+ All Categories
Home > Documents > S · Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER,...

S · Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER,...

Date post: 03-Sep-2019
Category:
Upload: others
View: 1 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
26
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE UNIVERSITATEA DIN PITEŞTI ŞCOALA GIMNAZIALĂ „GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN OLT LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL” CARACAL Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056 7 IUNIE 2014 Clasa a III-a Subiectul 1 (10 puncte) (2p) 55 a (2p) 105 b (2p) 155 c (2p) [( ) ( )] 50 50 0 c b b a (2p) 209 [( ) ( )] 0 c b b a Subiectul 2 (20 puncte) (2p) D S R (3p) 3 56:7 38 24 S (3p) 24 28 52 R (4p) D S R (4p) 24 52 76 D (4p) 76 24 52 152 D S R Subiectul 3 (30 puncte) t+g = 505 t + c = 465 g + c = 870 (3p) 2t+2g+2c=1840 (5p) 2(t+g +c) =1840 (5p) t+g +c =1840:2 (2p) t+g +c =920 t+g = 505 (5p) / / c=415 t+g +c =920 t + c = 465 (5p) / g / =455 t+g +c =920 g+ c =870 (5 p ) t / / =50 Subiectul 4 (30 puncte) (5p) În urmă cu 2 ani, suma vârstelor a fost: 56-(2+2+2+2)=56-8=48 ani (5 p) Diferenţa 49-48=1 an, arată cel mai mic dintre copii, acum 2 ani nu era născut. Deci el s-a născut acum 1 an. Vârsta celui mai mic copil este de 1 an. (4 p) Copilul cel mare are 1+3=4 ani. (4p) Părinţii au împreună 56-4-1=51 ani. (4 p) Cum diferenţa dintre ei este de 3 ani, 51-3=48 ani
Transcript

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

Clasa a III-a Subiectul 1 (10 puncte) (2p) 55a (2p) 105b (2p) 155c (2p) [( ) ( )] 50 50 0c b b a (2p) 209 [( ) ( )] 0c b b a Subiectul 2 (20 puncte) (2p) D S R (3p) 3 56 : 7 3 8 24S (3p) 24 28 52R (4p) D S R (4p) 24 52 76D (4p) 76 24 52 152D S R Subiectul 3 (30 puncte) t+g = 505 t + c = 465 g + c = 870 (3p) 2t+2g+2c=1840 (5p) 2(t+g +c) =1840 (5p) t+g +c =1840:2 (2p) t+g +c =920 t+g = 505 (5p) / / c=415 t+g +c =920 t + c = 465 (5p) / g / =455 t+g +c =920 g+ c =870 (5 p ) t / / =50 Subiectul 4 (30 puncte) (5p) În urmă cu 2 ani, suma vârstelor a fost: 56-(2+2+2+2)=56-8=48 ani (5 p) Diferenţa 49-48=1 an, arată cel mai mic dintre copii, acum 2 ani nu era născut. Deci el s-a născut acum 1 an. Vârsta celui mai mic copil este de 1 an. (4 p) Copilul cel mare are 1+3=4 ani. (4p) Părinţii au împreună 56-4-1=51 ani. (4 p) Cum diferenţa dintre ei este de 3 ani, 51-3=48 ani

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014 (4 p) 48:2 =24 ani are mama (4 p) în timp ce tata are 24+3=27 ani Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

Clasa a IV-a

Subiectul 1 (10 puncte) (2p) 6 (20 14 )a a

(2p) 6 (20 14 )a a (4p) 81 (14 95)a a

(2p) 6,7,8,9, ,79,80a Subiectul 2 (20 puncte) (2p) 1 2 3 2014 5 10 15 2010 (8p) 2014 2015 : 2 5 1 2 3 .... 402 (2p) 4 058 210 : 2 5 402 403: 2 (2p) 2029 105 2010 403: 2 (2p) 2029 105 810 030 : 2 (2p) 2029 105 405015 (2p) 1624090 Subiectul 3 (30 puncte) Scriind explicit în baza 10 avem: (10p) 100 10 10 10 10a b c a b b c c a , adica (10p) 100 10 11 11 11a b c a b c , de unde 98 10a b (10p) Egalitatea are loc pentru 8c , 9b , 1a şi 198abc . Subiectul 4 (30 puncte)

(4p) 2 1 37 7 7 a vândut a doua zi

(4p) 2 3 57 7 7 a vândut în cele două zile

(5p) 7 5 27 7 7 a vândut a treia zi

(5p) 27

reprezintă 150 kg

(6p) 17

reprezintă 150:2=75 kg

(6p) 77

reprezintă 75kg x7=525 kg de roşii a avut la început comerciantul

Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

Clasa a V-a Subiectul 1(10 puncte) Fie x numărul de litri din primul vas, y numărul de litri din al doilea vas, respectiv, z numărul de litri din al treilea vas.

2p 156

2p 8 8 5 21

3p 4 4 7 15

3p 3 36 156 40 61, 55

x y z

x z x z

y z y z

z z x y

Subiectul 2(20 puncte) Notǎm: a prețul unui pix, b prețul unui creion și c prețul unei cărți. (3p) 7 5 12 58,5 (1)a b c (3p) 5 7 19,5a b (5p) Prin adunarea celor douǎ relații rezultǎ 12 78 6,5a b c a b c (4p) Deci 3 3 3 19,5a b c (2) (5p) Scǎdem relațiile (1) și (2) membru cu membru și avem: 4 2 9 39a b c Subiectul 3(30 puncte)

(3p) a) 1(3p) ( ) 1(3p) 1(3p) 1

(3p) {121;231;341;451;561;671;781;891}

b ac a bcc b acb a

abc

(5p) )b 506am

(5p) c) 1,2 , 1,25m np

(5p) 121A B Subiectul 4 (30 puncte) (5p) a) Numărul a se terminǎ în una din cifrele: 0, 1, 4, 5, 6, 9, n , (5p) iar numerele 20145 2b şi 20145 3b se termină în una din cifrele 2, 7 respectiv 3, 8 (5p) A B (5p) b) Notăm 2 3 2012 20132014 2014 2014 ... 2014 2014S 2 3 2013 20142014 2014 2014 ... 2014 2014S

(5p) Prin scăderea celor două relaţii avem: 2014

2014 2014 20142013 2014 2014 2013

S S

(3p) 10062014A

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

(2p) Avem 25032014A

Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

Clasa a VI-a Subiectul 1(10 puncte) (3p) Ultima cifra pentru primi patru termeni: 2 3 47 7 7 7 7 9 3 1 0U U (3p) Grupǎm termenii sumei cȃte patru și calculǎm ultima cifrǎ = 0 (2p) 2013 20147 7 7 9 6U U (2p) 2 3 20147 7 7 ... 7 6 2U

Altfel: (5p) 2 3 4 2013 2014 2 2 2 2012 27 7 7 7 ... 7 7 (7 7 ) 7 (7 7 ) ... 7 (7 7 )

(5p) 2 4 201256 (1 7 7 ... 7 ) 2 Subiectul 2 (20 puncte) Se noteazǎ , ,a b c sumele de bani depuse de Ionuţ, Dan, respectiv, Mihai.

(3p) Scrie 3 7a b

(3p) Obţine 3 6b c

(5p) Folosind proporţii derivate cu alţi termeni, prin ȋnmulţirea numitorilor cu 3,

respectiv cu 7, obţine 9 21 42a b c

(2p) Cel mai mic cub perfect par de trei cifre este 36 216 (2p) Scrie 9 , 21 , 42a k b k c k (3p) Scrie ecuaţia 9 21 42 216k k k şi gǎseşte 3k (2p) Finalizeazǎ 27, 63, 126a b c Subiectul 3(30 puncte) (3p) a) Descompune numerele 3 2x şi 13x ȋn baza 10 şi obţine 315 110n x (4p) Observǎ cǎ 315 9 şi din faptul cǎ 9n rezultă că 9n (1p) 106 978 3 17 2a x x

(1p) 106 971 3 1a

(2p) 1 3 1a

(2p) 24 2a este pǎtrat perfect

(5p) b) Din egalitatea 2, 0,5x x , se obţine 5x

(1p) Scrie 1 2 3 20145 5 5 5n

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014 (4p) Stabileşte cǎ trei puteri consecutive ale lui 5 au suma divizibilǎ cu 31 (2p) Observǎ cǎ suma are 2014 termeni şi cǎ restul ȋmpǎrţirii lui 2014 la 3 este 1 (2p) Scrie 2014 2013 2012 4 3 2 1

315 5 5 5 5 5 5 5n M (1p) Obţine cǎ nu este divizibil cu 31 Subiectul 4 (30 puncte)

(5p) Scrie relaţiile 2m A m B , 1

3m C m B , 180m A m B m C

(8p) Rezolvǎ sistemul de ecuaţii şi obţine 108m A , 54m B , 18m C .

(8p) Din faptul cǎ AD este bisectoarea BAC , rezultǎ cǎ 54m CAD .

(5p) Din triunghiul AEC , dreptunghic ȋn E , obţinem 36m ACE .

(4p) Observǎ cǎ 12

m ACD m ACE , deci cǎ CD este bisectoarea ACE .

Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

Clasa a VII-a Subiectul 1 (10 puncte) (7p) 2010 2007 3 2010 2007 3

de 2013 ori

1111...1 111 10 111 10 ... 111 10 111 111 10 10 ... 10 1

(3p) Deoarece numărul 111 se divide cu 37, atunci și numărul de 2013 ori

1111...1 se divide cu 37

Subiectul 2(20 puncte)

(2p) 5 0 5(2p) 5 0 5

a b a ba b a b

(2p) 5a b

22(2p) 15 5 5b b a b

(3p) 5 7

(3p) 2,12

b

b

(3p) a 3,17

(3p) , 3, 2 , 17,12a b Subiectul 3 (30 puncte) a)

(8p) Fie M mijlocul lui BC . 2

BCAM şi AMB isoscel, cu MAB MBA ,

(8p) deci m 30AMC .

(8p) În AMD , avem 30m AMD , de unde rezultă 2

AMAD

(6p) şi 4

BCAD .

Subiectul 4 (30 puncte)

a) Înlocuind x cu 2015

2 obţinem

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

2 2 2 2 2 2 2 2(9p) .... .... 22013 2011 3 1 1 3 2011 2013

(6p) 0 2 (F) 2015

2n nu este soluţie.

1 2 3 2014(8p) b) ..... 1 1 ...... 11 2 3 2014 1 2 2014

1 1 1(5p) .... 20141 2 20142015(2p) 2014 5029

n n nn n n n n n n

nn n n

nn

Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

Clasa a VIII-a Subiectul 1(10 puncte)

2

2

2

2252p 2 +2xy=225

3002p y 2 +2yz=300

3752p 2 +2xz=375

x y xx

z yy

z x zz

(2p) Adunȃnd cele trei relații membru cu membru avem: 2 900x y z (2p) 30x y z , care nu e pǎtrat perfect Subiectul 2 (20 puncte) (5p) Calculează 29BC cm , 21AC cm , 20AB cm (3p) Demonstrează folosind că OM BC (2p) Demonstrează că O este centrul cercului înscris în ABC

(2p) Calculează Aria ABCO M

p

, cu p semiperimetrul triunghiului ABC , de unde rezultă

6O M cm (2p) Demonstrează că înălţimile feţelor laterale au aceeaşi lungime (2p) Calculează aria laterală şi obţine că este egală cu 2350 cm (2p) Calculează 8VO cm .

(2p) Calculează volumul piramidei şi obţine 3550 cm

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014 Subiectul 3 (30 puncte)

6p) a) Notăm 2011x şi scriem 22 21 2 3 1 3 1 3 1x x x x x x x x .

(4p) Atunci 22011 2012 2013 2014 1 2012n se scrie sub formă echivalentă 2 22011 3 2011 1 2012n . (3p) 2 22011 1 2011 2012n , deci 2011n . (2p) b) 3 3 3 3 3 3 3 3

1 2 3 2014 1 2 3 2014+ ... 2009 + ... 2a a a a n a a a a

(6p) 3 3

3 3 3 3 3 3 1 11 2 3 2014 1 1

2- ... 2- 12

a aa a a a a a

(3p) 3 3

3 3 3 3 3 3 2 22 1 3 2014 2 2

2- ... 2- 12

a aa a a a a a

…………………………………………………………………………

(3p) 3 3

3 3 3 3 3 3 2014 20142014 1 3 2013 2014 2014

2- ... 2- 12

a aa a a a a a

(3p) Prin însumarea acestor inegalităţi rezultă inegalitatea cerută. Subiectul 4(30 puncte) (3p) a) Demonstrează că AM OB , M OB (3p) Demonstrează că AN OC , N OC

(2p) Calculează 10 63

AM cm , 20 33

OM cm

(2p) Demonstrează că MP OA , P OA

(2p) Calculează 10 23

AP cm

(2p) Calculează 203

OM AMPM PN

OA

(3p) În MNP , dreptunghic isoscel, avem 20 2 2 23 3 3

MN cm BD AO

..

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

(3p) 1 1 2 10 22 3 3 3 3

MNPR BD AC AQ cm , unde AC BD Q

(2p) Calculează 203

AR cm

(3p) b) Demonstrează că unghiul diedru este este chiar unghiul RAS , unde RS AC , S AC (3p) Cum RS AP şi AS PR AS = PR, rezultă că ASR este dreptunghic isoscel, de ipotenuză AR

(2p) Determină 45m RAS

Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

Clasa a IX -a M1 Subiectul 1(10 puncte) (2p) a) *n

(3p) b) (3p) Dacă *n , avem că 2 223 0,6 9 4 3 0,7 (1)n n n n

(2p) Deci 29 4 3n n n , *n (3p) c) prima zecimală a numerelor este mereu 6, vezi relaţia (1) Subiectul 2(20 puncte) (3p) Fie , \ 1k p : DA k DB

și EA p EC

(3p) 0 1 1 0 (1)DA DB EA EC k DB p EC

, necoliniari (2)DB EC

(3p) Din (1) și (2) rezultă 1k p (3p) rezultă D , E mijloacele laturilor AB , respectiv AC . (2p) Deci T este centrul de greutate (3p) 0TA TB TC

(3p) rezultă TB TC TA

rezultă 1 Subiectul 3(30 puncte) (3p) Din 3 22 3 6 3x x x x x rezultă 3 22 3 6x x x x x x x

(2p 3 2 3 22 3 6 3 3x x x x x x x x

(3p) 2 22 6 3 0x x x x

(4p) 22 3 0x x

(3p) 1 2 0x x

(3) 2 3 0 1,0,1x x

(3p) 1 1,0x x

(3p) 0 0,1x x

(3p) 1 1, 2x x

(3p) Soluția este 1,0 0,1 1,2x Subiectul 4(30 puncte) (3p) Scăzând ecuaţia a doua din prima ecuaţie și apoi ecuaţia a treia din a doua ecuaţie obţinem ( )( ) 2 (1)a b a b c

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014 (3p) ( )( ) 2 (2)b c a b c (1p) Deducem că ba , cb și 0 cba . (3p) Împărţind ecuaţiile (1) și (2) obţinem cbba , adică cba 2 . (3p) Înlocuind pe a în primele două ecuaţii ale sistemului avem: 2 24 5 3 (3)b bc c (3p) 2 22 1 (4)b bc c

(3p) Din (4) rezultă 1 cb și apoi din (3) obţinem 31

c .

(1p) Soluţiile sistemului sunt

31,

32,

35;

31,

32,

35),,( cba .

Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

Clasa a IX -a M2

Subiectul 1 (10 puncte) (5p) Relația dată este echivalentă cu 1 1 1 124 25 26 46 40a r a r a r a r .

(2p) Din această relație se obține 12 29 40a r

(3p) 1 3030 1

302 29 15 600

2a a

S a r

.

Subiectul 2 (20 puncte) (8p) ( )( ) 8 (4 10) 8 ( ) 2 20f f f x x m f x x m f t t m unde 4 10t x . (5p) Atunci, ( ( )) 2 ( ) 20f f x f x m . Cum ( )( ) 4 10f f x x , rezultă (5p) 4 10 2(2 20 ) 20x x m m

(2p) 703

m .

Subiectul 3(30 puncte) (5p) a) , ,B G E sunt coliniare dacă şi numai dacă E E este mijlocul laturii AC

(5p) adică ( , ) (3;0)2 2

A C A Cx x y yE E .

(5p) b) Vectorii AB

și AC

formează un unghi obtuz cos 0A . ( , ) (2;4)B A B AAB x x y y AB

, ( , ) (4; 4)C A C AAC x x y y AC

(8p) 2 4 4 1cos 0

20 32 10AB ACAAB AC

.

(5p) c) 2 3sin 1 cos10

A A

(2p) sin 3cos

AtgAA

.

Subiectul 4 (30 puncte) a)(8p) Aplicǎm inegalitatea mediilor și avem: 90 99 110 30ab bc ac a b c (4p) 30 2014 1984a b c a b c (3p) min 1984a b c

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

(5p) b) 2 1 03 3 1x (4p) 2sin [0,1]x

(3p) Deci 2 1 23 sin 1x x

(3p) 12

x

Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

Clasa a X -a M1

Subiectul 1(10 puncte) (3p) a) Obține 1 cos sinz t i t şi 2 cos sinz t i t

(4p) b) Obține 22

1 0zz

, 44

1 2zz

, 88

1 2zz

(3p) c) Obține 20482048

1 2zz

Subiectul 2(20 puncte)

(5p) 2 2 2

a b c ab bc cadb c a r r r

, de unde 2 2r d ab bc ca r d ab bc c a şi

2 2 2 23r a b c aa bb cc

(5p) Adunând ultimele trei relaţii obţinem:

22 2Re 3r d a a b c b a b c c a b c a b c a b c a b c

22 2Re 3r d a b c

(5p) Dacă 23Re 0 02

d a b c a b c

(5p) Dacă 30 2 3 0 Re2

a b c Red d

Subiectul 3(30 puncte) (3p) Presupunem că a b , atunci avem 11 11a b şi 7 7a b .

(4p) Din 5 11 17 5 11 17a b a a b b sau 5 11 1 (1)

17 17

a b

(3p) Considerăm că :f , 5 1117 17

x xf x

(5p) Funcţia f este strict descrescătoare şi 161 1 1 1 (2)17

f f a f f a a

(6p) Din 7 237 23 29 7 23 29 1 (3)29 29

a ba b b a b b

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

(6p) Funcţia :g , 7 2329 29

x xg x

este strict descrescătoare şi

301 1 1 1 1 (4)29

g g g b b

(3p) Din (2) si (4) se obţine 0a b . Subiectul 4(30 puncte)

(5p) 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1

a b ca b c a c b a c b a a c b b a c c b

a c a b b c

Aplicǎm regula C-B-S (Titu Andreescu)

(7p) 22 2 2

1 1 1 1 1 1a b ca b c

a c a b b c a c a b b c

(7p) 2 2

1 1 1 1 1 1a b c a b c a b c

a b ca c a b b c a c a b b c

(7p ) 3 3

3

a b c a b ca b c a b c a b c c b a

a c a b b c a c a b b c

(3p) 23 3 3 2 2 2

3

a b ca b c a c b a c b c b a

a c a b b c

Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

Clasa a X -a M2 Subiectul 1(10 puncte) (4p) Înlocuim pe 1x şi obţinem că 0 2f

(4p) Pentru 12

x avem 210 24

f f

(2p) Finalizare Subiectul 2(20 puncte)

(1p) 6 3 63 2 27a

(2p) 6 2 62 4b a b

(3p) 2ln 3log 3ln 2

c şi 3ln 2log 2ln 3

d , de unde rezultă d c

(3p) 3

3 223

3 3 3 3 332 log 2 log 3 log 2 log log 2

2b d b d d b a b

(1p) Evaluam 3 2

32 2

22 log 3 log3

b c

Cum 31,2 2 1,3 avem:

(2p) 3 3

3 32 1,3 1,5 3 22 22 2 2 2 2 8 2 2 2 1, 41 2 1,5 3 2 3 1

3

(1p) 3 2

32log 0

3b c b c

(1p) Deci: d b c şi d b a

(1p) Evaluam 3

32 2 2 2

23 log 3 log 2 log 3 log3

a c

(2p) Cum 1,7 3 1,8 , avem 1,72 3

(2p) 17

217 10 8 4 5 5102 3 2 3 2 2 3 3 512 256 243 , de unde, evident, rezultă a c . (1p) Deci, d b c a . Subiectul 3(30 puncte) (3p) a) 226ln 3 226ln 3 (3p) 2ln3362ln 336

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014 (6p) 336226 23 (2p) Finalizare

(3p) b)Funcţia 211)(,)1,1(:x

xfRf

este concavă

Din concavitatea funcţiei avem

(7p) 2

321

21222

21 1

...)(...)()(

11....

11

11

nn

nxxxnfxfxfxf

xxxn

nn

(4p) 21

2

2

3 nn

n

(2p) Concluzia Subiectul 4(30 puncte)

7p) a) Pornind de la egalitatea 1 1 1n m n mx x x

(7p) Identificând coeficientul lui kx (6p) Se demonstrează egalitatea cerută (10p) b) Se alege în a) cazul particular n m k

Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

Clasa a XI -a M1 Subiectul 1(10 puncte) (2p) a) 2 22 cos3 3 sin 3x xf x e x e x

(2p) 2 25 cos3 12 sin 3x xf x e x e x (2p) Verifică relaţia. (1p) b) Ecuaţia 0 0y f f x (3p) Finalizare: 2 1 0x y Subiectul 2(20 puncte) (10p) a) Prin inducţie se determină ,1a a an n cu 1 ,a a 2

1 ,n nb b na b cu 1 ,b b 1;n

(10p) b) Deducem ,na na 2( 1) ,2n

n nb nb a 1,n rezultă

2( 1)12

0 10 0 0

n

n nna nb a

A na

.

Subiectul 3(30 puncte)

(15p) a) Fie funcţia : 1f dată de 1

2 1( ) 1 ...1

nn xf x x x x

x

.

Rezultă 1

2 12

( 1) 1'( ) 1 2 3 ... ,( 1)

n nn

nnx n xS f x x x nx

x

1x .

(8p) b) Dacă în identitatea de mai sus înlocuim 1 ,3

x obţinem: 2 3 1 12 3 4 9 11 ... 1 ,3 43 3 3 3 3n n n

n n n

(7p) de unde 2 3 12 3 4 9lim 1 ...3 43 3 3nn

n

.

Subiectul 4(30 puncte)

1 11 2

1 2 1 21 2

...(10 ) ... ......

x x xxx x x x xn

n nxn

a a ap n a a a n a a aa a a

. (8p) Fie funcţia :f , 1

1 2 1 2( ) ... ... xx x x xn nf x a a a n a a a despre care se ştie ( ) 0 (0)f x f şi,

conform teoremei lui Fermat, 1 1

'(0) 0 ln ln ln 0n n

k kk k

f a n a n n

(8p) 1/ 1/

1 1

1 1ln ln

n nn nk kn n

k kk k

k k

a aa a

n n

(4p) ceea ce din inegalitatea mediilor, corespunde cazului 1 2 ... na a a . Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

Clasa a XI -a M2 Subiectul 1 (10 puncte) (5p) a) Din condiţia de existenţă a matricei inverse det 0A a , rezultă 2 1 0a a .

Deci matricea A a este inversabilă pentru orice număr \ 1,2a .

(5 p) b) Soluţia sistemului este tripletul 1,0,0 oricare ar fi numărul \ 1,2a . Subiectul 2 (20 puncte) (5p) a) 1xf x e , pentru orice a .

(5p) b) 0 1 0xf x e x . Din tabelul de variaţie rezultă că funcţia f este descrescătoare pe ,0

şi crescătoare pe 0, .

(10p) c) Din tabelul de variaţie obţinem că 0,0O este punct de minim al funcţiei f , deci 0f x , x .

De aici, pentru x avem 2 22 21 2x x x xe x e x e e x x

Subiectul 3 (30 puncte) (10 p) a) Se verificǎ prin calcul

(8p) b) 1 1 1 1 1 1

2 2 2 3 3 3B A a b c a b c A

a b c

(4 p) c) Fie 1 2 3, , , , , A a f a A b f b A c f c cele trei puncte, cu a b c

1 2 3

12 2

b a c b c a a b cS A A A B

(4 p) Cel puțin douǎ dintre cele trei numere a, b, c au aceeași paritate, deci cel puțin unul dintre numerele ,b a ,c b c a este par, de unde rezultă că 1 2 3S A A A

(4 p) Se aratǎ cǎ , ,f a f b f c sunt multipli de 3, de unde rezultă că B este divizibil cu 3.

Deci 1 2 3S A A A este divizibil cu 3 Subiectul 4 (30 puncte)

(10p) a) 21 3 1 1 0

42f x f f

x x xx , este strict crescătoare.

(10p) b) Se poate demonstra prin calcul sau aplicând Teorema lui Lagrange. (5p) c) Se adună relaţiile de la (b), de la 1k până la k n şi astfel se obţine marginea şirului 1n na

(5p) Şirul este evident crescător, deci este convergent conform Teoremei lui Weierstrass Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în

barem.

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

Clasa a XII -a M1 Subiectul 1 (10 puncte)

(2p) 21 20 0

2

sin sin sinxf x dx xf x dx xf x dx I I

.

(6p) 2 2 22 0 0 0

sin sin sinI t f t dt f t dt tf t dt

, cu schimbarea de variabilă x t

(2p) Finalizare 21 2 0

sinI I I f t dt

Subiectul 2(20 puncte)

(10p) 1 1

12

20 0 0 0

1 zn nxx f dx nt f t ndt n t f t dt t f t dtn z

, cu substituţiile x t

n şi 1 z

n .

(10p) Se aplicǎ regula lui l’Hospital și limita este egalǎ cu '(0)2

f

Subiectul 3 (30 puncte)

115 ) , 1 0

a

ap a x a a c f x d f x dx d

d

11 1 1 1 15 Cum 0 si 0

a

ap c dx d

d f x c d f x

(5p) Prin înmulțirea celor două relații rezultă inegalitatea cerută.

(5p) b) Conform formulei de medie pentru integrale . 1n n astfel încât 1

2015 20151 1n

nxdxx

(3p) Dar 2015 2015 2015

11 11 1

n nnn

(4p) Înmulțim relația cu 2014n și obținem:

2014 2014 20142015 2015 2015

11 11 1

n nn n nnn

.

2015 2015 20142014

2015 2015 20151 11 1

n n nnnn

(3p) Conform criteriului cleștelui observăm că limita cerută este gală cu 1 Subiectul 4 (30 puncte)

(5p) a) Se demonstrează prin inducție că 10 1

k kA

, k

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

(3p) Observăm că 1 10 1

kk kA A

, k

(2p) Așadar, 10 1

k kA

, k

(10 p) b) Fie 1 1

, , ,0 1 0 1k h

k hA G A G k h

Avem k h k hA A G și 1 ,k kA A G k

Deci ,G este subgrup al grupului 2 ,M , rezultă ,G este grup.

Fie funcția : , kf G f A k

(3p) c) Injectivitatea: Fie kA , hA , a.î. k hf A f A , rezultă k hA A , rezultă că f este injectivă

(3p) Surjectivitatea: k , kA G , a.î. kf A k , de unde rezultă f este surjectivă.

(4p) funcşia f este un morfism: k h k h k hf A A f A k h f A f A , rezultă că f este morfism Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

Clasa a XII -a M2 Subiectul 1(10 puncte)

3 1 211

(4 ) (1 )nnnp I x x dx =

3 211

(1 )nnI x x dx

'

2 21 13 2 21

211

1 1 4 2(4 ) ( 1) (1 )2 2

n nn n

nn n

n

p I x x dx

(2 ) Finalizare lim ( 1)nn

p n I

Subiectul 2(20 puncte)

(2p) a)

6 9

2 3

1 1

1 1

x xF x dx

x x

(2p)

2 4 2 3 6 3

2 3

1 1 1 1

1 1

x x x x x xF x dx

x x

(2p) 10 8 7 6 5 4 3 2 1F x x x x x x x x x dx

(2p) 11 9 7 6 5 4 3

11 9 7 6 5 4 3x x x x x x xF x x c

(2p) 11 9 7 6 5 4 3

0 0 011 9 7 6 5 4 3x x x x x x xF c F x x

Subiectul 3(30 puncte) (5p) a) I K x c

(5p) cos sin ln cos sin 2014cos sin 2014

x xK I dx x x cx x

(5p) 1 ln cos sin 20142

K x x x c

(5p) b) 1 ln cos sin 20142

I x x x c

(5p) c) ln 3 ln 3J x x dx

(5p) 1 ln 3 1 ln 3

1 ln 3 1 ln 3x xJ c

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014 Subiectul 4 (30 puncte)

(1p) a) 1 02014

x H x

(1p) 1 0

2014y H y

(3p) H esteparte stabilă (3p) b) operaţia este bine definită (conform a) ), (3p) asociativitatea, (3p) comutativitatea

(6p) 0e H și 2014 1

xx H

(5p) c) : , ln 1 2014f H f x x este bijectivă

(5p) Se arată proprietatea de morfism , ,f x y f x f y x y H . Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.


Recommended