Metode de abordare în teoria ruinei (rezumat)

Anişoara Maria Răducan, Institutul de Statistică Matematică şiMatematică Aplicată al Academiei Române

Teoria riscului este considerată o parte a teoriei proceselor stocastice. Aceasta îşigăseşte aplicaŃii practice în domeniul economic şi în actuariat.

Unul dintre scopuri este determinarea probabilităŃii de ruină. Dacă se dă un processtocastic X t t şi u , o valoare care se interpretează drept capital iniŃial, variabila

τ = inft ∣ X t > u

se numeşte momentul ruinei iar

Ψu = Pτ < ∞

este probabilitatea de ruină în orizont infinit.Determinarea cu exactitate a lui Ψu în condiŃiile în care, în practică, este aproape

imposibil să cunoaştem funcŃia de repartiŃie a pagubei X, este extrem de dificilă.Lucrarea de faŃă cuprinde trei capitole şi două anexe. Scopul ei este compararea

proceselor de risc, mai exact, a proceselor de pierderi maxime. Un asemenea proces estedefinit în felul următor:

Ln+1 = max0,ξ1,ξ1 + ξ2, . . . ,ξ1 + ξ2 +. . .+ξn, ∀n ≥ 0

unde variabila ξn reprezintă pierderea după n tranzacŃii (considerăm că sunt variabile

independente şi identic repartizate). Vom nota S0 = 0, Sn = ∑i=1

n

ξi, ∀n ≥ 1.

Se ştie că dacă Eξ1 < 0 atunci şirul Ln definit mai sus are limită, pe care o notăm cuL∞, iar funcŃia ei de repartiŃie este G∞ = P ∘ L∞

−1. Coada lui G∞ este probabilitatea de ruină.

În primul capitol, intitulat "Procese de risc", în secŃiunea 1.1. - " GeneralităŃi" - suntprezentate exemple dintre care unul descrie cazul continuu, celelalte modelează diferitesituaŃii ale cazului discret. Scopul lor este acela de a contura cadrul general pe care îl avemîn vedere în teoria ruinei, asfel în primul - cazul continuu - vedem cum se poate calculaexact probabilitatea de ruină, în timp ce în cazul discret am determinat ecuaŃia cu ajutorulcăreia putem afla constanta Lundberg. Corolarul1.3 demonstrează egalitatea şi inegalitateaLundberg ( a se vedea [51]):

Ψu = e−Ru

EeRDu ≤ e−Ru 1

Aici variabila Du se numeşte deficitul ruinei la capitalul iniŃial u şi este definită prin

PDu > x = PSτ > x ∣ τ < ∞ cu notaŃiile de mai înainte, iar R este constanta lui Lundberg.

În secŃiunea 1.2. am prezentat teorema lui Cramer:

u→∞lim ΨueRu = C =

θμ1

R ∫0

∞

xeRx Fxdx

2

( unde μ1 = EX1, cu condiŃia ca integrala de la numitor să aibă sens ) şi bine-cunoscutaformulă Hincin-Pollaczek. Am considerat în acest scop: câmpul de probabilitate Ω,K, P,

şirul ξnn de variabile i.i.d. cu repartiŃia F, şirul Snn definit prin S0 = 0, Sn = ∑i=0

n

ξi.

Definim L :=n≥0

sup Sn, τ := infn ∣ Sn > 0 prima epocă ascendentă (este o opŃională

relativ la filtraŃia Fnn generată de variabilele ξn ) şi H =

= Sτ ∣ τ < ∞ prima ascensiune. Notăm P ∘ H−1 := FH, p = Pτ = ∞, q = Pτ < ∞Atunci au loc:

a) L ∑n=0

N

Hn unde Hn sunt independente şi identic repartizate cu H = Sτ ∣ τ < ∞ şi N

este variabilă aleatoare repartizată Negbin(1,p) independentă de şirul Hnn.b)

FL = p∑n=0

∞

qnFH∗n (formula Hincin-Pollaczek) 3

Am considerat un exemplu ( paguba X este repartizată Gamma2,β ) pentru care amcalculat exact constanta lui Cramer, prin două metode diferite.

În prima parte a secŃiunii 1.3., în ipotezele exemplului 3 considerat în 1.1. am determinatprobabilitatea de ruină, Ψu şi constanta lui Cramer, C. Cele mai multe dintre acesterezultate, împreună cu clasicele amintite mai sus, sunt demonstrate în cartea "Elemente deteoria ruinei" publicată de GheorghiŃă Zbăganu.

În final am subliniat similitudinea dintre procesul pierderilor maxime după n tranzacŃii,L = Lnn din teoria riscului şi procesul timpilor de aşteptare, W = Wnn din teoria cozilor.Această asemănare a fost prezentată la conferinŃa SocietăŃii de ProbabilităŃi şi Statistică dinRomânia din anul 2006.

Al doilea capitol, numit "Procese Lindley", conŃine, la rândul lui, trei secŃiuni. În primadintre ele am stabilit ipotezele pe care trebuie să le verifice parametrul F = Fξ al procesuluiLindley L = Lnn definit prin

L0 = 0, Ln+1D= Ln + ξn+, ∀n ≥ 0 4

pentru a putea determina o formulă a repartiŃiei

Gnnot= P ∘ Ln

−1,∀n ≥ 0. 5

Conform egalităŃii în distribuŃie de mai înainte acestea verifică relaŃiile de recurenŃă

G0 = δ0, Gn+1 = Gn ∗ F+, ∀n ≥ 0 6

Pentru o funcŃie de repartiŃie arbitrară pe dreapta reală am notat

F+ = F−∞, 0δ0 + F ∣0,∞ 7

Pentru parametrul F considerăm

F−∞, 0not= α , ν

not= F ∣−∞,0

F0,∞ not= α, μ

not= F ∣0,∞

8

şi putem să scriem

F = αν + αμ 9

Aşadar parametrul oricărui proces Lindley este mixtura a două repartiŃii ν, μ cuproprietaŃile: ν−∞, 0 = 1, μ0,∞ = 1.

Observa Ńia 1. De acum înainte pentru un x ∈ 0, 1 notăm x = 1 − x.Ipoteza în care putem să determinăm o formulă pentru repartiŃiile Gn este

ν ∗ μ∗n+ = p0,nδ0 + p1,nμ + p2,nμ∗2 +. .+pn,nμ∗n, ∀n ≥ 1 10

constantele pi,n ∈ 0, 1, ∀i = 0, n şi au ∑i=0

n

pi,n = 1, ∀n ≥ 1.

Această relaŃie între ν şi μ este esenŃială. Cazurile pe care le-am abordat sunt:- parametrul F este mixtura 9- parametrul este convoluŃia F = γ ∗ η∗m, cu m ≥ 1 astfel încât repartiŃiile γ, η verifică

10 şi γ−∞, 0 = η0,∞ = 1- F = γ∗k ∗ η∗m unde k, m ≥ 1, γ−∞, 0 = η0,∞ = 1 şi există p, q ∈ 0, 1, p + q = 1

cu γ ∗ η = qγ + pη (această ultimă relaŃie este suficientă ca 10 să fie probată )- F = αν + αμ = ν ∗ μ cu ν, μ definite la 8.În aceste condiŃii concluzia este că funcŃiile de repartiŃie Gn au reprezentarea

Gn = ΓQne, ∀n ≥ 1 11

unde Γ = μ∗nn≥0, μ∗0 conv= δ0, cu μ una dintre măsurile concentrate pe 0,∞ de mai sus, e

este vectorul coloană 1, 0, 0, . . . iar Q este o matrice a cărei formă variază la fiecare caz înparte. Cea mai generală dintre ele se obŃine astfel: dacă parametrul este F = FX ∗ F−Y cuFX = μ∗m pentru un m ≥ 1, μ0,∞ = 1, F−Y−∞, 0 = 1 astfel încât

μ∗n ∗ F−Y+ = q0,nδ0 + q0,1μ + q0,2μ∗2 +. . .+q0,nμ∗n, ∀n ≥ 1 12

atunci

Q =

q0,m q0,m+1 q0,m+2 . . .

q1,m q1,m+1 q1,m+2 . . .

. . . . . . . . . . . .

qm,m qm,m+1 qm,m+2 . . .

0 qm+1,m+1 qm+1,m+1 . . .

0 0 qm+2,m+2 . . .

0 0 0 . . .

. . . . . . . . . . . .

13

Celelalte forme ale lui Q - când parametrul este convoluŃie - sunt cazuri particulare aleacesteia. Dacă F = αν + αμ = ν ∗ μ cu ν, μ definite la 8 şi care verifică egalitateaμ∗n ∗ ν+ = q0,nδ0 + q0,1μ + q0,2μ∗2 +. . .+q0,nμ∗n, ∀n ≥ 1 matricea este Q = Q .nn≥1 cu Q .n

vectorul coloană q0,n, q0,1, q0,2, . . . q0,n, 0, 0, . . . , ,∀n ≥ 1.

În secŃiunea 2.2. am analizat cazul convoluŃie-mixtură.DefiniŃia 1. Dacă pentru variabilele aleatoare X, Y care au funcŃiile de repartiŃie FX,

respectiv FY există o constantă α ∈ 0, 1 aşa încât

FX ∗ FY = αFX + 1 − αFY 11

spunem că sunt α −conjugate sau că FX ∗ FYnot= F are proprietatea "convoluŃie-mixtură"

(CM).Observa Ńia 2. Problema determinării perechilor de variabile care verifică relaŃia CM

este cunoscută în literatură ca fiind conjectura lui Dugue. În 1939 el a dat prima datăexemple de variabile ale căror funcŃii caracteristice verifică egalitatea

ϕXtϕYt = 12ϕXt + ϕYt.

Ulterior aceasta a fost generalizată la aflarea perechilor X, Y pentru care există oconstantă c ∈ 0, 1 astfel încât

ϕXtϕYt = cϕXt + 1 − cϕYt 14

(a se vedea, de exemplu, [49])Variabile continue conjugate sunt X Expa, Y Exp−b cu a, b > 0 parametrul mixturii

c = ba+b

, am notat cu Exp−b repartiŃia variabilei −Z dacă Z Expb.

Dacă

FX = Geometricm,α = Geometric1,α∗m şi

FY = Negbink,β = Negbin1,β∗k

atunci FX ∗ FY = pFX + qFY unde p =β

α+β−αβ , q = 1 − p.

Alte exemple de variabile discrete care au conjugată sunt prezentate în anexa 1.Cel mai general caz considerat este:Propozi Ńia 1. Fie μ şi ν dou ă reparti Ńii aşa încât

(i) μ0,∞ = ν−∞, 0 = 1(ii ) FX = μ∗m, F−Y = ν∗k, m, k ≥ 1(iii ) μ şi ν sunt conjugate în sensul rela Ńiei (11)Atunci procesul Lindley L = Lnn≥0 de parametru F = FX ∗ F−Y are reparti Ńiile

Gn = ΓQne unde Γ = μ∗nn≥0, matricea Q este

Q =

rk,m rk,m+1 rk,m+2 rk,m+3 rk,m+4 . . .

pk,m−1 pk,m pk,m+1 pk,m+2 pk,m+3 . . .

pk,m−2 pk,m−1 pk,m pk,m+1 pk,m+2 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

pk,1 pk,2 pk,3 pk,4 pk,5 . . .

pk,0 pk,1 pk,2 pk,3 pk,4 . . .

0 pk,0 pk,1 pk,2 pk,3 . . .

0 0 pk,0 pk,1 pk,2 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

cu pk,n = Negbink, pn =k + n − 1

k − 1pkqn, rk,n = pk,n + pk,n+1 +

+pk,n+2 +. . .Observa Ńia 3. Drept consecinŃe ale lemelor demonstrate se obŃin două formule pentru

repartiŃia negativ binomială, care sunt, probabil, cunoscute: din Corolarul 2.6 rezultă că

Negbinn, p0, 1, . . . , n − 1 + Negbinn, q0, 1, . . . , n − 1 = 1 16

unde p + q = 1, n > 1.Deoarece μ∗n ∗ ν∗k este o repartiŃie, trebuie să se verifice următoarea egalitate :

∑m=1

n

pk,n−m +∑i=1

k

qn,k−i =

Negbink, p0, 1, . . , n − 1 + Negbinn, q0, 1, . . , k − 1 = 1.

17

Rezultatul obŃinut în ipoteza CM este:Lema 2 . Dacă F = FX ∗ FY = pFX + qFY, atunci Gn = ΓQne unde Γ = FX

∗nn≥0 şi

Q = Qp =

q q2 q3 . . . qn−1 qn qn+1 …

p pq pq2 . . . pqn−2 pqn−1 pqn …

0 p pq . . . pqn−3 pqn−2 pqn−1 …

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …

0 0 0 . . . p pq pq2 …

0 0 0 . . . 0 p pq …

0 0 0 . . . 0 0 p …

… … … . . . … … … …

18

Observa Ńia 4. În aceeaşi ipoteză, CM, putem chiar să aflăm probabilitatea de ruină,mai exact, coada ei, G∞.

Aceasta este:

G∞ = ∑n=0

∞

1 − ρρnΓn 19

unde ρ = EXEY .

Astfel, dacă pagubele sunt modelate de variabilele i.i.d. Xn care au funcŃia de repartiŃieFX unde X are conjugată, se poate determina probabilitatea de ruină. Aceste formule suntstabilite în lema 2.11. din lucrare.

În secŃiunea 2.3. am introdus noŃiunea de proces Lindley calculabil şi am prezentatexemple de astfel de procese care au parametrul F = γ∗k ∗ η∗m undek, m ≥ 1, γ−∞, 0 = η0,∞ = 1 şi γ,η sunt conjugate sau pentru care Xn Gammam,λiar Yn ia un număr finit de valori.

DefiniŃia 2. Fie L = Lnn un proces Lindley de parametru F. Dacă Gn- repartiŃia lui Ln-poate fi scrisă în forma

Gn = ΓQne

unde Γm = μ∗m = μ ∗ μ ∗. . .∗μ, μ0,∞ = 1 şi Q este transpusa unei matrici a unui procesLindley pe mulŃimea Z, de parametru π =

=. . . k − 3 k − 2 k − 1 k

. . . pk−3 pk−2 pk−1 pk

cu k ≥ 1 atunci spunem că L este un proces Lindley

calculabil cu caracteristicile μ şi π.Observa Ńia 5. Este uşor de văzut că definiŃia este echivalentă cu existenŃa (posibil pe

un alt spaŃiu de probabilitate) a unui şir de variabile aleatoare pozitive i.i.d.U = Unn≥1 care au repartiŃia μ şi a unui proces Lindley discret de parametru π,N = Nnn≥0, independent de U care începe de la 0 aşa încât

LnD= ∑

i≤Nn

Ui 20

Procesul Lindley Nn este dat de recurenŃa

N0 = 0, Nn+1 = Nn + ξn+1+ 21

şi distribuŃia lui ξn este π. Atunci a m-a coloană a lui Q este repartiŃia lui m + ξn+1+, anume

qi,m = Pm + ξn+1+ = i =Pξn+1 ≤ −m = r−m dacă i = 0

Pξn+1 = i − m = pi−m dacă i ≥ 0 22

Exemplele cu care vom lucra de acum înainte sunt:Propozi Ńia 3. Procesul Lindley L = Lnn≥0 de parametru F =

= FX ∗ F−Y este calculabil dac ă

(i) FX = Gammam, a şi FY = Gammak, b. Aici Γ de la 11 are componenteleΓn = Gamman, a iar Q este matricea 15 cu p = b

a+b, q = a

a+b. Reparti Ńia

limit ă G∞ = G∞m, a; k, b exist ă dacă şi numai dac ă ma < k

b⇔ bm < ak.

(ii ) FX = Geometricm,α şi FY = Negbink,β. Aici Γ de la 11 are componentele Γn =

Geometricn,α iar Q este matricea 15 cu p =β

α+β−αβ , q =α−αβ

α+β−αβ . Reparti Ńia limit ă

G∞ = G∞m,α; k,β exist ă dacă şi numai dac ă mβ < kα1 − β.(iii ) Xn Gammam,λ şi Yn = b =constant . Atunci L este un proces Lindley

calculabil . Mai clar , LnD= ∑

i≤Nn

Ui unde U = Ui i≥1 este un şir de variabile aleatoare i .i.d.

cu reparti Ńia Expλ şi Nnn este un proces Lindley independent de U şi care areparametrul

π =. . . m − 3 m − 2 m − 1 m

. . . pbλ,3 pbλ,2 pbλ,1 pbλ,0

= δm ∗ Poisson−bλ 23

unde pa,n = Poissonan = an/n!e−a. Reparti Ńia limit ă G∞ exist ă dacă şi numai dac ăbλ > m.

DefiniŃia 3. Un proces Lindley calculabil de parametru F = FX ∗ F−Y cuFX = Gammam, a şi FY = Gammak, b se numeşte proces de tip (m, k, Gamma, iar dacăFX = Geometricm,α şi FY = Negbink,β spunem că acesta este de tip (m, k, Geometric.

Capitolul 3 este dedicat comparării proceselor Lindley. În secŃiunea 3.1. am stabilitcriteriile de comparare şi notaŃiile utilizate.

Fie două procese Lindley: L = Lnn de parametru F şi L′ =

= Ln′ n de parametru F ′. Notăm repartiŃiile cu Gn = P ∘ Ln

−1,Gn

′ = P ∘ Ln′ −1 pentru orice n ≥ 1 şi G0 = G0

′ = δ0; acestea sunt definite prin recurenŃa

Gn+1 = Gn ∗ F+, ∀n ≥ 0.

Gn+1′ = Gn

′ ∗ F ′+, ∀n ≥ 0.

Ipoteza în care lucrăm este că şirurile Lnn şi Ln′ n au limită în distribuŃie, ceea ce, se

ştie, este echivalent cu faptul că parametrii au medie negativă.Notăm

LnD→ L∞, Ln

′ D→ L∞

′ pentru n → ∞

şi

G∞ = P ∘ L∞−1, G∞ = P ∘ L∞

′ −1 24

Prin compararea celor două procese înŃelegem, de fapt, compararea para-metrilor lor. Iată care sunt criteriile noastre:

DefiniŃia 4. Spunem că F este mai bun decât F ′ şi notăm

F ≺++ F ′not⇔ Gn ≺st Gn

′ ,∀n ≥ 0 25

În acest caz spunem că procesul L este dominat tare de L′.Spunem că F este asimptotic mai bun decât F ′ şi notăm

F ≺+ F ′not⇔ G∞ ≺st G∞

′ 26

Dacă această condiŃie este îndeplinită considerăm că procesul L este dominat slab deL′.

Prin notaŃia "≺st " înŃelegem dominare stocastică în sens clasic, anume

X ≺st Ydef⇔ PX > t ≤ PY > t,∀t ∈ R 27

DefiniŃia 5. Procesul L este dominat slab de procesul L′ dacă probabilitatea capierderea maximă după n tranzacŃii corespunzătoare lui L să fie nulă este mai mare decâtcea corespunzătoare lui L′. Mai spunem că parametrul F este dominat slab de parametrulF ′ şi notăm aceasta cu

F ≺w F ′def⇔ Gn0 ≤ Gn

′ 0,∀n ≥ 0 28

Observa Ńia 6. Se ştie că dominarea stocastică este invariantă la convoluŃii. Este clarcă ea implică şi dominarea slabă. Prima observaŃie este banală:

F ≺st F ′ ⇒ F ≺++ F ′ ⇒ F ≺+ F ′ 29

SecŃiunea 3.2. cuprinde rezultatele referitoare la compararea proceselor Lindleycalculabile.

În ipoteza că atât L cât şi L′ sunt calculabile iar Gn şi Gn′ sunt repartiŃiile

corespunzătoare lui Ln şi Ln′ , aşadar Gn = ΓQne şi Gn

′ = Γ′Q ′ne unde Γm = μ∗m,Γm′ = μ′∗m, μ

şi μ′ sunt repartiŃii pe 0,∞ iar Q, Q ′ sunt matrici stocastice date de repartiŃiile π şi π, putemspune mai multe, chiar într-un context mai general:

DefiniŃia 6. i) Fie η = ηnn≥0 un şir de probabilităŃi pe dreaptă. Spunem că η estemonoton dacă ηn ≺st ηn+1∀n ≥ 0.

ii) Fie Q o matrice infinit dimensională stocastică pe coloane . Spunem că matricea Qeste monoton ă dacă Q .,n ≺st Q .,n+1, ∀n ≥ 1 unde Q .,n este a n-a coloană a lui Q,considerată ca repartiŃie pe mulŃimea întregilor pozitivi.

Este util următorul rezultat:Propozi Ńia 4. Presupunem c ă Lnn≥0 şi Ln

′ n≥0 sunt dou ă şiruri de variabile

aleatoare . Fie Gn şi Gn′ reparti Ńiile lor . Presupunem c ă Gn = ΓQne , Gn

′ = Γ′Q′ne şi

(i) Γ şi Γ′ sunt şiruri monotone de reparti Ńii pe dreapta real ă ;(ii ) Q şi Q′ sunt matrici monotone infinit dimensionale stocastice pe c oloane ;(iii ) Γ ≺st Γ ;(iv) Q ≺st Q′

Atunci Gn ≺st Gn′ ∀n.

În ipoteza CM cazul continuu rezultatul este:Corolar 5 . Fie F = FExpa ∗ FExp−b =

aa+b

FExp−b +b

a+bFExpa ,

0 < b < a, F = FExpa ′ ∗ FExp−b ′ =a ′

a ′+b ′F Exp−b ′ +

b ′

a ′+b ′FExpa ′ , 0 < b′ < a′

Atunci i ) F ≺st F′⇔ a ≥ a′ şi b ≤ b′

ii ) F ≺++ F′⇔ a ≥ a′ şi ρ ≤ ρ ′

iii ) a ≥ a′ şi ρ ≤ ρ ′ ⇒ F ≺+ F′⇒ a − b ≥ a′ − b′ şi ρ ≤ ρ ′.

În cazul proceselor Lindley calculabile am demonstrat:Corolar 6 . Fie L şi L′ procese Lindley calculabile care au ca -

racteristicile μ,π şi μ′,π ′. Presupunem c ă μ ≺st μ′ şi π ≺st π ′. Atunci L este taredominat de L′.

În continuare, pentru procesele de la propoziŃia 3, sunt cercetate diferitele implicaŃii careau loc între afirmaŃiile ce urmează:

A. μ ≺st μ′, π ≺st π ′;B. Gn ≺st Gn

′ ∀n (i.e. F ≺++ F ′;

C. FX ≺st FX ′ şi ρ ≤ ρ ′ (ρ şi ρ ′ sunt intensităŃile traficului ).D. G1 ≺st G1

′ ;

E. G∞ ≺st G∞′ (i.e. F ≺st F ′).

Iată rezultatele:Propozi Ńia 7. a) În ipotezele de la propozi Ńia 3 i ) şi ii ) au loc :

a1) condi Ńia A . implic ă FX ≺st FX ′ şi p ≤ p′

condi Ńia D. implic ă μ ≺st μ′

a2) dacă m = m′ şi k = k ′ atunci A .⇔B.⇔C.⇔D.b) În ipotezele de la propozi Ńia 3 iii ) dacă m = m′ atunci A .⇔B.⇔C.⇔D.

Cât priveşte dominarea slabă prezentăm în continuare ceea ce am obŃinut.Sunt cel puŃin două cazuri în care se poate afla repartiŃia G∞ :

i) m = 1ii) L este proces de tip (m, 1, Gamma

În cazul i) - m = 1 - avem:Propozi Ńia 8. Dacă L este un proces Lindley calculabil de ca -

racteristici (μ,π unde μ este o reparti Ńie pe 0,∞ şi π are forma

. . . −2 −1 0 1

. . . p−2 p−1 p0 p1

, atunci

G∞ = 1 − e−R∑n=0

∞

e−RnΓn 30

unde R este constanta Lundberg .În exemplele considerate această formulă devine:- pentru procese L de tip (1, k, Gamma

G∞ = 1 − ρ∑n=0

∞

ρnGamman, a =

= 1 − ρδ0 + ρExp1 − ρa

31

unde ρ = EXEY = b

ak

- pentru procese L de tip (1, k, Geometric

G∞ = 1 − ρ∑n=0

∞

ρnGeometricn,α =

= 1 − ρδ0 + ρGeometric1 − ρα

32

cu ρ = EXEY

- pentru procese L de tipul celor de la propoziŃia 3 iii)

G∞ = 1 − e−Rδ0 + e−RExp1 − e−Rλ 33

EcuaŃia lui Lundberg este transcendentă : ea devine bλ1 − e−R = R. (oricum, poate firezolvată numeric cu o precizie suficient de bună).

În celălalt caz, L proces de tip (m, 1, Gamma formula Hincin-Pollaczek se scrie:

G∞ = 1 − ρ∑n=0

∞

ρn 1m ∑

k=1

m

Gammak, a∗n 34

Ne propunem în continuare să comparăm două procese de tip (m, 1, Gamma.Propozi Ńia 9. Presupunem c ă

FX = Gammam, a, FY = Expb,

FX ′ = Gammam′, a′, FY′ = Expb′.

Fie-L şi L′ procesele Lindley calculabile generate de ele ;-Gn, Gn

′ reparti Ńiile lui Ln şi Ln′

-G∞, G∞′ reparti Ńiile lui L∞ şi L∞′;

-ρ =EX/EY = mb/a,ρ ′ =E X ′/EY ′ = m′b′/a′;

-μ = Expa,π = δm ∗ Negbin1,−p caracteristicile lui L ( ca în subcapitolulprecedent p = b/a + b = ρ/ρ + m;

-μ′ = Expa′,π ′ = δm′ ∗ Negbin1,−p′ caracteristicile lui L′ ( iar ,p′ = b′/a′ + b′ = ρ ′/ρ ′ + m′.

Condi Ńiile A .-E. devin

A. μ ≺st μ′, π ≺st π ′ ⇔ a ≥ a′, m ≤ m′,ρ ≤ m/m′ρ ′

C. FX ≺st FX ′ şi ρ ≤ ρ ′ ⇔ a ≥ a′, m ≤ m′,ρ ≤ ρ ′

D. G1 ≺st G1′ ⇒ a ≥ a′, 1 + ρ/mm ≤ 1 + ρ ′/m′m′

E. G∞ ≺st G∞′ ⇒ ρ ≤ ρ ′.

În consecin Ńă condi Ńiile A . şi C. nu se verific ă dacă m ≤ m′.În cazul particular m = 2 formula probabilităŃii de ruină, mai exact a cozii ei, este

G∞ = 1 − ρδ0 +a−t12

t1t2−t1Expt1 −

− a−t22

t2t2−t1Expt2

35

unde 0 < t1 < t2 sunt soluŃiile ecuaŃiei

t2 − 2at1 − ρ4 + a21 − ρ = 0 36

Pentru diferite valori numerice corespunzătoare parametrilor a şi b am calculatprobabilitatea de ruină cu formula 35 şi am comparat acest rezultat cu aproximarea datăde inegalitatea Lundberg şi cu aceea obŃinută calculând constanta lui Cramer.

Prin compararea unui proces de tip (2, 1, Gamma cu unul de tip (2, 1, Gamma amevidenŃiat diferite obstacole pe care le-am putea întâmpina la efectuarea unui astfel decalcul. În reprezentările grafice din anexa 2 se poate constata monotonia în a şi în b afuncŃiei G∞ pentru un proces de tip (2, 1, Gamma şi pentru unul tip (1, 1, Gamma. Deasemeni, în anexa 2 sunt stabilite relaŃiile de dominare stocastică dintre fucŃiile G1 şi G1

′ , G2

şi G2′ , G3 şi G3

′ corespunzătoare proceselor L şi L′ care sunt de tip (2, 1, Gamma sau(1, 1, Gamma.

În finalul acestei secŃiuni am demonstrat că în ipotezele de la propoziŃia 3 i) şi ii) au loc:a) L ≺w L′ ⇔ p ≤ p′

b) G1 ≺st G1′ ⇔ Gn ≺st Gn

′ ∀n ≥ 1.

Anexa 1 prezintă o soluŃie proprie, nouă în literatura de specialitate, a problemei luiDugue în cazul discret.

Fie variabilele aleatoare X, Y ≥ 0 , neconstante, independente, cu valori reale, fie c > 0aşa încât există p ∈ 0, 1 cu proprietatea EcX−Y =

= pEcX + 1 − pEc−Y. Vrem să determinăm P ∘ X−1, P ∘ Y−1.Notăm PX = k = pk, PY = k = qk,∀k ≥ 0. Atunci relaŃia de mai sus se scrie:

∑n=−∞

∞

PX − Y = ncn = p∑n=0

∞

pncn + 1 − p∑n=0

∞

qnc−n 37

sau echivalent,

pp0 + p q0 = p0q0 + p1q1 + p2q2 +. . a

p − q0pk = pk+1q1 + pk+2q2 + pk+3q3 +. . . b

p − p0qk = p1qk+1 + p2qk+2 + p3qk+3 +. . . c

∀k ≥ 1 38

Notăm

J1 = j ∣ pj = 0 K1 = j ∣ pj ≠ 0

J2 = j ∣ qj = 0 K2 = j ∣ qj ≠ 0 39

Am aflat soluŃii pentru sistemul 38 în următoarele cazuri:1. K1, K2 finite2. K1 finită, K2 infinită3. K1 infinită, K2 finită4. K1, K2 infiniteObserva Ńia 7. RelaŃiile b, c de mai sus au loc dacă q0 ≤ p ≤ p0. De acum înainte

vom presupune valabile aceste condi Ńii ( în cazurile 2 ,3,4).Determinarea soluŃiilor se bazează pe următoarele leme şi corolare.Lema 10 . a) p = q0 ⇔ K1 finit ă

b) p = p0 ⇔ K2 finit ă.O consecinŃă a ei este:Corolar 11 . Ki finit ă ⇒ |Ki | = 2, ∀i = 1, 2.Am obŃinut în continuare:Lema 12 . a) K1 = 0, h ⇒ K2 = hN

b) K2 = 0, h ⇒ K1 = hN.Aşadar primele exemple determinate sunt:

Corolar 13 . a) K1 = 0, h ⇒ X 0 h

α αşi

Y 0 h 2h 3h 4h . . .

p p pα

p pα α−p

α p pα α−p

α 2 p pα α−p

α 3 . . .

b) K2 = 0, h ⇒ Y 0 h

α αşi

X 0 h 2h 3h 4h . . .

p p pα

p pα

p−αα

p pα

p−αα

2 p pα

p−αα

3. . .

,

Observa Ńia 8. a) Dacă în ipoteza de la corolarul anterior luăm p = α obŃinem

X 0 h

p p, Y

0 h

p p

ceea ce probează lema 10. La fel dacă în b) luăm p = α .b) Unicitatea conjugatei este evidentă în aceste situaŃii.Notăm Ki

∗ = Ki\0, ∀i = 1, 2. Atunci:Lema 12 . a) k0 := infK1

∗ şi K1 infinit ă ⇒ K1∗ = K2

∗ = k0N∗

b) l0 := infK2∗ şi K2 infinit ă ⇒ K1

∗ = K2∗ = l0N

∗.Prin urmare:Corolar 13 . a) K1, K2 finite ⇒ K1 = K2 = 0, h.

b) K1, K2 infinite ⇒ K1∗ = K2

∗ = hN∗.Pentru cazul 4. K1, K2 infinite se obŃine:

X 0 h 2h 3h 4h . . .

p0 p1 αp1 α2p1 α3p1 . . ., Y

0 h 2h 3h 4h . . .

q0 q1 βq1 β2q1 β3q1 . . ..

Dacă presupunem cunoscute p0, p1, q0 atunci

α pp0 + p q0 − p0q0 = αp0p − q0 ⇔

α =p0p−q0

pq0

şi

p =p0

2q0

p02+q0p1−p0

d

Mai obŃinem

q1 =p1q0q0

p1−p0p0

β =p1q0

p1−p0p0

e

În anexa 2 se găsesc reprezentări grafice ale funcŃiilor de repartiŃie G1, G2, G3 şi G∞

pentru procese tip (2, 1, Gamma) şi (1, 1,Gamma).Întreg conŃinutul capitolelor 2,3 şi al anexelor este alcătuit din rezultate care se regăsesc

în articole scrise în colaborare cu Laszlo Lakatos şi GheorghiŃă Zbăganu ( [50], [52] dinbibliografie ) şi de asemeni din rezultate noi care aparŃin autoarei.

ERROR: syntaxerrorOFFENDING COMMAND: --nostringval--

STACK:

/Title (rezumat lucrare)/Subject (D:20080925164811+03’00’)/ModDate ()/Keywords (PDFCreator Version 0.9.5)/Creator (D:20080925164811+03’00’)/CreationDate (ana maria)/Author -mark-