108
1 Şcoala Gimnazială Nr. 6 Vaslui prof. Busuioc Gianina Elena
1
Şcoala Gimnazială Nr. 6 Vaslui prof. Busuioc Gianina Elena
2
La realizarea acestui proiect au colaborat elevii:
Baciu Dragoş, Barbu Călina, Burdujanu Robert, Cobzaru Albert, Epure Mălina, Fuşneică Angel, Iacob Alexandra, Mihăilă Teodora, Ouatu Denisa, Ruja Teodora, Secaliuc Marta, Tăbăcaru Ioana, Drăgoi Petronel, Dumitraşcu Ana Maria, Anton Miruna, Maloş Denisa, Birsan Iulia, Ciolacu Alina, Bojian Antonia, Ciobanu Carina, Cazacu Ştefan, Bahrim Andreea, Simion Oana, Vieru Tudor, Andrian Dragoş
Coordonator:
Prof. Busuioc Gianina Elena
3
4
Data...........................
Tema numărul 1
Propus de Vieru Tudor-Gabriel
MEDIA ARITMETICA. MEDIA ARITMETIC Ă PONDERATĂ
CU NUMERE RAŢIONALE POZITIVE.
1.Calculaţi media aritmetica a numerelor:
a) ; şi
b) 3,5 ; 4,2 ; 1,6 ; 5,(2) şi 1,5.
5
c) 0,13; 3,72; 1,(5); ; 4,2 şi
d) 1,(3) ; 2,(10); 3,(5) şi 7,(41)
2. Calculaţi media aritmetica a numerelor:
a) 3,6 ; 4,8 şi 3,12 având ponderile 5 ; 3 respectiv 10.
6
b) ; şi având ponderile 3 ; 5 şi 9
c) 4,(3) ; 3,(4) şi 3,6 având ponderile 5 ; 2 şi 4
d) ; ; ; ; şi având ponderile 3 ; 5 ; 6 ; 2, 1 respectiv 4
7
3. Magazinul ABC a primit struguri. Aceştia s-au vândut cu preţul de 3,45lei/kg timp de 20 de zile, apoi timp de 15 zile cu preţul de 3,55lei/kg, după care, preţul a crescut cu 0,15 lei/kg pentru 10 zile. Aflaţi media preţului la kg de struguri în aceste zile.
Bafta!! ☺
8
Data………….
Tema numarul 2
Propus de: Fuşneică Angel Iulian
ECUAŢII ÎN Q+
1. Rezolvaţi în Q+ ecuaţiile:
a)
b)
c)
2. Suma a trei numere este 400. Calculaţi numerele ştiind că al doilea este cu mai
mare decît primul şi al treilea este de 2 ori mai mare dacît al doilea.
9
3. Rezolvaţi ecuaţiile.
a)
b)
c)
10
Data………………
Tema numărul 3
Propus de Simion Oana Adriana
PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAŢIILOR
1. Marian cumpără într-o zi 3 kg de portocale şi în altă zi cu 2
1 kg mai puţin. Câte
kilograme de portocale a cumpărat Marian în cele 2 zile?
2. Suma a două numere raţionale pozitive este 5,5 iar unul dintre cele 2 numere este
de 9 ori mai mare decât celălalt. Afla ţi cele 2 numere şi produsul acestora.
11
3. La dublul unui număr de adaugă 55
1 , rezultatul se împarte la
15
2 şi se obţine 114.
Afla ţi numărul ini ţial şi apoi pătratul acestuia.
12
Data...................
Tema numărul 4
Propus de: Bojian Antonia si Ciobanu Carina
ECUAŢII ÎN Q +
Test
1. Rezolvaţi in Q+ ecuaţiile:
a) x+18,9=25,7
b) 70,6-x=36,5
c) x ⋅⋅⋅⋅ 12,5=100
13
d) 82,4:x=4
2. Rezolvaţi ecuaţiile în mulţimea numerelor raţionale pozitive:
a)594 ====
x
b) 79
5 ====++++ y
c)93
57
310++++====++++
xx
d) 3,5b+7,3=35
14
3. Rezolvaţi ecuaţiile:
a) 0,75623
)14(65,0)43(31
)12( −−−−−−−−====−−−−−−−−++++⋅⋅⋅⋅ xxx
b) x+0,(4)+0,4(3)+0,(43)=14,4(35)
15
c) (43
5,76,6)41
63 −−−−====⋅⋅⋅⋅−−−− xx
4. Suma a trei numere este 600. Calculaţi numerele ştiind că al doilea este cu 41
4
mai mare decât primul şi al treilea este de trei ori mai mare decât al doilea.
16
5.Aflaţi numărul natural pentru care 54
din el este cu 236 mai mare decât
jumatatea sa.
Nr exercitiului
1. 2. 3. 4. 5. Oficiu
Punctaj 1p. 2p. 2p. 2p 2p. 1p.
17
Data:.........................
Tema numărul 5
Propus de: Bahrim Andreea
RAPOARTE
1. Scrieţi rapoartele dintre următoarele numere:
a) 160 şi 40
b) 150 şi 3
c) 4,5 şi 1,5
d) 6,15 şi 1
e) 2 şi 2
f) 15,(7) şi 13,(2)
2. Două pătrate au laturile de 14 cm, respectiv 16 cm. Calculaţi valoarea raportului dintre:
18
a) ariile lor
b) lungimile laturilor
c) perimetrele lor
3. Dacă = , calculaţi:
a)
b)
19
c)
d)
e)
20
Data:……………….
Tema numarul: 6
Propus de: Cazacu Stefan
PROCENTE. AFLAREA UNUI NUMĂR CÂND SE CUNOAŞTE P DIN EL
1) Aflaţil x dacă:
a) din x c) din x
b) din x d) din x
21
2) Într-o fabric ă muncitorii ştiu că au primit din marfa necesară doar
însemnând .
a) Câtă marfă trebuiau muncitorii să primească?
b) Câtă marfă mai trebuie să primească muncitorii?
c) Dacă înseamnă atunci câtă marfă trebuiau să primească muncitorii?
22
3) Într-o clasă, 5 elevi reprezintă din numărul total al elevilor.
a) Câţi elevi sunt în clasă?
b) Câţi băieţi sunt dacă sunt fete?
23
Data:.................
Tema numărul 7
Proiect propus de: Ciolacu Alina
PROPORŢII. PROPRIETATEA FUNDAMENTALĂ A PROPORŢIILOR
1) Cu care dintre următoarele grupe de patru numere se poate forma o proporţie?
a) 4; 6; 18; şi 20
b) 5; 13; 52 şi 56
c) 2; 4; 6 şi 1
d) 4; 5; 16 şi 20
24
2) Calculaţi din următoarele proporţii:
a)
b)
c)
d)
e)
25
3) Calculaţi două numere raţionale, şi 0, ştiind că:
a) şi
b) şi
c) şi
26
Data
Tema numărul
Propus de Bîrsan Iuliana
AFLAREA UNUI NUMĂR DINTR-O PROPORŢIE
Să se afle x din proporţiile
a)
b)
c)
d)
2) Să se afle numerele naturale a şi b, astfel încât şi
27
Determinaţi numărul natural a şi b, ştiind că şi
28
Data...............................
Tema nr. 9
Propus de:Anton Miruna
PROPORŢII DERIVATE
1) Din proporţia se obţin prin derivare urm ătoarele proporţii:
a) ; b) ; c) .
Determinaţi valorile necunoscute si precizaţi modalitatea de obţinere a proporţiei derivate.
2) Derivaţi propor ţia :
a) schimbînd mezii între ei;
29
b) inversînd rapoartele;
c) înmulţind numărătorii cu 0,2;
d) împăr ţind termenii celui de-al doilea raport cu 2;
e) adunînd numărătorii la numitori în fiecare raport;
f) scazînd numărătorii din numitori;
g) egalînd primul raport cu raportul dintre suma numărătorilor si suma numitorilor;
30
3) Determinaţi valoarea lui x din proporţia:
a)
b)
c)
31
Data…….....
Tema numărul: 10
Propus de Maloş Denisa
MĂRIMI DIRECT PROPORŢIONALE
1) Aflaţi trei numere direct propor ţionale cu numerele 6; 9; 3 ştiind că media lor
aritmetică este 180.
2) Aflaţi numerele x si y ştiind că:
a) suma numerelor este 450 si sunt direct proporţionale cu numerele 5 şi 4.
32
b) media lor aritmetică este 29,4 şi sunt direct proporţionale cu numerele 7 şi 5.
3) Aflaţi numerele a, b, c şi d dacă a, b, c sunt direct proporţionale cu numerele 9; 16; 4 şi b, d sunt direct proporţionale cu numerele 8 şi 6 si au suma 24.
33
Data................
Tema numărul 11
Propus de: Dumitraşcu Ana-Maria
MĂRIMI INVERS PROPORŢIONALE
1. Determinaţi numerele a, b, c ştiind că sunt invers proporţionale cu 8; 9; 28 şi
suma lor este 548.
2. Aflaţi numerele invers proporţionale cu 3; 4 si 5 ştiind că primul num ăr este 12.
34
3. Numerele a şi b sunt direct proporţionale cu 2 şi 3, iar b şi c sunt invers propor ţionale cu 3 şi 2. Dacă a+b+c=95, aflati numerele a, b, c.
35
Data ………………
Tema numărul 12
Propus de: Baciu Dragoş
REGULA DE 3 SIMPLĂ
1) Pentru 15m stofă se plăteşte 7 500 000 lei. Cât se plăteşte pentru 25m sfoară?
2) Pentru a transporta o cantitate de nisip, 8 basculante fac 27 transporturi.
Câte transporturi fac 18 basculante?
3) 3 robinete pot umple un bazin în 40 minute. În cât timp pot umple 5 robinete cu acelaşi debit bazinul?
36
Data:………………….
Tema numărul 13
Propus de: Mihăilă Teodora
ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR.
REPREZENTAREA DATELOR PRIN GRAFICE
1. În tabelul de mai jos este reprezentat numărul de elevi din clasa a VI-a la o şcoală.
Clasa VI A VI B VI C VI D
Nr. de elevi 26 25 29 17
a) Calculaţi numărul total de elevi din clasa a VI-a.
b) Calculaţi procentajul pe care îl reprezintă numărul de elevi ai clasei VI C.
37
2. Graficul din figura alăturat ă reprezintă notele obţinute de elevii clasei a VI-a B la teza la matematică.
a) Calculaţi numărul total de elevi ai clasei a VI-a B.
b) Calculaţi cât la sută din numărul de elevi îl reprezintă cei care au obţinut nota 9.
c) Calculaţi cât la sută din numărul de elevi îl reprezintă cei care au luat nota 6.
38
3. În tabelul de mai jos este reprezentată situatia notelor la lucrarea semestrială la matematică.
Nota 3 4 5 6 7 8 9 10
Nr. elevi 2 1 3 7 5 8 4 3
a) Reprezentaţi acest tabel sub forma unui grafic cu bare.
b) Calculaţi media notelor obţinute.
39
Data.............................
Tema numărul 14
Propus de: Barbu Călina
PROBABILITĂŢI
1) La un examen au fost propuse 32 de subiecte. Un elev ştie 18 dintre ele. Care este probabilitatea ca pe foaie să aibă un subiect pe care nu-l ştie?
2) Într-o urn ă sunt 20de bile numerotate de la1 la20.Care este probabilitate ca la o singură extragere să obţinem:
a) o bilă multiplul lui 3 mai mic decât 15;
40
b) o bilă cu număr multiplu al lui 15;
c) o bilă cu număr divizor al lui 8 .
3) Se aruncă simultan două zaruri. Calculaţi probabilitatea ca suma punctelor de pe feţele celor două zaruri să fie:
a) egală cu 10;
b) mai mare ca 11;
c) mai mică ca 8 .
41
Data………………….
Tema nr. Algebra 15
Propus de:Ouatu Denisa
MĂRIMI DIRECT SI INVERS PROPORŢIONALE
TEST
1. Numerele x,y şi z sunt direct proporţionale cu numerele 1; 2 şi 3. Ştiind că suma
lor este 300, aflaţi cele 3 numere.
2. Numerele m,n şi o sunt invers proporţionale cu numerele 0,2;1 si 0,5. Ştiind că
suma primelor două numere este 240, aflaţi cele 2 numere.
42
3. Aflaţi trei numere naturale a,b şi c ştiind că sunt direct proporţionale cu 4; 8 şi 14
iar .
4. Calculaţi aria unui dreptunghi ale cărui dimensiuni sunt invers proporţionale cu
numerele 5 şi 3, având perimetrul egal cu 64.
43
5.Calculaţi numerele de forma , ştiind c , şi sunt direct proporţionale
cu numerele 2; 6 si 3.
Timp de lucru:50 min.
Barem de notare:
subiect 1 2 3 4 5 Of. Total Puncaj propus
5p 5p 10p 25p 25p 30p 100
Punctaj obţinut
44
Data……………
Tema numărul 16
Propus de : Iacob Alexandra Ştefania
MULŢIMEA NUMERELOR ÎNTREGI .OPUSUL UNUI NUMĂR ÎNTREG.
COMPARAREA NUMERELOR ÎNTREGI. MODULUL UNUI NUMĂR ÎNTREG.
1. Stabiliţi care din următoarele afirmaţii sunt adevărate şi care sunt false:
2. Determinaţi astfel încât :
45
3.Care este cel mai mic număr întreg de cinci cifre distinct scris în baza 10, ştiind că nu este mai mic de -88834.
46
Data …………………
Tema nr. 17 Propus de:Dragoi Petronel
ADUNAREA ŞI SCĂDEREA NUMERELOR ÎNTREGI
1. Calculaţi:
a) (+3)+(+9)=
b) -(+11)-(-3)=
c) -(-2)+(-7)=
d) (+7)-(+10)=
2. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor:
a) ,,(+7)-(-9)= +7+9"
b) ,,-(-1)+(-3)=1-3"
47
c) ,,(-3)+(-11)=+3-11"
d) ,,-(-14)-(+7)=14-7"
3.Calculati:
a) -2007-2006-...-1-0+1+2+...+2007;
b) 1-2+3-4+...+2005-2006+2007;
c) -1001-999-997-...-3-1+1+3+1001+1003+1005;
48
Data …………………
Tema numărul 18
Propus de: Secaliuc Marta Laura
ÎNMULTIREA NUMERELOR ÎNTREGI
1) Calculaţi:
a) (((( )))) (((( ))))7 2− ⋅ − =− ⋅ − =− ⋅ − =− ⋅ − =
b) (((( ))))15 3− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =
(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
) 10 5
) 8 10
) 7 2 5
) 8 5 0
c
d
e
f
− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =
⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =
− ⋅ + =− ⋅ + =− ⋅ + =− ⋅ + =
− ⋅ − ⋅ =− ⋅ − ⋅ =− ⋅ − ⋅ =− ⋅ − ⋅ =
49
2) Ştiind că: 4, 6, 2a b c= − = = −= − = = −= − = = −= − = = − , calculati:
(((( )))))a a b c⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( ))))
)
)
b a b c
c a c
− ⋅ − ⋅ − =− ⋅ − ⋅ − =− ⋅ − ⋅ − =− ⋅ − ⋅ − =
− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =
3. Daca 4 numere consecutive au produsul 0, aflaţi ce valori poate lua suma lor.
50
Data..............................
Tema numărul 19
Propus de: Barbu Călina
ÎMPĂRŢIREA NUMERELOR ÎNTREGI
1) Calculaţi:
a)( ) ( )1 : 1 10 :5+ − + =
b) ( )24 : 2 24 : 2 : 6− − + =
c) ( )32 : 2 : 2 10− + =
51
2) Efectuaţi:
a)( ) ( )1 2 3 ...... 3002 : 3003+ + + + − =
b)( ) ( )1 2 3....... 2002 : 2003− − − − =
c)( ) ( )1 2 3... 1006 : 1 2 3.... 1006− − − − + + + =
3)Dacă 20a b− = şi 40c d+ = − calculaţi:
ab ad bc bd+ − − =
52
Data…………………
Tema numarul 20
Propus de Simion Oana Adriana
REGULI DE CALCUL CU PUTERI. RIDICAREA LA PUTERE A NUMERELOR INTREGI .
1. Calculaţi :
a) 22 ⋅⋅⋅⋅ 3 4 52 2 2⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ =
b) 10 11 20 21:2 2 2 2⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =
c) 10 2010 10⋅ +⋅ +⋅ +⋅ + 1 210 10⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =
2. Calculaţi ţinând seama de regulile de calcul cu puteri învăţate:
a) 4 20( 2 ) ( 14 )6− + =− + =− + =− + =− −− −− −− −
53
b) 8 04 ( 4 ) ( 10 )6 + − =+ − =+ − =+ − =− −− −− −− −−−−−
c) 814 4 26( 6 )6 6 6⋅ ⋅ − =⋅ ⋅ − =⋅ ⋅ − =⋅ ⋅ − =−−−−
3. Fie: xS ==== 0 1 2 n......... ;x x x x+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +
a) Daca x=3 calculaţi xS
b) Dacă X =2 calculaţi x2S
c) Dacă xS =1000 calculaţi pe X.
54
Data:................
Tema nr. 21
Propus de: Bahrim Andreea
ORDINEA EFECTUĂRII OPERAŢIILOR
1. Calculaţi:
a) ( - +( =
b) (-3)+( =
c) ( : (-2) : (-4) + (-11)=
2. Efectuaţi:
a) ( : (-4)=
55
b) : + (-12) – ( ) –6+(-3)=
3. Calculaţi :
a) [( : - : + ( : ( ] : (9- + )=
b) ( - ) : ( - )=
56
Data.................
Tema numărul 22
Propus de: Dumitraşcu Ana-Maria
ECUAŢII ÎN
1. Rezolvaţi în ecuaţiile:
a
b)
d)
e)
2. Să se rezolve următoarele ecuaţii în :
a)
57
b)
c)
d)
e)
f)
3. Să se rezolve ecuaţiile:
a)
b)
58
c)
d)
e)
f)
59
Data ......…………
Tema nr. 23 Propus de: Dragoi Petronel
INECUATII IN Z
1. Rezolvaţi in Z:
a ) x-6 < 1
b ) x+2 > -3
c) 2x < -6
d) 6x+2-9x < -1
2. Rezolvaţi în Z inecuaţiile:
a) 3-2x < 5-3x
60
b) -1+x > -9-x
c) -4x+3 < -7-6x
d) 2(x+3)+4 > x
3. Rezolvaţi in Z:
a) (x+1) < 12-(x+1);
b) 5(x-2)+7x > -10;
4. Aflaţi toate perechile de numere intregi (x , y) care verifica simultan relatiile:
|x-1|=1 şi |x-y| < 2
61
Data……………
Tema numărul 24
Propus de:Iacob Alexandra
MULŢIMEA DIVIZORILOR ŞI MUL ŢIMEA MULTIPLILOR NUMERELOR ÎNTREGI.
1) Determinaţi mulţimea divizorilor întregi ai numerelor:
62
2) Determinaţi cel mai mic si cel mai mare număr întreg de 3 cifre divizibile cu :
a) 15
b) 45
c) 12
d) 25
3.Determinaţi ştiidcă :
a)
b)
c)
63
Data ……………………
Tema numărul 25
Propus de: Secaliuc Marta Laura
PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAŢIILOR
1. Dacă într-un depozit sunt y tone de marfă. Exprimaţi cantitatea de marfă din acel depozit daca:
a) Un alt depozit are 56 tone de marfă şi are cu 10 t mai multă marfă decât în primul depozit
b) Un alt depozit are 48 tone demarfă şi are cu 4 t mai puţină marfă decât primul depozit
2. Ionuţ a economisit o sumă de bani. Dacă ar mai primi 100 de lei suma iniţială s-ar dubla. Ce sumă a economisit Ionuţ ?
64
3. Suma a 5 numere consecutive pare este 30. Aflaţi numerele.
65
66
Data ……………
Tema numărul 1
Propus de: Secaliuc Marta Laura
DREPTE PERPENDICULARE. DREPTE OBLICE.
DISTANŢA DE LA UN PUNCT LA O DREAPTA
1. Construiţi o drepta d şi punctele A şi B:
A) situate de aceeaşi parte a dreptei d , la o distanţă de 4 cm
B) Situate de o parte si de alta a dreptei d , la o distanţă de 2 cm de ea si cu AB perpendiculară pe d
67
2. a) Construiţi un triunghi ABC care să aiba 0( ) 40m B ====≺ , 6BC cm==== şi
4AB cm==== .
b) construiţi în triunghiul ABC, în ălţimea ,AD BC D BC⊥ ∈⊥ ∈⊥ ∈⊥ ∈
c) construiţi în triunghiul ABC, în ălţimea ,BF AC F AC⊥ ∈⊥ ∈⊥ ∈⊥ ∈
3. În triunghiul ascuţitunghic isoscel ABC, [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]AB AC≡≡≡≡ , CD AB⊥⊥⊥⊥ unde D AC∈∈∈∈ şi
[[[[ ]]]],BE AC E AC⊥ ∈⊥ ∈⊥ ∈⊥ ∈ . Demonstraţi că distanţa de la punctul B la AC este egală cu lungimea
segmentului [[[[ ]]]]BE
68
Data …………………
Tema numărul 2
Propus de:Dragoi Petronel
CRITERII DE CONGRUENTA ALE TRIUNGHIURILOR DREPTUNGHICE
1. Fie segmentul . În punctul A se ridica perpendiculara pe segmentul şi se
iau pe ea punctele C şi D de o parte şi de alta a segmentului, astfel încât .
Demonstraţi că triunghiul ACB este congruent cu triunghiul ADB.
69
2. Fie triunghiul isoscel ABC cu şi . Din punctul D
se construiesc şi . Demonstraţi că triunghiul BDE
este congruent cu triunghiul DCF.
3. Pe perpendicularele duse pe dreapta AB în punctele A şi B , se consideră de o
parte şi de alta a dreptei AB, punctele M şi N, astfel încât şi .
Demonstraţi că punctul O este mijlocul segmentelor
70
Data……………..
Tema numărul 3
Propusde : Iacob Alexandra-Stefania
MEDIATOAREA UNUI SEGMENT.
CONCURENŢA MEDIATOARELOR LATURILOR UNUI TRIUNGHI.
1. Construiţi cercul circumscris triunghiului ABC ştiindcă: AB=4 cm, BC=2,5 cm,
AC=3 cm.
2. Fie punctele A, B, C coliniare in această ordine astfel încât AB=3cm şi BC=2cm.
Construiţi punctele M şi N astfel încât tringhiul AMB şi triunghiul BMC s ă fie
isoscele.
71
3. a) Ce fel de triunghi este triunghiul MNP dacă mediatoarea laturii MN conţine
punctul P. Realizaţi un desen corespunzător.
b) Ce fel de triunghi este triungiul ABC dacă B se află pe mediatoarea laturii AC
iar mediatoarea segmentului (BC) conţine punctul A? Realizaţi un desen
corespunzător.
72
Data:…………………
Tema numărul 4
Propus de: Ouatu Denisa Maria
SIMETRIA FAŢĂ DE O DREAPTĂ
1.Stabiliţi câte axe de simetrie are fiecare din figurile de mai jos:
Cercul Dreptunghiul Triunghiul
2. Se dă desenul:
d
73
a) Construiţi simetricul lui A fa ţă de dreapta cd.
b) Construiţi dreptele si astfel incât să se formeze 2 triunghiuri
dreptunghice isoscele.
c) Demonstraţi că cele 2 triunghiuri sunt congruente.
3. Demonstraţi că, intr-un triunghi isoscel, simetricul faţă de o dreaptă paralelă cu baza acestuia este tot un triunghi isoscel.
74
Data.......................
Tema numărul 5
Propus de: Barbu Călina
ÎNĂLŢIMILE UNUI TRIUNGHI.
CONCURENŢA ÎNĂLŢIMILOR ÎNTR-UN TRIUNGHI.
1) Construiţi triunghiul ABC cu AB cm4==== , 5BC cm==== , (((( ))))m C 60°°°°====∢ . Trasaţi
înălţimile triunghiului şi notaţile cu:
a)AD ;
b)BE ;
c)CF .
2) Fie triunghiul ascuţitunghic ABC cu înălţimile AP , BM ,CN sunt concurente în
punctul O . Şiind că ( ) 70m AON °=∢ şi (((( )))) 40m AOM °°°°====∢ , calculaţi:
a) ( )m ABC∢ ;
75
b) ( )m BAC∢ ;
c) ( )m BCA∢ .
3) În triunghiul ABC , ( ) 90m A °=∢ , AP BC⊥⊥⊥⊥ . Fie (((( ))))M AP∈∈∈∈ şi
(((( ))))N BP∈∈∈∈ , MN AB� :
a) realizaţi un desen corespunzător datelor;
b) Demonstraţi că CM AN⊥ .
76
Data……………………...
Tema numărul 6
Propus de: Mihăilă Teodora
ARIA TRIUNGHIULUI
1. Într-un triunghi ABC se cunosc AB=9 cm, CD=6 cm, iar BC=13 cm, unde CD este înălţime, D∈AB. Afla ţi aria triunghiului ABC şi lungimea înălţmii duse din A pe BC.
2. Fie triunghiul ABC cu BD înălţime, D∈AC. Ştiind că AC şi BD sunt direct propor ţionale cu numerele 6 şi 9, iar BD=AC+6, calculaţi aria triunghiului
ABC.
77
3. Fie triunghiul echilateral ABC cu aria de 90 cm2 . Fie I punctul de intersecţie al bisectoarelor unghiurilor triunghiului. Distan ţa de la I la AB este de 5 cm. Calculaţi perimetrul triunghiului ABC.
78
Data ………………….
Tema numărul 7
Propus de: Baciu Dragoş
BISECTOAREA UNUI UNGHI. CONCURENŢ BISECTOARELOR UNGHIURILOR ÎNTR-UN TRIUNGHI.
1) Fie unghiurile adiacente <AOB şi <BOC cu bisectoarele [OM şi [ON. Ştiind că m(<MAO)=300 şi m(<NOC)=150 să se afle măsurile unghiurilor <MOB şi <MON.
2) Semidreapta (OB este bisectoarea <AOC. Să se afle masurile <AOB si <COB dacă măsura <AOC = 180 ̊
79
3) Se consideră un triunghi AOB, triunghi oarecare. Se duc două bisectoare oarecare ale triunghiului care se intersectează în punctul I. Să se demonstreze că şi a treia bisectoare trece prin punctul I.
80
Data……............
Tema numărul 8
Propus de Maloş Denisa
MEDIANELE IN TRIUNGHI. CONCURENŢA MEDIANELOR ÎNTR-UN TRIUNGHI
1) Construiţi un triunghi ABC cu AB=5 cm, BC=8 cm, AC=7 cm si apoi construiţi
medianele triunghiului.
2) În triunghiul ABC, fie N mijlocul segmentului [A B] şi M mijlocul segmentului
[AC]. Ştiind ca aria triunghiului ANM este egala cu 20 2cm , calculaţi aria
triunghiului ABC.
81
3) Fie triunghiul isoscel ABC, AE inălţime, E BC∈∈∈∈ si N este mijlocul segmentului
(AE). Arătaţi că dacă ABMA = CDMA , atunci AB=AC.
82
Data…………….
Tema numărul 9
Propus de: Dumitraşcu Ana-Maria
TEST-LINII IMPORTANTE ÎN TRIUNGHI
1. Se consideră triunghiul în care 5cm, 14cm. Mediatoarea laturii
intersectează în punctul . Aflaţi perimetrul triunghiului
2. În triunghiul , bisectoarea unghiului intersectează latura
în punctul . Fie , Demonstrati că este mediatoarea
segmentului [ ].
83
3. Se consideră mediana din , . Demonstraţi că:
a) şi b)
4. Fie ascuţitunghic cu . Înălţimea şi bisectoarea a
unghiului se intersectează în
a) Calculati
b) , calculaţi măsurile unghiurilor
84
5. Fie punctul centrul de greutate al triunghiului , [ ],
a) Demonstraţi că
b)
Barem de notare
Timp de lucru 50min.:
P1 P2 P3 P4 P5 OFICIU TOTAL
10p 10p 10p 30p 30p 10p 100p
85
Data
Tema numărul
Propus de Bîrsan Iuliana
DREPTE PARALELE. CRITERII DE PARALELISM
Fiind dată o dreaptă a şi un punct M exterior ei construiţi folosind echerul
paralela la dreapta a care trece prin punctul M.
Să se demonstreze că o paralelă la baza unui triunghi isoscel formează cu
celelalte două laturi un triunghi isoscel.
86
Segmentele şi sunt concurente în mijlocul lor. Să se demonstreze că
şi
A
D
O
C
B
(figura de la exerciţiul 3)
87
Data:................
Tema nr:11
Propus de:Anton Miruna
CRITERII DE PARALELISM
1) Analizaţi figura şi precizaţi perechile de unghiuri:
a) alterne interne, formate de dreptele d₁ si d₂ cu secanta d₃;
88
b) interne de aceeaşi parte a secantei, formate de dreptele d₃ si d₄ cu secanta d₁;
c) externe de aceeaşi parte a secantei, formate de dreptele d₃ si d₄ cu secanta d₂;
d) alterne externe formate de dreptele d₁ si d₂ cu secanta d₄.
2) Fie dreptele d,d₁ si d₂ astfel încat d₁ d si d₁ .Demonstraţi că d d₂.
3) În figura alăturat ă a b. Determinaţi x si y.
89
4) În triunghiul ABC , [AD este bisectoarea unghiului BAC , D Є BC. Dacă E Є AC astfel încat <DAE <ADE, arătaţi că AB DE.
5) Fie un triunghi ABC si D mijlocul laturii [AC]. Pe semidreapta [BD se ia un punct E astfel încat D Є (BE) si DE = BD. Să se demonstreze că :
a) CE AB ; b) AE BC.
Subiect 1 2 3 4 5 oficiu total Punctaj 1 1 1 2 3 2 10
90
Data:..................
Tema numărul 12
Propus de: Ciolacu Alina
SUMA MĂSURILOR UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI
1) Determinaţi măsurile unghiurilor unui triunghi :
a) dreptunghic isoscel
b) echilateral
2) Calculaţi măsurile unghiurilor unui triunghi, ştiind că:
a)măsurile unghiurilor sunt direct propor ţionale cu numerele 1; 2; 3
b) măsurile unghiurilor sunt invers propor ţionale cu primele numere naturale
prime
91
3) Calculaţi măsurile unghiurilor unui triunghi ştiind că măsurile unghiurilor
exterioare triunghiului sunt invers proporţionale cu numerele
92
Data ....................
Tema numărul 13
Propus de :Bojian Antonia si Ciobanu Carina
UNGHIURILE EXTERIOARE TRIUNGHIULUI
1. Completaţi tabelul:
m(∠ ExtA) m(∠ ExtB) m(∠ ExtC)
a. °120 °130
b. °153 °140
c. '45123° '15135°
d. °140 7’ '53110°
e. '13115° '23145°
93
2. În triunghiul ABC-is, m( °°°°====∠∠∠∠°°°°====∠∠∠∠ 110)(,120) ExtAmExtB . Determinaţi
m )( ExtC∠∠∠∠ şi ).( Am ∠∠∠∠
3. Calculaţi valorile lui x din figurile de mai jos : a)
94
b)
95
Data ...........................
Tema numarul:14
Propus de: Cazacu Stefan
PROPRIETĂŢILE TRIUNGHIULUI ISOSCEL
1) Fie isoscel şi un punct interor triunghiului astfel încât
. Demonstraţi că este bisectoarea unghiului .
2) Aflaţi perimetrul unui triunghi isoscel dacă două dintre laturile sale au lungimile:
a) şi b) şi
96
c) şi d) şi
3) Se consideră un tr. , cu . Perpendiculara în pe se
intersectează cu perpendiculara în pe în punctul .
a) Demonstraţi că este bisectoarea unghiului
b) Perpeniculara în pe intersectează dreptele şi în punctele şi . Demonstraţi
că
97
Data:...................
Tema nr. 15
Propus de: Bahrim Andreea
PROPRIETĂŢILE TRIUNGHIULUI ECHILATERAL
1. Fie triunghiul echilateral ABC cu punctele M si N aparţinând lui [AB] astfel
încât [AM] [MN] şi punctele P si Q aparţinând lui [AC] astfel încât
[AQ] Demonstraţi că triunghiul ANP este echilateral.
98
2. I este punctul de intersecţie al bisectoarelor unghiurilor triunghiului ABC, şi
[BI] [CI] . Demonstraţi că triunghiul ABC este echilateral şi ca
3. Fie triunghiul echilateral ABC în care punctul D aparţine lui [AB] şi punctul E
care aparţine lui [AC] , astfel încât [BD] Dacă BE DC={M}, calculaţi măsura
unghiului EPC.
99
Data…………………….
Tema numărul 16
Propus de Simion Oana Adriana
PROPRIETĂŢILE TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC
1. În triunghiul dreptunghic ABC cu m( ∠ A) = 090 şi măsura (∠ C)= 030 , se
construieşte înălţimea AX ⊥ BC, X ∈ (BC). Ştiind că lungimea ipotenuzei BC este 20 cm ,
să se calculeze lungimea segmentului CX.
100
2. Măsurile unghiurilor A, B, C, ale ∆ ABC sunt direct proporţionale cu numerele 3,
2 şi 1. Ştiind că CB=10 cm şi că X este mijlocul laturii CB să se calculeze perimetrul
triunghiului MAX.
3.În triunghiul dreptunghic ABC cu m( ∠ A) = 090 ,m (∠ C) = 015 , AY este înălţime,
(AV este bisectoare şi AO este mediană, unde Z, V, O ∈ (BC). Arătaţi că YV =2
1 OV.
101
Data ……………
Tema numărul 17
Propus de Fuşneică Angel Iulian
PROPRIETĂŢILE TRIUNGHIURILOR ; TEST 1
1. Desenaţi:
a) un triunghi echilateral ABC cu înălţimea AD = 3 cm;
b) un triunghi isoscel MNP, [MN] ≡[MP] şi m(Mˆ) = 60°;
c) un triunghi dreptunghic DEF, m(Dˆ) = 90°, m(Fˆ) = 30° şi DE = 2,5 cm
2. Fie triunghiul ABC şi MN // BC, M∈ AB şi N∈ AC.
a) Dacă ∆ABC este isoscel, arătaţi că ∆AMN este isoscel.
b) Dacă ∆ABC este echilateral, atunci şi ∆AMN este echilateral.
102
3. Fie triunghiul isoscel ABC, [AB] ≡[AC] şi AD mediană a triunghiului, D ∈ [BC].
Dacă E şi F sunt picioarele perpendicularelor duse din punctul D pe AB respectiv AC,
arătaţi că[AE] ≡[AF] şi AD⊥ EF
4. Pe catetele AB şi AC ale triunghiului dreptunghic ABC se construiesc în exterior
triunghiurile dreptunghice şi isoscele MAB şi NAC, m(<M) =90°, m( <N) = 90°. Arătaţi că:
103
a) punctele M, A şi N sunt coliniare;
b) MB // NC
5. În triunghiul ABC, cu m(<A) = 120°, [AD este bisectoarea unghiului <A, D∈[BC],
iar [AM şi [AN sunt bisectoarele unghiurilor <DAB şi respectiv <DAC, M, N∈ [BC].
Ştiindcă m(<B NA) = 60°, arătaţi că:
a) triunghiul AMN este echilateral şi AD⊥ BC;
b) triunghiurile AMB, ANC şi ABC sunt isoscele.
Barem
Oficiu 1 2 3 4 5
10p 20p 10p 30p 20p 10p
104
Data...........................
Tema numărul 18
Propus de Vieru Tudor-Gabriel
PROPRIETĂŢILE TRIUNGHIURILOR ECHILATERAL,
ISOSCEL ŞI DREPTUNGHIC. TEST 2
1. Fie triunghiul echilateral ABC şi înălţimea AD (AD BC) şi D (BC). DE mediană
(E C) şi DF mediană (F AB), iar AI este mediatoarea segmentului FE .Demonstra ţi că:
a) ∆DEF este echilateral
b) [EC]≡[FB]
105
2. Fie triunghiul echilateral ABC şi înălţimile AD (D∈BC), BE (E∈AC) respectiv CF
(F∈AB). AD∩BE∩CF={I}.
a) Desenaţi figura
b) Demonstraţi că ∆AFE este echilateral
c) Demonstraţi că ∆BIC este isoscel
106
3.Fie triunghiul isoscel ABC cu AB=AC şi înălţimile AD (D∈BC), BE (E∈AC) şi CF
(F∈AB), iar BE∩CF∩AD={I}
a)Desenaţi figura
b)Demonstraţi că ∆BIC isoscel
c)Demonstraţi că ∆FIE isoscel
4. Fie triunghiul isoscel ABC şi înalţimea AD. Construiţi medianele BE (E∈AC) şi
CF, (F∈AB), iar CF∩BE={N}. Construi ţi segmentul FE, şi AD∩FE={I}. Ştiind că
∠BFN≡∠ENC demonstraţi că triunghiul AFE este isoscel.
107
5. Fie triunghiul dreptunghic ABC şi mediana BM. Ştiind că AB=12cm demonstraţi că:
a) Triunghiul BMC este dreptunghic
b)Calculaţi perimetrul triunghiului BMC.
Barem
1 2 3 4 5
Oficiu
15p 20p 15p 15p 15p 20p
108
