Bădescu Ovidiu Golopenţa Marius Chiş Vasile Iatan Rodica Dragomir Adriana Moatăr Lavinia Dragomir Lucian Pistrilă Ion Dumitru Drăghici Mariana Stăniloiu Nicolae Didraga Iacob Şandru Marius Gâdea Vasilica Şuşoi Paul
Redacţia
Redactor-Şef: Dragomir Lucian Redactor-Şef Adjunct:Bădescu Ovidiu Redactori principali: Dragomir Adriana Neagoe Petrişor Stăniloiu Nicolae Responsabil de număr: Stăniloiu Nicolae
● Câteva gânduri ……………………………………... Pag. 4 ● Chestiuni metodice, note matematice ■ La graniţa dintre aritmetică şi algebră (Mariana Mitrică) ....... ■Caracteristici cantitative în limba vorbită/scrisă
(Mircea Iucu) ....
Pag. 5 Pag. 12
■ Generalizarea unei probleme de olimpiadă (Steluţa şi Mihai Monea)................. ■ Generalizarea unei probleme de concurs (Nicolae Stăniloiu) ………............. ■ Omotetii (Lucian Dragomir, Petrişor Neagoe) ...............................
Pag. 15
● Probleme rezolvate …………………………………... Pag. 20 ● Probleme propuse ……………………………………. Pag. 41 ● Rubrica rezolvitorilor ………………………………… Pag. 51
4
Câteva gânduri
● În măsura în care legile matematicii se referă la realitate, ele nu sunt certe şi în măsura în care sunt certe, ele nu se referă la realitate.
Albert Einstein
● Când lucrez la o problemă nu mă gândesc niciodată la frumuseţe. Mă gândesc numai să rezolv problema. Dar când am terminat, dacă soluţia nu e frumoasă, ştiu că e greşită.
Richard Fuller
● Dacă nu o puteţi exprima prin numere, cunoaşterea voastră e săracă şi nesatisfăcătoare.
Lord Kelvin
● Eternitatea e foarte lungă; în special spre sfârşit. Woody Allen
●Universul nu poate fi citit până când nu ne familiarizăm cu limbajul şi caracterele în care este scris. El e scris în limbaj matematic, iar literele sunt triunghiuri, cercuri şi alte figuri geometrice, fără de care, omeneşte este imposibil să pricepi un singur cuvânt.
Galileo Galilei
●Chiar şi un ilustru matematician rămâne aproape întotdeauna necunoscut marelui public. Aventurile lui sunt, de regulă, atât de bine ferecate în craniul său că numai un alt matematician manifestă interes pentru ele.
Martin Gardner ● Posibilitatea de a susţine un lucru fără a-l accepta este semnul unei minţi educate.
Aristotel
ww.neutr
ino.ro
5
La graniţa dintre aritmetică şi algebră Mariana Mitrică
Consideraţiile practice expuse în acest material vin în
sprijinul elevilor din clasele I-IV, dar şi al părinţilor care se implică în pregătirea suplimentară a copiilor lor. Explicându-le doar algebric soluţiile unor exerciţii şi probleme,întâmpină rezistenţă din partea copiilor care ripostează, spunând: „Nu aşa am învăţat la şcoală”! De-a lungul anilor, mi-a fost dat, şi nu de puţine ori, în cadrul întâlnirilor cu părinţii, să le explic aritmetic rezolvarea unor exerciţii şi probleme pentru ca aceştia să nu intre în contradicţie cu copiii lor. Ca ramuri ale aceleiaşi discipline, aritmetica şi algebra au puncte comune, iar înţelegerea uneia dintre ele facilitează şi înţelegerea celeilalte.
Încă din primul an de şcoală, elevii se familiarizează cu exerciţii de tipul:a + 2 = 8; 5 + a = 9; 7 – a = 3; a – 4 = 4.Cunoscându-se terminologia specifică operaţiilor de adunare şi scădere, li se cere să afle termenul necunoscut, respectiv descăzutul şi scăzătorul. Având ca suport de lucru relaţiile deja stabilite şi cunoscute, elevii rezolvă cu destulă uşurinţă exerciţiile, făcând astfel un prim pas în înţelegerea ecuaţiilor simple, fără a cunoaşte denumirea acestora.
La această vârstă, explicaţia rezolvării exerciţiilor se rezumă la următoarele aspecte:
• termenul necunoscut al unei adunări se află scăzând din sumă termenul cunoscut;
• descăzutul se află adunând restul (diferenţa) cu scăzătorul; • scăzătorul se află scăzând din descăzut restul.
În clasele următoare ale ciclului primar, gradul de dificultate al exerciţiilor propuse spre rezolvare începe să crească.Exemplific, în acest sens, două exerciţii date spre rezolvare elevilor din clasele a II-a şi a III-a la Testul de evaluare în matematică, concurs organizat la nivel naţional în data de 17 noiembrie, anul curent. • Aflaţi termenul necunoscut din egalitatea: 8+7 = 16 – a (clasa a II-a); 943 – 721 = x – 71 (clasa a III-a).
6
În ambele cazuri, elevii au rezolvat mai întâi adunarea, respectiv scăderea din membrul stâng al egalităţii, apoi au aflat valorile lui a şi x. 8 + 7 = 16 - a 15 = 16 - a a = 16 -15 a = 1 La clasa a III-a, soluţia a fost următoarea:
943 721 71 222 71 222 71 293
xx
xx
− = −= −= +=
Aşezarea diferenţei în faţa semnului egal n-a creat probleme elevilor, aceştia sesizând uşor semnificaţia lui a, respectiv, a lui x în operaţia de scădere. Odată găsită denumirea termenului necunoscut, s-a stabilit aritmetic relaţia de aflare a scăzătorului la clasa a II-a. La fel s-a procedat în al doilea caz, când tot aritmetic, elevii au aflat descăzutul, efectuând suma dintre rest şi scăzător(clasa a III-a).
Pornind de la aceste exemple simple, elevii înţeleg semnificaţia simbolurilor utilizate şi pot să rezolve exerciţii şi probleme cu grad sporit de dificultate.Având în vedere faptul că tabla înmulţirii şi împărţirii se învaţă acum în clasa a III-a, elevilor li se pot da exerciţii de forma: a x 5 = 30; 42 : a = 6; a : 8 = 9, stabilindu-se, totodată, legătura dintre cele două operaţii.
Odată consolidate aceste deprinderi de aflare a unor factori şi termeni necunoscuţi, se pot introduce şi probleme care se rezolvă prin metoda figurativă. De exemplu:
Dan are 26 baloane roşii şi galbene. Ştiind că numărul baloanelor roşii este cu 4 mai mic decât al baloanelor galbene, aflaţi câte baloane de fiecare culoare are.
Aritmetic, soluţia problemei constă în reprezentarea grafică a datelor problemei. Soluţie: b.roşii
4 26 baloane b.galbene
ww.neutr
ino.ro
7
Numărul baloanelor roşii se reprezintă printr-un segment de dreaptă oarecare, având grijă ca numărul baloanelor galbene să fie reprezentat printr-un segment de dreaptă mai mare.Pentru a avea două segmente de lungimi egale, din sumă, adică 26, se scade diferenţa dintre cele două lungimi, adică 4, obţinându-se astfel de două ori lungimea cea mai mică. Prin împărţirea la 2, se determină numărul baloanelor galbene, iar prin adunarea la cât a numărului 4, se află numărul baloanelor roşii.
26 – 4 = 22 (baloane) 22 : 2 = 11 (baloane roşii) 11 + 4 = 15 (baloane galbene) Algebric, problema se rezolvă prin punerea datelor sub
formă de ecuaţie.Se notează cu X numărul baloanelor roşii, cu X + 4 numărul baloanelor galbene, iar suma lor cu 26.
Avem: X = numărul baloanelor roşii X + 4 = numărul baloanelor galbene X + X + 4 = 26 Din ultima notaţie, rezultă: 2 x X + 4 = 26, de unde 2X = 26
- 4; 2X = 22, iar X = 22:2; X =11. Dacă s-a înţeles reprezentarea grafică a problemei simple, exemplificate mai sus, conţinutul problemelor poate fi diversificat, solicitând operaţiile gândirii la un nivel mai ridicat şi complex.De exemplu:
Trei fraţi au împreună 172 timbre. Ştiind că fratele cel mic are cu 16 mai puţin decât cel mijlociu şi jumătate din cât are fratele cel mai mare, să se determine numărul timbrelor fiecărui copil.
Soluţie:
16
172 timbre
8
172 – 16 = 156 ( timbre ) 156 : 4 = 39 (timbre fratele cel mic)
39 + 16 = 55 (timbre fratele cel mijlociu) 39 x 2 = 78 (timbre fratele cel mare ) Algebric, soluţia problemei este următoarea: X = numărul timbrelor fratelui mic X +16 = numărul timbrelor fratelui mijlociu X x 2 = numărul timbrelor fratelui cel mare X + X +16 + 2 x X =172 4X = 172 -16 4X = 156 X = 156 : 4 X = 39 X+16 = 39 + 16 = 55 2 x 39 = 78
Verificare: 39 + 55 + 78 = 172 Comparând cele două modalităţi de rezolvare a problemei,
se pot constata cu uşurinţă asemănările dintre ele, metoda figurativă reprezentând, de fapt, o punte de legătură între cele două ramuri ale matematicii: aritmetică şi algebră. Elevii remarcă astfel că segmentului necunoscut i se atribuie o literă, iar dependenţa dintre datele problemei rămâne aceeaşi în ambele cazuri, atât prin reprezentarea grafică, utilizată în clasele mici, cât şi prin stabilirea ecuaţiilor, la clasele mari. Probleme propuse 1.Suma a trei numere naturale consecutive impare este mai mică decât 430 şi mai mare decât 428.
Determinaţi numerele. Soluţie: 428 < S < 430 ⇒ S = 429 I
R: 141; 143; 145. 2.La o bibliotecă şcolară s-au adus 924 reviste. Ştiind că
numărul revistelor de cultură matematică reprezintă cel mai mic număr natural scris cu trei cifre, revistele de istorie sunt cu 20 mai puţine decât cele de geografie, iar revistele mozaic dublul revistelor de istorie, să se afle câte reviste de geografie şi câte reviste mozaic s-au adus.
Soluţie:100 este cel mai mic nr. natural de 3 cifre (nr. revistelor de cultură matematică ) 924 -100 = 824 ( reviste de istorie, geografie şi mozaic )
824 reviste
20
824 – 20 = 804 (reviste ) 804 : 4 = 201 ( reviste de istorie ) 201 + 20 = 221 ( reviste de geografie ) 201 x 2 = 402 (reviste mozaic ).Răspunsul e imediat.
Institutor, Şcoala cu cls. I-VIII Nr. 9 Reşiţa
10
Caracteristici cantitative în limba vorbită/scrisă. Mircea Iucu
De la bun început, titlul sugerează un domeniu interesant şi poate chiar o conexiune surprinzătoare încă pentru unii, anume cea între matematică şi lingvistică. Lingvistica matematică se defineşte în general ca studiul cantitativ şi formal al fenomenelor de limbă. Obiectul de studio este limba, metoda de studiu este matematica. Limba este “principalul mijloc de comunicare între membrii unei societăţi şi este alcătuită din sistemul gramatical şi lexical”(Dicţionarul limbii române moderne). Limba vorbită/scrisă se realizează prin foneme/litere (simboluri de ordinul întâi), cuvinte (simboluri de ordinul doi) rezultate din combinarea simbolurilor de ordinul întâi, respectând legile fonetice şi construcţiile gramaticale. Să facem în acest cadru acum primii paşi matematici: Se dă o mulţime N de simboluri. Frecvenţa simbolului a N∈ , notată f(a) este o mărime empirică, nenegativă şi subunitară, calculată ca raportul dintre n1 numărul apariţiilor simbolului a şi numărul total al simbolurilor mulţimii N. Limba este un produs colectiv, deci frecvenţa de apariţie are o valoare statistică, înglobând toate oscilaţiile individuale aleatorii. Pentru un anumit ansamblu (limba unui popor, limba unui secol, a unui gen literar,etc), f(a) are o expresie determinată de o lege statistică, rezultată din principiul minimului efort. Abaterile de la caracteristicile ansamblului se fac în urma unor decizii judicioase, menite să rezolve probleme de comunicare, aspecte stilistice etc. Alfabetul este totalitatea literelor unei limbi; pentru noi alfabetul (al limbii române aşadar) are 31 de litere. Lungimea unui alfabet este numărul total de semne folosite în scriere şi un interval (blanc). Pentru a marca în scris pauzele, intonaţia, intreruperea cursului vorbirii, se foloseşte un sistem de semne convenţionale, semne de punctuaţie.
Exemple de lungime a alfabetului pentru alte limbi: ebraica –
ww.neutr
ino.ro
11
22 litere, elina - 25 litere , franceza – 27, la care se adaugă semne diacritice sau accente ce duc la 38 semne, rusa - 34. (Alfabetul utilizat în sanscrită atingea 60 de semne). Facem o primă observaţie pentru limbile fonetice: lungimea alfabetului este egală cu numărul de semne. Privind cantitativ utilizarea literelor alfabetului, frecvenţa literelor este o caracteristică a limbii. Studiile din acest punct de vedere, al frecvenţei de apariţe a literelor pot determina apartenenţa unui anumit text la un anumit grai al limbii respective. Abaterile de la frecvenţele medii sunt date şi de natura textului studiat. Un extract din tabloul comparativ al frecvenţei literelor în limba română:
Compilaţia cuprinde: 5 opere literare clasice, 2 stiinţifice, una tehnică. Câteva observaţii desprinse din studiul statistic: consoanele totalizează 52, 74%, iar vocalele 42,26%. Cele mai frecvente vocale utilizate sunt: e, i, a şi reprezintă 35,9%. O concluzie: limba română este o limbă vocalică, statistic comparativ după italiană şi spaniolă.
Din date comparative date de Zipf (1935) pentru 12 limbi diferite, se desprinde o tendinţa generală: consoanele surde p,t, k, sunt mai frecvente decât consoanele sonore b, d, g. Consoana p are o frecvenţă de 4%, în comparaţie cu b care are 2%.
Profesorul român Edmond Nicolau ,studiind repartiţia fonemelor într-un text , a găsit următoarea formulă:
2nf A= ⋅ 2 nknf A −= ⋅
unde fn este frecvenţa de apariţie a literei care are rangul n în ansamblul de litere, ordonate după valorile descrescătoare ale
Litera f(a) în cotidian
f(a) în Luceafărul
f(a) în compilaţie
a 9,87 8,15 9,39 c 5,14 5,28 5,37 e 12,5 11,58 12,15 n 6,35 6,94 6,6 v 1,2 1,45 1,25
12
frecvenţelor de apariţie. A şi k sunt două constante caracteristice pentru fiecare limbă aşa cum se poate vedea din următorul tabel:
Limba A k abatere Română 0,13 0,18 1,8% Franceză 0,16 0,20 6,6% Italiană 0,16 0,21 4,6% Engleză 0,12 0,17 1,8% Germană 0,12 0,16 2% Numărul 2 este în concordanţă cu evaluarea în biţi a
informaţiei transmise.Legea a fost verificată la mai multe limbi: franceză, italiană, spaniolă, germană, engleză, rusă.Pentru limbile fonetice concordanţa este mai bună ceea ce indică că legea se aplică fonemelor şi mai puţin literelor.
Subliniem legătura acestei relaţii cu principiul minimului efort. Limba privită ca un sistem de comunicare în care alfabetul este
un cod; pentru vorbire, această distribuţie asigură o codificare optimă cu un minim de perturbare.
Profesor, Reşiţa
Generalizarea unei probleme de la Olimpiada de Matematică – 2006
Steluţa şi Mihai Monea
] Scopul acestui articol este de a prezenta un cadru mai
general în care se regăseşte problema 3 dată la clasa a IX a la faza judeţeană a Olimpiadei de Matematică 2006, problemă propusă de domnul profesor Vasile Pop. Pentru început fixăm următoarele notaţii: ,Σ Δ mulţimea punctelor , respectiv dreptelor din planul euclidian. Atunci:
Propoziţia 1: Fie poligonul convex 1 2... nA A A şi numerele reale
( )1 2, ,..., 0,1nα α α ∈ astfel încât 1 2 ... 1nα α α+ + + = . Atunci există
un unic ( )1 2... nM Int A A A∈ pentru care
1 1 2 2 ... n nXM XA XA XAα α α= + + , X∀ ∈Σ .
ww.neutr
ino.ro
13
În plus avem relaţia 1 1 2 2 ... 0n nMA MA MAα α α+ + = . Demonstraţie: Demonstraţia o realizăm prin inducţie
matematică. Pentru 2n = , considerăm ( )1 2M A A∈ astfel încât
adevărată pentru 1n − şi o demonstrăm pentru n . Din 1
1n
iiα
==∑
avem1
11
1
ni
ni
αα
−
==
−∑ . Atunci există ( )1 2 1... nN Int A A A −∈ pentru care
1
1 1
ni
ini
XN Aαα
−
==
−∑ .Fie ( ) ( ), 1n n n nM NA MA NAα∈ = − . Atunci
( )1n n nXM XA XNα α= + − , X∀ ∈Σ de unde deducem că
1 1 2 2 ... n nXM XA XA XAα α α= + + , X∀ ∈Σ . Deoarece patrulaterul este convex ( ) ( )1 2...n nM NA Int A A A∈ ⊂ . Alegând X M= obţinem şi a doua cerinţă din enunţ. Unicitatea lui M se demonstrează prin reducere la absurd. Considerăm că mai există un alt punct Q pentru care
1 1 2 2 ... n nXQ XA XA XAα α α= + + , X∀ ∈Σ . Alegând
X M= obţinem 0MQ = ceea ce încheie demonstraţia. ■ Propoziţia 2: Fie poligonul convex 1 2... nA A A şi numerele reale
funcţia *:F +Δ → , ( ) 2 2 21 1 2 2 ... n nF d d d dα α α= + + , unde id
reprezintă distanţa de la iA la dreapta d . Dacă notăm cu M punctul determinat în propoziţia 1şi cu b o dreaptă pentru care funcţia de mai sus îşi atinge minimul atunci M b∈ . Demonstraţie: Din propoziţia 1 avem
1 1 2 2 ... 0n nMA MA MAα α α+ + = . Considerăm două drepte paralele
14
,b c astfel încât M b∈ şi va trebui sa arătăm că ( ) ( ) 0F c F b− ≥ .
Pentru 1,i n= , fie ,i iB C proiecţiile lui iA pe ,b respectiv c . Fie N proiecţia lui M pe c . Atunci i iMN B C , deci i iMNC B este dreptunghi şi i iMB NC= . Din teorema lui Pitagora avem
2 2 2i i i iA B A M B M= − şi 2 2 2
i i i iAC A N C N= − . Atunci
( ) ( ) 2 2
1 1
n n
i i i i i ii i
F c F b AC A Bα α= =
− = −∑ ∑ ( )2 2
1
n
i i ii
A N A Mα=
= −∑ .
Dar ( )222
1 1 1
n n n
i i i i i ii i i
A N A N MN MAα α α= = =
= = − =∑ ∑ ∑
2 2
1 1 12
n n n
i i i i ii i i
MN A M MA MNα α α= = =
= + − ⋅ =∑ ∑ ∑
2 2
1 12
n n
i i i ii i
M N A M M N M Aα α= =
+ −∑ ∑ .
Dar 1
0n
i ii
MAα=
=∑ deci 2
1
n
i ii
A Nα=∑ 2 2
1
n
i ii
MN A Mα=
= +∑ adică
( ) ( )F c F b− 2MN= 0≥ , ceea ce încheie problema.■ Consecinţa 1: Fie triunghiul ABC şi d o dreaptă variabilă din planul triunghiului. Fie , ,D E F proiecţiile lui ,A B respectiv C pe
dreapta d . Dacă suma 2 2 2AD BE CF+ + admite o valoare minimă atunci d conţine un punct fix. (Marcel Chiriţă – OJ 1982 – enunţ modificat) Demonstraţie: 2 2 2AD BE CF+ + este minimă când suma
2 2 21 1 13 3 3
AD BE CF+ + este minimă. Atunci dreapta d trece ,
conform propoziţiei 2, printr-un punct M pentru care 1 1 1 03 3 3
MA MB MC+ + = adică M G= ■
ww.neutr
ino.ro
15
Consecinţa 2: Fie triunghiul ABC , , ,AB c BC a CA b= = = . Pentru orice dreaptă variabilă din planul triunghiului notăm cu
, ,A B Cd d d distanţele de la , ,A B C la dreapta d . Fie expresia
( ) 2 2 2A B CE d ad bd cd= + + . Să se arate că dacă ( )E d este minimă
atunci d conţine centrul cercului înscris în triunghi. (Vasile Pop – OJ 2006) Demonstraţie: ( ) 2 2 2
A B CE d ad bd cd= + + este minimă dacă
expresia 2 2 2A B C
a b cd d da b c a b c a b c
+ ++ + + + + +
este minimă.
Aplicăm propoziţia de mai sus şi obţinem că d conţine un punct fix M care verifică relaţia vectorială
0a b cMA MB MCa b c a b c a b c
+ + =+ + + + + +
, relaţia
caracteristică centrului cerului înscris în triunghiul ABC . ■ profesor, profesor, C.N. Decebal Deva C.N. Decebal Deva
Probleme de minim şi de maxim Iohana Şelaru
Importanţa practică a problemelor de minim şi de maxim
este de necontestat. La gimnaziu se studiază foarte puţin asemenea probleme, deoarece ele solicită procedee mai deosebite de rezolvare.
Problemele de minim şi maxim nu sunt uşor de abordat fără a stăpâni câteva tehnici de rezolvare. Iată câteva dintre acestea:
• Folosim două teoreme care ne ajută la determinarea maximului şi a minimului.
Teorema 1. Dacă suma mai multor variabile pozitive este constantă, maximul produsului are loc când variabilele sunt egale.
16
Dacă 1 2... nP x x x= cu 1 2 ... constantnx x x+ + + = , P este maxim când 1 2 ... nx x x= = = . Dacă 1 2
1 2 ... nnP x x xαα α= , cu { }, 1, 2,...,i i nα ∈ ∈ ,
maximul lui P are loc când 1 2
1 2
... n
n
xx xα α α
= = = .
Pentru două variabile 1x şi 2x , 1 2P x x= cu
1 2 constantx x+ = , P este maxim când 1 2x x= , deoarece din relaţiile
( )2 2 21 2 1 1 2 22x x x x x x+ = + + , ( )2 2 2
1 2 1 1 2 22x x x x x x− = − + , obţinem că
( ) ( )2 21 2 1 2 1 2
14
x x x x x x⎡ ⎤= + − −⎣ ⎦ . Deci 1 2P x x= este maxim când
( )21 2 0x x− = şi atunci 1 2x x= .
Teorema 2. Dacă produsul mai multor variabile pozitive este constant, atunci suma lor este minimă când variabilele sunt egale. Pentru două variabile 1x şi 2x pozitive cu 1 2P x x= constant ,
1 2S x x= + este minimă dacă şi numai dacă 1 2x x= , deoarece
( ) ( )2 21 2 1 2 1 24x x x x x x+ = + − , cu 1 2x x constant şi atunci cea mai mică
valoare se obţine când ( )21 2 0x x− = , deci când 1 2x x= .
• Metoda reflexiei Metoda constă în completarea figurii iniţiale asociată
problemei cu simetrica ei în raport cu o dreaptă. • Metoda liniei frânte Dacă problema ne cere să determinăm minimul sumei
lungimilor unor segmente atunci folosim această metodă. Trebuie să efectuăm o construcţie care să conducă la o linie frântă formată cu segmente dintre segmentele date şi segmente congruente cu cele care intervin în suma al cărei minim se cere. Această linie frântă va avea ca extremităţi puncte fixe A şi B. Deoarece drumul cel mai scurt între două puncte este segmentul de dreaptă determinat de ele este posibil ca [AB] să fie realmente minimul căutat.
• Metoda curbei de nivel Se foloseşte pentru problemele în care minimul sau
maximul respectiv este condiţionat de poziţia unui punct M, poziţie
ww.neutr
ino.ro
17
ce trebuie precizată pe o dreaptă sau pe un cerc. Se presupune că expresia din concluzia problemei are valoarea constantă k şi se determină curba ca loc geometric kC , a punctului M în acest caz. Pentru a determina poziţia cerută a punctului M se alege din familia de curbe de nivel kC acea curbă care este tangentă dreptei sau cercului pe care am căutat punctul M, poziţia care realizează extremul va fi chiar punctul de tangenţă.
Problema 1. Să se demonstreze că dintre toate triunghiurile de perimetru constant, acela care are aria maximă este triunghiul echilateral.
Ştim că perimetrul triunghiului este constant deci a+b+c=2p=constant şi vom folosi următoarea formulă de calcul a ariei acestui triunghi ( )( )( )S p p a p b p c= − − − .
Pentru numerele pozitive ( ) ( ) ( ), , p a p b p c− − − avem
( )( )( )3gm p a p b p c= − − − şi ( ) ( ) ( )
3 3a
p a p b p c pm− + − + −
= = .
Din g am m≤ obţinem că ( )( )( )3
3pp a p b p c− − − ≤ , egalitatea
existând atunci când ( ) ( ) ( )p a p b p c− = − = − sau a b c= = . Ridicând relaţia anterioară la puterea a treia şi înmulţind cu p se
obţine ( )( )( )4
27pp p a p b p c− − − ≤ . Extrăgând rădăcina pătrată în
această inegalitate găsim că ( )( )( )2
3 3pS p p a p b p c= − − − ≤ .
Deci aria triunghiului este maximă când 2
3 3pS = , pentru
23pa b c= = = , adică pentru triunghiul echilateral.
Problema 2. Să se determine dimensiunile minime ale laturilor unui triunghi isoscel ACD ce poate fi circumscris unui cerc dat.
Fie O centrul cercului dat, de rază a , înscris în triunghiul isoscel ACD. Ducem înălţimea DB şi notăm ODx = . Avem că
18
DSO DBCΔ Δ∼ . Astfel BCSO
DBDS
= . Prin urmare 22
)(
ax
aaxBC−
+= ,
deci 2
2 2
( )ACD
x a aSx a
Δ+
=−
. Definim 22
4)()(ax
axxf−
+= , unde f este
pătratul ariei înmulţit cu 21 a .
Simplificând prin x a+ , obţinem că ax
axxf−+
=3)()( , deci
2
32
)()()()(3)(
axaxaxaxxf
−
+−−+=′ .
Numărătorul va fi zero pentru ax 2= . Pentru aceasta, aria îşi atinge minimul când ax 2= . Din asemănarea triunghiurilor
menţionate mai sus obţinem că SOBC
ODDC
= .
Astfel ACBCaBCa
aBCxDC ==
⋅=
⋅= 22 . Cu alte
cuvinte soluţia este să construim triunghiul echilateral ce poate fi circumscris cercului.
Problema 3. Dintre toate triunghiurile dreptunghice a căror ipotenuză constantă se cunoaşte să se găsească cel care are aria maximă.
Fie a ipotenuza, iar x şi y catetele. Avem, conform
teoremei lui Pitagora, că 22 xay −= , deci 2 2
2xS a x= − . Fie
)(4
)( 222
xaxxf −= , pătratul ariei. Atunci =′= )(0 xf 32
42 xxa
− ,
prin urmare 2
ax = . Aşadar 2
2
2 2a ay a= − = .
Astfel triunghiurile căutate sunt acele triunghiuri dreptunghice şi isoscele de ipotenuză a .
O altă metodă de a rezolva problema este să presupunem că y este o funcţie de x , implicit diferenţiabilă, ceea ce ne conduce la
ww.neutr
ino.ro
19
022 =′+ yyx , deoarece 222 ayx =+ , astfel yxy −=′ . Pe de altă
parte 1( ) ( )2
S x xy x= , deci 1'( ) ( )2
S x y xy′= + . Căutăm maximul
acestei funcţii, aşa că trebuie să facem ( ) 0S x′ = . Aşadar
0)(21
=′+ yxy , care conduce la xyy −=′ . Prin urmare
xy
yx
−=− , sau yx = . Ajungem la aceeaşi concluzie că
triunghiurile dreptunghice isoscele cu ipotenuza a , au cea mai mare arie.
Bibliografie: 1. Pop, V.; Lupşor, V.(2004) Matematică pentru grupele de
performanţă, Cluj-Napoca: Dacia Educaţional 2. Simpson, T. (1823). Doctrine and Application of Fluxions.
Edinburgh: Bell and Bradfute. Profesor,Şcoala Generală Nr.1, Rovinari, Gorj
Generalizarea unei probleme de concurs Nicolae Stăniloiu
La etapa judeţeană a olimpiadei din 1979, domnul profesor
Laurenţiu Panaitopol a propus la clasa a X-a următoarea problemă: Fie 1 2 3, , \z z z ∈ distincte două câte două şi având acelaşi
modul.Să se arate că dacă 1 2 3 2 3 1 3 1 2, ,z z z z z z z z z+ ⋅ + ⋅ + ⋅ sunt reale, atunci 1 2 3 1z z z⋅ ⋅ = .Reluând, după ceva ani, problema care mi-a pus ceva probleme ca şi elev, am ajuns la următoarea generalizare(poate au ajuns şi alţii între timp … ): Fie nzzz ,...., , 21 , n numere complexe diferite toate de acelaşi modul. Să se arate că dacă trei dintre numerele:
121312321 ... ...., ;... ;... −+++ nnnn zzzzzzzzzzzz sunt reale atunci 1...321 =nzzzz .
20
Soluţie: Există i, j, k astfel încât:
, ii
Pzz
+ ∈ , jj
Pzz
+ ∈ kk
Pzz
+ ∈ unde nzzzzP ...321= . Notăm
nzzz ==== ....21ρ . Vom folosi faptul că un număr complex este real dacă şi numai dacă este egal cu conjugatul său.
Vom avea: P
zzz
PzzPz i
n
iii
ii
222 −
+=+=+ρρ (1) şi analog încă
două relaţii: P
zzz
PzzPz j
n
jjj
jj
222 −
+=+=+ρρ , (2)
Pz
zzPz
zPz k
n
kkk
kk
222 −
+=+=+ρρ (3).
Scădem relaţiile din (1) şi (2) şi se va obţine: ( ) ( ) ( )
Pzz
zzzz
zzzzP
zz jin
ji
ij
ji
ijji
−+
−=
−+−
−222 ρρ, relaţie care o
putem simplifica cu ji zz − şi vom obţine: ji
n
ji zzPzzP 222
1 ρρ−=−
−
(4) şi analog se poate scrie: ki
n
ki zzPzzP 222
1 ρρ−=−
−
(5). Prin
scăderea egalităţilor (4) şi (5) se va obţine: ( ) ( )
kji
kj
kji
kj
zzzzz
zzzzzP −
=− 2ρ
, de unde prin simplificare cu kj zz − se
poate obţine: 2ρ=P . Trecând acum la modul în relaţia anterioară găsim că:
22 ρρ =n ceea ce ne conduce la concluzia 1=ρ şi deci P=1. profesor, Grup şcolar Industrial Bocşa
ww.neutr
ino.ro
21
Omotetii Petrişor Neagoe, Lucian Dragomir
Dorim să oferim în continuare, aşa cum am mai făcut-o,
teme pentru cercurile de elevi, chestiuni mai mult sau mai puţin
cunoscute, dar care credem că sunt utile în pregătirea pentru
concursuri (şi nu numai).
În rândurile care urmează ne vom referi la geometrie, la
noţiuni legate de necesitatea ca în unele aplicaţii matematice să
obţinem dintr-o figură geometrică dată o alta, folosind procedee ca
deplasarea (rectilinie sau rotaţie), mărirea sau micşorarea, etc.
Mai exact, vom vorbi aici despre omotetii (întâlnite, de
exemplu, la desenarea unor hărţi), adică transformări geometrice
ale punctelor unui plan care au proprietatea că măresc (sau
micşorează) dimensiunile tuturor figurilor de acelaşi număr de ori,
după cum observăm în desenul următor:
Definiţie: Dacă O este un punct în plan şi k ∗∈ , se numeşte
omotetie de centru O şi de raport k o transformare(funcţie) H care
asociază fiecărui punct M al planului, punctul N astfel încât
ON k OM= ⋅ . 22
Observaţii:
● omotetia anterior definită se notează de regulă cu ;O kH
●pentru 1k = avem ; ( )O kH M M= (adică fiecărui punct îi
corespunde el însuşi)
●pentru 1k = − avem ; ( )O kH M N= cu ON OM= − , adică ; 1OH −
este o simetrie (în raport cu O).
●dacă M este o mulţime de puncte din plan, convenim să notăm
cu ( )H M mulţimea transformatelor prin omotetia H a punctelor
lui M .
●O omotetie este bine determinată dacă se cunoaşte centrul ei O şi
transformatul N al unui punct M O≠ (Avem astfel
sau ON ONk kOM OM
= =− ,
în funcţie de poziţia punctelor M,N faţă de O)
Exemple:
1) Omoteticul triunghiului ABC prin
omotetia ;2OH (de centru O şi raport 2)
este triunghiul MNP:
2) Omoteticul triunghiului ABC prin
omotetia 1;2
AH
−este triunghiul ADE:
A
O C
M
P N
B
A
E D
C B
ww.neutr
ino.ro
23
3) Dacă D,E,F sunt mijloacele
laturilor ( ),( ),( )BC CA AB ale unui
triunghi ABC, atunci omotetia de centru
G (centrul de greutate) şi raport 12
−
transformă vârfurile A,B,C în punctele
D, E respectiv F.
4) Hărţile geografice reprezintă de fapt imagini omotetice ale
unor anume zone.Raportul(de omotetie) dintre figura de pe hartă şi
zona reală se cunoaşte a fi numită scara hărţii,de forma 1: n .
Dacă pentru o hartă a României avem,de exemplu scara
1:800 000 , raportul dintre o distanţă h măsurată pe hartă şi distanţa
reală s este 1800000
sh= . Dacă pe hartă avem 8h cm= (distanţa
dintre două oraşe),atunci 64 .s km=
Proprietăţi ale omotetiilor:
1) ; ( ) ;O kH O O=
2) Orice omotetie păstrează direcţia unui segment orientat,
păstrează sau inversează sensul (după cum 0 sau 0k k> < ),
multiplică lungimea cu k ;
3) Dacă ; ( )O kH M N= , atunci O, M, N sunt puncte coliniare;
4) Dacă d este o dreaptă, atunci ; ( )O kH d este o dreaptă paralelă
A
G
F E
D C B
24
cu d sau ; ( )O kH d d= (dacă d conţine centrul O al omotetiei);
5) Dacă ABC este un triunghi şi M,N,P sunt omoteticele
vârfurilor A,B,respectiv C printr-o omotetie de raport k,atunci
omoteticul MNP al lui ABC este un triunghi asemenea cu ABC
(raportul de asemănare este astfel k );
6) ( ); ;O kH ABC ABC=
7) Un cerc de rază R se transformă printr-o omotetie de raport k
într-un cerc de rază k R⋅ ,iar centrul primului cerc se transformă în
centrul celui de-al doilea cerc;
Aşadar omotetiile păstrează direcţiile şi măsurile unghiurilor;
toate lungimile cresc sau descresc cu acelaşi raport.
Probleme:
1) Se consideră triunghiurile ABC şi ACD astfel încât AC
separă punctele B şi D.Dacă ( ) ( ) ( ), ,E AB F AC G AD∈ ∈ ∈ astfel
încât // , //FG CD EF BC ,să se arate că // .EG BD
Soluţie: Considerând omotetia
;A kH , cu ACkAF
= , avem că
aceasta transformă pe G în D,
pe
F în C şi pe E în B ( teorema lui
Thales). Deducem acum că ; ( )A kH EG BD= şi, folosind proprietatea
(4) ajungem la // .EG BD
A
G
F E
D
C B
ww.neutr
ino.ro
25
2) Dacă ABCD este un trapez , //AB CD, notând { }AD BC O∩ =
şi M,N mijloacele laturilor ( ), respectiv ( )AB CD , să se arate că M,
N, O, P sunt coliniare.
Soluţie: Folosind teorema lui
Thales avem că există o
omotetie de centru O care
transformă D în A şi C în B,
aşadar ( )DC se transformă în ( )AB şi astfel mijlocul N este
transformat în mijlocul M,deci O,N,M sunt coliniare.La fel, există
o omotetie de centru P care transformă D în B şi C in A, adică
( )DC e transformat în ( )BA şi astfel N e transformat în M , deci N,
M, P sunt coliniare. Concluzia e imediată.
3) Se consideră un trapez ABCD în care , // ,AB CD AB CD>
{ }AD BC P∩ = . Se construiesc în semiplanele determinate de AB
şi CD şi care nu conţin P, triunghiurile echilaterale ABM şi DCN.
Să se arate că punctele M,N,P sunt coliniare.
Soluţie: Dacă H este omotetia cu centrul în
P care transformă D în A, deci ( )H D A= ,
atunci ( )H C B= .(teorema lui Thales).
Deoarece omotetia transformă un triunghi
echilateral într-unul echilateral,avem că
( )H N M= şi deci M, N, P sunt coliniare.
A
O
P
N
M
D C
B
P
N
M
D C
BA
26
4) Pe latura ( )AB a unui triunghi ABC se consideră punctele
M, N astfel încât ( ) ( ).AM BN≡ Paralelele prin M la AC şi prin N la
BC se intersectează în P. Să se arate că P este situat pe mediana
CD a triunghiului ABC.
Soluţie: Evident, D este
mijlocul lui ( )AB . Considerând
omotetia H de centru D care
transformă pe M în A, avem că
( )H N B= , deci H transformă
dreapta MP în dreapta AC şi dreapta NP în dreapta BC. Avem
astfel că P se transformă în C, de unde obţinem că D,P,C sunt
coliniare.
5) Se consideră un triunghi ABC şi M un punct nesituat pe
laturile triunghiului. Notăm cu 1 2 3, ,G G G centrele de greutate ale
triunghiurilor , , respectiv .MBA MBC MCA Să se arate că triunghiul
1 2 3G G G are aria constantă.
Soluţie: Dacă 1 2 3, ,M M M sunt mijloacele laturilor ( ) , ( )BC CA
( )respectiv AB , atunci triunghiurile 1 2 3G G G şi 1 2 3M M M sunt
omotetice, prin omotetia de centru M şi raport 23
. Deducem astfel
( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 34 1 .9 9
G G G M M M ABC const= ⋅ = =A A A
6) Într-o fotografie,faţada unei case cu lungimea de 6m şi
A
D
P N
M
C B
ww.neutr
ino.ro
27
înălţimea de 4m apare ca un dreptunghi cu aria 216,(6)cm . Ce
înălţime are un om aşezat lângă casă dacă în fotografie înălţimea sa
este de 15mm ?
Soluţie: Cele două dreptunghiuri sunt omotetice,raportul k de
omotetie satisfăcând 2 240000 14400 12016,(6)
k k= = ⇒ = şi astfel
înălţimea căutată este 120 1,5 180 .cm× =
7) Un triunghi ABP are latura ( )AB fixă şi mediana ( ) ,AM
( )M BP∈ , de lungime constantă m. Să se determine locul
geometric al vârfului P.
Soluţie: Deoarece AM m= ,avem că locul geometric al lui M
este { }1 2( , ) \ ,A m M MC , unde 1 2,M M sunt punctele de intersecţie
ale cercului cu dreapta AB.Deoarece omotetia de centru B şi raport
2 transformă pe M în P, deducem că locul lui P este omotetica
figurii anterioare, adică un cerc cu centrul coliniar cu A şi B şi din
care se exclud două puncte.
8) Se consideră un triunghi ABC şi o dreaptă dată d. Fiecărui
punct M d∈ i se asociază punctul P astfel încât
MP MA MB MC= + + . Să se determine locul geometric al lui P
când M parcurge dreapta d.
Soluţie: Dacă D este mijlocul segmentului [ ]BC ,avem
2 MD MB MC⋅ = + . Considerăm acum N cu DN MD= şi astfel
BMCN este paralelogram . Din 2MP MA MD MA MN= + = + ⇒
28
NP MA= deducem că şi AMNP este paralelogram; notăm cu O
centrul acestuia şi avem că P este transformatul lui M prin
omotetia de centru O şi raport 1− . În concluzie, P descrie o
dreaptă.
9) Se consideră un triunghi isoscel ABC , AB AC= şi un cerc
care este tangent interior cercului circumscris triunghiului ABC şi
laturilor ( ),( )AB AC în P, respectiv Q.Să se arate că mijlocul lui
( )PQ este centrul cercului înscris în triunghiul ABC.
Soluţie: Notăm cu O centrul
cercului din enunţ(cel tangent la
laturi) şi cu T punctul de
tangenţă al acestuia cu cercul
circumscris triunghiului ABC.
Din simetria figurii faţă de
înălţimea din A a triunghiului
ABC, deducem că punctele A,O,M,T sunt coliniare (M este mijlocul
lui ( )BC ). Putem acum considera omotetia de centru A care
transformă T în M şi deducem că cercul de centru O se transformă
într-un cerc care este tangent dreptelor AB şi AC şi care trece prin
M (transformatul lui T), aşadar este vorba despre cercul înscris în
triunghiul ABC. Omoteticul punctului O este astfel centrul cercului
înscris.Dacă { }AT PQ I∩ = , din ACT AOQΔ Δ∼ deducem AO ATAI AM
= ,
deci I este transformatul lui O prin omotetia anterioară.
A
P Q O
T
C B M
I
ww.neutr
ino.ro
29
Probleme propuse:
1. Să se determine locul geometric al mijloacelor coardelor unui
cerc care conţin un punct fix situat pe cerc.
2. Să se determine locul geometric al centrelor de greutate ale
triunghiurilor care au o latură comună şi un vârf pe o dreaptă dată.
Bibliografie:
1. Leonte Alexandru,Trandafir Rodica-Principii şi structuri
fundamentale în matematica de liceu, Ed.Albatros,1986
2. Nicolescu Liviu,Boskoff Vladimir-Probleme practice de\
geometrie, Ed .Tehnică,1990
3. Smaranda Dumitru, Soare Nicolae-Transformări
geometrice, Ed.Academiei RSR, 1988
4. Colecţia Gazetei Matematice
Profesori, Grup Şcolar Anina, Grup Şcolar Oţelu-Roşu
30
Probleme rezolvate din RMCS 22
Clasa a IV-a IV.093 Într-un coş cu fructe sunt mere şi prune. Dacă mai punem 4 prune,în coş vor fi de două ori mai multe prune decât mere, iar dacă luăm 7 mere, în coş vor fi de patru ori mai multe prune. Puteţi afla câte fructe sunt în coş ?
Prof.Adriana Dragomir,Oţelu-Roşu Răspuns: 12 mere, 20 prune,aşadar total 32 de fructe. IV.094 Un turist urcă pe munte, plecând din satul S. Până la cabana A, turistul face o oră, apoi mai urcă până la cabana B. Aici se odihneşte o oră şi mai urcă până în vârful muntelui încă un sfert din timpul de care a avut nevoie pentru a ajunge din sat până la cabana B. Dacă pentru a ajunge din sat până în vârf a avut nevoie de 6 ore, câte ore a urcat turistul din sat până la cabana B?
Prof. Adriana Dragomir, Oţelu-Roşu Răspuns: 4 ore. IV.095 Trei fraţi au împreună 20 de ani, fratele mai mare nu a împlinit încă 10 ani, iar gemenii au părul castaniu. Câţi ani are fratele cel mare ?
Prof.Heidi Feil,Oţelu-Roşu Răspuns: 8 ani. IV.096 La un concurs de matematică s-au înscris, din clasa lor, trei prietene: Alina, Iulia şi Lucia. In concurs au primit spre rezolvare 3 probleme. Pentru o problemă rezolvată corect se primesc 10 puncte, pentru o problemă rezolvată parţial corect se primesc 7 puncte sau 4 puncte(depinde cât de multe greşeli au fost făcute), iar pentru o problemă rezolvată greşit nu se primesc puncte. Se ştie că: 1) Alina şi Iulia au obţinut împreună 42 de puncte; 2) Triplul punctajului Luciei este de patru ori mai mare decât punctajul obţinut de Iulia. Să se arate că: a)Lucia a rezolvat corect cel mult două probleme ; b)Dacă Lucia a rezolvat corect cel puţin o problemă, atunci nici Alina, nici Iulia nu au rezolvat greşit vreuna dintre probleme.
Prof. Lucian Dragomir,Oţelu-Roşu
ww.neutr
ino.ro
31
Soluţie: a) Dacă Lucia ar fi rezolvat corect toate problemele, ar fi obţinut 30 de puncte şi astfel Iulia ar fi avut ( )3 30 : 4 90 : 4× = puncte, imposibil;aşadar Lucia a rezolvat corect cel mult două probleme; b)dacă Alina şi Iulia au rezolvat greşit, fiecare, câte o problemă, atunci.împreună puteau obţine cel mult 2 10 2 10 40× + × = puncte, ceea ce contrazice condiţia 1), deci afirmaţia b) este adevărată. Să dăm totuşi un exemplu (vi se poate cere) de situaţie care satisface condiţiile 1)şi 2): Lucia 24 puncte (10,7,7), Alina 24 puncte(10,10,4), Iulia 18 puncte(7,7,4). IV.097 O firmă de transport deschide o linie de autobuz între Reşiţa şi Cluj. Autobuzele pleacă din oră în oră, non-stop, din fiecare din cele două oraşe, către celălalt oraş, distanţa fiind parcursă în 6 ore. Dacă plecăm din Reşiţa cu autobuzul de ora 7, câte autobuze ale aceleeaşi firme, venind de la Cluj, vom întâlni până ajungem la Cluj?
*** Răspuns: 13 autobuze.(Se circulă fără întrerupere, adică şi noaptea. Vom întâlni deci un prim autobuz la plecare, apoi autobuzele care pleacă din Cluj la orele 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 şi la ora 13 vom întâlni în staţie pe cel gata de plecare). IV.098 Echipa de volei a şcolii a participat la un meci cu 6 jucători titulari şi 3 rezerve. Dacă meciul a durat o oră şi fiecare dintre cei 9 jucători a jucat în mod egal (ca şi durată de timp), puteţi calcula câte minute a jucat fiecare sportiv?
Inst.Mariana Mitrică, Reşiţa Soluţie: Numărul total de minute jucate de cei aflaţi pe teren este 6 60 360× = şi astfel 360 :9 40= minute pentru fiecare jucător. IV.099 Dacă se aşează într-un cuib câte 3 vrăbiuţe, rămân 6 vrăbiuţe fără loc, iar dacă se aşează câte 5 vrăbiuţe într-un cuib, rămân 4 locuri libere. Câte vrăbiuţe şi câte cuiburi sunt?
Inst.Mariana Mitrică, Reşiţa Răspuns: 5 cuiburi, 21 vrăbiuţe. IV.100 Cinci kilograme de banane costă exact cât patru kilograme de portocale. Pentru serbarea de Crăciun s-au cumpărat 20 kg de
32
banane şi 30 kg de portocale, pentru care s-au plătit în total 230 de lei. Dacă avem 20 de lei, câte kilograme de banane şi de portocale putem cumpăra, astfel încât să avem fructe din fiecare fel ?
Inst.Mariana Mitrică, Reşiţa Răspuns: 1 kg portocale şi 3 kg banane sau 2 kg din fiecare sau 3 kg portocale şi 1 kg banane.
Clasa a V-a
V.093 a) Să se arate că există opt numere naturale care au suma mai mare decât 200 şi pentru care suma resturilor obţinute prin împărţirea fiecăruia la 9 este 35; b) Să se arate că dacă opt numere naturale dau prin împărţire la 9 resturi a căror sumă este 35, atunci produsul celor opt numere este multiplu de 9.
Prof. Ovidiu Bădescu, Reşiţa Soluţie: a) resturile posibile sunt 0,1,2,...,9 ; acestea au suma 36, deci putem obţine 35 dacă excludem restul 1 şi astfel putem lua, de exemplu, numerele 9,2,3,4,5,6,7,188; b) se exlude din nou restul 1 şi printre numerele alese vor fi şi 9 3,9 6k p+ + care au produsul multiplu de 9. V.094 Peste 2 ani, Dani va avea vârsta de 10 ori mai mică decât mama sa, iar peste 4 ani va avea vârsta de 8 ori mai mică decât cea a tatălui său. Dacă mama şi tata au acum împreună 70 de ani, puteţi calcula peste câţi ani Dani va avea exact jumătate din vârsta tatălui său?
Prof. Ovidiu Bădescu, Reşiţa Răspuns : Dani are un an, tata are 40 de ani, deci peste 38 de ani va fi îndeplinită condiţia din enunţ. V.095 a) Să se determine câte numere de 4 cifre au suma primelor două cifre egală cu 4; b) Să se determine câte numere de 4 cifre au suma primelor două cifre şi diferenţa ultimelor două cifre egale cu 4.
Prof. Ovidiu Bădescu, Reşiţa Răspuns: a) 400 de numere; b) 48 de numere.
ww.neutr
ino.ro
33
V.097 Să se găsească cel mai mic număr natural n care satisface următoarele proprietăţi: a) Restul împărţirii lui n la 7 este mai mare cu 1 decât restul împărţirii lui n la 5; b) Câtul împărţirii lui n la 5 este cu 1 mai mare decât cel obţinut prin împărţirea lui n la 7.
Prof. Iulia Cecon, Oţelu-Roşu Răspuns: 15.n = V.098 Să se studieze dacă există numere naturale n pentru care numărul 2 15 7n nA += + este pătrat perfect.
Prof. Adriana Dragomir, Oţelu-Roşu Soluţie: pentru 0n = avem 8A = , care nu este pătrat perfect, iar pentru 1n ≥ , ( ) ( ) { } { }2 15 5, 7 3,7 ( ) 2,8n nuc uc uc A+= ∈ ⇒ ∈ , aşadar A nu este pătrat perfect. V.099 Să se determine mulţimile A şi B de numere naturale care satisfac următoarele proprietăţi: a) { }0,1,2A∩ ≠∅ ; b) A B∩ are exact un element; c) pentru orice a A∈ , există b B∈ astfel încât 10a b+ = ; d) pentru orice b B∈ , există a A∈ astfel încât 2.b a− =
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Răspuns: { } { } { } { }0,3,5,8 , 2,5,7,10 sau 2,3,5,6 , 4,5,7,8A B A B= = = = . V.100 Senzorii unei nave spaţiale terestre descoperă la bordul unei nave de provenienţă necunoscută 26 de extratereştri, fiecare cu câte 3 sau 5 picioare. Dacă în nava observată sunt 100 de picioare, câţi extratreştri au 3 picioare?
Prof. Adriana Dragomir, Oţelu-Roşu Răspuns: 15 extratereştri cu 3 picioare.
Clasa a VI-a VI.093 Să se determine cel mai mare dintre numerele
4 4 4 4...1 5 5 9 9 13 2005 2009
a = + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅
şi
5 5 5 5...1 6 6 11 11 16 2006 2011
b = + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅
.
Lorena Muscai, elevă, Reşiţa
34
Soluţie: Putem considera
( )( )1 1
1 1 1 1 14 4 14 3 4 1 4 4 3 4 1 4 1
n n
nk k
Sk k k k n= =
⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ − = −⎜ ⎟− + − + +⎝ ⎠∑ ∑ ,
deci 44 1n
nSn
=+
. La fel ( )( )1
155 4 5 1
n
nk
Tk k=
= ⋅ =− +∑
1
1 1 1 15 15 5 4 5 1 5 1
n
k k k n=
⎛ ⎞= ⋅ − = −⎜ ⎟− + +⎝ ⎠∑ , aşadar 5
5 1nnT
n=
+.
Evident,în general avem 4 5 , 14 1 5 1
n n nn n
< ∀ ≥+ +
. Să mai remarcăm
că 502 400a S b T= < = . VI.094 Să se arate că nu există numere naturale m , n astfel încât 25 6 7nm m+ = − .
Prof.Heidi Feil,Oţelu-Roşu Soluţie: Egalitatea se poate scrie 2 5 6 ( 2)( 3) 7nm m m m+ + = + + = şi observăm că membrul stâng este un număr par(ca produs de numere consecutive), iar membrul drept este impar. VI.095 Se consideră un număr prim p şi un număr natural nenul k , k p< . Să se determine toate perechile ( ),a b de numere prime pentru care ( )ka p b p k a− = − − .
Gazeta Matematică Răspuns: perechile (2, ).p VI.096 Pe ipotenuza (BC) a unui triunghi dreptunghic ABC se consideră un punct oarecare M şi se notează cu N şi P simetricele acestuia faţă de catetele (AB), respectiv (AC). Să se arate că:
a) Punctele P, A, N sunt coliniare; b) Suma NB PC+ nu depinde de poziţia punctului M.
Prof. Dragoş Constantinescu, Rm.Vâlcea Soluţie : a)Notăm { } { },MN AB D MP AC E∩ = ∩ = şi astfel
ADM ADNΔ ≡ Δ DAM DAN⇒ ≡ (1) . Analog se obţine MAE PAE≡ (2) . Din (1) şi (2),folosind ( ) 090m BAC = ,
obţinem 0( ) ( ) ( ) ( ) 180m PAE m EAM m MAD DAN+ + + = ,
ww.neutr
ino.ro
35
deci P, A, N sunt coliniare. b) PEC MEC PC MCΔ ≡ Δ ⇒ = şi analog NB BM= , de unde NB PC BC+ = (adică e constantă). VI.097 Se consideră un triunghi ABC pentru care există k ∗∈ astfel încât ( ) ( )m B k m A= ⋅ , iar mediatoarea laturii (BC) intersectează (AC) în E astfel încât AB BE= . Să se determine numerele k ∗∈ pentru care ( ) 0 , .m A n n= ∈
Prof. Lucian Dragomir,Oţelu-Roşu Soluţie: (după soluţia elevei Ioana Ban, Caransebeş) Dacă EO este mediatoare, avem BE EC= şi 1C B≡ (am notat
1B EBO= ). Notăm şi 1BEA E= ; în triunghiul isoscel ABE avem astfel 1A E≡ .(Pentru uşurarea scrierii renunţăm la măsuri): în
01: 2 180 (1)ABE B AΔ + = , iar în 0: 2 180 (2)BEC BEC CΔ + = .
Deoarece BEC este unghi exterior pentru triunghiul ABE, ajungem
la: (2) (1)
0 0 01 180 2 180 2 180 2BEC A B C A A C= + = − ⇒ + − = − ,deci
2A C= . Din 0180A B C+ + = deducem 02 2 2 360A B C+ + = sau 02 2 360 (3 2 ) 360, cu ,A k A A n k n k+ + = ⇒ + = ∈ . Deducem că
3 2k+ este un divizor impar al lui 360, deci { }3 2 5,9,15,45k+ ∈ şi { }1,3,6,21 .k∈
VI.098 Să se determine tripletele ( ), ,a b c de numere naturale care satisfac simultan relaţiile:
2 1 , 1 , 2 1 , 10.a c b c b a a b c− ≥ − ≤ − ≥ + + ≤ Prelucrare Gazeta Matematică
Soluţie: Adunăm prima şi a treia relaţie şi avem 1b c− ≥ . Comparăm cu a doua,deducem 1b c− = . Prin înlocuire în a treia relaţie obţinem 2 1a c− ≤ şi, din prima,avem 2 1a c− = . Tripletele care verifică primele 3 relaţii ajungem la 2 1, 1,a x b x= + = +
,c x x= ∈ . Din a patra relaţie deducem { }0,1,2x∈ şi astfel tripletele căutate sunt (1,1,0), (3, 2,1), (5,3, 2). VI.099 Mulţimea A este formată din 5 numere întregi. Adunând în toate modurile posibile câte două elemente din mulţime, se obţin
36
următoarele 10 sume: 0, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 17. Aflaţi cele cinci elemente ale mulţimii A.
Concurs Jugoslavia Soluţie: Considerăm { }, , , , ,A a b c d e a b c d e= < < < < . Deoarece cele mai mici două numere se obţin adunând a cu b şi cu c, deducem 0, 2 , 2a b a c b a c a+ = + = ⇒ = − = − + . Analog deducem
17, 14 2 14d e c e a e= − + = − + ⇒ − + = − + şi astfel 12e a= + , aşadar elementele mulţimii sunt, în ordine, , , 2, 5,a a a a− − + − +
12a− + . A treia sumă este b c+ sau a d+ şi este egală cu 4. Se ajunge imediat la 1a = − şi { }1,1,3,6,11A = − . VI.100 Să se determine numerele naturale nenule a şi b ştiind că
printre fracţiile 1 2 3 4 51 1 6 7, , , ,
3 4 5a b a bf f f f f
a b+ + +
= = = = = sunt
exact două numere neântregi, unul subunitar şi unul supraunitar. Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu
Răspuns: 3, 1a b= = sau 5, 7a b= = sau 1, 7a b= = . Clasa a VII-a
VII.093 Să se arate că dacă p este un număr natural prim şi 1p + este pătrat perfect,atunci numărul 20062007 1a = − este divizibil
cu 1p − şi cu 1.p + Roxana Budescu, elevă, Timişoara Soluţie : ( )( )21 , 1 1p m m m m p∗+ = ∈ ⇒ + − = .Deoarece p este prim, deducem 1 1 2, 3.m m p− = ⇒ = = Avem acum
2006 1 1 2006a M M= + − = , deci a se divide prin 1 2p − = .Pe de altă
3) 21 2 1 1 1M M− ⋅ = − ∈ ⇒ ∈ , din 2 2 1x x M− = ∈ deducem ( )21 2 1 2 \x x M− = ⇒ = ± ∈ . La fel, 2 2 6x x− = conduce la valori iraţionale din M. VII.098 Pe laturile AB şi AC ale triunghiului ABC se construiesc în exterior triunghiurile echilaterale ABX şi ACY. Se notează cu P , Q ,
38
R mijloacele segmentelor (AX) , (AY) şi respectiv (BC). Să se arate că triunghiul PQR este echilateral.
Concurs India Soluţie : Fie K şi L mijloacele laturilor (AB),respectiv (AC).Deducem imediat PKR RLQΔ ≡ Δ ( deoarece
1 1, , ( ) ( )2 2
PK RL AB KR LQ AC m PKR m QLR= = = = = ).Ajungem
astfel la ,PR RQ KPR QRL= ≡ .Deasemenea, PRQ KRL KPR QRL= − − =
0 0180 60AKR KRP KPR PKA− − − = = ,aşadar triunghiul PQR este isoscel cu un unghi de 060 . VII.099 În triunghiul ABC o mediană este perpendiculară pe o bisectoare, iar lungimile laturilor sunt trei numere naturale consecutive.Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC.
Prof. Vasile Şerdean, Gherla Soluţie : Fie AM mediana, ( ),M BC∈ BD bisectoare
{ }( ), ,D AC AM BD AM BD R∈ ⊥ ∩ = .Triunghiul ABM este isoscel( BR este şi bisectoare şi înălţime) cu AB BM c= = şi deci
2 2BC BM c= ⋅ = . Dacă 1c = ajungem la 2, 3a b= = (care nu pot fi astfel lungimile laturilor unui triunghi); dacă 2c = deducem
4, 3a b= = ; dacă 3c ≥ ,atunci 6a = şi nu putem obţine lungimi numere naturale consecutive. VII.100 Fie x,y,z numere reale nenegative, mai mici sau egale cu 1. Să se demonstreze că: a) 1 0xz x z+ − − ≥ ;
b) 11 1 1
x y zy xz z xy x xz
+ + ≤+ + + + + +
.
Prof. Mircea Lascu, Zalău Soluţie : a) ( )( )1 1 1 0xz x z x z+ − − = − − ≥ ;
b)1
x xy xz x y z
≤+ + + +
este echivalentă cu inegalitatea de la a);
ww.neutr
ino.ro
39
analog 1
y xz xy x y z
≤+ + + +
şi 1
z xx yz x y z
≤+ + + +
. Adunăm acum
cele trei inegalităţi.
Clasa a VIII-a VIII.093 Să se arate că dacă ( ), , 0,a b c∈ ∞ , atunci este adevărată
inegalitatea: ( ) ( )
1 1 2 1 1 .a b c b a c a b a c b c
⎛ ⎞+ ≥ ⋅ +⎜ ⎟⋅ + ⋅ + + + +⎝ ⎠
Prof. Dumitru Bătineţu-Giurgiu, Bucureşti Soluţie: Calcule efective conduc la inegalitatea echivalentă ( )2 0.a b− ≥ VIII.094 Să se rezolve ecuaţia
1 3 8 624... 326.1 2 3 25
x x x x+ + + ++ + + + =
Prof. Nistor Budescu, Dalboşeţ
Soluţie : Ecuaţia se poate scrie 3 8 624... 325.1 2 3 25x x x x+ + ++ + + + =
Observăm că ( )2 1 1x n x n
n n
+ − −= + şi astfel ajungem la
1 1 1 11 2 ... 25 3251 2 3 25
x x x x− − − −+ + + + + + + = sau
1 1 1 1... (1 2 3 ... 25) 3251 2 3 25
x x x x− − − −+ + + + + + + + + = . Obţinem de
aici 1 1 1 1( 1)( ... ) 01 2 3 25
x − + + + + = , de unde 1.x =
VIII.095 Fie , 0a a∈ > astfel încât ( )2a a+ ∈ şi 2a ∈ .
a) Să se arate că ( )a a a+ ∈ şi a∈ ;
b) Să se găsească un număr a∈ pentru care ( )2a a+ ∈ şi 2a ∉ .
Prof. Mircea Constantinescu, Tg.Jiu
40
Soluţie: a) ( ) ( )22 2a a a a+ ∈ ⇒ + ∈ ; cum 2a ∈ , efectuăm
calculele şi ajungem la ( )a a a+ ∈ ; se scrie acun convenabil
( ) ( )22 ( 2 ) 2a a a a a a a a+ = + + + ∈ şi se deduce a∈ ;
b) de exemplu 3 2 2a = − (verificare ! ). VIII.096 Să se determine ,x y∈ pentru care 22 3 1 0x xy y+ + + = .
VIII.097 a) Să se arate că 2 2 2 , , ,x y z xy yz zx x y z+ + ≥ + + ∀ ∈ . b) Să se găsească numerele , ,x y z∈ care verifică simultan egalităţile 1x y z+ + = şi 2 2 2 2 2 2x y y z z x xyz+ + = .
VIII.098 Pentru n ∗∈ se consideră o mulţime nA cu proprietăţile: a) ncardA n= ;
b) , ,n n nx A y A z A∀ ∈ ∃ ∈ ∃ ∈ astfel încât 1 yxz
= + .
(i) Determinaţi mulţimea 1;A (ii) Găsiţi o mulţime 2;A (iii) Arătaţi că pentru orice n ∗∈ există o mulţime nA cu proprietăţile din enunţ.
Prof. Mircea Fianu, Bucureşti Soluţie: i) { }1 2 ;A = ii) dacă a şi b sunt diferite şi , , 0ab a b a b= + > , atunci { }2 ,A a b= este un astfel de exemplu (a,b se pot lua ca soluţii strict pozitive ale ecuaţiei ( 1)( 1) 1a b− − = );
ww.neutr
ino.ro
41
iii) dacă { }22 , , / , 1,k i i i i i in k A a b a b a b i k= = = + = , iar dacă
{ }2 1 22 1, 2k kn k A A+= + = ∪ . VIII.099 Să se arate că nu există numere naturale n pentru care
3 2006n n− + este pătrat perfect. Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu
Soluţie: 3n n− este multiplu de 3, iar 2006 2004 2= + , deci numărul dat este de forma 3 2k + , deci nu poate fi pătrat perfect(a se vedea articolul Pătrate perfecte din numărul 22 al revistei). VIII.100 Să se arate că nu putem asocia vârfurilor unei prisme numere reale astfel încât :
a) Suma numerelor asociate bazei de jos este strict mai mare decât suma numerelor asociate bazei de sus ;
b) Oricum am schimba între ele cele două numere asociate capetelor oricărei muchii laterale,inegalitatea de la a) nu mai rămâne adevărată.
Dan Schwarz, matematician, Bucureşti Soluţie: Fie 1 2 1 2... ...n nA A A B B B prisma având baza de jos 1 2... nA A A ,
cea de sus 1 2... nB B B , iar muchiile laterale 1 1 2 2, ,..., n nA B A B A B . Presupunem că am asociat vârfurilor numerele 1 2, ,..., na a b astfel încât să fie adevărate a) şi b). Atunci 1 2 1 2... ...n na a a b b b+ + + > + + + şi
1 2 1 2... ...n nb a a a b b+ + + ≤ + + + , 1 2 3 1 2 3... ...n na b a a b a b b+ + + ≤ + + + , ... , 1 2 1 1 2 1... ...n n n na a a b b b b a− −+ + + + ≤ + + + + .însumând aceste
inegalităţi obţinem ( )( ) ( )( )1 2 1 22 ... 2 ...n nn a a a n b b b− + + + ≤ − + + + , contradicţie.
Clasa a IX-a IX.093 Să se arate că dacă ( ), , , , , 0,a b c x y z∈ ∞ , atunci este adevărată inegalitatea :
( ) ( )1 1 1 9 .
ax by cz ay bz cx az bx cy a b c x y z+ + ≥
+ + + + + + + + ⋅ + +
Prof. Dumitru Bătineţu-Giurgiu, Bucureşti Soluţie: Să observăm pentru început că ( )( )a b c x y z ax by cz ay bz cx az bx cy+ + + + = + + + + + + + + şi astfel
42
inegalitatea propusă este echivalentă cu
( )( ) 1 9a b c x y zax by cz
⎛ ⎞+ + + + ≥⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
∑ sau
( )( ) 1 9ax by czax by cz
⎛ ⎞+ + ≥⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
∑ ∑ , ceea ce este adevărat
(inegalitatea mediilor). IX.094 Să se arate că există o infinitate de perechi ( ),a b de numere
întregi nenule pentru care ecuaţia 2 ( ) 0ax a b x b− + + = are ambele rădăcini întregi.
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu
Soluţie: 1 2 cu bP x x k b kaa
∗= = ∈ ⇒ ∃ ∈ = . Se verifică imediat că
ecuaţia are rădăcinile întregi 1 şi k, deci avem perechile ( , )a ka care satisfac enunţul. IX.095 Să se determine numerele naturale x,y,z pentru care 2 0y x z− − = şi 3 3 3 495x y z+ + = .
Prof. Alfred Eckstein, Prof.Viorel Tudoran, Arad Soluţie: x , y , z formează o progresie aritmetică, deci putem lua
, ,x a r y r z a r= − = = + şi astfel a doua egalitate conduce la 2 2( 2 ) 165 11 15 5 33a a r+ = = ⋅ = ⋅ . Fiind vorba de numere naturale
ajungem la 5, 2, 3, 5, 7.a r x y z= = = = = IX.097 Se consideră o mulţime M de numere reale cu proprietăţile : a) 1 ;M∈ b) Dacă x M∈ şi ( )2x y M+ ∈ , atunci y M∈ .
Să se arate că 1 , .2n M n∈ ∀ ∈
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu
Soluţie: 1 2 0 0M M+ ⋅ ∈ ⇒ ∈ . Acum, 01 , 2
M∈ iar dacă
1 , 2n M∈ deducem 1 1
1 1 10 2 M .2 2 2n n nM+ ++ ⋅ = ∈ ⇒ ∈
Demonstraţia este astfel încheiată prin inducţie.
ww.neutr
ino.ro
43
IX.098 Să se determine m∈ pentru care ecuaţiile 2 4 0x x m− + = şi 2 12 0x mx+ − = au o rădăcină comună întreagă.
Prof. Nistor Budescu, Dalboşeţ Soluţie : Considerăm α ∈ rădăcina comună şi avem
2 4 0mα α− + = , 2 12 0mα α+ − = . Din prima egalitate avem m∈ , iar ambele egalităţi conduc la ( )( )1 4 8.mα − + = Se ajunge imediat acum la 2, 4.mα = = IX.099 În patrulaterul convex ABCD se notează { }AC BD O∩ = .Să se arate că centrele de greutate ale triunghiurilor AOB, BOC, COD, DOA determină un paralelogram.
Prof. Traian Duţă, Făgăraş Soluţie : Fie 1 2 3 4, , ,G G G G centrele de greutate ale triunghiurilor
AOB,BOC,COD,DOA. Avem astfel 1 2, ,3 3
OA OB OB OCOG OG+ += =
3 4,3 3
OC OD OD OAOG OG+ += = , de unde 1 3 2 4OG OG OG OG+ = + ,
1 2 4 3G G G G⇒ = concluzia fiind acum imediată. IX.100 Se consideră mulţimile
{ }2/ pentru care 2(2 1) 3 ( 1) 0A a x x a x a a= ∈ ∃ ∈ − + + + = şi
{ }2/ astfel ca 2 (8 3) 6 6 0B b x bx b x b= ∈ ∃ ∈ + − + − = . Să se afle
câte triunghiuri au toate vârfurile în punctele mulţimii .A B× Concurs Dolj, 2003
Soluţie: Condiţia ( )2 22 1 3 ( 1) ,a a a k k+ − + = ∈ conduce la 2 1a a+ + pătrat perfect, de unde imediat avem { }1,0A = − , apoi { }1,0,1B = − . (deci 0 !B∈ - verificaţi !) .Obţinem acum 18 triunghiuri.
Clasa a X-a X.093 Să se arate că dacă ( ), , 0,1x y z∈ şi 1x y z+ + = ,atunci :
3 1 1 1 2.2 1 1 1
x y zx y z
− − −≤ + + ≤
+ + +
Prof. Dumitru Bătineţu-Giurgiu, Bucureşti
44
Soluţie: Notăm 11
xsx
−=
+∑ şi astfel avem
( )
1 1 13 1 2 2( )1 1 1
1 1 1 1 94( ) (1 )2 1 2 1 2
xs x y zx x x
x y z xx x
−⎛ ⎞+ = + = ⋅ = + + ⋅ =⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
= ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ ≥+ +
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
de unde deducem 9 332 2
s ≥ − = . Pe de altă parte avem
1 1 2.1 1
x xsx
− −= < =
+∑ ∑
X.095 Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia :
5 3 .1
x xx x
=− −
Prof. Alfred Eckstein, Prof.Viorel Tudoran, Arad Soluţie: Evident, [ )1,x∈ ∞ . Ecuaţia se poate scrie
5 2
11x xx
+ − = şi are unica soluţie 1x = , deoarece pentru
1x > avem 1 1x x+ − > , iar 5 2
1 1.x
<
X.097 Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2log 3
23 log 2 .x x x− ⋅ = − Prof. Aurel Bârsan, Braşov
Soluţie: Notăm 2ax = şi astfel avem ( )2log 32 3 2 2a aa− = − sau
2 3 3 2a a a+ = + . Funcţia : , ( ) 2 3x xf f x→ = + este strict convexă, deci graficul ei are cel mult două puncte comune cu dreapta de ecuaţie 3 2y x= + . Deducem acum că 1 sau 0a a= = , de unde 1 sau 2.x x= = X.098 Se consideră expresia
34 33 1 2 1( )m n
E x x x x x− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
,unde x este un număr oarecare
ww.neutr
ino.ro
45
strict pozitiv. Să se determine toate perechile ( ),m n de numere
naturale pentru care 3( ) .E x x= Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu
Soluţie: ( ) ( ) ( ){ }2
33 2( ) , 0,6 , 3,2 .m n
E x x x m n+
= = ⇒ ∈ X.100 În triunghiul isoscel ABC , cu AB AC= , avem AP BP⊥ , unde BP este bisectoarea unghiului .ABC Dacă CP este paralelă cu înălţimea din A a triunghiului ABC, să se calculeze măsura unghiului .ABC
Prof. Romanţa şi Ioan Ghiţă, Blaj Soluţie: Considerăm , ( )AM BC M BC⊥ ∈ şi notăm
( ),AB c m BAC x= = . Din triunghiul ABM deducem
sin 2 sin2 2x BM xBC c
AB= ⇒ = ⋅ . Deoarece ( )
01804
xm ABP −= avem
din triunghiul ABP : 0cos 454xBP c ⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟
⎝ ⎠, iar din triunghiul BCP:
0
2 sin2
cos(45 )2
xcBP x=
−. Ajungem acum la 2 0cos 45 2sin
4 2x x⎛ ⎞− =⎜ ⎟
⎝ ⎠ sau
11 sin 4sin 2arcsin .2 2 3x x x+ = ⇒ =
Clasa a XI-a
XI.094 Dacă ( )nA M∈ satisface egalitatea 2
nA I A+ = , să se calculeze 12.A
Prof. Alfred Eckstein, Prof.Viorel Tudoran, Arad Soluţie : ( )( )2 2 3
n n n n n n nA A I O A I A A I O A I O− + = ⇒ + − + = ⇒ + =
şi astfel ajungem la 3 6 12 .n n nA I A I A I= − ⇒ = ⇒ =
46
XI.093 Se notează cu a,b,c lungimile laturilor unui triunghi, iar cu , ,a b ch h h sunt lungimile înălţimilor şi se consideră matricea
111
a b
b c
c a
a h hA b h h
c h h
⋅⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
.
Să se arate că det 0.A ≥ În ce condiţii avem det 0A = ? . Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu
Soluţie:
2
2 2
2
411
4 4det 1 11
41
Saab a cS SA b b abc abc
c bScca
= = ⋅ , 2
11 01
a cb a a abc b
= − ≥∑ ∑
XI.095 Fie ( ) 1n na ≥ un şir de numere reale strict pozitive care
satisface egalitatea ( )21 , .n n na a a n ∗+ − = ∀ ∈ Să se calculeze
lim nnL a
→∞= , ştiind că această limită există.
Valentin Vornicu, Bucureşti Soluţie: Evident 0L ≥ . Dacă [ ), 0,L L≠ ∞ ∈ ∞ , aşadar şirul ( ) 1n na ≥ este convergent. Deoarece ( )1lim 0n n
na a+
→∞− = , avem în acest
caz ( ) ( )21lim lim 0n n nn na a a+
→∞ →∞= − = . Există aşadar k∈ astfel încât
1 ,4na n k< ∀ ≥ şi astfel: ( ) ( )2 2 2 1
1 12 24 4n n
n n n n na aa a a a a +
+ +⎛ ⎞= − ≤ + < +⎜ ⎟⎝ ⎠
,
de unde 1 ,n na a n k+ > ∀ ≥ . Aşadar 1 2 ...k k ka a a+ +< < < , adică lim 0k nn
a a→∞
< = , absurd, deci .L = ∞
XI.097 Şirul ( ) 1n nx ≥ verifică 1 21, 3x x= = , ( ) ( )2 14 2 2 1 1 ,n n nn x n x n x+ +⋅ = + − +
.n ∗∀ ∈ Să se calculeze 1
lim nn n
xx→∞ +
şi lim .nn
x→∞
Prof.Silviu Boga, Suceava
ww.neutr
ino.ro
47
Soluţie: Relaţia din enunţ conduce la
2 1 12 (2 ) ( 1)(2 )n n n nn x x n x x+ + +− = + − . Considerăm 12 n nn
x xun
+ −= şi
astfel 12 n nu u+ = , deci 1
52n nu −= şi apoi 1
12 2 10n nn nx x n++ − = . Avem în
continuare ( )11
1
( 1)2 2 10 5 ( 1)2
nk k
k kk
n nx x n n++
=
−− = = −∑ şi apoi
25 5 22 2 5 ( 1)2
nn n n
n nx n n x − += + − ⇒ = . Limitele cerute se obţin
acum imediat: 2, respectiv 0.
XI.098 Să se calculeze 1
2lim cosn
n kn
n kπ
→∞ =
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠∑
***
Soluţie: 2 2 2 , 1,1
k nn n n k nπ π π
≤ ≤ =+ + +
. Folosim monotonia funcţiei cos
şi avem 2 2 2cos cos cos , 1,1
k nn n n k nπ π π
≥ ≥ =+ + +
. Prin însumarea
acestor inegalităţi obţinem 2(1 cos ) (1 cos )1nn n S n
n nπ π
− ≥ − ≥ −+
.
Folosim acum 21 cos 2sin2xx− = , sinlim 1
t o
tt→
= şi teorema cleştelui,
limita propusă fiind în final 0.
XI.099 Dacă 20
1 cos cos 2 ... coslim ,n x
x x nxa nx
∗
→
− ⋅ ⋅ ⋅= ∈ , să se
calculeze lim nna
→∞.
***
Soluţie: Calculăm 1a ,apoi cu 21 cos 2sin2tt− = , calculăm 2a şi,
inductiv, cu 2
1
( 1)(2 1)6
n
k
n n nk=
+ +=∑ , se ajunge la
( 1)(2 1)lim12n
n
n n na→∞
+ += .
48
XI.100 Se consideră un dreptunghi ABCD cu dimensiunile a şi b, iar pentru 0r > se defineşte mulţimea ( )M r a punctelor din planul dreptunghiului situate la o distanţă mai mică sau egală ca r faţă de figura ABCD. Notând cu ( )rA aria mulţimii plane ( )M r ,să se
calculerze ( )2lim
n
rr→∞
A.
Prof. Costel Chiteş, Bucureşti Soluţie: Mulţimea ( )M r este formată din dreptunghiul ABCD, două dreptunghiuri r a× , două dreptunghiuri r b× şi patru sferturi de cerc de rază r. Ajungem astfel la 2( ) 2( )r ab a b r rπ= + + +A şi deci
( )2lim .
n
r
rπ
→∞=
A
Clasa a XII-a
XII.093 Să se calculeze 1
3 5lim .3
kn
n kL k
→∞=
⎛ ⎞−= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
Prof. Alfred Eckstein, Prof.Viorel Tudoran, Arad Soluţie: Fie , 1x x∈ < ; derivând egalitatea
2 1...1
nn xx x x x
x−
+ + + = ⋅−
şi înmulţind cu x, ajungem la
( )( )
22lim 2 ...
1n
n
xx x nxx→∞
+ + + =−
. Facem acum 3 53
x −= şi obţinem
limita căutată 3 5 .5
L −=
XII.094 Să se determine sin 3, , .sin cos 4 4
x dx xx x
π π⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫
***
Soluţie : Dacă sinsin cos
xI dxx x
=+∫ , considerăm
cossin cos
xJ dxx x
=+∫ şi calculăm ,I J I J+ − .
ww.neutr
ino.ro
49
Ajungem la ( )1 ln sin cos2
I x x x= − + + C .
XII.095 Să se calculeze 2
2sin sin 2 1
sin 1xx x dx
e x− +
+ +∫ (enunţ corectat)
*** XII.096 Să se determine funcţiile :f ∗ → astfel încât mulţimea
( )/
0 1x f x
G x ∗⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
să aibă, în raport cu înmulţirea matricelor,
o structură de grup abelian. Conf. Univ. Dr. Cristinel Mortici, Târgovişte
Soluţie: Dacă ( )
( )0 1x f x
A x⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
, deducem imediat
( ) ( ) ( )f xy xf y f x= + şi ( ) ( ) ( ) ( )xf y f x yf x f y+ = + sau ( )( 1) ( )( 1)f x y f y x− = − . Luăm 2y = şi ajungem la ( ) ( 1),f x a x a= − ∈ .
Se verifică acum complet axiomele grupului. XII.099 Fie ( ),G ⋅ un grup finit cu n elemente , , 2n n∈ ≥ . Dacă
funcţiile ( ) { }: , , 1,2,..., 1kk kf G G f x x k n→ = ∈ − sunt automorfisme
ale grupului G , să se arate că n este număr prim. Prof. Mihai Piticari, Câmpulung Moldovenesc
Soluţie: Fie p prim cu /p n ( p există deoarece 2n ≥ ). Din teorema lui Cauchy avem că există , ( ) .x G ord x p∈ = Dacă { }1,2,..., 1p n∈ − , din p px e= deducem x e= , contradicţie cu ( )ord x p= . Aşadar p n= şi n este număr prim.
XII.100 Fie [ ]: ,f a b → o funcţie monotonă astfel încât funcţia
( ): ,F a b → , ( ) ( )x
a
F x f t dt= ∫ este derivabilă. Să se demonstreze că
f este continuă pe ( ), .a b Conf. Univ. Dr. Cristinel Mortici, Târgovişte
Soluţie: Presupunem că f este crescătoare şi fie ( ),c a b∈ . Pentru x c< , cu teorema lui Lagrange avem că există ( ),d x c∈ astfel ca
50
( ) ( ) ( ) ( 0)F x F c f d f cx c−
= ≤ −−
şi facem x c→ , de unde / ( ) ( 0)F c f c≤ − Analog se ajunge la / ( ) ( 0)F c f c≥ − , aşadar / /( ) ( 0) ( ) ( 0) ( )F c f c f c f c F c≤ − ≤ ≤ + ≤ ,deci f este continuă în c. �
Concursul Judeţean al Revistei de Matematică Caraş-Severin, Ediţia a IV a
Regulament Ediţia a IV-a a Concursului Revistei demarează acum, cu problemele propuse în acest număr. Fiecare elev trebuie să rezolve (subliniem din nou: singur !; altfel e posibil să vă treziţi calificaţi la concurs şi acolo să nu faceţi mare lucru daţi naştere la întrebări şi credem că nici n-o să vă simţiţi prea bine), aşadar să rezolve cât mai multe probleme de la clasa sa, de la clasa precedentă sau de la orice clasă superioară. Redactaţi îngrijit fiecare problemă pe câte o foaie separată(enunţ + autor + soluţie + numele vostru +clasa), completaţi talonul de concurs de pe ultima copertă a revistei şi trimiteţi totul într-un plic format coală ministerială, adresat astfel: Prof. Lucian Dragomir, Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu, str. Republicii 10-12, 325700, Oţelu-Roşu, Caraş-Severin(în colţul din dreapta jos a plicului), cu menţiunea “probleme rezolvate, clasa ….”(în colţul din stânga jos, scrieţi evident clasa în care sunteţi). Colţul din stânga sus vă este rezervat (expeditor), acolo vă scrieţi numele, prenumele, adresa. Insistăm asupra trimiterilor în plic(nu în folii de plastic) şi asupra respectării cu stricteţe a termenelor finale indicate de fiecare dată - plicurile primite după data limită nu vor fi luate în considerare . Revenim : redactaţi complet, justificaţi, răspundeţi exact la cerinţa problemei. După data limită de trimitere a soluţiilor, acestea sunt evaluate şi în numărul următor al revistei vor fi publicaţi toţi rezolvitorii cu punctajele obţinute. La ediţia a IV-a a concursului vor fi selectaţi concurenţii în funcţie de punctajele obţinute din rezolvarea problemelor publicate în numerele 23, 24, 25 şi 26 ale revistei noastre. În jurul datei de 20
ww.neutr
ino.ro
51
ianuarie 2009 se va întocmi clasamentul general (prin însumarea punctelor obţinute) şi astfel primii clasaţi vor fi invitaţi, ca şi în acest an, să participe la concurs; acesta va avea loc în luna februarie sau martie, într-un oraş care va fi anunţat în timp util . Subiectele vor fi alese tot din probleme de genul RMCS sau G.M. sau ceva cât de cât nou. Veţi remarca, desigur, că unele probleme pe care vi le propunem sunt din numere mai vechi ale Gazetei Matematice, în speranţa că vă vom trezi interesul pentru una dintre cele mai serioase şi vechi reviste de matematică din lume. Abonaţi-vă la Gazeta Matematică, sigur veţi avea numai de câştigat! Din nou, spor la treabă tuturor: elevi, profesori, părinţi sau prieteni! (Informaţii suplimentare se pot obţine la: prof.Ovidiu Bădescu, tel. 0255/225544 sau prof. Lucian Dragomir, tel.: 0255/530303 sau 0722/883537, e-mail: [email protected]). ■
52
Probleme propuse (soluţiile se primesc până în data de 1 mai 2008; începe
participarea la a IV-a ediţie a concursului revistei)
Ciclul primar
IV.101 Suma a două numere este 40, iar diferenţa lor este de două ori mai mică decât numărul cel mai mic. Care sunt numerele?
Inst. Lidia Todor, Caransebeş IV.102 Lelia are 3 ani. Peste 5 ani ea va fi de 4 ori mai mică decât mama, iar bunica de 2 ori mai mare decât fiica sa. Ce vârstă are mama? Dar bunica?
Inst. Lidia Todor, Caransebeş IV.103 Un caiet, o radieră şi un creion costă 6 lei. Un caiet, trei radiere şi 3 creioane costă 12 lei. Două caiete, două radiere şi 1 creion costă 11 lei. Cât costă fiecare articol în parte?
Inst. Lidia Todor, Caransebeş IV.104 Plasaţi în căsuţele libere din figura de mai jos numere astfel încât să respectaţi o anumită regulă valabilă pentru tot pătratul. Explicaţi regula folosită, justificând astfel alegerea făcută pentru numerele voastre.
1 3 2
5 3
3 1
* * *
IV.105 Arătaţi că Alina şi Bianca îşi pot alege câte două numere astfel încât suma numerelor alese de fiecare să fie un acelaşi număr şi unul din numerele alese de Bianca să fie dublul unui număr ales de Alina.
* * * IV.106 Un număr suferă o transformare bună dacă se înmulţeşte cu 4 apoi la rezultatul obţinut se adună 3. Un număr suferă o transformare foarte bună dacă se înmulţeşte cu 3 apoi la rezultatul obţinut se adună 4.
ww.neutr
ino.ro
53
a) Există un număr care printr-o transformare bună sau printr-o transformare foarte bună să devină 97? ; b) Există un număr care prin două transformări succesive,una bună,apoi una foarte bună , să devină 97?
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Clasa a V-a
V.101 Aflaţi suma numerelor mai mari decât 100 şi mai mici decât 300, care împărţite la 4 dau restul 1. Prof. Antoanela Buzescu, Caransebeş V.102 Se consideră mulţimile: { }2 1,A x x n n n= = + + ∈ şi
{ }2 4,B y y n n n= = − + ∈ .Să se determine A B∩ . Prof. Marius Şandru, Reşiţa
V.103 Să se determine numărul natural 2 3a bA = ⋅ ştiind că 2A are cu 3 divizori mai mult decât A, iar 3A are cu 4 divizori mai mult decât A.
Prof. Silvia Pruteanu, Anina V.104 Aflaţi cifrele x, y, z astfel încât numărul de 4 cifre 0 00 000 2010N xyy yx z= + + + să fie maxim.
Prof. Ion Belci, Reşiţa V.105 Arătaţi că nu există numere naturale a, b, c care verifică simultan egalităţile: (1) ( ) 2005c a b+ = (2) 1000 1000 1000 1a b c+ = +
Clasa a VI-a VI.101 Calculaţi suma tuturor numerelor de trei cifre, care împărţite la 4 , 9 şi respectiv 12 dau acelaşi rest, număr prim impar.
Prof. Vasile Chiş, Reşiţa 54
VI.102 Se consideră A, B, C, D patru puncte coliniare, în această ordine, astfel încât [ ] [ ]AC BD≡ şi punctul M în exteriorul dreptei AD încât [ ] [ ].MA MD≡
a) Arătaţi că segmentele [ ]BC şi [ ]AD au acelaşi mijloc. b) Arătaţi că [ ] [ ].MB MC≡ Prof. Marius Şandru, Reşiţa
VI.103 Să se determine numerele naturale a,b,c,d,e pentru care
( )3ab abcde= . Prof. Aurel Doboşan, Prof.Petre Orbulescu, Lugoj
VI.104 Să se determine toate numerele naturale scrise în baza zece,de două cifre,astfel încât fiecare să se dividă cu suma cifrelor sale,dând câtul 7.
Gazeta Matematică 1986 VI.105 Se dă segmentul [ ]AB , M mijlocul său şi P un punct oarecare al acestui segment. Arătaţi că ( ),d M P este egală cu semidiferenţa distanţelor de la P la extremităţile segmentului dat.
Prof. Vasilica Gîdea, Moldova-Nouă VI.106 Se consideră un triunghi ABC în care ( ) ( )3m B m A= ⋅ ,mediatoarea laturii ( )BC intersectează AC în E
şi AB BE= .Să se determine măsurile unghiurilor triunghiului ABC. Gazeta Matematică 1986
Clasa a VII-a
VII.101 Să se arate că 2008 2007 200610 9 10 9 10 ... 9 10 9− ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ∈ .
Prof. Irina Avrămescu, Reşiţa VII.102Fie patrulaterul convex ABCD care îndeplineşte proprietăţile: [ ] [ ]AB BC≡ , ( ) ( ) 090 ,m B m D= = ( ) 060 .m C = Ştiind că distanţa de la D la AC este 4 cm, calculaţi aria patrulaterului ABCD.
Prof. Irina Avrămescu, Reşiţa
ww.neutr
ino.ro
55
VII.103 Fiind date punctele coliniare A, B ,C ( )AB AC< , se construiesc triunghiurile dreptunghice isoscele ABD, ( ) 090m A = şi ACE, ( ) 090 .m A = a) Dacă patrulaterul BDEC este concav arătaţi că dreptele EB şi DC sunt perpendiculare. b) Dacă patrulaterul BDEC este convex şi BD=8 cm, EC=20 cm, iar M şi N sunt mijloacele segmentelor [ ]BE şi respectiv [ ]DC , calculaţi MN.
Prof. Vasile Chiş, Reşiţa VII.104 Să se arate că numărul ( )20082007 20095 3 3N x= + + este iraţional, oricare ar fi x∈ , 3x ≥ − .
Prof. Delia Dragomir, Prof.Adrian Dragomir, Caransebeş VII.105 Fie trapezul dreptunghic ABCD cu ( ) ( ) 090m A m D= = , iar
M mijlocul segmentului [ ]AD . Dacă BM AC⊥ , să se demonstreze că BD MC⊥ .
Prof. Silvia Pruteanu, Anina
VII.106 Fie 1 1 1 1 1 1...2 3 4 5 2002 2003
x = − + − + + − şi
1 1 1 1 11 ...2 3 4 2001 2002
y = − + − + + − .
a) Calculaţi media aritmetică a celor două numere.
b) Demonstraţi că: 10012003
x y< < .
Prof. Zoran Ocanovici, Moldova-Nouă Clasa a VIII-a
VIII.101 a) Aflaţi numerele reale x şi y ştiind că:
2 2 2 22 2 2 5 2 2 2 10 5x y xy x y x y xy x y+ − + − + + + + − − + =
b) Demonstraţi că: 2 15 50 \ , .n n n+ + ∈ ∀ ∈ Prof.Marius Şandru,Reşiţa
56
VIII.102 a) Să se arate că: 21 1 1 1 ,
3 33k
k kk k∗⎛ ⎞= − ∀ ∈⎜ ⎟++ ⎝ ⎠.
b) Calculaţi suma: 2 2 21 1 1... .
1 3 2 6 2008 6024S = + + +
+ + +
Prof. Lavinia Moatăr, Caransebeş VIII.103 Se consideră cubul ABCDA B C D′ ′ ′ ′ , având muchia de lungime 0a > . Calculaţi ( ) ( ), , .m AD A B m AD A C′ ′ ′ ′+
Prof. Marius Şandru, Reşiţa VIII.104 Rombul ABCD şi pătratul BCEF sunt situate în plane perpendiculare. a) Demonstraţi că DF şi AE sunt concurente. b) Demonstraţi că dreapta de intersecţie a planelor (BFD) şi (ACE) este perpendiculară pe planul (ABC). c) Dacă AB a= şi ( ) 060 ,m B = calculaţi distanţa de punctul F la dreapta AC.
Prof. Sânefta Vladu, Moldova-Nouă
VIII.105 Ştiind că 1 2xx
+ = , calculaţi 77
1xx
+ , x ∗∈ .
Prof. Lavinia Moatăr, Caransebeş VIII.106 Să se determine numerele întregi x şi y pentru care
2 2x y+ este pătrat perfect şi 3 4 1x y+ = .
Prof. Adriana Dragomir, Oţelu-Roşu, Prof. Adrian Dragomir, Caransebeş
Clasa a IX-a IX.101 Se notează cu AM,BN,CP lungimile unei înălţimi,a unei bisectoare,respectiv a unei mediane în triunghiul ascuţitunghic ABC. Să se arate că dacă MC NA PB= = ,atunci triunghiul ABC este echilateral.
Concurs Bucureşti 1987
ww.neutr
ino.ro
57
IX.102 Să se arate că ecuaţia 3 1 3 22 2
x x m+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ nu are soluţii
pentru 6m = , dar are soluţii pentru 7.m = Prof. Ovidiu Bădescu, Reşiţa
IX.103 Se consideră un triunghi ABC înscris în cercul ( , )O rC şi AM,BN,CP mediane care intersectează cercul anterior în punctele Q, R respectiv S. Să se arate că : 9AM NB CP
MQ NR PS+ + ≥ .
Admitere Institutul Politehnic Bucureşti, 1987 IX.104 Să se determine numerele întregi m pentru care ( )( )2 22 1 4 3 2 3m m m m m+ + + + ≤ + .
Prof. Adriana Dragomir, Oţelu-Roşu, Prof. Adrian Dragomir, Caransebeş
IX.105 O dreaptă variabilă intersectează laturile AB,BC,CD,DA ale unui dreptunghi respectiv în M, N, P, Q. Să se arate că
2 2
2 2 constant.AB BCNQ MP
+ =
* * * IX.106 Să se arate că numărul 0 0sin1 cos1+ este iraţional.
* * * Clasa a X-a
X.101 Să se determine funcţiile injective :f → cu proprietatea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,f x f y x f y y f x f x y x y⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ∀ ∈ .
Prof. Iacob Didraga, Caransebeş X.102 Să se rezolve ecuaţia [ ] ( ) [ ]2 2 3log log 2 log 2008x x⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ .
Prof. Antoanela Buzescu, Caransebeş
X.103 Să se arate că lg 25 lg9 lg36 3lg18 lg30 lg15
+ + > .
Prof. Antoanela Buzescu, Caransebeş X.104 Să se rezolve ecuaţia 2 (1 ) 4 3 , 0.xa a x a a− = − + − >
Concurs Giurgiu 1987
58
X.105 Dacă A şi B sunt două mulţimi finite disjuncte cu 4, respectiv 5 elemente, să se determine în câte feluri poate fi ordonată mulţimea A B∪ astfel încât primele două elemente să fie din A, iar ultimele trei elemente să fie din B.
RMCS X.106 Să se determine numerele naturale n pentru care 2
22 4
3n n
nnC C n+ = .
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Clasa a XI-a
XI.101 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră mulţimea ( ){ }, / ,L k p k p= ∈ . Să se arate că nu există nici un triunghi echilateral cu toate vârfurile în puncte din mulţimea L.
(variante bacalaureat 2004) XI.102 Se consideră un şir ( ) 1n na
≥crescător de numere reale pentru
care ( )lim 1 nnn a
→∞⋅ − = ∞ . Să se calculeze ( )1 2lim ... nn
a a a→∞
⋅ ⋅ ⋅ .
Concurs Bucureşti 1987
XI.103 Să se determine 0, 1m m> ≠ pentru care 1
lim 01
x
x
m mxx→
−=
−.
Concurs Giurgiu 1987 XI.104 Să se arate că dacă ( ), : 0,f g → ∞ sunt funcţii continue,
atunci există , 1c c∈ ≠ astfel încât ( )( ) 1
f c cg c c
=−
.
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu XI.105 Să se determine funcţiile continue :f → care satisfac ( ) ( ) 2 ( ) , ,f x y f x y f x x y+ + − = ∀ ∈ .
* * * XI.106 Se notează { } *1,2,3,..., ,A n n= ∈ şi se consideră o matrice simetrică ( )nX A∈M care are toate elementele fiecărei linii distincte.Să se determine n astfel încât suma elementelor de pe diagonala principală a matricei X să fie un număr impar.
Gazeta Matematică 1988
ww.neutr
ino.ro
59
Clasa a XII-a XII.101 Se consideră funcţia :f → , 2 2
1 2( )(1 )
x arctgxf xx
− ⋅=
+.Să se
calculeze 1
10
( )I f x dx= ∫ şi 1
10
( )I x f x dx= ⋅∫ .
Prof. Iacob Didraga, Caransebeş XII.102 Dacă G este un grup multiplicativ în care, pentru orice
, ,x y z G∈ , avem : 2 2xy z x y z= ⇒ = , să se arate că : a) { }2 , \x e x G e≠ ∀ ∈ ; b) G este abelian ; c) Orice grup cu proprietăţile a) şi b) are proprietatea din enunţ.
Prof. Marian Andronache, Bucureşti XII.103 Să se dea un exemplu, justificând alegerea făcută, de funcţie
:h → neconstantă pentru care ( )1
/
0
( ) 2h x x h x dx⎡ ⎤+ ⋅ =⎣ ⎦∫ .
Prof. Lucian Dragomir,Oţelu-Roşu
XII.104 Să se calculeze 1
0 21
1
arctgx dxarctg
x x− +
∫ .
Gazeta Matematică 1987 XII.105 Să se calculeze limita şirului ( ) 1n na
≥definit prin
1
20
, 13 2
n
nxa dx nx x
= ≥+ +∫ .
* * *
XII.106 Să se calculeze 2 3
2
cos1 x
xI dxe
π
π−
=+∫ .
Gazeta Matematică 1988
60
Rubrica rezolvitorilor Punctaje obţinute pentru rezolvarea probemelor din
RMCS nr.22 (în paranteză apar punctajele realizate pentru
ediţia a III-a a Concursului RMCS)
Clasa a IV-a Liceul Hercules Băile Herculane (Înv. Felicia Adriana Laitin, Înv. Mirela Bolbotină) Urdeş Florin (103), Sgîncă Iustin Ştefan 32(240), Moagă Alecsandru 65(391), Marcu Laura 39(163), Urzică Ionuţ Sorin 29(202), Căpăţână Alexandra Maria23(118), Ştefan Răzvan Bogdan (75), Velcan Anca (50), Cîrdei Alex-Cosmin (73), Stanciu Ana-Maria 75(290), Stanciu Ani 72(286), Popa Andrei (67). Şcoala Generală 2 Reşiţa(Înv. Florica Boulescu) Neaţu Monica 50(325), Imbri Alexandru (90), Damian Dario (20), Vasilovici Camil Robert 20(110), Dăescu Vanesa (30), Ursul Larisa Iasmina 35(125), Popescu Vlad Şerban (80), Ciobanu Anca 35(265), Azap Denisa 35(55). Şcoala Romul Ladea Oraviţa (Inst. Mariana Ţeicu, Liliana Crăciun) Balmez Andrada-Ioana 38(241), Chirciu Cătălina (28). Şcoala Generală nr.3 Oţelu-Roşu (înv. Irina Cîrstea) Jurma Mirel (126), Cornean Claudiu (116), Creţan Andrei Aurel (136), Jicu Petronela (136), Stanca Petronela(136), Barbu Lidia(136), Palcu Victoria (126), Drăgan Alexandra-Diana 67(203), Preda Sebastian Mihai (136). Şcoala Teregova (Înv. Maria Lăzărescu) Berzescu Ilie Adrian (40) Şcoala gen.nr.8 Caransebeş ( Înv.Tămaş Maria) Petculescu Florin 45(45)
Clasa a V-a Şcoala nr.1 Anina (Prof.Livia Lath) Albu Olivia-Teofana 20(50) Liceul Hercules Băile Herculane(Înv. Doina Zah, Floarea Kuszay, prof. Constantin Bolbotină, prof.Marius Golopenţa) Domilescu Manuel Ilie 123(462), Dobreanu Răzvan (238), Şandru Ilie Daniel 124(595), Gherghina Liviu (227), Dancău Anca Ionela 91(436), Susana Ionuţ Emanoil (123), Dimcea Alexandra Ana Maria 102 (305), Coman Petre Daniel 102(398), Török Bogdan 65(353),
ww.neutr
ino.ro
61
Ciopec Oana(264), Mihart Georgiana 114(409), Ausmann Adelina(207), Cosma Iulia (218), Ferescu Liana (240), Şuşară Bianca (163), Bălaj Denisa Maria(118), Rabota Alexandru (123), Lozovanu Dumitru (123), Vlaicu Dana 105(378) Şcoala Berzasca (Înv. Nicoleta Jugănaru, Prof. Dana Emilia Schiha) Vulpescu Iulia 55(167), Velicicu Alina 45(98), Antohi Ryan-Daniel 46(46). Şcoala Bozovici (Prof.Maria Bololoi) Mitocaru Patricia 85(269), Iancu Mara-Timea 65(136), Ruva Mihaela 65(182), Pervu Georgiana (66), Nicola Ion Cristian (78). Şcoala Generală Dalboşeţ ( înv. Purea Emilia ) Curiţa Ileana (40), Negru Nicolae (80) Liceul Traian Doda Caransebeş (Înv. Marinela Galescu, Mariana Andraş, Prof. Janet Miuţă, Prof. Ioan Adrian Dragomir): Dragomir Ioana Ştefania 67(307), Ionescu Cristian Ionuţ (40), Petrea Emilia Georgeta (65), Chirică Giorgiana Adelina (26), Motoi-Bona Andrada Diana (40), Gache Andreea Ioana 40(90), Fauru Rosan 50(88). Şcoala Generală 2 Reşiţa (Înv. Eufemia Jurca, Înv. Aurica Niţoiu) Rada Simina (97), Manciu Emilian (65), Lăvan Iasmina (35), Mihai Radu Bogdan (85), Codilă Silvana (45), Frenţiu Adrian Ramon (45), Borozan Antonio (35), Feraru Carla (70), Iordănescu Andreea (115), Vîlceanu Vlad (90), Şandru Bogdan (70), Blaga Isabel (50), Perian Cezara (30), Stanca Andreea (60) Şcoala Generală nr. 7 Reşiţa (Prof. Lia Roşu) Preda Cristian Mihai (60), Smarandache Andreas Mihai (60). Fără menţiune de şcoală: Bercean Bogdan Alexandru 92(92). Şcoala Generală nr. 9 Reşiţa (Înv. Margareta Filip, Prof. Ion Belci, Prof.Irina Avrămescu) Peptan Andrei Valentin 158(548), Pangica Tony 151(151), Momin Alexandra 50(50), Moatăr Alina Iasmina 87(87). Şcoala Generală nr. 1 Oraviţa (Înv. Merima Velcotă, Inst. Ionela Popa, Prof. Marian Bădoi) Pelian Popa Dragoş 27(187), Gheorghişan Călin 74(443), Pîrvu Ancuţa Iulia 80(390). Şcoala Generală 3 Oţelu-Roşu(Instit. Simona Petrila, Prof. Daniela Suciu, Prof. Felicia Boldea) Kocsis Laura Celine 37(230),
62
Ilin Ana-Maria 38(231), Băilă Cristina 72(335), Românu Nicoleta (205), Barbu Daniel 73(219), Lungu Dalisa(117), Ilioni Miriam 56(119), Manea Florina (102), Vigh Laura 52(154), Haba Beatrice 75(181), Drinovan Alexandra 60(60), Maloş Larisa 60(60). Şcoala Generală 1 Oţelu-Roşu (Prof. Heidi Feil, Prof.Anişoara Iacobescu) Guţan Iuliana86(282), Buţă Laurian-Paul 156(286), Ştefănescu Andrei 154(422), Mutaşcu Alexandru Mihaela(40), Bunei Silvana (88), Manu Cristian (64). Grup Şcolar Oţelu-Roşu ( Prof. Iulia Cecon) Olaru Ionuţ 84(176), Călău Maria 82(146), Paşcu Dalida 55(55). Liceul Pedagogic Caransebeş (Înv. Ion Ritta, Prof. Dorina Humiţa, Prof. Antoanela Buzescu) Bivolaru Iulia Mălina 83(361), Lala Timotei (40), Băzăvan Răzvan Alexandru30(137), Băzăvan Oana Cătălina 30(137), Dinulică Augustin 161(364), Dinulică Septimiu 165(361), Dragomir Roberto 40(40), Leon Natalia Emilia 40(40), Popovici Daniel 57(57). Şcoala Rusca Teregova (Prof. Sorin Ciucă) Banda Giorgiana32(51), Blaj Ioan 68(142), Oprişan Paula Cristina 38(94), Moacă Nicolae 38(85), Gherga Marinela 36(36), Stepanescu Georgeta 57(57), Codoşpan Oana 90(90), Duran Alina Alexandra 40(40), Andrei Giani 15(15), Vernicuţa Veronica 43(43). Şcoala Vârciorova (Prof. Ioan Liuba) Turnea Ioan (50). Scoala Prilipeţ (Prof. Floarea Şuta) Şuveţi Anca Marinela 80(80), Drăgilă Ioan Marian 80(80), Dancea Nicolae 80(80).
Clasa a VI-a Şcoala Generală 1 Anina (Prof. Marin Constantin Cleşiu) Tiron Romina (30) , Bardaş Alexandra10(40), Ionescu Andreea-Victoria 20(65), Sabie Antonia 54(54), Novăcescu Gina 10(10) Şcoala Bănia (Prof.Iancu Cleşnescu) Odobaşa Daniel 87(707). Şcoala Berzasca (Prof. Dana Emilia Schiha) Vucec Ioana Adela 54(54) Şcoala Bozovici (Prof. Iosif Găină , Maria Bololoi) Vrancea Andreea 50(244), Borchescu Eugen 30(328), Ştefan Ana 48(268), Munteanu Mădălina (102), Mergia Denis(59), Chera Patricia 30(89), Hotac Adina 107(229), Hoşbotă Viorica(120)-fără menţiune de clasă !
ww.neutr
ino.ro
63
Grup Şcolar Construcţii Maşini Caransebeş (Prof. Carina Corîci) Caraiman Lia 53(123), Vrînceanu Vlăduţ 43(43) Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Dorina Tuvenie, Dorina Humiţa) Ştefănigă Claudiu (125), Huian Cristina (193), Ştirbei Daiana (125), Pop Silvia (185), Ban Ioana 65(350), Mucenica Lorena (160), Barcan Alexandra (75), Stancu Georgiana Maria(97), Bălteanu Ana Maria 67(155). Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Adrian Dragomir, Gheorghe Hogea) Szabo Ildiko 125(303). Şcoala Ciclova Română (Prof. Geta Mâşcoi ) Măran Budo Cristian Samuel (218), Chisăliţă Cătălin (185) Şcoala Generală Dalboşeţ (Prof. Pavel Rîncu) Băcilă Alexandru (58), Careba Denisa (213). Şcoala Lăpuşnicu Mare(Prof. Iosif Găină, Prof. Pungilă Petru) Chera Patricia (70), Ungureanu Daniel (70), Goşa Violeta 101(286), Vodă Andreea 92(294). Şcoala Generală nr. 1 Moldova Nouă (Prof. Marioara Radosavlevici) Gîrjan Andra Alina (113), Albu Giulia Cristiana (123) Şcoala Generală nr. 3 Moldova Nouă (Prof. Sânefta Vladu) Lupulovici Silvana (40) Grup Şcolar Moldova Nouă (Prof. Vasilica Gîdea ) Oprea Adelina 52(393), Tarsoly Carla 86(406), Beloia Marinela72(353), Păunovici Rebeca Veronica 43(318), Onescu Mădălina Ana-Maria (97), Ursaciuc Lavinia 42(42). Şcoala Generală 2 Reşiţa (Prof. Mariana Drăghici) Ţeudan Adina 79(384), Popa Andreea (98), Borchescu Daiana Maria (67), Onofrei Iulia 82(149), Drăghici Livia Liliana 157(653), Aghescu Monica Elena 80(365), Bolfă Larisa-Mădălina (25). Şcoala Generală nr. 9 Reşiţa (Prof. Irina Avramescu, Prof.Vasile Chiş, Prof. Ion Belci) Peptan Alexandru 92(433), Colgea Alexandru 18(300), Hrincescu Teodor (126), Popescu Ovidiu (40), Lazăr Silviu Ioan 122(555), Muscai Lorena 60(388), Zeman Andrei Miodrag (47), Zima Marius (125), Carpăn Adrian – Florin (41) . Şcoala Generală nr. 1 Oraviţa (Prof. Camelia Pîrvu, Prof. Marian Bădoi, Prof. Maria Cenda, Prof. Mihai Lazarov)
64
Săcrieru Andreea-Marta 60(203), Brădeanu Simona Ştefania (50), Adam Bogdan (55), Serafin Dennis George 72(501), Vucu Paul (178), Marocico Flavius 60(279), Corcan Denisa Cristina (27), Cimpoca Rebeca-Roxana 30(30). Şcoala Generală 1 Oţelu-Roşu (Prof. Heidi Feil) Pop Cristian Ionuţ 70(578), Radu Ionela 60(542), Tuştean Patricia (172), Stan Corina Larisa (50), Butoi Armin (50), Muntean Lavinia Mihaela (94), Bidilici Răzvan Marian 40(373),Blagoescu Adrian (158), Damian Cristian 38(95), Ilic Denis (84). Şcoala Generală 3 Oţelu-Roşu (prof.Felicia Boldea) Cărăuşu Robert 62(514), Băilă Diana 58(439), Tănasă Raul 52(506), Preda Gabriela Dagmar 83(553), Jurma Cristina (71). Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Iulia Cecon) Lazăr Raluca (79), Vărgatu Alina 65(236), Gherăescu Alina (68), Oprea Filip Emanuela (68), Popescu Ana Maria 70(96). Şcoala Şopotu Vechi Prof.Nicolae Găină) Mirea Ovidiu Mirel (38) Şcoala Rusca Teregova (Prof. Sorin Ciucă) Humiţa Ileana 62(117), Ursulescu Ionela(22), Stepanescu Ana (28), Humiţa Cosmin Vasile 54(75), Boşneag Elena 15(15), Vernicuţa Gelu 27(27).
Clasa a VII-a Şcoala Generală 1 Anina (Prof. Livia Lath) Sârghie Bianca Flavia 10(124), Rotaru Ana-Maria 10(40), Drăgilă Patricia Elena 10(146), Vrînceanu Cezar Aurelian 10(104). Liceul Hercules Băile Herculane(Prof . Marius Golopenţa) Talpoş Bogdan Mihai (88), Tabugan Dana 125+82(340). Şcoala Bozovici (Prof. Iosif Găină) Barbeş Cezara 27(217), Păunescu Alexandra (190), Nicola Alexandra (188), Băcilă Cristiana (100) . Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Adrian Dragomir) Puşchiţă Daniel (60), Beudean Andra (40), Dorca Adrian (30), Antonescu Nicoleta 28(150), Bălăşoiu Bogdan (60), Rada Cristiana 38(98), Keleti Edith (60), Stepanescu Mihai (30), Stoicănescu Gelu 47(272), Popa Andreea 48(229), Răcăşdianu Sorana 28(74).
ww.neutr
ino.ro
65
Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Mariţa Mirulescu, Prof. Monica Bocicariu) Benec Sînziana (41), Vladu Iris Cristiana (46), Timofte Tina(78). Grup Şcolar Construcţii Maşini Caransebeş(Prof. Carina Corîci) Bărbuceanu Florin (80), Agape Oana Gabriela 46(280), Dumitraşcu Andreea 56(212). Şcoala Generală Dalboşeţ (Prof. Pavel Rîncu) Jarcu Lorena Maria (157), Marin Lidia Mădălina (90), Drăgilă Cătălin Sebastian (67). Şcoala Generală nr. 1 Moldova Nouă (Prof. Marioara Radosavlevici) Gîrjan Laura (80), Craiovan Andreia – Dana (179) . Şcoala Generală 2 Reşiţa (Prof. Mariana Drăghici) Cernea Serena (80), Ciorogar Irina 40(135), Pascu Andra Diana 63(143) . Şcoala Rusca Teregova (Prof. Sorin Ciucă) Codoşpan Florinela 33(203), Blaj Marinela Alisa 23(111), Humiţa Maria 15(169), Curmei Roxana (50), Banda Petrică (14), Dumitrică Eva Daniela (48), Banda Traian (7), Berzescu Nicolae (24), Milu Ionela 42(42). Şcoala Generală nr. 1 Oraviţa (Prof. Camelia Pîrvu) Pelian Popa Ioana 30(311). Şcoala Generală 1 Oţelu-Roşu (Prof. Heidi Feil) Pîrjol Claudia (70), Buţă Cristina (70), Krokoş Lorena 60(327), Cîmpureanu Gilbert (106), Buţă Anamaria Diana (162), Kuhn Anne Marie 70(355). Şcoala Generală 3 Oţelu-Roşu (prof.Felicia Boldea) Hinoveanu Octavian (135), Iuhasz Patricia (103), Grafenberger Andreas (165), Buzuriu George (188), Găină Petronel (187). Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Adriana Dragomir) Dumitresc Cecilia 72(356), Nasta Laura 76(351). Şcoala Şopotu Vechi (Prof. Nicolae Găină) Ciortuz Păunică (125). Şcoala Vîrciorova (Prof. Ioan Liuba) Măran Marius 47(203)
Clasa a VIII-a Şcoala Bozovici (Prof. Maria Bololoi Ungureanu Daniel Emanuel (21), Borozan Florina Elisaveta 68(202), Borchescu Anamaria 48(228). Şcoala Bănia (Prof. Iancu Cleşnescu) Derlean Pavel 24(131). Grup Şcolar Construcţii Maşini Caransebeş (Prof. Carina Corîci) Muntean Cosmin (70).
66
Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Delia Dragomir) Szabo Cristian 105(274), Mocanu Ioana 138(317). Colegiul Naţional Carol I Craiova Stanciu Ioan (88). Liceul Mehadia (Prof. Mihaela Vasile) Costescu Alexandra 123(123). Şcoala Generală nr. 9 Reşiţa (Prof. Irina Avrămescu) Filip Larisa (30), Kormos Nicholas (70). Liceul de Artă Reşiţa (Prof. Adriana Mara) Goicovici Denisa (64). Şcoala Rusca Teregova (Prof. Sorin Ciucă) linţu Florin Cosmin 16(16), Blaj Ilie Dănuţ 16(16), Dumitrică Eva Daniela 32(32), Stan Stana 8(8), Banda Vasile 7(52), Paşan Petru 62(221), Banda Ionela Mitra (16), Vernicuţa Petronela 16(30), Humiţa Ana 21(29), Berzescu Maria 8(17), Stepanescu Elisabeta 17(41). Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Dorina Humiţa, Prof. Mariţa Mirulescu) Semenescu Anca 118(467), Mihai Cristian (50), Matei Sergiu 38(131), Vladu Cristian (50). Şcoala Generală 1 Oţelu-Roşu (Prof. Heidi Feil) Duma Andrei Florin 105(189). Liceul Gen.Dragalina Oraviţa(Prof.Mihai Lazarov) Persu Daniel 10(10).
Clasa a IX-a Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Delia Dragomir) Bona Petru 114(146), Budurean Cristina 90(171), Galescu Dan 90(159), Zanfir Cristian 115(161), Ciucă Cristian Sorin 84(194), Borţun Mihaela 58(58), Novăcescu Dorin 102(102), Prunar Victor 185(609) Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Antoanela Buzescu) Marta Sebastian (36). Liceul Traian Lalescu Reşiţa (Prof. Ovidiu Bădescu) Brează Lorena (40), Fleşer Cristian (40), Simion Larisa (30), Popovici Georgian 83(201), Meşter Sergiu 94(222), Zlimbea Diana (40). Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Lucian Dragomir) Atinge Carina 74(158), Cococeanu Oana 79(181). Liceul Gen.Dragalina Oraviţa(Prof.Mihai Lazarov) Tepeneu Cristina 10(10)
ww.neutr
ino.ro
67
Grup Şcolar MoldovaNouă (Prof.Lăcrămioara Ziman) Istudor Deian Vasile Daniel 42(42),Buriman Neluţu 62(62),Vireanu Adelina 62(62).
