Ridicarea la putere a matricelor construim,invatam,dezvoltam

Cuprins - definitia ridicarii la putere a matricelor - proprietati - metodele pentru a ridica la exponent natural a unei matrice de ordinul 2

Definitie:Fie matricea ptratic A Mn(C) , AOn.Prin definiie A0= In si An = A*A*A*...*A,Vn N*Se observ c An+1 = An A n

Proprietati:Cu ajutorul proprietatii de asociativitate a inmultirii matrcelor se poate demonstra ca au loc urmatoarele reguli de calcul : a) A k * Ap = A k+p, k,p N* b) ( Ak )p = A kp , k,p N* Daca A,B Mn (C) si AB = BA, atunci : c) Ak * Bp = Bp * Ak , k,p N* d) (A+B)K = CkA + CkAk-1B + +CkA Bk-1 + CkBk (binomul lui Newton)

Pentru ridicarea la exponent natural n, n a unei matrice de ordinul 2 vom pune n eviden cteva metode :Metoda 1 Fie t prin ridicarea la exponentul n* va avea forma n*,rezultat ce se verific prin inducie. Folosind acest rezultat vom deduce forma puterii a-n-a pentru matricele

ExempleSa se arate ca puterile An,n1 sunt de forma.unde (an)n1, (bn)n1 sunt siruri convergente la zero.Solutie :Dac a2+b2=0ab

Metoda 2Orice matrice verific o ecuaie de forma(Numita ecuatie caracteristica asociata matricei A)unde TrA = a+d(urma matricei A), det A = ad-bcSe demonstreaz prin inducie c exist dou iruri reale unde X1 = 1, Y1 = 0, X2 = TrA,y2 = - det A.Pentru a evidentia relatia de recurenta constatam

deci:Solutie :Ecuaia caracteristic asociat relaiei de recuren de ordinul 2 este:

Au participat la realizarea acestui proiect urmatorii elevii ai grupei 4 din clasa a XI-a B: - LUNG FLORIN - POP CLAUDIU - BORSAN PETRUTA

SFARSIT