ANALIZĂ STATISTICĂ ASUPRA REZULTATELOR OBŢINUTE LA TEZA

PE SEMESTRUL I LA CLASA A VIII-A

AN ŞCOLAR 2010-2011

ALBESCU (SECRIERU) LIVIA*

ProfesorGrad didactic IŞCOALA GENERALĂ NR.5 VULCAN

1

NOŢIUNI INTRODUCTIVE

Statistica matematică se ocupă cu gruparea, analiza şi interpretarea datelor referitoare la un anumit fenomen, precum şi cu unele previziuni privind producerea lui viitoare. În cadrul analizei statistice a unui fenomen acţionează mai întâi statistica descriptivă, care se ocupă cu culegerea datelor asupra fenomenului respectiv şi cu înregistrarea acestor date, apoi intervine statistica matematică, care grupează datele, le analizează şi le interpretează în vederea unor predicţii privind viitorul fenomenului

Statistica. joacă un rol tot mai important în diverse domenii de activitate printre care şi în învăţământ, furnizând o gamă întreagă de informaţii legate de desfăşurarea procesului de învăţământ de atingerea obiectivelor propuse de către un profesor în cadrul unei unităţi de învăţare. În vederea creşterii calităţii procesului de învăţământ trebuie să se pună accentul pe monitorizarea permanentă a rezultatelor elevilor, analiza , prelucrarea şi interpretarea de către profesor a datelor culese de la elevi .

Lucrarea de faţă îşi propune să arate că evaluarea este la fel de importantă ca predarea şi învăţarea , fiind o componentă a spiralei educaţiei şi că analiza statistică a rezultatelor obţinute cu elevii este de un real folos atât în depistarea punctelor slabe cât şi în identificarea cauzelor si imbunătăţirea rezultatelor..

Măsurarea este o activitate care furnizează date despre aspectele cantitative ale rezultatelor înregistrate de elev . Volumul cunoştinţelor acumulate , frecvenţa unor greşeli cuprinse în răspunsurile sau în lucrările elevilor , poate să indice şi claritatea şi exactitatea cunoştinţelor respective longevitatea sau durate reţinerii în memorie , puterea şi aplicabilitatea acestora ,măsura greşelilor şi ameliorarea acestora . Evaluarea nu rămâne niciodată la o simplă constatare , ci este urmată de o analiză succintă a acestora . Dacă evaluarea performanţei elevilor este corectă , riguroasă, ea se transformă în „reglator” al întregii activităţi depuse de către elev şi cadru didactic . Poate fi considerată şi ca un barometru al părintelui .

Rolul datelor statistice în viata practică este surprinsă de marele Goethe care spunea: “ nu numai că cifrele generează lumea, ci ele arată cum lumea este guvernată”...

Eficienţa procesului de învăţământ, performanţa şi randamentul şcolar se exprimă şi prin progres şcolar. Acesta este exprimat de o asemenea stare calitativă a unei clase şi/sau individ care înregistrează în raport cu un anumit nivel al cerinţelor şi al posibilităţilor obiective şi/sau subiective creşteri substanţiale în rezultatele obţinute.

Progresul şcolar nu se identifică însă nici cu performanţa şi nici cu randamentul şcolar. Progres şcolar poate înregistra şi un fost corigent sau chiar repetent care, evident, nu s-a confruntat cu vreo performanţă şcolară şi la care randamentul şcolar a fost sub limita accesibilului şi prevederilor normative şi didactice. Prin progres şcolar desemnăm anumite stări calitative superioare în raport cu o anumită perioadă comparativă. La nivelul progresului, care poate fi continuu, până la performanţă sau periodic, contribuie atât agenţii educaţionali cât şi alţi factori stimulativi exteriori. În cele mai multe situaţii progresul şcolar este de scurtă durată iar motivaţia şcolară este în general scăzută.

2

2. CULEGEREA, PREZENTAREA ŞI PRELUCRAREA DATELOR STATISTICE

În cadrul acestui referat mi-am propus ca tehnică de culegere a datelor observarea parţială prin intermediul unui sondaj, aplicat la două clase de-a VIII-a la care predau la şcoala unde îmi desfăşor activitatea. Cele două eşantioane sunt formate dintr-un număr de 29 de elevi la clasa a VIII-a C, respectiv 25 de elevi la clasa a VIII-a D. Sondajul respectiv reprezintă lucrarea scrisă pe semestrul I al anului şcolar 2010-2011 .

2.1 PREZENTAREA TESTULUI ŞI A BAREMULUI DE NOTARE

Pentru evaluarea progresului şcolar al elevilor claselor a VIII-a la sfârşitul semestrului I s-a utilizat un test de evaluare ce cuprinde un număr de nouă subiecte , pentru două numere.Lucrarea scrisă conţine două părţi, prima parte conţine 4 subiecte a câte 3 itemi fiecare. A doua parte conţine 5 subiecte .

Testul a fost administrat unui număr de 29 elevi din clasa a VIII-a C, respectiv 25 de elevi din clasa a VIII-a D. Timpul de lucru alocat a fost de 60 minute.

2.1.1 COMPETENŢE SPECIFICE URMĂRITE

Utilizarea în exerciţii a definiţiei intervalelor de numere reale şi reprezentarea acestora pe axa numerelor

Folosirea terminologiei aferente noţiunii de număr real (semn, modul, opus, invers, parteîntreagă, parte fracţionară) în contexte variate

Deducerea şi aplicarea formulelor de calcul prescurtat pentru optimizarea unor calcule

Alegerea formei de reprezentare a unui număr real şi utilizarea de algoritmi pentru optimizarea calculului cu numere reale

Recunoaşterea şi descrierea unor proprietăţi ale unor figuri geometrice plane în configuraţii date în spaţiu sau pe desfăşurări ale acestora

Folosirea instrumentelor geometrice adecvate pentru reprezentarea, prin desen, în plan, a corpurilor geometrice

Utilizarea proprietăţilor referitoare la drepte şi unghiuri în spaţiu pentru analizarea poziţiilor relative ale acestora

Exprimarea prin reprezentări geometrice a noţiunilor legate de drepte şi unghiuri în plan şi în spaţiu

Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării descrierii configuraţiilor spaţiale şi în vederea optimizării calculelor de lungimi de segmente şi de măsuri de unghiuri

Interpretarea reprezentărilor geometrice şi a unor informaţii deduse din acestea, în corelaţie cu determinarea unor lungimi de segmente şi a unor măsuri de unghiuri

Recunoaşterea şi descrierea unor proprietăţi ale unor figuri geometrice plane în configuraţii date în spaţiu sau pe desfăşurări ale acestora

LUCRARE SCRISĂ LA MATEMATICĂ PE SEMESTRUL I

3

SUBIECTUL I

1.a) Rezultatul calculului este…………… b) Scrisă sub formă de interval mulţimea este....................... c) Intervalul conţine ..................numere întregi. 2.a) După scoaterea factorilor de sub radical numărul se scrie.......... b) Rezultatul calculului este……………

c) După raţionalizarea numitorului numărul este egal cu : ……….

3.a)Dintre numerele mai mic este …………..

b) Desenaţi un paralelipiped dreptunghic.

c) Fie piramida patrulateră regulată VABCD,VA=3 cm,AB=2cm.Perimetrul triunghiului VAB

este de.........cm.

4. Fie ABCDA’B’C’D’ un cub având latura de 4cm. a) Lungimea segmentului BD este egală cu ……… cm. b) Măsura unghiului format de dreptele BB’ şi AD este de ………… c) Suma lungimilor tuturor muchiilor este de ……….cm.

SUBIECTUL II5.a) Calculaţi media aritmetică şi media geometrică a numerelor şi .

b) Arătaţi că este număr natural.

c) Simplificaţi raportul punând condiţiile de existenţă.

6. Descompuneţi în factori: a) ; b) ; c) ; d) .7. Calculaţi unde:

şi

8a) Pe planul dreptunghiului cu şi se ridică perpendiculara .Să se afle distanţele unde O este intersecţia diagonalelor

drptunghiului. b) Piramida triunghiulară regulată are muchia laterală de 15 cm şi latura bazei de cm.Se cere să se calculeze înălţimea piramidei.9. Trapezul dreptunghic ABCD are AD>BC, AB=12 cm, AC=20cm, CD=15cm si AD//BC. Pe planul trapezului se ridica perpendiculara AP=12 cm. Aflati distantele de la P la BC si CD.

BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE

PARTEA I

Subiectul 1.a 1.b 1.c 2.a 2.b 2.c 3.a 3.b 3.c 4.a 4.b 4.c

4

Rezultatul

corect

10 (-3,2] 8 desen 8 48

Punctaj 3p 3p 3p 3p 3p 3p 3p 3p 3p 3p 3p 3p

PARTEA II

5.a) - Formula pentru media aritmetică 1p- Finalizare şi obţinerea rezultatului corect 1p- Formula pentru media geometrică 1p- Finalizare şi obţinerea rezultatului corect 1p

5.b) - Folosirea corectă a formulelor 3p- Finalizare şi obţinerea rezultatului corect 10 1p

5.c) - Descompunerea în factori primi a numărătorului, respectiv a numitorului 2p- Punerea condiţiilor de existenţă 1p

- Simplificarea raportului şi obţinerea rezultatului corect 2p

6.a) - Aplicarea corectă a formulei de restrângere şi obţinerea rezultatului corect2p

6.b) - Aplicarea corectă a formulei diferenţei pătratelor şi obţinerea rezultatului corect 2p

7. - Determinarea mulţimii A 3p- Determinarea mulţimii B 3p- Aflarea corectă a intervalelor de la operaţiile cu mulţimi

6p8.a) - Realizarea desenului 1p

- Calculul corect al lui MA, BD, MB, MC şi MO. 5p8.b) - Calculul corect al lui AM, AO, VO. 6p9. - Realizarea desenului 1p

- Aplicarea teoremei celor trei perpendiculare pentru calculul distanţei de la P la BC şi distanţei de la P la CD 2p- Calculul lui PB din , calculul lui ED din , calculul lui BC din

4p- Aplicarea reciprocei teoremei lui Pitagora în şi calculul lui PC 1p

- Se acordă 10p din oficiu.- Se punctează orice altă metodă de rezolvare care conduce la un rezultat corect.

2.2 TABELE STATISTICE

Gruparea datelor obţinute în urma administrării testului este organizată în tabelul 1 pentru clasa a VIII-a C şi în tabelul 2 pentru clasa a VIII-a D.

Nota

obţinută

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5

Număr

de elevi

- - 3 1 6 2 4 9 2 2

Fig.1 Tabelul 1

Nota

obţinută

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Număr

de elevi

- 3 6 5 4 1 5 - 1 -

Fig.2 Tabelul 2

Aceleaşi date sunt reprezentate şi în tabelele 3 şi 4 unde este caracteristica iar este frecvenţa

absolută de apariţie.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

- - 3 1 6 2 4 9 2 2

Fig.3 Tabelul 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

- 3 6 5 4 1 5 - 1 -

Fig.4 Tabelul 4

În vederea prelucrării datelor statistice tabelele statistice trebuie să mai conţină frecvenţa

absolută cumulată crescător ( ), frecvenţa absolută cumulată descrescător ( ), frecvenţa

relativă cumulată crescător ( rcf ), frecvenţa relativă cumulată descrescător ( ).

Tabelele de date de mai jos cuprind atât gruparea datelor, cât si prelucrarea lor. Cu ajutorul lui se poate face o serie de interpretari asupra fenomenului, previziuni, si în consecinţă se pot adopta diferite măsuri ameliorative.

Nota ( ) Frecvenţa absolută

(fi)

Frecvenţa absolută cumulată

crescătoare( )

Frecvenţa absolută cumulată

descrescătoare

Frecvenţa relativă

( )

Frecvenţa relativă

cumulată crescătoare

( )

Frecvenţa relativă

cumulată descrescătoa

re

1 0 0 29 0 = 0 % 0,0= 0 % 1 = 100 %

2 0 0 29 0 = 0 % 0,0= 0 % 1 = 100 %3 3 3 29 0,10=10 % 0,10=10 % 1 = 100 %4 1 4 26 0,03=3 % 0,13=13 % 0,89=89 %5 6 10 25 0,20 = 20 % 0,34 = 34 % 0,86=86 %6 2 12 19 0,06 = 6 % 0,41 = 41 % 0,65=65 %7 4 16 17 0,13=13 % 0,55 =55 % 0,58 = 58 %8 9 25 13 0,31=31 % 0,86 = 86 % 0,44=44 %

6

9 2 27 4 0,06=6 % 0,93 =93 % 0,13=13 %10 2 29 2 0,06=6 % 1 = 100% 0,06=6 %

Fig.5 Tabelul 5 cu date de la clasa a VIII-a C

De exemplu, să interpretăm datele din linia a a cincea a tabelului.6 elevi din cei 29 au obtinut nota 5 20 % din efectivul total au nota 510 elevi din cei 29 au note sub 6 34 % din efectivul total au note sub 625 elevi din cei 29 au note peste 4 86 % din efectivul total au note peste 4

Nota (

)Frecvenţa absolută

(fi)

Frecvenţa absolută cumulată

crescătoare( )

Frecvenţa absolută cumulată

descrescătoare

Frecvenţa relativă

( )

Frecvenţa relativă

cumulată crescătoare

( )

Frecvenţa relativă

cumulată descrescătoa

re

1 0 0 25 0 = 0 % 0,0= 0 % 1 = 100 %

2 3 3 25 0,12 = 12 % 0,0= 0 % 1 = 100 %3 6 9 22 0,24=24 % 0,10=10 % 0,88 = 88 %4 5 14 16 0,20=20 % 0,13=13 % 0,64=64 %5 4 18 11 0,16 = 16 % 0,34 = 34 % 0,44=44 %6 1 19 7 0,04 = 4 % 0,41 = 41 % 0,28=28 %7 5 24 6 0,20=20 % 0,55 =55 % 0,24= 24 %8 0 24 1 0 = 0 % 0,86 = 86 % 0,04=4 %9 1 25 1 0,04 = 4 % 0,93 =93 % 0,04=4 %10 0 25 0 0 = 0 % 1 = 100% 0 = 0 %

Fig.6 Tabelul 6 cu date de la clasa a VIII-a D

Să interpretăm datele din linia a a cincea a tabelului.4 elevi din cei 25 au obtinut nota 5 16 % din efectivul total au nota 518 elevi din cei 25 au note sub 6 34 % din efectivul total au note sub 611 elevi din cei 25 au note peste 4 44 % din efectivul total au note peste 4Se observă că aceste prelucrari ale datelor ne conduc la stabilirea procentului de promovabilitate al clasei .

2.3. REPREZENTĂRI GRAFICE

Datele din tabelul 1 şi 2 se pot reprezenta si prin intermediul graficelor următoare:

7

Fig.7 Histograma frecvenţelor absolute pentru clasa a VIII-a C

Fig.8 Histograma frecvenţelor absolute pentru clasa a VIII-a D

În figura 9 am reprezentat în aceeaşi histogramă rezultatele obţinute de cele două clase.

8

Fig.9 Histograma frecvenţelor absolute pentru ambele clase

iar în continuare poligonul frecvenţelor absolute pentru ambele clase.

Fig.10 Poligonul frecvenţelor absolute

9

2.4. DETERMINAREA MĂRIMILOR MEDII

2.4.1 MĂRIMI MEDII DE CALCUL

A) MEDIA ARITMETICĂ SIMPLĂ

Media aritmetică simplă este raportul dintre suma valorilor individuale ale seriei statistice şi

numărul lor ( efectivul total). Pentru clasa a VIII-a C media aritmetică simplă este:

iar pentru clasa a VIII-a D media aritmetică simplă este:

B) MEDIA ARITMETICĂ PONDERATĂ

Analizând formula de calcul pentru media aritmetică ponderată se observă ca, de fapt, se

reface calculul mediei aritmetice simple pentru fiecare valoare a frecvenţei. Pentru clasa a VIII-a C

media aritmetică ponderată este:

iar pentru clasa a VIII-a D media aritmetică ponderată este:

Dacă considerăm tabelul de mai jos:

Clasa Media clasei

(x)

Nr. elevi

a VIII-a C 6,65 29 192,85

a VIII-a D 4,56 25 114

Total 11,21 54 306,85

Fig.11

şi ne propunem să calculăm media generală a celor două clase vom constata că în cazul calculării

mediei aritmetice simple se va obţine

Această medie nu reprezintă adevărata medie a celor două clase deoarece clasele nu au efective

egale de elevi. În acest caz este necesară calcularea mediei aritmetice ponderate.

10

2.4.2. MĂRIMI MEDII DE POZIŢIE

A) MEDIANA

Rezultatele obţinute de cei 29 de elevi din clasa a VIII-a C pot fi puse sub forma următoarei serii

statistice simple:

Elev C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17

Nota 3 3 3 4 5 5 5 5 5 5 6 6 7 7 7 7 8

Elev C18 C19 C20 C21 C22 C23 C24 C25 C26 C27 C28 C29

Nota 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 10 10

Fig.12

Seria având un număr impar de termeni, , poziţia medianei se calculează cu formula

deci poziţia celui de-al cincisprezecelea termen al seriei este 7.

Pentru cealaltă clasă se constată că mediana M este 4.

B) VALOAREA MOD SAU DOMINANTA

Valoarea mod sau dominanta este mărimea medie de poziţie care reprezintă valoarea

caracteristicii cu frecvenţa cea mai mare. Dominanta primei clase este D=8 iar pentru cea de-a doua

clasă este D=3

2.5 DETERMINAREA INDICATORILOR DE ÎMPRĂŞTIERE A DATELOR

2.5.1 INDICATORI DE ÎMPRĂŞTIERE DIN SISTEMUL MEDIEI ARITMETICE

A) ABATEREA MEDIE LINIARĂ

Abaterea medie liniară este media aritmetică a abaterilor valorilor individuale de la media

seriei statistice, luate în mărime absolută.

Dacă se urmăreşte determinarea dispersiei notelor obţinute de cele două clase atunci se

calculează mai întâi media notelor obţinute, apoi diferenţa ( în mărime absolută) fiecărei note faţă

de media aritmetică, obţinându-se datele din tabelul următor:

11

Note 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total m

Clasa

a VIII-a

C

0 0 3 1 6 2 4 9 2 2 6,65

0 0 10,95 2,65 9,9 1,3 1,4 12,15 4,7 6,7 49,75

Clasa

a VIII-

aD

0 3 6 5 4 1 5 0 1 0 4,56

0 7,68 9,36 2,8 1,76 1,44 12,2 0 4,44 0 39,68

Fig.13

Pentru determinarea abaterii medii liniare se procedează astfel:

în cazul primei clase:

iar în cazul celeilalte clase:

Acest indicator dă o imagine asupra gradului de omogenitate al claselor.

B) DISPERSIA SAU VARIANŢA

Dispersia sau varianţa se calculează ca medie aritmetică a pătratelor abaterilor variantelor

de la media aritmetică a seriei statistice.

Tabelul statistic pentru calculul dispersiei va cuprinde următoarele date:

Note 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

Clasa a VIII-a

C

0 0 3 1 6 2 4 9 2 2 29

0 0 9 4 30 12 28 72 18 20 193

12

0 0 27 16 150 72 196 576 162 200 1399

Clasa a VIII-a

D

0 3 6 5 4 1 5 0 1 0 25

0 6 18 20 20 6 35 0 9 0 114

0 12 54 80 100 36 245 0 81 0 608

Fig.14

În cazul primei clase:

iar în cazul celeilalte clase:

Valoarea mai mică a dispersiei în cazul clasei a VIII-a D indică o omogenitate mai mare faţă de

cealaltă clasă.

C) ABATEREA STANDARD

Abaterea standard reprezintă rădăcina pătrată a dispersiei.

Pentru clasa a VIII-a C:

Pentru clasa a VIII-a D:

.

O valoare mică a abaterii standard indică faptul că media caracterizează bine seria, iar

pentru reprezentarea grafică a seriei, indică punctul în care curba îşi schimbă forma, devenind din

convexă, concavă.

D) COEFICIENTUL DE VARIAŢIE

Valoarea coeficientului de variaţie pentru clasa a VIII-a C este:

iar pentru clasa a VIII-a D este:

13

Valoarea relativ mare a coeficientului de variaţie pentru clasa a VIII-a D indică gradul ridicat de împrăştiere a datelor, ceea ce se corelează, de altfel, cu informaţiile oferite de ceilalţi indici ai dispersiei.

CONCLUZII Analizând rezultatele obţinute de elevi la această probă de evaluare se observă că au existat mai puţine greşeli la itemii din prima parte, subitemii care privesc un număr mai mic de operaţii faţă de cele complexe si itemii care au un continut de aritmetică faţă de cei cu conţinut de geometrie;

Elevii întâmpină probleme la itemii de tip subiectiv .Încep să rezolve corect problemele dar nu reuşesc să ducă rezolvarea până la final. Pe parcursul rezolvării, elevii dovedesc că ştiu semnificaţia termenilor predaţi, dar nu se descurcă să efectueze calculele mai complexe şi să aleagă modul optim de rezolvare. Experienţa altor teste de evaluare au arătat punctarea diferită a itemilor îi dezorientează pe elevi. Itemii cu punctaj mic sunt consideraţi uşori şi nu li se acordă atenţie suficientă făcând greşeli simple. Dimpotrivă, itemii cu punctaj mare sunt consideraţi dificili şi unii elevi nu îi abordează.

Evaluarea este procesul prin care se stabileste dacă sistemul educaţional îşi îndeplineşte funcţiile, dacă obiectivele propuse sunt realizate. Evaluarea efectuată de către profesor asupra rezultatelor elevilor constituie o activitate deosebit de complexă. Procesul de evaluare presupune realizarea mai multor operaţii, care vizează măsurarea, interpretarea şi aprecierea datelor obţinute, precum şi adoptarea deciziilor.

Revenind asupra a ceea ce spunea Goethe “ nu numai că cifrele generează lumea, ci ele arată cum lumea este guvernată”... o astfel de analiză efectuată în urma fiecărui test dat elevilor furnizează profesorului o întreaga gamă de informaţii, atât asupra nivelului clasei, a progresului şcolar al elevilor. Cu toate acestea profesorul trebuie să ţină cont de faptul că, succesul se măsoară nu în raport cu reuşitele globale, ci in raport cu reuşitele fiecărui individ.

Deşi evaluarea randamentului şcolar este doar unul dintre elementele procesului de învăţământ , ea constituie un element cheie , care , prin informaţiile pe care le furnizează despre rezultatele activităţii instructiv - educative , devine un ghid al acesteia.

14

BIBLIOGRAFIE

1. Dobriţoiu, M. – NOTE DE CURS

2. Savu, C., Caba G. ş.a. – MATEMATICĂ , Teora,Bucureşti, 2005

3. Troie, A., Blajovan, Z. ş.a. – MATEMATICA ÎMPREUNĂ, Editura Waldpress, Timişoara, 2008

4. http://www.didactic.ro/

15