:

22% 8,865 0,177100

d d md = = =

Noul pescaj de calcul va fi:' 8,865 0,177 9,042d d d m m m= + d = + =

Variaţia volumului carenei se calculează cu formula:31 1

1 1

1,025 1,004 27000 5511,004 1,025

V V mr -r r -r D -

d = = = × =r r r

Page 135: Statica Navei

_______________________________________________________________________________139

Variaţia volumului carenei implică deplasarea centrului de carenă pe direcţielongitudinală cu valoarea:

( ) ( ) ( ) ( )1

1

1,004 1,02582 90 0,167

1,004Bx LCF LCB mr -r -

d = - - = - - = -r

Rezultă o deplasare spre pupa a centrului de carenă şi o modificare a asietei,în sensul aprovării, comparativ cu plutirea iniţială.

Variaţia de asietă datorată modificării salinităţii apei se calculează cuformula:

27000 0,167 27,83162

Bxcm

MCTD d ×

= =

şi va determina o modificare a pescajelor la extremităţi cu valorile:170 8227,83 27,83 14,4

170pvL LCFd cm

L- -

d = = =

8227,83 27,83 13,43170pp

LCFd cmL

d = = =

Pupa ProvaPescajul iniţial [ ]m 8,72 9,00Variaţia de pescajului mediu[ ]m

0,177 0,177Modificarea asietei [ ]m 0,134 -0,144Pescajul final [ ]m 9,031 9,033

Problema 6O navă pluteşte cu înclinarea 3j = ° . Să se determine valoarea masei ce

trebuie deplasată la bord pentru a o îndrepta, dacă înălţimea metacentrică este0,6GM m= , deplasamentul navei este 300 tD = , iar distanţa pe care se poate

deplasa greutatea este 2yl m= .

Rezolvare:p se determină din egalitatea dintre momentul de înclinare datorat deplasării

la bord a masei p pe direcţia ( )y e yl M g p l= şi momentul de stabilitate

( )tgsM g GM= D j adică:

tgyg p l g GM= D j

300 0,6tg 0,052 4,682y

GMp tl

D ×= j = =

Problema 7

Page 136: Statica Navei

_______________________________________________________________________________140

În timpul debarcării, pasagerii în număr de 50 persoane, s-au adunat într-unbord. Deplasarea s-a făcut în timp îndelungat motiv pentru care se consideră oacţiune statică asupra navei. Braţul de deplasare al pasagerilor se consideră

2yl m= , iar masa unui pasager cu bagaje 90 kg . Să se afle unghiul de înclinare pecare îl capătă nava dacă momentul unitar de bandă este 0 8 /M t m grad= × .

Rezolvare:Momentul de înclinare determinat de deplasarea pasagerilor va fi:

50 90 2 9eM t m= × × = ×

Unghiul de înclinare transversală a navei va fi:

0

9 1,128

eMM

j = = =°

Problema 8O navă are următoarele dimensiuni principale: 56L m= , 6B m= , 1pvd m= ,1,3ppd m= , 0,5BC = . Înălţimea metacentrică longitudinală este 50LGM m= . Pentru

a trece peste un banc de nisip, nava trebuie adusă pe chilă dreaptă, motiv pentrucare se pot deplasa unele mase de la pupa la prova, pe o distanţă 28xl m= . Să seafle masa ce va trebui deplasată. Se consideră că nava navigă în apă dulce( )31000 /kg mr = .

Rezolvare:Pentru a aduce nava pe asietă dreaptă se determină unghiul de înclinare

longitudinală:31,3 1 0,3tg 5,3 10

56 56pv ppd d

L-

- -q = = = = ×

Masa ce trebuie deplasată de la pupa la prova se determină cu formula:tg tg 1 0,5 56 6 1,15 0,350 1,85

28 56L B L

x x

GM C L B d GMp tl l

D q r q × × × ×= = = =

unde pescajul mediu al navei este:1,0 1,3 1,15

2 2pv ppd d

d m+ +

= = =

Problema 9

Page 137: Statica Navei

_______________________________________________________________________________141

O navă are următoarele caracteristici: 2000 tD = , 110L m= , 3,80pvd m= ,4,0ppd m= , 150 , 0,8 , 0,5L FGM m GM m x m= = = - . S-au pompat 30P t=

combustibil dintr-un tanc situat la prova ( )20 , 5 , 5x m y m z m= = = într-un alt tancsituat la pupa ( )1 1 130 , 0 , 0,5x m y m z m= - = = . Să se afle poziţia navei în raport cusuprafaţa liberă a apei respectiv: ' ', , , .pv ppd dj q

Rezolvare:Este o problemă tipică de deplasări de mase la bord. La bordul navei se

deplasează masa 30P t= de combustibil pe distanţele:5054,5

spre pupa spre babord

in jos

x

y

z

l ml ml m

=ìï =íï =îSe determină valoarea noii înălţimi metacentrice transversale:

( ) ( )11

30 0,5 50,8 0,87

2000P z z

GM GM m- -

= - = - =D

Ca urmare a deplasării laterale, nava se va înclina la babord cu unghiul:

1

30 5tg 0,08622000 0,87

yP l

GM×

j @ j = = =×D

4,9 la Bbj = °

În plan longitudinal nava se înclină longitudinal cu unghiul:( ) ( )

1

1 330 30 20tg 4,97 10

2000150,7L

P x xGM

-- - -q @ q = = = - ×

D

0,29q =- °

( )1

1 150,7L L

P z zGM GM m

-= - =

DNoile pescaje prova şi pupa se vor calcula cu relaţiile:

' 3

' 3

110tg 3,8 0,5 4,97 10 3,5242 2

110tg 4 0,5 4,97 10 4, 272 2

pv pv F

pp pp F

Ld d x m

Ld d x m

-

-

æ ö æ ö= + - q =- + × =ç ÷ ç ÷è ø è øæ ö æ ö= - + q =+ - × =ç ÷ ç ÷è ø è ø

Problema 10O navă are următoarele caracteristici: 30000 tD = , 8,3pvd m= , 9,6ppd m= ,

300 /MCT t m cm= × , 109LCF m= , 210L m= .Calculaţi noile pescaje prova şi pupa dacă masa 1000P t= de balast se

deplasează pe direcţie longitudinală dintr-un tanc având centrul de greutate situatla 175 m în altul situat la 205 m faţă de perpendiculara pupa.

spre pupaspre babordîn jos

Page 138: Statica Navei

_______________________________________________________________________________142

Rezolvare:Ca urmare a deplasării longitudinale dinspre pupa spre prova a balastului,

nava îşi modifică asieta, variaţia de pescaj prova-pupa faţă de situaţia iniţialăfiind:

( )1000 205 175100 1

300xP l

d cm mMCT

-D = = = =

Acestei variaţii de pescaj îi corespunde o mărire a pescajului prova şi oscădere a pescajului pupa cu valorile x şi y , care sunt soluţiile sistemului:

x y dx L LCFy LCF

+ = Dìï

-í =ïî

adică numeric1

210 109109

x yxy

+ =ìï

-í =ïîSoluţiile acestui sistem sunt: 0, 48 0,52x m y m= =

Noile pescaje la extremităţi vor fi:1

1

8,3 0,48 8,78

9,6 0,52 9,08pv pv

pp pp

d d x m m md d y m m m

= + = + =

= - = - =

Problema 11Înainte de a intra în port, o navă are pescajele 11,2pvd m= şi 12ppd m= . Dacă

nava trebuie să intre în port pe chilă dreaptă, găsiţi cantitatea de balast P caretrebuie transferată dintr-un tanc din dublu fund având 80LCG m= , în altul având

195LCG m= faţă de perpendiculara pupa. Se mai cunosc210 /MCT t m cm= × , 95 , 200LCF m L m= = .

Rezolvare:Vom observa mai întâi că nava este apupată deci, este corectă deplasarea

balastului înspre prova. Această deplasare longitudinală se face cu valoarea:195 80 115xl m m m= - =

Variaţia de pescaj datorată deplasării masei P pe distanţa xl va trebui să fieegală cu diferenţa de pescaje iniţială, adică:

xpv pp

P ld d d

MCT= - = D

Rezultă:2210 11,2 12 10

146115

pv pp

x

MCT d dP t

l- - ×

= = =

Deplasarea balastului produce variaţii ale pescajelor la extremităţi care secalculează cu relaţiile:

Page 139: Statica Navei

_______________________________________________________________________________143

( ) ( )

950,8 0,38200

200 950,8 0,42

200

pp

pv

LCFd d mL

L LCFd d m

L

d =D = =

- -d =D = =

Pupa ProvaPescaje iniţiale 12 m 11,2 mVariaţiile de pescaj -0,38 m 0,42 mPescaje finale 11,62 m 11,62 m

Problema 12În timpul încărcării unei nave cu cherestea pe punte, o stivă având masa de

8 t se deplasează pe lungimea de 16 m dintr-un bord în celălalt, nava înclinându-secu 1° . Cota metacentrului transversal este 10,5KM m= . Calculaţi cota centrului degreutate KG dacă nava are deplasamentul 13000 tD = .

Rezolvare:Mărimea căutată se determină din condiţia ca momentul transversal de

înclinare datorat deplasării laterale a stivei cu masa 8P t= pe distanţa 16yl m= să

fie egal cu momentul de stabilitate al navei înclinate cu 1180

radpj = ° = , adică:

( )yP l KM KG×= D - ×j

Rezultă:9,936KG m=

Problema 13Un ponton paralelipipedic cu dimensiunile: 100 , 10 , 6L m B m D m= = =

pluteşte în apă dulce la pescajul 2d m= . O masă de 1 t se deplasează lateral pe odistanţă de 8 m , deviind pendulul instalat pe ponton cu 0,05 m . Pendulul arelungimea de 5 m . Care este valoarea cotei centrului de greutate al pontonului?

Rezolvare:Devierea pendulului având lungimea 5l m= , lateral cu distanţa 0,05a m= se

traduce prin înclinarea transversală a pontonului cu unghiul:01,0

505,0

latg ===@ jj .

Page 140: Statica Navei

_______________________________________________________________________________144

Aceasta se datorează deplasării masei 1P t= lateral cu distanţa 8yl m= , ceeace determină un moment exterior de înclinare:

e yM P l=

Condiţia de echilibru static este:e sM M=

sau:yP l GM= D j

de unde rezultă:1 8 5 0, 4

1 100 10 2 0,05y yP l P l l

GM mL B d a

× ×= = = =D j r × × × ×

Dar:GM KM KG= -

Cum pontonul este paralelipipedic:2 22 10 5,16

2 12 2 12 2d BKM KB BM m

d= + = + = + =

×

În final, cota centrului de greutate al pontonului are valoarea:5,16 0, 4 4,76KG KM GM m= - = - =

Problema 14O navă tip ponton paralelipipedic are: 100 , 10 , 4L m B m d m= = = în apă cu

densitatea de 31,010 /t m . Să se găsească:(a) deplasamentul;(b) noul pescaj dacă se încarcă 750 t de marfă;(c) noul pescaj dacă densitatea mediului în care navighează este de

31.025 /t m ;(d) noul pescaj dacă ajunge în port unde densitatea apei este 31,005 /t m ;(e) câtă marfă trebuie descărcată în port pentru ca pescajul final să fie de

3,5 m .

Rezolvare:(a) Deplasamentul pontonului se calculează cu formula:

1,010 100 10 4 4040L B d tD =r = × × × =

(b) Încărcându-se masa 750P t= de marfă, noul pescaj se calculează curelaţia:

Page 141: Statica Navei

_______________________________________________________________________________145

14040 750 4,743

1,010 100 10Pd m

L BD + +

= = =r × ×

(c) Când salinitatea apei îşi schimbă valoarea de la 31,010 /t mr = la3

2 1,025 /t mr = pescajul ajunge la valoarea:

2 12

1,010 4,743 4,6731,025

d d mr= = =r

(d) În port, unde densitatea apei este 33 1,005 /t mr = pescajul va fi:

33

4040 750 4,7661,005 100 10

Pd mL B

D + += = =r × ×

(e) Plecând de la pescajul final, rezultat în urma descărcării de marfă, reiesedeplasamentul final:

4 3 4 1,005 100 10 3,5 3517,5L B d tD =r × × × = × × × =

Cantitatea de marfă descărcată este:( ) ( )4 4 4040 750 3517,5 1272,5P P t= D + -D = + - =

Problema 15O navă are următoarele caracteristici: 2000 ; 110 ; 3,8pvt L m d mD = = =;4,0 ; 150 ; 0,8 ; 0,5pp L Fd m GM m GM m x m= = = = - . Se transferă 30 t de combustibil

dintr-un tanc situat la pupa ( )30 ; 0 ; 0,5x m y m z m= - = = într-un tanc situat la prova( )1 1 120 ; 5 ; 5x m y m z m= = = . Să se studieze influenţa acestei deplasări de mase labord asupra poziţiei şi stabilităţii navei.

Rezolvare:- se calculează înălţimile metacentrice, transversale şi longitudinale

rezultate:

( ) ( )1 1300,8 5 0,5 0,73

2000PG M GM z z m= - - = - - =D

( ) ( )1 130150 5 0,5 149,93

2000L LPG M GM z z m= - - = - - =D

- în urma transferului, nava se înclină transversal cu unghiul:( ) ( )1

1

30 5 0tg 0,1 5,86

2000 0,73P y y

rad TbG M- -

j @ j = = = = °×D

şi longitudinal cu unghiul:( ) ( )1 3

1

30 20 30tg 5 10 0, 29

2000 149,93L

P x xrad

G M-- +

q @ q = = = × = °×D

Page 142: Statica Navei

_______________________________________________________________________________146

Transferul făcându-se dinspre pupa spre prova nava se va aprova. Va trebuisă ţinem cont şi de asieta iniţială:

' 33,8 4tg 1,81 10 0,1110

--q = = - × = - °

Nava se va stabiliza înclinată longitudinal la unghiul:'

1 0,29 0,1 0,19q =q+ q = °- ° = °

Se calculează pescajele finale:3

1110tg 3,8 0,5 5 10 4,08

2 2pv pv FLd d x m-æ ö æ ö= + - q =+ + × =ç ÷ ç ÷

è ø è ø

31

110tg 4 0,5 5 10 3,732 2pp pp FLd d x m-æ ö æ ö= - + q =- - × =ç ÷ ç ÷

è ø è ø

Problema 16După desfăşurarea unei "probe de înclinare", s-au notat următoarele date:

Deplasamentul în timpul înclinării 9550 tD =

Masa lestului 10P t=

Distanţa pe care se deplasează lestul 18yl m=

Lungimea firului cu plumb 9,5l m=

Devierea firului la capăt 100a mm=

Kg a lestului 12,5 m

KM din curbele de carene drepte 8,35 mSă se calculeze înălţimea metacentrică transversală a navei. Un tanc

conţinând 150 t de apă dulce este complet umplut şi situat în dublu fund cu1Kg m= . Să se calculeze cota centrului de greutate al navei în condiţia de "navă

goală".

Rezolvare:Unghiul cu care se înclină transversal nava:

0,1tg9,5

al

j @ j = =

Egalând momentul de înclinare cu momentul de stabilitate, găsim:10 18 9,5 1,7919550 0,1

yP lGM m× ×

= = =D j ×

8,35 1,791 6,559KG KM GM m= - = - =

Calculul cotei centrului de greutate pentru "nava goală" se face tabelar, dupăcum urmează:

Page 143: Statica Navei

_______________________________________________________________________________147

Masa[ ]t

,KG Kg

[ ]mMoment faţă de LB

[ ]t m×

9550 6,559 62638,45-10 12,5 -125-150 1 -1509390 62363,45

62363, 45 6,6419390

KG m= =

Problema 17O navă are deplasamentul de 20000 t şi 6,5KM m= . O masă de 25 t se

deplasează pe puntea principală dintr-un bord în celălalt, pe o distanţă de 20 m ,producând o deplasare cu 0,1 m a plumbului situat la capătul unui fir cu lungimeade 10 m . Cunoscând că faţă de această situaţie la bordul navei se va mai monta unmotor auxiliar de 150 t şi 3Kg m= , să se determine cota centrului de greutate alnavei.

Rezolvare:Prin deplasarea masei 25P t= lateral cu distanţa 20l m= , nava se înclină

transversal cu unghiul:20,1tg sin 10

10-j = j = =

Înălţimea metacentrică se calculează egalând momentul exterior de înclinarecu momentul de stabilitate:

sinP l GM= D j

Rezultă:

2

25 20 2,5sin 20000 10P lGM m-

×= = =D j ×

respectiv:6,5 2,5 4KG KM GM m= - = - =

Ţinând cont că mai trebuie adăugată masa motorului auxiliar 1 150P t= ,având cota centrului de greutate 3Kg m= , se calculează cota centului de greutateal navei cu relaţia :

11

1

20000 4 150 3 3,9920000 150

KG P KgKG mP

D + × + ×= = =

D + +

Page 144: Statica Navei

_______________________________________________________________________________148

Problema 18O navă de mici dimensiuni are deplasamentul de 400 t şi înălţimea

metacentrică transversală de 0,5 m . În vederea efectuării unor lucrări, se ridicătemporar de pe postament, cu ajutorul unui palan, motorul principal având masade 10 t , lungimea firului de suspensie fiind de 2 m . Să se calculeze înălţimeametacentrică a navei în urma acestei manevre.

Rezolvare:Înălţimea metacentrică, transversală, corectată se calculează cu formula:

110 20,5 0, 45400

P lG M GM m×= - = - =

D

Problema 19O navă tip ponton paralelipipedic are dimensiunile:

100 10 ; 5;L m B m D m= = = . Deplasamentul navei este 2000tD = , iar cota centruluide greutate 4,5KG m= . Nava se găseşte în apă dulce. Calculaţi valoarea înălţimiimetacentrice a navei iniţial şi valoarea aceleaşi mărimi după ce o masă de 500 t

este ambarcată la cota 4Kg m= . Calculaţi valorile momentelor de stabilitatepentru nava înclinată transversal cu 10° în ambele situaţii.

Rezolvare:Pentru cazul iniţial

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

GM KB BM KG= + - unde :

( ) 1

1

2000 12 2 2 100 10 1d

KB mL BD

= = = =r × × ×

( )3

3 3

1

1 100 1012 4,1712 12 2000

LBL BBM mr × ×

= = = =D D ×r

Aşadar, ( )1

1 4,17 4,5 0,67GM m m m m= + - =

Momentul de stabilitate pentru nava înclinată transversal cu 10° în aceastăsituaţie este:

( ) ( )1 1sin 2000 0,67 sin10 232,7s sM l GM t mj j= D =D j @ × × ° @ ×

Pentru cazul final( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2GM KB BM KG= + -

unde:

Page 145: Statica Navei

_______________________________________________________________________________149

( ) ( )2

2

2000 500 1, 252 2 2 100 10 1

PdKB m

L BD + +

= = = =r × × ×

( ) ( ) ( )3 3

2

1 100 10 3,3312 12 2000 500

L BBM mP

r × ×= = =

D + × +

( )2

2000 4,5 500 4 4, 42500

KG P kgKG mP

D × + × × + ×= = =

D +Aşadar, noua înălţime metacentrică va fi :

( )2

1, 25 3,33 4,4 0,18GM m m m m= + - =

iar momentul de stabilitate corespunzător acestei situaţii de încărcare, când navaeste înclinată transversal cu 10° va fi:

( ) ( ) ( ) ( )2 2sin 2500 0,18 sin10 78,14s sM P l P GM t mj j= D + = D + j = × × ° = ×

Problema 20O navă are următoarele caracteristici: 10900 ; 6,2 ; 7, 2t KG m KM mD = = =.

O greutate de 200 t se găseşte la bordul navei având cota centrului de greutate2,6Kg m= . Să se calculeze cantitatea de balast care trebuie ambarcată având cota

centrului de greutate ' 1Kg m= , după ce greutatea de 200 t a fost debarcată pentruca nava să-şi păstreze intactă valoarea înălţimii metacentrice, în condiţia în careKM rămâne constantă.

Rezolvare:Din condiţia ca înălţimea metacentrică transversală să-şi păstreze valoarea şi

în ipoteza că metacentrul transversal rămâne un punct fix, va rezulta condiţia ca înurma celor două operaţiuni, debarcarea P şi ambarcarea 'P , G să rămână înacelaşi loc.

Fie 0 10700P tD =D - = şi 0KG cota centrului de greutate al masei 0D .Înainte de operaţiunea de ambarcare-debarcare, ecuaţia de momente statice

faţă de PB se poate scrie sub forma:( )0 0 0KG P Kg P KGD + = D +

După debarcarea masei P şi ambarcarea masei 'P , putem scrie:( )0 0 0' ' 'KG P Kg P KGD + = D +

sau combinând cele două relaţii rezultă:( ) ( )0 0' ' 'P KG P Kg P KG P KgD + - = D + -

mai departe:( ) ( )0 0' 'P KG Kg P KG P Kg KG- = D + - - D

Înlocuind numeric, obţinem:

Page 146: Statica Navei

_______________________________________________________________________________150

'(6,2 1) 10900 6, 2 200 2,6 10700 6,2 720P - = × - × - × =

720' 138, 465, 2

P t= =

Problema 21O navă cu deplasamentul de 11000 t , 8,7KG m= , 9,5KM m= are o înclinare

iniţială de 2° tribord. Se efectuează următoarele operaţiuni:

Încărcare Masa [ ]t [ ]Kg m Distanţa faţă de [ ]PD m

400 10,0 4,5 m Tb600 4,0 6,0 m Bb

Descărcare 100 1,0 2,0 m Tb

Găsiţi înclinarea finală.

Rezolvare:Problema se poate rezolva tabelar după cum urmează:

P

[ ]tKG

[ ]m

Py

[ ]m

Moment faţă dePB

[ ]P KG t m× ×

Moment faţă dePD

[ ]P y t m× ×400 10 4,5 4000 1800600 4 -6 2400 -3600-100 1 2 -100 -200900 6300 -2000

Efectele acestor operaţiuni asupra navei se pot calcula ca fiind următoarele:· Modificarea deplasamentului.

Noul deplasament al navei va fi:1 11000 900 11900P t t tD =D + = + =å

· Modificarea cotei centrului de greutate.Noua cotă a centrului de greutate se calculează cu relaţia:

11

11000 8,7 6300 8,5711900

KG P KGKG m

D + × × += = =

· Modificarea valorii înălţimii metacentrice transversale.Considerând .KM const= , valoarea înălţimii metacentrice finale va fi:

1 1 9,5 8,57 0,93G M KM KG m m m= - = - =

Înălţimea metacentrică iniţială avea valoarea:9,5 8,7 0,8GM KM KG m m m= - = - =

Page 147: Statica Navei

_______________________________________________________________________________151

· Modificarea unghiului iniţial de înclinare transversală datoritămodificării valorii înălţimii metacentrice transversale.

'1 0

1

0,82 1,720,93

GMG M

j =j = °× = °

· Înclinarea transversală finală.Datorită operaţiunilor efectuate, nava se va înclina în sens transversal cu unghiul:

''1

1 1

2000 0,18 10,3511900 0,93

PP yrad

G M× -

j = = = - = - °×D

å

Semnul minus indică faptul că înclinarea se face în bordul babord.Înclinarea finală va fi:

' ''1 1 1 1,72 10,35 8,63j = j +j = °- ° =- °

adică o înclinare de 8,63° în bordul babord.

Problema 22O navă cu deplasamentul de 10500 t pluteşte pe carenă dreaptă având7,8KG m= şi 8,5KM m= . Nava ambarcă o masă de 300 t cu 10Kg m= şi 4 m tribord

faţă de PD . Să se calculeze înclinarea finală.

Rezolvare:Este o problemă tipică de ambarcare de greutăţi care se rezolvă după

următorul algoritm:· Noua cotă a centrului de greutate se determină din ecuaţia de momente

statice faţă de PB :( ) 1KG P Kg P KGD + = D + de unde rezultă:

110500 7,8 300 10 7,86

10500 300KG P KgKG m

PD + × + ×

= = =D + +

· Valoarea înălţimii metacentrice transversale rezultate:1 1 8,5 7,86 0,64G M KM KG m m m= - = - =

· Nava se va înclina la tribord cu unghiul j rezultat din egalitatea dintremomentul de înclinare şi momentul de redresare:

( ) 1 tg PP G M P yD + × j = × adică

( ) 1

300 4tg 0,173 9,8510800 0,64

PP yTb

P G M× ×

j = = = Þ j = °×D +

Problema 23

Page 148: Statica Navei

_______________________________________________________________________________152

O navă are pescajele 7pvd m= şi 8ppd m= . Să se distribuie o cantitate demarfă ambarcată de 600 t în două compartimente; primul având ( )1 75LCG m= şi aldoilea având ( )2

130LCG m= , măsurate faţă de perpendiculara pupa, astfel încâtpescajul la pupa să rămână constant. Să se găsească pescajul final la prova. Se maicunosc: 23 / ; 180 / ; 92 ; 180TPC t cm MCT t m cm LCF m L m= = × = = .

Rezolvare:

Metoda ISe calculează variaţia pescajului mediu datorată ambarcării masei 600P t=

de marfă:600 2623

Pd cmTPC

d = = =

Masa P se distribuie în cele două compartimente în cantităţile 1P şi 2P .Această distribuire va trebui să modifice asieta navei astfel încât pescajul la pupasă rămână la valoarea dinainte de ambarcare. Aceasta înseamnă că nava se vaaprova şi în valori absolute ppd dd = d . Variaţiile pescajelor la extremităţi sunt înrelaţia:

pp pvd dLCF L LCFd d

=-

Rezultă:( ) ( ) ( )26 180 92

2592

pppv

d L LCF d L LCFd cm

LCF LCFd - d - -

d = = = =

adică o variaţie de asietă necesară egală cu:51pv ppd d cmd + d =

Cum această variaţie de asietă se datorează maselor 1P şi 2P , găsim:( ) ( )2 1 12 51

P LCG LCF P LCG LCFcm

MCT

é ù- + -é ùë ûë û =

adică:( ) ( )2 1130 92 75 92

51180

P P- + -=

Adăugând ecuaţia:1 2 600P P t+ =

şi rezolvând sistemul, rezultă:1 2248 ; 352P t P t= =

Pescajul final la prova se calculează cu relaţia:' 7 0, 26 0, 25 7,51pv pv pvd d d d m= + d + d = + + =

Metoda II

Page 149: Statica Navei

_______________________________________________________________________________153

Vom înlocui sistemul de mase 1 2,P P cu o singură masă 1 2P P P= + careacţionează într-un punct g situat la distanţa x faţă de F, astfel încât sumaalgebrică a momentelor faţă de centrul de plutire determinat de cele două mase săfie egală cu momentul rezultantei, adică:

( ) ( )2 1 12P LCG LCF P LCG LCF P xé ù- + - =é ùë ûë û

Acţiunea rezultantei situate la distanţa x faţă de F va produce o variaţie aasietei conform relaţiei:

pv ppP x d d

MCT= d + d (1)

în care variaţiile de pescaje la extremităţi sunt considerate în valori absolute.Pescajul mediu se va mări cu valoarea:

PdTPC

d = (2)

Pentru ca pescajul final la pupa să fie egal cu cel iniţial, g trebuie să fiesituat în prova lui F astfel încât nava să se aproveze ca urmare a distribuirii lui Pşi ppd dd = d . Pe de altă parte, între variaţiile pescajelor pvdd şi ppdd există relaţia:

pp pvd dLCF L LCFd d

=-

de unde rezultă:( )

pv

d L LCFd

LCFd -

d = (3)

Înlocuind (3) şi (2) în (1), găsim:180 180 15,31

23 92MCT Lx m

TPC LCF× ×

= = =× ×

Cantităţile de marfă 1P şi 2P sunt soluţii ale sistemului:( ) ( )1 2

1 2

17 38600

P x P xP P

+ = -ìí

+ =îadică:

1 2248 ; 352P t P t= =

Pescajul final la prova:' 600 15,317 7,51

100 180 100pv pvP xd d m

MCT× ×

= + = + =×

Problema 24

Page 150: Statica Navei

_______________________________________________________________________________154

O navă are pescajele 11,48pvd m= şi 12, 26ppd m= . Ea este complet încărcatăîn situaţia ' 11,9pvd m= şi ' 12,10ppd m= . Magaziile de marfă disponibile sunt:

Magazia Nr. 5, ( )530LCG m= , faţă de perpendiculara pupa.

Magazia Nr. 2, ( )2100LCG m= , faţă de perpendiculara pupa.

Se mai cunosc: 120 / , 32 / ; 64 ; 140MCT t m cm TPC t cm LCF m L m= × = = = .Determinaţi cantităţile de marfă ce trebuiesc ambarcate în cele două magazii,

pentru a ajunge în situaţia de navă complet încărcată.

Rezolvare:În situaţia de încărcare dată, pescajul de calcul se calculează cu relaţia:

( ) ( )11,48 12,26tg 12, 26 64 11,903

140pv pp

pp pp

d dd d LCF d LCF m

L

- -= + q = + = + =

Când nava este complet încărcată, aceeaşi valoare se calculează cu formula:( ) ( )' '

' ' ' ' 11,9 12,10tg 12,10 64 12,009

140pv pp

pp pp

d dd d LCF d LCF m

L

- -= + q = + = + =

Pentru a ajunge la situaţia de plină încărcare, rezultă un necesar de marfă:( ) ( )'100 100 12,009 11,903 32 339, 2P d d TPC t= - = - =

Distribuirea cantităţilor de marfă în cele două magazii va trebui să producă ovariaţie a asietei egală cu:

' ' 11,9 11, 48 12,10 12, 26 0,58 58pv pv pp ppd d d d m cm- + - = - + - = =

Vom observa, de asemenea, din valorile pescajelor iniţiale şi finale că nava se vaaprova.

Notăm cu w cantitatea de marfă distribuită în magazia Nr. 2 şi rezultă:( ) ( ) ( )2 5

339, 258

w LCG LCF w LCG LCF

MCT

é ùé ù- + - -ë û ë û =

sau:( ) ( )( )100 64 339, 2 30 64

58120

w w- + - -=

Soluţia acestei ecuaţii este 264,2w t= , distribuite în magazia Nr. 2. Înmagazia Nr. 5 vor fi distribuite 75 t de marfă.

Problema 25O navă are următoarele date iniţiale: 8,37pvd m= ; 8, 29ppd m= ,16,8 / ; 98 / ; 3 ; 100FTPC t cm MCT t m cm x m L m= = × = - = . Din navă se descarcă 150 t

de marfă, dintr-o magazie situată la 45 m spre prova de secţiunea de la mijloculnavei. Calculaţi pescajele finale.Rezolvare:

Page 151: Statica Navei

_______________________________________________________________________________155

Aşa cum cunoaştem, debarcarea de mase se tratează ca o ambarcare de masenegative. Vom calcula însă variaţia pescajului mediu şi a pescajelor la extremităţiîn valori absolute, ţinând cont de semnele lor, la calculul pescajelor finale.

Variaţia pescajului mediu are valoarea:150 8,92 0,08916,8

Pd cm mTPC

d = = =@

Masa P se descarcă din prova centrului de plutire, prin urmare, nava se vaapupa. Variaţia de asietă se calculează cu relaţia:

( ) ( )150 45 373, 47

98P FP x x

d cmMCT

- +D = = =

Variaţiile pescajelor la extremităţi datorate modificării asietei sunt soluţiilesistemului:

2 ;F

pppv pp

L xdd d d

d L

æ ö+ç ÷d è ø= d = D - dD

Adică:( )73,47 50 3

34,53100ppd cm

-d = =

73,47 34,53 38,94pvd cm cm cmd = - =

Pescajele finale sunt:' 8,37 0,089 0,389 7,89pv pv pvd d d d m= -d - d = - - @' 8, 29 0,089 0,345 8,55pp pp ppd d d d m= - d + d = - + @

Problema 26O navă cu deplasamentul 8450 tD = este înclinată cu unghiul 6 Bbj = ° . Se

mai cunosc: 7,8 , 8,5KG m KM m= = . Se ambarcă 250 t balast cu 1,5Pz m= , situatla distanţa de 3,1 m tribord faţă de PD . Să se calculeze înclinarea finală a naveiconsiderând .KM const=

Rezolvare:Se calculează variaţia cotei centrului de greutate al navei datorată ambarcării

masei 250P t= de balast. Centrul acestei mase are coordonatele 3,1Py m= şi1,5Pz m= .

( ) ( ) ( )250 1,5 7,8 0,188450 250P

PKG z KG mP

d = - = - = -D + +

Valoarea cotei centrului de greutate rezultată în urma ambarcării este:( )1 7,8 0,18 7,62KG KG KG m= + d = - =

Înălţimile metacentrice iniţială şi finală se calculează cu relaţiile:

Page 152: Statica Navei

_______________________________________________________________________________156

8,5 7,8 0,7GM KM KG m m m= - = - =

1 1 8,5 7,62 0,88G M KM KG m m m= - = - =

Modificarea stabilităţii navei determină şi modificarea înclinării iniţiale pânăla valoarea 'j , calculată cu formula:

( ) ( )'

1

8450 0,7 6 4,648450 250 0,88

GM BbP G M

D ×j = j = ° = °

+ ×D +

Ambarcarea masei P în tribord va produce o înclinare transversală a naveiîn acelaşi bord cu unghiul:

( ) ( )''

1

180 250 3,1 180 5,88450 250 0,88

PP yTb

P G M× ×

j = × = = °p + × × pD +

Înclinarea finală a navei va fi:'' '

1 5,8 4,64 1,16Tb Bb Tbj =j -j = ° - ° = °

Problema 27O navă cu deplasamentul 12000 tD = , 8, 4KG m= , este înclinată cu unghiul

5j = ° la babord. La bordul navei se ambarcă o cantitate de 600 t de marfă cu10Kg m= , în două compartimente ale căror centre sunt poziţionate faţă de PD

după cum urmează:- compartimentul din tribord la 6 m- compartimentul din babord la 5 mSă se distribuie marfa în cele două compartimente astfel încât nava să revină

pe carenă dreaptă. Se consideră 9,0 .KM m const= =

Rezolvare:Masa 600P t= de marfă ambarcată la 10Kg m= produce o variaţie a cotei

centrului de greutate cu valoarea:

( ) ( ) ( )600 10 8, 4 0,07612000 600

PKG Kg KG mP

d = - = - =D + +

Cota finală a centrului de greutate va fi:( )1 8,4 0,076 8,476KG KG KG m m m= + d = + =

Valorile înălţimilor transversale pentru cele două situaţii sunt:9,0 8, 4 0,6GM KM KG m m m= - = - =

1 1 9,0 8, 476 0,524G M KM KG m m m= - = - =

Schimbarea valorii înălţimii metacentrice transversale va determina şischimbarea valorii înclinării iniţiale la valoarea:

Page 153: Statica Navei

_______________________________________________________________________________157

( ) ( )11

12000 0,6 5 5, 4512000 600 0,524

GMP G M

D ×j = j = ° = °

+D +

Cantitatea de marfă 1P care trebuie ambarcată la tribord este soluţia ecuaţiei:( )

( )[ ]1 1

11

6 600 5P Prad

P G M- -

= jD +

Rezultă:1 330P t= şi 2 270P t=

Problema 28Un cargo are: 13000 , 10,5 , 9,936t KM m KG mD = = = şi încarcă cherestea pe

puntea principală, situată la înălţimea de 12 m faţă de PB . Să se determinecantitatea de cherestea care poate fi încărcată pe punte astfel încât înălţimeametacentrică să nu scadă sub valoarea de 0,5 m .

Rezolvare:Pentru ca la limită înălţimea metacentrică transversală să aibă valoarea

minimă de 0,5 m , rezultă după încărcare o cotă a centrului de greutate al navei:

1 10KG m=

Notăm cu P cantitatea de cherestea ce poate fi încărcată pe punteaprincipală şi în continuare problema se poate rezolva tabelar:

Masa [ ]t [ ],KG Kg m Moment faţă de [ ]LB t m×

13000 9,936 129168P 12,0 12 P

13000+ P 129168+12 P

P este soluţia ecuaţiei:

1129168 12

13000P KG

P+

=+

adică:416P t=

Problema 29O navă are deplasamentul de 62000 t şi 8,0KG m= . Distribuiţi 9108 t de

marfă ambarcată în două magazii având 1 0,59Kg m= şi 2 11, 45Kg m= astfel încâtcota finală a centrului de greutate să fie 1 7,57KG m= .Rezolvare:

Page 154: Statica Navei

_______________________________________________________________________________158

Notând 1P şi 2P cantităţile de marfă distribuite în cele două magazii,problema se poate rezolva tabelar, ca mai jos:

Masa [ ]t [ ],KG Kg m Moment faţă de [ ]LB t m×

6200 8,0 496001P 0,59 0,59 1P

9108- 1P 11,45 11,45 ( )19108 P-

15308 153886,6-10,86 1P

Valoarea lui 1P rezultă din relaţia:1

1153886,6 10,86

15308PKG -

=

adică:1 23500 , 5608P t P t= =

Problema 30O navă cu deplasamentul de 11000 t , 8,7KG m= şi 9,5KM m= are o înclinare

transversală iniţială 2 Tbj = ° . Nava efectuează operaţiunile de:

Încărcare Masa [ ]t [ ]Kg m Distanţa faţă de [ ]PD m

400 10,0 4,5 m Tb600 4,0 6,0 m Bb

Descărcare 100 1,0 2,0 m Tb

Să se găsească înclinarea finală a navei.

Rezolvare:Problema se poate rezolva tabelar ca mai jos.

Masa[ ]t

;KG Kg

[ ]mMoment faţă de LB

[ ]t m×Distanţa faţă de PD

[ ]mMoment Tb

[ ]t m×Moment Bb

[ ]t m×

11000 8,7 95700 -- -- --400 10,00 4000 4,5 m Tb 1800 --600 4,00 2400 6,0 m Bb -- 3600-100 1,00 -100 2,0 m Tb -200 --

11900 102000 1600 3600Cota finală a centrului de greutate este:

Page 155: Statica Navei

_______________________________________________________________________________159

1102000 8,5711900

KG m= =

Înălţimea metacentrică iniţială a fost:9,5 8,7 0,8GM KM KG m m m= - = - =

După ambarcarea şi debarcarea de mase la bord ea îşi va modifica valoarea,ajungând la:

11 9,5 8,57 0,93G M KM KG m m m= - = - =

Înclinarea transversală, iniţială se va modifica la valoarea:

( )'

1

11000 0,8 2 1,5911900 0,93Tb

GM TbP G M

Dj = j = ° = °

D +

Înclinarea finală va fi:

( )'

1

2000 180 8,76Tb

Bb

BbP G M

æ öj = - j = °ç ÷ç ÷pD +è ø

Problema 31O navă cu deplasamentul de 11500 t , 7,5KG m= şi 8,4KM m= este înclinată

4° la tribord. La bordul navei mai trebuiesc încărcate 750 t de marfă. Spaţiiledisponibile au 1 10,5 , 6Kg m m= tribord faţă de PD , 2 8,0 , 4Kg m m= babord faţăde PD . Să se distribuie încărcătura astfel încât în final nava să fie pe carenădreaptă şi să se găsească cota finală a centrului de greutate al navei.

Rezolvare:Problema se poate rezolva tabelar ca mai jos.Notăm cu 1P cantitatea de marfă care se ambarcă în compartimentul 1 .

Masa[ ]t

;KG Kg[ ]m

Moment faţă de LB[ ]t m×

Distanţa faţă dePD [ ]m

Moment Tb[ ]t m×

Moment Bb[ ]t m×

11500 7,5 86250 -- -- --1P 10,5 10,5 1P 6 m Tb 6 1P --

750- 1P 8 6000-8 1P 4 m Bb -- ( )13000 4 P-

12250 92250+2,5 1P 6 1P ( )13000 4 P-

Cota finală a centrului de greutate se calculează cu formula:1

192250 2,5

12250PKG +

=

Iniţial, înălţimea metacentrică transversală era egală cu:8, 4 7,5 0,9GM KM KG m m m= - = - =

Page 156: Statica Navei

_______________________________________________________________________________160

După încărcarea celor 750 t , înălţimea metacentrică, transversală devine:

[ ]1 111

92250 2,5 10650 2,58, 412250 12250

P PG M KM KG m+ -= - =- =

Înclinarea finală se va calcula cu relaţia:

( )( )( )

111

1 1 1

3000 4611500 0,9 180 180410650 2,5 10650 2,5 10650 2,512250

12250 1225012250 12250 12250

PPP P P

-j =°+ -

- - -p p

Egalând 1j , cu 0 rezultă:1 2 1227,7 , 522,3 , 7,577P t P t KG m= = =

Problema 32În timpul reparaţiei capitale la o navă s-a scos motorul auxiliar din tribord

având masa 28P t= , cu centrul de greutate, având coordonatele 1 12,5x m= - ;1 2, 2y m= ; 1 2,8z m= . Să se determine variaţia stabilităţii navei şi poziţia ei în

raport cu suprafaţă liberă a apei, dacă se cunosc următoarele date iniţiale:85,0 ; 9,5 ; 2 ; 2, 4 ; 0,665; 0,775; 1, 4pv pp B WLL m B m d m d m C C GM m= = = = = = =

3110 ; 1,8 ; 1,0 /L FGM m x m t m= = - r = .

Rezolvare:Se calculează deplasamentul navei:

( )2 2, 41 0,665 85 9,5 1181,4

2 2pv pp

B

d dC L B t

+ +æ öD =r = × × × × =ç ÷

è øCum 0,1P < D se va aplica algoritmul de la calculul prezentat în § 27.1"Ambarcarea de mase mici", considerând masa P negativă.

- se calculează variaţia pescajului mediu:28 0,045

1 0,775 85 9,5WL WL

P Pd mA C L B

-d = = = = -

r r × × ×

- se calculează variaţiile înălţimilor metacentrice:

( ) 128 0,0452, 2 2,8 1, 4 0,049

2 1181,4 28 2P dGM d z GM m

Pd -æ ö æ öd = + - - = - - - =ç ÷ ç ÷D + -è ø è ø

( ) 28 110 2,671181,4 28L L

PGM GM mP

-d = = =

D + -- se află noile înălţimi metacentrice:

( )1 1 1, 4 0,049 1,45G M GM GM m= + d = + @

( )11 110 2,67 112,67L L LG M GM GM m= + d = + =

- se determină înclinările navei în plan transversal şi longitudinal:

Page 157: Statica Navei

_______________________________________________________________________________161

( ) ( )1

1 1

28 2, 2tg 0,0368 2,11181,4 28 1, 45

P yrad Bb

P G M- ×

j @ j = = = - = °- ×D +

( ) ( )1 28 12,5 1,8tg 0,0023 0,13

1181, 4 110F

L

P x xrad

GM- - - +

q = = = = °×D

Este evident că în urma operaţiunii, nava se va aprova faţă de poziţia iniţială.Trebuie să ţinem cont că nava era apupată cu unghiul:

' 32 2,4tg 4,7 10 0,2785

pv ppd drad

L-- -

q = = = - × = - °

Unghiul final de înclinare longitudinală este:'

1 0,13 0, 27 0,14q = q+ q = °- ° = - °

- se calculează pescajele finale:

185tg 2 0,045 1,8 0,0023 2,06

2 2pv pv FLd d d x mæ ö æ ö= + d + - q =- + + =ç ÷ ç ÷

è ø è ø

185tg 2,4 0,045 1,8 0,0023 2,26

2 2pp pp FLd d d x mæ ö æ ö= + d - + q =- - - =ç ÷ ç ÷

è ø è ø

Problema 33O navă are 11000 tD = şi 8KG m= . Un tanc de apă paralelipipedic, situat în

dublu fund cu 12 ; 6l m b m= = şi centrul de greutate la 4 m babord faţă de PD ,este parţial umplut cu 72 t de apă dulce. Să se calculeze înclinarea transversală anavei, cunoscând că la deplasamentul de 11072 t nava are cota metacentruluitransversal 9KM m= .

Rezolvare:Înălţimea apei din tanc se calculează cu relaţia:

' 72 112 6 1

Ph ml b

= = =r × ×

Cum tancul de apă dulce este paralelipipedic şi este situat în dublu fund, cotacentrului de greutate unde se ambarcă masa P este:

'

0,52Phz m= =

Variaţia cotei centrului de greutate al navei rezultată în urma ambarcării este:

( ) ( ) ( )72 0,5 8 0,04811000 72P

PKG z KG mP

d = - = - = -D + +

Cota finală a centrului de greutate al navei se calculează cu relaţia:( )1 8 0,048 7,952KG KG KG m m m= + d = - =

Înălţimea metacentrică transversală, corespunzătoare noului deplasamentrezultă din:

Page 158: Statica Navei

_______________________________________________________________________________162

1 1 9 7,952 1,048G M KM KG m m m= - = - =

Corecţia înălţimii metacentrice transversale, datorată influenţei suprafeţeilibere de lichid din tanc este:

( ) ( ) ( )3 3

11 12 6 0,02

12 12 11000 72xi l bG M mP P

r r - × ×d = - = - = @ -

D + D + +

Valoarea finală a înălţimii metacentrice transversale va fi:( )1 1 1,048 0,02 1,028G M G M m m m+ d = - =

Masa P ambarcată la 1 4y m= babord faţă de PD creează un moment deînclinare transversală care determină o înclinare în acelaşi bord cu unghiul j :

( ) ( )1

1 1

72 4sin 0,0253 1, 4511072 1,028

P ytg rad Bb

P G M G M

×j @ j @ j = = = @ °

×é ùD + + dë û

Problema 34O navă are următoarele caracteristici: 10000 , 8,9 , 9,4t KG m KM mD = = =.

Nava ambarcă balast cu densitatea 31,01 /t mr = într-un tanc paralelipipedic cu30 , 20 , 2l m b m h m= = = . Tancul este divizat longitudinal de un perete situat la

jumătatea lăţimii. Cota centrului de greutate al balastului este 0,5Pz m= . Calculaţiînălţimea metacentrică a navei după ambarcarea balastului, considerând

.KM const=

Rezolvare:Din datele problemei rezultă că înălţimea coloanei de lichid din tanc este:

' 2 1Ph z m= =

Cum 'h h< , lichidul are suprafaţă liberă şi va trebui să ţinem cont de efectulnegativ al acesteia atunci când calculăm valoarea finală a cotei centrului degreutate.

Masa de balast ambarcată se calculează cu relaţia:' 1,01 30 20 1 606P l b h t= r = × × × =

Datorită ambarcării masei P , cota centrului de greutate al navei va suferimodificarea:

( ) ( ) ( )606 0,5 8,9 0,4810000 606P

PKG z KG mP

d = - = - = -D + +

Centrul de greutate al navei va avea cota finală:( )1 8,9 0,48 8,42KG KG KG m m m= + d = - =

Influenţa negativă a suprafeţei libere de lichid se va resimţi prin corecţiaaplicată înălţimii metacentrice transversale

Page 159: Statica Navei

_______________________________________________________________________________163

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3

1 2 2 2

1,01 30 20 0, 47612 2 10000 6061 12 1

xi l bG M mm P m P

r r × ×d = - = - = - = -

× × ++ D + + D +

unde m este numărul de pereţi longitudinali dispuşi echidistant, care fragmenteazăsuprafaţa liberă a lichidului din tanc.

Înălţimea metacentrică transversală va avea valoarea finală:( )1 1 9, 4 8,42 0, 476 0,504KM KG G M m m m m- - d = - - =

Problema 35Pentru o navă se cunosc: 10000 , 9,0 , 9,85t KG m KM mD = = =. Nava are patru

"deep tank-uri" distribuite de la tribord la babord fiecare având 14 , 8l m b m= = ,parţial umplute cu ulei de palmier cu densitatea 3

1 1,2 /t mr = . Calculaţi valoareaînălţimii metacentrice, ţinând cont de influenţa suprafeţelor libere de lichid.

Rezolvare:Înălţimea metacentrică transversală necorectată este:

9,85 9,0 0,85GM KM KG m m m= - = - =

Corecţia datorată influenţei suprafeţelor libere de lichid se calculează curelaţia:

( ) 1 xiGM nr

d = -D

unde 4n = este numărul tancurilor în care există suprafaţă liberă, iar3

12xl bi = este

momentul de inerţie al unei suprafeţe libere în raport cu o axă paralelă cu axalongitudinală de înclinare, ce trece prin centrul acestei suprafeţe dreptunghiulare.Prin urmare:

( )31,2 14 84 0, 287

12 10000GM m× ×

d = - = -×

Valoarea finală a înălţimii metacentrice este:( )1 0,85 0,287 0,563G M GM GM m m m= + d = - =

Problema 36O navă are deplasamentul de 14000 t , 11,0 , 12,0KG m KM m= = şi este

înclinată cu 3° la tribord. Un tanc paralelipipedic cu dimensiunile10 , 5 , 1l m b m h m= = = şi centrul de greutate la 7 m în tribord faţă de PD este plin

cu apă dulce. Care va fi înclinarea navei dacă jumătate din apa din tanc va treceîntr-un tanc simetric faţă de PD situat la babord.

Page 160: Statica Navei

_______________________________________________________________________________164

Rezolvare:Masa de apă din tanc este:

2 1,0 10 5 1 50P l b h t= r = × × × =

Jumătate din această masă se deplasează:- vertical cu distanţa: 0,5zl m= -

- lateral cu distanţa: 14yl m= .Deplasarea verticală a masei P va determina o modificare a înălţimii

metacentrice cu valoarea:

( ) ( ) 425 0,5 8,9 1014000

zP lGM KG m-×d = -d = = - = - ×

DLa acestea va trebui adăugată o corecţie negativă, datorată suprafeţelor libere delichid egală cu:

( )3 3

' 2 2 2 1,0 10 5 0,014912 12 14000

xi l bGM mr r × × ×

d = - = - = - = -D D ×

Valoarea finală a înălţimii metacentrice transversale este:( ) ( )' 4

1 12,0 11,0 8,9 10 0,0149 0,986G M KM KG GM GM m-= - - d + d = - + × - =

Înclinarea finală a navei se va calcula cu relaţia:

11 1

180 1 25 14 1803 1,590,986 14000 0,986

yP lGM TbG M G M

×j =j - = ° - × = °

p × pD

Problema 37O navă are deplasamentul de 16700 t , 9, 4 , 10KG m KM m= = . Ea încarcă un

lichid cu densitatea 31 0,9 /t mr = într-un tanc având dimensiunile 10 , 18l m b m= = .

Cota centrului de greutate a lichidului din tanc este 1,0Kg m= . Găsiţi valoareafinală a înălţimii metacentrice transversale considerând .KM const= Tancul are unperete longitudinal despărţitor situat la jumătatea lui b .

Rezolvare:Masa de lichid ambarcată este:

1 2 0,9 10 18 2 1,0 324P l b Kg t= r = × × × × =

Pentru a determina cota centrului de greutate se poate lucra tabelar:

Masa[ ]t

,KG Kg

[ ]mMoment faţă de LB

[ ]t m×

16700 9,4 156980

Page 161: Statica Navei

_______________________________________________________________________________165

Masa[ ]t

,KG Kg

[ ]mMoment faţă de LB

[ ]t m×

324 1 32417024 157304

1157304 9,2417024

KG m= =

În urma ambarcării masei P , înălţimea metacentrică transversală a crescut lavaloarea:

11 10,0 9, 24 0,76G M KM KG m= - = - =

Această valoare va trebui corectată de influenţa negativă a suprafeţelor liberede lichid:

( )( ) ( )

3 31 1

1 2 2

0,9 10 18 0,06512 4 167001 12 1

xi l bG M mn nr r × ×

d = - = - = - = -× ×+ D + D

Valoarea finală a înălţimii metacentrice este:( )1 1 0,76 0,065 0,695G M G M m+ d = - = .

Problema 38O navă cu deplasamentul de 20000 t are 11KG m= . Ea încarcă 500 t de apă

dulce cu 1Kg m= într-un tanc dublu fund care se întinde dintr-un bord în altul şiare 30l m= . Semilăţimile suprafeţei libere a apei din tanc sunt date în tabelul demai jos:

Secţiunea 0 1 2 3 4 5 6

[ ]12

y m 3,3 7,0 8,3 9,4 10,4 11,1 11,6

Să se stabilească înălţimea metacentrică a navei ştiind că cele 7 secţiuni suntechidistante. Cota metacentrului transversal al navei la deplasamentul de 20500 teste 12 m .

Rezolvare:Cota centrului de greutate al navei se determină tabelar:

Masa[ ]t

,KG Kg

[ ]mMoment faţă de LB

[ ]t m×

20000 11 220000

Page 162: Statica Navei

_______________________________________________________________________________166

Masa[ ]t

,KG Kg

[ ]mMoment faţă de LB

[ ]t m×

500 1 50020500 220500

1220500 10,7520500

KG m= =

Înălţimea metacentrică transversală va trebui corectată cu valoarea:

( ) ( )1xiG MP

rd = -

D +

Întrucât suprafaţa liberă are o formă neregulată, calculul momentului deinerţie xi se execută tabelar:

Sect. iy 3iy intå

0 3,3 35,94 01 7,0 343 378,942 8,3 571,79 1293,733 9,4 830,58 2696,14 10,4 1124,86 4651,545 11,1 1367,63 7144,036 11,6 1560,89 10072,55

2 2 306 int 10072,55 16787,583 2 3 12x

l

i

æ öç ÷è ø= = =å

Prin urmare:

( )11,0 16787,58 0,818

20500G M m×

d = - = -

Valoarea finală a înălţimii metacentrice transversale este:( )1 1 12 10,75 0,818 0, 432KM KG G M m= + d = - - =

Problema 39O navă are deplasamentul 2000 tD = . La bord există două tancuri în cele

două borduri, simetrice faţă de PD , cu dimensiunile 6 ; 4l m b m= = . Distanţadintre centrele lor de greutate este 8y m= . Tancurile conţin apă dulce şi ausuprafaţă liberă de lichid. Să se calculeze variaţia înălţimii metacentrice a navei,ţinând cont de influenţa suprafeţelor libere de lichid. Calculul se va face în douăipostaze:

a) tancurile comunică între ele;

Page 163: Statica Navei

_______________________________________________________________________________167

b) tancurile nu comunică între ele.

Rezolvare:a) Dacă tancurile comunică între ele, momentul de inerţie al suprafeţei

plutirii se calculează ca şi când ar fi un singur tanc, în raport cu o axă care treceprin centrul de greutate comun. În cazul de faţă:

( ) ( ) ( ) ( )3 3

2 3 2 3 463 3 8 4 4 83212 12 6 6x

l y b l y b li y b b m+ -

= - = + =× × + =

iar înălţimea metacentrică se micşorează cu valoarea:

( ) 1 832 0, 4162000

xiGM mr ×

d = = =D

b) Dacă tancurile nu comunică între ele:3 3

42 6 42 6412 12xl bi m× ×

= = =

şi înălţimea metacentrică transversală se micşorează cu valoarea:

( ) 1 64 0,0322000

xiGM mr ×

d = = =D

.

Page 164: Statica Navei

_______________________________________________________________________________168

29. CONSIDERAŢII GENERALE DESPRE STABILITATEA NAVEI LAUNGHIURI MARI DE ÎNCLINARE

În studiul stabilităţii iniţiale am considerat nava înclinată cu unghiuri mici.Principala ipoteză simplificatoare pe care am folosit-o a fost aceea că metacentrultransversal rămâne fix în raport cu nava, în timpul acestor înclinări. Aceastaînseamnă că, pentru diferite înclinări izocarene, momentele de inerţie alesuprafeţelor plutirilor în raport cu axa de înclinare rămân constante. S-au pututastfel deduce relaţii de calcul privind valoarea momentului de stabilitate precum şirăspunsul navei la acţiunea cauzelor externe, valabile în limitele 7 ....10j < ° ° .Pentru nave cu bord liber mic, relaţiile obţinute în capitolul anterior îşi pierdvalabilitatea chiar şi pentru unghiuri mai mici.

Când nava se înclină izocarenic la unghiuri mari, momentele de inerţie alesuprafeţelor plutirilor se modifică, razele metacentrice, de asemenea, şi, implicit,poziţia metacentrului transversal, care se va deplasa în spaţiu.

Relaţiile pe care le vom descoperi în acest capitol vor fi utilizate pentrurezolvarea problemelor asociate cu înclinarea transversală, în absenţa înclinărilorlongitudinale ( )0 ; 0j ¹ q = . Adevărul este că, în timpul exploatării navei, laacţiunea unor cauze externe nava se înclină simultan în ambele plane, însăînclinările longitudinale sunt foarte mici în comparaţie cu cele transversale şi potfi neglijate.

Dintre cauzele externe care produc înclinări transversale mari în timpulexploatării navei amintim: acţiunea vântului dintr-un bord, static sau dinamic,tracţiunea cablului de remorcă, forţele care apar în timpul giraţiei etc.

Aşa cum se observă în Fig. 80, la o înclinare transversală cu unghiul j ,centrul de carenă se deplasează din B în Bj . Perpendicular pe suprafaţa liberă vaacţiona forţa de împingere cu punctul de aplicaţie în Bj . Pe suportul acestei forţe,deasupra lui Bj , va fi situat metacentrul transversal Mj . Distanţa B Mj j reprezintăraza metacentrică transversală, corespunzătoare plutirii înclinate cu unghiul j şise calculează cu relaţia:

xIB M r

Vj

j j j= = (29.1)

CAPITOLUL IV. STABILITATEA NAVEI LAUNGHIURI MARI DE ÎNCLINARE

Page 165: Statica Navei

_______________________________________________________________________________169

Fig. 80

În relaţia (29.1) xI j este metacentrul de inerţie al suprafeţei plutirii înraport cu o axă paralelă cu axa x ce trece prin centrul acestei suprafeţe. Distanţade la centrul de greutate al navei G la suportul forţei arhimedice determinămărimea momentului de stabilitate. Acest braţ se notează cu GZ şi poartădenumirea de braţul stabilităţii statice. Valoarea sa depinde de poziţia punctuluiBj .

30. COORDONATELE CENTRULUI DE CARENĂ ŞI ALEMETACENTRULUI TRANSVERSAL

Vom considera o navă înclinată transversal cu unghiul j . În timpulînclinării, centrul de carenă se deplasează din poziţia iniţială ( )0,B KB în poziţia

( ),B BB y zj j j , iar metacentrul în poziţia ( ),m mM y zj j j , Fig. 81.

Fig. 81

Page 166: Statica Navei

_______________________________________________________________________________170

Faţă de această poziţie nava se înclină izocarenic cu unghiul foarte micdj , centrul de carenă ajungând în 'Bj . Cum unghiul de înclinare este consideratfoarte mic, se poate considera că metacentrul transversal rămâne în aceeaşi poziţieşi raza metacentrică transversală îşi păstrează valoarea:

'B M B M rj j j j j= =

Deplasarea centrului de carenă se face după arcul elementar 'BB jj şijjjj drBB ' = (30.1)

Componentele acestei deplasări pe cele două axe sunt:cos ; sindy r d dz r dj j= j j = j j (30.2)

Coordonatele lui Bj se calculează cu relaţiile:

0 0

cos ; sinB By r d z KB r dj j

j j j j= j j - = j jò ò (30.3)

corespunzător, pentru coordonatele metacentrului transversal găsim:sin ; cosm B m By y r z z rj j j j j j= - j = + j (30.4)

Dacă se pleacă de pe carenă dreaptă şi se roteşte nava transversalizocarenic, metacentrul va ocupa o succesiune de poziţii ale căror coordonate sedetermină cu formulele (30.4), descriind o curbă. Această curbă este loculgeometric al centrelor de curbură ale curbei B şi se numeşte evolutămetacentrică.

31. MOMENTUL DE STABILITATE ŞI BRAŢUL STABILITĂŢII PENTRUUNGHIURI MARI DE ÎNCLINARE. STABILITATEA DE FORMĂ ŞI

STABILITATEA DE GREUTATE

Când o nava se înclină transversal cu un unghi j considerat în categoriaunghiurilor mari, păstrându-şi volumul constant, centrul de greutate rămâne înpoziţie fixă faţă de navă (dacă nu au loc deplasări de mase la bord). Odată cumodificarea formei carenei, centrul de carenă se deplasează spre bordul care intrăîn apă, ocupând poziţia Bj . Urmare a modificării suprafeţei plutirii, razametacentrică rj îşi schimbă valoarea, iar metacentrul transversal ocupă poziţiaMj de pe evoluta metacentrică. Direcţia B Mj j va fi perpendiculară pe suprafaţaliberă a apei (Fig. 82).

Momentul cuplului creat de cele două forţe egale în modul, forţa degreutate care acţionează în G şi forţa de împingere arhimedică ce acţionează înBj se vor calcula cu expresia:

s sM g GZ g lj j= D = D (31.1)şi se numeşte moment de stabilitate sau moment de redresare.

Page 167: Statica Navei

_______________________________________________________________________________171

Valoarea sa depinde de valoarea lui GZ care poartă denumirea de braţulstabilităţii statice sau braţul momentului de redresare.

Fig. 82

M este poziţia metacentrului transversal pe carenă dreaptă, iar N esteintersecţia dintre suportul forţei arhimedice şi PD .

Din Fig. 82 se observă că:( )sin sinGZ GN GM MN= j =+ j (31.2)

Ca atare, relaţia (31.1) devine:( ) sin sin sinsM g GM MN g GM g MNj = D + j = D j+ D j (31.3)

Primul termen din relaţia (31.3) este momentul de stabilitate corespunzătorunghiului de înclinare j după formula metacentrică a stabilităţii, adicăpresupunând metacentrul transversal un punct fix ( )M Mjº şi raza metacentricăconstantă. Al doilea termen reprezintă o corecţie datorată modificării razeimetacentrice:

sinsM g MNjd =D j (31.4)şi, corespunzător, o corecţie a braţului de stabilitate:

sinsl MNjd = j

care poate fi negativă sau pozitivă, după cum M este situat deasupra lui N sausub N . Mărimea sM jd se numeşte moment de stabilitate reziduă, iar sl jd poartănumele de braţul stabilităţii rezidue.

Cu referire la Fig. 82, dacă în centrul de carenă iniţial B figurăm douăforţe egale şi de sens contrar, perpendiculare pe suprafaţa plutirii, atunci

Page 168: Statica Navei

_______________________________________________________________________________172

momentul de stabilitate este diferenţa dintre momentele a două cupluri, unulformat de forţele g Vr , având braţul BF şi altul format de forţele g D , avândbraţul BE . Se poate scrie:

s f gM M Mj j j= - (31.5)unde:

fM g V BFj = r (31.6)se numeşte momentul stabilităţii de formă şi:

gM g BEj = D (31.7)poartă denumirea de momentul stabilităţii de greutate.

Fig. 83

Dacă formele navei ar putea fi exprimate analitic, poziţiile punctelor ,B Nj

şi implicit braţul de stabilitate sl j vor putea fi exprimate analitic. Cum formelenavei sunt date "discret" prin puncte, nu putem găsi o exprimare analitică abraţului stabilităţii statice, el fiind reprezentat grafic sau tabelar.

Pentru a calcula braţul stabilităţii statice este necesară determinareacoordonatelor centrului de carenă [formulele (30.3)].Din Fig. 83 găsim:

GZ EF BP PF BE= = + - (31.8)Din triunghiul BPR rezultă:

cos cosBBP BR y j= j = j (31.9)Din triunghiul B RQj rezultă:

Page 169: Statica Navei

_______________________________________________________________________________173

( )sin sinBQB PF RB z KBj j j= = j =- j (31.10)Din triunghiul GEB rezultă:

sinBE BG= j (31.11)Înlocuind ultimele relaţii în (31.8), obţinem:

( )cos sin sins B BGZ l y z KB BGj j j== j+ - j- j (31.12)Revenind la (31.6) şi (31.7), vom observa că:

( )cos sinf B BBF BP PF l y z KBj j j= + = =j+ - j (31.13)

singBE l BGj= = j (31.14)Distanţa fBF l j= se numeşte braţul stabilităţii de formă, iar gBE l j= poartădenumirea de braţul stabilităţii de greutate.Ţinând cont de (31.13) şi (31.14), momentele stabilităţii de formă şi de greutate sepot scrie:

( )cos sinf B BM g V y z KBj j jé ù= r j+ - jë û (31.15)

singM g BGj = D j (31.16)Observând că:

KG KM GM= - şi BG KG KB= - (31.17)după înlocuire în expresia braţului stabilităţii statice (31.12), obţinem:

( )sin cos sins B Bl GM y KM zj j j= j+ j- - j (31.18)într-o altă formă.

32. ÎNĂLŢIMEA METACENTRICĂ GENERALIZATĂ

Vom deriva expresia (31.12) a braţului stabilităţii statice sl j :

( )cos sin sin cos coss B BB B

dl dy dzy z KB BG

d d dj j j

j j= j- j+ j+ - j- jj j j

(32.1)Prin derivarea relaţiilor (30.3) ale coordonatelor centrului de carenă By j şi Bz j

rezultă:

cosBdyr

dj

j= jj

; sinBdzr

dj

j= jj

(32.2)

Substituind relaţiile (32.2) în (32.1), obţinem:

( )sin cos cossB B

dlr y z KB BG

dj

j j j= - j+ - j- jj

(32.3)

La limită, când nava este pe carenă dreaptă 0; sin 0; cos 1, r BMjj = j = j = = şiputem scrie:

Page 170: Statica Navei

_______________________________________________________________________________174

0

sdlBM BG GM

dj

j=

æ ö= - =ç ÷jè ø

(32.4)

ceea ce înseamnă că derivata braţului stabilităţii statice în poziţia iniţială, dreaptăeste egală cu înălţimea metacentrică transversală iniţială.

Dacă analizăm dimensional formula (32.3), constatăm că derivata braţuluistabilităţii statice este o lungime. Vom încerca, în continuare, să dăm ointerpretare grafică relaţiile (32.3).

Fig. 84

Din Fig. 84 observăm că:r B Mj j j=

sinBy PRj j =

( ) cosBz KB QRj - j =

cosBG GEj =

Aşadar:sdl

B M PR QR GE M Z hd

jj j j j= - + - = =

j. (32.5)

33. STABILITATEA DINAMICĂ A NAVEI. BRAŢUL STABILITĂŢIIDINAMICE

Pe perioada exploatării unei nave, forţele perturbatoare care producînclinare pot acţiona în două moduri: static sau dinamic. Când valoarea

Page 171: Statica Navei

_______________________________________________________________________________175

momentului exterior creşte lent în intensitate de la zero până la valoarea maximă,nava înclinându-se cu o viteză unghiulară insesizabilă, avem de-a face cu oacţiune statică asupra navei. Astfel de situaţii apar atunci când nava intră în giraţiecu unghi mic de bandă la cârmă, când se transferă lichide dintr-un bord în altul,când vântul bătând dinspre litoral şi creşte lent intensitatea sau când pasagerii unuipachebot se adună într-un bord în timp îndelungat. În aceste cazuri, nava seînclină lent într-un bord stabilindu-se la unghiul pentru care momentul exterioreste egal cu momentul de stabilitate. Reţinem condiţia de echilibru static:

e sM M= (33.1)Atunci când momentul exterior acţionează cu intensitatea maximă din

primul moment, nava va căpăta o viteză unghiulară de rotaţie în timpul înclinăriideci, o energie cinetică şi nu se va opri la unghiul pentru care momentul destabilitate egalează momentul exterior, datorită inerţiei. Astfel de acţiuni asupranavei sunt de natură dinamică şi ca exemple amintim: nava intră în giraţie cuunghi mare de bandă la cârmă, vântul bate în rafale, ridicarea bruscă a unei sarciniîn cârligul unei macarale sau scăparea ei, smucitura unui cablu de remorcă.

Cu referire la Fig. 85, am reprezentat variaţiile cu unghiul de înclinare j

ale momentului de stabilitate sM j şi momentului exterior de înclinare eM . Până înpunctul A corespunzător unghiului 1j unde se produce egalitatea celor douămomente, nava se roteşte accelerat deoarece e sM M j> .

Ajungând în punctul A , nava are o viteză unghiulară 1jo

şi nu se va puteaopri datorită inerţiei, mişcându-se în continuare decelerat deoarece e sM M j< .Unghiul de oprire este 2j , dar nava este în dezechilibru deoarece s eM Mj > şi vaîncepe să se rotească în sens invers, accelerat până în A şi decelerat după A .Procesul se repetă periodic şi după câteva oscilaţii în jurul punctului A amortizatede apă şi aer, nava se va stabiliza în punctul A pentru care e sM M j= .

Fig. 85

Page 172: Statica Navei

_______________________________________________________________________________176

Unghiul 2j se mai notează cu dj şi se numeşte unghi de înclinaredinamică, adică unghiul maxim la care se înclină nava la acţiunea dinamică a unuimoment exterior.

Aşa cum am stabilit şi vom vedea în continuare, stabilitatea dinamică anavei implică mişcarea acesteia deci, iese din domeniul staticii însă, conformtradiţiei, se studiază la statica navei.

Problema dinamică constă în a ne asigura că mişcările produse de acţiuneaforţelor exterioare nu depăşesc anumite limite peste care unele greutăţi şi-ar părăsipoziţiile iniţiale de fixare şi ar provoca răsturnarea navei.

Rotaţia transversală a navei la acţiunea dinamică a unui moment exterior,este descrisă de ecuaţia diferenţială:

2

2x e sdJ M Mdt jj= - (33.2)

unde xJ este momentul de inerţie masic al navei în raport cu axa de rotaţie. Maideparte putem scrie:

2

2d d d d d d d

dt dt dt dt d ddtj j j j j jæ ö= = = = jç ÷ j jè ø

o o oo

(33.3)

Ca atare, ecuaţia (33.2) devine:

x e sdJ M Md jj

j = -j

oo

(33.4)

Prin integrare între limitele 0j = şi o poziţie intermediară j , rezultă:2

0 02x e sJ M d M d

j j

jj

= j- jò òo

(33.5)

Termenul din membrul stâng reprezintă energia cinetică a navei egală cu diferenţadintre lucrul mecanic al momentului exterior şi lucrul mecanic al momentului de

stabilitate. Nava se va opri la unghiul dj pentru care 0j =o

şi deci:

0 0

d d

e sM d M dj j

jj = jò ò (33.6)

sau:e sL L j= (33.7)

Numim stabilitate dinamică a navei, lucrul mecanic necesar pentru a oînclina după o direcţie oarecare, de la poziţia iniţială presupusă de echilibru stabilla o poziţie izocarenă, definită de înclinare j , fără viteză iniţială şi în mediu calmşi nerezistent.

Deci, stabilitatea dinamică va fi:

Page 173: Statica Navei

_______________________________________________________________________________177

0s sL M d

j

j j= jò (33.8)

şi reprezintă aria de sub curba de stabilitate până la unghiul j (Fig. 86), pe care onumim rezervă de stabilitate dinamică pentru unghiul j . Stabilitatea dinamică,corespunzătoare unghiului de apus aj denumit şi unghi de răsturnare, este rezervatotală de stabilitate dinamică.

Fig. 86

Înlocuind în (33.8) expresia (31.1) a momentului de stabilitate, obţinem:

0s sL g l d

j

j j= D jò (33.9)

Notăm:

0d sl l d

j

j j= jò (33.10)

şi îl numim braţul stabilităţii dinamice, ceea ce înseamnă că:s dL g lj j= D (33.11)

Pentru determinarea expresiei analitice a braţului stabilităţii dinamice seintegrează sl j dat de relaţia (31.12). Aşadar:

( )0

cos sin sind B Bl y z KB BG dj

j j jé ù= j+ - j- j jë ûò

sau:

( )0 0 0

cos sin sind B Bl y d z KB d BG dj j j

j j j= j j+ - j j- j jò ò òsau mai departe:

Page 174: Statica Navei

_______________________________________________________________________________178

( ) ( )0 0

sin sin cos cos cos 1d B B B Bl y dy z KB dz BGj j

j j j j j= j- j - - j+ j + j-ò òAşa cum ştim:

cosBdy rj j= j ; sinBdz rj j= j

şi înlocuind în expresia anterioară, rezultă:( ) ( )sin cos cos 1d B Bl y z KB BGj j j= j- - j+ j- (33.12)

Analizând dimensional expresia braţului stabilităţii dinamice vom observa că semăsoară în metri. În continuare, vom da o interpretare geometrică acestei relaţii(Fig. 87), pentru un unghi de înclinare transversală j . Din această figurăobservăm că:

sinBy PRj j = ; ( ) cosBz KB QRj - j =

cosBG GEj = ; ZF BG=

Fig. 87

Introducând aceste segmente în relaţia (33.12). rezultă:dl B Sj j=

ceea ce înseamnă că braţul stabilităţii dinamice este egal cu deplasarea relativăpe direcţie verticală a centrului de carenă faţă de centrul de greutate.

În finalul acestui paragraf, tragem concluzia că stabilitatea dinamicăreprezintă lucrul mecanic pe care nava îl opune lucrului forţelor exterioare, cu altecuvinte, nava se opune acestor forţe prin momentul de stabilitate. În consecinţă, astudia comportarea navei sub acţiunea forţelor care tind să o scoată din poziţiainiţială, presupusă, de echilibru stabil, înseamnă a considera un moment deînclinare şi reacţiunea opusă de navă prin momentul de stabilitate.

Page 175: Statica Navei

_______________________________________________________________________________179

34. DIAGRAMELE DE STABILITATE STATICĂ ŞI DINAMICĂ.PROPRIETĂŢI

Diagramele de stabilitate sunt curbele care reprezintă momentele saubraţele cuplului de stabilitate ale navei în funcţie de unghiul de înclinare. Ele potfi reprezentate în coordonate polare şi în coordonate carteziene.

Frecvent, în teoria navei se folosesc curbele în coordonate carteziene, carese obţin aşezând în abscise unghiurile de înclinare şi în ordonate braţul stabilităţiistatice sl j sau momentul de stabilitate statică sM j respectiv, braţul stabilităţiidinamice dl j sau lucrul mecanic al momentului stabilităţii statice sL j . În primulcaz, se obţine diagrama stabilităţii statice, iar în al doilea caz, diagramastabilităţii dinamice. Diagrama stabilităţii statice mai poartă numele şi de"diagrama Reed" după numele inginerului englez care a utilizat-o pentrurezolvarea unor probleme practice de stabilitatea navei. Întrucât braţele destabilitate statică şi dinamică au aceeaşi unitate de măsură (respectiv se măsoară înmetri), curbele sl j şi dl j pot fi reprezentate suprapus în acelaşi sistem decoordonate, punând în evidenţă şi legăturile matematice ce există între integralaunei funcţii şi funcţia respectivă, ţinând cont că braţul stabilităţii dinamice dl j esteintegrala curbei braţului stabilităţii statice sl j (Fig. 88).

Fig. 88

Page 176: Statica Navei

_______________________________________________________________________________180

Astfel, unghiul maxj corespunzător punctului de maxim A de pe curba sl j

este şi unghiul pentru care curba dl j are punct de inflexiune (punctul 'A ), iarunghiul de apus aj de pe diagrama stabilităţii statice este unghi de maxim pentrudiagrama stabilităţii dinamice (punctul 'B ). Deoarece în origine 0sl j = , atunci

0' 0dl j j=

= ceea ce înseamnă că dl j pleacă din origine tangentă la axa j .

Aşa cum am arătat în §32, derivata braţului stabilităţii statice pentru ununghi j este egală cu înălţimea metacentrică generalizată, adică:

tgsdlh

dj

j= a =j

(34.1)

iar în origine:

00

tgsdlGM

dj

j=

= a =j

(34.2)

Din punct de vedere trigonometric, înseamnă că funcţia tangentă a unghiului aformat de tangenta în punctul C la curba sl j este egală cu înălţimea metacentrică,generalizată hj şi, asemănător, funcţia tangentă a unghiului 0a este egală cuînălţimea metacentrică transversală iniţială GM . Altfel spus:

tg DECE

a = şi 0tg ABOB

a =

Adoptând segmentele CE şi OB egale cu 1 radian (Fig. 89) va rezulta:h DEj = şi GM AB=

În consecinţă, cu ajutorul diagramei stabilităţii statice se poate determinaînălţimea metacentrică, iniţială printr-o construcţie foarte simplă. Se măsoară peaxa j segmentul 1 57,3OB rad= = ° . Se ridică în punctul B o verticală care seintersectează în punctul A cu tangenta la curba sl j în origine. La scara lui sl j

segmentul AB va fi egal cu GM . După un algoritm asemănător se determinăsegmentul DE hj= . Această proprietate este foarte importantă, pe de-o parte,pentru verificarea calculelor şi, pe de altă, parte pentru verificarea trasăriidiagramei de stabilitate statică.

Page 177: Statica Navei

_______________________________________________________________________________181

Fig. 89O variantă a curbei de stabilitate statică care poate exista în timpul

exploatării navei este prezentată în Fig. 90. Aceasta este o situaţie de stabilitateiniţială, negativă deci, de echilibru instabil. Orice moment exterior va deplasanava în punctul A rămânând "canarisită" cu unghiul 0j .

Fig. 90

În altă ordine de idei, la marea majoritate a diagramelor de stabilitatestatică a navelor de suprafaţă există o zonă liniară în limitele 0 7 ...10£ j £ ° ° , ceeace înseamnă că tangenta în origine se confundă cu curba sl j pe această zonă.Corespunzător, braţul stabilităţii statice se va calcula cu formula:

sinsl GMj = j (34.3)Revenind la formula braţului stabilităţii statice:

( )cos sin sins B Bl y z KB BGj j j= j+ - j- j

vom observa că atunci când nava se înclină la babord avem:

Page 178: Statica Navei

_______________________________________________________________________________182

( ) ( )B By y-j =- j ; ( ) ( )B Bz z-j = j

şi ţinând cont de paritatea funcţiei cosj şi imparitatea funcţiei sinj , rezultă ocontinuare impară a funcţiei sl j în zona negativă a axei j , adică:

( ) ( )s sl l-j =- j (34.4)În consecinţă, graficul sl j are o continuare simetrică faţă de origine când 0j < cupunct de inflexiune în O (Fig. 91).

Fig. 91

Asemănător, se demonstrează că braţul stabilităţii dinamice este o funcţiepară, adică:

( ) ( )d dl l-j = j (34.5)ceea ce înseamnă că graficul dl j are o continuare simetrică faţă de axa ordonateloratunci când 0j < (Fig. 92).

Fig. 92

Page 179: Statica Navei

_______________________________________________________________________________183

Derivata braţului stabilităţii dinamice în raport cu unghiul de înclinare esteegală cu braţul stabilităţii statice:

ds

dll

dj

j = j(34.6)

de aceea, pe diagrama stabilităţii dinamice construită la scară, se poate realiza oconstrucţie grafică pentru determinarea braţului stabilităţii statice (Fig. 93).

O navă înclinată cu unghiul j se găseşte în punctul A de pe diagramastabilităţii dinamice. Pentru a găsi braţul stabilităţii statice la acest unghi semăsoară din punctul ( ), 57,3 1A rad° paralel cu axa j (segmentul AB ), se ridicăîn B o perpendiculară care se intersectează cu tangenta în punctul A la curba dl j

în punctul C . La scara ordonatei sl BCj = . Acest algoritm are la bază următoarelerelaţii matematice:

tg1

ddl BC BC BCd AB

j = b = = =j

(34.7)

Fig. 93

Comparând relaţiile (34.6) şi (34.7), rezultă:sl BCj = (34.8)

În finalul acestui paragraf, facem precizarea că pentru o navă de suprafaţăneavariată, Registrul Naval Român prevede ca max 30j ³ ° şi 60aj ³ ° .

35. COMPORTAREA NAVEI SUB ACŢIUNEA FORŢELOR EXTERNE

Să presupunem că am reprezentat la aceeaşi scară şi pe aceeaşi diagramăcurba momentului de stabilitate sM j şi curba momentului exterior de înclinare

eM care este o funcţie de unghiul de înclinare j (Fig. 94). Din motive lesne deînţeles, am trasat cele două curbe de aceeaşi parte a axei j , deşi eM are sens

Page 180: Statica Navei

_______________________________________________________________________________184

contrar lui sM j . Aşa vom proceda şi în §36 când vom soluţiona cu ajutoruldiagramelor de stabilitate problemele practice care apar în timpul exploatăriinavei.Însumând algebric cele două momente se obţine momentul de stabilitate reziduă:

r s eM M Mj= + (35.1)a cărui variaţie este prezentată în Fig. 94 b. În punctele A şi B de intersecţie alecelor două curbe, momentul de stabilitate reziduă este nul şi poziţiile respectivesunt de echilibru. Mai precis, poziţia înclinată cu unghiul sj este o poziţie deechilibru stabil pentru că, pe de-o parte, panta în punctul 'A la curba de stabilitatereziduă este pozitivă, iar, pe de altă parte, odată adusă nava în punctul A , fărăviteză, ea rămâne şi revine în această poziţie, chiar dacă nava capătă înclinărielementare într-un sens sau altul. Aplicând acelaşi tip de raţionament, sedemonstrează că în punctul B nava este în echilibru nestabil, panta în punctul 'Bla curba de stabilitate reziduă fiind negativă.

Plecând însă din poziţia iniţială, în care viteza unghiulară de rotaţie estenulă, nava se va înclina căpătând viteza unghiulară astfel încât, la un moment dat,energia cinetică va fi egală cu diferenţa dintre lucrul mecanic al momentuluiexterior şi lucrul mecanic al momentului de stabilitate. Acest rezultat estecunoscut în Mecanică sub numele de teorema de variaţie a energiei cinetice.Pentru înclinarea j , energia cinetică de rotaţie a navei este egală cu aria ODEF . Înconsecinţă, nava va ajunge în punctul A corespunzător poziţiei de echilibru stabil,va avea energie cinetică egală cu aria ODA , o va depăşi şi se va opri când energiase va anula, respectiv lucrul mecanic al momentului de stabilitate egalează lucrulmecanic al momentului exterior. Aceasta se poate întâmpla pentru un unghi

d Bj < j pentru care:

0 0

d d

e sM d M dj j

jj = jò ò (35.1)

ceea ce înseamnă că ODA AGH=aria aria (Fig. 94 a) sau aria închisă de curba destabilitate reziduă (Fig. 94 b) trebuie să fie nulă adică ''''' HGAariaAODaria = .

Page 181: Statica Navei

_______________________________________________________________________________185

Fig. 94

Unghiul dj la care se realizează această egalitate se numeşte unghi deechilibru dinamic.

Poziţia înclinată cu dj nu este o poziţie de echilibru static întrucât nava seaflă sub acţiunea unui moment de stabilitate reziduă 0rM > şi se va redresaneputându-se opri în punctul A , datorită acumulării de energie cinetică. Teoretic,mişcarea oscilatorie în jurul punctului A ar continua nelimitat în timp, însăenergia cinetică este consumată de rezistenţa mediului, care se opune mişcării,oricare ar fi sensul ei şi mişcarea se va amortiza treptat, nava oprindu-se, în celedin urmă, în această poziţie.

Dacă însă unghiul de înclinare dinamic nu respectă condiţia d Bj £ j ,atunci nava se va răsturna iremediabil sub acţiunea momentului exterior deînclinare.

36. PROBLEME PRACTICE CARE APAR ÎN TIMPUL EXPLOATĂRIINAVEI ŞI CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL DIAGRAMEI DE

STABILITATE

În timpul exploatării navei apar diverse probleme care pot fi rezolvate cuajutorul diagramelor de stabilitate statică şi dinamică. Se consideră o navă a căreidiagramă a stabilităţii statice este cunoscută. Nava este supusă unui moment

Page 182: Statica Navei

_______________________________________________________________________________186

exterior de înclinare eM a cărui valoare nu depinde de unghiul de înclinare(Fig.95).

Fig. 95

Se aşează pe ordonată la scara momentului de stabilitate valoareamomentului exterior şi se construieşte o orizontală care reprezintă variaţia ( )eM j .Punctul A de intersecţie al celor două momente este punctul de echilibru static, cualte cuvinte, dacă acţiunea externă este statică, nava se stabilizează în punctul A ,iar unghiul corespunzător acestei poziţii este unghiul static de înclinare sj .

Când diagrama stabilităţii statice este prezentată sub forma variaţieibraţului stabilităţii statice sl j (Fig. 96), aceeaşi problemă se rezolvă aşezând pe

ordonată lungimea eMg D

şi ducând o orizontală până ce intersectează curba sl j în

punctul A . Corespunzător acestui punct, citim pe abscisă unghiul static deînclinare sj . Aşa cum am arătat în §35, pentru ca o navă să se încline cu unghiul

sj şi să rămână în acea poziţie, trebuie ca momentul exterior să aibă o creşterefoarte lentă în intensitate.

Page 183: Statica Navei

_______________________________________________________________________________187

Fig. 96

În contrast, o acţiune dinamică se caracterizează prin faptul că momentulexterior este aplicat cu intensitate maximă din primul moment sau după o lege devariaţie care-i asigură atingerea valorii maxime într-un timp foarte scurt. Înaceastă situaţie, nava se înclină cu viteză unghiulară, căpătând energie cinetică.Viteza unghiulară la un moment dat se calculează cu relaţia:

2

0 0

2e s

xM d M d

J

j j

j

é ùê új = j- jê úë ûò ò

o

(36.1)

Relaţia (36.1) arată că rotaţia navei continuă atâta timp cât 0j >o

şi se va opri când

0j =o

, respectându-se condiţia:

0 0

d d

e sM d M dj j

jj = jò ò (36.2)

Unghiul pentru care lucrul mecanic al momentului exterior0

d

eM dj

jò este egal cu

lucrul mecanic al momentului de stabilitate0

d

sM dj

j jò este unghiul dinamic de

înclinare dj . Dacă eM este constant, putem scrie:

0

d

e d sM M dj

jj = jò (36.3)

Situaţia este ilustrată în Fig. 97. Membrul drept al relaţiei (36.3) e dM j

este egal cu aria OBDE , iar membrul drept0

d

sM dj

j jò este egal cu aria OACDE .

Observând că aria OADE este comună, rezultă că nava se va opri atunci când:OBA ACD=aria aria .

Din figură observăm că întotdeauna d sj > j .Dacă nava se înclină dinamic în limita unghiurilor mici de înclinare, am arătat căputem accepta o variaţie liniară a momentului de stabilitate de forma:

sM g GM kj = D j = j (36.4)unde k este coeficientul de stabilitate. În consecinţă, relaţia (36.3) devine:

2

02

dd

e dk

M k dj

jj = j j =ò (36.5)

de unde: 2 ed

Mk

j = (36.6)

Page 184: Statica Navei

_______________________________________________________________________________188

Fig. 97

Când un moment exterior de aceeaşi mărime acţionează static, unghiul static deînclinare se determină din condiţia:

s eM Mj = sau s ek Mj = (36.7)de unde:

es

Mk

j = (36.8)

comparând relaţiile (36.8) şi (36.6), se observă că atunci când momentul destabilitate are o variaţie liniară, iar momentul de înclinare este constant, atunci:

2d sj = j (36.9)Cu ajutorul diagramei stabilităţii statice se poate determina valoarea

maximă a momentului exterior, dinamic pe care nava poate să-l suporte fără să serăstoarne (Fig. 98).

Valoarea limită a acestui moment exterior lM se obţine din condiţia ca:OBA ADC=aria aria .

În acest caz, nava se va opri în punctul C , în poziţia de echilibru instabil, înclinatăcu dj . Orice moment exterior suplimentar va răsturna nava.

Page 185: Statica Navei

_______________________________________________________________________________189

Fig. 98

Putem face în continuare următoarea discuţie:e lM M< - nava se va stabiliza la înclinarea sj după efectuarea câtorva

oscilaţii amortizate;e lM M> - nava se răstoarnă sub acţiunea momentului exterior dinamic de

înclinare.Considerăm că nava este înclinată cu unghiul 0j sub acţiunea momentului

exterior 0eM , aflându-se în punctul A de pe diagrama stabilităţii statice. O astfelde situaţie poate apărea în timpul exploatării navei atunci când se fac transferuride greutăţi la bord sau când nava este supusă acţiunii vântului. Suplimentar,acţionează momentul exterior 1eM (Fig. 99) static sau dinamic. Diagramastabilităţii statice pentru nava înclinată cu unghiul 0j îşi are originea în punctulA . Dacă 1eM acţionează static, atunci nava ajunge în punctul B de pe diagramastabilităţii statice corespunzător unghiului static de înclinare sj . Când 1eMacţionează dinamic, unghiul de înclinare dinamică se determină din condiţia:

ACB BDE=aria aria

Page 186: Statica Navei

_______________________________________________________________________________190

Fig. 99

În aceeaşi situaţie, momentul limită de înclinare dinamică 1lM se determină dincondiţia (Fig. 100):

ACB BDE=aria ariaşi este mai mic decât momentul limită dinamic pe care poate să-l suporte navadacă ar fi pe carenă dreaptă, întrucât rezerva de stabilitate dinamică este mai mică.

Fig. 100

Dacă nava este înclinată la babord deci 0eM acţionează în bordul opus,problema calculării unghiurilor de înclinare statică şi dinamică, la acţiuneamomentului exterior 1eM în sens opus lui 0eM , se rezolvă măsurând 1eM având careferinţă 0eM (Fig. 101). Dacă 1eM acţionează static, nava se înclină ajungând înpunctul C înclinată cu unghiul sj . Unghiul dj se determină din condiţia:

ABC CDEF=aria aria .

Page 187: Statica Navei

_______________________________________________________________________________191

Fig. 101

Problemele legate de determinarea unghiului de înclinare dinamică serezolvă destul de greu utilizând diagrama stabilităţii statice, datorită planimetrăriidificile a suprafeţelor despre care am vorbit. Mult mai uşor şi mai precis, înacelaşi timp, se rezolvă aceste probleme utilizând diagrama stabilităţii dinamice.Presupunând momentul exterior de înclinare constant .eM const= , lucrul mecanical momentului exterior de înclinare se scrie:

0e e eL M d M

j

= j = jò (36.10)

Fig. 102adică o dreaptă care trece prin origine cu panta egală cu eM . Pentru a reprezentaaceastă dreaptă se măsoară din origine pe axa j 1 57,3rad = ° , (Fig. 102) şi peperpendiculara dusă în punctul A segmentul eAB M= . Unind originea sistemuluide axe O cu B , se obţine dreapta ce reprezintă variaţia ( )eL j .

Page 188: Statica Navei

_______________________________________________________________________________192

Se consideră o navă a cărei diagramă a stabilităţii dinamice este cunoscută(Fig. 103) şi este supusă acţiunii dinamice a unui moment exterior constant eM .Condiţia de echilibru dinamic, aşa cum am arătat, este:

s eL Lj = (36.11)

Fig. 103

Suprapunând graficele celor două mărimi construite la aceeaşi scară, unghiul deînclinare dinamică va fi unghiul corespunzător punctului A de intersecţie a celordouă grafice (Fig. 103). Dacă un moment eM de aceeaşi valoare acţionează static,unghiul static de înclinare sj se determină din condiţia:

s eM Mj =

Pe de altă parte:s

sdL

Md

jj =

j; e

edL

M tgd

= = aj

Condiţia de echilibru static se rescrie:sdL

tgd

j = aj

(36.12)

ceea ce înseamnă că pe curba sL j trebuie determinate punctele în care tangentelela curba sL j sunt paralele cu dreapta eL . Acestea sunt punctele B şi C şicorespunzător unghiurile 1sj şi 2sj , prima poziţie fiind de echilibru stabil, iar adoua de echilibru instabil.

Tot utilizând diagrama stabilităţii dinamice, se poate determina valoareamaximă a momentului exterior dinamic (momentul limită) pe care poate să-lsuporte nava fără să se răstoarne. Această construcţie este prezentă în Fig. 104.

Din originea sistemului de coordonate se construieşte tangenta la curbasL j . Punctul de tangenţă este A , unde se realizează echilibrul dinamic ce

corespunde unghiului dinamic de înclinare dj .

Page 189: Statica Navei

_______________________________________________________________________________193

Fig. 104

Segmentul corespunzător unghiului de 1 radian măsurat de la tangentă la axa j

reprezintă la scară momentul limită căutat.Orice dreaptă situată deasupra acestei tangente va reprezenta lucrul

mecanic al unui moment exterior şi nu va intersecta curba lucrului mecanic almomentului de stabilitate sL j . Aceasta înseamnă că nu se realizează condiţia destabilitate dinamică şi nava se va răsturna.

Fig. 105Când nava este înclinată iniţial cu unghiul sj poziţia de pe diagrama

stabilităţii dinamice este punctul A . Dacă în sensul înclinării acţionează dinamicun moment exterior 1eM , modul de determinare al unghiului dinamic de înclinare

dj este reprezentat în Fig. 105. Tot aici găsim şi modul de determinare amomentului limită pe care îl suportă nava în această situaţie. Facem totuşi

Page 190: Statica Navei

_______________________________________________________________________________194

precizarea că 0eM corespunde tangentei în punctul A la curba sL j , iar lM

corespunde tangentei duse din punctul A la curba sL j .Dacă nava are o înclinare iniţială într-un bord, atunci determinarea

momentului limită pe care poate să-l suporte nava fără a fi răsturnată în bordulcelălalt, este arătată în Fig. 106.

Fig. 106

În timpul exploatării navei apare deseori situaţia când valurile mării agitateşi vântul în rafale acţionează simultan asupra navei. Acţiunea valurilor semanifestă prin mişcările oscilatorii pe care le execută nava. Un astfel de studiueste extrem de complex datorită neliniarităţii ecuaţiilor care sunt conţinute înmodelul matematic, precum şi datorită calculului dificil al coeficienţilorhidrodinamici care apar. De aceea, se utilizează o metodă mult mai simplă, dar şimult mai relativă, prevăzută de Registrul Naval Român şi denumită ”Criteriul devânt ". Se presupune că momentul de înclinare dat de vânt se aplică dinamic şirămâne constant pe timpul înclinării. Se numeşte suprafaţă velică aria proiecţiilorpe planul diametral al suprafeţelor situate deasupra liniei de plutire a navei înpoziţie dreaptă. Braţul velic este înălţimea la care se află centrul velic (centrul degreutate al suprafeţei velice) deasupra liniei de plutire (Fig. 107). Forţa dată devânt este egală cu produsul dintre presiunea vântului ( )vp şi aria suprafeţei velice

vA . Valorile presiunii de calcul a vântului se iau conform prescripţiilor R.N.R., înfuncţie de zona de navigaţie şi de braţul velic. Momentul dinamic dat de vânt esteegal cu produsul dintre forţa vântului şi valoarea braţului velic:

v v v vM p A Z= (36.13)Dacă vântul ar acţiona static şi momentul provocat de acesta ar fi de aceeaşinatură şi se va calcula cu relaţia:

Page 191: Statica Navei

_______________________________________________________________________________195

2vs v v vdM p A Zæ ö= +ç ÷

è ø(36.14)

deoarece pe suprafaţa imersă a bordului opus acţiunii vântului va apărea o forţăhidrodinamică egală şi de sens contrar lui vF , care se opune derivei. Punctul deacţiune al acestei forţe este situat la jumătatea pescajului. Prevederile R.N.R.indică faptul că presiunea de calcul a vântului este maximă pentru navele cu zonăde navigaţie nelimitată, deci acestea trebuie să aibă cea mai mare rezervă destabilitate dinamică. Cele mai uşoare condiţii hidro-meteorologice se aleg pentrunavele costiere care se pot retrage în timp scurt la adăpost, într-un port.

Fig. 107

Situaţia cea mai defavorabilă este când nava execută o mişcare de ruliunatural, a atins amplitudinea rj , calculată conform prescripţiilor R.N.R. şi segăseşte în bordul din vânt.

R.N.R., la capitolul "Stabilitate", prevede că stabilitatea navelor seconsideră eficientă după criteriul de vânt k , dacă momentul de înclinare produs deacţiunea vântului vM , aplicat dinamic, este egal sau mai mic decât momentullimită (momentul de răsturnare), adică dacă sunt îndeplinite condiţiile:

v lM M£ (36.15)sau:

1,00l

v

Mk

M= ³ (36.16)

Pentru a verifica această condiţie se procedează ca în Fig. 108. Se prelungeştediagrama stabilităţii dinamice în zona negativă a unghiurilor de înclinare şi semăsoară rj , stabilindu-se punctul A de pe diagramă care corespunde naveiînclinate la babord cu unghiul rj . Din punctul A se măsoară paralel cu axa j

segmentul 1AC radian= , iar pe verticala dusă în punctul C se aşează la scarăsegmentul CD egal cu momentul dat de vânt. Segmentul AD reprezintă variaţialucrului mecanic al momentului dat de vânt care se intersectează cu lucrul

Page 192: Statica Navei

_______________________________________________________________________________196

mecanic al momentului de stabilitate în punctul B . Abscisa acestui punctdetermină unghiul de înclinare dinamică dj .

Fig. 108

Pentru a determina momentul limită (momentul de răsturnare) pe carepoate să-l suporte nava, se construieşte din punctul A tangenta AF la curba sL j şise măsoară segmentul CE egal cu momentul limită (Fig. 108).

Odată obţinute valorile acestor momente, se verifică dacă sunt îndeplinitenormele (36.15) sau (36.16) ale Registrului Naval Român.

37. MODIFICAREA DIAGRAMEI DE STABILITATE STATICĂ LADEPLASAREA ŞI AMBARCAREA DE GREUTĂŢI LA BORDUL NAVEI

Deplasarea de greutăţi implică modificarea poziţiei centrului de greutate alnavei. Se consideră la bord o masă 0,1P < D care se deplasează din punctul( ), ,A x y z în ( )1 1, ,B x y z , adică o deplasare în plan transversal. Ca o consecinţă,

centrul de greutate al navei se va deplasa pe direcţiile axelor y şi z cu valorile:

( )1GPy y yd = -D

; ( ) ( )1PKG z zd = -D

(37.1)

Braţul stabilităţii statice corespunzător unghiului de înclinare transversală j sereduce de la valoarea sl GZj = la valoarea 1 1 1sl G Zj = , aşa cum se observă înFig.109. Reducerea valorii acestui braţ de stabilitate se calculează cu relaţia:

( ) ( )1 1sl G Z GZ GP PQjd = - =- + (37.2)

Page 193: Statica Navei

_______________________________________________________________________________197

Fig. 109

Din Fig. 109 observăm că:( ) sinGP KG= d j ; cosGPQ y= d j (37.3)

ceea ce înseamnă că relaţia (37.2) se poate rescrie:

( ) ( ) ( ) ( )1 1sin cos sin coss GPl KG y z z y yj

é ùd =- d j+ d j =- - j+ - jé ùë ûë û D(37.4)Plecând de la relaţia (37.4) se poate particulariza pentru deplasări singulare

ale masei P , pe direcţiile axelor y şi z . Astfel, dacă deplasarea se face numai pedirecţie verticală 0Gyd = , rezultă:

( )1 sinsPl z zjd =- - jD

(37.5)

şi pentru poziţia iniţială ( )0 0sl jj = d = . Când deplasarea are loc numai pe direcţieorizontală, ( ) 0KGd = şi:

( )1 cossPl y yjd =- - jD

(37.6)

Pentru poziţia iniţială ( )0j = , rezultă:

( )1sPl y yjd =- -D

(37.7)

Să presupunem în continuare că la bordul navei se ambarcă o masă( ),0,F pP x z , deci în planul diametral, respectându-se condiţia 0,1P < D . Dacă

acceptăm că în zona plutirii bordurile navei sunt verticale, atunci la variaţiapescajului, forma şi aria plutirii nu se modifică şi putem scrie:

Page 194: Statica Navei

_______________________________________________________________________________198

( ) ( )1BM BM

PD

=D +

(37.8)

şi, de asemenea, noile coordonate ale centrului de carenă corespunzător unghiuluij de înclinare se vor calcula cu relaţiile:

1B By yPj j

D=D +

(37.9)

( )1 1B Bz KB z KBPj j

D- = -

D +(37.10)

Substituind aceste relaţii în expresia braţului stabilităţii de formă, obţinem:

1f fl lPj j

D=D +

(37.11)

ceea ce înseamnă o variaţie a braţului stabilităţii de formă:

1f f f fPl l l l

Pj j j jd = - = -D +

(37.12)

Ţinând cont că:BG KG KB= - (37.13)

rezultă:

( ) ( ) ( ) 2 pP dBG KG KB d BG z

Pdæ öd = d -d = - + + -ç ÷D + è ø

(37.14)

unde dd reprezintă variaţia pescajului mediu datorită ambarcării masei P şi secalculează cu relaţia:

WL

PdA

d =r

.

Ca atare, braţul stabilităţii de greutate se va modifica cu valoarea:

sin2g p

P dl d BG zPj

dæ öd =- + + - jç ÷D + è ø(37.15)

Atunci când masa P nu este ambarcată în . .P D , ci într-un punct situat ladistanţa py de acesta, va trebui să mai introducem o corecţie yld datoratădeplasării centrului de greutate înspre bordul în care s-a efectuat ambarcarea.

cosy pPl y

Pd =- j

D +(37.16)

În concluzie, variaţia braţului stabilităţii statice datorită ambarcării maseiP este suma a trei termeni:

s f g yl l l lj j jd = d -d + d (37.17)sau în urma substituirilor:

sin cos2s p s p

P dl d z l yPj jé d ùæ öd = + - j- - jç ÷ê úD + è øë û

(37.18)

Debarcarea de mase va fi tratată ca o ambarcare a unei mase negative.

38. CONSTRUCŢIA ŞI UTILIZAREA DIAGRAMEI DE PANTOCARENE

Page 195: Statica Navei

_______________________________________________________________________________199

Din §31 se cunoaşte expresia braţului stabilităţii statice pentru unghiurilede înclinare:

( )cos sin sins B B f gl y z KB BG l lj j j j j= j+ - j- j= - (38.1)În relaţia (38.1) fl j reprezintă braţul stabilităţii de formă şi gl j este braţulstabilităţii de greutate. Scriind:

BG KG KB= - (38.2)şi introducând în (38.1) obţinem:

' 'cos sin sins B B f gl y z KG l lj j j j j= j+ j- j = - (38.3)unde 'fl j şi 'gl j sunt tot braţele stabilităţii de formă, respectiv de greutate, darscrise în altă manieră. Cele două braţe ale stabilităţii de formă se pot vedea înFig.110.

Fig. 110

În timpul exploatării, nava se găseşte în diferite situaţii de încărcare situateîntre deplasamentul navei goale şi deplasamentul de plină încărcare. Braţulstabilităţii de formă depinde atât de deplasamentul navei, cât şi de formeleacesteia. Întrucât este extrem de laborios să se determine prin calcul braţulstabilităţii de formă 'fl j , pentru toate situaţiile de încărcare, în faza de proiectarese vor construi diagramele de forma ( )' ,fl f Vj = j denumite şi diagramele depantocarene.

Procedura de realizare a lor este următoarea. Se stabilesc limitele devariaţie ale volumului carenei care sunt, pe de o parte, volumul corespunzătordeplasamentului gol 0V şi volumului corespunzător deplasamentului de plinăîncărcare pV , ca limită superioară, pe de altă parte. Se divide acest interval,alegându-se câteva valori ale volumului carenei 1 2 1, , ... pV V V - egal distanţate întreele, adică:

Page 196: Statica Navei

_______________________________________________________________________________200

1 . 1, 2, ...i iV V const i p-- = = .Corespunzătoare fiecărui volum, 0 1, , ... pV V V , din diagramele de carene drepte sescot pescajele 0 1, , ... , pd d d . Pentru fiecare din aceste pescaje se calculează braţelestabilităţii de formă 'fl j pentru j în limitele de la 0 90° °la , din 10° în 10° . Unindpunctele ce reprezintă braţele stabilităţii de formă pentru diferitele volume decarenă, dar acelaşi unghi de înclinare, se obţin diagramele de pantocarene (Fig.111).

Fig. 111

Modul de lucru cu diagrama de pantocarene este următorul. Într-o anumităsituaţie de exploatare a navei se doreşte trasarea diagramei de stabilitate statică.Pentru aceasta se măsoară pvd şi ppd la scările de pescaj şi, intrând cu acestevalori în "diagrama de asietă", rezultă V care se măsoară pe abscisa diagramei depantocarene. Ridicând o perpendiculară în punctul corespunzător lui V şiintersectând cu curbele 'fl j pentru .constj = , se obţin braţele stabilităţii de formă

'10 '20 '90, ...f f fl l l° ° ° . Cunoscând distribuţia de mase la bord, pentru situaţiarespectivă de încărcare se calculează braţele stabilităţii statice cu relaţia:

' sins fl l KGj j= - j (38.4)Cunoscând braţele sl j , se trasează diagrama de stabilitate statică şi diagrama destabilitate dinamică dl j , putându-se rezolva probleme practice care apar (vezi§36).

În unele cazuri, diagramele de pantocarene sunt prezentate în forma( ),fl Vj , adică se prezintă braţele stabilităţii de formă, calculate în raport cu

centrul de carenă corespunzător volumului V . În astfel de situaţii, procedura de

Page 197: Statica Navei

_______________________________________________________________________________201

calcul a lui sl j este puţin mai greoaie, în sensul că necesită determinareasuplimentară a cotei centrului de carenă KB din diagrama de carene drepte.

Să derivăm în continuare, în raport cu volumul, expresia braţuluistabilităţii de formă:

( )cos sinf B Bl y z KBj j j= j+ - j (38.5)

( )cos sin

Bf B d z KBdl dydV dV dV

jj j -= j+ j (38.6)

Pentru calculul derivatelor care apar în formula (38.6) se utilizează relaţiile:

0

1 cosB xy I dV

j

j j= j jò

0

1 sinB xz KB I dV

j

j j- = j jòunde, cu xI j am notat momentul de inerţie al suprafeţei plutirii înclinată cuunghiul j , în raport cu axa de înclinare. Derivând în raport cu volumul carenei,obţinem:

0 02

cos cosxx

B

dIV d I d

dVdydV V

j jj

jj

j j- j j

=ò ò

sau:

0

1 cosBT B

dyd y

dV V

jj

j

é ùê ú= r j j-ê úë ûò (38.7)

Aşa cum ştim din §22, prin Tr am notat raza metacentrică diferenţială,transversală care se calculează cu formula (22.11). Asemănător:

( ) 0 02

sin sinxx

B

dIV d I d

dVd z KB

d V

j jj

jj

j j- j j-

=j

ò ò

sau:( ) ( )

0

1 sinB

T B

d z KBd z KB

d V

jj

j

é ù-ê ú= r j j- -

j ê úë ûò (38.8)

În §22 am arătat că raza metacentrică diferenţială reprezintă raza de curbură acurbei centrelor de plutire, aşa cum raza metacentrică transversală B Mj j era razade curbură a curbei centrelor de carenă. Prin analogie, putem scrie:

0

cosF Ty dj

j = r j jò (38.9)

Page 198: Statica Navei

_______________________________________________________________________________202

0

sinF Tz d dj

j - = j j jò (38.10)

Introducem (38.9) în (38.7) şi (38.10) în (38.8) şi rezultă:

( )1BF B

dyy y

dV Vj

j j= - (38.11)

şi:( ) ( ) ( )1B

F B

d z KBz z d KB

dV Vj

j j

-é ù= - - -ë û (38.12)

Mai departe, introducem (38.11) şi (38.12) în (38.6) şi obţinem:

( ) ( ) ( ){ }1 cos sinfF B F B

dly y z d z KB

dV Vj

j j j jé ù= - j+ - - - jë û

(38.13)Ţinând cont de forma generală a braţului stabilităţii de formă (38.5), putem scrieprin analogie:

( )cos sinF F Fy z dj jl = j+ - j (38.14)şi reprezintă distanţa măsurată pe direcţia plutirii înclinate cu unghiul j , dintrecentrul acestei plutiri şi centrul plutirii iniţiale (Fig. 112). Ţinând cont de (38.14)şi (38.5), relaţia (38.13) devine:

( )1fF f

dll

dV Vj

j j= l - (38.15)

Fig. 112

Page 199: Statica Navei

_______________________________________________________________________________203

Fig. 113

Această relaţie capătă o semnificaţie geometrică utilizând diagrama depantocarene (Fig. 113). Pentru un volum de carenă dat V şi un unghi j vomobţine punctul A . În punctul A construim tangenta la curba fl j şi măsurăm peabscisă un segment AC egal la scară cu V .

1tg BC BCVAC

b = =

Prin urmare:F fBC lj j= l - .

39. EFECTUL MODIFICĂRII DIMENSIUNILOR PRINCIPALE ALENAVEI ASUPRA STABILITĂŢII

Considerăm că nava suferă modificări în limite mici ale dimensiunilorprincipale , ,L B D , fără ca formele navei să fie afectate, ceea ce înseamnă că nava

îşi păstrează valorile iniţiale ale coeficienţilor de fineţe şi ale rapoartelor dD

şi

KGD

. Presupunem, de asemenea, că atunci când una din dimensiuni se modifică

celelalte rămân constante. A studia efectul dimensiunilor principale asuprastabilităţii navei înseamnă a studia efectul asupra a două elemente: înălţimeametacentrică transversală, iniţială şi braţul stabilităţii la unghiuri mari de înclinare.

Aspectul matematic

Vom porni de la expresia (18.5) a înălţimii metacentrice transversaleiniţiale:

Page 200: Statica Navei

_______________________________________________________________________________204

GM BM KB KG= + -pe care o diferenţiem şi găsim:

( ) ( ) ( ) ( )GM GM GMGM L B d

L B d

¶ ¶ ¶d = d + d + d

¶ ¶ ¶(39.1)

Prelucrând informaţiile legate de centrul de greutate al navei, centrul de carenă şiraza metacentrică transversală, prezentate în capitolele II şi III, putem scrierelaţiile:

2

1BBMd

= a ; 2KB d= a ; 3KG d= a (39.2)

de unde se observă independenţa acestor mărimi în raport cu lungimea navei L .Rezultă:

( )0

GM

L

¶=

¶(39.3)

Asemănător:( ) ( ) ( ) ( )GM BM KB KG

B B B B

¶ ¶ ¶ ¶= + -

¶ ¶ ¶ ¶(39.4)

Din relaţiile (39.2), derivând parţial în raport cu lăţimea navei, obţinem:( ) ( ) ( )

12 ; 0 ; 0BM KB KGBB d B B

¶ ¶ ¶= a = =

¶ ¶ ¶(39.5)

şi, prin înlocuire în (39.4), rezultă:( )

122

GM B BMB d B

¶= a =

¶(39.6)

Asemănător:( ) ( ) ( ) ( )GM BM KB KG

d d d d

¶ ¶ ¶ ¶= + -

¶ ¶ ¶ ¶(39.7)

Folosim, de asemenea, relaţiile (39.2) şi le derivăm parţial în raport cu pescajul d :( ) 2

1 2

BM B BMd dd

¶= -a = -

¶; ( )

2

KB KBd d

¶= a =

¶; ( )

3

KG KGd d

¶= a =

¶(39.8)

Substituind relaţiile (39.8) în (39.7), găsim:( )GM BM KB KG

d d d d

¶= - + -

¶(39.9)

În final, pentru diferenţiala înălţimii metacentrice transversale obţinem relaţia:

( ) 2GM B dGM d BMd B d

d dæ öd = d + -ç ÷è ø

(39.10)

sau într-o altă formă:

( ) ( )2 2d BGM GM BM BMd Bd d

d = - + (39.11)

Page 201: Statica Navei

_______________________________________________________________________________205

Particularizări

a) Modificarea lăţimii navei ( )0; 0B dd ¹ d =

Fig. 114

Creşterea lăţimii navei conduce la suplimentarea flotabilităţii cu volumele 1w şi2w situate în borduri (Fig. 114), care va fi compensată de creşterea greutăţii navei,

astfel încât pescajul să rămână constant ( )0dd = .În acest caz, relaţia (39.11) se poate scrie:

( ) 2 0BGM BMBd

d = > (39.12)

adică, creşterea lăţimii navei determină creşterea înălţimii metacentricetransversale. Atunci când lăţimea navei scade, lucrurile se petrec evident invers.

b) Modificarea înălţimii de construcţie a navei ( )0; 0D Bd ¹ d = .În acest caz, relaţia (39.11) se scrie:

( ) ( )2dGM GM BMdd

d = - (39.13)

Creşterii înălţimii de construcţie D i se asociază o creştere a pescajului( )0d dd > şi în consecinţă:

( ) 0GMd < (39.14)adică, creşterea înălţimii de construcţie determină scăderea înălţimii metacentricetransversale.

Ne propunem, în continuare, să studiem influenţa modificăriidimensiunilor principale ale navei asupra braţului stabilităţii statice şi, implicit,asupra caracteristicilor diagramei de stabilitate statică. Expresia diferenţialeibraţului de stabilitate statică este:

Page 202: Statica Navei

_______________________________________________________________________________206

s s ss

l l ll L B D

L B Dj j j

j¶ ¶ ¶

d = d + d + d¶ ¶ ¶

(39.15)

Vom observa, pentru început, că expresia (31.12) a lui sl j se poate scrie în forma:

( )cos sins B Bl y z KGj j j= j+ - j (39.16)

Să calculăm în continuare derivatele parţiale , ,s s sl l lL B Dj j j¶ ¶ ¶

¶ ¶ ¶.

Ţinând cont că , ,B By z KGj j şi j care apar în relaţia (39.16) nu depind deL , putem scrie:

0slLj¶=

¶(39.17)

În continuare, să derivăm parţial în raport cu B expresia (39.16) a lui sl j :

( ) ( )cos sin sin cosBs B

B B

z KGl yy z KG

B B B B Bjj j

j j

¶ -¶ ¶ ¶j ¶j= j- j + j+ - j

¶ ¶ ¶ ¶ ¶

o

(39.18)Este lesne de observat că Bz j şi KG nu depind de lăţimea navei B , deci:

( )0

Bz KG

Bj¶ -

(39.19)

De asemenea, raportul dintre variaţiile By j¶ şi B¶ este egal cu raportul dintre celedouă mărimi, adică:

B By yB Bj j¶=

¶(39.20)

Cu referire la Fig. 115, observăm că:

tg hb

j =

Fig. 115

Prin diferenţiere, obţinem:

Page 203: Statica Navei

_______________________________________________________________________________207

2 2 tgcos

d db dbhbb

j= - = - j

jPe de altă parte:

db dBb B

=

ceea ce înseamnă că:

2 tgcos

d dBB

j= - j

jsau:

sin cosB B¶j j j

= -¶

(39.21)

Înlocuind (39.21), (39.20) şi (39.19) în expresia derivatei braţuluistabilităţii statice în raport cu lăţimea (39.18) găsim:

( )22sin coscos sin cos

Bs BB

z KGl yy

B B B Bjj j

j

-¶ j j= j+ - j j

¶(39.22)

sau într-o altă formă:

( ) ( )2 2cos 1 sin sin cosBs B z KGl y

B B Bjj j -¶

= j + j - j j¶

(39.23)

Să calculăm derivata parţială a lui sl j în raport cu D :

( )

( )cos sin sin

cos

z KGl y Bs B yBD D D D

z KGB D

¶ -¶ ¶ j¶jj j= j- j + j+j¶ ¶ ¶ ¶¶j

+ - jj ¶

(39.24)

Cum ordonata centrului de carenă By j nu depinde de înălţimea de construcţie D ,putem scrie:

0ByDj¶=

¶(39.25)

Odată cu modificarea lui D se modifică şi Bz j şi KG astfel încât:

( )BB z KGz KGD D

jj ¶ --=

¶(39.26)

Pentru a calcula derivata parţialăD¶j¶

revenim la formula:

tg hb

j =

şi prin diferenţiere păstrând .b const= găsim (Fig. 116):

2 tgcos

d dh dhb h

j= = j

j(39.27)

Cum toate dimensiunile pe direcţie verticală variază proporţional:

Page 204: Statica Navei

_______________________________________________________________________________208

dh dDh D

=

ceea ce înseamnă că relaţia (39.27) devine:

2 tgcos

d dDD

j= j

jsau mai departe:

sin cosD D¶j j j

(39.28)

Înlocuind toate derivatele parţiale în relaţia (39.24), avem:( ) ( )

2 2sin cos cos sinsinBs

B B

z KGly z KG

D D D Djj

j j

-¶ j j j j= - + j+ -

¶(39.29)

sau într-o altă formă:( ) ( )

22sin cos sin 1 cos

BsB

z KGly

D D Djj

j

-¶ j j= - + j + j

¶(39.30)

Revenim acum la expresia (39.15) a diferenţialei braţului de stabilitatestatică şi, după înlocuirea derivatelor parţiale (39.17), (39.23) şi (39.30), se obţine:

( ) ( )

( ) ( )

2

2

cos 1 sin sin cos

sin sin cos 1 cos

s B B

B B

Bl y z KGBD y z KGD

j j j

j j

d é ùd = j + j - - j j -ë ûd é ù- j j j- - + jë û

(39.31)

Căutăm în continuare să dăm o formă cât mai convenabilă expresiei(39.31). Pentru aceasta rescriem braţele stabilităţii statice şi dinamice în forma:

( )cos sins B Bl y z KGj j j= j+ - j (39.32)

( )sin cosd B Bl y z KG BGj j j= j+ - j- (39.33)Ecuaţiile (39.32) şi (39.33) alcătuiesc un sistem care, rezolvat în raport cunecunoscutele By j şi ( )Bz KGj - , conduce la soluţiile:

( )cos sinB s dy l l BGj j j= j+ + j (39.34)

( )sin cosB s dz KG l l BGj j j- = j- + j (39.35)Substituind (39.34) şi (39.35) în (39.31), rezultă:

( )

( )

cos 2 sin cos

sin 2 cos sin

s s d

s d

Bl l l BGBDl l BGD

j j j

j j

dé ùd = j+ + j j +ë ûdé ù+ j - + j jë û

(39.36)

În condiţiile modificării simultane a lăţimii şi înălţimii de construcţie( )0 ; 0Bd ¹ d ¹ braţul stabilităţii statice se modifică corespunzător:

( )1s s sl l lj jj= + d (39.37)şi va corespunde unghiului de înclinare transversală:

Page 205: Statica Navei

_______________________________________________________________________________209

1j= j+ dj . (39.38)Diferenţiala totală a unghiului j este:

L B DL B D¶j ¶j ¶j

dj = d + d + d¶ ¶ ¶

(39.39)

Fig. 116

Ţinând cont de relaţiile (39.21) şi (39.28) precum şi de faptul că 0L¶j

, rezultă:

sin cos D BD Bd dæ ödj =j j -ç ÷

è ø(39.40)

Aspectul fizic

În Fig.117 sunt prezentate secţiunile maestre a trei nave care diferă întreele prin valoarea lăţimii B . În condiţiile păstrării aceluiaşi pescaj şi a mărimiilăţimii, va exista un supliment de flotabilitate reprezentat prin volumele 1w şi 2w .

Fig. 117

Page 206: Statica Navei

_______________________________________________________________________________210

Dacă 1B este poziţia centrului de carenă pentru nava înclinată în senstransversal, prin mărirea lăţimii şi păstrarea unghiului de înclinare acesta vaajunge în 2B , deplasarea orizontală fiind egală cu c . Valoarea deplasăriiorizontale a centrului de carenă se calculează cu formula:

2 1

1 2

w b w ac

V w w-

=+ +

(39.41)

Ca urmare, braţul stabilităţii statice se va mări cu cantitatea c ca urmare a creşteriilăţimii navei. Concomitent, dacă suntem riguroşi, se modifică şi poziţia centruluide greutate al navei datorită unor greutăţi adiţionale şi acest lucru va afecta, deasemenea, stabilitatea transversală. S-a dovedit practic că acest efect esteneglijabil.

Fig. 118

În consecinţă, la creşterea lăţimii navei creşte înălţimea metacentrică şiimplicit, braţele stabilităţii la unghiuri mici de înclinare. Panta în origine a curbei

sl j se va mări; de asemenea, unghiul la care puntea intră în apă se micşorează şi,ca urmare, maximul de pe curba sl j se deplasează spre unghiuri mai mici, având şio valoare mai mare. În Fig.118 sunt prezentate cele trei variante ale curbei destabilitate statică.

Page 207: Statica Navei

_______________________________________________________________________________211

Fig. 119

În Fig. 119 sunt prezentate secţiunile maestre a trei nave care diferă întreele prin valoarea înălţimii de construcţie D . Mărimea înălţimii de construcţie Dşi implicit a bordului liber F conduc la creşterea deplasamentului navei şi lamărirea cotei centrului de greutate. Centrul de carenă se deplasează pe direcţiaorizontală cu valoarea:

2 1

1 2

w b w ac

V w w-

=+ +

(39.42)

Fig. 120

Când D creşte, înălţimea metacentrică se micşorează, pe de o parte,datorită creşterii volumului carenei, deci KM scade şi, pe de altă parte, datorităfaptului că KG creşte. Unghiul de intrare al punţii în apă se măreşte, ceea ceînseamnă că maximul curbei sl j se deplasează spre unghiuri mai mari. În ceea cepriveşte braţul stabilităţii statice sl j efectul este de descreştere până la unghiul deintrare în apă a punţii iniţiale, urmat de o creştere peste acest unghi, datorităfaptului că efectul pozitiv al deplasării centrului de carenă este mai mare decâtefectul negativ al ridicării centrului de greutate. În Fig.120 sunt prezentate celetrei variante ale curbei de stabilitate statică.

40. CALCULUL PRACTIC AL STABILITĂŢII LA UNGHIURI MARI DEÎNCLINARE UTILIZÂND METODA IZOCARENELOR

Pentru a calcula braţul stabilităţii statice la unghiuri mari de înclinare cuformula (31.12), este necesară determinarea razei metacentrice transversale rj , ladiferite înclinări de la 0 90° °la . Literatura în domeniu prezintă un număr relativ

Page 208: Statica Navei

_______________________________________________________________________________212

mare de metode de calcul a stabilităţii la unghiuri mari de înclinare. În continuare,vom prezenta una din aceste metode, "metoda izocarenelor" în două variante.Această metodă presupune folosirea în primă fază a unei plutiri ajutătoare, urmatăde determinarea distanţei dintre plutirea ajutătoare şi plutirea izocarenă, trasareaplutirii izocarene şi efectuarea calculelor.

Varianta IPotrivit acestei variante, în plan transversal toate plutirile ajutătoare trec

prin punctul de intersecţie al plutirii iniţiale WL cu urma planului diametral. ÎnFig.121 sunt prezentate plutirile auxiliare 1 1 2 2' ' , ' 'W L W L . Trebuie remarcat căoricare două plutiri consecutive sunt înclinate una faţă de cealaltă cu unghiul Dj

care se adoptă în funcţie de tipul de navă şi de precizia dorită între 3° şi 15° .

Fig. 121

După trasarea plutirii ajutătoare, se calculează volumele ongleţilor, imers( )1v şi emers ( )2v . În general, aceste volume nu sunt egale, plutirea realăizocarenă putând fi situată deasupra sau sub plutirea ajutătoare, paralelă cu aceastala distanţa e care se calculează cu relaţia:

1 2

WL

v vA-

e = (40.1)

Atunci când plutirea este înclinată cu unghiul elementar dj , ceilalţi parametri aiplutirii, d şi q , rămânând constanţi, volumul carenei îşi schimbă valoarea cucantitatea:

WL F xdV A y d M d= j = j (40.2)Rezultă că atunci când plutirea este înclinată transversal cu unghiul j variaţiavolumului carenei va fi:

1 20

xv v M dj

- = jò (40.3)

Page 209: Statica Navei

_______________________________________________________________________________213

În relaţiile de mai sus, xM este momentul static al plutirii înclinate în raport cuaxa de rotaţie, iar Fy este distanţa de la centrul plutirii la această axă. Momentulstatic xM se mai poate exprima cu relaţia:

( )2

2 2

2

12

L

xL

M a b dx

-

= -ò (40.4)

iar aria plutirii cu formula:

( )2

2

L

WLL

A a b dx

-

= +ò (40.5)

În consecinţă, putem scrie:

( )

( )

22 2

02

2

2

12

L

L

L

L

a b dx d

a b dx

j

-

-

- j

e =

+

ò ò

ò

(40.6)

Pentru a evalua integralele care apar în relaţia (40.6) se va folosi o metodănumerică de integrare. Deoarece lucrul cu transversalul planului de forme estelaborios datorită numărului mare de cuple, se va adopta metoda de integrareCebâşev. Folosirea acestei metode duce la o precizie bună a rezultatelor folosindun număr mai redus de secţiuni de integrare; recomandabil între 7 şi 10 (vezi §9).Aplicând formula (9.18) pentru calculul integralelor care apar la numărătorul şinumitorul relaţiei (40.6) rezultă:

( )( )

2 2

012

a b d

a b

j

- j

e =+

åòå

(40.7)

Se poate dezvolta un calcul tabelar pentru aflarea lui e , considerând şapte (7)secţiuni Cebâşev de integrare. Pentru fiecare plutire ajutătoare se va întocmi untabel de forma următoare:

Page 210: Statica Navei

_______________________________________________________________________________214

Cu valorile ( )a b+å şi ( )2 2a b-å calculate pentru fiecare plutireajutătoare se intră în tab. 8 şi se calculează e . Cu referire la tabelul 8, precizăm căam acceptat 10Dj = ° .

Dacă 0e > , volumul ongletului imers este mai mare decât volumulongletului emers ( )1 2v v> şi plutirea izocarenă va fi situată sub plutirea ajutătoare,iar dacă 0e < volumul ongletului imers este mai mic decât volumul ongletului( )1 2v v< şi plutirea izocarenă va fi situată deasupra plutirii ajutătoare. În

CuplaCebâºev

a b 2a 2b

3 3a 3b 23a 2

3b

2

1

0 0a 0b 20a 2

0b

1'

2'

3' 3'a 3'b 23'a 2

3'b

å ( )a b+å ( )2 2a b-å

Plutirea ' 'i iW L Tabelul. 7

j ( )2 2a b-å intå ( )2 2

0

1 (3)2 2 2

a b dj

Dj- j =åò ( )a b+å (4)

(5)e =

1 2 3 4 5 60 0 0 0 0 0102030405060708090

Tabelul. 8

Page 211: Statica Navei

_______________________________________________________________________________215

continuare, vom calcula razele metacentrice transversale pentru fiecare plutireizocarenă.

Pentru aceasta, este necesară măsurarea ordonatelor a şi b pe plutirilereale. Punctele faţă de care se măsoară aceste ordonate iE , sunt picioareleperpendiculare duse din punctul A pe plutirea reală i iW L (Fig.122).

Fig. 122

Măsurând aceste ordonate, putem calcula momentele de inerţie aleplutirilor xiI în raport cu axele longitudinale care trec prin iE , cu formula:

( )2

3 3

2

13

L

xL

I a b dx= +ò (40.8)

Momentul de inerţie al plutirilor în raport cu axele longitudinale care trecprin centrele de greutate ale plutirilor iF se calculează utilizând formula:

2xF x WL FI I A y= - (40.9)

Corespunzător, razele metacentrice transversale se calculează cu relaţia:xFI

rV

= (4.10)

iar aria plutirii, utilizând relaţia:

( )2

2

L

WLL

A a b dx

-

= +ò (40.11)

Aplicând metoda Cebâşev de integrare numerică, integralele de mai sus secalculează cu formulele:

( )3 3

3xLI a bD

= +å (40.12)

( )WLA L a b= D +å (40.13)

Page 212: Statica Navei

_______________________________________________________________________________216

( )( )

2 212

F

a by

a b

-=

+

åå

(40.14)

Aceste calcule pot fi efectuate tabelar pentru fiecare plutire înclinată, fiind necesarun tabel de tipul următor.

Varianta a-II-a

În cazul celei de-a doua variante a metodei izocarenelor, fiecare plutireajutătoare se trasează prin centrul plutirii reale precedente. Se pleacă de la plutireainiţială WL şi prin centrul său F se trasează plutirea ajutătoare ' '

1 1W L înclinată cuunghiul Dj (Fig.123).

Fig. 123

CuplaCebâºev a b 2a 2b 3a 3b

3 3a 3b 23a 2

3b 33a 3

3b

2

1

0 0a 0b 20a 2

0b 30a 3

0b

1'

2'

3' 3'a 3'b 23'a 2

3'b 33'a 3

3'b

å ( )a b+å ( )2 2a b-å ( )3 3a b+å

Tabelul .9

Page 213: Statica Navei

_______________________________________________________________________________217

Pe această plutire se măsoară ordonatele a şi b , iar mai apoi se calculeazămomentul static faţă de axa longitudinală de înclinare Fx , distanţa 1e până laplutirea reală 1 1W L şi poziţia centrului plutirii 1F . Ulterior, se construieşte plutireaajutătoare ' '

2 2W L înclinată cu unghiul Dj faţă de 1 1W L şi algoritmul se repetă decâteva ori pentru a obţine valorile rj .

În contrast cu varianta I, această a doua variantă este mult simplificatăpentru că necesită un număr mai redus de calcule. Calculul mărimilor 1i+e se facedupă fiecare rotire a plutirii utilizând relaţia:

1

11 i

i i

i xWL

M dA

+j

+

j

e = jò (40.15)

unde:1i i+j -j= Dj

Aplicând metoda trapezelor pentru calculul integralei din formula (40.15), rezultă:

( )1

12

i

i i

i

x x xM d M M+

+

j

j

Djj = +ò (40.16)

În aceste condiţii, pentru 1e putem scrie:

( )0 11

1 2 x xWL

M MADj

e = + (40.17)

Cum plutirea iniţială este simetrică faţă de axa de înclinare şi centrul plutirii Feste situat pe această axă,

00xM = . Prin înlocuire în (40.17), obţinem:

1

1

1 2x

WL

MA

Dje = (40.18)

Aici1xM este momentul static al plutirii ajutătoare ' '

1 1W L în raport cu axa deînclinare în timp ce ordonata lui 1F se calculează cu formula:

1

11

xF

WL

My

A= (40.19)

Se poate rescrie relaţia (40.18) în forma:1

1 2Fy

e= Dj (40.20)

ceea ce ne sugerează o metodă grafică de construcţie a plutirii reale 1 1W L , ca înFig.124, folosindu-se faptul că pentru unghiuri mici ( )tg Dj @ Dj . Prin 1F seconstruieşte plutirea ajutătoare ' '

2 2W L şi algoritmul se repetă.

Page 214: Statica Navei

_______________________________________________________________________________218

Fig. 124

Această metodă grafo-analitică poartă numele de "metoda Krâlov-Dargnier" şi este cea mai des utilizată pentru calculul razelor metacentrice rj . Dinacest considerat, vom prezenta în continuare detaliat, etapele care trebuie parcursepentru aplicarea ei. Precizăm că, pentru uşurinţă, se aplică metoda Cebâşev cu unnumăr de secţiuni între 7 şi 12.

a) Construcţia transversalului de lucrub) Construcţia plutirilor izocarene înclinate şi calculul razelor metacentrice

rjc) Calculul mărimilor caracteristice ale stabilităţiid) Trasarea diagramelor de stabilitate statică şi dinamică.

a) Construcţia transversalului de lucruPentru poziţionarea cuplelor Cebâşev în orizontalul planului de forme, se

utilizează coeficienţii care se găsesc în capitolul "Calculul practic de carenedrepte. Metode numerice". Spre exemplu, dacă se lucrează cu 7 secţiuni deintegrare, cupla 0 Cebâşev este situată la jumătatea lungimii plutirii. Faţă deaceastă cuplă, considerată ca origine, se măsoară abscisele celorlalte 6 cupleCebâşev. Valorile acestor abscise se determină cu formulele:

2WL

i iL

x k= (40.21)

unde { }±0,3239, ±0,5297, ±0,8839ik Î .Forma cuplelor Cebâşev se extrage din orizontalul planului de forme, iar

înălţimea cuplei şi forma liniei punţii din longitudinalul planului de forme;Se vor folosi tipuri diferite de linii pentru cuplele din prova în comparaţie

cu cele din pupa;Atunci când cuplele sunt situate în dreptul unor suprastructuri etanşe la

mare (teugă, dunetă, rufuri), se vor figura şi acestea.

Page 215: Statica Navei

_______________________________________________________________________________219

b) Construcţia plutirilor izocarene înclinate şi calculul razelor metacentrice rj

Fig. 125

Algoritmul de lucru pentru trasarea plutirilor reale pornind de la plutirileajutătoare a fost prezentat anterior plecând de la plutirea dreaptă ( )0WL j = ° . Încontinuare, vom sistematiza aceste etape considerând cazul general. Cu referire laFig. 125 considerăm trasată plutirea reală 1 1i iW L- - poziţia centrului acestei plutiri

1iF - . Se vor parcurge următorii paşi (Fig. 125):- Se construieşte prin 1iF - plutirea ajutătoare ' '

i iW L înclinată cu unghiul Dj

faţă de plutirea reală 1 1i iW L- - . Unghiul Dj se adoptă în funcţie de tipul de navă şide precizia de calcul dorită între 3° şi 15° .

- Se extrag ordonatele cuplelor Cebâşev măsurate pe plutirea ajutătoare dela 1iF - ; înspre Tb (notate cu a ) şi înspre Bb (notate cu b ).

- Se întocmeşte următorul tabel:

CuplaCebâşev a b 2a 2b 3a 3b

3

2

1

0

1'

2'

3'

å ( )a b+å ( )2 2a b-å ( )3 3a b+å

Tabelul 10

Page 216: Statica Navei

_______________________________________________________________________________220

- Pe baza acestui tabel se fac următoarele calcule:( )( )

2 2

2i

a b

a b

-Dje =

+

åå

; [ ]radianiDj (40.22)

( )( )

2 212iF

a by

a b

-=

+

åå

(40.23)

( )i

cWL

LA a b

nD

= +å (40.24)

unde ;WLc

LL n

nD = =numărul de cuple Cebâşev, care în acest exemplu este egal cu

7;

( )3 3 2

3i i i

cx F WL

LI a b y A

D= + -å (40.25)

ixi

Ir

V= (40.26)

Datorită valorilor e relativ mici, calculul se efectuează cu ordonatele a şi bextrase pe plutirea ajutătoare, considerând că diferenţele faţă de plutirea reală suntsuficient de mici.

c) Calculul mărimilor caracteristice ale stabilităţiiParcurgând etapa precedentă, s-au determinat razele metacentrice rj

pentru diferite unghiuri de înclinare transversală. Cunoscând aceste raze se vorputea calcula:

- coordonatele centrului de carenă, cu formulele descoperite în §30:

0

cosBy r dj

j j= j jò

0

sinBz KB r dj

j j- = j jò- coordonatele metacentrului transversal (§30):

sinm By y rj j j= - j

cosm Bz z rj j j= + j

- braţul stabilităţii de formă şi momentul stabilităţii de formă (§31):( )cos sinf B Bl y z KBj j j= j+ - j

f fM gV lj j= r

- braţul stabilităţii statice şi momentul de stabilitate (§31):sins fl l BGj j= - j

s sM g lj j= D

Page 217: Statica Navei

_______________________________________________________________________________221

- braţul stabilităţii dinamice şi lucrul mecanic al momentului de stabilitate(§33):

0d s

s d

l l d

L g l

j

j j

j j

= j

= D

ò

Întrucât funcţia rj este dată prin puncte, pentru calculul integralelor se va folosi ometodă numerică de integrare, spre exemplu metoda trapezelor. Calculele pot fisistematizate în următorul tabel.

my j mz KBj - fl j sl j intå dl j sM j sL j j

11 12 13 14 15 16 17 18 19

( ) ( )9 5- ( ) ( )10 7+ ( ) ( ) ( ) ( )109 4 3× + × ( ) (13 3BG- × ( )14å (152Dj (14gD × ( )16gD × -

0 0°10°20°30°40°50°60°70°80°90°

Continuare Tabelul. 11

Tabelul. 11j rj sinj cosj sinrj j intå cosrj j intå By j Bz KBj -1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

- - - - ( ) ( )2 3× ( )5å ( ) ( )2 4× ( )7å ( )82Dj ( )6

2Dj

0° 0 010°20°30°40°50°60°70°80°90°

Page 218: Statica Navei

_______________________________________________________________________________222

d) Trasarea diagramelor de stabilitate statică şi dinamicăOdată efectuate calculele din tabelul 11, se vor trasa diagramele de

stabilitate statică şi dinamică (Fig. 126 şi Fig. 127).

Fig. 126 Fig. 127

Pe diagrama stabilităţii statice (Fig. 126) se vor pune în evidenţă unghiulde maxim maxj , unghiul de apus aj precum şi valoarea maximă a braţuluistabilităţii statice maxsl . Valorile acestor mărimi se vor compara cu valorile minimeimpuse de societatea de clasificare.

41. NORMAREA STABILITĂŢII. CONCEPTUL GLOBAL DESIGURANŢĂ A NAVEI

Aşa cum am arătat în §18, pentru evaluarea stabilităţii iniţiale a unei naveeste necesară cunoaşterea înălţimii metacentrice transversale GM . Dacă admitemcă braţul stabilităţii transversale are forma unei sinusoide, adică sinsl GMj = j ,atunci şi stabilitatea la unghiuri mari de înclinare poate fi evaluată pornind de lavaloarea lui GM . Pentru navele cu bord liber mare, aceasta este o măsură desiguranţă, întrucât se subevaluează stabilitatea. Pentru navele cu bord liber mic,procedând ca mai sus, stabilitatea va fi supraevaluată, ceea ce practic esteinacceptabil.

Ca urmare, diagrama stabilităţii statice peste care suprapunem variaţiamomentului exterior de înclinare, ne poate oferi date importante pentru a apreciacomportarea navei din punct de vedere al stabilităţii la acţiunea forţelor şimomentelor externe perturbatoare (Fig. 128).

Page 219: Statica Navei

_______________________________________________________________________________223

Fig. 128

Elementele caracteristice ale acestor curbe sunt următoarele:(a) Unghiul la care nava se înclină sub acţiunea statică a momentului

exterior de înclinare (punctul A din Fig. 128)(b) Unghiul limită la care se realizează condiţia de echilibru static (punctul

B din Fig.128)(c) Valoare maximă a momentului exterior de înclinare comparativ cu

valoarea maximă a momentului de stabilitate.Unghiul static de înclinare transversală corespunzător punctului A , din

figura de mai jos, este important din două puncte de vedere: primul, pentru căafectează viaţa personalului de la bord şi condiţiile de operare ale navei şi, aldoilea, este legat de faptul că acest unghi trebuie comparat cu cel la care se inundăpuntea şi care ar avea ca efect ambarcarea de apă pe punte deci, compromitereastabilităţii.

Stabilirea criteriilor de stabilitate pentru navele comerciale a fost şireprezintă în continuare un proces laborios, datorită varietăţii formelor geometriceale navelor, condiţiilor de încărcare şi, nu în ultimul rând, datorită tendinţeiabandonării progresive a formelor convenţionale şi a deschiderii spre tipologii şisisteme noi de transport. Criteriile de stabilitate au în vedere atât stabilitateastatică a unei nave, cât şi cea dinamică. Recomandările Organizaţiei MaritimeInternaţionale (I.M.O.) privitoare la stabilitatea navelor cargo şi pasagere culungimea mai mică de 100m pot fi rezumate după cum urmează:

(a) aria cuprinsă sub braţul stabilităţii statice până la 30j = ° nu trebuie săfie mai mică decât 0,055m radiani× ;

(b) aria cuprinsă sub braţul stabilităţii statice până la 40j = ° nu trebuie săfie mai mică decât 0,09m radiani× ;

Page 220: Statica Navei

_______________________________________________________________________________224

(c) aria cuprinsă sub braţul stabilităţii statice de la 30j = ° până la 40j = °

nu trebuie să fie mai mică decât 0,03m radiani× ;(d) braţul stabilităţii statice trebuie să aibă o valoare minimă de 0,2 m la

30j = ° ;(e) valoarea maximă a braţului de stabilitate statică trebuie să apară la un

unghi mai mare decât ( )max30 30° j > ° ;(f) valoarea înălţimii metacentrice transversale GM trebuie să aibă o

valoare minimă de 0,15 m (0,35 m pentru navele de pescuit).Suplimentar, pentru navele de pasageri trebuie respectate condiţiile:(a) unghiul de înclinare la adunarea pasagerilor într-un singur bord în timp

mai îndelungat, nu trebuie să fie mai mare de 10° ;(b) unghiul de înclinare la acţiunea statică a momentului exterior dat de

relaţia:2

0,022e

v dM KGL

æ ö= D -ç ÷è ø

(41.1)

nu trebuie să fie mai mare de 10° ; unde v este viteza navei. Formula (41.1) esteformula momentului exterior produs de giraţia navei.

Registrul Naval Român (R.N.R.) în partea A-IV- Stabilitate prevede:(a) braţul maxim al diagramei de stabilitate statică al navelor cu 80mL £

trebuie să fie de cel puţin 0,25 m, iar la navele cu 105mL ³ de cel puţin 0,2 m, launghiul de înclinare max 30j ³ ° . Pentru lungimi intermediare, mărimea braţuluimaxim al diagramei de stabilitate se determină prin interpolare liniară. Limitastabilităţii statice pozitive (apunerea diagramei) trebuie să fie la cel puţin 60° .Dacă diagrama are două maxime, ca urmare a influenţei suprastructurilor sau arufurilor, trebuie ca primul maxim, pornind de la poziţia dreaptă a navei să aibăloc la o înclinare de cel puţin 25° ;

(b) înălţimea metacentrică iniţială, corectată, în toate variantele deîncărcare, cu excepţia navelor cu lungime mai mică de 20 m, navelor pentrucherestea, navelor de pescuit, navelor cu încărcare-descărcare pe orizontală şiportcontainere pentru variantele de încărcare cu containere, nu trebuie să fie maimică de 0,15 m.

Ca o condiţie suplimentară de stabilitate, pentru navele de pasageri seprevede:

(a) stabilitatea iniţială a navelor trebuie să fie astfel încât în cazulaglomerării efectiv posibile a pasagerilor, într-un singur bord şi cât mai aproapede parapet, unghiul de înclinare statică să nu fie mai mare decât unghiul la carepuntea etanşă, expusă intră în apă sau la care gurma iese din apă şi anume unghiulcare va fi mai mic; în orice caz, unghiul de înclinare statică nu trebuie sădepăşească 10° ;

(b) momentul de înclinare produs de giraţie se va determina cu formula:

Page 221: Statica Navei

_______________________________________________________________________________225

[ ]2

0, 242

KN mge

v dM KGL

D æ ö= - ×ç ÷è ø

(41.2)

în care:D - deplasamentul navei (t);

gv - viteza la intrarea navei în giraţie, egală cu 80% din viteza maximă(m/s);

KG - cota centrului de greutate al navei faţă de linia de bază (m);d - pescajul corespunzător deplasamentului D , (m).Navigaţia în condiţii extreme de mediu poate afecta atât structura de

rezistenţă a navei (deformări locale ale corpului, suprasolicitarea postamentelorsub acţiunea forţelor de inerţie, excesive sau chiar ruperea corpului), cât şiansamblul calităţilor nautice ale navei (micşorarea performanţelor de propulsie,stabilitate transversală, seakeeping etc.) putând culmina cu răsturnarea şi/sauscufundarea navei. Evident că în acest context, există o interdependenţă întreintegritatea structurală şi siguranţa hidrodinamică care stă la baza "conceptuluiglobal de siguranţă a navei" şi, implicit, a "performanţei de siguranţă".

Pentru a realiza acest deziderat este absolut necesară modificarea"filozofiei" de proiectare a navelor. Tendinţa actuală constă în abandonareaprogresivă a normelor de registru presupuse în mod formal ca fiind "sigure" şiutilizarea procedeelor probabilistice pentru determinarea performanţelor desiguranţă structurale şi hidrodinamice. Rezultatele unei astfel de analize vorpermite evaluarea nivelului de risc corespunzător situaţiilor de încărcare şicondiţiilor de mediu avute în vedere.

În concluzie, analiza riscurilor reprezintă elementul central al conceptuluiglobal de siguranţă a navei, analiză efectuată asupra integrităţii structurale şicalităţilor hidrodinamice ale corpului navei şi care conduce la stabilirea factorilorde risc, evaluarea lor şi a consecinţelor acestora.

Luarea în considerare a stabilităţii transversale în studiul siguranţei naveinu este întâmplătoare, întrucât s-a constatat că adoptarea unei rezerve insuficientede stabilitate în faza de proiectare, corelată cu o combinaţie nefavorabilă afactorilor de mediu, reprezintă factorul de risc cel mai periculos pentru pierdereanavelor şi a oamenilor de la bord.

Page 222: Statica Navei

_______________________________________________________________________________226

PROBLEME REZOLVATE

Problema 1La o navă cu deplasamentul de 32000 t se cunosc braţele stabilităţii statice

după cum urmează:

[ ]j ° 0 10 20 30 40

[ ]sl mj 0,00 0,09 0,19 0,29 0,32

Nava are pescajul 11d m= , suprafaţa velică 23800VA m= , iar cota centruluivelic deasupra liniei plutirii este 6VZ m= . Să se calculeze înclinarea transversală anavei la acţiunea de la travers a vântului în două situaţii:

a) - acţiunea statică;b) - acţiunea dinamică.Presiunea maximă a vântului se consideră 2750 /vp N m= .

Rezolvare:a) Acţiunea staticăMomentul de înclinare dat de vânt se calculează cu relaţia:

11750 3800 6 327752 2vs v V VdM p A Z KN mæ ö æ ö= + =× + = ×ç ÷ ç ÷

è ø è øNava se va înclina transversal până când va fi realizată condiţia de echilibru

static:s vsM Mj =

Problema se va rezolva tabelar, calculând valoarea momentului de înclinarerezultat care acţionează static, adică r vs sM M M j= - .

j sl j s sM g lj j= D vsM r vs sM M M j= -

(1) (2) (3)= g D (2) (4) (5)=(4)-(3)0 0 0 32775 32775

10 0,09 28252,8 32775 4522,2

20 0,19 59644,8 32775 -26869,8

Page 223: Statica Navei

_______________________________________________________________________________227

30 0,29 91036,8 32775 -58261,840 0,32 100454,4 32775 -67679,4

Nava se va înclina static până când 0rM = , adică la unghiul: 11, 44sj = ° .b) Acţiunea dinamicăMomentul de înclinare dat de vânt la acţiunea dinamică este:

750 3800 6 17100v v V VM p A Z KN m= = × × = ×

Nava se va înclina până la unghiul dj pentru care se realizează egalitatea:

0

d

s v dM d Mj

j j = jò

unde:0

d

s sL M dj

j j= jò este lucrul mecanic al momentului de stabilitate, iar v dM j

este lucrul mecanic al momentului de înclinare datorat acţiunii vântului. Calcululse realizează tabelar:

j sM j intå int2dL jDj= å vM j v sM L jj-

(1) (2) (3)= intå (2)

(4)=0,087(3)

(5) (6)=(5)-(4)0 0 0 0 0 0

10 28252,8 28252,8 2457,99 2984,51 526,5220 59644,8 116150,4 10105,08 5969,02 -4136,0630 91036,8 266832 23214,38 8953,53 -1426,0840 100454,4 458323,2 39874,12 11938,04 -

27936,08Nava se va înclina dinamic până când 0v sM L jj- = , adică la unghiul:

11, 2dj = °

Problema 2O navă cu deplasamentul de 15000 t are cota centrului de greutate 7KG m= .

Marfa este redistribuită la bord astfel încât cota centrului de greutate creşte cu0, 25 m . Valorile braţului de stabilitate sl j în momentul iniţial sunt:

[ ]j ° 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

[ ]sl mj 0,00 0,27 0,60 1,00 1,14 1,05 0,77 0,35 -0,1

-0,58

Page 224: Statica Navei

_______________________________________________________________________________228

Să se calculeze pentru condiţiile iniţiale şi finale:a) înălţimile metacentrice;b) stabilitatea dinamică la unghiul de înclinare transversală 40j = ° .

Rezolvare:

Este cunoscut că 00

tgsdlGM

dj

j=

= = aj

. Pe de altă parte, se poate face

aproximaţia că tangenta în origine la curba sl j se confundă cu această curbăpentru 10j £ ° . Prin urmare, putem scrie:

10 100

18 18 0, 27tg 1,5510

180

s sl lGM m

× ×= a = = = =

p× p p

Datorită redistribuirii mărfii, centrul de greutate se deplasează vertical, în suscu ( ) 0, 25KG md = şi ca urmare, înălţimea metacentrică se va micşora cu aceeaşivaloare:

( )1 1,55 0, 25 1,30G M GM KG m= - d = - =

Calculul stabilităţii dinamice pentru situaţia iniţială se face tabelar:

j sl j intå int2dl jDj= å s dL g lj j= D

(1) (2) (3)= intå (2) (4)=0,087(3)

(5)= g D (4)0 0 0 0 0

10 0,27 0,27 0,023 3384,4520 0,60 1,14 0,099 14567,8530 1,00 2,74 0,238 35021,740 1,14 4,88 0,424 62391,6

În situaţia iniţială, la o înclinare transversală 40j = ° , stabilitatea dinamică este:62391,6sL KN mj = ×

Pentru calculul stabilităţii dinamice, finale trebuie mai întâi calculatădiagrama stabilităţii statice în această situaţie, ţinând cont de deplasarea centruluide greutate al navei. Calculul se va executa, de asemenea, tabelar:

j sl j sinj ( )sinKGd j ( )1 sins sl l KGj j= - d j intå 1 int2dl jDj= å 1 1s dL g lj j= D

(1) (2) (3) (4)=0,25(3)

(5)=(2)-(4) (6)= intå (5) (7)=0,087 (6) (8)= g D (7)0 0 0 0 0 0 0 0

Page 225: Statica Navei

_______________________________________________________________________________229

10 0,27 0,173 0,043 0,227 0,227 0,019 2795,8520 0,60 0,342 0,085 0,515 0,969 0,084 12360,630 1,00 0,5 0,125 0,875 2,359 0,205 30165,7540 1,14 0,642 0,160 0,98 4,214 0,366 53856,9

În situaţia finală, la o înclinare transversală 40j = ° , stabilitatea dinamicăeste:

1 53856,9sL KN mj = ×

Problema 3O navă cu deplasamentul de 12000 t are 7,64KG m= . Valorile braţelor

stabilităţii statice sunt:

[ ]j ° 0 10 20 30 40 50 60 70

[ ]sl mj 0,00 0,19 0,50 0,94 1,16 1,03 0,60 0,06

Marfa se redistribuie la bordul navei astfel încât are loc o deplasare laterală acentrului de greutate cu distanţa 0,13Gy m Tbd = . Să se calculeze înclinareatransversală a navei şi stabilitatea dinamică la unghiul de înclinare 30j = ° .

Rezolvare:

- Se corectează braţele stabilităţii statice datorită deplasării laterale acentrului de greutate.

- Se determină 0j şi sL j , calculele efectuându-se tabelar.

j sl j cosj cosGyd j 1 coss s Gl l yj j= - d j intå 1 int2dl jDj= å 1 1s dL g lj j= D

(1) (2) (3) (4)=0,13(3)

(5)=(2)-(4) (6)=intå (5)

(7)=0,087(6)

(8)= g D (7)0 0 1 0,13 -0,13 0 0 010 0,19 0,984 0,128 0,062 -0,068 -0,006 -706,3220 0,50 0,939 0,122 0,378 0,372 0,0323 3802,3530 0,94 0,866 0,112 0,828 1,578 0,1372 16151,18

Stabilitatea dinamică la 30° este egală cu 16151,8sL KN mj = ×

Pentru determinarea unghiului de înclinare transversală a navei se va procedala interpolarea liniară între 0j = ° şi 10j = ° , obţinându-se:

Page 226: Statica Navei

_______________________________________________________________________________230

0 6,77 Tbj = °

Problema 4La o navă se cunosc: 30000 ; 8t KG mD = = şi sl j sub formă tabelară:

[ ]j ° 0 10 20 30 40 50 60

[ ]sl mj 0,00 0,7 1,51 2,10 2,08 1,90 1,60

Să se calculeze stabilitatea dinamică corespunzătoare unui unghi de înclinaretransversală 40j = ° în două situaţii:

a) pentru situaţia iniţială:b) atunci când faţă de situaţia iniţială centrului de greutate al navei are cota

1 8,5KG m= , datorită unor deplasări de mase la bord.

Rezolvare:a) Pentru primul caz, se calculează tabelul:

8KG m=

j sl j intå int2dl jDj= å s dL g lj j= D

(1) (2) (3)= intå (2)

(4)=0,087(3)

(5)= g D (4)0 0 0 0 010 0,7 0,7 0,06 1765820 1,51 2,91 0,253 74457,930 2,10 6,52 0,567 166868,140 2,08 10,7 0,931 273993,3

273993,3sL KN mj = ×

b) În al doilea caz, va trebui mai întâi corectată diagrama stabilităţii statice,datorită deplasării centrului de greutate pe verticală, în sus cu distanţa( ) 0,5KG md = .

1 8,5KG m= ; ( ) 0,5KG md =

Page 227: Statica Navei

_______________________________________________________________________________231

j sl j sinj ( )sinKGd j ( )1 sins sl l KGj j= - d j intå 1 int2dl jDj= å 1 1s dL g lj j= D

(1) (2) (3) (4)=0,5(3)

(5)=(2)-(4) (6)=intå (5)

(7)=0,087(6)

(8)= g D (7)0 0 0 0 0 0 0 0

10 0,7 0,173 0,087 0,613 0,613 0,053 15597,920 1,5

10,342 0,171 1,339 2,565 0,223 65628,9

30 2,10

0,5 0,25 1,85 5,754 0,5 14715040 2,0

80,642 0,321 1,759 9,363 0,814 239560,2

1 239560, 2sL KN mj = ×

Problema 5Pentru o navă se cunosc: 24000 ; 8,50t KG mD = =. Ca o consecinţă a unor

deplasări de mase la bord, centrul de greutate al navei se deplasează lateral tribordcu 0,5Gy md = . Înainte de a avea loc deplasările de mase la bord, braţul stabilităţiistatice era:

[ ]j ° 0 10 20 30 40 50 60

[ ]sl mj 0,00 1,71 2,46 2,55 1,92 1,05 0,46

Să se calculeze braţele stabilităţii statice şi stabilitatea dinamică la unghiulde înclinare transversală 30j = ° , la final, precum şi unghiul de înclinare 0j .

Rezolvare:Pentru calculul braţelor sl j , după ce centrul de greutate al navei s-a deplasat

lateral tribord cu distanţa 0,5Gy md = , se întocmeşte tabelul:

j sl j cosj cosGyd j 1 coss s Gl l yj j= - d j intå int2dl jDj= å s dL g lj j= D

0 0 1 0,5 -0,5 0 0 010 1,71 0,984 0,492 1,218 0,718 0,062 14597,2820 2,46 0,939 0,469 1,991 3,927 0,341 80285,0430 2,55 0,866 0,433 2,117 8,035 0,699 164572,56

0164572,56 ; 2,91sL KN m Tbj = × j = °

Page 228: Statica Navei

_______________________________________________________________________________232

42. EŞUAREA NAVEI

Se consideră o navă care eşuează (aşezarea cu un punct al fundului pe sol),Fig. 129 şi Fig. 130. Înainte de eşuare, nava avea pescajele pvd şi ppd , nefiindînclinată transversal. Se mai cunosc următoarele date iniţiale: deplasamentul D ,înălţimile metacentrice transversală şi longitudinală GM şi LGM , abscisacentrului plutirii Fx şi aria plutirii WLA . După eşuare, pescajele la extremităţi sunt

1 1,pv ppd d şi nava este înclinată transversal cu unghiul 1j , considerat în categoriaunghiurilor mici. Presupunem că în zona plutirii nava are borduri verticale. Nepunem problema determinării forţei de reacţiune a solului R şi a coordonatelorpunctului de aplicaţie.

Fig. 129

Variaţia pescajului mediu datorat acţiunii forţei R se va calcula cu relaţia:

( ) ( )1 1 112m m m pv pp pv ppd d d d d d dé ùd = - = + - +ë û (42.1)

Este evident că variaţia pescajului va fi negativă, deficitul de flotabilitate fiindcompensat de reacţiunea solului, adică:

WL mR g A d= r d (42.2)Formula (42.2) conduce la calculul lui R cu o eroare acceptabilă. Un calcul maiexact presupune determinarea volumelor de cameră V şi 1V corespunzătoareplutirilor WL şi 1 1W L , utilizând diagrama Bonjean.

CAPITOLUL V. PROBLEME LEGATE DE APLICAREAPRACTICĂ A STUDIULUI FLOTABILITĂŢII ŞI

STABILITĂŢII NAVEI

Page 229: Statica Navei

_______________________________________________________________________________233

Studiul consecinţelor eşuării poate fi efectuat în continuare considerând că de la

bord s-a debarcat masa Rg

, al cărei centru de greutate este în punctul ( ), , 0A x y .

Noile înălţimi metacentrice transversală şi longitudinală se vor calcula curelaţiile:

Fig. 130

1 1 2m

mdRG M GM d GM

g Rdæ ö= - + -ç ÷D - è ø

(42.3)

1 1 2m

L L m LdRG M GM d GM

g Rdæ ö= - + -ç ÷D - è ø

(42.4)

Unghiul de înclinare transversală va fi dat de relaţia:

( )11 1

R yg R G M

j =D -

(42.5)

Înainte de eşuare, nava era înclinată longitudinal cu unghiul:pv ppd d

L-

q = (42.6)

iar după eşuare este înclinată cu unghiul:1 1

1pv ppd d

L-

q = (42.7)

Rezultă o înclinare suplimentară care se calculează cu relaţia:( )

( )( )

11 1

F F

L L

R x x R x xg R G M g GM

- -q - q = @

D - D (42.8)

Ecuaţiile (42.5) şi (42.8) alcătuiesc un sistem în care necunoscutele sunt x şiy . După rezolvare se găsesc soluţiile:

( )1LF

g GMx x

RD q - q

= + (42.9)

( ) 1 1 1g R G My

RD - j

= (42.10)

Page 230: Statica Navei

_______________________________________________________________________________234

Determinarea valorilor forţei de reacţiune R şi a coordonatelor x şi y alepunctului de aşezare pe sol prezintă interes din perspectiva găsirii unei soluţii dedezeşuare cu ajutorul mijloacelor de la bord. Pentru a rezolva această problemă, sepleacă de la faptul evident că măsurile care vor fi luate, vor trebui să ducă lamicşorarea pescajului în punctul A , cu o valoare mai mare decât micşorareapescajului în acelaşi punct datorită eşuării. Imaginăm pentru acest lucru o soluţiecombinată de ambarcare/debarcare de mase şi deplasarea de mase la bord. Notămvariaţia pescajului datorită acestor operaţiuni cu '

Add . Variaţia pescajului datoratăeşuării se notează cu Add şi se calculează cu relaţia:

( ) ( )1 1A m Fd d x x yd = d + - q - q -j (42.11)În consecinţă, condiţia de dezeşuare se scrie:

'A Ad dd ³ d (42.12)

Înlocuind în (42.11), expresiile lui ,md xd şi y date de (42.1), (42.9) şi (42.10) seobţine:

( ) ( ) ( )

( )

21 1 1

21 1 1

12

LA pv pp pv pp

g GMd d d d d

Rg R

G MR

Dé ùd = + - + + q - q -ë û

D -- j

(42.13)

Mai departe, folosim următoarele notaţii:

1 ii

P P=å - masele care se vor ambarca/debarca la bord;

2 jj

P P=å - masele care se vor deplasa la bord;

( ), ,i i ix y z - punctele în care se ambarcă/debarcă masele iP ;

( ) ( ) ( )1 1 1, ,j j j j j jx x y y z z- - - - cantităţile cu care se deplasează masele jP pedirecţiile longitudinală, transversală şi verticală;

( )1i i j j ji j

M P y P y yj = + -å å - momentul transversal de înclinare datorită

ambarcării/debarcării şi deplasării de mase.( ) ( )1i i F j j j

i jM P x x P x xq = - + -å å

Cu aceste notaţii putem scrie:

( )( )' 1

'1 1 1

A FWL L

M y MPd x xA GMP G M

j qd =+ + -r DD +

(42.14)

Înlocuind în (42.14) expresiile lui x şi y date de (42.9) şi (42.10), obţinem:

( )( ) ( )1 1 1' 1

1'

1 1 1

AWL

M g R G M g MPdA R RP G M

j qD - jd = + + q - q

r D + (42.15)

Page 231: Statica Navei

_______________________________________________________________________________235

unde '

1 1G M este înălţimea metacentrică transversală, corectată datorităambarcării/debarcării de mase, respectiv deplasării de mase la bord, care secalculează cu formula:

( )1' 1 1

1 1 1 1 1 11 12

j j j i ij i

WL

P z z P zP P

G M G M d G MP A P

- æ öç ÷= - + + - -ç ÷D D + rç ÷è ø

å å (42.16)

Sigur că pentru o anumită situaţie de exploatare a navei, valorile( ) ( ) ( )1 1 1, , , , , , ,i j i i i j j jP P x y z x x y y z z- - - sunt limitate. Odată adoptate aceste valori,

se calculează 'Add şi Add şi se verifică dacă este îndeplinită condiţia de dezeşuare

(42.12). Mărimile ( ) ( )1 1, , ,i i j jx y x x y y- - se adoptă de sens contrar lui x şi y .

43. RIDICAREA PUPEI

Pentru executarea lucrărilor de reparaţii la complexul cârmă-propulsor sau laarborele port-elice, este necesară ridicarea pupei navei. Această operaţiune sepoate realiza în următoarele variante: deplasarea uneia sau a mai multor masedinspre pupa spre prova, ambarcarea de balast în zona prova sau ridicarea pupeicu ajutorul macaralei (la navele mici).

a) Deplasarea de mase la bordAşa cum s-a studiat în §24, dacă la bordul navei se deplasează o masă P ,

considerată în categoria maselor mici ( )0,1P < D , din punctul ( ), ,A x y z în punctul( )1 1 1, ,B x y z , dinspre pupa spre prova ( )1x x< , atunci nava se va înclina

longitudinal cu unghiul q , iar variaţia pescajului la pupa în valoare absolută se vacalcula cu relaţia:

( )1

12pp FL

P x xLd xG M-æ öd = +ç ÷ Dè ø

(43.1)

În relaţia (43.1), 1 LG M este înălţimea metacentrică longitudinală modificată, datăde relaţia:

( )1 1L LPG M GM z z= - -D

(43.2)

unde LGM este înălţimea metacentrică longitudinală iniţială.Cunoscând înălţimea cu care trebuie ridicată pupa şi egalând valoarea ei cu

ppdd se determină produsul ( )1P x x- necesar a se realiza prin deplasarea maseiP . În funcţie de disponibilităţile de la bord, se pot alege masele iP şi distanţele( )1i ix x- astfel încât să fie îndeplinită condiţia:

( ) ( )1 1i i ii

P x x P x x- = -å (43.3)

Page 232: Statica Navei

_______________________________________________________________________________236

b) Ambarcarea de balast la provaDacă în zona prova se ambarcă cantitatea de balast P având abscisa

centrului de greutate x , atunci variaţia pescajului la pupa în valoare absolută se vacalcula cu relaţia:

( )2

Fpp F

WL L

P x xP Ld xA GM

-æ öd = - +ç ÷r Dè ø (43.4)

Impunând înălţimea cu care trebuie ridicată pupa ppdd se va determinacantitatea de balast ce trebuie ambarcată cu relaţia:

( )12

pp

FF

WL L

dP

x xL xA GM

d=

-æ ö- +ç ÷r Dè ø

(43.5)

c) Ridicarea pupei navei cu ajutorul macaraleiCunoscând poziţia de unde se leagă cârligul macaralei (abscisa x ) precum şi

datele iniţiale referitoare la navă: deplasamentul D , înălţimea metacentricălongitudinală LGM , aria plutirii WLA , lungimea navei L şi abscisa centruluiplutirii Fx , se poate determina valoarea forţei de ridicare R (Fig. 131).

Fig. 131

Se va impune înălţimea cu care se ridică pupa ppdd şi se foloseşte modelulmatematic descoperit la ambarcarea/debarcarea de mase la bord, considerând că

din punctul A se debarcă masa Rg

. Forţa R necesară se calculează cu relaţia:

( )12

pp

FF

WL L

g dR

x xL xA GM

d=

-æ ö- +ç ÷r Dè ø

(43.6)

În relaţia de mai sus x se introduce cu semnul algebric (minus), iar ppdd cuvaloarea sa în modul, rezultând o valoare pozitivă pentru R .

Page 233: Statica Navei

_______________________________________________________________________________237

44. MOMENTUL DE STABILITATE AL NAVELOR CU BORDURIVERTICALE ŞI AL NAVELOR TIP PONTON PARALELIPIPEDIC

În cazul navelor cu borduri verticale, momentul de stabilitate poate fiexprimat printr-o relaţie matematică exactă pentru unghiuri de înclinare care nudepăşesc unghiul pentru care puntea intră în apă sau plutirea intersectează gurma.Se poate observa că în acest caz particular, plutirile izocarene înclinate transversalse intersectează după o dreaptă care trece prin centrul plutirii iniţiale F (Fig. 132).

Fig. 132

Dacă se notează cu y semilăţimea unei cuple corespunzătoare plutiriiiniţiale, atunci când nava este înclinată transversal cu unghiul j , semilăţimeacorespunzătoare aceleiaşi secţiuni se poate scrie:

cosyyj = j

(44.1)

Momentul de inerţie al plutirii înclinate, în raport cu axa de înclinare devine:2

3

2

23

L

xL

I y dxj j

-

= ò (44.2)

şi prin înlocuirea lui yj dată de (44.1) în (44.2) obţinem:

32

3 3

2

23 cos cos

L

xx

L

IyI dxj

-

= =j jò (44.3)

Corespunzător pentru raza metacentrică transversală găsim expresia:

3cosxI BMr

Vj

j = =j

(44.4)

Vom calcula în continuare coordonatele centrului de carenă cu relaţiile:

20 0

cos tgcosBBMy r d d BM

j j

j j= j j = j = jjò ò (44.5)

Page 234: Statica Navei

_______________________________________________________________________________238

2

30 0

sin tgsin2cosBz KB r d BM d BM

j j

j j

j j- = j j = j =

jò ò (44.6)

Dacă din expresiile (44.5) şi (44.6) se elimină tgj se obţine:2

2B

B

yz KB

BMj

j = + (44.7)

ceea ce sugerează o variaţie parabolică a cotei centrului de carenă cu ordonataacestuia.

Înlocuind relaţiile (44.5) şi (44.6) în expresia (31.12) a braţului stabilităţiistatice găsim:

2sin tg sin2s

BMGZ l GMj= = j+ j j (44.8)

Recunoaştem în al doilea termen o corecţie a braţului stabilităţii statice faţă desituaţia de stabilitate iniţială.

Mai departe, se pot calcula coordonatele metacentrului transversal:3

3sin tg sin tgcosm BBMy y r BM BMj j j= - j =j- j =- j

j (44.9)

2 2

3 2

tg tg 1cos cos2 2cos cosm B

BM BMz z r KB KB BMj j j

æ öj j= + j = + + j = + +ç ÷j jè ø

(44.10)

Eliminând tgj din relaţiile (44.9) şi (44.10), găsim o legătură matematicădirectă între coordonatele metacentrului transversal în forma:

2331

2m

m B

yz z BM

BMj

j j

é ùæ öê ú= + + ç ÷ê úè øê úë û

(44.11)

Revenind la formula (44.8), vom observa că putem exprima momentul destabilitate cu relaţia matematică:

2tg sin2s s

BMM g l g GMj j

æ ö= D = D + j jç ÷ç ÷

è ø (44.12)

Aşa cum am precizat, relaţiile obţinute mai sus sunt valabile atâta timp câtplutirea înclinată nu intersectează puntea sau fundul navei. Dacă vom considera

un ponton paralelipipedic, vom avea două situaţii distincte. Astfel, dacă2Dd < ,

fundul va ieşi din apă înainte ca puntea să intre în apă, iar dacă2Dd > , puntea va

intra în apă înainte ca fundul să iasă din apă. Acest ultim caz este ilustrat în Fig.133. Pentru a construi complet diagrama de stabilitate este necesară determinareadeplasării centrului de carenă respectiv a coordonatelor By j şi Bz KBj - cuformulele cunoscute (44.5) şi (44.6). Notăm cu 1j unghiul la care puntea intră înapă şi cu unghiul 2j unghiul la care fundul pontonului iese din apă.

Page 235: Statica Navei

_______________________________________________________________________________239

Fig. 133

Când 10 £ j £ j :

3cosBMrj = j

Pentru a calcula razele metacentrice transversale la unghiuri de înclinarecuprinse între 2j şi 90° ( )2 90j < j £ ° , vom considera pontonul înclinat cu 90° şi

90d pescajul corespunzător acestei situaţii. Din condiţia ca plutirile WL şi 90 90W L săfie izocarene rezultă:

90B ddD

= (44.13)

şi:2

909012

Drd

= (44.14)

În consecinţă, când 2 90j < j £ ° :

( )90

3cos 90r

rj = -j (44.15)

Situaţia intermediară 1 2j < j £ j este prezentată în Fig. 134.Suprafaţa liberă este un dreptunghi cu dimensiunile L şi Bj . Lăţimea Bj sedetermină din condiţia:

( ) ( )aria EFG B D d= -

adică:

( )21 sin cos2

B B D dj j j = -

sau:( )

2sin 2

B D dBj

-=

j (44.16)

Page 236: Statica Navei

_______________________________________________________________________________240

Momentul de inerţie al suprafeţei libere este:( ) ( )3 2

12 3 sin 2 sin 2x

L B L B D d B D dI j

j

- -= =

j j (44.17)

iar raza metacentrică transversală se calculează cu formula:( ) ( )2

3 sin 2 sin 2xI D d B D d

rV dj

j

- -= =

j j (44.18)

Odată cunoscute formulele de calcul ale razei metacentrice transversalepentru cele trei situaţii distincte, se vor putea calcula coordonatele centrului decarenă pentru orice unghi de înclinare şi, de asemenea, braţul stabilităţii saumomentul de stabilitate.

Formula braţului stabilităţii transversale (44.8), valabilă în cazul navelor cuborduri verticale până la 1j = j , ne permite determinarea poziţiilor de echilibru alenavei, poziţii care corespund situaţiei 0sGZ l j= = . Avem următoarele situaţiiposibile:

a) 0sl j = şi 0GM > (înălţimea metacentrică transversală pozitivă)Rezultă:

2tg sin 02

BMGMæ ö

+ j j =ç ÷ç ÷è ø

(44.19)

Fig. 134

Această ecuaţie are trei soluţii:2sin 0 ; tg GMBM

-j = j = ±

ultimele două fiind evident imaginare. Înseamnă că singura poziţie de echilibruposibilă pentru o navă cu borduri verticale şi înălţimea metacentrică transversală,pozitivă corespunde situaţiei 0j = adică, navă pe carenă dreaptă.

b) 0sl j = şi 0GM = (înălţimea metacentrică transversală nulă)Rezultă:

Page 237: Statica Navei

_______________________________________________________________________________241

2tg sin 02

BMj j = (44.20)

cu soluţia unică 0j = . Este de remarcat că, chiar dacă înălţimea metacentrică estenulă deci, în poziţia iniţială există o situaţie de echilibru indiferent, momentul destabilitate este întotdeauna pozitiv şi va readuce nava în poziţia iniţială, dintr-opoziţie înclinată cu un unghi oarecare. Valoarea momentului de stabilitate este:

2tg sin2s

BMM gj = D j j (44.21)

Să studiem cazul practic al deplasării transversale la bord a unei mase P pedistanţa l .

Centrul de greutate al navei se va deplasa pe distanţa 1P lGG =D

. Din Fig. 135, se

observă că:

1 cos cosP lGZ GG= j = jD

(44.22)

Fig. 135

Egalând GZ dat de relaţia (44.22) cu expresia lui sl j când 0GM = rezultă:

2cos sin tg2

P l BMj = j j

Dadică:

3 2tg P lBM

j =D ×

şi:

32tg P l

BMj =

D ×(44.23)

Page 238: Statica Navei

_______________________________________________________________________________242

c) 0sl j = şi 0GM < (înălţimea metacentrică transversală negativă)Soluţiile pentru care se realizează echilibrul sunt aceleaşi ca la punctul a), cudeosebirea că de data aceasta toate trei sunt reale; adică:

sin 0 ; 0j = j =

2tg GMBM

-j = ±

În cazul 0j = avem o situaţie de instabilitate, întrucât pentru 0j > momentul destabilitate este negativ şi cea mai mică perturbaţie va înclina nava într-un bord sauîn celălalt (în funcţie de sensul perturbaţiei), cu unghiul corespunzător celorlaltedouă soluţii.

45. STABILITATEA NAVEI PE DOC

În cele mai multe cazuri, la andocarea unei nave, atunci când nivelul apeiscade, chila acesteia atinge primul cavalet de la pupa. Ca urmare, apare oreacţiune în cavalet care va modifica stabilitatea navei (Fig. 136). În cele ceurmează, vom determina valoarea maximă a reacţiunii din cavalet şi modul în carevariază stabilitatea navei.

Fig. 136

Valoarea reacţiunii R creşte gradual, atingând maximul atunci când navaeste pe punctul de a se aşeza cu toată chila pe cavaleţi.

Presupunem că înainte de andocare nava avea pescajele cunoscute pvd şi ppd .Rezultă o înclinare longitudinală cu unghiul:

pv ppd dL-

q = .

Linia cavaleţilor este, de asemenea, înclinată cu unghiul a . Din momentul încare fundul navei atinge cavaletul din pupa până în momentul în care se aşează întotalitate pe cavaleţi ea se va roti cu unghiul q-a , datorită reacţiunii R . Vom

Page 239: Statica Navei

_______________________________________________________________________________243

considera acţiunea lui R similară cu debarcarea greutăţii P R= , din punctul de

coordonate ; 0 ; 02P P PLx y z= - = = . Din condiţia ca momentul lui R să încline

nava longitudinal cu unghiul ( )q-a se găseşte valoarea maximă a lui R , adică:

( )2

L

F

g GMRL x

D= q-a

+ (45.1)

Este mai practic ca în locul relaţiei (45.1) să se folosească relaţia:

( )2

L

F

GMRL x

D= q -a

+ (45.2)

în care R are dimensiunea unei mase. Corespunzător, pescajul se va micşora cuvaloarea:

[ ]WL

R Rd cmA TPC

d = =r

(45.3)

În situaţia în care linia cavaleţilor are unghiul de înclinare nul ( )0a = ,folosind momentul unitar de asietă, reacţiunea în cavalet se poate calcula cuformula:

100pv ppMCT d dR

LCF

-= (45.4)

unde LCF reprezintă distanţa de la centrul plutirii la punctul de aplicaţie al lui R(care se găseşte, de obicei, în apropierea perpendicularei pupa).

Efectul asupra stabilităţii transversale se va materializa prin modificareaînălţimii metacentrice transversale. Astfel:

( ) 2R dGM d GMR

- dæ öd = - -ç ÷D - è ø (45.5)

Variaţia coeficientului stabilităţii transversale se va calcula cu relaţia:

( ) 2dGM R d dæ öd D = - -ç ÷

è ø (45.6)

Variaţia relativă a înălţimii metacentrice longitudinale este foarte mică,motiv pentru care nu prezintă interes.

Există şi un alt mod mult mai practic, dar în acelaşi timp şi aproximativ, de aevalua variaţia înălţimii metacentrice transversale la andocare. Considerând cămasa R se debarcă de pe fundul navei, centrul de greutate al navei se va deplasape verticală în sus cu distanţa:

( ) R KGKGR

d =D -

(45.7)

şi cu aceeaşi valoare se va micşora înălţimea metacentrică transversală,presupunând KM acelaşi.

Page 240: Statica Navei

_______________________________________________________________________________244

46. STABILITATEA NAVELOR PE VALURI DE URMĂRIRE

Diagrama stabilităţii statice, denumită şi "diagrama Reed", este utilizată deaproape o sută de ani pentru analiza stabilităţii transversale a navei, deşimomentul de redresare este calculat în ipoteza apei calme. Froude şi Reedrecunoşteau că problematica stabilităţii navei pe val se rezolvă diferit faţă desituaţia ipotetică precizată, întrucât, în regim dinamic, distribuţia de presiuni estediferită faţă de regimul static. Încă din anul 1938, Kempf remarca faptul căstabilitatea navei pe valuri de urmărire se reduce în situaţia în care nava se găseştecu secţiunea maestră pe creastă de val. Când nava se deplasează pe val deurmărire cu o viteză egală cu viteza valului şi când lungimea valului ( )l esteegală cu lungimea navei ( )L apare situaţia cea mai periculoasă. Aceasta deoarece,pe de o parte, reducerea de stabilitate este maximă şi, pe de altă parte, reducereade stabilitate se menţine pe o durată mai mare de timp şi, ca urmare, nava esteexpusă apariţiei unor momente exterioare de înclinare la care ar rezista mai puţin,comparativ cu situaţia de apă calmă. În aceste condiţii, ar putea apărea răsturnareanavei adică "pierderea totală de stabilitate". Toate aceste situaţii periculoase aufost aduse în prim plan de studiile sistematice care se desfăşoară pe plan mondialîn domeniul stabilităţii transversale a navelor în condiţii reale de navigaţie.

În general, stabilitatea transversală se măsoară cantitativ prin momentul deredresare care se opune acţiunii unui moment exterior de înclinare. Dacă navaoperează în mare reală, momentul de redresare nu va fi egal cu acelacorespunzător aceluiaşi unghi de înclinare din apă calmă din două motive: primulse referă la modificarea suprafeţei udate a corpului navei datorită mişcăriigenerale şi al doilea la distribuţia câmpului de presiune hidrodinamică pesuprafaţa udată, care este o consecinţă directă a interacţiunii reciproce dintre navaîn mişcare şi valurile incidente.

Problematica determinării momentului de redresare pe valuri se rezumă lagăsirea distribuţiei de presiuni pe corp şi are o importanţă deosebită pentruprognoza siguranţei navei. Această problemă se rezolvă acceptabil, dar destul delaborios, în limita mişcării potenţiale a lichidului, neglijând efectele vâscoase.Pentru o navă care se deplasează cu viteza U în valuri, stabilitatea transversală secaracterizează prin momentul de redresare, definit ca momentul forţelorhidrodinamice dependente de timp care acţionează asupra navei, faţă de axacentrală longitudinală. Se poate scrie:

s u w D RM M M M Mj = + + + (46.1)în care:

uM - este determinat de modificarea câmpului de presiuni când navaînclinată transversal cu unghiul j , avansează cu viteza U în apă calmă;

Page 241: Statica Navei

_______________________________________________________________________________245

WM - este partea principală a momentului de redresare pe valuri determinatăde distribuţia de presiuni din valul incident neperturbat;

DM - este componenta de difracţie, determinată de modificarea câmpului depresiune, datorită prezenţei corpului bandat al navei în valuri, având anulate toategradele de libertate;

RM - această componentă este o consecinţă a mişcărilor navei bandate, aflatăiniţial în repaus şi este legată de proprietăţile inerţiale şi de amortizare alefluidului.

Din cele arătate până acum, este evident că determinarea valorii momentuluide stabilitate ( )sM j la navigaţia în valuri este o problemă ce se va rezolva la"Dinamica Navei".

Reducerea stabilităţii statice

Studiile diverşilor autori care s-au ocupat de această problemă au demonstratcă la navigaţia în valuri armonice de urmărire, are loc o modificare a stabilităţiitransversale, atunci când viteza navei este apropiată de aceea a valurilor. Braţulmomentului de stabilitate va avea o variaţie periodică între două poziţii extreme,cu o frecvenţă egală cu frecvenţa de întâlnire a valului de către navă. Aceste douăpoziţii extreme corespund situaţiilor de: navă pe creastă de val (stabilitateminimă) şi navă pe gol de val (stabilitate maximă) şi se calculează pe bazageometriei corpului navei şi ale caracteristicilor valurilor. Pentru fiecare înălţime avalului, amplitudinea variaţiei momentului de stabilitate are valoarea maximăatunci când lungimea valului este aproximativ egală cu lungimea navei.

Atunci când U c= , perioada de întâlnire a valului este teoretic infinită şinava se aşează static faţă de val într-o primă aproximaţie. În acest caz, diagramastabilităţii statice se poate obţine aşa cum am văzut în capitolul IV (§40) înlocuindsuprafaţa apei calme cu un profil de val armonic având lungimea egală culungimea navei.

În Fig. 137 b) sunt prezentate diagramele de stabilitate statică în apă calmă,pe creastă şi pe gol de val. Se observă că în decursul unei perioade de întâlnire anavei cu valurile există un interval de timp în care stabilitatea navei se micşoreazăputând deveni critică. Cu cât frecvenţa de întâlnire este mai mică, cu atât acestinterval de timp este mai mare, putând apărea condiţiile specifice care genereazăaşa numita "pierdere totală de stabilitate" dacă nu se iau măsuri de înlăturare apericolului (modificarea vitezei sau schimbarea direcţiei de înaintare a navei).

Page 242: Statica Navei

_______________________________________________________________________________246

Fig. 137

PROBLEME REZOLVATE

Problema 1

Page 243: Statica Navei

_______________________________________________________________________________247

O navă tip ponton paralelipipedic are dimensiunile: 80 ; 9 ;L m B m= =

8,5D m= şi pluteşte la pescajul 5d m= în apă sărată. Cota centrului de greutate alnavei este 3,7KG m= . Să se studieze echilibrul transversal al navei dupăambarcarea unei mase de 500 t situată la 8 m faţă de PB .

Rezolvare:Deplasamentul iniţial al pontonului este:

1,025 80 9 5 3690L B d tD =r = × × × =

Înălţimea metacentrică iniţială se calculează cu formula:2

2 12d BGM KM KG KB BM KG KG

d= - = + - = + -

Prin înlocuire se obţine:25 9 3,7 0,15

2 12 5GM m= + - =

×Prin ambarcarea masei 500P t= situată la distanţa 1 8z m= faţă de PB , se

modifică cota centrului de greutate al navei:

( ) ( )1 15003,7 8 3,7 4, 213

3690 500PKG KG z KG m

P= + - = + - =

D + +şi pescajul pontonului:

15005 5,678

1,025 80 9Pd d mL B

= + =+ =r × ×

Noua înălţime metacentrică transversală va fi:2 2

11 1 1

1

5,678 9 4, 213 0,1852 12 2 12 5,678d BG M KG m

d= + - = + - = -

×

În concluzie, deoarece înălţimea metacentrică a devenit negativă, ne aflămîntr-o situaţie de instabilitate ceea ce înseamnă că la o cât de mică perturbaţieexterioară, pontonul se va înclina într-un bord sau în celălalt (în funcţie de sensulperturbaţiei) cu unghiul:

1 1

1 1

2 2 0,185tg 0,557 29,151,189

G Mrad

B M- ×

j = ± = ± = ± = ± °

unde braţul de stabilitate este nul.

Problema 2O navă cu borduri verticale are deplasamentul de 25000 t ; 10,6KG m= ;12,0 ; 6,1KM m KB m= = . Unghiul la care se inundă puntea este de 27° . Să se

estimeze stabilitatea dinamică a navei la 20° înclinare transversală.

Page 244: Statica Navei

_______________________________________________________________________________248

Rezolvare:Dat fiind faptul că unghiul pentru care trebuie estimată stabilitatea

transversală este mai mic decât unghiul la care se inundă puntea navei, rezultă căîn zona 0 20° £ j £ ° se poate calcula braţul stabilităţii transversale cu formula:

2sin tg2s

BMl GMj

æ ö= j + jç ÷ç ÷

è øDin datele problemei rezultă:

12,0 10,6 1,4GM KM KG m= - = - =

12,0 6,1 5,9BM KM KB m= - = - =

Înlocuind în expresia lui sl j obţinem:( )2 2sin 1,4 2,95 tg 1, 4 sin 2,95 sin tgsl j = j + j = j+ j j

Expresia braţului stabilităţii dinamice la 20° este:20

0s sl l d

°

j j= jòCalculul se va efectua tabelar utilizând metoda de integrare a trapezelor cu

pasul de integrare 5 0,087 radDj = ° = .

j sinj 2tg j 2sin tgj× j 1,4 sin× j 22,95 sin tg× j j sl j intå int2dl jDj= å

(1) (2) (3) (4)=(2)(3) (5)=1,4(2) (6)=2,95(4) (7)=(5)+(6) (8)= intå (7) (9)=0,04350 0 0 0 0 0 0 0 05 0,087 0,007 0,0007 0,122 0,002 0,124 0,124 0,00510 0,173 0,031 0,0053 0,242 0,015 0,257 0,505 0,02215 0,258 0,071 0,0183 0,361 0,053 0,414 1,176 0,05120 0,342 0,132 0,0451 0,479 0,133 0,612 2,202 0,096

Acest calcul tabelar prezintă avantajul că se poate estima valoarea braţuluistabilităţii dinamice la fiecare unghi de înclinare.

Pentru 20j = ° , stabilitatea dinamică este egală cu lucrul mecanic almomentului de stabilitate necesar pentru a înclina nava până la acest unghi, adică:

9,81 25000 0,096 23544s dL g l KN mj j= D =× × = ×

Problema 3La o navă ponton paralelipipedic se cunosc următoarele dimensiuni:

Page 245: Statica Navei

_______________________________________________________________________________249

120 ; 18 ; 12 ; 8 ; 7, 278L m B m D m d m KG m= = = = = . Ea pluteşte în apă dulce. O masăde 432 t se încarcă pe puntea principală. Să se calculeze stabilitatea dinamică anavei pentru unghiul la care apa inundă puntea principală.

Rezolvare:Se calculează deplasamentul iniţial al navei:

1 120 18 8 17280L B d tD =r = × × × =

După ambarcarea masei 432P t= , cota centrului de greutate al navei devine:

( ) ( )1 14327, 278 12 7, 278 7,393

17280 432PKG KG z KG m

P= + - = + - =

D + +iar pescajul:

14328 8, 2

1 120 18Pd d mL B

= + =+ =r × ×

Nava fiind ponton paralelipipedic rezultă:1

18, 2 4,1

2 2dKB m= = =

2 2

1 11

18 3, 29312 12 8,2

BB M md

= = =×

Unghiul la care se inundă puntea se calculează cu relaţia:( ) ( )12 2 12 8, 2

tg 0, 42 ; 22,8918

D dB- -

j = = = j = °

Până la acest unghi, braţul stabilităţii statice se poate calcula cu formula:21 1

1 1sin tg2s

B Ml G Mj

æ ö= j + jç ÷ç ÷

è øÎnălţimea metacentrică finală este:

1 1 1 1 1 1 1 1 4,1 3, 293 7,393 0G M KM KG KB B M KG= - = + - = + - =

şi, în consecinţă, braţul stabilităţii statice se poate scrie:21,646 sin tgsl j = j j

Braţul stabilităţii dinamice corespunzător unghiului de înclinare la care seinundă puntea este:

22,89

0d sl l d

°

j j= jòCalculul se va efectua tabelar, utilizând metoda de integrare a trapezelor cu

pasul de integrare 5 0,087 radDj = ° = , în limitele 0 25° £ j £ ° . Valoarea lui dl j la22,89j = ° se va determina prin interpolare liniară.

j sinj 2tg j 2sin tgj× j 21,646 sin tgsl j = × j j intå int2dl jDj= å

Page 246: Statica Navei

_______________________________________________________________________________250

j sinj 2tg j 2sin tgj× j 21,646 sin tgsl j = × j j intå int2dl jDj= å

(1) (2) (3) (4)=(2)(3) (5)=1,646 (4) (6)= intå (5) (7)=2

Dj (6)

0 0 0 0 0 0 05 0,087 0,007 0,0007 0,001 0,001 54, 3 10-×

10 0,173 0,031 0,0053 0,009 0,0092 44 10-×

15 0,258 0,071 0,0183 0,03 0,0482 0,00220 0,342 0,132 0,0451 0,074 0,1522 0,006625 0,423 0,217 0,0918 0,151 0,3773 0,0164

Prin interpolare liniară la 22,89j = ° rezultă 0,0122dl rad mj = × .Stabilitatea dinamică va fi:

( ) ( )9,81 17280 432 0,0122 2120s dL g P l KN mj j= D + = + = ×

Problema 4La o navă cu bordurile verticale se cunosc următoarele elemente:

22500 ; 7,3 ; 7, 4 ; 3,6t KG m KM m BM mD = = = =. O masă de 150 t este ridicată cu15 m şi apoi deplasată lateral spre tribord cu 3 m . Să se calculeze înclinarea navei.

Rezolvare:Deplasarea pe verticală a masei 150P t= pe distanţa 15zl m= va ridica

centrul de greutate al navei micşorând înălţimea metacentrică până la valoarea:

1150 150,1 022500

zP lG M GM m×= - = - =

DDatorită deplasării laterale a masei pe distanţa 3l m= nava se va înclina la

tribord cu unghiul:

332 2 150 3tg 0, 223

22500 3,6P lBM

× ×j = = =

×D12,58j = °

Problema 5O navă tip ponton paralelipipedic are dimensiunile: 100 ; 10L m B m= = ;

6D m= şi pluteşte în apă sărată la pescajul 4d m= . Se mai cunoaşte 3,5KG m= .Să se calculeze momentul de stabilitate când nava este înclinată transversal cuunghiul 20j = ° .

Page 247: Statica Navei

_______________________________________________________________________________251

Rezolvare:Deplasamentul navei este:

1,025 100 10 4 4100L B d tD =r = × × × =

Unghiul la care se inundă puntea este:( ) ( )2 2 6 4

tg 0,4 ; 21,810

D dB- -

j = = = j = °

Cum 20 21,8° < ° pentru calculul momentului de stabilitate se foloseşte relaţia:2tg sin

2sBMM g GMj

æ ö= D + j jç ÷ç ÷

è øunde:

2

2 12d BGM KB BM KG KG

d= + - = + -

Înlocuind, rezultă:24 10 3,5 0,583

2 12 4GM m= + - =

×Pe de altă parte:

2

2,08312BBM m

d= =

şi, prin urmare, momentul de stabilitate corespunzător unei înclinări transversalede 20° este:

22,0839,81 4100 0,583 tg 20 sin 20 99182sM KN mj

æ ö= × + ° ° = ×ç ÷è ø

Problema 6O navă andochează având următoarele date iniţiale:6,10 ; 6,70 ; 7, 20 ; 6,8 ; 155 /pv ppd m d m KM m KG m MCT t m cm= = = = = ×

22 / ; 80TPC t cm LCF m= = (de la perpendiculara pupa); 180 ; 11000L m t= D = .Să se determine:

a) înălţimea metacentrică transversală a navei în momentul critic din timpulandocării;

b) momentul de stabilitate dacă nava este înclinată transversal cu 1° .

Rezolvare:Momentul critic este acela când chila navei ia contact cu întreaga linie a

cavaleţilor.6,10 6,70 155

100 100 116,2580

pv ppd d MCTR t

LCF

- -= = =

Reacţiunea atinge această valoare atunci când pescajul scade cu valoarea:

Page 248: Statica Navei

_______________________________________________________________________________252

116,25 5,3 0,05322

Rd cm mTPC

d = = = = .

Înălţimea metacentrică transversală se va modifica cu valoarea:

( ) 116, 25 0,0536,4 0,4 0,0642 11000 116, 25 2

R dGM d GM mR

- d -æ ö æ öd = - - = - - = -ç ÷ ç ÷D - -è ø è øunde d este pescajul mediu iniţial.

Corespunzător situaţiei critice, înălţimea metacentrică va fi:( ) ( )'

0, 4 0,064 0,336GM GM GM m= + d = - =

Momentul de stabilitate corespunzător situaţiei de navă înclinată transversalcu 1° se calculează cu formula:

( )( ) ( ) ( ) ( )' 'sin1 9,81 11000 116, 25 0,336

180 180sM g R GM g R GMj

p p= D - ° =D - = -

626,13sM KN mj = ×

Problema 7La o navă, înaintea andocării, se cunosc următoarele elemente: 110L m= ;

14,7 ; 5,8 ; 6, 2 ; 0,625 ; 0,780 ; 0,5pv pp B WLB m d m d m C C GM m= = = = = =

210 ; 0L FGM m x= = . Unghiul de înclinare al cavaleţilor a este nul. Să se calculezereacţiunea maximă a cavaleţilor şi stabilitatea în momentul când chila navei intrăîn contact cu întreaga linie a cavaleţilor. Densitatea apei din doc se consideră

31,0 /t mr = .

Rezolvare:Se consideră reacţiunea maximă a cavaleţilor:

2

L

F

g GMRL x

D= qæ ö+ç ÷è ø

unde:35,8 6, 2

tg 3,6 10110

pv ppd d

L-

- -q @ q = = = ×

1 0,625 110 14,7 6 60642

pv ppB

d dC L B t

+D =r = × × × × =

Prin înlocuire în expresia lui R , rezultă:36064 210 3,6 10 83, 4

110 02

R tf-×= × =æ ö+ç ÷è ø

Variaţia pescajului mediu va fi:

Page 249: Statica Navei

_______________________________________________________________________________253

83, 4 0,0661 0,780 110 14,7WL WL

R Rd mg A g C L B

d = = = =r r × × ×

iar noua înălţime metacentrică transversală:

( ) ( )'

2R dGM GM GM GM d GM

g Rdæ ö= + d = - - -ç ÷D - è ø

Înlocuind în relaţia de mai sus, obţinem:

( ) ( )' 83,40,5 6 0,033 0,5 0, 423

6064 83,4GM m= - - - =

-

Problema 8Înainte de andocare, la o navă, se cunoşteau: 5,62 ; 6,82pv ppd m d m= = ;7,90 ; 7, 4 ; 104 / ; 62 ; 118 ; 8400KM m KG m MCT t m cm LCF m L m t= = = × = = D = .

În momentul critic al andocării (înainte de aşezarea cu toată linia chilei pecavaleţi), înălţimea metacentrică transversală nu trebuie să scadă sub valoarea de0, 45 m . Cât balast trebuie transferat dintr-un tanc din dublu fund, având 0,5Kg m=

şi 30x m= faţă de perpendiculara pupa într-un alt tanc din dublu fund având0,5Kg m= şi 1 90x m= de la perpendiculara pupa?

Rezolvare:Ţinând cont că valoarea iniţială a înălţimii metacentrice transversale este

0,5GM KM KG m= - = şi din datele problemei această valoare nu poate scădea sub0, 45 m , rezultă o ridicare a centrului de greutate în urma andocării cu valoareaminimă de 0,05 m . Prin urmare:

( ) 0,05R KGKG mR

d = =D -

şi prin înlocuire:7,4 0,05

8400R

=-

de unde rezultă valoarea maximă a reacţiunii din cavalet: 56, 4R t=

Pentru a aşeza nava pe cavaleţi, momentul de înclinare determinat de R vatrebui suplimentat cu momentul determinat de transferul masei P , pe distanţa

1 60xl x x m= - = . Se poate scrie:100x pv ppR LCF P l MCT d d× + × = -

Înlocuind, obţinem:56, 4 62 60 104 5,62 6,82 100P× + × = -

În final, obţinem valoarea: t150P = .

Page 250: Statica Navei

_______________________________________________________________________________254

Problema 9Înainte de a andoca, la o navă se cunosc următoarele elemente: 7,92pvd m=

9,30 ; 11,43 ; 10,9 ; 400,5 / ; 28,1 /ppd m KM m KG m MCT t m cm TPC t cm= = = = × = ;88,5 ; 174 ; 28200LCF m L m t= = D = . Adâncimea apei din doc este iniţial de 10 m . Să

se găsească valoarea înălţimii metacentrice a navei atunci când nivelul apei dindoc scade cu 1, 2 m precum şi pescajele navei la extremităţi.

Rezolvare:Când adâncimea apei din doc ajunge la valoarea de 9,3 m egală cu pescajul

pupa, nava se aşează cu pupa pe cavaletul din pupa, în care începe să se dezvolte oreacţiune de contact R . Din acel moment, pescajul la pupa va mai scădea cu50 cm . Această variaţie de pescaj la pupa este suma a două componente: variaţiapescajului mediu datorită reacţiunii R şi variaţia pescajului la pupa datorită

modificării asietei. Vom putea scrie: 50 R R LCF LCFTPC MCT L

= +

şi după înlocuire:288,550

28,1 400,5 174R R ×

= +×

; 50 0,0355 0,1123 0,1478R R R= + =

338,2R t=

Pescajul mediu se va micşora cu valoarea:338, 2 12 0,1228,1

Rd cm mTPC

d = = = =

Acţiunea lui R va determina şi o variaţie a asietei egală cu:338, 2 88,5 74,73 0,75

400,5R LCF cm mMCT

×= = @

din care, o aprovare pvdd şi o ieşire a pupei din apă ppdd , mărimi care secalculează cu formulele:

174 88,50,75 0,75 0,37174pv

L LCFd mL

- -d = = =

88,50,75 0,75 0,38174pp

LCFd mL

d = = =

Calculul pescajelor finale se poate executa tabelar:

PROVA PUPAPescajul iniţial [ ]m 7,92 9,30Variaţia pescajului mediu[ ]m

-0,12 -0,12Schimbarea asietei [ ]m 0,37 -0,38Pescajele finale [ ]m 8,17 8,8

Page 251: Statica Navei

_______________________________________________________________________________255

Valoarea finală a înălţimii metacentrice este:

( )1338, 2 10,90,53 0,397

28200 338, 2R KGG M GM KG GM m

= - d = - = - =D - -

Problema 10O navă are un compartiment la prova avariat şi intră la andocare cu

pescajele: 10,20pvd m= şi 9,0ppd m= . În timpul andocării, fundul navei atingeiniţial cavaletul situat la 10 m faţă de perpendiculara prova. Se mai cunoscurmătoarele date iniţiale: 11, 25 ; 10,6 ; 440 /KM m KG m MCT t m cm= = = × ;

39,5 /TPC t cm= ; 84 ; 176 ; 35500LCF m L m t= = D = . Să se determine înălţimeametacentrică transversală înainte de aşezarea navei cu întreaga chilă pe cavaleţi şipescajul final când nava se aşează pe cavaleţi.

Rezolvare:În momentul atingerii cu fundul navei a cavaletului situat la 10l m= de

perpendiculara prova, în punctul de contact începe să se dezvolte o reacţiune R .Acţiunea lui R va determina un moment care va roti nava în plan longitudinal înjurul unei axe care trece prin F . Braţul acestui moment va fi:

( ) ( )176 84 10 82al L LCF l m= - + = - + =

Valoarea maximă a reacţiunii R (echivalentul masic) se determină cu relaţia:

440 10,2 9,0100 100 643,9

82pv pp

a

MCT d dR t

l- -

= × = =

Înălţimea metacentrică transversală înainte de aşezarea navei cu întreagachilă pe cavaleţi este:

( )1643,9 10,60,65 0,45

35500 643,9R KGG M GM GM GM m

= - d = - = - =D - -

Pescajul mediu se va micşora cu valoarea:643,9 16,3 0,16339,5

Rd cm mTPC

d = = = =

Pescajul la pupa se va mări cu valoarea:84 10, 2 9,0 0,572

176pp pv ppLCFd d d m

Ld = - = - =

şi pescajul la prova se va micşora cu valoarea:

Page 252: Statica Navei

_______________________________________________________________________________256

1, 2 0,572 0,628pvd md = - =

Calculul pescajelor finale se poate efectua tabelar.

PROVA PUPAPescajul iniţial [ ]m 10,2 9,0Variaţia pescajului mediu[ ]

-0,163 -0,163Schimbarea asietei [ ]m -0,628 0,572Pescajele finale [ ]m 9,409 9,409

Problema 11La andocarea unei nave se cunosc următoarele date iniţiale:7,80 ; 8,90pv ppd m d m= = . Să se calculeze:(a) înălţimea metacentrică în momentul critic al andocării;(b) momentul de stabilitate dacă nava este înclinată transversal cu 1° în

momentul critic al andocării;(c) pescajele finale la extremităţile navei;(d) reacţiunea din cavaleţi atunci când nivelul apei scade cu 20 cm , după

aşezarea cu toată chila pe cavaleţi.Se mai cunosc următoarele date:

142 / ; 27 /MCT t m cm TPC t cm= × = ;92 ; 176 ; 7,5 ; 8, 4 ; 12500LCF m L m KG m KM m t= = = = D = .

Rezolvare:Valoarea reacţiunii din cavaleţi înainte de aşezarea navei cu toată chila pe

cavaleţi se calculează cu formula:142 7,80 8,90

100 100 17092

pv ppMCT d dR t

LCF

- -= = =

Ca urmare, înălţimea metacentrică transversală se va modifica ajungând lavaloarea:

1170 7,50,9 0,797

12500 170R KGG M GM m

= - =- =D - -

Corespunzător acestei situaţii şi unei înclinări transversale cu 1° , nava îşi vacrea un moment de stabilitate sM j dat de relaţia:

( ) ( )

( )

1 1 180

9,81 12500 170 0,797 171,51180

sM g R G M g R G M

tf m

j

p= D - j = D - =

p= × - × × = ×

Page 253: Statica Navei

_______________________________________________________________________________257

Pescajul mediu se va modifica cu valoarea:170 6, 29 0,06327

Rd cm mTPC

d = = = =

Se calculează variaţiile de pescaj la prova şi la pupa datorită modificăriiasietei, observând că nava se aprovează.

92 7,80 8,90 0,575176pp pv pp

LCFd d d mL

d = - = - =

1,1 0,575 0,525pvd md = - =

Pescajele finale rezultă din următorul calcul tabelar:

PROVA PUPAPescajul iniţial [ ]m 7,80 8,90Variaţia pescajului mediu[ ]m

-0,063 -0,063Schimbarea asietei [ ]m 0,525 -0,575Pescajele finale [ ]m 8,262 8,262

Dacă din acest moment se produce o mişcare a nivelului apei din doc cu20 cm , reacţiunea din cavaleţi se măreşte cu valoarea:

20 27 20 540P TPC t= × = × =

astfel încât valoarea finală a reacţiunii din cavaleţi (echivalentul masic) ajunge lavaloarea:

( )1 170 540 710 710R R P t tf= + = + = .

Page 254: Statica Navei

_______________________________________________________________________________258

47. GENERALITĂŢI. TIPURI DE COMPARTIMENTE INUNDATE.EXTINDEREA ŞI LOCALIZAREA AVARIEI

Toate tipurile de nave sunt expuse riscului apariţiei unei găuri de apă şi implicita inundării unui compartiment sau a unui grup de compartimente, datorită uneicoliziuni, eşuări sau unor cauze interne cum ar fi exploziile. Dacă tabla bordajuluieste spartă, se formează un curent de fluid dinspre mare care inundă spaţiile deschisela mare, până când nava îşi va găsi o poziţie de echilibru sau se va răsturna sau se vascufunda cu sau fără răsturnare.

Efectele inundării se manifestă prin micşorarea rezervei de flotabilitate,modificarea asietei şi a stabilităţii navei. Rezultă că în cadrul nescufundării navei setratează flotabilitatea şi stabilitatea navei avariate şi metodele folosite în studiulflotabilităţii şi stabilităţii navei se aplică cu succes şi în acest caz, dar pentru navaavariată.

Necesitatea studiului nescufundării navei este evidentă atât pentru proiectant,cât şi pentru cel care exploatează nava. Proiectantul trebuie să cunoască cum secomportă nava în diferite variante de inundare şi să o compartimenteze în modul celmai raţional posibil. Pe de altă parte, echipajul navei trebuie să cunoascăconsecinţele negative ale diferitelor variante de inundare, pentru a şti ce măsuritrebuie să ia, în vederea ducerii cu succes a luptei pentru vitalitatea navei.

Atunci când în interiorul navei pătrunde o cantitate de apă compartimentul carese inundă este unul din următoarele trei tipuri:

a) compartimente care se inundă complet şi comunică sau nu comunică cumarea. Aceste compartimente sunt dispuse, de obicei, sub linia de plutire(Fig. 138a).

Fig. 138

CAPITOLUL VI. NESCUFUNDAREA NAVEI

Page 255: Statica Navei

_______________________________________________________________________________259

b) compartimente care nu comunică cu marea şi sunt inundate parţial. Nivelulapei din aceste compartimente nu depinde de poziţia navei în raport cu suprafaţaliberă. Astfel de compartimente sunt: cele adiacente cu compartimentele inundate şiîn care apa pătrunde prin infiltraţii, compartimente inundate după astuparea găurilorde apă; compartimente inundate ca urmare a avariilor la tubulaturi sau după ce s-astins cu apă un incendiu apărut (Fig. 138 b). Acestea au suprafaţă liberă de lichid.

c) compartimente cu suprafaţă liberă care comunică cu marea. Astfel decompartimente se întind, de obicei, până la puntea pereţilor etanşi şi nivelulsuprafeţei libere a apei din interior depinde de poziţia relativă a navei în raport cuapa din exterior (Fig. 138 c).

Lungimea avariei şi poziţia acesteia faţă de pereţii transversali etanşi suntfactori esenţiali în aprecierea şanselor de supravieţuire ale navei. Avaria poate apăreaîntre doi pereţi sau poate include unul sau mai mulţi pereţi transversali, etanşi. Estede aşteptat ca mai mulţi pereţi transversali, etanşi să ofere o siguranţă mai marenavei în cazul unei avarii, însă creşterea numărului de pereţi creşte şi probabilitateaincluderii acestora în avarie. În unele cazuri, se poate ajunge la situaţia aparentparadoxală că existenţa unor pereţi etanşi poate reduce, în loc să mărească şansele desupravieţuire. Pe de altă parte, o compartimentare excesivă va ridica preţul deconstrucţie şi va face nava ineficientă economic în timpul exploatării.

Compartimentarea unei nave implică, inevitabil, un compromis între siguranţăşi cost. Acest compromis a fost parţial rezolvat pentru navele de pasageri prinadoptarea unui sistem de norme internaţional acceptate, în funcţie de mărimea navei,numărul de pasageri etc. Pentru navele de transport mărfuri, normele decompartimentare sunt minimale, iar compromisul "cost contra siguranţă" poate firezolvat cu dotarea navelor cu mijloace performante de salvare, colective şiindividuale.

Analizele făcute de un grup de cercetători, sub egida SOLAS, asupracoliziunilor produse la mai multe nave (pasagere şi cargouri) au scos în evidenţăcâteva date referitoare la lungimea găurilor de apă şi poziţia lor. Rezultatele arată căavaria la bordaj se poate extinde pe lungime între 1 2 saum m şi 30 m . Apar multecoliziuni cu energie mică, fără ca bordajul navei să fie spart sub linia de plutire şideci, fără inundarea interiorului navei. Foarte puţine avarii la bordaj apar la adâncimimari. Cele mai multe avarii la bordaj au lungimea cuprinsă între 6 m şi 15 m şi seproduc la adâncimi moderate. Unele dintre avarii se produc datorită coliziunii cuunghi de incidenţă de 90° sau apropiat de acesta. În aceste situaţii, spărturile înbordaj sunt adânci datorită energiilor mari de coliziune. Avarii cu lungimi foartemari apar foarte rar, cea mai mare publicată de literatura de specialitate avândlungimea de aproximativ 100 m .

În concluzie, probabilitatea ca o navă să supravieţuiască în urma unei avarii lacorp depinde de o serie de factori cum sunt: extinderea ei pe lungime, adâncimea lacare s-a produs, poziţia în raport cu pereţii transversali etanşi. Din punct de vedere

Page 256: Statica Navei

_______________________________________________________________________________260

strict economic, nu este indicat să se proiecteze o navă care să-şi găsească o poziţiede echilibru pentru orice fel de avarie. Orice navă se proiectează pentru un anumitgrad de siguranţă.

48. EFECTELE FUNDAMENTALE ALE AVARIEI

a) Modificarea pescajului mediu. Pescajul mediu al navei se va modifica pânăcând deplasamentul părţii rămase neinundate a navei va fi egal cu deplasamentulnavei înainte de inundare, mai puţin greutatea unor lichide care erau în spaţiiledeschise la mare.

b) Modificarea asietei. Nava se va înclina longitudinal până când centrul decarenă al părţii rămase neinundate a navei ajunge în acelaşi plan transversal în carese găseşte şi centrul de greutate şi perpendicular pe planul plutirii de echilibru.

c) Înclinarea transversală. Atunci când compartimentul inundat este asimetricfaţă de PD , nava se va înclina şi transversal în bordul în care se găseşte centrul degreutate al compartimentului, până când centrul de carenă al părţii rămaseneinundate din carena navei ajunge pe aceeaşi verticală cu centrul de greutate şiperpendicular pe planul plutirii de echilibru. Chiar dacă spaţiul inundat este simetricfaţă de PD , nava poate căpăta o bandare în unul din borduri la cea mai micăperturbaţie externă sau se poate răsturna, atunci când înălţimea metacentricătransversală devine negativă ( ) 0GM < .

d) Modificarea stabilităţii. Ne vom referi numai la stabilitatea transversală şianume la modificarea înălţimii metacentrice transversale, care se calculează curelaţia:

GM KB BM KG= + -Cu excepţia lui KG care îşi păstrează valoarea, inundarea modifică valorile lui KB şiBM . Cum pescajul mediu se măreşte, rezultă şi o creştere a lui KB . BM tinde sădescrească la navele cu borduri verticale datorită reducerii momentului de inerţie alsuprafeţei libere. Combinaţia modificării lui KB şi BM va duce, în general, lamicşorarea înălţimii metacentrice GM . Excepţii de la această regulă pot face navele

cu raportul dintre lăţime şi pescaj Bd

æ öç ÷è ø

mic sau navele care au bordurile evazate

deasupra liniei plutirii.e) Micşorarea bordului liber al navei. Cunoaşterea pescajului mediu în urma

inundării va conduce la micşorarea bordului liber. Această situaţie, combinată cureducerea înălţimii metacentrice transversale, determină o reducere a braţelor destabilitate sl j . Astfel, nava devine vulnerabilă la acţiunea conjugată a vânturilor şi avalurilor. Regulile internaţionale impun condiţii minime pentru F şi GM dupăinundare adică: 7,6 ; 5F cm GM cm= = , care de fapt sunt rezerve foarte mici. Dinfericire, după inundare, navele au valori mai mari pentru cele două mărimi. Aşa cum

Page 257: Statica Navei

_______________________________________________________________________________261

am arătat în §47 , creşterea numărului pereţilor transversali, etanşi conduce lacreşterea probabilităţii includerii acestora în avarie, dar şi reduce extinderea zoneiinundate în cazul când ei nu sunt incluşi în avarie. Pe de altă parte, pentru un numărdat de pereţi transversali etanşi un bord liber mai mare sporeşte şansele desupravieţuire ale navei. Dacă deasupra punţii pereţilor transversali etanşi, nava areconstrucţii etanşe (suprastructuri, rufuri) atunci efectul pozitiv al acestora va ficonsiderabil, în special dacă sunt situate la extremităţile navei sau în borduri, încondiţii dinamice de ruliu şi tangaj.

f) Pierderea navei. Dacă partea din corp care trebuie să se scufunde pentru arealiza echilibrul depăşeşte rezerva de flotabilitate sau dacă momentul transversal deînclinare datorat inundării este mai mare decât momentul maxim de redresare alnavei avariate, nava se va scufunda cu sau fără răsturnare. Chiar atunci cândcompartimentul inundat este simetric faţă de PD , nava se poate răsturna în condiţiiîn care înălţimea metacentrică rezultantă este negativă şi stabilitatea dinamică estenegativă.

49. CALCULELE STABILITĂŢII DE AVARIE

Calculele condiţiilor de flotabilitate şi stabilitate ale unei nave care are uncompartiment sau un grup de compartimente inundate se poate face prin douămetode echivalente.

Prima metodă denumită şi "metoda ambarcării de mase la bord" porneşte de laipoteza că masa de apă ce inundă nava este o masă ambarcată, iar consecinţeleasupra flotabilităţii şi stabilităţii se studiază folosind algoritmul prezentat în §27.Metoda nu exprimă realitatea pe care o descrie deoarece apa intră şi iese liber în şidin compartimentul inundat, deci nu se adaugă mase suplimentare pe navă. Ea are şicâteva dezavantaje cum sunt: dificultatea de a evalua cantitatea de apă care pătrundeîn compartiment, modificarea cotei KG a centrului de greutate al navei, necesitatealuării în considerare a influenţei suprafeţelor libere de lichid. Vom mai nota şi cărelaţiile fundamentale pe care le vom utiliza în calculul lungimilor inundabileprecum şi raţionamentele necesare se bazează pe metoda ambarcării de mase la bord.

În contrast, a doua metodă denumită "metoda deplasamentului constant" constăîn excluderea zonei compartimentului inundat din flotabilitatea navei. Se înlăturăinconvenientele primei metode şi se pot calcula pescajul, asieta şi înclinareatransversală, egalând pierderea de flotabilitate şi momentele acesteia cu câştigul deflotabilitate ce rezultă prin mărirea pescajului mediu şi cu momentele acestuia.

În ambele metode se presupune că asieta şi înclinarea transversală sunt fizicindependente, ceea ce nu este exact, dar destul de adecvat pentru navele comercialeobişnuite. În cele ce urmează vom prezenta algoritmul de aplicare al ambelor metodecu specificaţia că metoda ambarcării de mase se pretează la inundarea primelor douătipuri de compartimente din clasificarea făcută în §47 (Fig. 138 a, b), iar metoda

Page 258: Statica Navei

_______________________________________________________________________________262

deplasamentului constant se va aplica pentru studiul consecinţelor inundării unuicompartiment cu suprafaţă liberă care comunică cu marea (Fig. 138c).

49.1 Metoda ambarcării de mase la bord

Permeabilitatea compartimentelor

Pentru a calcula efectele inundării unui compartiment folosind metodaambarcării de mase este absolut necesară cunoaşterea volumului real de apă careinundă compartimentul. Volumul teoretic al compartimentului se calculează dinplanul de forme, neţinându-se cont de structura de rezistenţă a corpului sau dediferitele maşini, instalaţii, echipamente, marfă, amenajări etc. care există în interior.Rezultă că volumul real de apă care inundă compartimentul ocupă numai o parte dinvolumul teoretic. Raportul celor două volume se notează prin m şi poartă numele decoeficient de permeabilitate:

rvv

m = (49.1)

Dacă într-un compartiment sunt amplasate încăperi cu destinaţii diferite se poatecalcula o valoare medie a coeficientului de permeabilitate cu relaţia:

i ii

ii

v

v

mm =

åå

(49.2)

Vom prezenta, în continuare, câteva valori ale coeficientului de permeabilitatecorespunzător la diferite tipuri de compartimente, recomandate de literatura despecialitate cu specificaţia că sunt orientative deoarece în cazul compartimentelor demarfă de exemplu; coeficientul de permeabilitate variază de la un compartiment laaltul şi de la voiaj la voiaj. Valorile de mai jos sunt recomandate de R.N.R.

Tipul compartimentului Permeabilitatea- Încăperi în care sunt instalate maşini, mecanisme,staţii electrice, precum şi utilajul tehnologic lanavele de pescuit

0,85

- Încăperi de locuit, magazii goale de mărfuri,magazii 0,95

- Tancuri de încărcături lichide 0- Tancuri goale 0,95- Magazii de mărfuri prevăzute cu instalaţiifrigorifice 0,93

- Magazii umplute cu mărfuri generale sau în vrac 0,6

Page 259: Statica Navei

_______________________________________________________________________________263

Tipul compartimentului Permeabilitateasau cu provizii (excepţie fac magaziile deminereuri)- Încăperi umplute cu material lemnos 0,35

Calculul consecinţelor inundării unui compartiment care nu comunică cu marea

Pentru efectuarea acestui calcul sunt necesare următoarele date iniţiale desprenavă:

- deplasamentul navei, D- lungimea navei, L- pescajele măsurate la scările de pescaj prova şi pupa, pvd şi ppd

- aria suprafeţei plutirii, WLA- abscisa centrului plutirii, Fx

- înălţimile metacentrice transversală şi longitudinală, GM şi LGMSunt necesare şi următoarele date despre compartimentul inundat:

- masa de apă care inundă compartimentul, P- coordonatele centrului masei P , 1 1 1, ,x y z- momentele de inerţie ale suprafeţei libere de lichid în raport cu axele

proprii, paralele cu axele principale de înclinare ale navei, ,x yi i .Utilizând relaţiile descoperite în §27, se pot spune în evidenţă următoarele

consecinţe ale inundării:1. Variaţia pescajului mediu:

[ ]WL

P Pd cmA TPC

d = =r

(49.3)

2. Variaţia înălţimii metacentrice transversale:

( ) 12xiP dGM d z GM

P Prdæ öd = + - - -ç ÷D + è ø

(49.4)

unde:

2pv ppd d

d+

= (49.5)

este pescajul mediu al navei.3. Valoarea înălţimii metacentrice transversale corectate:

( )1 1G M GM GM= + d

Obs. În condiţiile în care masa P este mică, cu suficient de bună acurateţe se poaterecurge şi la următoarea manieră de lucru. Se consideră .KM const= şi:

( ) ( )1PKG z KG

Pd = -

D + (49.6)

Rezultă că noua cotă a centrului de greutate al navei este:

Page 260: Statica Navei

_______________________________________________________________________________264

( )1KG KG KG= + d (49.7)şi noua înălţime metacentrică transversală:

1 1xiG M KM KGP

r= - -

D + (49.8)

4. Variaţia înălţimii metacentrice longitudinale:

( ) 12y y

L L L

i iP d PGM d z GM GMP P P P

r ræ ö æ ödd = + - - - @ - +ç ÷ ç ÷D + D +è ø è ø

(49.9)

5. Valoarea înălţimii metacentrice longitudinale corectate:( )1 1L L LG M GM GM= + d (49.10)

6. Înclinarea transversală a navei:

( )1

1 1

tgP yP G M

j @ j =D +

(49.11)

Dacă nava avea o înclinare transversală iniţială 0j , după inundare noua înclinare secalculează cu relaţia:

1 01 1

GMG M

j = j + j (49.12)

unde 0j are semn algebric.7. Faţă de poziţia iniţială nava se va mai înclina longitudinal cu unghiul:

( )( )

1

1 1

tg F

L

P x xP G M-

q @ q =D +

(49.13)

înclinarea finală în plan longitudinal fiind:

1pv ppd d

L-

q = + q

8. Variaţiile pescajelor la extremităţile navei:

tg2pv FLd d xæ öd =d + - qç ÷

è ø (49.14)

tg2pp FLd d xæ öd =d - + qç ÷

è ø (49.15)

9. Pescajele finale la extremităţile navei:1pv pv pvd d d= + d (49.16)

1pp pp ppd d d= + d (49.17)Algoritmul de calcul prezentat mai sus este valabil pentru compartimentele

deschise la partea superioară sau pentru compartimentele parţial umplute. Atuncicând compartimentul este închis la partea superioară şi complet inundat, relaţiile demai sus rămân valabile cu deosebirea că, neavând suprafeţe libere de lichid,

0x yi i= = .

Page 261: Statica Navei

_______________________________________________________________________________265

De asemenea, algoritmul de calcul prezentat mai sus este valabil în ipotezele:0,1P < D şi navă cu borduri verticale şi înclinări mici. Dacă 0,1P > D , studiul

consecinţelor inundării se face utilizând diagrama de carene drepte.

49.2 Metoda deplasamentului constant

Calculul consecinţelor inundării unui compartiment cu suprafaţă liberă carecomunică cu marea

Se consideră că nava înainte de inundare era pe carenă dreaptă. Vom utilizametoda deplasamentului constant (metoda excluderii) pentru evaluarea consecinţelorinundării, metodă care foloseşte mărimi din diagrama de carene drepte. Pentru uncalcul mai exact sau pentru un caz de avarie complexă se va utiliza tot metodaambarcării de mase la bord în iteraţii succesive, dat fiind faptul că modificareapoziţiei navei în raport cu suprafaţa liberă, schimbă şi masa de apă care inundă nava.

Cu referire la Fig. 139, nava aflată iniţial pe carenă dreaptă (plutirea WL ) îşi vamodifica pescajul mediu, asieta şi se va înclina transversal, simultan. Considerând căaceste efecte nu interacţionează fizic, le vom studia separat.

Fig. 139Variaţia pescajului mediu

Se consideră volumul teoretic al compartimentului inundat, măsurat până laplutirea iniţială şi se notează cu v . Volumul de apă ce inundă compartimentul este

'v v= m . Acelaşi volum, dar sub altă formă, se va regăsi deasupra plutirii iniţiale.Rezultă în primă aproximaţie o variaţie a pescajului mediu egală cu:

Page 262: Statica Navei

_______________________________________________________________________________266

''

WL sWL

v vdA sA

m md = =

-m (49.18)

unde :sm - este coeficientul de permeabilitate al suprafeţei compartimentului;

s - suprafaţa secţiunii orizontale prin compartiment la nivelul plutirii WL ;'WLA - aria plutirii care rămâne intactă după inundare.

În a doua aproximaţie, variaţia finală a pescajului se calculează cu relaţia:

1

' '

2

WL WL

vdA A

md =

+ (49.19)

unde:1

'1WL WL sA A s= -m (49.20)

Se observă din (49.19) că în a doua aproximaţie s-a lucrat cu media aritmetică aariilor '

WLA şi1

'WLA .

Modificarea asietei

Nava se va înclina longitudinal sub acţiunea momentului:eLM g v x= m r (49.21)

unde x este distanţa măsurată longitudinal între centrul de greutate al volumuluipierdut situat sub linia de plutire până la centrul de greutate al volumului câştigatdeasupra plutirii iniţiale. Acest ultim punct poate fi considerat la jumătatea distanţei

' '1F F , unde 'F şi '

1F sunt centrele plutirilor 'WLA şi

1

'WLA . Vom nota cu a şi b

coordonatele centrului de greutate al suprafeţei libere a apei din compartiment laplutirea WL . Vom putea scrie:

( )'

s FWL F sFF

WL s WL s

s a xA x s ax x

A s A sm --m

= = --m -m

(49.22)

's

FWL s

s by

A sm

= --m

(considerând că 0Fy = ) (49.23)

Similar, pentru plutirea 1 1W L scriem:( )1

'11

1

1 1

1

s FFF

WL s

s a xx x

A s

m -= -

-m (49.24)

'1

1 1

1

sF

WL s

s by

A sm

= --m

(49.25)

Volumul câştigat deasupra plutirii WL va avea coordonatele:' ' ' '

1 1; ;2 2 2

F F F FC C C

x x y y dx y z d+ + d

= = = +

Page 263: Statica Navei

_______________________________________________________________________________267

Centrul de greutate al volumului pierdut sub plutirea WL se va determina în funcţiede arhitectura acestui volum, iar coordonatele sale se notează cu ,P Px y şi Pz . Înaceste condiţii, momentul longitudinal de înclinare (49.21) se poate rescrie:

( )eL P CM g v x x= m r - (49.26)Inundarea va modifica şi stabilitatea longitudinală respectiv înălţimea

metacentrică longitudinală. Ţinând cont că centrul de greutate al navei nu îşimodifică poziţia, obţinem:

' ' ' 'L LGM KB B M KG= + - (49.27)

Noua rază metacentrică longitudinală este:1

'' ' f

L

IB M

V= (49.28)

unde1

'fI este momentul de inerţie longitudinal al ariei plutirii 1 1W L rămasă intactă,

care se calculează folosind teorema lui Steiner cu formula:( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1

2 2' '1 1 1f f s y F WL s F FI I i s a x A s x xé ù= -m + - - -m -ê úë û

(49.29)

1yi este momentul de inerţie al suprafeţei libere de lichid în raport cu o axă paralelăcu axa y ce trece prin centrul acestei suprafeţe.

Noua cotă a centrului de carenă este:( )'KB KB KB= + d (49.30)

unde ( )KBd se calculează din relaţia de egalitate a momentelor statice în raport cu unplan paralel cu PB , ce trece prin centrul de carenă iniţial, adică:

( ) ( ) ( )' 'C PKB V v z KB v z KBd = - - - (49.31)

sau mai departe:

( ) ( )' '

2C P Pv v dKB z z d zV V

dæ öd = - = + -ç ÷è ø

(49.32)

Unghiul de înclinare longitudinală se calculează din egalitatea dintre momentulde înclinare şi momentul de stabilitate:

( ) ' tgP C Lg v x x g V GMm r - =r q (49.33)de unde rezultă:

( )'

tg P C

L

v x x

V GM

m -q = (49.34)

Pescajele finale ale navei sunt:

1

' ' tg2pv FLd d d xæ ö= + d + - qç ÷

è ø (49.35)

1

' ' tg2pp FLd d d xæ ö= + d - + qç ÷

è ø (49.36)

Page 264: Statica Navei

_______________________________________________________________________________268

Înclinarea transversală

Compartimentul inundat fiind asimetric faţă de PD , nava se va înclina şitransversal sub acţiunea momentului

( )e P CM g v y y= m r - (49.37)Datorită inundării compartimentului, noua valoare a înălţimii metacentrice

transversale va fi:' ' ' 'GM B M KB KG= + - (49.38)

Pentru calculul noii raze metacentrice transversale se foloseşte relaţia:'

' ' xIB M

V= (49.39)

unde 'xI este momentul de inerţie transversal al ariei plutirii rămase intacte şi se

calculează cu formula:( ) ( )1 1 1

' 2 ' 21 1 1x x s x WL s FI I i s b A s y= -m + - -m (49.40)

1xi este momentul de inerţie al suprafeţei libere în raport cu o axă paralelă cu axa x

ce trece prin centrul acestei suprafeţe.Odată cunoscută valoarea înălţimii metacentrice transversale după inundare, se

va calcula unghiul transversal de înclinare cu formula:( )

'tg P Cv y y

V GM

m -j @ j = (49.41)

Dacă 15j > ° , atunci se va proceda la rezolvarea acestei probleme cu ajutoruldiagramei de stabilitate statică după ce în prealabil a fost calculată pentru navaavariată. Unghiul j nu va fi în nici un caz mai mare decât limita prescrisă deregulile de registru.

50. CALCULUL LUNGIMILOR INUNDABILE

Considerăm o navă care pluteşte iniţial pe carenă dreaptă având plutirea WL şicăreia i se inundă un compartiment care se întinde dintr-un bord în altul, ajungând laplutirea 2 2W L , tangentă la linia de siguranţă şi înclinată longitudinal cu unghiul q .Urmărim determinarea volumului, poziţiei centrului de greutate şi lungimiicompartimentului inundat.

Page 265: Statica Navei

_______________________________________________________________________________269

Fig. 140

Cu referire la Fig. 140, s-au făcut următoarele notaţii:V - volumul carenei la plutirea WL ;

2V - volumul carenei la plutirea 2 2W L ;

2v - volumul net al compartimentului inundat;

B - centrul de carenă corespunzător plutirii WL ;

2B - centrul de carenă corespunzător plutirii 2 2W L ;

2g - centrul de greutate al compartimentului inundat;

G - centrul de greutate al navei.Vom nota cu 2,KG KB şi 2Kg cotele punctelor 2,G B şi 2g , adică distanţele de

la aceste puncte până la linia de bază.La echilibru avem:

( )( )

2 2

42 5 4 2

5

1 1

2 2 2

3 2

4 2 1 2

5 2 2 2

tg

tg

tg

tg cos

tg cos

; rezulta

W

W

v V VV l

v l V l vl

l x KG

l x KB

l x Kg

l x x KB KG

l x x Kg KB

= -

= =

= + q

= + q

= + q

é ù= - + - q që ûé ù= - + - q që û

(50.1)

Page 266: Statica Navei

_______________________________________________________________________________270

Fig. 141

Din grupul de relaţii (50.1) rezultă:( )( )

2 1 2

2 2

2 2 2

tg

tgW

V x x KB KGv V V

x x Kg KB

é ù- + - që û= - =é ù- + - që û

(50.2)

2 2 2 22

2 2

tgWV x V x V KB V KGx Kg

V V V Vé ù- -

= - - qê ú- -ê úë û

(50.3)

Se poate considera că termenii ce conţin pe tgq sunt mici în comparaţie cuceilalţi termeni şi putem scrie:

( )( )

2 12 2

2W

V x xv V V

x x-

= - =-

(50.4)

2 2 1

2W

V x V xx

V V-

=-

(50.5)

Relaţiile (50.4) şi (50.5) se folosesc pentru calculul lungimii compartimentuluiinundat şi pentru poziţionarea centrului de greutate al acestuia, iar erorile datorateneglijării termenilor ce conţin pe tgq sunt oricum mai mici decât erorile introduse deadoptarea permeabilităţilor. Dacă este necesar un calcul cât mai exact se utilizeazăformulele (50.2) şi (50.3).

Vom descrie în continuare o metodă directă de calcul a lungimilor inundabile,utilizând ecuaţiile (50.4) şi (50.5); metodă propusă de ing. F. Shirokauer (1928).

Pe profilul lateral al navei pe care s-au trasat un număr de curbe Bonjean (sepoate lucra chiar pe diagrama Bonjean), se trasează linia de supraimersiune, ladistanţa de 76 mm de la puntea pereţilor etanşi, paralelă cu selatura punţii în planuldiametral. În Fig. 141 este prezentată o diagramă Bonjean cu zece cuple, care seextinde pe înălţime de la un pescaj inferior, dar care se poate reprezenta pornind dela linia de bază, dacă necesităţile o cer.

Page 267: Statica Navei

_______________________________________________________________________________271

Se trasează mai întâi linia paralelă cu linia de bază tangentă la linia desupraimersiune, în punctul cel mai de jos (linia de asietă paralelă). În continuare,Shirokauer propune următorul algoritm de lucru.Fie:

D = înălţimea de la linia de bază la linia de siguranţă (în punctul cel mai dejos);

d = pescajul de la linia de bază până la linia de încărcare de compartimentare(linia corespunzătoare pescajului maxim posibil, permis de regulile după care seefectuează calculele).

Se calculează 1,6 1,5H D d= - .La extremităţile navei, mai precis pe perpendicularele prova şi pupa, se

măsoară, de la linia de asietă paralelă în jos, distanţele / 3 ; 2 / 3H H şi H , ca înFig.141. Din fiecare din cele şase puncte se duc plutiri tangente la linia de siguranţă:trei plutiri apupate ( )1 , 2 , 3A A A şi trei plutiri aprovate ( )1 , 2 , 3F F F . Sunt acum şapteplutiri tangente la linia de siguranţă, la cele şase adăugându-se şi linia de asietăparalelă.

În următoarea etapă se calculează pentru fiecare din cele şapte plutiri tangentela linia de siguranţă, volumul corespunzător al carenei şi abscisa centrului de carenăcu relaţiile:

2

2

2

L

xL

V A dx-

= ò (50.6)

2

2

22

2

1L

B xL

x x x A dxV

-

= = ò (50.7)

Valorile xA se scot din diagrama Bonjean, iar pentru integrare se foloseşte una dinmetodele numerice.

Fig. 142

Page 268: Statica Navei

_______________________________________________________________________________272

Pasul următor constă în calculul volumului compartimentului inundat 2v şi aabscisei centrului de greutate a compartimentului inundat Wx , cu formulele (50.4) şi(50.5). Odată determinate valorile acestor mărimi, se pot trasa aşa numitele "curbe deinterpolare" ca în Fig. 142.

Liniile notate cu 3 , 2 ,... 2 , 3A A F F reprezintă plutirile despre care am vorbitanterior; aşezate pe axa ox la intervale egale. Distanţa dintre intervale este aleasăarbitrar. Deoarece curbele Wx au o curbură pronunţată în vecinătatea plutirilor 3A şi3F , sunt necesare puncte adiţionale pentru construirea acestora. Pentru celelaltecurbe nu sunt necesare puncte adiţionale întrucât în vecinătatea plutirilor 3A şi 3Fcurburile nu sunt pronunţate.

Fig. 143

Pentru calculul lungimilor inundabile vom prezenta o metodă care se bazeazăpe ipoteza că pe lungimea compartimentului inundat, plutirea înclinată se suprapunecu linia de supraimersiune, ceea ce înseamnă că pe aceeaşi lungime, curba ariilorsecţiunilor transversale, corespunzătoare plutirii tangente la linia de siguranţă, seidentifică cu curba ariilor secţiunilor transversale până la linia de siguranţă (Fig.143).

Se trasează, cu ajutorul diagramei Bonjean curba ( )xA x a ariilor secţiunilortransversale pentru linia de siguranţă şi plecând de la una din extremităţi (deexemplu perpendiculara pupa) se calculează integrala acestei curbe, adică

Page 269: Statica Navei

_______________________________________________________________________________273

( )2

x

xL

V x A dx-

= ò (50.8)

Fig. 144

La distanţa Wx de ordonată se trasează o verticală care va intersecta curba ( )V x înpunctul a (Fig. 144). În continuare, se aşează un segment Cde v= astfel încât aria

( )adc să fie egală cu aria ( )aeb , unde Cv este volumul compartimentului 2C

vvæ ö

=ç ÷mè ø.

Această egaliatate exprimă condiţia ca centrul de greutate al compartimentului să segăsească la distanţa Wx de secţiunea de la mijlocul navei. Distanţa dintre punctele bşi c este egală cu lungimea compartimentului care dacă se inundă, nava se scufundăpână la o plutire tangentă la linia de siguranţă. Se proiectează jumătatea lungimii bcpe axa x , obţinând punctul corespunzător jumătăţii compartimentului. Pentruconstruirea lungimilor inundabile, în acest punct se va ridica un segment culungimea l .

51. CALCULUL DIAGRAMEI DE STABILITATE STATICĂ PENTRU ONAVĂ AVARIATĂ

Stabilitatea şi înclinarea transversală a navei după inundare, precum şi asietasau variaţia pescajului mediu, pot fi evaluate fie folosind "metoda deplasamentuluiconstant", fie folosind "metoda ambarcării de mase". Cum "metoda ambarcării demase" a căpătat o aplicabilitate mai largă, o vom utiliza şi în acest caz. Înălţimeametacentrică transversală, corectată datorită suprafeţei libere de lichid este:

2 2 2 22

s xiG M KM KGr m

= - -D

(51.1)

unde:

Page 270: Statica Navei

_______________________________________________________________________________274

2 PD = D + este deplasamentul navei după inundare, considerând şi masa de apăP ambarcată;

sm este coeficientul de permeabilitate al suprafeţei libere a apei dincompartiment;

2KM este cota metacentrului transversal pe plutire dreaptă la deplasamentul2D ;

xi este momentul de inerţie al suprafeţei libere a apei din compartiment înraport cu o axă paralelă cu axa de înclinare, ce trece prin centrul acestei suprafeţe;

2

s xir m-

D este corecţia înălţimii metacentrice datorită influenţei negative a

suprafeţei libere de lichid;2KG este centrul de greutate al navei corespunzător deplasamentului 2D .

Fig. 145

Aşa cum se observă în Fig. 145, compartimentul inundat comunică cu marea,ceea ce înseamnă că apa poate ieşi şi intra liberă în acest spaţiu; prin urmare,deplasamentul în condiţii de inundare nu trebuie să includă şi cantitatea de apă ceinundă nava. Cum pentru înălţimea metacentrică transversală se acceptă o valoareminimă după inundare de 0,05 m , dacă aplicăm "metoda ambarcării de mase" şiconsiderăm noul deplasament 2D , rezultă o valoare minimă a înălţimii metacentrice

egală cu ( )2

2

0,05PD -

×D

. La această valoare s-a ajuns din condiţia păstrării valorii

coeficientului de stabilitate, adică:

( ) ( )22 2

2

0,05 0,05P

PD -

D - = D ×D

(51.2)

Introducând această valoare minimă în membrul stâng al relaţiei (51.1), rezultă:

Page 271: Statica Navei

_______________________________________________________________________________275

( )22 2

2 2

0,05 s xP iKM KG

D - r m= - -

D D (51.3)

şi 2KG sub forma:( )2

2 22 2

0,05s x PiKG KM

D -r m= - -

D D (51.4)

Cota centrului de greutate înainte de inundare se calculează cu relaţia:

( )2 2 1

2

KG P zKGP

D -=

D - (51.5)

Introducem (51.4) în (51.5) şi rezultă valoarea maximă a cotei centrului degreutate iniţial, pentru ca după inundare, stabilitatea transversală să nu fiecompromisă.

2 2 1

2

0,05s xKM i P zKG

PD -r m -

= -D -

(51.6)

Ambarcarea masei de apă P la distanţa 1y faţă de planul PD va deplasa lateralîn acelaşi bord centrul de greutate al navei pe distanţa:

1

2

P yt =

D (51.7)

De asemenea, din (51.5) sau independent, scriind ecuaţia de momente statice faţă dePB , obţinem:

12

2

KG P zKG D +=

D (51.8)

Braţul stabilităţii statice corespunzător unghiului j de înclinare transversalăeste 2 2sl G Zj = şi are expresia:

( )2 2 2 2sin cos sintg

tG Z KN KG t KN KGæ ö

= - j- j =j - -ç ÷jè ø (51.9)

Dacă în relaţia (51.9) introducem (51.7) şi (51.8), după efectuarea câtorva calculematematice elementare, găsim:

( )2 12 2 1

2 2

sintg

P yPG Z KN KG zé ùD - æ ö

= j - - +ê úç ÷D D jè øë û (51.10)

sau:( ) ( )2 2 2 2 2 1 1sin sin sin cosg G Z g KN g P KG g P z yD= D j- D - j- j+ j (51.11)

Membrul stâng reprezintă momentul de stabilitate al navei avariate şi înclinatătransversal cu unghiul j . Cele trei componente din membrul drept au semnificaţiifizice, după cum urmează:

2 2sin sing KN V KND j =r j - este momentul forţei de împingere arhimedică alnavei neavariate cu deplasamentul 2D , în raport cu punctul K ;

Page 272: Statica Navei

_______________________________________________________________________________276

( )2 sing P KGD - j - este momentul forţei de greutate al navei neavariate, înraport cu punctul K ;

( )1 1sin cosg P z yj+ j - este momentul greutăţii ambarcate în raport cu punctulK .

PROBLEME REZOLVATE

Page 273: Statica Navei

_______________________________________________________________________________277

Problema 1O navă tip ponton paralelipipedic are dimensiunile: 110 ;L m=

12 ; 8B m D m= = şi pluteşte în apă sărată la pescajul 6d m= . Un compartiment culungimea 9l m= situat la jumătatea lungimii navei şi care se extinde dintr-un bord încelălalt se inundă. Dacă înainte de inundare cota centrului de greutate era

4,8KG m= , să se determine:a) pescajul navei după inundare;b) înălţimea metacentrică transversală în condiţiile iniţiale;c) înălţimea metacentrică transversală după inundare;d) înălţimea metacentrică transversală a navei neinundate, la pescajul de

inundare considerând acelaşi KG ;e) momentul de stabilitate al navei înclinate transversal cu 1° în condiţiile de la

punctele b); c) şi d).

Rezolvare:METODA DEPLASAMENTULUI CONSTANT- Se calculează pescajul după inundare cu relaţia:

' 'L B d L B d l B d= -

adică:' 110 6 6,535

110 9L dd mL l

×= = =

- -Deplasamentul navei este:

( ) ( )' 1,025 110 9 12 6,535 8118L l B d tD =r - = - × =

Înălţimea metacentrică transversală în condiţiile iniţiale are valoarea:2 26 12 4,8 0, 2

2 12 2 12 6d BGM KM KG KG m

d= - = + - = + - =

×

Dacă nava se înclină transversal cu 1° în această situaţie momentul destabilitate este:

sin 9,81 8118 0,2 277,98180sM g GM g GM KN mj

p= D j @ D j = × × = ×

Înălţimea metacentrică transversală a navei după inundare se calculează cuformula:

( )( )

3'' ' ' ' '

'2 12L l BdGM KM KG KB B M KG KGL l B d-

= - = + - = + --

Prin înlocuire, obţinem:2

' 6,535 12 4,8 0,3042 12 6,535

GM m= + - =×

Page 274: Statica Navei

_______________________________________________________________________________278

Momentul de stabilitate în această situaţie pentru nava înclinată transversal cu1° este:

' ' 'sin 9,81 8118 0,304 422,54180sM g GM g GM KN mj

p= D j @ D j = × × = ×

Se calculează înălţimea metacentrică transversală a navei intacte la pescajul deinundare, considerând aceeaşi cotă a centrului de greutate, cu formula:

' 2

1 2 '2 12d BGM KM KG KG

d= - = + -

După înlocuire, obţinem:2

16,535 12 4,8 0,304

2 12 6,535GM m= + - =

×Momentul de stabilitate pentru nava înclinată transversal cu 1° este:

' '1 1 1sinsM g L B d GM g L B d GMj = r j @ r j

adică:

1 1,025 9,81 110 12 6,535 0,304 460,21180sM KN mj

p= × × × × × × = ×

Problema 2O navă tip ponton paralelipipedic are dimensiunile: 80 ;L m= 6 ; 4B m D m= =

şi pluteşte la pescajul 2d m= . Un compartiment cu lungimea 10l m= , lăţimea4b m= , situat la mijlocul navei şi simetric faţă de PD se inundă. Cunoscând că

înainte de inundare 2,2KG m= , să se calculeze înălţimea metacentrică transversală anavei înainte şi după inundare.

Rezolvare:Se calculează înălţimea metacentrică transversală iniţială:

2 22 6 2, 2 0,32 12 2 12 2d BGM KM KG KG m

d= - = + - = + - =

×

Pescajul după inundare se calculează din relaţia:' 'L B d L B d l b d= -

adică:' 80 6 2 2,182

80 6 10 4L B dd m

L B l b× ×

= = =- × - ×

Se calculează înălţimea metacentrică transversală după inundare:3 3

'' ' ' ' ' 12 12

2

L B l bdGM KM KG KB B M KG KG

L B d

-= - =+ - =+ -

După înlocuire, obţinem:

Page 275: Statica Navei

_______________________________________________________________________________279

3 3' 2,182 80 6 10 4 2, 2 0,335

2 12 80 6 2GM m× - ×

= + - =× × ×

.

Problema 3O navă tip ponton paralelipipedic are dimensiunile: 60 ;L m= 9B m= şi

pluteşte la pescajul 5d m= , având cota centrului de greutate 3KG m= . Uncompartiment situat la jumătatea lungimii navei se extinde pe înălţime până lapuntea principală şi pe lăţime de la tribord spre babord. Dimensiunilecompartimentului sunt 6l m= şi 6b m= . Să se calculeze înclinarea transversală anavei în cazul inundării compartimentului.

Rezolvare:- Noul pescaj al navei se determină din ecuaţia:

' 'L B d L B d l b d= -

adică:' 60 9 5 5,357

60 9 6 6L B dd m

L B l b× ×

= = =- × - ×

Deoarece compartimentul inundat este asimetric faţă de PD , centrul plutiriisuprafeţei libere se va deplasa, iar ordonata acestuia se va calcula cu formula:

'

9 66 62 2 2 2 0,107

60 9 6 6F

B bl by m

L B l b

æ ö æ ö- × × -ç ÷ ç ÷è ø è ø= - = - = -- × - ×

Se calculează înălţimea metacentrică transversală rezultată în urma inundării:''

' ' ' ' '

2xIdGM KM KG KB B M KG KG

V= - = + - = - -

unde:

( ) '

23 3' 2

12 12 2x F

L B l b B bI l b L B l b yé ù-æ ö= - + - -ê úç ÷

è øê úë ûDupă înlocuire, obţinem:

( ) ( )23 3

2' 460 9 6 6 9 66 6 60 9 6 6 0,107 351112 12 2xI m

é ù× × -æ ö= - + × × - × - × - =ê úç ÷è øê úë û

De asemenea:360 9 5 2700V L B d m= = × × =

Rezultă valoarea înălţimii metacentrice transversale:' 5,357 3511 3 0,979

2 2700GM m= + - =

Unghiul de înclinare transversală se calculează cu relaţia:

Page 276: Statica Navei

_______________________________________________________________________________280

'

'

9 66 6 5 0,1072 2tg 0,109 6, 22

60 9 5 0,979

F

B bl b d yrad Tb

L B d GM

- -æ ö æ ö- × × +ç ÷ ç ÷è ø è øj @ j = = = = °

× × ×

Problema 4O navă tip ponton paralelipipedic are dimensiunile: 180 ;L m= 20B m= şi

pluteşte la pescajul 12d m= , având centrul de greutate situat la înălţimea 8KG m= ,deasupra chilei. Un compartiment cu lungimea 12l m= situat la extremitatea prova şicare se întinde dintr-un bord în altul se inundă. Să se calculeze pescajele finale laextremităţile navei.

Rezolvare:- În urma inundării, pescajul mediu ajunge la valoarea:

' 180 20 12 12,857180 20 12 20

L B dd mL B l b

× ×= = =

- × - ×

- Compartimentul inundat este asimetric faţă de cuplul maestru şi ca urmare,centrul plutirii se va deplasa. Abscisa acestuia se calculează cu formula:

'

180 1212 202 2 2 2 6

180 20 12 20F

L ll Bx m

L B l B

æ ö æ ö- × -ç ÷ ç ÷è ø è ø= - = - = -- × - ×

Se calculează înălţimea metacentrică longitudinală rezultată în urma inundării:1

''' ' ' '

2f

L L

IdGM KB B M KG KGV

= + - = - -

unde:

( ) '1

23 3' 2

12 12 2 2f F

B L B l L lI l B L B l B xæ ö= - - - - -ç ÷è ø

Prin înlocuire, rezultă:

( ) ( )1

23 32' 420 180 20 12 180 1212 20 180 20 12 20 6 7902720

12 12 2 2fI m× × æ ö= - - × - - × - × - =ç ÷è ø

Valoarea finală a lui 'LGM este:

' 12,857 7902720 8 181,362 180 20 12LGM m= + - =

× ×Nava se va aprova cu unghiul:

'

'

180 1212 20 12 62 2 2 2tg 0,033 1,89

180 20 12 181,36

F

L

L ll B d xrad

L B d GM

æ ö æ ö- - × × - +ç ÷ ç ÷è ø è øq @ q = = = = °

× × ×

Se calculează pescajele finale la extremităţile navei:

Page 277: Statica Navei

_______________________________________________________________________________281

'

'

' '

' '

180tg 12,857 6 0,033 16,0252 2

180tg 12,857 6 0,033 10,0852 2

pv F

pp F

Ld d x m

Ld d x m

æ ö æ ö= + - q =+ + =ç ÷ ç ÷è ø è øæ ö æ ö= - + q =- - =ç ÷ ç ÷è ø è ø

Problema 5O navă tip ponton paralelipipedic are dimensiunile: 100 ;L m=

9 ; 6B m D m= = şi pluteşte în apă sărată la pescajul 5d m= . Un compartiment culungimea 20l m= situat la jumătatea lungimii navei şi care se extinde pe toatălăţimea navei, se inundă. Coeficienţii de permeabilitate sunt 0,583m = şi 0,641sm = .Să se calculeze valorile finale ale pescajului şi înălţimii metacentrice, considerând

3,5KG m= .

Rezolvare:Pescajul final se determină din relaţia:

' 'L B d L B d l B d= -m

adică:' 100 9 5 5,66

100 9 0,583 20 9L B dd m

L B l B× ×

= = =-m × - × ×

Se calculează valoarea finală a înălţimii metacentrice transversale:' ' ' ' 'GM KM KG KB B M KG= - = + -

sau:3 3 3 3

''

100 9 20 90,6415,6612 12 12 12 3,52 2 100 9 5

sL B l B

dGM KGL B d

× ×- m -

= + - =+ -× ×

După efectuarea calculelor, obţinem:' 0,506GM m= .

Page 278: Statica Navei

_______________________________________________________________________________282

BIBLIOGRAFIE

[1] Bidoae I., Sgrumala M. - Proiectarea şi construcţia navelor mici, EdituraTehnică, Bucureşti, 1978

[2] Bidoae I., Sârbu N., Chirică I., Ionaş O. - Îndrumar de proiectare pentruteoria navei, Universitatea din Galaţi, 1986

[3] Bidoae I. - Teoria navei, Universitatea din Galaţi, 1985

[4] Chiţac V. - Capitole de mecanica fluidelor, Note de curs, Academia Navală"Mircea cel Bătrân", Constanţă 1993

[5] Chiţac V. - Teoria valurilor şi capitole de hidromecanică navală, AcademiaNavală "Mircea cel Bătrân", Constanţă 1999

[6] Comstock J. - Principles of Naval Architecture, S.N.A.M.E., NJ, 1967

[7] Deboveanu M. - Tratat de manevra navei (vol I), Lumina Lex, Bucureşti2000

[8] Deboveanu M. - Tratat de manevra navei (vol II), Lumina Lex, Bucureşti2001

[9] Dinu I. - Teoria generală a plutirilor, Editura Academiei RepubliciiSocialiste România, Bucureşti, 1974

[10] Jong B. - Some Notes on Traverse Stability of Ships in IrregularLongitudinal Waves, Technische Hogeschool, Delft, Report No 303, 1970

[11] Kaţman F. - Teoria sudna i dvijiteli, Sudostroenie, Leningrad, 1979

[12] Laster A. R. - Merchant Ship Stability, Butterworths, Taiwan, 1986

[13] Maier V. - Mecanica şi construcţia navei. Statica navei (vol I), EdituraTehnică, Bucureşti, 1985

[14] Miulescu I., Câmpian I. - Teoria navei, Editura Militară, Bucureşti, 1973

Page 279: Statica Navei

_______________________________________________________________________________283

[15] Năstase C. - Calculul şi construcţia navei, Editura Tehnică, 1964[16] Popovici O., Chirică I., Ioan A. - Calculul şi construcţia navei,

Universitatea din Galaţi, 1984

[17] Rajdestvenski B., Lugovski B., Borisov B. - Statika Karablea,Sudostroenie, Leningrad, 1986

[18] Roberts P. - Watchkeeping Safety and Cargo Management in Port. Apractical guide, The Nautical Institute, London, 1995

[19] Semyonov - Tyan - Shansky V. - Statics and Dynamics of the Ship,Sudostroenie, Leningrad, 1973

[20] Voitkunski Ia. N. - Spravocinik po teoria karablea, Sudostroenie,Leningrad, 1976

[21] William E. George - Stability and Trim for the Ship's Officer, CornellMaritime Press, Inc. 1983

[22] X X X - Principles of Naval Architecture - Second revision, (vol I). Stabilityand Strenght, S.N.A.M.E. NJ, 1988

[23] X X X - S.T.C.W. Convention - International Convention on Standards ofTraining, Certification and Watchkeeping for Seafarens, 1978, as amended in1995 and 1997, International Maritime Organization (I.M.O.), London, 1976


Recommended