Date post: | 03-Apr-2018 |
Category: |
Documents |
Upload: | alexcojocaru72 |
View: | 219 times |
Download: | 0 times |
of 34
7/29/2019 RMCS_nr.28
1/34
Societatea de tiine Matematice din RomniaFiliala Cara-Severin
REVISTA DE
MATEMATIC
A ELEVILORI PROFESORILOR
DIN JUDEULCARA-SEVERIN
Nr. 28, An X-2009
Editura Neutrino
Reia, 2009 2
2009, Editura NeutrinoTitlul: Revista de matematic a elevilori profesorilor din judeulCara-SeverinI.S.S.N. 1584-9481
Colectivul de redacie
Avrmescu IrinaBdescu Ovidiu
Iatan RodicaGolopena Marius
Buzescu AntoanelaChi Vasile
Lazarov MihaelMitricMariana
Dragomir Adriana Moatr Lavinia
Dragomir Delia Monea MihaiDragomir Lucian Neagoe PetriorDrghici Mariana PistrilIon DumitruDidraga Iacob Stniloiu NicolaeGdea Vasilica andru Marius
Redacia
Redactor-ef: Dragomir LucianRedactor-ef Adjunct:Bdescu OvidiuRedactori principali: Dragomir Adriana
MitricMarianaMonea Mihai
Neagoe PetriorStniloiu Nicolae
Responsabil de numr:Monea Mihai
2009, Editura NeutrinoToate drepturile rezervateMobil: 0741017700www.neutrino.roE-mail: [email protected]
7/29/2019 RMCS_nr.28
2/34
3
CUPRINS
Gnduri din alte timpuri.........................................................
Pag. 4
Chestiuni metodice, note matematice
Asupra unor probleme de la OJM 2009(Stelua i Mihai Monea) ................................. O aplicaie a seriei geometrice n matematicile
financiare(Adina Florena i Marius Giuclea).........
Metode de rezolvare a problemelor de coliniaritate(Petru Augustin i Ioan Septimiu Dinulic)............................
Rezultate etapa judeean a Olimpiadei 2009, concursTraian Lalescu 2009, concurs Adolf Haimovici 2009
Matematic la malul mrii (ONM 2009 Neptun...)(Ovidiu Bdescu).........
Pag. 5
Pag. 6
Pag. 10
Pag. 17
Pag. 20 Probleme rezolvate .......... Pag. 22
Probleme propuse ........ Pag. 46
Rubrica rezolvitorilor Pag. 62
4
Gnduri din alte timpuri
Lucrurile mari n-au nevoie dect de a fi nfiate cu simplitate.(La Bruyre, 1645 1696)Un om de spirit i de bun sim spunea odat despre un doctor plin degravitate: omul acesta trebuie s fie un mare ignorant, cci rspunde latoate ntrebrile care i se pun.
(Voltaire, 1694 1778)
Dac prin minune nelegi un efect a crui cauz nu o cunoti, atuncitotul este o minune.
(Voltair )
Orgoliul celor mici const n a vorbi totdeauna despre persoana lor,iar al celor mari, de a nu vorbi niciodat.
(Voltaire)
Dezaprob spusele tale, dar voi apra pn la moarte dreptul de a lerosti.
(Voltaire)
Iubete adevrul, dar iart eroarea. (Voltaire) Inspiraia este sor bun cu munca ordonat, de toate zilele.
(Baudelaire, 1819 1887)
Mijlocul de a fi original: sinceritate absolut.(Baudelaire)
Fr expresie, frumuseea este, poate, o impostur.(Balzac, 1799 1850)
Munca puin d mult amor propriu, n timp ce mult munc trezeteo nermurit modestie.
(Balzac)
Respectul este o barier care ocrotete n mod egal pe cel mare i celmic; fiecare, de partea lui, se poate privi n fa.
(Balzac)
7/29/2019 RMCS_nr.28
3/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
4/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
5/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
6/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
7/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
8/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
9/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
10/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
11/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
12/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
13/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
14/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
15/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
16/34
31
Soluie: Orice numr natural are una din formele:
{ }6 , 0,1,...,5n k k+ iar ptratele lor sunt de forma:
6 6 6 6, 1, 3, 4M M M M+ + +
, prin urmare, numerele de forma 6 2n+
nu pot fi ptrate perfecte.Analog se arat c numerele de forma4 3n + nu pot fi ptrate perfecte, prin urmare A = .
Din ( ) ( )8 1 4 18 2 50x y+ + = + , obinem:( )2 2 4 3 2 2 5 2 2 2 3 5 2 4x x y y x y x y+ + = + + = + , de
unde deducem c 2 3 5 0x y + = i 2 4 0x y + = , ceea ce
conduce la 2x = i 3y = , iar ( ){ }2;3B = , de unde A B B = ,A B = i .B B =
VIII.123 S se determine , ,a b c 0> astfel nct6
1 1 1 3
2
a b c
a b c
+ + =
+ + =
Prof. Marina Constantinescu,Tismana
Soluie: Plecm de la inegalitatea4
4, 0,x xx
+ > cu egalitate pentru
2.x = nmulind a 2-a egalitate a sistemului cu 4 i adunnd apoi relaiile
obinem4 4 4
12.a b ca b c
+ + + + + =
Dar4 4 4
4 4 4 12.a b ca b c
+ + + + + + + = Egalitatea are loc pentru
2.a b c= = = VIII.124 Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA B C D . S se arate c
dac AA B CBC D C A atunci paralelipipedul este cub.
Prof. Marina Constantinescu,TismanaSoluie: Notm , ,AB a BC b BB c= = = lungimile muchiilorparalelipipedului. Din asemnarea triunghiurilor
( ), , .A AB BCC C D A U U se obin relaiile 1a c b a c b
c b a c b a
+ += = = =
+ +,
deci a b c= = , adic paralelipipedul este cub.
32
VIII.125 Se consider cubul ABCDA B C D i
[ ] [ ] [ ], ,AA N BC P C D astfel nct triunghiul NP esteechilateral. S se arate cA M BN C P = = .
Prof. Mircea Constantinescu, Tg-JiuSoluie: Dac a este lungimea muchiei cubului i
, ,A M x BN y C P z = = = , din 2 2 2N NP MP= = obinem
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2y a a x z a a y x a a z+ + = + + = + + de unde
2 2 22 2 2x ay y az z ax+ = + = + .
Dac 2 2 2 2x y x y ay az y z> > < < 2 2 2 2
2 2 2 2y z az ax z x z x ay ax y x< > > > < < , fals.Cazul x y< duce analog la contradicie. Deci x y= ,apoix z= .
VIII.126 Determinai x pentru care exist n astfel nct
nn
nxxxx=
+
+++
++
++
+
1..........
4
3
3
2
2
1.
Prof. Ramona Clin, ReiaSoluie:
2 1 3 1 1 1
..........2 3 1
x x x n
nn
+ + + +
+ + =+1 1 1
1 1 ........... 12 3 1
x x xn
n
+ + + + + =
+
( )1 1 1
1 ..........2 3 1
x n nn
+ + + + = +
1 0 1x x = = .
VIII.128 Se consider un cub / / / /ABCDA B C D n careMeste mijlocul
lui (CD),Neste mijlocul lui/ /
( )A D i O centrul cubului.S se determinemsura unghiului dintre drepteleMNiAO.Prof. Aurel Doboan, Lugoj
Rspuns: citii nota de la pag.14 din RMCS 27/2009.
VIII.129 Fie ABC dreptunghic cu ( )Am = 90i ( )ABE ,( )ACF astfel nct BCEF i
3
2=
AB
AE. Se d
2
15=AB i
7/29/2019 RMCS_nr.28
17/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
18/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
19/34
37
1 1
2 2 BBQ QN BQ BN m= = = . Condiia din enun se poate scrie
BM BP BQ BG =
22
6 6Bmac
= ( )2222
cacab += (*)Cum 222 cabBCAB += , relaia (*) conduce imediat laconcluzie.
Clasa a X-a
X.121 Se consider funcia2
: , ( )1
f f xx
=+
.
a) S se arate cfnu este injectivi nici surjectiv ;b) S se calculeze1 1 1 1 1
... (1) ...2008 2007 2 (2) (2008)
f f f ff f
.
Dan Emil Bugariu, elev, Oelu Rou
Soluie: Deoarece1 1
Im ,2 2
f
= , avem c funcia nu este surjectiv
(sau, se arat c ecuaia, de exemplu, ( ) 1f x = nu are soluii reale); pentru
injectivitate i calculul cerut e suficient s observm c1
( ),f f x xx
=
.
X.122 S se arate c dacz satisface 0 Re( ) 2z i
0 Im( ) 2z , atunci2
1 .2
z i .
Prof. Adriana i Lucian Dragomir, Oelu RouSoluie: Dac ( , )x y este imaginea geometric a luiz , avem [ ], 0,2x y ,deciMeste situat n interiorul sau pe frontiera ptratului cu un vrf norigine, dou laturi pe axe i latura de lungime 2 , iar centrul n (1,1)A .
Inegalitatea din concluzie este astfel2
2MA ; se arat imediat c aceasta
este adevrat.
38
X.123 Se consider o mulime care satisface proprietile :a) (1 ) ;i M+
b) 2 ;z M z M c) (1 ) .z M z M+
Prof. Adriana i Lucian Dragomir, Oelu Rou
S se arate c ( )4 ,4 , 4 4 .M i M + Soluie(Victor Prunar):
) ) )
(1 ) 2 4 16 15 ;b b c
z i M i M M M M= +
Deducem succesiv din c) : 14 ,13 ,...,4 ;M M ) )
2 2 1 1 2 1 3 4
c b
i M i M i M i M + ;Avem n sfrit :
)
3 4 1 1 4 4c
i M i M + .X.124 S se rezolve ecuaia 33 70 92 105 .x x x x+ + =
Prof. Aurel Doboan, LugojSoluie: Se observ soluia 3x = ( calcule cam prea complicate) i searat, pe calea obinuit, c aceasta este unica: se mparte cu 105x i seajunge la o funcie strict descresctoare;de aici, exerciiu de clas.
X.125 Rezolvai ecuaia : 2log 3 1 .x= + Prof. Dorel Mihe, Timioara
Soluie: Ecuaia se poate scrie
2 3log log ( 1) 2 ,3 1t tx t x x= + = = = + .Se ajunge astfel la
3 2 1t t= + ; mprim acum cu 3t i folosim stricta monotonie afunciei exponeniale cu baz subunitar.Obinem unica soluie
1 2.t x= =
X.126 S se rezolve ecuaia : ( )44 2log 4 5 .1
xx x
x
+ =
+
Prof. Adriana i Lucian Dragomir, Oelu Rou
Soluie: Se arat imediat c funcia2
: , ( )1
f f xx
=+
are
imaginea1 1
Im ,2 2
f
= . Aadar
1( )
2f x , pentru oricex real. Pe de
alt parte, 4 4 5 2x x + este echivalent cu ( ) ( )2 21 2 3 0x x x + +
7/29/2019 RMCS_nr.28
20/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
21/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
22/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
23/34
45
XII.128 S se gseasc primitivele funciei :f , ( )1
x
x
x ef x
e
=
+.
Prof. Dan tefan Marinescu, HunedoaraSoluie: S observm pentru nceput c
( )/
2 1 2 1 2 11
xx x x
x
xedx x e dx x e e dx
e= + = + +
+ .Pe de alt
parte,avem(calcule mai prelungite i duse cu atenie):/
1 1 1ln ...
1 1 1
x
x x
e
e e
+ = = + + +
.Avem mai departe acum:
( )/1 11 2 11 1
xx x
x x
ee ee e
++ = = + + =+ +
( )/
/1 1ln 2 1
1 1
xx
x
ee
e
+ + + + +
i finalizarea v aparine.
XII.129 Fie [ ]: 0,1f o funcie continui injectiv cu proprietatea c
(1) 1f = .Demonstrai c dac exist ( )0 0,1x astfel nct ( )0 2f x ,
atunci1 ( )
02.f xe dx >
Prof. Lucian Dragomir, Oelu RouSoluie: f continu i injectiv,rezult f strict monoton;cum
( )0 2 1 (1)f x f > = ,deducem c funcia este strict
descresctoare.Acum,pentru [ ]0,1x deducem( )( ) (1) f xf x f e e ,integrare pe [ ]0,1 i 2e > .
46
Probleme propuse(se primesc soluii pn n data de 25 august 2009)
Not: Se pot trimite i soluii la problemele propuse n articoleleaprute n ultimele dou numere ale revistei
Clasa I
I.11. Mrii cu 3 diferena numerelor 97 i 45. Care este rezultatul?nv. Hildegard Loidl, Reia
I.12. Un cioban are n turma sa 23 oi albe i 5 oi negre.
Cu cte oi rmne ciobanul, dup ce vinde apte dintre oile sale ?nv. Hildegard Loidl, Reia
I.13. Din suma numerelor 26 i 43 scade rsturnatul diferenei numerelor36 i 24. Ct ai obinut ?
Inst. Mriua Benga,ReiaI.14. Mihai are 75 timbre. Cte timbre trebuie s-i mai cumpere pentru aavea 88 ?
nv. Hildegard Loidl, ReiaI.15. La diferena numerelor 45 i 15 adun cel mai mic numr natural dedou cifre identice. Ce numr ai gsit?
Inst. Mriua Benga,Reia
I.16. ntr-o cutie sunt 78 bile albe, roii i negre. Dintre acestea 55 suntalbe i negre, iar 48 sunt albe i roii. Cte bile sunt de fiecare culoare?
nv. Lidia Adamescu, ReiaI.17.
Vrsta lui Andrei este egal cu cel mai mare numr par de o cifr,iar vrsta srbunicului este egal cu diferena dintre cel mai mare numrde dou cifre diferite i cel mai mic numr de dou cifre.Afl diferena de vrst dintre cei doi !
nv. Lidia Adamescu, ReiaI.18. Dac Alina ar mai avea nc 4 baloane, ar avea cu 3 mai puine dectfratele su. Cte baloane are Alina, dac fratele su are 19 baloane?
Inst. Costa Moatr, Reia
7/29/2019 RMCS_nr.28
24/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
25/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
26/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
27/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
28/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
29/34
57
Clasa a IX-aIX.140 FieA o mulime de numere naturale i :f A A o funcie cu
proprietile:
a) exist cu ( )a A f a a ;b) ( ) ( ) , ,f m f n m n m n A = .
Artai c mulimeaA este infinit.Prof. Mircea Becheanu, Bucureti
IX.141 Se consider punctele coliniare distincteA,B,C,D,Eastfel nct.AB BC CD DE= = = DacFeste un punct din plan, iarGiHcentrele
cercurilor circumscrise triunghiurilorADF, respectivBFE, artai c
.GH FC
Concurs Baltic 1997
IX.142 Fie ,M M i funciile , :f g M M cu proprietile:
a) ( ( )) ( ( )) , ;f g x g f x x x M= =
b) ( ) ( ) , .f x g x x x M+ =
Artai c:1) ;x M x M 2) ( ) ( ), .f x f x x M =
Concurs Moldova 2002
IX.143 Determinai numerele realex,y,z care satisfac proprietile:a) 0 11x< ; b) 14z ; c) 38x y z+ + = ; d) 2002xyz = .
Concurs Australia 2002
IX.144 S se arate nu exist nici un triunghi ABC n carea b
tg Ac
= ,
b ctg B
a
= i
c atg C
b
= .
Prof. Lucian Petrescu, Tulcea
IX.145 Comparai numerele9
a tg
= i 2 2b = .
Prof.Lucian Dragomir, Oelu - Rou
58
IX.146 Determinai numerele ntregixiy care satisfac :2 2( )( ) 1 3x y x y xy+ + = +
Prof.Lucian Dragomir, Oelu - Rou
IX.147 S se determine numerele reale m pentru care rdcinile ecuaiei2 2( 1) 0x m x m + = sunt ntregi.
Prof.Lucian Dragomir, Oelu - Rou
IX.148S se arate c dac ntr-un triunghiABCavem2 2 2b bc c a + , atunci
2
3B C
+ .
Red.RMCS
IX.149Precizai natura triunghiuluiABCn care2 2 2sin sin sin 6 ABCa B b C c A+ + = A
Prof.Lucian Dragomir, Oelu - Rou
Clasa a X-aX.140 S se arate c dac ( ), , , 0,a b c d ,atunci
4 4 4 4
2 2 2 2.a b c d a b c d
b c c d d a a b+ + + + + +
Prof. dr. Dorin Mrghidanu, Corabia
X.141 S se determine toate funciile :f care verific relaia:
( ) ( )yxfyxyfx +=++ 222 2 pentru oricex iy numere naturale.
Elev Ovidiu Stniloiu, Boca
X.142S se determine funciile surjective :f pentru care( ) ( ) ( )( )nmffnfmf +=+ , oricare ar fi m, n numere naturale.
Elev Ovidiu Stniloiu, Boca
X.143 Numerele naturale distincte a,b,c,d,e,f,g,h,n verific egalitileab cd ef gh n+ = + = . Determinai cea mai mic valoare a lui n .
Concurs Belarus
7/29/2019 RMCS_nr.28
30/34
59
X.144 Lungimile a,b,c ale laturilor unui triunghi satisfac egalitatea3b c a+ = . Artai ca este lungimea celei mai mici laturi.
* * *
X.145 Dou ptrate de latur 1, avnd laturile paralele, se intersecteazdup un dreptunghi de arie
1
8. Calculai distana minim dintre centrele
celor dou ptrate.Prof. Radu Gologan, Bucureti
X.146 S se rezolve ecuaia 2cos2 2cos4 cos6 cosx x x x+ + = Red.RMCS
X.147 Artai c n orice triunghiABCeste adevrat inegalitatea2 2 2 22
3sin sin sin2 2 2
A B CA B C
+ + . Precizai n ce caz are loc egalitatea.
Prof. Aurel Doboan, LugojX.148 Fie 2, 1z x i y i= + = , cu 0xy .Artai c, dac 1z = , atunci
( )2
2 22 , ,
b ba a a b a b
x y
+ + +
.
Prof. D.M.Btineu Giurgiu, Bucureti
X.149 Stabilii dac numrul 2 4 6 860 60 60 601 3 9 27 81 ...a C C C C = + +
este par sau impar.Red. RMCS
Clasa a XI-a i Clasa a XII-a
XI.140Dac [ ]: ,f a b este o funcie derivabil , s sedemonstreze c exist ( )1 2, ,c c a b astfel nct
( )1/1
1
( )( )
f c f af c
b c
=
i
( ) 2/2
2
( )( )
f b f cf c
c a
=
.
Prof. dr. Dorin Mrghidanu, Corabia
60
XI.141 Fie Matricea
=
122
212
221
A . Elementele luiA se modific
dup urmtoarea regul: Un element de pe diagonala principal semrete sau se micoreaz cu 2, iar n rest, orice alt element se mretesau se micoreaz cu 1. Este posibil ca dup dup 2008 astfel detransformri determinantul lui A s fie 2008 ?
Elev Ovidiu Stniloiu, Boca
XI.142 Determinai funciile polinomiale :f tiind c exista astfel nct pentru orice x a> , f nu este injectiv pe intervalul
[ ],a x Elev Ovidiu Stniloiu, Prof. Nicolae Stniloiu, Boca
XI.143 Fie 0,2
a
i irul ( )( ) 1n nx a definit prin
( )2sin sin
sin ,2
n
na a
x a a nn
= + + + .
a) S se demonstreze c ( ) ( )lim ln 1 sinnn
x a a
= .
b) S se arate c 1 1lim 12n n
+ + + = +
.
Prof. Lucian Petrescu, Tulcea
XI.144 Fie , 0a b > astfel nct ecuaia 3 2 1 0x ax bx + = s aib
soluiile reale 1 2 3, ,x x x . Dac3 3 31 2 3x x x = = , s se arate c
2
3a
b
=
.
Prof. Lucian Petrescu, TulceaXI.145 Pe ( )0, definim o lege de compoziie " " comutativ, cuproprietatea c , cux y G x y , avem x x y y . Dac , ,a b c G
satisfaca b c
b c c a a b= =
, artai c .a b c= =
Prof. Stelua Monea i Mihai Monea, Deva
7/29/2019 RMCS_nr.28
31/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
32/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
33/34
7/29/2019 RMCS_nr.28
34/34