Unitatea de învăţare Metoda Elementelor Finite.Scurtă prezentare1

Cuprins

1 Metoda Elementelor finite.................................................1

1.1 Generalităţi..............................................................1

1.2 Conceputul de discretizare......................................2

1.3 Tipuri de elemente..................................................4

1.4 Funcţii de interpolare..............................................6

1.5 Etape ale unei probleme de analiză cu elemente finite...................................................................9

2 Teste de autoevaluare......................................................12

3 Răspunsurile testelor de autoevaluare............................13

4 Bibliografie/webografie....................................................13

Obiective:Prezentarea succintă a elementelor teoretice necesare înţelegerii modului de funcţionare a unor produse ce folosesc Metoda Elementelor Finite.

Competenţe:Utilizarea „în cunoştinţă de cauza”, a unor produse ce dispun de module de analiză cu elemente finite.

1 Metoda Elementelor finite

1.1 GeneralităţiMetoda elementelor finite (elementului finit) este o metodă aproximativă de rezolvare a unor sisteme de ecuaţii cu derivate parţiale, cu aplicaţii în modelarea şi rezolvarea unei mari varietăţi de probleme tehnice şi inginereşti, de tipul mecanicii solidului, a mecanicii fluidelor, mecanica solurilor, electromagnetism, sau analize dinamice complexe. Metoda îşi are originile la începutul anilor 40, dar a cunoscut o dezvoltare explozivă, odată cu „democratizarea” utilizării calculatoarelor electronice (adică odată cu creşterea puterii de calcul, concomitent cu scăderea preţurilor tehnicii de calcul).

1

Esenţa metodei constă în transformarea unei probleme cu un număr infinit de grade de liberate (necunoscute), deci imposibil de rezolvat, într-una cu număr finit de grade de libertate (necunoscute), care este o aproximare a problemei iniţiale, dar care se poate rezolva. Această transformare are la bază noţiunea de discretizare, ce se va prezenta succint în paragraful următor.

1.2 Conceputul de discretizareProcesul de discretizare a fost folosit cu mult înaintea Metodei Elementelor Finite (MEF). Cel mai simplu exemplu este cel al calculului ariei pentru suprafeţe neregulate. Figura 1.1 ilustrează acest proces.

Fig. 1.1 – Aria suprafeţelor neregulate

Dacă domeniul ariei neregulate se discretizează într-un caroiaj regulat, atunci aria suprafeţei se poate aproxima, prin lipsă, sau prin adaos, prin aria conturului interior, respectiv exterior, ambele putându-se calcula prin numărarea pătrăţelelor ce le compun şi multiplicarea acestei valori cu aria unui pătrăţel. În cazul Metodei Elementelor Finite, procesul de discretizare urmăreşte împărţirea domeniului analizat, într-un număr finit de subdomenii, numite elemente. Pentru aceste domenii, ecuaţiile diferenţiale constitutive sunt rezolvate aproximativ, iar prin asamblarea acestora, se poate măsura, cuantifica, estima răspunsul întregului solid la o încărcare exterioară.

2

Termenul încărcare acoperă o gamă largă de acţiuni: forţe, momente, temperaturi, viteze, acceleraţii, deplasări, intensităţi de câmp etc.Elementele rezultate după discretizare se interconectează la noduri si pe lungimea muchiilor comune, astfel încât să nu rămână goluri în solidul aproximat.Numărul de grade de libertate (necunoscute) este dat de numărul de noduri rezultat după discretizare, şi de numărul de grade de libertate (necunoscute) pe nod. Astfel, dacă un solid de formă neregulata este discretizat şi rezultă un număr de 1000 de noduri, iar numărul de grade de libertate pe nod este de 3, se va ajunge la o problema cu 1000 x 3 = 3000 de necunoscute. Semnificaţia fizica a acestor necunoscute depinde de tipul de analiză realizat. Ele pot fi deplasări, temperaturi, viteze, sau alte mărimi, la nodurile structurii.In funcţie de domeniul de discretizat, elementele pot fi mono, bi, sau tri-dimensionale. In figura 1.2 este prezentată discretizarea unor structuri, cu elemente de formă mono, bi şi tridimensionale.

a. – structuri de tip bare

3

b. – structuri de tip înveliş

c. – structuri de tip corp solid

Fig. 1.2 – Elemente mono, bi şi tri-dimensionale

1.3 Tipuri de elementeProdusele de analiză cu elemente finite pun la dispoziţia utilizatorului o gamă variată de tipuri de elemente, care pot diferi unul de altul nu doar prin formă, sau număr de noduri, ci şi prin alte proprietăţi, care depind [şi] de tipul de analiză realizat. În figura 1.3 sunt prezentate câteva exemple de elemente.

4

a. Elemente triunghi şi tetraedru cu noduri intermediare

b. – Elemente paralelipiped („cărămidă”), fără şi cu noduri intermediare

c. Element axial simetric (pentru structuri (modele) simetrice axialFig. 1.3 – Alte tipuri de elemente

5

1.4 Funcţii de interpolareMetoda elementelor finite, calculează, într-o primă etapă, necunoscutele (deplasări, temperaturi, viteze etc.) la nodurile elementelor. Intr-un al doilea „pas”, se pot calcula aceleaşi mărimi, în puncte din interiorul elementelor. Acest lucru este posibil prin intermediul aşa-numitelor funcţii de interpolare. Cel mai simplu tip de interpolare, este cea liniară, pentru probleme unidimensionale, descrisă sintetic în figura 1.4.

Fig. 1.4 – Interpolare liniară

Dacă se cunosc valorile în punctele xi, xi+1, yi, respectiv yi+1, presupunând o variaţie liniară a mărimii descrisă de dependenţa (xk,yk), se poate determina yj, corespunzător lui xj. In cele ce urmează se va prezenta, atât teoretic, cât şi printr-un exemplu, o problemă de interpolare polinomială în două dimensiuni.Să presupunem că pentru un domeniu plan, triunghiular, se cunosc mărimile T1, T2 şi T3, la nodurile domeniului.Se doreşte aflarea mărimii T, într-un punct din interiorul domeniului, de coordonate (x,y) (vezi figura 1.5).Presupunând pentru parametrul (mărimea) T o variaţie liniară în interiorul domeniului triunghiular, descrisă de funcţia:

(1)

Relaţia de mai sus trebuie satisfăcută şi la nodurile domeniului, adică:

(2)

6

Fig. 1.5 – Interpolare polinomială în două dimensiuni

Relaţia se mai poate scrie matriceal:

(3)

unde,

(4)

Din relaţia (3), privită ca un sistem algebric liniar în necunoscutele a i, rezultă:

[a]=[A]-1[T] (5)

Coroborând relaţiile (1) cu (5), putem scrie:

(6)

Vom nota , (7)

7

funcţia (matriceală) de interpolare.

Exemplu:

În figura 1.6, este reprezentat un domeniu triunghiular pentru care se cunosc temperaturile la nodurile i, j, k astfel:Ti=500C◦, Tj=400C◦, Tk=200C◦. Se cere temperatura în punctul P(4,1). Coordonatele nodurilor sunt cele din figura 1.6.

Fig. 1.6 – Exemplu de interpolare polinomială în două dimensiuni

Se va putea scrie:

8

1.5 Etape ale unei probleme de analiză cu elemente finitePrincipalele etape în construirea unei probleme de analiză cu elemente finite sunt următoarele:

Etapă Conţinut

1 Construirea modelului geometric

Modelarea 2D sau 3D a structurii de analizat. Acest model conţine exclusiv informaţii geometrice (dimensiuni, forme, distanţe)

2 Construirea modelului fizic

Completarea cu informaţii despre materialul/materialele din care este confecţionată structura. Acum se precizează acele proprietăţi de material, relevante tipului de analiză realizat: densitatea, modulul de elasticitate, coeficientul Poisson, coeficientul de dilatare termică etc.

3Construirea modelului structural

Modelul primeşte acum rezemările (legăturile cu terenul: reazeme simple, articulaţii, încastrări, reazeme elastice etc.) şi încărcările: forţe, momente, temperaturi, viteze etc.

4 Discretizarea Acum se creează reţeaua de elemente finite

5 Analiza

Se face calculul efectiv. Simplificat, această fază, are ca principală etapă rezolvarea unui sistem algebric liniar cu un număr mare (zeci de mii, sute de mii, sau chiar milioane de ecuaţii)

9

6 Postprocesarea şi interpretarea rezultatelor

Este etapa de vizualizare, sortare, filtrare a datelor de ieşire, astfel încât urmărirea lor să se facă cât mai uşor, clar pentru utilizator.

Toate etapele construirii unei probleme de analiză cu elemente finite sunt importante şi presupun nu doar o bună cunoaştere a produsului de analiză folosit, dar în egală măsură şi a fenomenului/procesului modelat.Sunt de reţinut următoarele observaţii:1. Construirea modelului geometric trebuie să asigure un compromis între nivelul de detaliu redat şi volumul de calcul, sau complicaţiile pe care o detaliere prea fină le pot produce. Altfel spus, nu toate detaliile modelului sunt relevante pentru analiza considerată. Acestea pot fi eliminate [din model]. Vor rezulta mai puţine elemente şi vor apărea mai puţine probleme datorate unor geometrii defectuoase de elemente.2. Modelul fizic trebuie să fie judicios construit, astfel încât materialele alese, sau proprietăţile de material specificate, să fie cele care descriu cât mai exact situaţia reală.3. Ca toate modelele ce compun o problema de analiză cu elemente finite, şi cel structural este o aproximare a realităţii. Alegerea legăturilor, sau a încărcărilor (nu doar ca tip sau valoare), dar mai ales ca mod de acţionare, vor determina, direct şi major, succesul unei analize cu elemente finite.4. Discretizarea este o etapă de o importanţă majoră în asigurarea succesului unei analize cu elemente finite. O intuiţie imediată ar putea sugera că o reţea de elemente finite de mici dimensiuni (deci multe), ar produce un rezultat mai bun decât cel obţinut cu elemente mari (şi mai puţine). Realitatea este mai nuanţată. O creştere exagerată a numărului de elemente poate avea chiar efecte nefavorabile, aşa cum este sugerat în figura 1.7.

10

Fig. 1.7 – Dependenţa dintre numărul de elemente şi precizia rezultatelor

Se poate observa că dincolo de un anumit număr de elemente, considerat optim, precizia rezultatului poate chiar să scadă (fără să mai menţionăm că durata analizei va creşte substanţial). Soluţia este o discretizare „inteligentă”, ceea ce înseamnă:

- utilizarea elementelor de ordine superioare (care folosesc funcţii de interpolare de ordine superioare) ceea ce permite o creştere a dimensiunii elementelor – deci o scădere a numărului lor – fără reducerea preciziei rezultatelor;

- îndesirea locală a reţelei de elemente finite, cu scopul surprinderii efectelor locale (în zona concentratorilor de eforturi, a punctelor de reazem sau de aplicaţie a încărcărilor de exemplu);

- folosirea, ori de câte ori este posibil a simetriei modelului;- simplificarea, ori de câte ori este posibil, a analizei - uneori este

posibil ca probleme 3D să poată fi soluţionate prin analize 2D;- evitarea elementelor prost construite (cu geometrie deficitară), aşa

cum sunt prezentate în figura 1.8. În exemplu, problema o constituie unghiurile prea ascuţite, care vor genera probleme funcţiilor de interpolare în zona respectivă.

11

Fig. 1.8 – Elemente cu geometrie deficitară

Atenţie, orice rezultate obţinute după o analiză cu elemente finite trebuie privite critic, şi atent interpretate. Oricum, în practica curentă, analiza cu elemente finite nu este ultima etapă în validarea unui produs, şi e urmată întotdeauna de o fază experimentală/de testare.5. Postprocesarea şi interpretarea rezultatelor. Rezultatele furnizate de un produs de analiză cu elemente finite, trebuie în primul rând aranjate într-o formă cât mai uşor de urmărit de cel care le interpretează. Combinarea reprezentărilor grafice (hărţi de tensiuni, deplasări sau deformaţii, dar şi alte tipuri de reprezentări – harta de distribuţie a factorului de siguranţă de exemplu, sau variaţia unei mărimi după un anumit traseu), cu redarea tabelară a rezultatelor, trebuie să permită descoperirea cât mai rapidă a „problemelor”.Oricum, decisivă în această etapă este experienţa celui care face analiza şi nivelul de expertiză în domeniul ce face subiectul analizei.

Explicaţii suplimentare la clasă

2 Teste de autoevaluare

1. Creşterea exagerată a numărului de elemente finite, are ca rezultat:a. creşterea preciziei rezultatelor;

12

b. scăderea preciziei rezultatelor;c. nu are nicio influenţă.

2. Numărul de necunoscute ale unei analize cu elemente finite este dat de:a. produsul dintre numărul de noduri şi numărul de grade de libertate pe nod;b. produsul dintre numărul de elemente şi numărul de grade de libertate pe nod;c. produsul dintre numărul de noduri şi numărul de elemente.

3. Ce constituie o problemă pentru geometria elementelor:a. dimensiunea elementului;b. unghiurile prea ascuţite;c. ambele.

4. Modificări produse în modelul geometric, conduc la modificări în cel structural?a. da, dacă aceste modificări influenţează zonele reazemelor şi cele ale aplicării încărcărilor;b. da, daca se reface discretizarea;c. nu.

5. Creşterea gradului funcţiilor de interpolare (polinomiale) permite:a. creşterea dimensiunilor elementelor;b. scăderea dimensiunilor elementelor;c. nu există nicio legătură între dimensiune şi gradul funcţiilor polinomiale de interpolare.

3 Răspunsurile testelor de autoevaluare

1-b, 2-a, 3-c, 4-a, 5-a

4 Bibliografie/webografie1. Colectiv, Proiectarea şi fabricarea asistate de calculator în

industria petrolieră, Ed. Universităţii Petrol-Gaze din Ploieşti, 2004

13

2. Colectiv, Proiectare asistată de calculator, Editura Universităţii Petrol-Gaze din Ploieşti, 2012

14