Slides MAC 1 and 2

1 Matematici asistate de calculator. Bibliografie (R.-E. Precup, UPT, 2012)

Matematici asistate de calculator. BibliografiePrecup, R.-E.: Matematici asistate de calculator. Algoritmuri, Editura Orizonturi Universitare, Timioara, 2007. Precup, R.-E., L. Dragomir i I. Bulavichi: Matematici asistate de

calculator. Aplicaii, Editura Politehnica, Timioara, 2002.Kilyeni, St.: Metode numerice, vol. 1 i 2, ediiile 1, 2, Editura Orizonturi Universitare, Timioara, 1997, 2000 i alte ediii. Nslu, P.: Metode numerice, Editura Politehnica, Timioara, 1999 i alte ediii.


Babescu, Gh., A. Kovacs, I. Stan, Gh. Tudor, R. Anghelescu i A. Filipescu: Analiz numeric, Editura Politehnica, Timioara, 2000. Ionescu, Vl. i C. Popeea: Optimizarea sistemelor, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1981. Dumitrache, I. i C. Buiu:

Algoritmi

genetici.

Principii

fundamentale i aplicaii n automatic, Editura Mediamira, ClujNapoca, 2000. Penny, J. i G. Lindfield: Numerical Methods Using MATLAB,

Second edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 2000.


Ghinea, M. i V. Fireeanu: MATLAB. Calcul numeric. Grafic.

Aplicaii, Editura Teora, Bucureti, 1997 i alte ediii.Beu, T.A.: Calcul numeric n C, Editura Albastr, Cluj-Napoca, 2000. Dragomir, L.: Aplicaii de matematic asistat de calculator, Editura Politehnica, Timioara, 2010.

1.1 Eroare. Aproximaie (R.-E. Precup, UPT, 2012) 4

Cap. 1. Aspecte introductive privind teoria erorilorRezolvarea unor probleme de natur stiinific i tehnic implic aplicarea metodelor numerice. O metod numeric este considerat eficient atunci cnd precizia calculelor numerice este bun, ceea ce se traduce prin erori reduse.

5 Aspecte introductive privind teoria erorilor (cap. 1) (R.-E. Precup, UPT, 2012)

1.1. Eroare. AproximaieFie o mrime numeric real avnd valoarea exact x, pentru care se cunoate valoarea aproximativ x~ (rezultat n urma unui calcul numeric sau a unui experiment). x~ = o aproximaie a valorii exacte x.

Eroarea a aproximaiei x~ a lui x definiie: = x x~ . > 0: x~ aproximeaz pe x prin lips; < 0: x~ aproximeaz pe x prin adaos. (1.1)


Eroare. Aproximaie. Eroare absolut(1.1) formula de aproximare: x = x~ + . (1.2)

Semnul erorii nu prezint interes eroarea absolut a (a x): a = | | = | x x~ | . unei aproximri. Exemplu: (1.3) a nu este suficient pentru a caracteriza gradul de precizie al


Eroare absolut. Eroare relativx = 4 , x~ = 5 , y = 499, y~ = 500 a x = a y = 1 . nu se poate aprecia c y~ aproximeaz mult mai bine pe y dect x~ pe x. necesar introducerea unei alte mrimi, care s exprime corect gradul de precizie a unei aproximri: eroarea relativ a aproximaiei x~ a lui x, r (r x): | a | | x x~ | r = = . | x~ | | x~ | (1.4)


Eroare relativn practic: exprimarea procentual a erorii relative: r% = 100 r . Exemplul anterior: r x = 1/5 = 0.2 = 20 % , r y = 1/500 = 0.002 = 0.2 % , a doua aproximare este mai precis dect prima. Din punctul de vedere al provenienei erorilor: clasificare n (1.5)

categorii:


Clasificare erori1) Erori inerente (iniiale) apariie: modelul matematicasociat problemei practice nu corespunde n totalitate acestei probleme; nu pot fi influenate de metoda de calcul.

2) Erori de metod apariie: utilizarea unei anumite metodenumerice n rezolvarea problemei; pot fi micorate prin alegerea celei mai adecvate metode de rezolvare.

3) Erori de calcul legate exclusiv de metodele de calculnumeric, de modul de efectuare a calculelor i de tehnica de calcul utilizat.


Erori de calculErorile de calcul de trei tipuri:

A) Erori de trunchiere legate exclusiv de metodele numericeutilizate. Apariie: procese de calcul numeric cu convergen teoretic infinit sunt nlocuite cu aceleai procese, dar cu convergen practic finit la toate metodele iterative sau de aproximaie. Exemplu: calculul valorilor ex pentru diverse valori ale argumentului x cu dezvoltarea n serie MacLaurin:


Erori de calcul (contd 1)x2 x3 xk ex = 1 + x + + + + + . 2! 3! k!

(1.6)

Numrul de termeni este infinit. n calcule practice se folosete, ns, un numr finit rezonabil de termeni (5, 6, 7, 8, ) dependent de valoarea lui x. Termenii omii determin apariia erorii de trunchiere. Nu pot fi calculate exact, dar pot fi estimate.


Erori de calcul (contd 2)B) Erorile de rotunjire toate calculele se pot efectua numaiconsidernd un numr finit de cifre pentru valorile numerice, dei anumite valori numerice au mai multe cifre sau chiar o infinitate de cifre (numere iraionale). Exemplu: se efectueaz calculele cu valori numerice avnd 6 cifre semnificative. Valoarea numeric x = 842.78425 se poate aproxima:


Erori de calcul (contd 2)- prin lips, prin valoarea: x~= 842.784, cu r x= 0.000030 %; - prin adaos, prin valoarea: x~= 842.785, cu r x= 0.000089 %. Erorile de rotunjire pot fi cauzate i de conversiile dintr-un sistem de numeraie cu o baz ntr-unul cu o alt baz.

C) Erorile de propagare apar datorit erorilor din paiianteriori ai unui proces iterativ de calcul.


1.2. Reprezentarea n virgul mobil. Rotunjiren sistemele de calcul un numr real cu valoarea exact x se reprezint n mod curent n virgul mobil:

x = f be ,b baza sistemului de numeraie (b = 2), f mantisa, e exponentul (caracteristica).

(2.1)

1.2 Reprezentarea n virgul mobil. Rotunjire (R.-E. Precup, UPT, 2012) 15

Reprezentarea normalizatExemplu: Se consider reprezentarea numrului x = 10.012 = 1.0012 21 = 0.10012 22 = 0.010012 23 = = 100.12 21 = 10012 22 = 100102 23 . pentru o anumit valoare numeric exist un numr nelimitat de exprimri n virgul mobil. Prezint interes reprezentarea

normalizat, unic, la care mantisa satisface:1 b f 0 , dac | g | 0.12 i f < 0 . (2.8)

Eroarea relativ datorat rotunjirii simetrice: a 0.1 2et r = = 2t . | x~ | 0.1 2e (2.9)

1.2 Reprezentarea n virgul mobil. Rotunjire (R.-E. Precup, UPT, 2012) 21

Metode de rotunjire (contd 3)Exemplu: aplicarea rotunjirii simetrice pentru x = 0.1101111012 25 x~ = 0.1101112 25 + 256 = 0.1101112 25 + 21 = = 0.1101112 25 + 0.0000012 25 = 0.1110002 25, r 26.


1.3. Propagarea erorilorOperaii aritmetice cu valori aproximative necesitatea cunoaterii efectului erorilor operanzilor asupra erorii rezultatului i asupra operaiilor urmtoare. Fie cei doi operanzi cu valorile exacte x i y i valorile aproximative x~, respectiv y~. Formulele de aproximare: x = x~ + x , y = y~ + y . (3.1)

Operaiile aritmetice elementare A) Adunareax + y = x~ + y~ + x + y din (3.1),

1.3 Propagarea erorilor (R.-E. Precup, UPT, 2012) 23

Propagarea erorilor la operaiile aritmetice elementare /1dar (1.2) x + y = x~ + y~ + x+y . x+y = x + y . Se aplic proprietile modulului a x+y a x + a y . Exprimarea erorii relative: r x+y a x+y a x a y = + = | x~ + y~ | | x~ + y~ | | x~ + y~ | (3.3) (3.2)


Propagarea erorilor la operaiile aritmetice elementare /2a x | x~ | a y | y~ | = + = | x~ | | x~ + y~ | | y~ | | x~ + y~ | = r x | x~ | | y~ | + r y . | x~ + y~ | | x~ + y~ | (3.4)

Observaii:1. Eroarea absolut a sumei nu depete suma erorilor absolute ale termenilor.


Propagarea erorilor la operaiile aritmetice elementare /32. Dac operanzii sunt de acelai semn, eroarea relativ a sumei nu depete suma erorilor relative ale termenilor.

B) Scderea. Calcule similare adunrii:x y = x~ y~ + x y din (3.1), dar (1.2) x y = x~ y~ + xy . xy = x y . Se aplic din nou proprietile modulului a xy a x + a y . (3.6) (3.5)


Propagarea erorilor la operaiile aritmetice elementare /4Exprimarea erorii relative: r xy a xy a x a y = + = | x~ y~ | | x~ y~ | | x~ y~ | | x~ | a y | y~ | a x = + = | x~ | | x~ y~ | | y~ | | x~ y~ | = r x | x~ | | y~ | + r y . | x~ y~ | | x~ y~ | (3.7)


Propagarea erorilor la operaiile aritmetice elementare /5Observaii: 1. Eroarea absolut a diferenei nu depete sumaerorilor absolute ale termenilor. 2. Precizia este puternic afectat cnd cei doi operanzi au acelai semn i sunt de valori apropiate astfel de scderi trebuie evitate.

C) nmulireaxy = (x~ + x)(y~ + y) = x~y~ + x~y + y~x + xy din (3.1). Termenul xy este neglijabil xy x~y~ + x~y + y~x ,


Propagarea erorilor la operaiile aritmetice elementare /6 xy = x~y + y~x . Majorant al erorii absolute din (3.8): a xy | x~ | a y + | y~ | a x . Majorant al erorii relative din (3.9): a xy | x~ | a y + | y~ | a x a y a x r xy==+=r x+r y. | x~y~ | | y~ | | x~ | (3.10) | x~y~ | Operanzi nenuli ! concluzie similar adunrii. (3.9) (3.8)


Propagarea erorilor la operaiile aritmetice elementare /7D) mprirea. Calcule similare nmulirii:x x~ + x (x~ + x)(y~ y) x~y~ + y~x x~y xy = = = . y~2 y2 y~2 y2 y y~ + y Termenii xy i y2 sunt neglijabili x x~ x x~y + y y~ y~ y~2 x/y x x~y = . y~ y~2 (3.11)


Propagarea erorilor la operaiile aritmetice elementare /8Majorant al erorii absolute din (3.11): a x/y a x | x~ | a y + | y~ | y~2 (3.12)

Majorant al erorii relative din (3.12): a x / | y~ | + a y / | y~ |2 a x/y r x/y= = | x~ | / | y~ | | x~/y~ |


Propagarea erorilor la operaiile aritmetice elementare /9a x a y = + = r x+ r y. | x~ | | y~ | Operanzi nenuli ! concluzie similar adunrii. Exemplu (ilustrarea efectului propagrii erorilor): Se lucreaz cu dou zecimale exacte i aproximare prin lips, s se calculeze integrala I2 dac se d (3.13)

xn In = dx, n N , x+5 0

1


Propagarea erorilor la operaiile aritmetice elementare/10iar pentru calculul integralei se aplic relaia de recuren: In + 5 In-1 = 1/n , n N* , I0 = 0.18 .

Soluie: Se aplicnd relaia de recuren I1 = 1 5 I0 = 1 0.9 = 0.1 , I2 = 1/2 5 I1 = 0.5 0.5 = 0 . Rezultat eronat ! (integrala este de fapt strict pozitiv). Explicaie: s-au acumulat relativ rapid erori de rotunjire provocate de diferene ntre numere apropiate.

33 Elemente de calcul numeric matriceal (cap. 2) (R.-E. Precup, UPT, 2012)

Cap. 2. Elemente de calcul numeric matricealO matrice A de dimensiune m n tablou dreptunghiular cu elemente reale sau complexe dispuse pe m linii i n coloane:

A = aij

[ ]i=1,m

j =1,n

a11 a = 21 L a m1

a12 a 22 L am2

K a1n K a 2n L L . K a mn

(1)


2.0. MatriceTranspusa matricei A este matricea AT, de dimensiune n m, obinut prin schimbarea liniilor cu coloanele:

A = a ji

T

[ ] j =1,ni =1,m

a11 a 12 = L a1n

a 21 K a m1 a 22 K a m 2 L L L . a 2 n K a mn

(2)

Proprrieti pentru transpusa sumei i transpusa produsului: (A + B)T=AT + BT , (3)

2.0 Matrice (R.-E. Precup, UPT, 2012) 35

Definiii(A B)T=BT AT . nlocuirea elementelor lui A cu conjugatele lor: (4)

Conjugata unei matrice A este matricea , care se obine prin

A = [a ij ]i =1,m

j =1,n

.

(5)

Dac n = 1, atunci matricea are dimensiunea m 1 i este de tip

coloan:


Definiii (contd 1)

a1 a 2 a= M . a m linie (transpusa unei coloane): bT = [b1 b2 bn] .Dac m=n, atunci matricea A este ptratic de ordinul n.

(6)

Dac m = 1, atunci matricea are dimensiunea 1 n i este de tip (7)


Definiii (contd 2)O matrice ptratic A este simetric dac AT = A

aij = a ji , i, j = 1, n .3 1 2 A = 2 1 4 Exemplu de matrice simetric: 3 4 5 .


Definiii (contd 3)O matrice ptratic A este antisimetric dac AT=A, adic

aij = a ji , i, j = 1, n . Se observ: aii = 0 , i = 1, n .2 5 0 A = 2 0 3 Exemplu de matrice antisimetric: 5 3 0 .


Definiii (contd 4)O matrice ptratic A este superior triunghiular dac

aij = 0 , i j .0 1 2 A = 0 0 4 Exemplu de matrice superior triunghiular: 0 0 0 .


Definiii (contd 5)O matrice ptratic A este inferior triunghiular dac

aij = 0 , i j . 0 0 0 A = 4 0 0 Exemplu de matrice inferior triunghiular: 3 6 0 .


Definiii (contd 6)O matrice ptratic A este superior trapezoidal dac

aij = 0 , i > j .2 1 3 A = 0 5 6 Exemplu de matrice superior trapezoidal: 0 0 4 .


Definiii (contd 7)O matrice ptratic A este inferior trapezoidal dac

aij = 0 , i < j . 6 0 0 A = 7 2 0 Exemplu de matrice inferior trapezoidal: 3 4 1 .


Definiii (contd 8)O matrice ptratic A este diagonal dac

aij = 0 , i j , adica1 0 0 a 2 A = diag (a1 , a 2 , K , a n ) = L L 0 0

0 0 O L . L an L L

(8)


Definiii (contd 9)Dac la o matrice diagonal elementele de pe diagonala principal = 1, atunci ea este matricea unitate:

1 0 L 0 0 1 L 0 I = diag (1,1, K ,1) = L L O L . 0 0 L 1

(9)


Definiii (contd 10)Matrice tridiagonal

a11 a 21 0 A= L 0 0

a12 a 22 a32 L 0 0

0 a 23 a33 L 0 0

0 L 0 L a34 L L 0 0

0 0 0

0 0 0 L a n 1,n 1 a n,n 1

L L L a n 1,n 2 0 L

L a n 1,n . a n,n 0 0 0(10)


Definiii (contd 11)Matrice Hessenberg

a11 a 21 0 A= 0 L 0

a12 a 22 a32 0 L 0

a13 L a1,n 1 a 23 L a 2,n 1 a33 L a3,n 1 a 43 L a 4,n 1 L L L 0 L a n,n 1

a1,n a 2, n a3,n a 4, n L . a n,n

(11)


Definiii (contd 12)Matrice bloc diagonal

A1 0 A= O 0 Ap , ordin.

(12)

cu blocurile A1, , Ap matrice ptratice, nu neaprat de acelai


Definiii (contd 13)O matrice ptratic A este diagonal dominant dac

| aii |> | aij |, i = 1, nj i

.

5 1 2 A = 1 6 3 Exemplu de matrice diagonal dominant: 4 1 7 .


Definiii (contd 14)O matrice ptratic A este ortogonal dac

A = A , adic A A = I .O matrice ptratic A este hermitian dac

1

T

T

A = ( )T. Orice matrice real simetric este hermitian.O matrice real ptratic A este singular dac det A = 0. n cazul det A 0, matricea A este nesingular.


2.1. Definirea i proprietile inverseiSe consider matricea ptratic real nesingular A de ordinul n. Matricea invers A1 1 1

a matricei A se definete ca fiind acea

matrice (ptratic real de ordinul n) care satisface

A A = A A = I ,n care I este matricea unitate de ordinul n. Exprimare A-1:

(1.1)

1 + A = A , det A1

(1.2)

2.1 Definirea i proprietile inversei (R.-E. Precup, UPT, 2012) 51

Inversan care: det A (numr real nenul) determinantul matricei A i

A matricea adjunct. A = transpusa matricei obinute prin nlocuirea elementelor luiA cu complemenii lor algebrici (cofactorii lor); cofactorul lui+

+

aij ( i, j = 1, n ) este minorul nmulit cu (1)i + j .(1.2) modalitate de calcul al inversei, greu algoritmizabil + necesit un volum mare de calcule.


Inversa (contd 1)

1 1 1 A = 1 2 3 Exemplu: Fie . S se calculeze A-1. 1 3 6 Soluie: Se analizeaz dac A este inversabil:

1 0 0 1 2 det A = 1 2 3 det A = 1 1 2 det A = 2 5 1 3 6 1 2 5 det A = 1 0 A este inversabil.

1 1 1

2.1 Definirea i proprietile inversei (R.-E. Precup, UPT, 2012) 53

Inversa (contd 2)

1 1 1 AT = 1 2 3 Transpusa matricei A: 1 3 6 . Adjuncta:

2 3 1 + A = 3 1 2

3 6 1 6 1 3

1 3 6 1 6 1 3

1 1 1 1 1

1 2 1 3 1 1 3 3 1 1 3 A + = 3 5 2 1 1 , 1 2 1 . 1 2


Inversa. Proprieti

A 1(1.2)

3 3 1 = 3 5 2 1 2 1 .

Proprieti ale operaiei de inversare:

1 det ( A ) = det A ,1

(1.3) (1.4) (1.5)

( A B ) 1 = B 1 A 1 ,

( A )T = ( A ) 1 .

1

T

Date post:	17-Jul-2015
Category:	Documents
Upload:	ciprian-butacu
View:	82 times
Download:	0 times

Slides MAC 1 and 2

Documents