Solicitarea plăcilor & a vaselor cu pereți subțiri

• Cazuri de încovoiere a plăcilor plane

• Flambajul plăcilor dreptunghiulare

• Vasele de revoluție cu pereți subțiri

Universitatea „Vasile ALECSANDRI” din Bacău - ROMÂNIA

CURS 9 – REZISTENȚA MATERIALELOR 2

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2

SOLICITĂRI PLĂCI

a) Cazul general

1. Cazuri de încovoiere a plăcilor plane

Se consideră elementul infinitezimal din fig. alăturată, detașat dintr-o placă plană. Pe suprafața liberă se aplică o forță distribuită 𝒑.

Pentru precizarea componentelor tensiunilor, se consideră secțiunea 𝐴𝐵𝐶𝐷, normală pe axa 𝑂𝑥. Cele 6 componente ale forțelor interne sunt:

𝑿 – forța axială, 𝒀 și 𝒁 – forțe tăietoare dirijate pe 𝑂𝑦, respectiv pe 𝑂𝑧. 𝑴𝒙 – moment de torsiune, 𝑴𝒚 și 𝑴𝒛 – momente

încovoietoare dirijate pe 𝑂𝑦, respectiv pe 𝑂𝑧.

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 3

SOLICITĂRI PLĂCI

Din cauza modului particular de încărcare a plăcii, unele dintre aceste componente sunt nule. Pentru a preciza atât direcția tensiunilor cât și planul pe care sunt aplicate, se utilizează notația cu indici dubli, astfel:

‒ întrucât toate sarcinile sunt verticale, există doar forța tăietoare 𝑍, care se notează 𝑻𝒛𝒙 (are direcția axei 𝑂𝑧 și acționează în planul având ca normală pe 𝑂𝑥);

‒ componentele 𝑋 și 𝑌 sunt nule;

‒ sarcinile 𝑝 dau moment nul față de axa 𝑂𝑧, paralelă cu ele, deci există numai momentele 𝑀𝑥 și 𝑀𝑦. Momentul încovoietor 𝑴𝒚 își păstrează

notația, în timp ce 𝑀𝑥 va prelua notația 𝑴𝒙𝒚, el producând eforturi

unitare tangențiale 𝝉𝒚𝒙 = 𝝉𝒙𝒚.

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 4

SOLICITĂRI PLĂCI

Astfel, componentele tensiunii unitare pe fața 𝐴𝐵𝐶𝐷 sunt:

‒ tensiunea unitară de încovoiere 𝝈𝒙, produs de către 𝑴𝒚;

‒ tensiunea unitară tangențială 𝝉𝒛𝒙, produs de către 𝑻𝒛𝒙;

‒ tensiunea unitară tangențială 𝝉𝒙𝒚,

produs de către 𝑴𝒙𝒚;

În mod analog se notează componentele tensiunilor și ale tensiunilor unitare pe celelalte fețe ale elementului.

Momentul 𝑴𝒙𝒚 , produce tensiuni unitare tangențiale 𝝉𝒚𝒙 = 𝝉𝒙𝒚 pe

elementul hașurat din planul 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 5

SOLICITĂRI PLĂCI

Ecuația generală a plăcilor plane

Derivând ecuațiile care descriu relațiile între tensiuni și deplasări, apoi înlocuind în prima ecuație din sistemul care descrie relațiile diferențiale între tensiuni, se găsește că:

𝜕4𝑤

𝜕𝑥4 + 2

𝜕4𝑤

𝜕𝑥2𝜕𝑦2 + 𝜕4𝑤

𝜕𝑦4 = 𝑝

𝐷

unde 𝑫 = 𝑬𝒉𝟑

𝟏𝟐 𝟏−𝝂𝟐 denumit rigiditatea la încovoiere a plăcii, unde 𝝂 este

coeficientul lui Poisson (OL = 0.3). Utilizând expresia operatorului Nabla

∇2= 𝜕2

𝜕𝑥2 +

𝜕2

𝜕𝑦2

ecuația generală a încovoierii plăcilor plane – denumită și ecuația Sophie Germain – se scrie

𝜵𝟐 𝜵𝟐𝒘 = 𝒑

𝑫

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 6

SOLICITĂRI PLĂCI

b) Încovoierea cilindrică a plăcilor plane

Placa din figură, de lungime 𝑳, lățime 𝒍, și grosime 𝒉, este simplu rezemată pe cele două laturi mari și încărcată cu o sarcină care este constantă pe o linie paralelă cu reazemele. În acest caz, placa se deformează după o suprafață cilindrică.

Încovoierea cilindrică nu este posibilă când există sarcini concentrate.

Studiul încovoierii cilindrice a plăcii prezintă analogie totală cu al grinzii drepte solicitate la încovoiere. Secționând placa prin plane paralele, normale pe axa longitudinală, se obțin grinzi de lățime egală cu unitatea: 𝐶, 𝐴, și 𝐸.

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 7

SOLICITĂRI PLĂCI

O astfel de grindă are lungimea 𝒍, lățimea 𝒃 = 𝟏 și înălțimea 𝒉. O porțiune din grinda 𝑨 – prezentată în figura de mai sus – este solicitată la încovoiere pură prin aplicarea momentului 𝑴. Sub efectul momentului, grinda se curbează, fibra medie a acesteia având raza 𝝆.

Astfel, planul 𝒄𝒅 se rotește, față de 𝒂𝒃, cu un unghi 𝒅𝜽, ajungând în poziția 𝒄′𝒅′. Lungimea fibrei 𝑬𝑭 este: ∆𝒅𝒙 = 𝐸𝐹′ = 𝒛𝒅𝜽, iar lungimea specifică în direcția axei 𝑂𝑥 este:

𝜺𝒙 = ∆𝑑𝑥

𝑑𝑥 = 𝑧

𝑑𝜃

𝑑𝑥 = 𝒛

𝝆

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 8

SOLICITĂRI PLĂCI

Înlocuindu-se 𝜺𝒙 și 𝜺𝒚 = 𝟎 în relațiile deformației totale după legea lui

Hooke generalizate, se obțin tensiunile:

𝝈𝒙 = 𝐸𝜀𝑥

1 − 𝜈2 =

𝒛𝑬

𝝆 𝟏 − 𝝂𝟐 ; 𝝈𝒚 =

𝜈𝑧𝐸

𝜌 1 − 𝜈2 = 𝝂𝝈𝒙

iar ecuația de echivalență în secțiune devine:

𝑀 = න 𝐴

𝜎𝑥𝑧𝑑𝐴 = 𝐸ℎ3

12𝜌 1 − 𝜈2

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 9

SOLICITĂRI PLĂCI

Din ecuația generală a plăcilor plane se deduce că 𝟏

𝝆 =

𝑴

𝑫 , iar pentru o

grindă având secțiunea 1 ∙ ℎ, rigiditatea la încovoiere este:

𝐸𝐼 = 𝐸ℎ3

12

Ca urmare, rigiditatea unei plăci din OL are expresia:

𝑫 = 𝐸ℎ3

12 1 − 𝜈2 =

𝐸𝐼

1 − 𝜈2 =

𝐸𝐼

1 − 0.32 ≈ 𝟏. 𝟏𝑬𝑰

Rezultă că atunci când este considerată placă, piesa are o rigiditate cu ≈ 10% mai mare decât când este considerată grindă.

Înlocuind pe 𝝆 în relațiile deformației totale, se află tensiunile unitare:

𝝈𝒙 = 𝑀

𝐷 ∙

𝑧𝐸

1 − 𝜈2 = 𝟏𝟐𝒛𝑴

𝒉𝟑 , respectiv 𝝈𝒚 = 𝝂𝝈𝒙

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 10

SOLICITĂRI PLĂCI

c) Încovoierea pură după două direcții normale

La încovoierea cilindrică, momentul încovoietor era uniform distribuit în lungul axei 𝑶𝒚. Când cu sunt întrunite condițiile încovoierii cilindrice, există momente încovoietoare 𝑴𝒙 și 𝑴𝒚, distribuite pe ambele axe.

Dintr-o astfel de placă se detașează un element infinitezimal, de dimensiuni 𝒅𝒙, 𝒅𝒚, 𝒉. Se ia ca plan neutru, planul 𝑵𝑵𝑵𝑵, coincizând cu 𝒙𝑶𝒚. Pe fețele acestui element acționează tensiunile unitare 𝝈𝒙 și 𝝈𝒚.

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 11

SOLICITĂRI PLĂCI

Sub efectul momentelor 𝑴𝒙 și 𝑴𝒚, elementul

de volum se deformează ca în figura alăturată, liniile 𝑨𝑩 și 𝑪𝑫 fiind în planul median.

Dacă 𝜺𝒙 și 𝜺𝒚 sunt lungirile specifice pe direcțiile

axelor 𝑥 și 𝑦, iar dacă la încovoierea cilindrică s- a stabilit că

𝜀𝑥 = 𝑧

𝜌

atunci, cele două lungiri specifice se pot scrie:

𝜀𝑥 = 𝑧

𝜌𝑥 ; 𝜀𝑦 =

𝑧

𝜌𝑦

Odată cu introducerea acestor expresii în relațiile deformării totale după legea lui Hooke generalizată, rezultă:

𝜎𝑥 = 𝑧𝐸

1 − 𝜈2 1

𝜌𝑥 + 𝜈

1

𝜌𝑦 ; 𝜎𝑦 =

𝑧𝐸

1 − 𝜈2 1

𝜌𝑦 + 𝜈

1

𝜌𝑥

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 12

SOLICITĂRI PLĂCI

De asemenea, se simplifică cu 𝑑𝑥, respectiv 𝑑𝑦, după care se integrează ecuațiile de echivalență în secțiuni și se obține:

𝑀𝑥 = 𝐷 1

𝜌𝑦 + 𝜈

1

𝜌𝑥 ; 𝑀𝑦 = 𝐷

1

𝜌𝑥 + 𝜈

1

𝜌𝑦

Din ecuațiile deformării totale după legea lui Hooke generalizate, precum și din rezultatele integrării ecuațiilor de echivalență, rezultă că tensiunile unitare sunt:

𝝈𝒙 = 𝟏𝟐𝒛𝑴𝒚

𝒉𝟑 ; 𝝈𝒚 =

𝟏𝟐𝒛𝑴𝒙 𝒉𝟑

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 13

SOLICITĂRI PLĂCI

2. Flambajul plăcilor dreptunghiulare

Adesea, plăcile pot fi solicitate și prin forțe situate în planul lor median. Creșterea acestor forțe peste anumite limite poate produce flambajul sau voalarea plăcilor.

În acest caz, se va stabili expresia sarcinii critice de flambaj a plăcii simplu rezemată pe contur, solicitată printr-o sarcină distribuită 𝑵𝒙.

Astfel, se detașează un element de placă, de lungime 𝒅𝒙 și lățime egală cu unitatea (pe direcția 𝑂𝑦), după ce a flambat.

Asupra elementului acționează, paralel cu axa 𝑧, sarcina 𝒒.

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 14

SOLICITĂRI PLĂCI

Ecuațiile de echilibru pe orizontală pentru elementul de placă sunt:

𝜕𝑁𝑥