1

SEMINARTEME1. Examinarea comparativă a unor lucrări de natură inductivă şi deductivă2. Examinarea comparativă a unor modele matematice analitice, empirice şi numerice

Prof.dr.ing. Alimpie IGNEA

Universitatea Politehnica din Timișoara

Partea I-aEXAMINAREA COMPARATIV Ă A UNOR LUCRĂRI DE NATURĂ INDUCTIV Ă ŞI DEDUCTIV Ă

Raţionamentul� Raţionamentul reprezintă un proces de gândire prin care se

extrage oconcluziedintr-un set de premize.� Inferenţa este o operaţie a gândirii prin care se trecede la un

enunţ la altul.� Silogismul este o formă de argumentare logică în care o

propoziție (concluzia), rezultă din alte doua propoziţii (premize).� Aristotel considera că silogismul reprezintă o exprimare în care,

dintr-o afirmaţie, rezultă o altă afirmaţie care urmează ca necesitate din aceasta.

Dacă ceva rău se poate întâmpla, mai devreme sau mai târziu se va întâmpla (legea evenimentelor rare)

Ne bazăm numai pe certitudini

Legile lui Murphy

Ce este departe se vede mai greu, sau chiar deloc; de altfel “ştiinţa” se opune bunului simţ

Ce e mai departe: luna sau Londra

Bancuri cu blonde

Cantitatea devine infinităSticla de coniac cu inscripţia dacă bei devii alt om; Ion este un om.

Paradoxul lui Moisil

Timpul este o mărime continuă, nu se opreşte într-un punct

Achile nu poate ajunge o broască care porneşte la 10 m în faţa lui

Paradoxul lui Zenon

2

Clasificarea raţionamentelor

- deductive, - inductive.

� Raţionamentul deductiv funcţionează restrângând aria de la general la particular, printr-o abordare de tiptop-down.

� Raţionamentul inductiv funcţionează în sensul opus, pornind cu observaţiile concreteşi extinzând către generalizări şi teorii, printr-o abordare de tipbottom-up.

�Demonstraţia unei teoreme = raționament deductiv sau inductiv?

�Care este raționamentul folosit în prezentările ziariştilor care dau informații (şi fac caz de acestea), fără să ştie despre ce este vorba? De exemplu, cum comentați concluzia: sumele depuse (într-o bancă) se înmulţesc cu 12 %?

Raţionamentul deductiv� Raţionamentul deductiveste o operaţie de

gândire prin care, din două judecăţi anterioare - dintre care prima este denumită premiză, iar cea de-a doua termen mediu- pe baza raporturilor logice dintre ele, se obţine o judecată nouă numită concluzie.

� Există trei tipuri de raţionament deductiva) raţionamentul silogistic;b) raţionamentul ipotetico-deductiv;c) raţionamentul linear.

3

Raţionamentul silogistic- porneşte de la reconsiderarea erorii de raţionament.

Principalele erori care apar în raţionarea silogistica sunt cele din logică:

� eroarea termenului mediu nedistribuit;

� eroarea deducerii unei concluzii din două premize particulare,

� eroarea de conţinut etc.

Raţionamentul linear- este o categorie de raţionament tranzitivşi are două

premize care descriu o relaţie dintre doi termeni.

� Este necesar ca cel puţin un termen să fie prezent în ambele premize.

� În acest caz, se determină relaţia dintre doi termeni neadiacenţi (care nu apar în aceeaşi premiză).

Raţionamentul ipotetico-deductiv (condiţional)- este mai puţin dezvoltat decât celelalte forme de

raţionament.

Acest fapt se datorează naturii ambigue a condiţionalului

Într-o expresie condiţională se poate ascunde:a) o relaţie de antrenare logica,b) o relaţie cauzală, c) o regulă de producere.

4

Schemele cognitive

- criteriu de acceptare sau de respingerea informaţiei cuprinse în premize,

- sursa de informaţie nouă din care să derive/clarifice o concluzie,

- justificarea sau verificareaconcluziei obţinute din anumite premize.

Analiza materialului: DIPOLUL ELECTRIC

Raţionamentul inductiv

Logica inductivă reprezintă un sistem de raţionamente care extinde logica deductivă cu ajutorul unor raţionamente mai puţin rigide.

� În raţionamentul deductiv, premizele determină în mod logic concluziile, a căror valoare de adevăr este garantată.

� În raţionamentul inductiv, premizele doar asigură un anumit grad de acceptare (o probabilitate), pentru concluzie.

Programarea logică inductivă� exemple(E)� cunoştinţe (B)� ipoteze(H)� Raţionamentul inductiv este un model de gândire care

este folosit cu precădere în ştiin ţele empirice(bazate pe experienţă), şi care constă într-o inferenţă de la enunţuri singulare (descrieri, observaţii, experimente, calcule făcute cu anumite mărimi), la enunţuri universale, la ipoteze sau teorii.

� Prin raţionamentul inductiv, gândirea poate detecta similarităţile sau/şi diferenţele fenomenelor naturii sau a obiectelor sub forma unor formulări generale.

5

Genuri de raţionamente inductive� Inducerea unei proprietăţi de la o parte a membrilor

unei clase la întreaga clasă.

� Raţionamente de inducere a unei reguli. De ex., se dă

seria 1 5 7 11; să se precizeze numărul care urmează.

� Inducerea unei structuri constă în a stabili care dintre două alternative este corectă. Rezolvarea acestei probleme este posibilă dacă se reuşeşte să se descopere relaţiile dintre primii termeni şi apoi să o inducă asupra următorilor termeni.

Kapi ţa a făcut experimentul cu șirul m n q a f r s e! Care este litera care urmează?

Rezultatele gândirii inductive� generalizări - obtinerea unei concluzii legate de o

mulţime dintr-o premiză referitoare la o mostră (din mostra A, q % au proprietatea P, → din populaţia A, q% au aceeaşi proprietate);

� silogismul statistic -porneşte de la o mostră/selecţie şi obţine o concluzie referitoare la un alt individ ( q % din datele cunoscute ale populaţiei A au proprietatea P, iar individul B este un alt membru al populaţiei; rezultă că există probabilitatea q % ca B să aiba proprietatea P);

� dovada prin analogie – are la bază similarităţi/ asemănări cunoscute între două lucruri şi se obţine o concluzie despre un alt atribut presupus a fi comun. (A are proprietatea P şi este similar cu B; prin urmare, B are proprietatea P).

Rezultatele gândirii inductive (cont.)� implicaţiile cauzale – presupun că pe baza condiţiilor

intervenţiei unui eveniment sunt obţinute concluziile. Premizele în legatură cu conexiunile dintre cele două lucruri pot să indiceo relaţie cauzală între ele;

� anticiparea - este o concluzie legată de viitor pe baza unei mostre din trecut (proporţia q % din membrii grupului A au avut proprietatea P, deci există probabilitatea de q % ca grupul să aibă din nou proprietatea P la urmatoarea observare);

� dovada prin împuternicire – presupune că dintr-o propoziţie bazată pe proporţia de propoziţii adevărate date de o sursă demnă de încredere se poate obţine concluzia (proporţia q % din afirmaţiile sursei S au fost adevărate, deci există o probabilitate de q % ca şi afirmaţia curentă să fie adevărată).

6

Consecințele caracteruluiamplificator al concluziei

1. Premizelenu reprezintă un temei suficient pentruconcluzie.

2. Concluziarezultă cu o probabilitate– şi nu ca necesitate – din premize.

3. Printr-un argument inductiv, nu este exclus săobţinem o concluzie falsă cu toate că premizele din care a fost derivată sunt adevarate.

Rationamentul prin analogie- cel mai simplu tip de argument inductiv care se bazează

pe compararea a cel puţin doua obiecte sau situaţii, Aşi B, pentru a stabili dacă între ele există sau nuanumite asemănări. În eventualitatea că au fostdescoperite o serie de trăsături care aparţin, atât luiAcâtşi lui B, dacă la unul dintre acestea, de ex., la A, se descoperă o nouă propietate neidentificată încă la B, atunci, prinanalogie, se trage concluzia că aceastănouă propietate aparţine şi lui B.

� La nivelul cunoaşterii ştiin ţifice concluziile obţinuteprin analogie trebuie tratate cu prudenţă, adică, ele sunt mai multipotezedecâtcertitudini.

Argumentul prin analogie- este corectşi concluzia sa este mai probabilă, mai aproape de a fi

adevarată, dacă:- însuşirile prin care se aseamănă obiectele comparatesunt mai

numeroasedecât cele prin care ele se deosebesc ;- însuşirile prin care se aseamănă obiectele comparatesunt mai

importantedecât cele prin care se deosebesc, iar legătura dintreînsuşirile comune cunoscuteşi noua însuşire este mai fermă;

- aria obiectelor comparateavând aceleaşi însuşiri comune, estemai mare;

- spre deosebire de asemănările dintre obiectele comparate, diferenţele existenteîntre ele, pentru ceea ce susţine concluzia,au o importanţă redusă, preferabil nulă.

7

Analogii electrice� Folosirea analogiilor electrice pentru fenomene de

natură neelectrică permite folosirea metodelor de calcul dezvoltate în electrotehnică.

Analogii între fenomenele electriceşi cele de altă natură:a) Analogii de tip energetic, care pornesc de la faptul că

din punct de vedere energetic atât fenomeneleelectrice, precumşi alte fenomene conţin elementeacumulatoare de energie cinetică şi/sau potenţială, câtşi elemente disipative, relaţiile energetice având o formă asemănătoare. De exemplu: - energia cinetică: mv2 /2 ,- energia magnetică: Li2 /2 etc.

Analogii electrice(cont.)� b) Analogiile formale de tip matematic se bazează

pe faptul că atât fenomenele electrice, câtşi altefenomene folosescoperatorul integro-diferenţial de forma:

( ) ( ) ( )dtCBdt

dAZ ∫ •+•⋅+•=

Z = A s + B + C/s

Analogii electrice (cont.)Exemple

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )dtuL

uGdt

udCti

dtiC

iRdt

idLtu

∫

∫

+⋅+=

+⋅+=

1

dualaforma sidar ,1

( ) ( ) ( ) ( )dtvC

vRdt

vdmtf

mm ∫+⋅+= 1

8

Analogii electrice (cont.)Tipuri de analogii formale:

a) analogii directesau de impedanţă, sau forţă-tensiune

b) analogii indirectesau de mişcare, sau forţă-curent.

� Deoareceanalogia directă esteşi analogieenergetică, se preferă utilizarea acesteia în practică.

� Pentrusistemele termicese adoptă analogiatemperatură-tensiuneşi putere-curent.

Se poate stabili o analogie pentru masa monetară?

Inducţia completăși inducţia incompletă (amplificatoare)

� Suma unghiurilor unui triunghi este 180 grade; pe glob, unghiul dintre ecuator şi un meridian este 90 grade; se poate găsi un meridian la alte 90 grade, care ajunge la ecuator tot la 90 grade. Cât este suma unghiurilor triunghiului geografic?

� Ce este inducția matematică? Puteți exemplifica?

� Comentați faptul că propoziţii adevărate ca cele desprepunctulde fierbere al apeisau despredensitatea apei, au fost iniţialobţinute la nivelul cunoaşterii ştiinţifice prin procedee de inducţie incompletă.

Inducţia incompletă (amplificatoare)Inducţia prin simpl ă enumerare-Se bazează exclusiv pesimpla repetarea unor constatări şi pe

absenţa unor contra-exemple.

Erori de inducţie:

� - generalizarea pripită - concluzia unei inducţii incomplete, ca fiind sigur adevărată, deşi ea nu a fost încă verificată;

� - tratarea simplei succesiuni drept relaţie cauzală, doar pebaza faptului că această succesiune s-a repetat aidoma în maimulte situaţii (generarea superstiţiilor).

9

Inducţia incompletă (amplificatoare)Inducţia ştiin ţifică- în afară de simpla constatare că anumitefaptese repetă în mod

asemănător, folosește sistematicobservaţia - riguros organizatăşi experimentulştiin ţific , unelemetode speciale de cercetareșistabileşte dacă ceea ce se repetă într-un număr mai mic/mare

de cazurieste în acelaşi timp şi necesar.

Dacă experimentul în sens strict nu este posibil, procesele nu pot fireproduse, dar ele pot fimodelate.

Comentați faptul că erorile sistematicepot fi sursa unor noi

descoperiri.

Însuşiri comune ale metodelorde cercetare inductivă

1. Folosirea oricărei metode ia forma uneiinducţii prin eliminare:

Metoda Ce se elimină din împrejur ările antecedente

Metoda concordanţei cele care nu apar de fiecare dată când apare fenomenul studiat

Metoda diferenţei cele care apar în ambele situaţii

Metoda variaţiilor concomitente

cele care ramân constante şi cele a căror variaţie nu concordă cu variaţia fenomenului studiat

Metoda rămăşiţelor cele cunoscute drept cauze ale unora din fenomenele ce apar împreună cu fenomenul studiat

Însuşiri comune ale metodelorde cercetare inductivă (cont.)

2. Forma negativă de aplicare a acestor metode este importantă laeliminarea ipotezelor false, a explicaţiilor eronate, adică pentru a arăta că oricare dintre împrejurările eliminate nu reprezintă cauzafenomenului studiat.

3. Folosirea sistematică a acestor metode este caracteristicăcunoaşterii ştiinţifice şi presupuneasociereaîntre inducţiaincompletă ştiinţifică şi analogie, între inducţie şi deductie.

4. Fiecare metodă contribuie în mod specific la creşterea gradului de probabilitateal concluziei inducţiei incomplete, dar nu o transformă într-o propoziţie certă.

5. Metodele de cercetare inductivă se bazează peobservaţie (metodaconcordanţei) şi peexperiment(celelalte trei metode).

10

Însuşiri comune ale metodelorde cercetare inductivă (cont.)

În ştiinţă, procesul de elaborare a ipotezelorși procesul de descoperire, nu are un caracter mecanic, adică procesul de descoperireştiinţifică presupune în mod necesar, printrecomponentele saleși imaginaţie, intuiţie şi chiar fantezie.

Diferența dintre cunoaşterea ştiin ţifică și cea comună constă înfaptul că în ştiinţă - imaginaţia, intuiţia şi fantezia - se află sub un control logic.

Ca o consecință, procesul de cercetareștiințifică nu se încheie înmomentul obţinerii unei concluzii pe cale inductivă, ci implică și verificarea riguroasă a acesteia.

Însuşiri comune ale metodelorde cercetare inductivă (cont.)

� Situaţia autodidacţilor – dacă sunt oameni de ştiinţă? putem admite că au o educaţie complementară, dar similară omului de ştiinţă?

� Turbina Kaplan și morile românești cu ax vertical, reprezintă o cunoaștere științifică sau comună?

Analiza materialului: LEGEA LUI OHM

Partea a 2-a.

EXAMINAREA COMPARATIV Ă A UNOR MODELE MATEMATICE ANALITICE,

EMPIRICE ŞI NUMERICE� Incertitudini și acuratețe

?Valoare

măsurand

11

Incertitudini și acuratețe

Vechile postulate ale metrologiei:

� numaimărimile fizice pot fi măsurate,� măsurarea se face princomparaţie cu o măsură,� la baza uniformităţii măsurărilor se găsescunităţile de măsură,� eroareaeste o abatere a rezultatului măsurării faţă de valoarea

adevărată a măsurandului.

Aplicarea ”metrologiei” şi la măsurărilenetradiţionale

� Soluţia - introducerea noţiunii de incertitudine de măsurare, diferită de noţiunea de eroare prin aceea că nu ia în considerarevaloarea adevărată.

� Incertitudinea - parametru asociat cu rezultatul măsurării care caracterizează dispersia valorilor care pot fi atribuiteîn mod rezonabilmăsurandului.

� Preciziaeste o noțiune care se referă la repetabilitateși reproductibilitate.

� Acuratețea reprezintă aprecierea gradului de apropiere a valorii măsurate de valoarea măsurandului.

Aplicarea ”metrologiei” şi la măsurărilenetradiţionale (cont.)

� Comparareacu o măsură devine doar o metodă posibilă de măsurare, iarmăsura este introdusă în conformitate cu procedeul de determinare a mărimii ce urmează a fi măsurată.

În locul clasificării erorilor în:� erori aleatoare,� erori sistematice, incertitudinile sunt clasificate în:� incertitudini de tip A (care rezultă dintr-un șir de măsurări cu

erori aleatoare),� incertitudini de tip B (dacă se foloseşte o teorie de

probabilitate subiectivă și derivă din surse externe: documentaţietehnică, experienţă, opinii ale experţilor etc.).

12

Surse ale incertitudinii(a) Definirea incompletă a testului/măsurării ; cerințele nu sunt

descrise clar (de exemplu: ... la temperatura camerei); (b) Realizarea imperfectă a procedeului de testare/măsurare; chiar

dacă cerințele sunt clare este posibil ca acestea să nu fie realizate;

(c) Se lucrează pe eșantioane– care s-ar putea să nu fie chiar reprezentative;

(d) Cunoașterea incompletă a efectelor parametrilor mediului ambiant asupra procesului de testare/măsurare;

(e) Factorul subiectivîn citirea aparatelor analogice;

Surse ale incertitudinii (cont.)

(f) Rezoluția instrumentelor sau pragul de sensibilitate, erori de gradare a scării de măsurare;

(g) Valorile atribuite standardelor de măsurare (măsuri, valori de referință);

(h) Schimbarea caracteristicilor sau parametrilor

instrumentului de măsurat de la ultima calibrare;

(i) Valoarea constantelorși a altor parametri folosiți la evaluarea datelor;

(j) Aproximații și ipotezecuprinse în metoda și procedeul de măsurare;

(k) Variațiile produse la repetarea măsurărilor făcute în condiții aparent identice.

Metode de prelucrare a datelor� Metoda euristică este bazată pe experiență, intuiție sau

inspirația operatorului.� Interpolarea - metodă de a determina date/puncte în interiorul

domeniului creat de un set discret de date cunoscute. � Extrapolarea - metodă de a determina date/puncte în exteriorul

domeniului creat de un set discret de date cunoscute. � Predicția - afirmație că un eveniment particular poate să apară

în viitor în termeni mult mai fermi decât printr-o prognoză.� Estimarea - un calcul aproximativ al unui rezultat care poate fi

folosit chiar dacă datele de intrare sunt incomplete, nesigure sau parazitate (cu zgomot).

� Tunarea –o serie de procedee folosite pentru a optimizași omogeniza performanțele unei baze de date; (dacă calibrarea se referă la întregul domeniu explorat, tunarea presupune o “calibrare” suplimentară doar într-o zonă redusă, însă care poateavea efecteși asupra caracteristicii globale).

13

Sisteme liniareSistemul liniar este descris printr-o funcție liniară

f(x), care satisface următoarele condiții:

� Aditivitate: � Omogenitate:

� Cele două reguli se referă, de obicei, laprincipiul superpoziției (suprapunerii efectelor).

( ) ( ) ( )yfxfyxf +=+

( ) ( )xfxf αα =

Regresia liniarăLa efectuarea unuişir de măsurări se obţin valorile (xi, yi,

i = 1, 2, …, n), corespunzătoare vectorului (X,Y).

Deoarece valorile măsurate sunt însoţite de erori aleatoare(erorile sistematice au fost eliminate) se pune problemacelei mai bune aproximări a legii de corespondenţă

între cele două mărimi x şi y printr-o relație liniară.

Criteriul de aproximare adoptat estemetoda celor mai micipătrate.

Regresia liniară (cont.)� Legea de corespondenţă între cele două mărimi x şi y

trebuie să satisfacă condiţia:

= min.

� Derivând funcţia F în raport cu m şi a şi anulândderivatele, se obţine:

∑=

+−=n

iii amxyF

1

2)]([

∑∑

∑∑∑

=

=

=

==

−

−=

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

xn

x

yxn

yx

m

1

21

2

1

11

)(

−−−= xmya

14

Regresia liniară (cont.)Evaluarea gradului de asociere între variabilelexi şi yi se face cu

ajutorulcoeficientului de corelaţie:

Pentru corelaţiea de tip liniar, coeficientului de corelaţie devine:

Proprietăţi:� r ∈ [ -1, 1];

� Dacă r = ±1, întrex şi y există o dependenţă liniară;

� Cu cât valoarea luir este mai apropiată de ±1 cu atât corelaţiacelor două mărimi este mai bună.

)()(

),(0

yx

yxCr v

σσ=

)()(

y

xmr

σσ=

Sisteme neliniareSistemul neliniar nu satiface principiul superpoziției,

altfel spus,soluțiile nu pot fi scrise ca o sumă de componente independente.

Concluzie: deoarece sistemele neliniare nu pot fireprezentate prin suma unor părți individuale, estefoarte greu, uneoriimposibil de a le modela, iarcomportarea lor în raport cu o anumită variabilă (de exemplu –timpul), este foarte dificilă de prezis.

Dacă totuși se modelează un sistem neliniar – evident, numai între anumite limite – se obișnuiește ca acesta să

fie aproximat cu unul linear (pe o porțiune!).

Sistemele haotice-sunt caracterizate prinaproximații, comportare aleatoareși

impredictibilitate , ele reprezentând o caracteristică naturală a lumii reale (a altor sisteme), care nu pot fi descompuse în “părți”și reasamblate din acesteași care nu se schimbă proporțional laschimbarea unei intrări.

Haosul deterministnecesită relații temporale complicate în prezentaneliniarităților.

� Întrebarea I : dacă teoria haosului poate fi folosită la o mai bunăînțelegereși interpretare a comportării dinamice complexe.

� Întrebarea II : dacă teoria haosului prezintă vreun avantaj la predicția sau controlul evoluției în timp.

Evoluția în timp a unui sistem poate fi măsurată și înregistrată ca serie de timp. Metodele pentruseriile neliniare de timpreprezintă soluția întrebărilor de mai sus.

15

Tipuri de comportări neliniare� Indeterminism – comportarea impredictibilă a unui

sistem (opusul determinismului), adică există situații care nu corespund determinismului (situații fără cauză într-un anumit sens).

� Multistabilitatea – comportare alternativă între două sau mai multe stări, ceea ce presupune că sistemul are stări stabile însă ajungerea într-o asemenea stare se face printr-o stare instabilă.

� Oscilații aperiodice – presupune o funcționare care nu își repetă valorile după o anumită perioadă (uneori denumită oscilație haotică).

Exemple de comportări neliniare

mg α

Bilă pe pârghie

Caracterizarea sistemelor neliniare� Sistemele neliniare sunt sisteme dinamice ce pot fi (uneori)

descrise prin mulţimea mărimilor corespunzătoare perechilor externe: intrare – ieşire;

� Caracteristica de intrare – ieşire a acestor sisteme este neliniară şi poate fi variabil ă în timp sau staţionară.

� Dacă informaţia de la intrare se transmite instantaneu la ieşire, sistemele sunt statice şi fără memorie; pot fi caracterizate static de variabilele în timp (valori nestaţionare), sau de invariabilele în timp (valori staţionare).

� Dacă informația depinde și de stările anterioare ale sistemului (de istorie), sistemul neliniar este cu memorie.

� Pot existaelemente neinerţiale – cu caracteristici neafectate de variaţia în timp a mărimilor şi elemente inerţiale – cucaracteristici afectate de variaţia în timp a mărimilor (depind de: valoarea instantanee, putere/valoare efectivă sau maximă).

16

Caracterizarea sistemelor neliniare (cont.)� Pentruelementele neinerţiale, caracteristica statică este identică

cu cea dinamică, iar pentru cele inerţiale sunt diferite.

� Neliniarităţile care au o influenţă nedorită asupra proceselorreprezintă neliniarit ăţile perturbatoare, uneori acestea fiind de natură funcţională.

� Dacă se folosescmodele liniare pe porţiuni , acestea pot accentua anumite zone de neliniaritate ale caracteristicii.

� Dacă caracteristica este simetrică faţă de origine, elementul este bilateral (inversarea intrărilor cu ieșirile nu produce modificări).

Tipuri de caracteristici neliniare

a) b) c) d)

Caracteristici neliniare liniarizate pe porţiuni.

x0

m2

m1

Tratarea în domeniul timp și/sau în domeniul frecvențe

( ) ( )ω ϕ+∞

= + +∑01

cosk ks t A A k t

17

Distorsiuni de neliniaritateSe consideră un sistem neliniar cu funcția de transfer:

� Dacă la intrare se aplică un semnal sinusoidal, la ieșire se obține:

� Se constată că la ieșire se obțin două componente inexistente însemnalul de intrare: o componentă continuă și o armonică de ordinul 2 ; se spune că semnalul estedistorsionat.

� În cazul în care semnalul de intrare este complex, la ieșire pot săapară și produse de intermodulație.

221 xaxay +=

( ) ( )tAatAa

Aay ωω 2cos

2cos

22

12 ++=

Metoda bazată pe dezvoltarea în serie TaylorSeria Taylor este convergentă numai între anumite limite.

Avantajele dezvoltării în serie Taylor:

� Operațiile de diferențiere și de integrarea seriilor de puteri potfi realizate termen cu termen.

� Seria trunchiată poate fi folosită pentru un calcul aproximativ.

� Pentru un semnalul de intrare de nivel mic, răspunsul circuitului poate fi calculat prin liniarizarea acestuia în jurul punctului de operare în curent continuu .

� Dezvoltarea în serie Taylor se folosește numai în domeniul timp, trecerea în domeniul frecvenţe complicând mult calculele.

� Pe baza principiului superpoziţiei, răspunsul circuitului la fiecare frecvenţă poate fi calculat în mod independent.

Metoda bazată pe dezvoltarea în serie Taylor (cont.)

Fir un sistem liniar, fără memorie şi fără offset, căruia la intrare i se aplică semnalul x(t) şi la ieşirea căruia se obţine semnalul y(t);funcţia de transfer statică este de forma:

unde a reprezintă sensibilitatea sistemului.

� Dacă sistemul prezintă o neliniaritate uşoară, se poate considera că această neliniaritate modifică valoarea sensibilităţii; din punct de vedere matematic, poate fi dezvoltată într-o serie polinomială:

expresie în care valoarea coeficienţilor ai scade o dată cu creştereaordinului acestora.

( ) ( )txaty ⋅=

( ) ...55

44

33

221 +++++= xaxaxaxaxaty

18

Observații� Seria polinomială este infinită, (în practică ne limităm la un

număr finit de termeni de - la termenul de ordinul III, dar se poate ajunge şi la termenul de ordinul IX);

� Valoarea coeficienţilor ai depinde de numărul termenilor folosiţi în aproximare (adăugarea unui termen suplimentar în dezvoltareaîn serie Taylor are ca efect modificarea valorii tuturorcoeficienților dezvoltării).

� Un termen de ordinulk generează armonici de ordinul k şi unelearmonici inferioare (conform formulelor trigonometrice). Frecvenţa fundamentală este "generată" de către termenii avândputeri impare. Termenii pari pot "genera" şi componente continue.

� Dacă semnalul de intrare este format din mai multe componentenearmonice, în termenul de ordinulk apar toate combinaţiileliniare de frecvenţe posibile până la acest ordin (inclusiv, produsele de intermodulație).

Observații (cont.)� Pentru modelarea matematică a neliniarităţii, în locul unei serii

polinomiale se poate folosiseria binomială (nu poate fi justificatădin punct de vedere fizic).

� un polinom de ordinuln, Pn(x), într-un interval de monotonie[x1,x2], se poate aproxima cu expresiaaxλλλλ, unde: a este un coeficient de proporţionalitate, iarλ<n.

2xx +�Ex.: în intervalul de monotonie[0,1] cu o funcţie de forma axλ; prin metoda celor mai mici pătrate se obține:a=1,96şi l =1,37.

Curba de variaţie a diferenţei.

Metodele statisticeEx.: Metodele statistice de modelare matematică a propagării în

telecomunicații pornesc de la faptul că legea de distribuţiestatistică este aproximativ log-normală. În figură sunt prezentateunele fenomene legate de propagare.

19

Modelul HataModelul Hata este un model de propagarea câmpului electromagnetic

care are la bază statistica măsurărilor corelată cu unele fenomenede propagare; valoarea parametrilor este stabilită prin metode de regresie.

Caracteristica de histerezisSistemele cu caracteristică de histerezisfac parte din categoria

sistemelor cumemorie. Ipoteze:� caracteristica de histerezis este simetrică în raport cu originea dacă

semnalul de intrare este un semnal alternativ simetric;� forma unei buclea caracteristicii de histerezis depinde doar de

punctele extreme ale caracteristicii (şi de material), adică de punctul iniţial şi punctul final ale caracteristicii. Această caracteristică reprezintă o buclă majoră;

� dacă se modifică semnalul de intrare, apare un nou punct extrem şi se schimbă – parţial – şi bucla corespunzătoare caracteristicii de histerezis;

� apariţia unor noi modificări ale punctelor de extrem atragemodificarea caracteristicilor de histerezis, rezultând noi bucleşitraiectorii; noile bucle reprezintă bucle minore.

Caracteristica de histerezis (cont.)Traiectoria este 2-1-3-4-5-6-5

2

3

4

5

6

Explicativă pentru caracteristica de histerezis.

20

Caracteristica de histerezis (cont.)Cazul aplicării a două semnale cu frecvențe apropiate (bătăi)

Istoria Ştiin ţei� Roetgena descoperit întâmplător razele X - acoperind un tub

catodic.� Bequerela descoperit întâmplător radioactivitatea; a pus un

eşantion de uraniu pe o placă fotografică și a developat-o din greşală (declară mai târziu că radioactivitatea nu va avea nici o utilitate practică).

� Crokes a făcut o reclamaţie firmei care i-a livrat materialelefotografice fiindcă erau influenţate de razele catodice!

� Strokesa primit o scrisoare de la Thomsoncu 2 săptămâni înaintede comunicarea lui Bequerel, referitoare la radioactivitate. Niepcea observat cu 40 de ani mai înainte că sărurile de uraniuinfluenţează clişeele fotografice.

� Numărul doctorilor (în știin țe), este cu mult mai mare decât numărul numelor celebre și nu se datorează numai întâmplărilor...

ÎN LOC DE CONCLUZII� Cel mai dificil lucru din lume este să vezi cu proprii tăi ochi ceea

ce ai în faţă. (Goethe)� Folosirea statisticii în știință este asemănătoare folosirii

microscopului în biologie. (M.C. Demetrescu)� Statistica a fost introdusă în ştiinţă pentru a explica ceea ce nu se

poate explica. (P. Ţuţea)� Formulările statistice, ca şi imaginile, deşi mai abstracte decât ele,

ilustrează, nu demonstrează. (P. Ţuţea)� Argumentele nu conving pe nimeni, ci numai lucrurileşi faptele.

(Emerson)� În Codex Justinianus apare capitolul ”Despre răufăcători,

matematicienişi alţii de teapa lor”.� Incertitudinea exprimată printr-un număr mic ”dămai bine” decât

una exprimată printr-un număr mare. (Legea metrologiei)� Improbabilităţile probabile sunt de preferat probabilităţilor

improbabile! (Aristotel – precursor a lui Murphy?)

21

CONCLUZIA FINAL Ă A SEMINARULUIPrin exemplele date din Electrotehnică și Electronică – partea cea

mai neliniară a electrotehnicii, dar care realizează cele mai liniaresisteme - nu am intenționat să promovez aceste discipline, ci doarsă prezint câteva moduri de abordare a problemelor, similare și altor domenii tehnice, darși economice sau de altă natură.

� Referitor la un posibil sfat:

- Poţi să-mi spui încotr-o să o iau?

- Depinde unde vrei să mergi!

- N-are importanţă!

- Atunci ori încotro vei merge, este acelaşi lucru!

(Alice în ţara minunilor)

BIBLIOGRAFIE RECOMANDAT � Deoarece ar trebui indicate prea multe titluri

bibliografice, vă recomandsă căutați pe INTERNET sau în alte surse, dintre subiectele tratate, chestiunilecare vi s-au părut mai interesante.

� Seminarul nu va avea decât de câștigat dacă veniți cu alteopinii sau subiecte complementare!