■ Inegalitatea lui Sylvester (Lucian Dragomir)............................... ■ Concursul de Matematică al Revistei RMCS,
Ediţia a III-a, 15 martie 2008, Oţelu-Roşu
Pag. 15 Pag.17
● Probleme rezolvate …………………………………... ● Concursul revistei, ediţia a IV-a ...................................
Pag. 27 Pag. 46
● Probleme propuse ……………………………………. Pag. 47 ● Rubrica rezolvitorilor ………………………………… Pag. 59 ● Primăvara la Timişoara…………………………………... Pag. 64
4
Câteva gânduri
● Oamenii trec, dar operele lor rămân. Cauchy
● Am observat că pretenţiile de orice fel sunt în raport invers cu meritul; aceasta este una din axiomele mele de morală.
Lagrange
● Ceea ce cunoaştem este prea puţin, ceea ce nu ştim este imens. Laplace
● Dreptatea nu este altceva decât iubirea de om a înţeleptului.
Leibniz
● Întrebările la care trebuie să răspunzi cel mai sincer sunt cele pe care ţi le pui singur.
Grigore C.Moisil
● Este adevărat că un matematician care nu are ceva de poet nu va fi niciodată un perfect matematician.
Weierstrass ● Primul precept al cunoaşterii este să nu admiţi niciodată că un lucru este adevărat dacă nu l-ai cunoscut în chip evident ca atare; adică, să eviţi cu grijă graba şi prejudecata şi să nu primeşti în judecăţile tale decât ceea ce s-ar înfăţişa spiritului tău atât de clar şi de distinct încât să nu ai nici un prilej de a-l pune la îndoială.
Descartes ● Prietenul care ne ascunde defectele ne slujeşte mai rău decât duşmanul care ni le reproşează.
Pitagora
ww.neutr
ino.ro
5
Fractali ( I ) George Mahalu
1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE Geometria fractală şi teoria haosului au revoluţionat ştiinţele actuale, oferind acestora o cale nouă de percepere a realităţii. De la astronomie la geologie, de la meteorologie la economie, de la matematică la arte, fractalii prezintă extraordinare posibilităţi de modelare a fenomenelor ce intervin. Atât geometria fractală cât şi teoria haosului, sunt teorii ce fac parte din marea familie a teoriei complexităţii. Teoria complexităţii, ca ştiinţă născută în era informaticii şi a reţelelor de calculatoare super-performante, are suportul cognitiv al tuturor ştiinţelor produse de umanitate până în momentul actual şi infrastructura tehnologică oferită de sistemele electronice de calcul ale acestui început de mileniu. Aceste aspecte ar trebui să fie suficiente pentru ca teoria complexităţii să devină regină a ştiinţelor, sintetizând cunoştinţe din cele mai variate domenii şi oferind soluţii pentru cele mai acute probleme ale umanităţii. Geometria fractală se bazează pe o întreagă suită de rezultate a unor cercetători, începând cu ultima parte a secolului XIX şi începutul secolului XX. Dar naşterea ca ştiinţă recunoscută are loc în anul 1975, odată cu revoluţionara lucrare a matematicianului Benoit Mandelbrot intitulată „O teorie a seriilor fractale”, asimilată ulterior în cartea sa “Geometria fractală a naturii”.
Termenul fractal este inventat de asemenea de către Mandelbrot. Acest termen derivă din cuvântul fractus, semnificând fragment neregulat. Matematicieni remarcabili, precum Karl Weierstrass, Waclaw Sierpinski, David Hilbert, Georg Cantor sau Helge von Koch, au creat fractali între 1875 şi 1925, privindu-i ca pe nişte anomalii matematice, ciudăţenii prezentând doar valoare de curiozitate. Creaţiile lor aveau, la acel moment, un caracter abstract, pur matematic, fără ca aceşti pionieri ai ştiinţei să intuiască potenţialul aplicativ al descoperirii lor. Cea mai importantă contribuţie la geometrie, după bazele puse de Euclid cu cca 300 de ani I.C., o constituie, probabil, inventarea sistemului cartezian de reprezentare analitică a spaţiului, creaţie a filosofului francez René Descartes la nivelul anilor 1600. Acest sistem are la bază conceptul
6
de dimensiune liniară. O sută de ani mai târziu, Sir Isaac Newton şi baronul Gottfried Wilhelm Von Leibniz au dus viziunea carteziană la limita sa logică – calculul diferenţial şi integral. Ideea calculului diferenţial constă în considerarea, la limită, a fiecărei porţiuni de curbă drept un segment de dreaptă, porţiune a unei linii generice denumită linie tangentă sau diferenţială. Se urmează, în acest mod, ideea de liniarizare, apărută la Euclid şi preluată ulterior de Descartes. În momentul de faţă, aproape toate ştiinţele bazate pe matematicile moderne utilizează ideea de linie tangentă. Practic, nu există domeniu de interes uman în care teoria diferenţialelor şi a integralelor, privite ca operaţii matematice de modelare a realităţii, să nu fie implicată. Astfel, de la arhitectură până la economie, de la arte până la medicină sau de la astronomie la filosofie, calculul diferenţial şi integral prezintă un impact fără precedent în modelarea concepţiei umane despre universul actualmente cunoscut. Cu toate acestea, s-ar părea că natura este departe de a asculta de astfel de legi. Chiar dacă, într-un număr mare de situaţii teoria s-ar părea să fie exactă, apar situaţii când ea dă greş. Acesta este faptul care a condus, în mod inerent, la apariţia geometriei fractale. Se pare că natura preferă fractalii entităţilor geometrice clasice bazate pe liniaritate, cunoscute de oameni încă din antichitate.
2. ÎNCEPUTURILE Spre sfârşitul secolului al XIX-lea exista credinţa, printre fiziceni şi matematicieni, că se ajunsese la faza în care se ştia aproape totul despre cele două ştiinţe, nemaifiind de aşteptat mari progrese. Fizica avea să infirme această concepţie în scurt timp, prin intermediul revoluţiei induse de teoria relativităţii şi mecanica cuantică. Matematica, la rândul ei, avea să constate faptul că există încă multe izvoare de cunoaştere neexploatate. Iar unul dintre acestea avea să se dovedească a fi tocmai geometria fractală. În anul 1875, Karl Weierstrass descrie o curbă continuă care nu poate fi diferenţiată. Era prima dintre ciudăţeniile care aveau să apară. Unul dintre aceşti prefractali, după cum îi denumeşte Dick Oliver în cartea sa „Fractalvision: Put Fractals to Work”, este cel denumit triunghiul lui Sierpinski. El poate fi obţinut uşor desenând un triunghi, marcând mijlocul fiecărei laturi şi unind aceste puncte. Se obţine astfel un al doilea triunghi, interior primului. Dacă se aplică aceeaşi procedură celor trei triunghiuri exterioare, ca şi acelora care apar în continuare, ceea
ww.neutr
ino.ro
7
ce se obţine după o infinitate de operări este o ciudăţenie matematică (figura 1). Această formă poate fi obţinută şi printr-un procedeu de ştanţare. Dacă dintr-un triunghi plin se ştanţează un triunghi interior, apoi triunghiuri interioare pentru fiecare triunghi exterior ş.a.m.d., ceea ce se obţine este de asemenea triunghiul lui Sierpinski sau (în acest caz) garnitura lui Sierpinski.
Prima nelămurire a lui Sierpinski a fost legată de aria acoperită de această formă, urmând raţionamentul de mai jos.
Figura 1 Triunghiul lui
Sierpinski
Pe de o parte, un număr infinit de găuri acoperă în final fiecare bucăţică plină din triunghi, iar forma obţinută va acoperi o suprafaţă nulă. Pe de altă parte, la fiecare pas se îndepărtează doar un sfert din aria rămasă, suprafaţa acoperită în final de formă nefiind nulă.
Întrebarea: “Este aria acoperită de formă nulă sau nu ?” i-a preocupat pe matematicieni, care au hotărât în final că răspunsul este afirmativ, pentru simplul motiv că nu puteau răspunde întrebării: “Dacă nu este zero, atunci cât este ?”.
Figura 2 Praful lui Cantor
Georg Cantor, matematician german creator al teoriei moderne a mulţimilor, a imaginat în 1877 o “formă patologică” (în exprimarea lui Poincaré). Ea se construieşte prin fragmentarea segmentelor de dreaptă unidimensionale, până la limita punctului adimensional.
Această formă a căpăta denumirea de “praf Cantor”.
Figura 3 Curba Koch
Un alt exemplu celebru de curbă fractală a fost dat de matematicianul suedez Helge Von Koch în anul 1904. El şi-a imaginat un segment de dreaptă (figura 3a) pe care-l împarte în trei părţi egale şi înlocuieşte subsegmentul din mijloc cu două subsegmente
8
egale cu el ca lungime, ca în figura 3b. În acest moment figura conţine patru subsegmente. Dacă efectuăm din nou procedura descrisă mai sus pe fiecare din cele patru subsegmente, se obţine forma din figura 3c. Operând în continuare în acest mod, se găseşte figura 3.d. La limită, după un număr infinit de procesări, se obţine o formă numită curbă Koch. Asupra acesteia poate fi pusă o primă întrebare: este finită lungimea sa ? S-ar părea că răspunsul este negativ, deoarece de la o iteraţie la alta lungimea succesiunii de segmente creşte, deci la infinit ea va deveni infinit de mare ca valoare. Acesta este un lucru uşor de înţeles. Dificultăţile, însă, abia de acum apar, odată cu o nouă întrebare: este aria acoperită de această curbă nulă ? Este adevărat că o curbă, aşa cum este ea înţeleasă în geometria clasică, poate avea lungime infinită şi să acopere arie nulă. Dar, o astfel de curbă nu poate exista într-un domeniu bidimensional de dimensiuni finite, căci în acest caz aria acoperită nu mai poate fi nulă. Ori, tocmai acesta este cazul aici. Rezultă că o curbă Koch acoperă o suprafaţă, ceea ce este destul de ciudat. Concluzia, oricât de surprinzătoare ar fi ea, este că această curbă nu are dimensiunea topologică egală cu 1, dar nici cu 2 (aria domeniului de încadrare nu este acoperită total). Şi astfel, se naşte o a treia întrebare: poate fi dimensiunea curbei Koch de valoare fracţionară ? Cum cealaltă alternativă este absurdă, negând pur şi simplu existenţa formei, nu putem accepta decât faptul că dimensiunea curbei Koch este de valoare fracţionară, cuprinsă între unu şi doi. Această concluzie aduce cu sine încă o întrebare: Care este valoarea dimensiunii curbei Koch ? Răspunsul va fi dat în continuare.
3. CALCULUL DIMENSIUNII FRACTALE. Definiţii:
1. Numim entitate un obiect abstract, cu sau fără instanţieri substanţiale, identificabil şi separabil în mod unic între alte obiecte mai mult sau mai puţin similare.
2. Numim atribut de specificitate o calitate abstractă a unei entităţi, care permite identificarea neambiguă a entităţii considerate, dintr-o mulţime definită de entităţi.
3. Numim formă o entitate matematică ce se caracterizează prin atribute de specificitate.
4. Numim caracteristică dimensională a unei forme, o dimensiune tipică sau definitorie pentru forma considerată, cum ar fi raza pentru o sferă sau greutatea pentru un corp.
ww.neutr
ino.ro
9
Orice formă poate fi clasificată în una din două clase distincte. Aceste clase de forme conţin:
- forme cu caracteristică dimensională - forme fără caracteristică dimensională Putem preciza caracteristici dimensionale pentru formele geometrice.
Astfel, triunghiul şi elipsa se caracterizează prin arie închisă. Putem preciza caracteristici dimensionale pentru obiecte produse de
om. Astfel, automobilele, clădirile, aparatele electrice îşi au propriile caracteristici dimensionale.
Există, însă, forme pentru care nu putem preciza o caracteristică dimensională. Un astfel de exemplu este fumul ce se ridică din vârful unei ţigări aprinse. S-ar putea spune că şi în acest caz putem vorbi despre volum, spre exemplu. Pentru aceasta însă, ar trebui să putem preciza spaţiul pe care-l ocupă la un moment dat obiectul nostru, ceea ce nu este posibil. Cum ştim unde începe norul de fum şi unde dispare acesta? Cum putem afla dacă frontiera de contur are loc la o densitate a moleculelor de gaz de 1010 molecule/metru cub, de 310 molecule/metru cub sau de
510− molecule/metru cub? Putem deci defini o suprafaţă de închidere a volumului luat în discuţie?
Se constată că natura este foarte bogată în astfel de forme care ies din tiparul cuminte al geometriei clasice. Astfel albiile râurilor, liniile de coastă, contururile norilor sau ale fulgilor de zăpadă, traseul fulgerelor sau traiectoria corpurilor cereşti, toate acestea sunt curbe fractale, entităţi matematice aflate la limita dintre determinism şi haos. O curbă cum este cea a lui Koch, prezintă aşa numita caracteristică de autosimilaritate (self-similarity), adică forma oricăreia din părţile ei este similară cu a întregii curbe. Într-adevăr, dacă vom efectua o mărire a gradului de detaliere (un fel de zoom pozitiv) pe o porţiune de curbă, vom regăsi practic curba în întregimea ei. Interesant este faptul că o astfel de formă nu are caracteristică dimensională. Pentru orice formă ce prezintă caracteristică dimensională, complexitatea scade odată cu creşterea gradului de detaliere. În cazul curbei Koch, complexitatea rămâne aceeaşi la orice grad de detaliere.
10
Autosimilaritatea este denumită şi invarianţă de scară, deoarece formele autosimilare nu-şi schimbă aspectul în urma modificării scării la care este făcută observaţia.
Figura 4 Divizarea prin similaritate
Revenind la figura 3 să observăm că dacă vom considera lungimea segmentului din 3a egală cu unitatea, lungimea formei 3b va fi egală cu,
34
,lungimea formei 3c va fi 2
34
916
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= , lungimea formei 3d va fi
3
34
2764
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ş.a.m.d.
Încercăm în continuare să dezvoltăm o nouă definire a noţiunii de dimensiune, definire bazată pe similaritate. Exemplul pe care vom lucra este cel al curbei Koch. Să împărţim în numărul minim de părţi similare un segment de dreaptă, un pătrat şi un cub. Evident, în condiţia impusă, segmentul se va împărţi în două jumătăţi, pătratul în patru subpătrate egale iar cubul în opt subcuburi de asemenea egale (figura 4). Intervin deci numerele: 2 , 4 şi respectiv 8 . Aceste numere se pot rescrie ca puteri ale lui 2 , astfel: 12 , 22 şi 32 . De observat că exponenţii 1 , 2 şi 3 coincid cu dimensiunile topologice ale fiecărei forme considerate. Generalizând, putem spune că dacă o formă este compusă din Da forme
similare de mărime a1
(din întreg) fiecare, exponentul D corespunde
dimensiunii de similaritate a formei, cu observaţia că pentru formele geometrice clasice (nefractale) această dimensiune va coincide cu dimensiunea topologică. Pentru o formă fractală, dimensiunea de similaritate va corespunde dimensiunii fractale.
În virtutea celor discutate mai sus, se poate stabili următoarea clasificare:
dimensiunea de similaritate dimensiunea topologică
dimensiunea fractală
ww.neutr
ino.ro
11
Cea mai interesantă caracteristică a dimensiunii de similaritate este aceea că valoarea ei nu este restricţionată la domeniul întregilor. Vom verifica această afirmaţie în cele ce urmează.
Când un segment de curbă este compus din b forme similare de
mărime a1
fiecare, dimensiunea de similaritate a formei se calculează
prin relaţia:
alogblogD = (1)
Logaritmii ce intervin în relaţia de mai sus sunt de bază arbitrară iar a este numărul de subdomenii obţinute prin împărţire de-a lungul unei axe dimensionale date. Evident, b este numărul de subforme similare rezultate în urma împărţirii efectuate. Relaţia (1) permite determinarea atât a dimensiunii topologice (în cazul formelor geometrice clasice) cât şi a dimensiunii fractale (în cazul formelor fractale). Pentru a verifica această afirmaţie, să calculăm dimensiunea topologică a cubului din figura 4. Avem:
2a = (pe fiecare direcţie, împărţirea s-a făcut prin 2 ) 8b = (s-au obţinut 8 subforme)
Rezultă: 32log8log
alogblogD === . Se regăseşte astfel dimensiunea
topologică. Să vedem cum stau însă lucrurile în cazul unui fractal. Să considerăm curba Koch. Vom constata că, în acest caz, 3a = şi 4b = . Rezultă:
2618.13log4logD ≈=
adică o dimensiune fractală, un număr real neântreg cuprins între 1 şi 2 . Concluzia este cu adevărat surprinzătoare: curba Koch nu este de fapt o curbă, dar nici o suprafaţă, însă este mai mult curbă decât suprafaţă.
Şef lucrări, Dr.Ing., Universitatea Ştefan Cel Mare Suceava
12
Mulţimi legate Nicolae Stăniloiu
La etapa judeţeană a olimpiadei de matematică din anul 2006 una
dintre problemele propuse la clasa a VII-a ( autor prof. Lucian Dragomir) definea mulţimile legate ca fiind mulţimi de 4 numere naturale cu proprietatea că pentru orice x din mulţime cel puţin unul dintre numerele
1, 1x x− + este în M. Vom încerca în această notă să definim mulţimile legate de ordin k eliminând condiţia ca mulţimea să conţină patru elemente şi apoi vom încerca să identificăm o metodă de calcul a diferitelor tipuri de submulţimi legate ale mulţimii { }1,2,3,...,nA n= . Definiţia 1: O mulţime M de numere naturale se numeşte simplu legată dacă este mulţimea vidă sau dacă pentru orice x din mulţime cel puţin unul dintre numerele 1, 1x x− + este în M. Observaţia 1: O mulţime nevidă de numere naturale simplu legată este formată din “blocuri” de numere consecutive de lungime cel puţin 2. Definiţia 2: Fie 1≥k . O mulţime M de numere naturale se numeşte legată de ordin k dacă este mulţimea vidă sau dacă pentru orice x din M şi pentru orice ki ≤≤0 , cel puţin una din mulţimile { - , - 1,..., - }x i x i x i k+ + este inclusă în M. Observaţia 2: O mulţime nevidă de numere naturale legată de ordin k este formată din “blocuri” de numere consecutive de lungime cel puţin k+1. Dacă k=1 se obţine definiţia mulţimilor simplu legate. Mulţimile legate de ordin 2 le vom numi şi mulţimi dublu legate. Fie acum mulţimea { }1,2,3,...,nA n= . Ne punem problema să determinăm numărul submulţimilor lui nA simplu legate şi respectiv dublu legate . Vom considera în acest sens mulţimea n-uplelor ( )1 2, , ..., na a a în care
{ }1,0∈ia pentru orice ni ≤≤1 ; un astfel de n-uplu îl vom numi şi n-cuvânt. Vom asocia de asemenea fiecărei submulţimi X a lui nA un n-cuvânt format în felul următor: Dacă Xi∈ atunci 1ia = , altfel 0.ia = Definiţia 3: Se numeşte n-cuvânt legat de ordin k un n-cuvânt asociat unei mulţimi legate de ordin k. Vom nota cu 1
nL , numărul n-cuvintelor legate de ordin 1 pe care le vom numi şi n-cuvinte simplu legate.
ww.neutr
ino.ro
13
Propoziţia 1: Cu notaţiile anterioare avem următoarea relaţie de recurenţă: 1
41
21
11
−−− ++= nnnn LLLL pentru orice 4n ≥ Demonstraţie: Într-adevăr, numărul n-cuvintelor simplu legate care încep cu 0 este 1
1−nL . Numărul n-cuvintelor simplu legate care încep cu 1 îl vom calcula astfel: Vom observa pentru început că un astfel de n-cuvânt are în mod obligatoriu în poziţia a doua elementul 1. Dacă la primele două poziţii adăugăm toate ( 2)n − − cuvintele simplu legate care se formează cu restul poziţiilor dintr-un astfel de cuvânt se obţin n-cuvinte simplu legate. Deasemenea n-cuvinte simplu legate mai putem obţine şi dacă în poziţiile 3 şi 4 punem 1 şi respectiv 0 iar în rest ( 4)n − − cuvinte simplu legate. Prin urmare numărul n-cuvintelor simplu legate care încep cu 1 este: 1
41
2 −− + nn LL şi deci relaţia de recurenţă este acum justificată. Folosind un program simplu de calculator creat în limbajul Pascal am calculat:
k 1kL
0 1 1 1 2 2 3 4 4 7 5 12 6 21 7 37 8 65 9 114
Bineînţeles că având calculate valorile 1kL cu 52 ≤≤ k , se pot calcula,
folosind relaţia de recurenţă dedusă, şi celelalte din tabel dar din curiozitate am continuat să calculez cu maşina de calcul ,dar şi pentru a verifica astfel relaţia de recurenţă dedusă. Vom nota cu 2
nL , numărul n-cuvintelor legate de ordin 2 pe care le vom numi şi n-cuvinte dublu legate. Propoziţia 2: Cu notaţiile anterioare avem următoarea relaţie de recurenţă: 2
62
52
32
12
−−−− +++= nnnnn LLLLL pentru 6≥n .
14
Demonstraţie: Într-adevăr, numărul n-cuvintelor dublu legate care încep cu 0 este 2
1−nL . Numărul n-cuvintelor dublu legate care încep cu 1 îl calculăm astfel: Un astfel de n-cuvânt are în mod obligatoriu în poziţiile 2 şi 3 cifra 1. Dacă completăm aceste cuvinte cu ( 3)n − − cuvinte dublu legate se obţin n-cuvinte dublu legate. Deasemenea n-cuvinte dublu legate se mai pot obţine şi dacă completăm poziţiile 4 şi 5 cu cifrele 1 şi respectiv 0 şi în rest ( 5)n − − cuvinte dublu legate, sau dacă poziţiile 4, 5 şi 6 se completează cu cifrele 1, 1 şi respectiv 0 iar în rest cu ( 6)n − − cuvinte dublu legate. Prin urmare numărul n-cuvintelor dublu legate care încep cu 1 este 2
62
52
3 −−− ++ nnn LLL şi deci relaţia din propoziţia 2 este acum justificată. Folosind calculatorul am reuşit să completez următorul tabel:
k 2kL
0 1 1 1 2 1 3 2 4 4 5 7 6 11 7 17 8 27 9 44 10 72
Observaţie: Relaţiile de recurenţă deduse în cele două propoziţii permit determinarea unei formule de calcul pentru 1
nL , respectiv 2nL ,dar nu
acesta este scopul prezentei note. Se observă că numerele obţinute cu ajutorul calculatorului verifică relaţia de recurenţă. Folosind relaţiile de recurenţă deduse şi un program corespunzător pe calculator putem calcula
1nL şi 2
nL pentru valori suficient de mari ale lui n . ■ profesor, Grup Şcolar Industrial Bocşa
ww.neutr
ino.ro
15
Inegalitatea lui Sylvester Lucian Dragomir
Vom reaminti aici doar următoarele rezultate legate de rangul matricelor, suficiente, credem, pentru ceea ce urmează:
1) Dacă ( ) ( ), ,,m n n pA B∈ ∈M M , atunci ( )rang A B rangA⋅ ≤ şi ( )rang A B rangB⋅ ≤ .
2) Dacă ( ) ( ),n nA B∈ ∈M M , atunci ( ) ( ) ( )rang A B rang A rang B n⋅ ≥ + − (inegalitatea lui Sylvester).
Acum, aşa cum vă aşteptaţi, câteva aplicaţii : 1) Dacă ( )nA∈M este inversabilă, atunci ( )nB∈M este
inversabilă dacă şi numai dacă A B⋅ este inversabilă. (Lucian Dragomir)
Soluţie: Deoarece ( )nA∈M este inversabilă, atunci rangA n= . Folosind inegalitatea Sylvester, deducem ( ) ( )rang A B rang B⋅ ≥ . Pe de altă parte, folosind 1), avem ( )rang A B rangB⋅ ≤ , aşadar ajungem la
( )rang A B rangB⋅ = .Evident, concluzia e imediată. ■ 2) Dacă ( )3,A B∈M satisfac ( ) ( )rang A rang B> , atunci
( )2 2( ) .rang A rang B≥
(Marius Ghergu, OJ 2004) Soluţie: Dacă 3rangA = , inegalitatea propusă este evidentă, iar dacă
1rangA = , nu avem nimic de demonstrat. Dacă 2rangA = , avem 1rangB ≤ . Din inegalitatea Sylvester avem acum
2 2( ) ( ) ( ) 3 1 ( ) ( )rang A rang A rang A rang B rang B≥ + − = ≥ ≥ ■ 3) Dacă ( ), , nA B X ∈M şi rangX n= , atunci
( ) ( ) ( ) ( ).rang A rang B rang A X rang B X< ⇒ ⋅ < ⋅ (Romanţa şi Ioan Ghiţă, Blaj, GM 2006)
Soluţie: Folosind inegalitatea Sylvester avem : ( ) ( ) .rang A rang AX rangA rangX n rangA≥ ≥ + − = Evident, avem astfel ( ) ( )rang A rang AX= şi, analog, ( ) ( )rang B rang BX= .Obţinem acum
imediat că, dacă ( ) ( )rang A rang B< , atunci ( ) ( ).rang A X rang B X⋅ < ⋅ ■
4) Fie ( )3A∈M o matrice nenulă. Să se arate că 23A O= dacă şi
numai dacă 1rangA = şi 0.TrA = (Dorinel Anca, Târgovişte, GM 2006)
16
Soluţie: Dacă 23A O= ,atunci din inegalitatea lui Sylvester deducem
că ( )20 ( ) 2 3rang A rang A= ≥ ⋅ − , aşadar ( ) 1.rang A ≤ Deoarece
3A O≠ , obţinem ( ) 1rang A = şi, chiar mai mult, din 23A O= avem că
valorile proprii ale matricei A sunt toate nule, aşadar 0.TrA = Reciproc, deoarece ( ) 1rang A = ( ) ( )3,1 1,3,B C⇒∃ ∈ ∈M M
astfel încât A BC= şi 2 23( ) 0 ( ) ( ) .CB tr A A BC B CB C O= = ⇒ = = = ■
5) Să se arate că pentru orice ( ), , 2nX Y n∈ ≥M , avem :
( ) ( ) .2nrang XY rang YX ⎡ ⎤− ≤ ⎢ ⎥⎣ ⎦
(Ion Savu , ON 2004) Soluţie: Presupunem că ( ) ( )rang XY rang YX≥ şi astfel avem
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )rang XY rang YX rang XY rang X− ≤ ≤ . Din inegalitatea lui Sylvester avem ( ) ( ) ( )rang YX rang X rang Y n≥ + − , de unde ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rang XY rang YX rang Y n rang X rang Y− ≤ + − − şi astfel ( ) ( ) ( ) ( 2 )rang XY rang YX n rang X− ≤ − . Din (1) şi (2) , prin adunare, obţinem inegalitatea dorită. ■
6) Dacă , , , 2n p n p∈ ≥ şi ( )nA∈M astfel încât 1pA A+ = ,
( )( ) ( ) ( )p pn nrang A rang I A rang A I A n n+ − ≤ − + = . Pe de altă
parte avem ( ) ( ) ( ) ( )p p pn nrang A rang I A rang A rang I A+ − ≥ + − ≥
( ) ( )p pn nrang A I A rang I n≥ + − = = . ■
7) Fie ( )nA∈M şi A∗matricea sa reciprocă.Să se arate că dacă
există m ∗∈ astfel încât ( )m nA O∗ = , atunci ( )2 nA O∗ = .
(Marian Ionescu, ON 2006) Bibliografie: Colecţia Gazetei Matematice 2004-2006
Profesor, Grup Şcolar Oţelu-Roşu
ww.neutr
ino.ro
17
Concursul de Matematică al Revistei RMCS, Ediţia a III-a, 15 martie 2008, Oţelu-Roşu
prezentare de Lucian Dragomir şi Ovidiu Bădescu
1. Organizare Concursul a fost precedat de selectarea elevilor participanţi la Oţelu-Roşu, care a constat în corectarea soluţiilor la problemele de concurs publicate în revistă în numerele 19, 20, 21 şi 22 de profesorul Lucian Dragomir; calificarea elevilor s-a făcut,ca de obicei, în ordinea descrescătoare a punctajelor obţinute. S-au calificat 119 elevi, dar au participat doar 64 din clasele V-XII şi 9 din clasa a IV-a. Concursul a avut loc în data de 15.03.2008 (pentru clasele V-XII) şi în data de 22.03 pentru clasa a IV-a şi a fost găzduit de Grupul Şcolar din Oţelu-Roşu, respectiv Şcoala Generală 2 Reşiţa; mulţumim şi pe această cale organizatorilor, în special Doamnelor Directoare Rozina Ghiorghioni şi Daniela Chelbea, respectiv Domnului Director Marius Şandru, profesorilor de matematică şi tuturor cadrelor didactice ale şcolilor gazdă, care au depus eforturi deosebite pentru a transforma acest concurs într-un eveniment chiar reuşit. Deschiderea Concursului mare a avut loc la ora 10, concursul s-a desfăşurat între orele 11 – 14, a urmat corectura şi, la ora 17, mult aşteptata festivitate de premiere. 2. Sponsori, alte activităţi Costul mesei de prânz, de altfel foarte bună, a fost suportat de Consiliul Local şi Primăria oraşului Oţelu-Roşu. Toţi elevii participanţi au primit câte o diplomă (pentru că o meritau prin simplul fapt că au ajuns să concureze), iar cei câştigători au primit diplomă de premiere, precum şi premii în bani (comparativ cu alte concursuri de gen din ţară, premiile au fost substanţiale); sumele acordate au fost de 150 RON (premiul I), 100 RON (premiul II), 80 RON (premiul III) şi 50 RON (menţiune). Fondul de premiere a fost constituit din: fonduri proprii ale Filialei (provenite din cotizaţiile membrilor şi din vânzarea revistei) şi din donaţii ale unor persoane fizice apropiate învăţamântului matematic(mai există şi astfel de oameni!): fam.Bîrsilă, fam.Colcear, fam.Ciovican, fam.Băilă, şi, nu în ultimul rând, Domnul Primar al oraşului Oţelu-Roşu, Iancu Simion, care a fost trup şi suflet, de la început, alături de organizatori. În plus, toţi cei care au obţinut punctaj maxim(performanţă reuşită de 5 elevi), au fost premiaţi personal de către Domnul primar cu câte 100 de euro!!
18
3. Profesori participanţi Pe lângă cadrele didactice din şcoală, un număr mare de profesori de specialitate din judeţ au participat, chiar cu drag credem, la această manifestare(de fapt, aceştia sunt printre puţinii totuşi care şi-au îndemnat elevii să rezolve probleme din reviste pentru a avea astfel şansa participării; suntem convinşi, de fapt sperăm, că numărul acestora va creşte în anii ce vin) . La festivitatea de deschidere a participat şi Domnul primar Iancu Simion, plăcut impresionat de atâţia matematicieni prezenţi în sală. 4. Subiecte Subiectele au fost selectate de profesorii Bădescu Ovidiu, Stăniloiu Nicolae şi Dragomir Lucian(nu se poate să nu remarcaţi, din nou, că multe dintre probleme sunt preluate din Gazeta Matematică, revista care n-ar trebui să lipsească de pe masa nici unui pasionat de matematică. Veţi sesiza de fapt, în curând, că prezentarea Gazetei se va schimba semnificativ... (Subiecte, baremuri de corectare, rezultate – toate le puteţi găsi şi la adresa: www.neutrino.ro ) . Vă propunem în continuare să vă încercaţi puterile cu toţii cu subiectele din concurs:
Clasa a IV-a 1. Un tată este cu 24 de ani mai mare decât fiul său. Peste 2 ani,
tatăl va avea de 5 ori vârsta de atunci a fiului. Câţi ani are fiecare în prezent ?
RMCS 20 2. O croitoreasă confecţionează bluze şi rochii din 23 de metri de
mătase. Câte bluze şi câte rochii poate confecţiona, fără a pierde material, dacă la o bluză intră 2m şi la o rochie intră 3m de material?
Gazeta Matematică 8/2007 3. Câte numere de trei cifre există în care două din cele trei cifre sunt
egale ? Gazeta Matematică 3/2007
Clasa a V-a 1. În judeţul Caraş-Severin sunt 2008 de elevi născuţi în acelaşi an. Să se arate că există cel puţin 6 elevi născuţi în aceeaşi zi a anului.
Adriana Dragomir,Oţelu-Roşu 2. a) Să se arate că numerele 2003 20062002 2004A = + şi
2007 20082007 2008B = + dau acelaşi rest prin împărţire la 5; RMT 2007
ww.neutr
ino.ro
19
b) Se notează cu Mmulţimea numerelor naturale care prin împărţire la 5 dau restul 0; Să se arate că :
I) pentru orice ,a b∈M avem ( )a b+ ∈M .
II) există ,m n∉M pentru care ( )2 3m n+ ∈M . Adriana Dragomir, Oţelu-Roşu
3. Un buchet mare de flori conţine între 90 şi 100 de fire.O pătrime sunt trandafiri, o treime sunt garoafe, iar celelalte sunt lalele. Să se calculeze:
1) Câţi trandafiri sunt în buchet . 2) Câte lalele sunt în buchetul de flori.
Gazeta Matematică 6/2007 4. Diana alege un număr de două cifre şi Adriana, prietena ei, îl înmulţeşte cu 4. a) Dacă se aşează cifra 3 în faţa numărului Dianei, arătaţi că nu se poate obţine un număr de trei cifre de trei ori mai mare decât numărul Adrianei ; b)Ce număr trebuie să aleagă Diana astfel încât aşezând cifra 3 în faţa numărului său să obţinem un număr de trei cifre care este de patru ori mai mare decât numărul prietenei sale?
RMCS 19, Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu
Clasa a VI-a
1. Să se arate că dacă numerele naturale b şi 1a − sunt direct proporţionale cu a şi respectiv 1b + , atunci a şi b sunt consecutive.
RMT 4/2007 2. a) Să se arate că nu există mulţimi A nevide de numere naturale
nenule cu proprietatea că : dacă x A∈ , atunci 3 Ax∈ şi
6 Ax∈ ;
b) Să se determine mulţimile nevide B de numere naturale nenule
cu proprietatea că : dacă y B∈ , atunci 4 By∈ şi ( )5 .y B− ∈
RMCS 19, enunţ modificat
20
3. În triunghiul ABC dreptunghic în A , mediana AM şi înălţimea AE a unghiului BAC împart unghiul BAC în trei unghiuri congruente ( ( ) ( ),M BC E MB∈ ∈ ). Dacă D este simetricul punctului B faţă de A, să se arate că există k ∈ astfel încât DC k AB= ⋅ .
Lucian Dragomir 4. Se consideră segmentul (AB) cu lungimea de 15 cm şi ( )C AB∈ .
Dreptele 1d şi 2d sunt perpendiculare pe AB în punctele A şi respectiv B.
Se consideră pe 2d punctele M şi P astfel încât ( ) ( )m MCB m PCB= şi
18MP cm= ,iar 1N d∈ astfel încât .NAC CBMΔ ≡ Δ
Să se calculeze lungimea segmentului ( ).AN Mircea Fianu, Bucureşti
Clasa a VII-a 1. Se consideră o mulţime M de numere reale care satisface
următoarele proprietăţi: a) 2 ;M∈
b) ( )2 ;x M x x M∈ ⇒ + ∈
c) ( )2 .x x M x M− ∈ ⇒ ∈
Să se arate că: 1) 3 ;M∈ 2) 4 ;M∈
3) 1 5 .
2M+
∈
RMCS 22, enunţ modificat, Lucian Dragomir 2. a) Să se arate că există t∈ pentru care
1 1 1 1
1 1 2 2 3t t t t t t+ + =
+ + + + + + + +;
b) Să se determine numerele naturale n pentru care există x∈ astfel încât
1 1 1... 11 1 2 1x x x x x n x n+ + + =
+ + + + + + + + +.
RMCS 21
ww.neutr
ino.ro
21
3. Se consideră un paralelogram ABCD în care BD DA⊥ şi { }AC BD O∩ = .Prin mijlocul M al segmentului ( )AO se duce
// , , .EF BD E BC F CD∈ ∈ Să se arate că există k∈ astfel încât .FC k EO= ⋅
Gazeta Matematică 6/2007 4. Se consideră un triunghi ABC în care AB AC= şi punctele
( ) ( ), ,D AC E BC O AE BD∈ ∈ ∈ ∩ astfel încât // .DE AB Arătaţi că: a) BD este mediană în triunghiul ABC dacă şi numai dacă (AE este
bisectoarea unghiului BAC ; b) dacă CBD BAE≡ , atunci .AC DC BE BC⋅ = ⋅
Lucian Dragomir Clasa a VIII-a
1. Pentru fiecare n∈ se notează 8 3 4 3 2 , n n n
na k k= + ⋅ + ⋅ + ∈ . Să se arate că dacă 0a şi 1a sunt cuburi perfecte, atunci na este
cub perfect , oricare ar fi n∈ . Gazeta Matematică 6/2007
2. a) Să se determine numărul perechilor ( , )m n de numere întregi
pentru care 2 24 4 5;m n n m+ + + =
b) Să se arate că oricare ar fi ,m n ∗∈ , numerele 2 4A m n= +
şi 2 4B n m= + nu pot fi simultan pătrate perfecte. RMCS 22 , articol pag. 9
3. a) Confecţionăm o cutie în formă de paralelipiped dreptunghic pentru a o umple cu 1001 cuburi identice cu muchia de 1 cm.Calculaţi care este aria totală minimă a cutiei; b) O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 10 cm, 15 cm şi 25 cm.Determinaţi care este cel mai mic număr de cuburi identice,având lungimea muchiei exprimată în cm printr-un număr natural, cu care putem umple cutia.
Mircea Fianu
22
4. Se consideră un paralelogram ABCD şi un punct M nesituat în planul ABC astfel încât MB AB⊥ şi MD AD⊥ . Să se arate că:
a) ;MC BD⊥ b) Dacă ABCD este romb şi 2 MC AC⋅ = , atunci ( , ) ( , ( )).d MC BD d M ABC=
GM 10/2007 Clasa a IX-a
1. Se consideră mulţimile { }2/ 3 0A x x x m= ∈ + − = şi { }2/ 4 0B x x x m= ∈ − + = .
Să se determine m∈ ştiind că există ,a b A B∈ ∪ astfel încât 3.a b+ =
Lucian Dragomir, RMCS 20, enunţ modificat 2. a) Să se arate că dacă *:f ∗→ este o funcţie cu
proprietatea că ( ) ( ) ( ) , ,f m n f m f n m n ∗+ = ⋅ ∀ ∈ , atunci există
p ∗∈ astfel încât ( ) , f n p n ∗≠ ∀ ∈ . b) Să se determine funcţiile :f → cu proprietatea
că ( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 , , .f x y f x y f x y x y+ + − = − ∀ ∈ RMCS 21
3. Să se arate că dacă centrul cercului circumscris unui patrulater inscriptibil este centrul de greutate al patrulaterului, atunci patrulaterul este dreptunghi.
RMCS 20 4. Fie M mijlocul laturii ( )BC a unui triunghi ascuţitunghic ABC.
Notăm cu P şi Q proiecţiile lui M pe AB , respectiv AC .
Să se arate că 6
A π= dacă şi numai dacă 4( ) .MP MQ AB AC+ = +
Gazeta Matematică 9/2006
ww.neutr
ino.ro
23
Clasa a X-a 1. Dacă ( ), , 0,1a b c∈ , să se arate că 2 2 2log log log 1.a b b c c aa b c+ + ≤
GM 9/2006 2. Se consideră numerele complexe distincte 1 2 3 4, , ,z z z z astfel
încât 1 3 2 4z z z z+ = + şi 2 21 3 2 42 .z z z z+ = Să se arate că 1 2 3 4, , ,z z z z
sunt afixele vârfurilor unui pătrat. GM 3/2007
3. a) Să se arate că nu există funcţii injective :f → cu proprietatea că (2 ) ( 2 ) 5( ( ) ( )) , , .f x y f x y f x f y x y+ + − = + ∀ ∈
b) Să se determine funcţiile surjective :f ∗ ∗→ pentru care
1 1 1 1... , , 22 (1) 3 (2) ( 1) ( )
n n nf f nf n f n
−+ + + = ∀ ∈ ≥
−.
RMCS 21, Nicolae Stăniloiu, Lucian Dragomir 4. Se consideră un alfabet cu numai trei litere: A,B,C. a)Să se determine numărul na de „cuvinte” cu n litere şi care conţin
un număr par de litere A. b)Să se arate că dacă n este număr par, atunci na este număr impar.
* * * Clasa a XI-a
1. a) Să se arate că există ( ), , ,A B A B∈ ≠2M
( ){ }2, / cu A B X X Iα α∉ ∈ ∃ ∈ = ⋅2M astfel încât 2 224A B I= = ⋅ ;
b) Să se arate că există o infinitate de matrice ( )X ∈ 2M pentru
care 4 2220 .X X I+ = ⋅
Lucian Dragomir, RMCS 21, enunţ modificat 2. Dacă ( )A∈ 3M este o matrice nenulă, să se arate că 2
3A O= dacă şi numai dacă ( ) 0tr A = şi ( ) 1.rang A = G. M. 10/2006
3. Fie A o mulţime nemărginită de numere reale cu proprietatea că
pentru orice ,x y A∈ avem 2
x y A+∈ . Să se arate că pentru orice a A∈
există un şir ( ) 1n nx ≥ de numere din { }\A a convergent la a. Olimpiadă locală Olt 2007
24
4. a) Să se arate că nu există funcţii continue ( ): 0,1f → cu
proprietatea că ( )21( ( )) , 0,1 ;f f x xx
= ∀ ∈
b) Să se arate că dacă [ ] [ ): 0,1 1,f → ∞ este o funcţie continuă
neconstantă, atunci există ( )0 0,1x ∈ cu proprietatea că 0 20
1( )f xx
= .
RMCS nr.19 Clasa a XII-a
1. Fie ( ),G ⋅ un grup finit cu p elemente , p număr prim, având elementul neutru e. Să se demonstreze că dacă :f G G→ este un morfism pentru care există { }\t G e∈ astfel încât ( )f t t= , atunci
( ) , .f x x x G= ∀ ∈ RMCS nr.17
2. a) Să se rezolve în corpul 7 sistemul de ecuaţii : 3 4 4
4 5 0
x y
x y
⎧ ⋅ + ⋅ =⎪⎨
⋅ + ⋅ =⎪⎩ ;
b) Să se determine numerele n ∗∈ pentru care ecuaţia 23 2 1 0nx x x+ + + = are cel puţin o soluţie în 5 .
Andrei Eckstein, Viorel Tudoran , GM 2/2006
3. a) Să se arate că pentru orice 0,2
x π⎡ ⎤∈⎢ ⎥⎣ ⎦ avem: 1 sin cos 2;x x≤ + ≤
b) Să se calculeze 2
0
1lim (sin cos ) .2
nnn
x x dx
π
→∞+∫
Concurs admitere Universitatea Bucureşti 2007, GM 9/2007
4. a) Să se arate că : 1 , 0;2
arctgt arctg tt
π+ = ∀ >
b) Să se calculeze 2
12
arctgx dxx∫ .
GM 4/2007
ww.neutr
ino.ro
25
5.Elevi premianţi : Nume,prenume elev Clasa Şcoala Profesor Premiu Ciobanu Anca 4 Şc.2 Reşiţa Boulescu
Ştefănescu Andrei 5 Şc.1 Oţelu-Roşu Feil Heidi I Dinulică Augustin 5 Lic.CD Loga Buzescu
Antoanela II
Pîrvu Ancuţa Iulia 5 Şc.1 Oraviţa Bădoi Marian
III
Peptan Andrei 5 Şc.9 Reşiţa Belci Ion M Bivolaru Iulia Mălina 5 Lic.CD Loga Buzescu
Antoanela M
Dragomir Ioana 5 Lic.Traian Doda Dragomir Adrian
M
Şandru Ilie Daniel 5 Lic. Hercules Golopenţa Marius
M
Ţeudan Adina 6 Şc.2 Reşiţa Drăghici Mariana
I
Lazăr Silviu Ioan 6 Şc.9 Reşiţa Avrămescu Irina
II
Aghescu Monica Elena 6 Şc.2 Reşiţa Drăghici Mariana
III
Muscai Lorena 6 Şc.9 Reşiţa Belci Ion M Pop Cristian Ionuţ 6 Şc.1 Oţelu-Roşu Feil Heidi M Szabo Ildiko 6 Lic.Traian Doda Hogea
Gheorghe M
Colgea Alexandru 6 Şc.9 Reşiţa Chiş Vasile M Peptan Alexandru 6 Şc.9 Reşiţa Avrămescu
Irina M
Popa Andreea 7 Lic.Traian Doda Dragomir Adrian
I
Krocoş Lorena 7 Şc.1 Oţelu-Roşu Feil Heidi II
26
Nasta Laura 7 Grup Şc. Oţelu-Roşu
Dragomir Adriana
III
Stoicănescu Gelu 7 Lic.Traian Doda Dragomir Adrian
M
Dumitresc Cecilia 7 Grup Şc. Oţelu-Roşu
Dragomir Adriana
M
Semenescu Anca 8 Lic.CD Loga Humiţa Dorina
I
Mocanu Ioana 8 Lic.Traian Doda Dragomir Delia
II
Zanfir Cristian 9 Lic.Traian Doda Dragomir Delia
I
Cococeanu Oana 9 Grup Şc. Oţelu-Roşu
Dragomir Lucian
II
Galescu Dan 9 Lic.Traian Doda Dragomir Delia
III
Meşter Sergiu 9 Lic. Traian Lalescu Reşiţa
Bădescu Ovidiu
M
Atinge Carina 9 Grup Şc. Oţelu-Roşu
Dragomir Lucian
M
Stăniloiu Ovidiu 10 Lic. Bocşa Todor Ioan I Milcu Roxana 10 Lic.CD Loga Moatăr
Lavinia II
Vlad Adina 10 CN Moise Nicoară Arad
Bodrogean Ovidiu
III
Lupu Vlad 10 Grup Şc. Oţelu-Roşu
Dragomir Lucian
M
Timofte Andrei 10 Lic.CD Loga Moatăr Lavinia
M
Unguraş Dragoş 11 Grup Şc. Oţelu-Roşu
Dragomir Lucian
I
Beg Apostol 11 Grup Şc. Oţelu-Roşu
Dragomir Lucian
II
Buzuriu Alina 11 Grup Şc. Oţelu-Roşu
Dragomir Lucian
III
Dragomir Lucia 11 Grup Şc. Oţelu-Roşu
Dragomir Lucian
M
Popovici Doru 12 Lalescu Reşiţa Bădescu O. I Istodor Cosmin 12 Grup Şc.
Oţelu-Roşu Dragomir Lucian
II
Labo Laurenţiu 12 Lic.CD Loga Mirulescu Mariţa
III
ww.neutr
ino.ro
27
Probleme rezolvate din RMCS 23
Ciclul primar IV.101 Suma a două numere este 40, iar diferenţa lor este de două ori mai mică decât numărul cel mai mic. Care sunt numerele?
Inst. Lidia Todor, Caransebeş Răspuns: 16 şi 24. � IV.102 Lelia are 3 ani. Peste 5 ani ea va fi de 4 ori mai mică decât mama, iar bunica de 2 ori mai mare decât fiica sa. Ce vârstă are mama? Dar bunica?
Inst. Lidia Todor, Caransebeş Răspuns: Acum,mama are 35 de ani, iar bunica are 75 de ani. � IV.103 Un caiet, o radieră şi un creion costă 6 lei. Un caiet, trei radiere şi 3 creioane costă 12 lei. Două caiete, două radiere şi 1 creion costă 11 lei. Cât costă fiecare articol în parte?
Inst. Lidia Todor, Caransebeş Răspuns: un caiet costă 3 lei, o radieră 2 lei şi un creion 1 leu. � IV.104 Plasaţi în căsuţele libere din figura de mai jos numere astfel încât să respectaţi o anumită regulă valabilă pentru tot pătratul. Explicaţi regula folosită, justificând astfel alegerea făcută pentru numerele
1 3 2
5 3
3 1
voastre. * * * Soluţie: Metoda 1: Scădem numerele din prima coloană din numerele situate în a doua coloană şi obţinem numerele din a treia coloană (diferenţele se fac respectând liniile): 3 1 2,8 5 3,3 2 1− = − = − = . Ajungem astfel la următorul pătrat:
1 3 2
5 8 3
2 3 1
Metoda 2: scădem numerele din linia 1 din numerele situate în linia 2 şi obţinem linia 3.Evident, se pot găsi şi alte reguli, dar trebuie explicate !. �
1 3 2
5 6 3
4 3 1
IV.105 Arătaţi că Alina şi Bianca îşi pot alege câte două numere astfel încât suma numerelor alese de fiecare să fie un acelaşi număr şi unul din numerele alese de Bianca să fie dublul unui număr ales de Alina.
* * *
28
Răspuns: De exemplu(pentru că şi aici se pot da nenumărate răspunsuri corecte),Alina îşi poate alege numerele 4 şi 10, iar Bianca îşi poate alege apoi numerele 8 şi 6. Observaţie: indiferent ce numere alege Alina (de exemplu a şi b , a fiind cel mai mic, Bianca îşi poate alege numerele astfel încât să fie satisfăcute condiţiile din enunţ: Bianca alege 2a şi b a− ). Încercaţi să compuneţi o problemă asemănătoare! � IV.106 Un număr suferă o transformare bună dacă se înmulţeşte cu 4 apoi la rezultatul obţinut se adună 3. Un număr suferă o transformare foarte bună dacă se înmulţeşte cu 3 apoi la rezultatul obţinut se adună 4. a) Există un număr care printr-o transformare bună sau printr-o transformare foarte bună să devină 97? b) Există un număr care prin două transformări succesive,una bună,apoi una foarte bună, să devină 97?
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Răspuns: a) nu există numere(naturale) care printr-o transformare bună să devină 97, dar numărul 31 devine, printr-o transformare foarte bună,97 ; b) da : numărul 7 se transformă în 31 printr-o transformare bună, apoi 31 devine 97 printr-o transformare foarte bună . �
Clasa a V-a
V.101 Aflaţi suma numerelor mai mari decât 100 şi mai mici decât 300, care împărţite la 4 dau restul 1.
V.102 Se consideră mulţimile: { }2 1,A x x n n n= = + + ∈ şi
{ }2 4,B y y n n n= = − + ∈ .Să se determine A B∩ .
Prof. Marius Şandru, Reşiţa Soluţie: A B∩ =∅ , deoarece 2 ( 1)n n n n+ = + şi 2 ( 1)n n n n− = − sunt numere pare, deci A conţine numai numere impare, pe când B conţine doar numere pare. �
ww.neutr
ino.ro
29
V.103 Să se determine numărul natural 2 3a bA = ⋅ ştiind că 2A are cu 3 divizori mai mult decât A, iar 3A are cu 4 divizori mai mult decât A.
Prof. Silvia Pruteanu, Anina Soluţie: numărul de divizori ai lui A este ( 1)( 1)a b+ + ,deci
12 2 3a bA += ⋅ are ( 2)( 1)a b+ + divizori, iar 3A are ( 1)( 2)a b+ + divizori. Condiţia (1) din enunţ conduce astfel la ( 2)( 1) ( 1)( 1) 3a b a b+ + = + + + ,de unde 1 3 2b b+ = ⇒ = , apoi a doua condiţie conduce la 3a = şi astfel 3 22 3A = ⋅ . □ V.104 Aflaţi cifrele x, y, z astfel încât numărul de 4 cifre 0 00 000 2010N xyy yx z= + + + să fie maxim.
Prof. Ion Belci, Reşiţa Răspuns: 9770N = . □ V.105 Arătaţi că nu există numere naturale a, b, c care verifică simultan egalităţile: (1) ( ) 2005c a b+ =
(2) 1000 1000 1000 1a b c+ = + Prof. Zoran Ocanovici, Moldova-Nouă
Soluţie: a) ( ) 2005 5 401c a b+ = = ⋅ .Deoarece 1000 1000 1000 1a b c+ = + se poate scrie 1000 1000 10001a c b− = − , deducem ,c a c b≥ ≥ şi astfel
401, 5c a b= + = .Deosebim cazurile posibile:
1) 1000 1000 1000 1000 10001 4 401 1 4 401+ = + ⇒ = (fals) şi 2) 1000 1000 10002 3 401 1+ = + (o egalitate absurdă între un număr impar şi unul par). Concluzia se impune. □ V.106 Comparaţi numerele 20083x = şi ( )2 0 1 2 15051 2 5 5 5 ...5y = + ⋅ + + + .
Prof.Marian Bădoi,Oraviţa Soluţie: 2008 5023 81x = = şi
VI.101 Calculaţi suma tuturor numerelor de trei cifre, care împărţite la 4 , 9 şi respectiv 13 dau acelaşi rest, număr prim impar.
Prof. Vasile Chiş, Reşiţa Soluţie: 1 2 34 3 9 3 13 3n c c c= + = + = + ,aşadar 3n − se divide prin 4, 9
şi 13; deoarece [ ]4,9,13 468= , deducem 3 468n − = sau 3 936n − =
şi astfel { }471,939 1410.n S∈ ⇒ = □ VI.102 Se consideră A, B, C, D patru puncte coliniare, în această ordine, astfel încât [ ] [ ]AC BD≡ şi punctul M în exteriorul dreptei AD încât
[ ] [ ].MA MD≡
a) Arătaţi că segmentele [ ]BC şi [ ]AD au acelaşi mijloc.
b) Arătaţi că [ ] [ ].MB MC≡ Prof. Marius Şandru, Reşiţa
Soluţie: a) [ ] [ ], ,AB AC BC CD BD BC AC BD= − = − ≡
[ ] [ ]AB CD⇒ ≡ ; fie acum Q mijlocul lui [ ]BC , aşadar
[ ] [ ] [ ] [ ]BQ QC AQ QD≡ ⇒ ≡ ;
b) MA MD MAD= ⇒ Δ este isoscel,deci MAD MDA≡ ;se ajunge imediat la ( ). .MAB MDC LU LΔ ≡ Δ ,concluzia fiind imediată. □ VI.103 Să se determine numerele naturale a,b,c,d,e pentru care
( )3ab abcde= .
Prof. Aurel Doboşan, Prof.Petre Orbulescu, Lugoj Soluţie: Numerele ab care au prima cifră 1 au cuburile formate doar din patru cifre. Numerele 20, 21, ..., 27 au cuburile numere care nu încep cu cifra 2; cuburile lui 28 şi 29 nu încep cu 28, respectiv 29. Câteva verificări conduc la soluţia 332 32768= . Numerele care încep cu 3 şi sunt cel puţin egale cu 35 au cuburile numere care nu încep cu 3. Cuburile numerelor care încep cu 4 nu încep ele cu 4 sau au şase cifre. Numerele cel puţin egale cu 50 au cuburile cu mai mult de cinci cifre. Deci avem doar 3, 2, 7, 6, 8.a b c d e= = = = = □
ww.neutr
ino.ro
31
VI.104 Să se determine toate numerele naturale scrise în baza zece, de două cifre, astfel încât fiecare să se dividă cu suma cifrelor sale, dând câtul 7.
Gazeta Matematică 1986 Răspuns: { }21, 42,63,84ab∈ . □
VI.105 Se dă segmentul [ ]AB , M mijlocul său şi P un punct oarecare al acestui segment. Arătaţi că ( ),d M P este egală cu semidiferenţa distanţelor de la P la extremităţile segmentului dat.
Prof. Vasilica Gîdea, Moldova-Nouă
Soluţie: 2 2
2 2 2AB AB PB PA PB PBMP MB PB PB − + −
= − = − = = =
2PA PB−
= . □
VI.106 Se consideră un triunghi ABC în care ( ) ( )3m B m A= ⋅ , mediatoarea laturii ( )BC intersectează AC în E şi AB BE= . Să se determine măsurile unghiurilor triunghiului ABC.
Gazeta Matematică 1986 Răspuns: 0 0 0( ) 40 , ( ) 120 , ( ) 20m A m B m C= = = . □
Clasa a VII-a
VII.101 Să se arate că 2008 2007 200610 9 10 9 10 ... 9 10 9− ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ∈ .
Prof. Irina Avrămescu, Reşiţa Soluţie: Folosim succesiv identitatea
110 9 10 10 (10 9) 10n n n n+ − ⋅ = ⋅ − = ,adică 2008 2007 200710 9 10 10− ⋅ = , 2007 2006 200610 9 10 10− ⋅ = ,..., şi în final ajungem la numărul
210 9 10 9 10 9 1− ⋅ − = − = ∈ . □ VII.102 Fie patrulaterul convex ABCD care îndeplineşte proprietăţile: [ ] [ ]AB BC≡ , ( ) ( ) 090 ,m B m D= = ( ) 060 .m C = Ştiind că distanţa de la D la AC este 4 cm, calculaţi aria patrulaterului ABCD.
Prof. Irina Avrămescu, Reşiţa
32
Soluţie: Soluţia autorului: AB BC= ⇒ ABCΔ este dreptunghic isoscel ( ) 045m BCA⇒ = şi ( ) 015m ACD = . Fie O mijlocul lui [ ]AC ⇒
DO mediană ( ) 030m DOE⇒ = şi deci AO=8cm şiAC=16cm; BO
înălţime şi mediană în 8ABC BO cmΔ ⇒ = Aria patrulaterului: 96 cm2. □ VII.103 Fiind date punctele coliniare A, B ,C ( )AB AC< , se construiesc triunghiurile dreptunghice isoscele ABD, ( ) 090m A = şi ACE,
( ) 090 .m A = a) Dacă patrulaterul BDEC este concav arătaţi că dreptele EB şi DC sunt perpendiculare. b) Dacă patrulaterul BDEC este convex şi BD=8 cm, EC=20 cm, iar M şi N sunt mijloacele segmentelor [ ]BE şi respectiv [ ]DC , calculaţi MN
Prof. Vasile Chiş, Reşiţa Soluţie: (soluţia autorului) a) caz I ( )A DE∈ şi BDEC este concav⇒ ( )A BC∉ , AC–înălţime, DB–înălţime⇒B este ortocentrul CDEΔ ⇒BE înălţime. caz II ( )A DE∉ şi BDEC concav ⇒ ( )A BC∈ CD şi BD înălţimi ⇒D ortocentrul BCEΔ ⇒ CD înălţime b) caz I ( )A BC∈ şi BDEC convex ⇒ ( )A DE∈ şi BDCE trapez; MN linie mijlocie⇒MN=14; cazII ( )A BC∉ şi BDEC convex⇒ ( )A DE∉ şi BDEC trapez; MN-segmentul ce uneşte mijloacele diagonalelor, MN=6. □
VII.104 Să se arate că numărul ( )20082007 20095 3 3N x= + + este iraţional, oricare ar fi x∈ , 3x ≥ − .
Prof. Delia Dragomir, Prof.Adrian Dragomir, Caransebeş Soluţie: Notăm cu ( )u n ultima cifră a numărului natural n şi astfel avem
( ) ( )2007 2007 20085 5 5 ( 3) 0 sau 5u u x= ⇒ ⋅ + = . Ajungem astfel la
( )( )20082007 20095 3 3 3 sau 8u x + + = . Revedem cunoştinţele anterioare
sau articolele din revista noastră legate de pătrate perfecte şi deducem că numărul de sub radical nu poate fi pătrat perfect, deci N ∉ .
ww.neutr
ino.ro
33
VII.105 Fie trapezul dreptunghic ABCD cu ( ) ( ) 090m A m D= = , iar M
mijlocul segmentului [ ]AD . Dacă BM AC⊥ , să se demonstreze că BD MC⊥ .
Prof. Silvia Pruteanu, Anina Soluţie: Metoda 1. Notăm { }CM AB N AMN DMC∩ = ⇒ Δ ≡ Δ ,de unde MN MC= şi astfel ACDN este paralelogram; cum , //BM AC AC DN⊥ , deducem şi BM DN⊥ (1) . Pe de altă parte, AD NB⊥ (2); din (1) şi (2) avem că M este ortocentrul triunghiului NDB, deci şi NM este înălţime, adică NM BD⊥ sau BD MC⊥ . Metoda 2.(Prof.Nicolae Stăniloiu)Notăm { } { },BD AC P BD CM N∩ = ∩ = ,
{ }BM AC O∩ = şi imediat avem : ACD BMAΔ Δ∼ ,de unde ABAD
MACD
=
sau CD AD CMD DBAMD AB
= ⇒ ≡ (!!).Pe de altă parte avem BMA PAB≡
(din perpendicularitatea dreptelor AC şi BM) şi apoi BMC BPA≡ , aşadar patrulaterul OPNM este inscriptibil.Aşadar şi unghiul MNP este drept,adică .BD MC⊥ □
VII.106 Fie 1 1 1 1 1...2 3 4 2002 2003
x= − + − + − şi 1 1 1 11 ...2 3 2001 2002
y= − + − + − .
a) Calculaţi media aritmetică a celor două numere.
b) Demonstraţi că: 10012003
x y< < .
Prof. Zoran Ocanovici, Moldova-Nouă
Soluţie: a) 1 1 100112 2003 2 2003
x y+ ⎛ ⎞= − ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
(calcule chiar uşoare ! );
b) Folosim 1 1 , 1,2001( 1)( 2) ( 1)
kk k k k
< ∀ =+ + +
. Adunăm toate
inegalităţile care se obţin astfel şi ajungem la x y< .De aici ajungem la 2x x y< + şi 2x y y+ < . Concluzia vă aparţine. □
34
Clasa a VIII-a VIII.101 a) Aflaţi numerele reale x şi y ştiind că:
2 2 2 22 2 2 5 2 2 2 10 5x y xy x y x y xy x y+ − + − + + + + − − + =
b) Demonstraţi că: 2 15 50 \ , .n n n+ + ∈ ∀ ∈ Prof. Marius Şandru, Reşiţa
Soluţie: a) Notăm expresiile de sub radicali cu A,respectiv B şi avem: 2( 1) 4A x y= − + + , de unde 2A ≥ , apoi 2( 1) 9 3B x y B= + − + ⇒ ≥ .
Egalitatea din enunţ conduce acum la 1 0, 1 0x y x y− + = + − = ,de unde 0, 1.x y= =
b) 2 2 2( 7) 15 50 ( 8) .n n n n+ < + + < + □
VIII.102 a) Să se arate că: 21 1 1 1 ,
3 33k
k kk k∗⎛ ⎞= − ∀ ∈⎜ ⎟++ ⎝ ⎠.
b) Calculaţi suma: 2 2 21 1 1... .
1 3 2 6 2008 6024S = + + +
+ + +
Prof.Lavinia Moatăr, Caransebeş Soluţie: a) Calcule imediate; b)Evident, se foloseşte a). Observăm totuşi că, în loc de a cere calculul sumei,este de preferat să cerem, de exemplu, calculul părţii întregi a numărului S sau demonstrarea unei inegalităţi în care să apară S, de genul S m< , cu m∈ bine ales sau, chiar mai mult, un \m∈ .□ VIII.103 Se consideră cubul ABCDA B C D′ ′ ′ ′ , având muchia de lungime
0a > . Calculaţi ( ) ( ), , .m AD A B m AD A C′ ′ ′ ′+
Prof. Marius Şandru, Reşiţa
Răspuns: ( ) 0, 60m AD A B′ ′ = , ( ) 0, 90m AD A C′ ′ = . □
VIII.104 Rombul ABCD şi pătratul BCEF sunt situate în plane perpendiculare. a) Demonstraţi că DF şi AE sunt concurente. b) Demonstraţi că dreapta de intersecţie a planelor (BFD) şi (ACE) este perpendiculară pe planul (ABC). c) Dacă AB a= şi ( ) 060 ,m B = calculaţi distanţa de punctul F la dreapta AC.
Prof. Sânefta Vladu, Moldova-Nouă
ww.neutr
ino.ro
35
Soluţie: a) // , ( ) ( )AD EF AD EF≡ ⇒ADEF paralelogram cu diagonalele AE, DF, deci AE şi DF sunt concurente; b) { } { }, ( ) ( )AC BD O AE DF Q BDF ACE OQ∩ = ∩ = ⇒ ∩ = ; acum,OQ este linie mijlocie în triunghiul ACE //OQ CE⇒ . Din ( ) ( ),ABCD BCEF⊥
( ) ( ) ,ABCD BCEF BC CE BC∩ ⊥ şi ajungem la ( )OQ ABC⊥ ; c) Cu teorema celor trei perpendiculare şi teorema lui Pitagora în
FBOΔ ajungem imediat la 7( , )2
ad F AC = . □
VIII.105 Ştiind că 1 2xx
+ = , calculaţi 77
1xx
+ , x ∗∈ .
Prof. Lavinia Moatăr, Caransebeş
Soluţie: 1 2xx
+ = conduce imediat la
( )2 11 0 1 2,nnx x x n
x− = ⇒ = ⇒ + = ∀ ∈ . □
VIII.106 Să se determine numerele întregi x şi y pentru care
2 2x y+ este pătrat perfect şi 3 4 1x y+ = .
Prof. Adriana Dragomir, Oţelu-Roşu, Prof. Adrian Dragomir, Caransebeş
Soluţie: 3 4 1x y+ = conduce la 4 124
3 3xy y
x x= ∈ ⇒ = + ∈
− − şi deci
123x D− ∈ ; calcule imediate, ţinând cont de prima condiţie din enunţ,conduc la 6, 8.x y= = □
Clasa a IX-a IX.101 Se notează cu AM, BN, CP lungimile unei înălţimi, a unei bisectoare, respectiv a unei mediane în triunghiul ascuţitunghic ABC. Să se arate că dacă MC NA PB= = , atunci triunghiul ABC este echilateral.
Concurs Bucureşti 1987 Soluţie: P fiind mijlocul laturii (AC) avem
2 2AB cAP BP AN MC= = = = = (1) . Folosind teorema bisectoarei
ajungem la: AN AB c AN bNC BC a c c a
= = ⇒ =+
, de unde 2b a c= + (2).
36
Deoarece M este proiecţia lui A pe BC, ,avem : 2
2 2 2 2 2 2 2 24cAM c BM b MC c BM b= − = − ⇔ − = −
2 2 2 2 22 2 21 1 1 1
2 2 2 2 2a cc a c b c c a c c+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − − = − = − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ajungem imediat la ( )(3 5 ) 0c a c a a c− + = ⇒ = şi folosim ( 2 ). □
IX.102 Să se arate că ecuaţia 3 1 3 22 2
x x m+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ nu are soluţii
întregi pentru 6m = , dar are soluţii întregi pentru 7.m = (enunţ corectat) Prof. Ovidiu Bădescu, Reşiţa
Soluţie: Ne cerem scuze pentru omisiune (oricum, elevii care au rezolvat corect problema cu enunţul publicat, au primit punctaj maxim). Aşadar :
Folosind [ ] [ ]1 22
a a a⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦ (Hermite), cu notaţia
3 12
xa += ,
ajungem în primul caz la 5 23
x≤ < , deci x∉ ,iar în al doilea caz
2x = ∈ este o soluţie. IX.103 Se consideră un triunghi ABC înscris în cercul ( , )O rC şi AM, BN, CP mediane care intersectează cercul anterior în punctele Q, R respectiv
S. Să se arate că : 9AM NB CPMQ NR PS
+ + ≥ .
Admitere Institutul Politehnic Bucureşti,1987 Soluţie: Folosim puterea punctului M faţă de cerc (citiţi articolele din
RMCS !!) şi avem: MA MQ MB MC⋅ = ⋅ ; 24
aMQ
m= ,de unde
2 2 2
2 2 24 2 1amAM b c
MQ a a a
⎛ ⎞= = + −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠; analog celelalte rapoarte şi folosim
2, , 0x y x yy x+ ≥ ∀ > . □
IX.104 Să se determine numerele întregi m pentru care ( )( )2 22 1 4 3 2 3m m m m m+ + + + ≤ + .
Prof. Adriana Dragomir, Oţelu-Roşu,
ww.neutr
ino.ro
37
Soluţie: 1) (autorii): notăm 2 3 2m m x+ + = şi astfel avem ( 1)( 1) 2 3x m x m m− − + + ≤ + sau 2 2( 1) 2 3x m m− + ≤ + , de unde
( )22 2x m≤ + , deci 2 2m x m− − ≤ ≤ + . Prima inecuaţie, după înlocuire, conduce la x∈ , iar a doua este
2 3 2 2m m m+ + ≤ + , de unde { }2, 1,0m∈ − − . Acum,verificări !!
Metoda 2) Inecuaţia se poate scrie ( ) ( )31 3 2 3m m m+ ⋅ + ≤ + şi avem câteva cazuri : (i) 3m ≤ − (nu conduce la soluţii...) ; (ii) 2m = − , verificare; (iii) 1m = − (verificare) ; (iv) 0m = (verificare);(v) 1m ≥ (se arată că nu obţinem soluţii întregi). □ IX.105 O dreaptă variabilă intersectează laturile AB,BC,CD,DA ale unui dreptunghi respectiv în M,N,P,Q.Să se arate că
2 2
2 2 constant.AB BCNQ MP
+ =
* * *
Soluţie: (Clasa a VII a!) // MN BN MN MPPC MBMP BC BN BC
⇒ = ⇒ = sau
2 2
2 2BN BC BN BCMN MP MN MP
= ⇒ = (1). Din AMQ BMNΔ Δ∼ deducem
AM AQ MQ AB NQBM BN MN BM MN
= = ⇒ = sau 2 2
2 2AB BM AB BMNQ MN NQ MN
= ⇒ = (2).
Din (1) şi (2), cu teorema lui Pitagora,deducem imediat că 2 2
2 2 1 .AB BC constNQ MP
+ = =
Metoda 2: Notăm cu α unghiul format de dreptele MN şi AB ;obţinem
imediat: 2 2
2 22 2 cos sin 1.AB BC
NQ MPα α+ = + = □
IX.106 Să se arate că numărul 0 0sin1 cos1+ este iraţional. * * *
Soluţie: Prin reducere la absurd, presupunem că 0 0sin1 cos1p = + ∈ .
Folosind formula 3cos3 4cos 3cost t t= − ajungem la 0cos36 cos
5q π= = ∈ ; folosim şi
2 3sin sin5 5π ππ⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠, egalitate
care arată că q este rădăcina pozitivă a ecuaţiei 24 2 1 0x x− − = ,adică 1 5
4q += ∈ , fals. (De remarcat că am demonstrat astfel şi egalitatea
1 5cos5 4π += ) □
Clasa a X-a
X.101 Să se determine funcţiile injective :f → cu proprietatea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,f x f y x f y y f x f x y x y⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ∀ ∈ .
Prof. Iacob Didraga, Caransebeş Soluţie: Pentru 0x y= = obţinem (0) 0f = sau (0) 1f = − ; pentru
1x y= = ajungem la (1) 0f = sau (1) 1f = . Dacă (0) 0f = , atunci (1) 1f = şi pentru 1y = deducem
( ) ,f x x x= ∀ ∈ care verifică toate condiţiile din enunţ Dacă (0) 1f = − , pentru 0y = deducem ( ) 1,f x x x= − ∀ ∈ , care verifică deasemenea enunţul. X.102 Să se rezolve ecuaţia [ ] ( ) [ ]2 2 3log log 2 log 2008x x⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ .
cazul nostru avem 2loga x= şi ajungem la [ ] [ ]2 32 log log 2008 6x = =
Avem imediat(sau aproape) )8;8 2 .x ⎡∈ ⎣ □
X.103 Să se arate că lg 25 lg9 lg36 3lg18 lg30 lg15
+ + > .
Prof. Antoanela Buzescu, Caransebeş
ww.neutr
ino.ro
39
Soluţie: Notăm lg 5, lg3, lg 6x y z= = = şi astfel inegalitatea propusă se
scrie 32
x y zy z z x x y
+ + ≥+ + +
(*) - care este destul de cunoscută.
X.104 Să se rezolve ecuaţia 2 (1 ) 4 3 , 0.xa a x a a− = − + − > Concurs Giurgiu 1987
Soluţie: dacă 1a = , avem imediat x∈ ;dacă ( )1 sau 0,1a a> ∈ , 2( ) , ( ) (1 ) 4 3,xf x a g x a x a x−= = − + − ∈
sunt de monotonii(stricte) diferite, deci ecuaţia ( ) ( )f x g x= are cel mult o soluţie. E suficient să observăm astfel o soluţie (!), dacă există, şi astfel aceasta este unica.(Aţi observat, desigur, soluţia 3x = ). □ X.105 Dacă A şi B sunt două mulţimi finite disjuncte cu 4, respectiv 5 elemente, să se determine în câte feluri poate fi ordonată mulţimea A B∪ astfel încât primele două elemente să fie din A, iar ultimele trei elemente să fie din B.
RMCS Răspuns: ( )2 3
4 54! 1440C C⋅ ⋅ = de moduri. □ X.106 Să se determine numerele naturale n pentru care
2
22 4
3n n
nnC C n+ = .
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Soluţie: { }2 22 ,3 0,2,3n n n n n≥ ≥ ⇒ ∈ .Verificări rapide conduc la 2n = .
Clasa a XI-a XI.101 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră mulţimea
( ){ }, / ,L k p k p= ∈ . Să se arate că nu există nici un triunghi echilateral cu toate vârfurile în puncte din mulţimea L.
(variante bacalaureat 2004) Soluţie : Dacă ar exista un astfel de triunghi,cu lungimea laturii x şi aria S,
am avea 2x ∈ şi S∈ ;cum însă 2 34
xS = ∉ , deoarece 3∉ ,
condiţiile iniţiale nu pot fi îndeplinite. XI.102 Se consideră un şir ( ) 1n na
≥crescător de numere reale pozitive
pentru care ( )lim 1 nnn a
→∞⋅ − = ∞ . Să se calculeze ( )1 2lim ... nn
a a a→∞
⋅ ⋅ ⋅ .
Concurs Bucureşti 1987
40
Soluţie : ( )lim 1 0,nnn a nεε
→∞⋅ − = ∞⇒∀ > ∃ ∈ astfel încât ( )1 ,nn a ε⋅ − >
n nε∀ ≥ . Considerând 1ε = avem că există 1n m ∗= ∈ astfel încât pentru
orice : (1 ) 1nn m n a≥ − > , de unde 1,nna n m
n−
< ∀ ≥ . Prin urmare
1 2 1 2 11 10 ... ... ...
1n mm m n ka a a a a a
m m n n−− −
≤ ⋅ ⋅ ⋅ < ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =+
, n m∀ ≥ ,
unde ( )1 2 1... 1mk a a a m−= ⋅ ⋅ ⋅ − este o constantă fixată; trecem acum la limită în inegalităţile precedente şi folosim criteriul cleştelui :
( )1 2lim ... 0nna a a
→∞⋅ ⋅ ⋅ = .
XI.103 Să se determine 0, 1m m> ≠ pentru care 1
lim 01
x
x
m mxx→
−=
−.
Concurs Giurgiu 1987
Soluţie : Notăm 1x y− = şi avem 1
0
( 1)lim 0y
y
m m yy
+
→
− += =
ln .m m m m e= ⋅ − ⇒ = □ XI.104 Să se arate că dacă ( ), : 0,f g → ∞ sunt funcţii continue, atunci
există , 1c c∈ ≠ astfel încât ( )( ) 1
f c cg c c
=−
.
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Soluţie: Egalitatea din concluzie se poate scrie (1 ) ( ) ( ) 0c f c cg c− − = şi astfel încercăm să vedem ce putem obţine cu funcţia
: , ( ) (1 ) ( ) ( )h h x x f x xg x→ = − − . Această funcţie este continuă(!) şi (0) (0) 0, (1) (1) 0h f h g= > = − < ; cum h este continuă, deducem că (Bolzano): există ( )0,1c∈ astfel încât ( ) 0h c = . Concluzia credem că e imediată. Puteţi da un exemplu de funcţii care satisfac enunţul ? Mergeţi până la capăt !□ XI.105 Să se determine funcţiile continue :f → care satisfac ( ) ( ) 2 ( ) , ,f x y f x y f x x y+ + − = ∀ ∈ .
* * *
ww.neutr
ino.ro
41
Soluţie : Sistemul de ecuaţii x y ux y v+ =⎧
⎨ − =⎩ are, pentru orice ,u v∈ ,
soluţii : ,2 2
u v u vx y+ −= = şi astfel ecuaţia funcţională din enunţ conduce
la ( ) ( ) , ,2 2
u v f u f vf u v+ +⎛ ⎞ = ∀ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
(ecuaţia lui Jensen). Dacă funcţia f
verifică această egalitate, atunci şi funcţia : , ( ) ( ) (0)g g x f x f→ = − verifică aceeaşi ecuaţie, este continuă şi (0) 0g = ; pentru 0y = deducem
( ) ( ) ( ), ,g u v g u g v u v+ = + ∀ ∈ , adică ecuaţia lui Cauchy, aşadar g este aditivă şi continuă: există a∈ astfel încât ( ) ,g x ax x= ∀ ∈
( ) ,f x ax b x⇒ = + ∀ ∈ . Soluţia 2 (Prof.Nicolae Stăniloiu) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 0f x y f x y f x f x y f x y f x+ + − = ⇒ + − + + = ⇒
Adunând se obţine ( ) ( )( ) ( ) ( )xfyxfynxfnyxf −+=−+−+ 1 (1) Relaţia (1) o scriem dând lui n valorile 1, 2, .... m şi apoi se adună relaţiile respective obţinându-se: ( ) ( ) ( ) ( )( )xfyxfmxfmyxf −+=−+ , relaţie care o putem scrie şi
astfel: ( ) ( ) ( ) ( )m
xfmmyx
myxmyxfxfyxf −
+++
=−+ .
Facem acum ∞→m şi deducem că există ( )limt
f tt
α→∞
= ∈ şi
deasemenea: ( ) ( ) yxfyxf α=−+ . Luăm acum 0x = şi se va obţine: ( ) ( ) yfyf α=− 0 . Dacă notăm ( ) β=0f atunci se va obţine: ( ) βα += yyf , funcţie care verifică relaţia din enunţ.□
42
XI.106 Se notează { } *1,2,3,..., ,A n n= ∈ şi se consideră o matrice
simetrică ( )nX A∈M care are toate elementele fiecărei linii distincte.Să se determine n astfel încât suma elementelor de pe diagonala principală a matricei X să fie un număr impar.
Gazeta Matematică 1988 Soluţie: (Prof.Nicolae Stăniloiu) : Suma tuturor elementelor matricii este
( ) ( )2
1....3212 +
=++++=nnnnS . Această sumă se poate calcula
însă şi astfel: ∑∑=≤<≤
+=n
iii
njiji aaS
1,
1,2 şi este impară. Trebuie deci ca
( )2
12 +nn să fie impar. Acest lucru se întâmplă doar dacă: 4 1n k= + ,
caz în care mai trebuie să arătăm că există o matrice cu proprietăţile din enunţ. De fapt există o matrice având toate numerele de la 1 la n pe diagonala principală. Vom completa o astfel de matrice doar deasupra diagonalei principale fiind o matrice simetrică.
A=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
−−−
1......................2.....51.....43
......321
n
n
. □
Clasa a XII-a XII.101 Se consideră funcţia :f → , 2 2
1 2( )(1 )
x arctgxf xx
− ⋅=
+.Să se
calculeze 1
10
( )I f x dx= ∫ şi 1
20
( )I x f x dx= ⋅∫ .
Prof.Iacob Didraga,Caransebeş
ww.neutr
ino.ro
43
Soluţie : Folosim identitatea /
2 ( )1arctgx f x
x⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠
şi deducem
2( )1arctgxf x dx C
x= +
+∫ ; utilizăm acum /
2( )1arctgxxf x x
x⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
, metoda
integrării prin părţi, apoi achimbare de variabilă şi ajungem la
( )22( )
21arctgxxxf x dx arctgx C
x= ⋅ − +
+∫ . Calculul final e imediat.□
XII.102 Dacă G este un grup multiplicativ în care, pentru orice
, ,x y z G∈ , avem: 2 2xy z x y z= ⇒ = , să se arate că :
a) { }2 , \x e x G e≠ ∀ ∈ ; b) G este abelian ; c) Orice grup cu proprietăţile a) şi b) are proprietatea din enunţ.
Prof. Marian Andronache, Bucureşti Soluţie : a) Prin reducere la absurd, presupunem că există ,x G x e∈ ≠ cu
2x e= (*) .Pe de altă parte, pentru orice 2 2a G a ae ae ea x a∈ ⇒ = = = = şi astfel condiţia din enunţ conduce la e x= ,contradicţie cu (*) ;
b) pentru x,y oarecare din G avem : 2( )y xy yxyx= şi ( )2yx y yxyxy= ,
deci ( )22( )y xy yx y= şi,folosind aceeaşi condiţie din enunţ, deducem xy yx= ;
c)dacă , ,x y z G∈ satisfac 2 2xy z x= (●), din b) avem 2 2 2 2 , ,xy z x y z y z G= ⇒ = ∀ ∈ ( **).
Pe de altă parte, avem ( )21 1 1 2 2yz yz yz y z− − − −= = şi,cu ( **), deducem 1( )yz e− = . Folosim acum condiţia a) şi avem 1( )yz e y z− = ⇒ = (●●).
XII.103 Să se dea un exemplu, justificând alegerea făcută, de funcţie
:h → neconstantă derivabilă pentru care ( )1
0
( ) ' 2h x x h x dx⎡ ⎤+ ⋅ =⎣ ⎦∫ .
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu
44
Soluţie: Considerăm :f → , ( ) ( )f x x h x= ⋅ care este derivabilă, cu
( )'( ) ( ) 'f x h x x h x= + ⋅ , de unde ( )1
0
( ) ' (1) (0) 2h x x h x dx f f⎡ ⎤+ ⋅ = − =⎣ ⎦∫ .
Cum (1) (1), (0) 0f h f= = , trebuie să alegem h, neconstantă, cu (1) 2h = . De exemplu, putem încerca cu ( ) 1h x x= + … □
XII.104 Să se calculeze 1
0 21
1
arctgx dxarctg
x x− +
∫ .
Prof. Călin Burduşel, Tîrgovişte, Gazeta Matematică 1987
Soluţie: Folosim: ( )1 1tga tgb tga tgbtg a b a b arctg
tga tgb tga tgb⎛ ⎞+ +
+ = ⇒ + = ⎜ ⎟− ⋅ − ⋅⎝ ⎠
dacă aici considerăm , (1 )a arctgx b arctg x= = − , ajungem la identitatea
21(1 )
1arctgx arctg x arctg
x x+ − =
− +. Avem astfel pentru
1
0 21
1
arctgxI dxarctg
x x
=
− +
∫ , cu schimbarea de variabilă 1t x= − ,
0 1
1 0
(1 ) (1 )( 1)(1 ) (1 )
arctg t arctg tI dt dt Jarctgt arctg t arctgt arctg t
− −= − = =
+ − + −∫ ∫ .
Observăm acum că 12 12
I J I I+ = = ⇒ = .□
XII.105 Să se calculeze limita şirului ( ) 1n na≥
definit prin
1
20
, 13 2
n
nxa dx nx x
= ≥+ +∫ . * * *
Soluţie: avem 1
0
( ) , 1nna x f x dx n= ⋅ ≥∫ , unde [ ]: 0,1f → este o funcţie
continuă (în cazul nostru 21( )
3 2f x
x x=
+ +). Deoarece funcţia este
continuă, avem că există ,m M ∈ cu [ ]( ) , 0,1m f x M x≤ ≤ ∀ ∈ ;
ww.neutr
ino.ro
45
înmulţim cu 0nx ≥ şi apoi integrăm pe intervalul [ ]0,1 . Ajungem la
1 1nm Ma
n n≤ ≤
+ +şi, cu teorema cleştelui, limita cerută este evident 0 . □
XII.106 Să se calculeze 2 3
2
cos1 x
xI dxe
π
π−
=+∫ .
Prof. Liliana Niculescu, Craiova,GM 1988 Soluţie : Folosim schimbarea de variabilă x t= − şi avem:
( )2 23 3
2 2
cos cos11 1
t
t tt e tI dt I dt J
e e
π π
π π
−
−
−
− ⋅= − = = = ⇒
+ +∫ ∫2
3
2
cos 2I J xdx I
π
π−
+ = =∫ şi
de aici vă descurcaţi.
46
Concursul Judeţean al Revistei de Matematică Caraş-Severin, Ediţia a IV-a
Regulament: Ediţia a IV-a a Concursului Revistei a demarat cu problemele
propuse în numărul anterior. Fiecare elev trebuie să rezolve(subliniem din nou: singur!; altfel e posibil să vă treziţi calificaţi la concurs şi acolo să nu faceţi mare lucru, daţi naştere la întrebări şi credem că nici n-o să vă simţiţi prea bine), aşadar să rezolve cât mai multe probleme de la clasa sa, de la clasa precedentă sau de la orice clasă superioară. Redactaţi îngrijit fiecare problemă pe câte o foaie separată(enunţ + autor + soluţie + numele vostru +clasa), completaţi talonul de concurs de pe ultima copertă a revistei şi trimiteţi totul într-un plic format coală ministerială, adresat astfel: Prof.Lucian Dragomir, Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu, str.Republicii 10-12, 32570, Oţelu-Roşu, Caraş-Severin (în colţul din dreapta jos a plicului), cu menţiunea “probleme rezolvate, clasa ….”(în colţul din stânga jos, scrieţi evident clasa în care sunteţi). Colţul din stânga sus vă este rezervat (expeditor), acolo vă scrieţi numele, prenumele, adresa. Insistăm asupra trimiterilor în plic(nu în folii de plastic) şi asupra respectării cu stricteţe a termenelor finale indicate de fiecare dată-plicurile primite după data limită nu vor fi luate în considerare. După data limită de trimitere a soluţiilor, acestea sunt evaluate şi în numărul următor al revistei vor fi publicaţi toţi rezolvitorii cu punctajele obţinute. La ediţia a IV-a a concursului vor fi selectaţi concurenţii în funcţie de punctajele obţinute din rezolvarea problemelor publicate în numerele 23, 24, 25 şi 26 ale revistei noastre. În jurul datei de 20 ianuarie 2009 se va întocmi clasamentul general(prin însumarea punctelor obţinute) şi astfel primii clasaţi vor fi invitaţi, împreună, ca şi în acest an, să participe la concurs; acesta va avea loc în luna februarie sau martie, într-un oraş care va fi anunţat în timp util . Subiectele vor fi alese tot din probleme de genul RMCS sau G.M. sau ceva cât de cât nou. Veţi remarca, desigur, că unele probleme pe care vi le propunem sunt din numere mai vechi ale Gazetei Matematice, în speranţa că vă vom trezi interesul pentru una dintre cele mai serioase şi vechi reviste de matematică din lume. Abonaţi-vă la Gazeta Matematică, sigur veţi avea numai de câştigat! Din nou, spor la treabă tuturor: elevi, profesori, părinţi sau prieteni! (Informaţii suplimentare se pot obţine la: prof.Ovidiu Bădescu, tel:0255/225544 sau prof. Lucian Dragomir, tel: 0255/530303 sau 0722/883537, e-mail: [email protected]). ■
ww.neutr
ino.ro
47
Probleme propuse (soluţiile se primesc până în data de 25 august 2008; plicurile primite
după această dată nu au cum să mai fie luate în considerare!)
Clasa a IV-a IV.107 Numerele naturale a,b,c verifică egalităţile: 2 8,3 4 18,2 3 13a b c a b c a b c+ + = + + = + + = .
i) Să se calculeze 2 3 ;a b c+ + ii) Dacă 1c = , există un număr natural d astfel încât
2 10a b d+ = ⋅ ? Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu
IV.108 Dacă a este sfertul numărului 36, b este triplul numărului 10, iar c este jumătatea numărului 18, să se arate că există numerele x, y, z pentru care: i) 3 a x b× + = ; ii) 2 c y b× + = ; iii) x z y+ = .
Inv. Elisaveta Vlăduţ, Reşiţa IV.109 Două stilouri şi trei creioane costă 11 lei,iar cinci stilouri şi patru creioane costă 24 lei.
a) Cât costă un creion şi un stilou? b) Dacă un stilou costă cât costă cât patru creioane,cât costă
şapte creioane şi două stilouri? Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu
IV.110 Suma a cinci numere naturale consecutive este 2000. Calculaţi jumătatea celui mai mic dintre cele cinci numere.
Inv. Elisaveta Vlăduţ, Reşiţa IV.111 Liviu şi Mihai au împreună 24 de creioane. Jumătate din numărul creioanelor lui Liviu este exact cât un sfert din numărul creioanelor lui Mihai. Câte creioane are fiecare dintre cei doi?
Inst. Lidia Todor, Caransebeş IV.112 Bogdan îşi alege un număr, îl înmulţeşte cu 2, apoi numărul obţinut îl înmulţeşte cu 3, iar noul număr obţinut îl înmulţeşte cu 4. Adunând numărul 4 la ultimul număr la care a ajuns, Bogdan a obţinut numărul 100. Oana îşi alege şi ea un număr, îl înmulţeşte cu 5 şi, la numărul obţinut, adună numărul 5; Oana ajunge astfel tot la numărul 100. Care dintre cei doi fraţi şi-a ales un număr mai mare?
Prof. Marius Şandru, Reşiţa
48
IV.113 Într-un copac se odihnesc 11 păsări, ciori şi rândunele la un loc. Un vânător alungă printr-un foc de armă două ciori şi două rândunele. După două focuri de armă, în copac rămân 3 păsări. Puteţi găsi câte rândunele au fost la început în copac?
Prof. Delia şi Adrian Dragomir, Caransebeş IV.114 Ioana are în curte două zambile roşii, două lalele galbene, două lalele roşii şi două zambile galbene. În câte feluri poate alege Ioana flori din grădină pentru a alcătui un buchet format din trei flori de aceeaşi culoare?
Prof. Delia şi Adrian Dragomir, Caransebeş
Clasa a V-a V.107 Pentru fiecare n∈ se notează 5 2, 5 3n na n b n= + = + . a) Să se arate că pentru orice n∈ , există k∈ astfel încât 5 n nk a b⋅ = + ; b) Să se arate că nu există , ,i j k∈ astfel încât k i jb a a= + ;
c) Să se arate că există cel puţin trei numere naturale n pentru care n na b+ este pătrat perfect;
d) Să se arate că nu există n∈ pentru care cel puţin unul dintre numerele na şi nb este pătrat perfect ; e) Există n∈ pentru care n na b⋅ este pătrat perfect ?
Prof. Adriana Dragomir, Oţelu-Roşu V.108 Patru prieteni practică fiecare câte un alt sport şi poartă pe tricouri numere diferite. Se ştie că: a) Bogdan nu joacă baschet şi nu are pe tricou numărul 7; b) Laurenţiu joacă fotbal; c) Daniel are pe tricou numărul 5; d) Mihai nu are numărul 6 şi nu joacă baschet ; e) Cel care joacă handbal are numărul 7; f) Cel care are numărul 10 joacă fotbal. Puteţi găsi ce sport practică Bogdan, ce număr are Bogdan pe tricou şi ce sport practică Daniel?
Prof. Marius Şandru, Reşiţa V.109 Să se găsească numărul perechilor ( ),a b de numere naturale
pentru care ( )2 36a a b⋅ + = . Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa
ww.neutr
ino.ro
49
V.110 Pentru fiecare număr natural n , se notează (5 4)( 7)na n n= + + . a) Să se arate că pentru orice n∈ , na este număr par ;
b) Să se determine câte elemente are mulţimea { }/ 2008nM n a= ∈ < Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa
V.111 Să se studieze dacă numărul 2006 2007 20082005 2006 2007A = + + este pătrat perfect.
Prof. Marius Şandru, Reşiţa V.112 Un grup de patru numere naturale (nu neapărat distincte) se numeşte grup frumos dacă suma a două dintre numere este egală cu suma celorlalte două; de exemplu, grupurile ( )1,1,3,3 şi ( )2, 4,5,7 sunt frumoase. a) Să se determine x∈ pentru care grupul ( ),3,3 ,7x x este frumos;
b) Dacă { }1, 2,3,..., 2008y∈ , să se determine câte grupuri frumoase de
forma ( ), 1,6,7x x + există? Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu
V.113 Într-o familie de 4 persoane suma vârstelor acestora este de 97 de ani.Băiatul s-a născut când tatăl avea 23 de ani, iar fata s-a născut când mama avea 22 de ani şi fratele său 4 ani. Puteţi găsi ce vârstă are fiecare?
Prof. Mariana Drăghici, Reşiţa V.114 Să se găsească cele mai mici trei numere naturale a,b,c consecutive a căror sumă este un număr care are ultimele patru cifre 2,0,0,8.
Prof. Adriana Dragomir, Oţelu-Roşu
Clasa a VI-a VI.107 Se consideră numerele
1 1 1 1...4 5 6 2008
A = + + + + şi
3 4 5 2007...4 5 6 2008
B = + + + + .
c) Să se arate că A B+ este număr natural ;
d) Să se arate că 2005 2005
2B A< − < .
Prof. Delia şi Adrian Dragomir, Caransebeş
50
VI.108 Numerele naturale , , 4a b sunt direct proporţionale cu numerele 2,3, respectiv c . Poate fi numărul a b c+ + pătrat perfect?
Prof. Marius Şandru, Reşiţa VI.109 În triunghiul ABC mediatoarea laturii (BC) intersectează latura (AC) în punctul D. Dacă ( ) 3 ( )m ABC m ACB= ⋅ şi ( ) ( )AB BD≡ , puteţi determina măsurile unghiurilor triunghiului ABC ?
Istodor Cosmin, elev, Oţelu-Roşu VI.110 Se consideră o mulţime M care satisface următoarele proprietăţi;
a) dacă x M∈ ,atunci 3 1 ;
2x M+
∈
b) dacă 4 1
3x M+
∈ , atunci x M∈ .
Să se arate că:
i) dacă 1 M∈ ,atunci 72
M∈ ;
ii) dacă 3 M∈ ,atunci 234
M∈ .
Prof. Heidi Feil, Oţelu-Roşu VI.111 Să se determine cifra x ştiind că numărul
1 1 1
0, ( ) 0,0( )x x x+ + este număr natural.
Gazeta Matematică 2002 VI.112 Într-un triunghi lungimile laturilor sunt exprimate prin numere naturale pare. Dacă lungimea unei laturi a triunghiului este egală cu 2, arătaţi că triunghiul este isoscel.
Concurs Iaşi VI.113 Să se determine numerele naturale nenule a, b, c pentru care
1 1 1a b c
b c a+ + +
= = ∈ .
Prof. Delia şi Adrian Dragomir, Caransebeş VI.114 Segmentele (AB) şi (CD) sunt incluse în dreapta d. Se ştie că
7AB cm= şi 5CD cm= . Indicaţi un mod de a delimita pe dreapta d, numai cu ajutorul compasului, un segment (BE) cu lungimea de 1cm.
Prof. D.M.Bătineţu-Giurgiu, Mircea Fianu, Bucureşti
ww.neutr
ino.ro
51
Clasa a VII-a VII.107 Să se arate că dacă două numere reale mai mari decât 1 au produsul egal cu 2, atunci suma lor este mai mică decât 3.
Prof. Nistor Budescu, Dalboşeţ VII.108 Bogdan scrie pe tablă două numere, iar Oana le şterge şi scrie produsul şi modulul diferenţei lor. Pe tablă sunt scrise şi acum însă numerele scrise de Bogdan. Puteţi găsi ce numere a scris Bogdan pe tablă ?
Prof. Marius Şandru, Reşiţa VII.109 Să se găsească mulţimile A şi B care au fiecare câte 3 elemente ştiind că satisfac următoarele proprietăţi : a) 4 ;A B∈ ∩
b) 2x A x A∈ ⇒ ∈ ; c) suma elementelor mulţimii B este triplul sumei elementelor mulţimii A.
Prof. Marius Şandru, Reşiţa VII.110 Fie ABCD un dreptunghi şi ( )M CD∈ astfel încât
2 2 .MD MC BC= = Să se determine măsura unghiului ascuţit determinat de dreptele BD şi AM.
Olimpiadă Iaşi VII.111 Se consideră numerele naturale nenule a, b, c, d care satisfac:
11
a b abc d cd
+= =
+. Să se calculeze
a db c++
.
Concurs Rusia VII.112 Pentru un examen, comisia a pregătit 8 probleme. Fiecare student primeşte spre rezolvare câte 3 probleme, oricare doi primind cel mult o problemă comună. Care este numărul maxim de studenţi care pot participa în aceste condiţii la examen ?
Concurs Baltic VII.113 Să se determine numerele prime a, b, c care verifică egalitatea 5 10a b c a b c+ + = ⋅ ⋅ .
Prof. Aurel Bârsan, Braşov VII.114 Se consideră triunghiul ABC în care P este mijlocul laturii (BC). Fie ( ) ( ),M AB N AC∈ ∈ astfel încât //MN BC şi { } .Q MP BN= ∩ Perpendiculara din Q pe dreapta AC intersectează pe AC în R şi paralela prin B la AC în T. Să se arate că : a) // ;TP MR b) MRQ PRQ≡ .
Prof. Mircea Fianu, Virgil Nicula, Bucureşti
52
Clasa a VIII-a VIII.107 Graficele funcţiilor , : , ( ) , ( ) ,f g f x ax b g x cx d→ = + = +
0ac ≠ sunt cele din desenul de mai jos, iar punctul indicat pe axa Oy este (0, 2).A
Să se arate că dacă triunghiul ABC este dreptunghic în A şi are aria egală cu 4, atunci triunghiul este isoscel.
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu
VIII.108 Să se determine numerele prime p, q pentru care 2 22 1p q− = . * * *
VIII.109 Să se calculeze aria maximă a unui patrulater cu lungimile laturilor 1, 4, 7 şi 8 . * * * VIII.110 Să se determine numerele întregi a şi b care satisfac:
1 1 4
3a b+ = şi
2 2a bb a+ −
= .
Prof. Ovidiu Bădescu, Reşiţa VIII.111 Să se determine numerele întregi m pentru care
23 2
3 2m
m m+
∈+ +
.
Prof. Marius Şandru, Reşiţa VIII.112 Un elev are 10 bile numerotate cu numerele 1, 2, 3,..., 9, 10. El trebuie să le pună în trei urne identice astfel încât în nici o urnă să nu fie două bile numerotate cu numere consecutive.În câte câte moduri se poate face acest lucru?
Shortlist, ONM, 2002 VIII.113 a) Să se arate că pentru orice , ,x y z∈ este adevărată
inegalitatea ( ) ( )2 3x y z xy yz zx+ + ≥ + + ; b) Dacă a, b, c sunt numere reale pozitive cu 1abc = , să se arate că:
3 61
a b c ab bc ca+ ≥
+ + + +.
Prof. Mircea Lascu, Vasile Cârtoaje
ww.neutr
ino.ro
53
VIII.114 Se consideră dreptunghiurile ABCD şi AEFG astfel încât punctele B, E, D, G să fie coliniare (în această ordine). Dacă T este punctul de intersecţie al dreptelor BC şi FG, iar H punctul de intersecţie al dreptelor DC şi FE, să se arate că punctele A, H şi T sunt coliniare.
Prof. Mircea Fianu, Bucureşti
Clasa a IX-a
IX.107 Să se arate că: [ ]
[ ]11 52 , 01 1 2
xx xx x
++≤ + ≤ ∀ ≥
+ +, unde [ ]a
reprezintă partea întreagă a numărului real a. Prof. Pavel Rîncu, Dalboşeţ
IX.108 Să se rezolve ecuaţia: 5 94 9 9
xx x
= ++ +
.
Prof. Alfred Eckstein, Viorel Tudoran, Arad IX.109 Se consideră numerele reale , , , 0a b c a ≠ , pentru care 2ac b> . Să se arate că dacă 2a c b+ > , atunci 4 4 .a c b+ >
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu IX.110 Să se arate că dacă ( ), 0, 2x y∈ şi 1x y⋅ = , atunci
2 2
22 2
x y
y y x x+ ≥
− −.
Prof. Ovidiu Bădescu, Reşiţa IX.111 Să se determine a∈ pentru care există ,x y∈ astfel încât
2
2 22
x xy a
y xy a
⎧ − =⎪⎨
+ =⎪⎩.
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu IX.112 Se notează cu O şi H centrul cercului circumscris, respectiv ortocentrul triunghiului ABC. Să se arate că dacă HA OA= şi HB OB= , atunci .HC OC=
Prof.Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu
54
IX.113 Să se determine funcţiile :g → ştiind că: a) ( 1) ( ) ( 1) 1 , ;x g x x g x x+ ⋅ − ⋅ + = ∀ ∈ b) (4), (12), (24)g g g sunt pătrate perfecte.
Prof. Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu IX.114 Graficul funcţiei 2: , ( ) , ,f f x x ax b a b→ = + + ∈ , este cel din desenul de mai jos: a) Dacă (0,1)A şi B este punctul de tangenţă cu Ox, puteţi determina a şi b? b) Să se arate că există C şi D puncte distincte pe graficul funcţiei date astfel încât ariile triunghiurilor ABC şi ADC reprezintă un acelaşi număr întreg.
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu
Clasa a X-a
X.107 Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia :
6
31 1 1 14 27 32
xx x ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.
Prof. Alfred Eckstein, Viorel Tudoran, Arad
X.108 Să se arate că pentru orice n ∗∈ , numărul ( )
33 !
( !)n
n este natural.
* * * X.109 Să se determine numărul funcţiilor { } { }: 1, 2,3, 4,5,6,7 0,1f → pentru care (1) (2) ... (7) 3f f f+ + + = .
Elev Istodor Cosmin, Oţelu-Roşu X.110 Să se arate că există un singur număr întreg x pentru care
22 2log
1xx xx
+ =+
.
Prof. Ovidiu Bădescu, Reşiţa X.111 Să se găsească în câte feluri poate fi ales un număr impar de obiecte având la dispoziţie n obiecte.
* * *
ww.neutr
ino.ro
55
X.112 Se consideră 3 1n + obiecte, dintre care n sunt identice, iar restul diferite. Să se determine în câte feluri se pot alege n obiecte dintre cele 3 1n + considerate.
* * *
X.113 Să se calculeze 3
1
nk
n nk
S k C=
= ⋅∑ .
* * * X.114 Să se arate că în orice triunghi de laturi a,b,c este adevărată inegalitatea
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 3a b c a b c a b c a b c abc+ − + + − + + − ≤ .
* * *
Clasa a XI-a
XI.107 a) Să se arate că există cel puţin două funcţii derivabile :f → pentru care 2'( ) 1,f x x x x= + + ∀ ∈ ;
b) Să se arate că există o singură funcţie derivabilă :g →
pentru care (0) 0g = şi '( ) ( ).xg x e g x= + Prof. Nicolae Stăniloiu, Bocşa
XI.108 Să se demonstreze că : cos sin 1x x x⋅ + ≥ , 0,2
x π⎡ ⎤∀ ∈⎢ ⎥⎣ ⎦.
* * * XI.109 Să se arate că dacă numerele reale a, b, c unde 0c ≥ , satisfac relaţiile 2 3 3, 3 4 4,2 1a b c a b c a b c+ + = + + = − + = , atunci
0.a b c− + ≥ Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu
XI.110 Să se demonstreze că 2ee e
e
ππ π< < ⋅ .
Prof. Nicolae Stăniloiu, Bocşa
56
XI.111 Pentru orice funcţii derivabile , :f g → se notează
{ }/ ( ) ( )A x f x g x= ∈ = . Să se arate că dacă { }0A = ,atunci există
3( ) , 0f x ax bx c a= + + ≠ este cel alăturat. Să se arate că 0abc < .
Prof.Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu
XI.113 Se consideră matricea ( )21 22 3
A−⎛ ⎞
= ∈⎜ ⎟−⎝ ⎠M .
a)Să se arate că pentru orice ( )2,1B∈M , există o unică matrice
( )2,1B∈M astfel încât A X B⋅ = ;
b) Să se arate că există ,m n∈ astfel încât 32A mA nI= + ;
c) Să se determine numărul perechilor ( , )x y de numere întregi pentru
care 2
2 33 5 7
x yx y
x y
≥⎧⎪ ≥⎨⎪ − ≤⎩
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu
XI.114 Se consideră funcţia ( ) R→∞,:f 0 , ( ) 2
1x
xf = .
a) Să se arate că f este strict descrescătoare pe ( )∞,0 ;
b) Să se arate că: 1445211
14425
22 <+<πe
.
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu
ww.neutr
ino.ro
57
Clasa a XII-a (a XI-a)
XII.107 Pentru orice numere reale x şi y se notează x y x y xy∗ = + + . a) Să se arate că există a∈ astfel încât
( ) ( 1)( 1)( 1) , , ,x y z x y z a x y z∗ ∗ = + + + + ∀ ∈ ;
b) Să se calculeze 1 1 11 ...2 3 2008
∗ ∗ ∗ ∗ ;
c) Să se determine toate numerele reale b pentru care avem: ,x y b x y b∀ ≥ ⇒ ∗ ≥ .
* * * XII.108 Se consideră mulţimea
( )2 22
10/ , , 10 1
a bG a b a b
b a⎧ ⎫⎛ ⎞
= ∈ − = ⊂⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
M ;
a) Să se arate că G ≠ ∅ ; b) Să se arate că pentru orice X G∈ , există Y G∈ astfel încât 2XY I= c) Să se arate că mulţimea G este infinită. * * * XII.109 Pentru orice ( ), 5,x y∈ ∞ se notează 5 5 30x y xy x y= − − + .
a) Să se arate că ( )5,x y∈ ∞ ;
b) Să se arate că pentru orice ( )5,a∈ ∞ , există ( )5,b∈ ∞ astfel
încât 6a b = ;
c) Să se determine , ,x y z pentru care x y zy z xz x y
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
* * * XII.110 Se consideră funcţia ( ): 0, , ( ) ln ,n
n nf f x x x n ∗∞ → = + ∈
Să se demonstreze că dacă nx este soluţia ecuaţiei ( ) 0nf x = , atunci şirul
( ) 1n nx ≥ este convergent. Să se determine limita şirului ( ) 1n nx ≥ .
* * * XII.111 Pentru fiecare t∈ se consideră 3 2: , ( )t tf f x x t x→ = + .
58
a) Să se arate că tf este bijectivă;
b) Să se arate că funcţia 1: , ( ) (1)tg g t f −→ = este continuă în 0. * * *
XII.112 Se consideră o funcţie [ ]: 1,1f − → de două ori derivabilă cu (0) 0f = şi '(0) 1.f =
a) Să se arate că dacă [ ]'( ) 1, 0,1f x x≥ ∀ ∈ , atunci 1 1( ) , ,12 2
f x x ⎡ ⎤≥ ∀ ∈⎢ ⎥⎣ ⎦;
b) Să se calculeze ( )1
0lim 1 ( ) xx
f x→
+ .
* * * XII.113 Să se determine cel mai mare număr real a pentru care
2 1 ln , .x a x x+ ≥ + ∀ ∈ * * *
XII.114 Să se determine numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei xx e m−+ = , unde m este un număr real oarecare.
* * *
ww.neutr
ino.ro
59
Rubrica rezolvitorilor Punctaje obţinute pentru rezolvarea probemelor din
RMCS nr.23 (în paranteză apar punctajele realizate pentru ediţia a IV-a a
Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Delia Dragomir, Iacob Didraga) Bona Petru 88, Prunar Victor 160, Hurduzeu Iconia 57. Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Antoanela Buzescu) Marta Sebastian 88. Liceul Traian Lalescu Reşiţa (Prof. Ovidiu Bădescu) Simion Larisa 60, Popovici Georgian 87, Meşter Sergiu 57. Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Lucian Dragomir) Atinge Carina 42, Cococeanu Oana 58, Stefănigă Sebastian 38.. Liceul Gen.Dragalina Oraviţa(Prof.Mihai Lazarov) Pricop Romina 40.
ww.neutr
ino.ro
63
Clasa a X-a
Liceul Tata Oancea Bocşa (Prof.Ioan Todor) Stăniloiu Ovidiu 78. Liceul Hercules Băile Herculane (Prof.Constantin Bolbotină) Stolojescu Anca 50 Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Lavinia Moatăr) Moatăr Alexandra 60, Jdioreanţu Doriana 27, MiculescuMatei 47, Colţan Călin 47, Blidariu Florentina 52, Timofte Andrei 47, Megan Ligia 60, Milcu Roxana 108, Enăşel Ion 57, Dumitrescu Otilia 47, Ciobanu Claudiu 47, Humiţa Gheorghe 42, Stefan Emanuel 47, Carabin Claudia 47,Neamţiu Nicoleta 47, Babeu Nicolae 38, Bîrsan Mirela 57, Muntian Adriana 47, Săbăilă Marius 47, Blidariu Florentina 55, Voinea Alexandra 40, Hromei Diana 57, Teodorescu Silviu 38. Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Antoanela Buzescu) Mureşan Ana-Maria 90, Mureşan Alexandru Ioan 90. Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Lavinia Moatăr, Prof. Iacob Didraga) Ţiu Mihai 28, Bălulescu Bianca Veronica 40, Galamba Ionel Marinel 48, Aghescu Alina Mihaela 27, Cristescu-Loga Cerasela 58, Ionaşcu Simona-Suzzana 45, Florea Maria Adelina 27, Turnea Ana-Maria 45, Negrei Mihaela 45, Stolojescu Oana 45, Turnea Adasena 50, Train Anca 40, Rotaru Nicolae 27, Toth Lavinia 28 Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Lucian Dragomir) Bugariu Dan 75, Lupu Vlad 50, Moisescu Mihaela 30. un plic(de fapt foi într-o folie de plastic!) nu are indicat absolut nimic: nume, clasă, şcoală...
Clasa a XI-a
Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Lavinia Moatăr) Gurgu Caius 30, Kremer Emanuela 30, Iliescu Marcel 30, Ciortan Marius 30. Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu ( Prof. Lucian Dragomir)Unguraş Dragoş 70, Buzuriu Alina 30, Dragomir Lucia 30, Beg Apostol 30.
Clasa a XII-a
Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Lavinia Moatăr , Prof. Delia Dragomir) Popovici Daniel 50, Drăgoi Georgiana 50, Cojocariu Carolina
64
50, Aghescu Loredana 40, Roiban Florin 50, Roşca Alexandru 40, Dochin Luminiţa 50, Cărăbaş Florentina 50, Stănescu Alexandru Alvin 50, Piele Cristian 50, Humiţa Sorin 40, Mutuleanu Alexandra 60, Burghelea Dragoş Bogdan 40, Cuţitoi Simina 40, Ştefănuţ Paula Loredana 50 (mulţumiri pentru coli), Işfănuţ Elena 50, Voinea Alexandra 40(n-am înţeles şcoala!), Goga Anca 30, Guţulescu Oana Lavinia 40, Zoican Andrei 40, Stefan Iacob Bogdan 50, Usatenco Andreea 40, Lulariu Mihaela Elena 50, Pleşa Andra 40, Cherciu Patricia 40. Rugăm insistent să respectaţi regulile de trimitere a soluţiilor exact cum sunt indicate pe ultima copertă !
Primăvara la Timişoara
Nicolae Stăniloiu, Bocşa În perioada 29 aprilie-3 mai, Timişoara a fost gazda Olimpiadei Naţionale de Matematică. Lotul judeţului nostrum, însoţit de cel ce semnează aceste rânduri,a fost format din şapte elevi (Szabo Cristian, Milcu Roxana, Timofte Andrei-Caransebeş, Simion Larisa, Popovici Doru-Reşiţa, Stăniloiu Ovidiu-Bocşa, Unguraş Dragoş-Oţelu-Roşu); elevii noştri s-au comportat bine în concurs, depăşind performanţele obţinute cu un an înainte: trei menţiuni ale MECT, o medalie de argint şi două de bronz, obţinute de Doru, Roxana şi Ovidiu. Prin urmare, anul viitor echipa noastră va fi formată din 9 elevi. Trebuie, din nou, să subliniem că e extraordinar să ajungi până la acest nivel al competiţiei şi deci, chiar dacă nu ai învins în acest an, eşti evident printre câştigători, roadele muncii tale fiind vizibile un pic mai încolo… Mai remarcăm aici că Prof. Lucian Dragomir a fost printre cei patru aleşi de elevi pe lista autorilor problemelor frumoase propuse în concurs. Vacanţă plăcută şi spor la treabă, nu uitaţi să vă mai relaxaţi şi citind matematică, rezolvând probleme!
