MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a III-a Subiectul 1 (10 puncte) (2p) 55a (2p) 105b (2p) 155c (2p) [( ) ( )] 50 50 0c b b a (2p) 209 [( ) ( )] 0c b b a Subiectul 2 (20 puncte) (2p) D S R (3p) 3 56 : 7 3 8 24S (3p) 24 28 52R (4p) D S R (4p) 24 52 76D (4p) 76 24 52 152D S R Subiectul 3 (30 puncte) t+g = 505 t + c = 465 g + c = 870 (3p) 2t+2g+2c=1840 (5p) 2(t+g +c) =1840 (5p) t+g +c =1840:2 (2p) t+g +c =920 t+g = 505 (5p) / / c=415 t+g +c =920 t + c = 465 (5p) / g / =455 t+g +c =920 g+ c =870 (5 p ) t / / =50 Subiectul 4 (30 puncte) (5p) În urmă cu 2 ani, suma vârstelor a fost: 56-(2+2+2+2)=56-8=48 ani (5 p) Diferenţa 49-48=1 an, arată cel mai mic dintre copii, acum 2 ani nu era născut. Deci el s-a născut acum 1 an. Vârsta celui mai mic copil este de 1 an. (4 p) Copilul cel mare are 1+3=4 ani. (4p) Părinţii au împreună 56-4-1=51 ani. (4 p) Cum diferenţa dintre ei este de 3 ani, 51-3=48 ani
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014 (4 p) 48:2 =24 ani are mama (4 p) în timp ce tata are 24+3=27 ani Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a IV-a
Subiectul 1 (10 puncte) (2p) 6 (20 14 )a a
(2p) 6 (20 14 )a a (4p) 81 (14 95)a a
(2p) 6,7,8,9, ,79,80a Subiectul 2 (20 puncte) (2p) 1 2 3 2014 5 10 15 2010 (8p) 2014 2015 : 2 5 1 2 3 .... 402 (2p) 4 058 210 : 2 5 402 403: 2 (2p) 2029 105 2010 403: 2 (2p) 2029 105 810 030 : 2 (2p) 2029 105 405015 (2p) 1624090 Subiectul 3 (30 puncte) Scriind explicit în baza 10 avem: (10p) 100 10 10 10 10a b c a b b c c a , adica (10p) 100 10 11 11 11a b c a b c , de unde 98 10a b (10p) Egalitatea are loc pentru 8c , 9b , 1a şi 198abc . Subiectul 4 (30 puncte)
(4p) 2 1 37 7 7 a vândut a doua zi
(4p) 2 3 57 7 7 a vândut în cele două zile
(5p) 7 5 27 7 7 a vândut a treia zi
(5p) 27
reprezintă 150 kg
(6p) 17
reprezintă 150:2=75 kg
(6p) 77
reprezintă 75kg x7=525 kg de roşii a avut la început comerciantul
Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a V-a Subiectul 1(10 puncte) Fie x numărul de litri din primul vas, y numărul de litri din al doilea vas, respectiv, z numărul de litri din al treilea vas.
2p 156
2p 8 8 5 21
3p 4 4 7 15
3p 3 36 156 40 61, 55
x y z
x z x z
y z y z
z z x y
Subiectul 2(20 puncte) Notǎm: a prețul unui pix, b prețul unui creion și c prețul unei cărți. (3p) 7 5 12 58,5 (1)a b c (3p) 5 7 19,5a b (5p) Prin adunarea celor douǎ relații rezultǎ 12 78 6,5a b c a b c (4p) Deci 3 3 3 19,5a b c (2) (5p) Scǎdem relațiile (1) și (2) membru cu membru și avem: 4 2 9 39a b c Subiectul 3(30 puncte)
(3p) a) 1(3p) ( ) 1(3p) 1(3p) 1
(3p) {121;231;341;451;561;671;781;891}
b ac a bcc b acb a
abc
(5p) )b 506am
(5p) c) 1,2 , 1,25m np
(5p) 121A B Subiectul 4 (30 puncte) (5p) a) Numărul a se terminǎ în una din cifrele: 0, 1, 4, 5, 6, 9, n , (5p) iar numerele 20145 2b şi 20145 3b se termină în una din cifrele 2, 7 respectiv 3, 8 (5p) A B (5p) b) Notăm 2 3 2012 20132014 2014 2014 ... 2014 2014S 2 3 2013 20142014 2014 2014 ... 2014 2014S
(5p) Prin scăderea celor două relaţii avem: 2014
2014 2014 20142013 2014 2014 2013
S S
(3p) 10062014A
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
(2p) Avem 25032014A
Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a VI-a Subiectul 1(10 puncte) (3p) Ultima cifra pentru primi patru termeni: 2 3 47 7 7 7 7 9 3 1 0U U (3p) Grupǎm termenii sumei cȃte patru și calculǎm ultima cifrǎ = 0 (2p) 2013 20147 7 7 9 6U U (2p) 2 3 20147 7 7 ... 7 6 2U
Altfel: (5p) 2 3 4 2013 2014 2 2 2 2012 27 7 7 7 ... 7 7 (7 7 ) 7 (7 7 ) ... 7 (7 7 )
(5p) 2 4 201256 (1 7 7 ... 7 ) 2 Subiectul 2 (20 puncte) Se noteazǎ , ,a b c sumele de bani depuse de Ionuţ, Dan, respectiv, Mihai.
(3p) Scrie 3 7a b
(3p) Obţine 3 6b c
(5p) Folosind proporţii derivate cu alţi termeni, prin ȋnmulţirea numitorilor cu 3,
respectiv cu 7, obţine 9 21 42a b c
(2p) Cel mai mic cub perfect par de trei cifre este 36 216 (2p) Scrie 9 , 21 , 42a k b k c k (3p) Scrie ecuaţia 9 21 42 216k k k şi gǎseşte 3k (2p) Finalizeazǎ 27, 63, 126a b c Subiectul 3(30 puncte) (3p) a) Descompune numerele 3 2x şi 13x ȋn baza 10 şi obţine 315 110n x (4p) Observǎ cǎ 315 9 şi din faptul cǎ 9n rezultă că 9n (1p) 106 978 3 17 2a x x
(1p) 106 971 3 1a
(2p) 1 3 1a
(2p) 24 2a este pǎtrat perfect
(5p) b) Din egalitatea 2, 0,5x x , se obţine 5x
(1p) Scrie 1 2 3 20145 5 5 5n
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014 (4p) Stabileşte cǎ trei puteri consecutive ale lui 5 au suma divizibilǎ cu 31 (2p) Observǎ cǎ suma are 2014 termeni şi cǎ restul ȋmpǎrţirii lui 2014 la 3 este 1 (2p) Scrie 2014 2013 2012 4 3 2 1
315 5 5 5 5 5 5 5n M (1p) Obţine cǎ nu este divizibil cu 31 Subiectul 4 (30 puncte)
(5p) Scrie relaţiile 2m A m B , 1
3m C m B , 180m A m B m C
(8p) Rezolvǎ sistemul de ecuaţii şi obţine 108m A , 54m B , 18m C .
(8p) Din faptul cǎ AD este bisectoarea BAC , rezultǎ cǎ 54m CAD .
(5p) Din triunghiul AEC , dreptunghic ȋn E , obţinem 36m ACE .
(4p) Observǎ cǎ 12
m ACD m ACE , deci cǎ CD este bisectoarea ACE .
Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a VII-a Subiectul 1 (10 puncte) (7p) 2010 2007 3 2010 2007 3
de 2013 ori
1111...1 111 10 111 10 ... 111 10 111 111 10 10 ... 10 1
(3p) Deoarece numărul 111 se divide cu 37, atunci și numărul de 2013 ori
1111...1 se divide cu 37
Subiectul 2(20 puncte)
(2p) 5 0 5(2p) 5 0 5
a b a ba b a b
(2p) 5a b
22(2p) 15 5 5b b a b
(3p) 5 7
(3p) 2,12
b
b
(3p) a 3,17
(3p) , 3, 2 , 17,12a b Subiectul 3 (30 puncte) a)
(8p) Fie M mijlocul lui BC . 2
BCAM şi AMB isoscel, cu MAB MBA ,
(8p) deci m 30AMC .
(8p) În AMD , avem 30m AMD , de unde rezultă 2
AMAD
(6p) şi 4
BCAD .
Subiectul 4 (30 puncte)
a) Înlocuind x cu 2015
2 obţinem
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
2 2 2 2 2 2 2 2(9p) .... .... 22013 2011 3 1 1 3 2011 2013
(6p) 0 2 (F) 2015
2n nu este soluţie.
1 2 3 2014(8p) b) ..... 1 1 ...... 11 2 3 2014 1 2 2014
1 1 1(5p) .... 20141 2 20142015(2p) 2014 5029
n n nn n n n n n n
nn n n
nn
Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a VIII-a Subiectul 1(10 puncte)
2
2
2
2252p 2 +2xy=225
3002p y 2 +2yz=300
3752p 2 +2xz=375
x y xx
z yy
z x zz
(2p) Adunȃnd cele trei relații membru cu membru avem: 2 900x y z (2p) 30x y z , care nu e pǎtrat perfect Subiectul 2 (20 puncte) (5p) Calculează 29BC cm , 21AC cm , 20AB cm (3p) Demonstrează folosind că OM BC (2p) Demonstrează că O este centrul cercului înscris în ABC
(2p) Calculează Aria ABCO M
p
, cu p semiperimetrul triunghiului ABC , de unde rezultă
6O M cm (2p) Demonstrează că înălţimile feţelor laterale au aceeaşi lungime (2p) Calculează aria laterală şi obţine că este egală cu 2350 cm (2p) Calculează 8VO cm .
(2p) Calculează volumul piramidei şi obţine 3550 cm
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014 Subiectul 3 (30 puncte)
6p) a) Notăm 2011x şi scriem 22 21 2 3 1 3 1 3 1x x x x x x x x .
(4p) Atunci 22011 2012 2013 2014 1 2012n se scrie sub formă echivalentă 2 22011 3 2011 1 2012n . (3p) 2 22011 1 2011 2012n , deci 2011n . (2p) b) 3 3 3 3 3 3 3 3
1 2 3 2014 1 2 3 2014+ ... 2009 + ... 2a a a a n a a a a
(6p) 3 3
3 3 3 3 3 3 1 11 2 3 2014 1 1
2- ... 2- 12
a aa a a a a a
(3p) 3 3
3 3 3 3 3 3 2 22 1 3 2014 2 2
2- ... 2- 12
a aa a a a a a
…………………………………………………………………………
(3p) 3 3
3 3 3 3 3 3 2014 20142014 1 3 2013 2014 2014
2- ... 2- 12
a aa a a a a a
(3p) Prin însumarea acestor inegalităţi rezultă inegalitatea cerută. Subiectul 4(30 puncte) (3p) a) Demonstrează că AM OB , M OB (3p) Demonstrează că AN OC , N OC
(2p) Calculează 10 63
AM cm , 20 33
OM cm
(2p) Demonstrează că MP OA , P OA
(2p) Calculează 10 23
AP cm
(2p) Calculează 203
OM AMPM PN
OA
(3p) În MNP , dreptunghic isoscel, avem 20 2 2 23 3 3
MN cm BD AO
..
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
(3p) 1 1 2 10 22 3 3 3 3
MNPR BD AC AQ cm , unde AC BD Q
(2p) Calculează 203
AR cm
(3p) b) Demonstrează că unghiul diedru este este chiar unghiul RAS , unde RS AC , S AC (3p) Cum RS AP şi AS PR AS = PR, rezultă că ASR este dreptunghic isoscel, de ipotenuză AR
(2p) Determină 45m RAS
Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a IX -a M1 Subiectul 1(10 puncte) (2p) a) *n
(3p) b) (3p) Dacă *n , avem că 2 223 0,6 9 4 3 0,7 (1)n n n n
(2p) Deci 29 4 3n n n , *n (3p) c) prima zecimală a numerelor este mereu 6, vezi relaţia (1) Subiectul 2(20 puncte) (3p) Fie , \ 1k p : DA k DB
și EA p EC
(3p) 0 1 1 0 (1)DA DB EA EC k DB p EC
, necoliniari (2)DB EC
(3p) Din (1) și (2) rezultă 1k p (3p) rezultă D , E mijloacele laturilor AB , respectiv AC . (2p) Deci T este centrul de greutate (3p) 0TA TB TC
(3p) rezultă TB TC TA
rezultă 1 Subiectul 3(30 puncte) (3p) Din 3 22 3 6 3x x x x x rezultă 3 22 3 6x x x x x x x
(2p 3 2 3 22 3 6 3 3x x x x x x x x
(3p) 2 22 6 3 0x x x x
(4p) 22 3 0x x
(3p) 1 2 0x x
(3) 2 3 0 1,0,1x x
(3p) 1 1,0x x
(3p) 0 0,1x x
(3p) 1 1, 2x x
(3p) Soluția este 1,0 0,1 1,2x Subiectul 4(30 puncte) (3p) Scăzând ecuaţia a doua din prima ecuaţie și apoi ecuaţia a treia din a doua ecuaţie obţinem ( )( ) 2 (1)a b a b c
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014 (3p) ( )( ) 2 (2)b c a b c (1p) Deducem că ba , cb și 0 cba . (3p) Împărţind ecuaţiile (1) și (2) obţinem cbba , adică cba 2 . (3p) Înlocuind pe a în primele două ecuaţii ale sistemului avem: 2 24 5 3 (3)b bc c (3p) 2 22 1 (4)b bc c
(3p) Din (4) rezultă 1 cb și apoi din (3) obţinem 31
c .
(1p) Soluţiile sistemului sunt
31,
32,
35;
31,
32,
35),,( cba .
Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a IX -a M2
Subiectul 1 (10 puncte) (5p) Relația dată este echivalentă cu 1 1 1 124 25 26 46 40a r a r a r a r .
(2p) Din această relație se obține 12 29 40a r
(3p) 1 3030 1
302 29 15 600
2a a
S a r
.
Subiectul 2 (20 puncte) (8p) ( )( ) 8 (4 10) 8 ( ) 2 20f f f x x m f x x m f t t m unde 4 10t x . (5p) Atunci, ( ( )) 2 ( ) 20f f x f x m . Cum ( )( ) 4 10f f x x , rezultă (5p) 4 10 2(2 20 ) 20x x m m
(2p) 703
m .
Subiectul 3(30 puncte) (5p) a) , ,B G E sunt coliniare dacă şi numai dacă E E este mijlocul laturii AC
(5p) adică ( , ) (3;0)2 2
A C A Cx x y yE E .
(5p) b) Vectorii AB
și AC
formează un unghi obtuz cos 0A . ( , ) (2;4)B A B AAB x x y y AB
, ( , ) (4; 4)C A C AAC x x y y AC
(8p) 2 4 4 1cos 0
20 32 10AB ACAAB AC
.
(5p) c) 2 3sin 1 cos10
A A
(2p) sin 3cos
AtgAA
.
Subiectul 4 (30 puncte) a)(8p) Aplicǎm inegalitatea mediilor și avem: 90 99 110 30ab bc ac a b c (4p) 30 2014 1984a b c a b c (3p) min 1984a b c
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
(5p) b) 2 1 03 3 1x (4p) 2sin [0,1]x
(3p) Deci 2 1 23 sin 1x x
(3p) 12
x
Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a X -a M1
Subiectul 1(10 puncte) (3p) a) Obține 1 cos sinz t i t şi 2 cos sinz t i t
(4p) b) Obține 22
1 0zz
, 44
1 2zz
, 88
1 2zz
(3p) c) Obține 20482048
1 2zz
Subiectul 2(20 puncte)
(5p) 2 2 2
a b c ab bc cadb c a r r r
, de unde 2 2r d ab bc ca r d ab bc c a şi
2 2 2 23r a b c aa bb cc
(5p) Adunând ultimele trei relaţii obţinem:
22 2Re 3r d a a b c b a b c c a b c a b c a b c a b c
22 2Re 3r d a b c
(5p) Dacă 23Re 0 02
d a b c a b c
(5p) Dacă 30 2 3 0 Re2
a b c Red d
Subiectul 3(30 puncte) (3p) Presupunem că a b , atunci avem 11 11a b şi 7 7a b .
(4p) Din 5 11 17 5 11 17a b a a b b sau 5 11 1 (1)
17 17
a b
(3p) Considerăm că :f , 5 1117 17
x xf x
(5p) Funcţia f este strict descrescătoare şi 161 1 1 1 (2)17
f f a f f a a
(6p) Din 7 237 23 29 7 23 29 1 (3)29 29
a ba b b a b b
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
(6p) Funcţia :g , 7 2329 29
x xg x
este strict descrescătoare şi
301 1 1 1 1 (4)29
g g g b b
(3p) Din (2) si (4) se obţine 0a b . Subiectul 4(30 puncte)
(5p) 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1
a b ca b c a c b a c b a a c b b a c c b
a c a b b c
Aplicǎm regula C-B-S (Titu Andreescu)
(7p) 22 2 2
1 1 1 1 1 1a b ca b c
a c a b b c a c a b b c
(7p) 2 2
1 1 1 1 1 1a b c a b c a b c
a b ca c a b b c a c a b b c
(7p ) 3 3
3
a b c a b ca b c a b c a b c c b a
a c a b b c a c a b b c
(3p) 23 3 3 2 2 2
3
a b ca b c a c b a c b c b a
a c a b b c
Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a X -a M2 Subiectul 1(10 puncte) (4p) Înlocuim pe 1x şi obţinem că 0 2f
(4p) Pentru 12
x avem 210 24
f f
(2p) Finalizare Subiectul 2(20 puncte)
(1p) 6 3 63 2 27a
(2p) 6 2 62 4b a b
(3p) 2ln 3log 3ln 2
c şi 3ln 2log 2ln 3
d , de unde rezultă d c
(3p) 3
3 223
3 3 3 3 332 log 2 log 3 log 2 log log 2
2b d b d d b a b
(1p) Evaluam 3 2
32 2
22 log 3 log3
b c
Cum 31,2 2 1,3 avem:
(2p) 3 3
3 32 1,3 1,5 3 22 22 2 2 2 2 8 2 2 2 1, 41 2 1,5 3 2 3 1
3
(1p) 3 2
32log 0
3b c b c
(1p) Deci: d b c şi d b a
(1p) Evaluam 3
32 2 2 2
23 log 3 log 2 log 3 log3
a c
(2p) Cum 1,7 3 1,8 , avem 1,72 3
(2p) 17
217 10 8 4 5 5102 3 2 3 2 2 3 3 512 256 243 , de unde, evident, rezultă a c . (1p) Deci, d b c a . Subiectul 3(30 puncte) (3p) a) 226ln 3 226ln 3 (3p) 2ln3362ln 336
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014 (6p) 336226 23 (2p) Finalizare
(3p) b)Funcţia 211)(,)1,1(:x
xfRf
este concavă
Din concavitatea funcţiei avem
(7p) 2
321
21222
21 1
...)(...)()(
11....
11
11
nn
nxxxnfxfxfxf
xxxn
nn
(4p) 21
2
2
3 nn
n
(2p) Concluzia Subiectul 4(30 puncte)
7p) a) Pornind de la egalitatea 1 1 1n m n mx x x
(7p) Identificând coeficientul lui kx (6p) Se demonstrează egalitatea cerută (10p) b) Se alege în a) cazul particular n m k
Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a XI -a M1 Subiectul 1(10 puncte) (2p) a) 2 22 cos3 3 sin 3x xf x e x e x
(2p) 2 25 cos3 12 sin 3x xf x e x e x (2p) Verifică relaţia. (1p) b) Ecuaţia 0 0y f f x (3p) Finalizare: 2 1 0x y Subiectul 2(20 puncte) (10p) a) Prin inducţie se determină ,1a a an n cu 1 ,a a 2
1 ,n nb b na b cu 1 ,b b 1;n
(10p) b) Deducem ,na na 2( 1) ,2n
n nb nb a 1,n rezultă
2( 1)12
0 10 0 0
n
n nna nb a
A na
.
Subiectul 3(30 puncte)
(15p) a) Fie funcţia : 1f dată de 1
2 1( ) 1 ...1
nn xf x x x x
x
.
Rezultă 1
2 12
( 1) 1'( ) 1 2 3 ... ,( 1)
n nn
nnx n xS f x x x nx
x
1x .
(8p) b) Dacă în identitatea de mai sus înlocuim 1 ,3
x obţinem: 2 3 1 12 3 4 9 11 ... 1 ,3 43 3 3 3 3n n n
n n n
(7p) de unde 2 3 12 3 4 9lim 1 ...3 43 3 3nn
n
.
Subiectul 4(30 puncte)
1 11 2
1 2 1 21 2
...(10 ) ... ......
x x xxx x x x xn
n nxn
a a ap n a a a n a a aa a a
. (8p) Fie funcţia :f , 1
1 2 1 2( ) ... ... xx x x xn nf x a a a n a a a despre care se ştie ( ) 0 (0)f x f şi,
conform teoremei lui Fermat, 1 1
'(0) 0 ln ln ln 0n n
k kk k
f a n a n n
(8p) 1/ 1/
1 1
1 1ln ln
n nn nk kn n
k kk k
k k
a aa a
n n
(4p) ceea ce din inegalitatea mediilor, corespunde cazului 1 2 ... na a a . Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a XI -a M2 Subiectul 1 (10 puncte) (5p) a) Din condiţia de existenţă a matricei inverse det 0A a , rezultă 2 1 0a a .
Deci matricea A a este inversabilă pentru orice număr \ 1,2a .
(5 p) b) Soluţia sistemului este tripletul 1,0,0 oricare ar fi numărul \ 1,2a . Subiectul 2 (20 puncte) (5p) a) 1xf x e , pentru orice a .
(5p) b) 0 1 0xf x e x . Din tabelul de variaţie rezultă că funcţia f este descrescătoare pe ,0
şi crescătoare pe 0, .
(10p) c) Din tabelul de variaţie obţinem că 0,0O este punct de minim al funcţiei f , deci 0f x , x .
De aici, pentru x avem 2 22 21 2x x x xe x e x e e x x
Subiectul 3 (30 puncte) (10 p) a) Se verificǎ prin calcul
(8p) b) 1 1 1 1 1 1
2 2 2 3 3 3B A a b c a b c A
a b c
(4 p) c) Fie 1 2 3, , , , , A a f a A b f b A c f c cele trei puncte, cu a b c
1 2 3
12 2
b a c b c a a b cS A A A B
(4 p) Cel puțin douǎ dintre cele trei numere a, b, c au aceeași paritate, deci cel puțin unul dintre numerele ,b a ,c b c a este par, de unde rezultă că 1 2 3S A A A
(4 p) Se aratǎ cǎ , ,f a f b f c sunt multipli de 3, de unde rezultă că B este divizibil cu 3.
Deci 1 2 3S A A A este divizibil cu 3 Subiectul 4 (30 puncte)
(10p) a) 21 3 1 1 0
42f x f f
x x xx , este strict crescătoare.
(10p) b) Se poate demonstra prin calcul sau aplicând Teorema lui Lagrange. (5p) c) Se adună relaţiile de la (b), de la 1k până la k n şi astfel se obţine marginea şirului 1n na
(5p) Şirul este evident crescător, deci este convergent conform Teoremei lui Weierstrass Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în
barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a XII -a M1 Subiectul 1 (10 puncte)
(2p) 21 20 0
2
sin sin sinxf x dx xf x dx xf x dx I I
.
(6p) 2 2 22 0 0 0
sin sin sinI t f t dt f t dt tf t dt
, cu schimbarea de variabilă x t
(2p) Finalizare 21 2 0
sinI I I f t dt
Subiectul 2(20 puncte)
(10p) 1 1
12
20 0 0 0
1 zn nxx f dx nt f t ndt n t f t dt t f t dtn z
, cu substituţiile x t
n şi 1 z
n .
(10p) Se aplicǎ regula lui l’Hospital și limita este egalǎ cu '(0)2
f
Subiectul 3 (30 puncte)
115 ) , 1 0
a
ap a x a a c f x d f x dx d
d
11 1 1 1 15 Cum 0 si 0
a
ap c dx d
d f x c d f x
(5p) Prin înmulțirea celor două relații rezultă inegalitatea cerută.
(5p) b) Conform formulei de medie pentru integrale . 1n n astfel încât 1
2015 20151 1n
nxdxx
(3p) Dar 2015 2015 2015
11 11 1
n nnn
(4p) Înmulțim relația cu 2014n și obținem:
2014 2014 20142015 2015 2015
11 11 1
n nn n nnn
.
2015 2015 20142014
2015 2015 20151 11 1
n n nnnn
(3p) Conform criteriului cleștelui observăm că limita cerută este gală cu 1 Subiectul 4 (30 puncte)
(5p) a) Se demonstrează prin inducție că 10 1
k kA
, k
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
(3p) Observăm că 1 10 1
kk kA A
, k
(2p) Așadar, 10 1
k kA
, k
(10 p) b) Fie 1 1
, , ,0 1 0 1k h
k hA G A G k h
Avem k h k hA A G și 1 ,k kA A G k
Deci ,G este subgrup al grupului 2 ,M , rezultă ,G este grup.
Fie funcția : , kf G f A k
(3p) c) Injectivitatea: Fie kA , hA , a.î. k hf A f A , rezultă k hA A , rezultă că f este injectivă
(3p) Surjectivitatea: k , kA G , a.î. kf A k , de unde rezultă f este surjectivă.
(4p) funcşia f este un morfism: k h k h k hf A A f A k h f A f A , rezultă că f este morfism Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a XII -a M2 Subiectul 1(10 puncte)
3 1 211
(4 ) (1 )nnnp I x x dx =
3 211
(1 )nnI x x dx
'
2 21 13 2 21
211
1 1 4 2(4 ) ( 1) (1 )2 2
n nn n
nn n
n
p I x x dx
(2 ) Finalizare lim ( 1)nn
p n I
Subiectul 2(20 puncte)
(2p) a)
6 9
2 3
1 1
1 1
x xF x dx
x x
(2p)
2 4 2 3 6 3
2 3
1 1 1 1
1 1
x x x x x xF x dx
x x
(2p) 10 8 7 6 5 4 3 2 1F x x x x x x x x x dx
(2p) 11 9 7 6 5 4 3
11 9 7 6 5 4 3x x x x x x xF x x c
(2p) 11 9 7 6 5 4 3
0 0 011 9 7 6 5 4 3x x x x x x xF c F x x
Subiectul 3(30 puncte) (5p) a) I K x c
(5p) cos sin ln cos sin 2014cos sin 2014
x xK I dx x x cx x
(5p) 1 ln cos sin 20142
K x x x c
(5p) b) 1 ln cos sin 20142
I x x x c
(5p) c) ln 3 ln 3J x x dx
(5p) 1 ln 3 1 ln 3
1 ln 3 1 ln 3x xJ c
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014 Subiectul 4 (30 puncte)
(1p) a) 1 02014
x H x
(1p) 1 0
2014y H y
(3p) H esteparte stabilă (3p) b) operaţia este bine definită (conform a) ), (3p) asociativitatea, (3p) comutativitatea
(6p) 0e H și 2014 1
xx H
(5p) c) : , ln 1 2014f H f x x este bijectivă
(5p) Se arată proprietatea de morfism , ,f x y f x f y x y H . Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.