3. Teoria filtrării optimale

• Formularea problemei. Notaţii

• Criteriul de optimizare

• Ecuaţiile Wiener-Hopf

• Principiul ortogonalităţii

• Aplicaţii

Formularea problemei. Notaţii

Filtru digital

x(n)

d(n)

y(n) e(n)+

Datele:

{ x(0), x(1), x(2), … } semnalul de intrare

{ d(0), d(1), d(2), … } semnalul “dorit”

Procese aleatoare staţionare în sens larg,cu valori medii nule.

Formularea problemei. Notaţii (continuare)

wk*

(k = 1,...,N)

x(n)

d(n)

y(n) e(n)+

Notaţii:

N = lungimea filtrului (nr. de coeficienţi)

x(n) = [x(n), x(n – 1), …, x(n – N + 1)]T vectorul semnalului de intrare

w = [w0, w1, …, wN – 1]T vectorul coeficienţilor filtrului

sistem invariant în timp ( ! NU adaptiv )

Formularea problemei. Notaţii (continuare)

wk*

(k = 1,...,N)

x(n)

d(n)

y(n) e(n)+

Relaţii:

1

*

0

NH

kk

y n x w n w x n k n

w x

- semnalul de ieşire

1

*

0

NH

kk

e n d n y n d n w x n k d n n

w x

- semnalul eroare:

Formularea problemei. Notaţii (continuare)

wk* = ?

(k = 1,...,N)

x(n)

d(n)

y(n) e(n)+

Problema:

wk* = ? astfel încât y(n) ≈ d(n)

Soluţia:

- minimizarea unei funcţii “cost” J = f{e(n)}

Criteriul de optimizare

Criteriul de optimizare

wk* = ?

(k = 1,...,N)

x(n)

d(n)

y(n) e(n)+

Definim funcţia cost:

2J E e n eroarea medie pătratică

( ! pot fi folosite şi alte funcţii cost )

Scopul anularea gradientului complex

10 1 1

, , ....,T

NN

J J JJ

w w w

w 0

Criteriul de optimizare (continuare)

2 *J E e n E e n e n

1 1

* * *

0 0

N N

k kk k

E d n w x n k d n w x n k

1* *

0

1 1 1* * *

0 0 0

N

kk

N N N

k k ik k i

E d n d n w E x n k d n

w E x n k d n w w E x n k x n i

2d

xdr k

*

dx

xd

r k

r k

xxr i k

Criteriul de optimizare (continuare)

1 1 1 1

2 * * *

0 0 0 0

N N N N

d k xd k xd k i xxk k k i

J w r k w r k w w r i k

* 0 , 1 , ...., ( 1)T

xd xd xdE n d n r r r N p x

Notaţii:

HE n nR x x

2 H H HdJ w p p w w Rw

Ecuaţiile Wiener-Hopf

Funcţie de gradul doi de variabile complexe wk = ak+jbk

(k = 0, 1, …, N – 1)

Minimului funcţiei J anularea gradientului complex:

10 1 1

, , ....,T

NN

J J JJ

w w w

w 0

1

2k k k

J J Jj

w a b

*

1

2 k kk

J J Jj

a bw

2 H H HdJ w p p w w Rw Funcţia cost

Ecuaţiile Wiener-Hopf (continuare)

2 H H HdJ w p p w w Rw

*

1 1*

0 0

1

2

H H

i

N N

k k xd k k xdi i k k

xd

w

j a jb r k a jb r ka b

r i

w p p w

H H w w p p w p

Ecuaţiile Wiener-Hopf (continuare)

2 H H HdJ w p p w w Rw

*

1 1

0 0

1

0

1

2

H

i

N N

k k l l xxi i k l

N

l xxl

w

j a jb a jb r l ka b

w r l i

w Rw

H w w Rw Rw

Ecuaţiile Wiener-Hopf (continuare)

2 H H HdJ w p p w w Rw

21d N w 0 H H w w p p w p

H w w Rw Rw

J w p Rw

J(w) = suprafaţă de forma unui paraboloid, având un minim care anulează gradientul.

Hessianul transformării 2 J wH R p.s.d(Pozitiv semidefinit)

Ecuaţiile Wiener-Hopf (continuare)

J w p Rw

min 0 oJJ J J

ww w

coeficienţii optimi

1N oJ w 0 Rw p EcuaţiileWiener-Hopf

1

0

, 0,1,..., 1N

ol xx xdl

w r l i r i i N

Gradientul funcţiei cost

Ecuaţiile Wiener-Hopf (continuare)

min 0 oJJ J J

ww w

1o o

Rw p w R p Coeficienţiioptimi

2 H H HdJ w p p w w Rw

2 H H Hd o o o o w p p w w Rw

2 Hd o p w

2 1Hd p R p

Jmin = varianţa erorii minime

Principiul ortogonalităţii

wo

x(n)

d(n)

yo(n) eo(n)+

Filtrul optim

Ho oy n nw x ieşirea filtrului optim

Ho oe n d n n w x eroarea filtrului optim

* ?oE n e n x

Principiul ortogonalităţii (continuare)

wo

x(n)

d(n)

yo(n) eo(n)+

Filtrul optim

* * Ho oE n e n E n d n n x x x w

* HoE n d n E n n x x x w

1o N p Rw 0

Principiul ortogonalităţii (continuare)

wo

x(n)

d(n)

yo(n) eo(n)+

Filtrul optim

*1o NE n e n x 0 Principiul ortogonalităţii

În cazul filtrării optimale,eroarea este ortogonală pe eşantioanele intrării.

* *1

Ho o o o NE y n e n E n e n w x 0Consecinţă:

Aplicaţii

Se cunosc:

- lungimea filtrului N = 2

- varianţa semnalului dorit σd2 = 0.9486

- matricea de autocorelaţie a semnalului de intrare

- vectorul de corelaţie

1,1 0,5

0,5 1,1

R

0,5272

0,4458

p

wo = ?x(n)

d(n)

y(n) e(n)+

1.

J(w) = ?

Jmin = ?

Aplicaţii 1. (continuare)

2 H H HdJ w w p p w w Rw

00 1 0 1

1

00 1

1

0,5272, 0,9486 0,5272 0,4458

0,4458

1,1 0,5

0,5 1,1

wJ w w w w

w

ww w

w

2 20 1 0 1 0 1 0 1, 0,9486 1,0544 0,8961 1,1J w w w w w w w w

Aplicaţii 1. (continuare)

-4-2

02

4 -4-2

02

4

0

10

20

30

40

50

60

w0w1

J(w0,w1)

1o o

Rw p w R p Coeficienţiioptimi

EcuaţiileWiener-Hopf

10

1

1,1 0,5 0,5272 0,8363

0,5 1,1 0,4458 0,7854o

oo

w

w

w

Aplicaţii 1. (continuare)

2 20 1 0 1 0 1 0 1

min

, 0,9486 1,0544 0,8961 1,1

0,1579

o o o o o o o oJ w w w w w w w w

J

min 0 oJJ J J

ww w Varianţa erorii minime

Aplicaţii

?≈ u(n)u(n) + v(n)2.

semnal util

zgomot albσv

2 cunoscut

(! necorelate)

wo = ?x(n) = u(n) + v(n)

d(n) = u(n)

y(n) e(n)+

Abordare pe baza filtrului optim:

! Doar acest semnal este disponibil

1o o

Rw p w R p Coeficienţiioptimi

EcuaţiileWiener-Hopf

Aplicaţii 2. (continuare)

* * *

* *

* * *

E n d n E n x n v n

E n x n E n n v n

E n x n E n v n E n v n

p x x

x u v

x u v

= 0 = σv2[1, 0, …, 0]T

* 2 1, 0, , 0 TvE n x n p x

! Depinde doar de parametrii disponibili

1o

w R p

Aplicaţii 2. (continuare)

1 * 1 2 1, 0, , 0 TvE n x n R x R

! Depinde doar de parametrii disponibili:- inversa matricei de autocorelaţie a semnalului de intrare- varianţa zgomotului

2 1 1, 0, , 0 To v w I R