Universitatea Tehnic ''Gh. Asachi" din Iai Facultatea de Construcii i Instalaii Studii privind calculul lastabilitate a grinzilor solicitatela ncovoiere plan Rezumatul tezei de doctorat CONDUCTOR TIINIFIC DOCTORAND Prof. dr. ing. DAN PRECUPANU ing. OPREA TEFAN -2011- Mulumirileirecunotinameasendreaptctredomnulprof.univ.dr.ing. DanPrecupanu,conductorultiinificallucrii,pentrusprijinulacordatipentru rbdarea i profesionalismul de care a dat dovad, pe tot parcursul anilor de cercetare tiinific.Observaiilecriticealedumnealuiasupraconinutuluiiconsistenei prezentei lucrri m-au ajutat foarte mult la mbuntirea nivelului academic al tezei. Cu deosebit respect a dori s le mulumesc domnilor prof. univ. dr. ing. Macavei Florin,prof.univ.dr.ing.IoanTunsiprof.univ.dr.ing.NicolaeFloreapentru rbdareacucareauanalizatlucrareadefaipentruamabilitateadeafirefereni oficiali pentru teza de doctorat. SinceremulumiriprofesoriloricolegilordelaFacultateadeConstruciii InstalaiidinIai,pentrupermanentelencurajriipentruobservaiile,sugestiilei recomandrileformulatepeparcursulelaborriilucrrii,daripentrucontribuia, direct sau indirect, adus la formarea mea uman i profesional. Deasemenea,insmulumesccolegilordeserviciiprietenilor,pentru nelegereadecareaudatdovadipentruatmosferadeprietenieicolegialitate manifestat la elaborarea lucrrii. Adorismulumescfamiliei,nmodspecialbuniciimelepentrundrumarei sprijinul material i moral necondiionat acordat. CUPRINS INTRODUCERE CAPITOLULI.PRIVIREGENERALASUPRACALCULULUILA STABILITATEAGRINZILORSOLICITATELA NCOVOIERE PLAN I.1.PREVEDERIDINNORMELEROMNETIPRIVINDCALCULULLA STABILITATE AELEMENTELOR NCOVOIATE I.1.1.Calculul la flambaj lateral I.1.2.Stabilitateagrinzilordinbetonsolicitatelaincovoiereplanconform STAS10107-90:Calcululialctuireaelementelorstructuraledin beton, beton armat i beton precomprimat I.1.3.Stabilitateagrinzilordinoelsolicitatelaincovoiereplanconform STAS 10108-78: Calculul elementelor din oel I.2.PREVEDERIDINEUROCODURIPRIVINDCALCULULLA STABILITATE A ELEMENTELORNCOVOIATE I.2.1.Stabilitateagrinzilordinbetonsolicitatelaincovoiereplanconform Eurocod 2 : Proiectarea structurilor din beton I.2.2.Stabilitateagrinzilordinoelsolicitatelaincovoiereplanconform Eurocod 3 : Proiectarea structurilor din metal CAPITOLULII.STABILITATEAGENERALAGRINZILOR NCOVOIATEINNDCONTDEINFLUENA MOMENTULUI NCOVOIETOR II.1. INTRODUCERE II.2.ECUAIA DIFERENIAL DE STABILITATE II.3.METODE DE INTEGRARE A ECUAIEI DE STABILITATE II.4.ANALIZEDECAZPRINMETODENUMERICE(METODA DIFERENELOR FINITE) II.4.1.Grind simplu rezemat ncrcat cu o for uniform distribuit pe toat deschiderea II.4.2.Grindsimplurezematncrcatcuoforconcentratlamijlocul deschiderii II.4.3.Grind dublu ncastrat ncrcat cu o for uniform distribuit pe toat deschiderea II.4.4.Grinddubluncastratncrcatcuoforconcentratlamijlocul deschiderii CAPITOLULIII.STABILITATEAGENERALAGRINZILOR NCOVOIATEINNDCONTDEINFLUENA MOMENTULUINCOVOIETORIAFOREI TIETOARE III.1. INTRODUCERE III.2. ECUAIA DIFERENIAL DE STABILITATE III.3. METODE DE INTEGRARE A ECUAIEI DE STABILITATE III.4. ANALIZEDECAZPRINMETODENUMERICE(METODA DIFERENELOR FINITE) III.4.1. Grind simplu rezemat ncrcat cu o for uniform distribuit pe toat deschiderea III.4.2. Grindsimplurezematncrcatcuoforconcentratlamijlocul deschiderii III.4.3. Grind dublu ncastrat ncrcat cu o for uniform distribuit pe toat deschiderea III.4.4. Grinddubluncastratncrcatcuoforconcentratlamijlocul deschiderii III.5. ALGORITM DE CALCUL CAPITOLULIV.STABILITATEAGENERALAGRINZILOR NCOVOIATEINNDCONTDEINFLUENA MOMENTULUINCOVOIETORIATORSIUNII MPIEDICATE IV.1. INTRODUCERE IV.2. ECUAIA DIFERENIAL DE STABILITATE IV.3. METODE DE INTEGRARE A ECUAIEI DE STABILITATE IV.4. ANALIZEDECAZPRINMETODENUMERICE(METODA DIFERENELOR FINITE) IV.4.1. Grind simplu rezemat ncrcat cu o for uniform distribuit pe toat deschiderea IV.4.2. Grindsimplurezematncrcatcuoforconcentratlamijlocul deschiderii IV.4.3. Grind dublu ncastrat ncrcat cu o for uniform distribuit pe toat deschiderea IV.4.4. Grinddubluncastratncrcatcuoforconcentratlamijlocul deschiderii IV.5. ALGORITM DE CALCUL CAPITOLUL V. SINTEZA REZULTATELOR OBINUTE CAPITOLULVI.CONTRIBUIIPROPRIINSTUDIULSTABILITII GRINZILOR NCOVOIATE BIBLIOGRAFIE STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN INTRODUCERE6 I IN NT TR RO OD DU UC CE ER RE E Niciunaltdomeniudecercetarealmecaniciisoliduluideformabilnuaavutoistorie att de interesant i de complex ca cel al stabilitii (flambajului) elementelor de construcii. i astzi,n ciuda anumeroase cercetri realizate n ultimele decenii, in special dup anul 1947, se poate spune c cercetarea n acest domeniu nu a atins punctul final. Cauzele acestor dificulti sunt date, pe de o parte, de modul particular al probelmei nsi i, pe de alt parte, de caracteristicile materialelor din care sunt executate construciile. Dezvoltarea continun domeniul construciilor a condiionat perfecionareametodelor decalculexistente,nvedereaapropieriictmaimultamodeluluidecalculconsideratde fenomenulfizicpecareldescrie.Oproblemdeactualitatecucareseconfruntinginerul constructor o reprezint asigurarea stabilitii elementelor structurale de construcii.Standardeleinormativeleromnetiactuale,ncareseprevedecalculullastabilitate pentrugrinzilesolicitatelancovoiereplan(flambajlateral),folosescorelaiedecalcul pentru determinareaforei critice careian considerare doar efectulmomentuluincovoietor, neglijndu-seefectuldatoratforeitietoareiconsidercrsucireacareaparedin fenomenuldeflambajesteliber.Aceastsolicitareaparensncazuricutotulparticulare. De aceea, forma seciunii, diferit de cea circular, i neuniformitatea momentului de torsiune nlungulbarei,conduclaapariiarsuciriimpiedicate.Neglijareaacestordouefecteduce uneori la diferene semnificative ntre rezultatul de calcul i valoarea real a forei critice. Luarea in considerare n calculul la flambaj lateral a tuturor efectelor care apar duce la o determinaremaiexactaaforeicritice,ncomparaiecuvalorileconoscute,caresunt aproximative,acoperitoareidecelemaimulteoriconducladimensionricuoanumit aproximaie a elementului.Aceasta observaiejustific necesitatea unui calcul ctmaicorect la stabilitate, pentru a reduce costurile i durata de execuie a elementului structural.Subiecteletratatenlucrareadefaserefer,nprincipal,lacalculullastabilitatea grinzilorsolicitatelancovoiere,pentrudiferiteschemedencrcareidiferiterezemri,cu luareainconsiderareaefectelorforeitietoareirsuciriiimpiedicate.Acestcalcul presupunedeterminarea,nprimulrnd,aforeicriticedeflambaj,lacarebaraiipierde stabilitatea. STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL I7 C CA AP PI IT TO OL LU UL L I I P PR RI IV VI IR RE E G GE EN NE ER RA AL L A AS SU UP PR RA A C CA AL LC CU UL LU UL LU UI I L LA A S ST TA AB BI IL LI IT TA AT TE E A A G GR RI IN NZ ZI IL LO OR R S SO OL LI IC CI IT TA AT TE E L LA A N NC CO OV VO OI IE ER RE E P PL LA AN N Pentrucalculullastabilitateaformeiplaneancovoieriiestenecesarcaeforturile unitarenormale,careseproducnurmancovoierii,snudepeascrezistenelede comparaie la flambaj.I.1.PREVEDERI DIN NORMELE ROMNETI PRIVIND CALCULUL LASTABILITATE A ELEMENTELOR NCOVOIATE n normele i standardele romneti actuale se prevede calcululla stabilitate a grinzilor, dac nu sunt ndeplinite anumite condiii care se refer, n principal, la limitarea coeficientului desiguranlaflambajlateral.Respectareaacestorcondiiiduceladimensionareactmai corect,attdinpunctdevederealrezisteneiistabilitiictidinpunctdevedereal optimizrii elementelor de construcii de tip grind.I.1.1.Calculul la flambaj lateral Condiia de stabiliate a unei grinzi solicitate la ncovoiere plan, se exprim sub forma: . 0, ef MAX flo o sDac se ine cont numai de influena momnetului ncovoietor, relaia anterioar se poate scrie: max. 0, ef MAX flzMWo o = s, n care: (I.1) Mmax - momentul ncovoietor maxim din seciunea grinzii; Wz - modulul de rezisten al seciunii; 0,fl -rezistenadecomparaielaflambajlateralcareseobineprinreducerearezistenei critice cu coeficientul de sigurant; 0,cr crflfl z flMc W coo = =(I.2) cfl - coeficient de siguran la flambaj lateral; Mcr - moment ncovoietor critic; Expresia momentului ncovoietor critic poate fi generalizat sub forma: STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL I8 cr y tkM EI GIl= ; (I.3) unde k este un factor numeric care depinde de schema static a grinzii. Pentructevacazuriuzualedencrcareirezemarevalorileacestuicoeficientksunt cunoscute i trecute n lucrrile de specialitate; pentru cteva cazuri uzuale, acestea sunt: grindsimplurezematncrcatcuoforconcentratlamijloculdeschideriik=4,23; grindsimplurezematncarcatcuoforuniformdistributpetoat deschidereak=3,54; grindncastratntr-uncaptiliberlacellalt,ncarcatcuoforconcentratpe captul liberk=4,01; grindincastratintr-uncapatsiliberlacellalt,ncarcatcuofortuniform distribuitk=6,43; grind dublu ncastrat, ncrcat cu o for concentrat la mijlocul deschideriik=5,33; Seobservcrezistenadecomparaienuesteoconstantamaterialului,aceasta determinndu-sepentrufiecaregrindnparte,nfunciedevaloareamomentuluicriticia coeficientului de siguran. STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL I9 I.1.2.StabilitateagrinzilordinbetonsolicitatelaincovoiereplanconformSTAS 10107-90:Calcululialctuireaelementelorstructuraledinbeton,betonarmatibeton precomprimat Elementelestructuraledinbeton,avndorezistenmaimicdectceaametalului, rezult cu seciuni transversale relativ mari iar stabilitatea lor, n general, este asigurat.STAS10107-90prevedereglementricarestabilescdomeniulncarestabilitatea elementului este asigurat. Aceste relaii sunt: 035flli = s , ncareiesterazadeinerie(giraie)aseciuniitransversaledupdireciaconsiderat,iarlfl

este lungimea deflambaja elementului, evaluat nfuncie denatura legturilorlui cu restul structurii. n cazul elementelor cu seciune drepunghiular aceast condiie devine: 10 s =hlfln care h este mrimea laturii seciunii transversale dup direcia considerat. I.1.3.Stabilitatea grinzilor din oel solicitate la incovoiere plan conform STAS 10108-78: Calculul elementelor din oel ConformstandarduluimenionatgrinzilemetalicecuseciunedubluT,carendreptul reazemelorsuntmpiedicatesserstoarne,nuestenecesarsfieverificatelastabilitate generaldactalpacomprimatarelegturitransversaleladistanel1maimicisauegalecu 40iy pentru OL37 i 35iy pentru OL44, OL52 i pentru alte oeluri cu mrci superioare, unde iy reprezint raza deinerie a tlpiicomprimaten raport cu axa y-y din planul seciunii inimii. Barelecuseciunenchis(cheson)nuse verificlastabilitategeneral(g=1),dacsuntndeplinite condiiile: 12170lc Rs;10hc sunde: l1 - distana dintre legturile transversale; c - distana ntre axele inimilor; Fig.I.1 .h - este distana dintre axele tlpilor; STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL I10 Daccondiiileprecizatemaisusnusuntrespectate,estenecesarsseverifice stabilitatea general a grinzii cu relaiile: xg xMRW s , pentru ncovoiere plan simpl; i 1,1yxg x yMMRW W + s , pentru ncovoiere oblic; Valorile coeficientului g sunt tabulate n funcie de coeficientul de zveltee tr. Verificarealastabilitateainimilorgrinzilorncovoiatenuestenecesardacaeste respectat urmtoarea relaie: R thi211100s (I.4) n care R este rezistena de calcul a oelului n kgf/mm2 din care se execut inima grinzii. GrinziledubluTsimetrice,careaunumairigidizritransversalepetoatnlimea inimii se verific cu relaia: 12 2s||.|

\|+||.|

\|cr crttoo(I.5) Fig.I.2. Grinzile dublu T cu talpa comprimat mai dezvoltat au rigidizri transversale pe toat nlimea inimii (fig. I.3) se verific cu aceeai relaie (I.5) n care: -pentru cr se ia h0=2e; -pentru cr se ia valoarea dat de relaia (I.8);STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL I11 Fig.I.3. Pentruasigurareastabilitiiinimiigrinzilor,nvedereamicorriilungimiilorde flambaj,acesteaseprevdcurigidizri.Rigidizriletransversalepeinimilegrinzilorse prevd dac: R thi21700> cnd pe talpa grinzii sunt ncrcri mobile(I.9) R thi211000> cnd pe talpa grinzii nu sunt ncrcri mobile(I.10) Distana dintre rigidizrinuvafimaimare ca2,5h0 pentru h0100 ti i 2,0h0 pentru h0>100 ti. Distanantrerigidizriletransversalepoatefimritdaclatalpacomprimatsunt legturi transversale transversale la distanel1 mai mici sau egale cu 40iy pentru OL37 i 35iy pentruOL44,OL52ipentrualteoeluricumrcisuperioare,undeiyreprezintrazade inerieatlpiicomprimatenraportcuaxay-ydinplanulseciuniiinimii;estenecesari verificarea stabilitii inimii grinzii. n locurile unde acioneaz fore concentrate fixe mari se prevd rigidizri transversale.Limea i lungimea rigidizrilor transversale sa iau: mmhbir4030 + = i 15rrbt=pentru OL37, OL44 i OL52; 12rrbt=pentru oeluri cu Rc >36 kgf/mm2; n care hi i br se iau n mm.Atuncicndseprevdirigidizrilongitudinalemomentuldeineriealrigidizrilor transversale trebuie s satifac condiia: 303i rt h I> (I.11) STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL I12 Dac rigidizrile sunt aezate numai pe o parte, momemtul de inerie Ir se calculeaz n raportcuoaxconsideratlafaainimiidinsprerigidizare.Momenteledeinerieale rigidizrilor vor fi alese conform tabelului I.2. Tabel I.2 - Momente de inerie ale rigidizrilor h1/h0Momentul de inerie necesar Valorile Ir minimemaxime 0,2 20205 , 0 5 , 2ithaha||.|

\| 25 , 1i ot h27i ot h0,25 20204 , 0 5 , 1ithaha||.|

\| 25 , 1i ot h25 , 3i ot h0,3 i ot h 5 , 1 -- I.2.PREVEDERI EUROCODURI PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A ELEMENTELOR NCOVOIATE I.2.1.Stabilitateagrinzilordinbetonsolicitatelaincovoiereplanconform Eurocod 2 : Proiectarea structurilor din beton Instabilitatealateralagrinzilorzveltetrebuieluatnconsiderareatuncicndeste necesar,deexemplu,ncazulgrinzilorprefabricate,ncursultransportuluiialmontajului, darialexploatrii,ncazulgrinzilorinsuficientcontravntuitenstructurafinit,etc. Imperfeciunile geometrice trebuie luate n considerare. Laverificareagrinzilornecontravntuitesefolosetencalculodeformaielateral egal cu l/300, cu l = lungimea total a grinzii, considerat ca o imperfeciune geometric. n structurile finite, se poate ine seama de contravntuirea asigurat de elementele asamblate. Efectele de ordinul doi asociate instabilitii laterale pot fi neglijate dac sunt satisfcute condiiile urmtoare: -situaii permanente: 31050|.|

\|sbhblt i5 , 2 sbh(I.12) -situaii tranzitorii:31070|.|

\|sbhblt i5 , 3 sbh(I.13) n care: l0t - distana ntre elementele care se opun rsucirii; STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL I13 h - nlimea total a grinzii n zona central a l0t; b - limea tlpii comprimate; I.2.2Stabilitateagrinzilordinbetonsolicitatelaincovoiereplanconform Eurocod 3 : Proiectarea structurilor din oel Eurocodul 3 definete patru clase deseciuni transversale cuscopul deaidentifican ce msur rezistena lor i capacitatea de rotire sunt limitate de apariia pierderii stabilitii.Cele patru clase de seciuni transversale precizate mai sus sunt: Seciuni transversaleClasa 1 sunt cele care permit formarea articulaiilor plastice, care pot atinge fr reducerea rezistenei, capacitatea de rotire cerut de modelul de calcul plastic. SeciunitransversaleClasa2suntaceleacarepermitdezvoltareamomentuluide ncovoiereplasticalseciunii,darcareposedocapacitatederotirelimitatdincauza pierderii stabilitii locale. SeciunitransversaleClasa3suntaceleacarepermitdezvoltareanumaiamomentului dencovoiereelasticalseciunii,darpentrucare pierdereastabilitiilocalepoatempiedica dezvoltarea momentului plastic. SeciunitransversaleClasa4suntaceleapentrucarepierdereastabilitiilocalese producenunulsaumaimulipereiaiseciuniitransversale,naintedeaatingelimitade curgere. O grind care nu este fixat lateral i este supus la ncovoiere, trebuie verificat astfel: 1,sRd bEdMM(I.14) n care: MEd - valoarea de calcul a momentului ncovoietor; Mb,Rd - momentul rezistent de calcul la ncovoiere-rsucire; Grinzilelacaretalpacomprimatestesuficientdefixatlateralnusuntsensibile ncovoiere-rsucire. n plus, grinzile cu seciuni transversale ca profile tubulare circulare sau ptrate,seciunilesudatetubularecircularesaunchesonptratsudat,nusuntsensibilela flambaj. Momentul de rezisten de calcul la deversare pentru o grind nefixat se ia egal cu: 1,Myy LT Rd bfW M_ =(I.15) n care Wy este modulul de rezisten corespunztor luat astfel: -Wy=Wpl,ypentru seciunile transversale Clasa 1 sau Clasa 2; -Wy=Wel,ypentru seciunile transversale Clasa 3; STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL I14 -Wy=Weff,ypentru seciunile transversale Clasa 4;LT - factor de reducere pentru ncovoiere-rsucire; fy - limita de curgere; M1 - coeficient parial de siguran pentru rezistena elementelor la flambaj; Fig.I.5. STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III15 C CA AP PI IT TO OL LU UL L I II I S ST TA AB BI IL LI IT TA AT TE EA A G GE EN NR RA AL L A A G GR RI IN NZ ZI IL LO OR R N NC CO OV VO OI IA AT TE E I IN N N ND D C CO ON NT T D DE E I IN NF FL LU UE EN N A A M MO OM ME EN NT TU UL LU UI I N NC CO OV VO OI IE ET TO OR R II.1. INTRODUCERE Pierderea formei de echilibru este un fenomen deosebit de periculos i nu poate fi admis lanici unelement de construcii. Caracterul periculos alacestuifenomen constnfaptul c apariiasa,decelemaimulteori,estebruscidecinusepotluamsurideprevenire.De aceeapentruoriceelementdeconstruciecondiiadestabilitatedevineobligatorie,cai condiia de rezisten. Aacumsetienteoriageneralastabilitii,grinziledreptesolicitatelancoviere planii pot pierdestabilitatea prinfenomenul deflambajlateral, carenseamnincovoierea n plan lateral i rsucirea seciunii transversale a grinzii.Dupcumsecunoate,ecuaiadiferenialdestabilitatedelacaresepleacpentru determinarea ncrcrii critice a grinzii ine contnumai de influena momentului ncovoietor, celelalte efecteneglijndu-se. Prinintegrarea acesteiecuaii se obinemomentul ncovoietor critic. II.2.ECUAIA DIFERENIAL DE STABILITATE Seconsiderogrinddreapt,simplurezemat,solicitatlancovoiereplandeo sarcintransversalPi,aacumesteartatinfiguraII.1.Seciuneatransversalaacestei grinziestedeformoarecare,nalt(h>>b).SefaceipotezacreazemeleAiBpermit rotireadinncovoieredarmpiedicrotireaseciunilordecaptnplantransversal(njurul axei x). Se examineaz comportarea grinzii cnd ncrcarea exterioara crete progresiv. a. STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III16 b. c.d. Fig.II.1. CttimpsarcinaPiarevalorimici,grindaestenechilibrustabil.Axadeformat ramnetottimpulocurbsituatnplanulncrcrii.Grindaestesolicitatlancovoiere plan. Legtura dintre creterea sarciniiPi i unghiul de rsucire a unei seciuni curente, este reprezentat n diagrama din figura II.1.d, prin poriunea OA. Lamomentulcndsarcinaexterioaratingeoanumitvaloare,denumitforcritic, echilibrul grinzii devine indiferent fiind posibile dou forme distincte ale axei deformate:-una plan vertical, din ncovoiere, corespunztoare barei ideale (linia AB n grafic); -unacorespunztoarebareireale,caresencovoaienplanlateralisersucete(linia AC); npunctulAapareobifurcareaechilibrului.Analizndpoziiadeformatagrinzii reale se constat c o seciune curent S situat la distana x fa de captul din stnga, ajunge n S (figura II.1.b i II.1.c), nregistrnd: o deplasare n plan vertical v; o deplasare n plan lateral w; o rotire ; Specificefenomenuluideflambajsuntultimeledouadeplasri,alecarorecuaii difereniale sunt urmatoarele: STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III17 '' yyMWEI= ;pentru ncovoierea lateral; (II.1) 'ttMGI = ;pentru rasucire (liber); (II.2) Conform ipotezei c incarcarea exterioar i pstreaz tot timpul direcia iniial, chiar i dup deformare, vectorulmoment Meste situatn planul orizontal,fiind perpendicular pe direcia AB. Componentele sale n seciunea curent S, dup normala i tangenta la seciune situate n planul ei, sunt: Mt = Msin ; Mi= Mcos nipotezamicilordeplasri,sepoateadmitecsinicos1,componentele momentului fiind atunci: Mt = M ; Mi = M(II.3) Prima component este moment de torsiune (Mt), iar ce de-a doua, moment ncovoietor (Mi).VectorulmomentncovoietorMi sepoatedescompunelarndullui,dupdireciile principale de inerie ale seciunii (fig.II.1c) i se obin componentele: Mz = Micos;My = Misin Aceste componente, n ipoteza micilor deplasri, se pot scrie: Mz = M; (II.4) My = M; (II.5) Din figura II.1b, se poate observa urmtoarea relaie geometric: dWtgdxe e = ~; (II.6) nlocuind n ecuaiile (II.1) i (II.2) i expresiile obinute mai sus (II.3) i (II.5), rezult: "yMWEI = ; (II.7) 'tMGIe=; (II.8) Daclaaceastaseataeazirelatia(II.6),seobineunsistemde3ecuaiicu3 necunoscute(,,W).EliminmnecunoscuteleiW.Pentruaceasta,nrelatia(II.8)se nlocuieteunghiulcuexpresiadinrelaia(II.6),isederiveazodatnraportcux.n consecin rezult: " "tMWGI = (II.9) STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III18 n aceste calcule s-a neglijat termenul care cuprinde dxdM. Dacacum,n relaia (II.9) se introduce expresia (II.7) se obine: "+2 = 0(II.10) unde:22y tMEI GIo= (II.11) Ecuaiarezultatmaisus(ecuaiaII.10)reprezintecuatiadestabilitateagrinzii considerate.Prinintegrareaacesteiecuaiiseajungelaexpresiamomentuluiincovoietor critic. Pentru cazul particular al ncovoierii pure, M este constant i soluia ecuaiei difereniale sepoateexprimadirect.Lancovoiereacuforttietoare,momentulncovoietorfiind variabil,coeficientulvafivariabil,icaurmare,soluiaecuaieisepoateexprimanumai folosind funcii speciale sau rezolvri numerice. Se consider incovoierea plan pur, momentul fiind constant. Soluia ecuaiei este: = Asinx + Bcosx CostanteleAiBsedetermindincondiiiledecapt.Conformipotezeiadmise, seciunile din reazeme nu se pot roti n jurul axei x. innd cont de expresia (II.11), se obine: t yGI EIlnM =t ; Valoareaceamaimicamomentuluincovoietorcareaducegrindanpoziiade echilibru indiferent se numeste moment incovoietor critic. Acesta se obtine pentru n=1. t y crGI EIlM = t; (II.13) Expresia momentului ncovoietor critic se poate generaliza sub forma: cr y tkM EI GIl= ; (II.14) unde k este un factor numeric care depinde de schema static a grinzii (vezi pag. 8). Din analiza expresiei generale (II.14) se constat ca o grind solicitat la ncovoiere are un moment critic cu att mai mare cu ct rigiditile seciunii la torsiune i ncovoiere n plan lateralsuntmaimarii,deasemeni,cuctdistanadintrepuncteledefixarenplanlateral este mai mic. STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III19 II.3.METODE DE INTEGRARE A ECUAIEI DE STABILITATE Determinarea soluiilor ecuaei difereniale se poate face prin diferite tipuri demetode, dintre care: metodeanalitice(exacte),caresebazeazpeexprimarearspunsuluicutatprin funcii analitice, valabile pentru orice punct al domeniului de definiie al problemei. Ca soluii analiticesepotfolosifunciiletranscendenteelementare(trigonometrice,hiperbolice,etc.), seriile trigonometrice, seriile de puteri, funciile Bessel etc. metodenumerice(aproximative),careconstaundeterminareaunorvaloriale funciilornecunoscutedintr-unnumrfinitdepunctealemodeluluistructural,sauaunor funciicaresaproximezesoluiileexacte,adicssatisfac,cuoeroarecontrolati acceptabil, ecuaiile de guvernare. n general, metodele numerice se mpart n dou categorii: a)Metodencarecalcululnumericestefolositpentruintegrareaecuaieidifereniale, cum este de exemplu metoda diferenelor finite i, b)Metode n care se schimb modelul fizic, dintr-un element cu lungimea dx n unul cu lungimeafinit,foartemic,culegturidiscrete;dinaceastcategoriefaceparte,spre exemplu, metoda elementului finit. Metoda diferenelor finite Metoda diferenelor finite este o metod de calcul numeric bazat pe ecuaia diferenial afibreideformate.Sefolosetenspecialcndsoluiaexactaacesteiecuaiiestegreude determinat.Principiulmetodei constnanlocuiinfiniiimici cu cantitifinitefoarte mici. Matematic,aceastarevinelaasubstituiecuaiadiferenialprintr-unsistemdeecuaii algebricencarenecunoscutelesuntdeplasrileanumitorpunctedepeax,fixatedela nceput.Prinaceasta,liniadeformatrealsenlocuietecuoliniedinsegmentecurbilinii racordate, n punctele comune alese iniial. FieABaxauneigrinzipecaresefixeaz,ladistaneegale,punctelek-3,k-2,k-1,k, k+1,k+2,k+3,iABaxadeformatprinncovoiere(Fig.II.2).Dinanalizamatematicse tie c derivatele unei funcii intr-un punct k se pot exprima prin diferene finite centrale, cu relaiile:

21 1 + =k kkv vdxdv

21 1222 ++ =k k kkv v vdxv d (II.15) 42 1 1 2444 6 4 + ++ + =k k k k kkv v v v vdxv d STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III20 Fig. II.2 Operatoriidecalculaiacestorderivatesuntsintetizaintab.II.1aicorespundn interpolareacuparaboladegradulII.Eroareaintrodusestedeordinul2.Precizia diferenelorfinitesepoatembuntireducnderoarealavaloareauneiputerisuperioarea pasuluidediscretizare.DacderivateleseexprimcucoeficieniidintabelulalturatII.1b, eroarea este de ordinal 4. Tabel II.1a.Diferene finite centraleTabel II.1b k-2k-1kk+1k+2 Eroare de ordinul 2 kdxd 2 -101 kdxd222 1-21 kdxd3332 -120-21 kdxd444 1-46-41 nuneleproblemeesteavantajosssefoloseascdiferenelefiniteprogresivesau regresive.ncalcululfolositpentrurezolvareaproblemelordestabilitate,sefolosesc diferenele finite centrale, cu operatori care corespund n interpolarea cu parabola de gradul II. Pentrudeterminareapunctelordepeaxagrinziicareseaflnafaralimiteloracesteia, se folosesc condiiile de rezemare, rezultnd: ntr-unreazem simplu punctelesituatenafaralimitelor grinziisunt antisimetricefa de cele de pe axa grinzii; k-3k-2k-1kk+1k+2k+3 Eroare de ordinul 4 kdxd 12 1-808-1 kdxd22212 -116-3016-1 kdxd3338 1-8130-138-1 kdxd4446 -112-3956-3912-1 STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III21 ntr-o ncastrare punctele situate nafara limitelor grinzii sunt simetrice fa de cele de pe axa grinzii; nmodsimilarcucelprezentatmaisussepoate rezolvaproblemastabilitiigrinzilor ncovoiate(aflambajuluilateral),maiexactdeterminareancrcriicriticelacaregrindai pierde stabilitatea, cu precizarea c n locul deplasrilor v vor fi rotirile , dar cele care se produc n plan lateral, i nu cele din planul ncrcrii. Rezultatele obinute prin metoda diferenelor finite sunt cu att mai apropiate de valorile exactecuctnumaruldepunctealesestemaimare;nschimb,cretenaceeaimsuri numrul ecuaiilor, ceea ce complic rezolvarea manual a sistemului.Pentruapropierearezultatuluictmaimultdecelreal,ncalcululmanualsepoate proceda astfel: se rezolv problema n dou etape, mprind deschiderea, nti n n1 intervale egale, apoi n n2 intervale egale i se extrapoleaz rezultatele cu formula lui Richardson: ) (2 1 2 n n nA A A A + = o(II.16) unde: A - rezultatul final; An1 - rezultatul din prima rezolvare cu n1 intervale egale; An2 - rezultatul din a doua rezolvare cu n2 intervale egale; 212221n nn = o(II.17) Formula(II.17)sefolosetedacerorilesuntdeordinul2.Sepoatedemonstrac aceastformul este aplicabil incazulncareerorile sunt de ordinul4, cu precizarea c factorul devine: 414241n nn = o(II.18) STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III22 II.4.ANALIZE DE CAZ PRIN METODE NUMERICE (METODADIFERENELOR FINITE) Soluiaecuatieidiferentialedestabilitate,prinfunctiianalitice,continue,esteprea dificildeobinut,ideaceea,pentrucalculepractice,sepreferametodelenumericede integrare. Dintre acestea se prezint, n cele ce urmeaz, metoda diferenelor finite.Calcululpresupunedeterminareancrcriicriticelacaregrindaipierdestabilitatea. Acestlucrunecesitcunoatereaecuaieidiferenialedestabilitatepentrugrindaconsiderat i valoarea eforturilor secionale n fiecare punct al reelei alese.Astfel, valoarea forei critice va depinde de schema static a grinzii.II.4.1.Grindasimplurezematncrcatcuoforuniformdistribuitpetoat deschiderea.SeconsidergrindasimplurezematprezentatnfiguraII.3.,delungimel,ncrcat cu o for uniform distribuit de intensitate p, pe toat lungimea ei. Se fixeaz pe axa grinzii unnumrdepatrupunctesituateladistanaegalntreele=l/5,rezultndasfelmprirea grinzii n cinci intervale.

Fig.II.3. Pentruaceastgrind,ecuaiadiferenialdestabilitate,cndseineseamadoarde influena momentului ncovoietor, se scrie sub forma: 2" 0 o + =,(II.19) n care:t yGI EIM22= o(II.20) Se pleac de la ecuaia diferenial (II.19), scris n fiecare punct al reelei, innd cont idecondiiiledecapt(datoritsimetrieigrinziirmnpractic2punctencaresescrie ecuaia). Se obine astfel un sistem de 2 ecuaii algebrice cu 2 necunoscute.STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III23 -n punctul 1:0212121 1 2= ++ o ; -n puctul 2:0212221 2 0= ++ o ; Dincondiiacasistemul(II.22)saibsoluiadiferitdesoluiabanal,adic determinantul sistemuluisfie egal cu 0, rezult o ecuaie de gradul II (ecuaia de stabilitate n diferene finite): 0 1 ) 2 444 , 0 )( 1 (2 212 21= o oRezolvndaceastecuaieseobineforacriticlacaregrindaconsideratipierde stabilitatea,ntr-oprimetapdecalcul,cuunnumrredusdepunctealreeleide discretizare: ,1327, 76cr y tp EI GIl= (II.24) Pentruacretepreciziarezultatuluisemretenumruldepuncte.Astfel,sealegase punctepeaxagrinziisituateladistanaegalntreele=l/7,rezultndasfelmprireaaxei grinziinapteintervale, aa cum se poate observanfigura II.4. Raionamentuleste acelai ca pentru etapa anterioar. Fig.II.4. Astfel, se scrie: -n punctul 1 :0212121 1 2= ++ o ; -n punctul 2 : 2 3 2 12 2 3220 o ++ + = ; -n punctul 3 :0232322 3 0= ++ o ; STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III24 Dintranscriereademaisus,punndicondiiacadetreminantulsistemuldeecuaii format s fie zero, se obine: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 3( 1)(0, 694 2)(0, 25 2) ( 1) (0, 25 2) 0 o o o o o =Efectuareacalculelorconducelavaloareaforeicritice,pentrucazulmpririiaxei grinzii n apte intervale egale:,2 328, 06cr y tp EIGIl= (II.28) Pentruapropiereactmaimultderezultatulreal,avndvalorileforeicriticeobinute din cele dou etape, grinda cu patru, respectiv ase puncte (relaiile (II.24) i (II.28)), se poate extrapola folosind formula lui Richardson (rel. II.16): ,2 ,1 ,2( )cr cr cr crp p p p = + o2 212 2 2 22 151, 047 5nn n= = = o21n- numrul de intervale din prima etap;521 = n22n- numrul de intervale din etapa a doua;722 = n|.|

\| =t y t y t y crGI EIlGI EIlGI EIlp3 3 306 , 28 76 , 2704 , 106 , 28 t y crGI EIlp337 , 28= (II.29) Relaia(II.29)reprezintexpresiaforeicritice,pentruogrindsimplurezemat, ncrcatcuoforuniformdistribuit,considernddoarinfluenamomentuluincovoietor, determinat prin metoda diferenelor finite. Cunoscnd valoarea forei critice pentru grinda considerat, cnd se ine seama doar de momentul ncovoietor, determinat prin metode exacte: 328, 3exactcr y tp EI GIl=(II.30) sepoateobservacrelaiile(II.29)i(II.30)suntaproximativegale.Sepoateafirmac metodadiferenelorfinite,utilizndiformulaluiRichardson,ducelarezultatedestulde bune, care se apropie foarte mult de rezultatul real. STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III25 II.4.2.Grindasimplurezematncrcatcuoforconcentratlamijlocul deschiderii.Seconsidergrindasimplurezemat,delungimel,ncrcatcu oforconcentratP, ca n figura de mai jos (fig. II.5). Se fixeaz pe axa grinzii un numr de patru puncte situate la distan egal ntre ele =l/5; rezult asfel mprirea grinzii n cinci intervale egale. Fig.II.5. Pentru grinda considerat, ecuaia diferenial de stabilitate, cnd se ine seama doar de influena momentului ncovoietor, este aceeai (rel. II.19):2'' 0 o + = unde:t yGI EIM22= o(II.20) Astfel, transcierea n diferene finite a ecuaiei de stabilitate pentru grinda din figur, are forma: -n punctul 1:0212121 1 2= ++ o ; -n puctul 2:0212221 2 0= ++ o ; Efectuarea tuturor calculelor conduce la: 0 1 ) 2 25 , 0 )( 1 (2 212 21= o odeundeseobineastfelforacriticlacaregrindaconsideratipierdestabilitatea,pentru prima etap de calcul. ,1 217,12cr y tP EIGIl= (II.31) Sefixeaznadouaetappeaxagrinziiasepuncte(practicseconsiderdoartrei datorit simetriei), conform figurii II.6., situate la distanele egale =l/7.STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III26 Fig.II.6. Repetnd raionamentul din calculele anterioare, ecuaia de stabilitate scris n punctele reelei, este: -n punctul 1 :0212121 1 2= ++ o ; -n punctul 2 :0222221 2 3= ++ o ; -n punctul 3 :0232322 3 0= ++ o ; Se ajunge la ecuaia: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 3( 1)(0, 44 2)(0,11 2) ( 1) (0,11 2) 0 o o o o o =dup rezolvarea ei, rezultnd: ,2 217, 03cr y tP EIGIl= (II.34) Seextrapoleaz cele dou rezultate (II.31 i II.34) cu formula lui Richardson: ,2 ,1 ,2( )cr cr cr crP P P P o = + ; 212 22 11, 04nn n= = o|.|

\| =t y t y t y crGI EIlGI EIlGI EIlP2 2 203 , 17 12 , 1704 , 103 , 17 t y crGI EIlP2936 , 16= (II.35) Valoarea forei critice pentru o grind simplu rezemat ncrcat cu ofora concentrat lamijloculdeschiderii,cndseineseamadoardemomentulncovoietor,determinatprin metode exacte este: STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III27 216, 92exactcr y tP EIGIl=(II.36) iin acest caz se poate observac cele dou valori (rel. II.35 i II.36) aleforei critice determinate prin metode diferite de calcul sunt aproximativ egale. II.4.3.Grindadubluncastratncrcatcuoforuniformdistribuitpetoat deschiderea.Se consider grinda dublu ncastrat, de lungime l, ncrcat ca n figura de mai jos (fig. II.7), cu o for uniform distribuit deintensitate p. Sefixeaz pe axa grinzii unnumr de patru puncte situate la distana egal ntre ele=l/5, rezultnd asfel mprirea grinzii n cinci intervale. Se folosete ecuaia, coeficienii i transcrierea ecuaiei difereniale n fiecare punct al reelei de la cazul grinzii simlpu rezemate, deoarece sunt aceleai. Fig.II.7. Ecuaia de stabilitate:2'' 0 o + =,(II.19)se scrie n fiecare punct al reelei:-n punctul 1:0212121 1 2= ++ o -n puctul 2:0212221 2 0= ++ o Rezult, dup efectuarea calculelor, ecuatia de stabilitate n diferene finite: 2 2 2 21 1( 1)(0, 0083 2) 1 0 o o =Rezolvnd se obine astfel fora critic la care grinda considerat i pierde stabilitatea. ,1396, 33cr y tp EI GIl= (II.38) STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III28 Procednd la fel ca pentru grinda anterioar, se mrete numrul de puncte. Se aleg ase punctepeaxagrinziisituateladistanaegalntreele=l/7,rezultndapteintervale, conform figurii II.8. Se respect acelai raionament ca pentru cazul prezentat mai sus. Fig.II.8. Ecuaia de stabilitate a grinzii, scris n punctele reelei, devine: -n punctul 1 :0212121 1 2= ++ o -n punctul 2 : 2 3 2 12 2220 o ++ =-n punctul 3 :0232322 3 0= ++ o Ecuaia care rezult este: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 3( 1)(0, 229 2)(0, 319 2) ( 1) (0, 319 2) 0 o o o o o =din care se obine: ,2396, 37cr y tp EI GIl= (II.42) Se extrapoleaz acum rezultatele, obinnd: ,2 ,1 ,2( )cr cr cr crp p p p o = +

396, 41cr y tp EI GIl=(II.43) carereprezintexpresiaforeicritice,pentrugrindadubluncastrat,ncrcatcuofor uniform distribuit. Pentru acest caz de ncrcare i rezemare, expresia forei critice determinat prin metode exacte de calcul este: 398, 70exactcr y tp EI GIl=(II.43') STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III29 Se poate observa c diferena dintre cele dou rezultate (II.43 i II.43') este foarte mic, ceeacenseamncmetodadiferenelorfiniteconducelavalorialeforeicriticefoarte apropiate de cea real i poate fi utilizat n succes pentru acest tip de calcule. II.4.4.Grindadubluncastratncrcatcuoforconcentratlamijlocul deschiderii. Fig.II.9. -n punctul 1 : 2 2 1 11 1220 o ++ =-n punctul 2 : 2 0 2 12 2220 o ++ =Transcrierea de mai sus conduce la: ( )( )2 2 2 21 21 2 1 0 o o =i n final: ,1246, 476cr y tP EI GIl= (II.44) Setrecenetapaurmtoarelamprireagrinziiprinasepuncte,situateladistanele egale =l/7, rezultnd apte intervale egale, aa cum se poate observa i n figura II.10: Fig.II.10. STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III30 Se scrie ecuaia n cele trei puncte:-n punctul 1 : 2 2 1 11 1220 o ++ = ; -n punctul 2 : 2 3 2 12 2220 o ++ = ; -n punctul 3 : 2 0 3 23 3220 o ++ = ; Urmrindaceeaipaicanexempleleanterioare,seajungenfinallaexpresiaforei critice, pentru etapa a doua a calcului: ,2243, 93cr y tP EI GIl= (II.45) Extrapolnd cele dou rezultate, se obine expresia cutat: ( ),2 ,1 ,2 cr cr cr crP P P P o = + 241, 28cr y tP EI GIl= (II.46) Pentru grinda considerat se cunoate valoarea exact a ncrcrii critice. Aceasta este : 242, 64exactcr y tP EI GIl= Comparndceledourezultate(II.45iII.46),sepoatespunecmetodadiferenelor finiteducelarezultatebune,foarteapropiatedecelreal,ipoatefifolositcusuccesn rezolvarea acestor tipuri de probleme. STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III31 C CA AP PI IT TO OL LU UL L I II II IS ST TA AB BI IL LI IT TA AT TE EA A G GE EN NE ER RA AL L A AG GR RI IN NZ ZI IL LO OR R N NC CO OV VO OI IA AT TE E I IN N N ND D C CO ON NT T D DE E I IN NF FL LU UE EN N A A M MO OM ME EN NT TU UL LU UI I N NC CO OV VO OI IE ET TO OR R I I A A F FO OR R E EI I T T I IE ET TO OA AR RE E III.1.INTRODUCERE Dezvoltareametodelordecalculiapariiamaterialelordeconstruciicuproprieti elasticeimecanicesuperioareauconduslarealizareaunorelementestructuraletotmai zvelte. Acestea ndeplineau condiia de rezisten dar aveau o stabilitate redus. Pierderea stabilitii generale sau flambajul lateral al unei grinzincovoiate se produce laoanumitvaloareaforeiexterioarenumitforcriticiarvaloareacorespunztoarea momentului ncovoietor se numete moment ncovoietor critic.Relaiile de calcul cunoscute i folosite pentru determinarea forei critice in cont numai deinfluenamomentuluincovoietor, neglijnd celelalte efecte care se produc. Rezult astfel o valoare a forei critice care este aproximativ i poate conduce uneori la dimensionri cu o anumit aproximaie a elementelor structurale de construcii. Unul dinaceste efecte neglijate l reprezint fora tietoare.Se prezint,n continuare,influena acestui efort asupra stabilitii generale a grinzilor ncovoiate. III.2.ECUAIA DIFERENIAL DE STABILITATE Fiegrindadreapt,simplurezemat,ncrcatcuforetransversalecareproduc ncovoierea plan a acesteia (fig. III.1). Pentru aceast grind se determin ecuaia diferenial destabilitate,considerndnacestcaziefectulforeitietoare,pelngcelalmomentului ncovoietor. Seciuneatransversalaacesteigrinziestedeformoarecare,nalt(h>>b).Se pstreaziaiciipotezacreazemeleAiBpermitrotireadinncovoieredarmpiedic rotirea seciunilor de capt n plan transversal (n jurul axei x). STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III32 a. c.

b. Fig.III.1. n principiu demonstraia urmrete aceleai principiin Capitolul II cu meniunea c se vorluanconsiderareitermeniicareintroducinfluenaforeitietoare.Astfelanaliznd poziia deformat a grinzii se constat c seciunea S ajunge n S' i se observ urmtoarele: o deplasare n plan vertical v; o deplasare n plan lateral w; o rotire ; Se pleac de la ultimele dou deplasri, deoarece sunt specifice fenomenului de flambaj. Ecuaiile difereniale ale acestora sunt aceleai ca n capitolul precedent: '' yyMWEI= ;pentru ncovoierea lateral; (III.1) 'ttMGI = ;pentru rasucire (liber); (III.2) Componentele vectorului moment M, momentul ncovoietor Mi i momentul de tosiune MtsuntdatederelaiileII.3(vezicapitolulII).Deasemeniicomponentelemomentului ncovoietor Mi , Mz i My, se pot scrie conform rel II.5 i respectiv II.6. Din figura III.1b se poate scrie relaia geometric:dWtgdxe e = ~ (III.3) Efectund calculele i nlocuind n ecuaii expresiile prezentate mai sus rezult ecuaiile difereniale: STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III33 "yMWEI = ; (III.4) 'tMGIe=;(III.5) Se adaug i ecuaia III.3 i se obine un sistem de trei ecuaii cu trei necunoscute (, , W).SeeliminnecunoscuteleiW,prinderivareadedouorinraportcux.Deaceast dat nu se mai neglijeaz termenul care cuprinde dxdM. Dup efectuarea calculelor se ajunge la ecuaia diferenial: 22''' " 't y t y tT M MTWGI EI GI EI GI = (III.6) Prin introducerea relaiei (III.4) n ecuaia de mai sus (III.6) se ajunge la: '''+2'+2 = 0(III.7) ncareisuntfunciedencrcareaexterioarischemastaticagrinzii,careau expresiile: 22y tMEI GIo=;23y tMTEI GI|= (III.8) iar este unghiul de rotire al seciunii n plan lateral (fig.III.1 c). Celelalte notaii au urmtoarele semnificaii: EIy - rigiditatea seciunii la ncovoiere lateral ; GIt - rigiditatea seciunii la torsiune liber ;M, T - momentul ncovoietor, respectiv fora tietoare ntr-o seciune curent a grinzii. Ecuaiadiferenialobinut(ec.III.7)reprezintecuaiadestabilitateagrinzii considernd influenele momentului ncovoietor i a forei tietoare. Termenul 2 ine cont de momentulncovoietoriartermenul2introduceinfluenaforeitietoare.Integrareaacestei ecuaii conduce la expresia momentului incovoietor critic.III.3.METODE DE INTEGRARE A ECUAIEI DE STABILITATE Caincazulecuaieidiferenialedelacapitolulanterior,metodeledeintegraresunt aceleaicuceleprezentate,nextenso,ncazulrespectiv.Avndnvedereacestea,se menioneaz: metodeleanalitice (exacte),caresebazeazpeexprimarearspunsuluicautatprin funcii analitice, valabile pentru orice punct al domeniului de definiie al problemei.STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III34 metodelenumerice(aproximative),careconstaundeterminareaunorvaloriale funciilornecunoscutedintr-unnumrfinitdepunctealemodeluluistructural,sauaunor funciicaresaproximezesoluiileexacte,adicssatisfac,cuoeroarecontrolati acceptabil, ecuaiile de guvernare. Dintremetodelenumericesefolosetemetodadiferenelorfinite,careesteaplicabil grinzilor indiferent de complexitatea ncrcrilor exterioare, de tipul de rezemare sau de legea de variaie a seciunii n lungul elementului. Prezentarea acesteia se gsete, mai n detaliu, la subcapitolul II.3. III.4.ANALIZE DE CAZ PRIN METODE NUMERICE (METODADIFERENELOR FINITE) Seconsiderpernd,diferiteschemestaticedegrinzipentrucareseefectueazacest calcul,putndurmriastfelinfluenarezemriiincrcriiasupravaloriiforeicritice. Preciziarezultatuluivadepindedenumruldepuncteconsiderate.Cuctacestnumreste mai mare cu att exactitatea calculului crete. DeoareceecuaiadiferenialestedeordinulIII,operatoriidecalculpresupun cunoatereavalorilorluiinpuncteledinvecintateaadoua(situatenafaralimitelor grinzii).Se vor considera dou cazuri privind rezemarea n plan lateral: unulcorespunztorpunctelordinvecintateaadouacafiindantisimetricecucelede pe axa grinzii; altul, pentru care punctele din vecintatea a doua sunt simetrice n raport cu cele de pe axa grinzii; Calculul se efectueaz n dou etape, mrind succesiv numrul de puncte. Cu rezultatele pariale din aceste etape, se poate ajunge, prin extrapolare, la un rezultat suficient de exact. III.4.1.Grindasimplurezematncrcatcuoforuniformdistribuitpetoat deschiderea.Fiegrindasimplurezematdinfigurademaijos,solicitatlancovoiereplandeo foruniformdistribuitdeintensitatep,normallaaxax.Sefixeazpeaxagrinziiun numrdepatrupunctesituatelaaceeaidistanntreele=l/5.Rezultastfelmprirea grinzii n cinci intervale egale. STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III35 Fig. III.1. Etapeledecalculsuntidenticecuceleprezentatencazulgrinziipentrucarese consider doar influena momentului ncovoietor (II.4.1.). Puncte antisimetrice (simpl rezemare n plan lateral) Pentrunceputseconsiderpuncteledispuseantisimetric,conformfiguriiIII.1,adic cazulsimpleirezemrinplanlateral.Ecuaiadiferenialdestabilitateagrinziiconsiderate este dat de relaia: 2 2''' ' 0 o | + + = (III.7) n care 2 i 2 au expresiile date de relaiile (III.8) i anume: 22y tMEI GIo=;23y tMTEI GI|= (III.8) Se scrie ecuaia diferenial (III.7) n fiecare punct al reelei, innd cont i de condiiile decapt(datoritsimetrieigrinziiecuaiesescriedoarndoupuncte).Seobineastfelun sistem omogen de 2 ecuaii cu 2 necunoscute.-n punctul 1:02 22 21211 2 2132 1 2 0= ++ ++ + | o -n punctul 2:02 22 22221 0 2231 1 0 2= ++ ++ + | o Condiiile de capt se scriu: 0 " , 0 , 0 = = = x ;0 " , 0 , = = = l xDin transcierea de mai sus rezult sistemul omogen de ecuaii: = + + = + +0 ) 1 2 ( ) 1 (0 ) 3 ( ) 2 2 (3 22 22 22 12 21 22 213 21 1 | o o o | (III.9) Determinantul sistemului de mai sus se egaleaz cu zero i se obine o ecuaie de gradul doi. Dup efectuarea tuturor calculelor se ajunge la: STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III36 ,1 325, 52cr y tp EIGIl=(III.12) care reprezint chiar fora critic la care grinda simplu rezemat, ncrcat cu o for uniform distribuit pe toat deschiderea, i pierde stabilitatea n plan lateral. Preciziarezultatuluidepinznddenumruldepuncteales,sendesetereeauade discretizare.Sealegnetapaadouaasepuncte peaxagrinziisituateladistaneegalentre ele, =l/7, aa cum se poate observa n figura de mai jos, fig. III.2. Fig. III.2. 2 2''' ' 0 o | + + = (III.7) Repetnd calculul pentru schema din figura de mai sus, rezult: ,2 323, 91cr y tp EIGIl=(III.16) Pentruopreciziebun,seextrapoleazrezultateledinceledouetape,(III.12)i (III.16): t y crGI EIlp324 , 22=(III.17) i se obine valoarea forei critice pentru grinda simplu rezemat, ncrcat cu o for uniform distribuit pe toat deschiderea, inndcont deinfluena momentului ncovoietor i a forei tietoare (n cazul unei simple rezemri n plan lateral), determinat prin metoda diferenelor finite. Comparndrelaiile(II.29)i(III.17)sepoateobservacvaloareaforeicriticescade prin considerarea n calcule a influenei forei tietoare, aceasta avnd un efect defavorabil n acest caz. STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III37 Puncte simetrice (ncastrare n plan lateral) Sefixeazpunctelepeaxagrinziiladistaneleegale=l/3(doupuncte)iseparcurg etapele cunoscute din cazul precedent. Fig. III.3. Astfel, n punctul 1 ecuaia diferenial de stabilitate (III.7) conduce la: 02 22 21210 1 2131 0 1 0= ++ ++ + | o care, mai departe, se poate scrie (respectnd condiiile de capt) 0 ) 3 2 (2 213 21 1= + o | Dinrelaiademaisusseobineexpresiaforeicriticeagrinzii,pentruprimaetapa calculului: ,1 323, 38cr y tp EIGIl=(III.21) Se trece la a doua etap, care presupunefixareaaase puncte pe axa grinzii,situatela distane egale =l/7 i se repet raionamentul: Fig. III.4. STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III38 Din mprirea grinzii n apte intervale, rezult fora critic ,2 341,115cr y tp EIGIl=(III.24) Cuajutorulexpresiei(II.16)seextrapoleazrezultatele,obinndastfelorelaiecuo precizie suficient de bun: t y crGI EIlp311 , 45= (III.25) Relaia (III.25) reprezint fora critic de flambaj lateral pentru grinda simplu rezemat, ncrcatcuoforuniformdistribuitpetoatdeschiderea,inndcontdeinfluena momentuluincovoietoriaforeitietoare(ncazuluneincastrrinplanlateral), determinat prin metoda diferenelor finite. Dup cum se poate observa din relaiile (III.25) i (III.17), realizarea uneincastrrin plan lateral duce la valori ale forei critice mult mai mari dect n cazul simplei rezemri, ceea ce nseamn o cretere a stabilitii laterale a grinzilor solicitate la ncovoiere plan. III.4.2.Grindasimplurezematncrcatcuoforconcentratlamijlocul deschiderii.Puncte antisimetrice (simpl rezemare n plan lateral) Se consider grinda simplu rezemat din figura III.5, ncrcat cu o for concentrat la mijlocul deschiderii. Sefizeaz peaxa grinzii dou puncte dispusela distaneegalentre ele =l/3. Astfel grinda este mprit n trei intervale. Fig. III.5. PentrucazuldinfiguraIII.5,ecuaiedestabilitate(III.7), transcrisndiferenefinite, este:-n punctul 1:02 22 21211 0 2131 0 1 0= ++ + | o STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III39 Condiiile de capt sunt : 0 " , 0 , 0 = = = x ;0 " , 0 , = = = l xSe ajunge (innd cont de condiiile de capt) la relaia:0 ) 1 2 (2 213 21 1= + o | (III.26)Se efectueaz calculele i se obine expresia forei critice: ,1 26, 81cr y tP EIGIl=(III.28) Sendesetereeauadepuncte,fixndu-senaceastetapasepunctepeaxagrinzii, situate la distane egale ntre =l/7, aa cum este artat n figura de mai jos (fig. III.6). Fig. III.6. n acelai mod, pentru mprirea grinzii n apte intervale, se obine ,2 210, 30cr y tP EIGIl=(III.32) Extrapolarea rezultatelor din cele dou etape conduce la: t y crGI EIlP209 , 11=(III.33) Relaia(III.33)reprezintforacriticdepierdereastabilitiipentrugrindasimplu rezemat,ncrcatcuoforconcentratlamijloculdeschiderii,inndcontdeinfluena momentuluincovoietoriaforeitietoare(ncazuluneisimplerezemrinplanlateral), determinat prin metoda diferenelor finite. Dinanalizarelaiile(II.35)i(III.33)seobservoscdereaforeicritice,ceeace nseamn o influen defavorabil a forei tietoare asupra stabilitii grinzilor ncovoiate. STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III40 Puncte simetrice (dubl ncastrare n plan lateral) Calcululsefaceanalogcapentrupuncteledispuseantisimetric,singurullucrucarese schimb fiind ecuaia final. Se mparte, n prima etap, axa grinzii ca n figura alturat (fig. III.7.), n trei intervale, adic prin dou puncte. Fig. III.7. Ecuaia diferenial de stabilitate este (rel. III.7): 2 2''' ' 0 o | + + =Scriindecuaia(III.7)npunctelereelei(simetriagrinziireducenumrulpunctelorla unul singur), rezult:02 22 21211 0 2131 0 1 0= +++ + | o Se obine, din cele de mai sus, ecuaia: 0 ) 3 2 (2 213 21 1= + o | (III.34) care are forma final (deoarece rotirea n punctul 1 nu este zero):

2 3 2 21 12 3 0 | o + =(III.34) Valorilemomentuluincovoietorialforeitietoaresetiu,iastfelsepotdetermina coeficienii: RPlGI EIMt y16221 21|.|

\|= = o; RP PlGI EIT Mt y12 6331 1 21|.|

\| = = |(III.35) Din relaiile de mai sus (III.35), nlocuite n expresia III.(34'), rezult: ,1 211, 79cr y tP EIGIl= (III.37) Sendesetereeauadepuncte,dupcumsevedenfigurademaijos(fig.III.8.).Se fixeaz ase puncte pe axa grinzii, situate la distane egale =l/7.STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III41 Fig. III.8. n mod similar, pentru mprirea ca n figura III.8., plecnd de la ecuaia de stabilitate a grinzii, se obine fora critic: ,2 221, 52cr y tP EIGIl= (III.41) Relaia extrapolat a celor dou rezultate, are forma: t y crGI EIlP271 , 23=(III.42) Relaia(III.42)reprezintforacriticdepierdereastabilitiipentrugrindasimplu rezemat,ncrcatcuoforconcentratlamijloculdeschiderii,inndcontdeinfluena momentului ncovoietor i a forei tietoare (n cazul unei ncastrri n plan lateral). Sepoateobservadinrelaiile(III.33)i(III.42)crealizareauneincastrrinplan lateralducelaocreteresemnificativavaloriiforeicritice,implicitastabilitiigrinzilor solicitate la ncovoiere plan. III.4.3.Grindadubluncastratncrcatcuoforuniformdistribuitpetoat deschiderea.Seconsiderpentrunceputgrindadubluncastrat,ncrcatcuoforuniform distribuit de intensitate ''p". Determinareancrcriicritice pentru grinda dubluncastrat urmrete aceeai pai ca ncazulgrinziisimplurezemate,acionatedeaceeaincrcare.Ecuaiadestabilitateeste aceeai, deoarece nu depinde de rezemare.Puncte antisimetrice (simpl rezemare n plan lateral) Astfel, se fixeaz pe axa grinzii un numr de patru puncte, situate la distana egal ntre ele, =l/5 i se scrie ecuaia diferenial de stabilitate n fiecare punct al reelei formate. STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III42 Fig. III.9. Considerndceleprecizateanterior,ecuaiadestabilitatedinrelaia(III.7),scrisnpunctele dispuse ca n grinda din fig. III.9, este:-n punctul 1 : 2 2 2 1 2 0 2 11 1 132 202 2 o | + + + + =-n punctul 2 : 2 2 1 1 0 2 0 12 2 232 202 2 o | + + + =innd cont de eforturile secionale: 2111300plM =; 22300plM = ;110plT = ; 2310plT = Repetnd raionamentul ca i n cazul celorlalte scheme statice de grinzi, rezult n final expresia forei critice pentru prima etap de calcul:,1379,83cr y tp EI GIl= (III.46) Setrecelaetapaadoua,carepresupunembuntireaprecizieirezultatuluiprin cretereanumruluidepunctedinreeauadediscretizare.Aadar,sefixeazasepunctepe axa grinzii, situate la distana egal ntre ele, =l/7, aa cum se vede n figura de mai jos: STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III43 Fig. III.10. Din mprirea grinzii n apte intervale, efectuarea tuturor calculelor conduce la aflarea valoriiforei critice pentru grinda considerat: ,2384, 41cr y tp EI GIl= (III.51) Rezultatele obinute n cele dou etape se extrapoleaz cu rel. (II.16), pentru a obine o valoare ct mai precis a forei critice: 389,17cr y tp EI GIl= (III.52) Relaia(III.52)reprezintforacriticdepierdereastabilitiipentrugrindadublu ncastrat,ncrcatcuoforuniformdistribuitpetoatdeschiderea,inndcontde influena momentului ncovoietor i a forei tietoare (n cazul uneisimple rezemri n plan lateral). Puncte simetrice (dubl ncastrare n plan lateral) Fig. III.11. STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III44 Pentrumprirea grinzii canfigura III.11,ecuaia diferenial de stabilitate (III.7), n punctul 1 conduce la: 2 2 0 1 0 1 1 01 1 132 2022 + + + + o +| = care, dup efectuarea calculelor, ajunge 0 ) 3 2 (2 213 21 1= + o | unde:t yGI EIM21 21 = o; 22 221 1136 36pl plMR| |= o = | |\ . i R=EIyGIt (III.53) t yGI EIT M1 1 213= |2321 116 72pl plTR= | = 1 este diferit de zero, i atunci ecuaia rezult n final: 0 3 22 213 21= + o | (III.54) Dup efectuarea tuturor calculelor, se obine:,1 351, 79cr y tp EIGIl=(III.56) netapaurmtoaresemretenumruldepunctelareeleidediscretizare,aacumse observnfigura III.12. Grinda dubluncastrat semparte prin patru puncte (cinciintervale egale).Proprietiledesimetriealegrinziireduclajumtatenumruldepunctencarese scrie ecuaia de stabilitate. Fig. III.12. nmodsimilarcucelprezentatnprimaetapacalculului,pentruaceastmprirea grinzii, rezult urmtoarea expresie pentru fora critic: ,23119,89cr y tp EI GIl= (III.60) STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III45 RezultateleobinutenceledouetapeseextrapoleazcuformulaluiRichardson, pentru a obine o valoare ct mai precis a expresiei forei critice: 3158, 23cr y tp EI GIl= (III.61) Relaia(III.61)reprezintforacriticdepierdereastabilitiipentrugrindadublu ncastrat,ncrcatcuoforuniformdistribuitpetoatdeschiderea,inndcontde influenamomentuluincovoietoriaforeitietoare(ncazuluneincastrrinplan lateral). III.4.4.Grindadubluncastratncrcatcuoforconcentratlamijlocul deschiderii.Puncte antisimetrice (simpl rezemare n plan lateral) Pentru fixareideilor, se consider,n prima etap, grinda dubluncastrat, mprit ca n figura III.13. Fig. III.13. n punctul considerat, ecuaia (III.7) se scrie: 2 2 0 1 0 1 0 11 1 132 202 2 o | + + + =Ecuaia rezultat din transcrierea n diferene finite este: 2 3 2 21 1 1(2 1) 0 | o + =(III.62) Eforturile secionale n punctul 1 sunt: 124PlM =; 12PT = Cu eforturile cunoscute se pot calcula coeficienii: STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III46 222 11124y tM PlEI GI Ro| |= = |\ . ; 22 1123 3324 2 48M T Pl P PlR|| |= = = |\ . Se ajunge n final la expresia forei critice: ,1214, 4cr y tP EI GIl= (III.64) Setrecelaetapaadoua.Astfel,semretenumruldepunctelaase(ecuaiaseva scrie practicn doar trei puncte datorit simetrieigrinzii),la distana =l/7ntre ele, aa cum se vede i n imaginea de mai jos (fig. III.14). Fig. III.14. Similar,pentrumprireaaxeigrinziicanfiguraIII.14,segseteexpresiaforei critice: ,2221, 699cr y tP EI GIl= (III.68) Preciziarezultatuluisepoatembuntiprinextrapolarearezultatelordinceledou etape, rel.(III.64) i (III.68), cu formula lui Richardson. Aadar, se obine: 223, 34cr y tP EI GIl=(III.69) Relaia(III.69)reprezintforacriticdepierdereastabilitiipentrugrindadublu ncastrat,ncrcatcuoforconcetratlamijloculdeschiderii,inndcontdeinfluena momentului ncovoietor i a forei tietoare (n cazul unei simple rezemri n plan lateral). STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III47 Puncte simetrice (dubl ncastrare n plan lateral) Fig. III.15. Pentru grinda cu mprirea din figura III.15, se scrie ecuaia de stabilitate n punctele reelei: -n punctul 1 :2 2 0 1 0 1 0 11 1 132 202 2 + + + + = o | Din transcrierea n diferene finite rezult ecuaia: 2 3 2 21 1 1(2 3) 0 + = | o (III.70) i, mai departe, 2 3 2 21 12 3 0 + = | o (III.70) 222 11124y tM PlEI GI Ro| |= = |\ . ; 22 1123 3324 2 48M T Pl P PlR|| |= = = |\ . De asemeni, se noteaz: 222 21124 9Pl lARo | |= = |\ . ; 2 32 3131248 27Pl lA | = = (III.71) Dup nlocuirea coeficienilor n ecuaia (III.70) i efectuarea calculelor se obine: ,1224, 94cr y tP EI GIl= (III.72) netapaadouasemretenumruldepuncte.Astfel,axagrinziisempartencinci intervale egale (patru puncte), conform figurii III.16. STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III48 Fig. III.16. Repectnd raionamentul de pn acum, pentru aceast mprire a grinzii, plecnd de la ecuaia de stabilitate, rezult expresia forei critice, n etapa a doua a calculului: ,2240, 22cr y tP EI GIl= (III.76) Expresiafinalaforeicritice,obinutprinextrapolarearezultatelordinceledou etape, rel.(III.72) i (III.76) este: 248,82cr y tP EI GIl=(III.77) Relaia(III.77)reprezintforacriticdepierdereastabilitiipentrugrindadublu ncastrat,ncrcatcuoforconcetratlamijloculdeschiderii,inndcontdeinfluena momentului ncovoietor i a forei tietoare (n cazul unei ncastrri n plan lateral). III.5.ALGORITM DE CALCUL STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL III49 STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL IV50 C CA AP PI IT TO OL LU UL L I IV V S ST TA AB BI IL LI IT TA AT TE EA A G GE EN NE ER RA AL L A AG GR RI IN NZ ZI IL LO OR R N NC CO OV VO OI IA AT TE E I IN N N ND D C CO ON NT T D DE E I IN NF FL LU UE EN N A A M MO OM ME EN NT TU UL LU UI I N NC CO OV VO OI IE ET TO OR R I I A A T TO OR RS SI IU UN NI II I M MP PI IE ED DI IC CA AT TE E IV.1.INTRODUCERE n calculul destabilitate se consider, de obicei, c torsiunea care se producen timpul pierderiistabilitiiesteliber.nrealitate,exceptndctevacazuriparticulare(grinzicu seciunecircularsauinelar;pentrualteledectacesteaestenecesarsfiesatisfcute condiiileprezentatemaijos:seciuneatransversalimomentuldetorsiunetrebuiesfie constante n lungul grinzii iar deformaiile logitudinale s fielibere) torsiunea care apare este o torsiune mpidicat. Prinurmaresepropuneintroducereancalculaacestuifenomenreal(torsiunea mpiedicat),altfelspus,corectareaecuaieidestabilitateclasicecunoscute(careinecont doar de nfluena momentului ncovoietor) prin considerarea efectului torsiunii mpiedicate.IV.2.ECUAIA DIFERENIAL DE STABILITATE Fie,pentrufixareaideilor(fig.IV.1),ogrinddreapt,simplurezemat,ncrcatcu foretransversalePi,situatenplanulprincipaldeineriexy,careconineliniacentrelorde forfecare.Seciuneaestedezvoltatdominantnplanulncrcriiicaurmaremomentulde inerie n raport cu axa neutr este mult mai mare dect cel n raport cu axa verticl y (Iz>Iy). a. c. b. Fig. IV.1. STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL IV51 Dup cum se tie, cnd ncrcarea exterioar atinge o anumit valoare, grinda i pierde forma iniial de echilibru ncovoindu-se uor n plan lateral i rsucindu-se (fig. IV.1.b i c). Centrul unei seciui curente, de abscis x, se deplaseaz din S n S' i nregistreaz deplasrile liniare v i w iar seciunea transversal respectiv nregistreaz o rotire ; aceste trei deplasri se consider pozitive pentru reperul ales. VectorulmomentMalforelortransversalesepoatedescompune(nplanulorizontal) n urmtoarele componente: un moment de torsiune:Mt = Msin M (IV.1) un moment ncovoietor:Mi = Mcos Miar acestea din urm, mai departe, se descompun dup axele principale centrale de inerie ale seciunii, n componentele: Mz = Mcos M corespunztor axei z My = Msin M corespunztor axei y(IV.2) Ecuaiilediferenialealeaxeideformate,caracteristicefenomenuluideinstabilitate, sunt: '' yy yM MWEI EI= = ;pentru ncovoierea lateral; (IV.3) 2''' 'tM MEI EIe ee o = = ; pentru torsiunea mpiedicat;(IV.4) unde: 2 tGIEIeo= (IV.5) I, It - momentele de inerie sectorial, rescpectiv la torsiune liber, ale seciunii innd cont de relaia geometric: dWtgdxe e = ~ (IV.6) se obin trei ecuaii, (IV.3), (IV.4) i (IV.6) cu trei necunoscute, w, i . Dac se elimin w i , rezult: 2'" "IVyM M M MwEI EI EI EIe e ee o | | = = = | |\ .(IV.7) care reprezint ecuaia diferenial de stabilitate a grinzii ce poate fi restrns sub forma: 2 2" 0IV o + =(IV.8) n care 2 are semnificaia (IV.5) iar: 22yMEI EIe=(IV.9) STUDII PRIVIND CALCULUL LA STABILITATE A GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE PLAN CAPITOLUL IV52 Prinintegrareaecuaiei(IV.8)sepoateobineexpresiamomentuluincovoietorcritic. Pentru cazul general dencrcare a grinzii,coeficientul este variabiliar soluia ecuaiei de stabilitate se poate obine utiliznd funcii speciale sau metode aproximative de calcul.n cazul particular al momentului ncovoietor M constant (ncovoiere pur), coeficientul este de asemeni constant i ecuaia (IV.8) devine o ecuaie cu coeficieni constani; se poate scrie soluia acesteia de forma: 1 1 2 1 3 2 4 2cos sin Cch x C sh x C x C x | | | | = + + + (IV.10) unde: 2 4 22 21 14;2R+ += eo o | |(IV.11) 2 4 22 22 24;2C += eo o | |(IV.12) ConstanteleC1,C2,C3,C4sedetermindincondiiiledecapt.Lundnconsiderare relaia (IV.12),se deduce: 22 4 242nlo o t +| |= |\ ., sau, avnd n vedere expresia lui (rel. IV.9), se obine: 22 2 42 4yM nEI EI let o o (| | ( |\ . ( Valoarea momentului critic M se obine pentru n=1, si, prin urmare, rezult n final: 22 2 4222 4cr yM EI EIlet o o (| | (= | (\ . (IV.13) Dac 24 2 224 2 l| |