13

2. STATICA

2.1 STATICA PUNCTULUI MATERIAL

2.1.1 STATICA PUNCTULUI MATERIAL LIBER

2.1.1.1 Compunerea forţelor concurente

Se consideră un punct material M acţionat de un sistem de forţe concurente

, (fig. 2.1).

1

F

x

M

2F

nF

iF

O

z

y

k

j

i

R

Fig. 2.1

Rezultanta sistemului de forţe se calculează cu relaţia:

Se ştie că un vector oarecare poate fi scris în funcţie de proiecţiile sale pe axele

sistemului cartezian astfel:

sau:

14

unde , şi sunt versorii sistemului cartezian, iar , şi sunt proiecţiile

vectorului pe cele 3 axe.

Scriind fiecare componentă a sistemului de forţe conform relaţiei vom avea:

şi aplicând relaţia , rezultanta sistemului de forţe concurente va fi:

Dacă se fac notaţiile:

relaţia devine:

Modulul forţei rezultante se calculează cu relaţia:

iar direcţia se determină cu ajutorul cosinuşilor directori:

În relaţia , şi sunt unghiurile făcute de direcţia forţei rezultante cu axele

Ox, Oy, respectiv Oz.

Observaţie: Rezultanta sistemului de forţe concurente se poate determina şi

cu metoda grafică (geometrică), care este o metodă rapidă, dar cu rezultate mai puţin

exacte, decât în cazul metodei analitice. Astfel, pentru sistemul format din două forţe

concurente (fig. 2.2 a), se aplică principiul (regula) paralelogramului, iar pentru un

sistem format din trei forţe concurente, se aplică regula paralelipipedului (fig. 2.2 b).

În cazul sistemului cu n forţe concurente, , se aplică regula poligonului, în care

se procedează astfel:

1. se alege o forţă din sistem, spre exemplu ;

15

2. în vârful lui se construieşte vectorul , care este un vector echipolent (cu

acelaşi modul, acelaşi sens şi direcţie paralelă) cu vectorul ;

3. se repetă construcţia de la punctul 2, pentru toate forţele din sistem;

4. rezultanta se obţine unind punctul de aplicaţie al forţei cu vârful vectorului

.

În figura 2.3 este prezentată regula poligonului pentru un sistem format din patru

forţe concurente.

De fapt, atât regula paralelipipedului cât şi regula poligonului provin din

regula paralelogramului care se aplică succesiv, pentru perechi de câte două forţe din

sistem.

1F

2F

R

M

1F

2F

3F

R

M

a) b)

Fig. 2.2

1F

M

2F

4F

R

2F

4F

3F

3F

Fig. 2.3

16

Aplicaţia 2.1 Se consideră punctul material M acţionat de un sistem de 4

forţe plane (dispuse în acelaşi plan), (fig. 2.4). Cunoscând că , ,

şi , se cere să se calculeze rezultanta sistemului de forţe

1F

2F

3F

4F

x

y

O M

60

45

Fig. 2.4

Rezolvare:

Vom scrie fiecare forţă din sistem sub formă vectorială, conform relaţiilor

:

Cu relaţiile , componentele rezultantei vor fi:

iar forţa rezultantă are expresia:

Modulul rezultantei se calculează cu relaţia :

17

iar pentru a determina direcţia rezultantei, se calculează cosinusul unghiului făcut de

direcţia rezultantei cu axa Ox:

2.1.1.2 Descompunerea unei forţe după direcţii concurente

În anumite aplicaţii este util să se facă descompunerea unei forţe după

anumite direcţii. Trebuie precizat, însă, că descompunerea este unică dacă se face

după două, sau trei direcţii concurente.

Descompunerea după două direcţii concurente este operaţiunea inversă

compunerii a două forţe concurente, şi se realizează tot cu regula paralelogramului,

iar descompunerea după trei direcţii concurente este operaţiunea inversă compunerii a

trei forţe concurente, şi se realizează cu regula paralelipipedului.

Aplicaţia 2.2 Bara AB, articulată în capătul A, este manevrată în plan

vertical cu ajutorul firului CB, care se consideră în poziţie orizontală (fig. 2.5 a).

Ştiind că în capătul B atârnă o sarcină de greutate G, se cere să se calculeze forţele cu

care sunt solicitate bara şi firul.

90 30

B

A

C

G

90 30

B

A

C

G

BCF

BAF 30

a) b)

Fig. 2.5

Rezolvare:

Se descompune forţa după direcţia barei, respectiv direcţia firului,

construind paralelogramul forţelor (fig. 2.5 b). Forţa cu care bara este comprimată are

modulul:

18

iar forţa cu care este întins firul are modulul:

2.1.1.3 Echilibrul punctului material liber

Condiţia necesară şi suficientă ca un punct material liber, care se află în

repaus, sau în mişcare rectilinie şi uniformă, să rămână în aceeaşi stare mecanică

(adică să se afle în echilibru), este dată de relaţia vectorială:

respectiv de relaţiile scalare:

1

0n

ix

i

F ; 1

0n

iy

i

F ; 1

0n

iz

i

F (2.11)

Din punct de vedere grafic, condiţia de echilibru a punctului material liber

impune ca poligonul forţelor să se închidă.

Aplicaţia 2.3 Inelul O (fig. 2.6 a) este acţionat de trei greutăţi P, Q şi G prin

intermediul unor fire considerate inextensibile şi perfect flexibile. Ştind că atât inelul,

cât şi toate greutăţile, sunt dispuse în acelaşi plan vertical, se cere să se determine

poziţia de echilibru a inelului.

GOP

Q

G

y

xO

P

Q

a) b)

Fig. 2.6

19

Rezolvare:

Inelul O se consideră punct material liber, deoarece nu este constrâns la nicio

restricţie geometrică, poziţia sa în planul vertical fiind determinată doar de greutăţile

P, Q şi G. Pentru determinarea poziţiei de echilibru, se izolează inelul O şi se

reprezintă forţele care acţionează asupra sa (fig. 2.6 b). Deoarece firele care trec peste

cei doi scripeţi, sunt considerate inextensibile şi perfect flexibile, atunci tensiunile din

aceste fire sunt chiar greutăţile P, respectiv G.

Condiţiile pentru echilibrul inelului sunt:

Poziţia de echilibru a inelului este dată de valorile unghiurilor şi . Pentru

determinarea acestora, se aranjează condiţiile de echilibru astfel:

Ridicând la pătrat şi adunând cele două relaţii, rezultă:

din care, făcând calculele, se obţine:

Dacă se înlocuieşte în a doua condiţie de echilibru se obţine:

Observaţie: Unghiurile şi trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

adică se află în cadranul I al cercului trigonometric, în care funcţia trigonometrică

cosinus ia valori cuprinse între 0 şi 1. Rezultă:

din care se obţin condiţiile:

20

Problema se poate rezolva şi cu metoda grafică, construind poligonul celor

trei forţe. Pentru echilibrul inelului, poligonul forţelor trebuie să se închidă.

2.1.2 STATICA PUNCTULUI MATERIAL SUPUS LA LEGĂTURI

Punctul material supus la legături este punctul material căruia i se impun

anumite restricţii geometrice (de exemplu, poate fi constrâns la rezemare pe o curbă,

sau pe o suprafaţă). Din punctul de vedere a stării suprafeţei sau curbei de contact,

legăturile punctului material pot fi:

- cu frecare (aspre);

- fără frecare (lucii, ideale).

Din punctul de vedere a tipului de contact, legăturile punctului material pot fi:

- rezemare pe o suprafaţă;

- rezemare pe o curbă în spaţiu;

- rezemare pe o curbă în plan;

- punct fix.

În studiul staticii punctului material supus la legături se utilizează axioma

legăturilor: Orice legătură poate fi înlocuită cu elemente mecanice corespunzătoare,

numite forţe de legătură sau reacţiuni. Prin urmare se înlocuiesc legăturile cu forţele

corespunzătoare, după care punctul material supus la legături devine punct material

liber.

Se consideră un punct material M, rezemat pe suprafaţa , acţionat de forţa

rezultantă (fig. 2.7). Dacă punctul material M acţionează asupra suprafeţei cu

forţa rezultantă , atunci, conform principiului acţiunii şi reacţiunii, suprafaţa va

reacţiona cu forţa . Se notează cu normala la suprafaţă în punctul M, şi cu

dreapta tangentă rezultată din intersecţia planului tangent în M, cu planul determinat

de normală şi direcţia forţelor şi . Componentele forţelor după cele două direcţii

sunt:

în care reprezintă reacţiunea normală, iar reprezintă forţa de frecare.

21

M

R

nR

tR

n

t

T

N

R

S

Fig. 2.7

Condiţia necesară şi suficientă pentru ca un punct material supus la legături

să fie în echilibru, este:

sau, ţinând cont de relaţiile şi :

Dacă suprafaţa este lucie (rezemarea punctului material este fără

frecare), atunci , iar cele două forţe şi sunt orientate după direcţia

normalei . Condiţia de echilibru, în acest caz, devine:

Aplicaţia 2.4 Un punct material M de greutate G, este menţinut în echilibru,

pe planul înclinat luciu de unghi , cu ajutorul greutăţii F (fig. 2.8). Se cere să se

determine greutatea F şi reacţiunea planului, considerând că firul care face legătura

dintre punctul M şi greutatea G, este inextensibil şi perfect flexibil.

Rezolvare:

Se reprezintă forţele care acţionează asupra punctului material: forţele

exterioare şi , precum şi reacţiunea normală dată de plan. Se face precizarea că,

în condiţiile precizate în care firul este inextensibil şi perfect flexibil, tensiunea din fir

este egală cu gretatea F.

Dacă se alege sistemul de axe Oxy cu originea în punctul M, şi axele

orientate ca în figură, condiţiile de echilibru sunt:

22

R

G

N

F

F

xy

M O

Fig. 2.8

din care rezultă:

Observaţie: Dacă se cunoaşte ecuaţia suprafeţei :

atunci studiul echilibrului punctului material supus la legături se poate face scriind

reacţiunea normală sub forma:

în care este un coeficient cu care se înmulţeşte versorul normalei pentru a se obţine

reacţiunea normală. În aceste condiţii, relaţia devine:

sau, sub formă scalară:

23

Relaţiile şi reprezintă condiţiile de echilibru sub formă vectorială,

respectiv scalară, pentru un punct material rezemat pe o suprafaţă lucie.

Dacă suprafaţa este aspră (rezemarea punctului material este cu

frecare), atunci , iar cele două forţe şi nu mai sunt orientate după

direcţia normalei . Condiţiile de echilibru, în acest caz, sunt date de relaţiile

.

Pentru a pune în evidenţă forţa de frecare care apare în acest caz, se face

experimentul cu un aparat numit tribometru (fig. 2.9). Un corp de greutate , care

poate fi asimilat cu un punct material, se află pe un plan orizontal aspru, şi este

acţionat de o forţă orizontală , reprezentată de tensiunea din firul care leagă corpul

de un taler pe care pot fi aşezate diverse greutăţi (fig. 2.9). Firul de legătură se

consideră inextensibil şi perfect flexibil.

G

N

a)

G

F

R

F

N

'R

T

b)

G

m axR

m axFN

max'R

m axT

m axF

c)

Fig. 2.9

Dacă pe taler nu se aşează nicio greutate, atunci corpul se află în echilibru

sub acţiunea forţei de greutate şi a reacţiunii normale (fig. 2.9 a). Din condiţia de

echilibru rezultă:

Dacă se aşează o greutate pe taler, astfel încât corpul să nu se deplaseze,

asupra corpului acţionează forţele exterioare şi , de rezultantă , şi forţele de

legătură date de plan ( - recţiunea normală şi - forţa de frecare), a căror rezultantă

este reacţiunea (fig. 2.9 b). Cele două forţe rezultante şi fac, cu normala la

plan, unghiul . Între cele două componente ale reacţiunii există relaţia:

24

Mărind forţa orizontală până la valoarea (peste această valoare corpul

ar începe mişcarea) (fig. 2.9 c), se observă că cele două forţe rezultante şi

fac, cu normala la plan, unghiul:

forţa de frecare, în acest caz, fiind:

Dacă se face notaţia:

care reprezintă coeficientul de frecare de alunecare, atunci, din cele trei cazuri

prezentate, rezultă că forţa de frecare acţionează în planul tangent la suprafaţa

comună de contact, se opune mişcării şi are mărimea variabilă:

Dacă forţa orizontală depăşeşte valoarea , atunci corpul începe să se

deplaseze, iar forţa de frecare nu mai creşte, ci rămâne egală cu valoarea .

Experimentele efectuate de Coulomb au condus la formularea legilor frecării

uscate:

1. mărimea forţei de frecare maximă este direct proporţională cu mărimea

recţiunii normale;

2. mărimea forţei de frecare depinde de natura şi starea corpurilor aflate în

contact;

3. mărimea forţei de frecare nu depinde de mărimea suprafeţelor în contact şi

nici de viteza relativă de deplasare dintre cele două corpuri.

În concluzie, la studiul echilibrului punctului material supus la legături cu

frecare, în afara condiţiilor exprimate în relaţia , se va utiliza şi condiţia

suplimentară:

Aplicaţia 2.5 Un punct material M de greutate G, este menţinut în echilibru,

pe planul înclinat aspru de unghi , cu ajutorul greutăţii F (fig. 2.10). Se cere să se

determine greutatea F şi reacţiunea planului, considerând că firul care face legătura

dintre punctul M şi greutatea G, este inextensibil şi perfect flexibil.

Rezolvare:

Se reprezintă forţele care acţionează asupra punctului material: forţele

exterioare şi , precum şi forţele de legătură date de plan (reacţiunea normală şi

forţa de frecare ). Se face precizarea că, în condiţiile precizate în care firul este

inextensibil şi perfect flexibil, tensiunea din fir este egală cu greutatea F. Deoarece

25

sensul forţei de frecare depinde de tendinţa de mişcare a punctului material,

rezolvarea problemei se va face în două cazuri:

G

N

F

F

xy

Tendinţa

de depla

sare

T

O

a)

G

N

F

F

xy

Tendinţa

de depla

sare

TO

b)

Fig. 2.10

a) Tendinţa de mişcare a punctului material este în sus (fig 2.10 a).

Din condiţiile de echilibru pe axele Ox şi Oy, inclusiv condiţia suplimentară, rezultă:

Cu forţele F şi N determinate din cele două ecuaţii, condiţia suplimentară devine:

din care rezultă:

b) Tendinţa de mişcare a punctului material este în jos (fig 2.10 b).

Condiţiile de echilibru, în acest caz, conduc la relaţiile:

26

Cu forţele F şi N determinate din cele două ecuaţii, condiţia suplimentară devine:

din care rezultă:

În concluzie, spre deosebire de cazul în care suprafaţa planului înclinat este

lucie (fără frecare), când pe taler trebuie aşezată greutatea , pentru a

asigura echilibrul punctului material M, în situaţia în care suprafaţa planului înclinat

este aspră (cu frecare), pe taler poate fi aşezată o greutate F care verifică condiţiile:

Se observă că, în ambele situaţii (cu/fără frecare), reacţiunea normală dată de planul

înclinat este aceeaşi:

Observaţie: Dacă se cunoaşte ecuaţia suprafeţei dată de relaţia ,

atunci condiţia suplimentară (relaţia 2.27) se înlocuieşte cu condiţia:

sau, ţinând cont de faptul că ambele unghiuri sunt în cadranul I în cercul

trigonometric:

Membrul drept al relaţiei poate fi scris sub forma:

Din produsul scalar dintre forţa rezultantă şi versorul normalei la plan , rezultă:

Cu relaţiile şi , condiţia devine:

Aplicaţia 2.6 Se cere să se determine poziţiile de echilibru pentru un punct

material de greutate G, aflat pe paraboloidul de revoluţie de ecuaţie:

27

Coeficientul de frecare de alunecare este .

Rezolvare:

Se reprezintă paraboloidul de revoluţie în sistemul de coordonate cartezian

Oxyz, cu vârful în origine şi axa Oz axă de simetrie (fig. 2.11). Rezultanta forţelor

exterioare este:

iar derivatele parţiale sunt:

x

z

yO

M

G

z

Fig. 2.11

Aplicând relaţia se obţine:

sau, făcând calculele:

Dacă ecuaţia paraboloidului se scrie sub forma:

atunci condiţia de echilibru a punctului material devine:

28

care reprezintă cota maximă până la care punctului material rămâne în echilibru pe

paraboloid.

2.2 STATICA RIGIDULUI

2.2.1 CARACTERUL DE VECTOR ALUNECĂTOR AL FORŢEI CARE

ACŢIONEAZĂ ASUPRA UNUI RIGID

Considerăm forţa care acţionează asupra unui rigid în punctul A (fig.

2.12). Într-un punct oarecare B situat pe suportul forţei , introducem un sistem de

două forţe egale şi direct opuse şi - , obţinându-se un sistem de trei forţe,

echivalent cu sistemul iniţial format din forţa în punctul A. În continuare putem

elimina forţele din A şi - din B, rămânând forţa în B.

A A A

B B

FF

F

F

F

Fig. 2.12

În concluzie putem spune că o forţă care acţionează asupra unui rigid este un

vector alunecător, adică poate să-şi schimbe punctul de aplicaţie de-a lungul său,

efectul mecanic asupra rigidului rămânând neschimbat.

2.2.2 MOMENTUL UNEI FORŢE ÎN RAPORT CU UN PUNCT

Considerăm forţa care acţionează asupra unui rigid în punctul A(x,y,z),

raportat la sistemul de axe Oxyz (fig. 2.13).

Prin definiţie, momentul forţei , calculat în raport cu punctul O, are expresia:

29

y

F

rd

O

z

x

OM

),,( zyxA

Fig. 2.13

Dacă vectorul al punctului de aplicaţie al forţei, faţă de origine, se notează ,

relaţia (2.33) devine:

Modulul momentului forţei calculat în raport cu punctul O este:

în care d = braţul forţei, adică distanţa de la punctul O unde se calculează momentul,

la suportul forţei.

Dacă vectorii şi sunt scrişi sub forma vectorială:

relaţia (2.34) devine:

30

2.2.3 MOMENTUL UNEI FORŢE ÎN RAPORT CU O AXĂ

Considerăm forţa care acţionează asupra unui rigid în punctul A şi o axă Δ

de versor (fig. 2.14).

Fig. 2.14

Prin definiţie, momentul forţei în raport cu axa Δ reprezintă proiecţia pe

axa Δ a momentului forţei , calculat în raport cu orice punct de pe axa Δ. Dacă

alegem un punct pe axa Δ, conform definiţiei avem:

Pentru a demonstra că momentul forţei în raport cu axa Δ nu depinde de poziţia

punctului , alegem un alt punct pe axa Δ, şi avem:

Observaţie: De regulă, în aplicaţiile practice se foloseşte o altă definiţie

echivalentă pentru determinarea momentului forţei în raport cu o axă. Pentru

aceasta se construieşte un plan P perpendicular pe axa Δ, care conţine punctul A,

u

)(2 FMO

2O

A1r

1O

F

2r

1)(1 FMO

2

31

după care se descompune forţa în componentele şi (componenta paralelă

cu axa, iar componenta în planul P) – (fig. 2.15).

P

u

F

A

1O1r

1F

2F

Fig. 2.15

În aceste condiţii momentul forţei în raport cu axa Δ va fi:

În concluzie, forţele care sunt paralele cu o axă, sau care intersectează o axă,

nu dau moment faţă de axa respectivă.

2.2.4 TEOREMA MOMENTELOR (VARIGNON)

Considerăm un sistem de n forţe concurente în punctul A. Forţa rezultantă

este:

Dacă înmulţim relaţia (2.41), la stânga, cu - vectorul de poziţie al punctului

A faţă de originea sistemului de referinţă, obţinem:

Termenii din relaţia (2.42) reprezintă momentele forţei rezultante, respectiv

momentele componentelor sistemului de forţe, calculate faţă de punctul O:

32

Relaţia (2.43) reprezintă teorema momentelor unui sistem de n forţe concurente

(teorema Varignon) faţă de un punct fix O.

Dacă înmulţim relaţia (2.43) cu - versorul unei axe Δ, obţinem:

în care termenii reprezintă momentele forţei rezultante, respectiv momentele

componentelor sistemului de forţe, calculate faţă de axa Δ. Se obţine, astfel, teorema

momentelor unui sistem de n forţe concurente (teorema Varignon) faţă de o axă Δ:

2.2.5 SISTEME DE FORŢE ECHIVALENTE. OPERAŢII ELEMENTARE

DE ECHIVALENŢĂ

Două sisteme de forţe care acţionează asupra unui rigid şi produc acelaşi

efect mecanic în orice punct al rigidului se numesc sisteme de forţe echivalente.

Operaţiile elementare de echivalenţă prin care se obţin sisteme de forţe

echivalente sunt:

1. Orice forţă care acţionează asupra unui rigid poate fi deplasată de-a lungul

suportului său (are caracter de vector alunecător);

2. Se pot suprima sau introduce două forţe egale şi direct opuse, din/în orice

punct al rigidului;

3. Mai multe forţe concurente pot fi înlocuite prin rezultanta lor;

4. O forţă poate fi înlocuită prin componentele sale.

2.2.6 CUPLURI DE FORŢE

Un sistem de 2 forţe paralele şi de sens opus formează un cuplu de forţe.

Considerăm un rigid acţionat de un cuplu de forţe în planul P, aflate la distanţa d

(fig. 2.16).

Momentul cuplului de forţe calculat într-un punct oarecare O va fi:

Mărimea (modulul) momentului cuplului de forţe este dată de relaţia:

33

P P

F

d

BO

AA

OBF

OM

Fig. 2.16

Aşa cum se observă din figura 2.16, un cuplu de forţe este echivalent cu un moment

, care tinde să rotească rigidul în jurul unei axe perpendiculare pe planul P .

Observaţie: Un cuplu de forţe poate fi înlocuit printr-un alt cuplu de forţe

echivalent, care acţionează în acelaşi plan, sau într-un plan paralel.

2.2.7 REDUCEREA UNEI FORŢE APLICATĂ ÎNTR-UN PUNCT AL UNUI

RIGID

Considerăm forţa care acţionează asupra unui rigid în punctul A. Într-un

punct oarecare O al rigidului introducem două forţe egale şi direct opuse, obţinând

astfel, un sistem de forţe echivalent cu cel iniţial. Forţele din A şi - din O

formează un cuplu de forţe, care determină momentul (fig. 2.17).

Ansamblul format din cele 2 elemente şi se numeşte torsorul forţei în punctul

O şi se notează , sau simplu :

Prin urmare, efectul mecanic al forţei într-un punct oarecare O al rigidului este

reprezentat atât de forţa cât şi de momentul .

34

F

OM

F

F

F

F

F

F

F

O OOOO

A

A

AAAA

Fig. 2.17

Dacă se calculează torsorul forţei în alt punct , se obţine:

2.2.8 REDUCEREA UNUI SISTEM DE FORŢE OARECARE APLICATE

UNUI RIGID. INVARIANŢII OPERAŢIEI DE REDUCERE

Considerăm un sistem de n forţe oarecare ce acţionează asupra unui rigid

(fig.2.18).

Reducând fiecare forţă din sistem într-un punct oarecare O, se obţin forţele

şi momentele , pentru , care determină, în continuare, torsorul

sistemului de forţe în punctul O (forţa rezultantă şi momentul rezultant ):

Dacă se calculează torsorul sistemului de forţe în alt punct , se obţine:

35

1A

2A1A1A

nA

2A2A

1F

nAnA

OM1

O

R

nF

2F

1F

2F

nF

O O

OMOM2

nOM

Fig. 2.18

Relaţiile (2.49) şi (2.50) arată faptul că, indiferent de punctul în care se calculează

torsorul, rezultanta sistemului de forţe este o mărime invariantă. Înmulţind scalar cei

doi vectori ai torsorului în punctul , obţinem:

ceea ce arată că şi produsul scalar dintre şi este, de asemenea, invariant (nu

depinde de punctul în care se face reducerea sistemului de forţe).

Proiecţia vectorului moment pe direcţia rezultantei (fig. 2.19), are

mărimea:

1A

2A

nA

O

1A

2A

nA

O

O

ONM

NOM

OM RM

OM

RM

R

R

Fig. 2.19

36

În concluzie, la reducerea unui sistem de forţe oarecare ce acţionează asupra

unui rigid, există două mărimi care nu se modifică (invarianţi):

- forţa rezultantă ;

- proiecţia vectorului moment pe direcţia rezultantei - .

2.2.9 TORSOR MINIMAL. AXA CENTRALĂ

După ce s-a obţinut torsorul în punctul O, se pune problema dacă acest torsor

nu mai poate încă să fie simplificat. Având în vedere că variază (ca mărime,

direcţie şi sens), în funcţie de punctul în care se face reducerea sistemului de forţe,

rezultă faptul că există un punct , ,P x y z în care această componentă să fie nulă.

Torsorul în acest punct se numeşte torsor minimal şi are elementele:

Se pune problema dacă punctul P este singular, sau există mai multe puncte

în care se obţine torsor minimal în urma operaţiei de reducere. Pentru aceasta, să

considerăm un punct , situat pe o dreaptă care este paralelă cu direcţia rezultantei şi

trece prin P (fig. 2.20). Momentul calculat în punctul , conform relaţiei de

legătură între momentele calculate în două puncte distincte (relaţia 2.50), este:

Relaţia (2.54) arată faptul că există o infinitate de puncte dispuse pe o axă, numită

axa centrală, în care, dacă se face reducerea sistemului de forţe, se obţine torsor

minimal.

Pentru a determina ecuaţia axei centrale, se scrie expresia momentului din

punctul P, în funcţie de momentul :

din care, dacă se fac calculele şi se grupează corespunzător, se obţine:

37

OM

R

O

RM

ONM

, ,P x y z

P

RM

RM

R

R

Axacentrala

Fig. 2.20

Ecuaţia axei centrale se obţine din condiţia de coliniaritate dintre cei doi vectori ai

torsorului minimal (forţa rezultantă şi momentul ), şi anume componentele lor

pe cele trei axe să fie proporţionale:

Aplicaţia 2.7 Un rigid de formă paralelipipedică este supus acţiunii unui

sistem de 4 forţe (fig. 2.21 a), având mărimile: , ,

, . Dimensiunile paralelipipedului sunt: ,

, . Să se determine torsorul în punctul O, axa centrală şi torsorul

minimal.

Rezolvare:

Pentru început vom scrie toate forţele din sistem sub formă vectorială. Forţa

are direcţia paralelă cu axa Oy, astfel că se proiectează în întregime pe această axă:

Forţa se află chiar pe axa Ox, dar are sensul contrar axei Ox:

38

z

A B

C

DE

F G

O

x

y

4F

3F

2F

1F

z

A B

C

DE

F G

O

x

y

OM

z

A B

C

DE

F G

O

x

y

3 ,0,12a a

0,4 ,12a a

0,4 ,0a

3 ,0,0a 3 ,4 ,0a a

R

R

RM

)a )b )c

Fig. 2.21

Pentru forţa putem folosi una din următoarele două metode:

Metoda geometrică:

Din triunghiul dreptunghic DGF avem:

şi făcând înlocuirile se obţine:

Metoda analitică:

Înlocuind, obţinem:

Pentru forţa vom folosi metoda analitică:

39

Forţa rezultantă a sistemului de forţe dat este:

Pentru a determina momentul rezultant al sistemului de forţe, vom calcula

momentul fiecărei forţe din sistem, utilizând relaţia :

Din figură se observă că forţa intersectează axa Ox şi este paralelă cu axa Oy, deci

nu dă momente faţă de aceste axe.

Suportul forţei trece chiar prin punctul O, prin urmare nu dă moment faţă de acest

punct.

Forţa intersectează axa Oy şi nu dă moment faţă de această axă. Momentul

rezultant al sistemului de forţe va fi:

În concluzie, torsorul sistemului de forţe în punctul O este (fig. 2.21 b):

40

Pentru determinarea axei centrale folosim ecuaţiile :

Observăm că la prima fracţie avem 0 la numitor. În toate situaţiile în care, la una din

fracţiile ecuaţiilor axei centrale apare 0 la numitor (componenta corespunzătoare a

forţei rezultante este nulă), vom pune condiţia ca şi numărătorul să fie nul. În cazul

nostru avem:

Aceasta reprezintă ecuaţia axei centrale pentru sistemul de forţe dat. Este o dreaptă

din planul Oyz şi este paralelă cu forţa rezultantă (fig. 2.21 c).

Torsorul minimal este reprezentat în figura 2.21 c, şi se determină cu relaţia

:

în care modulul momentului se determină cu relaţia :

Aplicaţia 2.8 Un cub de latură a este supus acţiunii unui sistem de 5 forţe,

având mărimile , (fig. 2.22 a). Se cere să se determine torsorul

în punctul O, axa centrală şi torsorul minimal.

z

A B

C

DE

FG

O

x

y

x

OM

R

RM5F

4F

3F

2F

1F

A B

C

DE

FG

Oy

z

A B

C

DE

FG

Oy

z

R

Axa

ce

ntr

ala

a) b) c)

Fig. 2.22

41

Rezolvare:

Se procedează ca la aplicaţia anterioară. Pentru uşurinţa calculelor, se poate

lucra tabelar.

Tabelul 2.1

Forţa

0 0 F 0 -Fa 0

0 0 F Fa -Fa 0

0 0 F Fa 0 0

F 0 0 0 Fa 0

-F 0 0 0 -Fa Fa

0 0 3F 2Fa -2Fa Fa

Însumând pe coloane în tabelul 2.1 obţinem componentele forţei rezultante şi ale

momentului rezultant. Torsorul în punctul O va fi (Fig. 2.22 b):

Ecuaţia axei centrale se obţine utilizând relaţia (2.56). Făcând înlocuirile

obţinem:

din care rezultă: , . Prin urmare, axa centrală este o dreaptă paralelă cu

axa Oz (Fig. 2.22 c), care înţeapă planul Oxy în punctul de coordonate

Torsorul minimal se obţine utilizând relaţia (2.53), în care modulul lui

este:

42

2.2.10 CAZURILE DE REDUCERE ALE UNUI SISTEM DE FORŢE

OARECARE

La reducerea unui sistem de forţe oarecare pot exista 4 cazuri:

Cazul I: ; ……… sistem echivalent cu zero (sistem în echilibru);

Cazul II: ; ……… sistem echivalent cu un cuplu de forţe (Fig. 2.23).

F

F

d

P

O

P

OM

Fig. 2.23

În acest caz sistemul este echivalent cu un cuplu de forţe situat într-un plan ,

perpendicular pe direcţia momentului, care se determină astfel:

- dacă se alege forţa , se calculează distanţa d cu relaţia:

- dacă se alege distanţa d, se calculează forţa cu relaţia:

Cazul III: ; ……… sistem echivalent cu o forţă unică aplicată în

O;

Cazul IV: ; . În acest caz, în funcţie de unghiul format de cei

doi vectori, putem avea două subcazuri:

IV.1. ……… sistem echivalent cu o forţă unică aplicată pe axa

centrală (fig. 2.24).

Distanţa de la punctul O la axa centrală se calculează cu relaţia:

43

P

O

P

OM

R

R

Axa

centrala

d

O

Fig. 2.24

IV.2. ……… sistem echivalent cu o forţă aplicată pe axa centrală şi

un cuplu de forţe dispus perpendicular pe axa centrală (fig. 2.25). Distanţa între

forţele cuplului se calculează cu relaţia:

OM

R

R

Axa

ce

ntr

ala

O

F

F

d

PP

Fig. 2.25

44

2.2.11 REDUCEREA SISTEMULUI DE FORŢE PLANE CARE

ACŢIONEAZĂ ASUPRA UNUI RIGID

Considerăm un sistem de n forţe plane (care au direcţiile situate în acelaşi

plan – Oxy), care acţionează asupra unui rigid (Fig. 2.26).

O x

y

ir

iF

nF

2F

1F

Fig. 2.26

Ştiind că momentul unei forţe faţă de un punct este perpendicular pe planul

determinat de direcţia forţei respective şi vectorul său de poziţie, rezultă că momentul

întregului sistem de forţe plane se află pe direcţia axei Oz. Torsorul în punctul O are

expresia:

Cum cei doi vectori sunt perpendiculari, rezultă că, în cazul sistemelor de

forţe plane, torsorul minimal este întotdeauna determinat de o forţă rezultantă situată

pe axa centrală. Făcând înlocuirile în ecuaţia generală a axei centrale, obţinem:

şi egalând cu 0 numărătorul din fracţia a treia, se obţine ecuaţia axei centrale în cazul

sistemelor de forţe plane:

45

Cazurile de reducere în cazul sistemelor de forţe plane sunt:

Cazul I: ; ……… sistem echivalent cu zero (sistem în echilibru);

Cazul II: ; ……… sistem echivalent cu un cuplu de forţe;

Cazul III: ; ……… sistem echivalent cu o forţă unică aplicată în

O;

Cazul IV: ; , …….. sistem echivalent cu o forţă unică

aplicată pe axa centrală.

Aplicaţia 2.9 Un stâlp de greutate G şi înălţime h este fixat într-o fundaţie

de beton de greutate Q şi dimensiuni , în planul Oxy (fig. 2.27). Care este

valoarea maximă a modulului forţei , astfel încât construcţia să nu se răstoarne în

jurul punctului D? Unghiul dintre direcţia forţei şi verticală, se consideră

cunoscut.

O xD

a

b

h

Q

F

y

G

Fig. 2.27

Rezolvare:

Asupra construcţiei acţionează un sistem de trei forţe plane. Torsorul în

punctul O are expresia:

46

Cu relaţia (2.62), ecuaţia axei centrale va fi:

Pentru ca întreaga construcţie să nu se răstoarne în raport cu o axă care trece prin D,

vom pune condiţia ca axa centrală să intersecteze axa Ox în intervalul . La

limită , în ecuaţia axei centrale, obţinem:

2.2.12 REDUCEREA SISTEMULUI DE FORŢE PARALELE CARE

ACŢIONEAZĂ ASUPRA UNUI RIGID

Considerăm un sistem de n forţe paralele, de versor , care acţionează

asupra unui rigid (Fig. 2.28).

Forţa rezultantă poate fi pusă sub forma:

iar momentul rezultant sub forma:

Produsul scalar dintre cei doi vectori este nul:

ceea ce înseamnă că vectorii sunt perpendiculari, deci , iar cazurile de

reducere sunt identice cu cazurile de reducere ale sistemului de forţe plane.

47

O

x

ir

u

1F

z

y

nF

iF

2F

Fig.2.28

Pentru determinarea ecuaţiei axei centrale, nu vom mai folosi forma generală

a ecuaţiei axei centrale, ci vom pleca de la ecuaţia vectorială:

Înlocuind în această relaţie expresiile forţei rezultante şi momentului rezultant, şi

făcând calcule elementare, obţinem succesiv:

Produsul vectorial din relaţia (2.67) este nul, dacă vectorul reprezentat de paranteza

mare este coliniar cu :

din care rezultă:

sau, dacă facem notaţia , obţinem:

48

Relaţia (2.69) reprezintă forma vectorială a ecuaţiei axei centrale, la reducerea unui

sistem de forţe paralele. Cu notaţia:

unde reprezintă vectorul de poziţie al centrului de greutate al forţelor paralele (fig.

2.29), relaţia (2.69) devine:

u

cr

r

z

y

x

),,(ccc

zyxCu

O

P

Fig. 2.29

În concluzie, un sistem de forţe paralele este echivalent cu o forţă rezultantă

care acţionează în centrul de greutate al forţelor paralele, ale cărui coordonate sunt:

Centrul de greutate al sistemului de forţe paralele prezintă următoarele

proprietăţi:

1. Se poate schimba direcţia tuturor forţelor cu acelaşi unghi, iar axa centrală

trece tot prin C;

2. Se pot multiplica toate forţele cu acelaşi număr şi centrul de greutate nu-şi

schimbă poziţia:

3. Poziţia lui C nu depinde de originea sistemului de axe O.

49

Aplicaţia 2.10 O placă plană, dreptunghiulară, de dimensiuni , este

supusă acţiunii unui sistem de 4 forţe (Fig. 2.30). Modulele celor 4 forţe sunt:

, , , . Se cere să se facă

reducerea sistemului de forţe.

2F

x

R

4F

3F

1F

x

),0( aC

a

O

y y

Oaa

Fig. 2.30

Rezolvare:

Forţele fiind paralele, sistemul este echivalent cu o forţă rezultantă:

care acţionează în centrul de greutate al forţelor paralele, de coordonate:

Se poate observa că forţele sunt şi forţe plane, şi problema poate fi rezolvată

conform algoritmului prezentat la sistemele de forţe plane.

50

2.2.13 CENTRE DE GREUTATE (CENTRE DE MASĂ)

2.2.13.1 Sisteme de puncte materiale

Considerăm un sistem de n puncte materiale de mase , , în câmp

gravitaţional (fig. 2.31).

O

x

ir

1G

1Az

y

nA

iA

2A

nG

iG

2G

Fig. 2.31

Forţele de greutate au expresia vectorială:

şi formează un sistem de forţe paralele. Cu relaţia (2.74), vectorul de poziţie al

centrului de greutate al sistemului de forţe are expresia:

Coordonatele centrului de greutate se vor calcula cu relaţiile:

Observaţie: Deoarece în relaţiile (2.75) şi (2.76) apar masele în locul

greutăţilor (acceleraţia gravitaţională g s-a simplificat), centrul de greutate se mai

numeşte şi centru de masă. În continuare vom prefera prima denumire – centru de

greutate.

Termenul din relaţia (2.75) reprezintă momentul static al

sistemului de puncte materiale, calculat faţă de punctul O . Relaţia (2.75) poate fi

scrisă şi sub forma:

51

în care este masa sistemului de puncte materiale. Relaţia (2.77)

reprezintă teorema momentului static al sistemului de puncte materiale faţă de

punctul O .

Termenii , şi din relaţiile (2.76)

reprezintă momentele statice al sistemului de puncte materiale, calculate faţă de

planele Oyz, respectiv Oxz şi Oxy. Eliminând numitorii în relaţiile (2.76) obţinem

relaţiile:

care reprezintă teoremele momentelor statice al sistemului de puncte materiale faţă de

planele corespunzătoare.

În concluzie, momentul static al unui sistem de puncte materiale faţă de un

punct, sau un plan, este egal cu masa sistemului înmulţită cu distanţa de la centrul de

greutate al sistemului, până la punctul, sau planele considerate.

2.2.13.2 Corpuri

Considerăm un corp alcătuit din n puncte materiale de mase .

Vectorul de poziţie al centrului de greutate al corpului se determină cu relaţia:

în care, făcând , se obţine:

Relaţiile scalare pentru determinarea centrului de greutate al corpului sunt:

Mărimile , , , reprezintă momentele statice ale

corpului, calculate în raport cu un punct, respectiv cu planele sistemului de axe.

Eliminând numitorii în relaţiile (2.79) şi (2.80) se obţin relaţiile:

52

care exprimă teoremele momentelor statice ale corpului, faţă de un punct, respectiv

planele sistemului de axe.

În continuare, introducem noţiunea de densitate, astfel:

pentru bare: (densitatea este masa unităţii de lungime);

pentru plăci : (densitatea este masa unităţii de suprafaţă);

pentru blocuri: (densitatea este masa unităţii de volum).

Utilizând aceste notaţii, coordonatele centrului de greutate al corpurilor omogene se

determină cu relaţiile:

pentru bare omogene:

pentru plăci omogene:

pentru blocuri omogene:

Pentru corpuri neomogene densitatea este variabilă şi relaţiile

pentru determinarea coordonatelor centrului de greutate se modifică corespunzător.

Spre exemplu, abscisa centrului de greutate pentru bare neomogene se determină cu

relaţia:

Observaţie: În cazul în care corpul admite plan, axă, sau punct de simetrie,

atunci centrul de greutate se află în planul, axa, sau punctul de simetrie.

Centre de greutate la corpuri uzuale omogene

1. Bara dreaptă – centrul de greutate se află la mijlocul barei;

2. Placă dreptunghiulară - centrul de greutate se află la intersecţia

diagonalelor;

3. Arcul de cerc Considerăm o bară omogenă, de secţiune constantă, sub

forma unui arc de cerc şi un sistem de referinţă Oxy cu axa Ox axă de simetrie (fig.

2.32). Conform observaţiei de mai sus, centrul de greutate se află pe axa de simetrie,

deci 0cy .

53

xO

y

d

Cds

R

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1st Qtr 2nd Qtr 3rd Qtr 4th Qtr

East

West

North

Fig. 2.32

4. Sectorul de cerc Considerăm o placă omogenă, de secţiune constantă, sub

forma unui sector de cerc, şi un sistem de referinţă Oxy cu axa Ox axă de simetrie

(fig. 2.33).

O

d

Cds

R

x

y

Fig. 2.33

54

5. Volumul conic Se consideră conul circular drept cu înălţimea h şi raza

bazei R. Se alege sistemul de referinţă Oxyz cu axa Oz axă de simetrie (fig. 2.34).

x

z

h

z

y

dz

O

r

R

Fig. 2.34

Centrul de greutate se află pe axa de simetrie. Pentru a determina distanţa de

la vârful conului la centrul său de greutate, se aplică ecuaţia a treia din relaţiile ,

alegând elementul de volum obţinut prin intersecţia conului cu două planuri paralele

cu baza, situate la distanţa z faţă de vârful conului, respectiv dz unul faţă de celălalt.

Volumul elementar va fi:

în care raza r se determină din asemănarea triunghiurilor:

Aplicând relaţia , distanţa de la vârful conului până la centrul său de greutate

va fi:

Aşadar, centrul de greutate al volumului conic se află la faţă de vârf.

Centre de greutate la corpuri omogene compuse

Dacă se consideră un corp omogen care, la rândul său, poate să fie

descompus în n corpuri omogene simple având masele , atunci

vectorul de poziţie al centrului său de greutate, conform relaţiei , va fi:

55

Utilizând teoremele momentelor statice (relaţiile ), relaţia devine:

în care , reprezintă vectorii de poziţie ai centrelor de greutate pentru

corpurile simple.

Relaţiile scalare pentru determinarea centrului de greutate al corpului omogen

compus sunt:

care mai pot fi simplificate, dacă masa se exprimă în funcţie de densitate, astfel:

pentru bare compuse omogene:

pentru plăci compuse omogene:

pentru blocuri compuse omogene:

Observaţie: Sunt situaţii, în cazul plăcilor sau blocurilor compuse omogene,

când un corp simplu se scade dintr-un alt corp simplu; în acest caz aria, respectiv

volumul corpului care se scade se va lua cu minus în relaţiile şi

Aplicaţia 2.11 Se consideră o bară compusă, omogenă şi cu secţiune

transversală constantă (fig. 2.35). Se cere să se calculeze coordonatele centrului de

greutate al barei.

Rezolvare :

Se alege sistemul de referinţă Oxy, şi se descompune bara compusă în trei

bare simple, pentru care se poate preciza cu uşurinţă poziţiile centrelor de greutate.

Calculele sunt prezentate în tabelul 2.1. Centrul de greutate al barei 1 se găseşte pe

axa sa de simetrie, distanţa dintre centrul cercului din care provine bara 1 şi centrul

său de greutate fiind:

56

1C

a62C

a

x

y

a2

O

3C

45

Fig. 2.35

Distanţa dintre centrul cercului din care provine bara 3 şi centrul său de greutate este:

iar coordonatele lui sunt:

Tabelul 2.1

Bara

1.

2.

3.

Σ

57

Aplicând relaţia , coordonatele centrului de greutate al barei compuse

vor fi:

Aplicaţia 2.12 Se consideră o placă plană compusă, omogenă şi de grosime

constantă (fig. 2.36). Se cere să se calculeze coordonatele centrului de greutate al

plăcii.

Rezolvare :

Se alege sistemul de referinţă Oxy, şi se descompune placa compusă în trei

plăci simple, pentru care se poate preciza cu uşurinţă poziţiile centrelor de greutate.

2

xa7

a4

a3

y

a

2C

1C

1

3C

Fig. 2.36

Calculele sunt prezentate în tabelul 2.2. Centrul de greutate al sectorului de cerc se

găseşte pe axa sa de simetrie, distanţa dintre centrul cercului din care provine sectorul

de cerc, şi centrul său de greutate fiind:

iar coordonatele lui sunt:

58

Tabelul 2.2

Placa

1.

2.

3.

Σ

Aplicând relaţia , coordonatele centrului de greutate al plăcii compuse vor fi:

Teoremele Pappus-Guldin

Teorema I: Aria laterală a unui corp de revoluţie obţinut prin rotirea unei

curbe plane în jurul axei Ox, este egală cu lungimea curbei înmulţită cu lungimea

cercului descris de centrul de greutate al curbei.

Pentru demonstraţie, se consideră o curbă plană AB de lungime l, care se

roteşte în jurul axei Ox, generând un corp de revoluţie (fig. 2.37).

Se izolează elementul de curbă de lungime ds, care prin rotire în jurul axei Ox

generează elementul de suprafaţă de arie:

Integrând relaţia şi aplicând teorema momentelor statice faţă de axa Ox, se

obţine aria laterală a corpului de revoluţie:

59

x

C

ly

O

Cy

ds

A

B

y

Fig. 2.37

în care reprezintă ordonata centrului de greutate al curbei generatoare.

Observaţie: Dacă se cunoaşte aria laterală a corpului de revoluţie, cu relaţia

se poate determina lungimea curbei generatoare l, sau ordonata centrului de

greutate al curbei .

Aplicaţia 2.13 Să se calculeze aria laterală a conului de rază R şi înălţime h.

Rezolvare:

Generatoarea conului este o dreaptă care trece prin origine (fig. 2.38), de

ecuaţie:

în care parametrul a se poate determina din condiţia:

şi rezultă:

x

C

y

OCy

R

h

Fig. 2.38

60

Ecuaţia generatoarei va fi:

Observând că ordonata centrului de greutate al generatoarei este:

şi lungimea generatoarei este:

înlocuind în relaţia se obţine aria laterală a conului:

Aplicaţia 2.14 Să se determine poziţia centrului de greutate a unui arc de

cerc semicircular, de rază R (fig. 2.39), dacă prin rotire în jurul axei Ox acesta

generează o sferă.

x

y

C

OA BR

Fig. 2.39

Rezolvare:

Se cunoaşte că aria sferei este:

Pe de altă parte, dacă se aplică relaţia , aria sferei poate fi scrisă sub forma:

Egalând ariile se obţine ordonata centrului de greutate a arcului de cerc semicircular:

61

Teorema II: Volumul unui corp de revoluţie obţinut prin rotirea unei

suprafeţe plane în jurul axei Ox, este egal cu aria suprafeţei generatoare înmulţită cu

lungimea cercului descris de centrul de greutate al suprafeţei.

Pentru demonstraţie, se consideră o suprafaţă plană de arie A, care se roteşte

în jurul axei Ox, generând un corp de revoluţie (fig. 2.40). Se izolează un element de

suprafaţă de arie dA, care prin rotire în jurul axei Ox generează elementul de volum:

Integrând relaţia şi aplicând teorema momentelor statice faţă de axa Ox, se

obţine volumul corpului de revoluţie:

în care reprezintă ordonata centrului de greutate al suprafeţei generatoare.

x

y

CyC

y

dAA

O

Fig. 2.40

Observaţie: Dacă se cunoaşte volumul corpului de revoluţie, cu relaţia

se poate determina aria suprafeţei generatoare A, sau ordonata centrului de

greutate al suprafeţei .

Aplicaţia 2.15 Să se calculeze volumul torului circular obţinut prin rotirea

unui cerc de rază r, în jurul axei Ox, distanţa de la centrul cercului la axa Ox fiind R

(fig. 2.41).

Rezolvare :

Aplicând relaţia volumul torului circular va fi:

62

x

y

OR

r

Fig. 2.41

2.2.14 ECHILIBRUL RIGIDULUI LIBER

Rigidul liber este rigidul căruia nu i se impune nicio restricţie geometrică,

poziţia sa în spaţiu depinzând doar de sarcinile (forţele şi momentele) care acţionează

asupra sa.

Condiţia necesară şi suficientă pentru ca un rigid liber să fie în echilibru, este

ca torsorul de reducere a forţelor în orice punct să fie nul, adică:

Dacă cele două ecuaţii vectoriale (2.99) se proiectează pe axele sistemului cartezian,

se obţin ecuaţiile scalare de echilibru. Astfel, pentru rigidul în spaţiu se scriu 6 ecuaţii

scalare de echilibru:

iar pentru rigidul în plan se scriu 3 ecuaţii scalare de echilibru:

Problemele de echilibru ale rigidului liber se pot grupa în 2 categorii:

63

1. Se cunosc forţele care acţionează asupra rigidului şi se cere poziţia sa de

echilibru;

2. Se cunoaşte poziţia de echilibru a rigidului şi se cere să se determine forţele

care să asigure poziţia de echilibru.

2.2.15 ECHILIBRUL RIGIDULUI SUPUS LA LEGĂTURI

FĂRĂ FRECARE

Rigidul supus la legături este rigidul căruia i se impune o restricţie

geometrică, de exemplu un punct al acestuia este obligat să rămână pe o curbă, pe o

suprafaţă, sau într-un punct fix.

Pentru studiul echilibrului rigidului supus la legături, se foloseşte axioma

legăturilor, enunţată la Statica punctului material. Asfel, legăturile rigidului se

înlocuiesc cu forţe şi momente corespunzătoare, rigidul transformându-se într-un

rigid liber.

Se consideră un corp acţionat de un sistem de forţe oarecare, şi care are o

legătură cu un alt corp , în punctul teoretic de contact O (fig. 2.41).

0'M

0M

R

2C

1Cn

R

O

Fig. 2.41

Dacă se reduce sistemul de forţe care acţionează asupra corpului , în punctul O, se

obţine torsorul forţelor exterioare.

Conform principiului acţiunii şi reacţiunii, dacă acţionează asupra lui

cu forţa rezultantă şi momentul rezultant , atunci va reacţiona cu forţa de

64

reacţiune şi momentul de reacţiune , aceşti vectori alcătuind torsorul forţelor

de legătură:

Condiţia de echilibru, în cazul rigidului supus la legături, devine:

sau:

Legăturile rigidului sunt: reazemul simplu, articulaţia, încastrarea şi

prinderea cu fire. În continuare, se va studia echilibrul rigidului supus la legături fără

frecare, pentru fiecare tip de legătură în parte.

1. Reazemul simplu este legătura rigidului prin care un punct al său este

obligat să rămână permanent pe o curbă, sau pe o suprafaţă. Altfel spus, rigidul se

poate deplasa în orice punct pe curba, sau suprafaţa de sprijin, dar nu poate efectua

translaţie pe direcţia normalei. Spunem că rigidul are cinci grade de libertate în

spaţiu, respctiv două grade de libertate în plan. Torsorul forţelor exterioare este

format dintr-o forţă rezultantă a cărei direcţie se află pe normala n:

Torsorul forţelor de legătură este format dintr-o forţă rezultantă de reacţiune, a cărei

direcţie se află tot pe normala n:

Forţa se numeşte reacţiunea normală, şi are direcţia normală la curba, sau suprafaţa

de sprijin.

În unele aplicaţii, reazemul simplu se reprezintă schematizat, utilizându-se

simbolurile prezentate în figura 2.42 a. În figura 2.43 a) şi b) sunt prezentate exemple

de corpuri sub formă de bare, supuse la legături de rezemare simplă.

65

N

N

V

H

V

H M

a) b) c)

Fig. 2.42

AN

BN

FG

x

y

B

A

O

BN

G

F

CN

A

B

C

a) b)

Fig. 2.43

2. Articulaţia este legătura rigidului prin care un punct al său este obligat să

rămână permanent într-un punct fix. Dacă rigidul este acţionat de un sistem de forţe

în spaţiu, atunci articulaţia se numeşte sferică (spaţială), iar dacă este acţionat de un

sistem de forţe plane, atunci articulaţia se numeşte cilindrică (plană). Aşadar,

articulaţia nu permite mişcări de translaţie, ci doar mişcări de rotaţie (3 rotaţii în

spaţiu, respectiv o rotaţie în plan). Spunem că rigidul are 3 grade de libertate, dacă

este legat cu articulaţie sferică, respectiv un grad de libertate, dacă este legat cu

articulaţie cilindrică.

Torsorul forţelor exterioare este format dintr-o forţă rezultantă având

componente atât pe normală, cât şi în planul tangent:

66

De asemenea, torsorul forţelor de legătură este format dintr-o forţă rezultantă de

reacţiune, cu componente pe ambele direcţii:

În concluzie, o articulaţie sferică introduce o forţă de reacţiune cu

componente pe toate cele trei axe ale sistemului cartezian:

în timp ce articulaţia cilindrică introduce o forţă de reacţiune cu componente pe două

axe:

sau, cu notaţiile obişnuite:

Pentru articulaţie se foloseşte simbolul prezentat în figura 2.42 b.

Aplicaţia 2.16 Să se calculeze reacţiunile pentru grinda din figura 2.44.

Rezolvare:

Deoarece bara AB este supusă la legături în punctele B (reazem) şi C

(articulaţie), se reprezintă forţele de legătură corespunzătoare, astfel: o forţă normală

pe suprafaţa de sprijin în reazem şi două forţe în articulaţie. Se reprezintă sistemul de

axe cartezian cu originea în capătul din stânga al barei, axa Ox în lungul barei şi axa

Oy perpendiculară pe Ox, iar pentru ecuaţia de momente se alege sensul trigonometric

ca sens pozitiv.

BH

BV

CV

A BC

Dx

y

kN4

m2 m4m3

mkN/2kN8

mkN29kN10

Fig. 2.44

67

Sub acţiunea sarcinilor exterioare date, precum şi a forţelor de legătură, bara

AB este în echilibru dacă sunt îndeplinite condiţiile:

adică:

din care rezultă: .

Observaţie: Bara este în echilibru dacă suma momentelor, calculate în orice

punct, este zero. Se recomandă, totuşi, să se aleagă unul din punctele de legătură

pentru a scrie ecuaţia de momente, în acest fel obţinându-se o relaţie cu o singură

necunoscută.

Pentru verificarea rezultatelor se verifică dacă suma momentelor, calculate

în alt punct, este zero. Dacă se alege punctul B, avem:

3. Încastrarea este legătura prin care un corp este fixat rigid într-un alt corp,

astfel încât să nu permită nicio deplasare. În acest caz, rigidul nu are niciun grad de

libertate. Simbolul utilizat pentru încastrare este prezentat în figura 2.42 c.

Dacă rigidul este acţionat de un sistem de forţe în spaţiu, atunci torsorul

forţelor de legătură este alcătuit dintr-o forţă rezultantă şi un moment rezultant,

fiecare având trei componente:

Dacă rigidul este acţionat de un sistem de forţe plane, atunci torsorul forţelor

de legătură este alcătuit dintr-o forţă rezultantă, cu două componente:

sau, cu notaţiile obişnuite:

şi un moment rezultant, având direcţia perpendiculară pe planul forţelor:

68

4. Prinderea cu fire este legătura rigidului echivalentă cu o rezemare

unilaterală, pe o sferă cu raza egală cu lungimea firului. Prin urmare, prinderea cu fire

se înlocuieşte cu o forţă având direcţia pe direcţia firului.

2.2.16 ECHILIBRUL RIGIDULUI SUPUS LA LEGĂTURI

CU FRECARE

Spre deosebire de cele prezentate în paragraful anterior, când s-au considerat

corpurile nedeformabile, contactul dintre ele realizându-se într-un singur punct O, în

realitate corpurile sunt deformabile şi contactul dintre ele se realizează pe o suprafaţă

de contact. Rezultă, aşadar, o modificare a distribuţiei forţelor normale şi tangenţiale

de legătură, ceea ce duce la condiţii suplimentare de echilibru în cazul rigidului supus

la legături cu frecare.

Se consideră corpul acţionat de un sistem de forţe oarecare, şi care are o

legătură cu un alt corp , în punctul teoretic de contact O (fig. 2.45).

N

R

R 0M

0'M

2C

tR

nR

T

nM

rM pM

tM

1C

)(n

)( 1t

)( 2t

P

Fig. 2.45

Pentru scrierea condiţiilor de echilibru, se descompun elementele torsorilor

forţelor exterioare şi ale forţelor de legătură, după direcţia normalei n şi o altă direcţie

din planul tangent. Astfel, se notează cu dreapta situată în planul tangent [P],

69

rezultată prin intersecţia acestui plan cu planul determinat de direcţia rezultantei

forţelor exterioare şi normala n, şi cu se notează dreapta rezultată din intersecţia

planului tangent cu planul determinat de direcţia momentului rezultant al forţelor

exterioare şi normala n. Componentele rezultantei forţelor exterioare pe direcţiile

normalei n şi tangentei sunt şi , iar componentele rezultantei forţelor de

legătură , după aceleaşi direcţii, sunt reacţiunea normală şi forţa de frecare .

Componentele momentului rezultant al forţelor exterioare, pe direcţiile normalei

n şi tangentei sunt şi , iar componentele momentului rezultant al

forţelor de legătură, după aceleaşi direcţii, sunt momentul de frecare de pivotare

şi momentul de frecare de rostogolire . În aceste condiţii, ecuaţiile de echilibru

devin:

Situaţia prezentată corespunde cazului general al rigidului supus la legături

cu frecare. În majoritatea aplicaţiilor practice se întâlnesc cazuri particulare de

legături cu frecare ale rigidului, care sunt prezentate în continuare.

1. Frecarea de alunecare apare la mişcarea de translaţie, sau tendinţa de

mişcare a unui corp faţă de alt corp, şi depinde de gradul de prelucrare a suprafeţelor

în contact, precum şi de componenta normală a rezultantei forţelor exterioare.

Torsorul forţelor exterioare este format, în acest caz, dintr-o forţă rezultantă

având componente atât pe normală, cât şi în planul tangent:

iar torsorul forţelor de legătură este format dintr-o forţă rezultantă de reacţiune, cu

componente pe ambele direcţii:

70

Ca şi la punctul material, reacţiunea normală este perpendiculară pe suprafaţa comună

de sprijin, iar forţa de frecare se află în planul tangent comun, se opune tendinţei de

mişcare şi are modulul:

în care reprezintă coeficientul de frecare de alunecare.

În concluzie, condiţiile de echilibru pentru rigidul supus la legătură de

frecare de alunecare, sunt:

Aplicaţia 2.17 Se consideră o scară AB de lungime 2l şi greutate G, care se

reazemă cu frecare pe un perete vertical şi pe pardoseală. Coeficienţii de frecare pe

cele două suprafeţe sunt pentru pardoseală, respectiv pentru peretele vertical

(fig. 2.46). Se cere să se calculeze reacţiunile şi să se determine poziţia limită de

echilibru (unghiul la care scara încă mai rămâne în echilibru).

AN

BN

BT

G

x

y

B

AOAT

Fig. 2.46

Rezolvare:

Se izolează scara, introducând forţele de legătură: reacţiunile normale şi

perpendiculare pe suprafeţele de sprijin, şi forţele de frecare şi având

sensuri care se opun tendinţei de mişcare. Faţă de sistemul de referinţă ales, ecuaţiile

de echilibru sunt:

71

În poziţia limită şi forţele de frecare sunt , respectiv

. Rezolvând sistemul de ecuaţii, se obţine:

2. Frecarea de rostogolire apare la mişcarea, sau tendinţa de mişcare a

corpurilor rotunde (role, bare rotunde, roţi, discuri, bile de rulment, etc.).

Torsorul forţelor exterioare este format, în acest caz, dintr-o forţă rezultantă

având componente atât pe normală, cât şi în planul tangent, şi momentul rezultant cu

componentă nenulă în planul tangent:

Torsorul forţelor de legătură este format dintr-o forţă rezultantă de reacţiune, cu

componente pe ambele direcţii şi momentul rezultant de reacţiune cu componentă

nenulă în planul tangent:

Pentru a studia frecarea de rostogolire, se consideră cazul roţii trase pe

planul orizontal. Dacă forţa de tracţiune este nulă, atunci calea de rulare reacţionează

cu forţele normale distribuite simetric faţă de verticala care trece prin punctul

teoretic de contact O (fig. 2.47). Rezultanta acestor forţe normale este chiar

reacţiunea normală:

72

G

G

NO

in

Fig. 2.47

Dacă asupra roţii acţionează forţa de tracţiune , în aşa fel încât roata să nu

se mişte, calea de rulare reacţionează cu forţele normale , care nu mai sunt

distribuite simetric faţă de verticala care trece prin punctul teoretic de contact O,

precum şi cu forţe tangenţiale distribuite pe suprafaţa de contact (fig. 2.48).

G

G

G

N

N

F

F

F

it

T

T

rM

in aO

O

b O

Fig. 2.48

Din cauza distribuţiei asimetrice, rezultanta forţelor normale (reacţiunea ) s-a

deplasat cu distanţa a faţă de cazul iniţial. Rezultanta forţelor tangenţiale reprezintă

forţa de frecare

a cărei direcţie este deplasată, faţă de orizontala care trece prin O, cu distanţa b

(b ).

În continuare, se reduc forţele şi în punctul teoretic de contact, obţinându-se

torsorul forţelor de legătură:

73

în care este momentul de frecare de rostogolire, şi are modulul:

În figura 2.49 se prezintă cazul la limită, când asupra roţii acţionează , situaţie

în care roata încă mai rămâne în echilibru.

G

G

G

N

N

maxF

it

maxT

maxrM

in sO

O

b O

maxF

maxF

maxT

Fig. 2.49

Se observă că reacţiunea normală s-a deplasat cu distanţa , momentul de

frecare de rostogolire având modulul:

Din cele prezentate rezultă că, în cazul corpurilor rotunde, calea de rulare se

opune mişcării, sau tendinţei de mişcare, cu reacţiunea normală şi forţa de frecare, dar

şi cu un moment de frecare de rostogolire cu modulul:

În relaţia s reprezintă coeficientul de frecare de rostogolire, care este o

mărime cu dimensiunea unei lungimi şi depinde de raza roţii şi natura materialelor în

contact.

Observaţie: Un caz particular al frecării de pivotare este reprezentat de

frecarea uscată (fără lubrifianţi), în articulaţii şi lagăre. Astfel, în cazul lagărului cu

joc din figura 2.50, contactul dintre lagăr şi arbore are loc, teoretic, într-un punct. În

cazul în care momentul de rotire al arborelui este nul (fig. 2.50 a), atunci punctul

teoretic de contact dintre lagăr şi arbore se află pe verticala care trece prin centrul de

greutate al lagărului. Dacă, însă, asupra arborelui acţionează momentul exterior

(fig. 2.50 b), punctul teoretic de contact se deplasează pe lagăr cu unghiul .

74

G

G

N

T

N

O

yx

O rM

)a )b

OM

r

Fig. 2.50

Se introduc forţele şi momentele de legătură ( şi ) şi se scriu ecuaţiile de

echilibru:

Înlocuind T, N şi în ultimile două relaţii, se obţine condiţia ca arborele să nu

alunece:

respectiv, condiţia ca arborele să nu se rostogolească:

Este de dorit ca, pentru buna funcţionare a maşinilor, coeficientul de frecare de

alunecare să fie cât mai mic. În aceste condiţii funcţiile trigonometrice pot fi

aproximate astfel:

iar condiţia devine:

75

sau:

dacă se face notaţia:

În relaţia reprezintă coeficientul de frecare în lagăr.

3. Frecarea de pivotare se întâlneşte la lagărele verticale ale maşinilor, numite

pivoţi. Torsorul forţelor exterioare este format, în acest caz, dintr-o forţă rezultantă şi

un moment rezultant, având componente doar pe normală:

Torsorul forţelor de legătură este format dintr-o forţă rezultantă de reacţiune şi un

moment rezultant de reacţiune, având componente doar pe normală:

Pentru studiul frecării de pivotare, se consideră un pivot vertical cu razele

şi , şi greutatea G considerată repartizată uniform pe suprafaţa de contact cu lagărul

(fig. 2.51).

1r2r

dr

r

OM

G

Fig. 2.51

76

Presiunea pe lagăr, în condiţiile repartizării uniforme a greutăţii G, este:

Dacă se consideră suprafaţa elementară din zona de contact:

atunci reacţiunea normală pe suprafaţa elementară este:

iar forţa de frecare elementară la limită, este:

Se poate acum determina momentul de frecare elementar faţă de axul pivotului:

şi prin integrare, momentul total de frecare de pivotare:

Dacă se notează coeficientul de pivotare:

şi se observă că reacţiunea normală este egală cu forţa de greutate G, atunci

momentul de frecare de pivotare, la limită, este:

sau, în cazul general:

În cazul în care pivotul este plin ( , ) coeficientul de pivotare va fi:

4. Frecarea firelor apare în situaţia când firul este înfăşurat pe un corp

cilindric, când acesta este fix iar firul are tendinţa de mişcare, precum şi în cazul când

firul este fix, iar corpul cilindric are tendinţa de mişcare.

77

Considerăm un fir flexibil, inextensibil şi de greutate neglijabilă, înfăşurat

pe un disc fix de rază r, zona de contact fiind arcul cu unghiul la centru (fig.

2.52).

r

d

A

B

C

C

x

y

N

C

C

N

T

dTT

d

2d

)a )b1T

2T

O

O

Fig. 2.52

Tensiunile din fir în cele două puncte A şi B, sunt , respectiv . Vom considera

, deci tendinţa de mişcare a firului este de la A către B (fig. 2.52 a). Ne

propunem să găsim o relaţie între şi astfel încât firul să fie în echilibru (să nu

aibă mişcare relativă faţă de disc). Pentru aceasta, se izolează elementul de fir , cu

unghiul la centru , şi se reprezintă forţele care acţionează asupra sa (fig. 2.52 b).

S-a considerat situaţia la limită, când forţa de frecare este maximă . Din

condiţiile de echilibru pe cele două axe, rezultă relaţiile:

Deoarece unghiul este foarte mic, se aproximează:

şi neglijând termenul , relaţiile devin:

din care rezultă ecuaţia diferenţială cu variabile separabile:

78

Dacă se integrează relaţia rezultă:

din care se obţine:

sau:

În concluzie, pentru ca firul să fie în echilibru, între cele două tensiuni din

punctele A şi B, trebuie să existe relaţia:

care reprezintă formula lui Euler pentru frecarea firelor. În relaţia s-a

considerat cazul general de echilibru, motiv pentru care s-a folosit semnul , în

loc de semnul .

Observaţie: Funcţia exponenţială din formula lui Euler este rapid

crescătoare. Spre exemplu, dacă pentru şi rezultă , pentru

acelaşi şi rezultă , iar pentru (firul este infăşurat de

patru ori) rezultă . Astfel se explică faptul că, la legarea navelor la

cheu, în capătul liber al parâmei de legare rezultă o tensiune foarte mică, dacă se

înfăşoară parâma de câteva ori pe vinci.

2.3 STATICA SISTEMELOR

2.3.1 SISTEME DE PUNCTE MATERIALE

Se consideră un sistem de n puncte materiale , ,........, , acţionate de

forţe exterioare , , şi forţe de legătură interioare , , ,

(fig. 2.53). Pentru ca sistemul de puncte materiale să fie în echilibru, trebuie ca

torsorul tuturor forţelor, calculat într-un punct oarecare, spre exemplu în originea

sistemului de referinţă, să fie nul:

79

O

ir

iA1iF

2iF

ijF

1A

2A

inF

nA

jAjiF

iF

x

z

y

Fig. 2.53

Conform principiului acţiunii şi reacţiunii, forţele de legătură interioare

dintre două puncte şi se anulează reciproc:

iar momentul celor două forţe, calculat în punctul O, este de asemenea nul:

Prin urmare, rezultă:

iar relaţiile devin:

80

În concluzie, la scrierea condiţiilor de echilibru pentru un sistem de puncte

materiale se iau în considerare doar forţele exterioare.

2.3.2 SISTEME DE CORPURI

Se consideră un sistem de n corpuri care interacţionează reciproc, supus

acţiunii unor sarcini exterioare (forţe şi momente). Gradul de nedeterminare al

sistemului se calculează cu relaţia:

în care L reprezintă numărul de legături echivalente, iar C reprezintă numărul de

corpuri. Se pot întâlni următoarele situaţii:

1) , sistemul este static determinat, adică poate fi rezolvat (se pot

determina forţele de legătură interioare şi exterioare), utilizând doar condiţiile de

echilibru statice (6 condiţii pentru problema spaţială, respectiv 3 condiţii pentru

problema plană);

2) , sistemul este static nedeterminat, situaţie în care, pentru rezolvarea

sistemului, pe lângă condiţiile de echilibru statice se vor scrie şi condiţiile geometrice

(de deformabilitate). Acest caz nu se rezolvă în cadrul Mecanicii, ci la alte discipline

la care corpurile se consideră deformabile (Rezistenţa materialelor, Organe de maşini,

etc.);

3) , situaţie în care sistemul devine mecanism, şi care se studiază la

disciplina Mecanisme.

Studiul echilibrului unui sistem de corpuri presupune, în principal,

determinarea forţelor de legătură exterioare şi/sau a forţelor de legătură interioare.

Pentru aceasta se folosesc două teoreme:

1. Teorema solidificării arată că, dacă un sistem de corpuri rigide se află în

echilibru sub acţiunea unor sarcini exterioare, atunci sistemul rămâne în echilibru şi

în cazul în care se elimină legăturile interioare (spunem că sistemul s-a solidificat,

adică a devenit un singur corp rigid);

81

2. Teorema echilibrului părţilor arată că, dacă un sistem de corpuri rigide se află

în echilibru sub acţiunea unor sarcini exterioare, atunci, dacă se izolează un corp, sau

o parte a unui corp, acesta rămâne în echilibru sub acţiunea sarcinilor exterioare şi a

forţelor de legătură corespunzătoare. Conform principiului acţiunii şi reacţiunii,

forţele de legătură interioare sunt două câte două egale şi de sens contrar; astfel, dacă

pe un corp izolat se reprezintă forţele de legătură interioare cu direcţii şi sensuri

aleatoare, pe corpul cu care acesta intră în contact (are o legătură), forţele de legătură

interioare se vor reprezenta pe aceleaşi direcţii, dar cu sensuri contrare.

Aplicaţia 2.18 Să se determine forţele de legătură interioare şi exterioare

pentru sistemul de bare din figura 2.54. Se cunosc: ;

; .

2F1F

M

2m2m

2m

2m

3m

5m

4m

A

B C

D

E

p

Fig. 2.54

Rezolvare:

Sarcinile exterioare care acţionează asupra sistemului de bare sunt: forţele

concentrate şi , momentul concentrat M şi forţa uniform distribuită de

intensistate p. Sistemul de bare este alcătuit din trei corpuri: bara AB, bara BC şi

corpul CDE care este format din două bare sudate între ele. Sistemul este supus la

două legături exterioare (încastrare în A şi articulaţie în E), şi două legături interioare

(articulaţii), în punctele B, respectiv C. Având în vedere aceste precizări, cu relaţia

se determină gradul de nedeterminare al sistemului:

deci sistemul este static determinat.

82

Dacă se aplică teorema solidificării, se elimină cele două articulaţii

interioare, şi sistemul devine un singur corp (fig. 2.55). Deoarece se pot scrie doar trei

condiţii de echilibru, problema fiind plană, nu se pot determina cele cinci

necunoscute introduse de legăturile exterioare (trei pentru încastrare şi două pentru

articulaţie).

Problema se poate rezolva cu teorema izolării. Pe cele trei corpuri izolate se

reprezintă atât sarcinile, cât şi forţele de legătură interioare şi exterioare (fig. 2.56), şi

se scriu condiţiile de echilibru pentru fiecare corp izolat.

2F1F

M

2m2m

2m

2m

3m

5m

4m

A

B C

D

E

p

AV

AHAM

EVEH

Fig. 2.55

1F

M

2m

5m

A

B

B C

p

2F

2m

2m

3m

C

D

E

CV

CV

CH

CH

EV

EH

2m 4m

BV

BHBH

BV

AVAH

AM

4p

Fig. 2.56

83

Dacă se rezolvă ecuaţiile, se obţin următoarele rezultate: ; ;

; ; .

2.4 STATICA FIRELOR

2.4.1 Consideraţii generale

Firele sunt corpuri la care una dintre dimensiuni (lungimea), este mult mai

mare decât celelalte două dimensiuni din secţiunea transversală, pentru care, de

regulă, se fac următoarele ipoteze simplificatoare:

sunt inextensibile;

sunt perfect flexibile (pot lua orice formă fără a opune rezistenţă);

sunt torsionabile (nu se opun la aplicarea unui moment de torsiune).

Exemple de fire: parâme, cabluri, lanţuri, etc. Sarcinile exterioare care pot să

acţioneze asupra fielor sunt forţe concentrate şi/sau distribuite. Ţinând cont de

ipotezele de flexibilitate şi torsionabilitate ale firelor, rezultă că torsorul de reducere

84

în orice secţiune este format doar dintr-o forţă rezultantă, momentul rezultant fiind

nul.

Dacă firul este acţionat doar de forţe concentrate (se neglijează greutatea

proprie a firului), atunci forma sa de echilibru este o formă poligonală cu vârfurile

determinate de punctele de aplicaţie a forţelor, iar eforturile interioare se pot

determina construind poligonul funicular.

Dacă firul este acţionat doar de forţe distribuite (cu/fără neglijarea greutăţii

proprii a firului), atunci forma sa de echilibru este o curbă numită curba funiculară.

2.4.2 Ecuaţiile generale de echilibru ale firelor

acţionate de forţe distribuite

Se consideră firul AB solicitat de forţa distribuită , considerată variabilă în

lungul firului (fig. 2.57 a):

A

Bp

s s

CC

)a

C

Cp

)(sT

)

(

s

sT

)b

Fig. 2.57

Pentru a studia echilibrul, se izolează un element de arc de lungime , a

cărei poziţie este precizată de coordonata curbilinie s. Forţele de legătură sunt

în punctul C, respectiv în punctul C (fig. 2.57 b). Deoarece elementul de

arc izolat este foarte mic, se poate considera că, pe lungimea sa, forţa este uniform

distribuită. Condiţia de echilibru pentru elementul de arc impune ca torsorul forţelor

exterioare şi de legătură, calculat într-un punct oarecare (de exemplu punctul C ), să

fie nul.

Din prima condiţie de echilibru rezultă:

85

Împărţind la şi trecând la limită, se obţine:

sau:

Din condiţia de momente, rezultă:

care, prelucrată la fel ca ecuaţia de forţe, devine:

Primul termen din relaţia este nul, deoarece atunci când ,

iar din al doilea termen, prin prelucrări succesive, se obţine:

unde reprezintă versorul tangentei la fir în punctul C.

În final, din relaţiile şi se obţine:

care arată că cei doi vectori sunt coliniari:

sau, altfel spus, efortul din fir este un vector a cărui direcţie se află pe tangenta la fir,

în punctul considerat.

Ecuaţiile şi reprezintă ecuaţiile generale de echilibru, sub

formă vectorială, ale unui fir solicitat de o forţă distribuită .

În continuare, pentru a obţine ecuaţiile scalare de echilibru, se folosesc

diferite sisteme de coordonate, cele mai utilizate fiind sistemul de coordonate

cartezian şi sistemul de coordonate Frenet.

1. Ecuaţiile generale de echilibru ale firelor acţionate de forţe distribuite,

în coordonate carteziene

Dacă se consideră firul AB raportat la sistemul de coordonate cartezian (fig.

2.58), poziţia punctului C, faţă de origine, este precizată de vectorul de poziţie:

86

A

B

O

z

y

x

C

C)(sr )

(s

sr

Fig. 2.58

Legătura dintre versorul tangentei la fir şi vectorul de poziţie, este dată de relaţia:

Pe de altă parte, utilizând cosinusurile directoare, versorul tangentei la fir se mai

poate scrie:

unde , şi reprezintă unghiurile dintre direcţia versorului şi axele sistemului de

coordonate. Din relaţiile şi rezultă următoarele expresii pentru

cosinusurile directoare:

Utilizând relaţiile , proiecţiile pe cele 3 axe ale efortului (tensiunii) din fir

sunt:

Dacă se scrie şi forţa distribuită , în funcţie de proiecţiile sale pe cele trei axe:

atunci, din relaţia , se deduc ecuaţiile de echilibru ale firului, în sistemul de

coordonate cartezian:

87

2. Ecuaţiile generale de echilibru ale firelor acţionate de forţe distribuite, în

coordonate Frenet

După cum se cunoaşte, axele triedrului Frenet sunt: tangenta, de versor ,

normala principală cu versorul şi binormala cu versorul . Pentru ca triedrul să fie

drept, între versori trebuie să existe relaţia:

Dacă se derivează relaţia în raport cu coordonata curbilinie s, se obţine:

în care s-a folosit formula lui Frenet:

Înlocuind relaţia în relaţia , şi scriind forţa distribuită în

funcţie de proiecţiile sale pe axele triedrului Frenet:

se obţine ecuaţia de echilibru sub formă vectorială:

sau:

Proiectând pe cele trei axe relaţia , se obţin ecuaţiile generale de echilibru ale

firelor acţionate de forţe distribuite, în coordonate Frenet:

88

2.4.3 Ecuaţiile generale de echilibru ale firului omogen greu

Firul omogen greu este firul care are aceeaşi densitate pe toată lungimea sa,

iar forţa distribuită este chiar greutatea proprie pe unitatea de lungime.

Pentru determinarea ecuaţiilor de echilibru, se consideră firul omogen greu

AB raportat la sistemul cartezian Oxyz, în aşa fel încât capetele A şi B ale firului să fie

în planul xOy (fig. 2.59).

p

A

B

O

z

y

x

Fig. 2.59

În aceste condiţii, forţa distribuită are componentă nenulă doar pe axa Oy:

şi ecuaţiile devin:

Dacă se integrează prima relaţie din se obţine:

sau, utilizând relaţiile

ceea ce arată că, în orice punct al firului omogen greu, componenta orizontală a

tensiunii din fir (care în mod obişnuit se notează cu H), este constantă. Se observă că,

89

în puncul de minim al curbei AB, componenta verticală a tensiunii din fir este nulă,

astfel că tensiunea din fir este identică cu componenta orizontală H.

Egalând relaţiile şi rezultă:

care se introduce în ultima ecuaţie din relaţiile , şi se obţine:

Se integrează de două ori relaţia şi se obţine:

în care constantele şi se determină din condiţiile la limită, astfel:

pentru capătul A al firului şi , rezultă ;

pentru capătul B al firului şi , rezultă .

Se obţine, în final, ecuaţia:

care este ecuaţia planului în care se află firul omogen greu.

Pentru a se determina ecuaţia curbei descrisă de firul omogen greu, se

înlocuieşte relaţia în ecuaţia a doua din relaţiile , şi se obţine:

Ştiind că lungimea elementului de curbă are expresia:

unde s-a notat

relaţia devine:

sau, separând variabilele:

Integrând succesiv se obţine:

90

Dacă se face notaţia:

şi se pun condiţiile pentru punctul de minim al curbei:

rezultă constantele de integrare:

care, înlocuite în relaţia , determină ecuaţia curbei, numită şi cuba funiculară:

Pentru a se aduce ecuaţia curbei funiculare la o formă mai simplă, se

translatează sistemul de axe de-a lungul axei Ox, în aşa fel încât axa Oy să treacă prin

punctul de minim al curbei, şi de-a lungul axei Oy, astfel încât originea să se afle sub

punctul de minim la distanţa a (fig. 2.60).

În aceste condiţii constantele de integrare sunt:

şi ecuaţia curbei funiculare devine:

care este ecuaţia unui lănţişor, cu parametrul a.

A B

O

y

x

a

f0A

M

Fig. 2.60

Lungimea a arcului de lănţişor, se determină integrând relaţia :

91

(2.202)

Pentru a calcula tensiunea din fir, se foloseşte relaţia , în care se

înlocuiesc relaţiile şi şi rezultă:

2.4.4 Firul omogen greu foarte întins

Firul omogen greu foarte întins este un caz particular al firului omogen greu,

în care atât tensiunea din fir, cât şi parametrul a, au valori foarte mari.

Folosind dezvoltările în serie ale funcţiilor hiperbolice:

şi reţinând primii doi termeni ai dezvoltărilor, se obţin următoarele rezultate:

ecuaţia curbei funiculare:

care este o parabolă, şi care mai poate fi simplificată, dacă se translatează sistemul de

axe cu originea în punctul de minim al curbei, obţinându-se:

săgeata firului se notează cu f şi, în cazul în care punctele A şi B (stâlpii de

susţinere ai firului) au aceeaşi ordonată, se obţine din relaţia , pentru

:

în care l reprezintă distanţa dintre stâlpii de susţinere ai firului;

lungimea a arcului de lănţişor:

92

lungimea totală L a firului se obţine cu relaţia (2.202), în care se înlocuieşte

:

tensiunea din fir este:

Aplicaţia 2.19 Se consideră un fir omogen greu suspendat în punctele A şi B

(fig. 2.61). Se cunosc: lungimea L a firului, greutatea pe unitatea de lungime p,

unghiurile şi făcute de tangentele la fir cu planul orizontal, în punctele A,

respectiv B. Se cere să se calculeze: diferenţa de nivel h dintre punctele A şi B,

tensiunile şi la extremităţile firului, tensiunea H în punctul de minim al firului,

diferenţa de nivel dintre punctele A şi şi lungimea a firului.

Rezolvare:

Din condiţia ca suma forţelor pe cele două direcţii să fie nulă, se obţine

sistemul de ecuaţii:

cu soluţiile:

A By

xa

AT

BT

0A

f

Fig. 2.61

93

Diferenţa de nivel h dintre punctele A şi B este:

Pentru a determina mărimile caracteristice porţiunii de fir A , se izolează

această porţiune, introducând tensiunea din fir H în punctul de minim; ecuaţiile de

echilibru pe cele două direcţii sunt:

din care rezultă tensiunea din fir, în punctul de minim:

şi lungimea a firului:

Diferenţa de nivel dintre punctele A şi se determină cu relaţia:

şi făcând calculele se obţine:

94