STABILITATEA SISTEMELOR

Profesor coordonator: Prof.dr.ing. Radu-Emil

Precup

Student:

Marina-Loredana Stoica1

Cuprins

Criterii de apreciere a stabilitatii SL-D Aspecte privind analiza stabilitatii sistemelor de reglare automata conventionala cu proces condus continuu si regulator cu timp discret Analiza stabilitatii sistemelor in baza metodei a doua (directe) dupa Liapunov Criteriul Popov pentru analiza stabilitatii unor clase de sisteme neliniare

2

IntroducerePentru oricare cititor, termenul sau, ntr-o exprimare general, conceptul de stabilitate a unui sistem (n particular, sistem tehnic) pare intuitiv, chiar expresiv; i totui, pentru un cititor neavizat, termenul este adeseori puin concret. O formulare mai cunoscut i relativ precis a conceptului de stabilitate este cea referitoare la starea de echilibru a unui sistem termodinamic. n acest caz starea de echilibru a sistemului se consider stabil n situaia n care sistemul sub influena unor condiii externe sau interne, cu aciune permanent sau trectoare evolueaz spre o nou stare de echilibru / staionar sau - dup caz - revine la vechea stare de echilibru. Conceptul de stabilitate este utilizat n tehnic tocmai pentru a evidenia proprietatea unui sistem de ai menine n anumite condiii o stare de echilibru sau de a putea trece de la o stare de echilibru la o alt stare de echilibru. Mai mult, conceptul de stabilitate poate fi referit i la un regim de funcionare (n particular, un punct de funcionare staionar, p.d.f.s.) care se poate dovedi a fi sau a nu fi stabil. Calitatea unui sistem dinamic de a fi stabil se poate manifesta ca urmare a: modificrii unei / unor intrri ale sistemului, modificrii unor parametri ai sistemului, modificrii structurii sistemului. Toate aceste cauze au repercursiuni asupra situaiei, regimului n care s-a aflat sistemul

n prealabil modificrii i respectiv efecte asupra evoluiei ieirii (strii).n cadrul acestui capitol vor fi prezentate numai aspecte inginereti referitoare la: definirea conceptului de stabilitate, aspectele de baz ale teoriei stabilitii sistemelor liniare, criterii de verificare a stabilitii sistemelor liniare.3

1.Criterii de apreciere a stabilitii SL-DCa i n cazul SL-C, criteriile de apreciere a stabilitii (c.a.s.) bazate pe MM-II sunt de dou tipuri: criterii algebrice, criterii frecveniale (de pulsaie), de regul date prin formulri grafo-analitice. innd seama de specificul amplasrii rdcinilor (polilor) SL-D n planul z, dependent de faptul c sistemul este stabil sau nu, fig.7.6, transpunerea direct a relaiilor de analiz a stabilitii specifice cazului continuu pentru analiza stabilitii SL-D nu este posibil. Din acest motiv prezint interes dou categorii de c.a.s. SL-D: criterii bazate pe extinderea criteriilor algebrice specifice cazului continuu (de exemplu, c.a.s. Hurwitz) pentru cazul sistemelor cu timp discret; criterii specifice sistemelor cu timp discret. 1.1. Extinderea criteriului Hurwitz pentru cazul sistemelor cu timp discret Procedura se bazeaz pe utilizarea unei transformri conforme de forma: sau (1) care transform toate punctele din interiorul cercului de raz unitate al planului z (puncte ce caracterizeaz un sistem stabil) n puncte situate n semiplanul stng al planului w sau r.

4

n consecin, plecnd de la f.d.t. a sistemului, H(z), presupus cunoscut, se poate

calcula o f.d.t. pseudocontinu H(r) sau H(w), relaia (2), care va aveaproprietatea c polii afereni respect precizarea anterioar i, apoi, pe aceast baz, se Poate aplica (de exemplu) c.a.s. Hurwitz, devenit astfel extins i pentru cazul SL-D: sau se obine f.d.t. transformat: (3) cu ecuaia caracteristic: (2) Prin restrngerea prezentrii la una din cele dou transformri (n cazul de fa, r),

Cu coeficienii a astfel calculai, stabilitatea SL-D poate fi verificat utiliznd (extinderea) c.a.s. Hurwitz.

5

Etapele de aplicare a metodei sunt urmatoarele:

Analiza sistemului si determinarea f.t.d. H(z); Avand H(z) (eventual cu unii coeficienti dati ca parametri)cunoscuta, se calculeaza H(r) si H(z); se determin polinomul caracteristic A(r) sau A(w); n continuare, se aplic toate etapele specifice c.a.s. Hurwitz.

Concluzia de stabil sau instabil astfel obinut este valabil relativ i lasistemul cu timp discret. Observaie: Relaia de transformare (2) nu trebuie privit ca o readucere a polilor planului z n poli ai sistemului continuu discretizat (cu polinomul caracteristic (s)) ntruct prin aceast transformare nu este evideniat sub nici un fel perioada de eantionare Te. Efectul discretizrii asupra stabilitii sistemului se manifest prin conversia iniial continuu (s) discret (z); metoda de analiz prezentat verific doar acest efect din punct de vedere al stabilitii.

6

1.2. Criteriul Jury de apreciere a stabilitii SL-D

Este un criteriu specific sistemelor cu timp discret. Acceptnd c f.d.t. aferentSL-D, H(z), este cunoscut, atunci n baza expresiei ecuaiei caracteristice: (5) se poate construi un tablou al coeficienilor Jury conform tabelului 7.3. Tabelul 7.3. Tabloul coeficienilor Jury.

7

Coeficienii tabloului se calculeaz utiliznd urmtoarele relaii:

(6) Avnd la baz tabloul coeficienilor Jury, criteriul de apreciere a stabilitii dup Jury (c.a.s. Jury) se enun dup cum urmeaz: Sistemul liniar cu timp discret care are polinomul caracteristic (7.5.5) este stabil (are toate rdcinile situate n interiorul cercului de raz unitate centrat n origine) dac i numai dac sunt ndeplinite urmtoarele n+1 condiii: (1) > 0, (1) (1) > 0 , dac n par , (2) < 0 , dac n impar , (3) (4) (n+1)

Dei construcia tabloului pare laborioas, dup cteva exersri aplicarea criteriului se dovedete relativ simpl.8

1.3 Criteriul Nyquist n cazul sistemelor cu timp discretSistemul cu timp discret va fi caracterizat prin f.d.t.: (7) i n acest caz, pentru aprecierea stabilitii sistemului se pleac de la f.d.t. H0(z). Principial, n cazul sistemelor cu timp discret criteriul Nyquist se aplic n acelai mod ca i n cazul continuu; aceasta nseamn c teoria prezentat n paragraful 7.3.2 i menine valabilitatea.

Problema particular care se pune se refer la construirea hodografului Nyquisth+{H0}. Exist mai multe variante de determinare (calcul i construcie) a acestuia care, prin aproximrile introduse, conduc la rezultate mai mult sau mai puin exacte [K1].

9

2. Aspecte privind analiza stabilitii sistemelor de reglare

automat convenional cu proces condus continuu iregulator cu timp discretSituaia specific majoritii aplicaiilor practice de conducere este cea n care: regulatorul (RG) este cu timp discret, caracterizat prin f.d.t. HR(z); procesul condus (PC) este continuu, caracterizat prin f.d.t. HPC(s). Interfaarea dintre cele dou subsisteme, RG i PC este asigurat de: convertorul analog-numeric (CAN), cu echivalentul informaional eantionator + elementul de reinere (ES + ER); convertorul numeric-analogic (CNA), cu echivalentul informaional eantionatorul (ES). Algoritmul de reglare numeric (a.r.n.) specific RG va putea fi obinut: prin discretizarea unei l.d.r. continue (prin MD-A, MD-I, MT sau alte metode) utiliznd o perioad de eantionare fixat, Te;

prin proiectare direct, cnd perioada de eantionare Te poate aleas adeseorisubstanial mai mare.

10

n consecin, analiza stabilitii SRA cu timp discret va impune parcurgerea

urmtorilor pai: se precizeaz a.r.n. prin f.d.t. HR(z); se precizeaz PC prin f.d.t. HPC(s); se calculeaz f.d.t. n z a procesului extins cu modulele (ES + ER) i (ES):

(1) se calculeaz f.d.t. n z aferent SRA, Hw(z) i ecuaia caracteristic:

(2) se aplic etapele specifice criteriului de apreciere a stabilitii apelat.

11

3. Analiza stabilitii sistemelor n baza metodei a doua

(directe) dup LyapunovDup cum s-a menionat, mrimile de stare ale unui sistem caracterizeaz transferurile (schimburile) i acumulrile diferitelor forme ale energiei din sistem; sub diferitele sale forme, energia va fi caracterizat de ptratul mrimilor de stare

(fizice). Starea instabil a unui sistem caracterizeaz de regul pierderea echilibruluisau a controlului asupra acumulrilor i schimburilor de energie la nivelul unui sistem (interconectat cu exteriorul). n vederea caracterizrii stabilitii unui sistem ar trebui vzut n ce msur este posibil pstrarea echilibrului energetic al sistemului.

Exceptnd situaiile relativ simple, o astfel de caracterizare bazat pe explicitareastrii energetice a sistemului fizic se dovedete adeseori dificil. Metoda a doua a lui Lyapunov utilizeaz pentru aprecierea strii energetice a sistemului (dinamic) o funcie scalar V de variabil vectorial x, continu n raport cu variabilele de stare x ale sistemului i pozitiv definit n vecintatea strii de echilibru x0 = 0 (starea de repaos), adic:

12

(1) funcia V poart denumirea de funcie Lyapunov. n acest context, stabilitatea sistemului n jurul strii x0 poate fi analizat pe baza urmtoarelor teoreme (fr demonstraie), particularizate pentru cazul sistemelor liniare: Teorema 1: Starea de repaos ecuaia de stare (omogen): a sistemului dinamic continuu descris de x = A x (2)

este o stare asimptotic stabil i corespunztor sistemul este asimptotic stabil n raport cu starea x0, dac se poate determina o funcie Lyapunov V astfel ca derivata ei (n raport cu timpul) s fie negativ definit, adic: V(x) < 0 x Teorema 2: Starea de repaos (3) a sistemului dinamic continuu descris de

ecuaia de stare (7.7.2) este o stare stabil (sistemul este stabil n raport cu starea x0), dac se poate determina o funcie Lyapunov V astfel nct derivata ei s fie negativ semidefinit, adic: V(x) 0 x (4)13

n consecin, n vederea dovedirii stabilitii unui sistem dat este necesar aflarea (gsirea) unei funcii Lyapunov care s verifice condiia (3) (eventual (4)). Cum funcia V nu este unic, este suficient determinarea unei singure funcii Lyapunov. Exist numeroase tehnici de generare a funciilor Lyapunov ([B1], [R1], [V1] .a.), succesul aplicrii metodei de analiz a stabilitii regsindu-se adeseori n experiena specialistului.

4. Criteriul Popov pentru analiza stabilitii unor clase de sisteme neliniare +)

Criteriul de stabilitate Nyquist este dedicat analizei stabilitii sistemelor liniare. Prezena neliniaritilor face imposibil utilizarea tehnicilor de analiz a stabilitii

sistemelor liniare, excepie fcnd situaia n care MM este liniarizabil / liniarizat njurul unui p.d.f.s. i stabilitatea este testat relativ la acest punct de funcionare sau la mici modificri n jurul acestuia.14

Pentru cazul unui sistem neliniar (SNL) cu anumite proprieti ale subsistemului/ elementului neliniar (NL), criteriul de stabilitate elaborat de V.M. Popov+) ofer o metodologie de analiz a stabilitii foarte apropiat de cea a criteriului Nyquist. Criteriul Popov se aplic uor pentru analiza stabilitii buclelor de reglare care conin un element NL separabil de partea liniar, fig.7.19-a. Acesta este i cazul frecvent n practic al regulatoarelor tipizate (liniare) pentru care ieirea este limitat, cnd n condiiile intrrii n limitare, SRA poate avea comportri diferite de cea corespunztoare situaiei liniare, fr limitare; de fapt, aceasta este i principala motivaie a prezentrii criteriului. n continuare (mai general), se accept c neliniaritatea N(e) poate fi redat de o caracteristic static (CS) u=f(e) situat n cadranele 1 i 3 i cuprins ntre dreptele de pant constant k1 i k2, fig.7.19-b; altfel spus, neliniaritatea este de tip sector.

Fig.7.19. SRA cu neliniaritate separat.15

Observaie: Pentru ilustraia din fig.7.19 neliniaritatea apare ca fiind adus de regulator; situaia faptic este ns mai general, n SRA delimitndu-se partea liniar cu f.d.t. H0(s) i partea neliniar, descris de CS N(e). Cteva exemple de neliniariti de tip sector, care se ncadreaz n punerea problemei, sunt ilustrate n fig.7.20: (a) CS aferent releului ideal (RG bipoziional ideal); (b) CS aferent releului cu histerezis (RG tripoziional ideal); (c) CS aferent elementului proporional cu limitare (elementului cu limitare); (d) CS aferent elementului proporional cu zon de insensibilitate (joc) i limitare. Ipotezele de baz n care este aplicabil criteriul Popov sunt urmtoarele:

Partea liniar (separat) a sistemului (buclei de reglare) este caracterizat de f.d.t. Partea neliniar (NL) este caracterizat de CS-NL limitat ntre dou drepte de

H0(s) (form raional) avnd m0 n0 .

pant constant:

k1e N(e) k2e . (1)

16

Fig.7.20. Neliniariti specifice unor aplicaii practice uzuale (k1 = 0).

17