Seminariile 10, 11, 12 (Planul si dreapta în spatiu)

1. S¼a se scrie ecuatia planului care:a) trece prin M0 (1; 2; 3) si are normala N = 2i� j + k;b) trece prin origine si are normala N = �i+ 2j � k;c) trece prin punctele M1 (3;�1; 0) ; M2 (4; 1; 1) ; M3 (2; 0; 1) ;d) taie axele de coordonate în puncteleM1 (3; 0; 0) ; M2 (0;�3; 0) ; M3 (0; 0; 1) :

2. S¼a se determine unghiul dintre planele: P1) x + y + z + 2 = 0 si P2)2x� y + 3z + 5 = 0:

3. S¼a se determine parametrii � si � reali astfel încât planele P1) (�+ 2) x�y+ z+2�� 1 = 0 si P2) �x+ (4� �) y��z+ �+2 = 0 s¼a �e perpen-diculare, respectiv paralele.

4. S¼a se scrie ecuatia unui plan care trece prin punctul M0 (7;�5; 1) sicare taie pe axele de coordonate segmente pozitive si egale între ele.

5. S¼a se determine distanta de laM0 (1; 1; 0) la planul P ) 2x+2y�z�1 =0:

6. S¼a se scrie ecuatia unui plan care:i) trece prinM0 (3;�1; 2) si este perpendicular pe vectorul

����!M0M1; unde

M1 (4;�2;�1) ;ii) trece prinM0 (3; 2; 5) si este paralel cu planul P ) 2x+y�3z+5 = 0;iii) trece prin M0 (2; 1; 3) si este paralel cu vectorii a = 3i� 4j + 2k sib = 3i+ 4j � 2k;iv) trece prin M0 (1;�5;�3) si este perpendicular pe planele P1) 3x�y + z + 1 = 0 si P2) x+ y � z � 2 = 0;v)trece prin M1 (2; 1; 3) ; M2 (2; 2; 2) si este paralel cu vectorul u =3i+ j � 4kvi) este paralel cu planul xOz si trece prin punctul M0 (2;�5; 3) ;vii) trece prin punctele M1 (0; 0; 1) si M2 (3; 0; 0) si formeaz¼a un unghide 60� cu planul xOy;viii) este paralel cu axaOx si trece prin puncteleM1 (4; 0;�2) siM2 (5; 1; 7) ;ix) trece prin Oz si prin punctul M0 (�3; 1;�2) :

7. Determinati multimea punctelor egal dep¼artate deM1 (3;�1; 3) siM2 (5; 1;�1) :

1

8. Se dau punctele A (3;�1; 3) ; B (5; 1;�1) si vectorul v = �3i+5j�6k:Se cer:i) ecuatiile canonice si parametrice ale dreptei d) ce trece prin A si arevectorul director v;ii) punctele de intersectie ale dreptei d) cu planele de coordonate;iii) ecuatiile canonice ale dreptei AB;iv) distanta de la A la B si vectorul

�!AB;

v) m¼asura unghiului dintre dreptele AB si d):

9. S¼a se scrie ecuatiile dreptei prin A (2;�5; 3) paralel¼a cu:i) d1) x�14 = y�2

�6 =z+39;

ii) axa Oz;

iii) d2)�2x� y + 3z + 1 = 05x+ 4y � z � 7 = 0 :

10. S¼a se scrie ecuatiile canonice ale dreptei d)�3x� y + 2z � 6 = 03x+ 4y � z + 3 = 0 :

11. Se dau punctul M (1; 2;�1) ; dreapta d) x�12= y�1

�1 =z3si planul P )

x+ y + z � 1 = 0: S¼a se determine:i) ecuatiile dreptei ce trece prinM si este perpendicular¼a pe planul P );ii) ecuatiile dreptei prin M , paralel¼a cu dreapta d);iii) ecuatia planului ce trece prin M si este perpendicular pe dreaptad);iv) distanta de la M la planul P );v) distanta de la M la dreapta d);vi) ecuatia planului ce trece prin M si contine dreapta d);vii) unghiul dintre dreapta d) si planul P );viii) ecuatia planului prin M , paralel cu planul P );ix) coordonatele proiectiei punctului M pe dreapta d);x) coordonatele simetricului lui M fat¼a de dreapta d);xi) coordonatele proiectiei punctului M pe planul P );xii) coordonatele simetricului lui M fat¼a de planul P );xiii) ecuatiile proiectiei dreptei d) pe planul P ):

12. S¼a se a�e coordonatele simetricelor punctuluiM (1; 2;�3) fat¼a de orig-ine, axele de coordonate si respectiv planele de coordonate.

13. Fie punctulM (�1; 2; 1) : S¼a se a�e coordonatele simetricului luiM fat¼a

2

de punctul M 0 (�1;�2; 3) ; ecuatia planului prin M paralel cu planulyOz; distanta de la M la planul xOz si ecuatia planului prin M carecontine axa Ox:

14. Se consider¼a dreapta d) x�12 = y3= z�7

�1 si planul P ) 2x� y+ z� 2 = 0:i) S¼a se arate c¼a dreapta d) este paralel¼a cu planul P );ii) S¼a se calculeze distanta de la dreapta d) la planul P );iii) S¼a se determine ecuatiile proiectiei dreptei d) pe planul P ) si ecuati-ile simetricei dreptei d) fat¼a de planul P ):

15. S¼a se veri�ce c¼a puncteleA (3; 0; 1) ; B (0; 2; 4) ; C�1; 4

3; 3�sunt coliniare

si s¼a se scrie ecuatia dreptei suport.

16. S¼a se scrie ecuatia planului determinat de dreptele paralele d1) x�12=

y�21= z+3

2si d2) x�32 = y+1

1= z�1

2:

17. S¼a se scrie ecuatia planului ce trece prin M0 (1;�1; 3) si este paralel cu

dreptele: d1)�5x+ y � 2z + 12 = 0x� 3 = 0 si d2)

�x+ y � z = 02x� 5y + 3z � 1 = 0 :

18. S¼a se scrie ecuatia unui plan care trece prin dreapta de intersectie aplanelor: P1) 4x� y + 3z � 1 = 0 si P2) x+ 5y � z + 2 = 0 si care:i) trece prin origine;ii) trece prin punctul M (1; 1; 1) ;iii) este paralel cu axa Oy;iv) este perpendicular pe planul P 0) 2x� y + 5z � 3 = 0:

19. S¼a se a�e perpendiculara comun¼a a dreptelor (necoplanare): d1) x�12 =y+1�1 =

z1si d2) x+4�1 =

y�1 =

z+22:

20. S¼a se scrie ecuatia planului dus prin axa Ox si paralel cu dreapta d)�x = az + py = bz + q

:

21. Se d¼a dreapta d)�3x� 2y + z � 3 = 04x� 3y + 2z + 1 = 0 si planul P ) x+2y+3z�1 =

0: S¼a se determine ecuatiile proiectiei dreptei d) pe planul P ):

22. S¼a se a�e distanta dintre planele: P1) 11x � 2y � 10z � 22 = 0 si P2)11x� 2y � 10z � 45 = 0:

3

23. S¼a se a�e distanta dintre dreptele d1) :M1 (�7;�4; 3) ; v1 = 3i+4j�2ksi d2) : M2 (21;�5; 2) ; v2 = 6i� 4j + k:

24. Se consider¼a dreptele d1) x�52= y

1= z+5

�3 ; d2)x�11= y

0= z+8

1si d3)

x = y = z: S¼a se scrie ecuatia planului P ); care contine dreapta d1) sicu proprietatea c¼a proiectia dreptei d2) pe planul P ) este paralel¼a cuproiectia dreptei d3) pe planul P ):

4

Probleme propuse

1. Stabiliti care dintre perechile de plane sunt paralele:a) P1) 2x� 3y � 7 = 0, P2) 2x� 3y + 5z + 3 = 0;b) P1) 4x+ 2y � 4z + 5 = 0, P2) 2x+ y � 2z + 1 = 0;c) P1) x� 3z + 2 = 0, P2) x� 3z + 5 = 0.

Solutie: a) P1) si P2) nu sunt paralele.

b) N1 = 2N2, deci planele sunt paralele.

c) Planele sunt paralele.

2. Se dau puncteleM1 (1; 3; 0),M2 (3;�2; 1),M3 (�; 1;�3) siM4 (7;�2; 3).S¼a se determine � 2 R astfel încât punctele date s¼a �e coplanare. S¼ase scrie ecuatia planului determinat de ele.

Solutie: � = �5, 17x� 34z � 17 = 0 sau x� 2z � 1 = 0.

3. Fiind date punctele A (1; 2;�3) si B (3; 0;�1) ; s¼a se determine:a) vectorul

�!AB, planul mediator al segmentului AB precum si dis-

tantele de la A si B la acest plan;b) norma vectorului v perpendicular pe

�!AB si care îndeplineste conditia

v ��!AB = 6�i� k

�.

Rezolvare: a)�!AB = rB � rA = 2i � 2j + 2k; mijlocul segmentu-

lui AB �ind C (2; 1;�2) ; planul c¼autat are ecuatia x� y + z + 1 = 0;cele dou¼a distante sunt egale între ele si au valoarea

�!AB =2 = p3.b) Vectorul v = xi+ yj + zk este perpendicular pe

�!AB dac¼a v �

�!AB =

2x� 2y + 2z = 0. Cea de-a doua conditie implic¼a y + z = 3, x� z = 0si x + y = 3. Rezolvând sistemul obtinut avem v = i + 2j + k si decikvk =

p6.

4. Fiind date punctele A (2; 0; 0), B (0; 1; 0) si C (0; 0;�1) ; s¼a se g¼aseasc¼a:a) ecuatia planului P ) determinat de punctele A; B si C, distanta dela origine la acest plan si proiectia originii pe planul P );

5

b) simetricul lui A fat¼a de axa Oy si ecuatiile medianei din B a tri-unghiului ABC;c) volumul tetraedrului OABC.

Rezolvare: a) Folosind ecuatia planului prin t¼aieturi xa+yb+ zc�1 = 0,

unde A (a; 0; 0), B (0; b; 0) si C (0; 0; c) ; obtinem P ) x+2y�2z�2 = 0.Distanta de la origine la planul obtinut se calculeaza dup¼a formuladist (O;P ) = jAx0+By0+Cz0+Djp

A2+B2+C2= 2

3. Dreapta prin origine perpendicu-

lar¼a pe planul P ) are ecuatiile x = y2= z

�2 si intersecteaz¼a planul înpunctul O0

�29; 49;�4

9

�.

b) Simetricul lui A fat¼a de axa Oy este A0 (�2; 0; 0), mijlocul segmen-tului AC este D (1; 0;�1=2), iar mediana BD are ecuatiile x = 1�y =�2z.

c) Volumul c¼autat este V = 16

�����!OA;��!OB;�!OC���� = 13:

5. Fiind date planele P )x + y + z � 3 = 0 si Q)x + y + z � 9 = 0; s¼a seg¼aseasc¼a:a) simetricul planului P ) fat¼a de origine;b) planul R) ce împarte distanta între P ) si Q) în raportul 1=3:

Rezolvare: a) Simetricul punctului A (1; 1; 1) (ce apartine planuluiP )) fat¼a de origine �ind B (�1;�1;�1) ecuatia planului c¼autat estex+ y + z + 3 = 0.

b) Punctul ce împarte segmentul AC, unde C (3; 3; 3) apartine plan-ului Q), în raportul 1=3 �ind D (3=2; 3=2; 3=2) ; planul R) are ecuatiax+ y + z � 9=2 = 0.

6. Fiind date punctul A(1; 2; 3) si dreapta d)�x� y � 1 = 0y � z � 2 = 0 ; s¼a se de-

termine:a) paralela prin A la dreapta d) si planul determinat de cele dou¼a drepteparalele;b) simetrica dreptei d) fat¼a de planul xOy.

Rezolvare: a) Dreapta d) va avea vectorul director v = N1�N2, N1 siN2 �ind normalele celor dou¼a plane, deci v = i+ j+ k. Astfel, paralela

6

prin A la dreapta d) va avea ecuatiile x� 1 = y� 2 = z� 3. Din fasci-colul de plane ce trece prin dreapta d); � (x� y � 1)+� (y � z � 2) = 0alegem pe acela ce trece prin punctul A, adic¼a 3x� 5y + 2z + 1 = 0.b) Intersectia dreptei d) cu planul xOy este punctul B (3; 2; 0) ; iar si-metricul punctului C (1; 0;�2) (apartinând dreptei d)) fat¼a de planulxOy este D (1; 0; 2). Dreapta c¼autat¼a are ecuatiile x� 1 = y = 2� z.

7. Fiind date punctele A (1; 2; 3) si B (3; 1; 2) ; se cere:a) s¼a se arate c¼a triunghiul OAB este isoscel si s¼a se scrie ecuatiiledreptei AB;b) ecuatia planului ce contine triunghiul OAB si ecuatiile perpendicu-larei pe acest plan prin centrul de greutate al triunghiului;c) ecuatiile planelor prin A paralele cu planele de coordonate precumsi ecuatiile paralelelor prin A cu axele de coordonate.

Rezolvare: a) dist (O;A) = dist (O;B) =p14, ecuatiile dreptei AB

sunt x�12= y�2

�1 =z�3�1 .

b) Folosind ecuatia planului prin trei puncte necoliniare obtinem x +7y � 5z = 0. Coordonatele centrului de greutate G �ind (4=3; 1; 5=3),ecuatiile perpendicularei cerute sunt x�4=3

1= y�1

7= z�5=3

�5 .

c) Ecuatiile planelor sunt x = 1 (paralel cu zOy), y = 2 si respectivz = 3. Paralelele la axe sunt x = 1; y = 2 (paralel¼a cu Oz); y = 2;z = 3 si respectiv z = 3; x = 1.

8. Fiind date punctele A (1; 0; 0), B (0; 1; 1) si C (0; 0; 1) ; s¼a se determine:a) ecuatiile dreptei d) ce trece prin C si este paralel¼a cu AB, ecuatiaplanului P ) ce trece prin A si este perpendicular pe dreapta d) si si-metricul punctului A fat¼a de aceast¼a dreapt¼a;b) aria triunghiului ABC, unghiul dreptelor AB si AC, precum siunghiul dintre OA si planul triunghiului ABC:

Rezolvare: a) Întrucât�!AB = �i + j + k rezult¼a c¼a dreapta d) are

ecuatiile �x = y = z � 1. Folosind ecuatia planului printr-un punctsi de normal¼a dat¼a scriem ecuatia planului P ) sub forma x � y �z � 1 = 0 si g¼asim apoi intersectia planului cu dreapta d) în punc-tul D (2=3;�2=3; 1=3). Coordonatele punctului E simetricul lui A fat¼ade D sunt (1=3;�4=3; 2=3) :

7

b) Întrucât�!AC = �i+k si�!AB��!AC = i+k avemA = 1

2

�!AB ��!AC =1p2, de asemenea, cos' =

p2=3, deci ' = arccos

p2=3;

�!OA = i si nor-

mala la plan este N = i + k. Prin urmare sin! = cos��2� !

�= 1p

3,

deci ! = arcsin 1p3:

9. Se consider¼a planul P ) x+ y+2z� 14 = 0 si dreapta d) x� 1 = y�22=

z�3. S¼a se determine simetrica dreptei d) fat¼a de planul P ) si unghiulformat de cele dou¼a drepte.

Rezolvare: Intersectia dreptei d) cu planul P ) d¼a punctul A (2; 4; 4).Proiectia punctului B (1; 2; 3), apartinând dreptei d), pe planul P )este punctul C (11=6; 17=6; 14=3) ; iar simetricul lui B fat¼a de acestpunct este E (8=3; 11=3; 19=3). Ecuatiile dreptei c¼autate, determinat¼ade punctele A si E sunt x�2

2= y�4

�1 =z�47. Unghiul dreptei cu planul

�ind dat de relatia sin' = cos��2� '

�= 5

6, unghiul cerut este � =

2arcsin 56.

10. Fiind date dreptele d1) x� 1 = 2� y = z+22si d2)

�2x� z � 1 = 02y + z + 3 = 0

;

s¼a se a�e:a) distanta dintre cele dou¼a drepte si planul determinat de ele, dac¼aexist¼a;b) simetricul punctuluiA (2;�1; 2) fat¼a de dreapta d1), proiectia drepteid2) pe planul xOy si unghiul acesteia cu axa Oy:

Rezolvare: a) Deoarece un vector director al dreptei d2) este v2 =2i � 2j + 4k = 2v1, cele dou¼a drepte sunt paralele. Alegând punc-tul B (0;�1;�1) pe d2) obtinem dist (d1; d2) =

5p3: (��!CB = �i � 3j +

k): Din fascicolul de plane ce trece prin d2); adic¼a � (2x� z � 1) +� (2y + z + 3) = 0; îl alegem pe acela care trece prin puctul A (1; 2;�2),adic¼a 5x� 3y � 4z = 0.b) Proiectia punctului A pe dreapta d1); adic¼a punctul C (3; 0; 2) ; sea�¼a la intersectia planului P ) x� y + 2z � 7 = 0 (plan ce trece prin Asi este perpendicular pe d1)) cu aceast¼a dreapt¼a. Simetricul lui A fat¼ade C este D (4; 1; 2). Intersectia dreptei d2) cu planul xOy este punctulE (1=2;�3=2; 0), iar proiectia lui B pe acelasi plan este F (0;�1; 0).

8

Dreapta c¼autat¼a are ecuatiile x + y + 1 = 0; z = 0. Vectorul directoral axei Oy �ind j (0; 1; 0) ; unghiul c¼autat este ' = arccos

��1=

p6�.

11. Fiind date punctele A (1; 2; 3), B (2; 3; 4), vectorii a = i+j�k, b = i�jsi planul P ) y = 0; s¼a se determine:a) vectorul

�!AB, ecuatiile paralelei prin origine la vectorul b si planul

mediator al segmentului AB.b) vectorul v paralel cu planul P ) pentru care v � b = a.c) simetricul punctului A fat¼a de planul P ), unghiul format de

�!AB cu

planul P ), planul Q) ce trece prin A si este paralel cu vectorii a si b.

Rezolvare:a)�!AB = i + j + k, paralela prin origine la vectorul b are

ecuatiile x = �y, z = 0; iar planul mediator al segmentului AB, adic¼aplanul trece prin punctul C (3=2; 5=2; 7=2), mijlocul segmentului AB,are ecuatia x+ y + z � 15=2 = 0.b) Notând v = xi+yj+zk; din relatia dat¼a obtinem z = 1 si x+y = 1.Din conditia de paralelism cu planul P ), adic¼a v �N = 0 rezult¼a y = 0si deci v = i+ k:

c) Simetricul lui A fat¼a de planul P ) este punctul D (1;�2; 3) ; iarunghiul format de AB cu planul P ) este ' = arcsin 1=

p3. Planul Q)

are ecuatia x+ y + 2z � 9 = 0.

12. Fiind date dreapta d) x = y � 1 = z, punctul A(1; 0; 1) si vectorula = j; s¼a se g¼aseasc¼a:a) planul care trece prin A, perpendicular pe dreapta d) si distanta dela A la aceast¼a dreapt¼a;b) simetricul lui A fat¼a de axa Ox, vectorul

�!OA si vectorul v perpen-

dicular pe axa Ox, care satisface relatia v ��!OA = a.

Rezolvare:a) Planul c¼autat are ecuatia P ) x+ y + z � 2 = 0 si inter-secteaz¼a dreapta d) în punctul B (1=3; 4=3; 1=3). Distanta de la A laB, adic¼a 2

p2=p3 este distanta c¼autat¼a.

b) Simetricul lui A fat¼a de Ox este punctul C (1; 0;�1), vectorul�!OA =

i + k, iar vectorul c¼autat v = 2k (din v � �!OA = a a rezultat v =xi+ (1 + x) k).

13. Fiind date punctele A (a; 1; 0), B (b; 0; 2), C (0; 1; 3) si D (1; 1; 4) ; s¼a se

9

determine:a) paralela prin A la Ox, planul prin B perpendicular pe

��!CD si unghiul

vectorilor��!CB si

��!CD.

b) valorile lui a si b pentru ca vectorii f�!CA, ��!CB, ��!CDg s¼a formeze obaz¼a, iar pentru a 6= �3 si b = 0 s¼a se determine volumul tetraedruluiABCD.

Rezolvare: a) Ecuatiile paralelei prin A la Ox sunt y � 1 = 0, z = 0,vectorul

��!CD = i+k, iar planul prin B perpendicular pe

��!CD are ecuatia

x + z � b � 2 = 0. Unghiul vectorilor��!CD si

��!CB = bi � j � k este

' = arccos (b� 1) =p2 (b2 + 2):

b) Vectorii��!CB;

��!CD si

�!CA = ai � 3k formeaz¼a o baz¼a dac¼a a 6= �3.

Volumul tetraedrului este V = 16

���(�!CA;��!CB;��!CD)��� = 16ja+ 3j :

14. Fiind date punctele A (1; 0; 0), B (0; 1; 0) si vectorii a = i + j si b = k;s¼a se a�e:a) ecuatia planului prin A paralel cu vectorii a si b, simetrica drepteiAB fat¼a de Oz si unghiul acesteia cu Ox;b) versorul v perpendicular pe

�!AB si satisf¼acând ecuatia v � a = b.

Rezolvare: a) Planul c¼autat are ecuatia x � y � 1 = 0; iar simetricalui AB fat¼a de Oz, x+y+1 = 0, z = 0 trece prin punctele A0 (�1; 0; 0)si B0 (0;�1; 0). Unghiul lui �!AB = �i+ j cu Ox este ' = 3�

4.

b) Întrucât b �a = 0; sistemul v ��!AB = 0, v�a = b admite solutia i+ j,iar versorul acestuia este

�i+ j

�=p2:

15. Fiind date punctul A (1; 2; 3) si vectorul v = i+ j + k; s¼a se determine:a) planul prin A paralel cu v si axa Oz;b) distanta de la origine la dreapta ce trece prin A si este paralel¼a cuv.

Rezolvare: a) x� y + 1 = 0.

b)�!OA = i+ 2j + 3k; iar distanta c¼autat¼a este

p2:

16. Fiind date punctele A (1; 2; 3), B (2; 3; a) si C (3; 4; b) ; s¼a se determine:a) ecuatiile dreptei OA, conditia de coplanaritate a dreptelor OA si

10

CB; iar pentru a = b = 0 perpendiculara lor comun¼a;b) planul determinat de punctele O, A si B pentru a = 0, aria triunghi-ului OAB si versorul u perpendicular pe

�!OA si paralel cu xOy.

Rezolvare: a) Ecuatiile dreptelor OA si CB sunt x1= y

2= z

3re-

spectiv x�21= y�3

1= z�a

b�a , iar conditia de coplanaritate a acestora esteb � 2a + 3 = 0. Directia perpendicularei comune �ind v = v1 � v2 =�3i+3j�k, ecuatiile acesteia sunt 11x+8y�9z = 0 si x�y�6z+1 = 0.b) Planul determinat de cele trei puncte este 9x � 6y + z = 0, iar

aria triunghiului OAB este A = 12

�!OA���!OB = p118: Un vector vparalel cu Oy are forma xi+ yj care din conditia de ortogonalitate cu�!OA = i + 2j + 3k se reduce la �2i + j. Problema admite dou¼a solutii1p5

��2i+ j

�si 1p

5

�2i� j

�.

17. Fiind date punctele A (1; 0; 1), B (0; 2; 0), C (0;�1; 3) si vectorul a =j � k; s¼a se determine:a) vectorul b =

�!AB ��!AC, planul prin A perpendicular pe b si dreapta

prin C paralel¼a cu a;b) proiectia dreptei AB pe planul xOy, distanta de la C la dreapta ABsi aria triunghiului ABC;c) versorii u perpendiculari pe a si locul geometric al punctelor D pen-tru care vectorii

�!AB,

��!AD si a sunt coplanari.

Rezolvare: a)�!AB = �i+2j� k, �!AC = �i� j+2k, b = 3

�i+ j + k

�iar planul c¼autat este x+ y + z � 2 = 0. Dreapta prin C paralel¼a cu aare ecuatiile x = 0; y � z � 2 = 0.b) A0 (1; 0; 0) si B0 (0; 2; 0) �ind dou¼a puncte ale dreptei c¼autate, ecuati-ile ei sunt z = 0, 2x + y � 2 = 0. Distanta de la C la AB este �!CA��!AB = �!AB = 3p2=2.c) Un vector v perpendicular pe a (v �a = 0) �ind de forma xi+yj+zkversorii corespunz¼atori sunt u1;2 =

�xi+ yj + zk

�=�

px2 + 2y2. Din

conditia de coplanaritate a celor trei vectori (produsul mixt s¼a �e nul)rezult¼a planul P ) x+ y + z � 2 = 0.

18. Fiind date punctele A (1; 0; 0), B (0; 1; 1), C (�; 0; �) si O (0; 0; 0) cu �,� 2 R; s¼a se determine:

11

a) ecuatiile dreptei d) ce trece prin A si este paralel¼a cu BC, ecuatiileplanelor prin O paralele cu AB si valorile lui � si � pentru ca drepteleOA si BC s¼a �e coplanare;b) simetrica dreptei BC fat¼a de punctul O, planul mediator al segmen-tului BC si versorul normalei la acest plan;c) simetricul lui C fat¼a de planul OAB si un versor v paralel cu xOysi perpendicular pe AB.

Rezolvare: a)��!BC = �i � j + (� � 1) k, iar ecuatiile dreptei d) sunt

x�1�= y

�1 =z��1 ,

�!AB = �i+ j + k iar normala la planele c¼autate este

N = (�+ �) i + �j + �k (N � �!AB = 0). Planele c¼autate au ecuatia(�+ �)x + �y + �z = 0. Din conditia de coplanaritate a celor patrupuncte rezult¼a � = 0 si � 2 R.b) Simetricele luiB si C fat¼a de origine �indB0 (0;�1;�1) si C 0 (��; 0;��),dreapta c¼autat¼a are ecuatiile x

�� =y+11= z+1

1�� ; mijlocul segmentuluiBC �ind punctul D (�=2; 1=2; (� + 1) =2), ecuatia planului mediatoracesteia este �x � y + (� � 1) z � (�2 + �2 � 2) =2 = 0; versorul nor-

malei la plan este n =��i� j + (� � 1) k

�=q�2 + (� � 1)2 + 1.

c) Planul determinat de punctele O; A si B �ind P ) y � z = 0; inter-sectia sa cu perpendiculara prin C pe el d) x�� = 0; y+z�� = 0 estepunctul C 0 (�; �=2; �=2). Simetricul c¼autat are coordonatele (�; �; 0);din conditia ca v paralel cu xOy avem v = �i + �j, iar din v per-pendicular pe

�!AB rezult¼a � = ��. Prin urmare exist¼a doi versori cu

propriet¼atile cerute v0 =�i� j

�=p2 si v0 =

��i+ j

�=p2.

19. Fiind date dreptele d1) x = z = 0 si d2)�x� 1 = 0y = z

; s¼a se determine:

a) ecuatiile perpendicularei comune d) si distanta dintre cele dou¼adrepte (lungimea perpendicularei comune);b) ecuatiile dreptei d1) pe planele ce determin¼a dreapta d2) precum siunghiul diedru al acestor plane;c) unghiul dreptelor d1) si d2) si proiectia lui d2) pe planul yOz.

Rezolvare: a) Directiile dreptelor d1) si d2) �ind date de v1 = j siv2 = N1 � N2 = j + k (N1 si N2 �ind normalele planelor ce o deter-min¼a) un vector director al perpendicularei comune este v = v1�v2 = i.

12

Perpendiculara comun¼a o vom prezenta ca intersectie de dou¼a plane.Astfel, din fascicolele de plane ce trec prin d1) respectiv d2) adic¼a Pf )�x+�z = 0 si Qf ) � (x� 1)+� (y � z) = 0 alegem planele paralele cuv adic¼a z = 0; y � z = 0 sau, mai simplu, y = z = 0:Întrucât dreaptad) intersecteaz¼a cele dou¼a drepte în O (0; 0; 0) si A (1; 0; 0), distantac¼autat¼a este OA = 1:

b) Din fascicolul de plane Pf ) �x+ �z = 0 alegem planele proiectantepe planele ce determin¼a d2). Acestea �ind z = 0 respectiv x = 0,dreptele c¼autate au ecuatiile z = 0, x� 1 = 0 si x = 0, y � z = 0. Deasemenea, cos' = N1 �N2=

� N1

N2

� = 0 si deci ' = �2:

c) cos! = 1=p2 si deci ! = �

4. Folosind din nou fascicolul de plane ce

trece prin d2), obtinem x = 0, y � z = 0.

20. Fiind dat¼a dreapta d)�x+ z = 0y � z � 1 = 0 ; s¼a se determine:

a) proiectia dreptei d) pe planul xOy si simetrica ei fat¼a de origine;b) perpendiculara comun¼a a dreptelor d) si Ox, distanta dintre acestedrepte si planul prin d) si origine.

Rezolvare: a) Din fascicolul de plane determinate de dreapta d) sealege acela perpendicular pe xOy astfel c¼a ecuatiile priectiei sunt z = 0,x+y�1 = 0: Simetricele punctelor A (0; 1; 0) si B (1; 0;�1) (apartinânddreptei d)) fat¼a de origine �indA0 (0;�1; 0) siB0 (�1; 0; 1), dreapta c¼au-tat¼a are ecuatiile �x = y + 1 = z.b) Directia dreptei d) �ind dat¼a de vectorul v = �i+ j + k, iar a axeiOx de versorul i, perpendiculara lor comun¼a va � paralel¼a cu vectorulw = v � i = j � k. Perpendiculara comun¼a va � din nou prezentat¼a caintersectie de dou¼a plane ce trec respectiv prin d) si Ox si sunt paralelecu w, adic¼a y + z = 0, 2x � 1 = 0. Distanta între cele dou¼a drepteeste CD = 1=

p2, unde C (1=2; 0; 0) si D (1=2; 1=2;�1=2) sunt punctele

de intersectie ale perpendicularei comune cu Ox si respectiv d). Dinfascicolul de plane ce trec prin d), adic¼a � (x+ z) + � (y � z � 1) = 0îl alegem pe x+ z = 0 adic¼a cel ce trece prin origine.

21. Fiind date dreptele d1) x = y � 1 = z si d2) x � 2 = y = z � 3; s¼a sedetermine:a) planul determinat de aceste drepte, dreapta d) apartinând planului

13

astfel determinat, paralel¼a cu cele dou¼a drepte si care împarte distantadintre d1) si d2) în raportul 1=4;b) unghiurile dreptei d1) cu axele si planele de coordonate;c) distanta dintre dreptele d1) si d2), simetrica lui d1) fat¼a de d2) si loculgeometric al punctelor din spatiu egal dep¼artate de cele dou¼a drepte.

Rezolvare: a) Ecuatia planului determinat de cele dou¼a drepte este4x�y�3z+1 = 0. Alegând punctele A (0; 1; 0) 2 d1) si B (2; 0; 3) 2 d2)dreapta c¼autat¼a trece prin punctul C (2=5; 4=5; 3=5), care împarte seg-mentul AB în raportul 1=4. Dreapta c¼autat¼a este x� 2=5 = y� 4=5 =z� 3=5 (problema mai admite o solutie x� 8=5 = y� 1=5 = z� 12=5).b) Unghiurile dreptei d1) cu axele de coordonate � = � = = arccos 1=

p3

si unghiurile cu planele de coordonate �0 = �0 = 0 = arcsin 1=p3:

c) dist (d1; d2) =p26=3: Simetrica dreptei d1) fat¼a de d2) trece prin

punctul D (4;�1; 6), simetricul lui A fat¼a de B. Ecuatiile ei vor � decix � 4 = y + 1 = z � 6. Locul geometric c¼autat este un plan P ) cetrece prin F (1; 1=2; 3=2) mijlocul segmentului AB. Normala planului,perpendicular¼a pe cele dou¼a drepte si pe planul determinat de ele esteN = 2i� 7j + 5k; iar ecuatia acestuia 2x� 7y + 5z � 6 = 0.

22. Fiind date punctele A (3; 4; 0), B (0;�3; 4), C (1; 0; 1) si O (0; 0; 0) ; secer:a) planul mediator segmentului AC si distanta de la C la dreapta AB;b) s¼a se arate c¼a triunghiul AOB este isoscel si s¼a se scrie ecuatiilebisectoarei din O a acestuia;c) ecuatia planului prin O paralel cu AB si AC, perpendiculara prinO pe acesti vectori si proiectia ei pe planul yOz.

Rezolvare: a) Mijlocul segmentului AC este D (2; 2; 1=2), vectorul�!AC = �2i�4j+k si deci planul c¼autat are ecuatia 2x+4y�z�23=2 = 0.Obtinem d =

p458=21:

b) Întrucât ��!OB = �!OA = 5; bisectoarea unghiului AOB dat¼a de

ecuatiile x3= y = z

4trece si prin mijlocul E (3=2; 1=2; 2) al lui AB;

c) Planul prin O paralel cu�!AB si

�!AC are ecuatia 9x � 5y � 2z = 0,

iar perpendiculara prin O pe acest plan este x9= y

�5 =z�2 . Proiec-

tând punctul F (�9; 5; 2) (ce apartine dreptei obtinute) pe planul yOz

14

si scriind ecuatia dreptei prin dou¼a puncte, obtinem x = 0, 2y�5z = 0.

23. Fiind date planele P1) 2x� 2y+2z +3 = 0, P2) 2x+2y+ z� 6 = 0 siP3) x�5y+2z+2 = 0, s¼a se scrie ecuatia planului ce trece prin dreaptade intersectie a planelor P1) si P2) si este perpendicular pe planul x = 0.

Rezolvare: Din ecuatia fascicolului de plane �P1 + �P2 = 0 alegemplanul c¼autat 4y � z � 9 = 0, plan perpendicular pe yOz.

24. Se cer ecuatiile dreptelor ce apartin planului P ) 2x� y � z � 1 = 0 si

sunt perpendiculare pe dreapta d)�x = z � 1y + 2z = x

.

Rezolvare: Dreptele c¼autate se g¼asesc la intersectia planului P ) cuplanele Q) perpendiculare pe d). Cum directia dreptei d) este dat¼a devectorul v = i� j+k, ecuatiile acestor drepte vor � 2x� y� z� 1 = 0,x� y + z � � = 0.

25. S¼a se determine ecuatia planuluiQ) perpendicular pe P ) x�y+2z�5 =0 si care îl intersecteaz¼a pe acesta dup¼a o dreapt¼a apartinând planuluixOy. S¼a se scrie apoi sub form¼a parametric¼a ecuatiile dreptei de inter-sectie a celor dou¼a plane P ) si Q).

Rezolvare: PlanulQ) îl alegem din fascicolul de plane � (x� y + 2z � 5)+�z = 0 determinat de P ) si xOy. Astfel, din conditia de ortogonalitateNP �NQ = 0 rezult¼a Q) x�y�z�5 = 0. Si deci dreapta de intersectiex� y + 2z � 5 = 0, x� y� z � 5 = 0 sau echivalent x� y� z � 5 = 0,z = 0: O reprezentare parametric¼a a acestei drepte este x = t+5, y = t,z = 0.

26. Fiind date punctele A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0;�3) si dreapta d)2x� 1 = 3y = z; se cer:a) planul P ) determinat de cele trei puncte, cosinusurile directoare alenormalei sale si distanta de la origine la acest plan;b) unghiul axei Oz cu planul P ), simetricul lui P ) fat¼a de origine siplanul Q) paralel cu P ) si care împarte distanta între origine si acestplan în raportul 1=2;c) ecuatia planului R) ce trece prin centrul de greutate al triunghiuluiABC si este perpendicular pe d) si simetrica dreptei d) fat¼a de origine.

15

Rezolvare: a) P ) x+ 12y� 1

3z�1 = 0; cos� = 6

7; cos � = 3

7, cos = �2

7;

dist(O;P ) = 67.

b) ' = arcsin 67; x+ 1

2y � 1

3z + 1 = 0; Q) 6x+ 3y � 2z + 1 = 0.

c) G (1=3; 2=3;�1), v = 3i + 2j + 6k si R) 9x + 6y + 18z + 11 = 0;2x+ 1 = 3y = z.

27. Se dau dreapta d) x = y = z si planul P ) x+ 2y + z � 5 = 0 si se cer:a) unghiul dreptei d) cu planul P ), ecuatia planului Q) ce contine d) sieste perpendicular pe P ) si simetrica dreptei d) fat¼a de planul P );b) ecuatiile planelor paralele cu P ) la distanta de dou¼a unit¼ati deaceasta si simetricul lui P ) fat¼a de origine;c) planulR) prin Ox si paralel cu d) si simetrica dreptei d) fat¼a de axaOy.

Rezolvare: a) ' = arcsin�2p2=3�; Q) x � z = 0; x � 5=4 =

(y � 5=4) =5 = z � 5=4.b) x+ 2y + z � 5� 2

p6 = 0:

c) R) y � z = 0; x = �y = z:

28. Fiind date punctele A (1; 2; 3), B (0; 1; 2) si vectorul a = j � k; se cer:a) simetrica dreptei AB fat¼a de planul xOy, planul prin A si Oz sidistanta de la B la acest plan;b) proiectia dreptei AB pe planul yOz si unghiul vectorilor a si

�!AB;

c) versorul directiei AB si solutia sistemului de ecuatii v � a = �!AB,

v � a = 1.

Rezolvare: a) x = y � 1 = �z � 2; 2x = y; d = 1=p5:

b) x = 0, y � z + 1 = 0; ' = �2:

c) u = ��i+ j + k

�=p3; v = j � k:

29. Se dau punctele A (1; 0; 0), B (1; 1; 0), C (1; 1; 1) si se cer:a) vectorul

�!AB � �!AC, aria triunghiului ABC si ecuatia planului ce

contine acest triunghi;b) simetrica dreptei OB fat¼a de planul P ) si unghiul dreptei OC cuacest plan.

16

Rezolvare: a)�!AB ��!AC = i; A = 1=2; x = 1:

b) x+ y � 2 = 0, z = 1; ' = arcsin�1=p3�:

30. Date �ind punctele A (1; 2; 3), B (0; 1; 2) si dreapta d) x + y = 0,x� y � 1 = 0, se cer:a) paralela prin A la d) si planul prin d) si origine;b) versorii directiei AB, unghiul lui AB cu axa Oy si simetrica drepteiAB fat¼a de planul yOz;c) vectorul v perpendicular pe Oz si satisf¼acând ecuatia v�

�!AB = j�k

(rezolvare vectorial¼a).

Rezolvare: a) 1� x = y � 2 = z � 3; x+ y = 0.b) u = �

�i+ j � k

�=p3; ' = arccos

��1=

p3�; �x�1 = y�1 = z�2.

c) v = i:

31. Fiind date planul P ) x+6y�z�2 = 0 si dreapta d) x�y�3z+2 = 0,2x� y + 2z � 3 = 0; se cer:a) paralela prin origine la dreapta d) si planul prin origine paralel cuP );b) unghiul dintre dreapt¼a si plan si proiectia ortogonal¼a a dreptei peplan.

Rezolvare: a) v = �5i� 8j + k, x5= y

8= z

�1 , x+ 6y � z = 0.

b) ' = arcsin�3=p95�si d0) x+ 6y � z � 2 = 0, x� 2y � 11z + 9 = 0

( cel de-al doilea plan trece prin d) si este perpendicular pe P )).

32. S¼a se determine unghiul dreptei d) x�11= y�2

2= z�3

1cu planul P )

x+ y + 2z � 14 = 0 si simetrica acesteia fat¼a de plan.

Rezolvare: ' = arcsin 5=6; dreapta c¼autat¼a trece prin punctulA (2; 4; 4)(de intersectie dintre dreapt¼a si plan) si C (8=3; 11=3=19=3) simetriculluiB (1; 2; 3) 2 d) fat¼a de planul P ). Ecuatiile ei vor � x�2

2= y�4

�1 =z�47.

33. Fiind date punctele A (1;�2; 1), B (2; 1;�1) si C (3; 2;�6), s¼a se deter-mine: produsul vectorial

�!AB � �!AC, aria triunghiului ABC si perpen-

diculara pe planul triunghiului prin centrul s¼au de greutate.

17

Rezolvare:�!AB ��!AC = �13i+ 3j � 2k, A =

p182=2, G (2; 1=3;�2),

x�213= 3y�1

�9 = z+22.

34. Fiind date punctul A (0; 1; 2), vectorul a = i�k si dreapta d) x+y�3 =0, y = 1; se cer:a) directia dreptei d), unghiul acesteia cu axa Oy si simetricul lui Afat¼a de dreapta d);b) planul prin d) paralel cu a, vectorul

�!OA si ecuatiile proiectiei dreptei

OA pe planul xOz.

Rezolvare: a) v = �i + k; ' = �2. Planul prin A perpendicular

pe d) o intersecteaz¼a pe aceasta în punctul B (1=2; 1; 5=2), iar simet-ricul c¼autat este punctul C (1; 1; 3).

b) Din fascicolul de plane ce trece prin d) retinem pe acela paralel cua, adic¼a x+ y + z � 4 = 0,

�!OA = j + 2k. Proiectia lui A pe xOz �ind

D (0; 0; 2) dreapta c¼autat¼a este axa Oz de ecuatii x = y = 0.

35. Se dau dreapta d) x� y � 1 = 0, 2x� z � 2 = 0 si punctul M (1; 0; 1)si se cer:a) planul P ) ce trece prin M si este perpendicular pe d) si distantelede la M la dreapta d) si la planul yOz;b) simetricul punctului M fat¼a de dreapta d) si ecuatiile paralelei prinM la axa Ox.

Rezolvare: a) Directia lui d) �ind dat¼a de vectorul v = i + j +2k, planul P ) are ecuatia x + y + 2z � 3 = 0; dist (M;d) = 1=

p3,

dist (M; yOz) = 1.

b) M 0 (5=3; 2=3; 1=3), y = z � 1 = 0.

36. Fiind date punctele A (1; 0; 1), B (�1; 2; 1), C (1; 1; 1) si planul P ) x+y + z � 6 = 0; se cer:a) planul Q) ce trece prin A si este paralel cu planul P ), dreapta ACsi unghiul acesteia cu planul P );b) coordonatele simetricului lui C fat¼a de planul P ), aria triunghiuluiABC si distanta de la A la P ).

Rezolvare: a) Q) x+y+z�2 = 0; x�1 = z�1 = 0; ' = arcsin 1=p3.

18

b) Proiectia lui C pe planul P ) este D (2; 2; 2) iar simetricul s¼au fat¼a

de plan este E (3; 3; 3); A = 12

�!AB ��!AC = 1, dist (A;P ) = 4=p3.37. S¼a se determine parametrul � astfel ca dreptele d1) x

2= y = z si d2)

x � 1 = y � 2 = z=� s¼a �e concurente. Pentru � obtinut s¼a se scrieecuatia planului determinat de cele dou¼a drepte.

Rezolvare: Sistemul format cu ecuatiile celor dou¼a drepte este com-patibil dac¼a � = 1=3. În acest caz ecuatia planului c¼autat este 2x �y � 3z = 0.

38. Se dau dreptele d1) x�12 = y+11= z

�2 si d2) x+2z�1 = 0, y+2z+1 = 0.Se cere s¼a se arate c¼a sunt concurente, s¼a se scrie ecuatiile bisectoarelorunghiurilor si s¼a se scrie ecuatia planului determinat de acestea.

Rezolvare: M1 (1;�1; 0) 2 d1)\d2); vectorii directori ai bisectoarelorsunt u1 = v1= kv1k+v2= kv2k = �j=3�k=3 si u2 = v1= kv1k�v2= kv2k =4i=3 + j � k; iar ecuatiile acestora x � 1 = 0; y � z + 1 = 0, re-spectiv (x� 1) =4 = (y + 1) =3 = (1� z) =3. Planul lor are ecuatia3x� 2y + 2z � 5 = 0.

39. Ar¼atati c¼a dreptele d1) x� 1 = 2� y = (z + 1) =3 si d2) x+ y � 1 = 0,3y+z�3 = 0 sunt coplanare si scrieti ecuatia planului determinat de ele.

Rezolvare: v1 = v2 = i� j + 3k, x� 2y � z + 2 = 0.

40. Fiind date punctele A (1; 0; 0), B (0; 1; 1) si C (0; 0; 1) ; se cer:a) ecuatiile dreptei d) ce trece prin C si este paralel¼a cu AB, ecuatiaplanului P ) ce trece prin A si este perpendicular pe dreapta d) si si-metricul punctului A fat¼a de dreapta d);b) aria triunghiului ABC, unghiul dreptelor AB si AC precum siunghiul dintre OA (O �ind originea sistemului de coordonate) si planultriunghiului ABC.

Rezolvare: a)�!AB = �i+j+k, d) �x = y = z�1; P ) x�y�z�1 =

0, d) \ P ) = D (2=3;�2=3; 1=3). Simetricul lui A fat¼a de d) esteE(1=3;�4=3; 2=3).b) A = 1=

p2, ' = arccos

p2=3, ! = arcsin 1=

p3:

19

41. Ar¼atati c¼a dreptele d1) x� 1 = y = z si d2) x� z � 3 = 0, y = 0 suntnecoplanare si determinati ecuatia perpendicularei lor comune.

Rezolvare: v1 = (1; 1; 1), v2 = (1; 0; 1) si deci dreptele nu sunt

paralele. În plus,�����!M1M2; v1; v2

�= 2 6= 0, unde M1 (1; 0; 0) 2 d1)

si M2 (3; 0; 0) 2 d2). Perpendiculara comun¼a are ecuatiile y = 0,x+ z � 1 = 0.

42. Determinati punctul de intersectie dintre dreapta d) x�12= y+1

�4 =z�3

si planul P ) ce trece prin mijlocul segmentului AB cu A (1; 2; 3) siB (�1; 4; 1) si este perpendicular pe d).

Rezolvare: Mijlocul segmentului AB este M (0; 3; 2) iar planul P )are ecuatia 2x� 4y� 3z+18 = 0. Intersectia lui P ) cu d) este punctulN (�19=29; 67=29; 72=29).

43. Se dau planul P ) x� y + z � 3 = 0 si punctul A (1; 1; 0) si se cer:a) planul ce trece prin A si este paralel cu P ) si coordonatele simet-ricului lui A fat¼a de P );b) fascicolul de plane ce trece prin A si este perpendicular pe planul P ).

Rezolvare: a) x� y + z = 0, A0 (3;�1; 2).b) Axa fascicolului x � z � 1 = 0, x + z � 1 = 0 trece prin A sieste perpendicular¼a pe P ), iar ecuatia fascicolului este � (x� z � 1) +� (y + z � 1) = 0.

44. Se consider¼a punctul A (1; 1; 1), dreapta d) x = y � 3 = z si planul P )5x� 3y+2z+4 = 0 si se cer ecuatiile dreptei d0) ce trece prin punctulA0 simetricul lui A fat¼a de d) si este perpendicular¼a pe planul P ).

Rezolvare: A0 (�1; 5;�1) si (x+ 1) =5 = (5� y) =3 = (z + 1) =2.

45. Fiind date punctul A (1; 0;�1) si dreapta d) x�z�1 = 0; y+z�1 = 0,se cer:a) ecuatiile perpendicularei din A pe d);b) distanta de la punctul A la dreapta d).

Rezolvare: a) Dreapta c¼autat¼a se scrie ca intersectie de dou¼a plane:

20

unul determinat de punctul A si dreapta d), iar cel¼alalt trece prin A sieste perpendicular pe d), adic¼a 2x+ y � z � 3 = 0 si x� y + z = 0.b) dist (A; d) =

p2.

46. Fiind date dreptele d1) 2x+y�1 = 0, x�z�1 = 0 si d2) x+z�1 = 0,2x� y � 1 = 0, se cer:a) ecuatiile dreptei d) care se sprijin¼a pe d1) si d2) si este paralel¼a cuplanul xOz;b) s¼a se arate c¼a intersectia dreptei variabile d) cu planul xOy este oparabol¼a, iar proiectiile ortogonale ale lui d1) si d2) pe acelasi plan xOytrec prin vârful parabolei.

Rezolvare: a) PuncteleM1 (�; 1� 2�; �� 1) 2 d1) siM2 (�; 2�� 1; 1� �) 2d2) determin¼a o dreapt¼a d) variabil¼a care este paralel¼a cu xOz dac¼a� = 1� �. Prin urmare, d) are ecuatiile (x� �) = (1� 2�) = z � �+ 1si y + 2�� 1 = 0.b) z = 0, y2 = 2x � 1 cu vârful V (1=2; 0; 0). Se arat¼a c¼a punctul Vapartine proiectiilor pe xOy ale lui d1) si d2).

47. Ar¼atati c¼a familia de plane P�) x=� + y=pa2 � �2 + z � b = 0, cu

� 2 R determin¼a pe axele de coordonate segmente având suma p¼a-tratelor lungimilor constant¼a.

Rezolvare: Punctele de intersectie �indA (�b; 0; 0), B�0; bpa2 � �2; 0

�,

C (0; 0; b) avem OA2 +OB2 +OC2 = b2 (a2 + 1).

48. Pentru ce valori ale lui �, � si reali, dreapta d1) x=� = y = z=� sesprijin¼a pe d2) (x� 1) = = (y � 2) =2 = (z � 3) =3.

Rezolvare: Obtinem a) = 1; �; � 2 R si b) � = 3=2; �; 2 R.În primul caz ambele drepte trec prin origine.

49. Determinati �, � 2 R astfel încât planele P1) 2x � y + 3z � 1 = 0 siP2) x + 2y � z + � = 0 si P3) x + �y � �z + 10 = 0 s¼a îndeplineasc¼aconditiile:a) s¼a aib¼a un singur punct comun;b) s¼a treac¼a printr-o dreapt¼a dat¼a;c) s¼a se intersecteze dup¼a trei drepte paralele distincte.

21

Rezolvare: a) Sistemul format de ecuatiile celor trei plane este com-patibil determinat dac¼a � � � + 1 6= 0. b) � =

p106=2, � =�

�2 +p106�=2 si � = �

p106=2, � =

��2�

p106�=2. c) � = � +1

si � 6=��2�

p106�=2.

50. S¼a se scrie ecuatia planului paralel cu planul P ) x + y + 2z = 0 sicare trece prin punctul de intersectie al planelor 2x + y � z � 2 = 0,x� 3y + z + 1 = 0 si x+ y + z � 3 = 0.

Rezolvare: Folosind ecuatia snopului de plane ce trec prin punctulde intersectie al planelor date, adic¼a �P1 + �P2 + �P3 = 0, se obtineplanul x+ y + 2z � 4 = 0.

22