Capitolul 1Introducere

Prin automatizarea proceselor de producţie, se elimimă intervenţia directă a omului asupra acestora, omului revenindu-i în acest caz rolul de conducere generală.

Ansamblul de obiecte naturale care asigură conducerea unui proces tehnic sau de altă natură, fără intervenţia directă a omului reprezintă un echipament (sau dispozitv) de automatizare.

Procesul condus, supus automatizarii, impreună cu echipamentul de automatizare (de conducere), care asigură desfăşurarea procesului după anumite legi, poartă denumirea de sistem automat.

Spre exemplificare menţinerea constantă a temperaturii dintr-un cuptor electric , fără intervenţia directă a omului , presupune utilizarea unor dispozitive sau echipamente de automatizare care asigură măsurarea continua a temperaturii , prelucrarea erorii (diferenţei) dintre cele 2 valori şi comanda asupra tensiunii electrice de alimentare a cuptorului. Toate aceste dispozitive impreună cu cuptorul electric reprezintă un sistem automat.

Rezultă deci, că un sistem reprezintă “o colectie” de obiecte fizice convenabil aranjate şi cuplate funcţional.

În teoria sistemelor de reglare automată studiul obiectelor fizice şi al sistemelor, se realizează făcând abstracţie de natura lor fizică şi ţinând seama numai de mărimile ce caracterizează funţionarea lor şi de relaţiile existente între acestea.

Mărimile care nu depind de alte mărimi, sunt considerate ca “mărimi de intrare” , iar mărimile dependente de acestea sunt considerate “mărimi de ieşire” .

În acest fel teoria sistemelor înlocuieste de fapt elementele si sistemele reale(obiectele fizice) ,cu relaţii care imbracă diferite forme :

-ecuaţii şi sisteme de ecuaţii ;-funcţii de transfer;-mulţimi de perechi ordonate ale valorilor funţiilor vectoriale ale mărimilor de

intrare şi ieşire;-scheme bloc, etc;

Pornind de la definiţia sistemului automat , putem asocia acestuia un model structural alcătuit din două subsisteme (fig. 1.1):

-subsistemul condus S2 (procesul supus automatizării);-subsistemul de condudere sau conducător S1 (echipamentul de automatizare);

a) b)

Fig 1.1

Structura de sistem automat din figura 1.1 este o structură deschisă , reprezentând totodată o structură minimală care asigură o relaţie funcţională între setul mărimilor de ieşire yi (i = 1, …,m) şi setul mărimilor de intrare ui (i = 1, …, n).

yn

S1 S2SISTEM

AUTOMATSA

u2 ..

u2

m2

mp

u1

un

.

u1

un

y1

y2

.yn

m1

y2

y1

Pentru această structură , subsistemul S1 elaborează (generează) setul variabilelor mi (i = 1, …, p) in funcţie de ui astfel încât evoluţia subsistemului S2 să fie cea dorită.

Subsistemul condus poate fi reprezentat ca in figura 1.2 ,evidenţiindu-se următoarele mărimi caracteristice :

-m- vectorul mărimilor de intrare;-y- vectorul mărimilor de ieşire;-p- vectorul mărimilor perturbatoare;

a) b)

Fig 1.2

Pentru un proces monovariabil , care prezintă câte o mărime de intrare, ieşire si perturbaţie, modelul acestuia se reprezintă ca in fig. 1.2 b, iar pentru un proces multivariabil , care operează cu mai multe variabile de intrare, ieşire si de perturbaţii, modelul acestuia este preyentat in fig. 1.2a.

Dacă subsistemul de conducere S1 elaborează acţiunea de comandă atât funcţie de intrarea u cât şi funcţie de ieşirea y a subsistemului condus , se obţine o structură de sistem cu reacţie sau sistem închis . În fig.1.3 se reprezintă schema generală a unui sistem monovariabil (cu vectorii mărimilor de intrare , ieşire si reacţie având o singură componentă).

Fig. 1.3

În figura de mai sus subsistemul S3 are rolul de a transmite subsistemului S1 informaţii despre evoluţia ieşirii y1 cât şi de a realiza o adaptare sau conversie a acestui semnal astfel încât semnalul de ieşirea sa yr să fie de aceeaşi natură fizică şi să aibă acelaşi domeniu de variaţie cu semnalul u aplicat la intrarea subsistemului S1.

După modul cum subsistemul S1 face comparaţie intre mărimea de intrare u şi mărimea de reacţie yr există cazurile:

-dacă comparaţia se face prin diferenţă ,atunci sistemele închise sunt cu reacţie negativă şi se mai numesc sisteme de reglare automată;

-dacă comparaţia nu se face prin diferenţă ,ci prin însumare , atunci sistemele deschise sunt cu reacţie pozitivă sau sunt sisteme automate cu comparaţie „general strategică”.

Capitolul 2.Sisteme de reglare automată

y S1 S

2

S3

u

yr

m

p1

p2…

pq

PROCES PROCES

m1

m2

mn

….

y1

y2

yn

m y

p1

p2

pn

p

2.1 Definiţii, descriere

Un sistem de reglare automată reprezintă un sistem de conducere care are drept scop anularea diferenţei dintre mărimea impusă (referinţă) si mărimea de ieşire (reglată), indiferent de perturbaţiile care acţionează asupra sistemului. Acestei difernţe i se mai spune şi eroarea sau abaterea sistemului de reglare automată.

Se poate spune că sistemele de reglare automată asigură menţinerea automată în anumite limite a unor mărimi importante pentru buna desfăşurare a procesului tehnologic, pentru economisirea de energie, de materii prime sau pentru creşterea productivităţii.

2.2 Clasificarea sistemelor de reglare automată

În funcţie de modificarea mărimii impuse se disting trei tipuri de sisteme de reglare automată :

a) sistem de stabilizare automată la care mărimea impusă este constantă pentru o anumită perioadă de timp sau eventual se poate modifica din când în când după anumite intervale de timp (exemple : sistem de reglare a temperaturii într-o încăpere, sistem de reglare a turaţiei unui motor).

b) sisteme de reglare după program , sunt sistemele de reglare automată la care mărimea impusă se modifică după o lege cunoscută dinainte (mărimea impusă va avea o variaţie de timp bine determinată) (exemple : sisteme de reglare pentru tratamente termice şi chimice ,sisteme de reglare pentru acţionarea maşinilor unelte şi roboţilor industriali).

c) sistemele de urmărire reprezintă sistemele de reglare automată la care mărimea impusă este măsurabilă , dar se modifică după o lege necunoscută dinainte (exemple: sisteme de reglare a temperaturii dintr-o incintă care trebuie să realizeze o temperatură egală cu temperatura dintr-o altă incintă termică , sistem de reglare a poziţiei unui element în raport cu alt element).În funcţie de cunoaşterea dinainte a evoluţiei subsistemului condus (procesului sau

instalaţiei tehnologice ) sistemele de reglare automată se împart în :a) sisteme de reglare automată la care informaţiile despre evoluţia procesului sunt complet cunoscute dinainte . În acest caz, subsistemul condus (procesul), are caracteristici invariabile în timp fiind complet definit ;

b) sisteme de reglare automată la care informaţiile despre evoluţia procesului sunt incomplet cunoscute dinainte . La aceste sisteme de reglare automată , caracteristicile procesului sunt variabile în timp. Perturbaţiile parametrice ce acţionează asupra procesului modifică parametrii sau caracterisiticile de transfer şi in acest caz echipamentul de automatizare (subsistemul conducător) va trebui să se adapteze continuu acestor modificări pentru ca procesul să evolueze conform cerinţelor impuse . Aceste sisteme se mai numesc şi sisteme adaptive. Structural,aceste sisteme, pe lângă circuitul de reacţie negativă , conţin elemente funcţionale care asigură identificarea continuă a procesului şi elaborează strategia de modificare a algoritmului de conducere.După relaţia funcţională dintre variabilele de intrare şi cele de ieşire ale subsistemelor

componente, sistemele de reglare automată se împart în:a) sisteme de reglare automată liniară la care funcţionarea tuturor subsistemelor este descrisă de funcţii liniare.b) sisteme de reglare automată neliniare , care au cel puţin un subsistem ce este descris de un model matematic neliniar.După natura semnalelor preluate în cadrul sistemelor de reglare automată (variaţia lor în

timp) se deosebesc :

a) sisteme de reglare automată continue, la care toate variabilele sistemului se modifică continuu în timp;b) sisteme de reglare automată discrete când cel puţin una dintre variabilele sistemului are o evoluţie discretă , discontinuă în timp Sistemele discrete se împart la rândul lor în sisteme de reglare automată cu impulsuri

modulate şi sisteme automate numerice.În funcţie de de numarul variabilelor de intrare şi /sau de ieşire ale sistemului de reglare

automată , sistemele se împart în : a)sisteme de reglare automată monovariabile la care exixtă câte o singură variabilă de

intrare şi ieşire ;b)sisteme de reglare automată multivariabile care au mai multe variabile de intrare şi /

sau ieşire;După forma ecuaţiilor ce descriu funcţionarea sistemelor de reglare automată , există :a)sisteme cu parametrii distribuiţi descrise prin ecuaţii cu derivate parţiale ce conţin una

sau mai multe variabile independente şi derivate parţiale ale variabilelor independente şi derivate parţial ale derivatelor dependente in raport cu variabilele independente . O ecuaţie cu derivate parţiale este reprezentată de ecuaţia difuziei termice :

t

Tk

d

T

∂∂=

∂∂

2

2

unde : T = T(d,t) este variabila dependentă şi reprezintă temperatura într-o bandă de cauciuc în timpul vulcanizării , la o anumită distanţă d şi la un anumit moment de timp t ;

b)sisteme cu parametrii concentraţi care sunt descrise prin ecuaţii diferenţiale ordinare sau prin ecuaţii diferenţiale finite.

După modul de exprimare a semnalelor (mărimilor de intrare, ieşire şi stare ) şi a parametrilor există :

a)sisteme de reglare deterministe (toate sistemele de mai sus) la care în orice moment de timp orice variabilă (de intrare ieşire sau stare) şi parametrii sunt bine determinaţi;

b)sisteme stochastice la care orice variabilă sau parametru sunt descrise într-o formă probabilistică şi statiscă . Studiul acestor sisteme se bazează pe teoria probabilităţilor.

După modul de exprimare a semnalelor în timp al parametrilor ce descriu modelul matematic al sistemului de reglare sunt sistemele:

a)sisteme de reglare invariante in timp,care au parametrii constanti in timp;b)sisteme de reglare variabile in timp, care au parametrii variabili in timp.După modul de evoluţie al sistemelor de reglare , în funcţie de existenţa mărimilor de

intrare , sunt :a)sisteme de reglare omogene la care întreaga evoluţie este determinată de condiţiile sale

iniţiale (este descris de o ecuaţie diferenţială omogenă neavând comenzi externe);b)sisteme de reglare neomogene , la care , în evoluţia lor , intervin acţiunea mărimilor de

intrare (comenzi externe);

2.3 Structura şi mărimile caracteristice ale unui S.R.A.

Sistemele de reglare automată (SRA) sunt organizate (realizate) ca sisteme cu circuit închis cu reacţie negativă . Reacţia negativă conferă unui sistem de reglare automată următoarele calităţi :

-creşterea preciziei reglării;

-reducerea sensibilatăţii sistemului la variaţiile caracteristicilor elementelor sale şi ale procesului (perturbaţiilor);

-reducerea efectelor distorsiunilor de neliniaritate;-creşterea benzii de frecvenţă în care sistemul se comportă satisfăcător.

Un sistem de reglare automată în cea mai simplă structură (fig. 2.1 ) se compune din :-procesul sau instalaţia tehnologică supusă automatizării P(IT) ;-dispozitivul de automatizare DA.

Fig. 2.1

În figura de mai sus s-au folosit următoarele notaţii :- v – mărime de referinţă ( prescrisă) sau de intrare;- yr – mărime de reacţie;-ε - eroare (abaterea ) obţinută ca rezultat al comparaţiei efectuate (prin

diferenţă) de elementul de comparaţiei EC;

ryv −=εÎn teoria modernă a sistemelor se utilizează variabila u ca mărime de intrare (comandă) a

sistemului condus, iar mărimea de referinţă a sistemului (sau de intrare) va fi realizată prin variabilele v, y* sau yref.

-A – adaptorul (sau convertorul) transformă mărimea de comandă u electrică în una pneumatică dacă regulatorul este electric şi elementul de execuţie este pneumatic sau dintr-o mărime pneumatică în una electrică , dacă regulatorul este pneumatic iar elementul de execuţie este electric . El furnizează la ieşiri o mărime u, compatibilă cu mărimea de intrare a elementului de execuţie EE;

-EE – elementul de execuţie realizează adaptarea în principal energetică dintre mărimea de comandă de la intrarea u (sau u1 când este necesar adaptorul A), şi mărimea de ieşire (sau de execuţie) m, care se aplică organului de reglare şi care este de obicei o mărime mecanică (o forţă sau un cuplu de forţe, etc.).

-OR – organul de reglare , dispozitiv prin intermediul caruia se transmit instalaţiei tehnologice concluziile executate de elementul de execuţie cu scopul de a influenţa funcţionarea acesteia şi a obţine modificarea mărimii de ieşire din proces , y, în conformitate cu sarcinile sistemului de reglare , compensând efectul perturbaţiilor;

-P(IT) – procesul sau instalaţia tehnologică supusă automatizării . Sunt caracterizate prin una sau mai multe mărimi măsurabile pentru care se realizează sistemul de reglare automată . Mărimea din proces pentru care se realizează sistemul de reglare automată se numeşte mărime de ieşire sau mărime reglată.

-Y – perturbaţia care reprezintă orice mărime aplicată din exterior , alta decât mărimea de intrare , unui element al sistemului de reglare sau procesului , care tinde să

y

z

R A EEEEEEE

ORR

P(IT) ΣN

vECε u u

1m m

1y

p

-

+-

+y

z+

TR

yr

influenţeze marimea de ieşire y, şi care nu poate fi modificată de către operatorul uman . Cele mai importante perturbaţii sunt cele care influenţează desfaşurarea procesului si ele vor fi luate în considerare.

-N – reprezintă o parte sau totalitatea procesului P prin care perturbaţia z influenţează mărimea de ieşire.

-yy – contribuţia perturbaţiei asupra mărimii de ieşire .Observaţie Perturbaţiile care acţioneză asupra unui sistem sunt perturbaţii aditive sau parametrice. Perturbaţiile aditive notate cu Pa intervin asupra instalaţiei de automatizare şi efectul lor poate fi eliminat cu ajutorul reacţiei negative . Perturbaţiile parametrice notate cu Pα modifică relaţiile matematice intrare – ieşire ale instalaţiei. Efectul lor nu poate fi eliminat prin utilizarea reacţiei negative şi se impune utilizarea unor structuri de sisteme adaptive care elaborează variabilele de decizie sau de comandă ţinând seama de modificările care apar în comportamentul procesului sub influenţa perturbaţiilor parametrice.

-TR – traductorul de reacţie converteşte mărimea de la ieşirea sa , y , care reprezintă mărimea reglată a sistemului într-o mărime de reacţie yr care e compatibilă cu natura şi domeniul de variaţie al mărimii prescrise (precum şi al altor semnale din echipamentul de automatizare). Mărimea prescrisă şi mărimea de reacţie pot fi exprimate în unităţi ale semnalului unificat , de exemplu 4 – 20 mA sau 0 – 10 V

Traductoarele de cele mai multe ori realizează operaţii de calcul , liniarizări , filtrări pentru determinarea mărimii de reacţie care să aproximeze cât mai bine mărimea reglată.

În anumite situaţii traductorul este urmat de un convertor sau adaptor cu scopul de a asigura mărimii de reacţie yr o anumită natură fizică şi un anumit interval de variaţie cerute de caracteristicile regulatorului .

Considerând că organul de reglare şi elementul de execuţie alcătuiesc un singur element fizic , reprezentat de către elementul de execuţie şi că nu este necesară prezenţa adaptoarelor sau convertoarelor , schema simplificată fiind prezentată in fig. 2.2 .

Fig. 2.2

Dacă se ţine cont de faptul că pentru a influenţa performanţele sistemului , proiectantul are foarte puţine posibilităţi de a modifica parametrii elementului de execuţie EE , ai instalaţiei tehnologice (sau procesului) IT(P) şi traductorului TR , în raport cu posibilităţile de a alege structura şi parametrii regulatorului , atunci aceste trei elemente pot fi considerate ca parte fizică a sistemului şi va fi notată cu F. În acest caz, structura sistemului de reglare automată devine ca in fig. 2.3.

R EE IT(P)

TR

N

ΣvEC

-

+

yr

ε u m yp

yz-

+ y

+

z

Fig. 2.3

Variabila ε ce reprezintă abaterea sau eroarea sistemului de reglare se obţine prin comparaţie prin diferenţa variabilei de intrare y* ≡ v şi a variabilei de ieşire y. În acest caz eroarea este dată de relaţiile :

yvyyyyref −=−=−= *ε

2.4 Structuri şi sisteme de reglare şi conducere a proceselor

Pentru multe procese supuse automatizării, structura convenţională de reglare cu o singură buclă nu permite întotdeuna obţinerea performanţelor dorite. De aceea alegerea structurii sistemului de reglare se face ţinănd cont de complexitatea procesului, de gradul de cunoştere al acestuia, precum şi de performanţele impuse.

În funcţie de informaţiile cunoscute dinainte despre proces, se pot utiliza următoarele variante de sisteme de reglare :

-sisteme de reglare în cascadă ;-sisteme de reglare paralelă ;-sisteme de reglare după perturbaţie şi reglare combinată ;-sisteme de reglare după variabilele de stare ;-sisteme de reglare cu compunerea timpului mort .

3.1. Sisteme de reglare în cascadă.

Sistemele de reglare în cascadă se utilizează atât în cazul proceselor rapide (procese cu constante de timp mai mici decât 10 s ) cât şi în cazul proceselor lente, cu timp mort (cu constante cu timp mare, zeci de secunde,minute).

Reglarea în cascadă se recomandă în cazul proceselor tehnologice cu funcţii de transfer cu număr mare de constante de timp, care se pot descompune în subprocese a căror funcţii de transfer să nu conţină mai mult de două constante de timp principale. În fucţia de transfer a procesului, prezenţa unui număr mare de constante de timp, pentru compensarea lor (a constantelor de timp), este dificil să se utilizeze algoritmi de reglare tipizaţi (PI, PD, PTD) impunându-se algoritmi de reglare care să conţină binoame de gradul întâi, care vor avea efectul de amplificare a zgomotelor datorate componentelor derivative.

În cazul utilizării reglării în cascadă , în modelul matematic al procesului supus automatizării trebuie puse în evidenţă mărimi intermediare care trebuie să fie accesibile din

R F

N

Σv

-

+ ε u yp +

-+y

z

y

z

punct de vedere fizic şi măsurabile prin mijloace relativ simple. De asemenea ele trebuie să răspundă la perturbaţii mult mai repede dacât mărimea de ieşire.

În fig. 2.4 se reprezintă structura unui sistem de reglare în cascadă.

. Fig. 2.4

În figura de mai sus procesul P(IT) se descompune în două procese P1 şi P2 ale căror funcţii de transfer nu trebuie să conţină mai mult de două constante de timp principale.

( ))1()1(

11+Π+Π

=

== j

n

ji

n

i

f

TsT

KsH

)1()1)(1(

)(

121 +Π++

=

=stsTsT

ksH

s

n

j

f

Constantele de timp principale trebuie să respecte condiţia Ti>>tj unde tj<1s pentru ∀i=1..n, j=1..m;

Exemplu : Funţia de transfer

)11,0)(18)(16(

10)(1 +++=

ssssH p

respectă condiţiile de mai sus.⇒ Kf = 10, T1 = 8s ,T2 = 8s şi t = 0,1s ;Variabila intermediară y2 se obţine la ieşirea din bucla interioară ce conţine pe lângă

elementele de execuţie EE şi P2 comune celor două bucle (bucla interioară si bucla exterioară) regulatorul R2 şi traductorul TR2. Mărimea intermediară y2 trebuie să se modifice mult mai repede decât y sub acţiunea perturbaţiilor şi din acest motiv regulatorul R2 al buclei interioare trebuie să aibă o viteză de răspuns mai mare decâ bucla exterioară (principală). De aceea se recomandă ca R2 să fie un regulator de tip P (cu toate că prezintă dezavantajul unei reglări cu eroare staţionară, are avantajul unui timp de răspuns mic) sau PI, foarte rar PID.

Regulatorul R1 pentru bucla exterioară (sau principală) se recomandă să fie de tip PI, foarte rar de tip PID.

Rostul buclei interioare este acela de a elimima influenţa perturbaţiei z2 asupra mărimii y1.Acest lucru cade în seama regulatorului R2 a cărui mărime de referinţă u1 este chiar mărimea de ieşire a regulatorului R1. Faptul că mărimea u1 nu este constantă aşa cum ar trebui sa fie o referinţă , prezintă un dezavantaj . Ca urmare variaţiile acestei mărimi se transmit asupra

R1 R2 EE P2 P1

Nz1

Nz2

ΣΣ TR2

TR1

EC11ε u

12ε EC2

-

+

yr1

-

+

yr2

u2

m yp2

- +

+

yz2

y2

yp1

-+

+

yz1

PROCES (IT) BUCLA

INTERIOARA

z2

z1

vy

1=y

mărimii reglate. Prezenţa buclei interioare reduce influenţa perturbaţiei y2 asupra mărimii de ieşire , ea realizând şi o informare mai rapidă a sistemului despre modul în care evoluează mărimea reglată y .

Avantajele reglării în cascadă sunt următoarele :-permite reglarea simultană a mai multor mărimi (y şi y2) ;-micşorează influenţele perturbaţiilor asupra mărimilor reglate datorită prezenţei

mai multor reacţii negative ;-creşte viteza de răspuns în raport cu modificarea referinţei (scade durata

regimului tranzitoriu ) .O comapraţie între reglarea în cascadă şi reglarea convenţională (cu o singură buclă ) este

prezenată în figura 2.5.

Fig 2.5

Se observă ca suprafeţele delimitate de diagramele punctate (notate cu z) şi axa timpului subt mult mai mici decât suprafeţele între curbele 1 şi axa timpului , ceea ce înseamnă că abaterea parametrului reglat faţă de mărimea de referinţă sunt mai mici în cazul reglării în cascadă . La sistemele de reglare în cascadă mărimea intermediară y2 va fi limitată prin impunerea unei valori limită pentru mărimea de ieşire din regulatorul R1 astfel încât mărimea intermediară să nu depăşească valaorea y2limită (y2 ≤y2limită).

2.4.2 Sisteme de reglare automată cu reacţie după variabilele de stare

Sistemele de reglare automată cu reacţie dupa variabilele de stare sunt similare cu cele în cascadă , cu următoarele deosebiri :

-pe cale directă nu mai apar regulatoarele reprezenta prin blocurile R1 şi R2 (care realizează diferite legi tipizate de reglare P, PI, PID) , în locul lor find suficient un singur element amplificator , reprezentat printr-un bloc a cărui funţie de transfer se reduce la un factor k0 , care poate fi ajustat

-în locul traductoarelor de pe căile de reacţie . reprezentate prin blocurile TR1 si TR2 sunt suficiente blocuri de reglare proporţionale, cu coeficienţi ajustabili.

Procesele supuse automatizării sunt descrise nu numai cu ajutorul unor modele matematice de tipul intrare – ieşire (ecuaţii diferenţiale , funcţii de transfer ) ci şi prin relaţii de tipul intrare-stare-ieşire. Pentru procese monovariabile ,liniare sau liniarizate , ecuaţiile intrare –stare-ieşire sunt de forma :

=+=

xcy

buxAxT

t[sec]

)(

)(

2 tz

ty

∆∆

40 80

0,2

0,4 0,3

20 40 60 80

1 (REGLARE CONVENTIONALA)

2 (REGLARE CASCADA)

t[sec]

Vectorul mărimii de sistem x pentru un sistem de ordinul n are n componente şi caracaterizează starea procesului la un anumit moment de timp . Modalităţile de alegere a variabilelor de stare pot fi diverse pentru un sistem (proces) , dar numarul lor trebuie sa fie acelaşi indiferent de alegere .Două dintre aceste moduri de alegere conduc la prima şi a doua formă canonica a ecuaţiilor de stare .

Astfel pentru un sistem descris de ecuaţia diferenţială :

)()()(

.....)()(

0011

1

1 tubtyadt

tyda

dt

tyda

dt

tyda

n

n

nn

n

n =++++ −

−

−

dacă alegem ca variabile de stare mărimea y şi derivatele sale :

1

1

2

2

321 ,...,,, −

−

====n

n

n dt

ydx

dt

ydx

dt

dyxyx , atunci ecuaţia diferenţială de mai sus se poate

scrie sub forma :

)(..... 010211 tubxaxaxadt

dxa nn

nn =++++ −

)(......1 01

210 tu

a

bx

a

ax

a

ax

a

a

dt

dx

nn

n

n

nn

n +−−−−= −

Între variabilele de stare se scriu următoarele relaţii pentru a se obţine modelul matematic general al sistemului :

+−−−−==

==

==

− )(......1

.

.

0121

0*

32

*

2

21

*

1

tua

bx

a

ax

a

ax

a

a

dt

dxx

xdt

dxx

xdt

dxx

nn

n

n

nn

nn

Aceste relaţii de mărime se pot scrie revenind la forma matriceală:

[ ]

=

=

+=

+

−−−−=

=−

xc

x

x

x

y

buxAtu

a

bx

x

x

a

a

a

a

a

a

a

a

x

x

x

x

T

n

nn

n

n

nnnn

.00........10

)(.

0

0

..

.....

0.100

0.010

.

2

1

0

2

1

1210*

*

2

*

1*

Se aplică transformata Laplace luând condiţiile iniţiale nule pentru ecuaţiile intrare-stare-ieşire de mai sus şi se obţine :

=−=

⇒

=+= −

)()(

)()()(

)()(

)()()( 1

sXcsY

sbUAsIsX

sXcsY

sbUsAXssXTT

S-a obţinut starea X(s) în funcţie de comanda U(s) dacaă matricea [sI-A]-1 este nesingulară , iar funcţia de transfer are forma :

bAsIcsU

sYsH T 1)(

)(

)()( −−==

Dacă se cunosc matricile A, b, cT atunci funcţia de transfer a sistemului este complet determinată.Matricea (sI-A)-1 poartă denumirea de matrice de tranziţie sau matrice fundamentală a sistemului.

Cunoaşterea componentelor vectorului de stare a unui proces tehnologic , accesebilitatea si posibilitatea de măsurare a acestor componente permite realizarea unui sistem de reglare după variabilele de stare care pot conduce la obţinerea unor performanţe tranzitorii superioare (stabilitate şi viteză de răspuns dorite) .

Schema bloc de principiu a unui astfel de sistem de rglare este prezentat in figura 2.6.

Fig . 2.6

Se observă că pe fiecare legătură de reacţie după variabilele x1,..., xn s-au plasat elemente amplificatoare cu coeficienţi de amplificare reglabili k1,...., kn care ponderează influenţa ecuaţiilor de stare x1,..., xn asupra mărimii de comandă u(t). Contribuţia fiecărei reacţii în mărimea de comandă e dată de mărimile u1,u2,...un, astfel încât mărimea de reacţie u r poate fi scrisă sub formă vectorială :

[ ]

−=−=

n

nT

r

x

x

kkkxku.

.......

1

21

Rezultă că ur=-k1x1-k2x2-........—knxn arată ponderea fiecărei reacţii în mărimea de comandă u(t).

Dacă funcţia de transfer a procesului sau instalaţiei tehnologice conţine un pol în origine, atunci elementul de reglare (comandă) are funcţia de transfer H(s) = k0 adică regulatorul e un amplificator cu coeficienţi de amplificare variabili şi în acest caz expresia comenzii devine :

∑=

−=n

iii txktktu

10 )()()( ε

Σk0

p

kn

k1

v(t) +

-

)(tε +

-

)(0 tk ε u(t)

x1

xn

un

- u

1

y(t)

Dacă legea de reglare a elementului de comandă conţine o componentă proporţională în integrala mărimii de intrare )(tε , ceea ce inseamnă că funcţia de transfer a elementului de comandă conferă un pol în origine şi asigură eroare nulă în regim staţionar pentru o variaţie treaptă a mărimii de intrare v(t) atunci mărimea de comandă u(t) va fi egală cu :

∑∫=

−=n

iii

t

txkdttktu10

0 )()()( ε

Obţinerea unor performanţe dorite ,în special în regim tranzitoriu se face prin alegerea corespunzătoare a coeficienţilor k1, k2, ….kn .

Dacă variabilele de stare nu sunt accesibile măsurării , atunci ele pot fi estimate construind un estimator de stare , care pe baza informaţiilor de la intrarea şi ieşirea procesului ,

generează starea estimată , notată ).(^

txÎn aceste condiţii schema bloc a sistemului de reglare , conţine un estimator de stare ca în

figura 2.7.

Fig. 2.7

În concluzie , reglarea cu reacţie după variabilele de stare , are rolul important de a asigura stabilitatea sistemului şi gradul de libertate cerut, deci performanţele tranzitorii impuse.

2.4.3. Sisteme de reglare cu compensarea perturbaţiei şi sisteme de reglare combinate(după abatere şi perturbaţie)

Pentru procesele supuse acţiunii unor perturbaţii accesibile şi măsurabile din punct de vedere fizic,se pot adapta structuri de sisteme de reglare după perturbatie(fig. 2.8). În acest caz efectul perturbaţiei se compensează înainte ca valoarea de ieşire să se modifice faţă de valoarea dorită.

Σk0

Proces

kT

Estimator de stare

v(t)

+

-

)(tε )(0 tk ε u(t) y(t)

-

+

ur(t)

)(^

tx

Fig. 2.8

Sisteme de reglare cu compensarea perturbaţiei se comportă bine dacă se alege în mod corespunzător regulatorul Rz1, ceea ce presupune cunoaşterea cu precizie a modelului procesului P, precum şi influenţa perturbaţiei asupra mărimii de ieşire Nz1.

Dacă P are un număr de poli mai mare decât Nz1, atunci regulatorul Rz1, nu mai poate fi realizabil fizic, impunându-se folosirea unui regulator aproximativ, dar realizabil. Precizia sistemului de reglare după perturbaţie este redusă, deoarece asupra procesului pot interveni şi alte perturbaţii care nu pot fii măsurate direct.

Se pot folosi sisteme de reglare combinate care combină avantajele reglării după perturbaţie cu avantajele reglării după abatere (eroare) (fig. 2.9).

Fig. 2.9

Un astfel de sistem de reglare foloseşte o buclă de reglare destinată, după perturbaţie care este cunoscută şi măsurabilă fizic.Această buclă are rolul de a compensa efectul perturbaţiei asupra mărimii reglate. Efectele celorlalte perturbaţii asupra mărimii de ieşire urmează să fie compensate de către bucla principală.

Procesul supus automatizării a fost descompus în două procese (P1 şi P2) asupra cărora acţionează perturbaţiile z1 şi z2. Dintre aceste perturbaţii, se consideră că perturbaţia z1 este cunoscută, adică este accesibilă din punct de vedere fizic şi uşor măsurabilă. Din acest motiv s-a prevăzut o buclă de reglare după această perturbaţie, buclă construită dintr-un traductor Tz1 şi un regulator Rz1, ieşirea din regulator aplicându-se cu semnul – la intrarea sumatorului. Bucla are rolul de a compensa efectul perturbaţiei z1 asigurând prin regulatorul Rz1, o viteză mare de răspuns, iar bucla exterioară eroare staţionară nulă în raport cu celelalte perturbaţii care acţionează asupra procesului.

Rz1

P

Nz1

Σz1

u +

-

y(t)

P2 R

Nz2

Nz1

Rz1 Tz

1

P1

ΣΣ Σv

-

+

ECε u +

-

z1

yz1

-+

+

z2

yz2

+

- +

proces supus automatizarii

y

O problemă importantă a acestui sistem de reglare este aceea de a determina legea de reglare a regulatorului Rz1(sau funcţia de transfer). În acest sens se iau în considerare funcţiile de transfer ale elementelor componente din fig. 2.9, aplicându-se transformata Laplace a mărimilor din structura sistemului de reglare şi se consideră că asupra procesului nu acţionează decăt perturbaţia cunoscută z1(s), perturbaţia z2(s) considerându-se nulă.Rezultă că mărimea de ieşire y(s) este contribuţia(efectul) a două mărimi : mărimea de referinţă v(s) şi perturbaţia cunoscută z1(s).

Dacă se notează cu H0(s) funcţia de transfer a sistemului în circuit închis în raport cu mărimea de referinţă v(s) şi cu H0z1(s) funcţia de transfer a sistemului în raport cu perturbaţia z1(s) , atunci aplicând principiul superpoziţiei pentru sistemele liniare se obţine mărimea de ieşire sub forma :

Y(s) =H0(s) V(s) + H0z1(s) Z1(s)Pentru ca mărimea de ieşire y(s) să nu depindă de perturbaţia z1(s) trebuie ca H0z1(s) =0

)()(

)()(

0)()()()()(

11

11

111110

sHsH

sHsH

sHsHsHsHsH

pTZ

NzRz

RzPTzNzz

−=⇒

=−=

Din considerente legate de realizarea algoritmului funcţiei de transfer a regulatorului perturbaţiei Rz1 precum şi precizia limitată în ceea ce priveşte determinarea funcţiilor de transfer ale procesului Hp1(s) şi Hz1(s) se impune utilizarea pentru regulatorul HRz1(s) a unor altgorimi aproximativi.

Pentru determinarea şi acordarea parametrilor regulatorului având fucţia de transfer HR(s) se consideră că perturbaţia dominantă z1 este compensată şi se impun performanţe dorite în raport cu referinţa v(s) şi o eroare staţionară nulă.

În concluzie , trebuie remarcat faptul că deşi prin reglarea combinată se obţin performanţe superioare în raport cu reglarea convenţională (numai după abatere) , implemetarea unui astfel de sistem de reglare este mai dificilă şi mai costisitoare.

2.4.4. Sisteme de reglare automată paralele

Aceste sisteme de reglare sunt derivate din sistemele de reglare în cascadă, caracteristica lor fiind prezenţa unei referinţe constante pentru bucla interioară. Această referinţă se alege astfel încât mărimea intermediară y2 să nu depăşească valoarea lui y1limită

.Schema bloc a unui sistem de reglare automată paralelă este în fig 2.10

Fig 2.10

În fig 2.10 sunt două bucle de reglare: una pentru reglarea mărimii de ieşire y, căreia ii corespunde regulatorul R1 şi mărimea de referinţă y1

* , cea de-a doua buclă asigură reglarea mărimii y2 căreia ii corespunde regulatorul R2 şi mărimea de referinţă y2

* care, aici este fixă. Această schemă de reglare prezintă un bloc de comutare care selectează , în fiecare moment de timp , una din intrări, după cum urmează :

- dacă y2>y2lim, atunci comanda spre proces e preluată de regulatorul R2

- dacă y2<y2 lim atunci comanda este preluată de regulatorul R1

Reglarea se mai numeşte şi reglare de tip ’override’(cu forţa inlocuirii) .Ca şi în cazul reglării în cascadă ,se foloseşte pentru reglarea unor mărimi intermediare .În general ,reglarea în cascadă, se aplică în mod frecvent atunci când se pune problema reglării funcţionării unui motor de curent continuu. În acest caz, mărimea reglată este turaţia, iar mărimea intermediară (y2) este curentul absorbit de motor.

Din acest motiv, curentul e considerat ca mărime intermediară, si reglarea lui se face în bucla interioară.

2.4.5 Siteme de reglare automată cu compensarea timpului mort

Sistemele lente cu timp mort determină întârzierea introdusă în trasmiterea semnalului de reacţie, ceea ce duce implicit la întârzierea elaborării comenzii.

Dacă se consideră că partea fixă (procesul tehnologic, elementul de execuţie şi traductorul) este cu timp mort, atunci va fi descrisă de funcţia de transfer:

ss

f

ff esHe

sT

KsH ** )(

1)( ττ −− =

+=

unde : Kf = factorul de amplificare Tf =constanta de timp τ =timpul mort (întârzierea);

1)(

+=

sT

KsH

f

f este o funcţie raţională, strict proprie, cu gradul numitorului mai mare

decât gradul numărătorului.Pe baza relaţiei de mai sus se poate construi sistemul de reglare conform cu fig.2.11.

EE

P2

R2

R1

P1

y1

*

y2

*

-

+

+

-

u1

u2

Bloc control x=0

x=1 u m y

2

Proces

x 1

y 0 y2

y1=y

Fig. 2.11

Se încearcă elaborarea unor metode de compensare a efectelor timpului mort asupra performanţelor sistemelor de reglare.Una din metode ar fi aceea prin care timpul mort prezent în schema bloc prin blocul cu funcţia de transfer e- s*τ , să fie scos în afara buclei de reglare, dacă variabila y1(s) este accesibilă şi dacă se poate separa timpul mort în cadrul procesului. Separarea timpului mort constă în descompunerea funcţiei de transfer a părţii fixe Hf(s)=H(s) şi e-

s*τ

Fig 2.12

O astfel de variantă prezentată în fig 2.12 este greu de realizat , deoarece ea ar presupune accesul la variabila y1(s), ceea ce este foarte greu , pentru că descompunerea funcţiei de transfer a procesului în H(s) şi e- s*τ este complicată.

Funcţia de transfer în circuit închis a sistemului de reglare din fig 2.11 este:

sR

sR

esHsH

esHsHsH

*

*

0 )()(1

)()()( τ

τ

−

−

+=

iar pentru sistemul din fig 2.12 este :

s

R

R esHsH

sHsHsH *

*

**0 )()(1

)()()( τ−

+=

Punând condiţia ca cele două sisteme să aibă aceeaşi comportare intrare-ieşire , adică Ho(s)=H*

0(s) , rezultă funcţia de transfer a regulatorului:

sR

sRs

R

R

esHsH

esHsHe

sHsH

sHsH*

**

*

*

)()(1

)()(

)()(1

)()(τ

ττ

−

−−

+=

+Rezultă:

sR

R

R

R

esHsH

sH

sH

sH**

*

)()(1

)(

)(1

)(τ−+

=+

[ ]sRRRRR esHsHsHsHsHsHsH *** )()(1)()()()()( τ−+=+

)1)(()(1

)()(

**

−+= − s

R

RR esHsH

sHsH τ

HR(s) H(S) e-SV(s)

+-

EC

)(sε U(s) Y1(s) Y(s)

Hf(s)

HR(s) H(s) e

EC

-+

U(s) Y1(s) Y(s)V(s)

Realizarea unui altgoritm pentru regulatorul cu funcţia de transfer HR*(s)este foarte

complicat.Pentru a reduce totuşi efectul timpului mort , în pactică se construieşte un model al

procesului, care pune în evoluţia timpului mortτ m, cât şi funcţia Hm(s), care nu conţine timp

mort (fig 2.13), astfel mărimea ym1 să fie măsurabilă.

Fig 2.13

Deoarece pentru acest model adoptat , mărimea ym1 este o mărime măsurabilă , pentru a compensa efectele timpului mort real τ , se construieşte o schemă care are unul dintre semnalele de reacţie mărimea ym1. Acest sistem de reglare poartă denumirea de sistem cu predictor (fig. 2.14)

Funcţia de transfer a predictorului este :)1)(()( *S

mpr esHsH τ−−=Mărimea aplicată pe calea de reacţie la intrare în elementul de comparare EC dacă

consideră că H(s)=Hm(s) şi ττ =m ; va fi : )()()()()( ττ +=++−= tytytytytyr Aceasta înseamnă că mărimea de reacţie yr(t)este transmisă cu un avans de timp (deci, cu

predicţie) , faţă de mărimea de ieşire y(t) a procesului. Cu toate că mărimea ym1(t)=y(t+τ ) devansează cu timpul ττ =m mărimea de ieşire y(t), a fost necesară introducerea şi unei mărimi de reacţie de ieşire y(t), care elimină efectul perturbaţiei yz(t) ce acţionează asupra procesului.

Fig 2.14

Proiectarea sistemului, în acest caz se face fără să se ţină cont de prezenţa timpului mort şi considerând pentru partea fixă numai funcţia de transfer H(s).

Hm(s) e-U(s) Y

m(s)Ym

1(s)

+

Σ

Σ

Hm(s)

e-H(s)HR(s)

e-

EC

)(sε U(s)

Hf(s)

Yz(s)

Y1(s) Y(s)

Ym1

(s) Ym(s)

Y(s)

y(t)

y(t)y(t+)

Predictor

Yr(s)

+

-

+

-

V(s)

O altă metodă pentru compensarea timpului mort constă în introducerea unui element de predicţie (de anticipare pură), care realizează cu aproximaţie, o funcţie de transfer de forma :

Spr esH *)( τ=

Schema unei astfel de sistem este dată în fig 2.15

Fig 2.15

Capitolul 3.Studiul sistemelor de reglare automată

3.1 Consideraţii generale

Stabilirea modelului matematic al unei instalaţii sau proces industrial reprezintă un prim pas în rezolvarea problemei de conducere

Principalele probleme în studiul sistemelor de reglare automată sunt legate de analiza şi sinteza acestora, de determinarea metodelor matematice ale instalaţiilor supuse automatizării , de obţinerea funcţionării lor.

Analiza sistemelor de reglare automată constă în determinarea mărimii de ieşire (a răspunsului sistemului) şi a performanţelor sistemului în regim staţionar şi tranzitoriu când se cunoaşte evoluţia mărimilor de intrare(şi mărimilor perturbate dacă există), precum şi structura şi modelul matematic al întregului sistem.

Sinteza sau proiectarea unui sistem de reglare automată urmăreşte:- stabilirea criteriilor de performanţă ale sistemului de reglare care sunt impuse de proces

(instalaţia tehnologică) ce se doreşte automatizată;- determinarea structurii sistemului de reglare automată, alegându-se corespunzător

elementele de execuţie şi a traducătoarelor de măsură;- punerea în evidenţă a mărimilor elementului sistemului- alegerea şi acordarea optimă a regulatorului care trebuie să satisfacă criteriile de

performanţă impuse- verificarea prin analiză a performanţelor realizate de sistemul de reglare proiectatDacă cerinţele de performanţă ale sistemului proiectat şi analizat nu sunt realizate, se

trece la reproiectarea sistemului sau la corecţia lui. Corecţia sistemului constă în îmbunătăţirea performanţelor prin introducerea în structura acestuia a unor elemente care corectează aceste performanţe.

Rezolvarea problemelor de sinteză şi analiză în domeniul timp este, din punct de vedere practic, imposibilă prin metodele analitice cu excepţia cazului când se utilizează metode numerice, care evident reclamă utilizarea calculatorului numeric.

Predictor

Pr

e-H(s)HR(s) P

r+

- Predictor

EC

)(sεY

z(s)

Y(s)V(s)

Din aceste motive in cazul proceselor descrise de ecuaţii diferenţiale liniare, cu coeficienţi constanţi, pentru rezolvarea problemelor de analiză s-a făcut apel la transformata Laplace. Utilizarea acesteia prezintă următoarele avantaje :

- transformă ecuaţiile diferenţiale (care sunt în domeniul timp) în ecuaţii algebrice (în domeniul complex) , uşurând efectuarea calculelor ;

- permite utilizarea unor instrumente simple (funcţia de transfer) în analiza şi sinteza sistemelor de reglare automată .

În funcţionarea unui sistem de reglare automată se disting două regimuri :- regimul staţionar (denumit şi regim permanent) ;- regimul tranzitoriu(denumit şi regimul dinamic) ;

Regimul staţionar este caracterizat de caracteristica statică care exprimă dependenţa dintre mărimea de ieşire şi mărimea de intrare şi este descrisă prin relaţia :

y(t)=f(u(t)) Pentru fiecare valoare a mărimii de referinţă, notată cu v0, există în regim staţionar o

valoare pentru mărimea de ieşire notată cu y0(t). Fixarea unei valori pentru mărimea de referinţă de exemplu v1 presupune o altă valoare pentru mărimea de ieşire, de exemplu y1. Trecerea unui sistem de reglare automată dintr-un regim staţionar în alt regim staţionar se face printr-un regim tranzitoriu sau dinamic.

Regulatorul sistemului de reglare are sarcina de a elabora o mărime de comandă , u(t), astfel încât sistemul de reglare să atingă un nou regim staţionar într-un timp cât mai scurt şi cu abateri cât mai mici ale parametrului reglat ( mărimii de ieşire) faţă de valoarea de regim staţionar. În ipoteza în care mărimea de referinţă rămâne constantă , acţiunea perturbaţiei este cea care scoate sistemul de reglare dintr-un regim staţionar. Un sistem de reglare automată trebuie proiectat astfel încât efectul perturbaţiei să fie anulat intr-un timp cât mai scurt şi cu abatere minimă faţă de regimul staţionar.

3.2 Analiza sistemelor de reglare automată în domeniul timpului

Analiza în domeniul timpului, a sistemelor de reglare automată liniare şi invariante , îşi propune ca pentru un sistem dat, să se determine variaţia mărimii de ieşire (răspunsul sistemului) pentru o variaţie a mărimii de intrare sau a perturbaţiei şi evaluarea performanţelor acestuia atât în regim staţionar cât şi în regim tranzitoriu de funcţionare.

Pentru determinarea răspunsului unui sistem de reglare automată se pot utiliza :- ecuaţiile diferenţiale ce descriu funcţionarea sistemului ;- funcţia de transfer a sistemului în circuit închis.

În ambele situaţii la intrarea sistemului se aplica semnale tip al căror mod de variaţie în timp să aproximeze cât mai exact situaţiile reale din sistemele de reglare automată. Aceste semnale standardizate permit să se obţină răspunsuri tipice ale sistemelor de reglare automată şi pe baza lor să se aprecieze calitatea reglării unui sistem automat.

3.2.1 Semnale şi răspunsuri tip ale sistemelor de reglare automată

Aceste semnale , deşi nu apar sub forma lor ideală în funcţionarea reală a sistemelor, sunt utilizate în studiul sistemelor cu rezultate suficient de bune. O categorie de semnale ce poate fi utilizată cu precizie şi eficienţă mărită în studiul sistemelor automate este reprezentată de : semnalul treaptă unitară , semnalul rampă unitară, impusul unitar, semnalul sinusoidal.

Impulsul unitar (Dirac) )(tδ poate fi definit prin relaţiile:

∆∆−−∆=

→∆ t

tutut

t

)()(lim)( 00

0δ ,

unde u0(t) reprezintă funcţia treaptă unitară, sau :

=≠∀

=.0,1

;0,0)(

t

ttδ

Fig. 3.1

şi cea de-a doua relaţie

∫+∞

∞−

=1)( dttδ

Impulsul Dirac prezintă două proprietăţi :a)propietatea de selecţie;

Fie o funcţie oarecare u(t) şi un impuls unitar Dirac centrat în jurul originii ca în figura 3.1 . Ţinînd cont de cea de a doua relaţie de definiţie se poate scrie:

)0()()0()()()()( udttudtttudtttut

t

t

t

=== ∫∫∫∆+

∆−

∆+

∆−

+∞

∞−

δδδ

Fig. 3.2

Rezultatul relaţiei de mai sus este posibil deoarece pe intervalul [- tt ∆+∆, ] ,arbitrar demic ,se poate considera cu o precizie suficient de bună ca u(t)=u(0) , dacă pe acest interval funcţia u(t) este continuă .

Dacă impulsul Dirac se centrează in jurul unei valori oarecare t0 ,atunci valaorea selectată a funcţiei u(t) este u(t0).

b)invarianţa transformatei LaplaceTransformata Laplace pentru impulsul unitar este :

∫∫∫∆+

∆−

∆+

∆−

−∞

− ====t

t

t

t

stst dttedtetdtettL 1)()()()( 0

0

δδδδ

Deci 1)( =tL δRăspunsul unui sistem de reglare automată la o intrare impuls Dirac se numeşte funcţie

pondere şi se notează cu h(t)

)(tδ

t

1(t)

)(t∆)(t∆−

u(t),

u(0)

t

u(t)

t∆t∆−

)(tδ1(t)

Funcţia sau semnalul treaptă unitară se defineşte prin relaţia :

≤>

=0

0

,0

,1)(

tt

tttu

Fig. 3.3

Discontinuitatea funcţiei treaptă unitară (fig. 3.3) poate să apară în origine(t0=0) sau la momentul t=t0 .

Transformata Laplace a funcţiei treapta unitară se calculează astfel:

s

dtedtettL stst 1)(1)(1

00

=== ∫∫∞

−∞

−

Răspunsul unui sistem automat la o treaptă unitară se numeşte funcţie indicială şi se notează cu h0(t). Funcţia pondere h(t) şi funcţia indicială h0(t) sunt răspunsurile tip cele mai utilizate pentru a aprecia cantitativ performanţele sistemelor de reglare automată.

Funcţia rampă unitară se defineşte prin :

≤>−

=−= ∫∞− 0

0000 ,0

,)()(

tpentut

tpentrutttdtutu

t

ττ

Fig. 3.4

Aceată funcţie poate porni din origine cînd t0=0 sau la momentul t=t0 (fig 3.4).

u(t)

t

1

u(t)

t

1

t0

u(t)

t

u(t)

tt0

3.2.2 Determinarea răspunsului unui sistem de reglare automată descris prin ecuaţii deferenţiale

În numeroase aplicaţii practice , pentru analiza calităţii unui sistem automat, se utilizează răspunsul indicial h0(t) , adică variaţia în timp a mărimii de ieşire y(t) pentru o variaţie de tip treaptă unitară a perturbaţiei mutată la intrarea sistemului.

Răspunsul indicial al unui sistem de reglare automată se determină prin calcul sau experimental. La determinarea experimentală a funcţiei indiciale pentru un proces , elementul de execuţie se fixează manual astfel încât mărimea reglată y să ia aproximativ valoarea de funcţionare.

Apoi mărimea de execuţie nu se variează brusc (exemplu 10% din domeniul mărimii m)şi se urmăreşte variaţia în timp a mărimii reglate începând din momentul modificării.

Aceste variaţii sunt înregistrate pe aparate înregistratoare sau pe osciloscoape. Se obţine astfel răspunsul indicial la variaţia mărimii de execuţie m(t).

La determinarea răspunsului indicial referitor la perturbaţia p se poate proceda în principiu la fel.

Determinarea răspunsului indicial prin calculul necesită rezolvarea ecuaţiei diferenţiale care descrie funcţionarea sistemului. Soluţia ecuaţiei diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi se compune din soluţia liberă yl(t) ce reprezintă soluţia sistemului autonom (fără mărimea impusă de intrare, u=0), şi soluţia forţată yf(t) , determinată de tipul şi amplitudinea intrării :

y(t)=yl(t)+yf(t)Soluţia yl(t) este determinată de structura sistemului (de coeficienţii ecuaţiei diferenţiale)

şi se numeşte soluţie tranzitorie : yl(t)=ytr(t)

Soluţia particulară denumită şi soluţie forţată este determinată de mărimea de intrare u(t) şi se numeşte soluţie staţionară. yf(t)=yst(t) Deci:

y(t)=ytr(t)+yst(t)Deoarece rezolvarea ecuaţiei diferenţiale în cazul sistemului de ordin mai mare decât doi

este destul de dificilă, se recurge la aproximarea sistemului studiat cu unul echivalent de ordinul II, având în vedere faptul că de multe ori comportarea unui sistem liniar de ordin superior este apropiată de cea a sistemului de ordinul II.

Deci, în cele ce urmează vom căuta să determinăm răspunsul indicial al unui sistem de ordinul II , utilizând ecuaţia diferenţială.

După cum se ştie, ecuaţia diferenţială ce caracterizează funcţionarea unui sistem de ordinul doi are forma :

)()()(

2)( 2

02

2

2

tuwktywdt

tdyw

dt

tydnnn =±+ ξ

Pentru regimul staţionar se obţine ecuaţia: y(t) = k 0 u(t)Pentru o intrare treaptă unitară, pentru a realiza o eroare nulă în regim staţionar, k0=1 (

011 kystst −=−=ε ), ecuaţia diferenţială devine :

)()()(

2)( 22

2

2

tuwtywdt

tdyw

dt

tydnnn =++ ξ

unde: -wn reprezintă pulsaţia naturală a sistemului -ξ reprezintă factorul de amortizareSoluţia tranzitorie se obţine ca soluţie a ecuaţiei omogene:

0)()(

)(2

)( 22

=++ tywtd

tdy

dt

tydnξ

care are ecuaţia caracteristică:02 22 =++ nn wpwp ξ

Soluţiile ecuaţiei caracteristice sunt:12

2,1 −±−= ξξ nn wwp sau 22,1 1 ξξ −±−= nn jwwp

Soluţia ecuaţiei omogene este:twjtwtwjtwtptp

trnnnn eeceecececty )1(

1)1(

121

2221)( ξξξξ −−−−− +=+=

unde c1 si c2 se determină din condiţiile iniţiale ale sistemului y(0) = 0 , y’(0) = 0Componenta staţionară pentru intrarea treaptă este yst = 1Notând cu :

nd ξωα =21 ξωω −= nd se obţine :

+=1)(ty tjttjt dddd eeceec ωαωα −−− + 21

Dezvoltând după formula lui Euler şi dând factor comun pe tde α− rezultă :

[ ]tjctctjctcety ddddtd ωωωωα sincossincos1)( 2211 ++−+=

teccjteccty dt

dt dd ωω αα sin)(cos)(1)( 1221

−− −+++=notând c1+c2 = A şi j(c1-c2)=B se obţine :

tBetAety dt

dt dd ωω αα sincos1)( −− ++=

Din condiţiile iniţiale :;0)0( =y rezultă 1+A=0

y’(0) = 0, rezultă 0=+− BA dd ωα

sau ⇒

=−−++−−=+

0)()(

1

21

21

cjcj

cc

dddd ωαωα

=−−+−−+−−−=

⇒0)()1)((

1

22

21

cjcj

cc

dddd ωαωα

=+−−−−−−−=

⇒0)()(

1

2

21

dddddd jjjc

cc

ωαωαωα

⇒

−+−=

−−=

d

dd

j

jc

cc

ωωα

2

1

2

21

−+−=

−+=

⇒

d

dd

d

dd

j

jc

j

jc

ωωα

ωωα

2

2

2

1

Cu aceste valori pentru c1 şi c2 soluţia generală y(t9 devine :

tej

j

j

jjtety d

t

d

dd

d

ddd

t dd ωωωα

ωωαω αα sin

22cos1)( −−

−

+−−

+−+−=

tej

jtety dt

d

dd

t dd ωωαω αα sin

2

2cos1)( −−

−−+−=

+−= − ttety d

d

dd

td ωωαωα sincos1)(

Înlocuind pe dα şi dω cu valorile lor se obţine :

( ) ( )

−

−+−−= − ttety n

n

nn

tn 2

2

2 1sin1

1cos1)( ξωξω

ξωξωξω

( ) ( )

−

−+−−= − ttety nn

tn 2

2

2 1sin1

1cos1)( ξωξ

ξξωξω

Fig. 3.5 Având în vedere faptul că în planul complex cele două rădăcini p1,2 ale ecuaţiei

caracteristice sunt reprezentate ca în fig 3.5, se poate scrie:

21sin

cos

ξξ

ϕϕ

αω

αωϕ

−==⇒=

d

d

d

dtg

Ţinând cont de această relaţie rezultă :

+−= − ttety dd

tn ωϕϕωξω sin

sin

coscos1)(

[ ]tte

ty dd

tn

ωϕωϕϕ

ξω

sincoscossinsin

1)( +−=

Din fig 3.5 rezultă că :

( )2

2

2222

2

221

1

1

1sin ξ

ωξω

ωξξωξω

αωωϕ −=

−=

+−−

=+

=n

n

nn

n

dd

d

Înlocuind ϕsin în expresia lui y(t) şi ţinând cont că sinacosb +sinbcosa = sin(a+b) rezultă:

( )[ ]tethty n

tn2

21sin

11)()( ξωϕ

ξ

ξω

−+−

−==−

+j

+1

dω

dαp

1

p2

ϕnξω

21 ξω +n

Pentru 0<ξ<1 se observă că răspunsul sistemului prezintă oscilaţii amortizate a căror amplitudine creşte cu scăderea factorului de amortizare.

Pentru ξ=0, rezultă :

01111sin)0()0(

21sin,

2sin1)sin(1)()(

2 =−=−−=−==

=⇒=

+−=+−==

ξϕ

πϕϕπωϕω

ahy

ttthty nn

Este un răspuns sinusoidal de amplitudine constantă (neamortizat), oscilant si nu atinge un regim staţionar.

Pentru ξ=1 , rezultă :

−

−+−−=== −

→→

2

2

2

111sin

1

cos1cos1lim)(lim)()( ξω

ϖξϕξωξω

ξξttetythty nn

tn

Dar 1cos001

111 2

=⇒=⇒=+

−=−== ϕϕω

ωξω

ξωαωϕ

nn

nn

d

dtg

Folosind limita 1sin

lim0

=→ x

xx

rezultă :

−

−+−−= −

→ 2

22

1 1

1sincos1cos1lim)(

ξωξωϕωξωξω

ξ t

tttety

n

nnn

tn

( )tety ntn ωω +−= 11)(

În acest caz , răspunsul sistemului este amortizat critic.Pentru ξ>1 ,rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale şi diferite , şi componenta

tranzitorie este formată din două exponenţiale de semne contrare. În acest caz răspunsul sistemului este denumit supraamortizat.

Forma răspunsului indicial al unui sistem de ordinul II pentru diverse valori ale factorului de amortizare este dat în figura 3.6 .

Fig. 3.6Din cele prezentate anterior , se pot trage următoarele concluzii:

-răspunsul unui sistem la diferite intrări va fi aperiodic (amortizat critic pentru 1=ξ sau supraamortizat pentru 1>ξ , dacă toate rădăcinuile ecuaţiei cracteristice sunt reale.

-apariţia oscilaţiilor în răspunsul sistemului este deteminată de rădăcinile complexe de părţile imaginare ale rădăcinilor .

Între factorul de amortizare ξ , pulsaţia naturală a sistemului neamortizat nω şi parametrii p1,,p2 au loc relaţiile:

t

y(t)=h(t)

u(t)=1(t)

0=ξ10 << ξ

1>ξ1=ξ

;212 ppn =ω 212 ppn +=ξω , unde : 2

2,1 1 ξωξω −±−= nn jp ;

Se observă că 21 ppn =ω .Răspunsul la semanlul treaptă unitară are expresia :

( )( )ϕξωξ

ξω

+−−

−==−

te

thty n

tn2

21sin

11)()(

unde : ξ

ξϕ21−

=arctg

3.2.3 Aprecierea calitaţii răspunsului indicial al unui sistem de reglare automată

Performanţele sistemului de ordinul doi în regim staţionar şi tranzitoriu se calculează presupunându-se cunoscute valorile parametrilor ξ şi nω şi prin aceşti parametrii tipul răspunsului .

Pentru aprecierea răspunsului unui sistem de reglare de ordin doi în regim tranzitoriu principalii indici de performanţă sunt :

-suprareglajul σ ;-gradul de amortizare ξ;-pulsaţia proprie nω ;-durata regimului tranzitoriu tr;-timpul de creştere tc;-timpul de întârziere tî;

Pentru aprecierea regimulu staţionar se folosesc următoarii indici de calitate :-eroare staţionară stε ;-eroarea de viteză ;vε-eroare de acceleraţie ;aε

Aceste performanţe se definesc pe răspunsul indicial ca în figura 3.7:

Fig. 3.7

1(t)

0,05 yst

0,5 yst

0,95 yst

1 yst

1,05 yst stε1σ

t

t

u(t)

ti

tc

T

tr

Suprareglajul σ sau abaterea dinamică maximă reprezintă diferenţa dintre valaorea maximă a ieşirii şi valaorea de regim staţionar

styy −= maxσ sau 100max%

st

st

y

yy −=σ

Din anularea răspunsului y(t) , se obţine :

210)( ξ

ξπ

σ −−

=⇔= edt

tdy

Se constată că surprareglajul σ depinde numai de factorul de amortitare ξ ceea ce permite proiectantului să stabilească valaorea lui ξ corespunzătoare unui suprareglaj impus .

Dependenţa din σ şi ξ este reprezentată în figura 3.8 .

Fig. 3.8

Există următoarele corespondenţe:-dacă ξ = 0,5 ⇒ %16% =σ ;-dacă ξ = 0,6 ⇒ %10% =σ ;-dacă ξ = 0,7 ⇒ %;3,4% =σ

-dacă ξ = 0,8 ⇒ %2% =σ ;Pentru ξ ≥0,85 , suprareglajul σ este practic nul.Durata regimului tranzitoriu tr se determină punând condiţia de încheiere a regimului

tranzitoriu , când variabila de ieşire y, nu mai depaşeste ±0,05yst . Ţinând cont de această definiţie se poate scrie:

05,0≤−yyst , unde yst = 1 şi

( )ϕξωξ

ξω

+−−

+−=−−

2

21sin

1111 n

tney

Rezultă :

( ) 05,01sin1

2

2≤+−

−

−

ϕξωξ

ξω

n

tne

Pentru că: ( ) ⇒≤−

⇒≤−

05,0sin1

1sin2

ae

atn

ξ

ξω

⇒−=⇒=−

⇒ −−

ln/105,005,01

2

2ξ

ξξω

ξωt

t

ee

2105,0ln/ ξξω −=−⇒ tn

2105,0ln/ ξ−=⇒tr

[%]σ

ξ1 0,5

50

100

Înlocuind valorile uzuale pentru ξ rezultă :

Dacă n

trω

ξ 28,65,0 ≅⇒=

n

trω

ξ 35,56,0 ≅⇒=

n

trω

ξ 78,47,0 ≅⇒=

n

trω

ξ 37,48,0 ≅⇒= .

Rezulă pentru tr o relaţie generală de forma :

n

trξω

4≅

Timpul de întârziere ti este definit ca fiind timpul necesar ca mărimea de ieşire să crească de la 0 la 0,50 yst .

Timpul de creştere tc este definit ca fiind intevalul de timp în care mărimea d eieşire evoluează între 0,05 yst şi 0,95 yst .

Factorul de amortizare ξ are valorile uzuale , în practică cuprinse în gama : 8,05,0 ≤≤ξ

Eroarea staţionară stε caracaterizează precizia cu care mărimea de ieşire din sistem atinge valoarea inpusă de referinţa y* ,după consumarea regimului tramzitoriu provocat de o variaţie treaptă unitară a mărimii de intrare , adică în regim staţionar .

Din definiţie rezultă :( ) st

tttst yytyytyyt −=−=−==

∞→∞→∞→*)(lim*)(*lim)(limεε

Deoarece 1)(lim)( ==∞→

tytyt

st pentru cazul k0 = 1 rezultă

011* =−=−= stst yyε

3.3 Analiza sistemelor de reglare automată pe baza funcţiilor de transfer

Dacă funcţia de transfer a unui sistem de reglare automată este cunoscută , atunci se poate calcula răspunsul sistemului la orice semnal de intrare căruia i se poate aplica transformata Laplace :

Y(s) = H(s)U(s)Dacă se aplică la intrare un impuls unitar [ ]( )1)()( == tLsU δ ,funcţia de ieşire este

egală cu funcţia de transfer Y(s) = H(s)În acest caz se poate interpreta că funcţia de transfer a sistemului reprezintă transformata

Laplace a funcţiei pondere a sistemului (sau transformata Laplace a răspunsului la intrare impuls unitar) .

Funcţia de transfer pentru un sistem de ordinul II are expresia :

22

2

2)(

nn

n

sssH

ωξωω

++=

Funcţia de ieşire Y(s) se calculează pentru intrarea treaptă unitară cu ajutorul relaţiei :

( ) )1(

21

2

1)(

22222

2

ξωξωξω

ωξωω

−+++−=

++=

nn

n

nn

n

s

s

sssssY

Răspunsul sistemului de ordinul doi se obţine aplicând transformata Laplace inversă funcţiei Y(s);

[ ] ( )ϕξωξ

ξω

+−+−

−==−

− 2

2

1 1sin1

1)()( te

sYLty n

tn

3.3.1 Parametrii caracateristici ai sistemelor de reglare automată

Luând în considerare schema bloc din fig. 3.9 a unui sistem de reglare se definesc în continuare parametrii caracteistici.

Fig. 3.9

Factorul de amplificare în buclă închisă este definit de următoarea relaţie :

∞→=

===ts

tv

ty

V

Y

sV

sYk

)(

)(

)0(

)0(

)(

)(

0

0

Acest parametru reprezintă raportul dintre valaorea staţionară a mărimii de ieşire şi valoarea staţionară a mărimii de intrare.

Factorul (coeficientul) de amplificare al sistemului în buclă deschisă este definit de relaţia

∞→==

→=

tt

tyY

ss

sYdk

)(

)(

)0(

)0(

0)(

)(

εεεConstanta de timp a sistemului exprimă întârzierea de variere a erorii )(tε în raport cu

variaţia intrării v(t).

)0(

)0(

)0(

)0(

)0(

)0(0

vyv

y

k

kT

di

εε ===

Coeficientul (gradul) de amortizare al sistemului, ξ , reprezintă raportul a două amplitudini consecutive a unei ieşiri oscilante şi exprimă reducerea progresivă în timp a componentei periodice cuprinsă în răspunsul sistemului, după dispariţia semnalului de intrare care l-a scos din repaus.

Oscilaţia naturală a sistemului, nω , reprezintă frecvenţa cu care sistemul ar oscila, fără să se amortizeze , după dispariţia intrării treaptă care l-a scos din starea de repaus(la ξ=0).

Oscilaţia proprie a sistemului, pω ,

Capitolul 4Sisteme de acţionare electrică

4.1. Introducere

Hd(s)

Hr(s)

V(s) +

-Y

r(s)

)(sε Y(s)

În industrie, cele mai utilizate acţionări sunt cele electrice.Sistemele de acţionare electrică realizează conversia energiei electrice în energie

mecanică: motorul electric de acţionare absoarbe energia electrică de la reţea şi o transformă în energie mecanică, pe care o cedează pe la arborele maşinii de lucru, potrivit schemei de principiu din figura 4.1. Diferenţa dintre energia electrică consumată şi energia mecanică utilă reprezintă pierderile electrice şi mecanice, ce se transformă ireversibil în căldură.

Datorită marii diversităţi a proceselor tehnologice deservite de maşini de lucru acţionate electric, sistemelor de acţionare li se impun cerinţe dintre cele mai variate privind:

- turaţia şi cuplul dezvoltat la arbore;- domeniul de modificare a turaţiei şi cuplului;- precizia în menţinerea constantă a vitezei unghiulare de rotaţie;- rapiditatea atingerii valorilor de regim staţionar;- calităţile dinamice şi stabilitatea în funcţionare;

Pentru ca parametrii energiei mecanice (cuplu, viteză unghiulară) să poată fi controlaţi pe cale electrică este necesar ca între motor şi sursa de alimentare să existe dispozitive de dozare a energiei electrice prin modificarea parametrilor săi (tensiune, curent, frecvenţă). Controlul parametrilor mecanici pe cale mecanică cu ajutorul reductoarelor de turaţie, cutiilor de viteză sau variatoarelor mecanice de turaţie este caracterizat de randamente scăzute, fiabilitate scăzută, cost ridicat şi puteri unitare limitate din considerente constructive.

Utilizarea maşinilor electrice (grupuri motor-generator) sau a amplificatoarelor magnetice la modificarea parametrilor energiei electrice absorbite de motor este legată de costuri mari de investiţii, consum mare de cupru (material deficitar), randamente scăzute (în cazul grupurilor de maşini) şi inerţie electromagnetică mare, care afectează rapiditatea şi stabilitatea sistemelor de acţionare electrică cu reglare automată.

Sistemele de acţionare electrică au evoluat de la forma simplă, la care motorul este legat direct la reţea şi este cuplat nemijlocit cu maşina de lucru, eventual printr-un organ de transmisie cu roţi dinţate sau curele, la forme dintre cele mai complexe, cu un înalt grad de automatizare, în scopul satisfacerii cerinţelor tot mai mari impuse de producţia de bunuri materiale:

- mărirea productivităţii prin mărirea vitezei de acţionare şi reducerea timpilor de pornire şi frânare, fără solicitări inadmisibile ale motorului;

- reducerea consumului de energie prin mărirea randamentului şi a factorului de putere;- ridicarea calităţii producţiei prin respectarea riguroasă şi cu mare precizie a cerinţelor

impuse de procesele tehnologice.

Dispozitiv de dozare a energiei (convertor static)

Sursa de energie

Energie electricăconsumată

Pierderi înconvertor

Motorelectric

Pierderi electrice şi mecanice în motor

Transmisiemecanică

Maşina de lucru

Pierderi mecanice în organul de transmisie

Energie mecanicăutilă

Fig. 4.1 – Schema de principiu a unui sistem de acţionare electrică

În cazul cel mai general, acţionarea electrică este un sistem închis, care cuprinde pe lângă motorul electric de acţionare ME şi maşina de lucru ML, cuplajul cu organul de transmisie T, instalaţia de alimentare de la reţea cu mutatorul M, instalaţia de comandă automată şi de reglare cu următoarele elemente:

- elementul de măsurare (de exemplu un tahogenerator TG);- dispozitivul de prescriere P care dă valoarea impusă mărimii de reglat;- comparatorul C care compară mărimea măsurată cu mărimea impusă;- amplificatorul A care amplifică semnalul de abatere;- dispozitivul de comandă(care, pentru un Mcc este dispozitivul de comandă grilă DCG)

Sistemele de acţionare electrică prevăzute cu regulatoare automate asigură desfăşurarea pornirii, frânării, reversării şi reglării turaţiei după legi prescrise, menţinând între anumite limite, cu toleranţe determinate, diferite mărimi electrice şi mecanice (turaţia, curentul, cuplul etc.). La sistemele de acţionare complexe, de mare importanţă (de exemplu acţionarea laminoarelor), prescrierea mărimilor este asigurată de calculatoarele electronice de proces sau de microprocesoare.

La acţionarea electrică în mai multe cadrane (figura 4.3), sensul uneia sau al ambelor mărimi se poate inversa. La frânarea cu recuperare a unui vehicul, sensul turaţiei motorului se păstrează dar sensul cuplului se inversează, astfel că punctul de funcţionare a acţionării trece din cadranul I în cadranul II.

La frânarea prin conectare inversă a unui mecanism de ridicat sensul cuplului se menţine, dar se inversează sensul turaţiei trecându-sc din cadranul I în cadranul IV.

În anumite procese industriale, este nevoie ca un motor să lucreze în toate cele patru cadrane.

Acţionările electrice la care se pot obţine inversarea cuplului sau a vitezei unghiulare de rotaţie se numesc acţionări reversibile:

- în cadranele I şi III regimul de funcţionare al maşinii electrice este de motor, deoarece produsul dintre cuplu şi viteza unghiulară (putere mecanică) este pozitiv, ceea ce înseamnă că motorul dezvoltă putere mecanică la arbore;

- în cadranele II şi IV produsul MΩ este negativ, motorul primeşte energie mecanică la arbore şi o transformă în energie electrică; regimul de funcţionare este de generator când energia electrică este cedată reţelei (frânare cu recuperare) sau unei rezistenţe (frânare dinamică). Acesta este regimul de frână.

CS ME T ML

DC TG

P

AC

3~

Fig. 4.2 – Sistem de acţionare electrică cu motor de current continuu, cazul general

4.2. Motorul de curent continuu cu excitaţie independentă

4.2.1.Determinarea funcţiei de transfer din ecuaţiile de stare

Pentru determinarea funcţiei de transfer din ecuaţiile de stare, trebuie cunoscute ecuaţiile ce descriu motorul. Schema echivalentă a motorului de curent continuu cu excitaţie independentă este prezentată în figura 4.4.

Vom stabili modelul matematic al unui motor de curent continuu cu excitaţie independentă, considerând:

- mărimea de intrare este tensiunea de alimentare (tensiune pe indus)- mărimea de ieşire este viteza unghiulară - perturbaţia este cuplul de sarcină (rezistiv)

Pentru stabilirea modelului matematic al MCC cu excitaţie independentă se pleacă de la ecuaţia scrisă pentru circuitul indusului din figură şi de la ecuaţia fundamentală a mişcării.

IIGenerator

frână

Ω

M

IMotor

sens direct

IIIMotor

sens invers

IVGenerator

frână

Fig 4.3 – Cele 4 cadrane de acţionare electrică

Ea – tensiune contraelectromotoare

La – inductivitatea electrică a

indusuluiR

a – rezistenţa electrică a

indusuluiM – cuplul motoruluiJ

m – momentul de inerţie al

rotoruluiB

m – factor de pierderi între

armătură şi carcasăA,B – terminale de alimentare a indusuluiS – axul motorului (shaft)H – carcasa (housing)

Fig. 4.4 – Circuitul echivalent al motorului de curent continuu cu excitaţie independentă

Pentru că nu se cunosc apriori perturbaţiile ce acţionează asupra sistemului, şi interesează reglarea după mărimea de intrare, în determinarea funcţiei de transfer a motorului se consideră perturbaţiile ca fiind nule. Astfel, se obţine:

=

+=

=

++=

ikM

Bdt

dJM

ke

edt

diLiRu

mm

mmm

m

meea

aaa

ϕ

ωω

ωϕ

unde: u – tensiunea la capetele circuitului indusuluii – curentul prin circuitul indusuluiRa, La – rezistenţa, respectiv inductanţa circuitului indusuluiEa – tensiunea contraelectromotoareωm - viteza unghiulară a motoruluiM – cuplul activ dezvoltat de motorBm – factor de pierderi între armătură şi carcasăJm – moment de inerţie al arborelui motoruluiϕe – fluxul de excitaţie ke, km – constante constructive ale motorului de curent continuu (constanta electrică

, respectiv mecanică)Sistemul de ecuaţii (4.1) este un sistem neliniar, neliniarităţile fiind datorate atât

produselor φeωm, φei, cât şi neliniarităţii curbei de magnetizare a motorului.Întrucât, pentru a stabili un model matematic plecând de la un sistem neliniar se impune

utilizarea unui formalism matematic destul de complicat, se va liniariza sistemul de ecuaţii în jurul unui punct de funcţionare şi se vor considera nule toate variaţiile mici ale mărimilor în jurul acestui punct de funcţionare.

Pentru aceasta, se consideră φe=ct., astfel încât se poate scrie:eee kK ϕ=

emm kK ϕ=

[ ]sec//2

rotKgn

RiuK

ne π

−=

[ ]AKgmK

K em /

03,1=

unde nn reprezintă turaţia nominală a motorului, exprimată în rotaţii pe secundă.Din relaţia (4.5) se observă că cele două constante pot fi considerate ca fiind egale ca

valoare adimensională (Ke=Km=K) şi astfel, se pot scrie ecuaţiile pentru MCC ca fiind:

−=+

=+

maa

mmm

m

KuiRdt

diL

KiBdt

dJ

ω

ωω

În regim staţionar, m

m

KiB

ω= (2.7), n

πnm

ω 2= [sec] (4.8). Observând curba de decelerare

a motorului fără sarcină, atunci când tensiunea de alimentare este întreruptă, este posibilă

estimarea coeficientului J (observarea în diferite puncte a dt

dωm ).

Pentru un proces sau obiect supus automatizării, modelul matematic al acestuia poate fi reprezentat fie sub forma unor ecuaţii diferenţiale care sunt de fapt, ecuaţii intrare - ieşire, fie sub forma ecuaţiilor de tip intrare - stare - ieşire, care pot fi scrise astfel:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

=++=

txcty

tpdtubtxAtxT

În spaţiul stărilor ecuaţiile de mai sus pot fi exprimate alegând viteza de rotaţie şi curentul electric prin indus ca mărimi de stare şi tensiunea de alimentare ca intrare. Ca ieşire se alege viteza unghiulară. Pentru început, se rescriu ecuaţiile (4.6) sub forma:

⇔

+−−=

+−=⇔

−=+

=+

uL

iL

R

L

K

dt

di

iJ

K

J

B

dt

d

KuiRdt

diL

KiBdt

dJ

aa

a

a

mm

m

mm

maa

mmm

m

1ω

ωω

ω

ωω

Astfel se obţine relaţia echivalentă în spaţiul stărilor, ca fiind:

( ) [ ]

=

=

+

−−

−=

⇔

iicty

uLi

L

R

L

KJ

K

J

B

idt

d

mmT

a

m

a

a

a

mm

m

m

ωω

ωω

01

10

Se ştie că în acest caz, funcţia de transfer are următoarea expresie:( ) [ ] bAsIcsH T 1−−=

În cazul de faţă, aceasta se poate scrie astfel:

( ) [ ]

+

−+=

−

LLRsLK

JKJBssH MCC /1

0

//

//01

1

Determinăm transpusa matricei [Si-A] ca fiind:*1

)det(

1A

AA =−

( ) ( )( ) JLKLRsJBsA ///det 2+++=

( ) ( )LRsA /1 1111 +−= + ; ( ) ( )JKA /1 21

12 −−= +

( ) ( )LKA /1 1221

+−= ; ( ) ( )JBsA /1 2222 +−= +

( ) ( )( ) ⇔

+−

++++

=LJBsLK

JKLRs

JLKLRsJBssH MCC /1

0

//

//

///

12

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++++++

+=LJLKLRsJBs

JK

JLKLRsJBs

LRssH MCC

10

///

/

///

/22

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) JL

KJL

KRsLBsJsH

L

JL

KRsLBsJJ

K

sH MCCMCC 22

11

+++=⇔

+++=

( ) ( ) 22 KBRsBLRJJLs

KsH MCC ++++

=

Relaţia (4.15) dă expresia funcţiei de transfer a motorului de curent continuu cu excitaţie independentă.

4.2.2. Separarea funcţiei de transfer după o mărime intermediară

În scopul unei bune reglări, se va încerca găsirea unei mărimi intermediare a procesului, mărime ce poate fi uşor accesibilă din punct de vedere fizic şi măsurabilă cu mijloace relativ simple. Această mărime intermediară trebuie, în plus, să răspundă la perturbaţii mai rapid decât mărimea de ieşire.

Pentru aceasta, se poate considera ca mărime intermediară curentul prin indus deoarece, în cazul de faţă, îndeplineşte condiţiile de mai sus.

Alegând curentul ca mărime intermediară, funcţia de transfer a motorului de curent continuu poate fi scrisă astfel:

)(

)(

)(

)(

)(

)()()()( 21 sI

s

sU

sI

sU

ssHsHsH MCC

Ω⋅=Ω== ,

unde )(),(),( sIsUsΩ se obţin aplicând ecuaţiilor din sistemul 4.6 transformata Laplace în condiţii iniţiale nule, astfel:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

Ω−=+=+Ω

sKsURLssI

sKIBJss

Din prima ecuaţie a sistemului 4.17 se poate obţine funcţia de transfer a mărimii de ieşire (Ω) în raport cu mărimea intermediară (I):

⇒+

=ΩBJs

sKIs

)()(

( )BJs

K

sI

ssH

+=Ω=

)(

)(1

Înlocuind expresia lui Ω(s) din relaţia (4.19) în cea de-a doua ecuaţie a sistemului (4.17) se obţine expresia lui I(s) ca fiind:

))((

)())(()/(]

)()([

)()(

)(22

RLsBJs

sIKBJssURLs

BJs

sIKsU

RLsBJs

sKIKsU

sI++

−+=++

−=+

+−

=

)()())((2

sUBJs

KsIRLssI =

+++⇒

22 ))((

))((

))((

)()( K

BJsRLs

BJssU

BJs

KBJsRLs

sUsI +

+++=

++++

=⇒

Având expresia mărimii intermediare, se poate determina funcţia de transfer a mărimii intermediare în raport cu mărimea de intrare:

⇔+++

+==⇒22 ))(()(

)()(

KBJsRLs

BJs

sU

sIsH

222 )()(

KRBsRJLBLJs

BJssH

+++++=⇔

4.2.3. Reglarea turaţiei motorului de curent continuu

4.2.3.1 Alegerea schemei de reglare

În cadrul sistemului de reglare automată propus, motorul de curent continuu reprezintă elementul condus (supus automatizării).

Acesta e caracterizat în regim staţionar prin anumite valori ale mărimilor caracteristice (tensiune, curent, cuplu, turaţie), care se modifică atunci când apar schimbări în regimul de funcţionare al motorului. Acestea pot fi cauzate de variaţii ale sarcinii corespunzătoare procesului tehnologic sau de comenzi voite (programate), date de operator, comenzi ce pot fi de pornire, oprire, frânare, schimbare de sens. Toate aceste schimbări ale regimului de funcţionare constituie regimuri tranzitorii pentru motorul de curent continuu.

Se ştie că un regim tranzitoriu este trecerea de la un regim staţionar caracterizat de anumiţi parametrii la un alt regim staţionar caracterizat de alţi parametrii.

Rolul sistemului de reglare automată a motorului de curent continuu e tocmai de a optimiza regimurile tranzitorii ale acestuia.

Pentru aceasta, pe baza mai multor observaţii practice s-au putut grupa generic mărimile de intrare, cele de ieşire, precum şi perturbaţiile ce apar în cadrul unui sistem de reglare automată cu motor de curent continuu:

- ca mărimi de intrare: tensiunea de alimentare, tensiunea de excitaţie; - ca mărimi de ieşire: viteza unghiulară (turaţie), cuplul electromagnetic dezvoltat, curentul

prin indus, curentul prin excitaţie.- ca perturbaţii: cuplul de sarcină de la axul motorului, modificări neprevăzute ale

tensiunilor de alimentare sau excitaţie.Pentru multe procese supuse automatizării, în special pentru procesele rapide (cum este

cel reprezentat de motorul de curent continuu) structura convenţională de reglare (cu o singură buclă) nu permite obţinerea unor performanţe dorite. De aceea, alegerea structurii sistemelor de reglare se face ţinând cont de complexitatea procesului, de gradul de cunoaştere al acestuia, precum şi de performanţele impuse.

Reglarea în cascadă se utilizează atât în cazul proceselor rapide (procese cu constante de timp mai mici de 10s), dar şi în cazul proceselor lente.

Pentru adoptarea reglării în cascadă trebuie ca procesul tehnologic să fie descompus în sub-procese a căror funcţie de transfer să nu conţină mai mult de două constante de timp principale. Funcţia de transfer determinată în subcapitolul anterior respectă această cerinţă (relaţia 4.15).

O altă condiţie se referă la faptul că în modelul matematic al procesului supus automatizării trebuie puse în evidenţă mărimi intermediare care să fie accesibile din punct de

vedere fizic şi măsurabile cu mijloace relativ simple. Aceste mărimi intermediare trebuie, în plus, să răspundă la perturbaţii mai rapid decât mărimea de ieşire.

În marea majoritate a cazurilor , procesele mecanice care interesează din punct de vedere al conducerii automate , se referă la reglarea unei forţe sau a unui cuplu necesar punerii în mişcare , liniară sau rotativă , a unei sarcini oarecare . Mişcarea se realizează cu ajutorul unui motor cuplat într-o transmisie oarecare cu sarcina.

Aşadar motorul de curent continu este foarte des întâlnit în teoria reglării automate atât ca element de execuţie într-un sistem de reglare cât şi ca proces supus automatizării. În mod deosebit , motoarele de curent continuu se întâlnesc în cadrul sistemelor de reglare automată sub forma proceselor supuse automatizării.

Comanda motorului de curent continuu se face printr-o punte trifazată cu tiristaoare.

Din categoria motoarelor de curent continuu pentru sistemele de reglare automată , interesează în mod deosebit motoarele de curent continuu cu excitaţie separată , sau independentă. Întrucât cele două circuite (circuitul indusului şi circuitul excitaţiei) sunt separate , putând avea chiar surse de excitaţie separate , rezultă astfel că metodele de comandă pentru aceste tipuri de motoare se pot grupa în două mari clase :

a) metode de comandă pe indus;

b) metode de comandă pe excitaţie.

Pentru asigurarea reglării concomitente a turaţiei şi curentului prin motor se alege o schemă de reglare în cascadă cu două regulatoare , unul pentru curent şi unul pentru turaţie.

Schema de principiu a sistemului de reglare a turaţiei unui motor de curent continuu este prezentată în fig.4.5.

Fig.4.5

Pe baza schemei de principiu din fig.4.5 se alcătuieşte schema bloc de reglare ca în fig.4.6.

Fig.4.6

În cazul de faţă, mărimea intermediară este curentul prin indus.Date fiind avantajele reglării în cascadă faţă de o reglare convenţională (permite reglarea

simultană a mai multor parametri, micşorează influenţa perturbaţiilor asupra mărimii de ieşire, creşte viteza de răspuns în raport cu modificarea referinţei) şi faptul că sistemul de mai sus îndeplineşte condiţiile necesare aplicării acesteia, s-a ales acest sistemul de reglare.

Separarea funcţiei de transfer a motorului de curent continuu în două funcţii de transfer cu mărime intermediară, conform cerinţelor, a fost realizată în subcapitolul 4.2.2.

4.2.3.2. Calculul funţiilor de transfer şi a parametrilor regulatoarelor

Având în vedere schema echivalentă a MCC din figura 4.1, parametrii motorului a cărui turaţie se doreşte controlată, sunt:

- Ra = 10.5 Ω , - La = 0.098 H , - nn = 1500 rot/min , - U n = 220V , - I n = 2.3A , - J ≈ 0.0355 , moment de inerţie aproximat experimental, măsurând timpul de frânare de la

turaţia nominală la 0 atunci când este decuplată tensiunea de alimentare şi modificându-l ca parametru într-o simulare Matlab, până la obţinerea aceluiaşi timp de stabilizare a sistemului.

Pentru determinarea formei exacte a funcţiei de transfer a motorului de curent continu se consideră următoarele mărimi:

- constanta electrică a motorului:

- constanta electromecanică a motorului:- constantele de timp ale motorului:

min]V/rot/[33,1150014,32

85384,0220

nnπ2

nI

anR

nU

eK =

⋅⋅

⋅−=

⋅⋅

⋅−=

m/A]1,29[N1,03

1,33

1,03

eK

mK ⋅===

Cu aceste date cele două funcţii de transfer H1(s) şi H2(s) devin:

Funcţia de transfer a elementului de execuţie este:unde:

- KP - factor de proporţionalitate sau factor de transfer;- τP - timp mort al elementului de execuţie;

Factorul de transfer al elementului de execuţie se determină cu relaţia:

unde:- Ud0 – valoarea medie a tensiunii redresate pentru puntea trifazată,

şi se calculează cu expresia:

unde cu Us am notat tensiunea de linie (tensiunea dintre fazele reţelei de alimentare).

2pf

1

pτ =

unde : f = 50 Hz – frecvenţa p – numărul de pulsuri dintr-o perioadă pentru tensiunea redresată. În acest caz p = 6.Funcţia de transfer a DCG este:

2020,384

46,5

aR

aL

T 0,597;1,291,33

20,384

eK

mK

JR

mT ====

⋅

⋅=

⋅

⋅=

794,0

384,0)(2H

0,597s)(1s)202(1

s1,55(s)

1H

ss

⋅=

+⋅⋅+

⋅=

s

pτ1

pK

(s)EE

H⋅+

=

180

πd0

U

pK

⋅=

0α

|cosαs

Uπ

63d0

U =⋅⋅⋅=

V11,25grad/16V

180(s)

DCGH =

°=

Funcţia de transfer a traductorului de curent este:Constanta kTi a traductorului de curent se determină din condiţia ca la pornire curentul de

pornire să fie limitat la Il = 1,8 In = 153 A, tensiunea rezultată la intrarea regulatorului de curent să fie Ui = 7,5 V, aşadar:

Constanta de timp a traductorului se alege Ti = 0,0025 s astfel în cât funcţia de transfer a traductorului de curent devine:

Funcţia de transfer a traductorului de turaţie este:Constanta de proporţionalitate kTω a traductorului de turaţie este:

Constanta de timp a traductorului de turaţie se alege Tω = 0,001s astfel încât funcţia de

transfer a traductorului de turaţie devine:

Funcţia de transfer a regulatorului de curent. Pentru a stabilii funcţia de transfer a regulatorului de curent se stabileşte mai întâi funcţia de transfer a părţii fixe corespunzătoare buclei interioare din fig.2.

s

iT1

Tik

(s)Ri

H+

=

A

V0,049153

7,5

lIiU

Tik ===

0,025s1

0,049(s)TRi

H+

=

sωT1

Tωk(s)

TRωH

+=

rot/min

V0,006n1500rot/mi

10VTω

k == 0,001s1

0,006(s)TRω

H+

=

Funcţia de transfer a regulatorului de curent se determină conform variantei Kessler a criteriului modulului:

Schema bloc a sistemului de reglare cu regulatorul de curent optimizat este prezentată în figura 3.Funcţia de transfer a regulatorului de turaţie .

Pentru a stabili funcţia de transfer a regulatorului de turaţie se stabileşte funţia de transfer a părţii fixe a sistemului de reglare din figura 3 astfel:

H (s) H (s) H (s) H (s) H (s)f1 DCG EE 1 TRi

Tm sk k

EE R Tik DCG 1τ s (1 Ts)(1 T s) 1 T s

p m i

ks 7,81

(1 T s)(1 T s) (1 0,065 )(1 0,597 )i m

s

s s

= × × × =

= =+ + + +

= =+ + + +

∑

s065,00016,00025,0061,0p

τi

TTi

T

7,81

0,0490,38

0,5978,9811,3

Tik

R

mT

EEk

DCGkk:unde

=++=++=∑

=

=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

1 T s 1 0,597s 1 0,597smH (s) Ri 2 2 2

2kT s 2 7,81 0,065s 1,01si

+ + += = =

× ×∑

1H (s) H (s) [H (s)] H (s) H ( ) f2 01 TR 2 TRω

s−= × × ×

H (s) H (s) 1 1f1 RiH (s) 01 1 H (s) H (s) 1 2T s 1 0,13s

f1 Ri i

×= ≅ =

+ × + +∑

Fig.3

unde:

Aşadar :

Funcţia de transfer a regulatorului de turaţie se determină conform criteriului simetriei astfel:

Funcţia de transfer a sistemului în circuit închis este:

k k1 T s1 R Tω ωiH (s)f2 1 2T s k k T s 1 T s T s(1 T s)

i Ti e mω m ω

+= × × × =

+ + +∑ ∑

R k 0,384 0,006Tωk 0,035m k k 0.049 1,33

Ti e

T 2T T T 0,065 0,001 0,0025 0,063ω i ω i

× ×= = =

× ×

= + − = + − =∑ ∑

0,035H (s)

f2 0,597s(1 0,063s)=

+

1 4T s 1 4 0,063sωH (s)Rω 4T 42ω 2 0,035 0,063 s2k T s

0,597ω ω Tm

1 0,25sH (s)

Rω 0,001s

+ + ×∑= =

∑ × × ×∑

+=

Schema de simulare a funcţionării motorului este prezentată în figura 4.

Răspunsul sistemului fără buclă de reglareeste prezentat în figura 4.9.Răspunsul sistemului fără buclă de reglare are o eroare staţionară de 33% şi o durată a

regimului tranzitoriu de 4,5 s.

Răspunsul sistemului cu buclă de reglare cu legi PI este prezentat în figura 4.14.

Fig. 4.9 – Răspunsul sistemului fără buclă de reglare

1 4T sH (s)H (s)ωf2 RωH (s)

02 2 21 H (s)H (s) 8T s (1 T s) 4T s 1f2 Rω ω ω ω

1 4 0,063

2 28 0,063 (1 0,063 ) 4 0,063 1

1 0,25

20,031 (1 0,063 ) 0,25 1

s

s s s

s

s s s

+∑= = =

+ + + +∑ ∑ ∑

+ ×= =

× + + × +

+=

+ + +

Capitolul 5Sisteme de reglare Fuzzy

5.1.Generalităţi

În ultimii ani s-a remarcat o creştere semnificativă a numărului şi varietăţii de aplicaţii fuzzy . Aplicaţiile de acest tip s-au extins pe diverse domenii precum aparatura performantă de filmat (camere de luat vederi), maşini de spălat, aparatură cu microunde, precum şi in cadrul sistemelor industriale de control, şi a instrumentarului medical de înaltă performanţă.

Sistemele tehnice au în general structuri capabile să realizeze funcţiile pentru care au fost create , pe baza unor modele dedicate scopului respectiv şi implementate de regulă, structural. Dar în tehnică există întotdeauna mai multe soluţii posibile (structuri alternative), care să rezolve problema ridicată. În general din mulţimea soluţiilor competitive ale unei probleme , se alege varianta optimă . În practică o asemenea alegere se realizează în mod conştient, în virtutea îndeplinirii unor criterii : preţ de cost mic, timp minim de execuţie, consum energetic minim etc. Operaţia de alegere a soluţiei optime poartă numele de selecţie artificială.

Având în vedere variabilitatea situaţiilor pe care le întâmpină un sistem de control, găsirea soluţiei optime pentru comanda în timp util este o problemă delicată , afectată întotdeauna de ipoteze simplificatoare , ce implică abateri semnificative de la modelul dinamic real. Apare deci normal să se pună problema existenţei şi a altor modele, de preferat neanalitice ,

Fig. 4 ea turaţiei cu legi PI

care să conducă la găsirea soluţiei dorite . Se pare că oferta cea mai generoasă şi în acelaşi timp cea mai prolifică vine din partea naturii , iar domeniul de interfaţă îl reprezintă bionica.

Deşi încă puţin cunoscute , însă şi mai puţin aplicate, dar cu uriaşe perspective, în catalogul extraordinar al naturii se află inregistrate şi verificate , la scară planetară, de-a lungul a milioane de ani de evoluţie , numeroase soluţii structurale şi funcţionale optime pentru biosisteme sau subsisteme ale acestora.

Legitimitatea unui aşa-numit transfer tehnologic de la sistemele vii la cele artificiale este legată de întrebarea “dacă pe tărâm biologic acţionează anumite principii care să garanteze funcţionarea optimă a biosistemelor sau subsistemelor acestora”. Răspunsul este afirmativ şi se bazează pe manifestarea obiectivă a unei competiţii între indivizi biologici , în vederea cuceririi condiţiilor de existenţă .

În cadrul sistemelor automate , comenzile reprezintă de cele mai multe ori , indicaţii pentru stabilirea unor relaţii spaţio-temporale între obiecte. Astfel în cel mai general caz de control al unui sistem tehnic ,poate indica doar caracterul relaţiei cu obiectivul , iar procedeul de realizare al relaţiei este format din sistemul căruia i s-a adresat comanda.

Analiza conducerii mai multor clase de sisteme arată că, la fiecare nivel de conducere , numărul de decizii posibile , R , este mult mai mic decât numărul stărilor , S, ale nivelului respectiv . Prin urmare problema luării deciziei la orice nivel de conducere a sistemelor tehnice mari se poate formula ca o grupare în clase a mulţimii de stări sau microsituaţii , astfel încât să corespundă unei decizii optime din punt de vedere al criteriului de funcţionalitate . Conducerea prin reguli a procesului , cunoscută şi sub denumirea de conducere prin situaţii , se desfăşoară practic după următoarea descriere: pe baza situaţiei s(t) la momentul t se determină clasa la care aparţine această situaţie , clasă căreia îi corespunde o anumită comandă care transformă pe s(t) în s(t+1).

Procesul parcurge diferite microsituaţii până când se obţine scopul propus . La conducerea prin reguli , alegerea comenzilor se face pe baza comenzilor tipizate , al căror număr chiar pentru sisteme tehnice foarte mari , este de ordinul 102-103 .

Pentru ca numărul relativ restrâns al comenzilor (deciziilor) tipizate să răspundă într-o măsură cât mai mare la varietatea microsituaţiilor existente , metoda conducerii prin reguli a unui sistem tehnic complex are la bază elaborarea unui model generalizat de descriere a structurii şi funcţionării obiectului condus , pornind de la o microdescriere a acestuia.

Bazele teoriei mulţimilor vagi au fost puse de profesorul L.A.Zadeh în anul 1965 printr-o lucrare ce părea în primă fază doar de natura unui amuzament matematic .Explozia de după 1970 în domeniul tehnicii de calcul a deschis primele perspective de aplicare în practică a acestei teorii, în domeniul conducerii automate şi aceste prime aplicaţii sunt atribuite lui E.H.Mandani.

Aplicaţiile de conducere fuzzy de până acum au evidenţiat două aspecte importante referitoare la această tehnică de conducere şi anume:

- în anumite situaţii (de exemplu conducerea proceselor cu neliniarităţi funcţionale greu modelabile) conducerea fuzzy poate fi o alternativă viabilă a conducerii clasice (“ferme”);

- în raport cu conducerea clasică , conducerea fuzzy poate fi bazată şi axată puternic pe experienţa unui operator uman, experienţă pe care regulatorul fuzzy o poate “modela” mai fidel decât un regulator convenţional.

Principalele particularităţi ale conducerii fuzzy a proceselor pot fi sintetizate prin următoarele :

- conducerea fuzzy se bazează pe regulatoare – denumite regulatoare fuzzy (prescurtat RG-F)- cu “caracteristică statică “ (în sens mai general însă) neliniară , influenţabilă/modificabilă după nevoi;

- conducerea fuzzy poate fi asigurată după mai multe mărimi ale procesului fiind încadrabilă din acest punct de vedere în categoria structurilor de conducere cu conexiuni multiple; prin aceasta regulatorul fuzzy devine multivariabil la intrare (eventual şi la ieşire) şi se apropie ca şi conţinut de regulatoarele după stare;

- principial , regulatoarele fuzzy sunt regulatoare fără dinamică , dar domeniile de utilizare şi performanţele regulatoarelor fuzzy pot fi lărgite prin extinderea regulatoarelor fuzzy propriu-zise cu module “cu dinamică”; ca efect se obţin asa-numitele regulatoare fuzzy cu dinamică; cum dinamica introdusă creează componente de tip derivativ sau/şi integrator , acestea vor fi denumite regulatoare fuzzy cvasitipizate;

- regulatoarele fuzzy prezintă maleabilitate în modificarea proprietăţilor de transfer (prin caracteristici statice generalizate), ceea ce asigură posibilitatea realizării într-o varietate mare , a structurilor de reglare adaptivă.

Schema bloc de principiu (considerată clasică în literatură ) aferentă unui sistem de reglare automată , monovariabil din punct de vedere al referinţei (w) şi al numărului de ieşiri de apreciere (y) prevăzut cu regulator fuzzy este prezentată în figura 5.1.

Fig. 5.1

Indiferent de numărul mărimilor de intrare în regulatorul fuzzy, acesta trebuie să aibă cel puţin una notată , în schemă cu e1, care să corespundă erorii de reglare: e1=w-y.

Principial, funcţionarea unui regulator fuzzy are loc după schema bloc informaţională din figura 5.2 şi presupune următoarele operaţii:

a)Informaţia fermă de la intrare (mărimi măsurate, mărimea prescrisă,eroarea de reglare) este “convertită” într-o reprezentare “vagă “; această operaţie este denumită fuzificarea informaţiei ferme.

b)Informaţia “fuzificată” este prelucrată pe baza unui set de reguli(baza de reguli) de forma :…DACĂ (premiza) ATUNCI (concluzia),…care în vederea conducerii procesului în cauză trebuie să fie “bine precizate”; principiile (regulile) de evaluare a setului de reguli poartă denumirea de schemă de inferenţă , iar rezultatul îl constituie “forma vagă “ a comenzii u (comanda “vagă”).

c)Comanda “vagă” trebuie convertită într-o exprimare “fermă “ , cu valoare numerică bine precizată, şi ulterior , şi natura fizică bine precizată, direct utilizabilă la nivelul elementului de execuţie; operaţia poartă numele de defuzificare.

Fig. 5.2

5.2.Tratarea informaţiei vagi.

5.2.1.Mulţimi vagi. Funcţii de apartenenţă.

Noţiunea de mulţime vagă a fost introdusă în matematică şi teoria sistemelor de L.A.Zadeh în 1965 sub denumirea de mulţime “fuzzy”, care în traducere înseamnă mulţime neclară, estompată şi se foloseşte în sensul de vag, imprecis. În prezent termenul fuzzy se foloseşte cu valoare de adjectiv şi în limba română. Mulţimile fuzzy şi în general conceptele fuzzy au apărut din necesitatea de a se exprima cantitativ “vagul”,”imprecisul”. Deşi există numeroase ramuri ale matematicii mai vechi decât mulţimea teoriilor fuzzy, care se ocupă cu studiul proceselor de natură aleatoare: teoria probabilitătilor , statistica matematică , teoria informaţiei şi altele nu se pot face substituţii între acestea şi teoria mulţimilor fuzzy.

Pornind de la concepţia clasică cu privire la mulţime şi element al unei mulţimi, se poate susţine că noţiunea de mulţime fuzzy reprezintă o abordare dintr-un unghi diferit a concepului de mulţime, mai precis, între apartenenţa unui element la omulţime şi nonapartenenţă există o serie de situaţii tranzitorii, de natură continuă, caracterizată de aşa-numitele grade de apartenenţă.

Definiţie. Funcţia de apartenenţă. Fie X o mulţime oarecare. Se numeşte mulţime fuzzy

(în X) rezultatul unei aplicaţii F: [0,1]X → .

Mulţimea fuzzy F este caracterizată de funcţia de apartenenţă:

[0,1]X:F

m →Valorile 0 si 1 reprezinta cel mai mic si respectiv cel mai mare grad de apartenenta la F al unui element x∈X . Se poate face observaţia că orice mulţime Fuzzy este inclusă în reuniunea mulţimii 0, 1 cu mulţimea numerelor raţionale, Q.

Pentru descrierea fuzzy a unor fenomene şi procese , aplicaţiile mF(x)pot admite diferite exprimări analitice. Câteva dintre acestea sunt consacrate în aplicaţii datorită unor facilităti legate de calculabilitate şi uşurinţa implementării hardware/software.

Funcţiile de apartenenţă tipice utilizate sunt:

a)Funcţia de apartenentă triunghiulară .Expresia analitică a acestei funcţii de apartenenţă este identică cu ecuaţia dreptei ce trece

prin punctele de coordonate (a,0) şi (c, 1), pentru x∈[a,c], şi cu ecuaţia dreptei ce trece prin punctele de coordonate (c, 1) şi (b , 0 ), pentru x∈(c,b]. Deci :

≤<−−−≤≤−−

=bxc c)c)/(b(x1

cxa a)a)/(c(xm(x)

În cazul în care c = (a+b)/2, relaţia se poate scrie compact sub forma:

ab

cxxm

−−

−= 21)(

Aspectul grafic al funcţiei de apartenenţă triunghiulară este prezentat în figura 5.3.

Fig. 5.3

b)Funcţia de apartenenţă trapezoidală.Expresia analitică a acestei funcţii de apartenenţă se obţine simplu , observând că trapezul

din figura 5.4.b , rezultă prin intersecţia unui triunghi de forma celui din figura 5.4.a, având înălţimea h t >1, şi dreapta de ecuaţie m(x)=1. Astfel:

1t

hcu ,ab

cx21

th1,minm(x) >

−−

−=

Funcţiile de apartenenţă trapezoidale se pot definii şi prin adoptarea unui anumit raport al bazelor trapezului h = (A/B)<1 rezultând:

1ηcu ab

cx21

η1

11,minm(x) >

−−

−−

=

sau:

<

≤<≤<

≤<−−

≤

=

xd 0

dx c c-d

x-d

cxb 1

bxa ab

ax

a x 0

m(x)

Aspectul grafic al funcţiei de apartenenţă trapezoidală este prezentat în figura 5.4.b.

a) b) Fig. 5.4

c) Funcţia de apartenentă parabolicăO parabolă , având axa de simetrie verticală şi vârful în punctul (x0,m0) de pe această

axă , este descrisă de ecuaţia:2)

0x2p(x

9mm(x) −−=−

Din condiţiile ca parabola să aibă vârful în punctul (c,1) şi să intersecteze axa absciselor în punctele de coordonate (a,0) şi (b,0), rezultă expresia analitică a funcţiei de apartenenţă parabolică din figura 5.5. Aceasta este:

2

ab

cx41m(x)

−−−=

Fig. 5.5

d)Funcţii de apartenenţă de tip “saturaţie”

Acestea se definesc ca funcţii de tip rampă la dreapta (figura 5.6, a ) sau la stânga ( figura 5.6, b), cuplate în partea extremă cu porţiunea de saturaţie.

Fig. 5.6Exprimarea analitică a acestor funcţii de aparteneţă se face pe intervale , după cum

urmează:

>

≤≤<

=

b x1

bxa a-b

a-xa x 0

m(x)

>

≤≤<

=

-b x0

bxa a-b

a-x-

a x1

m(x)

Dependenţa liniară de pe intervalul [a,b] poate fi inlocuită cu oricare tip de funcţie (polinomială , exponenţială ) , asigurându-se trecerea (cu derivată continuă) de la valorile 0 şi / sau 1 la valorile apropiate.

5.2.2. Variabile lingvistice, termeni lingvistici. Fuzificarea informaţiei ferme.

Logica fuzzy este o generalizare a logicii clasice bivalente , înlocuind caracterul discret al acesteia (în 0 şi 1) cu unul de natură continuă. Fundamentul logicii fuzzy îl constituie aşa numitele logici polivalente introduse şi studiate de J.Lukasiewicz , în urma unor cercetări legate de studiul modalităţilor . Încă din 1940 Gr. C. Moisil introduce algebrele Lukasiewicz n- valente ca modele algebrice pentru logicile cu mai multe valori. În conducerea automată bazată pe logica fuzzy informaţia primară referitoare la procesul condus este disponibilă sub forma unor volori ferme , acestora urmând a li se ataşa o caracterizare vagă , reflectată :

-printr-o formulare lingvistică adecvată;-printr-o caracterizare matematică a formulării lingvistice sub forma funcţiilor de

apartenenţă aferente unor variabile lingvistice.

Formularea lingvistică permite ulterior definirea clară a regulilor ce stau la baza inferenţei fuzzy. La caracterizarea lingvistică a multimilor vagi se utilizează terminologia de variabile lingvistice şi de termeni lingvistici aferente/aferenţi multimilor vagi .

Variabilele lingvistice sunt mărimi fuzzy asociate celor deterministe . Echivalentul valorii scalare în sens determinist este pentru o variabilă fuzzy gradul lingvistic (eticheta, atributul) asociat acesteia. Astfel aşa cum pentru logica bivalentă , valorii deterministe “1” i se asociază atributul ADEVĂRAT , iar lui “0” eticheta FALS, În logica fuzzy , pentru variabila deterministă “număr real pozitiv” variabila lingvistică asociată poate fi “distanţa dintre două puncte” , care poate avea termenii lingvistici MICĂ, MEDIE, MARE sau FOARTE MICĂ, MICĂ, MEDIE, MARE, FOARTE MARE.

Fiecărui atribut al unei variabile lingvistice îi este asociată o funcţie de aparteneţă , ale cărei valori ( în sens determinist) indică nivelul de încredere cu care unei valori deterministe i se poate asocia acel atribut al variabilei lingvistice. De exemplu , considerând pentru variabila lingvistică “distanţă” trei grade lingvistice : MICĂ, MEDIE, MARE, asociem acestora funcţii de aparteneţă tipice , aşa cum se arată în figura 5.7. Se observă că funcţia de apartenenţă pentru gradul lingvistic MICĂ este o dreaptă , care indică faptul că între 0 şi 10 Km distanţele sunt considerate mici, cu diferite niveluri de încredere situate între 0 şi 1, cu cât valoarea deterministă este mai aproape de 0 , cu atât gradul de apartenenţă a acesteia la eticheta respectivă fiind mai mare.

Fig. 5.7

Similar pentru gradul lingvistic MEDIE se consideră nivelul maxim de apartenenţă la această categorie , corespunzător valorii 10 Km . Valorile mai mici sau mai mari decât acesta duc la scăderea nivelului de încredere din ce în ce mai ridicate , pe măsură ce valoarea creşte până la 20 Km, iar pentru orice valoare peste acesta distanţa este considerată MARE cu nivelul de încredere maxim (egal cu 1).

Pentru funcţiile de apartenenţă din figura 5.7. se poate afirma , de exemplu , că o distanţă având valoarea 5 Km este MICA cu nivelul de încredere ( valoarea funcţiei de apartenenţă ) mMICA (5)=0,54 , este şi MEDIE cu nivelul de încredere mMEDIE (5)=0,44 şi este MARE cu nivelul de încredere zero. Numărul atributelor unei variabile lingvistice şi funcţiile lor de apartenenţă depind de natura aplicaţiei.

În concret , în conducerea automată a proceselor conduse , în procesul de fuzzificare a informaţiei ferme apar următoarele corespondenţe :

-variabilă lingvistică = mărime fizică;-termen lingvistic = descriptorul vag aferent unor subdomenii de valori ale mărimii fizice.

Prin fuzzificarea informaţiei ferme se defineşte aparteneţa valorii ferme x0 din mulţimea de bază X (variabila lingvistică la unul sau mai mulţi termeni lingvistici (mulţimea vagă µ 1 , µ2,…)definiţi în prealabil aşa cum s-a procedat în exemplul anterior.În procesul de fuzificare a unei informaţii ferme considerată mărime de intrare într-un regulator fuzzy se parcurg următoarele etape:

- se defineşte mulţimea de bază care caracterizează variabila lingvistică aferentă informaţiei primare;

- se definesc termenii lingvistici prin care se doreşte a fi caracterizată vag informaţia fermă; acest lucru presupune o primă definire a funcţiei de apartenenţă µi , i=1,n (această primă definire poate fi apoi reconsiderată);

- se determină gradele de aparteneţă a valorii ferme la termenii lingvistici şi se construieşte n-uplul aferent.

Reprezentarea analitică a informaţiei ferme xo , xo ∈ X , fuzzificate va fi notată (de exmplu) cu x*şi caracterizată în forma: x*= µ1(xo),µ2(xo) ,…,µn(xo), în care : µi(xo) , i=1,n , reprezintă gradele de apartenenţă a valorii ferme x o, la termenii lingvistici µi.Din punct de vedere al conducerii automate sunt valabile următoarele două observaţii generale privind alocarea termenilor lingvistici:

-numărul termenilor lingvistici definiţi pe domeniul de bază este obişnuit 2 (3) ….5 (7) ; adeseori acest număr este impar pentru a permite simetrizarea caracterizării în raport cu valoarea 0 (de observat că aspectul este obligatoriu dacă variabila lingvistică în cauză este eroarea de reglare) ; un numă sporit de termeni lingvistici complică prelucrarea ulterioară a informaţiei vagi;

-pentru funcţia de aparteneţă se alege de regulă (cel puţin la alegerea iniţială) forma triunghiulară , dreptunghiulară sau trapezoidală.

Alegerea formei funcţiei de apartenenţă şi repartizarea diferiţilor termeni lingvistici pe domeniul de bază va depinde însă de caracterul variabilei lingvistice în cauză ; de intrare – pentru cazul fuzzificării , sau de ieşire – pentru cazul defuzzificării .

5.2.3.Implicaţii pentru logica fuzzy

În logica fuzzy , implicaţia este o operaţie de compunere a formulelor ( variabilelor ) fuzzy , în sensul corelării a două categorii de evenimente , denumite premise , respectiv consecinţe . Implicaţia fuzzy este similară , dar nu corespunde pe deplin compunerii funcţiilor din cazul determinist şi se referă la evaluarea gradelor lingvistice ale unei submulţimi fuzzy Q, care este consecinţa logică sau funcţională a unei submulţimi fuzzy P. Rezultatul unei implicaţii fuzzy este de asemenea , o submulţime fuzzy notată Q,PQ| →≡ ., care are aceleaşi grade lingvistice ca şi Q, dar funcţiile ei de apartenenţă ce exprimă gradul de adevăr A(Q|) = A(P→Q), rezultă în urma unor calcule algebrice efectuate asupra valorii funcţiilor de apartenenţă corespunzătoare gradelor lingvistice ce compun implicaţia fuzzy. Prin urmare considerăm formulele fuzzy:P : x este MARE, Q : y este MIC,Unde x, respectiv y, reprezintă variabila deterministă aparţinând universului de discurs al submulţimii P, respectiv Q, se exprimă implicaţia fuzyy:Q| ≡ P → Q ⇔ DACĂ x este MARE , ATUNCI y este MIC

PREMISĂ CONSECINŢĂ

Considerând m P (x), respectiv m Q (y) , funcţiile de apartenenţă ce caracterizează mulţimile fuzzy P şi Q , se pune problema determinării funcţiei de apartenenţă

y)(x,QP

my)(x,Q

m | →= . Cele mai utilizate definiţii ale implicaţiei fuzzy sunt:a) implicaţia în sens Mamdani:

(y)]Q

m(x),p

MIN[my)(x,QP

m =→

b) implicaţia booleană:

] (y)Q

m(x),P

m MAX[(y)Q

m(x),p

mMAX[1y)(x,QP

m =−=→c) implicaţia Zadeh I:

(y)]Q

m(x)p

m -1,1 MIN[y)(x,QP

m +=→

d) implicaţia Zadeh II:(x)

pm-(y)],1

Qm(x),

pMINMAX[my)(x,

QPm =→

e) implicaţia Larsen:(y)

Qm(x)

pmy)(x,

QPm ×=→

5.2.4.Operatori pentru logica fuzzy

Combinarea mai multor variabile fuzzy , în conformitate cu o anumită logică , conduce la apariţia unor expresii fuzzy cu mai mulţi termeni , legaţi prin operaţii logice elementare (ŞI, SAU, NU).

Aşa cum s-a arătat deja , gradele de apartenenţă fuzzy pot fi combinate cu ajutorul operatorilor de compunere fuzzy , propuşi de Zadeh:mA ŞI m B = min (mA, m B);mA SAU m B = max (mA, m B);NU m A = 1- mA .

Dezvoltarea impetuoasă a aplicaţiilor practice în domeniul sistemelor fuzzy a condus la găsirea altor operatori , similari celor utilizaţi la combinarea probabilităţilor :operatorul “produs”: mA ŞI m B = mA•m B;operatorul “sumă”: mA SAU m B = mA + m B - mA•m B.Ron Yager, profesor la Iona College , SUA propune de asemenea , o pereche de operatori , având forma următoare:mA ŞI m B = 1 – min[1,((1- mA)ω + (1 - m B)ω )1/ω];mA SAU m B = min[1, (mA

ω + m Bω)1/ω],

în care 0 < ω < ∞ . Uzual în aplicaţii se adoptă ω = 2, obţinându-se perechea de operatori tip Yeager – 2:mA ŞI m B = 1 – min[1,((1- mA)2 + (1 - m B)2 )1/2];mA SAU m B = min[1, (mA

2 + m B2)1/2],

În figura 5.8. considerând funcţiile de apartenenţă mA , respectiv m B , de formă liniară , se arată comparativ rezultatul aplicării operatorilor enunţaţi mai sus.ţi mai sus.

Pentru a facilita modificările care se impun asupra funcţiilor de apartenenţă în diferite aplicaţii , au fost creaţi de asemenea , doi operatori singulari , unici în logica fuzzy , denumiţi “concentrator” , respectiv “dilatator”. Un operator de concentrare comprimă funcţia de apartenenţă , iar un operator de dilatare realizează o expandare a acesteia . Majoritatea lucrărilor în domeniu definesc principalii operatori de acest tip sub forma:CONC(m) = m2 ; DIL(m) = m1/2.

5.2.5.Baza de reguli pentru inferenţe fuzzy

Un sistem fuzzy se defineşte în general , ca fiind în general o relaţie funcţională trasată între două spaţii multidimensionale unitare: S : I n → I p ,în care spaţiul n – dimensional unitar I n cuprinde toate cele n submulţimi fuzzy ale variabilelor de intrare , iar spaţiul p – dimensional I p conţine toate cele p submulţimi fuzzy ale variabilelor de ieşire. Această asociere între spaţii de mulţimi fuzzy este consacrată sub denumirea prelucrată din limba engleză de Baze de Reguli Fuzzy (BRF).

Practic orice sistem poate fi considerat o relaţie intrare – ieşire al cărei răspuns se reprezintă ca o funcţie generică ieşiri = f(intrări). Această funcţie constituie fundamentul matematic de bază al sistemelor , care în general reprezintă o exprimare matematică a modului de lucru al acestora. Un sistem bazat pe reguli fuzzy ppoate aproxima orice funcţie continuă cu oricâte variabile , cu o precizie oricât de bună .

Consistenţa unei BRF poate fi dedusă pe baza datelor privind punctele de funcţionare a sistemului . Aceste date sunt accesibile prin monitorizarea sistemului existent în funcţiune , a unuia similar sau pe baza unui model analitic. Sistemele fuzzy prezintă o strânsă interdependenţă între funcţiile de apartenenţă ale variabilelor din BRF. Regulile fuzzy se definesc în general în funcţie de gradul de suprapunere a domeniilor fuzzy intrare – ieşire peste câmpul punctelor de funcţionare ale sistemului.

Prin urmare o BRF se construieşte prin punerea în legătură (corelare) logică a mulţimilor fuzzy asociate variabilelor de ieşire , cu mulţimile fuzzy ale variabilelor de intrare . În acest scop se porneşte de la strategia generală de descriere a procesului , care eventual se defalcă în substrategii specifice anumitor etape de control . Un rol important îl au aici metodele euristice şi tehnicile ingineriei de cunoştinţε .

Strategia de control se exprimă în termeni lingvistici pe baza cărora se formează inferenţele logice ce vor constitui regulile BRF (asocierile logice). Inferenţa este operaţia logică care permite trecerea de la premisă la concluzie, pe baza raţionamentelor formale. Schema generală a inferenţei este urmoarea:

INFERENŢĂ

Practic o regulă apare atunci cand există o premisă cu privire la un eveniment , care implică sau atrage o anumită consecinţă logică (concluzie). În general , orice proces fizic poate fi modelat pe baza descrierii sale prin reguli . Această presupune stabilirea unui set de premise şi identificarea mulţimii consecinţelor (practic se realizează o identificare a unei mulţimi de relaţii de tip cauză - efect ). Prin urmare o regulă se formulează prin compunerea premiselor P i

Fig. 5.8(I=1,…,n) cu ajutorul operatorilor logici consacraţi ( notaţi generic cu simbolul ⊗) şi echivalarea rezultatului cu consecinţa C, adică:

PREMISE

C.n

P...2

P1

P ⇒⊗⊗⊗

În practică se recurge la reprezentarea grafică a BRF sub formă de tablou (table) de unde şi sintagma “look at table” , asociată principiului de lucru al sistemelor fuzzy .

5.2.6. Inferenţa vagă.Evaluarea regulilor de tipul DACĂ…ATUNCI…

Din cele prezentate se poate deduce faptul că implicaţia vagă este bazată pe regula:DACA (premiza) ATUNCI (concluzia)

şi poate constitui suport informaţional pentru definirea modului de acţiune a regulatorelor fuzzy; astfel:

-premiza – va conţine proprietatea observată, de exemplu eroarea , derivata erorii sau/şi alte mărimi care caracterizează evoluţia procesului condus;

-concluzia – va conţine proprietatea afirmată, în speţă comanda.De observat însă că în acest caz, pe de o parte , o singură regulă nu este suficientă iar pe

de altă parte , concluzia obţinută este încă sub formă vagă practic greu interpretabilă de către un element de execuţie. În consecinţă, ţinând seama de funcţia de bază a regulatorului, în cadrul unui sistem de reglare automată, apar ca imediate următoarele aspecte:

-numărul termenilor lingvistici în cadrul unei reguli va fi mai mare decât 1;-numărul de reguli ce formează baza de reguli trebuie să fie mai mare decât 1.Interferenţa vagă reprezintă algoritmul după care se evaluează implicaţiile de forma

DACA (premiza) ATUNCI (concluzia) reunite într-o bază de reguli. În evaluarea inferenţei se pot utiliza compoziţiile MAX – MIN, MAX – PROD sau SUM-PROD.

Pentru înţelegerea mecanismului de inferenţă ce stă la baza unui regulator fuzzy se consideră mai multe cazuri semnificative; în prealabil se mai face precizarea că se acceptă că mărimile de intrare ferme (mărimile primare ) au fost fuzzificate, în mecanismul de inferenţă participând forma fuzzificată .

a).Cazul “o intrare – o ieşire – o regulă” (cazul trivial).Marimile caracteristice posibile sunt :-intrare: eroare de reglare e , cu un singur termen lingvistic, µE1 (e) ,

e∈E;-ieşire: comanda u, cu un singur termen lingvistic, µU1(u), u∈URegula după care operează regulatorul este:DACĂ (e=E1) ATUNCI (u=U1).

Fig. 5.9

Fiind vorba de o intrare , o ieşire şi o regulă ,schema de evaluare este simplă şi poate fi caracterizată în forma:

în care:µE1(e0) reprezintă gradul de apartenenţă a valorii ferme e0 la termenul lingvistic E1 iar µ0

U1(u) prin care caracterizează gradul de realizare a concluziei.Cazul “o intrare - o ieşire – o regulă” poate sta la baza unui regulator simplu (cu

importanţă practică nesemnificativă).b).Cazul “o intrare - o ieşire - mai multe reguli”.Cazul presupune existenţa mai multor termeni lingvistici în variabilele lingvistice de

intrare şi de ieşire.Mărimile caracteristice sunt:-intrare: eroarea e cu termenii lingvistici E1,E2,…,Em, cu funcţia de apartenenţă

µEi(e),i=1,m,e∈E;-ieşire:comanda u cu termenii lingvistici U1,U2,…,Un, cu funcţia de apartenenţă

µUj(u),j=1,n,u∈U.Baza de reguli este compusă din m reguli de forma:

…Rj:DACĂ (e=Ej) ATUNCI (u=Uj) SAU…cu i=1,m şi j oarecare.Din start se pot face două precizări:

-o aceeaşi valoare fermă a intrării e0∈E va putea aparţine simultan la mai mulţi termeni lingvistici, ceea ce va determina ca numărul regulilor activate simultan să fie de regulă mai mare decât 1;

-regulile care compun baza de reguli vor trebui conectate/cuplate cu un anumit conector: în acest caz se impune amendamentul conform căruia “regulile Rj sunt cuplate prin conectorul lingvistic SAU în forma R1∪R2∪…∪Rm”.

În consecinţă pentru stabilirea concluziei vagi sub forma funcţiei de apartenenţă µ0U(u) se

poate utiliza compoziţia MAX-MIN în forma:

(u)))jU

μ),0

(eiE

MAX(MIN(μ(u)0U

μ =

cu indicii i şi j corespunzători tuturor termenilor lingvistici de intrare,respectiv tuturor regulilor activate.

Prin operatorul MIN se evaluează în parte fiecare regulă activată, iar prin operatorul MAX se evaluează compunerea prin conectorul SAU a tuturor regulilor activate.

c).Cazul”mai multe intrări – o ieşire – mai multe reguli”.Corespunde celei mai “reale” situaţii după care operează un regulator fuzzy, când

numărul mărimilor de intrare în regulator este mai mare decât 1. Aceste mărimi vor putea fi de exemplu:

-o anumită mărime – în principal eroarea de reglare – şi eventual componente ale acesteia prelucrate, în prealabil, “dinamic” (derivare, integrare);

-diferite mărimi ale procesului condus, una dintre mărimi este însă eroarea de reglare.Se face observaţia că în cadrul premizei afirmaţiile referitoare la diferitele variabile

lingvistice de intrare trebuie să fie conectate prin conectorii ŞI eventual SAU;aceste conexiuni se pot evalua cu operatorii deja amintiţi (MIN, MAX, PROD, SUM).Obisnuit conectorii utilizaţi în premiză sunt conectorii ŞI. Prezenţa conectorilor SAU în premiză se poate trata principial în două moduri:

= (u)

1Uμ),0(e1EμMIN(u)0

1Uμ

-fiecare conector SAU conduce la scindarea regulii de bază, urmând ca regulile astfel formate – şi care au aceiaşi concluzie – să fie conectate prin conectorul SAU;

-evaluarea unui conector SAU în cadrul premizei va solicita utilizarea unui operator de evaluare adecvat (MAX , SUM).

Fie variabilele lingvistice de intrare e1, e2, …, ei,…,e r , i= 1,r , cu termenii lingvistici aferenţi Eiji cu i=1, r şi jI =1,ni , cu n i- numărul termenilor lingvistici definiţi pentru variabilele lingvistice e i, cu i=1,r , µEij .Fie pentru simplificarea scrierii acelaşi număr de termeni lingvistici pentru toate variabilele lingvistice de intrare, adică n i = n, ∀ i=1,r .

În consecinţă , vor fi definiţi în total (n×r) termeni lingvistici aferenţi celor r variabile lingvistice de intrare.

Fie variabila lingvistică de ieşire comanda u cu termenii lingvistici Uk, k=1,m. µUk:U [0,1] .Atunci baza de reguli are următoarea structură:

R 1: DACA (e1 = E11 ŞI…ŞI e r = E r1) ATUNCI (u=U 1)SAU…R j: DACA (e1 = E1j ŞI…ŞI e r = E rj) ATUNCI (u=U j)SAU…R m: DACA (e1 = E1n ŞI…ŞI e r = E rn) ATUNCI (u=U m)SAU.

În acest caz numărul total de reguli m poate fi egalat cu n r (bază de reguli completă).În cazul unui număr relativ de intrări (2,3,4) baza de reguli poate fi sintetizată în formă

tabelară (tablou sau tabel de inferenţă sau tabel de decizie); pentru exemplificare, în cazul r=2, (e1,e2 ) şi m= 1(u) , când pentru fiecare variabilă lingvistică de intrare şi de ieşire se definesc câte trei termeni lingvistici ( NM – negativ mare, ZE – zero, PM – pozitiv marte ) , baza de reguli p[oate fi sintetizată prin tabloul următor:U e1

TL NM ZE PMNM R1

ZER4

PM

R7

PMe2 ZE R2

NMR5

ZER8

PMPM R3

NMR6

NMR9

ZE

Astfel de tabele sunt cunoscute şi sub denumirea de tabele Mac Vicar–Whelan.Presupunând că valorile actuale (ferme) ale intrărilor e 10, e 20,…,ero, atunci schema de

interferenţă pentru evaluarea bazei de reguli va fi redată de următoarele relaţii

Şi:

Uucu (u)),0

kU

μ , ... (u),0U2

μ(u),0

1U

MAX(μ(u)0

RezU

μ ∈=

.........

(u)),1

Uμ),

ro(e

r1E

μ),...,10

(e11

Eμ MIN((u)0

1U

μ:1

R =

..........

(u)),j

Uμ),

ro(e

rjE

μ),...,10

(e1j

Eμ MIN((u)0

jU

μ:j

R = (u)),m

Uμ),

ro(e

rnE

μ),...,10

(e1n

Eμ MIN((u)0

kU

μ:m

R =

5.2.7.Defuzzificarea informaţiei vagi.

Rezultatul inferenţei vagi este o informaţie vagă sub forma funcţieie de apartenenţă “rezultat” µo

Rez , referitoare la mărimea de ieşire (comanda u) . Prin defuzzificare se înţelege operaţia de obţinere a unei valori ferme( “crisp”) pentru

ieşire pe baza funcţieie de apartenenţă “rezultat” al inferenţei vagi:U

0ucu

0u(u)0

Rezμ ∈→

în care U reprezintă domeniul valorilor pentru mărimea de ieşire.Există numeroase metode de defuzzificare, din cadrul cărora, în domeniul conducerii

automate mai frecvent utilizate sunt următoarele:a)metoda eşantionului maxim sau metoda valorii maxime;b)metoda maximelor mediate;c)metoda cumulării efectelor sau metoda incrementală;d)metoda centrului de greutate (în diferite variante).Utilizarea uneia sau alteia din metode va depinde de mai mulţi factori din cadrul cărora se

amintesc:-viteza de procesare a informaţiei (raportată la perioada de eşantionare T e ) astfel încât

prelucrarea în timp real să fie posibilă;-metoda de procesare a informaţiei în cadrul utilizării unor procesoare de semnal;-construcţia şi funcţionarea elementului de execuţie cuplat la regulator , etc.

a)Metoda eşantionului maxim sau metoda valorii maxime .Această metodă prezintă particularitatea că din toate regulile activate în procesul de inferenţă sub acţiunea valorii ferme a intrărilor se selectează doar regula cu gradul de realizare maxim urmând ca aceasta prin termenul lingvistic de ieşire şăi funcţia de apartenenţă activată , să determine valoarea fermă a ieşirii.Situaţia cea mai avantajoasă a metodei apare atunci când elementul de execuţie prezintă un număr finit de poziţii ferme ce pot fi asociate la termenii lingvistici de tip singleton ai variabilei logice “comanda regulatorului”.

Transpunerea în practică a metodei atât în varianta soft cât şi în varianta hardware este simplă.

Dacă domeniul U este compact , reducerea acestuia prin metoda maximului la un domeniu discret poate fi un dezavantaj mare din punct de vedere al proprietăţilor sistemului de reglare automat ; astfel , valorile discrete ale comenzii ferme pot introduce în proces oscilaţii , adeseori inadmisibile. Se crează de fapt regulatorul multipoziţional la ieşire menţionat.

b)Metoda maximelor mediate. Principial metoda este o extindere a metodei eşantionului maxim şi prezintă particularitatea că la activarea mai multor reguli /termeni lingvistici ai ieşirii apar două situaţii:

-la grade de realizare diferite ale diferiţilor termeni lingvistici se activează termenul lingvistic al ieşirii cu gradul de realizare maxim ;

-la grade de realizare egale ale diferiţilor termeni lingvistici se calculează media valorilor ferme aferente termenilor lingvistici ai ieşirii, activaţi în procesul de inferenţă cu utilizarea relaţiei:

∑=

=r

1i0i

ur

10

u

Şi în acest caz comanda şi corespunzător mărimea de execuţie vor fi caracterizate printr-un număr finit de valori ferme ; numărul de termeni lingvistici aferenţi comenzii este mai redus decât numărul de valori ferme ale comenzii.

Dezavantajul esenţial al metodei apare din nou atunci când U este un domeniu compact din care nu vor fi activate decât anumite valori discrete , aceasta ca urmare a neponderării gradelor de realizare ale diferitelor reguli .

c)Metoda cumulării efectelor (metoda incrementală). La baza aplicării acestei metode stau următoarele principii:

-termenii lingvistici aferenţi variabilelor lingvistice de intrare se aleg astfel încât de fiecare dată la o valoare fermă a intrării să fie activată o singură regulă ;

-termenii lingvistici aferenţi variabilelor lingvistice de ieşire sunt de tip singleton şi fiecărui termen lingvistic i se asociază un increment al valorii ferme a comenzii care – dependent de istoria anterioară – se adaugă sau se scade la valoarea fermă a comenzii:

u k+1 = u k ± |∆u i| k. incrementul din concluzia regulii activate Rj.

vechea valoare a comenzii ( momentul k) noua valoare a comenzii (momentul k+1).

Atingerea valorii ferme “de capăt” conduce la necesitatea ca decrementarea / incrementarea în continuare a comenzii să fie blocată la valoarea de capăt , atâta timp cât nu este necesară schimbarea de semn .

d)Metoda centrului de greutate Potrivit acestei metode , mărimea semnificativă a variabilei de ieşire u k se calculează ca

fiind valoarea abscisei centrului de greutate yCG al domeniului plan , desemnat de mulţimea fuzzy µ0

Urez pe axa reală y , ce defineşte domeniul de definiţie al variabilei de ieşire respective , adică :

∫

∫

=

u(u)du0

Rezμ

u(u)du0

Rezμu

ku

Pentru cazul discret , considerând domeniul de definiţie U al variabilei de ieşire eşantionat în s valori U = u1,…,us,se poate scrie:

∑

∑ ⋅=

i

0Ui

μ

i0i

u0Ui

μ

ku

Calculul efectiv al centrului de greutate al figurilor plane rezultate prin suprapunerea diverselor mulţimi fuzzy ridică unele probleme. În general se apelează la varianta discretă , pentru care se aplică metode consacrate de integrare numerică . Totuşi în cazul unor modele Fuzzy cu mai multe variabile , care lucrează cu un număr mare de reguli şi/sau cu funcţii de apartenenţă având forme mai complicate , procesul devine laborios. Urmărind reducerea timpului de calcul , simplificarea algoritmului nimeric , precum şi posibilitatea implementării hardware în circuite de defuzificare , se va folosi o metodă de defuzificare discretă . Potrivit acesteia , dacă mulţimile fuzzy de ieşire sunt determinate prin metoda de inferenţă cu corelare prin produs , atunci se poate calcula centrul de greutate global pe baza centrelor de greutate locale ale fiecărei reguli i din BRF, astfel:

∑=

⋅

∑=

⋅⋅=

r

1ii

Ii

ω

r

1ii

Ii

ci

ω

ku

unde: -ωi reprezintă valoarea scalară de activare a regulii i din cadrul BRF,-Ii reprezintă aria suprafeţei;-ci reprezintă ordonata centrului de greutate al mulţimii fuzzy de ieşire corespunzătoare

regulii i.

5.3.Structura unui sistem de conducere automată bazată pe utilizarea unui regulator fuzzy

5.3.1.Structura sistemului de conducere automată.

Structura principală a unui sistem de reglare automată cu regulator fuzzy cu o mărime de comandă u este prezentată în figura 5.10 şi evidenţiază în raport cu structura de sistem de reglare automată din figura5. 11 urmatoarele particularităţi:-una,în structura sistemului de reglare automat, care poate fi considerat un sistem de reglare automat cu conexiuni multiple;

-alta în structura regulatorului fuzzy care poate fi cu mai multe intrări (eventual şi mai multe ieşiri).

Corespunzător,aceste particularităţi îşi răsfrâng efectele în:-proiectarea structurii sistemului de reglare automată cu regulator fuzzy şi a regulatorului

fuzzy;-implementarea, testarea şi adaptarea proprietăţilor regulatorului fuzzy astfel încât

sistemul de reglare automată cu regulator fuzzy să asigure proprietăţi dorite.

Fig. 5.10 Fig.5.11

Mărimile care apar în schema bloc din figurile 5.10 şi 5.11 au semnificaţia cunoscută (este vorba despre w, v, z, u) ,iar ym reprezintă vectorul mărimilor procesului condus după care se asigură reacţii în vederea realizării conducerii şi care va conţine:

-ieşirea de măsură y; obişnuit y(t) = kM* z(t);-alte mărimi interioare procesului condus şi a căror evoluţie poate fi concludentă în

conducere.De remarcat este faptul că numărul mărimilor de comandă u poate fi mai mare decât 1 ,

este însă obligatoriu ca fiecare comandă (ieşire a regulatorului fuzzy ) să fie prezentă în concluziile bazei de reguli şi să acţioneze asupra unui element de execuţie .

Configuraţia principală a unui regulator fuzzy cu o ieşire/comandă este prezentată în figura 5.12 şi evidenţiază – prin blocurile marcate – mecanismul de acţiune a unui astfel de regulator; acest mecanism se derulează în următoarele etape:

-etapa de fuzzificare a informaţiei ferme disponibile, referitoare la evoluţia şi – după caz – tendinţele de evoluţie ale mărimilor procesului condus; ca rezultat se obţine informaţia vagă sub forma variabilelor lingvistice, a termenilor lingvistici şi a funcţiilor de apartenenţă aferente;

-etapa de inferenţă prin care, informaţia sub formă vagă referitoare la intrări este prelucrată pe baza setului de reguli ( bază de reguli) de forma:…SAURj : DACĂ (premiza ↔ intrări) ATUNCI (concluzia ↔ ieşiri) SAU…j = 1,2,3,…;ca rezultat se obţine concluzia vagă sub forma comenzii în caracterizarea vagă µ0

Rez(u);-etapa de defuzzificare, adică de conversie a caracterizării vagi a comenzii într-o

formulare fermă, sub forma comenzii u0; această valoare fermă este apoi aplicată elementului de execuţie E din cadrul procesului condus .

Din cele prezentate se observă că principial regulatorul fuzzy astfel constituit este un

Fig. 5.12

regulator fără dinamică, care crează o dependenţă neliniară de tip “proporţional “ a comenzii u funcţie de intrările regulatorului. Dacă însă unele intrări sunt prelucrate dinamic înainte sau după mecanismul de acţiune a regulatorului fuzzy propriu – zis , ansamblul poate “obţine” proprietăţi dinamice, regulatorul fuzzy extins având pe lângă componenta P şi eventuale componente D şi/sau I.

Referitor la natura intrărilor ferme ale regulatorului fuzzy se întâlnesc următoarele două situaţii tipice:

a)intrările în regulatorul fuzzy sunt eroarea de reglare e şi derivatele erorii •••e,e (mai rar)

sau integrala erorii; prin aceste mărimi se pot aprecia tendinţele de evoluţie a procesului condus. În acest caz regulile ce compun baza de reguli vor fi de forma :

Rj: DACA (e =… ŞI e•

= … ) ATUNCI (u = …), SAU …

b)intrările în regulatorul fuzzy sunt eroarea de reglare (explicit sau implicit), (eventual şi

derivatele ei •••e,e ) şi alte mărimi din proces (de regulă mărimi de stare ); mărimile din proces

după care se realizează reacţii trebuie să fie cu dinamică diferită (astfel că într-o eventuală schemă bloc informaţională ele sunt separate de blocuri cu dinamică ).

Prin faptul că evoluţia lui e este uşor de urmărit/interpretat, dezvoltarea primelor tipuri de regulatoare fuzyy este de regulă mai uşoară. Prin faptul că un astfel de regulator poate prelucra suplimentar şi componentele e (derivatele sau integrala erorii de reglare), - calculele se realizează în afara regulatorului propriu-zis – sub o formă sau alta ansamblul obţine proprietăţile dinamice amintite.Mai mult, pe această calese pot elimina şi efectele nedorite de regim staţionar constant, referitoare la eroarea de reglare nenulă şi rejecţia parţială a efectelor perturbaţiilor constante specifice sistemelor de reglare automată cu regulatoare P (fără componentă I).

Pentru înţelegerea completă a acţiunii unui regulator fuzzy, în continuare se aduc câteva precizari suplimentare referitoare la fiecare din modulele de prelucrare vagă din cadrul regulatoarelor fuzzy.

5.3.2. Bază de reguli. Mecanisme de inferenţă

a)Funcţionarea regulatorului fuzzy are la bază setul de reguli de forma:…DACĂ (premiza) ATUNCI (concluzia),…

set de reguli care trebuie să asigure într-o descriere lingvistică funcţionarea regulatorului pe domeniile de bază ale mărimilor de intrare şi de ieşire.

Informaţiile din premiză şi concluzie sunt formulate şi conectate prin descriptorii lingvistici ŞI şi SAU respectiv prin mecanismul de evaluare a concluziei (mecanismul de inferenţă). Regulile bazei de reguli sunt conectate prin intermediul conectorului SAU.

Conectarea ŞI sau/şi SAU a informaţiilor din premiză şi din concluzie depind esnţial de funcţionalitatea şi de proprietăţile procesului şi de modul de caracterizare a “experienţei în conducerea procesului”.

Mărimea/dimensiunea bazei de reguli depinde de numărul variabilelor lingvistice de intrare şi de ieşire, de numărul de termeni lingvistici utilizaţi în caracterizarea fiecărei variabile lingvistice şi de conectorii utilizaţi în premiză şi în concluzie.Baza de reguli poate fi:

-completă, când fiecare situaţie fermă (e0) este acoperită de reguli;-incompletă, când situaţii ferme imposibile sau foarte puţin probabile (nesemnificative)

pentru funcţionarea procesului condus nu sunt definite sau lăsate spre “rezolvare” unor reguli adiacente.

Se pot scrie relaţii analitice care precizează numărul de reguli nR ce formeazăo bază de reguli completă. Nnumărul de reguli este dat de următoarea relaţie:

∏=

=n

1νν

nR

n ,

în care nν reprezintă numărul termenilor lingvistici pentru fiecare variabilă lingvistică de intrare.După caz, baza de reguli poate fi descrisă/explicitată în mai multe forme care vor fi

exemplificate în continuare:(1)Descrierea simbolică de forma:…SAURν:DACĂ (premiză) ATUNCI (concluzie), ν=1, nν ,SAU…Descrierea este de regulă clară şi compactă chiar în condiţiile unei baze mari (evident

ordonat scrise); scrierea ocupă un spaţiu relativ mare.(2)Descrierea prin matricea/tabloul de inferenţă(MacVicar – Whelans) sau tabelul de

decizie, tabelul este uşor de formulat şi de intocmit numai în cazul unui număr redus de variabile lingvistice de intrare nI=1;2;…;4; pentru nI>2 tabloul devine un “tablou de tablouri de inferenţă” care pentru nI>4 devine practic inoperant. Această manieră de descriere prezintă următoarele avantaje:

-permite aplicarea uşoară a “lupei de inferenţă” pentru zonele în care, prin extinderea numărului de termeni lingvistici, este necesară o creştere a rezoluţiei prelucrării;

-permite enunţarea uşoară şi sistematică a unei baze de reguli incomplete.La descrierea bazei de reguli prin tabloul de inferenţă regulile trebuie să fie omogene (de

aceeaşi formă). Această formă de tablou permite o foarte bună gestionare a situaţiilor posibile, iar eventualele reguli nedefinite vor obţine în coloana de ieşire aferentă --- sau spaţiu.

b)Mecanismul de inferenţă.În realizarea regulatorului fuzzy pentru evaluarea bazei de reguli conectorii lingvistici Şi şi SAU pot fi evaluaţi prin diferiţi operatori vagi.Situaţiile principale de utilizare a conectorilor lingvistici:

-conectorul ŞI:- în interiorul premizei pentru intersecţia condiţiilor de funcţionare;-la evaluarea regulii (concluzionare);-conectorul SAU:- în interiorul premizei pentru reuniunea condiţiilor de funcţionare;- la cuplarea regulilor în cadrul bazei de reguli (reuniunea tuturor condiţiilor de funcţionare).

Metodele de inferenţă preferate în “uzinarea” regulatorului fuzzy: MAX – MIN, MAX – PROD, SUM – PROD.

Pentru prezentarea regulilor se consideră situaţia unui regulator fuzzy cu două intrări (două variabile lingvistice) cu câte trei termeni lingvistici

(NM – nagativ mare, ZE – zero, PM – pozitiv mare) şi o ieşire (o variabilă lingvistică) cu trei termeni lingvistici (NM – nagativ mare, ZE – zero, PM – pozitiv mare), figura 5.13. Pentru crearea unei varietăţi mai mari de situaţii de evaluare, regulile considerate nu vor fi omogene, fapt pentru care ele trebuie enunţate distinct.

Se consideră desprinse din baza de reguli următoarele două reguli (cu structura diferită a premizelor):

Rj:DACĂ (e1=ZE ŞI e2=PM) ATUNCI (u=ZE) SAURj:DACĂ (e1=NM ŞI e2=ZE) ATUNCI (u=PM)Cele două reguli sunt activate de următoarele valori ferme ale intrărilor: e10 ,e20.

Fig.5.13

•=

−==

e2

e

ywe1

e

(1)Inferenţa MAX – MIN . Evaluarea bazei de reguli se face utilizândurmătorii operatori:

-conectori în premiză: ŞI → MIN , SAU → MAX ; -concluzionare: MIN;-conectarea regulilor: MAX .Exemplificarea grafică a prelucrării :

Scrierea analitică a prelucrării este:

(u)).0UPM

μ(u),0UZE

μ MAX((u)0URez

μ

(u)),UPM

μ)),20

(eE2ZE

μ),10

(eE1NM

MIN(MAX(μ(u)0UPM

μ

(u)),UZE

μ)),20

(eE2PM

μ),10

(eE1ZE

MIN(MIN(μ(u)0UZE

μ

=

=

=

(2) Inferenţ MAX – PROD ( varianta de tratare prezentată este cea considerată clasică; uneori forma explicită este denumită şi inferenţa MAX – PROD – MIN ) . Evaluarea bazei de reguli se face utilizand următorii operatori:

-conectori în premiză: ŞI → MIN , SAU → MAX ;-concluzionare: PROD asupra termenului lingvistic de ieşire activat;-conectarea regulilor: MAX.

Exemplificarea grafică a prelucrării:

Scrierea analitică aferentă este:

(u)).0UPM

μ(u),0UZE

μ MAX((u)0URez

μ

(u)),UPM

μ)),20

(eE2ZE

μ),10

(eE1NM

PROD(MAX(μ(u)0UPM

μ

(u)),UZE

μ)),20

(eE2PM

μ),10

(eE1ZE

PROD(MIN(μ(u)0UZE

μ

=

=

=

(3)Inferenţa SUM – PROD.Evaluarea bazei de reguli se face utilizând următorii

operatori:-conectori în premiză:ŞI → PROD, SAU → SUM;-concluzionare:PROD asupra termenului lingvistic de ieşire activat;-conectarea regulilor:SUM.Exemplificarea grafică a prelucrării:

Scrierea analitică aferentă este:

(u)).0UPM

μ(u),0UZE

μ SUM((u)0URez

μ

(u)),UPM

μ)),20

(eE2ZE

μ),10

(eE1NM

μPROD(PROD((u)0UPM

μ

(u)),UZE

μ)),20

(eE2PM

μ),10

(eE1ZE

μPROD(PROD((u)0UZE

μ

=

=

=

(4)Inferenţa cu corelare prin produs. La oricare moment de timp t*, algoritmul fuzzy activează regulile din cadrul BRF (ca un proces paralel). Ieşirea fiecărei reguli este tot o valoare fuzzy , care rezultă pe baza operaţiilor fundamentale din logica fuzzy. Astfel fiecare regulă din cadrul BRF reprezintă o expresie logică construită cu operatorul de conjuncţie ŞI . Prin urmare se aplică operaţia de intersecţie a mulţimilor fuzzy , în urma căreia la ieşire se obţine un minim punctual al funcţiilor de apartenenţă de pe întregul domeniu de definiţie al variabilelor de ieşire. Vom constata că de cele mai multe ori un număr mare de reguli din cadrul BRF nu au

cunsistenţă la ieşire (datorită faptului că valorile curente ale variabilelor de intrare nu aparţin anumitor mulţimi fuzzy) şi ca atare, valorile gradelor de apartenenţă la acestea vor fi egale cu zero.

Pentru înţelegerea corectă a acestei afirmaţii considerăm ipotetic o regulă dintr-o BRF de forma:

R1: DACĂ (e1 = NMa) ŞI (e2 = Nma) ŞI (e3 = Mi) ATUNCI ( u = NMa).

Aceasta este echivalentă cu inferenţa:ωNMa = MIN (0.4 , 0 , 0 ) = 0Deci aceasta este o regulă care nu se va folosi , deoarece valoarea scalară de activare a mulţimii fuzzy Nma a variabilei de ieşire este nulă .În continuare reţinem doar regulile utile (semnificative) cum ar fi:

R1: DACĂ (e1 = NMa) ŞI (e2 =PMi) ŞI (e3 = Me) ATUNCI ( u = PMa).

Care este echivalentă cu inferenţa:ωPMa = MIN (0.40 , 0.81 , 0.58 ) = 0.40.În procesul de inferenţă regulile utilizate pot să aibă drept rezultat aceeaşi mulţime fuzzy de ieşire , în general activată cu coeficienţi ωi diferiţi. Prin urmare , operaţia de inferare se definitivează la nivelul întregii BRF printr-o tehnică de compunere (combinare) a rezultatelor inferenţelor elementare (de la fiecare regulă I activată).Spre exemplu se se poate adopta metoda de compunere cunoscută sub numele de MAX potrivit căreia pentru regulile care au aceiaşi mulţime fuzzy de ieşire , aceasta este activată (ponderată ) cu valoarea maximă a coeficientului ωi .Astfel pentru două reguli de forma:R1: DACĂ (e1 = NMa) ŞI (e2 =PMi) ŞI (e3 = Me) ATUNCI ( u = PMa).R2: DACĂ (e1 = NMi) ŞI (e2 =PMi) ŞI (e3 = Me) ATUNCI ( u = PMa).pentru care avem ponderile:ωPMa = MIN (0.40 , 0.81 , 0.58 ) = 0.40.ωPMa = MIN (0.80 , 0.81 , 0.58 ) = 0.58.mulţimea fuzzy de ieşire PMa va fi ponderată cu coeficientul ωPMa, calculat astfel: ωPMa = MAX (ω1 , ω2 ) = MAX(0.40,0.58) = 0.58Forma fiecărei mulţimi fuzzy activate , de pe întregul univers de discurs al variabilelor de ieşire , depinde de schema de codificare folosită .Conform procedeului de codificare cu corelare prin produs , ieşirile fuzzy ale sistemului rezultă prin multiplicarea funcţiilor de apartenenţă ale variabilelor de ieşire , cu valoarea scalară de activare a regulii i respective.Prin urmare , , valoarea unei variabile de ieşire este reprezentată de o mulţime fuzzy O, construită pe baza combinării tuturor submulţimilor fuzzy mi , obţinute pe domeniul de definiţie al variabilei respective , la parcurgerea întregii BRF (i=1,…,r) aplicând procedeul de codificare adoptat , respectiv corelarea prin produs , astfel:

∑=

=r

1ii

mi

ωO

în care ωi ≥ 0 reprezintă ponderile ce sintetizează credibilitatea (verosimilitatea ) sau tăria regulii i din BRF.

5.4.Sistem de reglare Fuzzy a turatiei unui motor de curent continuu.

5.4.1Modelul matematic al motorului de curent continuu

Motoarele electrice comandate cu elemente de execuţie , realizate cu convertoare cu tiristoare , reprezintă sisteme multivariabile , neliniare şi variante a căror identificare este îngreunată în primul rând de particularităţile elementelor de execuţie .

Utilizarea convertoarelor cu tiristoare ca element de execuţie pentru comanda motoarelor electrice , conferă sistemului de reglare automată a acţionărilor electrice un caracter hibrid întrucât ansamblul format din elemente de execuţie şi motor electric poate fi considerat ca generator de impulsuri cu durată , amplitudine şi formă variabile.

Pe lângă neliniarităţile specifice ale convertorului cu tiristoare , pentru caracterizarea globală a funcţionării ansamblului convertor –motor se impune a lua în considerare neliniarităţile specifice motorului de c.csau c.a determinate de saturaţia circuitelor magnetice , reacţia indusului, etc.

Motorul de curent continuu poate fi comandat prin variaţia curentului de excitaţie menţinând constant curentul în indusul motorului şi menţinând constant curentul de excitaţie. Ultima metodă este utilizată de obicei în sistemele de reglare automată , pentru că pierderile de energie sunt mai mici în acest caz şi mai ales că stabilitatea unui motor în care se variază curentul de excitaţie este nesatisfăcătoare.

Astfel de motoare sunt foarte mult utilizate în sistemele de reglare în care parametrul reglat este o turaţie sau un cuplu . Puterea lor variază la aproximativ 100 W până la puteri foarte mari , de ordinul sutelor de KW. Motoarele mici pot avea inductorul format din magneţi permanenţi ; în general ele au un inductor bobinat. Motoarele de c.c nu sunt utilizate pentru puteri mici , deoarece inerţia lor este mare.

Motoarele de c.c de puteri mari utilizate în sistemele de reglare automată ca elemente de execuţie au de obicei numeroase circuite auxiliare , pentru a evita suprasarcini şi a face posibile intercondiţionări cu alte sisteme de reglare .

În acţionările electrice motorul de c.c prezintă avantaje cum sunt:-caracteristicile lui sunt pozitive pentru cupluri mari de pornire , necesare atunci când

motorul este folosit la tracţiune;-domeniul de variaţie al vitezei este suficient de larg ;

-circuitele de comandă sunt mai ieftine şi mai simple.Ca dezavantaje enumerăm:-necesită o sursă specială de curent continuu;-la aceiaşi putere motoarele de c.c. sunt mai mari decât cele de c.a.;-necesită măsuri speciale de pornire (la puteri mari).Ţinând seama de particularităţile unui sistem neliniar format din elementul de execuţie şi

motorul electric modelele matematice adoptate pentru caracterizarea funcţionării acestui sistem pot fi continue, discrete sau cu structură variabilă .

Pentru obţinerea modelului matematic pentru un sistem de acţionare comandat cu ajutorul convertoarelor cu tiristoare se impune a lua în consideraţie tipul motorului electric (particularităţile constructiv-funcţionale ale acestuia),natura sarcinii şi evident particularităţile convertorului comandatcare reprezintă elementul de execuţie într-un sistem de reglare a turaţiei motorului electric.

Pentru a stabili modelul matematic al motorului de c.c. cu excitaţie separată vom pleca de la ecuaţiile tensiunilor scrise pentru circuitul indusului şi pentru circuitul de excitaţie.

diau R i L ea a a a dtdieu R i Le e e e dt

e kω edω

M M J s dtM k im a

ϕ

ϕ

= × + × +

= × + ×= ××

− = ×= ××

unde am notat:ua – tensiunea de alimentare a motorului şi reprezintă mărimea de intrare în sistem;ue –tensiunea circuitului de excitaţieRa, La – rezistenţa respectiv inductivitatea circuitului indusului;Re, Le – rezistenţa respectiv inductivitatea circuitului de excitaţie;e – tensiunea contraelectromotoare;ke , km – constanta electrică respectiv constanta electromecanică a motoruluiφ – fluxul de excitaţie;ω – viteza unghiulară;ia ,ie – curentul din circuitul indusului respectiv circuitul de excitaţie;M – cuplu activ;Ms – cuplul static (rezistent);J – momentul de inerţie raportat la arborele motorului.

Fig. 5.14

Sistemul de ecuaţii (1) este neliniar , neliniarităţile fiind date de produsele φω respectiv φ ia precum şi de curba de magnetizare a motorului de curent continu. Pentru a liniariza sistemul de ecuaţii (1) vom considera fluxul de excitaţie constant (φ = ct.) şi vom nota:

Cu aceste notaţii sistemul (1) devine:

Aplicând transformata Laplace în condiţii iniţiale nule sistemului de ecuaţii (2) vom obţine :

Pentru a stabili funcţia de transfer a motorului de curent continu în raport cu

intrarea se consideră perturbaţia nulă (Ms(s)=0)iar din ecuaţia a doua a sistemului (3) se determină expresia lui Ia(s) care se înlocuieşte în ecuaţia întâi rezultând:

mK

mk

eK

ek

=⋅

=⋅

ϕ

ϕ

diau R i L Kω

a a a a edtdω

K i M J m a s dt

= × + × + ×

× − = ×

U (s) R I (s) L s I (s) KΩ(s)a a a a a e

K I (s) M (s) J sΩ(s)m a s

= × + × × + × × − = × ×

J J2U (s) R sΩ(s) L s Ω(s) K Ω(s) a a a eK K

m m= × × × + × × × + ×

Prin prelucrări ulterioare se ajunge la forma:

Dacă în ultima expresie se fac notaţiile:

Atunci ecuaţia (5) devine:

Din ecuaţia (6) putem determina funcţia de transfer a motorului de forma:

Deoarece în practică T<<Tm atunci expresia T⋅Tm⋅s2 + Tm⋅s +1 se aproximează cu expresia (1+Tm⋅s)⋅(1+T⋅s).Dacă se consideră mărimea intermediară curentul Ia(s) atunci funcţia de transfer a motorului de curent continuu se poate scrie astfel:

L J J2aU (s)Ω(s) s R s Ka a eK K

m m

L J R J2a aΩ(s) K s s 1 e K K K K

e m e m

× = × + × × + =

× × × × + × +

× ×

anicaelectromec constanta - m

Ke

K

Ja

R

mT

electrica constanta - a

Ra

LT

⋅

⋅=

=

2U (s)Ω(s) K [T T s T s 1] a e m m

= × × × + × +

1KΩ(s) eH (s)

MCC 2U (s) T T s T s 1a m m

= =× × + × +

I (s) Ω(s)aH (s) H (s)*H (s) MCC 1 2 U (s) I (s)

a aT

m sI (s) Ra aH (s)

1 U(s) (1 T s)(1 T s)m

RΩ(s) aH (s) 2 I (s) K T s

a e m

= = ×

×

= =+ × + ×

= =× ×

Determinarea constantelor de timp şi a funcţiilor de transfer

Având un motor de curent continuu cu următorii parametrii nominali: Ri = 1,8 Ω, Li = 1,8 mH,n n =1620 rot/min U n =24 VI an =3,5 A, J=GD 2 = 2mKg4108,5 ⋅−⋅

calculăm curentul limită astfel:Ilim = 1,8•In = 1,8 •3,5 = 6,3 AInductanţa este: LA = LC + Li

22mH1068

24

6,330

16203,1424

limI

30

πn24

limIω

0d

U

CL ==

⋅⋅=

⋅=

⋅=

24Vn

U0

dU ==

LA = LC + Li = 22mH +8,5mH = 30,5 mH

0,081,3

0,104

1,3

*m

k

mK

0,1046,3

30

16203,143,5*1,824

limI

30

πnn

I*i

Rn

U

ω

e*

ek

eK

===

=⋅⋅

−=⋅

−===

ϕ

ϕ

Constanta de timp electromecanică se calculează astfel:

183ms0,00832

0,00153

0,080,104

1,82mKg4108,5e

K*m

Ki

R*

375

2GDm

T ==⋅

⋅−⋅==

Constanta de timp a indusului se calculează cu relaţia:

ms9,16T 1,8

0,0305T

iR

aL

T =⇒=⇒=

Putem determina acum fucţiile de transfer ale celor două părţi componente ale motrului de curect continuu:

s

1*094,0

s*0,104*183

1,8(s)

2H

1)s*(16,9*1)s*(183

101,66

1)s*(16,9*1)s*(183

s*1,8

183

(s)1

H

==

++=

++=

5.4.2. Elementele schemei de reglare

Principalele elemente componente ale sistemului de reglare a turaţiei la motorul de curent continuu sunt:

- traductoarele (de curent şi de turaţie);- elementul de execuţie compus din puntea redresoare şi dispozitivul de comandă pe grilă;

- blocul de alimentare;blocul de filtrare.Schema bloc a sistemului de reglare este prezentată în figura 5.15.

Fig. 5.15.

Traductorul de curent

Traductorul de curent se compune din două transformatoare de măsură de curent înseriate în circuitul de excitaţie al motorului ca în figura 5.15 , şi un bloc de adaptare a semnalului cules de la cele două transformatoare de măsură de curent . Mai exact circuitul de măsură de curent este prezentat detaliat în figura 5.16.

Figura 5.16

Pentru a asigura conditia de scurtcircuit in secundarul transformatoarelor de măsură de curent se montează pe ieşirile acestira o rezistentă de valoare mică , aproximativ 100 Ω . Semnalul în tensiune cules de pe această rezistentă este un semnal alternativ iar variaţia acestuia este aprtoximativ liniară cu variaţia curentului din indusul motorului. Această tensiune alternativă este apoi redresată cu ajutorul unei punţi redresoare 1PM1 , apoi filtrat cu ajutorul unui condensator de 220 µF. Pentru asigurarea unei impedante de ieşire mare semnalul de curent continuu astfel obţinut este aplicat pe intrarea neinversoare a unui A.O utilizat ca repetor, astfel obţinându-se semnalul ce asigură reacţia de curent a sistemului .

În urma unor măsurători experimentale s-a constatat că pentru o variaţie a curentului din indusul motorului între 0,8 ÷ 3 A avem o variaţie în tensiune între 2,6 ÷ 4,4 V conform tabelului următor:Iind [A] 0,8 1 1,5 2 2,5 3Urc [V] 2,6 2,8 3,4 3,8 4,2 4,4

Considerând traductorul ca un element aperiodic de ordinul întâi funcţia lui de transfer este:

1sti

Tti

k(s)

tiH

+=

intΔI

iesΔU

tik =

∆Uieş = 0 ÷ 5V; alegem ∆Uieş = 0 ÷ 5V , tensiunea impusă de intrarea în placa de achiziţie .∆Iint = Imax – Imin = 3,5 –0,8 =2,7 A.În urma efectuării calculelor factorul de transfer devine:

V/A 1,752,7

5ti

k ==

Pentru constanta de timp parazită vom alege valoarea Tti = 0,0025 s , valoare suficientă pentru a filtra armonicile de tensiune ale traductorului.

Cu aceste valori calculate funcţia de transfer a traductorului devine:

10,0025s

1,75

1sti

Tti

k(s)

tiH

+=

+=

Traductorul de turaţie

Traductorul de turaţie este un tahogenerator antrenat de arborele motorului . Prin tahogenerator se înţeleg toate tipurile de generatoare , de curent continuu sau de curent alternativ , care au tensiunea la borne proporţională cu turaţia rotorului .

Tensiune generată de tahogenerator fiind egală la fiecare moment de timp cu tensiunea de alimentare a motorului cuprinsă între 0 ÷ 24 V şi datorită domeniului de tensiuni cu care lucrează placa de achiziţie 0 ÷ 5 V, semnalul generat de tahogenerator este adaptat corespunzător pe baza schemei din figura 3.4., între 0 ÷ 5 Vc.c

Fig. 5.17

Considerăm tahogeneratorul un element liniar cu funcţia de transfer :

1stt

Ttt

k(s)

ttH

+=

unde:T tt = 0,005s – constantă de timp parazită ce are rolul de a filtra armonicele de tensiune

ale tahogeneratorului k tt = 0,0035 [V/rot/min] – se alege astfel încât pentru turaţia maximă

n max = 3000 [rot/min] să alegem o tensiune de 5 V care este o tensiune maximă admisibilă de regulator.

Cu aceste precizări funcţia de transfer devine:

10,005s

0,0035(s)

ttH

+=

Elementul de execuţie

Elementul de execuţie este format din DCG ( dispozitivul de comandă pe grilă) şi puntea redresoare.

Dispozitivul de comandă pe gril

Dispozitivul de comandă pe grilă este realizat cu ajutorul circuitului integrat βAA 145 , destinat aproape exclusiv comenzii în fază a aprinderii tiristoarelor . Se sincronizează cu reţeaua industrială (220 V c.a. , 50 Hz ) furnizând la două ieşiri independente impulsuri pozitive corespunzătoare celor două semialternanţe ale tensiunii de reţea .

Poate furniza 20 mA pe fiecare ieşire , asigurând o tensiune de blocare de 0,5 VSincrinizarea cu reţeaua electrică de 220 V c.a. se poate face printr-un transformator

coborâtor de tensiune de 24 V c.a. şi printr-un divizor rezistiv.Considerăm că dispozitivul de comandă pe grilă este un element neinerţial caracterizat

prin funcţia de transfer :

15[grad/V]8

30150DCG

k(s)DCG

H =°−°==

Puntea rederesoare de alimentare a motorului

Deoarece P n = 0,8kW foarte aproape de un kW alegem un redresor bialternanţă , acesta oferind şi un factor de ondulaţie mai mic decât redresorul monoalternaţă şi furnizează o tensiune redresată mai apropiată de componeta continuă .

Tensiune de alimentare pentru comanda motorului se obţine de la o punte redresoare total comandată alcătuită din patru tiristoare de tipul T25N cu următorii parametrii:-curentul nominal 25[A]-tensiunea 100[V]-curentul maxim timp de 10 ms: 250[A]-curentul pe grilă 150[mA]-tensiunea pe grilă 1,5[V]

Pentru acţionarea maşinilor electrice la turaţii variabile se utilizează tiristoare unioperaţionale cu o singură grilă prin care pot fi comandate , acestea putându-se realiza pentru o gamă largă de tensiuni inverse de vârf şi de curenţi nominali.

Funcţia de transfer a redresorului este dată de relaţia :s

pT

ep

k(s)red

H−

=

Se observă că puntea redresoare reprezintă un element cu timp mort , a cărui mărime de ieşire produce exact mărimea de intrare dar cu o întârziere T p .

Calculăm k p şi T p cu relaţiile:

180

πd0

U

pk =

unde:

190[V]n

Uπ

22max

Uπ

2π

0dxsinα

maxU

π

1do

U ===∫ ⋅⋅=

0,005[s]p

T0,00550

1

2

1

2

1

f

1

p

1

2

1p

T

3,456p

k180

198πp

k

=⇒=⋅⋅=⋅⋅=

=⇒=

Funcţia de transfer a redresorului devine:

1005,0

456,3(s)

redH

sp

T1

pks

pT

ep

k(s)red

H+

=⇒+

≅−

=s

Puntea redresoare este .prezentată în figura 5.18.

Figura 5.18.

Izolarea galvanică faţă de restul montajului este asigurată de către un transformator de impulsuri pentru fiecare tiristor.

5.5. Implementarea sistemului de reglare fuzzy

În dozvoltarea SRA cu regulatoare fuzzy simularea pe calculatorul numeric constituie o metodă eficientă de dezvoltare a regulatorului şi de analiză a comportării SRA cu regulator fuzzy. În acest context , rezultatele simulării vor confirma valabilitatea :

-structurii de conducere adopatate ;-structurii regulatorului adoptat şi valorile optime pentru parametrii variabili ai

regulatorului.La simularea SRA cu regulator fuzzy întreaga procedură va fi concentrată asupra

următoarelor două aspecte:-simularea funcţionării regulatorului , care prezintă particularităţi specifice remarcabile şi,

prin aceasta ,necesită o tehnologie de simulare specifică;-la simularea SRA cu regulator fuzzy , simularea comportării celor două blocuri,

regulatorul fuzzy şi procesul condus , se tratează în maniere diferite ; prin interacţiunea celor două blocuri întregul proces de simulare devine însă unitar.

Pentru simularea comportării SRA cu regulator fuzzy alături de pachetul de programe de simulare a regulatoarelor fuzzy este necesară însă şi apelarea unei metode adecvate de simulare a comportării procesului condus; în acest scop , se va utiliza mediul de simulare LabWindows întrucât acesta dă posibilitatea simulării sistemelor cu neliniarităţi.

Construirea regulatorului fuzzy al cărui comportament se simulează, se realizează prin intermediul unui program , neexistând în cadrul mediului de simulare Lab Windows proceduri specifice pentru una din etapele procedeului.

Etapele de lucru pentru simularea sistemului de reglare fuzzy cu ajutorul Lab Windows-ului sunt următoarele:

-crearea unui proiect Lab Windows;-crearea unei interfeţe grafice”nume_fisier.uir”;-adăugarea la proiect a fişierului sursă “nume_fisier.c” -adăugarea la proiect a fişierului “nume_fişier.h”Crearea interfeţei grafice se face în funcţie de cerinţele utilizatorului mediul de simulare

Lab Windows punând la dispoziţia acestuia un Panel şi o multitudine de obiecte grafice cum ar fi: potenţiometre, led-uri, grefice de plotare , butoane de iniţializare şi oprire a simulării, text box-uri, etc.

Fişierul sursă este fişierul parţial creat automat după realizarea interfeţei grafice, la care se pot adăuga evenimente dorite de utilizator , acestea putând fi implementate cu ajutorul comenzilor C sau cu ajutorul funcţiilor specifice Lab Windows.

Etapele de proiectare a sistemului fuzzy din cadrul fişierului sursă al proiectului sunt:-definirea variabilelor de intrare-ieşire;-stabilirea mulţimilor fuzzy şi a valorilor lingvistice asociate acestora;-întocmirea bazei de reguli pentru inferenţe fuzzy ;

-adoptarea mecanismelor de defuzificare;

Calculul regulatorului fuzzy

Pentru sistemul de reglare al motorului de curent continuu avem ca mărime de intrare în regulator eroarea turaţiei şi curentul statoric. Eroarea turaţiei este diferenţa dintre referinţa stabilită de utilizator şi turaţia obţinută la ieşirea procesului.

Ca mărime de ieşire din regulatorul fuzzy este comanda dată la dispozitivul de comandă pe grilă .

Pentru calculul regulatorului se va discretiza funcţia de transfer a întregului proces ajungându-se la o relaţie de recurenţă .

Funcţia de transfer a sistemului este următoarea :(s)

M2H(s)

M1H(s)

RedH(s)

DCGH(s)

sisH ⋅⋅⋅=

unde:

s

10,094(s)

M2H

)10169,0()18,4(

1,166(s)

M1H

10.005s

3.456(s)

RedH

15(s)DCG

H

⋅=

+⋅+=

+=

=

ss

În urma calculelor rezultă:

s2s816,430,1051s40,000455s

5,09s

s

10,094

)10169.0)(18,4(

1,166

10,005s

3,45615(s)

sisH

+++=

=⋅⋅++

⋅+

⋅=ss

Discretizarea acestei funcţii se face cu ajutorul comenzii din Matlab “c2d” , care are sintaxa:

c2d(f.d.t., perioada de eşantionare , ‘metoda de discretizare’)Comanda care se dă este următoarea : c2d(H,0.07,’zoh’)În urma discretizării se obţine:

0,51430,4536z21.02z3z

107,4264,5z2149z(z)

sisH

−−+

++=

După discretizare se ajunge la o relaţie de recurenţă de forma:y(k+1)=-1.02y(k)+0,4536y(k-1)+0,5143y(k-2)+149u(k)+264,5u(k-1)++107,4u(k-2)

Abordarea fuzzy a reglării turaţiei m.c.c.Studiu de caz. Fuzzyficarea informaţiei ferme şi crearea bazei de reguli

Pentru reglarea turaţiei motorului de curent continuu considerat vom defini trei variabile lingvistice:

-eroarea de turaţie – o variabilă lingvistică de intrare – care variază între [-1500 ÷ 1500] rot/min;

-curentul statoric – a doua variabilă lingvistică de intrare – care ia valori în intervalul [ 0 ÷ 3,5] A ;

-comanda – variabila lingvistică de ieşire – care variază între [0 ÷5]VUrmează să se facă o reprezentare vagă a erorii de turaţie pentru domeniul de turaţie

[-1500 ÷ 1500] rot/min şi a curentului statoric pentru domeniul [0÷3,5] A prin intermediul funcţiilor de apartenenţă ( în acest caz , eroarea de turaţia şi curentul reprezintă mărimi fizice cărora li se asociază variabilele lingvistice eroare de turaţie şi curent ) şi o reprezentare vagă a comenzii pentru domeniul [0 ÷ 5] V.

Variabila lingvistică eroarea de turaţie poate fi caracterizată “vag” prin următorii termeni lingvistici:Wm – eroare de turaţie mică cu funcţia de apartenenţă: µWm=(-1500 -1500 –1000 0);

Wp – eroare de turaţie potrivită – cu funcţia de apartenenţă :µWP = (-1000 0 1000);

WM – eroare de turaţie mare – cu funcţia de apartenenţă : µWM= (0 1000 1500 1500)

Pentru variabilele lingvistice eroare de turaţie şi curent forma funcţiei de apartenenţă aferentă termenilor lingvistici este trapezoidală pentru termenii lingvistici de la capete şi triunghiular simetrică pentru termenul lingvistic din mijloc aşa cum se observă în figura 5.19.

Variabila lingvistică curent poate fi caracterizată “vag” prin următorii termeni lingvistici:Ym – curent mic - cu funcţia de apartenenţă : µYm=(0 0 0,58 1,7);YP – curent potrivit – cu funcţia de apartenenţă : µYP=(0,58 1,7 2,86);YM – curent mare – cu funcţia de apartenenţă : µYM=(1,7 2,86 3,5 3,5).

Pentru variabila lingvistică comandă vom considera trei termeni lingvistici :Um – comandă mică - cu funcţia de apartenenţă : µUm=(0 0 2.5)Umd – comandă medie – cu funcţia de apartenenţă : µUmd=(0 2,5 5);UM – comandă mare – cu funcţia de apartenenţă : µUM=(2.5 5 5).

Forma funcţiei de apartenenţă aferentă termenilor lingvistici este triunghiulară nesimetrică pentru termenii lingvistici de la capete şi triunghiulară simetrică pentru termenul lingvistic din mijloc aşa cum se observă în figura 5.20.

Fig. 5.20

Pentru a sublinia modul de “gândire “ al regulatorului fuzzy , în ceea ce priveşte fuzzificarea vom determina gradele de apartenenţă ale unei valori ferme (Wo = ω0–E0 eroarea de turaţie) la termenii lingvistici definiţi anterior

Fig. 5.20Se va exemplifica în continuare , modul în care se determină gradele de apartenenţă

pentru o valoare fermă a turaţiei : ω0 = 700 rot/min. Eroarea de turaţie la momentul iniţial este deci : Wo=ω0 – E0 = 700, unde cu E0 am notat ieşirea sistemului în momentul iniţial (E0 = 0). Pentru aceasta vom utiliza funcţiile de apartenenţă de tip triunghiular şi trapezoidal reprezentate în figura 5.3 şi figura 5.4, funcţii care au următoarea expresie analitică:

- pentru funcţia de apartenenţă de tip triunghiular :

≤<−

−−

≤≤−

−

=B

C

0WCpentru

CB

C0

W1

0WApentru

AC

A0

W

)0

μ(W

- pentru funcţia de apartenenţă de tip trapezoidal :

<

≤<−

≤<

≤<−

<

=

0 WpentruD 0

0WCpentru

C-D0

W

0WpentruB 1

0WApentru

A-B0

W0

pentru W 0

)0

μ(W

DD

C

BA

A

Valorile aferente gradelor de apartenenţă ale valorii ferme Wo = 700 la termenii lingvistici definiţi sunt :

)0

(WWM

μ),0

(WWp

μ),0

(WWm

μ0

W =

Vom calcula în continuare aceste valori ale gradelor de apartenenţă .Pentru termenul lingvistic Wm avem: µ Wm(Wo).W0 = 700;A = -1500;B = -1500;C = -1000;D = 0.

Rezultă : Wo>D şi deci :0(700)

WPμ = .

Pentru termenul lingvistic Wp avem: µ WP(Wo).W0 = 700;A = -1000;B= 1000;C = 0.

Rezultă :C < Wo ≤ B şi deci :

0.307,011000

7001

CB

C0

W1(700)

WPμ =−=−=

−

−−=

Pentru termenul lingvistic WM avem: µ WM(Wo).W0 = 700;A = 0;B = 1000;C = 1500;D = 1500;Rezultă: A<W0 ≤ B şi deci:

0.701000

700

A-B0

W(700)

WMμ ==

−=

A

Conform relaţiei )0

(WWM

μ),0

(WWP

μ),0

(WWm

μ0

W = avem 3 – uplul W0 = 0 , 0.30 , 0.70 .

Pentru variabila fuzzy curent valorile aferente gradelor de apartenenţă ale valorii ferme Yo = 0,82 la termenii lingvistici definiţi sunt :

)0

(YYM

μ),0

(YYp

μ),0

(YYm

μ0

Y =

Vom calcula în continuare aceste valori ale gradelor de apartenenţă .Pentru termenul lingvistic Ym avem: µ Ym(Yo).

Y0 = 0,82;A = 0;B = 0;C = 0,58;D = 1,7;

Rezultă : C<Yo≤D şi deci :

0,7851,12

0,88

0,581,7

0,821,7

CD0

YD)

0(Y

Ymμ ==

−−=

−

−=

Pentru termenul lingvistic Yp avem: µ Yp(Yo).Y0 = 0,82;A = 0,58;B = 2,86;C = 1,7;

Rezultă : A≤Yo≤C şi deci :

0,2141,12

0,24

0,581,7

0,580,82

AC

A0

Y)

0(Y

Ypμ ==

−−=

−

−=

Pentru termenul lingvistic YM avem: µ YM(Yo).Y0 = 0,82;A = 1,7;B = 2,86;C = 3,5;D = 3,5;

Rezultă : Yo <A şi deci :µ YM(Yo)=0

Conform relaţiei )0

(YYM

μ),0

(YYp

μ),0

(YYm

μ0

Y = avem 3 – uplul :Y0 = 0.785 , 0.214 , 0Baza de reguli după care funcţionează regulatorul fuzzy poate fi definită simplu considerând în premiză eroarea de turaţie după cum urmează :R1: DACĂ (e = Wm) ŞI ( y = Ym) ATUNCI (u = Um);R2: DACĂ (e = Wp) ŞI ( y = Ym) ATUNCI (u = Umd);R3: DACĂ (e = WM) ŞI ( y = Ym) ATUNCI (u = UM);R4: DACĂ (e = Wm) ŞI ( y = Yp) ATUNCI (u = Um);R5: DACĂ (e = Wp) ŞI ( y = Yp) ATUNCI (u = Umd;R6: DACĂ (e = WM) ŞI ( y = Yp) ATUNCI (u = Umd);R7: DACĂ (e = Wm) ŞI ( y = YM) ATUNCI (u = Um);R8: DACĂ (e = Wp) ŞI ( y = YM) ATUNCI (u = Umd);R9: DACĂ (e = WM) ŞI ( y = YM) ATUNCI (u = Umd),

Matricea bazei de reguli se construieşte astfel :-prima coloană este asociată primei intrări a sistemului (eroarea de turaţie);-a doua coloană este asociată celei de-a doua intrări a sistemului (curentul);

-a treia coloană este asociată ieşirii sistemului (comanda);-a patra coloană indică gradul de importanţă al fiecărei reguli ( cu valoare implicită 1-ultima coloană dă tipul operatorului cu care se evaluează fiecare regulă ( ŞI – 1, SAU – 0)Matricea devine:

1 1 2 3 3

1 1 2 3 2

1 1 1 3 1

1 1 2 2 3

1 1 2 2 2

1 1 1 2 1

1 1 3 1 3

1 1 2 1 2

1 1 1 1 1

Inferenţa şi compunerea regulilor

La orice moment de timp t* , algoritmul fuzzy activează regulile din cadrul BRF (ca un proces paralel ). Ieşirea fiecărei reguli fuzzy este (tot) o valoare fuzzy , care rezultă pe baza operaţiilor fundamentale din logica fuzzy. Astfel fiecare regulă din cadrul BRF reprezintă o expresie logică construită cu operatorul de conjuncţie ŞI Prin urmare se aplică operaţia de intersecţie a mulţimilor fuzzy , în urma căreia la ieşire se obţine un minim punctual al funcţiilor de apartenenţă de pe întregul domeniu de definiţie al variabilelor de ieşire.

Astfel pentru o regulă din cadrul BRF de forma : R8: DACĂ (e = Wp) ŞI ( y = YM) ATUNCI (u = Umd);avem:ωUmd = MIN (0.30 , 0) = 0;unde: ωUm – este valoarea scalară de activare a mulţimii fuzzy Um.

Deci aceasta este o regulă care nu se va folosi , deoarece valoarea scalară de activare a mulţimii fuzzy Um a variabilei de ieşire este nulă.

În continuare reţinem doar regulile utile (semnificative) pentru cazul numeric dat care sunt în număr de 4.

R2: DACĂ (e = Wp) ŞI ( y = Ym) ATUNCI (u = Umd);deci ω Umd = MIN (0.3 , 0.7) = 0.3;R3: DACĂ (e = WM) ŞI ( y = Ym) ATUNCI (u = UM);deci ω UM = MIN (0.7 , 0.7) = 0.7;

R5: DACĂ (e = Wp) ŞI ( y = Yp) ATUNCI (u = Umd;deci ω Umd = MIN (0.3 , 0.2) = 0.2;

R6: DACĂ (e = WM) ŞI ( y = Yp) ATUNCI (u = Umd);deci ω Umd = MIN (0.7 , 0.2) = 0.2;

Observăm că în procesul de inferenţă regulile pot să aibă drept rezultat aceeaşi mulţime fuzzy de ieşire , în general activată cu coeficienţi ωi diferiţi. Acesta este şi cazul regulilor R2, R5 şi R6 din exemplul pe care îl analizăm. Prin urmare , operaţia de inferare se definitivează la nivelul întregii BRF printr-o tehnică de compunere (combinare ) a rezultatelor inferenţelor elementare ( de la fiecare regulă i activată).

În cazul de faţă adoptăm metoda de compunere cunoscută sub numele de MAX potrivit căreia pentru regulile care au aceiaşi mulţime fuzzy de ieşire , aceasta este activată (ponderată ) cu valoarea maximă a coeficientului ω i .

Astfel pentru regulile R2, R5 şi R6, mulţimea fuzzy de ieşire Umd va fi ponderată cu coeficientul ω Umd calculat astfel: ω Umd = MAX (ω2 , ω5 , ω6) = MAX (0.3 , 0.2 , 0.2 ) = 0.3

Forma fiecărei mulţimi fuzzy activate , de pe întregul univers de discurs al variabilelor de ieşire , depinde de schema de “codificare” utilizată.Vom adopta procesul de codificare cu corelare prin produs , conform căruia ieşirile fuzzy ale sistemului rezultă prin multiplicarea funcţiilor de aparteneţă ale variabilei de ieşire , cu valoarea scalară de activare a regulii i respective.

În acest fel am aplicat operaţia de inferenţă cu corelare prin produs aşa cum se arată şi grafic în figura 5.21, 5.22, 5.23, 5.23.

R2: DACĂ (e = Wp) ŞI ( y = Ym) ATUNCI (u = Umd);

Fig. 5.21

R3: DACĂ (e = WM) ŞI ( y = Ym) ATUNCI (u = UM);

Fig. 5.22

R5: DACĂ (e = Wp) ŞI ( y = Yp) ATUNCI (u = Umd);

Fig. 5.23

R6: DACĂ (e = WM) ŞI ( y = Yp) ATUNCI (u = Umd);

Figura 5.24

Operaţiile efectuate până la acest punct sunt reprezentate structural pe schema din figura 5.25. Această secvenţă de calcul se aplică pentru toate regulile din bază .

Fig. 5.25

Pentru exemplul considerat ieşirea fuzzy a sistemului este deci:

O = MAX (ω2 , ω5 , ω6 )m Umd + ω3 ⋅mUM ,care din punct de vedere geometric se rezumă la reuniunea suprafeţelor delimitate de mulţimile fuzzy în urma codificării, ca în figura 5.26

Fig. 5.26

Defuzificarea În cazul acestei aplicaţii am optat pentru metoda de defuzificare cea mai utilizată , care

oferă cele mai consistente rezultate , metoda centrului de greutate (centroid) . Potrivit acesteia , dacă mulţimile fuzzy de ieşire sunt determinate prin metoda de inferenţă cu corelare prin produs, atunci se poate calcula centrul de greutate global pe baza centrelor de greutate locale ale fiecărei reguli i din BRF astfel:

88,3837,0

11,3

6125,0225,0

54,2562,0

2

7,05,27,0)5,23,0(3,0

16,42

7,05,27,05,2)5,23,0(3,0

UMI

UMω

UmdI

Umdω

UMc

UMI

UMω

Umdc

UmdI

Umdω

ku

==++=

⋅⋅+⋅⋅

⋅

⋅⋅+⋅⋅⋅

=

=⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅=

Valoarea astfel obţinută reprezintă unghiul de aprindere α care se aplică dispozitivului de comandă pe grilă , acesta determinând deschiderea corespunzătoare a tiristoarelor punţii total comandate şi astfel motorul va fi alimentat cu tensiunea corespunzătoare turaţiei cerute. În continuare se citesc semnalele obţinute de către reacţia de curent şi reacţia de turaţie , se calculează eroarea de turaţie ca diferenţă între referinţă de turaţie şi turaţia obţinută pe reacţie şi procedeul se reia în toate fazele sale.

Prin urmare schema din figura 5.25 se extinde pentru întreaga BRF, aşa cum se poate vedea în figura 5.27.

Fig. 5.27.

Simularea reglării turaţiei motorului de curent continuu cu regulator Fuzzy se face cu ajutorul limbajului de programare LabWindows. În figura 5.28 se prezintă răspunsul sistemului de reglare a turaţiei cu regulator Fuzzy.

După câte se observă din figurile de mai sus, un răspuns mult mai bun la o intrare treaptă este obţinut prin folosirea regulatorului Fuzzy.

Concluzii

Sistemele de reglare auromată sunt necesare şi se aplică în toate domeniile tehnice, precum şi în natură. Ele au rolul de a menţine constant un anumit parametru dintr-un sistem, indiferent de perturbaţiile ce acţionează asupra sistemului, în scopul eliminării intervenţiei directe a omului.

Prin urmare, sistemele de reglare automată asigură menţinerea automată în anumite limite a unor mărimi importante pentru buna desfăşurare a procesului tehnologic, pentru economisirea de energie, de materii prime sau pentru creşterea productivităţii.

Există multe tipuri de sisteme de reglare, unul dintre acestea fiinnd sistemul de reglare în cascadă.

Fig. 5.28 – Reglarea turaţiei cu Fuzzy

Sistemele de reglare în cascadă se utilizează atât în cazul proceselor rapide (procese cu constante de timp mai mici decât 10 s ) cât şi în cazul proceselor lente, cu timp mort (cu constante cu timp mare, zeci de secunde,minute).

Reglarea în cascadă se recomandă în cazul proceselor tehnologice cu funcţii de transfer cu număr mare de constante de timp, care se pot descompune în subprocese a căror funcţii de transfer să nu conţină mai mult de două constante de timp principale. În fucţia de transfer a procesului, prezenţa unui număr mare de constante de timp, pentru compensarea lor (a constantelor de timp), este dificil să se utilizeze algoritmi de reglare tipizaţi (PI, PD, PID) impunându-se algoritmi de reglare care să conţină binoame de gradul întâi, care vor avea efectul de amplificare a zgomotelor datorate componentelor derivative.

În cazul utilizării reglării în cascadă , în modelul matematic al procesului supus automatizării trebuie puse în evidenţă mărimi intermediare care trebuie să fie accesibile din punct de vedere fizic şi măsurabile prin mijloace relativ simple. De asemenea ele trebuie să răspundă la perturbaţii mult mai repede dacât mărimea de ieşire.

Reglarea în cascadă se utilizează în cazul reglării turaţiei motoarelor de curent continuu.Din studiul realizat, s-a observat că, în scopul reglării turaţiei unui motor de curent

continuu, se pot utiliza atât legi de reglare convenţionale (de exemplu PI) cât şi legi de reglare moderne, cum sunt legile create după logică Fuzzy. Mai mult, acestea pot fi combinate în cadrul aceleiaşi scheme (regulator de turaţie cu Fuzzzy, regulator de curent PI).

Din analiza performanţelor celor două regulatoare, rezultă un avantaj considerabil în cazul folosirii Fuzzy, observându-se uşor diminuarea suprareglajului şi a duratei regimului tranzitoriu.

În scopul obţinerii unor mai bune performanţe ale reglării, se poate implementa bucla de reglare a curentului tot cu un regulator Fuzzy. La acesta pot fi aduse îmbunătăţiri, considerându-se o a treia intrare în logica Fuzzy – diferenţa dintre ultimele două erori (modul de variaţie al erorii în urma comenzilor aplicate).

Bibliografie

1 Călin S., Dumitrache I., Regulatoare automate.E.D.P., Bucuresti,1985;2 Sângiorzan D., Echipamente de reglare numerică, Ed.Militară,Bucuresti 1990;3 Boncea I., Conducerea automată a proceselor, Ed.Facla,Timişoara, 1995; 4 Dumitrache I., Automatizări electronice, E.D.P, Bucureştii, 1993;5 Dumitrache I., Tehnica reglării automate, E.D.P, Bucureşti, 1980; 6 Onisifor O., Amplificatare integrate în echipamente de automatizare, Ed Universitaria, Craiova, 2003;7 Onisifor O., ş.a., Sisteme de reglare automată, Ed. SITECH, Craiova, 2001;8 Tutoriale despre regulatoare în Matlab & Simulink – Curs online Prof. M.

Riaz, Dep. de inginerie electrică şi a calculatoarelor Universitatea din

Minesota, Minneapolis

9 Fuzzy pentru începători – Scurt manual on-line,

http://www.fuzzy-logic.com/ 10 Belea C., Teoria sistemelor, Ed. Didactică şi Pedagocică, Bucureşti, 1985.