SUPORT DE CURS

ANALIZA SERIILOR CRONOLOGICE ŞI PREVIZIUNE

Lect. Dr. Dorina LAZAR

1

CUPRINS

Capitolul 1 . Componentele deterministe ale unei serii de timp 1.1 Concepte de bază1.2. Măsuri pentru acurateţea previziunilor1.3. Componentele unei serii de timp1.4. Estimarea tendinţei prin funcţii elementare 1.5. Estimarea tendintei utilizând mediile mobile 1.6. Componenta sezonieră. Estimarea componentei sezoniere

1.6.1 Modelul de descompunere. Perioada componentei sezoniere 1.6.2 Eliminarea componentei sezoniere utilizând mediile mobile1.6.3 Estimarea componentei sezoniere

1.7 Descompunerea seriei pe componente

Capitolul 2. Metode de netezire exponenţială2.1. Metoda de netezire exponenţială simplă2.2 Metoda Holt de netezire exponenţială2.3. Metoda Holt-Winters de netezire exponenţială

Capitolul 3. Modele de tip autoregresiv medie mobilă (ARMA, ARIMA)3.1. Principalele concepte pe care se fundamentează metodologia Box-Jenkins3.2. Modelul autoregresiv. Proprietăţile funcţiei de autocorelaţie respectiv de autocorelaţie parţială 3.3. Modelul medie mobilă. Proprietăţile funcţiei de autocorelaţie respectiv de autocorelaţie parţială 3.4. Etapele elaborării unui model ARIMA

3.4.1 Identificarea (specificarea) modelului3.4.2 Estimarea parametrilor modelului3.4.3 Teste de validitate şi respecificarea modelului3.4.4. Elaborarea previziunilor

3.5. Alte extinderi ale modelelor ARIMA3.5.1. Modele de tip autoregresiv medie mobilă pentru evoluţii sezoniere SARIMA

3.5.2. Modele de tip ARCH3.6. Regresii cu serii de timp

Capitolul 4. Modele VAR şi modele VECM4.1. Teste de nestaţionalitate (teste de tip „unit roots”) 4.2. Serii cointegrate. Metodologia Engle-Granger 4.3. Analiza cauzalităţii dintre variabile4.4. Modele vector autoregresiv VAR4.5. Cointegrare în sisteme de ecuaţii. Metodologia Johansen-Juselius

2

Capitolul 1. Componentele deterministe ale unei serii de timp

1.1 Concepte de bază

În derularea activităţii lor, frecvent agenţii economici sunt puşi în situaţia de a anticipa viitorul, iar apoi de a lua decizii în consecinţă. Oamenii de afaceri sunt nevoiţi să previzioneze anual cererea dintr-un produs, cifra de afaceri şi alte elemente necesare întocmirii unui plan de afaceri, investitorii sunt interesaţi de profitul viitor degajat de investiţie, respectiv guvernele de previziunea consumului sau a cheltuielilor guvernamentale etc.. Softurile de statistică facilitează obţinerea rapidă de previziuni utilizând modele cantitative de previziune. Anticiparea, previziunea evoluţiei viitoare a fenomenelor economice presupune în primul rând cunoaşterea istoriei acestora, punerea în evidenţă a unor legităţi privind comportamentul lor trecut. Baza de date pe care se fundamentează analiza evoluţiei fenomenelor în timp este constituită din serii de timp (sau serii cronologice).

O serie de timp constă într-o secvenţă de observaţii asupra unei variabile , ordonate după parametrul timp. Frecvent, măsurătorile asupra variabilei sunt efectuate la intervale egale de timp, seria cronologică fiind prezentată sub forma:

Seria de timp formată cu valorile observate constituie o realizare a secvenţei de variabile aleatoare , adică a unui proces aleator (proces stochastic) de tip discret. Evoluţia unei variabile în timp este reprezentată printr-un proces aleator.

Proces aleator de tip discret = secvenţă de variabile aleatoare unde , ordonate după parametrul timp. Pentru fiecare moment de timp t, Yt e o variabilă aleatoare şi dispunem de regulă de o singură observaţie relativ la aceasta. În cele ce urmează vom utiliza aceeaşi notaţie respectiv Yt atât pentru variabila aleatoare ataşată momentului t cât şi pentru valoarea observată la acest moment de timp. Scopul analizei seriilor de timp constă în înţelegerea şi modelarea mecanismului de generare a termenilor seriei; odată elaborat, modelul este utilizat pentru obţinerea de previziuni.

Previziune = inferenţă asupra variabilei, în afara perioadei observate. Vom nota prin previziunea variabilei Y efectuată la momentul T pentru un orizontul de timp h. Baza

de date utilizată pentru generarea de previziuni poate consta în:a) evoluţia înregistrată de către variabilă în trecut, privind prezentul ca o funcţie de

trecut: modele univariabile

Aceasta abordare este adecvata atunci cand este dificil de identificat factorii ce explica comportamentul variabilei de previzionat sau este dificil de cuantificat influenta exercitata de catre variabilele explicative. Daca, spre exemplu, scopul nostru este doar previziunea PIB fara sa ne intrebam de ce acesta a inregistrat o anumita valoare atunci vom apela la aceasta abordare

.

3

b) serii de timp ce redau evoluţia variabilei Y precum şi a altor variabile ce explică comportamentul acesteia → modele multivariabile

(modele explicative).Modelele explicative pot fi utilizate in previziune dar si pentru testatea empirica si simularea unor politici economice sau pentru luarea unor decizii.

Baza de date trebuie să fie adecvată cantitativ şi calitativ.

În analiza seriilor cronologice este necesar ca lungimea perioadei observate să fie suficient de lungă pentru a face posibilă estimarea unui model adecvat calitativ, care să surprindă mecanismul real de generare al fenomenului, respectiv să permită identificarea unor componente ale evoluţiei pe termen lung. De regulă se impune utilizarea unor serii cronologice cu cel puţin 15 termeni, respectiv pentru serii sezoniere este de dorit ca perioada observată să acopere cel puţin cinci cicluri sezoniere.

În acelaşi timp datele trebuie să rămână comparabile în timp. Condiţiile în care evoluează fenomenul este necesar să rămână în esenţă aceleaşi. Astfel, nu este indicat a se utiliza în elaborarea de modele, serii cronologice ce acoperă perioade de schimbări economice sau politice majore, război, sau alte evenimente excepţionale; în analiza evoluţiei majorităţii indicatorilor economici pentru ţara noastră este indicat ca datele să înceapă după 1989. Înainte de aplicarea tehnicilor specifice de analiză şi previziune, dacă este necesar, unii indicatori vor fi exprimaţi în preţuri comparabile. Când se analizează spre exemplu evoluţia cifrei de afaceri sau a indicatorilor macroeconomici de rezultate şi ne interesează evoluţia datelor neafectate de schimbările de preţ, este indicat a se exprima datele în preţurile unui an bază de comparaţie, prin împărţirea acestora la un indice adecvat al preţurilor. De asemenea, creşterea în timp a unor variabile din economie se datorează în principal creşterii populaţiei, astfel că în aceste situaţii este mai util a se analiza evoluţia variabilei per cap de locuitor.

Atunci când cronograma indică prezenţa unor valori aberante, corespunzătoare unor greve, calamităţi naturale sau altor evenimente punctuale, acestea vor fi înlocuite cu valorile medii ce ar fi fost înregistrate în circumstanţe normale.

Frecvenţa măsurătorilor este condiţionată şi de practică. Spre exemplu, vânzările unui magazin pot fi înregistrate zilnic, profitul poate fi observat lunar şi / sau anual respectiv indicele bursier la încheierea zilei de cotaţie. În general, acolo unde sunt disponibile, poate fi utilă utilizarea unor date cât mai frecvente. Datele anuale nu fac posibilă observarea caracterului sezonier specific anumitor indicatori respectiv modelarea unor dependenţe în care timpul de reacţie al variabilei efect este scurt.

Atunci când elaborăm previziuni, bazate pe metode statistice, pornim de la ipoteza că fenomenul va continua să aibă acelaşi comportament ca şi în trecut. Este important ca analistul să se întrebe în ce măsură această presupunere este realistă, respectiv să ţină seama de aşteptările sale. Se spune pe bună dreptate că „previziunea rămâne în acelaşi timp ştiinţă şi artă”. Previziunea fenomenelor economice este o sarcină relativ dificilă, urmare a complexităţii mediului economic. Abordările tradiţionale sunt uneori subiective şi prea simplificatoare, în timp ce metodele moderne sunt mai riguros fundamentate teoretic dar sunt şi mai complexe, necesitând experienţă şi o intervenţie activă a analistului.

1.2. Măsuri pentru acurateţea previziunilor

4

Pentru un moment t de timp fixat, eroarea de previziune este diferenţa între valoarea observată şi cea previzionată ambele aferente momentului t:

Dacă modelul statistic generează previziunile corespunzătoare

observaţiilor pentru a măsura calitatea acestuia de a genera previziuni adecvate se utilizează o serie de indicatori sintetici ai erorilor de previziune, cei mai frecvent întâlniţi fiind:

- eroarea medie pătratică:

- eroarea medie absolută:

- eroarea medie absolută exprimată procentual:

Acesti indicatori pot fi utilizati si pentru a masura capacitatea modelului de a genera valori apropiate de cele observate, pentru seria de timp disponibila.

Atunci cand ne intereseaza calitatea preziunilor, inafara perioadei observate, de regula se utilizează doar o parte din date în estimarea modelului, cele rămase (cele mai recente), urmând a fi comparate cu previziunile corespunzătoare generate de model. Dintre mai multe modele alternative de previziune este selectat cel ce conduce la erori medii de previziune mai mici. După alegerea modelului, acesta poate fi reestimat luând în considerare toate datele disponibile. O altă variantă de lucru constă în compararea previziunilor obţinute din model cu cele generate “naiv”. Conform “modelului naiv de previziune” (mers aleator) valoarea înregistrată de variabilă în următoarea perioadă va fi cea înregistrată în prezent.

1.3. Componentele unei serii de timpÎn abordarea tradiţională, fluctuaţiile din seriile de timp sunt privite ca o rezultantă a

suprapunerii următoarelor componente: tendinţa T, componenta ciclică C, sezonieră S respectiv componenta reziduu sau eroare :

Primele trei componente sunt considerate deterministe, sistematice, determinate de factori cu acţiune continuă asupra fenomenului, în timp ce componenta reziduală are caracter aleator fiind efectul acţiunii unor factori imprevizibili, accidentali.

Modelul clasic de descompunere a seriilor de timp este de regulă: aditiv: sau multiplicativ: respectiv o combinaţie mixtă a componentelor seriei.

5

Deseori cele doua componente tendinta-ciclu sunt tratate ca si o singura componenta, ce surprinde evolutia pe termen lung, si se noteaza prin T, astfel

.În acest context, tehnicile de analiză a seriilor de timp au ca obiective:

separarea fiecărei componente şi modelarea comportamentului său, respectiv previziunea evoluţiei fiecărei componente, iar apoi compunerea acestora în scopul

obţinerii de previziuni privind evoluţia fenomenului Y. Principiul de la baza acestei tehnici este “descompune pentru a modela iar apoi recompune”.

Previziunile utilizând modelul de descompunere se obţin prin compunerea previziunilor realizate pentru fiecare componentă deterministă prezentă în serie, ţinând seama de forma modelului, aditiv respectiv multiplicativ:

respectiv .Extrapolarea tendinţei respectiv a celorlalte componente deterministe, conduce la previziuni adecvate în condiţiile în care:

- modelele estimate reuşesc să surprindă ceea ce este esenţial, repetabil, în comportamentul trecut al fenomenului respectiv

- comportamentul factorilor ce determină schimbările în timp în nivelul înregistrat de variabila Y rămâne şi pe viitor aproximativ acelaşi.

Extrapolarea este adecvată în principal pentru obţinerea de previziuni pe termen scurt, elaborându-se de regulă două sau mai multe scenarii de evoluţie.

Menţionăm deasemenea că uneori, în principal în econometrie unde variabilele incluse inre-un model sunt în prealabil desezonalizate, este necesară eliminarea componentei sezoniere din seria de timp, obţinându-se seria ajustată sezonier d:

.

Componentele deterministe sunt dificil de definit. Tendinţa sau tendinţa generală redă evoluţia fenomenului pe termen lung, având alura

unor funcţii neperiodice, lent variabile în timp. Factori cu acţiune permanentă asupra fenomenului (ex. creşterea populaţiei, progresul tehnic, inflaţia) imprimă, pe o perioadă lungă de timp, o tendinţă de regulă crescătoare sau descrescătoare majorităţii indicatorilor economici.

Un caz particular il constituie aici seriile de timp ce fluctueaza in jurul unei medii constante (tendinta este orizontala, paralela cu axa OX); spunem ca aceste serii sunt stationare, in medie)

Componenta ciclică este observabilă analizând evoluţia fenomenului pe termen lung, şi se manifestă sub forma unor oscilaţii cu perioadă şi amplitudine ce variază de regulă în timp, un ciclu acoperind câţiva ani de zile. Evoluţiile ciclice apar în principal urmare a ciclurilor economice sau a pulsaţiilor din cererea unui produs, componenta fiind prezentă în evoluţia unor indicatori macroeconomici de rezultate sau din domeniul financiar dar şi în alte domenii.

Componenta sezonieră se evidenţiază sub forma unor cicluri de durată mai mică sau egală cu un an, şi apare în principal datorită ritmului impus de schimbarea anotimpurilor dar şi de activităţi economice respectiv sociale (regularităţi în plata salariilor, sărbători, vacanţe, obiceiuri, tradiţii, etc.).

6

Componenta aleatoare sau reziduală se manifestă prin fluctuaţii aparent aleatoare în jurul componentelor deterministe, fiind efectul acţiunii unor factori cu acţiune punctuală în timp, de tipul evenimentelor politice sau meteorologice.

Componenta aleatoare este prezentă în toate seriile cronologice, în timp ce o serie poate prezenta sau nu tendinţa, variaţie ciclică sau sezonieră. Evidenţierea componentelor deterministe este dependentă şi de perioada supusă observării respectiv de frecvenţa observaţiilor. Deseori cronograma seriei si natura indicatorului sugerează componentele prezente.

Vor face obiectul acestui capitol doar componentele deterministe. Componenta aleatoare nu trebuie ignorată deoarece conţine informaţii utile în previziune, modelarea acesteia fiind abordată în principal în capitolul trei. Dacă nu se precizează altfel, în prezentul capitol pentru previziunea variabilei componenta aleatoare se ignoră (se presupune a fi nepredictibilă, adică de tip zgomot alb). In practică, identificarea şi separarea celor patru componente din seria cronologică nu sunt de regulă realizabile cu exactitate, reziduul rămas după extragerea estimaţiilor componentelor deterministe regăsindu-se în componenta aleatoare.

1.4. Estimarea tendinţei prin funcţii elementare

Pentru modelarea şi previziunea tendinţei se au în vedere funcţiile elementare lent variabile în timp. Vom considera în acest paragraf că seria prezintă doar tendinţă şi componentă aleatoare, modelul de descompunere fiind aditiv respectiv multiplicativ:

respectiv .De asemenea, în acest context presupunem ca tendinţa poate fi modelată suficient de bine prin funcţii elementare. Cele mai uzuale funcţii utilizate pentru modelarea tendinţei indicatorilor din economie sunt redate în tabelul 1.

Tabelul 1. Funcţii elementare utilizate în modelarea tendinţeiTendinţă Forma liniarizatăliniară

parabolă unde

hiperbolă

Unde

exponenţială unde

putere Unde

logaritmică unde

curba logistică

7

Curba logistică este o legitate specifică evoluţiei vânzărilor dintr-un nou produs, dar nu exclusiv acesteia, fiind adecvată pentru modelarea evoluţiei pe termen lung şi a altor indicatori (Melard, 1990).

Figura 1. Curba logistică

Graficul său din figura 1 indică, pentru exemplul vânzărilor dintr-un nou produs, o creştere accelerată a acestora după lansarea produsului, urmată de o încetinire a ritmului de creştere spre un prag de saturaţie egal cu a. Punctul de inflexiune al curbei este de coordonate (b/c, a/2).

Pentru estimarea parametrilor tendinţei liniare

se utilizează metoda celor mai mici pătrate (utilizată în estimarea ecuatiei de regresie liniara). Rolul variabilei exogene (independente) este jucat aici de variabila timp t:

.Expresiile de calcul a parametrilor a, b sunt deci următoarele:

,

,sau echivalent

Seria prezintă o tendinţă de creştere atunci când b > 0 respectiv de descreştere dacă b < 0.

Precizăm că variabila timp se măsoară cu ajutorul scalei de interval, astfel că originea scalei respectiv unitatea de măsură se pot stabili în mod arbitrar. Uneori, pentru uşurarea calculelor sunt stabilite astfel încât , variantele variabilei t rezultând în consecinţă. Astfel, daca n este impar respectiv pentru n par sau

Cu excepţia curbei logistice, celelalte funcţii neliniare din tabelul 6.1. pot fi aduse la o formă liniarizată prin anumite substituţii, respectiv prin aplicarea operaţiei de logaritmare în cazul funcţiei exponenţiale şi a funcţiei putere.

8

Spre exemplu în cazul tendinţei exponenţiale,

considerând un model de descompunere multiplicativ , operaţia de logaritmare a ambilor membri conduce la:

.Prin substituţiile se obţine forma liniarizată:

.Aplicând metoda celor mai mici pătrate, se determină A, B:

unde s-a notat . Coeficienţii A respectiv B se pot determina parametrii tendinţei exponenţiale .

În cazul tendinţei parabolice:

unde , pentru estimarea parametrilor a, b, c se utilizează relatiile de calcul deduse în cadrul regresiei liniare multiple, lucrând eventual cu variante pentru variabila t astfel încât (scopul fiind uşurarea calculelor).

Estimarea parametrilor curbei logistice necesită utilizarea unor metode specifice de tipul procedurilor numerice iterative pentru modele neliniare sau a metodei celor trei puncte (Melard, 1990), metode integrate în softurile pentru statistică.

Exemplu 1. Estimarea tendinţei liniare. Evoluţia lunară a uni indicator economic este redată în tabelul următor:

Luna (t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Indicator (yt) 3.7 3.8 4.1 4.3 4.5 4.8 4.9 5.1 5.3

Luna (t) 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Indicator (yt) 5.5 5.6 5.8 6.0 6.2 6.3 6.5 6.6 7.0

Cronograma seriei sugerează prezenţa unei tendinţe liniare, peste care se suprapune o

componentă aleatoare de amplitudine redusă:

Parametrii tendinţei se determină din relaţiile:

9

Figura 1. --o—Evolutie indicator; ------ Tendinţa

Exemplificăm din calculele intermediare:

rezultând

Tendinţa seriei se estimează prin funcţia de gradul întâi:

al cărei grafic este redat în figura 1.Previziunea obţinută prin extrapolarea tenţinţei estimate, pentru următoarea lună

este: = =3.55 + 0.19 19 = 7.16.

Exemplu 2. Estimarea tendinţei parabolice Vânzările dintr-un produs urmează în general pe termen lung o tendinţă conformă

curbei logistice. Considerând intervale mai scurte de timp, curba logistică poate fi privită ca o succesiune de tendinţe: în prima fază evoluţia poate fi schiţată printr-o dreaptă, urmată apoi de o exponenţială, iar în partea finală, pentru perioada de creştere lentă respectiv saturaţie se apelează de regulă la o parabolă.

Datele de mai jos redau evoluţia vânzărilor pe o perioadă de 10 luni consecutive din această perioadă finală:

Luna F M A M I I A S O N

10

Vânzări

20 32 40 47 52 60 62 63 65 67

Figura 2. Evoluţia volumului vânzărilor

Considerăm adecvat pentru modelarea tendinţei un polinom de gradul doi:

În condiţiile în care pentru estimarea parametrilor a, b şi c nu facem uz de un soft de statistică, vom stabili variantele variabilei timp astfel încât , respectiv aici (n par)

. Parametrii sunt în acest caz daţi de relaţiile:

Calcule intermediare:

t -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 Mediayt 20 32 40 47 52 60 62 63 65 67 50.8

81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 33-180 -224 -200 -141 -52 60 186 315 455 603 82.2

6561 2401 625 81 1 1 81 625 2401 6561 1933.81620 1568 1000 423 52 60 558 1575 3185 5427 1546.8

Se obţin următoarele valori pentru parametrii tendinţei:

11

Dacă ne punem problema alegerii celei mai adecvate funcţii dintre parabolă şi dreaptă (posibile funcţii sugerate de cronogramă pentru modelarea tendinţei) şi dispunem de un soft de statistica pentru efectuarea calculelor, este indicat a se utiliza criteriul

minimizării sumei pătratelor reziduurilor SSR= . Astfel:

se estimează parametrii dreptei , apoi se determină suma pătratelor reziduurilor SSR=

=210.07.

Variantele variabilei timp au fost considerate şi aici ;

pentru parabolă se obţine SSR = 11.25.Conform acestui criteriu, parabola este mai indicată decât dreapta în modelarea tendinţei.

Exemplu 3. Estimarea tendinţei exponenţialePreviziunea populaţiei unei ţări, a schimbărilor în structura sa pe vârste, constituie

componente importante ale deciziilor pe termen lung privind sistemul asigurărilor sociale (în principal a pensiilor) influenţând şi politica de imigrare.

Populaţia României a crescut în perioada 1980-1988 într-un ritm destul de accelerat, după cum arată şi datele de mai jos:An 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988

Nr. populaţiei (mil. loc.)

22.20 22.35 22.48 22.55 22.62 22.72 22.82 22.94 23.15

Vom modela tendinţa printr-o funcţie exponenţială, avand in vedere modelul multiplicativ:

Logaritmarea ambilor membrii conduce la liniarizarea tendinţei:,

respectiv,

unde .

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3.100 3.107 3.109 3.116 3.119 3.123 3.128 3.133 3.142

12

Se obţin pentru parametrii A respectiv B următoarele estimaţii:.

Parametrii tendinţei exponenţiale rezultă în consecinţă:

.

O extrapolare a acestei tendinţe ar indica o populaţie previzibilă pentru anul 2000 de:= 22.11 (1.005)21 = 24.36 mil. locuitori,

valoarea reală fiind de 22.43 mil. locuitori. După 1989 nu s-a menţinut tendinţa de creştere a numărului populaţiei, mediul economic şi social, cu influenţă directă asupra evoluţiei populaţiei unei ţări, schimbăndu-se substanţial faţă de cel din perioada 1980 – 1988 (perioadă utilizată în estimarea tendinţei).

1.5. Estimarea tendintei utilizând mediile mobile Atunci când cronograma seriei nu oferă indicii foarte clare privind prezenţa respectiv

forma tendinţei, este indicat a se utiliza în prealabil o tehnică de netezire ce atenuează amplitudinea fluctuaţiilor aleatoare din serie, scopul fiind evidenţierea (estimarea) tendinţei. Metoda mediilor mobile, netezirea exponenţială dar şi alte filtre de netezire sunt utilizate frecvent în practică. Consideram în acest paragraf că seria prezintă doar tendinţă şi componentă aleatoare, iar modelul de descompunere este unul aditiv:

.Metoda mediilor mobile

Media mobilă se defineşte ca o combinaţie liniară de puteri pozitive şi negative ale operatorului de întârziere L:

cu

unde iar operatorul de întârziere L este definit prin:

O medie mobilă este centrată dacă m1=m2=m. Media mobilă este simetrică dacă este centrată şi coeficientii simetrici sunt egali . O medie mobilă simetrică se notează prin , indicându-se ordinul acesteia respectiv coeficienţii. Transformările utilizate frecvent în practică sunt mediile mobile simetrice:

fiecare valoare observată fiind înlocuită cu o medie ponderată a termenilor adiacenţi.Metoda mediilor mobile, utilizată în acest context, are ca şi obiective conservarea

tendintei T şi reducerea amplitudinii componentei eroare: eliminarea componentei aleatoare respectiv conservarea tendinţei .

13

Pornind de la cele două cerinţe se pune problema determinării adecvate a ordinului mediei mobile respectiv a coeficienţilor .

Se va aborda în continuare problema determinării unor condiţii suficiente pentru ca media mobilă să conserve o tendinta liniata. În acest sens se cunoaşte următoarea proprietate ce specifică condiţii suficiente pentru ca o medie mobilă să conserve polinoame de un anumit grad.

Proprietate (Gourieroux & Monfort, 1990). O medie mobilă centrata si simetrica conservă polinoame de grad mai mic sau egal cu p dacă λ = 1 este rădăcină de ordin

a ecuaţiei caracteristice:

În ceea ce priveşte transformarea componentei eroare printr-o medie mobilă:

se observă că atunci când constituie o secvenţa de variabile aleatoare necorelate şi de aceeaşi varianţă , noile variabile au media respectiv varianţa:

.

Prin aplicarea unei medii mobile, varianţa componentei eroare este diminuată atunci când

. Raportul de reducere a varianţei erorii se defineşte prin:

şi măsoară capacitatea mediei mobile de a reduce această componentă.

Mediile aritmeticeCele mai simple medii mobile simetrice sunt mediile aritmetice:

;

Mediile aritmetice constituie un caz particular de medie mobilă centrată şi simetrică,

coeficienţii fiind toţi egali cu . Coeficienţii acesteia s-au dedus din

următoarele cerinţe (Gourieroux & Monfort, 1990):

media mobilă lasă invariantă o constantă, condiţie echivalentă cu

respectiv

minimizează raportul de reducere a varianţei componentei eroare .

Se arată că mediile aritmetice lasă invariantă tendinţa liniară, dar nu şi tendinţe polinomiale de grad mai mare sau egal cu doi.

14

Observaţii. a) Pentru o medie aritmetică, raportul de reducere a varianţei erorii

este egal cu , astfel că secvenţa rezultată în urma aplicării mediilor mobile este cu

atât mai netedă cu cât ordinul mediei mobile este mai mare;b) Tendinţa seriei se estimează prin seria mediilor mobile .

Dezavantajul major al metodei mediilor mobile constă în imposibilitatea determinării unor valori netezite pentru primii respectiv ultimii termeni din seria de timp.

În practică, alegerea ordinului mediei mobile pentru eliminarea componentei aleatoare rămâne în sarcina statisticianului, fiind indicat un ordin mai mare dacă amplitudinea fluctuaţiilor aleatoare este mai mare. Oricum, oscilaţiile din componenta aleatoare fiind neregulate, eliminarea acesteia se realizează doar parţial. Prin aplicarea unei medii mobile, indiferent de ordinul acesteia, amplitudinea fluctuaţiilor se reduce.

Medii mobile centrate Mediile aritmetice necesită un numar impar de observaţii, în calculul

fiecărei medii. Dacă ordinul mediei mobile MM(p)este un numar par atunci de regula se utilizeaza mediile mobile centrate şi simetrice, definite astfel:

,

În cazul particular p = 4 mediile mobile centrate sunt date de relaţiile:

sau

Rezultă:

Astfel, se realizează o corespondenţă între valorile observate şi mediile mobile .

Alte medii mobile utilizate în practicăDeasemenea, în scopul netezirii seriei sunt utilizate şi alte cazuri particulare de

medii mobile, precum mediile lui Henderson (sau filtrul Henderson) de ordin 5, 7, 9, 13, 23 (Makridakis et all, 1998). Acestea sunt medii centrate, simetrice, spre exemplu mediile lui Henderson de ordin 9 au coeficienţii :

15

Mediile mobile ponderate acordă o importanţă diferită observaţiilor, de regulă ponderea mai mare corespunde observaţiei corespunzător căreia i se ataşează valoarea netezită; un exemplu de medie mobilă pnderată este şi următoarea:

.

Mediile mobile sunt deasemenea cele mai populare tehnici de netezire utilizate în analiza tehnică. Analiza tehnică este utilizata de către investitorii pe piaţa de capital, în scopul identificării tendinţei Există mai multe tipuri de medii mobile utilizate în acest context. Singura diferenţă semnificativă între diversele tipuri de medie mobile este ponderea acordată datelor recente; acestea sunt de regulă medii asimetrice. Media mobilă simplă spre exemplu asociază ponderi egale tuturor preţurilor şi se calculează însumând preţurile de închidere ale unei acţiuni pentru ultimele p perioade şi împărţind totalul la numărul de perioade ales:

.

Ordinul mediei mobile p trebuie să se potrivească cu ciclul pieţei pe care dorim să îl urmărim. De exemplu, dacă o acţiune are un ciclu de creştere-scădere de 40 de zile, media mobilă ideală se va baza pe 21 de zile de tranzacţionare; practica sugerează următoarea regulă: ordinul mediei mobile = lungimea cilcului bursier/2 +1. Un ordin des utilizat este cel de 200 de zile, reuşind să indice tendinţa pieţei pe termen lung (tendinţa generală a pieţei). Un semnal de cumpărare este generat când preţul acţiunii creşte peste media sa mobilă, iar semnalul de vânzare este generat de scăderea preţului sub media mobilă.

Exemplu 4. Reducerea amplitudinii componentei aleatoare utilizând medii mobile

Evoluţia cursului unei acţiuni este dominată în principal de fluctuaţii aleatoare. Evidenţierea şi estimarea unor componente deterministe, în scopul efectuării de previziuni este uneori imposibilă, cea mai adecvată previziune pentru cursul din cotaţia următoare fiind chiar cursul prezent (model de tip mers aleator).

Pentru 16 zile succesive de cotaţie redăm grafic în figura 3 evoluţia cursului unei acţiuni. In scopul evidenţierii tendinţei s-au utilizat mediile mobile de ordin 3, respectiv 7, rezultatele fiind redate în tabelul de mai jos, iar grafic în figura 3:

Zi (t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Curs (yt)

29.9

29.8

30.1

31.2

31.9

30.1

28.6

31.5

31.2

30.7

31.2

30.4

31.0

30.4

31.5

32.7

MM(3)

- 29.9

30.4

31.1

31.1

30.2

30.1

30.4

31.1

31.0

30.8

30.9

30.6

31.0

31.5

-

Mediile mobile de ordin 3:

respectiv

16

celelalte fiind calculate într-o manieră similară.Observăm că mediile mobile de ordin 3 nu conduc la rezultate satisfăcătoare. Prin

utilizarea unei medii mobile de ordin 7 gradul de netezire creşte, dar numărul termenilor seriei valorilor netezite se reduce substanţial (la 10 termeni).

Figura 3. --o-- Cursul acţiunii , ---- MM(3), ----- MM(7)

1.6. Componenta sezonieră. Estimarea componentei sezonierePresupunem în acest paragraf că seria cronologică prezintă tendinţă, sezonalitate

şi o componentă aleatoare.

1.6.1 Modelul de descompunere. Perioada componentei sezoniere

Pentru alegerea modelului de descompunere este indicat a se analiza cronograma seriei. Tabelul 1 ilustrează modul de obţinere a două serii, din date fictive, prin compunerea dintre o tendinţă liniară şi o componentă sezonieră. Pentru claritate, s-a considerat ca seriile nu prezintă componentă ciclică respectiv aleatoare, adică şi

în cazul modelului aditiv respectiv şi în caz multiplicativ.

Tabelul 1. Modele de descompunere a seriilor cronologiceTrim t Model aditiv Model multiplicativ

Tt St Yt = Tt + St Tt St Yt = Tt * St

I 1 10 -3 7 10 0,75 7,5II 2 12 4 16 20 1,25 25III 3 14 6 20 30 1,5 45IV 4 16 -7 9 40 0,5 20I 5 18 -3 15 50 0,75 37,5II 6 20 4 24 60 1,25 81III 7 22 6 28 70 1,5 105

17

IV 8 24 -7 17 80 0,5 40I 9 26 -3 23 90 0.75 67.5II 10 28 4 32 100 1.25 125III 11 30 6 36 110 1.5 165IV 12 32 -7 25 120 0.5 60

Cronograma celor două serii este redată în figura 4 respectiv 5.În general, este adecvat un model aditiv atunci când amplitudinea oscilaţiilor este

aproximativ constantă (vezi figura 4) respectiv multiplicativ dacă amplitudinea creşte (figura 5) sau scade în timp. Frecvent în practică este mai adecvat modelul multiplicativ.

Perioada componentei sezoniere, notată cu p, reprezintă numărul unităţilor de timp din cadrul unui ciclu sezonier. Majoritatea seriilor sezoniere din domeniul economic au durata unui ciclu de un an, p fiind egal cu 4 în cazul datelor trimestriale respectiv 12 în cazul datelor lunare. Prin extensie pot fi studiate şi fenomene cu durata unui ciclu mai mică de un an. Exemple în acest sens sunt prezentate în tabelul 2.

Figura 4. Modelul aditiv T + S

Figura 5. Modelul multiplicativ T×S

18

Tabelul 2. Exemple de serii cu componentă sezonieră Durata unui ciclu sezonier

Date Perioada p Exemple

1 an trimestrialelunare

412

încasări din vânzarea băuturilor răcoritoare

vânzările de jucării preţul unor produse agricole cifra de afaceri a societatilor din

transportul de calatori respectiv din construcţii

consum gaz, energie electrică pentru uz casnic.

o săptămână Zilnice 7 volumul vânzărilor unui magazin alimentar

încasările unui cinematografo zi din oră în

oră numarul de călători ce folosesc

mijloacele de transport în comun retragerile de la o bancă

Cronograma seriei respectiv natura variabilei sugerează de regulă perioada p. Pentru descoperirea unor oscilaţii ascunse se apelează la metode specifice analizei spectrale (Tertişco ş.a., 1985).

1.6.2 Eliminarea componentei sezoniere utilizând mediile mobile

Pentru eliminarea componentei sezoniere (desezonalizarea seriei), în scopul separării ei, se aplică datelor o medie mobilă de ordin p egal cu perioada componentei sezoniere. În acest context mediile mobile sunt transformări liniare f utilizate în scopul desezonalizării seriei respectiv al atenuării amplitudinii fluctuaţiilor aleatoare:

eliminarea componentei sezoniere , eliminarea componentei aleatoare respectiv conservarea tendinţei şi a componentei ciclice .

Proprietăţi ale mediilor mobile

Dacă seria este periodică:

atunci prin aplicarea unei medii mobile de ordin p egal cu perioada, oscilaţiile se elimină din date, valorile netezite fiind constante . Astfel, pentru eliminarea unei componente sezoniere de ordin p se va aplica seriei o medie mobilă de ordin p.

Mediile mobile de tipul mediilor aritmetice pentru p impar respectiv a mediilor mobile centrate pentru p par, prezentate în paragraful anterior, lasă nedeviată tendinţa de gradul întâi . Astfel, tendinţa liniară se conservă prin aplicarea acestor medii mobile. Teoria permite construirea unor medii mobile ponderate ce conservă şi polinoame de grad superior.

19

Valorii observate îi corespunde o valoare netezită calculată ca o medie aritmetică a valorilor adiacente.

Seria valorilor netezite are mai puţin cu respectiv cu termeni decât seria iniţială, după cum p este impar sau par. Acest aspect constituie un dezavantaj al metodei.

Exemplu 5. Eliminarea componentei sezoniere utilizând mediile mobileDatele din tabelul de mai jos se referă la transportul feroviar de călători. Parcursul

pasagerilor, exprimat în milioane kilometri, a evoluat lunar astfel:

LunăAn

I F M A M I I A S O N D

1999 184 167 193 220 202 252 325 296 220 196 174 2532000 178 175 188 230 213 272 330 279 225 198 187 2472001 176 157 183 220 189 332 315 276 209 186 164 243

Graficul seriei din figura 6 sugerează o componentă sezonieră predominantă, de perioadă p = 12, conform aşteptărilor traficul fiind mai intens în lunile de vară respectiv în perioada sărbătorilor de iarnă. Pentru eliminarea sezonalităţii aplicăm datelor o medie mobilă de ordin 12, egal cu perioada componentei sezoniere. Graficul valorilor desezonalizate este prezentat în figura 6.

Mediile mobile de ordin p = 12 sunt calculate conform relaţiei de definiţie a mediilor mobile centrate. Astfel, spre exemplu:

...

20

Figura 6. --o-- Parcurs pasageri; ----- MM(12)

Datele observate au fost indexate aici în ordine cronologică . Tabelul 3 indică valorile mediilor mobile. Seria mediilor mobile prezentată grafic în figura 6 indică absenţa componentei de tendinţă în evoluţia traficului de călători pe perioada considerată.

Tabelul 3. Mediile mobile de ordin 12t MM(12) t MM(12) t MM(12)1 - 13 226.9 25 226.32 - 14 226.4 26 225.53 - 15 225.9 27 224.74 - 16 226.2 28 223.65 - 17 226.8 29 222.16 - 18 227.1 30 221.07 223.3 19 226.7 31 -8 223.3 20 225.9 32 -9 223.5 21 224.9 33 -10 223.7 22 224.3 34 -11 224.5 23 222.9 35 -12 225.8 24 224.4 36 -

1.6.3 Estimarea componentei sezoniere

În cele ce urmează estimarea componentei sezoniere se realizează prin intermediul coeficienţilor sezonalităţii. Alte alternative de estimare a componentei sezoniere sunt:

introducerea ei într-un model de regresie multiplă prin intermediul unor variabile alternative(Gourieroux et all, 1990);

modelarea componentei sezoniere prin intermediul funcţiilor trigonometrice (Tertişco ş.a., 1985).

În vederea determinării coeficienţilor sezonalităţii vom utiliza următoarele notaţii: i indice pentru ciclu sezonier, variind de la 1 la n;j indice pentru sezon, variind de la 1 la p.

21

Modelul de descompunere aditiv respectiv multiplicativ are forma: respectiv

Sezonalitatea se manifestă sub forma unor abateri de la componentele evoluţiei pe termen lung (tendinţă şi componenta ciclică). Indicii respectiv coeficienţii sezonalităţii cuantifică aceste abateri de la tendinţă - ciclu, urmare a acţiunii factorilor sezonieri. În funcţie de ipoteza considerată privind componenta tendinţă - ciclu în practică întâlnim în principal două metode de calcul a acestora: metoda comparării cu mediile mobile respectiv metoda comparării cu tendinţa.

1. Metoda comparării cu mediile mobile

Se consideră, în acest context, că seria prezintă componentă pe termen lung tendinţă-ciclu, dar nu se emite o ipoteză privind forma acestora. Componenta evoluţiei pe termen lung tendinţă- ciclu este privită ca o medie curentă a seriei , estimată prin mediile mobile .

În cazul modelului multiplicativ,

metoda se întâlneşte în literatură şi sub denumire de metoda raportării la mediile mobile şi constă în următoarele:

calculul mediilor mobile de ordin p egal cu perioada componentei sezoniere; calculul rapoartelor ce cuantifică abaterea datelor observate de la

tendinţă. Dacă fixăm indicele j, aceste rapoarte constituie estimaţii pentru indicele sezonalitaţii aferent sezonului ;

determinarea unui indice mediu pentru fiecare sezon ca o medie a estimaţiilor precedente:

,

aceasta justificându-se prin necesitatea eliminării efectului aleator din . Pentru a nu fi afectaţi de valorile extreme, uneori înainte de calculul mediei, aceste valori se elimină, sau în loc de medie se consideră valoarea mediană a estimaţiilor ;

determinarea componentei sezoniere , etapă ce constă într-o corecţie adusă indicilor medii astfel încât media lor să fie 1:

.

Această cerinţă impusă indicilor sezonalităţii este naturală, variaţiile sezoniere se compensează în medie pe parcursul unui an. Observaţie: uneori nu se efectuează această corecţie, componenta sezonieră fiind estimată prin indicii indicilor medii .

Valorile rezultate se numesc indici ai sezonalităţii şi constituie componenta sezonieră. În sezoanele pentru care Sj *100 < 100 factorii sezonieri au condus la o abatere în minus a valorii observate faţă de valoarea corespunzătoare de pe

22

tendinţă în medie cu 100(Sj –1) procente, respectiv dacă Sj > 1 valorile observate sunt mai mari decât cele de pe tendinţă în medie de Sj ori.

În cazul modelului aditiv

determinarea componentei sezoniere decurge analog, dar având în vedere forma aditivă de descompunere, coeficienţii ce intervin se determină astfel:

iar ajustarea coeficienţilor medii , pentru a obţine componenta sezonieră sau coeficienţii sezonalităţii se face astfel încât media lor să fie zero:

.

2. Metoda comparării cu tendinţa

Această metodă porneşte de la premisa modelării tendinţei printr-o funcţie elementară. Calculele privind estimarea componentei sezoniere decurg după aceleaşi principii expuse la metoda comparării cu mediile mobile. Astfel, spre exemplu în cazul modelului multiplicativ se determină:

valorile tendinţei ; raportul între valorile observate şi tendinţă ; componenta sezonieră, aceasta constând în indicii sezonalităţii:

.

1.7 Descompunerea seriei pe componenteEstimarea tendinţei seriilor sezoniereÎn cazul seriilor sezoniere se întâlnesc preponderent în literatură mai multe modalităţi de estimare a tendinţei:

desezonalizarea seriei iar apoi estimarea tendinţei pornind de la valorile desezonalizate (Florea ş.a., 1998);

modelarea tendinţei pornind de la mediile anuale estimarea tendinţei prin utilizarea unei metode de netezire.

Estimarea tendinţei pornind de la valorile desezonalizate Conform proprietăţii mediilor mobile de anulare a componentelor periodice, pentru

eliminarea componentei sezoniere se va aplica datelor o medie mobilă de ordin p, unde p este perioada componentei sezoniere. Seria mediilor mobile rezultată, numită şi seria valorilor desezonalizate, nu conţine componenta sezonieră. Pentru modelarea tendinţei seriei iniţiale se va estima deci componenta de tendinţă, conform celor prezentate în paragraful 1.4, pornind de la seria mediilor mobile . În exemplul 6 vom utiliza această abordare.

23

Estimarea tendinţei în baza mediilor aferente fiecărui ciclu sezonierAceastă modalitate de estimare presupune calculul valorii medii a variabilei Y pentru

fiecare din cele n cicluri sezoniere supuse observării:

.

Seria cronologica a mediilor corespunzatoare fiecărui an:

,

nu conţine componentă sezonieră, estimarea tendinţei realizându-se aici în baza celor prezentate în paragraful 1.4.

Estimarea tendinţei prin utilizarea unei metode de netezirePentru estimarea tendinţei se poate aplica o metoda de netezire. De regulă acesta se

aplică seriei ajustate sezonier (sau desezonalizate):

Spre exemplu în softul Statistica, pentru estimarea tendinţei se aplică o medie mobilă ponderată de ordin 5:

seriei ajustate eszonier. Această metodă nu permite şi generarea de previziuni.Odată estimate componentele deterministe, componenta aleatoare se obţine prin

eliminarea acestora din datele observate:

în cazul modelului multiplicativ, respectiv

în caz aditiv.Seria cronologică cu datele iniţiale poate fi descompusă astfel pe componente.

Exemplu 6. Estimarea componentelor deterministe în cazul seriilor sezoniere Datele privind evoluţia trimestrială a producţiei de bere (mii hl) realizată de către o

societate în perioada 2001-2006 sunt indicate în tabelul 4.Tabelul 4. Evoluţia trimestrială a producţiei de bere, perioada 2001-2006

An/Trim.

I II III IV

2001

124.1

263.2

252.4

124.5

2002

130.1

280.2

260.6

151.1

2003

157.5

301.2

353.3

185.0

2004

169.

340.

350.

168.

24

7 0 9 72005

177.5

407.6

417.2

224.1

2006

a) Calculul mediilor mobile de ordin p=4Graficul seriei, din figura 7, indică prezenţa unei componente sezoniere

predominante, de perioadă p = 4. Punctul de pornire în estimarea componentelor deterministe îl constituie seria mediilor mobile (valorilor desezonalizate) prezentată în tabelul 5, iar grafic în figura 7.

Mediile mobile de ordin p = 4 sunt calculate conform relaţiei de definiţie a mediilor mobile centrate. Astfel, spre exemplu:

Datele observate au fost numerotate aici în ordine cronologică .Tabelul 4. Mediile mobile de ordinul 4

t MM(4) t MM(4)1 - 13 261.72 - 14 259.43 191.8 15 258.34 194.7 16 267.75 197.8 17 284.56 202.2 18 299.77 208.9 19 309.88 214.9 20 310.29 229.2 21 308.4

25

10 245.0 22 306.011 250.8 23 -12 257.1 24 -

b) Estimarea tendinţei pornind de la seria mediilor mobileSeria mediilor mobile prezentată grafic în figura 7. relevă o uşoară tendinţă de

creştere a producţiei de bere. Vom considera tendinţa liniară:,

originea de măsurare a timpului trimestrul II al anului 2001, unitatea de măsură un trimestru. Astfel, pentru trimestrul III 2001 avem t = 1 ş.a.m.d:

t 1 2 3 ... 19 20Mediile mobile ( ) 191.8 194.7 197.8 ... 308.4 306.0

Calcule intermediare:

Tendinţa producţiei de bere în este estimată prin ecuaţia liniară:.

Figura 7. --o-- Producţia de bere; ---- MM(4); ---- Tendinţa

c) Estimarea componentei sezoniere prin metoda raportării la mediile mobileCum amplitudinea oscilaţiilor creşte uşor în timp, cronograma seriei sugerează luarea

în considerare a unui model multiplicativ:; iar .

Datele sunt disponibile pentru 6 ani şi sunt prezente aici 4 sezoane. Ţinând seama de notaţiile specifice acestui paragraf, reprezintă nivelul producţiei de bere în anul i trimestrul j. Astfel,

26

spre exemplu sau . Mediile mobile din tabelul 4 vor fi transpuse într-un tabel analog cu cel de prezentare a datelor observate:

An/Trim. I II III IV2001 - - 191.8 194.72002 197.8 202.2 208.9 214.92003 229.2 245.0 250.8 257.12004 261.7 259.4 258.3 267.72005 284.5 299.7 309.8 310.22006 308.4 306.0 - -

Rapoartele , respectiv mediile acestora pentru fiecare sezon sunt indicate în

tabelul 5.

Tabelul 5. Calculul indicilor sezonalităţiiAn/Trim. I II III IV

1996 - - 131.6 63.91997 65.8 138.6 124.7 70.31998 68.7 122.9 140.9 71.91999 64.8 131.1 135.8 63.02000 62.4 136.0 134.7 72.72001 65.8 125.9 - -

65.5 130.9 133.5 68.4 Media 99.6

65.6 131.4 134.0 68.8 Media 100

Explicaţii privind calculele:

, ,

, ş.a.m.d.

Cum era de aşteptat, aceste rapoarte între datele observate şi mediile mobile sunt mai mici decât 1 pentru trimestrele I şi IV, când nivelul producţiei a fost sistematic mai mic (sub tendinţă).

Valoarea medie a acestor indici este 99.6, astfel că este necesară o corecţie astfel încât media să fie 100:

.

Urmare a caracterului sezonier specific producţiei de bere, în trimestrul I producţia a fost mai mică în medie cu 34.4% decât valorile corespunzătoare de pe tendinţă. În trimestrul II producţia a fost în medie mai mare de 1.314 ori decât valorile de pe tendinţă. Analog se interpretează S3 şi S4.

27

Componenta sezonieră este dată de vectorul format cu indicii sezonalităţii:S=(S1, S2, S3 , S4 ) = (0.656; 1.314; 1.340; 0.688).

d)Descompunerea seriei pe componentePentru tendinţă a fost estimat modelul liniar:

t=1, 2, ....originea de măsurare a timpului fiind trimestrul II al anului 2001, unitatea de măsură un trimestru. Componenta sezonieră constă în indicii sezonalităţii:

.Componenta aleatoare (reziduu) se deduce ţinand seama de forma multiplicativă a modelului:

Tabelul 6. Descompunerea seriei pe componente

An Trim. Producţie Y

MM(4) Tendinţă T

Comp. sezonieră S

Reziduu

2001 I 124.1 - - - -II 263.2 - - - -III 252.4 191.8 187.34 1.340 1.005IV 124.5 194.7 194.24 0.668 0.959

2002 I 130.1 197.8 201.14 0.656 0.986II 280.2 202.2 208.40 1.314 1.023III 260.6 208.9 214.94 1.340 0.905IV 151.1 214.9 221.84 0.688 1.020

2003 I 157.5 229.2 228.74 0.656 1.049II 301.2 245.0 235.64 1.314 0.973III 353.3 250.8 242.54 1.340 1.087IV 185.0 257.1 249.44 0.688 1.078

2004 I 169.7 261.7 256.34 0.656 1.009II 340.0 259.4 263.24 1.314 0.983III 350.9 258.3 270.14 1.340 0.969IV 168.7 267.7 277.04 0.688 0.885

2005 I 177.5 284.5 283.94 0.656 0.953II 407.6 299.7 290.84 1.314 1.066III 417.2 309.8 297.74 1.340 1.046IV 224.1 310.2 304.64 0.688 1.069

2006 I 209.9 308.4 311.54 0.656 1.027II 385.3 306.0 318.44 1.314 0.856III 425.6 - 325.34 1.340 0.976IV 196.6 - 332.24 0.688 0.860

e) Previziuni utilizând modelul de descompunerePreviziunile privind evoluţia variabilei analizate se obţin prin compunerea

previziunilor realizate pentru fiecare componentă prezentă în serie, ţinând seama de forma modelului:

respectiv .

28

Notăm cu previziunea realizată la momentul T, utilizând datele , pentru un orizont de timp h. În cele ce urmează previziunea componentelor deterministe se realizează astfel:

tendinţa: se extrapolează tendinţa estimată printr-o funcţie elementară. Spre exemplu în cazul tendinţei liniare:

dacă variantele variabilei timp t sunt: 1, 2, ...T. Se are în vedere aici modul de definire a variantelor variabilei timp;

componenta sezonieră: se utilizează coeficientul sezonalităţii aferent sezonului corespunzător momentului T+h.

Tabelul următor conţine previziunile privind nivelul producţiei de bere pentru următoarele trei trimestre:

An Trim. Tendinţă Sezonalitate Previziune

2006 III 325.34 1.34 435.95IV 332.24 0.688 228.58

2007 I 339.14 0.656 217.9

Modelul de descompunere considerat a fost cel multiplicativ, astfel că valorile previzionate se obţin din relaţia:

Spre exemplu, pentru trimestrul III din 2006, valorile tendinţei respectiv a componentei sezoniere sunt:

(21) = 180.44 + 6.9 21 = 325.34 respectiv = 1.34

valoarea previzionată fiind:

.

29

Capitolul 2. Metode de netezire exponenţială

Tehnicile de netezire sunt utilizate pentru a genera valori netezite (atenuarea fluctuaţiilor aleatoare din date) din care s-a eliminat componenta aleatoare) respectiv pentru obţinerea de previziuni. Valoarea netezita corespunzatoare valorii observate se va nota prin . Deasemenea vom nota prin previziunea variabilei Y efectuată la

momentul t, pe baza datelor disponibile în acest moment , , ..., , pentru un orizontul de timp h. O alta notatie intalnita in literatura de specialitate pentru este

, aceasta fiind de fapt o previziune pentru variabila aleatoare . Previziunea pentru urmatoarea perioada este considerata egala cu valoarea netezita curenta:

Daca seria de timp este generată de un proces staţionar în medie (proces aflat în echilibru în jurul unei constante) atunci, media ultimilor t termeni ai seriei poate fi utilizată pentru generarea previziunii aferente urmatoarei perioade:

.

Valoarea medie minimizează indicatorul MSE. Deasemenea daca seria contine doar tendinta si componenta aleatoare atunci o medie mobila, de tipul mediei aritmetice simple calculată pentru ultimele k observaţii poate fi considerată previziune pentru urmatoarea perioadă de timp:

.

Gradul de netezire al seriei este mai mare pe masura ce k creste. Observam caci termenii seriei netezite sunt generati de o relatie de recurenta:

30

unde .

Pentru primii k termeni ai seriei nu pot fi determinate valorile netezite corespunzatoare. În acest caz numărul termenilor din medie rămâne constant, iar observaţiile au toate aceeaşi pondere. O extensie naturală a acestei abordări (de previziune cu ajutorul mediilor mobile) o constituie previziunea utilizând medii mobile ponderate:

unde .

De regula ponderile alocate observatiilor recente sunt mai mari. În acest capitol vom discuta o clasă de metode ce atribuie termenilor seriei ponderi descrescătoare exponenţial, pe măsură ce observaţiile sunt mai îndepărtate în timp, numite metode de netezire exponentiala.

Avantaje ale metodelor de netezire exponentiala, în previziune: - reduc intervenţia analistului în elaborarea previziunilor. Se utilizează pentru

obţinerea rapidă de previziuni (ex. pentru previziune lunară a vânzărilor unei firme, din fiecare sortiment de produs). Pot fi aplicate si atunci cand lungimea seriilor de timp este mai scurta

- nu necesită separarea componentelor deterministe (tendinţă, sezonalitate)- în practică s-au dovedit a fi candidate serioase ale altor metode mai complexe.

Metodele din această clasă implică utilizarea unor coeficienţi de netezire, cu valori între 0 şi 1, ce facilitează alocarea unor ponderi inegale termenilor seriei. 2.1. Metoda de netezire exponenţială simplă (pentru serii staţionare)Ca şi metoda de previziune, acest model este adecvat pentru previziunea seriilor de timp ce fluctuează aleator în jurul unei valori constante (staţionare în medie), nu au tendinţă sau componentă sezonieră):

Se presupune aici caci constanta m ramane relativ stabila pe intervale succesive de timp. Considerăm t momentul prezent. Pentru a previziona următoarea valoare , utilizând datele disponibile până la acest moment , , ..., se utilizează relaţia de recurenţă:

t=1,2,....unde este constanta de netezire. Aceasta metoda poate fi privita ca o metoda de netezire. Relatia de recurenta se aplica succesiv pentru fiecare observatie din seria de timp. Valoarea previzionata pentru următoarea perioadă se calculează ca o medie

ponderata intre observatia curenta (ultima valoare disponibilă) si previziunea precedentă (efectuată la pasul anterior). Cand valorile previzionate sunt egale cu ultima observaţie. Atunci când se utilizează în scopul netezirii, valoarea netezită asociată valorii observate este generată de o relaţie similară:

întrucât previziunea pentru următoarea perioadă este considerată egală cu valoarea netezită curentă:

.

31

Pentru perioada observată, seria cu valorile previzionate , , ..., , sau echivalent

, , ..., este seria valorilor netezite. Intuitiv, implicaţiile metodei devin mai evidente dacă utilizăm succesiv relaţia de recurenţă anterioară pentru , , ..., :

Astfel, valoarea previzonată se determină ca o media ponderată a tuturor observaţiilor, ponderea fiecărei observaţii descreşte exponenţial pe măsură ce ne îndepărtăm de prezent, ţinând seama de următoarele:

Yt pondere cYt-1 pondere c(1-c)Yt-2 pondere c(1-c)2

………. ................................................

Y1 pondere c(1-c)t-1

Cea mai mare pondere o are observaţia curentă Yt. Suma ponderilor asociate tuturor observaţiilor tinde spe unu atunci cand numărul observaţiilor este mare. Deasemenea, o altă formă a relaţiei de recurenţă este următoarea:

unde este eroarea de previziune, la momentul t. Se poate vedea că previziunea pentru următoarea perioadă este egală cu valoarea curentă ajustată în funcţie de ultima eroare de previziune.

Utilizarea oricăreia din cele trei forme ale relaţiilor ce definesc această metoda necesită:

- o valoare iniţială . De regulă pentru aceasta se consideră prima valoare

observată sau media seriei sau media primilor termeni ai seriei;- o valoare adecvată pentru constanta de netezire c. Cand c are o valoare apropiată

de 1 atunci se acordă o pondere mai mare observaţiilor recente, fiind adecvată pentru serii netede. Atunci când c este aproape de 0 previziunea depinde într-o mai mare măsură de valorile înregistrate în trecut, fiind adecvată pentru serii cu o amplitudine mare a fluctuaţiilor.

De regulă softurile statistice selectează o valoare optimă pentru c, fiind aceea valoare pentru care unul din indicatorii sintetici ai erorilor de previziune (MSE, MAE, MAPE or SSE) este minim. Frecvent se minimizează media pătratelor erorilor de previziune

SSE =

eroarea de previziune fiind:.

Atunci când este utilizată în scopul netezirii, metoda produce valori mai netede atunci când c este aproape de zero, ponderile asociate valorilor curente, în relaţia de recurenţă:

fiind mici.

32

Previziunile înafara perioadei observate sunt constante, pentru orice orizont de previziune :

.

2.2 Metoda Holt de netezire exponenţială (pentru serii cu tendinţă)Metode de netezire exponenţială simplă a fost extinsă de către Holt pentru serii ce prezintă tendinţă (şi componentă aleatoare). Ideea: ajustarea seriei în vecinătatea originii previziunii cu o dreaptă, tendinţa fiind presupusă liniară pe porţiuni:

unde nivelul seriei at (termenul liber din ecuaţia dreptei de ) respectiv panta dreptei b t se modifică conform unor relaţii de recurenţă asemănătoare cu cele din cazul metodei de netezire exponenţiale simple:

.

Pentru previziune, panta se înmulţeşte cu orizontul de previziune şi se adună la nivelul seriei . Pentru perioada observată, previziunile se fac pas cu pas, astfel orizontul de previziune este unu. Valoarea previzionată pentru următoarea perioadă:

Atunci când devine disponibilă o nouă observaţie (şi originea previziunii devine t) parametrii dreptei, termenul liber asimilat cu nivelul seriei respectiv panta dreptei se ajustează conform relaţiilor de recurenţă prezentate. Nivelul seriei la momentul t notat prin este o medie ponderată între nivelul său previzionat anterior şi

noua observaţie disponibilă. Panta dreptei la momentul t notată este o medie ponderată între panta estimată prin diferenţa între ultimele valori netezite ale nivelului seriei şi panta estimată la momentul precedent. Utilizarea relaţiilor de recurenţă necesită valori iniţiale pentru respectiv . Variante de iniţializare întâlnite în practică:

- şi - şi sau .

Constantele de netezire sunt determinate de regulă din condiţia minimizării erorilor de previziune, fiind acele valori pentru care unul din indicatorii sintetici ai erorilor de previziune (MSE, MAE, MAPE or SSE) este minim. De regulă aceste constante se determină din condiţia minimizării mediei pătratelor erorilor de previziune este minimă:

MSE =

eroarea de previziune fiind:.

Previziunile înafara perioadei observate, pentru un orizont de timp h, se situează pe dreapta ce are ca şi parametri ultimele estimaţii:

33

.

2.3. Metoda Holt-Winters de netezire exponenţială (pentru serii cu tendinţă şi sezonalitate)

Metoda Holt-Winters este adecvată seriilor ce prezintă tendinţă şi componentă sezonieră. Metoda implică trei ecuaţii de recurenţă, şi prin urmare trei constante de netezire, una pentru nivelul seriei, una pentru panta dreptei de tendinţă respectiv una pentru coeficienţii sezonalităţii. Notăm cu p perioada cpmponentei sezoniere. Tendinţa seriei este modelată local printr-o dreaptă, în mod similar cu metoda Holt. Ţinând seama de modelul de descompunere a seriei, aditiv sau multiplicativ, există două variante ale metodei.

a) Modelul multiplicativ Previziunile sunt generate în baza unei ecuaţii de forma:

unde nivelul seriei , panta dreptei de tendinţă respectiv componenta sezonieră sunt generate de relaţiile de recurenţă:

.

Componenta sezonieră este reprezentată aici prin indici de tipul indicilor sezonalităţii. Estimaţia pentru componenta sezonieră, la momentul t, este o medie ponderată între indicele sezonalităţii estimat prin raportul între valoarea curentă şi nivelul seriei şi ultima valoare a indicelui generat pentru respectivul sezon (calculat la momentul t-p, unde p este perioada componentei sezoniere). Ecuaţia pentru panta dreptei de tendinţă este identică cu cea din metoda Holt. În ecuaţia pentru nivelul seriei se utilizează valoarea desezonalizată curentă estimată prin valoarea curentă împărţită la cea mai recentă estimaţie a indicelui sezonalităţii pentru respectivul sezon. Ca şi valori iniţiale, necesare în relaţiile de recurenţă, sunt sugerate următoarele:

- media datelor ce acoperă primul ciclu sezonier , fiind astfel eliminată

sezonalitatea din nivelul seriei

- , fiecare termen din sumă fiind o

estimaţie pentru panta dreptei aferentă unui sezon;- indicii sezonalităţii sunt estimaţi prin indicii sezonalităţii determinaţi prin metoda

raportării la mediile mobile, varianta multiplicativă. O altă variantă de lucru este următoarea:

34

, , ..., .

Cele trei constante de netezire sunt determinate din condiţia de minimizare a erorilor de previziune (MSE, MAPE, SSE). Previziunile înafara perioadei observate, pentru un orizont de timp h, sunt calculate utilizând ultimele estimaţii, pentru , respectiv , determinate din relaţiile de recurenţă:

.

b) Modelul aditivAvând în vedere compunerea aditivă a celor două componente tendinţă şi componentă sezonieră, previziunile sunt generate în baza unei ecuaţii de forma:

unde nivelul seriei , panta dreptei de tendinţă respectiv componenta sezonieră sunt generate de relaţiile de recurenţă:

.Pentru iniţializarea coeficienţilor sezonalităţii se poate utiliza metoda raportării la mediile mobile, varianta aditiva sau diferenţele:

, , ..., .Previziunile înafara perioadei observate, pentru un orizont de timp h, sunt calculate ţinând seama de forma aditivă a modelului:

.

35

Capitolul 3. Modele de tip autoregresiv medie mobilă (ARMA, ARIMA)

Box & Jenkins (1970) au propus o metodologie de previziune a unei variabile, utilizând ca şi bază de date doar trecutul şi prezentul acesteia. Aceste modele se bucură de o largă popularitate datorită:

- calităţii previziunilor generate;- flexibilităţii modelelor;- rigurozităţii privind fundamentarea matematică a modelului;- este o metodă adecvată şi pentru previziunea unor variabile cu o evoluţie

neregulată.

36

Observaţie: s-au introdus într-o perioadă în care modelele econometrice clasice, în principal cele macroeconomice cu mai multe ecuaţii au condus frecvent la previziuni mai slabe decât metodele simple univariante. Un model de tip autoregresiv-medie mobilă ARMA(p,q) are o componentă de tip autoregresiv respectiv o componentă de tip medie mobilă:

unde p este ordinul părţii autoregresive, q ordinul mediei mobile iar este un proces de tip zgomot alb (acesta fiind o succesiune de variabile aleatoare independente şi identic repartizate, cu medie zero). Atunci când q=0 se obtine modelul autoregresiv de ordin p, notat AR(p):

iar pentru p=0, se obtine modelul medie mobilă de ordin q:.

La baza elaborării unor astfel de modele stau următoarele considerente: - evoluţia fenomenelor economice se află sub impulsul resurselor existente, a capacităţilor deja create, a experienţei acumulate, a tradiţiei, obişnuinţei (spre exemplu în consum). Variabilele din economie au caracter inerţial, fiind prezentă o puternică componentă autoregresivă (în prinipal în evoluţia indicatorilor macroeconomici). Ar fi imposibil de imaginat sore exemplu o economie în care datele din seria de timp ce redă evoluţia preţului unui produs sunt extrase aleator dintr-o urnă. Partea autoregresiva surprinde mecanismele interne de generare ale procesului;- componentă de tip medie mobilă este efectul unor evenimente nepredictibile, asupra variabilei, efecte asimilate treptat în timp. Această componentă este justificată prin intervenţia unor schimbări bruşte, neaşteptate în rândul factorilor exteriori corelaţi cu variabila (ex.greve, diverse ştiri, schimbarea bruscă a vremii → pentru varibile din agricultură). Spre exemplu efectul unei ştiri importante, dar neaşteptate, privind activitatea unei societăţi se va repercuta asupra cursului actiunilor sale la bursă în următoarele săptămâni. Partea medie modilă surprinde asimilarea treptată a şocurilor (abaterilor accidentale) din afara sistemului.

3.1. Principalele concepte pe care se fundamentează metodologia Box-Jenkins

Considerăm în continuare o clasă particulară de procese aleatoare, numite procese staţionare.

Fie un proces aleator unde . Pentru observaţia aferentă momentului t, variabila aleatoare , se definesc:

- media variabilei

- varianţa

- covarianţa dintre două variabile şi , prin

.

Deoarece dispunem de o singură observaţie pentru fiecare variabilă este imposibil de estimat aceste elemente. Estimarea devine posibilă pentru o clasă particulară de procese aleatoare, numite procese staţionare.

37

Definiţie. Un proces staţionar de ordinul doi dacă verifică următoarele trei condiţii:(1) media este constantă în timp (staţionalitate în medie)

(2 varianţa este constantă în timp (staţionalitate în varianţă)

(3) unde covarianţa dintre două variabile este funcţie doar de lungimea intervalului de timp ce separă cele 2 variabile. Pentru un proces staţionar, funcţia de autocovarianţă devine:

unde .

Un proces staţionar se află într-o state de echilibru (are proprietatea de a reveni la medie ori de căte ori se îndepărtează prea mult de la aceasta). In cronogramă, o serie staţionară se manifestă sub forma unor fluctuaţii cu amplitudine relativ constantă (varianţă constantă) în jurul unei medii constante, independente de timp (staţionalitate în medie). Nestaţionalitatea în medie este specifică seriilor cu tendinţă, iar nestaţionalitatea în varianţă se observă prin modificarea în timp a amplitudinii fluctuaţiilor. Zgomot alb (white noise). Un caz particular de proces staţionar, este cel de tip zgomot alb (denumire luată din tehnică), acesta fiind o succesiune de variabile aleatoare

independente şi identic repartizate, cu medie zero. Astfel:

-

-

- .

3.1.1. Funcţia de autocorelaţie (AC)Considerăm un proces staţionar. Funcţia de autocorelaţie se defineşte prin:

,

şi măsoară corelaţia liniară dintre două variabile Yt şi Yt-k separate de k unităţi de timp.Pentru k=1 respectiv k=2 coeficientul de autocorelaţie devine

Observaţii:

1. → regăsim coeficientul de corelaţie liniară dintre Yt şi Yt-k

2.

3.

4. funcţia de autocorelaţie este o funcţie pară.

38

Pentru un proces de tip zgomot alb, funcţia de autocorelaţie devine:.

variabille fiind necorelate. Estimarea funcţiei de autocorelaţie este o etapă importantă în faza de identificare a unui model de tip ARIMA modelului. Graficul funcţiei de autocorelaţie se numeşte corelogramă şi oferă informaţii importane privind comportamentul seriei. Estimarea funcţiei revine la calculul unor coeficienţi de autocorelaţie (corelaţie liniară) pentru fiecare cuplu (Yt, Yt-k):

k = 1 (Yt, Yt-1).k = 2 (Yt, Yt-2)..................................................................k = M (Yt, Yt-M)

Prezintă importanţa calculul primelor T/4 autocorelaţii (spre exemplu, dacă lungimea seriei este T=80 M = 80/4 = 20).

Estimarea coeficienţilor de autocorelaţie In practică dispun de o serie cronologică Y1, …, YT (eşantion finit în timp, şi o

singură observaţie pentru fiecare variabila aleatoare ). In ipoteza staţionalităţii, media şi varianţa procesului pot fi estimate utilizând această singură realizare, prin media

respectiv varianţa de eşantionare:

.

Coeficientul de autocorelaţie se estimează prin:

respectiv

dacă lungimea seriei este suficient de mare (şi astfel T-k nu diferă foarte mult de T). Testarea semnificativităţii coeficieţilor de autocorelaţie Testarea semnificativităţii coeficientului de autocorelaţie :

H0 : (nu diferă semnificativ de zero)

39

H1 : se realizează utilizând un statistica Student

converge asimtotic (când ) la legea normală

Pentru varianţa estimatorului coeficientului de autocorelaţie Bartlett a furnizat următoarea expresie (vezi curs C. Hurlin):

.

Decizia: pentru un nivel de semnificaţie , ipoteza nulă H0 nu se respinge dacă

sau echivalent .

Observaţie. Uneori pentru varianţa estimatorului se utilizează expresia (expresie adecvată de fapt doar atunci când seria este de tip zgomt alb). Astfel pentru T suficient de mare (pentru a putea aproxima legea ştudent prin legea normală), o valoare absolută pentru coeficientul de autocorelaţie mai mare decât (nivelul de semnificaţie fiind fixat la 5%) indică faptul ca acesta diferă semnificativ de zero.

3.1.2. Funcţia de autocorelaţie parţială (PAC)Deseori corelaţia intre doua variabile este determinată de faptul că ambele sunt corelate cu o a treia variabilă. In acest context o mare parte din corelaţia intre două variable Y t şi Yt-k poate apare urmare a unui efect indirect, de corelare a ambelor variabile cu variabilele intermediare . Pentru a se evita acest fapt se utilizează coeficientul de autocorelaţie parţială, acesta măsurând efecul direct al lui Y t-k asupra variabilei Yt (se izolează influenţa variabilei Yt-k). Definitia acestuia este similară cu a coeficientului de corelaţie parţială din econometrie. Coeficientul de autocorelaţie partială între două variabile separate de k unităţi de timp notat prin este coeficientul de regresie a variabilei în modelul autoregresiv AR(k):

şi măsoară informaţia adiţională adusă de variabila în exoplicarea comportamentului prezent (cu câte unităţi se modifică dacă creşte cu o unitate iar celelalte variabile rămân nemodificate). Astfel, coeficientul de autocorelaţie parţială măsoară corelaţia între şi , în condiţiile în care celelalte variabile

sunt menţinute constante (se izolează influenţa variabilei ). Astfel, coeficientul de autocorelaţie parţială între şi , adică , este egal cu coeficientul de autocorelaţie dacă şi sunt ambele necorelate cu . Funcţia de autocorelaţie parţială constă în setul de coeficienţi , unde k=1, 2, 3, ..... Pentru k=1 coeficientul de autocorelaţie şi coeficientul de autocorelaţie parţială coincid

. Coeficienţii de autocorelaţie parţială înregistrează valori între -1 şi 1.

Estimarea coeficienţilor de autocorelaţie parţială

40

O estimare directă a coeficienţilor de autocorelaţie parţială constă în estimarea coeficienţilor de regresii pentru mai multe regresii. Astfel, se estimează cu coeficientul de regresie a variabilei în modelul autoregresiv AR(1):

este coeficientul de regresie a variabilei în modelul autoregresiv AR(2):

este coeficientul de regresie a variabilei în modelul autoregresiv AR(3):

............................................................. este coeficientul de regresie a variabilei în modelul autoregresiv AR(k):

. In practică (inclusiv în algoritmii de calcul implementaţi în softurile de statistică) aceştia nu sunt de regulă calculaţi în acest mod, ci se utilizează ecuaţiile Yule-Walker, ce redau relaţiile dintre coeficienţii de autocorelaţie şi coeficienţii de autocorelaţie parţială.

Testarea semnificativităţii coeficineţilor de autocorelaţie parţială Testarea semnificativităţii coeficientului de autocorelaţie parţială :

H0 : (nu diferă semnificativ de zero) H1 :

se realizează utilizând statistica Student

converge asimtotic (când ) la legea normală .

Pentru varianţa estimatorului coeficientului de autocorelaţie parţială se următoarea expresie:

.

Decizia: pentru un nivel de semnificaţie , ipoteza nulă H0 nu se respinge dacă sau echivalent .

3.1.3. Procese nestaţionare Un proces este nestaţionar dacă nu verifică una sau mai multe din cerinţele din definitia procesului staţionar. În economie majoritatea seriilor sunt nestaţionare, media respectiv varianţa acestora nefiind constantă în timp. Detectarea nestaţionarităţii:

- din cronogramă şi corelogramă respectiv - utilizarea unor teste de staţionaritate (numite şi teste de rădăcină unitate); acestea

vor fi discutate în capitolul următor.Din cronogramă:

41

- seria este nestaţionară în medie dacă media nu este constantă în timp. O serie ce prezintă spre exemplu o tendinţă deterministă (ce poate fi modelată prin funcţii elementare) este nestaţionară;

- seria este nestaţionară în varianţă dacă varianţa nu este constantă în timp. In acest paragraf avem în vedere un proces (serie) nestationar în medie. Nestaţionalitatea relativ la varianţă va fi abordata într-un paragraf următor (prin modele de tip ARCH, GARCH...). Din corelogramă (graficul funcţiei de autocorelaţie): autocorelaţiile unei serii staţionare se apropie rapid de zero, odată ce k creşte (tind exponenţial spre zero). Pentru o serie nestaţionară autocorelaţiile sunt mari şi pozitive pentru un numar mare de valori ale lui k. Modelele ARMA sunt adecvate seriilor staţionare. Acestea au fost generalizate pentru serii nestationare ce devin staţionare prin diferenţiere, modelele rezultate fiind denumite modele autoregresive-integrate-medie mobilă ARIMA(p, d, q) unde d este ordinul de diferenţiere necesar pentru staţionalizarea seriei. Considerăm un proces aleator cu medie zero. Vom indica modul de scriere a modelelor utilizând operatorul de întârziere . ARMA(p,q):

sau

unde iar sunt polinoame de gradul p respectiv q în L. Cât de generale sunt aceste modele? Teorema de reprezentare a lui World arată că orice proces staţionar poate fi scris ca şi un proces de tip medie mobila cu un număr infinit (mare) de termeni. Dacă seria este nestaţionară şi devine stationară după d diferenţieri, Xt ARIMA(p,d,q) (adică ARMA(p,q)) foma restrânsă este:

.Caz particular: mersul aleator ARIMA(0,1,0). Există două modalităţi de generare a unor serii nestaţionare. a) Seriile nestaţionare în medie cu tendinţă deterministă polinomială devin staţionare dacă sunt diferenţiate de un număr de ori egal cu gradul polinomului de tendinţă.. De regulă seriile din economie devin taţionare după una sau două diferenţieri (astfel d=1 sau d=2). Spre exemplu daca seria are o tendinţă deterministă liniară atunci seria devine staţionară după o singură diferenţiere:

unde este un proces staţionar (prin urmare şi ). In acest caz valorile fluctuează în jurul unei drepte, sunt staţionare relativ la dreapta de tendinţă. Dacă seria are o tendinţă polinomiala de gradul 2 atunci sunt necesare două diferenţieri pentru ca seria să devină staţionară. Dacă seria este staţionară relativ la o tendinţă deterministă se spune ca seria este staţionară relativ la tendinţă. O alta modalitate de transformare a acestora în serii staţionare constă în extragerea tendinţei deterministe din date (dupa estimarea ei prin functii elemenare).

42

b) Un alt tip de proces nestaţionare este generat de de o ecuaţie de tipul AR(1) unde coficientul variabilei este unu:

sau fiind zgomot alb. Acesta se numeşte mers aleator şi în evoluţia acestuia se observă

periade cu aparente tendinţe de creştere sau descreştere care apoi îşi schimbă brusc, nepredictibil direcţia. Spunem că un astfel de proces are tendinţă stochastică, fiind rezultatul acumulării unor socuri aleatoare ce nu au o baza sistematică. Aceste evoluţii sunt specifice variabilelor financiare şi în principal seriilor ce redau evoluţia cursului unor acţiuni. Varianţa unui proces de tip mers aleator fară termen liber nu este constantă şi creşte odată cu t iar pentru forma cu termen liber atât media cât şi varianţa variază în timp (cresc odată cu t). Spre exemplu daca valoarea de pornire la momentul t=0 este atunci:

iar varianţa creşte odată cu t, deoarece . Mersul aleator constituie un prototip pentru o clasă de proces nestaţionare numite procese integrate; trebuie evidentiată şi importanţa practica a acestui model, fiind întâlnit specific mai ales seriilor din dmeniul financiar. Observăm că şi in acest caz după o singură diferenţiere seria devine staţionară:

respectiv .Polinomul in L asociat părţii autoregresive din modelulul AR(p):

are o singură rădăcină pe cercul unitate (în modul egală cu 1). Seria este staţionară prin diferenţiere sau este integrată de ordinul 1 (sau are o radăcină unitate, „unit root”), şi se notează prin I(1). Rădăcinile unitate, adică rădăcinile polinomului autoregresiv ce se află pe cercul unitate se referă doar la comonenta stochastică a seriei. Majoritatea seriilor din economie sunt nestaţionare în medie dar diferenţa de ordin întâi

devine staţionară. Dacă sunt necesare două diferenţieri succesive pentru ca seria să devină staţionară:

spunem că seria este integrată de ordin doi I(2). In general, un proces (serie) este integrat de ordin d, notat prin I(d), dacă este necesar a fi diferenţiat de d ori până devine staţionară; este staţionară. Modelele de tip ARIMA acoperă o clasă largă de procese nestaţionare. Atât seriile cu tendinţă deterministă polinomiala cât şi cele cu tendinţă stochastică pot fi transformate în serii staţionare prin diferenţiere.

3.2. Modelul autoregresiv. Proprietăţile funcţiei de autocorelaţie respectiv de autocorelaţie parţială

a) Funcţia de autocorelaţieConsiderăm un model autoregresiv de ordinul unu AR(1) sau ARIMA(1,0,0):

43

unde

iar este zgomot alb cu media E şi varianţa . Procesul este staţionar

dacă coeficientul . Observaţii. a) Dacă procesul este nestaţionar, şi are o evoluţie explozivă, exponenţială. Un asemenea comportament este rar întâlnit în practică (creştere exponenţiala, pe termen nelimitat). b) Dacă regăsim mersul aleator. c) Pentru procesul este de tip zgomot alb de medie .Fără a restrânge generalitatea considerăm un model autoregresiv de ordinul unu AR(1) cu medie zero (dacă media procesului este diferită de zero se realizează substituţia

) : unde . Proprietate. Dacă atunci procesul AR(1)este staţionar. Funcţia de autocorelaţie a unui proces autoregresiv de ordinul unu AR(1) are expresia:

.

Demonstraţie.

Astfel: E(Yt) = 0 (erorile au media zero), deci independentă de t

= .

Covarianţa devine:

Dacă atunci independentă de t.

fiind independentă de t. Observatie. In cazul regasim varianţa unui proces nestaţionar de tip mers aleator.

Prin urmare, funcţia de autocorelaţie este independentă de t şi are expresia:

.

44

Observatie. Atunci când a1 > 0 funcţia de autocorelaţie descreşte exponenţial, iar pentru a1 < 0 descreşte sinusoidal (dinţi de ferăstrău, valorile negative alternează cu cele pozitive). Un proces AR(1) în care apare şi constanta:

are media egală cu respectiv varianţa .

Astfel, dacă seria fluctuează în jurulunei valori diferită de zero, media fiind nenulă, în ecuaţia modelului se va introduce şi termenul constant. Utilizând scrierea cu operatorul L, un model AR(1) devine

iar condiţia de staţionalitate este echivalentă cu cerinţa ca radăcina polinomului de gradul unu , notata cu x să aibă modulul mai mare decât unu:

=0 rezultă , adicăOperatorul L face posibila scrierean succintă a unui filtru cu un număr infinit de termeni. Spre exemplu pentru AR(1) rezultă:

iar condiţia de stabilitate a procesului revine la condiţia de convergenţă a seriei formată

cu coeficienţii filtrului ; regăsim aceeaşi condiţie de stabilitate, seria fiind

convergentă atunci când . Redăm, fără demonstratie, următoarea proprietate, ce indică condiţiile ce trebuie verificate de coeficienţii unui model AR(p) pentru ca acesta să fie staţionar. Proprietate. Un model AR(p):

este staţionar atunci când rădăcinile polinomului ( rădăcini reale sau complexe) sunt în modul mai mari decât unu (se mai spune ca sunt in exteriorul cercului unitate) .

b) Funcţia de autocorelatie partială Din definiţia funcţiei de autocorelaţie parţială rezultă căci coeficienţii de autocorelaţie parţiala a unui model AR(p) sunt egali cu zero, pentru k mai mare decât p (ordinul modelului).

Spre exemplu este coeficientul de regresie a variabilei în modelul autoregresiv AR(p+1):

.ori acesta este nul deoarece pentru un model AR(p) coeficientul =0.

45

3.3. Modelul medie mobilă. Proprietăţile funcţiei de autocorelaţie respectiv de autocorelaţie parţială Intr-un model de tip medie mobilă sunt utilizate erorile înregistrate în trecut ca şi variabile explicative:

. a) Funcţia de autocorelaţieConsiderăm un model medie mobilă de ordinul unu MA(1) sau ARIMA(0,0,1) cu medie zero:

Proprietate. Un model de tipul MA(1) este staţionar iar funcţia sa de autocorelaţie se anulează pentru . Demonstraţie. Media procesului este nulă: Varianţa procesului:

deoarece:

rezultă

Covarianţa:

rezultă funcţia de autocorelatie:

Semnul coeficientului de autocorelatie este invers semnului lui . Proprietate. Funcţia de autocorelaţie a unui model de tipul MA(q) se anulează pentru

.Demonstraţie.

Media este nulă: Varianţa procesului:

.

Covarianţa:

rezultă funcţia de autocorelatie:

46

Funcţia de autocorelatie parţială a unui model medie mobilă se comportă in mod similar cu funcţia de autocorelaţie a modelelor autoregresive. Dacă procesul are medie nenulă atunci modelul include şi un termen liber, acesta fiind egal cu media:

deoarece .

3.4. Etapele elaborării unui model ARIMA (autoregresiv integrat medie mobilă)

Etapele (metodologia) de elaborare a unui model ARIMA (p,d,q) 1. Identificarea modelului → se precizează valorile adecvate pentru p, d respectiv2. Estimarea parametrilor modelului → estimarea coeficienţilor ai, bi, 3. Testarea validităţii modelului şi respecificarea acestuia. Daca modelul nu este

valid atunci se respecifica modelul (alte valori plauzibile pentru p,d,q) şi se reiau etapele anterioare.

4. Utilizarea modelului in generarea de peviziuni (odată ce a trecut testele devalidare).

Modelarea ARIMA presupune în esenţă urmatoarele:- verificarea staţionalităţii. Dacă se constată că seria este nestaţionară atunci se diferenţiază până când devine staţionară, rezultând ordinul de diferenţiere d (de regulă d = 1, 2);- ţinând seama de forma funcţiei de autorelaţie şi de autocorelaţie parţială (estimate) şi

pentru seria diferenţiată se stabilesc valori plauzibile pentru p respectiv q adecvate;- se estimează modelul selectat;- se testează validitatea modelului. Aici avem doua grupe de teste:

- este de tip zgomot alb? → teste privind comportamentul reziduurilor- teste privind semnificaţia coeficienţilor ai, bi;

- generarea previziunilor, în baza modelului estimat.

Identificare model

Estimarea parametrilor modelului

Teste de validitate NU

DA Previziuni

stabilire valori p,q,d

ai, bi = ? -rez. zgomot alb- semnif. coef.

3.4.1 Identificarea (specificarea) modeluluiEste etapa cea mai importantă dar şi cea mai dificilă. Sunt utile funcţiile de autocorelaţie şi de autocorelaţie parţială estimate. Forma acestora indică modele posibile (teoretice), adică cele mai plauzibile valori pentru p, q şi d. Comparând funcţiile estimate cu cele

47

teoretice specifice fiecărui model şi se vor alege unu sau mai multe modele teoretice ce par adecvate.

a) Stabilirea ordinului de diferenţiere. Dacă o serie este nestaţionară în medie (media nu este constantă în timp) se vor calcula diferenţele de ordin 1 eventual 2, în scopul stabilirii ordinului de diferenţiere d.

Observaţie. Dacă seria este uşor nestaţionară şi în varianţă este indicat, inainte de modelare, a se logaritma datele iniţiale, reducând astfel amplitudinea fluctuaţiilor seriei. Se va lucra în continuare cu datele logaritmate. De regulă seriile din domeniul financiar au un astfel de comportament.

b) Stabilirea valorilor plauzibile pentru p respectiv q. După eventuale diferenţieri şi alte transormări aplicate datelor iniţiale (exemplu logaritmare), în scopul staţionarizării seriei, se trece la stabilirea unui model adecvat, de tip autoregresiv medie mobilă ARMA(p,q), pentru datele obţinute în urma diferenţierii (care sunt staţionare). Dacă nu pare adecvat un model AR(p) sau MA(q) cu număr mic de paramarametri ( p respectiv q 4) atunci se va încerca un model mixt ARMA ce combină ambele părţi.

Se au în vedere următoarele proprietăţi ale funcţiile de autocorelaţie şi de autocorelaţie parţială, expuse pentru cele mai frecvente modele.

Model Funcţia de autocorelaţie Funcţia de autocorelaţie

parţială ck

AR(1) - descreşte exponenţial dacă a1 > 0- descreşte sinusoidal, dacă a1 < 0

- c1 semnificativ (> 0 dacă a1 > 0 şi <0 dacă a1 < 0); - ck = 0, k 2

AR(2) descreşte exponenţial sau sinusoidal. Forma exactă depinde de semnul şi valoarea coeficienţilor a1 şi a2

- c1 şi c2 semnificativi- ck = 0, k 3

AR(p) descreşte exponenţial sau sinusoidal. Forma funcţiei depinde de semnul şi valoarea coeficienţilor a1, …, ap

-c1, …, cp – semnificativi-ck = 0, k p+1

MA(1) semnificativ (> 0 dacă b1< 0şi dacă b1 > 0); rk = 0, k 2

exponenţial dacă b1 > 0sinusoidal dacă b1 < 0

MA(2) semnificativrk = 0, k 3

descreşte exponenţial sau sinusoidal. Forma exactă depinde de semnul şi valoarea coeficienţilor b1, b2

48

MA(q) semnificativirk = 0, k p+1

descreşte exponenţial sau sinusoidal. Forma funcţiei depinde de semnul şi valoarea coeficienţilor b1, …, bq

ARMA(1,1) descreşte exponenţial. Semnul lui depinde de cel al diferenţei a1–b1

descreşte exponenţial dacă b1 > 0 respectiv sinudoidal dacă b1 < 0

ARMA (p,q) descreşte exponenţial sau sinusoidal începând cu k=q-p

descreşte exponenţial sau sinusoidal începând cu k=q-p

În practică dispunem doar de estimaţii pentru funcţia de autocorelaţie respectiv autocorelaţie parţială. Prin urmare, vom căuta:

- cea mai mică valoare a lui k începând de la care funcţia de autocorelaţie parţială nu diferă semnificativ de zero (începând de la care ipoteza nulă H0 : nu se respinge). Obţinem astfel valoarea plauzibilă pentru p ordinul modelului autoregresiv AR(p);

- cea mai mică valoare a lui k începând de la care funcţia de autocorelaţie nu diferă semnificativ de zero (începând de la care ipoteza nulă H0 : nu se respinge). Obţinem astfel valoarea plauzibilă pentru q, ordinul modelului medie mobila MA(q).

În principiu nu este dificil să distingem între un model AR(p) şi un model MA(q), în schimb determinarea ordinelor p, q pentru un model mixt este un proces relativ incert. Există şi posibilitatea selectării modelului ce minimizeaza diferite criterii construite utilizând funcţia de verosimilitate (ex: criteriul Akaike AIC, criteriul Schwarz SC). AR(p) este adecvat variabilelor dependente exclusiv de trecutul lor, cu pronunţat caracter inerţial (exemplu: consumul de bunuri de strictă necesitate unde se creează obişnuinţă). MA(q) e adecvat variabilelor „sensibile” la modificări ale variabilelor exogene, determinând abateri accidentale de la evoluţia medie. In economie, undele ambele efecte sunt prezente, modelele mixte s-au dovedit a fi deseori adecvate. Observaţie. Dacă există mai multe modele ce par a fi adecvate atunci se va reţine cel cu numar minim de coeficienţi. 3.4.2 Estimarea parametrilor modelului Forma restrânsă a unui model ARMA(p,q) cu medie zero este:

respectiv a unui model ARIMA(p,q):

. Considerăm un model :

49

Metoda clasică a celor mai mici pătrate min conduce la estimatori, pentru

parametrii , ,..., , regăsind ecuaţiile Yule-Walker; acestea sunt relaţii între coeficienţii de autocorelaţie şi parametrii coeficienţii modelului. Considerăm un model cu medie zero:

Inmulţim această relaţie cu şi trecem la medie. Se obţine:

sau

deoarece . Impărţind relaţia anterioară la varianţa procesului , rezultă:

.Analog, dacă se înmulţeşte relaţia cu rezultă

Astfel, dacă în prealabil s-au calculat estimaţii pentru coeficienţii de autocorelaţie, din sistemul de ecuaţii

putem obţine estimaţii pentru coeficienţii modelului . In mod similar, pentru un model AR(p) rezultă sistemul de ecuaţii ce fac legătura între coeficienţii de autocorelaţie şi coeficienţii modelului, numite ecuaţiile Yule-Walker:

pentru i=1,2,...,p, respectiv, i=1,2,...,p

unde . Dacă în prealabil s-au calculat estimaţii pentru coeficienţii de autocorelaţie , , ..., , din acest sistem de ecuaţii rezultă estimaţii pentru coeficienţii modelului

.

Metoda clasică a celor mai mici pătrate min respectiv ecuaţiile Yule-Walker

conduc la estimatori ce nu sunt eficienţi deoarece există coliniaritate între variabilele explicative din model . Dacă modelul include şi o componentă medie mobilă, fiind MA(q) sau ARMA(p,q)

atunci apare o neliniaritate în raport cu parametrii (având în vedere relaţia .

De regulă se utilizează metoda verosimilităţii maxime; se recurge aici la utilizarea unor olgoritmi de optimizare neliniară (ex. algoritmul Newton-Raphson), aceştia fiind metode iterative specifice rezolvării modelelor neliniare în raport cu parametrii. Se presupune că erorile din model sunt o succesiune de variabile aleatoare independente, identic repartizate, cu medie zero şi normal distribuite. Ipoteza normalităţii erorilor

este necesară pentru a putea specifica o formă funcţională a funcţiei de verosimilitate. Funcţia de verosimilitate asociată seriei observaţiilor Y=(Y1, …, YT ) este:

50

Maximizarea acesteia conduce la valori pentru coeficienţii ce asigură cea mai mare probabilitate de apariţie a observaţiilor Y1, …, YT.

3.4.3 Teste de validitate şi respecificarea modeluluiPentru a vedea dacă modelul estimat surprinde adecvat modul de generare a datelor (caracterul inerţial respectiv cel de asimilare a şocurilor) este utilă în prealabil o analiza comparativă a funcţiei de autocorelaţie respectiv de autocorelaţie parţială estimate, pentru seria iniţială Yt respectiv pentru seria generată de model . O asemănare între corelogramele acestora indică faptul că model surprinde adecvat mecanismul de generare a datelor. Deasemenea se pot analiza radacinile unitate ale polinoamelor autoregresive respectiv medie mobilă. Se parcurg aici două grupe de teste: teste de semnificativitate a coeficienţilor modelului respectiv teste referitoare la reziduuri (pentru a vedea dacă sunt de tip zgomot alb). a) Teste privind semnificativitatea coeficienţilor Considerăm un model staţionar ARMA(p,q) cu medie diferită de zero:

Pornind de la matricea de varianţă-covarianţă a estimatorilor obţinuţi prin metoda verosimilităţii maxime (estimatori ce sunt convergenţi) se pot construi statistici de tip Student, pentru a testa semnificativitatea coeficienţilor respectiv . Distribuţia asimtotică a acestor statistici este dată de legea normală. Se testează dacă (sau ) diferă semnificativ de zero:

utilizând statistica ce urmează asimtotic legea normală N(0,1).

Pentru un nivel de semnificaţie , daca atunci ipoteza nulă H0

nu se respinge. Prin urmare variabila corespunzătoare se eliminină din model, şi se respecifică respectiv reestimează modelul. Pentru teste asupra coeficienţilor se pot utiliza aici şi alte teste precum testul Wald, sau teste de tip LM (Multiplicatorul lui Lagrange) pentru omisiunea unor variabile, teste de stabilitate a coeficienţilor. b) Teste privind reziduurileDacă modelul este bine specificat, atunci reziduurile din modelul estimat sunt generate de un proces de tip zgomot alb (succesiune de variabile aleatoare independente, identic repartizate), cu medie zero şi normal distribuit. Autocorelarea reziduurilor. Pentru detectarea unor dependenţe în seria reziduurilor se examinează funcţia de autocorelaţie şi de autocorelaţie parţială a reziduurilor. Dacă reziduurile sunt necorelate, atunci aceşti coeficienţi nu trebuie să fie semnificativ diferiţi de zero.

51

Se utilizează statistica student ce converge asimtotic la legea normală

, cu varianţa estimatorului coeficientului de autocorelaţie estimat prin

. Pentru un nivel de semnificaţie , ipoteza necorelării reziduurilor nu

se respinge dacă sau echivalent . Identic decurge şi testarea semnificativităţii autocorelaţiilor parţiale ale reziduurilor. Se utilizează aici şi teste mai puternice de autocorelaţie, fiind teste globale de semnificativitate a coeficienţilor de autocorelaţie a reziduurilor, testându-se o ipoteza de forma:

pentru care

Testul Ljung-Box sau statistica Q:

Dacă atunci se respinge ipoteza nulă, fiind necesară respecificarea modelului. Atunci când Q nu diferă semnificativ de zero, primele M autocorelaţii sunt nesemnificative. In practica M se consideră arbitrar, sugerându-se valori între 10 şi 20.

Investigarea normalităţii reziduurilor. Coeficientul de asimetrie respectiv de boltire şi analiza histogramei oferă o primă imagine asupra formei distribuţiei erorilor. Coeficienţii de asimetrie respectiv boltire sunt calculaţi în baza momentelor centrate:

;

unde este momentul centrat de ordin j.

Pentru testarea normalităţii erorilor se recomandă, în literatura de specialitate, utilizarea testului Jarque-Bera (1981), bazat pe coeficienţii de asimetrie şi boltire. Valoarea calculată a acestei statistici este furnizată implicit de majoritatea softurilor odată cu alte statistici descriptive. Dacă un eşantion de T observaţii provine dintr-o distribuţie normală atunci coeficientul de asimetrie calculat în baza observaţiilor urmează asimptotic legea normală N(0, 6/T) iar coeficientul boltirii legea N(3,24/T). Jarque şi Bera obţin prin însumarea celor două variabile normale independente statistica:

,

ce urmeaza legea . Valoarea critică corespunzătoare nivelului de semnificaţie se determină din tabelul de distribuţie a legii 2, numărul gradelor de libertate fiind 2. Zona critică este .

Investigarea heteroscedasticităţii reziduurilor. Testul multiplicatorilor lui Lagrange pentru heteroscedasticitate de tip ARCH(p) presupune:

- estimarea reziduurilor din ecuaţia ce defineşte modelul;- estimarea regresiei auxiliare (ce fundamentează testul):

;- testarea ipotezei nule în ecuaţia de regresie auxiliară:

52

(nu există efect ARCH).

Dacă ipoteza nulă este adevarată, statistica LM definită prin: ,

unde este coeficientul de determinaţie aferent regresiei auxiliare iar T este lungimea seiei de timp, urmează asimptotic legea . Ipoteza omoscedasticităţii (varianţă constantă în timp) se respinge dacă LM calculat este superior valorii critice.

3.4.4. Elaborarea previziunilor

Odată elaborat şi validat, modelul ARIMA este utilizat pentru generarea de previziuni. Se elaborează:

a) previziuni punctuale b) intervale de previziune.

a) Previziuni punctuale

Pentru un orizont de previziune h, ataşăm momentului T+h, unde T este originea efectuării previziunii, variabila aleatoare . O previziune punctuală, notată este

dată de media (sau speranţa matematică) variabilei , această medie fiind condiţionată de istoricul variabilei. In general

Previziunile se obţin în baza informaţiilor disponibile până la momentul T. Previziunile punctuale se obţin pas cu pas, pentru calculul unei previziuni fiind necesare valorile previzionate aferente perioadelor anterioare pentru termenii autoregresivi dar şi pentru erorile . Reguli de urmat:

- termenii autoregresivi pentru (adică se substituie cu previziunile obţinute la paşii anteriori;

- termenii autoregresivi pentru se înlocuiesc cu valorile înregistate, aici fiind cunoscuţi termenii seriei ( , , ...);

- termenii eroare pentru (adică ) se înlocuiesc cu zero,

(se înlocuiesc cu media acestora , deoarece erorile sunt de tip zgomot alb, cu media 0; previziunile optime sunt date de media acestora).

- termenii eroare pentru (adică ) se înlocuiesc cu reziduurile estimate din model (spre exemplu , pentru .

Exemplu. Se consideră modelul ARMA(1,1):

lungimea seriei fiind T=70 iar iar reziduul aferent ultimei observaţii este . Previziuni punctuale:

h = 1;

53

h=2; .

Dacă seria a fost diferenţiată / logaritmată în prealabil atunci se va ţine seama ca acest aspect în elaborarea previziunii (de regulă se aplică operaţia inversă transformării). In general este utilă scrierea concentrată a modelului, utilizând operatorul de diferenţiere L.

b) Determinarea intervalului de previziuneEroarea de previziune:

.

Presupunem că erorile modelului sunt normal distribuite . Eroarea de previziune urmează de asemenea legea normală:

rezultă

.

Din distribuţia legii normale de probabilitate, pentru o probabilitate P fixată se determină k astfel încât:

rezultă intervalul de previziune:

Calculul varianţei erorii de preziune necesită punerea modelului sub forma mediei mobile cu un numar infinir de termeni (orice model ARMA poate fi pus în această formă):

sau

unde este polinomul coeficienţilor.

Din forma redusă a modelui ARMA rezultă , astfel

coeficienţii polinomului C se obţine egalând coeficienţii termenilor de forma Lj , j=1,2,… în egalitatea . Utilizând forma medie mobilă:

rezultă

.

54

Pentru dispersia erorii de previziune se utilizează estimaţia sa . Observaţie. Calitatea modelului de a genera previziuni adecvate poate fi verificată pe baza unor previziuni „de probă”, utilizând ultimele observaţii disponibile ca şi secvenţă „martor” de observaţii. În etapa elaborării modelului se are în vedere seria cronologică ce nu conţine această secvenţă martor şi se măsoară acurateţea previziunii printr-un indicator sintetic de tip MSE, MAPE sau RMSE (ce trebuie să fie minim).

3.5. Alte extinderi ale modelelor ARIMA

3.5.1. Modele de tip autoregresiv medie mobilă pentru evoluţii sezoniere SARIMA

Notăm prin s perioada componentei sezoniere. Dacă seria este nestaţionară relativ la componenta sezonieră (amplitudinea oscilaţiilor creşte sau scade în timp) atunci se determină diferenţele sezoniere de ordin 1:

In general se norează cu D numărul de diferenţieri sezoniere necesare pentru a staţionaliza componenta sezonieră (de regulă D=1). Etapa de identificare:

1. se identifică o combinaţie de valori plauzibile pentru d şi D care staţionalizează seria;

2. din graficele funcţiilor de autocorelaţie respectiv autocorelaţie parţială a seriei diferenţiate (care este staţionară) se identifică valori plauzibile pentru gradele polinomului autoregresiv p, polinomului medie mobilă q respectiv pentru gradele polinomului autoregresiv sezonier P şi a polinomului medie mobilă sezonier Q:

iar . Notaţia generală SARIMA(p,d,q)(P,D,Q). Ordinele polinoamelor

sezoniere P, Q sunt identificate în mod similar cu p, q analizând funtiile de autocorelaţie respectiv de autocorelaţie parţială pentru k=s, 2s, ....

3.5.2. Modele de tip ARCH (autoregessive conditional heteroskedastic)

In abordarea tradiţională de tip Box-Jenkins previziunile sunt bazate pe media condiţionată a variabilei . Abordarea de tip ARCH ia în considerare, în elaborarea previziunilor, şi informaţiile conţinute în varianţa condiţionată a procesului (momentul condiţionat de ordinul doi). Este specific seriilor cu varianţă variabilă în timp (nestaţionare relativ la varianţă). Erorile nu au aceeaşi varianţă (adică nu verifică condiţia de homoscedasticitate) intervale de timp cu erori de preziune mari (în perioade de instabilitate economicâ) fiind urmate de intervale cu valori mici. Engle (1982) a introdus pentru prima dată acest tip de modele, considerând că varianţa erorii depinde de termeni de tipul şi . Avem aici două tipuri de ecuaţii: ecuaţia mediei condiţionate ce poate include şi variabile exogene respectiv ecuaţia varianţei condiţionate.

55

Analiza evoluţiei pe termen lung a variabilelor financiare sau economice, relevă deseori faptul ca varianţa acestora variază în timp. Modelele de tip ARCH sunt o clasă de modele populare în domeniul financiar (evoluţia ratei inflaţiei, ratei dobânzii, ratei rentabilităţii activelor ş.a.). Volatilitatea ridicată apare deseori în perioade cu turbulenţe politice sau economice sau ca răspuns la anumite evenimente punctuale.

Dedependenţa de timp a varianţei empirice în seria ratei rentabilităţii acţiunilor a fost observată pentru prima dată de Kendall (1953), seria de timp disponibilă atunci fiind împărţită în două subeşantioane de date, în scopul analizei omogenităţii varianţei în timp. Autorul observa: “este o situaţie neobişnuită pentru o serie de timp: media rămâne constantă dar varianţa pare a creşte în timp”. În consecinţă spre exemplu în modelul de tip mers aleator, pentru logaritmul indicelui preţului acţiunilor , erorile, egale cu ratele rentabilităţii ( ) nu au mai fost considerate identic distribuite:

,

Primul pas în direcţia modelării varianţei condiţionate a fost făcut de Engle în 1982, care a propus un model de tip ARCH, specificat prin intermediul primelor două momente condiţionate:

,

,

unde .

Iniţial, varianţa condiţionată a fost exprimată ca o medie ponderată a pătratului erorilor , adică în funcţie de şocurile trecute, aceasta fiind forma ARCH(p):

, .

Studiile empirice au arătat însă că o reprezentare adecvată necesită un p destul de mare. Pentru evitarea numărului mare de parametri necesar a fi estimaţi, Bollerslev (1986) a propus o formă mixtă analoagă cu cea din procesele autregresive – medie mobilă (notaţia consacrată GARCH):

.

Modelele GARCH găsesc suport empiric în domeniul financiar, specificarea pentru cel mai simplu model din această clasă GARCH(1,1) sugerând intuitiv următorul comportament:

- dacă rentabilitatea activului a fost mult mai mare sau mult mai mică decât cea aşteptată atunci şi varianţa estimată pentru următoarea perioadă va fi mai mare, incertitudinea privind nivelul ratei în următoarea perioadă crescând (termenii medie mobilă );

- de asemenea deviaţiile mari ale rentabilităţii tind a fi urmate de abateri mari (termenii autoregresivi ).

56

O serie de alte forme sunt propuse în literatură pentru modelarea varianţei, cele mai uzuale includ şi alte variabile explicative în ecuaţia varianţei condiţionate sau impun anumite restricţii privind parametrii din această ecuaţie.

Un proces heteroscedastic presupune specificarea unui model pentru media condiţionată ca o funcţie de variabile exogene şi termenul eroare , respectiv a unui model pentru varianţa erorii. Forma generală a unei ecuaţii de tip GARCH(p,q) pentru varianţa erorii este:

unde p este ordinul părţii medie mobile ARCH (unde intervin pătratele reziduurilor din ecuaţia mediei) iar q ordinul parţii autoregresive GARCH. Varianţa condiţionată este varianţa erorii , din ecuaţia mediei, condiţionată de informaţiile disponibile:

Astfel, este necesar aici a se specifica două grupe de ecuaţii: ecuaţia mediei condiţionate respectiv ecuaţia varianţei condiţionate. Exemplele clasice sunt modelul ARMA(p,q) cu erori heteroscedastice GARCH:

sau regresia cu erori heteroscedastice GARCH (scriere matricială):

În specificarea unei forme GARCH pentru varianţă sunt utile instrumentele utilizate pentru identificarea ordinului părţii autoregresive p respectiv medie mobilă q relativ la modelele ARMA(p,q). Variabila pentru care dorim specificarea unui model de această formă este în acest context pătratul reziduurilor .

3.6. Regresii cu serii de timpSpecificarea dinamică a unui model include specificarea efectului întârziat a variabilelor explicative (strucura dinamică a părţii sistematice din model) dar şi specificarea dinamică a termenului eroare (partea nesistemaţică din model). Considerăm un model liniar clasic de regresie, cu o singură ecuaţie:

t=1,2, ...,Tunde este vectorul celor K variabile explicative (de dimensiune 1xK), iar este vectorul coeficienţilor modelului (de dimensiune Kx1) . Atunci când erorile din model sunt corelate, fiind generate spre exemplu de un proces ARMA, estimatorii obţinuţi pentru coeficienţi prin metoda celor mai mici pătrate respectiv prin metoda verosimilităţii maxime rămân nedeplasaţi dar sunt ineficienţi. De asemenea estimatorul matricii de varianţă-covarianţă a estimatorului este deplasat, astfel toate testele bazate pe matricea de varianţă-covarianţă estimată devin ineficienţi (ex. testul t, testul F, testele bazate pe ....). Un model greşit speficat conduce la

57

previziuni inadecvate, iar pentru generarea unor previziuni eficiente este necesar a se ţine seama şi de informaţiile conţinute în reziduuri (faptul că reziduurile precedente ajută la previziunea reziduurilor curente). De asemenea dacă apar variabile de tip autoregresiv

ca şi variabile explicative atunci estimatorii obţinuţi prin metoda celor mai mici pătrate sunt deplasaţi. Printre cauzele autocorelării erorilor se află şi specificarea greşită a dinamicii părţii sistematice din model. Pentru detectarea autocorelaţiei erorilor sunt utile testul Durbin-Watson, corelograma rezidurilor, testul Ljung-Box. Un alt test cese bucură de popularitate este testul LM. Testul LM pentru erori de tipul AR(p) and MA(q) (testul Breusch-Godfrey). Considerăm un model cu erori corelate de tip AR(p):

unde este un proces de tip zgomot alb. Ipoteza nula (nu există autocorelaţie până la ordnul p) respectiv alternativa sunt:

Seria reziduurilor este obţinută în urma estimării ecuaţiei de regresie, prin metoda celor mai mici pătrate. Utilizând aceste reziduuri se estimează regresia auxiliară:

t=p+1,...,TAtunci când ipoteza nulă este adevărată, statistica:

urmează legea , unde este coeficientul de determinaţie din regresia auxiliară. Ipoteza nulă se respinge atunci când LM depăşeşte valoarea critică, pentru un anumit nivel de semnificaţie . Testul LM rămâne acelaşi şi atunci când erorile sunt de tip MA(q). Atunci când erorile din modelul de regresie sunt corelate, este necesară respecificarea modelului, soluţiile clasice fiind respecificarea variabilelor explicative sau a formei modelului dar şi respecificarea părţii nesistematice, adică a erorii. Această ultimă soluţie se are în vedere în cele ce urmează. Există implementate în softurile statistice proceduri de estimare adecvate pentru estimarea unor modele de regresie cu erori de tip ARMA. Metoda celor mai mici pătrate în două etape notată TSLS în EViews este adecvată pentru estimarea unui model de regresie cu erori autocorelate sau a unor modele în care există corelaţii între variabilele explicative şi termenul eroare. Ca şi variabile explicative pot figura aici şi termeni de tip autoregresiv pentru variabila dependentă. Această metodă se bazează pe metoda variabilelor instrumentale; se caută aici alte variabile explicative care să fie corelate cu variabilele explicative iniţiale dar necorelate cu eroarea. Atunci când se estimează modele cu erori ARMA in Eviews sunt incluse automat ca şi variabile instrumentale termenii de tip autoregresiv pentru variabila dependentă respectiv pentru variabilele independente, corespunzători ordinului speficat pentru eroare.

58

Capitolul 4. Modele VAR şi modele VECM

4.1. Teste de nestaţionalitate (teste de tip „unit roots”)

Există două tipuri de procese (serii) nestaţionare: a) serii nestaţionare dar staţionare relativ la o tendinţă deterministă TS („time stationary”). Exemplu: o serie ce fluctuează staţionar în jurul unei tendinţe deterministe liniare:

unde este un proces staţionar; b) serii nestaţionare generate de un proces pentru care polinomul autoregresiv din reprezentarea autoregresivă AR(p) are rădăcini unitare (are radacini unitate „unit root”, sau pe cercul unitate). Spunem că seria este staţionară prin diferenţiere DS („differency stationary”) sau că are tendinţă stochastică (seria „hoinăreşte”); seria are radacină unitate. Exemplul tipic aici este mersul aleator . Polinomul in L asociat părţii autoregresive din modelulul AR(p):

unde

il are pe unu ca şi rădăcină. Multe serii din economie au un comportament de mers aleator, este nestaţionară dar devine stationară. Dacă este necesar a se

diferenţia seria de d ori până devine staţionară, fiind staţionară, polinomul autoreresiv îl are pe 1 ca şi rădăcină multipla de ordin d si spunem că seria este integrată de ordin d, notând I(d).

Teste de tip Dickey-Fuller (ADF)

59

Testele dezvoltate în continuare sunt destinate detectării nestaţionalităţii de tip DF, adică a detectării rădăcinii unitate în reprezentarea procesului. Testele Dickey-Fuller sunt utile:

– pentru a testa dacă o serie este staţionară (relativ la medie sau relativ la o tendintă deterministă);

– pentru a identifica natura tendinţei seriei (seria poate avea tendintă deterministă sau/şi tendintă stochastică) respectiv pentru a determina ordinul de integrare.

Dacă are o radăcină unitate atunci în ecuaţia de regresie:

ne aşteptăm ca să fie aproape de 1, sau echivalent ne aşteptăm ca să fie aproape de zero în regresia:

(V1)

(obţinută scăzând din ambii membri, în ecuaţia anterioară). Pornind de la această idee, iniţial testul Dickey-Fuller, (pentru detectarea unei rădăcini unitate) a fost dezvoltat pentru testarea ipotezei:

în modelul autoregresiv de ordinul unu:

unde erorile sunt presupuse independente şi identic distribuite, cu medie 0 şi varianţă

. Astfel, testul facilitează alegerea între un proces de tip mers aleator (proces nestaţionar) şi un proces autoregresiv de ordinul unu (proces staţionar). Dacă ipoteza nulă este adevarată seria conţine o rădăcină unitate, în caz contrar seria fiind staţionară de tip AR(1). Varianta corespunde unor procese explozive, ce nu-şi găsesc aplicabilitate.

Ipoteza nulă din testul Dickey-Fuller este o ipoteză privind semnificativitatea coeficientului termenului  :

în ecuaţia de regresie , unde . “Raportul Student” aferent coeficientului , utilizat în mod obişnuit pentru testarea unei ipoteze relativ la un coeficient de regresie, nu urmează legea Student. Distribuţia asimptotică a acestei variabile a fost studiată de către Dickey (1975) şi Fuller (1976), iar mai recent MacKinnon (1991) obţine prin simulare valori critice mai precise. Pentru un nivel de semnificaţie de 5% spre exemplu, valoarea critică rezultată este –1.95:

.Menţionăm că valoarea critică, pentru acest nivel de semnificaţie, este de –1.64 în cazul legii normale , astfel că utilizarea testului z sau t în testarea ipotezei

conduce prea frecvent la respingerea ipotezei nule.Distribuţia asimptotică a statisticii t de tip Student diferă după cum se include sau

nu o constantă în regresie. In cazul prezenţei unei constante în forma autoregresivă:

60

testul privind semnificativitatea coeficientului se realizează în ecuaţie (V2)

Deasemenea o altă variantă interesantă a testului faciliteaza alegerea între un process nestaţionar cu tendinţă stochastică (proces integrat) şi unul cu tendinţă deterministă. Aceasta se realizează prin testarea ipotezei de rădăcină unitate:

pentru un proces de tipul:.

Testarea ipotezei anterioare este echivalentă şi aici cu o ipoteză privind semnificativitatea coeficientului lui în ecuaţia de regresie:

(V3)Fuller (1976) a studiat comportamentul asimptotic al statisticii t şi în acest caz obţinând, prin simulare, valorile critice corespunzătoare acestei variante a testului. Spre exemplu la un nivel de semnificaţie de 5% valoarea critică obţinută este de –3.41:

.Acest test facilitează selecţia între două procese nestaţionare de tipul:

, respectiv, cu .

Procesul generat de prima ecuaţie conţine o rădăcină unitate ( , seria are tendinţă stochastică. Cel de-al doilea proces aleator, pentru care , nu are rădăcină unitate şi este obţinut prin însumarea dintre o tendinţă deterministă liniară şi un proces staţionar de tip autoregresiv AR(1); seria este astfel staţionară în jurul unei tendinţe deterministe liniare. Distribuţiile asimtotice anterioare sunt valabile în ipoteza în care este de tip zgomot alb. Altfel este necesară o abordare ce ţine seama şi de autocorelaţiile reziduurilor din ecuaţia de regresie în care se testează semnificativitatea coeficientului lui .Un proces AR(1) cu erori autocorelate de ordin p-1 poate fi pus într-o reprezentare AR(p) cu erori de tip zgomot alb. Se ţine seama apoi de reprezentarea de tip Sims-Stock-Watson (1990) a unui model AR(p), scrisă utilizând diferenţele de ordinul unu, din care se obţine forma generală a ecuaţiei de regresie utilizate în forma generală a testului. În forma generală, testul Dickey-Fuller îmbunătăţit ADF (Augmented Dickey-Fuller) se efectuează relativ la coeficientul termenului :

în ecuaţia de regresie următoare:

.

Distribuţia asimptotică a raportului t asociat coeficientului este aceeaşi cu cea din cazul AR(1), astfel că se utilizează aceleaşi valori critice. La aplicarea testului, p este selectat astfel încât reziduurile din ecuaţia de regresie să rămână necorelate. Au fost dezvoltate trei variante ale testului DF, aferente respectiv regresiilor:

61

(V1)

(V2)

(V3)

Distribuţiile asimtotice şi deci valorile critice sunt specifice fiecărei variante. Valorile critice nu depind însă de numărul de întărzieri p.Decizia asupra ipotezei nule, un anumit nivel de semnificaţie:

tcalc < t*tab H0 se respinge seria nu are rădăcină unitate (este staţionară relativ la medie în V1 şi V2, sau staţionară

relativ la o tendinţă deterministă în varuianta V3)

tcalc > t*tab H0 se acceptă seria are o rădăcină unitate (este nestaţionară, cu tendinţă stochastică).

Testul ADF este de test de nestaţionalitate stochastică (dacă H0 este adevărată, seria este nestaţionară de tip DF).

Alegerea între cele trei variante rămâne totuşi o problemă. O soluţie logică pare a fi efectuarea testului în varianta generală (V3), dar includerea unor regresori cu coeficienţi nesemnificativi reduce puterea testului; astfel, testul poate indica prezenţa unei rădăcini unitate când în realitate seria nu o conţine. Principiul general constă în a alege o variantă conformă cu datele:

- dacă seria prezintă o tendinţă (deterministă sau stochastică) se aplică varianta generală (V3);

- dacă seria nu are o tendinţă vizibilă şi are medie diferită de zero, se aplică varianta (V2) respectiv

- dacă seria fluctuează în jurul lui zero se aplica testul în varianta (V1).După aplicarea testului este indicat a se examina şi semnificativitatea coeficienţilor de

regresie (din ecuaţia de regresie aferentă testului aplicat) în principal atunci când nu suntem siguri asupra variantei adecvate respectiv asupra valorii lui p. Dacă se consideră necesar, se poate aplica din nou testul cu o altă specificare pentru ecuaţia de regresie. Pentru alegerea odinului p se poate utiliza de asemenea criteriile de informaţie (AIC, SC,...) Dacă ipoteza nulă nu este respinsă atunci se aplica în continuare testul DF pentru detectarea rădăcinii unitate în diferenţele de ordin unu. Pentru determinarea ordinului de integrare se aplică testul succesiv pentru datele iniţiale, diferenţele de ordin unu şi eventual doi; seriile din domeniul economic necesită de regulă o singură diferenţiere. Dacă pentru datele iniţiale H0 se acceptă, iar pentru datele diferenţiate ipoteza nulă H0 se respinge Yt e nestaţionar dar diferenţele de ordin 1 sunt staţionare Yt este integrată de ordin 1 sau Dacă ipoteza nulă H0 se acceptă atât pentru datele iniţiale Yt cât şi pentru cele difererenţiate dar se respenge pentru datele de două ori

dioferenţiate seria este integrată de ordinul doi sau

62

Tendinţă deterministă versus tendinţă stochastică. O serie poate avea tendintă deterministă sau/şi tendinţă stochastică; o serie ce are atât tendinţă deterministă cât şi tendinţă stochastică se comportă ca şi o serie cu tendinţă stochastică. Graficul de mai jos redă comparativ două serii de timp nestaţionare cu şi respectiv fără rădăcină unitate (prima serie are atât tendinţă deterministă cât şi tendinţă stochastică):

, unde , şi, unde

obţinute prin simulare. Pentru eroarea au fost generate 200 de valori aleatoare. În cazul seriei staţionare relativ la o tendinţă deterministă valorile fluctuează staţionar în jurul tendinţei, în timp ce seria cu rădăcină unitate se îndepărtează de la tendinţa deterministă iar amplitudinea fluctuaţiilor creşte sau descreşte în timp.

Observaţie. Varianţa erorii în cazul seriei staţionare relativ la tendinţa deterministă liniară rămâne constantă în timp.

Diferenţele de ordin unu pentru ambele tipuri de procese:, ;

, , cu ,sunt staţionare:

, respectiv.

Prin urmare, prin analiza seriilor diferenţiate nu se poate face distincţie între cele două tipuri de nestaţionalitate. Există o diferenţă esenţială între cele două serii de timp:- dacă seria conţine rădăcini unitate atunci şocurile ( ) asupra seriei sunt permanente, deoarece (Johnston şi DiNardo, 1994): . Dacă o serie macroeconomică este de tip DS atunci impactul şocurilor conjuncturale are un efect permanent asupra nivelului seriei. Originea nestaţionalităţii unui mers aleator constă în acumularea de şocuri aleatoare, deoarece: ;

63

- în cazul seriilor staţionare relativ la tendinţă influenţa şocurilor asupra următoarelor abateri de la tendinţa deterministă se diminuează în timp: .

Pentru a detectarea naturii tendinţei unei serii nestaţionare se poate utiliza varianta V3 a testului ADF:

(V3)

H0 : H1 :

Dacă H0 se acceptă seria are rădăcină unitate seria are tendinţa stochastică. Dacă H0

se respinge seria nu are rădăcină unitate, prin urmare nu are tendinţă stochastică. Pentru a detecta prezenţă unei tendinţei deterministe se va testa semnificativitatea coeficientului de regresie în ecuaţia de regresie aferentă testului aplicat V3, utilizând testul Student clasic. De asemenea dacă se estimează tendinţa deterministă iar reziduul este staţionar atunci seria este stationară relativ la tendinţă.

Existenţa sau nu a unei rădăcini unitate într-o serie nestaţionară determină natura tendinţei. Cunoaşterea naturii tendinţei unei variabile nestaţionare este importantă în previziune respectiv în modelarea econometrică. Staţionalitatea/nestaţionalitatea respectiv detectarea naturii nestaţionalităţii determină tipul de modelare şi proprietăţile asimtotice ale metodelor econometrice de estimare.

4.2. Serii cointegrate . Meto dologia Engle-Granger (cointegrare într-o singură ecuaţie)

Noţiunea de cointegrare este strâns legată de cea de „regresii false” cu serii de timp. Atunci când se estimează regresii cu serii de timp în economie deseori din R2 este mare (R 1) iar statistica Durbin-Watson este mică DW 0 (erorile sunt corelate). In general, R 1, DWcalc 0 şi R2 > DWcalc poate fi un semnal ca regresia este falsă; dependenţa este exagerată iar estimatorii sunt suspecţi. Aceasta se întâmplă deoarece variabilele din economie sunt deseori nestaţionare şi se comportă ca şi un proces de tip mers aleator (au rădăcină unitate). Dacă două serii sunt I(1) atunci deseori se respinge ipoteza inexistenţei unei relaţii între ele chiar când aceasta un există. Generând două serii de tip mers aleator independente şi estimând ecuaţia de regresie dintre ele, Engle şi ranger au observat că ipoteza conform căreia panta dreptei de regresie este nesemnificativă s-a respins în 76% din cazuri, utilizând testul t; au sugerat ca regresia să fie estimată pentru seriile diferenţiate.

Pentru a exista o relaţie pe termen lung între variabile, acestea trebuie să fie cointegrate. Un test de cointegrare poate fi aplicat, pentru a se evita regresiile false. Un este indicat a se estima regresii cu serii de timp, excepţie atunci când seriile sunt cointegrate. Engle şi Granger (1987) au observat faptul că o combinaţie liniară a două sau mai multe serii nestaţionare poate fi staţionară.

Definiţie (Engle and Granger, 1987). Dacă două serii sunt integrate de acelaşi ordin I(d) şi există astfel încât reziduul din regresie are un ordin mai mic

64

de integrare I(d-b) atunci, conform definitiei Engle-Granger (1987), cele doua serii sunt cointegrate de ordin CI(d,b).

Astfel, dacă sunt I(1) şi atunci cele două serii sunt cointegrate de ordin CI(1,1). In acest caz, pentru a estima relaţia pe termen lung dintre variabile este suficient a se estima modelul de regresie static , estimatorii MMP fiind consistenţi atunci când lungimea seriei este mare. Ne vor referi, în continuare, doar la acest caz.

Două serii nestaţionare Y şi X, integrate de ordinul 1, adică I(1), pentru care există o combinaţie liniară, notată cu :

ce este staţionară, I(0) se numesc se numesc serii cointegrate (de ordinul 1). Vectorul (1, ) se numeşte vector de cointegrare. Astfel diferenţa rămâne stabilă în jurul unei medii fixe (media lui este zero). Dacă constanta este zero, relaţia ce le menţine legate pe termen lung este una de proporţionalitate . Variabilele rămân legate pe termen lung prin relaţia de echilibru iar deviaţiile de la aceasta au loc doar pe termen scurt; această relaţie de echilibru poate fi interpretată ca o relaţie echilibru pe termen lung, „deranjată” doar de şocuri aleatoare ( ) cu efect pe termen scurt. Relaţia se numeşte relaţie de cointegrare între cele două variabile. Relatia de echilibru pe termen lung este înţeleasă în sensul de stabilitate a relaţiei de dependentă.

Două serii cointegrate au o tendinţă stochastică comună (tendinţe de evoluţie similare), adică „hoinăresc” împreună (analogie în evoluţie). Relaţia de dependenţă dintre ele este stabilă.

Exemple. Posibile relaţii de cointegrare sugerate de teoria economică, variabilele fiind de regulă considerate în formă logaritmată:

- între venit PIB şi consum C. Raportul C/PIB este constant pe termen lung, astfel ln(C)-ln(PIB) este staţionar iar ln(C) şi ln(PIB) sunt cointegrate. In mod similar PIB şi învestiţiile;

- cererea de monedă, preţuri, venit- între cursul valutar, preţurile domestice respectiv preţurile din ţara străină, cursul real având comportament staţionar (conform teoriei parităţii de cumpărare);- cusul diferitelor acţiuni;- rentabilitatea activelor şi rata inflaţiei, diferenţa acestora adică rata reală a

rentabilităţii, ce are comportament staţionar;- ratele dobânzii pentru diferite maturităţi, diferenţa faţă de rata activului fără risc

(rata pe termen scurt) reflectând prima de risc a investitorilor;- logaritmul indicelui preţului acţiunilor respectiv al dividendelor diferenţa

reprezentând logaritmul randamentului .- logaritmul indicelui preţurilor respectiv al salariului , diferenţa

reprezentând logaritmul indicelui salariului real;- cursurile acţiunilor (de regulă în formă logaritmată) etc.

Aceste posibile relaţii de cointegrare trebuie confirmate şi de datele empirice.Abordări în teoria cointegrării:

65

- abordari bazate pe o singură ecuaţie, cea mai cunoscută fiind metoda în două etape propusă de Engle şi Granger;

- abordarea multivariată de tip VAR respectiv VECM; în acest caz ne asteptăm la existenţa mai multor relaţii de cointegrare. În cazul general dat fiind un grup de mai multe variabile nestaţionare suntem interesaţi dacă acestea sunt cointegrate, şi dacă sunt, care este relaţia de echilibru pe termen lung dintre ele. Pentru analiza cointegrării între mai multe procese nestaţionare, cu rădăcină unitate, se apelează la metodologia dezvoltată de Johansen şi Juseliu (1990), implementată în softurile de statistică.

Metodologia Engle-Granger :Etapa 1. Testarea existenţei unei relaţii de cointegrare între două variabile:

a) se testează dacă ambele variabile sunt integrate de ordin 1, utilizând teste de tip unit root, precum testul ADF

b) se estimează regresia liniară prin MMP pentru a obţine o estimatie a relaţiei (vectorului) de cointegrare. Interesant este că estimatorii obţinuţi pentru şi sunt superconsistenţi (în acest caz, când ambele variabile sunt I(1)), chiar dacă erorile sunt corelate. Erorile standard nu sunt însă de încredere, astfel nu se pot realiza inferenţe privind modelul pe termen lung. Dacă există o relaţie de cointegrare atunci MMP o va depista, iar dacă nu există atunci regresia este falsă. Se extrag apoi estimaţiile pentru reziduuri ;

c) se testează dacă reziduurile sunt staţionare. Dacă ipoteza existenţei rădăcinii unitate în seria reziduurilor este respinsă, atunci între cele două procese există relaţia de cointegrare. Dacă reziduurile sunt staţionare cele două serii sunt cointegrate, relaţia de cointegrare fiind cea estimată iar relaţia de echilibru pe termen lung este

. După estimarea coeficienţilor de regresie şi prin urmare a reziduurilor , se aplică

testul ADF au un alt test de tip unit root pentru detectarea nestaţionalităţii reziduurilor (detectarea rădăcinii unitate). Valorile critice însă nu sunt cele clasice deoarece seria reziduurilor a rezultat prin estimare. Valorile adecvate testului ADF de cointegrare au fost obţinute de către MacKinnon de asemenea prin simulare şi pot fi găsite în Johnston şi DiNardo (1994). Exemple de valori critice pentru ADF pentru cointegrare,

T – lunginea seriei ADF (p=4) 50 -3,29100 -3,17200 -3,25

Dacă tcalc < H0 se respinge sunt staţionare Xt, Yt cointegrate (există o relaţie de dependenţă stabilă între ele numită relaţie de cointegrare.

De asemenea se poate utiliza testul Durbin-Watson pentru cointegrare (CRDW) propus de Bhargava si Sargan. Se calculeaza statistica Durbin-Watson iar daca d calc >

Xt, Yt sunt cointegrate; valorile tabelate sunt: 0.386 pentru =5%, 0.322 pentru =1%. Observatie: d=2(1- ), fiind coeficientul de autocorelatie a reziduurilor de ordinul 1.

66

Etapa 2. Elaborarea unui model de tip ECM

Două serii cu tendinţe stochastice ce sunt cointegrate evoluează împreună în timp, acest echilibru pe termen lung fiind "deranjat" doar de şocuri aleatoare cu efect pe termen scurt. Dacă există, relaţiile de echilibru pe termen lung dintre variabile este necesar a fi încoporate în modelul dinamic, destinat previziunii. Astfel, ne asigurăm că modelul va genera, atunci când este utilizat în simulare, pentru variabilele cointegrate serii ce vor evolua împreună. Dacă se ignoră existenţa cointegrării şi se modelează diferenţele de ordin întâi ca şi variabile staţionare, atunci cele două serii vor evolua independent, fiecare după tendinţa sa stochastică, şi prin urmare neconform cu datele istorice.

Relaţia pe termen scurt dintre două variabile cointegrate, cu relaţia de cointegrare , poate fi descrisă printr-un model de corecţie a erorilor (“error

correction model”), forma simplă a acestuia fiind:, sau

.

Reziduurile din ecuaţia de cointegrare (ce surprind dezechilibrele pe termen lung) sunt luate în considerare în modelul dinamic, fiind introduse ca un factor. Astfel, modificările variabilei Y pe termen scurt depind de cele ale variabilei Xşi de abaterea lui Y de la valoarea sa de echilibru pe termen lung din perioada precedentă.

Dezechilibrul dintr-o perioada este corectat in perioada imediat urmatoare; spre exemplu un dezechilibru intre cerere si oferta din perioada anterioara determina o modificare a pretului (dezechilibrul a determinat o corectie a pretului in perioada curenta). Coeficientul indica in ce proportie un dezechilibru aparut in evolutia celor doua variabile (abatere de la relatia de cointegrare), se regaseste intr-o corectie a variabilei Y in perioada imediat urmatoare.

Observăm că în acest model coeficienţii de regresie sunt coeficienţi ai unor variabile staţionare, fiind aplicabile tehnicile clasice de estimare şi validare.

Observaţie. Forma ecuaţiei ECM rezultă rearanjând modelul dinamic:

unde este zgomot alb. Rezultă forma ECM:

unde şi . Cele două ecuaţii sunt echivalente, dar forma ECM are avantajul de a încorpora şi dezechilibrele pe ermen lung, de la ecuaţia de cointegrare (atunci când variabilele sunt cointegrate) iar coeficientul oferă informaţii privind viteza de ajustare. Ecuaţia anterioară poate include şi un termen determinist în t, respectiv alţi termeni de tipul sau :

.

astfel încât termenul eroare să fie de tip zgomot alb. Forma finală a modelului rezultă utilizând procedurile obişnuite de validare şi estimare. Coeficientul măsoară viteza de ajustare la dezechilibrele pe termen lung.

67

O altă modalitate de a detecta existenta unei relaţii de cointegrare constă în testarea semnificativităţii coeficientului (cu alternativa mai mic decât zero) în modelul ECM; dacă acesta este semnificativ atunci nu există o relaţie de cointegrare între variabile.

Deşi se estimează o relaţie de echilibru pe termen lung între două variabile cointegrate, este important de considerat şi relaţia pe termen scurt dintre acestea, deoarece sistemul poate să nu fie întotdeauna în echilibru.

Metodologia ne este aplicabilă pentru studiul cointegrării între mai multe vriabile.

În concluzie, relativ la estimarea regresiei între două variabile relativ la care baza de date este formată din serii de timp sunt utile reperele următoare:

Dacă variabilele sunt staţionare sau staţionare relativ la tendinţă (deterministă) modelul este specificat pentru variabilele observate. Forma generală a modelului dinamic adecvate în acest scop este:

.

- Termenul se include doar dacă una din variabile este staţionară relativ la tendinţă. In acest caz testele clasice din regresie, bazate pe metoda c.m.mici pătrate sunt asimptotic valide (dacă numărul datelor e suficient de mare).

Dacă variabilele sunt nestaţionare, staţionare după o singură diferenţiere şi nu sunt cointegrate, atunci, regresia se va estima pentru variabilele diferenţiate. Modelul dinamic are forma:

.

Dacă variabilele sunt nestaţionare şi cu rădăcină unitate, staţionare după prima diferenţiere şi cointegrate, atunci regresia:

,furnizează un estimator (super)consistent pentru relaţia de cointegrare pe termen lung dintre variabile (Johnston şi DiNardo, 1994). Relaţia dintre variabile este modelată estimată utilizând un model de tip corecţie a erorilor:

unde

Această ecuaţie încorporează atât dinamica pe termen scurt cât şi cea pe termen lung.

4.3. Analiza cauzalităţii dintre variabile

Înainte de specificarea unui model actuarial pentru investiţii este important de testat natura relaţiilor existente între variabile. Ne vom referi în continuare, pentru simplitatea expunerii, la două variabile Y respectiv X.

În sensul abordării propuse de Granger (1969) X este cauza pentru Y, sau X explică pe Y, dacă X ajută la predicţia lui Y. Procedura presupune a se cuantifica cât din

68

nivelul current al variabilei Y poate fi explicat prin valorile sale istorice iar apoi a se vedea dacă adăugând variabile de tipul variaţia explicată creşte.

Analiza cauzalităţii între două variabile presupune parcurgerea etapelor de mai jos.

1) Pentru a testa dacă X este cauză pentru Y, în sens Granger, se estimează ecuaţia de regresie:

, (u)

unde k este fixat astfel încât erorile să fie zgomot alb. Relativ la această ecuaţie, ipoteza nulă respectiv alternativa sunt:

, X nu este cauză pentru Y,.

Testarea ipotezei precedente se realizează utilizând un test de tip Fisher-Snedecor construit astfel:

,

unde şi reprezintă suma pătratelor reziduurilor respectiv coeficientul de

determinaţie în ecuaţia fără restricţii (u) iar şi sunt aceleaşi elemente dar în

ecuaţia de regresie cu restricţii (r) ce include doar termenii de tip :

. (r)

Se respinge ipoteza nulă dacă valoarea calculată pentru statistica F este mai mare decât valoarea critică.

2) Analog, se testează dacă Y este cauză pentru X pornind de la regresia:

, (u)

Ipoteza nulă respectiv alternativa sunt:, Y nu este cauză pentru X

.

Testul F are aceeaşi formă:

,

şi referindu-se la ecuaţia de regresie cu restricţii (r):

. (r)

3) În urma aplicării celor două teste sunt posibile patru concluzii:

i) cauzalitate unidirecţională: X este cauză pentru Y (X Y) dacă ipoteza nulă se respinge la 1) şi se acceptă la 2);

69

ii) cauzalitate unidirecţională: Y este cauză pentru X (Y X) dacă ipoteza nulă se respinge la 2) şi se acceptă la 1);

iii) cauzalitate bidirecţională: X Y dacă ipoteza nulă se respinge atât la 1) cât şi la 2).

iv) cele două variabile sunt independente dacă ipoteza nulă se acceptă la 1) şi la 2).

4.4. Modele vector autoregresiv VAR

Reprezentarea autoregresivă AR(p) este extinsă pentru un vector de variabile dependente VAR(p). In scrierea matriciala, pentru două variabile, un model VAR(1) are forma:

sau unde este vectorul variabilelor dependente (2x1), B vectorul termenilor liberi (2x1), A matricea coeficienţilor (2x2) iar vectorul erorilor (perturbaţiilor). Prezentul variabilelor este dependent de propriul trecut.

Un sistem econometric cu ecuaţii simultane poate fi pus în forma VAR. Aceste modele sunt destinate previziunii (avantaj: nu sunt necesare previziuni ale variabilelor, înafara sistemului) şi se utilizează deasemenea pentru a analiza impactul unor perturbaţii (şocuri) aleatoare asupra variabilelor sistemului.

Fiecare variabilă este exprimată funcţie de trecutul celorlalte variabile din sistem. Forma generală VAR(p) este redată prin ecuaţia vectorială:

unde este vectorul variabilelor dependente (kx1), (kxk) matrici ale coeficienţilor iar este vectorul (kx1) inovaţiilor (erorilor); adică transpusa

vectorului. Se presupune ca inovaţiile sunt necorelate cu trecutul acestora respectiv cu variabilele din partea dreapta a ecuaţiei.

Pentru estimarea coeficienţilor se utilizează metoda celor mai mici pătrate pentru fiecare ecuaţie în parte, fără a se pierde din eficientă.

Se utilizează atunci când ne interesează interacţiunea dintre variabile.

Se definesc şi aici condiţii de stabilitate, staţionalitate a modelului. In operatorul intarziere modelul se scrie:

unde , prin fiind notată matricea unitate. Modelul VAR(p) este stabil dacă rădăcinile ecuaţiei

sunt înafara cercului unitate (au modulul mai mare decât unu). Un model stabil este staţionar, mediile, varianţele şi autocovarianţele fiind independente de timp.

70

Inainte de elaborarea unui model se recomandă eliminarea tendinţei şi a sezonalităţii din date, dacă există; o metodă alternativă constă în introducerea unui termen t în ecuaţia vectorială pentru a extrage tendinţa deterministă. Pentru validare se aplică teste specifice, similare cu cele din cazul unui model autoregresiv cu o singură ecuaţie: erorile trebuie să fie necorelate, să aibă aceeaşi varianţă (constantă în timp), iar pentru elaborarea de previziuni este necesară şi normalitatea erorilor.

Testul Granger de cauzalitate, numit şi test de exogeneitate slabă, ne indică dacă o variabilă endogenă poate fi tratată ca exogenă. Intr-un model VAR cu 2 variabile, nu este cauză de tip Granger pentru dacă toate matricile coeficienţilor sunt triunghiulare, cu 0 deasupra diagonalei principale.

4.5. Cointegrare în sisteme de ecuaţii. Metodologia Johansen

In general, abordarea Engle-Granger este adecvată doar pentru două variabile. Dacă avem n variabile şi n-1 dintre ele nu sunt (slab) exogene, şi/sau există mai multe relaţii de cointegrare între variabile atunci abordarea prin intermediul unei singure ecuaţii nu este adecvată (Harris and Sollis, 2003).

In modelele multivariată toate variabilele sunt abordate simultan, şi se urmăreşte explicarea comportamentului unei variabile funcţie de trecutul său şi a celorlalte variabile.

Etapele metodologiei Johansen, destinată elaborării modelelor dinamice, sunt:

1) testarea ordinului de integrare pentru fiecare variabilă;

2) determinarea numărului

3) ....

Pentru un vector (kx1) de k potenţiale variabile endogene specificăm un model autoregresiv VAR(p):

Atunci când ecuaţia

are rădăcini în interiorul cercului unitate atunci unele sau toate variabile din vectorul sunt nestaţionare I(1), iar între ele pot exista relaţii de cointegrare.

Definiţie. Un vector de variabile integrate de acelaşi ordin I(d) este cointegrat CI(d,b) cu vectorul de cointegrare dacă este integrat de ordin mai mic I(d-b). Astfel, există anumite combinaţii liniare ale variabilelor din vector ce sunt integrate de un ordin mai mic.

Observaţie. Pentru un vector ce conţine două variabile integrate I(1) =(pentru care reziduul din regresia este staţionar I(0), vectorul de cointegrare

este ; adică reziduul este staţionar.

Dacă toate variabilele din vectorul =( sunt staţionare I(0), atunci se aplică metodologia clasică VAR, pentru elaborarea acestui model. Dacă cel puţin una

71

din variabile este nestaţionară I(1) atunci există două posibilităţi: (1) nu există nici o relaţie de echilibru (sau de cointegrare) între elementele lui caz în care modelul costituie un sistem de regresii false, respectiv (2) există una sau mai multe relaţii de echilibru (sau de cointegrare) între elementele lui , când se are în vedere reprezentarea VECM a modelui (aceasta fiind o reprezentare VAR cu restricţii).

Abordarea Johansen constă în identificarea a r combinaţii liniare de cointegrare, printre cele k variabile integrate, şi încorporarea lor într-un model dinamic.

Cum pot fi identificate aceste relaţii de cointegrare?Dacă sunt cointegrate atunci reprezentarea VAR nu este prea adecvată pentru

analiză deoarece relaţiile de cointegrare nu apar explicit. Relaţiile de cointegrare devin vizibile în reprezentarea VECM, reprezentare echivalentă cu VAR, aceasta fiind:

unde iar .

Justificare. Considerăm k=2.

Este mai convenabil să apară pentru a putea evidenţia eventual reziduul din perioada anterioară, astfel:

sau

unde iar .Această reprezentare echivalentă are mai multe avantaje (Juselius, 2003): se

reduce efectul multicoliniarităţii, informaţiile pe termen lung sunt sintetizate în matricea , avem o interpretare mai intuitivă a coeficienţilor (surprind efetul pe termen lng

respectiv scurt), este o reprezentare adcvată atunci când ne interesează modificările faţă de perioada anterioară (ex. în cazul ratei inflaţiei).

b) Legătura între rangul matricii şi numărul relaţiilor de cointegrare Coeficienţii conţin informaţii despre ajustarea pe termen scurt, iar pentru a identifica eventuale relaţii de echilibru pe termen lung între elementele vectorului ne concentrăm asupra matricii . Rangul matricii indică numărul relaţiilor de cointegrare prezente între cele k varibile din vectorul .

Cum sunt I(1) rezultă staţionare, astfel rangul matricii, notat cu r, trebuie să fie mai mic decât numărul variabilelor r=rang( )<k (altfel în partea stângă avem o variabilă nestaţionară iar în partea dreaptă una nestaţionară); dacă spre exemplu atunci membrul stâng al ecuaţiilor este o variabilă staţionară iar în cel drept avem o variabilă nestaţionară plus variabile staţionare ( respectiv reziduul). Astfel

sau rang( )<k. Rangul matricii este egal cu numărul de linii (sau coloane) liniar independente. Avem rang( )=k doar atunci când toate variabilele sunt staţionare; în acest caz nu se pune problema cointegrării.

72

În cazul nestaţionalităţii de tip I(1), deoarece un proces nestaţionar nu poate fi egal cu unul staţionar forma VECM are sens doar atunci când defineşte combinaţii liniare staţionare, adică între variabile există relaţii de cointegrare.

Atunci când matricea (kxk) are rang redus acesta poate fi descompusă în două matrici (kxr) şi (kxr) fiecare cu rangul r:

.Astfel în ipoteza unor variabile I(1) reprezentarea VECM a unui vector cointegrat cu r relaţii de cointegrare este:

sau

unde este staţionar I(0) fiind vectorul rx1 relaţiilor de cointegrare, (kxr) este matricea vectorilor de cointegrare (r vectori de cointegrare, fiecare coloană reprezentând coeficienţii unui vector de cointegrare); aceştia formează o bază în spaţiul vectorilor de cointegrare, orice combinaţie liniară a vectorilor din bază fiind de asemenea un vector de cointegrare. Avem în această reprezentare un VAR(p-1) în care toate variabilele sunt staţionare. Matricea coeficienţlor de ajustare din reprezintă viteza cu care se ajustează la dezechilibre in relaţia de cointegrare.

Descomunerea nu este unică deoarece pentru orice matrice M(rxr) nesingulară avem unde iar

. Pentru a obţine valori unice sunt necesare anumite restricţii, precum normalizarea (se împart toţi coeficienţii vectorului de cointegrare la unul dintre ei) sau restricţii sugerate de teoria economică.

Prin urmare, avem următoarele cazuri:1) r=rang( )=k, caz în care sunt staţionare şi se va elabora un model VAR

pentru variabilele observate , utilizând inferenţele standard;2) când există r combinaţii liniare a variabilelor ce sunt staţionare

prin urmare r relaţii de cointegrare, fiind cointegrate. Reprezentarea VECM este validă, toate variabilele ce intervin fiind staţionare. Reprezentarea VAR în este consistentă dar ineficientă, iar reprezentarea VAR pentru diferenţe este greşită (Cochran, 2005);

3) r=0 când nu există combinaţii liniare staţionare şi se va elabora un model VAR pentru diferenţe (acestea fiind staţionare).

c) Testarea numărului relaţiilor de cointegrare şi estimarea acestora

73

Johansen (1988) a obţinut estimaţii pentru (kxr) şi (kxr) utilizând pocedura cunoscută ca şi regresia rangului redus. Estimatorii de maximă verosimilitate ML pentru sunt obţinuţi ca şi vectori proprii corespunzători celor mai mari r valori proprii.

Testele sunt bazate pe estimarea reprezentării VECM:

şi se definesc utilizând cele mai mari valori proprii ale matricii . In scopul stabilirii numărului relaţiilor de cointegrare sunt estimate valorile proprii (sau rădăcinile caracteristice) ale matricii : . Aceste valori proprii sunt deasemenea

egale cu patratul corelaţiei canonice între şi corectată de diferenţele , astfel că iau valori între 0 şi 1. Numărul valorilor proprii semnificativ diferite de zero indică numărul relaţiilor de cointegrare. Rangul matricii este egal cu numărul valorilor proprii diferite de zero.

Următoarele două teste, de tip LR(“likelihood ratio”), sunt utilizate pentru determinarea numărului r de valori proprii semnificativ diferite de zero, adică a numărului relaţiilor de cointegrare:

1. testul sau statistica “trace”

Se testează succesiv, pentru r=0,1, ...,k-1 următoarele ipoteze:cel mult r relaţii de cointegrare (rangul matricii este cel mult r)

până la primul r pentru care ipoteza nulă se acceptă. Când ipoteza nulă se acceptă valoarea statisticii LR este aproape de zero, adică ultimele k- valori proprii sunt nesemnificative . Ipoteza nulă se respinge atunci când valoarea calculată este mai mare decât cea critică.

2. testul „maximum eigenvalue”sau

Ipoteza nulă respectiv alternativa sunt:r relaţii de cointegrare (rangul matricii este cel mult r)r+1 relaţii de cointegrare

pentru r=0,1, ...,k-1.Valorile critice sunt determinate de mai mulţi autori, printre care Johansen and

Juselius (1990), MacKinnon-Haug-Michelis (1999). Valorile critice diferă după cum se seriile au constantă şi/sau tendinţă deterministă respectiv ecuaţiile de cointegrare conţin constantă şi/sau tendinţă deterministă. Forma generală a modelului:

poate include şi tendinţe deterministe, de tip t, prin vectorul variabilelor deterministe . Pentru selecţia numărului de întârzieri, în analizele de tip VECM sau VAR, se pot

utilize criteriile AIC (Akaike Information Criterion), SIC (Schwarz Information Criterion), sau HQ (Hannan-Quinn Information Criterion). Se alege aceea valoare pentru p ce minimezează valoarea acestor funcţii, în modelul VAR.

Acestă abordarea facilitează testarea unor restricţii, utilizând teste de tip LR distribuite după legea , restricţii eventual sugerate de teoria economică, asupra

74

elementelor matricii vectorilor de cointegrare sau a matricii coeficienţlor de ajustare ; regăsim aici şi testele de exogeneitate (slabă sau tare).

Modelul dinamic VECM poate fi utilizat pentru generarea de previziuni respectiv pentru a analiza impactul unor perturbaţii (şocuri) aleatoare asupra variabilelor sistemului.

Bibliografie

75

1. Bresson G., Pirotte A., Econometrie des series temporalles, Presses Universitaires de France, 1995.

2. Buiga A., Dragoş, C, Lazar D., Parpucea I., Statistică descriptivă, Editura Mediamira, 2004.

3. Florea I., Parpucea I., Buiga A., Lazar D., Statistică inferenţială, Presa Universitară Clujeană, 2000.

4. Florea, I. Econometrie, Editura Universităţii din Oradea, 2004.5. Harris R., Sollis R., Applied time series modeling and forecasting, John Wiley &

Sons, 2003.6. Makridakis S., Wheelwright S.C., Hyndman R.J., Forecasting. Methods and

Applications, John Wiley & Sons Inc., 19987. Melard G., Methodes de prevision a court terme, Universite de Bruxelles, 1990.8. Mills, T.C., The econometric modelling of financial time series, Cambridge

University Press, 1999.9. Pecican, E.S., Econometria pentru … economişti, Editura Economică, 2004.10. Pecican E.S., Econometrie, Ed. ALL, Bucureşti, 1994.11. Tertisco M., Stoica P., Popescu Th., Modelarea si predictia seriilor de timp, Ed.

Academiei, Bucureşti, 1985.

76