Rolul derivatelor de ordinul I și II in studiul
funcțiilorGrupa: Trupa de ŞocMembrii: Bucur Ovidiu-Ruben Mărginean Horațiu Roșu Neluț Popa Petruța Pop Mihai Neag Radu
Feier Oana-Gabriela
Cuprins
Noţiuni teoretice1. Definiţii, teoreme2. Tabel-ex
Problemă din subiecte de bacalaureat - rezolvată de grupă
Problemă compusă si rezolvată de grupă
Aspecte din timpul desfăsurării proiectului
Bibliografie
Noţiuni teoretice Rolul derivatei de ord. I in studiul functiilor
Definiţie: Fie , I interval , Punctul a se numeşte punct de minim relativ (local) al funcţiei f dacă există o vecinătate V a punctului a astfel încât
Punctul a se numeşte punct de maxim relativ (local) al funcţiei f dacă există o vecinătate V a punctului a astfel încât
Punctul a, care este punct de minim relativ sau punct de maxim relativ, se numeşte punct de extrem relativ (local) .
,f x f a x I V
,f x f a x I V
RIRIf ,:
Noţiuni teoretice Rolul derivatei de ord. I in studiul functiilor
T.1. Fie un interval şi o funcţie derivabilă. Dacă funcţia f este monoton crescătoare ( respectiv monoton
descrescătoare), atunci (respectiv ).
T.2. 1. Dacă (respectiv ), atunci funcţia f este strict crescătoare (respectiv monoton crescătoare).
2. Dacă (respectiv ), atunci funcţia f este strict descrescătoare (respectiv monoton descrescătoare).
0,f x x I 0,f x x I
RI RIf :
Ixxf ,0)(' 0,f x x I
0,f x x I 0,f x x I
M
m
Noţiuni teoretice Tabel-exemplu
f x
x
f x 0x
0
0f x
x
)(' xf
)(xf
0x
0 0f x
Noţiuni teoreticeRolul derivatei de ord. II în studiul
funcțiilor Teoremă Fie un interval şi o funcţie de două ori derivabilă.
Atunci: este convexă pe dacă şi numai dacă ; este concavă pe dacă şi numai dacă .
Observaţie dacă derivata a doua are semne diferite de o parte şi de alta a
unui punct din şi dacă este continuă în , atunci se numeşte punct de inflexiune.
0,f x x I f
fII 0,f x x I
RI RIf :
f 0x I f 0x
0x
Problemă din subiecte de bacalaureat – rezolvată de grupa TRUPA DE ȘOC
Să se calculeze a) Să se verifice căb)Să se arate ca funcția f este convexă pe Rc)Să se calculeze
a) b)
xexxfRRf 2)(,:
1)0(' f
'( )lim xx
f xe
22 1
0
0
( )
( ) 2
( ) 2
(0) 2 0
(0)(0) 1
x
x
x
f x x e
f x x e
f x x e
f e
f ef
''( ) 2
''( ) 2
x
x
f x x e
f x e
f’’(x)
+ + + + + + + + + + +
f(x) convexă
''
2 (2 ) ' 2lim lim lim 1( ) '
x x x x
x x x xx x l H xl H
x e x e e ee e e e
c)
Continuare :
Problemă compusă și rezolvată de grupa “Trupa de Şoc”
Se consideră funcția: a) Să se verifice că b)Să se arate ca funcția f este strict crescatoare pe c)Să se calculeze
2: (0, ), ( ) lnf f x x x 24)1(')( efef
);0(
)('' xf
2
2 1
( ) ln1'( ) 2
1'( ) 2
f x x x
f x xx
f x xx
'')'( gfgf
a)
Continuare :
22
22
413)1(')(
1ln)(
31112)1('
)1(')(
eefef
eeeef
f
fef
b))
2
2
0
'( ) 012 0
2 1 0 '( ) 0
2 1 0
x
f x
xx
x f xxx
Nu are soluții reale
x
0
+ + + + + + + + + + + + + + +
)(' xf
( )f x
c) '' 2)
2 2
2
2 1 2
2
2
2
2 2 2
2 2 2
1 2 1''( ) 2
(2 1) ' (2 1) ( ) '
(2 ) (2 1) 1
2 (2 1) 1
2 2 1 2 2 1 1 0
x xf x xx x
x x x xx
x x xx
x x xx
x x x x xx x x
f concavă pe );0(
2
'''
ggfgf
gf
Aspecte din timpul desfășurării proiectului
Bibliografie
Grup de autori, coordonatori Marius si Georgeta Burtea: Culegere de exercitii si probleme Matematica M2, Editura Campion, 2009
Ion Necşuleu, Tatiana Saulea, Cristian Buican, Mihai Postolache (coordonator): Matematică (manual pentru clasa a XI-a), M2, Editura Fair Partners, 2006
Costel Chiteş, Ioan Marinescu, Boris Singer, Gh. Stoianovici, Romeo Ilie, Gabriela Streinu – Cercel : Matematică (manual pentru clasa a XI-a), M1, Editura Sigma, 2001
I. Petrică, E. Constantinescu, D. Petre : Probleme de analiză matematică, vol. I (clasa a XI-a), Editura Petrion, Bucureşti, 1993
Grup de autori : Bacalaureat 2009, Matematica MT2, Editura Campion, 2009
www.edu.ro www.didactic.ro www.mate.info.ro