+ All Categories
Home > Documents > statica metoda fortelor

statica metoda fortelor

Date post: 22-Nov-2014
Category:
Upload: cslay3r
View: 224 times
Download: 4 times
Share this document with a friend
60
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II - TEMA 2 CALCULUL STRUCTURILOR NEDETERMINATE PRIN METODA FORŢELOR ACŢIUNEA FORŢELOR 1) Să se caluleze prin metoda forţelor, structura din figura.1, la acţiunea forţelor exterioare. Se cunosc: Rezolvare: 1) Stabilirea gradului de nedeterminare statică: Gradul de nederminare statică se stabileşte cu relaţia: Structura este de trei ori static nedeterminată. 2) Alegerea sistemului de bază: 1
Transcript
Page 1: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

CALCULUL STRUCTURILOR NEDETERMINATE PRIN METODA FORŢELOR

ACŢIUNEA FORŢELOR

1) Să se caluleze prin metoda forţelor, structura din figura.1, la acţiunea forţelor exterioare.

Se cunosc:

Rezolvare:

1) Stabilirea gradului de nedeterminare statică:

Gradul de nederminare statică se stabileşte cu relaţia:

Structura este de trei ori static nedeterminată.

2) Alegerea sistemului de bază:

Sistemul de bază reprezintă, sistemul ataşat sistemului statict nedeterminat, la care se suprimă atâtea legături exterioare sau interioare cât sunt necesare pentru ca acesta sa devin static determinat.

În locul fiecărei legături suprimate se introduce un efort static nedeterminat, notat, de obicei, cu .

1

Page 2: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Transformare sistemului real în sistem de bază se poate face în diferite feluri, dintre toate variantele se va alege cea mai convenabilă din punct de vedre al calculelor.

În cazul sistemului nostru, sunt prezentate mai jos câteva variante de sisteme de baza ce pot fi ataşate sistemului nedeterminat.

Varianta ce convine fig 2. a).

a)

b) c)

2

Page 3: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

d) e)fig 2

3) Ecuaţiile de echilibru elastic :

Se obţin prin scrierea condiţiilor de compatibilitate pe direcţia legăturilor suprimate:- deplasarea absolută pe direcţia necunoscutelor , este egală cu zero:

Explicitat:

4) Calculul coeficienţilor şi al termenilor liberi

4.1) Coeficienţii principali şi secundari:

- se calculează cu relaţiile:

- unde: : momentele încovoietoare produse pe sistemul de bază static determinat de necunoscuta ,

repectiv , egale cu unitatea.

3

Page 4: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Trasarea diagramelor unitare:

- sistemul incărcat cu :

- sistemul incărcat cu :

4

Page 5: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

- sistemul incărcat cu :

;

Calculul coeficienţilor din sistemul de ecuaţii:

5

Page 6: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Suma coeficienţilor:

4.2 ) Termenii liberi, se calculează cu relaţia :

Unde , reprezintă momentul produs, pe sistemul de bază static determinat, de încărări.

6

Page 7: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

7

Page 8: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Suma termenilor liberi:

5) Verificarea coeficienţilor şi a termenilor liberi.

Coeficienţii sunt corecţi calculaţi dacă este îndeplinită condiţia:

8

Page 9: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Condiţie îndeplinită, coeficienţii sunt corect calculaţi.

Termenii liberi sunt corecţi calculaţi dacă este îndeplinită condiţia:

Condiţie îndeplinită, termenii liberi sunt corect calculaţi.

6) Rezolvarea sistemului de ecuaţii:

9

Page 10: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Echivalent cu:

Soluţia sistemului:

7) Trasarea diagramelor de eforturi:

10

Page 11: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

11

Page 12: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

8) Verificarea diagramelor de eforturi:

8.1) Verificări statice:

- Verificarea nodului B:

12

Page 13: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

- Verificarea diagramei M, prin metoda LMV:

13

Page 14: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

8.2) Verificărea elastică a diagramei de momente încovoietoare:

Diagrama de momente încovoietoare este corect trasată dacă sunt satisfăcute condiţiile:

14

Page 15: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

CEDĂRI DE REAZEME

2) Să se caluleze prin metoda forţelor, structura din figura.2, la acţiunea cedărilor de reazeme:

Se cunosc:

Fig. 2

1) Se adoptă acelaşi sistem de bază:

15

Page 16: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

2) Sistemul de ecuaţii de echilibru elastic are forma:

3) Coeficienţii au valorile:

16

Page 17: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Suma coeficienţilor:

4) Calculul termenilor liberi:

Termenii liberi se calculează cu relaţia generală:

Unde :

- - acţiunea virtuală ;

- - deplasarea după direcţia ;

- reacţiunile din reazemul k.

Sistemul încărcat cu acţiunea virtuală

17

Page 18: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Sistemul încărcat cu acţiunea virtuală

18

Page 19: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Sistemul încărcat cu acţiunea virtuală

5) Verificarea termenilor liberi:

Termenii liberi sunt corect calculaţi dacă este îndeplinită următoarea relaţie:

19

Page 20: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Deci termenii liber sunt corect calculaţi.

6) Reolvarea sistemului de ecuaţii:

Produsul:

Soluţia sistemului:

20

Page 21: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

7) Trasarea diagramelor de eforturi:

Sistemul de bază devine:

Diagrama de forţe axiale:

21

Page 22: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Diagrama de forţe tăietoare:

22

Page 23: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Diagrama de momente:

8) Verificarea diagramei de momente, prin LMV:

23

Page 24: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

ACŢIUNEA VARIAŢIEI DE TEMPERATURĂ

3) Să se caluleze prin metoda forţelor, structura din figura.3, la acţiunea variaţiilor neuniforme de temperatură, din fig. 3:

24

Page 25: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Din relaţia:

- Pentru corpul cu moment de inerţie

- pentru corpul cu momentul de inerţie

- pentru corpul cu moment de inerţie

1) Sistemul de bază:

25

Page 26: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

- se adoptă acelaşi sistem de bază şi, ca urmare, coeficienţii sistemului de ecuaţii de condiţie nu se modifică.

2) Sistemul de ecuaţii de condiţii:

3) Coeficienţii:

26

Page 27: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

4) Calculul termenilor liberi:

Termenii liberi se calculează ce relaţia generală:

În care:- coeficientul de dilatare termică liniară;

- temperature în axul barei: ;

- diferenţa de temperatură între fibrele extreme ale secţiunii transversale a barei: ;

27

Page 28: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

- înălţimea secţiunii transversale a barei;

- Trasarea diagramelor de forţe axiale:

28

Page 29: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

- Determinarea temperaturilor în ax şi a diferenţelor de temperatură:

Valorile pe bare, sunt date în tabelul de mai jos:

BARA ti te Dt tax

AB 20 10 10 15

BC 20 10 10 15

BD 10 10 0 10

DE 10 8 2 9

Fibrele tensionate de diferenţa de temperature, sunt prezentate în figura de mai jos:

29

Page 30: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Termenii liberi:

30

Page 31: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

5) Verificarea termenilor liberi:

Termenii liberi sunt corect calculaţi dacă este îndeplinită condiţia:

6) Rezolvarea sistemului de ecuaţii:

31

Page 32: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Soluţia:

7) Trasarea diagramelor de efortui secţionale:

32

Page 33: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

33

Page 34: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

ECUAŢIA CELOR TREI MOMENTE

Calculul grinzilor continue

1) Gradul de nedeterminare:

2) Sistemul de bază:

Structura este static nedeterminată de 3 ori, sistemul de bază static determinat se obţine suprimând legaturile de continuitate corespunzătoare momentelor din încastrarea 1, respective din reazemele 2, 3

34

Page 35: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

(apar articulaţii), care legături se înlocuiesc cu momentele corespunzătoare, care constituie necunoscutele problemei.

Aşadar sistemul de bază:

Ecuaţia celor trei momente, se aplică astfel:

Pentru nodul i:

Conform relaţiei de mai sus,pentru grinda dată se pot scrie următoarele relaţii:

- pe bara 1-2, nu sunt incărcarcări exterioare, deci

Coeficienţii m’’, respective m’ se gasesc în tabele standardizate.

35

Page 36: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Se inlocuiesc coeficienţii m’’ şi m’ , se rezolva sistemul, apoi cu rezultatele obţinute, se ia fiecare bară separate incărcată cu momentele rezultate din sIstem, şi se rezolvă ca o grindă simplu rezemată.

În final se asamblează toate diagramele.

Soluţia sistemului:

36

Page 37: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

37

Page 38: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

CADRE STATIC NEDETERMINATE

4) Rezolvarea grinzii de mai jos, prin metida forţelor.

38

Page 39: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

1) Stabilirea gradului de nedeterminare statică:

- structura este static nedeterminată 1 dată.

2) Alegerea sistemului de bază:

- se inlocuieşte bara 2-5, cu necunoscuta X1

Deplasarea relativă pe direcţia necunoscutei X1 este egală cu deformaţia axială a barei 2-5

39

Page 40: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

În cazul general când gradul de neterminare este mai mare de 2:

- coeficienţii principali se calculează cu relaţia:

;

- coeficienţii secundari:

Unde: forţele axiale din barele sistemului de bază, statict determinat, produse de încărcări egale cu

unitatea.

- termenii liberi se calculează cu:

;

Unde forţele axiale produse de încărcările reale pe sistemul de bază static determinat.

Determinarea forţelor

40

Page 41: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

- reacţiunile:

La o primă vedere se poate constata că:

Secţionăm barele: 2-4, 3-4, 3-5, şi putem scrie:

- izolăm nodul 2:

41

Page 42: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Determinarea forţelor

Nodul 1:

42

Page 43: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Nodul 2:

Nodul 3

43

Page 44: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Prin analogie:

Bara lungimea l     EA          N

1-2 3 0 EA -74,67 0 0 38,34 -74,67

1-3 3,75 0 EA 94,33 0 0 38,34 94,33

2-4 3 -0,8 EA 74,67 1,92 -179,208 38,34 43,998

2-3 2,25 -0,6 EA 0 0,81 0 38,34 -23,004

3-5 3 -0,8 EA 94,33 1,92 -226,392 38,34 63,658

3-4 3,75 1 EA -24,33 3,75 -91,2375 38,34 14,01

4-6 3 0 EA -94,33 0 0 38,34 -94,33

5-6 3,75 0 EA 116,67 0 0 38,34 116,67

4-5 2,25 -0,6 EA 0 0,81 0 38,34 -23,004

9,21/EA 496,838/EA

d11 D1p

ARCE STATIC NEDETERMINATE

5) Rezolvarea arcului din figură prin metoda forţelor

44

Page 45: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

1. Gradul de nedeterminare:

2. Alegerea sistemului de bază:

3. Ecuaţiile de echilibru elastic:

45

Page 46: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

4. Ecuaţia arcului:- în sistemul arcul are următoarea ecuaţie:

5. Determinarea coeficienţilor:

- cosiderăm sistemul de bază încărcat cu necunoscuta

Într-o secţiune putem scrie:

Deplasarea relativă pe direcţia lui , este dată de:

Unde:

46

Page 47: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Deci:

Momentul dintr-o secţiune :

- cosiderăm sistemul de bază încărcat cu necunoscuta

Deplasarea relativă pe direcţia lui , este dată de:

47

Page 48: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Unde:

Deci:

Momentul dintr-o secţiune :

Termenii ,

Termenii liberi se calculează cu:

48

Page 49: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

Deci in final obţinem:

Pe grinda încastrată, ataşată sistemului de bază, momentul are urmăoarea lege de variaţie:- pe intervalul:

Asadar avem:

Rezolvăm sistemul şi obţinem:

49

Page 50: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

A cărui soluţie este:

Determinarea elementelor geometrice ale secţiunilor arcului:

secţiunea

A 0 0,0 0,556 0,486 0,874

1 4,5 2,2 0,417 0,385 0,923

2 9 3,8 0,278 0,268 0,964

3 13,5 4,7 0,139 0,138 0,990

C 18 5,0 0,000 0,000 1,000

4 22,5 4,7 -0,139 -0,138 0,990

5 27 3,8 -0,278 -0,268 0,964

6 31,5 2,2 -0,417 -0,385 0,923

B 36 0,0 -0,556 -0,486 0,874

50

Page 51: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

51

Page 52: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

52

Page 53: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

53

Page 54: statica metoda fortelor

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

54


Recommended